/
Текст
В. А. Якубович
Ж Частотные методы
качественного исследования нелинейных регулируемых систем
ЗИЙ- Введение
ЯЮ:-
Яву 11 ел и ней в ы е с и ст е м ы р е гул пр ов ан п нов и с ы в а ю т с я у р а в и е и и. я и и [1 —4]
(1;г
— — Л Т Ж 6?. 0 = С*Х, (0.1)
Иб Ш = ^^(0)] . (0.2)
Д»е У р а в н спи я (0.1) о пи с ы в а ю г л и в е и н у ю ч а ст ь си ст е мы; в (0.1) х ~ в е кто р с о ст о я н ня
|Ир:системы (его порядок Л7),о—векторные (порядков п в т) входы и выходы линей-
йИ|- шп* части, А, Ь, с —постоянные матрицы, соответственно, порядков Лг X АЛГ X п.
А X яс Уравнение (0.2) описывает нелинейную часть системы; оно утверждает,
ДИу что в об идем случае выходы ^(0 “11^)11?= । нелинейных блоков зависят от началь-
•, вых зн а чей и й (0), з в а ч е и и й входе в в и ел и и е й и ы о блоки а (т) ~ 11 п?- (т) 1| । в м о -
ДиУ .менты 0 и от в р ем е н и I. У к а з ан и а я в а в и с и м о ст ь и м е е т м е ст о ; у г > I г и ст ер е з .в с -
ных нелинейностей: для нелинейностей, описывающих модуляторы с различными
типами модуляции, для нелинейных блоков, задаваемых дифференциальным
ЯКу уравнением
(0.3)
йИр/В более обычных случаях уравнение (0.2) имеет вид
(0-4)
МИ|у («нелинейные стационарные блоки ») или
(0.5)
|Д№х (''111 е л Г! 11 е л п ы с 11 е^тациона р ны е блоки»). В (0.3), (0.4) у?(), । — ф у и к ц и 11 ст- в о общ е,
разрывные. (Относительно определения решения в случае разрывных пелппей-
ЦИр ногтей будет сказано ниже, в 3).
(0.1)—(0.2) все величины, вообще, комплексны. Если, как ото обычно бывает
дИВу в приложениях, все они вещественны, то будем говорить о велуественном случае.
Отмстим, что хотя уравнения (0.1), (0.2) описывают нелинейные системы, регул иро-
^^Ь-ванпя |1— 5], в виде (0.1), (0.2) может быть также записано подавляющее боль-
пишетво уравнений, появляющихся в нелинейной механике; при атом обычно
нел11пе^ные блоки описываются одним из уравнений (0.3)—(0.5).
Существует обширная литература посвященная исследованию уравнений (0.1),
Список литературы, относящейся в основном к проблеме устойчивости
(в целом) уравнений (0.1), (0.2), читатель найдет в [1—7]. Исследования последних
лет сосредоточены в журнальной литературе. Настоящий доклад посвящен, в осн о- /
вном, обзору результатов, полученных в последние годы коллективом авторов па :
кафедре теоретической кибернетики Ленинградского Университета. В докладе
представлены лишь основные результаты; при этом большее внимание уделено :
недавним работам. Мы по останавливаемся на многих смежных результатах ,
в этой области. Упомянем лишь следующих авторов ряда важных и интересных
результатов в этой области: В. \У. ВгоскеНд И. В. Ьее [8], В. Е. Какпап |9|:'.
К. В. Меуег 110|, Е. Хо1с1ив 11I, ( 21, V. М. Ворох [ I 3], Е. С. 11 ятницки й [ 141, а также
А. Нл1апау, С. Согскшеапи, В. У. АУйЬшя, С. $ге&б, 1). Бй]ак, В. А. Вруспн. л
В.М. Кунцевич, 10. И. Чеховой (см. цитированную литературу в [5| и |7|). Список.й
этот неполный. л
При получении описанных, ниже результатов важную роль играли работы А
школы А. А. Андронова [1.5—19] и др. и работы А. И. Лурье [1]. Именно исследо-А
ван и л конкретных «сильно нелинейных » систем (обычно с разрывными вели вея- -
костями) служили путеводной нитью при получении общих, описанных ниже/
результатов. Важно отметить, что исследования [15—19] и др. основаны на методе А
точечных преобразований, — этот метод существенно использует малую размер-
ность системы (1У = 2,3) и специальный вид нелинейности (обычно т — 1, $ — (/‘(я) — А
кусочно-линейная функция, часто 99(0) =81^п а). Описанные ниже общие резуль-
таты используют совершенно иную методику, позволяющую исследовать спстемыА
произвольно высокого порядка и рассматривать нелинейности весьма общего
вида. При этом установленные общие теоремы таковы, что для ранее исследовав-д
ных систем получаются близкие результаты; во многих случаях получаются/;
уточнения. Получаемые результаты носят качественный характер в том смысле/
что они устанавливают общие свойства решений (устойчивость, неустойчивость,/
диссипативность, наличие колебательных решений и др.) без конкретных вы-
числений решений, без численного интегрирования. Они позволяют выделять1
в пространстве параметров области с теми или иными свойствами решений,
обычно даже без подробного знания нелинейностей.
Применяемая методика основана на использовании аппарата функций Ляпу-А
нова, и р и чем цен т рал ь и ы м м ом ен то м при по ст р о е 11 и и фу ни ц и й Л я п у н о в а я в। я ет с я /
применение « частотной теоремы ». Мы называем так теорему, полученную впервые* •
для скалярного случая в [20], доказательство которой существенно усовертенст.->
вовано (и распространено па граничные случаи) в [9] и для наиболее общего//
случая получено В. М. Поповым и приведено в [7] (см. также [6. 21.]), Частотная/,
теорема, а также теоремы [22, 23] « о неущербно ст и ^-процедуры » дают воз-//
мощность получать критерии, охватывающие все критерии, которые могут быть-/
г I о л у ч е ны с и с н о ль з она н и е м ф у н к ц и и Ляпунова р а с с л । атр и в а е м о го класса. К р оме
того, эти критерии получаются в удобной для приложений « частотной » форме, -
они выражены через частотные характеристики линейной части системы.
Ниже, в разделе 5, приведена (без доказательства) частотная теорема для беско-..
не ч 1 т о м е р н о г о с л у ч а я. ' )т а т е о р е м а от к р ы в ает и у т ь д л я п о л у ч е н и я р е э ул ь т ато в. ана-
логичных описанным ниже, для бесконечномерного случая — в частности, для/
систем, описываемых уравнениями в частных производных.
1. Квадратичный критерий абсолютной утойчпвости
5; Введем новый «выход » ?? =г/(Л) в системе (0.1), (0.2) по формуле
| )] = . (1.1)
• Здесь (I, д — некоторые I X 1У и I X « постоянные матрицы; таким образом — вектор
[У' порядка I, Отметим следующие частные сл учаи : г/ = т/ = сг, г; ~ а,-. — л.‘;~фиксиро-
Цуванная компонента вектора х. Нас будут интересовать условия того, что величина
р,и/, в определенном смысле мала. При соответствующих с1> 5 из этих условий будет
Цу получаться малость, соответственно, о, .с, ау
Цу Пусть с^(х, ^) — некоторая эрмитова форма векторных переменных Здесь
Е :т.— произвольные комплексные векторы порядков н7 т. Опыт многочисленных
Еу исследований систем (0.1)—(0.2) показал, что нелинейное соотношение (0.2) (или
В (0.3)—(0.5)) целесообразно заменить некоторой « квадратичной связью ». В про-
ку стейшем случае эта связь имеет вид
|Й[.г(0?5(0] ^0 . (1.2)
|РЗдесь х(1),$(1) — решение системы (0.1.)—(0.2). Форат 2/ в (1.2) подбирается на
Еу основании конкретно заданных уравнении (0.2)—(0.5). В более сложном случае
Еуэта связь имеет вид
Еу -
ВуйО: -у . (1.3)
К.У: 0
1у Более точно:
Ву Определение I : Пусть х(1).^{1) — определенные на (0,<х>) функции такие, что
Вр: х(1) — абсолютно непрерывна и уг(ОЬ ^(0! € А?(0, 7Т) для любого Т >'0. Будем
Еу говорить, что функции .т(0?^(0 удовлетворяют локальной св л за. с формой 2Г(;с, |),
Еу если почти всюду на |0,оо) выполнено (1.2). Будем говорить, что функции ;г(0,^(0
Е-удовлетворяют ишнег/шмок связи с формой сТ(х,%). если выполнено (1.3), т.е .
Еу:' с
Еудшаче, если не выполняется соотношение /2Г| ’а-(0> ^(/) | <Й — <х> при I -* +
Е2- о
И; ; (Отм ети м, что х отя в(1.2), (1.3) фигур и ру ют решен и я и систем ы (0.1), (0.2), дол жн о
Мыть априори известно, что эти соотношения выполнены). Методы построения
к формы & для различных типов нелинейностей указаны, например, в [5|, 3.6. Огра-
Жунпчимся сейчас лишь одним простым, но важным примером. Пусть ш~н — 1, т. е.
