Автор: Зорич В.А.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ
ISBN: 5-94057-055-0
Год: 2002
Текст
В. А. Зорин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Часть II
Издание четвертое,
исправленное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
факультетов и специальностей
высших учебных заведений
мцнмо
Москва, 2002
УДК 517
ББК 22.16
386
Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской Академии Наук.
Заведующий отделом академик А. А. Гончар.
Академик В. И. Арнольд.
Зорин В. А.
386 Математический анализ. Часть II. — Изд. 4-е, испр.—
М.: МЦНМО, 2002. —XIV+ 794с. Библ.: 60 назв. Илл.: 41.
ISBN 5-94057-055-0
ISBN 5-94057-057-7 (часть II)
Университетский учебник для студентов физико-математических спе-
специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с рас-
расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области
математики и ее приложений.
ББК 22.16
ISBN 5-94057-055-0 @нЩ]А}13орич, 1998, 2001, 2002.
ISBN 5-94057-057-7 часть If) © МЩМО, 1998, 2001, 2002.
«Учебник В. А. ЗОрипа иртдишшскл иш поииилге уда-тЫМ ИЗ ИМвЮЩИХСЛ подробных
учебников анализа для математиков и физиков. Основные его отличия от традиционных
изложений состоят, с одной стороны, в большей близости к естественно-научным прило-
приложениям (и прежде всего к физике и механике), а с другой — в большем, чем это обычно
принято, использовании идей и методов современной математики: алгебры, геометрии, то-
топологии.
Курс необычно богат идеями и ясно показывает могущество идей и методов современ-
современной математики при исследовании конкретных вопросов. Особенно нестандартен второй
том, включающий векторный анализ, теорию дифференциальных форм на многообразиях,
введение в теорию обобщенных функций и в теорию потенциала, ряды и преобразования
Фурье, а также начала теории асимптотических разложений.
... В наше время такое построение курса следует считать новаторским. Оно было
обычным во времена Гурса, но наблюдающаяся последние полстолетия тенденция к спе-
специализации курсов выхолостила курс анализа, оставив ему почти одни лишь обоснования.
Необходимость вернуться к более содержательным курсам анализа представляется сейчас
очевидной, особенно в связи с прикладным характером будущей деятельности большинства
студентов.
... По моему мнению, курс является лучшим из существующих современных курсов
анализа».
Из отзыва академика В. И. Арнольда
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия к переизданиям XII
Предисловие к первому изданию XIII
♦ Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория) 1
§ 1. Метрическое пространство 1
1. Определение и примеры A). 2. Открытые и замкнутые под-
подмножества метрического пространства E). 3. Подпространство
метрического пространства (8). 4. Прямое произведение метри-
метрических пространств (9).
Задачи и упражнения 10
§ 2. Топологическое пространство 11
1. Основные определения A1). 2. Подпространство топологиче-
топологического пространства A6). 3. Прямое произведение топологиче-
топологических пространств A7).
Задачи и упражнения 17
§ 3. Компакты 19
1. Определение и общие свойства компакта A9). 2. Метрические
компакты B1).
Задачи и упражнения 23
§ 4. Связные топологические пространства 24
Задачи и упражнения 25
§ 5. Полные метрические пространства 26
1. Основные определения и примеры B6). 2. Пополнение метри-
метрического пространства C0).
Задачи и упражнения 34
IV ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств .... 35
1. Предел отображения C5). 2. Непрерывные отображения C8).-
Задачи и упражнения 42
§ 7. Принцип сжимающих отображений 43
Задачи и упражнения 49
Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей
точки зрения 51
§ 1. Линейное нормированное пространство 51
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа E1).
2. Норма в линейном пространстве E2). 3. Скалярное произве-
произведение в векторном пространствеE6).
Задачи и упражнения 59
§ 2. Линейные и полилинейные операторы 60
1. Определения и примеры F0). 2. Норма оператора F3). 3. Про-
Пространство непрерывных операторов F8).
Задачи и упражнения 73
§ 3. Дифференциал отображения 74
1. Отображение, дифференцируемое в точке G4). 2. Общие зако-
законы дифференцирования G7). 3. Некоторые примеры G8).
4. Частные производные отображения (86).
Задачи и упражнения 87
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее ис-
использования 89
1. Теорема о конечном приращении (89). 2. Некоторые примеры
применения теоремы о конечном приращении (92).
Задачи и упражнения 96
§ 5. Производные отображения высших порядков 97
1. Определение n-го дифференциала (97). 2. Производная по век-
вектору и вычисление значений n-го дифференциала (98). 3. Сим-
Симметричность дифференциалов высшего порядка A00). 4. Неко-
Некоторые замечания A03).
Задачи и упражнения 104
§ 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов 105
1. Формула Тейлора для отображений A05). 2. Исследование вну-
внутренних экстремумов A06). 3. Некоторые примеры A08).
Задачи и упражнения 114
ОГЛАВЛЕНИЕ V
§ 7. Общая теорема о неявной функции 116
Задачи и упражнения 126
Глава XI. Кратные интегралы 129
§1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке 129
1. Определение интеграла A29). 2. Критерий Лебега интегриру-
интегрируемости функции по Риману A32). 3. Критерий Дарбу A37).
Задачи и упражнения 140
§ 2. Интеграл по множеству 141
1. Допустимые множества A41). 2. Интеграл по множест-
множеству A42). 3. Мера (объем) допустимого множества A44).
Задачи и упражнения 145
§ 3. Общие свойства интеграла 146
1. Интеграл как линейный функционал A46). 2. Аддитивность
интеграла A47). 3. Оценки интеграла A48).
Задачи и упражнения 151
§4. Сведение кратного интеграла к повторному 152
1. Теорема Фубини A52). 2. Некоторые следствия A55).
Задачи и упражнения 161
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле 162
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены
переменных A62). 2. Измеримые множества и гладкие отобра-
отображения A65). 3. Одномерный случай A66). 4. Случай простейше-
простейшего диффеоморфизма в W1 A69). 5. Композиция отображений и
формула замены переменных A71). 6. Аддитивность интегра-
интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в
интеграле A72). 7. Некоторые следствия и обобщения формулы
замены переменных в кратных интегралах A73).
Задачи и упражнения 178
§ 6. Несобственные кратные интегралы 181
1. Основные определения A81). 2. Мажорантный признак сходи-
сходимости несобственного интеграла A84). 3. Замена переменных в
несобственном интеграле A87).
Задачи и упражнения 191
Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в!" . . 194
§ 1. Поверхность вГ 194
Задачи и упражнения 204
VI ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Ориентация поверхности 205
Задачи и упражнения 212
§3. Край поверхности и его ориентация 213
1. Поверхность с краем B13). 2. Согласование ориентации по-
поверхности и края B16).
Задачи и упражнения 221
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве 222
Задачи и упражнения 229
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах 233
1. Дифференциальная форма, определение и примеры B33).
2. Координатная запись дифференциальной формы B37).
3. Внешний дифференциал формы B40). 4. Перенос векторов и
форм при отображениях B43). 5. Формы на поверхностях B48).
Задачи и упражнения 249
Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы .... 252
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы 252
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры B52).
2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверх-
поверхности B60).
Задачи и упражнение 264
§2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 269
1. Масса материальной поверхности B69). 2. Площадь поверх-
поверхности как интеграл от формы B70). 3. Форма объема B72).
4. Выражение формы объема в декартовых координатах B74).
5. Интегралы первого и второго рода B75).
Задачи и упражнения 278
§ 3. Основные интегральные формулы анализа 281
1. Формула Грина B81). 2. Формула Гаусса-Остроградско-
Гаусса-Остроградского B87). 3. Формула Стокса в М3 B91). 4. Общая формула Сток-
са B93).
Задачи и упражнения 297
ОГЛАВЛЕНИЕ VII
303
Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля . .
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа 303
1. Скалярные и векторные поля C03). 2. Векторные поля и фор-
формы в Е3 C03). 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div
и V C07). 4. Некоторые дифференциальные формулы вектор-
векторного анализа C11). *5. Векторные операции в криволинейных
координатах C13).
Задачи и упражнения 323
§ 2. Интегральные формулы теории поля 325
1. Классические интегральные формулы в векторных обозначе-
обозначениях C25). 2. Физическая интерпретация div, rot, grad C28).
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы C33).
Задачи и упражнения 336
§ 3. Потенциальные поля 339
1. Потенциал векторного поля C39). 2. Необходимое условие по-
потенциальности C40). 3. Критерий потенциальности векторно-
векторного поля C41). 4. Топологическая структура области и потенци-
потенциал C45). 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые фор-
формы C48).
Задачи и упражнения 351
§ 4. Примеры приложений 355
1. Уравнение теплопроводности C56). 2. Уравнение неразрыв-
неразрывности C58). 3. Основные уравнения динамики сплошной сре-
среды C60). 4. Волновое уравнение C62).
Задачи и упражнения 364
*Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на
многообразиях 367
§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры 367
1. Алгебра форм C67). 2. Алгебра кососимметрических
форм C68). 3. Линейные отображения линейных пространств
и сопряженные отображения сопряженных пространств C72).
Задачи и упражнения 374
§ 2. Многообразие 375
1. Определение многообразия C75). 2. Гладкие многообразия и
гладкие отображения C81). 3. Ориентация многообразия и его
края C85). 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в
виде поверхностей в Е™ C90).
Задачи и упражнения 394
VIII ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообра-
многообразиях 397
1. Касательное пространство к многообразию в точке C97).
2. Дифференциальная форма на многообразии D01). 3. Внеш-
Внешний дифференциал D04). 4. Интеграл от формы по многообра-
многообразию D05). 5. Формула Стокса D07).
Задачи и упражнения 409
§4. Замкнутые и точные формы на многообразии 415
1. Теорема Пуанкаре D15). 2. Гомологии и когомологии D19).
Задачи и упражнения 425
Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции
анализа над рядами и семействами функций 428
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость 428
1. Поточечная сходимость D28). 2. Постановка основных вопро-
вопросов D29). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства
функций, зависящих от параметра D32). 4. Критерий Коши рав-
равномерной сходимости D36).
Задачи и упражнения 437
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций 438
1. Основные определения и критерий равномерной сходимости
ряда D38). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
ряда D41). 3. Признак Абеля - Дирихле D43).
Задачи и упражнения 448
§ 3. Функциональные свойства предельной функции 449
1. Конкретизация задачи D49). 2. Условия коммутирования
двух предельных переходов D50). 3. Непрерывность и предель-
предельный переход D52). 4. Интегрирование и предельный пере-
переход D56). 5. Дифференцирование и предельный переход D58).
Задачи и упражнения 464
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непре-
непрерывных функций 468
1. Теорема Арцела-Асколи D68). 2. Метрическое пространство
C(K,Y) D71). 3. Теорема Стоуна D73).
Задачи и упражнения 476
ОГЛАВЛЕНИЕ IX
Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра 479
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 479
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра D79). 2. Непре-
Непрерывность интеграла, зависящего от параметра D80). 3. Диффе-
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра D82). 4. Ин-
Интегрирование интеграла, зависящего от параметра D86).
Задачи и упражнения 487
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 489
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относи-
относительно параметра D89). 2. Предельный переход под знаком не-
несобственного интеграла и непрерывность несобственного инте-
интеграла, зависящего от параметра D99). 3. Дифференцирование
несобственного интеграла по параметру E02). 4. Интегрирова-
Интегрирование несобственного интеграла по параметру E05).
Задачи и упражнения 511
§3. Эйлеровы интегралы 515
1. Бета-функция E15). 2. Гамма-функция E17). 3. Связь между
функциями В и Г E21). 4. Некоторые примеры E22).
Задачи и упражнения 524
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функ-
функциях 528
1. Свертка в физических задачах (наводящие соображе-
соображения) E28). 2. Некоторые общие свойства свертки E31). 3. Дель-
таобразные семейства функций и аппроксимационная теорема
Вейерштрасса E35). * 4. Начальные представления о распреде-
распределениях E42).
Задачи и упражнения 554
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 561
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от парамет-
параметра E61). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от
параметра E62). 3. Несобственные интегралы с переменной осо-
особенностью E64). *4. Свертка, фундаментальное решение и об-
обобщенные функции в многомерном случае E69).
Задачи и упражнения 582
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье 587
§1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда
Фурье 587
1. Ортогональные системы функций E87). 2. Коэффициенты
Фурье и ряд Фурье E95). *3. Об одном важном источнике ор-
ортогональных систем функций в анализе F08).
Задачи и упражнения 613
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье 620
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье F20).
2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического
ряда Фурье F25). 3. Гладкость функции и скорость убывания ко-
коэффициентов Фурье F35). 4. Полнота тригонометрической си-
системы F41).
Задачи и упражнения 649
§ 3. Преобразование Фурье 658
1. Представление функции интегралом Фурье F58). 2. Взаимо-
Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и
ее преобразования Фурье F74). 3. Важнейшие аппаратные свой-
свойства преобразования Фурье F77). 4. Примеры приложений F84).
Задачи и упражнения 690
Глава XIX. Асимптотические разложения 698
§1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 701
1. Основные определения G01). 2. Общие сведения об асимптоти-
асимптотических рядах G07). 3. Степенные асимптотические ряды G12).
Задачи и упражнения 715
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 718
1. Идея метода Лапласа G18). 2. Принцип локализации для ин-
интеграла Лапласа G22). 3. Канонические интегралы и их асим-
асимптотика G25). 4. Главный член асимптотики интеграла Лапла-
Лапласа G29). *5. Асимптотические разложения интегралов Лапла-
Лапласа G32).
Задачи и упражнения 745
Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов 753
Вопросы к экзамену 758
ОГЛАВЛЕНИЕ XI
Литература 762
Указатель основных обозначений 766
Предметный указатель 770
Указатель имен 785
ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРЕИЗДАНИЯМ
В четвертом издании устранены замеченные опечатки.
Москва, 2002 год В. Зорин
Третье издание отличается от второго лишь локальной правкой (хотя в
одном случае она состояла даже в исправлении доказательства), а так-
также добавлением нескольких, как мне представляется, полезных задач.
Москва, 2001 год В. Зорич
Отличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что ис-
исправлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах со-
состоят в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые
разделы отдельных тем (например, это коснулось рядов и преобразова-
преобразований Фурье). Даны более прозрачные доказательства отдельных важных
теорем (например, общей теоремы о конечном приращении). Включе-
Включены некоторые новые примеры приложений и новые содержательные за-
задачи, примыкающие к соответствующим разделам теории и порой за-
заметно расширяющие ее. Приведены экзаменационные вопросы, а также
вопросы и задачи коллоквиумов. Расширен список дополнительной ли-
литературы.
Дальнейшие сведения о материале и некоторых особенностях этой
второй части курса даны ниже в предисловии к первому изданию.
Москва, 1998 год В. Зорич
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В предисловии к первой части была дана достаточно подробная харак-
характеристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по
содержанию лишь этой второй его части.
Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны,
кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до
общей формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой сторо-
стороны, аппарат рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий
ряды Фурье, преобразование Фурье и представления об асимптотиче-
асимптотических разложениях.
Таким образом, эта часть II в основном соответствует программе
второго года обучения на математических факультетах университе-
университетов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух
больших тем по семестрам, я изложил их практически независимо.
Главы IX и X, с которых начинается эта книга, в сжатом и об-
общем виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было
получено в первой части в отношении непрерывных и дифференцируе-
дифференцируемых функций. Они отмечены звездочкой и написаны как дополнение к
первой части. В нем, однако, содержится много таких понятий, кото-
которые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа математикам.
Наличие этих двух глав делает вторую книгу формально почти неза-
независимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен,
чтобы при чтении этих двух глав обойтись без многочисленные приме-
примеров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали
излагаемому здесь формализму.
Основной новый материал книги, посвященный интегральному ис-
XIV ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
числению функций многих переменных, начинается с главы XI, с кото-
которой, собственно, без потери связности восприятия после первой части
можно читать эту вторую часть курса.
При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов
разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала
на элементарном материале вводятся все основные геометрические по-
понятия и аналитические конструкции, которые потом составляют лест-
лестницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса.
Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных
форм на многообразиях посвящена глава XV, которую я рассматриваю
как весьма желательное систематизирующее дополнение к изложенно-
изложенному и разъясненному на конкретных объектах в обязательных для изу-
изучения главах XI XIV.
В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от па-
параметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. XIX) началь-
начальные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов,
поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности,
аппарат анализа.
Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы,
которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой.
Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже
вышедшей из печати первой части.
Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, кото-
которые не упоминались в первой части,
Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало
и конец доказательства отмечаются знаками -4 и ► соответственно, а
когда это удобно, определения вводятся специальными символами :=
или =: (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со
стороны определяемого объекта,
Сохраняя традиции части I, в этой книге много внимания уделено
как прозрачности и логической четкости самих математических кон-
конструкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных
приложений развиваемой теории.
Москва, 1982 год В. Зорич
* ГЛАВА IX
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свой-
свойства непрерывных отображений, которые были ранее установлены для
числовых функций и отображений типа /: Шт —> W1. При этом будет
введен ряд простых, но важных понятий, имеющих общематематиче-
общематематическое употребление.
§ 1. Метрическое пространство
1. Определение и примеры
Определение 1. Говорят, что множество X наделено метрикой
или структурой метрического пространства, или что X есть метри-
метрическое пространство, если указана функция
d-.ХхХ^Ш, A)
удовлетворяющая условиям
a) d(xi,X2) = О <=> х\ = Х2,
b) d(xi,X2) = d{x2,x\) (симметричность),
c) d{x\,xz) ^ d{x\,X2) + d{x2,x%) (неравенство треугольника),
где xi, X2, xz — произвольные элементы X.
Функцию A) называют в этом случае метрикой или расстоянием
вХ.
Таким образом, метрическое пространство есть пара (X, d), со-
состоящая из множества X и заданной на нем метрики.
2 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Элементы множества X в соответствии с геометрической термино-
терминологией обычно называют точками.
Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить жз = х\,
то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что
О ^ d(x1,x2),
т.е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), Ь), с), неотрицательно.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Множество Ш. действительных чисел становится ме-
метрическим пространством, если для чисел х\, х2 положить d{x\,x2) =
= \х\ — х2\, как мы это всегда и делали.
Пример 2. На Ш можно ввести и много других метрик. Тривиаль-
Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми
двумя различными точками расстояние полагается равным единице.
Значительно содержательнее следующая метрика на М. Пусть х (->■
i-> f(x) — определенная для х ^ 0 неотрицательная функция, обращаю-
обращающаяся в нуль лишь при х = 0. Если эта функция строго выпукла вверх,
то, полагая для точек х\, х2 G К
d{xux2) = f(\xi-X2\), B)
получим метрику на Ш.
Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треуголь-
треугольника следует из того, что, как легко проверить, / строго монотонна и
при 0 < а < b удовлетворяет неравенствам
В частности, можно было бы положить d{x\,x2) = ^/\х\ — х2\ или
d{x\,x2) = F| ~Ж2| g последнем случае расстояние между любыми
А ~г" 1*^1 *^2
точками прямой меньше единицы.
Пример 3. В Ш1, кроме традиционного расстояния
6((Ж1,Ж2) = .
§ 1 МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
между точками х\ = (х\,..., ж"), xi = {х\,..., х%), можно ввести рас-
расстояние
1/р
, D)
где р ^ 1. То, что для функции D) выполнено неравенство треугольни-
треугольника, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. V, §4, п. 2).
Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с искажен-
искаженными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого
труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление
ошибок и получение слова — операция не всегда однозначная, и пото-
потому при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той расши-
расшифровке искаженного текста, для получения которой потребуется сде-
сделать меньше исправлений. В соответствии со сказанным в теории ко-
кодирования на множестве всех последовательностей длины п, состоящих
из нулей и единиц, используется метрика D) при р = 1.
Геометрически множество таких последовательностей интерпрети-
интерпретируется как множество вершин единичного куба I = {х Е Шп | 0 ^
^ хг ^ 1,г = 1,...,п} в W1. Расстояние между двумя вершинами — это
число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из коорди-
координат одной из этих вершин координаты другой вершины. Каждая такая
перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом, рас-
рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между
рассматриваемыми его вершинами.
Пример 5. При сравнении результатов двух серий из п однотип-
однотипных измерений чаще всего используют метрику D) при р = 2. Рас-
Расстояние между точками в этой метрике называют обычно их средним
квадратичным уклонением.
Пример 6. Если в D) сделать предельный переход при р —>■ +оо,
то, как легко видеть, получается следующая метрика в К":
= max \x\ — x\\. E)
Пример 7. Множество С[а, Ь] функций, непрерывных на отрез-
отрезке, становится метрическим пространством, если для функций f,gw3
C[a,b] положить
d(f,g)= max \f(x)-g(x)\. F)
a<x<6
4 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство тре-
треугольника следует из того, что
\f(x) - h(x)\ ^ |/0г) - д{х)\ + \д(х) - h(x)\ ^ d(f,g) + d(g,h),
d{f,h) = max \f{x) - h{x)\ ^ d{f,g) + d{g,h).
т.е.
Метрика F) — так называемая равномерная, или чебышевская, ме-
метрика в С[а, Ь]—используется тогда, когда мы желаем заменить одну
функцию другой, например, полиномом, по которой можно было бы
вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точ-
точке х £ [а,Ь]. Величина d(f,g) как раз характеризует точность такого
приближенного расчета.
Метрика F) в С[а,Ь] очень схожа с метрикой E) в W1.
Пример 8. Подобно метрике D) в С[а, Ь] при р ^ 1 можно ввести
метрику
/ ь \Ур
dP{f,g)=U\f-g\p{x)dx\ . G)
То, что при р ^ 1 это действительно метрика, следует из неравен-
неравенства Минковского для интегралов, получающегося предельным перехо-
переходом из неравенства Минковского, которое можно написать для инте-
интегральных сумм.
Особо важными частными случаями метрики G) являются: при р =
= 1 — интегральная метрика; при р = 2 — метрика среднего квадра-
квадратичного уклонения; при р = +оо — равномерная метрика.
Пространство С[а,Ь], наделенное метрикой G), часто обозначают
символом Ср[а, Ь]. Можно проверить, что Coo[a,b) есть пространство
С[а,Ь), наделенное метрикой F).
Пример 9. Метрику G) можно было бы использовать также на
множестве lZ[a, b] функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ь].
Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может
обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то
аксиома а) в этом случае не будет выполнена. Мы знаем, однако, что
интеграл от неотрицательной функции ср G lZ[a, b) равен нулю тогда и
только тогда, когда <р{х) = 0 почти во всех точках отрезка [а,Ь].
§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Таким образом, если разбить lZ[a, b] на классы эквивалентных фун-
функций, причем функции из TZ[а, Ь] считать эквивалентными, если они
отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности
1Z[a, b] таких классов эквивалентности соотношение G) действительно
задает метрику. Множество lZ[a, Ь], наделенное этой метрикой, обозна-
обозначается через lZp[a, b], а иногда и просто через lZp[a, b].
Пример 10. В множестве С^'[а,Ь] функций, определенных на
[а, Ь] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до поряд-
порядка к включительно, можно определить следующую метрику:
d(f,g)=max{M0,...,Mk}, (8)
где
= maxJ/W(rc)-^(x)|, i = 0,1,..., А;.
Используя то, что F) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть
метрика.
Предположим, например, что / есть координата движущейся точ-
точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый
район пребывания точки в промежуток времени [а, Ь] и запрещается
превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь не-
некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превы-
превышать определенный уровень, то естественно рассмотреть для функции
/ G СB)[а, Ь] набор { max |/(ж)|, max \f'{x)\, max |/"(ж)|} и по этимха-
а^.х^.Ь а^.х^.Ь а<^х<^Ь
рактеристикам два движения /, д считать близкими, если величина (8)
для них мала.
Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множест-
множество можно метризовать различными способами. Введение той или иной
метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы
будем интересоваться самыми общими свойствами метрических про-
пространств, присущими им всем.
2. Открытые и замкнутые подмножества метрического
пространства. Пусть (X, d)—метрическое пространство. Подобно
тому, как это было сделано в главе VII, § 1 для случая X — Шп, в об-
общем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной точ-
точке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки,
предельной точки множества и т. д.
6 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Напомним эти основные для дальнейшего понятия.
Определение 2. При ё > 0 и a £ X множество
В(а,6) = {хеХ \d(a,x) < 6}
называется шаром с центром а £ X радиуса ё или также ё-окрестно-
стью точки а.
В случае общего метрического пространства это название удоб-
удобно, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим
образом, к которому мы привыкли в 1К3.
Пример 11. Единичный шар в С[а,Ь] с центром в функции, то-
тождественно равной нулю на [а,Ь], состоит из тех функций, непрерыв-
непрерывных на отрезке [а, Ь], модуль которых меньше единицы на этом отрезке.
Пример 12. Пусть X — единичный квадрат в 1К2, расстояние
между точками которого определяется как расстояние между этими
же точками в К.2. Тогда X является метрическим пространством, при-
причем взятый сам по себе квадрат X с такой метрикой можно считать
шаром любого радиуса р ^ \/2/2 относительно своего центра.
Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой
формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально.
Определение 3. Множество G С X называется открытым в ме-
метрическом пространстве (X, d), если для любой точки х £ G найдется
шар В(х, ё) такой, что В(х, ё) С G.
Из этого определения, очевидно, следует, что само X — открытое в
(X, d) множество; пустое множество 0 также открыто. Теми же рас-
рассуждениями, что и в случае W1, можно доказать, что шар В(а,г) или
его внешность {х £ X \ d(a, х) > г} суть открытые множества. (См.
гл. VIII, § 1, примеры 3, 4.)
Определение 4. Множество J- С X называется замкнутым в
(X, d), если его дополнение X\F открыто в (X, d).
В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар
B(a,r) :={xeX \ d(a,x) ^ r}
является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (X, d).
§1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Для открытых и замкнутых множеств в метрическом пространст-
пространстве (X, d) справедливо
Утверждение 1. а) Объединение (J Ga множеств любой си-
аеА
стемы {Ga, a G А} множеств Ga, открытых в X, является мно-
множеством, открытым в X.
п
Ь) Пересечение f] Gl; конечного числа множеств, открытых в X,
является множеством, открытым в X.
а') Пересечение f] Та множеств любой системы {Та, a G А} мно-
а€А
жесте Та, замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.
п
Ъ') Объединение (J Тг конечного числа множеств, замкнутых в X,
i=i
является множеством, замкнутым в X.
Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство
соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств
в К", и мы его опускаем. (См. гл. VII, § 1, утверждение 1.)
Определение 5. Открытое в X множество, содержащее точку
х G X, называется окрестностью этой точки в X.
Определение 6. Точка хёХпо отношению к множеству Е С X
называется
внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой
своей окрестностью;
внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополне-
дополнения к£в X,
граничной точкой Е, если она не является ни внутренней, ни внеш-
внешней точкой по отношению к Е (т. е. если в любой окрестности этой
точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки, не принадле-
принадлежащие множеству Е).
Пример 13. Все точки шара В(а,г) являются его внутренними
точками, а множество СхВ(а,г) = X \В(а,г) состоит из точек, внеш-
внешних по отношению к шару В (а, г).
В случае пространства К" со стандартной метрикой d в Шп сфера
8 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
S(a,r) = {х е К" | с?(а,ж) = г > 0} является множеством граничных
точек шара В (а, гI\
Определение 7. Точка а £ X называется предельной для множе-
множества Е С X, если для любой ее окрестности О(а) множество Е П О(а)
бесконечно.
Определение 8. Объединение множества Е и всех его предель-
предельных точек в X называется замыканием множества Е в X.
Как и прежде, замыкание множества Е с X будем обозначать че-
через Е.
Утверждение 2. Множество Т С X замкнуто в X тогда и
только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Итак,
{Т замкнуто в X) <=> (F = ~F ъ X).
Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет доказатель-
доказательство аналогичного утверждения в случае, когда X = М", изложенного
в гл. VII, §1.
3. Подпространство метрического пространства. Если
(X, d)—метрическое пространство, Е — подмножество X, то, полагая
для любой пары точек х\, xi из Е расстояние равным d(xi, X2), т. е. рас-
расстоянию между этими точками в X, мы получим метрическое прост-
пространство (Е, d), которое по отношению к исходному пространству (X, d)
принято называть подпространством.
