ISSN 0869-5032
ПМТФ
6 ДЕКАБРЬ	2004
ПРИКЛАДНАЯ
МЕХАНИКА
И ТЕХНИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН
НОВОСИБИРСК
144
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, № 6
УДК 539.374
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ПРИ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МИЗЕСА — ШЛЕЙХЕРА
А. М. Коврижных
Новосибирский военный институт, 630117 Новосибирск
E-mail: akovr@sibmail.ru
Для плоского напряженного состояния получены системы уравнений пластичности для
напряжений и скоростей, основанные на критерии Мизеса — Шлейхера. Установлены
области эллиптичности и гиперболичности этих систем, определены предельные на-
пряжения и направления разрушения, которые отождествляются с характеристиками
уравнений для поля скоростей. Получено хорошее согласование с результатами экспе-
риментов на пластичных и хрупких материалах.
Ключевые слова: пластичность, разрушение, гиперболичность, критерий прочности
Мизеса — Шлейхера.
В теории пластичности металлов наиболее распространенным является критерий Гу-
бера — Мизеса, согласно которому при достижении предела текучести интенсивность
касательных напряжений в материале принимает постоянное значение. Простота мате-
матической формулировки, последующее энергетическое обоснование и опытная проверка
показали преимущество этого критерия перед другими для пластичных металлов [1, 2].
Однако для хрупких металлов и горных пород наибольшее распространение получил кри-
терий прочности Кулона — Мора [2-8].
Для хрупких материалов обобщение этого критерия, предложенное Шлейхером и по-
лучившее дальнейшее развитие в работах Надаи, утверждает, что при пластическом те-
чении или разрушении твердых тел интенсивность касательных напряжений в материале
является определенной функцией среднего нормального напряжения [1, 2]. Пластические
деформации для критерия Мизеса — Шлейхера можно определять на основе ассоцииро-
ванной и неассоциированной моделей [3-6].
Для произвольного напряженного состояния критерий Мизеса — Шлейхера имеет вид
Т + /За = к,	(1)
где к — сцепление; /3 — коэффициент внутреннего трения; а = (ах + ау + az)/3 — среднее
нормальное напряжение; Т = [(ах — az)2 + (ах — ау)2 + {ау — az)2 + 6т2у + 6т2г + &т2г]1^2 / VQ —
интенсивность касательных напряжений.
В пространстве главных нормальных напряжений а±, <72, <73 условие пластичности
(прочности) Мизеса — Шлейхера представляет собой круговой конус с вершиной на гид-
ростатической оси. Обозначим <7о координату вершины конуса (од = <72 = <73 = сто). Если
в пластической области к и (3 являются постоянными величинами, то они могут быть
определены по результатам двух экспериментов, например на растяжение и сжатие. Обо-
значим <7t, <7С и лэ пределы пластичности (прочности) при растяжении, сжатии и сдвиге
соответственно. Если экспериментально определены од и <7С, то из (1) имеем
о	1	2 Ocat	,	2 <7c(7f	. .
Р = V 3 —-—,	к = —=--------, то = к, ао =  -------------.	(2
ос + Ot	V3 <7С + <7t	3 <7С — at
А. М. Коврижных
145
Для более точного прогноза направлений разрушения следует учитывать, что харак-
теристики материала к и (3 на пределе прочности могут отличаться от их значений в
пластической области и зависеть от величины нормального напряжения ст.
Для плоского напряженного состояния при 02 = &у — 0 критерий Мизеса — Шлейхера
в главных осях напряжений имеет вид
<71 - СГ1<73 + <7д = (\/Зк - /?(<71 + сгз)/\/3)2.	(3)
Введем для удобства вспомогательную систему координат s,t (рис. 1), связанную с
биссектрисами первого и второго квадрантов:
s = (<71 + <7з)/\/2, i = (сгз - 6Г1)/л/2.