— скалярные величины. Предположим, что вход о~(/) и выход^(1) нелинейного
№. блока лежат в некотором секторе
(1.4)
И|уна плоскости Это будет, например, для блока, описываемого уравнением
Ку(0.5), если конечны величины
К” . гф|(^3) о ф|(а,Г)
ИЬ.'-х = нп---, р=янр--------. (1-5)
Иу /.а а ъз
ЙУ
КХ''
Кр "
Так как соотношения (Е4) равносильны неравенству
(/?а -|) (|-аа) ^0 ,
то любые вход и выход удовлетворяют локальной связи с формой
- (/Ь —<3 (<^ —аст), где
*
Укажем еще па важный в практическом отношении класс нелинейных блоков
(0.2), для которых выполнено (ЕЗ), — это так называемые импульсные модуляторы
(см. подробнее, например, [5| гл. 3). Для них ^.в (ЕЗ) — моменты посылки импуль-
сов. Отметим, что для них выполнено (ЕЗ), но не выполнено условие
Эу==О: /Щ(ОЛС)Ы«^-У
о
для всех достаточно больших I. Для большинства обычных нелинейностей вы-
полняется именно последнее условие.
В дальнейшем, в этом параграфе, мы вообще не будем рассматривать урав.4
нения (0.2)—(0.5); мы будем рассматривать систему (0.1) совместно с локальной
или интегральной связью. Важно отметить, что к такому изменению постановки;
задачи привело не только развитие математической теории; это оказалось це.чесо-
образным и с прикладной точки зрения. Указанная замена одной задачи другой,
означает, что вместо конкретного нелинейного блока мы рассматриваем класс’;
не; г и н е й и ых б .]I о к о в, у д о в л I е тв о р я ю щ н х у с л о в и ю (Е 2) или (1.4). (Фо р м а & ф и.к с 11 ро -:
вана). Целесообразность рассмотрения класса блоков следует из того, что часто
уравнения (0.2) (0.5) неизвестны полностью. (Например, известно лишь, что
выполнено (Е4)). Мы приходим к задаче о получении условий устойчивости для;
системы с любой нелинейностью из заданного класса, — устойчивость такого рода’
получила название абсолютной устойчивости (в заданном классе нелинейностей),-У;
см. подробнее [3, 4, 6, 7|, а также [5] гл. II.
Пусть ЭЛ у некоторое множество пар функций [х(/), ^(/Ц, удовлетворяющих
локальной .либо интегральной квадратичной связи с формой и веществен-
ных в вещественном случае.
Определение 2: Система (0.1) называется абсолютно устойчивой по выходу^
в классе ЭЛ у, есл и для любой пары |Х(/), ^Ц)|, удовлетворяющей (0.1) и такой, что
|гг(Ц, ’%(1) | €ЭЛу выполнено : (а) сходится интеграл ф;||2 = / |э?|ЕВДб) существуют
о у
к о э ф ф и ц н е нт о в с и с т е 1.1 (0.1)
постоянные с7>Ю (У ~ Е 2, 3), зависящие лишь от
и формы </, такие, что справедливы неравенства
С| |Л(0)Н 4- с2у, / Ш с3|х(0)Р?
где число у и последовател ьность 1к — те ?ке, что н в
соотношении (ЕЗ),
Условие (б) означает некоторую равномерность оценок но
костям » класса ЭЛ сГ-
всем « и ел пней-
О пре д елей ие 3: Система (0.1) называется минимально устойчивой в классе ЭД
если для любого вектора .г()Ф0 (вещественного в вещественном случае) существует^
пара функций ЦгЦ), $(1)\ €ЭЛуудовлетворяющая (0.1) в такая, что (1°) л:(0)=.г'о,
'(2°) Д'ЦД, -*0 при 4- ©©, где 1к — последовательность в (ЕЗ), (3°) в условии (ЕЗ)
у~у(х0) удовлетворяет соотношению
'4'^ 2/СЫ = О (для всех г0 фО) .
(.1.8)
В (1.8) изберется по всем комплексным (в комплексном случае) иля веществен-
ным (в вещественном случае) Я.
Если функции их ЭЛ у удовлетворяют л окальной связи, то у =0 и условие (3°)
выполнено: условие (2°) в этом случае означает, что |х(Ц| -*0 при 4- ©©.
Замечание: Обычно для заданной формы дГ(хД) существует « обратная связь »
(р — некоторая п X я/-матрица, вещественная в вещественном случае)
такая, что
0 при а = с*х, %—ра, (для всех а) • ' (Е9)
Тогда любое решение системы (0.1) с обратной связью^ =/щ удовлетворяет локаль-
ной (а значит и интегральной) связи (см. подробнее |5]). Пусть выполнено (Е9)
3.1 множество ЭЛу содержит множество* всех пар, удовлетворяющих локальной
связи. В этом случае условие минимальной устойчивости легко проверяется :
система (0.1) минимально устойчива тогда и только тогда, когда линейная система
(0.1). где%=ра асимптотически устойчива.
Перейдем к формулировке общего критерия, который охватывает боль-
шинство известных к настоящему моменту результатов, относящихся к исследо-
ванию устойчивости систем (0.1)—(0.2) с различными типами нелинейностей. По
-форме сТ(;г, построим следующую эрмитову форму одного комплексного век-
торного переменного зависящую от вещественного параметра со:
/(йо, |) ~с/|х, /|, где х ~ (гео! —А)- ( Ы
(ЕЮ)
Отлетим, что часто выполнено (ЕЗ), где под интегралом стоит С7Д^(0, д(0, д(()|
вместо </|/(Ц, а’(Ц |. (Здесь сТг(^, а, 4) Эрмитова форма на Ся X X В этом
случае из (ЕЮ) имеем =сГ|[^, х, ш>ж|, где х — (гео! — А)" 1 Ъ^. Таким
йюразом, для получения формы <Д\га), из гУ следует в уравнении линейной частя
(ЕДЙ — А .г 4- 1Д сделать преобразование Лапласа при условии, что ;г(0) =Ю, вы-
лазить х и х через | (считая здесь, что х = дм/д!) и подставить найденные значения
:Х,т в форму Д. Если исходная форма вещественна, то ее следует предварительно
^распространить до эрмитовой. Введем передаточную матрицу от входа к вы-
ходу (-у):
Ц/(2) = с7*(А~д . (ЕН)
Теорема 1: (Кв а д р ат п ч н ы 11 к р нт е р и й а б со л ю твои у с т о й ч и в о ст 11). Пуст ь
,®у -множество всех комплексных пар {ч (0- #Й; ?/йовлетворяютих иитегральнои
мязи с формой <Д($,х,х) и таких, что в (ЕЗ) у ~у[л'{0)] удовлетворяет условию
(1.8). Пусть Э№у — аналогичное множество вещественных пар для, вещественной
$ирмы /. Предположим, что система (0.1) минимально устойчива в классе ЭЛу-
(в классе ЭЛу-). Для абсолютной устойчивости системы (0.1) по выходу у в классе
!1 КопГсгепг I, 1
370
ЭД^ (в веисественаом случае — 7? классе ЭД необход имо и достаточно, чтобы для
некоторого е было выполнено
<7[ъ(о, 4.1 ™- —с \ 1.1 (1т) > 2 (1.1 2)
для всех к ом пл е кел I ых 4 а для всех веще ствен 1I ых со , таких, что (1 еЬ [ г г о 1 — Л ] Ф 0.
(Здесь <7 и 11(Во)) определяются из (1.10), (1.11)).
Эта общая теорема имеет мнргие применения. Они описаны, например, в |5ф
поэтому .мы на них не будем останавливаться. Некоторые примеры, приведены в 3.
От м ет им, 11 т о д л я а б со л ю тн о й у ст о й ч и в о ст и с истомы (0.1) в к л а с с е в е щ е ст венцы х
нар [;г( •), |( ) ] удовлетворяющих локальной связи (1.2), условие (1.12) уже не
является необходимым (хотя оно, очевидно, достаточно). Более широкое необ-.
ходимое и достаточное^ условие для этого случая (при специальных формах
цГ(<т, ^)) получено Е. С. Пятницким. [14 (; к сожалению, это условие трудно про-,
в еря ем о.
2. Квадратичный критерий абсолютной неустойчивости
Пусть снова X — ^(х, $) — эрмитова форма на Су X Сп и ЭД^ — множество пар
функций заданных на (0,^) и удовлетворяющих интегральной связи
с формой сГ(.т, ^), т. е.
Ву^О: / ^(0| Ш — у, для всех п . (2.1)
о
Рассмотрим снова систему (0.1), т. е. систему
^ = АхЩЬ^ . (2.2).
Если матрица формы сД.г,и .матрицы А.,Ь в (2) вещественны, то будем рас-
сматривать множество вещественных нар {т, удовлетворяющих (2.1). Это;
множество обозначим так же (ЭД^), ио при этом будем говорить о вещественном
слу чае. Е ел и 11 а р ы ком пл е к с и ы, то б уд е м г о в о р и т I, о кол т л ексном случае.
Определение 2.1: Система (2.2) называется абсолютно Ь^неустойчивою
в классе ЭД^, если существуют такие число л 0 и квадратичный конус.
X = |-с: х * 11 х Д. О}. г} о? 11 —11* — м ат р и ц а, и м е ю щам от р и ца те л ь н ые с о б с т в они ы е;
значения (вещественная в вещественном случае), что для любой пары [.с. 4> СЭДуЛ;
удовлетворяющей почти всюду (2.2) и условиям
<Ц0) = а С 50 аД=0, \а'\2^^у (2.3)
выполнено
7 я, Эс ^0: нг(С/г)! ^с , (2.4)
х -.1
/ |л'(1)|2 (В — + оо при Т + оо. (2.5);
о
(В (2.4) 1п — та же последовательность, что и в (2.1)).
