Автор: Лурье М.В.
Теги: математика математический анализ математическое моделирование учебное пособие для вузов
Год: 2012
Текст
M.V. LurieMATHEMATICAL MODELING OF PIPELINE
TRANSPORTATION OF OIL AND GAS
Памяти Учителя - академика
Леонида Ивановича СедоваМ.В. ЛурьеМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ТРУБОПРОВОДНОГО ТРАНСПОРТА
НЕФТИ, НЕФТЕПРОДУКТОВ И ГАЗА
Лурье М.В.Математическое моделирование процессов трубопроводного
транспорта нефти, нефтейролуктов и гаэа. Учебное пособие456 с.Настоящая кшгга пред ста йляег собой учебное поообис для студентов,
обучающихся по программе магистра наук направления «Нефтегазовое
лсло» II слсииализкруюшихся в облает» трубопроводного транспорта неф¬
ти и газа. В ккиго изложена теория процессов трзнспоргирован>гя жидко¬
стей и газов по трубопроводам, являюшаяся основой для pemcHJiff кон¬
кретных задач нефтегазовой практики. Пскаг^ано, как основные законы
мехамикк и TcpsfOAmiaMiiKii. определяющие течение жидкостей и газов в
трубах, трансформируются в математические уравнения, составляющие
сущность той или иной математической модели, и как в рамках соответст¬
вующей модели ставятся п решаются конкретные задачи трубопроводного
тра/«спорта. Там, где ‘>го возможно, излагаются аналитические методы pe¬
lt и ия задач, рпссч^гганиыс на ислользование калькулятора, а там. где *)то
трудно или практически невозможно, подробно ихтапются вычислитель¬
ные методы, ориентированные на использование компьютеров.Книга предназначена студситам, аспирантам и прсподайател>^>г вум>в it
факультетов нефтегаювого профиля, а также научным и инженерно-
тсхничсским работникам нефтегазовых компаний.Ф Лурье М. В., 2012
СодержаниеПредисловие 8Глава !. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ.ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗЛ В ТРУБОПРОВОДАХ . .. 9
1.1 Схсмптпзация одномерных тсчсн;|й жллкостсйи га:юн в трубопроводах 91.2. Правила дифференцирования интегральных
количеств по времени 141.3. Закон сохранения массы транспортируемой среды
(уравнение неразрывности потока) 191.4. Закон об изменении количества движения
(уравнеине движения жидкости в трубопроводе) 221.5. Уравнение изменения механической энергии 28J.6. Закон изменения полной знорги!! 531.7. Распрсделсн>1е температуры в трубопроводепри стационарно.м ючснии 60Глава 2. МОДЕЛИ ТРАНСПОРТИРУЕМЫХ СРЕД ИТРУБОПРОВОДОВ 712-1. Модели жидкости 712-2. Модели газа 822.3. Модели трубопровода 90Глава 3. СТРУКТУРА ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 953.1. Ламинарное течение вязкой ньютоновскойжидкости в круглой трубе 953.2. Ламинарное течение неиьютоиовскоистепенной жидкости в круглой трубе 1003.3. Ламинарное течение иеиьютоновскои
вязко-пластичнои жидкости в круглой трубе 1043.4. Переход ламинарного течения аязкойжидкости в турбулентное 1083.5. Турбулентное течение жидкости в круглой трубе ... 1103.6. Метод управления гидравлическим
сопротивлением путем введения в поток
аитигурбулснтнон присадки 1273.7. Бсзнагюрныс течения- Са.могечные участки 137
Глава 4. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВРАБОТЫ НЕФТЕПРОВОДОВ 1524.1. Система основных уравнений установившегося
течения несжимаемой жидкости в трубопроволе 1524-2, Расчет установившегося изотермического теченияжидкости на участке трубопровода 1564.3. Моделирование работы исрскачиваюшях станций1714.4. Расчет совместной работы участка трубопроводаи перекачиваюшсй станции 1844.5. Расчет работы трубопровода с промежуточными
перекачивающими станциями ! 1884.6. Итерационный алгоритм гидравлического расчета
трубопровода с промежуточными станциями 1924.7. Расчет установившегося неизотсрмического течения
жидкости на участке трубопровода 1964.8. Квазиустановившееся неизотермическое
течение жидкости на участке трубопровода 206Глава 5. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫГАЗОПРОВОДОВ 2(45.1. Систе.ма основных уравнений установившегося
течения сжимаемого газа в трубопроводе 2145.2. Численный метод расчета установиви]ихся режимов
работы магистральных газопроводов 2205.3. Упрошенный расчет параметров установившихся
режимов работы равнинных газопроводов 2295.4. Распределение давления сучетом профиля
газопровода 2385.5. Моделирование работы }шгнстатслей 243Глава 6. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ 2596.1. Модель неустановившегося теченияслабо сжимаемой жидкости в трубопроводе 2606.2. Нсустановившесся течение жидкостив трубопроводе ь условиях пренебрежения силами
вязкого трения 2676
6.3. Метод расчета нестационарного течения жидкостив общем случае: «метод характеристик» 2836.4. Учет инерционных свойств ротора насосов 2956.5. Определение места утечки жидкостииз трубопровода 2996.6. Гидравлический удар в трубах 3036.7. Защита трубопровода от гидравлического удара 3186.8. Неустановившееся течение слабо сжимаемой
жидкости с возможным разрывом сплошности
потока 327Глава?. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГОГАЗА 3457.1. Основные уравнения 3457.2. Метод характеристик 3577.3. Упрошенная модель для расчета переходных
процессов в газопроводе 363Глава 8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТРУБОПРОВОДНОГОТРАНСПОРТА НЕФТЕПРОДУКТОВ 3778.1. Последовательная перекачка нефтепродуктов 3778.2. Смесеобразование в зоне контакта последовательно
движущихся партий нефтепродуктов 3838.3. Теоретические основы процесса смесеобразованияпри последовательной перекачке нефтепродуктов... 3918.4. Длина и объем области смеси нефтепродуктов 4078.5. Смесеобразование при остановках перекачки 4188.6. Раскладка смеси нефтепродуктов 4278.7. Годовое число циклов последовательной перекачки,
необходимая вместимость резервуарного парка 4348.8. Особенности гидравлических режимов перекачки
нефтепродуктов с различными свойствами 437Список литературы 455
«Никакое человеческое исследование не может быть
названо истиной, если оно не проходит через мате¬
матические доказательства».Леонардо да ВиичиПредисловиеВ книге, предназначенной прежде всего студентам, маги¬
странтам и аспирантам университетов, решившим специали¬
зироваться в области трубопроводного транспорта нефти, неф¬
тепродуктов и газа, последовательно излагаются теоретиче¬
ские основы математического моделирования процессов, про¬
исходящих в трубопроводах при транспортировке этих сред.
Под термином математическое моделирование понимается
построение системы математических уравнений, адекватной
рассматриваемому технологическому процессу, в рамках кото¬
рой можно изучать соответствующий процесс, получая ответ о
его параметрах без того, чтобы ставить натурные и. тем более,
промышленные эксперименты. Излагаются физические зако¬
ны, определяющие динамику движения жидкостей и газов в
трубопроводах, показывается, как эти законы трансформиру¬
ются в математические уравнения, составляющие сущность
той или иной математической модели. В рамках каждой моде¬
ли формулируются задачи для анализа той или иной ситуации,
встречающейся в практике проектирования или эксплуатации
трубопроводов. Излагаются методы решения соответствую¬
щих математических задач, как аналитические, так и рассчи¬
танные на применение вычислительной техники. Книга само¬
достаточна для изучения, однако ее изложение построено так.
чтобы побудить читателя обратиться к более детальному озна¬
комлению с рассматриваемыми проблемами в специальной
технической литературе.М. В. Лурье8
Глава 1ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ
ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРУБОПРОВОДАХ1.1. Схематнзаиня одномерных течений жидкостейи газов в трубопроводахВ проблемах трубопроводного транспорта нефти, нефте¬
продуктов и газа часто используется схематизация процесса
движения, в которой принимаются следующие допущения:• нефть, нефтепродукты или газ считаются сплошной
средой, непрерывным образом заполняющей все сечение тру¬
бопровода или его часть;• течение считается одномерным, т.е. все определяющие
параметры зависят только от одной пространственной коорди¬
наты X, отсчитываемой вдоль оси трубопровода, и в общем
случае, от времени t;• определяющие параметры течения представляют собой
осрелненные по сечению трубопровода значения того или
иного физического параметра;• профиль трубопровода определяется зависимостью
/.(х) высоты оси трубопровода над уровнем люря от линейнойкоординаты, отсчитываемой вдоль оси трубопровода;• площадь S попереч1гого сечет1я трубопровода не явля¬
ется (юстоянной величиной - под действием внутреннего дав¬
ления и температуры транспортируемой среды она изменяется,
так что в общем случае S = S(p,T, х). Если трубопровод счита¬
ется недеформируемым, то -S = S(x), в частном случае
S(x) = So = const.;• важнейшими определяющими параметрами транспор¬
тируемой среды являются:
p(x,t)“ плотность, кг/м^;v(x, t) - скорость (средняя по сечению), м/с;p(x,t)-давление (среднее в сечении), На = Н/м^;Т(х, t) - температура транспортируемой среды, град.;
т(х,()-касательное напряжение (сила трения, рассчитан¬
ная на единицу площади внутренней поверхности трубопрово¬
да). Па = Н/м^;®»ну1 внутренняя энергия единицы массы транспор¬тируемой среды, Дж/к^ = (м/с)^;a,v^(x,t)/2- кинетическая энергия единицы массы
транспортируемой среды, Дж/кг = (м/с)^; - коэффициент,
обусловленный неравномерностью распределения скоростей
среды по сечению трубопровода;Q(^x,t) = vS - объемный расход среды, mVc;М(х, t) = pvS - массовый расход среды, кг/с, и др.Через введенные параметры находятся интегральные ха¬
рактеристики так называемого подвижного индивидуагьного
объема транспортируемой среды.Пусть в некоторый момент времени выделен произволь¬
ный объем транспортируемой среды, заключенный между се¬
чениями X, и Xj трубопровода, рис. 1.1.лvj(W\ /x,(t) x,(t)Рис. 1.1. Индивидуальный (подвижный) объем
транспортируемой среды10
Если сплошную среду, находящуюся между этими сече¬
ниями. отождествить с системой материальных точек и сле¬
дить за ее перемещением, то положение границ Х| и X, станет
завнсяишм от времени, причем вместе с поверхностью трубо¬
провода они будут содержать внутри себя одни и тс же мате¬
риальные частицы среды. Назовем такой объем жидким под-
(^ижным объемом или индивидуальным подвижным объемом
транспортируемой среды. Его особенность состоит в том. что
он всегда состоит из одних и тех же частиц. Если, нанример,
транспортируемая среда несжимаема, а сам трубопровод не
деформируем, то при S = S^, ss const, разность (х,-х,) фа-нии. определяющая протяженность жидкого объема в трубо¬
проводе, остается постоянной.Используя понятие об индивидуальном объеме, содержа*
щем одни и те же частицы транспортируемой среды, можно
ввести следующие интегральные характеристики определен¬
ной массы транспортируемой среды:'.(i|М =>С,(1р(х, t) • S(x, t)dx - масса жидкого объема (кг);|)p(x.t)v(x,t)-S(x,t)dx - количество движения жидко-
'|(0го подвижного объема (Кс’м /с);V"^К1м< ~ S(x,t)dx'- кинетическая энергия жидко-v.О 2го подвижного объема (Дж);v-(0р(х-0'^им>, (x.t)-S(x.t)d\- внутренняя энергияI)жидкого подвижного объема (Дж);IIЧ,
ч-(0naiHзевнут
V -- уS(x,i)dx - полная энергияжидкого подвижного объема (Дж).Интегральные величины моделируют такие характеристи¬
ки сплошной среды, как масса, импульс (количество движе¬
ния), внутренняя, кинетическая и полная энергия системы ма¬
териальных точек.Математические модели течения жидкости и газа в трубах
основываются на базовых законах физики (механики и термо¬
динамики), примененных к сплошной среде, моделирующей
реальные жидкость и газы. Эти законы таковы:1. Закон сохранения массы.dM _ d
dt dip(x,t)-S(x,t)ixxi(i)M(0= 0(1.1)Этот закон утверждает, что как бы ни перемещался в трубо¬
проводе индивидуальный объем транспортируемой среды, его
масса остается постоянной.2. Закон изменения количества движения.dldt dtЛ')p(x.t)-v(x,t)-S(x,t)dxN,0)кU)(1-2)где в правой части уравнения стоит сумма всех анешиих сил*
действующих на транспортируемую среду* заключенную12
внутри индивидуального объема, в проекции на ось х трубо¬
провода.Уравнение (1.2) является математическим вырах<е!>ием
2-го закона Ньютона, утверждающего, что секундное изменение
количества движения системы материальных точек равно
сумме всех внешних сил, дейс1 вующих на точки этой системы,
Внутренние силы в уравнении (1,2) отсутствуют, поскольку,
согласно 3-му закону Ньютона (действие равно противодейст¬
вию), сумма всех внутренних сил равна нулю.3. Закон изменения кинетической энергии.dE„„„ _ d
dt dt',(0S(x,t)d;dtdtгде e правой части уравнения стоит суммарная мощность всех
внешних и внутренних сил, действующих на точки подвижно¬
го объема транспортируемой среды.В отличие от закона (1.2) уравнение (1.3) содержит внут¬
ренние силы - суммарная .мощность внутренних сил в общем
случае не равна нулю, поскольку эти силы могут совершать
работу на перемещениях частиц друг относительно друга. В
несжимаемой или слабо сжимаемой среде (например, нефти
или нефтепродуктах) работа внутренних сил иереходит в теп¬
ло; в сжимаемых средах (например, газах) она частично пере¬
ходит в тепло, частично аккумулируется в сжатии среды.4. Закон изменения полной энергии (У-е начало термо¬
динамики).d(E+ Е )dqUMSiiPdt+dAdtdt13
илиdl^;(l)IЧ|(0?PiHVT.pS(x,t)dxdq.„ = Ш+e>ieui.dtdt(1.4)где в правой части стоит сумма притока энергии к частицам
рассматриваемого объема извне в двух формах: в виде
dq‘"""/dt секундного притока внешнего тепла и dA‘"‘'‘“/di
секундной работы внешних сил.Закон (1.4) означает, что полная энергия (сумма кинетиче¬
ской и внутренней энергии) любого индивидуального подвиж¬
ного объема транспортируемой среды может изменяться толь¬
ко за счет притока внешнего тепла и работы внешних сил. В
случае если внешних притоков энергии к выделенному объему
транспортируемой среды нет, уравнение (1.4) трактуется как
закон сохранения полной энергии:Таким образом, базовые законы (1.1)-(1.4) физики служат гой
основой, на которой строится теория движения транспорти¬
руемых сред в трубопроводе.1.2. Правила диффереициривания
интегральных количеств по времениПоскольку основные законы формулируются как связи
между физическими величинами и скоростями их изменения
во времени, то необходимо иметь правило дифференцирова¬
ния интегральных количеств по времени. При этом символом14
d{ )/dt дифференцирования (полная производная по временн)
будем обозначать производные по времени, относящиеся к
индивидуальным объемам сплошной среды, а символом
а( )/а (локальная или местная производная но времени) -
производные по времени от параметров течения в доннам се¬
чении трубопровода (т.е. при х = const.).Локальная производная по времени характеризует ско¬
рость изменения того или иного параметра течения лишь в
данном сечении трубопровода, поскольку в различные момен¬
ты времени в этом сечении находятся разные частицы среды.Итак, вычислим полную производную по времени от про¬
извольного интегрального количества';(0dtА(х, i)-S(x,t)dx,N,(t)где A(x,t)- произвольная характеристика транспортируемой
среды (например, плотность р , количество движения pv . пол¬
ная энергия , температура Т и т.д.)-Из математического анализа известно, как дифференциру¬
ется интеграл, содержащий параметр (в данном случае t). по
этому параметру в том случае, когда и сама подынтегральная
функция, и пределы интегрирования зависят от этого парамет¬
ра. Справедливо следующее тождество;diA(x,t)'S(x,l)jx в — [A(x.t)'S{x,t)]ix +'i(i)+A(x,t)S(x.t)v,(t)adx,
‘:(0 dt-A(x.t)S(x.t)|^dxN|(05
т.е. сначала при «замороженных» верхнем и нижнем пределах
интегрирования дифференцируется подынтегральная функция
(причем берется, естественно, локальная производная), затем
подынтегральная функция, вычисленная соответственно в
верхнем и нижнем пределах интегрирования, умножается на
скорости dx,/dt и dx,/dt изменения этих пределов, причем
первое слагаемое берется со знаком плюс, а второе - с знаком
минус.Поскольку речь идет об индивидуальном подвижном
объеме среды, величины dx,/dt и dXi/dt являются соответ¬
ственно скоростями v,(t) и v,(t) среды в левом и правом се¬
чениях. офаничиваюпшх рассматриваемый объем, поэтому
имеем:d':(0(Оdt+A(x.i)-S(x.t)dxs f -£.[A(x.t)-S{x,t)}Jx +■' dt(1-5)A(x.t)-v(x,l)s(x,tJ^ -A(x,t)-v(x.l).S(x,t)|^0)Доказательство формулы (1-5) приводится ниже.Если учесть известную из математического анализа фор'
мулу Ньютона-Лейбница, согласно которойA(x.t)-v(x,t)-S(x,t)|^ A{x.t)-v(x,t)-S(x.t)|^^j^j =
v,C) gs —[A(x.t)-v{x.t)-S(x.t)|d.x,1)Ю формула (.1.5) приобретет следующий окончательный вид:
I (ОdtA{x,t)-S(x,t)dx =(0t)Xi(0aAS aASvV + dx .< d\ J(1.6)Доказате.]ьство.формулы (1.5). Рассмотрим два последо¬
вательные положения одного и того же индивидуального объ¬
ема транспортируемой среды в трубе: одно - в момент време¬
ни t, другое - в близкий момент t + At, рис. 1.2.7x,(t) x,(t + At)X2(t) X2(t + At) XРис. 1.2. к выводу правила дифференцирования по времени
интеграла с переменными пределамиСогласно общему определению производной как предела
отношения приращения функции к приращению аргумента
при стремлении последнего к 0. имеем:dtA(x,t)s(x,t)dx ='i(0= lim1Чг(1*Д1)А(х,1 + At) S{x.t +At)dx- jA(x,t) S(x,t)dxЧ,(иД|) »,(t)Интегралы, стоящие в квадратных скобках, можно пред¬
ставить в виде суммы интегралов (см. рис. 1.2):17
A{x,t +At)-S(x,t +Al)dx= |а(х,1 + At)*S(x,t +At)dx +X|(i+Ai)+ A(x,t + At)-S(x,t + At)dx;0Хз(0 Х|(|+ДОA(x,l)-S{x,t)dx= A{x,t)-S(x,t)dx+ A(x,t)-S(x,t)dx,4,(0 «i(0следовательно.xj(;+At) x^(i)A(x,t + At)-S(x,t + At)dx - A(x,t)'S(x,t)dx =\, t)0a(x,1 + At) s(x,t + At)- A(x, t) s(x,t)]dx +x,(uAl)Xj(uAt) Xi(t4Ai)+A(x,t + At)-S(x,t + At)dx - A(x,t)-S(x, t)dx.2 0(i)С точностью до бесконечно малых величин высшего по¬
рядка можно записать следующие равенства:>,0)A(x,t +At)-S(x,t +At)-A(x,t)-S(x,t)]dx 2a(A'S)•At-dx(ил.)ctdx.A(x,t + At)'S(x,t +At)dx ^A(x,,t)-S(x2,t)--|^-Al:18
dxA(x, t) S(x,t)dx =A(x,,t)' S(x,,t) - At.i)dtРазделив сумму последних трех выражений на At и пе¬
рейдя к пределу при At О, получим формулу, которую тре¬
бовалось доказать:*!(<)dtН|(0A(x,t) S(x,t)dx S [ —[A(x,t)'S(x,t)]jx«I Оа(х, t) ■ S(x, t^ - a(x,t)- S(x, x\dlЗаметим, что при переходе к пределу At ^ О учитывалось
свойство непрерывности функций x,(t) и X2(t), а именно тот
факт, что lim x,(t + At)= x,(t) и limXj (l + At)=Xj(t).1.Э. Закон сохранения массы транспортируемой среды
(уравнение неразрывности потока)Плотность p(x,t), скорость v(x,t) транспортируемой сре¬
ды и площадь S(x, t) поперечного сечения трубопровода немогут быть произвольными, поскольку их значения определя¬
ют увеличение или уменьшение массы вещества в том или
ином сегменте трубопровода. Поэтому первое уравнение мо¬
дели можно получить, если наделить транспортируемую среду
свойством подчиняться закону (! .1) сохранения массы:dtОp(x,t)'S(x,t)ixО= 0(1.7)19
Отметим, что это равенство должно выполняться для любого
индивидуального объема транспортируемой среды, т.е. при
л^обых пределах x,(t) и x>(t) интегрирования.Применим к (1.7) правило (1.6) дифференцирования инте¬
грального количества, относящегося к индивидуальному объ¬
ему среды, положив А s p(x,t). Тогда получим:О/'i(')dtдкПользуясь тем, что пределы интегрирования в последнем ра¬
венстве произвольны, отбрасываем знак интеграла и получаем
дифференциальное уравнение(1.8)Это уравнение называется уравнением неразрывности тече¬
ния транспортируемой среды в трубопроводе.Если течение установившееся (стационарное), т.е. локаль¬
ная производная по времени )/^ = О, последнее уравнение
упрощается. Из него следует;d(pvS)dx= 0М = pvS = const.(1.9)Это означает, что в станионарном течении любой жидко¬
сти или газа массовый расход М постоянен по А1ине трубо¬
провода.20
Если считать, что S(x)sSy =consi., то из (1.9) следует ра¬
венство pv = const. Отсюда вытекают два важных следствия.Следствие I. В случае однородной и<’сж'имоемои жидко¬
сти (в ряде случаев таковой можно считать нефть или нефте¬
продукт) р = р,| и, следовательно, скорость v(x) установивше¬
гося течения будет постоянной величиной: v(x)= сот/.Иными словами, скорость установивп]егося течения одно¬
родной несжимае.мой жидкости в 1р)’бопроводе с постоянным
диаметром )ie изменяется по длине трубопровода.Пример. Объемный расход установившегося течения
нефти, транспортируемой т трубопроводу (р = 820 мм,
6 = 8 мм), составчяет 2500 м^/ч. Иайти скорость v нефти.
Расчет. Находим внутренний диаметр d нефтепровода;
d= 0-25 = 0,82-2 •0,008 = 0,804м.Так как v = 4Q/Tcd’ ^consl.. тоV = 4 ■ 2500/(3600. 3,14 ■ 0,804’) = 1,37 м/с.C.iedcmeue 2. В случае сжимаемой среды (например, газа)
ее плотность изменяется по длине участка трубопровода. По¬
скольку изменение плотности р связано, в основном, с изме¬
нением давления, которое, как правило, уменьшается от нача¬
ла участка к его концу, то плотность р(х) также уменьшается.
Тогда из условия р(х) \'{х) = сонлГ, следует, что скорость v(x)
установившегося течения сжимаемой среды уве.чичивается от
Ha4ajia участка к его концу. Таким образом, скорость устано¬
вившегося течения газа в трубопроводе с постоянным диамет¬
ром возрастает от начала участка между компрессорными
станциями к его концу.Пример. Массовый расход установившегося течения газа,
транспортируе.мого по трубопроводу (D=1020 мм,
б = 10.мм). составляет 180 кг/с. Найти скорости газа v, в
начале и Vj в Koiliie участка газопровода, если известно, что21
плотность газа в начале участка равна 45 кг/м^, а в конце -
25 кг/м^.Расчет. Имеем;V, =M/{piS)=4-180/(45-3,14-I^)=5,l м/с;Vj =M/(pjS) = 4-180/(25-3,144^)=9,2 м/с,
т.е. скорость газа к концу участка увеличивается более чем в
1,8 раза.1.4. Закон об изменении количества движения
(уравнение движения жидкости в трубопроводе)В уравнение неразрывности (1.8) входит несколько неиз¬
вестных функций, поэтому оно недостаточно, чтобы найти
каждую из них. Для получения дополнительных уравнений
используют закон (1.2) об изменении количества движения
системы материальных точек, составляющих транспортируе¬
мую средуdldt dt-)p(x,t)v(x,t)-S(x,t)dx.0)k«iiили, с учетом формулы (1.6);х»0)
I)atdx(1.10)в правой части этого уравнения стоит сумма всех внешних
сил, действующих на точки подвижного индивидуального
объема транспортируемой среды, в проекции на ось трубопро¬
вода. Перечислим эти силы, для чего обратимся к рис. 1.3.22
^2,4 =(p’dSR..J-Sin<!l/\1г _S(x,t)S(x + Ax,l)Рис. 1.3. Силы, действуюшие на элемент подвижного
индивидуального объема транспортируемой средыПроекция F,^ разности сил давления на торцах эле¬мента:I^u=pS|, -pSapsЭхdx + ...,гле точки ооозначают оесконечно малые высшего порядка по
отношению к dx.• Проекция Fj , сил реакции боковой поверхности рас¬
сматриваемого элемента на ось трубопровола:р- 7td ‘dxas•sin^ - p* яс1 - dx *cos(90® -ф}dSЗаметив, что угол (90° -ф) есть угол проектирования элемента
площади боковой поверхности на плоскость поперечно¬
го сечения трубопровода, получим23
nd-dx -sin^ = nd-dx -cos(90° -^)= dS,dS*., ds'Можно видеть, что dS = S(x + Ax,t)-S(x.t) представляет со¬
бой площадь кругового кольца, обраэованного окружностями
поперечных сечений х и х + Ах трубы. Иными словами, пло¬
щадь проекции боковой поверхности выделенного элемента на
плоскость поперечного сечения трубопровода есть dS, т.е.
dS = dSg,,-cos(90'’-^>).B итоге имеем:F?, = p-;id - dx -cosfQO® -ф^= pdS = p-^-dx.• Силы Fj ^ трения на внутренней поверхности трубо¬
провода:F,. = -7ud • dx • • cos^ *= -яd • dx • ,где - касательное напряжение сил трения на внутренней
поверхности трубы (сила трения, рассчитакиая на единицу
площади, Ы/м^ = Па ); cos^ = 1 - jl + 1.• Осевая составляющая F4, сил тяжести.F4= -pS(x, t)dx • gcos5z5 • sina » -pS(x, t)dx • gsina.dmгде a(x)- угол наклона оси трубопровода к горизонту (а>0
на участках подъема, а<0 на участках спуска); sina = dz/dx;.24
z(x)- зависимость высотной отметки z сечения трубы от ко¬
ординаты X, отсчитываемой вдоль оси трубопровода.Собрав проекции всех внешних сил вместе, имеем:ZC4HCUI.оО)aps as ^— + Р— - Tid • ^ pgSsma
ох акdxилик *13 *к»1ZT?®HeujП.х -'t(t)- S — - Tcd' - pgSsina
5хdxВ итоге уравнение (1.10) можно записать в следующем
виде:Ч-.«)',(1)Vд1^ apv-S^dx =15x j'i{1)--S—nd -pgSsina jdx
дк1оскольку это уравнение справедливо для любого под¬
вижного объема транспортируемой среды, то пределы x,(t) иx,(t) интегрирования произвольны, поэтому из равенства ин¬
тегралов следует равенство подынтегральных выражений:5pvS 5pV'S оФ j с- •—— + —i- S— - Jtd - T,,. - pgSsina.d[ d%. dx
Если левую часть этого уравнения представить в виде5pvS 9pv S _
di 5x9pS фуЗ
5t 5xЛ+ pS-5v''
— +v—
dt 5xy25
и учесть, что согласно уравнению неразрывности (1.8) выра¬
жение, стоящее в первой скобке, равно О, полученное уравне¬
ние можно записать в более простой форме:У\dvdwр+ V —9dl5хчW Jдр 4 ■ ( \^-T'^w-Pg'sma{x)5х dВыражение, стоящее в круглой скобке левой части урав¬
нения (1.11), представляет собой ничто иное, как полную про¬
изводную от скорости по времени, т.е. ускорение w фиксиро¬
ванной частицы транспортируемой среды:dv 5v dv
w = — - — +v—dt dtdxС учетом этого факта смысл уравнения (1.11) становится бо¬
лее понятным; произведение удельной лшссы транспорти¬
руемой среды на ускорение равно сум.ие удельных внешних
CWI, действующих на эту среду. А именно, силы давления -
-ф/5х , силы трения 4T^/d и силы тяи<ести pg-sina . Инымисловами, уравнение (1.11) выражает 2-й закон Ньютона и по¬
этому называется уравнением движете.(МГ)Зщлечание о свя^и по/той и частной производных по eve-
мели. Ускорение w = dv/dt является полпой производной повремени (символ d{ )/dt), поскольку речь идет о дифференци¬
ровании скорости одной и той же фиксированной частицы26
транспортируемой среды, перемещающейся от одного сечения
к другому. В то же время частная производная по времени
(символ 5( )/й) предполагает дифференцирование скоростив данном сечении трубопровода (т.е. при постоянном значе¬
нии X). Такая производная дает изменение скорости разных
частиц транспортируемой среды, приходящих в данное сече¬
ние трубопровода.Пусть, например, какая-либо частица среды в момент вре¬
мени t находится в сечении х трубопровода и, значит, имеет
скорость v(x, t). К следующему моменту времени t + At этачастица переместится в сечение х + Дх и будет иметь ско¬
рость v(x + Дх,1 + At). Ускорение w частицы определяетсякак предел:dvW = — - hm
dtv(x4-Ax,t + At)-v(x,t)_ d
At dl+dvdxdxdtПоскольку dx/dt = v(x,t) - скорость рассматриваемой части¬
цы. то из последнего равенства следует формула;dv 5v dvW = = ' + V dt 5t 5x(1.12)Аналогичная связь (1Л2) полной'(d/dt), индивидуальной.или как ее еще называют, лагранжевой производной по вре¬
мени. и частной (d/dt), лока.чьной, или как ее еще называют.
эСаеровой производной по времени, имеет место вне зависи¬
мости от того, идет ли речь о скорости v(x,t) среды или о лю-
бол! другом параметре A(x,t):27
dA(x.t)^5A(x.l)dtat+ V5A(x,t)xsconsiЭхгтилная' (.1дгрли жева ^
ПрОИАОЛНаЯ по 4>ем«нилсжалъН|^я< ^йлсроьз)прсиш)лн;«я 1Ю RpesiCHHко ннск(немая
сосгавляюи|411|1.5. Уравнение изменения механической энергииРассмотрим теперь следствие, к которому приводит ис¬
пользование закона (1.3) об изменении механической энергии,
примененного к системе материальных точек, представляю¬
щих собой индивидуальный (подвижный) объем транспорти¬
руемой среды. Этот закон записывается в следующем виде;, d
dt dt■r’f.Pv•S(x,t)d>,(0dA‘"'“ dA‘"’" + , (1.13)dtdtT.e. изменение dE„,„ кинетической энергии системы матери¬
альных частиц равно сумме работ dA*"*" внешних и dA*"^’
внутренних сил. действующих на частицы, принадлежащие
этой системе.Определим более точно, что имеют в виду под кинетиче¬
ской энергией и что означает коэффициент а,. Если счи¬
тать, что транспортируемая среда движется в трубопроводе как
поршень с одинаковой по сечению скоростью v(x,t). то кине¬
тическая энергия такой среды вьгражалась бы интеграломЕ =кннpv•Sdx.Однако на деле такая схематизация была бы cJшщкoм грубой,
ибо скорость отдельных слоев транспортируемой среды раз-28
лична по сечению трубы: в центре трубы она наибольшая, по
мере приближения к внутренней поверхности трубопровода
уменьшается, а на самих стенках и вовсе равна нулю. Кроме
того, если при малых скоростях жидкости течеиие носит :ш-
мтшрный (струйный) характер, то при увеличении скорости
течение становится турбу.чеитпым (т.е. пульсирующим и пе¬
ремешивающимся). При этом скорости отдельных частиц
сильно отличаются от средней скорости потока v. Вот почему
кинетическая энергия единицы объема транспортируемой сре¬
ды не равна р\'^2.где V- средняя скорость течения.Тредставим истинную скорость и частиц в виде суммы
средней по сечению скорости v(x, t) и добавки Ди, отражаю¬
щей отличие истинной скорости от средней: и = v + Ди . Ос-
редненнос по сечению трубы значение Ди этой добавки равно0. однако ее среднеквадратичная величина (Ди)‘9^0. Тогда
кинетическая энергия единицы объема транспортируемой
среды представляется в виде суммы двух слагаемых:pvКИИр(Ди)‘первого - ки{1етической энергии центра масс рассматриваемо¬
го объема, второго - кинетической энергии движения частиц
относительно центра масс. Если v О. тору- ^ р(ДиУ ^ру-1 +(Ди)^руG.29
где а, =l + (Auy/v^ >1. Для ламинарного течения а^ =4/3;
(см. гл. 3), для турбулентного течения: для гладких труб
1,015, для обычных шероховатых труб 1,035 [9].
С учетом введенного коэффициента кинетическую энергию
любого индивидуального подвижного объема транспорти¬
руемой среды можно представить в виде:Sdx.>.(■)Вычислим слагаемые, входящие в уравнение механиче¬
ской энергии (1-13). Сначала вычислим скорость изменения
кинетической энергии:dtdlS(x,t)dx»i(t)Используя правило дифференцирования интегрального коли¬
чества, относящегося к подвижному объему, т.е. интеграла с
переменными пределами интегрирования, получаем:dEЬИНdtМОdlЧ-I-Эх- vSdxЗатем вычисляем работу внешних сил (в данном случае
сил давления и сил тяжести), включающих также работу
внешних механических устройств (например, насосов), если
таковые имеются в рассматриваемом объеме среды;30
•Hcul=(p,S'V,-p,S'V,)- fgsina-p\’Sdx + N_ =dtNcesX|(0\;lt)'l(l)d(pS-v)dx+ gsina-pvS dx + N„„ .Первое слагаемое в правой части последнего выражения
дает работу (а точнее - мощность) сил давления, приложенных
к начальному и концевому сечениям выделенного объема, вго-
)ое - мощность сил тяжести, третье - мощность внеш¬
них устройств, воздействующих на рассматриваемый объем
транспортируемой среды.Вычисляем работу внутренних сил (сил давления и сил
вн>треннего трения), совершаемую в единицу времени;dtP^i^x+ n”’""pSdx.х,10 ^ .лПервое слагаемое в правой части равенства дает работу
сил давления, совершаемую в единицу времени (т.е. их мощ¬
ность) по сжатию частиц среды, причем сомножитель
д{3\’Удх -dx дает скорость изменения элементарного объема
среды.Второе слагаемое в правой части равенства представляет
собой мощность сил внутреннего трения, т.е. сил трения слоев
среды друг о друга, причем п*"'"' обозначает удельную, т.е.
рассчитанную на единицу массы транспортируемой среды,
мощность сил внутреннего трения, В дальнейшем мы увидим,
что эта величина характеризует количество механической
энергии, переходящей в единицу времени в тепло за счет сил
внутреннего трения слоев среды друг о друга.31
Собрав все члены уравнения механической энергии вме¬
сте, получим:/at/-hJ\0pSvX,(l)d\1 dp
p^pvSdx -X,(>)+ gsina |dx + n"'^- ■ pSdx + N„„.N1(0Транспортируемой среду называют баротропной, если
давление в ней зависит только от плотности, т.е. р = р(р). Для
баротропной среды можно ввести функцию Р(р) такую, чтоdP = dp/p,T.e. Р{р)= dp/p. Тогда = Если к томур Эх 5хже учесть, что справедливо равенство sina(x)=dz/dx, где
функция т(х) определяет профиль трубопровода, то последнее
уравнение можно записать более просто;PS^di+ pvSд\a,vP(p)+gzdx == j n“^ -pSdx + N,„ .>ii{0(1.14)Если предположить далее, что в пределах выделенного
подвижного объема x,(t), x,(t) внешние источники механи¬
ческой энергии отсутствует, т.е. =0, то можно перейтиот интегрального равенства (1.14) к дифференциальному урав¬
нению. Для этого используем, как это делалось выше, утвер¬
ждение, что полученное уравнение справедливо для любого32
объема транспортируемой среды, т.е. пределы x,{l) и X2(t)интегрирования в (1.14) произвольны. Тогда из интегрального
равенства (1.14) следует равенство подынтегральных выраже¬
ний, т.е.или. 2 ;+ PVS|;
дк■K+P(p]+gz\ /-да/ 2
(ау[ 2 ,д+ V —дка fdp; +1 +gz- 2 > ;= n"^.(1,15)Полученное дифференциальное уравнение выражает закон об
изменении механической энергии транспортируемой среды.
Если разделить обе части уравнения (1.15) на g, то получим
уравнение£а+ Vдкrdpк 2g+ ZР8п•иутg(1.16)ВыражениеН =a.v2g■dpPg+ z.стоящее под знаком производной в левой части последнегоIуравнения и имеющее размерности длины, называют полным
напоромПолный напор Н(х) в сечении х трубопровода складыва¬
ется из 3-х составляющих;33
fdppg- скоростного напора (м)\~ пьезометрического напора (м)',Z - геометрического напора (м).Понятие напора чрезвычайно важно для понимания процессов,
происходящих в трубопроводах.Уравнение БернуллиВ случае установившегося (стационарного) течения ба-
ротропной жидкости (или газа) в трубопроводе производная
Э( )/5t = О, поэтому справедливо обыкновенное дифференци¬
альное уравнение;илиd/ •»
a.v‘fdp ^
* 1 <-•dxI 2g1 ^ £,pg уg" " ^ V. иI g )dx•dpа V fi——+ —+z
2g ^pgП•нутgv= -i.(1.17)/где посредством i 0>O) обозначена безразмерная величина- n*'‘^/gv, называемая гидравлическим уклоном:} -dxn•нуг.gv34
гидравлический уклон определяется как потеря напора на еди¬
нице длины трубопровода. Этот параметр пропорционален
диссипации механической энергии в тепло за счет внутреннего
трения слоев транспортируемой среды друг о друга. Характер¬
ные значения гидравлического уклона в трубопроводах со¬
ставляют, как правило, величины «5 0,00005 0,005,Из уравнения (1.17), примененного к транспортируемой
среде, находящейся между фиксированными сечениями /(х,)
и 2( X,) трубопровода, следует алгебраическое уравнение(1.18)Это уравнение называется уравнением Бернулли и является
одним из основных уравнений, используемых в теории уста¬
новившегося течения баротропной среды в трубопроводе.1. Для несжимаемой однородной жидкости (каковой при
определенных условиях могут считаться вода, нефть или неф¬
тепродукты) р = const., dp/pg = p/pg + co«5/., поэтому урав-Jнение Бернулли принимает более простой вид:a.v2g pgI V2g pg+zid\.Если положить i = consf., toгде /|_2 - длина трубопровода между сечениями 1 и 2.(1.19)35
Последнее уравнение имеет простую геометрическую ин¬
терпретацию, рис. 1.4,Н(х) - линия гидравлического уклонав a.v72g/ = -dH/dx = tg|Pz{x)~ профть трубопровода.Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация уравнения БернуллиНа этом рисунке представлены; профиль трубопровода
(жирная ломаная линия); линия Н(х) зависимости полногонапора Н от координаты х вдоль оси трубопровода (прямая
линия с постоянным углом Р наклона к горизонту;/ = -dH/dx = tg(3 =consi.) и три составляющие полного напорав произвольном сечении трубопровода: геометрический напор
z(x), пьезометрический напор p(x)/pg и скоростной напорЛиния Н(х), представляющая зависимость полного напо-ра Н от координаты х вдоль оси трубопровода, называется
пинией гидравлического уклона. Особо следует отметить, что
если пренебречь скоростным напором (в нефте- и нефтепро-
дуктопроводах величина скоростного напора сравнима с диа¬36
метром трубопровода; например, при v«2m/c, а,» 1,05;
vV2g = 0.25м), то длина отрезка между профилем трубопро¬
вода и линией гидравлического уклона, умноженная на pg,
дает величину давления в сечении х трубопровода. Например,
если длина отрезка АВ (см, рис. 1.4) равна 500 м и по трубо¬
проводу транспортируют дизельное топливо с плотностью
р = 840 кл/м\ то это означает;840-9,81= 500 => р = 500 840-9,81 =4120200 (Па),т.н. давление в сечении х, равно 4.1202 МПа (» 42 атм.),2. Для сжимаемого газа р = р(р,Т), где Т- абсолютная
температура, поэтому вычислить интеграл dp/(pg) можнотолько в том случае, если известен термодинамический про¬
цесс, в котором участвует этот газ. Например, если газ совер¬
шенный (см, п. 2.2 гл. 2), то в термодинамическом процессе,
происходящем без теплообмена с окружающей средой (такназываемом адиабатическом процессе), р/Ро=(р/РоУ>
у = Ср/Су - показатель адиабаты (у’‘О’ ^ Cv,Cp- теплоем¬
кости газа при постоянном объеме и давлении, поэтомуfdp Рп УРгрpg Pog У-^/\г-1Ро J-1и уравнение Бернулли имеет вид:37
, а Y2g Pbg Y-!/ \н >/1 ^YчРо,JVу1+ж.л_2g P»g r-lh^Pci>+Z2J dx. (1.20)Подвод внешней энергии к транспортируемой жидкости(насосы и насосные станции)При течении в трубопроводе капельной жидкости механи¬
ческая энергия, мерой которой служит напор, превращается в
тепло, поэтому напор постепенпо уменьшается. Для обеспече¬
ния дальнейшего продвижения жидкости вдоль трубопровода
необходимо периодически восстанавливать напор, подводя к
жидкости внешнюю энергию. При транспортировке капель¬
ных жидкостей (нефти или нефтепродуктов) устройствами,
восстанавливающими напор, являются насосы, точнее, группы
насосов, соединенные последовательно или параллельно и
образующие насосные станции.Таким образом, насосы - это устройства для принуди¬
тельного перемещения транспортируемой среды от сечения с
меньшим напором к сечению с большим напором, рис. 1.5.QQРис. 1.5. Нефтяной насос, подключенный к магистрали;
(^-задвижка, ^ - клапан обратный)38
Поскольку высотные отметки входа в каждый насос н вы¬
хода из него одинаковы, то можно сказать, что насосы - это
устройства, заставляющие транспортируемую среду двигаться
против давления, т.е. от меньшего давления (на входе 1 насо¬
са) к большему давлению (на выходе 2 насоса). Для этого, ко¬
нечно, необходимо затрачивать, или как говорят, подводить к
транспортируемой среде внешнюю энергию, мощность кото¬
рой обозначим .Пусть индекс I в уравнении Бернуллй (1.14) относится к
сечению х, входа в насос (сечение всасывания), а индекс 2 - к
сечению Х2 выхода из насоса (сечения нагнетания). Учитывая,
что pvS = const., уравнение Бернулли в соответствии с (1.14)
можно записать в следующем виде:VddxpvS-V\Р——ь—+ gzумех.Пренебрегая разностью скоростных и геометрических напо¬
ров, получаем:pvSР2-Р1n->^-pSdx = N„.,.(1.21)N.Первое слагаемое в левой части уравнения (1.21) дает по¬
лезную мощность насоса, мощность, затрачиваемую соб¬
ственно на перекачку, т.е. на перемещение частиц жидкости от
сечения всасывания к сечению нагнетания с массовым расхо¬
дом M=pvS = pQ (Q- объемный расход, v^fc). Обозначая39
(p2-pi)/pg через ДН - дифференциальный напор насоса, T.t.
напор, создаваемый насосом, получаем:=pgQAH.(1.22)Второе слагаемое в левой части (1.21) дает потерюмощности насоса из-за перехода механической энергии в теп¬
ло, т.е. секундную работу сил вязкого трения внутри насоса на
пути перемещения жидкости от сечения всасывания к сечению
нагнетания. Здесь п*"^ - удельная мощность, теряемая внутри
насоса. Поскольку то >0, следовательно,. Потери мощности в насосе зависят от конструк¬
ции насоса и объемного расхода Q транспортируемой среды.Если ввести коэффициент г| полезного действия насоса
согласно формуле =Л'^мех > то для этого коэффициента
получим выражениеЛ =1-(Q)\ -Qg-ДНSdxтогда(1.23)Равенство (1-23) служит для вычисления мощности
[Дж/с^ Вт) насоса, создающего напор ДН, при пере¬
качке жидкости с расходом Q. Для современных нефтяных
насосов ti(Q„^„)» 0,82-0,85, где - номинальная подача
данного насоса, т.е. расход при работе насоса в режиме макси¬
мального к.п.д.40
Подвол внешней энергии к транспортируемому газу
(компрессоры и компрессорные станции)При течении в трубопроводе сжимаемого газа напор (и
давление) так же, как и при течении капельной жидкости,
уменьшается, поэтому для его поднятия необходимы источни¬
ки внешней энергии. При транспортировке газа устройствами,
подводящими энергию к транспортируемой среде, являются
компрессоры, точнее, группы компрессоров, соединенные по¬
следовательно или параллельно и образующие компрессорные
станции (КС). Компрессоры - это устройства для принуди¬
тельного перемещения газа от сечения входа с меиьихи.м дав¬
лением к сечению выхода с бопьшим давлением.Обычно каждый газоперекачивающий агрегат (ГПЛ) со¬
стоит из привода (в качестве которого используются либо га¬
зотурбинная установка, либо газомоторный двигатель, либо
электродвигатель) и нагнетателя, в котором, собственно го¬
воря, и происходит повышение давления от меньшего значе¬
ния р^ до большего значения р^, причем отношение~Рг./р. называют степенью сжатия газа.Если пренебречь разностью скоростных напоров и разно¬
стью высотных отметок входа и выхода из газового нагнетате¬
ля и считать транспортируемый газ совершенным, то уравне¬
ние Бернулли, записанное для участка газопровода между се¬
чениями X, 3 Xg входа в газовый нагнетатель и Xjsx^ выхо¬
да из него, согласно (1.17) и (1.20), имеет вид:•тИ/ NXi1Рн.Тр.чРь уX.--Nмех.N...Здесь принято, что р^ s р^.41
Поскольку, однако, природный газ не является совершен¬
ным (см. п. 2.2 гл. 2), то уравнение его адиабаты отличается от
уравнения p/pp=(p/pj)’ классической адиабаты Пуассона,
где У = Ум„ =Cp/Cv . В инженерных расч^ах уравнение адиа¬
баты реапьного газа также записывают в виде степенной за¬
висимости р/ро = (p/Pd)'” , внешне похожей на адиабату Пуас¬
сона, но отличающейся от нее показателем m степени
(т ^ ), см. гл. 5, Эту зависимость называют поттропиче-
ской. ТогдаМmР. т-1.Р.;m~1= Nмех.в такой зависимости можно учесть также возможно имею¬
щийся теплообмен газа с нагнетательным оборудованием.Учитывая, что Ms=p^v,S = p^v„S, р„/р., = , получаем
формулу для мощности NмехN«x =mp»Q.тг-iС fn-1(1.24)где Q, = v,S - объемный расход газа на входе в нагнетатель.
Формула (1-24) служит для вычисления мощности
{Дж!с = Вт) нагнетателя, развивающего степень сжатия=Р||/Р. при объемном расходе Q,, рассчитанном по ус¬
ловиям входа газа в нагнетатель.42
Потери механической энергии в трубопроводе
(гидравлические потери)Входящая в уравнения (1.17)-(1Л9) величина п • <0
обозначает удельную, т.е. рассчиташгую на единицу массы
транспортируемой среды, мощность сил внутреннего 1рения.
Эта величина весьма существенна для процесса транспорти¬
ровки, поскольку именно она характеризует потери механиче¬
ской энергии, переходящей в тепло из-за работы внутреннего
трения слоев транспортируемой среды друг о друга. Для того
чтобы рассчитать эту величину теоретическим путем, необхо¬
димо знать, как движутся слои транспортируемой среды в ка¬
ждом сечении трубопровода, однако сделать это удается дале¬
ко не всегда. В следующей главе будет показано, что в некото¬
рых случаях, в частности для ламинарных течений, такое дви¬
жение удается рассчитать, тогда определяется и величина
. В других же случаях, прежде всего при турбулентных
течениях транспортируемой среды, полную картину течения
найти не удается, поэтому требуются иные методы определе¬
ния .Величина удельной диссипации механической энергии
п*"" имеет, согласно (1.17), следующую размерность (размер¬
ность обозначается символом [ ]);пвнутг 1 L LVт.е. размерность п • совпадает с размерностью величиныV Vd , поэтому, не нарушая общности, можно записать:п•нут X v'1 d ’(1.25)43
где введен некоторый безразмерный коэффициент X (>.>0),
знак минус показывает, что <0, т.е. механическая энер¬
гия за счет сил внутреннего трения убывает, а множитель 1/2
использован для удобства. Заметим, что данное представление
не нарушает общности, поскольку коэффициент X не считает¬
ся постоянным и зависимость от определяющих пара¬
метров остается произвольной; она содержится во введенном
коэффициенте X.Зависимость (1.25) справедлива для любой среды, будь то
жидкость или газ или какая-либо иная среда со сложными
специфическими свойствами, например нефть с высоким
содержанием парафина, суспензия или даже пульпа, т.е. с.месь
воды с крупными твердыми частицами.Для стационарного течения жидкости (или газа) можно
предположить, что безразмерный коэффициент X зависит от
четырех основных параметров; V- скорости течения (м/с);
V- кинематической вязкости (м^/с); р- плотности (кг/м^);
d - внутреннего диаметра трубопровода (м); Д - абсолютной
эквивалентной шероховатости его внутренней поверхности
(мм), т.е. X = f(v,v,p,d,A). В эту зависимость не включено ус¬
корение силы тяжести g, поскольку предполагается, что поте¬
ри механической энергии в однородной среде, полностью за¬
полняющей сечение трубопровода, не зависят от сил гравита¬
ции [11].Поскольку величина X является безразмерной, т.е. ее чис¬
ленное значение не зависит от выбора системы единиц изме¬
рения, в то время как параметры v,v.p,d,A являются размер¬
ными величинами и, следовательно, их численные значения
зависят от такого выбора. Кажущееся противоречие разрешает
известная П-теоре.ма Букингема, утверждающая, что безраз¬
мерная величина (в данном случае ?.) может зависеть только44
от безразмерных комбинащ1й параметров, определяющих эту
величину. В данном случае таких параметров два:v-d „ Д
= Ке и — = е .V dПервый из них называется числом Рейнольдса', второй - отно¬
сительной эквг4ва.1ентиой шероховатостью внутренней по¬
верхности трубопровода. Кроме того, плотность р среды,
имеющая в своей размерности массу, не может входить в рас*
сматриваемую зависимость. Таким образом A. = >.(Re,e), и
формула (1.24) приобретает вид;(1.26)Коэффициент Х, входящий в эту формулу, называется ко-
оффициеитом гидравлического сопротивления, который явля¬
ется одним из важнейших параметров гидравлики и трубопро¬
водного транспорта. Характерные значения коэффициента
гидравлического сопротивления X в трубопроводах составля¬
ют величины 0,01 0,03; более подробно о его зависимости
от определяющих параметров будет сказано ниже.Переходя к гидравлическому уклону /. можно записать1= (1.27)gv d 2gЕсли подставить выражение (1.27) в уравнение Бернулли(1.19), получим.45
I 2g pg2g pg(1.28)Выражение h, =X-/,_,/d-v^/2g, стоящее в правой части этогоуравнения, называется потерей напора в форме Дарси-
Вейсбаха.Уравнение изменение кинетической энергии
внутреннего движения транспортируемой средыВ начале этого раздела отмечалось, что полная кинетиче¬
ская энергия a,pv‘/2 подвижного объема транспортируемой
среды складывается из двух составляющих: кинетической
энергии pv^/2 пост>'пательного движения (движения вместе с
центром масс подвижного объема) и кинетической энергии
(a,-l)pvV2 внутреннего движения (движения частиц, со¬
ставляющих подвижный объем, относительно его центра масс)
так* чтоКНН2 2 ■ 2Получим выражение для второй составляющей кинетиче¬
ской энергии, а именно для кинетической энергии внутреннего
движения транспортируемой среды. Умножая уравнение
{l. 11') движения жидкости на скорость v, получаемpSdt^-vS--^T^.vS-pgvS~
5х О ах46
Вычитая полученное уравнение из уравнения (1.15) Бернулли,
находим:£dtК-1)4 тd рНаконец, заменив п‘"^ его выражением - gv/, имеем;£dtк-1)^/4-W -g./
р(1.29)Таким образом, получено уравнение для изменения кинетиче¬
ской энергии внутреннего движения в одномерном потоке сре¬
ды, транспортируемой в трубопроводе.Рассмотрим случаи установившегося и неустановившегося
течения транспортируемой среды.. Для установившегося течения (д/д1=0) полная произ¬
водная d/dt по времени равна v ■ dv/dx, поэтому из уравнения
(1.29) находим;dx4 XWd р-g-/(1.30)Если V = const,, то левая часть уравнения равна нулю, по¬
этому существует связь между касательным напряжением
трения на стенках трубопровода и гидравлическим уклоном i.
Эта связь имеет вид:=pedI .(1.31)47
Если в формулу (1.31) подставить выражение (1.27) гид¬
равлического уклона, получим представление касательного
напряжения трения на внутренней поверхности трубопро¬
вода:pgd . _ pgd1 V2 Лd2gJ^ 2
— PV,T.e.=T-pv •8(1,32)2. Для неустановившегося течения транспортируемой сре¬
ды связь (1.32) между величинами х, и i является прибли¬
женной. Считая в формуле (1.29) коэффициент const.,
имеем;/ Л dv 4
p(«K-U'-r=-r'Tw-pg’'илиdt d/ X dv 4 1pK -1 •:r=T^w -pg-^-TT"
dl d d 2gОтсюда следует:4= -X1 pvd 2p(“k-0dvdt(1.33)Таким образом, при неустановившемся течении транспорти¬
руемой среды на жидкость действует дополнительная сила,
пропорциональная ускорению: -р(«, -l)-dv/dt.48
Если подставить (1.33) в уравнение (ЫГ) движения, то
получим;(1.34)гле = p(ct, ~l)- присоединенная плотность. Это уравне¬
ние совпадает по виду с уравнением (ЫГ), если только силу
инерции рассчитывать не по истинной плотности р, а по не¬
которой измененной плотности p + p„p^c >Р^ иными словами,среда становится более инерционной в реакциях на изменение
ее скорости, Итак, в неустановившихся течениях возникает
эффект присоединенных масс. Поскольку, однако, в развитых
турбулентных течениях коэффициент а. весьма близок к 1, то
присоединенная плотность, как правило, невелика, т.е.
Рлрис Р» поэтому ею часто пренебрегают.Формулы для расчета коэффициента ?t.(Re,c)Подробно о методах нахождения и расчете коэффициента
гидравлического сопротивления, входящего в форму¬
лы (1.26)-(1.32) и являющегося одним из основных коэффици¬
ентов гидравлики и теории трубопроводного транспорта, будет
сказано в гл. 3. Здесь же приведем некоторые формулы, кото¬
рые используются для практических расчетов.Если течение жидкости (или газа) в трубопроводе - лами¬
нарное, т.е. струйное, послойное (для этого число Рейнольдса
Re должно быть меньше 2300), то для вычисления X исполь¬
зуется формула Стокса (Джордж Г. Стокс (1819-1903) - анг¬
лийский физик и математик):49
(1.35)По мере увеличения числа Рейнольдса (Re > 2300) тече¬
ние жидкости в трубопроводе постепенно теряет гидродина¬
мическую устойчивость и переходит в турбулентное, т.е. с
вихрями и перемешивающимися слоями. Наиболее известной
формулой для расчета коэффициента X в этом случае является
формула А.Д. Альтшуля:(1.36)справедливая для весьма широкого диапазона чисел Рейнольд¬
са, начиная от 10^ до 1 О* и выше.Если 10^ < Re < 27/е' '‘‘^ и Re < 10\ то первым слагаемым
в формуле Альтшуля можно пренебрегать по сравнению со
вторым слагаемым и использовать для расчета X более про¬
стую формулу Блазиуса:(1.37)Эта формула имеет ту характерную особенность, что в нее так
же, как и в формулу (1.35) Стокса, не входит величина е отно¬
сительной шероховатости внутренней поверхности трубопро¬
вода. Последнее означает, что в рассматриваемом диапазоне
чисел Рейнольдса трубопровод ведет себя как ^падкий, поэто¬
му течение жидкости в этом диапазоне называют даже течени¬
ем в гидравлически гладкой трубе.Величина касательного напряжения трения на внут¬
ренней поверхности трубы, представляемая формулой (1.37)50
"К 2 0,04 2 \ 75'““s'''''показывает, что сопротивление трения пропорционально
средней скорости жидкости в степени 1,75.Если Re > 500/б, то в формуле (1.36) Альтшуля можно
пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым и ис¬
пользовать более простую формулу ШифринсонаХ*0Л1-80.25(1.38)Отсюда следует, что при “больших” скоростях течения трение
жидкости определяется главным образом гладкостью внутрен¬
ней поверхности трубопровода, то есть параметром е.Величина касательного напряжения трения на внут¬
ренней поверхности трубы, представляемая формулой (1.38)=~ pv^ = 0,014 - pv^ W ,
8показывает, что сопротивление трения пропорционально квад¬
рату средней скорости жидкости, из-за чего рассматриваемый
режим течения называют квадратичным.Наконец, в области перехода течения от ламинарного к
турбулентному, то есть в диапазоне чисел Рейнольдса от 2300
до 10**, можно использовать аппроксимационную формулу
Вуллиса-Гинзбурга [5(1.39)51
в которой у_ = 12300)_ перемежаемо¬сти [4], Очевидно, что устройство последней формулы обес¬
печивает непрерывный переход от формулы Стокса для лами¬
нарного течения к формуле Блазиуса для турбулентного режи¬
ма в зоне гидравлически гладких труб.Для расчета коэффициента гидравлического сопротивле¬
ния X при течении газа в магистральных газопроводах (где
числа Re весьма велики и этот коэффициент зависит только
от состояния внутренней поверхности трубопровода) часто
используется опытная формула института ВНИИГаз;X = 0.067-1 d у(1.40)где абсолютная эквивалентная шероховатость Д составляет
величину Я5 0,03 ^ 0,05 мм.Упражнения.1- Нефть (р = 870 кг/м^, v = 15 сСт) течет по трубопроводу
(D = 156 мм; 5 = 5 мм; Д = 0,1мм) со средней скоростьюV = 0.2 м/с. Определить по критерию Рейнольдса режим тече¬
ния; вычислить коэффициенты X и С^.Ответ. Ламинарный; 0,033; 0,0083.2. Бензин (р = 750 кг/м^, v = 0,7 сСт) течет по трубопро¬
воду (D=377 мм; 5 = 7 мм; Д = 0,15мм) со средней скоро¬
стью V = 1,4 м/с. Определить по критерию Рейнольдса режим
течения; вычислить коэффициенты X и С,..Ответ. Турбулентный; 0,017; 0,0041.3. Дизельное топливо (р = 840 кг/м^, v = 6 сСт) течет по
трубопроводу (D = 530 мм; 5 = 8 мм; Д = 0,25 мм) со средней
скоростью V = 0,8 м/с, Определить режим течения; вычислить
коэффициенты X. и С,-.Ответ. Турбулентный; 0,022; 0,0054.52
1.6. Закон изменения полной энергииПомимо закона (1.13) об изменении механической энергии
системы материальных точек, примененного нами к произ¬
вольному объему транспортируемой среды в грубопроволе,
существует еще один фундаментальный закон физики, спра¬
ведливый для любого тела - это закон сохранения полной энер¬
гии или, как его еще называют, первое начало термодинамики.
Этот закон утверждает, что энергия ни откуда не появляется и
никуда не исчезает, а переходит в полном количестве из одной
формы в другую. Применительно к нашему случаю, этот закон
можно записать в следующем виде;dt')х,(0+ е2\pS{x,t)ddqвп«ш.dt-f-dAвнсшdt(1.41)т.е. изменение полной энергии (Е,„„+Е,„у,) произвольногообъема транспортируемой среды происходит только за счет
обмена энергией с окружающими телами, т.е. за счет внешнего
притока dq®"'“ тепла и работы dA*"*"" внешних силВ формуле (1.41) е,„,, - это внутренняя энергия единицымассы транспортируемой среды, не отнесенная ранее к кине¬
тической энергии. Эта энергия есть энергия теплового движе¬
ния молекул среды, энергия хи.мических и атомных связей и
т.п. в термодинамике приводятся соображения, почему внут¬
ренняя энергия является функцией состояния, т.е. почему при
термодинамическом равновесии тела в некотором состоянии
энергия имеет строго определенное значение, независимое от
способа (процесса), каким это состояние было достигнуто. В53
то же время величины dq’^^'/dt и dA“*“/dt в общем случае
не являются производными от каких-либо функций состояния,
а представляют собой лишь отношение элементарных прито¬
ков тепловой энергии (дифференциал dq®"*“ ) и внешней меха¬
нической энергии (дифференциал dA""'*") ко времени dt, за
которое эти притоки произошли. Эти величины зависят от
прогресса, происходящего со средой,Обратимся к уравнению (1.41) и дадим выражения для
внешних притоков энергии, стоящих в его правой части. Бу¬
дем считать, что приток dq""'" тепловой энергии к транспор¬
тируемой в трубопроводе частице происходит только за счет
обмена теплом через поверхность трубы, рис. 1.6.q„-nddxРис. 1.6. Поток тепла через элемент поверхности трубыПриток dq*’''^ внешнего тепла через поверхность трубо
провода можно представить в виде интеграла:dqвнешо7id'q„dx-dt,Огде q„ - поток тепла (Вт/м^), проходящий через единицу
площади поверхности трубопровода в единицу времени;54
nd-dx- элемент площади поверхности трубопровода; d-
внутренний диаметр трубопровода.Приток энергии за счет работы внешних силвключает несколько составляющих. Во-первых, это работа
dAp сил давления на торцах выделенного элемента транспор¬
тируемой среды:dAp = [(pS ■ v), - (pS - v)^ ]dt = - ~{pSv)dx ■ dt;во-вторых, это работа dA^ сил трения на внутренней по¬
верхности трубы, однако, dA„ =0, поскольку силы трения
есть, но скорость транспортируемой среды на внутренней по¬
верхности трубы равна О, следовательно, равна О и работа этих
сил;в-третьих, это работа dA^ сил тяжести:dA,=-О^•pgsina-Sdx = “ Jgsina'pvSdx*dt;’‘((О • 'j(0наконец^ это работа dA^„ внешних механических сил, пе¬
редаваемая рассматриваемому элементу сторонними устройст¬
вами, если в пределах этого элемента осуществляется подвод
внешней энергии:dA = N • dt.мелСобрав все члены вместе и подставив их в исходное урав¬
нение (1.41), после деления на dt получим:55
_ddta,v• + e
2pSdx»,(0дк—-pvSЧ>‘г(0дс1-д„ах-t)dx -gsina - pvSdx + .i)Используя правило (1.6) дифференцирования интеграль¬
ного количества по времени, получаем;*.(t)r’l£at/ ?
a V
~—h e2 >нут= Мяп^х-'f(0pSв^ дк1 01аГрЛ)Чр'' 2— he2pvSdx =dzdx- f pvSg—dx + Nили♦£< 1 >psа[|>at^ »мут< ^ )ах\a,v ppjpvS>dx =хИОJ')IX.({)(1.42)= Jjid’q„dx- J pvSg-^dx + N^,,.•’ •’ dxЕсли предположить даЛее, что в пределах рассматривае¬
мого объема X|(t),X2(t) внешние источники механической
энергии отсутствуют, т.е. = О, то можно перейти от инте¬
грального равенства (1.42) к дифференциальному уравнению.
Для этого используем, как это делалось выше, условие, со¬
гласно которому полученное уравнение справедливо для л/обо-
го объема транспортируемой среды, т.е. пределы X|(t) и x,(t)56
интегрирования в (1.42) произвольны. Тогда знак интеграла
можно опустить и перейти к дифференциальному уравнению:£дхa,.v'—ь he2 “'У''"МИ уд•pS+—Эх^ V= nd’q„-pvS-g-^.dxa,v' р——he + —А ^аиуг.•у 'J уpvS(1.43)Уравнение (1.43) представляет собой закон изменения полной
энергии транспортируемой среды, Заметим, что в круглых
скобках во втором члене левой части уравнения стоит неудельная внутренняя энергия еенут.среды, а функцияJ = e,„^T +Р/Р’ называемая }'де'7ьн<эйэн^а.7ьт/ей.Уравнение изменения энергии при транспортировкекапельной жидкостиЕсли речь идет о транспортировке капельной жидкости
(нефти или нефтепродуктов), т.е. среды слабо сжимаемой, то
удобно из уравнения (1.43) полной энергии исключить изме¬
нение кинетической энергии jl с помощью уравнения
(1.15)+ Vбхa„v+fdp+ gz= n“^.Умножив обе части этого уравнения на pS и учитывая, что
= -gv•/, получим„.ня 57
£etdx.^^pvS„ 1 9p p dz ^ .= -pSv ~ pSv ■ g pSvg ■ Ip 3x dxВычитая пол)'ченное уравнение из уравнения (1.43) полной
энергии, приходим к уравнению^ кнут ■ps)+~(e,„^. ■pvs)=nd q„ -p^ + pSvg'i. (1.44)адкЭто уравнение называется уравнением притока тепла, по¬
скольку из него исключена кинетическая энергия движущейся
среды и осталась только внутренняя энергия.Поскольку справедливо преобразованиед
dt(wps)+^(e.K^ -pvs)=/енут.дкН“ pSЭе5е.diдк_ ПspSdtгде выражение в скобке равно О в силу уравнения (1.8) нераз¬
рывности, уравнение (1.44) можно записать в форме:^ de_ , dvS ^pS —^ _ р. + pvSg • I.dt ox(1.45)В этой форме уравнение притока тепла особенно удобно при¬
менять к течениям капельной жидкости, т.е. несжимаемой или
слабо сжимаемой среды, поскольку проичводная 5(vS)/5x,выражающая изменение удельного объема этой среды, крайне
мала, как мала и совершаемая при этом работа p'5(vS)/3x58
сил сжатия (расширения). Если пренебречь этой работой, то,
разделив обе части последнего уравнения на плошадь
S = 7idY4, уравнение притока тепла к несжимаемой или слабо
сжимаемой жидкости можно представить в виде:4Р—+pvg’/
dt dили с учетом (1.27):(1.46)Это уравнение означает, что скорость изменения внутренней
энергии капельной (т.е. иесжимаемой или слабо сжимаемой
среды) определяется теплообменом с окружающей средой и
выделением тепла за счет сил внутреннего трения.Уравнение изменения энергии
при транспортировке сжимаемого газаЕсли речь идет о транспортировке сжимаемой среды (на¬
пример, газа), то работой сил сжатия (расширения) пренебре¬
гать нельзя, поэтому удобно использовать уравнение (1.43)
полной энергии, записав его в следующей форме:адк/ч"р.JpvS=ndq„-pS’dt+gz, (1.47)59
где J = + p/p - удельная энтальпия газа (Дж/кг). В общем
случае удельная внутренняя энергия газа является функ¬
цией температуры и удельного объема (плотности), те.