В этой системе координат условие (3) существенно упрощается:
(1-4/?2/3)s2 + 3t2 + ^V2k/3s = 6к2.	(4)
Сцепление к можно определять на основе (2) через пределы прочности при растяже-
нии at и сжатии ас либо через at и коэффициент трения /3. В дальнейшем будем определять
все прочностные параметры через at и (3:
Уравнение (4) представляет собой кривую второго порядка, координаты правой вер-
шины которой определяются значениями
V3 + /3
ai=a3-V^a‘-
Вид кривой (4) определяется значением коэффициента внутреннего трения /3. Если
13	а/3/2, то имеем уравнение эллипса
($ - «о)/«2 + t2/b2 = 1,	(5)
наклоненного под углом 45° к осям координат оу, <73 (см. рис. 1). Центр эллипса и его
полуоси определяются соотношениями
2\/2(3(х/3 +/3)	л/6(ч/ЗН-Х?)	,	/2 V3 + /3
=-----з - 4^ ffl’ “=	3-4/52
При /3 — 0 получаем известный эллипс Губера — Мизеса с центром в начале координат
и полуосями а = \/2<7t, b = -\/2/3at [9]. На рис. 1 эллипсы Мизеса и Мизеса — Шлейхера
обозначены сплошными линиями 2 и 3 соответственно, пунктирной линией 1 здесь и далее
на рисунках показан шестиугольник Кулона — Мора.
Пусть теперь /3 = л/3/2, тогда из (3) имеем ас = 3at- В этом случае (4) представляет
собой уравнение параболы
Координаты вершины параболы определяются при t = 0 и имеют значения: ai = <73 =
3<7t/4. Очевидно, что вершина этой параболы находится ближе к началу координат, чем
вершина эллипса, что не согласуется с условием Кулона — Мора (рис. 2).
Если (3 > \/3/2, то уравнение (4) представляет гиперболу
(s - s0)/a2 - t2/b2 = 1,	(7)
146
ПРИК Л АДНАЯМЕХАНИКАИ ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, №6
Рис. 1. Эллипс Мизеса — Шлейхера в плоскости напряжений ai, <тз
Рис. 2. Парабола и гипербола Мизеса — Шлейхера в плоскости oi, аз
где
2у/2/3(у/3 + /3)	y/6(V3 + /3) L /2 у/3 + (3
“° =	< - 3 at’ а= ЦР-З at’
Гипербола (7) имеет следующие уравнения асимптот:
£ = ±(2/3)У/?2-3/4(5-5о).
Пусть /3 = \/3, тогда координаты вершины гиперболы определяются значениями =
сгз = 2<Jt/3, полуоси а = b = 2\f2at/3, а центр гиперболы находится в точке ст1 — <73 =
fajt/З. Уравнения асимптот в этом случае принимают вид од = 4<7t/3 и <73 — 4<jj/3. На
рис. 2 парабола и гипербола Мизеса — Шлейхера показаны сплошными линиями 2 и 3
соответственно.
Рассмотрим теперь данные опытов Коффина [2] по серому чугуну (рис. 3), а также
Корне и Грасси [2] по модифицированному чугуну (рис. 4). На рис. 3 светлыми кружками
представлены результаты опытов Коффина, сплошными линиями — критерий Мизеса —
Шлейхера, причем в первом, втором и четвертом квадрантах условие (4) представляет
собой параболу (линия 2) при [3 = л/З/2 « 0,866;	= 3<7t, а в третьем квадранте — эллипс
(линия 3) при (3 — 0,373. Основываясь на данных опытов Коффина, примем при одноосном
сжатии величину (3 равной среднему значению для третьего и четвертого квадрантов,
тогда /3 = 0,62. Это значение (3 будет использоваться в дальнейшем для определения
направления плоскости разрушения при сжатии.
Опыты Корне и Грасси проводились на образцах из серого и модифицированного чу-
гуна. Результаты для серого чугуна близки к данным опытов Коффина и поэтому здесь
не приводятся. Результаты экспериментов для модифицированного чугуна представлены
на рис. 4 и также хорошо согласуются с условием (4) при значении /3 = 0,742.