частотные методы исследования нелинейных регулируемых систем
Отметим, что в обычных случаях в (2.1) у =у(а) - зависит от а и на любой сфере
= сопаЬ >-0 найдутся а, удовлетворяющие (2.3). Требование, определяемое
' -последним неравенством в (2.3) нельзя отбросить: легко показать, что тогда ни
5 одно из условий (2.4), (2,5) не может быть выполнено для любой пары {.г. ^}€Э31.р
удовлетворяющей (2.2), если только система (2.2) управляема.
Следующие две теоремы установлены Л. В. Жарковым.
Теорема 2.1: 11редполоэ1сим>, что система (2.2) управляема и что, матрица
, формы бГ(х,^) невыр омсд сна. Пред по лом схем, что система (2.2) «минимально
неустойчива » в классе 93^, именно выполнено одно из двух следующих условий'.
(а) существует такая обратная связь % = что матрица коэффициентов
В — А -ЦЬсА полученной системы имеет собственное знамение в правой полуплоскости
-:д(х, с*х) (для всех х) (а следовательно, пара х ~ с^оАиа принад-
лежит 931^) и пара {В, /} наблюдаема,
? либо (в) существуют такие С Оп, 2. С С4, Не А <0, что сГ | (Л1 — А)~ 1 Ы^}, ^()| >0.
Тогда как в комплексном, так и в вещественном случаях для абсолютной ВГ
'.[неустойчивости системы (2.2) в классе необходимо и достаточно, чтобы
г./[ (?\о/ — А)” 1 Ъ%. % | 0 (для всех ^)
(2.(>)
Оля всех вещественных со, таких, что с!е€ (г со/ — Л) фО.
Мы видим, что частотное условие (2.6) весьма близко к частотному условию
(1.12). (Левые части в (1.12) и (2.6) совпадают). Существенно, что условия (1.12)
и (2.6) гарантируют абсолютную устойчивость по выходу пли неустойчивость
в зависимости от того, выполнено ли условие минимальной устойчивости или
11 и м а л ь и о и и еу ст о йч м 8 о ст и.
; Теорема 2.1, по-видимолгу, не окончательна: условие минимальной неустойчи-
вости должно быть расширено, должен быть включен случай вырожденной
( формы бГ(х, ^).
Рассмотрим теперь класс 93^ нар функций {аХ0>|(0} (вещественных в вещест-
венном < случае), д л я ко т о р ы х 11 м е с то (2.1) в ы и о л н ей о
Т/^0: /сГ[.г'(0? |(0] сМ Ф -у при 1^0. (2.7)
о
Этот класс функции рассматривал 13. М. Попов [13|. Ниже результаты [13| будут
веско л ь к о дополнен ы.
? Определение 2.2:
ЭДетсш’агвоа в классе
Й -{.с: .г*77\г ^0}, где
С11 ст ем а (1.2) паз ы в а ет с '< г
если существуют такие
77 ~Н* - матрица, имеющая
аосолютно экспо ненциалъно
числа и >-0, с >-(), и конус
отр и ц а т е л ь и ы е со б ст в е н и ые
(значения (вещественная в вещественном случае), что для любой нары {т, ^}^93?
удовлетворяющей почти всюду (2.2) и условиям
'ДО) = а 64 ф 0, (2
! выполнено
й‘(01 =Се^ (для всех ^0) .
(Здесь С может зависеть от а и у).
(2.9)
372 Якубович, В. А.
"Гео рема 2.2 \П1 ред положим, что система (2.2) управляема, минимально неустой-
чива либо в смысле, указанном в теореме 2.1 либо в смысле выполнения условия'. ;;
(с) существует пара {х, ^ЭЯдг, удовлетворяющая почти всюду (2.2) и такая/ ',
что |а:(0| ^0 при I -*• Ч~ 00•
Тогда как в комплексном, так и в вещественном случаях для абсолютной эксно-
ненииальиой неустойчивости в классе системы (2.2) достаточно, чтобы
36 >0: с7 [(гоП^А)-' Ы;,^ -д |<?Р (2.10);;
для всех со С Л1, таких что г1еЬ \ип1 — Л] ФО, и необходимо, чтобы для указанны.): ю ;
<Т\(1(п1 —Л)- (2.11)/3
Следствие: Пусть выполнено (2.10) и
34: КеЗо ^0, |(фС’Ф с7[(30/-Л)-^ ^0, |0] ^0 .
Тогда система (2.2) абсолютно экспоненциально неустойчива в классе 9Л^.
<.)т о у тв е р ж д ен и е д о по л няет результат В. М. Попова [13], со г л а с и о кото р о му из Ф
выполнения 35
У'З, НеЗ ^0: сГ[(3/~71)-« Ь^\ ^0
с .и е д у е т, что система (2.2) а б с о л то тн о э к с и он ен ц и а л ьн о устои чина в к л а с с е ® у •.
Отметил! еще, что как установлено В. М. Поповым [13], выполнение (2.10) необ-/у
ходимо и достаточно, чтобы систем.а (2.2) была экспоненциально дихотомична/
в кл ассе 9Луг: Д л я л 10 б о й нары (х,^), удов л ст в о р яю щей (2.2) п о чт и в с ю д у в ы и о л - Щ
ясно либо ]д'(0| 0 при ^ф% либо 3^ ^0: е_^|.т(0| ф при Ь- :.Ф
3. Частотные условия колебательности Ф
В этом параграфе будем рассматривать систему со стационарными нелиней- ф
костями, имеющими общий выход, т. е. систему
-——Ллфбф а = с*.т . (3.1) ф
ш; . . .
1=<рО) , О--) :
где о — скалярная величина.
Введем передаточную (1 X п)-матрицу .линейной части системы:
/(3) ~ с%4 — 37)" {Ь. Будем предполагать, что Л — неособая матрица: и, следе- 4
вательно, 3—0 не является полюсом /(3). 4
Колт по центы ц№(а) 0=1, . - - , м) вектор-функции ср (о) описывают некоторые
нелинейные блоки. Будем считать, для простоты, что ^^(а) — либо непрерывные, 4
либо кусочно непрерывные функции, имеющие лишь изолированные точки д
разрыва, в которых конечны верхний и нижний пределы 3;
1пм с/’Хог) =у(й(сго), Нт 09(Й(сг) =ф(3)(<7о) . 4
В случае разрывной функции у(о) решение системы (0.1), (0.4) на (б-Б) опре-3
делилт [24] как пару функций х(1), такую, что л(0 абсолютно непрерывная-^
^(0 суммируема на каждом конечном поднптервале интервала (^, Б) п почта 4
всюду на (б, 1Д выполнены соотношения (3.1.) и
(3.3)
гдс|(^, (р^, (рД — компоненты векторов |(/), 9?[сг(0’|, <р. [о (ОФ 13 случае непрерывной
функции (р(а) (3.3) переходит в (3.2) н это определение, очевидно, совпадает с
обычным. Для разрывной функции (р(щ) это определение отражает тот факт, что
каждая функция описывает некоторый физически существующий нели-
нейный блок1). Для принятого определения справедлива локальная теорема
существования |24|, Развитию теории подобных систем посвящены работы [25|.
Если на (б, 1Д для: решения ;с( 0,^(0 выполнено сг(0 =сг0, где а0 — точка разрыва
функции (р{а), то х(1), ^(1) называется решением скользяш-его режима на (^. 0).
Дополненным графиком Ф функции уфя) будем, называть замкнутое множество
точек в пространстве {и, состоящее из всех точек [сг, уДа)ф где а — точка мепрерыв-
к ности <р(сг) и из всех отрезков с концами [п0, 9?_(ого)], [а(), 9у.(од)’|, где Оо — точка раз-
.рыва функции уй?).
О пределе п и е 3.1: Ну сть ?. < /'/ — н е кот о р ые числа. Реш ен не а- (I), (I) с и ст е м ы
к (0.1), (0.4) называется [а, ^-колебанием но выходу а при I— -Н*\, если: (1) |.г’(01
у ^сопяЬ, (2) точка о(0 при I бесконечно много раз находится в каждом из
(• промежутков ( — оо, &], [^+оо) (а значит и в промежутке (а,/?)). Колебательным
^решением (при будем называть [а, ^1-колебание (при ^-^у-оо) с какими-
: либо а, Д Аналогично определяется колебательное решение и [ос, Д\-колебание по
< пых о ду о п р и I Р е ш е и и е, яв ля ю ще с с я [а, Д| - IV о.) । е б а п и е м к а к пр и I -+ + ,
г так и при I -*—&=> называется двусторонним [а, Д\-колебанием или [а, Д\-авто-
колебанием. Если существует такое Т >0, что время пребывания точки о'(^) в
; каждом из промежутков ( — <=о, а), (а, ^), (/3, + не ‘превосходит Т, то [а, /Г|-коле~
Мание называется не растягивающимся (соответственно, при $->4-оо? при I—со
. или двусторонним).
У Замечание: При А7 =2 и дифференцируемой нелинейности ^(сг), как следует
/ из классических результатов Бендиксоиа, любое двустороннее [а,/3 [-колебание
: системы (3.1), (3.2) является периодическим решением.
Вуде м д л я п р о ст о т ы н зло женил н р е д I [слагать в ын о л и е и и ы м с л е) ю идее у с л < > в и е,
: означающее, что л: = 0, = 0 - - единственное стационарное решение системы (3.1),
у (3.2):
:: (1) Дополненный график Ф имеет одну а только одну общую точку <? —0,^—0 с
' гиперплоскостью о +/(0) ~-0.
