История механики с древнейших времен до конца XVIII века - Меркулова Н.М., Рожанская М.М.

Автор: Меркулова Н.М. Рожанская М.М.

Теги: механика история механики

Год: 1971

Похожие

История СССР с древнейших времен до конца XVIII века

История Ирана с древнейших времен до конца XVIII века

Всемирная история физики. С древнейших времен до конца XVIII века

Хрестоматия по истории СССР Т.1. С древнейших времен до конца XVIII века

Текст

ИЗДАТЕЛЬСТВО • «НАУКА» • МОСКВА • 1971
АРИСТОТЕЛЬ
АРХИМЕД
ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ ГАЛИЛЕЙ
КЕПЛЕР • ТОРРИЧЕЛЛИ ДЕКАРТ • ГЮЙГЕНС • ЛЕЙБНИЦ
НЬЮТОН
И. БЕРНУЛЛИ • Я. БЕРНУЛЛИ • Д. БЕРНУЛЛИ
ЭЙЛЕР
ДАЛАМБЕР ЛАГРАНЖ
ГАМИЛЬТОН
ОСТРОГРАДСКИЙ
ИСТОРИЯ МЕХАНИКИ
С ДРЕВНЕЙШИХ ВРЕМЕН ДО КОНЦА XVIII ВЕКА
под общей редакцией
А. Т. ГРИГОРЬЯНА, И. Б. ПОГРЕБЫССКОГО
УДК 531/534 (-500-1850)
Редакторы-составители
Н. М. МЕРКУЛОВА, М. М. РОЖАНСКАЯ
Ответственный секретарь издания
Н. М. МЕРКУЛОВА
342297
2-4-1
БЗ № 33—1970—№ 10
Предисловие
«История механики с древнейших времен до конца XVIII века» — коллективный труд, входящий в подготавливаемую Институтом истории естествознания и техники Академии наук СССР «Всеобщую историю естествознания» (первым выпуском ее является трехтомная «История математики»}.
Авторский коллектив ставил перед собою задачу в полной мере использовать все ценное, что имеется в работах советских и зарубежных исследователей по истории механики, чтобы показать развитие механики как теоретической науки в различных общественных условиях и в связи с развитием других наук, запросами практики, техническими приложениями. Вместе с тем авторы стремились дать изложение, не загроможденное выкладками и специальной терминологией.
По самой сути предмета требования к подготовке читателя не могут быть одинаковыми для разных частей книги, да и строение этих частей разное. Первые пять глав — последовательное изложение истории механики до XVIII в. Только в последней из них предполагается знакомство читателя с математикой и физикой в объеме, несколько большем курса средней школы. В дальнейшем изложение расчленено не только по времени, но и по предметам, что соответствует расширению механики, которое весьма ощутимо в XVIII в., и выделению в ней отдельных дисциплин. В соответствии с этим у читателя предполагается общее знакомство с математикой и физикой в объеме, обычном для технических вузов.
При этом в последних трех главах требования цельности и законченности изложения заставили авторов выйти за первоначально поставленные хронологические рамки. Можно надеяться, что никто не посетует на то, что история тех важных разделов механики, которые рассматриваются в этих главах, доведена до XX века. Здесь уместно добавить, что уже подготовлена примерно в таком же объеме «История механики XIX—XX вв.», которую издательство «Наука» рассчитывает выпустить в ближайшее время.
Как и вся «Всеобщая история естествознания», наша «История механики» рассчитана на достаточно широкий круг читателей. Тот, кто пожелал бы детальнее ознакомиться с каким-либо вопросом, найдет необходимые указания и сведения с помощью довольно обширной библиографии, данной в конце книги.
Считаем своим приятным долгом выразить благодарность рецензентам различных глав этой книги: доктору физико-математических наук Я. Л. Геро нимусу, доктору физико-математических наук Я. Г. Дорфману, академику АН УССР Ю. А. Митропольскому, доктору физико-математических наук П. М. Огибалову, доктору физико-математических наук, заслуженному деятелю науки и техники РСФСР Н. А. Слезкину, а также кандидату физико-математических наук Л. В. Глики за ее работу при окончательной подготовке рукописи к печати.
1
Античная механика
1. 1 Началом расцвета механики как науки можно считать XVII век — век бурного развития математического естествознания. Именно тогда формировались основные законы классической механики. Однако зарождение механических знаний относится к глубокой древности, а термин «.механика» применялся уже в античном мире.)^1[равда4 л. течение д олгоговремени^почтидо-еередины XVII века, ему придав алиияой-емывл1|П?ермин «механика» происходит от древнегреческого слова |M]%avTf (mechane), которым называли все искусно придуманное, понимая при этом механическое искусство. Это относилось как к различным машинам и механизмам, так и вообще ко всяким «хитроумным» изобре-тенияМ|гСлово mechane употреблялось также и в несколько более узком смысле. 1Первоначально оно применялось в качестве названия подъемных машин,
с помощью которых в греческих театрах поднимали и опускали актеров и механизмы, позволявшие посредством небольшой силы поднимать значительные тяжести на достаточно большую высоту. Позже этим словом стали на-, зывать различные метательные машины, применявшиеся в античной технике.|
В эпоху Римской империи этот термин в его латинской форме machina (отсюда через французское «machine» происходит русское слово «махина» — «машина») уже обозначал любое приспособление, дававшее возможность, прилагая малую силу, получить большую. От греческого слова mechanikos — «изобретательный», «искусный» — науку о механизмах и машинах стали называть по-гречески mechanike, а по-латыни mechanica. В настоящее время теория машин и механизмов является одним из разделов механики, а название «механика» распространено на науку о всех видах механического движения.
| Историю механики, как науку о машинах и механизмах, можно начинать с очень глубокой древности. Уже в эпоху неолита и бронзового века появляется колесо, несколько позже применяются рычаг и наклонная плоскость. Регулярное использование рычага и наклонной плоскости начинается в связи со строительными работами в древневосточных государствах. И, разумеется, все это время шел процесс выработки, осознания ряда более или менее абстрактных понятии, таких,“как сила, сопротивление, перемещение, скорость.
2. Народы, создавшие великие цивилизации в бассейнах Нила, Тигра и Евфрата, были хорошо знакомы с такими механическими орудиями, как рычаг и клин. Первые египетские пирамиды строились примерно за 3 тыс. лет до н. э. Для сооружения самой высокой из них — пирамиды фараона Хуфу (Хеопса) — потребовалось 23 300 000 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 г. При сооружении храмов, колоссальных статуй и обелисков вес отдельных глыб достигал десятков и даже сотен тонн. Такие глыбы доставлялись из каменоломен к месту сооружения храма на специальных салазках. В каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы служил клин. Подъем тяжестей осуще
ствлялся с помощью наклонной плоскости. Например, наклонная дордга к пирамиде Хафра имела подъем 45,8 м и длину 494,6 м. Следовательно, угол наклона плоскости к горизонту равнялся 5,3°, и выигрыш в силе при поднятии тяжестей на эту высоту был значительным. Для облицовки и пригонки камней, а возможно, и при поднимании их со ступеньки на ступеньку применялись качалки. Для поднятия и горизонтального перемещения каменных глыб ^слу- ’ жил также рычаг. С древнейших времен был известен в Египте и рычаг для подъема воды (шадуф).|
Ирригационные сооружения междуречья Тигра и Евфрата (Древний Вавилон), Средней Азии (Древний Хорезм, Согдиана) и Ирана, высокий уровень строительной техники, о котором свидетельствуют многочисленные памятники этой эпохи (дворцы, храмы и жилые комплексы), позволяют предположить, что при их постройке также использовались «простые машины» — рычаг, клин, наклонная плоскость. С давнего времени (и почти до наших дней) в ирригационных сооружениях Средней Азии для подъема воды служил чигирь — усовершенствование египетского шадуфа.
Однако до нас не дошел ни один древнеегипетский или вавилонский текст 8 с описанием действия подобных машин, который дал бы возможность определить, были ли известны тогда, например, свойства рычага, которые греки позднее выразили при помощи пропорций, ныне знакомых каждому школьнику. То же относится к древней Средней Азии и Ирану, где письменные источники также практически не сохранились: найдены лишь небольшие фрагменты древнехорезмийских и согдийских рукописей. Основная масса их была уничтожена во время завоевания Средней Азии арабами в VIII в. н. э.
Таким образом, механику Древнего Востока можно отнести к предыстории современной механики.—
Этот период предыстории характеризуется применением результатов накопленного практического опыта; эти результаты, видимо, не подвергались теоретической обработке.
Известно, однако, что некоторой теоретической обработке в Древнем Вавилоне подвергались результаты астрономических наблюдений. С точки зрения истории механики, значительный интерес представляют вавилонские методы вычисления параметров движения небесных тел. Эти методы реконструированы, правда, на основании изучения вавилонских астрономических текстов достаточно поздней эпохи — эпохи Селевкидов (III—I вв. до н. э.), текстов, которые представляют собой таблицы эфемерид Солнца, Луны и планет, содер- t жащие константы периодического движения светил. 3
Так как инструменты, которые применялись вавилонянами для наблюдения | движения небесных тел, не могли гарантировать точность даже в секундах, 1 а данные таблиц имеют точность до терций, естественно предположить, что j вавилонские астрономы обрабатывали результаты наблюдений таким образом, чтобы представить их в виде арифметических рядов, соответствующих ступенчатой и линейной зигзагообразной функциям. На таком уровне научного мышления понятие скорости должно было быть достаточно абстрактным.
3. | Характер античной механики определялся экономическими основами рабовладельческого хозяйства. Развитие рабства в Греции явилось предпосылкой для более широкого разделения труда в производстве. До известного периода это обеспечивало более быстрый рост техники и производительных сил; рабовладельцы получили досуг для интеллектуальной деятельности.! Однако рабовладельческое хозяйство содержало в себе и мощные начала, тормозившие дальнейший рост тсхники./Основной формой разделения труда в нем была простая кооперация рабов. ' Рабам в основном поручались такие примитивные работы, которые или вовсе не требовали орудий труда, или выполнялись крайне грубыми орудиями, так как раб, низведенный сам до стет пени орудия труда, не был заинтересован ни в сохранности, ни в совершен- > ствовании этих -орудий. ,
Таким образом,|из характера рабовладельческой экономики вытекали примитивный характер античной техники и ее медленная эволюцияГТК рычагу и клину в эллинистическую эпоху, начавшуюся на рубеже IV—1ТТвв. до н. э., добавляются еще блок и винт. В виноделии и маслоделии использовался пресс как рычажный, так и основанный на принципе вдавливаемого клина, а затем винтовой. Для подъема и горизонтального передвижения тяжестей греки и римляне применяли ворот — с горизонтальной осью в первом случае и с вертикальной — во втором. В строительном деле употреблялись также блоки и системы блоков — полиспасты. Вращательные движения преобразовывали с помощью систем зубчатых колес. Более сложные механические орудия (водяное колесо, червячная передача, винт, насос и т. д.) применялись сравнительно редко: рабский труд препятствовал распространению механических приспособлений.
^Однако в античнбм мире были два вида деятельности свободных граждан, не связанных или почти не связанных с применением рабского труда. Это — военное и морское дело, потребностями которых в значительной степени определялось развитие античной техники^На греческих и римских судах, как гражданских, так и военных, рабы ибпользовались лишь в качестве гребцов. 9 Более ответственные операции — управление рулями, парусами и т. д.— быдр делом свободных граждан.
^Уровень развития техники в военном деле (особенно в эллинистический и римский периоды) был значительно выше, чем в сельском хозяйстве. Уже в V в. до н. з. (Пелопонесская война) в афинской армии применялись тараны, которые достигали гигантских размеров. Для метания больших стрел пользовались катапультами; прототипом пулемета был полибол для непрерывного метания стрел; баллисты служили для метания камней. С их помощью ядро в 4 фунта могло быть брошено на расстояние до 300 м. Существовали специальные прицельные приспособления и приборы для изменения тпаекторщкг
Очень важным видом деятельности, способствующим развитию техники и механических приспособлений, явилось ремесленное производство, которое, особенно в Греции и эллинистическом мире, было в значительной степени уделом свободных граждан. Именно с ремесленным производством связана разработка различных способов поднятия и перемещения тяжестей с помощью механических приспособлений («хитроумных устройств») в ткацком, гончарном, ювелирном деле и т. д., т. е. всего того, что, пользуясь современной терминологией, можно было бы объединить в понятии «техническая механика». ^Значительным стимулом совершенствования механических устройств было развитие торговли (как внутренней, так, главным образом, междугородной и международной), связанной с применением золота в качестве менового эквивалента и распространением драгоценных камней. Это способствовало использованию рычага в различных его видах, так как торговые операции требовали более точных способов взвешивания. Появляются весы и безмены самых разнообразных конструкций: с перемещающейся точкой опоры, с неподвижной точкой опоры, но перемещающимся грузом и т. д. Практика взвешивания грузов на безменах основывалась на эмпирическом знании закона рычага, и сама она в свою очередь доводила эти законы до степени очевидности. Устройство безмена было основано на твердом убеждении, чтодвойному грузу, подвешенному к одному плечу рычага (с неподвижной точкой опоры и постоянным противовесом), соответствует вдвое большее удаление противовеса от точки опоры?^ [хТаряду со стихийным применением результатов многовекового практичен ского опыта появляются и механические теории— это было принципиально новым для античной механики по сравнению с научными достижениями Древнего Востока.
| Характерной чертой античной механики является разобщенность учения о движении — кинетики и учения о равновесии — статики. Эти основные разделы механики в течение длительного периода времени (вплоть до XVII в.—
периода объединения их в единую науку) развивались независимо друг от друга. И это в значительной мере предопределено традициями античной науки/ Учение о движении разрабатывалось в рамках общего учения о природе: вопрос о сущности движения был одной из фундаментальных проблем древнегреческой философии. Чисто кинематическое описание движений стало делом астрономов, создававших и достаточно сложные инструменты для своих наблюдений и измерений, и механические модели мироздания: движение небесных тел, согласно общепринятым в античной науке взглядам, не требовало причинных объяснений. Учение о равновесии развивалось на основе опыта применения различных механических приспособлений.
Таким образом, ^есть основание выделить три направления и три линии развития механики античного мира, которая зародилась в Древней Греции в VI—V вв. до н. э. и развивалась затем в эллинистических государствах и в созданной римлянами империи примерно до V в. н. э. Статика была почти непосредственно связана с техническими запросами; ее основными проблемами были расчет выигрыша в силе, достигаемого с помощью известных механических приспособлений, и вывод условий равновесия при взвешивании и плавании Ю тел. Кинематическое направление, по крайней мере в эллинистическую эпоху, было тесно связано с астрономией, к тому времени имевшей уже многовековую традицию. В обеих этих областях был дрстигнут достаточно высокий уровень математизации науки с использованием геометрии, тригонометрии и методов инфинитезимального характера Ч Общее учение о движении, развиваемое философами, было главным образом качественной теорией. Оно в соответствии с установками основных философских школ эпохи оставляло в стороне количественную сторону дела и искало объяснения механических явлений, опираясь на повседневный опыт и наблюдения, путем сравнений и сопоставлении.}
4. Наиболее ранние сочинения античных авторов, содержащие механические теории, не сохранились. Однако несомненно, что большинство этих теорий посвящено проблемам статики и их основой служил принцип рычага. Известно, что Ар хит Тарентский разрабатывал теорию блока и полиспастов, но результаты его исследований до нас не дошли. Ему же некоторые античные авторы приписывают изобретение винта. Изобретение бесконечного винта для подъема и передвижения тяжестей, бесконечного водоподъемного винта связывают с именем Архимеда. По-видимому, появление винта вызвало постановку новых технических и математических проблем. Как известно, Архимеду принадлежит замечательное исследование спиралей. Работы Архимеда по статике—первые, посвященные механике произведения,которыми мы располагаем. Однако, если следовать хронологии источников, находящихся в нашем распоряжении, надо начинать не с Архимеда, а с философов Древней Греции.
(Уже на ранних стадиях развития греческой философии можно обнаружить зачатки двух принципиально различных механических концепций: кинетической и динамической.
Основные положения динамической концепции древних сводились к следующему: материи чуждо самодвижение — сама по себе она может пребывать лишь в покое; движение материи определяется действием на нее активных движущих начал — сил, существующих независимо от нее и действующих извне. По Эмпедоклу, например, материя приводится в движение двумя противоборствующими мировыми силами — любовью и враждой.
Напротив, с точки зрения кинетической концепции, в природе нет каких-либо особых начал движения, не связанных с материей: материи свойственно самодвижение. Наиболее последовательными представителями античного кине-тизма были атомисты Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций. Принцип механического самодвижения материи в общей форме выражен в их учении
1Т. е. методов, связанных с необходимостью исследования предельных переходов, непрерывности и т. п.
Аристотель (384—322 гг. до и. э.)
явка»
о несоздаваемости и неразрушимости материи и движения. Согласно учению атомистов, природа ничего не содержит, кроме материи, движущейся в пустом
пространстве.
Идея вечности и неуничтожаемости движения нашла яркое выражение у Гераклита Эфесского. Гераклит учил, что все существующее в природе возникает из вечно движущегося огня. Огонь Гераклита нужно понимать не в смысле обычного пламени, но как некую огнеподобную первооснову вещей. Мир как совокупность вещей сотворен не богом или человеком, а был, есть и будет
вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и закономерно угасающим. Об этом фрагменте Ленин замечает: «Очень хорошее изложение начал
диалектического материализма» 4.
Учение о вечности движения вызвало реакцию со стороны Парменида и других философов элейской школы. Они считали, что если движение вечно,
Ч то познание невозможно, ибо о том, что меняется, нельзя сказать ничего опрвг v деленного. Элеаты утверждали, что истинное бытие неизменно и находится , вне времени и пространства, а наши представления о пространстве, времени и ‘ • движении противоречивы и ложны. Это положение защищалось мастером древ-
^\ней диалектики Зеноном в его знаменитых пар ад oKcaxj Наибольшее же влия-ние на дальнейшее развитие механики оказало учение Аристотеля^
i 5. В аристотелевской натурфилософии существенное значение имеет учение
о движении. Его сочинения «Физика» 2, «О небе», «О возникновении’ и уничтожении» 3, «О метеорах» 4 и отчасти «Метафизика» 6 содержат достаточно пол-
ное изложение общих понятий механики.
1 В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 311.
2 Аристотель. Физика. Перев. В. П. Карпова. М., Соцэкгиз, 1936.
2 Aris tote Ils. De coelo, De generatione et corruptione, recensuit C. Prandtl. Lipsiae, 1881.
* «Les mdthdores d’Aristote». Uppsala, 1945.
s Аристотель. Метафизика. Перев. и прим. А. В. Кублицкого. М. — Л., Соцэкгиз, 1934.
Движение Аристотель понимает в широком смысле, т. е. как изменение вообще, различая изменения качественные, количественные и изменения в про- , странстве. Кроме того, в понятие движения он включает психологические и I социальные изменения — там, где речь идет об усвоении человеком технических знаний или об обработке материалов. Понятие движения включает в себя также переход из одного состояния в другое, например, из бытия в небытие? Механическое движение, т. е. изменение в пространстве, Аристотель рассматривает, таким образом, как частный случай движения вообще.
Не удовлетворяясь учением о механической причинности, развивавшимся древними атомистами, Аристотель различал четыре вида причин: материальную, действующую (или причину движения), формальную и финальную (цель или «ради чего»). В первой книге «Метафизики» Аристотель отмечает, что до него ученые указывали на материальную причину (ионийские натурфилософы), затем добавили причину движения (элеаты, Эмпедокл и Анаксагор) и, наконец, некоторые создали учение о формальных причинах, признавая идеи за начала вещей (школы Платона), но лишь он впервые указал на цель (или «ради чего») как на четвертую причину образования вещей. Эти телеологические моменты 12 физического учения Аристотеля впоследствии были непомерно раздуты средневековой схоластикой.
На основе различения четырех видов причин Аристотель ставит вопрос об источнике движения. Материя сама по себе является пассивным началом и 2-низшим по отношению к форме: ей чуждо самодвижение. Согласно учению ато -мистов, в пустоте движение тела происходит само по себе, без внешних импуль' сов. Напротив, в учении Аристотеля центральным пунктом является идея косности, пассивности материи. На первый план выдвигается различие между движимым и движущим. Даже в самодвижущихся одушевленных телах Аристотель различал движимое и движущее. Эти тела также требуют наличия чего-то движущего; разница лишь в том, что неодушевленные тела имеют источник движения вовне, в то время, как одушевленные имеют такой источник в самом себе. Аристотель выделяет движения прямолинейные или ограничец-ные, и круговые или неограниченные. Круговое движение, которое он считает «совершенным», свойственно небесным телам. Далее Аристотель различает два вида движений: «естественные» и «насильственные». «Естественные» движения совершаются сами собой, без всякого вмешательства извне. «Насильственные» движения для своего осуществления требуют такого вмешательства.
Для объяснения причины «естественного движения», не связанного с движением небесных тел \ Аристотель вводит понятие «естественного места». Стрем- Я. ление к «естественному месту» заложено в каждом теле, совершающем «есте-^__ ственное движение». Каждому роду тел свойственно свое «естественное место»: для тяжелых тел это — Земля, поэтому они на нее падают, а для легких -г-огонь, т. е. расположенная над вояпухом огненная сфера,поэтому они поднимаются вверх. Если какое-либо тело переместить из его «естественного места», оно будет стремиться назад, совершая прямолинейное движение. Небесным телам свойственно стремление к «совершенному» круговому движению.
| Первоисточником обеих видов движения Аристотель считает некую силу (ouvajiit). Для «естественных» движений это — нечто, присущее самому телу, а для «насильственных» — внешняя причина движения.|
Под силой Аристотель понимает всякую «способность», поскольку последняя может быть причиной начала действия или противодействия. «Движущая сила» в «насильственном движении» зависит от «активности» источника движения, т. е. от величины приложенной к движущемуся телу мускульной энергии человека или животного.
Вообще движение тел в земных условиях получило название местного.
Сила для Аристотеля — причина движения, и она должна непрерывно поддерживать движение Но тогда возникает вопрос: чем же поддерживается движение в телах, оторвавшихся от источника движения? Аристотель отвечает, > что когда мы толкаем по плоскости тело, например, шар на столе, то одновре-_X
менно приводим в движение и окружающий его воздух. В образующуюся за движущимся шаром пустоту устремляется воздух и как бы подталкивает его.\ По этой причине шар не останавливается мгновенно после прекращения дей-1 ствия силы, а некоторое время движется вследствие воздействия окружающей среды. Воздушная среда в данном случае является активным началом движения, ибо, не будь ее, тело должно было бы мгновенно прийти в состояние покоя.
В отличие от элеатов, Аристотель считает движение вечным. «Невозможно допустить, чтобы не было движения ... Движение необходимо существует всегда» 2. Но он расходится и с древними атомистами: материя не самодвижи-ма. Различая движущее и движимое, Аристотель утверждает, что «одни яэ существующих предметов неподвижны, другие всегда движутся, третьи причастны к покою и движению» 3.
Предположим теперь, что движение тела Ат обусловлено движением тела А-%, движение тела Аг — движением тела А3 и т. д. Чтобы не продолжать без конца 13 этот процесс, полагал Аристотель, мы должны признать существование первого двигателя, который должен быть либо неподвижным, либо самодвижущимся. В последнем случае нужно различить в нем движимую и движущую части. А так как двигатель в самодвижущемся уже ничем не приводится в движение, то сам он должен быть, неподвижным, и, следовательно, если рассматривать цепь, в которой последующее звено представляет движимое, то первое звено этой цепи должно быть извечным «первичным неподвижным двигателем» 4. ,
Первичный неподвижный двигатель, по Аристотелю, порождает простые, однородные, непрерывные и бесконечные движения. Вращательные движения небесных сфер являются примером таких вечных’непрерывных и совершенных движений. Существование неподвижных вечных двигателей аргументируется также'ссылкой на вечность движения: если бы не существовало первых начал движения, неподвижных и вечных по своей природе, то движение не могло бы быть вечным.
Таким образом, вечным у Аристотеля является только вращательное движение небесных сфер, да и оно не мыслится без первого двигателя. В земных же условиях движение (местное) происходит по упомянутому уже принципу, ставшему догмой средневековой науки: «с прекращением причины прекращается ее следствие». Поэтому как между движением небесных й зем- 4 ных тел, так и между состояниями движения и покоя проводится строгое раз- s граничение — в полном соответствии, заметим, с данными повседневного «житейского» опыта и наблюдений.
У Аристотеля мы находим и соображения, дающие основание для количественного определения. .
{Введем для простоты некоторые современные тещчины и обозначения. Те, что Аристотель называет «движущим», мы будем называть силой и обозначать буквой /. Величину движимого будем называть весом или сопротивлением движимого тела 5 и обозначим буквой Р. Тогда приводимые ниже рассуждения Аристотеля сведутся к следующему: сила пропорциональна произведению
* В силу логического принципа «с прекращением причины прекращается ее действие» (cessante causa ces-sat effectus средневековых схоластов). При этом под прекращением действия понималось и исчезновение результата предыдущего действия причины.
г Аристотель. Физика, кн. VIII, гл. 5, стр. 149.
8 Там же, гл. 3, стр. 142.
4 Там же, гл. 5, стр. 153.
5 Различия между массой и весом в античной физике нет.
скорости тела, к которому она приложена, на его вес, т. е.
/ ос Р • v = Р
где s — пройденное расстояние, t — соответствующее время, v — скорость-1.
Текст самого Аристотеля (с использованием только что указанных обрзиа-чений) примет такой вид: «В равное время t 2 сила, равная /, продвинет половину Р^на двойную длину s, а на целое s в половину времени t. Такова будет пропорция. И если одна и та же сила движет одно и то же тело в определенное . время на определенную длину, а половину — в половинное время, то половин- о ная сила продвинет половину движимого тела и в то же время на равную длину» 3|
Заметим, что в силу соблюдения «принципа однородности» (см. прим. 1) наше определение (средней) скорости, т. е. v = sit, было бы чуждым античной науке. Для сравнения скоростей тел сопоставляли либо расстояния, пройденные ими за одинаковое время, либо промежутки времени, за которые 14 было пройдено одинаковое расстояние. Соответственно Аристотель вводит понятие «равноскорого» движения, при котором тело «в равное время движется одинаково». «Равноскорым,— говорит он,— является то, чторз равное время продвинулось на равную величину», и «необходимо более быстрому в равное время двигаться больше, в меньшее время — одинаково» 4 *.
W. В «Физике» Аристотеля рассматривается и вопрос о сопротивлении движению (перемещению) со стороны среды, в которой движется тело, и со стороны тела. «Чем бестелеснее среда, через которую происходит движение, чем меньше она оказывает сопротивления и чем легче разделима, тем быстрее перемещение» б.
Условием возможности движения является превосходство силы Р над сопротивлением движению R, связанным с телом. Если сила Р за определенное время t переместит тело (с сопротивлением) R на расстояние s, то это не значит, что Р/2 продвинет тело (с сопротивлением) R на з/2 или что Р способна переместить тело (с сопротивлением) 2R на вдвое меньшее расстояние s/2. При этом может случиться, что никакого движения не произойдет. «Иначе,— замечает Аристотель,— и один человек мог бы двигать судно, если только силу гребцов и длину, на которую они все двигали его, разделить на их число» 6.
Следовательно, заключает он, отношение скоростей становится бесконечно большим, когда сопротивление оказывается равным нулю, а последнее возможно только в пустоте. «Для пустоты не существует никакого пропорционального отношения, в каком она (по своей тонкости)превосходила бы тело, так же, как у нуля по отношению к числу» 7. Так как «пустота не стоит ни в каком отношении с наполненной средой», то не существует никакого отношения и между скоростями. «Если через тончайшую среду тело проходит во столько-то времени такую-то длину, то, двигаясь через пустоту, оно превзойдет всякую пропорцию»8.
I Надо только иметь в виду, что такая запись была бы недопустимой для греческих ученых; то же содержание выражалось только с помощью пропорций, т. е. приравниванием отношений однородных (обязательно!) величин (см. ниже). Здесь имеется в виду скорость поступательного движения.
2 Т. е. за время, равное t.
2 Аристотель. Физика, кн. VII, гл. 5, стр. 135.
* Там же, гл. 4, стр. 134. Приведено по более точному переводу В. П. Зубова. См. В. П. Зубов. У истоков механики. — В кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 61.
1 Аристотель. Физика , кн. IV, гл. 8, стр. 71.
• Там же, кн. VII, гл. 5, стр. 136.
7 Там же, кн. IV, гл. 8, стр. 71.
• Там же.
Таким образом, всякое движение возможно лишь в наполненном пространстве, так как в пустоте оно происходило бы мгновенно. Поэтому Аристотель отвергает существование пустоты. __у
Второй аргумент в пользу невозможности пустоты Аристотель выдвигает, обращаясь к изучению падения тел, «естественного» движения, обусловленного стремлением тяжелого тела к своему «естественному месту». Согласно учению Аристотеля, четыре стихии (земля, вода, воздух и огонь) расположены во Вселенной концентрически, и таким же образом расположены их «естественные места». Все, за исключением огня, имеет «тяжесть», находясь в,своем «естественном месте». Если же вышележащая стихия насильственно перемещена в нижележащую, она проявляет стремление к своему «естественному месту», т. е. приобретает «легкость». Так Аристотель объясняет, почему одни и те же тела (например, дерево) опускаются в воздухе и всплывают в воде. Однако в своих рассуждениях он почти не обращается к рассмотрению движения «легких» тел, а интересуется движением брошенных или падающих «тяжелых» тел, с которым связывает вопросы скорости и ее возрастания. Скорость падения тела в разных средах, в силу вышеизложенного, обратно пропорциональна «тяжести» тела. Аристотель считал, что два тела одинакового объема и формы падают в воздухе тем быстрее, чем больше их «тяжесть». «Тела, имею-щие большую силу тяжести или легкости, если они в остальном имеют одинаковую фигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорциональном отношении, в каком указанные величины находятся друг к другу» Ч Различие скоростей падения в материальной среде обусловлено только тем, что более «тяжелые» тела одинакового объема и формы легче «разделяют среду своей силой». Если же рассматривать движение тела в пустоте, то это условие отпадает. Следовательно, в пустоте все тела должны иметь равную скорость, но это невозможно.
В соответствии с этим ни Аристотель, ни его. последователи не рассматривали падения тела в пустоте, так как для них пустота является физически^ абсурдом. Когда Аристотель говорит о различной скорости падения, он всегда имеет в виду падение в различных средах. Поэтому он отвергает учение атомистов о существовании абсолютно пустого пространства, независимого от находящихся в нем тел и индифферентного ко всякого рода их взаимодействиям. Пространство, понимаемое как чистое протяжение и являющееся пассивным вместилищем тел, несовместимо, по мнению Аристотеля, с понятием движения. Пространство для него — величина, непрерывная ft) по протяженности, а время — величина, непрерывная по последовательности.
Пространство Аристотеля — физическое пространство, свойства и сущность которого связаны с физическим бытием материи. Аристотель определяет «место» не как объем, занимаемый телом в абсолютном, т. е. существующем независимо от тел, пространстве, а как границу объемлющего тела, т. е. тела, соприкасающегося с объемлемым. Место, по Аристотелю, не может быть чем-то, принадлежащим предмету. Оно не может быть ни его материей, ни формой, ибо и материя, и форма неотделимы от предмета, в то время как место меняется в процессе движения. О месте в строгом смысле можно говорить лишь при наличии двух тел: объемлющего и объемлемого. Пространство, рассматриваемое как совокупность мест, является наполненным; там, где есть место, должно, быть наполненное пространство, ибо место и есть не что иное, как граница объемлющей материальной среды. К пустоте понятие места вообще неприменимо. Земля и небесные тела, отдельно взятые, находятся в известных местах, ибо они окружены мировым эфиром, но мир в целом, сферическая Вселенная ., античной астрономии, «не находится в месте», так как за пределами этой Все- ц ленной нет больше ничего. '—"
* Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 8, стр. 72.
Аргументы атомистов в защиту пустоты Аристотель отводил следующим образом: «Они утверждают, во-первых, что иначе движения по отношению к месту, т. е. перемещения и увеличения, не было бы: нельзя предполагать диже-ния, если не будет пустоты, так как наполненное не имеет возможности воспринять чтос-либо»1. «Нонет никакой необходимости,— отвечает Аристотель,— если существует движение, признавать пустоту... Это относится только к перемещению, так как тела могут уступать друг другу место одновременно при отсутствии какого-либо отдельного промежутка наряду с ними»-2. **
С точки зрения Аристотеля, пустое пространство атомистов является лишь абстракцией чисто геометрических свойств реального физического пространства. Интересно его указание, что если стать на позицию Демокрита, то это с необходимостью повлечет признание неприемлемой для аристотелизма инерции движения. Аристотель пишет: «Никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение (в пустоте), где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там. Следовательно, ему необходимо или покоиться, или бесконечно двигаться, если только не помешает что-нибудь более сильное» 3. И далее: «Но каким же образом может быть движение по природе, если нет никакого различия в пустоте и в бесконечности; поскольку имеется бесконечность, ничто не будет ни вверху, ни внизу, ни посредине, поскольку пустота — не будет различия между верхом и низом» 4.
Аристотель отвергает учение элеатов об абсолютной неподвижности истинного бытия. «Утверждать, что все покоится и подыскивать обоснования этому, оставив в стороне свидетельство чувств, будет какой-то немощью мысли и спором... Не только против физики, но, так сказать, против всех наук и всех учений, так как все они пользуются движением» 6.
Отвергая существование пустого пространства, Аристотель отвергал и существование «чистого» или «пустого» времени. Вместе с тем он проводил тонкие различия между временем и движением.
Анализируя понятие времени, Аристотель замечает, что некоторые неправильно принимали круговращение неба за само время; в действительности это круговращение служит средством для измерения времени. Если движение не может быть без времени, то и время не существует без движения. «Время не есть движение, но и не существует без движения». Если бы не было изменений, не было бы и времени. При отсутствии изменений все «теперь» были бы тождественны, следовательно, все пребывало бы в едином и нераздельном «теперь». Что же такое время? Так как «мы вместе ощущаем и движение и время», то «время есть или движение, или нечто, связанное с движением». Но время отлично от движения, так как движения могут иметь различную скорость и, следовательно, они должны измеряться временем. Время же есть «число движения» или «мера движения» 6.
7. К эпохе античности относится выделение статики в особую теоретическую дисциплину, которую древние называли «искусством взвешивать» и ставили рядом с арифметикой («искусством считать»).
Статика принадлежала к тем естественнонаучным дисциплинам, которые в Древней Греции подвергались наибольшей математизации. Ярким примером этого может служить статика Архимеда, созданная по образцу геометрии Евклида.
К античной зпохе восходит зарождение двух направлений в статике: кинематического и геометрического 7.
» Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 6, стр. 67. ft - '
1 Там же, гл. 7, стр. 69. » ,• ,
• Там же, гл. 8, стр. 71.
4 Там же, стр. 70.
е Там же, кн. VIII, гл. 3, стр. 142—143.
• Там же, кн. IV, гл. 11, стр. 78.
7 См. Р. Duhem. Les orlgines de la statique, v. I—II, Paris, 1905—1906.
Первое направление возникло, по-видимому, из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и др.) для передвижения и поднятия грузов. При этом законы равновесия тел изучались путем рассмотрения того, что происходит при нарушении равновесия, например, рассматривали неуравновешенный рычаг, т. е. рычаг в движении. Вывод основных теорем статики в этом случае был связан со скрыто или явно принимаемыми допущениями из области динамики. —
Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т. п., подпертых в одной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т. е. всевозможных видов весов (но в таких вопросах использовались и кинематические соображения). При исследовании стремились свести задачу к схеме неподвижного и уравновешенного рычага. С геометрическим направлением статики связано возникновение понятия центра тяжести.
5$ Начало кинематического направления в статике восходит к трактату «Меха-* .(нические проблемы», который приписывался Аристотелю. Геометрическое М направление связано прежде всего с именем Архимеда.
уЛ^8. ^Механические проблемы» — самое давнее дошедшее до нашего времени ' античное сочинение по механике. Долгое время оно приписывалось Аристотелю !. На самом же деле «Механические проблемы» были написаны в начале
. III в. до н. э. в эллинистическом Египте. На это указывает, например, упоминание о приводящих друг друга в движение бронзовых или железных колесах в святилищах: такие колеса находились в египетских храмах.
Трактат состоит из 36 глав и содержит перечисление и описание ряда механизмов: рычага, колодезного журавля с противовесом, равноплечих весов, неравноплечих весов — безмена, клещей, клина, топора, кривошипа, вала, колеса, катка, полиспаста, гончарного круга, руля и т. д. Не только задачи, но нередко и их решения даются в форме вопросов, т. е. лишь намечаются или даются предположительно.
Центральная тема трактата — принцип рычага, который автор рассматривает как универсальный принцип статики. Поэтому основным содержанием «Проблем» является описание различных видов рычага, к которым сводятся рассматриваемые механизмы! Так, например, автор говорит: «Почему два человека, неся одинаковую тяжесть на шесте или на чем-либо подобном, испытывают одинаковую нагрузку только тогда, когда груз находится посредине, и испытывают нагрузку тем большую, чем ближе груз к одному из несущих? Не потому ли, что шест при этих условиях становится рычагом, груз — гипомохлием (точкой опоры) и из носильщиков — тот, кто находится ближе к грузу, становится грузом, приводимым в движение, а второй — грузом, приводящим в движение? Ведь чем дальше этот второй находится от переносимого груза, тем легче он движет и тем более давит книзу на другого, как если бы налегающая тяжесть давила в противоположном направлении и стала гипомохлием. А если груз перемещается в середине, то один не оказывается тяжестью для другого и не движет другого, и тот, и другой уравновешиваются взаимно»2. Здесь же встречаем следующий вопрос: «Почему малый руль, привешенный на корме корабля, имеет столь большую силу?.. Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом — рычагом, море — грузом, а рулевой — двиз^цей силой» 3.
Попытка более широкого обобщения сде^Гця же на первой странице сочи нения. «Механидескцр дррблемы» начина ' я йр\вами: «Удивление вызывают
* «Aristoteles graece ex recensions Immanuelis Bee]
2 «Aristoteles graece...», p. 857, b 9—20. (Имеете:
Ф. А. Петровский. Архитектура античного та стр. 273—274). /*
• «Aristoteles graece...», р. 850, b 28—34 (цитаты да
2 История механики
4Й1, 1831, р. 847—858.
Н* Зубова в кн.: в. п. Зубов, архитектуры СССР, 1940, \>д.
ipsa).
из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной, а из происходящих вопреки природе те, которые производятся искусством на благо людям... Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обладающее малой силой приводит в движение большие тяжести, и вообще почти все те проблемы, которые мы называем механическими». И несколько далее: «К затруднениям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение малой силой, и это при еще большей тяжести. Ведь без рычага привести 1Гдвижение такую тяжесть нельзя, а прибавив тяжесть рычага, можно привести в движение быстрее. Начало причины всего этого заключено в круге, и недаром: ибо вполне оправдано, если что-либо удивительное происходит от чего-то еще более удивительного. Но наиболее удивительно совместное возникновение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг Другу» х.
Основная часть рассуждений автора сводится к тому, чтобы показать, что один и тот же груз движется тем быстрее, чем дальше он находится от точ-1® ки опоры рычага, т. е. плечо рычага описывает тем большую дугу, чем оно длиннее 1 2.
«Многое удивительное происходит с движениями кругов оттого, что на одной и той же линии, проведенной из центра, ни одна точка не движется с равной скоростью, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее...» 3.
Круговое движение точки рассматривается как.состоящее из двух движений: тангенциального, «сообразно природе», и центростремительного, «вопреки природе», которое отклоняет точку от ее естественного прямого пути; отклоняющее движение, «вопреки природе», в большом круге меньше, чем в малом. Поэтому за один и тот же промежуток времени точка, более удаленная от центра круга, будет двигаться быстрее и опишет большую дугу, чем менее удаленная.
Далее автор переходит к рассмотрению общего закона рычага, показывая, что равновесие грузов Рг и Р2 на его концах зависит от скоростей vr и г2, которые грузы получают при перемещении концов. Свойство рычага связывается со свойством коромысла весов. Весы рассматриваются как прямой равноплечий рычаг первого рода.
Это подтверждает предположение о том, что закон рычага, по всей вероятности, был практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на коромысловых весах (безменах).
«Почему малые силы,— как уже было сказано вначале,— движут при помощи рычага большие грузы, несмотря на прибавление веса рычага? Ведь легче двигать меньшую тяжесть, а она меньше без рычага. Не оттого ли, что причиной является рычаг, который представляет собой коромысло весов', имеющее веревку снизу и разделенное на неравные части? В самом деле, точка опоры рычага становится здесь заменой веревки, поскольку и та, и другая остаются неподвижными в качестве центра. А так как под действием разных тяжестей быстрее движется большая линия, проведенная из центра (в рычаге же имеются три вещи: точка опоры, веревка и центр, во-первых, и во-вторых, и в-третьих, две тяжести — движущая и движимая), то поэтому приводимая в движение тяжесть так относится к приводящей в движение, как одна длина к другой, но в обратном отношении; ведь всегда, чем дальше она отходит от точки опоры, тем быстрее движется. Причина же заключается в сказанном раньше: дальше уходящая из центра описывает больший круг. Таким образом,
1 «Aristoteles graece...», р. 847, а 11—13, а 28—24, а 28—Ь 21.
‘ Там же, стр. 848, Ъ 3—849b 21.
1 Там же, стр. 848, а 14—19.
при одной и той же силе движущая тяжесть, дальше отстоящая от точки опоры, пройдет больше» х.
Таким образом, если груз Л закреплен на конце рычага, то вращать этот груз тем легче, чем .дальше от точки опоры движущий груз В. Этот факт автор «Механических проблема связывает с тем, что движущий груз, укрепленный на большом плече, будет иметь большую скорость v по отношению к движимому, а следовательно, и больший путь.
Большинство остальных глав трактата посвящено применению правила рычага и решению разнообразных технических задач. Рассматривается действие гребного весла и руля, колес тачки и колесницы, военных метательных машин, условия равновесия тяжелой балки на одной опоре (плечо носильщика) и т. д.
Большой интерес вызывают соображения автора «Механических проблем» о сложении движений. Можно думать, что принцип параллелограмма скоростей и перемещений как в форме сложения, так и в форме разложения движений был известен древним ученым в достаточно развитом виде. В «Механических проблемах» говорится: «Большая линия в равное время описывает больший круг, ибо наружный круг больше внутреннего. Причина этого заключается в том, что линия, описывающая круг, перемещается двумя движениями. Итак, когда она перемещается при определенном соотношении между обоими, она движется необходимо по прямой, и эта прямая становится диагональю той фигуры, которая образуется из линий, сочетаемых в указанном соотношении» 2.
Анализ способа построения касательной к архимедовой спирали в книге «О спиралях» 3 говорит о том, что Архимеду также был известен закон сложения скоростей. Наконец, вся эллинистическая астрономия при описании движений небесных тел основывается на правилах сложения круговых движений.
9. \Архимед — подлинный основатель статики как теоретической дисциплины и гидростатики.
Уже на самых первых этапах научной деятельности, по-видимому, механика интересовала Архимеда больше всего, причем его теоретические обобщения вытекали из рассмотрения прикладных вопросов. Но и позже,(помимо теоретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался вопросами прикладной механики, в частности, в связи с потребностями обороны его родного города Сиракуз. Он обогатил античную технику большим количеством замечательных изобретений. Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой «улитки» — водяного винта, служившего для поливки полей в Египте^ (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Рассказывают также, что при помощи механических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расходятся в том, каковы были эти приспособления: одни говорят о рычаге, другие — о полиспасте, третьи — о зубчатых колесах, четвертые — о колесах, т. е. указывают почти все так называемые простые машины. |Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны военные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: орудия, метавшие снаряды, поворотные краны («клювы»), низвергавшие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые захватывали нос корабля и ставили его вертикально на корму, и т. дД
Из сочинений Архимеда, посвященных механике, до нас дошли трактат в двух книгах «О равновесии плоских фигур или о центрах тяжести плоских
* «Aristoteles graece...», р. 850, а 30— b 6.
1 «Aristoteles graece...», р. 848, b 8—13.
• Архимед. Сочинения. Перев., вступ. ст. и коммент. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз,' 1962, стр. 518—527.
19
2*
Архимед
(ок. 287—212 гг. до н. э.)
фигур», трактат «О плавающих телах» также в двух книгах и «Эфод или послание к Эратосфену о механических теоремах»
Первыми сочинениями Архимеда по механике были «Книга опор» и «О весах». Эти сочинения до нас не дошли, и об их содержании можно судить лишь по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия а. Анализ упомянутых сочинений показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сконцентрированным в его центре тяжести, хотя и пользовался этим понятием. Понятие центра тяжести появилось у Архимеда в итоге практического изучения распределения груза между опорами. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед не получил правильных результатов, но отсюда он перешел к рассмотрению одноопорной балки-рычага. Однако эти ранние работы интересны тем, что в них, кроме понятия центра тяжести, появляется и понятие центра момента. Папп приводит следующее определение Архимеда для центра тяжести-, «центром тяжести некоторого тела называется некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение»1 * 3. Из комментария Евтокия известно определение 21 центра момента. «Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром момента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры» 4.
Понятие центра тяжести для практических приложений разработано, по-видимому, в известной нам в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах» 5 *. Математическое изложение теории центра тяжести, очевидно, впервые приведено в не дошедшем до нас трактате «О равновесии» ®, по объему значительно большем двух книг трактата «О равновесии плоских фигур» 7.
В первой книге трактата «О равновесии плоских фигур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это — основы общей теории равновесия тел, построенной на системе аксиом.
Исходя из простейших фактов опыта, Архимед сумел обобщить эмпирический материал, доставляемый техникой, и привести его с помощью математики в научную систему.
Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:
«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длднах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.
4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.
5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.
1 См. Архимед. Сочинения.
’Там же, стр. 64—1$.
• Там же, стр. 70.
4 Там же, стр. 69.
1 Там же, стр. 63—64.
4 Там же, стр. 63—64, 555—556.
’ К обеим книгам трактата имеется подробный комментарий Евтокия (VI в. н. э.).
6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех самых длинах будут уравновешиваться и равные им.
7. Вовсякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»1.
Заметим, что когда Архимед говорит о действии на рычаг подвешенных грузов (тяжестей), он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого предполагает известным (это также подтверждает предположение о том, что трактат «О равновесии плоских фигур» был не первым его сочинением по механике).
В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, находится на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг весом, сосредоточенным в центре тяжести. В последующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с весами тел и их центрами тяжести.
Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине» а.
В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин» 3.
В теореме V Архимед применяет этот метод к системе трех тел, расположенных так, что центр тяжести среднего из них находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести, крайних. Согласно этой теореме, центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.
Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.
j I Hili I Illi n;Liiii..miii 1.1 и i.uiiin
Рис. 1
Теорема VI формулируется следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям» 4.
Доказательство ее Архимед проводит следующим образом. Пусть АСВ — рычаг, на концах которого А и В подвешены плоские фигуры весом соответственно Р и Q (рис. 1). Пусть к является общей мерой Р и Q: в Р она заключается т раз, в Q — п раз. Если длину рычага АСВ в некоторой точке С разделить в отношении п : т, а в некоторой точке D — в отношении т : п, то при помещении опоры в точке С рычаг находится в равновесии. Далее, от точки А откладывается отрезок AZ?! = АР, а от точки В —: отрезок ВР2 = BD. Тогда DXA, AD и СВ содержат по т единиц длины; AC, BD и ВР2 — nojz единиц длины:
АВ = п -j~ тп~, DyD% = D^A 4~ АВ BD% — 2/тг 2.i',CD%—СВ -J- BD% — п
1 Архимед. Сочинения, стр. 272.
* Там же, стр. 273.
3 Там же.
« Там же, стр. 27 4.
Следовательно, тонка С — середина прямой DXD2. Согласно предпосылке VI, не нарушая равновесия, груз Р можно заменить системой нагрузок к/2, соот-к
ветствующих каждой единице отрезка DD± : Р — -^ • 2т, а, согласно теореме V, центром тяжести всех нагрузок на отрезкеDDr будет точка А. Аналогичным образом, центром тяжести нагрузок, эквивалентных грузу Q и распределенных на отрезке DD2, будет точка В. Тогда, согласно теореме V и следствиям из нее, центр тяжести всей системы будет находиться в середине прямой DYD2, т. е. в точке С А
В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. Доказательство проводится на основании предыдущей теоремы предельным переходом с помощью метода исчерпывания. В теореме I второй книги трактата зтот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур.
Помимо вышеуказанных принципов, Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заме- 23 нить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. В ходе доказательств Архимед применяет принцип замещения с достаточной отчетливостью; однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы включил его в число своих исходных предпосылок.
Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы (относительно точки). Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости, и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.
«Вникнув в сущность архимедовых аксиом,— писал академик А. Н. Крылов,— мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно — произведение силы на ее расстояние до точки опоры,— то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела» 2. Первая книга трактата «О равновесии плоских фигур» заканчивается определением центров тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции.
Во второй книге трактата Архимед переходит к определению центров тяжести площадей фигур, заключенных между параболой и пересекающей ее прямой. Доказывается ряд теорем, например: «Если две площади, ограниченные (каждая) прямой и параболой и могущие быть приложенными к заданной прямой, не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из них обеих, центр тяжести будет на прямой, соединяющей их центры тяжести, причем вышеупомянутую прямую он разделит таким образом, что ее отрезки будут обратно пропорциональны этим площадям» 3 (теорема I).
«У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания» 4 (теорема VIII).
Эти предложения тесно связаны с работами Архимеда по геометрии. Примером применения теоретических положений механики к геометрии может также служить определение площади сегмента параболы, основанное на законе
* См. С. Я. Лурье. Архимед. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1945, стр. 89.
г А.'н. Крылов. Мысли и материалы о преподавании механики в высших технических учебных заведе-
ниях СССР. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1943, стр. б.
’ Архимед. Сочинения, стр. 283.
‘ Там же, стр. 289
рычага и теоремах о центре тяжести плоских фигур, которое приведено в математическом сочинении Архимеда «Квадратура параболы» х. О тесной связи методов механики и математики в творчестве Архимеда свидетельствует «Эфод или послание к Эратосфену о механических теоремах» 2. В этом произведении механика рассматривается как средство решения геометрических задач. Правда, Архимед не считал механический метод строгим, он рассматривал его как удобный прием для получения некоторых геометрических результатов, которым после этого надлежит дать строгое геометрическое доказательство.!
Среди теорем «Эфода» большой интерес представляет лемма о центре тяжести конуса, для доказательства которой Архимед разбивает конус плоскостями, параллельными основанию, на очень тонкие диски равной высоты. Нахождение центра тяжести конуса сводится к нахождению центра тяжести сегмента параболы. ।
10. Другим замечательным трудом Архимеда по механике являетсй его более поздний трактат «О плавающих телах» 3. Существует предположэние, что это была вообще его последняя работа. Согласно легенде, Архимед прйшел к открытию своего основного гидростатического закона случайно, решая |зада-24 чу о составе короны, которую царь Гиерон заказал сделать из золота, но!под-рядчик изготовил из сплава золота и серебра. !
В действительности открытие основного закона гидростатики было итогом вековых эмпирических наблюдений и целой цепи теоретических размышлений.
Представление о частицах жидкости, выталкиваемых более плотными телами, напоминает теории древних атомистов. У Архимеда также находят более правильную и точную формулировку соображения Аристотеля о равновесии и движении тел в различных материальных средах.
В основу всех его выводов положена следующая гипотеза: «Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим» 4.
В первых двух предложениях трактата Архимед устанавливает шарообразность свободной поверхности воды, окружающей Землю, и совпадение центра этого шара с центром Земли. Опираясь на эти опытные предпосылки и исходя из того, что поверхность жидкости имеет сферическую форму, Архимед доказывает следующие положения:
1. Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз (Предложение III).
2. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости (Предложение IV).
3. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела (Предложение V).
4. Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который' жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела (Предложение VI).
5. Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на
t
1 Архимед. Сочинения, стр. 77—94.
* Там же, стр. 298—327.
* Там же, стр. 328—357.
4 Там же, стр. 328.
величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела (Предложение VII, основной закон Архимеда)1.
Далее исследуются вопросы равновесия и устойчивости плавающих тел-Основным методом исследования является способ возмущения состояния равновесия.
Все положения трактата доказываются с помощью единого приема определения центра тяжести всего тела выступающей части и центра тяжести объема погруженной части тела. Условием равновесия тела является расположение этих точек на одной отвесной линии, когда сила тяжести тела и сила гидростатического давления, действуя в противоположных направлениях вдоль одной прямой, взаимно уравновешиваются при погружении тела в жидкость. Равновесие устойчиво, если при отклонении тела от положения равнов^Ьия оно стремится возвратиться в это положение.
Во второй части трактата рассматриваются различнее случаи равновесия и устойчивости плавающих в жидкости сегментов сферы и параболоида вращения.
«Эта книга,— писал Лагранж,— является одним из прекраснейших памятников гения Архимеда, она содержит в себе теорию устойчивости плавающих тел, к которой современные ученые прибавили лишь очень немного» 2.
Интересно, что методы, применявшиеся в теории корабля в XVIII в. и позже, имеют немало общего с архимедовским методом изучения плавания сегмента параболоида. Однако Архимед рассмотрел только частные случаи, не создав общей теории.
Несмотря на замечательные исследования Архимеда по гидростатике, мы встречаем в античной науке и после него весьма смутные, а нередко и ложные^ представления о гидростатических явлениях.
Правильные представления о давлении внутри жидкости были достигнуты лишь в XVI—XVII вв. на основе работ Галилея, Паскаля и Стевина.
11. Развитие механики в эпоху эллинизма связано прежде всего с именем представителя Александрийской научной школы Герона Александрийского, известного также как Герон-механик. О времени жизни и деятельности этого ученого точных сведений не сохранилось; в настоящее время большинство-историков науки считают, что он жил в I—II вв. н. э.
Основное сочинение Герона по механике, обычно называемое «Механикой: Герона», сохранилось только в арабском переводе сирийца Косты ибн Луки, жившего в конце IX и начале X в. Точное название этого сочинения, согласно Косте ибн Луке,— «Книга Герона о поднимании тяжелых предметов». Это сочинение появилось в 1894 г. во французском переводе Карра де Во 3, а в 1900 г.— в немецком переводе Л. Никса 4. К обоим переводам приложен арабский текст, а к немецкому, кроме того,— отрывки греческого текста, сохранившиеся в передаче Паппа Александрийского.
«Механика» состоит из трех книг. Первая книга посвящена теоретическим вопросам. Здесь, наряду с некоторыми чисто геометрическими построениями, рассматриваются передача движения с помощью зацепленных кругов, сложение движений по правилу параллелограмма, распределение нагрузки между опорами; определяется центр тяжести. Как указывает Герои, он излагает содержание не дошедшей до нас «Книги опор» Архимеда. Герои пишет: «Нам совершенно необходимо разъяснить кое-что о давлении, пере-
25
* Архимед. Сочинения, стр. 329—332.
* Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1. Изд. 2-е. М. — Л., Гостехиздат, 1950, стр. 236.
* Heron d ’Alexandrie. Les Mecaniques ou 1’Elevateur, publie et traduit... par Carra de Vaux (extrait du Journal Asiatique). Paris, 1894.
4 Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia; v. IT, fasc. 2. Lipsiae, 1900. (Herons von Alexandria Mechanik und Katoptrik, hrsg. und ilbers. von L. Nix und W. Schmidt. Leipzig, 1900).
26
даче и переносе с количественной стороны в той мере, в которой это нужно для изучающих» х.
Во второй книге «Механики» дается описание пяти простых машин: рычага, ворота, клина, винта и блока. Герои указывает, что в изложении теории рычага он развивает идеи Архимеда из «Книги о равновесии». Дается описание действия этих машин, а также рассматриваются соединения рычага, •блоков, ворота и винта.
В этой книге даются ответы на 17 вопросов, относящихся к практическому применению простых машин, а также определяются центры тяжести различных фигур. В третьей книге описаны различные конструкции приборов для поднятия тяжестей и прессов, основанных на комбинациях простых машин.
В то же время трактат Герона, главным образом, представляет собой дальнейшее развитие кинематического варианта статики, восходящего к «Механическим проблемам». Основной метод изучения равновесия у Герона — изучение перемещений, которые получают точки приложения сил при нарушении этого состояния. В результате он вплотную подошел к элементарной форме принципа возможных перемещений — «золотому правилу механики», которое формулирует следующим образом: «Отношение движущей силы ко времени является обратным» 1 2.
Замечательно следующее рассуждение Герона: «Некоторые люди думают, что тяжести, лежащие на земле, могут быть сдвинуты с места только путем приложения эквивалентной им силы. Этот взгляд ложен. Итак, докажем, что тяжести, лежащие так, как было сказано, могут быть сдвинуты с места посредством силы, меньшей, чем любая известная, и раскроем причину, почему подобное явление не оказывается сразу приметным. Представим себе, стало быть, что груз .лежит на земле и что этот груз равномерный, гладкий и плотный. Пусть плоскость, на которой груз лежит, может быть наклоняема в обе стороны, а именно вправо и влево. Пусть сначала она будет наклонена вправо. Тогда оказывается, что данный груз скатывается вправо, ибо естественным для грузов является стремление .двигаться вниз, если их ничто не подпирает, препятствуя их движению/ Если, далее, наклонная •сторона опять поднимается до горизонтальной: плоскости и вся плоскость придет в состояние равновесия, то тогда груз пребудет в этом положении. А если она наклонится в другую стороцу; т. е. в левую, то и груз будет клонить в ту же сторону, даже при самом незначительном наклоне. Следовательно, груз нуждается не в силЩ'которая его движет, а в силе, которая его подпирает, препятствуя его движению. Допустим теперь, что груз опять приходит в положение равновесия и не склоняется в какую-либо сторону,— тогда он остается в том же положении и пребывает в покое, пока плоскость не наклонится в какую-нибудь сторону,— в последнем случае и он клонит в ту же сторону. Итак, груз, готовый обратиться к любому направлению, нуждается лишь в незначительной силе, чтобы прийти в движение, и притом в соответствии с силой, которая придает ему наклон. Выходит, что груз может быть приведен в движение любой самой малой силой» 3 4.
Герону принадлежат также три трактата по прикладной механике-. «Пневматика» — о механизмах, приводимых в действие нагретым или сжатым воздухом или паром, «Об автоматах» 1 — о конструкциях самодвижущихся приборов и «Белопойика» 5 6 — о конструкциях луков, катапульт и других
1 Цит. по кн.: Архимед. Сочинения, стр. 64.
2 См. Herons von Alexandria. Mechanik und Katoptrik, S. 154.
3 Там же, S. 54—56.
4 Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, v. I. Pneumatica et automata. Lipsiae, 1899. (Herons
von Alexandria Druckwerke und Automatentheater, grieehisoh und deutsch hrsg. von W. Schmidt. Leipzig, 1899).
6 Heron Kteslbon. Belopoiika, iibers. von H. Diels und E. Schramm. —Abhandl. Preuss. Acad. Philos-hist. KI., 1918, H. 2, S. 1—56.
видов оружия. Из многочисленных механизмов Герона отметим шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей храма при зажигании огня на алтаре, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В «Пневматике» имеются и теоретические рассуждения: Герои объясняет упругость воздуха и пара соударениями мельчайших частиц, из которых, по его мнению, состоят воздух и пар. Некоторые рассуждения Герона показывают, что, хотя он был знаком с гидростатическими законами Архимеда, физическая причина кажущейся потери веса погруженных в жидкость тел была ему неизвестна; он считал эту потерю веса абсолютной.
Представителем Александрийской школы был архитектор императорского Рима эпохи Августа МаркПоллион Витрувий (I в. до н. э.). Десятая книга его знаменитого трактата «Об архитектуре» 1 * целиком посвящена механике. Витрувий был строителем-практиком. Поэтому часть его трактата, посвященная механике, содержит главным образом описание различных механизмов для поднятия тяжестей, а также практических правил и строительных рецептов. Специальный раздел посвящен военным машинам. Витрувий дает следующее определение машины: «Машина есть сочетание соединенных вместе деревянных частей, обладающее огромными силами для передвижения тяжестей» 3.
В восьмой главе десятой книги трактата рассматривается принцип действия механизмов, основанный на теории равновесия рычага, которую Витрувий излагает согласно «Механическим проблемам» и Герону, придерживаясь, таким образом, кинематического направления статики.
Механике посвящена и последняя, восьмая книга «Математического собрания» Паппа Александрийского (III в. н. э.). Папп проводит в ней различие между механикой — теоретической наукой и механикой — практическим искусством. Сочинение Паппа представляет собой в основном компилятивный труд, в который включены разнородные сведения из различных источников. В книге приведено большое число отрывков из сочинений Архимеда, некоторые теоремы геометрической статики, относящиеся к задачам определения расположения центров тяжести различных фигур, главным образом трапеции и треугольника. Папп рассматривает приложение геометрической статики к конкретным техническим вопросам: например, задачу об определении силы, которую необходимо приложить к грузу, для того чтобы переместить его вверх по наклонной плоскости, если на горизонтальной плоскости он перемещается данной силой. С другой стороны, в трактат включено описание устройства грузоподъемных машин из «Механики» Герона, однако без изложения принципа их действия.
В книге содержатся и собственные исследования автора: например, теоремы об объемах тел вращения, которые он выражает через длину окружности, описываемой центром тяжести вращающейся фигуры (теорема Паппа — Гюльдена).
Сочинения Герона и Паппа показывают, что александрийские ученые I — IV вв. н. э. уделяли значительное внимание как теоретическим основам механики (хотя научный уровень их работ был значительно ниже, чем у Архимеда), так и практической механике — конструированию механизмов, оружия и автоматов.
12. Одним из основных стимулов разработки принципов кинематики и источников развития кинематических представлений в механике была греческая астрономия.
В вавилонской астрономии положения светил на небесной сфере вычислялись с помощью арифметических методов.
27
1 Витрувий. Марк Поллион. Десять книг об архитектуре. М., Изд-во Акад, архитектуры СССР, 1936.
1 Там же, стр. 190.
Как мы уже упоминали, представители греческой классической философии (Платон, Аристотель) считали круговое движение, свойственное небесным телам, «совершенным». Поэтому греческие астрономы, обращаясь к кинематико-геометрическому моделированию видимых движений небесных тел, представляли эти сложные движения только в виде комбинации нескольких круговых. Первая попытка такого моделирования — теория вращающихся гомоцентрических сфер, предложенная крупнейшим античным математиком и астрономом Евдоксом Книдским 1 (IV в. до н. э.). (
Теория Евдокса состоит в следующем: вокруг центра, в котором находится покоящаяся Земля, вращаются 27 концентрических сфер. На внешней сфере расположены «неподвижные» звезды. С помощью остальных сфер Евдокс объясняет движение Солнца, Луны и пяти планет. Каждое из упомянутых небесных тел неразрывно связано с некоторой равномерно вращающейся сферой, объемлющей другую, ось которой находится под известным углом к оси первой. Внутренняя вращающаяся сфера увлекается в своем вращении внешней. Движение Луны описывается с помощью трех сфер. Внешняя сфера, на которой расположена эклиптика, служит для объяснения суточ-28 ного движения Луны. Она, как и сфера «неподвижных» звезд, совершает один оборот в сутки вокруг полюсов экватора.
Вторая сфера, на которой расположена наклонная к плоскости эклиптики орбита Луны, участвуя в движении первой, вращается вокруг полюсов эклиптики. Этим Евдокс объясняет «отступание узлов» лунной орбиты. Третья сфера, на которой расположена Луна, вращается вокруг полюсов лунной орбиты, участвуя, ’Таким образом, в движении обеих внешних сфер.
Движение планет Евдокс объясняет с помощью четырех сфер. Внешняя сфера, совершающая, как и в случае Луны, одно движение, совпадающее с суточным движением «неподвижных» звезд, служит для объяснения суточного движения планет. Вторая сфера, участвуя в движении первой, совершает оборот вокруг полюсов эклиптики за время, равное периоду обращения планеты. Вращения третьей и четвертой сфер служат для объяснения прямого и возвратного движений планет. Вращение третьей сферы вокруг пол юсов, которыми служат две неподвижные точки на эклиптике, совершается перпендикулярно к плоскости эклиптики. Плоскость вращения четвертой сферы наклонена к плоскости вращения третьей. В результате этих двух движений траектория планеты имеет вид петлеобразной кривой в форме лежащей восьмерки — гиппопеды, большая ось которой расположена на эклиптике. Центр ее вследствие Второго вращения проходит за период обращения планеты всю эклиптику.
С помощью системы Евдокса можно было более или менее удовлетворительно описать движение внешних планет (Юпитера и Сатурна).
Астроном Калипп пытался усовершенствовать эту систему, добавив еще по две сферы для Солнца и Луны и по одной для каждой ив планет. Аристотель, добавив «вращающиеся назад» сферы, при помощи движения которых он рассматривал вращение любой сферы, независимо от объемлющей ее, увеличил их число до 56.
Основным недостатком как гипотезы Евдокса, так и ее улучшенных вариантов было то, что, согласно гомоцентрической модели, расстояния планет от Земли предполагаются неизменными.
Другая, более совершенная кинематико-геометрическая модель движения небесных тел была предложена Апполонием и развита затем Гиппархом и Птолемеем в его «Альмагесте» 2.
* См. Б. Л. Ван дер-Варден. Пробуждающаяся наука. Перев. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз, 1959, стр. 245—247.
’ «Des Claudius Ptolemaus Handbuch der Astronomic», fibers, von Karl Manitius, v. 1—2. Leipzig, 1912— 1913. См. также C. Ptolemaus. Handbuch der Astronomic, Bd. I—II, 2 Aufl. Deutsche Obersetzung und
Для объяснения неравномерного движения Солнца по эклиптике и первого лунного неравенства были разработаны две эквивалентные модели: эпициклическая и эксцентрическая. Согласно эксцентрической гипотезе, неравномерность движения Солнца М по эклиптике с центром в точке наблюдения Е объясняется его равномерным движением по кругу, эксцентрическому относительно Е, с центром F (эксцентру) (рис. 2). «Истинное движение» (истинная долгота светила %), которое отсчитывается от апогея Л, складывается из его «среднего движения» X по эксцентру (средней долготы) и некоторой поправки 0 («простафереза»), называемого впоследствии в мусульманских зиджах и их латинских переводах «уравнением центра».
Согласно эпициклической гипотезе, светило М движется равномерно по малому кругу — эпициклу с центром С, который в свою очередь перемещается по большому кругу — деференту с центром в точке наблюдения Е (рис. 3).
Эпициклическая модель еще до Птолемея применялась для описания движения Луны. Центр С эпицикла и Луна Мна эпицикле движутся в противоположных направлениях: центр эпицикла — против часовой стрелки, Луна —• по часовой стрелке. Результирующее движение Луны складывается, таким образом, из двух круговых движений: Луны по эпициклу и центра эпицикла по деференту х. Наиболее медленным оно будет в точке М эпицикла, а наиболее быстрым — в точке Р, когда центр эпицикла лежит на прямой, проходящей через точки Е и F, и совпадает с точкой апогея А согласно эксцентрической модели (рис. 4). Движение, получающееся в результате сложения двух круговых движений в противоположных направлениях, эквивалентно движению светила по эксцентрическому кругу согласно эксцентрической модели. Результирующая абсолютная скорость светила рассматривается принтом как сумма скорости и центра эпицикла в переносном движении и скорости v светила в относительном движении по эпициклу. В апогее эпицикла, когда его центр совпадает с апогеем эксцентра (точка М на рис. 4), абсолютная скорость светила наименьшая (и — и) и направлена вправо от
29
линии MAPFE, а в перигее Р эпицикла — наибольшая (и + v) и направлена влево от нее.
Для объяснения второго неравенства Луны (эвекции) и движений планет применялась усложненная модель. Птолемей предположил, что центр эксцентрического круга (и совпадающего с ним деферента) не остается непо-
erlautemde Anmerkungen von К. Manitius. Vorwort und Berichtungen von O. Neugebauer. Leipzig, 1963.
i Отметим, что эквивалентность обеих моделей, эксцентрической и эпициклической, имеет место только при проектировании на сферу.
30
движным, а совершает движение по некоторому кругу, в силу чего деферент непрерывно меняет свое положение, совершая в течение месяца один оборот по часовой стрелке вокруг Земли. Поэтому центры эпициклов светил во время их движения оказываются на различных расстояниях от центра деферента. Кроме того, плоскость деферента изменяет свое положение в пространстве. В связи с этим Птолемей ввел понятия «среднего» и «истинного» апогея: эпицикла. Если в простой модели «истинное» перемещение светила — функция одного переменного, то в различных вариантах усложненной модели — двух и более. Для объяснения обратных движений планет Птолемей ввел комбинацию нескольких эпициклов, так, что центр каждого последующеге из них двигался по предыдущему. Положения светил на небесной сфере; вычислялись согласно этим моделям с помощью комбинаций тригонометрических функций.
Птолемей пользовался тремя системами координат.
1. Горизонтальной, в которой положение светила определяется высотой ht отсчитываемой от горизонта по перпендикулярному ему кругу высоты светила, и азимутом А, отсчитываемым от плоскости меридиана, перпендикулярной к плоскости горизонта.
2. Экваториальной, с помощью которой вычислялось суточное движение светила. В этой системе положение светила определяется восхождением а, которое отсчитывается по небесному экватору от точки весеннего равноденствия, и склонением б, отсчитываемым от небесного экватора по кругу склонения, перпендикулярному к нему. Птолемей различает восхождение в «прямой сфере» (sphaera recta) а, которое вычисляется в предположении, что-наблюдатель находится на земном экваторе (географическая широта <р = 0), и восхождение аф в «косой сфере» (sphaera obliqua) для наблюдателя, находящегося на произвольной широте ср. «Косое восхождение» определяется величиной дуги небесного экватора от точки весеннего равноденствия до его-
точки, восходящей на горизонте вместе со светилом. «Косое» восхождение связано с «прямым» соотношением, равносильным формуле аф — а + Да, где Да — так называемая «разность восхождений».
В этой системе обе координаты не изменяются во время суточного вращения небесной сферы.
3. Эклиптической, которая исторически старше экваториальной. Еще в глубоко^ древности было замечено, что Луна и планеты в своем движении
все время остаются вблизи эклиптики. Поэтому эклиптической системой координат, связанной с годичным движением Солнца, пользовались для определения положений Солнца, Луны и планет. В этой системе положение светила определяется эклиптической долготой %, отсчитываемой по эклиптике от точки весеннего равноденствия, и широтой (3, которая отсчитывается по кругу широты, перпендикулярному к эклиптике.
«Альмагест» содержит правила перехода от одной системы координат к другой, равносильные частным случаям некоторых современных формул сферической тригонометрии.
13. Кинематико-геометрическое моделирование движения небесных тел тесно связано с общими успехами кинематического метода в греческой математике. Античные математики часто обращались к кинематическому методу при решении многих задач, связанных с построением и исследованием кривых.
Архит Тарентский конструировал специальные устройства для вычерчивания кривых. Гиппий Элидский (V в. до н. э.) построил путем сложения равномерных поступательного и вращательного движений кривую, называемую квадратрисой, которой воспользовался при рассмотрении задачи Sit о трисекции угла. Этой же кривой пользовался Динострат в задаче о квадратуре круга. Аналогичным путем Никомед определил конхоиду.
К кинематическому методу часто обращался Архимед. Вот, например, его определение спирали: «Если на плоскости проведена прямая линия, которая, сохраняя один свой конец неподвижным и вращаясь с одинаковой скоростью, любое число раз вернется в исходное положение, и если одновременно с вращением этой линии какая-нибудь точка будет с постоянной скоростью перемещаться по этой прямой, начиная движение из неподвижного конца, то эта точка опишет на плоскости спираль» х.
Заметим, что кинематические расчеты применялись также при изготовлении различного рода автоматов (счетчики проходимых расстояний, часы и т. д.). Так, например, Архимед изготовил знаменитую модель небесной сферы, в которой автоматически воспроизводились видимые движения светил. Архит сконструировал прибор для нахождения двух средних пропорциональных к двум отрезкам (к чему, как известно, может быть сведено решение задачи об удвоении куба). Решение Архита по существу сводится к нахождению координат точки пересечения трех поверхностей вращения: цилиндра, конуса и тора.
Следует отметить, что применение механических устройств к геометрии встречало осуждение у философов-идеалистов й, прежде всего, у Платона. По этому поводу Плутарх в своих «Сравнительных жизнеописаниях» говорит: «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних пропорциональных — необходимая составная часть многих задач, для разрешения которой оба применили механическое приспособление', строя искомые линии на основе дуг и сегментов. Но так как Платон негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии,, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника,— механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одной из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философии» 2.
1 Архимед. Сочинения, стр. 241.
Ejijiffx. Сравнительные жизнеописания, т. 1. М., Изд-во АН СССР, 1961, стр. 391.
Говоря о механике, Плутарх имел в виду «механическое искусство» (см. ^начало главы). Однако отделение даже этой «механики» от геометрии и философии не могло не отразиться на последующем развитии и науки, и техники. Одним из итогов развития античной цивилизации было разобщение тех двух традиций, которые теперь в истории науки принято называть ремесленной и теоретической.
Будущей теоретической механике предстояло объединить в достаточной мере разнообразные части античного научного наследия: .во-первых, учение о пространстве, времени, движении, материи, целиком принадлежавшее теоретической (философской) традиции, и, во-вторых, математические методы, которые разрабатывались в астрономии. Астрономическая традиция оказалась в известной степени промежуточной между теоретической и ремесленной. Здесь наука входит в соприкосновение с техникой вследствие применения моделей и некоторого инструментария (армиллярная сфера, простейшие угломерные инструменты, плоская астролябия). Именно в астрономии больше всего сказалось непосредственное влияние запросов общественной практики (календарные расчеты, определение наступления начала земледельческих работ и т. д.). Но тем не менее в то время и на том высоком уровне, которого астрономия достигла в эллинистическую эпоху, основным стимулом ее развития была теоретическая мысль. Астрономия изучала и уточняла строение космоса.
Третье направление, античная статика и гидростатика, объединило теоретические исследования Архимеда, проведенные со всей строгостью аксиоматического метода древней геометрии, и практические правила, объясняющие действие различных механических приспособлений («простых машин»), т. е. техническую механику того времени. Разница в научном уровне обоих элементов этого направления — теоретического и технического — огромна. Можно сказать, что между строгим и изящным методом вычисления площади круга у Архимеда и рецептом Витрувия для вычисления этой площади («помножить половину диаметра на себя и утроить результат») лежит пропасть. Статика и гидростатика Архимеда принадлежат, конечно, теоретической традиции, «техническая механика» древних — ремесленной традиции, традиции архитекторов и военных инженеров.
Уже в эпоху расцвета Римской империи и тем более в эпоху ее упадка ® механике все более значительную роль начинает играть ремесленная традиция (в ущерб теоретической). В пользу этого свидетельствуют содержание и направленность трактатов Герона, Паппа, Витрувия, в значительной степени носящих компилятивный характер. Утрачивается интерес к теоретическим построениям, и содержание трактатов по механике сводится к набору простейших правил действия «простых машин».[После распада Римской империи даже в Византии, на территории которой в большей степени, чем в любой другой ее части, сохранялось античное научное наследие, была утрачена теоретическая традиция и окончательно возобладала ремесленная. Под «механикой» понималось только архитектурно-строительное и инженерное искусство.
Начало возрождения теоретического направления относится к VIII— IX вв. и связано с развитием науки в странах Ближнего и Среднего Востока. Именно ей мы в значительной степени обязаны сохранением античного научного наследия. |
2
Механика на средневековом Востоке
1. «Всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и искусства, сокращение населения, запустение городов, возврат земледелия к более низкому уровню — таков был конечный результат римского мирового владычества» Эта принадлежащая Энгельсу характеристика раннего западноевропейского средневековья позволяет понять особенности состояния и развития науки в один из наиболее мрачных периодов существования человеческой культуры. Обособленность феодальных хозяйств, натуральный характер производства не способствовали техническому прогрессу. Упадок экономики, сопровождавший переход от античности к средневековью, привел к застою культуры и науки. Наследие греков было утрачено, знания, приобретенные в древности, постепенно терялись. Единственными центрами грамотности оставались монастыри и церкви. «Отсюда,— отмечал Энгельс,— само собой вытекало, что церковная догма являлась исходным пунктом и основой всякого мышления. Юриспруденция, естествознание, философия — все содержание этих наук приводилось в соответствие с учением церкви» 2.
В руках церкви было сосредоточено и образование. Традиционным и незыблемым было деление науки на семь «свободных» искусств. Первый цикл охватывал тривиум: грамматику — мать и основу семи искусств, риторику — искусство красноречия и диалектику — элементарную логику. Второй цикл, или квадривиум, составляли арифметика, геометрия, в которую входила своеобразная смесь примитивной геометрии с фантастическими рассказами о чудесах, астрономия — главным образом вопросы календаря и гадание на звездах — и музыка — учение о гармонии.
( Под «механикой» понимали, собственно, ряд областей строительства и техники. Длительное время «механическое искусство» ставили ниже «свободных искусств»^ как род деятельности людей невысокого общественного положения, занимающихся ручным трудом.
Несколько лучше было положение в Византии — восточной части бывшей Римской империи. Здесь в большей мере сохранялась античная научная традиция. Это сказалось и на отношении к механическим искусствам. «Механики» пользовались здесь уважением и занимали видное общественное положение. Известий им^га — строителя константинопольского собора Св. Софии Анифимия Тралльского f и его современника Исидора Милетского. Они поддерживали связь с александрийскими математиками, например Евтокием, комментатором Архимеда и Апполония. В Византии были
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 21, стр. 148.
2 Там же, стр. 495. 3
3 История механики
хорошо известны сочинения Герона, указаниями которого воспользовался строитель Соломонова трона в Константинополе Лев (IX в.).
Тем не менее носители господствовавшей в Византии идеологии — служители церкви — относились к познанию законов природы с тем же безразличием, как и их коллеги в Западной Европе. Иоанн Дамаскин (VIII в.) писал, что решение различных проблем мироздания не столь уж существенно; важно признавать, что все сущее определяется деятельностью творца. Исторические условия, сложившиеся в Византии, также не способствовали дальнейшему развитию античного научного наследия.
В VI в., после закрытия языческих школ, многие греческие ученые эмигрировали в Иран; та же участь несколько раньше постигла сирийских не-сториан. Это содействовало распространению накопленных в античную эпоху знаний на Ближнем Востоке.
Завоевательные войны арабов, начавшиеся в первой половине VII в., привели к тому, что к концу 30-х годов VIII в. в состав арабского халифата, кроме Аравии, вошли Иран, Сирия, Египет, Палестина, Пиренейский полуостров (т. е. значительная часть бывшей Римской империи), большая часть 34 территории Средней Азии, Армения, Северо-Западная Индия. Одним из следствий арабского завоевания было распространение среди покоренных народов языка и религии арабов (ислама); в ряде областей оно сопровождалось массовым уничтожением памятников науки и искусства. Это относится к территории Средней Азии, в особенности Древнего Хорезма. Там были не только физически уничтожены служители домусульманского культа — зороастризма, которые главным образом занимались научной деятельностью, но и погибли многочисленные письменные памятники.
Однако в дальнейшем, одновременно с распространением арабского языка и ислама, на территории арабского халифата начала складываться научная традиция*, основанная как на античном наследии, проникшем на Ближний и Средний Восток в связи с эмиграцией греческих ученых, так и на научных достижениях покоренных народов. Хотя огромный халифат вскоре распался на ряд отдельных государств, в них сохранился арабский язык, ставший языком науки, которую принято называть арабской.
IX—XI вв.— период наибольшего подъема развития науки в арабоязычных странах. Багдад, столица халифата, превратился в крупный научный центр со школами, библиотеками и находящимся под покровительством халифа «домом мудрости». Здесь трудилась большая группа ученых, переводчиков и переписчиков, которая работала над переводом и комментированием произведений Платона, Аристотеля, Гиппократа, Евклида, Архимеда, Птолемея. Переводы с греческого, а также с сирийского, на котором до ученых стран ислама дошла значительная часть античной научной литературы, сыграли огромную роль в развитии средневековой науки. Во многих случаях они были единственными источниками, по которым Западная Европа смогла познакомиться с античной наукой.
В науке стран ислама на первый план вышла математика вычислительного характера, и в таких областях, как связанная с коммерцией арифметика, алгебра, приближенные вычисления, учение о числе, тригонометрия, был значительно превзойден уровень, достигнутый в свое время александрийскими учеными. Значительное развитие на Востоке получили астрономия, оптика- и. химия.
К IX—XI вв. относится творчество таких крупнейших ученых восточного средневековья, как братья Бану Муса, Сабит ибн Корра, ал-Бируни, Абу Али ибн Сина (Авиценна), Омар Хайям, ал-Хазини. Каждый из них, будучи автором трудов по математике и астрономии, в то же время внес известный вклад в механику.
2 . [Развитие механики в странах ислама, как и развитие математики, началось с перевода и комментирования сочинений античных авторов: Аристо-
Абу Али ибн Сина (ок. 980—1037 гг.)
теля, Архимеда, Герона \ и в дальнейшем шло по тем же основным направлениям, как и в античной механике.|кЭто обусловлено не только силой традиции, в некоторых культурных зонах Востока почти непрерывной, но и примерно одинаковым характером уровня развития техники. Целый цикл работ, посвященных общим понятиям механики (главным образом, сущности движения), ведет начало от перевода и комментирования Аристотеля. Эти вопросы затрагиваются в той или иной степени и в трактатах, посвященных частным вопросам механики.
Это комментирование было в значительной степени тем фундаментом, на который опиралась созданная впоследствии в Западной Европе теория так называемого импетуса. Зачатки этой теории можно найти у александрийского ученого VI в.— неоплатоника ИоаннаФилопона (Иоанна-Грамматика). В своем комментарии к «Физике» Аристотеля 3 Филопон, возражая Аристотелю, утверждает, что для объяснения движения брошенного тела нет необходимости вводить представление о посредствующей роли промежуточной среды. Он говорит о «движущей силе», которая непосредственно, независимо от среды, сообщается телу и поддерживает его движение, когда оно уже не соприкасается с источником этого движения. Повседневная практика покат зывает, что среда (например, воздух) обычно не помогает, а препятствуе-
1 Выше упоминалось, что только в арабских переводах до нас дошли некоторые трактаты Архимеда и «Механика» Герона. Только в арабском переводе известна и «Пневматика» византийца Филона.
2 Job. Philoponus. См. «Aristotells physicorum' libros commentaria» в «Commentaria In Aristotelem gra-eca», v. 17. Berlin, 1888. Имеется английский перевод в кн.: I. Cohen, I. Е. Drabkin. A source book in Greek science. N. Y., 1948.
3*
движению. Филонов считал, что именно орудие, с помощью которого тело брошено (рука, бросающая камень, лук, из которого выпущена стрела),— источник «движущей силы», но оно сообщает ее не среде (например, воздуху), а самому брошенному телу. И скорость тела (вопреки Аристотелю) как при бросании, так и при падении, определяется только «движущей силой». Сопротивление среды только уменьшает эту скорость, так что она становится конечной. В качестве примера движения без сопротивления Фило-пон приводил движение небесных тел. Теория Филопона послужила объектом нападок со стороны его современника Симпликия, сторонника теории антиперистазиса. Симпликий возражав ему в «Расхождениях с Иоанном-Грамматиком», которые приложены к его собственным комментариям к «Физике» Аристотеля.
Влияние теории «движущей силы» можно проследить по многочисленным сочинениям ученых стран ислама, посвященным различным разделам механики. Она оказала значительное влияние на формирование соответствующих понятий механики на средневековом Востоке.
(Среди комментаторов Аристотеля в первую очередь можно назвать Ибн 36 Сину и ал-БируниД До нас дошла переписка Ибн Сины и ал-Бируни в связи с комментированием сочинений Аристотеля. Она состоит из двух серий вопросов ал-Бируни и ответов Ибн Сины. Десять из них относятся к трактату Аристотеля «О небе», остальные восемь — к «Физике» \
Ал-Бируни подвергал сомнению и тезис Аристотеля о том, что тело, которому свойственно круговое движение, не может обладать ни тяжестью, ни легкостью, и брал под сомнение всю его космологическую систему.
Ибн Сина же, следуя Аристотелю, считал, что небесная сфера не может стремиться вниз или вверх и, находясь в своем «естественном месте», не обладает ни легкостью, свойственной элементам, стре^мящимся вверх, ни тяжестью, свойственной элементам, стремящимся к центру Вселенной. Ибн Сина, как и Аристотель, считал, что тяжелые элементы стремятся к центру Земли, а легкие удаляются от него. Ал-Бируни же полагал, что все без исключения тела стремятся к центру. Ибн Сина противопоставлял круговое движение как «насильственное», вызванное неким внешним «двигателем», прямолинейному, т. е. «естественному». Однако в своих рассуждениях об этом «первом двигателе» он считал, что, хотя последний и необходим, он не может быть в отношении природы причиной «насильственного движения». Движение как таковое Ибн Сина определял как постепенное изменение состояния тела, а движение в пространстве, т. е. механическое, рассматривал как часть движения вообще.
( Интересные мысли о движении высказал Ибн Сина в физическом разделе своей «Книги знания»: «Тело не может перемещаться с одного места на другое посредством одного толчка, так как тело разделяется на части и частями отделяется от своего места, а то, что отделяется по частям, не может быть в результате одного толчка ... Все, что движется, или движется чем-то извне (например, стрела из лука, вода при нагревании огнем), или движется само по себе (например, камень, падающий сам, или горячая вода, которая сама становится холодной). Движение того, что само движется, происходит не в его телесности, а только в его состоянии и форме. Если бы оно происходило в его телесности, то движение должно было бы быть постоянным и равным для всех тел. Стало быть, оно происходит из какой-то силы» 2.1
* Десять вопросов Бируни относительно «Книги о небе» Аристотеля и ответы Ибн Сины. Восемь вопросов Бируни относительно «Физики» Аристотеля и ответы Ибн Сины. Перев. Ю. H. Завидовского.— В сб.; Материалы по истории прогрессивной мысли в Узбекистане. Под ред. И. М. Муминова. Ташкент. 1957, стр. 128—162.
2 Ибн Сина. Даниш-намэ — книга знания. Перев. и вступительная статья А. М. Богоутдинова. Душанбе, 1957, стр. 232—233.
Абу Рейхан Бируни (973—1050)
Целый ряд авторов, начиная с Ибн Сины, излагает и развивает теорию «движущей силы». Это — Ахвад аз-Заман ал-Багдади, астрономы XII в,— ал-Бшпруджи («Альпетрагий») и Ибн Малка, Ибн Баджжи (Авемпас), Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.). Эти две точки зрения послужили источником одной из самых широких научных дискуссий на средневековом Востоке, которая велась вплоть до XIII в.
Ибн Сина, развивая теорию Филопона, определяет «силу, которая передается брошенному телу», как некое «качество», с помощью которого тело отталкивает все, что мешает ему двигаться в некотором направлении. Он называет ее также «заимствованной» силой. Это качество, которое бросающий передает брошенному телу так же, например, как огонь при нагревании воды передает ей тепло х.
Ибн Сина вносит два существенных добавления в теорию Филопона. В то время как Филопон утверждал, что при движении тела в пустоте его «движущая сила» постепенно иссякает, Ибн Сина утверждал, что при отсутствии всяких помех этой силе «насильственное» движение, источником которого она является, может продолжаться бесконечно. | Ибн Сина сделал попытку количественно выразить величину «движущей силы», говоря, что тела, движимые данной «силой», перемещаются со скоростями, обратно пропорциональными их весам, а тела, перемещающиеся с заданной скоростью, прохо-
1 Отметим, что еще до Ибн Сины теорию «движущей силы» развивал, следуя Филопону, багдадский ученый Яхья ибн‘Ади (умер в 973—974 гг.). Он считал, что движение брошенного тела происходит вследствие того, что от бросающего этому телу передается некоторая сила, которая дает ему возможность достичь конца движения, после чего она рассеивается (S. Pinte. Ни ргёсигаеиг Bagdadien de la th6orie de 1’impetus.— Isis, 1953, v. 44, p. 247«-251).
дят (несмотря на сопротивление воздуха) расстояния, прямо пропорциональные их «тяжестям».
Эту топку зрения в XII в. развивал продолжатель Ибн Сины — Абу-л-Баракат ал-Багдади, который объяснял ускорение падения тел последовательным накоплением «движущей силы» одновременно с последовательным накоплением скорости.I
Возникает вопрос, каковы пути распространения филопоновской теории «движущей силы» и связанных с ее дальнейшим развитием представлений в Западной Европе.
Комментарий Филопона не был переведен на латинский язык и остался неизвестен средневековым западноевропейским авторам. «Книга Знания» Ибн Сины была известна в сокращенном переводе под названием «Liber de sufficientia», в котором опущены почти все моменты, касающиеся теории «движущей силы». Однако в Западной Европе было хорошо известно астрономическое сочинение ал-Битруджи (Альпетрагия) «Теория планет», переведенное на латинский язык в 1217 г.1 Ал-Битруджи считал, что движения планет, связанные с движением небесных сфер, происходят под воздействием 38 сил, которые сообщаются им «верховным телом». Он сравнивал их с движением камня или стрелы, которые после отрыва от источника движения продолжают перемещаться благодаря некоторой сообщенной им в начальный момент силе. Эта сила, по его представлению, ослабевает по мере удаления источника движения.
Имеется точка зрения, что именно это сочинение, которое написано под существенным, хотя и не непосредственным влиянием комментария Филопона, послужило источником развития подобных представлений на Западе2.
|Из более поздних комментаторов Аристотеля широко известен родившийся в Кордове Абу-л-Валид Мохаммед ибн Рошт (Аверроэс)1— наиболее ортодоксальный приверженец аристотелевской теории. По Аверроэсу, материальный мир бесконечен во времени, но ограничен в пространстве. Материя — универсальный и вечный источник движения. Движение вечно и непрерывно, так как каждое новое движение имеет причиной предшествующее. Время существует и доступно измерению только благодаря движению. Философское учение Ибн Рошта резко противоречило официальной мусульманской догматике. Оно получило распространение в Западной Европе в период феодализма и раннего Возрождения и способствовало развитию материалистической стороны философии Аристотеля.
| Рассуждая о механизме передачи движения, Аверроэс объяснял его сравнением с волнами, распространяющимися кругами на воде, в которую брошен камень. Он считал, что частицы воды способны к взаимопроникновению. Аналогичное явление, по его мнению, происходит в воздухе при движении в нем брошенного тела. Таким образом, проникновением частиц среды в движущееся тело и поддерживается движение последнего. Однако это взаимопроникновение является частичным, ибо если бы оно было полным, т. е. среда не обладала бы упругостью, никакой передачи движения не могло бы быть|
Существенное влияние на формирование указанных представлений в Западной Европе оказала и продолжительная дискуссия (на почве комментирования «Физики») между Аверроэсом и испано-арабским ученым XII в. Ибн Баджжи (Авемдасом), в которой Авемпас защищал и развивал точку зрения Филопона (теория Авемпаса была известна на Западе лишь в изложении критиковавшего ее Аверроэса). Авемпас утверждал, что даже в
i Alpetraglus. Planetarum theorica physicis rationibus probata. Venetiis, 1531. См. P. Duhem. La systfeme du monde. Histoire des doctrines cosmologiques de Platon a Copemic, t. IX. Paris, 1913—1959, p. 173.
’ См. M. Clegeit. The science of mechanics in the Middle Ages. Madison, 1959, p. 514—515; A. Maier. Zwei Grundprobleme der scholastischen Naturphilosophie. (Das Problem der intensiven Grosse. Die Impetus-theorie) 2 Aufl., Roma, 1951, S. 129—133; P. Duhem. Там же, т. IX, стр. 181—183.
пустоте тело движется с конечной скоростью, так как, несмотря на отсутствие сопротивления, оно всегда должно пройти определенное расстояние. Подобно Филонову, он считал движение небесных сфер примером движения без сопротивления с конечной скоростью.
3. С переводом и комментированием Архимеда и Герона связано дальнейшее развитие как геометрического, так и кинематического направлений статики. Кинематические исследования стали интенсивно развиваться в связи с переводом и комментированием «Альмагеста» Птолемея и его античного комментатора Теона Александрийского. Изучение Птолемея (наряду с индийскими астрономическими сочинениями, которые написаны, в свою очередь, под сильным влиянием александрийской астрономии) послужило основой для составления зиджей — собраний таблиц и расчетных правил для вычисления положений светил на небесной сфере. В основе зиджей лежат греческие кинематико-геометрические методы моделирования движений небесных тел. Вообще для механики средневекового Востока, как и для его математики, характерны разработка количественной стороны проблем и развитие в связи с этим вычислительных методов. Это в особенности относится к исследовани-ям в области статики и гидростатики, которые получили развитие <6 связи “ с практикой взвешивания металлов и минералов, игравшей существенную роль в международной торговле.
^Следуя античной традиции, ученые стран ислама называли механику «илм ал-хийал», т. е. учением о хитроумных приспособлениях, что представляет собой дословный перевод греческого термина шёсйапё. Как и у античных авторов, в средневековых восточных сочинениях встречается подразделение механики на учение о военных машинах и собственно учение о хитроумных приспособлениях, под которыми имелись в виду, главным образом, устройства для поднятия тяжестей и воды для поливки полей. fy
Раздел о механике входит в состав большинства средневековых восточных энциклопедий. Наиболее полным в этом смысле является древнейшее из подобных сочинений —«Ключи наук» Абу Абдаллаха ал-Хорезми (IX в.) \ состоящее из двух книг. Одна из глав второй книги целиком посвящена механике. Это — в основном переработка «Механики» Герона. В книге дано описание простых машин и их комбинаций и приводится руководство по их практическому применению. В нее входит также раздел, посвященный военным машинам; кроме того, содержатся некоторые сведения из «Пневматики», главным образом о механизмах, приводимых в движение с помощью пневматических устройств.
(«Механические проблемы» и «Механика» Герона лежат в основе механических глав «Книги знания» Ибн Сины, где описываются пять простых машин: рычаг, блок, ворот, клин и винт, а также их комбинации,— некоторые из последних отсутствуют у Герона. На конкретных примерах рассматриваются применение описанных машин и их комбинации для поднятия грузов/
Известен трактат аналогичного содержания «Книга о механике» а, принадлежащий знаменитым астрономам и математикам Багдадской школы — трем братьям Б ану Муса (некоторые источники приписывают его одному из братьев — Ахмаду, наиболее сведущему в области механики, IX—X вв.) Среди механических устройств, описанных в «Книге о механике», имеется, в частности, приспособление для поддержания постоянного уровня воды в сосуде 3. Трактат братьев Бану Муса породил целый ряд комментариев и трактатов, написанных на его основе. Среди них — трактаты Сайид ад-Дина ибн Ракика,
1 См. «Liber maffttih al-ulflm..., auctore Abu Abd’allah Mcbairmcd ibn Atirrdiitn Jcfiecuf al-Kdtib al-Khowarezmi», ed. G. Van Vloten, Lugduni Batavorum, 1895. См. тагже E. Wiedemann. Zur Mechanic und Technik bei denJ Arabern.— Sitzungsberichte derf physikaliseh-rcedizinlEChen Sczietat zu Erlangen, Bd. 38, 1906, S. 1—56. См. также E. Wiedemann. ZurTechnik bei denj1 Arabern.— Там же,'стр. 307—357.
2 «Китаб фи-л-хийал». См. Е. Wiedemann. Zur Mechanik und Technik bei den Arabern, S. 21.2
3 E. Wiedemann. Zur Technik bei den Arabern, S. 332.
Ибн Аби Усейби L Механическим устройствам для поднятия воды посвящен трактат Абу-л-Изз Исмаила ал-Газари «Книга о познании геометрически хитроумных приспособлений» а. Такого же рода устройства рассматриваются в трактате Ибн Мухаммада ибн Али ал-Хорасани «О водяных колесах и подъеме воды и служащих для этого механических устройствах» 3.
Многочисленные описания всевозможных механических устройств, применявшихся в разных странах ислама, содержатся в географических сочинениях ал-Кинди, Ибн Халдуна, Ибн Якута. Ал-Бируни рассматривает их при описании ирригационных сооружений в Хорезме 4.
В некоторых средневековых восточных энциклопедиях особо выделяется «Наука о подъеме воды» 5, которую авторы рассматривают как раздел геометрии.
4. Перевод и комментирование трудов Архимеда послужили основой для дальнейшего развития геометрической статики и гидростатики в странах ислама. Переводчиком трудов Архимеда был, например, крупнейший математик и астроном IX в. Сабит ибн Корра. Именно в переводах Сабита ибн Корры сохранились сочинения Архимеда, которые не дошли до нас в грече-40 ском оригинале.
Проблемы статики развиваются в большом цикле трактатов о карастуне («карастун» — искажение греческого названия неравноплечих рычажных весов — «харистийон»).
Известны трактаты о карастуне братьев Бану Муса, Сабита ибн Корры, переводчика трудов Герона Косты ибн Луки. «Трактат о весах и мерах», содержащий подробное описание различных видов рычажных весов, нацисан на арабском языке христианским священником отцом Ильей, архиепископом Нисибина (XI в.)6. Описание карастуна приводит в своей популярной «Книге вразумления в начатках искусства звездочетства» 7 ал-Бируни.
Остановимся подробнее на трактате Сабита ибн Корры. Кроме сочинений Архимеда, Ибн Корра перевел на арабский язык «Конические сечения» Аполлония, «Альмагест» Птолемея, а также был комментатором «Начал» Евклида. Его собственные математические трактаты по содержанию и методам близки к сочинениям Архимеда, но включают и оригинальные открытия автора. Трактат «Книга о карастуне» 8, также написанный под сильным греческим влиянием, получил широкое распространение в средние века. В XII в. он был переведен в Западной Европе на латинский язык под названием «Liber carastonis».
ГИбн Корра излагает теорию взвешивания, следуя главным образом кинематическому направлению статики «Механических проблем» и «Физике» Аристотеля. Основной закон рычага формулируется следующим образом: «...Если подвесить линию АВ в точке С (между А и В) и подвесить к ее концам А и В два груза, обратно пропорциональные ее частям, то АВ параллельна горизонту» ®. При его доказательстве используется (хотя четко не определяет -
* См.Н. Suter. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und Hire Werke. Abhandlungen zur Geschichte 2 der mathematischen Wissenschaften, 1900, H. X.
3 «Ал-китаб фи ма ’рифат ал-хийал ал-хандасийа». См. Е. Wiedemann. Там же, стр. 332.
«Баб ал-давалиб ва истибат ал-мийах ва-л-хийал фи залика». См. Е. Wiedemann. Besprechung elnes Sttickes aus der Beschreibung Agyptens von el-Kindi und der darin erwahnten Gelehrten. Sitzungsberichte der physikalisch-medizinischen Sozietat zu Erlangen, 1905, Bd. 37, S. 221.
4 Бируни. Сочинения, т. III. Геодезия. Ташкент, 1966, стр. 94—95.
5 «Или инбат ал-мийах».
6 «Макала фи-л-авзан ва-л-макайил». См. Е. Wiedemann. Zur Mechanik und Technik bei den Arabern, S. 16.
’ R. Wright. Al-Biruni. The Book of introduction in the elementsjof astrology, written in Ghazna, 1029 A. D. Text, translation. London, 1934.
’ E. Wiedemann. Die Schrift fiber den Qarastun.— Bibliotheca mathematica, 1911—1912. 3 Folge, v. 12, S. 21—39.
s E. Wiedemann. Die Schrift fiber den Qarastun, S. 21.
ся) понятие «силы движения», в которой некоторые исследователи видят аналогию с работой силы тяжести тела при его возможном перемещении, так как при заданном грузе «сила движения» пропорциональна перемещению, а при заданном перемещении — весу груза.
Ибн Корра не ограничивается изложением теории невесомого рычага. Стремясь приблизиться к практике взвешивания, он пытается как-то учесть вес коромысла и строит теорию весомого рычага. Его рассуждения опираются на два положения: два равных груза можно заменить одним двойным, подвешенным посередине между ними; распределенный равномерно по рычагу вес можно заменить грузом такого же веса, приложенным к середине рычага^, Хотя сами по себе эти исходные предпосылки и верны, окончательные зультаты не совсем ясны; и приведенное в конце книги правило градуирования весов не вытекает из полученных результатов. Доказательство Ибн Корры близко к методам геометрической статики Архимеда. По существу — это решение задачи определения центра тяжести тяжелого отрезка, значительно более простой, чем определение центров тяжести в работах Архимеда. Ибн Корра доказывает вначале теорему о равнодействующей двух равных сил и, распространив эту теорему на любое конечное число равных сил, приложенных в точках на равных расстояниях, обобщает ее затем на бесконечное множество (бесконечно много — ла нихайа, буквально — «без конца») равных сил, т. е. для случая равномерно распределенной нагрузки. При этом Ибн Корра наряду с операциями над отношениями применяет к непрерывным величинам арифметические действия умножения и сложения. Это сыграло существенную роль в подготовке расширения понятия числа до положительного действительного, которое осуществил впоследствии Омар Хайям.
5. Целый ряд исследований ученых стран ислама посвящен важной области применения весов — определению удельного веса, преимущественно металлов и драгоценных камней. Отправной точкой для них были античные сочинения по статике и, прежде всего, трактат Архимеда «О плавающих телах». Этими проблемами занимались такие крупные ученые, как ал-Бируни, Омар Хайям и его ученик ал-Хазини.
Ал-Бируни в своем минералогическом трактате «Собрание сведений о познании драгоценностей» 1 приводит результаты большого числа точных взвешиваний. В качестве эталона для драгоценных камней он выбирал сапфир, а для металлов — золото.
Определению удельных весов посвящен его специальный трактат «Об отношениях между металлами и драгоценными камнями в объеме», который дошел до нас в передаче ал-Хазини 2. Среди своих предшественников ал-Бируни называет александрийского математика и астронома Менелая и ряд своих современников,принадлежащих в основном к Багдадской школе: Санада ибн Али (1Хв .), Юханну ибн Юсуфа (Хв.), ар-Рази (XI в.). Своим непосредственным предшественником ал-Бируни считает Ахмада ибн ал-Фадла ал-Бухари (X в.), метод которого основан на сравнении весов равных объемов чистых металлов и сплавов. Аналогичный метод излагается в трактате Абу Мансура ан-Най-ризи, посвященном определению удельных весов меди и свинца 3. Ал-Биру-ни описывает его под названием «метод Абу-Мансура». Основную проблему ал-Бируни видит именно в «установлении отношений между металлами и минералами в объеме и весе». Для возможно более точного определения объемов
41
1 Абу-р-Райхан Мухаммед ибн Ахмед ал-Бируни. Собрание сведений для познания драгоценностей (Минералогия). Перев. А. М. Беленицкого. М., Изд-во АН СССР, 1963.
2 «Об отношениях между металлами и драгоценными камнями в объеме»—отрывок из трактата Абд арРахмана ал-Хазини «Весы мудрости» в кн.: Абу-р-Райхан Мухаммед ибн Ахмед ал-Бируни. Собрание сведений для познания драгоценностей (Минералогия), стр. 249—270.
3 Е. Wiedemann. Uber BestimmungT der spezifischen" Gewichte.— Sitzungsberichte der physikalisch-xne-dlzinischen Sozletat zu Erlangen, 1906, Bd. 38, S. 163—180.
изучаемых минералов ал-Бируни пользовался специально сделанным отливным стаканчиком. Удельные веса он приводит с точностью до 1 тасуджа (1/24 мискаля, равного 425 г). Помимо определения удельных весов металлов и минералов, ал-Бируни с помощью специально сконструированного сосуда определил удельные веса ряда жидкостей. Он отмечает различие удельного веса холодной и горячей, пресной и соленой воды, указывает на связь плотности воды с ее удельным весом.
Дальнейшее совершенствование способов взвешивания и определения удельных весов продолжает Омар Хайям в трактате «Весы мудростей или об абсолютных водных весах»1. Хайям излагает способ взвешивания с помощью весов, находящихся в воде и в воздухе, и применяет его для определения количества золота и серебра в сплаве. Удельный вес металлов он определяет, рассматривая отношения их весов в воздухе и в воде. Большой интерес представляет графическая иллюстрация получаемых пропорций с помощью отрезков прямых линий разной длины.
Методам взвешивания и определения удельных весов посвящена значи-тельная часть трактата ал-Хазини «Весы мудрости» 2. Ал-Хазини подробно излагает способы Менелая, ал-Бируни и его предшественников в странах ислама.
В трактате приведена модификация способа Хайяма, в которой для определения веса золота в сплаве золота и серебра ал-Хазини приходит к уравнению первой степени, решаемому с помощью «алгебры и мукабалы». Следуя Хайяму, ал-Хазини также строит графическую схему для геометрической иллюстрации совершаемых им арифметических операций. Приведенные им числовые данные позволяют судить о точности производимых взвешиваний (около 0,1%). Ал-Хазини определял объемы, пользуясь отливным стаканчиком, изобретенным ал-Бируни. По весам и объемам ал-Хазини находил удельные веса различных веществ.
Интересно сопоставление его данных с современными: удельный вес серебра — 10,30 (современное — 10,49), золота—19,05 (19,27), свинца — 11,32 (11,39), ртути - 13,56 (13,557), меди - 8,66 (8,94), железа - 7,74 (7,87). Как видно, расхождения незначительны. Такая точность позволяла обнаружить различие удельного веса воды при разных температурах (для кипящей воды дается число 0,958, что совпадает с современными данными). Точное определение удельных весов позволяло решать ряд практических задач: отличать чистый металл от подделок, устанавливать ценность монет, выявлять подлинность драгоценных камней.
Кроме метрологической части, «Книга о весах мудрости» содержит теоретический раздел, в котором рассматриваются определение центров тяжести, потери веса телами при их погружении в воду, кажущегося веса тел в воздухе, равновесия плавающих тел, сферической формы жидкости, находящейся в равновесии, и др. С определением удельных весов мы встречаемся и в XV в. в арифметике самаркандского ученого Джемшида ал-Каши 3.
6. Развитие кинематических представлений в механике стран ислама остается тесно связанным с разработкой теории движения небесных тел. До нас дошло свыше 100 зиджей VIII—XV вв. Кинематические модели, описывающие движение светил, рассматриваются в большом количестве специальных трактатов Сабита ибн Корры, его внука Ибн Синана, ал-Бируни и многих других.
1 ‘Омар Хаййам. Трактаты. Перев. Б. А. Розенфельда. Вступ. ст. и коммент. Б. А. Розенфельда и А. И. Юшкевича. М., Изд-во восточной лит-ры, 1961.
2 Aid ar-Rahman Khazini. Kitab Mizan al-hikma, Hyderabad, 1359 (1941).
3 Джемшид] Гиясэддин ал-Каиш. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перев. с арабск. Б. А. Розенфельда. Под ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Коммент. А. П. Юшкевича и В. А. Розенфельда. M., Гостехтеоретиздат, 1956.']
В «Книге о замедлении и ускорении движения по зодиакальной орбите» 1 Ибн Корра изучает видимое движение Солнца по эклиптике,исходя из античной эксцентрической гипотезы. Свои утверждения он формулирует в виде четырех предложений, два из которых — чисто геометрические. С их помощью Ибн Корра доказывает, что на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентра, расположенной ближе к апогею, движение Солнца медленнее, чем на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентра, расположенной ближе к перигею. А на таких двух дугах эклиптики, если эти дуги равны, расположены симметрично относительно точек, находящихся на концах диаметра, перпендикулярного к диаметру, проходящему через апогей и перигей, и берут начало в одной из этих точек, «истинное», т. е. видимое, «движение» равно «среднему» равномерному «движению» по соответствующей дуге эксцентра. Свои рассуждения Ибн Корра проводит для произвольных дуг эксцентра. С другой стороны, он применяет при формулировке своего результата и такое выражение: среднее равномерное движение по эклиптике 2 не является истинным ни в каком месте, за исключением двух точек... (имеются в виду определенные выше точки). Таким образом, хотя ему было еще чуждо понятие предельного перехода, он достаточно близко подошел к понятию б скорости точки в данный момент времени — мгновенной скорости 3.
Блестящим образцом кинематического исследования является описание движения Солнца в окрестности апогея и перигея в «Каноне Мас’уда» 4 ал-Бируни. Рассматривая это движение точки по окружности, ал-Бируни делает его объектом детального математического анализа. Мы не имеем данных о том, пользовался ли ал-Бируни в своем исследовании трактатом Ибн Корры. Возможно, что он получил свои результаты самостоятельным путем. Как мы видели, Ибн Корра исходил из геометрических представлений, ал-Бируни же сводит свое исследование к изучению поведения «уравнения Солнца», т. е. разности между дугами «истинного» и «среднего» движений и разностей их значений, соответствующих концам малых дуг эксцентрической орбиты. Ал-Бируни показывает, что две указанные симметричные точки, в которых скорость видимого движения совпадает со^скоростью равномерного движения по эксцентрической орбите, являются точками максимума «уравнения». Далее он показывает, что скорость видимого движения Солнца достигает в апогее и перигее максимума и минимума и что при перемещении от одного к другому наблюдаются непрерывное возрастание и убывание ее. Ал-Бируни связывает это с непрерывным возрастанием и убыванием «разностей уравнений», обращающихся в нуль в точках максимума «уравнения».
«Замедление движения (Солнца по эклиптике) в апогее переходит в его ускорение в перигее только после того, как оно проходит через равенство его и среднего движения в месте наибольшего угла для уравнения. Изменение (его) по обе стороны от этого места не ощущается, так как разность (уравнений) начинает уменьшаться от апогея до этого упомянутого места, потом Как бы исчезает в нем, а затем увеличивается, пока Солнце не достигнет перигея» 5.
Хотя ал-Бируни не выделил еще ни понятия ускорения, ни понятия скорости в общем виде, его исследование было существенным шагом в этом направлении. Эти идеи не получили, однако, дальнейшего развития на средневековом Востоке. В Западной Европе мы их находим три столетия спустя.
----- ВоЭД г. '
1 Полное название трактата: «Книга, сочиненная Сабитом [ибн Коррой] о замедлении и ускорении движения по зодиакальной орбите в соответствии с его расположением относительно эксцентрической орбиты». См. О. Schirmer. Studien zur Astronomie der Araber.— Sitzungsb erich te der physikalisch-medizinischen Sozietat zu Erlangen, 1926, Bd. 58, S. 33—88.
2 Ибн Корра говорит о зодиакальном круге.
2 На это впервые указал О. Ширмер. (О. Schirmer. Studien zur Astronomie der Araber). См. особо примечания 7 и_15 на стр. 38 и 42. ____
4 Abu Rayhan Muhammad, b Ahmad al-Biruni. Al-Qanunu’l-Mas’udI (Canon Masudicus), v. I—III. Hyderabad, 1954—1956.
5 Там же, т. II, стр. 661.
3
Механика в средневековой Европе
1. Сдвиги в науке и технике на Западе начались несколько позднее, чем на Востоке,— в конце XI в. Они были вызваны серьезными изменениями в экономике. К этому времени становится более продуктивным сельское хозяйство, возникают ремесла, развиваются торговля и денежное обращение, усиливается рост городов. Крестовые походы способствуют знакомству Европы с культурными достижениями Востока. Энгельс писал: «...со времени крестовых походов промышленность колоссально развивалась и вызвала массу новых механических (ткачество, часовое дело, мельницы), химических (красильное дело, металлургия, алкоголь) и физических (очки) фактов, которые доставили не только огромный материал для наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше, средства для экспериментирования и позволили сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно систематическая экспериментальная наука стала возможной лишь с этого времени» -1.
Заметными становятся и успехи техники. В X—XII вв. большое развитие получили водяные мельницы, несколько позже — ветряные. Тогда же в Европе появились механические часы. Немаловажное значение для накопления знаний о законах природы имели изготовление военного снаряжения, кораблестроение, градостроительство, устройство крупных гидротехнических сооружений.
I Развитие промышленности и повышение общего культурного уровня вызвали потребность в подготовке специалистов. Возникли светские школы, а в XIII в. были созданы первые университеты в Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде. В XIV в. университеты были открыты в Пизе, Павии, Кракове, Вене, Гейдельберге, Ферраре и др. Старшими факультетами в большинстве университетов были богословский, медицинский и юридический, младшим — факультет искусства. Преподавание велось на латинском языке, который был общим языком всех европейских ученых средневековья.
Одновременно возрастало и могущество церкви. Ее представители приспосабливались к изменяющимся условиям быстрее, чем светские феодалы. Богатства католической церкви росли со сказочной быстротой. Иннокентий III, бывший папой в 1198—1216 гг., объявил себя наместником бога на земле. Теология продолжала играть основную роль в идеологической жизни. Для борьбы с «ересями» были созданы монашеские ордена доминиканцев и францисканцев и учреждена инквизиция, жертвой которой пали многие крупные учёные"средневековья. Господствовала схоластика. Она основывалась на
1 Ф. Энгельс. Диалектика природы. М., Госполитиздат, 1950, стр. 145—146.
