Текст
Л. С. ПОНТРЯГИН
итии
АНАЛИЗ
да пшют
Л. С. ПОНТРЯГИН
ШТЕ)Ш11'1Е('1;ИЙ
ШЖ
да 10ШЫП
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 О
22.16
П 56
УДК 517
Понтрягин Л. С.
П 56 Математический анализ для школьников. — М.:
Наука, 1980. — 88 с. — 10 к.
Брошюра предназначается для первоначального ознакомления с ма-
тематическим анализом. Она включает в себя материал, охватывающий
все разделы математического анализа, изучаемые в средней школе.
В брошюре рассматриваются производные многочленов, тригонометри-
ческих функций, показательной и логарифмической функций. Интеграл
определяется как операция, обратная дифференцированию, как пло-
щадь графика и как предел конечных сумм. В конце книги даются
упражнения к каждому параграфу. В книге делается упор ие на стро-
гость изложения, а на вычислительную технику.
Для учащихся старших классов средней школы.
П oS(O2)S 82-801702050000
ББК 22.16
517.2
© Издательство «Наука ».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................4
§ 1. Производная.............7
§ 2. Вычисление производной многочлена.13
§ 3. Максимум и минимум. Теорема Ролля и формула Лаг-
ранжа .................................................17
§ 4. Исследование функций....................23
§ 5. Производные тригонометрических функций и некоторые
правила дифференцирования...............................30
§ 6. Неопределенный интеграл................................37
§ 7. Определенный интеграл .................................42
§ 8. Постулат сходимости....................................48
§ 9. Бином Ньютона и сумма геометрической прогрессии . .51
§ 10. Функция ех.............................................54
§11. Функция 1пх............................................61
§ 12. Разложение функции ех в ряд............................63
§J3. Послесловие. О теории пределов..........................64
Упражнения...................................................69
!♦
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга, объемом около пяти листов,
рассчитана на то, чтобы при удаче стать учебником ма-
тематического анализа в средней школе. Она содержит
все, что может войти в любой вариант учебной про-
граммы. Книга начинается не с определения предела и
правил его вычисления. Предел трактуется в ней как
нечто само собой понятное и разъясняется на определе-
ниях касательной и производной. С этого начинается
книга. Далее вычисляются производные многочленов,
тригонометрических функций и даются правила диффе-
ренцирования произведения и дроби, а также сложной
функции. В промежутке доказываются теорема Ролля
и формула Лагранжа. На основе этого изучаются функ-
ции, находятся участки возрастания и убывания, мак-
симумы и минимумы. Интеграл определяется в трех ва-
риантах: операция, обратная дифференцированию, пло-
щадь графика, предел конечных сумм. После этого очень
тщательно изучается функция ех как предел последова-
тельности многочленов (1 ПРИ Целом п, стремя-
щемся к бесконечности. Вычисляются производные
функций ех, 1пх. В конце даются упражнения к каж-
дому параграфу, немногочисленные, но иногда довольно
трудные. В книге делается упор не на логическую стро-
гость, но на вычислительную технику. Как популярная
книга может служить для самого первоначального озна-
комления с математическим анализом. Поскольку я сам
никогда не преподавал в средней школе, при написании
книжки я руководствовался здравым смыслом квали-
фицированного математика и своими личными воспо-
4
минаниями о восприятии анализа в мои школьные вре-
мена. Хотя.тогда анализ не преподавали в средней
школе, я еще до поступления в университет был до-
вольно хорошо знаком с ним. Знал, что такое производ-
ная, интеграл и умел пользоваться этим аппаратом для
решения задач. При этом я не имел ни малейшего пред-
ставления о теории пределов. О существовании ее я
узнал только в университете и был чрезвычайно этим
удивлен. Я считаю, что начинать изложение анализа
в средней школе с теории пределов не следует. Нужно
помнить, что теория пределов исторически возникла как
надстройка над уже существовавшим анализом. Тща-
тельное изучение таких вещей, как пределы и непре-
рывные функции, может навести скуку и даже вызвалъ
отвращение. Помню, как, будучи еще школьником, в
каком-то курсе анализа я читал доказательство теоре-
мы о том, что непрерывная функция принимает все про-
межуточные значения. Это чтение вызвало у меня тогда
крайнее недоумение и раздражение. Здравомыслящий
человек должен воспринимать график функции как хо-
рошо отделанный край незазубренной металлической
пластинки. При таком восприятии понятия графика ка-
сательная на выпуклой его части должна воспринимать-
ся как край линейки, плотно прижатой к выпуклой
части края пластины, и потому ни существование каса-
тельной, ни существование производной не должны вы-
зывать сомнение. Точно так же не должно вызывать
сомнение, что существует площадь такой пластины; и
потому нет сомнения в том, что существует' интеграл.
Мне хотелось бы, чтобы школьник при изучении геомет-
рии воспринимал треугольник как сделанный из тон-
кой металлической пластинки, так чтобы его можно
было брать в руки, перекладывать на другое место и
перевертывать наизнанку. Это не значит, что таково
должно быть определение треугольника, но восприятие
его, мне кажется, должно быть именно таким. Исходя
из таких методических ‘ соображений, я начинаю изло-
жение анализа не с определения предела, а с определе-
ния касательной и производной.
Мне кажется, что в учебную программу средней шко-
лы должны быть включены лишь сведения, изложенные
в параграфах с 1 по 7. Убедительное описание функции
ех, которому посвящены параграфы с 8 по 10, представ-
2 Л. С. Понтрягин 5
ляется мне чрезмерно сложным. Тем не менее, я даю
его, исходя из требований программы. Точно так же,
для выполнения требования учебной программы я при-
вожу некоторые сведения о пределах и непрерывных
функциях, но лишь в послесловии (§ 13).
В заключение я выражаю благодарность В. Р. Те-
леснину за большую помощь, оказанную мне при на-
писании и редактировании книжки.
но
§ L ПРОИЗВОДНАЯ
При изучении функции важнейшую роль играет ее
производная. Если задана некоторая функция
У — (1).
то можно вычислить функцию f'(x), которая называется
производной функции f(x). Величина f'(x) характери-
зует скорость изменения величины у по отношению к
изменению величины х. Это, конечно, не есть определе-
ние произвЬдной, а лишь некоторое ее интуитивное опи-
сание. Подкрепим это описание рассмотрением одного
частного случая. Если зависимость (1) е.сть пропорцио-
нальная зависимость у = kx, то скорость изменения у в
отношении х, естественно, есть k, т. е. в этом случае мы
должны иметь f'(x) = k. В этом случае производная
имеет ясный механический смысл. Если х понимать как
время, а у как пройденный за это время путь, то k
есть скорость движения точки. Здесь скорость f' (х) из-
менения у в отношении х есть величина постоянная, но
при более сложной зависимости (1) величины у от ве-
личины х производная /'(х) сама является функцией
переменного х.
Производная применяется при изучении физических
процессов, где различные физические величины меняют-
ся со временем и скорость их изменения играет важней-
шую роль. Мы, однако, начнем с геометрического при-
менения производной и на этом примере уточним само
понятие производной.
Производная и касательная. Построим график функ-
ции f(x) (см. (1)) в некоторой системе прямоугольных,
декартовых координат. Для этого, как обычно, на пло- *
скости нашего чертежа проведем горизонтально ось
абсцисс, выберем на ней направление слева направо, и
2* 7
вертикально ось ординат и выберем направление на ней
снизу вверх (рис. 1). График функции f(.x) в этой си-
стеме координат представляет собой линию, которую
мы обозначим через L. Поставим перед собой'задачу
дать логическое определение касательной к линии L в
некоторой точке а этой линии и вычисления величин,
определяющих эту касательную. Для логического опре-
деления касательной выберем вблизи точки а, которую
мы пока будем считать неподвижной, другую, близкую
к ней, но отличную от нее подвижную точку а. Через
точки а и а проведем прямую линию S, которая назы-
вается секущей линии L, так как она пересекает ее в
двух точках а и.а. Точка а, принадлежащая линии L,
может находиться как правее точки а, так и левее ее.
Начнем теперь перемещать точку а по линии L, неогра-
ниченно приближая ее к точке а. При этом движении
точки а секущая S, проходящая через неподвижную
точку а и подвижную точку а, вращается, приближаясь
неограниченно к некоторой прямой К, проходящей че-
рез точку а. Эта прямая К и называется касательной к
линии L в точке а> Касательная К проходит через опре-
деленную точку а; и потому для ее точного описания
достаточного вычислить угол наклона <р этой прямой
к оси абсцисс, точнее, тангенс угла наклона tg <р.
8
Для вычисления величины tg ср вычислим предвари-
тельно tg-ф’ угла наклона гр секущей S к оси абсцисс.
Абсциссу и ординату точки а обозначим соответственно
через х и у:
а = (х, у), (2)
где х и у евязаны соотношением (1), так как точка а
лежит на графике В функции f(x). Аналогично обозна-
чим через | и 1] абсциссу и ординату точки а:
а = (?,!]), (3)
где § и г| связаны соотношением
П = (4)
так как точка а также лежит на графике L функции
f(x). Проведем теперь через точку а две прямые — го-
ризонтальную Р и вертикальную Q. Эти прямые парал-
лельны соответственно оси абсцисс и оси ординат
исходной системы координат. На них мы выберем» на-
правления, соответствующие направлениям, выбранным
ранее на осях координат. Прямые Р и Q, принятые за ось
абсцисс и ось ординат, сами определяют в плоскости
нашего чертежа некоторую новую систему координат
с началом в точке а. Секущая S не может быть верти-
кальной, и потому понятно, что значит выбрать на ней
направление слева направо. Так как новая ось абсцисс
Р параллельна старой оси4абсцисс, то для вычисления
угла ф нам достаточно вычислить угол между положи-
тельным направлением на прямой Р и положительным
направлением на прямой S. Этот угол ф меньше пря-
мого, но он может быть как , положительным, так и
отрицательным. Новая система координат с осями Р и
Q разбивает плоскость на четыре квадранта. Угол ф
положителен, если секущая S идет из третьего квад-
ранта в первый, и отрицателен, если секущая S идет из
второго квадранта в четвертый. Абсцисса и ордината
точки а в новой системе координат равны соответ-
ственно величинам
(£ — х), (п — у). (5)
Для вычисления угла ф проведем вертикальную пря-
мую R через точку а и обозначим через 0 точку пере-
сечения прямой R с прямой Р. Рассмотрим прямоуголь-
ный треугольник а$а, в котором р есть вершина пря-
мого угла. Еслй не учитывать знака угла ф, то он
9
равен углу раа нашего треугольника при вершине а.
Тангенс этого угла равен длине /(Ра) катета, Ра, делен-
ной на длину /(а0) катета ар. Таким образом, мы имеем
формулу
I'si’i-T®- <«>-
Длина /(Ра) есть абсолютная величина ординаты точки
а в новой системе координат, т. е. равна |т) — у\ (см.
(5)). Точно так же длина /(ар) равна абсолютной вели-
чине абсциссы точки а в новой Системе координат, т е.
равна |g —х|. Таким образом, из формулы (6) выте-
кает
|tg*l = T^- - т
Докажем теперь, что
= (8) ‘
‘ & Л
Для этого заметим, что если точка а лежит в пер- ;
вой или третьей четверти, то ее абсцисса и ордината
имеют одинаковые знаки, и, следовательно, правая часть |
равенства (8) положительна. В этом случае и величина •"
tg ф также положительна, так как угол ф положите-
лен. Если точка а лежит во второй или четвертой чет- *
верти, то ее абсцисса и ордината (см. (5)) имеют раз-
ные знаки, и поэтому правая часть равенства (8) отри- У
цательна. Но в этом случае и tg^ отрицателен, так как
угол ф в этом случае отрицателен. Итак, формула (8)
доказана. Заменим теперь в ней величины у, т] по фор-
мулам (1) и (4). Тогда мы получим
(9)
S *
Когда точка а неограниченно приближается к точ-
ке а, ее абсцисса g неограниченно приближается к аб-
сциссе х точки а. Последнее записывают так:
£->х. (10)
Для того чтобы найти величину tg <р, нам нужно вычис-
лить, к чему стремится tgф при £->х. В виде формулы
это можно записать так:
1дф-Идф при £->xt (11)
10
В высшей математике последнее соотношение, состоя-
щее из двух формул, записывают в виде одной формулы
lim tg ф = tg <₽' (Ь2)
или, заменяя в этой формуле tg ф по формуле (9), пе-
реписывают последнее равенство в виде формулы7
tgT = lim (13)
Пт представляет собой сокращение латинского слова
limit, русское значение которого есть предел.
Для того чтобы строго описать операцию (13), про-
изводимую над дробью
fq)-f(x)
s-* '
нам нужно было бы точно определить, что значит знак
т. е. объяснить, что значит стремление переменной
величины к некоторой постоянной. Но мы полагаемся
здесь на интуитивное понимание этого процесса. Заме-
тим, что в формуле (14) нельзя просто положить g-= х,
так как тогда мы получим дробь, числитель и знамена-
тель которой равны нулю, так что необходимо рассмат-
ривать процесс, приближения величины £ к постоянной х
и следить при этом за поведением величины (14).
Для того чтобы разъяснить понятие предельного пе-
рехода на простом примере, рассмотрим случай, когда
функция f (х) задается формулой
y = f(x) = x2. (15)
В этом случае дробь (14) записывается в виде
^^ = -^=V+x (16)
В правой части этого равенства уже можно заменить
величину g величиной х, и мы не получим бессмыслен-
ного отношения 0/0. Поэтому в этом частном случае мы
имеем ’
11m-£=•£-= 11m (£ + х) = 2х. (17)
Таким образом, мы установили, что
ПрИ §->х, (18)
11
или, что то же самое,
t2 _ г3
Пт \_ -= 2х. (19)
ё * . .
Величина
Ijm-HllnHiL (20)
5-»* = — *
называется производной произвольной функции f(x) в
точке х и обозначается через f'(x), так что по опреде-
лению мы имеем
7'(x) = lim (21)
ь х
Таким образом, формула (19) показывает, что для
функции (15)
‘ f'(x) = 2x. (22)
Следует обратить внимание на то, что в формуле
(21) мы не рассматриваем отдельно двух случаев, когда
а приближается к а с правой стороны и когда а при-
ближается к а с левой стороны. В первом случае £ при-
ближается к х убывая, а во втором случае £ прибли-
жается к х возрастая. При обоих этих способах при-
ближения g к х результат вычисления производной
должен быть одним и тем же. Только тогда и считается,
что производная в точке х существует. Можно, однако,
легко указать такую функцию, для которой приближения
слева и справа дают различные результаты. Рассмот-
рим в качестве примера функцию f(x), задаваемую
уравнением
У — f (x) = |xl + x2. (23)
Производную этой функции f(x) мы будем вычислять
при х — 0. Таким образом, в этом случае имеем
fg)-f(Q) lll + V III . r /94х
I —о ~ g ~ I u '
При £ положительном |£| = |, при £ отрицательном
||| = —Таким образом, имеем
-ф- = 4-1 при £>0 (25)
ъ
П
-1 при g<0. (26)
12
Итак,
при | > 0 имеем lim =4-1 (27)
£“>О Ъ
при § < О имеем lim -I—= — 1. (28)
£->О Ь
Следовательно, предел величины (24) зависит от того, с
какой стороны приближается g к 0: справа или слева,
р этом случае считается, что в точке х=0 данная функ-
ция f(x) (см. 23)) не имеет производной, а соответствую-
щий график не имеет касательной. Бывают и более
сложные случаи, когда формула (21) не определяет ве-
личины f'(x). Но в дальнейшем мы будем иметь дело
только с такими функциями, для которых формула (21)
рпределяет величину т. в. производная функции
f(x) существует.
Операция нахождения производной функции f(x)
{(см. (21)) называется часто дифференцированием функ-
ции f(x), так что функция, имеющая производную,
называется дифференцируемой. Все рассматриваемые
нами в дальнейшем функции — дифференцируемые.
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ МНОГОЧЛЕНА
Здесь мы. вычислим производную функции
У—f (x) = aox’l + aixn-l+ ... 4-an_ix4-ап, (1)
Jr. е. производную произвольного многочлена по х с
Достоянными коэффициентами а0, Оь .. , ап-ъ ап. При
этом нам удобно иногда будет пользоваться несколько
измененным обозначением для производной /'(х) функ-
ции f(x). Именно, мы будем обозначать иногда эту про-
изводную через (/(х))', т. е. положим
Г (*) = (/(*))'• (2)
Пользуясь этим обозначением, мы можем теперь запи-
сать две формулы (15) и (22) § 1 в виде одной фор-
мулы
(х2)'=2х.
В первую очередь мы вычислим производную про-
стейшего многочлена степени п, сводящегося к одночлену.
3 Л. Са Понтрягин 13
Именно,
y = f(x) = xn. (3)
Для вычисления производной функции (3)' мы восполь-
зуемся одной очень простой, но и очень важной фор-
мулой из алгебры, доказательство которой будет здесь
приведено.
Для записи й доказательства этой алгебраической
формулы мы введем в рассмотрение многочлен <p*(a, v)
двух переменных и и о, который задается формулой
Ф* (и> р) = м* + + ... + uvk~l + vk. (4)
Таким образом, многочлен ф*(«, о) представляет собой
сумму всех одночленов вида ulv{, где .1 и / — неотрица-
тельные целые числа, связанные условием i -j- j = k.