Если условие (1) не выполнено, по точки пересечения дополненного графикаФ
. с ги п е р п л о ск о стыо о + / (0) — 0 изолированы, то си р а в ед л и в ы р е зу л ьт ат ы,
аналогичные приведенным ниже.
у 1) Отметим, что, например, системы
У ЙХ ЙЯ’
У (I) — — + 8ЦЩ (УЩЬ2 81^Н О И (2) —=Ал’ + (Ь(-г62) МЩ1 И
| в силу этого определения имеют различные решения: и,е всякое решение системы
У (1) есть решение системы- (2). Это естественно: уравнения (1), (2) описывают разные
у системы, соответственно, с двумя нелинейными блоками и с одним нелинейным блоком,
у Для я = 1 приведенное определение совпадает с известным определением Филиппова. При
г л^1 приведенное определение отлично от определения Филиппова.
Теорема 3.1: (Упрощенный критерий колебательности). Пусть выполнено
условие (I), а также:
(2) (Существует <//(0), функция <р'(<Т) — кусочно-непрерывна, и линеаризованная в
нуле с и с тел с а (т. е. с не т ем а (3,1). с $ — ' (0) г т неу сто йч ива и не им еет периоди-
ческих решений: пусть к — ее степень неустойчивости, т. е. число собственных
значений (е учетом их кратности) матрицы, Л + Ьер'(()}с*, расположенный: в
/1 р ив о й п о лу пло скос т и.
(3) Существует предел Нт ср^д/в при |<т| ->оо и линеаризованная «на бесконеч-
ности» система, т. е. система (3.1) с % —рщо асимптотически устойчива.
Тог д а су шест вую п ( т а к ие ч исл а а 0, /1 > 0, что любое р еше нас с и стел ь ы (3.1).
(3.2) о тл и ч. /1 о е о т т: = 0 (п р и к = У — слу ч а й пол но й н су с то йч ив о ст и в ч а, юл г) или- -
«почт и л ю б о е » р слав пае (пр и 1 к < А7 — случ а й н е пол / ю й неу ст о йч а в о ст ив. на лом}л.
есть либо \а., 0\-колебание, либо | 0. р\-колебание по вььходу в при I -+ ~Ь <». Слова
«почти любое» означают, что при \.^к<П в пространстве состояний, {а;} суще- '
ст вуе т т а кое м ноэ юе с т во Эс / ьулево й ме р ы, чт о при а;( 0) Е Э? региен ие х(1),^{1} -
колебательно по выходу о при + Если 1 'С<Х и ;г(0) С Эс, то |х(^)| ->0 при /
В случае полной неустойчивости имеется двустороннее нерастягиваю-
гиееся [а, 0] или [0, /3]-колебание и любое решение — нерастягиваюгцееся | ос . 01 или1
|0, /5 колебание при 6 — 4-
3 а м е ч а н и е: У с л о вне (3) гар анти р у ет д исс И1 сат и вность системы (3.1), (3.2) -)< /
Теорема 3.1 остается справедливой, если (3) заменить требованием диссииатшз-А
нести. Утверждения относительно колебательности при Г>-г«' справедливы и ;
в случае, если (3) заменить требованием ограниченности всех решений.
Таким образом, говоря несколько неточно, система. (3.1), (3.2) заведомо коне- с
б а тель на, если о н а и м е ст сд ин ств е нно е со сто я н и е равновесия, у сто й чи в а «приу
больших |сф> и неустойчива «при малых |о|».
Сформулируем теперь теорему, позволяющую определить числа ос и /1.
Теорема 3.2: П ред положим, что выполнены условия (1), (2) теоремы 3.1 и что
система, (3.1), (3.2) диссипативна. Существуют такие числа а, /1 и непрерывно- 1
д и <ф (/) ер ел ь и ируем ая фу н к ц ия (а), сов п а д ающ ая (р(С) для а [а > р ] > что с 11 с т е, и а {111)
с^ ~^)|((7) дихотом йена, т. е. для любого ее решения х(1} выполнено либо
(а) .т(^) ™ неограниченная (функция, на интервале существования, либо
(б) дг(01 ^0 при Д- «о.
Пусть — произвольные числа, удовлетворяющие указанному условию. :
Тогда справедливы утверждения теоремы 3.1, и эти числа могут быть взяты е
к а ч,ес т.ве ч исел,. ф игур и р уюи (их в теор ем,е 3.1.
Отметим, что в случае к~П для решений измененной системы возможен лишь :
случай (а) (при х(/)ф0). Этот случай ниже будем называть случаем полной \
неу сто й ч ивост и.
В теоремах 3.1, 3.2 предполагалось (для простоты формулировок), что уф} -
дифференцируемая функция. В следующей теореме функция может быть :
разрывной.
2) Папомшш, что система насыпается диссипативной, если существует такое г>0. что для '
любого решения х(1) выполнено Нт |я;(0|<г.
Теорема З.З.3): Пусть выполнено условие (1.) теоремы- 3.1 и система (3.1), (3.2)
диссипативна. Пусть существует <р'(0) и линеаризованная в нуле система (3.1)
и в у сп I о йч и в а. (П уст ь к I. - со о тветствую щая ст е пен ь / ьеуст о йч и во с п ш.) Е с л- и
д>(о) — разрывная функция и кЦ=П, то предположим дополнительно, что
(4) для. каждой точки разрыва оу имеет место следующее: либо для каждой функ-
ции <р(?’>(а)? разрывной в оо, сугцествуют пределы слева и справа дрА(ащО) и выпол-
нено {ср (ст -Ь 0) — ср д(<т - - 0) ] с * > 0 (здесь /у — столбцы матр и ц ы Ь), л и б о пр и всех
щ. достаточно близких к сг0, вполне неустойчивы линейные системы- (3.1.) с 3 — ра,
,11. =19?(<Т|) -<41/01 -Со), где (а0)]/2.
(5) Вне точек разрыва фу акция ср(Е) удовлетворяет локальному условию Липшица.
Н редположим, что (функция ср(а) изменена вне интервала, [а, (Ц (еде а < 0, ф >0)
так, что система (3.1), (3.2) с изо ьеиенз со й фу нт ие й дц (ст) д ихо т ом им / / а. То г д а
справедливы утверзюденая теоремы 3.1. с указа-нными числами а и р. Кроме того,
для любого решения выполнено
I / М';) +%(0) ^(0] <1* I сопл. (3.4)
• о '
Замечание 1: Условия (4), (5) теоремы 3.3 гарантируют однозначную про-
должимость рсинения х(1) на значения П-А) нз интервала существования и не-
прерывную зависимость х(0 от д(0) для /<0. Они могут быть заменены любыми
4 д р у г и м и у с л о в и я м и, таран ти р у ю щ и м и у к аз а иные с в о й ст в а.
4 Замечание 2: Если для системы (3.1), (3.2) с измененной функцией дц (о)
;; имеет мест о с л у чай полно й н е у сто й ч и 15 о ст и, т о т е о р е м а си р а в о д.11 и в а и б е з и р ед-
11 о; [ о ж он и я о не п р е р ы в но ст и и д иф фе р е 11 ц и р у е м о с т и д; (ст) в и уд 1 е.
у Перейдем теперь к эффективно проверяемым критериям колебательности,
д Для того, чтобы сделать теоремы 3.1—3.3 эффективными, мы должны иметь
э ф ф е кт и в я ы е к р и т е р в и д и с с и п ат и в 11 о ст и, д и х о т о м 11 и I г 11 о л и о и и е у ст о и ч и во с т I т.
у Нижеследующие теоремы устанавливают такие критерии.
Д Теорема 3.4: Пусть функция /(2) не имеет особенностей на .мнимой оси и
б система (3.1) стабилизируема'1). Пусть $) — некоторая эрмитова форм,а, такая,
, , что для. некоторого вещественного п-вектора, 0 и всех комплексных векторов и
т всех. вещественных в) выполнено частотное условие
д 4 1| - Ко |4юГ^%(ио)|] <0 . (3.5)
г Рассмотрим мношеество Д функций д)(а), для которых 4'1 а, <д(ст)| ^0, для всех ст.
Тогда:
Г I) Система (3.1), (3.2) с уДо^СЭД^г дихотомич.на (т. в. для.- любого решения .мной
У системы выполнено одно из условий (а) ила (б) теоремы, 3.2).
с 2) Пу ст ь ТТ (0, 0. для в с е х . Пусть р ~ тако й п -вект о р, что р& С ЭД • (Такс > 11
у вектор всегда существует). Тогда матраца коэфнфициентов линейной системы (3.1)
у с % —рез ие имеет собственных значений на мнимой оси: обозначим, через к степень
I? 3) Теоремы 3.3—3.5 доказаны автором совместно с Печптайло А. В.
я 4) С/п.абилизгщуемостъ системы (3.1) означает, что существует такая обратная снизь $ — сбей
у что замкнутая система, асимптотически устойчива (матрица Л 4-6с* гу1ЧИ1цева). Система
•• : (3.1) стабилизируема, если А — гурвицева матрица (тогда с^О) пли если она управляема.
ее неустойчивости (О^/^У), т. е. число собственных значений (с учетом крат-
ности) в правой нолуплоскости. Если к~0, то 91^- — класс абсолютной экспонен-
циальной устойчивости системы (3.1.) и, в частности, для любого решения системы
(3.1), (3.2) с у){су) выполнено -ф’(01 при ЬХ1- Если к фО, то система (3.1).