догматах христианской церкви и отличалась абстрактными, часто совершенно бесплодными и беспредметными рассуждениями. Но и сама схоластика менялась, приспосабливаясь к новым обстоятельствам.
В XII—XIII вв. европейская научная литература обогатилась большим числом латинских переводов с арабского и греческого. Стали доступными сочинения Платона, Аристотеля, Евклида, Архимеда, Птолемея, Герона, ал-Хорезми, Сабита ибн Корры, Ибн Сины.
Характерна судьба идей Аристотеля. Вначале его учение казалось опасным для церкви. Против него, как и против его средневекового комментатора Ибн Рошта (Аверроэса), резко выступили многие влиятельные богословы, а в Парижском и некоторых других университетах было запрещено чтение лекций о «Метафизике» в естественнонаучных сочинениях Аристотеля. Вместе с тем церковь и ее идеологи пытались приспособить Аристотеля к священному писанию. По выражению В. И. Ленина, «поповщина убила в Аристотеле живое и увековечила мертвое»1. Уже в 1366 г. церковный декрет повелевал изучать «Логику», «Метафизику» и «Физику», без чего нельзя было получить первую ученую степень. А затем естественнонаучные взгляды Аристо- 45 теля были догматизированы, и всякие возражения против них объявлялись ересью. .
В этих [сложных условиях происходило развитие естественных наук, в частности механики.(Прежде всего отметим, чтотермин «механика» по-прежнему понимался в весьма широком смысле( В сочинении саксонца Гугона (XII в.) «Дидаскаликон» в нее включались текстильное дело, изготовление оружия, охота, мореплавание, земледелие и .др., т. е. фактически вся область технической деятельности человека. Такое же понимание встречается в различных рецептурных сборниках, типа «Записок о различных ремеслах» монаха Теофила (X в.)/В книгах, носивших название «Механика», рассматривались лишь прикладные вопросы и элементарная теория пяти простых машин (рычага, полиспаста, клина, вцнта и ворота)2.
Однако уже в Xll—XIII вв. появляются сочинения, авторы которых обращаются к вопросам собственно механики, главным образом статики и кинематики.!
Как и в странах ислама, началу самостоятельной разработки вопросов механики в средневековой Европе предшествовал период, когда начинают усиленно переводить греческие источники, сохранившиеся главным образом на арабском языке, а затем и сочинения ученых стран ислама. Это в особенности отйосится к кругу вопросов, связанных со статикой.
Мы уже упоминали о «Механике» Герона, которая известна в арабском переводе Косты ибн Луки. В этот период на латинский переведен позднеалександрийский трактат «De canonio» 3, посвященный неравноплечим «римским весам» (безмену), в котором рассматриваются и случаи весомого рычага. Этим же вопросам посвящен другой позднеэллинистический трактат—«Книга о весах», сохранившийся только в арабском переводе. Рассмотренный выше трактат Сабита ибн Корры перевел на латинский язык Герардо Кремонский. Кроме этого перевода, «Liber carastonis» известен в переработанном виде, содержащем только перечень основных предложений без доказательств.
В 1269 г. Вильям Мербеке перевел с греческого трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур». Ему же принадлежит перевод с греческого трактата Архимеда «О плавающих телах» с комментариями Евтокия. Упомянем также широко распространенный в Западной Европе в XIII в. трактат «О телах,
1 В. И. Ленин. Полное собрание сочинений т. 29, стр. 325.
2 М. Grabmann. Geschichte der scholastischen Methode, Bd. I—II. Berlin, 1957. Cm. Bd. I, S. 251—252; Bd. II. S. 31, 43, 47, 50 , 52.
3 «Liber de canonio», edited with introduction, translation and notes by E. A. Moody.— в кн.; E. A. Moody, M. Clagett. The medieval science of weights, Madison, 1952, p. 57—75.
плавающих в жидкости» (Liber de insidentibus in humidum) \ который представляет собой либо перевод с арабского, либо переработку арабского оригинала изложения Архимеда.
(Сочинения по механике этого периода, с известной долей схематизма, можно разбить на три группы, посвященные трем основным направлениям, наиболее четко раскрывающим характер средневековой механики Западной Европы.
Это: 1) трактаты по статике, 2) трактаты по кинематике, 3) трактаты, в которых разрабатывается понятие импетуса, связанное с теорией падения тел.
2. Теоретические исследования в области статики в этот период были дальнейшим развитием кинематического направления, восходящего к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. Фундаментальное значение в разработке этих проблем имели труды Иордана Неморария (XII в.) и его школы. Это — целый цикл трактатов, посвященных «науке о тяжестях» (scientia de ponderibus)./
Самому Иордану принадлежат трактаты «О тяжестях»1 2, «Элементы доказа-тельств, касающихся тяжестей» 3 (некоторые исследователи считают, что Иордан является лишь автором комментариев к «Элементам», тезисы «Элементов» восходят к античной эпохе) и «Книга о пропорции тяжести» или «О весомости»4—наиболее интересное из его сочинений. Относительно авторства этого трактата ученые придерживаются различных точек зрения. Одни считают его принадлежащим самому Иордану, другие — ученым, вышедшим из его школы/Основное понятие, которым оперирует Иордан,— «тяжесть соответственно положению» (gravitas secundum situm) некоторого груза, которая принимает различные значения в зависимости от его места на плече рычага. Это понятие представляет собой дальнейшее развитие положения автора «Механических проблем» о том, что один и тот же груз может проявлять различную «тяжесть», т. е. различно «тянуть» в зависимости от своего положения на кон-пе более длинного или более короткого плеча рычага./
I Автор «Проблем»^ как мы видели выше (см. гл. I)/представлял круговое движение в виде комбинации «естественного» движения «сообразно природе» (тангенциального) и «насильственного» движения «вопреки природе» (центростремительного). В круге большего радиуса отклонение от прямолинейного движения («сообразно природе») меньше, чем в круге меньшего радиуса. Движение «тяжести сообразно природе» происходит по прямой вниз, и груз,, опускаемый на конце более длинного плеча рычага, меньше отклоняется под. действием центростремительного движения «вопреки природе», т. е. он будет больше «тянуть» книзу или иметь большую «тяжесть соответственно положению». Переходя к сравнению движений по разным дугам одного и того же круга, Иордан указывает: «плечо, опускаясь в весах из своего высшего . положения книзу, описывает круг, радиус которого всегда равен плечу весов... Поскольку большая дуга круга более противоположна прямой линии, чем меньшая, падение тяжелого тела по большей дуге более, чем падение по меньшей дуге, противоположно падению тяжелого тела, которое должно происходить по прямойуОчевидно, следовательно, что большее насилие налично в.
1 «Liber Arehimedis de insidentibus in humidum» или «Liber Arehimedis de ponderibus», Text and translation by E. A. Moody, introduction by E. A. Moody and M. Clagett, — В кн.: E. A. Moody, M. Cla-gett The medieval science of weights, p. 33—55.
2 «Liber Jordani de ponderibu» with another commentary (version «р»), edited with introduction, translation and notes by E. A. Moody.— В кн.: E. A. Moody, M. Clagett. The medieval science of weights, p. 143—165.
3 «Elementa Jordani super demonstrationem ponderum», edited with introduction, translation and notes by E. A. Moody.— Там же, стр. 120—442.
« «Liber Jordani de Nemore de ratione ponderis», edited with introduction,translation and notes by E. A.. Moody with the assistance of R. Clements, A. Ditzel and J. L. Saunders.—В кн.: E. A. Moody, M. Clagett. The medieval science of weights, p. 168—227.
движении по большей дуге, нем по дуге меньшей; ведь иначе движение не становилось бы более противоположным. Поскольку, следовательно, при опускании получается большая помеха, ясно, что это происходит в соответствии с положением тяжелых тел, в дальнейшем такая тяжесть будет называться тяжестью соответственно положению (gravitas secundum situm)»
«Более тяжелым,— говорится во всех трех указанных сочинениях, связанных с именем Неморария,— оказывается то, что при одном и том же положении опускается по линии, менее отклоняющейся от вертикали» 1 2.
f Таким образом, «тяжесть» тем больше, чем меньше отклонение груза от вертикали. Иными словами, это — величина, прямо пропорциональная проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. Поэтому, определив соотношение между проекциями перемещений на вертикаль, можно было тем самым определить отношение между пропорциональными им «тяжестями соответственно положению», f
На этом в «Элементах» основано доказательство того, что при равных грузах и разных длинах плеч рычага перевешивает груз, подвешенный к концу большего плеча: при доказательстве сравниваются проекции дуг, описываемых концами рычага, на вертикаль. Аналогичным образом автор «Элементов» показывает, что «тяжесть соответственно положению» становится тем меньше, чем больше концы рычага отходят от горизонтального положения равновесия.
В «Трактатах о тяжести» рассматриваются не только величины дуг, описываемых концами рычага, но и величины подъема и опускания по вертикали. В «Элементах» доказывается, что скорость опускания грузов и их «тяжести» «находятся друг к другу в одинаковом отношении, а отношение между опусканием грузов и противоположным ему движением подъема — такое же, но обратное»3. На этом базируется доказательство основного закона рычага: при неравных плечах и грузах, обратно пропорциональных их длине, «тяжести соответственно положению» будут одинаковы. Таким образом, условие равновесия рычага сводится к равенству «тяжестей соответственно положению»./ В «Книге о пропорции тяжести» это формальное геометрическое доказательство закона рычага распространяется на ломаный (колен-чатьГй) рычаг. Условие его равновесия также доказывается с помощью сравнения вертикального подъема и опускания грузов. При доказательстве автор-вплотную подходит к понятию о вращающем моменте, f
Понятие «тяжести соответственно положению» используется и при изучении движения по наклонной плоскости./fe результате разложения силы тяжести на нормальную к плоскости и параллельную ей компоненты получается, что если веса грузов, поднятых на одинаковую высоту, прямо пропорциональны соответствующим расстояниям, измеряемым по наклонной плоскости, то скорость груза в конце движения по ней будет одна и та же./
Далеко не все положения Иордана правильны. Так, в рассуждениях о ломаном (коленчатом) рычаге Иордан сравнивает «тяжести соответственно положению» для двух уравновешивающихся грузов в предположении, что оба груза опускаются, в то время как опускание одного из них ведет к поднятию другого. Подобные ошибки устранены в комментарии анонимного ученика Иордана(Х1Пв.)4. Он рассматривает «тяжести соответственно положению» только для таких перемещений грузов, которые одновременно не на
1 «Liber Jordan! de ponderibus...», p. 150—151. Русский перевод см.: В. П. Зубов. У истоков механики.— В кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во Ан СССР, 1962, стр. 50. Далее цитируется: В. П. Зубов. У истоков механики.
2 Там же, стр. 51.
3 «Elementa», р. 128. Перев. см.: В. П, Зубов. У истоков механики, стр. 54.
4 См.: «Commentum in Elementa Jordan! deponderibus». An Anonymous commentary on the elements of Jordanns on weights» — В кн.: M. Clagett. The science of mechanics in the Middle Ages. Madison, 1959, p. 109—112.
47
рушают связей системы. Далее следует вывод об устойчивости равновесия прямого равноплечего рычага. Автор приходит к правильному выводу при рассмотрении условий равновесия ломаного (коленчатого) неравноплечего рычага. Новой является отсутствующая у Иордана задача о равновесии двух связанных грузов на двух наклонных плоскостях.
Как правило, в «Трактатах о тяжести» рассматриваются конечные дуги и их проекции на вертикаль. Однако и в «Элементах», и в «Книге о пропорции тяжести» в нескольких случаях упоминаются «сколь угодно малые» и «любые дуги»1. Впрочем, эти отдельные упоминания не отразились на'общем подходе к исследованию всех рассматриваемых случаев равновесия рычага.
«Тяжесть соответственно положению» имеет некоторую аналогию с «силой движения» Сабита ибн Корры. Это понятие можно рассматривать как дальнейший этап приближения к понятию работы силы тяжести на возможном перемещении.
Вся группа «Трактатов о тяжести» представляет собой, таким образом, следующий после арабских сочинений по механике шаг на пути к принципу возможных перемещений в форме принципа возможных работ. Содержа-48 щиеся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями связи, между статикой и наукой о движении.
Как трактаты самого Иордана, так и «Трактаты о тяжести» представителей его школы были широко распространены в Западной Европе в XIII—XV вв. Известно большое количество копий этих трактатов, относящихся к тому времени. Помимо рукописей самих трактатов, сохранилось значительное количество комментариев к ним XIII—XIV вв. Среди них два трактата Блазиуса из Пармы (XIV в.), которые содержат как комментарий к трактатам Иофана, так и собственные исследования автора в этом направлении. Наиболее поздний дошедший до нас комментарий к «Элементам», принадлежащий Генри Англегена, относится к XV в.
Уместно поставить вопрос: в какой мере традиция, идущая от «Механических проблем» и разрабатываемая в «Трактатах о тяжести», влияла на исследования по статике более позднего времени?
У исследователей в этом вопросе нет единого мнения. Дюгем отстаивал положение, что существует непосредственная преемственность между трактатами Иордана и сочинениями Леонардо да Винчи и Кардано 2. С другой стороны, А. Майер считает, что «Трактаты о тяжести» уже к концу XIV в. сохраняли лишь исторический интерес 3. Однако известны и более поздние издания их: нюрнбергское («О тяжестях» Иордана), предпринятое в 1533 г.; подготовленное Тартальей издание «О пропорциях тяжести» (Венеция, • 1565 г.). Тарталья в своем собственном трактате «Вопросы и различные доказательства» 4 (см. следующую главу) приводит и комментирует многие предложения из трактата «О пропорциях тяжести». Ученик Тартальи, предшественник Галилея — Джамбатиста Бенедетти в своем трактате «Книга различных математических и физических рассуждений» 5 уделяет специальное место критике взглядов Иордана (а также своего учителя Тартальи). Есть основания считать, что влияние «Трактатов о тяжести» продолжало сказываться и в XVII в.. Галилей был знаком с трактатом «О пропорциях тяжести» по изданию Тартальи.
3. Геометрическая статика, основанная на архимедовской традиции, на протяжении всего периода средневековья в Западной Европе развивалась
1 «ЫЬег Jordani de Nemore de ratione ponderis», p. 176, 178; Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 53.
2 Р. Duhem. Les origin.es de la statique, v. 1. Paris, 1905, p. 112—113.
3 A. Maier. Die Vorlaufer Galileis im 14 Jahrhundert. Roma, 1949, S. 5.
4 N. Tartaglia. Quesiti et inventioni diversi. Venice, 1546.
3 G. B. Benedetti. Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber. Turin, 1585.
сравнительно слабо. Большинство работ этого периода посвящено гидростатике.
В XIII в. в Европе был хорошо известен в латинском переводе упомянутый выше позднеэллинистический трактат «О телах, плавающих в жидкости», приписываемый Архимеду. Значительное распространение имели латинские переводы восточных трактатов, посвященных определению удельных весов, в частности рассмотренный выше трактат ал-Хазини «Весы мудрости» (см. гл. II, стр. 42). В переводах и комментариях к этим трактатам уточняется понятие удельного веса, который противопоставляется «численному весу» (весу объема) вещества (в средневековых сочинениях плотность вещества определялась как отношение «количества вещества» к данному объему, а удельный вес — как отношение «тяжести» к данному объему).
Под влиянием трактата Архимеда «О плавающих телах»1 написана IV книга трактата Иоганнеса де Муриса («Трактат о числах, состоящий из четырех частей») 2. Автор пересказывает содержание трактата Архимеда, заменяя математические доказательства числовыми примерами.
К проблемам гидростатики обращается в своих «Вопросах к четырем книгам о Земле и небе Аристотеля» Альберт Саксонский 3. В начале XV в. вопросами гидростатики (проблема удельного веса) занимается Николай Кузанский4 5. Его взгляды в определенной степени отражают знакомство с трактатом псевдо-Архимеда, хотя текст его сочинения полностью лишен математических доказательств, столь характерных для этого трактата.
Однако по-настоящему геометрическая статика возрождается лишь в XVI в. в трудах Федериго Командино и его ученика Гвидо Убальдо дель Монте (см. следующую главу).
^Первое исследование по кинематике в средневековой Европе — трактат Герарда Брюссельского «О движении» 6, написанный между 1187 и 1260 гг.
Развитие кинематики в древности связано с кинематико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением кинематических методов в геометрии (например, у Архимеда) и развитием общих физико-механических теорий, которые следуют, главным образом, аристотелевской традиции./Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда./Основной интерес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в трех книгах трактата. Заметим, что, следуя античной традиции, под термином «движение» (motus) Герард часто понимает скорость (то, что впоследствии обозначали термином velocitas). Говоря о «равных (equalis) движениях на дуге» и «равных движениях в точке», он, по-видимому, подходит к понятию скорости равномерного движения точки.) Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными множествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, примененным в «Послании о методе...», хотя этот трактат, по всей вероятности, не был известен в средневековой Европе 6. В согласии с этим приемом, Герард рассматривает линии
4S
1 См. Архимед. Сочинения, стр. 328—357.
2 «Quadripartitum numerorum Johannes de Muris». Трактат не опубликован, сохранился в нескольких
рукописях. См. Johannes de Muris. The Four-Parted Work on Numbers, Book IV, ed« and transl. by M.
Clagett.— В кн.: M. Clagett. The science of mecanics..., p. 11.3—135.
5 «Questicncs (sublitissimae) Alberti de Saxonia in libros de coelo et mundo Arlstotelis», Albert of Saxony. Questions on the (Four) Books on the Heavens and the World of Aristotle, ed. and transl. by M. Clagett.— Там же, стр. 136—143.
* Nicolas de Cusa. Idiota de staticis experimentis, Opera omnia iussu et auctoritate Academiae Litterarum Heidelbergensis ad codicum edita. Leipzig, 1937, S. 123—125; см. также «De staticis experimentis of Nicolaus Cusanus».— Annals -'of Medical Science, 1922, v. 4, p. 115—135.
6 См.: M. Clagett. The Liber de motu of Geraid of Brussels and the origins of kinematics in the West, v. XII.— Osiris, 1956, p. 73—175; см. также M. Clagett. The science of mechanics..., p. 187—197
• См. M. Clagett. The science of mechanics..., p. 186, 197.
4 История механики
как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. «Если поверхности равны и любые их линии (omnes lineae earum), взятые в том же > отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения» х. Герард всегда сравнивает перемещения за равные промежутки времени. Поэтому Брадвардин, комментируя его трактат, переводит выражения «двигаться больше» (magis moveri), «двигаться меньше» (minus moveri) с помощью терминов «быстрее» (velociug) и «^медленнее» (tardius).
Герард рассматривает круговые движения точек и вращательные движения поверхностей и объемов. Определяя линию как совокупность точек, он утверждает, что прямая движется «одинаково с любой своей точкой», но радиус, вращаясь, «движется одинаково со своей серединой» 1 2.
Некоторые исследователи считают, что в самом предположении Герарда о равенстве средней скорости движения радиуса и скорости движения его средней точки (при вращении) уже содержится доказательство «теоремы о средней скорости» 3, которая впоследствии была сформулирована предстало вителями Оксфордской школы следующим образом: «Равномерно ускоряющееся или замедляющееся движение эквивалентно равномерному движению, происходящему со средней скоростью».
Герард говорит и о неравномерном движении в пространстве. Скорости (круговые пути, описываемые точками вращающегося радиуса) изменяются от нулевой (начало радиуса) до максимальной (его конец).
Герард показывает, что средняя скорость движения части CF радиуса OF, вращающегося вокруг точки О (рис. 5), представляет собой скорость движения средней точки Е отрезка CF. Для доказательства он чертит треугольник KLN, в котором KL = OF и SL = CF, а линии NL и QS соответственно равны дугам окружностей радиуса OF и ОС, т. е. расстояниям, проходимым точками F и С при вращении радиуса OF. Пусть NO = О Q,
a PM\\SL, тогда треугольник MNO равен треугольнику OP Q и четырехугольники LMPS и LNQS равны; площадь четырехугольника LMPS равна произведению SL на PS — (SQ + LN)/2, т. е. произведению разности радиусов на полусумму дуг окружностей. Поэтому площадь LMPS, описы
1 Gerard of Brussels. On motion.—M. Clagett. The science ot mechanics..., p. 187. См. также В. П. Зубов. Об архимедовской традиции в средние века.— В сб.: Историко-математические исследования, вып. XVI. М., Гостехтеоретиздат, 1965, стр. 27.
2 Эти выражения, ио-видимому, следует понимать таким образом: говоря, что «прямая движется одинаково с любой своей точкой», Герард имеет в виду скорость поступательного движения, а выражение «радиус движется одинаково со своей серединой» означает (в современном понимании), что линейная скорость средней точки отрезка при его вращении вокруг некоторого центра есть среднее арифметическое линейных скоростей концов отрезка.
3 М. Clagett. The science of mechanics.,., p. 261. См. также В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 135.
ваемая при равномерном движении SL вдоль линии LM, равна разности площадей кругов радиуса OF и ОС, т. е. площади, которую опишет за это время часть CF радиуса OF при его вращении1. Далее доказывается (от противного), что скорость SL не может быть ни больше, ни меньше средней скорости CF. Затем Герард рассуждает следующим образом: скорость отрезка SL такая же, как скорость любой его точки, а следовательно, такая же, как скорость течки Е, которая является средней точкой отрезка CF, так как все его точки «описывают равные линии в равные времена»2. Как мы увидим далее, подобный метод применял Н. Орем при графическом построении средней скорости равномерно-ускоренного движения.
5. Кинематическое исследование Герарда Брюссельского явилось спустя столетие отправным пунктом для исследований ученых Мертон-колледжа в Оксфорде. Наибольшая активность мертонцев относится к 1328 — 1350 гг.
Родоначальником Оксфордской школы был Томас Врадвардин. В «Трактате о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» (Tractatus proportionum sen proportionibus velocitatum in notibus) 3 Врадвардин критикует мнение Аристотеля, согласно которому скорость v пропорциональна отношению P/R v ос . При Р = R скорость равна единице, в то время как она должна равняться нулю, ибо движение прекращается. По Аристо-телю, при постоянном/? справедлива пропорция — = -р- , а при постоянном Р — пропорция . Не учитывая указанную выше оговорку Ари-
z?2 Jii
стотеля, Врадвардин возражает ему, отмечая, что в этом случае при убывании Р до нуля (или возрастании R до бесконечности) скорость также убывает до нуля. Следовательно, любая сколь угодно малая сила Р может двигать любое сколь угодно большое тело R, но со скоростью, меньшей в соответствующее число раз. Кроме того, опыт показывает, что два человека могут двигать тело со скоростью, значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним человеком.
Врадвардин следующим образом формулирует свой основной закон скоростей: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления» 4.
Закон Брадвардина можно записать в виде
Vi _ Pi . Рг 2^2 /?2
По Аристотелю, скорость удвоится, утроится и т. д. при удвоении, утроении и т. д. отношения PIR.
Врадвардин же считал, что закономерность состоит не в простом удвоении, утроении ит. д., а в образовании составного — двойного, тройного и т. д.—
/ р \ 2 / р 3
отношенияР/7?,т.е. ...Иными словами,скорость изменяется про-
порционально не отношению Р/R, а его логарифму. Врадвардин показывает, что при этом устраняется ограничение Аристотеля Р R на возможность возникновения движения. Согласно закону Брадвардина, случай Р = R имеет смысл, так как логарифм единицы равен нулю.
51
1 Таким образом, при доказательстве этой теоремы Герард заменяет вращательное движение поступательным.
2 М. Clagett. The Liber de. motu of Gerard of Brussels, p. 113—117. См. также: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 135; Он же. Об архимедовской традиции в средние века.— В сб.: Историко-математические исследования, вып. XVI.
3 См. Thomas of Bradwardine. His «Tractatus de Proportionibus». Its Significance for the development of Mathematical physics, Ed. and transl. by H. Lamar Crosby. Madison, 1955.
4 Thomas of Bradwardine. Tractatus de Proportionibus. Cap. Ill, pt. 1, p. 112.
4*
32
В «Трактате о континууме», написанном в 1328—1355 гг. 4, Брадвардин обращается к понятиям времени и движения. Время он рассматривает как бесконечный, последовательный континуум, который измеряет следование и может быть делим до бесконечности. Движение есть прохождение пространственного континуума во временном: линия может быть проходима с разной скоростью. В то же время, предвидя возможные возражения, Брадвардин проводит различие между «качеством движения» (qualitas motus), т. е. скоростью, и «количеством движения» (quantitas motus), т. е. его продолжительностью. Движения могут не различаться по «качеству», но различаться по «количеству» (т. е. продолжительности или кратковременности).
. «Закон Брадвардина» был с одобрением принят многими, хотя и не всеми учеными XIV в. Подчеркнем, что этот закон содействовал укреплению представления о скорости как об отвлеченном отношений, в определение которого не входят ни понятие времени, ни понятие расстояния.
Фундаментальные понятия кинематики, такие, как мгновенная скорость и ускорение, появляются в XIV в. в связи с исследованием неравномерного движения. Развитие этих идей связано с новым направлением в науке — учением о «широтах форм» или «конфигурации качеств» (оно называлось также учением «о равномерности и неравномерности интенсивностей» или «об интенсификации и ремиссии качеств»). Истоки этого нового направления были Связаны со спорами о логико-философском понятии «формы», восходящими к Аристотелю. Учение о «широтах форм» развивалось и в богословии, где обсуждались вопросы об «интенсификации и ремиссии» благодати, и в математике, и механике, в применении к которым это учение содержало прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения.
Математизация учения «об интенсивности качеств» происходила как в арифметико-алгебраической форме, ртом виде, как это делалось учеными Оксфордской школы в Мертон-колледже XIV в., так и в геометрической форме, как это делали представители Парижской школы во главе с Н. Оремом. Итальянские ученые XV—XVI вв. сочетали оба эти пути.
Направление Оксфордской школы получило в 30-х годах XIV в. название «учения о калькуляциях», а его авторы — «калькуляторов». «Учение о калькуляциях» разрабатывалось в труде Уильяма Хейтесбери «Правила решения софизмов»1 2, в трактате Ричарда Суисета (или Суайнсхеда) «О калькуляциях»3 4, в работе Джона Дамблтона «Сумма логики и физики» 4.
Представители этого направления подразделяли движение на униформное (равномерное) и дифформное (неравномерное). Униформное движение понималось как такое, при котором в равные времена проходятся равные пути; все остальные движения относятся к дифформным. Понятие «интенсивности качества» применялось к скорости, которая рассматривалась как «интенсивность движения».
Ученые Мертон-колледжа определяли скорость через понятие равного промежутка времени. Существенным моментом здесь является то, что, в отличие от Герарда Брюссельского и Брадвардина, они ввели в это определение понятие «любой» (omni). Так, Суисет приводит следующее определение равномерного движения: «Униформное локальное движение (т.е. движение в
1 T. Bradwardine. De continuo. Трактат известен только в рукописях. См. Е. Stamm. «Tractatus de continue» von Thomas Bradwardina. — Isis, 1936, v. 26, p. 13—32.
2 «Regulae solvendi sophismata Guillelml Heytesbery». Впервые издано в Венеции в 1494 г.Ч. VI. О «местном движении» и ее английский перевод «Rules for solving sophisms» см. в кн.: M. Clagett. The science of mechanics..., p. 235—242.
3 «Liber calculationum», написанный между 1328 и 1350 гг. Первое издание его было подготовлено в Падуев 1477 г. под названием «Opus aurem calculationum». Отрывки и их перевод см. там же, стр. 290—304.
4 J. Dambleton. Summa logicalium et naturallum. Известна в 19 списках. Отрывки и перевод см. там же, стр. 305—323.
пространстве) таково, что в любые равные промежутки времени описываются равные пути» х.
Хейтесбери дает определение равномерно-ускоренного движения как такого, которое «в любую из равных частей времени приобретает равные приращения скорости» 1 2.
Мгновенную или «точечную» скорость в случае дифформного движения мертонцы определяли как «скорость в любое мгновение наиболее быстро движущейся точки при ее движении по линии, которую она прочертила бы, если на протяжении времени стала бы двигаться униформно, с тем же градусом скорости, с которым она движется в это мгновение — какое бы мгновение ни взять» 3.
Ускорение и замедление движения Хейтесбери называл соответственно «интенсивностью» и «ремиссией» «местного движения» (intensio et remissio motus localis). Это различие ускорения и замедления было связано с тем, что в XIV в. в Европе не располагали понятием отрицательных величин. Общее определение ускорения отсутствовало, но его умели должным образом охарактеризовать в некоторых конкретных случаях.
Так, специально рассматривалось униформно-дифформное движение, под которым понималось движение с постоянным ускорением. Согласно Хейтесбери, при униформно (т. е. равномерно)-ускоренном или замедленном движении скорость нарастает или уменьшается за равные промежутки времени на равную величину.
Одним из наиболее важных результатов механики была теорема об эквивалентности равномерно-ускоренного движения (и вообще изменения) равномерному движению (изменению) со средней скоростью.
Формулировка этой «мертонской теоремы» такова: «Всякое униформно-дифформное изменение, начинающееся с не градуса (нуля), эквивалентно униформному изменению со средним градусом», т.е.в ускоренном движении, начи-„ V . "
накщемся из состояния покоя, пройденное расстояние s равно — ь где v — скорость в рассматриваемый момент времени».
Различные доказательства этой теоремы содержатся в упомянутых трактатах Хейтесбери, Суисета, Дамблтона и относятся к 1330—1340 гг.
Доказательство Хейтесбери начинается следующим утверждением: «Каждое приращение скорости,униформно приобретаемое или теряемое, отвечает средней скорости. Это предполагает, что движущееся тело униформно приобретает или теряет такие приращения, что за данное время проходит расстояния, в точности равные тем, которые оно прошло бы, двигаясь в то же время со средней скоростью». Это утверждение доказывается с помощью рассмотрения симметричных приращений и «потерь» скорости над ее «средним градусом». В своем доказательстве Хейтесбери исходит из свойства непрерывной пропорции а : Ъ = Ь : с = (а — Ь) : (Ь — с) и применяет его к делению на «пропорциональные части» в отношении 2:1; так как первая «пропорциональная часть» равна сумме всех последующих, то разность между первым и вторым членами равна сумме всех последующих разностей. Поэтому, если взять в униформ-но-дифформной широте «градусы», убывающие в пропорции 2 : 1, то разность между высшим и средним (вдвое меньшим) «градусами» будет равна сумме разностей («широт») между средним «градусом» и «не градусом», т. е. — = +
1 1
+ + jg dr ... Далее Хейтесбери замечает, что аналогично можно доказать
эквивалентность униформно возрастающей «широты» движения среднему «градусу». Таким образом, он приходит к следствию, что тело, двигаясь рав
1 М. Clagett. The science of mechanics..,, p. 290, 298.
2 Там же, стр. 236.
• Там же.
53
номерно-замедленно со скоростью, убывающей до нуля, проходит в первую половину времени втрое большее расстояние, чем во вторую, т. е. что при униформном убывании «градусов движения» (т. е. скоростей) на первую половину времени приходится расстояние, втрое большее, чем на вторую.
Суисет приводит четыре различных доказательства этой теоремы, которую он формулирует следующим образом: «Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу..., так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой так приобретаемой широте, сколько и благодаря ее среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим средним градусом» *.
Наиболее интересное из них — третье, которое проводится с помощью суммирования двух бесконечных рядов. Суисет исходит из деления интервала времени на «пропорциональные части» t, t/2, tlk, t/8, ..., t/2n~l. В любой момент первой «пропорциональной части» времени тело будет двигаться вдвое быстрее, чем в соответствующий момент второй «пропорциональной части», и т. д. Поскольку первая «пропорциональная часть» времени вдвое больше, чем вторая, то тело пройдет за первую часть вчетверо большее расстояние, чем за вторую, за вторую — вчетверо большее, чем за третью, и т. д.
К задаче суммирования ряда Суисет сводит и примеры движений, в которых скорость меняется скачкообразно.
6. Представителю геометрического направления в науке XIV в. — Н. Орему — принадлежит сохранившийся в многочисленных списках (и под различными заголовками) трактат «О конфигурации качеств» ?, написанный в 1371 г.
Орем представлял «интенсивность качества», сосредоточенного в одной точке, в виде отрезка прямой линии. «Качества» могут быть линейными, когда они распределены по различным точкам математического объекта в одном измерении, плоскостными (два измерения) и объемными (три измерения). «Интенсивности» он предлагал изображать линиями, проведенными из точек прямой, характеризующей «экстенсивность». В современной терминологии «экстенсивность качества» соответствует абсциссе, «интенсивность» — ординате. Отрезки линий «интенсивности» Орем называл «широтами» (latitudo) «качеств» или «форм», а отрезки, в концах которых «широты» прилагаются,— «долготами» (longitudo). Длины «широт» пропорциональны «интенсивностям». Таким образом, зависимость между «интенсивностью» и «экстенсивностью» изображалась в виде плоской фигуры, ограниченной сверху некоторой кривой.
Постоянная «интенсивность» соответствует «униформному качеству», которое изображается четырехугольником. «Униформно-дифформному качеству» соответствует треугольник (если это «качество» в начальной или конечной точке равно «не градусу», т. е. нулю) или четырехугольник с двумя непараллельными сторонами. Эту геометрическую интерпретацию Орем применяет для разъяснения кинематических понятий. В этом случае время рассматривается как «экстенсивность», а скорость как «интенсивность» движения. Понятие ускорения (velocitatio) Орем вводит как «интенсивность» скорости, а затем переходит к рассмотрению различных случаев как постоянного, так и переменного ускорения. Орем пользовался и понятием мгновенной скорости, которую называл точечной (velocitas punctualis).
Доказательство мертонской теоремы у Орема начинается со следующего утверждения: «О скорости следует сказать то же, что о линейном качестве, с
* Цит.: В, П. Зубов. У истоков механики, стр. 136.
1 N. Oresme. De configurationibus quantitatum. См. Николай Орем. Трактат о конфигурации качеств, Перев. и прим. В. П. Зубова. — В об.: Историко-математические исследования, вып. XI. М., Гостех-теоретиздат, 1958, стр. 636—719; В. П. Зубов. Трактат Н. Орема «О конфигурации качеств».— Там же, стр. 601—635.
тою разницей, что вместо средней точки берут среднее мгновение времени, измеряющего скорость движения».
Доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей треугольника ВАС (рис. 6), соответствующего «униформно-дифформному качеству» (равномерно-ускоренное движение), и прямоугольника ABGF, соответствующего «униформному качеству» (равномерное движение со скоростью, равной средней скорости ED равномерно-ускоренного движения).
Однако Орем еще не дает самого определения средней или, как он называл, «суммарной скорости» (velocitas totalis) и нигде прямо не говорит, что площадь рассматриваемой фигуры соответствует пройденному расстоянию, хотя такое понимание лежит в основе его рассуждений. Более четкое установление связи между пройденным расстоянием и площадью фигуры, ординаты которой соответствуют мгновенным скоростям, требовало аппарата бесконечно малых.
Стремление к полной геометризации проблемы помогло Орему в значительной мере избавиться от схоластического стиля Мертонской школы, но вынудило его оставить в стороне ряд тонких вопросов, которые эта школа разрабатывала.
Возможно, поэтому в XV—XVI вв. произведения оксфордцев в странах 55 Западной Европы (особенно в Италии) привлекали больше внимания, чем сочинения Орема.
Проникновение теории «широт форм» в Италию началось, еще в середине XIV в. Трактат Джованни Казале 1 (около 1355 г.), содержащий доказательство теоремы о средней скорости,— одно из наиболее ранних свидетельств влияния оремовской трактовки этой теории. «Униформно-дифформное качество» он представлял в виде прямоугольного треугольника, эквивалентного «прямолинейному качеству» (т. е. «униформному»). В то же время в основных вопросах он опирался на труды представителей Оксфордской школы, в частности Суисета.
В последнем десятилетии XIV в. появились два трактата о «широтах форм» Блазиуса из Пармы: «О движении» и «Об интенсификации и ремиссии форм» 2,
написанные под влиянием сочинений «калькуляторов» (например, в доказательстве теоремы о средней скорости рассматриваются возрастание и убывание скорости). В его третьем сочинении — «Вопросы к трактату о широте форм» 3— заметно влияние Парижской школы.
Казале и Блазиус — не единственные проводники влияния Оксфордской и Парижской школ в Италии. Это влияние сказалось на направлении науч-
* «De velocitate motus alterationes Iohannis de Casali». Сохранился в нескольких копиях. Отрывки и их перевод см. в кн.: M. Clagett. The science of mechanics..., p. 382—391.
2 Оба трактата не опубликованы. См. A. Maier. An der Grenze von Schoiastik und Naturwissenschaft. 2 Aufl., Roma, 1952, S. 375.
3 «Questiones super tractatu de latitudinibus formarum Blasii de Parma». Отрывки и перевод см. в кн.: М. Clagett. The science of mechanics..., p. 402—408.
ной деятельности представителей Падуанской школы. В этой связи следует] упомянуть сочинения Павла Венецианского и комментарий Анджело да Фос-самбруно к одному из трактатов Хейтесбери х.
В середине XV в. (1460 г.) Джованни Марлиани написал комментарий к «Калькулятору» Суисета, а также специальный трактат, в котором дает собственное доказательство основной мертонской теоремы и соображений Суисета о расстояниях, проходимых за «пропорциональные части» в «униформно-диф-формном движении» 2.
Этот результат никто в то время не ставил в связь с проблемой падения тяжелых тел, хотя во второй половине XIV в. учение о «широтах форм» преподавалось в разных странах Европы. Так, для нужд преподавания был составлен трактат «О широтах форм» 3, который иногда неправильно приписывается самому Орему.
До конца XVв. в Италии печатались произведения «калькуляторов», но уже к началу XVI в. учение о «широтах форм» перестало развиваться. Причиной этому были, с одной стороны, отсутствие непосредственного контакта с технической традицией естествознания, а с другой — недостаточность математике веского аппарата. Учение о «широтах форм» было вполне средневековым по своему духу, методам и стремлениям и не получило дальнейшего развития. Оно было обязательным элементом системы образования того времени, и только в этом смысле можно говорить, что его влияние сказалось на творчестве создателей математики переменных величин (геометрия Декарта и Ферма, «Теория неделимых» Кавальери) и начал классической механики.
Учение о «широтах форм» было известно вплоть до XVI — начаца XVII в., но=чйкаких определенных данных о его непосредственном влияниггна развитие науки в эту эпоху нет. Можно, правда, подметить сходство некоторых положений Галилея и Декарта с положениями авторов XIV в. Однако, с другой стороны, Галилей, например, никогда не упоминает своих «предшественников». Это свидетельствует о том, что причина указанного сходства лежит, по-видимому, в определенной системе взглядов, сложившихся у этих ученых под влиянием специфики полученного ими образования. Поэтому, несмотря на знакомство со средневековой литературой, творцы новой механики исходили в своих исследованиях из запросов развивающихся естествознания и техники, опираясь главным образом на классиков древности, особенно Архимеда, как об этом упоминает и сам Галилей.
7.[ В поисках ответа на вопрос о механизме передачи движения в средневековой Европе появилась теория импетуса (импетус нельзя отождествлять с каким-либо современным термином, но в некоторых случаях его можно считать эквивалентным импульсу)/
К XIII в. относится начало формирования понятий, на основе которых впоследствии была создана эта теория. У многих авторов этого периода встречаются соображения об «импульсе», «движущей силе» и даже само выражение «импетус» (impetus). Так, Фома Аквинский говорит о «силе движущегося» (virtus moventis ), которая сохраняется в брошенном теле, об «импульсе», который передается от бросающего к брошенному телу и позволяет ему сохранять определенное направление на пути к цели. В конце XIII в. Петр Иоанн Оливи представлял механизм передачи движения таким образом, что движущее сообщает движущемуся телу «запечатляющуюся в нем силу» как некое качество, которое он определял как «устремление к конечной цели движения»4.
* Angelus de Fossambnuio. De tribus predicamentis Hentisberi. Venice, 1494.
* Gm. M. Clagett. Jiovanni Marliani and the late medieval physics, N. Y., 1941.
• «De latitudinibus formarum». См., например, Jacobus de Saneto Martino. Tractatus de latitudinibus formarum. См.: M. Clagett. The science of mechanics..., p. 397—401; англ, перев. и коммент. Т. Смита. •— Там же, стр. 392—397. См. также В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 127, прим. 26.
* М. Clagett. The science of mechanics..., p. 516.
В начале XIV в. проблемой движения брошенных тел занимался Франческо ди Маркиа х, который, комментируя Аристотеля, считал, что некая «сила» или «способность» сообщается как среде, так и самому брошенному телу и сохраняется в нем некоторое время в зависимости от «меры» этой силы.
/Однако впервые теория импетуса была строго сформулирована только парижским номиналистом Жаном Буриданом в «Вопросах к «Физике» Аристотеля», написанных после 1328 г. у*и в «Вопросах к сочинению Аристотеля «О небе»» 1 2 * 4 * *, написанных, очевидно, около 1340 г.
В Париже теорию Буридана развивали Н. Орем 8, Альберт Саксонский 1 и Марсилий Инген е. Благодаря двум последним она впоследствии получила распространение в Германии и Австрии. ВИталии ее разрабатывали Блазиус из Пармы и Павел Венецианский ®, который отмечал, что эта теория поддерживалась большинством современных ему ученых. Наибольшее применение она имела для изучения движения «брошенного тела» (т. е. движения тела, брошенного под углом к горизонту) и свободного падения тела.
/ Импетусом Буридан называет некую силу, которая исходит от движущего и запечатлевается в движимом теле. Величина импетуса определяется как скоростью, сообщенной движимому телу, так и его «количеством материи» 57 (т. е. массой). «Количество материи» является «мерой импетуса» в теле. В этом состоит причина того, что «труднее остановить большое быстро движущееся колесо мастера, чем маленькое»7. Исчезновению импетуса способствует, во-первых, сопротивление среды, а во-вторых, его «устремление к другому месту», если тело брошено не по вертикали вниз. Буридан утверждал, что «импетус продолжался бы до бесконечности, если бы не уменьшался и не разрушался от противоположности, оказывающей сопротивление, или еще от чего-либо, склоняющего к противоположному движению» у «Движущее, приводя в движение движимое, запечатлевает некий импетус,— говорит Буридан,— т. е. некоторую силу, способную двигать это тело в ту сторону, в которую движущее его двигало: вверх, вниз, в сторону или по кругу...» 9. Таким образом, он говорит об импетусе и как о движущей силе, и как о причине продолжения движения.
/ Буридан считал импетус постоянным качеством движущегося тела/7Он «запечатлен» в этом теле так же, как магнитные свойства «запечатлены» в железе.
/Как постоянное качество, импетус растрачивается не сам по себе, а только вследствие сопротивления среды или «противоположного сопротивления» тела.
Почти все сторонники теории импетуса приводили в пример движения точильного камня и волчка, которые нельзя было объяснить с помощью аристотелевской концепции промежуточной среды. /
Буридан объяснял отскакивание шарика от Земли по аналогии с отражением света, говоря, что начальный импетус сжимает его, когда он ударяется о землю, а затем возникает новый импетус, благодаря которому он подпрыгивает вверх. Объясняя сохранение движения наличием некоторого запечатленного в теле качества, Буридан и сторонники его теории фактически не выходили за пределы концепции Аристотеля, которая гласит, что всякое движе
1 Там же, стр. 519.
2 «Subtilissimae questiones super octo Physicorum libris’ Arlstotelis». Parisiis, 1509; «Quaestiones super libris quattuor de coelo et mundo». Ed. E. A. Moody. Cambridge, 1942.
* Maistre Nicole Oresme. be livre du ciel et du monde, ed. A. D. Menuit and A. G. Denomy. — Medieval Studies, 1941, v. Ill, p. 185—220; 1942, v. IV, p. 159—297; 1943; v. V, p. 167—333.
4 Albertus de Saxonia. Acutissime quaestiones super llbros de physica auscultatione. Venetiis, 1504.
6 Marsilius Inghen. Abbreviationes libri Physicorum Aristotelis. Venetiis, 1521. Cm. A. Maier. Zwei Grund-probleme der scholastischen Naturphilosophie (Das Problem der intensiven Gr6sse. Die Impetustheorie).
2 Aufl., Roma, 1951, S. 273—284.
4 См. M. Clagett. The science of mechanics..., p. 522—523; A. Maier. Там же, S. 273—274.
’ Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 120.
’ Там же.
• Там же, стр. 81.
ние нуждается в «движущей силе». Поэтому вряд ли правы те, кто считает теорию импетуса предвосхищением закона инерции, имея в виду некоторое сходство между количественным определением импетуса у Буридана и определением импетуса или «момента» у Галилея. Если Буридан и говорит о сохранении импетуса и сохранении движения неизменным, то он относит это как к поступательному, так и вращательному движению. Сторонники теории импетуса не видели никакой разницы между прямолинейным и круговым импетусом. Они считали одинаково возможным в любых случаях вводить и тот и другой.
Исторически теория импетуса скорее была заключительным этапом развития теоретических построений, связанных с критикой аристотелизма, чем началом новой линии развития, связанной со становлением классической механики. Она не привела, да и не могла привести к установлению понятия инерции движения, хотя и содержит некоторые зачатки идеи самодвижения.
Значение теории импетуса состояло, во-первых, в ее приложении к движению небесных тел. При объяснении движения небесных тел с помощью этой теории отпадала необходимость во введении нематериальных так называете мых «интеллигенций», или «ангелов», постоянно его поддерживающих. Нематериальному божественному вмешательству предоставлялась только скромная роль сообщения первоначального импетуса; дальнейшее движение не требовало его участия.
«Бог в момент творения,— говорил Буридан,— сообщил небесам столько же и такие движения, какие существуют и сейчас, и, приводя их в движение, запечатлел в них импетусы, благодаря которыт^они затем двигаются равномерно, поскольку эти импетусы, не встречая сопротивления, никогда не уничтожаются и не уменьшаются»1. Согласно Орему, бог, создавая небеса, «наделил их качествами и движущими силами, так же, как земные тела наделил тяжестью; и наделил их сопротивлениями этим движущим силам... Бог предоставил небесам двигаться непрерывно и в соответствии с пропорциями между движущими силами и сопротивлениями, в соответствии с установленным порядком» 2.
Николай Кузанский сравнивает движение небесной сферы с движением шара. «Ведь эта сфера не движется богом-создателем и не духом божиим, так же, как и шар, не движется тобою, когда ты видишь его катящимся, и не твоим духом, хотя ты и привел его в движение, совершая бросок рукой, своей волей сообщая ему импетус, и пока сохраняется этот импетус, движется и шар» 3.
Теория импетуса, таким образом, объединяла движения земных и небесных тел в единую систему, подчиняющуюся общим законам механики.
Кроме того, теория импетуса до известной степени освобождала учение о движении от понятия цели, так как в некоторых случаях при рассмотрении «насильственного» движения она не нуждалась в представлении о стремлении к «естественному месту».
Но, отрицая необходимость посредствующей материальной среды при «насильственном» движении, она позволяла ставить вопрос о возможности отвергаемого Аристотелем движения в пустоте.
Буридану была хорошо известна теория Авемпаса, который (употребляя вместо скорости и плотности обратные им понятия «медленности» и «тонкости») пришел к выводу о том, что движение в пустоте происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Сторонники теории импетуса, возражая Аристотелю и следуя за Филопоном, считали, что движение в пустоте возможно и происходит с различной скоростью. Они различали два вида скоростей:
3 Цит.: В. II. Зубов, У истоков механики, стр, 82,
* N. Oresme. Le livre du ciel et du monde... Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 83.
3 Nicolaus de Cusa. De ludo globi. Opera. Basileae, 1565, p. 213. Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр, 83.
существенную (velocitas essentialis ) и акцидентальную (velocitas accidenta-lis). Первая характеризует движение самого тела, а вторая обусловлена сопротивлением среды. Первая сохраняется при движении тела в пустоте, вторая исчезает. В пустоте тела падают с различной скоростью, сохраняя силу «тяжести» и силу «импетуса». Вместо сопротивления среды сторонники теории импетуса вводили сопротивление, возникающее вследствие наличия расстояния между начальной И конечной точками движения, которое является причиной ограничения скорости. Вуридан считал, что конечная величина скорости определяется конечной величиной «движущей силы».
Но, хотя сторонники теории импетуса не смогли подойти к понятию об одинаковой скорости падения тел в пустоте, значительный интерес представляют количественный подход к исследованию этого явления и попытки его формального описания в их сочинениях.
8. Обращаясь к изучению падения тел, ученые средневековой Западной Европы ставили перед собой два вопроса: 1) какова причина ускорения тел при падении? и 2) каким образом описать это ускорение кинематически?
Выше мы рассмотрели приемы кинематического описания равномерно-ускоренного движения. Однако это не распространялось на изучение свободно- 59 го падения тела. Филопон, говоря о падении тел в воздухе, критиковал положение Аристотеля об обратной пропорциональности скоростей падения и «тяжестей». Если с одной и той же высоты падают две «тяжести», значительно отличающиеся друг от друга, то отношение между скоростями будет меньше, чем отношение между «тяжестями».
Эта проблема была предметом обсуждения предшественников западных номиналистов — ученых средневекового Востока, в частности упомянутых выше Ибн Сины и Абу-л-Б ара ката ал-Багдади. Под влиянием учения Филопона они разработали теорию «запечатленной силы» и «устремления». Согласно их представлениям, когда тело начинает падать, оно получает некое «насильственное устремление». Это постоянное «насильственное устремление» противопоставлялось «естественному устремлению», которое управляет движением тела вертикально вниз. Хотя это «насильственное устремление» постепенно ослабляется, оно в процессе движения тела, в особенности в начальный момент, замедляет свободное падение.
Но существует постоянная причина ускорения. Как только тело будет выведено из своего «естественного места» его «тяжесть» начнет «запечатлевать» в нем «естественное устремление». В течение всего времени движения это «естественное устремление» все больше и больше проникает в падающее тело, а по мере возрастания «устремления» возрастает его скорость. Аналогичное представление о двух силах, с которыми связано свободное падение тела, мы встречаем у Роджера Бэкона. Одна Из этих сил определяется «естественной тяжестью», в то время как другая становится все более и более эффективной по мере приближения тяжелого тела к своему «естественному месту», т. е. тело движется тем быстрее и скорость падения его тем больше, чем ближе оно к «естественному месту» (это утверждение восходит еще к Аристотелю).
Бэкон ставил вопрос о характере этой силы. Не может ли «естественное место» действовать на тяжелое тело подобно тому, как действует магнит на железо? Но, возражал Бэкон, железо будет притягиваться магнитом, если находится от него на определенном расстоянии, в то время как тяжелое тело стремится к центру Земли «по собственной природе» с любого расстояния х.
Существовала и другая точка зрения: чем дальше тяжелое тело от «естественного места», тем быстрее оно движется. Этой точки зрения придерживался Буридан. Применяя понятие импетуса к Изучению падения тел, Буридан объ-
R. Bacon. Liber primus Communium naturalium, partes tertia et quarta. Oxonii, 1911 (Opera hactenus inedita, fasc. 3, pars 3, dist. 2, cap. 3, p. 204—205. Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 110. См. также М. Clagett. The science of mechanics..., p. 550.
яснял его следующим образом: «Отсюда также становится ясной причина, почему естественное движение тела непрерывно ускоряется. Ведь сначала двигала одна лишь тяжесть, а потому двигала медленнее, но в процессе движения она запечатлевала в этом тяжелом теле импетус, каковой импетус уже движет вместе с самой тяжестью, а потому движение становится более быстрым, и чем быстрее это движение становится, тем интенсивнее становится импетус, и таким образом оказывается, что движение становится более быстрым» х. Буридан ссылается на пример, использованный Ричардом Миддлтоном еще в конце XIII в. Если некоторое тело А, падая с большой высоты, проходит мимо другого тела В, которое в свою очередь начинает падать именно тогда, когда первое тело находилось на одной высоте с ним, то тело А достигает земли раньше, чем В, тогда как по отвергаемой теории они должны были упасть одновременно. По Буридану скорость падения тем больше, чем дальше от своего «естественного места», т. е. центра Земли, находилось тело в начале падения, ибо оно приобретает больший импетус. Присущая самому телу «сила тяжести» постоянна. Под действием только этой силы тело падало бы с постоянной скоростью. Ускорение связано с действием импетуса, 60 который возрастает по мере движения тела и величина которого зависит от веса последнего. Итак, тело аккумулирует импетус в процессе движения. Таким образом, кроме постоянной «тяжести», которая (согласно Аристотелю) является причиной движения с постоянной скоростью, Буридан ввел переменную «силу импетуса» (так называемую «акцидентальную тяжесть»), которую считал причиной ускорения движения тела. Аналогичную точку зрения высказывал Н. Орем в латинском комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Обращаясь к разъяснению термина «акцидентальная тяжесть», Орем говорил, что это означает «нечто, меняющееся в зависимости от ускорения движения, благодаря чему появляется некая способность импетус и некая укрепляющая сила, позволяющая двигаться быстрее» 1 2.
Альберт Саксонский в сочинении «О небе» дал систематический обзор различных попыток объяснить причину ускорения падающих тел. Изложив и отвергнув шесть относящихся к этому теорий, он излагает теорию импетуса, которую разделяет сам. «Чем дольше движется... тело, тем больший приобретает импетус. Подобно тому, как импетус приобретается соответственно движению, так соответственно он уменьшается или убывает при уменьшении или убывании движения» 3.
Траекторию «брошенного» тела Альберт Саксонский рассматривает как состоящую из трех частей: первая часть — чисто «насильственное» движение, в течение которого «запечатленный» в «брошенном» теле импетус нейтрализует действие «естественной тяжести»; вторая часть — промежуточная, когда действует «составной импетус» и движение является комбинацией «насильственного» и «естественного» движений; третья часть — чисто «естественное» движение вертикально вниз под действием «естественной тяжести» и сопротивления воздуха, которые преодолевают действие импетуса. Первая часть траектории имеет вид горизонтальной прямой линии, вторая — криволинейный отрезок, переходящий в вертикальную прямую — третью часть. Эту теорию развивали Блазиус из Пармы, Николай Кузанский, а в последствии и Леонардо да Винчи. В XVI в. мы встречаем ее модификацию у Тартальи (см. следующую главу).
Орем считал импетус функцией не только скорости, но и ускорения. Рассматривая движение брошенного тела, он полагал, что движущее сообщает
1 Цит: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 115.
• См. A Maier. Zwei Grundprobleme..., S. 244—245. Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 111.
3 Albertus de Saxonia. De coelo, I, II, qu. 14. Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 112. См. также Р. Duhem. Le systfeme du monde..., т. VIII, p. 287.
движимому начальное ускорение, являющееся причиной импетуса, который в свою очередь движет тело после того, как оно уже перестало находиться в контакте с движимым. Действие импетуса ускоряет движение тела до тех пор, пока он не ослабнет из-за сопротивления движению. После этого наступает замедление движения.
Интересна попытка Орема применить теорию импетуса к объяснению ускорения падения тела, которую он предпринял в своем комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Орем приводит две точки зрения. Согласно одной постепенное возрастание скорости падения тела может дать только конечную скорость, согласно другой — бесконечную. Он рассматривает два примера бесконечного увеличения скорости: в одном случае это происходит в результате последовательного возрастания ее вдвое, втрое и т. д. за равные промежутки времени; во втором — возрастание скорости происходит последовательно за «пропорциональные части» времени t/2, t№, t/8 и т. д. Увеличение скорости на конечную величину происходит тогда, когда скорость за равные промежутки времени получает последовательные постепенно убывающие приращения, так что она принимает последовательные значения
. V , V , V „61
v, v Ч—, v Н—5- + -г- и т. д., а ее величина сходится к конечной вели-
1 1
чине, равной сумме ряда 1 + —F ... Вероятно, сам Орем придержи-
вался точки зрения конечного возрастания скорости, когда она получает постепенно убывающие приращения за «пропорциональные части» времени. Конечное «возрастание скорости» за равные промежутки времени, по мнению Орема, происходит при движении небесных тел.
Аналогичные соображения вслед за Оремом высказывает Альберт Саксонский, который (в соответствии с Аристотелем) придерживался взгляда о бесконечном возрастании скорости падения тел. Он полагал, что «движение возрастает» вдвое, и т. д. в том смысле, что если пройдено вдвое, втрое и т. д. большее расстояние, то соответственно движение становится вдвое, втрое и т. д. быстрее. По Альберту Саксонскому, скорость растет не в соответствии с «пропорциональными частями» расстояния и времени, а увеличивается в соответствии с удвоением, утроением и т. д. того или другого.
Таким образом, у Альберта Саксонского, как, впрочем, и у Орема, еще не было четкого представления о различии между связью v и s и связью v и t. И Орем, и Альберт Саксонский объясняют с помощью теории «импетуса» широко распространенный в литературе XIV в. гипотетический пример камня, брошенного к центру Земли, который пролетает этот центр, а затем совершает около него колебательные движения. «Если бы Земля была просверлена насквозь и в это отверстие было брошено тяжелое тело, то тогда центр тяжести этого падающего тела совпадал бы с центром Мира, оно продолжало бы двигаться дальше и дальше вследствие импетуса, который бы в нем еще не уничтожался, и при таком подъеме, когда этот импетус ослабел бы, это тяжелое тело, наоборот, опустилось бы, и при таком опускании приобрело бы некоторый небольшой импетус, благодаря которому оно вновь двигалось бы за пределы центра, а когда этот импетус уничтожился бы, тело вновь опускалось бы, и так двигалось бы оно около центра, качаясь, до тех пор, пока в нем больше не было бы такого импетуса, и тогда оно пришло бы в состояние покоя» V
В дальнейшем это представление развивал Леонардо да Винчи. Некоторые исследователи видят в высказываниях сторонников теории импетуса (в особенности касающихся причин его уничтожения и возможности продолжаться до бесконечности) зародыш понятия об инерционном движении. Об этом можно говорить лишь со значительной степенью модернизации.
1 Цит.: В. П. Зубов. У истоков механики, стр. 120.
Как мы видим, сторонники теории импетуса, пытаясь в какой-то мере раскрыть количественные связи между величинами, характеризующими движение, впадали в ту ошибку, которую допустили аристотелианцы: они считали, что скорость падения тела пропорциональна его весу. Ни античные, ни средневековые теории не могли дать математического выражения для закона падения тел; они только намечали связи между скоростью, высотой и временем падения. Не смогло разрешить этой проблемы и упомянутое выше учение о «широтах форм», хотя Орем ввел понятие об ускорении как о постоянной «интенсивности движения» с равномерно возрастающей скоростью.
9. Так же, как и в Западной Европе, для раннего русского средневековья 1 2 характерен разрыв между теоретическими исследованиями и прикладной механикой. В силу ряда особенностей исторического развития Руси этот разрыв сохранялся вплоть до середины XVII столетия. Татаро-монгольское иго на несколько столетий затормозило развитие экономики, техники и культуры. Иностранная интервенция XVI в. и крепостное право были причиной дальнейшего отставания России от передовых стран Западной Европы. Тем не менее в раннем средневековье (IX—XIII вв.) Русь проходила те же этапы разви-62 тия технической мысли, что и страны Западной Европы. Потребности производства вызывали к жизни аналогичные механизмы и механические устройства. . ,.
Ни оригинальные трактаты древнерусских авторов, ни их собственные переводы античных авторов до вас не дошли. Однако сочинения греческих ученых, в том числе и по механике, появились на Руси весьма рано и в большом количестве, хотя и в известной обработке христианских проповедников. В их сочинениях из механических проблем рассматривались преимущественно вопросы сущности движения, что было связано главным образом с комментированием Аристотеля.
Уже в X в. на Руси был известен Иоанн Дамаскин (VII в.), основной труд которого «Точное изложение православной веры» в отдельных главах («Диалектика» и «Философские главы») базируется на понятиях «Физики» Аристотеля.
В XV в. «Философские главы» были уже известны На Руси во множестве списков. Дамаскин видел в природе «начало движения и покоя каждой вещи» и считал, что сама «вещь имеет... способность движения и покоя» г. Рост он рассматривал как «движение в количестве в отношении уменьшения», изменение — как «движение в качестве для изменения», время понимал как «меру движения и число раннейшего и позднейшего в движении» 3.
Таким образом, в представлении Дамаскина мир находится в вечном движении, различные виды которого он рассматривает.
Василий Великий (IV в.) в «Беседах на Шестоднев» — сочинении, также издавна известном на Руси, полемизируя с «еллинскими мудрецами», тем не менее давал читателям возможность познакомиться с их взглядами. Василий Великий говорит о «телах, описывающих круги» и «возвращающихся в прежнее положение свое равномерностию и непрерывностию их движения», о «стремлении книзу», которое «свойственно веществам тяжелым», о том, что «простым вещам свойственно движение прямолинейное». Далее он останавливается на учении «еллинов» о том, что тела, у которых различны «естественные движения», различны и по своей сущности. Он делает вывод, что «сложенное из различных тел не может иметь равномерного и свободного движения, так как каждое простое тело, заключающееся в сложном, имеет по природе своей собственное стремление» 4. Попутно Василий Великий говорит о дви
1 Этот раздел написан В. К. Кузаковым.
2 Полное собрание творений Иоанна Дамаскина, т. 1. СПб., 1913, стр. 121.
3 Там же.
4 Василий Великий. Творения, т. V, ч. I. M-, 1853, стр. 19.
жениях, свойственных легким и тяжелым телам, и т. д. Этот раздел целиком посвящен «рассуждению о естестве неба».
Еще один подобный автор был известен на Руси уже в 1385 г. (время перевода на русский язык). Это —Георгий Писид и его труд «Шестоднев»1. Неизвестно, использовал ли автор непосредственно труды Аристотеля, но, как и Василий Великий, он противопоставляет «басням еллинским» «истинное христианское учение» о мироздании, в том числе о различных видах движения 2. Еще один «Шестоднев» — Иоанна, экзарха Болгарского (по русскому списку 1263 г.), целиком основан на трудах Василия Великого и «Аристотеля-философа». Дословно повторяя слова Василия Великого о различного рода движении сложных и простых тел («коеждо бо от простых тел, кроме сложных, . . . инако шествие имать» 3) и рассматривая аристотелевскую теорию движения («како оубо Аристотели»), Иоанн противопоставляет ему все время Платона («сие же словеса соупротивна соуть твоемоу о учителю Платону» 4 5) и библию. Появление подобного рода литературы в этот период вполне объяснимо. Стремление русской церкви упрочить как свое международное, так и внутреннее положение побуждало ее обращаться к наследию ранних христианских проповедников.
XV и, особенно, XVI в. характеризуются появлением литературы иного плана. Расширившиеся связи со странами Западной Европы, возросший интерес к естественнонаучной литературе обусловили массовое появление в Московской Руси в этот период переводных произведений соответствующего характера. Так, от XV в. (в списке XVI в.) до нас дошла так называемая «Космография жидовствующих» (ее изучал кружок новгородских еретиков в конце XV в.), включающая «Трактат о сферах» Иоанна деСакробоско (XIII в.). Русский перевод был сделан с древнееврейского в конце XV в. 4 Говоря о 78 небесных сферах, русский переводчик отмечает, что существуют различные виды движения сфер: одно — «движение последнего неба вокруг обоих концов оси», другое — движение «ниже расположенных сфер, наклонное по отношению к первому, вокруг своих осей, отстояпщх от первых». Далее разъясняется механизм движения светил. О небесной механике речь идет во многих трактатах того времени. Так, в трактате «Луцидариус», переведенном с немецкого языка на русский в XVI в., рассматривается вопрос о движении сфер и планет. Следуя Аристотелю, автор видит во внешней (эфирной) сфере источник движения всех остальных («Небо есть толь сильно, яже солнце, и луну, и звезды... назад влечет» 6). Максим Грек, возмущаясь тем, что автор уделяет слишком много внимания движению небесных тел, советовал подобные произведения «не переводити... на русский язык» и «держатися крепце Дамаскиновы книги» 7 8, очевидно, забывая, что именно в них изложено ненавистное ему учение «еллинов» о движении всего сущего.
В XVII в. на Руси появилась «Космография Иоанна Блеу» (голландского географа), в которой (со ссылками на греков) говорится о движении всего, «яже на небеси видимо есть», о «движении телес небесных», о том, что число различных небес «познавается от разнства движений яже в них зрима суть» &
63
1 См. «Шестоднев Георгия Пизидия в славяно-русском переводе 1385 г.».— Памятники древней письменности,- 32. СПб., 1882.
2 «Шестоднев, составленный Иоанном, экзархом Болгарским».— Чтения в Обществе истории и древностей российских, кн. 3. М., 1879, лл. 12—12 об.
3 Там же, л. 14.
* В. П. Зубов. Неизвестный русский перевод трактата «О сферах» Иоанна де Сакробоско.— Исто-рико-астроном. исслед., 1962, вып. 8.
5 И. Я. Порфирьев. Апокрифические сказания о ветхозаветных лицах.— Сборник Общества русского языка и словесности Академии наук, т. 52, Ли 4-5. СПб., 1890, стр. 426.
* М. Грек. Сочинения, ч. II. Казань, 1860, стр 232.
’ Б. Е. Райков. Очерки по истории гелиоцентрического мировоззрения в России. Изд. 2-е. M.— Л., Изд-во АН СССР, 1947, стр. 124.
8 Там же, стр. 128.
и т. д. Автор ссылается на Аристотеля, Аристарха Самосского, Гиппарха, Птолемея, Коперника (о движении Земли «окрест своея оси»).
Литературу обоих направлений объединяет то, что она существовала независимо от развития прикладной механики. Прикладная механика (также в соответствии с античной традицией) сводилась к применению пяти простых машин и их комбинаций.
I На раннем этапе (IX—XIII вв.) в механизмах использовались низшие кинематические пары: вращательные (шарнир, колесо) и поступательные (ползун, клин). Широкое распространение получили подъемные механизмы^ в которых использовались блоки и вороты, гончарный круг и токарный станок. Это—время распространения ткацких станков, водяных мельниц, сложных станковых камнеметов («пороков»), «стрикусов», «пускачей». Применялись замки — позиционные механизмы (с упругими элементами), в которых образовывались временные кинематические цепи.
В XIV—XV вв. дальнейшее развитие получают водяные мельницы, на базе водяного колеса которых создаются механизмы, передающие движение от двигателя к рабочему инструменту: механический рычажный молот, тол-64 чейные устройства, где происходило преобразование вращательного движения в прерывно-поступательное; пороховые мельницыскулачковым валом (преобразование непрерывного вращательного движения в возвратно-поступательное), сверлильные и расточные станки. В XIV—XV вв. появляются также зубчатые передачи между вращающимися осями, пересекающимися между собой (кинематические цепи с большими передаточными отношениями^).^
Начало XV в. — время появления на Руси часов (башенные часы в Московском Кремле в 1404 г.), а также появления огнестрельного оружия.
Исторические условия в XVI—XVII вв. определяли относительную техническую отсталость Руси; поворотный момент в развитии механизмов в России примерно совпадает по времени с таким же моментом в развитии западноевропейской техники.
Тем не менее и в этот период в отдельных областях техники в России появляются новые технические решения. Примером является творческая деятельность Федора Колычева, бывшего в середине XVI в. игуменом Соловецкого монастыря (под именем Филиппа). Созданные им специальные приспособления сами сливали квас в чаны и поднимали его по трубам в погреба. Он же «нарядил телегу», которая «сама насыпается, да привезетца, да и сама и высыплет рожь на сушило» х. В числе прочих изобретений было решето, которое «само сеет и насыпает, и отруби и муку разводит розно, да и крупу само же сеет и насыпает и разводит розно крупу и высейки», и приспособление, при помощи которого Филипп «нарядил ветер мехами в мельнице веети рожь» 1 2.
Рассмотренный нами вкратце период развития механики на Руси (IX— XVII вв.) можно, при желании, разбить на более мелкие этапы, однако общая характеристика развития механики от этого не изменится. Разрыв между теорией и практикой прослеживается на протяжении всего указанного периода (вплоть до середины XVII в., [когда в России начинают появляться мануфактуры). В то же время весь этот период является одним из важных этапов развития механики в России, без которого трудно понять ее развитие в последующие столетия. ।
10. В заключение следует еще раз подчеркнуть, что1болыпинство проблем механики в средневековье изучалось в плане не столько физическом, сколько общефилософском, в связи с общими понятиями изменения (движения), пространства, времени. Университетская наука была, как правило, оторвана
1 «Летописец Соловецкий». Ивд. 4-е. М., 1847, стр. 35.
* Там же, стр. 35—36.
от технической практики. Вместе с тем нельзя рассматривать средневековье только как период умственного застоя, в течение которого наука не развивалась. Тогда были бы совершенно непонятны причины, приведшие к эпохе Возрождения. ^Критикуя этот неверный подход, Энгельс писал: «В области истории — то же отсутствие исторического взгляда на вещи... На средние века смотрели как на простой перерыв в ходе истории, вызванный тысячелетним всеобщим варварством. Никто не обращал внимания на большие успехи, сделанные в течение средних веков: расширение культурной области Европы, образование там в соседстве друг с другом великих жизнеспособных наций, наконец, огромные технические успехи XIV и XV веков. А тем самым становился невозможным правильный взгляд на великую историческую связь, и история в лучшем случае являлась готовым к услугам философа сборником примеров и иллюстраций» х.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 21, стр. 287—288.
5 История механики
4
Зарождение классической механики (XVI в.)
1. Может ли история отвести определенное место механике в период от Ренессанса до конца XVI в.? Таков вопрос, который мы должны поставить и заодно искать на него ответ. \
Действительно, очевидно, что в этот период происходит изменение во взглядах, ставящее под сомнение традиции схоластики, но очевидно также и другое: познанию, сохраняющему на высшем уровне теории свой цельный характер, еще несвойственны те категории, которые были введены в обиход в итоге научной революции XVII в. Если «Физика» Аристотеля и подвергается в это время решительным нападкам, то объектом критики некоторых из ее многочисленных комментаторов является скорее содержание книги, чем ее структура. Последняя остается образцом логики, могущественной именно благодаря своей всеобщности, логики, для которой «местное» движение, интересующее будущего механика, является только частным случаем (несомненно, особьйщ но все же частным) того, что связывается с абстрактным понятием движения — изменения.
Все, что среди огромной литературной продукции научной мысли за полтора века имеет отношение к механическим явлениям, лишь изредка обособляется и, во всяком случае, неотделимо от обширного философского контекста, который теперь очень далек от нас. История механики требует и проникновения в этот контекст, и критической проверки прочитанного материала. Своему читателю историк должен дать, главным образом, средства для этой проверки, иначе читатель рискует запутаться в дискуссиях, оценить которые он вряд ли сможет.
В силу этих соображений не должно вызывать удивление то, что в этой главе не будет дана исчерпывающая хроника событий. Мы не пренебрегаем в ней общими соображениями, но основное внимание уделено анализу некоторых трудов по механике, наиболее характерных для зпохи.
2. Что движет брошенными телами? Александр Койре с полным основанием предпослал этот вопрос своим изданным в 1939 г. «Этюдам о Галилее» Ч Именно в связи с этой проблемой возникают те соображения, без которых не могла бы возникнуть новая наука. Однако в выводах А. Койре нет существенно нового. Как мы знаем, в аристотелевской космологии, в которой совокупность реальных тел, составляющих мир, должна образовывать нечто, организованное наилучшим образом, всякое изменение должно иметь причину, которая его объясняет и поддерживает, если это изменение продолжается в течение некоторого времени. И аристотелевская традиция различает «естественное» и «насильственное» движения. Только второе из них требует наличия
1 А. Коуте, fitudes Oalilfeennes, 3 vols, Paris, 1939.
причины, внешней для движущегося объекта. В силу этого задолго до XVI в. стал проявляться интерес к такой принципиальной схеме, как движение «брошенного» тела, принципиальной потому, что она объединяет в себе «естественное» и «насильственное» движения. Чтобы объяснить причины такого движения, парижские «номиналисты» еще в XIV в. ввели понятие импетуса. Вот почему столь старый вопрос вызывает столь ожесточенные споры.
Ведь недостаточно дать название некоему неопределенному качеству, наличие которого, заодно с существованием движущегося тела, должно определять движение последнего, какого бы рода оно ни было. Использование этого понятия неизбежно приводит к сложнейшим проблемам, связанным с диалектикой внешнего и внутреннего.
Является ли импетус в обоих случаях той самой объективной реальностью, которая способна связать воедино принципы науки о движении, если в одном из этих случаев он рассматривается как внутреннее свойство (вес) природы движущегося тела, а в другом — как внешнее, прилагающееся извне (бросание)? Легко понять характер трудностей, которые мог породить подобный вопрос, если обратиться к этой проблеме на философском уровне. То, что ее решение начали искать на этом абстрактном уровне, было не слишком благоприятно для ее успешного разрешения. Но если посмотреть со стороны на горячие дискуссии, вызванные этими затруднениями, можно констатировать, что, начиная с Николая Кузанского, все авторы сходятся на значении импетуса в традиционном его понимании и вместе с тем они по необходимости оказываются перед новой проблемой.
В традиционном понимании существование импетуса эфемерно. Предшествует ли эта «причинная сущность» движению, рождается ли она в самом процессе движения, она иссякает, действуя.
И наличие переходных этапов для движений, которые начинаются «насильственно», а затем по истечении некоторого времени продолжаются «естественно», как это, по-видимому, происходит в случае волчка и «брошенного» тела, с необходимостью ставит нас перед новой проблемой.
В качестве примера можно привести рассуждения Леонардо да Винчи. В своих «Замечаниях об игре в шары» он рассматривает движение полусферы, которая катится по плоскости, а затем падает под углом к горизонту. Траектория каждой ее точки состоит из двух частей: прямолинейной и криволинейной. Продолжая рассуждения Николая Кузанского, Леонардо отбрасывает всю прямолинейную часть траектории полусферы и рассуждает о движении этого тела, пользуясь терминами «составного» и «разлагаемого» импетуса. Но, хотя Леонардо, по-видимому, допускал возможность полностью криволинейных движений (струя воды), «насильственных» непрямолинейных (круговых) движений, а также движений, постоянно «смешанных», каковым является движение волчка, он еще не пришел к четкому представлению о движении «брошенных» тел. Он лишь утверждает, что вертикальное падение, которым заканчивается это движение, есть признак того, что «насильственное» движение, т. е. «бросание», полностью исчерпалось и уступило место вполне «естественному» движению. Леонардо ничего, не говорит о промежуточной фазе, он только наводит на мысль о ней.
Отсутствие идеальной последовательности у автора, за которым история справедливо признает необычайное дарование в решении технических вопросов, помогает понять, почему проблема сложения «насильственного» и «естественного» импетусов могла стать узловым пунктом всех затруднений. Было преодолено предубеждение против одновременного наличия этих двух противоположных сущностей, но их сосуществование можно было мыслить только в форме некоторого конфликта, а не в виде настоящего объединения. Таким образом, случай вертикального броска можно было объяснить относительно просто, поскольку борьба происходила между одинаково направленными импетусами, и ее можно было описать в терминах неравенства и раз
67
5*
нести. Но такого рода объяснение можно было применить, например, к случаю движения волчка и никоим образом к случаю горизонтального или наклонного броска.
Здесь мы подходим к тому пункту, в котором аристотелевская традиция к началу XVI в. не была серьезно поколеблена.
Дело в том, что эта традиция в форме борьбы между силой и сопротивлением давала также единый принцип для понимания всех механических явлений, независимо от того, являются ли они состояниями равновесия или движения. Такой общий принцип предполагал возможность единообразно трактовать любое сопротивление, и как раз это становилось сомнительным для процесса перехода от вертикального броска к горизонтальному. Однако этот принцип соответствовал данным наиболее непосредственного и обыденного чувственного познания, и для простых машин он давал правила, в сущности практически достаточные. Поэтому не следует удивляться тому, что Леонардо был более удачлив в конструировании машин, чем в исследовании движения. Тем более не следует удивляться тому, что многие из его инженерных интуиций остались, с теоретической точки зрения, только набросками, 68 не повлиявшими сколько-нибудь значительно на его же мышление. Таково исследование о коленчатых весах (ломаном рычаге), исследование натяжения нитей, на которых подвешен груз (параллелограь^ сил); таково, наконец, исследование явления удара (взаимодействие).
Необходимо, однако, заметить, что со времени Леонардо начинают уделять внимание эксперименту и тем выводам, которые математически можно сделать на такой основе. Это уже предвестники изменения строя мышления. Леонардо измеряет и считает, несомненно, не только потому, что он инженер, но и потому, что он, следуя Николаю Кузанскому, видит смысл в использовании «количественных наблюдений».
Этого, конечно, недостаточно как для того, чтобы извлечь все возможное из качественных кинематических концепций («униформно-дифформные движения»), разработанных Н. Оремом и В. Хейтесбери, так и для того, чтобы подойти к понятию ускорения и открыть истинный закон падения тел. Но этого достаточно, чтобы указать новый путь для дальнейших исследований.
Только теперь, когда опубликованы рукописи Леонардо, можно достаточно точно определить, что он сделал и насколько это стало известным. Однако историк в первую очередь должен обратиться к тем авторам, которые действительно заметным образом повлияли на воззрения своей эпохи.
3. /В Италии XVI в., которая занимает первое место в истории механики этой эпохи, никто не заслуживает большего внимания, чем Николо Фонтано, по прозвищу Тарталья] Он родился в Брешии в начале XVI в. и умер в Венеции в 1557 г.; Тарталья прославился главным образом трудами в других областях математических наук. Об этом мы можем только вкратце упомянуть. Своим прозвищем Тарталья, т. е. заика, он обязан увечью, полученному в результате ранения еще в детстве, в те времена, когда войска Франциска I грабили Брешию. В одной из своих книг «Вопросы и различные изобретения»1 он рассказывает о своей юности и перенесенных им несчастьях. Мы должны отметить его откровенность, что немаловажно. Бедность позволила ему посещать школу очень недолго, до 14 лет. «С тех пор,— говорит он,— я учился сам, и у меня не было другого наставника, кроме спутницы бедности — предприимчивости». Несомненно, что из-за трудных условий жизни этот блестящий математик сформировался в стороне от распрей научных школ. Этим же условиям он обязан также и тем, что писал свои труды на родном языке — итальянском диалекте долины По; это сделало их доступными невышколенным практикам, но не отпугнуло и ученых читателей. Тарталью упрекали в том, что он
N. Tartaglia. Quesiti et invention! diversi. Venetii, 1546.
Леонардо да Винчи (1452—1519 гг.)
был недостаточно щепетилен в вопросах научного приоритета: оставляя за своими предшественниками, которых он упоминает, заслуги в формулировке результатов, он с легкостью приписывал себе их доказательства. Кроме трагической судьбы, оправданием Тарталье может служить его эпоха, когда многие представления, для нас вполне четко определенные, не имели и не могли иметь того значения, которое мы им придаем теперь. Собственный вклад Тартальи в науку неоспорим, и для нас этот вклад более важен, чем упомянутые слишком строгие оценки, в которых больше пристрастия, чем основательности.
Творчество Тартальи было однимиз тех каналов, благодаря которым забытая оригинальная статика XIII в. стала известна представителям итальянской школы XVI в. Действительно, в 1565 г. Курций Троян опубликовал рукопись под названием «Труды Иордана о тяжестях, изученные и исправленные Николо Тартальей» 1, которую ему доверил Тарталья. Это не что иное, как анонимный трактат XIII в., вновь обнаруженный Дюгемом. Этим знаменательным фактом нельзя пренебречь. Тарталья был знаком с тем, что называют «традицией Парижской школы», и об этом следует сказать сразу. Тем более, что в двух трактатах «Новая наука» 2 и «Вопросы и различные изобретения» 3, опубликованных еще при жизни Тартальи, которые мы здесь рассматриваем, он вполне самостоятельно изучает движение «брошенных тел», а не статику.
1 N. Tartaglia. Jordan! opusculum de ponderosite Nicolai Tartaleae studio correctum. Venetii, 1565.
! N. Tartaglia. Nova Scientla. Veneti!,’ 1537.
N. Tartaglia. Quesiti et invention! diversi.
Само название «Nova Scientia», которое ошибочно можно рассматривать как относящееся к написанной по-латыни книге, говорит о честолюбивом замысле автора. Но, хотя он и не был создателем баллистики (еще до него ею занимался Леонардо да Винчи), он все же был первым, кто попытался математизировать, да к тому же в печати, это до тех пор эмпирическое искусство. Некоторые исследователи склонны относить это сочинение Тартальи целиком к внешней баллистике, как недавно сделано в работе, изданной в Брешии в связи с четырехсотлетием со дня его смерти (1957 г.). Вполне возможно, что распространение упомянутой книги, трижды переизданной в 1550, 1558 и 1583 гг. и переведенной на английский, французский и немецкий языки, существенно * способствовало дюпуляризации идеи траектории, состоящей из трех участков, что у Леонардо только намечено. Однако в этой книге, кроме геометрии траекторий, рассмотрены и другие вопросы.
Обратим внимание на фронтиспис книги. Ниже Философии, которая располагается на троне в самом верху, на нем изображены два огражденных участка, один за другим. Эти участки соединены дверьми и ступенями. Из второго, _ нижнего и более широкого, во внешний мир ведет дверь, у которой два чело-' века ведут беседу с Евклидом. Слева изображены стреляющие бомбарда и гаубица, ядра которых прочерчивают две великолепные полностью криволинейные траектории: одно—навесную, другое—настильную, как и должно быть. Артиллеристы у орудий смотрят на группу размещенных в правой части гравюры людей, первые ряды котороМресьма примечательны. Это — сам Тар-талья, окруженный,. Музыкой, Перспективой и Астрономией, впереди которого стоят Арифметика и Геометрия. Тарталья покровительственно протягивает руку' практйка|й,-артиллеристам. Позади него — неясная группа сгрудившихся фигур ^.'символизирующих Астрологию, Магию и другие лженауки. Их присутствие не вызывает никакого сомнения в намерениях автора. Вместе с истинными науками под руководством Евклида он хочет прийти на помощь технике. Поэтому неудивительно, что структура «Новой науки» аналогична структуре «Начал» Евклида. Она содержит определения, общие рассуждения и теоремы. Для изложения физики эта структура совсем не традиционна. А что касается верхнего огражденного участка. — «философского», то там у входа — Аристотель и Платон. Но Аристотель стоит на нижней ступени ведущей’туда лестницы, а Платон — на самой верхней, развернув знамя со знаменитым изречением: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».
Следует иметь в виду, что глашатай гуманистов Джорджо Валла, преподававший в 1470 г. в Павии, а в 1481 г. в Венеции, нападал на аверроистов, обвиняя их в исключительном почитании Аристотеля в ущерб Платону. Фронтиспис «Новой науки» весьма тактично показывает, на чьей стороне симпатии Тартальи, и в то же время свидетельствует о желании автора прийти к компромиссу. Латинские надписи, достаточно неопределенные в смысле синтаксиса, как об этом свидетельствуют различия в изданиях 1537 и 1550 гг., придают, однако, этому фронтиспису четкий смысл: математика — главный и единственный путь к познанию причин различных явлений.
4. Теперь настало время открыть эту небольшую книгу и коротко остановиться на определении I. Автор уточняет, что он намерен изучать только тяжелые тела. Это ясно говорит о том, что у него не было намерения писать трактат о движении (du motu) вообще. В отличие от Авиценны (который утверждал, что существуют два тяжелых элемента — земля и вода — и два легких — воздух и огонь), Аверроэс, по словам Тартальи, вводит более тонкие понятия. Это — (разъяснения, правда, отсутствуют) понятия «потенциальной» (для тел, находящихся в своем «естественном месте») и «актуальной» «тяжести». Нет сомнения, что Тарталья знал учение о «тяжести соответственно положению» (gravitas secundum situm) школы XIII в. Если бы это было не так, то зачем бы он так настойчиво.подчеркивал, что тела, которые
он намерен исследовать, одинаково тяжелы, т. е. всегда и везде имеВэт одну и ту же тяжесть.
. Определение I различает в этих телах материю и форму в физическом и геометрическом, а не философском смысле. Материя — это. железо, свинец, камень и прочее, подобное им; находясь где-либо в воздухе, они не меняют «тяжести». Форма должна быть наиболее приспособленной для уменьшения сопротивления воздуха. Здесь Тартальяиспытывает затруднение. Наиболее подходящей, по его мнению, была бы форма клина или пирамиды с тем, однако, условием, чтобы острие всегда было направлено в сторону движения. Очевидно, что этому условию очень трудно удовлетворить. Поэтому он считает, что следует довольствоваться сферической формой, которая обеспечивает «брошенному» телу постоянство сопротивления той части воздуха, в которой оно движется. В конечном итоге «одинаково тяжелые» тела у Тартальи представляют собой не что иное, как «ядра артиллеристов его времени», как их называет с достаточным основанием Александр Койре, впрочем, не анализируя это определение.
Но еще более, чем обращение к конкретным данным повседневного опыта, важно подчеркнуть систематическое стремление (о чем говорит определение) к тому, чтобы предложить теоретику неизменный объект, динамическое поведение которого в окружающей его среде остается одним и тем же в процессе его движения.
Затем Тарталья принимает классификацию Аристотеля. Единственное «естественное» движение «одинаково тяжелого тела» — это движение падающего тела. Все остальные (бросок снизу вверх, горизонтально, наклонно) — «насильственные», «вызванные некоторой движущей силой, которая реализуется с помощью машины» (определение XIII). Однако общие рассуждения, которые следуют далее, подготавливают оригинальное сравнение обоих традиционных («естественного» и «насильственного») движений. «Эффект» понимается как результат удара. «Эффект» «естественного» движения тем значительнее, чем больше высота надения. «Эффект» «насильственного» движения тела тем больше, чем оно ближе к отправной точке движения, т. е. к жерлу орудия.
В Предложениях I и III Тарталья вновь возвращается к этому противопоставлению, связывая с «эффектом» скорость. «Естественное» движение — ускоренное, в то время как «насильственное» — замедленное. Однако Тартадья не ограничивается этим весьма качественным сравнением. Он уточняет, как удачно выразился Александр Койре, в чем именно «естественное» и «насильственное» движения противоположны друг другу.
Здесь необходимо остановиться на некоторых деталях. j «Естественное» движение, согласно Тарталье, совершается с постоянно изменяющейся скоростью, которая непрерывно возрастает таким образом, что ее наименьшая величина приходится на начало движения, а наибольшая — на его конец. На линии падения (вертикали) не существует двух точек, где она имела бы одно и то же значение. Нельзя не признать, что это представление говорит о свойственном Тарталье математическом складе ума| Однако он слишком близок еще к традиционным взглядам. Взгляды Тартальи (может быть, под влиянием аверроистов и Агостино Нифо, автора комментария (1514 г.) к сочинениям Аристотеля «О земле» и «О небе») связаны с представлением о «пилигриме, который спешит вернуться в родное гнездо».
^Характеризуя возрастание скорости, он, видимо, склонен считать эквивалентными удаление тела от начала пути и его приближение к «естественному месту»/А. Койре заметил, что второе издание (1550 г.) содержит добавление к Предложению I, которое недвусмысленно направлено против аристотелевской традиции. А именно, рассматривается следующий мысленный опыт: тяжелое тело падает в канал, проходящий сквозь всю Землю через ее центр. Остано-витсй ли тело в центре, где располагается все тяжелое, т. е. в «гнезде», предназначенном для «пилигрима», как это следует из концепции «естественного
71
места»? Тарталья утверждает, что тело остановится, но только после колебаний около центра, затухающих в течение некоторого промежутка времени. Следует заметить, что это решение не оригинально. Оно имеется уже у Орема. Эразм вновь приходит к нему в своих «Разговорах» 1. Замечание А. Койре подводит, следовательно, к такому выводу: возможно, что Тарталья ставит этот вопрос только в 1550 г., потому что он весьма поздно познакомился с традицией Орема. Он, впрочем, добавляет от себя фразу, которую нельзя не упомянуть. Решение с помощью затухающих колебаний около центра (Земли) казалось ему удовлетворительным только потому, что оно исходило из представления, что за «естественным» движением — падением к центру Земли — следует «насильственное» движение — подъем, причем первое вызывает второе. Обратная последовательность была бы немыслима, так как «естественное» движение и только оно одно имеет причину в самом себе.
Таким образом, Тарталья, следуя традиции, в то же время бесспорно предвещает некий новый стиль, что подтверждается Предложением II. Действительно, в этом Предложении утверждается, что «естественные» движения начинаются с некоторой минимальной скоростью. Наконец, чем длиннее 72 пройденное расстояние, тем больше скорость. Таким образом, Тарталья, быть может, не сознавая этого, уточняет то, что он говорит в Предложении I. Действительно, в качестве переменной он выбирает именно удаление от начальной точки движения.
Предложения III и IV, вполне соответствующие Предложениям I и II, объясняют, что свойства «насильственного» движения прямо противоположны свойствам «естественного». Иллюстрируя Предложение III на примере криволинейной траектории, Тарталья утверждает, что при «насильственном» движении скорость постоянно уменьшается до тех пор, пока не достигнет минимума, одного и того же для всех подобных движений. Большему пройденному расстоянию соответствует большая начальная скорость. Рисунок, который иллюстрирует это последнее утверждение (Предложение IV), дал основание А. Койре предположить, что Тарталья рассматривал здесь две траектории ядра при стрельбе под одним и тем же углом. Однако текст не допускает подобной интерпретации. В действительности он относится к любым двум траекториям, которые заканчиваются в точках, где скорость минимальна. Выходя из этих крайних точек, траектории идут вспять так, что равным путям должны соответствовать равные скорости, откуда следует, что более длинной траектории соответствует большая начальная скорость.
Прежде чем идти далее, заметим, насколько выиграла бы столь четкая концепция аналогии между «насильственным» и «естественным» движениями, если бы можно было использовать графическое представление «униформно-дифформного» движения Н. Орема. Известно, что основное неудобство этих построений, иллюстрирующих изменение скорости, состоит в том, что при этом не определяется, что изображает собой абсцисса (истекшее время или пройденное расстояние). Но в данном случае это неудобство несущественно. Исходя из симметричности наклонов на графиках «насильственного» и «естественного» движений, человек, достаточно изощренный в математике, мог бы, пожалуй, довольно быстро прийти к выводу, что эти два движения в действительности имеют общее: одно и то же абсолютное ускорение. Но Тарталья не пользуется построениями Орема. Он не упоминает об «униформно-диф-формных» движениях, хотя, вероятно, знал о них. И мы говорим здесь о неосуществленных возможностях лишь для того, чтобы показать, как близко Тарталья подошел к тому, что было бы в механике радикально новым. Существенным в этом отношении является Предложение V. Но именно в силу того, что Тарталье удалось уточнить аналогию между «естественным» и «насильственным» движениями, казалось невозможным их объединить. Всякое
«Des Erasmi Boterodami Colloquia». Lugduni Batavorum, 1522.
смешение потребовало бы, чтобы скорость увеличивалась и уменьшалась одновременно. Оба движения могут лишь следовать одно за другим и, конечно, в силу сделанного выше замечания, произвольным образом. Предложение VI утверждает, что движение «брошенного» тела начинается с «насильственного», которое прекращается в точке, где скорость минимальна. После этого движение может продолжаться, но уже в виде «естественного». Из этого следует (Тарталья такой вывод не оговаривает) тождественность «минимумов» конца «насильственного» движения и начала «естественного». Это, несомненно, было само собой разумеющимся в ту эпоху, когда понятие «естественного минимума» было общепринятым,— мы его находим в оптике, для люмена. Но для нас, современных читателей, важно четко разъяснить это существенное условие: в точке минимума нет неравенства.
Этим кончается первая книга «Новой науки». Мы видим, что нельзя не признать ее специфически математической структуры, даже если эта структура не связана (настолько, насколько мы этого хотели бы, основываясь на том, что она могла бы дать) с количественными данными. Если бы мы в ней не разобрались, то вторая книга, посвященная геометрии траекторий «брошенных» тел, позволила бы сделать лишь поверхностные заключения.
5. В силу допущений I и II книги различие между «естественными» и «насильственными» движениями проявляется в различии их траекторий. Траектория первого — всегда вертикальная прямая. Траектория второго может быть прямолинейной, криволинейной и частично прямолинейной, частично криволинейной. Допущение III касается их связи и существенно дополняет Предложение IV первой книги. Всякое «брошенное» тело имеет вначале траекторию «насильственного» движения, а затем вертикальную траекторию «естественного» движения, которая «контингентна», т. е. касательна к траектории «насильственного» движения в точке минимума скорости, где они обе «склеиваются». У Тартальи полностью отсутствует обоснование этого важного геометрического свойства. Однако Тарталье было известно традиционное представление о media quies («промежуточной точке покоя», о чем будет речь впереди). Согласно этому представлению, два противоположных движения, происходящих в разных направлениях, не могут следовать друг за другом без промежуточной точки покоя. Здесь же.прямо противоположные движения следуют друг за другом без какой-либо остановки, непрерывно. Быть может, по этой причине Тарталья мог представлять себе их совместно, только считая, что в рассматриваемой точке дни одинаково направлены.
Любопытно отметить, что Тарталья не заметил и не поставил вопрос о главном неудобстве для артиллериста — существовании этой точки минимальной скорости. Если бы цель действительно находилась в этой точке сложной траектории ядра при стрельбе, она была бы недоступна для артиллериста. Но, как подсказывает фронтиспис, артиллерист использует только два способа стрельбы (ядро движется по навесной и настильной траекториям). При любом из них нейтральная точка находится либо над, либо под участком траектории, имеющим практическое значение.
Обратимся теперь к траектории «насильственного» движения у Тартальи. Нам известен вид зтой траектории: она такова, что вертикаль в нейтральной точке к ней касательна. Согласно Предложениям! иII, рассматриваемая траектория почти строго прямолинейна на достаточно большом участке. Это соответствует практике стрельбы прямой наводкой, когда орудие наводится на непосредственно видимую цель, т. е. когда линия прицела параллельна оси ствола. Но затем требуется дуга для перехода к вертикали в нейтральной точке. В соответствии с Предложениями III и IV эта дуга имеет форму окружности. Далее уточняется, что она равна четверти окружности при горизонтальной стрельбе и больше или меньше четверти окружности соответственно, когда прицел взят выше или ниже горизонтали. Таким образом, получается траектория, состоящая из трех участков. В то время это представле
73
74
ние было широко распространено, а у комментаторов вызывало, на наш взгляд, несколько повышенный интерес.
Итак, была определена только общая форма этой траектории; неопределенность в соотношении между прямолинейной и криволинейной частями «насильственного» движения не позволяла точно определить ее вид. Автор, по-видимому, оТдаВал себе отчет в этом, так как в Предложениях VII и VIII пытается изыскать дополнительные данные. Эти Предложения показывают, что двумя определяющими начальными условиями Тарталья считал начальную скорость снаряда и угол стрельбы. В Предложении VII утверждается, что для данной установки орудия эти траектории подобны, а длины траекторий, как и горизонтальные дальности, пропорциональны начальным скоростям. Однако после всех попыток различными способами это обосновать автор заканчивает свои рассуждения фразой, заключенной в скобки: «Если бы было по-другому, это привело бы ко многим неудобствам». Другими словами, по его мнению, этот вопрос можно решить при помощи метода подобия. Надо ли подчеркивать ошибочность этого утверждения? С помощью построения Орема читатель может легко проверить, что это вернсутолько для движения «уни-формно-дифформного» (и запаздывающего) относительно пройденного расстояния. Если бы Тарталья был в состоянии сопоставить свой собственный анализ с традицией Орема, это привело бы его к ошибке, с которой начинал Галилей, а именно к утверждению, что увеличение скорости пропорционально пройденному расстоянию, а не истекшему времени.
- Наконец, в Предложении VIII рассматриваются случаи стрельбы при Одной и той же мощности, т. е. при одной и той же начальной скорости и при различных установках орудия. Нет смысла останавливаться на этих смутных рассуждениях. Его утверждение, что максимум дальности полета снаряда достигается при стрельбе под углом в 45° к горизонту (единственное истинное из всего рассмотренного нами), по-видимому, является не более чем интуитивной догадкой. Поэтому во всей второй книге «Новой науки» для нас представляет интерес только методологический прием, который состоит в последовательном изменении начальных данных.
6. Более детальное рассмотрение второй книги ничего не добавляет. В заключение этого краткого очерка целесообразнее сказать несколько слов о второй работе Тартальи—«Различные вопросы и изобретения». Это произведение написано в форме диалога между автором и несколькими известными собеседниками — в литературном жанре, к которому впоследствии обращался Галилей. Александр Койре блестяще проанализировал содержание этой работы и, в частности, рассуждение, с помощью которого Тарталья показывает, что траектория «насильственного» движения, строго говоря, не имеет никакой прямолинейной части. Это важное уточнение. Но работа содержит и другое уточнение: длина квазипрямолинейного отрезка траектории зависит не только от начальной скорости, но и от наибольшего угла стрельбы. Это означает, что Тарталья, возвращаясь к своей концепции «тела разной тяжести», для того чтобы выразить уменьшение эффекта «тяжести» при наклонном стволе орудия, пользуется сравнением с равновесием весов при наклонном положении коромысла. Это может дать повод для разочарования. Но в 1543 г. Тарталья переиздал в латинском переводе трактат Архимеда «О плавающих телах». Большинство исследователей не придают этому значения. Но существенно уже то, что Тарталья способствовал распространению учения Архимеда.
Больше поводов для разочарования дают те практические решения, которые обсуждаются в «Вопросах», и, прежде всего, утверждение, что наиболее эффективна стрельба по стене, когда бомбарды располагаются для стрельбы сверху вниз. Это обосновывается тем, что квазипрямолинейная траектория удлиняется с наклоном орудия. Однако автор считает нужным привести здесь некоторые числовые данные, с которыми обращается весьма сомнительным образом. Он оправдывает такую практику стрельбы по цели, ког
да угол возвышения траектории в начальный момент больше угла наклона орудия, откуда следует, что эта траектория пересечется затем с осью орудия. Тарталья считает также, что наибольший эффект, достигается, когда стреляют с более дальнего, но не слишком далекого расстояния. Ядро гонит перед собой столб воздуха, который превращается в воздушную подушку, если остается мало времени для того, чтобы он рассеялся прежде,, чем ядро достигнет цели. Наконец, Тарталья считает, что при заданных положениях орудия и заряда второй выстрел более эффективен, чем первый: снаряду легче пройти приведенный в движение воздух, взрывная камера суше и т. д.
Александр Койре заключает, что содержание «Вопросов» доказывает силу эмпирико-технической традиции и вытекающих из этого трудностей; однако оно мало способствовало дальнейшему развитию методов, изложенных в «Новой науке». Это совершенно очевидно, тем более, что Тарталья сам переиздал «Новую науку» в 1550 г. без изменений, не учитывая того, что он писал в 1546 г. в «Вопросах». Это говорит о том, что автор учитывал различие между физическими данными, которые можно подвергнуть математической обработке, и данными, которые такой обработке не поддаются. Быть может, он сознавал, что не в состоянии сделать для первых что-либо лучшее, чем то, что он уже сделал.
Как мы подчеркнули выше, «Новая, наука» была распространена во многих странах. Если она и неудовлетворительна в математическом отношении, то, как мы только что видели, она важна и замечательна как свидетельство определенного направления мысли автора. Трудно допустить, что читатели — современники Тартальи — оценили только его вклад в геометрию траекторий. Ведь это только чисто внешняя и непосредственно заметная сторона дела. Почему бы этим читателям, как и нам, не испытать обаяния того трезвого и дзящного анализа двух основных типов движения, «естественного» и «насильственного», который позволил ему обосновать объединение этих движений, исходя из отмеченной аналогии? Почему они не ставили перед собой вопрос: правомерно ли это различение двух типов движения? Во всяком случае (и на благо будущей механики) решительный удар этому различению нанес ученик Тартальи — Джамбатиста Бенедетти.
7. Ученый, имя которого мы только что назвали, жил и учился в совершенно других условиях, чем Тарталья. Джамбатиста Бенедетти родился в 1530 г. в Венеции, в патрицианской семье,. Он учился в школах и посещал университеты. Его труды написаны на латинском языке. Он не был самоучкой. С 1567 г. до своей смерти в 1590 г. он занимал должность математика герцога Савойского, т. е. должен был заниматься многочисленными прикладными вопросами, следовательно, по своему положению был теоретиком, связанным с прикладной наукой. Он оказал большое влияние на Галилея, который в своем трактате «О движении» (De motu) следует ва ним шаг за шагом. A priori его личность по контрасту с Тартальей должна составить вторую створку того диптиха, который знаменует переход к новой механике.
Заглавие его первой книги—«Решение всех проблем Евклида, а также других при единственно заданном растворе циркуля»1—не свидетельствует, однако, об особом интересе автора к механике. Но предисловие, посвященное Габриелю Гузману, содержит в этом смысле настоящее откровение. Бенедетти переиздал его в следующем году отдельно под очень характерным заглавием «Доказательство соотношений местных движений против Аристотеля» (Demonstratio proportionum motuum localium contra Aristotelem).
Оно стало легко доступным благодаря тому, что в 1840 г. Либри включил его в свою «Историю математических Наук в Италии» 2 (т. III, прим. XXV,
1 G. В. Benedetti. Resolutio omnium Enclidis problematum aliorumque una tantummodo circuit data apertura. Venice, 1533. .
1 G. Libri. Histoire des sciences mathematiques en Italie, v. 3. Paris, 1840, p. 258—264.
75
стр. 258 и след.). Это произведение произвело большое впечатление на Симона Стевина (см. ниже), который познакомился с ним по книге Жана Тенье «Малый труд о природе магнита, а также о непрерывном движении» 1 — плагиату сочинения Бенедетти. Стевии, по-видимому, не знал о протесте против плагиатора, который Бенедетти поместил в 1574 г. во введении к своей «Гномонике» 2.
Но если Стевин и заблуждался в вопросе о приоритете, он не ошибался в отношении важности обнародованного открытия, т. е. того, что тела с одинаковым удельным весом падают «одинаково». В упомянутом предисловии, которое Бенедетти опубликовал под названием, бросакйцим вызов традиции, это существенно новое утверждение отчетливо подразделяется на два пункта: 1) скорость падения определяется не весом тела, а избытком этого веса над весом равного ему объема окружающей среды; 2) понятие центра тяжести, которое позволяет заменить тело совокупностью его соответствующим образом расположенных частей, показывает, что каждая часть совершает при падении то же самое движение, что и все тело в целом.
О том, что Бенедетти был учеником Тартальи, мы узнаем от него самого. 76 Но Бенедетти добавляет, что Тарталья познакомил его только с четырьмя первыми книгами Евклида. Однако, так как он ссылается здесь на трактат Архимеда «О плавающих телах», т. е. именно на тот трактат, который Тарталья переиздал в 1543 г., можно сомневаться в том, что его обучение у Тартальи было столь кратковременным. Те меры предосторожности, которые Бенедетти принимает по отношению к своему учителю, вызывают некоторое подозрение.
Впрочем, это не имеет значения, так как Бенедетти, несомненно, оригинально использовал основные понятия, которые ввел Архимед (гидростатическая подъемная сила, центр тяжести). В противоположность Аристотелю, Бенедетти характеризует падение тел с помощью разности весов (веса тела и веса равного ему объема окружающей среды), а не с помощью их отношения. Это сопровождается значительным изменением в том, что касается определения траектории «естественного» движения при падении. Так, по Бенедетти, вертикаль уже не является больше путем, который ведет «пилигрима» прямо к его «гнезду». Это—кратчайший путь между двумя сферическими поверхностями, центры которых совпадают с центром Земли, а «природа всегда действует по кратчайшим путям». Этот принцип сформулирован явным образом. И если для объяснения падения тяжелых тел автор еще обращается к «природе», то это уже — «природа», лишенная всякого анализа и подчиненная некоему теоретическому закону минимума.
Таким образом, значительным и основополагающим был уже юношеский труд Бенедетти. Но лишь через тридцать лет он публикует сборник различных работ «Книга различных математических и физических рассуждений» 3, где в механике он развивает разработанное им учение, в котором основательно критикует Аристотеля.
Это учение — усовершенствование средневековой теории импетуса, которая была первым, хотя и нерешительным ударом по аристотелевской динамике. По Бенедетти, «двигатель» не только нельзя искать вне движущегося тела, в частности в окружающей среде, но он обязательно «вложен» в само движущееся тело, так что принципиально два различных импетуса несовместимы в одном и том же движущемся теле.
То смешение, которое отрицал Тарталья, Бенедетти считает возможным. Следует только добавить, что обычно эти различные импетусы мешают друг ДРУГУ- Но та «вложенная сила» (vis impressa), каковой является импетус,
1 J. Taisnier. Opusculum de nature magnetis item de motu continue. Cologne, 1562.
* G. B. Benedetti. Gnomonica. Venetiae, 1754.
* G. B. Benedetti. Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber. Torici, 1585.
далеко не представляет собой понятие, позволяющее рассеять туман, который окутывал принципы механики. Принимая обычное представление о толчке, необходимом для движения, Бенедетти верит в начальное ускорение «брошенных» тел, а именно это знаменовало упадок Парижской школы XIII в. Действительно, для того чтобы импетус «вошел» в движущееся тело, требуется некоторое время. Но удачей Бенедетти является то, что он характеризует свой импетус величиной и направлением, рассматривая его как прямолинейно направленный отрезок. То же нужно сказать о его рассуждениях, относящихся к «совершенному естественному движению», каковым может быть только вращение, так как лишь в этом случае целое однородно с любой своей частью. Бенедетти доказывает, что в действительности вечного вращательного движения быть не может. Рассмотрим горизонтальное колесо, движущееся вокруг вертикальной оси. Чем больше радиус колеса, тем меньше ослаблен импетус вдоль касательной и тем труднее ему противодействовать. Следовательно, колесо, приведенное в движение, не может вращаться бесконечно. Рассмотрим, далее, приведенный в движение волчок. Именно прямолинейность горизонтальных и тангенциальных импетусов, уравновешивающих «тяжесть» частей, к которым они приложены, пока скорость достаточно велика, позволяет ему сохранять свое положение. Расходуясь, импетусы уступают «тяжести» поле действия; это и влечет за собой падение волчка.
Таким образом, именно приложения, которые нам могут показаться ничтожными, были для Бенедетти обоснованием того, чем он обогатил понятие импетуса. Нам, читающим его сегодня, ясно, что он вплотную подошел к двум фундаментальным положениям. С одной стороны, «совершенное естественное» движение (равномерное, круговое и, конечно, вечное) не существует. С другой стороны, нет различия в природе обоих традиционных видов неравномерного движения. Любое движение, возникающее по какой-либо причине или под действием «двигателя», осуществляется при помощи направленного и прямолинейного импетуса. Но если Бенедетти и не дал явной формулировки этих фундаментальных положений, то он достаточно близко к этому подошел.
Если акцентировать внимание на том, что не согласуется с нашими современными представлениями, то мы недооценим ту решительность, с которой Бенедетти стал в оппозицию к Аристотелю. «Я без колебаний говорю о том,— пишет Бенедетти,— в чем основы математической философии вынуждают меня отойти от него. Мы должны начать с принятия некоторых истин, которые разум познает непосредственно». Так становится явным и то, что автор вдохновляется философией Платона, и то, что это связано с критикой традиционного метода. В том, что разум познает непосредственно, содержится положение, что при прочих равных условиях (форма, размеры, положение по отношению к центру Земли) движение падающего тяжелого тела зависит от его плотности в окружающей среде. И зто говорит лишь о том, что, например, дерево в воздухе тяжелое, а в воде легкое, что железо в воде тяжелое, а в ртути легкое. Только математическая философия, вскормленная размышлениями Архимеда, позволяет, благодаря методическому анализу условий, извлечь пользу из этого урока. В данной среде при прочих равных условиях именно плотность, хотя она и представляет собой относительную тяжесть, является абсолютным свойством. При изменении других условий (формы, размеров и т. д.) изменяется сопротивление среды, с которым и следует соотносить изменения движения. Важные уточнения внесены также в содержание «Доказательства» (Demonstratio) 1554 г., и все они направлены против Аристотеля.
Более того, для Бенедетти аргумент Аристотеля против возможности существования пустоты (скорость в пустоте была бы бесконечно большой) несостоятелен. Когда одно и то же тело переходит из одной среды в другие, все более и более разреженные, его плотность и скорость, несомненно, возраста
77
ют, но возрастают последовательно, конечными приращениями. В пределе его скорость очень велика по сравнению с начальной, но ^е может быть бесконечно большой. Конечно, для того чтобы точно оценить идею, которая вкладывается в эти рассуждения, следовало бы коснуться' настоящей комедии софизмов, которыми Бенедетти пользуется, чтобы обвинить Аристотеля в непринятии актуальной бесконечности и в допущении в «Физике» только потенциальной бесконечности, той самой, которая, для случая скорости в пустоте, могла бы разбить его собственную аргументацию.
Идейные трудности не всегда негативны. Именно благодаря такой трудности Бенедетти допускает возможность движения в среде без сопротивления и, следовательно, возможность существования пустоты. Эта двойственная возможность сама по себе приводит к очень интересным заключениям: в пустоте, где нет ни сопротивления, ни относительной плотности, скорости падения тел различного «состава» соответствуют их удельным весам; тела одинакового «состава» имеют одну й ту же скорость, независимо от их формы и размеров.
Для того чтобы завершить характеристику вклада Бенедетти в науку, 78 следует продолжить перечень его критических замечаний в адрес Аристотеля. То, что мэтр называл «естественным» движением, происходило тем быстрее, чем ближе было движущееся тело к своей цели, т. е. к своему «естественному месту». Тарталья, полностью порвав, как мы видели, на практике с этой концепцией, по крайней мере, поддерживал утверждение о формальной эквивалентности между приближением к terminus ad quem (конечному положению) и удалением от terminus a quo (начального положения). У Бенедетти разрыв с представлениями Аристотеля становится явным и связан с учением об импетусе. Ускорение при падении вызвано действием последовательных импетусов, непрерывно порождаемых «движущим началом» в процессе самого движения по мере удаления движущегося тела от начальной точки. Заслуга Бенедетти состоит в том, что, приняв вслед за Оретйом то понятие ускорения, к которому подводили Стратон из Лампсака, Иоанн Филонов, Жиль Романский и Уолтер Барли, он тем самым решительно высказался за введение й учение о движении такой переменной величины, значения которой отсчитываются от terminus ad quo. Это был важный шаг на пути к созданию рациональной теории.
Но Аристотель допускал ошибки не только в своем учении о «естественном» и «насильственном» движении тяжелого тела. Он выдвигал и более абстрактные положения, которые Бенедетти также оспаривал. Рассмотрим прямую, которая движется вокруг некоторой точки А и пересекает некоторую неподвижную прямую D в точке С, причем точка А не лежит на этой прямой (рис. 7). Если точку С непрерывно перемещать сколь угодно далеко, подвижная прямая будет вращаться вокруг точки А, приближаясь, но никогда не достигая
прямой А, проведенной из А параллельно прямой D. Пересечем прямые D и А их общим перпендикуляром, не проходящим через А, и пусть R — точка его, в которой он пересекает прямую A, a Z — точка, в которой он пересекает прямую АС. Тогда точка I (см. рис. 7) будет сколь угодно близко приближаться к R, но никогда ее не достигнет. Следовательно, Аристотель ошибался, отрицая, что точка может двигаться по прямой бесконечно долго.
Тем более он был неправ, создав эту призрачную media quies. Чтобы это показать, Бенедетти рассматривает две геометрические схемы. Первая из них это система шатун-кривошип, в которой точка на прямой перемещается вперед и назад, так как она связана посредством стержня с точкой, безостановочно движущейся по окружности. Вторая заимствована из традиционных объяснений обратного движения планет,— об этом говорит он сам. Видимая прямая, которая соединяет неподвижную точку с точкой, находящейся в непрерывном круговом движении, перемещается вперед и назад между двумя крайними положениями. Ее пересечение с некоторой неподвижной прямой дает возвратно-поступательное движение без media quies. Было бы преувеличением утверждать, будто Бенедетти математически доказал, что нет этого серьезного затруднения, которое Аристотель воздвиг на пути механиков (нам еще нужно будет вернуться к этому пункту вследствие его важности). Он просто интуитивно чувствовал, что некоторые проблемы, подобные только что рассмотренным, могут быть связаны с геометрией движения, рассматриваемого независимо от его физических причин, т. е. с тем, что мы называем кинематикой.
Творчество Бенедетти в конечном счете представляется лишь вехой на пути, который ведет к классической механике, и вклад его в науку весьма мал. Тем не менее оно было важным этапом на этом пути, и очень поучительно, поскольку указано, что надо было преодолеть, чтобы раскрылись действительно новые перспективы.
8. Препятствие в виде media quies — одно из наиболее замечательных с этой точки зрения. Созданное греческой мыслью (Аристотель- и Платон), чтобы заполнить промежуток между двумя противоположными и следующими друг за другом движениями и обеспечить их последовательность, это представление о необходимости промежуточной точки покоя тесно связано с трудностью понимания и объяснения непрерывности как движения, так и связанных с ним величин. Именно поэтому оно заслуживает особого внимания.