Умножим многочлен <р*(ы, v) на величину и, т. е. со-
ставим многочлен
4>к (и, о) • и. (5)
Этот многочлен представляет собой сумму всех одно-
членов вида ui+tvi, где I и / — целые неотрицательные
числа, связанные соотношением i + j = k. Таким обра-
зом, многочлен (5) представляет сумму всех одночле-
нов вида upvq, где р и q — целые неотрицательные чис-
ла, связанные соотношениями
p + q = k+\.
Таким образом, многочлен (5) содержит все слагаемые,
входящие в многочлен фь+i («, и), за исключением од-
ного члена о*+’, и потому мы имеем равенство
Фл («, о) • и=Фл+1 (a, v) —о*+‘. (6)
Точно так же, умножая многочлен ф* (ы, о) на и, мы по-
лучим формулу
Фй (и, и) • v = фЙ+д (а, о) — uk+l. (7)
Вычитая из равенства (6) равенство (7), получаем
Фа («» у) (« ~ v)=ufc+l — vk+l. (8)
Заменяя в этом равенстве k + 1 через п и деля полу-
ченное соотношение на и — V, мы получим важную для
нас формулу
ип-
,-и —
14
= Фп-1(«, »)> (9)
где <p„_i {и, v) определяется формулой
f) — ип~1 + un~2v + ... + uvn~2 + on-1. (10)
Следует подчеркнуть, что здесь n 1, так как п = k 4-
4-1, где k^O. Заметим, что многочлен <ря_1(«, и) со-
держит ровно п членов.
Пользуясь формулой (9), мы без труда сосчитаем
производную функции х\ Для этого, согласно прави-
лам, изложенным в § 1 (см. (21), § 1), мы должны со-
ставить предварительное отношение
и найти предел этого отношения при £->х. В силу ал-
гебраической формулы (9) имеем
СЕг?=Г-1 + 4- ... + + х”-1, (12)
S Л
где в правой части стоит ровно п членов. При переходе
к пределу при £~>х, мы должны в правой части равен-
ства (12) замените | через х. При этом каждый член
I'x^, где 14- j — n — 1, превратится в член хп~1. Таким
образом, получаем
(хп) г= lim -----= гах'*-1
’ 1~х
и окончательно имеем
(хп)' = гах«т1. (13)
При доказательстве формулы (13) мы не можем
рассматривать случай п, — 0, так как формула (9) вер-
на только при п 1. Таким образом, производная функ-
ции х° = 1 нами не вычислена. Проще вычислить про-
изводную функции f(x)==c, где с — константа. Для нее
мы имеем
: с-с т Q
X £ —- X
Таким образом, имеем
с' = 0, (14)
т. е. производная константы равна нулю.
Для перехода от простейшего многочлена хп к об-
щему многочлену (1) мы должны вывести два общих
правила нахождения производной. Именно, нахождение
3* 15
производной суммы двух функций и нахождение произ«
водной произведения константы на функцию. Правила
эти следующие. Если fi(x) и f2(x)— две функции, то
мы имеем
(fi to + f2 to)' = f{ to + f'2 to. (15)
Словами: производная суммы двух функций равна сум-
ме производных слагаемых. Далее, если с есть констан,
та, a f(x)—некоторая функция, то имеем
(cf(x)Y=cf'(x). (16)
Словами: производная произведения константы на функ-
цию равна произведению константы на производную
функции.
Докажем сперва правило (15). Мы имеем
у, w + h wr _ lin М»+М»-<М«> + М«» _
ь *
elimrmH + AM(fLle
Ъ+Х L * J
_,im Mti-4w+limii!a4iw= -
& x i-** * x
-f[to+f2'to-
Таким образом, правило (15) доказано. Аналогично
доказывается и правило (16). Мы имеем
WW)-=limSlt&zAM _lim
- ~ X © x
— c lim — ~ (.to =cf'(x).
$-*X b x
Таким образом, и правило (16) доказано.
Из правил (15) и (16) выведем одно обобщающее
правило. Допустим, что нам заданы функции fi(x),
f2(x), .... fm(x) и константы ci, с2, cm. Тогда мы
имеем следующее правило:
(Clfito + c2f2(x)+ ... +cmfmto)' =
= eft to + c2f'2 (x) + ... 4- cjm (x). (17)
Доказательство этого правила ведется индуктивно. Для
пг = 1 оно совпадает с правилом (16). Далее, в силу
16
правила (15) имеем
(cJi(x) + ... +cmfm(x))' =
»=(Clfl(x)+ ... + Cm-lfm-l (x))' + =»
«=cj;(x)+ ... +cm_if'm_l(X) + cmf'm(x).'
| Здесь мы использовали метод индукции, именно, пред.
| положили, что для функций числом т — 1 правило
верно. Таким образом, правило (17) доказано.
! Пользуясь правилами (17), (13) и (14), мы можем
найти производную многочлена (1). Мы имеем
(аох" + aix"-1 + ... +art_ix + an)' =
-=а0(х'‘)' + а1(х»-9'+ ... +а„_1(х)' + < =
= noox"-1 + (п — 1) aixn-2 + ... +
Таким образом, правило нахождения производной мно-
гочлена (1) окончательно записывается в виде
(ооХЛ4-aixn~l + ... 4-an_ix + a„)'=
= паохп~1 + (п — 1)aixn~2 + ... +an-t. (18)
§ 3. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
И ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Уже само определение производной наводит на
мысль, что она может быть хорошим средством иссле-
дования функции. Так, например, если известно, что
производная f'(x) функции /(х) в точке х положительна,
то интуитивно ясно, что вблизи этой точки функция /(х)
Возрастает. Это видно, в частности, из геометрического
смысла производной. Касательная в соответствующей
точке к графику функции f(x) направлена вверх. Точно
так же обстоит дело и с отрицательностью производной.
В этом случае интуитивно ясно, что вблизи точки х
функция f(x) убывает. Касательная к графику функции
- f (х) в соответствующей точке направлена вниз. Уточним
эти свойства производной.
Положительность и отрицательность производной.
Согласно определению (см. § 1) производная f'(x) функ-
ции f(x) является пределом отношения
; = Ь 0)
17
при £->х. Отсюда следует, что если f'(x)^O, то при
g достаточно близком к х отношение (1), т. е. число Л
имеет тот же знак, что и Более точно, существует
настолько малое положительное число е, что при
II-х|<8 (2)
знак числа k совпадает со знаком f'(x). Умножая ра-
венство (1) на число — х, получаем равенство
= (3)
Знак правой части этого равенства зависит от знаков
его множителей, т. е. зйаков чисел k и £ — х. Чтобы ох-
ватить по возможности кратко все четыре возникающие
здесь случая, выберем произвольно два значения |i й
числа удовлетворяющих условию (2). Число
возьмем слева от х, %2— справа от х. Таким образом,
числа gi и удовлетворяют условиям
х — е < < х < Ь < х + в. (4)
Помня о том, что знак числа k совпадает со знаком
производной j'\x) и учитывая знаки.правой части со-
отношения (3), мы можем записать следующие два ре-
зультата:
при f' (х) > 0 имеем f (&) < f (х) < f (&), (5)
при Г (х) < 0 имеем f (gt) > f (х) > f fe). (6)
Словесно результаты (5) и (6) можно описать следую-
щим образом.
При f'(x)> 0 функция слева от точки х меньше, чем
в точке х, а справа от точки х больше, чем в точке х.
Иначе говоря, она возрастает в точке х.
При f'(x)<0 функция слева от точки х 6олыпе?
чем в точке х, а справа от точки х меньше, чем в точке
х. Иначе говоря, она убывает в точке х.
Заметим, что если функция возрастает в точке х,
т. е. для нее выполнены неравенства (5), то отношений
положительно, но при £->х оно, оставаясь
положительным, может стремиться к нулю, так что
производная в точке возрастания не обязательно поло*
житёльна: она только неотрицательна
Г(х)>о. (7)
Точно так же в точке х убывания (см. (6)) производ-
ная не обязательно отрицательна, но может быть ц
18
нулем, так что в точке убывания выполнено неравенство
Г(х)<0. (8)
Максимум и минимум. Говорят, что функция имеет
локальный максимум в точке х,. если во всех точках,
достаточно близких к точке х, ее значения не превосхо-
дят значения функции в точке х. Или, более точно,
существует настолько малое положительное число е,
что
при | £ — х | < в имеем f (IX f (х). (9)
.Точно так же говорят, что функция имеет локальный
минимум в точке х, если при всех значениях аргумен-
та, близких к точке х, функция имеет значения, не
Меньшие, чем в точке х. Более точно существует такое
положительное число е, что
при |!=—-х|<8 имеем f(£)^>f(x). (10)
Обычно слово «локальный» опускают и говорят просто
о максимумах и минимумах функции.
Оказывается, что в точках максимума и минимума
производная функции f(x) обращается в нуль:
Г(х) = 0- (И)
Действительно, в точке максимума функция f(x) не
может иметь положительную производную, так как в
случае положительной производной справа от х функ-
ция больше, чем в точке х (см. .(5)), и, следовательно,
точка х не является максимумом. Точно так же в слу-
чае максимума функция f(x) не может иметь отрица-
тельную производную, так как в этом случае слева от
точки х она имеет значения, превосходящие значение
в точке х (см. (6)). Остается лишь одна возможность
f'(х)= 0, т. е. имеет место равенство (11).
Аналогично, в точке минимума функция f(x) не мо-
жет иметь положительную производную, так как тогда
слева от точки х ее значения меньше, чем в точке х
(см. (5)). Точно также она не может иметь и отрица-
тельную производную, так как тогда справа от точки х
она имеет меньшее значение, чем в точке х (см. (6)).
Итак, остается лишь одна возможность f'(x) = O, т. е.
имеет место равенство (11).
Таким образом, для отыскания значений аргумента,
яри которых функция имеет максимум или минимум,
19
следует рассмотреть все значения х, для которых вы-
полнено равенство (11), а затем уже детальнее выяс-
нять вопрос.
Теорема Ролля. Если функция f(x) имеет равные
значения для двух различных значений своего аргумен-
та Х\ и х2, т. е. имеет место равенство
(12)
причем функция f(x) определена на всем отрезке
[*1» хг1, то' внутри этого отрезка найдется такое значе-
ние 0, что
= (13)
Термин «внутреннее значение» означает, что 0 не
совпадает с концами отрезка хг и х2, т. е. не совпадает
ни с числом Хь ни с числом х2, а лежит между ними.
Докажем это утверждение. Если функция f(x) по-
стоянна на всем отрезке [xi,x2], то в произвольной
внутренней точке отрезка имеет место соотношение
f(0)=O (см. § 2 (14)), Если функция f(x) непостоян-
на на отрезке [xi, х2], то имеет место-по меньшей мере
один из двух случаев.
Случай 1. В некоторых точках отрезка [xi,x2]
функция f (х) больше, чем в его концах.
Случай 2. В некоторых точках отрезка [xi, х2]
функция f (х) меньше, чем в его концах.
В первом случае функция f(x) имеет максимум в
некоторой внутренней точке 0 отрезка [xi,x2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)). Во
втором случае функция f(x) достигает своего минимума
в одной из внутренних точек 0 отрезка [xi,x2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)).Та-
ким образом, теорема Ролля доказана.
Нижеследующая формула Лагранжа является пря-
мым следствием теоремы Ролля;
Формула Лагранжа, конечного приращения функции.
Если Xi и х2 — два различных значения аргумента
функции f(x), причем функция f(x) определена на всем
отрезке [xi,x2], то существует такое значение аргумен-
та 0, лежащее внутри отрезка [xi, х2], что имеет место
равенство
f(x2)-f(xi)^f'(Q)(x2-xl). (14)
20
Для доказательства этого утверждения составим, ли*
нейную функцию
= х~ (15)
и докажем, что функция
f(x) — g(x) (16)
имеет одинаковые значения в точках xi и х2, т. е. удов-
летворяет условиям теоремы Ролля. В самом делё, мы
имеем
sM-s ta) - х, - х, =
Л2 Al Л2 — Al
= f(xJ-f(Xl). (17)
Далее мы имеем
- (f (х2) — g (х2)) — (f (Xi) — g (xj)) =»
= (18)
(см. (17)). Таким образом, имеем
f (х2) — g (х2) = f (xi) — g fa), (19)
т. е. функция (16) имеет одинаковые значения в концах
отрезка [xi, х2], и потому в силу теоремы Ролля су-
ществует такое значение 0 внутри отрезка [xi, х2], что
(f (х) — g(x))' = 0 при х = 9. (20)
Далее мы имеем
gz(x)=f(^)Z^1). (21)
Из формул (20) и (21) получаем
о=Г(0)-g'(0)=Г(0)- f(xl'2f^)
Умножая последнее соотношение на х2 — xi, мы полу-
чаем доказываемое соотношение (14). Итак, формула
Лагранжа доказана.
Формула Лагранжа является сильным средством
для изучения функции, или, что то же самое, ее гра-
фика. Сделаем из нее два важных вывода.
Если на отрезке [xi, х2], где xi < х2, функция f(x)
имеет положительную производную во всех точках,
кроме, быть может, его концов, то на всем отрезке
i[xi, х2] функция f(x) возрастает. Более точно, если ai
и аг—два значения аргумента, лежащие на отрезке
21
Jxi, X2], причем a\ "<. a2, то имеем
f(ai)<f(as).' - (22)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
f(a2)-f(a1) = f'(0)(a2-ai), (23)
причем 0 является внутренней точкой отрезка [ai, а2],
следовательно, и внутренней точкой отрезка [хьхг]. Та-
ким образом, правая часть равенства (23) положитель-
на. Наше утверждение (22) доказано.
Если на отрезке [xi,x2], где хг< х2, функция f(x)
всюду умеет отрицательную производную, за исключе-
нием, быть может, концов отрезка [xi,x2], то на всем
отрезке [xi, х2] она убывает. Более точно: если ai и
а2 — два значения аргумента, расположенные на отрез-
ке [xi,x2], причем ai < а2, то имеем
f(a2)<f(ai). ‘ (24)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
(25)
где 0 — внутренняя точка отрезка [01,02], т. е. внут-
ренняя точка и отрезка [хьХг]. Таким образом, правая
часть соотношения (25) отрицательна, и, следовательно,
утверждение (24) доказано.
Вторая производная. Производная f'(x) функции f(x)
сама есть функция,- и потому можно взять ее производ-
ную (f (X))'. Она называется второй производной функ-
ции /(х) и обозначается через f"(x). Таким образом,
f"(x)=V'(x)Y. (26)
f'(x) и f"(x) называются первой и второй производ-
ными функции f(x). Аналогично можно определить про-
изводные любого порядка функции f(x), но мы будем
пользоваться только первой и второй производными.
Различение максимума и минимума. Для того чтобы
функция f(x) имела максимум или минимум при 'х = хо,
необходимо, чтобы было
fW = 0 (27)
(см. (11)). Но это равенство не является достаточным
условием, для того чтобы функция f(x) имела макси-
мум или минимум в точке х = Хо, и, кроме того, оно
не дает возможности сделать различие между максиму-
22
мом и минимумом. Оказывается, что достаточное усло-
вие дается второй производной, именно, если
Г(*о)¥=О, (28)
то при выполнении условия (27) функция f(x) имеет
в точке х = х0 либо максимум, либо минимум, а знак
величины f" (х0) дает возможность различить максимум
и минимум, именно, если
Г(хо)<О, (29)
то имеем максимум, а если
Г(х0)>0, (30)
то имеем минимум.
Докажем это утверждение. Если имеет место нера-
венство'(29), то первая производная (f(x))' функции
f'(x) отрицательна. Кроме того, функция f'(x) обра-
щается в нуль при х = х0 (см. (27)). Таким образом,
при х<х0 имеем Д/(х)>0, - (31)
при х > х0 имеем f' (х) < 0. (32)
Итак, при подходе к точке хо слева функция f(x) воз-
растает, а при отходе от точки хо вправо она убывает,
и, следовательно, мы имеем максимум. Аналогично,
если имеет место неравенство (30), то первая производ-
ная (f(x))' функции /'(х) положительна и при х = х0
функция f'(x) обращается в нуль. Таким образом,
при х < Хо имеем /' (х) < 0, (33)
при х > Хо имеем f' (х) > 0. (34)
Итак, при подходе к точке хо слева функция /(х) убы-
вает, а при отходе от точки х0 вправо она возрастает, и,
следовательно, мы имеем минимум.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Напомним определение второй производной /"(х)
функции f(x). Мы имеем
Г(х) = (Г(х)Г (1)
(см. § 3, (26)). Функции f(x) и f"(x) называются со-
ответственно первой и второй производными функции
f(x). . 1 .
23
Применим результаты § 3 к исследованию некого- •
рых функций, задаваемых многочленами. Рассмотрим
прежде всего функцию
y = f(x) = x3-px, (2)
где р— постоянная. График L этой функции называется
кубической параболой.
Отметим прежде всего совершенно специальные, но
рчень заметные свойства кубической параболы. Куби-
ческая парабола центрально симметрична относительно
начала координат. В самом деле, если точка (х, у) при-
надлежит кубической параболе, т. е. величины х и у
удовлетворяют уравнению (2), то точка (—х, —у) так-
же удовлетворяет этому уравнению. Именно, имеем
(— У) = (~ *)3~ Р(— х). ' (3)
^аким образом, наряду с точкой (х, у) к линии L при- .
