о
о
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ t)
[ПЕРВАЯ ЧАСТЬ СОЧИНЕНИЯ]
(1829)
Кажется, трудность понятий увеличивается по мере пх прибли-
жения к начальным истинам в природе; так же, как она возрастает
в другом направлении, к той гранппе, куда стремится ум за новыми
познаниями. Вот почему трудности в Геометрии должны принадле-
жать, во-первых, самому предмету. Далее, средства, к которым на-
добно прибегнуть, чтобы достигнуть здесь последней строгости, едва
ли могут отвечать цели и простоте сего учения. Те, которые хотели
удовлетворить сим требованиям, заключили себя в такой тесный
круг, что все усилия их не могли быть вознаграждены успехом.
Наконец, скажем и то, что со времени Ньютона и Декарта, вся
Математика, сделавшись Аналитикой, пошла столь быстрыми шагами
вперед, что оставила далеко за собой то учение, без которого могла
уже обходиться п которое с тем вместе перестало обращать на себя
внимание, какое прежде заслуживало. Евклидовы начала, таким
образом, несмотря на глубокую древность их, несмотря на все бли-
стательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор перво-
бытные своп недостатки.
В самом деле, кто не согласится, что никакая Математическая
паука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких,
повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Мате-
матике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены
были допустить в теории параллельных линий. Правда, что против
ложных заключений от неясности первых и общих понятий в Гео-
метрии предостерегает нас представление самых предметов в нашем
воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства
9 Извлечено самим Сочинителем из рассуждения, под названием: Exposition
succincte des principes de la Geometric etc., читанного им в заседании Отделения
Физико-Математических Наук, 12 февраля 1826 года.
28
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
убеждаемся простотою их и опытом, например астрономическими на-
блюдениями; однако ж все ото нисколько не может удовлетворить
ум, приученный к строгому суждению. К тому и не в праве прене-
брегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем,,
не послужит ли оно еще к чему другому.
Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие
пропуски в Геометрии. Изложение всех моих исследований в надле-
жащей связи потребовало бы слишком много места и представления
совершенно в новом виде всей науки. О прочих недостатках Геомет-
рпп, менее важных по затруднению, не почитаю нужным говорить
подробно. Огранпчус одним только замечанием, что они относятся
к способу преподавания. Никто не помышляет отделить от, что ис-
ключительно прппадлежпт Геометрии, от того где паука спя стано-
вится уже другою, т. е. Аналитикой.
Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны
быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они
могут служить прочным и достаточным основанпем учения. Такие
понятия приобретаются чувствами, врожденным — не должно верить.
Ничего не может быть простее того понятия, которое служит осно-
ванпем Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит
измерению, все может быть сосчитано. Не таковы положения Меха-
ники: человек с помощью однпх ежедневных своих опытов не мог
бы придти к ним. Вечность и одинаковость раз сообщенного дви-
жения, где скорость служит мерою оного и массы различных тел —
такого рода истины, которые требовали времени, пособия других по-
знаний и ожидали гения х).
Между свойствами, общими всем телам, одно должно назваться
Геометрическим, — прикосновение. Словами нельзя передать совер-
шенно того, что мы под этим разумеем: понятие приобретено чув-
ствами, преимущественно зрением, и сими-то чувствами мы его по-
стигаем. Прикосновение составляет отличительное свойство тел: ни
в силах или времени и нигде в природе более его не находим-
Отвлекая все прочие свойства, телу дают название — Геометрического-
Прикосновение соединяет два тела в одно. Так все тела представ-1
ляем частью одного—пространства. Тело ограничено, когда прикосновенна
к нему другого — окружающего — делает невозможным прикосновение
]) После этого вступления Лобачевский переходит к изложению начал гео-
метрии. Развернутое иэложение этих вопросов дано Лобачевским в первых гла-
вах его сочинения «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»
(Н. И. Лобачевский, Попн. собр. соч., т. II, стр. 200 и след.; там же имеются
обстоятельные комментарии Б. Л. Лаптева). [_Ре0.]
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
29
всякого третьего. Это второе будет окружающим пространством, если
оно с первым составляет целое пространство. Пустота, занимаемая
телом внутри пространства, называется местом. Два тела одинаковы,
если каждое, без всякой перемены, наполняет место, т. е. дополняет
пространство. Они равны только, если наполнение места одного тре-
бует в другом разделения на части и соединения сих частей в новом
порядке *).
Воображаемое разделение тела на две части будем называть сече-
нием. Каждая из двух частей служит для назначения стороны се-
чения.
Геометрические свойства тел познаем в различном делении их
на части. Они служат основанием Геометрии и заключаются в сле-
дующем.
I. Всякое тело может быть разделено на части, которые не касаются
через одну. Такие сечения назовем поступательными', число их не
ограничено.
II. Всякое тело может быть разделено на части, которые все ка-
саются взаимно, и которых число с каждым новым сечением увели-
чивается двумя. Такие сечения назовем ооращательными-, число их не
ограничено.
Ш. Всякое тело может быть разделено тремя сечениями на 8 ча-
стей, которые все касаются взаимно; но далее невозможно уже новым
сечением удваивать число частей. Такне сечения назовем тремя
главными.
Обращательные сечения могут увеличивать число частей и одним
только. Это будет тогда, когда недостающее число частей пополняется
присоединением нового тела и продолжением сюда сечений; так что
признак обращательных сечений будет собственно не число частей,
но взаимное прикосновение их. Однако ж итого одного недостаточно.
Надобно, чтобы поступательные сечения к обоим обращай'льным
в тех двух долях тела, которые находятся на противоположных сто-
ронах, всегда отделяли части в одной, неприкосновенные к другой.
Подобное замечание относится и к трем главным сечениям, из
которых каждые два бывают вместе ооращательными, и чего уже
довольно, чтоб они были главными.
Поступательные сечения к трем главным назначают в теле его
три протяжения.
Измерять тело значит исчислять одинаковые части, па которые
разделяется это тело и другое, принятое за меру, в трех протяжениях
поступательными сечениями.
1) Лобачевский употребляет термин одинаковы там, где мы теперь говорим
«конгруэнтны», и равны — там, где мы говорим «равносоставлены». [РгО.]
30
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Соединение двух тел в одно будет вместе сечением в этом одном.
Смотря по тому, прикосновение принадлежит одному только, или
нескольким обращательным, пли трем главным сечениям, оно будет
поверхностное, линейное, в точке. Воображаем тело разделенным тремя
главными сечениями на восемь частей, которые бы от других сечений
происходить не могли. В таком случае с первым сечением получим
поверхностное прикосновение двух частей. Вторым сечением произ-
ведем две части, которые, находясь на противоположных сторонах
обоих сечений, касаются линейно. С третьим сечением происходят
две части, которые, находясь на противоположных сторонах всех
трех сечений, касаются в точке.
Тело получает название поверхности, когда оно касается другого
поверхностно и когда принимают в рассуждение только взаимное
прикосновение сих двух тел; а потому дозволяют отбрасывать все
частп одного, неприкосновенные к другому. Так уничтожается одно
пз трех протяжений, и так отделением ненужных частей поверх-
ности доходим до тонкости листа бумаги или как далеко может идти
воображение.
Два тела, которых прикосновение здесь рассматривается, будут
две стороны поверхности.
Линией называется тело, которое касается линейно другого, и от
которого дозволяют отбрасывать части, неприкосновенные к этому
другому. Так доходим до тонкости волоса, черты от пера на бумаге
п пр. С обращением тела в линию уничтожаются два протяжения,
потому что линию образуют в пространстве два сечения, к которым
поступательные отделяют одни излишние части.
Тело получает название точки, когда рассматривают его прикосно-
вение к другому в точке, а потому дозволяют отбрасывать частп первого,
неприкосновенные к другому. Так можно доходить до малости пес-
чинки или точки от острей пера на бумаге.
Точка образуется тремя главными сечениями в пространстве,
к которым поступательные отделяют одни лишние частп: следовательно
в точке нет ни одного протяжения.
В поверхности, линии и точке обращают внимание только на при-
косновение двух тел. Это значит, допускают все изменения в одном,
которые бы не лишали части другого их прикосновения и не при-
давали бы новых частей, прикосновенных к другому. Вот почему
прп измерении поверхностей и линий дозволяется все поступательные
сечения, которыми назначают протяжения, заменять их обращатель-
пыми. Отсюда следует, что линия не изменяет величины поверхности,
а точка—-линии. Отсюда также видно, что линия должна принадле-
жать всей системе обращательных сечений, а потому для образования
линии необходимы две поверхности, о которых говорят, что они пере-
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ	31
секаются в линии. Каждая из сих поверхностей разделяется линией
на две. части, которые будут двумя сторонами линии.
Точка принадлежит не только трем главным сечениям, но и всем
с ними обращательным; а потому для образования точки необходимы
две линии, о которых говорят, что они пересекаются в точке. Каждая
линия разделяется точкой на две части, которые служат для назна-
чения двух сторон точки.
Точка не имеет величины, будучи без протяжения, а потому и не
допуская измерения.
Когда два тела А, В касаются каждое третьего С в точке, тогда
относительное положение двух точек или так называемое расстояние
их друг от друга, всякий раз будет определено, как скоро А и В
соединены телом D, неприкосновенным к С, хотя бы при этом в А,
В, D происходили перемены отделением, пли присоединением новых
частей, неприкосновенных к С, пли те изменения в А и В, которые
дозволяются в сем роде прикосновения А, Вс С. Так, циркуль слу-
жит для назначения расстояний.
С такими понятиями о пространстве и способе измерять его про-
тяжения, Геометрия может быть ведена со всею строгостию доказа-
тельств в том порядке, в каком здесь ниже излагается, п где, если
не дается новых определений, названия разумеются уже приня-
тые всеми.
Сферой называется поверхность, которой все точки от одной — цен-
тра— находятся в равном расстоянии. Это расстояние будет полупо-
неречник сферы. Внутренняя сторона сферы та, где ее центр; другая —
внешняя.
Тело, ограниченное сферою, называется шаром, которого центр и
полупоперечник то же, что и сферы.
Шары и сферы одинаковы, когда их полупоперечники равны.
Одинаковые сферы сливаются, т. е. покрывают друг друга, когда
центры их вместе, каково бы в прочем положение их ни было.
Напротив, у сфер одноцентрных при разных полупоперечниках не
может быть ни одной общей точки. Такие сферы представляют по-
ступательные сечения в пространстве. Полупоперечнпк той, которая
помещается внутри другой, почитается менее. Это служит первым
сравнением расстояний между собою.
Сфера ограничивает со всех сторон пространство, потому что дру-
гая, одноцентрная, находясь вне первой, присоединяет такой слой,
который делает уже невозможным прикосновение всякого нового тела
к шару первой.
Две сферы около разных центров, входя одна внутрь другой и
выходя вон, разделяют пространство на четыре части: одна А
32
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
принадлежит внутренней стороне той и другой сферы, другая В —внеш-
ней обеих, третья С—внешней стороне одной и внутренней другой,
а четвертая D — наоборот. Новые сферы около тех же центров будут
отделять от Л части, неприкосновенные к В, или обратно; так же от
С неприкосновенные части к D, или обратно. Итак, пересечение двух
сфер дает линию, которую называют кругом.
Посему две сферы, пересекаясь, представляют два главных или,
что все равно, два обращательных сечения в пространстве. По той же
причине три сферы, если пересекаются, представляют три главных
сечения.
Плоскостью называется поверхность, в которой лежат все круги
от пересечения одинаковых сфер около двух точек—центров происхо-
ждения. Плоскость может следовательно продолжаться неограниченно,
с увеличением полупоперечннков одинаковых сфер.