Итак, мы принимаем следующее
Определение 9. Метрическое пространство (Xi,di) называется
подпространством метрического пространства (X,d), если Х\ С X
и для любой пары точек a, b множества X] справедливо равенство
di(a,b) = d(a, b).
Поскольку шар Bi(a,r) = {х £ Х\ \ di(a,x) < г} в подпространстве
(Xi,d\) метрического пространства (X,d), очевидно, является пересе-
пересечением
В1{а,г) = Х1ПВ(а,г)
связи с примером 13 см. также задачу 2 в конце этого параграфа.
§1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
множества Х\ С X с шаром В(а,г) в X, то всякое открытое в Х\
множество имеет вид
Gi = Xin G,
где G — множество, открытое в X, а всякое замкнутое в Х\ множест-
множество Т\ имеет вид
Т\=ХГ\Т,
где Т—множество, замкнутое в X.
Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метри-
метрическом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и
зависит от этого объемлющего пространства.
Пример 14. Интервал \х\ < 1, у = 0 оси абсцисс плоскости М2
со стандартной метрикой в М2 является метрическим пространством
(Xi,di), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто
в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Х\. Вместе с тем
очевидно, что Х\ не является замкнутым множеством в М2 = X.
Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества
также относительно.
Пример 15. Множество С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] фун-
функций с метрикой G) является подпространством метрического прост-
пространства lZp[a,b]. Однако, если на С[а,Ь] рассматривать метрику F), а
не G), то это уже не будет иметь место.
4. Прямое произведение метрических пространств. Если
(Xi,di) и (X2,d2)— два метрических пространства, то в прямом про-
произведении Х\ х Х2 можно ввести метрику d. Наиболее распространен-
распространенные способы введения метрики в Х\ х Х2 состоят в следующем. Если
{х\,х2) & Х\ х Х2 и {х'х,х2) & Х\ х Х2, то можно положить
ci^ ^1 ?^2у5 \*^1? 2// — \/l v 1 ? 1 / ' 2 \ 2' 2/'
ИЛИ
d((ari,a:2),B:i,4)) =^B:1,2:1) +d2(^2,4),
или
[,2:2), (x[,x2)) = max{di(xi,x[),d2(x2,x'2)}.
10 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику
на Х\ х Х2.
Определение 10. Если (Xi,di), (X2,cfo) — два метрических про-
пространства, то пространство (Xi x X2,d), где d—введенная любым из
указанных выше способов метрика в X\ х Х2, будем называть прямым
произведением исходных метрических пространств.
Пример 16. Пространство М2 можно считать прямым произведе-
произведением двух метрических пространств М со стандартной метрикой на К,
а метрическое пространство М3 есть прямое произведение М2 х М1 ме-
метрических пространств М2 и М1 = М.
Задачи и упражнения
1. а) Развивая пример 2, покажите, что если /: К+ —> К+ —непрерывная
строго выпуклая вверх функция, причем /@) = 0, а (X, d) — метрическое про-
пространство, то на X можно определить новую метрику df следующим соотно-
соотношением: df{X\,X2) — f(d(Xi,X2))-
b) Покажите, что на любом метрическом пространстве (X, d) можно вве-
ввести метрику d'{x\,X2) = _r^}' \-> B которой расстояния между точками не
будут превосходить единицу.
2. Пусть (X, d) — метрическое пространство с указанной в начале при-
примера 2 тривиальной [дискретной) метрикой, и пусть а £ X. Каковы в дан-
данном случае множества В(а, 1/2), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 3/2) и множества
{х G X | d(a, х) = 1/2}, {хеХ\ d(a, х) = 1}, В(а, 1) \ В(а, 1), В(а, 1) \ В(а, 1)?
3. а) Верно ли, что объединение любого семейства замкнутых множеств
является множеством замкнутым?
b) Всякая ли граничная точка множества является его предельной точкой?
c) Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества име-
имеются как внутренние, так и внешние точки этого множества?
d) Покажите, что множество граничных точек любого множества является
замкнутым множеством.
4. а) Докажите, что если (Y, dy) есть подпространство метрического про-
пространства (X,dx), то для любого открытого (замкнутого) множества Gy
(J-y) в Y найдется такое открытое (замкнутое) множество Gx (J~x) B X,
что GY = Y П Gx {Ту = Y П Тх).
Ь) Проверьте, что если открытые множества G'Y, GY из Y не пересекают-
пересекаются, то соответствующие множества G'x, G'x в X можно выбрать так, что они
тоже не будут иметь общих точек.
5. Имея метрику d на множестве X, можно попытаться определить рас-
§2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 11
стояние d(A, В) между множествами А С X и В С X следующим образом:
d(A,B) = inf d(a,b).
аЕА,ЬЕВ
a) Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых не
пересекающихся его подмножеств А, В, для которых d(A, В) = 0.
b) Покажите, следуя Хаусдорфу, что на множестве замкнутых подмно-
подмножеств метрического пространства (X, d) можно ввести метрику Хаусдорфа D,
полагая, что для А С X и В С X
D(A, В) := max{supd(a,В), supd(A, b)}.
a€A beB
§ 2. Топологическое пространство
Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отобра-
отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или
иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое ок-
окрестность точки. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что
само определение предела или определение непрерывности может быть
сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое пространс-
пространство является тем математическим объектом, на котором операция пре-
предельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее
общем виде.
1. Основные определения
Определение 1. Говорят, что множество X наделено структу-
структурой топологического пространства, или наделено топологией, или что
X есть топологическое пространство, если указана система г подмно-
подмножеств X (называемых открытыми множествами в X), обладающая
следующими свойствами:
a) 0Ет;Х <Е т.
b) (Va е А {та е г)) =► I) тает.
а£А
п
c) (Ti Er;i = 1,...,п) =» C\TiGT.
г=1
Таким образом, топологическое пространство есть пара (X, т), со-
состоящая из множества X и системы г выделенных его подмножеств,
обладающей теми свойствами, что г содержит пустое множество и все
12 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
множество X, что объединение любого числа множеств системы г есть
множество системы т и пересечение конечного числа множеств систе-
системы г есть множество системы т.
Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологического пространст-
пространства постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже
доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое
метрическое пространство с определенным выше понятием открытого
множества в нем является топологическим пространством.
Итак, задать топологию в X значит указать систему г подмно-
подмножеств X, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического прос-
пространства.
Задание метрики в X, как мы видели, автоматически задает тополо-
топологию на X, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить,
что разные метрики на X могут порождать на этом множестве одну и
ту же топологию.
Пример 1. Пусть X = М" (п > 1). Рассмотрим в Шп метрику
di(xi,x2), задаваемую соотношением E) § 1, и метрику d2(x\,x2), опре-
определенную формулой C) § 1.
Из неравенств
di(xi,x2) ^ d2(xi,x2) ^ y/ndi(xi,x2),
очевидно, следует, что каждый шар В (а, г) с центром в произвольной
точке а £ X, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит
шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики. Отсю-
Отсюда в силу определения открытого подмножества метрического прост-
пространства вытекает, что обе метрики индуцируют на X одну и ту же
топологию.
Почти все топологические пространства, которые мы будем актив-
активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не
следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство мож-
можно метризовать, т. е. наделить его метрикой, открытые множества в
которой будут совпадать с открытыми множествами системы г, за-
задающей топологию на X. Условия, при которых это можно сделать,
составляют содержание так называемых метризационных теорем.
Определение 2. Если (Х,т)—топологическое пространство, то
множества системы т называют открытыми, а дополнения к ним в
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 13
X — замкнутыми множествами топологического пространства (X, г).
Топологию т в множестве X редко задают перечислением всех мно-
множеств системы т. Чаще систему г задают, указывая лишь некоторый
набор подмножеств X, объединением и пересечением которых можно
получить любое множество системы т. Весьма важным поэтому явля-
является
Определение 3. Базой топологического пространства (Х,т)
(открытой базой или базой топологии) называется такое семейство 55
открытых подмножеств X, что каждое открытое множество G £ т
является объединением некоторой совокупности элементов семей-
семейства 55.
Пример 2. Если (X,d)—метрическое пространство, а (Х,т) —
соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность
23 = {В(а,г)} всех шаров, где а £ X и г > 0, очевидно, является базой
топологии т. Более того, если брать систему 55 всех шаров с положи-
положительными рациональными радиусами г, то эта система также будет
базой топологии т.
Итак, топологию т можно задать, описав лишь базу этой топологии.
Как видно из примера 2, топологическое пространство может иметь
много различных баз топологии.
Определение 4. Минимальная мощность баз топологического
пространства называется его весом.
Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими пространс-
пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4
и 6).
Пример 3. Если в Шк взять систему 55 шаров всевозможных ра-
рациональных радиусов г = ^ > 0 с центрами во всевозможных рацио-
рациональных точках ( ^-,..., Щ& 1 £ Шк, то мы, очевидно, получим счетную
базу стандартной топологии пространства Шк. Нетрудно проверить,
что конечной системой открытых множеств стандартную топологию
в Шк задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое
пространство Шк имеет счетный вес.
Определение 5. Окрестностью точки топологического про-
14 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
странства (X, т) называется открытое множество, содержащее эту
точку.
Ясно, что если на X задана топология т, то для каждой точки опре-
определена система ее окрестностей.
Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек
топологического пространства может служить базой топологии этого
пространства. Таким образом., топологию в X можно ввести, описав
окрестности точек множества X. Именно эта форма задания топологии
в X и была начальной в определении топологического пространства Л
Заметьте, что, например, в метрическом пространстве саму топологию
мы ввели по существу, указав лишь, что такое ^-окрестность точки.
Приведем еще
Пример 4. Рассмотрим множество
С(Ш,Ш) вещественнозначных непрерыв-
непрерывных функций, определенных на всей чи-
числовой прямой, и на его основе постро- -
им новое множество — множество рост-
ков непрерывных функций. Две функции
f,g£ С(Ш, М) будем считать эквивалент-
ными в точке a G К, если найдется такая
окрестность U(a) этой точки, что Чх £ U(a) (f(x) = g(x)). Введен-
Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности
(оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных
между собой в точке agl непрерывных функций назовем ростком не-
непрерывных функций в этой точке. Если / — одна из функций, порожда-
порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом fa.
Определим теперь окрестность ростка. Пусть U(a) — окрестность точ-
точки а в К, / — определенная в U(a) функция, порождающая росток fa
в точке а. Эта же функция в любой точке х G U(a) порождает свой
росток /х. Множество {/х} ростков, отвечающих точкам х G U(a),
назовем окрестностью ростка fa. Приняв множество таких окрестно-
окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множе-
множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство.
^Понятия метрического и топологического пространства были сформулированы в
явном виде в начале нашего столетия. В 1906 г. французский математик М. Р. Фреше
A878-1973) ввел понятие метрического пространства, а в 1914 г. немецкий матема-
математик Ф. Хаусдорф A868-1942) определил топологическое пространство.
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 15
Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две
различные точки (ростки) fa, ga могут не иметь непересекающихся
окрестностей (рис.66).
Определение 6. Топологическое пространство называется хаус-
дорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа: любые две раз-
различные точки пространства обладают непересекающимися окрестно-
окрестностями.
Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является
хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек а,Ь £ X таких, что
d(a,b) > О, их шаровые окрестности В (a, ^d(a,b)), В (b, yd(a,b)) не
имеют общих точек.
Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфо-
вы топологические пространства. Пожалуй, простейшим примером тут
может служить топологическое пространство (X, г) с простейшей то-
топологией т = {0,Х}. Если X содержит хотя бы две точки, то (X, г),
очевидно, не хаусдорфово. Более того, дополнение X \ х к точке в этом
пространстве не является открытым множеством.
Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространст-
пространствами.
Определение 7. Множество Е С X называется всюду плотным
в топологическом пространстве (X,г), если для любой точки х £ X и
любой ее окрестности U(x) пересечение Е П U(x) непусто.
Пример 6. Если в Ш рассмотреть стандартную топологию, то
множество Q рациональных чисел является всюду плотным в М. Ана-
Аналогично множество Q" рациональных точек М" всюду плотно в К".
Можно показать, что в каждом топологическом пространстве име-
имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса
этого топологического пространства.
Определение 8. Метрическое пространство, обладающее
счетным всюду плотным множеством, называется сепарабельным про-
пространством.
Пример 7. Метрическое пространство (М", d) в любой из стан-
стандартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку
множество Q" всюду плотно в нем.
16 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Пример 8. Метрическое пространство (С([0,1], Ж), d) с метрикой,
определенной соотношением F), также сепарабельно, ибо, как следует
из равномерной непрерывности функций / G С([0,1], К), график любой
такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечно-
звенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно.
Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными прост-
пространствами.
Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в
топологическом пространстве дословно совпадает с определением
окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно, рас-
рассмотренные в § 1 понятия внутренней, внешней, граничной, предель-
предельной точки множества и понятия замыкания множества, использующие
только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай про-
произвольного топологического пространства.
Кроме того (как видно из проведенного в гл. VII, § 1 доказательства
утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество
в хаусдорфовом топологическом пространстве замкнуто в том и только
в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки.
2. Подпространство топологического пространства. Пусть
(Х,тх)—топологическое пространство, a Y — подмножество в X. То-
Топология тх позволяет определить следующую топологию ту в У, назы-
называемую индуцированной или относительной топологией в Y С X.
Открытым в Y назовем любое множество Gy вида Gy = Y П Gx,
где Gx — множество, открытое в X.
Нетрудно проверить, что возникающая система ту подмножеств Y
удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического прост-
пространства.
Определение открытых в Y множеств Gy, как видно, согласуется
с тем, которое мы получили в п. 3 предыдущего параграфа в случае,
когда Y было подпространством метрического пространства X.
Определение 9. Подмножество Y С X топологического прост-
пространства (X, т) с индуцированной в У топологией ту называется под-
подпространством топологического пространства (Х,т).
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 17
Ясно, что множество, открытое в (Y,Ty), уже не обязано быть от-
открытым в (X, тх) ■
3. Прямое произведение топологических пространств. Если
(Xi, ti) и (Х2, т2) —два топологических пространства с системами т\ =
= {Gi}, т2 = {G2} открытых множеств, то в Х\ х Хг можно ввести
топологию, считая ее базой всевозможные множества вида G\ x G2-
Определение 10. Топологическое пространство {Х\ х Х2, т\ х т2),
базу топологии которого составляют множества вида Gi x G2, где Gt —
открытое множество в топологическом пространстве (Хг,тг), i = 1,2,
называется прямым произведением топологических пространств
(Хип), (Х2,т2).
Пример 9. Если Ш. — Ш1 жШ? рассматривать со стандартной то-
топологией, то, как видно, 1R2 является прямым произведением Ш1 х 1R1,
ибо всякое открытое множество в М2 можно получить, например, как
объединение «квадратных» окрестностей всех его точек. Квадраты же
(со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямым
произведением интервалов — открытых в Ш множеств.
Следует обратить внимание на то, что множества вида G\ x G2, где
G\ G т\ и G2 G т2, образуют лишь базу топологии, а не все открытые
множества прямого произведения топологических пространств.
Задачи и упражнения
1. Проверьте, что если (X, d) — метрическое пространство, то IX, ^ ? ^ )
— тоже метрическое пространство, причем метрики d и ^ 7.^ индуцируют
на X одну и ту же топологию. (См. также задачу 1 из предыдущего парагра-
параграфа.)
2. а) В множестве N натуральных чисел окрестностью числа п G N назовем
арифметическую прогрессию с разностью d, взаимно простой с п. Является
ли возникающее при этом топологическое пространство хаусдорфовым?
b) Какова топология N как подмножества М. действительных чисел, взятых
со стандартной топологией?
c) Опишите все открытые подмножества Ж.
3. Если на одном и том же множестве заданы две топологии т\ и тг, то
говорят, что топология Т2 сильнее топологии т\, если т\ С т%, т.е. в тг, кроме
18 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
открытых множеств, составляющих систему т\, содержатся еще некоторые
множества, не вошедшие в т\.
a) Сравнимы ли две топологии на N, рассмотренные в предыдущей за-
задаче?
b) Если на множестве С[0,1] непрерывных вещественнозначных функций,
определенных на отрезке [0,1], ввести метрику сначала соотношением F) из
§ 1, а затем соотношением G) из того же параграфа, то на С[а,Ь] возникнут,
вообще говоря, две топологии. Сравнимы ли они? *
4. а) Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство
ростков непрерывных функций не хаусдорфово.
b) Объясните, почему это топологическое пространство не метризуемо.
c) Каков вес этого пространства?
5. а) Сформулируйте аксиомы топологического пространства на языке
замкнутых множеств.
b) Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его замы-
замыканием.
c) Проверьте, что граница любого множества является множеством за-
замкнутым.
d) Покажите, что если Т замкнуто, a G открыто в (X, г), то множество
G\T открыто в (X,т).
e) Если (У, ту)—подпространство топологического пространства (Х,тх),
а множество Е таково, что ЕсУсХиЕЕ тх, то Е € ту-
6. Топологическое пространство (Х,т), в котором любая точка является
замкнутым множеством, называют топологическим пространством в силь-
сильном смысле или Ti-пространством. Проверьте, что
a) всякое хаусдорфово пространство является т\ -пространством (отчасти
поэтому хаусдорфовы пространства называют т^-пространствами);
b) не всякое т\-пространство является Т2-пространством (см. пример 4);
c) двоеточие X = {а,Ь} с системой открытых множеств т — {0,Х} не
является т\ -пространством;
d) в Ti-пространстве множество Т замкнуто тогда и только тогда, когда
Т содержит все свои предельные точки.
7. а) Докажите, что в любом топологическом пространстве имеется всюду
плотное множество, мощность которого не превосходит веса пространства.
b) Проверьте сепарабельность метрических пространств С[а,Ь], С^[а, Ь],
Hi [a, b], Нр[а, Ь] (формулы соответствующих метрик см. в § 1).
c) Проверьте, что если на множестве ограниченных вещественнозначных
функций, определенных на отрезке [а,Ь], ввести метрику соотношением F)
из § 1, то получится не сепарабельное метрическое пространство.
§ 3. КОМПАКТЫ 19
§ 3. Компакты
1. Определение и общие свойства компакта
Определение 1. Множество К в топологическом пространстве
(X,т) называется компактом (бикомпактом1)), если из любого покры-
покрытия К множествами, открытыми в X, можно выделить конечное по-
покрытие К.
Пример 1. Отрезок [а, Ь] множества Ш действительных чисел,
рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом, что
немедленно вытекает из доказанной в гл. II, § 1, п. 3 леммы о возможно-
возможности выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами.
И вообще m-мерный промежуток 1т = {х € W1 \ аг ^ х ^ bl,i =
= 1,..., m} в W71 является компактом, что было установлено в гл. VII,
§ 1) п- 3.
В гл. VII, § 1, п. 3 было доказано также, что подмножество Шт явля-
является компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и
ограничено.
В отличие от относительных свойств множества быть открытым
или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества
быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлю-
объемлющего пространства. Точнее, имеет место следующее
Утверждение 1. Подмножество К топологического простран-
пространства (X, т) является компактом в X тогда и только тогда, когда
К является компактом в себе как в топологическом пространстве с
индуцированной из (X, т) топологией.
М Сформулированное утверждение следует из определения компак-
компакта и того обстоятельства, что каждое множество Gk, открытое в К,
получается пересечением К с некоторым множеством Gx, открытым
Таким образом, если (X, тх) и (У, ту) — два топологических прос-
пространства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве К С
С(ХП Y), то К одновременно компактно или нет как в X, так и в У.
Пример 2. Пусть d—стандартная метрика на М, а / = {х € Ш \
понятие компакта, которое вводит определение 1, в топологии иногда имену-
именуют бикомпактом.
2-4574
20 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
0 < х < 1} — единичный интервал в R Метрическое пространство (/, d)
замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например,
оно не яьляется компактом в М.
Установим теперь важнейшие свойства компактов.
Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если К—компакт в хаус-
дорфовом пространстве (Х,т), то К—замкнутое подмножество X.
М В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить,
что любая предельная для К точка Xq G X принадлежит К.
Пусть Xq $. К. Для каждой точки х € К построим такую ее от-
открытую окрестность G(x), что Xq обладает окрестностью, не пересе-
пересекающейся с G(x). Совокупность G(x), x € К, всех таких окрестностей
образует открытое покрытие К, из которого выделяется конечное по-
покрытие G(xi),..., G(xn). Если теперь Ог(хо) — такая окрестность точ-
п
ки Xq, что G(xt) П Ог(х0) = 0, то множество О(х) = (~) Ог(хо) также
г=\
является окрестностью точки Xq, причем G(xt) П О(хо) = 0 при любом
г = 1,..., п. Но это означает, что К П О(хо) = 0 и xq не может быть
предельной точкой для К. ►
Лемма 2 (о вложенных компактах). Если К\ D K2 D ... D
D Kn D ... —последовательность непустых вложенных компактов
сю
хаусдорфова пространства, то пересечение f] Кг непусто.
М В силу леммы 1 множества Gt = К\ \ Кг, г — 1,...,п,... от-
(X)
крыты в К\. Если пересечение f] Кг пусто, то последовательность
г=1
G\ С (?2 С ... С Gn С ... в совокупности образует покрытие К\. Извле-
Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент Gm по-
последовательности уже покрывает К\. Но по условию Кт = K\\Gm ф 0.
Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. ►
Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое под-
подмножество Т компакта К само является компактом.
М Пусть {Ga, a G А} — открытое покрытие Т. Добавив к нему от-
открытое множество G = К\Т, получим открытое покрытие всего ком-
компакта К. Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие К.
§3. КОМПАКТЫ 21
Поскольку G ПТ = 0, то, значит, из системы {Ga, a G А} выделяется
конечное покрытие множества Т. ►
2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые
свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, явля-
являющихся компактами, относительно топологии, индуцированной метри-
метрикой.
Определение 2. Говорят, что множество Е С X является
е-сетью в метрическом пространстве (X, d), если для любой точки
х € X найдется точка е € Е такая, что d(e, х) < е.
Лемма 4 (о конечной е-сети). Если метрическое пространство
(К, d) — компакт, то для любого е > 0 в нем имеется конечная е-сетъ.
М Для каждой точки х £ К берем открытый шар В(х, е). Из откры-
открытого покрытия К этими шарами выделяем конечное покрытие В(х\, е),
..., В(хп, е). Точки х\,..., хп, очевидно, образуют искомую е-сеть. ►
Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покры-
покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произ-
произвольной последовательности извлекают сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность. Оказывается, справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метриче-
Метрическое пространство (К, d) является компактом в том и только в том
случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из К.
Сходимость последовательности {хп} к некоторой точке а € К, как
и прежде, означает, что для любой окрестности U(a) точки а € К
найдется номер N € N такой, что при п > N будем иметь хп € U(a).
Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в § 6.
Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы.
Лемма 5. Если метрическое пространство (K,d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность, то для любого е > 0 имеется конечная
е-сетъ.
М Если бы для некоторого ео > 0 в К не было конечной ео-сети, то
в К можно было бы построить последовательность {хп} точек так, что
d(xn,Xi) > £о ПРИ любом п € N и любом значении г € {1,... ,п — 1}.
22 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся
подпоследовательность. ►
Лемма 6. Если метрическое пространство (К, d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность, то любая последовательность вложен-
вложенных замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет
непустое пересечение.
М Если fiD...D7nD... — указанная последовательность замк-
замкнутых в К множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим по-
последовательность Х\,..., хп,..., из которой извлечем сходящуюся под-
подпоследовательность {хПг}. Ее предел а € К по построению обязан при-
принадлежать каждому из замкнутых множеств /„ i G N. ►
Теперь докажем утверждение 2.
■4 Сначала проверим, что если (К, d) —компакт, а {хп} — последова-
последовательность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой точке К. Если последовательность {хп} име-
имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно,
поэтому можем считать, что последовательность {хп} имеет бесконеч-
бесконечно много различных значений. Для ei = 1/1 строим конечную 1-сеть
и берем тот замкнутый шар B(ak, 1), который содержит бесконечное
число членов последовательности. По лемме 3 шар В(а\, 1) сам являет-
является компактом, в котором существует конечная £2 = 1/2 сеть и ее шар
В(а,2,1/2), содержащий бесконечно много-элементов^последовательно-
сти. Так возникает последовательность В{а\,1) D В(а,2,1/2) D ... D
D B(an, 1/n) Э ... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую
точку а € К. Выбирая в шаре B(ai,l) точку хП1, последовательно-
последовательности {хп}, затем в шаре В(а,2,1/2) точку хП2, последовательности с но-
номером П2 > п\ и т.д., получим подпоследовательность {хщ}, которая
по построению сходится к а.
Докажем теперь обратное утверждение, т. е. проверим, что если
из любой последовательности {хп} точек метрического пространст-
пространства (К, d) можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то
(К, d) — компакт.
В самом деле, если из некоторого открытого покрытия {Ga, a G А}
пространства (К, d) нельзя выделить конечное покрытие, то, построив
в силу леммы 5 конечную 1-сеть в К, найдем замкнутый шар В{а\, 1),
§3. КОМПАКТЫ 23
который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы
{Ga,a€A}.
Этот шар В{а\, 1) теперь можно считать исходным множеством и,
построив в нем конечную 1/2-сеть, найдем в нем шар В(а,2,1/2), кото-
который не допускает конечного покрытия множествами системы {Ga, a (Е
еА}.
Получаемая таким образом последовательность вложенных замкну-
замкнутых множеств B(ai,l) D В(а,2,1/2) D ... Э В(ап, 1/n) D ... в силу
леммы 6 имеет, и как видно из построения, только одну общую точку
а € К. Эта точка покрыта некоторым множеством Gao нашей системы,
и, поскольку Gao открыто, все множества В(ап, 1/п) при достаточно
больших значениях п должны лежать в Gao. Полученное противоречие
завершает доказательство утверждения 2. ►
Задачи и упражнения
1. Подмножество метрического пространства называется вполне ограни-
ограниченным, если для любого е > 0 оно имеет конечную е-сеть.
a) Проверьте, что полная ограниченность множества не зависит от того,
формируется ли е-сеть из точек самого множества или из точек объемлющего
пространства.
b) Покажите, что подмножество метрического пространства является
компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и замкнуто.
c) Покажите на примере, что замкнутое ограниченное множество метриче-
метрического пространства не всегда вполне ограничено и, значит, не всегда является
компактом.
2. Подмножество топологического пространства называется относитель-
относительно компактным, если его замыкание является компактом.
Приведите примеры относительно компактных подмножеств Rn.
3. Топологическое пространство называется локально компактным, если
каждая точка этого пространства имеет относительно компактную окрест-
окрестность.
Приведите примеры локально компактных, но не компактных топологиче-
топологических пространств.
4. Покажите, что для любого локально компактного, но не компактного
топологического пространства (X, тх) найдется такое компактное топологи-
топологическое пространство (У,ту), что X С Y, а У \ X состоит из одной точки и
пространство (X, тх) является подпространством топологического простран-
пространства (Y, ту).
24 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
§ 4. Связные топологические пространства
Определение 1. Топологическое пространство (X, т) называется
связным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств1),
кроме самого X и пустого множества.
Это определение становится более прозрачным с точки зрения на-
нашей интуиции, если ему придать следующую форму.
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда
его нельзя представить в виде объединения двух его непустых замкну-
замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек.
Определение 2. Множество Е в топологическом пространстве
(X, т) называется связным, если оно связно как топологическое под-
подпространство (X, т) (с индуцированной топологией).
Из этого определения и определения 1 вытекает, что свойство мно-
множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства.
Точнее, если (X,тх) и (У,ту)—топологические пространства, содер-
содержащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию, то Е связно
или нет одновременно как в X, так и в У.
Пример 1. Пусть Е = {х € М | х Ф 0}. Множество Е- = {х € Е \
х < 0} непусто, не совпадает с Е и в то же время открыто-замкнуто
в Е (как и Е+ = {х € Е \ х > 0}), если рассматривать Е как топо-
топологическое пространство с топологией, индуцированной стандартной
топологией Ш. Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша
интуиция.
Утверждение (о связных подмножествах Ш). Непустое множе-
множество Е С Ш связно тогда и только тогда, когда для любых х, z,
принадлежащих Е, из х < у < z следует, что у € Е.