®»нут “ ®«д>т (Т.р). причем производная /эт)„ = с,(Дж/к^-К) называется теплоемкостью газа при постоянном
объеме.Во многих случаях для относительно «легкого» газа мож¬
но пренебречь изменение.ч кинетической энергии потока и
работой сил тяжести, т.е, последним слагаемым в правой части
уравнения (1.47). Тогда уравнение энергии для транспорти¬
руемого газа упрощается и принимает вид;(1.48)Заметим, что в отличие от уравнения (1.46) в уравнение (1.48)
не входит диссипация механической энергии.1.7. Распределение температуры в трубопроводе
при стационарном теченииУравнения притока тепла для капельной жидкости в фор¬
ме (1.46) и уравнение полной энергии для газа в форме (1.47)
или в частном случае в форме (1.48), удобны для нахождения
распределения температуру транспортируемой среды по дли¬
не трубопровода в установившемся течении.1. Для установившегося течения несжимаемой или слабо
сжимаемой жидкости (например, воды, нефти или нефтепро¬
дуктов) уравнение (1.46) имеет вид:60
4 , I pv’ ,, ...pv—^ = . (1,49)dx d d 2Удельная внутренняя энергия жидкостей зависит,главным образом, от температуры Т. Если принять, что
= Су « const., то е,,„ = Су -Т + consi.Для удельного теплового потока q ^, отражающего тепло¬
обмен транспортируемой жидкости с окружающей средой, как
правило, используется формула Ньютона(1.50)Эта формула утверждает, что удельный поток тепла пропор¬
ционален разности температур Т и внутри и вне трубо¬
провода, причем если Т > , то q „ < О, если Т < , тоq „> О . Коэффициент Ку, Вт/(м'-к), характеризует суммар¬
ное тепловое сопротивление тех слоев и материалов, через
которые тепло передается от жидкости в трубопроводе к ок¬
ружающей среде или наоборот. Этот коэффициент называется
коэффициентом теплопередачи.С учетом принятых допущений уравнение (1.49) сводится
к одному обыкновенному дифференциальному уравнениюdT 4Кт ^ N , 1 pv^
pCyV-~-—(1.51)dx d d 2для температуры Т = Т(х).Из уравнения (1.51), в частности, следует, что теплопере¬
дача через стенки трубопровода (первый член в правой части)
уменьшает температуру транспортируемой среды, если61
T(x)>T^jp , или увеличивает ее, если Т{х)<Т„^ , в то времякак диссипация механической энергии (второй член в правой
части) всегда ведет к увеличению температуры транспорти¬
руемой среды.Если принять, что ^ сот!., ^ const, и, дополни¬
тельно /% SK const., то решение уравнения (1.51) с началь¬
ным условием Т(0) = Т„ можно записать в виде(1.52)Здесь Tg=Xpv^/8K.^ некоторая постоянная величина, имею-Iщая размерность температуры; М = pvS - массовый расходжидкости (М = const-). Полученная формула носит имя вы¬
дающегося инженера и ученого В.Г. Шухова (1853-1939).На рис. 1.7 представлена зависимость распределения Т(х)температуры среды по длине х участка трубопровода соглас¬
но (1.52).Рис. 1.7. Распределение температуры по длине трубопровода62
Из рисунка видно, что если начальная температура Тд
среды была больше величины (Т^^р +Tg,), то при движении сре¬
да охлаждается, а если Т,, была мрньше, чем (т^,р +Т^), тосреда постепенно нагревается. Во всех случаях с увеличением
расстояния: Т -» (i;^ + Т^).2. Для установившегося течения сжимаемого газа исполь¬
зуется уравнение (1.47) изменения полной энергииpvS'мdx6HVT\= -nd.K,(T-Tj-pvS.мdx+gzугде pvS = М = - массовый расход газа. Энтальпия J яв¬
ляется термодинамическим потенциалом, ее сопряженными
переменными служат давление р и температура Т. Инымисловами, J = J(p,T), поэтому уравнение полной энергии можно
записать через производные (dJ/dT) и (dJ/dp)j:ат£Гdx+чфуdp_ ltd-КгdxМdxa,v+gz-ср.Здесь введены обозначения: (Ш/5Т)р = Ср(р,Т)- теплоем¬
кость газа при постоянном daeieiiuu; для природного газа
Ср = 2500Дж/(кг-К.); (aj/ф)^ =-Ср(р,Т)-Б., где 0.(р,Т}-некоторая функция от р и Т, называемая коэффициентом
Джоуля-Томсона (К/МПа); D, «3 -^5 К/МПа (см. табл. 5.2).63
с учетом принятых обозначений уравнение изменения
полной энергии приобретает следующий вид:dxСрМdx Ср dxa„v‘I 2g+z. (1.53)Из полученного уравнения следует, что изменение темпе¬
ратуры в установившемся течении газа определяется следую¬
щими 4-мя факторами:nd'K^ / \j- теплоооменом с окружаю¬щей средой;С,М1 dэнергии;Ср dxg dz
С, dxк- изменением кинетическои\/~ изменением потенциальной энергии засчет изменения высотных отметок профиля трубопровода;• D.—- изменением давления (эффект Джоуля-
dxТомсона). Если D. >0, газ охлаждается при уменьшении пу¬
тевого давления (т.е. при dp/dx < 0) и нагревается при увели¬
чении путевого давления (т.е. при dp/dx > О).Оценим на числовых примерах роль каждого фактора. Для
этого уравнение (1.53) запишем в приращениях:)■ Ах + D. ■ Др-1/С,м“kV^A(gz).64
Примем следующие характерные значения определяющих па¬
раметров: d=l,0 м, Ср »2500Дм9'(к?’К), =5-Вт/(м--к),=10-К, Др = -2,5-МПа, М=250кг/с,Vkoh=15'I^c, Дх=100-км = 10^ м, Az = ±200’M, а, si,035,
D. =3,0-К/МПа, Тогда основные факторы дают следующий
вклад в изменение температуры;теплообмен с окружающей средой:V «р/ 2500'250с,мизменение кинетическои энергии'.]'' 2 '
a.v^ 1_ 1,035-(l 5- -5^)^2500= -0,04 ■ К ;изменение потенциальной энергии:~Дgz9 81’^00
= Т ’ =+0,8-К;
2500изменение давления (эффект Джоуля-Томсона):D. • Др = 3 • 10"^ • (- 2,5 -10^)= -7,5 • К.Из приведенных оценок видно, что основным фактором,
влияющим на изменение температ>’ры газа при его движении в
трубопроводе, является теплообмен с окружающей средой,
другие факторы дают сопоставимые вклады, однако, меньшие,
чем тешюобмен. Практически всегда пренебрежимо мало
влияние изменения кинетической энергии газового потока (ес¬
ли, конечно, речь не идет об ускорении газа до звуковых ско¬
ростей, например, при истечении газа из трубопровода).В тех случаях, когда теплообмен газа с окружающей сре¬
дой мал, как, например, в случаях хорошей тепловой изоляции
(малые значения коэффициента К^) или малом различии
Т - температур газа и окружающей среды, тогда на пер¬65
вый план выходят дру1'ие факторы. Если разность Az высот¬
ных отметок профиля трубопровода велика (как, напрнмер, в
газопроводах, преодолевающих горные перевалы или проло¬
женных по дну глубоководных морей) эффект изменения по¬
тенциальной энергии в совокупности с эффектом Джоуля-
Томсона могут дать существенный вклад в изменение темпе¬
ратуры или даже стать его основными факторами.Удельная внутренняя энергия е,„^, газа так же, как эн¬
тальпия J газа, является функцией состояния (т.е, термодина¬
мическим потенциалом). В общем случае е,„у^ =е^,^, (Т,р) за¬
висит от температуры Т газа и его плотности р; температура
газа характеризует кинетическую энергию движения молекул,
плотность - потенциальную энергаю их взаимодействия.Теплоемкости и газа соответственно при постоян¬
ном объеме и давлении, а также коэффициент D. Джоуля-
Томсона могут быть представлены следующими формулами:С,(р,Т) =У,сЛр,т)=довнут.сТD.(p,T)=с,(р,т)1ф.т^•нутдрУтф! . (^р/р+Ур \(1.54)Если термодинамические процессы, происходящие с га¬
зом, считать обратимыми, то функции, входящие в (1.54),
можно выразить черег уравнение состояния газа, т.е. зависи¬
мость F(p,T,p)=0, существующую между параметрами газа в
равновесном состоянии (см. гл. 2). Покажем, как это делается.66
1, Сначала вычислим производную (Эе,„^/9р)^. Уравне¬
ние У-го начала термодинамики имеет вид:dVT.=T'ds-pclu,где S - энтропия газа; и = 1/р - удельный объем. Справедливы
следующие преобразования:dp,V^l = %^dT-~^dp.T , T' p'T ^\1оскольку левая часть последнего уравнения является полным
дифференциалом функции s-e,„y^/T состояния, то должныбыть равны перекрестные производныеЭр^ ч
^9НУХду \РV J
\ /т ^. P^tJОтсюда находим:Т‘• HVT.-Li.р' гг•кутгТ2 J\JT''оилир-т(фт(1.55)67
Подставляя полученное выражение в (1.54), получаем
формулу связи теплоемкостей С„ и реального газа:— Су +p~T(ap/gT)^pp> /gp/рчат,.ч дТJ(др^ррр>тf 5р'1ат,с р'[ffTj[cTTjо^arjили(1.56)Для так называемого совершенного газа, для которого
справедлива связь p = pRT (см. гл. 2), где R- газовая посто¬
янная, выражение (1.55) дает:р-т(эр/эт)р _ p-T-pR _ р-р ^/л \»HVr5е,sO.Это означает, что удельная внутренняя энергия совершенного
газа зависит только от температуры = е,,,^,. (Т) и не за¬
висит от плотности. Кроме того, для совершенного газа из(1.56) следует известная формула Майера:= pR,Рр pRT р .(ffV)р RT? Т ’Ср-С,=pRCp-C,=R. (1.57)68
2. Вычислим теперь производную (Ш/5р)^. Из уравнения
de =Tds-pdu имеем:е..,- Tds + —dpds - ~dJ —^-dp
T pT ^jилиs-- -Jd dpT pTs TЧ ‘ /^ AT ^ A= —^dT dpT' pTПоскольку левая часть последнего уравнения является полным
дифференциалом функции s - J/T состояния, то должны быть
равны перекрестные производныеарJуТ//тат1Отсюда находим;1 дчФЛ(рт\др\ г /= р+Тлтчат,или[дрр + Т(Эр/ЭТ'\(1.58)Подставляя (1.58) в выражение коэффициента D.(p,T) Джоуля-
Томсона из (1.54), получаем;(1,59)69
Для совершенного газа р = pRT, поэтому имеем:р + Тар1атNJ/= р+ТлRTsOЁ.удр\sO,Это означает, что D.(p,T)sO, т.е. эффект Джоуля-Томсона в
совершенном газе отсутствует.Упрощенная формула для распределения температуры по
длине участка газопровода. Если в расчетах изменения темпе¬
ратуры газа по длине газопровода допустимо ограничиться
одним только теплообменом, т.е. пренебречь остальными фак¬
торами, то из (1.53) следует дифференциальное уравнениеdxСрМ(1,60)Принимал теплоемкость С^, и коэффициент теплопереда*чи постоянными, получаем решение уравнения (1.59) с на¬
чальным условием Т(0) = Т(,:(1.61)Внешне это выражение похоже на решение (1.52) для капель¬
ной жидкости, однако отличается от него тем, что в дроби под
знаком экспоненты стоит теплоемкость Ср газа при постоян-%ном давлении, а не теплоемкость при постоянном объеме.
Кроме того, в решении (1.60) в явном виде не присутствует
диссипация механической энергии; в совокупности с работой
сил сжатия (расширения) она учтена тем, что в уравнение во¬
шла теплоемкость Ср.70
Глава 2МОДЕЛИ ТРАНСПОРТИРУЕМЫХ СРЕД
И ТРУБОПРОВОДОВАлгебраические соотношения, связывающие между собой
параметры транспортируемой среды - плотность, давление,
температуру и т.п., называют ураенеш1ями состояния. Каждое
из таких соотношений представляет определенную схематиза¬
цию свойств рассматриваемой среды и поэтому о нем можно
говорить лишь как о модели дайной среды.2.1. Модели жидкостиПод жидкостью понимается сплошная среда, у которой в
состоянии покоя взаимодействие контактирующих друг с дру¬
гом частей сводится только к сжимающим силам давления,
рис. 2.1.Рис. 2.1. Схема силовых взаимодействий в жидкостиЕсли частицы жидкости взаимодействуют вдоль элемен¬
тарной площадки do с нормалью ii, то сила dF^, с которой
частицы жидкости, находящиеся на одной стороне площадки,
действуют на частицы жидкости, находящиеся на другой ее
стороне, пропорциональна площади da, направлена по нор¬
мали к ней и оказывает на них сжимающее воздействие, т.е.71
dF^=-pnda, (2.1)где n - единичный вектор нормали к выбранной площадке.При этом модуль р этой силы не зависит от ориента1хин пло¬
щадки и называется давлением. Таким образом, р= dF„/doОтсутствие в состоянии покоя касательных сил трения моде¬
лирует тот факт, что жидкость принимает форму того сосуда,
в который она налита.Дальнейшая классификация жидкостей происходит в зави¬
симости от того, учитываются или не учитьгааются касательные
силы трения при возникновении течения. Здесь известны zibc
модели; модель идеачыюй и модель вязкой жидкостей.Идеальная и вязкая жидкостиВ модели идеальной жидкости считается, что касательные
силы трения между частицами, разделенными площадкой, от¬
сутствуют и при ее течеггии, а не только в состоянии покоя. Та¬
кая схематизация жидкости (а точнее, ее модель) окачь!вается
весьма полезной в тех случаях, когда касательные составляющие
сил взаимодействия (силы трения) много меньше их нормаль¬
ных составляющих (сил давления). В других же случаях, когда
силы трения сопоставимы с силами давления или даже превос¬
ходят их, модель идеальной жидкости оказывается непримени¬
мой. Таким образом, для идеальной жидкости формула (2.1)
справедлива как в состоянии покоя, так и при движении.В модели вязкой жидкости учитьшаются силы трения меж¬
ду слоями жидкости, возникающие при ее течении. Например,
на рис. 2.2 изображено чисто сдвиговое течение жидкости, в ко¬
тором скорость иДу) зависит только от одной координаты у,
перпендикулярной направлению течения. В сдвиговом течении
слои жидкости, находящиеся дальше от стенки 7 = 0, опере¬
жают слои жидкости, расположенные ближе к стенке. Каса¬72
тельное напряжение определяется как отношение проекциисилы трения между слоями жидкости, разделенными площад¬
кой da с нормалью , на ось х, к площади этой площадки:. _ сила' трения (M'L/T-)_ м
площадь L’ L-T^В системе СИ касательное напряжение измеряется в Па илив Н/м^ : 1 • Па = ] - Н/м^ = 1 -хг/(м• с').Рис. 2.2. Трение между слоями жидкостиЗакон вязкого трения Ньютона предполагает, что каса¬
тельное напряжение между слоями движущейся жидкостипропорционально разности скоростей этих слоев, рассчитанной
на единицу расстояния между ними, т.е величине du/dy:(2.2)Коэффициент пропорциональности ц , входящий в эту
формулу, называется коэффициентом динамической вязкости
и является индивидуальной характеристикой жидкости. Раз¬
мерность ц такова:73
L-TВ системе СИ коэффициент ц данамической вязкости измеря¬
ется в к?/( м • с). Единицей измерения этого параметра является
«пуазейль» (Пз), названная так в честь известного французского
врача и физика Жан Луи Мари Пуазейля (1799-1869), причемI Пз = — — = 10-' кг/(м'с).ЮМ’С ’В частности, коэффициент динамической вязкости преснойводы при 20"^с равен 0,01 Пз = 10'’ к?/(м - с) = 1 санти Пуаз,
(сПз).Коэффициент кинематической вязкости v жидкости оп¬
ределяется как отношение ц. /р :[pj M/L^ Т ■
в системе СИ коэффициент v кинематической вязкости измеря¬
ется в м'/с . Единицей измерения этого параметра является
«стокс» (Ст), названный так в честь известного английского
физика и математика Джордж Г. Стокса (1819-1903). При этом;1Ст=^—— = 10-^ м7с.10000 сВ частности, для пресной воды при 20" С коэффициент v, ки¬
нематической вязкости воды равен 0,0 [ Ст = 10'^ mVc = 1 санти
Стокс (сСт). Таким образом, коэффт^иенты динамической и
кинематической вязкости пресной воды при 20° С равны ! сПз
и 1 сСт, соответственно.Вязкость бензина составляет примерно 0,6 сСт; дизельного
топлива -4 + 9 сСт; керосина -2-4-5 сСт, маловязкой нефти -
5^15 сСт, высоковязкой нефти - 30-50 сСт и выше, и т.д.Вязкость жидкостей, в том числе нефти и почти всех неф¬
тепродуктов, зависит от температуры. При повышении темпе¬74
ратуры вязкость уменьшается, при понижении - увеличивается.
Для зависимости вязкости, например кинематической v , от
температуры Т используются различные формулы, в том числе
и формула Рейнольдса-Филонова:v(T)=v„-e-'‘"-""', (2.3)в которой Vp - кинематическая вязкость жидкости при темпе¬
ратуре Tq , а к(1/ К) - опытный коэффициент. Формула (2.3)
отражает тот факт, что с изменением температуры вязкость
жидкости изменяется экспоненциально.Для того чтобы воспользоваться формулой (2.3), необхо¬
димо знать либо коэффициент к, либо вязкость v, той же жид¬
кости еще при одной температуре Т,. Тогда этот коэффициент
находится по формуле(2.4)Пример. Кинематическая вязкость летнего дизельного
топлива при температуре +20‘'С равна 5 сСт, а при темпе¬
ратуре (f C она увеличивается до S сСт. Какая вязкость того
же дизельного топлива при температуре +10^С?Расчет. По формуле (2.4) рассчитываем коэффициент
к: к = 1п(5/8)/(0-20)=0,0235. По формуле (2.3) находим ис¬
комую вязкость: v(lO“c)= 5■ = 6,32 сСт.Несжимаемая жилкостьЖидкость называется несжимаемой, если ее плотность не
меняется в процессе движения: dp/dt = О, причем если изна¬
чально у всех частиц жидкости эта плотность была одинако¬75
вой р = pg = const, {однородная жидкость), то она остается
таковой во все время движения.Конечно, несжимаемая жидкость - это всего лишь модель
реальной среды, ибо, как известно, абсолютно несжимаемых
сред нет. Однако если изменениями плотности жидкости в то.м
или ином процессе можно пренебречь по сравнению с номи¬
нальным значением, модель несжимаемой жидкости оказьшает-
ся весьма продуктивной. Например, плотность Ро воды при ат¬
мосферном давлении (*=0,1-МПа) равна 1000 кг/м^ бензина
» 740 кг/м^ дизельного топлива » 840 к?/м^, нефти * 870 кг/м\
а при давлении 5 МПа эти плотности становятся равными
а: 1003, 843 и 743 кг/м^, соответственно, т.е. Др(» Зкг/м^)« рц.Для баротропной жидкости, т.е. жидкости, у которой
плотность зависит только от давления, р = р(р) , условие
dp/dt = О несжимаемости равносильно условию dp/dp = О.Слабо сжимаемая упругая жидкостьОднако существуют процессы, в которых необходимо учи¬
тывать, хотя и малые, но имеющиеся изменения плотности жид¬
кости. Для таких процессов используют модель так назы¬
ваемой упругой жидкости, В этой модели изменения Др = р-р^
плотности жидкости пропорциональны изменению Др давле¬
ния, причем при снятии давления плотность восстанавливает
свое значение. Для упругой жидкости справед-чива формулаp(p)=pi;[]+p(p-pu)]’ (2-5)где р- коэффициент сжумаемосгпи (l/Па); р^, - номинатьная
ПЛОТНОСТЬ жидкости при номинальном давлении р^.76
Вволят такж модуль упругости Кр(Па) жидкости, который
равен I/P, тогда формула (2.5) приобретает вид:(2.5')Средние значения модуля упругости для нефти и нефтепро¬
дуктов составляют 1400-г1500 МПа, т.е. Кр *1,4-г1,5-10’ Па.
Отсюда, в частности, следует, что для нефти и нефтепродук¬
тов отклонения Ар = р0 (р-РоУКр плотности от номинального
значения крайне незначительны. Например, если р - Рр =5
МПа (=s 50 атм.), то для жидкости с = 850 кг/м^ отклонение
Др составит всего 2,8 кг/м^.Жидкость с тепловым расширениемТо, что различные среды при нагревании расширяются, а
при охлаждении сжимаются, учитывают в модели жидкости с
объемным расширением. В этой модели плотность р есть
функция от температуры Т, так что р = р(Т):(2.6)в которой S; (1/ ® С) - коэффициент объемного расширения, а
Рр и Тд - плотность и температура жидкости при нормальных
условиях. В качестве последних часто принимают:
То=293К (20“с); Ро=р(РоДо); р„ =101325 Па (760 мм. рт.
ст.). Для нефти и нефтепродуктов значения коэффиш^ента 4
приведены в таблице 1.77
Таблица 1Коэффициент ^ объемного расширенияПлотность р,
кг/м^Коэффициент1/°С720-7390.00Н83740-7590,00 118760-7790,001054780-7990,000995800-8190,000937820-8390,000882840-8590,000831860-8800,000782 1Из формулы (2.6), в частности, следует, что при нагрева¬
нии, т.е, в тех случаях, когда Т > Тц, р < Рц - жидкость рас¬
ширяется; а в тех случаях, когда Т < , р > - жидкость
сжимается.Пример. Плотность р^ бензина при 2(fcравна 745 кг/м^.
Какова тотность этого же бензина при температуре }0 С?Расчет. Используя формулу (2.6) и таблицу 1, имеем:
p(l0“c)=745-[l + 0,00u8'(20-10)]=753,3 кг/м\ т.е, эта плот¬
ность увеличилась на 8,3 кг!м^.Используют также модель жидкости, подверженной как
барическому, так и термическому расширению. В этой модели
рггр(р,Т), причем справедливо следующее уравнение состоя¬
ния;(2.7)78
Здесь РоЛ'о - номинальные значения давления и те.мперату-
ры, соответственно, = р(ро,То).Пример. Плотность бензина Рр при 2(fc и ат.\юсфер)юм
давлении (Ро » 0,1 МПа) равна 745 кг/м^. Какова тотиость
-утого же бензина при температуре id^C и давлении 6.5 МПа?Расчет. Используя формулу (2.7) и таблицу 1, имеем:
р(р,Т)= 745 ■ |l + 0,00118 ■ (20 - 10)+(б,5 - 0,l)- 107l,5 ■ iO'= 757 к?/м^, т.е. эта плотность увеличилась на 12 кг/м^.Неньютоновские жидкостиЖидкости, моделируемые условием (2,2) вязкого трения,
называют ньютоновскими вязкими жидкостя.ми по названию
закона (2.2). Величину у =du/dy градиента скоростей, имею¬
щую размерность с'‘, называют скоростью сдвига, а линейную
зависимость (2.2) .между модулем касательного напря¬жения трения и скоростью сдвига у представляют графиком,
рис. 2.3.Рис. 2.3. Кривая течения т = ф(у)
ньютоновской вязкой жидкостиЭта зависимость гласит: «Величина касательного напряжения,
возникающего в ньютоновской вязкой жидкости, пропорцио-
напьна скорости сдвига ее слоев друг относительно друга.79
причем если скорость сдвига отсутствует, отсутствуют и
касательные напряжения трения».Динамическая вязкость жидкости ц. является в этом пред¬
ставлении ничем иным, как угловым коэффициентом прямой
на плоскости (у,т): |i = tg«p, где ф - угол наклона прямой к
оси абсцисс. Эксперименты показывают, что для многих ре¬
альных жидкостей модель ньютоновской вязкой жидкости
достаточно хорошо схематизирует процессы, происходящие с
ними при течении.Однако существуют и такие среды, у которых зависимость
■1 = ф(т) {кривая течения) значительно отличается от той, что
представлена на рис. 2.3. Такие жидкости называются ненью¬
тоновскими. Примером неньюгоновской жидкости является, в
частности, модель степенной жидкости Освачьда [22]:dudy0-1du
dy ’(2.8)в которой связь касательного напряжения трения между слоями
жидкости и скорости сдвига имеет степенной характер, рис. 2.4.Рис. 2.4. Кривые т = Ф(у) течения степенной неньютоновской
жидкости: ] - псевдопластической; 2 - дшатантиой80
Кажущаяся вязкость Д этой жидкости (коэффициент пропор¬
циональности и у) не остается постоянной, как в модели
ньютоновской жидкости, а зависит от структуры течения:И = кdudy11-1(2.V)В этой модели к,п- коэффициенты.Если показатель степени п < I, то такие жидкости называ¬
ют псевдотастимными. Такие модели применяют для описа¬
ния течения суспензий, т е. вязких жидкостей с взвесью мелких
частиц. Кривые течения т = Ф(у) таких жидкостей имеют вид
кривой }; если показатель степени п > 1, то такие жидкости
называют дилатантными. Примером жидкостей, течение ко¬
торых хорошо описывается дилатанпюй моделью, является
раствор крахмала. Кривые течения таких жидкостей имеют вид
кривой 2, рис. 2.4,Вязко-пластичмые среды с предельным напряжением
сдвига; «жидкость» Шведова-БингамаСуществуют и более сложные среды, в которых касатель¬
ное напряжение между слоями описывается соотношениями:duО,T-I-Тлесли т > Tg;
если т < Тц;если т < -то(2,10)S1
кривая течения таких сред, называемых вязко-пластичными,
представлена на рис. 2.5.dyРис. 2.5. Кривая т = ф(у) течения вязко-пластичной жидкостиСоотношения (2.10) означают, что до тех пор, пока вели¬У'касательного напряжения не превысит некоторо¬го значения Х(, (называемого предельным напряжением сдви¬га), у = О, и течение среды не начинается; если же , тоу О, и среда течет как обычная вязкая жидкость, однако,
T = To+jiy (если у>0) или т =-т^ + |ду (если у<0). Вязко¬
пластичными средами можно считать высокопарафиннстую и
застьгеающую нефть, глинистые растворы, лаки, краски и мно¬
гие другие вещества [22]. Заметим, что параметры Tq и ц моде¬
ли явля}отся индивидуальными характеристиками таких сред.2.2. Модели газаПерейдем теперь к описанию основных моделей, исполь*
зуемых для описания особого вида сжимаемых жидкостей -82
газов. Остановимся сначала на свойствах, общих для всех га¬
зов. Одно из таких свойств состоит в том, что для всех газов в
состоянии термодинамического равновесия существует
соотношение меаду давлением р, абсолютной температурой
Т и плотностью р (или удельным объемом и = 1/р ). Это
соотношение можно записать в виде функциональной связи(2,11)называемой уравнением состояния газа. Физическая природа
существования такой связи обсуждается в курсах статистиче¬
ской физики и термодинамики. В большинстве случаев пред¬
полагается, что соотношение (2.П) между параметрами газа
сохраняется также и при возникновении течения. Фактически
это означает допущение, что процесс установления локального
термодинамического равновесия происходит намного быстрей,
чем неравновесность. вносимая возникшим движением газа. В
трехмерном пространстве переменных (р,и,т) уравнение (2.11)
представляется поверхностью, вид которой изображен на
рис, 2.6.Конкретный вид связи (2.11) и, следовательно, структура
изображающей ее поверхности устанавливается в ходе так на¬
зываемых калориметрических измерений, однако для боль¬
шинства газов эта зависимость имеет одни и те же характер¬
ные особенности. Рассмотрим кривые, получающиеся сече¬
ниями поверхности р{р,и,Т)=0 плоскостями Т = с£>ш'/.. их
называют изотермами. Для всех газов существует так назы¬
ваемая критическая изотерма (на рис. 2.6 выделена жирной
линией), по разные стороны от которой свойства газа качест¬
венно различаются, ЕслиТ^Т^,, где - критическая тем¬
пература данного газа, то газ при любом повьш1ении давления
остается в газообразном состоянии; если же 0<Т<Т^ , то
для каждой температуры Т существует такое значение давле»83
ния р, при котором газ начинает переходить в жидкую фазу,
причем его удельный объем уменьшается от значения и' до
значения и" , после чего получившаяся среда приобретает
свойства жидкости.область параметров трубопроводного
mpQHcnopfna гаюр«>Рис. 2.6. Поверхность в пространстве переменных (р, и,Т),
изображающая уравнение состояния реального газаТочка К. называется критической точкой данного газа,причем значения (т^р ,Ркр I'^.p) отражают индивидуальныесвойства газа и являются его константами. Например, для ме*
тана СН4, из которого в основном состоит природный газ,
=190,55-К (^-82,6“С) и р^^ =4,641 МПа ( *46 атм.).Это означает, что если температура газа выше 190,55 К, то газ
ни при каких давлениях не может перейти в жидкое состоя¬84
ние; если же Т < 190,55 ■ К, то для каждой температуры Т су¬
ществует такое значение давления р, при котором гач начина¬
ет сжижаться.Параметры (р,и,Т) природного газа при транспортировке
по трубопроводам находятся достаточно далеко от критиче¬
ских значений, поэтому во всем трубопроводе газ находится в
газообразном состоянии, рис. 2.6.Модель совершенного газаЕсли, однако, давление в газе не слишком высокое, а тем¬
пература - пе слишком низкая, то изотермы всех газов подоб¬
ны друг другу и с большой степенью точности приближаются
гиперболами: давление р обратно пропорционально удельно¬
му объему и,При указанных условиях взаимодействие молекул реаль¬
ного газа не зависит от формы молекул (т.е. от пространст¬
венной конфигурации входящих в них атомов), а определяется
лишь обшей массой. Образно говоря, молекулы ведут себя
подобно шарам, отличающимся друг от друга только массой,
поэтому число параметров, характеризующих газ, уменьшает¬
ся с трех до одного - ц,„ - молярной массы.Для характеристики термодинамического состояния газов
в указанной области давлений и температур используется мо¬
дель совершенного газа. Уравнение (2.11) состояния газа в
этом случае имеет наиболее простой вид:(2.12)где единственная входящая в уравнение константа R называ¬
ется газовой постоянной, причем85
R=-^,где Rj - универсальная газовая постоянная, равная 8314
Дж/(моль К). Таким образом, для совершенных газов все газо¬
вые постоянные зависят только от молярной массы. Например:
для метана (ц„=16 кг/кмоль); R = 8314/16 s 520 Дж/(кг К);
для Ог - кислорода ( s 32 к.?/кмоль): R = 8314/32 s 260
Дж/(кг К); для СОг - углекислого газа { =44 кг/кмоль):
R = 8314/44 5 189Дж/(кг К); для воздуха = 2 кг/кмоль):
R = 8314/29 = 287Дж/(кг К) и т.д.Уравнение (2.12), связывающее между собой плотность,
давление и температуру газа, назьгеается уравнением Клапейро-
на или, точнее, Менделеева-Клапейрона. Модель совершенного
газа достаточно эффективно работает в интервале умеренных
давлений и температур.Модель реального газаНесмотря на то что в названии этой модели содержится
слово «реальный», речь идет не более чем об очередной схе¬
матизации явления, об очередной, хотя и более обшей, модели
газа. Из рис. 2,6 следует, что гиперболическая зависимость(2.12) не соответствует наблюдениям при увеличении давле¬
ния или сильном уменьшении температуры. Поэтому в про¬
цессах с газом, в том числе и при его транспортировке по тру¬
бопроводам или хранении в подземных газохранилищах, где
давление составляет 5,0-;-15,0 МПа, модель совершенного га¬
за, будь она использована в расчетах, давала бы неправильные
результаты.Существует модель более общая, чем модель совершенно¬
го газа, это - модель реального газа. Не останавливаясь на де¬
талях ее построения (это можно сделать, используя различные86
специальные монографии), отметим только, что в математиче¬
ской записи она прелставляется соотношением:(2.13)отличающимся от (2.12) тем, что в него введен безразмерный
коэффициент Z(p, Т]- называемый коэффициентом сверх¬
сжимаемости, являющийся функцией двух параметров - при¬
веденного давления р и приведенной температуры Т;Р =Р..ткр.где р^р и Т,р - критические давление и температура газа, окоторых говорилось выше. Таким образом, в модели (2.13)
реального газа учитываются не только молекулярный вес газа
(через константу R), но и такие термодинамические постоян¬
ные. как его критические давление и температура. Очевидно
также, что для умеренных давлений и температур Z «= 1 и мо¬
дель (2.13) естественным образом трансформируется в модель(2.12) совершенного газа. Для реального газа Z < I.Графики функции Z(p,T) представлены на рис. 2.7.Пример. Найти значение коэффициента Z сверхсжи¬
маемости газа (р*р =4,6 МПа. =190 /Г), находящегосяпри дав.чении 7.5 МПа и температуре 288 К.Расчет. Сначала вычисляем приведенные параметры со¬
стояния: р = 7,5/4,6 = 1,63 ; Т = 288/190 = 1,52 . По графикам
на рис. 2.7 находим: Z = 0,86.87
z1.11.00.90.80.7О,в0,50.40.30.20.112 34 5 6 7РРис. 2.7. Графики Z(p,T) для природного газаСуществует множество аппроксимационных формул для
вычисления коэффициента Z. Фактически речь идет об ап¬
проксимации уравнения состояния (2.И), Однако свойства
реальных газов столь сложны, что универсальных формул для
всех газов и во всем диапазоне изменения определяющих па¬88
раметров не существует, поэтому в разных случаях использу¬
ются различные приближенные формулы. В частности, для
моделирования процессов в газопроводах, транспортирующих
природный газ при давлениях не выше 10-12 МПа, можно ис¬
пользовать следующую аппроксимаинонную формулу:Z(p,t)=]-0,024]-^,9(2.14)9=1-1,68Т + 0.78Т-= +0,0107Т’.Результаты расчета коэффициента 7., выполненные по
анпроксимациоиным формулам (2.14) для приведенных дав¬
лений р < 2,25 и приведенных температур 1,3 < Т < 1,7. пред¬
ставлены на рис. 2.8.Рис. 2.8. Зависимость Z(p,T) для природного газа,
рассчитанная по формулам (2,14)89
Следует, однако, подчеркнуть, что формула (2.14) являет¬
ся не более чем аппроксимацией свойств реальных газов в оп¬
ределенном диапазоне температур и давлений.Пример. Найти значение коэффициента 2 сверхсжи¬
маемости газа (р^^ =4,6 МПа. Т^р =190 К), находящегосяпри давлении 7,36 МПа и температуре 285 К.Расчет. Сначала рассчитываем значения приведенного
давления и температуры:p = Z:21=l,60; Т = —=1,50.4,6 190Затем по формулам (2.14) находим коэффициент Z сверх-
сжимаемости:е = 1 -1,68 ■ 1,5 + 0,78 ■ 1,54 0,0107 ■ 1,5^ = 0,271,Z = l-0,0241--bi-s0.858.0,2712.3. Модели трубопроводаПри схематизация процессов движения жидкостей и газов
в трубопроводах используются также модели трубопровода.Наиболее простая модель трубопровода - это модель неде-
формируемой трубы, т.е. цилиндра с постоянным не изменяю¬
щимся внутренним диаметром dg и постоянной толшиной 5стенки (6«d„). Внешний диамет{) D = do +26 трубопроводапри этом также остается постоянным. Модель недеформируе-
мого трубопровода оказывается весьма полезной при изучении
множества технологических процессов тра{1Спортировки жид¬
костей и газов.Однако в ряде случаев (например, при изучении явления
гидравлического удара) модель недеформируемой трубы ока¬
зывается недостаточной для проникновения в сущность проис¬
ходящих явлений, поэтому используется более сложная модель90
упругодеформируемого трубопровода. Опыт показывает, что
объем внутренней полости трубопровода хотя и незначитель¬
но, но изменяется при изменении температуры и давления
транспортируемой среды.Для учета объемного расширения трубопровода при от¬
клонении температуры Т от номинального значения мож¬
но использовать формулуV(T)=V,[l+2a,.(T-T„)], (2.15)В которой Ор-коэффициент объемного расширения металла,из которого сделан трубопровод {для стали а-г « 3,3 -10'^ 1/А).Пример. Как изменится объем внутренней полости уча¬
стка стального трубопровода D = 530 .им. 6 = 8 мм,
L = 120 км) при его равномерном охлаждении на 5 К ?
Расчет. Используя формулу (2,15), имеем:V(t)-Vo =(з,14-0,51474)-2-(-5)*3,3*10“' -120000 =-8,22,т.е. объем полости участка уменьшится более чем на 8в гораздо большей степени объем внутренней полости тру¬
бопровода изменяется от разности внутреннего и внешнего
давлений. Наиболее простую формулу для расчета происходя¬
щих изменений предложил русский профессор Н.Е. Жуковский
в своей знаменитой работе «О гидравлическом ударе в водо¬
проводных трубах» (1899 г.), ее вывод можно проиллюстриро¬
вать рис. 2.9..Уравнение равновесия верхней половины (обечайки) тру¬
бы, выделенной на рис. 2.9 утолщенной линией, под действием
разности (р-ро) давлений и окружных напряжений а, возни¬
кающих в металле трубы, имеет вид:(p-Po)'d=a-25 . (*).91
Рис. 2.9. К выводу формулы для изменения площади
поперечного сечения упругодеформируемого трубопроводаС другой стороны, закон упругости Гука, применителыю
к деформированному срединному волокну (на рис. 2.9 оно
обозначено пунктирной линией), дает соотношениеЗдесь Е - модуль Юпга материала трубы (для сталиЕ*210’ МПа).Подставив а из (**) в (*) и заменив d в коэффициентах на
d о в силу малости толщины стенки по сравнению с диаметром
трубы, получим формулу приращения Ad=d-d(, диаметра
трубы в зависимости от разности Др = р-ро внутреннего и
внешнего давленийAd=2Е5Др.(2.16)92
Здесь dg можно считать внутренним диаметром трубы.Замечание. При выводе формулы (2,16) молчаливо пред¬
полагалось, что осевые напряжения в трубе отсутствуют. Такое
состояние трубы называют тоско }шпряжениьш. Однако во
многих случаях это предположение не выполняется. В частно¬
сти, в стальных сварных 'фувопроводах, используемых в неф¬
тяной промышленности, реализуется тоско деформированное
состояние, в котором радиальное расширение трубы генери¬
рует осевые напряжения. В этих случаях формула (2.16) заме¬
няется более общей формулой(2,16*)где Vr, - коэффициент 15уассона. Поправка, однако, невелика,
поскольку для стальных трубопроводов *5 0,078 .Из (2.16) следуют две другие полезные формулы: одна - для
приращения Д8 площади поперечного сечения трубы, другая -
для приращения ДУ объема участка трубопровода с длиной L:Д8 = -^^^-Др,4Е5ду=-^^-Др
4Е5и соотвеаственно - формулы, учитывающие поправку:(2,17)Д8 =ДУ =4Е5
4Е5Др.(2.17*)Др-93
■ 5 ■ 1 о* = 0,0004 м, т.е. * 0,4 мм.Пример. Рассчитать увеличение диаметра и объема уча¬
стка стального трубопровода I'D = 530 мм, 5=8 мм.
L = 120 км) после того, как в нем подняли давление на 5,0 МПа."Расчет. Используя формулу (2.16), имеем:.д 0.51441-0,078)2-2-10" -0,008Из второй формулы (2.17) получаем;^^^3,14.0,5ИМ20000.(1-0,078) з4-2-10“’0,0081ри одновременном отклонении давления и температуры
от номинальных значений р^ и Т,, допустимо использовать
формулу(2J8)Существуют также другие, более сложные модели трубо¬
проводов, в которых учитываются вязкопластичные свойства
материала труб. Такие модели используются для изучения про¬
цессов в трубопроводах, сделанных из синтетических материа¬
лов, в частности из различных пластиков.94
Глава 3СТРУКТУРА ЛАМИНАРНЫХ II ТУРБУЛЕНТНЫХ
ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕВ предыдущих главах течение жидкостей и газов в трубо¬
проводе рассматривалось в рамках так 1!азываемой одномерной
модели с осредненными по сечению трубы параметрами. Это
означало, что в каждом сечении трубопровода все параметры
течения являются средними величинами, например средняя ско¬
рость, средняя плотность, среднее давление, средняя температу¬
ра и т.п. Поэтому определяющие параметры зависели лишь от
одной пространственной переменной х , отсчитываемой вдоль
оси трубопровода, а также от времени t , т.е. v = v(x,t),
р = p(x,t), р = p(x,t), Т = T(x,t) и т.д. Однако при таком под¬
ходе гютребовались дополнительные или, как говорят, замы¬
кающие соотношения, связывающие между собой осредненные
параметры течения. Например, соотношения (1.26) и (1.32) свя¬
зывают диссипацию механической энергаи и касательное на¬
пряжение трения со средней скоростью течения, соотношение(1.50) связьшает поток тепла через стенку трубы с температурой
1ранспортируемой среды и т.д. Возникает вопрос, как получать
такие дополнительные соотношения в общем случае?Дтя получения замыкающих соотношений необходимо
рассмотреть пространственную (не только одномерную) струк¬
туру течений транспортируемой среды в трубопроводе, поэто¬
му покажем, как это делается на ряде примеров.3.1. Ламинарное течение вязкой ньютоновской
жидкости в круглой трубеПрежде всего рассмотрим так называемое шминарное те¬
чение вязкой ньютоновской жидкости в круглой трубе, радиу¬
са Гр, рис. ЗЛ. Такое течение имеет только одну, осевую ком¬
поненту = u(r) скорости, зависящую от радиальной коор¬95
динаты г, давление р(х) постоянно в поперечном сечении S
трубы и зависит только от осевой координаты х, так что гра¬
диент давления -5р/Эх = Др/Ь = сол^ЛРис. 3.1. К расчету ламинарного течения жидкостиВыделив внутри области течения цилиндр произвольного
радиуса г (г < г„), можно составить уравнение баланса дейст¬
вующих на него сил:Р| -РДр• 71Г^ = т(г)' 2л • Г ■ L ,где т(г)= - модуль (величина) касательного напряжения
трения на боковой поверхности выделенного цилинд¬
ра ( - проекция на ось х напряжения на площадке, пер¬
пендикулярной радиальному направлению г). Из баланса сил
следует, что т(г) пропорционально радиусу г :1 Дрг.2 L(3.1)96
Если теперь подставить сюда выражение т(г) через ско-
юсть сдвига у (градиент du/dr скоростей) согласно закону
2.2) вязкого трения и учесть, что величина т(г) касательного
чапряженйя равна получим дифференциальное урав¬нениеdu 1 Дри с.г*^dr 2 1(3.2)для определения функции и(г), дающей искомый профильскоростей в сечении трубопровода.Решив уравнение (3.2) с граничным условием и = 0 при
г = г„, выражающим так называемое условие прилтанш, по¬
лучим:u(r)=umax1-‘0 угде =■ Гр
4ц-L(3.3)Отсюда видно, что распределение скоростей жидкости по се^
чению трубы имеет параболический характер, причем макси¬
мальная скорость достигается на оси (г = 0) трубы.Вычислим объемный расход Q жидкости, т.е. объем жид¬
кости, протекающей через поперечное сечение трубы в еди¬
ницу времени. Имеем:Q = *2u u(r)'rdr== Зтс иmaxИЛИ97
с учетом Гд =d/2 получаем знаменитую формулу(3.4)называемую формулой Пуазейля. Она дает связь расхода ла¬
минарного течения жидкости в круглой трубе с перепадом
давления, обуславливающим течение жидкости.Если ввести v - среднюю по сечению скорость жидкости
согласно формуле у = Q, т.е. такую скорость, которая,будучи умноженная на площадь сечения трубы, лает расход
жидкости, получим еще одно полезное выражение:ТСГлQ Др-Го и,„,_ Др-d^8n-L 2 32H-LU1ИЯХ(3.5)С помощью этих соотношений можно вычислить величи¬
ну ®т(гд) касательного напряжения трения на внутренней
поверхности трубопровода. Из (3.1) имеем;I Др2 LАр d• Г,к — ." L 4Подставляя сюда Др/L из (3,5), получаем32ц’V d 8|i'VЗаписав касательное напряжение в соответствии с форму¬
лой (1.32) в виде т„ = X-pv^/8-, получим9а
8 d vd/(|i/p)'Поскольку ц/р = у и vd/v = Re - это число Рейнольдса,
имеем:Таким образом, получена уже ранее встречавшаяся формула
(1.33) Стокса для коэффициента X, гидравлического сопро¬
тивления в ламинарном течении вязкой несжимаемой жидко¬
сти в круглой трубе.Пример. Вычислить коэффициент X гидравпического со¬
противления нефти fv = 25 сСт) при ее ламинарном течении
в круглой трубе с диаметром 50 мм и расходом I л/с.Решение. Находим среднюю скорость течения:Q 0,001 ,V - т-г- я г-;- = 0,5 1 м/с.ndV4 3.14-0,0574Далее вычисляем число Рейнольдса:V 25-10'^Поскольку 1020 < = 2300 , течение будет лами1гар'ным. Вычисляем коэффициент гидравлического сопроти¬
вления:Х = —= -^=0,063.Re 1020С помощью формул (3.3) и (3.5) можно вычислить также
коэффициент а^. входящий в выражение для осредненной ки¬
нетической энергии. Удельная кинетическая энергия е,VHH99
транспортируемой среды представляется выражением о.^\' jl
(а ие pv^/2), базирующимся на средней скорости v течения
(а^ > l). Согласно определению коэффициента , имеем;(Ди)^pvа.pvЗдесь Ди- отклонение скоростей частиц, составляющих под¬
вижный объем среды, от средней скорости v, т.е. скорости
его центра масс. Учитывая, что Ди = и(г)-у и подставляя сюдараспределение u(r) скоростей из (3.3), получаем;2/2v.1ч- Vu(r)rdr = 2f(l-25’)'№ = i.Таким образом, для ламинарного течения = 4/3,3.2. Ламинарное течение неньютоновской
степенной жидкости в круглой трубеПодобно тому как рассматривалось ламинарное течение
ньютоновской вязкой жидкости, можно рассмофеть течение
в круглой трубе неньютоновской степенной жидкости Ос¬
вальда (см. гл. 2). Касательное напряжение для этой
жидкости связано со скоростью сдвига у = du/dr зависи¬
мостью (2.8)100
dun-dudrпоэтому уравнение (3.2) равновесия в этом случае будет иметь
следующий вид:--к-dudrII-du _ 1 Дрd7” 2'ТПоскольку du/dr < О, тоdudrДрч2ки|/|> j_•г"Интегрируя это уравнение с граничном условием и(го) = 0,означающим, что скорость жидкости на стенках трубы равна
нулю, находим распределение скоростей:u(r) = ^.
п +1Ар2kLl/nу1Ы
Tq п(3.7)УМаксимальная скорость течения достигается, как и в
случае вязкой жидкости, на оси трубы, т.е. ири г = 0:пl2kLyl/nill
Го "(3.8)Объемный расход Q жидкости вычисляем по формуле:101
Q = 2я г-и(г)3г = 2тсnn + 1Ар2kLl/n Гцn+lпdrуВыполняя преобразования, получаем:0-^Г(,Др/Ы1пVЗп+1V 2к )4(3.9)Естественно, что при п = 1,к = ц формула (3.9) переходит вуже известную нам формулу (3.4) закона Пуазейля.Если ввести в рассмотрение среднюю по сечению ско¬
рость V течения жидкости и обобщенное число Re. согласно
равенствампгок/рто вьфажение (3.9) можно записать в традиционной форме за¬
кона Дарси-Вейсбаха, т.е. через коэффициент X гидравличе¬
ского сопротивления;do 2где8-Гбп + 2^\п/Re.(3.10)102
и так же при п = 1,к = ц формула (ЗЛО) переходит в ранее по¬
лученную формулу (1.29) Стокса для ламинарного течения
ньютоновской вязкой жидкости.Для определения реологических свойств нефти и нефте¬
продуктов часто используют специальные приборы, называе¬
мые вискозиметрами, Наиболее распространенными являются
капиллярные вискозиметры. Принцип действия всех капил¬
лярных вискозиметров основан на определении времени сво¬
бодного истечения фиксированной порции испытуемой жид¬
кости из камеры прибора через узкую цилиндрическую труб¬
ку (капилляр). Это время рассчитывается на основе формулы
(3.9), в которой градиент давления Др/L заменен величиной
pg, где g- ускорение силы тяжести. Например, для рассмат-
ривае.мой степенной жидкости Освальда расход Q течения
жидкости в капилляре вискозиметра будет иметь вид:Q =ffo'Pg'Зп + 11 2к ,Зп+1,2-k/pJ(3.11)пример. Для выявления свойств нефти- проводят экспе¬
рименты по свободному истечению порции нефти объемом
100 лп из камеры, вискозиметра. В первом опыте истечение
происходит через цтиндрическиц капилляр с внутренним ра¬
диусом I лш. а во втором ~ через анаюгичный капилляр с
внутренним радиусом 1.5 В первом опыте время истече¬
ния оказалось равным 1000 с. so втором ~ 180 с. Моделируя
свойства нефти свойствами степенной жидкости, найти
константы п и к/р модели.Решение. Из приведенной выше формулы (3.11) следует,
что Qi/Qj = Поскольку отношение расходов исте¬чения обратно прогюрционально времена.м истечения, то име¬103
ем уравнение: 180/1000 =(2/3)^*''^“ для определения показате¬
ля п. Из полученного уравнения находим: п = 0.81.Затем, используя результаты первого эксперимента, полу¬
чаем уравнение:0,0001 3,14-0810,00110003-0,81 + 19,81 0,002
к 4 • к/р .1/0,81откуда находим: к/р = 0,92 10“* mVc‘’*’.З.Э. Ламинарное течение неньютоновской
вязкопластичкой жидкости в круглой трубеРассмотрим теперь ламинарное течение другой неньюто¬
новской жидкости - вязкотастичной жидкости Бингама (см
гл. 2), рис. 3.2.г = гг = г.Рис. 3.2. Схема течения вязкопластичной жидкостиКасательное напряжение т„(г) в этой жидкости связано
со скоростью сдвига у = du/dr зависимостью, см. (2.10):104
=-1^0+И-^. если du/dr<0, (3,12)где Тд - предельное напряжение сдвига. Коль скоро такое на¬
пряжение существует, то величина т„. =|т,,(г„)| касательногонапряжения на внутренней поверхности грубы в процессе те*
чения жидкости определяется равенством^ I Гп'Др/L-Др = 2л:-Го1-т„ =>х^,= .2ЧънS,.,Течение вязкопластичной жидкости в трубе начинается не
сразу после приложения разности Др давлений к торцам тру¬
бы, а лишь тогда, когда эта разность превысит сопротивление
сдвига, поэтому должно выполняться условиет.е, (3.13)2 2т^Если условие (3.13) выполнено, то в кольцевом пространстве,
примыкающем к внутренней поверхности трубы (а < г < г„),начинается течение жидкости, однако ближе к центру, где
скорость Y сдвига слоев уменьшается, касательные напряже¬
ния также уменьшаются и на некотором расстоянии а от оси
трубы, где т(л) = То, жидкость как бы застывает и движется ввиде жесткого стержня. Область 0<г<а называется ядром
течения, рис. 3.2.Из уравнения равновесия сил, приложенных к жидкости,
находящейся в цилиндре с произвольным радиусом г, имеем:7ГГ' ■ Др = 2л • г- L - т(г),105
причемпа' • Др = 2я-а-Ь'Тц.Отсюда заключаем, чтоа ТлаУчитывая, что в формуле (3.12) т,^=-т(г), получаем
дифференциальное уравнение для распределения и(г) скоро¬
сти жидкости в кольцевой области а <г<т^:du / ч гМ —= Т^гх(г)+То =-То- + Хо =То-dr а/ \
1-1
V ОуИнтегрируя полученное уравнение по г от г = Гр до произ
вольного г и учитывая граничное условие u(r„) = О, имеем:Вычисляя этот интеграл, получаем:и(т) =Гр То
2ц0AZzJ, + 2--2Фо Го(3.14)В частности, скорость и(а) жесткого ядра течения находится
из равенств106
2ц а/гцД _ 2трГо Го ■ Др/L'{3.15)Используя формулы (3.14) и (3,15), вычислим объемный
расход Q течения вязкопластичной жидкости в круглой
трубе. Имеем;Опуская несложные преобразования, получаем:(3.16)Как и слеловало ожидать, при Тд ->0 это выражение перехо¬
дит в известную формулу (3.4) Пуазейля для расхода вязкой
жидкости в круглой трубе, причемimu{o)=Iim
f„-*0r„-*0Фч2т„Гр - Ар4ц-1Го Го-Др/J'т.е. радиус ядра течения уменьшается до нуля, а его скорость
стремится к значению скорости ламинарного течения вязкой
жидкости на оси трубы, см. формулу (3.3).107
Если ввести два безразмерных параметра Re - число Рей¬
нольдса и И - число Ильюшина согласно формулам;Re = IiISl . и =V JiVи принять во внимание, что 2тц/(ги -Ap/L)=8H/A.Re, то равен¬
ство (3.16) можно представить в виде:64 1~Re 1-4/3 (SM/XRe)+ l/З■ {Ш/ХКе)" 'Если Тд = О, то И = О и, следовательно, Ше = 64, т.е. форму¬
ла (3.17) переходит в известную формулу (1.29) Стокса для
ламинарного течения вязкой жидкости. В общем случае про¬
изведение Ше зависит от числа Ильюшина. Для того чтобы
найти это произведение, необходимо разрешить уравнение
(3.17) отЕюсительно XRe для каждого значения параметра И.3.4. Переход ламинарного течения вязкой жидкостив турбулентноеПри увеличении расхода вязкой исидкости в трубе лами¬
нарное течение теряет гидродинамическую устойчивость и
переходит в турбупеитпое течение. Это течение характеризу¬
ется пульсирующими движениями частиц жидкости, образо¬
ванием и развитием вихрей, интенсивным перемешивание.м.
Исследованием проблемы устойчивости ламинарного течения
жидкости и определением условий его перехода в турбулент¬
ное течение занимались выдающиеся механики и математи¬
ки современности, как, например. О. Орр, А. Зоммерфельд.
Дж. Тейлор, Г. Шлихтинг, А.Н. Колмогоров, С. Чандрассекар108
и др. Они подтвердили это явление теоретическим путем и
установили условия смены одного режима другим.Критерием перехода ламинарного течения в турбулентное
является число Re Рейнольдса, образованное из размерньге
параметров, характеризующих течение и трубопровод:
Re = vd/v, причем если Re<Re^ *2300, течение ламинар¬
ное. в противном случае, т.с. при условии Re>Re^^ *2300.течение будет турбулентным.Однако последний вывод справедлив, строго говоря, если
критическая скорость v^p течения определяется только пара¬
метрами d,p и n(v = fx/p). На самом деле условия перехода
ламинарного течения в турбулентное во многом определяются
и таким параметром трубы, как Д, абсолютная эквивалентная
шероховатость ее внутренней поверхности. Если предполо¬
жить, что = f(d,p.p.A), то из соображений размерностиусловие перехода ламинарного течения в турбулентное будет
представляться связью между безразмерными параметрамиv.._ -dкрЦ/Р= f''Д'или Re,^=f(e),где с - относительная эквивалентная шероховатость внутрен¬
ней поверхности трубы. Таким образом, если Re < Re^p (е), тотечение жидкости - ламинарное; если Re>Re^p(e), то тече¬
ние - турбулентное. Отсюда видно, что не существует одно¬
значно выраженной границы перехода ламинарного течения в
турбулентное; значение критического числа Рейнольдса мо¬
жет зависеть от степени подготовки экспериментального тру¬
бопровода и самой жидкости к испытаниям. Например, из¬
вестны эксперименты, в которых ламинарное течение жидко¬
сти в трубе удавалось «затянуть» до Re^p я;6000-12000.109
Коэффициент X гидравлического сопротивления в этой
переходной области не имеет стабильных значений; в целом
же он характеризуется резким снижением. Некоторой аппрок¬
симацией X может служить, например, формула (1.39). Ста¬
бильные значения коэффициент X приобретает при установ¬
лении в трубе развитого турбулентного течения (Re > 10^).3.5. Турбулентное течение жидкости в круглой трубеРассмотрим теперь развитое турбулентное течение вязкой
жидкости в круглой трубе радиуса Гд, рис. 3.3. Для его описа¬
ния используем так называемые осредиенные скорости
и(г) течения, представляющие собой усредненные по времениистинные скорости частиц мсидкости, проходящих через рас¬
сматриваемую точку. Предполагается, что полученные таким
образом скорости параллельны оси трубы и зависят только от
радиальной координаты г, то есть от расстояния рассматри¬
ваемой точки сечения от оси трубы.WРис. 3.3. Турбулентное течение жидкости в трубеАналогично вводятся и осредненные касательные напря¬
жения х„{т) трения между слоями жидкости, движушимися с
осредненнымн скоростями u(r)=u,^(r), рис.3.3. Эти напряже¬
ния называют еще рейнольдсовыми напряжениями в честь
крупнейшего английского инженера Осборна Рейнольдса110
(1842-1912), много сделавшего для развития теории турбу¬
лентности. Осредненное напряжение т„{г) представляет со¬
бой отношение силы трения, действующей между макрослоя¬
ми турбулентного потока, разделенными площадкой, к пло¬
щади этой площадки. Предполагается, что так же, как и в ла¬
минарном потоке, осредненные касательные напряжения
t,^(r) пропорциональны градиентам du/dr осредненных ско¬
ростей течения:Однако в отличие от ламинарного течения входящий в эту
формулу коэффициент дает уже не истинную вязкость
жидкости (являющуюся, как известно, ее специфической ха¬
рактеристикой), а так называемую турбулентную динамиче¬
скую вязкость, зависящую не только и даже не столько от
свойств жидкости, сколько от структуры и интенсивности пе¬
ремешивания слоев жидкости.Динамическая турбулентная вязкость ц, (или соответст¬
вующая ей = ц^/р - кинематическая турбулентная вяз¬
кость) в турбулентном потоке обусловлена не молекулярным
трением отдельных струек жидкости, как в ламинарном тече¬
нии, а крупномасштабными пульсациями и вихревым перено¬
сом количества движения из одного макрослоя в другой. Пе¬
ренос количества движения воспринимается как действующая
между этими слоями сила трения. Если слои движутся с оди¬
наковой скоростью (du/dr= 0), то передача количества дви¬
жения от одного слоя другому компенсируется возвратом
равного ему количества движения из другого слоя, поэтому
= О . Если же один слой движется быстрей другого
(du/dr > 0), то между слоями существует сила трения, причем
эта сила трения ускоряет отстающий слой и замедляет опере¬1И
жающий. Последнее означает, что опережающий слой теряет
количества движения больше, чем получает его от отстающе¬
го. При этом интенсивность обмена слоев количеством дви¬
жения (или, что то же, импульсом) зависит не столько от вяз¬
кости самой жидкости, характеризуемой коэффициентами ц
или V , сколько от режима турбулентного течения. Отсюда
следует, что турбулентные вязкости ц, или не являются
константами жидкости, как их молекулярные аналоги, а зави¬
сят от параметров турбулентного потока.Пусть закон турбулентного трения имеет вид1 du=v,-—
р dr(3.19)Логично предположить, что турбулентная вязкость v^, опре¬
деляемая структурой турбулентного течения, зависит от пара¬
метров, определяющих это течение. Если допустить, что тур¬
булентная вязкость зависит только от v и скорости сдвигау = du/dr, то безразмерное отношение v^/v также должно
зависеть от v и du/dr. Однако этого не может быть, посколь¬
ку из этих параметров нельзя составить безразмерную комби¬
нацию.Согласно идее выдающегося немецкого механика Теодора
фол Кармана (1881-1963), можно выйти из этого положения,
если помимо v и du/dr включить в число, определяющих па¬
раметров вторую производную d^u/dr' осредненной скоро¬
сти течения, принявJ- = f/dud’uV,Чdr1dr^J(3.20)112
то есть безразмерное отношение vjv зависит как от молеку¬
лярной вязкости V самой жидкости, так и от параметров, ха¬
рактеризующих течение - модулей и' первой и второй и"
производных профиля осредненных скорости по радиальной
координате. Тогда из этих трех величин[vj =И’] =Y,[U'} =1L-Tможно составить единственную безразмерную комбинацию.U/{v.UI, и зависимость (3.20) представить в виде;>3UU'V, =У-Фу3UU'(3-21)Эксперименты свидетельствуют, однако, что в большей
части поперечного сечения трубы (как говорят, в ядре потока)
за исключением узкого пристеночного слоя турбулентная вяз¬
кость V, практически не зависит от молекулярной вязкости v
жидкости. Объяснение этого факта состоит в том, что вяз¬
кость турбулентного потока определяется не молекулярным
трением, а главным образом обменом количеством движения
в крупномасштабных вихрях. Поэтому формула (3.21) должна
быть устроена так, что молекулярная вязкость не сказывается
почти во всем сечении потока. Последнее может быть достиг¬
нуто, если функцию Ф положить линейной функцией своего
аргумента:Ф= кUUЗдесь к - некоторая константа, названная постоянной Кар~
мама.113
Если принять указанные соображения, то формулу (3.21)
для турбулентной вязкости можно записать в следующем
виде:UU= К'Uпричем закон (3.19) турбулентного трения выразится фор¬
мулой1 .!U3/(3.22)Эта формула получила название формулы Кармана [10
Уравнение (3.22) представляет собой основное уравнение фе¬
номенологической теории Кармана. Входящая в нее константа
к, равная по многочисленным экспериментам «0,4, является
константой ноAtm, универсальной в том смысле, что она оди¬
накова для различных режимов турбулентного течения жид¬
кости в трубах. Уравнение (3.22) значительно отличается от
аналогичного уравнения (2.2), справедливого для ламинарных
течений.Найдем теперь распределение и(г) осредненных скоро¬
стей турбулентного течения жидкoctи в круглой трубе. Для
этого заметим, что касательные напряжения (г) так же, как
и в ламинарном течении, распределены по радиусу линейно:Др2 L■г,ибо баланс сил, действующих на произвольно выделенный
цилиндр жидкости, рис. 3.1-3.3. не зависит оттого, каков ре-114
жим течения жидкости - ламинарный или турбулентный. Ес
ли ввести в рассмотрение величину касательного напрЯ'
жения трения на стенках трубы=гх1 ДрГ.Г.,то т„(г) можно выразить через :(3.23)Заметим, что т„(г)^0. Заменив т^(г) его выражением из
(3.22), получим дифференциальное уравнение!3 ,UU«2UW(3.24)для определения функции и(г) - распределения скоростей те¬
чения по радиусу.Величина имеет размерность скорости; обычноее называют динамической скоростью и обозначают и.. Фак¬
тически она определяет напряжение трения на стенках трубы,
ибо ри,^ = . Динамическая скорость связана с введенным
ранее коэффициентом X гидравлического сопротивления:2 ^ 2
■Г"!'''D 8U.115
где V- средняя по сечению скорость жидкости. Поскольку
коэффициент X невелик (X = 0,01 0,03), то и. s0,05-v, из
чего следует, что динамическая скорость в 20 25 раз меньше
средней скорости течения.В терминах дина.мической скорости основное уравнение
(3.24) приобретает более компактный вид:ки'\'U(3.25)Решим это уравнение. Для течения в круглой трубе, рис. 3.3,
и' < О и и'" < О, поэтому/5UUV"U/4U•Г2U= “u;Отсюда следует:Uи!или —
г drUUДвукратным интегрированием получаем:u(r)=^.+ С| + Cj • In-С(3.26)где Сг и Сг - произвольные постоянные.Граничные условия. Для определения постоянных С] и Ст
необходимы так называемые граничные условия - условия на
границах потока, то есть на внутренней поверхности трубы.
Таких условий 2:116
первое гранич}юе условие - это уже встречавшееся нам
условие прилипания, согласно которому скорость частиц
жидкости на стенках трубы равна 0:=и(го)»0.(3.27)Подставляя г = Гд в (3.26) и полагая при этом и = О, получаем:0 =U.1 + С| + Cj • /п I — CjВычитая полученное равенство из (3.26), имеем:u(r)=^.-l + Cj Inl-C(3.28)второе граничное условие более сложно и в модели лами¬
нарного течения не встречалось вовсе. Дифференциальное
уравнение (3.25) имеет более высокий порядок, чем аналогич¬
ное дифференциальное уравнение (3,2) зля ламинарного тече¬
ния, поэтому для его решения требуется еще одно дополни¬
тельное граничное условие, отражающее взаимодействие тур¬
булентного потока со стенками трубы. Такое условие было
предложено проф. Лурье MB. [13], Поскольку рассматривае¬
мое условие моделирует течение жидкости в узком присте¬
ночном слое, то оно должно связывать параметры и и"
турбулентного потока на стенках трубы с молекулярной вяз¬
костью V (влияние которой сильно в этом слое) и гладкостью
внутренней поверхности самой трубы, характеризуемой зна¬
чением Д ее .абсолютной эквивалентной шероховатости.
Иными словами, недостающее граничное условие должно вы¬
ражаться связью117
F(|u’„,u;[v,a)=0,(3.29)в которой индекс w (от англ. wall - стенка) показывает, что
соответствующие производные вычислены в точках внутрен¬
ней поверхности трубы. Поскольку, однако, из основного
уравнения модели (3.22) следует, что [u"| = k-u'J/u. , то, ис-из (3.29) и учитывая, что и'<0 , запишем гранич*ключаяUмое условие в более простом виде:vu;=-FД-u.U^(3.30)Для гладких труб (д = О) значение функции F в нуле обо¬
значим к (т.е. положим р(0) = к), тогда саму функцию можно
записать в виде отношения F = k/(l + f), где f - функция того
же аргумента Д -u./v, причем f(o)= 0. С учетом этих подста¬
новок искомое граничное условие должно иметь вид;к-и:vu„ =1 + Г(Д-и./у)(3.31)Заметим, что постоянная к и функция f универсальны так же,
как и константа к Кармана, т.е. они не зависят от конкретного
сдвигового течения и задаются раз и навсегда. В частном слу¬
чае, когда внутреннюю поверхность трубы можно считать
гладкой (Д « 0), граничное условие (3.31) имеет вид;vu; = -к • и!.(3.32)118
с помощью условий (3.31) или (3.32) можно найти вто¬
рую постоянную Сг интегрирования в выражении (3.28) для
скорости u(r) течения жидкости. Имеем;К-±-^—£2 _2у[т^ 2.Jr~T^_Отсюда2Гд-К l-Cjследовательно,V-U. 1к.и2г£,'К I-C2 l + f(A-u./v)илиCj =1 +l + f(A-u,/v)
кк-u.d/vВ круглой трубе 2го = d н e = A/d, следовательно, безраз¬
мерные параметры u,d/v и и.Д/v могут быть представлены в
видеV V d V VпоэтомуС, =1 +l+f(cRe7^)
кк - Rt.^X/%(3.33)119
Итак, распределение u(r) осредненных скоростей турбу¬
лентного течения найдено. Формулы (3.28) и (3.33) дают ис¬
комое распределение, если известна динамическая скорость
U., а фактически известен градиент давления.На рис. 3.4 представлены безразмерные турбулентные
профили осредненной скорости u(r)/untaxг/ГоРис. 3.4. Безразмерные профили осредненной скорости
жидкости в турбулентных режимахНижняя кривая относится к Re = 23000 , верхняя - к
Re = 320000, средние - к промежуточным значениям [10].
Пунктирной линией изображена парабола (3.3), лающая рас¬
пределение скоростей при ламинарном режиме течения.