Вышеизложенное позволяет заключить, что критерий Мизеса — Шлейхера лучше,
чем критерий Кулона — Мора, согласуется с результатами опытов в определении напря-
женного состояния, при котором происходит разрушение чугуна. Особенно наглядно это
А. М. Коврижных
147
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 3. Сравнение результатов расчета с данными опытов Коффина для серого
чугуна
Рис. 4. Сравнение результатов расчета с данными опытов Корне и Грасси для
модифицированного чугуна
Z	/	7Г\	z
<71 = <7 ч-----= Г COS (си-------,	(79 = <7------=
л/з	V	зг	уз
\ и /
видно на рис. 3, где приводятся данные экспериментов для третьего квадранта. Этот важ-
ный результат не нашел отражения в существующей литературе, и поэтому наибольшее
обоснование и распространение в работах по пластическому деформированию и разруше-
нию хрупких материалов получил критерий прочности Кулона — Мора в его различных
модификациях [2].
Следуя работе [9], введем угол ш, который характеризует вид напряженного состояния.
Тогда для главных нормальных напряжений можно записать:
гг.	2
Т cos и, <73 - <7 -I—-=Т cos
где ijj определяется по формуле
cos 3cu = — (Зд/З/з)/(2Т ),	1% — sxSySz sxTyZ SyTxz syTXy + 2TXyTxzTyZ.
Здесь sx, Sy, sz — диагональные компоненты девиатора напряжений; Si = c?i — cr, г =
x,y,z. Рассмотрим некоторые виды напряженных состояний. Например, для двухосного
растяжения 2<7i = <73 (обобщенный сдвиг) угол ш = тт/Q, при растяжении си = тг/3, для
чистого сдвига <71 = — <73 и угол а) = 7г/2, а при сжатии си = 2тг/3.
Для плоского напряженного состояния (в направлении 2) из (8) можно найти <7 и далее
из (1) определим Т:
2 _	_ V3k
а = —7= Т cos си, Т - —-=---------.
л/3	л/3 + 2/? cos си
При использовании (9) формулы (8) принимают вид
(71 = 2Т COS (си — 7г/6),	(73 = 2Т cos (си + 7г/6).
(9)
(Ю)
Будем считать, что ось у совпадает со вторым главным направлением тензора на-
пряжений, а ось х образует с первым главным направлением угол в, для которого
148
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, № 6
tg 20 = 2тхгЦ(Ух — Далее с помощью известных формул, используя (10), выразим
компоненты напряжения в произвольной системе координат через функции со и в:
— T(\/3cosw ± sincj cos 20), txz = Т sin со sin 20.	(11)
( &х |
\ CFZ J
Заменяя в (11) выражение для Т его значением из (9), найдем
/ ах \ v3 /с(уЗ cosco ± sin cucos20)	v3 к sin co sin 20
' °z '	\/3 + 2/? cos co ’ xz	\/3 + 2/3 cos co
Подставляя ax, crz, rxz в уравнение равновесия и выполняя дифференцирование, полу-
чим
sin со cos 20 — cos со —
г- .	. п „ дсо .	/	2/3	\ дО п
3 sm со sin 20 —-2 sm со (1 -I-— cos со — = 0,
dz	\ уз / dz
/х •	• ппдсо	/	г- .	2/3 \ дсо	п .	(2/3	\д0	п
v3 sm со sin 20 —-v 3 smoi cos 20+cos co-I—= I —+2 smcj I H—cos co I — = 0.
дх	V	y/3/ dz	\	y/3	/ dx
Данная система дифференциальных уравнений в частных производных при (3 = 0 сов-
падает с аналогичной системой для пластичных металлов [9] и в области гиперболичности
имеет следующие уравнения характеристических линий:
dz .	. dz .	.
- =	_ = tg(S + V.),
где 'ф — угол, который составляет первая характеристика с осью ау.
,	, 7Г 1	/ctg СО 2/3 \
'Ф = 'Фа = о ~ о arccos (	+	--) •
2	2	\ у/3 3smcu/
При введении обозначения sin ср = (3/\/3 условие гиперболичности системы (12) имеет
вид
(13)
(14)
9	9	/
cos со + sin ср cos со + sin ср — 3/4 < 0.
(15)
Решая это неравенство, получим
— COS фр — 7Г/6) < COSW < COS фр + 7г/б).	(16)
В общем случае угол ср в зависимости от хрупкости материала принимает значения
от 0 до 7г/2. Для пластичных металлов ср = /3 = 0, для хрупких материалов ср /р тг/6,
при разрушении отрывом ср = тг/2. Наиболее просто условие гиперболичности (16) можно
представить, если рассмотреть два случая: ср тг/6 и ср Зр тг/6.