надлежит и симметричная к ней относительно начала
координат точка (—х, —у). ,
Найдем далее точки пересечения линии L с осью
абсцисс, т. е. корни уравнения
х3 —рх = 0. (4)
Уравнение это имеет три корня
х = 0, x=±Vp. к (5)
Последние два корня при р < 0 мнимые и потому не
имеют геометрического смысла. При р >• 0 все три кор-
ня (5) различны, и, следовательно, имеются три точки
пересечения линии L с осью абсцисс. При р = 0 три
Корня сливаются л. один трехкратный корень х = 0.
Производная функции (2) задается формулой
Г(х) = 3х2-р. * (6)
Изучая знак этой функции при различных значениях х,
мы можем разбить линию Д на участки возрастания и
убывания функции f(x) и найти точки максимума и ми-
нимума. Для той и другой цели нам следует найти кор-
ди уравнения
f'(х) = Зх2 — р = 0. . (7)
При отрицательном р функция f'(x) (см. (6)) поло-
жительна при любом значении х и, следовательно, функ-
ция f.(х) возрастает на всем протяжении изменения х;
— оо < х <+ оо.
24
При р — 0 функция f'(x) (см. (6)) положительна
при всех значениях х =h 0. Таким образом, она возра-
стает при — оо < х < 0, 0 < х < 4- оо. А так как на
первом из этих участков функция х3 отрицательна, на
втором положительна, то она
возрастает на всем протяжении
изменения х от — оо до + оо.
В точке х = 0, rae’f(x) = 0,
функция f(x) также возрастает.
Таким образом, при х = 0, где
f(x) = 0, функция х3 не имеет ни
максимума ни минимума. От-
сюда видно, что условие (11)'
§ 3, необходимое для того, что-
бы функция f (х) в точке х имела
максимум или минимум, не яв-
ляется достаточным.
В случае положительного р
уравнение (7) имеет два Корня
Xi = — д/р/З» х2 = (8)
Следует проверить, не имеет ли
функция f (х) в точках xi и х2 ло-
кальных максимумов или мини-
мумов. Те же точки xi и х2 раз-
бивают все протяжение измене-
ния х на участки
— оо < х Xi, Xi С х С х2,
х2 < х < + оо. (9)
На первом из этих участков
функция /'(х) положительна, на
втором — отрицательна, на треть-
ем— вновь положительна. Таким
образом, функция f(x) возра-
стает на первом участке, убывает на втором и возра-
стает на третьем. Отсюда же видно, что точка xi есть
точка максимума, а точка х2— точка минимума. Таким
образом, кубическая парабола имеет три существенно
различные .формы в зависимости от значения р: первая
р < 0, вторая р = 0, третья р > 0. На рис. 2 кубиче-
ская парабола изображена во всех трех случаях.
Рассмотрим уравнение
х3 — рх — с. (10)
Геометрически ясно, что при р < 0 это уравнение имеет
лишь один действительный корень. При р = 0 это урав-
нение имеет также лишь один действительный корень,
за исключением случая с = 0, когда имеется тройной
корень х = 0. Если р > 0, уравнение (10) имеет три
корня при
f(x2)<C<f(x1), (11)
причем в крайних положениях значения с на отрезке
(11) имеется один простой и один двойной корень. Вне
отрезка (11) имеется лишь один действительный корень
уравнения (10).
Кубическая парабола (2) всегда проходит через на-
чало координат. Тангенс угла наклона ее в начале коор-
динат определяется формулой
f'(O) = -p. (12)
Та.ким образом, сама касательная имеет уравнение
y = g(x) = — рх. (13)
Эта касательная разбивает всю плоскость на две части:
верхнюю, лежащую над ней, и нижнюю, лежащую под
ней. Произвольная точка (х*, у*) плоскости лежит над
прямой (13), если
У* > — рх*. (14)
Точка (х*, у*) лежит под прямой (13), если
У* < — рх*. (15)
Выясним, в какой- из рассмотренных двух полуплоско-
стей лежит точка (х, у) кубической параболы, т. е. точ-
ка, удовлетворяющая уравнению (2). Для выяснения
этого вопроса мы должны сравнить величину
х3 — рх (16)
с ^величиной
-рх. (17)
Ясно, что при X < 0 величина (16) меньше величины
(17), а при х > 0 величина (16) больше величины (17).
26
При х < 0 точка (х, у) кубической параболы удовлет-
воряет условию (15), т. е. лежит под касательной, а
при х>0 эта точка удовлетворяет условию (14), т. е;
лежит над касательной. Сле-
довательно, в начале коор-
динат' кубическая парабола
переходит с одной стороны
касательной на' другую ее
сторону.
Явление перехода линии
с одной стороны касатель-
ной на другую вблизи точки
касания имеет общий инте-
рес. Займемся им.
Точка перегиба. Пусть
L — некоторая линия, а—*
точка этой линии и К. — ка-
сательная к линии L в точ-
ке а (рис. 3). Точка а на-
зывается точкой перегиба
линии L, если вблизи ее ли-
ния L переходит с одной
стороны касательной на дру-
гую. Оказывается, что если L является графиком неко-
торой функции
y — f(x), • (18)
то в точке перегиба а линии L абсцисса b точки а удов-
летворяет условию
f"(b)=*O. (.19)
Докажем это утверждение. Уравнение касательной
К мы можем записать в виде
y = g(x) = f'(b)-x + b*. (20)
*
Здесь f'(b) есть тангенс угла наклона касательной к оси
абсцисс, а Ь* — некоторая константа, которая опреде-
ляется условием
f(6)-g(6) = 0. (21)
Это условие выражает тот факт, что касательная в точ-
ке а к линии L проходит через точку а. Рассмотрим
функцию
h(x) = f(x) — g(x). (22)
27
Эта функция-удовлетворяет двум условиям
h(b) = O, h'(b) = O. (23)
Таким образом, график функции
У = Л(х) (24)
касается оси абсцисс в точке х = 6 (см. рис. 3). Каса-
тельная К разбивает плоскость чертежа на верхнюю по-
луплоскость и нижнюю полуплоскость. Если линия L
переходит в точке а из верхней полуплоскости в ниж-
нюю полуплоскость, то график функции {24) пересе-
кает ось абсцисс сверху вниз. При этом функция Л(х)
убывает. Если, наоборот, линия L пересекает касатель-
ную, переходя из нижней полуплоскости в верхнюю по-
луплоскость, то график функции (24) пересекает ось
абсцисс снизу вверх. При этом функция h(x) возрастает.
Если имеет место первый случай, т. е. h(x) убывает
вблизи точки х = Ь, то производная ее вблизи точки b
не может быть положительной, т. е. вблизи точки х=Ь
она удовлетворяет условию
Л'(*)<0. (25)
Таким образом, функция h'(x) имеет в точке х = Ь
максимум, и, следовательно, ее производная равна нулю
(Л'(*))' = Л" (х) = О при х = Ь,
т. е.
h"(b) = O. (26)
Если имеет место второй Случай, т. е. функция ft(x)
вблизи точки х = b возрастает, то . производная ее не
может быть отрицательной, т. е. вблизи точки х = b
мы имеем неравенство
h'(x)>0. (27)
Таким образом, функция ft'(x) имеет минимум в точке
х = Ь, потому ее производная в этой точке равна нулю,
т. е. мы имеем < i ' *
(й'(х))'—/г" (х) = О при х—Ь.
Таким образом, в обоих случаях получаем
h"(b) = O. (28)
Заметим далее, что для функции g(x), линейной отно-
сительно х, имеет место равенство ,
g"(x) = 0. (29)
28
Таким образом, из формул (28) и (29) мы получаем
О — (f (х) — g (х))" == f"(x) — 0 при х — Ь,
и, следовательно,
f"(6) = 0. (30)
Таким образом, доказано, что в точке перегиба графика
функции f(x) имеет место равенство (19). Не следует,
однако, думать, что это равенство является достаточ-
ным условием для того, чтобы точка с абсциссой Ъ была
точкой перегиба графика функции (18).
Вернемся теперь к кубической параболе. Вычислим
вторую производную функции (2). Мы имеем
^(х) = (х’-рх)" = 6х. ч ‘ (31)
Мы уже установили, что начало координат является
Точкой перегиба кубической параболы (2). Выражение
(31) для второй производной функции (2) показывает,
Что начало координат является единственной точкой пе-
региба кубической параболы, так как вторая производ-
ная (31) обращается в нуль лишь при х = 0,
Ниже приводятся три задачи для самостоятельного
решения. Первая из них — легкая, вторая и третья пред-
ставляют собой вполне серьезные математические проб-
лемы, требующие больших усилий для самостоятель-
ного решения.
Задача 1. Изменить масштабы длины на осях си-
стемы координат, в которой задано уравнение (2), т. е.
ввести вместо старых координат- х и у новые коорди-
наты Xi и у\, положив
x=Axi, у — 1уъ (32)
где k и I—действительные положительные числа. Сде-
лать это так, чтобы после преобразования координат
(32) уравнение (2) имело один из трех следующих ви-
дов!
Задача 2. Исследовать функцию
У—f (х) = х3 + aiX2 + «2-v + ^з. (34)
Для этого вычислить производную f'(x) и при по-
мощи нее разбить весь интервал изменения х: — оо <i
<. х < 4- оо на участки, на которых функция (34) воз-
растает и убывает. Далее вместо старых координат х и
4 Л, С. Понтрягин * 29
у ввести новые координаты Xi и у\, связанные со стары»
ми соотношениями
х = Х1+а, £/=г/1 + р. (35)
Такое преобразование координат означает параллельное
смещение старой системы координат. Сделать это таким
образом, чтобы в новой системе координат уравнение
кривой имело вид (2). Сделать это можно двумя спо-
собами. Непосредственно подобрать величины аир
так, чтобы полученное уравнение имело вид (2), или
же найти точку перегиба графика L функции (34) и пе-
ренести в эту точку перегиба путем параллельного сдви-
га начало координат. Найти формулу
р — р(аь а2, а3), (36).
выражающую коэффициент р в новой системе коорди-
нат через старые коэффициенты. Поскольку уравнение
f (х) = х3 + О[Х? + OzX + а3 = 0 (37)
при р(а1( а2, а3) <_ 0 (см. (36)) может иметь только
один действительный корень, при р — 0 может иметь
либо только один действительный корень, либо один
тройной действительный корень и при р > 0 может
иметь три действительных корня, выяснить, при каких
условиях в последнем случае имеются три действитель-
ных корня.
3 а д а ч а 3. Изучить функцию
/(х) = х4 + 61Х3 + М2 + 63х + 64 (38)
и ее график, Для этого вычислить производную f (х)
функции (38) и, пользуясь результатами, полученными
в задаче 2, качественно выяснить возможности поведе-
ния графика функции (38), в первую очередь число воз-
можных максимумов и минимумов, и выяснить зависи-
мость этого числа от коэффициентов bi, b2, b3, bi функ-
ции (38). Найти точки перегиба и вычислить их коорди-
наты через коэффициенты Ь2, Ь3, Ь*
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Здесь мы в первую очередь вычислим производные
тригонометрических функций, sin х и cosx, где угол х
измеряется не в градусах, а в радианах. При этом вы-
числении будет использован один факт, приводимый без
80
доказательства. Он доказывается громоздко и неинте-
ресно, а поверить в него легко. Факт этот следующий.
Пусть К — некоторая окружность, а а и Ь — две ее
точки, не находящиеся в диаметрально противополож-
ном положении. Длину меньшей из дуг (ab) окружно-
сти К мы обозначим через s(ab), а длину хорды ab че-
рез l(ab). Очевидно, что
s(ab)>l(ab). (1)
Мы принимаем без доказательства, что отношение
стремится к единице, когда точки а и & неограниченно
сближаются, т. е. когда s(a6)->0. В виде формулы это
можно записать так
lim
Из этого не доказанного утверждения мы уже со-
вершенно строго выведем другое, которым и будем
пользоваться. Для этого в
координатной плоскости вы-
берем окружность К радиу-
са 1 с центром в начале ко-
ординат о (рис. 4). Через о'
обозначим самую правую
точку окружности К, т. е.
точку пересечения ее с по-
ложительной полуосью аб-
сцисс. От точки о' отложим
вверх по окружности дугу
длины h < л/2 и конец ее
обозначим через Ь. Точно
также от точки о' отложим .
вниз дугу длины h и обо-
значим конец ее через а. Тогда мы имеем
I (ab) = 2 sin h, s (ab) — 2h.
Таким образом, из соотношения (2)' получаем
Нт Л*А=Пт 2^-=1.
Л->0 « 2Л-»0 2/1
Таким образом, окончательно получаем нужное
соотношение
(2)
Рис. 4.
(3)
нам
<. sin h i
lim —г—— 1
л->о й
(4)
4*
31
Формула эта доказана для положительного h3 но она
верна также и для отрицательного Л, так как при изме-
нении знака h знак sin h меняется.
Докажем теперь уже совершенно строго -еще одно
нужное нам в дальнейшем утверждение
lim (5)
я->о Л
Мы докажем это соотношение, заменив его более силь*
ным. Именно, мы заменим стоящую в знаменателе ве-
личину h меньшей величиной .sin Л. Мы имеем
1 — cos h _. (1 — cos h) (1 + cos h) _ 1 — cos 2 h _
sin h sin h (1 + cos Л) sin h (1 + cos h) ~
___________sin2 A _ sin h
sin h (1 + cos h) 1 + cos h
Из этого непосредственно следует, что
л-»о sin А
а это утверждение, как было уже замечено, сильнее,
чем доказываемое нами утверждение (5).
При вычислении’ производных sin' х и cos' х мы вос-
пользуемся определением производной (см. § 1 (21)),
но при этом несколько изменим обозначения. Именно,
положим g — х = h, т. е. £ = х + h. Ясно, что
. при £->х имеем /г —> 0.
Величина. h называется приращением аргумента.
Пользуясь этими обозначениями, мы можем переписать
определение (21) § 1 производной в виде
Г(х) = lim + . (6)
Величина /(х4-Л)—f(x)' называется приращением
функции, соответствующим приращению h аргумента,
Таким образом, для вычисления производной sin'x нам
нужно>вычислить величину -
sin (х-|-Й) — sinх = sin хcosй +cos* sin Л — sinx =
« sin x (cos h — 1) + cos x sin h.
Таким образом, мы получаем
. r ... sin х (cos Л — 1) . ,. sin h cos X
sm x — lim------i-r-i--- + lim-----т—-• = cos x,
" h-*Q "
32
[(см. (5) и (4)). Итак, окончательно мы получаем
sin' х — cos х. (7)
Совершенно так же будем вычислять производную
cos' х. Для ее нахождения нам нужно вычислить раз-
ность
cos (х + ft) — cos х — cos х cos Л — sin x sin ft — cos x —
= cos x (cos ft — 1) — sin ft sin x.
Мы получаем
cos x (cos h — I) <. sin h sin x
cos x = hm------L-?------- — hm-----?---= — sin x
h-+0 Л->0 n
"(cm. (5) и (4)). Таким образом, окончательно получаем
cos' х = — sin х. (8)
Производная произведения и дроби. Мы уже умеем
находить производную суммы двух функций (см. § 2,
(15)). Очевидно, что очень важно уметь находить про-
изводную произведення двух функций и производную
бтношения двух функций. Обозначим через и(х) и v(x)
две функции переменного х и будем искать производи
ные двух функций «(x)v(x),
При нахождении этих производных мы будем поль-
зоваться определением производной (см. § 1, (21)). Та-
ким образом, для нахождения производной произведе-
ния нам нужно прежде всего вычислить выражение
«(!)«(!) —«(х) о (х) =
= ц (|) о (В) — и (х) V (В) + и (х) v (В) — и (х) о (х) =
= (и (В) - и (х)) v (В) + и (х) (о (В) — с (х)).
Таким образом, получаем
(»(х) V (х))' ~ Пт -а ® *•<? ~u(x)v (4 =
= |im + цт _
6 х 6 ~’ *
== «' (х) о (х) 4-«(х) v' (х).
Таким образом, окончательно получаем важнейшую
формулу
(и (х) v (х))' = и' (х) о (х) + и (х) о' (х). (9)
33
Совершенно так же будем искать производную дро*
би . Для этого нам прежде всего нужно посчитать
V (X)
выражение
_ и(х) _ и (|) у(х) — у (g) и (х) _я
v(x) v(l)y(x)
__ Ц (I) о (х) — и (х) у (х) + и (х) У (х) — у(1)и (х)
V (I) у (X)
(и (g) — и (х)) У (х) — (о (§) — У (х)Х« (х)
— v(&y(x) •
Таким образом, мы получаем
и (g) и (х)
( и (х) у _ . . У (g) о (х) _
g-X
v(g)\(x) ~ v(g)v(x) “
__и' (х) V (х) — о' (х) и (х) у
~ (е (х))2 *
Таким образом, окончательно получаем
/и(х) и' (х)о(х) — о'(х)и(х) ПЛх
U(x)J— (о(х))2 ’
Производная сложной функции. Будем исходить из
двух заданных функций ф(х) переменного х и ф(у) пе«
ременного у. Положим
у = Ф(х). (И)
Подставим это выражение для у в функцию ф(у). Тог-
да мы получим функцию
, f(x) — Ф(г/) = Ф(ф(х)). (12)
Эта новая функция f(x), образованная из двух функций
ф(у) и ф(х), называется сложной функцией, Наша за«
дача заключается в том, чтобы найти производную
сложной функции /(х). При вычислении мы будем поль-
зоваться определением производной (см. § 1 (21)). По-
ложим
П = Ф(1). (13)
Тогда
при I->х имеем ч\-*у. (14)
34
Согласно определению производной
fa) _ Пп, ±<п> = Ф И . ' (15)
" У
Теперь мы имеем
/х\ = ।im ?ФХп) — Ф (у) _ 1 irn . «ф(|)-ф(х)
£ х Л У £ х
Таким образом, имеем
rw-lim ЛМ^1М.Нт ,Ф<Е)-ФМ =t-to).ф'(х),
ч-*у ч * £->х » *
причем вместо у в полученный результат следует под-
ставить его значение у == <р(х).