Сравнение ламинарного и турбулентного распределений ско¬
ростей показывает, что турбулентные профили скоростей
имеют более плоский характер и наполняются тем больше.120
чем больше число Рейнольдса. Для ламинарного режима, со¬
гласно (3.5): u„^,/v = 2; для турбулентного режима это отно¬
шение намного меньше: в общем случае оно зависит от чисел
Кеи £ и в среднем = 1,15-^ 1,25.Универсальный закон сопротивления. Получим уравнение
для вычисления коэффициента X гидравлического сопротив¬
ления в турбулентно.м потоке жидкости в трубе. Имеем;О I ^V г-• 2лг - u{r)dr = -^• (г • u(r)dr.я • Гл л • Гл . Гл го оо оПодставляя сюда распределение (3.28) и учитывая форму¬
лу (3.33) для Cj, получаем зависимость коэффициента X гид¬
равлического сопротивления от числа Рейнольдса (т.е. факти¬
чески от средней скорости v) и от относительной шерохова¬
тости е внутренней поверхности трубы. Имеем:V =кг,го о
2и.-1 + С,-1п,/л-1 +Cj -InС;С,-]
С,-1dr =(3.36)где п = г/го . Вычислив интеграл (3.36) с учетом замечания
(3.33), получим уравнение для нахождения зависимости ко¬
эффициента X гидравлического сопротивления от числа Re
Рейнольдса и е - относительной шероховатости, т.е. X(Re.e):1кInкк ■ 1371 + f (г • 60 ^(3.37)121
Трансцендентное уравнение (3.37) называется универсальным
законом сопротивления.Если принять для феноменологических постоянных, вхо¬
дящих в уравнение (3.37), значения к = 0,4 и к = 28, то уни¬
версальный закон сопротивления принимает вид:1= 0,88-InReVx1 + f (е • Яе^Щ)-0,8.(3.38)Если вдобавок положить , т.е.считать функцию f линейной по своему аргументу с коэффи¬
циентом пропорциональности 0,31, то значения X(Re,e), най¬
денные из уравнения (3.38), достаточно хорошо согласуются с
известными экспериментами И,И. Никурадзе, рис. 3.5,Рис. 3.5. Результаты экспериментов И.И. Никурадзе122
1. Для гидравлически гладких труб (д = 0=>е = 0) урав¬
нение (3.38) упрощается и принимает вил;= 0,88'InfReN/?^)-0,8.(3,39)Его приближенное решение можно представить формулой0,3164Эта формула встречалась ранее; она была названа формулой
Блазиуса.2. Для шероховатых труб (Д?^0) к = 0,4, к = 28 и функ¬
ции f e-Re,y/X/8)=0,31-e-Re^V8 универсальный закон со¬
противления принимает вид:IЛ= 0,88 In1 + 0,11 • е • ReVX-0.8,(3.40)3. При весьма больших числах Re (Re»10^) можно по¬
ложить ReVx ->ос, и уравнение (3.40) для X приобретает вид;Л0,11-£т.е. X не зависит от числа Re. Имеем:(3.41)123
Приближенную степенную аппроксимацию выражения (3.41)
можно представить формулойХ = 0,1Ье0.2SЭта формула встречалась ранее; она была названа формулой
Шифриисона.Пример 1. Вычислить коэффициент X гидравлического
сопротивления при течении дюелъного топлива (v = 4cCm)
в трубопроводе d = 500 мм, Д = 0,25 мм) с расходом
Q = 1000 mWРасчет. Определяем среднюю скорость v течения:4Q 4 1000/3600 ,,,, ,v = —^ = т—=1,415 м/с.Ttd' 3,14-0,5-Вычисляем число Рейнольдса;Re = II = = 176875.V 4-Ю’^Вычисляем относительную шероховатость:£ = ^ = .^ = 0,0005.
d 500Получаем трансцендентное уравнение для X;' =0,88.1п ^-0,8.Vx ’ ] + 0,П-0.0005.176875-лД^Решение ищем методом последовательных приближений.
Рассматриваем функцию1 лоо 176875VX
Ф(Х)— —=—0,88 * 1л v-i + 0,8 >уЦ 1+9,728-лД^представляющую собой разность левой и правой частей полу¬
ченного уравнения. Имеем:Х = 0,02, Ф(0,02) =-0,279 ;>. = 0,019, Ф(0,019)=-0,086;124
Х = 0,018, Ф(0.018) = 0,123;?. = 0,0185, Ф(0,0185) = 0,016;= 0,0186 , Ф(0,0186) = -0,004 ,Отсюда видно, что X = 0,0186.Заметим, что если для вычисления X воспользоваться
формулой (1.36) Альтшуля, получим:Х = ОЛ'0,0005 +0,25= 0,019,176875.т.е. погрешность не превышает 2%.Пример 2. Вычислить коэффициент X гидравлического
сопротивления при течении бензина (v = 0,6 сСт) в трубо¬
проводе fd = 361 лш, Д = 0,2 мм) с расходом Q = 500 м^/ч.
Расчет. Определяем среднюю скорость v течения:4Q 4-500/3600 .V = — — = 1,358 м/с.Ttd^ 3.14'0,361^Вычисляем число Рейнольдса:V 0,6'10'"Вычисляем относительную шероховатость:е = А = М = 0,00055.
d 361Получаем трансцендентное уравнение для X:VX 1 + 49,4-VXРешение ищем методом итераций (последовательных при¬
ближений). Рассматриваем функциюФ(Х) = -)—0,88-ln-?i^5^b^L + 0,8,
^ ^ Vx 1 + 49,4.VXпредставляющую собой разность левой и правой частей полу¬
ченного уравнения. Имеем:125
А. = 0,02, Ф(0,02)=~1.36;Х = 0,018, Ф(0,0]8} = -0,]7;>. = 0,016, Ф(0,016) = 0,29;Х = 0,017, Ф(0,017)=0,049;?. = 0,0172, Ф(0,0172) = 0,003.Отсюда видно, что \ = 0,Q\12.По формуле (1.36) Альтшуля получается68Х = 0,11-0,0005 +0.25817063 ут.е. погрешность составляет 0,6%.2 0,0171,Турбулентные течения неньютоновскнх жидкостейДля турбулентного течения степенной жидкости (см.
п. 2.6) Д. Доджем и А. Мецнером получено следующее
выражения универсального закона сопротивления1 0,88пl-n/2*Re*0,4П(3.42)где п- показатель степени в реологическом законе Освальда
[24]. Это уравнение может быть получено на основе модели
Кармана (3.25), если только в граничном условии (3.32) коэф¬
фициент к, равный 28 для ньютоновской вязкой жидкости,
положить зависящим от показателя степени п , т.е. считать
к = к{п).В работе Н А. Романовой универсальный закон сопротив¬
ления (3.42) для турбулентного течения степенной жидкости
представлен в виде126
1 0,88InПk(n)'Re-a8sl-n/2“2,83,где k(n)= 2''"'^^ • exp n - (з,22-0,23/п''^) . Для практического
использования Н.А. Романова предложила явные зависимости
коэффициента X от обобщенного числа Рейнольдса;
если 0,2 < п < 0,5; XRe ’ = 0,698 • п -1,94 • 10'^
если 0,5 <п< 1,25: = 0,353-п-3,80'10'^если 1,25<п<2,0: Я.Ке''’= 0,234'п - 5,13-10'^Во всех этих формулах обобщенное число Рейнольдса опре¬
деляется как Re = v^'" d"/k (к- кинематическая конси-
стентность).Для турбулентных течений вязкопластичных жидкостей в
работе А.Г. Потапова универсальный закон сопротивления
предложен в виде:1]-8Не
IRe- J0,88/«(/?eVx)-0,8]+2,76'-^, (3.43)XRaгде Re = vd/v- число Рейнольдса; Не = tgd^/pv^ - число
Хедстрема [13.3.6. Метод управления гидравлическим сопротивлением
путем введения в поток антилурбулентной присадкиПотери напора на трение являются основной причиной
затрат электроэнергии на перекачку жидкостей и газов по
трубопроводам. Они обусловлены силами внутреннего трения
между слоями движущейся жидкости. И в ламинарном, и в
турбулентном потоке происходит так называемая диссипация
(рассеивание) механической энергии упорядоченного движе-127
ния и переход ее в энергию хаотического движения частиц
жидкости (теплоту). Для турбулентных течений этот переход
носит многостадийный характер. Механическая энергия ос-
рюдненного движения переходит сначала в энергию крупно¬
масштабных вихрей турбулизованной среды, затем в энергию
пульсационного движения мелкомасштабных вихрей и, нако¬
нец, за счет сил вязкости - в тепловую энергию жидкости. По¬
этому исстари инженеров и ученых, занимающихся трубопро¬
водами, интересовали методы вмешательства в структуру
турбулентных течений с целью снижения потерь энергии.Одним из таких методов, открытым в конце 40-х годов
английским ученым Томсом, является введение в турбулент¬
ный поток жидкости специальных высокомолекулярных при¬
садок, снижающим гидравлическое сопротивление. Этот эф¬
фект по имени его открывателя называется эффектом Томса.Механизм действия всех разновидностей антитурбулент-
ных присадок основан на гашении турбулентных пульсаций
вблизи внутренней поверхности трубопровода за счет взаимо¬
действия длинномерных молекул присадки с турбулентными
вихрями, зарождающимися вблизи стенок трубопровода. При
этом, как правило, эффект достигается при чрезвычайно ма¬
лых концентрациях присадок (измеряемых обычно в милли¬
онных по объему частях жидкости (так называемых промиле -
ррт), к которой они добавляются.За счет гашения пристеночной турбулентности происхо¬
дит снижение гидравлического сопротивления, оказываемого
потоку трубой. Поэтому таким мероприятием достигается ли¬
бо увеличение производительности перекачки (при том же
самом перепаде давлений), либо снижение давления на пере¬
качивающих станциях (при сохранении производительности
перекачки), причем эффект снижения гидравлического сопро¬
тивления. а значит, и расхода электроэнергии, может состав¬
лять от 20 до 60%. Наиболее известными из зарубежных анти-
турбулентных присадок к нефтепродуктам являются при¬128
садка «CDR» американской фирмы «Dupon-Conoco» и при¬
садка «NECCAD-547» финской фирмы «Neste», созданные на
углеводородной основе. Первая пригодна в равной степени
для перекачки как бензинов, так и дизельных топлив, вторая -
рекомендуется главным образом для дизельных топлив. Обе
присадки прошли промышленные испытания на отечествен¬
ных трубопроводах.Использование антнтурбулентных присадок имеет неко¬
торое специфическое ограничение: при длительном действии
присадок в турбулентном потоке они разрушаются (дегради¬
руют); особенно велико их разрушение при прохождении че¬
рез насосы перекачивающих станций. Поэтому при использо¬
вании присадок приходится после каждой насосной станции
вводить в поток свежие порции присадок. Наиболее рацио¬
нально использовать антитурбулентные присадки для увели¬
чения пропуск>юй способности отдельных участков, и прежде
всего лимитирующих.Все антитурбулентные присадки снижают коэффициент к
гидравлического сопротивления. Для вычисления этого коэф¬
фициента было получено уравнение (3.37) универсального за¬
кона сопротивления, содержащее две постоянные к и а, от¬
ражающие особенности взаимодействия пристеночного слоя
турбулентного потока с внутренней поверхностью трубопро¬
вода (эти константы входят в граничное условие (3.31), при¬
чем f(e'Re-^/8)=fl-e-КелД/в ). В частности, было установ¬
лено, что к * 28, а ^ 0,31.Эффект антитурбулентной присадки состоит в том. что
изменяется интенсивность пристеночной турбулентности,
то есть присадка изменяет значения констант к и а, вхо¬
дящих в условие на внутренней поверхности трубы. В качест¬
ве модели турбулентного течения жидкости с антитурбулент¬
ной присадкой естественно принять модель, в которой кон¬
станты к и а зависят от концентрации 0 этой присадки.
Иными словами, ранее постоянные и универсальные констан¬129
ты к и о в случае использования антитурбулентных присадок
становятся функциями от 6, т.е. к = к(в) и а = а(б). причем,
если присадка отсутствует (6 = 0), то к(0) = 28, д(0)=0,31.Таким образом, универсальный закон сопротивления (3,37)
для течения жидкости с антитурбулентной присадкой может
быть представлен в следующем виде:8XкЕсли положить к = 0,4 и считать f(е • Re,/X/8) линейнойфункцией своего аргумента f(e-Re^/^)=a(0)-e-Re-y^ ,
получим:= 0,88 inL{e)-Re%/Il + O,35-a(0)-6'Re>^-3,745. (3.44)В случае отсутствия антитурбулентной присадки к(0)=28,
а(0) = 0,31, и уравнение (3.44) переходит в уравнение (3.40).Для антитурбулентной присадки «CDR» зависимость к(0)
представлена в таблице 3.1:Таблица 3.10, ppm2030405060708090к(е)61,495,1143187249276340380Для антитурбулентной присадки «Neccad-547» зависи¬
мость к(0) представлена в таблице 3.2:Таблица 3.28, ppm4060100 180к(б)5075150340130
Для антитурбулентной присадки «FLO XL» фирмы «Baker
Petrolite» зависимость к(б) представлена в таблице 3.3:Таблица 3.39, ppm51015202530к(е)115230340500500,500Пример ]. Перекачка дизельного топлива с антитурбу¬
лентной присадкой «^DR» (9 = 40 ppm) ведется при числе
Рейнольдса 40000. Пренебрегая влиянием шероховатости
внутренней поверхности трубопровода рассчитать коэффи¬
циент X гидравлического сопротивления.Расчет. Формула (3.39) при Re - 40000 с коэффициентом
к(40) = 143, взятым из таблицы 3.1, дает для вычисления X
следующее трансцендентное уравнение;= 0,8 8 ■ ln(l 43 ■ 40000 ■ -JXj- 3.745.•JxЕго решение, найденное методом последовательных при¬
ближений, дает значение X = 0,0153. Это значение существен¬
но ниже того (0,0224^, которое может быть получено при
данном числе Рейнольдса в потоке нефтепродукта без анти-
турбулентной присадки; эффект составляет * 31.7%.Пример 2. Перекачка дизельного топлива с антитурбу-
пентной присадкой «Neccad-547» (6 = 180 ppm) ведется при
числе Рейнольдса 40000 (е»0). Пренебрегая в.чиянием шеро¬
ховатости внутренней поверхности трубопровода, рассчи¬
тать коэффициент X гидравлического сопротив.пения.Расчет. Формула (3.39) при Re = 40000 с коэффициен¬
том к(180) = 340, взятым из таблицы 3.2, дает для вычисления
X следующее трансцендентное уравнение:= 0,88 • 1п(з40 ■ 40000- Vx)- 3,745.^/x ^\г\
Его решение, найденное методом последовательных при¬
ближений, дает значение Я = 0,0129. Это значение сущест¬
венно ниже того (0,0224^ которое может быть получено при
данном числе Рейнольдса в потоке нефтепродукта без анти-
турбулентной присадки; эффект составляет « 42,4%.В ряде случаев (например, при числах Re < 75000) допус¬
тимо пренебречь изменением коэффициента а за счет введе¬
ния антитурбулентной присадки и по-прежнему считать
а » 0,31. Тогда выбрать концентрацию 0 присадки, необхо¬
димую для уменьшения коэффициента X до заданной величи¬
ны, можно следующим образом. Поскольку из (3.44) для ко¬
эффициента к(0) следует выражениек(0) =0,11е +\*г.74УД"oiiiTT”(3.45)то, определившись с тем, какое значение X должно быть
обеспечено введением антитурбулентной присадки, по фор¬
муле (3.45) вычисляют коэффициент к(0). Затем по таблицам
3.1-3.2 зависимости к от 6 находят требуемую концентра¬
цию 6 присадки. Умножая последнюю на общий объем пере¬
качиваемой жидкости, определяют необходимое количество
присадки.Пример 3. Требуется увеличить пропускную способность
иефтепродуктопровода (D = 377мм. б = 8.н«, Д = 0,15.ил1Л
перекачивающего дизельное топливо fVj = 9 сСт) с расходом450 мЗ/ч на 30% при имеющемся ресурсе давления. Найти не¬
обходимую концентрацию антитурбулентной присадки«CDR».132
Расчет. Рассчитываем первоначальную скорость пе¬
рекачки, число Рейнольдса и коэффициент Хц гидравлическо¬
го сопротивления;Vq = 4Q/S = 4 ■ 450/Г3600' ЗЛ4 ■ 0,361' 7 = 1,221 м/с.Re, = v^d/v, = 1,221 ■0,36l/{9-10-") = 48976,£ =0,15/361 sO,0004; X, =0,023.Поскольку пропускную способность требуется увеличить
на 30%, то новая скорость v перекачки и новое число Re Рей¬
нольдса будут такими;V = 1.3-Vj S 1,587 м/с,=> Re = l,3 Reo =63669.Вследствие неизменности ресурса давлений должно вы¬
полняться равенство Xo(Reo,0) VQ =X(Re,e)-v\ Отсюда вы¬
числяем новое значение X:=0,023-0/1,3)^ =0,0136 <0,023,По формуле (3.45) вычисляем константу к(9):к(е)=0J 1 • 0,0004 +1-^1.74$ДоТЗбМ8л/0,С1|36215.63669-^0,0136По таблице 3.1 находим, что такому значениго к отвечает
концентрация 0 а? 55 ррт присадки.Путевое разрушение антитурбулентной присадкиАнтитурбулентная присадка, введенная в поток нефти или неф¬
тепродукта, не остается в неизменном первоначальном состоянии,
она подвержена постепенном}' разрушению (деструкции). Разру¬
шение материала присадки, образованного многоатомными
молекулами полимера, происходит не только в насосах пере¬
качивающих станций, но и в линейной части трубопровода.
Последний фактор обусловлен прежде всего интенсивной
бомбарди'ровкой длинномерных молекул полимера вихрями,133
образующимися на внутренней поверхности трубопровода и
инжектируемыми в ядро потока.На рис. 3.6 представлены данные о разрушении антитур-
булентной присадки FLO XL фирмы «Baker PetroUte» на одном
из участков нефтепровода D = 720 х 10 мм.Рис. 3.6. Деструкция присадки FLO XL на участке нефтепровода:
;-ЗЗррт (33-10'®);2-22 ppm (22-10'")На этом рисунке можно видеть уменьшение эффективно¬
сти Э = [Xq-Х,(э)]/?^о присадки от начала к концу участка.Эффективность действий присадки на 100-км участке трубо¬
провода (370< X <470 км) в первом случае уменьшилась на
10%, а во втором случае - на 30%. Это уменьшение можно
трактовать как уменьшение концентрации активной состав¬
ляющей присадки. Следовательно, концентрация 9 активной
составляющей присадки не является постоянной величиной, а
зависит в общем случае от координаты х вдоль оси трубопро¬
вода и времени t.Учесть кинетику процесса разрушения присадки можно с
помощью уравнения материального баланса (см. гл. 1)134
S'dvB^
dt dx= -7id-9(v,d,A,v,0),где 6- концентрация активной составляющей присадки. По¬
скольку разрушение присадки происходит, главным образом,
вблизи внутренней поверхности трубопровода, где наиболее
интенсивна генерация вихрей, то по аналогии с теорией сорб¬
ции в правую часть уравнения баланса активной составляю¬
щей присадки вводится функция ф(у,с1,Д.у,0) , выражающая
интенсивность разрушения присадки. Эта функция представ¬
ляет собой секундную убыль объема активной составляющей
присадки, рассчитанную на единицу площади внутренней по¬
верхности трубопровода (м/с), Разделив обе части последнего
уравнения на площадь сечения трубы (v = const.), получим;+ V—= —-■(p(v,d,A.v,e). (3.46)д[ д\ аЕсли считать процесс перекачки установившимся (т.е,
заполнение участка трубопровода жидкостью с присадкой
считать завершенным), то уравнение (3.46) сводится к обык¬
новенному дифференциальному уравнению для функции 0(х)de 4 (|>(у,а,д,у.9)dx d Vкоторое справедливо в той области трубопровода, где
о<е<ео.Промышленные эксперименты показали, что безразмер¬
ное отношение 9(v,d,A,v,6)/v можно принять в виде
♦(p/v = p(Re,£)-6'", где p(Re,e) и т- опытные коэффициенты,135
определяющие кинетику процесса разрушения присадки. То¬
гда из уравнения (3.47) находим:0(v.x)=J-fn, если 0<x<d-0УО,если x>d'е1-1ПНапример, коэффициенты Рит, рассчитанные по данным
промышленных испытаний присадки FLO XL, рис. 3.6, имеют
значения: т*гО,5; р«6,4 10'’. Таким образом, выражение
(3.48) дает распределение концентрации активной составляю¬
щей присадки в трубопроводе с учетом ее постепенного раз¬
рушения.Если в начале участка трубопровода, т.е. в сечении х = О,
расположена перекачивающая станция с характеристикойAH=F(q), или AH=F(v-7idV4) = F(v), то уравнение баланса
напоров для рассматриваемого участка имеет вид:лI.Zq +h„ + F(v)|-[zl -i-hL]= fx(Re,E,0)dxг d 2g(3.49)'ci-Lгде 0=0(v, x) определяется формулами (3.48). Коэффициент
X,(Re.e,0) гидравлического сопротивления в каждом сечении
участка вычисляется согласно (3.44); L- протяженность рас¬
сматриваемого участка трубопровода; Zq,Zl - высотные от¬
метки начала и конца участка, соответственно; h„ - подпор
ПС; - напор в конце участка. Нелинейное уравнение (3.49)
относительно скорости v , следовательно, и расхода136
Q = 7rd^/4-v перекачки, решается методом последовательных
приближений.3.7. Безнапорные течения. Самотечные участкиРассмотренные ранее течения транспортируемой среды в
трубопроводе относились к классу так называемых напорных
течений, поскольку движение среды было принудительным,
то есть для преодоления сил трения, кроме силы тяжести, тре¬
бовался 1радиент давления. Однако возможны такие течения
жидкости, в которых основной движущей силой является
только сила тяжести. Такие течения называют безнапорными
(англ. «gravity flow»).Разновидностью безнапорных течений являются рассло¬
енные самотечные течения. В этих течениях жидкость дви¬
жется неполным сечением; по нижней части трубы течет жид¬
кость, верхняя часть трубы заполнена парами этой жидкости и
выделившимися из нее газами, рис. 3.7.Плотность жидкости в безнапорном установившемся те¬
чении можно считать постоянной величиной р = Ро - const ,
поскольку давление в пределах самотечного участка остается
практически неизменным. Неизвестными величинами являют¬137
ся средняя скорость v(x) течения и площадь S(x) смоченной
части полного сечения трубы (S < Зц),Плошадь S(x) смоченной части сечения стремится к не¬
которой постоянной величине S , определяющей нор¬
мальную глубину потока, а само течение с постоянной нор¬
мальной глубиной называется равномерным.Рассмотрим равновесие элемента жидкости на самотеч¬
ном участке трубопровода, рис. 3.8.Рис. 3.8. Элемент жидкости на самотечном участке• Массовые силы, действующие на рассматриваемый
элемент, представленные скатывающей составляющей силы
тяжести:- dx • gsina = PoS„„p„ dx - gsinморм(ЬмaЗдесь a{xj - абсолютная величина угла наклоР1а трубопрово¬
да по отношению к горизонту в сечении х.• Поверхностные осевые силы, действующие на тор¬
цах рассматриваемого элемента, в равномерном течении урав¬
новешивают друг друга.138
• Поверкностная сила трения, действующая на смо¬
ченной части боковой поверхности рассматриваемого эле¬
мента;Р S Р Нх • тS=^Здесь - средняя величина касательного напряжения тре¬
ния на смоченной части боковой поверхности.Подставив эти силы в уравнение равновесия элемента,
получим:PogSнормsmанормg—i^SinаNVg-R^sinаWсм 04РоЗдесь введено обозначение Rr “^норм/Рсмо-. “ гидравлический
радиус смоченного сечения, Заметим, что для полностью за¬
полненного сечения R, = лГо^(2я-Го)= 0,5-Го или 4R, =d.Если положить т. =X,/8 poV^ , где - безразмерный
коэффициент гидравлического сопротивления течению жид¬
кости на самотечном участке трубопровода, то уравнение рав¬
новесия приобретает вид:илиg-R,sinаS= ^■д/к,5т|а| = Сш ■ ^/R.sinа(3.50)IU139
Коэффициент Сщ, имеющий размерность корня квадратного
из ускорения, называют коэффициентом Шези в честь Антуа¬
на Шези - французского инженера, специалиста по строитель¬
ству водоводов и каналов(1718-1798);(3,51)Коэффициент X.,. гидравлического сопротивления па са¬
мотечном участке, входящий в формулу (3.51), является функ¬
цией определяющих параметров: v - скорости течения;
d -2tq - диаметра трубопровода; Д— абсолютной шерохова¬
тости внутренней поверхности трубы; v- кинематической
вязкости жидкости; R,. - гидравлического радиуса сеченияпотока при нормальной глубине, т.е. = Xj(v,d, A,v,R, ). По¬
скольку, однако, Xj- это безразмерный параметр, то он может
зависеть только от безразмерных комбинаций определяющих
параметров. В числе 5 аргументов функции имеются толь¬
ко 2 размерно-независимые величины (например, v и d), по¬
этому, согласно 7Г - теореме Букингема, является функ¬
цией 3-х аргументов:К-КV-4R,. 4R, ДReПервый аргумент характеризует число Рейнольдса самотечно¬
го течения, вычисленное по 4R^ . второй - степень заполне¬
ния ст сечения трубы жидкостью: = f(4Rr/‘^)’тре¬
тий - относительную шероховатость внутренней поверхности140
трубы. Отсюда коэффициент Шези в формуле (3.51) можно
записать в виде:у (3.52)А.ДКе,сг,е)Коэффициент , вообще говоря, отличается от коэффи¬
циента гидравлического сопротивления на участке полностью
заполненного трубопровода, хотя и достаточно близок к нему
по своей величине. Если принять, например. «0,02 , тоС ш = д/8 - 9,81/0,02 « 60 • ■ Следует отметить, что сам
Шези считал этот коэффициент постоянным, принимая его
равным 50 у[м/с^.Благодаря тому, что самотечные течения играют огром¬
ную роль в природных и промышленных процессах (в частно¬
сти. при течении воды в открытых руслах и каналах), получе¬
но множество формул для коэффициента Сщ (формулы Базе-
на, Куттера, Маннинга. Павловского и др. [9]). Многие иссле¬
дователи ограничиваются квадратичным режимом самотеч¬
ного течения, т.е. считают касательное напряжение про¬
порциональным квадрату v' скорости. Это означает, чтои. следовательно, коэффициент Сщ не зависят от числа Рей¬
нольдса. На рис. 3.9 представлены примерные графики для
определения коэффициента Сщ Шези.Из этих графиков видно, что для трубопроводов с диа¬
метром 0.5-1,0 м коэффициент Сщ находится в пределах40-75 ^м/с ). В ряде случаев коэффициент Шези допустимо
рассчитывать, принимая для обычные формулы, справед¬141
ливые для труб с полностью заполненным сечением, с той
только разницей, что число Рейнольдса вычисляется по 4R^.С’ш >А,мл{Рис. 3.9. Графики для определения коэффициента ШезиДля определения нормальной глубины потока требуется
решить уравнение(3.53)в котором R, есть функция от или о142
Вспомогательные формулы. На рис. ЗЛО изображено по¬
перечное сечение трубопровода, заполненного жидкостью
частично: 2ср- центральный угол, под которым видна сво¬
бодная поверхность жидкости.Рис. зло. Течение жидкости неполным сечением
Справедливы равенства:11норм =^-Го-29-~-ro'-sin2(pст = _^ = _.(2ф-5т2ф),
Ьр 2я= Го ■ 2ф^ _ Shop» .Гр 2ф-5ш2ф^Го^-(2ф-5ш2ф),(3.54)смоч2фЕсли из первого и третьего уравнений этой системы исклю¬
чить ф, то получится зависимость R, .Гр).Пример. Найти степень заполнения самотечного участ¬
ка иефтепродуктопровода ( Z) = 530x8 мм, Д = 0,15 мм,а = -3°) дизельным топливом, транспортируемым по трубо-
проводу с расходом Q = 600 м^/ч.143
Расчет. Поскольку d = 530-2-8 = 514 мм, то =0,257м.
поэтому из (3.53) и (3.54) имеем:.^gsin|a| 2 ^ у 2 2<рИЛИ600/3600 _ 0,257^^^ 1^ - sin2ipyV9,81-sin3'' 4 ^ ФПроизводя вычисления, получаем уравнение:C.„.jfc^.27,8.V 9Это уравнение решаем методом последовательных при¬
ближений.1) Сначала полагаем Сщ =50, тогдаЁФ-Ё"?!?! . 0,556.ФПодбирая ф, находим фа;0,886.Вычисляем гидравлический радиус:0,257 2-0,886-sin(2-0,886)_ .К — ————^ U,U!>/ ' м,2 2-0,886По графикам на рис. 3.8 определяем *4] <50.2) Далее полагаем Сщ =41, тогда(2ф-5{п2фУ _Ч>Подбирая ф, находим ф« 0,855.Вычисляем гидравлический радиус;^0^ 2.035S-sin(2,0,8S5)^2 2'0,855144
Поскольку гидравлический радиус изменился незначи-
;льно, из графиков на рис. 3.9 следует, что Сщ *41, Таким
бразом, решение найдено, Далее вычисляем;S.OP. = ' [2 ■ 0,935 - sin(2.0,935)] - 0,024 ■= S„.p«./So = 0.024/{:i. 0,257=)= OJl 6;v = Q/S,,p„ =(600/3600)/0,024=6,9 м/с.Если скорость жидкости на самотечном участке вычис¬
лить по формуле (3.53), получим тот же результат;v = 4!.V0,055-9,81'Sin3® 5 6,9 м/с.Самотечные участки в трубопроводахСамотечным называется участок [xpXj] трубопровода, в
котором жидкость движется неполным сечением под действи¬
ем силы тяжести, причем остальная часть сечения трубы за¬
полнена парами этой жидкости. Давление в парогазовой по¬
лости остается практически постоянным и равным упругости
ру ее насыщенных паров. Несмотря на это, разность напоровмежду сечениями Xj {началом самотечного участка) и Xj
(концом самотечного участка) все же существует - она равна
разности (z, - Z,) высот этих сечений, рис. 3.И.Стационарные самотечные участки могут существовать
только на нисходящих участках трубопровода. Начало х, пер¬
вого самотечного участка называется перевачъной точкой.
Линия гидравлического уклона на самотечном участке прохо¬
дит параллельно профилю трубопровода на расстоянии p^./pgнад ним. Отсюда следует, что гидравлический уклон / на са¬
мотечном участке равен тангенсу угла наклона профиля тру-145
бопровода к горизонту: / = tga„ (или синусу угла наклоналоси трубопровода к грризонту \ = sin а ).Рис. З.П. Схема самотечного участка трубопроводаРасход жидкости на самотечном участке в стационарном
режиме равен расходу Q жидкости в заполненных сечениях
трубопровода:Q = VoSo =v-S(3.55)из чего можно заключить, что скорость v движения жидкости
на самотечном участке больше скорости v^, движения жидко¬
сти на заполненных участках трубопровода, поскольку пло¬
щадь S„„p„ части сечения, занятого жидкостью на каждом са¬
мотечном участке, меньше площади , полного сечения тру¬
бопровода; V = Vo • /S > Vo .Если течение жидкости на самотечном участке расслоен¬
ное, то степень <т = jS^ заполнения сечения трубы жид-146
остью зависит от отношения у = ifsina гидравлического ук-
юна / = Хд-l/d• Vj/2g участков трубопровода, полностью за-юлненных жидкостью, к абсолютной величине синуса угла а
laxvioHa самотечного участка к горизонту. Эту зависимость
vloжнo получить из уравнения (3,53), разрешив его относи¬
тельно . Можно предложить следующие аппроксимацн-онные формулы для расчета степени а заполнения сечения
трубы жидкостью:• Если Y = */sin а > 1, то СУ = 1.Если 32,32 -Xf) < у < 1, то
0 = 1-2,98-10'^Если 4,87 • Xg S у < 32,32 ■ Xg, тоо = 9,39-10'^- /^ + 0,113,(3.56)Если у <4,87-Хо, то/ \0.356Ууст = 0,1825Пример. Расход нефти (v = %,6 сСт) на самотечном уча¬
стке нефтепровода (0=720мм, 5 = 10 мм. Д = 0,2 мм) ра¬
вен 900 м^/н. Трубопровод наклонен к горизонту на угол
а = -1°. Какова степень заполнения сечения трубы нефтью
на утом участке?Расчет. Вычисляем скорость перекачки, число Рей¬
нольдса Re, коэффициент Хд гидравлического сопротивления
и /■ гидравлический уклон на напорных участках нефтепрово¬
да: v,=4.900/3600-3,14-0,700^ =0,650м/с; sin(l°) = 0,0175;Re - 0,65 • 0.7/(8,6 • 10'^ )= 52907 ;147
Xq = 0,0219;i = ■ 1/d ■ v^/{2g)= 0,0219 ■ 1/0,7 ■ 0,657(2-9,81) s 0,0007.Вычисляем параметр у : Y = “ = 0,0007/0,0175 = 0,04.Поскольку у = 0,04 < 4,87 ■ Xq = 0,1067 . то в формулах
(3-56) реализуется четвертый случай:о = 0,1825{2у/Х^)“'”" =0,1825 (2-0,04/0,021 s 0,29,
т.е. сечение рассматриваемого участка нефтепровода заполне¬
но примерно на 29%.Как определить, есть ли в рассматриваемом трубопрово¬
де самотечные участки? Для этого нужно построить совме¬
щенную картину профиля трубопровода и линии гидравличе¬
ского уклона. Если линия гидравлического уклона проходит
всюду выше профиля трубопровода, причем это превышение
составляет величину большую, чем р^ /pg , где р^ - упру¬
гость насыщенных паров жидкости, то самотечных участков в
трубопроводе нет. Если же линия гидравлического уклона в
какой-нибудь точке подходит к профилю трубопровода на
расстояние меньшее, чем Py/pg. или вовсе пересекается сним, то в трубопроводе существует один или несколько само¬
течных участков.Обратимся к рис. 3.12. на котором изображен участок 00|
трубопровода, и построим для него линию гидравлического
уклона.Линию BKjrUK,n,A гидравлического уклона трубопро¬
вода начинаем строить с конца 0| рассматриваемого участка.
Для этого достаточно знать напор и гидравлический уклон в
конце участка. На отрезке В К, линия гидравлического укло¬
на лежит значительно выше профиля трубопровода, поэтому
сечения последнего заполнены полностью. Однако в точке К,
линия гидравлического уклона подходит к профилю трубо¬
провода на расстояние р,,/pg, поэтому точка К,- это конец148
lepBoro безнапорного участка. Таким образом, один из само¬
течных участков найден. Линия гидравлического уклона
KjFI, на этом участке проходит параплельно профилю трубо¬
провода.Рис. 3.12. Определения местоположения самотечных участковПродолжаем строить линию гидравлического уклона. Из
точки rij она выходит под углом, тангенс которого равен
гидравлическому уклону (т.е. пара;1лельно отрезку В ).
Оказывается, что в точке К, эта линия вторично подходит к
профилю трубопровода на расстояние p^./pg. Следовательно,внутри трубопровода давление опять становится равным уп¬
ругости насыщенных паров и в нем должны сугцествовать па¬
рогазовые полости; точка К; - это конец второго самотечного
участка. Его начало, точка П, - является перевальной точкой.
Эта точка называется перевальной потому, что достаточно
доставить транспортируемую жидкость в точку П,, чтобы она
затем достигла конца участка Oi трубопровода самотеком, т.е.
только под действием силы тяжести. Таким образом,' найден149
второй самотечный участок К,П|. Линия гидравличе¬ского уклона на этом участке проходит параллельно профилю
трубопровода на расстоянии Py/Pg от него. На участке П,Алиния гидравлического уклона параллельна своим отрезкам
BKj и rijK,, построенным для полностью заполненных сег¬
ментов трубопровода.Из рис. 3.12 следует, что наличие самотечных участков в
трубопроводе приводит к увеличению начального напора Н,
(а следовательно, и давления pj, на перекачивающей стан¬
ции, значит, требует более высоких затрат энергии на пере¬
качку по сравнению с трубопроводом, в котором самотечные
участки отсутствуют. Если линию гидравлического уклона,
начиная от точки Kj, мысленно продлить до начального се¬
чения участка, то можно определить напор Н,, который был
бы необходим для перекачки жидкости с тем же самым расхо¬
дом в трубопроводе той же длины и того же диаметра, но без
самотечных участков. Очевидно, что Н, > Н,.Пример. По участку нефтепровода Z. = I40 к.и;/) = 530
мм. 5 = 8 мм, А - 0,2мм) перекачивают нефть ("р = 870 кгУм\V = 8.5 сСт, Ру = 0,02 МПа) с расходом Q ~ 400 м^/ч. Про¬
филь участка имеет вид, представленной в таблице:X, км080120140Z. м10010000Давление в конце участка составляет 0.2 МПа. Определить
давление в начале участка.Расчет. Сначала вычисляем гидравлический уклон;=4-400/Г3600-3,14 0,514^; = 0,536 м/с;Re = 0,53 6 ■ 0,514/(8,5 -10'") = 32412;= 0,П ■ (0,2/514 + 68/32412)'’''' = 0,025;/ = 0,025 • 1/0,514 • 0,536' /(2 • 9,81) £ 0,00071.150
Затем вычисляем потери напора на участке трубопровода
между 120 и 140 км. Они равны =г-20000 = 14,2 м, по¬
этому напор в конце спуска, т.е. в сечении х = 120 км, равен0.210V870-9,81 + 14.2 = 14,43 м.Поскольку Pj,/(pg)=20000/(870'9,81) = 2,34 м, то в сече¬
нии X = 120 км трубопровод еще полностью заполнен нефтью.
Однако перепад высот на нисходящем участке составляет
100 м (см. профиль трубопровода), поэтому очевидно, что в
каком'то сечении спуска давление нефти станет равным упру¬
гости р^ ее насыщенных паров, поэтому часть нисходящегоучастка трубопровода неизбежно окажется самотечным. Оче¬
видно, что начало этого участка совпадает с началом спуска,
т.е. с сечением х = 80 км.Гидравлический уклон на равнинном (полностью запол¬
ненном) сегменте трубопровода, между началом участка и
80 километром, равен гидравлическому уклону на полностью
заполненном сегменте трубопровода л<ежду 120 и 140-км, т.е.0,71 м/км, поэтому потери напора ho.go s 56,8 .м. Следова¬
тельно, можно найти давление р, в начале участка. Имеем;
870’9,81-56.85484771 Па или ^4.95 атм.151
Глава 4РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ
РАБОТЫ НЕФТЕПРОВОДОВРассматривается расчет установившихся (стационарных)
режимов работы магистральных трубопроводов для транспор¬
тировки вязких жидкостей, прежде всего нефти и однородных
нефтепродуктов. В качестве исходного базиса используются
уравнения, полученные в первой главе.4.1. Система основных уравнений установившегося
течения несжимаемой жидкости в трубопроводеВ установившемся течении все параметры транспорти¬
руемой жидкости в каждом сечении трубопровода остаются
постоянными, поэтому в основных уравнениях п. 1.8 частную
производную д{ )/dt следует положить равной нулю. Выяс¬
ним следствия, к которым приводят основные уравнения, опи¬
сывающие такие течения.1. Уравнение неразрывности (1.8) приводит к условию^ (pvS)= О,dx9из которого следует, что массовый расход М = pvS транспор¬
тируемой жидкости остается постоянным во всех сечениях
трубопровода:М = pvS - const.Если жидкость является несжимаемой (dp/dt = 0) и одно¬
родной ( р = const. ), а диаметр трубопровода постоянным
(S = с.’оя5/.), то скорость V жидкости остается неизменной на
всем протяжении трубопровода152
v{\)^cunsi.(4.1)2. Уравнение движения (1.10) в проекции на ось трубо¬
провода имеет вид;р- Vdvdx dускорим?С учетом условий р = const. , v = const, и равенства
sina{x)=dz/dx оно упрощается и имеет вид:dp 4 dzах d dx(4.2)3. Уравнение изменения механической энергии прелстав'
ляется уравнением (1.17) Бернулли:dxay- fdpJ2g •'pgЧН(х)ngv1 V n•ijyr.место.d 2g gvЕсли учесть, что p = const, и выполнить интегрирование этого
уравнения между сечениями х = х, и x = xi трубопровода,
получим:(4.3)153
где L,_, - расстояние между сечениями х, и Xj; t;j - безраз¬
мерные коэффициенты находяшихся
на участке [хрх, трубопровода. Каждое отдельное слагаемое
вила q.v^/2g отражает дополнительные потери механическоймощности в окрестности сечения, в котором имеется то или
иное местное сопротивление (поворот трубы, сужение или
расширение, тройник, задвижка, пробоотборник и т.п.) Коэф-
фипиенты местных сопротивлений находят главным обра¬
зом экспериментальным путем с использованием соображе¬
ний размерности и подобия. Существуют специальные спра¬
вочники значений [6]. Таким образом, общие потери h,.,напора складываются из потерь h^, связанных с работой сил
вязкого трения, и потерь , связанных с преодолением мест¬
ных сопротивлений:2 i=m(4,4)h,h.В расчетах магистральных трубопроводов, как правило,
пренебрегают изменением скоростного напора по сравнению с
изменениями пьезометрического и геометрического напоров,
а сумму потерь h„ на преодоление местных сопротивлением
полагают равной 0,02-0,03 от потерь h, напора на трениеили вообще пренебрегают. Поэтому весьма часто уравнение
(4.3) Бернулли используют в следующем виде:(4.5)154
4. Уравнение (1.43) изменения полной энергии в случае
установившегося течения несжимаемой жидкости имеет вид:pvSdxouyr.+ - + gz= 7rd -qили после деления на площадь S = nd~/4 сечения трубы:4 dpv—^ = Т-Чп -PV' —
dx d dx+ gzЕсли принять допущения= Cv • Т + comt.;X \ddxчРЧ.=-Кт-(Т-Т„),TO уравнению баланса полной энергии можно придать вид;(4.6)Система уравнений (4.1)-(4.6), дополненная данными о
коэффициентах Х(Ке,е) гидравлического сопротивления и- коэффициенте теплопередачи, служит основой для рас¬
чета установившихся режимов работы трубопроводов, транс¬
портирующих несжимаемые жидкости (нефть или однород¬
ный нефтепродукт).155
4.2. Расчет установившегося изотермического течения
жидкости на участке трубопроводаУравнение Бернулли (4.5), записанное для участка трубо¬
провода между его началом х, = О и концом х = L, имеет вид:Г >/ \= ^(Re,e)~Ipg ;vPg )(4.7)где L - протяженность участка. Предполагается, что трубо¬
провод на участке [0,LJ заполнен полностью так, что салю-
течные участки отсутствуют (см. п. 7 гл. 3). Предполагает¬
ся также, что течение жидкости изотермическое, ее вязкость
постоянная и, следовательно, постоянен коэффициент Я. гид¬
равлического сопротивления. Тогда уравнение (4.7) представ¬
ляет собой алгебраическое уравнение, связывающее три пара¬
метров течения - давление рц в начале участка трубопровода,давление р,_ в конце участка и скорость v течения жидкости.
Рассмотрим несколько задач, для решения которых использу¬
ют это уравнение.Задача 1. Расчет давления р^ в конце участка трубо¬
провода по заданному давлению р,, в начале участка (ти дав-%деиия в начале участка по заданному давлению в конце
участка) и расходу Q жидкости.Решение. В этом случае для определения давления в
конце участка имеем уравнениеь. =-BiZo - Z L - ?.(Re, е) ~ ~
Pg Pg а 2g(4.8)156
Поскольку расход жидкости задан, то известна скорость
v = 4Q/TOi' течения жидкости, число Рейнольдса: Re = vd/vи, следовательно, режим течения. По формулам (1.35)-(1.39)
рассчитываем коэффициент Х[Ке,Е.) гидравлического сопро¬
тивления, По формуле (4,8) вычисляем давление Pl в конце
участка трубопровода.Аналогично можно вычислить давление р^ в начале уча¬
стка трубопровода по заданному давлению Pl в его конце и
расходу Q жидкости:^ = i^+z,-z, + ?.{Re,e)~.^. (4.9)pg pg d 2gПример. Давление в конце 80~км участка нефтепровода
^0^720x10 мм, 4 = 0,015 мм, Zy =50 м, =100 м), транс-портируюгцего сырую нефть (р = 870*кг/м \v= 15-сСт), со-
ставляет 0.6 МПа. Какое давление должно быть в начале
участка, чтобы расход Q перекачки был равен 5500 м^/ч?
Предполагается, что самотечных участков в трубопроводе
нет.Расчет. Сначала находим внутренний диаметр d трубо¬
провода и относительную эквивалентную шероховатость £:d = 720-2'10 = 700 мм, е = 2,И-!0 *.Вычисляем скорость v течения нефти и число Рейно¬
льдса:40 4-3500/3600 ^ ,V 1510'^По формуле (1.36) Альтшуля вычисляем \. Имеем:157
X = од 1 •2,14-10-^ +ч68 '0.2S= 0,0172.118067,Используем формулу (4.9);—Ь =_2iii^+(50-i00)+0,0172-^^^’^^.870-9,81 870-9,81 ' 0,7 2-9,81Отсюда находим: Ро = 5,65 -10 Па.Задача 2. Расчет скорости v и расхода Q жидкости по
заданным давлениям р„,р^ в начале и в конце участка трубо¬
провода.Решение. В этом случае для определения скорости v
жидкости имеем уравнениеX(Re,e)-v=-^-Pg(4.10)/правая часть которого известна (обозначим ее а), однако ре¬
жим течения жидкости и, следовательно, вид формулы для
вычисления X неизвестны, поэтому уравнение (4.10) решаем
методом итераций (последовательных приближений).1-е приближение. Полагаем = 0,02, тогда из уравнения(4,10) вычисляем скорость жидкости в первом приближе¬
нии: v = ya/X*'^. Верхний индекс в круглой скобке означаетномер приближения-Осуп1ествляем проверку обоснованности выбора коэффи¬
циента X*'* . Вычисляем число Re*'* Рейнольдса, соответст¬
вующее первому приближению Re*'^ = v^'^d/v , где v- коэф¬
фициент кинематической вязкости жидкости, и относитель¬
ную эквива;]ентную шероховатость e=A/d ; по формулам
(1-35)-(1.39) рассчитываем коэффициент гидравлического158
сопротивления второго приближения. Если <5, гдеб - некоторая допустимая погрешность (например,
б = 0,0005 ), процесс итераций заканчивается, и в качестве
решения берется v = v'‘*. Если > 5, то необходимосделать следующее приближение.2-е приближение. Полагаем Х = тогда из уравнения(4.10) вычисляем скорость жидкости во втором прибли¬
жении: V = Va/^.Далее процесс повторяется; осуществляем проверку обос¬
нованности выбора коэффициента . Вычисляем число
Re*’* Рейнольдса, соответствующее второму приближению
Re"'- = v'^’d/v ; по формулам (1.35)-(1.39) рассчитываем ко¬
эффициент гидравлического сопротивления второго при¬ближения. Если<5, процесс итерации заканчивает¬
ся, и в качестве решения берется v=v*^\ Если >5,то необходимо сделать следующее приближение и т.д.Пример. Давление в начале 80-км участка нефтепровода
(^£> = 720x10 лш, Д = 0,015лш, Z(,=50.m, 2^=Ю0л<Л транс-портирующего сырую нефть (р = 870-кг/м \ V = 15 - сСт). СО'
ставляет 5,0 МПа, а в конце участка МПа. Найти расход
Q перекачки. Иредпо.пагается. что самотечных участков в
трубопроводе нет.Расчет. Сначала находим внутренний диаметр d трубо¬
провода и относительную эквивалентную шероховатость £:d = 720-2-10 = 700 мм, e = ■^^^2,14•10-^700Уравнение Бернулли+z„-Zl =X(Re,E)'^Pg ^ ^ ' d 2g159
записываем в виде уравнения (4.10). Имеем;^(Re.s)- =2'9,8Ь0,7(5-0,8)-10'2 0,0759.+ 50-10080000 L 870'9,81Уравнение решаем методом последовательных прибли¬
жений.1-е приближение. Полагаем А.*''=0,02, тогда из получен¬
ного уравнения находим:1,948 м/с.\ 0,02Выполняем проверку обоснованности взятого значения
Для этого вычисляем Re^'’ и с :Re"' = LBllOJ ^ ^ ^ 0^ ^ 2,14-10-‘.15-10"^ 700Используя формулу (1.36) Альтшуля, находим>.*^\ соот¬
ветствующее значению Re^'^;nO.2568s0,0183<X^”.90907N ✓2^е приближение. Полагаем = 0,0183, тогда из полу*
ченного уравнения находим:= 2.037 м/с.V 0,0183Выполняем проверку обоснованности взятого значения
Для этого вычисляем Re^^*:R='=> =1^,95060.IS'IO'®Используя формулу (1.36) Альтшуля, находимХ^^\ соот¬
ветствующее значению Re*^^Х^" = 0,1Ь2,1410-56895060 J0.25= 0,0181*Х<^’,160
следовательно, решение найдено: v » 2,037 • м/с.Вычисляем объемный расход Q нефти. Имеем:Q = 2,037 = 0,784 м'/с или »2822-м7ч.Задача 3, Расчет минимального диаметра d участка
трубопровода, обеспечивающего заданный расход Q жидко-сти при известных давлениях концах участка.Решение. В этом случае для определения диаметра d
участка трубопровода используем уравнение (4.10), записан¬
ное через расход Q жидкостиилиX(Rc,e).16Q- 2gd2 j4лМLРо-РPg+ Zn — ZiX(Re,e)-g8Q'LPo Pl+ Zn - z,\pg(4.11)Правая часть этого уравнения известна (обозначим се Ь), од¬
нако режим течения жидкости и, следовательно, вид формулы
для вычисления X заранее не определены, поэтому уравнение(4.11) решаем методом последовательных приближений./-е приближение. Полагаем X*’' = 0,02, тогда из уравнения
(4-11) вычисляем внутренний диаметр d'” трубопровода впервом приближении: = (x^^УbУ^ Верхний индекс в круг¬
лой скобке означает номер приближения.Осуществляем проверку обоснованности выбора коэффи¬
циента Находим скорость соответствующую перво-161
му приближению: v"'=4q/nd''' J; затем вычисляем числоRc"* Рейнольдса Re*''= v'’*d*'yv , соответствующее первому
приближению, где v- коэффициент кинематической вязкости
ЖИДКОСТИ- По формулам (1.35)-(1.39) рассчитываем коэффи¬
циент гидравлического сопротивления второго прибли¬жения. Если< S, где 5 - некоторая допустимая по¬
грешность (например, б = 0,0005), процесс итераций заканчи¬
вается, и в качестве решения берется d = d^‘^ ЕслиА.'"' - X*'' > б, необходимо сделать следующее приближение.2-е приближение. Полагаем X = X*’', тогда из уравнения(4.11) вычисляем диаметр d^’’ трубопровода во втором при¬
ближении: d*''= .Далее процесс повторяется: осуществляем проверку обос¬
нованности выбора коэффициента Х*^'. Вычисляем скоростьv'"' и число Re'*' Рейнольдса, соответствующее второму при¬
ближению v''^ =: 4Q/, Re'‘* = v'^'d^'Yv ; no формулам
(l.35)-(1.39) рассчитываем коэффициент X’^* гидравлическогоV-)сопротивления второго приближения. Еслипроцесс итераций заканчивается, и в качестве решения берет¬
ся v = v*-^, Если Х’^’-Х*''>5, то необходимо сделать сле¬
дующее приближение и т.д.Пример. Давление в начале 80-км участка нефтепровода
(Zf,=50 м. Zl=IOO м), транспортирующего сырую нефть(р = 870-кг/м\у = 15-сСт), составляет 6.0 МПа, а в конце
участка 0.8 МПа. Каким должен быть минимстьный диа¬
метр d участка трубопровода, чтобы обеспечить расход
Q = 2000 -u '/v перекачки? Предполагается, что самотечных
участков в трубопроводе нет. Принять Д « 0,15 мм.162
Расчет. Из уравнения (4.11) имеем:X(Re,e)_ я^-9,81
d' ~8(200(У3600)-800005,2-10&870'9,81+ 50-100= 0,274.}-е приближение. Полагаем = 0,02, тогда из получен¬
ного уравнения находим:d"’ = ^0,02/0,274 S 0,592 м.Выполняем проверку обоснованности принятого значения
Для этого вычисляем v^‘*,Re*‘* и е*'*;= 4Q/(nd‘'>^)= 4■(2000/3600)/(71-0,592') = 2.02 м/с,Re"> 79723, Mil^2,53.10-15'10’® 592Используя формулу (1,36) Альтшуля, находимХ^^\ соот¬
ветствующее значению числа Re*'':( fiRХ<'' = 0,11- 2,53-10'Ч-^ S0,0I89<?.''\L 79723j2-е приближение. Полагаем =0,0189, тогда из полу-ченного уравнения находим:d'-* = уо,0189/0,274 = 0,586 м.Выполняем проверку обоснованности принятого значения
Для этого вычисляем Re*^' и е*'*:= 4 - (2000/3600)/(т1 -0,586^ )=2,06 м/с,= 80477^ = Mil ^ 2,56 -10’’,15-10’^ 586Используя формулу (1.36) Альтшуля, находимХ*’’, соот¬
ветствующее значению Re'^^/ .g sO,25= ОД 1 - 2,56 -10-^+ S 0,0189 *163
следовательно, решение найдено: d‘^’ * 0,586 м. Учитывая
сортамент выпускаемых труб, можно взять D = 630 х 10 мм.Итерационный алгоритм расчета параметров работы
участка трубопровода в обшем случаеОднако метол, изложенный выше и основанный на непо¬
средственном решении уравнения Бернулли, далеко не всегда
является предпочтительным. Особенно в тех случаях, когда в
трубопроводе имеются самотечные участки, отводы и пупин-
ги. В этих случаях наиболее подходящими оказываются ите¬
рационные алгоритмы, в которых подбор решения происходит
методом последовательных приближений. Итерационные ал¬
горитмы особенно удобны в компьютерных расчетах. Рас¬
смотрим один из них.Пусть участок трубопровода задается числовым массивом^0> I > ^ к i [zt_|,Z(.], Z„ уВ первой строке массива указаны координаты х^, сечении
трубопровода с произвольным шагом Дх = х^-х^., . Номер
к = О соответствует началу х = О участка, номер к = п - кон¬
цу участка трубопровода. Во второй строке массива указаны
высотные отметки соответствующих сечений трубопровода.
Профиль трубопровода в пределах каждого сегмента [x^_,,x^
предполагается прямолинейным.Основным элементом расчета являетад алгоритм решения
следующей вспомогательной задачи.Вспомогательная задача. В произвольном сечении х\.
трубопровода известны значения расхода и напора.
Требуется рассчитать значения расхода. , напора и164
давления = p^g-(H^-Zj.) в предыдущем сечении х^., тру¬
бопровода.Поскольку номер к сечения произволен к может изме¬
няться от конца участка (к = п ) до начала участка (к = О )тру-
бопровода, то рассматриваемый модуль позволяет рассчитать
расходы, напоры и давления во всех сечениях рассматривае¬
мого участка. Расчетную схему вспомогательного алгоритма
иллюстрируют рис. 4.1 а и 4.1 б.линия гидравлического уклонаРис. 4.1а. Расчетная схема вспомогательного алгоритма{случай напорного течения)Решение.Ьй случай: р^ =p^g {Hj -zJ>Py, где р^ - упругость на¬
сыщенных паров транспортируемой жидкости. Это условие
означает, что Тече1гие жидкости в сечении х = х^ напорное и
труба в этом сечении заполнена полностью.Поскольку в сечении х^, расход Q^, и полный напор
известны, а сбросы или подкачки жидкости на сегменте165
отсутствуют, то Qk_i=Qk' Следовательно, расход
жидкости в предыдущем сечении х^_, участка найден.
Рассчитаем теперь напор в предыдущем сечении
х,^., участка. Для этого:рассчитывается скорость перекачки =4Q^/^d^ ;
рассчитывается число Рейнольдса Re, =v^d/v;
рассчитывается коэффициент гидравлического со¬
противления A.J =Х(Ке^,е) поформулам(1-35)-(1-39);рассчитывается гидравлический уклон (наклон линииCD),, =X,/d.v,V2g;рассчитываются потери AHj. напора на сегменте
Xfc ,,x^J участка;= /j, ' (х| -рассчитывается напор Н^., в сечении х,,.,:Н,_,=Н,+ДН,;
рассчитывается давление p^._j в сеченииРк-1 =Pg-(Hk-|-Zk_,)'Найденное давление р^_[ сравнивается:• с максимально допустимым давлением р^, на данном
участке трубопровода;• с упругостью Ру насыщенных паров жидкости.Имеются две возможности.1. Давление р^., > , где р„„ - максимально разре¬
шенное давление. Тогда алгоритм прекращает текущую ите¬
рацию и возвращается к расчету участка трубопровода, начи¬
ная с его конца (к * п), с измененным значением (Qj. рас¬
хода (см. решение основной задачи);166
2. Давление • Тогда вычисленное давлениесравнивается с упругостью р^ насыщенных паров жидкости.Здесь также возможны два варианта.2а) р^ I > Pj . Это означает, что результаты выполненного
расчета правомочны, ибо течение жидкости на всем сегменте
x^-|,x^J является напорным, труба заполнена жидкостью
полностью. Таким образом, параметры потока в сечении х^.,
рассчитаны, и можно переходить к расчету параметров потока
в следующем х^,^ сечении в порядке убывания номера к от
конца (к = п ) к началу (к = 1) участка трубопровода;26) р^_1 < р^. Это означает, что результаты выполненного
расчета неправомочны, ибо виутри рассчитываемого сегмента
участка существуют сечения, в которых имеется па¬
рогазовая фаза, рис. 4.1 б.линия гидравлического уклонаРис. 4.1 б. Расчетная схема вспомогательного алгоритма
{случай безнапорного, самотечного течения)167
Координата х, сечения, в котором давление становится
равным упругости насыщенных паров жидкости, рассчи¬
тывается по формуле_ (H>-zJ-p,/(pg) , .(z, -Xk-i)Часть АС [х|,..рХ.] сегмента АВ [x^.i^xj трубопровода
представляет собой самотечный участок, причем сечение
х = х, является его концом; на другой части СВ [x.,xj, сег¬
мента жидкость движется полным сечением.Таким образом, все параметры течения жидкости в сече¬
нии x = Xj,,| трубопровода найдены:Qk-i=Qk. H^.,=Zk_,+—. Pw-i=Pj...pg2-й случай, = р^,, Это означает, что в сечении х =течение жидкости безнапорное, т.е. оно происходит неполным
сечением. Имеются две возможности.1. Z|j., > . Это означает, что на всем протяжении сег¬
мента [xj..j,x^ участка трубопровода течение жидкости про¬
исходит неполным сечением, поэтому в сечении х = х^_,:рQk-i н,_, =z^_, + ^, р,., = р .pg2. z^.| < . Это означает, что на всем протяжении сег¬
мента [xj._i,xJ участка трубопровода течение жидкости про¬
исходит полным сечением, поэтому расчет осуществляется по
правилам случая I для расчета напорного течения.Таким образом, расчет сегмента x^_,,Xj участка трубо¬
провода завершен.168
На основе описанного алгоритма расчета, названного
вспомогательным, действует основной итерационный алго¬
ритм. Этот алгоритм реализует решение следующей задачи.Основная задача. Найти расход Q жидкости на участке
трубопровода с произвольиы.м профилем, а также постро¬
ить линию гидравлического уклона, если известны давление
рд в начале участка и давление р, в конце участка.Решение.Схема участка, подлежащего расчету, представлена на
рис. 4.2.. Рис. 4,2. Итерационный алгоритм гидравлического расчетаРешение задачи строится методом итераций- Если пред¬
положить, что известен интервал 0< Q < Q„„ , в котором мо¬
гут лежать значения расхода перекачки, то в качестве первого
приближения берется значение Q*'^ = Q^, /2.Расчет начинается с конца участка, т.е. с сечения х„ = L.
Поскольку напор Н „ = Zl + р| /pg в этом сечении известен, то169
линия гидравлического уклона всегда должна выходить из
точки А и приходить в точку В.1-е приближение. В сечении х„ известны напор Н„ ирасход Q*'\ поэтому, согласно вспомогательному алгоритму,
переходя последовательно от сечения к сечениюх^_, (к=п,п-1,п-2 л) . можно рассчитать значения(н^,Ок =Q'"} напоров и расходов во всех сечениях участка
трубопровода, включая его начало х = О (для определенности
на рис. 4.2 этому решению соответствует пунктирная линия
гидравлического уклона с уклоном i').Поскольку напор Н|‘’, получившийся в начале участка,
больше заданного напора Н, = + p^/pg, т.е. линия гидрав¬
лического уклона пришла в точку, лежащую выше точки В,
то расход перекачки требуется уменьшить и взять значе¬
ние = Q*'’/2 е (o,Q*'’). Заметим, ЧТО если бы ли»шя гид¬
равлического уклона пришла в точку, лежащую ниже точкиВ, то расход перекачки потребовалось бы увеличить и в каче¬
стве второго приближения взять большее значениеQ“=(Q"’+Q„„,)/2s(q">,Q„.,).2-е приближение. Второе приближение осуществляется
так же, как и первое, только с расходом Q^'*. В результате с
помощью вспомогательного алгоритма будет построена линия
гидравлического уклона с меньшим уклоном /', рис, 4.2. Для
примера показано, что в этом случае в трубопроводе сущест-Iвует самотечный участок между сечениями х,^_, и х^.Поскольку напор получившийся в начаае участка,
меньше заданного напора =zj+p(,/pg, т.е. линия гидрав¬
лического уклона пришла в точку, лежащую ниже точки В, то
расход перекачки требуется увеличить и взять значение= 0,5- (q''>,Q“>) и т.д.170
в результате последовательных приближений получаем
линию гидравлического уклона, выходящую из точки А и
приходящую в точку, как угодно близкую к точке В. Расход
Q последнего приближения принимаем за решение задачи.
Для него рассчитываем все параметры течения (напоры и дав¬
ления во всех сечениях участка трубопровода), а также по
формулам (3.51) находим степени заполнения самотечных
участков, если таковые имеются.4.3. Моделирование работы перекачивающих стаииийЕсли давление Ро в начале участка трубопровода не зада¬
но, то нужна дополнительная информация, отражающая взаи¬
модействие рассматриваемого участка с теми устройствами,
которые осуществляют закачку жидкости в трубопровод. Как
правило, этими устройствами являются насосы или перекачи¬
вающие станции, поэтому рассмотрим способ моделирования
их работы. Известно, что при течении жидкости в трубопро¬
воде напор постепенно уменьшается, поскольку механическая
энергия убывает за счет работы сил вязкого треиия одних сло¬
ев жидкости о другие. Энергия переходит в тепло или, как го¬
ворят, диссипирует. Вот почему для транспортировки жидко¬
стей нуж\{ъ\ устройства, создающие напор. Обобщенно такие
устройства можно называть насосами.Насосы. Насосы - это устройства для принудительного
Перемещения жидкости от сечения с меньишм напором (в
линии всасывания) к сечению с большим напором (в линии на¬
гнетания). Поскольку высотные отметки входа и выхода каж¬
дого насоса одинаковы, то можно говорить, что насосы - это
устройства для принудительного перемещения жидкости от
сечения с меньшим давлением (в линии всасывания) к сече¬
нию с большим давлением (в линии нагнетания) [8'.Простейшая математическая модель насоса может быть
сформулирована как алгебраическое уравнение171
дН = Ь^-Ь- = р(0). (4.12)Pgдающего зависимость дифференциадьпого напора ДН , созда¬
ваемого насосом, от расхода (подачи) Q жидкости. Зависи¬
мость ДН = F(Q) определяет так называемую напорно¬
расходную (Q - Н) - характеристику насоса.Существует множество видов, типов и конструкций насо¬
сов - поршневые, плунжерные, шестеренчатые, шнековые,
фрикционные, мембранные и многие другие. Однако для
транспортировки нефти и нефтепродуктов в магистральных
трубопроводах используют главным образом центробежные
насосы. Жидкость в насосах такого типа перемещается от се¬
чения с меньшим давлением к сечению с большим давлением
центробежной силой инерции, возникающей при вращении
рабочего колеса с профильными лопатками, рис. 4.3. В верх¬
ней части рисунка показано рабочее колесо реального нефтя¬
ного насоса, в нижней части - изображена его принципиаль¬
ная схема.Рабочее колесо закреплено на массивном вале и вращает¬
ся вместе с ним с большой угловой скоростью (в некоторых
конструкциях насосов число оборотов достигает 5000 об./мин.
и более), поэтому па жидкость, оказывающуюся внутри коле¬
са, действует центробежная сила инерции, Эта сила заставляет
жидкость перемещаться вдоль лопаток колеса от его центра к
периферии, преодолевая перепад давления Др = р„ - р,, рав¬
ный разности давления р^ нагнетания (на периферии колеса)
и давления р, всасывания (в его центральной части). Иными
словами, центробежная сила инерции принуждает жидкость
перемещаться из области низкого давления в область высоко¬
го давления. Для такого принуждения необходимы затраты
внешней энергии. Эти затраты осуществляются приводом на-172
coca, в качестве которого выступают электродвигатели, двигЭ'
тели внутреннего сгорания или газовые турбины.Рис. 4.3. Рабочее колесо центробежного насосаЕсли перейти в систему координат, связанную с вращаю¬
щимся колесом, то можно считать, что само колесо стоит не¬
подвижно, а на жидкость, заполняющую его полость, действу¬
ет центробежная сила инерции рсо’г, где р - плотность жид¬
кости, со - угловая скорость вращения колеса, а г - расстоя¬
ние частицы жидкости от оси вращения. Так, например, в ра¬173
бочем колесе с радиально расположенными лопатками баланс
сил, действующих на жидкость, движущуюся по радиусу от
центра колеса к периферии, можно записать в виде уравнения:drЗдесь dp/dr - радиальный градиент давления, противодейст¬
вующий движению; f^(Q)- сила трения. Сила трения f,(Q)
зависит от подачи Q, причем ее величина возрастает при уве¬
личении Q. Проинтегрировав это уравнение от О до ( Rk "
радиус рабочего колеса), находим:—Ap = R,p f,(Q) или —R,p f^Q).Разделив далее обе части уравнения на pg , получим;(4ЛЗ)2g gТаким образом, вращение рабочего колеса с угловой
скоростью со способно заставить жидкость перемешаться
против разности Др давлений между периферией колеса и его
центральной частью, причем максимальное значение разности
давлений, которую способна преодолеть центробежная сила,равна pco'R,.’/2. Такое значение Др достигается при Q = 0,
когда сила трения отсутствует. При Q > О существует зависи¬
мость (4.12), определяющая (Q-H)- характеристику насоса
(AH = Ap/pg). При увеличении Ар подача Q насоса умень¬174
шается и, наоборот, чем меньше перепад давлений, который
должен преодолеть нагнетатель, тем больше подача насоса.Пример. Какой максимальный дифференциальный напор
может развить центробежный насос с радиально располо¬
женными лопатками рабочего колеса, имеющего радиус 0.25
м и вращающегося с частотой п = 3000 оборотов в минуту?Расчет. Число 3000 оборотов в минуту соответствует уг¬
ловой скорости со = 2л-п/60 = 2Л-3000/60 = 50 с''. Тогда
согласно (4.13) имеем;(^Н)^V W 2g 2-9,81Характеристики (Q-H) центробежных насосов, рабо¬
тающих в установившихся режимах, часто аппроксимируют
двухчленной квадратичной зависимостью:ДН = о-г>-д\ (4.И)где дифференциальный напор ДН измеряется в м, а объем¬
ный расход О ■" в м^ч, поэтому размерность коэффициента
а - м, а размерность коэффициента Ь - м/(м^ч)^Аналогично (t|-Q)- к.п.л. характеристики центробежных
насосов аппроксимируют параболой, проходящей через 0:Tl = k,Q-k,-OS (4.15)где к|,к, - коэффициенты аппроксимации.Например, магистральный насос НМ 2500-230 с диамет¬
ром рабочего колеса D, = 430 мм, рассчитанный на номи¬
нальную подачу 2500 mVh и номинальный на1юр 230 м, имеет175
(Q-Н)- характеристику: ДН = 280-0,792 10’^ , а тот же
насос с диаметром рабочего колеса D, =385 мм - характери¬
стику ДН = 230-0,655 10"’ - Q\ где ДН - в м, Q-B м^ч. На
рис. 4.4 представлена (Q-H)- характеристика этого насоса.Н, m
28024020016012080П, %10080604020ОНМ 2500-230Hr/NJL\•/орег,ating•/ггаг•*/•N, kWt
200016001200600400800 1600 2400
Q. rnVh3200Рис. 4.4. Характеристики центробежного насоса НМ 2500-230Две верхние кривые на этом рнсунке представляют
(Q^H)- характеристики насоса со сменными рабочими коле¬
сами (385 и 430 мм), средняя кривая показывает зависимость176
потребляемой мошности N (кВт) от расхода Q, а нижняя кри¬
вая - зависимость коэффициента полезного действия г|(°/о) от
расхода Q транспортируемой жидкости. На этом рисунке от¬
мечена также operating range (рабочая зона) насоса, т.е. интер¬
вал расходов Q, для которого предназначен данный насос. В
этом интервале (1800 < Q < 3000 м^ч) коэффициент полезного
действия т] будет максимальным ( г\ = 85% ), а мощность
N«1600 кВт,Изменение гидравлических характеристик насоса. При
адаптации насосов к конкретным условиям перекачки возни¬
кает необходимость изменения гидравлических характеристик
этих насосов. Как правило, изменение характеристик осуще¬
ствляют двумя способами: I - заменой рабочего колеса насоса
рабочим колесом другого (большего или меньшего) диаметра;
2 - изменением числа его оборотов. В каждом из этих спосо¬
бов характеристики насоса трансформируются по определен¬
ным правилам, в основе которых лежат законы подобия. Эти
правила состоят в следующем.Пусть зависимости Др=ф(р,0, ,п,р,..,) и N=x(Q’D^ ,>^>P>- )
выражают связь дифференциального давления Др и мощно¬
сти N насоса с расходом (подачей) Q при диаметре рабо¬
чего колеса и числе п оборотов его ротора. Поскольку для
каждого конкретного насоса конструктивные параметры не¬
изменны, то рассматриваемые зависимости выражают связь
Др и N с изменяемыми параметрами v,D^,n насоса:Др = ф(у,0^,п,р,„.) и N = x(v,D,,n,p,.,.).В число аргументов (р Vi х входят 3 размерно¬
независимых параметра - , п, р, причем размерность пара¬
метра Др совпадает с размерностью произведения р • (Ок.п)^ ’
а размерность параметра N - с размерностью p'(D^n)’, Кро-177
име того, нетрудно проверить, что отношения Др/[р(0,пУN/|p{D,n)’ являются безразмерными величинами, т.е. ихчисленные значения не зависят от выбора единиц измерения.В теории размерности и подобия существует известная
теорема (П-теорема [13]), согласно которой безразмерные фи¬
зические величины могут являться функциями только безраз¬
мерных аргументов, ибо в противном случае численные зна¬
чения безразмерных физических параметров зависели бы от
выбора единиц измерения, чего, естественно, быть не может.