В случае ср тг/6 из (16) следует
ср + тс/6 < со < ср -Ь 5тг/6.
(17)
Пусть ср — /3 — 0, тогда из (17) следует условие гиперболичности [9], которое имеет
вид
тг/6 < со < 5тг/6.
Если угол внутреннего трения ср увеличивается от 0 до тг/6, то правая граница области
гиперболичности увеличивается до тг, а левая — до тг/З. В результате при ср = тг/6 (/3 —
\/3/2) условие гиперболичности принимает другой вид:
7Г/3	СО < тс.
А. М. Коврижных
149
Рассмотрим теперь хрупкие материалы, для которых 92	тг/6. В этом случае из (16)
следует неравенство
92 + %/6 < ш < 7тг/6 — 92.
При увеличении угла 9? от тг/6 до тг/2 правая граница этого неравенства уменьшается,
а левая увеличивается до значения 92 = 2тг/3 и при ср = тг/2 (J3 = \/3) для всех углов id
система дифференциальных уравнений (12) имеет эллиптический тип.
Пусть вдоль некоторой линии х = т(з), у — y(s) заданы функции cd = id(s), в = 0(s).
Решения дифференциальных уравнений ш = w(x, z), 0 = 0(x,z) образуют некоторую по-
верхность (интегральную поверхность). Основным является вопрос о возможности прове-
дения через заданную линию L определенной интегральной поверхности (задача Коши).
Для интегральной поверхности, проходящей через линию L, имеем очевидные соотноше-
ния
ди> дш	дО ,	д0	,
— ах + —— dz = aw,	— dx +	—dz = d0.	(18)
дх dz	дх	dz
Вдоль L уравнения (12) и (18) образуют систему неоднородных линейных алгебра-
ических уравнений относительно первых частных производных функций ш — ш(ж, г),
О = 0(х, z). Если линия L является характеристикой уравнений (12), то вдоль нее производ-
ные определяются неоднозначно, следовательно, определитель упомянутой алгебраической
системы и надлежащие числители в формулах Крамера обращаются в нуль. Приравнивая
к нулю определитель системы, находим дифференциальные уравнения характеристиче-
ских линий (13). Приравнивая к нулю числители в формуле Крамера, получим диффе-
ренциальные соотношения между неизвестными функциями а) и 0, выполняющиеся вдоль
характеристик
±-------_ de = 0)
2sinid(v3 + 2/? cos cu)
где S(cu) = ^3 sin2 си — (cos id + 2/?/\/3)2.
Введем новую функцию Л при помощи уравнений
(19)
УЗВД
------7-7=——-----aid,
2 sin cd(v3 + 2(3 cos cd)
ЭД
/3 , ---------(20)
2 J 2sincd(\/3 + 2/? cos cd)
ш0
В этих соотношениях = 92 + тг/6, 92 = arcsin (Х?/х/3). Если (3 = 0, то id^ — -к/Ъ, что
соответствует [9], при (3 = \/3/2 имеем cd^ = я/3. Таким образом, система уравнений (12)
имеет два семейства характеристик, для которых справедливы следующие соотношения:
— = tg (0 — 0),	0 — А = const = £ вдоль первой линии,
dx
dz
— = tg (0 + ?/>),	0 + Л = const = 77 вдоль второй линии.
dx
При выводе и исследовании уравнений для поля скоростей рассмотрим дилатансион-
ную пластическую модель [5, 6], определяющие соотношения которой в [10] представлены
как результат сдвигов по конечному числу систем скольжения. Ниже воспользуемся соот-
ношениями этой модели для плоского напряженного состояния [10]:
• _ /Л ।	\ р	•	__ f Л . sz \ р	.	__ TXz р	. __ (_i_ SV \ г
Сх ~ \ ч '	от / р'	Сг	~ \ q от)1 р’	^xz ~ ~тг LP’	еУ ~	\ Т + от г?’