Таким образом, на прямой связными являются только промежутки
(конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.
М Необходимость. Пусть Е — связное подмножество Ш и трой-
тройка точек а, Ь, с такова, что а G E, b € Е, но с ^ Е, хотя а < с < Ь.
Полагая А = {х € Е \ х < с}, В = {х € Е | х > с}, видим, что а € А,
b£ В, т.е. Аф0жВф0иАПВ = 0. Кроме того, Е = A U В и оба
множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е.
есть одновременно открытых и замкнутых.
§4. СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 25
Достаточность. Пусть Е — подпространство R, обладающее
тем свойством, что вместе с любой парой точек а и b ему принадлежит
и всякая промежуточная точка отрезка [а, Ь]. Покажем, что Е связно.
Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, при-
причем Аф0иВ = Е\Аф0. Пусть а € А и Ь € В. Для определенности
будем считать, что а < b (а ф Ь, так как АпВ = 0). Рассмотрим точку
с\ = sup{A П [а, Ь]}. Поскольку ABa^.ci^bGB, имеем С\ € Е. Ввиду
замкнутости А в Е заключаем, что с\ € А.
Рассматривая теперь точку С2 = inf{f? П [ci, 6]}, аналогично, ввиду
замкнутости В, заключаем, что c<i G В. Таким образом, а ^ С\ < c<i ^ Ь,
поскольку С\ G -A, C2 € В и АГ\В = 0. Но из определений с\ и С2 и того,
что Е = A U В, теперь вытекает, что ни одна точка интервала ]с1,сг[
не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е.
Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с ука-
указанными свойствами, что и доказывает связность Е. ►
Задачи и упражнения
1. а) Проверьте, что если А — открыто-замкнутое подмножество (X, т),
то В = X \ А тоже является таковым.
Ь) Покажите, что в терминах объемлющего пространства свойство связ-
связности множества можно выразить в следующем виде: подмножество Е тополо-
топологического пространства (X, т) связно тогда и только тогда, когда в X нельзя
указать пару открытых (замкнутых) и не пересекающихся множеств G'x, G'x
таких, что Е П G'x ф 0, Е П G"x ф 0 и Е С G'x U G£.
2. Покажите, что:
a) Объединение связных подпространств, имеющих общую точку, связно.
b) Пересечение связных подпространств не всегда связно.
c) Замыкание связного пространства—связно.
3. Группу GL(n) невырожденных матриц порядка п с вещественными
элементами можно рассматривать как открытое подмножество в произведе-
2
нии W1 топологических пространств, если с каждым элементом матрицы свя-
связывать свой экземпляр множества М. действительных чисел. Связно ли прост-
пространство GL(n)?
4. Топологическое пространство называется локально связным, если ка-
каждая его точка обладает связной окрестностью.
a) Покажите, что из локальной связности еще не вытекает связность то-
топологического пространства.
b) Множество £в!2 есть график функции х >-> sin i (при х Ф 0) плюс
отрезок {(х, у) G Ж2 | х = 0 Л \у\ ^ 1} оси ординат. На Е рассматривает-
рассматривается индуцированная из R2 топология. Покажите, что получающееся при этом
26 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
топологическое пространство является связным, но не является локально связ-
связным.
5. В гл. VII, §2, п. 2 мы определили связное подмножество W1 как такое
множество £ С Г, любые две точки которого можно соединить путем с
носителем в Е. В отличие от введенного в настоящем параграфе определе-
определения топологической связности, рассмотренное в главе VII понятие именуется
обычно линейной связностью. Проверьте, что:
a) Всякое линейно связное подмножество W1 является связным.
b) Не всякое связное подмножество Шп при п > 1 является линейно связным
(см. задачу 4).
c) Всякое связное открытое подмножество Жп является линейно связным.
§ 5. Полные метрические пространства
В этом параграфе речь будет уже только о метрических простран-
пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную
роль в различных отделах анализа.
1. Основные определения и примеры. По аналогии с уже из-
известными нам из рассмотрения пространства Шп понятиями введем по-
понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек про-
произвольного метрического пространства.
Определение 1. Последовательность {хп;п G N} точек метри-
метрического пространства (X, d) называется фундаментальной последова-
последовательностью или последовательностью Коши, если для любого е > О
найдется номер N € N такой, что при любых номерах т,п £ N, боль-
больших, чем N, выполняется соотношение d(xm,xn) < е.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {хп;
п G N} точек метрического пространства (X, d) сходится к точке а €
€ X и что а есть предел этой последовательности, если lim d(a, xn) = 0.
п—юо
Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, назы-
называть сходящимися.
Теперь дадим основное
Определение 3. Метрическое пространство (X, d) называется
полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек
является сходящейся.
Пример 1. Множество Ш действительных чисел со стандартной
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27
метрикой является полным метрическим пространством, что следует
из критерия Коши сходимости числовой последовательности.
Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность то-
точек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной
последовательностью, то в определении полного метрического прост-
пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия
Коши сходимости последовательности.
Пример 2. Если из множества Ш удалить, например, число 0, то в
стандартной метрике множество Ш \ 0 уже не будет полным простран-
пространством. Действительно, последовательность хп = 1/n, n G N, его точек
фундаментальна, но она не имеет предела в R \ 0.
Пример 3. Пространство М™ с любой из стандартных метрик в
нем является полным, как это было выяснено в гл. VII, § 2, п. 1.
Пример 4. Рассмотрим множество С[а,Ь] вещественнозначных
непрерывных на отрезке [а, 6] СК функций с метрикой
d(f,g)= тж\Пх)-д{х)\ A)
(см. § 1, пример 7).
Покажем, что метрическое пространство (C[a,b],d) является пол-
полным.
•^ Пусть {fn{x);n G N}—фундаментальная последовательность
функций из С[а, Ь], т. е.
Ve>0 3NeN VmeN VneN {(т>пЛп> N) =»
=» Ух € [а, Ь] (\fm(x) - fn(x)\ < e)). B)
При каждом фиксированном значении х G [а,Ь], как видно из B),
числовая последовательность {fn(x);n G N} фундаментальна и по кри-
критерию Коши имеет определенный предел f(x).
Итак,
f(x):= lim fn{x), xe[a,b]. C)
Tt—^OO
Проверим, что функция f(x) непрерывна на [а,Ь], т. е. / G C[a,b].
Из B) и C) следует, что при п > N выполнено неравенство
\f{x)-fn{x)\^e, Vi€[o,6]. D)
28 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Фиксируем точку х G [а, Ь] и проверим непрерывность функции / в
этой точке. Пусть смещение h таково, что (x + h) G [a,b]. Из тождества
f(x + h)- f{x) = f(x + h)- fn{x + h) + fn(x + h)- fn(x) + fn(x) - f(x)
вытекает неравенство
\f(x + h)-f(x)\^
^ \f(x + h)- fn(x + h)\ + \fn(x + h)- fn(x)\ + \fn(x) - f(x)\. E)
Крайние члены правой части последнего неравенства в силу D) не
превосходят е, если п > N. Фиксировав п > N, получаем функцию
/„ £ С[а, Ь] и, подбирая д = д(е) так, что при \h\ < 8 выполняется
\fn{x + h) — fn{x)\ < е, получаем, что \f(x + h)-f(x)\ < Зе, если \h\ < 8.
Но это и означает, что функция / непрерывна в точке х. Посколь-
Поскольку точка х была произвольной точкой отрезка [а,Ь], мы показали, что
fEC[a,b]. ►
Итак, пространство С[а, Ь] с метрикой A) является полным метри-
метрическим пространством. Это очень важный и широко используемый в
анализе факт.
Пример 5. Если на том же множестве С[а,Ь] вместо метрики A)
рассмотреть интегральную метрику
б
d(f,g) = J\f-g\(x)dx, F)
а
то возникающее метрическое пространство уже не будет полным.
•^ Ради простоты обозначений положим [а,Ь] = [—1,1] и рассмо-
рассмотрим, к примеру, последовательность {/„ е С[—1, l];n £ N} функций,
определенных следующим образом:
{—1, если — 1 ^ х ^ — 1/п,
пх, если —1/п < х < 1/п,
1, если 1/п ^ х ^ 1
(рис.67).
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
29
Из свойств интеграла непосредствен-
непосредственно вытекает, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики F) в
С[— 1,1]. Вместе с тем она не имеет пре-
предела в С[— 1,1], ибо если бы непрерывная
функция / £ С[—1,1] была пределом ука-
указанной последовательности в смысле ме-
метрики F), то на промежутке — 1 ^ х < О
функция / должна была бы быть посто-
постоянной, равной — 1, а на промежутке 0 <
< х ^ 1 — постоянной, равной 1, что не-
несовместимо с непрерывностью / в точке
х = 0. ►
У
Л/п
О 1/п 1
Рис. 67.
Пример 6. Несколько труднее показать, что даже множество
1Ца, Ь] определенных на отрезке [а, Ь] вещественнозначных интегрируе-
интегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в
смысле метрики (бI). Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега
интегрируемости функции по Риману.
•^ В качестве [а, Ь] возьмем отрезок [0,1] и построим на нем та-
такое канторовское множество, которое не является множеством меры
нуль. Пусть Д g]0, l/3[. Удалим из отрезка [0,1] среднюю его часть
длины Д, точнее, Д/2-окрестность середины отрезка [0,1]. На каждом
из оставшихся двух отрезков удалим среднюю часть длины Д • 1/3. На
каждом из четырех оставшихся отрезков удалим среднюю часть длины
Д-1/32 и т. д. Длина всех удаленных в таком процессе интервалов равна
Д + Д • 2/3 + Д • 4/32 + ... + Д • B/3)" + ... = ЗД. Поскольку 0 < Д < J,
имеем 1 — ЗД > 0 и, как можно проверить, отсюда следует, что остав-
оставшееся на отрезке [0,1] (канторово) множество К не имеет меру нуль в
смысле Лебега.
Рассмотрим теперь следующую последовательность: {/„ G 7£[0,1];
п 6 N}. Пусть /„ — функция, равная единице всюду на [0,1], кроме то-
точек, выбрасываемых на первых п шагах интервалов, на которых она
полагается равной нулю. Легко проверить, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики F). Если бы некоторая функция
поводу самой метрики F) на И[а,Ь] см. замечание, сделанное в примере 9
из 81.
30 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
/ £ 7£[0,1] была пределом этой последовательности, то / должна была
бы почти во всех точках отрезка [0,1] совпадать с характеристиче-
характеристической функцией множества К. Тогда / имела бы разрывы во всех точ-
точках множества К. Но поскольку К не имеет меру нуль, из критерия
Лебега можно было бы заключить, что / ^ 7£[0,1]. Значит, lZ[a,b] с
метрикой F) не является полным метрическим пространством. ►
2. Пополнение метрического пространства
Пример 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим
множество Q рациональных чисел с метрикой, индуцированной стан-
стандартной метрикой на R
Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяся в М
к у/2, фундаментальна, но не имеет предела bQ, т.е. Qc указанной ме-
метрикой не является полным пространством. Вместе с тем, Q оказывает-
оказывается подпространством полного метрического пространства К, которое
естественно рассматривать как пополнение Q. Заметим, что множест-
множество Q С М можно было бы рассматривать и как подмножество полного
метрического пространства М2, однако называть М2 пополнением Q не
представляется целесообразным.
Определение 4. Наименьшее полное метрическое пространство,
содержащее данное метрическое пространство (X, d), назовем попол-
пополнением пространства (X, d).
Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере
двух разъяснений: что такое «наименьшее» и существует ли оно.
Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем
следующее более формальное
Определение 5. Если метрическое пространство (X, d) является
подпространством метрического пространства (У, d) и множество X С
С У всюду плотно в У, то пространство (У, d) называется пополнением
метрического пространства (X, d).
Определение 6. Метрическое пространство (X\,di) называется
изометричным метрическому пространству (.X^cfe), если существует
биективное отображение /: Х\ ->• Х2 такое, что для любых точек а, Ъ
из Х\ справедливо равенство d2(f (a), f (Ь)) = d\(a,b). (Отображение
/: Х\ —> Х2 называют в этом случае изометрией.)
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 31
Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно, т. е. является отношением эквивалентности между метриче-
метрическими пространствами. При изучении свойств метрических про-
пространств мы изучаем не индивидуальное пространство, а свойства сра-
сразу всех изометричных ему пространств. По этой причине изометричные
пространства можно не различать.
Пример 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как метриче-
метрические пространства изометричны, поэтому при изучении метрических
свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, от расположения фигу-
фигуры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры.
Приняв соглашение об отождествлении изометричных пространств,
можно показать, что если пополнение метрического пространства и
существует, то оно единственно.
Проверим предварительно, что справедлива
Лемма. Для любой четверки точек а, Ъ, и, v метрического прос-
пространства (X, d) имеет место неравенство
\d{a, Ь) - d{u, v)\ ^ d(a, и) + d(b, v). G)
•^ В силу неравенства треугольника
d(a, Ъ) ^ d(a, и) + d(u, v) + d(b, v).
Ввиду равноправности пар а, Ь и и, v, отсюда следует G). ►
Теперь докажем
Утверждение 1. Если метрические пространства (Yi,di),
являются пополнениями одного и того оке пространства
{X,d), то они изометричны.
•* Изометрию /: Y\ —> Y2 построим следующим образом. Для х G X
положим f(x) = х. Тогда d2{f(xi),f(x2)) = d(f{xi), f{x2)) = d{xi,x2) =
= d\(xi,X2) при Ж1,Ж2 6 X. Если y\ G Y\ \X, то у\ — предельная точка
для X, так как X всюду плотно в Y\. Пусть {хп;п G N} —сходящаяся
к у\ в смысле метрики d\ последовательность точек X. Эта последова-
последовательность фундаментальна в смысле d\. Но поскольку на X метрики d\
и dfi совпадают с d, эта последовательность фундаментальна также и
в (Y2,d2)- Последнее пространство полное, поэтому эта последователь-
последовательность имеет в нем предел у2 G Y. Стандартным образом проверяется,
32 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
что такой предел единственный. Положим теперь /(yi) = у2- Поскольку
любая точка у2 € ^2\-Х\ так же как и любая точка у\ G Y\ \X, является
пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из X,
то построенное отображение /: Y\ -> У2 сюръективно.
Проверим теперь, что для любой пары точек у[, у" из Y\ выполнено
равенство
d2(f(y'1),f(y'{)) = d1(y'1,y")- (8)
Если у[, у" лежат в X, то это очевидно. В общем же случае возьмем
две последовательности {х'п; п G N}, {ж"; п G N} точек из X, сходящиеся
соответственно к у[ и у'{. Из неравенства G) вытекает, что
d1(y'1,y'{)=lim)d1(x'n,x^,
или, что то же самое,
'((x'n,x^. (9)
По построению эти же последовательности сходятся к у'2 = f(y[) и
у2' = f{y") соответственно в пространстве (Уг,^)- Значит,
Сравнивая соотношения (9) и A0), получаем равенство (8). Это
равенство заодно устанавливает инъективность нашего отображения
/: Yi —> Уг и тем самым завершает доказательство того, что / —
изометрия. ►
В определении 5 пополнения (Y,d) метрического пространства
(X, d) мы требовали, чтобы (X, d) было подпространством (У, d), всюду
плотным в (Y,d). С точки зрения отождествления изометричных про-
пространств можно было бы теперь расширить представление о пополнении
и принять следующее
Определение 5'. Метрическое пространство (У, dy) называется
пополнением метрического пространства (X,dx), если в (Y,dy) имеет-
имеется всюду плотное подпространство, изометричное (X, dx)-
Докажем теперь
Утверждение 2. Каждое метрическое пространство имеет по-
пополнение.
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 33
•^ Если исходное пространство само является полным, то оно само
является своим пополнением.
Идею построения пополнения неполного метрического пространст-
пространства (X, dx) мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая утвер-
утверждение 1.
Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в
пространстве (X,dx)- Две такие последовательности {х'п\п £ Щ,
{х'п',п £ N} назовем эквивалентными или конфинальными, если
dx(x'n,x'n) —>• 0 при п —> оо. Легко видеть, что отношение конфиналь-
конфинальности действительно является отношением эквивалентности. Множест-
Множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей обо-
обозначим через S. Введем в S метрику по следующему правилу. Если s'
и s"—элементы S, a {x'n;n £ N} и {х'^;п £ N} —некоторые последова-
последовательности иэ классов s' и s" соответственно, то положим
,<). A1)
Из неравенства G) следует, что это определение корректно: напи-
написанный справа предел существует (по критерию Коши для числовой
последовательности) и не зависит от индивидуального выбора последо-
последовательностей {х'п;п £ N}, {x'^n £ N} из s', s".
Функция d(s',s") удовлетворяет всем аксиомам метрики. Получен-
Полученное метрическое пространство (S, d) и является искомым пополнением
пространства (X, dx)- В самом деле, (X, dx) изометрично подпростран-
подпространству (Sx,d) пространства (S,d), состоящему из тех классов эквива-
эквивалентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых
имеется постоянная последовательность {хп = х е Х;п е N}. Такой
класс s б S естественно отождествить с точкой х £ X. Получающееся
при этом отображение /: (X, dx) -> {Sx,d), очевидно, изометрично.
Остается проверить, что (Sx, d) всюду плотно в (S, d) и что (S, d) —
полное метрическое пространство.
Проверим сначала плотность (Sx,d) в (S,d). Пусть s — произволь-
произвольный элемент S, a {xn;n G N}—фундаментальная последовательность
из (X,dx), принадлежащая этому классу s G S. Взяв £„ = f(xn), n £
£ N, мы получаем последовательность {£п;и £ Щ точек пространства
(Sx,d), которая, как видно из A1), имеет своим пределом именно s £ S.
Докажем теперь полноту пространства (S,d). Пусть {sn;n £ Щ —
произвольная фундаментальная последовательность пространства
34 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
(S,d). Для каждого п G N подберем элемент £„ из (Sx,d) так, что
d{sn,£,n) < l/п. Тогда последовательность {£„;п е N}, так же как
и последовательность {sn;n G N}, окажется фундаментальной. Но в
таком случае будет фундаментальной в (X,dx) и последовательность
{хп = /~1(Cn)in S N}. Последовательность {хп\п е N} определяет не-
некоторый элемент s G S, к которому в силу A1) и сходится данная по-
последовательность {sn;n G N}. ►
Замечание 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится
понятно, что пополнение метрического пространства в смысле опреде-
определения 5' действительно является наименьшим полным пространством,
содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое прост-
пространство. Этим мы уточнили и оправдали исходное определение 4.
Замечание 2. Построение множества Ш действительных чисел,
исходя из множества Q рациональных чисел, можно было бы провести
в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением
пополнения метрического пространства. Именно так переход otQkK
был осуществлен Кантором.
Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство Л[а, Ь]
интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной
интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство
£[а,Ь] функций, интегрируемых по Лебегу.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите следующую лемму о вложенных шарах. Пусть
(X,d)—метрическое пространство и B(xi,ri) D ... D B(xn,rn) D ... —
последовательность замкнутых вложенных шаров в X, радиусы которых
стремятся к нулю. Пространство (X, d) полно тогда и только тогда, когда
для любой такой последовательности существует, и притом единственная,
точка, принадлежащая всем шарам этой последовательности.
Ь) Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы ис-
исключить требование гп -> 0 при п -> оо, то пересечение последовательности
вложенных шаров может оказаться пустым даже в полном пространстве.
2. а) Множество Е с X метрического пространства (X, d) называется
нигде не плотным в X, если оно не плотно ни в одном шаре, т. е. если для
любого шара В(х,г) найдется другой шар B(xi,ri) С В(х,г), свободный от
точек множества Е.
Множество Е называется множеством первой категории в X, если его
можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 35
Множество, не являющееся множеством первой категории, называют мно-
множеством второй категории в X.
Покажите, что полное метрическое пространство есть множество второй
категории (в себе).
Ь) Покажите, что если функция / £ С^°°^ [а, Ь] такова, что Va; £ [а, Ь] Зп £ N
Vm > n {f(m\x) = 0), то функция / — многочлен.
§ 6. Непрерывные отображения топологических
пространств
Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки
зрения анализа результаты настоящей главы.
Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, явля-
являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хо-
хорошо известных нам понятий и утверждений на случай отображений
произвольных топологических или метрических пространств. Для мно-
многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмо-
рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в
этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие
утверждения, изложенные подробно ранее.
1. Предел отображения
а. Основное определение и его частные случаи
Определение 1. Пусть f:X—> Y — отображение множества X с
фиксированной в X базой В = {В} в топологическое пространство Y.
Говорят, что точка A EY является пределом отображения f:X—>Y
по базе В и пишут lim/(:r) = А, если для любой окрестности V(A)
точки А в Y существует элемент В е В базы В, образ которого при
отображении / содержится в V(A).
В логической символике определение 1 имеет вид
Urn/(я) = А := VV{A) cY3BeB (f(B) С V(A)).
Чаще всего нам будет встречаться случай, когда X, как и У,—
топологическое пространство, а В — база окрестностей или проколо-
проколотых окрестностей некоторой точки а Е X. Сохраняя для базы проколо-
о
тых окрестностей {и (а)} точки а прежнее обозначение х —> а, можно
36 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
конкретизировать определение 1 для этой базы:
lim f(x) = А := MV{A) CY3 U (a) CX (f(U (а)) С V(A)).
х>а
Если (X,dx) и (Y,dy)—метрические пространства, то последнее
определение можно переформулировать уже на языке е-8:
lim f(x) = А:=Уе>0 38>0\/хеХ
@<dx(a,x)<8 =► dY(A,f{x))<e).
Иными словами,
lim f(x) = А <==> lim dy (A, f(x)) = 0.
Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно
определить понятие предела отображения /: X —> У в топологическое
или метрическое пространство У так же, как это было сделано в случае
Y = R или, более общо, в случае У = М".
b. О свойствах предела отображения. Сделаем некоторые за-
замечания относительно общих свойств предела.
Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой един-
единственность предела в случае, когда У не является хаусдорфовым прост-
пространством, уже не имеет места. Если же У — хаусдорфово пространство,
то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не
отличается от уже проведенного в частных случаях У = М или У — W1.
Далее, если f:X—> У — отображение в метрическое пространст-
пространство, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает
ограниченность множества f(X) в У) и о финальной ограниченности
отображения по базе В ъ X (что означает существование элемента В
базы В, на котором / ограничено).
Из самого определения предела отображения вытекает, что если
отображение /: X -> У множества X с базой В в метрическое про-
пространство У имеет предел по базе В, то оно финально ограничено по
этой базе.
c. Вопросы существования предела отображения
Утверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть
У —множество с базой By, ад- Y —> Z — отображение У в тополо-
топологическое пространство Z, имеющее предел по базе By-
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 37
Пусть X —множество с базой Вх и /: X -> Y — такое отобра-
отображение X в Y, что для любого элемента By 6 By базы By существует
элемент Вх 6 Вх базы Вх, образ которого содержится в By, т. е.
f(BX) С By.
При этих условиях композиция g о /: X -> Z отображений fug
определена, имеет предел по базе Вх и
limgo f(x) = limg(y).
Вх By
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 5.
Другим важным утверждением о существовании предела является
критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь
будет идти уже об отображении /: X -> Y в метрическое и даже в
полное метрическое пространство.
В случае отображения /: X -> У множества X в метрическое про-
пространство (У, d) естественно принять следующее
Определение 2. Колебанием отображения /: X -> У на множес-
множестве Е С X называется величина
ш(/,Е)= sup d(f(Xl),f(x2)).
Имеет место
Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отобра-
отображения). Пусть X—множество с базой В, /: X -> У — отображе-
отображение X в полное метрическое пространство (У, d).
Для того, чтобы отображение f имело предел по базе В, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся такой элемент В
базы В, на котором колебание отображения меньше е.
Короче:
\/e>0 3BEB{uj{f,B)<£).
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 4.
Полезно заметить, что полнота пространства Y нужна только при
переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того,
если Y не является полным пространством, то именно этот переход,
вообще говоря, невозможен.
38 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
2. Непрерывные отображения
а. Основные определения
Определение 3. Отображение /: X -> У топологического про-
пространства (X, тх) в топологическое пространство (У, ту) называется
непрерывным в точке а 6 X, если для любой окрестности V(f(a)) С У
точки /(о) 6 У найдется окрестность U(a) С X точки о 6 X, образ
которой f(U(a)) содержится в V(f(a)).
Итак,
/: X -> У непрерывно в а € X :=
) 3U(a)(f(U(a)) С
В случае, если X is. У— метрические пространства (X, dx), (Y, dy),
определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке е-6:
/: X -> У непрерывно в о 6 X :=
= \/е>035>0\/хеХ {dx(a,x) <6 => dY{f(a)J(x))<e).
Определение 4. Отображение /: X -> У называется непрерыв-
непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х Е X.
Множество непрерывных отображений X в У обозначают символом
Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение /: X -> У
топологического пространства (Х,тх) в топологическое пространс-
пространство (У, ту) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого
открытого (замкнутого) подмножества У открыт (замкнут) в X.
М Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу,
достаточно доказать теорему для открытых множеств.
Покажем сначала, что если / 6 C(X,Y), а Gy 6 ту, то Gx =
= f~l(Gy) 6 тх- Если Gx = 0) то открытость прообраза налицо.
Если же Gx ф &> и о б Gx, то по определению непрерывности ото-
отображения / в точке о для окрестности Gy точки /(о) найдется та-
такая окрестность Ux{o) точки о в X, что f(Ux(a)) С Gy. Значит,
Ux(a) С Gx = /~1(Gy). Поскольку Gx = U ^x(e), заключаем, что
Gx—открыто, т.е. Gx £ тх-
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 39
Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в Y мно-
множества открыт в X, то / 6 С(Х, Y). Но, взяв любую точку о б X и
произвольную окрестность ру(/(а)) ее образа в Y, мы обнаруживаем,
что множество Ux{a) = /~1(^V(/(e))) является открытой окрестно-
окрестностью точки о в X, образ которой содержится в ру(/(а)). Следователь-
Следовательно, проверено определение непрерывности отображения /: X -> Y в
произвольной точке а 6 X. ►
Определение 5. Биективное отображение /: X -> У одного то-
топологического пространства (X, тх) на другое (У, ту) называется го-
меоморфным или гамео.мор</>из.мо.м, если как оно само, так и ему обрат-
обратное отображение /~*: Y -> X непрерывны.
Определение 6. Топологические пространства, допускающие го-
меоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными.
Как показывает теорема 1, при гомеоморфном отображении
/: X -> Y топологического пространства (X, тх) на пространство
(У, ту) системы открытых множеств тх, ту соответствуют друг другу
в том смысле, что Gx G тх & f{Gx) = Gy £ ту.
Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморф-
ные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморф-
гомеоморфность топологических пространств есть такое же отношение эквива-
эквивалентности в множестве топологических пространств, как, например,
изометричность есть отношение эквивалентности в метрических про-
пространствах.
Ь. Локальные свойства непрерывных отображений. Укажем
локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают непо-
непосредственно из соответствующих свойств предела.
Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных ото-
отображений). Пусть (Х,тх), (У, ту), (Z,tz)—топологические прост-
пространства. Если отображение д. Y —> Z непрерывно в точке b 6 Y, а
отображение /: X —»■ Y непрерывно в точке а 6 X, причем /(о) = Ь,
то композиция этих отображений д о /: X -> Z непрерывна в точке
а£Х.
Это следует из определения непрерывности отображения и утвер-
утверждения 1.
Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности
40 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
точки непрерывности). Если отображение /: X -> У топологическо-
топологического пространства (X, d) в метрическое пространство (У, d) непрерыв-
непрерывно в некоторой точке а 6 X, то оно ограничено в некоторой окрест-
окрестности этой точки.
Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) ото-
отображения, имеющего предел.
Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойствах
непрерывных отображений, напомним, что для отображений в М или
в Шп величину
, о) := lim w(/, B{a, r))
мы назвали колебанием отображения / в точке о.
Поскольку и понятие колебания отображения на множестве, и поня-
понятие шара В(а, г) остаются в силе в любом метрическом пространстве,
то определение колебания ш(/, а) отображения / в точке а также оста-
остается в силе для отображения /: X -> У метрического пространства
(X,dx) в метрическое пространство (Y,dy)-
Утверждение 5. Отображение /: X —>■ Y метрического прос-
пространства (X,dx) в метрическое пространство (Y, dy) непрерывно в
точке а Е X тогда и только тогда, когда ш(/, о) = 0.