Таким образом, окончательно получаем
('ФСф (*)))' = ф'(ф(х))ф'(х)- (16)
Объясним написанную формулу словами: для того что-
бы получить- производную сложной функции f(x) —
= ф(ф(х)), МЫ прежде всего должны сосчитать произ-
водную функции ф (у) по переменному у, т. е. найти
функцию ф'(^), а затем подставить в полученное выра-
жение вместо у величину ф(х). После этого полученное
выражение мы должны умножить на ф'(х).
Производная рациональной степени х. Пользуясь по-
лученными общими результатами,, вычислим производ-
ную функции
f(x) = xr, , (17)
где г — рациональное число. Рассмотрим сперва случай,
когда г есть отрицательное целое число
г = -п, . (18)
где п — положительное целое число. В'этом случае мы
имеем
’ хг = -рг. . <19)
и для вычисления производной от хг мы можем восполь-
зоваться правилом (10). В силу этого правила и пра-
вила (13) § 2 имеем
/ 1 V Г*Ь«хп-1
I Л ) „2п
Хсм. (18) и (19)).
„Л-1
пх
Лп
л
ПХ“п-1 = ГХг~* 1
3S
Таким образом, для целого отрицательного г полу*
чаем
(х')' = гх'-'. (20)
Пусть теперь
'=f. (20
где р и q — целые числа и q=£ 0. Для нахождения про-
изводной функции хг воспользуемся правилом* (16). Мы
положим при этом
р==ф(х) = хр^, ^(у) = у<1. * (22)
Тогда имеем ф(Ф(х)) = х”. Беря производную по х от
этого равенства, и применяя к левой части правило
(16), получаем
^«-1.<р'(х) = рхр~1.
Подставляя в это равенство # = ф(х), получаем
qx «° • ф' (х) = рхр-1.
Решая это уравнение относительно величины ф'(х), по«
лучаем
(р' (х) = -^-хР~1 1,=^х’ 1 = рхг-1.
Таким образом, окончательно получаем
{хг)'^гхт~\ ’ (23)
Итак, при произвольном рациональном числе г полу»
чаем то же правило нахождения производной, что и для
целого числа п (см. § 2 (13)),
Производная функции tgx. Для нахождения произ»
-водной этой функции воспользуемся правилом (10).
Именно, положим ' . v. • ' .
. slnx
-
Тогда в силу правила (10) мы имеем, учитывая (7) и
(8),
у sin' X COS X — cos' X sin X cos*x + sin2x 1
* =x' e COS* X COS2 X COS2 X ’
Таким образом, окончательно получаем
= 1 + tg2*« (24)
36
/ § 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Всякий раз, когда в математике рассматривается
какая-либо операция, возникает вопрос об операции,
к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рас-
сматривается обратная к ней операция вычитания. На-
i ряду с операцией умножения рассматривается обрат-
ная к ней операция деления, наряду с операцией воз-
ведения в степень рассматривается обратная к ней опе-
рация извлечения корня. При рассмотрении обратной
* операции возникают два основных вопроса: ее осуще-
ствимость и ее единственность. Так, если рассматри-
вать только действительные числа, то извлечение квад-
ратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь
квадратный корень из отрицательного числа. Точно так
же извлечение квадратного, корня не является опера-
цией однозначной, так как при извлечении квадратного
корня из положительного числа мы получаем два его
значения: положительное и отрицательное. Теперь, ког-
да мы ввели операцию дифференцирования, возникает
вопрос об операции, обратной к ней, которая называет-
ся операцией интегрирования. Для операции интегри-
рования мы должны будем решить два основных
вопроса: вопрос об осуществимости операции интегриро-
вания и вопрос об единственности операций интегриро-
вания. Перейдем к точным математическим формули-
ровкам. Если задана функция f(x), то функция h(x),
заданная для тех же значений аргумента, что и f(x), и
удовлетворяющая условию
(х) = /(х), (1)
называется интегралом функции f(x)' или первообраз-
ной для функции f(x). Переход от заданной функции
/(х) к функции й(х), удовлетворяющей уравнению (1),
является операцией, обратной к операций дифферент!-
; рования, и называется операцией интегрирования. Сразу
I же видно, что операция интегрирований неоднозначна,
j Именно, если функция й(х) удовлетворяет уравнению
(1), то функция й (х) + с, где с — констайта, удовлётво-
У ряет тому же уравнению. Действительно, мы имеем
(ft(x) + c)' = yW + c' = A,W + O = f(x) (2)
(см. § 2 (14)). Оказывается, однако, что вся неоднознач-
ность операции интегрирования сводится К прибавлений
константы. Докажем это.
87
Докажем прежде всего, что если функция h(x)~ удов*
летворяет уравнению
Л'(х) = 0, (3)
то функция h (х) есть константа
h(x) = c. (4)
Это утверждение верно, однако, лишь в том случае,
когда множество допустимых значений аргумента х
функции h(x) связно. Связность означает, что наряду
с любыми двумя допустимыми значениями аргумента xi
и х2 функции h(x) допустимым значением аргумента
является и любое число, промежуточное между xi и х2.
Об этом никогда не следует забывать. Докажем теперь,
что из соотношения (3) следует соотношение (4). Пусть
xi и х2 — два произвольных значения аргумента функ-
ции й(х). Так как множество значений аргумента функ*
ции h(x) связно, то она определена на всем отрезке
[xi, х2],- и потому в силу формулы Лагранжа (см. § 3,
(14)) имеем
h (х2) — h (xj) = h' (0) (х2 — Xi). (5)
Так как ft'(0)= 0 '(см. (3)), то из соотношения (5) мы
получаем соотношение (4). Пусть теперь hi (х) и
^a(x)—две функции, удовлетворяющие уравнениям
h{(x) = f(x), h'2(x) = f(x), (6)
так что функции /и(х) и h2(x) являются первообраз-
ными одной и той же функции f(x). Докажем, что тогда
имеет место соотношение
й2(х) = Л|(х) + с, (7)
где с —константа. Действительно, положим А(х) =
= Ла(х)—Л1(х). Тогда имеем
h' (х) - (й2 (х) - hi (х))' = hi (х) - h{ (х) = f (х) - f (х) = О,
и, следовательно, функция й(х) является константой.
А отсюда следует,, что имеет место равенство (7). При
доказательстве мы использовали тот факт, что функции
ЛДх), h2(x), а следовательно, и f(x) заданы на связном
множестве. Решение h(x) уравнения (1) записывается
Ё виде
Л(х)= Jf(x)dx. (8)
Знак j в формуле (8) читается: интеграл. Так как
эта формула определяет функцию ft(x) неоднозначно, а
8$
лишь с точностью до постоянного слагаемого, то выпи»
санный в правой части формулы интеграл называется
неопределенным.
Вопрос о нахождении решения h(x) уравнения (1)
при заданной функции f(x) мы в настоящее время мо-
жем положительно решить при некоторых конкретных
' функциях f(x), причем метод решения сводится практи-
чески к угадыванию решения на основе тех формул,
которые были даны в §§ 2—5. Так, если функция f{x)
; есть многочлен
f(x) = CoXn + ciXn-l+ ... 4-cn_ix + c„, (9)
- -то, пользуясь формулой (18) § 2, мы можем найти функ-
цию h (х). Именно, имеем
Л (х) = (еохп + ciXn~l + ... + cn_ix + сп) dx—
= ТТТх',+1+4хЯ+ ••• +Vx2 + ^ + <!’ <10)
где с — произвольная константа.
Точно так же из формул (8) и (7) § 5 следует
j sin х dx = — cos х + с, J cos x dx = sin x + с, (11)
где с — произвольные константы.
Из формулы (24) § 5 следует
= + 02)
Существует много различных способов нахождения
неопределенных интегралов, но все они практически
сводятся к угадыванию. Здесь мы не будем их изла-
гать. Дадим лишь одно общее правило. £сли для функ-
ций fi(x), f2(x), ..., fm(x) известны^ их.первообразные
fti(x), h2(x), .... ftm(x), так что выполнены соотноше-
f ния h't(x) = fi(x) (i=l, 2, ..., m), то для функции
I f (x)’=Cifl(x) + c2f2(x)+ ... ~j~cmfm(x), (13)
i где Ci, c2, .... cm суть константы, мы можем выписать
' неопределенный интеграл.
Jf(x)rfx = CiAi(x) + c2A2(x)+ ... +cmhm(x) + c, (14)
где с = произвольная константа,
39
Дадим простое, но очень важное применение полу-
ченных результатов к одной задаче механики.
Рассмотрим движение точки по прямой линии. Для
математического описания этого движения примем нашу
прямую за ось абсцисс, а положение точки в момент
времени t обозначим через х (0, подразумевая подх(/у
как саму точку, так и ее абсциссу. Функция x(t) вре- 1
мени t полностью описывает движение точки в зависи-
мости от времени. Если t и т — два момента времени,
причем t < т, то за отрезок времени т — t точка прохо- *
дит путь х(т)—x(t), и средняя скорость движения точ-
ки x(t) на отрезке времени [/, т] определяется, есте-
- ственно, формулой
. (15)
Чем ближе значение т к значению t, тем точнее дробь
(15) определяет скорость движения в момент времени
t. Таким образом, эта скорость v(t) определяется фор-
* мулой
t>(0 = lim-<^~f ". (16)
Правая часть этого равенства представляет собой не
что иное, как производную функции x(t) по t, так что
скорость v(t) в момент времени t движения точки x(t)
определяется формулой
= (17)
Если скорость v (0 движения точки не зависит от t, т. е.
точка движется с постоянной скоростью ц(/) = о, где
V Достоянная величина, то положение точки х(/) сле-
дует искать из уравнения
х'(/) = о. (18)
Рещение этого уравнения, согласно формуле (10), запи- Г
рывйется в виде >
х ==о/ + с, (19)
Где £ — постоянная величина. Для нахождения этой по- ?
стоянкой величины обозначим через хо положение точ-
ки х(() в момент времени t = 0. Подставляя хр = х(0)
В соотношение (19), получаем
х(О) = хо = с. (20)
40
Таким образом, решение уравнения (18) записывается
в виде
xftj^Xo + vt, (21)
где хо — есть положение точки в начальный момент
времени / — 0, a v — постоянная скорость движения
точки. Уравнение (21) описывает движение точки с по-
стоянной скоростью V.
Если скорость движения точки непостоянна, то на-
ряду со скоростью рассматривается другая важная ве-
личина —ускорение, которое характеризует изменениз
скорости. Аналогично тому, как мы определили среднюю
скорость, мы определим среднее ускорение на отрезке
времени от t до т. Оно определяется формулой
(га
Чем ближе момент времени т к моменту времени t, тем
точнее формула. (22) дает ускорение движения точки в
момент времени t. Таким образом, точное значение u(t)\
ускорения точки в момент времени /определяется фор-
мулой
ц(/) —lim 0(TL-”W . (23)
T-»f т —f
Стоящая в правой части этого равенства величина есть
не что иное, как производная v'(t) функции v(t) по не-
зависимой переменной t, так что имеем
«(/) = »'(О- (24)
Принимая во внимание-формулу (17), мы можем пере-
писать равенство (24) следующим.образоМ:
и(/) = х"(0 ' (25)
(см. § 4 (1)). Таким образом, скорость движения точки
x(t) в момент времени t есть производная х'(0» а уско-
рение движения точки x(t) в момент времени t есть вто-
рая производная x"(t).
Большой интерес представляет собой равномерно
ускоренное движение, т. е. такое движение, при котором
ускорение w(f) является постоянной величиной
и (/) = и, ’ (26)
где и —постоянная величина. В этом случае скорость
v(t) движения точки следует получить из уравнения
о'(0 = «- (27)
41
В силу формулы (10) решение этого уравнения за*
дисывается в виде
v(t) = ut + с, ‘ (28)
где с—постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины обозначим через о0 скорость движе-
ния точки x(t) в момент времени / = 0. Подставляя в
уравнение (28) i=sQ, получаем »(О)=ио = с. Таким
образом, решение v(t) уравнения (27) записывается в
виде
О (/) = »о +
Подставляя вместо v(t) величину x'(t), мы получаем
для функции x(t) уравнение
х' (0 = Vo + ul. (29)
Согласно ранее полученным результатам (см. (10)) ре*
шением этого уравнения является функция
*
х(0 = ®</ + 4/2 + с, . ' (30)
где с—постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины с обозначим через хо положение
точки x(t) в момент времени f = 0. Подставим / = 0в
уравнение (30). Тогда мы получим х(О) = Хо— с.
Таким образом, равномерно ускореннное движение
описывается уравнением
х(/) = хо + о</ + -?т-. (3D
А
§ 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЙЙТЕГРАЛ
Интегрирование возникает в математике не только
как операция, обратная к дифференцированию, но так*
же и при решении многих других задач, в частности
при вычислении площади в геометрии. Вычисление пло*
щади фигур на плоскости, ограниченных кривыми ли*
ниями, приводит нас к интегрированию. При этом ин-
теграл перестает быть неопределенным, так как пло-
щадь фигуры имеет вполне определенное значение. Мы
рассмотрим здесь простейшую .задачу вычисления пло-
щади, приводящую к определенному интегралу,
! Будем исходить из заданной функции
WW (1)
итрафика L этой функции, построенного в обычной пря-
моугольной декартовой системе координат. Предполо-
жим пока, что весь график L проходит над осью абс-
цисс. Пусть и, v — два каких-нибудь значения аргу-
мента х функции f(x), причем и < v. Точки графика U
с абсциссами и и v мы обозначим соответственно через
а, Ь. Теперь естественно выделяется кусок плоскости,
ограниченный снизу отрезком [и, о] оси абсцисс, сле-
ва •—ординатой иа, справа «— ординатой vb и сверху от-
резком [а, 6] графика L. Этот кусок плоскости мы обо-
значим через Q (и, о). Здравый смысл и потребности при-
менения говорят нам, что кусок Q(u, v) плоскости имеет
определенную площадь. Эту площадь мы обозначим че-
рез h (и, о). Выберем теперь два значения аргумента
Хо И х функции f(x) и положим
Л(*о, x) = h(x). (2)
Обозначая соответствующую площадь через Л(х), мы
тем самым подчеркиваем, чтд рассматриваем ее как
функцию переменной величины х. Вычислим теперь про-
изводную h'(x) так определенной функции h(x). Выбе-
рем для этого некоторое значение £ аргумента нашей
функции (1), близкое к х. Для определенности будем
считать, что Для вычисления производной h(x)
мы прежде всего должны вычислить разность й(^)—
—h(x), т. е. разность площадей фигур Q(x0, |) и
Q(x0, х). Эта разность равна площади фигуры Q(x,
Имеем ‘
h(l) — h(x) = h(x,l). (3)
• Мы не будем точно вычислять площадь h(x, £) фи-
гуры Q(x, В), а дадим только ее оценку. Для этого йве-,
дем новые обозначения. При двух произвольных значе-
ниях и, и аргумента функции f.(x) мы обозначим через
р.(и, и) минимум функции f(x) на отрезке [и, о], а через
v(m, и) максимум функции f(x) на том же отрезке
- [и, о]. Прямоугольник с основанием [ы, о] и высотою
p(w, о) обозначим через М(и, и), а прямоугольник с ос-
нованием [а, о] и высотою v(w, v) обозначим через
N(u, о) . Применяя наше обозначение к Случаю, когда
и == х, a v = g, мы видим, что прямоугольник М {х, $),
содержится в фигуре Q(x, £), а сама фигура Q(x, §) со-
держится в прямоугольнике |). Так как площади
Я
прямоугольников М(х, |) и N(x, |) равны соответ*
ственно
(I — х) р (х, |), (| — х) v (х, |), (4)
то мы получаем следующее двойное неравенство:
(I - х) ц (х, |) < h (х, IX (| - х) v (х, |) (5)
или иначе
(| - х) р (х, |) < h (|) - h (х) < (I - х) v (х, |). (6)
Ясно, что при |—>х мы имеем
И (х, |) -> f (х), v (х, |) -* f (х). (7)
Таким образом, деля двойное неравенство (6) на поло'
жительную величину (| — х) и переходя к пределу при
| -> х, получаем
HxXlitn (8)
£->х = *
Так как, согласно определению,
6 — *
* то из формулы (8) следует
Л'(х) = /(х). (9)
Таким образом, мы нашли производную функции h(x)
и убедились, что й(х) является первообразной для
функции f(x). Следует отметить еще одно свойство
функции й(х). При х — х0 кусок плоскости Q(xo,x) пре’
вращается в отрезок и потому имеет площадь, равную
нулю. Таким образом,
. й(хо)==О. (10)
Все сделанное до сих пор исходило из предположен
ния, что хо С х и что график L функции [(х) на отрезке
[хо, х] целиком проходит над осью абсцисс. Эти пред’
положения необходимо снять и определить функцию
й(х) так, чтобы она удовлетворяла условиям (9) и (10).
Если график функции J(x) на отрезке [х0,х] частич’
но проходит над осью абсцисс и частично под осью
абсцисс, то мы разобьем его на две части: L+, лежащую
над осью абсцисс, и L-, лежащую под осью абсцисс.