По-видимому, уже давно среди самих схоластов раздавались голоса против этой концепции, связанной с аристотелевской традицией. Мы узнаем об этом из рукописи Роджера Бэкона (XIII в.), который приводит аргументы этих неизвестных авторов с целью опровергнуть их. Эти аргументы с небольшими изменениями повторяются у Ричарда Миддлтона (вторая половина XIII в.) в сочинении, опубликованном в 1591 г. А именно, если дать большому грузу опуститься навстречу очень легкому телу, брошенному снизу вверх, можно не сомневаться в том, что соударение не окажет Никакого действия на падение груза. А это пример, противоречащий утверждению Аристотеля: восходящее движение очень легкого тела без всякого промежуточного этапа сменяется его движением вниз вместе с грузом. Методика, лежащая в основе этого мысленного эксперимента, весьма характерна: она показывает, что авторы того времени не были в состоянии видеть различие между точкой зрения динамики и точкой зрения кинематики и рассматривать движение независимо от причин, его вызывающих. Эта неспособность еще в середине XVII в. сказывалась при решении проблемы сложения скоростей. Не следует осуждать ее слишком поспешно.
Если Бенедетти еще до распространения работы Миддлтона, как мы только что видели, предложил схемы кинематического типа для того, чтобы поколебать авторитет media quies, то возникает вопрос: в какой мере он мог рассчи-
79
80
тывать на поддержку своих взглядов. Система шатун-кривошип, которая имела столь важное значение в развитии техники и появилась одновременно с маховиком, в действительности упоминается уже в 1405 г., в работе Конрада Кайзера «Беллифортис». Далее, в трактате Франческо ди Джорджо об использовании маховика для пил и насосов, опубликованном в 1470 г., рассматривается маховик, уже снабженный шарами, играющими роль регулятора. Наконец, Леонардо да Винчи, испробовав вначале другое решение (несомненно, из-за трудностей, связанных с закреплением деталей, совершающих возвратно-поступательное движение, и их сборкой при вращательном движении), вновь вернулся к маховику, который изображен в его «Codex Atlanticus» (f. 281), и напоминает инструменты, известные нам с детства. Маховик, регулятор с шарами — все это показывает, что исследователи очень давно понимали трудности, связанные с преобразованием прямолинейного колебательного движения в непрерывное вращательное и наоборот с помощью системы шатун-кривошип. В такой системе имеются так называемые «мертвые точки», и всякий, кому довелось нажимать на педаль старой швейной машины или точильного станка, испытывал это на практике. Без маховика эти «мертвые точки» очень трудно найти. Невозможно себе представить, чтобы Бенедетти — математик Савойского герцога, который благодаря своему положению был в курсе всех технических проблем, не знал таких общеизвестных истин. То, что он не говорит об этом ни слова и не принимает во внимание такие данные повседневной практики, бросает некоторую тень на возражения его Аристотелю и означает, что он еще далеко не вполне овладел своим-предметом.
Но, как было указано, Галилей в своем трактате «De motu», написанном около 1597 г., шаг за шагом следовал за Бенедетти, и перед нами возникает следующий вопрос: как сам «отец новой механики» воспринимал отрицание media quies? Галилей в своем доказательстве рассматривает тело, брошенное вертикально вверх, которое падает после того, как достигнет максимальной высоты. Если в наивысшей точке, в которой virtus impellens (движущая " способность) равна «тяжести», тело останавливается, то это явление имеет некоторую длительность cd. Так как в начальный (с) и конечный (d) моменты этой длительности «тяжесть» одна и та же, то в момент d «virtus» должна быть равна «тяжести». Отсюда следует, что механические условия для тела в моменты с и d должны быть одинаковы, и состояние покоя должно продолжаться в течение еще некоторого времени, равного cd, и т. д. Таким образом, состояние покоя будет продолжаться неопределенно долго, а это абсурд. Это доказательство отчетливо показывает, насколько изменился дух времени и продвинулась теория в трактовке фундаментальных и тонких вопросов. Но мы видим все же, насколько это далеко от той абстрактной точки зрения, которая опирается только на кинематику. В этом случае Галилей не следует по пути, указанному Бенедетти.
Следовательно, искать в конце XVI в. нечто более определенное, чем просто «подкоп» под media quies, следует не у Галилея. Нечто лучшее мы находим в анонимном трактате под названием «Комментарии Коимбрской коллегии ордена иезуитов к восьми книгам «Физики» Аристотеля» г. Он опубликован в 1593 г. и несколько раз переиздавался в начале XVII в. в различных крупных городах Европы.
В первом вопросе VIII книги этого интересного трактата замечательным образом выражен основной довод, на который можно было бы сослаться в пользу media quies: в той воображаемой точке, в которой движущееся тело перестает совершать одно движение и начинает совершать другое, оно в то же самое время пребывает как в состоянии tanquam in fine (как в конце)
* «Commentarii Collegii Conembricensis Societatis Jesu in octo libros Physicorum Aristotelian. Coimbra, 1593.
так и в состоянии tanquam in principio (как и в начале). Это не может происходить в один и тот же момент, in eodem inst.anti. Что-то должно отличать и отделять terminus ad quem первого движения от terminus a quo движения, которое следует за ним. Эти два движения не могут находиться в состоянии «непрерывного перехода друг в друга» (inter se continui). Возражения и ответы на возражения, которые редакторы сочли уместным изложить, не наделены в равной мере ясностью и силой. Настоящее же опровержение (delutio) аристотелевского аргумента дается во втором вопросе, «De inceptione et desinitione rerum» («О возникновении и запинании вещей»). Заимствуя у «философов» терминологию, которую Дюгем счел лишенной интереса, автор текста своеобразно пользуется ею для различения двух способов, которыми нечто может начать и закончить существование.
Incipere per primum sui esse («начинаться сперва из самого себя») характеризует такое начало «процесса из себя», которому ничто непосредственно не предшествует. Incipere per primum sui non esse («начинаться сперва не из самого себя») означает начало процесса, при котором то, что в нем проявляется, существует непосредственно раньше. Именно этим последним способом начинается все, что характеризуется последовательностью: время, движение и т. п. Время и движение не могут пребывать мгновенно. Нет ни первого, ни, впрочем,последнего мгновения, в котором они пребывают. Следовательно, им присуще начинаться в соответствии с incipere per primum sui non esse и заканчиваются они аналогично per ultimum sui non esse («окончанием не из себя»). Итак, движущееся тело не находится актуально в точке перехода от одного движения к другому, как этого хотел бы автор критикуемого анализа. Ни terminus ad quem, ни terminus a quo не сосуществуют в движущемся теле. Теперь мы сказали бы: рассматриваемая точка, в которой одно движение сменяется другим, не является замыканием ни для того, что кончается, ни для того, что начинается.
Итак,, именно в зтом анонимном трактате сквозь его схоластический язык мы видим, как XVI в. на своем исходе расстается с media quies и как вместе с тем непрерывное время и непрерывное движение начинают обретать структуру открытых интервалов. Это, собственно, и является высшим достижением.
9. Нельзя закончить наш обзор примечательных трудов и идей XVI в., не упомянув двух имен, которые, как и только что рассмотренная работа, показывают, что не следует считать роль итальянской школы исключительно большой.
Доминик Сото — испанец, получивший образование главным образом в Парижском университете. После своего возвращения в Алькалу в 1520 г. он поступил в орден доминиканцев. В своих «Вопросах, относящихся к книгам «Физики»» 1 он пытается примирить традиционное аристотелевское учение с учением об импетусе. Но только в посмертно изданном труде «Вопросы богослова ордена ораторианцев к восьми книгам «Физики» Аристотеля» 2 он соединяет воедино качественное рассмотрение падения тел и рассмотрение «униформно-дифформного» движения. Пользуясь той же самой терминологией, которую Орем и Оксфордская школа применяют в теории «широт форм», Доминик Сото, различает, однако, два типа «униформно-дифформного» движения: одно из них таково по отношению к движущемуся телу, другое — по отношению к времени. «Именно этот последний тип присущ телам, движущимся естественным движением, а также брошенным телам».
К сожалению, это утверждение, которое более чем на полстолетия предвосхищает открытие постоянного ускорения силы тяжести, не включено в достаточно доказательный контекст, и то, что должно было принести славу авто-
81
1 D Soto. Quaestiones in libros Physicorum. Salamanka, 1545.
2 D. Soto. Theologi ordlnis praedicatorum super octo libri Physicorum Aristotelt Quaestiones. Salamanka, 1572.
6 История механики
ру, осталось загадкой. Это было нечто, подобное гениальному прозрению, но не имело будущего, так как в его время, по-видимому, никем не было воспринято.
Фламандец Симон Стевин пользовался значительным влиянием в начале XVII в., когда его труд «Статика твердых тел и жидкостей»1 получил широкое распространение благодаря латинскому переводу («Памятная книга по математике» 2, 1608 г.) и французскому переводу Альберта Жирара (1634 г.) 3. У этого автора второй половины XVII в. речь уже идет не о реформе схоластики. Он стоит на позиции Архимеда, и традицию, которая связывает объяснение закона рычага с рассмотрением скоростей или виртуальных перемещений его концов, он осуждает самым явным образом. Попытка Стевина построить статику как самостоятельную науку самым действенным образом способствовала возрождению в математической форме умозаключений механического характера, относящихся к простым машинам. Он не удовлетворился аксиоматикой рычага. Вслед за Леонардо и Кардано, которого он, без сомнения, читал, Стевин поддерживал тезис о невозможности вечного движения и весьма оригинально использовал это утверждение в своем доказательстве закона движения тела по наклонной плоскости и следствиях из принципа Архимеда в гидростатике.
Однако ценность этих «доказательств» незначительна. Легко допустить, что цепь, проходящая вокруг призмы, одна из плоскостей которой горизонтальна, не придет в движение (если она приведена в движение, то движение должно быть вечным вследствие постоянного воспроизведения одних и тех же начальных условий). Но так как автор не имеет никакого понятия о механической связи, то ему весьма трудно получить какие-либо выводы из рассмотрения равновесия цепи.
«Это чудо — не чудо» — таков девиз, который Стевин выписал цепью на фронтисписе своей работы, несомненно желая подчеркнуть, что он логически объяснил факт и устранил из науки «чудесный» характер свойств рычага. Следует признать, что эта формула не вызывает у нас такого энтузиазма, как у ее автора. Знакомясь с ней, мы прежде всего видим, что не требует чуда «доказательство» фактов, заранее известных из многовекового опыта человека — мастера (homo faber).
10. Подведем некоторые итоги. Характерные черты в направлении развития новой и позитивной механики, которые мы пытались установить, связаны с достижениями в духе настоящей «математической философии». За теми, кто к ней стремился и чьи имена история сохранила, вырисовывается безымянная толпа современников. Труды и успехи человеческого разума в борьбе с действительностью — дело коллектива, как, впрочем, и те специфические компоненты мышления, которые в любую эпоху и на любом пути становятся препятствием для великих людей. Все это не умаляет роли великих. Без них не хватило бы дрожжей, чтобы тесто поднялось. Но тесто всегда поднимается так, что наша склонность к упрощенным представлениям нас подводит. Зарождение в XVI в. новой науки — механики — убедительное тому свидетельство.
1 «The Principal Works of Simon’Stevin», v. 1. The Mechanics, text and English transl. of E. I. Dijks-terhuis. Amsterdam, 1955.
2 S. Stevln. Hypomnemata mathematics. Lugduni Batavorurn, 1608.
• S. Stevin. Les oeuvres mathOmatiques. Lugduni Batavorum, 1634.
5
Становление классической механики (XVII в.)
1. /Становление классической механики — однаизсоставных частей того, что принято называть научной революцией XVII в.ИЗ свою очередь научная революция XVII в.— одна из составляющих длительного и во многом мучительного перехода от феодализма к капитализму. Конечно, было бы бесплодным упрощенчеством истолковывать научные исследования той эпохи как выполнение определенного и осознанного социального заказа: преломление общественных процессов в индивидуальном творчестве происходит, как правило, весьма сложным образом. К тому же наука развивается по законам наследственного процесса: ее дальнейший ход определяется не только ее состоянием и общественными условиями в данный момент, но и предшествующей историей. Если бы удалось сформулировать закономерности развития науки на языке математики, то они были бы записаны не в виде дифференциальных, а в виде интегро-дифференциальных или интегральных уравнений, как в случае, скажем, магнитного гистерезиса. Уже поэтому направленное против марксистов заявление Александра Койре, что Россия Николая I не может объяснить Лобачевского, как Флоренция XVI—XVII вв. не может объяснить Галилея, явно бьет мимо цели. Но достаточно очевидно, что вне России первой половины XIX в. нельзя понять деятельность Лобачевского, хотя открытие неевклидовой геометрии могло быть сделано и действительно было сделано независимо и вне России. И столь же очевидно, что вне Флоренции и Италии XVI—XVII вв. нельзя понять деятельность Галилея, хотя его открытия могли быть сделаны и отчасти были сделаны независимо и вне Италии х. Об этом следует еще раз напомнить здесь, где изложение по необходимости ограничивается почти исключительно фактами истории механики и их анализом.
2. f Классическая механика формировалась в ходе решения сравнительно небольшого числа проблем. Среди них первой по давности была проблема законов падения.^К&к падает свободно опущенное тело — этот вопрос, как мы видели, занимал ученых и в течение всего предыдущего периода. Он тесно связан с проблемой о движении тела, брошенного под углом к горизонту, т. е. с задачей внешней баллистики. Развитие артиллерии (применение пороха в военном деле в Европе восходит к XIVb.) придавало этой задаче особое значение и, несомненно, поддерживало интерес к ней. Но историческое здесь совпадает с логическим — продвинуться в решении баллистической задачи можно было, только выяснив, как происходит свободное падение тел.
Значительная часть трудов Галилео Галилея посвящена этому вопросу. Мы не можем восстановить полностью путь, пройденный Галилеем; нам
1 См. Б. Г. Кузнецов. Галилей. М., изд-во «Наука», 1964.
6*
известны достоверно только отдельные этапы. В 1589 г., двадцати пяти лет от роду, Галилей занимает кафедру математики в Пизанском университете. В нашем столетии поставили под сомнение достоверность рассказа Вивиани («последнего ученика» Галилея) о наблюдениях своего учителя над падением тел со знаменитой наклонной Пизанской башни. Но и сам Галилей на склоне лет отмечал, что он был усердным экспериментатором, и указывал на неоднократно проведенные им наблюдения над падением тел, не упоминая, однако, о Пизанской башне. Во всяком случае средства, которыми он располагал для измерения промежутков времени, не могли позволить ему прийти в то время к определенным результатам. Это доказывает неопубликованный в свое время трактат Галилея «О движении» (1592 г.). В этом же году Галилей из-за разногласий со своими коллегами по Пизанскому университету — аристотелианцами — перешел в Падуанский университет, во владениях Венеции, которая была тогда политическим врагом Римского папы./В трактате Галилей еще далек от правильного решения: тело, брошенное по вертикали вверх, движется вследствие сообщенного ему импетуса, пока импетус, расходуясь, превышает «естественное стремление» (conatus) тела двигаться 84 вниз; там, где импетус и «конатус» становятся равными, тело меняет направление движения и, так как импетус постепенно уменьшается, скор/эсть тела возрастает; наконец, когда импетус израсходован полностью, тело падает с неизменной скоростью, соответствующей его весу. Если же тело падает из положения покоя, происходит то же самое, ибо оно обладает каким-то остатком импетуса, сообщенного телу при его перемещении снизу в это положе-ние. ^Помимо этого использования теории импетуса, в том же трактате излагается критика некоторых положений аристотелевской «Физики».
Следующий известный нам этап относится к. 1604 г. В письме к Паоло Сар-пи, одному из венецианских друзей Галилея,/сформулировано утверждение, что пространства,'проходимые падающим телом, относятся как квадраты соответствующих времен. Доказательство же (оно также дошло до нас) основано на принятой Галилеем аксиоме, что скорость у тела растет пропорционально пройденному расстоянию s. Галилей приходит к правильному результату
sx : s2 = ii: t2, (1)
исходя из неверного допущения, что
г?1 : га = : s2, (2)
потому что в ходе рассуждений он заменяет последнюю пропорцию другой:
г'1: (3)
Исправление принадлежит самому Галилею: в 1609—1610 гг. он исходит уже из зависимости (3) и корректно получает (1)/ Это третий, но еще не заключительный этап его доказательства.
3. Как работал Галилей над проблемой падения тел эти шестнадцать лет, с 1592 до 1608 г., мы не знаем и, видимо, не узнаем. И все-таки можно утверждать, что за это время он должен был выполнить работу, исключительно важную и трудную, и открытие закона (1) было только одним из ее результатов. Укажем остальные. Прежде всего|Галилей с полной ясностью расчленил те два фактора, которые одновременно действуют при падении тел: то, что заставляет все тела стремиться к общему центру всех тяжелых тел, т. е. к центру земного шара, и сопротивление среды, в которой движется падающее тело.[Что, собственно, представляет собой первый фактор (тяготение, по современной терминологии), Галилей не уточняет. По отдельным замечаниям в его трудах и письмах можно сделать вывод, что он допускал гипотезу о магнитной природе тяготения.
Г. Галилей (1564—1642 гг.)
86
Но на том (по нашему счету, четвертом) заключительном этапе исследований Галилея, который зафиксирован в его «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» х, Галилей целиком отвергает традиционный подход, которому он сам следовал, составляя трактат 1592 г. «О движении». «Мне думается,— говорит от имени автора Сальвиати,— что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении 1 2, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений; одни приписывали его приближению к центру, другие — постепенному частичному уменьшению сопротивляющейся среды, третьи некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассматривать, что, однако, принесло бы мало пользы. Сейчас для нашего автора (г. е. для Галилея.— И. П.) будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения), приняв, что моменты скорости, начиная с перехода к движению из состояния покоя, идут, возрастая в том же простейшем отношении, как и время, т. е. что в равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости. Если окажется, что свойства, которые будут доказаны ниже, справедливы и для движения естественно и ускоренно падающих тел, то мы сможем сказать, что данное нами определение охватывает и указанное движение тяжелых тел и что наше положение о нарастании ускорения в соответствии с нарастанием времени, т. е. продолжительностью движения, вполне справедливо» 3.
Итак, перед нами чисто кинематическая трактовка проблемы. Основываясь на этом, Эрнст Мах ставил Галилею в заслугу до, что он якобы вообще искал ответа на вопрос как, а не на вопрос почему. Напротив, в свое время Декарт, познакомившись с «Беседами», нашел в них тот существенный недостаток, что, так сказать, внутренний механизм тяготения остается нераскрытым. Иными словами, Декарт не был удовлетворен тем, что у Галилея есть только как, но не почему. Мах в XIX в. был неправ, приписывая мудрому самоограничению Галилея принципиальный характер, неправ был в XVII в. и Декарт, который считал, что он-то может объяснить, что такое тяготение. Но мы еще не раскрыли всего, что содержится в «кинематической» трактовке Галилея. Опытами и рассуждениями, которые приведены в «Беседах» (см. там же «День первый» и «День третий»), Галилей опровергает воспринятое средневековой наукой положение Аристотеля, что скорость падения однородных тел пропорциональна их весу, опровергает и представление Аристотеля о сопротивлении среды. Он устанавливает, можно сказать, предельным переходом от данных наблюдения и опыта «принцип, согласно которому в пустоте или же в среде, по другим каким-либо причинам не оказывающей сопротивления, замедляющего движение тел, скорость падения всех тел одинакова...»4 *. И |сопротивление среды качественно вполне верно проанализировано Галилеем как все возрастающее с возрастанием скорости, «так что, в конце концов, скорость доходит до такого предела, а сопротивление среды до такой величины, что они уравновешивают друг друга, упраздняя всякое приращение и превращая движение тела в однообразное и равномерное, которое оно и сохраняет в дальнейшем» 6. Как видим, «кинематическая» абстракция Га
1 Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению. — Избранные труды, т. 2. м., изд-во «Наука», 1964. Далее цитируем как «Беседы».
! Т. е. увеличения скорости при падении. — И. П.
3 «Беседы», стр. 243—244.
4 Там же, стр. 184.
• Там же, стр. 240—241.
лилея — результат такого динамического анализа.-И только когда благодаря этой «кинематической» абстракции было раскрыто, как проявляет себя та сила, которая естественно присуща всем телам, доступным человеку в его повседневном опыте,— сила тяжести^— понятие сиды у продолжателей дела Галилея могло приобрести достаточную общность и точность.
4. Но не только для динамики — и для кинематики результаты Галилея в задаче о падении тел имели первостепенное значение. Мы имеем в виду не формулы, а физические представления и понятия. В «Беседах» Сагредо доброжелательный собеседник Сальвиати (а последний излагает взгляды Галилея) выдвигает следующее возражение: «Если тяжелое падающее тело выходит из состояния покоя таким образом, что скорость его увеличивается пропорционально времени, истекшему от начала движения, то отсюда следует, «благодаря возможности делить время без конца», что тело должно двигаться с любой степенью скорости или любой большой степенью медленности, выходя из состояния покоя. И надлежит признать, что для промежутков времени, все более близких к моменту выхода тела из состояния покоя, мы придем к столь медленному движению, что при сохранении постоянства скорости тело не пройдет мили ни в час, ни в день, ни в год, ни даже в тысячу лет; даже в большее время оно не продвинется и на толщину пальца,— явление, которое весьма трудно себе представить, когда наши чувства показывают, что тяжелое падающее тело сразу приобретает большую скорость» Ч
Начиная свой ответ, Сальвиати признает, что это одно из тех затруднений, которые первоначально смущали и его. Действительно, средневековой науке были хорошо известны трудности, связанные с понятием непрерывного изменения и, в частности, непрерывного движения. Поэтому очень сильна была тенденция избегать введения непрерывности. Галилей, вводя в механику континуальные представления, действовал со смелостью, которую нам уже трудно оценить. Опирался он на данные опыта. Не имея возможности измерять весьма малые промежутки времени, Галилей блестяще выходит из затруднения, оценивая малые скорости при падении с малых высот по отпечаткам, оставляемым падающим телом на каком-нибудь мягком веществе. «Так как действие удара находится в зависимости от скорости падающего тела, то кто может сомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость минимальна, если действие удара совершенно не заметно?»1 2. Но та же истина устанавливается Галилеем рассуждением «по непрерывности».
Современникам, даже тем, кто соучаствовал в развитии механики, было не так-то легко примириться с континуальными представлениями Галилея. Они вызвали сомнения у Бонавентуры Кавальери, выдающегося математика, одного из последователей Галилея. С ними не мог вполне примириться Мер-сенн; Декарт в 1638 г. заявил, что он считает утверждение Галилея о «прохождении падающего тела через все степени скорости» не всегда верным, а в 1639 г. он решительно отвергает представления Галилея: «Ибо следует знать, что бы ни говорили против этого Галилей и некоторые другие, что тела, начинающие падать или двигаться..., вовсе не проходят через все степени медленности, а имеют с первого момента определенную скорость, которая затём значительно возрастает» 3. '
Лишь постепенно на сторону Галилея в этом вопросе переходят его последователи в Италии, молодой Гюйгенс отстаивает перед Мерсенном концепцию Галилея, успехи новой механики понемногу заставляют забыть о «парадоксах континуума», которые затрудняли для современников Галилея усвоение его идей. Смелость Галилея тем более значительна, что «лабиринт кон
87
1 «Беседы», стр. 240—241.
2 Там же.
а Письмо Декарта к Мерсенну от 25 декабря 1639 г. Oeuvres de Descartes, publides par Ch. Adam, et P. Tannery, t. II. Paris, 1899.
88
тинуума», как выражались схоласты, был ему хорошо известен — достаточным доказательством является «День первый» «Бесед». Но Галилея вела вперед практика — подтверждение выводов из его теории опытом и наблюдением. В конце века Лейбниц будет упрекать Галилея за то, что тот не развязал узел «парадоксов континуума» (Лейбниц имел в виду формально-логическое разрешение этих парадоксов), а разрубил его. Но именно в этой смелости движения вперед и в безбоязненном формировании новых понятий, адекватных новому опыту,— одна из великих и революционных заслуг Галилея.
5. В связи с тем же утверждением о «прохождении через все степени скорости» Симпличио, представитель традиционных представлений в «Беседах», тоже возражает Сальвиати — Галилею: степени все большей и большей медленности бесчисленны, поэтому они никогда не могут быть исчерпаны; таким образом, брошенный вверх камень никогда не пришел бы в состояние покоя, но пребывал бы в бесконечном, замедляющемся движении, чего, однако, в действительности не бывает. Ответ Сальвиати примечателен: Симпличио был бы прав, если бы тело двигалось с каждой степенью скорости некоторое определенное время, но тело только проходит через эти степени, не задерживаясь более чем на мгновение; а так как в каждом, даже самом малом, промежутке времени содержится бесконечное множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множеству уменьшающихся степеней скорости. Этот ответ разъясняет понятие мгновенной скорости, к которому, как мы видим, Галилей был приведен логикой исследования. Конечно, этим понятием пользовались и в средние века, притом в достаточно общем виде — применительно к изменению любой «формы», любого «качества», но Галилей показал необходимость введения этого понятия в механику. То, что у его предшественников было метафизикой, т. е. было «за физикой» и вне физики, у Галилея было физикой,, и ставить здесь знак равенства — значит смещать и исторические и логические планы.
6. Вообще в современной историко-научной литературе есть определенная тенденция преувеличивать значение средневекового наследия для деятелей научной революции XVII в. Конечно, схоласты рассматривали понятия разрывного и непрерывного, конечного и бесконечного, но преимущественно в связи с философскими проблемами и анализом процесса движения в весьма абстрактной постановке. Не имея удобного языка математических обозначений и не прибегая сколько-нибудь систематически к эксперименту, ученые XIV в., которым сейчас придается особенно большое значение, оперировали в сущности тем же материалом, который был в распоряжении античной науки, и наталкивались на те же трудности. Как по этой причине, так и в силу влияния деятелей раннего Ренессанса, сместивших центр тяжести научных интересов из области натурфилософии в область гуманитарных дисциплин, интерес к такой проблематике ослабевает. Новое обращение к ней у Галилея связано с новыми постановками физических проблем, ответы даются с помощью новых методов. Неудивительно, что Галилей не упоминает своих схоластических предшественников.
Выше упоминалось о том, что fas зависимости v = kJ Галилей получил закон s — k2t2. Сам вывод представляет графическое интегрирование соотношения ds/dt = kJ, причем результат интегрирования сначала формулируется в виде теоремы х: время, в течение которого тело, выведенное из состояния покоя и движущееся равномерно-ускоренно, проходит некоторое расстояние, равно времени, в течение которого это же расстояние было бы пройдено тем же телом при равномерном движении, скорость которого равняется половине величины наибольшей конечной скорости, достигаемой при первом равномерно-ускоренном движении. Эта «Мертонская теорема», выражающая общее
1 «Беседы», стр. 248.
свойство равномерно-ускоренного движениядсм. гл. III), встречается в средневековых трактатах и в печатных изданиях XVI в., в последних, по подсчету Маршалла Клагетта, не менее семнадцати раз Ч Вероятнее всего, что Галилею были известны некоторые его предшественники (он их не упоминает, может быть, потому, что их было немало). Но это никак не делает его должником схоластов: вычисление путем графического интегрирования площади треугольника и выражение этой площади через среднюю линию и высоту — такая математика была более чем элементарной для автора работы о вычислении центров тяжести тел, которую Галилей написал в возрасте 21—22 лет и где он продемонстрировал владение интеграционными методами Архимеда 1 2. Основной смысл его рассуждений состоял в том, чтобы утвердительно ответить на вопрос, который ставит в «Беседах» Симпличио 3. Он соглашается с доказательством сформулированной выше теоремы при условии, что принято указанное определение равномерно-ускоренного движения, т. е. закон скоростей : г2 = Ч • «Но действительно ли таково ускорение, которым природа пользуется при движении тяжелых падающих тел, остается для меня сомнительным,— продолжает Симпличио,— поэтому для поучения меня и других, мне подобных, не мешало бы теперь привести несколько опытов из 89 числа многих проделанных, которые показали бы, что различные случаи падения тел совпадают со сделанными заключениями». И, разумеется, Симпличио сразу удостаивается похвалы: Сальвиати находит, что Симпличио как подлинный ученый предъявляет совершенно основательное требование: «оно особенно уместно в отношений таких наук, в которых для объяснения законов природы применяются математические доказательства; ... в них опыт, воспринимаемый чувствами, подтверждает принципы, являющиеся основой для всех дальнейших построений» 4.
И дальше следует изложение результатов наблюдений за движением тел по наклонной плоскости, опытов, показавших при их повторении сотни раз, что отношение пройденных расстояний равно отношению квадратов времен их прохождения при всех наклонах плоскости.
Методика Галилея, конечно, принципиально отличается от методики, господствовавшей в средневековой науке 5 * *. -Принципы должны быть подтверждены опытом, на основе принципов математическими средствами возводятся дальнейшие построения; а как же получить сами принципы? В «Рассуждении о телах, пребывающих в воде, и о тех, которые в ней движутся» 8 (1611 г.) Галилей говорит о своем методе как о приведении причин явлений к внутренним и непосредственным принципам. И эти внутренние и непосредственные принципы надо искать не умозрительно. Ведь «День первый» «Бесед» начинается с заявления, что обширное поле для размышления дает пытливым умам деятельность знаменитого венецианского арсенала, особенно в области, касающейся механики. За этим следует похвальная оценка познаний и остроты мысли мастеров, работающих в арсенале. Многое из того, что можно там увидеть, кажется изумительным, даже невероятным, и пониманию этого мало помогает сказанное кем-либо из древних. Более того, ссылки на их авторитет совершенно бесполезны.
Таким образом, Галилей объединяет в своей методологии и в своем творчестве две традиции: традицию техническую (традицию ремесла) и традицию университетскую (традицию чистой науки). В течение своего падуанского периода (с 1592 до 1610 г.) он приобретает известность прежде всего своими
1 М:. Clagett. The gcienee of mechanics in the Middle Ages. Madison, 1959, p. 632.
! См. «Беседы», Приложение, стр. 347—365, прим, на стр. 468.
» Там же, стр. 252—253.
4 Там же, стр. 255.
6 Это не означает, что в этих вопросах у него не было предшественников в течение средневековья (Род-
жер Бэкон, Гроссетест, не говоря уж о Леонардо да Винчи).
Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 39—107.
изобретениями; он составляет для своих учеников наставления по космографии, по механике, по фортификации, и похвала мастерам венецианского арсенала основана, конечно, на данных личного общения с ними. Не будет преувеличением сказать, что он представлял передовую инженерную мысль своего времени. И заодно он был полноправным представителем университетской науки, владея всеми средствами современной ему математики, зная Аристотеля не хуже закоренелых аристотелианцев и обладая философской и филологической культурой заправского гуманиста. Только сочетание всех этих качеств с силой его физического мышления позволило Галилею свершить его великое дело. Но оно было бы сделано и без Галилея людьми, менее одаренными, позднее и по частям, потому что для этого были подготовлены необходимые средства и существовали те социальные условия, в которых могла и должна была сформироваться наука Нового времени и одна из самых важных ее частей — классическая механика.
7. Одним из подтверждений сказанного является тогк чему пришел в проблеме падения тел Исаак Бекман, голландец, после изучения теологии в Лейденском и Сомюрском университетах ставший предпринимателем и инже-90 нером. Затем он изучает медицину, в 1618 г. получает степень доктора, с 1619 г. он заместитель ректора Латинской школы в Утрехте и заканчивает свой жизненный путь ректором такой же школы в Дордрехте. Бекман ничего не печатает, но сохранился его дневник, найденный в 1905 г. К. де Бардом и ставший теперь общедоступным; он издан в четырех томах х. И у Бекмана мы находим тот же закон нарастания скорости падающего тела, к которому пришел Галилей: : г?2 — tr ' t2. Бекман ставит перед Декартом (в пору их личного общения, 1618—1619 гг.) задачу: определить закон изменения расстояний. Декарт в своих дошедших до нас записях (характера дневника) повторяет ошибку Галилея, рассуждая так, как если бы имела место пропорция : г?2 = : s2> и получает, ценою других ошибок, закон sx : s2 =
(а т 2,4). Однако у Декарта появляется уже треугольник вроде треугольника Галилея, и Бекман, проведя правильно доказательство и получив закон квадратов для расстояний, в своем дневнике отмечает, что это — доказательство Декарта. Добавим, что, по записям Декарта, Бекман так ставил перед ним задачу: камень падает из точки А в точку В в течение часа; камень все время притягивается к Земле с одинаковой силой и не теряет скорости, ранее сообщенной ему притяжением; требуется определить, за какое время будет пройдено такое-то расстояние. И Декарт добавляет попутно: он (т. е. Бекман) считает, что то, что движется в пустоте, движется вечно.
Перед нами весьма своеобразная картина. Как видно, Бекман, с одной стороны, принимал идущее от Аристотеля и прошедшее через средневековье положение, что постоянная сила сообщает телу постоянную скорость, сочетая его с утверждением, что приобретенная скорость сохраняется телом (по крайней мере, в пустоте). Это уже подход к положению, что сила создает изменение скорости, и нечто сходное мы увидим у Галилея. Заодно тут настоящая «комедия ошибок»: правильный закон скоростей у Бекмана, переход к ошибочному закону скоростей (как сначала у Галилея) у Декарта и, тем не менее, вывод Бекманом правильного закона расстояний, приписываемого тем же Бекманом Декарту! Но можно ли отрицать, что результаты Галилея были бы найдены и стали бы известны и без Галилея? Понадобилась бы еще работа, может быть, целого поколения ученых, чтобы отработать все с той же степенью концептуальной отчетливости и физической наглядности, как у Галилея. Но это было бы сделано, раз внимание к проблеме падения тел, в силу ее технического и общефизического значения, не могло ослабеть в западноевропейском обществе XVII в. И были бы поставлены соответствую-
Joumal tenu par Isaak Beeekmann de 1604 й 1639, ed. C. de Waard, t. I—V. La Haye, 1939—1953.
щие эксперименты, как они были поставлены для проверки принципа относительности Галилея.
8. Выше были отмечены этапы, через которые прошел Галилей в поисках законов падения. Мы относим к третьему этапу, приходящемуся примерно на 1609—1610 гг., многое из того, что изложено в «Беседах», написанных гораздо позже. Достаточным основанием для этого являются сопоставления с более ранними сочинениями Галилея, его собственные указания и материалы его переписки. Четвертый этап (о нем уже шла речь в п. 3), датировка которого весьма проблематична, нашел свое выражение в латинском тексте, который создает остов «Дня третьего» «Бесед». Здесь, удостоверившись в справедливости своих исходных положений, Галилей математически выводит из них различные следствия. Это и составляет одну из двух новых отраслей науки, о которых ведутся «Беседы»,— учение о местном движении. В длинной цепи задач и предложений Галилей определяет и сравнивает времена падения тел вдоль вертикалей, вдоль наклонных и вдоль линий, составленных из вертикальных и ломаных отрезков. Кульминацией здесь является следствие из теоремы XXII (она же — Предложение XXXVI 1): «быстрейшее движение от одной конечной точки до другой происходит не по кратчайшей линии, каковой является прямая, а по дуге окружности». Как здесь, так и раньше, в тексте «Дня первого» 2 Галилей придает неоправданную общность Своему результату, но, заканчивая свое доказательство, он выражается вполне точно: чем более вписанная в дугу окружности ломаная приближается к дуге, тем быстрее совершается падение между двумя конечными пунктами ®. Поэтому не вполне справедливо безоговорочно приписывать-Галилею ошибочное утверждение, что дуга окружности является брахистохроной.
Р Исходных принципов нового учения о местном движении не один, а два: помимо допущения закона : v2 = : t2, Галилей в первом издании «Бесед»
выдвигает и принимает следующий принцип: «Степени скорости, приобретаемые одним и тем же телом при движении по наклонным плоскостям, равны между собой, если высоты этих наклонных плоскостей одинаковы»/,— разумеется, если все внешние препятствия и воздействия устранены и нет трения. Это положение, равносильное закону живых сил, обосновывается с помощью опытов. Но в последние годы жизни Галилей, обсуждая с Вивиани выдвигаемые последним возражения, натолкнулся, как он пишет в письме к Кастелли в конце 1639 г., на исчерпывающее доказательство принципа, которое он тут же сообщил нескольким лицам. Записанное Вивиани доказательство появилось в «Беседах» при их переиздании, |в 1656 г., в болонском собрании сочинений Галилея ? Доказательстве—заслуживает—внимания — •эдееь—Гадилеййаиболее близко подошел ко «второму закону Ньютона».
В рассуждениях Галилея 5 прежде всего приводится то положение, которое было им обстоятельно доказано в его старом трактате по механике (об этом см. ниже), а именно: в каком отношении изменяется «импульс» или «момент тела» при различных наклонах плоскости? В данном контексте импульс или момент обозначает силу, речь идет об условии равновесия тела на наклонной плоскости, самостоятельно открытом, точнее переоткрытом, Галилеем. Затем принимается, что'римпульс, энергия, момент или склонность тела к движению равны силе или минимальному сопротивлению, достаточному, чтобы прекратить движение»/ после чего слово «импульс» появляется в таком контексте: при движении (падении) вдоль наклонной плоскости -^каковы будут импульсы первоначального движения, таковы же пропорцио-
91
’ «Беседы», стр. 298—301.
2 Там же, стр. 190.
3 Там же, стр. 300—301.
4 Там же. ‘
• См. там же, стр. 256—258 и прим, к ним.
92
нально будут и степени скоростей, приобретенных в то же самое время...f. Вот тут, казалось бы, имеется нечто равносильное утверждению пропорциональности силы и ускорения- Однако за этим следует противоречащее предыдущим рассуждениям и явно связанное с многозначностью термина «импульс» заявление: «ибо и те и другие (т. е. и скорости, и импульсы) возрастают в одно и то же время в одинаковой пропорции». Но вслед за этим все опять становится на свое место, с точки зрения современного читателя: Галилей заявляет, что импульс тела, движущегося вдоль вертикали АС (рис. 8), относится к импульсу тела, движущегося вдоль наклонной АВ, как АВ относится к АС. Тем самым он переносит в динамику соотношение между силами, установленное в статике,— шаг принципиальной важности. Центральным пунктом в доказательстве является допущение, равносильное положению, что приращение скорости тела (при падении) пропорционально силе (весу), действующей в направлении движения.
Дальше попутного использования этого положения в данном частном случае Галилей не пошел. Быть может, одним из препятствий было то, что Галилей еще следовал принципу однородности, он записывал закон приращения скорости в виде равенства отношений обязательно однородных величин (г?г : v2 = : Z2), а не в виде —- — -^-и, тем более, не в виде v = kt. Таким
образом, ускорение как величина (коэффициент в последней формуле) не было еще, так сказать, индивидуализировано у Галилея, не имело ни особого обозначения, ни названия — само слово «ускорение», применяемое Галилеем и в латинских, и в итальянских текстах (acceleratio, accelerazione), всегда означает у него процесс, т. е. ускорение движения, а не какую-то особую кинематическую величину. У Галилея в список физических понятий, имеющих отношение к рассматриваемому вопросу, входят: а) скорость, б) мгновенная скорость (но при этом скорость не определяется как s : t, а только описывается, так что, например, в равномерном движении для любых двух участков пути их отношения равны отношению соответствующих промежутков времени: : s2 = : Z2); в) ускоренное, в основном равномерно-ускоренное
движение и г) приращение скорости за тот или иной промежуток времени.
При анализе и равномерно-ускоренного движения, и падения тел Галилей не вводит никаких кинематических понятий, кроме участвующих в следующем определении: «равномерно или единообразно ускоренным движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости»1. И как ни прост, кажется нам теперь, переход отсюда к понятию ускорения вообще, тем более, к постоянному ускорению при прямолинейном движении, этого перехода у Галилея нет (ему в «Беседах» он не понадобился), и в общем виде он по ряду причин был проделан намного позже.
1 «Беседы», стр. 240.
9. От анализа падения тел Галилей в «Дне четвертом» «Бесед» переходит к баллистической задаче в ее простейшей постановке: сопротивлецие среды отсутствует, «тяжесть» сообщает телу равномерно-ускоренное движение. Галилей начинает с решения вопроса о траектории тела (материальной точки, по современной терминологии) в сложном движении, слагающемся из равномерного горизонтального движения и «естественно ускоренного» движения, уже изученного им. Складывая перемещения и скорости по правилу параллелограмма, точнее сказать, прямоугольника, он доказывает, что траектория тела в этом движении — парабола,— открытие, сделанное им намного раньше издания «Бесед». Кроме того, несмотря на ограниченность своих математических средств (геометрия в объеме Евклида плюс некоторые свойства параболы), ему удается доказать, что из всех параболических дуг вида bfd (рис. 9) с одинаковой горизонтальной «амплитудой» de (точка d фиксирована, фиксирована и вертикаль сЪ, из точек которой проводятся в d параболические дуги) движению с наименьшей горизонтальной скоростью соответствует дуга, у которой начальная точка находится на высоте, равной половине «амплитуды». Но, как попутно доказывается для такой дуги, касательная к ней в точке d образует с горизонтом угол, равный половине прямого. Отсюда следует, что, обратно, подъем тела по этой параболической дуге из точки d в точку Ь требует, как выражается Галилей, меньшего импульса, чем подъем по дугам, исходящим из d и пересекающим вертикаль выше или ниже точки Ъ. «Далее ясно, что если мы будем бросать тела с одним и тем же импульсом из конечной точки под разными углами, то наибольшую дальность полета... получиуг при наклоне, равном половине прямого угла» Е Кроме этого замечательного результата, Галилей тут же дает основы для вычисления первых теоретических таблиц стрельбы и приводит построенные им таблицы.
Само цо себе это достижение замечательно. Но исторически еще более существенны те общие положения, которыми пользуется в своих выводах Галилей. Сложение двух скоростей, применяемое здесь Галилеем, было не арифметически-алгебраическим, а геометрическим, векторным (в тексте «Бесед» применяется выражение «равен в потенции» в смысле нашего «равен геометрической сумме»). Это подводило к понятию о скорости как направленной величине. Затем это сложение основывалось на независимости действия
93
силы (тяжести) от состояния движущегося тела. Как писал Лагранж в «Аналитической механике», до Галилея силы, действующие на тела, рассматривали только в состоянии равновесия, и Лагранж вполне прав, если учесть, что попытки определить, в чем состоит действие сил на движущееся тело, до Галилея ни к чему не приводили.
Кроме того, так как Галилей складывал скорость «естественного» движения падающего тела и скорость «насильственного» движения, сообщенного телу при броске, то практически снималось различие таких движений, которое отстаивали последователи Аристотеля. Помимо всего этого, в рассматрива-
1 «Беседы», стр. 330.
емой задаче, как и в задаче о падении тела по вертикали, Галилей формулирует закон инерции. Этот закон появляется в тексте «Бесед» впервые в связи с анализом движения тела, падающего по все менее и менее наклонным плоскостям при условии устранения всяких сопротивлений. В «Дне четвертом» этот закон нужен Галилею при постановке задачи: «Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то... движение его является равномерным и продолжалось бы постоянно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца. Если же плоскость конечна и расположена высоко, то тело, имеющее вес, достигнув конца плоскости, продолжает двигаться далее таким образом, что к его первоначальному равномерному беспрепятственному движению присоединяется другое, вызываемое силой тяжести, благодаря чему возникает сложное движение, слагающееся из равномерного горизонтального и естественно ускоренного вниз; его я называю движением бросаемых тел» Е
Однако у Галилея встречаются разные и не равносильные формулировки принципа инерции. В «Беседах» они больше соответствуют позднейшим формулировкам Декарта и Ньютона, и там, в частности, подчеркивается, что 94 «степень скорости, обнаруживаемая телом, ненарушимо лежит в самой его природе, в то время как причины ускорения или замедления являются внешними» 1 2. Однако в «Диалоге о двух главных системах мира» (1632 г.) после разъяснения выводов, вытекающих из рассмотрения наклонных плоскостей с приближающимися к нулю углами наклона, следует заявление: «Но движение по горизонтальной линии, у которой нет ни наклона, ни подъема, есть круговое движение вокруг центра» 3. Так, закон инерции, который можно было бы назвать законом прямолинейной инерции, превращается у Галилея, в порядке уточнения, в закон, так сказать, круговой инерции.
Еще раньше, в «Послании к Инголи» Галилей, обсуждая устройство мира (т. е. Солнечной системы), утверждал, что если небесные тела по природе своей должны двигаться каким-либо движением, то таковым может быть только движение круговое; но невозможно, чтобы природа дала кому-либо из входящих в нее тел наклонность двигаться по прямой 4.
И далее еще более общим образом: «если части Вселенной расположены надлежащим образом, то прямолинейное движение является излишним и неестественным» ®. Оно может быть использовано природой, по Галилею, тогда, когда какое-либо тело насильственно смещено с «естественного места»,— тогда тело, быть может, возвращается к этому месту по прямой, ибо это, как кажется, происходит с частью Земли, отделенной от целого. Галилей подчеркивает слово кажется, ибо он, по его же словам, не чужд мысли, что даже и для такого действия природа не пользуется прямолинейным движением. Итак, инерционное движение у Галилея — это для небесных тел (безоговорочно) движение по кругу, для земных тел («частей Земли») — движение по горизонтальной прямой, которая является хорошим приближением для касательной к ней окружности с центром в центре Земли. Но уже через несколько лет после издания «Бесед» Декарт публикует свои «Начала философии» ®, где он, исходя из постулированного им закона сохранения количества движения и ссылаясь на теологические соображения, утверждает, что каждая частица в природе всегда стремится перемещаться не по кривым, а по прямым линиям. И это правило связано с тем, что Бог неподвижен и сохраняет движение в природе весьма простым способом: не таким, каким оно было в ка
1 «Беседы», стр. 304—305. Последнее название оправдывается у Галилея лишь тогда, когда он «обращает» движение по параболической траектории (см. выше, стр. 93).
2 Там же, стр. 125.
1 Галилео Галилей. Избранные труды, т. I. М., изд-во «Наука», 1964, стр. 282.
* Там же, стр. 93.
‘ Там же.
• R. Descartes. Principle philosophiae. Amstel odmi, 1644.
кой-то момент ранее, а таким, каково оно сейчас, в данный момент. Правда, Декарт ссылается и на то, что камень, выпущенный из раскрученной пращи, летит по касательной к окружности, которую он описывал вместе с пращей. Двойственность в формулировке закона инерции Галилея была устранена тогда, когда был решен вопрос о центробежной силе (Гюйгенс, Ньютон).
10. |Свой принцип относительности Галилей выдвинул в ходе борьбы за учение Коперника.f Кинематическая относительность движений была постигнута античной наукой, но это было только препятствием для признания динамической относительности J В частности, если Земля движется, то с таким же правом можно утверждать, что воздух и брошенное вверх тело движутся относительно Земли, и тот, кто не движется на Земле, должен был бы это заметить. И (баллистический аргумент) пушечное ядро, при одинаковом заряде, должно было бы пролететь к западу не то расстояние, что к востоку. Таковы были весьма серьезные возражения против системы Коперника, возражения, которые сам Коперник не мог обойти молчанием. Галилей полностью их отвергает, утверждая, что прямолинейное равномерное движение неощутимо внутри замкнутой, как сейчас сказали бы, системы. Доказательство дают наблюдения над движениями в закрытой каюте корабля.(Мы приведем это знаменитое описание, впервые данное Галилеем в «Послании к Инголи» и повторенное им в «Диалоге».
|fcB большой каюте под палубой какого-либо крупного корабля закройтесь с кем-либо из ваших друзей: устройте так, чтобы в ней были мухи, бабочки и другие летающие насекомые; возьмите также большой сосуд с водой и рыбок внутри его; приладьте какой-нибудь сосуд повыше, из которого вода падала бы по каплям в другой нижний сосуд с узкой шейкой; и пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте внимательно, как эти насекомые будут с одинаковой скоростью летать по каюте в любом направлении; вы увидите, как рыбки начнут двигаться безразлично в направлении какой-угодно части сосуда; все капли воды, падая, будут попадать в сосуд, поставленный снизу; и вы сами, бросая какой-либо предмет вашему другу, не должны будете кидать его с большим усилием в одну сторону, чем в другую, если только расстояние
95
одинаково; а когда вы начнете прыгать, как говорится, ногами вместе, то на одинаковые расстояния сместитесь по всем направлениям. Когда вы хорошо заметите себе все эти явления, дайте движение кораблю и притом с какой-угодно скоростью; тогда (если только движение его будет равномерным, а не колеблющимся туда и сюда) вы не заметите ни малейшей разницы во всемеро1 что было описано, и ни по одному из этих явлений, ни по чему-либо, что ста
нет происходить с вами самими, вы не сможете удостовериться, движется ли корабль или стоит неподвижно: прыгая, вы будете смещаться по полу на те же самые расстояния, что и раньше, и оттого, что корабль движется чрезвычайно быстро, прыжки ваши не будут длиннее в сторону кормы, чем к носу, хотя за то время, пока вы находитесь в воздухе, пол каюты уходит в сторону, обратную вашему прыжку; а когда вы начнете бросать какой-либо фрукт вашему другу, вам не придется прилагать больших усилий, чтобы добросить его, если ваш друг стоит на корме, а вы на носу, или же если вы оба поменяетесь местами; все капли будут падать в нижний сосуд, и ни одна из них не отстанет к корме, хотя пока капли находятся в воздухе, корабль пробежит несколько ладоней; рыбки в воде не испытают большей трудности, плавая к передней или к задней части сосуда, но одинаково быстро приблизятся к пище, которую вы положите для них в любом месте края сосуда; и, наконец, мухи и бабочки будут продолжать летать безразлично во все стороны; и они никогда не собьются у кормовой части, как если бы им пришлось отставать от быстрого бега корабля, от которого они уже давно были бы отделены, именно за все время, что они двигались в воздухе...»1.
1 Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 85—86.
96
Галилеев принцип относительности дан здесь с полной наглядностью. Но тут же Галилей ставит вопрос о причине всех описанных им явлений, и ответ таков: «Так все происходит потому, что общее движение корабля, будучи передано воздуху и всем предметам, которые в нем находятся, и не являясь противным их естественному устремлению (курсив наш.— И. П.), сохраняется в них неослабно» \
Это значит, что Галилей сводит свой принцип относительности к сложению движений: к добавлению одного общего движения, и это добавочное движение, о котором он знает, что оно должно быть равномерным и не изменяет направления, он характеризует как «не противное естественным устремлениям», т. е. он прибегает к формулировке в духе старой, ниспровергаемой им науки и, возможно, имеет в виду, что добавочное движение совершается в горизонтальной плоскости. Причина, конечно, в том, что у него еще нет динамической меры для силы1 2.
У Декарта нет того четко выраженного принципа относительности, который отстаивал Галилей. Декарт является представителем собственно кинематического релятивизма, утверждая его всеобщность. Согласно общей концепции Декарта, в мире нет пустот, и движения тел происходят путем, так сказать,.обмена положениями. Мы не можем постичь перемещения тела 4, которое было соседним с телом Б, не допуская заодно, что тело В удаляется от соседнего с ним тела А. И в первом теле столько же движения, сколько во втором. Такая трактовка относительности, как у Декарта, не ставила новых проблем. Иное дело у Галилея. Астрономическая революция, начатая Коперником и отстаиваемая Галилеем, лишила Землю ее привилегий — быть в ц|||Гре Мира и оставаться неподвижной. Естественный репер, которым обладали науки о небе и земных явлениях, исчез. Декарт не искал ему замены. Для тех, кто должен был пойти дальше Галилея в количественном анализе механических процессов, в определении сил, влияющих на движение тел, поиск «опорной» системы координат должен был стать принципиальной проблемой. Впрочем, и «универсальная» относительность Декарта была, разумеется, иллюзией. Если всякий выбор системы отсчета допустим, то каков смысл утверждения Декарта, что предоставленное самому себе тело движется прямолинейно (и равномерно)? Ни Декарт, ни его последователи не ставили перед собой такого вопроса. Но (такой комплекс — принцип инерции, абсолютный репер («инерциальная система»), принцип относительности — отныне будет неотъемлемой составной частью истории механики. Подтверждение или опровержение выдвинутого принципа относительности приобрело в науке XVII в. особое значение: это во многом решало вопрос, принять или опровергнуть систему Коперника. Для выяснения этого был осуществлен, пожалуй, самый эффектный опыт века 3: с вершины мачты на галере, шедшей поступательно под всеми парусами, роняли камень, и он, в согласии с учением Галилея, падал к основанию мачты так же, как и на неподвижном корабле.
11. Еще одна важная механическая задача начинает свою историю с Галилея — задача о маятнике. Галилей, по-видимому, первый подметил изохронность колебаний маятника и, как и в задаче о падении тел, дал ту абстрактную схему, в которой сохраняется существенное, характерное для изучаемого явления и устраняется побочное, затемняющее закономерность,— математический маятник. Два пункта остаются неясными до сих пор. Во-первых, Галилей утверждал изохронность колебаний маятника при любой амплитуде,/хотя проделал (по рассказу Вивиани, основанному на сообщенных
1 Галилео Галилей. Избранные труда, т. II, стр. 86.
2 Надо иметь в виду, что в эпоху Галилея, как и позже, в XVIII и XIX вв., те, кто вводили понятие силы, рассматривали силу как нечто субстанциональное (см., например, «Начала» Ньютона).
3 В 1641 г. вблизи Марселя. Инициатором опыта был Гассенди.
ему воспоминаниях Галилея) множество опытов/Галилей опытным путем установил, что ни различие в абсолютном весе, ни разный удельный вес шаров, которые он подвешивал на нити, моделируя математический маятник, не оказывают влияния на изохронность его колебаний, и это верно. Почему он не заметил нарушений изохронности при больших амплитудах? Возможно, потому, что он проводил наблюдения над большими сериями (затухающих) колебаний, когда должно было сказаться преобладание средних и малых отклонений. Второй неясный пункт — как Галилей нашел закономерность: время колебания маятника t пропорционально корню квадратному из его длины I,/которую привел в «Диалоге» и «Беседах». Он руководствовался при этом геометрией и своей новой «наукой о движении», как писал Вивиани в 1659 г. Верно ли это? И, если верно, то остается неясным, как мог Галилей теоретически получить зависимость t ос]/Т.
/От исследований Галилея, посвященных задаче о маятнике, берет начало динамика твердого тела. Реальные маятники, с которыми усердно экспериментировали ученые того времени, явно подчинялись закономерностям, аналогичным тем, которые были установлены для идеализированной схемы — математического маятника/ Но как теоретически осуществить сведение * одной задачи к другой? По-видимому, Мерсенну принадлежит постановка проблемы о законах колебания физического маятника. Декарт, руководствуясь аналогией с центром тяжести, ставит эту проблему как проблему определения центра качания. «..,то, что я называю центром качания подвешенного тела,— пишет Декарт,— это точка, относительно которой различные качания всех частей этого тела столь одинаковы, что сила, с которой какая-либо часть тела могла бы двигать это тело быстрее или медленнее, чем оно движется на самом деле, встречает противодействие со стороны некоторой другой части тела; откуда также следует, по определению, что центр колебаний должен двигаться вокруг оси с такой же скоростью, с какой он двигался бы, если бы все остальное в теле, частью которого он является, было бы устранено и, следовательно, с такой же скоростью, как и грузило, подвешенное на нитке на том же расстоянии от оси» 1. В этом блестящем и удачном рассуждении по аналогии Декарт говорит о силе той или иной части качающегося тела. Как выясняется в дальнейшем, в данном случае он понимал под силой произведение массы на скорость. А положение центра качаний Декарт определял как «центр тяжести» таких сил, проектируя предварительно части тела на плоскость, проходящую через реальный центр тяжести тела и ось вращения, таким образом, чтобы расстояния частей тела от этой оси оставались неизменными.
Роберваль одновременно с Декартом предложил другое решение проблемы. Он тоже пришел к представлению о центре качания, называя эту точку в теле также центром удара, что в конечном счете оправдано. Роберваль правильно указывал, что метод Декарта дает верные результаты только в случае плоской фигуры, вращающейся вокруг оси, расположенной в ее плоскости. Выясняя причину ошибки Декарта в общем случае, Роберваль указывал на то, что надо принимать во внимание не только величину, но и направление скорости. Наконец, он указал точное положение центра колебания кругового сектора, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной к плоскости сектора и проходящей через его центр. Но в основном Роберваль шел по тому же пути, что и Декарт, оперируя «силами» — количествами движения — и заменяя математические выкладки весьма сбивчивыми рассуждениями. Значительно позже Гюйгенс, давший полное решение проблемы, имел все основания сказать: «Выдающиеся люди, как Декарт, Фабри и другие, полагавшие, что
1 Письмо к Кавендишу (Cavendish) от 30 марта 1646 г. См. Oeuvres de Descartes, t. IV» Paris, 1901, p. 383.
7 История механики
разрешили эту проблему, совершенно не справились с нею, если не считать немногих более легких вопросов, для которых, однако, как мне кажется, они не дали какого-либо удовлетворительного доказательства» х.
12. В течение почти всего XVII в. оставалась злободневной проблема ydapaz что происходит при соударении тел и как оценить эффект удара? У проблемы удара был и технический аспект (обработка металлов ударом, действие пушечного ядра и т. п.), но она имела также первостепенное теоретическое значение, и с нею теснейшим образом связано формирование основ динамики,
У Галилея вопрос об ударе ставится в основном в духе технической традиции. Он анализирует практические задачи: забивание молотом сваи и т. п. Тут ему не удалось построить удачную упрощенную модель явлений, и он не смог дойти до каких-либо определенных количественных формулировок. Правда, на исследование удара Галилей, как он пишет одному из своих последователей, затратил многие сотни и тысячи часов в течение более чем 40 лет, но, наконец, нашел настолько простое объяснение, что понять его можно за полчаса. А Вивиани, описывая последние месяцы жизни Галилея, сообщает, 98 что в новом издании «Бесед» Галилей собирался изложить новое учение, «трактуя геометрически удивительную силу удара». Но, как видно из отрывков, включенных Вивиани в посмертное издание «Бесед», он проводил и эксперименты. Однако геометрия, т. е. математика, которую имел в виду здесь развернуть Галилей, осталась неизвестной, а физика сводится к двум положениям: сила удара зависит от скорости соударяющихся тел; сила удара бесконечно велика. Слово «сила» в этих утверждениях не следует, видимо, понимать в современном смысле.
В первом из них имеется в виду некий суммарный эффект соударения. Второе утверждение не более парадоксально, чем принятая позже трактовка конечного импульса, сообщаемого при ударе, как произведения бесконечно б&Лшой силы на бесконечно малый промежуток времени, в течение котор&го сила действует.
В механике Декарта проблема удара занимает центральное место: в космосе Декарта нет пустот, и передача движения происходит только при определенном соприкосновении тел. В своих «Principia» 1 2 Декарт формулирует три основных закона движения. Первые два, вместе взятые, сводятся к закону инерции, третий таков: если движущееся тело встречает другое тело и обладает меньшей силой для продолжения движения по прямой, чем второе, для сопротивления ему (что такое «сила», не разъясняется), то оно теряет свое «назначение», не теряя своего движения, т. е. отскакивает; а если в нем силы больше, чем во втором теле, то оно движется вместе с ним и теряет столько движения, сколько оно сообщает второму телу. «Движение» в этой формулировке Декарта — это количество движения,— произведение «величины материи» 3 в теле на его скорость, и у Декарта оно берется по модулю — без учета направления («назначения») или, при движении по прямой, без учета знака. Этот закон вместе с рассуждениями, в которых можно усмотреть некий экстремальный принцип 4 *, был основой для семи правил об ударе тел, сформулированных Декартом.
Все эти правила относятся к прямому соударению двух тел при различных отношениях их скоростей и величин 6, и все они неверны, за исключением первого (два равных тела сталкиваются с равными и противоположно
1 Ch. Huygens. Oeuvres, v. I. La Haye, 1888, p. 128.
г См. R. Descartes. Principle philosophiae, p. 226.
s В физике Декарта масса отсутствует, материя характеризуется протяженностью — занимаемым ею объемом.
4 В таком духе Декарт высказывался только в переписке, например в письме к Клерселье (Clerselier)
’ 1645 г. См. Descartes. Oeuvres, t. IV, р. 185.
’ Т. е. объемов, а не масс.
направленными скоростями), и то, если считать тела идеально упругими х.
Нельзя полагать, что Декарт пришел к своим правилам умозрительно: в опубликованных им сочинениях и в переписке он часто ссылается на данные наблюдения и опыта, некоторые опыты он ставил сам. Как и Галилей, Декарт учитывал, что различные неустранимые помехи не дают нам возможности наблюдать явления в «чистом виде», поэтому его не смущало расхождение сделанных им выводов с опытом. Он подчеркивал, что его правила предполагают, что два тела абсолютно тверды (т. е., видимо, абсолютно упруги) и удалены от всех других тел, которые могли бы мешать или содействовать их движению, в действительности же этого быть не может. Но такие оправдания не могли быть убедительными даже при скромных экспериментальных возможностях того времени: правила Декарта были в слишком резком противоречии с опытом, так как в них не учитывалось направление (знак) скорости, не уточнялся характер соударения (упругое, неупругое).
Таким образом, проблема удара после Галилея и Декарта оставалась открытой. Дальше их в первой половине XVII в. продвинулся, видимо, чешский ученый Маркус (Марек) Марци из Кронланда, профессор и ректор Пражского университета. В работе «О соотношениях движений» 1 2 он различает тела абсолютно упругие (dura), хрупкие и неупругие (mollia) и описывает свои опыты над соударением абсолютно упругих тел. Маркус Марци в своих выводах не формулирует общих правил, но правильно определяет соотношение скоростей до и после удара с учетом «величины» тел. В основном Марци получил те же результаты, которые изложены Бреном (см. ниже) в 1669 г. Но он пошел дальше Врена, рассмотрев, кроме прямого, боковой удар шаров (без учета их вращательного движения). Но и не оцененная современниками работа Марци не содержала такого теоретического анализа проблемы удара, который содействовал формированию динамики. К середине века оставалась открытой и такая важнейшая проблема, как проблема центробежной или центростремительной силы. Галилей должен был коснуться ее в «Диалоге»: одно из возражений против учения Коперника состояло в том, что на вращающейся Земле предметы, попадающие на ее поверхность, должны отрываться от нее, как вырывается из достаточно сильно раскрученной пращи вложенный в нее камень. В «Дне втором» «Диалога» этот довод антико-перниканцев опровергается рассуждениями, из которых видно, что, по крайней мере, в данном случае Галилей совершенно не учитывал радиального ускорения при движении по окружности. В других случаях он, как и многие его современники, говорит о направленном к центру усилии, которое необходимо, чтобы удержать движущееся тело на круговой траектории. Далее этого ни Галилей, ни Декарт, ни кто-либо другой из их современников не идет.
13. В историю статики за первую половину XVII в. было вписано несколько важных страниц. В 1634 г. во французском переводе Мерсенна была напечатана «Механика» Галилея, написанная автором около 1600 г. и, по-видимому, достаточно широко известная уже в первые годы века. Там изложено найденное независимо от Стевина и, вероятно, независимо от анонимного автора XIII в. условие равновесия грузов на наклонной плоскости. Вообще темой работы являются простые машины — механические орудия, как выражается Галилей. Работа имеет подзаголовок: «О пользе, которая извлекается из науки механики ее орудиями». В ней обосновывается невозможность выиграть в работе 3 с помощью машин, учитывается направление сил (грузов),
99
1 Относительно связи трех законов Декарта и его правил соударения тел с его философскими взглядами см. содержательную статью Р. Блзквела (R. J. Blackwell. Descartes’ laws of motion. — Isis, 1966, v. 57, pt. 2, N 188, p. 220—234).
2 Marcus Marci. De proportione motus sen reguia sphygnica. Pragae, 1639.
2 Мы применяем этот термин в современном смысле.
7*
показано, что сколько мы выигрываем с помощью машин в силе, столько проигрываем в пути или скорости, формулируется и принцип виртуальных скоростей, применительно к рычагу, и принцип виртуальных перемещений; все это в словесных формулировках — языком формул Галилей еще не пользуется. Кроме того, рассматриваются, строго говоря, не виртуальные, а действительно реализующиеся перемещения и скорости. .Важно то, что Галилей переходит к рассмотрению перемещений в начальный момент движения, т. е. бесконечно малых. Много позже, в «Беседах» Галилей говорит и о возможных перемещениях — о пространствах, которые были бы пройдены телами, если бы равновесие было нарушено. Словом, если бы в распоряжении Галилея была система обозначений математики, скажем XVIII в., он записал бы принцип виртуальных скоростей (или перемещений) в общем виде.
Для Галилея виртуальные скорости и виртуальные перемещения при анализе условий равновесия вполне равноправны. Достаточно распространенным было мнение, что при исследовании проблем статики надо пользоваться только перемещениями. Такую позицию занимал Стевин, хотя вполне 100 последовательным в этом вопросе он не был. Строго придерживался Декарт правила рассматривать только перемещения, а не скорости. Его взгляды изложены в переписке с Христианом Гюйгенсом, с Мерсенном и другими (30-е и 40-е годы). Во всех механических орудиях Декарт усматривал применение одного принципа: «сила, которая может поднять, например, вес в 100 фунтов на высоту в 2 фута, может также поднять вес в 200 фунтов на высоту в один фут, или 400 фунтов на высоту в полфута, и т. д.». И Декарт формулирует «правило сохранения работы», говоря при этом о силе, «имеющей два изме-рения». Впрочем, ученик Стевина — Соломон из Коса—пользовался уже в 1615 г. словом «работа» в современном смысле.
Новый элемент в статику был внесен Робервалем. В небольшой работе, напечатанной Мерсенном 1 в 1636 г. в виде приложения, Роберваль применяет для вывода условий равновесия разложение заданной силы по двум направлениям. Это уже гораздо ближе к общей формулировке правила параллелограмма сил, чем сложение сил у Стевина (1586 г.): там рассматривается только частный случай сил, взаимно перпендикулярных.
14.( В гидростатике тоже был достигнут значительный прогресс. Стевин в 1586 г. в строго геометрическом стиле древних, пользуясь принципом отвердевания и принципом невозможности вечного движения, произвел расчет давления жидкости на дно и боковые стенки сосудов. Эти исследования были вызваны техническими запросами и представляли собой немалое достижение^ В особую заслугу Стевину надо поставить открытие и разъяснение гидростатического парадокса. В 1612 г. появилось «Рассуждение о телах, пребывающих в воде» Галилея 2. Оно написано в связи с научной дискуссией, в которой противниками Галилея были опять-таки приверженцы Аристотеля, не рассчитано на специалистов, и метод изложения его не математичен. Большую часть «Рассуждений» занимает опровержение различных возражений, которые выдвигались сторонниками Аристотеля против закона Архимеда и вытекающего из него условия плавания. Для разъяснения физической сущности явления эта .часть рассуждений Галилея сослужила немалую службу.
Но, кроме этого} Галилей, как писал о нем Лагранж, связал гидростатику со статикой твердых тел, подчинив эти две дисциплины одному и тому же принципу — принципу виртуальных скоростей. Непосредственно из принципа виртуальных скоростей Галилей вывел условие равновесия воды в сифоне и обосновал равновесие жидкостей с погруженными в них твердыми телами. Свои теоретические результаты Галилей подтверждал опытами! Его
* М. Mersenne. Harmonicorum librl. Paris, 1636.
» Галилео Галилей. Избранные труды, т. И, стр. 39—107 и коммент, на стр. 420—429.
противники выступили с возражениями — в течение 1612 г. ими были опубликованы четыре книги. В дискуссию включился один из самых выдающихся учеников Галилея — Бенедетто Кастелли (его книга появилась в 1615 г., значительная часть ее написана Галилеем); сам Галилей ограничился вторым, несколько дополненным изданием своего «Рассуждения». И хотя сторонники Аристотеля не отреклись от своих взглядов, все их сколько-нибудь серьезные аргументы были опровергнуты. Победа Галилея в этой дискуссии была прежде всего торжеством экспериментального метода в науке и ударом по догматизму, аргументирующему ссылками на авторитеты. В методологическом отношении «Рассуждение» важно еще и потому, что в нем автор продемонстрировал «приведение причин явлений к внутренним и непосредственным принципам» — в данном случае это выразилось в использовании принципа виртуальных скоростей.
15. Прежде чем подводить итоги развития механики в первой половине XVII в. х, надо представить себе не только то, что сближает передовую науку того времени с наукой XX в., но и то, что их разделяет. А разделяет прежде всего неотчетливость, а то и полная неопределенность некоторых основных понятий, которыми тогда оперировали, называя их во многих случаях современными терминами, но вовсе не вкладывая в эти термины то содержание, которое вкладываем мы. и
Главным образом под этим углом зрения мы рассмотрим вклад в механику Иоганна КеплераЛ^
Кеплер как ученый йчеловек стоит между двух эпох в науке. Он, младший современник Галилея, пошел дальше Галилея в астрономии, открыв эллиптичность планетных орбит, и все же он еще не вполне принадлежит новой эпохе. Дело не только в его мистицизме, а в самом строе его мышления, что находит выражение в стиле и языке его латинских трактатов. Однако в истории механики Кеплеру надо отвести почетное место не только как одному из лидеров «астрономической революции», но и как одному из ученых, которые содействовали уточнению таких фундаментальных понятий, как сила и масса (инертная) понятий, генетически связанных вплотную.
Представление о количестве материи, различном в различных телах, является достаточно древним. Оно широко используется в средневековой науке. Однако сравнительная простота этого понятия, к которому приводит осмысливание самых простых, обыденных наблюдений, затрудняла его уточнение. К тому же сравнение разнородных тел осуществлялось фактически только в процессе взвешивания, поэтому и вес, и масса как количество материи тела рассматривались часто как одно и то же.
У Галилея представление о массе сливается с представлением о материальном теле вообще, оно не выделяется как самостоятельная характеристика тела. Правда, в «Диалоге о двух главных системах мира» мы находим постановку вопроса, которая могла повести к выделению такой характеристики. А именно, Сальвиати, основной представитель идей Галилея в этом произведении, задается вопросом: нет ли в телах присущего им в силу их природы качества противиться движению наряду со способностью воспринимать движение (подобно тому, как тяжелые тела, склонные двигаться вниз,естественным образом противятся движению вверх). Дальше этого Галилей не пошел. Перечисляя в знаменитом «Пробирщике» (Saggiatore) основные качества материальных тел: форму, размер, сплошность, численность, подвижность,— Галилей не вводит особо массу или количество материи. Надо присоединиться к объяснению, данному Дж. ди Сантиляна 1 2. Оно сводится к тому, что для Галилея масса — только другое название вещества как такового,
101
1 Здесь надо указать и на то, что с «Бесед» Галилея начинается развитие новой дисциплины — сопротивления материалов (см. гл. VII).
’ Galileo Galilei. Dialogue on the great world systems. Ed. Giorgio di Santillana. Chicago, 1953, p. 252.
отличного от абстрактной материи, являющейся математическим понятием. Физическое тело и масса — названия одной сущности, способной двигаться, тогда как геометрические образы такого качества лишены. Поэтому масса неопределима через что-либо иное, она изначальна.
Есть еще одна сторона рассматриваемой проблемы. Как показывают сохранившиеся наброски Галилея — результат его многолетних размышлений над проблемой удара, он стремился найти какой-то субстрат, соответствующий динамическому понятию силы. На этом пути он должен был бы прийти к введению понятия массы. Но тут физика небес стала помехой для физики Земли. Отстаивая систему Коперника, Галилей, можно сказать, оппортунистически принял круговое движение небесных тел как естественное (инерционное) — положение, которое имело за собою сильную традицию и не вызывало возражений со стороны аристотелианцев. Кроме того, Галилей не располагал количественной характеристикой ни того, что заставляет тела падать на Землю по открытому им закону, ни того, что происходит при соударении тел. Поэтому он не мог ввести ни динамическую меру силы, ни понятие массы.
В общем в генеалогии этих понятий Кеплер занимает не менее видное место, 102 чем Галилей. В значительной мере это предопределено тем, что в процессе передачи движения или сообщения движениятгя'Талилея существенно было то, что тело воспринимает любой сообщенный ему импульс,-эгдля Кеплера — то, что тело «стремится» сохранить свое состояние, что оно «инертно». Согласно Кеплеру, инерция есть свойство той материи, которая составляет наибольшую часть Земли. И свойство это состоит в сопротивлении движению, причем сопротивление тем сильнее, чем большее количество материи стеснено в меньшем по размерам пространстве х. Заодно Кеплер пользуется термином «плотность» и, говоря об инерции вещества, составляющего земное тело, указывает, что плотность этого тела составляет то, что воспринимает импетус. Кеплера, естественно, интересует вращательное движение — ведь вращение Земли вокруг своей оси является для него неоспоримым фактом. И он говорит здесь об «импетусе вращения». Там же, рассуждая о том, как могло возникнуть вращательное движение, он пользуется термином «приложенный (impressus) импетус» — это импетус, сообщенный Земле при сотворении ее богом/Этот же импетус для Кеплера — душа Земли. В том же духе Кеплер рассуждает о притяжении тел. Рассматривая притяжение как причину движения, Кеплер делает шаг вперед: он говорит о взаимном притяжении тел, а не о стремлении к «естественному месту», к центру Земли или к центру Мира как причине падения. С другой стороны, притяжение, по Кеплеру, в достаточной мере мистично: оно имеет своей основой некое сродство тел и, например, действует между камнем и Землей как проявление стремления этих родственных тел соединиться или воссоединиться.
Два камня, удаленные от остальных тел, т. е. находящиеся вне сферы воздействия прочих «родственных» тел, устремились бы друг к другу, как два магнита, и прошли бы до места встречи расстояния, обратно пропорциональные их массам 1 2. Несмотря на мистическую оболочку, динамизм Кеплера не лишен исторического значения. Инертность материи в понимании Кеплера, сравнительно четкое выделение массы как характеристики тела, поиски динамического объяснения движения небесных тел — все это не могло остаться без влияния. Кеплера читали и изучали в XVII в.
16. Вернемся теперь к 1650 г. Следует напомнить, что тогда не было общепринятого определения понятия силы — в статике это вес груза и усилие человека или животного, в динамике — нечто, влияющее на движение, именуемое также мощью, эффектом, достоинством, моментом; к тому же слово
1 I. Kepler. Opera omnia, t. III. Miinchen — Berlin, 1937, p. 174—179.
* Это любопытное заявление — один из примеров того, что правильный результат может быть получен на основе весьма неопределенных и просто неверных представлений.
И. Кеплер (1571—1630 гг.)
«сила» могло обозначать и работу — Декарт в этом случае говорит о «силе двух измерений», и мощность — тогда, по Декарту, «сила» имеет «три измерения». Не было также общепринятого определения массы — расплывчато говорили о массивности тела, о его «громаде», смешивая это понятие с весом, с тяжестью. Не было удобных математических обозначений для того, чтобы записывать бесконечно малые величины (перемещения, промежутки времени), и поэтому определение скорости в данный момент (мгновенной скорости) или виртуального перемещения можно было дать только словесно, а ускорение как самостоятельное понятие отсутствовало. Не было общего представления о размерности физических величин, и лишь частично была преодолена идущая от античности традиция составлять отношение только из однородных величин. Математические средства по сравнению с античностью обогатились благодаря введению буквенного языка тогдашней алгебры, инфинитезимальные представления и методы были уже хорошо развиты, была создана аналитическая геометрия, но строгость доказательства, по тогдашним воззрениям, могла быть достигнута только применением геометрических соображений, и алгоритм анализа бесконечно малых еще предстояло изобрести. Возможности эксперимента были ограничены малой точностью измерений времени (Галилей пользовался или счетом ударов своего пульса, или водяными часами), длины, веса — отсутствовали эталоны высокого качества.
И все же ^а пять-шесть десятилетий был пройден большой путь. Значительные успехи были достигнуты в статике, но главное было сделано вне ее. Закон инерции (сначала «круговой» — у Галилея, затем «прямолинейной» — у Декарта) снял различие между состоянием покоя и состоянием движения. Система Коперника вытесняла систему Птолемея, и в связи с этим галилеев принцип относительности прочно вошел в науку. Стиралось различие земных («местных»), движений и движений небесных тел: паука о дви
жении уже могла «заполнить небеса», как тогда выражались. Было освоено представление о мгновенной скорости, а открытие законов падения дало основу для введения меры постоянно действующей силы. В общем виде был сформулирован закон сложения движений, вслед за тем перестали различать движения «естественные» и «насильственные», и это устранило еще одно препятствие в деле создания общей науки о движении. Сила в статике и сила в динамике постепенно становились единым понятием. Были поставлены самые существенные тогда для дальнейшего развития механики проблемы о законах соударения тел, о центробежной силе и заложены основы теории колебаний (математический маятник, колебания струн). Были введены, хотя без достаточно четкого и общепринятого определения, такие величины, как момент силы относительно оси, работа силы. Кинематика равнопеременного движения была дана в виде физической теории, а не абстрактной схемы. Львиная доля перечисленных результатов принадлежит Галилею/Так же много значила продемонстрированная им методика исследований — от критически проанализированных данных наблюдений и экспериментов к общим принципам, от последних — к математически выводимым следствиям и к проверке этих 104 следствий на опыте. У Галилея мы находим и разъяснение неизбежной приближенности теоретических выводов, разграничение существенных и несущественных факторов, понимание «чистоты» эксперимента и роли математических методов. Все это сочеталось в произведениях Галилея с высокими достоинствами изложения не на латинском, а на языке общедоступном, народном (volgare). Но надо еще раз напомнить, что гениальное творчество Галилея было бы немыслимо вне культурной атмосферы Флоренции, Венеции, вообще Италии того времени, вне окружения учеников, друзей, ценителей его таланта и последователей. Можно говорить о школе Галилея, к которой принадлежат, например, Кастелли, Баллиани, Торричелли, Вивиани.
17. Среди них наиболее видное место в истории механики принадлежит Эванджелисте Торричелли, не намного пережившему своего учителя. Он не знал о тех соображениях, которые Галилей, вместе с Вивиани, считал достаточными в качестве доказательства положения, что при падении с одинаковой высоты вдоль плоскостей разного наклона тяжелые тела приобретают одинаковые скорости. Чувствуя вместе с тем необходимость заменить это положение, принятое Галилеем в первом издании «Бесед» без доказательства, Торричелли его доказывает, опираясь на следующий принцип: «Два связанных друг с другом тяжелых тела не могут сами собою двигаться, если их центр тяжести не опускается». Этот «принцип Торричелли», появившийся в печати только в 1664 г. х, был использован и обобщен Гюйгенсом. Вообще в своем трактате, указанном в примечании, Торричелли излагает концепции Галилея в систематизированном виде. Он дал анализ движения в пустоте тела, брошенного под углом к горизонту, сразу складывая равномерное движение по наклонной (у Галилея — по горизонтали) с ускоренным движением по вертикали. Торричелли, по аналогии с падением тяжелых тел, предложил известный закон истечения жидкости из отверстия в сосуде — это можно считать первым количественным результатом в динамике жидкостей. Ему же принадлежат доказательство наличия атмосферного давления и опровержение идущего от античности положения, что природа не терпит пустоты. Это было выдающимся и принципиальным достижением новой физики и, разумеется, важным вкладом в механику жидкостей. В математике Торричелли также принадлежат выдающиеся достижения. Его ранняя смерть была большой утратой для науки того времени, особенно для итальянской.
Во второй половине XVII в. центр тяжести новой науки переместился к северу от Альп. Италия в науке, особенно в области физико-математической,
1 Когда был напечатан (посмертно) его трактат «De Motu gravium naturaliter descendentium et projecto-rum» (О движении естественно падающих и брошенных тел). Firenze, 1664.
Э. Торричелли (1608—1647 гг.)
отходит на второй и третий план. Это было вызвано прежде всего тем, что в Италии феодализм, светский и духовный, сумел временно удержать свои позиции, подчинив себе или ослабив города-республики. Страна надолго осталась политически раздробленной, экономически ослабленной и все более отстающей. Во многом это относится и к Германии. Передовыми в научном отношении становятся Голландия, где впервые победила буржуазная революция; Англия, где революционное потрясение закончилось компромиссом буржуазии с земельной аристократией; Франция, где королевская власть объединила страну, опираясь на дворянство и духовенство, но вместе с тем предоставив городской буржуазии большие возможности, чем она имела в условиях феодальной раздробленности. Это, так сказать, промежуточное положение Франции в известной мере отразилось в биографии Декарта: выступая против схоластики и строя новую науку, Декарт, французский дворянин, обладатель поместья, лучше всего себя чувствует в буржуазной Голландии, где проводит вторую половину жизни.
Выше имя Декартдвстречалось чаще всего (конечно, если исключить имя Галилея). Его |вклад в~механик$ невелик по сравнению с тем, что создал Галилей, но о значении Декарта для механики нельзя судить только по этому вкладу ./Дополнительно надо принять во внимание и математические заслуги Декарта, и то, что он дал систему «механистической философии», влияние которой в течение многих десятилетий было весьма ощутимым.^Во многом благодаря Декарту формирующаяся теоретическая механика стала центральной наукой эпохи.,/Правда, Декарт считал, что он обладает единственной системой принципов, и умозрительно заменил средневековую картину мира новой, во многом фантастичной. Поэтому картезианство, сменив уче
106
ние Аристотеля, достаточно быстро стало помехой для развития науки и предметом критики. Но,Поскольку речь идет о развитии теоретической механики, то и ошибочные утверждения Декарта (например, его законы удара) принесли определенную пользу, привлекая внимание к первоочередным проблемам и вызывая дискуссию/Это имело тем большее значение, что процесс распространения новых воззрений шел достаточно медленно. Новая наука поддерживалась и создавалась немногими, и преимущественно вне официальных рассадников просвещения — университетов.
18. В своем добровольном изгнании Декарт не терял связи с «кругом Мер-сенна», к которому принадлежали упоминавшийся выше Роберваль, Ферма, отец и сын Паскали и некоторые другие математики и физики. Блэз Паскаль (младший), философ, математик, острый полемист, ставший одним из классиков французской литературы, обеспечил себе заметное место и в истории физики и механики. Он с успехом повторил (не первый во Франции х) опыт Торричелли, придумал и проделал новые опыты с целью доказать существование торричеллиевой пустоты и в 1647 г. выступил в печати с книгой «Новые опыты относительно пустоты»1 2, в которой изложил свои выводы. Они встретили возражения не только приверженцев традиций, но и Декарта: в мире Декарта, как и у Аристотеля, не было пустоты,— пространство, кажущееся пустым, и поры тел заполнены «тонкой материей», прообразом будущего эфира. По предложению Паскаля в 1648 г. был проведен решающий «барометрический опыт»: при прочих равных условиях у подножия горы столбик ртути поднимался в запаянной с одного конца трубке выше, чем на вершине. Так «страх пустоты», от которого еще не мог отказаться Галилей, да и Паскаль в начале своих исследований, был заменен атмосферным давлением. Для Паскаля это было аргументом в пользу существования абсолютной пустоты, как он выражался. Отвечая на возражения сторонников Декарта против пустого пространства, Паскаль определял такое пространство, как имеющее длину, ширину и глубину, как неподвижное и способное принять тело, имеющее одинаковые с ним размеры. Такие концепции оказались существенными для развития механики во второй половине XVII в.
Как известно,/ Блэз Паскаль — один из классиков гидростатики. После Стевина, открывшего гидростатический парадокс и показавшего отличную методику расчета давления жидкости на стенки сосудов, после Галилея, который использовал для вывода условий равновесия жидкостей принцип виртуальных скоростей, Паскаль применяет в гидростатике принцип Торричелли. Он, по-видимому, первый оперирует представлением о передаче давления через жидкость и формулирует таким образом принцип гидравлического пресса. Практическое значение этого открытия для Паскаля — не тайна. Для теоретической механики его работа — важный шаг на пути введения понятия давления внутри жидкости, что было сделано уже в следующем столетии./ '
19. Новые крупные успехи в механике после Галилея и Декарта были достигнуты при исследовании проблемы удара. В 1652 г. Гюйгенс (в неопубликованной работе) устанавливает ошибочность всех семи правил Декарта, кроме первого, не только обращаясь к опыту, но и опираясь на выводы из принципов инерции и относительности. Гюйгенс уточняет постановку задачи, рассматривая прямой (центральный) упругий удар двух тел-, количество движения при суммировании он берет только по абсолютному значению, как и Декарт, но он обнаруживает новый важный закон — сохранение при упругом ударе суммы произведений «величины» каждого тела на квадрат скорости. Гюйгенс, очевидно, не знал ни тогда, ни позже работ Марци. В течение нескольких следующих лет он постепенно устанавливает все законы уп
1 См. R. Dugas. La mScanique au XVII si£cle. Neuchatel, 1954, ch. VIII.
2 B. Pascal. Nouvelles experiences sur le vide. Paris 1647.
ругого удара двух тел. Он все еще ничего не публикует, но в письмах сообщает основные результаты некоторым ученым, а в 1660 г. публично излагает их в Париже в кругу тех, кто составит основное ядро будущей Академии наук. В 1661 г. в Лондоне он демонстрирует законченность своей теории членам организующегося там Королевского общества, предсказывая заранее результаты опытов над соударением двух маятников разного веса. Все же впервые он выступил в печати по вопросу об ударе только несколько лет спустя, и то под давлёйием обстоятельств.
В 1666 г. Королевское общество в Лондоне обращается к проблеме удара, и на его заседаниях демонстрируются многочисленные эксперименты, придуманные для разъяснения этой проблемы. Становится ясным, правда не сразу, что одним накоплением экспериментального материала не обойтись. И Общество объявляет конкурс на тему о законах удара, принять участие в котором были приглашены Врен, Валлис и Гюйгенс. В ответ на это приглашение Гюйгенс направил в 1669 г. работу, которая содержала не все его результаты по упругому удару; при этом наиболее общий — определение скоростей после удара неравных тел, сталкивающихся с различными скоростями,— был дан без доказательства. Врен, как и Гюйгенс, рассматривал только упругий удар. Он сформулировал многочисленные правила для различных случаев, которые, взятые в целом, совпадали с правилами Гюйгенса. Их теоретическое обоснование сводится к двум утверждениям: 1) для тел существуют скорости «собственные», наиболее естественные, которые обратно пропорциональны «величинам» этих тел, и если до удара скорости тел «собственны», то они сохраняются при ударе; 2) если скорости тел отличаются от «собственных», то соударение их уравнивает в том смысле, что тело, имеющее скорость больше «собственной», теряет в скорости, тело, имеющее скорость меньше «собственной», выигрывает в скорости после удара. Эти два положения, по Врену, вытекают из аналогии с весами, аналогии, которой вряд ли можно приписать какую-либо доказательную силу. В идейном отношении мемуар Врена не идет ни в какое сравнение с работой Гюйгенса.
С мемуаром Валлиса мы делаем, пожалуй, еще один шаг вспять. Валлис следует за Аристотелем и схоластами, принимает, что скорость тела пропорциональна приложенной к нему силе и обратно пропорциональна весу тела: Валлис оперирует весами, а не массами. Но он рассматривает удар тел, лишенных упругости, учитывая при суммировании произведений весов на скорости направление последних, различая косой и прямой удары, и для удара тел, вполне лишенных упругости, получает правильные результаты.
Королевское общество напечатало (в 1669 г.) только работы Валлиса и Врена, что побудило Гюйгенса опубликовать свои правила во французском журнале (в том же 1669 г.). При этом он добавил формулировку теоремы живых сил, известную ему с 1652 г., и «замечательный закон природы», который он мог доказать для сферических тел и который, по-видимому, справедлив и для других тел, твердых и мягких, при прямом и при косом ударе: общий центр тяжести двух или трех или нескольких тел продолжает двигаться равномерно в ту же сторону по прямой линии как до, так и после Удара.
Как мы видим, все три участника, не зная работы Марци, пришли к необходимости различать упругий и неупругий удары и, разумеется, представляли себе, что фактически наблюдается нечто промежуточное между этими крайними «идеальными» случаями. С общими принципами новой механики свои выводы связывал только Гюйгенс. Мерой «величины» тела для всех оставался еще вес, хотя Врен и Гюйгенс устанавливают различие между собственно весом тела и той «величиной» тела, которую они с помощью веса оценивают. В идейном отношении весьма важно «предположение» Гюйгенса: любое большое тело приводится в движение любым малым телом при любой скорости малого тела. Вместе взятые эти исследования разъясняли процесс пере-
107
108
дачи движения от одного тела к другим—тот процесс, к которому, по Декарту, сводилась вся и всякая механика. И если не допускать таинственного действия на расстоянии, лишенного физического смысла для последователей Галилея и Декарта, то соприкосновение тел надо было принять в качестве того явления, при котором, собственно, и происходит их механическое взаимодействие. Итак, оказывалось возможным оценить действие одного тела на другое, если назвать это действие силой или измерить его в соответствии с найденными законами удара, по изменению произведения из «величины» тела на скорость. Так дальше прокладывался путь ко второму закону Ньютона. Но удар — это кратковременное, почти мгновенное воздействие. Для того фундаментального обобщения, которое должно было привести к основному закону новой динамики, необходимо было вместить в единую схему и такую мгновенную передачу, и непрерывное воздействие. Мы увидим это у Ньютона при решении вопроса о центробежной силе. Но первое решение этой завещанной Галилеем проблемы принадлежит Гюйгенсу.
20 Исследование Гюйгенса «О центробежной силе» блестяще — это по-истийе одна из жемчужин в истории механики. Оно было изложено им в работе 1659 г., опубликованной только посмертно, в 1705 г., в форме тринадцати теорем (без доказательства) «О центробежной силе, вызванной круговым движением», основные результаты были сообщены в знаменитой монографии Гюйгенса 1673 г. «Маятниковые часы» lf Помимо результатов замечателен использованный метод/Тюйгенс начинает с напоминания о законе падения тел, установленном Галилеем, и определяет тяжесть как стремление к падению, к движению вниз. При отсутствии сопротивления воздуха закон Галилея соблюдался бы вполне точно; но и при наличии сопротивления можно считать, что ускорение, отсчитываемое от точки покоя, растет, как ряд нечетных чисел, если рассматривать движение на произвольно малом участке. '
Однако при ускоренном движении, происходящем по указанной прогрессии, тела могут проходить в равные времена разные расстояния, как, например, на наклонных плоскостях с разными углами наклона, — этим Гюйгенс хочет сказать, что ускоренное движение может совершаться с разными ускорениям^ (в нашем понимании этого термина). Но если имеются два равных груза, висящих на нитях и стремящихся удалиться в направлении нити ускоренным движением так, что в одинаковые времена будут пройдены одинаковые расстояния, то натяжения нитей будут одинаковы, куда бы ни были направлены нити. И при этом безразлично, откуда появляется стремление к удалению — лишь бы оно существовало. «Но такое стремление существует, если тело, будучи отпущено, т. е. не испытывая противодействия, будет совершать движение указанного характера. Надо при этом рассматривать начало движения, ограничиваясь сколь угодно малым промежутком времени». В переводе на современный язык это означает, что для определения, вернее, сравнения сил (не вводя явно массу, Гюйгенс говорит о «равных грузах»), надо по начальному движению установить, что оно ускоренное и при этом его можно рассматривать как равномерно-ускоренное. И определенная таким образом динамически сила — того же рода, что и сила статическая (натяжение), обе силы переходят друг в друга: «стремление к удалению» вызывает натяжение; устранив натяжение, мы дадим проявиться «стремлению к удалению», как указывает в дальнейших рассуждениях Гюйгенс.
Гюйгенс в этих рассуждениях, как и в своей теории удара, использует подвижный репер, но более сложным и тонким образом. Пусть колесо А равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, про
1 Христиан Гюйгенс. Три мемуара по механике. Перев., ред. и прим. К. К. Баумгарта. М., Изд-во АН СССР, 1951.
ходящей черезего центр О (рис. 10). Шарик на периферии колеса, находясь в точке В, «имеет стремление продолжать свое движение по прямой ВН, касательной к колесу», и он начнет двигаться по этой прямой, если его освободить от колеса (тут, очевидно, используется принцип инерции). Это движение в его начальной стадии Гюйгенс рассматривает двояко. Для неподвижного наблюдателя шарик движется равномерно и прямолинейно, проходя за малые равные между собой промежутки времени т по прямой ВН равные отрезки ВС, CD... Обозначимих величину через А. Вводится и второй наблюдатель — человек, находившийся в точке В одновременно с шариком и переносимый колесом за промежутки времени т в точки Е, причем BE = EF ... Мастер инфинитезимальной геометрии, Гюйгенс указывает, что можно считать точки С, D,... находящимися на продолжениях (соответственно) радиусов -z4jET, AF, хотя в действительности они будут несколько ближе к 5, и Гюйгенс прав, так как при этом мы пренебрегаем малыми высшего порядка. Это значит, что для подвижного наблюдателя шарик за время т сместится на ЕС, за время 2т — на FD и т. д., и эти расстояния растут, что легко видеть (Гюйгенс при этом опять-таки пренебрегает малыми высшего порядка), как jgg ряд квадратов, начиная с единицы: 1,4,9... Такое соответствие ряду квадратов будет тем точнее, чем короче дуги BE, EF,... Поэтому можно считать, что в самом начале движения этих отступлений от ряда квадратов не будет, заявляет Гюйгенс. Итак, он сумел выполнить дифференцирование вектора скорости 1 для начального момента времени и выявить нормальное ускорение.
Затем он строит траекторию своего воображаемого шарика в его движении относительно колеса. Она получается почти сразу и геометрически наглядно — построением, основанным в сущности на том, что колесо можно представить себе остановленным, а плоскость под ним — приведенной во вращение в противоположную сторону. Так доказывается, что относительная траектория не что иное, как эволюта окружности (колеса) и, начинаясь в точке В, она в этой точке касательна к радиусу АВ (нормали эвольвенты). Этим объясняется, почему нить, на которой был бы прикреплен к центру А шарик, была бы натянута по радиусу, хотя шарик отлетает по касательной. Все
остальное уже совсем просто. Сравнивая начальные отрезки или дуги щшТУл о и-сю-движении одинаковых тел с одинаковой скоростью, мы сразу видим, 1<что' центробежные силы находятся в отношении, обратном отношению их диамет- <-> ров. Аналогично Гюйгенс получает другие соотношения, в своей совокупности равносильные тому, что центробежное ускорение при движении по окружности прямо пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу. Кроме того, Гюйгенс определяет еще (минимальное) натяжение нити, если подвешенный на ней груз описывает круги в вертикальной плос
1 Постоянного по величине.
кости. Это сделано рукой мастера. К тому же Гюйгенс дал не только решение отдельной задачи, но (в нераскрытой, правда, форме) и общий метод/
Что помешало ему, творцу теории эволют и эвольвент, придать общность своему результату — рассмотреть движение по любой1 (плоской) кривой, аппроксимируя ее окружностью? И почему он в течение десятилетий так и не опубликовал своей работы о центробежной силе? В дошедшем до нас изложении она отличается от «Маятниковых часов» и работы «О движении тел под влиянием удара» отсутствием «гипотез», что на языке Гюйгенса было равносильно аксиомам. По-видимому, именно потому, что в этой работе Гюйгенс подошел к формулировке общих положений динамики, он должен был привести их в систему и чем-то дополнить те «гипотезы» (принцип инерции, галилеев принцип относительности, положение о сохранении относительной скорости при упругом ударе, «гипотеза» о центре тяжести — о ней еще будет сказано), которыми он пользовался ранее, не изменяя при этом воспринятому от Декарта положению об относительности всякого движения. Разрешить такую проблему Гюйгенс (как и никто в то время) не мог. Однако работа «О центробежной силе» показывает, что самые сложные задачи, в НО принципе доступные науке того времени, были Гюйгенсу по плечу.
21. Для современников основным произведением Гюйгенса была книга «Маятниковые часы» (1673 г.) х. Это классическое произведение по богатству и ценности содержания имеет мало себе равных. Прежде всего, оно, в соответствии со своим названием, содержит (в первой части) описание великого изобретения Гюйгенса — маятниковых часов. Разрабатывая теорию математического маятника, Гюйгенс показал неизохронность колебаний кругового маятника и для него разработал метод расчета периода колебаний, равносильный приближенному вычислению соответствующего эллиптического интеграла. Гюйгенс строго доказал точную изохронность колебаний (любой амплитуды) циклоидального маятника, дал формулу для вычисления периода этих колебаний, а также и для периода малых колебаний кругового маятника, разработал и осуществил конструкцию циклоидального маятника. В связи с этим Гюйгенс создал новый раздел дифференциальной геометрии — учение об эволютах и эвольвентах. Он изобрел часы с коническим маятником. Попутно Гюйгенс открыл явление параметрического резонанса (наблюдая установление консонанса двух маятников, прикрепленных на одной балке) и правильно объяснил его. Кроме того, в «Маятниковых часах» изложены многочисленные математические результаты, как, например, спрямление многих кривых, определение площадей некоторых кривых поверхностей, метод построения касательных к рулеттам и т. д. Не располагая алгоритмом анализа бесконечно малых, Гюйгенс, проявляя исключительную изобретательность, систематически применяет инфинитезимальные методы в геометрическом оформлении — этим аппаратом он овладел в совершенстве, и в этом среди его современников никто, кроме Ньютона, не мог с ним соперничать. Но мы еще не сказали о том, что в четвертой части «Маятниковых часов», под названием «О центре качания», решена поставленная Мерсенном проблема определения периода колебаний физического маятника. Это — первая глава динамики твердого тела. В этой созданной Гюйгенсом главе одинаково значительны результат и метод. В ней налицо то сочетание эксперимента и теории, технической направленности и обобщающего физического мышления, которое характерно для рассматриваемого периода. Проявить это сочетание в своем творчестве дано было только деятелям «экстра-класса» — Галилею, Гюйгенсу, Ньютону.
Гюйгенс начинает четвертую часть «Маятниковых часов» с воспоминаний молодости — о том, как он тщетно пытался в то время решить проблему Мер-сенна. Поводом же к постановке новых опытов были для него регулируемые
* Русский перевод в цитированном выше издании.
маятники изобретенных им часов: он снабдил их, кроме нижнего постоянного груза, передвижным регулирующим грузиком и, стало быть, должен был опираться на теорию именно физического, а не математического маятника. Постепенно Гюйгенс «одолел все трудности и..., наконец, нашел общий метод для уверенного вычисления центров качания линий, площадей и тел. От этого я имел не только удовольствие, что я нашел нечто, что напрасно искали столь многие, и понял законы природы, относящиеся к этому случаю, но получил и определенную пользу, которая вообще заставила меня заняться этим вопросом, а именно: я нашел легкий и удобный способ регулировки часов. К этому однако присоединилось еще нечто, что я считаю еще более ценным, а именно: благодаря своему открытию я смог дать абсолютно устойчивое определение для постоянно верной для всех времен меры длины»1 *. Нам нужно теперь пояснить это краткое резюме, в котором так ощутим дух века.
22. Две «гипотезы» Гюйгенс принимает как аксиомы. Первая из них — энергетический принцип, равносильный теореме живых сил для консервативного поля земного тяготения: «если любое число весомых тел приходит в движение благодаря их тяжести, то общий центр тяжести этих сил не может подняться выше, чем он был в начале движения» а. Вторая гипотеза дополняет первую и характеризует рассматриваемую схему: «Допустим, что нет сопротивления воздуха и других помех движению, допущение, которое мы будем принимать и в дальнейших доказательствах,— в таком случае центр тяжести колеблющегося механизма (физического. — И. П.) при спуске и подъеме пробегает одинаковые пути» 3. Основным в дальнейшем является предложение: «Дан маятник, состоящий из произвольного числа частей; множат вес каждой части на квадрат ее расстояния от оси колебаний. Если сумму этих произведений разделить на произведение, получающееся от умножения общего веса частей на расстояние общего центра тяжести от той же оси колебаний, то получается длина простого маятника, изохронного с данным сложным маятником, или расстояние между осью колебаний и центром качаний сложного маятника»4. Тем самым здесь впервые вводится величина, пропорциональная моменту инерции (вместо массы, что соответствовало бы современному определению, Гюйгенс вводит вес-тела; это не влияет на результат, так как «статический момент», стоящий в знаменателе формулы для приведенной длины физического маятника, тоже вычисляется с заменой масс весами).
К сожалению, доказательство этого фундаментального результата не раскрывает того, каким путем шел Гюйгенс: доказательство проведено методом «от противного», т. е. показано, что, допустив неизохронность колебаний физического маятника и математического маятника длины, определенной в условии теоремы, мы приходим к противоречию с первой гипотезой (энергетическим принципом Гюйгенса).
Дальнейшее содержание четвертой части «Маятниковых часов» составляет по сути главу интегрального исчисления. Те простые, двойные и тройные интегралы, которые выражают моменты инерции однородных одно-, двух-и трехмерных тел, Гюйгенс в более простых случаях вычисляет, в других случаях, не имея возможности получить результат в конечном виде, только упрощает их вычисление. Кроме того, он устанавливает некоторые свойства центра качаний физического маятника. Гюйгенс заканчивает четвертую часть «Маятниковых часов» разъяснением того, что его открытия позволяют со значительно большей точностью, чем раньше, определить длину секундного
111
1 Христиан Гюйгенс. Три мемуара по механике, стр. 123.
1 Там же, стр. 130.
• Там же, стр. 120.
4 Там же, стр. 122.
маятника и, следовательно, установить меру длины, которая «не только может быть определена везде в мире, но и на все будущие века может быть всегда установлена» г. Он молчаливо допускал при этом строгое постоянство суток, солнечных или звездных, и, видимо, не знал еще об открытии астронома Рише 2.
23. Деятельность Гюйгенса, как и Галилея, нельзя представить себе вне определенной культурной среды. Не обладая, в отличие от Галилея, темпераментом и данными пропагандиста и популяризатора, он все же был центральной или, во всяком случае, весьма влиятельной фигурой среди ученых, инженеров, любителей науки и техники в Голландии и во Франции, где он входит в первый состав Парижской академии наук (организованной в 1666 г.). Гюйгенс, как мы знаем, поддерживает связи и с возникшим почти в то же время Лондонским королевским обществом. В собрании сочинений Гюйгенса, как и в собрании сочинений Галилея, переписка занимает половину объема.
Все блестящие достижения Гюйгенса были ответом на злободневные, в равной мере теоретические и технические, проблемы эпохи. И они были ре-112 зультатом усилий, направленных не только на решение отдельных и достаточно четко поставленных задач. Попутно шла работа над созданием основных физических представлений. Приняв сначала картину мира, созданную Декартом, Гюйгенс пересмотрел и исправил в ней столько, что под конец жизни мог назвать учение Декарта романом о природе. Но свои взгляды Гюйгенс не привел в систему; своей картины мира и, в частности, механики он * не дал. Итоги были подведены не им, а Ньютоном в знаменитых «Математических началах натуральной философии» (1687 г.). Это произведение — единственный опубликованный Ньютоном труд по механике. Здесь мы не рассматриваем историю его возникновения3. Но благодаря публикациям последних лет стали в значительной мере доступны рукописи Ньютона, и теперь уже можно наметить, как Ньютон постепенно создавал свою систему. Его связи с предшественниками и современниками, сходство и различие, взаимоотношение натурфилософских, теологических и физических воззрений — все это гораздо явственнее выступает в черновых записях, в незаконченных й в законченных, но почему-либо не удовлетворивших автора рукописях.
Переходя к Ньютону, мы меняем «воздух эпохи» — очень многое отличает Англию от континента Европы. Продолжая дело Галилея и Декарта, Ньютон не только искал решения определенных механических и физических проблем — заодно он ставил перед собою и решал проблемы философские и теологические. В Англии того времени, когда Ньютон вступал в науку, и в последующие десятилетия взаимоотношение религии и науки было жгучей проблемой. Английская буржуазная революция XVII в. говорила языком библии, обличая распущенность нравов и скрытое или явное безбожие своих противников — аристократов и королевского двора. Но буржуа — пуритане знали цену знаниям, особенно таким, на применение которых можно было рассчитывать. Поэтому их идеологи в равной мере были озабочены и тем, чтобы науки развивались и приносили пользу, и тем, чтобы новая механика и новая физика не вели к атеизму. Как видно из сохранившегося архива Ньютона, он не был исключением — теологические проблемы занимали его в течение всей жизни не менее, чем научные. Но согласованием своих научных открытий и взглядов с религиозными учениями Ньютон ни в своих лекциях,
’ Христиан Гюйгенс. Три мемуара по механике, стр. 198.
* Рише в 1671 г. заметил, находясь в Кайенне, возле экватора, что период колебания маятника, привезенного им из Парижа, изменился. Так было установлено, что ускорение падающих тел зависит от ши-фоты места наблюдения.
s См. Л. Розенфельд. Ньютон и закон тяготения. — В кн,: У истоков классической науки. M., 1968, стр. 64—99. ,
И. Ньютон (1643—1727 гг.)
8 История механики
114
ни в печати не занимался — это стало делом ньютонианцев, притом английских. На континенте же в XVIII в. ньютонианцы шли за Ньютоном в вопросах механики, оптики, математики, оставляя теологию в большинстве случаев в стороне.
24.^ Ньютон начал в динамике с исследования удара. Он подробно рассмотрел сначала (в 1664 г.) неупругий удар двух телу В отличие от Декарта, чьи «Начала философии» (Principia philosophiae) он к тому времени изучил, Ньютон складывает количества движения алгебраически и фактически оперирует с ними как с направленными величинами.
По-видимому, вскоре после этого Ньютон занялся ударом упругих тел. Его выводы в значительной мере основаны на данных эксперимента. Ньютон глубже проникает в физику явлений, чем его современники/Он сравнивает упругий удар со сжатием разжимающейся затем пружины. Соударяющиеся шары сначала изменяют свою форму, сплющиваясь при соприкосновении, пока на мгновение они не останавливаются — тогда, когда взаимное давление больше всего. А если тела абсолютно упруги (у Ньютона — «абсолютно тверды»), соударение мгновенно, а шары не изменяют своей формы./Таким образом, уже тогда у Ньютона было все подготовлено для введения «коэффициента восстановления». Расчеты для случая абсолютно упругого прямого удара Ньютон проводит, принимая за аксиому постоянство относительной скорости соударяющихся шаров i 2.
Следующей . динамической проблемой для Ньютона была проблема центробежной силы при круговом движении тел. Эта работа относится к 1665— 1666 it. Рассматривается шар, перемещающийся внутри закрепленной сферы (по ее большому кругу). Для начала вместо большого круга берется вписанный в него квадрат. Шар движется по периметру квадрата, ударяясь в его вершинах о сферу и меняя таким образом направление своего движения. Ньютон оценивает силу удара по изменению количества движения шара (с учетом направления). Таким образом (мы модернизируем изложение)3, если на стороне АВ шар обладал количеством движения + mv, то на стороне CD это количество движения (скорость сохраняется, удар абсолютно упругий) равно — mv, и изменение количества движения равно 2 mv (за половину оборота). Если рассматривать полный оборот, то никакого изменения количества движения заметить нельзя) 4.
Отсюда можно заключить, что изменение количества движения за время полного обхода равно 4 mv при движении по квадрату. Но лучшим приближением к круговому движению будет качение шара не по периметру квадрата, а по периметру правильного, вписанного в большой круг, п-угольника при п 4, и надо считать, что 4 mv является оценкой снизу — Ньютон это выражает записью изменения количества движения в виде -|- 4 mv. Заодно
i John Herivel. The Background to Newton’s Principia. oxford, 1Э65, p. 132 и далее (текст II). Первая часть книги представляет собой историко-научное введение, вторая часть составлена из имеющих отношение к динамике рукописных текстов Ньютона 1664—1684 гг. Дальше цитируется: Herivel, с указанием номера текста и страницы книги.
Herivel, текст П, стр. 141 и сл.
з Наша модернизация изложения состоит в том, что мы явно вводим массу. Ньютон говорил о размере тела или о том, что составляет целостность тела (bulk).
4 В известном рассказе Ньютона о его главных открытиях, сделанных во время эпидемии чумы (1665— 1666 гг.), когда он был «на высшей точке своей изобретательности и размышлял о математике и философии более чем когда-либо позже» (I was on the prime of my age for invention and minded Mathematics and Philosophy more than at any time since), к механике относится следующее. «В этом же году (1665) я начал думать о тяжести (gravity), что она распространяется по орбите Луны и, найдя, как оценить силу, с которой обращающийся внутри сферы шар давит на поверхность сферы (курсив наш. — И. П.), из правила Кеплера... я вывел,что силы, удерживающие планеты наих орбитах, должны быть в обратном отношении к квадратам их расстояний от центров, вокруг которых они обращаются; таким образом я сравнил силу, потребную для удержания Луны на ее орбите, с силою тяжести на поверхности Земли и нашел, что онн вполне хорошо согласуются».
происходит первостепенной важности уточнение основных понятий механики. А именно, подсчитанное изменение количества движения шара принимается как опенка снизу той силы, с которой сфера давит на шар) В отличие от Гюйгенса, (Ньютон рассматривает здесь центростремительную силу, реально приложенную к движущемуся по окружности телу и заставляющую траекторию этого тела отклониться от прямолинейной траектории инерционного движения. И эта, очевидно, постоянная по величине сила измеряется изменением количества движения, к тому же с учетом его направления. Вот где впервые появляется второй закон НъютонаХ |
Сопоставление с некоторыми другими текстами дает возможность наметить последовательность выводов, подводивших к этому основному положению динамики. Когда чисто кинематический анализ приводил ктому, что движение совершается по закону: пройденное расстояние растет пропорционально квадрату времени, такой закон был достаточным основанием для вывода, что движение совершается под действием некоторого постоянного фактора. Это мы видим у Гюйгенса, так рассуждал и Ньютон. В задаче о круговом движении установить такую зависимость «в малом» (при оценке. отклонений от прямолинейной траектории) было весьма просто и для Гюйгенса, и для Ньютона. Это представлялось естественным обобщением (даже не обобщением, а применением) законов падения, открытых Галилеем.
Но Гюйгенс, применив такие соображения с целью установить наличие центробежной силы, из этих же кинематических соображений вывел и зависимость этой силы от скорости и радиуса окружности. Это согласовывалось с его общим релятивистским кредо механика, и здесь он верен Декарту. Ньютон тоже опирается на Декарта, но он ищет меру той реальной силы, которая искажает инерционное прямолинейное движение, в механизме воздействия этой силы. Таким зримым, ощутимым механизмом могло быть только действие одного тела на другое при соприкосновении, при ударе. В той задаче о центростремительной силе, которую рассматривал Ньютон, воздействие осуществляется непрерывно, без ударов; но Ньютон их вводит, аппроксимируя ими непрерывное движение, и вводит потому, что есть мера ударного воздействия — изменение количества движения. Доказательством тому, что все оправдано на этом пути, будет закон для центростремительной силы, который Ньютон впоследствии вывел независимо от Гюйгенса, и все те грандиозные результаты в небесной механике, которые он получил и проверял, прежде чем опубликовать их в «Principia».
Следует сказать о ньютоновой аппроксимации безударного движения шара по окружности движением по вписанному в окружность правильному многоугольнику Ч У Ньютона есть несколько вариантов этого перехода к пределу. Наиболее убедительным для него является, видимо, тот, который использован в «Principia». Ход рассуждений там таков. Изменение количества движения шара при ударе в каждой вершине очевидным образом пропорционально скорости тела. С другой стороны, в течение определенного промежутка времени оно пропорционально числу ударов, т. е. числу сторон многоугольника, по которым прокатится шар за это время. Это число сторон меняется пропорционально скорости движения шара и обратно пропорционально радиусу окружности. Остается допустить законность перехода к пределу (когда число сторон вписанного многоугольника неограниченно растет и он сколь угодно мало отличается от окружности) 1 2, и мы получим для движения по окружности то, что доказано для многоугольника: центростремительная сила пропорциональна квадрату скорости шара и обратно про
115
1 Шар в этом случае рассматривается как материальная точка.
2 По сути это рассуждение основано у Ньютона не на предельном переходе, а; на трактовке кривой линии по методу неделимых — как многоугольника с бесконечно большим числом ничтожно^ малых сторон.
8*
порциональна радиусу окружности. В «Principia» мы находим это доказательство в схолии, следующей за теоремой IV второго раздела первой книги.
25. Дальнейшее построение системы механики шло у Ньютона в немалой мере под знаком критики Декарта. Несомненно, что изучение основных произведений Декарта — «Геометрии» в латинском переводе с обильными комментариями Схоутена и «Основ философии» — оказало глубокое влияние на Ньютона. Но благодаря своей общефилософской подготовке (Ньютон многое взял у кэмбриджского платоника Генри Мора) и в полном соответствии с мировоззрением своей среды Ньютон должен был отталкиваться от Декарта-философа и стал проницательным и беспощадным обличителем слабых сторон картезианской физики и механики. В «Principia» Ньютона есть еще немало скрытой полемики с Декартом, имя которого Ньютон избегает упоминать. Еще более характерно для отношения Ньютона к Декарту оставшееся незаконченным произведение студенческих лет «О тяготении и равновесии жидкостей» х. Целью Ньютона было дать трактат по гидростатике, но после краткого введения, относящегося к теме, он приступил к jjg критическому разбору картезианской физики, и сведение с нею счетов составляет основное содержание работы. Критика Ньютона двояка. Он не приемлет механистической философии Декарта, приписывающей материи независимость и объективное существование — такие качества можно приписать только богу, учение же Декарта ведет к атеизму. То, что действительно существует, существует в боге, и только такая, можно сказать, «фи-зикализация» божества позволяет Ньютону примирить науку и религию. Понятно, что это «предрасполагает» к принятию абсолютного пространства, как учил Генри Мор, и абсолютного времени, как учил другой кэмбриджский профессор — Исаак Барроу, уступивший в 1669 г. свою кафедру Ньютону.