Это утверждение непосредственно следует из определения непре-
непрерывности отображения в точке.
с. Глобальные свойства непрерывных отображений. Остано-
Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных ото-
отображений.
Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта яв-
является компактом.
< Пусть f:K—> Y — непрерывное отображение компакта (К, тк) в
топологическое пространство (У, ту) и пусть {GY,a 6 А} — покрытие
f(K) множествами, открытыми в У. В силу теоремы 1 множества
[Gx = f(GY),ct 6 А} образуют открытое покрытие К. Извлекая
из него конечное покрытие Gxl, ... , С^1, находим конечное покрытие
Су1, ... , GYn множества f{K) С Y. Таким образом, f(K)—компакт
в У. ►
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 41
Следствие. Непрерывная вещественная функция f: К -ч- Ш на
компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее (наи-
(наименьшее) значение.
< Действительно, f(K) — компакт в М, т. е. ограниченное и замкну-
замкнутое множество. Это значит, что inf f{K) E f(K) и sup/(if) e f(K). ►
В частности, если К — отрезок [а,Ь] С М, то мы вновь получаем
классическую теорему Вейерштрасса.
На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится
теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее фор-
формулировать, приведем нужное
Определение 7. Отображение /: X -> У метрического прост-
пространства (X, dx) в метрическое пространство (Y,dy) называется равно-
равномерно непрерывным, если для любого е > 0 найдется S > О такое, что
на любом множестве Е с X с диаметром, меньшим S, колебание ш(/, Е)
отображения / меньше е.
Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное ото-
отображение f: К -+Y метрического компакта К в метрическое прос-
пространство (Y, ту) равномерно непрерывно.
В частности, если К — отрезок на М, а У = М, то мы вновь воз-
возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой,
изложенное в гл. IV, § 2, п. 2, практически без изменений переносится
на указанный общий случай.
Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных про-
пространств.
Теорема 4. При непрерывном отображении образ связного то-
топологического пространства связен.
-^ Пусть /: X —> У — непрерывное отображение связного топологи-
топологического пространства (Х,тх) на топологическое пространство (У, ту).
Пусть Еу открыто-замкнутое подмножество У. В силу теоремы 1 про-
прообраз Ех — /~г(Еу) множества Еу открыто-замкнут в X. В силу связ-
связности X имеем тогда: либо Ех = 0, либо Ех = X. Но это означает,
что либо Еу = 0, либо Еу = У = f{X). ►
Следствие. Если функция /: X —>■ Ш, непрерывная на связном то-
топологическом пространстве (Х,т), принимает значения f(a) = А б К
42 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и f(b) = В 6 Ш, то для любого числа С, лежащего между А и В,
найдется такая точка с 6 X, в которой /(с) = С.
■4 Действительно, по теореме 4 f(X)— связное множество в Ж. Но
в R связными множествами являются только промежутки (см. утвер-
утверждение из § 4). Таким образом, вместе с точками Аи В точка С содер-
содержится в f(X). ►
В частности, если X — отрезок, мы возвращаемся к классической
теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной
функции.
Задачи и упражнения
1. а) Если отображение /: X -> Y непрерывно, то будут ли образы от-
открытых (замкнутых) в X множеств открытыми (замкнутыми) множествами
в У?
b) Если при отображении /: X -> Y не только прообраз открытого мно-
множества, но и образ открытого множества открыт, то обязано ли / быть го-
гомеоморфизмом?
c) Если отображение /: X —> Y непрерывно и биективно, то всегда ли оно
гомеоморфно?
d) Будет ли гомеоморфным отображение, удовлетворяющее условиям Ь)
и с) одновременно?
2. Покажите, что
a) всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово
пространство является гомеоморфизмом;
b) без требования хаусдорфовости пространства образа предыдущее ут-
утверждение, вообще говоря, неверно.
3. Выясните, гомеоморфны ли (попарно) как топологические простран-
пространства следующие подмножества К": прямая, интервал на прямой, отрезок на
прямой; сфера; тор.
4. Топологическое пространство (X, т) называется линейно связным, ес-
если любые две его точки можно соединить путем, лежащим в X. Точнее это
означает, что для любых точек А и В из X существует такое непрерывное
отображение f: I -> X отрезка [о, Ь] С К в X, что f(a) = A, f(b) = В.
a) Покажите, что всякое линейно связное пространство связно.
b) Покажите, что любое выпуклое множество в К™ линейно связно.
c) Проверьте, что любое связное открытое подмножество К™ линейно связ-
связно.
d) Покажите, что сфера S(a,r) линейно связна в К™ (п > 1), но в дру-
другом метрическом пространстве она как множество, наделенное совсем иной
топологией, может быть вообще не связной.
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 43
е) Проверьте, что в топологическом пространстве нельзя соединить пу-
путем внутреннюю точку множества с внешней точкой множества, не пересекая
границу этого множества.
§ 7. Принцип сжимающих отображений
Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою
простоту, оказывается средством эффективного доказательства мно-
многих теорем существования.
Определение 1. Точка а Е X называется неподвижной точкой
отображения /: X —> X, если /(о) = о.
Определение 2. Отображение /: X —»■ X метрического прост-
пространства (X, d) в себя называется сжимающим, если существует число q,
О < q < 1, такое, что для любых точек х\, х2 из X имеет место нера-
неравенство
d(f(x1),f{x2))^qd{x1,x2). A)
Теорема (принцип неподвижной точки Пикара1) - Банаха2)). Сжи-
Сжимающее отображение f:X—>X полного метрического пространства
(X,d) в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.
Более того, для любой точки хо Е X итерационная последователь-
последовательность xq, х\ = f(xo), ... , xn+i = f{xn), ... сходится к а. Скорость
этой сходимости дается оценкой
п
d{a,xn) < ^j—d(an,a?o). B)
Ч Возьмем произвольную точку xq 6 X и покажем, что последо-
последовательность xq, х\ = f(xo), ... , xn+i = f(xn), ... фундаментальна.
Отображение / сжимающее, поэтому в силу A)
d(xn+i,xn) < qd(xn,xn-i) < ... < qnd(xi,x0)
. Э.Пикар A856-1941)—французский математик, которому принадлежит
ряд важных результатов в теории дифференциальных уравнений и теории аналити-
аналитических функций.
2'С. Банах A892-1945) — польский математик, один из создателей функциональ-
функционального анализа.
44 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
d(xn+k, хп) < d(xn, хп+\) + ... + d(xn+k-\, xn+k) <
< (qn + qn+1 + ... + qn+r-l)d{xuxv) < ^-d(xux0).
Отсюда видно, что последовательность xq, х\, ... , хп, ... действи-
действительно фундаментальная.
Пространство (X, d) полное, поэтому указанная последовательность
имеет предел lim хп = а 6 X.
n-too
Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее
отображение всегда непрерывно, поэтому
о = Km xn+i = lim f(xn) = /( lim xn) = f(a).
п-юо п-юо п-юо
Таким образом, о — неподвижная точка отображения /.
Другой неподвижной точки отображение / иметь не может, по-
поскольку из at — f{at), i — 1,2, с учетом A), следует
О < d(ai,a2) = d(f(ai), /(o2)) < qd{ai, o2),
что возможно только при d(oi, 02) = 0, т. е. при oi = 02.
Далее, из соотношения
qn
d{xn+k,xn) < YZ
переходя к пределу при к —> оо, находим, что
qn
d(a,xn) < d{xi,x0). ►
1-q
В дополнение к этой теореме докажем следующее
Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть
{X,d)—полное метрическое пространство; (fi,r)—топологическое
пространство, играющее в дальнейшем роль пространства параме-
параметров.
Пусть каждому значению параметра t 6 Q отвечает сжимающее
отображение /<: X -> X пространства X в себя, причем выполнены
следующие условия:
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 45
a) семейство {ft; t E Cl} равномерно сжимающее, т. е. существу-
существует такое число q, 0 < q < 1, что каждое отображение ft является
q-сжимающим;
b) при каждом х 6 X отображение ft{x): Cl —> X как функция от t
непрерывно в некоторой точке to 6 U, т. е. lim ft{x) = fto(x).
t—yto
Тогда решение a(t) 6 X уравнения х = ft{x) в точке to непрерывно
зависит от t, т. е. lim a(t) = a(to).
-^ Как было показано при доказательстве теоремы, решение a(t)
уравнения х = ft{x) может быть получено как предел последовательно-
последовательности {хп+\ = ft(xn);n = 0,1,... }, исходя из любой точки хо 6 X. Пусть
С учетом оценки B) и условия а), получаем
Последний член в этом соотношении в силу условия Ь) стремится к нулю
при t —»■ tg. Таким образом, доказано, что
lim d(a(t), a(to)) = 0, т. е. lim a(t) = o(io)- ►
>t t*t
Пример 1. В качестве важного примера применения принципа
сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существо-
существования решения дифференциального уравнения у'(х) = f(x,y(x)), удо-
удовлетворяющего начальному условию у(хо) = уо-
Если функция f e С(М2,М) такова, что
\f(u,vi) - f(u,v2)\ < M|vi - г>2|,
где М — некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное
условие
у(хо) =■ УО, C)
существуют окрестность U(xq) точки хо 6 М и определенная в ней
единственная функция у = у(х), которая удовлетворяет уравнению
y' = f(x,y) D)
46
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и начальному условию C).
-^ Уравнение D) совместно с условием C) можно записать в виде
одного соотношения
X
у(х)=уо + j f(t,y(t))dt.
E)
х0
Обозначая через А(у) правую часть последнего равенства, находим,
что A: C(V(xq),R) -»■ С(У(хо),Щ есть отображение множества опре-
определенных в окрестности V{xq) точки xq непрерывных функций в себя.
Рассматривая C(V(xo),R) как метрическое пространство с равномер-
равномерной метрикой (см. формулу F) из § 1), находим, что
d(Ay1,Ay2) = max
xev(x0)
X X
Jf(t,yi(t))dt- Jf(t,y2(t))dt
xo
max
xev(x0)
X
f M\yi{t)-y2{t)\dt
M\x-
Если считать, что \х — xq\ ^ «ij, то на соответствующем отрезке /
оказывается выполненным неравенство
d(Ayx,Ay2) < ~d{yi,y2),
где d(yi,y2) = max \yi(x)—y2(x)\. Таким образом, мы имеем сжимающее
xei
отображение
А: СA,Щ ->C(/,R)
полного (см. пример 4 из §5) метрического пространства (С(/, M),d)
в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь
и притом единственную неподвижную точку у — Ау. Но это означает,
что найденная в СA, Ж) функция и будет той единственной функцией,
которая определена в / Э жо и удовлетворяет уравнению E). ►
Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать,
исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого
нам уравнения
у' = у
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 47
X
/■
при начальном условии C).
В данном случае
X
y{t) dt,
х0
и принцип применим по крайней мере при \х — хо\ ^ q < 1.
Исходя из начального приближения у(х) = 0, построим последова-
последовательность 0, у\ = А@),...,yn+i(t) = A{yn{t)),... приближений
= 2/о,
= уоA + (х — хо)),
Уз(*) = УоA + (х- ж0) + -(ж - ж0J),
Уп+1 (*) = Ift)(l + (ж - х0) + -Лх - х0J + ... + —{х- хо)п),
1\ п\
из которой уже видно, что
у(х) = уоех~Хо.
Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной
выше теореме, носит также название принципа сжимающих отобра-
отображений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказа-
доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального
уравнения D). В полной общности принцип сжимающих отображений
был сформулирован Банахом.
Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения f(x) =
= 0. Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [а, /3] ве-
щественнозначная функция принимает на концах отрезка значения раз-
разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет, и притом единственную,
точку а, в которой /(а) = 0. Наряду с простейшим общим методом по-
поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более
тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие специфи-
специфику функций /. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим
48
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Рис. 68.
методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона
или методом касательных. Возьмем произвольную точку xq € [а, /3] и
запишем уравнение у = f(xo) + f'(xo){x — xo) касательной к графику на-
нашей функции в точке (xq, /(xq)). Найдем точку х\ = xq—[f (xq)]^1 ■ f (xq)
пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем х\ в качестве
первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя xq на х\.
Так мы получим последовательность
=хп-
/ы
F)
точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно
стремиться к а.
В частности, если f(x) = xk — а, т. е. когда мы ищем у/а, где а > О,
рекуррентное соотношение F) имеет вид
4 -а
" kxkn~l '
что при к = 2 преобразуется к знакомому выражению
а
хп
Способ F) образования последовательности {хп} называют мето-
методом Ньютона.
Если вместо последовательности F) рассматривается последова-
последовательность, получаемая рекуррентным соотношением
1 ■ f(xn),
G)
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 49
то говорят о модифицированном методе Ньютона1^. Модификация со-
состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке xq.
Рассмотрим отображение
х ->. А(х) = х- [/'ЫГ7(*)- (8)
По теореме Лагранжа
\А(х2) - А(Х1)\ = If/'ЫГ1 • /'@1 ■ |*2 - хг\,
где £— некоторая точка, лежащая между х\ и х%.
Таким образом, если на некотором отрезке I С Ш выполнены усло-
условия
А{1) С / (9)
|[/'(хо)]-1-/'(х)|<д<1, A0)
то задаваемое соотношением (8) отображение А: I -ь I окажется сжи-
сжимающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно
имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно
из (8), условие А(а) = а равносильно соотношению /(а) = 0.
Значит, при выполнении условий (9) и A0), для любой функции / мо-
модифицированный метод Ньютона G) на основании принципа сжимаю-
сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения f(x) = 0.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие A) нельзя
заменить более слабым условием
2. а) Докажите, что если отображение /: X -> X полного метрического
пространства (X, d) в себя таково, что некоторая его итерация /": X —> X
является сжимающим отображением, то / имеет, и притом единственную,
неподвижную точку.
^В функциональном анализе он имеет многочисленные применения и называет-
называется методом Ньютона - Канторовича. Л.В.Канторович A912-1986)—выдающийся
советский математик, экономико-математические исследования которого отмечены
Нобелевской премией.
50 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
b) Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: СA, Ж) —>
—> СA, Ж) таково, что при любом отрезке I С Ж некоторая итерация Ап ото-
отображения А является сжимающим отображением.
c) Получите из Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у =
= уоех~х° на самом деле является решением исходного уравнения на всей чи-
числовой прямой.
3. а) Покажите, что в случае выпуклой с положительной производной на
отрезке [а, /3} функции, принимающей на концах отрезка значения разных зна-
знаков, метод Ньютона F) действительно дает последовательность {а:п}, сходя-
сходящуюся к той точке а € [а, /3], в которой /(а) = 0.
Ь) Оцените скорость сходимости последовательности F) к точке а.
* ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ
ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
§ 1. Линейное нормированное пространство
Дифференцирование—это отыскание наилучшего локального ли-
линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая тео-
теория дифференцирования должна опираться на элементарные предста-
представления, связанные с линейными функциями. Из курса алгебры чита-
читателю хорошо знакомо понятие линейного пространства, а также по-
понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, бази-
базиса и размерности линейного пространства, подпространства и т. д. В
этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах
с нормой или, как говорят, линейных нормированных пространствах,
широко используемых в анализе. Начнем, однако, с примеров линейных
пространств.
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа
Пример 1. Классическими примерами линейных пространств
над полем действительных и комплексных чисел являются соответст-
соответственно вещественное R" и комплексное С™ арифметические пространс-
пространства размерности п.
Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1 прос-
пространствами К", С™, встречается наиболее близкое к ним простран-
пространство / последовательностей х = (ж1,... ,хп,...) действительных или
комплексных чисел. Линейные операции в I, как и в R" и С™, осу-
3-4574
52 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с Мп или С"
является то, что любая конечная подсистема счетной системы векто-
векторов {хг = (О, ...,0,х1 = 1,0,...), г € N} линейно независима, то есть
/ — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное прост-
пространство.
Совокупность финитных последовательностей (все члены которых,
начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпростран-
подпространством / пространства I, причем тоже бесконечномерным.
о
Пример 3. Пусть F[a, b]—множество числовых (действительно-
или комплекснозначных) функций, определенных на отрезке [а, Ь]. Это
множество является линейным пространством (над соответствующим
числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умно-
умножения функции на число.
Совокупность функций вида
/ \ _ / 0, если х G.[a,b] и х ф т,
^ 1, если xE[a,b] и х = т
является континуальной системой линейно независимых векторов
BF[a,b].
Множество C[a, b] непрерывных функций, очевидно, является под-
подпространством построенного пространства F[a,b].
Пример 4. Если Х\ и X?. — два линейных пространства над од-
одним и тем же полем, то в их прямом произведении Х\ х Хч естественным
образом вводится структура линейного пространства, если линейные
операции над элементами х = {х\,Х2) € Х\ х Хч выполнять покомпо-
покомпонентно.
Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом
произведении Х\ х ... х Хп любого конечного набора линейных про-
пространств. Это полный аналог пространств f иС™.
2. Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное
Определение 1. Пусть X—линейное пространство над полем
действительных или комплексных чисел.
Функция || ||: X —> М, ставящая каждому вектору х € X в со-
соответствие действительное число ||х||, называется нормой в линейном
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 53
пространстве X, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
a) ||х|| =0 <=> х = 0 (невырожденность);
b) ||Аж|| = |А|||а;|| (однородность);
c) ||ж1 +Ж2Ц < ||zi|| + ЦжгЦ (неравенство треугольника).
Определение 2. Линейное пространство с определенной на нем
нормой называется линейным нормированным пространством.
Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой
этого вектора.
Норма вектора всегда неотрицательна и, как видно из а), равна
нулю только для нулевого вектора.
-4 Действительно, для любого х £ X в силу с) и с учетом а) и Ь)
получаем
О = ||0|| = ||х + (-s)|| < \\x\\ + || - х|| = N| + | - 1||Н| = 2ЦХЦ. ►
Из с) и принципа индукции следует общее неравенство
\\хх + ... + хп\\ ^ \\хх\\ + ... + \\хп\\, A)
а с учетом Ь) из с) легко вывести также полезное неравенство
B)
Любое линейное нормированное пространство имеет естественную
метрику
C)
То, что так определенная функция d(xi,X2) удовлетворяет аксио-
аксиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря
наличию в X линейной структуры метрика d в X обладает двумя до-
дополнительными специфическими свойствами:
х)- (ж2 + а;)|| = \\хг - х2\\ =
т. е. метрика инвариантна относительно переносов, и
d(\xi,\x2) - \\Ххг - Хх2\\ = \\Х(хг -х2)\\ = |А| \\хг -х2\\ =
т. е. она однородна.
54 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 4. Если линейное нормированное пространство яв-
является полным как метрическое пространство относительно естествен-
естественной метрики C), то оно называется полным нормированным простран-
пространством или банаховым пространством.
Пример 5. Если для вектора х = (ж1,... ,хп) € Шп при р ^ 1
положить
П 1
||т|| — (\^ It'IpV (A)
\\х\\р •— \2^,\х I ) > \ >
то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в R".
Пространство Шп, наделенное этой нормой, будем обозначать симво-
символом Ш£.
Можно проверить, что
Ы\р2 < 1М|Р1, если 1< рх < р2, E)
и что
\\x\\p^max{\xl\,...,\xn\} (б)
при р —»■ +оо. Таким образом, естественно положить
Ноо.-тах^1!,...,^"!}- G)
Тогда из D) и E) следует, что
IMIoo < \\х\\р < |M|i < n||s||oo при р > 1. (8)
Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения D)
нормы \\x\\p, видно, что К? является полным нормированным прост-
пространством.
Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим
образом. Если X = Х\ х ... х Хп есть прямое произведение нормирован-
нормированных пространств, то в X можно ввести норму вектора х = (х\,...,хп),
положив
г=1
где ||:ej|| есть норма вектора Х{ € Х{ в пространстве Xi.
Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе.
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 55
В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение норми-
нормированных пространств, всегда, если нет специальных оговорок, пред-
предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9)
(включая случай р = +оо).
Пример 7. Пусть р ^ 1. Обозначим через 1Р множество таких по-
последовательностей х = (ж1,..., хп,...) действительных или комплекс-
оо
ных чисел, что ряд ]Г} \хп\р сходится, и для х £ 1Р положим
п=Х
)- (Ю)
n=l
Используя неравенство Минковского, легко видеть, что 1Р является
линейным нормированным пространством относительно стандартных
линейных операций и нормы A0). Это бесконечномерное пространство,
по отношению к которому Ш£ является линейным подпространством
конечной размерности.
Для нормы A0) справедливы все неравенства (8), кроме последнего.
Нетрудно проверить, что 1р является банаховым пространством.
Пример 8. В линейном пространстве С[а, Ь] числовых функций,
непрерывных на отрезке [а, Ь], чаще всего рассматривается следующая
норма:
II/H := тах|/(х)|. A1)
х€[а,Ь]
Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта
норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. IX, § 5) на С[а, Ь]
и нам известно, что возникающее при этом метрическое пространст-
пространство полно. Таким образом, линейное пространство С[а,Ь] с нормой A1)
является банаховым.
Пример 9. В С[а, Ь] можно ввести и иную норму
) р>1, A2)
которая сводится к A1) прир —»■ +оо.
Легко видеть (см., например, гл. IX, § 5), что при 1 ^ р < +оо прос-
пространство С[а, Ь] с нормой A2) не является полным.
56 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
Важный класс нормированных пространств составляют простран-
пространства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением
евклидовых пространств.
Напомним
Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплекс-
комплексных чисел) пространстве X задана эрмитова форма, если задано ото-
отображение ( , ): X х X —> С, обладающее свойствами:
a) {хъх2) = {x<2,xi),
b) (\xl,x2) = \{xi,x2),
c) (xi +х2,хз) = (xi,x3) + B:2,2:3),
где xi, x2, X3—векторы из X, a A € С.
Из a), b), с) следует, например, что
(хх, Хх2) = {Хх2,xi) = Х(х2,хх) = А (х2,х\) =
B:1,2:2 + 2:3) = B:2 + 2:3,2:1) = B:2,2:1) + B:3,2:1) = B:1,2:2) + B:1,2:3);
{х,х) — (х,х), т.е. (х,х) —действительное число.
Эрмитова форма называется положительной, если
d) (x,x)>0,
и невырожденной, если
e) B;,2:) = О 4Ф х = 0.
Если X—линейное пространство над полем вещественных чисел,
то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму
B:1,2:2). В этом случае вместо а) можно записать просто B:1,2:2) —
= (x2,xi), что означает симметричность формы относительно векто-
векторов-аргументов, Х\, Х2.
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической
геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова
пространства. В связи с этой аналогией принято
Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову фор-
форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в
этом пространстве.
Пример 10. В Шп скалярное произведение векторов х =
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 57
= (ж1,..., ж"), у = (у1,..., у11) можно определить, положив
У, A3)
а в С" —положив
п
£>у. A4)
г=1
Пример 11. В /2 скалярное произведение векторов х, у можно
определить, полагая
Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку
г=1 г=1 г=\
Пример 12. В С[а,Ь] скалярное произведение можно определить
формулой
Ь
(f,9)--= f{f-9){x)dx. A5)
а
Из свойств интеграла легко следует, что все требования к скаляр-
скалярному произведению в этом случае выполнены.
Для скалярного произведения справедливо следующее важное нера-
неравенство Коши- Буняковского:
\(х,у)\2^(х,х)-(у,у), A6)
где равенство реализуется тогда и только тогда, когда векторы ж и у
коллинеарны.
■4 Действительно, пусть а = (ж, ж), b = {х, у) и с = (у, у). По условию
о ^ 0 и с ^ 0. Если с > 0, то из
0 < (х + \у, х + \у) = а + ЬХ + ЬХ + сХХ
58 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при А = — | получим
ЬЬ ЬЬ ЬЬ
О < а + —
с с с
или
О < ac-bb = ac- \b\2,
что совпадает с A6).
Аналогично рассматривается случай а > 0.
Если же а = с = 0, то, подставляя в A7) А = —Ь, получим 0 <
< — ЬЬ — ЪЪ = — 2|Ь|2, т. е. Ь = 0, и неравенство A6) опять справедливо.
Если ж и у не коллинеарны, то 0 < (х + Ху, х + Ху) и, следовательно,
неравенство A6) в этом случае строгое. Если же ж и у коллинеарны, в
этом случае оно, как легко проверить, переходит в равенство. ►
Линейное пространство со скалярным произведением обладает есте-
естественной нормой
||ж|| := у/{х,х) A8)
и метрикой
d{x,y) := \\x-y\\.
Используя неравенство Коши-Буняковского, проверим, что если
(х,у) — невырожденная положительная эрмитова форма, то форму-
формула A8) действительно определяет норму.
М В самом деле,
||ж|| = \/(х,х) = О 4Ф ж = 0,
поскольку форма (ж, у) невырожденная.
Далее
||Аж|| = у/(Хх, Аж) = ^/АА(ж,ж) = \\\у/(х,х) =
Проверим, наконец, неравенство треугольника
Нам, таким образом, следует показать, что
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 59
или после возведения в квадрат и упрощении, что
(х,у) + (у,х) < 2у/(х,х)-(у,у).
Но
(х,у) + (у,х) = (х,у) + (х,у) = 2Re(x,y) < 2\(х,у)\,
и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из нера-
неравенства Коши-Буняковского A6). ►
Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным
произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовы-
евклидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является Ш или С соответ-
соответственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной
размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и пред-
предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуциро-
индуцированной естественной нормой в нем.
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что если в линейном пространстве X задана метрика
d(xi,x2), трансляционно инвариантная и однородная, то X можно нормиро-
нормировать, положив ||х|| = d@, х).
b) Проверьте, что норма в линейном пространстве X является функци-
функцией, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется есте-
естественной метрикой C).
c) Докажите, что если X — конечномерное линейное пространство, а ||г||
и \\x\\'— две нормы на X, то всегда можно найти положительные числа М, N
такие, что для любого вектора х £ X выполнено
М||я;||^||а:||ЧВД. A9)
d) На примере норм \\x\\\ и ||ж||оо в пространстве I убедитесь, что пре-
предыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, не
выполняется.
2. а) Докажите неравенство E).
b) Проверьте соотношение F).
c) Покажите, что при р -> +оо определенная формулой A2) величина ||/||р
стремится к величине ||/||, задаваемой формулой A1).
3. а) Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное прост-
пространство 1Р является полным.
Ь) Покажите, что подпространство пространства 1Р, состоящее из финит-
финитных (заканчивающихся нулями) последовательностей, не является банаховым
пространством.
60 ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. а) Проверьте, что соотношения A1), A2) задают норму в пространстве
С[а,Ь], и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а
в другом не полное нормированное пространство.
b) Задает ли формула A2) норму в линейном пространстве 7Z[a, b] инте-
интегрируемых по Риману функций?
c) Какую факторизацию (отождествление) следует провести в TZ[a, b], что-
чтобы задаваемая формулой A2) величина была нормой в полученном линейном
пространстве?
5. а) Проверьте, что формулы A3) - A5) действительно задают скалярное
произведение в соответствующих линейных пространствах.
b) Будет ли задаваемая формулой A5) форма скалярным произведением в
пространстве 7Z[a, b] интегрируемых по Риману функций?
c) Какие функции в 7Z[a, b] следует отождествить, чтобы ответ на во-
вопрос Ь) был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности?
6. Используя неравенство Коши - Буняковского, найдите нижнюю грань
(ь \ (ь \
значений произведения I f f(x)dx I I f(l/f)(x)dx 1 на множестве непрерыв-
непрерывно J \а J
ных вещественнозначных функций, не обращающихся в нуль на отрезке [а,Ь].
§ 2. Линейные и полилинейные операторы
1. Определения и примеры. Начнем с того, что напомним
дующее
Определение 1. Если X и Y—линейные пространства над с,^
ним и тем же полем (в нашем случае полем М или С), то отображение
А: X —> Y называется линейным, если для любых векторов х, х\, х2
пространства X и любого числа А поля коэффициентов имеют место
равенства
А{х\ + хг) = А(х\) + А(х2),
А{Хх) = \А{х).
Для линейного оператора А: X —> Y вместо А(х) часто пишут Ах.