Следовательно, характеристики насоса могут быть записаны в
виде функциональной связи безразмерных параметров:Др= f/ ЧVДрf/ \
f Q 1p■(D.n)=;D,nJЧ /JpMI IiD.nJили^ VN= g/ \
VN{ ^ 1.p'D n ;.p'1 s1 D n\ « /Если обозначить посредством Др=Дро(р) и N = No(q)
характеристики насоса при номина-1Ы10м диаметре рабо¬
чего колеса и номинальном числе Пд оборотов его ротора, то
при другом диаметре D^, рабочего колеса и другом числе п
оборотов его ротора дифференциальное давление Др и мощ¬
ность N того же насоса могут быть представлены в виде;Q(D.„no)3 NoQDn(4.16)178
Зависимости (4.16) означают, что при изменении диаметра
рабочего колеса или числа его оборотов, или того и другого
одновременно, график (Q-p)- характеристики насоса растяги¬
вается вверх по оси Др в (0,п)'/(0^оПц)^ раз, а по оси Q - в
(D^n)/(D,f,n(,) раз; график (Q-N)- характеристики насоса рас¬
тягивается вверх по оси N в (О^п)^/(О^^Пр)’ раз, а по оси Q -
в (D,n)/(D,„nJ раз.Если вместо дифференциального давления Ар = р„ -р,
использовать дифференциальный напор ДН = Др/pg , то
(Q-H)- характеристика насоса имеет вид:лн яD.n(4.17)где F(Q)=Apo(Q)/pg- (Q-H)- характеристика насоса с диа¬
метром рабочего колеса и числом оборотов Пц.В частном случае двухчленной квадратичной зависимости
(4,14) трансформированная (Q-H) - характеристика насоса
записывается особенно просто:М' a-b-Q\ (4.18)(О.оПо)т.е. в ней изменяется величина только первого коэффициента.Пример 1. (Q-H)- характеристика центробежного насо¬
са НМ 1250-260 с диаметром рабочего колеса 465 мм имеет видДН ==369,7-0.451-10 ■‘•Q^179
(ДН - в л/, Q - в ,»%). Какую характеристику будет иметь
тот же насос, если его рабочее колесо обточить до 440 мм?Расчет. Согласно формуле (4.18) новая характеристика
насоса имеет вид:ДН =''440^'V465•369,7-0,45!• 10“'-Q' s331-0,451-10 "Пример 2. (Q-H)- характеристика г1ентробежного на¬
соса НМ 1250-260 с диаиетром рабочего колеса 465 мм
имеет видДН =369.7-0.451 10“* Q-
(ДН - в м. Q - в м'^/ч). Но сколько нужно обточить рабочее
колесо насоса, чтобы при той же подаче (расходе) насос раз-
вивач напор на 40 д/ меньше?Расчет. Согласно формуле (4.18), новая характеристика
насоса имеет вид:Го V•369,7 = 369,7-40 = 329,7 => D„ s 439 мм.V465т.е. колесо нуж!ю обточить на 465-439 = 26 мм.Пример 3. (Q-H)- характеристика центробежного на¬
соса НМ 1250-260, делающего 3000 об^мин, имеет видДН =369,7-0,451-10
( ДН ~ в м, Q - в м^/ч). На сколько нужно уменьшить числооборотов ротора насоса, чтобы при той же подаче (расходе)
насос развивал напор на 40 м меньше?Расчет. Согласно формуле (4.18), новая характеристика
насоса имеет вид:/ Ч.2-369,7 = 369,7-40 = 329,7 => п = 2833 o6.jMUH,
т.е. нужно уменьшить на 167 об./мин.180
Метод перепуска. Характеристику центробежного насоса
можно изменить также методом перепуска. При перепуске
часть жидкости из линии нагнетания (линии высокого давле¬
ния выхода из насоса) возвращается по байпасу обратно в ли¬
нию всасывания (линию низкого давления на входе в насос).
Обозначив посредством расход жидкости» возвращаемой
из линии нагнетания в линию всасывания, получим, что
подача насоса увеличится и станет равной Q + 4,. • Тогда(Q-H)- характеристику насоса можно представить в сле¬
дующем виде:AH = F(Q + qJ. (4.19)Поскольку известно, что при изменении аргумента функции
на некоторую величину > О ее график сдвигается влево по
оси Q на такую же величину, то можно видеть, что при каж¬
дом значении подачи Q дифференциальный напор ДН , раз¬
виваемый насосом, уменьшается. В частности, если характе¬
ристику насоса представить двучленной зависимостью
F(Q)=a-bQ\ то насос с перепуском части жидкости из ли¬
нии нагнетания в линию всасывания имеет характеристикуДН = F(Q) = а - b(Q + q.)’ = (а - bq;)- 2bq.Q - bQ’. (4.20)Пусть, например, насос с (Q-H)- характеристикой
ДН = 331-0,45M0"’Q^ при расходе Q = 1000 мУч развива¬
ет напор ДИ = 331-0,451 • 10^(1 OOOf = 286 м. Тогда для того
чтобы при том .же расходе уменьшить развиваемый напор на
15 м, необходимо организовать перепуск жидкости с расходом
= 154 м’/ч, см. уравнение (4.20).181
Перекачивающая станция. Перекачивающие станции
это инженерные сооружения, ядром которых являются насо¬
сы, соединенные последовательно и (или) параллельно. Пере¬
качивающие станции, как и сами насосы, предназначены для
создания в трубопроводе движущего напора.При последовательном соединении насосов, рис. 4.5, их
(Q-H)-характеристики складываются; причем подачи (рас¬
ходы) всех насосов одинаковы, а дифференциальные напоры
складываются; Q, =Q^ =Q, ДН = ДН, + ДН^.Рис. 4.5. Последовательное соединение насосов:(М- задвижка;[>4 - клапан обратный)Если, например, ДН, = а,-Ь,-Q^ - характеристика первого
насоса, а ДН^ = - характеристика второго насоса,то система двух насосов, соединенных последовательно, име¬
ет характеристику:ДН = (о,(4.21)При параллельном соединении насосов, рис. 4.6, их
(Р-Н)-характеристики также складываются, однако, иначе.
Расходы жидкости в отдельных насосах будут разными, но их182
сумма равна общему расходу перекачки. В то же время напо¬
ры, создаваемые каждым насосом, одинаковы. Иными слова¬
ми, имеют место равенства: Q = q, -bq,, АН = ДН, = ДН з.Рис. 4.6. Параллельное соединение насосов:
{^-задвижка; клапан обратный;| -заглушка)Если, например, ДН = а,-А,-Q^- характеристика перво¬
го насоса, ДН = д,-Ь, - Q'- характеристика второго насоса,
то система двух параллельно соединенных насосов имеет ха¬
рактеристику7(а,-ДН)/^ +Vk-AH)/A, =Q.(4.22)Пример I. (Q - Н)' характеристика центробежного на¬
соса с dua.vempo.y рабочего колеса 440 м.м имеет вид:ДН = 33!-0,45М0'" Q’-,
а другого насоса той же марки, но с диаметром рабочего ко¬
леса 465 мм-вид:ДH=374-0,451•10-^•Q^183
("ДН - ем, Q~e м^/ч). Какую характеристику будет иметь
система этих двух насосов, соединенных последовательно?Расчет. Согласно (4.21), получаем:ДН =(331 + 374) - 2 ■ 0,451 ■ 10 ■ Q' = 705 - 0,902 ■ 10“" ■ Q'.Пример 2. {Q-U)-характеристика центробежного на¬
соса с диаметром рабочего колеса 440 мм имеет вид:AH=331-0,45M0^-Q%
а другого насоса той же марки, но с диаметром рабочего ко¬
леса 465 мм - вид:AH = 374-0,45110^Q'
f ДН ~ в м, Q - в м^/ч). Какую характеристику будет иметь
система этих двух насосов, соединенных параллельно?Расчет. Согласно (4.22), получаем:V(331 - АН)/0,451 ■ 10"^ + V(374 - ДН)/0,45 Г10^ = QИЛИV331-ДН + л/374-ДН = 6,716-10’’ -Q, где ДН<331 м.Характеристикой (Q-H) перекачивающей станции на¬
зывают суммарную (Q-H)-характеристику всех работающих
на ней насосов (включенных последовательно или параллель¬
но) за вычетом (Q-H)-характеристики подводящих комму¬
никаций. Последние считаются элементом, соединенным с
насосами станции последовательно.4.4. Расчет совместной работы участка
трубопровода и перекачивающей станцииДля расчета совместной работы участка трубопровода и
перекачивающей станции, находящейся в начальном сечении
участка, используют систему уравнений184
Pl = £k + ZL'Z„+A(Re,e)~-^
Pg Pg d 2gP»-P.pg= F(q), где Q = -^^v,(4.23)где p„ - давление в линии всасывания станции (т.е. давление
перед станцией); величину p„/pg называют подпором. Ис¬
ключая начальное давление ру из первого уравнения этой
системы с помощью второго уравнения, получаем уравнение
баланса напоров:Р8^ Pi_ / N L\ ^ ) pg d 2g' < — _/nio) на)(4.24)Это уравнение означает, что полный напор Н(0) - сумма гео¬
метрического 2ц напора, пьезометрического подпора po/pg и
дифференциального напора, создаваемый перекачивающей
станцией, равен напору H(L) в конце участка трубопровода
плюс потери ho_L напора на этом участке.При заданных значениях давления р„ подпора и давле¬
ния Pl в конце участка (4.24) даст уравнение для определения
неизвестной скорости v течения жидкости. Если (Q-H)-ха¬
рактеристика перекачивающей станции представляется дву¬
членной зависимостью F(Q)=a-bQ^ ТО, выразив расход Q
жидкости через ее скорость v, получимF(Q) = a-^ 8^3600^ V-(здесь S = ndV4 , Q в mY^ , v в
придем к уравнениюм/с ) и, следовательно,185
Flo)L V2q + —+ (fl-&'S^3600^ 'V^)=z, +—+ ?.(Re,e)—
pg Pg d 2g’hIoThO)•o tЧтобы решить эта уравнение, удобно все члены, содер¬
жащие неизвестную скорость v , перенести в правую часть
уравнения, оставив в левой части только известные величины.
Имеем:(z^-zj+bi—£к+а =
pgфе,е)~+fc-S^360tf
2gdv^ (4.25)Уравнение (4.25) можно решать методом последовательных
приближений, изложенным в п. 4.2, Покажем, как это делается
на конкретном примере.Пример^ Два одгшаковых последовательно соединенных
насоса, (Q - Н) - характеристики которых имеют вид:ДН = 331 - 0,451' 10’^ * ДН — в м, Q - в м^/ч), осуществи
ляют перекачку дизельного топлива (р-840 кг/м^, v=9 сСт)
по участку трубопровода ( D =5 530 ж 8 мм. L = 120 км,
А =5 0,2 мм, Zq = 50 .W, Zl = 100 м). Найти расход перекачки и
давление в начале участка, если давление в конг^е участка
составляет 0,3 МПа, подпор перед станцией равен 30 м и,кроме того, известно, что самотечных участков в трубопро¬
воде нет.Расчет, Запишем уравнение (4.25) баланса напоров:b.--^ + (zo-zJ+2a =
pg pgL\X +1,296. lO^S'-262gdПодставляя сюда исходные данные, получаем уравнение:186
300,310^
840-9,81+ 50-100+2-331 =X-J2000010,530-2.0,008 2-9,81+ 1,296-10'3,14-0,5142-0,45М0или605,6 = v^-(ll899,2-?.+ 50,3).Решаем это уравнение.Первое приближение. Полагаем = 0,02. Тогда из полу¬
ченного уравнения находим: v*'’= 1,449 м/с. Однако необхо¬
димо проверить, правильно ли взято значение коэффициента, поэтому вычисляем число Рейнольдса;Re‘‘^ = 1,449 ■ 0,514/(9 ■ 10“')= 82754.Затем по формуле (1.36) находим:= 0,11 ■ (0,2/514 + 68/82754f" = 0,0205 > = 0,02.
Отсюда видно, что взятое значение коэффициента гидравли¬
ческого сопротивления должно быть увеличено.Второе приближение. Полагаем X*'* =0,0205. Тогда ис¬
ходное уравнение дает: = 1,434м/с. Опять проверяем, пра¬
вильно ли взято значение коэффициента . Имеем:= 1,434 ■0,514/(9 10'")^ 81897;Х'^' = 0,11 ■ (0,2/514 + 68/81897)'’'-' = 0,0206 * = 0,0205.
Таким образом, получено удовлетворительное совпадение
взятого и найденного коэффициентов X .Итак, VS 1,434 м/с, тогда Q = 3,14-0,514^4 1,434г0,2974
mVc или Q = 0,2974 • 3600 s 1071 м^ч.Найденное решение позволяет вычислить давление р^ в
начале участка трубопровода; po=pg{h„ +F(Q) .Имеем:187
Ро=840.9,81-[30 + 2-(зЗ]-0,45М0-^1071-)] = 4.85-]0' Па
или 4,85 МПа,4.5. Расчет работы трубопровода с промежуточными
перекачивающими станциямиРассмотрим трубопровод, состоящий из нескольких после¬
довательных участков, разделенных перекачивающими стан-
ииями. Транспортировка жидкости осуществляется в режиме из
насоса - в насос. В случае отсутствия промежуточных сбрюсов и
подкачек жидкости, а также самотечных сегментов, для каждого
участка можно написать уравнение Бернулли:z„+h„,+F|(q)]
[z,+h„,+F,(Qj—Z:+h„,= Ki(Q\= h,.3(Q),(4.26)k + h„+F„(Q)1 -ZL + hL.= hn-(„ i)(Q).где ДН = F,{Q), ДН = р2(р),,.,, ДН = F„(Q)- гидравлические
(Р-Н)-характеристики перекачивающих станций; п- число
станций; h..|j.„(Q)- потери напора на участках между пере¬
качивающими станциями в зависимости от расхода Q пере¬
качки; Z|,Z,,...,Z„ - высотные отметки станций;подпоры перед ними, причем =p„,i/(pg);ZL,hi_ = Рь/(рб)~ высотная отметка и пьезометрический на¬
пор в конце (X = L) трубопровода, соответственно.Уравнения (4.26) представляют собой систему п алгеб¬
раических уравнений (по числу участков) с п неизвестными
величинами: расходом Q и (п-1) подпорами перед про¬
межуточными перекачивающими станциями.188
I-e следствие (уравнение баланса напоров для 1рубопро-
вода).Почленное сложение уравнений системы (4,26) друг с
другом дает уравнение, нагыьгшоа уравнением баланса напо¬
ров для всего трубопровода-.(4.27)Это уравнение служит для определения расхода Q жидкости
(пропускной способности трубопровода), поскольку все неиз¬
вестные подпоры h„ J перед промежуточными перекачиваю¬
щими станциями оказываются исключенными.Следует иметь в виду, что расход Q, найденный из урав¬
нения (4,27), может быть реализован в рассматриваемом тру¬
бопроводе только в том случае, если подпоры ^ всех про¬
межуточных станций будут больше минимально допустимого
значения, гарантирующего бескавитационную работу насосов,
а давления во всех сечениях трубопровода - меньше макси¬
мально допустимого значения, определяемого условиями
прочности трубопровода.2-е следствие (уравнение для расчета подпоров перед пере¬
качивающими станциями).Почленное сложение друг с другом только первьгх s
(s < n) уравнений системы (4,26) дает уравнение для опреде¬
ления подпора h,,,. перед s-й промежуточной станцией:(4.28)Расход Q, входящий в это уравнение, считается известным;
он находится из уравнения (4,27),189
При расчете потерь напора па участках трубопровода не¬
обходимо учитывать возможность существования на этих уча¬
стках перевальных точек и самотечных сегментов, п, 3.7 гл. 3.Пример 1. Нефтепровод с протяженностью L = 450 км
состоит из трех линейных участков, данные о которых пред¬
ставлены в таб.ище, приведенной ниже. Подпор h„, головнойнефтеперекачивающей станции равен 50 л», а напор hL в кои-
lie трубопровода - 30 м.№ п.п.Длина, кмD, ммб, ммZo,MZl, м1.150720850602.180720860703,120720870180В начале каждого линейного участка находится нефте¬
перекачивающая станция с двумя одинаковыми последова¬
тельно соединенными насосами, характеристики которых
даны в таблице:Nsп.п.Марканасоса(Q-ДН)-характеристикаКавит.
запас, м1.НМ 2500-230ДН =251-0,812-10'^Q-402.НМ 3600-230ДН =285-0,640-10''Q'403.НМ 5000-210AH = 236-0.48010'^Q^40Определить пропускную способность нефтепровода при
перекачке нефти (р = 900 кг/м\ v = 30 сСт), а также подпо¬
ры промежуточных нефтеперекачивающих станций.Расчет. Уравнения баланса напоров для участков трубо¬
провода имеют вид:150000 V-50+50+2’(25]-0,812’10-^-Q-)-[60+h„J = X0,704 2-9,81190
180000 V260+h„,+2-(285-0,640'10-’qM-[70+ \,] = X-Л.2 V V /j n.3j 2-9,8170+h„,+2-(236-0,480-10-’Q-)-fl80+30] = X--^-^^^—-—.^ ^ ^ ^ 0,704 2-9,81Здесь учтено, что вследствие неизменности диаметра трубо¬
провода при переходе от одного участка к другому, скорость
перекачки и коэффициенты гидрав^аического сопротивления
участков одинаковы; ^ подпоры промежуточныхстанций, заранее неизвестные и подлежаише определению.
Сложив почленно исходные уравнения, получим:1434 - 3,864 • 10’’ • ^ 32579 • W или
1434 = v^-{32579-). + 75,8).Эго уравнение (баланса напоров для всего трубопровода)
решаем методом последовательных приближений. Сначала по¬
лагаем X.*'' =0,02, тогда из уравнения находим: = 1.404 м/с.
Проверим, правильно ли взят коэффициент \ \= 1,404-0,704/(30 ■ 10“® )s 32947,= 0,3164/V32947 = 0,0234 > Х'’* = 0,02.В качестве второго приближения принимаем значение
= 0,0234, тогда из уравнения находим; = 1,308 м/с.
Проверим, правильно ли взят коэффициент X*’':Re'-’= 1,308-0,704/(30 •10'*)s 30694;X*” = 0,3164/V30694 = 0,0239 = 0,0234.Итак, v'’’ = ),308 м/с или Q = 1832 м^ч.Из первого уравнения баланса напоров определяем h„2:
50+50+2-(251-0,812-10-^-1832-)]-[60+h„,]=150000 1.308^= 0,0234 , откуда находим: i,, s 52J м.0.704 2-9,81Из второго уравнения баланса напоров находим :191
60+52,7+2-(285-0,640-10'^’1832^)]-[70+Ь,.з]=180000 1,308-
= 0,0234 или h„, S 48,0 м.0.704 2-9,81Оба найденных подпора промежуточных нефтеперекачи¬
вающих станций удовлетворяют требованиям кавитационного
запаса, поэтому найденный режим перекачки реализуем.4.6. Итерационный алгоритм гидравлического расчета
трубопровода с промежуточными станциямиСистема уравнений (4.27) в принципе решает поставлен¬
ную задачу о расчете трубопровода с промежуточными пере¬
качивающими станциями. Однако в реализации расчетов, ос¬
нованных на решении этой системы, возникают трудности,
прежде всего тогда, когда на одном или нескольких перегонах
между перекачивающими станциями имеются самотечные
участки. В этих случаях линия гидравлического уклона не яв¬
ляется отрезком прямой, соединяющей напор в начале и в
конце участка, и правые части уравнений в этой системе вы¬
числяются более сложно.Дадим более простой и надежный метод расчета трубо¬
проводов с произвольным профилем, промежуточными пере¬
качивающими станциями (а если необходимо, то и с отводами
и лупиигами), основанный на последовательных приближе¬
ниях {М.В. Лурье. 1992). Этот метод особенно удобен тогда,
когда расчеты осуществляются с использованием компьютер¬
ной техники.На рис. 4.7 изображен трубопровод, для простоты со¬
стоящий из 2-х участков и одной промежуточной станции ме¬
жду ними. Давление р„ подпора перед головной перекачи¬
вающей станцией и давление в конце трубопровода счи¬
таются известными. Кроме того, считаются известными
(Q-H)- характеристики обеих перекачивающих станций, т.е,192
AH = F|(Q) и ДН = р2(0). требуется построить линию гид¬
равлического уклона на протяжении всего трубопровода, в
частности, определить местоположение самотечных уча¬
стков (если таковые имеются), )iaumu расход Q перекачки и
давления на выходе каждой сташ/ии.Рис. 4.7. Итерационный алгоритм расчета трубопровода
с промежуточными перекачивающими станциямиРасчет начинается от конца трубопровода, т.е. от сечения
А , и ведется до начала трубопровода, т.е. до сечения В. Для
некоторого значения расхода (О < Q < ) из точки В
строится линия гидравлического уклона. Построение ведется
путем перехода от сечения к сечению Х(..| согласно вспо¬
могательному алгоритму, изложенному в п. 4.2. В частности,
выявляются самотечные участки (если для выбранного значе¬
ния Q*'^ расхода они существуют). В результате действия
вспомогательного алгоритма определяется напор , расход
Q^=Q*'^ и давление р"''"" = pg'(Н,--zj нагнетания,т.е. давление на выходе промежуточной перекачивающей
станции.193
Если давление ^ Рт.х > •'Д® Pw* “ максимально до¬
пустимое давление по условию прочности труб, то рассчиты-
вается давление в линии всасывания промежуточнойстанции, т.е. давление на ее входе: рс''^ -pg-F,(Q''*).Иными словами, находятся напор и расход в точке D на вхо¬
де промежуточной станции - F, (q*'’).Если Pc" -Pnun • где р„„п - минимально допустимое
давление, определяемое кавитационным запасом насосов
станции, то расчет может быть нродолжен.Если хотя бы одно из двух указанных выше неравенств
нарушено, то расчет прерывается и затем начинается заново с
измененным значением расхода: если нарушено первое
неравенство, то расход уменьшается, если нарушено второе
неравенство, то расход увеличивается.Если оба неравенства выполнены, то в сечении D из¬
вестны напор и расход, и расчет продолжается в направлении
начала трубопровода, в данном случае головной станции.В результате действия вспомогательного алгоритма
определяется напор Hg , расход Qg=Q*'^ и давление
рм.гнет. _ pg _ J, J нагнетания, т.е, давление на выходе го¬
ловной перекачивающей станции.Если давление р”'"'"" , то вычисляется напор передголовной перекачивающей станции: Рц^"" -pg ’ Р,(0"*).Полученное давление сравнивается с заданным значени¬
ем р„ давления подпора головной станции. Если pg" >P„. >то это означает, что значение расхода, принятое в первой
итерации, слишком велико и должно быть уменьшено. Если
же Ре“" < р„ , то это означает, что значение Q*’' расхода, при¬
нятое в первой итерации, слишком мало и должно быть уве¬
личено.194
в качестве второго приближения берется значение
расхода, большее или меньшее в зависимости от результатов«АЖ Асравнения pg и р„ , затем расчет повторяется заново отконца трубопровода, т.е. от сечения А . На рис. 4.7 линией
гидравлического уклона является линия AC’D'E’F'.Выполняя итерации последовательно друг за другом, ка¬
ждый раз то увеличивая, то уменьшая расход перекачки (по
методу деления интервала возможных расходов пополам), на-
холим такое значение при котором линия гидравличе¬
ского уклона, начинающаяся в А, приходит в точку, как угод¬
но близкую к точке В. Последняя итерация дает искомое ре¬
шение задачи.Итерационный метод расчета режимов работы трубопро¬
вода с промежуточными перекачивающими станциями реали¬
зуют, главным образом, с помощью специальных компьютер¬
ных программ. На рис. 4.8 представлено окно результатов рас¬
чета, выполненных с помощью компьютерной программы
«Транзит-нефть», разработанной Российским государствен¬
ным университетом нефти и газа имени И.М. Губкина (авт.
М.В. Лурье, А.С. Дидковская. 1998).В нижней части рисунка представлен профиль трубопро¬
вода; в верхней части - линия гидравлического уклона с дву¬
мя самотечными участками, возникающими на втором и
третьем перегонах. Программа позволяет изменять число уча¬
стков трубопровода, его профиль, число и тип устанавливае¬
мых насосов, плотность и вязкость транспортируемой жидко¬
сти, учитывать раскладку труб по диаметрам, наличие сбросов
и подкачек, устанавливать лупинги и т.д. Вверху рисунка вид¬
ны такие результаты расчета, как давления до и после перека¬
чивающих станций, коэффициенты полезного действия насо¬
сов, число и координаты самотечных участок, степень их за¬
полнения жидкостью.195
ie*lee|«er ^«М »ЙТ*Й*'<• I м *>•*1*V•мрРис* 4.8. Расчет нефтепровода с головной и двумя
промежуточными перекачивающими станциями4.7. Расчет установившегося неизотермического течения
жидкости на участке трубопроводаДля расчета стационарных режимов работы трубопровод
дов, ведущих перекачку жидкостей с подогревом (горячую пе¬
рекачку), используется система уравнений (4.1)-(4,6):dxА'dx
pvC(pvS)=0,+ zPg
' dxd 2g4KT(4.29)Из первого зфавнсния системы следует равенство
pvS = сол5?., означающее постоянство массового расхода в196
стационарном режиме. Если принять, что трубопровод имеет
постоянный диаметр d = coftsf. (т.е. пренебречь тепловым
расширением трубы), а также условие р » comt. (т.е. пренеб¬
речь тепловым расширением жидкости), то из постоянства
массового расхода следует условие постоянства скорости пе¬
рекачки: V» Vq = const.с учетом условия v » const, систему дифференциаль¬
ных уравнений (4,29) можно записать в следующем виде:илиdxPgd 2g£Tdx4K1 v:d 2g(4.30)в общем случае первое уравнение (4,30) нельзя решить от¬
дельно от второго, поскольку в число Рейнольдса входит вяз¬
кость v(T) жидкости, зависяи1ая от температуры, а второе
уравнение нельзя решить отдельно от первого, поскольку ско¬
рость течения определяется через давления в начале и в конце
участка трубопровода. Иными словами, имеется система двух
обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя неиз¬
вестным!! функциями р(х) и Т(х).В качестве начальных условий, т.е. условий в начальном
сечении х = О участка трубопровода, можно принять условия197
Р(0)=Р0.Т(о)=То.означающие, что в начальном сечении участка трубопровода
известны давление и температура жидкости.Если в начале трубопровода находится перекачивающая
станция с характеристикой ДН = а-6 р^, то в качестве на¬
чальных условий следует принять условия£2- = ^ + a_&.Sj(3600)^-v^,
Pg PgТ(0)-Тз.В общем случае систему уравнений (4.30) приходится ин¬
тегрировать численно; аналитические решения существуют
при тех или иных упрощающих допушениях. Одно из таких
допущений состоит в том, что тепло, выделяющееся в жидко¬
сти за счет работы сил внутреннего трения, мало по сравне¬
нию с величиной внешнего теплообмена, т.е.d 2g dТ-Т.пар.Тогда второе уравнение системы (4.30) легко интегрируется.
Решение имеет вид, см. (1.52):T(x) = T„.,+(T.-T„J.expTzd-KjCvMo(4.31)198
где Mo=pV(,S(,- массовый расход; - температура на¬
ружной среды, которая также считается постоянной (Т^ = О).
Следует отметить, что скорость Vg жидкости при этом явля¬
ется постоянной, но заранее неизвестной величиной.Первое уравне1гие системы (4.30) можно представить в
виде:Ь..Pg+ Z,+ Z.?v(Re,e)dx-do 2gЭто уравнение отличается от уравнения Бернулли в стандарт¬
ной форме только тем, что в нем учитывается переменность
коэффициента X по длине трубопровода. Действительно, если
Т = Т(х), т.е. Т ^ const., кинематическая вязкость v жидкости
не является постоянной величиной (она зависит от температу¬
ры), поэтому число Рейнольдса Re = V(,d/v(T)= Re(x), следо¬
вательно, коэффициент X гидравлического сопротивления яв¬
ляются функциями от X. Это обстоятельство учитывается в
полученном уравнении Бернулли интегрированием X по дли¬
не участка.Представив давление р^ в начале участка трубопровода
через давление р„ подпора и дифференциальный напор ДН
насосов с помощью равенстваPo._P!L = a_b.S^(3600y-v^,
pg pg . .Апполучим систему уравнений:199
—- —+ (zo -Zl) + o-6-(3600-S)’ -Vo = X(Re,E)dx- —■ —,Pg Pg с ^ 2gT(x) = T„„+(t„ (4.32)Из этой системы находим скорость , следовательно, и расход
Мц =pS- Vp жидкости.Решение системы (4.32) можно искать методом последова¬
тельных приближений (итераций). Алгоритм решения состоит в
следующем:сначала рассчитывают распределение температуры Т^‘*(х)
для некоторого значения v|,*^ скорости к-го приближения со¬
гласно второму уравнению системы (4.30);затем вычисляют вязкости v(t)=v<‘>(x) И числа
Re^‘*(x)= v[,'‘’d/v’'‘'(x) Рейнольдса В сечениях участка;после этого решают первое уравнение системы (4.32) и на¬
ходят новое (к + 1)- е приближенное значение скорости.Процесс повторяют до тех пор, пока модуль разности ско¬ростейни станет меньше наперед заданной величи¬ны S - точности расчета,Аналитическое решение. Система (4.32) имеет аналитиче¬
ское решение в следующем случае:• V(T) = V„,где V,, - кинематическая вязкость жидкости при наружной
температуре Т,„р; к - коэффициент в зависимости (2,3);, 0,3164200
т.е, режим течения жидкости соответствует области так назы¬
ваемых гидравлически гладких труб - зоне Блазиуса. В этом
случае интеграл, стоящий в правой части первого уравнения
системьз, может быть вычислен в квадратурах. Имеем:0,3164 '■?.dx =ОL= •Т-Т.dx,5/Vodгде Х„ = 0,3164/^v(,d/v,„|, . Перейдем к безразмерной коорди¬
нате ^ = x/L, тогда имеем следующие соотношения:L 1'Xdx = L' fXd£ = L- fX-5^T.
J } J dTИз второго уравнения системы (4.29) следуют равенстваpVflCdT _ 4Kt-L
d4 ” dd4 pVoC^d 1dT4K^L T-T,napСледовательно,jxdx=L.]xiidT-p>CvddT-L-4KtLT-T■dTIl4pДалее имеем:201
4K^L4JT.•I T-T
T. ^ 'napИнтеграл, стоящий в правой части последней формулы,
можно записать в следующем виде:Tlге ^иц<■dT =п■dTi-Собрав все результаты вместе, получим следующее пред¬
ставление потерь напора при неизотермическом течении жид-
кости:d 2g ^ d 2g(4.33)где - эффективный коэффициент гидравлического сопро¬
тивления, определяемый формулами:1н»рm(4-34)V^'od/’нар.I ^ l-T- 'Г- \ 4KtL лК-rd'L -,счk=--lTo-T„,J, m= -^--= \ ■ (4.35)4 pCvVod С,МоЗдесь учтено равенство Ti_-T„p = (Т„-Т^р )• exp(-m), кото¬
рое следует из основной формулы (4.31), Символ Ei(9) обо¬
значает фуикг1ию Эйлера:202
Ei(e)=(4.36)которая встречается в технических приложениях и для кото¬
рой составлены специальные таблицы [18]. Некоторые значе¬
ния этой функции приведены в табмще.Таблица6-1,0-0,8-0,6-0,4•0,2-0,1-0,05Ei(0)-0,22-0,31-0,45-0,70-1,22-1,82-2,47С учетом (4.34)-(4.36) первое уравнение системы (4.32)
для определения скорости Vj неизотермического течения
жидкости приобретает вид:Рп-■^+(2y-zJ+a-^7'S^3600^-v= (4.37)Pg Pgd 2gПример. По участку практически горизонтального неф¬
тепровода ( /? = 720 X10 мм, L = 120 км) перекачивают
нефть (р=:870 кг/м\ СуДж/(кг ^С), v^^ScCm при7] = 50 и V, = 40 сСт при Гз = 20 ^С) с подогревом, при
этом начальная температура 7^ нефти равна 50 а тем-
пература окружающей среды составляет 10 ^С. Сред¬
ний по участку коэффициент теплопередачи равен
3,5 Вт/(м С). Перекачка ведется двумя поспедовательно со-
единенными насосами, характеристика каждого из которых
имеет вид Д// = 273-0,125 10'^ 0' (Д// - в м, Q - в м^/ч,
hj^ = ). Найти расход перекачки и температуру нефти в
конце участка.203
Расчет По формуле (2.3) находится зависимость v(T)
вязкости нефти от температуры:где учитывается, что v(50) = 5 сСт. Второе условие
v(20) = 40 сСт дает для коэффициента к уравнениеиз которого находим к S 0,0693 l/''С.Далее составляется уравнение (4.37) баланса напоров;120000!■273-0,125-10’^Q'= Х.0,7 2-9,8) ■При этом используется эффективный коэффициент гид¬
равлического сопротивления, учитывающий переменность
температуры по длине участка, см. формулы (4.34):0,3164 1Ei{-k)-Ei(-ke '"), где4 ^ CvM, pCvVodПодставляя в уравнение баланса напоров выражение для
расхода Q через скорость течения жидкости3600,а также учитывая другие данные условия задачи, получаем
уравнение:546 =v^ (8737,4 л,+47,94).Данное уравнение решается методом итераций.1-е приближение {итерация). В качестве 1-го приближе¬
ния положим = 0,02 . Тогда из полученного уравнения на¬
ходим скорость течения жидкости: v[,‘* = 1,566 м/с. Затем про¬
веряем справедливость сделанного допущения. Имеем:204
= 5 • exp[- 0,0693 • (l 0 - 50)]= 79,95 cCt;
0,3164-VI ,566 •0,7/(79,95-IQ-')
к = 1/4 • 0,0693 • {50 -10) = 0,693;^3,5.120000
1,566'0,7’870-2000
к ■ eyp(-m) - 0.693 • ехр(-0,881) = 0,287;= 0,029 - —1— • [Ei(- 0,693)- Ei(- 0,287)]=0,8811= 0,029-;—-[-0,379-(-0,939)]=0,0186<X<'' =0,02.U,oo 1Поскольку между принятым и рассчитанным А.,ф существует
различие, сделаем второе приближение.2-е приближение. Положим =0,0186. Тогда из исход¬
ного уравнения находим новую скорость течения жидкости:
v|,‘’ = 1,611 м/с. После этого опять проверяем справедливость
сделанного допущения. Имеем:к = 0.0693 !/“С; = 79,95 сСт;Л 0>3164^1.611'0,7/(79,95-10 ')
к = 1/4 • 0,0693 ■ (50 -10) = 0,693;43,5120000т == 0,856;1.611 0.7870-2000
к - ехр[-'сс\) = 0,693 • едгр(-0.85б) = 0,294;205
= 0>029 —i— [Ei(- 0,693) - Ei(- 0,294)] =,ф. L V - у \ ^ и= 0.029 —J— [- 0,379 - (- 0,921)] = 0,0184 0,0186 = .
0,856Поскольку для принятого и рассчитанного коэффициентов
получено удовлетворительное совпадение, процесс по¬
следовательных приближений заканчивается. Таким образом,
Vq£1,61 м/с, следовательно, Q = 2231 м^ч, Температура Тц
нефти в конце участка рассчитывается по формуле (4.31):
Tl =10+{50-10)-ехр(-0,85б)= 2/С.4.8. Квазиустановившееся неизотермическое течение
жидкости на участке трубопроводаТеорию установившегося неизотермического течения
жидкости в трубопроводе, имеющую важное прикладное зна¬
чение для транспортировки высоковязкой и застывающей
нефти с подогревом (см. п. 4.6), можно обобщить на случай
процессов, формально неустановившихся, но происходящих
достаточно медленно. Такие процессы называют квазиуста-
новившимися. Например, ка станции подогрева начинают или
прекращают нагрев нефти, изменяют температуру или режим
этого нагрева, изме[гяют расход перекачки и т.д. Во всех пере¬
численных случаях в трубопроводе начинается медленное за¬
мещение жидкости с одной температурой жидкостью с другой
температурой, так что скорость, давление и температура жид¬
кости во всех сечениях трубопровода постепенно изменяются.
Иными словами эти параметры становятся зависящими не
только от координаты х сечения, но и от времени t.В случае квазиустановившегося течения основные урав¬
нения (4.29) неправомочны и должны быть заменены други¬
ми. Рассмотрим этот вопрос подробней. Примем следующие
допущения:206
• тепловым расширением жидкости, а также изменением
площади поперечного сечения трубопровода можно пренеб¬
речь: р=ро и S = const.;• инерцией жидкости (связанной с ускорением ее частиц)
также можно пренебречь, поскольку в каждый момент време¬
ни течение жидкости весьма близко к установившемуся;• можно пренебречь изменением параметров теплооб¬
мена жидкости в трубопроводе, с окружающей средой за счет
прогрева или охлаждения этой среды. Иными словами, коэф¬
фициент теплопередачи считается неизменным.С учетом сформулированных допущений систему уравне¬
ний (4.29) установившегося течения жидкости следует заме¬
нить другой системой, а именно:дмдк= 0,9хРоё+ ZН(х,0= -MRe.e)~~
d 2gР(.С.+ Vat(4.38)где p = p(x,t) и T = T(x,t), причем p(x,t)/p„g+ z(x)= H(x,t)-
напор. В левой части последнего уравнения стоит полная про¬
изводная по времени от внутренней энергии
е,„^, = СуТ + (см. уравнение (1.46) гл. 1).Из первого уравнения системы (4.38) следует, что ско¬
рость v = v{t) течения жидкости не зависит от координаты х,
т.е. в каждый момент времени она одинакова для всех сечений
трубопровода. Можно сказать, что жидкость движется как же¬207
сткий стержень, хотя и с переменной скоростью, зависящей от
времени.Из второго уравнения (4,38) следует уравнение баланса
напоров для участка трубопровода:Ро(0pg+ 2,// \pg+ ZLKit)H,'^Re, e)dxd 2g(4.39Jгде L - длина участка. Для того чтобы вычислить интеграл в
правой части этого уравнения, необходимо знать распределе¬
ние T(x,t) температуры жидкости, ибо число Рейнольдса
Re = v(t)-d/v(T) = Re(x,t) изменяется в зависимости от вязко¬
сти жидкости, которая, в свою очередь, зависит от ее темпера¬
туры. Следовательно, это уравнение нельзя решить отдельно
от третьего уравнения системы (4,38), определяющего изме¬
нение температуры. В итоге для расчета квазиустановившего-
ся течения жидкости на участке трубопровода необходимо
решить систему уравнений, состоящую из одного алгебраиче¬
ского и одного дифференциального уравнения::o + ^^ = Zl+ —+ J>-(Re,e)dxpg pg 1 d 2ghg.L (0£E+- T. J+X(Re,B).-i-
di дк p,C^,d ^ ^ ^ ’ p,C.d 2Если в начале участка, т.е. в сечении х = О, расположена
перекачивающая станция с характеристикой AH = F(Q), илиAH = p(v'7tdY4)=F(v), что есть то же самое, эту систему можно
представить в виде:208
F(v)= (zl - zj+ P-‘- - g" + jHRe,£)dx ■Pog и 28^^' СЙ ' (4.40)£L+v—= --)+?t(Re,e} at 5x PoC.d^ ' '' PoC.d 2где p„ - давление подпора перед перекачивающей станцией;
Pl - давление в конце участка.Система уравнений (4.40) позволяет определить скорость
v(t) и, следовательно, расход Q(t)=nd^/4-v(t) перекачки, а
также найти распределение температуры T(x,t) в сечениях
трубопровода в зависимости от времени.Метод численного решения. Рассмотрим метод числен¬
ного решения следующей основной задачи.Задача. На участке О S х < L трубопровода в начальный
момент t = О времени известно распределение температуры
Т(х,0)=Э(х). Кроме того, известен закон T(0,t) = 0(t) изме¬
нения температуры в начальном сечении х = О участка. Тре¬
буется рассчитать неизотермическое течение жидкости,
происходящее в трубопроводе, если известны свойства жид¬
кости. параметры трубопровода и [Q-H)-характеристикаAH=F(v) перекачивающей станции.Алгоритм решения. Разобьем участок 0<xSL трубо¬
провода на п равных интервалов, так что длина Дх каждого
интервала будет одинаковой и равной L/n. Что касается вре¬
менного шага At расчета, то он не будет постоянным. Будем
выбирать его в каждый момент t^ времени в соответствии с
рассчитанной скоростью согласно правилу At, =Дх/у, .
Иными словами, шаг расчета заранее неизвестен и подле¬209
жит определению в процессе решения задачи. В ходе расчета
полоса 0<x<L , t>0 плоскости (x,t) покроется прямо¬
угольной сеткой с переменным по времени шагом, рис. 4.9.ДхмI■si<—>. г*'94у в4*/'//>•»у/' //x = v.•/у////f )/г4///////•/= 0Ус, X•к*1ЖлРис. 4.9. Сетка для численного расчета
квазиустановившегося неизотермического теченияПредположим сначала, что во всех узлах х^ некоторого
предыдущего временного слоя t = этой сетки известна
температура Т^^., жидкости ( к = +1), Это предполо¬жение выполняется, во всяком случае, если s = 1: в нулевом
слое температура =б(х^) задана во всех сечениях по усло¬
вию задачи (начальное условие). Покажем, как в общем слу¬
чае (s>l) найти температуру и скорость v(tj жидкости4во всех узлах следующего временного слоя 1 = 15.Алгоритм расчета состоит из следующих процедур.1-я процедура. По известной температуре Т^^., с помощьюформулы Филонова-Рейнольдса (2.3) рассчитывается кинема¬тическая вязкость Vl.i-\= жидкости во всех узловыхсечениях (s-l)-ro временного слоя.210
2-я процедура. Из первого уравнения системы (4.40)F(v)= (z, -zj+ + We,e)dx ~ (4.41)P.g i 2gdhri-i (0(уравнения баланса напоров) находится скорость v, которая
одинакова для всех узлов каждого временного слоя. В данном
случае для (s-l)-ro временного слоя обозначим ее
Vj.| S v(t5_,). Поскольку на отрезке ve[0,v„^ левая частьуравнения (4.41) является монотонно убывающей, а правая -
монотонно возрастающей функцией скорости v и, кроме того,
на концах этого отрезка их разность имеет различный знак, то
решение этого уравнения существует и притом единственное.
Само решение удобно искать итерационным методом, напри¬
мер методом деления отрезка пополам. При этом интеграл в
правой части уравнения заменяется интегральной суммой ко¬
нечного числа слагаемых2фе,„,,г)3-Я процедура. После того, как скорость v,_, течения жид¬
кости в узлах х^ {s-l)-ro временного слоя найдена, можно
перейти к расчету температуры Т^^в узлах следующего s-roвременного слоя. Для этого используется второе уравнение
(4.40).На рис. 4.9 пунктирными линиями изображены линии, на¬
клон dx/dt которых равен v, так что dx/dt = v. Вдоль этих
линий левая часть уравнения представляет собой полную про-211
изводную (dT/dt)„ no времени от температуры, а дифферен¬
циальное уравнение£1 + V— = - (т - Т )+ X(Re, е) м!.p,C,d^ ^ '' p,,C„d 2(dT/dO...С частными производными обращается в обыкновенное диф¬
ференциальное уравнение 1-го порядка:dtЛ.x«vЕсли производную в левой части этого уравнения заменить
отношением приращений ДТ/At = (Тр-Тд)/Д1 , то будем
иметь конечно-разнЬстное уравнение:At, PoC„d p„C,d 2из которого находим температуру Т„ s ,:■Ты.. -;^(ТымPoC.d p„C.d 23s-lAt,,где Т,k-Ks-lИтак, температура жидкости найдена во всех узлах
временного слоя t = t^ за исключением начального сечения
Л/(х = 0). Однако температура Т,, в этом сечении известна212
из краевого условия Т,^ =ф((5). Таким образом, температуражидкости найдена во всех без исключения узлах s-ro вре¬
менного слоя.Поскольку начальное распределение Т(х,0) = Э{х) темпе¬
ратуры задано, то действие алгоритма начинается от времен¬
ного слоя 5 = 1. После каждого 3-го шага, процедуры алго¬
ритма циклически повторяются. В результате находятся:распределение температуры Т(хь,,!^) по длине участкатрубопровода в произвольный момент времени ;закон v(t„) изменения скорости и, следовательно, расхо¬
да Q(t„) жидкости;температура T„„sT(L,t„) жидкости, приходящей в ко¬
нец участка трубопровода.В заключение заметим, что изложенный алгоритм без су¬
щественных изменений может быть перенесен на случай тру¬
бопровода с промежуточными насосными станциями и стан¬
циями подогрева, причем на каждой из промежуточных стан¬
ций подогрева температура нагрева жидкости может задавать¬
ся независимо и произвольно.213
Глава 5РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ
РАБОТЫ ГАЗОПРОВОДОВРассматривается расчет установившихся (стационарных)
режимов работы магистральных газопроводов. Так же, как и
для расчета нефтепроводов, используются основные уравне¬
ния механики и термодинамики, вывод и подробный анализ
которых дан в первой главе.5.1. Система основных уравнений установившегося
течения сжимаемого газа в трубопроводеДля расчета установившегося течения сжимаемого газа на
участке газопровода используются следующие уравнения:• уравнение (1.8) неразрывности:dx(pvS)= О,из которого следует равенство(5.1)означающее постоянство массового расхода по длине газо¬
провода. Поскольку плотность р газа уменьшается по мере
падения давления, то из (5.1) следует, что в случае S = const.
скорость V газа увеличивается от начала участка к его концу;• уравнение (1.11) движения:(5.2)214
где dz/dx =sina(x)- синус угла наклона оси трубопровода к
горизонту.Поскольку скорость газа увеличивается от сечения к сече¬
нию, то ускорение w = v'dv/dx не равно нулю. Тем не менее
в ряде практически важных случаев силой p-vdv/dx инерции
газа можно пренебречь по сравнению с градиентом ф/с5х дав¬
ления, обеспечивающим его течение в трубопроводе. Иными
словами, правомерно считать, чтоdv dp . .pv—«— или pv Av«Ap.
dx dxЕсли оценить изменение Др давления, происходящее при
мгновенном изменении Ду скорости, по известной формуле
Н.Е. Жуковского Др = рс • Ду, где с - скорость звука в газе, тоpv• Ду]/Лр « v/c« 1 - При скоростях vsS-^IS-m/c течениягазам с~‘380-440'[^с отношение v/c * 0,010,04.В пренебрежении силой инерции уравнение движения газа(5.2) можно использовать в упрощенном виде;dp 4 dz— = -Р8':г'dx d dxЭто означает, что фадиент давления уравновешивается силой
трения газа о стенки трубы и осевой составляющей силы
тяжести:• уравнение (1.43) баланса полной энергии;- d
pvSdxм* 7rd*q, -pvS-g-^. (5.3)dxмЕсли в этом уравнении использовать зависимость энтальпии J
от давления р и температуры Т, положив J = J(p,T), а также215
считать, что теплообмен газа с окружающей средой подчиня¬
ется закону (1.50) Ньютона, будем иметь:d/ •> >+dT
— +fai'idx. 2 ,PlфJdxdz<J/dtОбозначив {dJ/ffT\ = Cpi [d}/dp\=-C^-D. и приняв а^*1,
представим уравнение (5.3) в виде:(5.4)Здесь Ср(р,Т)- теплоемкость газа при постоянном давлении;D.(p,T)- коэффициент Джоуля-Томсона, см. формулы (1.54)
гл. 1;• уравнение (2.13) состояния реального газа(5.5)где р = р/р^.; Т = Т/Т,р.,С помощью уравнения состояния реального газа основ¬
ные термодинамические коэффициенты, определяемые фор¬
мулами (1.54)-(1.57), можно выразить через функцию,Z(p,X)
В частности, формула (1.56) даст выражение для связи тепло¬
емкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:Ср-С,=TЭр'|^ap'ip'^dij216
Выразим производ1гые, входящие в это выражение, через дав¬
ление и температуру. Положив р = Z(p, Т) ■ pRT, имеем;karj+Р V,атлуpRT + Z - RpОтсюда находим:/дТ/'dZ''\dpjДалее вычисляем производную (ф/5Т)(до''д( р ^= -р1 1
—1—rsz'^[dTjр dT{ZRTjгрТ ZIcT,р.после чего находим;(5.6)Для совершенного газа Z = \, поэтому Ср - = R . Для
реального газа разность Cp-Cy>R. Значения отношения217
(Ср - Cv)/R , рассчитанные по формуле (5.6) с использовани¬
ем функции г(р,т)для природного газа, рис, 2.7, приведеныв табл. 5.1.Значения отношения (C,-Cv)/RТаблица 5.1Давление,
р, МПаТемпература Т, К2702802903003103203303401,001.141,131,111,101.091,091,081,073,001,481,421.381,341,301,271,261,225,001,941,811,701.611,551,491,441,409,003,222,802,502,282,111.971,861.7712,004,043.503.082,782,532,342,172,0516,004,283,893,543,212,952,702,532,3620,003,993,793,573,333,112,912,722,2,5724,003,643,563.413,263,102.952,792,6630,003,223,193.133,052,962,852.762,66Коэффициент D.(p,T) Джоуля-Томсона представляется
формулой (1.59), полученной в гл. 1:D.(p,T) =р + Т(Эр/ЭТ).С,(Р.Т)где теплоемкость СДрД) определяется выражением (5.6).Используя уравнение p = Z(p,T)-pRT состояния газа, получа¬
ем для этого коэффициента выражение218
(5.7)Для совершенного газа 2 = 1, поэтому D. 5 О.Значения коэффициента 0,(р,Т) Джоуля-Томсона, рас¬
считанные по формуле (5.7) с использованием функции
z(p,t) для природного газа, рис. 2.7, приведены в табл. 5.2.Таблица 5.2.Значения коэффициента 0,(р,Т), Джоуля-Томсона, К/МПаДавление,
р, МПа270Tc^280■псрат290ура Т
3003103203303401,005,395,134.604,534,014,053,603,323,005,364,984.644,324,043,753,623,295,005,184,824.474,153,913,643,423,239,004,394,133,893,663,433,233.052,8712,003,453,373.25з.п2,972,822.672,5516,002,252,332,362,342.292,222,162,0720,001,401,531,611,661,681,681,661,6324,000,860,981,081,141,201,221,231,2330,000,390.480,560,620,680,720,750,77Необходимо отметить, что эффект Джоуля-Томсона мо¬
жет изменять направление своего действия на обратное, если
производная {dZjcr[\ изменяет знак с положительного на от¬
рицательный. Если основываться на диаграмме Z(p,T) при-219
родного газа, представленной ла рис. 2,7, то речь идет о дав¬
лениях = 35-i-40 МПа.Уравнения (5.1)-(5.7) образуют замкнутую систему урав¬
нений для расчета установившихся неизотермических течений
газа в трубопроводе с произвольным профилем.5.2. Численный метод расчета установившихся режимов
работы магистральных газопроводовЕсли в уравнении (5.2) движения газа выразить касатель¬
ное напряжение на внутрен)1ей поверхности трубы соглас¬
но формуле (1.32) T^=X/8-pv\ то систему уравнений длярасчета установившихся режимов работы магистральных га¬
зопроводов можно представить в виде;dv dp , I pv' dz
pv-r- + ~ = " pgdx dxd 2dxdx+ Jnd- КTMgdzdx(5.8)p = z(p,t)prt.Поскольку массовый расход газа М = pvS = const., то скорость
V не является независимой переменой и определяется через
расход: v = M/(pS). Тогда уравнения (5.8) сводятся к системе2-х обыкновенных дифференциальных уравненийа, (Р,Т)^ + Ь, (р,Т) ^ = с, (р,Т, х),
ах аха,(р,Т)^ + Ь,(р,Т)^ = с,(р,Т)
dx dx(5.9)220
для 2-х функций - давления р(х) и температуры Т{х). Здесьа,(р,т)=т^RTЬ,(рД) =(m/sj р
дZ-PRZ + тчР.Р Р[ffTjP.с,(р,Т,х) =I.(рД)=dJ{m/sJТ р Р2d р dxZ+Tp.,сТЬ:(р,Т)=-Ь =Cjp,T) = Cv+RZ+T7Z_M''p./ЧФ/T.Сг(р,т)=-1^(т-т,).АЖ.2d рмпричем коэффициент z(p,T) сжимаемости считается извест¬
ной функцией своих аргументов.Если главный определитель Д системы уравнений (5.9)
отличен от нуля, т.е, Д = а,Ь,-а,Ь, ^ О , то ее можно одно¬
значно разрешить относительно производных dp/dx и dT/dx,
используя известное правило Крамера;dp _ Д
dx
dT(5,10)dx221
где Д|=С|Ь,-Cjb| и Д, = а,С2-а,С]. При этом правые части
системы уравнений (5.8) являются известными функциями от
р,Т и X, а массовый расход М газа входит в них как посто¬
янный параметр. Случай Д = О будет рассмотрен отдельно.Систему уравнений (5.10) можно интегрировать любым
из стандартных методов, например численным методом Рун-
ге-Кутта или более простым методом ломаных Эйлера. Оба
эти метода входят практически в любой математический па¬
кет прикладных компьютерных про] рамм.Наибольший практический интерес представляют реше¬
ния следующих двух задач.Задача JVsl. Найти распределение давления р(х) и тем¬
пературы Т(х) по длиме участка газопровода, если в началь¬
ном сечении заданы давление = р(0) и температура
т„=т(о), а массовый расход М газа известен. Найти так¬
же давление Pl газа в конце участка газопроеода.Задача М2. Найти массовый расход М газа, если в на¬
чальном и конечном сечении участка газопровода заданы дав¬
ления Ро = р(0) и р, =p(L), а также задана температура
Ту =Т{о) газа в начале участка. Найти также температуру
Tl газа в конце участка газопровода.Решение первой задачи, являющейся согласно математи¬
ческой терминологии начальной задачей Коши, строится чис¬
ленными методами, о которых было сказано выше. Вторая за¬
дача не является начальной, поскольку ее условия задаются на
краях области интегрирования х е О, Lj, т.е. в сечениях х = О
и X = L; такие задачи называют краевыми.Итерационный алгоритм расчетаРешение второй (краевой) задачи можно свести к реше¬
нию первой (начальной задачи Коши), если временно отка¬222
заться от условия р(Ь)=р^, однако, взамен этого считать из¬
вестным значение М массового расхода. Тогда в начальном се¬
чении X = О участка трубопровода будут известны давление ру«и температура Тц газа, а расход М газа перестанет быть неиз-вссгной величиной. Следовательно, можно использовать метод
интегрирования, который применялся для решения задачи Х°1.
Конечно, при таком подходе давление p(L) в конце участка
газопровода, вообще говоря, не будет равным заданному зна¬
чению Р]_, поэтому необходимо варьировать расход М таким
образом, чтобы добиться требуемого равенства.Суть итерационного алгоритма, называемого алгоритмом
пристрелки, состоит в следующем. Сначала назначают интер¬
вал (О,М) значений, в котором может находиться массовый
расход газа; OSM . В качестве первого приближениявыбирают расход М"' = М,„„/2 , и для него выполняют рас¬
чет, решая соответствующую задачу №1: р(0)=ро, Т(о)=Ту,М = . В результате расчета определяют значение р*'*{Ь)
давления в конце участка х = L трубопровода. Возможны два
варианта:если окажется, что p^‘*(L)>Pl, то это означает, что мас¬
совый расход М^'^газа в первом приближении был выбран
слишком малым, поэтому его следует увеличить и в качестве
второго приближения нужно взять = 0,5+М''*);если же окажется, что Pl> ТО это означает, чтомассовый расход М*'^газа в первом приближении был выбран
слишком большим, поэтому его следует уменьшить и в каче¬
стве второго приближения взять = 0,5 • (о + М*’'). После
выбора массового расхода второго приближения расчет по223
методу решения задачи №1 повторяют заново и определяют
новое значение р*’*(ь) в конце участка газопровода.Этот алгоритм, в котором выбор итераций М^-'^ определяет¬
ся делением интервала пополам, быстро сходится и позволяет
найти такое значение М., для которого давление р.(Ь) в конце
участка газопровода окажется весьма близким к давлению р^,
данному в условии задачи, т.е. отличным от него не более чем на
величину наперед заданной погрешности.Пример расчета {Газопровод «Южный поток»). В каче¬
стве примера приведем результаты расчета теплогидравличе¬
ского режима работы одного из вариантов проектируемого
глубоководного газопровода «Южный поток», призванного
обеспечить поставку российского газа в европейские страны
через Черное море и Балканы, рис. 5.1.Рис. 5.1. Профиль подводного участка газопровода
«Южный поток» от КС «Береговая» до КС «Варна»Особенность этого газопровода состоит в том, что около
960 км трубы идет по дну моря, из них 600 км - на глубине
в 2000 м. Кроме того, газопровод характеризуется высокими
и сверхвысокими давлениями (давление в начале газопровода224
составляет 31,5 МПа. в конце газопровода *7,5 МПа). Диа¬
метр газопровода 32-33" (внутренний диаметр 735-758 мм,
толщина стенки »40мм), проектная пропускная способность4-х трубной магистрали равна 63 млрд. м^год.На рис. 5.2 представлены распределения р(х) давления и
температуры Т(х) газа, полученные в результате расчета по
методике, изложенной выше. На рисунке видно, что давление
в трубопроводе на сухопутном участке (0<х<30 км) из-за
сил трения уменьшается, а затем по мере спуска под уровень
моря (30<х<60км) с нулевой отметки до глубины 2000 м
увеличивается почти на 1,5 МПа.Uмг»I:;<4ki«3•«".*с «м IU КЗ ю w *11 ш (ГО ?»я ьеэ i!: ^ ^ rt «с Vt ‘Я Ut !;« sie по *ti roe r*0 t» S!) 9»Рис. 5.2, Распределения p(x) (вверху) Т(х) (внизу) по длине
подводного участка газопровода (О.А. Пятакова)Такое увеличение, необычное для равнинных газопроводов, в
данном случае обусловлено профилем газопровода, то есть
силой веса сжатого газа. Если плотность газа невелика, то225
для равнинных газопроводов, как правило, справедливо нера¬
венствоZ,-Z3 «dp/pgт.е. разность геометрических папоров пренебрежимо мала по
сравнению с разностью пьезометрических напоров, поэтому в
уравнении Бернулли (1.18), записанном для сжимаемой среды{+rdp '• 4 ^/ >
a.v
* 1rdp^ Л. "7— +
pg у1. 2g Jpg У•2idx.можно пренебречь высотными отметками. Однако в рассмат¬
риваемом случае это не так. Если не учитывать изменение
скоростного напора и потери напора на трение, то должна со¬
храняться величинаdpPgПоскольку на участке спуска газопровода под воду z(x) умень¬
шается, то давление р(х) увеличивается. Это можно видеть на
фафике распределения давления на участке 0<х<30 км
газопровода.На относительно горизонтальном донном участке
60 < X < 500 км давление в газопроводе монотонно уменьша¬
ется за счет сил трения. На участке подъема 500 < х < 650 км
давление уменьшается еще быстрей, поскольку высотная от¬
метка z(x) увеличивается.Распределение температуры Т(х) газа имеет следующие
характерные особенности:• на первых 150 км, где трубопровод опускается с по¬
верхности моря, газ за счет сильного теплообмена с окру¬226
жающей средой резко охлаждается до температуры, близкой к
температуре воды (на дне Черного моря температура воды
круглогодично составляет » +9 °С);• на равнинном донном участке охлаждение газа стано¬
вится менее интенсивным, так как за счет теплообмена с ок¬
ружающей средой, Kj =20 Вт/(м^ 'К), газ продолжает охла¬
ждаться;• на восходящем участке (500-650 км) температура газа
резко уменьшается до 279 К и становится ниже температуры
морской воды за счет работы силы тяжести;• на последнем, мелководном участке (650-940 км)
транспортируемый газ несколько подогревается за счет теп¬
лообмена с окружающей средой, поэтому температура в кон¬
це участка составляет а280 К (»+7“С).Условие сушествования стаиионарного решенияРассмотрим теперь случай, когда главный определитель
Д системы уравнений (5.9) равен О, т.е. Д = а,Ь2 -а^Ь, =0. В
этом случае решение задачи либо не существует, либо оно не
является единственным.Приравнивая определитель Д нулю, получаем уравнение
для определения критического массового расхода М^р , или
критической скорости v . Имеем;Д=С1 RT(р\р.) Р'Z-P/тR^T/Z-hTч/-о,откуда находим значение этой критическои скорости:227
ZRT11-f\dp)(5.11)Выражение (5.11) представляет собой так называемую
адиабатную скорость звука в реальном газе (см. гл.7). В со¬
вершенном газе Z S1 , поэтому (dZ/apX =0 , Ср, =Cv +R ,Ср/Су =у- показатель адиабаты (для метана у*1,31) и ско¬
рость звука определяется более простым выражением, зави¬
сящим только от температуры Т газа:(5.12)Например, если Су =1900Д)§(/(кг-К) , Ср *2450-Дж/(кг'К) ;
К=500-Дж/(кг-К); Т = 293-К, ro(v„p)^ s 435 м/с.Используя уравнение (2.14) состояния газа, по формуле
(5.11) можно вычислить скорость звука в реальном газе. В
таблице 5.3 приведены значения скорости звука в газе,
R =500-Дж/(кг-к), при температуре Т = 293 К для различ¬
ных давлений.Таблица 5.3Зависимость скорости звука е природном газе от давления (Т = 293 К )р,МПа0,15,010,015,020,025,03,0,035,0Vkp.,m/c435384435470525570630700При увеличении давления v^p сначала уменьшается, прохо¬
дит минимум, затем при больших давлениях монотонно уве¬
личивается и может превысить значение 700 м/с.Таким образом, Д = О, если скорость течения газа в газо¬
проводе достигает местной скорости звука. Как правило, ско-228
рость газа в газопроводе составляет 5-15 м/с, что значительно
меньше критической скорости . И только при разрывахгазопровода или при сбросах газа в атмосферу через так назы¬
ваемую свечу, скорость течения может достигать местной
скорости звука, В критических сечениях dp/dx—поэтому
в них возникают разрывы непрерывности давления или, как их
называют, скачки уплотнения, порождающие ударные волны.S.3. Упрошенный расчет параметров установившихся
режимов работы равнинных газопроводовСистему уравнений (5.8) можно существенно упростить,
если пренебречь инерционными силами и влиянием профиля
газопровода. Если принять такие допущения, имеем:илиdpdx d 2
dJdx M ^p = z(p,T)-pRTdp_ (м/sydx d 2p/ZRTЁ1.ат>dxp = z(p,T>pRT.229
Используя выражение удельной энтальпии J(p,T) газа че¬
рез внутреннюю энергию е„ (р,Т), имеем;j(p.T)=e..^,(p.T)+z(p,T)-RT,поэтому систему уравнений (5.13) можно привести к виду:dx 2d рdx МСр ^ dx’где p = z{p,T) pRT, а функции Ср(т,р) и 0.(р,Т) определя¬
ются равенствами (5.6) и (5.7), соответственно.Распределение давления газа на равнинном участке
трубопровода при установившемся теченииЭто распределение получают из первого уравнения сис¬
темы (5.14)^ = -^.(м/зГгкт.1 (5.15)dx 2d рпри следующих упрощающих допущениях:♦ принимается, что X - cor?s/, Это допущение обоснова¬
но тем, что в магистральных газопроводах течение газа про¬
исходит в развитом турбулентном режиме с большими числа¬
ми Рейнольдса, так что пропорционально и коэффици¬
ент гидравлического сопротивления постоянен;230
• T(x)=sTjp =comt. Температура газа на участке газо¬
провода не постоянная, она изменяется примерно от 30“ С в
начале участка после компримирования до 10-15 °С в конце
участка. Это означает, что относительное изменение абсо¬
лютной температуры составляет (303-283)/283 s0,07, те. не
более чем в 1,05-1,07 раз или на 5-7%, Таким образом, это
допущение вполне обосновано;• Z(p,T)wZ^p = const. Коэффициент Z сжимаемости газав большинстве магистральных газопроводов изменяется, как
правило, весьма незначительно, не более чем в 1,1-1,2 раза, по¬
этому принятое допущение также обосновано.Если принять сформулированные допущения, то диффе¬
ренциальное уравнение (5.15) интегрируется и дает формулу
для распределения р(х) давления по длине участка газо¬
провода:2рdp 16dxпили(5.16)Здесь использовано начальное условие, согласно которому
Р Pq при X = О, рис. 5.3.Формула (5.16) означает также, что квадрат р’(х) давле¬
ния газа линейно уменьшается по длине участка газопровода:(5.17)где Pl - давление газа в конце участка.231
Рис 5.3. Распределение давления по длине участкаЕсли определить среднее давление р^р газа на участке га¬
зопровода выражениемРср.1 ‘■гр(х)1х,т.е. как высоту прямоугольника, равновеликого площади кри-
волинейной трапеции под кривой р(х) на отрезке 0,L], то
подставив в него распределение р(х) из (5. J 6), найдем;Рср.=23Ри + —■ Po+PlJ(5.18)Давление р^р может быть использовапо для уточнения сред¬
него значения коэффициента Z, а также для приближенной
оценки массы газа на участке газопровода.Из (5.15) находим, в частности;232
• давление (в Па в системе СИ) в конце участка газо¬
провода с протяженностью L по известному массовому рас¬
ходу М:или, 16>.-Z„RT -L^ 2 _ „ 2 ср срPl • Ро 2i57Г Q(5 Л 9), 16?. Z„RT -L
PL=^^P0^ Я d(5.20)• массовый расход М (в кг/с в системе СИ) по известным
давлениям р^, и в начале и в конце участка i-азопровода:М=-чРо Pl(5.21)Если принять, согласно (1.40), что X = 0,067(2A/d)°'^, то мас¬
совый расход газа оказывается пропорциональным d’’‘, т.е.