Но Ньютону надо было решать и гносеологическую проблему: как действуют тела на человеческое восприятие. Вообще одно тело воздействует на другое только тем, что побуждает последнее двигаться или содействует сохранению им состояния покоя. В этом проявляются шесть присущих телам свойств: сила, устремление (conatus), импетус, инерция, давление, тяжесть. Фактически все они сводятся к силе, которую Ньютон определяет как причинное начало движения и покоя. Все это далеко от систематичности, и Ньютон не может объяснить того, как мы познаем мир, и не может окончательно решить, какие качества надо приписать богу. Заметим, что этот бог Ньютона весьма далек от бога официальной церкви. Для ортодоксальных богословов Ньютон был бы еретиком хотя бы потому, что догмат Троицы явно несовместим с его представлениями о божестве, которые, в сущности, сливаются с его представлениями о Вселенной, о космосе.
26. Таким образом, все основные элементы ньютоновой механики определились достаточно рано. В «Началах» Ньютона все приведено в систему. I Ньютон сразу вводит абсолютное пространство, неизменное и неподвижное, и тот репер, который позволяет придать точное содержание закону инерции — первому закону движения, который сформулирован по Декарту. Вводится и абсолютное время, текущее независимо от тел, — та универсальная независимая переменная, которая играет столь важную роль в ньютоновом исчислении бесконечно малых. Ньютону принадлежит и введение понятия массы, в отличие от веса 2 (протяженность, объем, по Декарту, составляли сущность материи). Он определяет массу тела как произведение плотности
«De Gravitatione et aequipondere fluidorum». Впервые опубликовано в «Unpublished scientific papers of Isaac Newton», chosen, ed. and transl. by A. Rupert Hall, Marie Boas Hall. Cambridge, 1926, p. 89— 156.
г Мы видели, что до него смешение этих двух понятий было обычным явлением. Выделение понятия массы произошло и в соответствии с традиционными представлениями о количестве вещества, и под влиянием открытия изменения веса тел на поверхности Земли (Рише, 1671 г.), и в связи с созданием теории тяготения.
на объем,/и в этом определении критики, в первую очередь Э. Мах, усмотрели порочный круг, — они считали возможным определить плотность только как массу единицы объема. Однако^весьма вероятно, что именно плотность рассматривалась Ньютоном как первичная характеристика тела/ Об этом говорят и пояснения, которые он дает к своему определению, явно навеянные опытами Бойля с газами, и то, что именно такое определение массы (количества материи) наиболее четко противостоит определению Декарта, где учитывается только объем.
I G введением массы Ньютон получает возможность сформулировать свой второй закон в полной общности: любое изменение (количества) движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит в направлении той прямой, по которой эта сила приложена/Мы знаем тот путь, который привел к этому решающему достижению. Но нельзя раскрыть полностью содержание, которое вкладывал Ньютон в свою формулировку, не учтя предшествующих ей пояснений. А они концентрируются вокруг понятия
«сила».
Терминологически неудачным следует признать то, что наряду с «приложенной» силой (vis impressa)/Bo втором законе Ньютон в «Определении 3» вводит «присущую» (vis insita) телам силу, хотя и заявляет, что она отличается от массы (меры инертности тела) только характером нашего восприятия. К тому же он предлагает для нее второе название — сила инерции. Вводится еще и третий вид силы — центростремительная. По отношению к ней Ньютон предлагает различать: 1) абсолютную величину — меру центростремительной силы, определяющую эффективность той «сущности», которая, «распространяясь из центра», создает силу; 2) ускоряющую величину этой силы, пропорциональную той скорости, которую она создает за данное время; 3) ее движущую величину, пропорциональную тому движению, которое она создает за данное время. Из пояснений становится ясно, что Ньютон, в сущности, рассматривает силовое поле, создаваемое некоторым центром сил/ Ускоряющая величина центростремительной силы соответствует напряже
117
нию поля в данном месте, движущая величина — это сила, приложенная к телу (точке), находящемуся в силовом поле, абсолютная величина — та
же центростремительная сила как характеристика того, что создает поле. Тонкость этих различий, видимо, не была оценена современниками и не повлияла на дальнейшее развитие. Впрочем, сам Ньютон содействовал этому, подчеркивая в «Principia», что он рассматривает эти «силы не физически, а математически». Это означало, что он не обязывается разъяснить природу, способ действия, физическую основу сил и не связывает их в точном и физическом смысле с определенными телами. Центры сил у Ньютона — не что иное, как математические точки. И это как раз содействовало тому, что понятие силы стало в механике весьма общим, относящимся к любым воздействиям и требующим для своего применения только задания своей меры. Второй закон Д(ш-у) = F\t не тавтология,— мы можем, и не зная внутреннего физического механизма, оперировать мерой силы F, чтобы определить вызываемое ею за время А/ изменение количества движения тела (точки). Конечно, возможны ситуации, когда мы определяем Am-У, чтобы узнать величину F. И Ньютон ставит себе две основные задачи: по заданным силам определить движение; по заданному движению определить силу.
На современников сильнейшее впечатление произвела данная Ньютоном иллюстрация: вывод из законов Кеплера закона тяготения 1 и доказательство того, что при наличии такого тяготения к центру (Солнцу) тяготеющие тела (планеты) движутся по коническим сечениям, в фокусе которых находится центральное тело. Но так как здесь рассматривается только становление классической механики как определенной законченной системы,
Этот вывод, правда, был сделан не только Ньютоном.
118
то мы не анализируем гениальные результаты Ньютона, относящиеся к небесной механике х.
/В систему основных положений Ньютона входит еще третий закон — о равенстве действия и противодействия. IВ такой общей!? формулировке он встречается впервые у Ньютона, хотя соответствующие представления не были новыми и, например, Декарта и Гюйгенса и даже Бальяни можно считать предшественниками Ньютона в этом вопросе. Да и сам Ньютон не притязал на авторство, как и в отношении первого и второго законов. Правило параллелограмма сил Ньютон поместил в качестве первого следствия после трех основных законов. Он доказывает это правило, явно используя положение о независимом действии сил и сводя доказательство к сложению перемещений, сообщаемых одному и тому же телу импульсами, направленными по сторонам параллелограмма. Это доказательство было неубедительным и для современников, но само правило и единообразную трактовку сил в статике и динамике можно было уже считать общепринятой истиной: в том же 1687 г. Вариньон опубликовал свой «Проект новой механики» — трактат по статике, основанный на законе параллелограмма сил, и тот же закон в общем виде одновременно дал Лами.
27. Итак, основы классической механики полностью даны Ньютоном во вступительной части его «Начал»; кроме того, на основе общего понятия силы как причины изменения состояния покоя или движения, сформулированы две основные задачи механики, из которых одна требует применения дифференцирования, вторая — интегрирования (функций и уравнений) 1 2. В связи с этим в «Началах» Ньютон ставит перед собою еще две задачи: дать математический аппарат для механики, основанной на его законах, и оправдать принятую им пространственно-временную схему, без которой содержание его законов (первых двух) лишается определенности. Математический аппарат, применяемый в «Началах», изложен в первом разделе книги под названием метода первых и последних отношений. Метод можно назвать геометрическим вариантом исчисления бесконечно малых, притом вариантом, лишенным алгоритмической стройности. Не будем обсуждать причины, в силу которых Ньютон предпочел его собственному алгоритму флюксий и флюент, разработанному им на 20 лет раньше. Для судьбы научного наследия Ньютона существенно то, что на три года раньше Лейбниц опубликовал свой значительно более удобный алгоритм.
Что касается абсолютного времени и, особенно, абсолютного пространства, иначе говоря, различения абсолютных и относительных движений, то Ньютон ясно видел все связанные с этим трудности. Он пишет: «.Распознание истинных движений отдельных тел и точное их разграничение от кажущихся весьма трудно, ибо части того неподвижного пространства, о котором говорилось и в котором совершаются истинные движения тел, не ощущаются нашими чувствами. Однако это дело не вполне безнадежное. Основания для суждений можно заимствовать частью из кажущихся движений, представляющих разности истинных, частью из сил, представляющих причины и проявления истинных движений. Так, если два шара, соединенные нитью на данном друг от друга расстоянии, будут обращаться около общего их центра тяжести, то по натяжению нити можно будет узнать стремление шаров к удалению от оси вращения и по нему вычислить угловую его скорость. Если затем на противоположные стороны шаров заставить действовать равные силы так, чтобы они или увеличивали, или уменьшали круговращательное движение, то по увеличившемуся или по уменьшившемуся натяжению нити может быть обнаружено увеличение или уменьшение скорости движения, и,
1 Разумеется, их историческое значение для утверждения классической механики исключительно велико.
’Если применить современную терминологию.
Г. В. Лейбниц (1646—1716 гг.)
таким образом, можно будет найти те стороны шаров, к которым надо приложить силы, чтобы увеличение скорости движения стало наибольшим, и найти те стороны шаров, которые обращены по направлению движения или но направлению, ему обратному. Когда эти передние и задние стороны будут найдены, то и движение будет вполне определенным» \
До этого Ньютон излагает свой знаменитый опыт с «ведром»: в приведенном в достаточно быстрое вращение сосуде с водою поверхность воды, в начале вращения плоская, постепенно воспринимая вращение сосуда, отступает от его середины и приподнимается по его краям, пока не приходит в относительное равновесие. «Этот подъем воды указывает на стремление ее частиц удаляться от оси вращения, и по этому стремлению обнаруживается и измеряется истинное и абсолютное вращательное движение воды, которое, как видно, во всем совершенно противоположно относительному»1 2. На основании этого опыта и приведенных выше рассуждений Ньютон приходит к выводу, что по перемещениям, например, шаров, о которых он говорил выше, относительно неподвижных звезд нельзя было бы определить, что перемещается — звезды или шары; но если мы определим натяжение нити, связывающей шары, и найдем, что натяжение соответствует движению шаров, то будет оправдан вывод, что движутся шары, а не звезды. «Таким образом, повидимому перемещению шаров относительно внешних тел мы вывели бы их движение. Нахождение же истинных движений тел по причинам, их производящим, и, наоборот, нахождение по истинным и кажущимся дви
1 и. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перев. А.Н. Крылова. —Собрание трудов акад. A. H. Крылова, т. VII. M. — Л., Изд-во АН СССР, 1936, стр. 16. ,
2 Там же, стр. 35.
120
жениям их причин и проявлений излагаются подробно в последующем. Именно с этой целью и составлено предлагаемое сочинение» К
Итак, задачи науки механики определены с полной отчетливостью, и эти задачи принципиально разрешимы, т. е. как сейчас мы сказали бы, они имеют определенный физический смысл. Они в принципе разрешимы и математически, ибо, как сказано в первой фразе авторского предисловия к первому изданию «Начал», им развита математика, необходимая для физических приложений.
Но такая натуральная философия шла вразрез с тем, что, казалось, было основой новой механистической философии, — с физикой Декарта. И мы знаем, что разъяснения Ньютона не могли удовлетворить, например, ни Гюйгенса, ни Лейбница. В письмах, которыми они обменялись в 1694 г., вопрос об относительности движения занимает видное место. Корреспонденты напомнили друг другу, что в 70-е годы, когда они встречались в Париже, и Гюйгенс считал возможным рассматривать круговое движение как абсолютное, и Лейбницу казалось нелепым, что нет «действительного» движения. Но теперь-то, утверждал Гюйгенс, относительность движения надо считать установленной, и его, Гюйгенса, не смущают рассуждения и опыты Ньютона, ибо Ньютон безусловно ошибается.
Отвечая, Лейбниц соглашается, что кинематическая относительность всегда имеет место, но каждое движущееся тело имеет какую-то степень движения или, если угодно, степень силы, «несмотря на эквивалентность гипотез». Поэтому не все сводится к геометрии, надо признать еще нечто высшее — силу. И Лейбниц соглашается с Ньютоном, который принимает «эквивалентность гипотез» в случае прямолинейных движений, но полагает, что уси-лищ развиваемые вращающимися телами в направлении от оси вращения, выявляют их абсолютное движение. Но тут же Лейбниц говорит, что есть основание принять общий закон эквивалентности. И когда Гюйгенс в следующих письмах подтвердил свою последовательно релятивистскую позицию, Лейбниц поспешил его заверить в том, что считает «все гипотезы эквивалентными», и, если он, Лейбниц, приписывает определенные движения определенным телам, то только на том основании (и другого основания быть не может), что такое допущение проще остальных. Но Лейбниц не привел ни каких аргументов, как не привел их и Гюйгенс.
Позже, в 1715 г., в споре с ньютонианцем Кларком Лейбниц снова возражает против признания абсолютного пространства. В конце дискуссии1 2, в пятом письме Кларку, Лейбниц продолжал утверждать, что не находит у Ньютона доказательств реальности пространства самого по себе, но признал различие между истинным движением тела и простым изменением его положения по отношению к другому телу. «Ибо, если непосредственная причина изменения заключена в самом теле, то оно действительно находится в движении и тогда, следовательно, изменится положение других тел по отношению к нему, хотя причина этого изменения не лежит в них самих» 3. Таким образом, Лейбниц не смог и не мог отстоять динамическую относительность. Но его позиция в этом вопросе характерна для континентальных ученых того времени.
Для оценки исторической роли ньютоновых «Начал» надо принять во внимание еще одно обстоятельство. Все замечательные результаты Ньютона по небесной механике основаны на его законе тяготения, сформулированном так, как если бы тяготение действовало на расстоянии. В своих неопубликованных высказываниях Ньютон отвергал действие на расстоянии, но это осталось неизвестным его континентальным оппонентам. А среди ньютони-
1 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии, стр. 36—37.
2 Ее прервала смерть Лейбница.
3 См. «Полемика Г. Лейбница и С. Кларка». Л., 1960, стр. 82.
анцев даже первого поколения уже были люди, безоговорочно принимавшие a.'tio in distans. Это, конечно, вызывало резкие возражения. Так, в дискуссии с Кларком Лейбниц писал, что «было бы странным заблуждением, если бы всей материи придавали тяжесть и считали бы ее действенной по отношению ко всякой другой материи, как если бы все тела взаимно притягивались в соответствии со своими массами и расстояниями, т. е. обладали бы именно притяжением в собственном смысле, которое нельзя сводить к результатам скрытого толчка тел» \
Приняв все это во внимание, мы должны сделать вывод, который может показаться парадоксальным. С одной стороны, развитие механики в XVII в. показывает нам, что в «Началах» Ньютона это развитие завершается: там даны физические основы и основные законы классической механики, дан и необходимый для их систематического применения математический аппарат и там же даны первостепенной важности приложения. С другой стороны, с точки зрения многих современников, физические основы, принятые Ньютоном, были сомнительны или неприемлемы; предложенный им математический аппарат надо было считать устаревшим, как ни гениально умел им пользоваться автор; три основных закона не были каким-то новым открытием 1 2, а решать задачи можно было, пользуясь более наглядными положениями, вроде энергетического принципа Гюйгенса, и это должно было оцениваться как менее формальный, «более физический» подход. Вот почему/в течение многих десятилетий классическая механика, для нас равнозначная ньютоновой механике, развивалась не под знаком «Начал». Признать, что в них — «вся механика», стало делом XIX в. Оценить же в полной мере значение изложенной в «Началах» системы стало возможным, пожалуй, только после появления теории относительности./
1 Там же, стр. 75.
1 Закон инерции дан в формулировке Декарта, сам Ньютон приписывал его Галилею. Второй закон представлялся, видимо, настолько естественно вытекающим нз накопленных ранее результатов, что Ньютон опять-таки приписывал Галилею использование этого закона, и никто из современников (да и среди ученых XVIII в.) не ставил его Ньютону в особую заслугу. Значение третьего закона тоже раскрылось-не сразу.
6
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (XVIII В.)
1. Сказанное в конце предыдущей главы объясняет, почему в первые десятилетия после появления «Начал» Ньютона механика развивается в значительной мере независимо от них. До середины XVIII в. наибольшее влияние оказывает не система механики «Начал», а изложенная в них теория тяготения. Картезианская физика с ее plenum1 (т. е. отрицанием пустоты) и вихрями, в противоположность небесной механике «Начал», была бессильна предложить теорию Солнечной системы, с помощью которой можно было бы рассчитывать положения планет. Основной же качественный вывод из учения Декарта, утверждающий, что Земля — вытянутый эллипсоид, был опровергнут: геодезические экспедиции Мопертюи в конце концов подтвердили теорию Ньютона, установив, что Земля сплющена у полюсов. И еще раньше, в 20-е годы XVIII в., Фонтенель мог констатировать, что пустота и тяготение, изгнанные Декартом, казалось бы, навсегда благодаря Ньютону вернулись в науку да еще с такой силой, которой раньше за ними не подозревали.
Это не означало, что представление о силе, действующей на расстоянии, стало приемлемым, но вычисления, произведенные на основе допущения,что тяготение как бы действует на расстоянии, подтверждались. Поэтому к загадочному тяготению начали привыкать, и различные физические схемы для его истолкования, которые предлагались некоторыми учеными, не вызывали особого интереса. К тяготению по Ньютону привыкали тем основательнее, чем больше вычисляли, чем больше разрабатывали методы небесной механики, плодотворность которых выявлялась все убедительнее. В астрономии происходила явная смена вкусов: в начале XIX в. Деламбр отмечал, что в его дни вычислять любят так же сильно, как не любили вычислять сто лет назад. И крупные успехи небесной механики, основанной на всемирном законе тяготения и на представлении о силе как причине движения, действующей согласно второму закону Ньютона, не могли не влиять на трактовку задач механики земной.
С постепенным вытеснением картезианской физики опиравшееся на нее кинетическое направление в механике должно было уступить свое место динамическому.
Одновременно проходил процесс внедрения в механику представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени. Впрочем, что касается абсолютности времени, то противники ньютоновой концепции вели спор, собственно, философского, метафизического характера, а не физическую дискуссию. Сложнее дело обстояло с абсолютностью пространства, иначе говоря, с введением некоего истинного репера или системы таких друг другу равноценных реперов. Однако как ни различны были философские взгляды
1 (Лат.) буквально: полнота.
механиков XVIII в., успехи небесной механики не могли не убеждать в том, что практически такой репер (гелиоцентрическая система координат) может быть указан. Космос до Гершеля еще был ограничен Солнечной системой и сферой неподвижных звезд, и это тоже оказывало свое влияние. Споры по вопросу об абсолютности пространства стали метафизикой, и в конце XVIII в. Лагранж в «Аналитической механике» обходит вопрос о выборе инерциальной системы координат молчанием. Проблема пространственно-временной схемы в механике перестает быть предметом дискуссий, а фактически в основу кладутся положения ньютоновых «Начал», ставшие настолько обыденными, что имя Ньютона с ними не связывается.
По мере укоренения динамических представлений скрадывается значительность и принципиальность того концептуального достижения, которое воплощено во втором законе Ньютона. Оно и самому автору, видимо, казалось настолько напрашивающимся, что он связал с ним имя Галилея. В XVIII в. (и это зафиксировано Лагранжем в «Аналитической механике») во втором законе видят оправданное выводами простейшее допущение о пропорциональности следствия (изменения движения при его отклонении от «естественного», т. е. равномерного и прямолинейного) причине (силе). Так ньютонова система механики становится основной и общепринятой, хотя и не называется его именем.
Но конец XVII в. и XVIII век в истории механики не сводятся, конечно, только к тому, что изложено выше и что происходило главным образом под знаком успехов небесной механики. XVII в. дал хорошие примеры того, что определенный круг задач, динамических или статических, можно с успехом решать, исходя из некоторого специального принципа, достаточно наглядного или экспериментально проверенного. XVIII в. и тут был продолжателем своего предшественника. Принципы, выдвинутые в этом периоде, были разной общности. Термином «принцип» обозначали положения, которые в современной терминологии соответствуют интегралам дифференциальных уравнений движения или некоторым следствиям из этих уравнений, записанным в дифференциальной форме, как например, закон моментов количеств движения и интеграл живых сил. Лагранж подвел итоги, показав, как получить принципы первой группы из дифференциальных уравнений движения системы материальных точек. Наконец, в течение XVIII в. обогащается и уточняется набор основных понятий механики: выделяется понятие материальной точки, системы материальных точек, связи, наложенной на механическую систему, реакции связи.
В течение XVIII в. произошло и полное изменение математического языка механики. Геометрический вариант исчисления бесконечно малых, предложенный Ньютоном в «Началах», пожалуй, только у него и у первоклассных ученых мог быть методом — для менее сильных математиков даже разбор готовых решений в «Началах» был нелегким делом. Последователей Ньютон нашел только в Англии, и получить, следуя Ньютону, новые значительные результаты оказалось по силам лишь Маклорену.. Надо думать, что по этой причине в течение почти столетия английские ученые практически не участвовали в развитии механики. Напротив, континуальная школа располагала средствами анализа бесконечно малых в том виде, какой ему придал Лейбниц, и эта форма математического языка была использована в механике с большим успехом. Благодаря тому алгоритму математического анализа, который культивировала школа Лейбница, механика получила возможность стать аналитической и действительно стала ею. Больше всего заслуг в этом деле у Эйлера и Лагранжа. Лагранж и здесь подвел итоги и ввел в обиход самый термин «аналитическая механика».
2. Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса) можно приписать Декарту, выдвинувшему это положение, как мы знаем, в форме универсального и основного принципа механики, но в ошибочной фор
123
124
мулировке: он рассматривал произведение массы («величины») тела на скорость (mv) как скалярную, притом существенно положительную величину. В работах по теории удара Валлиса, Врена и Гюйгенса этот закон используется в правильной (алгебраической) редакции для случая двух тел, движущихся по одной и той же прямой х. В мемуаре «О движении тел под влиянием удара» Гюйгенса содержится «Предложение VI»: «Когда два тела соударяются, то не всегда сохраняется количество движения, бывшее в обоих до удара, но оно может уменьшиться или увеличиться»2. Здесь Гюйгенс говорит о количестве движения в смысле Декарта, и теорема Гюйгенса опровергает утверждение Декарта о том, что количество движения во Вселенной всегда сохраняет свою величину. А в статье 1669 г. Гюйгенс дает указанную выше теорему в другой формулировке: «Количество движения, которое имеют два тела, может увеличиваться или уменьшаться при столкновении, но его величина остается постоянной в ту же сторону (в том же направлении), если мы вычтем количество движения обратного направления» 3.
В той же статье Гюйгенс пишет (об этом уже упоминалось выше, гл. V, п. 19), что заметил удивительный закон природы, который он может доказать для сферических тел и который, по-видимому, справедлив и для всех других тел, твердых (упругих) и мягких (неупругих), при прямом и косом ударах: «Общий центр тяжести двух, трех или скольких угодно тел продолжает двигаться равномерно в ту же сторону по прямой линии как до, так и после удара» 4. Это, видимо, первая (частная) формулировка закона движения центра инерции.
Ньютон, «стоя на плечах гигантов», дал в «Началах», в первых же следствиях из трех основных законов, два существенных обобщения: следствие III гласит, что количество движения системы тел не изменяется при взаимодействии этих тел, а из следствия IV мы узнаем, что общий центр тяжести 5 двух или большего числа тел не изменяет своего состояния движения или покоя при взаимодействии этих тел, и, следовательно, без внешних воздействий на систему и препятствий он либо остается в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. Но в рассуждениях, которыми Ньютон обосновывает свои следствия, ничто не наводит читателя на мысль, что эти два утверждения равнозначны. В дальнейшем более наглядная формулировка, относящаяся к центру тяжести, была долгое время на первом плане. Далам-бер, по мнению Лагранжа, значительно расширил принцип центра тяжести по сравнению с Ньютоном, «показав, что когда тела находятся под действием постоянных ускоряющих сил, причем все они (силы) направлены по параллельным линиям или по линиям, сходящимся в одной точке, и действуют пропорционально расстояниям, то центр тяжести должен описывать ту же кривую, как если бы тела были свободны» 6. Окончательная формулировка принадлежит самому Лагранжу, который, вслед за похвалою в адрес Да-ламбера, пишет: «Можно еще добавить, что движение этой точки (центра тяжести системы) вообще остается таким же, как если бы все силы тел, каковы бы они ни были, были приложены в этой точке с сохранением за каждой силой ее направления» 7. Ив заключение Лагранж указывает, что принцип служит для определения движения центра тяжести независимо от соответствующих движений тел и что он, таким образом, может дать три конеч-
* Конечно, надо напомнить, что масса явно не входит в формулировки — сравниваются количества движения «одинаковых» или «неодинаковых» (бблыпих, меньших) тел.
1 X. Гюйгенс. Три мемуара по механике. Перев., ред. и прим. К. Г. Баумгарта, M., Изд-во АН СССР, 1951, стр. 223.
• Там же, стр. 366. Гюйгенс рассматривает соударение вполне упругих тел.
4 Там же.
* В современной терминологии «центр масс».
• Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1. Перев. с франц. В. С. Гохмана. М. — Л., Гостехиздат. 1950, стр. 316.
’ Там Же, стр. 316—317.
X. Гюйгенс (1629—1695 гг.)
ных уравнения, связывающие координаты тел и время, которые будут интегралами дифференциальных уравнений задачи.
3. Закон площадей — прообраз и частный случай общего закона моментов количеств движения — был установлен впервые Кеплером для движения планет. Кеплер показал, что его «второй закон» справедлив как для теории Коперника, так и для теорий Птолемея и Тихо Браге. Возможно, что это обстоятельство побудило Ньютона к дальнейшему обобщению. В «Началах» он доказал и то, что закон площадей для планетных орбит является следствием закона тяготения (планет к Солнцу) в принятой Ньютоном форме, и то, что этот закон справедлив при движении тела под действием любой силы постоянного направления, проходящей через неподвижный центр. Но переход к более общей закономерности не был напрашивающимся, так как момент силы относительно этого центра тождественно равен нулю и в случае, который рассматривал Ньютон. Этот переход был облегчен развитием статики — оперирование моментами (сил) относительно оси или точки как алгебраическими величинами стало там обычным благодаря трудам Вариньона. Все же новое обобщение закона площадей было получено только в работах 40-х годов XVIII в. Все эти работы связаны с задачами о движении тел на движущихся поверхностях. Подобные задачи ставились и в земной, и в небесной механике. Иоганн и Даниил Бернулли начали изучение таких вопросов для случая, когда движущаяся поверхность — наклонная плоскость. Клеро немало содействовал успеху в этой тогда новой области механики своими результатами по теории относительного движения. Вслед за ним Эйлер в большой работе «О движениях тел по подвижным поверхностям» х, от-
1 «De motu corporum in superficiebus mobilibus». В «Leonard! Euler! opuscula varii argument!», v. 1. Herolini, 1746.
носящейся к 1746 г., пошел по тому же пути. Он писал во введении, чти стремился главным образом показать, как в задачах такого рода применять основные положения механики, не прибегая к доказанным впоследствии теоремам, например к теореме о сохранении живых сил. Не то, чтобы он сомневался в справедливости последней теоремы, спешил добавить Эйлер, а с целью-показать совпадение решений, им полученных, с решениями, выведенными на основе закона живых сил, и тем самым убедить в его правильности тех, кто еще в этом сомневается Кроме того, Эйлер обосновал свою методику тем, что есть случаи, когда столь плодотворный закон живых сил не приводит к цели, тогда как основные положения механики при правильном их использовании обеспечивают успех.
В отличие от Эйлера, Д. Бернулли сразу искал для решения таких задач достаточно общий принцип и нашел его для того случая, когда переносное движение («движение поверхности») — вращательное. В его письмах к Эйлеру речь идет о таких задачах, как движение точки по «движущейся горизонтально» кривой, о движении шарика во вращающейся трубке, об 126 обобщении последней задачи — во вращающейся трубке находится любое-число шариков 1 2. Эти задачи решают оба автора, и при этом со все большей общностью формулируется закон площадей, а так как известный приоритет при этом сохранялся за Д. Бернулли, Эйлер побуждает его изложить полученные результаты и представляет работу своего друга и соперника Берлинской Академии наук. Это — «Новая задача механики» 3 — о вращении трубки с любым числом находящихся в ней масс вокруг некоторой оси. Бернулли упоминает о том, что той же задачей с успехом занимались Эйлер и Клеро, хотя ему неизвестны ни их методы, ни их результаты. Затем он указывает, что подобные задачи не следует рассматривать изолированно, только-ради их решения: задачи механики заслуживают внимания прежде всего-дотому, что они часто приводят к открытию новых теорем и позволяют нам узнать те общие законы, которым следует природа во всех своих проявлениях.
В данном случае общий закон в формулировке Д. Бернулли 4 заключается в том, что при движении нескольких тел вокруг неподвижного центра сумма произведений массы каждого тела на скорость его вращения вокруг центра и на расстояние его от того же центра является всегда не зависимой от взаимного действия, которое тела могут производить друг на друга, и должна всегда оставаться неизменной, если не имеется какого-либо внешнего действия или препятствия.
Патрик Дарси, ирландец, достигший во французской армии чина фельдмаршала, а во французской науке — членства Парижской академии наук, был теоретиком и практиком-артиллеристом, изучал и небесную механику— теорию Луны. Существенное место в истории механики занимает его работа «Динямическа я задача», к рассмотрению которой мы переходим 5. В ней доказывается теорема, дающая обобщение соответствующей теоремы Ньютона: при движении системы материальных точек вокруг неподвижного центра сумма произведений вида тпгаг, где аг — площадь, описываемая радиусом-вектором точки с массой тпг, и все аг берутся в одной и той же плоскости проекций, пропорциональна времени. Это и есть, собственно, обобщенный закон площадей в интегральной форме, а теорема Д. Бернулли и Эйлера дает тот же закон в дифференциальной форме. В отличие от Эйлера и Бернулли,
1 Явный отголосок еще не затихших споров о мере движения. См. след, пункт этой главы.
’ Р. Н. Fuss. Correspondence mathematique et physique de quelques celfcbres ggomfetres du XVIII erne siecle, t. II, SPb., 1843.
’ Nouveau ргоЫёше de mecanique, resolu par D. Bernoulli. Histoire de Г Academic de Berlin, Аппёе 1745.
4 Аналогичная формулировка дана и Эйлером.
5 Patrik d’Arcy. РгоЫёше de dynamique. Histoire de Г Academic Royale des Sciences (1747). Paris, 1752. В немецком переводе см. Ostwald’s Klassiker, N 191. Abhandlungen tiber die Grundsatze der Mechanik. Leipzig u. Berlin, 1914, hrsg. von Ph. E. B. Jourdain.
Дарси рассуждает как инженер,— его доказательства, как правило, строятся на основе той технически реализуемой конструкции, которую он предлагает для осуществления рассматриваемых им движений, он говорит не о сообщаемых телам скоростях, а об ударах, придерживаясь языка и представлений картезианской физики. Наконец, он позволяет себе выпад против излишнего использования аналитических средств. Он пишет: «Я решаю здесь эти задачи без применения вторых дифференциалов и избегаю таким образом интегрирований, которые всегда отвлекают от главной задачи, так как наше внимание сосредоточивается на инородных вопросах» х.
Лагранж в историческом обзоре, которым он начинает «Динамику»1 2, указывал, что закон площадей имеет место для любой системы материальных точек, взаимодействующих любым образом и находящихся под действием внешних сил, направленных к неподвижному центру, независимо от того, будет ли система совершенно свободна или же она будет двигаться вокруг центра сил. Лагранж подчеркнул при этом, что, принимая три взаимно перпендикулярных плоскости в качестве плоскостей проекций, мы получаем три закона площадей в виде дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и координаты точек системы, и «в этих уравнениях собственно, и заключается природа изложенного выше принципа».
Однако в Отделе третьем «Динамики» 3 4 содержится не только обоснование этого общего закона площадей, но и вывод общей зависимости между суммой моментов количеств движения материальных точек («тел»), составляющих систему, и суммой моментов внешних сил — «закон моментов». Этот результат (притом для более общего случая) содержится в исследованиях Далам-бера и Эйлера по динамике твердого тела, о чем см. пункты 11, 12 данной главы. Эйлеру принадлежит также заслуга в формулировании закона моментов количеств движения для сплошной среды (жидкости) — в качестве независимого принципа: действительно, все приводимые и до сих пор «доказательства» «закона моментов» для сплошной среды, основанные на тех же предпосылках, что и в случае системы материальных точек и абсолютно твердого тела, иллюзорны.
4. Историю принципа живых сил можно начать с Галилея — его утверждение, что скорость, приобретаемая при движении тела вдоль наклонной плоскости, определяется только разностью высот исходного и начального положения, является первым и частным случаем этого принципа. В более общей форме это же положение высказано Торричелли (см. гл. V). Гюйгенс (см. там же, п. 19) заметил сохранение суммы живых сил при соударении идеально упругих шаров, — надо только оговорить, что для точной формулировки Гюйгенсу недоставало явного введения понятия массы. С той же оговоркой зависимость между суммой живых сил нескольких тяжелых материальных точек и работой силы тяжести при их перемещениях указана в «Маятниковых часах» Гюйгенса, и это — непосредственное продолжение линии Галилей — Торричелли. Все это—предыстория принципа живых сил, ибо в достаточно общем виде и вместе с названием и определением величины ту2 он появляется только в 1686 г. в работе Лейбница1. Работа коротка (шесть страниц) и содержательна, название длинно: «Краткое доказательство удивительной ошибки Декарта и других относительно закона природы, согласно которому, как полагают, господь всегда сохраняет одно и то же количество движения, но который разрушает механику» 5. В ней есть положи
127
1 Patrik d’Arcy. Problems de dynamique, p. 51.
! Ж. Лагранж. Аналитическая механика, стр. 300 и след.; см. особо стр. 317—319.
3 Там же, стр. 338 и след.
4 С той же оговоркой, которая сделана относительно Гюйгенса: у Лейбница еще нет четкого определения массы, он говорит о «величине» тела.
5 G. W. Leibniz. Brevis demonstratio erroris memorabilis Cartesii..., Acta Eruditorum, Lipsiae, 1686; Leib' nizens mathematische Schriften, hrsg. von C. J. Gerhardt. Abt. 2, Bd. II. Hallei, I860.
128
тельная часть: для поднятия единичного груза на учетверенную высоту нужно удвоить скорость по сравнению с той, какую надо сообщить тому же грузу при поднятии на единичную высоту, значит, мера силы должна быть пропорциональна квадрату скорости, так как в первом случае требуется сила, вчетверо большая, чем во втором. Невозможность вечного двигателя принимается Лейбницем за аксиому и используется для доказательства сохранения вводимой им меры силы (тпн2). Полемическая часть работы основана на ее положительной части — ошибкой, по Лейбницу, является принятие, вслед за Декартом, в качестве меры силы и сохраняющейся величины количества движения (ти), так как оно изменяется пропорционально не второй, а первой степени скорости.
Позже Лейбниц уточнил определение и терминологию. Есть мертвая сила (термин Галилея) — таково, например, давление — оно не производит движения, но стремится его произвести. Есть живая сила, мера которой введена Лейбницем, она существует в движении. Но Лейбниц мыслит диалектически, он не воздвигает непроходимой стены между этими двумя понятиями: всем телам присуща собственная сила, между движением и покоем нет качественного различия, живая сила возникает из импульсов мертвой силы, и мера силы должна быть одна — лейбницева, а не декартова. Заодно Лейбниц выдвигает в качестве общего закона положение о сохранении живых сил при (механическом) движении — упругих соударениях и т. п.
Введение Лейбницем новой меры силы вызвало так называемый спор о живой силе — полемику, продолжавшуюся несколько десятилетий. Сначала против Лейбница выступили убежденные последователи картезианской механики и физики, в их числе известный инженер-изобретатель Папен и видный философ Мальбрашп. Лейбниц отвечал, но полемика продолжалась и после его смерти. Усилить аргументацию Лейбница стремились его ученики Германии Иоганн Бернулли, против них продолжали выступать преимущественно французские ученые. В первом томе «Комментариев» Петербургской академии наук (напечатан в 1731 г.) помещены две статьи сторонников Лейбница — Германна и Бильфингера на тему о мере силы тел, а споры продолжались и позже — ив 40-е годы. Кроме сторонников только одной меры силы, начинают высказываться те, кто стремится занять какую-то промежуточную позицию, среди них — молодой Кант. Полемика прекращается в середине века в значительной мере под влиянием выступления Даламбера, доказывавшего беспредметность спора.
Был ли прав Даламбер? И да, и нет. Конечно, если, сохраняя терминологию этой знаменитой дискуссии, мы будем понимать под силой произведение массы на ускорение, то оправдано следующее рассуждение. Пусть имеем две силы: Fr = и F, == m2a2. Сравнивая их «действие» в течение одного и того же промежутка времени Ai, можно положить
Fi __ miaiAt _ mi&Vi А (лигь)
F2 m-2a2&.t A (г/Ы’2) ’
t. e. силы относятся как изменения количества движения. Сравнивая «действие» тех же сил в предположении, что они перемещают точки приложения на одно и то же расстояние As (за время соответственно А^ и Дг2), получаем
. A»i . 1 .
F! = = =
А Л(^2) ’
т. е. можно сказать, что силы относятся как изменения живых сил, понимая под этим ти2 или 1/2 mv2. И примеры, которыми участники дискуссии «по-
бивали» друг друга, относились к одному из двух указанных случаев. Стало быть, спор шел о словах.
Однако эти соображения, которые лежат в основе выводов Даламбера и которые повторяет современный историк науки М. Джеммер (Яммер) \ не исчерпывают вопроса. Они перестают удовлетворять, если обратить внимание на то, что сукаждой мерой силы связан свой закон сохранения— закон сохранения импульса силы и закон сохранения механической энергии соответственно (по терминологии XX в.). И Декарт, и Лейбниц, вводя свои меры, искали некоторую величину, которая должна сохраняться в процессе движения, и придавали принципиальное методологическое значение такому подходу. Вот эту философскую сторону дела склонен был опустить Да-ламбер, представляя антиметафизические, но вместе с тем и упрощающие тенденции французского материализма XVIII в. Именно благодаря преобладанию таких тенденций вскоре после опубликования «Динамики» Даламбера прекращается спор о живой силе — и потому, что он был в известной мере спором о словах, и потому, что механики того времени сошлись в конце концов на мнении, что это был только спор о словах. И в этом случае философский подтекст, столь явственный у ученых XVII в., исчезает у их наследников, блестящих в своей неутомимой математической изобретательности, но отвергающих вместе с «дурной метафизикой» глубокую философию своих предшественников.
В XIX в. только Энгельс с полной определенностью указал, что формальное разрешение старого спора нельзя считать удовлетворительным. Опираясь на то, чем располагали физика и теоретическая механика 70-х годов прошлого столетия, Энгельс мог показать, что переход от меры силы (или движения) по Декарту к мере силы (или движения) по Лейбницу связан с распространением принципа сохранения (живых сил) на более сложные (немеханические) формы движения, т. е. с переходом к универсальному закону сохранения энергии. Наконец, в XX в. после создания теории относительности связь между сохранением импульса и сохранением энергии раскрылась в другом плане — как соотношение «свойств пространства, с одной стороны, и свойств времени — с другой» 1 2.
Возвращаясь к XVIII в., надо признать, что в ходе спора о живой силе сторонниками Лейбница были получены существенные результаты, приведшие к точной формулировке закона сохранения механической энергии. Иоганн Бернулли в ряде работ 20—30-х годов показал значительную общность закона живых сил, применил его в задаче о колебаниях физического маятника, в задачах о движении тяжелой материальной точки, об упругом соударении ит. д., подкрепляя теоретические результаты опытами. Следуя ему, его сын Даниил 3 применял закон живых сил в различных задачах и положил его в основу своей «Гидродинамики», изданной в 1739 г. 4 В отличие от отца, Даниил Бернулли оставляет в стороне методологические вопросы — в его работах уже обозначилась «антиметафизическая» тенденция века.
Наконец, в «Замечаниях относительно обобщенной формы принципа сохранения живых сил» Даниила Бернулли 5 содержится важное обобщение, дающее закон сохранения механической энергии почти в окончательном виде. Кроме положения, что живая сила системы точек не изменяется при
129
1 М. Jammer. Concepts of force. Cambridge, 1957.
2 Б. Г. Кузнецов, У. И. Франкфурт. К теории закона сохранения и превращения энергии. — Труды Ин-та истории естествознания и техники, 1959, т. 28, стр. 346.
• Одна из работ И. Бернулли, о которых только что шла речь, имеет подзаголовок: «Извлечения из писем к сыну Даниилу от 11 октября и 20 декабря 1727 г.».
• Об этом см. в следующей главе.
s Daniel Bernoulli. Hemarques sur le principe de la conservation des forces’yives pris dans un sens g£ndral. Histoire de i’Acaddmie Royale de Berlin, 1748 (напечатано в 1750). В немецком переводе см. «Ostwald’s Klassiker», N 191.
9 История механики
J
130
освобождении точек системы от наложенных на них (подразумевается—идеальных) связей, Д. Бернулли формулирует закон сохранения живой силы в виде
mv'1 4- m'v'1 4- ml'v"1 4- • . . =—2m — 2m' %dz — 2m!' %'dx" — ...
Здесь g, %",... обозначают «ускоряющие силы», приложенные соответственно к массам т, т', т",..., и при интегрировании надо добавить постоянные в соответствии с начальными условиями движения. Такое добавление необходимо и в выражении для живой силы, если в начальный момент тело не находилось в состоянии покоя. Правда, фактически Бернулли все время имеет в виду систему материальных точек, находящихся под воздействием сил притяжения к некоторым центрам; но он и центры делает подвижными, и закон притяжения допускает в виде любой функции расстояния от центра, так что в правой части выписанного равенства мы имеем взятую со знаком минус работу приложенных сил для весьма общего случая. Наконец, переходя к закону Ньютона, Бернулли получает выражение вида —у—, т. е.
г
вводит потенциал системы точечных масс для точечной массы М(гг — расстояние между точками с массами тг и М). Это подготовило открытие Лагранжа, относящееся к 1773 г.: составляющие действующей на точку с массой М силы по осям ортогональной неподвижной системы декартовых координат выражаются частными производными одной и той же функции. Насколько исторически важно это кажущееся сейчас простым обобщение, можно судить по оценке Якоби. В «Лекциях по динамике» 1 он указывает, что Эйлер во втором приложении к своей монографии об изопергметрической задаче, т. е. в 1744 г., еще вынужден пользоваться весьма неудобными выражениями для уравнений движения взаимно притягивающихся тел и что лишь Даниил Бернулли в рассмотренной выше работе показал настоящее значение принципа сохранения живой силы. А Лагранж применил соображения Бернулли к тем задачам, которые рассматривал Эйлер, и «на этом пути пришел к своим главным результатам». Действительно, Лагранж и в этом вопросе завершает труды своих предшественников, как мы увидим в заключительных пунктах настоящей главы.
5. Рассмотренным выше (см. пункты 2—4) принципам соответствуют «законы сохранения» классической механики — это, так сказать, физическая точка зрения. С аналитической же точки зрения они дают зависимости, которые при соблюдении определенных условий приводят к интегралам дифференциальных уравнений движения. Разработка этих принципов в течение первой половины XVIII в. облегчала установление такой их связи с дифференциальными уравнениями движения. Но для того чтобы их объединить в общей аналитической трактовке (а это, как мы увидим, стало делом Лагранжа), понадобилось установление принципов другого рода, что также стало делом XVIII в. Почему это понадобилось тогда же? Ответ таков. В работах, на которые мы ссылались в этой главе, вполне очевидны две тенденции. Их авторы рады любой возможности показать значение своих результатов для познания закономерностей «системы мира», т. е. Солнечной системы, а движение небесных тел — движение свободное, на него не наложены никакие связи. Одновременно в этих работах отмечается польза вводимых или обобщаемых принципов при рассмотрении системы со связями— в первую очередь то, что при соблюдении известных условий можно избежать явного введения трудно определяемого воздействия различных «препятствий». Ведь задачи со свтзями земной механики еще не имели сколько-нибудь общей теории
1 К. Г. Якоби. Лекции по динамике. Под ред. H. С. Кошлякова. М,—Л., Г/ав. ред. сСшетехкцч. лит-ры, 1936.
в начале XVIII в. Непосредственное применение второго закона Ньютона означало установление соотношения между «ускорительной силой», как тогда выражались и думали х, и другими действующими на материальную точку силами, включая реакции связи, учет которых существенно усложнял задачу. Решения этой фундаментальной проблемы не было в ньютоновых «Началах». Объединяющую основу для земной механики, оказывается, еще предстояло найти. На этой линии развития механики мы находим разработку тех общих принципов, которые, в отличие от предыдущих, эквивалентны, в соответствующей области применений, основным законам механики. И из этих более общих принципов оказалось возможным вывести все законы, с истории которых начинается эта глава.
Это было торжеством единообразной аналитической трактовки механических проблем и вполне соответствовало духу века Просвещения. Но кое-что при этом оказалось потерянным: физический смысл развенчанных принципов стал менее ощутимым, законченность аналитических результатов, казалось, исчерпывала проблему, отпал философский подтекст, столь явный в механике XVII в., а изгнание философии обедняло физику 1 2.
Все же успехи аналитического метода, к описанию которых мы переходим, достаточно внушительны. Но заранее скажем, что достигнуты они не только благодаря возросшей мощи математического анализа и изобретательности его мастеров. Нет, в значительной мере они состоят и в создании достаточно общих и гибких абстракций, хорошо выражающих или отражающих суть многих механических явлений,— уточнялось и обобщалось понятие силы, понятие реакции связи, в частности идеальной связи, расчленены были понятия материальной точки и абсолютно твердого тела. В это вложены не только труды тех, чьи имена тут будут названы: в абстрактных понятиях и математических формулах аналитической механики воплощен возраставший и обобщавшийся технический опыт века, что особенно ощутимо в развитии механики сплошной среды (см. следующую главу).
6. С точки зрения исторической и логической, первым подлежит рассмотрению вопрос о принципе возможных перемещений или возможных скоростей. В зачаточной форме он уже встречался нам в античной механике (у псевдо-Аристотеля) и у средневековых авторов. В более развитой форме его используют в эпоху Возрождения (Леонардо да Винчи, Бенедетти), а Стевин, давший строгое и исчерпывающее условие равновесия точки на наклонной плоскости, имел, как и Леонардо да Винчи, ясное представление о «Золотом правиле механики», как показывает следующая выдержка: «Путь, пройденный движущей силой, так относится к пути движимого, как сила движимого к силе движущей» 3. Это же правило Галилей дает в следующей редакции: «Скорость силы во столько раз превосходит скорость груза, во сколько раз груз превосходит силу» 4 (так как движение предполагается равномерным, то скорости пропорциональны расстояниям, и формулировки Стевина и Галилея эквивалентны).
Как видно из сказанного, к началу XVI в. принцип возможных перемещений уже не был новостью. Однако началом он еще не мог называться. Во-первых, он был неразрывно связан с рычагом, так что ни о какой общности еще не может быть и речи; во-вторых, под началом в механике понимается такое утверждение, из которого можно извлечь ряд новых положений. Формулировки же Стевина, Леонардо да Винчи и других представляли собой
131
1 Изменение количества движения было ведь «мерой силы», следовательно, силой.
2 Сейчас, после создания специальной и общей теории относительности, после критического пересмотра всего классического наследия, это достаточно очевидно, но надо было быть Фридрихом Энгельсом, • чтобы со всей остротой выявить это уже сто лет тому назад.
S. Stevin. Hypomnemata mathematica. Leiden, 1608, lib., 3, p. 172.
Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 8.
9*
заключение, выводимое из условия равновесия рычага, т. е. завершение исследования, а никак не его начало.
Иная картина складывается к концу того же XVI в. Гвидо Убальдо, с ко-. торым нам предстоит познакомиться более основательно, располагал такой же формулировкой, как и Стевин. Но он использовал ее как основание для новых выводов, т. е. придал ей действительно значение начала. Поэтому Лагранж и приписывает Гвидо Убальдо открытие этого «закона», как выражается Лагранж, на рычаге и на полиспасте х. Гвидо Убальдо (а не Убальди, как часто пишут), маркиз дель Монте, был человеком разносторонним: он занимал крупные военные посты, некоторое время был инспектором управления тосканских укреплений, много времени уделял науке, занимаясь геометрией, астрономией, механикой. Крупнейшее его сочинение по механике — «Книга о механике» 2. В книге описываются простые машины и дается теория равновесия их. Содержание ее следующее: De libra (о весах), de vecte (о рычаге), de trochlea (о блоке, полиспасте), de axe in peritrochio (о вороте), de cuneo (о клине), de cochlea (о винте). Начало возможных перемещений ис-132 пользуется в применении к рычагу, блокам и вороту. К наклонной плоскости, а значит и к клину, начало не применяется. Больше всего места в книге занимает первая глава — о весах. Весами автор называет рычаг первого рода. Здесь сосредоточены важнейшие вопросы теории рычага. Во второй главе («О рычаге») эта теория используется при расчете разных видов рычага. Из анализа движений рычага выводится следующее предложение: «Если сила движет груз, подвешенный к рычагу, то будет пространство движения силы к пространству движения груза, как расстояние от опоры рычага до силы к расстоянию от нее же (опоры) до подвеса груза» 3.
Это предложение, полученное как следствие из теории рычага, в дальнейшем используется как исходный пункт для новых выводов. Это можно показать, например, на теории ворота. Рассматриваются груз, подвешенный к валу ворота, имеющему радиус, скажем, г и сила, приложенная к ободу колеса ворота с радиусом R. Направление силы не уточняется, но из изложения ясно, что линия действия силы предполагается совпадающей с касательной к ободу колеса. Вычисляется отношение путей силы и груза и из этого отношения выводится искомое отношение груза и силы при повороте машины. Результат дается в следующей форме 4.
«Корроларий I.
Отсюда очевидно, что груз так относится к силе7, поддерживающей его, как путь движущей силы к пути движения груза». Здесь дано применение начала возможных перемещений для вывода условий равновесия простой машины.
То же начало, но уже в форме принципа виртуальных скоростей применяется в теории полиспаста. Для случая одного подвижного блока говорится: «Сила перемещает груз на половину того расстояния, которое груз за равное время прошел бы без блока, если только в обоих случаях предполагать равными скорости движения самой силы» 5. В руках Гвидо Убальдо начало возможных перемещений из кинематического следствия теории рычага превратилось в орудие исследования. Правда, орудие это еще далеко не совершенно: оно все еще теснейшим образом связано с природой рычага, об его универсальном значении нет еще и речи; наоборот, даже в теории простых машин оно используется не полностью. Автор не сумел применить новый принцип к наклонной плоскости, клину и винту. Может быть, поэтому он и не позво-
’ Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 39.
• Guidiubaldi... mechanicorum liber,. Pisauri, 1577. Книга имеет 130 пронумерованных листов (260 стр.) и представляет для своего времени полиграфический шедевр.
• Там же, л. 42.
* Там же, л. 109 об.
s Там же л. 78 об.
лил себе назвать этот принцип общим для всех машин. Все же его заслуга несомненна: он показал, как нужно применять к решению новых задан положение, которое до него рассматривалось как значительно более частное. В заключение отметим, что инженерная практика автора оказала влияние на его теоретические исследования. Гвидо Убальдо понимал логику техни-г ческого прогресса. Для него было ясно, что развитие техники потребует перехода от более простых машин к более сложным. С другой стороны, он считал, что сложная машина может быть разложена на простые. Вот мысль, которой он заканчивает книгу: «Отсюда, кто захочет строить машины или компоновать их из многих, как из блоков, воротов, зубчатых колес и тому подобным способом, легко найдет отношение между грузом и силой».
Г. Галилей высоко оценил новый метод, плодотворность которого так убедительно была показана Гвидо Убальдо. Но, конечно, в руках Галилея этот метод обнаружил неизмеримо большую силу и общность. Галилей не случайно обратился к принципу возможных перемещений. Уже в «Механике» 1 (следовательно, не позже 1600 г.) этот принцип используется неоднократно и в самых различных модификациях; он применяется в «Рассуждении о телах, пребывающих в воде» 2, и он же играет известную роль в «Беседах» 3. Таким образом, на протяжении более чем 40 лет принцип возможных перемещений служит в руках Галилея постоянным инструментом для научного исследования.
«Механика» — небольшая, около 30 страниц, книга, представляющая собой то, что теперь назвали бы конспектом лекций. Как и книга Гвидо Убальдо, она содержит теорию простых машин (рычаг, лебедка и ворот, полиспаст, наклонная плоскость, винт, водяная улитка Архимеда) и только в виде небольшого наброска — очерк явления удара.
Несмотря на чисто учебную роль этого небольшого сочинения, его содержание заслуживает пристального внимания, и мы сделаем некоторые дополнения к п. 13 предыдущей главы. Недаром Лагранж не раз ссылается на эту работу в своей «Аналитической механике». Галилей начинает с вывода «закона моментов» при рассмотрении равновесия рычага. Уже здесь он идет своим путем. Вместо известного доказательства Архимеда он приводит свое, более простое. Для условия равновесия груза на наклонной плоскости Галилей также дает свой вывод, ничем не связанный с выводом Стевина. Наконец, к задаче о равновесии груза на наклонной плоскости применены соображения, вплотную примыкающие к принципу возможных перемещений 4. Книга Гвидо Убальдо была хорошо известна Галилею5. Он постарался избежать недомолвок и молчаливых допущений, не редких у его предшественников. Так, Гвидо Убальдо молчаливо предполагает, что сила, приложеннаяк ободу колеса ворота, направлена по касательной к ободу; Галилей же не только подчеркивает, что сила должна быть направлена именно так, но рассматривает случай, когда сила приложена в направлении хорды. Он показывает, что равновесие в этом случае нарушается, так как плечо силы уменьшается. Применяя принцип к равновесию тяжелой точки на наклонной плоскости, он обращает внимание читателя (вернее, слушателя — Галилей сам не публиковал «Механику», оставляя за ней роль учебного пособия) на то, что работа силы веса зависит только от вертикального перемещения груза. «Тяжелые тела,— говорит он,— не оказывают сопротивления поперечным движениям» ®. Наконец (и это —
1 Галилео Галилей. Избранные труды, т. I—II, стр. 5—38 и 415—419 (коммент.).
2 Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 39—107, 420—429.
» Там же, стр. 108—410, 430—47 7.
4 Там же, стр. 34.
Е Рисунки Галилея, изображающие сдвоенный и строенный рычаги, тождественны с рисунками Гвидо Убальдо.
• Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 34.
133
самое значительное), он объявляет принцип общим законом всех механических действий. Пытаясь создать теорию удара, он говорит: «Мы достигнем этого, если выявим здесь то, что было обнаружено и при других механических действиях, т. е. что сила, сопротивление и пространство, на котором происходит движение, взаимно зависят друг от друга. В результате оказывается возможным перемещать сопротивление любой величины любой заданной малой силой, лишь бы пространство, по которому эта сила перемещается, так относилось бы к пространству, по которому перемещается сопротивление, как большое сопротивление относится к малой силе» Ч
Применив к теории простых машин принцип возможных перемещений, Галилей сделал крупный шаг вперед; все же здесь он имел предшественников, и мысль о применении принципа к этой теории уже не была новой. Но то, что он совершил в гидростатике, не имело прецедента. До Галилея никто не предполагал, что этот принцип может быть справедливым не только в теории простых машин. Для того чтобы такая мысль появилась, требовалась целая система взглядов: надо было считать, что одни и те же законы приро-234 ды могут управлять явлениями, протекающими в разных стихиях, если говорить языком аристотелианцев. Этот способ выражения был во времена Галилея чем-то гораздо большим, чем вопросом стиля. Борьба с влиянием Аристотеля была одной из главных идейных задач того времени. Замечательна также смелость, с которой Галилей производит обобщение начала. Его не останавливает то, что древние не знали этого закона, что закону, если так можно выразиться, от роду 35 лет («Рассуждение о телах, пребывающих в воде» издано в 1612 г., через 35 лет после выхода книги Гвидо Убальдо). Единственно, чем руководствуется Галилей,— это тем, что принцип безусловно верен в механике твердых тел. Этого было достаточно, чтобы Галилей объявил его верным и для жидкостей. С помощью принципа Галилей отвечает на вопрос, каким образом объем жидкости в форме цилиндра большого диаметра в широком сосуде уравновешивается объемом жидкости в форме цилиндра в узком сосуде при равных удельных весах жидкостей в обоих сосудах. Объяснение следующее 1 2: перемещение в широком сосуде на малую высоту вызвало бы перемещение в узком на большую (обратно пропорционально поперечным сечениям сосудов). Это как раз тот случай, который рассматривается в теории неравноплечих весов (в «Механике» Галилей называет такие весы безменом). «Здесь происходит, следовательно, точно то же, что в весах, где груз в два фунта уравновешивает груз в 200 фунтов всякий раз, когда пространство, проходимое первым грузом, в 100 раз больше пространства, проходимого вторым...». В главном труде своей жизни — «Беседах», написанных через 40 лет после «Механики», Галилей использует результаты, полученные им в «Механике» 3. Следовательно, десятилетия научной деятельности не изменили взглядов Галилея на ценность принципа.
7. «Трактат по механике» Декарта 4 опубликован в 1668 г., почти через 20 лет после его смерти. Это не значит, что содержание трактата не было известно современникам автора при его жизни. Декарт, как известно, вел оживленную переписку со многими учеными, одним из его постоянных корреспондентов был М. Мерсенн. Многие письма Декарта Мерсенн размножал и рассылал другим своим корреспондентам. В одном из таких писем к Мерсен-ну 5 Декарт передал все существо содержания «Трактата».
1 Галилео Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 34.
2 Там же, стр. 54—55.
• Там же, стр. 256, 461 (прим. 16).
4 R. Descartes. Traite de la mecanique... Paris, 1668. Трактат занимает девять страниц и снабжен обширным комментарием.
• См. «Lettres de m-r Descartes». Paris, 1662, v. I, письмо 73-е (на него ссылается Лагранж), а также письмо 74-е; V. II, письмо 43-е. Все письма адресованы Мерсенну.
Р. Декарт (1596—1650 гг.)
«Трактат» представляет собой настоящую жемчужину по стилю, краткости и оригинальности изложения такого старого вопроса, как статика простых машин, где, казалось бы, уже невозможно сказать что-нибудь новое. На протяжении всего девяти страниц автор сумел изложить всю теорию равновесия простых машин, внеся немало нового.
Содержание «Трактата»: 1) блок и полиспаст; 2) наклонная плоскость; 3) клин; 4) ворот; 5) винт; 6) рычаг. Обращает на себя внимание уже само расположение материала. Обычно в основание сочинения полагалась теория рычага, безразлично, использовал ли автор вывод Архимеда, как, например, Гвидо Убальдо, или давал собственный, как это сделал Галилей. Здесь же рычаг отнесен к самому концу. Декарт считает, что теория рычага — самая трудная (а не самая простая, как думали его предшественники). Как выяснится далее, соображения Декарта по этому пункту имеют прочные основания. Однако наиболее характерной чертой этого замечательного сочинения является совершенно оригинальное построение, обусловившее, кстати, и его краткость.
Исследование начинается с установления общего принципа, так что теория каждой машины есть не что иное, как приложение этого принципа к частному случаю. Мало того, что это имеет своим следствием стройность и краткость всего труда; здесь впервые, насколько нам известно, показано, что решение целого ряда механических задач может опираться на единственный принцип. Тем самым поставлена на очередь одна из важнейших задач механики: проблема единого принципа. Конечно, в данном случае вопрос трактуется еще сравнительно узко, но главное в том, что мысль высказана.
Почему, в отличие от всех авторов, писавших о равновесии простых машин, Декарт считал блок (подвижный) самым простым орудием? Причина в
136
том, что все авторы до Декарта сводили подвижный блок к рычагу, а Декарт применяет принцип возможных перемещений к блоку непосредственно. Вот его рассуждение. Поручите держать подвижный блок, несущий груз в 200 фунтов, двум людям, чтобы каждый держал один конец веревки, обвитой вокруг блока; на долю каждого человека придется нагрузка в 100 фунтов. Замените одного из этих людей неподвижной опорой (крюком). Усилие второго при этом, очевидно, не изменится. Допустим, что эти 200 фунтов надо поднять на один фут. Чтобы выполнить это, человеку придется опустить свой конец веревки на два фута, что вытекает из принципа, положенного в основание исследования (и, кстати, подсказывается простейшим анализом движения блока). Задача решена. Так же просто в нескольких строках находится из сравнения работ (Декарт называет их силами «двух измерений») условие равновесия ворота, затем винта и т. д.
Наконец, рассматривается равновесие рычага. Оказывается, что в одном отношении рычаг существенно, можно сказать, принципиально отличается от всех машин, рассмотренных до него. В случае блока, наклонной плоскости, ворота и т. д. угол между направлением силы и перемещением остается постоянным (к вороту и винту Декарт прикладывает силы по касательной к окружности). При повороте же рычага (на малый угол) угол между плечом рычага и направлением силы (рассматривается вертикальная сила веса) изменяется. Декарт решает, в сущности, задачу о вычислении величины проекции силы при заданном угле и в этой задаче правильно усматривает отличие рычага от остальных машин и связанную с этим трудность его изучения.
Зародившись в теории простых машин как простое следствие закона равновесия рычага, принцип возможных перемещений приобреталувсе большую общность и самостоятельность. Из индуктивного следствия (из «закона моментов») он постепенно превратился в начало, из которого уже дедуктивным путем извлекали новые результаты. В руках Галилея начало превратилось в средство для изучения равновесия и твердых и жидких тел. Наконец, Декарт положил это начало в основание всей статики, используя его как единый исходный принцип. Он же обратил внимание на различие между применением принципа к малым и к конечным перемещениям. После появления «Трактата» Декарта оставалось сделать две вещи: распространить действие «принципа» на равновесие любых систем (а не только простых машин) и каким-либо образом освободить от трудностей, связанных с конечными перемещениями точек системы. Само собой разумеется, что оставался еще вопрос о доказательстве принципа. Решением этих задач занялась механика XVIII в.
8. Когда молодой Иоганн Бернулли путешествовал по Европе, он в Париже познакомился со многими выдающимися учеными. В их числе был механик П. Вариным. Знакомство перешло в дружбу, продолжавшуюся до самой смерти Вариньона. И. Бернулли считал П. Вариньона одним из лучших математиков своего времени. Вариньону удалось внести существенный вклад в статику. В 1687 г. вышло первое издание книги Вариньона «Проект новой механики» *. Исходные принципы, построение, математический аппарат — все здесь настолько отличается от сочинений предшественников, что эпитет «новая» в применении к механике можно считать оправданным. «Проект новой механики» прежде всего привлекает необычной для того времени широтой и общностью постановки статических задач. Во всех теоремах речь идет о «каких угодно силах», о силах, заданных «каким угодно способом», о «какой угодно системе сил». В вычислениях Вариньон решается — наконец-то! — отойти от формы, завещанной Евклидом (сводить все к пропорциям), и открыто вводит тригонометрические функции. Предмет статики трактуется в духе, значительно приближающемся к пониманию XIX в.:
1 Р. Varignon. Irojet d’une nouvelle mecaniquc. Paris, 1687,
статика — это не собрание нескольких задач на равновесие простых машин, а наука о равновесии системы сил.
Вариньон и И. Бернулли вели оживленную переписку по различным вопросам математики и механики. В одном из писем, в 1717 г., рассматривая некоторые вопросы механики, И. Бернулли писал Вариньону х: «При всяком равновесии каких угодно сил, как угодно приложенных, непосредственно или посредственно, сумма энергий положительных будет равна сумме энергий отрицательных, взятых положительно» (под энергией понимается величина Р/, где Р—сила, I—перемещение точки ее приложения, т. е. в точности работа силы на заданном перемещении). В этом замечательном отрывке впервые дана вполне общая формулировка принципа. 1717 г. может считаться и считается годом появления общего принципа возможных перемещений.
Не следует думать, что И. Бернулли, поделившись с Вариньоном своими соображениями, больше к принципу не возвращался. Наоборот, он придавал ему большое значение. Это видно из того, что в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1724 г. на соискание премии 1 2, используется принцип виртуальных скоростей. В этой работе дано определение виртуальной скорости, в котором уже с полной определенностью говорится о малых смещениях точек системы (соответственно о малых приращениях скоростей). «Виртуальная скорость — это элемент скорости, который каждое тело приобретает или теряет от уже имеющейся скорости по направлению силы за бесконечно малое время» 3. В этой редакции, подчеркивающей малость приращения скоростей, можно усмотреть влияние рассуждений Декарта о трудностях, возникающих при немалых смещениях точек приложения сил.
9. Благодаря трудам И. Бернулли и П. Вариньона принцип возможных перемещений приобрел полную общность и был освобожден от осложнений, связанных с применением к случаям конечных перемещений (приращений скоростей). Осталась одна, зато нелегкая задача: дать принципу доказательство, т. е. свести его к другому положению, которое может считаться очевидным. Первую попытку в этом направлении сделали Лагранж и Фурье. Срою «Аналитическую механику» Лагранж начинает с последовательного рассмотрения принципов, которые можно было бы положить в основание статики: принципа рычага, принципа сложения (параллелограмма) сил и принципа виртуальных скоростей. По причинам, которые выясняются лишь в дальнейшем4 *, Лагранж кладет в основание статики принцип виртуальных скоростей и дает его в виде
2 (z&Xi + 4- Z^Zi) = 0 (1)
г
(обозначения обычные). Это выражение не что иное, как аналитическая запись принципа, высказанного И. Бернулли в письме к Вариньону.
В первом издании «Аналитической механики» (1788 г.) доказательства принципа нет. Оно появляется во втором издании6. В этом доказательстве принцип виртуальных скоростей сведен к принципу блоков. Свойства блока считаются очевидными, что вполне приемлемо после рассуждений Декарта.
137
1 Р. Varlgnon. Nouvelle mechanique, v. I, II. Paris, 1725. Письмо И. Бернулли помещено в т. 2> стр. 174. Оно служит основанием отделу IX, в котором начало используется для решения ряда задач.
2 J. Bernoulli. Discours sur les loix de la communication du mouvement, Opera omnia, v. III. Lausanne, 1742, p. 1.
3 Там же, стр. 23.
4 См. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, ч. 2, отд. 2, § 4 и 5.
£ Доказательство было сперва опубликовано в статье «Sur les principe des vitesses virtuelles.— Journal
de 1’Ecole Polit6chnique. Paris, t. II. Cahier 5, p. 115. В этом же выпуске помещена статья Фурье, посвященная тому же предмету.
138
Впрочем, немного дальше1 Лагранж показывает, что формулу (1) можно вывести также из свойств рычага.
Вывод формулы (1) в общих чертах сводится к следующему 2. Рассматривается система материальных точек, к которым приложены силы Р, Q, R,.., Допустим для простоты, что все силы соизмеримы. В этом случае существует такая «единичная сила» с модулем, например Fo, что Р = mF0, Q = nF0 и т. д., где т, п,...— целые числа. Все приложенные к системе силы заменяются натяжениями, создаваемыми полиспастами. Натяжение каждого полиспаста совпадает по направлению с линией действия соответствующей силы Р, Q и т. д., а по величине обеспечивается силой F<} и необходимым числом обходов нити по блокам полиспастов. Так, полиспаст № 1 имеет т обходов нити, полиспаст № 2 имеет п обходов и т. д. Так как каждый полиспаст нагружен силой с одним и тем же модулем F$, то можно применить одну нить, последовательно обходящую все полиспасты, а на свободный конец нити подвесить груз весом Ео кг. В результате получается, что приложенная к системе заданная система сил Р, Q и т. д. заменена системой полиспастов 3. Несложное рассуждение показывает, что необходимым и достаточным условием равновесия заданной системы является то, что при любом ее возможном перемещении груз Fo не должен ни опускаться, ни подниматься, т. е. что работа всех приложенных сил на возможном перемещении равна нулю.
Опубликование доказательства Лагранжа вызвало появление обширной литературы. В доказательстве были обнаружены нестрогости 4 5. Ему даже отказывали в «звании» доказательства б. Надо упомянуть доказательство Фурье tf, которое Ж. Бертран считал удовлетворяющим требованиям стро-гостИз, Легко устанавливается связь между началом и принципом сохранения энергии 7.
Конечно, никакой необходимости в доказательстве начала нет. Его можно принять в качестве постулата или аксиомы. Тогда другие «принципы», как их называет Лагранж, например, принцип рычага, принцип параллелограмма сил и самый принцип полиспаста, легко вывести из принципа виртуальных скоростей.
10. Принципы, история которых излагается ниже,— суть принципы кинетостатики, т. е. того раздела механики, в котором задачи динамики (кинетики) несвободной системы точек решаются методами статики. Возможность применить уравнения статики к системе точек, не находящихся в равновесии, основывается на двух принципах, которые часто объединяют под общим названием начала Даламбера. В действительности сначала был разработан принцип, существенно связанный с понятием «.силы инерции» («Петербургский принцип»), и лишь после этого появился собственно принцип Даламбера, в котором понятие силы инерции совсем не используется. Как будет показано, они переводятся один в другой, чем и объясняется их смещение.
«Петербургский принцип» назван так потому, что своим развитием обязан главным образом академикам Санкт-Петербургской академии наук Якову Германну и Леонарду Эйлеру, но начало было положено Яковом Бернулли. Я. Бернулли занимался задачей об определении центра колебаний с целью дать ее решение, не прибегая к тому энергетическому принципу, который был использован для ее решения Гюйгенсом (см. предыдущую главу). При этом он первый разработал принцип сведения динамической задачи о движении системы к статической задаче о равновесии той же системы. Он впервые
1 Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, ч. I, отд. 2, § 13.
2 См. также В. Л. Кирпичев. Беседы о механике. М., Гостехтеоретиздат, 1951 (первая беседа).
2 Нить считается абсолютно гибкой и нерастяжимой, блок — не имеющим трения.
4 Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 45, прим. Ж. Бертрана.
5 Некоторые указания и литературные ссылки можно найти у В. Л. Кирпичева в «Беседах о механике».
4 См. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, прим. 2, стр. 47.
7 W. Thomson, Р. G. Tait. Treatise on natural philosophy, pt. I, p. 265.?
ввел при этом в рассмотрение «силы инерции». И так как эти силы играют в «Петербургском принципе» главную роль, мы рассмотрим достаточно детально соображения Я. Бернулли на следующем примере.
Задача (рис. 11). На жестком невесомом стержне укреплены две точечные массы и пг2 соответственно в точках и а2 на заданных расстояниях 1Х и Z2 от точки подвеса стержня А. Требуется найти плечо Zo точки а6 или длину математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний маятника Аа^.
Решение. Предоставим стержню возможность свободно поворачиваться под действием сил тяжести, приложенных в точках ах и а2. Пусть отрезки а^О = a0N = a2Q пропорциональны ускорению свободного падения. Тогда через малое время AZ стержень займет положение AN такое, что дуга «о&э будет соответствовать ускорению свободного падения. Из чертежа видно, что точка аг пройдет расстояние большее, чем а0Ь0, а точка а2 — расстояние, меньшее, чем расстояние свободного падения а2с2. Пока точка ах не достигла положения сх, все точки «падают» свободно. Начиная с этого момента (<Ai), когда, по выражению Я. Бернулли, «действие веса точки аг истощилось», эта точка движется под действием веса точки а2. Для решения задачи надо в точке приложить силу инерции, приложенную к стержню против направления вращения. В то же время, когда точка а± проходит дугу с^, точка а2 проходит дугу с2Ъ2. На точку а2 действует замедляющим образом точка ах. Точка а2 прикладывает к стержню силу инерции, направленную в сторону вращения стержня. Точка а0, которая прошла путь, соответствующий свободному падению, очевидно, не повлияла на движение точек ах и а3. Следовательно, ее можно не принимать во внимание. Под действием сил
139
инерции стержень ведет себя, как рычаг второго рода с точкой опоры А. Неизвестное 10 можно определить, например, следующим образом. В качестве уравнения равновесия рычага принимается 1
TT^^ZjSj — 77i2Z2S2.
Из чертежа имеем:
^1 («0 $2 = ^2 (®2 ®о)'
Из этих трех уравнений получается уравнение для углов
/ rn.il2 \ гп<>12
«0 И--------„ = «1 + «2 —у •
Ввиду малости углов можно считать
w 0 СТ
tg«!= а2^-^-, а0^—.
1 Здесь s, и s, — достаточно малые дуги.
Окончательно
140
+ 7712^2 0 mill + mih
Это — известная формула для длины математического маятника, эквивалентного физическому, составленному из двух точечных масс.
Способ Я. Бернулли легко обобщить на случай произвольного числа точек, в том числе и бесконечно большого (случай твердого тела).
Два пункта имеют для дальнейшего особенно большое значение. Свободное движение точек должно было происходить вдоль отрезков агО и a^Q. Это движение разложено на отрезки агО и Осг, a2Q и Qcz. Что происходит с движениями 0сх и Qc2? Я. Бернулли разлагает приложенные к точкам силы соответственно разложению движений и считает, что составляющие сил вдоль стержня уравновешиваются реакциями в точке А. Второй и еще более важный пункт заключается в том, что силы инерции приводят рычаг к равновесию. Именно введение сил инерции позволило применять методы статики в динамике. Роль этих сил в механике системы несвободных точек стала ясной после работ Я. Бернулли.
11. Яков Германн — ученик Я. Бернулли — был членом Санкт-Петербургской академии наук «первого набора» — с 1725 г. Его самая значительная работа — «Форономия, или Две книги о силах и движениях твердых и жидких тел» 1. В этой книге Я. Германн опубликовал новое решение задачи о нахождении центра колебаний. Это решение как будто вытекает из способа Я. Бернулли, но в то же время открывает совершенно новый взгляд на роль сил йнерции. Я. Германн, как и Я. Бернулли, разлагает силу тяжести каждой материальной точки на две составляющие. Одна, направленная вдоль отрезка, соединяющего эту точку с точкой подвеса, уравновешивается реакцией связи в точке подвеса; другая, перпендикулярная к указанному отрезку, равна по второму закону Ньютона массе точки, умноженной на ее ускорение, т. е. касательной силе инерции. Таким образом, к каждой точке маятника приложены следующие силы: 1) составляющая силы веса точки, направленная вдоль радиус-вектора этой точки; 2) реакция оси на эту составляющую, равная ей по величине и направленная вдоль радиус-вектора в противоположную сторону; 3) составляющая силы тяжести точки, перпендикулярная к радиус-вектору; 4) кроме того, со стороны точки на связь действует сила, численно равная массе точки, умноженной на ее ускорение. Силы 1 и 2 на основании третьего закона Ньютона образуют уравновешенную систему сил. Силы 3 и 4 приложены к разным телам (к точке и к связи), поэтому говорить об их уравновешивании не имеет смысла. Но если силу 4 мысленно приложить к данной материальной точке, то в этом случае силы 3 и 4 будут взаимно уравновешены. Так как это рассуждение приложимо к каждой точке маятника, то оно справедливо и для маятника в целом. Поэтому, рассматривая маятник как систему точек, можно сформулировать следующий принцип: система внешних сил, приложенных к точкам механической системы, реакций связей и мысленно приложенных к точкам системы сил инерции в каждый момент времени образует уравновешенную систему сил.
Германн не дал принципу законченной формулировки. Кроме того, он применил его только к физическому маятнику. Поэтому нельзя сказать, что Германн закончил разработку принципа. Как и множество других задач математики, механики и техники XVIII в., эта задача получила полное завершение лишь у Леонарда Эйлера. Придя новым, чрезвычайно простым способом к решению, ранее полученному Я. Бернулли, И. Бернулли, Б. Тей-
1 J. Hermann. Phoronomia sive de viribus et motibus corporum solidorum et fluidorum libri duo. Ams-telodami, 1716.
Ж.-Л. Даламбер (1717—1783 гг.)
лором, Я. Германном и другими для физического маятника, Эйлер впервые применяет приведенный выше принцип к решению других задач, в том числе и таких, которые ничем не связаны с задачей о нахождении центра колебаний. Следующий простой пример показывает, как использует Эйлер новый принцип для решения задач, уже совсем далеких от задач о колебаниях и, тем более, о колебаниях физического маятника х.
Допустим, что тело может двигаться вдоль некоторой плоскости. К его центру тяжести G приложена сила F. Разлагаем силу F на Е.у, нормальную к направляющей плоскости V, и Fx, параллельную V. Сила F.y уравновешивается реакцией плоскости, сила Fx вызывает ускорение тела. Вектор этого ускорения параллелен плоскости V и по направлению совпадает с силой Fx. Если теперь мысленно приложить к точке G силу, равную массе тела, умноженной на его ускорение и направленную противоположно ускорению, то эта воображаемая сила уравновесится силой 7гх. Таким образом, согласно принципу Германна — Эйлера («Петербургскому»), тело оказывается в равновесии под действием приложенной силы, реакции связи и мысленно приложенной к нему силы инерции.
Схема применения принципа в том виде, в каком ее разработали его авторы, чрезвычайно проста. В XIX в. с прогрессом техники принцип находит все более частое применение. Его формулировка, приведенная выше, не совсем приспособлена по своей громоздкости для обычного применения. Появляются авторы, пытающиеся улучшить редакцию, но не посягающие, конечно, на содержание. И вот, видимо, французскому механику Делоне 1 2 первому пришла мысль ввести выражение «фиктивная сила инерции». Слово
1 L. Euler. Opuscula varii argument!, v. I, p. 23—24.
» Delaunay. Traits de mdcanique rationnelle. Paris, 1850. На эту книгу указывает E. Николаи (Труды по механике. М., 1955, стр. 417).
142
«фиктивная» должно было заменить выражение «мысленно приложенная к точке приложения внешних сил». К сожалению, этот термин стали понимать в прямом смысле, что дало повод к спорам о том, реальны или фиктивны силы инерции, может ли ускорение, будучи умножено на массу тела, произвести механический эффект, и т. п.
12. Принцип Даламбера — результат единоличного творчества. Он был опубликован в «Трактате по динамике» Ч Так как Даламбер считал, что понятие «сила» не обладает достаточной ясностью для того, чтобы входить в круг основных понятий механики, то сила при изложении принципа у Даламбера отсутствует. Но вполне позволительно изложить принцип Даламбера так, как это принято со времен Лагранжа и по настоящее время, т. е. с применением термина «сила». Итак, дана система точек А, В, С, ..., на них действуют силы Fa, F^, Fc ,... Если бы точки Л, В, С,... были свободными, то точка А получила бы ускорение Wa, точка В — ускорение \Vg и т. д. • Но вследствие наличия связей точки вынуждены изменять свои движения. Например, если точка находится на постоянном расстоянии от некоторой оси, то она может перемещаться только по дугам «своей» окружности и т. п. Вместо ускорения Wa точка А будет иметь ускорение Wa,=^Wa. Можно сказать, что точка «потеряла» часть. Wa2 своего ускорения Wa, такую, что
WAa = Wa - WA1.
Следовательно (дальше идет почти дословное изложение подлинника), система, развивая ускорения Wa, Wb, Wc,..., ведет себя так, как если бы она находилась не под действием сил Fa, F^, Fc,..., а под действием их составляющих Fa,, F£j, Fc,,..., соответствующих «воспринятым» ускорениям Wa„ WB1, Wc,,... Отсюда следует, что силы Fa2, Fb., FC2,..., соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность сил, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Другими словами, если к данной системе приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое, если она была в покое. Это и есть принцип Даламбера. Он принимает в формулировке его автора следующий вид: «Нужно движения (векторы скоростей), передаваемые этим телам, разложить каждое на два движения, а и а, b и 0, си у и т. д., причем..., если телам будут переданы лишь движения а, 0 и т. д., то тела будут оставаться в покое». Мы видим, что Даламбер здесь обходится без понятия «сила» и, тем более, без понятия «сила инерции».
Из формулировки принципа, в терминах ли сил или в авторском изложении, в терминах «движений» (векторов скоростей), видно, что сам принцип не дает условий равновесия. Он только выделяет группу сил («движений»), к которым следует применить условия равновесия. Какие именно, т. е. условие ли равновесия рычага, или условие равенства нулю равнодействующей и т. д.,— этого принцип не определяет. Для иллюстрации применения принципа достаточно привести простейшую из задач, решенных Даламбе-ром 1 2 в его «Динамике» (рис. 12).
Задача. Стержень ВС свободно вращается вокруг оси, проходящей через точку С. На стержне укреплены точки А, В,..., В, имеющие массу. Известно, что точка А, будучи свободной, имела бы бесконечно малое приращение скорости АО, точка В за тоже время Af имела бы бесконечно малое приращение скорости BQ и точка В — ВТ. Отрезки АО, BQ, ВТ могут считаться перпендикулярными стержню. Требуется найти угловую скорость стержня СВ.
1 J. d’Alembert. Traite de dynamique. Paris, 1743. Русск. перев.: Ж. Даламбер. Динамика. Перев. и прим. В. П. Егоршина. М.— Л., Гостехтеоретиздат, 1950.
! Ж. Даламбер. Динамика, стр. 128.
Решение. Исходим из принципа Даламбера, для чего выделяем прежде всего «потерянные» движения. Из рисунка видно, что точка j? «потеряла» движение ST, точка А «приобрела» движение ОМ, т. е. «потеряла» отрезок — ОМ и точка В — движение GQ. Под действием сил, соответствующих этим движениям, стержень, согласно принципу, должен остаться в покое. Силы находятся без труда из следующих соображений. Отрезки ST, ОМ и QG — суть приращения скоростей. Делим их на At, получаем ускорения. Умножаем ускорения на массы, получаем силы
л ОМ D GQ nST
Под действием этих сил рычаг второго рода СВ должен сохранить равновесие. Следовательно, сумма моментов сил относительно точки С равняется нулю, или иначе
А-ОМ-АС + B-GQ-BC = R-ST-CR.
Это и есть основное уравнение задачи, с помощью которого находится скорость стержня. Например, длина отрезка RS = ВТ -— ST и т. д. определяется из последнего уравнения.
Рассмотренная задача сравнительно проста. Вся сила принципа проявляется в тех случаях, когда с его помощью решаются действительно сложные задачи, например те, что помещены в гл. II—IV «Динамики» Даламбера. И вот те самые задачи, на которых Даламбер показывает силу и общность метода, обнаруживают и его слабые места. Во-первых, для каждой задачи надо проводить анализ «движений» точек систем, анализ довольно тонкий, вообще говоря; во-вторых, принцип только обосновывает право применить условия равновесия к определенной совокупности сил; но какое именно условие, принцип не указывает. Когда писалась «Динамика» (40-е годы),
143
такая свобода маневрирования, допускаемая принципом, не была недостатком, так как механика имела еще мало приложений к практике. Можно сказать, что техника и новая механика только нащупывали пути сближения, применения механики к технике были делом творчества. Но к концу столетия положение стало меняться. Труды Л. Эйлера, Д. Бернулли, самого Даламбера и других значительно приблизили механику к технике. С другой стороны, техника (например, артиллерия, кораблестроение, навигация) под давлением необходимости настойчиво обращалась к
механике за разрешением насущных задач. Появились высшие технические школы — артиллерийские, путей сообщения и др. Возникла потребность «демократизировать» науку, в частности механику, из науки одаренных одиночек превратить ее в техническую дисциплину для рядовых инженеров. В этом отношении разработка единообразных приемов решения задач приобрела первостепенную важность не только для теории, но и для технической практики. Как в этом направлении развивалась механика, показывает сравнение приведенных выше результатов Я. Бернулли и Даламбера. Даламбер, как и Я. Бернулли, имеет дело с ускорениями, потому что вводимые им отрезки МО, О A, BQ и т. д. (см. выше) — бесконечно малые приращения скоростей, пропорциональные ускорениям. Оба автора рассматривают «потерянные движения» и приходят к условиям равновесия системы. Разница (и очень существенная) заключается в том, что Я. Бернулли рассмотрел одну задачу о центре колебаний и разработал способ ad hoc, не ставя перед собой цели создать общий метод. Задача о колебаниях физического маятника для Даламбера лишь частный случай, на котором можно показать 144 СИЛУ этого метода.
13. Переход ко все более общим принципам при решении задач механики сопровождался изменением ее математического аппарата. Почти до середины XVII в. весь арсенал математических средств в механике — античного происхождения, обновление этого арсенала начинается с использования обозначений и результатов новой алгебры^
. Ньютон в «Началах» применил своеобразную геометрическую форму исчисления бесконечно малых. Но математика ньютоновых «Начал» не оправдала себя в механике: она требовала слишком много от применявших ее как при решении отдельных задач, так и при обосновании каких-либо общих положений.
Было бы неправильно думать, что у Ньютона для всех задач даны только индивидуальные решения. Геометрический анализ Ньютона дает и решения общего характера.
Так, например, в Предложении XXXIX рассмотрена задача XXVII: «Предполагая центростремительную силу какую угодно и допуская квадратуру кривых, требуется определить как скорость движущегося прямо к центру или от центра тела в любой точке, так и время, в течение которого она приходит в какое-нибудь место и обратно» х. В этой задаче ограничение касается лишь характера силы (центростремительная), но не закона ее зависимости от времени, расстояния и т. д. На геометрическое построение наложено лишь условие существования квадратур кривых. В данном случае задача поставлена действительно в достаточно общем виде. Ньютон показывает, что скорость точки в каждый момент времени пропорциональна корню квадратному из некоторой площади, а время, в течение которого точка проходит отрезок пути, пропорционально некоторой другой площади. Таким образом, задача сведена к квадратурам кривых, что, конечно, является вполне общим результатом. Однако доказательство и этого общего результата само по себе чисто индивидуально. Прийти к нему дедуктивным путем из синтетических доказательств предыдущих Предложений невозможно. Эта задача, как и рассмотренная выше задача XXIII, требует изобретения нового доказательства. Таким образом, несмотря на однотипность применяемого аппарата и его достаточную общность, мы не имеем у Ньютона единообразной методики получения результатов. Математические средства и методы ньютоновых «Начал» находились на вооружении английских ученых в течение всего XVIII в. В этом одна из причин того, на первый взгляд удивительного явления, что на родине Ньютона, в стране с быстро развивавшейся промышленностью, за все это время было сделано очень немного (по сравнению с конти-
1 «Начала», стр. 172.
нентальной Европой). Впрочем,'и на континенте от геометрических методов отказались не сразу. В качестве примера можно привести уже известную читателю «Форономию» Я. Германна. Эта книга, изданная при жизни Ньютона (1716 г.), написана в классической манере. Доказательства чисто геометрические. Алгебра, как у Ньютона, применяется только для вспомогательных вычислений.
Выше приведено высказывание Д’Арси против «вторых дифференциалов». Но это не могло остановить проникновение в механику аналитического метода в форме применения найденного Лейбницем алгоритма математического анализа.
Первые примеры такого применения дал сам Лейбниц (около 1690 г.), стремясь получить своими средствами некоторые результаты Ньютона по небесной механике, изложенные в III книге «Начал». Систематически занимался, так сказать, переводом механики на язык лейбницевых дифференциалов Вариньон (около 1700 г.), состоявший в переписке с Лейбницем, значителен вклад в это дело Я. и И. Бернулли. Но только Эйлер поставил со всей определенностью задачу преобразования всей механики путем перевода ее с языка синтетической геометрии на язык быстро развивавшегося математического анализа в форме, приданной последнему Лейбницем. Для механики материальной точки это выполнено в труде «Механика или наука о движении, изложенная аналитически» х.
В предисловии 2 к этому труду Эйлер пишет: «Хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач (речь идет о «Началах» Ньютона), однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог». Задача XXIII из «Начал» Ньютона, приведенная выше, как раз служит подтверждением этих слов Эйлера. Действительно, если в этой задаче сделать самое незначительное изменение, а именно, одно коническое сечение (эллипс) заменить другим (параболой), то все решение коренным образом меняется. Дальше Эйлер говорит в том же предисловии: «Я попытался, насколько умел, ... те же предложения проработать аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса». Следует обратить особое внимание на то, что Эйлер говорит о «сути вопроса». В самом деле, язык синтетической геометрии придает каждой механической задаче такой характер, что то общее, что объединяет разные задачи (например, основные законы динамики), легко может исчезнуть из поля зрения. Эйлер справедливо говорит там же, что «хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания». Применение анализа в значительной степени снимает эти трудности. «Я изложил их планомерным и однообразным методом»,— говорит Эйлер 3. Однообразный метод — вот главное достоинство аналитического языка. Вот как решает Эйлер ту же задачу, которая решена Ньютоном (Задача XXIII) 4. Задача ставится Эйлером в значительно более общем виде. О форме траектории ничего не говорится. Найденный ответ будет применим к траектории любого вида. Эйлер вводит дифференциал дуги траектории:
У dx* + dy\]
затем проектирует силу на координатные оси и составляет дифференциальные
1 L. Euler. Mechanica sive motus selentia analytiee exposita. СПб., 1736 г. — Первые три главы из этой книги имеются в русском переводе в книге Л. Эйлер «Основы динамики точки». М. — Л., ОНТИ, 1938.
2 Л. Эйлер. Основы динамики точки, стр. 33.
3 Там же, стр. 34.
4 Мы заимствуем это решение из другого труда Эйлера: «Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» («Теория движения твердых тел»), 1765 г. Первые пять глав этой книги в русском переводе вошли в «Основы динамики точки».
145
10 История механики
уравнения движения:
d1 2x = dtz и d2y — -О- dt\ tn т
Дальнейшее исследование представляет собой задачу чисто математическую.
На примере этой задачи, решенной двумя способами, ярко проявляются преимущества аналитического метода: общность способа решения, поскольку применяется один определенный аппарат — интегрирование системы дифференциальных уравнений; общность полученных результатов, так как проекции силы Р и Q могут быть какими угодно функциями переменных х, у, t. Эта общность и позволила Эйлеру изложить механику «планомерным и однообразным методом». Приведем еще один пример того, как Эйлер решает указанную выше задачу XXVII из Предложения XXXIX «Начал». Это решение содержится в Предложении 32 «Механики» х, «264. Центр сил притягивает к себе тела с силой, пропорциональной какой-нибудь степени расстояния. Тело, находящееся в покое в А, под действием этой силы приходит в движение. Найти скорость тела в любой точке пути АС».
146 Эйлер получает решение в форме
г?2 — А (х — a)ndx^
где v — скорость тела, А — коэффициент пропорциональности, (т — а)п — «какая-нибудь степень расстояния», так как а — расстояние АС. Читатель без труда усмотрит в решении Эйлера применение теоремы живых сил.
Сравнивая решения Ньютона и Эйлера, видим, что оба решения выражаются в квадратурах, следовательно, с формальной стороны результаты равноценные. В действительности разница между ними очень велика и имеет принципиальный характер. Ведь геометрический метод предполагает геометрическое интегрирование, а оно известно лишь для некоторых простейших кривых. Таким образом, даже в задаче, для которой синтетическо-геомет-рический метод дает решение в общем виде, эффективное значение этого решения невелико.
Приведенные примеры показывают полную правоту Эйлера, отметившего тот факт, что синтетическо-геометрический метод не позволяет создать для механики «однообразный метод». В противоположность геометрии, анализ позволил это сделать. Именно он послужил в руках Эйлера средством разработки единого метода механики. Эйлер не успел завершить выполнение своей программы. Но он заложил основы и указал путь для дальнейшей работы в этом направлении.
Громадные преимущества аналитического метода настолько очевидны, что влияние «Механики» Эйлера проявилось немедленно по ее опубликовании. «Динамика» Даламбера вышла в свет в 1743 г., автор работал над ней не позже 1742 г., т. е. всего через шесть лет после выхода «Механики» Эйлера. Вместе с тем этот труд полностью порывает с синтетическо-геометрическим методом. Роли анализа и синтетической геометрии меняются на противоположные. Если до Эйлера анализ служил для того, чтобы облегчить синтез геометрического доказательства, то теперь геометрия, если и применяется, то только для того, чтобы облегчить составление дифференциального уравнения задачи 2. Но истинная ценность вклада Даламбера состоит в том, что он впервые сформулировал в механике единый принцип. Конечно, всю силу этого принципа он смог показать только потому, что использовал огромный труд Эйлера, посвященный аналитическому методу в механике.
1 Л. Эйлер. Основы динамики точки, стр. 184.
* Ж. Даламбср. Динамика. См., например, лемму VII и следствия I и II (стр. 134—136); они служат вспомогательным средством к задаче II (стр. 136).
Итак, уже в середине XVIII в. работы Эйлера («Механика» и «Теория движения твердых тел») и Даламбера («Динамика») совершенно преобразили механику. По содержанию это была теперь наука, охватывающая все роды движения материальных точек и их систем, по форме механика превратилась в значительной степени в аналитическую дисциплину, во всяком случае геометрические методы отступили на второй план. Неизмеримо более сильный математический аппарат анализа привел к заметному понижению трудности предмета. Если работы Ньютона и Германна такой читатель, как Эйлер, усваивал, по его признанию, с некоторыми затруднениями т, то работы Эйлера, а после него — Даламбера, Клеро и других авторов не были трудными для всякого читателя, знакомого с анализом. Механика уже располагала единым методом и аппаратом, достаточно сильным для того, чтобы реализовать преимущества этого единого метода. Все же завершающий этап этих успехов аналитической механики в XVIII в., этап, связанный больше всего с именем Лагранжа, был еще впереди. Он был подготовлен не только тем, с чем читатель уже познакомился, но и достижениями в небесной механике и в механике твердого тела.
14. История небесной механики — во многих отношениях своеобразная глава в истории науки. Одной из ее особенностей является то, что здесь первой теории, которая могла притязать на динамическое объяснение (а не только на кинематическое описание) известных явлений, предшествовало накопление огромного материала наблюдений. И обработка этих наблюдений была доведена до высокой степени совершенства, без чего даже Кеплер не мог бы открыть названные его именем законы. Кроме того, новая теория, созданная Ньютоном, не только должна была объяснить известное, по своей сути она должна была предсказывать будущее: предвычислить положение тел Солнечной системы, что подлежало суровому контролю новых, все уточнявшихся наблюдений.
Наконец, из теории вытекали некоторые общие следствия (например, о сплющенности Земли возле полюсов), которые тоже подлежали проверке, тем более, что некоторые из них противоречили распространенным в то время взглядам. Физическая основа теории — сам закон тяготения был связан с представлением о дальнодействии, что шло вразрез, по убеждению многих, с «истинной физикой».
Неудивительно, что новая теория не сразу получила признание и лишь постепенно стала господствующей. XVIII в. в истории небесной механики —-это не триумфальное шествие ньютоновой теории, а постепенное ее утверждение в науке, с боями (были даже кажущиеся поражения). Триумф наступает лишь под конец. Для механики в целом все это имело первостепенное значение: для эволюции понимания ее основ, для разработки ее аналитических методов, для общего подхода к ее задачам.
То, что сделано Ньютоном для небесной механики, схематически можно представить так:
а) сформулирован закон всемирного тяготения (закон Ньютона);
б) на основе этого закона и общих положений механики (механики Галилея — Ньютона) решена задача двух тел (точнее, двух материальных точек);
в) начато изучение формы и особенностей движения тела, состоящего из частиц, взаимно притягивающихся, согласно закону Ньютона;
г) исходя из результатов, полученных при исследованиях, указанных в б) и в), Ньютон дал объяснение многих явлений и наблюдений и сделал ряд выводов и предсказаний, которые могли быть проверены и сопоставлены с фактами.
То, что указано в рубрике б), было началом теории орбит небесных тел, с этим связано развитие аналитических и вычислительных средств механики;
147
1 Л. Эйлер. Основы динамики точки, стр. 33.
ю»
148
то, что указано в рубрике в), в своем развитии входило составной частью в механику твердого тела и в гидромеханику (гидростатика, фигуры относительного равновесия вращающейся жидкой массы), стало основой для геодезии. В первом случае изучается движение центра тяжести небесного тела, во втором — движение небесного тела относительно центра тяжести. То же, что отмечено в схеме г), служило в меру своего подтверждения обоснованием и закона всемирного тяготения, и тех основных положений механики, которые были применены для получения следствий из этого закона. Эти подтверждения имели принципиальное значение не только для механики, но и для всей науки XVIII—XIX вв. Все более укреплявшееся убеждение в высокой или даже абсолютной точности закона тяготения постепенно сделало привычным представление о дальнодействии, совершенно чуждое науке XVII в., и очень существенно повлияло на развитие механики. Мы рассмотрим прежде всего этот вопрос.
15. У Ньютона закон тяготения сформулирован для двух тел, размерами которых можно пренебречь (термином «материальная точка» Ньютон не пользуется, но фактически такое понятие применяет). Поэтому расстояние между такими двумя телами есть понятие вполне определенное. Не так просто обстоит дело с понятием массы у Ньютона (см. предыдущую главу). Во всяком случае можно избежать порочного круга, если, учитывая атомизм Ньютона, понимать его определение массы как определение количества материи, которую мы представляем себе составленной из однотипных атомов. Итак, для Ньютона и его современников формулировка закона
/ = / (а)
Г1>2
не была связана с логическими затруднениями (заметим, что при такой «атомистической подоплеке» совершенно естественной является «универсальность» постоянной /). Затруднения, и весьма серьезные, были связаны не с логикой, а с физикой: действие на расстоянии было, по общему убеждению, которое разделял и Ньютон, физически нелепым допущением. Каким же образом Ньютон пришел к своей формулировке? Ответ на этот вопрос не может быть кратким.
Прежде всего, надо принять во внимание, что само представление о взаимном тяготении тел имело уже давнюю историю и было достаточно распространенным. В частности, об этом писал Кеплер (см. гл. V). Высказывалось и предположение о том, что тяготение между телами обратно пропорционально квадрату расстояния (Борелли в 1665 г., коллеги Ньютона по Королевскому обществу Гук, Врен, Галлей в 70-х и 80-х годах XVII в.). Неудивительно, что сам Ньютон еще в 60-е годы подверг анализу некоторые следствия из такого допущения (к которому, впрочем, он мог прийти вполне самостоятельно) и к которому приводило сопоставление третьего закона Кеплера и выражения для центробежной силы. В отличие от названных выше его современников, Ньютон, благодаря своему математическому гению, был в состоянии построить на этой основе обширную теорию. Он не выступил с нею в 60-е годы вряд ли лишь потому, что у него не совпали данные об ускоряющей силе, действующей со стороны Земли на Луну, с данными об ускоряющей силе на поверхности Земли. В отличие от всех своих предшественников и современников, Ньютон смог удивительно просто доказать, что материальная точка внутри бесконечно тонкого сферического слоя, притягивающего зту точку по закону (а), находится в равновесии в любом возможном для нее положении (теорема 70 «Начал»); он доказал, что такой сферический слой притягивает частицу, расположенную вне слоя, с силой, обратно пропорциональной ее расстоянию от центра сферы (теорема 71); он обобщил эти результаты на случай взаимодействия (однородной) сферы и частицы, сферы и сферы
(теоремы 72—76). Без этих теорем (а последняя группа теорем безусловно получена им в 1685 г.— рукопись же «Начал» закончена в 1686 г.) все астрономические подтверждения теории тяготения Ньютона существенно теряли бы в силе. Теперь же теория Ньютона охватывала обширный круг известных фактов, предсказывала новые, позволяла определить фигуру Земли, давала объяснение явления приливов и прецессии. Результаты гениальной дедукции Ньютона убедительно говорили о том, что в природе все происходит так, как если бы любые две частицы взаимно притягивались по закону (а). Поэтому Ньютон хотя и вынужден был, отвергая действие на расстоянии, оставить открытым вопрос о «причине тяготения», но считал возможным исходить из точно сформулированного закона тяготения \ И в этом проявилась самостоятельность и смелость мысли Ньютона. Но вначале такая теория должна была встретить серьезное сопротивление.
16. Против теории тяготения Ньютона высказались те же крупнейшие ученые — его современники, которые были его оппонентами в проблеме физических основ механики. Лейбниц отвергал эту теорию, так как считал ее вводящей недопустимое дальнодействие. Такими же соображениями руководился и Гюйгенс. В «Рассуждении о причине тяжести», изданном в 1690 г. в качестве приложения к заслуженно знаменитому «Трактату о свете» 2, есть исторически важное и ценное объяснение сделанного незадолго перед этим открытия: французские астрономы обнаружили,. что вблизи экватора длина секундного маятника меньше, чем в Париже. Гюйгенс совершенно корректно объяснил это вращением Земли и рассчитал, что центробежная сила на экваторе составляет 1/а89 часть той постоянной силы на поверхности Земли, которая направлена к центру Земли и именуется силой тяжести. Но эта сила, по Гюйгенсу, не зависит от расстояния и возникает потому, что Земля окружена очень тонкой и очень быстро движущейся вокруг нее средой. Любое тело, попадающее в эту среду, подталкивается ею к Земле. Вместе с тем частицы такой сверхтонкой среды как бы содержатся между Землей и другими небесными телами и потому остаются в занимаемом ими первоначально пространстве, Это — один из вариантов декартовых вихрей.
Насколько трудно было принять теорию Ньютона, говорит тот факт, что Гюйгенс отвергает предположение о том, что любые две частицы притягивают одна другую. Однако Гюйгенс признает, что Солнце или какая-либо планета притягивает к себе другие тела, т. е. он признает, так сказать, суммарную силу тяготения. Он даже согласен с тем, что эта суммарная сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, хотя это расходится с его представлением о действии силы земного притяжения. У Гюйгенса есть также ценные выводы о фигуре Земли. Вообще отношение Гюйгенса к теории Ньютона не было вполне определенным: в своих письмах он и полностью ее отвергал (1690 г.), и оценивал ее как не очень вероятную (1692 г.). Во всяком случае зта теория не была принята Гюйгенсом, она была решительно отвергнута Лейбницем, и, конечно, ее полностью отвергали последователи Декарта, которые господствовали во французской науке того времени.
Привлекательность теории Ньютона не могли увеличить те рассуждения, которые привел Котс в предисловии ко второму изданию «Начал»: Котс, в отличие от Ньютона, говорил о дальнодействии как о реально существующей форме влияния одних тел на другие. Оставались сомнения и относительно правильности самой формы закона тяготения. Приведем в связи с этим несколько фактов. В 1734 г. Парижская академия наук премирова-
149
1 Именно в связи с вопросом о природе тяготения Ньютон заявил, что он не сочиняет гипотез. Но он только не высказывал их публично: как видно из его переписки, Ньютон размышлял о природе тяготения и, на основе представления об эфире, пытался дать механическую модель, объясняющую взаимное притяжение тел.
! См. chr. Huygens. Traits de la lumicre avec un discours sur la cause de la pesanteur. Leyden, 1690. В рурском переводе «Трактата p свете» 1935 г. это «Рассуждение» опущено.
150
ла работу Иоганна Бернулли под названием «Опыт новой небесной физи" ки...» \ в которой все основано на применении вихрей. Несколько позже Эйлер, ученик Иоганна Бернулли (в 40-е годы XVIII в.), тоже высказывал скептическое отношение к закону Ньютона, а дальнодействие Эйлер всегда отвергал и выдвинул предположение, что светоносный эфир может заодно быть той средой, через которую передается тяготение. Популярностью пользовалась схема, предложенная в 1749 г. Лесажем. Лесаж ввел представление о потоке частиц тончайшей материи, проносящихся с большой скоростью во всем пространстве по всем направлениям. Обычное тело, задерживая эти частицы, воспринимает их толчки, причем изолированное тело остается в покое. Между двумя телами образуется «тень», куда этим мельчайшим частицам затруднен доступ, поэтому на каждое из двух тел поток частиц действует уже, так сказать, односторонне, стремясь сблизить эти тела. Такие попытки дать физическую модель явления тяготения предпринимаются в течение всего XVIII в. и продолжаются в XIX в., однако работы на такую тему постепенно исчезают со страниц академических изданий и появляются преимущественно отдельными книжками и брошюрами, издаваемыми «иждивением» авторов. К дальнодействию в механике привыкали: физическая неудовлетворительность теории в этом пункте оставалась, но осознавалась она со все меньшей остротой благодаря подтверждению различных выводов из закона тяготения Ньютона.
17. В этой связи мы рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к проблеме определения фигуры Земли и других тел Солнечной системы. В третьей книге «Начал» утверждается как факт, установленный астрономами, что форма планет несколько отличается от сферической, и ставится задача об определении разности между длинами двух осей: оси, соединяющей полюсы, и'перпендикулярной к ней экваториальной оси. Планета рассматривается как состоящая из жидкости. Задача, таким образом, становится задачей о фигуре относительного равновесия вращающейся жидкой [массы. НыОтон применяет «принцип столбиков»: два столба жидкости, сходящиеся в одном месте — центре планеты, должны находиться в равновесии. На столбик вдоль полярной оси действует только сила тяготения, на столбик вдоль экваториальной оси, кроме силы тяготения,— центробежная сила. Упрощенная трактовка Ньютона оказывается достаточной для того, чтобы из условия относительного равновесия получить связь между отношением указанных выше двух осей (т. е. «эллиптичностью») планеты и отношением центробежной силы к силе тяжести на экваторе (иначе говоря, изменением силы тяжести от полюса к экватору). Для уточнения и проверки выводов Ньютона нужно было решить следующие проблемы: .
а) вычислить притяжение внешней и внутренней точки эллипсоидом (в первую очередь эллипсоидом вращения), а затем (для вопросов другого рода — теории возмущений, в основном теории Луны) вычислить и взаимное притяжение двух эллипсоидов; . .
б) исследовать фигуры равновесия вращающейся жидкой массы (Ньютон сразу задается такой фигурой и анализирует случай удлиненного и сплюснутого эллипсоида вращения).
Почему здесь возникает проблема б)? На этот вопрос лучше всего ответить словами Клеро: .
«Когда мы представляем себе все то, что образует внешнюю поверхность нашей планеты,— материки, моря, озера, горы, реки и так далее, то на первый взгляд мы склонны считать, что все исследования, которые можно провести в теории для определения фигуры Земли, являются бесполезными отвлеченными рассуждениями....
* Job. Bernoulli. Essai d’une physique c£16stenouvelle... Opera Omnia, t. III. Basileae, 1742, p. 261—364.
Но если затем обратить внимание на то, что моря со всех сторон сообщаются между собой; что берега очень мало возвышаются над уровнем моря; что высота самых больших гор совершенно ничтожна по сравнению с диаметром Земли; что скат русла самых больших рек не требует, чтобы их истоки находились выше над уровнем моря, чем горы, то мы быстро придем к заключению, что фигура Земли должна подчиняться законам гидростатики; что операции, произведенные для ее измерения, должны дать приблизительно те же результаты, как если бы они производились на поверхности воды, застывшей после того, как она приняла форму, соответствующую условиям равновесия» Ч
Здесь мы не будем рассматривать исследования по проблеме б), как относящиеся к гидростатике, а остановимся на истории проблемы а).
Задача о притяжении эллипсоидом материальной точки была решена Ньютоном для эллипсоида вращения (и вообще для тела вращения), когда материальная точка находится на оси тела. Дано геометрическое решение, которое сводится к определению площади, ограниченной некоторой кривой, т. е., на современном языке,— к вычислению определенного («однократного») интеграла. Ньютон дает и ряд теорем о соотношении сил притяжения удлиненного эллипсоида, сплюснутого эллипсоида и сферы. Дальнейшие работы в этом направлении привели к формированию основных понятий и методов, вошедших в теорию потенциала. Если говорить о математическом аппарате, то с этими работами связано в первую очередь развитие теории кратных интегралов, что было весьма существенно и для механики твердого тела. Задачей о притяжении эллипсоидом и эллипсоидов занимались почти все выдающиеся математики и механики XVIII в. Их список можно начать именем Стирлинга, который в мемуаре «О фигуре Земли» 2 дал некоторые приближенные формулы для силы притяжения сплюснутым эллипсоидом точки на его поверхности. Ряд выдающихся результатов получил Маклорен. Они целиком вошли в его известный «Трактат о флюксиях» (1742 г.) 3. В частности, Маклорен доказал, что силы притяжения одной и той же внешней материальной точки двумя конфокальными эллипсоидами вращения относятся как объемы этих эллипсоидов, если притягиваемая точка лежит на продолжении оси вращения или в экваториальной плоскости. Главными достижениями Маклорена являются: 1) полное решение задачи о притяжении внутренней точки эллипсоидом вращения и 2) распространение приведенной выше теоремы о притяжении двумя конфокальными эллипсоидами вращения на случай, когда эти эллипсоиды не являются телами вращения, при условии, что притягиваемая внешняя точка лежит на продолжении какой-либо (общей) оси эллипсоидов. Все расчеты и доказательства Маклорена проведены с помощью того же геометрического аппарата, что и в «Началах» Ньютона, и идти дальше, пользуясь такими средствами, было крайне трудно, практически невозможно. Поэтому переход к применению аналитических средств стимулировался и потребностями рассматриваемой здесь теории.
18. Работы Клеро, который самостоятельно получил некоторые результаты Маклорена в задаче о притяжении эллипсоидов, по методу исследования относятся к этапу перехода от геометрических приемов, к аналитическим. Основные результаты, полученные Клеро, вошли в его книгу «Теория фигуры Земли» (1743 г.) 4. В рассматриваемом вопросе он дал формулы, определяющие силу притяжения эллипсоида, близкого к сфере, с точностью до членов второго порядка малости относительно «эллиптичности». Более об-
151
*А. К. Клеро. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Коммент, и ред. перев.
Н. И. Идельсона. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1947, стр. 9—10.
* J. Stirling. On the figure of Earth — Philosophical Transactions of London Royal Society, 1735, N 438.
3 C. Maclaurin. A treatise of Fluxions, v. II. Edinburg, 1742.
4 См. А. К. Клеро. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики.
щие формулы такого рода,— для тела, близкого к сфере, но не обязательно эллипсоидального,— дал Даламбер в третьей части своих «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» 1 (1756 г.; первые две части этого труда напечатаны в 1754 г.). В своих работах Даламбер касается многих других вопросов, относящихся к нашей теме. Существенно нового он дает мало, но важно то обстоятельство, что средства математического анализа привлекаются им во всем доступном тогда объеме. Это было необходимым условием для дальнейшего продвижения, осуществленного главным образом трудами Лагранжа, Лапласа и Лежандра.
19. С мемуаром Лагранжа «О притяжении эллиптических сфероидов» (1773) и «Приложением» к этому мемуару 2 мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного).
Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре «Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов» 3, представленном Парижской академии в 1785 г. ; несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случаях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему: если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. «В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике.
Более того, впервые было указано на существование и значение потенциальной функции. Не будет преувеличением сказать, что этот мемуар является основой всего того, что Лаплас добавил к трудам Маклорена и Клеро в теории тяготения и фигуры Земли» 4 .
* d, d’Alembert. Recherches sur <1 iff erents points importants du syst&me du monde. Paris, 1754—1756.
• J.-L. Lagrange. Sur 1’attraction des spheroides clliptiques, Histoire de FAcaddmie Royale des Sciences ge Berlin, аппёе 1773; Berlin, 1775. Addition..., ibidem, annee 1775; Berlin, 1777.
з A. - M. Legendre. Recherches sur 1’attraction d’ellipsoides, homogenes. Memoires prtsentf'S par divers savants hl’ Academie Royale des Sciences. Paris, 1785.
* I. Todhunter. A history of the mathematical theories of attraction and the figure of the Earth, t. II. Camb" ridge, 1873, p. 28 (имеется фотопереиздание 1962 г.).
О том, что Лаплас доказал обобщенную теорему Маклорена в полном объеме, уже сказано выше. Кроме того, Лаплас систематизировал все полученные ранее результаты в задаче о притяжении эллипсоидов, упростил многие доказательства, дал несколько приближенных формул, удобных для расчета, и совершенно четко сформулировал утверждение о том, что встречающиеся здесь эллиптические интегралы не могут быть выражены в элементарных функциях, в чем он, по его словам, убедился, но как — это остается неизвестным. Это был первый результат такого рода. Лаплас вывел и носящее его имя уравнение для силовой (потенциальной) функции, но ошибочно считал его верным не только вне притягивающих масс, но и внутри них (ошибка, исправленная Пуассоном в 1813 г.). Все результаты Лапласа и его предшественников по проблеме притяжения эллипсоидов изложены в его «Небесной механике» х.
В итоге почти полуторастолетних изысканий по проблеме притяжения эллипсоидов и здесь произошел переход от геометрических к аналитическим методам, были получены многочисленные частные результаты, выведены полезные для гравиметрии приближенные формулы, с успехом применены разложения типа разложений в ряд по степеням малого параметра, введена по- 153 тенциальная функция и выведено для нее уравнение в частных производных. Эти результаты были впоследствии широко использованы в других разделах теоретической физики, послужили основой для более общей теории потенциала и для создания математического аппарата будущей теории поля. Для проверки ньютоновой теории они привлекались в сочетании с результатами других исследований, к которым мы и переходим.