Каждая из кривых £+ и £_ может состоять из несколь-
ких кусков. Площадь, заключенную между кривой L+ и
44 '
осью абсцисс, обозначим через й+(х), а площадь,-за»
цлюченную между осью абсцисс и кривой L-, обозначим
через й_(х). Сохраняя предположение, что хо < х, мы
положим теперь
й(х) = й+(х)-й_(х). (11)
Если теперь хо >► х, то площади Л+(х) и Л_(х) опреде*-
ляются точно так же,- как и в случае хо < х, но функ-
ция й(х) определяется формулой
й (х) = — (й+(х) — й_ (х)). (12)
Площадь по самой своей сущности — величина по-
ложительная. Определяя ее формулами (11) и (12), мы'
тем самым алгебраизируем площадь, т. е. приписываем
ей знак плюс или минус в зависимости от обстоятельств.
Выть может, несколько кропотливо, но без каких-либо
существенных трудностей можно доказать, что при но-
вом определении функции й(х) ее свойства (9) и (10)
сохраняются. Таким образом, для любой функции /(х)
найдена ее первообразная й(х), удовлетворяющая до-
полнительному условию (10).
Этот способ построения функции й(х), являющейся
первообразной для функции f(x)-, хотя и убеждает нас
в том, что функция й(х) существует, так как по здра-
вому смыслу площадь фигуры существует, но он не •
дает нам возможности вычислить эту площадь хотя бы,
например, при помощи электронно-вычислительной ма-
шины. Способ вычисления функции й(х) будет дан не-
сколько позже, а сейчас мы покажем, что и достигнутый
уже результат дает нам некоторые плоды. Он позво-
ляет сосчитать площадь й(х) куска плоскости Q(xo, х) в
том случае, когда мы можем угадать некоторую перво-
образную Л1(х) функции f(x). Итак, допустим,, что мы
как-то нашли функцию fti(x), удовлетворяющую усло-
вию •
Af(x) = f(x). (13)
Подставляя в формулу (7) § 6 вместо функции й2(х)
функцию й(х), получаем равенство
й(х) = Л1(х>+с, (14)
где с есть постоянная величина. Для того чтобы найти
ее, подставим вместо х в это равенство величину х0.
Тогда мы получим, в силу формулы (10)
0 = h (хо) — hi (х0) + с.
45
Отсюда следует, что с = —й1(х0), и, следовательно, ^
h (х) = Л1 (х) — Л1 (х0). (15).
Формула эта представляет собою важный реэудь*
тат. Она выражает площадь ft(x) фигуры Q(x0, х) чебез
произвольную первообразную fti.(x) функции f(x). С/ма
функция Л(х) называется определенным интегралом
функции/(х) и записывается в виде , >
й(х)=р(0Л. J16)
х».
Здесь хо называется нижним пределом интегрирова-
ния, х — верхним пределом'интегрирования, a t** пе-
ременной интегрирования. Функция А(х) зависит от за»
данной функции f (х) и пределов интегрирования х0 й х,:
но вовсе не зависит от переменной интегрирования, точ*
нее, от ее обозначения, так что ее можно обозначить
любой буквой. Например, мы можем написать
h(x)=" f (т) dr.
Хо
Определенный интеграл как предел последователь**
ности конечных сумм. Перейдем теперь к способу при»
ближенного вычисления площади й(х) куска плоскости
Q(xo, х). Здесь мы вновь будем считать, что х0 < х и что
на отрезке [х0, х] график функции f(x) проходит над
осью абсцисс. Разобьем отрезок [хо, х] точками
Хо<хх <х2< ... <хя»=х. (17).
Мы будем говорить, что подразделение (17) отрезка
[х0, х] имеет; мелкость 6, если длина каждого отрезка
подразделения меньше чем б, т. е. если выполнено уело»
вие
Xi — Х/_1<б (/= 1, 2, ..., п). (18)
Употребим введенные ранее обозначения для -отрезка
[«, о], применяя их теперь к отрезку [x/-i, X/], и соста-
вим две суммы у
М = (xi — Хо) Н Uo> Xi) + (х2 — Xi) р (хь х2) 4- ...
... +(ХЯ — х„_1) ц (х„_1, хп), (19)
= (Х1 — х0) V (х0, хО + (х2 — Х1) V (Х1, х2) + ..
... + Un - ^-1) V (хл_ь хя). (80)
46
£умма (19) представляет собою сумму площадей всех
прямоугольников
M(xt_it х{) (t = l, 2..п). (21)
Сумма (20) представляет собой сумму всех прямоуголь-
ников
N(Xi_lt xt) (i = 1, 2, .... п). (22)
Объединение всех • прямоугольников (21) входит в ку-
сок плоскости Q(x0, х). Объединение всех прямоуголь-
ников (22) содержит внутри себя Q(x0,x). Таким обра-
зом, мы имеем двойное неравенство
M^h(x)^N. (23)
Величины М и N зависят- от последовательности точек
(17), т. е. от способа подразделения отрезка [хо, ж].
Сравнительно просто, но довольно канительно доказы-
вается, что при неограниченном измельчении подразде-
ления (17), т. е. при б->0 величина N — М также стре-
мится к нули?. Это показывает, что величины М и N
лредставляют собою приближенные значения площади
h(x). Некоторое неудобство представляет собою тот
факт, что при вычислении величин М и N мы должны
находить максимумы и минимумы функции f(x) на всех
отрезках подразделений. Это можно упростить следую-
щим образом. На каждом отрезке [x(-i, X/] выберем
' произвольную точку gi и составим сумму
P = (Xl-x0)f(h) +
+ (xs - Xl)f &)+...+ (х„ - xn.i) f (U. (24)
Так как имеет место очевидное неравенство
Р {xt_1, xi) < f (h) < v (x/_i, xi), (25)
то мы имеем неравенство
(26)
Так как величины М и N неограниченно сближаются
при 6 —0, то величины h(x) и Р неограниченно сбли-
жаются при безграничном измельчений подразделений
(17). Таким образом, можно приближенно вычислять
площадь h(x) при помощи суммы (24). Это и есть спо-
соб вычисления площади куска Q(xo,x). Он же может
рассматриваться й как логическое определение понятия
Площади.
47
§ 8. ПОСТУЛАТ СХОДИМОСТИ \
Дадим теперь очень простой пример вычисления пло-
щади при помощи формулы (16) § 7 и введем в связи
с этим рассмотрением очень важный признак существо*
вания предела. Зададим функцию формулой
/(х) = тг = х-2 (1)
и будем рассматривать ее только для положительных
значений х. В силу формулы (23) § 5 первообразной для
функции х~2 является функция — хг1, Действительно,
— (дг1)/ = х-2 = 1/х2. Таким образом, в силу формулы
(16) § 7 площадь куска Q(xq,x), заданная функцией (1),'
определяется формулой
X
Таким образом,
'W = 7--7- <2> '
AQ Л
Так как х >' х0, то h(x) > 0. Здесь важно отметить одно
очень интересное обстоятельство. Если х будет неогра*
ниченно возрастать, то правая часть соотношения (2J‘
стремится к пределу 1/х0. Это следует понимать так, Что
между.ординатой х0а0, осью абсцисс и кривой
у—\1хг
имеется ограниченная пЛощадь, хотя полоса, заключен-
-ная между осью абсцисс и нашей кривой, простирается
в бесконечность. В виде формулы это записывают
СО
dt _ 1
t2 ж0 *
С этим несколько странным явлением связано
гое явление, играющее весьма важную роль. На
мы сейчас и остановимся.
Будем считать, что k — натуральное число и соста*
вим последовательность целых чисел
хй = к, х( = k + 1, .... Xt — k + i, ..., xn = k +«=х.
(4)
так;
(3)
ДРУ'
нем
48
Эта последовательность целых чисел разбивает отрезок
интегрирования [х0, х] на отрезки длины 1. Составим
для этого подразделения отрезка [хо, х] на отрезки дли-
йы 1 сумму М (см. § 7 (49)) для функции (1). При
бтом мы должны принять во внимание, что минимум
функции f(x) на отрезке [x/_i,x/] достигается в правом
конце отрезка и равен 1/х|
Hto-b ^) = 4-=;&1П2 • (5)
(я т Ч
Число М в нашем случае зависит от еще не зафиксиро-
ванных натуральных чисел k и п, поэтому мы его обоз-
начим через M(k,n). В силу формулы (19) § 7 полу-
чаем для него выражение
M = M(k, п)= + (* + 2)« + ••• + (й + п)2 * *
Из первой части двойного неравенства (23) § ‘7 мы по-
лучаем в нашем случае
k+n
«(».<)<$ т = <7>
к
Положим теперь
k=\, p = n+l, sp= 1 4-Af(1, р). (8)
Тогда мы получим следующее выражение для sp:
«Р = -р- + у + у+ ...+y<Hl-y = 2-j.
(9)
Отсюда следует, что величина sp всегда удовлетворяет
неравенству
sp<2. (10)
Из формулы (9) видно, что величина sp возрастает вме-
сте с возрастанием р, но остается ограниченной в про-
цессе этого возрастания, все время оставаясь меньше 2.
Здравый смысл говорит нам, что величина sp при не-
ограниченном возрастании р, оставаясь ограниченной,
должна стремиться к некоторому определенному числу
$. Это утверждение мы можем записать в виде
lim sp = s. (11) •
р-»00
49
Постулат сходимости. Примем без доказательства ’
следующее утверждение.
Допустим, что имеется некоторая функция о(р) на*
турального числа р, удовлетворяющая двум условиям!
о(р) растет вместе с ростом р, т. е. выполнено условие
. а(р+1)>а(р) (р=1, 2, ...) (12)
и о(р) остается ограниченной при всех значениях р, т. е.
выполнено условие
о(р)<с, . (13)
где'с — постоянная величина, не зависящая от р. Тогда
величина а(р) при неограниченном возрастании р не*
ограниченно приближается- к некоторому числу а. Это
утверждение записывается в виде
lim о(р) = <т. (14)
р“>оо
Соотношение (9) мы можем теперь формулировать
следующим образом. Рассмотрим бесконечную сумму
"рг + '^г+ • • • + + • • • (15)
Так как конечная сумма sp (см. (9)) слагаемых этого
ряда удовлетворяет условию нашего постулата, то бу«
дем считать, что бесконечная сумма (15) существует и
задается формулой
а = lim sp, (16)
р->оо
Говорят, что бесконечный ряд (15) сходится и имеет
своей суммой величину а;
Если
р < q (17)
— два натуральных числа, то из формул (6), (7) и (9)
вытекает
sq = sp + M\p, q — р), 4 (18)
причем
Af(p,^-p)<l/p. (19)
Таким образом, имеем
а,-^<1/р. (20)
Переходя в этом соотношении к пределу при ^->оо,
получаем •
а —ар<1/р. (21)
50
Из этого мы видим, что величина s задается вели-
чиной sp с точностью до 1/р, и потому, рассматривая
величину sp как приближенное значение величины s,
мы знаем величину погрешности, которую мы допускаем
при этом приближении.
В алгебре уже рассматривалась сумма бесконечного
ряда, именно, сумма бесконечной геометрической про-
грессии
S = W + WV + ЛУО2 + ... + WV1 + • • •
В случае, когда |о|< 1, эта прогрессия имеет сумму,
равную
Таким образом, мы уже сталкивались с суммированием
бесконечного ряда и имели возможность вычислить его
сумму (22).
Бесконечный «ряд (15) тоже имеет сумму, но мы не
можем ее выразить в виде формулы, как это сделано
для геометрической прогрессии'. Мы можем только быть
уверены в том, что конечная сумма sp, составленная из
начальных его членов, является приближенным значе-
нием для суммы s этого ряда, и мы знаем точность этого
приближения (см. (21)). Раз мы можем найти сколь
угодно хорошее приближение числа s, то мы должны
считать, что число s нам известно. С таким явлением
мы уже сталкивались, когда рассматривали число л.
Его можно вычислить с любой точностью, но нельзя за-
дать его никакой алгебраической формулой.
Точно так же обстоит дело и с числом $, которое
задается равенством (16). Числа sp являются его при-
ближенными значениями.
§ 9. БИНОМ НЬЮТОНА
И СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Здесь будут доказаны алгебраические формулы, упо-
мянутые в заголовке параграфа, которые понадобятся
нам в § 10.
Бином Ньютона. Для того чтобы выписать и дока-
зать эту формулу Ньютона, носящую название бинома
Ньютона, нужно прежде всего напомнить, что собою
Представляет функция п! натурального числа п. Функ-
ция эта определяется формулой
п! = 1-2-3 ... га. (1)
51
Таким образом, п\ (читается: п факториал)' есть Произ<
ведение всех натуральных чисел подряд, начинай с I
до п. Мы имеем
1!=1, 21 = 1-2 = 2, 31=1.2-3 = 6,
41 = 1 -2-3-4 = 24.
Удобства ради положим
01=1. - (2)
Формула Ньютона, о которой идет речь, записывает*
ся в следующем виде:
' («+?)"= £ (3)
i. i
~ i+i-n
Здесь справа стоит сумма всех членов вида
’ (4)
где i -f- / = п, причем 1 и / — неотрицательные целые
числа. Формулу эту мЫ будем доказывать индуктивно.
Именно, мы убедимся прежде всего,- что для n = I она
верна, а затем докажем, что если она верна -при пока-
зателе степени, равном п, то она верна и при показа-
теле, равном 1.
ДлЯ'П = 1 мы имеем '•
(и + о)« = « + о = -^г + -3|гг, (б)
Таким образом, для n = I формула (3) верна.
Для проведения индукции умножим равенство (3)'
на «4-о. Тогда слева мы получим (и 4* о)п+1.; Справа
же мы получим члены, содержащие множители upv4\ где
р + q — п+ Из слагаемого (4) после умножения
на (и 4- о). мы получим слагаемое, содержащее множи-
тель В случае, если
/=р—1, j=q или l = p,
В первом случае мы получим член, содержащий иРи4
в результате умножения члена (4) fia и, а во втором
случае при умножении члена (4) на v. Таким образом,
в результате умножения^ммы, стоящей в правой части
равенства (3), на (и 4" °) мы получим член, содержа-
52 .
щий upv4 с коэффициентом
___Я1___ I ((Л
(р - 1)!<?! р!(<?-1)! • W
Умножая на р числитель и знаменатель первого слагае-
мого этой суммы и на q числителе и знаменатель вто-
рого слагаемого этой суммы, перепишем сумму (6) в
виде
я!р . я!р я! (р + <?) __ (я +1)1 /7ч
plql ' plql“ plql plql * ' '
Таким образом, получаем окончательно
(0+ »)"«= £ (8)
р. я л
p-w=n+l
Итак, индукция проведена и формула (3) доказана.
Коэффициент
входящий в формулу (3), обычно записывают в не-
сколько ином виде. Для этого полагают / = k, i = п —
— k и производят сокращение дроби (9) на (n — k) I.
Действительно, мы имеем -
т^г = п(п-1)...(п-Л+1). (10)
Таким образом,1 получаем
• я! я(я—1) ... (я —А+1) ....
(я-й)!Л1 “ *1 » W
и формула (3) переписывается в виде
(и + „)•=„• + «-Р+1^1 и- V + ...
... + , -I-о», (12)
Выведем заново еще одну формулу, известную из
алгебры.
Сумма геометрической прогрессии. Положим
= + + ... +w-o'n. (13) ,
Умножим и разделим правую часть этого равенства на !
53 ;
(I“u) и используем формулу (9)' § 2, положив в ней
и = 1. Тогда получим
1 _ vm+l
gm = W-i_0 :
(14)
В дальнейшем мы будем пользоваться этой формулой
только в случае
О < о < 1, w > 0.
В этом случае из нее следует
’ (15)
§ 10. ФУНКЦИЯ е*
Здесь мы прежде всего очень педантично и строго
определим функцию е*, где х — переменная, могущая
принимать произвольные действительные значения, а
е » известное и важное в математике число
е = 2,71828 ...
Мы начнем наше исследование с рассмотрения функции
©«(*)=(г+т)"’ (D
где п — натуральное число. Определенная этим соотно-
шением функция <вя(х) есть многочлен степени п отно-
сительно х. Прежде всего мы докажем, что при каждом
фиксированном х величина шя(х) стремится к некото-
рому определенному пределу при п->оо, который обо-
значим через ехр(х), что в виде формулы записывается
так: •
lim ©ft (х) = exp (х). (2)
П-»оо
В результате тщательного изучения функции ехр(х),
определенной этим соотношением, придем к выводу, что
ехр (х) = ех. (3)
Изучение функции <оя(х). Применим к правой части
равенства (1) формулу (12) § 9, положив в ней и= 1,
64
у== —. Тогда получим
Л
II п
П (ft — 1) ... (ft ft + 1) X*
kl nk
(4)
В полученной формуле преобразуем числовой коэффИ'
циент при xk. Мы имеем
n(ft-l) ... (n-fe+i) _ j Л __1\ А _ *-1 \ 1 .
k\nk \ п) * * \ п ) /г!
(5)
Полагая
v.w-iO-tI-O-V)- в»
мы можем переписать формулу (4) в виде
е.(х) = 1 + ?#(1)т+ ••• +У»(*)4+ М
Величина yn(k) обладает следующими свойствами:
(8)
О < Yn(&) < Vn+1 (k) < 1 при 1< k < п, (9)
Yn (k) = 0 при k > ti.