диаметру газопровода в степени 2,6;m = -d"Sгде А - коэффициеЕ1т пропорциональности.Массовый расход М газа (кг/с) можно измерять объем¬
ным расходом газа, взятого при стандартных условиях(р^ =101325Па; Т„ =293,15 К). Для этого достаточно раз¬
делить М на плотность газа при стандартных условиях:233
= J^ = -P-.vS = -H--Qv. (5.22)СТ. rc7 гет.Здесь p, Qv = vS - плотность и объемный расход газа в сече¬
нии газопровода, соответственно. Получающаяся величина
(mVc) называется коммерческим расходом газа. В сущности,коммерческий расход газа - это массовый расход, вьфаженный в
объемных единицах при стандартных условиях, иначе, массо¬
вый расход газа в объемном исчислении. Из формулы (5.22)
следует, в частности, что коммерческий расход Q^. газа вр/р„ раз больше, чем объемный расход Qv Но самое главноесостоит в том, что в отличие от изменяющегося от сечения к се¬
чению объемного расхода, коммерческий расход газа в устано¬
вившихся течениях постоянен по длине газопровода.Пример. Массовый расход газа в газопроводе составля¬
ет 600 кг/с . Найти коммерческий расход газа (в млрд.
м^/год), если плотность газа при стандартных условиях рав¬
на 0,7 кг/м’,Расчет. Согласно определению, имеем:Q = —= ^^s857-mYc или 25,9 млрд. м^год,■ Рст. 0.7Распределение температуры газа на равнинном участке
трубопровода при установившемся теченииЕсли пренебречь "эффектом Джоупя-^Томсона и допус¬
тить, что Ср=солуг., то второе уравнение в (5.14) можно
упростить:PVC,£ = -^(T-T„J.234
Решение этого уравнения с начальным условием Т(0) = Тд,
полученное ранее, см. (1.61), имеет вид:(5.23)Если определить среднюю температуру Т^р газа на участ¬
ке газопровода выражениемТ =- •L JТ(х)1х,то подставив в него распределение Т(х) из (5.23), найдемТ.. =Хшр. +To-TlТ -Т* о * пар.Т -Т*L ‘чар;Inч(5.24)где учтено, что температура в конце участка газопровода
может быть представлена выражением(”^0 "^iiip.)'expяа-Кт -L
СрМЕсли не пренебрегать эффектом Джоуля-Томсона, то из
(5.14) для температуры газа следует уравнениеdx МС. ^ ’ ' dx(5.25)235
где D.- коэффициент Джоуля-Томсона, определяемый на
основании равенства (5.7). В интервале давлений и темпера¬
тур, для которых (ж/эт),>0, коэффициент D. >0, слагаемоеD. {ар/ах)< о и, следовательно, эффект Джоуля-Томсона
состоит в дополнительном (по отношению к адиабатическо¬
му) охлаждении газа при уменьшении давления.Распределение температуры газа в случае учета эффекта
Джоуля-Томсона (D. > О) представлено на рис. 5.4.Рис. 5.4. Распределение температуры по длине участка
газопровода при наличии эффекта Джоуля-Томсона (D. > О)Из этого рисунка видно, что если Тц > Т„зр, температура Т(х)
газа за счет эффекта Джоуля-Томсона может опуститься ниже
наружной температуры, а если Т^ < Т,,,^ - иметь в некоторомсечении участка трубопровода локальный экстремум.Можно дать точное решение линейного уравнения (5.25) в
предположении, что коэффициенты и D. постоянны;это решение имеет вид:236
nd к'kU '14 fT(x)-T„., =(Т.-Т„).е ^'■+D.-Jid'K.p(x)-Po-e -nd • KjMClpfe)ди кMC--ft-*)где p(x)- распределение давления; РоДо “ давление и тем¬
пература в начале х = О участка, соответственно. Однако бО'
лее простое приближенное решение дает достаточно удовле¬
творительный результат. Получим его. Из (5.17) следует, чтоdxPo-Pl12LПоскольку в магистральных газопроводах знаменатель этой
дроби изменяется не слишком сильно (см. рис. 5.3), то его до¬
пустимо заменить величиной р^р . Тогда имеем;dp .. Ро - Pldx 2р,р L 'Подставляя выражение для градиента dp/dx в уравнение(5.25), получаемат ^ \ ^ р1-р1dxМСРеи1ение этого уравнения имеет вид:237
( TTd-K, 1ехр—^V р у. (5.26)где= (5.27)2pcpLИными словами, если D. > О, эффект Джоуля-Томсона
дает дополнительное охлаждение газа при его течении в газо¬
проводе; эффект учитывается уменьшением наружной темпе¬
ратуры Т,„р на величину , определяемую равенством (5.27),Следует, однако, отметить, что приближенное решение(5.26) не позволяет выявить экстремум распределения темпе¬
ратуры Т(х), который может иметь место, если Тд <Т|„р, ивиден на рис. 5.4.5.4. Распределение давления с учетом профиля газопроводаЕсли перепад высот отдельных сечений газопровода пре¬
вышает 150-200 м, необходимо учитывать его профиль. Не¬
смотря на то, что природный газ значительно легче нефти и
нефтепродуктов, все же его плотность в трубопроводе может
составлять 35-75 кг/м^ и даже выше, так что при больших
перепадах высот профиль оказывает влияние как на распреде¬
лении давления, так и на расход газа. Особенно сильно влия¬
ние профиля сказывается тогда, когда речь идет о газопрово¬
дах сверхвысокого давления (s=20-30 МПа), в которых
плотность газа может составлять 150-200 кг/м*.Уравнение (5.8) течения газа в негоризонтальном газо¬
проводе имеет вид238
dp . 1 pv^ dzгде z(x)- профиль газопровода. Если принять допущения,
сформулированные в п, 5.3, то это уравнение можно предста¬
вить в следующем виде:dp(x)_ 16 g-dz/dx /dx " я-' 2d' р(х)ИЛИ(5.28)4^)Полученное уравнение представляет собой линейное диф¬
ференциальное уравнение 1-го порядка относительно неиз¬
вестной функции р’(х). Его решение с начальным условием
р(0)=рц ищется методом вариации произвольной постоянной,[25]. Для этого сначала находится решение укороченного
уравнения^^ = -а(х).рЧх) ^ р^{х) = С-егде С- постоянная интегрирования, затем ищется решение
полного уравнения (5.28) в виде239
рЧх)=С(х).е " .Иными словами, произвольная постоянная С полагается
функцией от X. Путем подстановки этого выражения в (5.28)
получается дифференциальное уравнение для неизвестной
функции С(х):dxЖ--faU)d4•е ” -а(х) С-е " =-а{х)-Се" -Ьилиdx= -Ье2g |di
О= -b • = -Ь •zUH(o))Решение этого уравнения имеет вид;2sС(х)= -Ьz,RT„iUWo)ld^ + C„.где Cq - постоянная интегрирования. После этого записыва¬
ется общее решение уравнения (5.28);рЧх)=С,-е -Ь-28-С учетом начального условия р^(о)=р5 распределение р(х)
давления представляется в виде:240
2^i(xbzcp^(x)=p^eHnd4. (5.29)где 4“ переменная интегрирования, Таким обра¬зом, распределение давления в рельефном газопроводе в от¬
личие от горизонтального случая не является монотонным и в
зависимости от профиля газопровода обладает участками
убывания и возрастания (см., например, рис. 5.2).В частности, решение (5.29) позволяет рассчитать массо¬
вый расход М газа по известным давлениям р^ в начале и Pl
в конце участка газопровода. Для этого потребуем, чтобы
р = Pl при X = L . Имеем:Р: = Ро'е7ГОтсюда находим массовый расход газа:гдеМ = —Ро» Pl-d-.Pci. = Рэ ■ expL. =L-g(zo -Zl)2f(5.30)(5.31)Выражение (5.30) для массового расхода газа в газопрд-
воде с произвольным профилем совпадает с аналогичным вы-241
ражением (5.21) для массового расхода газа в равнинном газо¬
проводе с той только разницей, что давление Рд в начале уча¬
стка и протяженность L участка должны быть скорректирова¬
ны в соответствии с формулами (5.31). Например, если ,то начальное давление р^,. в формуле (5.30) следует принять
меньшим, чем истинное начальное давление ру, и наоборот,
если Zi < 7.Ц, то Рц. > Рц. Необходимо также откорректировать
протяженность L участка газопровода.Для участков газопровода, имеющих не слишком боль¬
шой перепад высотных отметок, формулы (5.31) можно упро¬
стить. Если Дг <500, то коэффициент g-Az/Z^pRT^p , вхо¬
дящий в формулы (5.30), достаточно мал. Действительно:Z,pRT,p 0,8-500'280следовательно, под знаком экспонент в (5.31) стоят малые ве¬
личины, поэтому сами экспоненциальные функции могут быть
заменены их первыми членами разложения в ряд Маклорена:
ехр(х)^1 + х, причем noipemHOCTb вычислений в этом случаебудет величиной порядка х' . Учитывая это обстоятельство,
формулы в (5.31) можно упростить, представив их в видеl-t-g(Zo-ZL)1 +2gz., RT,,■Яр -zJ(5.32)^ LЗдесь z^p =— z(4)d4 - средняя высотная отметка участка га-
^ озопровода. Если учесть, что интеграл от z(x) по длине участка242
дает алгебраическое значение площади криволинейной трапе¬
ции, образуемой профилем газопровода и горизонтальной
осью X, то становится понятным, что чем меньше эта пло¬
щадь, тем меньше значение Lg. эффективной протяженностиучастка газопровода. Пусть, например, = z^, тогда участок
газопровода, преодолевающий горный перевал ( z,p > ),
имеет большую эффективную протяженность, чем участок
аналогичного равнинного газопровода, т.е. Lp, > L. Наоборот,
участок газопровода, преодолевающий глубоководный водо¬
ем (z^p <Zl), имеет меньшую эффективную протяженность,чем участок аналогичного равнинного газопровода, т.е.< L. В первом случае вес газа, более тяжелого в началеучастка, противодействует его движению в газопроводе, во
втором случае - способствует.5.5. Моделирование работы нагнетателейДвижение газа в газопроводе определяется компрессор¬
ными станциями (КС), расположенными в начале каждого
участка трубопровода, а точнее, теми нагнетателями, которые
осуществляют сжатие газа. Основная задача нагнетателей, как
и КС в целом, заставить газ перейти из области более низкого
давления (области всасывания на входе КС) в область более
высокого давления (область нагнетания на выходе КС). Сам
по себе газ против давления не потечет, поэтому необходимо
затрачивать энергию на его принудительное перемещение в
этом направлении.Принудительное перемещение газа против сил давления
осуществляют на КС газоперекачивающие агрегаты (ГПА).
Г азоперекачивающие агрегаты состоят из двух основных час¬
тей: привода (газотурбинного, электрического, газомоторного
и т.п.), создающего вращение вала рабочего колеса (в случае243
центробежных нагнетателей) или возвратно-поступательные
движения поршня (в случае поршневых нагнетателей) и на-
гнетателя. Собственно, именно в нагнетателе происходит пе¬
ремещение газа из области низкого давления в область высо¬
кого давления, т.е. сжатие {компримирование) газа. Как пра¬
вило, КС состоит из отдельных цехов, в которых параллельно
(в случае одноступенчатого сжатия) или последовательно (в
случае многоступенчатого сжатия) установлены несколько
ГПА с нагнетателями. На магистральных газопроводах ис¬
пользуются, в основном, центробежные нагнетатели, дейст¬
вующие по тому же самому принципу, что и центробежные
нагнетатели насосов для перекачки жидкостей, см. рис. 4.3.
Газ всасывается в центр рабочего колеса и центробежной си¬
лой вращения (рабочие колеса крупных нагнетателей враща¬
ются с частотой 4,5-7,0 тыс. об./мин и выше) отбрасывается на
периферию в линию нагнетания. При этом степень сжатия газа
зависит от типа нап1етателл, числа оборотов его рабочего колеса
(современные ГПА обычно имеют регулируемое число оборо¬
тов), параметров газа на входе, а главное - от расхода газа.Мощность нагнетателя. Подвод внешней энергии к
транспортируемому газу, обеспечивающий его движение в газо¬
проводе, был рассмотрен ранее, см. формулу (1.24) гл. 1. Со¬
гласно этой формуле, мощность нагнетателя, необходимая
для сжатия газа от давления р^ на входе в нагнетатель до дав¬
ления р„ на его выходе при движении с расходом , может
быть представлена в следующем виде:(5.33)где =р„/рв -степень сжатия газа; т- показатель полит¬
ропы. Та же самая величина, записанная через параметры газа
на выходе из нагнетателя, имеет вид:244
Ш ( I in \N.„, r-P.Q,,. • (5.34)m-1Показатель ш политропы, как правило, больше показателя
у = (Ср/Су)^^ адиабаты. Следует, однако, подчеркнуть, что придавлениях и температурах^ имеющих место в магистральных
газопроводах, свойства реального газа отличаются от свойств
совершенного газа, поэтому известные соотношения
адиабатического процесса для реального газа имеет иной вид,отличный от классической адиабаты Пуассона: р/р^ =(р/рз/,(р/р.)” последний карафаф этой главы).Пример. Давление р, перед нагнетателем составляет
3,5 МПа, степень сжатия газа равна 1.4, объемный рас¬
ход Q, на входе в нагнетатель - 500 м^/мин. Найти мощ¬
ность , затрачиваемую нагнетателем на сжатие газа
(т = \,37).Расчет. По формуле (5,34) находим;1,37-1 'l= 10,27 •10'' Вт.N„„ =-Ь^-3.5.10*1,37-1 601,4 -1Таким образом, мощность составляет 10,27 МВт,Математическая модель центробежного нагнетателя,
работающего в установившемся режиме. Эта модель выража¬
ется алгебраической зависимостью степени сжатия газа иразвиваемой им удельной механической мощности N^^/p,от параметров газа на входе в нагнетатель и числа п оборотов
вала его рабочего колеса:245
P..Nмех.P.,(5.35)где Q* = • S - объемный расход газа на входе в нагнетатель
(диаметр рабочего колеса нагнетателя считается фиксирован¬
ным и неизменным).Из соображений теории размерности эти зависимости
можно представить в виде:Ре/^ст ^Z,.RT, Q,Ч п' ' т\ ,/ \
п■<Р^Z.RT,Q0Р.Uo;1 пП )(5.36)где По - номинальное число оборотов вала нагнетателя. Отсю¬
да видно, что характеристики работы каждого нагнетателя при
произвольных условиях на входе можно получить из некото¬
рых универсальных характеристик того же нагнетателя, рабо¬
тающего при фиксированных условиях на входе (условиях при¬
ведения', обозначаются индексом «пр.»), В этих условиях число
оборотов вала нагнетателя принимается равньсм номинальному
значению Пд, фиксируются свойства газа и условия на входе в
нагнетатель: R = ; Т = Т„р ; Z = Z„p . Испытания нагнета¬
теля, выполненные в приведенных условиях, позволяют по¬
строить функции246
^fip^MpTjp Qj
> i i
n' n.fN^= «5^пр^пр'^прQ- 1» V1рупр.1 По'Пс )(5.37)Отсюда с учетом зависимостей (5,36) следует, что при произ¬
вольных параметрах газа, суихествующих на входе в нагнета¬
тель, и произвольном числе п оборотов ротора нагнетателя
его характеристики могут быть получены из характеристик
(5.37) путем деления аргументов представляющих их функций
на числапо уZ R Тлр пг» rtfZ. КТипп,соответственно. Этот вывод имеет простую геометрическую
интерпретацию. Графики характеристик иентробежного на¬
гнетателя, работающего при произвольных условиях на входе
и имеющего произвольное число оборотов, отличное от но¬
минального значения, получаются из графиков универсаль¬
ных характеристик нагнетателя путем растяжения осей их ар-гументов в n/no’,JZ^R^T^/Z,RT, и п/п^ раз, причем гра¬
фик удельной мощности растягивается также в направлении
оси функций в (п/пд)^ раз.Если ввести приведенные параметры согласно формулам/ \
пППпр.^пр Xip. /г\ \ п ^0'z.RT. ■' '(5.38)то характеристикам иентробежного нагнетателя можно при¬
дать универсальный вид:247
£сж/ чп.(QJnp,nf,.=^>пр/ \
ПП/|\ /’ (Q*. )пр.лр., (5.39)где N„„ /p, =(n/nJ-(N/p, )^ .На рис. 5.5 изображены приведенные (универсальные)
характеристики одного из центробежных нагнетателей
370-18-1, выпускаемых в России.о.б0,7О.б0.SРис. 5.5- Приведенные характеристики нагнетателя 370-18-1.
(Т,„ =288 К; =0,9; =490 Дж/(/сгК); Пл =4800 об/мин.)248
Пример I. Определить необходимое число оборотов вала
центробежного нагнетателя 370-18-1. обеспечивающего
транспортировку природного газа ( ц = 17,95 кг/кмоль,Ркр = МПо, = 194 К ) с коммерческим расходом
22 млн. /сутки и степенью сжатия =1,25, Известно,что давление и температура газа в линии всасывания нагне¬
тателя составляют 3.8 МПа и +15 соответственно.Расчет. Сначала вычисляем параметры транспорти¬
руемого газа:R , ill! S 463.2 Дж/(кг К);17,95р. -^^0,809; Т, = — = 1,485.• 4,7 ‘ 194По формулам (2.14) гл. 2, находим:
е = 1 -1,68 ■ 1,485 + 0,78-1,485- +0,0107-1,485' = 0,2603;Z. (р, Т) S 1 - 0,0241 • ^ 0,925;0,2603р„ =-^ = -12123^ = 0,747 кг/м’;" RT„ 463,2-293р. = —= = 30,795 кг/м\• Z.RT, 0,925-463,2-288Q. =Q. -PcJP. s370,6 м^мин.“ ‘ " 24-60 30,795Затем определяем приведенные параметры режима рабо¬
ты центробежного нагнетателя;/ \
пп lA^pXp. _ п0,90.490-288 ^1^015.4По “У Z. RT, n,V 0,925'463,2-288249
(Q.L=Q.—= 370,6-!^ м'/мин.n nПоскольку степень сжатия известна и равна 1,25, то
необходимо, используя приведенные характеристики 370-18-1,
рис. 5.5, подобрать такое значение п/пц, чтобы точка с коор¬
динатами = 370,6/(п/По) и =1,25 лежала на характери¬
стике (п/пц)^р =1,015'п/Пи. Решение ищем методом последо¬
вательных приближений-1) Полагаем (п/По),р =0,9 ^ п/п^ s 0,887;=370,6/0,887 = 418 mVmhh => £,^ =1,2<1,25 (см.
рис. 5,5), следовательно, (п/Пд)^^р нужно увеличить.2) Полагаем (п/по),,^ =1,0 о п/пц = 1,0/1,015 S 0,985;(Qb.)„p. = 370,6/0,985 = 376 mVmhh €^,.=1,25 (см.рис. 5.5), следовательно, можно считать, что решение найдено.Имеем: п =0,985-Оо = 0,985-4800s4728 об./мин.Пример 2 расчета участка газопровода совместно с ком¬
прессорной станцией. Природный газ ( R = 18,82 кг/к.иоль,
р^р =4,75 МПа. Т^р =195 К) транспортируют по 105-кмучастку газопровода (0 = 1220x12 мм. Д = 0,03 мм) двумя
одинаковыми ГПА с нагнетателями 370-18-}, соединенными
параллельно. Определить, какова должна быть степень г
сжатия газа и число п оборотов роторов нагнетателей,
чтобы обеспечить в газопроводе коммерческий расход
21 млрд. м^/год (число рабочих дней в году считается равным
350). Известно, что давление в конце участка газопровода
составляет 3.8 МПа, а в линии всасывания нагнетателей
4.7 МПа, при этом температура газа в линии всасывания
равна +12 °С. ожидаемая после компримирования +30 ^С.
окружающего грунта +8 ^С.250
Расчет. Полагая в формуле (5,16) х = L и Q, =М/р^ ,
имеем:, , 16X-Z,,RVJ-L 3
Ро -Pl + Г75 ■1сМВычисляем величины, входящие в это выражение:
2110’350'24-3600= 694,4 м /с;R 14R = 441,8 Дж/(?<гК);И 18,82р S 0,783 уг/м^" RT.. 441,8-293СТ= 0,067 •у^2-0,03
1196\0.2По формуле (5,24) вычисляем среднюю температуру30-12газа на участке газопровода:То-Т,0.In/ \
/ Т -Т*0. ^иар.U 1пpO-S'jТ -Т1 Lli2-s;ИЛИ 291,6 К.По формулам (2Л4) гл.2 рассчитываем коэффициент Z
сжимаемости газа» принимая в качестве первого приближения
среднее давление р^^, равным лавлению в конце участка га¬
зопровода, а температуру - средней по участку:P = i£s0,8; Т=^^ = 1,495;^ 4,75 1950 = 1-1,684,495+0,78-1,495^+0,0107-1,495^ =0,2675;
4^p,T)s 1-0,0241S 0,928.0,2675251
После этого рассчитываем давление Ро в начале участка.
Сначала вычисляем коэффициент к:16-X.Z^RT,^p,,^L;i=d^ "16-0,0093 0,928 441,8-291,6-0,783^-105000 ^л'-1,196== 22,86-10’%
затем-давление Рц.'Ро =+ 22,86-10'- =6,11-10* Па или 6,11 МПа.ч Р| уСреднее давление р^р на участке газопровода вычисляет¬
ся по формуле (5.18);Рср. * Т236,11 +3,8== 5,045 МПа.6,11 + 3,8
> »Это значение больше давления 3,8 МПа, принятого в первом
приближении, следовательно, расчет должен быть откоррек¬
тирован.Выполняя расчеты второго приближения для давления
р^р =5,045 МПа, имеем:6 = 1-1,68-1,495+0,78-1,495"+0,0107-1,495^ =0,2675;' Z,„(p,t)s 1-0,0241-^^^ = 0,904.’ 0.2675к = 22,27-10'" (ПаУ;252
Pn = +22,27-10" s 6,06■ 10'^ Па или 6,06 МПа,т.е. найденное ранее значение давления практически не
изменилось. Следовательно, можно рассчитать степень сжа¬
тия , которую должны обеспечивать центробежные нагне¬
татели 370-18-1: = 6,06/4,7 s 1,29.После того, как требуемая степень сжатия найдена, вы¬
числяются иараме1ры газа в линии всасывания каждого на¬
гнетателя, учитывая их параллельное соединение:^5^ ^ = —г1,462;.4,75 '1959 = 1 -1,68 -1,462+0,78-1,462^ + 0,0107 • 1.462^ = 0,2445;
Z.(p,t)= 1-0,0241.^ $0,895,р = s41,707^fг/м^"• Z.RT, 0,895-441,8-285При параллельном соединении одинаковых нагнетателей
расход распределяется между ними поровну, поэтому имеем:^ ^ р,, 21000-10® 0,783 3,О =0 -1:^ = ^ = 391 м/мин.“ ^ р, 2-350-24-60 41,707Определяются приведенные параметры режима работы
центробежного нагнетателя:' п'] п Z„p R„p Т„р __ п0,90-490-288прПоЧ Z.RT, По^О,895-441,8-285 По(Q.L=Q.- = 391-il^MWп пПоскольку степень сжатия уже известна и равна 1,29,
то необходимо, используя приведенные характеристики
370-18-1, рис. 5.5, подобрать значение п/Пу так, чтобы точка253
с координатами (Q,)^ -39]Дп/по) и е = 1,28 лежала на ха¬
рактеристике {п/пд)^р = 1,062-п/по . Подбор осуществляемметодом последовательных приближений.1)Полагаем (п/пп)^р =1,0 ^ п/п^ = 1,0/1,062s0,942;(Qg )пр =391/0,942^415 mVmhh => sl,25 (см.рис. 5.5), что меньше необходимого значения 1,29. Следова¬
тельно, (п/па)^^ нужно увеличить.2) Полагаем (п/пу)^^ = 1,05 =s- п/п^ = I,05/l,062s 0,989;(Q.. )„р = 39 I/O, 989 S 395 м^/мин => е,, = 1,29 (см.рис. 5.5), следовательно, решение найдено.Имеем: п = 0,989 Пд =0,989-4800 s 4750 об./мин.Адиабатическое сжатие реального газаПри сжатии природного газа центробежными нагнетателями
КС температура газа увеличивается, Поскольку сжатие происходит
достаточно быстро, то теплообменом газа с окружающим оборудо^
ванием можно пренебречь, а само сжатие считать адиабатическим
процессом. Получим уравнение этого процесса.Если пренебречь притоком внешнего тепла к частицам
компримируемого газа, то в уравнении изменения полной
энергии нужно положить = О. Если, кроме того, пре¬небречь изменением dv^/2 удельной кинетической энергии и
работой внешних сил трения, то уравнение первого начала
термодинамики можно записать в следующем виде:4'..^ + V 72) = +dA— = - р ■ d(l/p)«iWiaили254
" p.
J(p.T)dp(5.40)Для совершенного газа p/p = RT, поэтому удельная эн¬
тальпия J, стоящая в круглых скобках левой части уравнения,
равна СуТ + RT + cow/. Учитывая известную формулу Майера
Су + R = Ср, получаем, что удельная энтальпия совершенного
газа зависит только от температуры: J(t)=C T + co«5i Тогда:dJ(T) =dpследовательно:dT1CpdTR Tdpdp C-p C, p(5-41)Отсюда находим:dT _C,-Cy T Yco.-1 T
dp Cp p p(5.42)где =Cp/C^ . Решив это уравнение с начальными усло¬
виями Т = Т(, при р = Ро, получим классическую формулу Пу¬
ассона для температуры газа в адиабатическом процессе:Ykoik1Рэ(5.43)У255
Для реального газа удельная энтальпия J = J(T,p) зависит
не только от температуры, но и от давления, поэтому из ос¬
новного уравнения (5.40) получаем:илиСрdT+dp=-dpРгCpdT =- + C^D.Р\dpdp= Dрс,(5.44)где D. =D.(p,T)- коэффициент Джоуля-Томсона {см. п. 1.6
гл. 1). Сопоставляя уравнение (5.44) для реального газа с ана¬
логичным уравнением (5.41) для совершенного газа, видим,
что они отличаются наличием в правой части слагаемого D.;
при сжатии реального газа имеет место дополнительное увели¬
чение температуры за счет джоулева нагрева.Согласно формулам (1.54), (1.56) и (1,59) гл. 1, справедли¬
вы следующие равенства:с D =Cp-Cv =т[dl,Dпоэтому уравнение (5.44) адиабатического процесса реального
газа приобретает вид;dT_Cp-Cvdp(5.45)У256
Если газ совершенный, то {дТ/др\ =Т/р, поэтому уравне¬
ние (5.45) переходит в уравнение (5.42) адиабаты совершенного
газа. Если же газ реальный, то производная (5Т/9р)^ ^Т/р. Еевычисление, см. вывод формулы (5.6) этой главы, дает:=1 l-p/Z’(gZ/8p)rdpi р ■ 1+T/z.(az/ет)/поэтому уравнение адиабаты реаль}юго газа имеет вид:dT_C^-Cy т \-p/Z-{dZ/dp\
dp с, 'p'i + T/z-(dz/dT)'(5.46)Решение уравнения (5.46) может быть найдено лишь чис¬
ленным путем. Однако можно задаться вопросом, как подоб¬
рать такое (кажущееся) значение показателя адиабаты вклассической формуле т = А Пуассона, где А-некоторай константа, чтобы зависимость температуры от дав¬
ления в процессе адиабатического сжатия реального газа при¬
ближенно описывалась формулой, справедливой, строго гово¬
ря, только для совершенного газа? Подставим зависимость
Т = А ■ р^’’“* в уравнение (5.46), тогда получим;Т.,.-1 др'т:^_^р-^у др~т:7 1-р/2-(аг/фХ-i кашоткуда находим:i+T/z.(ez/ar), ■l + J/Z-(dZjdT\с. i-p/z (az/3p), ■(5.47)Для совершенного газа Z = i, поэтому = C^fCy = ,
где у - показатель адиабаты совершенного газа. Для реаль¬257
ного газа показатель , аппроксимирующей адиабатический
процесс, может быть как больше, так и меньше показателяадиабаты Пуассона. Какой вариант имеет место в конкретном
случае, зависит от диапазона рассматриваемых температур и
давлений, т.е. от значений функций Z(p,T) и Ср(р,Т) .В табл. 5.4 приведены значения показателя , рассчитанные
согласно уравнению (5.47) и диаграммам Z(p,T) уравнения со¬
стояния метана, рис. 2,7; *1,31, Су=1700 Дж/(кг-К).Таблица 5.4Кажущееся значение Ука,, показателя адиабаты Пуассона,
аппроксимирующей процесс адиабатического сжатия реального газа (метана)Давление,МПаТемпература,К2802903003103203300,11.311,311,311,311,311,3171,371,371,361,361,361,3591.371,371,371,371,361,36101,371,371,371,371,361,36151,331,341,351,351,361,36201,291,301,321,331,331,34251.251,281,291,301,311,32301,241,251,261,2771,291,30Из этой таблицы следует, что > у,.^ практически вовсем интервале температур и давлений, меньших 15 МПа. На¬
пример, если реальный газ сжимают при давлениях 7 -i-9 МПа,
то * 1,37 . Однако при сжатии реального газа в интерваледавлений 20-^25 МПа показатель У„ж. * U28 -1,32, т.е. бли¬
зок или даже меньше у^^^.258
Глава 6НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕВ этой главе излагаются теория и методы расчета одно¬
мерных неустановившихся изотермических течений слабо
сжимаемых жидкостей (нефть, нефтепродукты, газовый кон¬
денсат и т.п.) в трубопроводах. В качестве исходного базиса
используются уравнения, полученные в гл. 1.Иеустановиешимся (или нестационарным) течением назы¬
вается такое течение, характеристики которого изменяются не
только от сечения к сечению, но и в каждом сечении в зависи¬
мости от времени. Зависят от времени плотность, давление,
скорость, расход жидкости и другие параметры течения. Ины¬
ми словами, в неустановившемся течении p = p(x,t),p = p(x,t),v = v(A:,t), M = M(j:,t) и т.д.Возникновение неустановившегося течения в трубопрово¬
де, транспортирующем нефть, нефтепродукты или другие угле¬
водородные жидкости, связано, прежде всего, с различными
технологическими операциями. Пуск или остановка трубопро¬
вода, включение или отключение перекачивающей станции,
полное или частичное закрытие задвижки, начало или прекра¬
щение отбора жидкости, разрыв трубопровода и другие техно¬
логические операции приводят к возникновению в трубопрово¬
де изменений, распространяющихся в виде волн давления
(и расхода) вверх и вниз по потоку от места, в котором эти из¬
менения возникли. Весьма часто возникшие изменения про¬
должаются в трубопроводе до тех пор, пока в нем устанавлива¬
ется новое стационарное течение, поэтому неустановившиеся
процессы называют еще переходньши.Поскольку плотности и скорости жидкости, транспорти¬
руемой по трубопроводу, как правило, достаточно велики, то
лоток жидкости в трубопроводе обладает весьма ощутимой259
инерцией, которую необходнмо учитывать при совершении той
или иной технологической операции. Например, резкое тормо¬
жение жидкости при быстром закрытии задвижки приводит к
скачкообразному росту давления, измеряемому несколькими
атмосферами или даже десятками атмосфер. Такое явление на¬
зывается гидравлическим ударом. Скачки давления, возникаю¬
щие при гидравлических уларах, распространяются с большой
скоростью в виде волны давления от места остановки жидкости
вверх и вниз по потоку. Скачкообразное увеличение давления
способно разорвать трубу и привеста к аварии. Включение пе¬
рекачивающей станции также может вызвать достаточно бы¬
строе повышение давления, чреватое опасностью для целостно¬
сти трубопровода. Аншюгично этому, отключение перекачи¬
вающей станции приводит к увеличению давления в линии вса¬
сывания и к уменьшению давления в линии нагнетания. И то, и
другое представляет скрытую угрозу для трубопровода. Вооб¬
ще, можно утверждать, что всякое замедление или ускорение
потока тяжелой жидкости в трубопроводе вызывает колеба¬
ния давления и должно осуществляться с чрезвычайной осто¬
рожностью.6.1. Модель неустановившегося течения слабо сжимаемойжидкости в трубопроводеДля расчета неустановившихся изотермических течений
нефти, нефтепродуктов и других углеводородных жидкостей в
трубопроводе используют модель слабо сжимаемой жидко¬
сти. В основе этой модели лежат следующие допушения:• изменение Др плотности жидкости много меньше ее
номинально1'о значения р„ (т.е, Др«ру), причем согласно
(2.5'), Др/р„ = (р-ро)/Кр, Например, если ри = 1000 кг/м^р-ри = 1,0 МПа (я; 10 атм,) и Кр=!0^ МПа, то
260
Др/ро =107l0" =0,001 , т.е. изменение плотности Др рав¬
но всего 1 кг/м\ что много меньше номинального значения
1000'кг/м^;• изменение AS площади сечения трубопровода много
меньше ее номинального значения S„ (т.е. AS«So), причемД8 - 7doY4ES • (р -ро) или AS = SoCI(,/E6'(p-Pq). Например,если d„= 500 мм, 6 = 10 мм, рр=Ю’ кг/м^ р-ру=10’ Па( в 100 атм.), Е SS 2 • 1 о" Па (трубная сталь), то изменение Ad
диаметра трубопровода равно 0,06 мм, а изменение Д5 пло¬
шали поперечного сечения * 0,5 см^, что « S,, «1960 • см‘;• величина касательного напряжения трения на стен¬
ках трубопровода, согласно (1.32), определяется равенством= X(Re,e)-pv’/8, причем зависимость коэффициента X от
определяющих параметров Re = vd/v и £ = Д/d берется в том
же виде, что и при установившемся течении (такое допущение
называют гипотезой квазистшцюнариости) [23]. Например,
если Х = 0,02, V = 1,5 м/с, = 1000 кг/м\то =5,6 Па;• температура жидкости считается постоянной Т = const.Основные дифференциальные уравнения1. Первое уравнение модели - это уравнение неразрывно¬
сти (1.8), полученное в гл. 1. Это уравнение выражает закон
сохранения массы произвольно выделенного индивидуально¬
го объема жидкости:gpS ^Л (?х261
с учетом принятых допущений, а также формул (2.16*) и
(2.17*), это уравнение можно преобразовать к следующему
виду:5pS - ф 5S р dp ф dS ора5t dp й dp ctPo , Р»
К.d’(l-Vn)
E5;’’a’5pvS - dw1 * Pc^O • -s
cx cxв итоге получается уравнение:илиРо , Ро4 - Уп
Е6арdt/Ро I Pod-ll-Vnln2 ‘РоКЕ5dw= 0Коэффициент, стоящий в круглой скобке, имеет размер¬
ность обратную скорости, поэтому он обозначается посредст¬
вом 1/с; сам же параметр с, определяемый равенствомс =IРо I Pod ■ (1(6.1)КЕб262
называется скоростью распространения волн в трубопроводе
(с» 1 ООО м/с). Например, если ро=1000 кг/м\ Кр = 10’ Па.d = 500 мм, 8 = 10 мм, Е = 2-10'' Па, v', ^0,078,тос =I10^ ^ 10^ '0.5 ■(1-0,078)
2-10”-0,01= 902 м/с.С учетом введенного обозначения первое уравнение мо¬
дели приобретает вид:5р 1 dw ^
— 4р,,с^—=0.
at 5х(6.2)2. Второе уравнение модели - это уравнение (1.11) дви*
же11ия, выражающее 2-й закон Ньютона, примененный к жид¬
кости, текущей в трубопроводе:/dv dv— + V—dt дхwар 4 ■ / \—--Т, -pg’sma(xj
OX аЗдесь sina(x)sdz/dx, где z(x)- профиль трубопровода. По¬
сле замены его выражением через среднюю скорость v
это уравнение приобретает вид:5v dv^
— + v—< dt дхуар 1 pvax d 2pg'Sina(x).263
Для слабо сжимаемых жидкостей, какими являются вода,
нефть и нефтепродукты, можно принять следующие упро¬
щающие допущения:5vdwд\pv- —spoV-—= —
ox д\ д\дкPoVУд\PoVПоследняя оценка справедлива, поскольку нетрудно проверить,
что при течении жидкости в трубопроводе д{руУ'/2)« Др.
Если, например, принять р^яЮОО кг/м^ и у»2-ьЗ м/с, то
Д^цУ^2)^4500 Па(»0,05 атм.), в то время как Др измеряется
атмосферами или даже десятками атмосфер. В общем случае
д(рду^/2)»рдуду, В то время как будет показано, что
Др as PqC Ду . Тогда справедлива оценка:д(рду72). РцУ’Ду V
^ ,Др рцС'Ду сПоскольку в нефте- и нефтепродуктопроводах v/c < 0,005, то
отношение д(роУ^2)/Др пренебрежимо мало,С учетом принятых допущений уравнение (1.П) движе¬
ния для слабо сжимаемой жидкости приобретет следующий
вид;264
д\/ dp1 PuV-Pog'Sina(x).(6.3)f-Это есть второе уравнение модели - уравнение движения.Для касате-тьного напряжения использовано выраже¬
ние VV , а не V', поскольку направление силы лрения должнобыть всегда противоположным направлению вектора скорости
течения жидкости.Таким образом, математическая модель слабо сжимаемой
жидкости может быть представлена системой 2-х дифферен¬
циальных уравнений с частными производными(6.4)для определения 2-х неизвестных функций; p(x,t) и v(x,t),зависящих от координаты х и времени t.Система дифференциальных уравнений (6.4) требует для
решения начальных и краевых условий, которые также явля¬
ются составной частью рассматриваемой модели.Присоединенная массаГипотеза квазистациоиарности, согласно которой каса¬
тельное напряжение т^. на внутренней поверхности трубыпредставляется равенством =A.(Re,£)'PjVv/8, утверждает,в частности, что эта величина зависит от мгновенного значе¬
ния v(x,t) средней скорости течения, но не от ее производных265
по времени или координате. На самом деле, согласно (1.33), в
неустановившемся течении имеет место равенство-U^=-x{K.,z)L^G 0 2-Рок-ОdvdT’где значения изменяются от 4/3 для ламинарного течения
до 1,015-5-1,035 для турбулентного. Если принять в качестве
среднее значение этого коэффициента, можно записать
равенство4 / ,ч dv ч1 poV(6.5)Это равенство показывает, что касательное напряжение
содержит в своем составе член рр(а^-l)-dv/dt, пропорцио¬
нальный жидкости. Физическая природа этого сла¬
гаемого кроется в возникновении дополнительной силы
Ри(а^-l) dv/dt сопротивления, вызванной перестройкой внут¬
ренней структуры потока. Очевидно, если \-const., то пер¬
вое слагаемое в равенстве (6.5) равно нулю.Подставляя (6.5) в исходное уравнение движения жидко¬
сти, получаем;dv 5р / ,-.dv \lPflV-Pogsina(x)ИЛИ(po-*-Pnp..c)^ = -^->^(Re,e)^^^pl-pogsina{x), (6.6)266
где - присоединенная плотность жидкости. Уравнение(6.6) отличается от уравнения (6.3) лишь тем, что в левой час¬
ти стоит не истинная плотность р„ жидкости, а величина(Ро Рирнс) = “к ■ Ро ’ отличающаяся от нее множителем ,Итак, инерционные свойства жидкости в неустановившемся
течении характеризуются измененным значением плотности р„;к последней присоединяется некоторая величина Ро(ок -l)- Для
развитых турбулентных течений =1,03, т.е. изменение плот¬
ности невелико, поэтому допустимо считать р„р„^ *0, однакодля ламинарных течений « 4/3, т.е. изменение алотности
значительно больше.6.2. Неустановившееся течение жидкости в трубопроводе
в условиях пренебрежения силами вязкого тренияРассмотрим неустановившееся течение слабо сжимаемой
жидкости в горизонтальном трубопроводе (sinusО), прини¬
мая допущение о том, что силы вязкого трения малы по срав¬
нению с градиентом давления {4t^/d « Др/L). Такое допу¬
щение вполне оправдано для «коротких» трубопроводов и не
слишком вязких жидкостей. Система уравнений (6.4) в этом
случае принимает следующий вид;до ■> ^-f + PoC'^ = 0.
ct 5х5v ф -
Рп — + —= О
“ д\ дхили267
dvд\dv"a1 ФPoC' 5t1 5p(6.7)Pu <5xДифференцируя первое уравнение по t, второе уравнение - по
X и учитывая, что v', = v[,, получаем уравнение для опреде¬
ления функции р{х, t);— л 2с- р , 5 р= С'atд\(6.8)Это уравнение называют волновым, поскольку оно описывает
распространение волн в различных природных явлениях [19 .Волновое уравнение можно получить также для скорости
жидкости v(x,t):д\эеd'vaj^(6.9)Каждое из уравнений (6.8) или (6,9) представляет собой
уравнение с частными производными и обладает общим ре¬
шением, определяемым двумя произвольными функциями.
Так, например:р(х, t) = {х - cl) + f, (х н- cl).(6.10)Первая из этих функций зависит только от одного аргумента
^ = X - ct, а вторая - только от одного аргумента Г] = х -t-ct.
Проверим, что (6-10) дает решение уравнения (6.8). Имеем;268
— = -cf' +cf'5,— = f' +f' ' a-f", a^p a^pсax- atТаким образом, (6.10) лает решение уравнения (6.8) при лю¬
бом виде функций f, и f,.Функция f,(x-ct) представляет собой бегущую волну в
положительном направлении оси х; функция fj (х + ct) - бегу¬
щую волну в отрицательном направлении этой оси. Величина
с скорости распространения обеих волн (т.е. скорости распро¬
странения определенного значения функции fj или f,) одина¬
кова. Вид каждой из функций f, и f, определяется начальными
условиями распределения давления и скорости в трубопроводе,
т.е. величинами р(х,0) и v{x,0), а также краевыми условиями,т.е. условиями на концах участка трубопровода,Скорость жидкости v(x, t) определяется аналогичной
формулой:v(x,t) = g|(x-ct)-bg,(x-»-cl)sg,(^)+g,(n). (6.11)Однако входящие сюда функции g,{^) и g,(ii) выражаются
через функции f,(^) и f2(ri). Из (6.10) и (6.11) имеем:269
илиg|- + g’r, =PdCf' -f'
‘■If-c-g,^+c-g,^ =14 ‘2qJ
1Pof’ + f'
.*1^ ^ bnРо‘'ёц ~ f|4’PoCg2. = -fz2nИнтегрируя первое уравнение по ^, a второе - по т) и учи¬
тывая, что g| и зависят только от ^, а gj и fj - только от г\,
получаемg, =—^ + comt.,
РоСf,g, -—— +const.
PuCОтсюда находим;v(x, t) - ■ f| (x - ct)—^ • fj (x + ct) = const. (6,12)PoCPuCс помощью формул (6.10) и (6.12) можно строить решения
различных задач. Рассмотрим некоторые из них,Распространение волн в бесконечном трубопроводеТрубопровод называют бесконечным, если он простирает¬
ся вдоль оси X от -<Х1 до -ьоо, Конечно, это всего лишь модель270
реального трубопровода, но она оказывается полезной, когда
длина трубопровода достаточно велика и можно пренебречь
краевыми эффектами, т.е. пренебречь волнами, отраженными
от начала и конца трубопровода.Складывая и вычитая равенства (6.10) и (6.12), получаем:'^р + РпС • V = 2 - f| (х - ct)+ consl.,
р - PqC • V = 2 - f, (х + ct)+ const.Отсюда видно, что для тех точек плоскости (х, t), для которых
\-ct= const., остается постоянным также выражение
I, =P + Pycv; для тех точек плоскости, для которых
X + ct = const,, остается постоянным также выражениеI, =p-pyC'V, рис. 6.1. Линии x~ct=const. и \+cl = consi.называют характеристиками волнового уравнения, а величи¬
ны I, =p(x,t)+poC-v(x,t) и I, =p(x,t)-pgC'v(x,t) -инвари¬
антами Римана.t = О: р = р(х,0); V = v(x,0)Рис. 6.1. Характеристики волнового уравнения271
Итак, на каждой характеристике х-сХ = const., имеющей
положительный наклон dx/dt = +с , сохраняется первый ин¬
вариант Римана 11, а на каждой характеристике х + ct = const.,
имеющей отрицательный наклон dx/dt = -с , сохраняется
второй инвариант Римана I,:на линиях X = ct + const.: I, = р + P(,cv = const.;
на линиях X =-cl + coAJsr; I, =р-рцСУ = соп5Г.Рассмотрим решение следующей задачи.Задача. Пусть в начальный момент времени t = О & бес¬
конечном ('-сс < X < +00 j трубопроводе известны распределе¬
ния р(х,0) = П(х) давления и у(х,0) = Ф(х) скорости жидко¬
сти. Определить, какое течение возникнет в трубопроводе
при I > О. Шыми словами, требуется найти функции p(x,t) иv(x,t), удовлетворяюгциеуравнениям (6.8) и (6.9) и начальным
ус.ювиям р(х,0)= П(х) и v(x,0) = Ф(х).Решение. Обратимся к плоскости переменных (x,t),
рис. 6.1. проведем из произвольной точки М (х, t), t > О, этой
плоскости характеристики МА: х - ct = х, и MB: х + ct = Xj.Поскольку на характеристике x-ct = x, постоянен пер¬
вый инвариант 1, Римана, то можно записать:Pм(^^t)+PoC■v^t(x,t)=Pд(x,,0)+p„c■Vд(x,,0).Для характеристики x+ct = x2 постоянен второй инвариант1, Римана, поэтому:Рм(>^>‘)-РоС-У„(х,1)=Рд(х>,0)-роС-Уд(х2,0)272
Разрешая систему полученных уравнений относительно
Рм(хд) и v^^(x.t), находим:илим^^,,^tj_p(x,.0)-p(x,,0) ^ у(х,,0)+у(х;.0)“ ’ 2руС 2'ММПодставляя сюда вместо х, и х, их выражения через х и
t, получаем решение поставленной задачи в следующем виде:/ п(х-ct)-n(x+ct) ф(х-с1)+ф{х+с1)2^;;^ ^ 2(6.13)мТак как функции П(х) и Ф(х) извескгы, то решение задачинайдено. Равенства (6.13) называют формулами Даламбера
[19]. Итак, если в начальный момент времени известны рас¬
пределения давления и расхода, то формулы (6.13) позволяют
найти распределение этих параметров в любой другой момент
времени.273
Распространение bo.ih в полубесконечном трубопроводеТрубопровод называют полубесконечньш, если он имеет
начальное сечение (х = 0)и простирается от него в одном на¬
правлении (х > о) бесконечно. Такое допущение дает модельтрубопровода, в которой учитываются условия на одном из
концов трубопровода (левом) и иренебрегается влиянием дру¬
гого конца (правого). Рассмотрим решение следующей задачи.Задача. Пусть в начальный момент времени t = 0 жид¬
кость в полубесконечном (О <\< +оо) трубопроводе покоит¬
ся. v(x.O) = О, а давление постоянно р(х,0) = Ро • Скорость
жидкости в начальном сечении х = О начинает изменяться
по произвольному закону v{0.t) = Ф(т), t > О. Требуется опре¬
делить, какое течение жидкости возникнет в трубопроводе.Решение. В этой задаче требуется определить, какие вол¬
ны (давления и скорости) возникают в полубесконечном тру¬
бопроводе вследствие произвольного изменения (возмуще¬
ний) этих параметров на его левом конце.Рассмотрим плоскость (х. t) t > О, х > О, рис. 6.2.4xi,0)£(х,,0)Рис. 6.2. К решению задачи о бегущих волнах274
Через начало координат этой плоскости проведем харак¬
теристику X = ct положительного наклона. В точках N этой
плоскости, расположенных ниже прямой х = ct, формулы Да-
ламбера (6.13) дают следующие уравнения:2р„с 2(6.14)Полученный результат имеет простое физическое толкование:
в той области трубопровода (х > ct), которую возмущение,
распространяющееся со скоростью с от начального сечения
трубопровода, еще не достигло к моменту времени t, жид¬
кость по-прежнему остается неподвижной, т.е. ее скорость
равна О, а давление - Pj.Рассмотрим теперь ту область трубопровода, которую воз¬
мущения, распространяющиеся от начального сечения трубо¬
провода, уже достигли. Эта область характеризуется неравенст¬
вами О < X < ct. Пусть А/(х, t) есть точка соответствующей об¬
ласти. Выпустим из этой точки характеристики МС и MB, а из
точки C(0,tfl), находящейся в начальном сечении трубопровода
(момент времени ) - характеристику СА, рис, 6,2. С помощью
условия на характеристике СА, состоящего в постоянстве вто¬
рого инварианта Римана, и фаничного условия находим давле¬
ние в начальном сечении трубопровода в момент времени tj,:Pc(0.to)-poc-vc(0,tj = p^(x,,0)-poc'vc(x,,0) = po-0 = po,Отсюда275
Pc{0.to)=Po + PoC-Vc(0>to)-Таким образом, давление р^. в началы!ом сечении трубопро-
вола, бывшее первоначально равным р^^, изменилось на вели¬
чину PqC • v^-(о, ty) за счет возникновения скорости v^.(0,to) в
этом сечении.Поскольку давления и скорости жидкости в точках С и В
теперь известны, то можно найти давле1«ие в точке A/(x,t):+ = +Pi.c-Vt. =(р„ +p„c-Vo) + p„c-Vy,Рм(’«.0“РоС-Ум(х.1) = Рц-РуС.У„ =Ро -роС-0 = Ро.Отсюда находим:PM(x.t}-Pu+PaC'Vc(0,t„),VM(x.t)=v^,(0.tJ(6-15)Заметим, что определяется через координаты (хд)
точки М формулой to = t - х/с (уравнение характеристики
МС имеет вид x = c-(l-t„)), поэтому окончательно форму¬
лы (6.15) имеют вид:Рм(х.О=Ри +PoC-Vt-Ч Су= Р„+РоС-Фt —V(6.16)Vm(x,0 = O^ х'
t--276
где Ф- функция, определяющая измеиение скорости в на¬
чальном (х = 0) сечении трубопровода, только не в момент
времени t, но в более поздний момент времени t - х/с. Оче¬
видно, что величина х/с равна времени, за которое возмуще¬
ние, распространяющееся от начш1а трубопровода, достигает
рассматриваемое сечение х.Формулы (6.16) показывают, что любое изменение 6v
скорости в начальном сечении трубопровода распространяет¬
ся в виде бегущей волны в трубопроводе, порождая волну
давления, превышающее первоначальное его значение на ве¬
личину 5р = PflC • 5v. Причем если скорость внезапно увеличи¬
вается (5v> 0), генерируется скачок сжатия; 5р>0, если же
скорость течения внезапно уменьшается (5v<0), то в трубо¬
проводе генерируется скачок разрежения; бр > О .Аналогично решается задача, когда в начальном сечении
трубопровода давление изменяется по произвольному закону;Отключение промежуточной перекачиваю1цей станцииПромежуточная перекачивающая станция (ППС) располо¬
жена на границе двух участков трубопровода. Установим, как
изменяется давление в трубопроводе при отключении станции.
В течение ограниченного промежутка време(П1, а именно до
момента прихода вол>г, отраженных от предыдущей и после¬
дующей станций, эти участки можно рассматривать как полу-
бесконечные.Булем считать отключение перекачивающей станции
мгновенным процессом, в котором происходит полное тор¬
можение жидкости от начальной скорости до О (как учесть
инерционные свойства быстро вращающихся роторов насосов277
или, как говорят, выбег насосов, будет показано ниже). В том
же случае, когда торможение роторов происходит мгновенно,
в линии нагнетания станции образуется ъоляг разрежения с
уменьшением давления на величину 5p = -PoC-5v, а в линии
высасывания - волна сжатия с увеличением давления на ве¬
личину 5р =+PflC • 5v; здесь 5v = Vq-0 обозначает изменениеначальной скорости жидкости. Первая волна распространяет¬
ся вниз по течению (вправо от станции), а вторая - вверх по
течению (влево от станции), рис. 6.3.Sp = -PoC’fivКОРис. 6.3. Возникновение волн давления при отключенииперекачивающей станцииЕсли обозначить посредством Др дифференциальное дав¬
ление, создаваемое перекачивающей станцией, то возможны
два случая.Первый случай: Лр > 2 • 5р = 2 • poCVp. В этом случае оста¬
точное давление в линии нагнетания станции будет больше,
чем давление в линии всасывания станции, поэтому для того
чтобы перекачиваемая жидкость не потекла в обратном на¬
правлении через насосы, на выходе станции устанавливают278
обратный клапан (КО), закрывающийся, если давление за ним
больше, чем давление перед ним.Второй случай: Др < 2'|5р| = 2'р^сУо. В этом случае дав¬
ление перед станцией мгнове!1но сравнивается с давлением за
ней, обратный клапан КО открывается, и транспортируемая
жидкость беспрепятственно продолжает движение через стан¬
цию слева направо, однако с уменьшенной скоростью.Распространенне воли на участке трубопровода
ограниченной протяженностиОставаясь в рамках прсд1голоже[П1я об отсутствии сопро¬
тивления течению жидкости в трубопроводе, рассмотрим зада¬
чу о взаимодействии во;ш давления на участке трубопровода
ограниченной протяженности О < х < L. В этом случае, помимо
начальных условий р(х,0) и v(x,0), необходимо задать такжекраевые условия, отражающие взаимодействие жидкости с уст¬
ройствами, расположенными на концах участка, т. е. в сечениях
X = О и X = L .Прежде всего укажем число таких условий, В каждую точ¬
ку левой границы х = О, t > О участка трубопровода приходит
только одна характеристика волнового уравнения, а именно
характеристика \ = -ct +const, отрицательного наклона. По¬
скольку вдоль нее выполняется условие р - рцС • v = const., то вточках этой границы имеется одно алгебраическое уравнение,
связывающее величины р и v. Для однозначного определения
р и V необходимо еще одно уравнение, следовательно, необ¬
ходимо еще одно краевое условие. Аналогично этому, в каждую
точку правой фЭницы х = L,'t > О участка трубопровода прихо¬
дит также только одна характеристика, а именно характеристи¬
ка х = cl + const, положительного наююна. Вдоль нее выполня¬
ется условие совместности p + p^c-v = cow/,, следовательно, в279
точках этой границы необходимо выставить также еи^е одно
краевое условие.Вид краевых условий может быть многообразен; все зави¬
сит от того, какие устройства вводят жидкость в трубопровод и
какие выводят жидкость из него. Например, на левом конце
трубопровода может быть установлен насос, обеспечивающий
постоянную подачу жидкости в трубу, тогда краевое условие
при х = 0 имеет вид: v(0,t)= = conj'/., t>0. Правый конец
трубопровода может быть открытым; тогда краевое условие на
правом конце имеет вид: р(0, t) = рц = const., t>0. Возможны,однако, и другие, более сложные виды краевых условий.Изложим решение следующей краевой задачи.Задача. Пусть жидкость на участке О < х < L трубо¬
провода в начальный момент времени t = О покоится,
v(x,0) = О, а давление в ней постоянно р(х,0) = Ро. Внезапно в
трубу начинают подавать жидкость согласно закону
v(0, t) = Ф{1). Конец трубопровода свободно сообщается сатмосферой, так что давление в сечении х = L поддержива¬
ется постоянным: p(L,t) = p(,. Требуется определить, какоетечение жидкости возникнет в трубопроводе.Решение. Рассмотрим на плоскости переменных (x,t) по¬
лосу О < X < L, t > О, соответствующую области изменения
переменных рассматриваемой задачи, рис, 6.4,J. Решение в области 1, заключенной внутри Д OCL, т.е.
области, в которую еще не пришло возмущение, таково:
p(x,t) = po; v(x,t) = 0.2. Найдем решение задачи в области 2, ограниченной тре¬
угольником OCD (2L/c- время двойного пробега волны по
участку трубопровода).280
Рис. 6,4. Взаимодействие волн на участке трубопроводаСначала определим давление Ps в произвольной точке S
левой границы:Ps (О^ О = Ро + РоС ■ Vs(t) = Рй + РоС ■ 0(t}После этого находим давление и скорость в произвольной
точке M(x,i) рассматриваемой области. Имеем:281
Pm +PoC-Vm =Ps+PoC'Vs = Po + 2poC-0(ts).Pm-PoC-Vm =Po-PoC-0 = p„.Отсюда находим:^Рм(>«.0=Ро+РоС-Ф(г-х/с^
v^(x,t) = 0(t-x/c).i. Найдем решение задачи в области 3, ограниченной тре¬
угольником CDG (3L/c- время тройного пробега волны по
участку трубопровода).Сначала определим скорость жидкости Vp в произволь¬
ной точке F правой границы;Pf +PoC-Vp = Ps +PoC-Vs =[Po +Pi,C'0(ts)] + poC-0(ts).Поскольку Pf = Po и tj = t - L/c, to Vp(L,t) = 2-<J>(t-L/c),VF{L.t) = 2-0(t-L/c).После этого находим давление н скорость в произвольной
точке N(x, l) рассматриваемой области:Pn + РоС ■''N = Рн + РоС ■ Vr = Ро + 2р„с - 0(t - х/с),
Pn - РоС • Vn = Pf - РоС • Vf = Ро - 2роС • Ф{( - х/с)Следовательно, р^< =Ро; = 2Ф{1 - х/с).282
Аналогично методом характеристик можно найти реше¬
ние в области 4, 5 и последующих областях рассматриваемой
полосы.6.3. Метол расчета нестационарного течения жидкости в
общем случае: «метод характеристик»Вернемся теперь к общему случаю, т.е. к системе уравне¬
ний (6.4), описывающей неустановившееся движение слабо
сжимае.мой жидкости в трубопроводе с учетом сил вязкого
трения. Имеем:Эр 2 -Роdt д\dc 2Peg- sma(x)(6.17)Умножая второе уравнение системы на с и складывая с
первым уравнением, получаем:''до ф'’
-^4С—^д1 ds.J+РоС-dv dv^
— +с—,c)t dKj=-ХРосН'2d-cpog'Sim. (6,18)Аналогично вычитая второе уравнения, умножен«{ое на с, из
первого, получаем:ГФ-роС'fdvdv''л РоН''U“С—U* ^А.2d+cpog-sirex. (6.19)Рассмотрим на плоскости переменных (х, t) прямые ли¬
нии, определяемые уравнениями283
dxdtdxdT= C, X-Ct=^ - const,= -C, => X + Ct - Г| = const.и называемые так же, как и для волнового уравнения, характе¬
ристиками. Первое семейство линий называется характеристи¬
ками положительного паклена, второе - отрицательного
наклона.Заметив, что выражения видаал ал+ с/dtд\dAоА_ ^at ахdt jry^cunslявляются производными no направлениям первой (4 = const.) и
второй (t^ = cow/.) характеристик, соответственно, от некото¬
рой функции A(x,t) переменных (x,t), запишем уравнения(6.18) и (6,19) в следующем виде;fdp''dv'Idt;(agon si+ p„c-Idt JVdp^(dv\Idt,1) = СОП!»1-PoC-Idl J= -ХPoCV= х2d
p„cv|v2d-pyCgsina+ PyCg-sinaили284
d( \ ,PoCVVФ + PdC • v) ^ - p„cg • sina* 2d (^20)\ , PoCVV-\p - Pi)C • + P«cg • sinaПели ?. = 0 и a = 0,TO правые части уравнений (6.20) рав¬
ны нулю. Это означает, что вдоль характеристики
x-ct = ^ = const, положительного наклона сохраняется вели¬
чина l|=Po+Pc)C'V, а вдоль характеристики х + ct = т) = соп^г.
отрицательного наклона сохраняется величина l2=Po"PoC-v.