20. Центральная проблема небесной механики — проблема трех тел — в XVIII в. была уже или предметом, или стимулом многих исследований, без которых нельзя себе представить историю общей механики а. Это относится к значительной части тех работ, которые рассмотрены в первых пунктах настоящей главы. Связь исследований по общей и небесной механике становится совершенно явной и систематической к середине XVIII в., когда стала общепризнанной безнадежность построения теории орбит (планет и комет) на основе декартовой теории вихрей, и получили достаточные подтверждения расчеты, основанные на законе тяготения Ньютона. Наибольшее значение имели в то время исследования по теории движения Луны как для небесной механики, так и для навигационной практики. Тут надо отметить работы Клеро и Эйлера, в частности премированное в 1751 г. Петербургской академией наук исследование Клеро, само название которого программно: «Теория движения Луны, выведенная единственно из начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояния». Оценивая это исследование, Эйлер писал в отзыве, составленном по поручению Петербургской академии, что «эту диссертацию не только нужно считать достойной высшей награды, но через нее и слава знаменитейшей Академии возрастает не незначительно, так как, предложив вопросы столь трудные, она привела к ясности положения самые скрытые» 1 2 3. Велико историческое значение и другой работы Клеро, тоже получившей в 1762 г. премию Петербургской академии наук. В ней было рассчитано время прохождения кометы Галлея4.
Одновременно с работами Клеро по теории орбит и вслед за ними появились работы Эйлера, Даламбера, а затем (что относится уже к последней четверти века) работы Лагранжа, Лапласа, Лежандра. Они замечательны
1 Р. Laplace. Mecanique celeste, t. I—V. Paris, 1799—1825.
2 Был, к примеру, такой случай: 15 ноября 1747 г. в один и тот же день Клеро и Даламбер представили Парижской академии наук свои мемуары о задаче трех тел.
•Цит. по статье Н. И. Идельсона «А. Клеро и его «Теория фигуры Земли»».— В кн.: А. Клеро. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики, стр. 243.
4 Там же, стр. 244.
154
не только своими методами, которые учитывали специфические особенности расчета планетных и кометных орбит; благодаря этим исследованиям отшлифовывался общий аналитический аппарат механики системы и твердого тела. Так, например, Эйлер в 1748 г. вывел дифференциальные уравнения первого порядка для двух элементов планетной орбиты (наклонения и долготы узла), варьируя постоянные, выражающие эти элементы в невозмущенной орбите. Этот метод — метод вариации произвольных постоянных — был затем использован Эйлером в других его работах по небесной механике. Систематически применял его Лагранж в своих мемуарах о возмущениях планет (Лагранж использовал эту идею и в математических вопросах), затем Лаплас, изложивший результаты своих предшественников и собственные в первом томе «Трактата по небесной механике» (1799 г.) \ Эти работы в историческом плане оказались подготовительными для исследований Пуассона и Лагранжа 1808—1809 гг. по методу вариации произвольных постоянных, исследований, в которых вводятся «скобки Лагранжа», «скобки Пуассона», частично — канонические переменные и канонические преобразования, т. е. закладывается основа для всего, что будет сделано в аналитической механике XIX в.
21. Изложенное в п. 20 относится к динамике системы материальных точек. Но и в динамике твердого тела доля, внесенная исследованиями по небесной механике, по меньшей мере сопоставима с тем, что связано с техническими проблемами. И в теории Луны, и в теории движения Земли требовалось объяснить явления, в которых сказывалось вращательное движение этих тел относительно своего центра тяжести. Исследование такого вращательного движения, подготовленное всем предыдущим развитием механики, стало одним из замечательнейших достижений века.
В 1749 г. отдельной книгой был издан мемуар Даламбера «Исследования о предварении равноденствий и о нутации оси Земли» 1 2.
Там рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя моментами инерции, Даламбер вводит главные оси инерции тела, выявляет в рассматриваемой им астрономической задаче наличие малых колебаний (нутационного движения) тела (Земли) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и дает полное динамическое объяснение известного со времен Гиппарха явления предварения равноденствий. Все это — результаты первостепенной важности, и все-таки это еще не общая теория вращательного движения твердого тела. Кинематика и динамика проблемы у Даламбера не отделены друг от друга. В 60-е годы Даламбер в работе «О движении тела произвольной формы под действием любых сил» 3 ставит перед собой задачу дать общую теорию, но по сути добавляет только более систематизированное изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции (на основе линеаризованных уравнений).
Но к этому времени основное было сделано неутомимым Эйлером в монографии «Теория движения твердых тел».
Пересказывать содержание этого труда означает повторять то, что до сих пор составляет основное содержание главы «Динамика твердого тела» в учебниках механики. Характерно для Эйлера, что он нередко идет «от движения к силам», методически отделяет кинематическую часть от динамической, систематически использует, помимо неподвижной, подвижную систему координат, связанную с телом,— систему главных осей инерции. Наконец, составив достаточно сложного вида уравнения вращательного движения, Эйлер обнаруживает, что они значительно упрощаются, если ввести в каче-
1 Р. Laplace. Mecanique celeste.
2 J. d’Alembert. Recherches sur la precession des equinoxes et sur la nutation de ГАхе de la Terre. Paris 1749.
2 J. d’Alembert. Du mouvement d’un corps de figure quelconque anim4 par des forces quelconques. Opuscules mathematiques, t. I. Paris, 1751.
Ж.-Л. Лагранж (1736—1813 гг.)
стве искомых величин проекции р, q, г мгновенной угловой скорости вращения на оси подвижного репера, и получает замечательные «Эйлеровы уравнения»:
P-=A^--(C-B)qr,
Q = B*L-(A-C)rp,
R = С— (В — A) pq,
где Р, Q, R — моменты сил относительно осей, проекции угловой скорости на которые обозначены соответственно через р, q, г; А, В, С — главные моменты инерции. И в этих трех достаточно простых формулах содержится вся сущность движения тел, с полным основанием утверждает Эйлер. Несмотря на «простоту» этих формул, Эйлер убеждается в большой трудности общего математического решения выведенной им системы дифференциальных уравнений, но находит носящий его имя случай их интегрируемости, когда Р = Q = R = 0, т. е. когда сумма моментов приложенных к телу сил относительно (закрепленного) центра инерции равна нулю.
Заслуживает внимания и то, что в своих выводах Эйлер опирается на аналитически записанное характеристическое свойство абсолютно твердого тела — неизменность расстояния между любыми двумя его точками.
22. Завершением XVIII в. по всем намеченным выше линиям развития аналитической механики был изданный в 1788 г. труд Лагранжа х. Это под-
1 J.-L. Lagrange. Mficanique analytique. Paris, 1788. В дальнейшем даются ссылки на русский перевод со второго двухтомного французского издания 1813—1815 гг. Оно значительно полнее первого, но до
тверждается уже тем, что его название стало термином. Критически использовав все сделанное до него в области теоретической механики, Лагранж добавил к этому немало существенных результатов, полученных им в предыдущих работах,— свыше четверти века отделяют «Аналитическую механику» от первых открытий Лагранжа в механике. И все приведено в единую систему и изложено единым методом.
Сам Лагранж подчеркивает, что в его сочинении нет никаких чертежей. «Излагаемые мной методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций»1. Отсутствие чертежей и необходимости геометрических построений — это свидетельство того, что переход от синтетического геометрического метода к аналитическому закончен. Поставленная Лагранжей задача решена.
Эта задача решена и для статики, и для динамики. В трактате Лагранжа проведено разделение механики на статику и динамику; впервые статика и динамика органически объединены в единую научную дисциплину, благодаря общности метода и последовательности изложения. В основу статики положен принцип возможных перемещений, который дает для рав-новесия «любого числа сил Р, Q, направленных по линиям р, q, г,... и приложенных к любой системе тел или точек, расположенных любым образом» 2, уравнение
Pdp 4- Qdq + Rdr + ... — 0 (а).
«Это — общая формула статики для равновесия любой системы сил» 3.
Применяя предложенный им метод неопределенных коэффициентов, Лагранж показывает, что общая формула (а) всегда дает число уравнений, соответствующее числу неизвестных в задаче на равновесие свободной или несвободной системы.
Объединяя принцип возможных перемещений с «петербургским принципом» Германна — Эйлера, Лагранж по аналогии с формулой (а) выводит «общую формулу динамики для движения любой системы тел»4 в виде
+ ^т(Р6р + Qbq + Дбг+ . . . ) = 0. (в)
Здесь J — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак 6. Лагранж показывает, что его «общая формула динамики» дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим «уравнения Лагранжа первого рода», в которые явно входят реакции связей. Он дает й вторую открытую им форму уравнений движения — «уравнения Лагранжа второго рода», вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа «общей формулы» (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся «общие свойства движения». Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы: теоремы о движении центра инерции, «теоремы моментов», «теоремы живых сил».
конца этой главы, приводятся в русском переводе только те выдержки, которые точно соответствуют изданию 1.788 г.-т
i Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 9.
’ Там же, стр. 51.
• Там же.
4 Там же, стр. 326. 5 ' ;
Вариационный принцип наименьшего действия также выведен Лагранжем из формулы (Ъ) х, но показано также, что из этого принципа можно получить уравнения движения. Все это оправдывало имеющееся в предисловии заявление автора о том, что его работа объединит и представит с одной и той же точки зрения различные принципы, открытые с целью облегчения решения механических задач, укажет их связь и взаимную независимость, даст возможность судить об их правильности и сфере их применения.
Кроме того, Лагранж достиг, казалось бы, и другой цели — «свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И он закончил свое предисловие в 1788 г. знаменитым заявлением «Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения» 1 2.
23. Это провозглашение эры исключительного господства аналитического метода могло казаться тем более обоснованным, что в труде Лагранжа содержится и все, что к тому времени составляло механику сплошной среды. Подводя итоги, надо все же признать, что аналитическая механика Лагранжа — не вся механика его времени. Недостаточность для приложений динамики идеальной жидкости, ограничение идеальными связями, т. е. исключение сил трения, математические трудности — словом, все, отделявшее теоретические построения от технических применений, заставляло уже тогда искать новые физические схемы, приближенные методы, обращаться к эксперименту. Это относится прежде всего к механике сплошной среды (см. следующую главу). Но в механике Лагранжа не было и других важных компонентов. В ней отразились и слабые стороны механистического, недиалектического материализма XVIII в. Лагранж обходит вопросы, связанные с тем или другим толкованием таких общих понятий, как пространство и время. А заодно он совсем не касается вопроса о том, каковы те системы координат, которыми он пользуется; он ничего не говорит об относительности движения. Он обрывает в этом пункте традиции классической механики. Исходя из уравнений и не вникая в анализ физических основ механики, Лагранж как бы провел некую «линию уровня». Все, лежащее выше нее, можно было считать прочно установленным и рекомендовать к применению; то, что находилось ниже нее, игнорировалось. Это была новая позиция — позиция разумного самоограничения, но зто исключало из рассмотрения ряд основных вопросов механики (и естествознания в целом). Исключить их на том основании, что пока нет удовлетворительного ответа на них и что они слишком близки к «метафизике», было полезно: можно было сосредоточить усилия на более конкретных задачах, поддающихся решению; но это принесло и вред, так как отвлекало от более глубокого исследования основных понятий механики и физики, создавая иллюзию благополучия, которого на самом деле не было.
1 История открытия вариационных принципов механики в XVIII—XIX вв. подробно рассматривается в гл. VII.
2 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 9—10.
7
Механика сплошной среды (XVIII в.)
1. Оживление торговлии промышленности в Европе в XVI—XVII вв., переход от ремесленного производства к мануфактуре были связаны с интенсивным строительством фабрик, складских помещений, арсеналов, дорог, мостов, внутренних путей (каналов, шлюзов, плотин), гидротехнических сооружений. Общественная практика способствовала не только решению уже поставленных задач механики, но и постановке ряда новых, она была стимулом для развития гидромеханики и механики деформируемого твердого тела.
Первая половина XVIII в. ознаменовалась началом промышленного переворота в Европе. Основным промышленным двигателем в это время, как и в эпоху господства мануфактур, было водяное колесо. В поисках двигателя с более высоким коэффициентом полезного действия была создана гидро-реактивная турбина, первый проект которой был предложен И. А. Сегне-ром. Сегнерово колесо, прообразом которого были мутовчатые мельницы, представляло собой систему трубок, отходящих в радиальном направлении от центрального резервуара. Силой реакции струй, вытекавших из боковых отверстий трубок, вся система приводилась во вращение. Обратив внимание на этот интересный проект, Л. Эйлер разработал теорию сегнерова колеса, внес существенные усовершенствования в его конструкцию. Впоследствии Эйлер дал теорию гидрореактивного двигателя. Впрочем, в третьей четверти XVIII в. паровая машина благодаря своей мобильности начинает вытеснять водяное колесо из числа основных промышленных двигателей.
Стимулом развития гидромеханики в XVIII в. были также задачи, которые выдвигались артиллерией и кораблестроением. Одной из основных проблем была проблема движения твердого тела в сопротивляющейся среде. Именно с ней связаны основополагающие работы Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости.
Строительная практика нового времени поставила ряд задач строительной механики и сопротивления материалов. Так, проблема перекрытия больших пролетов выдвинула задачи о прочности балки и расчете арки (свода). Однако в XVIII в. еще не было такой острой экономической заинтересованности в решении этих задач, какая возникла в 30-х годах XIX в. в связи с началом массового строительства железнодорожных мостов. Поэтому разработка возникавших задач проходила весьма медленно, причем подчас забывались уже найденные верные решения.
В XVIII в. в ряде стран организуются военные учебные заведения для подготовки специалистов по фортификации и артиллерии. Во Франции для подготовки инженеров—специалистов, по сооружению'дорог, каналов и мостов в 1747 г. была основана «Школа мостов и дорог». Это было первое высшее
техническое учебное заведение. Оно сыграло видную роль в разработке проблем сопротивления материалов и гидравлики. Появляются первые учебные руководства по инженерным дисциплинам, в которых находят свое отражение гидравлика, элементы гидромеханики, сопротивления материалов и строительной механики. Одной из первых таких книг была «Инженерная наука» 1 В. Белидора, получившая известность среди инженеров-строителей.
К началу XVIII в. уровень развития гидромеханики и механики деформируемого твердого тела был неодинаков. Если элементы гидростатики получили теоретическое развитие еще в трудах Архимеда (III в. до н. э.), то механика деформируемого твердого тела берет свое начало только с работ Галилея (XVII в.). Причина столь неравномерного развития двух дисциплин, вошедших позднее в механику сплошной среды, лежит в самом различии материальных объектов изучения этих дисциплин.
Сцепление между частицами твердого тела настолько велико, что в большинстве случаев нужно приложить очень большую силу, чтобы обнаружить его деформируемость. При ковке, известной с глубокой древности, существенным фактором является нагрев. А при неизменной и обычной температуре главное свойство твердого тела — его твердость, способность же деформироваться — второстепенный фактор, от нее на первых порах абстрагировались. Поэтому вначале развивается механика абсолютно твердого тела и лишь вслед за нею выявляются необходимость и возможность изучать деформируемое твердое тело.
Сцепление между частицами жидкости, напротив, настолько мало, что она легко деформируется и под действием собственного веса принимает форму сосуда. Поэтому с самого начала механика жидкости составляет раздел механики деформируемой среды, и ее развитие благодаря тому значению, которое имеет вода и водная стихия 2, идет, можно сказать, параллельно с развитием динамики абсолютно твердого тела.
И в XVIII в. гидромеханика продолжала опережать в своем развитии механику деформируемого твердого тела.
2. Явление упругости, т. е. свойство тел восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после снятия внешних нагрузок, было известно людям с глубокой древности. Еще в эпоху мезолита (средний каменный век — XII—VII тысячелетия до н. э.) люди научились использовать упругие свойства дерева: были изобретены лук и стрелы. Значительно позднее, в VIII—VII вв. до н. э., на Востоке были изобретены более мощные метательные машины — баллисты и катапульты, в которых использовались упругие свойства дерева и сухожилий животных. В эллинистическую эпоху эти машины получили распространение в Греции и Риме. По-видимому, в средние века появились металлические пружины.
Изучением упругих свойств материалов ученые занялись лишь во второй половине XVIII в. Прочность же материалов стала предметом исследований значительно раньше. Безусловно, древние строители имели определенное представление о прочности дерева, камня и других строительных материалов. Однако сведения об зтом в письменных источниках не сохранились. Известно, что Леонардо да Винчи экспериментально определял нагрузку, которую может выдержать железная проволока. Проекты опытов по определению «абсолютного сопротивления разрыву» разрабатывал Галилей. Опыты по изучению упругих свойств материалов проводил Роберт Гук. В 1678 г. появилась его работа «О восстановительной способности или об упругости, объ
159
1 В. Belidor. La science des ingdnieurs dans la conduite des travaux de fortification et d’architecture civile. Paris, 1729. Эта книга неоднократно переиздавалась. Последнее издание вышло в 1830 г. с дополнениями Навье. Есть русский перевод: Б. Бел и дор. Инженерная наука в производстве работ при укреплениях и архитектура гражданская. Перев. Г. К. Борзова. СПб., 1802.
2 Гидромеханика, гидростатика — это буквально механика воды, статика воды.
ясняющей силу упругих тел» х, в которой он описывает опыты с винтовыми и спиральными пружинами, с растяжением проволочной струны, с изгибом деревянной консоли. На основании этих опытов Гук делает важное заключение: «Совершенно очевидно, что правило или закон природы для всякого упругого тела состоит в том, что его сила или способность восстанавливать свое естественное состояние всегда пропорциональна той мере, на которую оно выведено иэ этого естественного состояния, совершено ли это путем разрежения, отделения его частей одна от другой или же путем сгущения или уплотнения этих частей. И наблюдать это можно не только в рассмотренных выше телах, но и во всех каких бы то ни было упругих телах, будь то металлы, дерево, каменные породы, кирпич, волос, рог, шелк, кости, мышцы, стекло и т. п.» 1 2.
Тот же закон о пропорциональности удлинений внешним силам независимо от Гука был установлен Э. Мариоттом, который поставил опыты в связи с проектированием водопровода для Версальского дворца. Мариотт изучал деформации деревянных, железных и стеклянных стержней и уста-160 новил> что даже самые твердые тела — стекло и железо — деформируются примерно пропорционально нагрузке 3. Мариотт, как и Гук, считал, что этот закон справедлив вплоть до момента разрушения материала.
В XVIII в. экспериментальным изучением механических свойств мачерпа-лов занимались А. Паран, Б. Белидор, Р. Реомюр, Ж. Бюффон и другие ученые. Большое число механических испытаний с различными материалами провел голландский физик Питер ван-Мушенбрук. Он сконструировал специальные установки рычажного типа для проведения испытаний на растяжение, сжатие и изгиб, а также изобрел специальные устройства для захвата торцов образцов в испытаниях на растяжение. Результаты этих испытаний были опубликованы в его книге «Экспериментальная физика и геометрия» 4.
Обстоятельное исследование сопротивления дерева провел Ж. Бюффон. Он обнаружил 5, что прочность образцов дерева, отобранных от одного и того же ствола, резко отличается в зависимости от места, из которого они вырезаны; она зависит не только от расстояния места выреза до оси ствола, но и от расстояния его вдоль этой оси. Поэтому он заключил, что на основании экспериментов Мушенбрука на малых образцах нельзя получить данные, необходимые для инженера-строителя. Для этого нужно проводить испытания балок в натуральную величину. Проведенные Бюффоном испытания балок подтвердили соображения Галилея (см. п. 3) о том, что их прочность пропорциональна ширине поперечного сечения и квадрату его высоты. Особое внимание Бюффон уделил выяснению влияния пороков дерева, его возраста, плотности и других факторов на величину сопротивления древесины. Он также обнаружил снижение сопротивления дерева в результате длительного действия нагрузки. Учитывая это обстоятельство, Бюффон предложил считать допускаемую нагрузку для дерева равной половине веса ломающего груза.
Испытания каменных и деревянных строительных материалов проводились во французском Корпусе инженеров путей сообщения (учрежденном в 1720 г.) инженерами Э. Готэ, Ж. Ронделе, Ж. Перроне, Ж. Ламбларди, П. Жираром и др. Во всех случаях определялась разрушающая нагрузка. Результаты опытов были использованы на строительных работах.
1 Н. Hooke. Lectures de potentia restitutiva, or of spring explaining the power of springing bodies. London, 1678.
z С. П. Тимошенко. История науки о сопротивлении материалов. М., Гостехиздат, 1957, стр. 31.
3 Е. Mariotte. Traite du mouvement des eaux et des autres corps fluides. Paris, 1686, 2-me dd., 1700.
4 P. Musschenbroek. Physicae experimentales et geometriae. Leiden, 1729.
ii G. L. Buffon. Experiences sur la force du bois. Histolre de i’Academie Royale des Sciences. Аппёе 1740. Avec les Memoires de Mathematique et de Physique pour la meme аппёе. Paris, 1742, p. 453—467.
Определение разрушающего напряжения, т. е. предела прочности, встречается сравнительно поздно. В упомянутых выше книгах Мушенбрука и Белидора, а также в более позднем исследовании Ронделе 1 приводятся только таблицы разрушающих нагрузок. Представление о пределе прочности встречается в «Книге, содержащей в себе учение о равновесии и движении тел» С. К. Котельникова. Он называет предел прочности «особенной крепостью» и указывает, как его найти: «Испытай, сколько какое тело какой-нибудь толщины может поднять тягости, пока не порвется. Найденную таким образом тягость, которая есть пропорциональна крепости тела, раздели на толщину тела. Итак, имеешь особенную крепость того тела» 2. Под «толщиной» Котельников понимал здесь площадь поперечного сечения тела, так что его «особенная крепость» есть не что иное, как предел прочности. Аналогичным образом Котельников определял «особенную крепость в переломе», т. е. ломающее напряжение. Котельников приводит таблицы «особенных крепостей» «в разрыве» и «в переломе» для различных пород древесины и «особенных крепостей в разрыве» для разных металлов, заимствованные из опытов Мушенбрука.
Тщательное исследование механических свойств материалов было выпол-нено Ш. Кулоном. Изучая крутильные колебания тонких проволок круглого сечения 3, он установил опытным путем следующую зависимость для крутящего момента М:
М=-^<р,
где I — длина проволоки, d — ее диаметр, <р — угол закручивания, ар. — постоянная, характеризующая свойства материала 4. Кулон полагал, что свойства материала могут быть охарактеризованы двумя величинами: пределом упругости, превышение которого приводит к появлению остаточных деформаций, и числом р. Далее он обнаружил, что предел упругости может быть повышен, если проволоку подвергнуть предварительному закручиванию, превышающему предел упругости, или понижен путем отжига. Характеристику упругих свойств материала, определяемую числом ц, изменить никак не удавалось. То же явление Кулон наблюдал и при изгибе стержней. Для объяснения этих явлений он высказал гипотезу о том, что ’каждый упругий материал характеризуется определенным расположением молекул, которое не нарушается малыми упругими деформациями. При превышении предела упругости происходит остаточное скольжение молекул, в результате которого силы сцепления увеличиваются, а упругие свойства не изменяются.
В целом, несмотря на многочисленные опыты, изучение механических свойств материалов в течение XVIII в. далеко не продвинулось. Не были введены понятия модуля упругости, пределов текучести и пропорциональности. Это можно объяснить повсеместным господством теории предельных (разрушающих) нагрузок, которая не способствовала изучению свойств материалов при нагрузке, меньшей разрушающей. Тем не менее результаты опытов представляли значительную практическую ценность, так как позволяли судить о прочности различных видов строительных материалов.
1 J. В. Rondelet. Traite thyorique et pratique de 1’art de bfttir. Paris, 1805.
2 С. К. Котельников. Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел. СПб., 1774, стр. 147.
• Ch.A. Coulomb. Recherches thSoriques et expyrimentales sur la force de torsion et sur [’elasticity des fils de metal. Application de cette thdorie й 1’emploi des mSrtaux dans les arts et dans diffdrentes balances de torsion, pour mesurer les plus petits degrds de force. Observations sur les loix de 1’elasticity et de coherence. Histoire de I’Acad&nie Royale des Sciences. Аппёе 1784, Paris. 1787, p. 229—269. To же в «Collection de mgmoires relatlfs й la physique publies par la Society franqaise de physique». Mymoires de Coulomb. Paris, 1884, p. 65—103.
« Эта постоянная пропорциональна модулю сдвига.
11 История механики
3. История науки о сопротивлении материалов начинается с Галилея. В «Беседах и математических доказательствах» (1638 г.) он рассмотрел изгиб консольной балки и изгиб балки, лежащей на двух опорах. Исследуя изгиб консоли, защемленной одним концом в стену и нагруженной силой, приложенной на другом конце (рис. 13), Галилей исходил из того, что опасным сечением будет сечение заделки. Разрушение, по его мнению, происходит в результате появления трещины у верхнего ребра сечения заделки и вращения консоли как жесткого целого вокруг нижнего ребра того же сечения. Именно в этом предельном состоянии Галилей и рассматривал балку. «Сопротивление, обусловленное сцеплением частиц с теми его частицами, которые находятся на стене», Галилей принимал равным «абсолютному сопротивлению разрыву» при растяжении и прилагал эту силу в центре симметрии сечения. Иначе говоря, он неявно предполагал, что силы сопротивления распределяются равномерно по площади сечения. Применяя далее правило рычага к консольной балке, Галилей нашел, что «абсолютное сопротивление разрыву» призмы так относится к сопротивлению разрыву посредством ры-162 чага> как Длина рычага к половине толщины призмы. Если обозначить разрушающую нагрузку при изгибе через Р, «абсолютное сопротивление разрыву» при растяжении через S, длину консоли — /и высоту сечения — h, то указанная зависимость может быть записана в виде
<*>
Так как «абсолютное сопротивление разрыву» прямо пропорционально площади поперечного сечения стержня, то сопротивление балки изгибу пропорционально ширине сечения и квадрату его высоты для балки прямоугольного сечения или кубу диаметра — для балки круглого сечения.
Галилей получил ряд правильных результатов для консольной балки, находящейся под действием собственного веса, а также для балки, лежащей на двух опорах и нагруженной сосредоточенной силой. Наконец, он правильно решил задачу о форме консольной балки, сопротивление которой силе, приложенной на ее конце, во всех частях одинаково (балка равного сопротивления). Он нашел, что высота прямоугольного сечения такой балки при постоянной
Рис. 13
ширине должна изменяться по параболическому закону. Все эти результаты были получены, несмотря на неверное допущение относительно закона распределения сил сопротивления. Результаты оказались правильными потому, что в силу своего математического аппарата — аппарата пропорций Галилей рассматривал относительную прочность балок. Относительные характеристики прочности балок для каждого вида поперечного сечения не зависят от числового коэффициента в выражении момента сопротивления.
Галилей, по-видимому, не проводил опытов по определению абсолютной прочности балок. Впервые такие опыты поставил Мариотт \ который нашел,
‘Е. Mariotte. Traite du mouvements des eaux et des autres corps fluides. Paris, 1686; 2-me ed., 1700.
что теория Галилея дает завышенное значение для разрушающей нагрузки. При построении своей теории Мариотт учитывал упругие свойства материала.
Мариотт, как и Галилей, полагал, что в момент разрушения консоль совершает поворот вокруг нижнего ребра опорного сечения. При этом усилия в продольных волокнах пропорциональны их удлинениям и относятся друг к другу, как расстояния этих волокон от нижнего, ребра. Иначе говоря, предполагалось, что нейтральная ось расположена на нижней, вогнутой стороне балки (рис. 13,6). Если составить сумму моментов всех сил, действующих на консоль в момент разрушения, относительно нижнего ребра опорного сечения, то результат Мариотта для разрушающей нагрузки можно записать в следующей форме 2:
(2)
где приняты те же обозначения, что и в формуле (1).
Проверяя полученные результаты на опыте, Мариотт обнаружил, что волокна, расположенные в нижней части консоли, подвергаются сжатию, а в верхней части — растяжению. Считая, что нейтральное волокно расположено в средней части прямоугольного сечения балки, Мариотт правильно определил характер распределения усилий по поперечному сечению балки (рис. 13, в). Только ошибка, допущенная при вычислении момента сил относительно нейтральной оси опорного сечения в момент разрушения, помешала ему прийти к правильной формуле для разрушающей силы, действующей на балку (предполагалось, что материал подчиняется закону Гука вплоть до разрушения). Поэтому Мариотт получил ту же зависимость (2).
Повторив опыты с деревянными и стеклянными стержнями, Мариотт нашел, что его теория более подтверждается опытами, нежели теория Галилея.
Теория Галилея послужила позднее основанием для первой теории прочности (разрушение происходит тогда, когда растягивающее усилие достигает определенной величины). К теоретическим положениям Мариотта восходит вторая теория прочности (разрушение наступает тогда, когда удлинение превысит некоторый безопасный предел).
В начале XVIII в. теории изгиба балки посвятили свои работы П. Ва-ринъон и Я. Бернулли. В статье Вариньона 2 дается возможное для того времени обобщение задачи изгиба. Предполагая, что силы сопротивления распределяются по какому угодно закону по высоте сечения, Вариньон вывел формулу для силы, разрушающей балку. При этом он аккуратно выполнил интегрирование сил сопротивления по поперечному сечению балки, имеющему произвольную форму, симметричную относительно вертикальной оси. Из своего «фундаментального правила» Вариньон получает формулы Галилея (1) и Мариотта (2) как частные случаи. Он рассмотрел также случай, когда сила сопротивления представлена степенном законом в функции расстояния от «оси равновесия», т. е. от нейтральной оси, которую он помещает на вогнутой стороне балки.
Яков Бернулли в своем исследовании изгиба 3 принимал во внимание на. личие сжатых волокон на вогнутой стороне балки. Однако в своем анализе
163
Этот же результат при аналогичных допущениях получил Лейбниц: I. G. Leibniz. Demonstrationes novae de resistentia solidorum. Acta Erudltorum, Lipsiae, 1684, p. 319—325. Leibnizens mathematische Schriften, Abt. 2,BdII,Halle, 1860,S. 106—111. Лейбниц ссылается на Мариотта, исследования которого уже были известны, хотя и не были еще опубликованы.
! Р. Varignon. De la resistance des solides en general (pour tout ce qu’on peut faire d’hypoteses touchant la force ou la tenacitd des fibres des corps 5 rompre; et en particulier pour hipotheses de Galilde et de M. Mariotte). Hlstoire de I’Academie Royale des Sciences, Аппёе 1702. Paris, 1704, p. 66—94, 2-me ed., 1720, p. 66—100.
2 J. Bernoulli. Veritable hypothese de la resistance des solides (avec la demonstration de la corbure des corps qni font ressort). Histoire de I’Academie Royale des Sciences. Аппёе 1705. Paris, 1706,2-me ed. 1730, p. 176—186.
11*
164
он допустил ту же ошибку, что и Мариотт. Он доказал неверную теорему о том, что одна и та же сила, которая изгибает балку, удлиняя одну часть ее волокон и сжимая другую, так что эпюра сил сопротивления состоит из двух треугольников (рис. 13, в), будет способна растянуть все волокна по треугольной эпюре (рис. 13, б). Таким образом, по Я. Бернулли, получалось, что положение нулевой точки в линейной эпюре сил сопротивления не оказывает влияния на прочность балки. Можно согласиться с мнением С. А. Бернштейна, что «эта неверная теорема, подкрепленная авторитетом имени Якова Бернулли, и оказалась вредным тормозом, задержав на целое столетие развитие учения об изгибе» \
Впервые правильное решение задачи о прочности балки дал Антуан Паран. Он посвятил ей целый ряд мемуаров. Наиболее существенное значение имеют два из них, опубликованные в 1713 г.
В первом мемуаре 1 2 Паран показал, что уравнение (2), выведенное Мариоттом для балки прямоугольного сечения, нельзя применять к круглым балкам и трубам (как это делал Мариотт). Для балок сплошного круглого сечения в предположении, что эпюра сил сопротивления треугольная, Паран вывел специальную формулу.
Во втором мемуаре 3 Паран пришел к выводу, что значительная часть поперечного сечения балки должна работать на сжатие. Приняв вслед за Марионом эпюру для закона распределения сил сопротивления в виде двух равных треугольников (рис. 13, в), он нашел, что момент сопротивления в этом случае равен половине момента сопротивления в случае эпюры, представляемой одним треугольником (рис. 13, б). Таким образом, он исправил ошибку, допущенную Мариоттом и повторенную Я. Бернулли.
Рассматривая эпюру сил сопротивления, состоящую из двух различных треугольников (рис. 13, г), из условия равновесия консоли Паран нашел, что равнодействующее сжимающее усилие в поперечном сечении должно быть равно равнодействующему растягивающему усилию. Он впервые отметил, что в опорном сечении, помимо нормальных сил, действует поперечная сила Р. Таким образом, статическая сторона задачи изгиба решена Параном полностью: в его представлении силы сопротивления, распределенные по опорному сечению, должны составлять систему сил, уравновешивающих внешнюю нагрузку. Однако эта работа Парана осталась не замеченной современниками.
Вывод «фундаментальной» формулы Вариньона повторил в 1729 г. Г. Бильфингер 4. Он определил также моменты сопротивления для ряда частных случаев степенного закона распределения сил сопротивления и дал обзор всех работ по изгибу, пропустив, однако, существенную работу Парана 1713 г.
В 1773 г. Ш. Кулон выступил с работой 5, в которой изложил свою теорию изгиба балок. С работой Парана он, по-видимому, не был знаком. Рассматривая изгиб консоли прямоугольного сечения, Кулон заметил, что верхние волокна ее растянуты, а нижние — сжаты. Усилия, действующие в поперечном сечении, он разложил на составляющие, нормальные и касатель
1 С. А. Бернштейн. Очерки по истории строительной механики. М., Госстройиздат, 1957, стр. 30.
2 A. Parent. Comparaison des resistances des cylindres et segments pleins, avec celles des creux Cgaux en base, dans la systdme de M. Mariotte. Essai et recherches des mathematiques et de physiques, v. 2, 1713 p. 567—595.
* A. Parent. De veritable mecaniquc des existences relatives des solides, et reflections sur la systhfcme de M. Bernoulli de Bale. Essai..., v. 3, 1713, p. 187—201.
G. B. Biilfinger. De solidorum resistentia specimen. Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. T. 4 ad annum 1729. Petropoli, 1735, p. 164—181.
• Ch. A. Coulomb. Essai sur une application des rfcgles de maximis et minimis a quelques problfemes de statique, relatifs й I’architecture. Mdmoires de Mathematique et de Physique, pr6sent4s a I’Acaddmie des sciences par divers savants, v. 7. Paris, 1776, p. 343—382.
ные к сечению. Применив метод сечений*, он написал уравнения статики для отсеченной части консоли и установил, что сумма нормальных сил, распределенных по поперечному сечению, равна нулю; сумма поперечных сил равна приложенной нагрузке и сумма моментов всех сил в сечении относительно нейтральной оси равна моменту приложенной нагрузки относительно той же оси. Эти закономерности, как отмечал Кулон, не зависят от закона, определяющего удлинения и усилия в волокнах. Принимая линейный закон распределения внутренних сил по сечению (рис. 13, в) и считая, что материал следует закону Гука вплоть до разрушения, Кулон получил формулу для разрушающей нагрузки
о)
(обозначения те же, что и в формуле'(1)).
Однако теория Кулона также не получила распространения в XVIII в. В большинстве инженерных руководств того времени рекомендовались формула Мариотта для упругого материала (дерева) и формула Галилея для абсолютно твердого материала, каким считался камень. Именно так излагалась теория изгиба в первой книге по сопротивлению материалов П. С. Жирара х, кстати сказать, получившей одобрительный отзыв Кулона, а также в первых работах и лекциях Навье 2. Только в 1824 г. Навье дал в своих лекциях 3, опубликованных в 1826 г., теорию вопроса о соответствии с принципом Кулона.
Говоря о Кулоне, следует упомянуть его исследование сжатия стержней, изложенное в работе 1773 г. Он показал, что разрушение сжатых стержней очень часто происходит путем сдвига и высказал предположение, что именно сдвиги являются причиной всякого разрушения. Это положение позднее послужило основанием для третьей теории прочности.
Если Галилей и Мариотт исследовали прочность балки, то Яков Бернулли поставил задачу о вычислении ее прогибов 4. Решение этой задачи не диктовалось требованиями техники XVIII в. Задача ставилась и решалась как один из многочисленных примеров приложения анализа бесконечно малых к исследованию кривых линий.
Следуя допущению Мариотта относительно положения нейтральной оси на вогнутой стороне балки и дополнив его гипотезой плоских сечений, Я. Бернулли приравнял момент растягивающих усилий в волокнах поперечного сечения балки изгибающему моменту в данном сечении. Используя закон Гука, он получил уравнение, из которого следует, что кривизна 1/7? кривой изгиба в каждой ее точке пропорциональна изгибающему моменту в этой точке:
С D
-7Г = Рж-
Однако коэффициент пропорциональности С из-за неверного допущения относительно положения нейтральной оси получился ошибочным.
Эта зависимость между кривизной оси и изгибающим моментом послужила отправной точкой для исследований Эйлера по теории упругих кривых.
165
* Р. S, Girard. Traits analitique de la resistance des solides et des solides d’Ogale resistence. Paris, an. VI (1798).
* Navier. Notes sur la science d’ing&iieur deJBelider, 1818. Litographie des premiferes le?on, 1819—1820. (Указание Б. Сен-Венана: В. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуаров изгибе призм. М., 1961, стр. 384).
a Navier. Нёзитпё des lepons donnas a 1’Ecole des Ponts et Chauss6es sur 1’application de nuScanique a I'6tah-lissement des constructions et des machines. Paris, 1826.
4 Работы Я. Бернулли по теории упругих кривых публиковались в 1691—1705 гг. Завершающая работа, о которой далее идет речь, указана в сноске 3 на стр. 163.
166
Вскоре после приезда в Петербург, в феврале 1728 г., Эйлер представил Академии наук мемуар х, в котором дано развитие теории Я. Бернулли.
В 1744 г. Эйлер дал вывод уравнений «упругой кривой», применив вариационное исчисление, которое он изложил в книге «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума и минимума» I 2. В обширном приложении к зтому сочинению, носящем название «Об упругих кривых», Эйлер вывел уравнение упругой кривой из условия минимальности некоторой величины, которую он, вслед за Даниилом Бернулли 3, называет «по-тенциальной силой». «Потенциальная сила» выражается формулой \ ,
где s — дуга, a R — радиус кривизны, и, как нам теперь известно, с точностью до постоянного множителя представляет собой энергию деформации изогнутого стержня. Применяя методы вариационного исчисления, Эйлер получил дифференциальное уравнение упругой линии, выведенное ранее Я. Бернулли. Это же уравнение он вывел и прямым способом, аналогично тому, как это было сделано Я. Бернулли. Это уравнение имеет вид
= + <*>
Эйлер исследовал точное дифференциальное уравнение изогнутой оси упругого стержня и классифицировал упругие кривые на девять видов. Некоторые из них представлены на рис. 14. К первому виду относится прямая линия, а также кривая линия, бесконечно мало от нее отличающаяся. В этом случае дифференциальное уравнение упрощается и легко интегрируется. Оказывается, что для того чтобы сообщить стержню бесконечно малый изгиб, к концам его нужно приложить силы
Р = (5)
где I — длина стержня, Ек2 — его жесткость. Второй вид упругой кривой получится, если сила, с которой притягиваются друг к другу концы стержня, будет больше, чем в предыдущем случае.
То, что относится к первому виду, Эйлер применил для суждения о «силе колонны». «Если груз Р,— пишет он,— не будет превышать я,Ек2И2, то можно будет не опасаться никакого решительно изгиба; наоборот, если груз Р будет больше, то колонна не сможет сопротивляться изгибу» 4.
Спустя более чем сто лет формула Эйлера (5) приобрела важное значение для расчета сжатых стержней на упругую устойчивость.
Для определения прогибов упругих стержней и «силы колонны» нужно знать их жесткость («абсолютную упругость», по терминологии Эйлера), которая может быть найдена посредством опытов. Для вывода необходимой формулы Эйлер проинтегрировал уравнение (4), используя разложение иско
I L. Euler. Solutio problematis de invenienda curva, quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentis quibusqunque sollicitata. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, t. 3 (1723), p. 70—84. Opera omnia, ser. 2, t. 10, p. 1—16.
* L. Euler. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate quadentis sive solutio problematis isoperimetrlei latissimo sensu accepti. Laussanna et Geneva, 1744.
Русск. перев.: Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, Леонарда Эйлера, королевского профессора и члена императорской Петербургской академии наук. Перев. с лат. Я. М. Боровского под ред. H. С. Кошлякова. М. — Л., Гостехтеоретиздат, 1934.
а В письме к Эйлеру от 22/10 1742 г. (N. Fuss. Correspondence mathematique et physique, t. 2, St — Petersbourg, 1843, p. 505—507). Д. Бернулли сообщил, что задача об упругой кривой может быть решена путем отыскания минимума «потенциальной силы».
4 Л. Эйлер. Метод нахождения кривых линий..., стр. 492.
мого решения в ряд. Для случая, когда сила перпендикулярна оси стержня и прогибы малы, он получил, что
Ек* = t (6)
где g — горизонтальная составляющая длины стержня, а / — его прогиб. Если в числителе этой формулы пренебречь величиной 3/ по сравнению с 2g и заменить g длиной стержня I, то мы придем к известной формуле для прогиба конца консоли:
, _ Р13
* ~ ЗЕ1 ’
«Абсолютная упругость» Ek2, по Эйлеру, зависит от «природы вещества», из которого сделан стержень, и для стержня прямоугольного сечения пропорциональна ширине сечения и квадрату (а не кубу!) его высоты. Эта ошибка Эйлера ввела в заблуждение многих экспериментаторов.
В той же работе 1744 г. Эйлер исследовал изгиб стержней переменного сечения и, в частности, изгиб консоли, жесткость которой в каждом сечении 167 пропорциональна расстоянию сечения от ее свободного конца. Он рассмотрел изгиб стержней, имеющих некоторую начальную кривизну, а также изгиб консольных балок под действием распределенной нагрузки (собственный вес, гидростатическое давление). В последнем случае для изогнутой оси балки Эйлер пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка, которое проинтегрировал для случая гидростатического давления и получил уравнение изогнутой оси в алгебраической форме.
В 1757 г. в работе «О силе колонн» 1 Эйлер вернулся к теории продольного изгиба. Прежде всего он дал более правильное толкование «абсолютной упругости» Ек2, установив, что она должна иметь размерность силы, умноженной на квадрат длины. Далее он предложил более простой вывод формулы (5) для критической силы, исходя из приближенного дифференциального уравнения оси стержня
СЭтот вывод воспроизводится теперь во всех курсах сопротивления материалов.)
Рис. 14
Основная часть мемуара «О силе колонн» посвящена исследованию продольного изгиба стержней переменного сечения, а также стержней постоянного сечения, находящихся под действием собственного веса. По последнему вопросу Эйлер не смог сразу получить удовлетворительного решения и вернул-
’ L. Euler. Sur la force de colonnes. Histoire de 1’Academie Royale des Sciences et belles-lettres, t. 13, Anuee 1757. Berlin, 1759, p. 252—282.
168
ся к нему в последующих работах х. В заключительной работе3 он ввел в рассмотрение горизонтальные реакции, приложенные к концам шарнирно опертого стержня, и блестяще решил задачу.
Работы Эйлера по продольному изгибу продолжил Лагранж. В первом мемуаре 3, посвященном этому вопросу, Лагранж не ограничился исследованием наименьшей критической силы, а рассмотрел так называемые критические силы высших порядков, когда изгиб оси стержня происходит по двум, трем и большему числу полуволн синусоиды. Лагранж изучил зависимость стрелы прогиба от величины нагрузки в случае, когда последняя превышает критическое значение. Он нашел интеграл точного дифференциального уравнения изогнутой оси при помощи разложения искомого решения в ряд. Лагранж решил также задачу о продольном изгибе стержня, ограниченного какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Тогда же он поставил задачу о наивыгоднейшем очертании колонн — об очертании стержня, выдерживающего без изгиба данную сжимающую нагрузку и имеющего наименьший вес. Однако ему не удалось найти удовлетворительного решения этой задачи. Впоследствии ею занимались Т. Клаусен, Е.Л. Николаи4 и др.
Во втором мемуаре 5 Лагранж исследовал изгиб полосы постоянного сечения, один конец которой жестко защемлен, а другой нагружен сосредоточенной силой. Форма решения, предложенная Лагранжем, оказалась мало пригодной для практического использования.
Таким образом, благодаря трудам Эйлера и Лагранжа теория продольного изгиба получила достаточное развитие. Однако практического применений в XVIII в. она не имела. Это в немалой степени объясняется неудовлетворительной постановкой эксперимента.
Первые испытания длинных стоек на сжатие еще до работ Эйлера провел П. Мушенбрук. Он нашел, что сопротивление сжатых стоек одинакового сечения обратно пропорционально квадратам их длины (1729 г.).
В конце XVIII в. подобные испытания на более мощной установке проводил П. С. Жирар 6. Для того чтобы сравнить значения критических сил, полученные на основе испытаний стоек, со значениями, вычисленными по формуле Эйлера (формула (5)), проводилось определение жесткости упругих стоек по способу, рекомендованному Эйлером (формула (6)). При этом Жирар, отвергая поздние работы Эйлера, считал, что жесткость при изгибе пропорциональна кубу диаметра (а не четвертой степени!). Закрепления концов стоек и способы приложения нагрузки в опытах Жирара лишь приблизительно соответствовали теоретическим; поэтому и полученные им результаты плохо согласовывались с данными теоретических исследований.
В своей книге по сопротивлению материалов Жирар дал любопытное «объяснение» явления продольного изгиба. В то время уже было известно поперечное расширение коротких стержней при сжатии: при наличии торцевого трения стержни принимают бочкообразную форму. При сжатии длинных стержней, как полагал Жирар, продольные волокна внешней поверхно-
* L. Euler. Detenninatio орегшп, quae columnae gestare valent. — Acta academiae scientiarum imperia-lis Petropolitanae, t. 2, pro anno 1778, pars I, Petropoli, 1780, p. 121—145. Examen insign is paradox! in theoria columnarum occurentis. — Там же, стр. 146—162, De altitudine columnarun sub proprio pon-dere corruentium. — Там же, Стр. 163—193.
’De altitudine columnarum...
* J.-L. Lagrange. Sur la figure de colonnes. Miscellanea Taurinensia, t. 5, 1770—1773. Oeuvres de Lag-range, t. 2. Paris, 1868, p. 125—170.
4 E. Л. Николаи. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн. — Изв. Петербургск. политехи, ин-та, 1907, т. 8; Он же. Труды по механике. M., Гостехиздат, 1955, стр. 9—44. Т. Clausen. Uber die Form architectonischer Saulen. Bulletin physico—math. de l’Acad6mie de St. Pdtersbourg, t. 9, 1851, p. 369—380.
’ J.-L. Lagrange. Sur la force de ressorts plies. — Mdmoires de I’Academie des Sciences et belles-lettres de Berlin, t. 25, 1771; Oeuvres de Lagrange, t. 3. Paris, 1869, p. 77—109.
• P. S. Girard. Traite analytique de la resistance des solides et des solides d’dgale resistance. Paris, an. VI (1798).
Я. Бернулли (1654—1705 гг.)
сти стержня тоже стремятся принять бочкообразную форму, но при этом: одни из волокон «перетягивают» в свою сторону другие, и таким образом происходит продольный изгиб.
Английские инженеры отнеслись к результатам Эйлера с недоверием. Весьма критически отзывался о его теории Робисон. Он считал работу Эйлера и его учеников примером бессодержательной игры математическими символами, полагая, что «наши знания о механизме сцепления пока еще слишком несовершенны для того, чтобы дать нам право на уверенное применение математики» х. Только последователи Эйлера в России принимали его учение, излагали его теорию в учебных руководствах 1 2.
5. В истории теории упругости и сопротивления материалов видное место-занимают работы Даниила Бернулли и Эйлера о поперечных колебаниях упругих стержней (см. также гл. IX). В конце приложения «Об упругих кривых» к трактату «Метод нахождения кривых линий...» (1744 г.) Эйлер поставил задачу о малых колебаниях стержня, обосновал замену кривизны стержня второй производной cPyldx2 и впервые вывел приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси.
Эйлер рассматривал стержень («пластинку», как он говорил), в естественном состоянии расположенный вертикально и защемленный в верхнем конце (рис. 15). «Для определения колебательного движения,— писал он,— совершенно необходимо знать природу кривой ВМа, форму которой приобретает пластинка во время колебания» 3.
Отметив, что малые колебания изохронны, Эйлер сравнивает движение элемента MN, вес которого равен ydx (у = М!а — погонный вес), с движе-
1 I. Todhunter, К. Pearson. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time, v. 1. Cambridge, 1886, p. 86—87.
2 С. К. Котельников. Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел. СПб., 1774, С. Е. Гурьев. Основания механики. Ч. I. СПб., 1815.
• Л. Эйлер. Метод нахождения кривых линий..., стр. 525.
нием математического маятника того же веса и длины /. Так как эти движе-
ния в точности совпадают, то силы, их вызывающие, должны быть равны. Отсюда он нашел, что «движущая сила, действующая на элемент MN по
направлению МР, будет равна
——». Далее Эйлер рассуждал следующим
образом: «Раз пластинка движется так, как если бы к отдельным ее элемен-
там MN были приложены в направлении МР силы, равные
Т? dr
——•, то отсюда
170
следует, что если бы к отдельным элементам пластинки MN были приложены в обратных направлениях Мл равные силы , то пластинка уравновесилась бы в состоянии ВМа. Отсюда вытекает, что пластинка во время колебаний подвергается такому изгибу, какой она приняла бы, будучи неподвижной, если бы в отдельных ее точках М на нее действовали силы в направлении Мл» 1.
Сведя таким образом условия движения «пластинки» к условиям ее равновесия, Эйлер написал уравнение изгиба «пластинки» в виде
Ек2
R
(а)
где р — сумма всех сил, приложенных по дуге аМ, т, е. поперечная сила в точке М, равная
Р = ~ § ydx.
Полагая в уравнении (я)и дифференцируя его дважды, Эйлер
Рис. 15
получил дифференциальное уравнение четвертого порядка
№> = -Г’ (Ь)
где в правой части стоит интенсивность поперечной нагрузки. «Этим уравнением,— заключил Эйлер,— и выражается природа кривой ВМа, и из него же, если применить его к представившемуся случаю, определится длина fr а зная ее, мы узнаем и самое колебательное движение» 2.
Л. Эйлер. Метод нахождения кривых линий..., стр. 526—527.
Там же, стр. 528.
Общее решение уравнения (Ъ) Эйлер записывает в виде
у = Ае с + Be с + С sin ~—р D cos ~, где с4 = - (- .
Учтя условия, принятые на концах «пластинки», он нашел выражение для длины простого математического маятника, совершающего соответствующее число колебаний в единицу времени:
г _ «4 Т
7 п* Е№ ’
где п — численный коэффициент, зависящий от формы колебаний, и дал формулу частот
л1 2 , /~ Ек'1 =
Эйлер исследовал колебания стержней, концы которых либо совершенно свободны, либо свободно оперты, либо жестко заделаны в стены. Для каждо- 171 го рассмотренного случая он определил число колебаний в секунду по формуле (с), причем числа п для каждого случая были разными.
В заключение Эйлер указал, что уравнением (с) можно воспользоваться для определения «абсолютной упругости пластинки» Ек\ «Действительно,— писал он,— если заметить тон, который издает такая пластинка, одним концом заделанная в стенку, и воспроизвести такой же тон на струне, тотем самым узнаем число колебаний, совершаемых в одну секунду. Если приравнять его выражению
то, так как число п известно и величины g, а и у найдены измерением, отыщем значение выражения Ек2» У Эта идея Эйлера была впоследствии использована А. Т. Купфером для определения коэффициента упругости 2.
Даниил Бернулли 3 4, который занимался изучением поперечных колебаний упругих стержней одновременно с Эйлером, также вывел дифференциальное уравнение (Ь), нашел его общее решение и рассмотрел различные граничные условия, соответствующие свободному, опертому и защемленному концам стержня. Теоретические выводы Д. Бернулли сопоставлял с данными опытов, которые он проводил над длинными и тонкими стержнями. При этом жесткость стержня на изгиб он определял по формуле для прогиба конца консоли под действием сосредоточенной силы.
Позже Эйлер вернулся к изучению малых поперечных колебаний стержня 4. Он вывел уравнение этих колебаний
д-'/ _ м д'У
dfl дх1'
записал его решение в виде
, а р _ 9х
у = cos Qt [A cos + В sin 4- Се b + De ь
* \ Ь Ь
1 Л. Эйлер. Метод нахождения кривых линий..., стр. 528.
2 А. Т. Купфер. Опытные исследования упругости металлов. СПб., 1860.
s D. Bernoulli. De vibrationibus et sono laminarum elasticarum commentationes physico-geometricae. — Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, t. 13 ad annum 1741—43. Petropoli, 1751, p. 105—120. De sonis multifariis quos laminae elasticae diversimode edunt disquisitiones mechanico-geo-metrieae experimentis acustis illustratae et confirmatae. — Там же, стр. 167—196.
4 L. Euler. De motu vibratorio laminarum elasticarum, ubi plures novae vibrationum specieshas tenus non pertractate evolvuntur.— Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, T. 17, pro anno 1772. Petropoli, 1773, p. 449—487.
и рассмотрел задачи о колебании стержней со всевозможными сочетаниями свободного, опертого и защемленного концов.
Эйлер рассмотрел колебания гибкой мембраны *. Предполагая мембрану состоящей из двух систем взаимно перпендикулярных волокон, он вывел дифференциальное уравнение в частных производных ddz 2 ddz । *2 ddz dt2 e dx2 1 dy2 ’
где ей/ — константы, az — прогиб мембраны. При интегрировании этого уравнения в полярных координатах Эйлер впервые ввел цилиндрические функции первого рода с любым целым индексом.
При исследовании малых колебаний упругих пластинок Эйлер исходил из не соответствовавших характеру задачи предпосылок и не получил удовлетворительного результата. То же относится к работам его последователей М. Е. Головина и А. Лекселля (см. гл. IX).
6. Первыми задачами строительной механики, которые начали теоретически разрабатываться в XVIII в., были расчет подпорных стен и расчет 172 арки. Обе эти задачи получили развитие главным образом в трудах инженеров, которые использовали подпорные стены и арки при строительстве укреплений и арку (свод) при сооружении пороховых погребов.
В теории подпорных стен наибольшую известность получили труды Бе-лидора 2, Кулона 3 и Р. Прони 4. Подпорная стена рассматривалась как абсолютно твердое тело. Задача состояла в том, чтобы найти силу давления земли на стену и вычислить опрокидывающий момент, по величине которого можно назначать толщину стены.
^Первая попытка дать теорию расчета арок была сделана Ф. Делягиром. В®Трактате механики»s он рассматривал арку как совокупность идеально гладких клиньев, силы взаимодействия между которыми направлены по нормали к поверхности соприкасания клиньев (рис. 16). Графическим путем он определяет веса клиньев.
Большую известность получила вторая теория ДелягираА, служившая для определения необходимых размеров колонн, поддерживающих арку. Предполагая, что разрушение арки происходит по сечениям, находящимся на г/4 части длины арки от ее концов (рис. 17), он определил силы, действующие со стороны средней части арки на крайние (трение по линии шва не учитывалось), а также момент каждой из этих сил относительно внешней точки опоры колонны, поддерживающей арку. Этот момент стремится опрокинуть колонну. Вес колонны создает момент, противодействующий опрокидыванию. Из равенства указанных моментов определяются необходимые размеры колонн. Теория Делягира в несколько упрощенном виде была изложена в «Инженерной науке» Белидора, на ее основе Перроне и Шези составили таблицы для расчета арок 7.
Иную теорию арки предложил П. Купле8. Он объяснял появление трещин в арках не сдвигами клиньев, а их взаимным вращением. При разрушении
1 L. Euler. De motu vibratorio tympanorum. — Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, t. 10 pra Anno 1764, Petropoli, 1776, p. 243—260. Opera omnia, ser. 2, t. 10, p. 344—359.
2 B. Belidor. La science des ingdnieurs. Paris, 1729.
2 Ch. A. Coulomb. Essai sur une application..., 1776.
4 R. Prony. Instruction pratique pour determiner les dimensions des murs des re vet emen ts. Paris, an. X (1802); В. И. Висковатов. Изложение способа г. Прони определять давление земли и толстоту стен каменных одежд. Умозрительные исследования Санкт-Петербургской академии наук, т. 4, СПб., 1815, стр. 118—131.
• Ph. de la Hire. ТгаПё de Мёсатдие. Paris, 1695, p. 465.
• Ph. de la Hire; Sur la construction des vodtes dans les edifices. — Histoire de I’Acadgmie Royale des Sciences, Аппёе 1712, Paris, p. 171; 2-me ed. Paris, 1731, p. 69—77.
’ M. Lesage. Recueil des m6moires extraits de la bibliothfeque des ponts et chaussees. Paris, 1810.
s P. Couplet. De la роивзёе des vodtes. — Histoire de I’Academie Royale des Sciences. Аппёе 1729. Avec les Mdmoires de Mathematique et de la Physique, pour meme аппёе 17..., Paris, 1731, p. 79—117. Seconde partie de 1’examen de la poussde des vodtes. — Там же. Аппёе 1730, Paris, 1732, p. 117—141.
Л. Эйлер (1707—1783 гг.)
арки происходит раскрытие швов снизу — в замке и у пят и сверху — в четверти длины дуги (рис. 18). Такая форма разрушения арки была подтверждена в опытах на моделях, которые выполнил в 1732 г. А. Данизи х.
Более совершенную теорию арки создал Ш. Кулон1 2. Он учитывал как возможность относительного скольжения клиньев, так и возможность их относительных поворотов. Как и Купле, Кулон считал, что при разрушения арка разделяется на четыре части. Но в отличие от него Кулон не задавал положения промежуточных швов разрушения, а находил его из условия максимума величины распора. Теория Кулона не давала однозначного ответа для величины распора, а устанавливала пределы, между которыми он должен был заключаться. Эта неопределенность теории Кулона надолго задержала ее распространение.
Выдающийся вклад в строительную механику был сделан И. П. Кулибиным при проектировании постоянного моста через Неву 3. По проекту Кулибина проезжая часть моста должна была поддерживаться шестью решетчатыми арочными фермами, выполненными из дерева и перекрывающими пролет в 298 м. Фермы такого типа стали применяться в мостостроении лишь с 1820 г.
Кулибин опытным путем исследовал, как будет работать арка под нагрузкой. Это был путь изучения рабочего состояния арки, а не предельного ее состояния. На эту заслугу Кулибина впервые указал С. А. Бернштейн 4.
Величину распора в арке Кулибин определил при помощи весьма простого устройства, состоящего из наклонного бруса, один конец которого упирается в горизонтальную плоскость, а второй поддерживается горизонтальной нитью, переброшенной через блок и нагруженной гирей. Произведя серию
опытов при разных весах и разных наклонениях бруса, Кулибин установил зависимости, которые могут быть записаны в виде формулы
для распора Н трехшарнирной арки', находящейся под действием равномер
1 A. F. Frezier. Traitd de la coupe des pierres. t. 3. Strassbourg, 1739. Collection des memoires relatifs a la physique. Paris, 1884.
* Ch. A. Coulomb. Essai une application...
• И. П. Кулибин опубликовал только описание моста в брошюре: «Описание представленного на чертеже моста, простирающегося из одной дуги на 140 саженях, изобретенного механиком Иваном Кулибиным, с разными вычислениями состоящих в нем тяжестей». СПб., 1799. Рукописи Кулибина опубликованы в книге: «Рукописные материалы И. П. Кулибина». Сост. Н. М. Раскин и Б. А. Малькевич. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1953. Его проекты проанализированы в статье: Б. В. Якубовский. Проекты мостов И. П. Кулибина.— Архив истории науки и техники, 1936, т. 8.
4 С. А. Бернштейн. Очерки по истории строительной механики; М., Госстройиздат, 1957, стр. 102.
но распределенной нагрузки интенсивности q (I — длина пролета, / — стрела подъема арки). Хотя кулибинская арка и была бесшарнирной, но ее моделирование в качестве трехшарнирной для определения распора вполне оправдано даже с современной точки зрения. Ибо если бесшарнирная арка очерчена по кривой давления, то величина распора в ней будет отличаться от распора в трехшарнирной арке только за счет продольных деформаций.
Для определения величины распора в зависимости от положения груза в пролете Кулибин использовал веревочный многоугольник. Ту же идею он применил для нахождения оптимального очертания оси арки.
Наконец, Кулибин правильно решил вопрос о том, как на основании испытаний модели судить о работе натурного сооружения. Расчеты Кулибина просты, по идее они аналогичны методу Галилея в вопросе о прочности геометрически подобных балок. При увеличении всех линейных размеров в п раз вес модели увеличивается в п3 раз, а площади сечений элементов — в га1 2 раз. При этом грузоподъемность каждого элемента, работающего на растяжение и сжатие, а следовательно, и всей фермы увеличится в раз. Эти рассуждения Кулибина были подтверждены Эйлером А
В 1776 г. была построена модель моста Кулибина в J/i0 натуральной величины, которая для того времени представляла собой довольно значительное сооружение (ее длина составляла около 30 м). Модель блестяще выдержала все испытания и заслужила полное одобрение комиссии Академии наук, в которую входил Л. Эйлер.
7. Переходя к гидростатике, напомним, что опытные принципы гидростатики Архимеда, С. Стевина, Б. Паскаля позволили рассчитывать давления на наклонные и вертикальные стенки и на дно сосуда, производить гидростатическое взвешивание, рассчитывать гидравлический пресс и т. д.
В XVII в. был введен в гидростатику принцип возможных перемещений (пока что в элементарной форме «золотого правила статики»): Галилей рассчитывал таким способом равновесие воды в сифоне, Паскаль — равновесие тяжелых поршней в различных коленах сообщающихся сосудов. Затем Гюйгенсом был введен принцип, состоящий в том, что для равновесия жидкой массы необходимо, чтобы направление силы тяжести (т. е. равнодействующей силы притяжения и центробежной силы) было перпендикулярно к ее поверхности в каждой точке 2.
Ньютон в III книге «Начал» 3 при определении формы Земли использует принцип равенства центральных столбов жидкости: одного, направленного от полюса по оси вращения, и другого, направленного по какому-либо диаметру плоскости экватора. Оба столба имеют одинаковое сечение и сообщаются в центре планеты, рассматриваемой как жидкий эллипсоид. Изучаются силы притяжения и центробежные силы. Давление в центре, вычисленное из рассмотрения совокупности сил, действующих в каждой колонне, должно быть неизменным.
Как следовало из рассуждений Гюйгенса и Ньютона, каждый из указанных принципов был необходимым условием равновесия жидкой массы, но были ли они достаточными условиями — долгое время оставалось неясным. i
1 L. Euler. Regula facilis pro diyndicunda fermitate pontis aliusve corporis similis ex cognita firmitate moduli. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, t. 20, pro anno 1775. Petropoli, 1776, P- 27i—285. Краткое изложение имеется на русском языке в статье: «Легкое правило, каким образом из модели деревянного моста или подобной бременоносной машины познавать, можно ли то же сделать и в большом». Собрание сочинений, выбранных из Месяцеслова, ч. 8, 1792, стр. 138—140.
Chr. Huyghamens. Traite de lumijre... avec discours de la cause de a pesenteur. Leiden, 1690. •«Начала», стр. 531—532.
175
176
А. Клеро в трактате «Теория фигур Земли» \ обобщая принцип Ньютона, вывел необходимое и достаточное условие равновесия жидкости, показав, что принцип «центральных столбов» Ньютона, даже взятый совместно с принципом Гюйгенса, еще не является достаточным условием равновесия. Вместо двух ньютоновых столбов Клеро рассматривал канал любой формы, выделенный внутри жидкости и заканчивающийся в двух точках свободной поверхности (или замкнутый). Он утверждал, что равновесие в таком канале невозможно, если усилия всех частей жидкости в нем не уравновешиваются. Под термином «усилия» (efforts) Клеро понимал то, что Эйлер назвал давлениями. Принцип Клеро содержит утверждение, что разность давлений, взятая по всему ходу замкнутого канала, при равновесии равна нулю.
Физический принцип гидростатики Клеро облек в математическую форму. Дифференциал давления на элементе длины канала приводится к форме Pdx + Qdy, где Р (х, у) и. Q (х, у) — проекции внешних сил на оси Ох и Оу, a dx и dy — проекции элемента канала на те же оси. Условием равновесия жидкости в канале, высказанным Клеро, является равенство
др ___dQ ду дх ’
означающее, что Pdx -ф Qdy — полный дифференциал. Лагранж высоко оценил принцип гидростатики Клеро, отметив, что «это открытие придало гидростатике совершенно иной вид и превратило ее в новую науку» 2.
~» Однако только Л. Эйлер сумел создать аналитический аппарат гидростатами, а позже и гидродинамики.
ы сочинении Л. Эйлера «Корабельная наука» 3 первые четыре главы связаны с общими вопросами гидростатики. В начале трактата формулируется лемма, в которой утверждается, что давление в данной точке поверхности погруженного в воду тела одинаково по всей поверхности и перпендикулярно к ней. Сила, действующая на элемент поверхности тела, равна весу цилиндрического столба воды, основание которого равно площади з данного элемента, а высота h измеряется по отвесной линии от данного элемента до свободной поверхности воды: F = ^pghds, где р — плотность.
Наиболее значительная работа Эйлера по гидростатике — «Общие принципы равновесия жидкостей» 4.
Эйлер обращает здесь внимание на эффективность важной и ясной, по его словам, идеи давления, представленного посредством высоты столба жидкости. Далее формулируется задача, к которой, по его мнению, сводится вся гидростатика: по заданным в каждой точке силе и плотности найти давление в каждом элементе при равновесии жидкости.
Эйлер рассматривает равновесие внешних сил и сил давлений, действующих на грани мысленно выделенного в жидкости элемента в виде параллелепипеда, ребра которого параллельны трем декартовым осям координат. Приравнивая результирующие сил давлений к результирующим внешних сил, действующих на элемент в данном направлении, он пришел к уравнению равновесия жидкости в дифференциальной форме
dp = q (Pdx + Qdy -f- Rdz),
где p — давление, q — плотность, P, Q, R — составляющие внешних сил, * •*
* А. Клеро. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Л., Изд-во АН СССР, 1947. См. там же статью И. И. Идельсона «А. Клеро и его «Теория фигуры Земли»», стр. 221—259.
г Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1. М.— Л., Гостехиздат, 1950, стр. 240-241.
3 L. Euler. Scientia navalis seu tractatus des construendis navibus. Petropoli, 1749.
•* L. Euler. Principes genfiraux de l’6tat d’equilibre des fluides. Mdm. de Berlin, 1. 11 (1755), 1757, p. 217—273.
отнесенные к единице веса жидкости. При этом указывается условие интегрируемости правой части уравнения равновесия:
Э(Р?) = 9(Q?) d(Qq) = d(Rg) ду дх ’ dz ду ’ д (Я?) = д (Pg) дх dz
Во второй части трактата Эйлер рассматривает условия равновесия жидкости под действием силы тяжести, в третьей части — равновесие жидкости в центральном поле тяготения.
Едва ли не основной заслугой Эйлера являются разработка концепции давления жидкости и математическая запись проекции ускоряющей силы давления на оси в виде
___1_Эр ______1 Эр i_dp q дх ’ q ду ’ q dz '
Ж. Лагранж в трактате «Аналитическая механика» 1 справедливо отмечает, что «принцип равенства давлений по всем направлениям... является 1771 основой равновесия жидкостей». Однако сам Лагранж предпринял попытку вывода всех свойств жидкости в состоянии равновесия «непосредственно из самой природы жидкостей, рассматривая последние как собрание молекул, сильно разобщенных, независимых друг от друга и способных совершенно свободно двигаться во всех направлениях»2. Лагранж предпринял новую систематизацию материала гидростатики. Он стремился все закономерности механики вывести чисто математически из единого принципа. Этим единым принципом всей механики Лагранжа была так называемая «общая формула динамики» (теперь называемая уравнением Даламбера — Лагранжа). В частном случае равновесия системы эта формула переходила в «общую формулу статики» (принцип возможных перемещений).
Лагранж вывел уравнения равновесия несжимаемой жидкости из принципа возможных перемещений с помощью своего знаменитого метода неопределенных множителей. В механике несжимаемой жидкости в качестве условного уравнения он записал условие несжимаемости или неизменности объема каждого элементарного параллелепипеда dxdy dz. Умножив вариацию условного уравнения на неопределенный множитель %, сложив это с правой частью «общей формулы статики» и детально разработав вывод вариации 6 (dx dy dz), Лагранж получил уравнение равновесия несжимаемой жидкости в виде
J [Г (Х&х + Убу + Zdz) + % dxdydz = 0.
Преобразовав левую часть по способу, который теперь носит название способа Гаусса — Остроградского, а затем приравняв скобки при независимых вариациях ёж, Sy, 6z нулю, Лагранж получил уравнения равновесия несжимаемой жидкости в окончательном виде (ранее записанные Эйлером):
гх -= о, OZ 7
гг-|._о, rz-f = o,
'Здесь Г — плотность жидкости, X, У, Z — проекции сил на оси координат.
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 242.
« Там же.
12 История механики
В ходе этих преобразований Лагранж, так отметили советские издатели трактата Л. Г. Лойцянскийи А. И, Лурье \ впервые дал выражения относительного удлинения dx + Цг) и сдвига + и т- Д- Лагранж раскрывает физический смысл неопределенного множителя %: «Что касается величины %, значение которой мы выше определили, то... можно сказать, что сила Л стремится сжать каждую частицу жидкости dx dy dz; таким образом, эта сила представляет собою не что иное, как давление, испытываемое со всех сторон частицей жидкости, которому она противодействует благодаря своей несжимаемости» 2.
Тем же методом Лагранж последовательно решает ряд задач о равновесии жидкости: для случая, когда несжимаемая жидкость заключена в сосуд, и т. д.
Далее рассматривается вопрос о равновесии сжимаемых и упругих жидкостей. Здесь из физических соображений вместо К вводится коэффициент е, выражающий силу упругости каждого элемента сжимаемой жидкости.
Такова краткая характеристика достижений в области гидростатики 178 в XVIII в.
8. Наиболее распространенными работами в серии исследований по гидромеханике XVII и XVIII вв. были гидравлические расчеты различных водяных двигателей, расчеты течения воды в трубах, каналах и т. п.
В письме к Штаркенбургу Ф. Энгельс писал: «Вся гидростатика (Торричелли. и т. д.) вызвана была к жизни потребностью регулировать горные потоки в XVI и XVII веках» 3.
В равной мере это относится к гидравлике. В одном из отрывков «Диалектики природы» мы читаем:
«Торричелли... в зависимости от промышленных гидротехнических сооружений изучает впервые движение жидкостей» 4.
В книге «История математики» s Ж. Ф. Монтюкла можно найти достаточно подробную библиографию работ по гидравлике. В полном соответствии с приведенными выше заключениями Ф. Энгельса она начинается с работ итальянских авторов XVI—XVII вв. Обширный сборник трудов итальянских авторов по гидравлике вышел во Флоренции в 1722 г., затем в Парме в 1766 г. появился еще один сборник под названием «Новое собрание авторов, которые трактовали о движении вод» 6. Сюда вошли работы Кастелли, Гульемини, Гранди и других, что составляло в общей сложности семь томов.
Интерес к водяным двигателям особенно усилился во второй половине XVII — первой половине XVIII в., когда мануфактурное производство в странах Европы все более дифференцировалось, а цеховое оборудование усложнялось. Потребовались гидравлические двигатели с более высоким коэффициентом полезного действия и более приспособленные к эксплуатации при различных условиях падения воды, ее расхода и пр.
В трактатах Б. Белидора 7 и Р. Прони 8, занимавших весьма видное место в научно-технической литературе XVIII в., даются не только подробное описание, рисунки, чертежи, но и анализ действия разнообразных гидравлических машин.
* Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. Примечание редакторов русского перевода в кн.: Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 588.
2 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 263 .
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Избранные произведения в двух томах, т. 2. M., 1948, стр. 484.
4 Ф. Энгельс. Диалектика природы. М.— Л., Госполитиздат, 1950, стр. 146.
s Т. F. Montucla. Histoire de mathfcmatique..., t. 3. Nouvelle Edition achevee et publiee par Laland, 1802, p. 691—832.
* «Nuova raccolta d’auctori che trattano del moto dell’aque». Parme, 1766.
’ B. Belidor. Architecture hydraulique. Paris, 1737.
* R. Prony. Nouvelle architecture hydraulique. Paris, 1790.
Водяные двигатели получили Широкое распространение в этот период и в России. На картах России XVt—XVII вв. речки испещрены черточками, обозначавшими плотины и водяйые Мельницы с колесами различного типа. В. В. Данилевский указывал, что Мутовчатые мельницы, встречавшиеся на Руси в средние века, были прообразом современных турбин Ч
9. Наиболее значительные в Мгорётическом отношении исследования по гидравлике XVIII в. связаны с именами Иоганна и Даниила Бернулли и Л. Эйлера.
Отец И. Бернулли и сын Д. Бёрйулли вели своеобразное состязание по разработке вопросов гидромехйййкй. В работах, появившихся в 1727 — 1740-х годах, они рассматривай^ Главным образом одномерные течения.
Слово гидродинамика былр йвёдено в науку Даниилом Бернулли в трактате, название которого ойрёДёляло сущность этого учения: «Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкости» 1 2. Но следует заметить, что если судить по содержанию трактата, этот термин у Д. Бернулли соответствует современному «гидравлика» 3. Завершив в 1738 г. труд, начатый в Петербурге, Д. Бернулли в предисловии отмечает: «Я охотно объявляю, что главнейшая часть этой работы обязана руководству, замыслам и поддержке со стороны Петербургской академии наук» 4.
Трудно охарактеризовать этот труд удачнее, чем это сделал Лагранж: «произведение, которое вообще блещет анализом, столь же изящным по своему изложению, сколь простым по своим выводам» 5 *. Все сочинение, исключая гидростатику (часть II), пронизано единым методом, основанным на применении принципа сохранения механической энергии (или живых сил): «Важнейшим началом является сохранение живых сил, или, как я выражаюсь, равенство между действительным опусканием и потенциальным подъемом» ®.
Д. Бернулли поясняет, что выражение «потенциальный подъем» он вводит в употребление вместо выражения «живая сила», считая первое «более приемлемым для некоторых философов». Он намекает на те оживленные дискуссии, которые происходили в XVIII в. вокруг понятий механики. Итак, потеря высоты текущей жидкостью вызывает приращение кинетической энергии.
Чрезвычайно существенным вкладом Д. Бернулли является введение им гипотезы сечений и формулировка принципа неразрывности.
«...Оказалось необходимым ввести еще одно допущение, а именно следующее: после того, как, конечно мысленно, мы представили себе жидкость разбитой на слои, перпендикулярные к направлению движения, мы допускаем, что части жидкости одного и того же слоя движутся с равной скоростью, так что скорость жидкости оказывается повсюду обратно пропорциональной соответствующему сечению сосуда» 7. t
Первую аналитическую запись этого важного положения о неразрывности движения дал Эйлер (см. ниже).
Д. Бернулли решает различные задачи о движении жидкости с помощью энергетического метода. Таковы задачи об определении скоростей жидкостей, вытекающих из сосуда через отверстие (в боковой стенке, в дне и т. д.), о нахождении времени вытекания воды и другие.
179
1 В. В. Данилевский. Русская техника. Л., Лениздат, 1948, стр. 272.
2 D. Bernoulli. Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum. Argentorati, 1738; Д. Бернулли. Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкости. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1959, стр. 9.
5 Тогда как термин «гидравлика» в XVIII в. часто применялся в более общем смысле и соответствовал современному «гидродинамика».
‘ Д. Бернулли. Гидродинамика стр. 9.
‘ Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 2, стр. 305.
• Д. Бернулли. Гидродинамика..., стр. 27.
’ Там же, стр. 30.
12*
180
Наиболее оригинальные части трактата — X, XII, XIII отделы. В отделе X изучается механика газов. Здесь приводится известный закон Бойля — Таунлея — Мариотта обратной пропорциональности давлений и объемов газов, рассматривается отклонение от этого закона для высоких плотностей.
Далее Д. Бернулли делает попытку определения упругой силы воздуха. Свойство упругости воздуха интересовало его как потенциальная возможность введения нового типа двигателя. В этой связи в X отделе после обсуждения, каковы могли бы быть движущие силы, полученные сжатием воздуха в цилиндре с поршнем, Д. Бернулли ставит вопрос о еще большей силе, которую могли бы дать «огненные машины» (паровые), а также о той небывало большой силе, которая могла бы быть освобождена при превращении «огненного порошка» (пороха) в газ при его сгорании.
Интерес Д. Бернулли к тем свойствам жидкостей и газов, которые могли бы быть использованы в двигателях нового типа, закономерен. Поиски такого рода были актуальными в середине XVIII в. Позже он опубликовал интересный проект реактивного судна. Здесь же в «Гидродинамике» он приступает к теоретическому исследованию проблемы реакции струи жидкости, истекающей из сосуда. Интересно сопоставление сосуда с истекающей водой и пушки, на которую действует вылетающее ядро.
Упомянув уже в начале XIII отдела о возможности использовать силу реакции истекающей воды для приведения в движение кораблей, Д. Бернулли окончательно формулирует это предложение в § 26: сила, толкающая корабль вперед, равна реакции вытекающей воды, уменьшенной на величину силы, проистекающей от инерции воды, непрерывно вливаемой в корабль1.
Ту же задачу расчета силы реакции Д. Бернулли решает в исследовании 2, удостоенном премии на конкурсе Парижской академии наук в 1753 г. на изыскание наилучшего корабельного двигателя.
Наряду с точными математическими расчетами, составляющими большую часть трактата «Гидродинамика», в некоторых его отделах (X, XI) встречаются чисто качественные рассуждения в духе картезианской физики, к воззрениям которой примыкали Д. Бернулли и его отец: о соударениях частиц среды, о свойствах вихрей и т. и. Так, Д. Бернулли предлагает ввести два равных и противоположных вихря на одной оси. Это, по его мнению, могло бы объяснить многие явления: «По крайней мере уже одно всеобщее взаимное друг к другу тяготение небесных тел, которое не может быть взято под сомнение, в достаточной мере показывает, что следует либо распроститься с вихревой гипотезой, либо допустить совершенно свободное перекрещивание многих вихрей во всех направлениях» 3.
10. В 1743 г. вышла в свет «Гидравлика, впервые открытая и доказанная на чисто механических основаниях» 4 И. Бернулли (отца). И. Бернулли привел в определенную систему знания в области гидравлики. В основу этой системы был положен принцип живых сил.
Вокруг понимания принципа живых сил, применяемого обоими Бернулли, разгорелись острые споры о приоритете отца и сына в тех или иных вопросах (их результаты во многих случаях перекрывают друг друга). Арбитром в этих спорах оба ученых выбрали Эйлера, ученика Иоганна и друга Даниила Бернулли.
1 Анализ расчетных формул, указанных здесь Д. Бернулли, и сопоставление этих результатов с более поздними выводами Д. Бернулли, Эйлера и др. по той же задаче можно найти в работе И. А. Тюлиной «Из истории водометного движителя».— Вопросы истории естествознания и техники, 1961, вып. II, стр. 107—116.
2 D. Bernoulli. Recherches sur la manifere la plus avantageuse de suplder a 1’action du vent. Recueil des pifeces..., t. 7, Paris, 1769, p. 1—45.
3 Д. Бернулли. Гидродинамика..., стр. 347.
4 I. Bernoulli. Hydraulica nunc primum detecta ac demonstrata direc te ex fundamentis pure mechanicis. Opera omnia, t. V, 1732, p. 387—493.
Д. Бернулли (1700—1782 гг.)
В письмах к И. Бернулли и в предисловии к его «Гидравлике» Эйлер старался справедливо отметить заслуги и недочеты спорящих сторон. Тем не менее более высоко он оценил труд И. Бернулли, учитывая и тот факт, что последний более десяти лет не публиковал свои давние размышления по проблемам гидравлики. Эйлер поздравил И. Бернулли с решением трудной задачи нахождения давления жидкости на стенку сосуда, через который она протекает. Он упоминает о том, что, кроме И. Бернулли и его знаменитого сына, никто не касался этого вопроса. Эйлер указал, что Д, Бернулли имел в виду лишь случай установившегося течения жидкости, тогда как И. Бернулли рассмотрел более общий случай и пользовался «более прямым методом». Иначе оценивал положение Д. Бернулли: в 1743 г., после выхода в свет «Гидравлики» его отца, он писал Эйлеру, что, заимствовав все предложения из его «Гидродинамики», отец назвал свои писания «Гидравликой, впервые открытой в 1732 году...».
В первой части «Гидравлики» И. Бернулли трактует о движении воды в сосудах и цилиндрических каналах, составленных из многих сомкнутых между собой цилиндрических труб.
Вторая часть содержит прямой и общий метод решения гидравлических задач о движении воды в каналах произвольной формы. Основным рабочим принципом «Гидравлики» является также принцип сохранения механической энергии (живых сил), который И. Бернулли разработал в начале XVIII в. В его работе «Рассуждение о законах передачи движения» (1726 г.) и в более позднем исследовании «Об истинном значении живых сил и их применении в динамике» 1 принцип сохранения живых сил провозглашается важнейшим
И. Бернулли. Избранные сочинения по механике. M.— Л., Изд-во АН СССР, 1937, стр. 41—261.
принципом всей механики. И. Бернулли дает специфическую (применительно к механике жидкостей) форму этого закона. Он пользуется понятием давления, вводит его величину и символ, причем определяет не только давление жидкости на стенки (и не только в состоянии равновесия), но и внутреннее давление слоев жидкости (как в состоянии ее покоя, так и в движении). У И. Бернулли давление всегда выражается прямо или косвенно через вес. Приведем одну из формул закона сохранения живых сил из «Гидравлики» И. Бернулли (для первой стадии истечения воды из цилиндрической горизонтальной трубы)
где р — разность давлений жидкости в двух смежных сечениях, v — скорость ее истечения из трубы диаметром т, h — диаметр струи в сечении, близком к выходному сечению трубы.
Наиболее уязвимым местом первоначального варианта «Гидравлики», значительную часть которого (шесть параграфов) И. Бернулли исключил 182 после критики Эйлера, было исследование реакции вытекающей струи.
Кроме энергетического принципа, И. Бернулли использует также и другой прием, в котором связывает ускоряющие и движущие силы. Эти соображения по смыслу равносильны второму закону Ньютона.
Именно этот метод, опирающийся по существу на принцип ускоряющих сил или на второй закон Ньютона, в видоизмененной форме использует в своих выдающихся по значению исследованиях по гидравлике Л. Эйлер (1750-е годы).
11. Серия исследований Эйлера о гидравлических машинах (турбины водометного судна), где, казалось бы, автор занимается рассмотрением прикладных вопросов об изыскании наивыгоднейших конструкций гидрореактивной турбины и корабля, приводимого в движение водометным двигателем, подвела его вплотную к установлению основных уравнений движения идеальной жидкости. Эти исследования можно назвать гидравлическими потому, что в них рассматривается одномерное течение жидкости в трубке. Иногда Эйлер пользуется энергетическим методом, который широко применяли оба Бернулли. Основным же методом является принцип ускоряющих сил, который отличается от второго закона Ньютона тем, что к числу активных сил прибавляются явно оговоренные силы реакции связей (стенок сосуда).
При решении различных задач динамики системы Л. Эйлер применял «петербургский» принцип (см. гл. VI). В наиболее четкой форме этот принцип дан Эйлером в одной из его работ по теории гидрореактивной турбины \ Там Эйлер вводит в рассмотрение три категории сил: «актуальные» (активные внешние силы, приложенные к частицам системы), «требуемые», т. е.. те, которые обеспечили бы истинные движения точек системы при отсутствии связей, и силы реакции связей, а также формулирует принцип эквивалентности системы «актуальных» сил системе «требуемых» сил в связанном движении точек механической системы (т. е. при учете сил реакций связей).
Отсылая читателя, интересующегося конкретными результатами Эйлера в гидравлике, к специальному обзору а, отметим здесь лишь то достижение Эйлера, которое имело большое общетеоретическое значение для развития гидромеханики. В работе 1754 г. Эйлер ставит вопрос об определении величины давления движущейся жидкости на поверхность мысленно выделен-
1 Ь. Euler. Theorie plus complete des machines qui sont mises en mouvement par la reaction de 1’eau. —• Histoire de 1’Acad. de Sci. de Berlin, 1756, p. 227—295.
2 См. И. А. Тюлина. О работах Л. Эйлера по теории гидрореактивного судна и водяной турбины.— . Вопросы истории естествознания и техники, 1957, вып. 4, стр. 34—46.
И. Бернулли (1667—1748 гг.)
него ее элемента: «Однако если вода не находится в покое, то давление в каждом случае требует более глубоких исследований... Весьма важно развить эту идею давления, ибо это давление есть та сила, которая непосредственно действует на воду в трубке, вызывая ее ускорение или замедление» \
Пока что Эйлер решает эту задачу об аналитическом выражении ускоряющей (замедляющей) силы внутреннего давления идеальной жидкости для случая одномерного течения. В результате рассмотрения движения элемента жидкости в трубке Эйлер находит, что мысленно выделенный элемент жидкости (воды) в трубке будет двигаться под действием касательной силы, отнесенной к единице массы, величина которой равна dp/ds, где р — давление в рассматриваемом сечении, s — длина дуги средней линии трубки.
Позже Эйлер полностью развил эту идею и дал аналитическое выражение сил давления в трехмерном пространстве.
Таковы основные результаты гидравлических исследований Эйлера, которые сыграли существенную роль в дальнейшей разработке общих принципов гидродинамики.
12. Книга вторая «Начал» Ньютона посвящена проблемам движения тел в среде с сопротивлением и проблемам движения жидкостей. Едва ли не большая часть книги посвящена вопросам внешней баллистики. Сначала Ньютон изучает движение тяжелой материальной точки в среде, сопротивление которой предполагается зависящим линейно от скорости движения. Затем рассматриваются задачи с квадратичными законами сопротивления и, наконец, с двучленным законом, содержащим линейное и квадратичное слагаемые. Движение тяжелой точки, брошенной под углом к горизонту, он рассматри-
1 Ь. Euler. Theorie plus complete des machines..,, p. 249.
вает только для случая квадратичного сопротивления. Случаи движения точки при линейном законе сопротивления изучал Валлис, при квадратичном законе — Гюйгенс.
Что касается природы сил сопротивления движению тела в среде (как позже стали говорить — сопротивления давления), то Ньютон считал, что определяются они тремя факторами: сцеплением, трением и плотностью.
Существенную роль в построении теории сопротивления движению тел в жидкости или в воздухе у Ньютона играл эксперимент. Во второй книге «Начал» описываются 13 опытов, проведенных с шарами, падающими в сосуд с водой, а также опыты физиков этого времени Ф. Гоуксби и Ж. Деза-гюлье с падением шаров в воздухе.
Сравнивая результаты опытов с теорией, Ньютон нашел, что сопротивление движению шаров как в воде, так и в воздухе с помощью его теории представляется в общем правильно.
О сопротивлении трения, оказываемом жидкостью движущемуся в ней телу, Ньютон высказал следующую гипотезу: «Сопротивление, происходя-184 1466 от недостатка скользкости жидкости, при прочих одинаковых условиях
предполагается пропорциональным скорости, с которой частицы разъединяются друг от друга»1.
В «Началах» содержится ошибочное решение задачи о вращении жидкости в цилиндре с учетом вязкости. Г. Стокс 2 указывает, что суть ошибочных рассуждений Ньютона состоит в том, что вместо моментов сил трения, действующих на наружную и внутреннюю поверхности каждого мысленно выделенного цилиндрического слоя вязкой жидкости, Ньютон ввел в рассмотрение сами эти силы. Результат, полученный Ньютоном, сводится к пропорциональности времени одного оборота частицы расстоянию слоя от оси вращения, тогда как на самом деле это время пропорционально квадрату расстояния.
Гипотеза Ньютона о сопротивлении трения долгое время вызывала споры. В течение полутора столетий гидравлики и физики на основании проанализированных опытных фактов опровергали, а затем принимали гипотезу Ньютона. В исследованиях французских ученых второй половины XVIII в. Шези, Кулона сила трения жидкости считалась пропорциональной второй степени скорости течения жидкости в трубах.
Г. Гаген, проведя анализ опытов французских ученых XVIII в. Купле, Воссю и Дюбуа, вывел закономерность, в которой трение воды о твердое тело пропорционально скорости в степени 1,75.
В конце XVIII в. Кулон изобрел крутильные весы, с помощью которых изученные им законы кручения проволоки применялись к экспериментальному исследованию сопротивления жидкости. Для этого круглые горизонтальные диски, подвешенные на проволоке и погруженные в жидкость (воду, масло), получали крутильные колебания. Сила трения замедляла движение и служила причиной затухания колебаний. Кулон пришел к выводу, что липкость для масла в 17,5 раза больше, чем для воды. Смазывание поверхности диска салом не меняет зависимости, следовательно, трение происходит в слоях жидкости, а не на смоченной поверхности. Сопротивление трения жидкости не зависит от давления.
Кулон полагал 3 сопротивление трения зависящим от скорости согласно формуле av2, + bv, где v — скорость движения, а и b — эмпирические коэффициенты, определяемые в различных условиях опыта.
1 И. Ньютон. «Начала», стр. 486. См. также А. А. Космодемьянский. Работы Ньютона по динамике и гидродинамике.— В сб.: Московский университет — памяти Исаака Ньютона, 1643—1943. Ивд-во МГУ, 1946, стр, 81—88.
1 G. G. Stokes. Mathematical and physical Papers, v. I. Cambridge, 1880, p. 103.
* H. H. Петров. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости. — В кн.: Гидродинамическая теория смазки. М.— Л., Гостехтеоретиздат, 1934, стр. 32.
Опыты Кулона сыграли важнейшую роль в развитии теории сопротивления. После них на трение стали смотреть как на измеряемую долю сопротивления.
В начале XIX в. Жирар провел ряд опытов, целью которых было уменьшить погрешность от употребления средней скорости жидкости в трубах. Жирар понимал, что по существу необходимо вводить в рассмотрение относительную скорость внутренних струй жидкости. Не умея определять относительные скорости слоев жидкости, Жирар путем сужения трубки старался уменьшить ошибку, оперируя средней скоростью. Однако в действительности ошибка все еще была существенной.
Экспериментальные средства совершенствовались, опытные данные накапливались, и вскоре Л. Навье придал гипотезе Ньютона несколько иную формулировку, после чего эта гипотеза утвердилась в теории вязкой жидкости. В формулировке Ньютона сила трения предполагается пропорциональной скорости, с которой частицы «разъединяются друг от друга», т. е. относительной скорости концентрических слоев жидкости (если она протекает в трубке). Для этой величины Навье ввел количественную меру, пропорциональную градиенту скорости dvldn или производной скорости по нормали к направлению скорости.
13. В различных странах Европы в XVIII в. проводились многочисленные исследования по определению эмпирических формул для сопротивления воздуха движению артиллерийского снаряда (сопротивление движению).
Д. Бернулли во время пребывания в Петербурге в 1726—1727 гг. проводил опытные стрельбы. Теоретический анализ опытных результатов, данный Д. Бернулли, привлек внимание молодого Эйлера. Уже в 1727 г. появилось одно из первых исследований Эйлера по баллистике «Размышления по поводу недавно предпринятых опытов стрельбы из орудий» \ где рассматривается вопрос о движении тела с учетом сопротивления среды.
Более подробное и обширное исследование проблемы обтекания тел жидкостью Эйлер предпринял в 1745 г. в связи с существеннейшей переработкой книги Б. Робинса «Новые основания артиллерии» (1742 г.) 2.
Среди фундаментальных комментариев Эйлера к каждому разделу книги Робинса имеются рассуждения, сыгравшие важную роль в развитии гидромеханики в целом. Так, Эйлер замечает, что если «текучая среда была бы бесконечно тонкой», так что трение слоев ее отсутствовало бы..., «то тело не испытывало бы никакого воздействия от столкновения с такой текучей средой и, следовательно, не встречало бы в ней никакого сопротивления» 3.
Таким образом, Эйлер формулирует основной тезис гидродинамики идеальной жидкости. Этот вывод сделан в процессе определения величины силы воздействия потока в канале на равномерно движущееся в нем твердое тело. Эйлер указывает, что ненулевое сопротивление тел в реальной жидкости появляется за счет срыва струй. Для уменьшения сопротивления Эйлер предложил заострять корму корабля.
В баллистических исследованиях Эйлер неоднократно делает замечания о факторе вязкости жидкости, который следует учитывать для определения полного сопротивления. Специально этому вопросу посвящена его работа «Попытка теории трения жидкости» 4 (1751 г.). Здесь Эйлер пытается выразить с помощью математических соотношений потерю динамического напора (говоря современным языком) за счет трения жидкости о стенки канала. При этом используются эмпирические коэффициенты. Опыты, в которых они
185
* Ь. Euler. Meditatio in experimenta tormentorum nuper institute. — Opera postuma, 1862, p. 800—804.
г В. Robins. New principles of gunnery. London, 1742.
* Л. Эйлер. Исследования по баллистике. М., Физматгиз, 1961, стр. 297.
4 L. Euler. Tentamen theoriae de frictione fluidorum.— Novi commentarii Petropoli, t. 6 (1756—1757),
1761, p. 338—388.
получены, Эйлер анализирует, проявив глубокий интерес к физической стороне явления.
Труды Ж. Даламбера по гидродинамике начали появляться почти одновременно с гидродинамическими исследованиями Эйлера. Сочинение Даламбера 1744 г. «Трактат о равновесии движения жидкостей» х, по словам автора, пронизан стремлением соединить геометрию (математику, а точнее, аналитические методы) с физикой (результатами опытов). Даламбер занимался экспериментальными исследованиями сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. Его подход ко всем задачам механики системы и, в частности, к вопросам гидромеханики базируется на основной идее, выраженной в его знаменитом принципе, согласно которому законы динамики могут быть представлены в форме уравнений статики. В упомянутом трактате этот метод применяется к разнообразным тонким вопросам движения жидкости в трубах или сосудах. Даламбер исследовал законы сопротивления при движении тел в жидкостях и указал интегрируемый в квадратурах случай. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснял вязкостью жидкости и ее трением о поверх-186 ность обтекаемого тела.
В 1775—1777 гг. Даламбер, М. Кондорсе и Боссю провели серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и в узких каналах. Такие задачи выдвигались практикой кораблестроения (обтекание тел, ограниченных кривыми поверхностями, напоминающими контур корабля). Результаты этих опытов, опубликованные в отчете «Новые эксперименты о сопротивлении жидкостей» (1777 г.), подвергали сомнению одно из существенных положений теории сопротивления Ньютона, а именно пропорциональность сопротивления тела квадрату синуса угла между направлениями скорости потока и касательной к поверхности тел. В настоящее время формула Ньютона применяется для приближенного решения ряда задач газовой динамики. Таким образом, в XVIII в. теория сопротивления среды, в отличие от других разделов гидродинамики, черпала основные зависимости из опыта и наблюдения 1 2.
14. Мы переходим теперь к собственно гидродинамическим исследованиям. В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Вскоре Даламбер представил работу по этой проблеме. Но академия вернула ему рукопись с рекомендацией сравнить выводы с результатами опытов. В конце 1752 г. он опубликовал книгу «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» 3.
Во введении он дает критический обзор развития гидромеханики до середины XVIII в. Многие положения гидромеханики Ньютона он считает гениальными, но недоказанными или «неприменимыми к природе». Даламбер отмечает, однако, что большинство геометров, нападающих на ньютонову теорию сопротивления, имели успеха не более, чем Ньютон. Выделив в виде исключения Д. Бернулли, которого тут же он во многом и упрекает, Даламбер заявил, что он (Даламбер) владеет новым мощным принципом механики, и только трудность вычислений делает невозможным сравнение его теории с экспериментом.
Принцип, с помощью которого Даламбер решал все задачи динамики, состоял в уравновешивании так называемых потерянных сил или в сведении решения задач динамики формально к уравнениям статики. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенных Клеро. Так были получены первые дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, о которых Лагранж
1 J. le R. D’Alembert. Traite de 1’equilibre du mouvement des fluides. Paris, 1774.
2 H. а. Слезкин. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостехтеоретиздат, 1955, стр. 14.
2 J. le R. D’Alembert. Essai d’une nouvelle theorie sur le resistance des fluides. Paris, 1752.
сказал, что они «не обладали еще всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» г.
Оригинальным -результатом Даламбера является введение им в названном сочинении комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости.
В этом же сочинении Даламбер заметил теоретический факт отсутствия сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости. Позже 1 2 Даламбер впервые назвал это явление «парадоксом, предложенным геометрам теорией сопротивления жидкостей», С тех пор за этим предложением установилось название парадокса гидродинамики.
15. Фундамент аналитической гидромеханики с четким понятием внутреннего гидродинамического давления, со строгим и ясным выводом уравнений движения идеальной жидкости содержится в нескольких работах Эйлера, относящихся к 1750—1766 гг.
В мемуаре 1752 г. «Принципы движения жидкостей»3 Эйлер по существу пришел к важнейшим соотношениям гидродинамики идеальной жидкости. В статье содержится вывод уравнения неразрывности
ди , dv . dw дх ‘ ду dz. ’
где ж, у, z — координаты частицы в неподвижной системе отсчета (как теперь называют в механике сплошной среды — «эйлеровы координаты» частицы), и, v, w — компоненты скорости частицы в той же системе координат. Исследуя движение твердого тела в жидкости, Эйлер фактически вводит новую механическую модель — модель Сплошной среды, основанную на его новой аксиоме 4. Сущность этой аксиомы состоит в том, что второй закон Ньютона, впервые записанный Эйлером в виде трех дифференциальных уравнений движения материальной точки
М^ = Р, M^r=R,
dp dp - dp
он считает справедливым и для элемента твердого тела или жидкости, мысленно выделенного из всей среды. При интегрировании всех этих элементарных соотношений по целому объему, строго говоря, потребовался бы обобщенный интеграл Стильтьеса, взятый по совокупности дискретных точек, но аксиома Эйлера позволяла обойти этот вопрос. Можно согласиться с Трусделлом 5 в том, что этот новый закон механики Эйлера содержит фундаментальную идею механики континуума, развитую в XIX в. Коши, Кирхгофом и др. Новый подход позволил Эйлеру составить дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости. Рассматривая элементарный параллелепипед жидкости с ребрами dx, dy, dz, Эйлер находит аналитические выражения для ускорения жидкой частицы с массой qdxdydz (где q — плотность) и приравнивает их соответствующим проекциям сил, отнесенных к единице массы. В зтих проекциях силовое воздействие на жидкий элемент за счет гидродинамического давления имеет вид:
1 Эр 1 Эр 1 др q дх ’ q ду ’ q dz ' здесь р — внутреннее давление жидкости.
187
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 2, стр. 307.
2 J. le R. D’Alembert. Suite des recherches sur le mouvement des fluides. Paris, 1768.
’ L. Euler. Principes du mouvement des fluides. Berlin, 1752, или Principia motus fluidorum. Novi comm., Petropoli, 1760, p. 259—298.
L. Euler. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum fluidorum. Introd, to v. 12, ser. 2, Opera
• omnia L. Euleri, 1954, p. 42—43.
2 G. Truesdell. Coinmentationes mechanicae ad theoriam corporum fluidorum. Introd, to the vol. 12, ser.
2, Opera omnia L. Euleri, 1954, p. 42, 43.
Там же Эйлер вводит функцию S, которую позже Г. Гельмгольц назвал потенциалом скоростей, и находит условие безвихревого течения жидкости,, записывая уравнение, которое теперь стало носить имя Лапласа.
Один из параграфов мемуара посвящен вопросам трения жидкости в трубах.
Наиболее известен мемуар Эйлера «Общие принципы движения жидкостей» \ который по праву считают важнейшей из его гидродинамических работ. Здесь заново и предельно ясно излагаются все суммарные результаты «Принципов движения жидкостей». Для неизвестных функций — компонентов скорости и, v, iv, давления р, плотности q и температуры г — составлены пять условий: уравнение неразрывности, три уравнения движения и уравнение состояния:
Р = Р (<Л г)
— соотношение, отражающее некоторые физические свойства жидкости, в котором давление рассматривается как функция плотности и температуры.
Эйлер не вводил в рассмотрение энергетическое соотношение (оно, как и. 188 уравнение состояния, выходит за рамки механики).
Уравнение неразрывности здесь имеет вид
дд I S(qu) . д (qv) , d (gw) _ n
dt ' дх ' ду ' dz ’
а дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, записаны в форме, которая сохранилась до наших дней:
п 1 др ди , ди , ди . ди
q дх dt дх ' ду dz
1 dp dv . dv . dv , dv
x q dy dt dx ' dy dz
r, 1 dp dw . dw . dw . dw
q dz dt dx 1 dy dz
где P, Q,R — компоненты внешних сил, отнесенных к единице массы.
В этом обширном мемуаре разработан аналитический аппарат гидродинамики; кроме того, Эйлер решает здесь многие теоретические проблемы: снова выводит условие безвихревого течения жидкости, по существу подходит к введению понятия полного интеграла уравнений в частных производных, фактически вводит функцию тока, которую Лагранж 2 впоследствии определил равенствами:
где ф — функция тока, и n v — составляющие скорости по осям ОХ и OY.
Введя потенциалы сил и скорости, Эйлер в § 27 получает соотношение, которое стали называть интегралом Лагранжа — Коши для случая несжимаемой жидкости 3.
16. Лагранж 4 вывел дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в новой форме, положив в основу метод, который теперь носит его имя. В этом методе, встречающемся и в работах Эйлера, исследуются изменения, характеризующие движение некоторой индивидуальной частицы жид
1 Ь. Euler. Principes gdndraux du mouvement des fluides.— Histoire de Г Acad<5mie de Sciences de Berlin, t. IX (1755), 1757, p. 274 —315.
2 J.-L. Lagrange. Memoire sur la thdorie du mouvement des fluides.— Oeuvres de Lagrange, v. IV, p. 720.
3 См. об этом работу Г. К. Михайлова «Леонард Эйлер».— Изв. АН СССР, OTH, 1955, № 1, стр. 3—26-
* Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 2, стр. 317.
кости: скорость, плотность и давление как функции времени и тех чисел («номеров»), которыми отмечается индивидуальность каждой частицы. В роли такого номера частицы берутся ее начальные координаты. Уравнения Лагранжа имеют вид:
/д1 2а? _ у) дх , 1д2у _ ду / d-z _ ?\ dz . i др п
[dt2 ; да 1 \dt2 1 ] да ‘ \dt2 да + У Э7 ~ U’
fd2x _ у) дх , [д-х _ду , td2z _ dz 1 др «
\dt2 J db \dfl ) db (Э12 / дЬ V дЬ ~ и’
7дгх __ у\ дх , /д^у _ уЛ ду , /д2г _ dz . 1 др _ „
\dt2 J &е '~ \ dt2 J де ' \dt2 J де ‘ р да ’
где а, Ь, с — начальные координаты некоторой частицы жидкости; х, у, z — ее координаты в момент времени X, Y, Z — составляющие внешних сил, отнесенных к единице массы; р, р — давление и плотность в точке, занимаемой частицей в момент времени t.
Рассматривая частные случаи течения жидкости, Лагранж пришел к важной теореме о сохранении безвихревого движения идеальной баротропной жидкости в поле консервативных сил г. Для безвихревого движения идеальной жидкости он нашел один из первых интегралов движения, позже обобщенный Коши и получивший имя интеграла Лагранжа — Коши 2.
В 1793 г. по заданию Конвента во время блокады молодой французской республики Лагранж занимался задачей определения взрывной силы пороха в канале ствола орудия. Баллистические исследования Лагранжа были опубликованы С. Пуассоном лишь в 1825 г., они положили начало многочисленным и более детальным исследованиям так называемой лагранжевой баллистической проблемы3.
17. Подводя итоги, мы приходим к выводу, что развитие теории упругости к концу XVIII в. продолжало значительно отставать от уровня развития гидромеханики. Если в гидромеханике трудами Клеро, Даламбера, Эйлера и Лагранжа уже был создан единый аналитический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение идеальной жидкости, то в теории упругости в этот период решаются лишь отдельные частные задачи статики и динамики твердых тел, в которых учитываются упругие свойства материала. Однако до создания обобщающих теорий не дошли. Аналитический аппарат дифференциальных уравнений был применен только к рассмотрению одномерных задач теории упругости и не дал удовлетворительных результатов при рассмотрении двумерных задач.
В теории упругости важные результаты были получены при изучении внутренних сил. Было установлено, что внутренние силы могут действовать не только по нормали к сечению, но и под любым углом к нему, в том числе и по касательной. Все зто очень близко подводило к общему понятию напряжения (в работах Кулона).
В гидромеханике Эйлер, а затем Лагранж («Аналитическая механика») Дали выражение для всех шести составляющих тензора деформаций через составляющие перемещения. Однако этот результат не нашел отражения в теорий упругости.
При решении задачи на прочность рассматривалось предельное равновесие, т. е. уравнения статики составлялись для момента времени, предшествующего разрушению. В тех случаях, когда учитываются упругие свойства материала, закон Гука считали справедливым вплоть до момента разрушения.
189
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 2, стр. 335 и след.
2 В работах Л. Эйлера 1770 г. уже имелся этот интеграл. См. об этом А. А. Космодемьяиский. Леонард Эйлер и его работы по механике.— В кн.: Очерки по истории механики. М., 1964, стр. 111.
3 См. И. А. Тюлина, Р. И. Надеева. К истории одной задачи внутренней баллистики.— В сб.: История и методология естественных наук. Вып. IX. М., Изд-во МГУ, 1970, стр. 113—121.
Из механических характеристик материалов определяли только разрушающую нагрузку. Кулон обнаружил предел упругости при кручении и изгибе.
Из прикладных задач на прочность больше всего занимались задачей о прочности балки, которую решали, правда, только для балок прямоугольного и круглого поперечных сечений. Удовлетворительное решение, полученное Параном (1713 г.) и Кулоном (1773 г.), не нашло признания среди инженеров.
Определение перемещений балок и расчеты на продольный изгиб были затруднены из-за отсутствия данных для модуля упругости.
В XVIII столетии в области гидромеханики были открыты многие общие и частные законы, была разработана теория давлений внутри жидкости.
Д. Бернулли сформулировал, а Л. Эйлер впервые аналитически записал закон неразрывности жидкости. Иоганн и Даниил Бернулли разработали энергетический принцип гидромеханики, особенно эффективно применяемый для одномерных течений жидкости. Этот метод долгое время был важнейшим инженерным способом: расчета течения жидкости в трубах, каналах, струе (в XIX в. энергетическое уравнение Бернулли дополнили слагаемыми с эмпирическими коэффициентами, учитывающими вязкость и внутреннее трение жидкости).
В гидромеханике идеальной жидкости были получены следующие теоретически важные результаты: условие равновесия идеальной жидкости в поле консервативных сил, теория фигуры Земли, закон сохранения потенциального движения идеальной жидкости, интеграл Лагранжа; была начата разработка теории волн (см. гл. X).
Однако гидромеханика идеальной жидкости, построенная в виде стройной логической системы знаний, не стала рабочим аппаратом инженерной механики и гидротехники. Из этой теории вытекали явно парадоксальные для реальных условий следствия (парадокс Даламбера — Эйлера об отсутствии сопротивления установившемуся движению шара в жидкости).
Ученые, изучавшие свойства реальной жидкости, считали гидромеханику идеальной жидкости весьма ограниченной по своим возможностям. Так, Ш. Боссю, отмечая выдающиеся математические достижения Даламбера, Эйлера и Лагранжа в гидромеханике идеальной жидкости, писал: «Совместные усилия великих геометров, видимо, исчерпали все ресурсы, которыми располагает анализ для определения движения жидкостей. К несчастью, по самой природе вопроса эти расчеты настолько сложны, что их можно рассматривать как сами по себе драгоценные математические истины, но не как символы, которыми можно наглядно описать действительное и физическое движение жидкостей» х.
Боссю предлагает далее восполнить этот пробел экспериментальными исследованиями. Таким путем, говорит он, можно создать «нечто вроде теории, лишенной, правда, геометрической стройности, но простой, легкой иприсно-собленной к наиболее насущным нуждам практики» 1 2.
Глубокиз экспериментальные исследования Купле, Шези, Боссю, Дюбуа, Кулона, А. Пито и других ученых XVIII в. были использованы в XIX в. при построении математической теории вязкой жидкости.
Знания, накопленные учеными XVIII в. о законах равновесия и движения упругих тел и жидкостей, подводили механику начала XIX в. к обобщениям, которые вели к выделению механики сплошной среды в самостоятельную дисциплину со своими понятиями и со своим математическим аппаратом .
1 С. Bcssut. Traitc theorique et experimental d’hydrodinamiqre. Paris, 1797. Цит. по кн.: и. Б. Погребысский. От Лагранжа к Эйнштейну. М., изд-ео «Наука», 1966, стр. 65.
1 Там же.
8
Вариационные принципы механики
1. Вариационные принципы механики и связанные с ними физические идеи и математические методы играют важную роль в теоретической и прикладной механике, а также в физике.
Они — не только великолепный инструмент научного исследования самых сложных и многогранных проблем природы и техники, но и своеобразная форма выражения законов движения, имеющая смысл далеко за пределами классической механики, в которой они возникли.
Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, с синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, с решением задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами.
2. В XVII в. вариационный принцип для физической проблемы впервые был отчетливо сформулирован в геометрической оптике и применен к решению задач отражения и преломления света. Это — принцип кратчайшего-времени или принцип Ферма. Естественно, возникает вопрос о том, почему экстремальный принцип возник первоначально в оптике, а не в механике, хотя и в последней уже в то время имелось достаточно отдельных высказываний о простоте законов движения или, в телеологическом варианте, о том, что природа достигает своих целей простейшими средствами.
Дело в том, что для оптической задачи величина, которая должна быть минимумом в конкретных явлениях, легко доступна пониманию и не требует дальнейших исследований. Это — время. Как бы ни относиться к философским проблемам, связанным с категорией времени, наглядные и издревле измеряемые интервалы времени в достаточно широких пределах не нуждаются в другом определении, кроме возможности их сравнения, т. е. установления отношений равенства и «больше или меньше».
Иное положение в механике. В этом случае совсем не очевидно, какая величина в процессе движения должна быть минимумом (или максимумом),, и, как мы теперь знаем, структура этой величины отнюдь не является простой; в механике, кроме того, необходимо выяснять, каков класс допускаемых к сравнению (варьированных) движений.
Поэтому экстремальные соотношения оформились в виде ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось ни разработки такого сложного понятия, как «действие», ни выяснения характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического движения. Поэтому вслед за возникновением принципа кратчайшего времени в оптике возникла идея о применении его в механике, а также о разработке в механике-самостоятельного, но аналогичного по структуре принципа. Механическая.
концепция физической картины мира подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики. Это была первая, еще неясная, но чреватая многочисленными последствиями идея оптико-механической аналогии.
Пьер Ферма в 1662 г. положил в основу своего исследования закона преломления принцип кратчайшего времени. В заметке «Synthesis ad refractio-nes» 1 он вывел закон преломления света геометрическим способом, исходя из этого принципа. По мнению Ферма, «природа действует наиболее легкими, доступными путями, а отнюдь не более краткими», как это думают многие. Это положение является единственным постулатом, который Ферма кладет в основу своих рассуждений. Конкретизируя эту идею, он говорит: «Подобно тому как Галилей, когда рассматривал движение тяжелых тел в природе, измерял отношения его не столько расстоянием, сколько временем, мы также рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время» г.
Sd s
— min, ds — элемент пути, v — скорость) был сформулирован и продемонстрирован в геометрической оптике. Немедленно и закономерно возникла проблема отыскания аналогичных задач в механике. Первой задачей такого рода была задача, приведенная Ньютоном в его «Началах» (книга II, секция VII, Предложение 34): какую форму надо придать твердому телу вращения, движущемуся вокруг оси, для того чтобы испытываемое им сопротивление было наименьшим? Решение задачи он привел без указания способа, с помощью которого оно было найдено.
3. В 1696 г. в июньской книге лейпцигского журнала «Acta Eruditorum» (стр. 264) И. Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики» 3. Это была знаменитая задача о брахистохроне или кривой наискорейшего ската: даны две точки в вертикальной плоскости, не лежащие на одной вертикали; найти вид кривой линии, спускаясь по которой тяжелое тело прошло бы путь между этими точками в наименьшее время. Решение этой, по словам Лейбница, «столь прекрасной и до сих пор неслыханной задачи» было дано И. Бернулли, Лейбницем, Ньютоном, Я. Бернулли и Лопиталем.
Задача И. Бернулли сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления. На решение ее было дано полгода, но за этот срок поступило только одно решение Лейбница. Поэтому И. Бернулли продлил срок до пасхи 1697 г. За это время задача была решена также Ньютоном, Я. Бернулли и Лопиталем, которые нашли, что кривой наибыстрейшего спуска является циклоида. Решение Ньютона было напечатано в майском номере «Philoso-jihical Transactions» за 1697 г. (№ 224, стр. 384) без подписи автора. В майском номере «Аста Eruditorum», в котором опубликовал свое решение И. Бернулли, были напечатаны статьи Я. Бернулли и Лопиталя с аналогичными решениями.