(3.2) абсолютно экспоненциально неустойчива степени к в смысле определения |2(5]
и, в частности, для любого о О на сфере |х| =г имеется такая точка х(0), что
соответствуюгцее решение неограничено при ^-*фоо; при любое решение
х(1) ф 0 неограничено при I ф «> (случай полной неустойчивости).
3) Пусть Е]ф>: ^(О, ^0) >-0. Пусть р — такой п-вектор, что р<з €^1^ и к — степень
неустойчивости линейной системы (3.1) с $ =ро. Если к ^2, то^1^ — класс абсолют-
ной экспоненциальной неустойчивости системы (3.1) в смысле определения [261.
Замечание: Если сущесвует сГ(О, ^0) >0 и для некоторого р такого, что
ра(Е№<р степень неустойчивости А:—1, то возможны случаи, когда для других уа у
с ра^И^ степень неустойчивости к — О. т. е. утверждение, справедливое для елу- '
чая 3), теперь не имеет места.
Теорема 3.5: Пусть (функция <р(а) изменена вне некоторого интервала | — о0. цу] '
так, что новая функция принадлежит некоторому классу абсолютной устой- ::
чивости (см. теорему 3.4). Тогда исходная система (3.1), (3.2) диссипативна.
Теоремы 3.4, 3.5 показывают, что частотное условие (3.5), т. е. критерий аб-
солютной устойчивости я неустойчивости, дает возможность установить коле- -
бателъность системы (3.1), (3.2) и определить интервалы колебательности [а. 0], .
Остановимся вначале на наиболее простом: случае. Пусть н = 1, т. е. у?(ст) — ;
скалярная функция. Предположим (условие (1)), что прямая сгф/(О) {=0 пере-
секает график нелинейности лишь в точке сг = О, ^ = 0.
Рассмотрим множество , рф функций ф(п), график которых лежит па пло-
скости {о, в некотором фиксированном: секторе 4|ф,//21 включающем начало
координат и точки (а, ^), для которых р{ ^ — ~рр Это множество совпадает,
очевидно, с классом для 5^(<т, ^) — (^ —-/цст) фр-л). Условие (3.5) переходит в
известное частотное условие Попова5)
Ке {[1 -\~р\%{цоэ)\ [1 +/Л2/(г<л>)'Ч) 4-# Вс [йо/(йо)| для всех ш . (3.6)
В случае р\ = — <>=> или р2^ +°° имеют место формулы, аналогичные (3.6) (см. |26|,
формулы (1.14)—(1.16), стр. 1104). Условию (3.6) (при каком-либо вещественном д)
должны удовлетворять числа р\,р2 для того, чтобы, согласно пункту 1 теоремы 3.4,
система (3.1), (3.2) с <р(сг) бьхла дихотомична.
Выясним, является ли , р2\ --- классом абсолютной устойчивости или не-
устойчивости. В нашем случае <7(0, <*) — ^0, для всех Возьмем (см. пункт 2)
теоремы 3.4) произвольное р^фр^рф и определим степень неустойчивости лпшчь
й) Критерием Попова называют обычно критерий абсолютной устойчивости (3.(5) для /о =0;
в ряде работ этот критерий переиесе1< па случай неустойчивости в разных смыслах (нерван
публикация, по-видим ом у, [8]).
ной системы (34) с т. е. число корней (с учетом, их кратности) характери-
стического уравнения с1е1(Л/ — А — Ьс*р) = 0. расположенных в полуплоскости
Ке Л >0. (Это число, по теореме 3.4, одинаково для всех^ //2].) Но теореме 3.4,
‘ли к~0, то д2] “ класс абсолютной, устойчивости. В этом случае сектор
будем называть сектором абсолютной устойчивости. Если &Ф0, то
01 [/ц, и2\ ~ класс абсолютной неустойчивости: в этом случае бф/ф, р2\ будем называть
сектором абсолютной неустойчивости.
Применяя теоремы 3.2, 3.3, 3.5 получим следующий эффективно проверяемый
критерий колебательности [26]:
Теорема 3.6: Пусть т — 1, т. е. в (3.2) ст — вещественная переменная, Пусть
существует, д/(0) и к — степень неустойчивости линеаризованной системы, (2.1) с
= ср'(0) а. Если ^(сг) — разрывная функция и к фАт, то предположим, что выполнены
условия (4), (5). Пусть дополненный график нелинейности Ф пересекается с прямой
4/(0) = 0 лишь при а -0, — О; пусть при а С [а? /?], где а <0, р' >0 дополненный
график нелинейности Ф лежит в некотором секторе р,2\ абсолютной неу-
стойчивости , а при 1<г| ~Щ) ~ в некотором секторе абсолютной устой-
чивости. Тогда справедливы заключения теоремы 3.1 и для любого решения выпол-
нено (3.4).
Поясним порядок определения чисел а и (3. Одно из чисел р\,рс2, определяющих,
границы сектора абсолютной неустойчивости находится непосредственно по
нелинейности (р(а), Если при малых график функции <р(сг) лежит ниже
касательной ф.--у"(0)о (см. рис. 1), то р2~<р'(0), если этот график лежит выиге
касательной, то^ц=<р'(0). Второе из чисел пли р2 вместе с числом О находится
•из (3.6) посредством известного геометрического построения Попова (см., напри-
мер. [4,51).
После определения чисел /щ и р2 числа ос и /3 находятся как абсциссы точек
пересечения нелинейности с границами найденного сектора ^|//(,д2|. (При этом
МКУ БОВИЧ, 15. Л.
интервал |од /1] должен обладать тем свойством, что при а=о=/1 дополненный
г р а фи к 11 е д 111 н е । й 1 о ст и [ е ? к нт в секто р е А'| р ।, .)
Ниже в примерах для краткости будем говорить о (а. $)-колебательноспш
(с кр у гл ыл1 и с к об кали г , в мест о к в а др атв ых с к обок), ее л и им е ет мест о [а + с, /1 — г ]-
колебательность для произвольного малого Аналогично определяются
|а, /7)~ и (а, {^-колебательность. В нижеследующих примерах 3.1—3.4 расчеты
выполнены И. М. Буркиным.
Пример 3.1: Ламповый генератор с двухзвенпой /?С-цепочкой 115]. Уравнения
(системы имеют вид
(1т2
V -= - - ;'-2 - = .Ь’| . О = а'| ,
где
Н") =
I
— а
-.1
пр и
при
при
() — I .
(Т ! 1 .
() 1 .
А. А. Андроновым показано [15], что при и >- I у системы существует устойчивый
в целом предельный цикл.
Применим теоремы 3.1, 3.6. Имеем /(Я) — Ч-Л А I)“ '• Характеристической
прямой я в з 1яется прямая а — 0, н о э то му у с л о в и е (1.) в ып о л ясн о. II р и т > 1
линейная система с су(о-) = —то — полностью неустойчива (степень неустойчивости
к = 2) и 11 р и 0 - -г--' у — ас и м н т от и ч е с к н у сто йч пв а (см. рис. 2). И о теор е ме 3.1 мы
сектор абсолютной
устойчивости
характеристическая
прялая (а^О)
\ сектор полной абсолютной
! неустойчивости
Рис. 2.
получаем сразу, что система колебательна, все решения — нерастягивакицпеся-:
колебания по выходу о, и что имеется двустороннее колебание, т. е., в силу заме-,
чания к определению 3.1, — периодическое решение. Числа а и Д в данном случае,
легко он редел я юте н. Критерий Попова вырезает в данном случае секте]) неу-:
стойчивостн X Для любо]'о е>0. Система очевидным образом дисси-
пативна. По теореме 3.6 имеет место ( — 0|- или [0, ^-колебательность но выледу
о при I + ж (н двусторонняя для периодического решения). КолебателыюстР
([0,/Д-и (а, 0]-колсбательиость невыходу и) и наличие периодического решения
Г имеют место для любой нелинейности (возможно, разрывной) тина нелинейности,
график которой показан па рис. 2 пунктиром. Числа а и /3 находятся как абсциссы
г точек пересечения графика с прямой $ = — ткро.
Пример 3.2: Двухпозиционный авторулевой [15]. Уравнения системы имеют
I? вид
о-
с1ж
17
: где (Дог) — шоп о-. В [15] показано, что при к ^-0 система имеет устойчивый в целом
К а]‘сдельныи цикл.
I Применим теоремы 3.1.3.6. В данном случае %(л) ~(1 — ^А)(Л-У Л)“При (р(п) =
г, ц 1 линейная система полностью неустойчива (А* = 2). При (д(п) —
|у .-цп, 0 1 линейные системы асимптотически устойчивы (А?— 0). Легко
проверить, что критерием Полова выделяются: секторы 0
|7 Дпссипативноеть устанавливается в данном: случае по несколько уточненному,
У ио сравнению с теоремой 3.5, критерию6). Таким образом, мы получаем, что все
р ешеиия — пер астяги в аю иди е ся (— /Д 0 ] - или 10, (3) - ко леб ан и я но вых о д у ст, и что
имеется периодическое решение. Очевидно, этот вывод, справедлив и для любой
нелинейности (вообще разрывной) дополненный график которой (показанный на
р] । с. 3 н у нкти р о м) р а с п о ; I о жен при м а л I ы х | сг | в с екто р е 8 [и
>] и при боль-
и I п х ! ст! — в со кт о р о , к ’11. Ч11 ел а а и /3 I । ах од ят с я об ы и н ы м о б}) а в о м (с м. р и с. 3).