Определение 2. Отображение А: Х\ х ... х Хп —> Y прямого
произведения линейных пространств Х\,..., Хп в линейное пространс-
пространство Y называется полилинейным (п-линейным), если это отображение
у = А(х\,... ,хп) линейно по каждой переменной при фиксированных
значениях остальных переменных.
Множество n-линейных отображений А: Х\ х ... х Хп —> Y будет
обозначаться символом £(Х\,..., Хп; Y).
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61
В частности, при п = 1 получаем множество С(Х; Y) линейных ото-
отображений из Х\ = X в Y.
При п — 2 полилинейное отображение называется билинейным, при
п = 3— трилинейным и т. д.
Не следует смешивать п-линейное отображение AgC(Xi, ... ,Хп; Y)
и линейное отображение А £ С(Х; Y) линейного пространства X =
= Х\ х ... х Хп (см. в этой связи примеры 9-11).
Если Y — Ш. или Y = С, то линейные и полилинейные отображения
называют чаще линейными или соответственно полилинейными функ-
функциями (или функционалами, если отображаются пространства функ-
функций). Когда же Y — произвольное линейное пространство, линейное
отображение А: X —> Y чаще называют линейным оператором, дей-
действующим из пространства X в пространство Y.
Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений.
Пример 1. Пусть / — линейное пространство числовых финитных
о
последовательностей. Оператор А: I —> / определим следующим обра-
0 О
зом:
i, х2,..-, хп, 0, ...)):= Aж1,2х2,..., пхп, 0,...).
Пример 2. Функционал А: С([а,Ь],Ш) —> М определим соотноше-
соотношением
A(f) := /(so),
где / € С([а,Ь],Ш), а хо — фиксированная точка отрезка [а,Ь].
Пример 3. Функционал А: С ([а, Ь],Ш) —> М определим соотноше-
соотношением
A{f)
о
:= Jf(x)dx.
Пример 4. Преобразование А: С([а,Ь],Ш) —> С([а,Ь],Ш.) опреде-
определим формулой
X
A(f):= Jf(t)dt,
а
где х — точка, пробегающая отрезок [а,Ь].
Все это, очевидно, линейные отображения.
62 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отобра-
отображений.
Пример 5. Обычное произведение {х\, ■ ■ ■, хп) ь-> х\ ■... ■ хп п дей-
действительных чисел является типичным примером n-линейной функции
Пример 6. Скалярное произведение (х\,Х2) ►-> {х\,Х2) в евклидо-
евклидовом векторном пространстве над полем Ш. является билинейной функ-
функцией.
Пример 7. Векторное произведение (xi, хг) >-> [xi, X2] векторов
трехмерного евклидова пространства Е3 является билинейным опера-
оператором, T.eJe £(Е3,Е3;Е3).
Пример 8. Если X — конечномерное векторное пространство над
полем М; {ei,..., еп} — базис в X; х = хгег — координатное представле-
представление вектора х £ X, то, полагая
г1
хг
= det
получаем n-линейную функцию А: Хп —> Ш.
В качестве полезного дополнения к приведенным примерам раз-
разберем еще структуру линейных отображений произведения линейных
пространств в произведение линейных пространств.
Пример 9. Пусть X = Х\ х ... х Хт—линейное пространство,
являющееся прямым произведением линейных пространств Х\,..., Хт,
и пусть А: X —> Y—линейное отображение X в линейное пространст-
пространство Y. Представляя каждый вектор х = (xi,...,хт) £ X в виде
X — \Х\, . . ■ , Хш) =
= (z1,0,...,0) + @,z2,0,...,0) + ... + @,...,0,zm) A)
и полагая для хг Е Хг, г € {1,..., т}
..,0,х„0,...,0)), B)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 63
мы замечаем, что Аг: Хг -» Y суть линейные отображения и что
А{х)=А1{х1) + ... + Ат{хт). C)
Поскольку при любых линейных отображениях Аг: Хг —> Y опреде-
определяемое формулой C) отображение А: X = Х\Х ... хХт —> Y, очевидно,
линейно, то мы показали, что формула C) дает общий вид любого ли-
линейного отображения А £ С(Х = Х\ х ... х Хт; Y).
Пример 10. Исходя из определения прямого произведения Y =
= Y\ х ... х Yn линейных пространств Yi,...,Yn и определения линей-
линейного отображения А: X —> Y, легко видеть, что любое линейное ото-
отображение
A:X-+Y = Yi х ... xYn
имеет вид х ^ Ах = {А^х,..., Апх) = (уь... ,уп) = у е У, где Аг: X -»
Yt—линейные отображения.
Пример 11. Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое
линейное отображение
А: Хх х ... х Хт = X -> Y = Yi х ... х Yn
прямого произведения X = Х\ х ... х Хт линейных пространств в
другое прямое произведение Y = Y\ х ... х Yn линейных пространств
имеет вид
где Atj : Хо —> Yt—линейные отображения.
В частности, если Хг = Х2 = ... = Хт = Ж, Yi = Y2 = ... = Yn = R,
то AtJ: Xj -> Yt суть линейные отображения Ш. Э х ь-> atJx е М, каждое
из которых задается одним числом аг]. Таким образом, в этом случае
соотношение D) превращается в знакомую численную запись линейного
отображения A: W1 -> W1.
2. Норма оператора
Определение 3. Пусть A: Xi х ... х Хп —>• Y — полилинейный
оператор, действующий из прямого произведения нормированных про-
пространств Х\,..., Хп в нормированное пространство Y.
64 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Величина
\A{xlt...,Xn)\y
-1. £» iCiXi X ... X \хп\Хп
хф0
где верхняя грань берется по всевозможным наборам х\,... ,хп отлич-
отличных от нуля векторов пространств Xi,... ,Хп, называется нормой по-
полилинейного оператора А.
В правой части формулы E) вместо знака || ■ || нормы вектора упо-
употреблено обозначение | • |, рядом с которым стоит символ того нормиро-
нормированного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем
мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и,
если не возникает недоразумений, будем опускать символ пространс-
пространства, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда, в
том пространстве, которому вектор принадлежит. Мы хотим тем са-
самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и
нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на нор-
нормированных векторных пространствах.
Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилинейного
оператора, формулу E) можно переписать следующим образом:
U\\= sup
Х\ Хп
\ХП
= sup \A{eu...,en)\, F)
где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам е±,...,
еп единичных векторов пространств Х\,... ,ХП соответственно (т.е.
|е,| = 1, г = 1,...,п).
В частности, для линейного оператора А: X —> У из E) и F) полу-
получаем
i^i G)
х/0 N |е|=1
Из определения 3 нормы полилинейного оператора А следует, что
если ||Л|| < оо, то при любых векторах хг £ Xt, i = 1,..., п, справедливо
неравенство
\А(хи...,хп)\^\\А\\\Х1\х...х\хп\. (8)
В частности, для линейного оператора получаем
\Ах\ < \\A\\ \х\. (9)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 65
Кроме того, из определения 3 следует, что если норма полилиней-
полилинейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для
которых неравенство
\A{xi,...,xn)\ < Af|xi| x ... х \хп\ A0)
выполнено при любых значениях Х{ (Е X}, г = 1,..., п.
Определение 4. Полилинейный оператор А: Х\ х ... х Хп —> Y
называется ограниченным, если существует такое число Met, что при
любых значениях х\,..., хп из пространств Х\,...,Хп соответственно
справедливо неравенство A0).
Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы,
которые имеют конечную норму.
На основании соотношения G) легко понять геометрический смысл
нормы линейного оператора в знакомом случае А: Шт —> Шп. В этом
случае единичная сфера пространства Шт переходит под действием
преобразования А в некоторый эллипсоид в W1, центр которого совпа-
совпадает с нулем в Шп. Значит, норма А в данном случае просто наибольшая
из полуосей этого эллипсоида.
С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать
также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при
данном отображении, что видно из первого равенства в G).
Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных про-
пространств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора
всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это,
вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих приме-
примеров.
Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1-8.
Пример 1'. Если считать, что I — подпространство нормирован-
о
ного пространства 1Р, в котором вектор еп = @,..., 0,1, 0,...) имеет
п-1
единичную норму, то, поскольку Аеп = пеп, ясно, что ||Л|| = оо.
Пример 2'. Если |/| = max |/(ж)| < 1, то \Af\ = \f{xo)\ < 1,
a^.x^.b
причем \Af\ = 1, если f{xo) = 1, значит, ||Л|| = 1.
Заметим, что если на том же линейном пространстве С([а, Ь], Ш) вве-
66
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
сти, например, интегральную норму
6
■/
\f\(x)dx,
то результат вычисления ||Л|| может существенно измениться. Дей-
Действительно, пусть [а,Ь] = [0,1], а жо = 1. Интегральная норма функ-
функции /„ = хп на отрезке [0,1], очевидно, равна , ^, в то время как
Afn = Ахп = xn\x-i = 1. Отсюда следует, что в этом случае ||Л|| = оо.
Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство
С {[а, Ь],Ж) рассматривается с нормой, определяемой максимумом мо-
модуля функции на отрезке [а, Ь].
Пример 3'. Если |/| = max |/(x)| < 1, то
а<х<Ь
I f(x)dx < f\f\{x)dx^ fldx = b-a.
Но при f(x) = 1 получаем \А1\ = b — а, поэтому
Пример 4'. Если |/| = max |/(ж)| < 1, то
а<х<Ь
= b — а.
max
a<x<b
f(t)dt < max / |/|(t)rft< max (ж-a) = b-a.
x
fldt = b-a,
j
Но при f(t) = 1 получаем
max
a<x<b
поэтому и в данном примере ||Л|| = b — а.
Пример 5'. Непосредственно из определения 3 в данном случае
получаем, что \\A\\ = 1.
Пример 6'. В силу неравенства Коши-Буняковского
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 67
причем, если х\ = Х2, то это неравенство переходит в равенство. Сле-
Следовательно, ||Л|| = 1.
Пример 7'. Мы знаем, что
где ip — угол между векторами х\ и Ж2, поэтому \\A\\ ^ 1. В то же
время, если векторы х\, х^ ортогональны, то simp = 1. Таким образом,
ИИ = 1.
Пример 8'. Если считать, что векторы берутся в евклидовом
пространстве размерности п, то можно заметить, что А(х\,... ,хп) =
= det(si,... ,хп) есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы
х\,..., хп, и этот объем максимален, если векторы х\,..., хп, сохранив
их длины, сделать взаимно ортогональными.
Таким образом,
|det(zi,...,a:n)| < \xi\ ■ ...■ \хп\,
причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит, в
рассматриваемом случае ||Л|| = 1.
Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах
9-11. Будем считать, что в прямом произведении X = Х\ х ... х Хт
нормированных пространств Х\,..., Хт норма вектора х =
= (х\,... ,хт) введена в соответствии с принятым в § 1 (пример 6) со-
соглашением.
Пример 9'. Задание линейного оператора
А: Хх х ... хХт = Х ^Y,
как было показано, равносильно заданию т линейных операторов Аг :
Хг ->• Y, определенных соотношениями Агхг = Л(@,..., 0, хг, 0,..., 0)),
г = 1,..., т. При этом имеет место формула C), в силу которой
mm m
\Ax\y < J^ \AlXl\Y < J^ ЦАЦ \хг\Хг < (J^ \\A\\) \х\х.
г=1 г=1 t=l
Таким образом, показано, что
68 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С другой стороны, поскольку
можно заключить, что при любом г = 1,..., т справедлива также оцен-
оценка
ПАН < \\A\\.
Пример 10'. С учетом введенной в7 = У1х...хУп нормы в этом
случае сразу получаем двусторонние оценки
г=1
Пример 11'. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно за-
заключить, что
t=lj=l
3. Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем
нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы,
а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду
Утверждение 1. Для полилинейного оператора A: Xi x ...х
хХп —> Y, действующего из произведения нормированных про-
пространств Х\,... ,Хп в нормированное пространство Y, следующие
условия равносильны:
a) А имеет конечную норму,
b) А — ограниченный оператор,
c) А — непрерывный оператор,
d) А — оператор, непрерывный в точке @,..., 0) € Х\ х ... х Хп.
< Докажем замкнутую цепочку импликаций а) => Ь) => с) => d) =>
=> а).
Ввиду (8), очевидно, а) =>■ Ь).
Проверим, что Ь) => с), т.е. что из A0) следует непрерывность опе-
оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем запи-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 69
А(х\ +/ii,aj2 + /г2,...,жп + /гп) - А(х\,х2,..
,ж2,...,хп) + ... + A(xi,x2,
Теперь в силу A0) получаем оценку
\A(xi +hi,x2 + h,2,...,xn + hn) -A(xi,x2,...,xn)\ ^
^ M(|/ii| • |ж2| •... • |ж„| + ... + |a;i| ■ \x2\ -...- \xn-i\ ■ \hn\ +
+ \hi\- \h2\ ■ |ж3| • ... • |жп| + ... + \xi\ ■ \x2\ ■ ...■ \xn-i\ ■ \hn\ +
+ \h1\-...-\hn\),
из которой следует непрерывность А в любой точке (xi,...,xn) €
Е Xi х ... х Хп.
В частности, если (si,... ,хп) = @,... ,0), то из с) получаем d).
Осталось показать, что d) =>■ а).
По е > 0 найдем S = 5(е) > 0 так, чтобы при max{|xi|,..., \хп\} < S
иметь \A(xi,... ,жп)| < е.
Тогда для любого набора ei,..., еп единичных векторов получаем
|A(ei,...,en)| = —\A{Sei,...,Sen)\ < ^,
т.е. Р||<^г<оо. ►
Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор име-
имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также,
что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти
только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной раз-
размерности.
Начиная с этого места, символом С(Х\,... ,Xn;Y) будет обозна-
обозначаться множество полилинейных непрерывных операторов, дейст-
действующих из прямого произведения линейных нормированных про-
пространств Xi,...,Xn в линейное нормированное пространство Y.
70 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В частности, С(Х; Y) есть множество всех линейных непрерывных
операторов из X в Y.
В множестве С(Х\,..., Хп; Y) вводится естественная структура ли-
линейного пространства:
{А + В)(хъ...,хп) :=A{xi,...,xn) + B(xh...,xn)
Очевидно, если А,В € £{Xi,... ,Xn;Y), то {А + В) <Е С{Хи... ,Xn;Y)
и (ХА) Е £№,...,Хп-Y).
Таким образом, С(Х\,..., Хп; Y) можно рассматривать как линей-
линейное пространство.
Утверждение 2. Норма полилинейного оператора является нор-
нормой в линейном пространстве С(Х\,... ,Xn;Y) непрерывных полили-
полилинейных операторов.
■4 Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для любо-
любого оператора А е С(Х\,... ,Xn;Y) определено неотрицательное число
\\A\\ < ос.
Неравенство (8) показывает, что
Далее, по определению нормы полилинейного оператора
||АА||= sup ^; p ^
XI, ,хп \Xl\ ■ . . . ■ \Хп\ *1, ,хп \Xl • . . . • \Хп\
х%ф0 хгф0
Наконец, если А и В — элементы пространства £(Х\,... ,Xn;Y), то
sup
sup _
XI, ,хп \Х\\ • ... ■ \Хп\
\A(xu...,xn)+B(xi,...,xn)\
_
— sup
\Xl\ ■ ... ■ \Xn\
sup w----)i+ SUP
xi, ,xn \Xl\ ■ . . . ■ \Xn\ xx xn
x^0 хфП
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 71
Теперь, употребляя символ £{Xi,... ,Xn;Y), мы будем иметь в ви-
виду линейное пространство непрерывных п-линейных операторов, нор-
нормированное указанной операторной нормой. В частности, £(Х, Y) —
нормированное пространство линейных непрерывных операторов, дей-
действующих из X в Y.
Сделаем к утверждению 2 следующее полезное
Дополнение. Если X, Y, Z — нормированные пространства и
А 6 £{Х; Y), а В е £{Y; Z), то
В самом деле,
\\B\\\Ax\
\\В о А\\ = sup -— , ' < sup
Утверясдение 3. Если Y—полное нормированное пространст-
пространство, то С(Хх,... ,Xn;Y) также является полным нормированным про-
пространством.
•^ Проведем доказательство для пространства С(Х; Y) линейных не-
непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых
ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью.
Пусть А\,А2,...,Ап,... —фундаментальная последовательность в
C(X;Y). Поскольку при любом х € X
\Атх - Апх\ = \{Ат - Ап)х\ ^ \\Ат - Ап\\ \х\,
то ясно, что при любом х € X последовательность А\х,А2Х,...,
Апх,... фундаментальна в Y. Ввиду полноты Y она имеет предел в Y,
который мы обозначим через Ах.
Итак,
Ах :— lim Anx.
п—»оо
Покажем, что А: X —> Y—линейный непрерывный оператор.
Линейность А следует из того, что
lim An(XiXi + А2ж2) = lim (AiAjZi + А2Лпж2) =
>oo n>oo
= Ai lim Anx\ + A2 lim Лпх2.
n-»oo n-too
72 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее, при любом фиксированном е > О и достаточно больших зна-
значениях т,п б N выполнено \\Ат — Ап\\ < е, поэтому
\Атх - Апх\ ^ е\х
на любом векторе х € X. Устремляя в последнем неравенстве т к бес-
бесконечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем
\Ах — Апх\ ^ е\х\.
Таким образом, \\А — Ап\\ ^ е, и, поскольку А = Ап + (А — Ап),
заключаем, что
Следовательно, мы показали, что А е C(X\Y) и \\А — Ап\\ -> 0 при
п —> оо, т. е. А = lim Лп в смысле нормы пространства С(Х; Y). ►
п—юо
В заключение остановимся на одном специальном замечании, отно-
относящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам потре-
потребуется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка.
Утверждение 4. Между пространствами
C(X1,...,Xm;C(Xm+u...,Xn;Y)) и ЦХи... ,Xn;Y)
при любом т € {1,... ,п} существует биекция, сохраняющая линейную
структуру и норму.
< Предъявим этот изоморфизм.
Пусть <8 € £(ХЬ...,Хт;£(Хт+1,...,Хп;У)), т.е. Щхи...,хт) €
€ £(Xm+i,... ,Xn;Y).
Положим
А{хъ...,хп) :=?8(ж1,...,жт)(жт+1,...,жп). A1)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 73
Тогда
\\Щхи...,хт)\\
\\Щ = sup
sup .
i,...,«m Ж1 ••••■F
= SUP
j:::
Fi • • • • • жт
— blip
Проверку того, что соотношение A1) задает изоморфизм рассма-
рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. ►
Применяя п раз утверждение 4, в частности, получаем, что прост-
пространство C(Xi;C(X2-, • ■ ■ ;С(Хп; Y))...) изоморфно пространству
С(Х\,...,Xn;Y) n-линейных операторов.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите, что если А: X —> Y — линейный оператор, действующий
из нормированного пространства X в нормированное пространство Y, и про-
пространство X конечномерно, то А — непрерывный оператор.
Ь) Докажите для полилинейного оператора утверждение, аналогичное
сформулированному в а).
2. Два линейных нормированных пространства называются изоморфными,
если существует такой изоморфизм между ними (как линейными векторны-
векторными пространствами), который вместе с ему обратным является непрерывным
линейным оператором.
a) Покажите, что линейные нормированные пространства одинаковой ко-
конечной размерности изоморфны.
b) Покажите, что для бесконечномерного случая утверждение а) уже, во-
вообще говоря, не имеет места.
c) В пространстве С([а, Ь],Щ введите две нормы так, чтобы тождествен-
тождественное отображение С ([а, Ь],Ш) на себя не было непрерывным отображением по-
полученных нормированных пространств.
3. Покажите, что если полилинейный оператор непрерывен в некоторой
точке, то он непрерывен всюду.
4. Пусть А: Еп ->• Еп—линейное преобразование евклидова п-мерного
пространства, А*: Еп —> Еп — сопряженное к нему преобразование.
Покажите, что:
74 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
a) Все собственные значения оператора А ■ А*: Еп —> Еп неотрицательны.
b) Если Ai ^ ... ^ Ап — собственные значения оператора А ■ А*, то \\A\\ =
4
х|| = —4
c) Если оператор А имеет обратный А г: Еп ->• Еп, то \\А
d) Если (а*)—матрица преобразования А: Еп -> Еп в некотором базисе,
то справедливы оценки
max
\
ЕЮ2
г=1
\
5. Пусть Р[ж]—линейное пространство многочленов от переменной х с ве-
вещественными коэффициентами. Норму вектора Р € Р[х] определим формулой
\
1
f
a) Ограничен ли в полученном пространстве оператор D:F[x]-> F[x] диф-
дифференцирования D(P(x)) := Р'(х)?
b) Найдите норму оператора F: F[x] ->• F[x] умножения нах, действующе-
действующего по закону F(P(x)) := х ■ Р(х).
6. На примере операторов проектирования в Ж2 покажите, что неравен-
неравенство ||J5 • А\\ ^ ||J5|| • \\A\\ может быть строгим.
§ 3. Дифференциал отображения
1. Отображение, дифференцируемое в точке.
Определение 1. Пусть X, Y — нормированные пространства.
Отображение f:E—*Y множества Е С X в Y называется диффе-
дифференцируемым в точке х € Е, внутренней для Е, если существует такое
линейное непрерывное отображение L(x): X —> Y, что
f(x + h)-f(x) = L(x)h + a(x;h), A)
где а(х; К) = o{h) при h —> 0, х + h € l\
^Запись «а(х; h) = o(h) при h —> 0, х + h € Е», разумеется, означает, что
lim \ol(x\ h)W ■ \h[x =0.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 75
Определение 2. Линейная относительно h функция L(x) €
6 C(X;Y), удовлетворяющая соотношению A), называется дифферен-
дифференциалом, касательным отображением или производной отображения
f:E—>Y в точке х.
Как и прежде, мы будем обозначать L(x) одним из символов df(x),
Df{x) или /'(ж).
Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение диф-
ференцируемости отображения в точке почти дословно совпадает с уже
знакомым нам из главы VIII, § 2 определением, где оно рассматривалось
в случае X = Мт, У = К". Поэтому без повторных пояснений мы по-
позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия,
как приращение функции, приращение аргумента, касательное прост-
пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.
Проверим, однако, в общем виде следующее
Утверждение 1. Если отображение f:E—>Y дифференцируемо
во внутренней точке х множества Е С X, то его дифференциал L(x)
в этой точке определен однозначно.
< Итак, проверим единственность дифференциала.
Пусть L\{x) и L2{x) —линейные отображения, удовлетворяющие со-
соотношению A), т.е.
f{x + h)-f{x)-L1(x)h = a1(x;h),
f{x + h)- f{x) - L2(x)h = a2{x; h),
где ai(x; h) — o(h) при h —> 0, x + h € E, i = 1,2.
Тогда, полагая L(x) — Ь2{х) — L\(x) и a(x;h) = a2(x;h) — a\{x;h),
после вычитания второго из равенств B) из первого, получим, что
L(x)h = a(x;h).
Здесь L(x)—линейное относительно h отображение, a a(x;h) = o(h)
при h —> 0, х + h б Е. Взяв вспомогательный числовой параметр А,
можно теперь записать, что
\L(x)h\ = ' 1^ Л = ' ^ "\h\ ^0 при А -> 0.
76 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, L(x)h = О при любом h ф О (напомним, что х—
внутренняя точка Е). Поскольку L(xH = О, то мы показали, что при
любом значении h имеет место равенство L\{x)h = L,2(x)h. ►
Если Е — открытое подмножество в X, а /: Е —> Y — отображение,
дифференцируемое в каждой точке х € Е, т. е. дифференцируемое на Е,
то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в
точке, на множестве Е возникает функция £3а;4 f'ix) £ C(X;Y),
обозначаемая /': Е —>■ £(X;Y), которую называют производной от f
или производным отображением по отношению к исходному отображе-
отображению f:E—>Y. Значение f'{x) этой функции в индивидуальной точке
х g E есть линейное непрерывное отображение f'{x) € C(X; У), являю-
являющееся дифференциалом или производной функции / в данной конкрет-
конкретной точке х € Е.
Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования не-
непрерывности линейного отображения L(x) из равенства A) следу-
следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является
непрерывным в этой точке.
Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере число-
числовых функций.
Сделаем еще следующее важное
Замечание. Если условие дифференцируемости отображения / в
некоторой точке а записать в виде
f(x) - f(a) = L(x){x -а)+ а{а; х),
где а(а;х) = о(х — а) при х —> а, то становится ясно, что определение 1
на самом деле относится к отображениям f:A—>B любых аффин-
аффинных пространств (А,X), (B,Y), линейные пространства X aY кото-
которых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые аффин-
аффинными нормированными пространствами, встречаются часто, поэтому
сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании диффе-
дифференциального исчисления.
Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени
относится как к линейным, так и к аффинным нормированным про-
пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику
векторных пространств.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 77
2. Общие законы дифференцирования. Из определения 1 вы-
вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования. В
приводимых ниже формулировках X, Y, Z — нормированные прост-
пространства, a U и V — открытые множества в X и Y соответственно.
а. Линейность дифференцирования.
Если отображения /j: U —> Y, i = 1,2, дифференцируемы в точ-
точке х £ U, то их линейная комбинация (Ai/i + A2/2): U —> Y также
дифференцируема в точке х, причем
(Ai/i + А2/2)'(х) = Ai/{(x) + A2/2(x).
Таким образом, дифференциал линейной комбинации отображений
есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих ото-
отображений.
b. Дифференцирование композиции отображений.
Если отображение f: U —> V дифференцируемо в точке х € U С X,
а отображение д: V —> Z дифференцируемо в точке f(x) = y£VcY,
то композиция g о f этих отображений дифференцируема в точке х,
причем
(9of)'(x)^g'(f(x))of'(x).
Таким образом, дифференциал композиции равен композиции диф-
дифференциалов.
c. Дифференцирование обратного отображения.
Пусть f: U —> Y — непрерывное в точке х € U С X отображение,
имеющее обратное /-1: V —> X, определенное в окрестности точки
у = j{x) и непрерывное в этой точке.
Если отображение f дифференцируемо в точке х и его касатель-
касательное отображение f'(x) € £<{X\ Y) в этой точке имеет непрерывное
обратное [/'(ж)] € C(Y, X), то отображение j~l дифференцируемо
в точке у — f(x), причем
78 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линей-
линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения
в соответствующей точке.
Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они
аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. VIII, § 3 для
случая X = Шт, Y = Шп.
3. Некоторые примеры.
Пример 1. Если /: U —> Y —постоянное отображение окрестно-
окрестности U = U(x) С X точки х, т. е. f(U) = yoEY, то f'(x) = 0 е ЦХ; Y).
М Действительно, в этом случае, очевидно,
f(x + h)- f(x) -Oh = yo-yo-O = O = o(h). ►
Пример 2. Если отображение /: X —> Y есть линейное непрерыв-
непрерывное отображение линейного нормированного пространства X в линей-
линейное нормированное пространство У, то f'(x) = f € C(X;Y) в любой
точке х € X.
■4 Действительно,
f(x + h)- f(x) -fh = fx + fh-fx-fh = O.+
Заметим, что на самом-то деле здесь f'(x) £ jC(TXx;TYf^), и h —
вектор касательного пространства ТХХ. Но в линейном пространстве
определен перенос вектора в любую точку х € X, что позволяет нам
отождествить касательное пространство ТХХ с самим линейным про-
пространством X. (Аналогично в случае аффинного пространства (А, X)
пространство ТАа векторов, «приложенных» к точке а € А, можно ото-
отождествить с векторным пространством X данного аффинного прос-
пространства.) Следовательно, выбрав базис в X, его можно разнести по
всем касательным пространствам ТХХ. Это означает, что если, напри-
например, X' = Ш™, Y = Шп и отображение / Е £(МТО;МП) задается матри-
матрицей {а\), то в любой точке х € W1 касательное к нему отображение
f'(x): ТЩ? ->■ ТК, > также будет задаваться той же матрицей.
В частности, для линейного отображения 14й1 = |/из1в1
при х € Ш и h E ТЩс ~ Ш получаем соответствующее отображение
BhA-ahE TMf(x).
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 79
С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно
сформулировать так: отображение f':X-+Y, производное от линей-
линейного отображения /: X —> Y линейных нормированных пространств,
постоянно, причем f'(x) — f в любой точке х € X.