В решении И. Бернулли речь идет одновременно об оптике и механике, о движении луча и тяжелой частицы.
Указав на то, что Ферма вывел закон преломления света из принципа кратчайшего пути (при v = const принцип кратчайшего времени Ферма переходит в принцип кратчайшего пути), И. Бернулли рассматривает задачу о кривизне луча в неоднородных прозрачных средах (в работе «Кривизна луча в неоднородных прозрачных средах и решение задачи, предложенной мной в «Acta» за 1696 г., стр. 269, о нахождении брахистохронной линии, т. е.
-1 См. Pierre Fermat. Oeuvres, v. I. Paris, 1891, p. 173—179,
3 «Вариационные принципы механики». Сборник. Под ред. Л. С. Полака. М., Физматгиз, 1959, стр. 7. Далее цитируется: «Вариационные принципы».
•s «Problema novum, ad cujus solutionem Mathematic! invetantur».— «Вариационные принципы», стр. 11.
такой линии, по которой тело должно проходить от одной заданной точки до другой в кратчайшее время; затем о построении синхронной кривой, т. е. волны лучей»).1 И. Бернулли не ищет общих методов решения проблемы, отыскания максимума или минимума какой-либо функции; @н указывает, что сомневается в самой возможности существования таких общих методов. Его цель — дать метод решения специальной задачи — задачи о брахистохроне — метод, который может оказаться применимым и для других задач аналогичного характера. Прежде всего Бернулли указывает на изумительный, по его мнению, результат: брахистохроной так же, как и таутохроной Гюйгенса, является циклоида 2. Этот результат он нашел двумя путями: прямым и косвенным.
Тут же И. Бернулли дает, по существу, первую формулировку оптикомеханической аналогии, хотя еще в очень частной форме. Он пишет: «Я укажу, что мною открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно изменяющейся среде и нашей брахистохронной кривой» 3.
Для того чтобы перейти к механике в целом, необходимо было выяснить, какая величина может быть минимальной (или максимальной) в процессе движения. Этот вопрос, который так же, как и принцип Ферма, возник еще в XVII в., был более или менее отчетливо разъяснен только в середине XVIII в. и доведен до такой же математической ясности и определенности, как принцип Ферма, только в XIX в.
Впервые понятие «действия» введено Лейбницем, на которого в этом отношении ссылается и Мопертюи. Оно изложено в труде по динамике, над которым работал Лейбниц во время путешествия по Италии в 1669 г., но который остался незаконченным и только в 1860 г. был издан Г. И. Гергардтом по рукописи, сохранившейся в королевской библиотеке в Ганновере. Лейбниц 4 * называет эту величину «actio formalis» — «формальное действие» или, что больше подходит по смыслу, «оформленное действие». Измеряется она произведением массы, скорости и длины пути, а так как длина пути может быть представлена в виде произведения скорости на время, то величина «действия» определяется произведением живой силы на время. В дальнейшем изложении Лейбниц тщательно, можно сказать, пространно, обсуждает выбор этой меры и старается показать, что она при прочих равных условиях, при одинаковой массе и скорости должна быть пропорциональна пройденному пространству. Но зависимость от скорости Лейбниц обосновывает посредством одной или, собственно, двух новых предпосылок, из которых, однако, только первую он отчетливо формулирует как аксиому, а именно: «Если одна и та же масса проходит ту же самую длину пути за более короткое время, то это является большим действием» а.
Из рассмотрения хода рассуждений Лейбница хорошо видно, что для него вопрос заключается в том, чтобы обязательно доказать правильность определения величины «действия», и поэтому пробелы в своих рассуждениях он по возможности заполняет более или менее вероятными предположениями. Естественно сделать отсюда вывод, что перед ним была цель, для которой ему были нужны именно эта величина «действия» и ее понятие. Эта цель не обнаруживается, так как работа Лейбница по динамике 6 не завершена.
На полях подлинной рукописи имеются заметки, которые указывают на намерение пересмотреть ее. Из нее была опубликована только короткая вы
1 «Вариационные принципы», стр.' 12.
2 Галилей, который впервые поставил этот вопрос, с полной определенностью установил только то, что по дуге круга тяжелая точка спускается быстрее, чем по стягивающей дугу хорде.
3 «Вариационные принципы», стр. 13.
4 G. W. Leibniz. Mathematische Schriften, herausg. v. Gerchardt, t. II, III, 1860.
6 G. W. Leibniz. Mathematische Schriften... Dynamica et potentia exlegibus naturae corporae, отд. Ill, ГЛ. I.
» Там же. Dinamica specimen praeliminare. Demonstratia quarta, p. 291, sect. Ill, Abt. 2, p. 359.
193
13 История механики
194
держка в «Acta Eruditorum» в 1695 г., остальная же часть осталась неопубликованной. В опубликованной выдержке находится исследование понятия «действия», но ничего не говорится о мере «действия».
Обстоятельность изложения и обоснования свидетельствует о том. какое большое значение Лейбниц придавал этому понятию. В опубликованном тексте единственное применение, которое получило это понятие, заключается в том, что с его помощью обосновывается один из путей определения величины эквивалента работы (потенции) движущегося тела. Для этого он, правда, без дальнейшего доказательства, вводит предпосылку, что при различных скоростях потенция для actio formalis за равное время должна быть пропорциональна этим скоростям.
В работе Лейбница о динамике и в его переписке с И. Бернулли по этому вопросу, где он защищает свое определение величины «действия», не содержится никаких четких указаний на принцип наименьшего действия. Между тем, очевидно, что до открытия этого принципа ему оставался всего один шаг. При таком положении вещей подлинность отрывка письма, якобы направленного Лейбницем базельскому математику Германну и опубликованного Самуилом Кёнигом в 1751 г., в чем сомневались многие историки, кажется очень вероятной. В нем говорится:
«В действие входит не только время, как вы полагаете; оно есть произведение массы на время или времени на живую силу. Я заметил, что в изменениях движений оно остается обычно максимумом или минимумом. Отсюда можно вывести различные предложения...» г.
Даже оставив в стороне вопрос о подлинности этого письма, надо признать, что здесь отнюдь не сформулирован универсальный закон Мопертюи о минимуме количества «действия». На это указывает и оговорка «обычно», и указание на «максимум или минимум». Возможно, именно потому, что Лейбниц, не мог найти условий того, чтобы «действие» имело экстремум, он не опубликовал своих соображений и, во всяком случае, Мопертюи их не знал.
4. В 1744 г. Мопертюи, человек бурной и беспорядочной жизни, вставший в конце концов на позиции ортодоксальной религиозности, сформулировал принцип наименьшего действия. Он возвел его в ранг наиболее общих законов природы, управляющих физическими явлениями и находящих свое основание в бесконечной мудрости «творца» и целесообразности устройства Вселенной.
Это была лобовая атака на то течение французской науки, которое если и не было целиком атеистическим, то, во всяком случае, стремилось внутри науки избавиться от опеки религии и теологической аргументации. Крупнейшие научные силы приняли активное участие в обсуждении этого принципа. Дискуссия об этом принципе явно выходила за пределы механики, превращалась в борьбу за общее направление развития познания в смысле решения основной дилеммы: материализм или идеализм.
В 1746 г. Мопертюи объявил об универсальном законе движения и равновесия — принципе наименьшего количества действия 2. Термин «количество действия» понимается им в смысле «деятельности» и измеряется произведением rnvs, где т — масса, v — скорость, s — путь, пробегаемый телом.
Для движения mvs = minimum, а в случае равновесия положение тела таково, что когда ему сообщено малое движение, то произведенное этим «количество действия» оказывается минимальным.
Мопертюи доказывает универсальный характер принципа с помощью аргументов телеологического и теологического характера 3: он ссылается на мудрость творца и целесообразность природы, так ярко, по его мнению,
* G. W. leibniz. Acta eruditorum. Abt. II, 1761, p. 176.
* Первоначальная форма принципа наименьшего действия.
• «Вариационные принципы», стр. 18, 23, 41.
проявляющуюся в строении растений и животных, в движении небесных тел и т. п.
Для доказательства же значения этого принципа в механике Мопертюи вывел из него известные законы рычага и удара упругих и твердых тел. При рассмотрении конкретных примеров он начинает с оптики.
У И. Бернулли, так же как у Ньютона, имеется представление о простейшей форме законов природы, но оно вытекает не из телеологического представления о природе, а из идеи каузальной динамической связи. Возможно, что Мопертюи взял у И. Бернулли идею внутренней связи оптики и механики в частной задаче о брахистохроне и телеологически универсализировал ее.
Провозгласив принцип наименьшего действия общим законом распространения света, Мопертюи в 1746 г. представил Берлинской академии ме-муар, в котором он применяет этот принцип к удару тел и к случаю равновесия. Название этого мемуара: «Законы движения и покоя, выведенные из метафизического принципа» отчетливо показывает исходную идею Мопертюи, целиком лежащую в области телеологической метафизики.
Можно сказать, что наиболее крупной заслугой Мопертюи является выдвижение принципа минимума «количества действия» как универсального закона природы, в то время как у Эйлера то же соотношение, более осмысленно и точно математически выраженное, рассматривалось как применимое лишь к частным задачам. Вот в этом универсальном смысле сформулированного Мопертюи принципа наименьшего действия и заключена, вероятно, причина того, что Эйлер признал его приоритет. В этом смысле слова такого принципа не было ни у Лейбница, ни у Эйлера, хотя тот же принцип, но не возведенный в ранг «закона мироздания», был открыт Эйлером даже ранее Мопертюи.
5. Попытка введения телеологии в механику вызвала резкий отпор.
В дискуссии по поводу работ Мопертюи переплелись вопросы приоритета (Кёниг оспаривал приоритет Мопертюи, см. выше), натурфилософские и физические вопросы о мере движения и фундаментальные проблемы мировоззрения и философии. В ней приняли участие не только специалисты — математики и механики, но и философы, и публицисты. Были опубликованы статьи самого Мопертюи, Кёнига, Патрика Дарси, Куртиврона, Эйлера, статьи Даламбера (в Энциклопедии — «Сила», «Действие», «Космология» и др.), памфлеты Вольтера \ письма прусского короля Фридриха II и др. В этой дискуссии Эйлер выступил на стороне Мопертюи, защищая его приоритет.
Независимо от того, рассматривался ли тем или иным автором вопрос о приоритете или о мере движения, все-таки, в конечном счете, речь шла об основном вопросе: исходить ли из причинной обусловленности явлений материального мира или из их телеологической предначертанности мудростью творца. Именно поэтому дискуссия приняла столь острый характер, что Даламбер сравнил ее с религиозными дискуссиями: «Этот спор о действии, если нам будет позволено сказать, несколько походит на некоторые религиозные споры по горечи, которая была в него вложена, и по количеству людей, принявших в нем участие, ничего в этом не смысля» 2.
Даламбер не мог остаться в стороне от этой дискуссии ни как механик, ни как философ. В Энциклопедии, редактором которой он был вместе с Дидро, в ряде статей, посвященных различным вопросам, Даламбер с большей или меньшей подробностью рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия. С плохо скрытой иронией он отводит претензии Мопертюи на открытие универсального закона, являющегося якобы непосредственным выражением могущества бога. Что же касается чисто механического значения
1 По приказу Фридриха II памфлет Вольтера был сожжен палачом. •— См. «Вариационные принципы» стр. 723.
! Там же, стр. 116.
195
13*
принципа, то он указывает прежде всего, следуя Эйлеру, на его глубокую связь с принципом живых сил и на возможность его применения для решения некоторых частных задач механики. Даламбер вполне в духе своих взглядов на механику в целом отмечает, что можно найти различные математические выражения для одних и тех же явлений и что отыскивать в этих выражениях какой-либо иной смысл, кроме того, который заключен в их математической форме,— задача ненужная и даже вредная. По сравнению с принципом причинности, который отразился в механике Ньютона и самого Даламбера, говорит он, попытки телеологически обосновать науку на принципе наименьшего действия производят впечатление чахлого дерева. Все зти глубокие замечания Даламбера сопровождаются весьма вежливыми и явно внешними для существа разбираемых вопросов упоминаниями о всемогущем творце и т. п.
- Даламбер говорит о необоснованности «...тех доказательств законов движения, которые давали некоторые философы, исходя из принципа конечных причин, т. е. из тех целей, которые творец мира должен ставить себе, устанавливая эти самые законы. Подобные доказательства могут иметь силу 196 лишь в том случае, когда они опираются на предшествующие им прямые доказательства, полученные из принципов, более доступных нашему пониманию. В противном случае, как это нередко бывает, они могут приводить нас к ошибочным заключениям. Именно потому, что Декарт следовал по зтому пути, он полагал, что по мудрости создателя во Вселенной сохраняется всегда одно и то же количество движения, и он допустил ошибку в законах движения. Кто будет подражать в этом Декарту, тот рискует или впасть в такую же ошибку, или выдать за общий принцип то, что справедливо лишь в определенных случаях, или, наконец, счесть за первичные законы природы то, что является лппть чисто математическим следствием из тех или иных формул» 1.
В этой дискуссии принял участие Вольтер, который написал специальный памфлет против принципа Мопертюи и попыток последнего дать с помощью этого принципа доказательство бытия бога 2.
Вольтер и в других сочинениях не раз с неприкрытой злобой высмеивал телеологию Мопертюи.
Вряд ли нужно говорить, что дело здесь не в научном и даже не столько в философском аспекте проблемы, сколько в общественной и идеологической роли финализма Мопертюи в той идейной борьбе, которая подготовляла революцию 1789 г.
Дарси выдвинул ряд принципиальных возражений против принципа наименьшего действия в формулировке Мопертюи. Эти возражения изложены в его мемуарах 3.
Прежде всего, Дарси критикует определение действия, данное Мопертюи, и возражает против сближения его с определением действия Лейбница и Вольфа, который писал:
«Действие... составлено из масс, скоростей и пространств» 4. В неизданных текстах Лейбница, опубликованных Герхардтом, Кутюра обнаружил такие же высказывания.
Дарси же возражает принципиально против таких сближений, потому что «авторитет никогда не может занять место доводов».
По мнению Дарси, нельзя назвать произведение «действием», так как «два действия, равных и противоположно направленных, не находятся в равновесии». Он приводит примеры случаев, когда различные «количества действия» производят одинаковый эффект, и наоборот. Критика эта была полезной, так
1 Ж. Ле Р. Даламбер. Трактат по динамике. М., Гостехиздат, 1949, стр. 32.
2 «Вариационные принципы», стр. 723.
Р. D’Arcy. Reflexions sur le principe de la moindre action de M. de Maupertuis.— MCmoires de l’Acad4mie des Sciences de Paris, 1749.
4 C. Wolff. Commentaires de I’Acad&nie ImpSriale de Saint-P6tersbourg, t. I, Saint-Pdtersbourg, 1726.
как неясность и антропоморфные представления, связываемые с термином «действие», препятствовали правильному пониманию принципа. Однако собственную точку зрения Дарси никак нельзя назвать прогрессивной или даже вносящей ясность в круг вопросов, объединяемых вокруг понятия «действия». Дарси дает «действию» чисто натурфилософское (метафизическое), а отнюдь не физическое (хотя бы и смутное) определение. Он говорит, что «действие» системы тел — это «мощность (способность) системы производить явления (effet). Способность двух противоположных сил производить действие есть разность этих сил; если же силы действуют в одном и том же направлении — это их сумма» х.
6. В ходе решения задачи о брахистохроне Я. Бернулли сформулировал принцип, который, не обладая полной общностью, сыграл значительную роль как на первой стадии развития вариационного исчисления, так и в формулировке Эйлером принципа наименьшего действия. Принцип Я. Бернулли гласит, что если какая-либо кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством. Именно это позволило Эйлеру написать вместо конечного пути s, входящего в формулу, данную Мопертюи, элемент пути ds, и тем самым сделать важный шаг вперед. Надо отметить, что, рассматривая задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде, Эйлер показал, что длина и форма предшествовавшего пути влияют на скорость в элементе пути. Вся кривая может быть брахистохроной, хотя каждый элемент ее и не обнаруживает этого свойства. Это означает, что принцип Бернулли не является универсальным.
В 1697 г. И. Бернулли поставил еще одну задачу на минимум: провести кратчайшую линию между двумя заданными точками на произвольной поверхности. Первые исследования этой задачи выполнены Лейбницем и Я. Бернулли, но наиболее важный результат найден самим И. Бернулли. Он показал, чтов любой точке кратчайшей линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной плоскости к поверхности, что, как известно, является основным свойством геодезических линий. Понимая всю важность задачи о геодезических линиях, И. Бернулли, хотя и не опубликовал сразу найденный результат (он сообщил его в конце 1728 г. Упсальскому профессору Клингенштерну, а напечатаны его работы о геодезических линиях были лишь в 1742 г.), но предложил заняться этой задачей своему ученику Л. Эйлеру. Эйлер, которому тогда был 21 год, нашел (в 1728 г.) общее решение поставленной задачи. Четыре года спустя Эйлер опубликовал мемуар, в котором изопериметрическая задача была сформулирована в общем виде 1 2. Затем во втором томе своей «Механики», вышедшем в 1736 г., Эйлер снова занялся исследованием геодезических линий и решил изопериметрическую задачу о брахистохроне заданной длины. В 1741 г. Д. Бернулли поставил перед Эйлером проблему: определить движение тела (материальной точки) под действием центральных сил методом изопериметров. Эйлер опубликовал найденное им решение в 1744 г. в приложении «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов» к знаменитой книге «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле». Именно Эйлеру принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл \vds, где v—скорость, всегда
197
1 Р. D’Arcy. Rdplique a un mdmoire de M. de Maupertuis sur le principe de la moindre action. — Мё-molres de I’Acaddmie de Sciences de Paris, 1752, p. 768.
* ;L. Euler De linea celerrimi descensus in medio quocunque resistente.—«Comm. Acad. Petrop.», mem. VII (1735), 1740, p. 150—162.
равен минимуму или максимуму. Эйлер не дал этому выражению какого-либо специального наименования.
Математическое выражение, называемое принципом наименьшего действия, у Эйлера естественно вытекало из его работ по отысканию кривых, обладающих экстремальными свойствами. Однако если геометрическая задача блестяще решалась «методом изопериметров», то в случае механического движения приходилось ограничиваться решением уже решенных задач, так как указать из общих соображений, какая именно величина в том или ином .случае будет иметь максимум и минимум, не удавалось. Это ограничивало сферу применения и эвристическое значение принципа наименьшего действия у Эйлера. Еще одно ограничение универсальности его характера явствовало из того, что у Эйлера он органически связан с законом живых сил и имеет место только там, где применим последний.
Из выражения vds = v2dt видно, как заключает Эйлер, откликаясь на споры о мере движения, что «...ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто — по квадратам скоростей, не най-198 дут здесь ничего неприемлемого» х.
Этим замечанием Эйлер в неявном виде формулирует ограничение области применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы имеют потенциал 2. Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий.
Работа Эйлера делает совершенно незначительной роль Мопертюи, которому, по существу, принадлежит только название принципа, да и то не слишком удачное.
Мопертюи пишет: «Этот великий геометр (Л. Эйлер.— Л. П.) не только обосновал принцип более основательно, чем это сделал я, но его взор, более объемлющий и более проникновенный, чем мой, привел его к открытию следствий, которых я не извлек» 8.
Что же касается взглядов Эйлера на теологическое обоснование принципа, то они во многом близки к взглядам Мопертюи. Математическое рассмотрение интересующей пас проблемы не обходится у него без телеологических, метафизических соображений. Эти соображения, впрочем, не играют никакой роли в разработке метода минимумов и максимумов в целом и в решении конкретных задач статики и динамики.
* «Вариационные принципы», стр. 31.
* Насколько была ясна важность этого вопроса многим ученым того времени, видно из приводимого ниже отрывка неопубликованного письма Лаланда.
В письме от 2/1П 1753 г. (Архив АН СССР, ф. 136, оп. 2, № 3, лл. 315, 316) Лаланд пишет Эйлеру: «Я прочитал с удовольствием Ваши мемуары в защиту Мопертюи; я хотел бы, чтобы Вами было обращено больше внимания на то, что принцип наименьшего действия отличается от принципа живых сил, потому что и тот и другой оценивают действия (Paction) квадратом скорости, предполагая время постоянным; в случае, рассмотренном в статье Кёнига, живая сила равна нулю, ее элемент также равен нулю, точно так же, как элемент действия у Мопертюи, так что здесь нет никакой разницы между ними. С другой стороны, кажется, что Кёниг находится в согласии с Вами, когда он говорит, что «если полный элемент живой силы делается равным нулю, то имеет место равновесие», это означает не что иное, как то, что живая сила есть минимум...».
’ М. Maupertuis. Letties. Lettre XI sur se, que s’est pass6 a 1’ocasion du principe de la moindre quantity d’action.— Oeuvres, t. 2, 1768, p. 281.
В процессе развития вариационных принципов и методов телеологические аргументы и идеи, естественно, постепенно отпадали, так как им нет места в подлинно научном знании. Уже Эйлер убедился в том, что каузальное объяснение совсем не эквивалентно телеологическому описанию явлений, но имеет перед последним то очевидное преимущество, что любая проблема механики может быть решена без помощи принципа наименьшего действия, в то время как применение последнего требует при рассмотрении конкретных задач предварительного знания их решения.
Так, Эйлер, поддерживая Мопертюи во время известной нам дискуссии, сначала пользуется прямо телеологической аргументацией для обоснования принципа, но, в конце концов, приходит к выводам, по существу лишающим принцип столь дорогого для Мопертюи божественного ореола.
Указав, что метод, развитый им для исследования движения в поле центральных сил, может быть применен к задаче о нахождении условий равновесия механических систем, Эйлер усматривает обоснование такой возможности в аргументах, доказательная сила которых ему самому представляется недостаточной:
«...Так как тела в силу инерции сопротивляются всякому изменению состояния, то они, если только будут свободны, будут насколько возможно меньше подчиняться действующим силам; отсюда вытекает, что в порожденном движении эффект, произведенный силами, должен быть меньшим, чем если бы тела двигались каким-либо иным способом. Хотя сила этого рассуждения еще недостаточно видна, все же, так как оно согласно с истиной, я не сомневаюсь, что при помощи принципов здравой метафизики оно может быть возведено к большей очевидности; но это я предоставляю другим — тем, кто занимается метафизикой» 4.
Это, конечно, излишняя скромность — Эйлер сам немало занимался метафизикой.
Для него характерно стремление дать натурфилософское обоснование механики, не довольствуясь тем, что ее основные законы есть научное обобщение эксперимента и наблюдения. Поэтому он многократно возвращается к проблемам, находящимся на стыке математики, механики, натурфилософии и философии. Он опубликовал, например, работу, любопытную с точки зрения изучения попыток ученых XVIII в. связать воедино философию и меха-нику: «Основанное на принципах механики исследование вопроса, можно ли материи приписать способность мышления или нельзя?»2.
В этой работе механика привлекается на помощь метафизике. Однако есть у Эйлера и такие работы, где метафизика полагается в основание механики: «Опыт метафизического доказательства общего принципа равновесия» 3.
В течение 1746—1749 гг. Эйлер готовил к печати несколько работ, посвященных поискам выражений, имеющих минимум в различных задачах динамики и статики. Эти работы были напечатаны в 1750—1753 гг.
В статье «Изыскания о наибольших и наименьших значениях, обнаруживающихся при действии сил» 4, Эйлер рассмотрел с помощью методов вариационного исчисления различные задачи равновесия гибкой нити под действием каких-либо сил при различных условиях. Использовав при рассмотрении этих задач принцип наименьшего действия, Эйлер расширил сферу его применения, распространив его на упругие силы.
199
* Вариационные принципы», стр. 40.
1 «Enodatio questionis: utrum materiae facultas cogitandi tribul posslt nec ne? ex principiis mecanicis pe” tita».— L. Euler. Opuscula varii argument!, I, Berlin, 1746, p. 277—286.
* L. Euler. Essay d’une demonstration metaphysique du principe general de 1’equilibre. — Memoires de I’Academie des Sciences de Berlin, t. 7 (1751), 1753, p. 254—264.
L. Euler. Recherches sur les plus grands et les plus petits qui se trouvent dans les actions des forces.— Мёт. de I’Acad. des Sci. de Berlin, t. 4 (1748), 1750.
200
Завершив этот новый цикл исследований по применению принципа наименьшего действия к проблемам механики, Эйлер приходит, в общем, к тем же выводам, что и в 1744 г. Он снова отмечает, что существуют два метода решения проблем механики: «один метод — прямой, основанный на законах равновесия или движения; другой... применяет формулы, которые должны быть максимумами или минимумами и решение которых находится с помощью метода максимумов и минимумов. Первый находит решение, определяя эффект по действующим силам; другой рассматривает конечные причины и выводит действия» х. Оба метода, полагает Эйлер, должны находиться в полном согласии и приводить к одному и тому же решению, и именно это согласие убеждает нас в истинности решения, поскольку каждый из рассматриваемых методов основан на несомненных принципах.
«Однако,— замечает Эйлер,— ... часто очень трудно найти выражение, которое должно быть максимумом и минимумом...»1 2. Поиски такого выражения, по мнению Эйлера, собственно говоря, принадлежат не к области математики, а «...к метафизике, поскольку необходимо знать цель, которую природа полагает в своих действиях» 3. Метафизика же отнюдь не достигла такой степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого природой, указать то «количество действия», которое является наименьшим; мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум. Таким образом, если нельзя вторым методом a priori находить непосредственно законы явлений, то, зная решение, найденное прямым методом,«... мы знаем a posteriori эти формулы, которые выражают количество действия, и тогда не представляет более труда показать их истинность с помощью принципов, известных в метафизике» 4.
Именно Эйлер развил в отчетливой и последовательно стройной математической форме те идеи, которые иначе рисковали остаться в глазах поколений блестящей, но не слишком глубокой догадкой. В этом смысле Эйлер является действительным основоположником научно сформулированного принципа наименьшего действия в механике. Он придал ему научную форму, и нужен был еще только один шаг для того, чтобы завершить полное освобождение принципа наименьшего действия от метафизических лохмотьев и математически обобщить его. Этот шаг сделал Лагранж.
7. Как известно, с Лагранжа начинается новая эпоха вариационного исчисления: он не только придал простой вид решению ранее поставленных задач, найдя удобный алгоритм, но применил также этот новый метод к решению целого ряда сложных проблем земной и небесной механики.
Первая работа Лагранжа, посвященная принципу наименьшего действия, также появилась на свет как развитие и приложение его математических работ по вариационному исчислению.
В 1760—1761 гг. в «Miscellanea Taurinensia» (т. 2) Лагранж опубликовал статью под названием «Опыт нового метода для определения максимумов и минимумов неопределенных интегральных выражений» (Essai d’une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrates indefinis). Непосредственно за ней, в том же томе, он печатает статью под характерным заглавием «Применение метода, изложенного в предыдущих мемуарах, к решению различных проблем динамики» (Application de la шё-
1 L. Euler. Recherches sur les plus grands..., p. 151.
! Там же.
3 Там же, стр. 152.
* Там же.
thode exposee dans les memoires precedents a la solution de differentsproblemes de Dynamique).
Лагранж ссылается в начале статьи на результаты Эйлера \ который показал, что для случая движения в поле центральной силы траектория, по которой движется минимальная точка, удовлетворяет требованию:
§ vds = minimum.
Лагранж обобщает этот принцип и придает ему вид
Vidst = minimum.
Это определение и выражает тот шаг вперед, который совершил Лагранж в развитии принципа наименьшего действия. Он распространил принцип, сформулированный Эйлером для материальной точки, на случай произвольной системы точек, связанных между собой и действующих друг на друга совершенно произвольным образом.
Таким образом, оказывается возможным применить принцип наименьшего действия к динамике системы. Действительно, пользуясь принципом наименьшего действия, Лагранж в своем мемуаре аналитически решает ряд проблем динамики. Это дало повод Якоби заметить, что лагранжев принцип наименьшего действия есть мать всей нашей аналитической механики.
Уже в самом начале исследования Лагранж вводит как необходимое условие принцип живых сил. Этим ограничивается круг задач, рассматриваемых Лагранжей в его сочинении.
Возвращаясь к рассмотрению общего направления этой работы, напомним, как мы уже отметили, что само заглавие подчеркивает сугубо математический характер сочинения Лагранжа. Действительно, в нем не затрагивается ни одна из проблем, связанных с обоснованием механики. В этой работе-проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления.
Мы видим, что Лагранж, для которого механика была «аналитической геометрией четырех измерений» и о котором говорили, что он более интересовался выкладками, чем логическим содержанием понятий, подошел здесь к принципу наименьшего действия как чистый математик. Для него возможность широкого применения принципа основывается на разработанном им вариационном методе. Это липп/ удобный и изящный способ решения^ задач.
Лагранж не связывает никаких «метафизических» предпосылок с поражавшим умы фактом минимальности «действия»; и вообще о нем с полным правом можно сказать, что, в противоположность многим своим современникам, он был не только чужд «метафизике», но и прекрасно осознал неприменимость подобной аргументации в науке.
Для Лагранжа принцип наименьшего действия не связан с тем специфически теологическим содержанием, которое вложил в него Мопертюи.
Итак, в первой своей юношеской работе Лагранж стоит на сугубо математической точке зрения, даже не затрагивая вопроса о содержании используемого им принципа. Здесь математический формализм, вообще присущий Лагранжу, нашел отчетливое выражение.
Однако, основываясь на том, чио^Л^ти1 = 3 m\vds, Лагранж в «Аналитической механике» ставит вопрос о физическом смысле принципа наименьшего действия. В самом деле, Лагранж отнюдь не так безразличен к физической стороне механических проблем, как это обычно полагают.
201
’ «Вариационные принципы», стр. 117.
202
Да и трудно было бы ожидать, чтобы Лагранж, живший в кругу людей, которые живо интересовались философией и среди которых были крупные философы (например, Гольбах, Даламбер и др.), остался совершенно в стороне от проблемы обоснования механики и анализа содержания ее понятий. Исторической легендой является обычное представление о Лагранже как об ученом, который равнодушно и даже презрительно относился к философским проблемам. В жизни Лагранжа был период, когда он временно потерял интерес к математике и усиленно занимался философией, химией, медициной и другими науками. Все современники, знавшие его лично, указывают, что он хотя и не писал ничего на специально философские темы, но с большим интересом принимал участие в философских беседах и спорах. В чем же Лагранж усматривает смысл принципа наименьшего действия, сведенного им на положение следствия основного закона механики?
Лагранж показал, что принцип наименьшего действия может быть выражен в форме = ext rem; если это иметь в виду, то станет совер-
шенно ясным ответ Лагранжа на поставленный выше вопрос.
Согласно его толкованию, физический смысл принципа наименьшего действия заключается в конкретизации закона живых сил. Более того, Лагранж увязывает это толкование с установленным им ранее фактом из статики, что в случае равновесия механической системы живая сила всегда максимальна или минимальна.
Так как Лагранж по существу рассматривает системы, для которых действителен закон сохранения энергии
^ + П(г,у,г) = Н,
то это утверждение выражает тот факт, что в случае равновесия механической системы потенциальная энергия имеет всегда соответственно минимум или максимум. По этому поводу Гаусс справедливо замечает, что приведенное положение Лагранжа скорее остроумно, чем правильно, так как минимум в случае положения равновесия механической системы имеет совершенно другой смысл, чем в случае движения системы.
Развитая Лагранжем точка зрения на принцип наименьшего действия разделялась рядом ученых того времени. Например, Лаплас, который расширил сферу приложения принципа в оптике, применив его к преломлению •света в кристаллах, говорит о механическом содержании этого принципа: «Интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы» х. Ограниченность этого толкования в настоящее время, после работ Гамильтона, Гельмгольца и др., после теории относительности и квантовой механики, совершенно очевидна.
Итак, здесь (как, например, ив проблеме обоснования анализа) Лагранж идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла иметь минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. «У Лагранжа принцип наименьшего действия перестал уже иметь явно логическое значение, признаком которого было бы нечто большее, чем чисто аналитические свойства, выражающиеся возможностью делать вариацию нулем»,—говорит Дюринг 1 2. Но то, что Дюринг считает достоинством Лагранжа, на самом деле есть его недостаток, ибо, кроме «метафизики», существует также научный анализ физического
1 Р.-С. Laplace. Completes de Laplace, t. 6. Paris, 1885, p. 205.
E. Дюринг. Критическая история принципов механики. М., 1893, стр. 263.
содержания математических выражений г. Исследование Лагранжа, которое было выше нами рассмотрено, представляет собой попытку раскрыть «логическое значение» принципа наименьшего действия. Эта попытка основана на ограниченной базе и связана стремлением уйти от трудностей путем формального определения. Такая трактовка, конечно, не могла решить заключенной в принципе наименьшего действия проблемы. Однако она имела то преимущество, что давала возможность, как отмечал К. Маркс, отделаться от всего того, что Лагранжу представлялось метафизической трансцендентностью. Действительно, в заключение характеристики, данной принципу наименьшего действия, Лагранж говорит, что рассматривает его «не как метафизический принцип, а как простой и общий вывод из законов механики» 2.
Здесь, таким образом, Лагранж настойчиво и совершенно определенно отказывается от всякой метафизической трактовки принципа. Под метафизической трактовкой тогда понималось теолого-телеологическое обоснование принципа наименьшего действия, образец которого имеется в работе Мо-нертюи.
Самое название «принцип наименьшего действия» Лагранж употребляет лишь по традиции. Это название отнюдь не соответствует математической формулировке принципа. Телеология вытекает не из механики в ее математической формулировке, а привносится извне предвзятыми и произвольными обобщениями и неопределенными наименованиями, «словно неопределенные и произвольные наименования составляли сущность законов природы и с помощью какого-то скрытого свойства способны простые выводы из известных законов механики возвести до степени конечных причин» 3.
Это — весьма интересное положение. Лагранж правильно подмечает произвольность наименования величины dt ^ти- действием. Он указывает, что эта произвольность и неясность в терминологии дают возможность протаскивать телеологию туда, где ей иначе не было бы места. Эти даваемые нами наименования ни в коем случае «не составляют сущности законов природы».
Аналогичные взгляды высказывал Даламбер. Он говорил: «Какую бы ни занять позицию как относительно метафизики, которая ему (принципу Мопертюи.— Л. П.) служит основанием, так и относительно данного Мопертюи понятия количества действия, все же останется верным, что произведение пути на скорости есть минимум в наиболее общих законах природы. Эта геометрическая истина, которой мы обязаны Мопертюи, будет существовать всегда. Можно, если угодно, принять понятие количества действия только в качестве сокращенного способа выражать произведение пути на скорость» 4.
Лагранж вместе с тем возражает против рассмотрения принципа наименьшего действия как наиболее фундаментального и общего закона природы. Мы уже видели активное наступление теологии на науку под флагом самой науки в XVIII в., выразившееся в работах Мопертюи, отчасти Эйлера и др. И тот факт, что Лагранж отвергал всякие метафизические мотивы, связанные с нажимом на антропоморфно близкое нам «наименьшее действие», помогал материалистически-детерминистическому мировоззрению в его борьбе с идеалистической телеологией.
Подход Лагранжа к проблемам механики сложен, как и характер его влияния на последующее развитие этой науки. С одной стороны, отделением
203
< Между прочим, у самого Лагранжа легко найти примеры такого анализа (см. введения к отдельным главам его «Аналитической механики»).
2 Там же, стр. 159.
3 Ж.-Л. Лагранж. Аналитическая механика. Изд. 2, т. 1. М., Гостехтеоретнздат, 1950. стр. 318.
J. le R. D’Alambert. Action. Dans: Encyclopedic ou dictionnaire raisonn« des sciences, des arts et des Л1ёtiers, t. 1, 1752.
механики от телеологической метафизики Лагранж сыграл положительную роль и надолго определил соотношение механики и философии. Вместе с тем подход Лагранжа к проблемам механики послужил исходным пунктом для создания той особой манеры изложения этой науки, которая может быть охарактеризована как чисто аналитическая. И безусловно, к Лагранжу уходят корни развившегося в XIX в. формально-описательного направления в механике.
Итак, если Лагранж полностью отверг всякое телеологическое обоснование принципа наименьшего действия, то в чем же состоит смысл и значение этого принципа? Все значение, которое можно приписать этому принципу, определяется его связью с законом сохранения живой силы и его математической формой выражения. «Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы» х.
Он действительно представляет собой общий метод решения проблем движения тел, но это ни в коем случае не есть самостоятельный, особый метод, а по самой своей сути «этот метод сам по себе является только следствием из-204 ложенного во второй части этого труда» 2.
Таким образом, в «Аналитической механике» принцип наименьшего действия ни в коей мере не является основным принципом механики.
8. Под непосредственным влиянием работ Лагранжа Л. Карно применил принцип наименьшего действия к теории удара и установлению общих теорем для импульсивных сил. В формулировке Л. Карно, данной в 1803 г., как говорит сам Карно, «более не остается ничего неопределенного в принципе Мопертюи, который выражен строго и математически» 3. Исключив категорически всякий метафизический аспект, Л. Карно указывает вместе с тем, что претензии Мопертюи на универсальность принципа не обоснованы, и, в частности, отмечает, что и в области законов удара, которые выводил из него Мопертюи, этот принцип не охватывает случая, когда тела имеют различную степень упругости. В отдельных случаях с помощью этого принципа можно получить интересные результаты. Л. Карно находит таким путем важную теорему о том, что для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения, в которой без наличия прямо приложенных импульсов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей этим изменениям скоростей.
Следующий важный шаг в развитии интересующего нас круга идей сделал Пуассон, исходя из разработанного Лагранжей и им самим метода, вариации произвольных постоянных. Вместе с тем Пуассон как бы завершил исключение всякой посторонней метафизики из вопросов, связанных с соотношением, получившим название принципа наименьшего действия.
Место, которое отвел Пуассон в своей механике принципу наименьшего действия, интересно с историко-научной точки зрения.
Пуассон установил, что при отсутствии ускоряющих сил материальная точка всегда движется на заданной поверхности по наиболее короткой линии, некоторой на этой поверхности можно перейти от одной точки к другой; он замечает, что это свойство траектории подвижной точки есть лишь частный случай более общего свойства, которое получило неподходящее название принципа наименьшего действия.
В общем во всех существенных пунктах изложение Пуассона близко к изложению Лагранжа.
Лишь в одном пункте Пуассон рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия с иной точки зрения. Оптический аспект принципа у Лагран-
* «Вариационные принципы», стр. 160.
2 Там же.
’ L. Carnot. Principes foundamentaux de 1’cquilibre et du mouvement, t. I. Paris, 1803, prdface.
У. Р. Гамильтон (1805—1865 гг.)
жа отсутствовал. Напротив, Лаплас — непосредственный учитель Пуассона — применил рассматриваемый принцип для вывода закона двойного преломления света в исландском шпате. По этому поводу Пуассон замечает, что самым существенным применением принципа является вывод из него законов отражения и преломления света.
9. Следующим этапом в истории вариационных принципов, подготовленным как развитием механики, так и развитием геометрической оптики в интересующем нас аспекте, явились исследования ирландского математика У. Гамильтона
В 30-х годах XIX в. Гамильтон строит свой общий метод динамики на основе рассмотрения и развития оптико-механической аналогии.
Обширный комплекс его исследований сыграл важнейшую роль в развитии вариационных принципов механики.
Рассмотрим сначала сущность и значение работ Гамильтона в области геометрической оптики.
Еще Герои выводил закон отражения света из принципа кратчайшего пути.
Пьер Ферма, как мы видели, поставил во главу угла своего исследования закона преломления принцип кратчайшего времени.
Работы Гамильтона по оптике относятся к тому времени, когда после работ Юнга и Френеля возобновилась дискуссия о природе света. Гамильтон стремился сделать свои выводы независимыми от принятия одной из двух конкурирующих теорий света: волновой и корпускулярной.
Поэтому Гамильтон подошел к проблемам геометрической оптики с очень общей точки зрения, ища такое математическое соотношение, которое опи-
1 Библиографию работ Гамильтона см. в кн.: Л. С. Полак. У. Р. Гамильтон и принцип Стационарного действия. М., Изд-во АН СССР, 1936, стр. 262—269.
206
ралось бы на надежно установленные факты и к которому сводились бы все проблемы этой науки.
Излагая в кратком очерке историю оптики, Гамильтон прежде всего подчеркивает прямолинейность распространения света. Этот опытный факт в конце концов выкристаллизовывается в следующее важное положение, которое является «фундаментальной теоремой» оптики: «Связь между освещением и освещающим телом, или между рассматриваемым объектом и воспринимающим глазом, осуществляется посредством постепенного, но очень быстрого распространения некоторого предмета или влияния или состояния, называемого светом, от светящихся или видимых тел вдоль математических или физических линий, называемых обычно лучами и оказывающихся при самых общих условиях точно или приближенно прямыми» *.
Он пользуется сначала корпускулярными, а затем волновыми представлениями, но не потому, что считает, что природа света действительно такова, а потому, что при их помощи можно лучше согласовать теорию с опытом. Гамильтон рассматривает математическую оптику, не только не ставя перед собой, но даже считая вообще несущественной проблему о природе света.
Соотношение, которое Гамильтон кладет в основу своего исследования,— это принцип Ферма.
Опыт показывает, говорит Гамильтон, что во всех случаях, когдамы имеем дело с распространением света в каких-либо средах при самых разнообразных условиях, траектория луча оказывается подчиненной одному основному соотношению. Это соотношение гласит, что путь распространения света от «одной точки к другой всегда оказывается таким, что если его сравнить с другими бесконечно близкими линиями, при помощи которых могут быть соединены эти точки в мысли и в геометрии, то некоторый интеграл, или сумма, называемый часто «действие» и зависящий по определенным правилам от длины и положения траектории и среды, в которой распространяется свет, меньше всех подобных интегралов для других соседних линий» 1 2.
Центральная идея его метода — идея характеристической функции для каждой оптической системы лучей. Это характеристическое соотношение, различное для различных систем, таково, что геометрические свойства системы могут быть выведены из него методом, аналогичным тому, который был изобретен Декартом для алгебраического решения геометрических проблем. Все свойства оптических систем для каждой кривой или поверхности вытекают из основного соотношения. В этой теории устанавливается связь восьми величин, из которых шесть суть координаты двух переменных друг с другом оптически связанных точек в пространстве3, седьмая есть индекс цвета (index of colour), что соответствует показателю преломления, а восьмая, которую Гамильтон назвал характеристической функцией, есть «действие» между двумя переменными точками. Эта функция V называется характеристической, ибо Гамильтон нашел, что в характере зависимости этой функции от семи названных выше величин заключены все свойства оптической системы. Поэтому Гамильтон говорит: «Я рассматриваю все проблемы математической оптики, относящиеся ко всем мыслимым сочетаниям зеркал, линз, кристаллов и атмосфер, как сводимые к изучению этой характеристической функции, посредством... фундаментальной формулы» 4.
Вводя одну функцию, которая полностью характеризует оптическую систему, Гамильтон указывает: «Функция, которую я... полагаю в основу своего метода дедукции в математической оптике, представлялась прежним авторам в другой связи выражением результата весьма высокой и обширной ин
1 W. R. Hamilton. On a general method of expressing the paths of light and of the planets by the coefficients of characteristic function.— Mathematical Papers, 1935, v. I, p. 312.
! Там же, p. 613.
’ Здесь «переменная точка» — точка в пространстве с переменными (текущими) координатами.
4 W. R. Hamilton. On a general method., стр. 295—297.
дукции; она называется законом наименьшего действия, а иногда — принципом наименьшего времени и заключает в себе все, что было до сих пор открыто относительно правил, определяющих форму и положение линий, по которым распространяется свет, и изменений направления этих линий, вызываемых отражением или преломлением, обычным или необычным. Некоторое количество, являющееся в одной теории действием, а в другой — временем, затрачиваемое при переходе от любой одной точки к любой другой, оказывается меньшим, если свет идет своим фактическим путем, а не каким-нибудь иным, или же, по крайней мере, имеет то, что на языке специалистов называется вариацией, равной нулю» *.
Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон уже здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно сознает математическую новизну своего метода, подчеркивая, что благодаря этому методу «математическая оптика представляется... в совершенно новом виде, аналогичном тому, в каком Декарт представил применение алгебры к геометрии» 1 2. Рассмотрим теперь математический метод Гамильтона, с помощью которого он исследовал законы систем лучей.
Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно изменяется (например, земная атмосфера), то траектория луча будет кривой линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного исчисления, исследовать вариацию интеграла ^vds, где v — преломляющая сила среды, a ds — элемент траектории; пределы интегрирования фиксированы. Имеем
S^(pJs)= - v^a^x^ + ^^-ds-i-dv^dxi, (1)
i г г
где (ц — косинусы углов, которые образуют направления луча с осями в конечном положении; аог — те же величины в начальном положении. Поскольку конечные положения фиксированы, интегралы в правой части (1) обращаются в нуль.
Покажем, что лучи перпендикулярны К некоторым поверхностям (волновым поверхностям), для которых vds равен некоторой определенной величине. Пусть лучи исходят из одной точки или из некоторой поверхности перпендикулярно к ней, и поэтому второй член в правой части (1) исчезает. Тогда
б vds = v 2 afixi. (2)
i
Положим вариацию (2) равной нулю, т. е. интеграл равным некоторой постоянной величине; тогда
2 = 0.
г
1 Там же.
г У. Р. Гамильтон. Сообщение о теории систем лучей, представленное 23/IV 1827 г. Королевской ирландской академии. См. R. Р. Graves.Life of sir Hamilton W. R. Dublin, v. 1—3, 1882—1889.
20Г
движущейся в среде со скоростью уравнениями
1 9V
Это и доказывает, что траектория искривленного луча пересекает любую поверхность, на которой рассматриваемый интеграл постоянен, под прямым углом.
Обозначим vds = V для точки
v; тогда косинусы аг определяются
Я; =
v oxi ' '
Здесь V — характеристическая функция Гамильтона, при помощи которой можно вывести все свойства системы лучей, если нам известен вид функции и.
Заметив, что из уравнения (3) получаем
г
Этой функцией Гамильтон и пользуется во всех своих последующих рабо-208 тах по оптике.
Найденный результат в виде соотношения (2) Гамильтон называет принципом постоянного действия (principle of Constant Action). Название это выбрано им из двух соображений: во-первых, для того чтобы «отметить связь с известным законом наименьшего действия», и, во-вторых, «потому что он (принцип постоянного действия.— Л. П.) дает непосредственно дифференциальное уравнение того важного класса поверхностей, которые, согласно гипотезе колебаний, называются волнами, а согласно гипотезе испускания частиц, могут быть названы поверхностями постоянного действия»1.
В этом же добавлении Гамильтон формулирует основной закон
(5)
i
и. показывает, что соотношение (5) приводит к следующим общим уравнениям луча:
^-ds^d^ (* = 1,2,3), (6)
причем два уравнения (6) определяют третье уравнение.
Эти уравнения непосредственно связаны с уравнениями динамики в форме Лагранжа. В самом деле, заметив, что щ и обозначив —• = хг, найдем:
i _ *L = 0, (7)
ds Qx. dxi '
где v = v (x, у, z).
Это уравнение имеет ту же форму, что и известные уравнения Лагранжа второго рода в динамике, которые являются необходимым условием существования экстремума интеграла в принципе Гамильтона — Остроградского.
Таким образом, уже здесь отчетливо видна связь развиваемой Гамильтоном математической теории систем лучей с механикой.
В третьем добавлении теория характеристической функции достигает большой общности. Здесь v является уже функцией начальных и конечных координат, а также цветового индекса % (cromatic index), т. е. частоты:
v = v (xh xoi, %). (8а)
я W. R. Hamilton. Supplement to the theory of systems of rays.— Math. Papers, 1935, v. I, p. 107.
В общем случае элемент криволинейного пути равен
ds =
v = v (xit di = , %). (86)
Вариация v равна:
s»-2-£re«. + 2^6«<+-g-M. (в)
и так как 2а* = 1, то производные определятся так, чтобы удовлетворя-i
лось условие
3 (10)
г *
т. е. v — однородная функция первого порядка относительно а..
Фундаментальная задача математической оптики состоит в определении зависимости a., aoi от х., xoi, %. Эта задача решается с помощью основного уравнения, которое Гамильтон называет законом переменного действия:
(11) J " \ ddi 1 daoi } 4 '
i
Вариация 6У стационарна при распространении света. Это уравнение распадается на шесть уравнений, которые дают искомую зависимость:
= = -^~ (i = 1,2,3). (12)
oxi ат.} uxoi vaoi '
Основная идея Гамильтона состоит в том, что он рассматривает V =
как функцию граничных точек. Другими словами, после того, как значение V вычислено интегрированием выражения 6У = 0 при постоянных пределах, он рассматривает У как функцию этих пределов. Функцию У он называет характеристической функцией, а в физике называют ~~~V—c(t—10) оптическим путем, который является основным понятием в геометрической оптике.
Как кажется с первого взгляда, уравнения (12) для приложения к некоторой системе сред требуют знания формы функции У и вида функций v и р0 (т. е. оптических свойств конечной и начальных сред). Однако, как указывает Гамильтон, сами эти функции среды v и v0 могут быть выведены из характеристической функции У. Гамильтон показывает, что если У есть однородная функция а{, а для У имеем два уравнения в частных производных:
209
(13)
то, обозначив
получим:
XfA'= °’
dV dV
dxi И dxoi <3°i’
v ’ i?o
(14)
14 История механики
210
откуда, после простых преобразований, найдем:
dxi
~dv аз? ’ ~ ~ ~д^'
Родство формы уравнений (13) с уравнениями динамики очевидно: V соответствует интегралу действия Эйлера — Лагранжа, уравнение (13) — уравнению живых сил, % — некоторой функции полной энергии.
Уравнения (15) имеют форму канонических уравнений динамики и выражают распространение поверхности V = const как касательное преобразование вдоль луча.
Следовательно, развивая метод характеристической функции, мы вновь получили уравнения, имеющие форму уравнений динамики, с той лишь разницей, что раньше были получены уравнения, имеющие форму уравнений Лагранжа, теперь же — канонические уравнения, введенные в динамику Гамильтоном.
Отметим еще раз, что геометрическая оптика, как показал Гамильтон, сводится к одному и тому же аналитическому аппарату, независимо от того, пользуемся мы в физической оптике волновыми или корпускулярными представлениями. Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и тем же результатам. Луч может.быть истолкован и как нормаль к некоторой волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц. Математический формализм теории и в том и в другом случае один и тот же. Уже в этом заключеиа идея оптико-механической аналогии.
Работы Гамильтона по теории систем лучей остались малоизвестными на континенте. Одной из основных причин этого является то, что «Transactions» Ирландской академии в Германии, Франции и России являлся редким и малодоступным журналом. Неумелая и запутанная форма изложения этих работ Гамильтона также не способствовала их распространению. Только постепенно идеи, заключенные в этих работах, становятся известными. В Англии Максвелл х, а в Германии Брунс 2 и Ф. Клейн 3 в той или иной степени, в связи с работами Гамильтона, продолжали развивать это направление, и впоследствии методы, созданные Гамильтоном, нашли широкое применение в геометрической оптике, теории оптических приборов и электронной оптике.
10. От разработки оптических проблем к динамике Гамильтон перешел вполне закономерно. Прежде всего внутренняя логика разработанного им метода исследования оптических проблем вела к распространению этого метода на динамику. Связь той математической формы, в которую он облек геометрическую оптику, с уравнениями механики была ему ясна еще задолго до написания мемуаров по динамике. Конечно, из того, что внутренняя логика оптических работ Гамильтона приводила к возможности расширения сферы применения его метода, не вытекает, что именно сам Гамильтон должен был проделать этот новый этап. Тот факт, что именно Гамильтон исследовал данную проблему, объясняется еще некоторыми дополнительными условиями. Прежде всего нужно указать на интересы Гамильтона в области астрономии. Будучи королевским астрономом Ирландии и профессором астрономии, он,
* J. Maxwell. On the general laws of optical Instruments.— Scientifical Papers. Cambridge, 1890, p. 271—286; Он же. On Hamilton’s Caracteristic Function..., p. 381—391; Он же. On the relation of Geometrical Optics..., p. 391—393; Он же. On the Application of Hamilton’s Characteristic Function to the Theory, p. 439—445.
1 H. Bruns. Das Eikonal.— Abhandl. d. Mathem. Klasse d. Konigl. Sachs. Geselsch. d. Wissensch... Bd. 21, 1895, S. 325.
3 F. Klein. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bd. 2, Springer. Berlin, 1921, S. 601—602.
хотя и держался в стороне от наблюдательной астрономии, усиленно интересовался проблемами небесной механики. Чтение курса астрономии, который тогда в основном представлял собой небесную механику; вычислительные работы Дублинской обсерватории в связи с составлением навигационных таблиц; наконец, тесная связь математики, которая всегда была его основной стихией, с небесной механикой — все это толкало его к занятиям в области математических методов механики. Поэтому он, исследуя различные системы притягивающихся или отталкивающихся материальных точек, прилагает свой метод прежде всего к решению классической проблемы возмущенного движения.
Наконец, объединение оптики и механики в единую математическую схему вытекало из основных методологических воззрений Гамильтона; его склонность к общей и абстрактной постановке вопросов благоприятствовала этим работам.
Таким образом, как объективные причины — потребности небесной механики, так и субъективные — деятельность Гамильтона в качестве королевского астронома и профессора астрономии, и, наконец, внутренняя логика его работ (оптико-механическая аналогия) определили направление работы Гамильтона в области дальнейшей разработки найденного и примененного им в оптике математического метода. Сам Гамильтон неоднократно подчеркивал тесную связь своих работ по динамике с предшествовавшими работами по теории систем лучей. В письме к Уэвеллу (18 марта 1834 г.) он пишет, что публикуемая им в «Phylosophical Transactions» работа есть «новое приложение тех математических принципов, которые ... (он.— Л. П.) уже прилагал к оптике». В его письме к Дж. Гершелю (17 октября 1834 г.) мы читаем следующее: «...почти достигнув в оптике желаемой цели..., я вернулся к старому проекту применения того же метода к динамике». Гамильтон не ставит себе задачи создания новых или даже видоизменения классических основных принципов механики. Его задача — иная; она точно выражена в названии его работы: «Об общем методе в динамике, с помощью которого изучение движения всех систем взаимно притягивающихся или отталкивающихся тел сводится к отысканию и дифференцированию определенной центральной зависимости или характеристической функции» Г
Эта работа Гамильтона послужила основанием для Остроградского, Буня-ковского и Фусса представить его в 1838 г. к избранию членом-корреспондентом Российской академии наук; избрание состоялось в том же году.
В механике ГаМйльтон является прямым продолжателем направления Лагранжа. Это выражается не только в его восхищении «Аналитической механикой», которую он называл «научной поэмой», и не только в том, что Гамильтон применял аналитический метод, не используя наглядных геометрических представлений даже там, где они могли бы оказать ему непосредственную помощь. Важнейшим обстоятельством здесь является точка зрения Гамильтона на задачи исследования в области механики, сближающая его с Лагранжей: механические проблемы суть класс математических задач, разработка механики есть разработка математических методов 1 2.
К тому времени, когда Гамильтон перешел от проблем геометрической оптики к изучению проблем динамики, принцип наименьшего действия имел, как мы видели, уже почти девяностолетнюю историю.
Первой работой Гамильтона в области динамики была неопубликованная при его жизни рукопись, помеченная 1833 г. и озаглавленная «Проблема
211
1 W. R. Hamilton. On a general method in Dynamics, by which the study of the motion of all free systems of attracting or repelling points reduced to the search and differentiation of the central relation or characteristic function.— Math. Pap., 1940, v. 2. См. также «Вариационные принципы», стр. 175.
2 В аналитический метод Лагранжа вполне можно ввести геометрические аналогии и представления. Это можно сделать, ибо свойства уравнений Лагранжа тесно связаны со свойствами некоторой квадратичной формы точно такого же вида, какой имеет в геометрии форма, выражающая дугу кривой.
14*
212
трех тел. рассмотренная с помощью моей характеристической функции» х. В этой рукописи рассматривается проблема трех тел: Солнца, Юпитера и Сатурна, и сначала вводится характеристическая функция
t i
V = 2Tdt = niXidXi.
О 0 г
Гамильтон показывает, что эта функция должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка. Он сравнивает найденное им решение с решением Лапласа, определяет характеристическую функ-цию для эллиптического движения, устанавливает уравнение = t, где Н — полная энергия системы («константа живых сил», по его терминологии). Далее он доказывает, что два уравнения в частных производных, которым удовлетворяет функция V, действительно дают общее решение, и ищет это решение с помощью последовательных приближений.
Уже в этой работе даны многие существенные результаты, которые вошли в более поздние статьи Гамильтона, опубликованные им в 1834—1835 гг. В этих статьях развивается оригинальная идея Гамильтопа: рассматривать входящий в принцип действия интеграл после его вычисления как функцию его пределов.
Он получает таким образом уравнение
67 =
i i
выражающее фундаментальный закон вариации V, и называет его «уравнением характеристической функции или законом переменного действия» 1 2.
Гамильтон обнаружил, что «в динамике эта функция включает в себя в виде вспомогательной величины константу Н в известном выражении половины живой силы системы».
Это привело его к мысли ввести новую функцию S, которая была бы связана с V и из которой была бы исключена упомянутая константа. В итоге «исключения, посредством ’которых (Гамильтон.— Л. П.) ... я был вынужден избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время, сделали метод более обширным, чем он был»3. В дальнейшем функция S становится основной функцией Гамильтона. Уже в конце своей первой статьи Гамильтон помещает краткую главу под названием: «Введение времени в общем виде в выражение характеристической функции в любой задаче динамики».
Функция 5 связана с функцией V уравнением
V = Ш + S
или, что то же самое, новая главная функция S определена уравнением
. t. i t
5 = ^(2’ + =
i о о
где
.. .. S = S (Х}, Хщ, t),
1 W. В. Hamilton. Ой a general method in dynamics.—Phil. Trans., p. I, 1834, p. 252.
2 ’ У. P. Гайильтоп. Письмо Дж. Гершелю от 17 марта 1834 г. См. G. Graves. Life of sir Hamilton W. R. Dilblih. - ' .
3 Там же.' ' ...
в io время как
Я)
Выражение для вариации 5 будет таково:
8S = — HSt 4- — пг^^м^м,
i i
что эквивалентно системе: as , as . as „
-a—=тАг, —=—m#*!, = — H,
dxi дт01 w dt
где первые три уравнения дают промежуточные, а вторые три — конечные интегралы. Функция 5 удовлетворяет двум уравнениям в частных производных:
as 1 vi ( as \2 _
at '2т \ dxt ) ’
1 213
as I 1 Vf ds \*_tt at + 2m dx0l ) -u°’
которые, если они могут быть проинтегрированы, дадут S как функцию х, у, z, х0, у0, z0, t, и таким образом определится движение системы (как показал Якоби, достаточно и одного уравнения).
В сущности только попутно Гамильтон устанавливает здесь новый вариационный принцип. А именно представим себе, что сравнивается истинное движение механической системы с некоторым варьированным, причем начальное и конечное положения системы в обоих движениях одинаковы, как одинаково и затрачиваемое на них время. Это означает, что в выражении для вариации S, соответствующей переходу от истинного движения к варьированному, надо получить 8t = 0, 6х\ = 0, — 0, следовательно, будем
иметь и
t
8S = 6 Sdt =0.
о
Эта формула представляет собой, с учетом сформулированных условий варьирования, новый вариационный принцип, выведенный Гамильтоном для консервативных голономных систем. Гамильтон обычно называл и этот принцип принципом наименьшего действия.
Как же Гамильтон определяет место своего принципа и связанного с ним метода в системе физических наук? Ведь он недвусмысленно отказался признать космологическое значение принципа наименьшего действия. В самом деле, Гамильтон пишет:
«Хотя закон наименьшего действия стал, таким образом, в ряд высочайших теорем физики, все же его притязания на космологическую необходимость, на основе экономии во Вселенной, в настоящее время обычно отвергаются. Среди других причин это вытекает и из того, что величина, которая претендует на то, чтобы быть сэкономленной, в действительности часто расточительно расходуется» Ч
Гамильтон видит в нем средство «преобразовать в широком смысле слова всю динамику» 2 и считает, что сфера его применения значительно шире, чем только оптика и динамика. Эта широкая программа им самим осуществляет
1 W. R. Hamilton. Math. Pap., 1935, v. 1, p. 317.
1 У. P. Гамильтон. Письмо к дяде Джемсу от 12 марта 1834 г. См. G. Graves. Life of sir Hamilton W. R.
ся только частично, его задача — набросать основной план, развитие которого — дело будущего.
Оценивая значение своей работы об общем методе динамики, Гамильтон прежде всего подчеркивает, что, благодаря найденной им новой математической форме, динамика и оптика будут рассмотрены как следствия общего принципа. Для него основной целью является установление единой схемы, в которой из некоторого основного соотношения выводились бы все законы механики и оптики.
Гамильтон придает своей работе специфически математический характер. Не только в. самих статьях, опубликованных в «Phylosophical Transactions», он избегает каких-либо философских вопросов, но и в письме к де Моргану оценивает свою работу как лежащую в области математической разработки задач динамики. Несмотря на ярко выраженные интересы к общим вопросам теории познания. Гамильтон пишет свои статьи максимально формально х.
Он сам характеризует свои исследования так:
«Мои собственные исследования по динамике лежат в совершенно ином направлении, они приводят меня к системе строгих и общих выражений для дифференциальных уравнений движения системы материальных
были заложены основы аналитической механики Гамильтона, дальнейшем основой динамики Гамильтона — Якоби — Остро-Именно Якоби блестяще развил, уточнил и значительно обога-
тил идеи Гамильтона в области интегрирования дифференциальных уравнений движения.
Однако физическая сторона проблемы у Якоби обеднена, так как в его изложении утрачиваются всякие следы связи оптики с механикой, всякие следы оптико-механической аналогии. Уже у Якоби оптико-механическая аналогия подвергается забвению, которое продлилось до следующего возрождения проблемы корпускулярно-волнового синтеза в XX в.
Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной, а связь с законом живых сил видна еще более отчетливо, чем у Лагранжа.
Якоби исходит из принципа наименьшего действия в форме, в которой он приводится и у Лагранжа:
О = S(= 8^2Tdt^,
i
(Т — живая сила системы), но считает необходимым в самой записи отразить справедливость закона живых сил:
Т = U + h
интегралов точек» 1 2.
11. Так ставшие в градского.
(U — силовая функция, h — постоянная).
Заодно он исключает из записи принципа dt, чтобы свести варьирование к изменению траектории 3, и получает вариационный принцип в виде
6$/2(С7+А)3
m^dsl = 0.
В оценке принципа в этой форме Якоби также во многом очень близок Лагранжу. Он говорит, что «трудно найти метафизическую причину для прин
1 «Unmetaphysisch», как он выражается в одном из своих писем.
2 У. Р. Гамильтон. Письмо к де Моргану от 18 февраля 1842 г. Цит. по Graves.
Время тем Самым исключается полностью, так как предполагается, что U от времени не зависит.
ципа наименьшего действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме» \
Значение принципа наименьшего действия, по мнению Якоби, состоит, «во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям, движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его искать. Поэтому в то время, как самое интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует» 1 2.
Якоби указывает далее, что принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно важное ограничение. Оно состоит в том, что минимум имеет место не между двумя любыми положениями системы, но только в тех случаях, когда конечное и начальное положения достаточно близки;
Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы.
Переходя к принципу Гамильтона, Якоби отмечает, что из него можно получить уравнения движения более простым способом, чем из принципа наименьшего действия, поскольку входящая в него силовая функция может содержать в явном виде также и время t. В формулировке же, данной Якоби принципу наименьшего действия, времд исключено с помощью закона живых сил, предполагающего, что силовая функция не содержит явно времени.
12. С середины XIX в. начинается интенсивная разработка всего сложного круга механических, математических и физических идей, связанных с вариационными принципами механики, с теорией Гамильтона — Якоби, с учением о преобразованиях.
Подробное рассмотрение всех относящихся сюда работ представляет, собственно говоря, уже задачу истории вариационного исчисления или истории аналитической динамики в целом. Мы же рассмотрим лишь те из них, которые в той или иной степени существенно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов механики, прежде всего с математической точки зрения. Первое место по праву принадлежит здесь М. В. Остроградскому.
Применяя принцип, сформулированный им в 1834—1835 гг., Гамильтон исходил из допущения, что система может быть и несвободна, но кинетическая энергия является однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей. Таким образом, он неявно предполагал стационарность связей. М. В. Остроградский получил тот же принцип в 1848 г., не налагая этих ограничений, а рассмотрев связанную с ним вариационную проблему в более общем виде 3. Поэтому рассматриваемый принцип получил название принципа Гамильтона — Остроградского.
Остроградский читал свой «Мемуар о дифференциальных уравнениях проблемы изопериметров» 29 ноября 1848 г. на заседании Российской академии наук и опубликовал его в 1850 г. Вот кратко основная идея Остроградского. Пусть V — функция независимой переменной t, а также переменных хт, которые предполагаются функциями t, и производных этих функций по t. Предположим, кроме того, что V включает производные каждой из функций хт до n-го порядка включительно. Если б ^vdl = 0, то по известным правилам вариационного исчисления получим т дифференциальных уравнений,
215
1 «Вариационные принципы», стр. 297—298.
2 Там же.
3 M. Ostrogradsky. Sur les integrales des equations generales des la dynamique.— Mem. de 1 Acad, des Sci. de St.-Ptb., 1850, t. 8, N 3, p. 33—43.
каждое из которых будет порядка 2п. Остроградский показал, что эти дифференциальные уравнения эквивалентны некоторой группе 2тп дифференциальных уравнений первого порядка. Это и есть содержание первой части работы Остроградскогох. Далее Остроградский подробно рассматривает вопрос об интегрировании уравнений, которые получаются таким образом, и их свойства. Иначе говоря, он впервые показал, что канонические уравнения можно рассматривать как нормальную форму, в которую может быть с помощью одних лишь дифференцирований и исключений преобразована любая группа уравнений, возникающая из вариационной проблемы 1 2.
В формулах Остроградского, как и в формулах динамики, дифференциалы неизвестных выражаются через вариации некоторой функции, которая зависит только от времени и неизвестных рассматриваемой проблемы. Общая теория, развитая Остроградским, позволяет ему утверждать, что его основная формула «содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия», который поэтому «нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения вариаций к теории maxima 216 и minima».
Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его аналитической механики, где он выводит уравнения движения из принципа наименьшего действия вместе с законом живых сил, неточен. Он считает, что в силу применения закона живых сил между некоторыми переменными, которые Лагранж полагает независимыми, существует зависимость.
Излагая в несколько измененном виде вывод принципа наименьшего действия Лагранжем, Остроградский отмечает то чрезвычайно существенное обстоятельство, что вариации изменяются по двум причинам: вследствие варьирования времени t и вследствие изменения формы функции х. Первая причина может ввести в только член £б/, вторая более сложна и может ввести в каждую из бж несколько членов. Вводя их, мы учитываем не зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функцию х. Такими параметрами являются, в частности, постоянные интегрирования, и поэтому их вариация не должна упускаться из виду. Эту особенность он положил в основу своей формулировки вариационных принципов динамики.
13. Как ясно из вышеизложенного, существует внутренняя связь между аналитической динамикой Гамильтона — Якоби и общей теорией преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму.
Основное в динамике Гамильтона — Якоби — вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования канонических уравнений Гамильтона и уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или «действия»), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике.
В замечательной работе «Теория возмущений и касательные преобразования», опубликованной в 1877 г., Софус Ли рассмотрел связь касательного преобразования с задачей возмущенного движения. Глубокая мысль Ли состоит в том, что проблема теории возмущения по самому своему существу есть проблема преобразования.
1 Ту же проблему позднее исследовал Клебш.
* «Вариационные принципы», стр, 336.
М. В. Остроградский (1801—1862 гг.)
। Он указывает, что в теории возмущений рассматривается следующая зада-I ча: определить общее преобразование
ж,; = Z]c (ajj .. . , хп, р±, ... , рп),
Рй = Рк (^1, ... ,хп,рх, ... , рп),
которое преобразует систему, имеющую форму
dF „ dF
Хк = "л-- , Р =------5—
&Рк
в систему той же формы между новыми переменными. Эти преобразования Ли назвал «касательными», так как касание двух кривых является инвариантным свойством этого преобразования.
Касательное преобразование Софуса Ли, имеющее исключительное значение в общей теории преобразования, находит применение в механике как в силу своей связи с теорией возмущения, так и из-за того, что так называемые канонические преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения, столь важные в динамике, являются частным случаем касательных преобразований.
14. На основе результатов, найденных Лагранжем, Гамильтоном, Якоби, Остроградским, Ли, возник ряд новых математических и механических проблем.
Еще Якоби показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к виду, удобному для исследования.
218
Основываясь на этом результате, Серре решил вопрос о минимуме интеграла действия в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования.
Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский и затем М. И. Талызин1 показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера — Лагранжа и принцип Гамильтона — Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера — Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил. При этом допущении время должно варьироваться.
О. И. Сомов 2 подчеркивает разницу между вариациями в рассматриваемых принципах. И. Д. Соколов и Д. К. Бобылев 3 исследовали, при каких условиях действие фактически является минимальным. Г. К. Суслов обобщал принцип Гамильтона — Остроградского на случай негол он омных связей. Д. К. Бобылев использовал при исследовании вариации действия метод вариации произвольных постоянных; Н. Е. Жуковский 4 посвятил принципу наименьшего действия две статьи.
Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек, рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем неопределенный множитель определяет по способу Родригеса с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла.
Вывод Слудского представляет развитие способа Родригеса и распространение его на. случай, когда координаты точек системы не являются независимыми, а удовлетворяют уравнениям связей. Кроме того, Ф. А. Слудский внес в способ Родригеса ясность и определенность, четко выделив изохронные и полные вариации координат.
Без ссылки на Родригеса и, по-видимому, независимо от него Е. И. Раус, начиная с 1877 г., опубликовал аналогичные исследования5 о принципе наименьшего действия. Раус исходит из основного уравнения, в котором он варьирует также и t'.
ь $ Ф <и = [ф ы + s + 'j 2 (А (6?, -
ti !в г х '
— dt,
где Ф есть функция q, д', t. Отсюда, во-первых, следует, что, если Ф = Т + t
+ U, St = Оина пределах интегрирования Sqt — 0, то б^(Г -}-U)dt = 0, fo
т. е. имеют силу уравнения движения, открытые Лагранжем, и наоборот;
1 Ф. А. слудский- О начале наименьшего действия.— Матем. сб., 1867, т. 2; M. И. Талызин. О начале наименьшего действия.— Там же.
г О. И. Сомов. Замечания, относящиеся к принципу наименьшего действия. —Матем. сб., 1870, т. 5«
3 И. Д. Соколов. О начале наименьшего действия.— Матем. сб., 1870, т. 5; В. П. Ермаков Принцип наименьшего действия в связи с преобразованиями дифференциальных уравнений второго порядка.— Киевские Университетские Известия, 1891; Г. К.[суслов. К вопросу о начале наименьшего действия.— Там же; Д. к. Бобылев. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия.— Приложение к 61-му тому «Записок Академии наук». СПб., 1889.
* Н. Е. Жуковский. Собрание сочинений, т. 1. М.— Л., 1948, стр. 51—57 и 207—209.
’ Е. I. Routh. A treatise of a stability of a given state of motion. London, 1877.
во-вторых, если U и уравнения связей определенно независимы от времени, то Ф = 2Т и bqt — 0 на пределах интегрирования, a 8t, однако, не равно нулю, так нто мы можем построить еще условие для варьирования. В этом случае мы избираем условие, что энергия Т — U в момент времени t в действительном движении равна энергии в варьированном движении в соответствующий момент времени t + б/, иными словами, мы определяем 8t из уравнения б (Т — U) = 0, и тогда легко видеть, что принцип наименьшего действия равнозначен системе уравнений Лагранжа.
Здесь полезно еще раз заметить: когда вводится условие, что энергия при « * dh
действительном движении постоянна, то имеется в виду, что = 0, но не обязательно, чтобы было также 8h — 0. У Гамильтона в «принципе переменного действия» мы рассматриваем «действие» V = ^2Tdt при условии, что 8h не равна нулю и
67 = 2 mixi^xi +
219
В принципе же наименьшего действия, наоборот, рассматривается множество движений системы между заданными начальными.и конечными положениями, причем здесь каждое движение, кроме естественного, является вынужденным. Процесс варьирования здесь совершенно другой, и поскольку энергия как в ходе -каждого отдельного движения, так и в любом движении постоянна, то имеем как —= 0, так и 8h = 0.
’ dt
Замечание Рауса, что 8х — x8t есть виртуальное перемещение, использовано А. Фоссом 1 и М. Рети2 для другого случая, а именно, когда уравнения связей не являются определенно независимыми от времени.
В самом деле, хп — <pn (qi, t), где qt — обобщенные координаты, и поскольку t должно варьироваться,
8х = 2 &
d<]i ot
Следовательно, 8х-----8t есть виртуальное перемещение. Но и в том
случае, когда мы вместо 8qt пользуемся другими вариациями qt, т. е. 8qt — — qt8t, то также есть виртуальное перемещение. Вообще говоря, значение какой-либо функции у = ф (х) может изменяться при изменении независимой переменной х на dx (ради краткости мы пользуемся здесь обозначением дифференциального исчисления), так что дифференциал dy выражаться так:
j dy = ср (х + dx) — ф (х). |
Значение у может также изменяться без изменения t благодаря вариации формы функции ф от ф (ж) до фх (х) = ф (х) еф (х), где ф (х) — любая функция, в — бесконечно малый положительный параметр.
Оставляя обозначение «вариации» б лишь для изменения формы ф, получаем для полного изменения dy + бу, так как 8х — 0, т. е. независимая переменная не варьируется, но и не является неизменной, и, кроме того,
_ dn8v
dxn dxn *
‘ A. Voss. Uber die Principien von Hamilton und Maupertuis. Nachricht- von'der Konigl. Gesselsch. der Wissensch. zu Gottingen, Math.-Phys. Kl., 1.900, S. 322—327.
2 M. Rethy. Uber das Princip der kleinsten Aktion und das Hamiltonische Princip.—Math. Annalen,' 1897, Bd. 48, Leipzig, S. 514—547.
220
Тем не менее, Лагранж варьировал также и независимые переменные. Изложение Лагранжем вопроса о варьировании кажется недостаточно ясным, однако несомненно, что в принципе наименьшего действия он считает t переменным.
Другие механики в основном приняли то понятие вариации, которое дано Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие заключается в следующем. «Вариация» функции имеет место, когда заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в своих «Лекциях по динамике» утверждает, например, что вариации 6<?г- заключают в себе лишь изменения qt, которые проистекают от изменений содержащихся в qt произвольных постоянных. В соответствии с этим он делает вывод, что независимые переменные не варьируются, так что 8t — 0.
15. Вопрос о смысле вариаций в принципах Гамильтона и наименьшего действия рассмотрел в 1896 г. Гельдер х.
Для того чтобы составить отчетливое представление о смысле вариации, необходимо каждое положение точки при варьированном движении отнести к какому-либо положению точки в первоначальном движении. Без установления такого соответствия нельзя написать
S^Tdt = ^8(Tdt).
Установить такое соответствие можно произвольно, так как оно лишено физического смысла: вариация движения есть только математическое вспомогательное построение. Вариация времени будет разностью между моментами прохождения через соответствующие положения.
Для того чтобы выполнить вариацию движения, сообщим сначала каждой точке первоначальной траектории некоторое смещение так, что возникает новая траектория с точками, соответственными исходной траектории; затем определим скорость каждой точки новой траектории, причем она может быть произвольной, но, возможно, мало отличающейся от скорости в соответствующей точке исходной траектории.
Эту скорость можно определить двумя способами: 1) соответствующие точки обеих траекторий проходятся одновременно; 2) полная энергия для соответствующих точек траекторий одна и та же.
Так как полная энергия есть Т—U и первоначальное движение задано, то для каждого положения варьированного движения сначала известна лишь потенциальная энергия, и затем, так как Е — Т — U, из условия варьирования получается значение кинетической энергии, а следовательно, и скорости.
Легко видеть, что при втором способе варьирования время варьируется, а при первом — нет.
Вывод интегрального принципа для общего случая варьирования при допущении, что вариации координат точек системы выполнены так, что 8xt, §yi, 8zi суть виртуальные перемещения системы, приводит Гельдера к выражению ।
\2Tdbt 4- (ST + 6'Z7)dt] = 0,
где 6Z7 = + YfiVi + Zi5zi) — работа, которую совершили бы дей-
г
ствующие силы на одном из этих воображаемых перемещений.
1 О. Holder. Uber die Principien von Hamilton undjMaupertuis. Nachricht- von der Konigl. Gesselscb. der Naturwissensch. zu Gottingen.— Math.-Phys. Klasse, 1896. См. «Вариационные принципы», стр. 538.
Воспользуемся теперь двумя введенными способами вариации. При изохронной вариации 8t = 0, и мы получим
^(8Т + 8'U) dt =0,
т. е. принцип Гамильтона. При изоэнергетической — 8Т — 8'U, и
б (Tdt) = 8 jj TdT = 0,
т. е. принцип наименьшего действия.
Если существует силовая функция U, то
= &riv(v = 1,2,3),
v iv
причем, если даже 8U содержит время, то все-таки в том случае, когда время не варьируется, 221
8'U = 8U,
и для принципа Гамильтона получим обычное выражение t,
8^(Т + U)dt = 0.
to
В случае же вариации, требуемой принципом наименьшего действия, должна существовать не зависящая от времени функция U, чтобы удовлетворялось данное соотношение. II'
Отсюда получается сразу более узкая форма принципа наименьшего действия для того случая, когда существует не зависящая от времени силовая функция и время не входит в уравнение связей; при этом вариации положений должны быть виртуальными перемещениями, а начальное и конечное положения должны оставаться неварьированными.
Лагранж в «Аналитической механике» рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе х, где в § 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в § 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением для изоэнергетической вариации, применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц 2 рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Даламбера и в силу этого являются следствиями друг друга. Тем не менее это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различными способами. Оба эти принципа получаются из соотношений при различных специализациях общего способа варьирования.
Рассмотрим важный вопрос о варьировании несколько подробнее. Вариации положения должны быть виртуальными перемещениями.,. Если бы мы потребовали, чтобы варьированное движение удовлетворяло тем же уравне-
* J. ь. Lagrange. Miscellanea Taurinensia, ,t. 2,(1760—1761. См. «Вариационные принципы», стр. 117.
’ Н. Helmholtz. Wissensch. Abhandl., Leipzig, Bd. 3, 1895, S. 249.
ниям связей, что и действительное, то в случае уравнений связей вида
О
для варьированного движения получили бы
®к (Xi + t; + 6^') = о и, следовательно,
6coft = 0;
согласно принципу Даламбера, уравнения, определяющие виртуальные перемещения, имеют вид
= 0.
а dt
Это уравнение согласуется с уравнением = 0 только в том случае, (^СО ]с Z4 С л-,
222 когда или —дГ~ ~ т* е- в уравнения связей не входит время, или ot = 0,
т. е. когда должен использоваться принцип Гамильтона. При применении же принципа наименьшего действия оказывается существенным, входит ли время в уравнения связей или нет. Действительное и варьированное движения в этом случае существенно различны.
16. Особое место среди вариационных принципов механики занимает принцип наименьшего принуждения, сформулированный Гауссом в 1829 г.1 Особенностью принципа Гаусса является то, что задача определения движения сводится к отысканию минимума конечного выражения
S(^Cr)3, г
где ВГСГ — отрезок, соединяющий точку Вг, в которой оказалась бы частица при свободном движении через время dt, с точкой Сг, соответствующей ее положению при наложенных связях. Это геометрическое выражение принципа Гаусса может быть приведено к выражению через силы в виде требо-
вания минимума для Zj mr I xr ) , где выражение в скобках есть в известном смысле мера действия внешних условий на r-ю координату, так как оно дает отклонение от свободного движения, вызванное принуждением. Если ввести потерянные силы в смысле Даламбера и обратные массы, то окажется, что в выражении принципа они играют такую же роль, как погрешности и статистические веса в теории ошибок.
В принципе Гаусса, в отличие от рассмотренных ранее вариационных принципов, варьируются лишь ускорения.
Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—1893 гг. Г. Герц 2, разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы Герц не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя, кроме наблюдаемых, еще и «скрытые массы» и «скрытые движения». Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о «скрытых движениях» (введение которых у Герца оказывается логиче
1 К. Ф. Гаусс. Об одном новом общем принципе механики.— «Вариационные принципы», стр. 170.
’ См. «Вариационные принципы», стр. 515.
ски необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке: «каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей», Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то же соотношение, что и между лучами и волновыми поверхностями.. Герц полностью исключил всякие теологические умозаключения из своего, принципа, так как в нем настоящее не определяется через будущее. Сам Герц показал, что принцип прямейшего пути непосредстенно связан с принципом наименьшего действия в форме Якоби и с принципом Гамильтона.
9
Принципы симметрии и законы сохранения в механике
Уравнения движения механических систем имеют вариационную структуру, т. е. могут рассматриваться как лагранжевы уравнения некоторых вариационных задач (см. гл. VIII). Функции обобщенных координат и обобщенных скоростей, сохраняющие при движении постоянные значения, называют обычно интегралами движения. Среди 2п (п — число степеней свободы системы) интегралов движения особое значение имеют десять интегралов, которые известны под названием законов сохранения. Это законы сохранения количества движения 1 (три интеграла), момента количества движения или кинетического момента (три интеграла), энергии (один интеграл) и движения центра масс (три интеграла). Значение названных законов сохранения заключается в их универсальности: оказывается, что для замкнутых механических систем 2 эти законы сохранения можно получить из общих свойств пространственно-временной симметрии, обычно предполагаемых в механике. Под пространственно-временной симметрией понимают в механике постулируемые со времени Ньютона и Лейбница свойства однородности и изотропности пространства (евклидова симметрия), однородности времени и равноправие инерциальных систем отсчета, т. е. принцип относительности Галилея 3. Иначе говоря, речь идет о положенной в основу нерелятивистской механики 10-параметрической группе Ли — галилеево-ньютоновой группе (G)4. В релятивистской механике эта группа заменяется 10-параметрической группой Пуанкаре (Р), отличающейся от группы G лишь тем, что равноправие инерциальных систем отсчета в ней выражается посредством принципа относительности Эйнштейна5. Связь законов сохранения с пространственно-временной симметрией, выходящая, вообще говоря, далеко за рамки механики и являющаяся одной из наиболее фундаментальных особенностей теоретической физики в целом, была установлена впервые творцами аналитической механики. В механике же были развиты и основные формы этой взаимосвязи, наиболее общим выражением которой в настоящее время являются две теоремы Нетер об инвариантных вариационных задачах 6, одна из которых (первая) гарантирует, в частности, связи законов сохранения механических систем с галилеево-ньютоновой симметрией пространства и вре-
* В релятивистской механике вместо выражения «количество движения» используется, как правило, понятие «импульс».
* Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М., Физматгиз, 1958, стр. 17.
* Там же, стр. 15, 24, 25, 29.
4 М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. M., изд-во «Мир», 1966, стр. 566.
8 Там же, стр. 360.
* Э. Нетер. Инвариантные вариационные задачи,— «Вариационные принципы», стр. 613.
мени, характерной для классической механики. Постепенное выявление связей между свойствами симметрии пространства и времени, с одной стороны, и законами сохранения механики, с другой, составляет одно из существенных, с современной точки зрения, направлений развития теоретической механики. С надлежащей полнотой эти связи были выявлены только в XX в. после создания теории относительности, но прообразы таких связей можно обнаружить уже в древнегреческой науке.
Наиболее адекватным античным (и средневековым) вариантом взаимосвязи «симметрия — сохранение» следует, по-видимому, считать обоснование характерного для античности принципа «инерции покоя» на основе так называемого «принципа отсутствия достаточного основания» (Анаксимандр, Парменид, Демокрит, Платон, Аристотель, «Братья чистоты» и др.) х.
Последовательная разработка древними атомистами концепции «пустоты» как прообраза однородного и изотропного бесконечного пространства и использование при этом «принципа отсутствия достаточного основания» могли привести их к некоторому предвосхищению принципа инерции не только покоя, но и движения (равномерного и прямолинейного). К этому были весьма близки и Демокрит, и Аристотель. Обсуждая демокритову «пустоту», Аристотель писал: «Никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение, где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там? Следовательно, ему необходимо или покоиться, или двигаться бесконечно, если только не помешает что-нибудь более сильное» 2. Но принцип инерции классической механики был слишком «сумасшедшей» идеей для античного мышления, и Аристотель заключает: «Из этих рассуждений ясно, что какой-то особой пустоты не существует» 3. (В середине XVIII в. Эйлер так обосновывал принцип инерции: «Если принять, что тело находится в бесконечном и пустом пространстве, то нет никакого основания, почему бы оно отклонилось от прямой в ту или другую сторону».) 4.
Подчеркнем, что идея взаимосвязи «симметрия — сохранение» была весьма характерна для античной культуры. «Устойчивость», «уравновешенность», «сохранение» космоса (и вообще некоторой целостности) рассматривались античными натурфилософами как следствие «равноправия», «эквивалентности», «симметрии» элементов, ее составляющих (многочисленные подтверждения этому можно найти, например, в работах Дж. Властоса 5).
Модификации и повторения этих античных представлений о взаимосвязи «симметрия — сохранение» можно обнаружить и в сочинениях мыслителей средневековья и Возрождения. Но лишь в науке Нового времени, в связи с оформлением принципов пространственно-временной симметрии и законов сохранения, характерных для зарождающейся классической механики, закладывается фундамент для точного математически корректного выражения этой взаимосвязи. Заметим, что, по-видимому, одним из первых, кто обосновывал именно законы сохранения (а не принцип инерции) ссылкой на симметрии пространства и времени, был Лейбниц, который в одной из своих работ, посвященных критике Декарта, писал: «Ведь если бы не было этого равновесия во Вселенной (т. е. не выполнялся бы закон сохранения импульса.— В. В.), то все двигалось бы беспрерывно в одну какую-нибудь сторону, а это лишено смысла, поскольку пространство повсюду себе
* A. T. Григорьян. В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 25; М. Джеммер (М. Jammer). Понятие массы в классической и современной физике. М., - изд-во «Прогресс», 1967, стр. 95.
* Аристотель. Физика. M., Соцэкгиз, 1936, стр. 70.
’ Там же, стр. 70.
4 Л. Эйлер. Основы динамики точки. М.— Л., ОНТИ, 1938, стр 73. См. также: Ж. Даламбер. Динамика. Перев. и прим. В. П. Егоршина. М.— Л., Ростехиздат, 1950, стр. 38—40.
5 J. Vlastos. Equality and justice in early greek cosmologies.—* Classical Philology, 1947, v. 42, N 2, p. 156; Ison omia—Amer. J. Philology, 1953, v. 74, N 4, p. 337.
225
15 История механики
226
подобно и поскольку невозможно понять причины, почему все должно двигаться в одну сторону больше, чем в другую» х.
Но математическая реализация и обобщение идеи взаимосвязи «симметрия — сохранение» могли произойти лишь в результате того развития ньютоновой механики, которое было связано, прежде всего, с именами И. и Д. Бернулли (принцип виртуальных работ, закон сохранения момента импульса и т. д.), Эйлера (вариационное исчисление, принцип наименьшего действия и т. д.), Даламбера (принцип Даламбера), Лагранжа (вариационное исчисление, «общая формула динамики» и т. д.) и некоторых других исследователей.
К середине XVIII в. в механике оформились не только основные законы сохранения (которые постепенно стали рассматриваться преимущественно не как постулаты, а как следствия аксиом ньютоновой механики) и принципы пространственно-временной симметрии, но и вариационные эквиваленты ньютонового закона движения.
Таким образом были созданы необходимые предпосылки для установления взаимосвязи «симметрия — сохранение» в классической механике.
По-видимому, эта взаимосвязь (по крайней мере, для законов сохранения импульса и момента импульса) была впервые установлена Лагранжем.
По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций 1 2, он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей «общей формулы динамики», а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декартовых осей х, у, z и бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. В работе 1777 г.3 он снова возвращается к открытому им методу вывода законов сохранения из евклидовой симметрии пространства, формулируя, однако, требования симметрии в отношении введенной им (и несколько ранее Д. Бернулли 4) потенциальной или силовой функции системы. В обеих его работах оставалась невыясненной симметрия закона сохранения энергии, а симметрии законов сохранения импульса и движения центра тяжести отождествлялись, совпадая с трансляционной симметрией пространства .
Наиболее полно и систематически Лагранж использовал свой метод в «Аналитической механике» (1788 г.)5, в которой он в известном смысле установил также взаимосвязь закона сохранения энергии с однородностью времени. Рассмотрим более подробно лагранжев вывод основных законов сохранения механики, представляющий собой первоначальный математически оформленный вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение».
1 Г. В. Лейбниц (С. W. Leibniz). Illustratio ulterior objections contra Cartesianam naturae legem, nc-vaque in ejus locum regulae propositae.— Leibnizens math. Schriften, Hrsg. von С. I. Gerhardt. Abt. 2,
2 Bd II, Halle, 1860, S. 127.
Ж.-Л. Лагранж. Применение метода, изложенного в предыдущем мемуаре, для решения различных задач динамики. «Вариационные принципы», стр. 117—158.
3 J.-L. Lagrange. B^marques gen era les sur le mouvement de plusieurs corps qui s’attirent mutuelle-ment en raiscn inverse des carres des distances (1777). Oeuvres. Gauthier—Villars, v. 4, 1867—1892, p. 401.
Ф, Журден (Ph. Jourdain). Abhandlungen Uber jene GrundsUtze der Mechanik, die Integrals der Dif-ferentialgleichungen liefern von I. Kewtcn (1687), D. Bernoulli (1745, 1748), P. D. Arcy (1747). Ostwald’s Klassiker, Leipzig, 1914.
£ Места, цитируемые по второму изданию, с точностью до редакции совпадают с соответствующими местами первого издания 1788 г.; J,— L. Lagrange. Mechanique analitique. Paris, Desaint, 1788.
В основе этого вывода, как и всей «Аналитической механики», лежит так называемая «общая формула динамики», представляющая собой комбинацию принципа возможных перемещений (И. Бернулли, 1717 г.) с «петербургским принципом» (Я. Германн, 1716 г.) (в современной терминологии — принцип Даламбера — Лагранжа).
+ + (1)
«Одно из преимуществ, которое получается при использовании этой формулы, заключается в том, что она непосредственно приводит к общим уравнениям, в которых содержатся принципы или теоремы, известные под названием принципов сохранения живых сил, сохранения движения центра тяжести, сохранения моментов вращения или принципа площадей и принципа наименьшего действия» 1 2. В этом же месте Лагранж подчеркивает: «Однако все эти принципы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики, чем как первоначальные принципы этой науки» 3.
Именно эта формула (1) в сочетании с некоторыми естественными предположениями о свойствах механической системы, которые можно рассматривать как прямые следствия симметрии пространства и времени ньютоновой механики, позволяет Лагранжу с единой точки зрения вывести всю совокупность законов сохранения. «Предположим, что не существует никаких неподвижных точек или препятствий, которые бы стесняли их (т. е. тел системы.— В. В.) движения; тогда ясно, что в этом случае условия системы (т. е. связи.— В, В.) могут зависеть только от взаимного расположения тел; следовательно, условные уравнения (т. е. уравнения связей.— В. В.) не могут содержать в себе каких-либо иных функций координат, кроме выражений взаимных расстояний между телами» 4. Это предположение, на котором основывается вывод законов сохранения импульса и момента импульса, эквивалентно принятию евклидовой симметрии пространства (т. е. его однородности и изотропности), которая явно в этих терминах Лагранжей не постулируется.
Рассмотрим более подробно последующие рассуждения, которые приводят к законам сохранения импульса, момента импульса и энергии. Закон сохранения импульса выводится из предположения что пространственные переносы системы как целого никак не сказываются на ее свойствах (прежде всего, связях).
Мы приводим достаточно большую выдержку, которая иллюстрирует метод Лагранжа в его первоначальной форме:
«Пусть х', у', г' — координаты какого-либо определенного тела системы, в то время как ж, у, z представляют собой вообще координаты какого-либо иного тела. Положим, что всегда допустимо: х — х' + £, у ~ у' + Ц, z = z’ -|- £. Ясно, что величины х', у', z' не войдут в выражение для взаимных расстояний между телами и что эти расстояния будут зависеть только от различных величин £, ц, £, которые, собственно, и выражают координаты различных тел по отношению к телу, имеющему своими координатами х', у', z'; следовательно, условные уравнения системы будут иметь место только между переменными £, ц, £ и совершенно не будут содержать х', у', z . Таким образом, если в общей формуле динамики все вариации свести к бж, 8у, 6z и затем вместо Ьх, &у, 8z подставить их значения &х' + б£, 8у' + 6ц, бг' -|- 6£, то вариации 6х', &у', 6z' будут независимыми от всех остальных и
227
1 Здесь и в дальнейшем мы придерживаемся обозначений авторов,
г Ж.-Л. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 314.
а Там же.
‘ Там же. стр. 332.
15*
228
сами по себе будут произвольными, поэтому надо будет приравнять нулю совокупность всех членов, в состав которых входит каждая из этих вариаций, в результате чего мы получим три общих уравнения, не зависящих от особой структуры системы» х.
Итак, уравнение (1) можно записать таким образом:
+6y'S(y— т -т = 0. (2)
Уравнение (2), ввиду произвольности вариаций &x',by', 6z', эквивалентно трем уравнениям:
<3>
В случае отсутствия внешних сил X, У, Z выражения (3) после однократного интегрирования приводят к закону сохранения:
= = = (4)
где Cv С2, С3 — постоянные, а после двукратного интегрирования — к закону сохранения движения центра масс системы в форме:
2 = 4~ Вх, 2 тУ ~ -f- В„ 2 niz — Cst -J- В3 , (5)
где Вг, В2, В3 — постоянные. Законы сохранения импульса и движения центра масс, таким образом, принципиально не различаются здесь и связываются с одной и той же симметрией — однородностью пространства. Как видно из приведенного вывода, исходным моментом является предположение, что система, динамика которой описывается формулой (1), допускает пространственные переносы как целое (что и соответствует однородности пространства); тогда, рассматривая в качестве возможного перемещения бесконечно малый пространственный перенос и учитывая произвольность его значения, Лагранж сразу же получает закон сохранения количества движения.
Аналогичное, хотя и более прозрачное, рассуждение Лагранж дает при выводе закона сохранения момента количества движения. Предположение о вращательной симметрии системы (т. е. изотропности пространства) формулируется им следующим образом:
«Рассмотрим теперь движение системы вокруг какой-либо неподвижной точки и допустим, что она может совершенно свободно вращаться вокруг этой точки в любом направлении» 2. Тогда бх, бу, 6z (т. е. вариации х, у, z, получающиеся при вращении вокруг каждой из трех осей х, у, z) записываются так:
8х = — убф,
8у = жбф — гбф, (6)
8z = убф — лгбоо.
Здесь бф, б®, бф — произвольные бесконечно малые вращения вокруг осей z, у, х. Далее, «эти выражения являются общими для вариаций координат всех тел системы», так как рассматривается бесконечно малое вращение системы в целом. Затем, подставляя выражения (6) в уравнение (1) и учитывая
* Ж.-Л. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 332—333.
2 Там же, стр. 338.
произвольность вариаций б<р, 6со, 6ф, для движения системы при отсутствии внешних сил Лагранж получает:
V ! (^х \ п
-»Т7г) = °.
(7)
\ at2, dt? J ' '
vi f d?z d2v \ n
что после интегрирования по времени дает закон сохранения момента количества движения
з»(4:--'5)=^3">И;-4')=с- <8>
Несколько более завуалирована связь закона сохранения энергии с однородностью времени; тем не менее при внимательном рассмотрении вывода оказывается, что и эта связь существует. Вновь приведем достаточно подробное высказывание Лагранжа:
«Вообще говоря, как бы ни были расположены или связаны друг с другом различные тела, образующие систему, если только это расположение не зависит от времени, т. е. если условные уравнения между координатами совершенно не содержат переменной t, ясно, что в общей формуле динамики всегда можно приравнять вариации bx, by, 6z дифференциалам dx, dy, dz, выражающим пути, фактически пройденные телом за мгновение dt, в то время как вариации bx, by, bz должны выражать некоторые пути, которые могли бы быть пройдены телами за то же мгновение, если принять во внимание взаимное расположение этих тел» \
Таким образом, нетрудно усмотреть, что переход от вариаций bx, by, bz к дифференциалам dx, dy, dz соответствует переходу от возможного к действительному движению системы за интервал времени dt, т. е. переводу системы из состояния, соответствующего моменту времени t, в состояние, соответствующее моменту времени t + dt, или бесконечно малому временному переносу системы. Причем этот перенос Лагранж обозначает именно dt, а не bt, так как он сопровождается «фактическим» движением системы. Тогда если «условные уравнения» не зависят от времени, то уравнение примет вид
+= 0, (9)
где dn = Xdx -\-Ydy-\- Zdz, т. е. рассматриваются силы, имеющие потен-и, нал л.
В результате последующего интегрирования уравнения. (9) получим
хл 1 rldx 2 fd’/\2 /rfz\21 „
+\di] + {dt) J+ Л~Н‘ (10)
Таким образом, и закон сохранения энергии, если и не столь непосредственно, как в первых двух случаях, связывался с одной из пространственно-временных симметрий, а именно: с однородностью времени.
В заключение подчеркнем, что благодаря установленной Лагранжем связи основных законов сохранения с симметриями пространства и времени окончательно утвердился взгляд на законы сохранения как на теоремы, а не принципы или аксиомы механики; кроме того, ввиду единообразия доказательства этих теорем законы сохранения приобрели равноправное между собой значение.
229
1 Там же, стр. 369.
230
Вместе с тем, установленная Лагранжем взаимосвязь «симметрия — сохранение» не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с «общей формулой динамики» были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь «симметрия — сохранение» имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом нередко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени).
Кроме того, хотя «галилеева» симметрия была известна уже Ньютону, вопрос о том, какой же закон сохранения отвечает этой симметрии, Лагранжем не обсуждается. Это обстоятельство, с одной стороны, говорит о том, что «галилеева» симметрия не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией пространства и времени, а с другой — что установленная Лагранжем взаимосвязь «симметрия — сохранение» не была им понята как весьма общая и фундаментальная закономерность механики.
Таким образом, лагранжев вариант не был эквивалентен вполне современным вариантам взаимосвязи, которые совершенно однозначно связывают закон сохранения количества движения с однородностью пространства, а закон сохранения движения центра масс — с «галилеевой» симметрией. Поэтому он давал лишь некоторое приближение к обсуждаемой закономерности, оставляя взаимосвязь «симметрия — сохранение» как бы незамкнутой.
Тем не менее для евклидовой симметрии пространства и однородности времени лагранжев вариант взаимосвязи достаточно просто и наглядно позволяет установить взаимосвязь «симметрия—сохранение», сохраняя свое значение и в настоящее время 1 2. Заметим также, что в знаменитых лекциях по механике Якоби, Остроградского, Кирхгофа, Жуковского и др. 3 для вывода законов сохранения использовался именно лагранжев вариант, явив-. пгийся первым математическим выражением обсуждаемой взаимосвязи и вошедший таким образом в золотой фонд методов аналитической механики.
Наиболее блестящим последователем Лагранжа и продолжателем «аналитического» направления в механике был Гамильтон, разработавший ряд новых концепций и методов, которые были связаны с развитием и углублением лагранжева варианта взаимосвязи «симметрия — сохранение».
В основе его главных достижений в механике лежал разработанный им в связи с оптическими исследованиями «метод характеристической функции». В рамках этого метода Гамильтон нашел простой способ получения законов сохранения, который можно назвать гамильтоновым вариантом взаимосвязи «симметрия — сохранение». Кстати говоря, одно из главных преимуществ раз
1 И. Б. Погребысский. От Лагранжа к Эйнштейну. М., изд-во «Наука», 1966, стр. 74.
г Н. Н. Бухгольц. Основной курс теоретической механики, ч. I. М., ОГИЗ, 1945.
3 К. Г. Якоби. Лекции по динамике. М.— Л., ОНТИ, 1936; М. В. Остроградский. Лекции по аналитической механике.— Собрание сочинений, т. I, ч. 2. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1946; Г. Кирхгоф. Механика. М., Изд-во АН СССР, 1962; Н. Е. Жуковский- Теоретическая механика. М.— Л.,. Гос-техтеоретиздат, 1952.
витого им «метода характеристической функции» Гамильтон как раз видит в том, что он позволяет наглядным и общим образом вывести законы сохранения. При этом сохраняется основная идея лагранжева вывода — использование принципов пространственно-временной симметрии:
«Мы можем считать еще одним подтверждением наших собственных общих интегральных уравнений (т. е. уравнений движения в «методе характеристической функции».— В. В.) Доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка: закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из конпуппии нашей характеристической функции V с очевидностью сл щует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внепптрму стандарту, а только как сравниваемых друг с другом; следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или 231 вращение»1.
t
Так, рассматривая инвариантность характеристической функции V = 2Tdt
о относительно переноса вдоль, например, оси х и учитывая, что при этом
5F = 2j7&*+3g5a = 0, 6ж = 5о = е, (11)
Гамильтон, ввиду произвольности е, получает
+ = (12)
" дх ' да ' '
Здесь V = V (х, у, z, а, Ъ, с), где а, Ь, с — начальные значения х, у, z. Используя далее уравнения для V типа:
dV , dV , ,.q.
дх да ’ ' '
где а' — начальное значение скорости ж', он сразу же находит закон сохранения ж-компоненты количества движения:
2 тх' - - 27naZ (14)
и аналогичные выражения для у- и z-компонент количества движения в случае у- и z-переносов. Совершенно таким же образом Гамильтон получает и закон сохранения момента количества движения, рассматривая инвариантность 7-функции относительно бесконечно малых поворотов вокруг координатных осей. Что касается закона сохранения энергии, то он, конечно, содержится в методе характеристической функции, который был на нем основан, но как раз в силу этого он играет особую роль, так что связь его с однородностью времени при таком подходе остается в тени.
Гамильтонов вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение», развитый для характеристической функции V, остается в силе, если от 7-функции t
перейти к 5-действию: S = — U)dt, которое, согласно Гамильтону, свя-
О
зано с F-функцией соотношением S = V — tH, где Н — гамильтониан си
1 У.Р. Гамильтон. Об общем методе в динамике.— «Вариационные принципы», стр. 175—233.
стемы. При таком расширении гамильтонов вариант, по существу говоря, совпадает с той формулировкой взаимосвязи «симметрия — сохранение», которая впоследствии была положена в основу упомянутых выше теорем Нетер.
Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи «симметрия — сохранение» были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути «канонического» варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движущей силой этих его исследований было стремление разработать общую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений: «Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований...» 1 Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были . достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли:
«Следует ... отметить два существенных элемента этих исследований: 1) употребление преобразований прикосновения, бросающих столь живой и неожиданный свет на наиболее трудные и наиболее темные стороны теории интегрирования уравнений с частными производными первого порядка, затем (т. е. 2).— В. В.) употребление инфинитезимальных преобразований. Введение этих преобразований принадлежит всецело Ли» 2.
Понятие бесконечно малых преобразований (и, в частности, бесконечно малых канонических преобразований), на которых базируется представление о непрерывной группе, несомненно имело корни в геометрии и даже в механике. Так, например, бесконечно малые движения рассматривались уже Пуансо в «Новой теории вращения тел» (1834 г.) 3.
С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем, можно считать прообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групповую природу, С. Ли нашел «тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп»4. Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный «канонический» вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение».
Речь’идет о следующей теореме: все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит: «Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то
1 Т. Леви-Чивита, У. Амальди. Курс теоретической механики, т. 2, ч. 2. М., ИЛ, 1951, стр. 250.
* Г. Дарбу, Ф. Клейн. Памяти С. Ли. Казань, 1899.
’ Б. А. Розенфельд. Многомерные пространства. М., изд-во «Наука», 1966, стр. 624.
4 Д. Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. М., изд-во «Наука», 1964, стр. 212.
же. Каждому интегралу соответствует бесконечно малое контактное преобразование» \
Изучение работ С. Ли (с учетом комментариев его ученика, сотрудника и комментатора Ф. Энгеля, написавшего обстоятельные примечания к собранию сочинений С. Ли 1 2) показывает, что он уже в ранний период своего творчества (1872—1874 гг.), по существу говоря, владел этой теоремой. Сразу же подчеркнем, что до него едва ли кто-нибудь (например, Якоби) мог знать эту теорему, так как она была непосредственным следствием инфинитезимального подхода к теории канонических преобразований, выдвинутого, как мы неоднократно упоминали ранее, лишь С. Ли.
Энгель, комментируя его первую работу о значении контактных преобразований для теории интегрирования дифференциальных уравнений (1872 г.)3, писал: «Не подлежит сомнению, что он (т. е. С. Ли.— В. В.) знал их (т. е. соотношения между интегралами дифференциальных уравнений и бесконечно малыми контактными преобразованиями.— В. В.), когда писал сочинение I4 *. Здесь также возникает двойственная точка зрения, которая оказывается крайне полезной: благодаря тому, что, с одной стороны, Ф (х, р) = = const может рассматриваться как интеграл системы, а с другой стороны, 233 как бесконечно малое контактное преобразование, при котором уравнение остается инвариантным, легко получают теорему Пуассона — Якоби»6. Правда, в этой первой работе Ли, имеющей непосредственное отношение к механике, обсуждаемая взаимосвязь, о которой говорит Энгель, не выражена явно, а скорее подразумевается. В работе 1874 г. С. Ли более четко формулирует обсуждаемую теорему, указывая при этом наиболее естественный путь к ее доказательству: выражение бесконечно малого канонического преобразования посредством его «производящей» функции G 6
«Из этой теоремы (т. е. из формул (15). —В. В.) следует, в частности, как легко видеть, что определение всех инфинитезимальных контактных преобразований, которые переводят уравнение / (z, а?х, ..., хп; рг, ..., рп) = const (т. е. распространенная в то время запись канонической системы с гамильтонианом/.— В. В.) в себя, совпадает с интеграцией этого уравнения»7. Рассуждение, которое основывается на формулах (15) и приводит к «каноническому» варианту взаимосвязи «симметрия — сохранение», отличается простотой и наглядностью. Действительно, рассмотрим изменение некоторой функции и = и (qi, р^ при бесконечно малом каноническом преобразовании
Ж = U (qt + 6gf, Pi + 69г) - U Pi)
и разложим 6U в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь членами первого порядка малости:
№ = ЗС6«‘ + Й«Л)' <16>
Подставляя в (16) вместо 6р$ и 6^ их выражения (15), получаем
ягт V (dU dG dU dG\ lTT . r-x
№-‘f^W,-^reiU’Gi’ (1,)
1 E. T. Уиттекер. Аналитическая динамика. M.— Л., ОНТИ, 1937, стр. 351.
* S. Lie. Gesammelte Abhandlungen. Bd, 3, 4. Berlin — Oslo, 1922.
« Там же, Bd. 3, Abli. I.
4 Там же.
1 Там же, Anmerkungen, S. 616.
• Там же, Bd. 4, Abh I.
7 Там же.
где знак [ ] — означает скобки Пуассона, вновь введенные почти одновременно (1873 г.) Ли и Шерингом 1 для представления бесконечно малых канонических преобразований («символические скобки» Ли). Если в качестве U взять гамильтониан Н, т. е. положить в (17) U = Н, то будет иметь место
6ff = e[H, GJ. (18)
Теперь, если гамильтониан Н инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией б', то
(20)
234
т. е.
вза-
подкак
6Я = е[Я, G]=0. (19)
Но обращение [Н, G] в нуль, как известно, означает, что G — первый интеграл механической системы, задаваемой каноническими уравнениями:
• _ ЭЯ • дН ~ dPi ’ ~ Bqt ’
так как предполагается, что G не зависит явно от времени. Обратно, из условия, что производящая функция G является первым интегралом системы, следует инвариантность гамильтониана относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого этой функцией. Действительно, в этом случае [Н, G] = 0, откуда в силу (18) следует, что и 8Н = 0, гамильтониан Н инвариантен относительно преобразования (15).
Вывод соотношений (15), на которых основан канонический вариант имосвязи, был дан С. Ли различными путями в ряде работ 2.
Так как преобразования «евклидовой] симметрии», образующие группу группы точечных преобразований, могут рассматриваться и
преобразования, образующие подгруппу группы канонических преобразований, то шести бесконечно малым преобразованиям этой группы должны, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, отвечать шесть интегралов движения — законов сохранения количества движения и момента количества движения. Конкретный вид генераторов евклидовой группы позволяет благодаря соотношениям (15) вычислить соответствующие производящие функции, отождествляемые с шестью упомянутыми первыми интегралами.
Кстати говоря, из соотношений (15) непосредственно следует, что производящей функцией бесконечно малых канонических преобразований, реализующих действительное движение механической системы, является гамиль- . тониан (с чем и связана его фундаментальная роль в механике и физике). В самом деле, взяв в качестве бесконечно малого параметра е = dt и положив G = Н, получим, используя канонические уравнения системы:
6?i = dt = <lidt = dVi, = Pidt = dPi-
Однако, для того чтобы в рамках лиевского варианта получить непосредственно законы сохранения движения центра масс и энергии (как производящие функции некоторых бесконечно малых канонических преобразований), потребовалось бы такое расширение канонического формализма, которое бы придало и времени характер канонической переменной. Но, несмотря на то, что уже Ньютон (и даже некоторые его предшественники) ясно представлял себе однородность времени и «галилеев» принцип относительности, обе эти симметрии рассматривались как бы совершенно независимо от широко используемой евклидовой симметрии. По существу представление о галилеево-ньютоновой группе G как единой фундаментальной
(21)
1 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в 19-м столетии. Ч. 1. М.— Л., ОНТИ, 1937, стр. 246.
* S. Lie. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 4, Abh. I, IV; Bd. 3, Abh. XVI. Простой вывод имеется также в кн.: Г. Гольдстейн. Классическая механика. М., Гостехиздат, 1957.
группе классической механики, действующей на пространственно-временном многообразии, возникло лишь после построения специальной теории относительности. Упомянутое расширение лиевского варианта взаимосвязи было произведено лишь в 1916 г.1 после того, как была установлена взаимосвязь «симметрия — сохранение» для P-группы (т. е. группы Пуанкаре или неоднородной группы Лорёнца).
Так что, хотя лиевский аналог рассматриваемой закономерности и обладал значительно большей общностью и абстрактностью, чем лагранжев и гамильтонов варианты, и как бы потенциально заключал в себе возможность упомянутого расширения, взаимосвязь «G — симметрия — сохранение» ввиду недостаточного развития физических представлений о структуре пространства и времени продолжала оставаться незамкнутой. Разумеется, в рамках механики и в отношении евклидовой симметрии лагранжев, гамильтонов и лиевский варианты могли рассматриваться как равноправные вследствие эквивалентности соответствующих изложений аналитической механики. Правда, известные преимущества канонического варианта были несомненны в самой механике. Так, он обладал значительно большей общностью, потому что евклидова группа является подгруппой существенно более широкой канонической группы. Кроме того, связь симметрий с сохранением стала в нем более непосредственной: функции, определяющие преобразования симметрии, просто совпадают (тождественны) с сохраняющимися величинами системы. Кстати говоря, именно этот аспект лиевского варианта почти без изменения перешел в квантовомеханический аналог взаимосвязи «симметрия — сохранение», согласно которому эрмитовы инфинитезимальные операторы симметрии гамильтониана совпадают с соответствующими операторами сохраняющихся величин. Лиевский вариант, таким образом, явился наиболее значительным достижением в развитии взаимосвязи «симметрия — сохранение» в классической механике. Особое его значение заключалось также и в том, что благодаря ему в основы аналитической механики вводились теоретико-групповые представления.
Правда, многие важные аспекты этих представлений оставались неразработанными 2. Действительно, последующие работы, с одной стороны, Е. Штуди, А. П. Котельникова и др., а с другой — Пуанкаре, Гамеля и др. существенно углубили понимание теоретико-групповой структуры механики, начало которому было положено С. Ли и в основе которого лежал лиевский вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение».
Несмотря на значительные достижения в развитии взаимосвязи «симметрия — сохранение» в классической механике (лагранжев, гамильтонов и, особенно, лиевский варианты), большой прогресс был достигнут лишь в теории относительности: установление обсуждаемой взаимосвязи для галилеево-ньютоновой и пуанкаревской групп — фундаментальных групп классической и релятивистской физики и оформление отношения к этой взаимосвязи как общей и принципиальной закономерности физической теории.