Круг, от пересечения одинаковых сфер, покрывает сам себя,
какою стороною и в каком бы положении ни накладывался, покуда
центры сфер сохраняют свое место, или один ставится на место
другого.
Внутри всякого круга на плоскости находится точка—центр круга,
которой расстояния — полу поперечники— от всех точек круга одинаковы.
Всем таким кругам, производящим плоскость, одна только точка может
служить центром.
Прямая линия называется та, которая между двух точек сама себя
покрывает во всех положениях. Такова в плоскости круга линия,
которой точки остаются на месте, когда круг покрывает сам себя
другою стороной.
Расстояние двух точек может быть определено прямой линией,
по свойству которой всякое расстояние составляется из повторения
другого п частей его.
Прямая линия лежит вся в плоскости, как скоро две ее точки
па плоскости.
Через три точки, не в прямой линии, можно провести одну только
плоскость.
Всякая точка вне плоскости может быта, принята за центр происхо-
ждения плоскости, и тогда на противоположной стороне находится
другой соответствующий центр.
Две плоскости пересекаются в прямой линии.
Величина прямой линии определяется сравнение,м ее с другой.
Подобным образом определяется и величина дуги круга по сра-
внению ее с окружностью, которой дуга будет часть. Это содержание 1)
не зависит от величины полупоперечника, но от взаимного положения
9 Содержанием Лобачевский называет отношение. [РеЭ.]
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
33
тех двух полупоперечников, которые проходят чрез концы дуги.
Чтобы оставить на произвол, какая дуга принимается за едпницу,
мы будем означать 2к окружность. Так выраженная дуга называется
линейным углом или углом тех двух лпний, которые, идя чрез концы
дуги, встречаются в центре круга.
Также будем означать 2т. и сферу х), определяя с нею сравнительно
ее вырезки1 2 3). Когда вырезок происходит от двух плоскостей, прове-
денных чрез центр, тогда величина его будет плоскостной угол; дру-
гих же вырезков —телесным углом.
Плоскостной и телесный углы не зависят от полупоперечнпка
сферы, но от взаимного положения плоскостей, которые идут от центра
сферы Плоскостной угол также не зависит от места, где будет центр
сферы на линии пересечения двух плоскостей.
Плоскостной угол равен лпнейному между перпендикулами в
плоскостях к линии пересечения сих последних, и проведенных
к одной точке.
Чтобы линия была перпендпкулом [к] плоскости, довольно, чтоб
она была перпендикулярна к двум линиям в плоскости.
Сумма углов прямолинейного треугольника не может быть
напротив, сумма углов сферического треугольника всегда > к.
Сумма двух углов сферического треугольника бывает вместе с сум-
мою противоположных боков > к, = к, <С к.
Если одпн катет в прямоугольном сферическом треугольнике < к,
7С	TZ	7С
то другой вместе с противоположным углом р>	< -%.
В прямолинейном треугольнике против большего бока лежит угол
более, и обратно.
Сумма двух боков прямолинейного треугольника более третьего.
В сферическом треугольнике угол против большего из двух боков
более пли менее, смотря по тому третий бок < к пли к.
Сумма боков сферпческого треугольника более третьего, если этот
третий < к.
Величина телесного угла = ——, где $ — сумма углов сфе-
рпческого многоугольника, п—число его боков.
Полагаем п число граней пли фигур, ограничивающих правильное
тело; т число боков фигуры; t число граней, смыкающихся в одпн
1) Лобачевский во всех своих сочинениях принимает для измерения телесных
углов единицу, вдвое большую, чем обычно (см. об этом Н. И. Лобачевский,
Поли. собр. соч., т. II, стр. 115, примечание |23]); поэтому он считает сумму
телесных углов с общей вершиной, заполняющих все пространство, равной не 4к,
а 2л. [Рей.]
2) Вырезок сферы—часть ее поверхности, ограниченная двумя половинами
больших кругов. [РеЭ.]
3 Зак. 1164. Об основаниях геометрии
34
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
телесный угол. Каждой грани тела отвечает при центре угол —, ко-
2к	п
торого число плоскостных углов а величина их — ; после чего,
г
сравнивая два значения телесного угла, находим
it 1)
П 2т — (т — 2) t
Здесь т и t не могут быть более 5, иначе п делается отрицатель-
ным; следовательно, все предположения могут быть таковы:
m = 3, f=3, n =	4;	тело называется тетраедр.		
m = 3, t — 4, n =	8	»	»	октаедр.
m — 3, f=5, n =	20	»	»	икосаедр.
m = 4, t = 3, n =	6	»	»	куб.
m — 5, t = 3, n —	12	»•	»	додекаедр.
Число углов или остреев на правильном теле = —, следовательно:
в тетраедре............................4,
» октаедре.............................6,
» икосаедре...........................12,
» кубе.................................8,
» додекаедре..........................20.
Достойно примечания, что выше данное значение п может быть
найдено, не принимая в рассуждение, каким образом телесный угол
определяется из его плоскостных. Действительно, число линий, в ко-
, пт
торых смыкаются гранп, ясно должно быть , а по пзвестному пра-
вилу Ейлера1 2 *) оно будет —|-и—2; сравнивая то и другое выра-
жение, снова получим то же п, что и выше.
Все случаи одинаковости треугольников могут быть теперь дока-
заны без помощи теории параллельных линий.
Прямолинейные треугольники бывают одинаковы, когда у них
равны:
1)	один бок и два угла;
2)	два бока и угол между ними;
3)	два бока и угол против большего;
4)	три бока.
Сферические треугольники — когда у них равны:
1)	три бока;
2)	два бока и угол между ними;
1) Вывод этой формулы дан в книге: Н. И. Лобачевский, Поли. собр.
соч., т. I, стр. 263, примечание [7]. [Ре0.]
2) Самое простое доказательство сего предложения сделал Грунерт (см.
Journal fur die Matliemat. v. Crelle, Tom 2, p. 367).
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
35
3)	два бока и угол против одного, но сумма углов в обоих тре-
угольниках против другого бока не = it;
4)	один бок и при нем два угла;
5)	два угла и бок против одного, но сумма боков против другого
в обоих треугольниках не составляет it;
6)	три угла.
Два прямолинейных треугольника, когда у них три угла равны,
могут быть не одинаковы, если предположить сумму углов в каждом it.
Напротив, они должны быть одинаковы, если в них сумма углов,
подобно как в сферических, разнится от it.
*) Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не
может быть > it. Остается предполагать вту сумму = it или < тг.
То и другое может быть принято без всякого противоречия в послед-
ствии, от чего и происходит две Геометрии: одна, у потребительная
до ныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом
деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная
в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от
углов.
Если в одном прямолинейном треугольнике почитать сумму углов it,
то она будет такой уже и во всех. Напротив, допуская ее в одном
менее it, легко доказать, что она уменьшается с возрастанием боков
треугольника.
Всякий раз, следовательно, две линии встречаться на плоскости
не могут, когда они с третьего составляют углы, которых сумма it.
Они могут не пересекаться и в том случае, когда вта сумма < it,
если к тому предположить сумму углов в треугольнике < it.
Итак, все линии на плоскости в отношении к одной могут быть
разделены на сходящиеся и несходящиеся. Последние будут называться
параллельными, если они представляют границу, или, иначе сказать,
переход от Одних к другим между всеми, выходящими из одной
точки.
Воображаем из точки опущенный перпендикул а на данную линию
и к втой параллельную из той же точки; означаем Е (а.) угол между а-
t) С этого места начинается изложение основ «воображаемой геометрии»..
Оно выполнено очень конспективно, без доказательств. Доказательства имеются
в сочинениях Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллель-
ных линий» (Н. И. Лобачевский, Поли. собр. соч., т. I, стр. 79—127) и в гла-
вах VII—XI сочинения «Новые начала геометрии с полной теорией параллель-
ных» (там же, т. II, стр. 267—345). См. также примечания А. П. Котельникова,
к сочинению «О началах геометрии» (там же, т. I, стр. 262 и сл.).	|
3*
36
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
и параллельной1). Легко доказать, что для всякой линии а угол.
F (а) = 4г ! если сумма углов в треугольнике =чт; но в другом пред-
Ci
положении угол F (а) меняется с а, уменьшаясь до нуля с увелпче-
ТС
знпем линии а и оставаясь постоянно < -5-. Чтобы распространить,
Cl
в сем последнем предположении, означение F (а) на все линии а,
мы будем принимать
F(0)=|, F(-a)=^-F(a).
Тогда для всякого острого угла А можно воображать положитель-
ную, а для всякого тупого А — отрицательную линию а, такую,
чтоб А — F (а).
Впрочем в том и другом предположении параллельным линиям
принадлежат следующие свойства.
Когда две линии параллельны, то пересечение проведенных чрез
них плоскостей дает также линию, параллельную обеим.
Две параллельные третьей, параллельны между собою.
Когда три плоскости пересекаются в параллельных линиях, то
сумма плоскостных внутренних углов = ir.
Предположение суммы углов в треугольнике < т: ведет к тому,
что круг с увеличением полупоперечнпка приближается не к пря-
мой линии, а к особенного рода кривой, которую назовем предельной
круга. Сфера в таком случае будет приближаться также к кривой
поверхности, которую подобным образом назовем предельной сферой-
Эта поверхность в пересечении с плоскостпю дает или круг пли пре-
дельную круга.
, Геометрия на предельной сфере совершенно та же, в каком виде
мы ее знаем на плоскости. Предельная круга заменяет в последней
прямую лпнпю, а углы между плоскостей, в которых предельные
-лежат, заступают место углов между прямыми линиями.
Предельные кругов тем ближе подходят к прямым линиям, чем
их дуги менее, так что разность в содержании к длине дуги можно
сделать как угодно малой. И потому все, что принадлежит одним,
принадлежит и другим, еслп прпнпмать те и другие чрезвычайно
малыми.
Итак, еслп в природе существующая Геометрия такова, что две
параллельные линии должны быть наклонены к третьей линии под
углами, которых сумма <; тс, то Геометрия употребительная нами
1) F (ж) Лобачевский называет в других своих сочинениях углом параллель-
ности. Он вводит для него обозначения х' (см. «Воображаемая геометрия», стр. 51
настоящего сборника) и П (ж) (в «Новых началах геометрии» и «Геометрических
исследованиях»). [ГеЭ.]
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
37
будет Геометрия чрезвычайно малых линий в сравнении с теми, при
которых сумма углов треугольника может приметно разниться от it.
Сказано было, что Геометрия на предельной сфере та же, что и
на плоскости. В первой предельная круга заменяет прямую; углы
между плоскостями, в которых лежат предельные, заступают место
углов между прямыми линиями. Однако ж измерению треугольников
на предельной сфере должно предшествовать учение о тригономе-
трических функциях; а что касается до геометрического строения,
то с треугольниками на предельной сфере должно поступать как бы
с сферическими. Плоскости, в которых лежат предельные и которые
можно назвать нормальными, будут представлять плоскости больших
кругов сферы; а линии пересечения первых между собою, следова-
тельно, нормальные линии или оси предельной сферы, будут то же, что
поперечники обыкновенной сферы.
После этого, не делая различия, будем говорить о прямолинейных
треугольниках, разумея под ними также и треугольники на предель-
ной сфере, составленные из дуг предельной круга.
Означаем в прямолинейном треугольнике а, Ъ — катеты, А, В — про-
тивоположные углы, с — гипотенузу.