Этот вывод согласуется с результатами, полученными вьшге
для волнового уравнения,Коли А.7^0, то величины 1, и I, не являются постоянны¬
ми на соответствующих характеристиках. Тем не менее фор¬
мулы (6.20) Moiyr служить для расчета различных неустаио-
вившихся течений в трубопроводе, особенно если использо¬
вать численные методы.Пусть, например, в какой-либо предыдущий момент вре¬
мени t„.| (в частности, t = 0) в трубопроводе известно рас¬
пределение давлений и скоростей течения, т.е. известны
функции p = p(x,t„,.|) и V = v(x,t„.|). Тогда с помощью урав¬
нений (6.20) можно рассчитать значения этих фу1гкций в по-
следуюи^ыИ момент t„, =i,n., + At времени, отстоящий от пре¬
дыдущего на величину At.Рассмотрим на плоскости переменных (x,t) прямоуголь¬
ную еетку е малым шаг'ом Дх по координате и Д1 = Дх/с повремени, рис. 6.5. Через узлы получившейся сетки проведем
характеристики x=ct + con.?/; и \=-cl+consl. положитель¬
ного и отрицательного наююнов, соответственно. Непрерыв¬
ное распределение искомых функций р(хл) и v(x,t) заменим285
дискретными значениями =p(x,.,t„) и =v(xk,t„)
сеточных функций в узлах построенной сетки. Предположим,
что все значения и известны, требуется найти зна¬
чения р;^„ и сеточных функций при 1 = 1,^.Рис. 6.5. Расчетная сетка метода характеристикПусть A/,,,„ = /V/(x^,t„) - Произвольная точка плоскости
переменных (x,t). Заменяя производные d( )/dt no направле¬
нию в уравнениях (6.20) конечными разностями Д( )/МIвдоль характеристик AM и 5Л/, получаем286
Д(р + РоС-у)^sconsi.= -^<Ра= С-(/>а,n«cons(где ^s(v,x) = A.pov|vj/2d + pjg ’Sin а(х).Если учесть, чтод(р + РоС ■ = (рм + РоС ■ V*,)- {р, + РоС ■ V J,А(р-РоС-= (рм - Р„С-)-(Рз-РоС ■ V J,то имеем систему двух линейных уравнений для определения
давления и скорости жидкости в точке И по извест¬
ным значениям этих параметров в точках А и В :(Pm+PoC-Vm)-(Pa+PoC-Va)=-^-«?^,£а(Pm-PoC'Vm)-(Pb-PoC-'^b}=+^-?%илигде использованы обозначения;Jk+Ijn-l= Ры,>|-РоС'(6.21)287
Из полученной системы линейных уравнений вычисляем
значения давления и скорости течения:Pk,in -V - — -t(0 t(-) (6.22)2poCТаким образом, формулы (6.22) и (6.21) решают поставлен¬
ную задачу, поскольку позволяют найти давления и скоро-сти жидкости в любой последующий момент времени по
известным значениям (p,,,.^.,,v,этих пара¬
метров в предыдущий момент времени. Поскольку в качестве
начального момента можно взять момент временн t = О, то, по¬
следовательно вычисляя даагения и скорости по рекуррентным
формулам (6.21), (6.22), можно рассчитать параметры потока в
любой момент времени t > О.Начальные и краевые условия. Условия соприженияПусть исследуется неустановившееся течение жидкости на
участке 0<xSL трубопровода, начиная с некоторого момента
времет!И t = 0, принимаемого за начальный. Для того чтобы
узнать, как будет развиваться неустановившийся процесс, необ¬
ходимо иметь информацию о начальных и краевых условиях, т.е,
информацию о том, каково было исходное состояние потока
(в момент времени t = О) и что происходит на краях участка (в
сечениях х = 0 и x = L). Первая информация называется на¬
чальными условиями, а вторая - краевыми условиями.Начальные условия. Состояние участка трубопровода в на¬
чальный момент времени может быть произвольным, однако288
часто в качестве начального состояния берется установившее¬
ся течение жидкости, существовавшее в трубопроводе в на¬
чальный момент времени.Пусть, например, для установившегося течения жидкости
известен объемный расход Q = vS = Q{x,0) = Qo и распределе¬
ние напора Н(х,0)= Нц-/-X, где Нд = Н(0,0)- напор в нача¬
ле х = 0 рассматриваемого участка в начальный t=0 момент
времени; ( = (H5-HJ/L-гидравлический уклон; =H{L,0)-
напор в конце участка в начальный момент времени. Тогда
в качестве начальных условий (m=I, t„=0) можно взять
условияv(x,0)=-^ = Vo =const.\ p(x,0)=Pog-[Ho-/’X-z(x) .Если рассматривается численное решение задачи и речь идето сеткс характеристики, рис. 40* то эти условия имеют вид:Vk.i = ; р,_, = Peg ■ (Но )■ (6.23)Здесь к = 1,2,,.., N +1, Х(. =(к-1)-Дх, х, =0, x^^,=L,
z^=z(xi), Ax = L/N (N- число частей, на которое разбива¬
ют участок трубопровода).Краевые условия. Формулы (6.22) позволяют находить
значения р^,„ и во всех узлах (x^,t„) полосы 0<х <L,t>0, определяющей участок трубопровода, за исключением
его краев - начала (х = О) и конца (х = L). В этих узлах необ¬
ходимы дополнительные (краевые) условия.Обратимся к рис. 6.6.289
Рис. 6.6. Расчет значений (p,.„,v, „)nна концах участка трубопроводаТолько одна характеристика dx/dt = -c отрицательного
наклона приходит из области интегрирования в точки
Л/{х =5 о) левой границы участка (рис. 6.6 а), давая только одно
уравнение для определения двух неизвестных величин р, игде -PnC-+Дх-^г»2,,.,. следовательно, необ¬ходимо дополнитслыюе условие.Таким дополнительным условием может являться алгеб¬
раическое уравнение F(p,v)=0, вьфажающее зависимость ме¬
жду давлением рд,(0,1) и скоростью Уд,(0,1) в начальном се¬
чении трубопровода. Как правило, это условие моделирует ра¬
боту перекачивающей станции и представляет ее (Q-H)- ха¬
рактеристику. Таким образом, краевые условия в точках левой
границы участка могут быть представлены в виде системы двух
уравнений;290
X = о, t > о;P,,,n-PoC-v.„,=jH,n.-i,Kp..,v,J=0,Аналогично, только одна характеристика dx/dt = +c по¬
ложительного наклона приходит из области интефирования в
точки £■ (х = L) левой границы участка, рис. 6.6 б, поэтому
краевые условия в точках правой границы участка могут быть
представлены в виде системы двух уравнений:x = L,l>0;гда j'‘Vn.-i =Pn.«-i+PoC'V„.„.,-Ax-p^„,_,: G(p,v)=0 выража¬
ет зависимость между давлением p£.(L,t) и скоростью (L,t)
в конце участка трубопровода, например, условие p^j^, „ = р^.Возможны, однако, и другие, более сложные виды краевых
условий.Условия сопряжения. Если устройства, являющиеся при¬
чиной неустановившегося процесса, находятся внутри участка
трубопровода, например в сечении х. (0<x.<L), то в этом
сечении может существовать разрыв непрерывности гидрав¬
лических параметров. Этот разрыв определяет дополнитель¬
ные условия, называемые _)'словмял<1/ сопряжения.Пусть, например, в сечении х. трубопровода происходит
отбор или подкачка жидкости с расходом q (q<0 - отбор;
q > О - подкачка). Тогда такое сечение характеризуется не¬
прерывностью давления и разрывом непрерывности расхода
(следовательно, и скорости), рис. 6.7.291
к*-]Рис. 6.7- Расчет предельных значений иперед и после сечения сброса (подкачки).(•) „(ОmЕсли обозначать предельные значения параметров течения
перед сбросом (подкачкой) символами с верхним индексом а
после него - символами с верхним индексом **', то в сечении
X. =х^ должны выполняться условия(6,26)Тогда для вычисления 3-х неизвестных параметров(рй, = р['!.-р^,,„) в сечении х.=х^ имеется
система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:pti + РоС • v‘;j, = + р„с • - дх - ,I.-.1у(') -v<-> =-iУ.1П k.fr g '292
Решеиие этой системы имеет вид;Pl.m■'k-i+ j'->,m-l ^ ■'k'I.m-lq2+ Pc)C2S’•'k-i.mlк.т2poC2Sv<->•'k-i,in-lqк, m2poC2SДругим примером условий сопряжения являются условия
в сечении, в котором установлена закрывающаяся (или откры¬
вающаяся) задвижка. Воздействие задвижки на поток транс¬
портируемой жидкости моделируется следующими условиями
сопряжения:(6.27)где коэффициент местного сопротивления, которыйможет изменяться, определяя процесс закрытия или открытия
задвижки; принимается также, что v>0. Первое из условий(6.27) означает непрерывность расхода жидкости, второе -
разрыв давления в сечении х,.Если М(х,^)- сечение, в котором установлена задвижка
(х. = xj, рис. 6.8, то модель задвижки может быть представ¬
лена системой 3-х уравнений293
Vm + PqC ' Vm — V-I.m-I,
V.m “ PqC ' \.m = V + l.m-J)P* -p* \.m =(;(t^)-pgVk,m/2ДЛЯ определения 3-х неизвестных параметров p[*m.pl,i и v^_
(здесь учтено, что = уЦ = ),mРис. 6.8- Расчет значений p'i,p[*l и
перед и после задвижкиРешение полученной системы имеет вид:|(*) . i(-) - .л_(•) ^ Ко^Ьл!Ркл> 2 ?т ^г(+) . |(“) ^ ^2W -^Ыдй _ Po^fc
Pkjn ^Л1|(*) _j(-)•'ЫлУ!294
причем для выполнения условия ^ > О необходимо и доста-(-)к- |,Л1-1 *точно выполнения неравенства *6.4. Учет инерционных свойств ротора насосовБолее сложные вилы краевых условий используются в тех
случаях, если необходима большая детализация взаимодейст¬
вий насосно-силового оборудования с транспортируемой
жидкостью, нежели та, которая моделируется системой алгеб¬
раических уравнений типа (6.24), (6.25), учитывающей насос
(или перекачивающую станцию) видом ее гидравлической
(Др-Q)- характеристики. Например, алгебраическая зависи¬
мость Ap = ^(Q) между дифференциальным давлением, разви¬
ваемым иенгробежным насосом, и расходом жидкости модели¬
рует работу насоса только при постоянной угловой скорости ш
вращения рабочего колеса ротора насоса, в то время как в не¬
стационарных процессах, например при пусках или остановках
насоса, угловая скорость врашения ротора изменяется и, как
следствие, изменяется его гидравлическая характеристика.Рассмотрим более подробно одну из моделей работы на¬
сосного агрегата с учетом переменности скорости вращения его
ротора. Пусть J„„ - момент инерции ротора насосного агрегата,а ш - его у1'ловая скорость (со = пп/30 с'', где п - число обо¬
ротов в минуту), тогда вращение ротора насосного агрегата
описывается обыкновенным дифференциальным уравнением295
где М,р - момент сил на валу ротора (вращательный момент,
развиваемый приводом); М„ - момент нагрузки, т.е. момент
сил сопротивления вращению вала ротора.Если насос работает в стационарном режиме с постоянной
частотой сОд вращения вала ротора, то выполняется равенствоMjp = М„ моментов. Поскольку мощность N насоса, с одной
стороны, представляется как , а с другой стороны, соглас¬но формуле (1.23), она равна Q' Др/т], то имеют место равенствагде = ^!i(Q)- дифференциальное давление, развиваемое
насосом при частоте cOj вращения вала его ротора.Если предположить далее, что в нестационарном режиме
частота со вращения ротора насоса хотя и изменяется, но фор¬
мула, полученная для момента М„ сил нагрузки, сохраняется,то дифференциальное уравнение (6.28) вращения ротора можно
представить в виде;(6.29)dt Л СОN/cuгде Др,„ - дифференциальное давление, развиваемое насосомпри частоте со вращения его ротора.Законы подобия (см. гл. 4) утверждают, что величины
Др,^ и Др^^^ дифференциальных давлений, развиваемых насо-296
COM при частотах вращения со и Шц, соответственно
зависимостью, связаныАр. =/ \
Ц)■<{>/ \со уЛр,н>поэтому систему уравнений, лтоделируюихую работу центро¬
бежного насоса с переменной скоростью вращения ротора,
можно представить в виде системы од}юго алгебраического и
одного обыкновенного дифференциального уравнения:г ч
0)Др..=, dcoJ —= мdt‘ вДр(6,30)шгде р(0) = Др^- характеристика насоса при номинальной
частоте си„ оборотов рабочего колеса.Система уравнений (6.30) может служить краевым усло¬
вием, моделирующим переходные режимы работы перекачи¬
вающей станции с учетом инерционных свойств насосов. Эта
система содержит один дополнительный параметр работы
co(t) - угловую скорость вращения вала ротора насоса и дает
дополнительное (дифференциальное) уравнение для его опре¬
деления.Рассмотрим, например, проиесс отключения перекачи¬
вающей станции с учетом выбега насосов. В этом случае сле¬
дует положить М„р =0. Пусть перекачивающая станция (ПС)расположена в сечении трубопровода, рис. 6.9.297
M(xJПСРис. 6.9. Расчет значений pkj„,p[*|, hVj,„ на
перекачивающей станции с учетом выбега насосовТогда давления р„=р[^, р„=р1Гт и скорости жидкости
''к.т "= '''■•к.т = (Q^ „ = • s) ИЗ входе И выходе перека¬
чивающей станции связаны уравнениями;Рк,т "*■ Ро^ ’ ^к.т ~ ■^1ч.т-| >
p1!I-PoC-v,,„=JU,„.„D*'> -d''’ =
Рк,га Pk.mу \2/ \V s.“°гп'(Рк,1л1“о./2Д12CO ,4^0(00 jV.K.m\ уCOж\l /
<p(0,\(0m /где p„-p, =^(Q)^ гидравлическая (Др-Q)- характеристи¬
ка перекачиваюшей станции при номинальной частоте со^
вращения роторов насосов.298
При получении последней формулы использовано копеч
но-разностное представление производной по времени:dco 1 dco^ Шл С01 0)со— =dl 2 dt 2Д1\Если начальное число п^, оборотов ротора насоса извест¬
но (т.в. известна начальная угловая скорость сОц = лПо/30), то
решение системы полученных уравнений совместно с другими
уравнениями задачи позволяет рассчитать время выбега насо¬
са, т.е. время его полной остановки или время уменьшения
числа оборотов в заданное число раз.6.5. Определение места утечки жидкости из трубопроводаВ качестве примера использования метода характеристик
рассмотрим также вопрос об определении места утечки нефти
из трубопровода. Задача ставится следующим образом: в двух
сечениях х, и Xj участка трубопровода измеряют давления
p(x|,t), p(xj,t) и расходы Q(x|,t),Q(x,,t) нефти. Требуется
определить, существует ли утечка нефти на контролируемом
сегменте [x,,xj] трубопровода, и если существует, то где она
находится.Дадим решение этой задачи методом, получившим на¬
звание метод зональной локации (Зверев Ф.С., Лурье М.В.,
патент РФ RU Xs 2421657). Но сначала сформулируем одно
вспомогательное утверждение.Вспомогательное утверждение. Пусть в каком-либо се¬
чении Х| трубопровода измеряют и фиксируют давление
p(x,,t) и скорость v(X|,t) жидкости в течение симметричного
интервала I e[to-T.tj, + т] времени, где 2т - продолжитель¬299
ность измерения. Утверждается, что на основе измеренных и
зафиксированных данных можно рассчитать распределения
р(х, 1ц) давления и v(x,to) скорости жидкости на сегментехб[х|,х|+ст] трубопровода в момент времени 1„,т.е. в сере¬
дине рассматриваемого интервала (с- скорость распростра¬
нения волн в трубопроводе).Доказательство. Обратимся к рис. 6.10.R.Рис. 6.10. Вычислительная сетка характеристик
для определения места утечки жидкостиВыпустим из точки <4.з(х,,1ц-т) характеристику
положительного наклона, а из точки /4j(x,,tn -i- г) - характери¬
стику отрицательного наклона до их пересечения в точке
Л^Х| +CT, to), так что на плоскости (x,t) образуется треуголь¬
ник Проведем также характеристики положительного
и отрицательного наклона через все точки А.j,A ^,A^,,A^,A^_300
первого вертикального ряда х = х,» в результате чего треуголь¬
ник А yA^R^^ покроется сеткой характеристик.Пусть давления и скорости жидкости известны в сечении
х*Х|, т.е. во всех точках первоговертикального ряда узлов сетки. Покажем, как рассчитывают^
ся давление и скорость жидкости в вершинах
»Л/_,, , Л/j, Л/-, треу1’ольников второго вертикальногоряда узлов сетки на примере вершины . Используя условия
на характеристиках, имеем:Рм, + РиС ■ , + р„с ■ Уд ^ - Дх,Рм„ -РоС ■ Vm, = Ра1 - РоС ■ Vft, “ <P^, ' Ах,где ^ = v/2d + p(,g'Sina. Отсюда находим искомые зна¬
чения р„ иРм. ~Vm.. =Ра„ +Ра,v^ .-Уд, Дх+ РоС2р.с2р„с«Рд, -Ра„)-Аналогично этому рассчитываем давления и скорости в
остальных вершинах Л/.,, Л/_,,Л/,,ЛГ, треугольников второговертикального ряда узлов.После того, как все эти величины найдены, переходим к
расчету значений давления и скорости в вершинах Nтреугольников третьего вертикального ряда узлов, рис, 6.10.
Расчет осуществляется по тем же формулам, что и для вершин
второго ряда узлов. Наконец, рассчитываем давление и ско¬
рость жидкости в вершине четвертого вертикального слоя.301
в итоге становятся известными значения давления и скорости
во всех точках y4o,Mo,iVp,/?o, лежащих на сегменте или
[хрХ| +СТ трубопровода с шагом Дх по координате в момент
времени t(,. Уменьшая шаг Дх сетки, находим значения иско¬
мых функций в как угодно большом числе точек сегмента.Теперь перейдем к изложению самого метода. Поскольку
давления p,(t) = p(x,,t),p,(t)=p(x,,t) и скорости жидкостиVj(t)=4Q(xpt]/nd-, Vj(t)=4Q(x2,t)/nd- измеряются на кон¬цах сегментах,,х2Jтрубопровода, то, согласно вспомога¬
тельному утверждению, в момент времени tg можно постро¬
ить два распределения p,(x,to) и pjCx.t^) давления по длине
рассматриваемого сегмента; один по измерениям на левом
конце (Х = Х|) сегмента, другой - по измерениям на правом
конце (х = X,) сегмента. Возможны два случая:первый случай: утечки жидкости на контролируемом сег¬
менте [х|,х,] нет. В этом случае p,(x,to)sp2(x,to), или впрактической реализации метода |p,(x,t„)-p2(x,to)j<e,rfle е -некоторая допустимая погрешность;второй случай: кривые p,(x,ty) и p,(x,to) распределения
давлений не совпадают в большинстве точек сегмента. Это
означает, что на сегменте [х,,х,] имеется утечка в некотором
сечении х. (х, < х, < Xj), а кривые p|{x,t^,) и p2(x,to), постро¬
енные в предположении об отсутствии утечки на сегменте
XpXj , неверны. Однако распределение р,{х,1(,) давлениядолжно быть справедливым на сегменте х,,х.], т.е. начиная от
левого конца сегмента [x,,Xj] и кончая сечением х.,вто время
как распределение p,(x,tp) давления должно быть справедли¬вым на сегментеx.,x,J, т.е. между правым концом сегмента302
X(,X,J и сечением х.. Иными словами, распределение p(x,to)
должно иметь излом в сечении х. утечки:p(x.t„) =р|(х,1о), xs{x^,x.l
p,(x,tj, xe[x„xjТаким образом, сечение х. утечки может быть идентифициро-
ваио как сечение, в котором кривые p,(x,tn) и р2(х,1д) пересе¬
каются друг с другом.В практической реализации изложенный метод имеет ряд
дополнительных деталей, на которых, однако, мы останавли¬
ваться не будем. Отметим только, что дня установившихся
режимов работы трубопровода рассмотренный метол перехо¬
дит в известный метод нахождения места утечки по излому
кривой гидравлического уклона [7‘.6.6. Гидравлический удар в трубахВсюду выше предполагалось, что функции p(x,t),p(x,t) и
v(x, t), входящие в дифференциальные уравнения, дифферен¬
цируемы по времени и координате и уж во всяком случае не¬
прерывны, Тем не менее в технике известны процессы, в кото¬
рых эти функции изменяются весьма быстро как во времени,
так и в пространстве. Примером таких процессов может слу¬
жить гидравлический удар. Суть гидравлического удара состоит
в том, что стационарное течение жидкости в трубопроводе на¬
рушается путем резкого закрытия (или открьггия) задвижки,
включения (или отключения) насоса и т.д., в результате чего
происходит резкое торможение (или ускорение) жидкости и
ударное сжатие ее частиц. Фронт, иа котором происходит из¬
менение гидродинамических параметров жидкости, имеет от¬303
носительно малую протяженность и в виде волны давления
распространяется по потоку, Ан^югичное явление возникает в
трубопроводе и в других случаях, когда происходит скачкооб¬
разное изменение скорости (расхода) жидкости. Возможность
гидравлического удара учитывают при эксплуатации трубопро¬
водов, поскольку ударное давление может намного превысить
допустимые нормы, привести к разрыву трубы и возникнове¬
нию аварийной ситуации. Исчерпывающее объяснение гидрав¬
лического удара дал профессор Н.Е. Жуковский в конце про¬
шлого века. Николай Егорович Жуковский (1847-1921) -
выдающийся русский ученый, основоположник современной
аэродинамики. Его исследования были выполнены на Москов¬
ской водопроводной станции, а его работа «О гидравлическом
ударе в водопроводных трубах» (1899 г.) получила признание
во всем мире. Н.Е. Жуковский связал величину р ударногодавления со свойствами сжимаемости жидкости и упругости
стенок трубопровода и получил знаменитую формулуp]=PoD'[v], (6.31)в которой D- скорость распространения ударной волны в
трубопроводе, см. (6.1); [vj-величина скачкообразного изме¬
нения скорости жидкости.Следует отметить, что введение скачкообразных измене¬
ний (разрывов) гидродинамических параметров течения явля¬
ется не более, чем моделью рассматриваемых явлений. На са¬
мом деле каждый такой разрыв имеет зону, хотя и весьма уз¬
кую, перехода от значения А**’ параметра слева от фронта раз¬
рыва до значения А*'’ того же параметра справа от фронта
разрыва; А = А*"^' - А*'’ - скачок параметра А на фронте раз¬
рыва. Структура этой переходной зоны требует для своего опи¬
сания модели, как правило, более сложной, чем исходная,304
Условия на фронте разрыва (скачка)Получим условия, которым должны уловлетворять пара
метры потока на фронте разрыва (скачка). Пусть фронт разры¬
ва параметров потока раслространяется в положительном на-
прав;1ении со скоростью D = <1Хф /di, рис. 6.11,S'-рЧр'“':рЧр<-'00DРис. 6.11. Гидравлический удар в трубопроводеВолна гидравлического удара характеризуется тем, что
параметры течения (в т.ч. и площадь сечения трубопровода)
испытывают разрыв непрерывности или, как говорят - скачок,
на ее подвижном фронте. Однако предельные значенияи p'‘^,v*'\p^'*,S'’’ этих параметров перед ифронтом волны, соответственно, не могут быть произ¬
вольными, они должны уловлетворять основным законам ме¬
ханики - условиям сохранения массы жидкости и изменения
количества движения (импульса).1. Закон сохранения массы жидкости на фронте волны
давления. За интервал времени At через фронт волны пройдут
(«втекут») все частицы жидкости, находящиеся к началу этого
интервала на расстоянии (D- v’ ') At перед ним, поэтому мас¬
са жидкости, «втекающей» в волну за время At, определяется
выражением p‘'^^'*(D-v*'^j-At. За тот же интервал времени из
волны «вытечет» масса жидкости, определяемая выражением305
Очевидно, массы жидкости, втекающей и вытекающей из
фронта волны давления, должны быть равны между собой,
поэтому имеет место равенство:ИЛИр(-)у1-)д(*) _ Dp‘**S'^> = p<-*v‘-^‘-’ - Dp' V ■’.Обозначая скачок любого параметра посредствомсимвола [а], получаем;D =pvSpSЗаметим, что скачок [pvS массового расхода жидкости нафронте волны может быть достаточно большим. Например, в
случае полной остановки жидкости он равен величине ее рас¬
хода и может составлять несколько тонн в секунду. В то же
время скачок [pS связан только со сжимаемостью жидкости и
расширением сечения трубы, поэтому он, как правило, крайне
мал. Отсюда следует, что скорость D волны гидравлического
велика и составляет в стальных трубопроводах величину
*800-1200 м/с.Полученное уравнение баланса массы жидкости на разры¬
ве гидравлических параметров можно записать также в виде:pvS- pDS]= О.(6.32)2. Закон измененш количества движения на фронте волны
давления. Используем далее теорему о том, что изменение ко¬306
ли чества движения Дт-v жидкости (прошедшей через фронт
скачка) равно импульсу F • At действующих сил давления:в правой части этого уравнения учтена также проекция сйлы
реакции боковой поверхности трубопровода на ось ОХ (см.
рис. 1.3),Последнее уравнение запишем в следующем виде:p(*)s(^)v(-)2_p(*)s(*)y(^>£))_(p(-)s(-)v(-l2_p(-)s(-)v<->D)=-S''’ApИЛИV - (pvS - Dp • S) = -S* ^ • p .(6.33)Согласно равенству (6.32) pvS-pD S =0, поэтому (6.33)
можно записать более просто:(pHvHs<->-Dp”sW).[v]=-Sl>.Hили.! 1D•p‘-’D-[v]=-[p,Учитывая, что и что у*'Уо«1, получаем пер¬вую формулу Н.Е. Жуковского:(6.34)Покажем далее, что скорость D волны гидравлического
удара для слабо сжимаемой жидкости совпадает со скоростью
с распространения возмущений в трубопроводе с упругими307
стенками. Для этого улростим соотношение (6.32), записав его
в следующем виде;PoS() [''j - [р] - Dp Js]« О.Здесь принято, что в силу малости изменения величин р и S
имеют место приближенные соотношения:IpvS] й PoSo [v]; [pS]» р„ [S] + So [p..Используя равенства (6,34) и (2.5'), (2.17') гл. 2VPoD4pJ; Lp.к.p.46-Eгде Vp - коэффициент Пуассона, получаем:D-DSPn Г,= 0Поскольку p] 5=0. TO1 = D-Pu PoКdp(^ - vii)5-EОтсюда следует, что модуль |D| скорости волны гидравличе¬
ского удара равен скорости распространения возмущений в
трубопроводе (6Л):308
DР» ) рЛ(‘-^= с,(6.35)К.5-ЕПример I. Нефть ф„=870 Агг/и^, К.р = 1,5• 10’Г1а^ течет
со скоростью v = 1,0 м/с в стальном трубопроводе ^dp = 0,8 м,5 = 10 мм, Б = 2 ■ 10" Па, = 0,078). Рассчитать, на сколько
повысится давление в сечении трубопровода, находящемся пе¬
ред мгновенно закрывгиейся задвижкой.Расчет. Сначала по формуле (6.35) рассчитывается ско¬
рость D волны гидравлического удара:1D = c =870 870'а8-(1-0.078У
1,5-10’ 0,01-210''= 1054 м/с.Затем по формуле (6.34) определяется скачок давления:
p]=Pj,D-[v] = 870-1054-1,0 = 916980 Па(» 9,35 атм.).Пример 2. Рассчитать, на сколько повысится дав-пение в
начальном сечении стального трубопровода (^d„ = 0,5!6 и,6 = 8 мм. Е = 2-10" Па, при внезапном включе¬нии насосов, обеспечивающих подачу бензина ГРц = 750 кг/м\
Кр = 1,3 • 10'^ Па) со скоростью = 1,5 м/с.Расчет. Сначала рассчитываем скорость D волны гидрав¬
лического удара, образующейся при начале закачки бензина в
трубопровод:1D = c=.-750 ^ 750-0,516-(1-0,078)= 1118 м/с.1,3-10’ 0,008-2-10'Затем по формуле (6.34) определяем скачок давления:
p] = PuD-[v]=750-1118-l,5 = 1257750na(=s 12,8 атм.)-309
Замечание к выполнению расчетов. Отметим одно инте¬
ресное обстоятельство, следующее из формул (6.34) и (6.35).
Пусть, например, D > О, т.е. волна разрыва распространяется
в положительном направлении оси х, рис. 6.12.Рис. 6.12. Взаимодействие разрыва с малым возмущениемТогда характеристика х + ct = const, отрицательного на¬
клона пересекается с этим разрывом в точке П.Пренебрегая трением, имеем:О Рл1-) “ Ро^ • v„(.) = Рв - PqC • Vg - условие на отрезке ВП* ’
характеристики ЕМ;2) Р„(.) -Р„(.) =PoC-(v^,., -v„,.))- условие (6.34) на разры¬
ве в точке П;3) Рм-PoC-Vm =р,,.|-PoC-v^,.i - условие на отрезкеП*'*М характеристики ВМ.Вычитая из последнего равенства первое и учитывая
среднее - получаем:Pm-PoC'Vm=Pb'PoC-Vb.
т.е. инварианты Римана (в данном случае =p-PoC v) со¬
храняются на соответствующих характеристиках, даже если
эти характеристики пересекаются фронтом разрыва.310
Упражнения.1. На стык двух трубопроводов разного внутреннего диа^
метра d, и d-, со стороны первой трубы приходит скачок дав¬ления с BejfHHMHoR (амплитудой)ЛУД J. При ЭТОМ образуютсядве волны давления: одна - отраженная, идет в обратном на¬
правлении и имеет амплитуду р^^ , другая - проходящая,проходит во вторую трубу; се амплитуда равна р^^^^ . Выра¬
зить амплитуды отраженной и проходяшей волн через-ампли¬
туду падаюпхей волны, если скорости распространения волн в
первой и второй трубе равны с, и с,, соответственно.Ответ.СГф= 1рc,d,--c.d,пад JлрохРпац2Cjdс,dr +c-,d,’•2“1c,d/ +c,d2. Показать, что если выполняется условие c,d,” = Cid,"
или dj =d, - с, с, . то [р^ =0, т.е. отраженная волна настыке трубопроводов не образуется.3. Доказать, что волна гидравлического удара, падающая
на закрытый конец трубопровода, при своем отражении уве¬
личивает амплитуду в 2 раза. Указание. Воспользоваться ре¬
зультатами решения предыдущей задачи.Прямой гидравлический ударПрямым гидравлическим ударом называют волну гидрав¬
лического удара, образующуюся при мгновенном закрытии
задвижки на ко}1це полубесконечного трубопровода.На рис. 6.13 показана динамика развития волны давления,
образующейся при мгновенном закрытии задвижки на правом
конце трубопровода.311
t = 2cб.Ч t =40cB.•=t==80cГ.Ч/-4 X''v' \ - vy-t=lOOcРис. 6.13. Распространение волны давленияНа рис. 6.13 а-г можно видеть фафики распределения на¬
пора H(x,t)= z(x)+ p(x,t)/pog через 2, 40, 80 и 100 с, соответ¬
ственно, после момента закрытия задвижки; в нижней части
рисунков изображен профиль z(x) участка. Начальная величина312
Рф J скачка давления па фронте волны связана с начальной
скоростью Vp формулойР<) “ Pa^Vfi =880-870 '1,5 = 1,15 МПа или » 11,7 атл».
Скорость v(x,t) течения жидкости за фронтом волны дав¬
ления, т.е. в области Хф (t)< х < L, мала, поэтому малы такжеи потери напора в этой области. Вот почему напор и, следова¬
тельно. давление перед закрывшейся задвижкой- постоянно
увеличиваются, рис. 6.14.Рис, 6.14. Увеличение давления перед закрытой задвижкойМожно считать, что напор (t) = + Pi (t) pg перед за¬
движкой приближенно равен нанору за фронтом волны давле¬
ния, т.е.РойфРоёЗдесь Z, -высотная отметка конца участка; р, (i)- давление
перед задвижкой; - напор в том сечении трубопровода, ко¬
торого достигла волна гидравлического удара. Отсюда следует.313
что для приближенной оценки давления в конце участка тру¬
бопровода можно рекомендовать формулуилиpL(O^Pog■(Hф -2^)+1рф(0Pl.(0*=Pog^''Ct + lpJt)(6.36)(6.37)где /- гидравлический уклон течения в невозмушенной об¬
ласти, а t - время от момента закрытия задвижки.Уменьшение головного скачка давления
на фронте волны гидравлического удараЕсли мгновенное изменение скорости жидкости в началь¬
ный момент 1 = 0 времени составляет [v^ , то в трубопроводевозникает скачок давления [Ро]= Ро^[^о]> распространяющийся
навстречу невозмущенному течению, рис. 6.15.Величина pф(t) скачка давления на фронте волны гид¬
равлического удара непрерывно уменьшается. Вследствие сил
трения частицы жидкости, проходящие через скачок, изменяют
свою скорость не сразу на величину v^], как в начальный мо¬
мент времени, а на все меныиую и меньшую величину, так что
со временем скачок скорости исчезает совсем. В соо1Бетствии с
этам скачок к (0J давления на фронте, волны гидравличе¬
ского удара также уменьшается и по величине стремится к 0.
Найдем закон этого уменьшения.314
Рис. 6J5. Распространение волны гидравлического удара отмгновенно закрытой задвижкиПусть фронт волны гидравлического улара движется от
сечения х = L в конце участка трубопровода влево, навстречу
невозмущенному течению. Рассмотрим две характеристики
отрицательного наклона, идугцие параллельно разрыву по ле¬
вому и правому его берегам. Тогда, согласно второму уравне¬
нию (6.20), имеем;1 PoC-v(-)dtdt1 PoC-V+ poCg • sina+ PoCg-sinaВычитая почленно из первого уравнения второе и учиты¬
вая третье уравнение, получаем:315
-{р'dt'i--fbi1 р.= . {хН , vM
н ? >v!-)rj41Q А--AV v|Рф= р*' ^ - р' ’, получаем дифференииаль-скачка давленияное уравнение для головеюго значения
на фронте волны гидравлического удара:_ РоСdt4d,(6.38)P^.J=PoCVo при t=0.Если ^.*'^(ке^‘\е)= x(v*'‘*,£ известна как функция своих
аргументов, то интегрирование (6.38) не представляет особых
трудностей. Поскольку =-рф /(рдс) и v^'' = Vq,Рф и задача сводится к решению системыто V' ‘ = Уц -^[рф(0.dtг ' = Ул -РсС4d,
Рф (0.(6,39)РоСс начальным условием (о) = PuCv„,Особенно простой результат получается, если, следуя
проф. И,А. Чарному, принять 2а>0, где а ~некоторая константа; для ламинарных течений этот результат
является точным [23]. Тогда;316
dh (OJ2d„ ^ ® ’ 2d„ ^или(6.40)Иными словами, величина Pj,(t) фронтового скачка давленияв зависимости от времени уменьшается экспоненциально. Из
полученной формулы, в частности, следует, что в трубопрово¬
дах большого диамет5-)а головное значение волны гидравличе¬
ского удара затухает медленнее, чем в трубопроводах малого
диаметра.Учет присоединенной массыВ п, 6.1 данной главы говорилось о том, что в нестацио¬
нарных процессах инерционные свойства жидкости в трубо¬
проводе хараг<теризуются изл<ененным значением плотности -
к последней присоединяется добавочная величина, называе¬
мая присоединенной массой. С учетом присоединенной массы
основные уравнения нестационарного течения слабо сжимае¬
мой жидкости в трубопроводе имеют вид:+ РоСdvд\= 0,dv <7р=:_^_X(Re.e)
dt с=х ^ d1 PoV-Pogdzdx(6.41)Если обозначить p. = и с, = с/то систему урав¬
нений (6.41) можно переписать в следующем виде;317
atdxdvdt dxd 2-Pogdzdx(6.42)Отсюда следует, что формула (6.34) Н.Е. Жуковского для вели¬
чины р гидравлического удара изменится; последняя уееяи-чится в раз:р] = Р.с. • [v] = а^Ро • [v]= - [v(6.43)Изменится и скорость D распространения волны гидравличе¬
ского удара; она >^л»еньшится в д/о7 разDР. ^ рЛ(1-уЦ5-еVk(6.44)Если учесть, что для турбулентного режима течения » 1,03,
то поправки к формулам Н.Е. Жуковского (первая из них
(6.43) получена впервые акад. Л.С. Лейбензоном [9]), невели¬
ки. Однако для ламинарных течений, для которых « 1,33 ,
эти поправки более значительны.6.7. Зашита трубопровода от гидравлического удараНеобходимость считаться с разрушительной силой гидрав¬
лического удара в трубопроводах, транспортирующих тяжелые
капельные жидкости (нефть, нефтепродукты, конденсат и т.п.),318
выражается в том, что на подобных трубопроводах в отличие
от газопроводов не устанавливают краны, слишком быстро
перекрывающие сечение трубопровода, а используют вен¬
тильные или шиберные задвижки, а также медленно закры¬
вающиеся краны. И те, и другие должны обеспечить безопас¬
ное торможение жидкости в трубопроводе. В ряде случаев на
насосных станциях устанавливают спеииальные устройства,
призванные защитить трубопровод от волн гидравлического
удара. Например, на линиях всасывания насосных станций
устанавливают гасители гидравлического удара - предохра¬
нительные клапаны и;ш системы сглаживания волн давления
на случай, если насосная станпия внезапно отключится и дав¬
ление перед ней начнет повышаться. И те, и другие устройства
работают по принципу аварийного сброса части жидкости из
трубопровода в специальный резервуар для снижения величи¬
ны и темпа нарастания давления. Предохранительные клапаны
открывают сброс жидкости при увеличении давления больше
чем на определенную величину; системы сглаживания волн
давления включаются тогда, когда темп увеличения давления
в линии всасывания насосной станции превысит максимально
допустимое значение, и отключаются после того, как давление
стабилизируется.Предохранительный клапан. Одна из простейших кон¬
струкций предохранительного клапана (КП) пружинного типа,
устанавливаемого на коммуникациях рсзервуарных парков
перекачиваюших станций, представляет отвод от трубопрово¬
да, закрытый поршнем с тугой пружиной, рис. 6.16.Если давление в сечении нефтепровода, в котором уста¬
новлен предохранительный клапан, не превышает максималь¬
но допустимого значения, отвод к резервуару для сбора нефти
закрыт. Однако как только давление в нефтепроводе превысит
максимально допустимое значение, пружина клапана сожмет¬
ся, и диск поршня откроет путь нефти из трубопровода в ре¬319
зервуар. Из-за частичного сброса нефти давление в трубопро¬
воде перестанет увеличиваться и так будет до тех пор, пока
оно не уменьшится до допустимых значений.Рис. 6.16. Схема работы предохранительного клапанапружинного типаПредохранительные клапаны устанавливаются, как пра¬
вило, на коммуникациях рсзервуарных парков перекачиваю-
□1ИХ станций, а также на морских терминалах (нефтеналивных
причалах). Возможность возникновения разрывов на морских
терминалах особенно опасна тем, что нефть, поступаюшая для
погрузки на танкеры, может попасть в море и нанести ушерб
окружающей среде, неизмеримо больший, чем при разрыве
сухопутных трубопроводов.В расчетных моделях предохранительный клапан, уста¬
новленный в сечении х, трубопровода, учитывают условиями
сопряжения типа (6.26)К.1гр.(6.45)320
с той только разницей, что величина сброса определяется
в зависимости от разности - р,^ давлений на клапане:Якл. --к2{ртр Рат.,,если р„.-р„>р.:V Ро (6.46)О, если р^-р„<р.,•"Л® Ргр ~ PjT “ разность давлений в трубопроводе и резервуаре
для сбора нефти (р„ - атмосферное давление); к^, - коэф¬
фициент клапана, определяемый его конструкцией и площа¬
дью сечения сбросного патрубка; р. - давление настройкиклапана, т.е. такое давление, при превышении которого кла¬
пан открывается, и происходит сброс жидкости из трубопро¬
вода в резервуар.Система сглаживания волн давления. Более сложное
предохранительное устройство представляет собой система
сглаживания волн давления (ССВД), устанавливаемая перед
перекачивающей станцией (ПС) для того, чтобы защитить
участок трубопровода, лежащий выше станции по течению, от
волн повышенного давления. Такие волны могут возникать,
например, при внеплановом отключении станции. В отличие
от предохранительных клапанов ССВД реагируют не столько
на абсолютную величину превышения давления над предель¬
но допустимым значением, сколько на скорость увеличения
давления. Реакция системы на скорость увеличения давления
достигается путем включения в гидравлическую схему ССВД
газового аккумулятора с дроссельным устройством, регули¬
рующим подачу разделительной жидкости из емкости в акку¬
мулятор, т.е. скорость сжатия газа, рис. 6.17.321
Рис. 6.17, Принципиальная схема ССВД;/ - магистральный нефтепровод; ^-разделительная емкость;S • регулируемый дроссель; 4 - газовый аккумулятор; 5 - перепускной клапан;6 *' резервуар для приема нефтиСпецифическая особенность ССВД обусловлена особым
устройством перепускного клапана 5, отвечающего за сброс
нефти из трубопровода в резервуар б. Этот клапан восприни¬
мает с одной стороны давление нефти в трубопроводе, а с дру¬
гой стороны, давление газа в аккумуляторе 4. Перепускной кла¬
пан открыт, когда давление в нефтепроводе превышает давле¬
ние в газовой полости клапана на величину некоторого порого¬
вого значения и закрыт в противном случае. Газовый аккумуля¬
тор 4 частично заполнен газом, частично - разделительной
жидкостью (антифризом), поэтому давление в газовой полости
кланана равно давлению р^^^, в аккумуляторе и, следовательно,давлению на выходе дросселя 3. С другой стороны, давление на
входе в дроссель 3 равно давлению р,р в трубопроводе, по¬
скольку он напрямую соединен с ним через разделительную
емкость 2, в которой одна несжимаемая жидкость (нефть) за¬322
меняется другой несжимаемой жидкостью (антифризом). Та¬
ким образом, разность Ф(1)= Ртр(0“Ра.>-(О давлений междуизолированными полостями перепускного клапана 5 равна
разности давлений по разные стороны от регулируемого
дросселя 3.В стационарном состоянии разность давлений на входе и
выходе дросселя равна нулю, поэтому равна нулю и разность
давлений в полостях клапана; клапан закрыт и сброса нефти в
резервуар не происходит. При повышении давления в нефте¬
проводе на дросселе 3 возникает разность давлений, вызы¬
вающая переток разделительной жидкости из разделительной
емкости 2 в газовый аккумулятор 4. Жидкость, поступающая в
газовый аккумулятор, сжимает находящийся в нем газ, поэто¬
му разность Ф(1)= р^р(t)~p,^„(t) давлений на перепускномклапане 5 постепенно уменьшается. Когда она станет меньше
порогового значения, клапан закроется, и сброс нефти прекра¬
тится. Скорость Ф изменения разности давлений и, следова¬
тельно, условие открытия перепускного клапана 5 зависит от
расхода разделительной жидкости, поступающей в газовый
аккумулятор 4 через регулируемый дроссель 3.В расчетных моделях ССВД, установленной в сечении х.
трубопровода, учитывают условия сопряжения типа (6.26):p*-’(x.,i)=p' '(x.,t)=p,^.(t),тргде323
=i-к.„(ф)2{p.p, - P.r.iРч,если Ф>5р;(6.47)О, если Ф<5р,Здесь 5р - уставка защиты, т.е. максимально разрешенное
превышение давления в трубопроводе нЭлТ давлением р„.„в газовом аккумуляторе.Однако параметр 0(t), от которого зависят открытие сбро¬
са, так и значение коэффициента к^^(ф) перепускного клапана,
определяется некоторым дифференциальным уравнением.Получим это уравнение. Обозначим через р„к„ (t), (t)-
текуише значения давления и объема сжатого газа в газовом
аккумуляторе 4, тогда P„Jt)'Y„Jt)=Po-V^, где p^.V,, - на-
чальные значения этих параметров. Очевидно, что скорость
/dt изменения объема сжатого газа в газовом аккумуля¬
торе равна по величине и противоположна по знаку расходу
q разделительной жидкости, перетекающей через регули¬
руемый дроссель:dV...а кмdt= -Ч;dV,ipилиklKM.dl= -к2(р,р,-ра„.")Р*.где к^р - коэффициент сопротивления регулируемого дроссе¬
ля; - плотность разделительной жидкости. Исключив из
этого уравнения текутций объем (t) с помощью уравнения
y„Jt) = p„Vo/p.u-.,(0- получим уравнение:dtК.Л[)P«v„-piPip РйКдкм.3KS\Рж.•Sign(p^, -Ра,„.)324
Наконец, делая замену PTp(t)-p„K,.(t)sO(i), где Ф(1)- раз¬
ность давлений на манжетах псрепускного клапана (поз. 5.
рис. 6.17), приходим к обыкновенному дифференциальному
уравнениюсвязывающему текущее давление р,р (t) в трубопроводе с па¬
раметром Ф(г). Функция sign обозначает jrtofc; signO = l,ecnH
Ф > О, и signФ = -1, если Ф < О.Таким образом, условия сопряжения параметров потока в
сечении установки ССВД представляются системой (6.47),(6.48) алгебраических и обыкновенных дифференциальных
уравнений, которой должны удовлетворять параметры потока
справа и слева от рассматриваемого сечения.На рис. 6.18 изображены графики увеличения давления
p,p(t) в трубопроводе на входе промежуточной перекачи¬
вающей станции нрн ее отключении. Графики соответствуют
различным степеням открытия регулируемого дросселя (т.е.
различным значениям коэффициента к^^, =20-ь2).Если дроссель открыт, значение к_^|, велико, поэтому раз¬
делительная жидкость свободно перетекает через дроссель в
газовый аккумулятор, сжимая в нем газ и поддерживая давле¬
ние р^^„ (t)= р^р.(0- В этом случае разность ф(1) давлений наперепускном клапане отсутствует и клапан остается закры¬
тым. Иными словами, процесс отключения станции происхо¬
дит как бы без ССВД. В этом случае можно видеть, что давле¬
ние перед станцией быстро возрастает (кривая ).325
бмссвдРис. 6.18. Графики увеличения давления в сечении установки
ССВД перед перекачивающей станцией (А.В. Лдоевский [2])При частичном открытии регулируемого дросселя проис¬
ходит переток разделительной жидкости через дроссель в га¬
зовый аккумулятор. Как следствие, на перепускном клапане
возникает разность Ф(|) = p^.(t)- р„„ (t) давлений, и когда онадостигает значения 5р, клапан открывается, обеспечивая сбросчасти жидкости из трубопровода в резервуар. Благодаря такому
сбросу, увеличение давления на входе в станцию становится
более плавным, волна давления сглаживается, причем сглажи¬
вается тем сильней, чем меньше значение коэффициента Кдр.Во всех случаях (если только * О) существует перетокжидкости через регулируемый дроссель, разность
Ф(1)=Ртр(0“Р»и<{0 давлений постепенно уменьшается, по¬
этому через некоторое время перепускной клапан закрывается,
прекращая сброс жидкости из трубопровода в резервуар. В326
случае полностью закрытого дросселя =0, Ра,м.(0*Ргр.(0’и ССВД работает в режиме предохранительного клапана.Подводя итог сказанному, можно заключить, что ССВД
обеспечивает быстрый сброс жидкости в случае резкого уве¬
личения давления на входе перекачивающей станиии (напри¬
мер, при внезапном отключении последней), поддерживает
скорость увеличения давления в течение определенного про¬
межутка времени и прекращает сброс при стабилизации дав¬
ления на входе в станцию.Регулирование числа оборотов. В качестве альтернати¬
вы ССВД могут использоваться насосные агрегаты с регули¬
руемым числом оборотов. Уменьшая число оборотов рабочего
колеса, уменьшают давление нагнетания и, как следствие,
уменьшают рост давления в линии всасывания перекачиваю¬
щей станиии. В частности, такое решение характерно, напри¬
мер, для нефтепровода «Восточная Сибирь - Тихий Океан» и
некоторых других нефтепроводов.6.8. Неустановнвшееся течение слабо сжимаемой жидкости
с возможным разрывом сплошности потокаКлассические модели неустановившихся течени»1 слабо
сжимаемой жидкости, рассмотренные в п.п. 6.1-6.4, содержат
одно существенное ограничение, а именно допущение об отсут¬
ствии в жидкости фазовых переходов. Молчаливо предполага¬
лось, что ни при каких условиях жидкость не переходит в паро¬
газовую фазу даже в том случае, когда давление снижается до
упругости насыщенных паров. Между тем при распростране¬
нии в трубопроводе волн разряжения это условие может нару¬
шаться во мно.гих сечениях трубопровода, и прежде всего в
вершинах его профиля. Если давление в волне разряжения
уменьшается до значения, равного упругости насыщенных па¬
ров, жидкость вскипает, и сечение трубы оказывается запол¬327
ненным не полностью. С этого момента вес дальнейшие ре¬
зультаты, предсказываемые классической теорией, оказыва¬
ются неверными.Например, при отключении перекачивающей станции (или
агрегата на ней) вниз по трубопроводу распространяется волна
разряжения. Давление в такой волне уменьшается, отчего в
вершинах профиля трубы могут образовываться пустоты. Пус¬
тоты способны разрастаться и переходить в стационарные са¬
мотечные участки или, наоборот, сжиматься или даже исчезать
вовсе.Аналогичное явление можно наблюдать при закрытии ли¬
нейной задвижки. Вннз по течению распространяется волна
разряжения, в которой давление может уменыяаться до упруго¬
сти насыщенных паров жидкости и образовываться парогазо¬
вые полости. Но и волна сжатия, распространяющаяся вверх по
течению, может привести к аналогичному эффекту. При отра¬
жении этой волны от открытой поверхности резервуара или от
парогазовой полости внугри самого трубопровода возникает
волна разряжения, которая распространяется в обратном на¬
правлении и уменьшает давление в жидкости. Это может при¬
вести тому, что в некоторых вершинах профиля трубы образу¬
ются временные перевальные точки, возникают пустоты, и
движение жидкости какое-то время происходит неполным се¬
чением. Так, например, на лабораторных установках можно
наблюдать, как жидкость перед задвижкой буквально вскипает
от резкого снижения давления в отраженной волне.Все сказанное относится также к трубопроводам, транспор¬
тирующим так называемые нестабшьные жидкости - газовый
конденсат и ШФЛУ (широкую фракцию легких углеводоро¬
дов), упругость насыщенных паров которых составляет от 0,3
до 1,6 МПа. Резкое уменьшение давления в таких трубопрово¬
дах приводит к образованию множественных парогазовых по¬
лостей, при исчезновении которых в трубе возникают мощные
гидравлические удары.328
Расчет таких случаев на основе классической теории, ес¬
тественно, невозможен, поэтому нужна обобщенная теория
неустановившихся течений с возможным разрывом сплошно¬
сти потока, т.е. с учетом возникнове^гия в нем парогазовых
полостей.Основные уравнения обобщенной теорииВ классической теории предполагается, что сечение трубо¬
провода полностью заполнено жидкостью, поэтому ее течение
является HanopfibiM. Основными параметрами течения являются
давление p(x,t) и скорость v(x,t), удовлетворяющие известнымдифференциальным уравнениям (6.4);, (6.49)Р« ^ “ p„gsinu(x).ot ox d(,Эти уравнения выражают законы сохранения массы и измене¬
ния количества движения жидкости, текупюй в трубопроводе.В обобщенной теории предполагается, что в трубопроводе
имеются как напорные участки, заполненные жидкостью пол¬
ностью, так и безнапорные участки, заполненные жидкостью
лишь частично, причем на безнапорных участках давление рав¬
но ру упругости ее насыщенных паров. Поскольку плотностьжидкости при давлении р^ можно считать неизменной и рав¬
ной рд, то неизвестными параметрами в безнапорном течении
является площадь S(x,t) смоченной части сечения трубы и
средняя скорость v(x,t) течения жидкости в этом сечении,
рис. 6.19.329
Рис. 6Л9. Безнапорное течение жидкостиУравнения течения жидкости на безнапорном участке тру¬
бопровода являются следствием двух основных законов меха¬
ники:закона сохранения массы произвольно выделенного объема
жидкостиdt[ po-S(x,t)dx= 0;закона изменения количества движения произвольно вы
деленного объема жидкости (2-го закона Ньютона):_ddt«:{>)Jv-poS(x,t)dxVV dm-gcosa•*i(‘)•pgSdx ++(-gsina)-P(,Sdx +‘.to>)dmЧ8RPoSdx,dm330
где Х^ДДз)- среднее значение коэффициента гидравличе¬
ского сопротивления на смоченной части трубы и гидравличе¬
ский радиус течения, соответственно (см. п. 3.7 гл.З); h(S)-уровень жидкости над нижней образующей трубы в сечении
со смоченной площадью S ; а(х)- угол наклона оси трубо¬
провода к горизонту. Левая часть равенства - это производная
по времени от количества движения выделенного объема
жидкости; в правой части стоят действующие на него силы:-gScosa —- удельная сила, обусловленная превыше-
д\нием уровня жидкости в одном сечении трубопровода над
уровнем жидкости в другом его сечении (при этом предпола¬
гается, что давление по глубине жидкости в каждом сечении
удовлетворяет гидростатическому закону);-gSsina - скатывающая составляющая удельной силы
тяжести;-Я., -v|v|/8R, - удельная сила трения жидкости о внут¬
реннюю поверхность трубопровода на ее смоченной части
(модуль показывает, что сила трения противоположна по на¬
правлению вектору V скорости).Применив правило дифференцирования интегрального
количества, относящегося к индивидуальному объему транс¬
портируемой среды, по времени (см. п. 1.2 гл. 1), получим из
интегральных равенств искомые дифференциальные уравне¬
ния безнапорного течения жидкости:SpoS 1apflvsa6x5p„vS^5p«vaaxс „ . X,-V= -p„gSco9a • -— p,gS ■ sina ——
dx 8R.331
или, используя условие ру * const. :as1avsад\' 5vSВ
+—абх= 0,сv’S + gcosa-r_dhdSdS= -gS-sina-V8R.(6.50)Таким образом, обобщенная теория неустановившихся те¬
чений слабо сжимаемой жидкости с возможным разрывом
сплошности потока сводится к необходимости рассматривать
как напорные (р>ру) участки трубопровода, на которых спра¬
ведливы уравнения (6.49), так и безнапорные (р = р^) участки,
на которых течение жидкости описывается уравнениями (6.50).Характеристическая форма дифференциальных
уравнений безнапорного течения жилкостиСистема уравнений (6.50) безнапорного течения, также как
и система уравнений (6.49) напорного течения, относится к
классу гиперболических дифференциальных уравнений 2-го по¬
рядка, характеризуемых двумя различными скоростями распро¬
странения возмущений (вверх и вниз по течению); для системы(6.49) эти скорости назывались скоростями звука, причем с
учетом линейного характера уравнений скорость звука являлась
одновременно и скоростью распространения разрывов гидро¬
динамических параметров, то есть скоростью волн гидравличе¬
ского удара.Систему уравнений (6.50) можно записать в виде332
as dvs ^dt'*' дхs\dv dv
— + v—i, ft d\ )+ c^^ = -F(S,v),где F(S,v) = gS'Sina + Xj -vv/SR^ - известная функция от S иV; с = д/gScosa-dh/dS - параметр, имеющий размерность ско¬
рости и называемый скоростью распространения возмущений в
безнапорном потоке (например, скоростью распространения
колебаний уровня жидкости).Складывая и вычитая первое уравнение системы, умно¬
женное на с, со вторым уравнением системы, придадим ис¬
ходной системе дифференциальных уравнений следующую
эквивалентную формус •‘as 1 .ds'— + (v + c) .at ^ 'ax.+ s-dv 1 \av + V +c)—.at ^ ’d\.= -F{S,v),O'"as , vasi— + (v-c)—.at ' 'd\_-s-av / vdv
— + (v-c) .at ax.= F(S,v).(6.51)Эта форма называется характеристической формой системы
уравнений (6.50). Из (6.51), в частности, следует, что если на
плоскости переменных (x,t) ввести две линии в соответствии
с уравнениямиdt= v + .|gScosadSиdx= v-,/gScosa^,333
то на каждой из этих линий исходная система уравнений с
частными производными превращается в обыкновенное диф¬
ференциальное уравнение;на первом линии х, = v + ^gScosa-dh/dS - в уравнениеgScosadhЖrdS^+ S-dv'[ dt >ы ш л»1 dt J= -F(S,v); (6.52)на второй линии = v - ^gScosa-dh/dS - в уравнениеgScosadSrdS^dv'^-S-UtyIdtJ= F(S,v). (6.53)Линии x = v±c называют хяряктермстмкаим системы диф¬
ференциальных уравнений (6-50), причем выражениес = .y/gScosa' dh/dS дает скорость распространения волн воз¬
мущения в потоке жидкости, текущей в трубопроводе. В зави¬
симости от соотношения между v и с различают 2 типа без¬
напорных течений:спокойное v < с (тогда (х), > О, (.г), < О - то есть возмуще¬
ния могут распространяться как вверх, так и вниз по течению);бурное v>c (тогда (х\ >0,(х), >0 - возмущения могутраспространяться только вниз по течению, но никак не против
него).Уравнения (6.52) и (6.53) открывают способ решения урав¬
нений (6,50), аналогичный способу, использованному при ре¬
шении уравнений (6.49), см. п. 6.3, и носящий то же самое на¬
звание метод характеристик. Однако в отличие от предьщу-
шего (линейного) случая, в котором х = ±с = const., следова¬
тельно, характеристики имели постоянный наклон и строились334
независимо от решения задачи, в данном (нелинейном) случае
сетка характеристик x = v±c(S) не является прямолинейной,
она заранее неизвестна и по;ц1ежит определению вместе с ре¬
шением той или иной задачи. Существует достаточно развитая
теория безнапорных течений жидкости в руслах каналах раз¬
личного поперечного сечения, включающая технику интегри¬
рования уравнений (6.50) методом характеристик [3,4], однако
здесь мы приведем лишь пpибJшжeнный численный метод ре¬
шения соответствующих задач.Возникновение скачков уровня жидкости;
условия на скачкахИз уравнений (6.52) и (6,53) видно, что вдоль характери¬
стик первого семейства (х = v 4- с) или характеристик второго
семейства (х = v-c ) существует связь между значениями пло¬
щади S смоченного течения и скоростью v потока, следующая
из соответствующего уравнения. Однако характеристики одно¬
го семейства не параллельны, как в случае слабо сжимаемой
жидкости, а пересекаются друг с другом. Наклон
с = ^gScosa-dh/dS линий одного семейства зависит от глуби¬
ны иотока: чем больше S, тем больше с, поэтому большие
глубины потока как бы «догоняют» меньшие глубины. Иными
словами, возникает явление, которое можно видеть в морской
волне, накатывающейся на пологий берег - гребень волны об¬
гоняет ее подошву и происходит опрокидывание волны; в мо¬
мент опрокидывания волны возникает скачок (разрыв) глубины
жидкости над уровнем дна.Для трубопровода скачок глубины жидкости и скорости ее
течения устроен так, что частицы жидкости проходят сквозь
скачок: втекают в него с одними параметрами S''^,v' ’ и вы¬335
текают из нега с другими причем скорость дви¬жения самого скачка не совпадает ни с ни сЗначения и D, не могут быть произволь¬ными, поскольку в любом случае должны выполняться законы
сохранения массы и изменения количества движения.Закон сохранения массы жидкости, преодолевающей ска¬
чок, требует выполнения соотношенияP.'S'-’(d,-v'-')dl = pV'-)илиS' fSv(6.54)Здесь использовано обозначение А Если D^. >0,скачок перемещается вправо по оси трубопровода; если < О,скачок перемещается влево по этой оси; если = О, скачокостается на месте.Закон изменения количества движения жидкости, преодо¬
левающей скачок, требует выполнения соотношенияИЛИm'mh)^p^gcosa-cl‘ffs^ds- fS^dS
J H-s J asdtK''-F' 'Dc.=sv’S + gcosa*[s-^dslЩСdSvS(6.55)336
Таким образом, задача о расчете течения жидкости на без¬
напорных участках сводится к отысканию двух функций;
S(x, t) и v(x,t), удовлетворяющих в области непрерывности
уравнениям (6.50) и удовлетворяющих на разрывах условиям
(6.54) и (6,55) на скачках. Подробное решение различных про¬
блем расчета безнапорных течений в открытых руслах и
каналах можно найти я фундаментальной монографии [4'Численный расчет методом конечных элементовРассмотрим метод расчета неустановившегося течения на
участках трубопровода, заполР1енных жидкостью лишь частич¬
но: s(x,t)<S|,, где S„ - номинальная площадь поперечного сече¬
ния трубопровода. Проинтегрируем уравнения (6.50) течения
жидкости на безнапорном участке по площади прямоугольной
счетной ячейки ABCD (конечного элемента) на плоскости пе¬
ременных (x,t), рис. 6.20, и затем, используя формулу Гаусса-
Остроградского, перейдем в двойных интегралах от интегриро¬
вания по плопиди к интегрированию по контуру рассматривае¬
мой ячейки, Получаем:'к'it.f(v^ -v^ )ix-Ll.H.Iv’S + gcosaS—dS
dSk*ldt =I. AOBCDF(S,v)dxdt,где символф|^*‘ обозначает разность (Ok-i'^ic)-
В сущности, эти уравнения выражают баланс массы и количе¬
ства движения жидкости в каждой счетной ячейке (конечном
элементе) области безнапорного течения.337
'm-1AxВАDAtk*]Рис. 6.20. Расчетная сетка на плоскости (x,t)Обозначая средние значения параметров течения в конеч¬
ном элементе трубопровода полуцелыми нижнимииндексами (к + 1/2), а на временных интервалах
полуцелыми нижними индексами (m-l/2), имеем:AtДх(6.56)S .. \» IIv^S + geos a* S—dS
: dSHhv^S+gcosa- S—dS
i dSAtДхFv... • At-Система (6.56) представляет собой систему двух алгебраиче¬
ских уравнений, позволяющую рассчитать плошадьсмоченного сечения трубопровода на безнапорном участке и338
скорость ^ жидкости в последующий момент по из¬
вестным значениям этих параметров в предыдущий момент
ti„., времени.Однако система уравнений (6.56) не может быть разреше¬
на, поскольку в ней содержатся неизвестные величиныdhv^S-t-gcoSQ' fs—dS
® J dSv'S + gcosa*r_ dhdSdSотражающие перетоки массы и количества движения через
боковые грани АВ и CD счетной ячейки. Для замыкания по¬
лученных уравнений используется следующий алгоритм.Пусть АВ граница конечных элементов х^^.рХк] и
Х|^,Х^,( с различными скоростями течения и глубинами за¬
полнения трубы, рис, 6.21.Рис. 6.21- Разрыв параметров безнапорного теченияОбласть слева от границы АВ назовем областью (-), а справа- областью (-I-), тогда слева от скачка значения параметровтечения будет а справа -339
Если < о и > О, то следует по¬ложить =0, то есть обмен массой и количеством дви¬жения между конечными элементами [x^.pxj и [х(.,х^,,
через скачок АВ (х = х^,) отсутствует.В противном случае рассчитываем скорость скачка, см.
формулу (6.54), определяющую направ.чение перемещения раз¬
рыва параметров течения на границе АВ конечных элементов;_(vsr'-(ysf’ „5,Тогда правило опрсдеяспия потоков жидкости через границу
раздела таково:- если Оди S О, то параметры течения на границе АВ ко¬
нечных элементов следует положить равными параметрам
течения слева от этой границы: ,/2 = 1 ^с“ если Оду < о, то параметры течения на границе АВ ко¬
нечных элементов следует положить равными параметрам те¬
чения справа от этой границы, то есть * ^кф.т \ ^с‘^к.т 1/2 ^ ^ ^ '^к^[/2.,п I 'Следовательно, параметрыdSнаграни АВ (х = х^) конечных элементов х^.,,х^ и [хк,х^^;
можно считать найденными.(vS)k,„.,/3 и v'S + gcosa-js^ds/к.п\ \/2340
Аналогично этому рассчитываются параметры иSfc.i на грани CD конечных элементов иСначала находится скорость скачка:(-)(-И(-)Тогда расчет значений параметров течения на грани CD под¬
чиняется следующему правилу:- если > О, то параметры течения на границе CD ко¬
нечных элементов и x^^pX,^.J следует положить
равными параметрам течения слова от этой границы:- если < о, то параметры течения на границе CD ко¬нечных элементовJиследует положитьравными параметрам течения справа от этой границы, т,е.и Следова-тельно> параметры'/2Иv'S + gcosa-г. dhdSk-Un \/1Ина грани CD (х=х^,,) конечных элементов
х^.рХ^_2 также можно считать найденными.Таким образом, все неизвестные величины в системе
уравнений (6.56) будут определены, и, следовательно, можно
найти се решение: Остается открытым вопрос:какое давление р^.,/2,„ будет в момент времени 1,„ в конечном341
элементе,Xj.*i], который являлся в предыдущий момент
времени t„_, безнапорным (т.е. заполненным жидкостью
лишь частично)? Вопрос решается следующим образом;, d ■ (l -v^) /еслиE5, TO следует по¬ложить Pk*,/2.m =Py - В ЭТОМ случае конечный элемент, безна¬
порный в момент времени , остается безнапорным и в мо¬
мент времени1 + —V --^-(Pv -Ро)еслиЕ5, то следует по¬ложитьPkfl/2,m ~ Ру ■^к+1/2,спV So-1где с- скорость распространения волн давления в полностью
заполненном трубопроводе. В этом случае конечный элемент,
безнапорный в момент времени , становится напорным
(т.е. полностью заполненным жидкостью) в момент времени .Пример расчета переходного процесса в трубопроводе
с образованием парогазовой полостиВ качестве примера расчета переходного процесса рас¬
смотрим изменение режима работы нефтепродуктопровода
(0 = 530x8 мм, L = 220 км), состоящего из двух участков, с
головной (дг = О км) и промежуточной (х = 100 км) перекачи-342
ваюшими станциями при отключении промежуточной стан
ции, рис. 6.22.I -.iа.Ю50с•' - б.V1>'ЛСЛ<iл.i\д.e.ЯИс/IРис. 6.22. Динамика переходного процесса, сопровождающе¬
гося возникновением в трубопроводе парогазовой полостиПо трубопроводу ведется перекачка дизельного топлива
(р = 840 кг/м’, V = 5 сСт) с расходом 1234 м’/ч. На каждой
станции установлены по два насоса НМ 1250-260, соединенные
последовательно. В нижней части рисунка представлен профиль
трубопровода, отличительной особенностью которого является
высокий горный перевал на участке между 120 и 140 км.
Линии гидравлического уклона в стационарном режиме работы343
изображены прямыми линиями. При отключении промежу¬
точной станции в обоих участках трубопровода возникает пе¬
реходный процесс, развитие которого можно проследить по
зависимости напора H(x,t)=z(x)+p(x,t)/pog от координаты ивремени. На рисунке представлены последовательные стадии
переходного процесса, вызванного отключением промежу¬
точной станции.На рис. 6.22а (15 с) можно видеть так называемый выбег
насосов ППС, в котором давление перед станцией увеличива¬
ется, а после станции уменьшается. Этот процесс продолжается
15-30 с, после чего либо закрывается обратный клапан, распо¬
ложенный после ППС, либо открываются обратные клапаны
насосов. На рис. 6.22 б (30 с) видно, как волна разряжения дос¬
тигает перевала профиля - давление на вершине перевала ста¬
новится равным упругости Ру насыщенных паров транспорти¬
руемой среды, в этой точке возникает парогазовая полость, по
обе стороны от вершины перевала появляются временные са¬
мотечные участки (обратный клапан после ППС все еще за¬
крыт). На рис. 6.22 в (150 с) видно, что обратный клапан после
ППС уже открыт, давления в линии всасывания и нагнетания
станции равны друг другу, самотечные участки в вершине пере¬
вала еще минимальны. На рис. 6.22 г-е (2400-5400 с) можно ви¬
деть дальнейшее развитие переходного процесса, завершающе¬
гося примерно через 2 ч установлением нового стационарного
режима с самотечным участком.344
Глава 7НЕУСТЛНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ
СЖИМАЕМОГО ГАЗЛИзлагается теория и расчет пеустановившихся течений га¬
за в трубопроводе. Главное отличие течергия газа от течения
капельной жидкости состоит в том, что транспортируемая
среда является существенно сжгшоемой субстанцией, плот¬
ность которой зависит от давления и температуры, поэтому в
расчетах необходимо использовать законы механики совмест¬
но с законами термодинамики. Иными словами, теория тече¬
ния газа в газопроводе должка учитывать превращение меха¬
нической энергии в тепло и наоборот.7.1. Основные уравненияОсновой для расчета неустановившихся течений газа в
трубопроводе служит система дифференциальных и алгебраи¬
ческих уравнений, отражающая законы механики и термоди¬
намики (см. п. 1.8 гл. 1):^ gpvS .Q
di УХ1 pv-pg-dzdxddi/ ^V'—I* e2 '^вкут.\уpSdдк/ 5V’pvSp = Z • pRT; q= 7td'q„ -pvgS-dzdxЕсли перейти от внутренней энергии е„„,,, (т,р) газа к энталь¬
пии J(p, Т) = е, , + р/р. эту систему можно записать в виде;345
^+^=0-9t дк^+x(p+pv')=-MM1 pvSt 5xdft/' Ч\rVpSдк/ 1 N
л2do 2pvSdz , Ч-pg —,где z=z(x);
dxф5 . dz-^=rcdq,-pvgS~;ft dKp = ZpRT; q„=-K,-T-Xm(7.!)Поскольку сжимаемость газа достаточно велика, а изме¬
нение площади сечения трубопровода при изменении давле¬
ния и температуры крайне мало, то колебаниями диаметра
трубопровода допустимо пренебречь и считать площадь попе¬
речного сечения трубы постоянной величиной; S = S(, = const.С учетом этого допущения система уравнений (7.1) упрощает¬
ся, из нее исключается площадь S;ft Эхdv dv
— + v—4ft
ddpдк 2d•p\v -pg-dz^ft Чуa+pv дк2p=ZpRTУмножая второе уравнение на скорость v и вычитая
произведение из третьего уравнения, получаем систему
уравнений:346
ф фудк=0,dv dv''
—+v—
5l дкJФ X dz
дк 2d dx^U)aj(p,Tap=Z pRT+ pV'aj(p,T) Ф dp^ 4Ktдк dt дк■(t-tJ~2dИЛНФ+сТ + Vф—+ V<дрЛ1фу^ат>,ахЭТ av ^ox OKdvdv dp ,+ PV —+ -!Г = ^2’dt ' дк дк
рС,—+pvC —-(pC D.+l)^-(pC D+l)v-^ = J3,at ^ ax ^ ^ at ’ дк 'p = p/(ZRT),(7.2)где J, =-XpV’|v|/2d-pg’d^dx ; J, =-4Кг(т-Т;„р)/^ +W/2d .Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений
с частными производными для нахождения 3-х неизвестных
функций p(x,t),v(x,t) и T(x,t), зависящих от координаты х и
времени t,Нелинейная система (7,2) имеет довольно сложный вид,
поэтому возникает вопрос, как ее решать. Для ответа разбе¬
ремся сначала в струт<туре системы (7.2), поступив, в сущно¬
сти, так, как это было сделано в модели неустановившегося347
течения слабо сжимаемой жидкости (гл. 6). В частности, было
показано, что для уравнений (6.4) слабо сжимаемой жидкости
на плоскости переменных (x,t) существуют две особые ли¬
нии X =±с (характеристики), вдоль которых система диффе¬
ренциальных уравнений с частными производными превраща¬
ется в обыкновенное дифференциальное уравнение для неко¬
торой комбинации искомых функций:вдоль характеристики положительного наклона (т.е. ли¬
нии х = с=^ х = с1 + const.) существует обыкновенное диф¬
ференциальное уравнениеatвдоль характеристики отрицательного накюно (т.е. ли¬
нии X - -с X = -ct + const. ) существует обыкновенное
дифференциальное уравнение4(p-PoCv)=J*’’(p.v,x),atгде y‘*'(p,v,x) и /’’(p,v,x) - некоторые известные функции
своих аргументов. Свойство системы (6.4) уравнений с 2 не¬
известными иметь ровно 2 характеристики относит ее к классу
гиперболических систем дифференциальных уравнений и по¬
зволяет дать к014структивный метод решения - метод харак¬
теристик, изложенный в п. 6.3 гл. 6.Покажем, что система уравнений (7.1) с 3-мя неизвестны¬
ми также является гиперболической, поскольку число ее ха¬
рактеристик равно числу неизвестных, то есть 3. Будем искать
на плоскости переменных (х,|) линии х = x(t) такие, чтовдоль них некоторые комбинации уравнений (7.1) дают диф¬
ференциальную связь между неизвестными функциями. Пусть348
X = x{t) - линия плоскости (x,t), на которой известны значе¬
ния 3-х функций p(x,t),v{x,t) и Т(хд), Тогда, дифференцируя
эти функции по времени вдоль лишш х = x(t), получаем 3уравнения, связываюшие 6 производных5t ’ дхот этих функций:Эр 5р dv 5v
dt’ д\’ dt' дх.иdpdtdvdtdTdt4(1'(t)Ч-Ф 5p dxdt d\ dtdsi dv dxd\ dx dt£T £T ^5t d\ dt(7.3)Здесь xsdx/dt- тангенс угла наклона линии x = x(t) (назо¬
вем ее характеристикой) к оси 1, который можно считать из-
вестлым, поскольку известна сама функция х = x(t). •Левые части уравнений (7.3) известны, поскольку вдоль
линии х = x(t) известны функции p(x,t),v(x,t) и T(x,t), атакже известен наклон dx/dt этой линии x(t), следовательно,
уравнения (7.3) можно рассматривать как систему 3-х линей¬
ных уравнений для 6 частных производных p.v.T по времени
н координате. Если добавить к ним еше три уравнения систе¬
мы (7.2), которая также сводится к линейным уравнениям от¬
носительно производных, то в результате получится 6 линей¬
ных уравнений для определения 6 частных производных.