Но и, так сказать, в предрелятивистский период, от С. Ли до Эйнштейна, когда теоретической основой физики, определяющей ее фундаментальные понятия и принципы, например пространственно-временные, причинно-следственные и прочие соотношения, продолжала оставаться механика, были получены некоторые существенные результаты, относящиеся к взаимосвязи «симметрия — сохранение». Они тесно связаны с некоторыми особенностями развития механики в конце XIX в., такими, как: 1) возникновение все более тесных контактов между механикой и физикой, при сохранении меха-
1 F. Pngel. Uber die 10 allgemeinen Integralen der klassischen Mechanik.— Gottinger Nachr., 1916, S. 278.
1 G. Hamel. Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik.—Zs. f. Math, und Phys., 1904, Bd. 50, p. 1, S. 3.
235
236
никой решающей роли в вопросах фундаментального характера; 2) новая волна математизации механики и, прежде всего, внедрение геометрических и теоретико-групповых методов; 3) интерес к физическим основам механики, первые попытки анализа и пересмотра некоторых основных ее понятий и принципов и т. д. В числе результатов, связанных с развитием взаимосвязи «симметрия — сохранение» в этот период, наиболее характерными и интересными, -на наш взгляд, были следующие: 1) установление и применение в физике метода циклических координат и ассоциированного с ним «циклического» варианта взаимосвязи; 2) разработка методов «винтового исчисления» и соответствующего «винтового» варианта взаимосвязи «симметрия — сохранение» (Р. Болл, В. Черрути, А. П. Котельников и др.); 3) установление «соотношений Гюйгенса — Шютца» между законами сохранения и принципами инвариантности, одним из которых является возможность вывода закона сохранения количества движения из «галилеевой» инвариантности закона сохранения энергии; 4) «квазикоординатный» формализм в механике неголономных систем и соответствующий «квазикоординатный» вариант обсуждаемой взаимосвязи (Пуанкаре, Гамель и др.); 5) теоремы Брунса и Пуанкаре об алгебраичности и аналитичности десяти классических интегралов механики и т. д.
Действительно, «циклический» вариант и «соотношения Гюйгенса — Шютца» тесно связаны с первой и третьей из названных особенностей развития механики в «предрелятивистский» период; «винтовой» и «квазикоординатный» варианты являются непосредственным следствием введения в механику геометрических и теоретико-групповых методов и т. д. Названные результаты, уступая в глубине, общности и эффективности лиевскому варианту, расширяли некоторые аспекты обсуждаемой взаимосвязи, способствовали дальнейшему внедрению ли-групповых методов в механику и оформлению галилеево-ньютоновой группы как фундаментальной группы классической механики. Поэтому мы рассмотрим некоторые из упомянутых выше результатов, относящихся к развитию взаимосвязи «симметрия — сохранение» в предрелятивистский период.
«Циклический» вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение», заключающийся в том, что каждой обобщенной «циклической» координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу х, который и закон сохранения энергии связывал с «цикличностью» временной координаты 1 2. В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также «игнорируемыми», «отсутствующими», «киностеническими», «скоростными» и т. д.) теория «скрытых движений» позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, «нетеровский» аспект метода «циклических» координат. Ведь «циклический» характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего «циклическое» движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный)
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 406.
* Там же.
указывает и на тип сохраняющейся величины (импульс или момент импульса). Вместе с тем «циклический» вариант взаимосвязи обладает значительно меньшей степенью общности по сравнению с лиевским, так как в нем идет речь о симметриях лишь определенного типа, выражающихся в отсутствии обобщенных координат в лагранжиане или гамильтониане системы, и, таким образом, о сохраняющихся величинах также строго определенного типа, а именно: обобщенных импульсах.
Правда, уже Лагранж, как упоминалось, выводил закон сохранения энергии из цикличности временной координаты. Его вывод в несколько упрощенном виде выглядел следующим образом.
Так как -т- = 0, то
at
dL _ ’Ci /dL dqi_______
dt ~~ “ ' dqi dt ”r Qq. dt ) '
dL d dL а в силу уравнении Лагранжа второго рода '
dL dqt
237
Тогда
откуда
S- dL' г дЯг 1
и, следовательно,
dL гт
= — Н = const.
Так что на основе «циклического» варианта получаются не только законы сохранения количества движения и момента количества движения, но и энергии, хотя процедура вывода и является несколько более сложной. Тем не менее он не охватывает симметрии более общего типа (например, некоторых симметрий фазового пространства). С другой стороны, все, что удается получить посредством циклического метода, более непосредственно может быть найдено в рамках канонического варианта взаимосвязи, важным достоинством которого является также формулировка требований симметрии на языке бесконечно малых преобразований. Последнее обстоятельство характерно также для лагранжева и гамильтонова вариантов, в которых, таким образом, связь законов сохранения с симметриями выглядит более непосредственно.
И все-таки во многих практически важных случаях симметрии системы удается формулировать на языке «циклических» переменных, что делает «циклический» вариант, в силу его простоты, весьма полезным.
«Винтовой» вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение», установленный итальянским механиком В. Черрути 1 (1878 г.) и А. П. Котельниковым 2 (1895 г.), связан с разработкой специфических геометрических и теоретико-групповых методов, получивших название винтового исчисления, и применением их в механике. «Винтовой» вариант представлял собой не что иное, как применение лагранжева варианта взаимосвязи для вариаций, отвечающих бесконечно малым винтовым перемещениям, что приводило к так называемым «винтовым» интегралам движения, частными случаями которых являются интеграл импульса (если параметр винта перемещения бесконечно велик — при этом винтовая группа вырождается в группу пространствен
1 V. cerrati. Nuovo teorema generale di meccanika.— R. Accad. Lincei, Atti, 1878, t. 2, p. 1.
5 А. П. Котельников, Винтовое счисление и некоторые его приложения к геометрии и механике.— уч. зап. Казан, ун-та, 1895.
238
ных переносов) и интеграл момента импульса (если параметр винта перемещения равен нулю и винтовая группа вырождается в группу вращения). А. П. Котельников показал, что винтовые интегралы представимы в виде линейных комбинаций шести классических интегралов, связанных с евклидовой симметрией пространства. Поэтому винтовой вариант взаимосвязи не давал новых независимых интегралов и оставался в рамках лагранжева варианта взаимосвязи для евклидовой группы. Значение его заключалось,, прежде всего, в том, что в нем использовались методы теории групп Ли (за 7—10 лег до работ Пуанкаре и Гамеля — см. ниже), а также в его связи с винтовым исчислением, которое впоследствии получило значительное развитие в различных разделах механики Г
После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом: инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gt) относительно бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией G2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона [Glt 6У, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения: G3 — = [G1? G2] = const (в остальных случаях, как известно, [G1? G2] обращаются в нуль или выражаются как функции G± и G2). Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му] = Mz, [Мх, Ру] = Pz, ..., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, у, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Н, Ру] ~ ... = 0).
«Галилеева» симметрия в конце XIX в. не включалась в канонический формализм; как мы уже отмечали, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает ей, оставался открытым. В силу особой роли времени в классической механике «галилеево-ньютонова» группа как некоторая единая система преобразований, действующая на пространственно-временном многообразии, оставалась неизвестной, несмотря на то, что все ее генераторы были известны, по существу говоря, со времени Галилея и Ньютона. «Галилеев» принцип относительности имел большое значение для обоснования системы Коперника (Галилей), использовался Гюйгенсом в качестве одного из главных постулатов теории упругого удара, но уже в «Началах» Ньютона формулировался в виде следствия из трех основных аксиом или законов механики, а в механике XVIII в., как правило, не фигурировал вообще. Во второй половине XIX в. возобновляется некоторый интерес к физическим основам механики, в частности к вопросам об абсолютном пространстве, инерциальных системах отсчета и принципе относительности Галилея (Э. Мах, К. Нейман, Л. Ланге и др.)2. Частично это было связано с проблемой «увлекаемо-сти» «эфира» в оптике и электродинамике движущихся сред. Однако исследования эти не носили систематического характера, и галилеева симметрия в механике не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией. Отчетливое понимание роли галилеевой симметрии в классической механике и открытие галилеево-ньютоновой группы произошло, по сути дела, после открытия теории относительности. Ф. Клейн в этой связи подчеркивал: «Эта выделенность t (т. е. времени.— В. В.) играла определенную тормозящую роль в истории развития механики. Несмотря на то, что уже Лагранж
* Т. В. Путята, Б. Л. Лаптев, Б. А. Розенфельд, Б. И. фрадлин- Александр Петрович Котельников. М., изд-во «Наука», 1968.
2 М. Лауэ. История физики М., Гостехиздат, 1956, гл. 6.
говорил о механике как геометрии 4-мерного пространства, действительную пользу из этого понимания извлекли лишь недавно. Все предыдущие авторы всегда имели перед своими глазами лишь евклидовскую группу и не связывали с ней преобразований (4) и (5) (т. е. преобразований, отвечающих однородности времени к галилеевской симметрии.— В. В.), хотя, вообще говоря, они могли это сделать. Это относится и ко мне, когда я писал свою «Эрлангенскую программу». Я отчетливо помню, что не прошел мимо замечания Лагранжа, но полагал, что оно не может быть включено в мой групповой принцип. Лишь выдвижение группы Лоренца привело математиков к более правильному пониманию галилей-ньютоновской группы» Г Все это приводило к тому, что галилеевы преобразования не включались в канонический формализм и в общем не могли быть использованы непосредственно для вычисления интегралов движения с помощью переформулированной выше теоремы Пуассона — Якоби. Однако уже Гюйгенс, по существу говоря, использовал аналог этой теоремы как раз для галилеевой симметрии. Как известно, гюйгенсова теория упругого удара основывалась на принципе относительности для равномерных и прямолинейных движений, законе сохранения энергии и некоторых дополнительных предположениях, обусловливающих упругость удара 1 2. Обычный (современный) подход заключается в использовании законов сохранения энергии и количества движения3. И хотя явно Гюйгенс и не выводит закон сохранения количества движения из сочетания галилеевого принципа относительности и закона сохранения энергии, но из этого сочетания он получает всю совокупность результатов теории упругого удара и, таким образом, по крайней мере косвенно, — закон сохранения количества движения. После Гюйгенса, как мы уже отмечали, галилеев принцип относительности либо упоминался как следствие, либо подразумевался, либо вообще игнорировался. Наконец, в конце XIX в., незадолго до появления теории относительности, была сделана попытка положить галилеев принцип относительности в основу механики. Речь идет о работе немецкого механика И. Шютца, опубликованной в 1897 г.4, в которой закон сохранения количества движения выводится из галилеевой инвариантности закона сохранения энергии и, даже более общим образом, ньютоновы аксиомы механики — из галилеевой инвариантности теоремы об изменении кинетической энергии системы («теоремы живой силы»). Эта работа была стимулирована всеобщностью и эффективностью применения закона сохранения энергии, выходящего далеко за рамки механики, и стремлением на его основе перестроить ньютонову систему. Но одного закона сохранения энергии или даже соответствующей теоремы механики об изменении кинетической энергии было явно недостаточно для этой цели, и Шютц, подобно-Гюйгенсу (на которого в своей статье он не ссылается), призвал на помощь галилеев принцип относительности, так как закон сохранения энергии должен иметь место во всех инерциальных системах отсчета.
Рассуждая таким образом, он на примере центрального удара двух упругих шаров на основе своего принципа «абсолютного сохранения энергии», т. е. закона сохранения энергии, отнесенного ко всему классу инерциальных систем отсчета, выводит закон сохранения импульса. Действительно, закон сохранения энергии в данном случае можно записать в виде
? (*i + «)2 + + а)2 = (*з + а)2 + (^ + а)2, (22)
4 & & А
239
1 F. Klein. Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, t. II. Berlin, J. Springer, 1927, S. 56.
* X. Гюйгенс. Три мемуара по механике. М., Изд-во АН СССР, 1951. См. также приложение К. К. Баумгарта к этой книге.
* См., например, и. Бернулли, Избранные сочинения по механике. М.— Л., ОНТИ, 1937.
4 I. Schutz. Das Prinzip der absoluten Erhaltung der Energie. — Getting. Nachr., 1897, S. 110.
240
где а — скорость некоторой (произвольной) инерциальной системы отсчета относительно «неподвижной» системы, в которой закон сохранения энергии записывается в виде
М mivl
4----
Вычитая (23) из (22), получаем
и ввиду произвольного выбора а т-рх + т2к2 = + ту 4, (24)
т. е. закон сохранения количества движения. Аналогичным образом затем Шютц выводит второй закон динамики для системы материальных точек из инвариантности теоремы об изменении кинетической энергии системы относительно галилеевых преобразований. Спустя некоторое время Клейн показал, что закон сохранения движения центра масс совершенно в духе подхода Гюйгенса — Шютца следует из галилеевой инвариантности закона сохранения момента количества движения х.
Сравнивая гюйгенсово-ппотцевский метод получения законов сохранения количества движения и движения центра масс с переформулированной выше теоремой Пуассона — Якоби, мы видим, что это по существу одно и то же. После расширения канонического варианта взаимосвязи с таким расчетом, чтобы временная переменная приобрела статус канонической координаты 2, соотношения Гюйгенса — Шютца являются прямым следствием теоремы Пуассона — Якоби. С другой стороны, если, в соответствии с лиевским вариантом взаимосвязи «симметрия — сохранение», интегралы в теореме Пуассона — Якоби рассматривать как генераторы группы симметрии, то соотношения Гюйгенса — Шютца являются просто коммутационными соотношениями этой группы. Так в настоящее время можно расшифровать смысл концепции Гюйгенса — Шютца. Последовательное проведение этой концепции и сопоставление ее с каноническим вариантом взаимосвязи и теоремой Пуассона — Якоби могло способствовать формированию представления о G-группе как фундаментальной группе классической механики и установлению для нее взаимосвязи «симметрия — сохранение» до появления теории относительности. В действительности же работа Шютца осталась незамеченной и не сыграла своей роли в связи с развитием обсуждаемой взаимосвязи, но все-таки оказала известное воздействие на разработку аксиоматического подхода к механике в первой четверти XX в.3
Приблизительно за год до появления решающих работ Эйнштейна и Пуанкаре по теории относительности появились две работы известного немецкого механика Гамеля (1904 г.)4, посвященные разработке нового («квази-координатного») метода исследования механических систем, который оказывался особенно эффективным при наличии неголономных связей. В рамках этого метода был сформулирован новый вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение», в котором требования симметрии формулировались на языке теории групп Ли. Заметим, что Пуанкаре за три года до Гамеля в очень сжатой форме наметил и метод «квазикоординат», и то теоретико-групповое на-
' F. Klein. Vorlesungen fiber die Entwicklung.,., S. 58—59.
2 F. Engel. Uber die 10 allgemeinen Integralen..., S. 270.
3 A. Kneser. Das Prlnzip der klelnsten Wirkung und Galileische] Relativltat.— Math. Zs., 1918, Bd. 2, S. 326; G. Hamel. Die Axiome der Mechanik (Handbuch der Physik). Bd. 5, Springer, Berlin, 1927.
1 G. Hamel. Die Lagrange — Eulerschen Gleichungen der Mechanik.— Zs. f. Math, und Phys., 1904, Bd. 50, S. 1; Он же. Uber die virtuellen Verschiebungenjn.der Mechanik.—Math. Annalen 1904,Bd. 59, S. 3.
правление в механике, которое затем получило развитие в работах Гамеля (Гамель не ссылался на Пуанкаре 2). Но он, в отличие от Гамеля, не сформулировал в явном виде соответствующий вариант взаимосвязи «симметрия — сохранение».
Интересующая нас проблема взаимосвязи («симметрия — сохранение») наиболее отчетливо выражена именно в работе Гамеля. Квазикоординатный аналог уравнений Лагранжа2 после несложных преобразований принимает следующий вид:
’ (25)
где (Д — обобщенные силы; Т — кинетическая энергия системы; 7Х = — ;
э<ох
пц— квазискорости, i= 1,2, ...п, •fti— i-я квазикоордината, имеющая, впрочем, весьма условный смысл ввиду неинтегрируемости со£ и соответствующих уравнений неголономных связей; Рлу.Р —структурные константы естественно возникающей в пространстве квазикоординат группы Ли, которые определяются неперестановочностью операторов d и 6 при переходе от обобщенных координат к квазикоординатам:
йб'&р — = 3 Ри,рб<М<>»- (26)
pL, V
Эта группа может быть также задана с помощью инфинитезимальных преобразований, означающих переход от квазикоординат к обобщенным координатам: .
= (27)
р
Тогда гамелевский (квазикоординатный) аналог взаимосвязи можно сформулировать так: если кинетическая энергия Т системы инвариантна относительно v-параметр.ической группы Ли, заданной соотношениями (27), то надлежащим выбором можно всегда перейти к таким а>ъ что уравнения (25) примут вид
аг
и при отсутствии внешних сил получить v первых интегралов:
г а/
10 = =-- = Const.
Р ^<»р
Действительно, в этом случае
2^U». + 2^4 =0. (29)
Далее, согласно теории групп Ли, полагаем бй₽ = const, откуда, используя (26), получаем: -
брСо0 = 2 Зр|ло®р.6'йр. " (30)
. • -Цр • -
1 А. Пуанкаре. Новая форма уравнений механики. Перев. в кн.: А. Гурвитц. Задача изопериметров. Казань, 1901. - 1 '
2 L. Boltzmann, tfbef die Form der Lagrarigeschen Gleichungen' fiir nichtholonome generalisiettb Kobr-dinaten.— Sitzungsberichte d. Wiener AkacL, III, Dez. (1902); П. В. Воронец. Уравнения движения
- твердого тела, катящегося без скольжения по наклонной плоскости. Киев, 1903. * " 1
16 История механики
Подставляя (30) в (29), будем иметь
2 и - 3 JWv = °> (31)
что приводит к исчезновению члена, заключенного в квадратные скобки в соотношениях (25), и лагранжево-эйлеровы уравнения (25) переходят в уравнения (28). Таким образом, устанавливается взаимосвязь между однопараметрическими группами Ли, действующими в квазикоординатном пространстве и сохраняющими инвариантной кинетическую энергию системы, т ЭТ и законами сохранения обобщенных квазиимпульсов, т. е. величин гх = ~~ .
с»шх
Заметим, что, хотя для собственно физики, где неголономные связи не играют существенной роли, работа Гамеля не представляла большого интереса и не оказала заметного влияния на развитие концепции взаимосвязи в релятивистский период, она все-таки упоминается в статье Э. Нетер как один из конкретных примеров, предшествующих установлению первой ее теоремы х. 242 Итак, мы рассмотрели несколько характерных и важных моментов в развитии взаимосвязи «симметрия — сохранение» в предрелятивистский период (от С. Ли до Эйнштейна). Разумеется, этим не исчерпываются все направления этого периода, так или иначе связанные с обсуждаемой закономерностью (например, методы подобия и размерности в механике сплошной среды, берущие начало в трудах Галилея, Ньютона и Фурье и развитые затем трудами Стокса, Гельмгольца, Рэлея и др.1 2; проблемы геометризации механики, поднятые и развитые в работах Якоби, Бельтрами, Липшица, Дарбу, Герца и др.3, и т. д.).
Наиболее характерными чертами рассмотренного развития взаимосвязи «симметрия—сохранение» от Лагранжа до начала XX в. были следующие: 1) развитие это происходило, главным образом, в рамках механики, что было вполне естественно, так как именно механика оставалась теоретической основой физики, по крайней мере до самого конца XIX в.; 2) ввиду того, что в этот «механический» период взаимосвязь «симметрия — сохранение» не рассматривалась как самостоятельная и общая закономерность механики (или физики в целом), имеющая принципиальное значение, развитие ее происходило в значительной мере неявно и не было строго поступательным, несмотря на большое число различных вариантов взаимосвязи; 3) с этим связана и третья важная особенность этого периода — своеобразная «незамкнутость» обсуждаемой взаимосвязи для галилеево-ньютоновой группы; генераторы этой группы были известны со времен Галилея и Ньютона, но ясное понимание ее как единой системы преобразований, действующей на пространственно-временном многообразии, появилось лишь после разработки теории относительности (так, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает галилеевой симметрии, оставался в этот период открытым).
Специальная теория относительности (СТО) выдвинула принципы пространственно-временной симметрии на первый план и тем самым сыграла решающую роль в утверждении взаимосвязи «симметрия — сохранение» как существенной закономерности физической теории.
Уже Пуанкаре в своей классической работе «О динамике электрона»4 подошел вплотную к установлению взаимосвязи «Р-симметрия — сохранение», так как он сформулировал Р-инвариантный вариационный принцип для электродинамики и установил ли-групповой характер преобразований
1 «Вариационные принципы», стр. 611.
1 Г. Биркгоф. Гидродинамика. М., ИЛ, 1963.
5 И. Б. Погребысский. От Лагранжа к Эйнштейну. М., изд-во «Наука», 1966; Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. М., Физматгиз, 1960.
4 А. Пуанкаре. О динамике электрона.— В сб.: Принцип относительности. М.— Л., ОНТИ, 1935.
Лоренца (здесь Р-группа — это группа Пуанкаре или неоднородная группа Лоренца). Пуанкаре на основе доказанной им Р-инвариантности электродинамического действия имел все необходимое, чтобы установить взаимосвязь «Р-симметрия — сохранение». Через несколько лет после этого Планк, Минковский, Борн и др.1 широко использовали Р-инвариантные вариационные принципы в релятивистской механике, электродинамике и т. д., так что уже в самом начале возникновения СТО три основных компонента взаимосвязи «симметрия — сохранение» были выявлены. Но понимание ее как фундаментальной общефизической закономерности отсутствовало, а основные законы сохранения электродинамики СТО были получены непосредственным интегрированием или при помощи различных искусственных приемов. Поэтому наиболее вероятной была возможность установления взаимосвязи «Р-симметрия — сохранение» при систематической релятивизации еще не релятивизованных физических теорий в виде некоторого формальновычислительного способа получения законов сохранения.
Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем2, который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь «Р-симметрия — сохранение». Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.)3. Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д.4). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат £а и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат £а и собственного времени g4 = ict:
ds* = Aijdhdlj.
При этом, если обозначить atj — dxi/d^j, то:
fc
P — инвариантный вариационный принцип можно записать в виде
6 5 = 0, (32)
где на Ф наложены следующие условия: 1) в случае покоя принцип (32) должен переходить в обычный вариационный принцип вида
5 Фо (еаде) d^d^dlsdt = 0, (33)
где Фо — лагранжиан нерелятивистской теории, зависящий от тензора
243
’ Л. С. Полак. Вариационные принципы...
г G. Herglotz. Ober die Mechanik des deformierbaren Korpers von Standpunkte der Relativitat.— Ann. d. Phys., 1911, Bd. 36, S. 493.
3 E. Hellinger. Die allgemeinen Ansatze der Mechanik der Kontinua.— Encycl. d. math. Wiss., IV. Leipzig, Teubner, 1914.
4 Л. С. Полак. «Вариационные принципы...
16*
деформаций еа$ и энтропии е, отнесенной к единице объема; 2) Ф должна быть Р — инвариантной величиной. В качестве основных переменных, от-которых зависит Ф, можно выбрать или аг?. Герглотц использует последние. Обозначая d^1<^2dg3dg4 = d<o и Ф;,- = ~ и используя соотношение
8atj = б = ^-(багг),
а также интегрирование по частям, уравнения Лагранжа и теорему Гаусса, он преобразует (32) к виду
и
= ~ = £ дАф^1 dco - ( бх^со =
•) даЦ 1 .1 d^j 1
Q □ Ji
С с
\ ~~ (Ф,Дгг) dco = \ Ф;;бжI db>j = О, □ S
244 где й — объем 4-мерного цилиндра, S — его поверхность, a dto, — проекции элемента этой поверхности. Учитывая далее, что интеграл по боковой поверхности цилиндра обращается в нуль в силу граничного условия на поверхности среды (тела), и то, что на основаниях цилиндра: =
= do)3 = 0, do)i = = d3l, можно получить
5 Ф,-Ф^бж^ | =0. S V т>
В эйлеровском представлении это можно переписать в виде
15Ff46^ = 0, (34)
v
где Fjj связано с Фг?- известным образом:
Ф?; = а dV = d3x = dx^x^dxs.
ft
Соотношение (34), записанное сразу же с учетом отсутствия внешних сил, дает возможность непосредственно десяти генераторам P-группы сопоставить десять первых интегралов, аналогичных известным законам сохранения нерелятивистской механики. Например, четырем трансляциям 8xt = ez отвечает закон сохранения энергии — импульса i1
4^7 = 0, (35)
трем пространственным вращениям — закон сохранения момента количества движения
^(xaF?i —x.Fai)dV = Q (ос, р = 1,2; 2,3; 3,4) (36)
и трем «чистым» лоренцовым преобразованиям — релятивистский закон сохранения движения центра масс:
^(x4Fa4-^aF44)dF = 0 («==1,2,3). . , (37)
1 В релятивистской механике анергия и вектор количества движения образуют 4-вектор энергии’— количества движения, обычно называемый вектором анергии — импульса; .. ..
Таким образом, впервые в рамках релятивистской механики сплошных сред была установлена взаимосвязь «/’-симметрия — сохранение». Посредством предельного перехода при устремлении скорости света к бесконечности (т. е. при с->оо) естественно устанавливается аналогичное соответствие и для галилеево-ньютоновой группы. С другой стороны, было ясно, что принципиально вывод Герглотца не ограничивался рамками механики сплошных сред и в общем мог быть проведен для любой релятивистской теории (например, электродинамики). Однако Герглотц не использовал свой метод в этих направлениях и никак не комментировал его, не придавая, таким образом, установленной им взаимосвязи глубокого закономерного характера, рассматривая ее, по-видимому, как формально-математический прием.
Но рассмотренный аспект работы Герглотца (т. е. установленная им взаимосвязь «/’-симметрия — сохранение») не остался незамеченным другими исследователями. Первым, кто обратил на него внимание, подчеркнул значение его и поставил в связи с этим ряд важных вопросов, свидетельствующих о возникновении нового понимания взаимосвязи как общей закономерности, был Ф. Клейн. Об этом говорит, прежде всего, то, что он в своем письме к ученику и сотруднику Ли Ф. Энгелю 1 отметил названный аспект работы Герглотца, указал на возможность получения взаимосвязи «симметрия — сохранение» для галилеево-ньютоновой группы с помощью предельного перехода при оо, а также поставил вопрос об установлении этой взаимосвязи с помощью метода Ли, более естественного для классической механики. Тем самым он как бы перекидывал мост между аналитической механикой (в частности, лиевским вариантом взаимосвязи) и релятивистской физикой (в частности, герглотцевским вариантом взаимосвязи).
Энгель решил задачу, поставленную Клейном, расширив лиевский формализм так, чтобы галилеево-ньютонову группу можно было рассматривать как подгруппу канонических преобразований. Это позволило ему, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, определить десять производящих функций, соответствующих десяти генераторам галилеево-ньютоновой группы и совпадающих с десятью первыми интегралами механики. Расширение канонического формализма, достигнутое Энгелем, заключалось во введении параметра т, заменяющего время как независимую переменную, и в придании временной координате /, таким образом, характера канонической переменной. Это формальное расширение привело каноническую систему к симметричному виду:
245
dxi ___ тт
dx
dyj dx
__ rr
dx ~ Ti'
fa dx
dPj dx
dp dx
(38)
= ~ Яхр
dx VP dx
где pt,qt,P — импульсы, сопряженные переменным yt, Z(,
t;
Hx. = -x— и т. д. ‘ d%i
Уравнение = 1 будет каноническим, если роль гамильтониана будет играть функция Н + р. Последнее же уравнение (т. е. = 0) будет каноническим, если Н не зависит от времени. Тогда система (38) будет канонической (в расширенном смысле), и, согласно С. Ли, бесконечно малое каноническое
1 F. Engel. Uber die 10 allgemeinen Integralen...,— Gott. Nachr, 1916, S. 270.
преобразование некоторой функции f = / {xt, yt, zt, t, pt, q;, rt, p) можно записать в виде:
6/=io, п = s («>». +ф«, й-+Ф,, й)+ф4 1=1
- S ( Ф*г ^7 + Ф^ + й") ~ Ф‘4? ’
г=1
(39)
где Ф = Ф (х,, yt, zh pt, qt, гг, t, p) — производящая функция этого бесконечно малого канонического преобразования. Бесконечно малые преобразования Xt, yt, Zi, t, Pi, qt, rt, p, отвечающие генераторам G-группы (т. e. галилеево-ньютоновой группы), выражаются следующим образом: для временных трансляций;
bxi = = 8zi = 0, Spi = 8qi = 6гг = 0, (40)
dt = е, 6р = 0;
для галилеевых преобразований (например, вдоль оси х):
dxi — te, dyt - — dt = 0, dqt = 6rf = 0;
дР* = “<тг<41>
«р = _8я = _4(2^1±^-Р) = -2^_-2л. и д. i г
Выразив (40) и (41) через частные производные от производящих функций в соответствии с основным соотношением лиевского формализма (15) и заметив, что
Эф . , ЭФ s , дФ я , ЭФ .. . ЭФ я । ЭФ я , ЭФ Л , ЭФ я
бф = 37?^ + э£ + 977 б2; + + ^Pi + ^8qi + d^ri+ ^Ьр'
^2) для (40) получим 6Ф — dp, откуда Ф = р или
Ф = Я, (43)
а для (41)
бф = — 2 rnfixt + 2 t^Pi + 2 P$t, г г i
откуда
Ф = — 2т;ж; + t^pi. (44)
i i
Таким образом, с временными трансляциями, как это и следовало ожидать, ассоциируется закон сохранения энергии Н = const, а с бесконечно малым галилеевым преобразованием (41) — закон сохранения движения центра масс 2 ^txi — 2р^ + const. г i
Через пять лет после установления взаимосвязи «симметрия — сохранение» осуществилось, наконец, в явной форме «замыкание» взаимосвязи и для G-группы. Задача, поставленная Клейном и решенная Энгелем, на первый взгляд, представлялась искусственной и академической, так как, с одной стороны, на фоне реляти вистской перестройки физики (и механики) возврат к G-группе едва ли мог быть полезным и необходимым для решения насущных задач физики, а с другой — в общем заранее было известно, что
взаимосвязь «G-симметрия — сохранение» имеет место и может быть получена посредством предельного перехода при с оо в соотношениях, отвечающих {взаимосвязи «/'-симметрия — сохранение». Но именно эта искусственность и академичность как раз больше всего и подтверждают нашу мысль о возникновении нового, более глубокого понимания обсуждаемой взаимосвязи, достигнутого в 1915—1917 гг. благодаря, прежде всего, Ф. Клейну. Другим подтверждением этой мысли является тот факт, что в лекциях по истории развития математики в XIX в. \ читанных в 1915— 1917 гг. и широко распространенных уже в 1917 г. в виде машинописных копий 1 2, Клейн впервые в историческом плане рассмотрел вопрос о связи первых интегралов механики с принципами пространственно-временной симметрии. Несмотря на краткость, неполноту и некоторые неточности рассмотрения,—наличие этого материала в «Лекциях» Клейна, несомненно, может служить еще одним подтверждением того, что в 1915—1916 гг., главным образом благодаря Клейну, было положено начало своеобразному «перелому» в отношении к взаимосвязи «симметрия — сохранение», означающему переход к более глубокому уровню ее понимания. Этот переход в значительной мере был стимулирован выдвижением на первый план принципов пространственно-временной симметрии, которое явилось результатом релятивистской революции в физике.
СТО показала, к каким результатам может привести расширение фундаментальной группы. Поэтому сразу же после построения основ СТО возникли попытки расширения группы Пуанкаре. Одна из них заключалась в переходе к классу равноускоренных систем отсчета (Эйнштейн, 1907 г.) 3, что позволило сформулировать принцип эквивалентности, явившийся физической основой расширения группы Пуанкаре до группы произвольных координатных преобразований (.Ё'-грунпа, Эйнштейн, 1915 г.) 4. Другая попытка была связана с обнаружением конформной инвариантности уравнений Максвелла (С-группа, Бзйтмэн и Каннингхэм, 1909 г.) 5. Естественно, что открытие этих симметрий в свете нового понимания взаимосвязи «симметрия — сохранение» как весьма общей и важной физической закономерности ставило вопрос о характере и физическом смысле соответствующих законов сохранения.
Установление взаимосвязи для Е-и С-групп было непосредственно связано с установлением теорем Нетер. Более правильным будет сказать, что если взаимосвязь «С-симметрия — сохранение» была получена на основе уже установленных теорем Нетер, то сами эти теоремы были доказаны, прежде всего, на пути решения проблемы сохранения энергии — импульса в общей теории относительности (ОТО). Основополагающее значение в развитии взаимосвязи «симметрия — сохранение» в этот период имела работа Гильберта «Основания физики » (1915 г.)6. Но начало было положено эйнштейновскими работами 1913—1914 гг., в которых были намечены основы ОТО 7. Именно в этих работах впервые появляются эйнштейновский «псевдотензор» энергии — импульса гравитационного поля и соответствующий закон сохранения в дифференциальной форме. Однако достаточно полный анализ проблемы сохранения энергии — импульса в ОТО, а главное, общерелятивистский аспект взаимосвязи «симметрия — сохранение» в работах Эйнштейна в явном виде отсутствовали. Гильберт в упомянутой статье и Эйнштейн в трех статьях, от-
247
1 F. Klein. Vorlesungen fiber die Entwicklung.., S. 56—58.
2 E. Bessel-Hagen. Uber die Erhaltungssatze der Elektrodynamik.— Mathematische Annalen, 1921, Bd, 84, S. 258.
3 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. М., изд-во «Наука», 1965, соч. 8.
4 Там же, соч. 34—38.
3 Н. Bateman. The transformations of the electrodynamical equations.— Proceedings of London Mathematical Society, 1910, v. 2, N 8, p. 223; E. Cunningham. The principle of relativity and extension thereof.— Proc. Lond. Math. Soc., 1910, v. 2, N 8, p. 77.
3 Д. Гильберт. Основания физики..— «Вариационные принципы», стр. 589—598.
’ А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, соч. 21—29.
248
носящихся к концу 1915 г. г, независимо друг от друга получают корректные общековариантные уравнения гравитационного поля. Но работа Гильберта была особенно замечательна в том, отношении, что в ней впервые форму-1 лир.овалась теорема, эквивалентная, как впоследствии выяснилось, обще-редятивистскому аналогу взаимосвязи «симметрия — сохранение». Правда, доказательство, ее отсутствовало,, а связь этой теоремы,с проблемой сохране-. ция энергии — импульса не была ясно осознана. Согласно гильбертовской теореме, из инвариантности вариационного функционала относительно бесконечной непрерывной группы, зависящей, от четырех произвольных непрерывных: функций, следовало существование четырех тождеств, уменьшающих соответственно число независимых уравнений Лагранжа. Гильберт пытался применить, эту теорему для доказательства утверждения, что электродинамика — следствие тяготения, ноне использовал ее непосредственно для разъ-: яснения .специфики законов сохранения в ОТО. Вместе с тем Гильберт -построил вектор энергии, который зависел от произвольного векторного поля •и дивергенция которого тождественно, обращалась в нуль. Но связь этой конструкции с упомянутой теоремой, а также ее физический смысл и отношение к другим формулировкам законов сохранения энергии — импульса в работе Гильберта также отсутствовали. Тем не менее «Основания физики» Гильберта явились по существу исходным пунктом, в цепочке исследований, завершившихся установлением теорем Нетер. Действительно, именно для выяснения ряда математических вопросов, поставленных в работе Гильберта и касающихся прежде всего гильбертовской формулировки закона сохранения энергии —импульса, к этим исследованиям присоединилась Э. Нетер, приехавшая в начале 1916 г. в Геттинген по приглашению Гильберта 2. Вскоре после этого под влиянием работы Гильберта и обсуждения ее в многократных беседах с Э. Нетер проблемой сохранения энергии — импульса в ОТО начал заниматься Ф. Клейн, опубликовавший в течение 1917 —1918 гг. три статьи, две из которых сыграли важнейшую роль в генезисе нетеровских теорем. В первой статье 3, представляющей собой переписку Клейна и Гильберта (два письма Клейна и одно Гильберта — 1917 г.), была достигнута значительно большая ясность в вопросе о гильбертовской векторе энергии и подчеркнута принципиальная разница между законами сохранения в теориях «общерелятивистского» и «спецрелятивистского» типа. Продолжение этих исследований привело затем Клейна (вторая статья) 4 5 к достаточно общему и наглядному выводу законов сохранения в ОТО на основе взаимосвязи «симметрия — сохранение», а также к получению всевозможных выражений для них, найденных различными авторами. Сотрудничество Клейна с Э. Нетер при этом было исключительно плодотворным для них обоих: исчерпывающее разъяснение вопроса в ОТО (Клейн) и установление общих теорем, выражающих взаимосвязь «симметрия — сохранение» (Э. Нетер), были в действительности тесно связаны. Известное значение имели также работы Эйнштейна (1916 — 1918 гг.)6, Лоренца (1916—1918 гг.)6, Вейля (1917—1918 гг.) 7 и некоторых других исследователей 8. Все эти работы (Эйнштейна, Гильберта,
1 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, соч. 34, 35, 37.
2 H. Weyl. Е. Noether.— Scripta mathematics, 1935, VIII, N 3. См. также П. С. Александров. Памяти Э. Нетер.— УМН, 1936, вып. 2.
3 Г. Klein. Zu Hilbert’s erster Note fiber die Grundlagen der Physik (1917—18).— Gesammelte mathe-matische Abhandlungen, Bd. I, Springer, Berlin, 1921, Abh. XXXI.
* F. Klein. Uber die Differentialgesetze fur die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einstenischen Gravitationstheorie. Gesammelte mathematisehe Abhandlungen, Bd. I, Abh. XXXII, 1918.
5 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, соч., 38, 42, 49, 51.
1 Н. A. Lorentz. On Einstein theory of gravitation, I—IV (1916—1917), Collected papers, v. 5, The Hague, c Martinus Nijof (1937). См. также Г. А. Лореитц. О принципе Гамильтона в эйнштейновской теории тяготения.— ЖРФХО, 1915, т. 47, вып. 8, стр. 516.
’ Н. Weyl. Zur Gravitationstheorie.—Annalen d. Physik, 1917, Bd. 54, S. 117. См. также H. Weyl. Raum, Zeit, Materie. Berlin, Springer. 1918.
3 A. 3- Петров. Понятие энергии в ОТО.— Уч. заи. Казан, ун-та, 1963, т. 123, кн. 12.
Клейна, Лоренца, Вейля, Э. Нетер и др.), несмотря на известную общность их, содержали несколько различные подходы к решению проблемы сохранения энергии — импульса в ОТО. Ключом к пониманию упомянутых работ (и всевозможных выражений для сохраняющихся величин), включая гильбер-товскую работу 1915 г., явилась как раз вторая статья Клейна, написанная почти одновременно с основной работой Э. Нетер. Она содержала весьма общий, простой и наглядный подход к решению вопроса о дифференциальной форме закона сохранения энергии — импульса в ОТО, с точки зрения которого весь спектр различных формулировок этого закона становился легко обозримым. Решающим элементом в достижении простоты и общности клейновского построения был принятый им весьма общий способ варьирования независимых переменных в интеграле действия ОТО. Вариации «мировых параметров» (т. е. пространственно-временных координат) бх^ в работе принимались произвольными, в отличие от работ Эйнштейна, Лоренца, Вейля и предыдущей работы самого Клейна и др., в которых бх>л принимались постоянными, отвечающими линейным преобразованиям координат или исчезающими вместе со своими первой и второй производными на границе области интегрирования. Ограничивая в своем выводе выбор бж'-1 условием их постоянства, Клейн получает эйнштейновскую и лоренцовскую формулировки закона сохранения энергии — импульса. Полагая бги исчезающими на границе области интегрирования вместе с их производными, Клейн приходит к форме, полученной Вейлем и им самим в предыдущей работе. Наконец, он показал, что гильбертовский вектор энергии также может быть получен на основе развитого им подхода и является в известном смысле даже более общим, чем остальные.
Теоремы Э. Нетер также связаны с упомянутыми работами по ОТО. Работы Клейна и Э. Нетер были опубликованы почти одновременно и создавались в тесном творческом контакте их авторов. Таким образом, теоремы Нетер явились, с одной стороны, результатом многочисленных попыток решения проблемы сохранения в ОТО, а с другой — завершением более чем полуторавекового развития концепции взаимосвязи в классической механике и СТО. Главная заслуга Э. Нетер заключалась в синтезе этих направлений. Весьма значителен также вклад Гильберта и, особенно, Клейна. Работа первого послужила исходным пунктом в разработке общерелятивистского варианта взаимосвязи и содержала по существу формулировку второй теоремы Нетер для ^-группы. Клейн же своими работами способствовал не только разъяснению проблемы сохранения в ОТО, но и оформлению единого теоретико-группового взгляда на природу законов сохранения в ОТО и теориях спецрелятивист-ского типа..
Подводя итоги, можно выделить в развитии концепции взаимосвязи «симметрия — сохранение» следующие периоды: 1) до Лагранжа, являющийся предысторией рассматриваемой взаимосвязи и периодом подготовки необходимых предпосылок для ее установления в классической механике; 2) от Лагранжа до построения СТО, связанный с развитием аналитической механики; 3) «релятивистский» — установление взаимосвязи для группы Пуанкаре и начало нового отношения к такой взаимосвязи как фундаментальной закономерности физической теории; 4) период установления теорем Нетер, непосредственно связанный с попытками решения проблемы сохранения энергии— импульса в ОТО.
Дальнейшая история вопроса связана с возникновением и развитием квантовой механики, квантовой теории поля и т. д. и целиком входит в историю физики XX столетия.
24»
10
Теория колебаний и волн
1. Переход от первоначальных расплывчатых представлений о волнах и колебаниях к первым попыткам установить закономерности волновых и колебательных явлений впервые наметился в акустике. И как раз физическую сущность процессов, вызывающих слуховые ощущения, удалось разъяснить с помощью механики — как колебания упругих тел и распространение вызванных этими колебаниями волн сжатия и разрежения в воздухе или иной сплошной среде.
Затем удалось построить и математическую теорию звука, основы которой были заложены еще в трудах пионеров классической механики. Параллельно с этим развивалась теория волн на поверхности тяжелой жидкости (воды); была создана общая теория малых колебаний консервативных систем, по аналогии с акустикой в XVII и XIX вв. разрабатывалась волновая теория света. То общее, что имелось во всех подвергнутых изучению волновых и колебательных процессах, выявилось в сходстве описывающих такие процессы дифференциальных уравнений, с учетом дополнительных, начальных и граничных условий, накладываемых на решения этих уравнений. Так наметилось выделение общей теории, изучающей колебания независимо от природы колебательных процессов. В 1878 г. в предисловии к своей известной «Теории звука» Дж. В. Стрэтт (лорд Рэйли) считал уже необходимым оговорить, что «в своей значительной части теория звука, в обычном ее понимании, охватывает ту же область, что и теория колебаний» х.
А в «Энциклопедии математических наук», которую (на немецком языке) стали издавать в конце XIX в., нельзя найти теоретическую акустику в V томе («Физика»), но в IV томе («Механика») есть статья 26-я (Ламба) «Колебания упругих систем, в частности акустика». Таким образом, на этом этапе произошло поглощение теоретической акустики механикой, точнее, теорией колебаний механических систем. Но и электромагнитные колебания (включившие в себя волновую оптику), не будучи механическими, имеют столько общего с последними, что их изучали с помощью методов теории колебаний, разработанной в механике. Такое расширение объема теории колебаний сопровождалось переходом от изучения колебаний линейных систем (т. е. систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями) к изучению колебаний нелинейных систем. Это дало основание ввести в 20—30-х годах нашего столетия термин нелинейная механика», который стал и до сих пор служит синонимом теории нелинейных колебаний.
Развитие теории колебаний было связано с развитием теории волн. Волну можно определить как распространение или передачу движения, в частности
* Дж. в. Стретт (лорд Рейли). Теория звука. Перев. с 3-го англ, изд.; изд. 2-е под ред. и с предисл. k С. М. Рытова. М., Гостехиздат, 1955.
колебательного, в некоторой среде. Возникновение колебаний во многих случаях неотделимо от образования волн. Свойства среды определяют характер волнового процесса, но в одной и той же среде, вообще говоря, возможны волны различных типов, а между однотипными волнами в различных средах есть много общего. В итоге теория волн прошла через этапы постепенного обобщения и вышла за пределы собственно механики, как и теория колебаний, и в известной части обе теории сливаются \ Поэтому здесь развитие теории колебаний рассматривается в связи с теорией волн.
2. Мы начнем с краткого обзора истории акустики до Галилея, точнее, с обзора того, что в этой истории послужило в дальнейшем основой для развития теории колебаний и волн.
У нескольких известных нам древних авторов (среди них — Аристотель, Евклид, Птолемей) звук связывался с колебательным движением тел. Заодно указывалось, что более высокому тону отвечает большая частота колебаний, сила звука («громкость») связывалась с величиной или интенсивностью движений звучащего тела, но все это — без формулировки каких-либо количественных зависимостей. Так обстоит дело у Боэция, который и в математике, и в акустике (музыке, согласно терминологии того времени) был передаточным звеном между древностью и ранним средневековьем. Более четкие утверждения высказывались о звучании струн. Пифагору приписывали открытие того, что высоты тонов (очевидно, основных) двух струн находятся в отношении, обратном отношению их длин (при прочих равных условиях), и что высота тона звучащей струны зависит не только от ее длины, но также от ее толщины и натяжения, однако без уточнения характера таковой зависимости. С древности известно было также явление резонанса, подмеченное на музыкальных инструментах. Несомненно, запас наблюдений в зтой области пополнялся и в средние века, но расставить здесь вехи пока нет возможности. Леонардо да Винчи описывает явление резонанса, не ссылаясь на предшественников, и применяет «метод всадника», чтобы выявить наличие слабых колебаний. В книге Фракасторо «О симпатии и антипатии предметов» 2 явление резонанса описывается и объясняется вполне корректно, примерно так, как это делает Галилей; Фракасторо не ограничивается струнами: он пишет, что видел, как в церкви, где вокруг часовни стояло несколько восковых фигур, только одна из фигур сдвинулась, когда раздался звон. «И причиной было не что иное, как то, что только одна статуя была в унисоне». К. Трусделл на основе анализа книги Фракасторо приходит к выводу, что вряд ли она — оригинальное произведение, скорее это хорошее изложение сведений, собранных из разных источников 3. Для Фракасторо звук безусловно является колебательным движением определенной частоты. Фракасторо различает колебательное движение струны и движение воздуха, он правильно объясняет явление резонанса и считает, видимо, что любое тело имеет свойственную ему частоту колебательного движения. Поэтому надо сделать вывод, что все эти понятия и представления более раннего происхождения.
Книга Дж. Бенедетти «О различных математических и физических рассуждениях» 4 была издана в 1585 г., а в 1599 г. вышла третьим (и последним) изданием. С нею мы уже вступаем в эпоху Галилея. В книге есть глава «О музыкальных интервалах». Там описывается опыт с монохордом, разделенным зажимом на две равные части: одна часть будет издавать тот же звук, что и другая, потому что она столько же раз бьет по воздуху, сколько и другая. Воздушные волны будут одинаково распространяться и полностью будут согласовываться, не пересекаясь и не разрушая друг друга. Бенедетти хорошо
251
’ Стоячие волны, например, можно рассматривать как чисто колебательный процесс, если отвлечься от того, как они возникают (устанавливаются).
* Fracastoro. De sympathia et antipathia rerum liber unus. Venetiae, 1546.
’ L. Euleri. Opera Omnia, Series secunda, v. XI, pars II, Turici, 1960, p. 25.
4 G. B. Benedetti. Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber... Venetiae, 1585.
известен факт, что высота тона определяется его частотой; согласно Бенедетти, всем также известно, что скорость колебаний струны при прочих равных условиях обратно пропорциональна ее длине, и он приходит к выводу, что отношение высот тонов равно отношению частот, с которыми колеблются издающие их струны. Но из текста Бенедетти не следует, что он сформулировал в качестве особого положения изохронизм звуковых колебаний (одного и того же тела).
Таков запас сведений и представлений, которыми располагала формирующаяся акустика к концу XVI столетия. Достаточно вероятно, что все это было известно Галилею. Давность и здесь, как в учении о падении тел, была порядка двух тысячелетий, но в учении о звуке надо было не начинать все заново, а продолжать медленный и в основном последовательно развертывающийся процесс накопления и анализа фактов. Выделить то, что сделано отдельными учеными, вследствие длительности и обезличенности традиции, было трудно, а иногда и невозможно. Этим, вероятно, объясняется отсутствие всяких ссылок у Галилея.
3. Галилей связал свои результаты в теории маятника с вопросом о колеба-"Э" ниях струн, с объяснением резонанса, консонансов и диссонансов («День первый «Бесед»); Галилей любил музыку и хорошо ее понимал \ Два выдающихся его современника занимались теми же вопросами — Ян Бекман и М. Мер-сенн. Из дневников Бекмана видно, что в 1614—1618 гг. он, исходя из наблюдений и поставленных им опытов, пришел к выводу об изохронности звуковых колебаний, а также к утверждению, что частота колебаний струны v обратно пропорциональна длине струны: у ос 1/1. Наиболее убедительное доказательство изохронности у Бекмана таково: струна постепенно прекращает движение, поэтому, как выражается Бекман, пространство, проходимое ею при первом ударе j меньше, чем при втором, и т. д., а так как для уха эти звуки остаются до конца одинаковыми, то все удары должны быть разделены равными промежутками времени. Дальше мы находим сравнение колебаний струны с движениями подвешенной на веревке люстры, движениями, которые, по Бекману, изохронны в пустоте. Быть может, та же аналогия, только в обратном направлении — от звучания струны к колебаниям подвешенного тела, укрепила в Галилее уверенность в изохронности колебаний маятника любой длины?
Некоторые результаты Бекмана благодаря знакомству с ним Декарта (и лет через десять — Мерсенна, в конце 20-х годов вступившего с ним в переписку) доходят до французских ученых. Если отвлечься от аналогии с качанием люстры, открытия Бекмана были переоткрытиями: все это есть в уже знакомой нам книге Бенедетти, в главе «О музыкальных интервалах». Мер-сенн же пошел несколько дальше: в 1626 г. он опубликовал зкспериментально полученные законы колебания струн, которые сводятся к формуле
v ос-^- jAr : а,
где Т — натягивающий струну вес, а — «толщина» (площадь поперечного сечения) струны. Позже Мерсенн в «Harnionicum libri»1 2 собрал большой экспериментальный материал, частично новый (Мерсенну, например, принадлежит открытие биений), но в установлении количественных закономерностей приведенная выше формула остается его высшим достижением.
Галилей в «Беседах» дает аналогичные зависимости в исправленном виде, заменив «толщину» весом (единицы длины струны) и указав на независимость частоты колебаний от материала. Вместе с тем один из собеседников (Сагре-до) у Галилея высказывает и не уточненную формулировку, соответствую
1 Об этом см. ниже.
2 «Книга о созвучиях»,. 1636 г.
щую формуле Мерсенна. Таккакнет никаких указаний на то, что Галилей был знаком с трудами Мерсенна, то можно сделать естественный вывод: законы -Мерсенна были математически сформулированными и экспериментально им проверенными правилами, которые уже было известны мастерам музыкальных инструментов. Галилей, конечно, знал людей такой профессии, и здесь он тоже объединяет две традиции — традицию техническую и традицию отвлеченной науки, уточняя и в известной мере обосновывая эмпирические выводы.
Объяснение консонансов и диссонансов, данное в «Дне первом» «Бесед», кажется весьма естественным выводом из тех данных, которыми располагали Бекман и Мерсенн, но принадлежит только Галилею, который нашел его задолго до 1635—1636 гг. Еще в ноябре 1627 г. в письме к одному из своих римских корреспондентов Мерсенн просил узнать у Галилея или у какого-нибудь другого отменного математика-музыканта, «почему из всех созвучий приятны только те, что составляют октаву, квинту, терцию и сексту, и им соответствующие, и какой из всех диссонансов наиболее неприятен и почему; мне говорили, что упомянутому Галилею известны причины этого...» 1
4. Одно из главных открытий Галилея, как известно, открытие изохронности (малых) колебаний маятника. Собственно, Галилей сделал в задаче о маятнике и больше, и меньше того, что содержится в такой краткой формулировке.
В конце «Дня первого» знаменитых «Бесед и математических доказательств» обосновывается изохронность любых, а не только малых колебаний маятника (если отвлечься от сопротивления среды), и это было ошибочно, но зато сообщается на основе опытов, что длительность колебания (математического) маятника изменяется пропорционально корню квадратному из его длины. Как Галилей получил последний результат, из текста «Бесед» не видно. В письм:е ВивианикЛеопольдо Медичи сказ ано: «Руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении, он (Галилей.— И. П.) нашел, что длины маятников находятся в двойном отношении по сравнению с отношением времен одинакового числа их колебаний» 2. Это означает, что Галилей теоретически пришел к своему результату, но каким путем — остается неизвестным. Кроме уточнения законов звуковых колебаний, которые мы называем законами Мерсенна, и кроме открытия первого закона, относящегося к колебаниям маятника, Галилею принадлежит еще открытие аналогии между «беззвучными» колебаниями маятников и колебаниями, создающими ощущение звука, что делает его настоящим основателем теории колебаний. В конце «Дня первого» «Бесед» Сальвиати, «рупор» Галилея, обращается к своим собеседникам с такой речью:
«Теперь, синьоры, видя, что вы столь высоко цените мои небольшие сообщения, я считаю необходимым показать вам, каким образом можно видеть и наблюдать глазом ту же игру, которую слышит наше ухо. Подвесьте свинцовые шарики или другие подобные им тяжелые тела на трех нитях разной длины, подобрав последние таким образом, чтобы в то время, как самая длинная из них совершала бы два качания, самая короткая делала бы их четыре, а средняя — три, что будет иметь место, если придать наибольшей нити длину в шестнадцать каких-либо мер, средней — в девять и самой короткой — в четыре. Выведенные из отвесного положения и отпущенные одновременно маятники начнут качаться, причем произойдет как бы беспорядочное пересечение нитей, встречающихся в разных положениях; однако при каждом четвертом качании длинного маятника все три маятника будут совпадать и, начиная одновременно движение, будут начинать и новый период. Это смешение качаний соответствует тому смешению колебаний, которое воспринимается слухом от
253
1 Галилео Галилей. Избранные труды, т. II. стр. 448.
г См. Le Opere di Galileo Galilei, v. XIX, Firenze, 1938, p. 648—349.
254
звуков трех струн, дающих октаву и квинту. Если мы определим подобным же образом длину других нитей сообразно с определенными интервалами, дающими музыкальное созвучие, то получим иное смещение и пересечение нитей, но всегда такое, при котором в известное время через известное число качаний последние совпадают, и маятники (будь их три или четыре) вновь одновременно начинают свое периодическое движение. Если же числа качаний двух или более маятников несоизмеримы, так что последние не кончают одновременно движения через определенное число качаний, или же если они соизмеримы, но совпадают и начинают новый период только через большой промежуток времени и после весьма большого числа колебаний, то глаз окончательном теряется в неправильном беспорядочном движении так же, как и ухо, когда оно мучительно воспринимает сотрясения воздуха, ударяющиеся о барабанную перепонку без всякой правильности и порядка» *.
5. Как видно, основы общей теории колебаний были заложены Галилеем в процессе создания основ всей классической механики. В относящихся к нашей теме исследованиях Галилея, как и во всем его творчестве, ясно различимы две составные части: использование как опыта, накопленного в сфере производства — в ремесле, так и наблюдений и выводов теоретизирующей мысли. В соответствии с этим метод Галилея, как известно, был и экспериментальным, и теоретическим. Такое сочетание теории и эксперимента характерно для работ Гюйгенса, которому, как писал Лагранж, было суждено усовершенствовать основные открытия Галилея.
Замечание Лагранжа относится и к проблеме маятника. Маятник Галилея, т. е. математический маятник, реально воплощался телом, которое могло вращаться вокруг неподвижной оси,— физическим маятником. Изохронность колебаний маятника, пусть не совсем точную, естественно было использовать для измерения времени. Достаточно точное измерение времени с помощью прибора, который можно было бы перевозить с собой на корабле, решало проблему определения долгот на море — в то время основную проблему кораблевождения в открытом море. Создать достаточно точные и пригодные в морских путешествиях маятниковые часы пытался еще Галилей, он Даже вступил с нидерландскими властями в переговоры об использовании маятниковых часов. Галилей не добился достаточно хороших результатов и, таким образом, оставил открытыми две проблемы: теоретическую — о центре качаний физического маятника, т. е. о приведенной длине физического маятника, и техническую — проблему маятниковых часов.
Проблема центра качаний была поставлена, можно сказать, в конкурсном порядке, тем же Мерсенном, который так интересовался открытиями Галилея в акустике. Отсылая за подробностями к гл. V (см. стр. 97), укажем здесь, что Гюйгенсу принадлежит не только решение задачи о центре качания, т. е. приведенной длине физического маятника, но и точная трактовка вопроса о периоде малых колебаний математического маятника. Таким образом, была решена задача и о периоде малых колебаний физического маятника. Гюйгенс определил также центры тяжести и центры качания для многих фигур, открыл циклоидальный маятник и доказал (строгую) изохронность его колебаний. Все это шло об руку с техническими изобретениями: часов с коническим маятником, часов с циклоидальным маятником, с существенным усовершенствованием обычных маятниковых часов, идея которых возникла у Гюйгенса, видимо, вполне самостоятельно. Гюйгенсу не удалось создать хронометра, удовлетворяющего требованиям моряков, но его технические изобретения во всяком случае позволили значительно уточнить измерение времени, столь существенное и для исследования колебаний. Его вклад в теорию колебаний тоже велик: помимо указанного выше явления, он открыл явление, названное позже «принудительным консонансом». С этими (конструк-
* Галилео Галилей. Избранные труды, т. 2, стр. 199.
ции Гюйгенса.— И.П.) часами было проведено следующее чрезвычайно интересное наблюдение. «Двое таких часов висели на одной и той же балке, покоящейся на двух опорах. Оба маятника двигались всегда в противоположные стороны, и колебания так точно совпадали, что никогда ни на сколько не расходились. Тикание обоих часов было слышно в одно и то же мгновение. Если искусственно нарушить это совпадение, то оно само восстанавливалось в короткое время. Сначала я был поражен этим странным явлением, но, наконец, после внимательного исследования нашел, что причина лежит в незаметном движении самой балки. Колебания маятника сообщают некоторое движение и самим часам, как бы тяжелы они ни были. А это движение передается балке, и если маятники сами не двигались в противоположные стороны, то теперь это произойдет с необходимостью, и только тогда движение балки прекратится. Но эта причина не была бы достаточно эффективна, если бы ход обоих часов не был бы с самого начала очень однороден и согласован между собой» Г Потребовалось все-таки около двух с половиной столетий, чтобы подобные явления параметрическогорезонанса (всвязи с новыми практически важными задачами — радиотехническими) можно было не только объяснить качественно, но и рассчитать. Своим открытием явления синхронизации Гюйгенс начал историю нелинейной теории колебаний.
6. С Гюйгенса (и Ньютона — об этом см. п. 8) начинается и теория волн. Главное, что ему здесь принадлежит,—принцип, носящий его имя. Принцип Гюйгенса был создан и применен его творцом в теории света, но, как будет видно, он сразу нашел место в общем учении о передаче движения.
Вплоть до последних лет принцип Гюйгенса в том или ином понимании является предметом новых исследований. Остается в силе то, что С. И. Вавилов писал в 1930 г.: «Волновая теория Гюйгенса, ее основной принцип и построение сохранили свое значение почти полностью и до нашего времени, и притом далеко за пределами той области, в которой ее применял Гюйгенс» 1 2. Различные видоизменения принципа Гюйгенса характерны для различных эпох развития как учения о свете, так и общей теории волновых процессов. А так как принцип Гюйгенса (конечно, понимаемый в широком смысле) остается вплоть до наших дней действенным и совершенствуемым, то даже исторический анализ его развития нельзя считать исчерпанной темой, несмотря на наличие ряда работ по этому вопросу.
«Трактат о свете» Гюйгенса был напечатан в 1690 г. 3, но написан, как указано в авторском предисловии (что подтверждается и другими данными), в 1678 г. Он является итогом многолетних исследований великого ученого, немало потрудившегося, как известно, и в области прикладной оптики. Гюйгенс рассматривал в трактате «с помощью принципов, принятых в современной философии», свойства «прямо распространяющегося света», затем отражение и преломление света, касаясь также рефракции в атмосфере. Далее исследуются «причины странного преломления одного кристалла, который привозят из Исландии» 4 *. Под конец Гюйгенс занимается «разнообразными различными формами прозрачных и отражающих тел, с помощью которых лучи собираются в одной точке или же отклоняются различным образом» 6.
В предисловии Гюйгенс указывал, что некоторые трудности оставлены им неразрешенными и что есть вопросы, которых он вовсе не коснулся, как, например, вопрос о самосветящихся телах и все то, «что касается цвета»,— в этой
255
1 Галилео Галилей. Избранные ТРУДЫ, т. II, стр. 30—31.
* БСЭ, т. 20, стр.- 83.
’ Chr. Huygens. ТгаИё de la lumifere. Paris, 1690. Далее цитируется по русскому изданию: Хр.
Гюйгенс. Трактат о свете. Перев. Н. Фредерикс. M.— Л., ОНТИ, 1935.
* Хр. Гюйгенс. Трактат о свете, стр. 10—11.
• Там же, стр. 11.
256
области никто до еих пор не может похвастаться успехом. Наконец, в природе света остается для исследований значительно более того, чем, думается мне, сделано мною, и я буду весьма обязан тому, кто сможет восполнить то, что осталось для меня неизвестным» \ Таким образом, Гюйгенс не считает свой трактат чем-то итоговым, завершенным, но его взгляды на природу света сложились во вполне определенную систему, и именно то, что выявленный Гюйгенсом принцип позволил ему объяснить явления прямолинейного распространения, отражения и преломления (известное уже Гюйгенсу явление дифракции, открытое Гримальди и Гуком, он не затрагивает в «Трактате о свете»), побудило его выступить с систематическим изложением принятой им теории.
Для Гюйгенса несомненно, что свет состоит из движения какого-то вещества: на Земле его порождают, главным образом, огонь и пламя, свет же и сам, когда он собран вместе, обладает свойством сжигать, как огонь, т. е. он разъединяет части тел. А «последнее обстоятельство служит убедительным признаком движения, по крайней мере, для истинной философии, в которой причину всех естественных явлений постигают при помощи соображений механического характера. По моему мнению, так и следует поступать, в противном случае приходится отказаться от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике» а.
Итак, для Гюйгенса свет представляет собой движение. Но какое и чего? Скорость света очень велика, но не бесконечна: Гюйгенс довольно подробно анализирует совсем недавние для него измерения и выводы О. Ремера. Материя, участвующая в оптических явлениях, гораздо тоньше, чем воздух: свет проходит через плотные тела и через «торичеллиеву пустоту». Гюйгенс переходит к анализу распространения движения благодаря свойству твердых тел передавать движение одно другому. Это явно навеяно наблюдениями и опытами, которые он проводил, исследуя явление удара. «Если взять несколько одинаковых по величине шаров, сделанных из какого-нибудь твердого вещества, и если расположить их по прямой линии так, чтобы они касались друг друга, то при ударе таким же шаром по первому из них окажется, что движение как бы в одно мгновение передается до последнего шара, причем незаметно, чтобы при этом сдвигались остальные шары. Вместе с ними остается неподвижным даже шар, которым ударили. Здесь наблюдается передача движения с чрезвычайно большой скоростью, которая тем больше, чем тверже вещество, из которого сделаны шары... Кроме того, существуют опыты, показывающие, что все те тела, которые мы считаем самыми твердыми, как
Рис. 19
закаленная сталь, стекло и агат, упруги и некоторым образом сдают не только тогда, когда они натянуты в виде стержней, но и тогда, когда имеют форму шаров или иную» 3 (рис. 19). Исходя из таких представлений, Гюйгенс говорит, что ничто не мешает считать частицы светоносной среды — эфира — состоящими из материи, сколь угодно приближающейся к совершенной твердости и сколь угодно быстро восстанавливающей свою форму. Но частицы эфира расположены не по прямым линиям, а беспорядочно, так что одна частица касается нескольких других. Как объяснить то, что они передают свое движе-
1 Хр Гюйгенс. Трактат о свете стр. -4. . ,
2 Там же, стр. 12. , .
3 Там же, стр. 23—24. .
ние и распространяют его все вперед? В связи с этим Гюйгенс указывает на «закон движения», встречающийся при таком распространении и подтверждающийся опытом. Если шар А (рис. 20), который прикасается к нескольким другим одинаковым с ним шарам, толкнуть другим шаром В, то шар А будет действовать на все соприкасающиеся с ним шары и передаст им все свое движение; сам же он, как и шар В, останется после этого неподвижным. Ссылаясь на это, Гюйгенс считает вполне понятным (даже не предполагая у эфирных частиц сферическую форму), что это свойство удара содействует указанному им распространению движения. Равенство же размеров частиц, указывает Гюйгенс, следует предполагать, потому что иначе При передаче движения от меньшей частицы к большей должно быть некоторое отражение движения назад. Но допущение такого равенства нужно «не столько для распространения света, сколько для того, чтобы оно было более легким и сильным». И вот, описав такую схему, Гюйгенс заключает, что можно представить себе распространение света с его огромной скоростью «последовательными сферическими волнами».
Как видно, здесь мы находимся у истоков принципа Гюйгенса. Дайные, которыми располагала физика его времени, позволяли представить себе распространение света как передачу движения весьма твердыми и упругими частицами. На этой основе можно было объяснить, почему велика скорость света, можно было избавиться от трудностей корпускулярной теории (почему перекрещивающиеся «потоки» света не мешают другу другу; скорость света постоянна в данной среде; дифракционные явления), но сразу же надо было дать объяснение, почему нет «некоторого отражения движения назад». Тем более, что, как далее пишет Гюйгенс, «каждая маленькая часть какого-нибудь светящегося тела... порождает свои собственные волны, центр ом которых она и является». Это с неизбежностью становилось первой проблемой, подлежавшей разрешению в рамках волновой теории. И волновая теория света, как видим, возникла как учение о передаче движения в материальной среде, состоящей из частиц, обладающих в известной мере упругостью. Оптика здесь сливается с механикой.
7. Как не раз указывалось в литературе, волна (пока сферическая, среда неявно предполагается однородной), о которой говорит Гюйгенс, — это,
257
Рис. 20
безусловно, не периодический процесс. Это «волна-импульс», распространяющаяся из некоторого центра. И «удары в центрах этих волн совершаются без определенной последовательности;... не нужно представлять себе, что сами волны следуют друг за другом на одинаковых расстояниях» х.
Процесс образования этих волн связан и с тем, что каждая частица вещества, в котором распространяется волна, должна сообщать свое движение не только ближайшей частице, лежащей на проведенной от светящейся точки прямой, но и всем другим частицам, которые касаются ее. Поэтому вокруг
1 Хр. Гюйгенс. Трактат о свете, стр. 28—29.
17 История механики
258
каждой частицы светоносной среды должна образоваться волна, центром которой является эта частица. Но все эти «парциальные» волны-импульсы, весьма слабые сами по себе, складываются и усиливают друг друга только на фронте сферической волны. «Так, если (рис. 21) DCF—волна, исходящая из светящейся точки Л, ее центра, то частица В, одна из тех, которые находятся в сфере DCF, производит свою отдельную волну, которая коснется волны KCL в тот же момент, когда главная волна, исходящая из точки А, достигнет DCF. Ясно, что только точка С волны KCL, т. е. DCF, та, которая находится на прямой, проведенной через АВ, коснется волны DCF. Таким же образом остальные частицы, заключенные в сфере, как ЪЪ, dd и т. д., создадут каждая свою волну. Но каждая из этих волн может быть только бесконечно слабой сравнительно с волной DCF, образованию которой содействуют все остальные волны той частью своей поверхности, которая наиболее удалена от центра» \ Этого достаточно, чтобы объяснить прямолинейность распространения света в однородной среде и согласовать представление о луче с волновой природой света. Итак, пока перед нами такая концепция: парциальные волны-импульсы распространяются в особой среде, наделяемой описанными выше свойствами; каждая частица среды, до которой доходит импульс, сама становится центром новых волн-импульсов. Частицы сами по себе могут двигаться во всех направлениях, но заметная передача импульса происходит только «вперед», и ощутимый результат получается только на фронте сферической волны. Эта волна является огибающей в данный момент всех парциальных волн, и только эта огибающая имеет физический смысл. Вот, собственно, к чему пока сводится «принцип Гюйгенса». Но теперь надо объяснить, как происходит явление отражения. Гюйгенс рассматривает здесь для иллюстрации только случай плоского фронта (источник на бесконечности). Сферическую (точнее, цилиндрическую) волну рассмотрел Лагранж в своих черновиках. Возникает задача:
построить фронт отраженной волны. Но, когда фронт плоской волны находится в положении АС (АВ — отражающая плоскость), точка А оказывается на особом положении (рис. 22). Она становится центром новой волны, распространяющейся только выше плоскости А В. Постепенно становятся центрами таких волн и точки К, В. Отраженную волну надо строить как огибающую волн, исходящих из точек Л, ...,В, для момента времени, соответствующего достижению точкой С точки В. Тут уже можно совсем забыть о первоначальном источнике; мы имеем дело с системой новых центров на линии АВ, правда, возбуждаемых не в одно и то же время, а последовательно. Во всяком случае перед нами использование того обстоятельства, что можно забыть
1 Хр. Гюйгенс. Трактат о свете, стр. 31—32.
о происходившем в момент, например, t = 0. И, очевидно, для исследования того, что происходит после отражения, достаточно знать фронт отраженной волны, т. е. знание этого фронта для t = t0 вполне заменяет всю информацию о том, что происходило в промежутке t0, tx.
При построении преломленной волны новых соображений в интересующем нас отношении нет \ Какой-либо особой формулировки, выделяющей определенное положение в качестве принципиального, нет. Выполняемые Гюйгенсом построения характеризуются следующим образом: а) для данного момента времени t фронт волны S (рассматривается волна-импульс, исходящая из точечного источника) есть огибающая сферических волн, порождаемых всеми точками среды, до которых к моменту времени t дошло возбуждение; физическое значение имеет только этот, так сказать, результирующий фронт S; б) поэтому (подразумевается!) можно строить новый фронт S' волны для t' 2> t, зная фронт волны для момента t и рассматривая только волны, порождаемые центрами, находящимися на S.
Положение а) высказано Гюйгенсом; положение б) не формулируется особо, и это понятно: при системе представлений Гюйгенса, изложенной в первой главе «Трактата о свете», где объясняется прямолинейность лучей, построения следующих глав были настолько естественны, что автор не ощущал потребности их дополнительно обосновывать.
Не лишне добавить, что, пока речь идет об отражении и преломлении в однородной среде, новый фронт волны строится у Гюйгенса как огибающая парциальных волн, источниками для которых являются только точки на границе, отражающей или преломляющей. Но когда Гюйгенс дальше рассматривает неоднородную среду, то источниками парциальных волн являются точки на
259
фронте волны, являющиеся внутренними точками среды. Добавим также, следуя за С. И. Вавиловым 1 2, В. К. Фредериксом 3 и Ч. В. Раманом 4, что вся волновая оптика Гюйгенса представляет собой цельную систему, последовательно развитую на основе достаточно четких представлений. То, что выделяется в особое положение, как принцип Гюйгенса (если вкладывать в это понятие то содержание, которое действительно имеется в «Трактате о свете»),
1 И при выводе закона отражения, и, особенно, при выводе закона преломления Гюйгенс высказывает целый ряд очень интересных соображений, но они не имеют отношения к нашей теме.
* См. БСЭ, т. 20, стр. 83.
3 См. его примечания к русскому изданию «Трактата о свете».
4 Ч. В. Раман. Христиан Гюйгенс и волновая теория света.— Труды Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1960, т. 34, стр. 63—72.
17*
260
совершенно органически спаяно с общей теорией автора, в частности с понятием о парциальных волнах. «Конструкция Гюйгенса объясняет геометрические законы отражения и преломления столь естественным и удовлетворительным образом, что трудно найти возражение против заключения, что его концепция парциальных волн хорошо обоснована и что в этих частных случаях парциальные волны являются физической реальностью» Ч
Вполне справедливо будет сказать, что Гюйгенс сумел дать теорию волн, объясняющую отражение и преломление на границе двух сред, в каждой из которых волны распространяются с разными скоростями, иначе говоря, с разными скоростями передается движение от одной частицы к другой.
Первая же формула для определения скорости передачи движения — скорости распространения волны в пределах одной и той же среды — дана Ньютоном.
8. Формула Ньютона в словесном виде содержится в Отделе VIII «О движении, распространяющемся через жидкости», второй книги «Начал». Предложение XVII (оно же — теорема XXXVII) в этом отделе гласит:
«Когда по жидкости распространяются сотрясения, то отдельные ее частицы, совершая взад и вперед весьма малые колебания, ускоряются и замедляются по закону маятника» а. В доказательстве (геометрическом) этого положения у Ньютона не подчеркнуто (и сразу это не видно), что в сущности все основано на допущении пропорциональности «восстанавливающей силы» расстоянию колеблющейся частицы от ее положения равновесия. Почти через сто лет Лагранж еще считал нужным комментировать и разъяснять это место «Начал», так как теория звука Ньютона «одними почиталась за непонятную, другие находят ее противоречивой» 1 2 3. Для современного читателя очевидно, что доказательство Ньютона — это проверка того, что дифференциальное уравнение вида
Ж + С Х = 0
интегрируется в тригонометрических функциях. (Ньютон имеет в виду бесконечно малые колебания маятника.) После этого в следующих двух Предложениях 4 двумя способами (один из них можно назвать физическим, второй — математическим) доказывается, что «скорости распространяющихся в упругих жидкостях сотрясений находятся в прямом отношении корней квадратных сил упругостей жидкостей и в обратном отношении корней квадратных их плотностей», т. е. если отказаться от соблюдаемого Ньютоном правила брать отношение только однородных величин, скорость распространения «сотрясений» обратно пропорциональна корню квадратному из плотности и прямо пропорциональна корню квадратному из упругости. Упругость — это давление. В следующем «Предложении L» Ньютон, принимая зависимость давления от плотности по закону Бойля — Мариотта, вычисляет скорость звука в воздухе: «так как звуки происходят от дрожащих тел, то они не что иное, как сотрясения воздуха...» 5 Он получает для скорости звука величину 295 м/сек. Ньютону было известно довольно точное значение скорости звука при «комнатной» температуре воздуха; поэтому он пытается обосновать необходимость увеличить полученное им значение скорости (примерно до 340 м/сек) тем, что в самих частицах воздуха звук должен «распространяться мгновенно», и подобными соображениями. Впрочем, современники Ньютона и ученые XVIII в.
1 Ч. В. Раман. Христиан Гюйгенс и волновая теория света.— Труды Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1Э60, т. 34,стр. 70—71.
2 «Начала», стр. 474.
5 Там же, стр. 477.
1 Там же, стр. 480—483
s Там же, стр. 484.
не считали, что результат Ньютона — 295 м/сек, полученный с ошибкой, как мы знаем, порядка 10%, дает основание отвергнуть его теорию. Напротив, считали, что схема Ньютона — схема продольных волн расширения и сжатия, вызываемых колебаниями частиц «по закону маятника», отражала основное, раз она дала такое близкое к истинному значение. Наличие же превышающего возможные ошибки измерения бесспорного расхождения с опытными данными было доказательством того, что оставался неучтенным какой-то дополнительный фактор. Любопытно, что на основе теории Ньютона приходили к выводу, что в капельных жидкостях, которые очень мало сжимаемы (сжимаемость воды, например, тогда еще не была доказана экспериментально), звук не должен распространяться. Уточнение формулы для скорости звука было дано лишь более чем через сто лет после появления «Начал».
В том же VIII Отделе второй книги «Начал» впервые сделана попытка дать теорию волн на поверхности тяжелой жидкости — воды. Ньютон исходит из схемы сообщающихся сосудов. Сначала он доказывает Предложение XIV: «Пусть в трубе с поднятыми вверх коленами KL, MN вода поочередно то поднимается, то опускается; если устроить маятник, длина которого между точкою подвеса и центром качаний равна половине полной длины водяного стол- 261 ба, то я утверждаю, что вода поднимается и опускается в такие же промежутки времени, в какие маятник делает свою промежутки» % Представим себе, что волны на поверхности воды образуют двумя своими последовательными гребнями и промежутком между ними нечто вроде «трубы с поднятыми двумя коленами» цитированного предложения. Исходя из такой схемы, Ньютон делает вывод: «если устроить маятник, длина которого между точкою подвеса и центром качания равна длине волны, тогда в то время, как маятник совершает-свой каждый отдельный размах, волныпробегут путь, приблизительно равный длине их» 1 2. В итоге можно сделать вывод, что «скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их» 3. И физическая схема, и полученный результат тут, конечно, гораздо менее удачны, чем в теории звуковых волн. И действительно, само явление значительно сложнее.
Третье, что дал Ньютон в «Началах» по интересующей нас теме,— исследование «движения маятников при сопротивлении» — Отдел VI второй книги. Оно начинает трудную и до сих пор незаконченную главу механики. Ньютон анализирует выводы из допущений, что сопротивление среды пропорционально первой или второй степени скорости, приводит данные своих многочисленных опытов. Неполнота результатов ему ясна: он не раз оговаривает, что «не имел времени, чтобы все это испытать» 4.
9. Что же в итоге дала эпоха становления и утверждения классической механики, эпоха от Галилея до Ньютона, в учении о колебаниях и волнах? Пользуясь современной нам терминологией, мы можем подытожить труды целого столетия следующим образом. Во-первых, была построена теория малых колебаний (около положения равновесия) системы с одной степенью свободы (маятник) как незатухающих, так и при наличии вязкого сопротивления. Теория была построена в геометрической форме, ее еще предстояло перевести на язык анализа и представить как результат интегрирования дифференциального уравнения. Во-вторых, была дана в основном оправдавшая себя схема распространения волн сжатия и разрежения в идеальной жидкости, выявлена зависимость скорости распространения этих волн от упругости (давления) и плотности среды. В-третьих, была дана (слишком) упрощенная физическая схема образования волн на поверхности тяжелой жидкости. В-четвертых, был найден плодотворный принцип для построения фронта распро
1 «Начала», стр. 472.
2 Там же, стр. 473.
3 Там же.
4 Там же, стр. 419—421.
262
страняющейся волны по данным, относящимся к любому моменту времени, а не только к моменту начального возмущения. Все это было результатом трудов не только Галилея, Гюйгенса и Ньютона, которым принадлежат высшие достижения (каждому — в своем поколении), но и других, менее прославленных ученых, которыеставили проблемы, получали частные результаты, критически обсуждали работы своих коллег и накапливали результаты наблюдений и опытов. Это — круг учеников и последователей Галилея, активность которых замирает к концу XVII столетия из-за политических и экономических условий, сложившихся тогда в Италии; это — голландские предшественники и современники Гюйгенса, который был связан и с Парижской академией наук, — в самой Голландии научная и вообще культурная деятельность теряет к XVIII столетию прежний размах «золотого века» Стевина и Гюйгенса; это — английские ученые — основатели и первый состав Лондонского королевского общества; а во Франции это «круг Мерсенна» и ученые Парижской академии наук в первые десятилетия ее существования.
Это перечисление не должно создать впечатление, что группа ученых, занимавшихся в то время колебаниями и волнами, акустикой и оптикой, была многочисленной: счет пока надо вести на десятки, а для лиц, которые интересовались такими исследованиями или были в состоянии найти им при случае применение, — на сотни. Медленным темпом шел обмен сведениями, новые взгляды и результаты становились сначала известными немногим и лишь постепенно вытесняли прежние воззрения. Немало было ошибочных выводов, чрезмерно упрощенных толкований, неудачных схем, и продвижение вперед требовало их разъяснения и опровержения. История показывает нам, что поступательный ход науки происходил по траектории, далеко не прямолинейной. Только если выделить основные достижения, «шагая по вершинам», создается обманчивое ощущение непрерывного продвижения по геодезической линии от успеха к успеху.
Но истинные достижения науки не абсолютны, и, давая решение одних проблем, они ставят другие проблемы и подготавливают их решение. Успех в изучении малых колебаний системы с одной степенью свободы подготавливал постановку проблемы о малых колебаниях систем с любым числом степеней свободы. Принцип Гюйгенса надо было связать с законом передачи движения от одной частицы к другой и дать ему математическое выражение. Для волн на поверхности тяжелой жидкости надо было еще искать и проверять физическую схему. В теории звука предстояло разъяснить расхождение теоретической формулы для скорости звука в воздухе с данными измерений, и надо было дать теоретическое обоснование законам Галилея — Мерсенна (о звучании упругих твердых тел).
Первая попытка такого обоснования была сделана в начале XVIII в. Ее Предпринял один из учеников Ньютона — Брук Тэйлор. В своем труде «О методе приращений»1 он исследует задачу о поперечных колебаниях звучащей струны. Его схема такова. Струна длиной I натянута, образуя прямолинейный отрезок, концы которого закреплены. Пусть, для определенности, это отрезок оси Ох от начала (О) до точки с абсциссой I. В плоскости хОу струна натягивается из положения равновесия и затем предоставляется самой себе, вследствие чего она начинает совершать (свободные) колебания. Тэйлор не располагает общим уравнением движения струны и не пытается вывести такое уравнение — его подход можно охарактеризовать как полуэмпи-рический-полутеоретический. Он принимает такие допущения: 1) все точки струны одновременно проходят через свои положения равновесия (т. е. через ось Ох)-, 2) сила, которая действует на какую-либо точку струны, пропорциональна расстоянию этой точки от оси (в наших обозначениях — координате у).
Brook Taylor. De methodo incrementorum..., London, 1715.
Первое предположение Тэйлора связано с тем, что он рассматривает колебание струны, соответствующее ее основному тону, как мы теперь говорим. Второе предположение Тэйлора означает, что он рассматривает весьма малые колебания, и это позволяет ему определить у (ж) как функцию от времени t, изменяющуюся «по закону маятника»: причем Тэйлор пользуется по сути решением дифференциального уравнения вида у + с?у = 0. Результат Тэйлора можно записать так:
sin 2jtt y У c^' yi
где T — период колебания струны, т. е. общий, в силу первого допущения, период колебания всех тех «маятников», какие создаются движением отдельных точек струны. Этот период в соответствии с законами Галилея — Мерсен-
на равен 2Z где р — линейная плотность струны (разумеется, однородной), ат — натяжение.
10. В течение XVIII в. в двух основных проблемах — теории малых колебаний систем с конечным числом степеней и теории колебаний одномерных упругих континуумов — были выработаны основные физические схемы и разъяснены принципы, существенные для математического анализа проблем. Чтобы показать, насколько трудно было достичь ясности при рассмотрении физической стороны дела, познакомимся сперва с представлениями об упругости, распространенными в то время.
Известно, насколько сильно было влияние Декарта на его современников и на ученых ряда последующих поколений. Физика Декарта была в полной мере «преодолена», пожалуй, лишь во второй половине XVIII в., и только после этого известный астроном Деламбр мог писать, что у Декарта никто не может отнять заслуг в философии и математике, но в астрономии Декарт — «опасный мыслитель». Упругость тел Декарт объяснял тем, что тончайшая материя заполняет поры тел и не дает сближаться их частицам; когда же тело подвергнуто давлению, тончайшая материя частично удаляется из пор и с силой устремляется обратно, когда давление снято. Эта схема «губки в воде» была позже усложнена, в соответствии с общими концепциями Декарта, введением вихрей тончайшей материи или эфира. Например, в 1727 г. была издана работа Мазьера, получившая премию Парижской академии наук за 1726 г. 1 В ней доказывается, что причиной упругости пружины является эфирная материя. Доказательство: а) причиной не может быть разумная воля — последняя есть только Бог или первопричина; б) причиной не может быть твердое тело; в) следовательно, причиной является жидкость — флюид; г) этот флюид циркулирует в недоступных нашим чувствам каналах, пронизывающих тело, следовательно, это не воздух, а эфирная материя. Далее утверждается, что эфирная материя состоит из бесконечного числа вихрей, с исключительной скоростью вращающихся вокруг своих центров. Вихри остаются в относительном равновесии благодаря своей бесконечно большой центробежной силе. Физическая причина упругости — центробежная сила маленьких вихрей, состоящих из «тончайшей материи». Исходя из этого, автор анализирует соударение тел.
Среди последователей Декарта был не только заслуженно забытый сейчас Мазьер, но и такой выдающийся ученый, как Иоганн Бернулли. Его «Рассуждение о законах передачи движения» было премировано Парижской академией наук в 1724 г. (напечатано в 1727 г.) а. Бернулли считал эфир заключенным навечно в поры другого тела. Атомы этого «плененного» эфира были двух
263
* См: J. Todhunter, К. Pearson. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials. Cambridge, 1888, p. 17—18.
• Там же, стр. 20.
264
сортов, более крупные плавали среди более мелких. Сжатие тела сужало поры, сжимало орбиты этих круглых атомов, увеличивало их центробежную силу и тем самым вызывало сопротивление сжатию. Таким образом, «живая сила», поглощенная упругим телом, превращалась в его «мертвую силу», хранимую телом неопределенно долго. Когда в 1862 г, были опубликованы два тома «Посмертных трудов» Л. Эйлера \ оказалось, что Эйлер развивал для себя схему упругого тела, сходную со схемой своего учителя. Общим недостатком всех этих теорий было то, что они притязали на слишком многое, они «забегали» слишком далеко вперед, пытаясь связать свойство упругости с деталями гипотетической микроструктуры упругих тел. В силу этого были бесплодны в то время попытки вывести упругие свойства материалов, считая атомы материи наделенными свойством взаимного притяжения и отталкивания. Необходимо было самоограничение теории — исходить из данных опыта и сформулировать зависимости между величинами, доступными наблюдению и измерению, обходясь минимумом гипотез и проверяя следствия из них количественно. Это было очень трудной задачей. Экспериментальный метод, конечно, уже прочно утвердился в науке, но эксперимент в такой области, как упругость, в те времена очень трудно было поставить «в чистом виде», без теории он был по-настоящему слеп, а в теоретических допущениях очень трудно было соблюсти меру и противостоять теологическим и метафизическим тенденциям.
Чтобы добиться серьезного успеха, нужно было сочетать в себе дарование экспериментатора и теоретика с правильным пониманием методологических проблем науки этого времени. Последним, бесспорно, обладал незаурядный ученый Джакопо (Яков) Риккати, который все-таки не был достаточно даровитым математиком и физиком, чтобы добиться серьезного успеха. О его трудах (1731, 1747 гг.) Тодхантер в цитированной работе с полным основанием говорит, что их ценность — не в практических результатах, которые не имеют значения, а в формулировках и в стремлении заменить полуметафизические гипотезы динамической теорией.
Если Риккати дает нам пример неудачи теоретика, правильно наметивше го метод исследования, то голландский физик Гравезанд — пример выдающегося экспериментатора, который, не владея теорией явления, оказался не в состоянии разобраться в материале. В большом труде «Математические основы физики» 2 (1720 г., лат.) Гравезанд приходит к выводу, что поведение при упругих деформациях надо для каждого тела определять отдельно с помощью эксперимента. Впрочем, подобный взгляд, с некоторыми оговорками, высказал и такой ученый, как Иоганн Бернулли, Надо сказать, что Я. Риккати отвергал этот «экспериментальный нигилизм», ссылаясь на единообразие акустических свойств тел, и это было действительно сильным физическим аргументом в пользу того, что общая теория упругих колебаний может быть построена.
Сказанное позволяет по достоинству оценить работы, рассматриваемые в следующем пункте.
11. Одной из идей, существенных для дальнейшего развития теории колебаний, была замена сплошного тела системой конечного числа материальных точек. У Брука Тейлора (см. выше) струна распадается на отдельно колеблющиеся точки, число которых он не ограничивает, так как заранее устанавливает общее свойство их колебаний. Глубже затрагивает сущность проблемы замена сплошной кривой конечным числом материальных точек, которую применил в задаче о тяжелой цепи Иоганн Бернулли в 1727 г. 3 Такую же
1 L. Euler. Opera posthuma, t. I, II. СПб., 1862.
’ J. Todhunter, K. Pearson. A history of the theory of elasticity..., p. 35.
’Его работы на эту тему напечатаны в «Commentaril» Петербургской академии наук за 1727—1728 гг. (изданы в 1729—1732 гг., т. П, III) и вошли в третий том его собрания сочинений; J. Bernoulli. Opera omnia, t. I—IV. Baslleae, 1740—»1744.
замену применял при анализе колебаний упругих континуумов Даниил* Бернулли в своих работах начиная с 30-х годов. Д. Бернулли выделяет условие «бесконечной малости» колебаний, на этом основывает положение о пропорциональности восстанавливающей силы отклонению от положения равновесия, вводит понятие простого гармонического колебания системы, т. е. такого движения системы, когда все точки, ее составляющие, колеблются синхронно, с одинаковым периодом и разными амплитудами; устанавливает, что-число таких различных гармонических колебаний растет с числом точек, составляющих систему (Д. Бернулли сначала ошибочно считал, что число основных колебаний совпадает с числом точек, составляющих систему; точное со--отношение устанавливается с введением обобщенных координат у Лагранжа). Опыты над звучанием тел привели Д. Бернулли к убеждению, что самое общее колебание системы дискретных точек состоит в одновременном выполнении системой всех доступных ей простых гармонических колебаний. Последнее исключительно важное положение (термин «суперпозиция», т. е. наложение колебаний, был введен в XIX в.) было высказано Д. Бернулли в связи с анализом колебаний тела типа упругой пластинки (работа 1741 г., опубликована в 1751 г.).
Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с постоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло, просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При; этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения; (уравнения частот, или «векового уравнения»), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании «Аналитической механики» Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание «Аналитической механики» (т. I., 1813 г.).
Название соответствующего раздела в первой из работ Лагранжа вполне характеризует суть дела: «Общий метод для определения движения любой; системы тел, действующих друг на друга, в предположений, что эти тела совершают только бесконечно малые колебания около их положений равновесия» («тела» и здесь, конечно, — материальные точки). Как это до сих пор излагается в курсах теоретической механики, Лагранж показывает, что живая сила системы Т, с точностью до величины высшего порядка малости, является квадратичной формой первых производных от обобщенных координат, а. потенциальная энергия V — квадратичной формой самих координат (коэффициенты в Т и V —постоянные) и составляет уравнения движения вида
d f дТ \ . dV л /7 л о \
«число которых, как видим, равно числу переменных». А «так как эти уравнения имеют линейную форму с постоянными коэффициентами, то с помощью известных методов они могут быть проинтегрированы совершенна точно и в общем виде» 2.
* Линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 443—444.
265.
266
Метод интегрирования Лагранжа состоит в том, что он ищет частные решения в виде
<П = «11
и получает для £ уравнение вида
g + n-o,
где к определяется из уравнения степени п, а отношения чисел аг к одному из них определяются из системы линейных уравнений, куда к входит как параметр. Таким образом, для к получится п различных значений, каждому из которых соответствует своя система значений аг с точностью до общего коэффициента пропорциональности. Лагранж указывает и удобный способ для определения всех входящих в решение постоянных по начальным данным.
В изложении Лагранжа есть одна обмолвка и одна ошибка. Лагранж замечает, что «одна и та же система способна совершать столько различных простых колебаний, сколько она содержит движущихся тел» \ Это — повторение ошибочного утверждения Д. Бернулли, но у Лагранжа это, конечно, только небрежность формулировки, потому что весь его анализ показывает, что «число простых колебаний» равно числу независимых переменных, т. е. числу степеней свободы системы. Ошибочным же оказалось утверждение Лагранжа, что уравнение для определения к (уравнение частот ) не может иметь равные («вещественные и положительные») корни, так как тогда время £, «возрастающее до бесконечности», уже не будет всегда находиться под знаком синуса или косинуса 1 2 (верно то, что уравнение частот может иметь равные корни, но из-за этого в решении время не выйдет из-под знака периодических функций).
12. Мы говорили выше о замене упругого континуума при анализе его колебаний дискретной системой материальных точек. Но это дополнялось последующим переходом от дискретной системы материальных точек к континууму. Такой переход систематически применялся Д. Бернулли и, вслед за ним, другими исследователями этой эпохи (Эйлер, Лагранж). Но это не был переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных — предельный переход осуществлялся, так сказать, не в уравнениях движения, а в их интегралах. Например, в решении для дискретной системы, заменявшей струну, от случая п точек, когда
п
S. клх 2кл1 ак sin — cos
Д. Бернулли, ссылаясь на свои опыты, перешел к п = оо:
оо
S. клх 2fcnt sin — cos , г
утверждая, что это должно быть общим решением задачи о колебаниях струны (1753 г.). Такой же прием Д. Бернулли и Эйлер применяли в работах 30-х годов (в задаче о колебаниях свободно свисающей горизонтальной опоры тяжелой цепи, в задаче о колебаниях защемленной одним концом упругой пластинки).
Д. Бернулли принадлежит также идея вариационного метода для исследования колебаний упругих систем. Исходя из установленной Я. Бернулли в конце XVII в. связи между величиной деформирующей силы и радиусом
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 453.
2 Там же.
кривизны изогнутой упругой линии (в статической задаче!), Д. Бернулли
у ч С ds
сформулировал вариационный принцип: величина, пропорциональная \
{ds — элемент дуги, R — радиус кривизны, интеграл берется вдоль всей кривой) \ должна быть экстремальной (минимальной). Упругая линия предполагается при этом однородной. Впрочем Д. Бернулли обобщил этот принцип и на случай неоднородной линии, упругость которой Е (в расчете на единицу длины) переменна: минимальным должен быть интеграл \ В такой фор-J
ме Д. Бернулли поставил задачу определения формы равновесия упругой линии перед Эйлером.
Результаты Д. Бернулли и Эйлера в этой задаче совпали, и оба они одинаковым образом переходили от статической задачи к динамической задаче о колебаниях упругой линии, — умножая функцию, выражающую отклонение в статической задаче, на тригонометрическую функцию времени. Это прием, сходный с приемом Тейлора для решения задачи о струне. Его можно охарактеризовать как метод подбора фундаментального решения (для еще не составленного уравнения колебаний в частных производных, чем последнее заранее 267 исключалось и заменялось обыкновенным дифференциальным уравнением). Так же подходил и Эйлер к задаче о поперечных колебаниях стержня. Например, поперечные колебания консольной балки, заделанной в вертикальную стенку (схема, идущая от Галилея), они исследовали, решая сначала соответствующую статическую задачу, для которой Д. Бернулли вывел уравнение
diy _ к1. dxi ~ ку
{у — прогиб, х — расстояние от заделанного конца).
13. Ни Д. Бернулли, ни Эйлер не располагали еще тогда общим методом сведения задач динамики к задачам статики. Даламбер, разработавший такой метод, смог вывести в 1750 г. первое уравнение математической физики в частных производных — уравнение поперечных колебаний однородной струны в виде 2
дгу а Э2у dt2 дх2 '
Даламбер нашел решение этого уравнения в виде суммы двух произвольных функций
у = / (ж — at) + g (х + at)
и, использовав граничные условия: у = 0 для любых t при х = 0 и при х = I, получил закон колебаний струны длины I в виде
у = / {at + х) — / {at — х), (2)
где f — периодическая функция периода 21. Величина а равна скорости распространения волны, у как функция от t имеет период 2Иа, что дает теоретическое обоснование законов Галилея — Мерсенна. Два различных способа определения колебаний струны вызвали известную полемику — «спор о струне».
Эта полемика является важным эпизодом и в истории математики и в истории механики, прежде всего в истории учения о колебаниях. Она завязалась между Даламбером и Эйлером. Эйлер в 1751 г. дал новый вывод уравне-
* Здесь Д. Бернулли фактически вводит в рассмотрение потенциальную энергию упругой линии, s Даламбер сразу указал, что аналогичное уравнение описывает колебания воздуха в трубе.
268
ния (1) и графический способ построения решения (2). При этом функцию / Эйлер считал «произвольной» х, поскольку при t = 0 выражение для у, т. е f (ж) — / (—х), должно было дать произвольное начальное положение струны, выведенной из равновесия. Даламбер считал, что решением его уравнения может быть только функция, аналитическая в смысле, указанном в подстрочном примечании. Аргументация каждой из сторон не была убедительной для оппонента. Но оба они не были согласны с Даниилом Бернулли, утверждавшим, что его решение
со
S. клх 2/слг fflfc Sin -jp cos -yr fc=l
является общим. При t = 0 решение Бернулли дает
оо
VI • клх
у& — 2j акsm—г ’
)с=1
й Эйлер, например, никак не соглашался с тем, что такой ряд может представить любую «свободно начерченную кривую». Но Эйлер ссылается не на то, что действительно было недостатком решения Бернулли, — на отсутствие в нем ряда вида
00
V. • клх 2kstt
2ftSin -т~-81П—=7- ’
Л=1
а на то, что вообще аналитические выражения представляют более узкий класс функций, чем произвольно вычерчиваемые кривые. Четвертый участник полемики, Лагранж, вступил в нее одной из самых блестящих своих работ «Исследования о природе и распространении звука» 1 2. Метод не нов: Лагранж разбивает струну на малые дуги одинаковой длины, массу каждой дуги сосредоточивает в ее центре, выписывает уравнения движения для такой системы материальных точек и переходит к пределу, непосредственно исследуя решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений при неограниченном возрастании числа уравнений. Приведем его собственное резюме к полученным им результатам:
«Я приступил к решению этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе новым и интересным, так как одновременно надо решать уравнения, число которых не является определенным. К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне формулы не слишком сложные, если учесть большое число операций, которые пришлось проделать. Я рассматриваю эти формулы сначала в том случае, когда число движущихся тел 3 конечно, и я легко получаю всю теорию смешения простых и правильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел только с помощью частных и косвенных примеров. Я перехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел, и, показав недостаточность предыдущей теории в этом случае 4, я извлекаю из моих формул то же построение для решения проблемы колеблющихся струн, которое дал г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном Даламбером» 5. В последнем замечании Лагранж имеет в виду графическое построение Эйлера, которое
1 Это означало, что / можно задать «свободно начерченной» кривой, а не аналитическим выражением через известные тогда функции.
‘ L. Lagrange. Recherches sur la nature et la propagation du son. Oeuvres de Lagrange, v. I, Paris, 1875.
* «Тело» здесь то же, что материальная точка.— И- П.
4 Лагранж пополнил решение Бернулли вторым рядом (не по косинусам, а по синусам дуг, кратных 2п 1/Т).
* Oeuvres de Lagrange, t. I, p. 45.
он описывает следующим образом: «Он (Эйлер.— И.П.) приходит к тому же уравнению
у = <р (ж + t Yс) + <р (ж — t /с),
в котором функция должна быть такой, чтобы
ф(* Кс) + ф (— t Vc) = о, и
<р (а + t /с) 4- <р (а — t Ус) = О,
каково бы ни было значение t, что не отличается существенно от найденного раньше. Г-н Эйлер делает отсюда вывод, что всякая змеевидная кривая CcAaBbD (рис. 23), продолженная в обе стороны до бесконечности подобными дугами СсА, АаВ, BbD, расположенными попеременно над и под осью, подходит для представления функции <р независимо от того, является ли эта кривая правильной или неправильной \ Отсюда ясно, что (поскольку в начале движения уравнением кривой является у = 2<р (ж)) достаточно рассмотреть начальную кривую АаВ, и, если ее повторить над и под осью в обе 269 стороны до бесконечности, полусумма ординат, соответствующих абсциссам х + t УТ, х — t У с в составной кривой CcAaBbD, будет ординатой для абсциссы натянутой струны для любого времени £» 2.
Итак, в отличие от Д. Бернулли, Лагранж не постулировал заранее, что общее решение есть бесконечная сумма частных решений, каждое из которых соответствует движению одной материальной точки, причем эти остальные точки связывались некоторым «законом непрерывности» 3.
«Так как в этом уравнении,— писал Лагранж, говоря о решении Д. Бернулли,— каждый член соответствует, так сказать, движению каждой точки струны, то следовало бы сначала дать общее решение проблемы колебаний струны, предполагая, что струна нагружена неопределенно большим числом тел...»4
а
Рис. 23
В решении такой задачи Лагранж справедливо усматривал свое главное достижение.
Разумеется, и решение Лагранжа далеко не соответствует требованиям современной, да и не только современной строгости: механики XIX в. например Дюамаль, указали некоторые из допущений, которые, как очевидно, принимались в XVIII в. при переходе от дискретных систем к непрерывным. Но в свое время анализ Лагранжа был заметным шагом вперед. Лагранж дал также формулы для определения «коэффициентов Фурье» в улучшенном разложении решения в тригонометрический ряд. В итоге к 60-м годам XVIII в,
* Правильная кривая — заданная своим уравнением, в которое входят «аналитические» функции, «неправильная» — произвольно начерченная.
’ Oeuvres de Lagrange, t. 1, p. 66—67.
’ Выражение самого Лагранжа, которое он употребил, критикуя постановку вопроса у Д. Бернулли. 4 Oeuvres de Lagrange, t. 1, р. 71.
270
в связи с проблемой (поперечных) колебаний струны: а) было выведено одномерное волновое уравнение: б) было получено решение этого уравнения в виде наложения двух волн, бегущих в противоположных направлениях; в) было найдено решение этого уравнения в виде бесконечного ряда—суммы частных решений; г) установлена, с известными оговорками, равноправность обоих решений, что выявило связь между колебаниями (частей континуумов) и волнами (распространяющимися по континууму); д) выявлена роль граничных и начальных условий в подобных проблемах.
Сказанным выше история проблемы струны в XVIII в. еще не исчерпана. Эйлер и Лагранж неоднократно возвращались к ней в других работах, помимо указанных выше. Наиболее полное изложение дал Лагранж в «Аналитической механике», особенно во втором издании. Отметим только, что он там анализирует и продольные колебания струны, замечая под конец: «Все авторы, писавшие до сих пор по вопросу о колебаниях звучащих струн, исследовали только поперечные колебания... Что касается продольных колебаний, то, насколько я знаю, только Хладни упомянул о них в своем интересном трактате по акустике...» 1 Упомянем также, что Д. Бернулли и Эйлер занимались другой одномерной задачей теории малых колебаний — поперечными колебаниями упругих стержней.
14. Эйлер и Лагранж начали также исследование колебаний двумерных упругих тел. В 1765 г. Эйлер вывел уравнение колебаний однородной мембраны в виде
d2z 2 32Z , о 32Z2
w + b w-
Эйлер рассматривал мембрану, в сущности, как пластинку. Такая аналогия неудачна. Лагранж дал лучшую трактовку задачи, и на основании его результата для малых прогибов мембраны под действием силы тяжести уравнение колебаний мембраны получается корректно, в виде
Э2з 2 / d2z d2z \ df2 = а \ Э^2 + V/
Не подлежит сомнению, что уравнение поперечных колебаний пластинки тоже получено Лагранжем. В этом вопросе имена Эйлера и Лагранжа снова связаны. В уже упоминавшемся X томе «Novi Commentarii» (1766 г.) Эйлер поместил мемуар «О звучании колоколов»3. Для вывода уравнений Эйлер представляет себе колокол разделенным горизонтальными сечениями на кольца; каждое кольцо делится вертикальными сечениями на нечто вроде пластинок. Кольца и пластинки рассматриваются как двумерные тела, которые колеблются независимо одно от другого. Последнее допущение приводит к ошибочному уравнению колебаний вида
dt2 дх2 ф дх1
Интерес к проблеме колебаний пластинок значительно оживился благодаря многочисленным и эффектным экспериментам Хладни. На французском языке «Трактат по акустике» 4 Хладни был издан в 1809 г., и в этой же книге помещена программа конкурса, объявленного Парижской академией наук на тему «Дать математическую теорию колебаний упругих поверхностей и
1 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 510.
2 «De motu vibrationum tympanorum». Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. X, 1766.
* Вывод уравнения равновесия мембраны изложен в «Аналитической механике» (т. I. Статика, отдел пятый, глава третья, § 2); критические замечания Ж. Бертрана, редактора посмертного издания «Аналитической механики», изложены в примечаниях к основному тексту.
4 (I) Chladny. Traite d’acoustique. Paris, 1809; на немецком языке эта книга (I. Chladny, Die Akustik) вышла в 1802 г.
сравнить ее с опытом». Софи Жермен в предисловии к своей книге «Исследования по теории упругих поверхностей» 1 рассказывает, что она подала работу на этот конкурс, но допустила в ней серьезные ошибки, так что работу можно было отвергнуть без детального разбора... «К счастью, один из членов жюри, Лагранж, оценил исходные предположения и вывел уравнение, которое я должна была бы получить, если бы не погрешила против правил вычисления» 2. Академия продлила срок конкурса, и работа С. Жермен, основанная уже на правильном уравнении малых колебаний пластинки
' 2 Э‘г ! д*2\
di? 'дх^~Г dx'-dy”- “г 5//’
была принята одобрительно (в 1815 г.).
Кроме этих двумерных уравнений, в качестве естественного обобщения уравнения струны в исследованиях Лагранжа по теории звука было выведено трехмерное уравнение вида
д-и 2 / д-и dhi Э2и\ ~ а +
для распространения смещения (колебания) и в неограниченно протяженной во всех направлениях однородной среде. В анализе уравнений и в построении их решений в дву- и трехмерном случаях не были получены сколько-нибудь значительные результаты до работ Пуассона (см. ниже). Но если математические успехи в XVIII в. были достигнуты в основном только в одномерном случае, успехи физической теории имели общее значение: было понято значение малости колебаний как основы для линейной трактовки; был введен принцип наложения малых колебаний; окончательно вошли в научный обиход понятия частоты, периода и амплитуды колебаний; в связи с задачей о струне была установлена в математической форме связь между колебаниями и волнами.
15. В середине XVIII в. Эйлер вывел общие уравнения движения идеальной жидкости. Даламберу, Эйлеру и Лагранжу принадлежат и первые исследования потенциального движения идеальной жидкости. На этой основе Лагранж построил теорию так называемых длинных волн. Рассматривалось движение волн в бесконечном прямолинейном канале постоянной глубины h. Направим ось Ох вдоль свободного уровня в его невозмущенном положении, а ось Оу — вертикально вверх и будем считать потенциал скоростей F функцией от х, у и времени t. Величина у не должна значительно отличаться от нуля, поэтому разлагаем F по степеням у.
4
F(xy у, t) = F0(x, t) + yFr(x, t) + -^y2F^x, t),
обрывая разложение на квадратичном члене.
Используя то, что F должно удовлетворять уравнению
d2F d2F n Эх2 -г dyi — и
и граничным условиям
i&F dF\ _ n (dF\ _ n
''dx2 ' & ду /у=о ~ ' \dy Jy=—h ~~ ’
и сохраняя только члены низшего порядка малости, Лагранж получил для ординаты ц свободной поверхности жидкости уравнение
32п , d2h _
+ gh = 0. (а)
dr ох2 ' ’
271
1 M-lle Sophie Germain. Recherches sur la theorie des surfaces elastiques.
* I. Todhnnter, K. Pearson. A history of the theory of elasticity..., p. 147.
Это уравнение совпадает с уравнением колебаний струны, оно указывает на волновой характер изменения величины т], и из него сразу, по аналогии со 'Струной, получается формула Лагранжа для скорости с распространения волн
с = У gh.
Этот результат был изложен Лагранжем и в «Аналитической механике» (изд. 2-е, т. II, отд. 11).
При выводе уравнения (<%) величина h рассматривается как малая. Но «большая или малая глубина потока есть понятие относительное: мы говорим, что поток — малой глубины, если эта глубина мала по сравнению с длинами волн, распространяющихся на поверхности» х. Поэтому теория Лагранжа есть теория длинных волн, как и принято ее сейчас называть. Сам Лагранж приписывал ей чрезмерную общность: он ссылается на то, что волнение на поверхности жидкости ненамного проникает в ее глубь (в океанах, например, на глубине около 30 м почти не ощутимы самые мощные бури), и поэтому полагал, что можно считать волны распространяющимися на поверхности потока 272 незначительной глубины. Однако теория и опыт показывают, что выводы Лагранжа применимы как хорошее приближение лишь при малых глубинах. Во всяком случае теория Лагранжа является первой успешной попыткой гидродинамического анализа одного из видов волн на поверхности тяжелой жидкости. Вместе с работами о колебаниях упругих тел она составляет основное, что дал XVIII в. в теории колебаний и волн.
В XVIII в. начинается история еще одного раздела учения о волнах, теории приливных волн (впрочем, этот раздел можно отнести, как и исследования Лагранжа, к общей теории длинных волн). Первая (и неудачная) попытка объяснить приливы на основе законов механики была сделана Галилеем. Объяснение приливов действием сил притяжения к Солнцу и Луне принадлежит Ньютону. На этой’основе была построена первая расчетная теория приливов — так называемая статическая теория (Д. Бернулли, Маклорен, Клеро), которую ее авторы рассматривали как весьма грубое приближение. Лаплас в работах 1775 и 1776 гг. начал исследования по динамической теории приливов ?. Основная проблема в теории Лапласа — определить колеба-. ния океана сравнительно небольшой постоянной глубины, покрывающего вращающийся шар. Главное значение имеют вынужденные колебания, вызываемые потенциальным полем приливообразующих сил тяготения. Потенциал приливообразующих сил играет роль пертурбационной функции в теории планетных орбит. Используя разложение потенциала возмущающих сил в ряд по простым гармоническим функциям времени, Лаплас получил вынужденные колебания трех родов, приливы длинного периода (например, полугодовой солнечный, четырнадцатидневный лунный), суточные (лунный и солнечный), полусуточные (лунный и солнечный). Теория Лапласа основана на некоторых упрощающих допущениях, которые здесь не указаны, и в работах ученых XIX в. была значительно усовершенствована. Но и в том виде, в котором ее дал автор, она является замечательным достижением и дает яркий пример значения успехов небесной механики для развития механики в целом.
16. Вывод общих уравнений математической теории упругости в трудах Навье, Коши, Пуассона в 20-е годы XIX в. имел большое значение для дальнейшего развития теории колебаний и волн. Раньше для каждого типа упругих систем уравнения движения приходилось выводить отдельно, пользуясь специальными допущениями, отныне стала возможной единообразная трактовка таких вопросов. В частности, была поставлена в общем виде и матема-
1 л. Н. сретенский. Теория волновых движений жидкости. М.— Л., ОНТИ, 1936, стр. 216.
2 Полное (и улучшенное) изложение полученных Лапласом результатов содержится в его знаменитом «ТгаНё de 1а Мёсатдие Celeste», t. I, livre IV, Paris, 1799.
тически сформулирована пространственная задача о колебаниях упругого континуума. Решение этой задачи для бесконечного пространства, полученное Пуассоном и Остроградским, приводило к выводам, которые несколько условно можно охарактеризовать как «принцип Гюйгенса».
Аппарат, использованный в рассматриваемых далее работах, был подготовлен в значительной мере Пуассоном в его «Мемуаре об интегрировании некоторых линейных уравнений в частных производных, в частности общего уравнения движения упругих жидкостей» \ представленном Парижской академии наук в 1819 г. Пуассон начинаете замечания, что для уравнений в частных производных второго порядка и высших нет общих методов интегрирования; поэтому он считает целесообразным изучать отдельные типы уравнений, встречающиеся в наиболее важных задачах механики и физики. В силу этого в первую очередь он начинает с интегрирования в общем виде волнового уравнения
дР а\дх1 2^ду^~ dz*J “ ЛФ-
Общий интеграл Пуассон ищет в виде ряда по степеням t:
, a2t2 Л , а4(4 . л , , . , а3!3 . . asfi л 2 ,
<Р = И + ’2ГД“ + Д и +• ’ * + tV + ~ЗГ + ‘5ГЛ V +’ ’ ”
где и, v — произвольные функции от х, у, z. Достаточно, как сразу видно, определить подчеркнутую нами часть общего интеграла, которую обозначим Т (первая часть формально получается дифференцированием этой второй части по t и заменой v на и). Пуассон получает Т в виде определенного Интегра ла:
т. 1 с * Т — \ f (ж at cos w, у + at sin v sin u, z + at sin и cos v) t sin udvdu
о о
(v = f(x, y, z)), откуда, если положить
и = F(x, у, z), следует искомый результат
2тг 7Z
Т'=-^ (хat cos и, у Д- at sin и sin к, z + at smu cos v)tsioududv. о о
Произвольные функции / и Смогут быть определены по начальным условиям:
<р0 = faiF(г, у, z), = 4л/(ж, у, z).
Решение Пуассона, как видим, может быть с удобством использовано в задачах с начальными данными. И если нам известно состояние среды в точке (х, у, z), задаваемое значениями в этой точке функций F и / (предположим, для определенности, что во всех остальных точках пространства F = / = 0), то при отсутствии каких-либо препятствий в среде, т. е. границ области, в которой ищем решение, мы можем определить в момент t значения ср на сфере радиуса at. А если мы будем знать для t = t0 значение <р на сфере радиуса at0 (с центром в точке х, у, z), мы можем определить значение <р в любой точке вне этой сферы (только вне имеет физический смысл) для t tQ.
273
1 Mdmoires del’Acaddmie Royale des Sciences, t. Ill, 1818 (изд. в 1820 г.), p. 121—176.
* Мы будем заменять обозначения Пуассона современными.
1Д 18 История механики
Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в.: ведь даже Лагранж должен был признать (например, в «Аналитической механике»), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении.