Содержание — в таком треугольнике изменяется не иначе, как
г е	а
с углом А. Оту зависимость — от А означают
а
— = sin А
с
и ~ называют синус А. Определение sin Л распространяют на другие
углы, кроме острых положительных А, принимая
sin 0 = 0, sin — = 1,
sin (ил-)-Л) = (— l)”sin Л; sin (к — Л) = sin Л,
где Л — угол от 0 до у, п— положительное целое число. Наконец,
для всякого положительного Л
sin (—- А) — — sin Л;
следовательно, и для Л отрицательного и для Л = О.
п
Так можно синус всякого угла привести к синусу нуля, или — ,
или острого положительного. Значения первых двух даны; значения
последних представляют содержание двух линий в прямоугольном
треугольнике.
После этого легко видеть, что какой бы угол Л ни был, всегда
sin (к Л ) = — sin Л.
38
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Кроме тригонометрической функции, названной синус, употреби-
тельны еще другие: косинус, тангенс и котангенс, которых опреде-
ление и означение показывают следующие уравнения:
(и . \	,	. sin А , , cos А
---А ), tang Л — -----т , cot А = -—7.
2	/	cos A	sin А
Значения всех сих тригонометрических функций не изменяются,
когда к углу прибавляем 2тс.
В прямоугольном треугольнике находим
sin А'2 cos Л2 = 1 1),
что справедливо и для всякого угла А.
Во всяком прямолинейном треугольнике, которого бока а, Ь, с,
противоположные углы А, Б, С,
a	sin А	I ь л
т = —у- : с = a cos В -4- b cos А.
b	sin В	'
Последнее уравнение с помощию первого, и так как sin С =
= sin (А В), дает
sin (Л В) = sin A cos В cos A sin В
для всех положительных углов А, В, которых сумма тс. Легко
видеть, что здесь углы А и В могут быть: А = О, В —0, А-\-В = ‘к.
Пусть далее А = итс-|-а, В = т~ -[- [3; п, т — целые положительные
числа; а, [3—-положительные углы > О, <тс; тогда, разделяя урав-
нение на (— l)n+m, находим то же с переменою только А на а,
В на 3, и где, следовательно, a-J- {3 < тс. Но так как уравнение не пере-
меняется, когда вместо а, [3 ставим тс—-а, тс — [3, то а -1- [3 можем при-
нимать и > тс. Так уравнение доказано для всех положительных
углов А, В; отрицательные же можно представлять произведенными
вычитанием 2тс из положительных, но такое вычитание не переменяет
вид уравнения.
Полагая -— А, — В вместо А, В, получим
и
cos (А -|- В) = cos A cos В — sin A sin В.
Полагая А — В, потом А = и т. д., находим значение три-
4 О
тонометрических функций для всех углов -^-тс, где т, п— целые
числа.
Всякий другой угол А может быть выражен суммою В-|-2а), где
В = ^~-тс с т и п целыми числами, а со угол как угодно малый. Тогда
sin А = sin В —2 sin со cos (В —|— <0),
cos А = cos В — 2 sin со sin (В co).
_____
() Лобачевский вместо sin2 А и cos2 А пишет sin А2 и cos А2 и соответствую-
щим образом и в других случаях. [Ре0.]
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
39
С уменьшением острого угла в прямоугольном треугольнике,
уменьшается противоположный катет и так, что содержание сего
катета к другому может быть сделано как угодно малым. Сделавши
tang <о по желанию малым, получим sin <о еще менее, тогда как
sin (В-|-о>), cos (73—|— со) не превышает единицы. Итак, разности
sin А—sin В, cos А— cos В могут быть столько малы, чтобы sin В,
cos В принимать за sin Л, cos Л. Так можно разуметь, что значения
тригонометрических функций для всех углов определены в числах.—
Теперь займемся измерением треугольников и решением задачи
о параллельных.
Принимаем только то предложение справедливым, что перпендикул
на линии параллельной встречает другую под острым углом. Мы
условились означать такой острый угол F (а), когда а перпендикул.
Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Гео-
метры, заключается также в этом общем, с тем ограничением, что
линии должно рассматривать бесконечно малыми, следовательно,
в исчислении пренебрегать их произведениями, вторыми и далее сте-
пенями в сравнении с первыми.
Итак, в прямоугольном треугольнике острые углы против кате-
тов а, b должны быть Г (д'), Г(Ь'), где а1, Ь' — прямые линии со зна-
ком -|- перед числами, выражающими их меру.
Продолжаем катет Ъ и гипотенузу с через точку А (черт. 1) их
пересечения. AD, продолжение с, делаем = а' и в конце D ставим
перпендикул DE на стороне AG, продолжения Ь. Ведем от точки В,
вершины угла F(bz), параллельную ВН с AG на той же стороне.
Три линии ВН, AG, DE будут параллельны также с Ь, которой точку
пересечения с а означим 0.
40
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Здесь
/ ИВА Н- Д АВС = £ НВС,
то-есть
Г(сН-а')+Г(Ь') = Г(а).	(1)
В том же Д А ВС, если бы а' положили от А к В по линии с,
в конце D поставили перпендикул DE и вели к нему параллель-
ную ВП от точки В, следовательно, вместе и параллельную к Ь,
то нашли бы новое отношение между линиями с, а, а', Ь'. Надобно,
однако ж, различать три случая:
Если с>а' (черт. 2), то находим
/ DBB= /_ DBC-\- /_ СВН
или
Г (с — «')=Г(Ь')-4-Г(а).	(2)
Если с —а' (черт. 3), то
|^Е(Ь')Ч-Е(а).
Если с < а' (черт. 4), то
л — Г (а' — с)==Е(Ь') + Е(а).
Но во втором случае = F (0) = F (с — а'), а в последнем
к — F (а'— с)=Е(с — а'); следовательно, во всех трех случаях урав-
нение (2) справедливо.
Соединение уравнений (1), (2) дает
2F(a)=F(c— а')-4~Е(с-|-а'),	(3)
2Е(Ь')=Е(с — а')— Е(сН-а').	(4)
Продолжаем еще b и с чрез точку А (черт. 5), а чрез точку (7;
делаем AI=a', CN=b'— а; ставим перпендикулы IK, NO к CI и CN,
то IK, AL, ON будут параллельны. Ведем еще им параллельную СМ-,
тогда
/ MCN-}- / МС1= ,
то-есть
Е(Ь' —а)Ч-Е(а'Ч-Ь) = |.	(5)
Означаем теперь а, линию, определенную уравнением
Г(а) + Е(а)="
Ci
Означаем р, 7, а', р' подобные линии в отношении к Ь, с, а', Ъ'.
Уравнение (4) может быть иначе представлено:
2F (р') = F (а' — с) -4- F (а'-I- с),
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
41
42
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
и предполагает существование прямоугольного треугольника, кото-
рого а' — гипотенуза, р' — катет, F (с) — противоположный ему угол
(черт. 6).
После этого должно заключать, что в уравнениях (3), (4), (5),
как и для всякой предполагаемой зависимости углов и боков' прямо-
угольного треугольника,	можно не
только переменять а на	b с пере-
меною аг на Ь', но и	
а на	а на	Ь'
с ... а'	у .. .	а'
а' ... с	а' ...	
Ь' ... а	В' . . .	а.
оставляя в то же время b и р без перемены. Так уравнения (3) и (4)
дают:
2F (a) ==F(c —a')-4-F(c +«'),)
2F(b) = F(c —b')-f-F(c I
2F(b) = F(a' —a) 4-F(«'-|- a), ।	(6)
2F(«) = F(b'~ P) 4-F(!>'+ P);J
2F(b')=F(c —a')—F(c
2F(«')=F(c — 6') —F(c -4-6').
2F(c) =F(a' —a) — F(a'-{- a),
2F(c) = F(b' —p) — F(b'-{- P);.
2F(a')=F(a — p) —F(a	p), 1
2F(t/)=F(3 —a) — F (a + p). J
Уравнение (5):
F(b'-a)+F(tt'+b)=|J
F (C — a)+F(P4-a') = .J, •
F(b' + «)-|-F(a'-b)=|, |
I
F (c+«)_[_F(p —a')=Y- |
F(«'_|-p')_|-F(p—
Cl J
(7)
(8)
(9)
(10)
Все сии уравнения, представляя в различных видах зависимость
боков и углов прямоугольного треугольника, служат вместе для опре-
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
43
деления зависимости всякой линии а от угла F (а); но к решению
итого последнего вопроса можно придти следующим образом.
К плоскости АВС того же прямоугольного треугольника ставим
в точке В перпендикул ВВ' (черт. 7), к нему от точек А и С ведем
параллельные АА', СС. Сумма внутренних углов плоскостей, в ко-
торых лежат три параллельные, дает -%—F (Ь') угол при лезвее АА'.
Воображаем около А, как центра,
сферу; пересечение ее линиями
АА', АВ, АС произведет сфери-
ческий прямоугольный треуголь-
Черт. 7.	Черт. 8.
ник А'ВС (черт. 8), где J/(7==F(b)—гипотенуза, A'B — F (с);
BC—F(a')—катеты, F(a), у — F (Ь')—противоположные углы.
Можно здесь мимоходом заметить, что существование такого
треугольника предпола-
гает прямоугольный пря-
молинейный (черт. 6), где
гипотенуза а', катеты [3', Ь,
им противоположные углы
F(c),	— F(ft); следо-
вательно, точно тот же
треугольник, которого со-
ставление доказали выше.
Такая поверка заключе-
ний необходима, покуда
остается неизвестным, которое из двух предположений истинное.
Воображаем снова сферический треугольник А'ВС и центр его
сферы А (черт. 9). Из А' опускаем перпендикул А'В к АВ. Ведем
к АС параллельные: DM чрез точку D в плоскости ABC’, A'L чрез
44
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
точку А' в плоскости А'АС. Пусть LMN—треугольник на предельной
сфере, которой A'L, DM, СА — оси.
Можно доказать, что содержание боков в Д А'ВС и Д LMN тем
менее разнится, чем более полупоперечник АС или, что все равно,
линия а' в ВС = F (а'), и что эта разность может быть сделана как
угодно малой. Границу, к которой приближается содержание двух,
линий, мы означим, ставя впереди lim. Так пишем:
А'С LN ,. А'В LM
hm вс — NM ; hm B(J —	,
то-есть
,. F (b)	1	,. F(с) , _ . .
hm = --------тгт-г ; hm ; = tang F (a).
F(a7) cosF(a) ’	F (a')	° 4 '
Отсюда
lim F(p^~5(c) =---+ tang F (a),
F (a7) cos F (<i) 1	6	' 7
.. F(fe) —F(c) 1	,	.
hm----v ' = —777-r — tang F (a)•
F(a7) cosF(a) &	4 7
Из уравнений (6) и (7):
F(b)-|-F(c)=F(a'—a), F(b)—F(c) =F(a'-|-a);
следовательно,
,. F (a7 -|-a)	,	1 -n i \ т F (a7 — a)	. 1	.
llm ' F Ca7) 1 = tfmg-2 F <a>’ hnl F(a7) = cot - F (a).
Первое уравнение показывает, что последнее справедливо и для
всех отрицательных линий а. Основываясь на этом последнем, заклю-
чаем, что для всяких двух линий а, р
.. F (a' -F а) ,. F (a7 В) х 1 л . .
limF(a> + p) ’lim -F(Ji =tangTF(a),
то-есть
tang-i-F(a— p) • tang-|-F (P) = tang iF(a).	(11)
Это требует, чтоб
tang-i-F (а) = e-0,	(12)
z
где е — неопределенное постоянное число, но под которым можем
разуметь основание Непперовых логарифмов, по причине неизвест-
ности, какая линия берется единицей при пзмеренпп прямых.