150
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, № 6
Рис. 5. Направления разрушения на образцах из стали 12ХНЗА
где А — коэффициент дилатансии; Гр — интенсивность скоростей пластической деформа-
ции сдвига. Исключая из этих соотношений параметр Гр и подставляя в них полученные на
основе (11) значения для компонент девиатора напряжений sx — T(coscd/\/34-sincdCos20),
sz = T(cosid/\/3 — sin cos 20), получим уравнения для компонент вектора скорости vx
и vz
dvT
tg 20^-
дх
(a cos 20 — Ь)
ox dz	oz
+ (a cos 20 + b) = 0,
ox	dz
(21)
где a = sin a;, b — 2A/3 + coscd/\/3.
При введении обозначения sin</?w = A/\/3, где <pv — угол дилатансии, условие гипер-
боличности системы (21) имеет вид
cos2 w -I- sin ipv cos cd + sin2 <pv — 3/4 < 0.
(22)
Как видно из (22), условие гиперболичности для поля скоростей совпадает с услови-
ем (15) для напряжений и со всеми последующими неравенствами при ipv = <£>.
Уравнения характеристик системы дифференциальных уравнений (21) по виду сов-
падают с уравнениями (13), в которых следует принять 2у = 2^« = тг — arccos (b/а).
Учитывая полученные ранее результаты, запишем выражения для углов фа и фу, которые
определяют направления характеристик для полей напряжений и скоростей:
, тг 1 /ctg cd 2(3 \	, тг 1 /ctg 2А \	.
V’a = 77 - о arccos	= 77 - X arccos (	+ Т~---) •	(23
2	2	\ -уз	3 sin cd/	2	2	\ -уз 3smcd/
Как видно из этих формул, при А = /3 (в случае закона пластического течения, ассо-
циированного с поверхностью Мизеса — Шлейхера), характеристики системы уравнений
для скоростей совпадают с характеристиками для напряжений, так как = фу. При
А = /3 = 0 приходим к результатам для пластичных металлов [9]. Так как для одноосного
растяжения cd = тг/З, то, подставляя это значение в (23), получим фа =	~ 54,7°, что
согласуется с результатами опытов на плоских образцах [1] и на тонкостенных цилиндрах
из стали 12ХНЗА (рис. 5), данные испытаний которых приводятся в [11].
При заданных значениях vx, vz на линии L, как и для системы уравнений в напряже-
ниях, дополним уравнения (21) дифференциальными соотношениями
dvx	dvx	dvz	dvz
—— ах +	—— dz = dvx,	—— dx +	——	dz = dvz.	(24)
ox	oz	ox	oz
A. M. Коврижных
151
Вдоль L уравнения (21) и (24) образуют систему неоднородных линейных алгебра-
ических уравнений относительно первых частных производных функций vx = vx(x,z),
vz — vz(x,z). Если линия L является характеристикой уравнений (21), то вдоль нее про-
изводные определяются неоднозначно, следовательно, определитель упомянутой алгебраи-
ческой системы и надлежащие числители в формулах Крамера обращаются в нуль. При-
равнивая к нулю определитель системы, находим дифференциальные уравнения характе-
ристик, которые совпадают с (13) при ф = ipv. Приравнивая к нулю числители, получим
дифференциальные зависимости между неизвестными функциями vx и vz, выполняющиеся
вдоль каждой из характеристик:
dvx dx + dvz dz = 0.	(25)
Подставляя в эту зависимость уравнения характеристик, получим два соотношения
для скоростей вдоль каждой из характеристик. Выведем эти соотношения для проекций
вектора скорости и и v на направления касательных к характеристическим линиям пер-
вого и второго семейств. Обозначим ип и vn проекции вектора скорости на направления
нормалей соответственно к первой и второй характеристикам. Учитывая вышеизложен-
ное, выразим vx и vz через и и ип:
vx = и cos 9а — ип sin 6а, vz — и sin ва + ип cos 0а,	(26)
где 0а = в — ipv — угол, который образует характеристика первого семейства с осью х.