Имеем:349
(7.2)Л.diет)/ а_ лгф I 5рЙС+ Vу5Т 5v -
ах дкCpv/c^xdv 5v Эр ,
Р—+ PV~ + ~ = ^2.aiЭх Эх(7-3)Эр dx 9р ."й "^dT'^” "Эу dx dvft dt Эх
ЭГ dx ЭТ—^ -f — ft dt Эх= Js,=h,где J,=(dp/dt)„„„^,(., ; J5 = (dv/dtX^^,^„,,, ; = (dT/dt),^„„^^,,,Кроме того, согласно формулам (1.54) и (1.59) гл. 1, справед¬
ливы равенства:CpD.=-р + Т{др/<П\рсп+\ = -тг л^\р1ат,Если главный определитель системы (7.4) отличен от ну¬
ля, то все шесть частных производных находятся однозначно
и, следовательно, значения функций р, v,T на кривой x(t) не¬
зависимы друг от друга. Если же этот определитель равен ну¬
лю, но система линейных уравнений все же совместна, то су-
шествует дифференциальная связь между значениями p.v.Tна линии x{t). Приравнивая О главный определитель системы350
6 линейных уравнений относительно 6 частных производных
ф ф dv 5v dl—,—: —,— и —,—, приходим к уравнению:
д\ дк dl д\ dt д\fSp'lV.Ф/г0ppp'lV —IcTj01Ppv00Т|'ф'|pl^jpTV—PIstJ,00pc.pvCp1dxdt0000001dxdt0000001dxdt= 0.Умножая 1,3 и 5-й столбцы определителя на х и вычитая
произведения соответственно из 2,4 и 6-го столбцов, получаем
определитель, который может быть легко вычислен. В итоге
приходим к кубическому уравнениюV-dxdT/ТГф
рсТ+рС,VI-4 Л' dx"V ч dty^ dxV dt<.др-1= 0 (7.5)относительно разности (dx/dt-v) . Корни этого уравнения
очевидны:dx „ dx
v = 0 => —= v:dtdt351
dx• V = ±dtC.3p>чФ>Учитывая, термодинамическое равенство (1.56)Cp-Cv =т(6р^ГФ'!1ат;ргде Cv = (5е,„ут,/5Т)^ - теплоемкость газа при постоянном
объеме, имеем;dxdtС„-(с -С^)’\ Ор 1^ 5Т'|1V р ^VJlarjрUpJts|ИЛИdxdt- v = ±Срfap]ic.1фАгдеCv.ЁЕ.'= Y-= ±c,Здесь у(рД)= Ср/Су. Величину с, имеющую размерность
скорости, называют скоростью звука.Для совершенного газа (др/5р)^ = RT , с * -^yRT , где
у- показатель адиабаты. Например, если Y = l,31 ;352
R = 450-Дж/(кг-К), Т = 273 К, адиабатная скорость звука
составляет -^1,31 ■ 450-273 = 400 м/с.Для реального газа с уравнением состояния в форме
p=Z'pRT имеет место равенствоZRTУтОтсюда получаем выражение для скорости С звука:с =12RTг1-РZ(dZ'Т(7.6)что совпадает со скоростью v,p, полученной ранее в (5.11).Итак, система уравнений (7.1) обладает 3-мя семействами
характеристик:(dx/dt)|, =v±c, (dx/dl), =v.Поскольку скорость V газа в газопроводах не превышает
10-15 м/с» а скорость звука значительно больше 400 м/с), то
в ряде случаев можно считать, что (dx/dl)^ ^ = ±с» т. е. ско¬
рость распространения волн в потоке газа, движущемся в тру¬
бопроводе, примерно равна скорости звука в неподвижном
газе. В общем случае это, конечно, не так, особенно для тече¬
ний газа с большими скоростями, как, например, в соплах ре¬
активных двигателей или при звуковом истечении газа из от¬353
верстий в стенках сосудов; в этих случаях разностью
(dx/dt-c) пренебрегать нельзя.Если главный опрелслитель системы линейных уравнений
равен нулю, то для существования решения (совместности
этой системы) необходимо, чтобы был равен О также и рас-
ширенный определительОV''ар'I.ф>гт0р1.(ЗТу1о
отVрdxdt00оооpvооdtО' - \
cp j00hpCph0h0h1h= 0.получающимся из главного определителя заменой последнего
столбца на свободные члены исследуемой системы уравнений.
Условие равенства нулю такого определителя в теории линей¬
ных уравнений называется условием соешестности, поэтому и
в нашем случае его можно назвать _)’словне^и совместности на
характеристиках.Характеристическая форма уравненийОпуская процедуру вычисления расширенного определи¬
теля, которая похожа на процедуру вычисления главного оп¬
ределителя, приводим ее окончательный результат:354
dxdT- V/is.'[ffT)dxdt-Ilaxj+j f
•*4 -Ч+1-rdxUt- VчФ>Ti^-CJ --I
- • р-'б -2v5Ty,J.= 0или-Vdv/dxЧdtdTdl/ -s NФчСТурdpdt^ф'++1-fdx ^ V2'j, г dT ТГф^dpIdt >т.р ^dt(7.7)= 0.Последовательно подставляя в уравнение (7.7) значения
dx/dt наклона характеристик каждого семейства, получаем
условия, которым должны удовлетворять значения функций
p,v,T ка этих характеристиках.• Если dx/dl - V = +с, т.е. dx/dt = v + с , то должно вы¬
полняться условие(у-Оdp dv ,—+ рс— 5= с • J-, + 7 гdt dt ■ Т/р.(ар/£П’),(7.8)где J, =-X.pv-[v|/2d-pg'Sina;J3=-4KT(’^“X,ap.)/‘l+^P'^/2d, а
производные по времени берутся в направлении (вдоль) харак¬
теристики dx/dt = V -н с.• Если dx/dt - V = -с, т.е. dx/dt = v - с, то должно вы¬
полняться условие355
^_pc^ = _c.J tXzlL-dt ^ dt ' T/p.(cp/5T),(7.9)где производные по времени берутся в направлении (вдоль)
характеристики dx/dt = v - с.• Еапи dx/dt - v = О , т.е, dx/di = v . то должно выпол¬
няться условиеdp _ J3
dt р(7.10)где производные по времени берутся в направлении (вдоль)
характеристики dx/dt = v.Для реального газа с уравлепием состояния в форме
p = Z pRT справедливо равенствоTT' с p ^1zp'<дТ)r p'^arzRT^. p^0T;p.поэтому условия {7.8)-(7,10) совместности на характеристи
ках можно представить в следующем виде:(dx/di), =(dx/dt); =v + c:v-c;dp dv—+pC = C 'J.,dt dt(y-1)UT/Z.(c)Z/CT)„(Y'I) .dp dv— - pc— = -c J, +1 /dt dt - |l + T/Z'(f7Z/oTh-•J,; (7-11)(dx/dt)3=v: pC£Tdt1 +Tz'UL''^iPdt356
7.2. Метод характеристикФормулы (7,8)-(7,10) или (7.11) открывают конструктив¬
ный путь решения системы уравнений (7.2), который так же,
как и а случае слабо сжимаемой жидкости, называется мето¬
дом характеристик. Исходными уравнениями этого метода
служат уравнения (7.11). Идея метода характеристик состоит в
том, что в каждую точку A/(x,t) плоскости переменных (x,t),относящейся к моменту времени «настоящего», из области
1^,, <t|„ «прошлого» приходят ровно 3 характеристики
dx/dt = v±c и dx/dt = v, на которых выполняются условия
совместности (7Л1). Каждое из условий совместности являет¬
ся обыкновенным дифференциальным уравнением, которое
может быть проинтегрировано в направлении соответствую¬
щей характеристики, т.е. вдоль нее. Следовательно, в точке
M(x,t), являющейся точкой пересечения этих характеристик,
получаем 3 уравнения для определения 3-х неизвестных:
Рд/ v„(x,t) = v(x,„,t,J, Т»Дх,^,1) = Т{хд,,1,„), рис. 7.1.Рис. 7.1- Характеристики системы уравнений (7.2)
на плоскости переменных (x,t)357
Заменяя производные по времени в уравнениях (7.11) их
конечно-разностными аналогами: d( )/dl=>A( )/At, получаем
систему алгебраических уравнений:Рм Ри
AtРи ~Pfl+(рс),At' (рс)а •AtC -J, -(г-1)i+T/Z'(az/ar\JWc-AtAt■дz> aAtилиРм+(РС)^'У„=Ф,,p«-(pc)j-v«=%,(7.12)Tm-1I.Iraz'pCpzpjPm ” ®c*гдеФ^=р^+(рс)^-у^ +4'5 = ps--(pc)s-vs-&c=Tc-'cJ,-(y-01+T/z • (az/ar\
(y-i)i + T/z-(az/arVJAt,At.8•1faz^• Pr ' +✓ \' 1pCpz^ctJP.” L* СLpCpJAt.358
Из первых двух уравнений системы (7.12) находим давление
Рд, и скорость газа в точке М, затем из третьего уравне¬
ния вычисляем температуру Т,,;P.w =(р4-ф.-.+(р4|^а(рс), +(рс)^Ф -У^ л 'в(р4 +(р4 ’T'w = ©с +(7.13)11Дfdz'^рЧZР J•Рл/сНижний буквенный индекс означает, что данный параметр
вычисляется в соответствующей точке.Численная реапизацгт метода характеристик. Пусть нс-
установившееся течение газа тфоисходит в полосе [0,Lj, t > О
плоскости переменных (x,t), где L- длина участка трубо¬
провода. Разобьем эту полосу прямоугольной сеткой с помо¬
щью прямых х^ =4Х'(к-1) , т,„=Д1'(т-1) , где I<k<N + l,N = L/Дх , рис. 7.2- Шаг At по времени выберем так, чтобыД1 = Ax/{v + c)_^^^ , где и с„,„, - максимально возможныезначения скорости газа и скорости звука, соответственно;
“ максимально возможное значение температуры газа,m = 1.2.3 Пусть значения = Цх^,1„ч)=T(Xk,t,„.,) сеточной функции известны во всех узлах
(l<k<N + l) предыдущего момента времени, пока¬
жем, как найти эти значения во всех узлах следующего мо¬
мента t_.359
Рис. 7.2. Численная реализация метода характеристикРешение этой задачи дается формулами (7.13), если толь¬
ко указать в них, как рассчитываются значения функций в
точках /4,5 и С, относящихся к предыдущему моменту
времени;т ='к,го(р4‘ф^+(рс).^.{р4+(р4(рс).+(рс)/©(. +(7.14)1r'az^[рСрZ1сГГ^г.•Р«Покажем сначала, как находится положение точек А, В на) наотрезке (а также точки С на отрезкепримере одной из этих точек, для определенности, точки А.
Координату х^ точки А можно представить равенством
х^ = х^ - • Дх, где О < ^ ^ < 1 - некоторое число, определяе¬
мое методом итераций из уравнения360
4.-Ах
AtПричем скорость v газа и скорость С звука в газе рассчиты¬
ваются в искомой точке помощью интер¬
поляционных формулс., -сгде и - значения сеточных функций вузлах х^_| и х^ вычислительной сетки предыдущего момента
времени t,^_| , соответственно. В частности, скорость звука
рассчитывается по формуле (7.6). Разрешив уравнение (7.15)
относительно имеем;» ^к.ш-1 ^k.m-l ' дх/дг + (у^.,,,„ ,V+c,.„, ,)'После того, как найдено, значения Т, температуры и
р^ давления в точке А рассчитываются по интерполяцион¬
ным формулам:~ I ~ • I • Р -» ~ Pk.jii -I ~ 4.J ‘ Pv.m I •Аналогично рассчитываются значения параметров в точке
С , положение которой на отрезке х^ ,,х^ определяетсяуравнением 4г ■ Ax/At = v ^ ® также в точке В, положе¬ние которой на отрезке x^,Xj,., определяется уравнением361
Начальные ti краевые условия. Из-'юженный алгоритм по¬
зволяет рассчитать значения параметров (p,v и Т) течения
газа во всех узлах вычислительной сетки рассматриваемого
участка за исключением начального ( х, = О ) и конечного
=L) сечений газопровода- Это обстоятельство выражаеттот очевидный факт, что для расчета нсустаиовившегося тече¬
ния газа на участке газопровода требуются краевые условия,
моделирующие те или иные устройства, которые установлены
на его концах. Кроме того, необходимо знать параметры тече¬
ния в начальный tj,=0 (m = l) момент времени. Если речьидет о течении газа на участке 0.L трубопровода, то в каче¬
стве начальных условий можно задать распределения давления
р(х,0) = р(х) , скорости v(x,0) ^ v(x) н температуры газа
Т(х,0)=Т(х) в начальный = О момент времени.Для дозвуковых течений газа (v < с) в начальное сечение
Х| =0 участка газопровода из области интегрирования прихо¬
дит только одна характеристика (dx/dt), =v-c отрицатель¬
ного наююна, «несущая» на себе второе из условий (7,11), по¬
этому для расчета 3-х величин Р) „,V|„ и Т, „ необходимо за¬
дать еще 2 условия. Такими условиями могут являться либо
известное давление р(ол) И температура T(0,t) газа в начале
участка, либо (е - Q)- зависимость компрессорной станции, а
также зависимость температуры Т„о = Кр,=о>''»=о) газа, пода¬
ваемого в трубопровод, от давления и расхода, моделирующая
совместную работу газоперекачивающих агрегатов (ГПА) и
аппаратов воздушного охлаждения (АВО). В конечное сече¬
ние x=L участка газопровода при дозвуковом (v<c) тече¬
нии приходят 2 характеристики, несущие на себе второе и
третье условия (7.11), поэтому в конце участка газопровода
необходимо задать всего лишь одно краевое условие: либо
считать известным давление p^^^j ^ = p(L,t), либо задать более362
сложную связь давления, скорости и температуры газа, моде-
лируюшую условия отбора газа из рассматриваемого участка.
В особом случае v = с звукового истечения газа через сечение
X = L трубопровода давление p(L,t) в конце участка не зада¬
ется; оно определяется из решения задачи, а единственным
краевым условием является равенство =c(pl,Tl)-7.Э. Упрощенная модель для расчета переходных
процессов в газопроводеВ ряде случаев для расчета неустановившихся (переход¬
ных) процессов в магистральных газопроводах используют
упрощенную модель, сводящуюся к одному дифференциаль¬
ному уравнению с частными производными типа уравнения
теплопроводности для давления или расхода газа [23 .Основные уравненкя моделиВ основе упрощенной модели лежат следующие допу¬
щения:• профиль газопровода не учитывается z{x)=: consi.;• инерцией газа (произведением плотности на ускоре¬
ние) пренебрегается по сравнению с градиентом давления;
иными словами, считается, что в каждый момент времени си¬
лы давления уравновешиваются силами трения:pw =р'' 8w д\''+ VVЭр ср . pv'« —, следовательно, — -Л—
д\ дх 2ddt д\ J• коэффициент X гидравлического сопротивления счита¬
ется постоянной величиной (X ^ const.);• течение газа в газопроводе считается близким к изо¬
термическому (Т » const.);363
• коэффициент Z сжимаемости газа принимается посто¬
янным, равным его среднему значению на участке газопровода
(Z » Z^.p = const.).Последние два допущелия позволяют в уравнении нераз¬
рывности пренебречь производной плотности по температуреdl дхар+орггт/dt дх
«ии записать само уравнение в следующем упрощенном виде:^£+4.^ = 0.Лд\Здесь Ст =(др/5р)^ *ZRT - изотермическая скорость звука.
Ее величина составляет 340-400 м/с . Например, если
Z*0,85 , R*500 ДжДкг-К.) . Т = 293 К , тос-г -500-293 S 353 м/с. В совокупности сделанныедопущения позволяют упростить основную систему уравне¬
ний (7-2), представив ее в виде двух уравнений с двумя неиз¬
вестными функциями p(x,t) и v(x,t):dt ^
дрд\др\дх.2d ■= 0,(7.16)Полезно выполнить еще некоторые преобразования систе¬
мы уравнений (7,16), введя в качестве неизвестных функцийквадрат давления р" и квадрат (pv)’ массовой скорости pv364
(расход газа, рассчитанный на единицу площади сечения тру¬
бы). Для этого умножим первое уравнение системы на р иу^1тем, что р = Су ■ р . Имеем;адкр 2d2d р/с^'ар^ , Ст а(ру)- _ Qat V (9хd арXcj дхИсключив (ру)‘ из первого уравнения с помощью второго
уравнения, представим рассматриваемую систему в виде:др^ ■, б^р-
—£—= а' —-дх.at(pv)' =. Cydа' =-i—?.уd ср'Xcf ахЕсли пренебречь изменением коэффициента а’ в первом
уравнении системы за счет скорости v, приняв в нем у * у^^р,получим дифференциальное уравиеиис типа уравнения теп-
лопровоОностч для одной неизвестной функции - квадратадавления p'(x.t):ар’= а'а-р’А’ 1
а' = —i— ,at8\-1 J(7.17)365
при этом массовый расход М газа вычисляется через произ¬
водную 5р^/5х по формуле:М = pvS = Sd' Х-Су5х•signдк(7.18)где sign© обозначают функцию, называемую знаком 0 :sign0 =+ 1, если 0>О;
-1, если 0 < 0-Если обе части уравнения (7.17) продифференцировать
по X, то получим такое же уравнение (т.е. уравнение типауравнения теплопроводности) для квадрата (pv)^ массовойскорости (фактически для расхода газа);(7.19)Дифференциальиыс уравнения (7.17)-(7.19), дополненные
начальными и краевыми условиями, служат исходным бази¬
сом для решения целого ряда практически важных задач тру¬
бопроводного транспорта газа.В установившемся течении 5p'/6t = 0, поэтому уравне¬
ния (7.17) и (7.18) дают известные (см. (5.1), (5.16) и (5.20)
гл. 5) распределения давления и расхода газа;p'(x)=Pd-(po-Pl)--^И366
M = pvS = —*'^'~ = consL, (7.20)где Po.Pi - давления в начале и в конце участка газопровода,
соответственно; с^ = Z^pRXp.Следует отметить, что результаты, получаемые с помо¬
щью модели (7.17)-(7Л9), дают удовлетворительную точность
для «медленных» переходных процессов в «достаточно про¬
тяженных» участках газопроводов [23^.Примеры расчета переходных процессовРассмотрим несколько типовых примеров расчета пере¬
ходных процессов на основе упрощенной модели.Первый пример показывает, как можно на основе исход¬
ных данных рассчитать значение коэффициента а^ «темпера¬
туропроводности», входящего в базовые уравнения (7,17)-(7.19),Пример 1. Давление p(x,t) в переходном процессе, происхо¬
дящем на участке газопровода (Ъ = 1020х 12 мм, L = 120 км,
к = 0,05 мм), описывается уравнением (7.17). Определитьзначение пара.метра а’, если известно, что из-за отключения
одного из газоперекачивающих агрегатов (ГПА) давление в
начале участка газопровода уменьшается от 5,1 МПа до
4.5 МПа при неизменном давлении 3,8 МПа в конце участка.
Принять: = 0.9; - 15 “С; R - 490 Дж/(кг К}-Расчет. Поскольку параметр а определяется формулой
а'= Cjd/(Xv^.p), где c^=Z^pRT^ , то вычислим последова¬
тельно все величины, входящие в эту формулу.По формуле (1.40) вычис;]яем коэффициент "к гидравли¬
ческого сопротивления:367
Х = 0,067-= 0,067 ■^2’0,05\0.2996= 0,011,По формуле (5.20) или (7.17)М=-Po’-Pl4MX-Z,^RT,„.L«рассчитываем массовые расходы Мц и М, газа до и после 0Т‘
ключения ГПА, соответственно. Имеем;\л ^М„ = —(s.l^-sTs-yiO^^j ■ 0,996' S 204,3 кг/с;М,=-I(4,5 3,8)'10 0^996^ ^ 144,8 кг/с.4^0,01ь0,9-490’288’120’10Рассчитываем средние давления до и noaie отключения
ГПА:Рср.О235,1 +5,1 + 3,8= 4,48 МПа,Рср I234,5 +3,8^4,5+ 3,8= 4,16 МПа,Вычисляем средние скорости о ** , газа до и nocie
отключения ГПА:М.''ср..О “М/с;S-Pcp.o (ir-0,996V4)-4.48.10М, М,’С^ 144.8'(0,9-490-288) ^ ,V —*—^ = -7 ^ i-s5,68 м/с.(я О,99б74 -4,16 t0^368
Таким образом, из-за отключения одного из ГПА средняя ско¬
рость газа на участке газопровода уменьшилась с 7,44 до
5,68 м/с, поэтому среднюю скорость в рассматриваемомпереходном прогрессе можно принять равной 6,56 м/с.Подставляя значения всех величин в формулу для а’, по¬
лучаем:^з^0^9_0_288_^^ . mVc,0,011 6,56Второй пример показывает, как можно использовать
фундаментальное решение (см. [19]) уравнения теплопровод¬
ности для определения параметров изменения режима транс¬
портировки газа в <(Достаточно протяженных» участках газо¬
провода.Пример 2. Массовая скорость q(x, t)=pv газа (массовый
расход, рассчитанный на единицу площади поперечного сече¬
ния трубы q(x,t)=M/SJ в переходном процессе, происходя¬
щем на участке газопровода fD = 1020xl0 мм, S=Tid’/4,
L = 150 км), описывается уравнением (7.19) типа теплопро¬
водности. причем параметр а', играющий в этом уравнении
роль коэффициента температуропроводности. равен
1,75-10^ м^/с (сл1. порядок расчета в предыдущем примере 2).
Считая рассматриваемый участок газопровода полубеско-
нечным (0<\<^), определить, через какое время внезапное
изменение ДМо = 0,25'Мд массового расхода газа, проис¬
шедшее в начале участка на 25% от его первоначального зна¬
чения. достигнет сечения x = L=150 км газопровода? Под
временем достижения понимается момент времени, когда
изменение AM(L,i) расхода газа в сечении х =150 км соста¬
вит 1% от величины ДМ^. При этом предполагается, что
новый расход газа, установившийся в начале участка, под-
■ держивается постоянным.369
Расчет. Фундаментальное решение уравнения (7.19) типа
теплопроводности с начальным условием q(x,0)=0 и краевы¬
ми условиями: q(0, t) = q. = const, и q —» О при х —► =о широко
известно [19], и имеет на полуоси х > О следующий вид^ л/Ь*/гq4x,t)=q;-erf/ \
X\2aVlу= q:-!-Оназы-2 *ВходящиГ! в эту формулу интеграл ф{у.) = ~^ e ’^'di;Vn 'ваемый иитеграчом ошибок, широко используется в задачах
теории вероятностей, поэтому для него составлены подробные
таблицы [18]. Попутно заметим, что 0(z)-»l, т.е. erf(z)-»0
при Z ^ 00 .Понимая под изменение квадрата массового расхода
газа, имеем;L/’aVre'^'dc .- МИз условия задачи можно вьсчислить левую часть послед¬
него равенства. Имеем:Мо + 0,25 -Мо[ - М
Отсюда получаем уравнение^ 15ОО0п/^4 1,7510* 1d(; = a,9911ДЛЯ определения искомого момента t времени.Используя таблицы значений интеграла ошибок, находим,
что последнее уравнение выполняется» если370
150000
z = -j «1,85,V4 1,75-10^-t
откуда получаем: t^940 с (15,7 мин).В третьем примере излагается метод расчета параметров
переходного процесса на участке газопровода, ограниченном
по протяженности. Метод' использует линейный характер
уравнения теплопроводности и, следовательно, возможность
искать решение той иной задачи в виде ряда [19].Пример 3. В начале участка газопровода (<i~ внутренний
диаметр: L - протяженность) давление составляет , а вконце - Pf_. В некоторый момент (1 = 0) времени давление в
начапе участка увеличивают до значения pj и далее поддер¬
живают его постоянным. Начавшийся в газопроводе пере¬
ходный процесс заканчивается установлением нового ста¬
ционарного режима. Определить время установления этого
режима, понимая под ним интервап времени от начала про-
ifecca до момента, когда массовый расход газа в начале уча¬
стка будет отличаться от массового расхода в конце участ¬
ка не более чем на 1% от его нового значения.Расчет. Для описания переходного процесса на участке
газопровода используем уравнение (7.17), а также выражение
(7.18):(7.I8-)дхгдеа’=с‘ё/(?.у^р);у^р =0,5'(v;p +v;J; v;^,v; - средние ско¬
рости газа в старом и новом стационарных режимах;
S = nd V4 - площадь сечения трубопровода.В новом стационарном режимепоэтому решение задачи можно представить в виде:371
.2p’'(x,t)=pf■x + (pg-p;')-o(x,t), (7.21)где ф(хд)- неизвестная безразмерная функция, характери¬
зующая отклонение давления в сечении х газопровода в мо¬
мент времени t от значения в новом стационарном режиме.Очевидно, что функция Ф(хд), как и функция p"(x,t), удов¬
летворяет основному уравнению (7.17).Кроме того, функция Ф(хд) удовлетворяет следующим
краевым и начальному успоъиям:В начале участка (при х = 0): ф(Од)= О для всех t > О.В конце участка (при х = L); ф(Ьд)= О для всех i > О.
При t = 0 (начальное условие) на участке 0<x<L газо¬
провода существовал стационарный режим с давлениями рц вначале участка и р^ в его конце. Учитывая это обстоятельство
и представление (7.21), полагаем:р’"'(х,0) = pf - ■ X + (ри - р;^)• ф(х,0) =р1~■ X,откуда имеем: ф(х,0) = 1 - х/ L.Решение уравнения (7.14) с полученными краевыми и на¬
чальным условиями методом раздемашш переменных [19 .
Согласно этому методу, функция ф(хл) представляется а ви¬
де ряди, каждый член которого есть произведение функтш,
зависящей только от f. на функцию, зависящую только от х:®(x.t)=Ze.(t)-R,(x). (7.22)п*-Потребуем, чтобы каждый член этого ряда в отдельности
удовлетворял уравнению (7.17), тогда получим:dt dx-372
Разделив обе части этого уравнения на произведение
, имеем:_L. d^) ^ _1__ d^R„(x)а' ©ЛО dt R„(x) dx-
Поскольку левая часть этого уравнения зависит только от t, а
правая - только от х, то это означает, что каждая из них есть
константа. Таким образом:1 1 d0,(t) 1 d'R„(x) :— r-ч—~ = — ^ = - const.а- 0,{t) dt R„{x) dx-Для существования решения эта константа должна быть отри¬
цательной (см. учебники по уравнениям математической фи¬
зики, например, [19]), поэтому обозначили се(-ц^).Имеем уравнения:1, = н2. +
ахОбщее решение второго уравнения имеет вид:Rn(x) = A„sin(H„x)+B„cos(n„x).Постоянные А„ и интегрирования определяем из
краевьсх условий, то есть условий при х = О и х = L:R„(0)=0:A„sin(M„0)+B„cos(M„0)-0;R„(l) = О: A„sin(ji„L)+ В„ ■ cos(m„L) = О ■Отсюлазаключаем, что В„ =0 и A,,sin(|.i„L)=0.Очевидно, что для существования ненулевого решения не¬
обходимо, чтобы sin(|.i„L)=0 , то есть ц„Ь = пп или
ц„=лп/Ь, гле п = 1,2.3 Числа называются собствен¬
ными числами рассматриваемой краевой задачи.Из уравнения для определения функции 0„ находим:373
dtследовательно, имеем:aoФ(х.0=2а„8шn«lX7tn —L0,(t)=e% » W. ’-a' n’n /L“ Iфункция 0(x,t) удовлетворяет уравнению (7.17) и крае¬
вым условиям, поскольку этому уравнению и этим условиям
удовлетворяет каждый ее член. Таким образом, остается по¬
добрать лишь неизвестные коэффициенты А„ так, чтобы вы¬
полнялось начальное условие. Подставляя в полученное ре¬
шение t = О, имеем;:оns]/ \
XЯП —илиЛ)ЯП —LЧПя|/ \
XЯП —L,Непосредственным вычислением интегралов можно убе¬
диться в справедливости следующих тождеств:L / \
XЯП —Lsinоsin//' \
XЯШ —Ldx =О, если т^п,
L—, если тп = п,где тип- целые положительные числа, поэтому, умножая
обе части последнего тождества на 5ш(ятх/Ь) и интефнруяполученное произведение от О до L, получаем:\XSinятdx.374
HHTeipan в правой части полученно1‘о равенства вычисля¬
ется инте|-рированием т частям - он равен L/nm, следова¬
тельно, =2/ят. Окончательно находим:' ■ ^ ' ■’ (7.23)Ф(х,1)=22;—.sinЯПчL•е.1 л*п
L-УМассовый расход М газа в новом стационарном режиме
равен, согласно (7.18'):М^- рГ-р^Xcj Lа в текуший момент времени в конце участка газопровода, т.е.
при X = L, он определяется выражением:ч S'd ар- S'd( .2 ЛдФ1+PciEi
Ро -PlЯсLтбФдх»»LЭх«=иОтсюда следует:MSM- М.-М м.+ М рГ-р^ ,5Ф= ; -L.2м:м.м.сЬсN--LРо PlПоскольку нас интересуют моменты времени, в которые
M{L,t)* М., то отношение (м + М. /М. * 2, следовательно:М.-М ^ ^ р;~ - Рс _М. 2 п’^-ог ^*0,01 или4-L-LаФд\*0,02-%—^.
fx = L Ро ” РоВычисляя левую часть этого равенства на основе решения
(7.23), имеем:375
-L2£i-.iEcos(nn)7П1 La 0,02 •Po Pl
-2 2
Po PoИЛИ602 ’ ’
Л’П'-^cos{nn)-e asO.Ol--^• 2 2
Po ” Pln*l p^l — p(jT.e. получаем уравнение для определения искомого момента
времени I.Экспоненты в левой части полученного уравнения с рос¬
том номера п уменьшаются, поэтому члены ряда с номерами
2,3,4 и т.д. будут значительно меньше члена ряда с номером
п 1. Если в решении задачи ограничиться первым членом
ряда, то последнее уравнение упрощается:•2L- - Л Л1 Ро Pl L= 0,0Ь.2 2 ^ .2.2
Ро "“РоInа 71100»2 2Ро ~ Ро
1
ч-Ро -PlПодставляя сюда с^ /(Xv^p), получаем птвет:XV. L'ггМ -Ст• In00-.2РоРи*2 2
Р.. -Pl376
Глава 8ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТРУБОПРОВОДНОГО
ТРАНСПОРТА НЕФТЕПРОДУКТОВИзлагается теория транспортировки светлых нефтепродук¬
тов (прежде всего, моторных топлив) по трубопроводам мето¬
дом последовательной перекачки. Дается описание ipyeonpo-
водной системы и объясняется основная технология перекачки
нескольких жидкостей с различными свойствами по одной и
той же трубе. Объясняются причины, по которым в области
контакта последовательно движущихся нефтепродуктов обра¬
зуется смесь, излагается теория этого процесса, даются методы
расчета длины и объема области смеси, а также рассматрива¬
ются вопросы ее утилизации путем раскладки по исходным
нефтепродуктам. Кратко излагаются особенности гидравличе¬
ских режимов перекачки.8.1. Последовательная перекачка нефтепродуктовТранспортировка светлых нефтепродуктов (бензинов, ке¬
росинов и дизельных топлив) по трубопроводам существенно
отличается от перекачки сырой нефти. Главное отличие состо¬
ит в том, что в одной и той же трубе одзювременно нахо,тц1тся
не одна, а несколько жидкостей с различными физико¬
химическими свойствами и различным назначением. При этом
требуется, чтобы перекачиваемые жидкости не перемешались
друг с другом и дошли до потребителя практически в том же
количестве и с тем же качеством, с каким были приняты к
1ранспортировке. Учитывая, что требования к качеству мотор¬
ных топлив, используемых в двигателях внутреннего сгорания,
и без того необычайно высоки, необходимо выдерживать жест¬
кий регламент перекачки, чтобы обеспечить выполнение этих
требований.377
Основной технологией транспортирования светлых неф-
тепродз^тов по трубопроводам, принятой сейчас во всем ми¬
ре, является последовательная перекачка нефтепродуктов с
прямым коитоктом между ними (англ. - batching), т.е. пере¬
качка нефтепродуктов отдельными порциями (партиями).Сущность последовательной перекачки прямым контактом
состоит в том, что разносортные нефтепродукты (бензины, ке¬
росины, дизельные топлива и др.), объединенные в отдельные
партии по нескольку тысяч или десятков тысяч тонн каждая,
закачивают в трубопровод последовательно, один за другим, и
транспортируют так до самого 1готребителя. При этом каждая
партия вытесняет предыдущую и, в свою очередь, вытесняется
следующей- Получается так, что нефтепродуктопровод по всей
своей протяженности заполнен партиями различных нефтепро¬
дуктов, вытянутых в цепочку и контактирующих друг с другом
в местах, где кончается одна партия и начинается другая. На
конечном пункте партии разносортных нефтепродуктов при¬
нимают в отдельные резервуары [7,16 .Способ транспортировки различных нефтепродуктов по
одному и тому же трубопроводу, безусловно, прогрессивен,
поско'льку позволяет отказаться от строительства пучка трубо¬
проводов (для каждого нефтепродукта - свой трубопровод) и
гарантирует достаточно равномерное снабжение потребителей
всеми видами моторных топлив.В то же время этот способ имеет существенный недоста-,
ток, поскольку в области контакта последовательно движу¬
щихся нефтепродуктов образуется смесь, которая не может
быть использована ни как один нефтепродукт, ни как другой.
Тем не менее при соблюдении специальных правил транспор¬
тировки и обеспечении жесткого регламента всех технологи¬
ческих операций последовательная перекачка нефтепродуктов
не только возможна, но и доказала свои преимущества много¬
летней практикой.378
По магистральным нефтепродукто[1роводам в настоящее
время осуществляется последовательная перекачка следую¬
щих нефтепродуктов:автомобильные бензины: А-76 по ГОСТ 2084-77; разных
марок - А-80, А-92, А-96 (на экспорт), Аи-80, Аи-92, Аи-96 -
по ТУ 38.001165-97; с улучшенными экологическими свойст¬
вами разных марок: АИ-80ЭК, АИ-92ЭК, АИ-95ЭК - по ТУ
38.401*58-171-96; разных .марок - Нормаль-80, Регуляр-92,
11ремиум-98 - по ГОСТ Р 51105-97 и по другим стандартам;
автомобильный бензин - по ГОСТ Р 51866 (ЕН 228-98); бен-
зииы для автомобилей класса ГВРО 4 по ТУ 38.401-58-350-05;топлива для реактивных двигателей: TC-I по ГОСТ
10227-86 - Топлива для реактивных двигателей. Технические
условия;дизельные топлива: разных марок - летнее разных сортов
с температурой вспышки - не ниже 40 ®С и не ниже 62 ®С двух
видов с содержанием серы не более 0,2% и не более 0,5%, а
также зимнее разных сортов - по ГОСТ 305-82; экологически
чистое разных марок - летнее - ДЛЭЧ разных сортов трех ви¬
дов - I вид (с содержанием серы - не более 0,035%), II вид - (с
содержание.м серы - не более 0,05%), III вид (с содержанием
серы - не более 0,1%) и зимнее разных сортов по ТУ
38.1011348-99; экспортное - разных марок - летнее двух видов
(с содержанием серы - не более 0,2% и не более 0,3 %) и зим¬
нее (с содержанием серы - не более 0,2 %) - по ТУ 38.401-58-
110-94; с улучшенными экологическими свойствами разных
марок (летнее, летнее с присадкой, зимнее двух видов - с со¬
держанием серы - не более 0,05 % и не более 0,1 %) - по ТУ
38.401-58-170-96; экологически чистое летнее по ТУ
38-1011348-03 вид А (с содержанием серы не более 0,001 %);
топливо дизельное Лукойл-590 (ЕН 590) по ТУ 0251018-
00044434-2002 разных видов; топливо дизельное ЕВРО по
ГОСТ Р 52368-2005 (EII 590-2005); топливо дизельное автомо¬
бильное (ЕН 590) по ТУ 38.401-58-296-05,379
Технология последовательной перекачки
нефтепродуктовОбщее устройство системы трубопроводного транспорта
нефтепродуктов представлено па рис, 8.1,380
На головном пункте трубопровода нефтепродукты закачи¬
вают из отдельных резервуаров, транспортируют партиями, по
дороге, если есть необходимость, отпэужают путевым потреби¬
телям, подключенным к основной магистрали с помощью от¬
воды, а на конечных пунктах принимают в отдельные резер¬
вуары. На рисунке видны партии нефтепродуктов (НП) - № /,
№ 2, № i, № № J и т.д., последовательно движущиеся в ма¬
гистральном нефтепродуктопроводе (МНПП), вытесняющие
предыдущие партии и, в свою очередь, вытесняемые после¬
дующими. На рисунке схематично изображены также нефтепе¬
рерабатывающий завод (НПЗ), резервуарные парки (РП) голов¬
ной нефтеперекачивающей станции (ГПС), резервуары разда¬
точных блоков (РБ), резервуарные парки промежуточных неф¬
теперекачивающих станций (ППС) и резервуарный парк ко¬
нечного наливного пункта (КНП), на котором происходит при¬
ем нефтепродуктов, перевалка на другие вилы транспорта или
отгрузка потребителям-Последовательная перекачка нефтепродуктов осуществ¬
ляют циклами. Каждый цикл состоит из нескольких партий
нефтепродуктов, выстроенных в определенной последова¬
тельности, При этом порядок следования выбирается таким,
чтобы каждый нефтепродукт контактировал с двумя другими,
наиболее близкими к нему по своим свойствам. Например,
при последовательной перекачке бензинов и дизельных топ¬
лив в одну группу партий объединяют различные сорта бен¬
зинов, в другую различные сорта дизельных топлив, причем
внутри каждой группы также соблюдают строго определен¬
ную последовательность нефтепродуктов. Это делается для
того, чтобы как можно больше уменьшить вероятность потери
качества транспортируемых топлив за счет их смешивания
друг с другом-381
Так, наггример, во многих случаях используется следую¬
щая последовательность закачки нефтепродуктов в трубопро¬
вод:дизельное топливо летнее Л-40 с температурой вспышки 40^С;
дизельное топливо летнее Л-62 с температурой вспышки 62^С;
дизельное топливо экспортное ДТэ;дизельное топливо летнее Л-62 с температурой вспышки 61^С;
дизельное топливо летнее Л-40 с температурой вспышки 40^С;
дизельное топливо зимнее 3;
топливо для реактивных двигателей ТС;
дизельное топливо зимнее 3;дизельное топливо летнее Л-40 с темпера1урой вспышки 40^С;бензин автомобильный А-76;бензин автомобильный А-80;бензин автомобильный Аи-92;бензин автомобильный А-80;бензин автомобильный А-76 и т.д., рис.8.2.А-76Л-40Л-62 ИТ эЛ-62Л-40 ►А-76А-80Аи-92А-76Л-4019птиа< — - ■■■ ||Ы1<ПРис. 8.2, Последовательность расположения нефтепродуктовв циклеПоследовательная перекачка светлых нефтепродуктов с
прямым контактом между ними осуществляется следующим
образом. Из резервуаров ГНПС в трубопровод закачивают
нефтепродукт №2 (например» дизельное топливо Л-40), партия
которого вытесняет находящуюся перед ним партию нефте¬
продукта (например, J1-62), а та в свою очередь - нефте¬
продукта №4 (например, ДТэ - экологическое ) и т.д., рис. 8.1.
Эта закачка продолжается от нескольких часов до нескольких
суток в зависимости от ресурса нефтепродуктов или договоров
на их гюставку. При этом резервуары с нефтепродуктом №/382
пйстсиеико опорожняются, в то время как резервуары, пред¬
назначенные для других нефтепродуктов, наполняются за счет
полкачк}Г топлива с нефтеперерабатывающего завода (НПЗ).По мере опорожнения резервуаров с нефтепро,’1уктом №2
готовятся к переходу на перекачку слелуюп1его нефтепродукта
№/ по установленному графику. Смена нефтепродукта на
ГИПС происходит в безостановочном режиме. Для этого на
распределительной «гребенке» резервуарного парка ГИПС за¬
крывают задвижки линии, подводящей в трубопровод нефте¬
продукт №2, и одновременно с этим открывают задвижки ли¬
нии, ведущей от резервуаров с нефтепродуктом №/ к насосам
ГИПС и трубопроводу. После завершения перехода начинают
закачку в трубопровод партии нефтепродукта №/. При этом
резервуары, предназначенные для нефтепродукта N°I, начи-
нают постепенно опорожняться, в то время как резервуары с
другими нефтепродуктами (в том числе и с нефтепродуктом
№2, перекачка которого была завершена) заполняются топли¬
вом, поступающим с НПЗ. Продолжительность закачки нефте¬
продукта №/ составляет так же несколько часов или десятков
часов.Постепенно все виды и сорта нефтепродуктов последова¬
тельно закачаны в трубопровод. Последним из них был, на¬
пример, автомобильный бензин А-76. От начала процесса, за
который условно был взят момент закачки нефтепродукта №2
(Л-40), прошло несколько дней. К этому времени резервуары с
нефтепродуктом №2 пополнились за счет поставок с завода и
можно вновь закачивать его в трубопровод, что знаменует на-
ча;ю нового цикла последовательной перекачки.8.2. Смесеобразование в зоне контакта последовательно
движущихся партий нефтепродуктовКак уже отмечалось, последовательная перекачка нефте¬
продуктов позволяет организовать доставку многих видов мо¬383
торного топлива с помощью всего лишь одного трубопровода,
причем в условиях его достаточно полной загрузки. Однако
при всех достоинствах эта технология имеет характерный не¬
достаток, состоящий в образовании смеси отдельных нефте¬
продуктов при их взаимном вытеснении в трубопроводе.Последовательная перекачка прямым контактом получи¬
ла свое название из-за того, что вытесняемый и вытесняющий
нефтепродукты непосредственно контактируют друг с другом
без какого бы то ни было разделения. Поэтому сразу же воз¬
никает опасение, что транспортируемые жидкости перемеига-
ются друг с другом. Опасение эго более чем обосновано - при
вытеснении одного нефтепродукта другим в местах контакта
последовательно движущихся нефтепродуктов образуется
смесь, причем ее количество по мере продвижения нефтепро¬
дуктов вперед от начала трубопровода к его концу постоянно
увеличивается. Образование смеси в местах контакта последо¬
вательно движущихся нефтепродуктов является основным и
главным недостатком этой технологии.Смесеобразование одноименных нефтепродуктов (напри¬
мер, бензинов различных сортов или дизельных топлив раз¬
личных марок) представляет сравнительно небольшую угрозу
качеству нефтепродуктов, ибо нефтепродукты, относящиеся к
одной группе топлив, в большей степени совместимы друг с
другом, чем нефтепродукты, относящиеся к различным фун-
пам. Однако смесеобразование разноименных нефтепродуктов
(например, бензинов и дизельных топлив или бензинов и ке¬
росинов и т.д.) представляет серьезную угрозу их качеству - в
ряде случаев даже малая примесь одного нефтепродукта в
другом делает его непригодным к использованию. Например,
смесь бензина с дизельным топливом 11епригодна к использо¬
ванию, как в карбюраторных, так и в дизельных двигателях.
То же самое можно сказать и о смеси бензина с керосином
или дизельного топлива с керосином.384
Можно, конечно, задаться вопросом, почему бы для изо¬
ляции разносортных нефтепродуктов не использовать какие-
либо механические разделители - жесткие или эластичные
поршни, жидкие или полужидкие разделительные пробки и
т.п., которые наподобие подвижных перегородок, перемеща¬
ясь вместе с потоком жидкости в трубе, разделяли бы перека¬
чиваемые нефтепродукты. Оказывается, однако, что эта дос¬
таточно простая идея наталкивается на существенные техно¬
логические трудности, главная из которых - невозможность
обеспечить синхронное движение разделителей и жидкости в
трубе.Физические причины образования смесиСмесь, которая образуется в области контакта перекачивае¬
мых нефтепродуктов при вытеснении одного из них другим,
обусловлена физическими процессами, сопровождающими те¬
чение жидкости в трубопроводе. Если бы контактирующие
исфлспродукты вытесняли друг друга наподобие твердых
стержней с плоской границей раздела между ними, то их пере¬
мешивание в области контакта, конечно, отсутствовало бы.
Молекулярная диффузия одного нефтепродукта в другой не в
счет - она слишком мала, чтобы быть заметной. Однако нефте¬
продукты не являются твердыми стержнями, и вытеснение од¬
ного из них другим происходит неравномерно по сечению тру¬
бы: скорости жидкости в различных точках сечения трубопро¬
вода не одинаковы, рис. 8.3. У стенок трубы они равны нулю, а
на оси достигают максимального значения, поэтому вытесне¬
ние одного нефтепродукта другим происходит более интенсив¬
но в центре трубы, чем у ее внутренней поверхности. Каждое
мгновение клин позади идущего нефтепродукта внедряется в
жидкость, идущую впереди, причем тем интенсивней, чем
больше профиль u(r) осредненных скоростей вытянут вдоль
оси. Происходит, как говорят, конвекция (или конвективная385
диффузия) примеси одного нефтепродукта в другом вместе с
перемещающимися друг относительно друга слоями жидкостн.Рис. 8.3, Схема, иллюстрирующая процессы образования
смеси в области контакта нефтепродуктовОднако неравномерность распределения осрелненных
скоростей жидкости по сечению трубопровода не является
единствен1юй причиной, ответственной за смесеобразование
нефтепродуктов; другим, не менее важным фактором смесе¬
образования, является турбулентная диффузия. Как правило,
светлые нефтепродукты перекачивают в турбулентном режи¬
ме, при котором частицы жидкости движутся в трубе не па¬
раллельно его стенкам, а совершают хаотические турбулент¬
ные движения, как это можно видеть в дымовых струях. В
турбулентных потоках происходит интенсивное перемешива¬
ние различных частиц жидкости по сечению трубы вследствие
пульсаций скорости и указанных хаотических движений от¬
дельных частиц. Поэтому турбулентная диффузия, а именно
так называют этот процесс, перемешивает клин вторгающейся
жидкости с жидкостью, находившейся там ранее, обеспечивая
более или менее однородное распределение нефтепродуктов в
каждом сечении.Тем не менее следует отметить, что коицентраиия каждо¬
го нефтепродукта в сечении трубопровода, хотя и близка к по¬
стоянному значению, но все же не является таковой. Для вы-
тесняю1цего нефтепродукта она всегда больше на оси трубы и386
меньше возле ее стенок, а для вытесняемого - она всегда
меньше на оси трубы, чем у ее стенок. На рис. 8.4 представле¬
ны кривые распределения концентрации с{х, г/К^^) вытес¬
няющей жидкости в зависимости от безразмерного расстояния
r/Rp до оси трубы (Rq - радиус трубы) для различных сече¬
ний X по длине (0^х<4/2) области смеси. Эти кривые,подтверждающие указанное положение, были получены проф.
В.А. Юфиным в экспериментах с вытеснением двух взаимно
растворимых жидкостей (NaOH и Н2О) [16 .с(х,г) = 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6)О1/2Рис. 8.4. Распределение концентрации вытесняющего нефте¬
продукта в поперечном сечении трубы (Re * 45000)Благодаря тому, что концентрация вытесняющего нефте
продукта вблизи оси больше, чем у стенок трубы, вперед по
ходу движения перетекает большее количество вытесняющего
нефтепродукта, чем в обратно.ч направлении. Таким образом,
происходит обмен массами, обеспечивающий постоянное уве¬
личение длины и объема области смеси.Итак, процесс перемешивания вытесняемого и вытесняю¬
щего нефтепродуктов происходит по следующей схеме: клин
позади идущего нефтепродукта внедряется в нефтепродукт,
идущий впереди, а процессы турбулентной диффузии разме¬
шивают внедрившуюся примесь по сечению трубы. При этом
происходит постоянный перенос вытесняющего нефтепродук¬387
та вперед, в область, занятую вытесняемым нефтепродуктом, и,
наоборот, имеет место обратный перенос вытесняемого нефте¬
продукта назад, в область вытесняющего. Процессы конвек¬
тивного и турбулентного перемешивания неотделимы друг от
друга. Они действуют постоянно и одновременно на протяже¬
нии всего времени вытеснения, определяя интенсивность про¬
дольного перемешивания, длину и объем области смеси.Основной фактор, определяющий интенсивность
продольного перемешивания нефтепродуктовПоскольку образование смеси в области контакта нефте¬
продуктов происходит вследствие неравномерности распреде¬
ления скоростей жидкости по сечению трубопровода и турбу¬
лентного перемешивания, ясно, что чем профиль осредненных
скоростей жидкости в сечении трубопровода более плоский,
чем интенсивней в сечении перемешиваются се частицы, тем
более полно идет процесс вытеснения и тем меньше образует¬
ся смеси. Из гидравлики известно, что профиль скоростей
жидкости в сечении трубопровода тем более плоский (равно¬
мерный), чем более развита турбулентность, чем интенсивней
ведется перекачка. На рис, 3.4 гл. 3 можно видеть, что турбу¬
лентные профили располагаются значительно выше, чем ла¬
минарные (на рис. 3.4 - пунктирная кривая), причем степень
наполнения профилей возрастает с увеличением числа Рей¬
нольдса. Иными словами, турбулентные профили более пло¬
ские, чем ламинарные. В частности, такой важный показатель,
как отношение максимальной скорости течения к среднейV в развитом турбулентном режиме определяется равенством
и,„„ *: 1,15 1,25 • V, в то время как в ламинарном течении мак¬
симальная скорость вдвое больше средней скорости течения.Итак, чем выше скорость перекачки, тем профиль скоро¬
стей более плоский и, следовательно, вытеснение одного неф¬
тепродукта другим происходит более полно. Кроме того, ин¬388
тенсивность турбулентного перемешивания увеличивается по
мере увеличения числа Рейнольдса, что способствует боль¬
шему выравниванию концентрации каждого нефтепродукта в
сечении трубы и, следовательно, уменьшению образующейся
смеси. Таким образом, одним из главных факторов, опреде¬
ляющих интенсивность смесеобразования, является скорость
течения нефтепродуктов. В этом смысле турбулентный режим
перекачки много лу'пие ламинарного: при перекачке нефте¬
продуктов с низкими скоростями смеси образуется значитель¬
но больше, чем при перекачке с высокими скоростями.Концентрации нефтепродуктов в смесиОсновным показателем того, что в зоне контакта вытес¬
няемого и вытесняюшего нефтепродуктов образовалась смесь,
является отличие свойств жидкости в пробах, взятых из тру¬
бопровода, от свойств каждого из перекачиваемых нефтепро¬
дуктов. Если речь идет о перекачке нефтепродуктов с различ¬
ной плотностью (например, бензинов и дизельных топлив), то
характерным показателем их перемешивания является отли¬
чие плотности р^, смеси от плотностей р, и р-, каждого изконтактирующих нефтепродуктов. Однако речь может идти г
о других, более тонких, параметрах нс([зтенродуктов как, n:i-
пример, температура kohiio кипения и октановое число при
последовательной перекачке двух бензинов, или температурч
вспышки и содержание серы при последовательной перекачке
двух дизельных топлив и т.д. В области контакта
транспортируемых нефтепродуктов эти показатели плавно
изменяются от одного значения до другого при переходе от
партии вытесняе.мого нефтепродукта к партии вытесняющего,
сама же область их изменения называется областью смеси-
Экспериментально доказано, что при слиянии любых объ¬
емов V, и V, двух нефтепродуктов объем V_, их смеси с389
большой точностью равен сумме объемов, т.е. имеет место
сохранение объемов, выражающееся равенством4=v,+v,. (8Л)Следовательно, можно ввести объемные концентрации с, и
Cj каждого нефтепродукта в смеси согласно равенствамV Vс, c,=-ii, (8.2)Концентрации - это безразмерные числа О < с, < 1, О < с, < 1,
показывающие, какую долю произвольного объема Vj смеси
составляют первый нефтепродукт и какую - второй:Ч=с,-Ч, V,=c,-4. (8.3)Очевидно, что в силу (8.1) сумма концентраций нефтепродук¬
тов в смеси равна единице:C|+Cj=l. (8.4)Равенство (8.4) говорит о том, что для характеристики смеси
двух нефтепродуктов достаточно ввести только одну концен¬
трацию, например концентрацию с = с^ вытесняющего нефте¬
продукта, тогда конце1гграция с, вытесняемого нефтепродукта
выражается через концентрацию с как разность с, =1-с. Если
концентрация нефтепродукта в смеси равна О, то речь идет о
первом нефтепродукте, если она равна 1, то речь идет о втором
нефтепродукте. Концентрацию нефтепродукта, выраженную в
процентах, называют процентным содержанием 6
6=с100%. Например, концентрации 0,2 соответствует про¬390
центное содержание 20%; концентрации 0,453 - процентное
содержание 45,3% и т.д. Сумма процентных содержаний неф¬
тепродуктов в смеси равна 100%,Для нефтепродуктов, отличающихся друг от друга плот¬
ностью, концентрацию с можно выразить через плотность р^смеси и плотности р, и р, каждого из контактирующих неф¬
тепродуктов. Поскольку при их смешивании, помимо равен¬
ства (8.1), справедлив закон сохранения массы М^.=М,+М,.
то имеют место следующие соотношения:Р.-Ч^РгЧ + Р:-У,,V V
Рс=Р|-ТГ + Р2- —V ‘Vс силир. =Р| '(1-с) + р, •С = Р| +(р, -Р|)'СОтсюда получается искомая связь:Контроль перемещения нефтепродуктов в трубопровол1'
осуществляется путем путевого мониторинга шют1юстисмеси и определения концентрации вытесняющего нефтепро¬
дукта по формуле (8.5).8.3.1'еоретические основы процесса смесеобразования
при последовательной перекачке нефтепродуктовПри последовательной перекачке нефтепродуктов их кон-
центразши изменяются как вдоль оси трубопровода, так и по
поперечному сечению трубы. Однако изменение концентрации391
по площади сечения трубопровода не так велико, поэтому
представляют интерес так называемые средние по сечеиию
концентрации нефтепродуктов, которые также будем обозна¬
чать буквой с, подчеркивая, если необходимо, что речь может
идти и, других концентрациях. Средняя концентрация каждо¬
го нефтепродукта в смеси плавио изменяется от О до 1, поэто¬
му концентрация с есть функция от координаты х вдоль оси
трубопровода и времени t, прошедшего от начала процесса
вытеснения, т.е. c = c(x,t).Уравнение объемного баланса нефтепродуктов в смесиДля описания процесса смесеобразования в области кон¬
такта последовательно движущихся нефтепродуктов, в том
числе 1Ц1Я расчета объема образующейся смеси, используется
одномерная диффупюннан модель продольного перемешива¬
ния. Поскольку при смешивании двух нефтепродуктов объем
образующейся смеси равен сулше объемов исходных компо¬
нентов, то средняя скорость v движения нефтепродуктов не¬
изменна по длине трубопровода, в том числе н вдоль области
смеси (v = Q/S). Вот почему процесс смесеобразования удоб¬
но рассматривать в подвижной системе отсчета, перемещаю¬
щейся вдоль оси трубопровода со средней скоростью v.Если бы вытеснение одного нефтепродукта другим было
полным и происходило одинаково во всех точках сечения'
трубы, смеси не было бы вовсе: впереди по ходу движения
находился бы первый нефтепродукт, а сзади - второй, рис. 8.5.
Однако скорость вытеснения одной жидкости другой в разных
точках сечения разная - в центре сечения она больше, а у сте¬
нок трубы меньше. Клин жидкости, идущей позади (нефтепро¬
дукт Яу2), вторгается в жидкость, идущую впереди (нефтепро¬
дукт №1), увлекая вытесняющий нефтепродукт в область вы¬
тесняемого. В то же время вытесняемая жидкость задерживает¬
ся у стенок трубы и поэтому оказывается в области вытесняю¬392
щей жидкости. Так происходит обмен нефтепродуктами через
первоначальную границу х = О их контакта Турбулентные
пульсации размешивают примесь каждого нефтепродукта в
другом по сечению трубы, в результате чего возникает смесь
определяющая плавный переход от вытесняемого нефтепрс •
дукта к вытесняющему.Рис. 8.5. Распределение концентрации смеси в области
контакта нефтепродуктов в подвижной системе отсчетаЕсли ввести величину q(x,t) объемного расхода вытес¬
няющего нефтепродукта в подвиж!юй системе отсчета черс!
произвольное сечение х трубопровода, то за время dt черс<
это сечение перетекает объем q(x,t)'dt вытесняющего нефтс
продукта. Для двух близких ссчеипй х и x + dx в облас и
смеси, рис. 8.5, изменение ДУ объема вытесняющего нефи:
продукта в области между сечениями за время dt можно за¬
писать в виде:ДУ = q(x,t)-dt-q(x +dx,t)-dt,илиdV = [q{x,t)-q(x +dx,t)]'dt =^q(X't)axdxdt.(8.6)393
с другой стороны, то же изменение можно представить в сле¬
дующем виде;ДУ =[c(x,t + dl)-c(x,t)]' Sdx -dt,dVs-^[c(x,t)'S’dx]-dt. (8.7)atПриравнивая (8.6) и (8,7) и сокращая обе части уравнения на
множитель dX'dt, полу^гаем дифференциальное уравнение
объемного баланса вытесияюгцего нефтепродукта в смеси:at <9хЭто уравнение отражает простой факт: изменение объема вы¬
тесняющего нефтепродукта в области между любыми сече¬
ниями трубопровода равно разности объемов этого нефтепро¬
дукта, втекающего через первое сечение и вытекающего через
второе.Интенсивность массового обмена в смесиДля того чтобы решать дифференциальное уравнение (8.8).
необходимо выявить закономерности обмена нефтепродуктов
в области смеси, т.е. указать связь объемного расхода q(x,t)
вытесняющего нефтепродукта с распределением c(x,t) кон¬
центрации в потоке. На рис. 8.6 представлена схема такого об¬
мена в произвольном сечении х подвижной системы отсчета.
Суммарный расход нефтепродуктов равен нулю, однако объе¬
мы каждого из них, перетекающие через сечение слева направо
и справа налево, отличны от нуля - они равны друг другу по
величине, но противоположны по знаку. Перетекание вытес¬394
няющего нефтепродукта (Л?2) через сечение х слева направо
с расходом W, происходит, главным образом, в центральной
части трубы, в то время как перетекание вытесняемого нефте¬
продукта (Л*/) в обратном направлении, справа налево, имес1
расход W,=-W| и происходит, главным образом, вблиш
внутренней поверхности трубопровода.{х-/|) X (х+Л)Рис. 8,6. Схема массового обмена в области смесиРасход W = W, перетекания опрелеляется профилемu(r) осредненных скоростей в интервале О < г < R,:R.u(r) - v]dr,(8-.где R. - радиус той части сечеиия трубы, в которой u(r) > v.
Если принять, что профиль осредненных скоростей и(г) тур¬
булентного течения имеет логарифмический вил [10U.КR(8.10)395
где к - постоянная Кармана («0,4); и. - -^т^./р - ди¬намическая скорость (см. л. 5 гл. 3); R„ - радиус трубы, то из
(8,9) и (8.10) вытекают следующие соотношения:= -4,08-и,; R* ss0,805'R„; w=sl,26 u.S. (8,11)Подставляя выражение и, в (8.11), получаем связь обменных
перетоков w с расходом Q = v-S перекачки:w=l,26-J --vS==0,446-VX-Q. (8.12)Из этой формулы следует, что расходы обменных перетоков
сравнительно невеликн. Так, например, при X = 0,02 величина
W составляет 0,063-vS,t,c, всего 6,3% расхода перекачки.Обменные перетоки жидкости переносят чере:$ сечение х
подвижной системы отсчета как первый, так и второй нефте¬
продукты, однако средние концентрации с' и с" в этих пере¬
токах различные. Поэтому расход q(x,t) вытесняющего неф¬
тепродукта через сечение X можно прех1ставить выражением:q(x,t) = W- с'-W- с' = W (с'-с*).В первом перетоке, который происходит слева направо,
концентрация с' равна средней по сечению концентрации вы¬
тесняющего нефтепродукта на некотором расстоянии /, позади
сечения х ; во втором перетоке, который происходит справа
налево, концентрация с" равна средней по сечению концен¬
трации вытесняющего нефтепродукта на некотором расстоянии
/з впереди сечения х . Длины /, и мож1Ю было бы на¬
звать длинами путей перемешивания, они равны расстояниям,396
на которых турбулентная диффузия перемешивает вторгаю¬
щуюся примесь по сечению трубопровода.С точностью до членов высшего гюрялка малости можно
'записать:c' = c(x-/„t) = c(x,t)-/j ‘
C*^C(X+/2,t) = C(X,t) + /2ОС
д\'
дс
'дк(8.13)и далееq(x,t)=-w-{A+A)—Подставив сюда выражение w т (8.12), получим:q(x,t)=-0,446.Vx.(/,+/,)-~-S
V дхплигдеq(x,t) = -K^.~S,
с\(8.(S.I5)Связь (8.15), выражающую пропорциональность объемно¬
го расхода q(x, t) вытесняющего нефтепродукта градиентудс/дх его кониентрации, na-jbiBaior законол/ продольного пе-
ремеишеания. а входящий в него коэффициент (м‘/с) - ко¬
эффициентом продольного перемешивания. Подробней об
этом коэффициенте будет сказано ниже. Знак минус в форму-397
jie (8.14) показывает, что поток каждого нефтепродукта на¬
правлен от большей концентрации к меньшей, т.е. в сторону,
противоположную градиенту его концентрации.Подставляя выражение (8.14) для объемного расхода
q(x,t) вытесняющего нефтепродукта в уравнение (8.8) объем¬
ного баланса этого нефтепродукта в смеси, получаем следую¬
щее дифференциальное уравнение;дсоdt дхК..^ \
осдх(8.16)В общем случае коэффициент К^. не является постояннойвеличиной. Поскольку этот коэффициент зависит от структу¬
ры турбулентного течения в трубопроводе (а она плавно из¬
меняется в области смеси за счет изменения плотности и вяз¬
кости), то К-с может быть функцией концентрации, а также
производной от концентрации по координате.Если коэффициент К^. считать все же постоянным, тоуравнение (8,16) сводится к хорошо известному дифференци¬
альному уравнению типа уравнения теплопроводности:(8.17)В данном случае это уравнение называют «уравнением про-
()ольной диффузии».Подчеркнем, что уравнение (8,17), справедливое в под¬
вижной системе отсчета, движущейся со средней скоростьюV перекачки и с началом, расположенным на первоначальной
границе контакта партий, является основным уравнением для
нахождения распределения концентрации c(x,t) вытесняюще¬
го нефтепродукта в смеси. В совокупности с начальными и398
краевыми условиями {о которых будет сказано ниже) тм
уравнение позволяет вычислить длину и объем облает
обра^уюигейся смеси [7,16],Коэффиииент продольного перемешиванияОсновным параметром, определяющим процесс перечи
шивания нефтепродуктов в области их контакта, является кс-
эффицнент Kj;^. продольного перемешивания. Исследование-К^- сводится к выявлению зависимости длин /, и Д перемс
шивания, входящих в формулу (8.15), от параметров, хараю
ризующих турбулентное течение жидкости.Известный английский механик Дж. Тейлор на основе о>-
реднения пространственных уравнений распространения при
меси в турбулентном потоке жидкости, движущейся в трубо¬
проводе, получил для коэффициента следующую формулуК.^. =1,785'>/X-vd, (8. :■которая, если сравнить ее с выражением (8.15), дает для сум¬
мы (/|+/,) длин перемешивания, значение 4d . Эта формуласправедлива для чисел Рейнольдса, больших чем 3 • Ю"* [26].Однако при сопоставлении реа^тьных объемов смеси, обра-
зуюп1ейся в магистра;1ьных нефтепродуктопроводах, с резуль¬
татами расчета по формуле (8.18) выяснилось, что эта формула
дает заниженные значения объема смеси. Можно откорректи¬
ровать формулу (8.18), приняв для суммы длил перемешивания
равенство /,-ь/, = 7,2d , обеспечивающее лучшее совпадение
расчетных и промышленных данных. Тогда для коэффициента
Kf. из формулы (8.15) следует выражение;399
Kc=3,211-VI'Vd.(8.19)Различные авторы, занимавшиеся этой проблемой в раз¬
личные годы, получали выражения для К^- путем обработки
лабораторных и промышленных экспериментов. Например, ол-
ну из первых отечественных формул для коэффициентапредложили B.C. Лблонский, А.Ш. Асатурян и И.Х. Хизгилов
[7]. Эта формула имеет вид:Кс =3QQQ 60,7 ^
Re■vd,(8.20)Позже А.Ш. Асатурян предложил более простую формулу:Kc = 17,4'Re‘®-'^-vd.(8.21)Американский исследователь Ф. Съенитцер, обработав ре¬
зультаты промышленных перекачек на нефтепродуктопрово-
дах США, предложил для формулу:X\4j• vd.(8.22)lO.MIЭта формула включает эмпирический коэффициент (L/d)‘
учитывающий поправку на расстояние L перекачки. Очевид¬
но, что теоретическим путем получить такую формулу нельзя,
поскольку коэффициент К^. должен зависеть только от ло¬
кальных параметров течения, прежде всего от тех из них, ко¬
торые определяют структуру турбулентного потока. Тем не
менее формула Съснитпера (8.22) дает результаты, близкие к400
результатам, наблюдаемым в промышленных условиях, пс
этому она вошла во многие практические руководства.Необходимо отметить, что формулы, приведенные выше,
справедливы, строго говоря, для распространения малой при¬
меси в несушсм потоке однородной жидкости. Для последова¬
тельной перекачки нефтепродуктов это условие не всегда вы¬
полняется, поскольку свойства контактирующих жидкост.'
могут сильно отличаться друг от друга (например, вязкое', ь
дизельного топлива почти в 10 раз больше вязкости бензина),
поэтому больизинство исследователей вдобавок к предлагае¬
мой ими формуле давало эмпирические рекомендации отно¬
сительно вязкости, которую следует принимать в качестви*
расчетной.Динамика возникновения и роста смесиРассмотрим основную математическую задачу, на реше¬
нии которой базируются расчеты длины и объема области об¬
разующейся смеси.Задача. Пусть в нефтепродуктопроводе. имеющем дл!L и внутренний диаметр d, ведется последовательная пер, •
качка двух нефтепродуктов, в которой нефтепродукт AL
вытесняет нефтепродукт N21 с постоянной скоростью v. В
начальный момент времени (t = О) нефтепродукты распола¬
гались так, что справа в трубопроводе находился нефтепро¬
дукт N° 1 {с = 0), а слева от начала координат - нефтепро¬
дукт N9 2 = 1), при этом смесь между ними отсутствова¬
ла. Требуется найти распределение c(x,t) кончентрации вы-
тесняюи/его нефтепродукта при t > О г/ вычислить объем об¬
ласти образующейся смеси.Решение. Поместим начало отсчета подвижной системы
координат на границу первоначального контакта нефтепро¬
дуктов, тогда начальное условие для решения дифференциаль¬
ного уравнения (8,17) имеет вид;401
<х,0) =1,О,приприX < о,X > 0.(8.23)Должны выполняться также краевые условия. Потребуем,
чтобы с —> о при X +да и с 1 при х —»-сс . Эти условия
означают, что на бсльлюм удалении от границы контакта
тра!?спортирусмых партий (т.с. «на бесконечности») концен¬
трации нефтепродуктов остаются неизменными; слева с = 1,
справа с = 0. Иными словами, c(-oo,t)=l, c(+co,t)=0.Поскольку в постановке сформулированной задачи име¬
ются только 3 размерных параметра -х м , t с и К(_ м'/с , токонцентрация с, будучи но определению безразмерной вели¬
чиной, может зависеть только от безразмерных комбинаций
определяющих ее параметров. Из трех параметров x,t иможно составить только одну безразмерную комбинацию, по¬
этому решение уравнения (8.17) должно зависеть от одной пе¬
ременной:(х,0 == с(4)Это означает, что дифференциальное уравнение (8.17) с част¬
ными производными может быть сведено к обыкновенному
дифференциальному уравнению.Нетрудно проверить справедливость следующих соотно-
щений;402
5с _ dc 54 _ cic
9c dc 112tViv,=_A±.