Помощью уравнения (12) найденные выше (6), (7), (8) дают:
sinF (с) = sinF (a) sinF (Ь),
tang F (с) — tang F (a) sin F (а'),
cos F (Ь) = cos F (с) cos F (а'),
sin F (с) = tang F (a7) tang F (Ь7),
tang F (а') = cos F (a) tang F (Ь),
sin F (br) = sin F (a) cos F (a')
и другие, которые непосредственно отсюда следуют.
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
45
Итак, в прямоугольном треугольнике, которого катеты а, Ь, про
тивоположные углы А, В, гипотенуза с, будет:
в прямолинейном:
sinF (с) = sinF (a) sinF (5),
tangF (с) = tang F (а) sin А,
cos F (Ь) = cos F (с) cos А,
sin F (с) — tang A tang В,
tang А = cos F (а) tang F (Ь),
sin В — sin F (а) cos А;
в сферическом:
cos с — cos a cos b,
sin а — sin A sin с,
tang а — tang с cos В,
cos с = cot A cot В,
tang а = tang A sin b,
cos А — cos a sin В
— известные уравнения сферической тригонометрии, и помошию
которых легко найти для всякого сферического треугольника, где
бока а, Ь, с, противоположные углы А, В, С
cos A sin b sin с -|- cos b cos с = cos а,-
sin a sin В = sin b sin А,
cotyl sin С -cos Ceos b — cot a sin b = 0,
cos a sin В sin C — cos В cos C — cos A.
(16)
Измерение сферических треугольников, следовательно, не зависит
от предположения для параллельных. Не таково измерение прямо-
линейных. Подобно, как уравнения (15) дают (16), так с помощью
уравнений (14) находим для всякого прямолинейного треугольника,
которого а, Ь, с бока, А, В, С противоположные углы:
tang F (a) sin А = tang F (5) sin В,
л	т7 / \ 1 sin F (6) sin F (с)	,	_
cos A cos F (Ь) cos F (с) -]---siri E(ft)-L —1 = 0,
cot A sin В sin F (с) -I- cos В — COS	= 0,
4 7 '	cosF(a) ’
sin A sin В
cos C-kcos A cos В — •—;—_z . = 0.
1	sm F (c)
(17)
Когда a, b, с предполагаются весьма малы, так что дозволяется
пренебрегать степенями и произведениями, которых размер выше,
46
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
тогда можно ставить:
sin F (а) = 1-as, cos F (а) = а 1-----i- а* 2) ,
чрез что уравнения (17) сделаются:
Ъ sin А — a sin В,
а2 = Ь2 -(- с2—2Ьс сое А,
sin (А -|- В) = ~ sin Л,
cos С-|- cos (А -|- -В) = О,
из которых первые два — известные уравнения прямолинейной три-
гонометрии; а два последние показывают, что .Л. —|—-В —|—(7 = тг1).
2) Изложенная нами теория параллельных предполагает линии
с углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится
или нет в природе, доказать никто не в состоянии. Но крайней мере
наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые
подлежат нашему измеренпю, даже расстояния между небесными
телами, столько малы в сравнении с линпею, принятою в теории
за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямоли-
нейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть
справедливы.
Называем а поперечник земного пути вокруг солнца; 2р самый
большой годовой паралаке неподвижной звезды: это значит ~— 2р
будет угол между а и расстоянием одного конца а до звезды, тогда
как расстояние звезды до другого конца перпендикулярно к а.
Необходимо
F(a)>-J — 2р,
отсюда
е 1 + tangp
1 — tangp ’
у а < tangp—Д tangps-|- у tangp6-|- .. .,
*) После этой части сочинения, завершающей его первую, не дошедшую
до нас работу по неевклидовой геометрии (см. следующую сноску — примечание
Лобачевского), Лобачевский ставит вопрос о тех основаниях, по которым мы
можем считать геометрию внешнего мира евклидовой. Эта часть сочинения по-
дробно изложена и разъяснена Н. И. Идельсоном в его статье «Лобачевский —
астроном», Историко-математические исследования, вып. 2, М.— Л., 1949,
стр. 137—167. [Рей]
2) Уравнения (17) и все, что за ними следует, прибавлено уже Сочинителем
после к тому рассуждению, которое было им представлено 1826 года в Отделение
Физико-Математических наук.
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
47
тем более
a tang 2р.
Расстояние звезды сделается к а перпендикулярно, еслп разность
в долготе звезды с солнцем составит прямой угол. Это будет именно
то условие, которого должно держаться для выгоды самых наблюде-
ний над паралаксом.
Кажется, всего более можно положиться на способ, придуманный
Г-м Дасса-Мондардье (Connaiss. des tem[p]s de 1831). Он находит
годовой паралаке звезды Кейды (29 Ерпдина) 2", Ригеля 1",43,
Сириуса 1",24. Последний дает
а < 0,00000602.
Самый большой
а < 0,000009696. 
Сколько ни мало таким образом должно полагать а, следовательно
и все вообще линии, какие могут подлежать нашему измерению,
в уравнениях (17) тем более можем довольствоваться низшими сте-
пенями боков треугольника, что здесь в функции входят или одни
четные или одни нечетные степени.
Сумма углов, даже и в таких треугольниках, которые теперь
рассматриваем, чрезвычайно мало разнится от двух прямых. Если
означаем 2о> эту разность, то из последнего уравнения в (17), пола-
гая В =	; А =	— 2р; С — 2р — 2ш, легко находим
Z л
cos F	tang и • tang (2р — ш),
отсюда
(а \2
-g)	.
Если р' другой паралаке, менее р, то
(а	sin т/ 2
VI <-----Д“7-
2 ) cos 2j/
Итак, с тою точностию вычисления, какую здесь надобно соблюсти,
можно полагать
. sin?/ , f cos2p
— I , где sm x — -----1/   .
2/ ’	sinp V cos2y
Например, для Сириуса p' — О",62; для Кейды р = 1", следовательно,
в треугольнике, который простирается до второй из сих звезд,
2ш < 0,z,43
Если б расстояние до звезды было тоже а, тогда tang ш =
= cosF < tangp2, где 2р — самый малый известный паралаке для а.
Например, полагая _р = 0",62, находим, что сумма углов в таком
48
Н. И. ЛОЕАЧЕЕСКИЙ
треугольнике разнится от двух прямых менее, нежели на
о",оооооз721).
Вообще в прямоугольном треугольнике, которого а, b катеты,
it — 2ш сумма углов,
Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма углов его менее
разнится от двух прямых. После этого можно воображать, сколько
эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправ-
дывает точность всех вычислений обыкновенной Геометрии, и дозво-
ляет принятые начала этой последней рассматривать как бы строго
доказанными.
Между тем нельзя не увлекаться мнением Г. Лапласа, что види-
мые намп звезды п млечный путь принадлежат к одному только
собранию небесных светил, подобному тем, которые усматриваем как
слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога
и проч. Итак, не говоря о том, что в воображении пространство может
быть продолжаемо неограниченно, сама Природа указывает нам такие
расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостпю даже и
расстояния нашей земли до неподвижных звезд.
После этого нельзя утверждать более, что предположение, будто
мера линий не зависит от углов — предположение, которое многие
Геометры хотели принимать за строгую истину, не требующую дока-
зательства, — может быть оказалось бы приметно ложным еще прежде
нежели перейдем за пределы видимого нами мира.
С другой стороны, мы не в состоянии постигать, какая бы связь
могла существовать в природе вещей и соединять в ней величины
столь разнородные, каковы линии и углы. Итак, очень вероятно, что
Евклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся на
всегда недоказанными.
Как бы то нп было, новая Геометрия, основание которой уже здесь
положено, если и не существует в природе, тем не менее может
существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления
для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для
взаимных применений Геометрии и Аналитики.
[От редакции. Дальнейшая, основная часть сочинения Лобачев-
ского содержит основы аналитической и дифференциальной геометрий
неевклидова пространства, измерение площадей, поверхностей и объемов.
Лобачевский получает для них формулы в одних случаях в конечном ви-
1) В тексте Лобачевского ошибочно стоит О7,000372. [Ред.]
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
49
де, в других — в виде определенных интегралов. Сравнивая полученные
результаты, вычисленные различными способами, он получает как из-
вестные, так п новые значения некоторых определенных интегралов.
Сочинение заканчивается следующим заключением.]
Заключение
После того, как мы нашли уравнения (17), которые представляют
зависимость углов п боков треугольника; когда, наконец, дали мы
общпе выражения для элементов линий, площадей и объема тел, все
прочее в Геометрии будет уже аналитикой, где исчисления необходимо
должны быть согласны между собою и ничего не в состоянии открыть
нам нового, чего бы не заключалось в тех первых уравнениях, откуда
должны быть взяты все отношения геометрических величин друг
к другу. Итак, еслп надобно предполагать теперь, что какое-нибудь
противоречие принудит впоследствии опровергнуть начала, принятые
памп в этой новой Геометрии, то это противореча может только
скрываться в самых уравнениях (17). Заметим однако ж, что эти
уравнения переменяются в (16) сферической Тригонометрии как скоро
вместо боков а, Ь, с ставим а\Г — 1, Ъ — 1; с]/ — 1; но в обыкно-
венной Геометрпп и сферической Тригонометрии везде входят одни
содержания линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Триго-
нометрия и эта новая Геометрия всегда будут согласны между собой.
Если теперь аналитика с новой — назовем воображаемой Геометрией,
в отличие от употребительной — соглашены уже между собою, то можно
ожидать от той и другой взаимного пособия. Это ожидание кажется
не без основания после того, как, предположивши собственно достиг-
нуть только одной цели — дать общпе ^правила для измерения всех
геометрических величин, — идя прямо к этой целп и дозволивши себе
мимоходом только некоторые применения, мы были в состоянии от-
крыть значения определенных интегралов, к познанию которых одной
аналитике, без пособия Геометрпп, трудно было бы проложить дорогу.
Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от
введения воображаемой Геометрии в Механику, и не встретится ли
здесь принятых уже и несомнптельпых понятий о природе вещей, но
которые принудят нас ограничивать пли совсем не допускать зависи-
мости линий п углов. Однако ж можно предвидеть, что перемены
в Механике при новых началах Геометрии будут того же рода, какие
покайал Г. Лаилас (Mecanique celeste. Т. I, Liv. I, Ch. II), предпо-
лагая возможной всякую зависимость скорости от силы, пли — выра-
зимся вернее — предполагая силы, измеряемые всегда скоростпю, под-
чиненными другому закону в соединении, нежели принятому сложе-
нию их.
4 Зак. 1164. Об основаниях геометрии
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ПЕРВАЯ ЧАСТЬ СОЧИНЕНИЯ]
(1835)
Предложение XII Эвклидовых начал принято в Геометрии как
ощутительная истина, которую строго доказать математически напрасно
трудились в продолжении двух тысяч лет. Особенно занимался этим
предметом Лежандр, и в записках французской Академии собрал нее,
что по его мнению казалось более удовлетворительным (Reflexions sur
differentes manieres de demontrer la tlieorie des paralleles ou le theorems
sur la somme des trois angles du triangle, par Legendre. Memoires de 1’Acad.
roy. d. Sciences de 1’Inst. de Prance, Tome XII, an 1833) x). Кто ни
думал найти решение затруднительного вопроса, все без исключения
ошибались, будучи предубеждены в справедливости того, что не может
еще следовать прямо из наших понятий о телах, без пособия наблю-
дений, как я, думаю, доказал это несомнительно в моем сочинении
о началах Геометрии. Изложив новую теорию параллельных, я утвер-
ждал, что сумму углов прямолинейного треугольника, независимо от
измерений на самом деле, можно допускать менее половины окруж-
ности* 2), и на таком предположении основать другую Геометрию, кото-
рую назвал я воображаемой, и которая, если не существует в природе,
по крайней мере должна быть принята в Аналитике. С помощию одних
геометрических построений выведены были уравнения, которые пред-
ставляют зависимость боков и углов прямолинейного треугольника;
наконец даны выражения для елементов линии, поверхности и объема
I) Критика доказательств Лежандра и Бертрана дана Лобачевским во «Всту-
плении» it сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»
(в настоящем сборнике зта часть «Вступления» опущена). [РеЭ.]