17. Примерно через десять лет, когда уравнения теории упругости уже были выведены, Пуассон и Остроградский в нескольких работах, опубликованных в 1829—1831 гг. х, рассмотрели вопрос о (малых) колебаниях упругой среды. Их результаты перекрываются по времени и по содержанию, поэтому достаточно проанализировать то, что сделано Остроградским.
В работе «Об интегрировании уравнений в частных производных, относящихся к малым колебаниям упругой среды» 1 2, рассматривается неограничен-274 ная во всех измерениях однородная упругая среда. Малые смещения ее частиц (u, v, w) заданы для начального значения времени вместе со своими первыми производными (скоростями) по времени:
и0 = / (х, у, z), v0 — F(x, у, Z), и>й = Ф(х, у, z);
= (Й)о = z), ^о = ф1(а;, у, Z).
Они должны удовлетворять трем однотипным уравнениям, из которых мы выпишем только уравнение для и:
— -k?\bu + 2-(-4--4-—YI dt? к -г 4 дх\дх + ду + dz•
Это — уравнения с одной упругой постоянной, но решение^ полученное для них, без труда переносится на уравнения с двумя упругими постоянными. Остроградский сразу ищет решение в виде определенных интегралов и после ряда преобразований находит, например, что
я 2л
и = Д (х + kt cos р sin q 4- kt sin p sin q, z + kt cos q) t sin qdpdq о о
плюс еще три слагаемых аналогичной структуры. Получив такое решение, Остроградский останавливается на случае, когда первоначальное возмущение, задаваемое функциями Д,...,®! от координат х, у, z, имеет место только в ограниченной части упругой среды. Тогда эти функции заметно отличаются от нуля только в области, на которую распространяется возмущение. Полученные решения применимы и в этом случае, «лишь бы функции Д,.. .Фх и их частные производные не имели резких скачков». И тут Остроградский ставит вопрос: когда начинается и когда заканчивается движение в данной точке пространства? Ответ таков: «Для определения этих моментов рассмотрим одну из функций Д (х, у, z), (х, у, z), Ф1 (х, у, z) например, первую. Чтобы узнать, отлична
ли от нуля функция/ (#+ г cos р cos q, у+ г sin р sin q, z + г cos q) или нет, достаточно описать из точки (х, у, z), как из центра, сферическую поверхность радиуса г; функция/ будет отлична от нуля в частях сферической поверхности,
1 Работы Пуассона напечатаны в восьмом и десятом томах «Мемуаров» Парижской академии (см. пред сноску), опубликованных соответственно в 1829 и 1831 гг. Работы Остроградского опубликованы в «Мемуарах» Петербургской академии наук (1830—1832 гг.), они вошли в первый том издания: M. В Остроградский. Полное собрание трудов. Киев, Изд-во АП УССР, 1959.
! M. В. Остроградский.. Полное собрание трудов, т. 1, стр. 80—85.
заключающихся в возмущенном объеме; значит, функция f начинает принимать отличные от нуля значения с того момента, когда г равно наименьшему расстоянию точки (ж, у, z) до возмущенного объема, и сводится снова к нулю, когда г равно наибольшему расстоянию той же точки от того же объема. Так же будет для всех функций ..., Фр> Ч
Если принять это во внимание, то становится очевидным, как указывал Остроградский, что входящие в выражение для и, v, w слагаемые становятся отличными от нуля, когда t = aR0, и перестают быть таковыми, когда t = = pi?!, где Ro и R1 — наибольшее и наименьшее расстояния точки (х, у, z) от объема, первоначально приведенного в движение, а и |3 — коэффициенты, за-1 1 \ висящие от к (согласно формулам Остроградского, а = —, р = — | . к у 3
«Значит, движение в любой точке начинается, когда t = Rojky 3, и прекращается, когда t= R-Jk, следовательно, движение продолжается в течение промежутка, равного (7?! |ЧЗ — R0)!k У3. Таким образом, продолжительность движения обратно пропорциональна упругости к и нисколько не зависит от первоначального возмущения» а. Добавим, что для уравнений с двумя упругими посто- 275 явными к~з.1 (здесь к2 = ц/б, Z2 — %/б, где Xи ц — постоянные Ламе, б — плотность однородной среды) выражение для продолжительности движения в данной точке оказывается равным (RJk) — (Ro У2к2 + Z2), а результат Остроградского получается отсюда при I = к. Во второй работе Остроградского «Мемуар об интегрировании уравнений в частных производных, относящихся к малым колебаниям упругих тел» 3, доложенной Петербургской академии наук в 1832 г., есть ряд существенных с математической точки зрения дополнений и изменений метода первого мемуара, а общий интеграл уравнений теории упругих колебаний получен в несколько ином виде. Это видоизмененное решение было получено ранее Пуассоном (1830 г.), и, как показал Пуассон, оно удобно для анализа движения при больших значениях времени и на большом удалении от места первоначального возмущения. Исходя именно из этой формы решения, Пуассон доказал наличие двух типов упругих волн. Каждый из них имеет свою скорость распространения, и в волнах одного типа имеет место объемное расширение («волны дилатации»), в волнах другого типа объемное расширение отсутствует.
Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе «Трактата о свете» (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, «импульсивным» — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового 1 (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — «скалярному» случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — «векторному» случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени А£, и в течение этого времени она является
* М. В. Остроградский. Полное собрание трудов, т. 1, стр. 85.
* Там же.
’МВ. Остроградский. Полное собрание трудов, стр. 86—115; см. прим, на стр. 284—286.
4 Система линейных уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами.
1Д19 История механики
следовательно, «центром» возмущений. Скорость распространения процесса и величина At определяются только постоянными, характеризующими среду. Знание величины и локализации возмущения для любого момента t^to (t0— начальный момент) позволяет строить решение для всех t tr. Это, конечно, принцип детерминизма, заложенный уже в исходные дифференциальные уравнения движения: мгновенное состояние системы определяет ее состояние в следующее мгновение и т. д. Нет проблемы, связанной с «обратной передачей движения»: процесс развертывается как бы поступательно в пространстве и времени. Все это относится к задаче без граничных условий.
18. Идеи, родственные принципу Гюйгенса, и во второй половине XIX в. сохраняют свое значение для развития теории колебаний и волн. Так, в 1859 г. появилась замечательная во многих отношениях работа Гельмгольца «Теория колебаний воздуха в открытых трубах» Ч Гельмгольц рассматривает стоячие волны, пользуясь уравнениями динамики сжимаемой жидкости и предполагая наличие потенциала скоростей Ф. Поэтому он ищет Ф в виде
Ф = ф' cos 2ant + тр'Л sin 2nnt,
276 где ф' и ф" зависят только от пространственных координат х, у, z. В связи с этим ему приходится рассматривать уравнение вида
/г1 2ф -f- Аф = 0, (1)
которому удовлетворяют функции ф' и ф" во всем пространстве V, занятом воздухом, за исключением той его части, в которой действуют переменные силы, вызывающие звуковые колебания. Анализируя уравнение (1), Гельмгольц руководствуется аналогией с хорошо разработанной в то время теорией потенциала и опирается на общие результаты Грина и Гаусса. В итоге он получает решение уравнения (1) в виде
(2)
8 8
где ds—элемент поверхности 8, ограничивающей объем V. Здесь второе слагаемое справа представляет собой потенциал слоя, образованного «центрами возбуждения». Этот слой размещен по поверхности, ограничивающей рассматриваемую область, его плотность определяется производной по нормали от искомого потенциала скоростей. Первое слагаемое можно истолковать как потенциал двойного слоя, размещенного по той же поверхности, а именно:
1
если представим себе один слой с плотностью, равной----ф, размещенным с
€
1
внешней стороны этой поверхности на бесконечно малом расстоянии — 8 от
1
нее, а второй слой с плотностью, равной — ф, размещенным с внутренней стороны поверхности на бесконечно малом расстоянии от нее, которое тоже рав-
1 - -
но — 8,то потенциалом такого двойного слоя будет как раз первое слагаемое
правой части (2). Так Гельмгольц получает теорему: «Всякую непрерывную и однозначную функцию ф, удовлетворяющую во всех частях пространства 8 уравнению
Аф ф- Л2ф = О, можно представить в виде потенциала скоростей центров возбуждения, размещенных только на поверхности, ограничивающей 8» 2.
1 Н. Helmhotz. Theorie der Luftschwingungen in. offenen Rotiren.— Journal fiir die reine u. angewandte Mathematik, Bd. 56, 1859.
1 H. Helmholtz. Theorie der Luftschwingungen..., p. 24 (в этой формулировке сохранена терминология Гельмгольца).
Гельмгольц сопровождает эту теорему весьма существенными указаниями: «Однако здесь сходство с потенциальными функциями теории электричества нарушается, потому что последние выражаются потенциалами простого слоя электричества на поверхности, ограничивающей пространство, что, правда, в общем случае имеет место и для наших потенциалов, но при этом для каждой заданной замкнутой поверхности имеются исключения — при соответствующих определенных значениях А:, и этих значений бесконечно много. Это те значения к, которые соответствуют собственным тонам содержащейся в данном объеме массы воздуха» Г
Гельмгольц не связывает свой результат, выраженный формулой (2), с принципом Гюйгенса. Действительно, как от первоначальных представлений Гюйгенса, так и от принципа Гюйгенса — Френеля он достаточно далек. Далека физическая схема: мы рассматриваем здесь стационарный процесс, и время не входит в рассмотрение. Все же с принципом Гюйгенса теорему Гельмгольца роднит то, что и здесь функция, описывающая состояние среды в некоторой области, определяется своими значениями на ограничивающей эту область поверхности. Формула Гельмгольца вскрывает то свойство решений уравнений типа
Лф -|- &1 2ф = О,
которое сближает их с уравнениями, исследованными Остроградским и Пуассоном. Дальше пойти по этому пути можно было, привлекая зависимость от времени. Этот шаг был сделан Г. Кирхгофом в его «Лекциях по математической оптике», относящихся к концу 70-х и началу 80-х годов 2.
19. Создание общей математической теории идеально упругого тела дало стимулы для развития учения о колебаниях и волнах и в других направлениях.
В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. 3 содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов: из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-нибудь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе «О динамической теории дифракции» 4, название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя «нормальные координаты», для изменения каждой из них, получают уравнение вида
Ф + п2ф = 0,
277
1 Н. Helmholtz. Theorie derJLuftschwingungen..., р. ,24.
! Изданы посмертно: G. Kirchhoff. Vorlesungen uber mathematische Optik, Leipzig, 1891.
3 S. Poisson. M&noire sur I ’-pquilibre et le mouvement des corps solides.— M&noires de 1’Academie Royale des Sciences, 1829, t. 8.
* G. G. Stokes. On the dynamical theory of diffraction.— Transactions of Cambridge Philosophical Society, 1849, t. 9.
19’
278
решение которого, выраженное через начальные данные ф0, ф0, записывается в виде
ф = ф0 COS nt -f- — Фо Sin nt.
Последняя формула показывает, что первое слагаемое правой части получается из второго дифференцированием по времени t и заменой ф0 на ф0. Стокс доказал, что такая же связь существует и в общем случае между составляющими свободных колебаний, которые зависят от начальных смещений системы, и составляющими, которые зависят от начальных скоростей. Это означает, что для рассматриваемой линейной задачи достаточно построить решение, соответствующее заданным начальным скоростям и нулевым смещениям, чтобы получить общее решение.
Стоксу принадлежит также более детальный анализ двух типов волн, открытых Пуассоном,—безвихревых волн объемного сжатия и расширения и вихревых волн смещений, не сопровождаемых изменением плотности. В 1885 г. Рэлей к этим двум типам волн добавил третий: он показал, что вдоль поверхности раздела упругих сред могут распространяться волны, скорость которых меньше, чем скорости «пуассоновых волн», и не зависит от их периода. Впоследствии выяснилось значение этих волн Рэлея для анализа сейсмических процессов.
20. Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей «Теории упругости твердых тел» \ Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д.
В основном открытыми оставались проблемы существования решений, удовлетворяющих заданным начальным и граничным условиям, и сходимости разложений в ряды по фундаментальным функциям. Эти трудные вопросы будут предметом математических исследований в течение последующих десятилетий, достаточно полные и строго обоснованные результаты будут получены лишь к концу столетия, но это не будет препятствием для дальнейшего развития общей теории колебаний и волн. В значительной мере оно определялось работами Дж. В. Стретта — лорда Рэйли (Рэлея).
21. В большой работе Рэйли 1873 г. «Некоторые общие теоремы, касающиеся колебаний» 2, доказана теорема, которую Рэйли позже в знаменитой монографии «Теория звука» с полным правом назвал весьма важной: период консервативной системы, колеблющейся при наличии связей около положения устойчивого равновесия, имеет стационарное значение, если колебание нормального типа.
С помощью этой «теоремы стационарности» Рэлей доказал ряд теорем качественного характера, например то, что увеличение массы какой-нибудь части колебательной системы сопровождается увеличением всех ее собственных периодов колебаний или, во всяком случае, их неуменыпением.
* A. Clebsch. The'orie der Elastizitat fester Korper. Leipzig, 1862.— В развитии теории упругости большую роль сыграл французский перевод этого труда, изданный Сен-Венаном с дополнениями, почти вдвое превышающими по объему авторский текст, в 1883 г.
2 Rayleigh (J. W. Strutt). Some general theorems relating to vibrations.— Proceedings of London Mathematical Society, 1873, v. 4.
Другая теорема такого же характера гласит, что если потенциальная энергия при той же конфигурации уменьшается, а кинетическая остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний возрастают, и наоборот. Результаты подобного рода, как и сама теорема стационарности, строго говоря, доказаны Рэйли только для конечного числа степеней свободы и для малых изменений соответствующих параметров, но он пользуется ими в общем случае и основывает на них способ приближенного вычисления собственных периодов или частот. Только значительно позже, почти через полвека, успехи в разработке вариационных методов и созданная в начале XX в. теория интегральных уравнений были использованы для строгого доказательства этих положений.
Рэйли рассмотрел (в той же работе 1873 г.) и неконсервативные колебательные системы и для систем с вязким трением ввел названную его именем диссипативную функцию: она пропорциональна скорости рассеяния механической энергии, которой обладает колебательная система, и поэтому удобна при анализе энергетического баланса системы.
Попутно можно отметить, что там же Рэйли доказана достаточно широко используемая в теории колебаний теорема взаимности, по-видимому, независимо от Э. Бетти, получившего эту теорему в более частном виде (исходя из уравнений теории упругости) на год раньше.
Первый том «Теории звука» в первом издании вышел в 1877 г. Уже тогда он содержал две главы (IV и V) под названием: колебательные системы в общем случае. Подразумевается: линейные колебательные системы. Общность здесь состоит и в том, что, как видно из приводимых примеров, имеются в виду не только механические (звуковые), но и электрические и оптические колебания. Но во втором издании «Теории звука» (в 1894 г.) Рэйли не только несколько расширил указанные главы, но и добавил некоторые параграфы, в которых рассматриваются, притом также в общем виде, некоторые проблемы нелинейных колебаний. Достаточно сослаться в качестве примера на анализ того, как меняется решение уравнения й ф- /сйф- п1 2п= 0 из-за добавления в левой части слагаемого к'и3 (к и к' предлагаются малыми) *.
В терминологии теории нелинейных колебаний Рзйли выясняет здесь необходимость соблюдения определенных условий для устойчивости автоколебаний нелинейной системы и указывает некоторые свойства таких колебаний.
Во втором издании «Теории звука» рассматривается обобщение линейных колебаний и в другом направлении,— когда параметры системы периодически изменяются. В обоих случаях Рэйли имел предшественников: уравнение колебаний с третьей степенью скорости встречалось и раньше в небесной механике, и Остроградский посвятил ему небольшую, но во многих отношениях замечательную работу в 1836 г.2 А при анализе влияния периодически изменяющихся параметров Рэйли рассматривает частный случай уравнения, полученного Матье в 1868 г. при исследовании колебаний эллиптической мембраны; к тому же общие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими (общего порядка) коэффициентами были получены еще в 1883 г. в работе, которая, по-видимому, осталась неизвестной Рэйли 3. Но в обоих случаях Рэйли исходил из общей постановки вопроса — ис целью показать границы линейной теории, и с целью выявить (притом самыми скромными средствами) некоторые новые свойства колебаний, обусловленные нелинейностью. Так на исходе XIX в. подготавливалась почва для оформления в самостоятельную дисциплину теории (как линейных, так и нелинейных) колебаний.
279
1 Дж. В. Стретт. Теория звука, т. 1, стр. 100—101.
1 «Заметка о методе последовательных приближений».— См. М. В. Остроградский. Полное собрание трудов. Киев, 1961, стр. 71.
См. предисл. С. M. Рытова к книге «Теория звука», т. 1 (стр. 13—14).
22. Мы возвращаемся теперь к теории волн на поверхности тяжелой жидкости, первые результаты в которой были получены Лагранжем (см. выше, п. 15). Поучительно сопоставление следующих работ. В начале XIX в. пражский профессор Герстнер нашел одно из возможных точных решений (для бесконечной глубины жидкости). «Зыбь Герстнера» описывается весьма простыми формулами. Но в течение более чем ста лет этот результат оставался, изолированным, единственным примером прогрессивных волн конечной амплитуды. Его физическое значение тоже ограниченно, так как движение при зыби Герстнера является вихревым, следовательно (согласно классической теореме Лагранжа), не может быть создано из состояния покоя (как и не может быть разрушено) под действием потенциальных сил.
В противоположность работе Герстнера \ значительно большее значение имели работы Коши и Пуассона (1815—1816 гг.) 1 2, в которых выведены линеаризованные уравнения для бесконечно малых волн при условии существования потенциала скоростей, т. е. дана приближенная трактовка теории гравитационных волн.
Задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа при линейных гра-280 ничных и начальных условиях. И Коши, и Пуассон- подвергли детальному исследованию волны, вызываемые местным возмущением свободной поверхности бесконечно глубокого и неограниченного протяженного бассейна, позже были исследованы также некоторые случаи, соответствующие конечной глубине и наличию стенок (сосуда). Уже в XX в. было показано, что для сосуда конечных размеров математическая постановка задачи должна быть существенно изменена. Тем не менее теория Коши — Пуассона бесконечно малых волн имела и имеет большое значение при изучении волновых движений: она достаточно хорошо оправдывается опытом, и с ее помощью были выявлены некоторые существенные черты волновых движений.
23. Один из связанных с этим общих результатов — введение понятия групповой скорости. Было замечено, что, когда изолированная группа волн с приблизительно одинаковой длиной волны распространяется на глубокой воде, скорость группы как целого меньше скорости отдельных волн {фазовой скорости) 3.
Стокс в 1876 г. вывел для определенной системы волн формулу, связывающую групповую скорость с фазовыми. Затем было дано энергетическое толкование групповой скорости как скорости переноса энергии волнами (О. Рейнольдс, 1877 г.). В общем виде этот вопрос был рассмотрен Рейли, который ввел самый термин «групповая, скорость»4 * * *.
Теория волн бесконечно малой амплитуды позволила получить достаточно хорошее приближение для описания волн, образующихся при движении корабля, это позволило Фруду (1877—1881 гг.) произвести расчеты волнового сорротивления. Как указывает Г. Ламб, приведенные Фрудом рисунки наблюдающихся типичных корабельных волн в своих главных чертах находятся в удивительном согласии с результатами теории. Уже в самом конце XIX в. Мичелл дал улучшенную теорию (для несколько идеализированной формы корабля — «корабль Мичелла»), более точно описывающую картину волн вблизи корабля. Работа Мичелла 8 стала основой для дальнейших исследований по волновому сопротивлению, относящихся уже к XX в.
1 О ней см. Г. Ламб. Гидродинамика. Перев. с 6-го англ. изд. под ред. Н. А. Слезкина. М.— Л., 1947,
стр. 526.
* A.—L. Cauchy. Memoire sur la theorie des ondes; помечен 1815 г.; напечатан в «Mdmoires de I’Academie
royale des Sciences», v, X, 1827; 8. Poisson. Memoire sur le theorie des ondes, ibid., v. X, 1816.
* Впервые в научной литературе это указано, по-видимому, Скоттом Расселом в 1844 г.
* См. Дж. В. Стретт. Теория звука, т. 1. Добавление (стр. 493), а также Г, Ламб. Гидродинамика,
стр. 477—480.
• J. Н. Michell. The wave resistance of a ship.— Philosophical Magazine, ser. V, 1898, v. XLV.
Приближенная теория замеченного при наблюдениях и экспериментах явления «одиночной волны» была дана Буссинеском и Рэйли, и, например, формула, даваемая этой теорией для скорости волны, совпала с эмпирической. Точное решение задачи было дано в 40-х годах XX в. М. А. Лаврентьевым.
Для изучения приливных волн в течение XIX в. был проведен ряд исследований, «Каналовая теория», разработанная Эри \ не вытеснила, а дополнила (для каналов) теорию Лапласа. Разрабатывалась теория вынужденных колебаний тяжелой жидкости в полностью закрытых бассейнах при сравнительно малых размерах бассейна — это дало теорию сейшей 1 2. Но, как ни существенны эти работы, вследствие практического значения и благодаря развиваемым в них методам, общую теорию волн они в основном не изменили. Объем физических понятий и представлений, используемых в теории волн, остался прежним. То же самое можно сказать о теории капиллярных волн, где принимается во внимание поверхностное натяжение жидкости; наиболее существенные результаты были получены Кельвином и Рэйли, а до них исследованием капиллярной «ряби» занимался Фарадей. Учет капиллярности важен в задаче о волнах на поверхности раздела двух жидкостей. Основные характеристики капиллярных волн можно теоретически получить, используя энергетические соображения и понятие групповой скорости (для капиллярных волн групповая скорость превосходит фазовую, что дает объяснение ряда своеобразных эффектов).
Мы не затрагиваем здесь существенно новой теории ударных волн, волн разрыва,— это составляет важный раздел истории газовой динамики и входит в главы о механике сплошной среды XIX и XX вв.
Новый период в теории колебаний и воли начинается уже в XX в., и он ознаменован широким изучением нелинейных колебаний, значительным усовершенствованием математических методов. Это позволило впервые получить в теории волн ряд точных решений там, где раньше приходилось ограничиваться приближениями, и привело к видоизменению и углублению постановки многих задач.
1 Airy. Tides and waves, Encyclopedia Metropolitena- London, 1845.
2 Сейши—стоячие волны, возникаюшие в озерах.
Библиография
1. Общие работы по истории механики
Бернштейн С- А. Очерки по истории строительной механики. М., Госстройиздат, 1957.
Григорьин А. Т., Зубов В. П. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962.
Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. М., изд-во «Прогресс», 1967.
Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала XIX в. М., изд-во «Наука», 1965.
Космодемьянский А. А. Очерки по истории Механики. М., изд-во «Просвещение», 1963.
Кудрявцев П. С. История физики. М., Госполит-издат, 1956.
Кузнецов Б. Г. Развитие научной картины мира в физике XVII—XVIII вв. М., Изд-во АН СССР, 1955.
Лакур П., Аппель Я. Историческая физика. Т. 1—2. М.—Л., Госиздат, 1929.
Лауэ М. История физики. М., Гостехиздат, 1956.
Любимов И. А. История физики, ч. 1—2. СПб., 1892—1896.
Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. СПб., 1909.
Моисеев Н. Д. Очерки развития механики.
Изд-во МГУ, 1961.
Очерки по истории математики и механики. Сборник статей. М., Изд-во АН СССР, 1963.
Погребысский И- Б. От Лагранжа к Эйнштейну. М., изд-во «Наука» 1966.
Розенбергер ф. История физики, ч. 1—2. М. — Л., ОНТИ, 1937.
Спасский Б. И. История физики, ч. 1—2. Изд-во МГУ, 1963.
Тимошенко с- П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М., Гостехиздат, 1957.
Тюлина И. А., Ракчеев Е. Н. История механики. Изд-во МГУ, 1962.
Balang S-, Ivanov I. Din istoria mecanicii. Bucu-re^ti, 1966.
Dubois P. Histoire de 1’horloge depuis son origins jusqu’h nos jours. Paris, 1849.
Dugas R. Histoire de la mecanique. Paris, 1950. Duhem P. L’evolution de la rnecanique. Paris, 1905.
Gerland E. Geschichte der Physik von den altesten Zeiten bis zym Ausgange des achtzehnten Jahr-hunderts. Miinchen urid Berlin, 1913.
Haas A. E. Die Grundgleichungen der Mechanik, dargestellt auf Grund der geschichtlichen Ent-wicklung. Leipzig, 1914.
Hall A. K. The scientific revolution, 1500—1800. London, 1954.
Jammer M. Concepts of force. A study in the foundations of dynamics. Harvards Univ. Press, 1957.
Jammer M. Das Problem des Raumes. Die Entwicklung der Raumtheorien. Vorwort von Albert Einstein. Darmstadt, I960.
Klein H. Principien der Mechanik historisch und kritischdargestellt. Leipzig, 1872.
Laswitz K. Geschichte der Atomistik vom Mittel-alter bis Newton, Bd. 1—2, Leipzig, 1926. Bd. 1: Die Emeuerung der Korpuskular-theorie, Bd. 2: Hohepunkt und Verfall der Korpuskulartheorie des siebzehnten Jahr-hundert.
Maier A. Zwischen Philosophic und Mechanik. Roma, 1958.
Montucla J. E. Histoire des mathematlques, v. 1— 2. Paris, 1758; 2e ed., v. 1—4. Paris 1799— 1902; перепечатка 2 изд.— Paris, 1960.
Nemdnyi P. F. The main concepts and ideas of Fluid Dynamics.— Arch. History Exact Sci., 1962, v. 2, N 1.
Tannery P. Memoires scientifiques, publics par J. L. Heiberg et H. G. Zeuten, v. 1—6. Paris — Toulouse, 1912—1926.
Taton R. (Ed.). Histoire gendrale des sciences. V. 1—3. Paris, 1957—1960.
Todhunter J., Pearson K. A History of the Theory of Elasticity from Galilei to the present time. V. 1—2. Cambridge, 1886—1893.
2. Источники, издания классиков
Альберти Л. Б. Десять книг о зодчестве, т. 1—2. Перев. и коммент. В. П. Зубова. М., изд-во Академии архитектуры, 1935—1937,
Архимед. Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики. Одесса, 1909.
Архимед. О плавающих телах.— В кн.: Начала гидростатики. М., 1933, стр. 89—115.
Архимед. Сочинения. Перев., вступ. ст. и коммент. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз, 1962.
Wer Eucke Р. Les oeuvres completes d Archirnede. Paris, 1921.
Heath J. L. The works of Archimedes. Cambridge, 1897.
Аристотель. Физика. Изд. 2. M., 1937. Oeuvres d’Aristotels, t. 1—35. Paris, 1837—1892. Arlstotelis. Opera omnia, v. 1—5. Parishs, 1848— 1874.
The works of Aristotele, v. 1—11. Oxford, 1908— 1931.
Heron von Alexandria. Mechanik und Katoptrik. Leipzig, 1900.
Heronus Alexandrinus, Opera qual supersunt omnia, v. 1—3. Lipsiae, 1899—1903.
Beeckman I. Journal tenu par Isaac Beckman de 1604 a 1634, publie avec une introduction et des notes par Cornells de Waard. 4 vols. La Haye, 1939—1953.
Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, Bd. 1. Herausgegeben von Spiess Otto. Basel, 1955.
Clagett M. (Ed.). The science of mechanics in the middle ages. London, 1959. Содержание: The theory of Weight. Attributed to Jordanus de Nemore. Johannes deMuris. The fourparted work on numbers. An anonymous Commentary on the elements of Jordanus on weights. Albert of Saxony. Questions on the (four) books on the Heavens and the World of Aristotle. Marcus Trivisano. On the Macrocosm or Greater words. Gerard of Brussels. On Motion. Thomas Bradwardine. Treatise on the proportions of velocities in movements. Albert of Saxony. Questions on the eight books of the Physics of Aristotle. Thomas Bradwardine. On the Con-tinium. William Heytesbury. Rules for solving Sophisms. Proofs of proposition posited in the rules for solving sophisms, Attributed to William Heytesbury. On motion. A fragment attributed to Richard Swineshead. Richard Swineshead. The book of Calculations: rules of local motion. John of Holland. On motion. John Dumbleton. The summa of logical and natural things. Nicole Oresme. On the configurations of qualities or on the uniformity and dif-formity of intensions. Nicole Oresme. On the book of the heavens and the world of Aristotle. Giovanni di Gosali. On the velocity Of the motion of alteration. Jacobus de Sancto Martino. On the latitudes of Formes. (According to the doctrine of Nicole Oresme.) Blasius of Parma. Questions on the treatise on the latitudes of forms. An anonymous treatment of peripatetic dynamics. A brief tract on proportions abridged from the book on proportions of Thomas Bradwardine, the Englishman. Franciscus de Ferraria. On the propositions of motions. Franciscus de Marchia. On the sentences of Peter Lombard. (A reportocio of the fourth book.) John Buridan. Questions on the eight books of the Physics of Aristotle John Buridan. Questions on the four books on the heavens and the world of Aristotle. Albert of Saxony. Questions on the-(four) books on the heavens and the world of Aristotle. Questions on the eight books of the Physics (in the
nominalist manner). Attributed to Marsilius of Inghen.
The Liber de motu of Gerard of Brussels and the origins of kinematics in the West.— Osiris, 1956, v. 12, 73—175.
Newton I. The correspondence of Issak Newton. V. 1—3. Publ. for the Royal Society. Cambridge Univ. Press, 1959—1961.
Newton I. Papers and letters of natural phy-losophy and related documents. Cambridge, Harvard Univ. Press, 1958.
Pappus Alexandrinns. Collectionis quae supersunt.
F. Hultsch. (Ed.) Berolini, 1878, v. III.
Ross W. D. Aristotles physics. A revised text with introduction and commentary. Oxford, 1936.
Scudder S. H. Catalogue of scientific serials of all countries including the transactions of learned societies in the natural physical and mathematical sciences (1633—1876). Cambridge,
1879. Перепечатка. N. Y., 1965.
Stamm E. Tractatus de Continue von Thomas Brad-wardina. (Eine Handschrift aus dem XIV Jahrhundert).— Isis, 1936, v. 26, p. 13—32.
A Supplement to the Catalogue of the Crase K. Babson Collection of the Works of Sir Isaac Newton and Related Material..., 1955.
Бернулли Д. Гидродинамика, часть десятая. О свойствах и движениях упругих жидкостей, в особенности же воздуха.— В кн.: Основатели кинетической теории материи. М—Л., 1937, стр. 13—18.
Бернулли и. Избранные сочинения по механике. М—Л., ОНТИ, 1937.
Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. Ред., перев., статьи и коммент. В. П. Зубова. М,—Л., Изд-во> АН СССР, 1955.
Леонардо да Винчи. Избранные произведения..
Т. 1. Перев. статьи и коммент. В. П. Зубова. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1935.
Галилео Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой. Перев. А. Н. Долгова. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
Галилей Г. Звездный вестник. Разговор о двух великих мировых системах. Расс ждения о двух новых учениях в механике. (Избранные места.) Сост. Я. И. Перельман. Ленингр. обл. изд., 1931.
Галилео Галилей. Звездный вестник. Перев. И. Н. Веселовского.— Вопросы естество-
знания и техники. 1964, вып. 16.
Галилео Галилей. Избранные труды, т. I—II. Изд-во «наука», 1964. Т. I. Звездный вестник. Послание к Ингбли. Диалог о двух системах мира. Т. II. Механика. О телах, пребывающих в воде. Беседы и математические доказательства.
Галилей Г. Рассуждение о телах, пребывающих в воде, и о тех, которые в ней движутся.— В кн.: Начала гидростатики. М.—Л., Гостех-теоретиздат, 1933, стр. 214—362.
Галилей Г. Сочинения. Т. 1. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и к местному движению, синьора Галилео Галилея Линчео, философа и первого математика светлейшего великого герцога Тосканского, с приложением о центрах тяжести
283
284
различных тел. Перев. С. Н. Долгова. Ред., предисл. и прим. А. Н. Долгова. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1934.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике. Перев. ред. и прим. К. К. Баумгарта. М., Пзд-во Ан СССР, 1951.
ДаламберЯК. Динамика. Трактат, в котором законы равновесия и движения тел сводятся к возможно меньшему числу и доказываются новым способом, в котором излагается общее правило для нахождения движения нескольких тел, действующих друг на друга произвольным образом. Перев. и прим. В. П. Егоршина. М.—Л., Гостехиздат, 1950.
Даламбер Ж. Извлечение из мемуара «О равновесии жидкостей», 1768. О фигуре Земли (1773).—В кн.: Нлеро А. К. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Л., 1947.
Кардано Дж. О моей жизни. Перев. с лат. Ф. А. Петровского. Статья «Джироламо Кардано и его книга ,,О моей жизни““ и коммент. В. П. Зубова, М., 1938.
Клеро А. К. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Коммент и ред. перев. Н. И. Идельсона. М.—Л., 1947.
Котельников с. К. Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел. СПб., 1774.
Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 1—2. Перев. с франц. В. С. Гохмана. М.—Л., Гостехиздат, 1950, Т.1. Статика. Динамика. Т. 2. Динамика (продолжение).
Ломоносов М. В. Полное собрание сочинений Т. 1—9. М.—Л., 1950—1957.
Начала гидростатики. Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль. Перев., прим, и вступ. статья А. Н. Долгова. М.—Л., Гостехтео-ретивдат, 1933.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Перев. с лат. и поясн. А. Н. Крылова. М.—Л., Изд-во АН СССР 1936.
Паскаль Б. Трактаты о равновесии жидкостей и весе массы воздуха, содержащие объяснение причин различных явлений природы, которые до сих пор не были достаточно известны, и, в частности, тех, которые приписывают боязни пустоты.— В кн.: Начала гидростатики. М.— Л., Гостехтеоретиздат, 1933.
Рихман Г. В. Труды по физике. М., Изд-во АН СССР, 1958. Труды по механике, стр. 397— 468.
Стевин с. Начала гидростатики.— В кн.: Начала гидростатики. М.—Л., 1933.
Эйлер л. Исследования по баллистике. Перев. с нем., франц, и лат. Н. Д. Львовского и Л. G. Полака. М., Физматгиз, 1951.
Эйлер л. Новая теория движения Луны. Перев. с лат. первой части и извлечений из второй и третьей книг с прим, и поясн.. переводчика А. н. Крылова. С прибавлением извлечений из лекций Адамса, Дж. Дарвина и из сочинений Хилла.— В кн.: Крылов A. S. Собрание трудов. Доп. к т. 5 и 6. М., Изд-во АН СССР, 1934.
Эйлер л. Основы динамики точки. Первые главы из «Механики» и из «Теории движения твердых тел». Перев. с лат. В. С. Гохмана и С. П. Кондратьева. Под'ред., с предисл. и
прим. В. П. Егоршина. М,—Л. ОНТИ, 1938.
Эйлер Л. Письма к ученым. М.—Изд-во АН СССР, 1963.
Эйлер Л. Письма о разных физических и фило-зофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе, с французского языка на российский переведенные Степаном Румов-ским, Академии Наук членом. Ч. 1—3, СПб., 1768—1774.
Тоже, 3-м тиснением 1790—1791.
То же, 4-м тиснением, 1796.
Эйлер Л. Переписка, Аннот. указ. Л., изд-во «Наука», 1967.
Рукописные материалы Эйлера в Архиве Академии наук СССР. Т. 2. Труды по механике. Ч. I. Перевод с лат. И. А. Перельмутера. М.—Л., изд-во «Наука», 1965 (АН СССР. Труды Архива, вып. 20.)
Alembert J. d’. Essai d’une nouvelle theorie de la rdsistance des fluides. Paris, 1752.
Alembert J. d’ oeuvres de d’Alembert, t. 1—5. Paris, 1821—1882.
Alembert J. d’. Opuscules math6matiques. Paris, 1761—1780. 8 tomes en 7 vols.
Alembert J. d’. La precession des equinoxes. Paris, 1749.
Alembert J. d*. Recherches sur diff erents points Importants du systeme du monde, 2 vols. Paris, 1745—1756.
Alembert J. d’. Traits de dynamique. Paris, 1743.
Alembert J. d’. Traite de 1’equilibre et du mouve-ment des fluides. 2 ed., Paris, 1770.
Barrow I. The works. Londres, 1683.
Bernoulli D. Hydrodynamica seu de viribuset mo-tlbus fluidarum. Argentoratae, 1738.
Bernoulli I. Opera omnia, v. 1—4. Lausanne, 1742. Bernoulli I. Opera omnia, t. 1—2. Genevae, 1744. Borelli G. A. Theoria medicorum planetarum ex causis Physicis deducta. Florentiae, 1666; Devi repercussionis et motionibus naturallbus a gravitate pendentibus. Reggio, 1670; De motu ani-mallum, t. I. Romae, 1680—1681.
Cardan J. The book of my life. (De vita liber). Transl. from Latin by J. Stoner. London,1931.
Cardan J. Opera Omnia. Lyon, 1663.
Carnot L. Essai sur les machines en general. Paris, 1783.
Clairaut A. K. Theorie de la figure de la terre. Paris, 1743.
Copernic N. De revolutionibus orbium coelestium. Nurenberg, 1543
Descartes R. Oeuvres. Publies par Charles Adam et Paul Tannery. 1897—1913. 13 vols. Перепечатка, 1957—1958, v. 1—5. Correspondence, 1622—1650, Supplements, v. 7, 8, 10, 13.
Euler L. Die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flussiger Korper. Ubers, mit einigen Abanderungen und Zusatzen von H. W. Brandes. Leipzig, 1806.
Euler L. Lettres й une Princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophic" T. 1—2. Mietau — Leipzig, 1770.
Leonardi Euleri Opera omnia. Sub ausplcils so-cietatis scientarum naturalium helveticae edenda curaverunt Ferdinand Rudio, Adolf Krazer, Paul Stackel (Eds.). Series 1—3, v. 37. Lipsiae (Leipzig) et Berolini (Berlin), 1911— 1964.
Ser. 2. Opera mechanica et astronomies, v. 1—2. Mechanica, sive motus scienta analyticae ex-posita. Paul Stackel (Ed.), 1912.
v. 3—4. Theoria motus corporum solidarum seu rigidorum ex primis nostrae cognitionis prln-cipiis stabilita et ad omnes motus qui in huis-modi corpora dacere passuntaccornodata. Charles Blanc (Ed.), 1948—1950;
v. 5. Commentationes mechanicae. Principia mechanica. Joachim Otto Eleckensbein (Ed.), 1957;
v. 6, Commentationes mechanicae ad theoriam motus pinctorum pertinentes. Charles Blanc (Ed.), 1957;
v. 7. Idem, 1958; Ti
v. 8. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum vidiorum pertinentes. Charles Blanc (Ed.), 1964;
v. 10. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum flexibilium et elasticorum pertinentes. Fritz Stiissi et Henri Favre (Eds) 1947;
v. 11. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum flexibilium et elasticorum pertinentes. Fritz Stiissi et Ernst Trost (Eds), 1957;
v. 12. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum fluidorum pertlnehtes. Clifford Ambrose Truesdell (Ed.). 1954;
v. 13. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum fluidorum pertinentes. Clifford Ambrose Truesdell (Ed.), 1955;
v. 14. Neue Grundsatze der Artlllerie. Aus dem Engl, von der Heern Benjamin Robins ubers. und mit vielen Anmarkungen versehen, 1922;
v. 15. Commentationes mechanicae ad theoriam machinarum pertinentes. Es. Jakob Ackeret, 1957;
v. 22. Theoria motuum lunae, noya methodo per-tractata. Leo Courvoisier (Ed.), 1954;
v. 25. Comlnentatlones astronomicae ad theoriam perturbationum pertinentes. Max Schiirer (Ed.), 1960;
v. 29. Commentationes astronomicae ad praeces-sionem et nutatlonem pertinentes. Leo Courvoisier (Ed.), 1961.
Galilei G. Le opere. V. 1—20. Firenze, 1890—1909.
Huygens ch. Oeuvres computes. Publiees par la societd Hollandaise des sciences. T. 1—22. 1888—1950. T. 1—10. Correspondence; t. 16. Percussion. Question de 1’exlstence et de la perceptibility du mouvement absolu. Force centrifuge. Travaux divers de statique et de dynamique de 1649 a 1666. T. 17 L’horloge й pendule de 1651 5 1666. Travaux divers de physique, de mecanique et de technique de 1650 5 1666.
T. 18. L’horloge a pendule ou a balancier de 1666 9 1695. T. 19. Mecanique thdorique et physique de 1666 a 1695.
Lagrange J. L. Mecanique analytique. T. 1—2. 2 ed. Paris, 1811—1815; 3 ed. Paris 1853— 1855.
Lagrange J.-L. Oeuvres Publ. par les soins de M. J. A. Serret. T. 1—14. Paris, 1867
1892.
Laplace P. Mecanique cdleste. T. 2. Boston, 1832.
Laplace P. Oeuvres competes, v.l—7. Paris, 1878— 1886.
Laplace P. Traite de mecanique celeste. V. 1—5, Paris, v. 1, 1798—1799; v. 2, 1798—1799; v. 3, 1802—1803; v. 4, 1804—1805; v. 5, 1825.
Maupertnis P. Oeuvres. V. 1—4, 2 ed., Lyon, 1768.
Mersenne M. Harmonie universelie. V. 1—2. Paris, 1636—1637.
Monge G. Traite eldmentaire de statique, a 1’usage des Ecole de la marine. Paris, 1788.
Newton I. The mathematical papers. V. I. Cambridge Univ. Press, 1967.
Newton I. The mathematical principles of natural philosophy. Y. 1—2. London, 1803.
Newton I. Sir Issak Newton’s mathematical principles of natural philosophy and his system of the world. Transl. into English by Andrew Motte in 1729. The transl. rev. and supplied with an historical and explanatory appendix by Florian Cajori, prof. Berkeley Univ. California Press, 1946.
Isaaki Newtoni Opera quae exstant omnia commen-tariis Samuel Horsley. T. 1—5. Londini, Nichols, 1779—17 85.
Newton I. Philosophia naturalis principia mathe-matica. London, Joseph Streater, 1687.
Newton I. Philosophia naturalis principia mathe-matica. Amstaelodami, 1714. Ed. ultima auc-tior et amendatior.
Newton I. Philosophiae naturalis principia mathe-matica. Ed 3, Londini, 1726.
Pascal B. Oeuvres, t. 1—5. Paris, 1819.
Pascal B. Oeuvres computes. T. 1—3. Paris, 1864—1866.
Pascal B. Oeuvres computes. Paris, 1906—1909.
Pascal B. Oeuvres competes. Paris, 1964.
Stevin S. The Principal Works.V. 1—3. Amsterdam, 1951.
Torricelli E. Opere. V. 1—4. Faenza, 1919—1944.
Varignon P. Nouvelle mecanique ou statique, dont le projet fut donne enMDCLXXXVII. Ouvrage posthume. Paris, 1725, t. 1—2.
Wallis J. Opera mathematica. V. 1—3. Oxoniae, 1693—99; Mechanica, p. 1—3, Londini, 1669 — 1671.
285
3. Античная механика
Башмакова и. Г. Трактат Архимеда «О плавающих телах». Историко-матем. исслед., 1956. вып. 9.
Ван дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Перев. И. Н. Веселовского. M., Физматгиз, 1959.
Веселовский И. Н. Архимед. M., Учпедгиз, 1957.
Григорьян А. Т., Котов в. Ф. О некоторых вопросах истории античной механики.— Историко-матем. исслед., 1957, вып. 10.
Дильс Г. Античная техника. М.—Л., Гостех-теоретиздат, 1934.
Зубов В. П. Аристотель. M., Изд-во АН СССР, 1963.
20 История механики
286
Каган В. Ф. Архимед. Краткий очерк о жизни и творчестве. М.—Л,, Гостехтеоретиздат, 1951.
Лурье с. Я. Архимед. М.—Л., Изд-во АН С,ССР, . . 1945.
Bauerries Н. Zur Geschichte des spezifischen Ge-wlchts in Altertum und Mittelalter. Erlangen, 1914-
Cajori F. The purpose of Zenos arguments of motion.— Isis, 1920, v. 3.
plagett M. Greek science in antiquity. N. Y., 1955.
Child T. M. Archimedes Principle of the balance and — some criticism upon it.— Studies in the His-
tory and Method of Science, v. 2. Oxford, 1921.
Cohn T.. Geschichte des Unedlichkeitsproblems. . Leipzig, 1896.
Cyril B. The Greek atomists and Epicurus. Oxford* 1928.
Drabkin F. D. Notes on the laws of motion in Aristotle.— Amer. J. Phylology, 1938, v. 59.
Drashmann A. G. Fragments from Archimedes in • Heron’s Mechanics.— Centaurus, 1963..
Brchardt R., Ercbardt-Sieboldt E. Archimedes Sand-
•i Reckoner.—. Isis, 1941—1942, v. 33.
Gerschenson D. E., Greenberg D. A. Anaxagor and ! the birth of physics. N. Y., 1964.
Gohke P. Die Entstehungsgeschichte der naturwis-senschaftlichen Schriften des Aristoteles.— Hermes, 1924, Bd. 59.
Gueroult M. Le X livre des Lois et la demifere forme de la physique platonicienne.— Rev. Etudes Greques, 1924, v. 37.
Haas A. E. Die Grundlagen der antiken Dynamik.— Arch. Geschichte Naturwiss. und Techn.
- 1909, Bd. 1.
Hermelink H* Ein bisher iibersehener Fehler in einem Beweis des Archimedes.— Arch, internet. hist, sci., 1953, v. 32.
Kulitschek W. Grundriss der Antiken Zeitrechnung Munchen, 1928. .
Lones T. E. Mechanics and engineering from thr time of Aristotle to that of Archimedes.—Trans. Newcomer Soc., 1923, v. 3.
.Reymond A. Histoire des sciences exactes et naturelies dans 1’Antiquity greco-romaine. 2-ёте ed. Paris, 1955.
Sambursky S. The physical world of late antiquity.
London, N. Y., 1962.
Sambursky S. The physical world of the Greeks» London, 1956.
Santillana G. de. The origins of, scientific thought from Anaximander to Proclus. N. Y., 1961.
Schramm M. Die Bedeutung des Bewegungslehre des Aristoteles fur seine beide Losungen der Ze? nonischen Paradoxie. Frankfurt am Main, 1962.
Sohnsen F. Aristotles system of the physical world. Ithaca, 1960.
Stein W. Der Begriff des Schwerpunktes.bei Archimedes. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Abt. B, Bd. I,‘ Berlin, 1929.
Steinmetz P. Die Physlk des Theophrastos von Ereso, Bad-Hamburg, 1964.
Tannery P. Stir les problems attribuds a’Aristote.— Memoirs scientifiques de P. Tannery, t. III. Toulouse — Paris, 1915.
Tannery P. Science hell One.Paris, 1887.
Hiuroi C. Recherches historiques sur le principe d’Archimede.— Rev. archeol., 1869, t. 19.
Vailati G. Il principo dei lavori virtual! da Aris-totele a Erone d‘Alessandria.— Atti R. Acad, sci. Torino, v. 32, 1967.
Waerden B. L. van der. La ddmonstration dans les , sciencesexactes.de I’antiquite.— Bull. Soc. math. Belgique, 1957, t. 9.
Wickland W. Die aristotelische Physik. Gottingen, i962.
4. Механика на средневековом Востоке и в средневековой Европе
Allan D. Т. Medieval versions of Aristotle, de Calio, and of the commentary of Simplicius.— Medieval and Renaissance Studies, 1950, v. 2.
Borchert E. Die Lehre von der Bewegung bei Nicolaus Oresme.— Beitr. Geschichte Philos, und Theologie des Mittelalters, 1934, Bd. 31, N 3.
Clagett M. Giovanni Marliani and late medieval physics. N. Y., 1941.
Clagett M. The Liber de Motu of Gerard of Brussels and the origins of kinematics in the West.— Osiris, 1956, v. 12.
Clagett M. Richard Swineshead and late medieval physics.— Osiris, 1950, v. 9.
Clagett M. Some general aspects of medieval physics.— Isis, 1950, v. 41.
Crombie A. c Quantification in medieval physics.»— Isis, 1961, v. 52.
Crombie A. C. Robert Grosseteste and the origin of experimental science. 1100—1700. Oxford, 1953.
Feldhauss F. Die Technik der Antike und des Mittelalters. Potsdam, 1931.
Grabmann M. Geschichte der scholastischen Methode. Bd. II. Berlin, 1957.
Grant E. Motion in the void and the principle of inertia in the middle ages.— Isis, 1964, v. 55, N 181.
Guilhiehnoz P. Rdmarques diverses sur les poids et mesures du moyen age.— Biblioteque Ecole chartes, 1919, t. 80.
Hoskins с. H. Studies in medieval science. Cambridge, 1927.
Maier A. An der Grenze von Scholastic und Na-turwissenschaft. Roma, 1952.
Maier A, Die Vorliiufer Galileis im 14 Jahrhundert. Roma, 1 ed. 1949, 2 ed. 1952.
Maier A. Zwei Grundprobleme der scholastischen Naturphilosophie. (Das Problem der inten-siven Grosse. Die Impetustheorie.) 2 Aufl. Roma, 1951,
Michel J. Mouvements perpdtuels. Leurs histoire et leurs partlcularitds. Paris, 1927.
Moody E. A., Clagett M. The medieval science of weights. Madison, 1952.
Pinfes S. Les precurseurs musulmans de la thdorie de 1‘impetus.— Archeion, 1938, t. 21.
Prior W. H. Note of the weight and measures of medieval England. Paris, 1925.
Reitstahl R. M. The date and provenance of the au. tomata miniatures.— Art Bull., 1929, v. n.
Thorndike L. Science and thought in the fifteenth century. N. Y., 1929.
Wiedemann E. Uber die angebliche Verwendung des Pendels zur Zeitmessung bei den Arabern._________'
'Verhandl. Dtsch. phys. Ges., 1919, Bd. 27. Z. Phys., 1922, Bd. 10.
Wiedemann E. Arabische spezifische Gewichts-bestimmungen.— Ann. Phys., 1883, Bd. 20. Wiedemann E. Uber die Hebeigesetze bei deh Mus-limen.— Arch. Geschichte Naturwiss, und . Technlk, 1909, Bd. 1.
Wfedemann’E. Uber die Kenntnisse(der Muslime auf
'dem Gebiete der Mechanik und- Hydrbbtatik1.—-Arch. Geschichte' Nathrwiss. uhd ' Technik, ; \ 1910, Bd. 2. ; H
• Wolfson Hi Grescos critique of Aristotle. ’Problems of Aristotle’s physics in Jewich and Arabic philosophy. Harvard Semitic Series 6. Camb-” ridge, 1929. •
5. Зарождение классической механики (Х¥Г Bi)
дртоболевский И. И- Леонардо да Винчи как конструктор.— Изв. АН СССР. Отд, техн, наук, 1952, № 6. __
Артоболевский И. И- Леонардо да Винчи — ученый и инженер.— Труды Ин-та машиноведения АН СССР, 1953, т. 13, вып. 51.
Гарич Г. Э. Статика Кардано и Тартальи,— Архив истории науки И техники, 1936, вып. 9. .ГуковскийМ. А. Механика Л. Б. Альберти и механика’Леонардо да Винчи.— Архив истории науки и техники, 1935, вып. 7.
Гуковский М. А. Механика Леонардо да Винчи. М.—Л-, Изд-во АН СССР; 1947.
Егоршин В. П. Из истории механики эгтрхи Возрождения.— Под знаменем Марксизма, 1934,7*5.,
Зубов В. П. Леонардо да Винчи. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1962.
Орбели Р. А. Леонардо да Винчи и его работы по ' изысканию способов подводного плавания и спусков под воду.— В кн.: Орбели р. А. Исследования и изыскания. М,— Л., Редиздат, 1947.
Юрьев Б.Н., Воробьев Б. Н. Работы Леонардо да. Винчи в области механики и ациации.— Изв. АН СССР, 1952, М7.
Barruta М. Leonardo da" Vinci i problemi della terra. Torino, 1915. 6
Bellini A. G. Cardano e il suo tempo. Milan, 1947.”'
Benedetti G. B. Demonstratio proportioHum iriotuum localium contra Aristotelem et omnem phil'o-sophes. Venice, 1554.
Benedetti G. B. Diversarum speculationum mathe-maticariimet physicorum liber. Turin, 1585.
Dnhem P. Etudes sur Leonardo da Vinci. Paris, 1906—1913.
' Eckman J. Jero'me Cardan. Baltimore, 1946.
Hart I. B. The mechanical investigation of Leo-ardo da Vitrei. 2-d ed., Berkley — London, ! 1963. , L
Leonardo da Virici et. experience scientific au sei-zieine sifecle. Paris, 1953. (Сборник докладов на международном коллоквиуме национального центра научных исследований в Париже 4—7 июня 1952 г.) '
Marcolongo. К. La Meccanica <|i Leonardo da Vinci, Napoli, 1932.
Schou S. Simon Stevin und ’das hydrostatische Paradoxon. Bibliotheca mathematica, t. III.
Ubaldo G. Le mechanice. Venetia, 1581.
Gvido Ubaldi... ...mechanicorum liber. Pisauri, 1577; Venetiis, 1615.
Werner O. Zur Physik Leonardo da Vihcis. Berlin, 1910. ‘
287
6. Становление классической механики (XVII в.} •
Вавилов с. Й- Исаак Ньютон. Изд. 2-е. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1945.
Веселовский Й. Н. Христиан Гюйгенс. М., Учпедгиз,’1959.
Галилео Галилей- Избранные труды, т. I, II. М., изд-во «Наука», 1964.
Галилей Г. Сборник, посвященный 300-летней годовщине со дня смерти Галилео Галилея. М,—Л., Изд-во АН СССР, 1943.
Галилей и современность. К 400-летию со дня рождения Галилео Галилея. М,, изд-в б «Знание», 1964.
К 400-летию со дня рождения Галилея.— Вопросы истории естествознания и техники, 1964, вып. 16. 7
Гессен Б. М. Социально-экономические корни механики ньютона. М.—Л., Гостехтеоретиз-дат, 1933.
Григорьян А. Т. К вопросу об идейных истоках механики Лейбница.— Труды Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1961, т. 43.
Григорьян А. Т., Франкфурт У. И. Учение Гюйгенса о центре качаний.— В кн.: Очерки истории математики и механики, М., Изд-во АН СССР, 1963.
Ельевич A. H. Галилео Галилей. Указатель литры. М., Гос. библиот.-бйблиогр. изд., 1940. Жуковский H. Е. ньютон как основатель теоретической механики.— В кн.: Жуковский Н. Е. Собрание сочинений, т. 7. М.—Л., 1950.
Котов В. Ф. Принципы мехайики Гюйгенса. — Уч. зап. Горьковск. ун-та, 1939, вып. 6. Крылов А. Н. Галилей как основатель механики. —
В кн.: Крылов А. И. Собрание трудов, т. 1, 4.2. М,—Л., Изд-во АН СССР, 1951. Крылов A. H. Ньютон и его значение в мировой науке (1643—1943). М.—Л., Изд-во АН
СССР, 1943.
Крылов А. Н. Очерк истории установления основных начал механики.— Усп. физ. наук, 1921, т. 2, вып. 2.
Кудрявцев П. с. Исаак Ньютон. Изд. 3-е. М., Учпедгиз, 1963.
Кузнецов Б. Г. Галилей. М., изд-во «Наука», 1964. Кузнецов Б. Г. Проблема истинного движ ения земли в «Диалоге» Галилея.— Труды Ин-та истории естествознания и техники АВ СССР, 1954, т. 1.
Мельников О. А. Галилео Галилей- — Изв. Главн. астроном, обе. в Пулкове, 1965, т. 24, вып. 2, К, 178.
20’
Московский университет — памяти Исаака Ньютона. Сборник статей. Изд-во МГУ, 1946.
Никольский К. В. Механика Ньютона и современная теоретическая физика.— Природа, 1944, № 2.
Двухсотлетие памяти Ньютона. М., 1888.
Ньютон Исаак. Сборник статей к 300-летию со дня рождения. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1943.
Ньютон И. Доклады, прочитанные на заседании, посвященном 300-летию со дня рождения Ньютона, в Казанском авиац. ин-те. Казань, 1943.
Стеклов В. А. Галилео Галилей. Биографический очерк. Берлин, Госиздат РСФСР, 1928.
Франкфурт У. И., Френк А. М. Христиан Гюйгенс. М., Изд-во АН СССР, 1962.
Фредерикс В. К. Начала механики Ньютона и принцип относительности.— Усп. физ. наук, 1927, т. 7, вып. 2.
Френк А. М. К истории развития принципа Гюй-288 генса.— Вопросы истории естествознания и техники, 1961, вып. II.
Фридман В. Г. Принцип относительности Ньютона.— Труды Ин-та истории естествознания и техники Ан СССР, 1957, т. 17.
Цейтлин 3. А. Галилей. М., Журн.-газ. объед, 1935.*
Юшкевич А. П. Обзор советской юбилейной литературы о Ньютоне.— Труды Ин-та истории естествознания АН СССР, 1947, т. 1.
Alton Е. Т. The celestial mechanics of Leibnitz — a new interpretation.— Ann. sci., 1964, v. 20.
Alton E. T. Galileo and the theory of the tides.— Isis, 1965, v. 56.
Andrade E. N. Newton. Considerations sur Phom-me et son oeuvre.— Rev. hist, sci., 1953, t. 6, N 4.
Anger L. G. Personne de Roberval. Paris, 1962, Bell A. E. Christian Huygens and the development of science in the XVII century. London, 1947.
Bishop M. Pascal — the life of genius. Baltimore, 1936.
Bonfi A. G. Galilei. Milano, 1949.
Bopp K. Die wiederaufgefundene Abhandlung von Fatio de Duillier: De la cause de la Pesante-ur.— Schrift. Strassburg. wiss. Ges. Heidelberg, 1929, H. 10.
Bosmans H. Le mathematicien beige Simon Stewin de Bruges.— Periodico math., 1926, t. 6.
Boutroux P. L. L’enseignement de la mecanique en France au Xyll siecle.— Isis, 1922, V. 4.
Boutroux P. L'histoire des principes de la dynami-que avant Newton.— Rev. metaphys. et morale, 1921, t. 28.
Boyer c. Pascal’s formula for the sums of powers of the Integers.— Scripta mathematica, 1943, v. 9.
Brunet P. L'introduction des theories de Newton en France au XVIII si6cle. Paris, 1931.
Brunold C. Pascal et 1'horreur du vide.— Actes Congr. internat. hist, sc ., 1953, t. 7.
Buchdahl c. Science and logic: some thoughts on Newton's second law of motion in classical mechanics.— Brit. J. Philos. Sci., 1951, v. 2.
Burston H. L. Galileo and the theory of the tides.— Isis, 1965, v. 56.
Cajori T. Sir Isaak Newton on gravitation.— Sclent. Monthly, 1928, v. 27.
Carteron H. L’idee de la force mecanique das le systeme de Descartes.— Rev. philos. France et etrang., 1922, t. 94
Cherry Th. M. F. Newton’s Principia in 1687 and 1937. Melbourn, 1937.
Clark J. T. Pierre Gassendi and the Physics of Galileo.— Isis, 1963, v. 54.
Clavelin M. Le problfime.du continueties paradoxes de 1’infini chez Galilei.— Thales, 1959» v. 10.
Costabel P. Autour de la methode de Galilei pour la determination des centres de gravite.— Rev. hist sci., 1955, t, 8.
Costabel P. Leibnitz et la dynamique. Les textes de 1692. Paris, 1960.
Crombie A. C. The scientific revolution of the seventeenth century and its consequences.— Contemporary Phys., 1960, v. 1.
Crommelin C. A. Huygens pendulum experiments.— Horolog. J., 1957, V. 99, N. 1181.
Crommelin C- A. Das isochrone konische Pendel von Cristian Huygens.— Physika, 1931, Bd. 11. Crommelin C. A. Het uurwerk met den bolasslinger von Cristian Huygens.— Nederl. tijdschr. natuurkunde, 1937, Bd. 6, TV.
Del Lungo c- Del pendolo e della sua applicazione all’oralogio.— Arch, storia sci., 1921, v. 2.
Depan R. Simon Stevin. Bruxelles, 1942.
Deshayes M. Le decouverte de 1’inertie. Essay sur les loi generales du mouvement de Platon B Galilei. Paris, 1930.
Dijksterhuis. The principal works of Simon Stevin, v. 1. Amsterdam, 1955.
Ditisheim P. Le spiral reglant et le balancier de-puis Huygens jusqu’a nos jours. Lausanne, 1945.
Dolby R. A note on Dij ksterhuis criticism of New ton’s axiomatization of mechanics.— Is s, 1966, V. 57, N 187,
Drabkin J. E. A note on Galileo’s De Motu.— Isis, 1960, v. 51.
Drake S. Galileo and the Law of inertia.— Amer. J. Phys., 1964, V. 32.
Dubarle D. La methode scientifique de Galilee.— Rev. hist, sci., 1965.
Dugas R. La mdCanique au XVIIlsiecle. Paris, 1954.
Dugas R. La pensee mecanique de Descartes. La mecanique au XVII-e sibcle: des antecedents scolastiques 9 la pensee classique. Paris, 1954, chap. 7.
Duhem P. Bernardino Baldi, Roberval et Descartes.— Bulletin Italien, 1906, t. 6.
Duhem P. Etudes sur Leonard de Vinci, v. 1. Paris, 1906.
Anonyme (Duhem P.l. Le principe de Pascal sur I’equilibre des liqueurs.— Rev. Questions sclent., 1906.
Ellis B. D. Newton’s concept of motive force.— J. Hist. Ideas, 1962, v. 23.
Espinosse M. Robert Hook. Berkeley, 1965.
Filon L. N. Mass and force in Newtonian mechanics.— Math. Gazette, 1938, v. 22.
Fleckenstein J. O. Cartesische Erkenntnistheorie und mathematische Physik des 17 Jabrhun-derts.— Gesnerus, 1950, Bd. 7,
Fleckenstein J. O. Pierre Varignon und die mathe-matischen Wissenschaften im Zeitalter des Cartesianismus.— Arch. Internat. hist, sci., 1948, Bd. 2, N 5.
Gerland e. Die Erfindung der Pendeluhr. Z. In-strumentenkunde, 1888, Jg. 8.
Goldbeck E. Die Gravitation bei Galileo und Borel-li. Berlin, 1897.
Gunther s. Histoire des origlnes de la loi newto-nienne de la gravitation. Biblioth&que du Congrgs international de philosophie, t. III. Logique et histoire des sciences. Paris, 1900— 1902.
Hall A. R. Galileo and the science of motion.— Brit. J. Hist. Sci., 1965, V. 2.
Hall A. R. Newton’s first book.— Arch, internet, hist, sci., 1961, v. 14.
Hanson N. R. Galileos discoveries in dynamics.— Science, 1965, v. 147, N 3657.
Harivel 3. W The background to Newton’s principia. A study of Newtons dynamical researches in the years 1664—1684. Oxford 1965.
Harivel J. W. On the date of composition of the version, of Newton’s tract De motu.— Arch, internal, hist. Sci., 1960, v. 13.
Harivel J. W. Interpretation of an early Newton manuscript.— Isis, 1961, v. 52, N 169.
Harivel J. W. Newton’s discovery of the law of centrifugal force.— Isis, 1960, v. 51.
Harivel J. W. Newton’s first solution to the problem of Kepler’s motion.— Brit. J. Hist. Sci., 1965, v 2.
Harivel J. W. The originals of the two propositions discovered by Newton in December 1679.— Arch, intemat. hist, sci., 1961, v. 14.
Hass M. Hookes vibration theory and the isochro-ny of springs.— Isis, 1966, v. 57, N 190.
Heckscher A. Herleltung der Pendelgezetze.— Arch-Geschichte der Natur, 1914—1915,Bd.5, 155 — 182, 266—281, 315—351, 398—419.
Heilbroun J. Die mathematischen und naturwissen-schaftlichen Anschauungen Josef Salomo Me-digo. Erlangen, 1913.
Henrici J. Die Erforschung der Schwere durch Gali lei, Huygens, Newton als Grundlage der ratio-nellen Kinematik und Dinamik. Leipzig, 1885.
Jordain P. E. The principles of mechanics with Newton, from 1672—1726.— Monist, 1915, V. 25, 70—106, 234—254, 418—440.
К argon R. Newton, Barrow and the hypothetical physics.— Centaurus, 1956, v. 5, N 2.
Коугё A. Etudes galilSennes, t. I—III. Paris, 1939. I. A I’aube de la science classique, II. La loi de la chute des corps. Descartes et Galilee» III. Galilee et la loi d' inertie.
Коугё A. Newtonian studies. Cambridge, 1965.
Коугё A. Pascal savant.— Cahiers Royaume phi-los., 1957, N 1.
Коугё A. An unpublished letter of Robert Hooke to Isaac Newton.— Isis, 1952, v. 43.
Lammel R. Galilei in Licht des zwanzigstdn Jahr-hunderts. Berlin, 1927.
Lamy B. Traites de mcchanique, de 1’equilibre des solides et des liqueurs. Paris, 1679, Amster’ dam, 1734.
Lange L. Die geschichtliche Entwicklung des В ewegungsb egriffs und ihr voraussichtliches Endergebniss. Leipzig, 1886.
Lange L. Uber die wissenschaftliche Fassung des Galilei’schen Beharungsgesetzes. —Philos. Studien, 1884, Bd. II.
La vie du R. P. Marin Mersenne, thCologien, phi-losophe et mathematicieu de 1’Ordre des Pres-Minimes. ... Paris, 1649.
Lemoy P. Jean Rey — precurseur de Torlcelli, Pascal et Lavoisier.— Bull. Soc. franc, hist, med., 1938, t. 32.
Lenzen V. Newton’s third law of motion.— Isis, 1937, v 27.
Lindberg D. C, Galileos experiments of falling bodies.— Isis, 1965, v. 56.
Lohne J. Hooke versus Newton. An analysis of the documents in the case of free fall and planetary motion.— Centaurus, 1960, v. 7.
Me Guire J. E. Body and void and Newton’s de Mundi Systemate: some new sources.— Arch. Hist. Exact sci., 1966, v. 3, N 3.
Maks C. S. Solomon de Sans. Amsterdam, 1935.
Milham W. Time and timekeepers including the history of clocks and watches. N. Y., 1945.
Miller J. E. How Newton discovered the law of gravitation. — Amer. Math. Monthly, 1962, v. 69.
Moscovici S. Rdmarques sur le dialogue de Galilee de la force de la percussion.— Rev. hist, sci., 1963, t. 16, N 2.
Moscovici S. L’Experience du mouvement (Jean Baptiste Вaliani,disciple et critique de Galilee). Paris, 1967.
Mouy P. Le ddveloppement de la physique carte-sienne, 1646—1712, Paris, 1934.
Omstein M. The role of scientific societies in the seventeenth century. Chicago, 1928.
Osmand P. H. Barrow, his life and time. London* 1944.
Descartes, Pascal, Spinoza. In: Philosophia, v. 2. H. van Oyen (Ed.). Utrecht, 1949.
Parenty H. Les tourbillons de Descartes et la science moderne. Champion, 1903.
Pelseneer J. Decartes et le theorfeme de Poincard.— Isis, 1938, t. 28.
Pockman L. Newtonian mechanics and the equivalence of gravitational and inertial mass.— Amer. J. Phys., 1951, v 19.
Robinson H., Adams V. The diary of Robert Hooke. London, 1935.
Roland R. Pascal et le calcul infinitesimal.— Rev. scient., 1937, t. 75.
Rose T. Blaise Pascal.— Nature, 1962, v. 195.
Rosenfeld L. Newton and the law of gravitation.— Arch. Hist. Exact. Sci., 1965, v. 2.
Sadoum-Goupie M. L’.oeuvre de Pascal et la physique moderne. — Rev. hist, sci., 1963, t. 16, N 1.
Sans (Salomon de). Les raisons des forces mou-vantes. Francfourt, 1615.
Sarton G. Simon Stewin of Bruges.— Isis, 1934, v- 21.,
Scott J. F. The scientific work of Rend Descarte s London, 1952.
Shouten J. A. Die relative und absolute Bewegung bei Huygens.— Jahresber. Dtsch. Math. Vereins, 1920, Bd. 29.
Steinmann H. G. Uber den Einfluss Newtons auf die Erkenntnlstheorie seiner Zeit. Bonn, 1913.
Sullivan J. W. Isaak Newton. N. Y., 1938.
Truesdell c- A. Notes on the history of the general equations of hydrodynamics. — Amer. Math Monthly, 1953, v. 60.
Walker H. An unpublished hydraulic experiment of Roberval, 1668.— Osiris, 1936, v. 1.
Weaker L. Sir Christopher Wren. London, 1923.
Webster distp^Cry of Boyle-’s^EdW and the • cdnciiA flastf&ity of * air in the seventeenth century.— Arch. Hist? Exact Sci., ’ 1965. V. 2? ft 6.
Westfall R. S. Newton and absolute space.— Arch, internat; hist, tei.,- 1964, N 67.
Westfall R. S. Newton defends his first publication.— Isis,‘1966, v. 57, N 189.
Whitaker V. Sir Christopher Wren. His life and-times. London, 1932.
Willamil K. Newton the mail, foreword by A1--bert Einstein. London, 1931.
Wohlwill E. Galilei und sein Kampf fur die Koper-nikanische Lehre. Bd; 1—2. Leipzig — Ham-• burg, 1909—1926.
7. Аналитическая механика (XVIII в.) и механика сплошной среды (XVIII в.)
Боголюбов а. Н. Основания науки о машинах в трудах Эйлера.— Вопросы истории естест-’ вознаний и техники, 1962, вып. 13.
Веселовский И. Н. Некоторые вопросы механики
Л. Эйлера.— Труды Ин-та истории естест-' вознания и техники АН СССР, 1957, т. 19. Герман Я. О предложении кеплериановом, «Краткое описание комментариев Академии наук»»
290 1728, Ч. I (На 1726 г.)
Там же. О мере сил в телесах.
Елисеев А. А., Мурзин А. М. Выдающийся русский физик XVIII в. К 200-летию со дня смерти Г. В.- Рихмана.— Изв. АН СССР.
Отд. техн, наук, 1953, М 8.
Зубов В. П. Страница из истории механики в России первой четверти XVIII в. — Труды, Ин-та истории естествознания, 1954, т. 4.
Козельский Я. Л. «Механические предложения...».
1764. Изд. 2-е, 1787.
Котек В. В. Леонард Эйлер, М. Учпедгиз, 1961-Крылов А, Н. Жозеф Луи Лагранж. К 200-летию со дня рождения.— Усп. матем. наук, 1936, вып. 2.
Крылов А. Н. Жозеф Луи Лагранж.— В кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов, т. 1, ч. 2.
М.—Л., изд-во Ан СССР, 1951.
Крылов А. Н. Леонард Эйлер. Доклад, прочитанный на торж. засед. АН СССР 5 октября 1933 г. М., Изд-во АН СССР, 1933.
То же, в кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов, т. 1, ч. 2. М,—Л., Изд-во АН СССР, 1951.
Кузнецов Б. г. Абсолютное пространство в механике Эйлера.—Труды Ин-та истории естествознания АН СССР, 1947, т. 1.
Жозеф Луи Лагранж. Сборник статей к 200-ле-тию со дня рождения. М.—Л., Изд-во АН
СССР, 1937.
Левенсон Л. Б., ПТиперович М. II. Первый русский учебник по механике (о книге Скорнякова-Писарева, опубликованной в 1722 г.).— Вестник машиностроения, 1949, № 4.
Мандрыка А. II- Баллистические исследования
Леонарда Эйлера. М,—Л., Изд-во АН
СССР, 1958. , 1
Мандрыка А. П. Метод Эйлера для определения дульной скорости и его теория упругости газов.— Вопросы истории естествознания и техники, 1957, вып. 3.
Михайлов Г. К. Записные книжки Леонарда
Эйлера в Архиве АН СССР. (Общее описание и заметки по механике.)— Историко-матем. исслед., 1957, вып. 10.
Михайлов Г. К. Леонард Эйлер.— Изв. Ан СССР.
Отд. техн., 1955, Jis 1,.
Николаи Е. Л. О работах Эйлера по теории продольного Изгиба.— Уч. зап. Лен. ун-та, серия матем. наук', 1939, вып 8.
Погребысский И. Б. Про одну помилку в «Ана-литичтй механщ!» Лагранжа.— Прикладка мехаШка, 1959, М2.
Погребысский И. Б. Эйлер як мехашк,— Исто-рико-математичный зб!рник, М 1. Ки1в, 1958.
Полак Л. С. Лагранж И принцип наименьшего действия.— Труды Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1957, т. >17.
Полак Л. с. Об одной проблеме аналитической механики Лагранжа.— В кн.: Из истории французской науки. М., Изд-во АН СССР, 1960.
Райнов Т. и- Даниил Бернулли и его работа в Петербургской академии наук (к 200-летию «Гидродинамики»),— Вестн. АН СССР, 1938, № 7-8.
Скорняков-Писарев Г. Г. Практика художества статического или механического, в пользу требующим обучатися. СПб., 1722.
Старосельская О. А. Очерки по истории науки и техники периода Французской буржуазной революции 1789—1794. М,—Л., Изд-во АН СССР, 1946.
Тюлина и. А. О работах Л. Эйлера по теории гидрореактивного судна и водяной турбины.— Вопросы истории естествознания и техники, 1957, вып. 4.
Фраикль ф. и. Гидродинамические работы Эйлера.— Усп. матем. наук, 1950, т. 5, вып. 4.
Фраикль Ф. и- О приоритете Эйлера в открытии закона подобия для сопротивления воздуха движению тел при больших скоростях.—Докл. Ан СССР, новая серия, 1950, т. 70, Ml.
Фреймам Л. С. О «петербургском принципе» и принципе Даламбера.— Труды 'Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1956, т. 10.
Фрейман Л. С. Эйлер и аналитический метод в механике.— Вопросы истории естествознания и техники, 1957, вып. 4.
Леонард Эйлер. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1935.
Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Академией наук СССР. М., АН СССР. Германская Академия наук в Берлине, 1958.
Aiton Е. Т. The contribution of Newton, Bernoulli and Euler to the theory of the tides.— Aim. Sci., 1956, v. 11.
Andoyer H. L’oeuvre scientifique de Laplace. Paris, 1922.
Atwood G. A treatise of the rectilinear motion and relation of bodies;' with a description of original experiments relative to the subject. Cambridge, 1784.
‘Bertrand J. D’Alembert. Paris, 1889.
Boss V. Russian newtonian: Newton and J. D. Bru-’ ce.—Arch; ihtemat. hist sei., 1962, v. 15, N 60—61.’
Bossut C. Traitё thdoretique et experimental d’hyd-rodynamique, v. 1—2, ed. 1771, 2 ed. Paris, 1787.
'Bossut С. (аЬЪё Charles). Mficanique et hydrodynami-que. Paris, 1782.
Bossut c. Traits thdorique et experimental d’hyd-rodynamiqiie. L'An IV de la Republique (1797). ' i: '
Bouguer P. De la manoeuvre des navirs ou traitd de mecanique et de dynamique. ’ Paris, 1757.
Briggs J. Morton J. D’Alembert and mechanics in the eighteenth century. Univ. Colorado Studies, Series in History, 1964.
Brunet P. L’introduction des theories de Newton en France au iXVIIIIsiecle, t. I. Avant 1738.
• Blanchard, 1931.
Brunet P. Maupertuis. L’oeuvre et.sa place dans la pensde scientifique et philosophique de 18 sigcle. Paris, 1929,
Brunet P. La vie et l’oeuvre de Clairaut.— Rev. hist, sci, 1951, 12—40, 109—153; 1952,
334—335; 1953, 161—168.
Du Buat P. L. Principes d’hydraulique, v. I—II. Paris, 1786.
Camus c. TraitS des forces mouvantes. Paris, 1722.
Cossoli P. Elogio di L. Lagrange. Padova, 1831, Dugas R. Sur. la paradoxe de d’Alembert.— C. r.
Acad, sci., 1955, t. 241, N 21. .
Euler D. Festschrift zur Feier des 200 Geburstages L. Eulers. Leipzig, 1907. Sammelband der zu Ehren das 250. Geburstages Leonard Eule-ris der Deutschen Akademie der Wissenschaf-ten zu Berlin forgelegten Abhandlungen. Berlin, 1959.
Forti A. Intomo alia vita e alle opera di Luigi Lag-range. II ed., Rome, 1869.
Fueter R. Leonard Euler. Basel, 1948.
Fueter R. Jacob Bernoulli.— Phys. Blatter, 1955, Bd. 11, N 8. ’
Fuss N. I. Eloge de Monsieur L. Euler. St-Peter-’ bourg, 1783.
8. Вариационные
Борн M. Причина, цель и экономия в законах природы.—В сб.: Борн М. Физика в жизни моего поколения. М., ИЛ, 1959.
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии, ч. 1, М.—Л., ОНТИ, 1937.
Крылов Н. М. о роли минимального принципа в математике. (Актовая речь в Таврическом университете 1-го октября 1920 г.) Симферополь, 1921.
Ланцош К. Вариационные принципы механики. М., Изд-во «Мир», , 1965.
Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. СПб., 1909.
Плаик М. Принцип наименьшего действия.— В.’сб.: Планк М. Единство физической картины мира. М., изд-во «Наука», 1966.
Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну. М., изд-во «Наука», 1966.
Полак Л. с. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М., Физматгиз, 1960.
Hahn R. L’hydrodynamique en XVIII si6cle. Paris, 1905.
Hermann J. Phoronomia sive de viribus et motibus corporuin solidorum et fluidorum. Libri duo.
• Amstaelodami, 1716. •
Janet P. Un manuscrit inedit de d’Alembert.— C. r. Acad, sci., 1933, t. 196. -
L. G. L. Euler et ses amis. Paris, 1927. '
Lorez W. Joseph Luis Lagrange. Zur 200 Wiederkehr seines Gaburtstages am 25. I 1936.— J. reine und angew. Math., 1936, t. 175.
Loria G. Lagrange e la storie delle mathematica.— Bibliotheca math., Ill ser., 1912—1813, t. XII. Loria G. Lagrange nella vita e nelle opera.— Ann.
math., II ser., 1913, t.- XXL
Loria G. Nel secondo centenario della nascita di J. L. Lagrange 1736—1936.— Isis, 1938, t. 28.
Marbini L. Cennl biografici di Lagrangia. Torino, . 1840.
Menabrea L. F. Luigi Lagrange.— Atti R. Acad, scienze Torino, v. II, 1876—1877.
JWiller.M. Essai sur la philosophic de Jeand’Alem-, bept. Paris, 1926, Ravetz J. The representation of physical quantities in eighteenth century mathematical physics.— Isis, 1961, v. 52, N 167.
Speiser D. L. Euler, the principle of relativity and the fundamentals of classical mechanics.— Nature, 1961, v. 190.
Spiess O. Leonard Euler. Leipzig, 1929.
Taton R. L'Oeuyre scientifique de Monge. Paris, 1951. . ..
Todhunter I. A history of the mathematical theories of attraction and the figure of Earth, from the . time of Newton Ao that of Laplace, у. 1. Cam-
bridge, 1878.,
Truesdell c- A programm toward rediscovering the rational mechanics , of the age of reason.—Arch, Hist. Exact Sci., 1960, v. 1, N 1., ;
Truesdell c. A. Rational fluid mechanics, 1687— 1765. Editor’s introduction to «Euleri opera omnia». Zurich, 1954..
Truesdell- c- The rational mechanics ’of ^flexible-or elastic media, 1638—1738. В кн.: Leonard!
Euleri «Opera Omnia», v. II, pt. 2, I960;
принципы механики ’ ’
Уитнер А. Аналитические методы небесной механики. (Имеются исторические комментарии и библиографические ссылки.) М., изд-во «Наука»., 1967,. ,
Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.—Л.’ ОНТИ, 1937. (Имеются исторические справки.)
Цыганова Н. Я. Работы русских ученых XIX в. по исследованию начала наименьшего дейт - ствия.— Труды ИИЕТ, 1957, т. 19.
Brunet Р. Etude historique sur le principe de la • moindre action. Paris, 1938.
Cayley A. Report on the recent progress of, theoretical dynamics. Collected mathematical papers, v. Ill, p 156; v. IV, p. 513. Cambridge, 1890.
Dugas R. Histoire de la m6canique. Neuchatel, Griffon, 1950.
Helmholtz H. Zur Geschichte des Prinzips der klein-sten Aktion. Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. Ill, Leipzig, 1895.
291
Kneser A. Das Prinzip der kleinsten Wirkung von Leibniz bis zur Gegenwart. Leipzig, Teubner, 1928.
Konigsberger L. Die Prinzlpien der Mechanik. Mathematische Untersuchungen, Leipzig, 190t.
Lindsay R. B., Margenau H. Foundationsjol physics-Dover, N. Y„ 1957.
Mayer A. Geschichte des Prinzips der kleinsten Ak-tion. Leipzig, 1877.
Nordheim L. Die Prinzipien der Dynamlk. Hand-buch der Physik, Bd V. Berlin, J. Springer, 1927.
Nordheim L., Fues E. Die Hamilton — Jacobische Theorie der Dynamik.—Handbuch der Physik, Bd. V. Berlin, 3. Springer, 1927, S. 91—130.
Prange G- Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytlschen Mechanik. Encyclopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd. IV. Leipzig, J. Springer, 1904—1935, 8. 505—804.
Todhunter J. History of the progress of calculus of variations during the nineteenth century. Cambridge, 1861.
Voisin J. De Fermat a Schrodinger.— Rev. questions scient., 1968, v. 29, N 2.
Voss A. Die Prinzipien der rationellen Mechanik Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd. IV. Leipzig, J. Springer, S. 3— 121, 1901—1908.
9. Принципы симметрии и законы сохранения в механике
Александров П. с. Памяти Э. Нетер.— Усп, матем. наук, 1936, вып. 2
Вариационные принципы механики. Сб. статей под ред. Л. С. Полака. М., Физматгиз, 1959. Вейль Г. Симметрия. М., изд-во «Наука», 1968. Джеммер М. Понятия массы в классической и современной физике. М., Изд-во «Прогресз», 1967, Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики.
М., Изд-во АН СССР, 1958.
Кузнецов Б. Г. Принцип относительности в античной, классической и квантовой физике. М., Изд-во АН СССР, 1958.
Лауэ М. История физики. М., Гостехтеоретиз-дат, 1956. >
Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи.—
В сб.: Вариационные принципы механики. Под ред. Л. С. Полака. М., Физматгиз, 1959. Овчинников Н. ф. Принципы сохранения. М., изд-во «Наука», 1966.
Паули В. Законы сохранения в теории относительности и квантовой механике.— В сб.: Современные проблемы физической химии и химической технологии, вып. 2. М., 1937.
Планк М. Принцип сохранения энергии. М.—Л., ГОНТИ, 1938.
Полак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М., физматгиз, 1960.
Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.—Л., ОНТИ, 1936.
Фабрикант В. А. И. Ньютон, И. Бернулли и закон сохранения количества движения.— Усп. физ. наук, 1960, т. 70, № 3.
Фредерикс В. К. Начала механики Ньютона и принцип относительности.— Усп. физ. наук, 1927, т. 7, № 2.
Эйнштейн А. Памяти Э. Нетер. Собрание научных трудов, т. IV. М., Изд-во «Наука», 1967.
Klein F. Vorlesungen iiber die Entwicklung de-Mathematik im 19. Jahrhundert, t. II. Berlin J. Springer, 1927.
Rentschler W. Die Erhaltungssatze der Physik.— Phys. Blatter, 1966, 22, N 5.
Schmutzer E. Der Energieerhaltungssatz und die relativistische Physik.— Dtsch. Z. Philos., 1966, Bd. 9.
Schouten J. A. Uber die Entwlcklung der Begriffe Raum und Zeit und ihre Beziehungen zum Relativitatsprinzip. Leipzig — Berlin, Teubner, 1924.
Treder H. J. Galilei Transformationen.— Wiss. Z. Humboldt Univ., 1965, Bd. 14.
Weyl H. E. Raum, Zeit, Materie. Berlin, J. Springer 1918.
Weyl H. E. Geometrie und Physik.— Naturwissen-schaften, 1931, Bd. 19.
Weyl H. E. Noether.— Scripta math., 1935, т. VIII, N 3.
Whittaker E. T. A history of the theories of ather and electricity, v. I—II. Nelson, 1951—1953.
Wigner E. P., Van-Dam H., Hautappel R. M.
The conceptual basis and use of the geometric invariance principles.— Revs Mod. Phys., 1965, v. 37.
См. также библиографию к гл. VII книги Л. С. Полака.
10. Теория колебаний и волн
Кроме указанных в библиографии к предыдущим главам трудов Галилея, Гюйгенса, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, см.; Ламб Г. Гидродинамика. Перев. с 6-го англ. изд. под ред. Н. А. Слезкина. М.—Л., Гостех-издат, 1947.
Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.—Л., ОНТИ, 1936.
Дж. В. Стретт (лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1—2. Перев. с 3-го англ, изд.; изд. второе, под ред. и с предисл. С. М. Рытова. М., Гостех* издат. 1955.
Именной указатель
Авемпас (см. ибн. Бадджи)
Авиценна (см. Ибн Сина)
Ибн А ди (Яхья ибн ’Agu*, ум. 973—74), Стр. 37, Альберт Саксонский (Albertus de Saxonia, 1316— 1390), 49, 60, 61, 283
Альберти (Alberti L. В., 1404—1472), 282.
Анаксагор (ок. 500—428 до н.э.), 12.
Анаксимандр (ок. 610—546 до н.э.), 225.
Англегена (Anglegena Н., XV в.), 48.
Анфимий Тралльский (ум. 534), 33.
Апполоний (ок. 260—170 до н.э.), 28,33.
Аристарх Самосский (конец IV в. — первая половина III в. до и. э.), 64.
Аристотель (287—212 до н. э.), И—13, 28, 34— 36, 39, 45, 49, 51—52, 57—59, 62, 66, 70, 71, 76, 78—79, 86, 90,93, 100, 106—107, 131, 134, 225, 251, 283.
Архимед (287—212 до н.э.), 10, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 38, 40, 41, 45, 46, 49, 56, 74, 76, 77, 82, 100, 133, 135, 159, 175, 282, 283, 284.
Архит Тарентский (ок. 428—365 до н. э.), 10, 31.
ал-Багдади. (Абу-л-Баракат ал-Багдади, XII в.), 38, 59. . .
ал-Багдади (Ахвад аз-Заман ал-Багдади, ум. ок. 1164), 37. ’
Ибн Бадджжи (ум. в 1138), 37, 38, 58.
Баллиани (Balliani G. В., 1582—1660), 104, 118.
Бану .Муса (Мухаммад, ал-Хасан, Ахмад бану Муса ибн Шакир, IX в.), 34, 39.
Барроу (Barrow I., 1630—1677), 116, 284.
Бекман (Beeckman 1., 1570?—1637), 90, 252, 253, 283.
Белидор (Belidor В., 1697—1761), 159, 160, 172, 178.
Бельтрами (Beltrami Е., 1835—1900), 223, 242.
Бенедетти (Benedettl G., 1530—1590), 48, 75, 76, 77, 79, 80, 131, 251, 252, 287.
Бернулли Д. (Bernoulli D.,- 1700—1782), 125, 126, 129, 130, 143, 158, 166, 169, 171, 179, 180, 181, 186, 190, 197,-226, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 272, 283, 284.
Бернулли И. (Bernoulli I., 1667—1748), 125, 128, 129, 136, 137, 140, 145, 150, 179, 180, 181, 182, 190, 192,193,194, 195,197,226,263, 264, 268, 283, 284.
Бернулли Я. (Bernoulli J., 1654—1705), 138, 139, 140, 144, 145, 163, 164, 165, 166, 192, 197.
Бернштейн С. А., 164, 174, 282.
Бертран (Bertrand J. L. Б., 1822—1900), 138,291.
Бильфингер (Btllfinger G. В., 1693—1750), 128, 164.
ал-Бируни (Абу-р-Райхан Мхааммад ибн Ахмад ал-Бируни, 973—1048), 34, 36, 40, 41, 42.
ал-Битруджи (Альпетрагий) (II половина XII в.), 37, 38.
Блазиус из Пармы (Blasius, ум. 1416) см., Бьяджо Пелакани, 48, 55, 57, 60, 283.
Бобылев Д. К. (1842—1917), 218.
Бойль (Boyle R., 1627—1691), 117, 188, 260.
Болл (Ball R. S., 1840—1913), 236.
Борелли (Borelli G. А., 1608—1679), 284.
Борн (Born М., 1882—1969), 243, 291.
Боссю (BossutCh. 1730—1814), 184, 186, 190, 291.
Боэций (Anicius Manilius Severinus Boethius ок, 480-524), 251.
Браге Тихо (Tycho Brahe, 1546—1601), 125.
Брадвардин (Thomas Bradwardlnus, 1290—1349), 50, 51, 52, 283.
Брунс (Bruns E, H., 1848—1919), 210.
Буридан (Buridanus J., ум. в 1358), 57, 58, 59, 60, 283.
Бурлей (Burleus G. XV в.), 78.
Буссинеск (Bussinesque V. J., 1842—1929), 280.
Ал-Бухари (Ахмад ибн. ал-Фадл ал-Бухари, X в.), 41. ' '
Бьяджо Пелакани (Blagio Pelacani), см. Блазиус из Пармы
Бэкон (Roger Bacon, ок. 1214—1294), 59, 79.
Бейтмен (Bateman И., 1882—1946), 247.
Бюффон (Buffon G. L., 1707—1788), 160.
Вавилов С. И. (1891—1951), 255, 259, 287.
Валла (Valla L., 1407—1457), 70
Валлис (Wallis I., 1616—1703), 107, 124, 184, 285.
Вальтер (Walter А., 1865—1927), 243.
Вариньон (de Varlgnon Р., 1654—1722), 118, 136,
137, 145, 163, 285.
Василий Великий (329—378), 62, 63.
Вейль (Weyl Н. Е., 1885—1955), 248, 249, 292,
Вивиани (Vivian! V., 1622—1703), 84, 91, 96, 97, 98, 104, 253.
Витрувий (Marcus Vitruvius РоШо., I в. до н. э.), 27, 32.
Властос Дж. (Vlastos J.), 225.
Вольтер (Voltaire F. М., 1694—1778), 195, 196, Вольф (Wolf Ch., 1679—1754), 196.
Врен (Wren Ch., 1632—1723), 99, 107, 124, 148,
Гаген (Hagen _Н., 1710—1769), 184.
ал-Газари (Абу-л-’Изз Исмаил ал-Газари, IX в.) 39.
294
Галилей (Galllei G., 1564—1642), 25, 48, 58, 74, 80, 83, 86, 106, 108, 110, 112, 114, 115. 123, 127—128, 131, 133—136, 147, 159, 160, 162—163, 165, 175, 192, 224, 238, 242, 251— 254 , 261—262 , 267, 272, 283 , 284 , 285 , 287.
Галлей (Halley E., 1656—1742), 148, 153.
Галуа (Galois E., 1811—1832), 232.
Гамель (Hamel G., 1877—1954), 238„ 240, 244,,• 242. e
Гамильтон (Hamilton W. R., 1805—1865), 202, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221,222, 223, 230, 231.
Гаусс (Gauss K. F., 1777—1855), 177, 202, 244, 276.
Гельдер О. (Holder L. O., 1859—1937), 220.
Гельмгольц (Helmholtz H., 1821—1894), 188, 202, 221, 222, 236, 242, 243, 276, 277, 291.
Гераклит Эфесский (ок. 530—470 до н. э.), 11.
Герард Брюссельский (Gherardo, 1187—1260), ‘49, 50, 51, 52. -
Герардо Кремонский (Gherardo, 1114—1187),
45.
Герглотц (Herglotz G-, ,1881—1953), 243,244,245.
Герман (Hermann Г,, 11)78—1733), 128, 138, 140, 141, 145, 147, .156, 194, 227, 290, 291.
Герои Александрийский (Heronus Alexandrlnus, I в. н. а.), 25 , 26, 27, 32, 35 , 39 , 40,.45 , 205, 283. ; .
Герц (Hertz Н., 1857—1894), 222, 242.
Гершель (Herschel I., 1792—1871), 123, 211.
Гильберт (Hilbert D., 1862—1943), 247, 248, 249.
Гиппарх (160—125 до н. э.), 28, 64.
Гиппий Элидский (V в. до н. э.), 31.
Гиппократ (ок. 460—377 до и. э.), 34, 154.
Головин М. Е. (1756—1790), 172.
Гольбах (Holbach Р. Н., 1723—1789), 202.
Гота (Gauthey Е. М., 1.732—1806), 160.
Гоуксби (Hawksbee F., ум. 1713) 184.
Гравезанд (s’Gravesand W. J., 1688—1742), 264.
Гранди (Grand! G., -1671—1743), 178.
Гримальди (Grimaldi G. Р., 1860—1918), 256.
Грин (Green G., 1793—1841), 276.
Гугон (Gugon, 1096—1141), 45.
Гук (Hooke R., 1635—1703), 148, 159, 160, 163, 165, 189, 256.
Гюйгенс (Huygens Ch., 1629—1695), 87, 97, 100» 104, 106—112, 114—116, 118—120, 124, 127, 138, 149, 176, 184, 193, 236, 238—239, 254— 260, 262, 273—277, 284, 285.
Даламбер (d’Alembert J. le. R., 1717—1783), 127—129, 138, 142—144, 146—147, 152—154, 158, 177, 186—187, 189—190, 195—196, 202— 203, 221—222, 226—227, 265, 267—268,: 271, 284.
Дамаскин Иоанн (673—777), 34, 62.
Дамблтон (John Dumbleton, I половина XIV в.), 52, 53, 283.:
Данизи (Danysi А., 1698—1777), 174
Дарбу (Darboux J. G., 1842—1912), 232.
Дарси (d’Arcy P., 1725—1779), 126, 127, 145, 195, • 196, 197.
Дезагюлье (Desagulliers J. G., 1683—1744), 184. Декарт (Descartes R., 1596—1650), 56, 86—87, 90, 94—95, 97—99, 103,- 105—106, 108, 110, 112, 116—119, 122—123, 127—129, 134—137, 196 , 206—207 , 225 , 263, 284, 289. .
Деламбр (Delambre Г. B. J., 1749—1822), 263.
Делоне (Delaunay Ch. E., 1816—1872), 1411. Делйгир (De la Hire Ph., 1640—1718), 172.
4 Демокрит (ок. 460—ok. 380 до н. э.), 225. •
Джеммер (Jammer М.) 12, 282, 292.
Дидро (Diderot D., 1713—1784), 195.
Динострат (IV до н. э.), 31.
Дюамель (Duhamel J. М. С., 1797—1872), 269.
Дюбуа (Du Bois Reymond Р., 1831—1889), 184, 190, 282.
Дюгем (Duhem Р., 1861—1916), 48, 69, 80, 282, - 387, 288.
Дюрйпг*(О11гт£ Е., 1833—1921), 202.
Евдокс Книдский (ок. 408—355 до н. э.), 28, 31.
Евклид (365—300? до н. э.), 34, 40, 45, 70, 76, 93, 136, 232, 251.
Евтокий (VI в.), 21, 33, 45.
Жермен (Germain S., 1776—1831), 270, 271.
Жиль Романский (Gilles de Rome, 1247—1316) 78.
Жирар (Girard Р. S., 1765—1836), 160—161, 165, 185.
Жуковский Н. Е. (1847—1921), 218, 230, 287.
Зенон (род. ок. 500 г. дон. а.), 11.
Инген (Inghcn MarslHus., II половина XIV в.), 57.
Иоганнес дё Мурис (lohannes de Muris, XIV в.), 49, 283. ‘
Иордан Неморарйй (Jordanus Nemorarlus, ХШ). 46, 47, 48, 69.
Исидор Милетский (VI в.), 33.
Кавальери (Cavalierl В., 1591? — 1647), 56, 87.
Казале (Giovanni de Casale, ум. ок. 1355), 55, 283.
Калипп (III в. до н.э.), 28. ’
Кайзер (Keiser К., XVI в.), 80.
Каннингхэм (Cunningham Е. Т.), 247.
Кант (Kant I., 1724—1804), 128.
Кардано (Cardano G., 1501—1576), 48, 82, 284.
Карно (Carnot L. N. М._, 1753—1823), 204.
ал-Каши (Гийас ад-Дин ' Джемшйд ал-Кашй, XIV—XV в.), 42
Кельвин (см. Томсон В.), 281.
Кениг (Konig S., 1712—1757), 194, 195.
Кеплер (Kepler I., 1571—1630), 101, 102, 117, 125, 147, 148.
Кирхгоф (Kirchhoff G. ,R., 1824—1887), 187, 223.
230, 243, 277.
Клаусен (Clausen Т., 1801—1885), 168
Клебш A. (Clebsch R. F. А., 1833—1872), 278.
Кларк (Clark S.), 120.
Кледжет (М. Clagett), 89, 283, 286.
Клейн (Klein F., 1849—1925)., 210, 238, 240, 243— 249.
Клеро (Clalraut А. С., 1713—1765), 125, 147, 150— 153, 176, 186, 189, 372, 284.
Койре (Коуге А., 18.92—1964), 66, 71, 72, 74—75, 83, 289.
Колычев Ф. С. (1507—1570), 64.
Коммандино (Coihniandlno F., 1509—1575)., 49.
Кондорсе (de Condorcet М. I. А-. 1743—1794), 186.
Коперник (Copernicus N-, 1473—1543), 64, 96, 102, 103, 125, 238, 284.
Ибн Корра (Абу-л-Хасан Сабит ибн Корра ас-• Саби ад-Харрани, ок. 830—901), 34, 40—.41, 45, 48. ‘ _
Коста ибн Лука (Коста ибн Лука ал-Ба’ албакки, ум; 912), 25, 40, 45. ’ • :
Котельников А. П-.- (1865—1964), 236, 237, 238.
Котельников С. К. (1723—1808), 160, 284.
К оши (Cauchy A. L., 1-789—1857), 187, 188, 189, 272, 280.
Кузнецов Б. Г., 83, 282, 287, 290, 292.
Кулибин И. П. (1735—1818), 174, 175.
Кулон (Coulomb Ch. А. 1736—1806), 160, 164, 165, 172, 174, 184, 189, 190. ; '
Купле (Couplet Р., 1744), 174, 184, 190.
"Купфер (Kupffer А. Т., 1799—1865), 171. Куртиврон (Courtivron &., 1715—1785), 195.
Лаврентьев М. А., 281.
Лагранж (Lagrange J. L., 1736—1813), 25, 93, 100, 123—124, 127, 130, 132—133, 137—138, 142, 147, 152—157, 168—169, 177—179, 186, • 188—189, 200—205, 208, 210—211, 214, 216— 221, 226—230, 232, 236—239, 241, 243—244, 248, 254, 258, 260, 265—266, 268—272, 280, 284, 285, 290.
Лаланд (de Lalande J. J., 1732—1806), 198. Ламб (Lamb H., 1849—1934), 250, 280.
Ламбларди (Lamblardie J. E., 1747—1797), 160.
Ламе (Lame &., 1795—1870), 275.
Лами (Lamy В., 1640—1715), 118, 289.
Ланге (Lange L., 1863—1936), 238, 289.
Лаплас (Laplace P. S., 1749—1827), 152, 153, 154, 188, 202, 272, 280, 281, 285.
Лев — строитель Соломонова трона в Константинополе (IX в.), 34.
Левкипп (500? — 440?) до н. э., 10.
Лежандра (Legendre А. М., 1752—1833), 152—153, Лейбниц (Leibniz G. W., 1646—1716), 88, 118— 120, 123, 127—129, 145, 149, 192, 197, 224— 225.
Лексель (Lexell А., 1740—1784), 172.
Ленин Владимир Ильич (1870—1924), И, 45.
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci, 1452— 1519), 48, 60, 61, 66, 68, 69, 70, 80, 82, 131, 159, 251, .283.
Лесаж (Le Sage G. L., 1724—1803), 150
Ли (Lie Sophus, 1842—1869), 216, 217, 233, 234, 238, 240,.242, 243.
Либри (Librl G., 1803—1869), 75.
Липшиц (Lipschitz R.O. S., 1832—1903), 223, 242.
Лобачевский H. И. (1792—1856), 83.
Лойцянский Л. Г., 178
Ломоносов M. В. (1711—1765), 284.
Лопиталь (de L’Hospital G. F., 1661—1704).
Лоренц (Lorentz H. A., 1853—1928), 239, 243, 248.
Лукреций (ок. 99—55 до н. э.), 10.
Лурье А. И., 178.
Мазьер (Mazleres J. S., 1679—1761), 263.
Маклорен (Maclaurln С., 1698—1746), 123, 151, 152, 153, 272.
Максвелл (Maxwcll J. С., 1831—1879), 210, 247. Максим Грек (1480—1556), 63.
Ибн Малка (II половина XII в.), 37.
Мальбрашп (Malebranche N., 1638—1715); 128.
Мариотт (Mariotte Е., 1620—1684), 160, 162, 163, 164, 165, 180, 260.
Марииани (Marliani G., ум. 148,3).
Маркс (Karl Marx, 1818—1883), 203.
Марци (Marci М., 1595—1667), 99, 106, 107.
Матье (Mathieu Е. L., 1835—1890), 279.
Max (Mach Е., 1838—1916), 86, 117, 238, 282, 291.
Медичи (Medici L., 1617—1675), 253.
Менелай (I—II вв. н. э.), 41—42.
Мербеке (Willem de Merbecke, ок. 1215— ок. 1286),
45. ‘ ,
Мерсенн (Mersenne М., 1588—1648), 97, 99, 100, 106, 110, 134, 252, 253; 254 , 267,. 289.- ...
Миддлтон (Middleton R., II-половина XIII в.), 60, 79. ................
Минковский (Minkowsky Н., 1864—1909), 243. Дель Монте (см. Гвидо Убальдо).
Монтюкла (Montucia G. Е.; 1725—1799); 178, 282.
Мопертюи (de Maupertui Р. L. Moreaii, 1698— 1759), 192, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 201, 203, 204, 285. : ;
Мор Генри (More Н., 1614—1687), 116.
Мушенбрук (Mussenbrock Р. van, 1692—1761), 160, 169.
Навье (Navier С. L., 1785—1836), 165, 185, 272, 277. _ _ _
Найризи (’Абу Мансур ан-Найризи), X в.,- 41. Нейман (Neumann К. G., 1832—1925), 238;
Нетер (Noether Е., 1882—1935), 224, 247, 248, 249, 292.
Николай Кузанский (Nicolaus deCusa, 1401—1461), 49, 57, 60, 66, 68.
Николаи Е. Л. (1880—1950), 168, 290.
Никомед (II, в. до и. э.), 31.
Нифо (Nlfo А., I половина XV в.), 71. .
Ньютон (Newton Г. 1643—1727), 91, 94—95, 110, 112—116, 118—123, 125, 126, 129, 131, 144— 145, 147—153, 176, 182—184, 186—187, 192, 195—196, 224, 230, 234, 238, 242, 255, 260— 262, 272, 283, 284, 285, 288.
Орем (Nicole Oresme., ок. 1323—1382), 51, 54, 55, 56, 58, 60, 68, 72, 74, 283.'
Остроградский М. В. (1801—1862), 177, 214, 215, 216 , 217 , 218 , 230 , 273 , 274 , 275 , 277, 27,9.
Павел Венецианский (Paulus Venetus., Paolo Nicoletti, ум. 1429), 56, 57.
Папп (Pappus Alexandrinus, III в.), 21, 25,.27, 32, 283.
Паран (Parent A., 1666—1716), 160, 164, 190.
Парменид (V. в. до н. э.), II, 225.
Паскаль (Pascal В., 1623—1662), 25, 106, 175, 284, 285, 289.
Перроне (Perronnet J. R., 1708—1794), 160, 172.
Писид Георгий (II половина VII в.), 63.
Пито (Pitot Н., 1.695—1771), 190. • ‘
Пифагор (VI в. до н. э.,), 251.
Планк (Planck М., 1858—1947), 243, 291, 292.
Платон (429—348 гг. до н. э.), 12, 28, 31, 45, 63, 70, 79, 295.
Плутарх (ок. 50—120), 21, 32.
Прони (Prony R., 1755—1839), 172, 178.
Птолемей (70—147 г. н. э.), 28, 29, 30, 34, 39, 40, 45, 64, 103, 125, 251.
Пуанкаре (Poincare Н., 1854—1912), 224, 236, 238, 240, 241., 242, .245..
Пуансо (Poinsot L.( 1777—1859), 232.
Пуассон (Poisson S., 1781—1840), 153, 154, 189, 204, 205, 233, 234, 238, 239, 240, 272, 273, 274, 275, 27.7, 278, 280.
ар-Рази (Мухаммад ибн Закарийа ар-Рази, XI в.), 41.
Ибн Ракика (Саййд ад-Дин ибн Ракика, X в.), 39.
Раман (Raman- G. V/, род. 1888), 259.
Раус (Routh Е. I., 1831—1907), 218, 219, 236.
Рейнольдс (Reynolds О., 1842—1912), 280.
Ремер О. (Reiner О., 1644—4710); 256. -
Реомюр (Reaumur- R. А., 1683—1757), 160.
Рети (Rgthy М., 1846—1925). 21-9, ... i
295
Риккати (Rlccati J., 1676—1754), 264.
Рихман Г. В. (1711—1753), 284.
Роберваль (de Roberval G., 1602—1675), 97, 100, 106.
Робинс (Robins В., 1707—1751), 185.
Робисон (Robison J., 1739—1805), 169.
Родригес (Rodrigues В. О., 1794—1851), 218.
Ронделе (Rondelet I. В., 1834—1829), 160.
Ибн Рошд (Абу-л-Валид Мухаммад ибн Рошд, 1126—1198), 38, 45.
Рэлей (Rayleigh, 1842—1919), см. Стрэтт Дж., 242, 243, 250, 278, 279, 280, 281, 282.
Сакробоско (Johannes Sacrobosco., ум. 1256), 63. Саломон из Коса (Salomon de Caus, 1576—1630), 100.
Санад ибн Али (Санад ибн ’Али, IX в.), 41.
Сантиляна (Santillana G. de), 101, 286.
Сегнер (Segner J. А., 1704—1777), 158.
Серре (Serret J. А., 1819—1885, 218.
Симпликий (ум. 549 г.), 21, 36.
Ибн Сина Абу Алй (980—1037), 34, 36, 37, 38, 39, 45, 59, 70 _
Ибн Синан (Абу Исхак Ибрахим ибн Синан ибн Сабит ибн Корра, 908—946), 43.
Слудский Ф. А. (1841—1897), 218.
Соколов И. Д. (1812—1873), 218.
Сомов О. И. (1815—1876), 218.
Сото (Soto D., 1494—1560), 81.
Сретенский Л. Н., 292.
Стевин (Stevin S., 1548—1620), 25, 76, 82, 99, 100> 106, 131, 133, 175, 284.
Стирлинг (Stirling J., 1696?—1770), 151.
Стокс (Stokes &., 1819—1903), 184, 242, 277, 280.
Стратон из Лампсака (Straton, III в. до н. э.), 78
Стретт Дж. См. Рэлей.
Суисет (Swineshead R., XIV в.), 52, 53, 54, 55, 56, 283.
Суслов Д. К. (1857—1935), 218.
Талызин М. И. (род. 1819), 218.
Тарталья (Tartaglia N., ок. 1499—1557), 48, 60, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78.
Тенье (Taisnier J., 1509—1562), 76
Теон Александрийский (IV в.), 38.
Теофил (X в.), 45.
Тодгентер (Todhunter J., 1820—1884), 152, 282, 291, 292.
Томсон В. (Thomson W., 1824—1907), 236, 281.
Томсон Дж. Дж. (Thomson J. J., 1856—1940), 236.
Торричелли (Torricelli Е., 1608—1647), 104, 106, 127, 285.
Трусделл (Truesdell 187, 251, 289, 291).
ат-Туси (Абу Джа, фар Мухаммад ибн Мухаммад Насир ад-Дин ат-Туси (1201—1274), 37.
Тэт (Tait Р. G., 1831—1901), 236.
Тейлор Брук (Taylor Brook., 1685—1731), 140— 141, 233, 262, 263, 264.
Убальдо (Guido Ubaldo del Monte, 1545—1667), 49, 132—135, 287.
Усейби (Ибн Аби ’Усейби, X в.), 40.
Фабри (Fabri Н., 1606? — 1688), 97.
Фарадей (Faraday М., 1791—1867), 281.
Ферма (Fermat R., 1601—1665), 56, 106, 191, 192, 193, 205, 206, 207.
Филопон (Philoponus J., ум. ок. 660), 35, 36, 37, 38, 58, 59, 78.
Фома Аквинский (Thomas Aquinatus, 1225—1274), 56.
Фонтенель (de Fontenelle В., 1657—1757), 122. Фосс (Voss А. Е., 1845—1931), 219, 292.
Фракасторо (Fracastoro G., 1483—1553), 251. Френель (Fresnel А., 1788—1827), 205, 277. Франческо ди Джорджо (Franciscus di Giorgio, XIV в.), 80.
Франческо ди Марина (Francisas de Marcia, I половина XIV в.), 57
Фредерикс 259.
Фруд (Froude W-, 1810—1879), 280.
Фурье (Fourier J^B. J., 1768—1830), 137, 138, 242. ал-Хазини (Абу-л-Фатх ’Абд ар-Рахман ал-Ха-
зини ал-Марвази, XII в.), 34, 41, 42, 49.
Хайям (Абу-л-Фатх ’Омар ибн Ибрахим ал-Хай-йам, 1048—1123), 34, 41, 42.
Ибн Халдун (Абу Саид ’Абд ар-Рахман ибн Му-
хаммад ибн Халдун, 1332—1406), 40.
Хейгесбери (Heytesbury V7., ок. 1313—ок. 1372), 52, 53, 68, 283.
Хладни (Chladni Е. F. F., 1756—1827), 270.
ал-Хорасани (Ибн Мухаммад ибн Али ал-Хора-
сани, IX в.), 40.
ал-Хорезми (Аб^ ’Абдаллах Мухаммад ибн Ахмад ибн Юсуф ал-Катиб ал-Хуваризми, IX в.), 39. ал-Хорезми (Абу ’Абдаллах Мухаммад ибн Муса ал-Хуваризми ал-Маджуси, ок. 780— ок. 850")7 45.
Хуфу (Хеопс, начало III тысячелетия до н. э.) 7.
Черрути (Cerruti V., 1850—1909), 236, 237.
Шези (de Chezy А., 1718—1798), 172, 184, 190.
Шеринг (Schering Е. Ch. I., 1833—1897), 234.
Штуди (Study Е., 1862—1930), 235.
Шютц (Schutz I.), 236, 239, 240.
Эйлер (Leonard Euler, 1707—1783), 123, 125—127, 130, 138, 140—141, 143, 146—147, 150, 153— 156, 158, 165—172, 175—177, 179—183, 186— 189, 195—203, 210, 218, 220, 225—226, 264— 267, 269—271, 284, 295, 290.
Эйнштейн (Einstein А., 1879—1955), 224, 240, 245, 248, 249, 292.
Эмпедокл (ок. 490— ок. 430 до н. э.), 12
Энгель (Engel F., 1861—1941), 233, 243, 244. '
Энгельс (Engels F., 1820—1895), 33, 65, 129, 178. Эпикур (341—270 до н. э.), 10.
Эразм Роттердамский (Erasmus von Rotterdam, Gerhard Gerhards, 1465—1536), 72.
Эратосфен (ок. 276—194 до н. э ), 21.
Эри (Airy G. В., 1801—1892), 281.
Юнг (Young Th., 1773—1829), 205, 277.
Юханна ибн Юсуф (Иуханна ибн Иусуф, X. в.), 41.
Якоби (Jacobi К. G. I., 1804—1851), 130, 201,213, 214, 215, 216, 217, 220, 221, 223, 230, 232,
233, 238, 239, 240.
Ибн Якут (XIII в.), 40.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие Стр. 5
1
Античная механика (А. Т. Григорьян) Стр. 7
2
Механика на средневековом Востоке (А. Т. Григорьян, М. М. Рожанская) Стр. зз
3
Механика в средневековой Европе (А. Т. Григорьян, М. М. Рожанская) Стр. 44
4
Зарождение классической механики (XVI в.) (П. Костабель) Стр. 66
5
Становление классической механики (XVII в.) (И. Б. Погребысский)
Стр. 83
6
Аналитическая механика (XVIII в.)
(И. Б. Погребысский, Л. С. Фрейман) Стр. 122
7
Механика сплошной среды (XVIII в.) (Е. Н. Ракчеев, И. А. Тюлина)
Стр. 158
' г 8 ?
Вариационные принципы механики (Л. С. Полак)
Стр. 191
9
Принципы симметрии и законы сохранения в механике (В. П. Визгин)
СТр. 224
' ( ч '
г 10
Теория колебании и воли (И. Б. Погребысский) Стр. 250
Библиографий '
(Э. Б, Модина, У. И. Франкфурт, А. М. Френк) Стр. 282
Именной указатель ; .
Стр. 293