Из формулы (7) и неравенства (9) следует, что
при х > 0 имеем ©„ (х) < ©n+i (х). (10)
Зафиксируем теперь х, не обязательно положитель-
ное, и выберем настолько большое натуральное число р,
чтобы было | х | < р + 1, или, что то же,
| X |/(р + 1) < 1. (11)
Тогда при k> р имеем
Y»(fe) | |х|^ |х|Р |х| |х| |х|
k\ 1 1 ft! pi р + 1 р + 2 ft
Разобьем сумму (7) на два слагаемых
W e sn (р, х) + гп (р, х), (13)
Й
где
Sn(p,x)=
i . p
= 14-уй(П^-+ ... +Yn(O^-+ ;.. +Yn(p)7r. (14)
rn(p, x) =
= Y«(p + 1)7/^jr+ ... +Yn(^4+ <15>
здесь i p, k > p.
В силу формулы (12) получаем неравенство
lr„(p, х)|<
< 1*1Р Г 1*1 1*12 . . I х |ft~P . 1 <.
р! Lp+1 (р+1)2 ’*• (p+l)ft-p J
1*1
|х|Р р+1 __ |*|Р |*|
pt . _ 1*1 pl ’ р + 1 -1XI
р + 1
(см. (15) § 9 и (И)). Окончательно получаем
IMP. x)l< при |х|<р+1. (16)
Отсюда видно, что величина |гп(р, х)| остается ограни.
ченнЪй при неограниченном росте п, и, следовательно,
имеем неравенство
®Л (*•) < (х)« (1?)
где с(х) зависит от х, но не зависит от п. Таким обра-
зом, при х > 0, в силу неравенств (10) й (17), величина
юя (х) йри неограниченном росте п возрастает, оставаясь
ограниченной, .и потому предел её существует (см. § 8),
Так что мы можем написать
при х>0 имеем exp(х) = lim ю„(х).
П->оо
Случай |х|^1. В этом'случае мы можем считать
р= 1, так как при |х|С 1 неравенство (11)’выполнено
при р == 1. Тогда формула (13) переписывается в виде
©п(х)==1+x + rrt(l, х),'
где
> . I гд (1, х) | < I х | • 2 < I х |V
- 86
Таким образом, окончательно при |х|<П имеем
(х) = 1 + х + rn (1, х), где | rn (1, х) | < х2.^ (18).
Пусть теперь
.........................В»,... (19)
•—некоторая последовательность, сходящаяся к нулю.
Рассмотрим* величину ©п(|п). Так как при достаточно
больших, п |£n|< 1, то при достаточно больших п для
величины ©п(|п) имеет место формула (18), т. е.
“.(u=i+s»+^(i.u. ™= г.о.wi<n-
Отсюда следует окончательный -вывод:
если lim — 0, то lim ©„(£„)=!. (20)
П->оо П-»оо
Займемся теперь случаем, когда аргумент х функ<
ции ©п(х) отрицателен. Для этого рассмотрим функцию
©я(-х), - (21.)
считая х положительным. Составим произведение функ«
ций ©я(—х)®п(х). Мы имеем
<М~ *)«•»(*)= (1~(22)
где
t *2
Так как
lim |„ = 0,
П->°о
ТО
lim ©„ (У =1 (23)
' - Л-»оо
(см. (20)).'Так как в силу формулы (22) мы имеем
причем числитель и знаменатель правой части этого 1
равенства имеют определенные пределы при п -> оо,
получаем '
lim ф»(Ы J
Нгп ©rt (— х) == —Нт = ехр^) •
Л->оо
N!
Итак, мы доказали, что функция ©я(—х) при х положи-
тельном стремится к определенному пределу, и пб^ому
можно положить • ’ , ’
lim ©„ (— х) = ехр (— х),
причем
<24)
При этом доказано одновременно важное свойство
функции ехр (х). Именно,
ехр(—х)ехр(х) = 1, (25)
где х > 0. Переобозначая —х на х, получаем формулу
ехр (х) ехр (— х) = 1, " (26)
где х уже отрицательно. Заметим, кроме того, что при
х = 0 ®л(х)= 1, так что, согласно определению,
ехр(О)=1. (27)
Таким образом, для всех значений х мы имеем очень
важное соотношение
ехр(х)ехр(—х) = 1. (28)
Итак, мы доказали, что при произвольном значении
х величина ,©я(х) стремится к определенному пределу
при п оо, так что можно положить
ехр (х) = lim ©я (х). (29)
П->00
Из формулы (18) следует, что при |х|^1 имеем
ехр (х) = 1 + х + г (х), где | г (х) | < х2. (30)
Основное свойство функции ехр(х). Оказывается, что
имеет место следующее важнейшее свойство функции
ехр(х). Если х и у — два действительные числа, то мы
имеем соотношение
ехр (х) ехр (у) = ехр (х + у). (31)
Для доказательства этого важнейшего равенства со-
ставим произведение функций ©я(х) и ©я(«/). Мы полу-
чим
=(‘+-£4i+-y)"- <32>
58
Мы имеем
1+д±^ + ^ = (1+^±,)(1+т а) =
“О+т^Х'+т)- 03)
где
Ь.-Т+?+7- О*
Из формул (32) и (33) получаем
W “л (У) = (х + у) ©п (£„). (35)
Так как lim ?П = О, то Hm ®ft(|„) = l (см, (20)) . Таким
П->00 п->оо •
образом, переходя к пределу при п—>oq в соотношении
(35), получа,ем
ехр (х) ехр (у) — ехр (х + у).
Таким образом, соотношение (31) доказано.
Соотношение это, доказанное для двух сомножите-
лей, очевидно, верно и для произвольногб числа сомно-
жителей. Считая все сомножители одинаковыми, мы по*
лучаем соотношение
(ехр (х))р = ехр (рх), (36)
где р —натуральное число. Из этого соотношения и со-
отношений (27). и (28) получаем соотношение
(ехр (х))р = ехр (рх)> (37)
где р — произвольное целое число, Заменяя в этом соот-
ношении целое число р целым числом q, а рх «== qx че-
рез у, получаем соотношение
(ехр (у)/ — ехр (у), (38)
откуда следует
ехр(-у) = (ехр(г/))1/<7. (39)
Возведя последнее соотношение в степень полу-
чаем
(ехр (у ))Р = (ехр (у))р,<г, (40)
В силу соотношения (36) левая часть-этого равенства
может быть переписана в виде _ J
(exp(f))₽=ex₽(f 4-
59
Таким образом, окончательно получаем
ехР (7* у) = <ехР • (42)
Заменяя в этом соотношении у на х и полагая г ==
== p/q, мы получаем окончательную формулу
ехр (гх) = (ехр (х))г, (43)
где г — произвольное рациональное число.
Число е и функция ех. По определению будем счи*
тать, что число е задается равенством
е—ехр(1). (44)
Таким образом, мы имеем
*= lim (1 +±)Л. . ' (45)
Л->8о V П /
Это есть обычное общепринятое определение числа е.
Полагая в соотношении (43) х = 1, получаем
ехр (г) « Z, (46)
где г произвольное рациональное число. Таким обра-
зом, мы установили, что для произвольного рациональ-
ного числа г функция ехр (г) представляет собой не что
иное, как величину ег, где возведение в рациональную
степень г понимается так, как это понимают в алгебре.
Для произвольного, не обязательно рационального чис-
ла х равенство
е* = ехр(х) (47)
является определением функции ех. Правая часть со-
отношения (47) нами уже определена. Функция .е*, пер-
воначально определенная чисто алгебраически для ра-
циональных значений х, формулой (47) доопределяется
так, что она имеет смысл уже для произвольного дей-
ствительного числа х, не обязательно рационального.
Такое определение функции ех для’действительных зна-
чений х является единственно разумным. Так получаю-
щаяся в результате этого построения функция ех обла-
дает хорошими свойствами. Эти свойства следующие:
е°=1, = (48)
Эти свойства функции ех вытекают из свойств (27) и
(31)' функции еХр(х), с которой функция ех совпадает.
60
Кроме того, функция ех имеет производную. Займемся
ее вычислением.
Производная функции ех. При определении произвол-
ной ех мы воспользуемся формулой (21) § 1, положив
при этом
£=х + й. (49)
Таким образом,
(ех) = lim —= lim * %. (50)
Л->0 п й->0 я
Так как h — малая величина, то мы можем при вычис-
лении функции еп использовать формулу (30), так что
получаем
г=г+л+г(л),
где
\r(h)\<h*. (51)
Из этого следует, что
lim-^-=l. (52)
Л->0 п
Таким образом, из формулы (50) следует, что
(ех)' = ех. (53)
Итак, производная функции ех вычислена. Она обла-
дает тем замечательным свойством, что совпадает с са-
мой функцией ех. Тем же свойством обладает функция
сех, где с — константа. Именно,
(сех)' = се\ (54)
Оказывается, что всякая функция f(x), удовлетворяю-
щая уравнению
f'(x) = f(x), ' (55)
записывается в виде
f(x) = ce*. (56)
Доказательство дается в упражнении 3 к § 11.
§11. ФУНКЦИЯ 1П х
Имея в виду в дальнейшем изменить обозначения,
я, для того чтобы не вводить путаницы, употреблю гре-
ческие буквы для обозначения переменных. Рассмотрим f
уравнение
Ч=хА (1)
61
*0
Решение этого уравнения относительно неизвестной
величины g-при известной величине ц называется нату-
ральным логарифмом величины т] и обозначается через
g = M. (2)
Следует прежде всего выяснить, при каких значе-
ниях т] уравнение (1) имеет решение относительно неиз-
вестной Заметим прежде всего, что — величина
всегда положительная, что следует из ее определения.
Таким образом, уравнение (1) может быть разрешено
лишь при т] > 0. Для дальнейшего исследования урав-
нения (1) надо начертить график функции (1), откла-
дывая | по оси абсцисс, а г]— по оси ординат. Так как
число е заключено между числами 2 и 3, то при возра-
стании £ функция е$ растет быстрее, чем функция 2К
Для того чтобы составить себе представление о той ско-
рости, с какой растет функция 2\ напомню известный
рассказ. Изобретатель игры в шахматы попросил от
персидского шаха следующую награду. Он сказал; «По-
ложи на первую клеточку шахматной доски одно зерно
риса, на вторую клеточку — два зерна риса, на третью,—
четыре зерна риса и так на каждую следующую кле-
точку вдвое больше, чем на предыдущую». Так как об-
щее число клеточек шахматной доски есть 64, то общее
количество зерен составляет сумму геометрической про-
грессии __
1 +2 + 22+ ... +2*+ ... 4-263.
Сумма этой прогрессий дается формулой (14) § 9 и
равна 264— 1. При попытке подсчитать это число полу-
чаются такие. чудовищные результат, что, если я не
ошибаюсь, такого количества риса нет вообще на земле.
Итак, функция е* стремительно возрастает при £-+•
-> + оо. Точно так же она стремительно убывает к нулю,
когда g -> — оо. Так как производная функции поло-
‘жительна при произвольном £ (см. § 10, (53)), то функ-
ция е* возрастает на всем протяжении — оо < § <
< + оо. Отсюда видно, что уравнение (1) имеет реше-
ние для всякого положительного т] и притом только одно.
Перейдем теперь к более естественным обозначе-
ниям. Рассмотрим уравнение
е? = х
(3)
62
й У = у(х) — искомое решение уравнения. Как мы уже
отметили, функция
<р (х) = In х (4)
определена при всяком положительном х. Возьмем про-,
изводную от обеих частей равенства (3) по х, считая,
что у = ф(х), и беря производную от левой части равен-
ства как от сложной функции (см. § 5, (16)). Тогда по-
лучим в силу этой формулы
(е»)'.ф'(х)=1, (5)
где в выражении (es)z нужно заменить у через <р(х).
Так как
(е»)' = е» = е'1>«=х,
то мы получаем для <р'(х) выражение
Ф'(х) = т- (6)
Здесь <р(х) есть натуральный логарифм х. Таким
образом, производная 1пх определяется формулой
(1пх)' = 4-. . (7)
§ 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ е* В РЯД
Формулы, получейные в § 10, дают возможность
разложить функцию е* в степенной ряд.
Из формулы (6) § 10 следует, что
Нту„(Л)=1. (1)
П“>оо
Выберем теперь р так,* чтобы было р+1 > 10|х|<
Тогда из формулы (12) § 10 получим
Vn (fe) । v * |х|Р ' 1
kl 1 р! 10*-»’ *
Переходя к пределу при п -» оо, получаем
так как при фиксированном х р — фиксированное число,
то из формулы (2) следует, что при неограниченно
' 63
I V _
возрастающем Л величина ' - стремится к нулю. Таким
образом, при фиксированном х найдется настолько
большая величина q, что
< 1 при k^q, (3)
Хотя при доказательстве этого соотношения мы поль»
зовались определенным выбором натурального числа р,
окончательный результат (3) не зависит от этого вы»
бора.
Будем теперь считать, что в формуле (16) § 10
р > q. Тогда из нее мы получим
. , ч, |х|р 1*1 1*1
\гп{р, х)|< р1 • р+1_|х| < р + •
Из формулы (13) § 10 следует теперь, что
I (х) - sn(р, х) | < p+j (4)
Из формулы (14) § 10 и (1) следует, что при переходе
к пределу при п->-оо в неравенстве (4) мы получаем
I___(1 а._1_.*1 □_ _ь х I <•* Iх!_
Iе V + 1! ' 21 . * * * ^ р\) I р + 1 — | х I ’
Так как правая часть этого неравенства стремится и
нулю при р неограниченно возрастающем, то неравен»
ство это означает, что ех разлагается в бесконечный ряд
е«— 1 4.2L4....
При х—1 получаем
II1 i 1
е~ 1 + 11 + 21
(б)
1
р!
(6)
Формулы (6) и (5)' удобны для вычисления числа е и
функции ех. ’
§ 13. ПОСЛЕСЛОВИЕ. О ТЕОРИИ^ПРЕДЕЛОВ
Личный опыт убеждает меня, что первоначальное
знакомство с математическим анализом не должно на»
чинаться с изучения теории пределов. Будучи ещ«
школьником, я довольно хорошо владел основами диф«
64
ференциального и интегрального исчисления, умея поль-
зоваться ими для решения задач, но не зная даже о су-
ществовании теории пределов, и только на первом курсе
я узнал о том, что она существует и был этим очень
удивлен. Исторически интегральное и дифференциаль-
ное исчисления были уже хорошо- развитыми областями
математики до того, как появилась теория пределов.
Последняя возникла как некоторая надстройка над су*
ществовавшей уже теорией. Многие физики считают,
что так называемое строгое определение производных
И интегралов вовсе не нужно для хорошего понимания
дифференциального и интегрального исчисления. Я раз-
деляю их точку зрения. Я думаю, что, начав изложение
математического анализа в школе с теории пределов,
можно полностью увязнуть в последней, не дойдя ни до
каких содержательных результатов. Ознакомление о
теорией пределов, если и нужно, то оно должно быть
дано уже после ознакомления с содержательными ре-
зультатами анализа. Поэтому я даю очень неформаль-
ное и очень интуитивное описание теории пределов
лишь в послесловии.
Теория пределов. Понятие предела всегда связана
с изучением поведения некоторой функции f(D в связи
О поведением ее аргумента При этом взаимосвязь по-
ведения функции с поведением аргумента £ имеет
очень специфический характер. Ставится вопрос о том,
Как ведет себя величина f(g), когда переменная вели-
чина | неограниченно приближается к некоторой по-
стоянной величине х. Если в процессе приближения ве-
личины £ к постоянной величине х, переменная вели-
чина f(l) также приближается к некоторой постоянной
величине f0 (мы не предполагаем, что функция f(l)
Определена при £ = х), то считается, что функция f(g)
стремится к пределу f0 при В виде формулы это
записывается так:
(1)
Для того чтобы не давать формальных определений, а
дать лишь интуитивную картину, мы должны предста-
вить себе, что £ является приближенным значением
величины х, и точность этого приближения возрастает
по мере приближения £ к х. Точно так же величину
f(g) надо рассматривать как приближенное значение
величины fo, причем точность приближения возрастает
65
по, мере того, как возрастает точность приближения х
величиной g.
При таком интуитивном описании легко понять ос-
новные правила предельного перехода. Если имеются
две функции и g(%), причем выполнено условие
I limf(g) = f0, limg(x) = g0, (2)
т. е. величины f(%) и g(%) являются все более и более
точными приближениями величин f0 и g0, когда £ ста'
новится все более точным приближением величины х,
то очевидно, что приближенное значение суммы f0 + go
дается суммой f(£)+g(£) и точность этого приближе-
ния повышается пр мере того, как повышается точность
приближений величины f0 величиной f(g) и величины g0
величиной g(£\. Отсюда вытекает первое правило тео-
рии пределов
lim \f (g) + g (g)) = fo + go = lim f (&) + lim g ®. (3)
i->x
Точно так же дело обстоит и с произведением. Ясно,
что произведение f(|) 'g(£>\ является приближенным
значением произведения fo'go- Точность этого прибли-
жения возрастает по мере того, как возрастает точность
приближения величины f0 величиной f(%) и точность
приближения величины go величиной g(|). Отсюда вы-
текает второе правило теории пределов
lim f (g) g (£) = fogo = lim f ® • lim g (£). (4)
На основании тех же точно соображений мы получаем
и третье правило, теории пределов
gUa)-*- tat©- (5)
Эта формула верна, однако, только при условии, когда
go 0. Следующее, последнее правило теории пределов
относится к неравенствам. Если величина /(g), дающая
все более и более точное приближение величины fo,
остается все время не превосходящей величины g(t),
которая дает все более и более точное приближение ве-
личины go, то ясно, что fo go. или, иначе, из соотно-
шения
f(l)<g®
(6)
66
следует соотношение
fo go
или
lim f(g)<lim g(l).