2) Имеется в виду отношение длины полуокружности к радиусу в- евклидо-
вой геометрии, т. е. число л. Отношение длины окружности к радиусу в геомет-
рии Лобачевского зависит от радиуса. [РеЭ.]
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
51
тел; а следовательно воображаемая Геометрия, как новая отрасль
Математических наук, обнята была во всей обширности, чтоб не оста-
вить более сомнения в справедливых и достаточных ее началах.
Между тем в тесных пределах повременного сочинения не мог изло-
жить я моего предмета со всей подробностшо. Много предложений,
помещенных без доказательства, одни выводы из продолжительных
и довольно запутанных вычислений, заставляют меня подозревать,
что мое сочинение, казавшись с первого взгляда темным, предупре-
ждало охоту заняться им с некоторым вниманием и даже могло подать
повод усумниться в строгости моего суждения и в верности выведен-
ных заключений1). Эта причина понудила меня искать другого спо-
соба увериться самому в истине мной доказанного и потом осмелиться
еще раз представить мои исследования на суд ученых. Теперь, остав-
ляя геометрические построения и выбирая краткий обратный путь,
намерен я показать, что главные уравнения, которые нашел
я для зависимости сторон и углов треугольника в воображаемой
Геометрии, могут быть приняты с пользою в Аналитике и никогда
не приведут к заключениям ложным, в каком бы то ни было-
отношении а).
Пусть е означает основание Непперовых логарифмов, it содержание
окружности к поперечнику8), то самое число, которое принято в упо-
требительной Геометрии. Пусть а' какой-нибудь угол О, < и;
а число, которое вместе представляет сравнительно прямую линию,
1) Статьи о началах Геометрии помещены были в Казанском Вестнике за
1829 и 1830 годы. В № 41 Журнала Сын Отечества 1834 года напечатана критика,
весьма оскорбительная для меня и, надеюсь, совершенно несправедливая. Рецен-
зент основал свой отзыв на том только, что он моей Теории не понял и почитает
ее ошибочной, потому что в примерах встречает один нелепый интеграл. Впрочем,,
такого интеграла не нахожу я в моем сочинении. В Ноябре месяце прошедшего
года послал я к Издателю ответ, который, однако ж, не знаю почему, до сих пор,
в продолжении пяти месяцев, еще не напечатан.
[Текст критики, о которой говорит Лобачевский в этом примечании, приведен
в сборнике «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского» под ред. Л. Б. Мод-
залевского, стр. 358—362; указания об авторе этой критики см.: Н. И. Лоба-
чевский, Поли. собр. соч., т. I, стр. 406—407. РеЭ.]
2) После этого вступления Лобачевский начинает изложение своей геометри-
ческой системы. В отличие от своего первого сочинения «О началах геометрии»
он исходит здесь из новой установки, получая результаты не синтетическим,
а аналитическим методом. Об зтом см. во вступительной статье А. П. Нордена
к сочинению «Воображаемая геометрия» (Н. И. Лобачевский, Поли. собр.
соч., <л. III, стр. 12—13). Комментарии к приводимой здесь первой части
сочинения Лобачевского, сделанные А. П. Норденом, помещены там же,,
стр. 71—80. [Ре8].
3) См. примечание * 2 3) на предыдущей странице. [Ре8.]
д*
52
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
II которое можно найти помощпю одного из таких уравнений
, 1 /
cot ту а = еа,
•	64
sin а = —„ , , ,
в2О _р 1 ’
, — 1
cos а = ———-,
(.2а _р 1 >
,	,	2е«
tang а = —--— ,
Ь	е2«.-1 >
, , 1 ,
cot а = —- (е“— е~а).
Обратно угол «' определяется числом а, всегда положительным.
Вообще над буквой, которая представляет подобное число, будем ста-
вить ударение1), чтобы означить угол в том же отношении к первой,
в какой зависимости предполагаем а' с а.
В прямолинейном прямоугольном треугольнике пусть г гипоте-
нуза, р q катеты, Г и Q противоположные им углы. В предположе-
нии Р Q < тт, допускаем
sin г' == sin// sin q’,	(1)
sin г' — tang P tang Q,	(2)
tang- r' = tangp' sin P	(3)
и: посмотрим, к каким заключениям поведут далее такие уравнения.
Соединение первого с третьим дает
cos г' sin Р = eosp' sin q'.	[За]
Взявши квадрат на обеих сторонах и поставя сюда sinj/ из урав-
нения (t), находим
cos q' = cos г' cos Р	(4)
без обоюдности знаков при извлечении квадратного скория, потому
что все углы острые.
Исключаем г' пз уравнений [За], (4)
tang Р — eosp' tang q'.	(5)
То же делаем с уравнениями (2), (3).
sin Q — sinp' eosP.	(6)
Из уравнений (I), (4) еще находим [с учетом (6)]
tang г' = tang q' sin Q.
!) To-есть штрих ('). [PeS.]
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
53
Это последнее уравнение в отношении к q', Q то же, что было (3)
для р', Р, а следовательно, его соединение с первыми двумя (1), (2)
должно произвести уравнения, подобные (4), (5), (6), так что число
пх будет десять, которые все в отношении к частям треугольника
или составлены симметрически, пли без различия принадлежат тому
д другому катету с противоположными углами.
Пусть вообще а, Ь, с три стороны прямолинейного треугольника;
Л, В, С против них углы. Полагаем наперед Л it, В < -5- it (черт. 1),
так как подобные два угла должны всегда найтись в треугольнике.
Из общей точки а с b опускаем перпендикул х на с, где оп отрежет
к углу А линию у, к углу В линию с — «/ = z. Для прямоугольного
треугольника с боками Ь, х, у,
основываясь на уравнении (3),
пишем
tang b' = tang х' sin А.
Для прямоугольного тре-
угольника из а, х, z таким же
образом
tang а' — tang х' sin В;
следовательно
tang a' sin А = tang b' sin В. (7)
Черт. 1.
То же бы нашли, предположивши [,что] один из углов А, В тупой.
В прямоугольном треугольнике пз Ъ, х, у, согласно с уравнением (4)
cosy' — cos b' cos Л.
Откуда
__ ГД cos V cos A
1 — cos b' cos A
Таким же образом в треугольнике из а, х, z:
2s 1 Т cos a' cos В
1 — cos a' cos В
Потом
2с  1 Д cos a' cos В	1 Д cos V cos А
1-—cos a' cos В	1 — cos 6'cos Л
(8)
Еслп одпн из углов, например А, тупой (черт. 2), то перпендикул х
упадет на продолжение бока с в точке, которой расстояние у от
острей А п г = сД у от В. В таком случае
cos у' — — cos b' cos Л, cos z' = cos a' cos В,
54
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
ПОТОМ
___ 1 — cos V cos А
1 В cos V cos А ’
___ 1 -|- cos a' cos В
1 — cos a' cos В
Соединение двух последних уравнений дает снова уравнение (8)
которое следовательно принадлежит вообще всем треугольникам и
может быть еще представлено иначе
/	>>	(е2с—В — (е2е-I 1) cos Ъ' cos А
cos a cos В =	. ,,-4-—(------77---
(е2с -|- i) — (е2с-— 1) cos V cos А
’в.тш, следуя принятому означению, напишем
, г, сов е' — cos b' cos А
COS a COS В = -------77--------7- .
1 —- cos b' cos с' cos А
(»)
Возвысив в квадрат, ставим сюда значение cos В из уравнения (7)
О ,	- о / • а .	[ сове7—cos V cos А I2
cos3 а — sm3 a, sin3 A cot3 о = i ---77—------т- } .
I 1 — cos V cos с' cos я. )
Откуда находим
sin3 а' (1 -|- sin'3 Л cot'3 b') ~ sin2 с'
1 — cos2 V cos2 А
(1 — cos b' cos c' cos J )'-
Умиожив па sin1-// п разделив на 1 — cos’3 b' cos2 А, наконец получим
sin b' sin cz	,.	.
---— = 1 — cos b cos c cos A.
sm a'
(10)
Произведение этого последнего уравнения на уравнение (9) дает такое:
cot a' cos В sin b' sin с' = cos с' — cos b' cos А,
которое, со введением сюда значения cot а' из уравнения (7), пере-
меняется в
COS С-
cot В sin A sin с 4- cos А — —.
1	cos О'
(И)
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
55
Откуда
,,	cos с'
cos о = —, т> .—7—г—7—.----г .
cot Ь sm 4 sin е - f- cos /1
Уравнение (11) в том же треугольнике дает еще
, Z7 	. . ,, ।	, cos 6'
cot С sm A sin b -4- cos A =-----7-.
1	cos r
После чего
(cot В sin A sin c'	cos A ) (cot C sin A sin b' -j- cos 4) = 1.
Отсюда
, „ . ,,	sin A — cot В sin c' cos A
cot 0 sm b =	, p :—7——y—.----7-.
cot В sm 4 sin </ -J- cos 4
Произведение этого уравнения на (11) будет
cot С cos с' tang- b' = sin J — cot В sin e' cos 4.
Ставим сюда значение tang Ь' из уравнения (7), наперед переменив
здесь а', 4 на с', С:
sin с' cos С = sin A sin В — cos В cos A sin с'.
Это последнее уравнение разделив на sine' и заменив буквы другими
в том же треугольнике, получим
.	_	,, sin Л’sin С'	,1Q4
cos А -4- cos В cos О =--—,—.	(12)
'	sm a
Уравнения (7), (10), (11), (12) для всякого треугольника будут,
следовательно, такие:
tang a sin А — tang b' sin В = 0,
.	,	, . sin Ь' sin cJ	„
cos A cos b cos c -i-	. ,-----1 = 0,
1 sin a'
cos c?	(13 )
cot 4 sin В sin c' -4- cos В —  -7- = 0,
1	cos a'
. . T> n	sin В sin C ,
cos 4 -4- cos В cos C----:—7— — 0,
1	sm a'
всего четыре и где а', b', с' можем переставлять, делая то же соот-
ветственно с 4, В, С, покуда произойдет 15 уравнений для одного
треугольника с произвольны'ми боками а, Ь, с. Из всех этих уравне-
ний стоит выбрать три различных, чтобы вывести отсюда прочие.
Например можно довольствоваться одним вторым, отнеся его ко всем
углам треугольника. Чтобы увериться в этом на самом деле, заметим,
что, поставивши а — 1, Ь — 1,	— 1, вместо а, Ь, с и, следова-
тельно,
------ 1Л — 1 tang а	~\[ — 1 sin а,
cos а '	or
вместо
sina‘
cos а
cot а',
56
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
уравнения (13) переменяем в такие:
sin J sin b — sin В sin a. = 0, )
cos A sin b sin c -|- cos b cos c — cos« = 0, |
cot A sin В -|- cos В cos c — cotasinc = 0, ।	(14)
cos A -|- cos В cos C—sin В sin C cos a — 0 J
— известные уравнения Сс^ерической Тригонометрии и которых спра-
ведливость, скажу мимоходом, доказал я в моем сочинении о нача-
лах Геометрии, независимо от предположения о сумме углов прямо-
линейного треугольника. Второе из уравнений (14), как всякий знает,
будучи принято без различия для всех боков и углов треугольника,
заключает уже в себе и остальные три. После этого дозволяется
утверждать, что свойства прямолинейных треугольников, оправданные
вторым из уравнений (13), не встретят’ противоречия в трех других,
а следовательно, и во всех вообще вычислениях, основанных на
уравнениях (13).