Пример 3. Из правила дифференцирования композиции отобра-
отображений и результата примера 2 можно заключить, что если /: U —> Y —
отображение окрестности U = U(x) С X точки х € X, дифференциру-
дифференцируемое в х, а А Е £(Y; Z), то
(Aof)'(x) = Aof'(x).
Для числовых функций, когда Y = Z = Ш, это не что иное, как зна-
знакомая возможность вынесения постоянного множителя за знак диффе-
дифференцирования.
Пример 4. Пусть снова U = U(x) — окрестность точки х норми-
нормированного пространства X, и пусть
—отображение U в прямое произведение нормированных пространств
Yh...,Yn.
Задание такого отображения равносильно заданию п отображений
/j: U —>■ Yi, i = 1,..., п, связанных с / соотношением
х^ f{x) = у = (У1,...,уп) = (/i(x),...,/n(x)),
справедливым в любой точке U.
Если теперь в формуле A) учесть, что
f(x + h)- f{x) = ifiix + h)- fi(x), ...,fn(x + h)- fn(x)),
L(x)h = (Li(x)h,...,Ln(x)h),
a(x;h) = ictiix;h),...,anix;h)),
то со ссылкой на результаты примеров 6 из § 1 и 10 из § 2 можно за-
заключить, что рассматриваемое отображение / дифференцируемо в точ-
точке х тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты
ff. U -¥ Yi, i = 1,... ,п, причем в случае дифференцируемое™ отобра-
отображения / имеет место равенство
/'(я) = (/I (*),..., Ш).
80 ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 5. Пусть теперь A G C(Xi,... ,Xn;Y), т.е. А — непре-
непрерывный п-линейный оператор, действующий из произведения Xi х ... х
х Хп линейных нормированных пространств Х\,..., Хп в линейное нор-
нормированное пространство Y.
Докажем дифференцируемость отображения
А: Хг х ... хХп = Х -+Y
и найдем его дифференциал.
М Используя полилинейность А, находим, что
A(x + h) - А(х) = А(х\ +hi,...,xn + hn) —
= A(xi, ...,!„) + A(h1,x2, ...,xn) + ... + A(xi,..., xn_i,
+ A(hi,h,2,x3,...,xn) + ... + A(xi,... ,xn-2,hn-i,hn)
u ...,hn)- A(xi,..., xn).
Поскольку норма в X = Xi x ... x Xn удовлетворяет неравенствам
n
\x\X <
г=1
а норма ||Л|| оператора А конечна и
можно заключить, что
А(х + h)~ A(x) = А(хг + hu...,xn +hn) -
= A(h1,x2, ...,xn) + ... + A(xi,..., хп-1, К) + а(х; h),
где а(х; К) = o(h) при h —> 0.
Но оператор
L(x)h = A(hi,x2, ...,xn) + ... + A(xi,..., хп-ъ К)
есть линейный по h = (hi,... ,hn) непрерывный (в силу непрерывно-
непрерывности А) оператор.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 81
Таким образом, установлено, что
A'(x)h = A'(xi,..., xn)(hi,..., hn) =
= A(hi,x2, ...,xn) + ... + A(xi,..., xn_i,hn)
или, короче,
dA(xi,...,xn) = A(dxy,X2,...,xn) + ... + A(xi,... ,xn-i,dxn). ►
В частности, если:
a) x\ ■... • xn — произведение п-числовых переменных, то
d(x\ ■ ... ■ xn) = dx\ ■ X2 ■ ■ ■. ■ xn + ■. ■ + xi ■ ... ■ xn-i ■ dxn;
b) (x\,X2) — скалярное произведение в Е3, то
d{xi,x2) = {dxi,x2) + (xi,dx2);
c) [xi,X2] — векторное произведение в Е3, то
d[xi,x2] = [dxi,x2] + [xi,dx2};
d) (х\,Х2,хз)—смешанное произведение в Е3, то
i,X2,x3) = (dxi,x2,x3) + (xi,dx2,x3) + (xi,X
e) det(xi,..., xn) — определитель матрицы, составленной из коорди-
координат п векторов xi,..., хп n-мерного линейного пространства X с фик-
фиксированным в X базисом, то
d(det(xi,...,xn)) = det(dxi,X2,-.-,xn) + ... + det(xi, • ■ • ,Xn-i,dxn).
Пример 6. Пусть U — подмножество C(X;Y), состоящее из тех
линейных непрерывных операторов А: X —> Y, которые имеют непре-
непрерывные обратные операторы Л: Y —> X (принадлежащие C(Y;X)).
Рассмотрим отображение
U ЭА^А-1 eC(Y;X),
состоящее в том, что каждому оператору А € U ставится в соответ-
соответствие обратный к нему оператор A~l € C(Y;X).
82 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о
дифференцируемости этого отображения.
Утверждение 2. Если X—полное пространство и А е U, то
при любом h G £(X;Y) таком, что \\h\\ < Ц-А" Ц", оператор A + h
также принадлежит U и справедливо соотношение
(А + h)-1 = А'1 - A-lhA~l + o(h) при h -> 0. C)
М Поскольку
(А + h)'1 = (А(Е + A^h))-1 = (E + A~lh)-lA-1, D)
то достаточно найти оператор (Е + A~lh)~l, обратный к оператору
(Е + A~lh) G С(Х;Х), где Е — тождественное (единичное) отображе-
отображение ех пространства X на себя.
Пусть А := — A~lh. Учитывая сделанное к утверждению 2 из § 2
дополнение, можно заметить, что ||А|| < Н^Г1!! • \\h\\, поэтому в силу
сделанных относительно оператора h предположений можно считать,
что ||А|| < q < 1.
Проверим теперь, что
(Е - А) = Е + А + А2 + ... + А" + ... , E)
где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операто-
операторов А" = (А о ... о А) еС(Х;Х).
Ввиду полноты X (в силу утверждения 3 из § 2) линейное норми-
нормированное пространство С(Х; X) является полным. Тогда сходимость
указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, не-
немедленно вытекает из того, что ||АП|| ^ ||Д||П ^ Qn, и того, что ряд
оо
X} qn сходится, если \q\ < 1.
п=о
Непосредственная проверка
= (Е + А + А2 + ...) - (А + А2 + А3 + ...) = Е
и
(Е - А)(Е + А + А2 + ...) =
= (Е + А + А2 + ...) - (А + А2 + А3 + ...) = Е
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 83
показывает, что мы действительно нашли (Е — Д).
Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических опера-
операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантирует-
гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых
рядов.
Сопоставляя соотношения D) и E), заключаем, что при
(А + h)-1 = А-1 - A~lhA~l + {А-1КJА~1 - ...
... + (-l)n(A-1h)nA-1 + ... F)
Поскольку
п=2
п=2
\\А
-1113
II
га=О *
то из F), в частности, следует равенство C). ►
Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае пол-
полного пространства Y рассматриваемое отображение А >-> А~1 заведомо
дифференцируемо, причем
df(A)h = d{A~l)h = -A^hA'1.
В частности, это означает, что если А — квадратная невырожденная
матрица и А'1 —обратная к ней матрица, то при возмущении матри-
матрицы А с помощью матрицы h с близкими к нулю элементами матрицу
(А + /г), обратную к возмущенной матрице А + h, можно в первом
приближении находить по следующей формуле:
Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя из ра-
равенства F).
Пример 7. Пусть X — полное линейное нормированное простран-
пространство. Важное отображение
4-4574
84 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
определяется следующим образом:
ехр + — + у + ■ • • + ^ +... , ( )
если А е £{Х;Х).
Стоящий в G) ряд сходится, так как £(Х;Х) — полное пространс-
пространство и || Л Л™ || < '' У , а числовой ряд V Lf_ сходится.
Л. Л. Л.
п-О
Нетрудно проверить, что
ехр(А + h) = ехр А + L(A)h + o(h) при h —> схз, (8)
где
1 In о
L(A)h = h + ^—(^4/г. + hA) + —(Л h + AhA + /гЛ^) + ...
— {An~lh + An~2hA + ... + AhAn~2 + hAn-1)
n!
и ||L(A)|| < expp|| = elHI, т.е. L(A) e A>C(X;X); C(X;X)).
Таким образом, отображение С(Х;X) эАи ехрА € C(X;X) диф-
дифференцируемо при любом значении А.
Заметим, что если операторы А тя. h коммутируют, т. е. Ah — hA,
то, как видно из выражения для L(A)h, в этом случае L(A)h = (ехр A)h.
В частности, для X = Ш или X = С вместо (8) вновь получаем
ехр(Л + h) = ехр А + (ехр A)h + o(h) при h -> 0. (9)
Пример 8. Попробуем дать математическое описание мгновен-
мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о
(волчок). Рассмотрим в точке о ортонормальный репер {в1,е2,ез},
жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне харак-
характеризуется положением такого орторепера, а тройка {ёх,ё2,ёз} мгно-
мгновенных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне харак-
характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репе-
репера {ех,е2,ез} в момент t можно задать ортогональной матрицей (о^),
i,j = 1,2,3, составленной из координат векторов ei, в2, ез относитель-
относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера пространст-
пространства. Таким образом, движению волчка отвечает отображение t —> O(t)
§3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 85
из Ж (ось времени) в группу 5*0C) специальных ортогональных ма-
матриц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения тела, кото-
которую мы договорились описывать тройкой {ё1,ё2,ёз}, задается матри-
матрицей 0(t) =: (a>j)(tf) = (o^)(tf) — производной от матрицы 0(t) = (о^)(<)
по времени.
Поскольку 0{i) — ортогональная матрица, то в любой момент t вы-
выполнено соотношение
O(t)O*(t) = Е, A0)
где O*(t) — транспонированная по отношению к O(t) матрица, а Е —
единичная матрица.
Заметим, что произведение А ■ В матриц есть билинейная функция
от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно,
равна матрице, транспонированной по отношению к производной ис-
исходной матрицы. Дифференцируя равенство A0) с учетом сказанного,
находим, что
d(tH*(t) + 0(tN*(t) =0
или
O(t) = -O(t)O*(t)O(t), A1)
поскольку O*(t)O(t) = E.
В частности, если считать, что в момент t репер {в1,е2,ез} совпа-
совпадает с репером пространства, то O(t) = Е и из A1) получается, что
6{t) = -O*(t), A2)
т.е. матрица O(t) =: u(t) = (a^) координат векторов {ё1,ё2,ёз} в ба-
базисе {е1,в2,ез} оказывается кососимметрической:
,1 ,.,2 ,.,3 1 = | Ш3 Q _Ш1
-ш2 и1 0
Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле ха-
характеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших рассу-
рассуждениях проистекало из соотношения A0) и что с физической точки
зрения естественно, поскольку положение репера {е1,в2,ез}, а значит,
и самого тела, описывается тремя независимыми параметрами (в меха-
механике это, например, углы Эйлера).
86 ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если с каждым вектором ш = o>1ei +о>2в2 + а>3ез пространства, при-
приложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой
скоростью \ш\ относительно определяемой этим вектором оси, то из
полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент t
тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный
момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости
вращения ш(г) (см. задачу 5).
4. Частные производные отображения. Пусть U = U(a) —
окрестность точки а € X = Х\ х ... х Хт в прямом произведении нор-
нормированных пространств Xi,... ,Хт, и пусть /:[/—» Y — отображе-
отображение U в нормированное пространство V. В этом случае
y = f(x) = f(x1,...,xm), A3)
и значит, фиксировав в A3) все переменные, кроме одной перемен-
переменной хг, положив Хк = aki к € {1,..., m} \ г, мы получим функцию
-: /г(х) =: (рг(хг), A4)
определенную в некоторой окрестности \]г точки аг пространства Хг.
Определение 3. Отображение (рг: 1/г —)■ Y по отношению к ис-
исходному отображению A3) называют частным отображением по пе-
переменной хг в точке а € X.
Определение 4. Если отображение A4) дифференцируемое точ-
точке хг = аг, то его производная в этой точке называется частной про-
производной или частным дифференциалом отображения f в точке а по
переменной хг.
Эту частную производную обозначают обычно одним из символов
dtf(a), Dtf(a), У-(а), Д(а).
В соответствии с этими определениями Dlj{a) € С(Хг;У), точнее,
Дифференциал df(a) отображения A3) в точке а (если / диффе-
дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют
полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифферен-
дифференциалов по отдельным переменным.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 87
Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественно-
значных функций т вещественных переменных, поэтому мы не будем
здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние
рассуждения, с учетом разобранного в § 2 примера 9, легко доказать,
что и в общем случае справедливо следующее
Утверждение 3. Если отображение A3) дифференцируемо в
точке а — (а\,..., ат) £ Х\ х ... х Хт = X, то оно имеет в этой точ-
точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный
дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением
df(a)h = dif(a)h! + ...+ dmf(a)hm, A5)
= (h1,...,hm) E TXi(ai) x ... x TXm(am) = TX(a).
На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие
частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифферен-
цируемости функции A3).
Задачи и упражнения
1. а) Пусть A £ £(Х;Х) — нилъпотентный оператор, т.е. существует
такое k £ N, что Ак = 0. Покажите, что оператор (Е — А) в этом случае имеет
обратный, причем (Е - А)~1 = Е + А + ... + Ак~1.
b) Пусть D: Р[х] —> F[x] — оператор дифференцирования на линейном про-
пространстве F[x] полиномов. Заметив, что D — нильпотентный оператор, запи-
запишите оператор exp(aD), где a £ Ж, и покажите, что exp(aD)(P(x)) = Р(х +
+ а)=:Та(Р(х)).
c) Запишите матрицы операторов D: Fn[x] ->■ Рп[х] и Та: Р„[ж] -»■ Рп[х] (из
задачи Ь) в базисе ег = ,°^_ ..,, 1 ^ г ^ п, пространства Рп[х] вещественных
полиномов степени п от одной переменной.
2. а) Если А, В £ С(Х;Х) и ЗВ'1 е С(Х;Х), то ехр(В~1АВ) =
= В~1(ехрА)В.
b) Если АВ = В А, то ехр(А + В) = ехр А ■ ехр В.
c) Проверьте, что ехрО — Еж что ехр А всегда имеет обратный оператор,
причем (ехрЛ) = ехр(-А).
3. Пусть А £ С(Х;Х). Рассмотрим отображение <ра- Ж -> £(Х;Х), опре-
определяемое соответствием Ж Э 11-> ехр(£Л) G С(Х;Х). Покажите, что:
a) отображение <рл непрерывно;
b) (рл есть гомоморфизм Ж как аддитивной группы в мультипликативную
группу обратимых операторов из С{Х\Х).
4. Проверьте, что:
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
a) Если Ai,...,An—собственные значения оператора А £ £(СП;С"), то
exp Ai,..., ехр А„ суть собственные значения оператора ехр А.
b) det(exp^) = exp(tr^), где trA — след оператора А £ C(Cn;C^).
c) Если А е £(К"; К"), то det(exp A) > 0.
d) Если А*—транспонированная по отношению к матрице A £ £(СП;СП)
матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к эле-
элементам А) элементов, то (ехр А)* = ехр А* и ехр А = ехр А.
( N
\ л/г ( -1 ° \ - л
е) Матрица I I не является матрицей вида ехр А, какова бы ни
была квадратная матрица А второго порядка.
5. Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой груп-
группы и структурой топологического пространства, называется топологической
или непрерывной группой, если групповая операция непрерывна в указанной
топологии; если же групповая операция в некотором смысле даже аналитична,
то топологическая группа называется группой JIvF1.
Алгебра Ли— это линейное пространство X с антикоммутативной били-
билинейной операцией [, ] : X х X —> X, удовлетворяющей тождеству Якоби: для
любых векторов а,Ь,сеХ [[а, Ь], с] + [[Ь, с],а] + [[с, а], Ь] = 0. Группы и алгебры
Ли тесно связаны между собой и важную роль в осуществлении этой связи
играет отображение ехр (см. задачу 1).
Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидово прос-
пространство Е3 с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим
пока эту алгебру Ли через LA\.
a) Покажите, что вещественные кососимметрические матрицы порядка 3
образуют алгебру Ли (обозначим ее LA2), если произведение матриц А и В
определить соотношением [А, В] — АВ — В А.
b) Покажите, что соответствие
0
LJ3
-ш2
-UJ3
0
UJ1
UJ2
-UJ
0
является изоморфизмом алгебр LA2 и LA\.
c) Проверьте, что если кососимметрическая матрица П и вектор из соот-
соответствуют друг другу, как указано в Ь), то для любого вектора г Е Е3 имеет
место равенство Иг = [о>,г], а для любой матрицы Р G 50C)—соответствие
РпР'1 «• Ри>.
d) Проверьте, что если Ж Э t н-> 0{t) G 50C)—гладкое отображение, то
матрица il(t) = O~l{t)O{t)—кососимметрическая.
e) Покажите, что если r(t)—радиус-вектор некоторой точки вращающе-
вращающегося волчка, a u(t)—найденная в d) матрица (O~1O)(t), то r(t) = (ur)(t).
''Точное определение группы Ли и соответствующую сноску см. в гл. XV, § 2, за-
задача 8-
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 89
f) Пусть гио) — два приложенных к началу координат вектора простран-
пространства Е3. Пусть в Е3 выбран правый репер и пространство совершает правое
вращение с угловой скоростью |о>| вокруг оси, определяемой вектором из. По-
Покажите, что при этом r(t) = [а>,г(£)].
g) Сопоставьте результаты задач d), e), f) и укажите вектор мгновенной
скорости вращающегося волчка, о котором говорилось в примере 8.
h) Используя результат задачи с), проверьте, что вектор скорости ш не
зависит от выбора неподвижного орторепера в Е3,т. е. не зависит от системы
координат.
6. Пусть г = r(s) = (xl(s), х2(s),x3(s))—параметрическое уравнение
гладкой кривой в Е3, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль
кривой (натуральная параметризация кривой).
a) Покажите, что вектор ei(s) = ^~(s), касательный к кривой, в этом
случае имеет единичную длину.
b) Вектор -g-p(s) = ^-j(s) ортогонален вектору е\. Пусть e2(s)—единич-
e2(s)—единичный вектор, сонаправленный -^-($)- Коэффициент k(s) в равенстве -%f(s) —
= k(s)e2(s) называют кривизной кривой в соответствующей точке.
c) Построив вектор e3(s) = [ei(s),e2(s)], мы получаем в каждой точке на-
нашей кривой репер {ei,e2,e3}(s), который называют репером Френе1^ или со-
сопровождающим трехгранником кривой. Проверьте следующие формулы Фре-
не:
^-(s) = k(s)e2(s),
^2.(s) = -k(s)ei(s) +x(s)e3(s),
^00 = -x(s)e2(s).
Выясните геометрический смысл коэффициента >c(s), называемого круче-
кручением кривой в соответствующей точке.
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые приме-
примеры ее использования
1. Теорема о конечном приращении. Изучая числовые функ-
функции многих переменных, мы в гл. V, § 3, п. 1 доказали для них теорему
о конечном приращении и подробно обсудили различные аспекты этой
важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении бу-
будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя
очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные
:'Ж.Ф. Френе A816-1900)—французский математик.
90 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический
смысл нормы линейного оператора (см. § 2, п. 2).
Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть /: U —> Y —непре-
—непрерывное отображение открытого множества U нормированного прос-
пространства X в нормированное пространство Y.
Если отрезок [х, х + h] = {£ Е X \ £ = х + 6h, 0 < в < 1} полностью
содержится в U и отображение f дифференцируемо во всех точках
интервала ]х,х + h[= {£ £ X \ £ = х + Oh, 0 < в < 1}, то справедлива
следующая оценка:
\f(x + h)-f(x)\Y< SUp У'(О\\С(Х;У)ЩХ. A)
][
■4 Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [х1, х"\ С
С [х, х + h] нам удалось проверить неравенство
|/(х")-/(*')!< sup ||/'@llk"-*'l, B)
fe[i',z"]
в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [х', х"], то, поль-
пользуясь непрерывностью / и нормы, а также тем, что
sup ||/'@K sup ||/'@Н,
[]
мы в пределе при х' —> х и х" —> х + h получили бы неравенство A).
Итак, нам достаточно доказать, что
\f(x + h)-f(x)\^M\h\, C)
где М = sup \\f'(x + 6h)\\ и функция / считается дифференцируемой
на всем отрезке [х, х + h].
Простая, использующая только неравенство треугольника и свой-
свойства отрезка, выкладка
- f(x2)\ + \f(x2) - f(Xl)\ <
М\х3 - х2\ + М\х2 - xi\ = М(\х3 - х2\ + \х2
показывает, что если на частях [а; 1,2:2], [^2,агз] отрезка [2:1,2:3] справед-
справедливо неравенство вида C), то оно справедливо и на отрезке [3:1,3:3].
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 91
Значит, если оценка C) неверна для отрезка [х, х + h], то последо-
последовательным делением его пополам можно получить последовательность
стягивающихся к некоторой точке хо £ [х,х + h] отрезков [а^, Ь^] С
[х,х + h], на каждом из которых C) нарушено. Поскольку xq E [ак>Ьк],
то, рассмотрев отрезки [ак, хо], [хо, Ьк], по тем же соображениям можно
считать, что нашлась последовательность отрезков вида [хо, xq + hk] С
С [х, х + h], где hk —> 0 при к —> оо, на которых
|/(*о + Ы-/Ы1>М|^|. D)
Если C) доказать с заменой М на М + е, где е — любое положи-
положительное число, то при е —> 0 все равно получится C), поэтому D) тоже
можно заменить на
\f(xo + hk)-f(xo)\>(M + e)\hk\ D')
и теперь показать, что это несовместимо с дифференцируемостью / в
точке хо.
Действительно, в силу дифференцируемости
|/(х0 + hk) - f(xo)\ = \f'(xo)hk + o(hk)\ <
<\\f'(xo)\\\hk\+o(\hk\)<(M + e)\hk\
при hk —> 0. ►
Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически
полезное
Следствие. Если А £ £(X;Y), т. е. А есть линейное непрерывное
отображение нормированного пространства X в нормированное прос-
пространство Y, a f: U —> У — отображение, удовлетворяющее условиям
теоремы о конечном приращении, то
sup \\f'(O-A\\\h\.
][
■4 Для доказательства достаточно применить теорему о конечном
приращении к отображению
t н-> F(t) = f(x + th) - Ath
92 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
единичного отрезка [0,1] С К в У, ибо
F(l)-F(O) = f(x + h)-f(x)-Ah,
F'{9) = f'(x + dh)h - Ah пръО<в<1,
\\F'(e)\\<\\f'(x + eh)-A\\\h\,
sup \\F'(9)\\^ sup \\№-A\\\h\.>
0 ][
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях
нет нужды требовать, чтобы / было дифференцируемо как отображе-
отображение /: U —> Y; достаточно, чтобы ограничение / на отрезок [х, х + h]
было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым
в точках интервала ]х, х + h[.
Это замечание в равной степени относится и к доказанному только
что следствию теоремы о конечном приращении.
2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном
приращении.
а. Непрерывно дифференцируемые отображения. Пусть
/:Е7->У E)
— отображение открытого подмножества U нормированного простран-
пространства X в нормированное пространство Y. Если / дифференцируемо в
каждой точке х Е U, то, сопоставляя точке х отображение f'(x) £
Е £(X;Y), касательное к / в этой точке, мы получаем производное
отображение
f':U->C(X;Y). F)
Поскольку пространство С(Х; Y) линейных непрерывных операто-
операторов из X в Y является, как нам известно, нормированным (нормой
оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности ото-
отображения F).
Определение. В том случае, когда производное отображение F)
непрерывно в U, отображение E), в полном соответствии с прежней
терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемым.
Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа E)
будем по-прежнему обозначать символом С^ (U, Y) или, короче,
^), если из контекста ясно куда идет отображение.
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 93
Итак, по определению
) & f'eC(u,C(X;Y)).
Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость ото-
отображения в различных конкретных случаях.
Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда X — Y = R,
и, таким образом, f:U—>№. есть вещественнозначная функция ве-
вещественного аргумента. Поскольку любое линейное отображение A Е
6 С(Ш; Ж) сводится к умножению на некоторое число a Е К, т. е. Ah =
— ah, причем, очевидно, \\A\\ = \а\, то в любой точке х Е U для любого
вектора h Е ТШх ~ Ш получаем, что f'(x)h = a(x)h, где а(х) — числовая
производная функции / в точке х.
Далее, так как
(f'(x + 6)- f{x))h = f'(x + 6)h - f'(x)h =
= a(x + S)h - a(x)h = (a(x + 6)- a(x))h, G)
TO
и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения / в данном
случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно
дифференцируемой числовой функции (класса С^ (U, ]
Пример 2. Пусть на сей раз X есть прямое произведение Xi x
х ... х Хт нормированных пространств. Отображение E) в этом слу-
случае есть функция f(x) = f(xi,...,xm) от т переменных xt E Хг,
i = 1,..., m, со значениями в пространстве Y.
Если отображение / дифференцируемо в точке х Е U, то его диффе-
дифференциал df(x) в этой точке есть элемент пространства С(Х\ х... хХт =
= X;Y).
Действие df(x) на вектор h = (hi,...,hm), согласно формуле A5)
из § 3, представляется в виде
df(x)h = dif(x)hi +... + dmf(x)hm,
где дг/(х): Хг —>Y, г = I,... ,т, суть частные производные отображе-
отображения / в рассматриваемой точке х.
94 ГЛ X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее,
т
(df(x + 8)- df(x))h = £C,/(z + 8)- Эг/(х))Ы. (8)
Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении норми-
нормированных пространств (см. §1, п. 2, пример 6) и определения нормы
оператора получаем, что
\\дг/(х + 8)~ дг!{х)\\с{Х1,у) < \\df(x + 8)- df(x)\\c{x,Y) <
y (9)
1=1
Таким образом, дифференцируемое отображение E) в данном слу-
случае непрерывно дифференцируемо в U, если и только если все его част-
частные производные отображения непрерывны в U.
В частности, если X = Шт и Y = R, мы вновь получаем уже знако-
знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции т дей-
действительных переменных (функции класса C^(U, Ш), где U С Rm).
Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств G) и (8) мы
существенно пользовались каноническим отождествлением ТХХ ~ X,
позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в раз-
различных касательных пространствах.
Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отобра-
отображений имеет место
Утверждение 1. Если К — выпуклый компакт в нормированном
пространстве X и f £ C^(K,Y), где Y —тоже нормированное про-
пространство, то отображение f:K^Y удовлетворяет условию Лип-
Липшица на К, т. е. существует постоянная М > 0 такая, что для лю-
любых точек х\,Х2 £ К выполнено неравенство
\f(x2)-f(xl)\^M\x2-xl\. A0)
■^ По условию f: К —> C(X;Y) есть непрерывное отображение ком-
компакта К в метрическое пространство C(X;Y). Поскольку норма есть
непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его
естественной метрикой, то отображение х н-> ||/'(а;)||, как компози-
композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 95
компакта К в R. Но такое отображение обязано быть ограниченным.
Пусть М — такая постоянная, что в любой точке х G К имеет место
неравенство ||/'(а;)|| ^ М. Ввиду выпуклости К вместе с любыми двумя
точками х\ Е К, Х2 £ К компакт К содержит и весь отрезок [3:1,3:2].
Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедлен-
немедленно получаем соотношение A0). ►
Утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая
неотрицательная стремящаяся к нулю при 6 —> +0 функция и)F), что
имеет место соотношение
\f(x + h)- f(x) - f'(x)h\ < uF)\h\, A1)
справедливое в любой точке х G К при \h\ < 8, если х + h E К.
■^ В силу следствия теоремы о конечном приращении можно запи-
записать, что
\f(x + h)-f(x)-f'(x)h\< sup ||/'Oc
и, полагая
шF)= sup \\f'(x2)-f'(*i)l
12
\x1-x2\<S
получаем A1) ввиду равномерной непрерывности функции х н-> f'(x),
непрерывной на компакте К. ►
Ь. Достаточное условие дифференцируемости. Покажем те-
теперь, как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно
в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости ото-
отображений в терминах частных производных.
Теорема 2. Пусть U — окрестность точки х нормированного
пространства X = Х\ х ... х Хт, являющегося прямым произведени-
произведением нормированных пространств Х\ х ... х Хт, и пусть f: U —> Y —
отображение U в нормированное пространство Y. Если в U отобра-
отображение f имеет все частные производные отображения, то при усло-
условии их непрерывности в точке х отображение f дифференцируемо в
этой точке.