2t d4’Подставляя эти соотношения в уравнение (8.17), получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для определения
функции с = с(^);-1 dc _ d^c
“2'^'d?'Общее решение этого уравнения (так называемое авто
модельное решение) находится двукратным интегрирование.\'с(4)=А-|е-“''^Ма + В.(8.24)где А и В- постоянные интегрирования. Для нахождения
постоянных интегрирования используем краевые условия:
с->0 при х-»+со (те. ^-»+«>); с^1 при х-^-«(т.е.4 -со). Имеем для А В систему 2 линейных уравнений:0 = А-+ ВО-JC1 = Л403
Поскольку справедливы тождестваJC■х>e^'dB• Xто А=-1/(2л/я)и В = 1/2 , и (8.24) можно представить в виде;4;) 41-VnеI;Сделав замену переменной интегрировалия: р = -а/2 , по¬
лучим:cfe)4Фл/я ;,-рd(l(8-25)Наконец, записываем решение задачи в окончательном виде:(8.26)Легко проверить, что для всех х > О при t О параметр
х/741^ интеграл в скобках стремится к л/я/2 и, сле¬
довательно, с—»0. Аналогично, для всех х <0 при г—>0 ин-404
Tei-рал в скобках стремится к --Jk/2 и, следовательно, с-> I.
Таким образом, начальные условия (8.23) выполнены.Функция, стоящая в круглых скобках, часто встречается в
задачах статистики и называется «эрфиком»:erfc(z)= 1 -•Jnе "'dSее график представлен на рис.8.7.Ac = O.S-erlc(z)ш ^Г(01••;ч •1I 10,0i^-O.Olг,=-1.645 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 .-,=+l,M5ZРис. 8.7. График фуикции c(z) = 0,5-erfc(z):
erfc(Z|) = 0.99; erfc(0)=0,5; erfc(z,) = 0,01Для вычисления значений функции erfc(z) существуют под¬
робные таблицы [18].С помощью функции erfc(z) решение задачи записывает¬
ся более кратко:c(x,t)=-'erfc2(8.27)405
На рис. 8.8 показано, как изменяется концентрация c(x,t)
вытесняющего нефтепродукта в смеси в зависимости от коор¬
динаты X в подвижной системе отсчета для различных мо¬
ментов t времени.Рис. 8.8. Распределения концентрации вытесняющегонефтепродукта в смеси в различные моменты времениВ начальный 1^=0 момент времени эта кониентрацияимеет вид «ступеньки»; слева с = 1, справа с *= 0; при t>0
формируется область плавного перехода от концентрации 1 к
концентрации О, которая с ростом времени t постепенно рас¬
ширяется.Следует отметить, что теоретическая кривая c(x,t) рас¬
пределения концентрации имеет два характерных недостатка.
Первый из этих недостатков состоит в том, что в рамках при¬
нятой модели смесь нефтепродуктов как бы мгновенно рас¬
пространяется на всю область трубопровода от —ос до -t-co.
Этот эффект, разумеется, связан с несовершенством модели
(8.14)-(8.17) продольного перемешивания. Однако стремление
концентрации к 1 слева и к О справа происходит настолько
быстро, что область, в которой происходит существенное из¬
менение концентрации, имеет ограниченные размеры.Второй недостаток состоит в том, что кривая распределе¬
ния концентрации вытесняющего нефтепродукта оказывается
симметричной, хотя практика показывает, что она имеет не¬
большую асимметрию и зависит от порядка следования неф¬406
тепродуктов [16]. Однако эта асимметрия в большинстве слу¬
чаев невелика и, как показывает та же практика, найденное
распределение достаточно хорошо согласуется с наблюдаемым
в действительности-8.4. Длина и объем области смеси нефтепродуктовОбласть смеси нефтепродуктов определяют как область,
в которой концентрации нефтепродуктов отличны от О и I, т.е.
0<c(x,t)<l. В силу отмеченного выше недостатка модели,
согласно которой область смеси получается бесконечной,
смесь определяют в тех или иных пределах существенного
изменения концентрации: с.. ^ с(х, t) < с., где с. и с.. - верх¬
ний и нижний пределы концентрации, соответственно. Еслис.. =1-0., то говорят о смеси нефтепродуктов в симметрич¬
ных пределах KOHifeHmpaiiiiu, например, от 0,01 до 0,99 (от 1 до
99%), рис. 65, или от 0,02 до 0,9^^ (от 2 до 98%) и т.д.Пусть, для определенности, речь идет о смеси в симмет¬
ричных пределах концентрации. Разрешив уравнениенайдем0,5'erfc(z)=c..,2 = erfc''’(2c„).(8.28)где символ * означает, что берется функция, обратная функ¬
ции erfc(z). Для некоторых пределов концентрации с.. значе¬
ния Z приведены в табл. 8.1.с..z = erfc'-"(2c..)с..z = erfd'‘*(2c.,)0,011,6450,051,1630,021.4520,071,0440,041,2380. 00,906407
Учитывая, что z = x/^4K.c-t, находим длину /, области
смеси в симметричных пределах концентрации:Z =/с/2 .= erfc*'’^(2c..)ИЛИ=47к7^-егГс‘-'^(2с..). (8.29)Из этой формулы следует, в частности, что длина областисмеси растет пропорционально Vt, т,е. корню квадратному из
продолжительности перекачки. Отсюда следует, что темпы
роста смеси неодинаковы. Посколькуто видно, что с течением времени скорость увеличения смеси
постепенно убывает. Эта скорость максимальная вначале пе¬
рекачки, когда градиенты концентрации велики, но потом об¬
разовавшаяся смесь играет роль буферной подушки между
исходными нефтепродуктами, и скорость вовлечения новых
порций нефтепродуктов в смесь уменьшается.Для многих приложений длину области смеси определяют
в пределах концентрации от 0,01 до 0,99, т.е, от 1 до 99%. В
этом случае Zj = 1,645 и формула для длины области смеси
имеет вид;/, =6,58 • 7^7^. (8.30)408
Если интересуются длиной области смеси при подходе ее
середины к концу трубопровода, т.е. в момент времени
t - L/v,то= 6.58 ■ jKc ~ = 6,58 ■ Ре-“'* ■ L, (8.31)где Ре = vL/K{- - безразмерное число Пекле.Объем области смеси в симметричных пределах кон¬
центрации находится ПС формуле:V,=/,S = 4.erfc'-’>(2c„)Pe^-^-V,p
или для с.. = 0,01:=6,58-Pe-''-*'V,p, (8.32)Формулы (8.31) и (8.32) при известном значении коэффи¬
циента продольного перемешивания дают длину и объем об¬
ласти смеси, образующейся в контакте перекачиваемых неф¬
тепродуктов.Из формулы (8,32) следует, что объем смеси увеличи¬
вается по мере увеличения расстояния L перекачки:Ч =6,58.S-.J^.Vl. (8.33)Отсюда следует, что объем смеси пропорционален VU, т.е.
корню квадратному из расстояния, пройденного серединой
области смеси. Это означает, что если на первых 100 км тру¬409
бопровода образовался объем смеси, то на вторых 100км образуется = л/2= 1,41 ■ смеси, на третьих -У|-)=л/3'У*“’=1,73-У1“’. иа четвертых - v'’^ = V4 ■ vf’= 2 ■ Vf’
и т.д., т.е. увеличение смеси но мере се продвижения от нача¬
ла к концу трубопровода постепенно замедляется.Пример. Определить дл14ну и объем области смеси, обра-
з\’юще1'1СЯ в зоне контакта двух автомобильных бензинов А-80
и Аи-92 при их последовательной перекачке по трубопроводу
с внутренним диаметром 514 мм и протяженностью 700 км.
Коэффициент Л. гидравлического сопротивления принять
равным 0.017.Расчет. Из формулы (8.19) следует:■^ = 3,211VK^./v = 3,211 ’Vo,017 •0,5l4sO,215’M.Для вычисления объема смеси используем формулу (8.33)V^. ==6,58 '(3,14 0,514 74) л/0^2ГГ-л/700000" s 529 м\Длина области смеси находится делением полученного ре¬
зультата на S :V 529/, = — г-!—= 2550 м или А » 2,55 км.‘ S (3.14 0.51474)При перекачке «одноименных» нефтепродуктов, например,
двух сортов бензина или двух сортов дизельного топлива и т.п.,
т е, нефтепродуктов, плотности и вязкости которых мало отли¬
чаются друг от друга, эта формула дает результаты, весьма
близкие к наблюдаемым на практике.При последовательной перекачке нефтепродуктов, отли¬
чающихся плотностями и вязкостями, можно использовать
формулу (8.33), модифицированную следующим образом:410
у ^ yf> + Vf>^6.58у\V Чс•sVl,т.е. вычислять объем V^. смеси сначала по параметрам пере¬
качки первого нефтепродукта (верхиий индекс 1), потом -
второго (верхний индекс 2) и брать среднее арифметическое
полученных результатов.Полагая, согласно формуле (8.19), K(-/v = 3,211• Vx^-d ,получаем(I) . Л/(2)V"' +VV = ^ ‘ =ИЛИ/ \ / 1\”5V^=5.9’(V^ + VX^ -vLyV(8,34)где V,p =Ttd‘/4'L - объем трубопровода. Коэффициентыи X*'* гидравлического сопротивления первого и второго неф¬
тепродуктов, соответственно, входящие в формулу (8.34), вы¬
числяются согласно правилам гидравлики (см. п. 1,5 гл. 1).Пример. Определить объем области смеси. образуЮ1цейся
в зоне контакта автомобшьного бензина А-80 (р, =738кгДг’*,
V, = 0,6 cCmJ и дизельного топлива Л-40 Г Рз = 840 кг/м\
V, = 9,0 сСт} при их последоватечьной перекачке по трубопро¬
воду с внутренним диаметром 514 .нл» и протяженностью
700 км. Шероховатость внутренней поверхности нефтепро-
дуктопровода - 0,25 м.м. Расход перекачки Q = 1100-мУч ,
Расчет. Сначала рассчитывается скорость перекачки,Q 4 1100S 3600-3,14-0,514^V = 1,47 м/с.411
Затем вычисляются числа Рейнольдса:Re(')=MI:M^ = 1259300; Re, =ldZl24H = 83953.0,6 109-10Рассчитываются коэффициенты гидравлического сопро¬
тивления первого и второго нефтепродукта, соответственно:Х“’ = 0,11-0,25+68\514 12593001/4= 0,017;ух‘^’=о,п-''0,25 68\= 0,021.514 83953;По формуле (8.34) вычисляется объем смеси:V =5.9V0,017+V0,02l)'1)0,514 3,14 0,514^700000•700000= 544-Образование смеси в трубопроводе
с переменным внутренним диаметромФормула (8.34) пригодна для вычисления объема смеси
нефтепродуктов в трубопроводе постоянного диаметра. Если
же трубопровод состоит из участков труб с различными диа¬
метрами, эта формула должна быть усовершенствована. Од¬
ним из приближенных методов, позволяющих сделать такое
усовершенствование, является метод эквивалентных длин.Пусть, например, нефтепродуктопровод состоит из п уча-*стков труб с разными внутренними диаметрами и протя¬
женностями L|(, рис. 8-9.d,,L, i dj,L;d3,L.Рис. 8.9. Нефтепродуктопровод, состоящий из труб с разнымвнутренним диаметром412
прежде всего заметим, что объем смеси нефтепродуктов в
таком трубопроводе не равен сумме объемов смеси, образую¬
щейся на его отдельных участках: ^ V^, + V^, +... + . Для
вычисления объема смеси в трубопроводе с переменным
внутренним диаметром поступим следующим образом.
Представим формулу (8,34) для V, в следующем виде:4=A(v.d)-L“^где коэффициент A(v,d) зависит только от скорости перекач
ки V и внутреннего диаметра d:А(у,а)=5.9[зДЯnd2.5Коэффициент A(v,d) имеет свое собственное значение для
каждого участка нефтепродуктопровода А^. = A(v^,d^). Если
в трубопроводе отсутствуют сбросы и подкачки нефтепродук¬
тов, то скорости V,. перекачки и диаметры отдельных уча¬
стков связаны соотношениями:nd, nd\ ndJ ^ 40V, *-=V2 ^ = ^ = = Q = СОЛ5Л => y/^ss ^4 " ndiгде Q- объемный расход перекачки. Тогда объем смеси,образующейся к концу первого участка, можно вычислить по
формуле:413
Поставим вопрос так: какова должна быть эквивалентная
длина трубопровода с диаметром и скоростью перекач¬
ки, равными диаметру и скорости перекачки во втором участ¬
ке, чтобы в нем образоватся такой же объем смеси , как в
конце первого участка? Ответ находим из формулы (8-34):IVА,- /Объем V^, смсси в конце второго участка нефтепродукто-
провода можно вычислить теперь как объем смеси в трубо¬
проводе с диаметром d, и скоростью v, перекачки, но с про¬
тяженностью, равной (L, + L ,):Чз = А, •L, +V•кВ 10.5= (L,Ar+L,A::fДалее находим эквивалентную длину трубопровода
с диаметром d- и скоростью перекачки Vj, к концу которого
образуется столько же смеси, сколько ее образовалось к концу
второго участка, т.е. V^,;=.А,Объем V^j смеси, образующейся к концу третьего участка,
находится как объем смеси в трубопроводе с диаметром dj и414
скоростью перекачки Vj , но с протяженностью, равной
(Lj + L,..,):Ч, = А,.I.J +V:20.5= + L,Aj + L,A, ]ГНетрудно установить общую закономерность зависимо¬
сти для объема смеси, образующейся к концу п -го участка
трубопровода, она имеет вид:V. =Поскольку L;^A^ = , то окончательное выражение для объ¬
ема смеси, образующейся к концу всего трубопровода,
можно представить в следующем виде;(8.35)где - объем смеси, который образовался бы в к-м участ¬
ке трубопровода, будь этот участок отдельным трубопрово¬
дом. Формулу (8.35) МОЖ1Ю использовать для расчета объема
смеси в трубопроводе с переменным диаметром.Первичная технологическая смесьПереход с перекачки одного нефтепродукта на перекачку
другого нефтепродукта осуществляется в безостановочном
режиме, поэтому при переключении резервуаров на головной415
перекачивающей станции в трубопровод в течение некоторого
промежутка времени (3-5-7 мин.) поступают оба нефтепродукта,
и в нем образуется так называемая первичная технологическая
смесь. Так, например, в нефтепродуктопроводе D^. =500 ммпри расходе 1000 м^ч за 5 мин переключения резервуаров об¬
разуется около 80 м^ первичной смеси при общем ее количестве
в 550-600 м^, образующейся па расстоянии 700 км.Формула (8.34) не учитывает объема первичной тех¬
нологической смеси в зоне контакта перекачиваемых партий в
начальный момент времени, поскольку была получена как
решение уравнения (8.17) с начальными условиями (8.23) типа
«ступеньки», моделирующими мгновенный переход от пере¬
качки одного нефтепродукта к перекачке другого. Если же в
начальный момент времени t = 0 между партиями нефтепро¬
дуктов существовала уже сформировавшаяся область смеси с
объемом , то формулу (8.34) необходимо усовершенство¬
вать. Объем можно учесть путем увеличения длины тру¬
бопровода на эквивалентную длину , рассчитываемую по
формулеК. =Vч2птсутогда объем смеси, образующейся к концу трубопровода,
вычисляется по формуле:(V ^2"0.5L +—ч А уL-A-+VJntc0.5416
где =L-A^ - тот же объем без учета первичной техноло¬
гической смеси. Иными словами.V =V’t СО/ \V 11 +птсVЧ со у(8.36)Стоящий в квадратных скобках множитель показывает, во
сколько раз объем смеси с учетом первичной превышаетобъем смеси, рассчитываемый в пренебрежении таковой.
Значения этого множителя приведены в табл. 8.2.Таблш1а 8.2V^/V,„0,080,100,120,140,160,180,20ч/ч.„1,0071,0101,0141,0181,0231,0281,033Из таблицы, в частности, следует, что влияние первичной тех¬
нологической смеси на общий объем смеси, образующейся к
концу перекачки, сравнительно невелико. Если даже объем
первичной смеси составляет 20% от объема смеси, который
получается расчетным путем при мгновенном переключении
резервуаров, влияние начальной смеси на конечный результат
перекачки не превышает 3,5%.Поскольку отношение уменьшается с увеличени¬ем расстояния перекачки, то влияние первично тех1Юлогиче-
ской смеси может быть особенно сильным д;1я «коротких»
трубопроводов, в то время как для «длинных» трубопроводов
оно практически неощугимо. Полученный результат приводит
к естественному выводу: мероприятия по у.меныиеиию пер-
вичной технологической смеси эффективны для сравнительно
коротких трубопроводов и менее эффективны (или доже не¬
эффективны) для трубопроводов большой протяженности.
Первичная технологическая смесь, «вводимая» в область кон¬417
такта нефтепрюдуктов на начальном этапе перекачки, служит
буфером между исходными нефтепродуктами и сдвигает про¬
цесс их смесеобразования в более пологий сектор кривой рос¬
та смеси. Поэтому сокращение времени смены резервуаров на
головной перекачивающей станции не оказывает заметного
влияния на конечный результат перекачки [16.8.5. Смесеобразование при остановках перекачкиВсе формулы, полученные выше, справедливы в предпо¬
ложении о безостановочном режиме перекачки. На самом деле
ни один реальный нефтепродуктопровод не работает постоян¬
но в таком режиме. Существуют плановые остановки, связан¬
ные с аварийным или профилактическим ремонтом трубопро¬
вода и перекачивающих станций, остановки, вызванные отсут¬
ствием ресурса нефтепродуктов, и т.д. Больше того, остановки
перекачки в определенные периоды эксплуатации могут со¬
ставлять весьма существенную часть рабочего времени.При перекачке нефтепродуктов в безостановочном режиме
разность плотностей контактирующих нефтепродуктов практи¬
чески пе сказывается на величине объема образующейся смеси.
При развитых турбулентных режимах выравнивающая роль
турбулентных пульсаций так велика, что перемешивание кон¬
тактирующих нефтепродуктов по сечению трубы происходит
достаточно полно и равномерно. Если же скорость течения
жидкости уменьшается, то различие их плотностей приводит к
увеличению объема смеси, а при полной остановке перекачки
это различие играет основную роль в смесеобразовании.При остановках перекачки исчезает выравнивающее дей¬
ствие процессов турбулентности, и на первый план выходят
иные факторы. Основным из них является гравитационное
растекание нефтепродуктов в поле силы тяжести, происхо¬
дящее вследствие разности плотностей перекачиваемых неф¬
тепродуктов, Более тяжелый нефтепродукт (например, дизель¬418
ное топливо - Д), если он стоит выше более легкого (например,
бензина - Б), начинает течь вниз по нижней образующей тру¬
бы, а более легкий нефтепродукт поднимается ему навстречу в
верхней части трубы, рис. 8.10. При этом скорость гравитаци¬
онного растекания весьма велика; она может составлять
0,5 -J-0,7 м/с, так что за 10-15 ч остановки языки нефтепродук¬
тов могут проникнуть друг в друга на расстояние до 10 км и
более. Естественно, что после возобновления перекачки про¬
никшие друг в друга нефтепродукты перемешиваются. Мас¬
штабы такого перемешивания могут оказаться весьма значи¬
тельными.Рис. 8.10. Растекание нефтепродуктов, имеющих
различную плотность (р^ < рд), под действием сил тяжестиОднако растекание нефтепродуктов вследствие различия
плотностей в большинстве случаев не принимает катастрофи¬
ческих масштабов. Начавшееся растекание длится не беспре¬
дельно и через некоторое время после остановки перекачки
прекращается. Причиной этому является волнообразный ха¬
рактер профиля трубопровода, в частности отклонение его
геометрической оси от прямой линии. Поскольку нефтепро-
дуктопровод повторяет рельеф местности, по которой он про¬
ложен, то на его профиле имеются нисходящие и восходящие419
участки, периодически сменяющие друг друга и образующиео и Г>—образные колена, Каждое из таких колен, если раз¬
ность h высот низшей точки первого и высшей точки второго
больше диаметра d трубопровода, становится непреодоли¬
мым препятствием для языков растекающихся нефтепродук¬
тов, рис. 8.11. Как только более тяжелая жидкость заполнит
ближайшее к месту остановки и — образное колено, в нем об¬
разуется гидравлический затвор (линия А-А'), останавли¬
вающий дальнейшее растекание жидкостей - более легкий
нефтепродукт не в состоянии двигаться вверх, тюскольку для
этого ему потребовалось бы сначала погрузиться в более тя¬
желый нефтепродукт, что, естественно, невозможно.Рис. 8.11. Схема образования гидрозатвора
в низине профиля трубопроводаТаким образом, «пересеченность» профиля трубопровода яв¬
ляется главным защитником транспортируемых топлив от их
чрезмерного перемешивания при остановках. Именно гидрав¬
лические затворы, образующиеся в низинах профиля (с усло¬
вием h >d) из-за разности плотностей нефтепродуктов, оста¬
навливают растекание жидкостей {М.В. Лурье. 1992, [7]).Трансформа1{14Я кривой KOHtfeHrrjpaifim смеси при останов¬
ках перекачки. Если между партиями контактирующих нефте¬
продуктов, отличающихся плотностью, существовала доста¬
точно протяженная область смеси, то при остановке перекачки
внутри смеси происходит перераспределение концентраций.420
рис. 8.12. Пусть, например, более тяжелый нефтепродукт (Д)
находится позади более легкого (Б). Тогда на всех нисходя¬
щих сегментах трубопровода происходит как бы зеркальное
отражение концентраций: частицы смеси, бывшие прежде на
вершинах профиля трубопровода, опускаются в ближайшие
низины, а частицы смеси, бывшие прежде в низинах профиля,
перемешаются на его вершины. На восходящих сегментах
трубопрювода распределение концентрации не изменяется.
Если до остановки перекачки распределение концентрации
с^, (х) имело вид непрерывной кривой, то после остановки онопревращается в разрывную кривую с„у„(х) (на рис. 8.12 выде¬
ленную жирной линией),Рис. 8.12. Трансформация кривой распределения концентрациив месте остановки смесиРазрывное распределение с,,„^ (х) концентрации вытес¬
няющего нефтепродукта в месте остановки перекачки для
случая, представленного на рис. 8.12, может быть записано в
следующем виде;421
с ,(х) =I.T.(х),если0< X < X,;(х,+х,-х),еслиX, < X < х^(х),еслиX, ^ X < х^;(х, +Xj-X),еслиХз < X < Хд;(х),еслиХд < X.(8,37)Заметим, что функции f(x) и f(x, + х, - х) имеют зеркально
симметричные графики относительно середины (Х|+Хл)/2
сегмента [х,,х, .После возобновления перекачки разрывы на кривой рас¬
пределения концентрации исчезают, а приборы, регистри¬
рующие приход смеси, показывают на диаграммах самопис¬
цев характерные петли, являющиеся расплывчатым портре¬
том профиля трубопровода в месте остановки смеси, рис. 8.13.Рис. 8.13- Фрагмент диаграммы прибора для контроля смеси
Atj - интервал времени прохождения смеси422
Если длина области смеси значительно превышает протя¬
женности восходящих и нисходящих сегментов профиля тру¬
бопровода, то остановка перекачки не представляет большой
угрозы с позиций увеличения объема смеси. Наоборот, если
профиль нефтепродуктопровода изобилует затяжными спус¬
ками и подъемами, то остановки области смеси на таких уча¬
стках могут привести к значительному увеличению ее объема.
Растекание нефтепродуктов во время остановки последова¬
тельной перекачки, как и объем дополнительно образуюгцейся
смеси, практически не зависят от продо.чжитечьности про¬
стоя трубопровода, если только его профиль не содержит в
этом месте затяжных, многокилометровых подъемов и спус¬
ков. Процесс растекания нефтепродуктов из-за разности плот¬
ностей происходит так быстро, что относительно короткие
(200-500 м) сегменты спуска и подъема преодолеваются язы¬
ками растекающихся жидкостей за весьма короткое время, по¬
сле чего процесс растекания прекращается вовсе.Расчет смесеобразования при остановках перекачкиСмесеобразование, происходящее при остановках пере¬
качки, в большой степени зависит от мелкомасштабных осо¬
бенностей профиля трубопровода в месте, в котором простаи¬
вает область смеси. При этом первоначально непрерывное
распределение с(х) = c(x,L/v) концептрацни становится раз¬
рывным и меняется в соответствии с правилами (8.36), графи¬
чески представленными на рис. 8.12.Методика и порядок расчета дополнительного смесеобра¬
зования, вызванного остановкой перекачки, при которой сере¬
дина области смеси остановю]ась в некоторой точке L„, со¬
стоят в следующем: сначала непрерывная кривая с(х) распре¬423
деления концентрации с(хЛ) в момент 1о = Ьд/\ времени
подхода середины области смеси к сечению х =/c(x) = c(x,Lq/v) = 0,5(/V'tKc L./.1--Pdpтрансформируется no формулам типа (8.37) в соответствии с
профилем трубопровода в разрывную кривую с„о^ (х); затемтрансформированная кривая с,,,„(х) принимается за начальноераспределение для уравнения (8.17) продольного перемеши¬
вания и подставляется в общую формулу его решения [7];c(x.t) =exp(х-пУ2V^K,(t-to) i [ 4Kc(t-to)_(8-38)где t>to; наконец, вычисляется интеграл в правой части ра¬
венства (8,38), который дает вид кривой распределения кон¬
центрации в произвольный момент времени после возобнов¬
ления перекачки; в частности, в конце L трубопровода, т.е.
при t-lo =(L-L„)/v . Осуществление таких расчетов вруч¬
ную, разумеется, затруднено, однако они легко выполняются с
помощью компьютеров.При остановках последовательной перекачки нефтепро¬
дуктов с различной плотностью могут возникать неожидан¬
ные :»ффекты. Некоторые из них иллюстрируются примерами.Пример 1. Последовательная перекачка бензина
(pg = 738 кг/м\ Vj = 0,6 сСт) и дизельного топлива
/'Рд=840 кг/1/,Уд=9,0 сСт) осуществляется по трубопро¬
воду с dua.\iempov 514 мм и протяженностью 700 к.м с расхо-424
дом 1100 м^1ч. Профиль трубопровода на участке между
349 и 351 км имеет монотонно нисходящий 2-х км сегмент.
Какой будет вид кривой концентрации вытесняющего неф¬
тепродукта (дизельного топлива) в момент прихода смеси к
концу трубопровода, если перекачка прерывалась лишь одной
продолжительной остановкой на 350 километре?Расчет. Объем V^. и длина области смеси к моменту
остановки на 350 км трубопровода рассчитывается по форму¬
ле (8.33): Ч =357 м^ =1721 м.Таким образом, вся область смеси оказалась расположен¬
ной на нисходящем участке трубопровода. Поскольку сверху
находится более плотная смесь (примыкающая к дизельному
топливу), а внизу - менее плотная (примыкающая к бензину),
то начавшийся процесс растекания нефтепродуктов приводит
к тому, что распределение концентрации дизельного топлива
в смеси между 349-м и 351-м километрами зеркально отобра¬
жается относительно 350-го километра (х = 0,0 в подвижной
системе отсчета). Если принять это новое распределение за
начальное и подставить его в интеграл (8.38), то результаты
расчета дают кривую, изображенную на рис. 8.14.Рис. 8.14. Распределение концентрации дизельного топлива
после остановки на коротком спуске425
На рисунке видна характерная петля, о причинах появле¬
ния которой говорилось выше; объем перемешавшихся неф¬
тепродуктов увеличился в данном примере в 3,6 раза.Пример 2. В условия предыдущего примера вносится из¬
менение: нисходягций участок профиля трубопровода распо¬
ложен между 345 и 355 км. т.е. протяженность спуска
составляет теперь не 2, о 10 км. Какой будет вид кривой кон¬
центрации вытесняющего нефтепродукта (дизельного топли¬
ва) в момент прихода смеси к концу трубопровода, если пере¬
качка прерывалась лишь одной продолжительной остановкой
на 350 километре?Расчет. Расчет осуществляется аналогично тому, как это
делалось в примере №1; результаты представлены на рис. 8.15.Рис. 8.15. Распределение дизельного топлива в смеси после
остановки перекачки на затяжном спускеНа рисунке видно, что смесь и часть партии дизельного топли¬
ва во время остановки оторвались от основной массы дизель¬
ного топлива и угши вниз нисходящего сегмента. После возоб¬426
новления перекачки и подхода смеси нефтепродуктов к концу
трубопровода оторвавшаяся порция дизельного топлива может
быть воспринята как тело его партии. При этом оказавшийся
изолированным бензиновый объем неизбежно попадет в ре¬
зервуары с дизельным топливом и испортит его качество. Объ¬
ем перемешавшихся нефтепродуктов в этом примере увели¬
чился в 22 раза.Последствия остановок перекачки нефтепродуктов, отли¬
чающихся плотностью, зависят не столько от продолжительно¬
сти этих остановок, сколько от частоты чередования сегментов
спуска и подъема. Если эти сегменты достаточно коротки, то
растекание нефтепродуктов при остановках перекачки быстро
прекращается, а дополнительное смесеобразование невелико.
Если же трубопровод имеет затяжные спуски или подъемы, то
остановки границ контакта на таких сегментах могут представ¬
лять большую опасность с позиций сохранности качества
транспортируемых топлив. Из сказанного следуют простые
профилактические мероприятия, которые необходимо осуще¬
ствить, чтобы не допустить значительного увеличения смеси
при остановках перекачки. Для этого следует выполнить анализ
крупномасштабного профиля трубопровода на предмет оты¬
скания на нем восходящих и нисходящих сегментов, в кото¬
рых могут образовываться гидравлические затворы, останав¬
ливающие растекание смеси. Суть такого анализа состоит в
выявлении вершин и низин профиля таких, чтобы между каж¬
дой парой местных вершин находилась ровно одна местная
низина, причем разности высот обеих вершин с лежащей ме¬
жду ними низиной должны превышать внутренний диаметр
трубопровода.8.6. Раскладка смеси нефтепродуктовНесмотря на то что общее количество смеси, образую¬
щейся в одном контакте последовательной перекачки нефте¬427
продуктов, невелико, все же умноженное на число циклов, оно
составляет в год внушительную цифру. Поэтому существует
проблема реализации получившейся смеси. Особенно остро
ставится вопрос о смеси нефтепродуктов, принадлежащих к
разным типам моторных топлив, и прежде всего бензинов и ди¬
зельных топлив. Конечно, смесь по завершении перекачки
можно изъять и отправить на последующую переработку. Од¬
нако практика показала, что это не только нерентабельно, но и
неосуществимо по техническим причинам. Поэтому сегодня
как в нашей стране, так и за рубежом установилась практика,
согласно которой смесь нефтепродуктов, образующуюся при
последовательной перекачке, в небольших количествах подме¬
шивают к перекачиваемым нефтепродуктам. Конечно, для это¬
го необходимо иметь достаточный ресурс «чистых» нефтепро¬
дуктов с так называемым запасом качества, чтобы добавление
к ним порций смеси (с соблюдением предельно допустимых
норм) не нарушило товарные свойства перекачиваемых топлив.
Процесс добавления смеси к нефтепродуктам, участвовавшим в
перекачке, нгзывгют раскпадкой смеси.Интегральное содержание нефтепродуктов в смесиСмесь траис1юртируемых tonjchb в той или иной мере рас¬
кладывается по резервуарам с исходными нефтепродуктами,
поэтому важно знать не столько общий объем смеси в пределах
концентраций 0,01-0,99 или длину этой области, а то, как уст¬
роена кривая распределения концентрации и сколько каждого
нефтепродукта содержится в порции смеси. На рис. 8.16
изображены две кривые с,(х) и с.(х) распределения концен¬
трации в смесп. имеющие примерно одну и ту же длину и оп¬
ределяющие примерно равные объемы смеси. Первая кривая
имеет крутой переход от одного нефтепродукта к другому, в то
время как вторая кривая содержит петли, так что концентрация
каждого нефтепродукта в смеси велика.428
Рис. 8.16- К расчету примеси одного нефтепродукта в другомПервую смесь с распределением концентрации С|(х) лег¬
ко разделить сечением х = О на две части с относительно ма¬
лым количеством примеси нефтепродуктов друг в друге; для
второй смеси с распределением с,(х) это сделать нельзя.Введем объемы J,,., примеси первого нефтепродукта во
втором и J,/, второго нефтепродукта в первом. Эти объемыпропорциональны заштрихованным площадям над и под кри¬
вой с(х) распределения концентрации вытесняющего нефте¬
продукта:•кJ./3= S- /[!-c(^)]d4, J3/,=S- |c(4)d^.(8.39)-rtгде S- плоп1адь поперечного сечения трубопровода. Тогда
иетруд1Ю найти сечение, делящее смесь на две части, для ко¬
торого сумма примесей J(x) = Jj^,(x) + J,^i(x) будет наимень¬
шей. Имеем;dx= 01-с(х) -с(х) = 0.429
откуда следует, что сечение х - это такое сечение, в кото¬
ром с(х) = 0,5.Если последовательная перекачка нефтепродуктов ведет¬
ся в безостановочном режиме, то распределение с(х) концен¬
трации определяется формулой (8.25), поэтому величина при¬
меси J|/2 первого нефтепродукта, попавшая за сечение х=0(на рис. 8.16 слева от этого сечения) во второй нефтепродукт,
определяется интегралом;J,„=S [[l-c№ = S1-Ф-<Л1 +Вычислив (методом интегрирования по частям) интеграл,
стоящий в правой части последнего равенства, получимJ^,(x) = 2Pe-""4^.-L11 erfccoч 21у2>/л, (8.40)гдеG)= x/(2L-Pe-°’^), Pe = vL/Kc .Формула (8.40), предназначенная для определения содержа¬
ния какого-либо нефтепродукта в смеси, применяется в расче-
тах раскладки смеси.Если сечение х = О, разделяющее нефтепродукты, прове¬
дено в середине области смеси, то о> = 0, и объем J|/2(0) опре¬
деляется равенствомvn(8.41)430
Сравнивая выражение (8.41) с выражением (8.34) для объема
смеси в симметричных пределах (1-99%) концентрации,получаемV, =6,58.Реи далее:J,/: = J2/I = 1/(6.58V^^) ■ Ч = 0,0857 ■ V,, (8.42)т.е. объем нефтепродукта №1, попавшего в нефтепродукт N92
(верхняя заштрихованная область на рис.8,16), равен объему
нефтепродукта №2, попавшего в нефтепродукт №1 (нижняя
заштрихованная область на рис. 8.16), и составляет *0,0857
объема области их смеси.Минимально допустимые партии нефтепродуктовНетоварную смесь бензина и дизельного топлива обычно
делят на две части: первую - обогащенную бензином, назы¬
вают «легким дизельным топливом;>, вторую - обогащенную
дизельным топливом - «тяжелым беизи1юм». Каждую из двух
частей принимают в отдельные резервуары, называемые смв-
сееыми. По мере поступления нефтепродуктов, в соответствии
с имеющимся у них запасом качества, обе части нетоварной
смеси понемногу добавляют в резервуары с качестве1тыми
нефтепродуктами. Зная объем смеси, образующейся в зонах
контакта последовательно перекачиваемых нефтепродуктов, а
также предельно допустимые концентрации одного нефтепро¬
дукта в другом, можно поставить вопрос о минимально до¬
пустимых объемах партий нефтепродуктов, объемы которых
обеспечивали бы полную раскладку всей смеси.Для определенности рассмотрим последовательную пере¬
качку партии бензина (Б) между партиями дизельного топлива431
(Д), рис. 8.17, Объем партий бензина обозначим V^g. В начале
и конце партии бензина образуется ее смесь с дизельным топ¬
ливом, объем которой обозначим V^,,Рис. 8.17. Раскладка смеси нефтепродуктов в одном из нихЧтобы не допускать пересортицы нефтепродуктов, необ¬
ходимо объем партии бензина сохранить неизменным.
Это можно сделать, если половину V^/2 объема смеси в голо¬
ве партии и половину V^/2 объема смеси в хвосте партии до¬
бавить к бензину. При этом, конечно, в бензиновую партию
попадет некоторое количество 2 Jдyg примеси дизельного топ¬
лива, где Jjyg определяется равенством (8.42). Тогда концен¬
трация 6д дизельного топлива в партии бензина определяется
равенствамиVV V V2-0,0858-^ = 0,172пБVпБVпБпБЕсли теперь потребовать, чтобы ко1тцентрация 0^ дизель¬
ного топлива в бензине не превышала некоторой предельно
допустимой величины Кд/g , то объем партии бензина,разрешенный к последовательной перекачке в контакте с ди¬
зельным топливом, должен удовлетворять неравенствам;432
- Кд/Б0,172—^<КVл/sпБИЛИкД/Б(8.43)где объем смеси рассчитывается по формулам (8.34)-
(8.36).Аналогично для партий дизельных топлив, перекачивае¬
мых в контакте с бензинами, имеем:КБ/Д(8.44)где - объем партии дизельного топлива, разрешенный к
перекачке в контакте с бензином; Kg/д - предельно допусти¬
мая концентрация бензина в дизельном топливе.В табл. 8.3 представлены ориентировочные значения пре¬
дельно допустимых концентраций одних нефтепродуктов в
других [16 .Таблица 8.3Нефтепродукт11 р сд с л ь но д 0 п УСТИ мы е ко н цс нтрацииАи 80Л3КТрТРДБензин Аи 801,000Э.00150,00200,00500,0100Дизельное топливо лсгнее (Л)0,00151,0000,00500,00500,0100Ди!К^1ьное тсплию зимнее (3)0.00200,5500U0000,10000,0500Керосин тоакторный fKTp)0.03000,01500,03001,000-Топливо для реактивных
двигателей (ТРД)----1,000Более подробно этот вопрос рассматривается в специальных
монографиях и руководствах по последовательной перекачке
нефтепродуктов, а также в отраслевых стандартах.433
8.7. Годовое число циклов последовательной перекачки,
необходимая вместимость резервуарного паркаПродолжительностью Т„ цикла перекачки или ее перио¬
дом называют интервал времени между началом закачки в
трубопровод серии партий нефтепродуктов, формируемых в
соответствии с правилами п. 8.1, и началом закачки очередной
серии из таких же партий. Например, если последовательно
перекачиваются только бензины и дизельные топлива, то про¬
должительность цикла равна сумме продолжительностей за¬
качки всех сортов беизина и продолжительностей закачки всех
сортов дизельного топлива. Годовое число циклов после¬
довательной перекачки связано с продолжительностью
цнкла перекачки формулой(8.45)Цв которой 8400 - норматив1юе число часов годовой работы
иефтепродуктопровода.Пусть G,,G,,...,G„-массовые грузопотоки первого, вто¬
рого и т.д. нефтепродуктов в год, р,,р,,...,р,, -плотности неф¬
тепродуктов, V„,,V^_,,,..,V„„ - минимально допустимые объе¬
мы партий нефтепродуктов, достаточные для раскладки всего
объема образовавшейся смсси. Тогда максимально возможное
число Ny циклов перекачки определяется равенством- minG,/p, G./p; G„/p,
Ч. ’ ’ ’(8.46)434
где определяются согласно правилам (8.43), (8.44). Так,например, если речь идет о перекачке бензина и дизельного
топлива с минимальными запасами качества, имеем:N.. - mill'Ge/Рб ^д/Рд
100-V, ’ 85’У.Необходимая вместимость резервуарного паркаВместимость резервуарного парка, необходимого для
обеспечения технологического процесса последовательной пе¬
рекачки, определяется производительностью нефтепродукто-
провода, номенклатурой транспортируемых нефтепродуктов и
годовым числом циклов перекачки. В соответствии с самой
сущностью технологии последовательной перекачки резерву-
арный парк головного, конечного или промежуточных объек¬
тов нефтепродуктопровода должен быть таким, чтобы обеспе¬
чивать накопление одних нефтепродуктов, пока другие закачи¬
вают в трубопровод. Очевидно, чем больше годовое число цик¬
лов перекачки, тем меньше требуется резервуарной емкости,
поэтому, казалось бы, нужно увеличивать число циклов пере¬
качки. Однако, чем больше циклов перекачки, тем больше об¬
щий объем образующейся смеси и тем больше должны быть
партии нефтепродуктов, необходимые для ее раскладки.Вместимость резервуарного парка головной перекачи¬
вающей станции (I'llC) рассчитывается следующим образом.
Пусть (м^/ч) - скорость поступления к-го нефтепродукта
в резервуары ГПС, а Q(m /ч) - скорость его откачки трубопро¬
водом. Обозначим также искомую вместимость резервуарного
парка ГПС для данного нефтепродукта через (м^). Анализначнем с момента, когда резервуарный парк заполнен к. -м
нефтепродуктом и начинается закачка последнего в трубопро¬
вод. Поскольку отбор нефтепродукта из резервуаров ведется с435
расходом Q и в то же время резервуары пополняются с расхо-
лом , то время, за которое резервуары с этим нефтепродук¬
том опорожнятся, равно В остальную часть вре¬
мени [Ty-Vp^/(Q-fij] цикла, когда в трубопровод закачива¬
ют другие нефтепродукты, происходит накопление к-го неф¬
тепродукта с интенсивностью Qj. Отсюда следует уравнение;чQ-a,которое позволяет установить выражение для :(8.47)Величина , определяющая суммарный объем к -го неф¬
тепродукта, поступившего в резервуарный парк ГПС за время
никла, представляет собой объем партии этого нефтепродукта,
поэтому ее можно выразить через грузопоток и годовое
число N,, циклов:ПКроме того, скорость поступления к -го нефтепродукта в
резервуары ГПС можно выразить через грузопоток этого неф¬
тепродукта: =(Gi/Pj.)/8400 , поэтому расчетный объем
Vp,^ резервуарной емкости, предназначенной для к -го нефте¬
продукта, может быть представлен в виде формулы436
G„/p/NЦ1-GJfv ''8400•QjHa практике, однако, в полученную формулу вводят по¬
правочный коэффициент к„р„ , учитывающий неравномер¬
ность работы нефтепродуктопровода, а также коэффициент
Л,|„г > учитываюишй неполноту использования резервуарной
емкости с к -м нефтепродуктом, Поэтому формула для
вместимости части резервуарного парка, предназначеннойдля к- го нефтепродукта, приобретает вид:\! — "РЧ^рк “Г л нот, кGx/PiN..1-8400 • Qуа общая вместимость всего резервуарного парка ГПСнаходится суммированием по числу п нефтепродуктов:pJ'tlCкNЛ8400-Q(8.48)Коэффициент к„р, принимается обычно равным 1,15 4-1,30, а
коэффициенты -0,80-0,85.8.8. Особенности гидравлических режимов
перекачки нефтепродуктов с различными свойствамиОтличительная особенность последовательной перекачки
нефтепродуктов от перекачки однородных жидкостей состоит
в транспортировке по трубе одновременно не одной, а не¬
скольких жидкостей с различными плотностями и вязкостями.437
Поскольку при этом проксходит взаимное замещение жидко¬
стей, то рассматриваемый процесс, строго говоря, не является
стационарным и, значит, уравнение Бернулли неприменимо.
Тем не менее в длинных трубопроводах замещение одной
жидкости другой происходит достаточно медленно, поэтому
инерционными составляющими в уравнении (1.16), гл. 1, мож¬
но пренебречь и происходящий процесс в каждый момент
времени рассматривать как стационарный, иными словами,
взаимное замещение жидкостей рассматривать как последова¬
тельную смену стационарных состояний. Такие «медленные»
процессы называют обычно квазистационарными.Однако даже при таком допущении уравнение Бернулли
нуждается в обобщении, поскольку различие плотностей
транспортируемых жидкостей порождает гидравлические эф¬
фекты, которых нет при транспортировке однородных жидко¬
стей. Такие обобщения даны в настоящем параграфе.Обобщенное уравнение БернуллиПринимая процесс взаимного замещения жидкостей с от¬
личающимися свойствами квазистационарным и пренебрегая
протяженностью 1^ области смеси между отдельными пар¬
тиями, рис.8.18, запишем уравнения Бернулли для участков
(XpXj и (x^,xj) трубопровода, занятых соответственно вто¬
рым и первым нефтепродуктами:+ Z,УРгёlP,gfч/■/_Pj_Pzgр|ё+ z.У\+ z.(8.49)438
где рт.р,,-плотности вытесняющего и вытесняемого нефте¬
продуктов, соответственно; - потери напора на уча¬
стках, занятых нефтепродуктами; - высотная отметка про¬
филя трубопровода в сечении контакта партий (середине об¬
ласти смеси); р, - давление в этом сечении.а.(Р2 >Pl)5^1б.\lp2<Pl)Рис. 8.18. Скачки напора на границе контакта нефтепродуктовИсключив из этих уравнений высотную отметку , по¬
лучим обобщенное уравнение Бернулли для рассматриваемого
случая:(8.50)Особенность этого уравнения состоит в том, что разность
(Н| -Н,) напоров между началом и концом участка не равна
потерям напора h,., на этом участке, поскольку содержит еще
одно слагаемое [н , называемое скачком напора в месте кон¬
такта жидкостей с разной плотностью. Если плотность вытес¬439
няющего нефтепродукта больше плотности вытесняемого
нефтепродукта (т.е. р, - Pi > О), то скачок напора [н] > О, сле¬
довательно, в сечении х = х^, линия гидравлического уклона
скачком поднимается на [н] м, рис. 8.18 а; если же плотность
вытесняющего нефтепродукта меньше плотности вытесняемо¬
го нефтепродукта (т.е. р, -р, <0), то скачок напора [н]<0,
следовательно, в сечении х = х^, линия гидравлического ук¬
лона скачком опускается на [Н м, рис. 8.18 б.Таким образом, в случае движения на участке трубопро¬
вода партий нефтепродуктов, отличающихся друг от друга
плотностью, линия гидравлического уклона не является не¬
прерывной линией: в сечениях контакта партий существует
скачок напора, положительный или отрицательный в зависи¬
мости от порядка следования жидкостей. Величина этого скач¬
ка изменяется по мере движения нефтепродуктов от начала
участка к его концу - как правило, она наибольшая в начале
участка, где давление р^ велико, и наименьшая в конце участ¬
ка, где давление р^ ма;ю.Конечно, с учетом протяженности области смеси, напор
Н(х) изменяется постепенно от значения Н[.‘* в начале облас¬
ти смеси до значения а ее конце. Однако протяженностьобласти смеси мала по сравнению с протяженностями партий
нефтепродуктов, поэтому вполне обоснованно говорить оскачкахн]= - Н|. * напора на границе контакта партий.Уравнение баланса давлений для участка трубопроводаПоскольку не напор Н(х), а давление р(х) при взаимном
замещении нефтепродуктов изменяется непрерывно, то для
гидравлических расчетов последовательной лерекачки удобно
использовать не уравнение баланса напоров, а уравнение 6а-440
ланса давлений. Исключив из системы уравнений (8.1) давле¬
ние в месте контакта партий, получим искомое уравнение:где (Q) = p,g-h,.jQ) + p,g’h^_,{Q)- потери давления на
рассмат}>иваемом участке трубопровода. В пренебрежении
потерями напора на местных сопротивлениях величины h,^ иобозначают здесь потери напора на трение соответствен¬
но на участках (x^xj и (х^.,х^):1/ .(8-52)d P,gгде ;/5.2 - протяженности этих участков. Если скорость v
перекачки равна О, то Q = 0 и h] ^ = Ь,., = О. а (8.51) перехо¬
дит в известную гидравлическую формулу для сообщающихся
сосудов.Уравнение (8.51) служит для определения скорости v пе¬
рекачки (или расхода Q), в то время как уравнение (8.50) - дляопределения давления р^ в месте контакта нефтепродуктов.Пример. По участку нефтепродуктопровода (L = 125 км,
D = 530x8 мм. Д = 0.25 мм) ведется перекачка дтельного
топлива (рд =840'кг/м\ Уд =9 cCwj и бензина (рд =750 к^’/м\
Уд = 0,6 сСт) так. что давленые на выходе станции равно
5,5 МПа. Рассчитать производительность перекачки в тот441
момент, когда граница контакта между вытесняющим ди¬
зельным топливом и вытесняемым бензином находится в
40 км от станции, если высотные отметки начала и конца
участка равны 50 и 120 м. соответственно, а середины об¬
ласти контакта нефтепродуктов - 80 м. Давление в конце
участка трубопровода равно 0.2 МПа. Принять, что само¬
течные участки в трубе отсутствуют, а потерями на мест¬
ные сопротивления можно пренебречь.Расчет. Для расчета используем уравнение (8.51). Под¬
ставив в него исходные данные, получим;(5,5 - 0,3) • 10‘ = 840 • 9,81 • (80 - 50) + 750 • 9,81 • (l 20 - 80)+, 40000 840’V- , 85000 750-v^+ Лл — 4- Лг- ^0,514 2 ^0,514 2ИЛИу^.(7,02Х.д-МЗ,За,)=].Это уравнение решается методом последовательных при¬
ближений. В первом приближении полагается =0,020 ,= 0,020, тогда из уравнения следует: = 0,598 м/с.Вычисляются числа Рейнольдса:Re'|’ = 512287, ReJ’ = 34152и затем коэффициенты гидравлического сопротивления:= 0,0174 < - 0,0245 > Xj'.Во втором приб.пижении полагаем: Xg^^ = 0,0l74 ,= 0,0245, тогда из уравнения следует: = 1,574 м/с.Вычисляются новые числа Рейнольдса:Re[f’ = 1348393, ReJj-’ = 89893и затем коэффициенты гидравлического сопротивления:Х1/> = 0,0167 < Х^б’’Д? = 0-0207 < Хр.442
в третьем приближении полагаем: 0,0167 ,Xj* = 0,0207 , тогда из уравнения следует: = 1,649 м/с.
Вычисляются новые числа Рейнольдса;= 1412643, Rcjj-' =94176
и затем - коэффициенты гидравлического сопротивления:
4''' = 0,0167 S = 0,0205 S .Ограничиваясь третьим приближением, имеем:
v‘^'=l,649 м/с или QSI231 mVh.Циклограмма процесса замещенияДавление р, в линии нагнетания перекачивающей станции
можно представить в виде суммы р„ давления перед станцией
и дифференциального давления Др„ = р,-р„ =f(Q), созда¬
ваемого насосами станции:Р| =P„ + f(Q),где Др„ =f(Q) - характеристика (p-Q) станции, тогда урав¬
нение (8.51) баланса давлений записывается в следуюи1см
виде:fw=p2-p« + Р;ёк. -Z,)+p,g(z; -ZJ+p.g■ h,^, + P,g-■ (8,53)Однако в отличие от (H-Q)* характеристики перекачи¬
вающей станции в случае р, ее (p-Q)- характеристикаразлична для различных нефтепродуктов. Поэтому графиче¬
ская интерпретация решений уравнения (8.53) для различных
стадий взаимного замещения нефтепродуктов, отличающихся443
плотностью, имеет более сложную форму, чем в случае пере¬
качки жидкостей с одинаковой плотностью. На рис. 8.19 пред¬
ставлена циклограмма вытеснения одного нефтепродукта
другим.r^(Q)f^(Q) Pj-Pr,+P2g(5:,-z,)+pi8(zj-zЯ>1 (Q)Q. QcQa Qa 0Рис. 8.19. Совмеп(енные характеристики перекачивающей
станции и участка трубопровода в процессе замещениянефтепродуктовПусть, например, нефтепродукт NqI, находившийся пер¬
воначально в трубе - это бензин (Б), а вытесняющий нефте¬
продукт №2 - дизельное топливо (Д), Рт > > v,. На ри¬
сунке (p-Q)-характеристика перекачивающей станции при
перекачке дизельного топлива представлена верхней кривой
ip = f5(Q). а при перекачке бензина - нижней кривой
Ap = f^^(Q). Если участок трубопровода полностью заполнен
бензином, то (р ^Q) • характеристика участка представляется444
нижней кривой <р^ (Q)i ссли же он полностью заполнен ди¬
зельным топливом - верхней кривой (Q).Первоначально на участке трубопровода находится бен-
•iMH и насосы станции также работают на бензине, поэтому ра¬
бочая точка системы есть точка А . При смене нефтепродукта
характеристика (p-Q) перекачивающей станции изменяетсяс С (Q) на f,^(Q), а характеристика трубопровода остается
прежней, поскольку участок трубопровода по-прежнему за¬
полнен бензином. В результате рабочая точка системы скач-
ком перемещается из положения А в положение В, причем
давление на стаиции так же скачкол1 увеличивается от значе¬
ния рд до значения рц, а расход перекачки - от значения Рддо значения .По мере замещения бензина дизельным топливом правая
часть уравнения (8.53) непрерывно увеличивается за счет уве¬
личения потерь наиора при переходе от менее вязкого к более
вязкому нефтепродукту. Рабочая точка системы непрерывно
перемешается из положения В в положение С, при этом дав¬
ление на станции увеличивается от рц до р;... а расход умень¬
шается от значения до значения , Когда весь трубопро¬
вод оказывается заполненным дизельным топливом, давление
на станции равно р^, а расход - .При смене дизельного топлива бензином рабочая точка
системы вторично скачком перемещается из положения С в
положение D , при этом давление и расход скачкообразно
уменьшаются, затем по мере замещения дизельного топлива
бензином рабочая точка системы медлетю смещается из по¬
ложения D в положение А . После этого цикл повторяется.Таким образом, в процессе вытеснения одного нефтепро¬
дукта другим давление на станции и расход перекачки посто¬
янно изменяются.445
Смены нефтепродуктов на перекачивающих станциях со¬
провождаются возникновением воли давления (сжатия или
разрежения), распространяющихся от станций вверх и вниз по
течению.Перманентный дрейф рабочей точки может иметь также
отрицательное последствие в отношении потребления элек¬
троэнергии: в определенных случаях рабочая точка выходит из
диапазона, в котором значения коэффициента полезного дейст¬
вия насосов максимальны, поэтому насосы потребляют энергии
больше, чем следует. Решением проблемы может служить ис¬
пользование насосов с регулируемым числом оборотов.Уравнение баланса давлений для трубопровода
с промежуточными перекачивающими станииямиРассмотрим теперь уравнение баланса давлений для всего
трубопровода, когда в нем находятся несколько партий неф¬
тепродуктов (для определенности, двух), отличающихся плот¬
ностью и вязкостью [7], рис. 8.20.гпсПС-2ПС-3ПС - 4nC-Nх;'Хпс.2 х;' Хпс., X- XПС-4 Xnc.N Xj XРис. 8.20. Положение партий нефтепродуктов в трубопроводе
с промежуточными перекачивающими станциями446
присвоим нефтепродукту, закачиваемому в трубопровод
на ГПС, номер 2. тогда нефтепродукты номер 2 и номер I, от¬
личающиеся плотностью и вязкостью, чередуются в трубо¬
проводе от самого начала (x„,z„) до конца (x^,zj; считается,
что границы партий и высотные отметки этих границ(j = I,2,3,...m) известны.Запишем уравнение (8,51) баланса давлений для каждого
участка трубопровода. Имеем;Pni+frc-,(QyP„.+fnc-.(Q)P„3 + fnc-3 (Q)= Pjg(zl'’-ZnTc) + P,g(znc.3-zi’’)+¥’i?(Q)-
= Р|ё(4'’ - ZnC-2 ) + P’g (znc-j - zi'’ ) -I- (0),Pn2РпЗPn. =P2glZr-Z„C-3 +Plg_P,.N+fn^N(Q)]”PK =P^e(zl™’-Znc-N) + P|g(z„-4"'') + <3?HQ)'где a„ - номер нефтепродукта, перекачку которого в настоя¬
щий момент ведет N-я перекачивающая станция; т- номер
границы контакта на последнем участке трубопровода. Как и в
случае транспортировки однородной жидкости (см. н. 4.5 гл. 4),
получена система N уравнений для определения N неизвест¬
ных: расхода Q и (N-l)-ro давлений Pn2.Pn3>- ',Pn,N.i подпораперед станциями.Сложив почленно уравнения системы, получим уравнение
баланса давлений для всего трубопровода;ZfnbjQ)-P. -Р,,) +P2g(4'’-Zrnc)+£pB,g(='i'*'’'2l'’)+ss|(8.54)447
гле j - порядковый номер границы контакта нефтепродуктов
с различной плотностью; - номер того нефтепродукта, ко-торып находится на участке < х < трубопровода; s-
номер участка трубопровода между ПС; - номер того неф¬
тепродукта, перекачку которого ведет s - я станция.В уравненне (8.54) входит только одна неизвестная вели¬
чина - расход Q перекачки. Это уравнение легко решается
методом итераций, неоднократно исполь:^ованным выше. По¬
сле того, как расход перекачки найден, из уравнений системы
определяются неизвестные заранее давления подпора перед
станциями.Следует отметить, что в процессе замещения одного неф¬
тепродукта другим подпор перед той или иной станцией мо¬
жет стать меньше минимально допустимого значения, поэто¬
му необходимы меры, предотвраи1аюише возникновение ка¬
витации. Как пpaвиJЮ, для этой цели используется дроссели¬
рование, иными словами, частичное прикрытие заслонки, ус¬
тановленной между основными насосами.Нефтепродуктопроводы с огводамиНа участках магистральных нефтепрояуктопроводов, как
правило, существуют отводы. Эти отводы ведут к нефтебазам,
тяготеющим к районам пролегания трубопровода, и предна¬
значены для снабжения путевых гютребителей различными
видами моторных топлив. На участке нефтепродуктопровода
может быть один или несколько отводов; протяженность от¬
водов может составлять от нескольких сотен метров до не¬
скольких десятков кило.метров. Отводы делают, как правило,
двухниточными (одна труба для бензина, другая - для дизель¬
ного топлива); диаметры труб колеблются от 156 мм до 219 мм.448
Отводы работают не постоянно, а включаются на тот про¬
межуток времени, который достаточен, чтобы взять из магист¬
рального трубопровода запланированное количество топлива.
Периодические включения и отключения отводов приводят к
тому, что гидравлическая конфигурация нефтепродуктопрово-
да постоянно меняется в зависимости от того, работают или не
работают отводы, а если работают, то в каком сочетании.Пусть на участке нефтепролуктопровода имеется п отво¬
дов, рис. 8-21. Обозначая каждый из возможных вариантов
включения отводов гюсрсдстном п - мерного вектора, состоя¬
щего из единиц и нулей, например (1,0,0,1,1>0), где I означает,
что соответствующий отвод включен, а О - что он выключен,
можно установить, что сумма всех возможных вариантов рав¬
на 2":С? + С‘ + С:III)'и+ С" =2".Здесь С"- число сочетаний из п ио m (m<ii), определяю¬
щее число различных способов включить m отводов из п
име!0щихся на участке трубопровода. Как известно, сумма
биномиальных коэффииисн'юв равна 2".ВЧ1кQXq-’XКРис. 8.21. Участок трубопровода с 3-мя отводами449
Так, например, если на участке нефтепродуктопровода
имеется 3 отвода, то существует 8 способов их включения:
(ОДО), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (1,0,1), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1),
рис,8.21. Если отводов 4, то существует 16 способов их вклю¬
чения, если 5, то - 32 и т.д.Каждому варианту включения отводов отвечает своя соб¬
ственная гидравлическая характеристика участка, поэтому
вместо одной (p-Q)- характеристики участка существуетровно 2" таких характеристик и, следовательно, 2" рабочих
точек для каждого нефтепродукта. Так, например, для участка
трубопровода с 3 отводами, изображенного на рис. 8.21, для
каждого нефтепродукта имеется 8 рабочих точек, каждая из
которых определяет режим работы рассматриваемого участка,
рис. 8.22.(и,1)Рис. 8.22. Рабочие точки участка трубопровода с отводамиРасчет нефтепродуктопровода с отводами легко реализу¬
ется в рамках итерационного алгоритма, изложенного в п. 4.2
гл. 4, если только дополнить его правилом расчета сегмента
трубопровода, содержащего отвод. Пусть такой сегмент
[x|^-i,xj расположен между двумя последовательными сече-450
ииями Х|, I и Xi. трубопровода, рис. 8.23. Профиль АВ тру¬бопровода на сегменте тголагастся прямолинейным, идущим
от высотной отметки Zy , до высотной отметки z,^. В сечении
к трубопроводу присоединен отвод, имеющий внут-X = Xк Iренний диаметр d^, и протяженность ,СQ,Рис. 8.23. Сегмент трубопровода с отводомЗадача формулируется следующим образом: как по из¬
вестным значениям расхода и напора Н,, в сечении х^
трубопронода найти расход Qj,, и напор , в предыдугцем
сечении х,^ ,, если в этом сечении к трубопроводу присоеди-
иен отвод с uieecmnoii длиной , диаметром d^, и высотной
отметкой z^,, его конца?Алгоритм решения. Поскольку в сечении х^ известны
расход Qt и полный напор , то сначала рассчитывается
напор Н|^_, в предыдущем сечении х^._, трубопровода. Для
этого:451
рассчитывается скорость перекачки;
л ■ □рассчитывается число Рейнольдса:
v.dRe,Vрассчитывается коэффициент =^(Re,^,e) гидравличе¬
ского сопротивления по форму;гам (1.35)-(1.39) гл.1;рассчитывается гидравлический уклон (тангенс угла
наклона линии CD гидравлического уклона):* d 2g ’рассчитываются потери напора ДИ, на сегменте х^_|,х,,]
трубопровода:= Н^ , —= iy -(xj “Xj_|),рассчитывается напор в сечении ,:н,.,=н, + дн,.Затем рассчитывается расход Яог "''от нефте¬продукта в отводе, Для этого относительно решается
уравнение БернуллиРотн.-,-Z.T.+РоёуI Vот2gгде - давление в конце отвода (например, р^^ =Ратм.); Рп “
плотность того нефтепродукта, которым заполнен отвод, или
равносильное ему уравнение2gd„,^от '’от.ОТ./ чV+—^ Рвё ^(8.55)причем правая часть этого уравнения известна.452
Решение уравнения (8.55) так же осуществляется итера¬
циями.1-я итерация: полагается равным 0,02. Из уравнения(8.55) вычисляется скорость :v'‘' =ОТ.2gciот.(1)or./Н.-,-этPug/рассчитывается число Рейнольдса;j^giDОТ.по и определяется режим течения нефтепродукта
в отводе и в соответствии с этим рассчитывается коэффициент
гидравлического сопротивления жидкости в отводе:если<10 то итерационный процесс заканчи¬
вается; в противном случае осуществляется2-я итерация: полагается равным . Из уравнения(8.55) вычисляется скоростьv<^t =ОТ2gd„.II(2)ОТнк Iот.рассчитывается число Рейнольдса в отводе: .Vпо значениям ReJ^'' и е^, определяется режим течения
нефтепродукта в отводе, в соответствии с которым рассчиты¬
вается коэффициент гидравлического сопротивления жид¬кости в отводе: если<10-3то итерационныйпроцесс заканчивается; в противном случае осуществляется
третья итерация и т.д.453
Как результат итерационного процесса находится ско-f К)рость , где К- номер последней итерации, и рас¬ход жидкости в отводе.Рассчитывается расход Q;^_, нефтепродукта в трубопро¬
воде в сечении х^.|: Qk.| =Qi.Поскольку в сечении х^_, рассчитаны расход ,, напор
J и давление р^ ,, то можно перейти к расчету расхода,
напора и давления в сечении Xj.,,, как это было сделано для
сечения х^,,.454
список ЛИТЕРАТУРЫ1 A.iuee P.А., Белоусов В.Д., Немудрое АТ. и др. Трубопровод¬
ный транспорт нефти и газа. М.: Недра, 1988. - 386 с.2. Адоевский Л.В. Моделирование работы нефтепроводов, обо¬
рудованных системами сглаживания волн давления. Канд.
дисс. РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2011. - 170 с.3. Архангельский В.А Расчеты неустановившегося течения в
открытых водотоках. М.: АН СССР, 1947. - 136 с.4. Воеводин А.Ф. Шугрин С.М. Методы решения одномерных
эволюционных систем. Новосибирск: В,О. Наука, 1993. -
365 с.5. Гинзбург И.П. Прикладная гидрогазодинамика, Л.; Изд.
ЛГУ, 1958,- 337 с.6. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивле-
ниям/Под ред.М.О.Штейнберга. - 3-е изд., перераб, и доп.
М.: Машиностроение, 1992, - 672 с.7. Иишухаметов И.Т.. Исаев С.Л., Лурье М.В., Макаров С.П.
Трубопроводный транспорт нефтепродуктов. М.; Нефть и
газ, 1999, -299 с.8. Ко.чтков Л.Г. Центробежные насосы магистральных неф¬
тепроводов. М.: Недра, 1985. - 216 с,9. Лейбензон Л.С.. Ви.1ькерД.С., Шумилов П.П., Яблонский B.C.
Гидравлика. Издание 2-е, М.-Л.-Н.: Госгоргеолнефтеиздат,
1934.-370 с.10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,
1987.-803 с.И, Лурье М.В., Астрахан И.М., Кадет В.В. Гидравлика и ее
приложения в нефтегазовом производстве. М.: МАКС
Пресс, 2010.-332 с.12. Лурье М-В. Задачник по трубопроводному транспорту неф¬
ти, нефтепродуктов и газа. М.; ООО Недра - Бизнесцентр,
2003; Изд-е 2-е, исправленное и переработанное. М.: МАКС
Пресс, 2011. - 378 с.455
13. Лурье М.В. Математическое моделирование процессов тру¬
бопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. М.:
ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И,М. Губ¬
кина, 2003. - 335 с.14. Марон В.И. Гидродинамика однофазных и многофазных
потоков в трубопроводе: Учебное пособие. М.: МАКС
Пресс, 2009. - 344 с.15. Новоселов В.Ф.. Гольянов АЛ, Муфтахое Е.М. Типовые
расчеты при проектировании и эксплуатации газопроводов.
М.: Недра, 1982.-276 с.16. Оптимизация последовательной перекачки нефтепродук¬
тов (Лурье М.В., Мацкин Л.А., Марон В.И., Юфин В.Д.,
Шварц М.Э). М.: Недра. 1979. - 256 с,17. Седов Л И. Методы подобия и размерности в механике.
М.: Наука, 1965. - 386 с.18. Янке £., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Форму¬
лы, графики, таблицы. М.: Наука, 1964, - 344 с.19. Тихонов А.Н.. Самарский А.А. Уравнения математической
физики. М.: Наука. 1966.-724 с.20. Трубопроводный транспорт нефти (Васильев Г.Г., Короб¬
ков Г.Е., Лурье М.В. и др.). Под ред. С.М. Вайнштока: Учеб.
для вузов, М.:000 Недра-Бизнесцентр, 2002. -т, 1,407 с.21. Трубопроводный транспорт нефти и газа. Под ред. проф.
В.А. Юфина. М.: Недра. 1978, -407 с.22. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964.23. Чарный И.А. Неустановившсеся движение реальной жид»
кости в трубах. Изд. 2-е, М.: Недра, 1975. - 296 с.24. Dodge D.W., Metzner А.В. Turbulent Flow of Non-Newtonian
Systems.//-AIChE Journal, №2, pp. 189-204.25. Lurie M.V. Modeling of Oil Product and Gas Pipeline Trans¬
portation//- WILLEY-VCH VerlagGmBH&Co, 2008.-214 p.26. Taylor 0. Proc. Roy.-Soc. s//A.VoI.2!9, № 1 137. 1953;Proc. Roy. -Soc. s// A.Vol.223. № 1 155. 1954.456
ЛУРЬЕ Михаил Владимирович -доктор технических наук, профессор
Российского государственного универ¬
ситета нефти и газа имени И.М. Губ¬
кина, родился в 1941 году в Москве.В 1963 г. окончил Механико-матема-
тический факультет МГУ по специаль-
ности “ гидромеханика, в 1966 г. - ас¬
пирантуру МГУ. С 1969 г. “ кандидат
физико-математических наук, с 1979 г. ^
доктор технических наук.Работает в РГУ нефти и газа имени
И.М. Губкина с 1966 года. Область научных интересов - гид¬
ромеханика, гидравлика, подземная гидромеханика, механика
трубопроводного транспорта нефти и газа.Автор 260 научных работ, в т.ч. 9 монографий и учебников,
десятков учебных пособий, 21 патента на изобретение. Подго¬
товил 33 кандидата наук. Лауреат премии имени академика
И.М. Губкина (1975), Заслуженный деятель науки Российской
Федерации (2005).
Учебчос пособиеЛурье Михаил ВладимировичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ТРУБОПРОВОДНОГО ТРАНСПОРТА
НЕФТИ, НЕФТЕПРОДУКТОВ И ГАЗА