Теперь посмотрим, удовлетворяют ли уравнения (13) тем усло-
виям, при которых составление всякого треугольника возможно. Таких
условий, независимо от значения суммы трех углов, находится только
два: составление треугольника всякий раз возможно, когда даны или три
стороны, из которых сумма двух более третьей, или две стороны и угол
между ними произвольные. Этому последнему требованию удовлетворяет
второе из уравнений (13), потому что здесь
Между тем, каковы два бока Ь, с и угол А ни будут’, всегда
1	2 sin2— A cos b' cos с' > cos (b'— с'\.
Л
t
Прикладывая на обеих сторонах cos b' cos с', получим
1 — cos b' cos с' cos И > sin b' sin с'.
После чего sin а’ <1 и, следовательно, угол аг с линией а действи-
тельные числа. Что касается до другого условия, то из второго урав-
нения (13) находим
1-----------sin а’ — sin V sin с'
cos А = —---Т - 	—--------------,
sin a' cos V cos с'
потом переходя от тригонометрических функций к их значению в ли-
ниях а, Ь, с
„пя Л _ (е<> + е~ Ь) (ее + е~с) — 2 (е° + е ~ °)
(е®—е-Ь) (е« —е-с)
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
57
Пусть a=b — c~\-d, то
, 1 .	(Рзг-+г7—1)(г2е-й_1)
cos' — А —-----------------тт— .
2	((Д—1) (е^е—1)
Пусть еще
с»=1-{-3, е2с = 1-Н,	ed=l-|-8,
так, что необходимо р, у, 8 положительные числа и при том
d > О,	Т > 8-
После этого значению cos‘22-vt можем дать двоякий вид:
2
cos2^-H = (1 — --) { 1 +	’
о 1 .	,	. ( 1	1	]	82
COS2 -7-71 = 1 Ci------V- j-= J  , ,, , -Г ,
2	I 7 Р(т + °) 1	Ml +°)
первый доказывает, что cos22-t1>0, а второй, что cos2-^-^!^ 1,
п следовательно, угол А действительный.
Ищем теперь сумму углов во всяком треугольнике, чтобы решить,
как опа предполагается с тем вместе, когда уравнения (1), (2), (3)
будут приняты для прямоугольного треугольника. Разумея s = а -|- Ъ -|- с
и начиная с
1	(es-2n — X)(es —1)
cos—4 — (eab_1)(fac_1) ,
как сейчас видели, не трудно продолжать и найти
. g 1	gs—2a(gS—2Ь — l)(es-2c_l)
sm- y -I — (е2Ь_ (f2c_
1	.	1 D es—1 c~s . 1
cos -r A cos — В = ——e z sm -г G,
2	2 e2c — 1	2 7
i . i e2 — e° 2 . 1 p
sm -7 A sm — В =---z-—4----sm — G,
2	2	e3c — j	2
• 1 a l-o	e®"2b —1	1 r<
sm — A cos — В = ez —------— cos—G.
2	2	e2C —1	2
1 .	1 D |s-bPs-2«_1	1
cos -77 A cos — В — e 2	—cos G,
2	2	e2c —1	2 7
4	1	t	1
1	-----8 /’.b* —J— f>c
cos у (A + B) = e 1	sm--C,
sm-^-(A -|-P)=e2 gc^_ г -cos у C,
1	. , . „ . ™	(1 —e-«)(l—e-Ь)	. 1	1
cos (A —I—В —I— d} — =	— ;	c sm , C cos , C,
2	v 1	1	7	ec 1	2	2
58
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Ставя в это последнее уравнение значения sin-д-G’, cos -5- С, получим:
cos i(J- + B+C') =
Ал
у(es — 1) (gs-2a — 1) (ез-2Ь _ 1) (es-2c _ 1)
(е« +1) (eb 4- 1) (ее 1)
— число менее единицы, потому что углы А, В, С действительные,
как мы уже доказали. Это число вместе положительное, потому что
С < л, и наконец не делается нулем, покуда каждые две стороны
треугольника более третьей; а следовательно, А	тс, един-
ственное предположение, которое до сих пор в Геометрии нельзя было
опровергнуть.
В этом самом предположении, чтобы дополнить всё Геометрическое
учение, остается теперь указать только способ, каким образом должны
быть измеряемы линии, поверхности и объем тела. Способ к тому
сам собой уже представляется, когда заметим, что для весьма малых
сторон а, Ъ, с в треугольнике и когда можем довольствоваться в при-
ближении значениями
sin«' = l----cos а' — а,
подобным образом для Ь, с; уравнения (13) сделаются
b sin А—«sin В— О,
а2 — /;2 _|_ с2-2bc COS А,
с	(15)
sin (Л -]- В)---— sin 4 = 0,
cos А -|- cos (В -|- С) = 0
— уравнениями для прямолинейных треугольников в употребительной
Геометрии ').
!) Далее, в заключении первой части сочинения Лобачевский подводит итоги
полученным ранее результатам, формулируя их в виде пяти;пунктов.’|
В гпервых двух пунктах он утверждает, что^постулируемые имстригономет-
рические соотношения не противоречат положениям^абсолютной геометрии. ^Он
считает, что обосновал эту»-непротиворечивость,?показав,’тсчтодтреугольникп может
быть-{построен по =тем  же ^данным |и с*тем^же^ограничениемчдля'-дл1ш сторон,
что и в геометрии^ЕвклидаЛКонечно,' сйсовременной^точки^зрения,'это доказа-
тельство нельзя считать строгим.
В третьем пункте он^говорит, что «ВоображаемаяТгеометрия»^обнимает упот-
ребительную геометрию как частный случай,^-разумея под частным случаем то,
что мы назвалиЗбы теперь-хпредельным случаем.
В четвертом пункте констатируется вытекающая из третьего пункта общность
отношении, которые имеют место в бесконечно малом в обеихсгеометриях.)
Наконец, в пятом пункте, снабженном подробным пояснением, он указывает
на то, что опыт (т. е. астрономические наблюдения) не позволяет заметить отли-
чие геометрии реального пространства от геометрии Евклида. На ©том основании
ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
59
После всего этого мы в праве утверждать:
1.	В теории ничто не мешает сумму углов прямолинейного треуголь-
ника принимать менее двух прямых.
2.	С таким предположением уравнения (13) заменяют уравнения (15)
и не могут вести к ложным заключениям.
3.	Воображаемая Геометрия обнимает употребительную Геометрию,
как частный случай, к которому переходим, принимая линии бесконечно
малыми: так что в этом отношении употребительная Геометрия может
быть названа Геометрия дисффзеренциальная.
4.	Значения Оля елементов линии, поверхности и объема тел в обеих
Геометриях одинаковы.
5.	Предположение, что сумма углов треугольника менее двух прямых,
может быть Оопущено только в применении к Аналитике, потому что
измерения в природе не открывают нам в этой сумме ни малейшего откло-
нения от половины окружности.
В моем сочинении о началах Геометрии я доказывал* 1), осно-
вываясь на некоторых астрономических наблюдениях, что в тре-
угольнике, которого бока почти таковы, как расстояние земли до
солнца, сумма углов может разниться от двух прямых не более
О",000003 и) в шестидесятпчных секундах градуса. Предположение упот-
ребительной Геометрии надобно, следовательно, почитать как бы
строго доказанным, а вместе быть убеждену и в том, что независимо
от опыта, напрасно было бы искать доказательства на такую истину,
которая еще не заключается сама собою в нашем понятии о телах.
Может быть кому-нибудь покажется с первого взгляда предположение
уравнений (1), (2), (3) столько произвольным, что его легко заме-
нить другим; однако ж этого сделать нельзя, как доказал я в моем
сочинении о началах Геометрии. В самом деле, выбор здесь ограни-
чен такими условиями, которым иначе удовлетворить невозможно.
Падобпо, чтобы из первых трех положений для прямоугольного
треугольника происходили четыре уравнения для всякого, которые
бы одинаково применялись ко всем частям этого последнего, а сле-
довательно, заключали в себе собственно 15 уравнений, единообразно
составленных для сторон и углов, как скоро их отношение в треу-
гольнике остается то же. Надобно, чтобы в четырех уравнениях для
всякого треугольника заключались, как частный случай, те три,
которые приняты в употребительной Геометрии. Надобно еще удо-
влетворить двум требованиям, чтобы составление треугольника было
он утверждает, что «Предложение употребительной геометрии надобно, следова-
тельно, почитать как бы строго доказанным». [Z’eO.]
1) См. стр. 46—48 этой книги. [РеЭ.]
См. примечание !) на стр. 48. [Рей.]
60
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
возможно. Наконец, присоединяется условие, которое произвол выбора-
уже совершенно уничтожает. Сумма углов в треугольнике должна
быть всегда менее двух прямых и увеличиваться с возрастанием
площади пропорционально к недостатку в сумме углов протпв тг.
Действительно, ежели в треугольнике сумма углов т: — а, а в дру-
гом т — р, п оба треугольника соединяются в один, то здесь уже
сумма углов будет тг — а — ;3. Это замечанпе остается верным даже
и в том случае, когда для составления треугольника пз двух потре-
буется деление на части и расположение частей в новом порядке.
На таком свойстве треугольников можно бы основать уже полную-
теорию параллельных и, следовательно, всю Геометрию; но я пред-
почел способ, изложенный в моем первом сочинении об этом пред-
мете, и где все доказательства, с одними геометрическими постро-
ениями, в естественном ходе самой науки, совершенно свободны от
предположения аналитических функций.
Займемся теперь применениями к Аналитике, и в этот раз, остав-
ляя способ геометрических построений, для простоты и поверки будем
основываться единственно на одинаковости значения елемептов в той
п другой Геометрии.
[От р е д а к ц и и. Всю остальную часть своего сочинения Лоба-
чевский посвящает вычислению площадей, поверхностей п объемов,
существенно дополняя результаты, полученные пм в сочинении «О
началах геометрии».
Сочинение «Воображаемая геометрия» заканчивается следующими
словами:]
Покуда в воображаемой Геометрии дело идет о линиях одной
кривизны и площадях, такими линиями ограниченных, еще вычи-
сление может быть понимаемо, как повторение того же, какое должно
выходить для линий на сфере с прибавлением к величине Дуг мно-
жителя — 1. Эту перемену дозволяет Аналитика во всяком роде
уравнений и приводит всегда к новым и несомнптельно верным за-
ключениям. В измерении же лпнпй двойной кривизны, поверхностей
и объема тел нельзя более довольствоваться одним аналитическим
изменением вида; напротив, еще требуется, чтобы представление
в пространстве было возможным для нашего воображения. Кажется
мне, что наложенное здесь новое Геометрическое ученпе ни в каком
отношении не противно понятпю о телах, п переходя в аналитику,
может обещать подобную пользу той, какую в применении оказывает
употребительная Геометрия.
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
(1835)
Вступление 1)
Всем известно, что в Геометрии теория параллельных до сих пор
оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида,
в продолжении двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что
в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели
доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, 1 * * * * * * В
1) Во вступлении к «Новым началам геометрии» Лобачевский, упомянув кратко
о своих предшествующих работах по «воображаемой геометрии», как он называл
построенную им геометрическую систему, указывает, что настоящее сочинение
является подробным изложением его новой геометрии.