■^ Для упрощения записи проведем доказательство в случае т = 2.
Проверим непосредственно, что линейное относительно h — (/11,^2)
96 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
отображение
Lh = dif(x)h1+d2f(x)h2
является полным дифференциалом / в точке х.
Сделав элементарные преобразования
f{x + h)- f{x) -Lh =
= f(xi + h1,x2 + h2) - fixi,x2) -dif(x)hi -d2f(x)h2 =
= f{x\ +hi,x2 + h2) - fixi,x2 + h2) - d\fixi,x2)hi +
2 + h2) - fixi,x2) -d2fix1,x2)h2,
по следствию из теоремы 1 получаем
\f(xi +hi,x2 + h2) - f(xi,x2) -
^ sup \\
sup \\d2fix1,x2 + e2h2)-d2fix1,x2)\\\h2\. A2)
Поскольку max{|hi|, \h2\} ^ \h\, то из непрерывности частных про-
производных d\f, <Эг/ в точке х = (a;i,a;2), очевидно, следует, что правая
часть неравенства A2) есть о(/г) при h = (hi, h2) —> 0. ►
Следствие. Отображение f:U—>Y открытого подмножест-
подмножества U нормированного пространства X = Х\ х.. .хХт в нормированное
пространство Y непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда,
когда в U непрерывны все частные производные отображения f.
■4 В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости
отображения /: U —> Y его непрерывная дифференцируемость равно-
равносильна непрерывности его частных производных.
Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны,
то отображение / автоматически дифференцируемо, а следовательно
(на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть /: / -> Y — непрерывное отображение отрезка / = [0,1]сМв
нормированное пространство У, a g: I —> Ж — непрерывная вещественнознач-
ная функция на 7. Покажите, что если / и д дифференцируемы в интервале
]0,1[ и в точках этого интервала имеет место соотношение ||/'(а;)|| ^ g\t), то
справедливо также неравенство ]/A) - /@)| ^ <?A) - <?@).
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 97
2. а) Пусть f: I -> Y— непрерывно дифференцируемое отображение от-
отрезка /= [0,1] С 1в нормированное пространство Y. Оно задает гладкий
путь в Y. Определите длину этого пути.
b) Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения и
оцените сверху длину пути, рассмотренного в а).
c) Дайте геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении.
3. Пусть /:[/—> Y — непрерывное отображение окрестности U точки а
нормированного пространства X в нормированное пространство Y. Покажи-
Покажите, что если / дифференцируемо в U \ а и f'(x) имеет предел L £ C(X;Y) при
х -> а, то отображение / дифференцируемо в точке а и /'(а) = L.
4. а) Пусть U — открытое выпуклое подмножество нормированного прос-
пространства X, а /: U -> Y — отображение U в нормированное пространство У.
Покажите, что если f'(x) = 0 на U, то отображение / постоянно.
b) Обобщите утверждение а) на случай произвольной области U (т. е.когда
U — открытое и связное подмножество в X).
c) Частная производная ^- гладкой функции /: D —> К, заданной в обла-
области Del2 плоскости переменных (х,у), тождественно равна нулю. Верно ли,
что тогда / не зависит от у в этой области? Для каких областей D это верно?
§ 5. Производные отображения высших порядков
1. Определение п-го дифференциала. Пусть U — открытое
множество в нормированном пространстве X, а
f:U^Y A)
— отображение U в нормированное пространство Y.
Если отображение A) дифференцируемо в U, то в U определено
производное от / отображение
f':U^C(X;Y). B)
Пространство C(X;Y) =: Y\ является нормированным пространс-
пространством, по отношению к которому отображение B) имеет вид A), т.е.
/': U —> Yi и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.
Если отображение B) дифференцируемо, то его производное ото-
отображение
(f')':U^C(X;Y1)=C(X;C(X;Y))
называют вторым производным отображением или вторым дифферен-
дифференциалом от / и обозначают символом /" или/BЛ И вообще принимается
следующее индуктивное
98 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 1. Производным отображением порядка п G N или
п-м дифференциалом отображения A) в точке х G U называется ото-
отображение, касательное в этой точке к производному отображению по-
порядка п — 1 от /.
Если производное отображение порядка k G N в точке х G U обо-
обозначать символом f(k>(x), то определение 1 означает, что
Таким образом, если f^n\x) определено, то
W{x) € C(X; Yn) = С(Х; С(Х; Yn^)) = ...
Следовательно, на основании утверждения 4 из § 2, дифференциал п-
го порядка /'п)(ж) отображения A) в точке х можно интерпретиро-
интерпретировать как элемент пространства С(Х,..., X; Y) n-линейных непрерыв-
п раз
ных операторов.
Отметим еще раз, что касательное отображение f'{x): ТХХ —>•
—> TYf(x) есть отображение касательных пространств, каждое из ко-
которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых
пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным прост-
пространством и говорили на этом основании, что f'(x) G C(X;Y). Именно
это рассмотрение элементов f'{x\) G C(TXXl;TYf(xl\), /'(жг) G
G C(TXX2;TYf(X2)) различных пространств как векторов одного и то-
того же пространства С(Х; Y) лежит в основе определения высших диф-
дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аф-
аффинного или линейного пространства имеется естественная связь меж-
между векторами различных касательных пространств, соответствующих
различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном сче-
счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной диффе-
ренцируемости отображения A), так и о его высших дифференциалах.
2. Производная по вектору и вычисление значений п-го
дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1
может быть удачно использовано понятие производной по вектору, ко-
которое для общего отображения A) вводится так же, как это в свое
время было сделано в случае X = W1, Y = Ш.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 99
Определение 2. Если X и У—линейные нормированные прост-
пространства над полем К, то производной отображения A) в точке х Е U
по вектору h G ТХХ ~ X назовем предел
Dhf(x) := lim /(* + **)/(*)
t
если указанный предел в У существует.
Непосредственно проверяется, что
DXhf(x) = \Dhf(x) D)
и что если отображение / дифференцируемо в точке х G U, то оно
имеет в этой точке производную по любому вектору, причем
Dhf(x) = f(x)h, E)
и, в силу линейности касательного отображения,
DXlhl+X2hJ{x) = \iDhJ{x) + \2Dh2f{x). F)
Из определения 2 видно также, что значение Dhf(x) производной
отображения /: U —> Y по вектору есть элемент линейного пространс-
пространства TYf(x) ~ У, и что если L—линейное непрерывное отображение Y
в некоторое нормированное пространство Z, то
Dh(Lof)(x) = LoDhf(x). G)
Попробуем теперь истолковать значение f^n\x){h\,... ,hn) n-ro
дифференциала отображения / в точке х на наборе (h\,... ,hn) век-
векторов hi G TXX ~ X, г = 1,..., п.
Начнем с п = 1. В этом случае по формуле E)
f'(x)(h)=f'(x)h = Dhf(x).
Рассмотрим теперь случай п=2. Поскольку f^(x) = C(X\ С(Х; У)),
то, фиксировав вектор hi E X, мы сопоставляем ему по закону
линейный оператор (fB'(x)hi) G £(Х;У), а вычислив затем значение
этого оператора на векторе h2 G X, мы получим элемент
h1)h2SY (8)
100 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
пространства Y.
Но
поэтому
fW(x)(huh2) = (DhJ'(x))h2. (9)
Если А £ С(Х; Y), a h £ X, то спаривание Ah можно рассматривать
не только как отображение h i-> Ah из I в У, но и как отображение
A i-> Л/i из С(Х; Y) в У, причем это последнее отображение, как и
первое, является линейным.
Сравнив теперь соотношения E), G) и (9), можем записать, что
(DhJ'(x))h2 = Dhl(f'(x)h2) = DhlDhJ{x).
Таким образом, окончательно получаем
Аналогично можно показать, что при любом п £ N имеет место
соотношение
f{-n\x){hu...,hn):={...{f{~n\x)h1)...hn) = DhlDh2...DhJ{x), (Ю)
причем дифференцирование по векторам выполняется последователь-
последовательно, начиная от дифференцирования по hn и кончая дифференцирова-
дифференцированием по h\.
3. Симметричность дифференциалов высшего порядка. В
связи с формулой A0), уже вполне пригодной для вычислений, естес-
естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений
зависит от указанного порядка дифференцирования.
Утверждение. Если для отображения A) форма f^n\x) в точ-
точке х определена, то она симметрична относительно любой пары своих
аргументов.
< Основным элементом доказательства является проверка справед-
справедливости этого утверждения в случае п = 2.
Пусть h\, /12 — два произвольных фиксированных вектора прост-
пространства ТХХ ~ X. Поскольку U открыто в X, при всех достаточно
близких к нулю значениях i e I определена следующая вспомогатель-
вспомогательная функция от t:
Ft(huh2) = fix + t(hi + h2)) - f(x + thi) - f(x + th2) + f(x).
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 101
Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию
g{v) = f{x + t{hi + v)) - f{x + tv),
заведомо определенную для векторов v, коллинеарных вектору h2 и та-
таких, что |v| ^ |/г-21-
Заметим, что
Ft(h1,h2)=g(h2)-g@).
Заметим также, что коль скоро функция /: U —> Y в точке х £ U
имеет второй дифференциал f"(x), она обязана быть дифференцируема
по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем считать,
что параметр t настолько мал, что аргументы в правой части опреде-
определяющего функцию Ft{h\,h,2) равенства лежат в указанной окрестности
точки х.
Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конеч-
конечном приращении в следующих выкладках:
\Ft(huh2)-t2f"(x)(h1,h2)\ =
= \9(h2)-g@)-t2f"(x)(h1,h2)\^
^ sup \\gl(e2h2)-t2f"(x)h1\\\h2\ =
О<02<1
= sup Wif'ix + tihi + e^-f'ix + te^t-ff'WfuWibi
О<02<1
По определению производного отображения можно записать, что
f'(x + t{hx + 92h2)) = f'(x) + f"{x)(t{hx + 62h2)) + o(t)
и
f'(x + W2h2) = f'{x) + f"{x){W2h2) + o{t)
при t —> 0. Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и
после арифметических упрощений получить, что
\Ft(huh2)-t2f"(x)(huh2)\=o(t2)
при t -> 0. Но это равенство означает, что
102 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку очевидно Ft(h\,h2) = Ft{h2,h\), то отсюда уже следует,
что f"(x)(huh2) = /"(х)^,^).
Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции
дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимо-
независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения
дифференцирования. ►
Итак, показано, что n-й дифференциал отображения A) в точке
х Е U есть n-линейный симметрический оператор
/<">(*) € С(ТХХ,..., ТХХ; TYf(x)) ~ С(Х,..., X; У),
значение которого на наборе (hi,..., hn) векторов ht G TXX ~ X, i =
— 1,... ,п, может быть вычислено по формуле A0).
Если X — конечномерное пространство, {ei,... ,вк} — базис в X и
hj = h%e% — разложение векторов hj, j = 1,... ,п по этому базису, то в
силу полилинейности /(") (х) можно записать, что
или, используя прежние обозначения дг1..Лп/(х) для Dei... Denf(x),
можно окончательно получить, что
f{n)(x)(hu . ..,hn) = dn...tJ(x)hi ■ ■ ■ С
где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по по-
повторяющимся индексам в пределах их изменения, т. е. от 1 до к.
Условимся в следующем сокращении:
fW(x)(h,...,h)=:f^(x)hn. (И)
В частности, если речь идет о конечномерном пространстве X и
h = hle%, то
что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих пе-
переменных.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 103
4. Некоторые замечания. В связи с обозначением A1) рассмо-
рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе
Пример. Пусть А £ С{Х\,... ,Xn;Y), т.е. у = А(х\,... ,хп) есть
n-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого произ-
произведения линейных нормированных пространств Х\,..., Хп в линейное
нормированное пространство Y.
В примере 5 предыдущего параграфа было показано, что А является
дифференцируемым отображением А: Х\ х ... х Хп -» Y, причем
,x2, ...,xn) + ...+ A(xi,.. .,xn-i,hn).
Таким образом, если Х\ = ... = Хп = X и если А — симметрический
оператор, то
'{x,...,x){h,...,h) =nA{x,...,x,h) =: {nAxn~l)h.
Значит, если рассмотреть функцию F: X —> Y, определяемую усло-
условием
X 3x^F{x) = A{x,...,x) =:Ахп,
то она окажется дифференцируемой и
F'{x)h = l
т. е. в этом случае
где Ахп~х := А(х,..., х, •).
п-1
В частности, если отображение A) имеет в некоторой точке х е U
дифференциал f^n\x), то функция F(h) = f(n'(x)hn дифференцируе-
дифференцируема и
F'(h) =nfW(x)hn-1. A2)
Заканчивая обсуждение понятия производного отображения п-го
порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция A) опре-
определена на множестве U пространства X, являющегося прямым произ-
произведением нормированных пространств Xi,..., Xm, то можно говорить
104 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
0 частных производных отображениях dif(x),..., dmf(x) первого и бо-
более высокого порядка дч„Лп/(х) от функции / по переменным хг £ Хг,
1 — 1,... , m.
На основании теоремы 2 из § 4 в этом случае по индукции получаем,
что если в некоторой точке х £ X = Х\ х ... х Хт все частные про-
производные dn...lnf(x) отображения /: U —>• Y непрерывны, то в этой
точке отображение f имеет дифференциал п-го порядка f^n\x).
Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то
можно заключить, что отображение (/Эжи f^n\x) £ С(Х,..., X; Y)
п раз
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все частные про-
производные отображения U Э х *-> дг1 ..1п/(х) £ С{ХЧ,..., Xln; Y) поряд-
порядка п (или, что то же самое, до порядка п включительно) исходного
отображения F: U —> Y.
Класс отображений A), имеющих в U непрерывные производные
отображения до порядка п включительно, обозначают символом
C^n\U, Y) или, если не возникает недоразумений, более коротким сим-
символом С^{и) или даже С(га).
В частности, если X = Х\ х ... х Хп, то сделанное выше заключение
можно коротко записать в виде
(/GC<n)) ^ (9tl...ln/GC,t1,...,tn = l,...,m),
где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных
функций.
Задачи и упражнения
1. Проведите полностью доказательство равенства G).
2. Проведите подробно конец доказательства утверждения о симметрич-
симметричности f(n\x).
3. а) Покажите, что если для пары векторов hi, h^ и отображения A)
в области U определены функции DhlDh2fi Dh2Dfllf и они непрерывны в
некоторой точке х £ U, то в этой точке имеет место равенство DfllDtl2f(x) =
= Dh2Dhlf(x).
b) Покажите на примере числовой функции f(x,y), что непрерывность в
некоторой точке смешанных производных д / , д / , хотя и влечет в силу а)
их равенство в этой точке, вообще говоря, не влечет наличия в этой точке
второго дифференциала функции.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 105
с) Покажите, что наличие f^\x,y), хотя и обеспечивает наличие и равен-
д2 f d2f
ство в соответствующей точке смешанных производных д х , д х , не влечет,
вообще говоря, их непрерывность в этой точке.
4. Пусть А € C(X,...,X;Y), причем А — симметрический п-линейный
оператор. Найдите последовательные производные до порядка п + 1 включи-
включительно от функции х \-> Ахп := А(х,..., х).
§ 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
1. Формула Тейлора для отображений.
Теорема 1. Если отображение /: U —>• Y окрестности U = U(x)
точки х нормированного пространства X в нормированное простран-
пространство Y таково, что f имеет в U производные до порядка п—1 включи-
включительно, а в самой точке х имеет производную f^n>{x) порядка п, то
f(x + h) = f(x) + f'(x)h + ... + ±-/n\x)hn + o(\h\n) A)
при h -> 0.
Равенство A) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, на-
написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений.
•* Докажем формулу Тейлора A) по индукции.
При п = 1 она верна в силу определения f'{x).
Пусть формула A) верна для некоторого (п — 1) е N.
Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы A2)
из § 5 и сделанного предположения индукции получаем
f{x + h)- {f(x) + f'(x)h + ... + ^fn)(x)h<
n!
sup
O<0<1
■" («-I)!'
при h -> 0. ►
\h\ = о
Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных,
вариантах формулы Тейлора. В свое время они подробно обсуждались
для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю
(см., например, задачу 1).
106 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Исследование внутренних экстремумов. Используя форму-
формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифференци-
дифференциальные условия внутреннего локального экстремума вещественнознач-
ной функции, определенной на некотором открытом множестве норми-
нормированного пространства. Как мы увидим, эти условия аналогичны уже
известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественно-
значной функции вещественного переменного.
Теорема 2. Пусть /: U -» К — вещественнозначная функция,
определенная на открытом множестве U нормированного простран-
пространства X и имеющая в окрестности некоторой точки х G U непрерыв-
непрерывные производные отображения до порядка к — 1 ^ 1 включительно, а
также производное отображение f^k\x) порядка к в самой точке х.
Если f'(x) = 0,..., f(k~1\x) = 0 и f(k\x) ф 0, то для того, чтобы
х была точкой экстремума функции f,
необходимо, чтобы к было четно, а форма f(k'(x)hk была полу-
полуопределенной1);
достаточно, чтобы значения формы f(k\x)hk на единичной
сфере \h\ = 1 были отделены от нуля; при этом, если на этой
сфере
f{k\x)hk > 5 > 0,
то х — точка локального минимума, а если
hk ^ S < 0,
то х —точка локального максимума.
■4 Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение A)
функции / в окрестности точки х. Сделанные предположения позво-
f(x + h)- /(я) = ^k\x)hk + a(h)\h\k,
где a(h) —вещественнозначная функция, причем a(h) —> 0 при h —> 0.
Докажем сначала необходимые условия.
!'Это значит, что форма f^k\x)hk не может принимать значения разных зна-
знаков, хотя при некоторых значениях h ф 0 она может обращаться в нуль. Равенство
f('\x) = 0, как обычно, понимается в том смысле, что f^''(x)h = 0 для любого
вектора h.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 107
Поскольку f(k\x) ф 0, найдется такой вектор ho ф 0, на котором
f(k\x)hk ф 0. Тогда при значениях вещественного параметра £, доста-
достаточно близких к нулю,
f{x + tho) - f{x) = ^(x)(tho)k + a(thQ)\th0\k =
и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что
Для того, чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы ле-
левая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака
при изменении знака t. Но это возможно, только если к четно.
Проведенное рассуждение показывает, что если х — точка экстре-
экстремума, то знак разности f(x + tho) — f{x) при достаточно малых значе-
значениях t совпадает со знаком /^(ж)/1*, и, следовательно, в этом случае
не может быть двух векторов ho, hi, на которых бы форма f^k\x) при-
принимала значения разных знаков.
Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для
определенности рассмотрим случай, когда f(k\x)hk ^ 5 > 0 при \h\ = 1.
Тогда
и, поскольку a(h) —> 0 при h —> 0, последний член неравенства поло-
положителен для всех достаточно близких к нулю векторов h ф 0. Таким
образом, для всех таких векторов h
f(x + h)-f(x)>0,
т.е. х—точка строгого локального минимума.
Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального
максимума. ►
Замечание 1. Если пространство X конечномерно, то единичная
сфера S(x, 1) с центром в точке х Е X, являясь ограниченным за-
замкнутым множеством в X, компактна. Тогда непрерывная функция
108 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(/с-форма) f(k\x)hk — dZl..,Zlcf(x)h4 ■... ■ h4 имеет на S(x, 1) как макси-
максимальное значение, так и минимальное значение. Если эти значения раз-
разных знаков, то экстремума в точке х функция / не имеет. Если же эти
значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум
есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно,
можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенно-
определенности (положительной или отрицательной) формы f(k\x)hk.
Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении
вещественнозначных функций в Шп.
Замечание 2. Как мы видели на примере функций f-.W1 —> К,
указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность
формы f(k\x)hk еще не является достаточным признаком экстремума.
Замечание 3. На практике при исследовании экстремумов диф-
дифференцируемых функций обычно пользуются только первым или пер-
первым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи
единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании
экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту
точку х, где f'{x) = 0.
3. Некоторые примеры.
Пример 1. Пусть L e CA)(R3, R), а / € СA)([а, Щ, Ш). Иными сло-
словами (и1,и2, и3) i-> Ди1,^2,^3) — определенная в М3 непрерывно диф-
дифференцируемая вещественнозначная функция, ажи f(x) — гладкая ве-
щественнозначная функция, определенная на отрезке [а, Ь] С Ш.
Рассмотрим функцию
F: С{1)([а,Ь],Щ ->R, B)
задаваемую соотношением
ь
= fL{xJ{x),f'{x))dxeR. C)
a
Таким образом, B) есть вещественнозначный функционал, опреде-
определенный на множестве функций / Е C^l'([a, b], К).
В физике и механике известны фундаментальные вариационные
принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истин-
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 109
ные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они соверша-
совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы име-
имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов,—
центральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыс-
отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной са-
самостоятельной задачей, теории которой посвящен обширный раздел
анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для то-
того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отыс-
отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя
естественным. Однако мы не будем углубляться в специальные вопро-
вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функци-
функционала C) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования
и исследования локальных экстремумов.
Покажем, что функционал C) является дифференцируемым отобра-
отображением и найдем его дифференциал.
Заметим, что функцию C) можно рассматривать как композицию
отображения
F1:CW([a,b],R)-+C([a,b],R), D)
задаваемого формулой
F1(f)(x) = L(xJ(x),f'(x)), E)
и последующего отображения
Ь
С([а,Ь],Щ Эд^ F2{g) = Jg{x)dx e К. F)
о
Отображение F2 в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и
непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.
Покажем, что отображение Fi тоже дифференцируемо, причем
F[(f)h(x) = d2L{x, f(x), f(x))h(x) + dsL(x, f(x), f'(x))h'(x) G)
eCW{[a,b];R).
Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном прираще-
110 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
нии в нашем случае можно записать, что
L{ul+A\u2 + А2,и3 + А3) - L{u\u2,u3) -
з
дЦ\23)Аг ^ sup
d2L{u + в А) - d2L{u),d3L{u + в A) - d3L{u))\\ ■ \A\ ^
^ 3 max \dtL{u + ви) - дгЫи)\ ■ max |Дг|, (8)
^ o<e<i ' v > ч л 1=1,2,3 ' '
t=l,2,3
и = (u1,^2,^3) и А = (А1,А2,А3).
Если теперь вспомнить, что в С^([а,Ь],Ж) норма |/|сA) функции /
есть тах{|/|с, |/'|с} (где |/|с есть максимум модуля функции на отрез-
отрезке [а,Ь]), то, полагая и1 = х, и2 — /(ж), и3 = /'(ж), А1 = 0, А2 = h(x) и
А3 = h'(x), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность
функций дг1,(и1 ,и2,и3), i = 1,2,3, на ограниченных подмножествах Ш3,
получаем
max \L(x, f(x) + h{x), f'(x) + h'(x)) - L(xJ(x), f'(x)) -
- d2L(xJ(x)J'(x))h(x) - d3L{xJ{x)J\x))h\x)\ =
ПРИ \h\cw ^°-
Но это и означает, что имеет место равенство G).
В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений те-
теперь заключаем, что функционал C) действительно дифференцируем и
ь
F'(f)h = J(d2L(xJ(x),fl(x))h(x)+d3L(xJ(x)J'(x))hl(x))dx. (9)
Часто рассматривается ограничение функционала C) на аффинное
пространство тех функций / G С^1\[а,Ь],Ж), которые на концах отрез-
отрезка [а, Ь] принимают фиксированные значения /(а) = A, f(b) — В. В этом
случае функции h из касательного пространства TCi должны на кон-
концах отрезка [а, Ь] иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9)
интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, мож-
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 111
но привести к виду
6
F\f)h = fidzLix, fix), f{x)) - ^-дзЦх, fix), fix))hix) dx, A0)
разумеется, уже в предположении, что L и / принадлежат соответству-
соответствующему классу С^2\
В частности, если / — точка экстремума (экстремаль) такого фун-
функционала, то, согласно теореме 2, F'(f)h = 0 при любой функции h Е
€ С^{[а,Ь],Ш) такой, что h(a) = h(b) = 0. Отсюда и из A0) нетрудно
заключить (см. задачу 3), что функция / должна удовлетворять урав-
уравнению
ЪЦх, f{x), fix)) - £<ЗДЖ, fix), fix)) = 0. A1)
Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном исчисле-
исчислении уравнением Эйлера-Лагранжа.
Рассмотрим теперь конкретные примеры.
Пример 2. Задача о кратчайшей.
Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две фиксиро-
фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину.
Ответ в данном случае очевиден, и он скорее послужит контролем
над следующими формальными выкладками.
Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система
координат, в которой указанными точками являются, например, точки
@,0) и A,0). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, ко-
которые являются графиками функций / Е С^ЦО, 1],К), принимающих
на концах отрезка [0,1] нулевые значения. Длина такой кривой
A2)
зависит от функции / и является функционалом рассмотренного в при-
примере 1 типа. В данном случае функция L имеет вид
112 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому необходимое условие экстремума A1) здесь сводится к урав-
уравнению
d ( f'(x)
f-1/y* I /* ■ / * f \ О / \" I *
из которого следует, что на отрезке [0,1]
= const. A3)
Поскольку функция , и д нигде не постоянна, то A3) возможно
v 1 + uz
лишь при условии, что f'{x) = const на [a,b]. Таким образом, гладкая
экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график ко-
которой проходит через точки @,0), A,0). Отсюда следует, что f(x) = О,
и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки.
Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска.
Эта классическая, поставленная в 1696 г. Иоганном (первым) Бер-
нулли, задача о брахистохроне состоит в отыскании формы желоба,
вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за
кратчайшее время переходит из заданной точки Pq в другую фиксиро-
фиксированную точку Pi, расположенную на более низком уровне.
Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать,
что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной верти-
вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения.
В вертикальной плоскости, проходящей через точки Pq, Pi, введем
прямоугольную систему координат так, чтобы точка Pq была ее нача-
началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Pi имела
положительные координаты {x\,yi). Форму желоба будем искать толь-
только среди графиков, заданных на отрезке [0, х{\ гладких функций, удо-
удовлетворяющих условиям /@) = 0, f(x{) = y\. На исследовании этого от-
отнюдь не бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см.
задачу 4).
Если частица начинала свое движение из точки Pq с нулевой скоро-
скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе
координат запишется в виде
A4)
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 113
Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле
ds = ^(dxJ + {dyJ = VT+ (Я2(ж) dx, A5)
найдем время
движения вдоль траектории, заданной графиком функции у — f(x) на
отрезке [0, х\].
Для функционала A6)
поэтому необходимое условие экстремума (И) в данном случае сводит-
сводится к уравнению
из которого следует, что
A7)
где с—отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной верти-
вертикали!).
С учетом A5) уравнение A7) можно переписать в виде
Однако с геометрической точки зрения
dx dy
- = coS¥>, ^=sin^, A9)
где ip — угол между касательной к траектории и положительным на-
направлением оси абсцисс.
Сравнивая уравнение A8) со вторым из уравнений A9), находим
х = -2 sin2 (p. B0)
114 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но из A9) и B0) следует, что
dy dy dx dx d /sin2<z>\ sin2<z>
dip dx dip dip dip \ cz / <r
откуда находим
2
у =—{2ip - sin2ip) + b. B1)
Полагая 2/c2 =: а и 2<р =: t, запишем соотношения B0) и B1) в виде
х = аA — cost),
B2)
у = аA — sint) + Ъ.
Поскольку а ф 0, то х = 0 лишь при t = 2/с7г, к е Z. Из вида
функций B2) следует, что без ограничения общности можно считать,
что точке Pq = @,0) отвечает значение t = 0 параметра t. В этом
случае Ъ — 0, и мы приходим к более простой форме
х = а(\ — cost),
^ B3)
у = аA — sint)
параметрического задания искомой кривой.
Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в ис-
исходной точке Pq точку возврата с вертикальной касательной. Посто-
Постоянная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы
кривая B3) прошла также через точку Р\. Такой выбор, как можно за-
заметить, нарисовав кривую B3), вовсе не всегда является однозначным,
и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума A1),
вообще говоря, не является достаточным. Из физических соображений,
однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует от-
отдать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым вычи-
вычислением) .