11 р и м е р 3.3: У р а в н ен и я му а । ь т и в и б р ат о р а [ 15] и не ют вид е
- .Г, — (5<До-),
<1/
-Д = - 2/нл
а/.
0. 5 >0. а <р(а) имеет вид, указан-
Рис.
^:.6) Если изменить .нелинейность так, что Нт Дефе —г>^0, где б — сколь угодно малое число,
Р?1'.':' (П| ->™
|,7 то диссинативность следует н из теоремы 3.5.
дли
ный в примере 3.1. В [15] показано, что при 5 >1 и малом с, характеризующем ф
малость паразитной емкости, в системе возникают автоколебания.
Т е о р е л । ы 3.1. 3.6 дают в о зм о ж по ст ь о цен и т ь указа нн ы е з н а ч е н ин а и по; । у ч 11 т ь .у
аналогичный результат для широкого класса нелинейностей<р(а). В данном случае
/(2) =52-(е23 ф22 ф 27*2 Ф I)-*. Для е <2к линейная система с (р(а) = 0 устойчива. -Э
При рь >рькр~(2к—Е.)12кд линейная система с <р(а) — — /ш неустойчива (степень ;
неустойчивости А---2). При 6.-^1 линеаризованная «в малом» система с «Дог) - .
— (р'(О) о = —о неустойчива. Но теореме 3.1 при ,5' -<2/г, 5 >1 почти все решения -
колебательны по выходу о.
Определим числа ос и (3. Нетрудно установить по критерию (3.6), что сектор ф
5 с любыдг сколь угодно большим— сектор абсолютной неустойчн- у
вости. Числа а, и (3 находятся кан абсциссы точек пересечения графика неявней- у
пости с прямой ± = —рькр(у. Таких! образом, почти любое решение либо (а, О|-.шбо
Пусть т --0. б ф 0, б2--4т/й Покажем, что на плоскости параметров {^, т] для
значений параметров из первого квадранта (х >~0, т >~0) система неустойчива
/ в целом, для третьего квадранта (х -<0, г -<0) система асимптотически устойчива
в целом, для второго и четвертого квадранта (хт <0) система колебательна по
выходу о при €ф со (если х >0, V -<0) и при (если х <0, т ^-0). При
этом колебания нерастягивающиеся, имеется периодическое решение и любое
\ решение либо ( — а, 0]-колебание, либо [0, а)-колебание по выходу а, где а — К — х!г.
В данном случае /(2) =|| — (2т ф/9): — д|| * (22 — х2 — т)~ Так как 5-<4гр. то
р б
уравнение о 4-<гч 4-а2 = 0 плюет единственное решение П“0; следовательно,
график функции (р(а) = гшеет единственную общую точку о =0,^ — 0 с гипер-
плоскостью о +х(0)^ = 0, а значит выполнено
[0, /^-колебание по выходу о, где $ — —к — 2кд(2к — е).
условие (.1). Так как дфО, то
Почти все решения —
колебания по выходу а и для
л ю б о й дру го й 11 ел ине в-
нести, график которой при — х
= а ф /? лежит в се кт о р е 8 [ — ©©, — р,кр | и в с е кт< »р е
5] — р,к . 0] при достаточно больших |<т| — см. рис. 2, где *
11 р и мер 3.4: Си ст е м а ав том а ти ч е с к о й ст а би л и з ац и и с а м о л ста о > и .1 сы в а ет с я [27]
системой (3.1), (3.2) с передаточной функцией
2(2) - х (1 + р2) (2 ф М)" Ц Тмл ф 1)” *2“<
Нелинейность (р{о) — дифференцируемая монотонно возрастающая функция, такая.
<Х<т)
что <р(0) =0, йш ----------=//
ф-~+« О'
О, с « большим » значением <//(0) н с «малым » и~. 11ред-
ОЦ а2
ставим /(2) в виде /(2) ~у ф —Ф
Пуеть оМ
Тогда сц >0, а9 ^0, т. е. выполнены условия пределы
ной устойчивости [5|: при малых ее ^0 система с (р(р) ~[.1О асимптотически устой-'
•шва. При больших /л имеет место неустойчивость степени к — 2. Таким образом
при достаточно больших и достаточно малых рст — почти любое решение Ф
колебательно л о выходу и7). Проводя более подробный анализ, легко оценить
соответствующие значения <р'(0) и \
Следующие два примера иллюстрируют применение теорем 3.2—3.5 в случае
нескольких нелинейностей. Эти примеры рассчитаны Л. В. Нечитайло.
система (3.7) управляема и наблюдаема. Так как т ФО, то при х ФО матрица * д ||
мшенной части системы (3.7) ие имеет собственных значений на мнимой осн.
Пусть XV >0. Для проверки устойчивости (полной неустойчивости) в целом
системы (3.7), (3.8) применим теорему 3.4; функции <р^(о) = ал и <у2(<7) —ст2 удовлет-
воряют естественной квадратичной связи ф((сг)сг — [дм(бг)]2 =0, поэтому в качестве
V квадратичной формы сГ(о, ^) возьмем форму бГ| (сг, ^) --<Ф| — При = —/2/тг, -Оь =
Г-—б/тт выполнено частотное неравенство (3.5). Пусть т-<0. Линейная
. система (3.7) с ^=0.^=0 асимптотически устойчива, следовательно, по теореме
3.4 система (3.7), (3.8) устойчива в целом. Пусть х^ О. т >-( ). Тогда линейная
система (3.7) 0^=0,^ — 0 неустойчива степени 2, следовательно, по теореме 3.4
/ система (3.7), (3.8) полностью неустойчива в целом.
Пусть х >0, V <0. Покажем, что выполнены условия теоремы 3.3. Для проверки
диссипативности системы брать форму ^(о, |) уже нельзя: система с =0,
/.неустойчива. Положим ^(о, ^) — <7(^( — уо). Тогда для любого у существует такое
что при |сг| Фоу <у(о)) Ф-0. Следовательно, если </(а. =с7\(о‘, 4?) ф
ЧфТДо. ^) = (1 +е)ог^| — Еуо~— ^}, где е >0. то <Г|о, <у(сг) | ФО при [ог| Положим
и ф и и •> н
7?(<г) при
№
при
при
(К
о
О Ф <7 Ф .
' а с с мо три м с 11 ст е м у
йя ...
— = ТО ф/% Ф<^9
(3.8). |
7) В [27] установлена колебательность для гу(сг)=8цт о. Этот вывод также может быть полр
чен из теоремы .3.3, если воспользоваться несколько уточненной теоремой 3.5 для уставе-
влепил дпссниатявпости системы с указанной нелинейностью.
Очевидно, выполнено ф(<т) | ф 0.
•'/як-темы
полнено
&
для всех а. В зависимости
.можно подобрать такие е: >0, у > — х(1 фс)т” ф 1
частотное неравенство (3.5). При у > — х(1 фе)т~Ф
от параметров
и вектор 0. что вы-
линейная система
где /ц, — || $ ||, устойчива, причем 2Г(сг, 0. Таким образом, вы-
полнены все условия теоремы 3.5. Следовательно, рассматриваемая система
диссипативна, а значит выполнено второе условие теоремы 3.3. Условия (4), (5)
•проверять не нужно (ибо ^’(о) — непрерывно-дифференцируемая функция).
Проверим выполнение последнего условия теоремы 3.3. Пусть <?з(а,^) =
=|((а-’(7 —Тогда с?4[<7, ^(о)| Ф.О при |а| ^а. Возьмем=с71(а.^) фг^(^.-ь) =
= (I +^а-’М|
р/)(сг) при
при
при
Ж) =риа
-й> ГДС с? >-0. ПОЛОЖИЛ1 — || || ,
1(7 | ,
о а ,
а — а .
Очевидно, ^|у, I = 0, для всех о. В зависимости от параметров системы можно
подобрать число а >-0 и вектор /> так, что выполнено частотное неравенство (3.5).
Линейная система (3,7) с ^ = 0 неустойчива степени к = 2. Следовательно, .мы л
находимся в условиях применения теоремы 3.3, ссылкой на которую получаем
сф о р м у л и р о в а н 11 ы е для с; । у чая ъ >0, г < 0 у т в ер ж д е 1 ш я.
Сл г у ч а 1\ % -0, V 0 р а с с м ат р и в а ет с я а н а.; ю гн чно.