Он начинает с детального анализа важнейших современных ему попыток
доказать пятый постулат Евклида.
Далее он выясняет отношение его геометрии к геометрии евклидовой и
рассматривает вопрос опытной проверки приложимости той или иной геометрии
к реальному пространству.
Критикуя обычно принятый способ изложения геометрии, восходящий еще
к «Началам» Евклида, при котором вводимые формально понятия точки, линии,
поверхности, протяжения и т. п. не имеют ясного содержания, Лобачевский пола-
гает, что в основу следует положить понятие, отражающее наиболее существен-
ные пространственные свойства материальных предметов окружающего пас мира,
— понятие геометрического тела.
Рассматривая далее роль синтеза и анализа в геометрии, Лобачевский ука-
зывает, что, прежде чем прибегать к аналитическим методам, необходимо уста-
новить на основании опытного исследования и рассуждений некоторые основные
положения, привести их в систему и разработать настолько, чтобы они могли
служить твердым основанием для введения и применения координатного анали-
тического метода.
В заключительном разделе вступления Лобачевский высказывает основные
положения, на которые опирается теория измерения длин, углов, площадей и
объемов.
Подробные примечания к «Вступлению», сделанные Б. Л. Лаптевым, поме-
щены во II томе Поли. собр. соч. Лобачевского, стр. 455—465. [Рей.]
62
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблю-
дения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден, и
почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом
я рассуждение в 1826 году1). Применение новой теории к аналитике
находится также в статьях под названием о началах Геометрии, поме-
щенных в Казанском Вестнике за 1829 и 1830 годы * 2 3 * *). Главное заклю-
чение, к которому пришел я с предположением завпспмостп линий от
углов, допускает существование Геометрии более в обширном смысле,
нежели как ее представил нам первый Евклид. В этом пространном
виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный
случай входит Употребительная Геометрия с тем ограничением в общем
положении, какого требуют измерения на самом деле. Достаточность
новых начал предпринимал я доказывать в сочинении, которое было
недавно напечатано в ученых Записках Казанского Университета8).
Желая достигнуть этой цели хотя не прямым, но самым кратким
обратным путем, я предпочел в тот раз от оснований предположи-
тельных идти к уравнениям для всех отношений и к выражениям
для всякой Геометрической величины. Если б открытие мое не при-
несло другой пользы, кроме пополнения недостатка в начальном
учении, то по крайней мере внимание, какое постоянно заслуживал
этот предмет, обязывает уже меня к изложению подробному. Начну
разбором прежних теорий.
Легко доказать, что две прямые, наклоненные под одним углом
к третьей, никогда не встречаются, делаясь, таким образом, перпен-
дикулярны к одной. Евклид полагал обратно, что две линии, накло-
ненные неодинаково к третьей, должны всегда пересекаться. Чтоб
увериться в справедливости последнего предложения, прибегали
к различным способам, то стараясь наперед отыскать сумму углов
в треугольнике, то сравнивая бесконечные плоскости в отверстии
углов и между перпендпкуламп, то допуская зависимость углов только
с содержанием сторон, пли, наконец, придавая новые свойства пря-
мой линии в дополнение к определению. Из всех этих доказательств
!) Exposition succincte des principes de la Geometric, avee une demonstration
rigoureuse du theoreme des paralleles, читано в заседании Физико-математи-
ческого отделения при Казанском университете 12 февраля 1826 года, но не было-
нигде напечатано.
[Рассуждение «Exposition succincte ...» было читано Лобачевским не 12 фе
враля 1826 года, как указывает он в этом примечании, а 11 февраля 1826 года. Ред.]
2) Первая часть этого сочинения помещена в настоящем сборнике (стр. 27 —
49). [Ред.]
3) В книжке I Ученых Записок 1835 года под названием Воображаемая Гео-
метрия. (Первая часть сочинения «Воображаемая геометрия» помещена в насто
ящем сборнике (стр. 50—60). [РеО.]]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
63
можно некоторые назвать остроумными, но все вообще ложными,
недостаточными в своих основаниях и без должной строгости
в суждении; между ними даже нет такого, которое бы, соединяя
с простотой убедительность, могло быть одобрено для начинаю-
щих.
Лежандр в 1800 году напечатал третьим изданием свою Геоме-
трию х), где поместил предложение, что сумма углов треугольника
не может быть более it, двух прямых. Тут же доказывал, что такая
сумма не должна быть <( it, выпустив однако ж из внимания то,
что линии могут не составлять более треугольника вместе с тем,
когда значение суммы, выведенное по другому способу, представляло
бы какую-нибудь несообразность. Не почитаю нужным распростра-
няться здесь об этой ошибке, в которой сознался после сам Лежандр,
говоря, что хотя в основание взятые начала не подлежат сомнению,
но встречает, однако ж, затруднения, не будучи в состоянии победить
их* 2). В Записках Французской Академии 1833 года прибавил он еще
предложение, что сумма углов должна быть it во всех треугольниках,
если такова в одном только. То же мне надобно было доказывать и
в моей теории, которую писал я в 1826 году3). Даже нахожу, что
Лежандр несколько раз попадал на ту дорогу, которую выбрал я так
удачно; но, вероятно, предубеждения в пользу принятого всеми по-
ложения заставляли на каждом шагу спешить заключением или до-
полнять тем, чего бы нельзя было допускать еще в новом предполо-
жении. Рассмотрим все то, что напечатал он об этом предмете
в Записках Французской Академии 1833 года.
[От редакции. Далее Лобачевский приводит известные «дока-
зательства» V постулата Евклида и предложений ему равносильных.
Неправильность этих доказательств устанавливается Лобачевским при
помощи соотношений тригонометрии в неевклидовом пространстве.
Элементарное изложение этих вопросов имеется в очерке В. Ф. Кагана
«Учение о параллельных линиях до открытия неевклидовой гео-
метрии» (см. В. Ф. Каган, Лобачевский и его геометрия, М., 1955,
стр. 21—69).]
') A. Legendre, Elements de Geom6trie, 3-е изд., Paris, 1800, стр. 472.
(Книга 1, предл. 19 и 20, стр. 21—25.) См. В. Ф. Kara н, Лобачевский и его
геометрия, М., 1955, стр. 54 и след. [.Ре0.]
2) Вот собственные слова Лежандра: «Nous devons avouer que cette seconde
proposition, quoique le principe de la demonstration fut bien connu, nous a presente
des dillicultes que nous n’avons pu entierement resoudre». (Memoires de 1’Acad.
d sc. de 1’Inst. de France, Tome XII, 1833, p. 371.)
3) Это предложение Лобачевский доказывал еще в лекциях по геометрии,
читанных в 1817 году студентам Физико-математического отделения Казанского
университета. Соответствующий отрывок из записей этих лекций приведен на
стр. 504 II тома Поли. собр. соч. Лобачевского. (Ре0.]
64
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
В теории параллельных думали принять еще за основание, что
в треугольниках углы должны зависеть от содержания сторон г).
С первого раза такое положение кажется столько же простым,
сколько необходимым; но когда вникаем в наши понятия, откуда
берет оно свое начало, то принуждены называть его так же произ-
вольным, как и все другие, к которым до сих пор прибегали.
В природе мы познаем собственно только движение, без которого
чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия,
например, Геометрические, произведены нашим умом искусственно,
будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство, само
собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме
не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что
некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой
Геометрии. Чтобы пояснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом
уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своего
действия по сфере. В употребительной Геометрии величину сферы
принимают 4лг* 2 для полупоперечника г, от чего сила должна умень-
шаться в содержании к квадрату расстояния. В воображаемой Геомет-
рии нашел я поверхность шара
тг (ег — е -’’)2,
и такой Геометрии, может быть, следуют молекулярные силы, кото-
рых за тем все разнообразие будет зависеть от числа е, всегда весьма
большого а). Впрочем, пусть это чистое предположение только, для
подтверждения которого надобно поискать других убедительнее дово-
дов; но в том, однако ж, нельзя сомневаться, что силы всё произ-
водят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и
углы. С силами всё находится в тесной связи, которую не постигая
в сущности, не можем утверждать, будто в отношение разнородных
величин между собою должны только входить нх содержания. До-
пуская зависимость от содержания, почему не предполагать и зави-
симости прямой? Некоторые случаи говорят уже в пользу такого
мнения: величина притягательной силы, иапрпмер, выражается мас-
сою, разделенной на квадрат расстояния. Для расстояния нуль это
выражение, собственно, ничего не представляет. Надобно начинать
с какого-нибудь, большого или малого, но всегда действительного
расстояния, п тогда только сила появляется. Теперь спрашивается,
1) Такого рода соображения приводил Лежандр в первом издании своих
«Elements» (1794 г.), статья IV, и в «Reflexions...» (1833 г.). См. В. Ф. Каган,
Лобачевский и его геометрия, М., 1955, стр. 65—69. [РеЭ.]
2) Здесь е обозначает число, связанное с радиусом кривизны пространства
соотношением г = —-—. [Ре0.1
In е
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
65
как же расстояние производит эту силу? как эта связь между двумя
столько разнородными предметами существует в природе? Этого,
вероятно, мы никогда не постигнем; но когда верно, что силы зави-
сят от расстояния, то липни могут быть также в зависимости с угла-
ми. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, кото-
рых различие не заключается собственно в понятии, но только в том,
что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке
наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами
видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений.
Как бы то ни было, но предположение, что содержание только
расстояний может определять углы, будет частный случай, к кото-
рому всякий раз переходим, принимая линии бесконечно малыми.
Способ употребительной Геометрии приводит, следовательно, всегда
к заключениям верным, однако ж не в таком обширном виде, в каком
дает их общая Геометрическая система, которую назвал я Воображае-
мая Геометрия. Разность в уравнениях той и другой происходит от
прибавления нового постоянного, которое должны бы давать уже
наблюдения, но которое без чувствительной разности находим от-
сюда таково, что в измерениях на самом деле принятая всеми
Геометрия более нежели достаточна, хотя б она сама по себе не
была строго верной. Это значит, что в природе такая система либо
находится случайно, либо все доступные для нас расстояния в ней
еще бесконечно малы. Вообще, всякое положение, которое Вообра-
жаемая Геометрия допускает в элементах величины, будучи принято
для линий в большом размере, должно необходимо приводить к пра-
вилам обыкновенной Геометрии, потому что с таким предположением
удерживаются только первые степени тех чисел, которые предста-
вляют собою линии, а следовательно, везде в уравнениях войдут их
содержания. Таковы положения, например, что расстояния между
двумя церпепдпкуламп везде равны, что перпендикул описывает
вершиной прямую линию, что круг с возрастанием поперечника
переходит в прямую линию. Из всех известных подобных положений
отдать надобно преимущество тому, которое принимает зависимость
содержания линий от углов; по крайней мере здесь простота в по-
нятии близка даже к первой нашей опытности; но вот и все, что
можно сказать в защищение: всякое другое суждение будет «либо
ложно, либо неосновательно. Так нельзя затрудняться тем, что с не-
посредственной зависимостью линий от углов войдет одна величина
столько же произвольная, как и выбор единицы. Против этого можем
отвечать, что ничто не мешает представлять себе в уравнениях
содержание линий не к одной из тех, которые тут рассматриваются,
но к такой, которая каким-нибудь образом определена в природе.
Это показал я в Воображаемой Геометрии, дав уравнения, где все
5 Зак. 1164. Об основаниях геометрии
66
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
линии входят в содержании к одной только, которую бы требова-
лось найти из наблюдений, если б они были к тому достаточны.