(7)
Несколько иной, но очень похожий вариант теории
пределов, возникает тогда, когда аргументом функции
является не переменное число £, приближающееся к
постоянному числу х, а целое неотрицательное число
п, неограниченно возрастающее, так что мы имеем дело
с функциями f(n) и g(n), которым обычно дают не-
сколько иное обозначение
= £(») = &*► (8)
Здесь ставится вопрос о том, как ведет себя величи-
на fn, когда число п неограниченно возрастает. Если
оказывается, что при этом лисло fn неограниченно при-
ближается к числу fo, то пишут
.Hmf„ = f0. (9)
П->ОО
Если наряду с этим соотношением имеет место ана-
логичное соотношение и для второй функции
lim gn = go, (Ю)
П->оо
то на основании тех же интуитивных соображений, ко-
торые имели место при рассмотрении функций f(g) и
g(l), мы получаем теперь основные правила теории пре-
делов. Выпишем их:
Hm (fn + gn) П-+<х> = Нт + Нт gn, П-><х> П~>оо (И)
Нт fngn П->оо = Нт fn • Нт gn, П->оо П-»оо (12)
* lim ~! П->оо ёп lim fn lim gn ' П-+<Х> (13)
Формула (13) верна, только .если lim gn 0.
П“>оо
Из соотношения fn^gn следует lim f„< lim gn.
П-><х> П->оо
Непрерывные функции. Понятием предельного пере-
хода пользуются для того, чтобы определить понятие
непрерывной функции. Именно, функция f(£), которая
67
определена также для значения аргумента £ = х, счи-
тается непрерывной при значении аргумента g = х, если
выполнено соотношение
Функция f(l) считается просто непрерывной, если
она непрерывна для каждого значения х своего аргу-
мента. Если функция g(g)-—вторая непрерывная функ-
ция, то из правил 1, 2, 3 следует, что сумма функций
непрерывна, произведение функций /(l)g(g)’
f (В)
непрерывно, отношение функций непрерывно, за
исключением лишь тех значений, для которых g(x)^= 0.
Все функции, которые рассматриваются в книжке,
конечно же, непрерывны и, конечно, имеют производ-
ные, но говорить об этом на каждом шагу я считаю не-
нужным. Это должно подразумеваться или, скорее, чув-
ствоваться само собой.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнения к § 1
Укажем прежде всего некоторые приемы вычисления производ-
ной. Согласно § 1 производная f'(x) функции f(x) определяется со-
отношением
ГИ- „т
I — X
(1)
Таким образом, для нахождения' производной функции f(x) следует
рассмотреть частное , —
f (£)-/(*)
(2).
и посмотреть, как ведет себя это частное, когда х остается постоян*
ним, a g неограниченно приближается к х. Если дробь (2) прибли*
жается к некоторому определенному пределу, то этот предел обо-
значается через /'(х) и является производной функции f(x). Наибо-
лее просто предел отношения (2) вычисляется в случае, если числи-
тель его f(g)—f(x) удается непосредственно разделить на £ — х<
Тогда для перехода к пределу в полученном частном достаточно
заменить g через х, и мы получим производную f' (х). Это удается,
если в выражении f(g)—f(x) можно вынести двучленный множи-
тель g — х. Так как вынесение двучленного множителя есть не очень
простая алгебраическая операция, то удобнее изменить обозначения
так, чтобы нам можно было вынести одночленный множитель. Для
этого полагают
h = £ — x,
(3)
l = x + h. (4)
Ясно, что при g->x. Таким образом, в новых обозначе-
ниях определение (1) переписывается в виде
llm
или, что то же самое,
(б)
Л
Заметим, что h называется приращением независимого перемен-
ного х, а разность
f(x + h) — f(x) < (6)
соответствующим приращением функции. Если в выражении (6) мы
можем вынести за скобку множитель Л, то деление его на h явля-
ется чисто алгебраической операцией и вследствие этого для нахо-
ждения предела (5) достаточно в полученном частном заменить h
через 0. Этот прием хорошо удается в случае, если f(x) есть ра-
циональная функция х, но в случае наличия радикалов он тоже
может удаться. Так, например, если разность (6) может быть запи-
сана в виде Va" — где а и Ъ есть рациональные выражения,
то, умножая и деля эту разность на сумму л/а + '\[bi мы получим
Выражение а — b уже не содержит иррациональности и может быть
разделено либо на £ —х, либо на h в зависимости от того, поль-
зуемся мы определением (1) или определением (5) производной.
Пользуясь этими приемами, найдите производную функции f(x),
которая задается нижеследующими _ различными формулами:
Упражнение 1. f (х) ® ах2 + Ьх + с.
Ответ. f'(x) = 2ах + Ь.
Упражнение 2. f(х) =s ах3 + bx2 + сх + d. (
Ответ. ff (х) = Зах2 + 2Ьх + с.
,У п р а ж н е н и е 3. f (х) =
Ответ. f'(x) = — —^.
Упражнение 4. f(x) = -^7.
2
Ответ, f' (х) == — -г.
Л
Упражнение 5. f(x)
Ответ. f'(x) =
Упражнение в. f(x) = axi+i,x^c'
Л с / ч 2лх + b
Ответ, f (х) — + Ьх + с)2.
Упражнение?, f (х) = V**
Ответ, f' (х)== —
2 V*
70
Упражнен
Ответ, f' (х) =
и е 8. f (х) = 'у/ах2 + Ьх + с.
__ 2ах + Ь__________
2 Vai2 + Z>x + £
, Упражнения к § 2
Правило вычисления производной многочлена настолько npoefb,
что невозможно дать на него сколько-нибудь трудное интересное
упражнение. Поэтому дадим здесь только два упражнения, причем
второе будет использовано в дальнейшем. Вычислим производную
двух следующих многочленов.
Упражнение 1. f (х) = х4 + 4х3 + 6х2 + 4х + 1.
Ответ. f'(x) = 4(х3 + Зх2 + Зх + 1).
Упражнение 2. /(х) = Зх5 — 5(а2 + 62)х3’+ 15а2Ь2х.
Ответ. I' (х) = 15 [х4 — (а2 + Ь2) х2 + а2Ь2]«
Упражнения к § 3
Рассмотреть нижеследующие многочлены f(x). Установить
участки возрастания и убывания многочлена f(x), а также найти
все значения х, при которых многочлен f (х) имеет максимумы и
минимумы, и отличить их друг от друга.
Упражнение 1. f(х) = х4 — рх2 + q.
Ответ. При р 0 многочлен f (х) убывает при — оо < х 0 и
возрастает при 0 < х < оо. Он достигает своего минимума в точке
х = 0. В этой точке вторая производная многочлена f(x) положи-
тельна при р отрицательном и равна 0 при р = 0. Таким образом,
условие (30) § 3 не является необходимым условием минимума
функции. При р положительном многочлен f(x) достигает своего
максимума в точке х = 0 и имеет два минимума при х = — Vp/2
и х == Vp/2- Этот многочлен убывает на участке — оо < х^ — ^р/%
возрастает на участке — Vp/2<*<0> вновь убывает «а участке
0 < х < Vр/2 и снова возрастает на участке Vp/2 х < оо.
Упражнение 2. / (х) = Зх5 — 5fa2 + &2)х3 + 15a2£2x (см.
упражнение 2 §£).
Ответ. Будем считать, что числа а и b положительны. Для
определенности предположим, что а > Ь. Многочлен f (х) возрастает
на участке —-оо < х —а, убывает на участке —а < х < —Ь,
возрастает ла участке —b х Ь, убывает на участке b х а
и возрастает на участке а х < оо. Он имеет максимумы в точках
х ~ —а, х — b и минимумы в точках х = —Ь, х ~а.
Упражнение 3. Имеется прямоугольный железный лист со
сторанами а и 6, причем а > Ь. Вырежем по углам этого листа
квадраты со стороной х<
b
т
и у полученной так железной
71
выкройки загнем под прямым углом кверху каждый из выступов.
1*огда получится коробка, основанием которой служит прямоуголь-
ник со сторонами а — 2х и b — 2х, а высота равна х, так что объем
коробки равен х(а — 2х)(Ь— 2х). Найти, при каком значении х
объуем коробки максимален.
Ответ, х = 4“ {а + b — ^/а2 — ab + 62).
о
В случае а = b получаем более простое решение
х»» а/6.
Упражнения к § 4
Начертить графики нижеследующих многочленов f(x).
Упражнение 1. f (х) =х4 — рх2 + q' (см. упражнение 1 § 3).
Ответ. В упражнении 1 § 3 многочлен f(x) уже достаточно
исследован. Остается только выяснить, при каких условиях график
его пересекается с осью абсцисс, т. е. уравнение f(x)=O имеет дей-
ствительные корни и сколько имеется этих корней.
" В случае р<0 уравнение f(x)=O не имеет действительных
корней, когда q > 0, и имеет два действительных корня, когда
q < 0. Если р = 0 и <7 = 0, то имеется четырехкратный корень
х = 0, а при р < 0, q = 0-г-двукратный корень х = 0.
Йри р S 0 и q < 0 имеются два действительных корня. При
р > 0, q >0 уравнение f(x) = O имеет четыре действительных кор-
ня, если Я---q>0, и не имеет действительных корней при
^ 2
Я----q < о. Если q > 0 и 4--q = 0, то имеются два двойных
4 ___ 4
корня х = ± Vp/2. Если р > 0, q = 0, то имеются ^гри действи-
тельных корня, один из которых двойной.
Упражнение 2. ,
f (х) = Зх5 - 5 (а2 + Ь2) х3 + 15а2Ь2х
(см. упражнение 2 § 3).
Ответ. В упражнении 2 § 3 уже в значительной степени вы-
явлено поведение графика многочлена f(x). Остается выяснить во-
прос, при каких условиях график £тот пересекается с осью абсциса
в одной точке х = 0 или в большем числе точек. В последнем слу-
чае определить число точек пересечения.
Уравнение f(х) = 0 имеет пять действительных корней, если-
а2/Ь2 > 5, один действительный корень, если а2/Ь2 < 5, и в случае
а2/62 = 5 —три действительных корня, из которых два двойные.
72
Упражнения к § 5
Упражнение 1. Вычертить графики функций
у == sin х,
у « cos х.
Найти участки убывания каждой из функций sin х й cos
найти точки максимума и минимума каждой из этих функций. Най-
ти точки пересечения графиков этих функций с осью абсииес. Найти
точки перегиба каждого из этих графиков.
Упражнение 2. Вычертить график функции
y-=tgx.
Ответ. Так как функция tgx периодическая с периодом л, так
что
tg (х + &«) = tg X,
где k — произвольное целое число, то для построения всего графика,
функции tg х достаточно построить его на участке —л/2 < х <« л/2<
На этом участке функция tgx возрастает от -оо до оо, проходя
через нуль при х = О, где график ее имеет точку перегиба. Для
построения всего графика функции tgx следует сместить уже по-
строенную часть параллельно вдоль оси абсцисс на величину kit*
где k — произвольное целое число. Каждый такой сдвиг дает от*
дельную ветвь графика функции tg х, не пересекающуюся с другими
ветвями.
Упражнение 3. Вычертить график функции
у = /(х) = -1
Л
где а — положительное число.
Ответ. Функция f (х) не определена при 0 и потому со-
стоит из двух отдельных ветвей^ лежащей над осью абсцисс при
х > 0 и лежащей под осью абсцисс при х^< 0t Так как
/ а а
U / X2 9
то на каждой из двух своих ветвей функция f(x) убывает. Рассмо-
трим ее более внимательно при х > 0. Если, оставаясь положитель-
ным, х приближается к нулю, то функция f(x) неограниченно воз<
растаетв так что график ее прижимается к оси ординат. Точно так
же при неограниченном возрастании х значение функции f(x) стре-.
мится к нулю, так что график ее при возрастании х прижимается
к осн абсцисс. Зависимость между х и у можно переписать в форме
ху — а.
73
Кривая, определяемая этим уравнением, очевидно, симметрична
относительно биссектрисы J и III четвертей.
Упражнение 4. Построить график функции
У = f (х) = %2 cos х. /
Ответ. Прежде всего видно, что функция f(x) четная, именно:
f(—х) я f(x). Таким образом, график этой функции симметричен
относительно оси ординат, и, следовательно, достаточно представить
его себе для х 0. При положительных значениях х знак функции
х2 cos х совпадает со знаком функции cos х. Отсюда видно, что при
х > л/2 график состоит из роли, аналогичных волнам ^функции
cos х, но волны эти растут по мере возрастания х, так как cosx
множится на х2. Ясно, что на каждой волне, ’ лежащей над осью
абсцисс, функция f(x) достигает максимума, а на каждой волне,
лежащей под осью абсцисс, функция f(x) достигает своего мини-
мума. Более тщательного рассмотрения требует отрезок
л/2 х^ л/2. В концах этого отрезка функция cos х обращается
н нуль, следовательно, и функция f(x) также обращается в нуль.
При промежуточных значениях х функция f(x) неотрицательна. При
х = 0 график этой функции проходит через начало координат, где
f (х) достигает своего минимума. На отрезке 0 < х < л/2 функция
f(x) положительна, кроме концов отрезка, где она обращается в
нуль, следовательно, на этом отрезке она где-то достигает своего
максимума. Для того чтобы найти те значения х, при которых
. функция f (х) достигает своих максимумов и минимумов, нужно
приравнять к нулю ее производную, т. е. решить уравнение
2х cos х — х2 sin х = 0.
Деля это равенство на х2 cos х, мы получаем уравнение
Таким образом^ для нахождения точек максимума и минимума
2
f(x), мы должны найти пересечение графиков функций г/=— и
2
у = tg х. Так как график функции у = — прижимается к оси
абсцисс при возрастании х, то при сравнительно больших х решение
о
уравнения — = tgx приблизительно совпадает с решением уравне-
ния tg х » 0, т. е. приблизительно равно числу Ы, где k — целое.
2
Геометрически видно, что решение уравнения s= tg х в действи-
тельности несколько больше, чем число &л. Из этого видно, что на
каждой волне графика функции f(x). эта функция достигает либо
74
своего максимума примерно в том же месте, где и функция cos#,
либо своего минимума примерно в том же месте, где и функция
cos х, имеет место лишь небольшой сдвиг вправо.
Упражнение 5. Вычислить производные функций, приве-
денных в упражнениях к § 1, пользуясь правилами, данными в § 5..
Вычислить производные нижеследующих функций.
Упражнение 6. f (х) = (sin х)п.
Ответ. f'(x) = л (sin x)n-1 cos х.
Упражнение 7. f (х) = sin х*
Ответ. f'(x) = cos xn-nxn~l.
п —
Упражнение 8. f (х) = ^х.
Ответ. f'(x)
1
п_____*
9. Будем исходить из некоторой функции
п
Упражнение
ф(*/) переменного у. Ее производную по переменному у мы, как
это принято, обозначаем через ф'(^). Положим теперь у = ах, где
а — постоянная; Заменяя в функции ф(^) ее аргумент у на ах, мы
получаем функцию
f (х) = ф (ах)
переменного х. Вычислить производную f'(x).
Ответ.
f' (*) = $' (ах)-а.
Таким образам, для нахождения f'(x) мы должны сперва вы-
числить производную ф'(*/), а затем заменить в ней у через ах и
умножить полученное выражение на постоянную а. Для доказа-
тельства последней формулы следует использовать формулу (16)
§ 5. В силу этой формулы мы имеем >
(х)=ф' (ах) (ах)' = ф' (ах) • а.
Упражнение 10. Будем исходить из функции ф(</) пере-
менного у. Ее производную по переменному у, как это принято,
обозначим через ф'(^). Положим теперь у*=х-]-а. Подставляя
вместо у в функцию ф(#) это выражение, мы получим функцию
fix) = ф (х + а).
Вычислить производную f'(x) функции f(x),
Ответ, f'(х) » ф'(* + а).
Это значит, что zдля вычисления производной f'(x) следует вы-
числить производную ф'(«/) функции ф(#) и затем в полученном
выражении заменить у через х + а. Для доказательства этого мы
должны воспользоваться формулой (16) § 5t В силу этой формулы
75
мы имеем
Г (*) “ Ф' <х + а) (х + а)' = ф' (х 4- а).
Обратные функции. В математике и ее приложениях функции
часто определяются как решение уравнения. Наиболее важен сле-
дующий случай. Будем исходить из заданной функции ф(у) пере-
менного у и рассмотрим уравнение
♦ (7)
где х известная, хотя и переменная ’Величина, а {/ — неизвестная
величина^ которую нужно определить из этого уравнения. Так как
в уравнение входит х, то его решение у является функцией х, так
что мы можем написать
У в ф (х). (8)
Это решение удовлетворяет уравнению (7), т. е. мы должны иметь
тождество
*(Ф(Х))«Х (9)
Выясним прежде всего достаточные условия, при которых уравне-
ние (7) разрешимо относительно у. Выделим некоторый отрезок
(Ю)
изменения переменного у и допустим, что для всех внутренних
значений у из отрезка (10), т. е. для всех значений У, удовлетво-
ряющих условию
- bi<y<b2i (11)
производная ф'({/) имеет одни и тот же знак, т. е. выполнено одно
из двух соотношений: либо
ф' (У) >0 ПРИ bi<y <Ь2 (12)
либо
Ф'(р)<0 при bi<y<b* (13)
Положим теперь х
а1»ф(61), а2 = ф(&2). (14)
В случае (12) функция ф(^) возрастает на отрезке [Ьь &2]. В слу-
чае (13) функция ф(у) убывает на отрезке 62] (см. § 3).