Пример 3.6: Рассмотрим систему >
Н2// сЬ] (1<7 4
—+У_+Ч=е1_у<г; _+еа+^2=^, у
=Л ^2=СТ:' <|
в предположении, что у --- 0, р 0, 5 -- 0, др , д 2о. Т е о р е мы 3.2—3. 5 да ют Й
следующий, результат. На оси у ныце-пнются следующие три интервала д
/Л-—ЛЛ а-(о.-ц^+^Ы). жсл+д
\ г о г \ 2@ г \ 2о / о / \ I о /
' / Л/
При этом для 1| система неустойчива в целом, для система устойчива С
в цел о м> д л я V Е Л * ю' * т и л ю б о е (в у к а в а и в о м в т соре м е 3.1. с м ы еле) реже и и е с и ст е м ы 'у-
либо -а, 0С, либо [0, -колебание ио выходу сг при ^Доо. Числа а и (3 могут' д
быть выбраны следующими:
. у ~ш<2 — (1 +а2)17 I / 1 / / +г\ у — оу2 — (1 + у2) V 2р^-у У-
-----1----- Г -В ]
Соответствующие вычисления опустим: они близки к вычислениям предыдущего
примера. Отметим, литпь, что « исходной » формой, как и в примере 3.5, является
([) о р л । а 3 (о, 1. Очевидно, ч т о ; < л я задай ны х полип е й н о стен сТ (а, ) л 0. ' '
4. Системы с периодической нелинейностью |
ГЛ
Рассмотрим снова систему (0.1), (0.4), ограничиваясь для простоты изложения, л
случаем скалярной нелинейности, когда т~п — 1. В этом параграфе будем д
предполагать, ч т о в (0.4) } (а) — периодическая ф у и к и и я: (р{) (<7 + ст0) = 9'0( а). У
Таким системы встречаются весьма часто; они описывают, например, движение Т
ротора на в и б р и р у ю щ е м. основан и и, д и 11 ал ш к у си ст е м ы фазовой а в т о 11 о де т р () 1 ] кп
ч а ст<) 1’ ы, и е р сходные про 1 д е ссы в с и и х р о н но и м а и и । и е. Про ст е 1 т ш ни приме}) н о д об < I
ной системы — уравнение
<Г’гг с!*? •
+’"1»1 =” НЛН
пнтенеивно исследовалось многими авторами.
Из большого числа результатов, относящихся к исследованию систем (0.1), (0.4)
произвольно высокого порядка, приведем одну теорему Г. Л. Леонова, поз-
воляющую переносить результаты Ф. Три коми, Л. Амери о, Г. Зейфертл, К\ Бема,
В. Хейза, Л. 11. Белюстиной, В. А. Тлвмевой : (см. цитированную литературу
в [28, 29|), полученные для уравнения (4.1) на системы (0.1), (0.4) произвольно
высокого порядка.
Будем говорить, что система (0.1), (0.4) глобально асамитотически устойчива,
если л ю бое е е р е шен и е ст р ем и тел при I -> ф » к не ко то р о м у со ет о я и и ю р а в и о -
веси я.
Пусть Аг = 0, где г ф0 — некоторый, вектор ; решение ;с(0 называется пределысым.
циклом второго рода, если х(Т) — л(0) — г для. некоторого 77^08).
Т е о р е м а 4.1: (Г. А. Л е о н ов) Пуст ь (р0(сг) — пен ре у ывно д шффе рен ц и руемая
периодическая функция. Предположим, что (0.1) — управляемая и наблюдаемая
: сист ема, и что перед ато ч? ь ая фу нк ? /, ия у (Л) — с * (А ~?П)~1Ь иг геет од и/ 4 полю с
/(= 0 и все остальные ее полюсы Л;- лежат в полуплоскости Ке Л <0. Пусть
. 1нп 7<./(Л) — 0, Нт 7'2/(7) — Г>Л). Поломсим л/сп, 70) — 14е | (Фо — Аф / {1со —Ло)х =
. I/, | ОО 121 ОО - *
- Пт а)-л(со, 7Ч)).
/ (1) Пусть для некоторого 7Ч) >0 такого, что Ке 7^ < -^<0 0 = 2,. . . , Лт),
..выполнены неравенства: л >0, я(ш, 7Ч)) >-0 для, любого вещественного со, и уравнение
г (4.1) с е — Г глобально асимптотически устойчиво. Тогда глобально асигттоти-
чески устойчива и система (0.1), (0.4).
(2) Пусть для некоторого 20 >0, такого что 14е7^уФ- • • ф Не щ < — Л() <ВсЛ2 <
:•<КеЯ| =0 выполнены неравенства: к <0, л(со, Ло) <0 для любого вещественного со,
. и уравнение (4.1) имеет предельный цикл второго рода, такой что Лсг/Лб ^сои8С ^Л).
Тогда, и система (0.1), (0.4) имеет предельный цикл, второго рода, такой что
^о/{\1 Ф СОП8С >0.
Пример 4.1: Рассмотрим скалярное уравнение третьего порядка, описывающее
Л' 11 ст е м у ф азов о й а в т о и о д стр о й ки част от ы [ 3 0]
А'а/дТ' ф а(1~о/(П2 ф /Зскт/сВ фу со8 ада/<11 ф ып а = р , (4.2)
: где а > 0, /3 > 0, у > 0, 1 >0. 11усть #() = агцзт о, 0 < Оу < л/2,
(а । /а2 I 1 \ а2
-— /-----р , — . а--I при — Фр ,
2 | 4 у у 4
. Д 1 \ *2
ф пип)— , а------при —^/7.
У / 4
ф Предположим, что
Фу(а2— 4/3) Ф (2 — ау)2, у >2 1у вы-,
(4.3)
тогда существует такое число 7Ч), что выполнены все условия теоремы 4.1, (I), т. е.
ф1Ы1сет место глобальная асимптотическая устойчивость. При атом выполнение
7 ус л о в п я относительно уравнения (4.1) ел е д у е т и з теорем Б Ём д -Хейза | 31, 32, 331.
Ф'
7 8) Систему (0.1), (0.4) с пери одической функцией <д0(сг) можно считать заданной па цилиндре
ф С х 1 (О — окружность); для предельного цикла второго рода траектория замкнута на
Ф цилиндре и изображающая точка делает один оборот по окружности С за время Т.
Если же имеют место неравенства у- (а-— 4$) Ф(2 — ау)'2, ау <-• а >21'/?, а-
^4у(Уз сок-?7О4- 1 —2 соз#0), то при Яо= — а выполнены все условия теоремы 44
(2), т. е. существует круговой предельный цикл второго рода. При этом выполнение
условия относительно уравнения (4.1) следует из теоремы Хейза [31].
5. Частотная теорема для бесконечномерного случая9 10)
Доказательство приведенных выше результатов, как и многих других, сущест-
венно использует частотную теорему, о чем мы кратко говорили во введении. :
При распространении описанных этих результатов на бесконечномерный случай У
основная трудность состоит в необходимости иметь аналог частотной теоремы.
Это делает естественным желание распространить частотную теорему на бее-1.
конечномерный случай. Для случая ограниченных операторов в Гильбертовом у
пространстве такое распространение получено в [34]. Здесь мы приведем форму-4
лировку частотной теоремы для случая, когда оператор А неограничен, именно.:;;
для случая, когда А — производящий оператор некоторой сильно непрерывной .
однопараметрической полугруппы. ,у
Пусть X и У — комплексные Гильбертовые пространства (с нормами I • Д, Ну): 5
и 0(1) ~ действующая в X полугруппа класса Со. Иначе, имеется семейство ограни-
ченных операторов &(/), обладающих свойствами: 6? (I + т) — 0(1) О(т) — О(т) 0(1]У
(для. всех I, 0): бг(О) =7, \О(1)х — х|х -*0 (для всех х С ЭС).
Тогда, как известно, на плотном в X множестве У(А) определен оператор
Ах = Нт 1~ 1 Ю(Йа.' — л:|
— инфинитезимальный производящий оператор полугруппы 0(1). Этот оператор
замкнут и спектр его расположен в некоторой полуплоскости КсЛаа.
Рассмотрим уравнение
<Гг/(1/ - А л: + , 15.1)
где Ь: У — X — ограниченный оператор. (Случай, когда Ъ — замкнутый нео-У
граниченный оператор, сразу сводится к рассматриваемому). При заданному
|( Т|*’’) и заданном начальном состоянии х(0) — х0 решение уравне-
ния (5.1.) (в естественном обобщенном смысле) дается формулой
л(0 =6/(^0 + ! 6^-т)^(т)(1т, (5.2)|
о
которая может рассматриваться также как определение решения х(2).
Обозначим через множество пар {;!’(*)> <?(’)} из ДФ(^°°) -*ЭС] X Д>[(^°°)
удовлетворяющих (5.2) и через — множество 9)^ для .г() - 0. Будем, как обычно,у
9) Приведенные и этом параграфе результаты получены автором совместно с Лнхтлрни-у
новым А. .1. ; У
10) Через Ь<2 {[О, Т’|->С} обозначается множество таких отображений $(•): [0, 7’] —Г, дляу
которых €7>2(0. 7’)-
обозначать
1ИГ= / М<- (5.3)
о
Аналогично определяется |^(-)||.
Пусть И(х, $) — непрерывная, эрмитова форма на X X Сг. Введем числа од , а2, а;>
следующими формулами:
а1 = 1пГ[||.г(-)||2+||е(-)!12]-' /сЛЛОЛИС (5.4)
0
с?- ( Т )
а, ~ 1П1’—-X—_ (<9? иол;=Л;г4~^) (5.5)
где нижняя грань берется но всем со^11[} хбХДбП, для которых при любом
у^И(А*) выполнено соотношение
М*, У)х = л*У)х + №, У)х и
<*•{ = Ш1 1П1--------------------------—5-------------------
|^||7
(5.6)
(число определено в предположении, что оператор А не имеет спектра в окрест-
ности мнимой оси).