Почитаю не нужным подробно разбирать другие положения, слишком
искусственные, либо произвольные. Из них одно только заслуживает
еще некоторое внимание: это переход круга в прямую линию. Не-
достаток виден здесь, впрочем, с первого раза в нарушении посте-
пенности, когда кривая, которая не перестает замыкаться, как бы
ни была велика, должна грубо превратиться в бесконечную прямую,
потеряв, таким образом, существенное свойство. В этом отношении
Воображаемая Геометрия гораздо лучше пополняет промежуток. В ней
увеличивая круг, которого все полупоперечники сходятся в одну точку,
приходим наконец к такой линии, где нормальные [прямые] сближают-
ся в бесконечности, хотя не могут уже пересекаться. Такое свойство
не принадлежит, однако ж, прямой, но той кривой линии, которую
назвал я предельной круга в сочинении моем о началах Геометрии.
Наконец, если затруднительную задачу параллелизма надобно
решить опытом, то предложенный Лежандром, укладывать шесть
раз полупоперечник по кругу, без сомнения должен почитаться
слишком недостаточным. В моих началах Геометрии, пользуясь Астро-
номическими наблюдениями, показал я, что в треугольнике, которого
бока равняются почти с расстоянием земли до солнца, сумма углов
не может разниться с двумя прямыми более 0,000003 секунды градуса.
Эта разность увеличивается в геометрическом содержании к бокам
треугольника, а следовательно, до сих пор употребительная Геомет-
рия, как я заметил выше, более нежели достаточна в измерениях
на самом деле. К такому заключению можно даже притти с помощью
предложений довольно простых и приличных началам науки, хотя
полная теория требует уже совершенно переменить порядок в пре-
подавании, с присоединением сюда Тригонометрии.
К несовершенству в теории параллельных надобно было при-
числять определение самой параллельности. Однако ж это несовер-
шенство нисколько не зависело, как подозревал Лежандр, от недо-
статка в определении прямой линии, ни даже от тех недостатков,
прибавлю, которые скрывались в первых понятиях, и которые на-
мерен я здесь указать и попытаться, сколько могу сам, их исправить.
Геометрию начинают обыкновенно, придавая телам три протяже-
ния, поверхностям два, линиям одно, в точке не допуская никакого.
Называя три протяжения: длина, ширина, высота, и разумея под
этими названиями собственно три коордонаты, спешат, таким обра-
зом, преждевременные понятия сообщить словами, которым разго-
ворный язык придает уже какое-то, хотя для точной науки еще
1) См., примечание 1) на стр. 48. [РеЭ.]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
67
неопределенное значение1). В самом деле, как можно с ясностью
себе представлять измерение в длину, когда не знаем еще, что такое
прямая линия? Как можно говорить о ширине, высоте, ничего не
сказав наперед о перпендикулах, о плоскости, как бывают перпен-
дикулы в одной и в разных плоскостях? Наконец, если в точке нет
ни одного протяжения, то что же в ней остается затем, чтоб она
могла быть предметом суждения? Пусть и так, что прямую линию
всякий ясно себе представляет, хотя не может еще дать отчета в своем
понятии; но спрашивается, каким образом помощию прямой должен
он назначать теперь одно протяжение в кривой линии, два в кривой
поверхности ?
Правда, нет необходимости требовать, чтобы длина, ширина, вы -
сота были друг к другу перпендикулярны: довольно когда для них
взяты линии в различных направлениях. Однако жив этом случае
встречаются своего рода затруднения. Принимая за правило прежде-
временно не заимствовать из тех понятий, которые должно раскрыть
еще впоследствии, — как, спрашивается, выразить теперь условие,
чтобы три размера в телах принадлежали трем прямым в разных
плоскостях? Потом, различное направление двух частей от точки
перелома на линии не должно смешивать с двойным протяжением
в плоскости, и наконец, определить вполне, что такое надобно разу-
меть под направлением и под углом. Короче: пространство, протя-
жение, место, тело, поверхность, линия, точка, направление, угол —
слова, которыми начинают Геометрию, но с которыми никогда не
соединяют ясного понятия.
Между тем, на все такие предметы можно смотреть еще с другой
стороны. Надобно заметить, что темноту в понятии здесь производит
отвлеченность, которая в применении к действительным измерениям
делается лишней, а следовательно, в самую теорию введена напрасно.
Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, суще-
ствуют только в нашем воображении; тогда как измерение поверх-
ностей и линий производим, употребляя к тому тела. Вот почему
стоит только говорить о поверхностях, линиях и точках, как [их
в действительном измерении разуметь должно, и тогда будем уже
держаться тех самых понятий, которые с представлением тел в на-
шел: уме непосредственно соединены, к которым наше воображение
приучено, которые можем поверять в природе прямо, не прибегая
наперед к другим, искусственным и посторонним. Но с этими новыми
понятиями наука в самом начале получает другое направление,
t) Такого рода изложение начал геометрии можно найти, например, в рас-
пространенном в те годы «Курсе математики» профессора Харьковского универ-
ситета Т. Осиневского (часть 2, изд. 2, СПБ, 1814 г., стр. 338). [Ре0.]
5*
68
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
которому следует, покуда не перейдет в аналитику; так что способ
преподавания теперь уже принимает особенный вид. Постараюсь
объяснить, в чем эта перемена может заключаться.
В Математике следуют двум способам: анализу и синтезу. Отли-
чительную принадлежность анализа составляют уравнения, которые
служат первым основанием всякому суждению и ведут уже ко всем
заключениям. Синтез, или способ построений, требует того самого
представления, которое соединено непосредственно с первыми поня-
тиями в нашем уме. Главная выгода в анализе та, что здесь от
уравнений идут всегда прямою дорогой к предположенной цели.
Синтез не подчиняется каким-нибудь общим правилам, но с него
надобно начинать по необходимости, чтобы, наконец, отыскав урав-
нения, достигнуть с тем вместе той черты, за которой все переходит
уже в науку чисел. Напрпмер, в Геометрии доказывают, что два
перпендпкула не пересекаются, что с равенством некоторых только
частей треугольники бывают уже во всем одинаковы. Напрасно бы
хотели такие случаи, как и всю теорию параллельных, рассматри-
вать аналитически. В этом никогда не успеют так же, как не могут
обойтись без синтеза в измерении плоскостей, ограниченных пря-
мыми линиями, в измерении тел, ограниченных плоскостями. Само
по себе разумеется, что в синтезе даже должно пользоваться пособием
анализа; но то неоспоримо, что в началах Геометрии и Механики
никогда не может анализ быть единственным способом. Геометрии
до известной степени всегда будет принадлежать собственно геомет-
рическое, никаким образом от пее неотъемлемое. Можно стеснять
крут синтеза, но совсем уничтожить его нельзя. Даже в этом ста-
рании заменить синтез анализом, пе надобно столько спешить уже,
чтобы допускать всякий раз функции, где только зависимость пред-
видеть можно, не зная в чем еще заключается, того менее, как
будет она выражаться. С этим ограничением в анализе назначаем
истинную цель и надлежащее место другому способу1), который
один сперва начинает науку с таких понятий, откуда суждение про-
изводит уже все прочее, выводя тотчас из первых его данных новые,
так потом и далее расширяя пределы наших познаний во всех на-
правлениях до бесконечности. Первыми данными без сомнения будут
всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством
наших чувств. Ум может и должен их приводить к самому мень-
шему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке.
Однако ж обыкновенно синтетическому способу в этом виде, с соблю-
дением всех сказанных здесь правил, никто не следует, предпо-
читая, хотя бы прежде времени, вводить анализ и предполагая
1) To-есть синтезу. [РеЭ.]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
69
развитие, хотя бы неполное, тех понятий, которые составляют при-
родный ум наш п которым остается придать только названия, не
распространяясь много в объяснениях и не затрудняясь точностию
в определениях. Если легкость и простота заставляют избирать такой
способ преподавания, то на стороне строгой истины всегда будет
свое преимущество, которым когда-нибудь надобно пользоваться.
Первый опыт этому сделал я с Алгеброй ]) и теперь предпринимаю
то же с Геометрией.
Чистый анализ, без всякой уже примеси синтеза, не прежде
может начинаться в Геометрии, как после того, когда всякая зави-
симость представлена будет уравнениями и для всякого рода геомет-
рической величины будут даны выражения. Величину в Геометрии
можем понимать только с измерением, которое для кривых линий
и поверхностей собственно не существует. Как бы малы ни были
взяты части кривой, [они] остаются всегда кривыми, следовательно,
помощию прямой никогда пе могут быть измерены. То же надобно
сказать о кривой поверхности, где как бы тесно части ни были раз-
граничены, никогда не будут плоскими. С другой стороны, в при-
роде нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых
поверхностей: в ней находим одни тела, так что все прочее, создан-
ное нашим воображением, существует в одной теории. Лагранж
в основание принимал положение Архимеда, что две точки на кри-
вой могут быть всегда взяты так близко, чтобы дуга между ними
почиталась уже более хорды, но меньше двух касательных к дуге,
проведенных от ее концов до взаимной встречи (Theorie des fonctions
analytiques, par Lagrange). Такое положение действительно необхо-
димо, но с ним уничтожается начальная мысль, мерить кривые линии
прямыми. Тот же случай с поверхностями, когда предполагают мерить
их плоскостями. Итак, вычисление длины кривой линии, как и
величину кривой поверхности, нисколько не представляет, так
сказать, выпрямление кривизны, но клонится совсем к другой
цели: сыскать границу, к которой тем ближе подходит измерение
на самом деле, чем это последнее сделано вернее. Измерение
же полагают вернее той цепью, которой звенья мельче; самым
верным, наконец, когда вместо цепи берут тонкую нить, совершенно
гибкую. Вот почему в Геометрии надобно собственно доказывать то,
что сумма касательных уменьшается вместе с тем, как сумма хорд
увеличивается, покуда две суммы перестанут приметно разниться
с границей, к которой обе приближаются и которую Геометрия
принимает уже за длину кривой линии. Теперь ясно, что вычисление
*) Н. Лобачевский, Алгебра или вычисление конечных. (Поли. собр. соч.,
т. IV). [РеЭ.]
70
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
по такому правилу тем согласнее бывает с измерением, чем это
последнее вернее. Здесь видно также, на чем основано положение
Архимеда. По примеру кривых линий должно рассуждать о вели-
чине поверхностей, нисколько не утверждая, будто весьма малые
частп способны выпрямляться.
Для плоскостей, ограниченных кривыми линиями, и для тел,
ограниченных кривыми поверхностями, также в строгом смысле не
существует измерения, как скоро мерою должны служить в первом
случае квадрат, во втором куб. Однако ж всегда предполагая найти
только границу, к которой действительное вымеривание прибли-
жается, надобно показать, что к такой границе непременно всякий
раз приходим; потом объяснить, каким образом измерение должно
себе представлять и как в нем можем достигать желаемой точности.
Чтобы удовлетворить всем этим требованиям, нельзя здесь обойтись
без особых вспомогательных положений, которые принимают уже за
аксиомы: 1) плоскости равны !), когда для составления одной из
них другая делится на частп, которые соединяются в новом порядке;
2) плоскость менее той, в которой она вся помещается, не наполняя
при том ее совершенно; 3) величина треугольника исчезает с бес-
предельным уменьшением одной стороны. Последнее положение даже
необходимо в измерении самых плоскостей. К подобным аксиомам
надобно прибегать и в измерении тел.
t) См. примечание на стр. 29. [РеЭ.]