Таким образом, в случае (12) мы имеем < а2, а в случае (13)
мы имеем а2 < аг,
В случае (12) величина х=ф(у) пробегает весь отрезок
возрастая, когда у пробегает отрезок [&ь 62]. В случае (13) вели-
чина х — ф(у) пробегает весь отрезок [Оь а2], убывая, когда у
пробегает отрезок [Ьь &2]. Таким образом, если выполнено условие
(12) или условие (13), каждому значению х соответствует един-
ственное значение у, получаемое из уравнения (7), и потому функ-
ция у — <р(х) определена для всех значений, лежащих на отрезка
[аь а2]. Функция ф(х^ называется обратной к функции ф(у).
76
Для приданияtвсему рассмотрению геометрической наглядности
построим* график функции ф(//), но несколько необычным образом.
Именно, мы будем откладывать по оси ординат величину независи-
мого переменного у, а по оси абсцисс величину зависимого пере-
менного х = ф((/). Полученный так график функции ф (у) обозна-
чим через L. График этот является одновременно графиком функ-
ции^ =ф(х), если при его построении мы будем независимое пе-
ременное х откладывать по оси абсцисс, а зависимое перемейное
у — по оси ординат.
Пусть рпроизвольная точка графика L, а х и у — ее абсцис-
са и ордината
Р = у).
Величину х можно определить через величину у по формуле (7), а
величину у по величине х можно определить по формуле-(8). Нач-
нем с величины у. Вычислим величину х по формуле (7). По полу-
ченной величине х = ф(*/) вычислим величину у по формуле (8).
Тогда мы получим
<Р (Ф (у» = У- (15)
Таким образом, функции ф(х) и ф(«/) связаны двумя соотношения-
ми: соотношением (9) И соотношением (15). Отсюда видно, что
связь между функциями ф((/) и ф(х) взаимная, так что функции
эти разумно называть взаимно обратными.
Вычислим теперь производную ф'(х) функции ф(х), исходя из
4 того, что она задается уравнением (9). Для этого возьмем прбиз-
водную от тождества (9)ч по х. Производная правой части, оче-
видно, равна единице. Производную левой части вычислим по фор-
муле (16) § 5, как производную от сложной функции. Тогда мы
получим .
Ф' (у) ф' (*) = 1.
Таким образом, мы получаем
. 1________________________________1
Ф W ф' (у) ф' (ф (х))
Здесь мы выраздли у через х по формуле (8) и окончательно полу-
чили для производной ф'(х) функции ф(х) формулу
’'w-7W ,,6,
Применим полученные результаты для* вычисления производных
обратных тригонометрических функций, т. е. функций arcsin х,
arccos х и arctgx.
Упражнение 11. Будем исходить из функции
ф(у) = 8ту
77
и будем рассматривать эту функцию на отрезке
— л/2 < у < л/2.
Так как
sin' у = cos у,
то для всех внутренних точек отрезка [— л/2, л/2] имеем
sin' у cos у > 0.
В нашем случае
Ь\ = — л/2, bz = л/2г
ai = sin (— л/2) = — 1, а2 e sin (л/2) = + 1.
Таким образом, решение у = ср(х) уравнения (7) относительно у
определено для всех значений х, принадлежащих отрезку
- 1<х<1.
Решение это обозначается через arcsin х. Таким образом, мы имеем
sin (arcsin х) == х. (17)
По ранее доказанному одновременно имеет место и' соотношение
arcsin (sin у) = у. _ (18)
Задача заключается в том, чтобы, пользуясь формулой (16), вы*,
числить производную arcsin' х функции arcsin х.
Ответ.
•arcsin' х = —,____ . (19)
V1 — х2
В самом деле, в силу формулы (16) мы имеем
1 1
arcsin х = |Z , . =-----.
Ф (у) cosy
Величину cosy нужно теперь выразить как функцию величины х.
Мы знаем, что х = sin у, отсюда следует, что
cos у =• V1 ~ х2.
Таким образом, мы окончательно получаем соотношение (19).
,Упражнение 12. Функция arccosх определяется условием
cos (arccos х) =х.
Вычислить производную arccos'х функции arccos х.
Ответ.
arccos' х -----, !. . (20)
Vl-x2
Упражнение 13. Функция arctgх определяется условием
tg (arctg х) = х,
78
где рассматриваются лишь решения | arctg х | < . Вычислить,
пользуюсь формулой (16), производную arctg' х функции arctg х.
Ответ.
(21)
Упражнение 14. Вычислить производную функции
f (х) == arcsin х + х — х2. (22)
Ответ. {' (х) = 2 (23)
I Упражнения к § 6
Упражнение* 1. Найти первообразную h(x) функции f(х) =*
s= х3 • рх.
Ответ, h (х) »-у х4 — х2. -
У п р а ж н е н и е 2. Найти первообразную h (х) функции f (х) =
== Vf2*2 •
Ответ.
h(x) = arcsin -у- + л/г2 —• х2. (24)
Для доказательства положим
ф (у) = arcsin у + у V1 — у2.
В силу формулы (23) имеем
<(y)-2VT^7. (25)
Вычислим теперь производную функции ф(-£). Мы имеем в силу
формулы упражнения 9.§ 5
Из этого следует справедливость формулы (24).
Упражнение 3. В приложениях к математике играют
большую роль так называемые дифференциальные уравнения.
В этих уравнениях неизвестными являются функции, а в уравнения
входят не только сама функция, но и ее производные. Одним из
наиболее простых, но в то же время важных уравнений является
следующее:
Г(О + ®2НО = 0. (26)
Здесь независимая переменная обозначена через /, a f(f) есть не-
известная функция. Расскажем, как это уравнение возникает в ме-
ханике. Рассмотрим движение точки по прямой, которую мы
79
примем за ось абсцисс. Обозначим через х абсциссу движущейся
точки. Движение этой точки задается уравнением
где / есть время, а х— абсцисса точки в момент времени /. Рас-
смотрим движение точки х массы т, находящейся под действием
силы притяжения к началу координат, причем сила эта пропорцио-
нальна величине отклонения точки от начала координат, так что
сила эта равна —kx, где k — постоянный положительный коэффи-
циент. Тогда в силу законов механики мы имеем
Здесь слева стоит масса, умноженная на ускорение точки, а спра-
ва— величина действующей силы. Обозначая положительную вели-
чину k/m через о2, мы можем переписать последнее “уравнение в
виде (26). Наша задача заключается в том, чтобы найти решение
уравнения (26), точнее, все -решения этого уравнения, так как ре-
шений существует не одно.
Ответ. Любое решение уравнения (26) записывается в виде
f (/) = a sin (со/ + а), (27)
где а и а — произвольные константы. Докажем это. Прежде всего
.упростим уравнение (26), вводя новое независимое переменное
т = (о/ и обозначим новую неизвестную функцию через ф(т), так
что мы имеем
f (0 = t (т) = Ч> («>/),
и потому
Г (0 = (Ф (®0)' = ®ф' (*)•
Далее, мы имеем ' *
Г(0 = ®2Г(т).
Теперь уравнение (26) переписывается в форме
®2ф" (т) + ,(о2ф (т) = О,
или иначе
ф"(т) + ф(т) = 0. (28)
Умножая это уравнение на 2ф' (т), мы получаем
2ф' (т) ф" (т) 4- 2ф (т) ф' (т) = 0.
Легко проверяется, что левая часть этого уравнения является пер-
вообразной от функции
(Ч1' (т))2 + (4 (т))2.
Так как производная этой функции равна нулю, то она является
константой, притом неотрицательной. Таким образом', из уравнения
(28) вытекает равенство
(1|/ (т))2 + (я|) (т))2 = а2,
80
/
где а — неотрицательная константа. При а = 0 функция ф(т) то-
ждественно равна нулю. При а > 0 введем новую неизвестную
функцию
Тогда для функции ф(т) мы получаем уравнение
(Ф'(т))2+-(<р(т))2 = 1.
Отсюда мы получаем
(ф'(т))2=1-(ф(т))2.
Далее
(Ф4т))2
1 —(Ф(х))2 ь
Извлекая из обеих частей этого равенства квадратный корень, по-
лучаем
Левая часть этого равенства имеет первообразную arcsin ф(т) (см.
формулу (16) § 5 и упражнение 11 к § 5), правая часть — перво-
образную ±т. Таким образом, из уравнения (29) вытекает
arcsin ф (т) = ± т + а,
где а есть произвольная константа. Функция ф(т), являющаяся ре-
шением этого уравнения, записывается в виде
Ф (?) = sin (± т + а).
Здесь мы как бы имеем два различных решения
Ф (т) = sin (т + а) - (30)
И ' к
Ф (т) = sin (— т + а). (31)
Но в действительности решение (31)1 может быть записано в форме
(30) за счет выбора константы а. Действительно, выберем в реше-
нии (30) константу а в следующей форме:
а = — Р + л,
где р — также произвольная константа, ^огда решение (30,) запи-
шется в виде
sin (т — р + л) = sin (— т + р).
Таким образом, решение (31) получается из решения (30) путем
переобдзначения констант. Итак, произвольное решение уравнения
(29) записывается в виде
\ ф (т) — sin (т -Ь а).
81
Отсюда следует, что
ф (т) = a sin (т + а),
и далее
. f (/)» a sin (<о/ + а).
Итак, произв’ольное решение уравнения (26) записывается в форме
(27), где а и а — произвольные константы, причем моирго считать,
что’а есть неотрицательная величина.^Уравнение
х — a sin (©/ + а) (32)
дает нам колебательное движение точки х с амплитудой а и на*
чальной фазой а. Если положить <0=-^-, то уравнение (32) пере-
пишется в виде
. (2nt , \
х = a sin I -у- + al,
где Т — есть период колебательного движения (32).
Упражнения к § 7
Упражнение 1. Рассмотрим кубическую порабблу Lt зада-
ваемую уравнением
' У = f (х) = х3 — рх>
где р — положительное число.. График L функции f(x) пересекается
с осью абсцисс в трех точках a0, aj, абсциссы которых соответ-
ственно равны — Vp, 0, Vp- Дугу кривой L, идущую от точки
a-i до точки ао, обозначим через Ц. Дуга Ц проходит над осью
абсцисс и вместе с отрезком [a-b а0] оси абсцисс ограничивает
площадку Р плоскости. Вычислим площадь S площадки
р2
Ответ. S —
4
В силу формулы (16) § 7
о
s= J (33)
Так как функция
является первообразной для функции f(x)f то определенный инте-
грал (33) записывается в виде
о
82.
Таким образом,
S = p2/4..
Упражнение 2. Вычислить площадь S круга радиуса f
при помощи формулы (16) § 7.
Ответ. S » лг2.
Для вычисления выберем окружность радиуса г с центром в
начале координат. Тогда уравнение ее запишется в виде х2 + у2=г2
или, иначе, у = ± ^г2 — х2.
Будем рассматривать ту часть площади, которая находится в
первой четверти координатной плоскости. Уравнение соответствую-
щей части окружности записывается в виде у = f (х) = Vг2 — х2,
где х меняется от 0 до г. Таким образом, площадь той части круга,
которая находится в первом квадранте, записывается в виде^опре-
деленного интеграла
г
Vr2 -t2 dt.
о
Функция -
f / ч Г2 . X . X рЪ-----------5
h (х) = -т- arcsin — + Vr2 — х2
А Г А
является первообразной для функции f(x) (см. упражнение 2 § 6)<
Таким образом, мы имеем
г
Vr2-/2di = h (г) - h (0) = г2 - -у.
О
Следовательно, площадь всего круга равна лг2.
Упражнения к § 8 <
Упражнение 1. Доказать, что ряд
5-тт+-гз+т?т+ - +-^г+Т) + -• <31>
составленный из бесконечного числа положительных слагаемых, схо-
дится, и вычислить его сумму.
Ответ. S = 1.
Для вычисления суммы S бесконечного ряда (34) составим пред-
варительную сумму
s»--ik+-213+^4+ - + (3S)
Заметим, что
Z 1 _ 1 1
k (k + 1) k k + 1 *
83
В силу этой формулы мы имеем
Sn 1 2’2 з + з 4 + —
Таким образом, при неограниченно возрастающем п сумма Sn стре-
мится к 1, и потому сумма S бесконечного ряда (34) равна 1.
Упражнение к § 10
Упражнение 1. Доказать, что функция
е*
где ^ — произвольное натуральное число, всегда стремится к беско-
нечности, когда х неограниченно возрастает.
Ответ. По доказанному в § 10 имеем
х 1- (1 । х \п
е ~ hm I 1 Ч------1 .
Отсюда следует, что \
X х*+1
(см. (7) § 10). Переходя в этом соотношении к пределу при
71->оо, получаем
• *ft+1
е (fe +1)1 •
Таким образом, мы имеем при положительных значениях х
Пл) - е* > xk+1 *
'{х Х* '(k+l)lxk (£+1)Г
Ясно, что при х, стремящемся к бесконечности, правая часть по-
следнего неравенства стремится к бесконечности, и тем самым наше
утверждение доказано.
Упражнения к § 11
Упражнение 1. Доказать, чго функция
стремится ? нулю при х оо.
Ответ. При доказательстве использовать упражнение 1 к § 10.
Упражнение 2. Начертить график функции
с / ч . In X
84
Ответ. Функция f(x) на участке 0<х^е изменяется, воз-
растая, в пределах — оо < f (х) а затем на участке
е х < оо убывает, стремясь к нулю. В точке х = е она дости-
гает максимума.
Упражнение 3. Решить дифференциальное уравнение
Г(х) = М(х), (36)
где f (х) есть неизвестная функция, а к — заданное число.
Ответ.
f (х) - аеКх, (37)
где а есть произвольная постоянная величина. Среди решений
уравнения (36) есть решение
f (х) « 0.
Если решение f(x) уравнения (36) не равно тождественно нулю, то
выберем такой участок х Ь2 изменения х, внутри которого
функция f(x) либо положительна, либо отрицательна. Тогда для
значений х, удовлетворяющих условию bt < х < &2, можем уравне-
ние (36) разделить на f(x) и получить
тет--1- (38)
В случае f(x)>0 первообразной левой части уравнения (38) явля-
ется функция
A(x) = lnf(x)
(см. (16) § 5 и (7) § 11). В случае f(x)<0 первообразной левой
части уравнения является функция
M*) = ln(-f(x)).
Первообразной для правой части уравнения (38) является кх. Та-
ким образом, как для положительной функции f(x), так и для отри-
цательной функции f(x) мы имеем равенство
In I f (х) I = кх + с,
где с — постоянная величина. Из этого следует, что
|f(xj| = eee**
или, иначе,
f (х) — ± есеКх = аеКх,
где а — положительная или отрицательная константа.
Из этого видно, что в концах bi, b2 нашего участка функция
f(x) не может обращаться в нуль, и поэтому наш участок
bi С х Ь2 можно расширить в обе стороны с сохранением знака
85
функции f(x). Отсюда вытекает, что для всех значений х функция
f(x) сохраняет знак. Поэтому формула (37) дает решение уравне-
ния (36) для всех значений х. Для а мы должны допустить также
значение 0, чтобы учесть решение, тождественно равное нулю.
Упражнения к § 13
Упражнение 1. Доказать, что функция sin-L не стремится
ни к какому пределу при х->0. Более полно, можно подобрать та-
кую последовательность положительных чисел х* ..., ,
сходящуюся к нулю, что
1. , 1
hm sin — = с,
fe->oo *k
где с — произвольное число, заключенное между —1 и 1.
Ответ. Положим х. = ~, где а^О. Ясно, что
Л 2кТ1 + (X
lim хь = 0, a lim sin — sin а.
fe->co fc->oo Xfc
Упражнение 2. Показать, что функция
f(x) = xsin-i- (39)
X
непрерывна, но не имеет производной при х = 0.
Ответ. Для нахождения f'(0) мы должны составить частное
но так как функция sinj- не стремится ии к какому пределу при
|->0 (см. упражнение 1), то частное (40) не стремится ни к
какому пределу при £->0, и потому функция (39) не имеет произ-
водной при х = 0.
Лев Семенович Понтрягин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
М., 1980 г., 88 стр. с илл.
Редакторы А. Ф. Лапко, В. Р. Телеснин
Техн, редактор Н. В. Вершинина
Корректор Л. С. Сомова
ИБ Ка 11601
Сдано в набор 25.07.79. Подписано к печати 18.01.80.
Т-02420. Бумага 84Х1081/зх. тип. Xs 3. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 4,62.
Уч.-изд. л. 4,12. Тираж 150 000 экз. Заказ № 292.
Цена книги 10 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская ти-
пография № 2 имени Евгении Соколовой « Союз пол и-
графпрома» при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л 52, Измайловский проспект, 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати в 1980 г,
Понтрягин Л. С.
ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ.
АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
Книга написана выдающимся советским мате-
матиком Л. С. Понтрягиным. Она посвящена изло-
жению некоторых вопросов математического ана-
лиза. Хотя изложение в ней не является легким, она
задумана как книга, доступная молодым читателям,
увлекающимся математикой. Ее характерной чертой
является одновременное изложение теории функций
действительного и комплексного переменного.
10 нпп.