Теорема 5.1: (Частотная теорема для невырожденного случая). Предполомсим,
что система (5.1) Ь2-управляема, т. е. для любого а*0СХ множество не
пустое. Для существования ограниченного оператора 1Ц ~1Гр\ X -+Х такого, что
квадратичная форма Ее (Нх, Ла: + 6^) Н~сТ(ж,5) положительно определена на
X. X II необходимо и достаточно условие а2 >0 (или, если определено а3, то а;> >0).
Если а2 ^0 (а3 =*0); то существуют такие ограниченные операторы Н — И* : X X,
Д; V ->Х, что справедливо тождество:
2 Ке (Нх, Ах 4- + Д\х, — \х(и — к*х)\у , (5.7)
'-где и — к* и х~ — оператор формы <Т(0, ^). Кроме того, для полугруппы 0}Д) с произ-
водящим оператором А 4-6 Л* выполнено
€ Ь2(0, оэ) (для всех л:0 6 X) . (5.8)
Операторы II, 1ъ со свойствами (5.7), (5.8) определяются однозначно. Для. существо-
вания таких операторов необходимо, чтобы аг ^0 и достаточно, чтобы а( >-0.
Теорема 5.2: (Частотная теорема для вырожденного случая). Пусть система.
: (5.1) Ь^-уп равняема в указанном в теореме 1 смысле. Для существования ограничен-
ного оператора Н ~Н*\ X -XX, удовлетворяющего соотношению
г\2Ее(7/х, Ах 4- Ы;) 4-сТ(,т? ?) — 0 (для всех х^В(А), бДг),
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие два условия.'.
(а) для всех х бХД ^11, со € X* таких, что но(х, у) ~{х, А*у) 4-(5^. у) для всех
уЕТ)(Л*) выполнено дГ(х, ^) ^0;
(б) для всех Л’О€Х функционал
Дт(-);^-)]^ /^(0?Ж1
0
;; полуограничен снизу на множестве «71а:(-), <?(•)] (у,Го € Х]).
; 25 КопГегепг I, 1
Пр и в ъшол не и и и
(а) и (б) существуют такие ограниченные операторы II = 22*, 1ъ, что
2 Ве (11х, /кг 4- Ъ$) А Л(х, <?) = + Д*.?^,
где х — к* их1- оператор формы <7^(0, ^),
Указанные теоремы позволяют получить ряд следствий, из которых отметим
лишь одно:
Теорема 5.3: (О линейной стабилизации). Свойство Ь-гуп равняемо ст и впечет
свойство экспоненциальной ставилазаруемостия если для любого хь^Х класс 3)1 х
не пуст, то существует такой линейный ограниченный оператор с: 1д ->-Х. что
система (5.1) с « обратной связью »| = с*.г экспоненциально устойчива, т, е.;, иначе,
для полугруппы Сгс(1) с производящим оператором А ЩЪсА найдутся такие числа
с >-(), у 0, что 162^(01 (для всех I 0).
Теоремы 5.1, 5.2 открывают путь для получения результатов, аналогичных
приведенным выше для некоторых классов систем, линейная часть которых
описывается уравнениями в частных производных.
Литература
[1] Лурье, А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования,
Гостехиздат, Москва 1951
[2] Летов, А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем, Гостехпздат, Москва 1955.
(второе издание, Москва 1962)
[3] Лефшец, С., Устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования, .Мир.;
Москва 1967
[4] Айзерман, М. А.; Гаитмахер, Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем.
И зд- во А И С ССР, Москва 1963 4
[5] Барабанов, А. Т.; Клтковиик, В. Я.; Не лепи и, Р. А.; Хлыплло, Е. 11.; Якубович, В. А;,
Методы исследования нелинейных систем автоматического управления, под ред. Р. А.
Иеленинл. Главп. редаш (и я физ. мат. литературы, изд-во «Наука», Москва 1975
[6] Гантмахер, Ф. Р.; Якубович, В. А., Абсолютная устойчивость нелинейных регули-
руемых систем, "Груды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике,
Над-в о «Наука», Москва 1965, стр. 30—63 '
[7] Попов, В. М., Гинерустойчивость автоматических систем, «Наука», Москва 1970
[8] Ввоскетт, В. АМ; Бее, Н. В., Егедиенсе-Фялат глзШЪЙНу егйепа 1ог Нте-хагуй^ аы!
вопП'псаг зузЬеюз, Ргос. 1.ЕЕЕ 55, Ко 5, 604—619 (1967)
[9] Каьмак, .В. В., Ьзаргхоу ВшсНопз 1ог Ню ргоЫепг о! Ьпи’е ш атйотаНс еоп(го1, Ргос.
2Ш. Аеай. 8с1. 178А 49, № 2, 201-205 (1963)
[10] Меуев, К. К., 8ЙаЫН1у о! Гию 1уре едиаПонз, ЬесТиге Акйеа 1п МаНюшаНее, хо1. 312,
8рпп§ог-Уег1а§, ВегПп 1973, рр. 145—150
[11] А'Оьниб, Е., Он 11ю ЫаЬййу о! вузГстз йалйп^ $ехега1 едиШЪгнпп Парез, АррИей 8сь Рез.
21, №3/4, 218—233 (1969)
[12] Атоьбпя, Е., Аи1опопюи8 репофс тоНон ш попНпсаг ГееЛЬаск вуа^етз, 1ЕЕЕ, Тгавз. ов
Аи1оп1. еоп1го1. 19, №4, 381—387 (1971)
[13] Ророу. Д1., В1с11о1.ол)у ап<1 зСаЪИИу Ъу 1тедиепсу-<1о1па1п шеНюйз, Ргос. 1ЕЕЕ 62,
548—562 (1974)
[14] Пятницкий, Е. С.. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем,
Автомат, гелемех. № 1, 5—15 (1970)
[15] Андропов, Л. Л.; Витт, Л. А.; Хлйкнн, С. 3., Теория колебании, Физматгиз. Москва
1959
[16] —; Баутин, Н. Н., Стабилизация курса нейтрального самолета автопилотом с постоянной
скоростью сервомотора и зоной нечувствительности, ДАН СССР 4.0, № 4, 158—161 (1945)
[17] —; —, Теория стабилизации курса нейтрального самолета при помощи автопилота с
постоянной скоростью сервомотора, Известии АИ СССР, серия техн, паук, 1 часть:
№ 3, 3-32 (1955); II часть: № 6, 54-71 (1955)
[18] Андропов, А. А.; Майер, А. Г., Задача Выншегрлдсного в теории прямого регулиро-
вания, Автомат, телемех. 8, № 5, 314 -334 (1947)
[19] Бутепии, II. В., О влиянии сил сухого трения на движение свободного гироскопа, уста-
новленного неподвижно на земле, Изв. Вуз, Приборостроение № 4, 29—36 (1960)
[20] Якубович, В. А., Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории
автоматического регулирования, ДАН СССР 143, № 6, 1304—1307 (1962)
[211 —, Частотная теорема в теории управления, Сибирский мат. журнал, А« 2, 384—420
(1973)
[22] —, ,<А процедура в нелинейной теории регулирования, Вестник Ленинградского ун-та,
№ 1, 62-77 (1971)
[23] - , М и 11 им и заци я к вад р атич пых фу 1 щцм о 1 г ал о в 1 грн кв адр атич 11 ых огр ан и пени я х и
необходимость частотного условия в квадратичном критерии абсолютной устойчивости
нелинейных систем управления, ДАН СССР 209, А? 5, 1029—1042 (1973)
(24] —, Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с
несколькими, вообще говоря разрывными нелннейпостями, ДАП СССР 1.71, А? 3, 533—536
(1966)
[25] Айзерман, М. А.; Пятницкий, Е. С., Основы теории разрывных систем. I, Автомат.
[ тслемех. А? 7, 33—47 (1974); II, Автомат, телемех. № 8, 39—61 (1974)
[26] Якубович, В. А., Частотные условия автоколебаний и нелинейных системах с одной
3 стационарной нелинейностью, Сибирский Мат. журнал 14, А« 5, 1100—1129 (1973)
[27] Цыпкин, Я. 3., Релейные автоматические системы, Изд-во «Наука», Москва 1974
Д28] Леонов, Г. А., Об устойчивости фазовых систем, Сибирский мат. журнал 15, А? 1, 49—60
I? (1974)
'[29] —, Об ограниченности траекторий фазовых систем, Сибирский мат. журнал 15, А« 3,
/ 687-692 (1974)
ДЮ] Шдхильдяи, В. В.; Ляховкнп, А. А., Фазовая автоиодстройка частоты, «Связь», Москва
А 1966
. [31] Вбпм, С., Аиоух сгЛехт (ГезхзЬепга <1х войнйопе регюбхсйе сП ина хю!а едиа/лоие фУогенаха^е
[С поп Ипеаге, Апп. (В Ма1. рига арр!. 35, 344—353 (1953)
• у[32] Науей, IV., Он Нхе едиаНон хог а йахпрес! рсхи1и1шп шхйег сопяСапС Ъогдие, X. ап^елсахкИе
А МаНх. РЬуз. 4, Аг. 5, 398—401 (1953)
• [33] Сдятм'Вюнт, М. Ь., Йоте аврееЪз о! Нхе Нхеогу о! пон-Нпеаг уйи/аНоий, 1954, уо1. 3, Сго-
Д м111^ептА11181ег(1ат 1956, рр. 71—76
• Д34] Якубович, В. А., Частотная теорема для случая, когда пространства состояний п управ-
У леннй — гильбертовы и ее применение в некоторых задачах оптимального управления,
А. Сибирский мат. журнал 15, № 3, 639—668 (1974),
Апроф. др. В. А. Якубович, г. Ленинград, В. О., 10-я линия, 33, ЛГУ, мат-мех ф-т