Аналогичным образом определим vx и vz через v и vn:
vx = vnsinO0 + v cosOp,	vz =—vncos0p + vsinOp,	(27)
где Op = 6a + 20v = 0 +	— угол, который образует характеристика второго семейства
с осью х. Применяя формулы (25)-(27) вдоль каждой характеристики, получим
du — ип d6a = 0, dv + vn d0a = 0.	(28)
Приравнивая правые части формул (26) и (27), получим систему уравнений для определе-
ния ип и ип, после решения которой имеем
ип = v cosec 2<ф — и ctg 2чр, vn — и cosec 2-0 — v ctg 2ф.	(29)
Подстановка найденных значений в (28) дает соотношения для поля скоростей на харак-
теристиках:
du — (д cosec 2ф — и ctg 2-0) d0a = 0	вдоль линии а,
dv + (u cosec 2ip — v ctg 2-0) d0a = 0	вдоль линии (3.
Рассмотрим некоторые частные случаи: пусть 2-ф = тг/2, тогда (30) переходят в соотноше-
ния Гейрингер для плоской деформации жесткопластической среды [9]; при 2-0 = тг/2 + ср,
где ср — угол внутреннего трения, уравнения для компонент скорости на характеристи-
ках (30) принимают вид
du — (у sec ср + и tg ср) d0a = 0 вдоль линии а,
dv + (и sec ср + v tg ср) d0a = 0 вдоль линии [3.
Эти соотношения для поля скоростей были получены в [12] для идеального жесткопла-
стического грунта Кулона — Мора при его деформировании в условиях плоской деформа-
ции. Частным случаем уравнений на характеристиках (30) являются и соотношения для
плоского напряженного состояния жесткопластического несжимаемого материала Леви —
Мизеса [13].
Как отмечалось выше, для одноосного сжатия из = 2тг/3. В этом случае по данным
опытов Коффина определим (3 = 0,62. Принимая А = f3 и подставляя эти значения в (23),
152
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, № 6
Рис. 6. Направления разрушения на образцах известняка
получим 'фгг = ipv « 49°. Эти результаты хорошо согласуются с данными опытов [14], в
которых цилиндрические образцы из серого чугуна разрушались примерно под углом 45°.
Экспериментально установлено [2, 15], что разрушение хрупких горных пород при
сжатии и отсутствии трения на торцах происходит по плоскостям, параллельным направ-
лению сжатия, т. е. когда ipv = тг/2. Этот результат следует из (23), если принять А = \/3.
На рис. 6 представлены результаты опытов, проведенных автором в Институте горного
дела СО РАН на цилиндрических образцах известняка, торцы которых были смазаны
парафином.
Приведенное выше сравнение теоретических и экспериментальных результатов для
пластичных и хрупких твердых тел показывает, что применение критерия Мизеса —
Шлейхера позволяет правильно определять и предельные напряжения, и направления раз-
рушения, которые отождествляются с характеристиками поля скоростей.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд-во иностр, лит-ры, 1954.
2.	Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2: Математические основы теории разрушения. С. 336-520.
3.	Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проек-
тирование // Механика. Определяющие законы механики грунтов. М.: Мир, 1975. С. 166-177.
4.	Новожилов В. В. О пластическом разрыхлении // Прикл. математика и механика. 1965.
Т. 29, вып. 4. С. 681-689.
5.	Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых срец. М.: Недра, 1984.
6.	Райс Дж. Р. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная меха-
ника: Труды XIV Международного конгресса ГОТАМ. М.: Мир, 1979. С. 439-471.
7.	Коврижных А. М. Об условиях локализации пластической деформации в металлах //
Докл. РАН. 1996. Т. 351, № 5. С. 630-632.
8.	Коврижных А. М. Об условиях гиперболичности уравнений теории пластического сдви-
га // Докл. РАН. 1999. Т. 365, № 4. С. 485-487.
9.	Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш, шк., 1969.
10.	Коврижных А. М. К теории пластичности, учитывающей вид напряженного состояния
при сложном нагружении // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. № 6. С. 98-106.
A. M. Коврижных
153
11.	Аннин Б. Д., Жигалкин В. М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения.
Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.
12.	Шилд Р. Т. Смешанные граничные задачи механики грунтов // Механика. Определяющие
законы механики грунтов. М.: Мир, 1975. С. 178-194.
13.	Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеоретиздат, 1956.
14.	Губкин С. И. Пластическая деформация металлов. М.: Металлургиздат, 1961. Т. 2.
15.	Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 17/П 2004 г.
“Библиотека Машиностроителя”
www.lib-bkm.ru