Задачи и упражнения
1. Пусть f: U -> Y—отображение класса C^(U;Y) открытого под-
подмножества U нормированного пространства X в нормированное простран-
пространство Y. Пусть отрезок [х, х + h] полностью содержится в U, и в точках ин-
интервала ]х, х + h[ функция / имеет дифференциал (п + 1)-го порядка, причем
; М в любой точке £ £]х, х + h[.
§6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 115
а) Покажите, что функция
g(t) = f(x + th) - (f(x) + f'(x)(th) + . l()
n!
определена на отрезке [0,1] С К, дифференцируема на интервале ]0,1[ и при
любом t e]0,1[ справедлива оценка
\\g\t)\\ ^ ±M\th\n\h\.
b) Покажите, что \дA) - д@)\ < (n^
c) Докажите следующую формулу Тейлора:
f(x + h)~ (f(x) + f'(x)h + ... + ^/(п)(Фп
d) Что можно сказать об отображении f:U -> Y, если известно, что
)
2. а) Если n-линейный симметрический оператор А таков, что Ахп — О
для любого вектора х 6 X, то A(xi,... ,хп) = 0, т.е. оператор А равен нулю
на любом наборе ц,... ,хп векторов из X.
b) Если отображение f:U—>Y имеет в точке х £ U n-й дифференциал
f(n\x) и удовлетворяет условию
f(x + h)=Lo + Lih + ... + -fLnhn + a(h)\h\n,
где Lt, i = 0,1,... ,n суть г-линейные операторы, a a(h) —> 0 при h —> 0, то
L, = fM(x), г = 0,1,...,п.
c) Покажите, что из наличия приведенного в предыдущей задаче разложе-
разложения функции /, вообще говоря, еще не вытекает наличие n-го дифференциала
/("'(я) (при п > 1) у этой функции в точке х.
d) Докажите, что отображение C(X;Y) эАн A~l £ C(X;Y) в области
своего определения является бесконечно дифференцируемым, причем
3. а) Пусть ip e C([a,b],R). Покажите, что если для любой функции h e
£ С^([а,Ь],Ж) такой, что h(a) = h(b) — 0, выполняется условие
ъ
\ ip(x)h(x) dx = 0, то у(х) = 0 на [а,Ь].
а
Ъ) Выведите уравнение A1) Эйлера-Лагранжа как необходимое условие
экстремума функционала C), ограниченного на множество функций / £
£ СB\[а, Ь], Ж), принимающих на концах отрезка [а, Ь] заданные значения.
5-4574
116 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Найдите форму у = f(x), а ^ х ^ Ь, меридиана той поверхности вра-
вращения (вокруг оси Ох), которая имеет наименьшую площадь среди всех по-
поверхностей вращения с окружностями заданного радиуса га, Гь в сечениях
поверхности плоскостями х — а, х = Ь соответственно.
5. а) Функция L в задаче о брахистохроне не удовлетворяет условиям при-
примера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было в
данном случае неоправданным. Покажите, повторив с нужными видоизмене-
видоизменениями вывод формулы A0), что она и уравнение A1) остаются в силе и в
рассматриваемом случае.
b) Изменится ли уравнение брахистохроны, если частица стартует из точ-
точки Pq с отличной от нуля начальной скоростью (движение происходит без
трения в закрытой трубке)?
c) Покажите, что если Р— произвольная точка брахистохроны, отвеча-
отвечающей паре точек Ро, Pi, то дуга этой брахистохроны от Pq до Р является
брахистохроной пары Pq, P.
d) Допущение о том, что брахистохрона, отвечающая паре точек Pq, Pi,
может быть записана в виде у = f(x), как выяснилось из окончательных фор-
формул B3), не всегда оправданно. Покажите, используя результат задачи с), что
вывод формул B3) можно провести и без подобного предположения о глобаль-
глобальном устройстве брахистохроны.
e) Расположите точку Pi так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi брахисто-
брахистохрона в системе координат, которая была введена в примере 3, не могла быть
записана в виде у = f(x).
f) Расположите точку Pi так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi брахистохро-
брахистохрона в системе координат примера 3 имела вид y=f(x), причем / $■ С^1 ([а, Ь], Ж).
Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас функцио-
функционал A6) имеет на множестве С^([а,Ь],Ж) нижнюю грань, но не имеет мини-
минимума.
g) Покажите, что брахистохрона пары точек Ро, Pi пространства является
плоской кривой.
6. Удаление d(Po,Pi) точки Ро пространства от точки Pi в однородном
гравитационном поле будем измерять временем движения материальной ча-
частицы по брахистохроне, отвечающей паре Ро, Pi.
a) Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Ро от фиксированной
вертикальной прямой.
b) Найдите асимптотику функции d(Po,Pi), когда точка Pi поднимается
по вертикали, приближаясь к уровню высоты точки Ро.
c) Выясните, является ли функция d(Po,Pi) метрикой.
§ 7. Общая теорема о неявной функции
В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в
ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследо-
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 117
вания неявно заданной функции. Представление о содержании и месте
теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже
имеет из гл. VIII, поэтому мы не останавливаемся здесь на предваряю-
предваряющих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей
раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом,
опирающимся на принцип сжимающих отображений. Этот метод ча-
часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной
эффективности.
Теорема. Пусть X, Y, Z — нормированные пространства (на-
(например, Rm, W1, Rk), причем Y —полное пространство; W = {(х,у) €
£ X х Y | \х — хо\ < а Л\у — уо\ < /3} — окрестность точки (хо,уо) в
произведении X х Y пространств X, Y.
Если отображение F: W —>■ Z удовлетворяет условиям:
2. F(x,y) непрерывно в точке (хо,уо);
3. F'(x,y) определено в W и непрерывно в (хо,уо);
4. Fy(xo,yo)—обратимый1' оператор,
то найдутся окрестность U = U(xo) точки xq в X, окрестность
V = V(yo) точки уо в Y и отображение f: U —> V такие, что:
1'. U х V С W;
2'. (F{x,у) = 0 в U х V) & (у = f(x), где х Е U, a f{x) € V);
3'- уо = f(xo);
4'. / непрерывно в точке xq.
По существу, теорема утверждает, что если линейное отображе-
отображение F' обратимо в точке (условие 4), то в окрестности этой точки
соотношение F(x, у) — 0 равносильно функциональной зависимости
у = f(x) (заключение 2').
А 1° Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности
рассмотрения можно считать, что xq = 0, уо = 0 и, следовательно,
W = {{x,y) eXxY\ \х\<аЛ\у\ </?}.
2° Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомогатель-
вспомогательное семейство отображений
gx(y):=y-{Fy{W))-l-F{x,y), A)
»То есть Э^Ого^о] е C(Z;Y).
118 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
зависящих от параметра х Е X, \х\ < а, и определенных на множестве
{у е Y | \у\ < /?}.
Обсудим формулу A). Прежде всего выясним, корректно ли опре-
определены отображения дх и где лежат их значения.
При (х, у) Е W определено отображение F, значение F(x, у) которо-
которого на паре (х, у) лежит в пространстве Z. Частное производное отобра-
отображение Fy(x,y) в любой точке (х, у) Е W, как мы знаем, есть линейное
непрерывное отображение пространства Y в пространство Z.
По условию 4 отображение F' @,0): Y —>■ Z имеет непрерывное
обратное отображение (F'@,0)): Z —>■ Y. Значит, композиция
{Fy@,0)) • F(x,y) действительно определена и ее значения лежат в
пространстве У.
Итак, при любом х из сс-окрестности Вх@, а) := {х £ X \ \х\ < а}
точки 0 G X дх есть отображение дх: By @, j3) —> Y /3-окрестности
By @,f3) := {у Е Y | \у\ < /3} точки 0 € У в пространство Y.
Связь отображений A) с задачей разрешения относительно пере-
переменной у уравнения F(x, у) = 0 состоит, очевидно, в том, что точка ух
является неподвижной точкой отображения дх тогда и только тогда,
когда F(x,yx) =0.
Зафиксируем это важное наблюдение:
9х(Ух)=Ух <=^ F{x,yx)=0. B)
Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функ-
функции у = ух — j'(x) сводится к отысканию неподвижных точек отобра-
отображений A) и исследованию их зависимости от параметра х.
3° Покажем, что существует положительное число 7 < min{o;,/3}
такое, что при любом х Е X, удовлетворяющем условию \х\ < j < a,
отображение дх: By@,j) -> Y шара By@,j) :— {у E Y \ \у\ < j < 0)
в Y является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не
превосходящим, например, числа 1/2. Действительно, при любом фик-
фиксированном х Е Вх@,а) отображение gx: By @,C) —> Y дифферен-
дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании
композиции отображений, причем
g'x(y) = eY-(Fy@,0))-1-(Fy(x,y)) =
= (F^@,0))-l(F^0,0)-F^x,y)). C)
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 119
В силу непрерывности F'y(x,y) в точке @,0) (условие 3) найдется
такая окрестность {(х,у) Е X х Y \ \х\ < j < а Л |у| < j < /?} точки
@,0) Е X х У, в которой
УЛу)\\ < Надо))-1!! ■ ||^(о,о) -^(х,у)|| < 1. D)
Здесь мы пользуемся тем, что (i^@,0)) £ C(Z;Y), т.е. тем, что
1
Всюду дальше будем считать, что \х\ < j и |у| < 7> поэтому имеет
место оценка D).
Таким образом, при любом х Е Bx@,j) и любых yi,y2 £ By@,j)
по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь,
что
\9хЫ) - 9хЫ\ < SUP У(О\\\У1-У2\<^\У1-У2\- E)
][ z
4° Для того, чтобы утверждать существование неподвижной точ-
точки ух отображения дх, нам надо иметь такое полное метрическое прост-
пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может,
и не на себя).
Проверим, что
для любого числа е, удовлетворяющего условиям 0 < е < j, най-
найдется такое число S = 6(е) из интервала ]0,7[, что при любом х Е
£ Bx{0, S) отображение дх преобразует замкнутый шар Ву@, е) в се-
себя, т.е. gx(BY@,e)) С Ву@,е).
Действительно, сначала по е подберем число 6 £]0, j[ так, чтобы при
\х\ < 5 иметь
|$х@)| = К^^О)) -F(x,0)\ < \\(Щ0,0))-Ц\Р(х,0)\ < \е. F)
Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых
F@,0) = 0 и F(x,y) непрерывно в точке @,0).
Если теперь \х\ < 6(е) < j и |у| ^ е < j, то из E) и F) получаем
Ыу)\ < Ыу) - 9х@)\ + \дх@)\ < -\у\ + -е < е,
и, значит, при \х\ < 6(е)
gx(By@,e))cBY@,e). G)
120 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Как замкнутое подмножество полного метрического пространст-
пространства Y замкнутый шар Ву@,е) сам является полным метрическим прос-
пространством.
5° Сопоставляя соотношения E) и G), на основании принципа не-
неподвижной точки (см. гл. IX, § 7) теперь можно утверждать, что при
каждом х £ Вх@,6(е)) =: U найдется единственная точка у = ух =
=: f(x) Е Ву@,е) =: V, которая является неподвижной точкой отобра-
отображения дх: В у @, е) ->■ Ву@, е).
В силу основного соотношения B) отсюда следует, что так постро-
построенная функция /: U —>■ V уже обладает свойством 2', а значит, и свой-
свойством 3', поскольку F@,0) = 0 по условию 1.
Свойство 1' окрестностей U и V следует из того, что по построению
U xV С Вх@,а) х Ву(О,0) = W.
Наконец, непрерывность функции у = f(x) в точке х = 0, т.е.
свойство 4', следует из 2' и того, что, как было показано в п. 4° до-
доказательства, для любого числа е > 0 (е < 7) найдется такое чи-
число 6(е) > 0 F(е) < 7)> что ПРИ любом х Е Bx@,S(e)) выполнено
дх(Ву@, е)) с By@, е), т. е. единственная неподвижная точка ух = f(x)
отображения дх: Ву@,е) —> Ву@,е) при \х\ < б(е) удовлетворяет усло-
условию \f(x)\ < e. ►
Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем те-
теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свой-
свойствами исходной функции F.
Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в до-
дополнение к условиям 2, 3 теоремы известно, что отображения F :
W —> Z и F' непрерывны не только в точке (хо,уо), но и в некоторой
ее окрестности, то найденная функция f:U^V будет непрерывна
не только в точке xq E U, но и в некоторой ее окрестности.
М Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения
£(Y;Z) 3i4 A~l E £(Z;Y) (см. пример 6 из § 3) заключаем, что
в каждой точке (х,у) некоторой окрестности точки (хо,уо) оператор
fy(x,y) E C(Y;Z) является обратимым. Таким образом, при наличии
сделанного дополнительного предположения о непрерывности F все
точки (х,у) вида (x,f(x)) из некоторой окрестности точки (^о»Уо) удо-
удовлетворяют условиям 1-4, которым раньше удовлетворяла только точ-
точка (хо,уо).
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 121
Повторив построение неявной функции в окрестности любой из
этих точек (ж, у), мы получили бы функцию у = f(x) непрерывную в х
и в силу 2' совпадающую с функцией у = f(x) в некоторой окрестности
точки х. Но это и означает, что функция / непрерывна в х. ►
Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции). Ес-
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности W
точки (хо,уо) существует также частная производная F'x{x,y), не-
непрерывная в точке (хо,уо), то функция у = f(x) дифференцируема в
точке хо, причем
f'(x0) = -(F^yo))-1 ■ (КЫ,Ш))- (8)
■4 Проверим непосредственно, что линейный оператор L E £{X; Y),
стоящий в правой части формулы (8), действительно является диффе-
дифференциалом функции у = f(x) в точке xq.
Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что xq = 0 и
уо = 0, поэтому /@) = 0.
Проведем сначала предварительный подсчет
\f(x)-f@)-Lx\ = \f(x)-Lx\ =
,0))1| \(F(x,f(x)) - F@,0) - F'x@,0)x -
где а{х, у) -> О при (х, у) -)■ @,0).
Эти соотношения написаны с учетом того, что F(x,f(x)) = 0, и
того, что непрерывность частных производных отображений Fx, F' в
точке @,0) обеспечивает дифференцируемость функции F(x, у) в этой
точке.
Положим для удобства записи а := \\L\\ и Ь := ]j(JP^@,0)—11|.
Учитывая, что
|/(ж)| = \f{x) -Lx + Lx\ < \f(x) - Lx\ + \Lx\ < \f{x) - Lx\ + a\x\,
проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и
получить, что
\f(x) - Lx\ < ba(x, f(x))((a + l)\x\ + \f(x) - Lx\),
122 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
Ввиду непрерывности / в точке х = 0 и того, что /@) = 0, при
х ->• 0 также /(х) ->• 0, поэтому а(х, f(x)) —> 0 при х —> 0.
Значит, из последнего неравенства следует, что
\f(x)-f@)-Lx\ = \f(x)-Lx\ = o(\x\) при ж->0. ►
Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемости неявной фун-
функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в ок-
окрестности W точки (хо,уо) существуют и непрерывны частные про-
производные отображения Fx, F'y, то в некоторой окрестности точки Xq
функция у = f(x) непрерывно дифференцируема и ее производное ото-
отображение вычисляется по формуле
/'(*) = -(FfaJix)))-1 ■ (Fx(x,f(x))). (9)
•4 То, что в индивидуальной точке х, в которой оператор Fy(x, f(x))
обратим, производное отображение f'{x) существует и выражается в
виде (9), нам уже известно из формулы (8).
Остается проверить, что при сделанных предположениях функция
f'(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х = xq.
Билинейная функция (А, В) ь-> А ■ В — произведение линейных опе-
операторов А, В — является непрерывной функцией.
Оператор В = —F^(x,f(x)) непрерывно зависит от х как компози-
композиция непрерывных функций х к» (х, f(x)) к» — F'x(x, f(x)).
То же самое можно сказать о линейном операторе A~l = F'(x,f(x)).
Остается вспомнить (см. пример 6 из § 3), что отображение А~1 ь-> А
также непрерывно в области своего определения.
Таким образом, задаваемая формулой (9) функция f'(x) непрерывна
в некоторой окрестности точки х = xq как композиция непрерывных
функций. ►
Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее об-
общее
Утверждение. Если в дополнение к условиям теоремы о неявной
функции известно, что функция F принадлежит классу ^
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 123
то определяемая уравнением F(x,y) = 0 неявная функция у = f(x)
принадлеотит классу C^k'(U, Y) в некоторой окрестности U точки хо.
М При к — 0 и к = 1 утверждение уже доказано. Общий случай
может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заме-
заметить, что отображение C(Y;Z) Э А н* А е £(Z;Y) (бесконечно)
дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая
часть всегда содержит производные от / на один порядок более низкие,
чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование
равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функ-
функции F. ►
В частности,если
то
f'{x){hxM) = -
= {F'y{x,f{x)))-l{{F''x{x,f{x)) +F''y{x,f{x))f{x))h2) x
x (FyixJix^r'F^xJix))^ - (FyixJix)))-1 x
x ((F^x(x,f(x)) + Ky(x,f(x))f'(x))h1)h2.
В менее подробной, но более обозримой записи это означает, что
f"(x)(huh2) = (^)-1[((F;i + F^n
Так можно было бы в принципе получить выражение для произ-
производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже
из формулы A0), эти выражения в общем случае слишком громоздки,
чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как кон-
конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае,
„„__„ у тат v lffn 7 1ВП
когда л. — ]к ,т — ]к,л — н. .
124 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае отображение z — F(x, у) имеет координатное пред-
представление
z1 = F\x\...,xm,y\...,yn),
(И)
Частные производные отображения Fx E £(Rm;Rn), Fy E £(En;
задаются матрицами
(dF1 dF± \ ( 9F± F±
'дхт • • • дх™ \ I W7 '" дУп
, п=\
dF" 8Fn I \ dF" dF"
дх1 ' ' " дхт ' \ ду1 ' ' ' ду"
вычисленными в соответствующей точке (х, у).
Непрерывность F'x и F' как нам известно, равносильна непрерыв-
непрерывности всех элементов указанных матриц.
Обратимость линейного преобразования Fy(xo,yo) € £(Mn;Rn) рав-
равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной фун-
функции утверждает, что если
2) Fl(x1,... ,хт,у1,... ,уп), г = 1,... ,п, — функции, непрерывные в
точке \х0,... ,Xq ,уо,... ,Уо) tz к. х i& ,
3) все частные производные ^-(х1,...,хт, у1,...,уп), i = 1,...,п,
9у°
j — 1,..., п, определены в окрестности точки (х\,..., Xq1, у\,..., уд) и
непрерывны в самой этой точке;
4) в точке (хЪ,...,х]?,уЪ,...,у%) определитель
dF1 8F1
матрицы Fy отличен от нуля, то найдутся окрестность U точки xq =
= (xq, ...,х™) в Em, окрестность V точки уо = (Уо' • • •»Уо) в ^" и ото'
бражение /: U -> Y, имеющее в данном случае координатное пред ста-
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 125
вление
'....'.....' A2)
уп = Г(х\...,хт),
такие, что:
1') в пределах окрестности U х V точки ix\,... ,x™,yQ,... ,у$) Е
£ Шт х Шп система уравнений
Flix\...,xm,y\...,yn) = О,
Fnix\...,xm,y\...,yn) = О
равносильна функциональной зависимости /: U —>• V, выраженной ра-
равенствами A2);
,.п _ tnlrA. „т\.
Уо — J \х0' • • ■' хо /'
3') отображение A2) непрерывно в точке (ггд,• • •,^o\Уо,■ ■ ■,Уо)-
Если же, сверх того, известно, что отображение A1) принадлежит
классу гладкости С^к\ то, как следует из приведенного выше утвер-
утверждения, отображение A2) также будет принадлежать классу С^к\ ра-
разумеется, в соответствующей своей области определения.
Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превра-
превращаясь в матричное равенство
dF1 dF]
ду1 ■■■ ду"
. 3F" dFn ] \ dFn dFn
ё&Г • • • дхт I \ ду1 ' ' - дуп ) \ ЩТ ■ • ■ дхт
в котором левая часть вычисляется в точке (ж1,... ,хт), а правая —в
соответствующей точке (ж1,..., хт, у1,..., уп), где уг = /'(ж1,..., хт),
i = l,...,n.
Если п = 1, т.е. когда решается относительно у уравнение
F(x\...,xm,y) = 0,
матрица F' состоит из одного элемента — числа ^-(гг1,... ,хт, у). В
этом случае у = fix1,..., хт) и
df_ J>1_\ __ fdF\~l(dF dF
126 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формула A0) в этом случае также несколько упрощается, точнее,
может быть переписана в следующем более симметричном виде:
ГЪХММ —
\ у)
Если же ип = 1, и т — 1, то у = f(x) есть вещественнозначная
функция одного числового аргумента, и формулы A3), A4) предельно
упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства
/'(*) = -%(х,у),
Г{х) = _A+v
для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнени-
уравнением F(x,y) = 0.
Задачи и упражнения
1. а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией f:U—tY
нашлась функция f:U—>Y, определенная в некоторой окрестности U точ-
точки х0 и удовлетворяющая условиям у0 = f(xo) и F(x, f(x)) e0b[/. Докажите,
что если / непрерывна в х0, то в некоторой окрестности точки хо функции /
и / совпадают.
Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности / в х$ утвержде-
утверждение а, вообще говоря, неверно.
2. Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции
и дополнений к ней и покажите, что:
a) Если z = F(x,y) непрерывно дифференцируемая комплекснозначная
функция комплексных переменных х, у, то определяемая уравнением F(x, у) =
= 0 неявная функция у = f(x) будет дифференцируемой по комплексному пе-
переменному х.
b) В условиях теоремы пространство X не обязано быть нормированным,
а может быть любым топологическим пространством.
3. а) Выясните, симметрична ли форма /"(ar)(/ii, /12), заданная соотноше-
соотношением A0).
b) Запишите в матричном виде формы (9) и A0) для случая числовых
функций F(xl,x2,y) и F{x,yl,y2).
c) Покажите, что если К Э t и A(t) € С(Шп; W1) есть бесконечно гладко
зависящее от параметра t семейство невырожденных матриц A(t), то
dt2
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 127
— символ матрицы, обратной к матрице А = A(t).
4. а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием
условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображе-
отображений, рассмотренных в § 7 главы IX.
Ь) Пусть {At: X —> X} — семейство сжимающих отображений полного
нормированного пространства X в себя, зависящих от параметра t, который
изменяется в области fi нормированного пространства Т. Покажите, что если
At(x) = ip(t,x) является функцией класса C^n\il х X,X), то неподвижная
точка x(t) отображения At как функция t принадлежит классу С^(С1,Х).
5. а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую тео-
теорему об обратном отображении.
Пусть д: G —> X — отображение окрестности G точки уо полного норми-
нормированного пространства Y в нормированное пространство X.
Если отображение х = д{у)
1° дифференцируемо в G,
2° д'(у) непрерывно в у0,
3° д'(уо) обратимый оператор,
то найдутся окрестность V С Y точки у0 в Y и окрестность U С X
точки х0 в X такие, что g:V-¥U биективно, а обратное к нему отображение
f:U->V непрерывно в U и дифференцируемо в х0, причем
/'Ы = («7'ЫГ1-
b) Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что ото-
отображение д принадлежит классу C^n\V,U), то обратное отображение / при-
принадлежит классу C(n\U, V).
c) Пусть f :Жп —> Жп — гладкое отображение, у которого в любой точке
х £ Е™ матрица /'(х) невырождена и удовлетворяет неравенству IK/') (я) II >
> С > О с константой С, не зависящей от х. Покажите, что / — биективное
отображение.
d) Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку
радиуса той шаровой окрестности U = В(хо,г) точки хо, в которой заведомо
определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение
f:U->V.
6. а) Покажите, что если линейные отображения А € С(Х; Y) и В €
6 С(Х;Ж) такоБы, что kervl С kerjE? (ker, как обычно, символ, обозначаю-
обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение А € £(У;К),
что В = А • А.
Ъ) Пусть X и Y — нормированные пространства, а /: X —> Ж и д: X —>
->Y — гладкие функции на X со значениями в!иУ соответственно. Пусть
S—гладкая поверхность, задаваемая в X уравнением д(х) = уо- Покажи-
Покажите, что если хо € 5 — точка экстремума функции f\s, то любой вектор h,
касательный к 5 в точке хо, одновременно удовлетворяет двум условиям:
f{xo)h = 0 и g'{xo)h = 0.
128 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
c) Докажите, что если хо € S точка экстремума функции f\s, то f'{xo) =
= Х-д'(х0), гдеА€£(Г;М).
d) Покажите, как из предыдущего результата получается классический
необходимый признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой
поверхности в Жп.
7. Как известно, уравнение zn + c\zn~l +... + сп = Ос комплексными коэф-
коэффициентами имеет, вообще говоря, п различных комплексных корней. Пока-
Покажите, что корни уравнения гладко зависят от его коэффициентов, по крайней
мере, пока все корни различны.
ГЛАВА XI
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
1. Определение интеграла
а. Промежуток вРи его мера
Определение 1. Множество I = {х Е Шп \ аг ^ хг ^ Ьг, г =
= 1,... ,п} называется промежутком или координатным параллелепи-
параллелепипедом в Шп.
Если желают отметить, что промежуток определяется точками о =
= (а1,..., ап) и Ь = (б1,..., Ьп), то его часто обозначают символом 1а^
или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а ^ х ^Ь.
Определение 2. Промежутку / = {х G Шп | а1 ^ хг ^ Ьг, г =
п
= 1,..., п} ставится в соответствие число |/| := Д (Ьг — аг), называемое
г=1
объемом или мерой промежутка.
Объем (меру) промежутка / обозначают также символами v(I) или
Лемма 1. Мера промежутка в Шп
а) однородна, т. е. если \1а,ь '= 1\а,\ь> где А ^ 0; то
Ь) аддитивна, т. е. если промежутки I, Д,..., 1^ таковы, что I =
к
= (J 1г и промежутки 1\,... ,/& попарно не имеют общих внутренних
130 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
к
точек, то \1\ = £ |/,|;
»=1
с) если промежуток I покрыт конечной системой промежутков
к к
h,...,Ik, т.е. 1С U^, то |/| < £ |/,|.
1=1 i=i
Все эти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2.
Ь. Разбиение промежутка и база в множестве разбиений.
Пусть задан промежуток / = {х G Шп | аг ^ хг ^ Ьг, i = 1,... , п}. Раз-
Разбиения координатных отрезков [аг,Ы], г = 1,..., п, индуцируют разби-
разбиение промежутка / на более мелкие промежутки, получающиеся пря-
прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных
отрезков.
Определение 3. Описанное представление промежутка / (в виде
к
объединения I — \J I] более мелких промежутков Ij) будем называть
.7 = 1
разбиением промежутка I и обозначать символом Р.
Определение 4. Величина \{Р) := max d(L) (максимального из
l^j^fc
диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разби-
разбиения Р.
Определение 5. Если в каждом промежутке Ij разбиения Р фик-
фиксирована некоторая точка £j € 13, то говорят, что имеется разбиение с
отмеченными точками.
Набор {£i,... ,£fc}, как и прежде, будем обозначать одним симво-
символом £, а разбиение с отмеченными точками — символом (Р, £).
В множестве V = {(Р, £)} разбиений с отмеченными точками про-
промежутка / вводится база А(Р) —> 0, элементы Bd (d > 0) которой, как
и в одномерном случае, определяются соотношением Bd := {(Р,0 ^ Ф I
\{Р) < d}.
То, что В = {Bd} — действительно база, следует из существования
разбиений с параметром А(Р), сколь угодно близким к нулю.
с. Интегральная сумма и интеграл. Пусть / —> Ш—веществен-
нозначная1) функция на промежутке /, а Р = {ii,..., Ik} — разбиение
^Обратите внимание на то, что в последующих определениях можно было бы счи-
считать, что значения / лежат в любом линейном нормированном пространстве. На-
Например, это могут быть пространство С комплексных чисел, пространства R", С™.
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 131
этого промежутка с отмеченными точками £ = {£i,... ,£&}.
Определение 6. Сумма
к
t=i
называется интегральной суммой (Римана) функции /, соответствую-
соответствующей разбиению (Р, £) с отмеченными точками промежутка /.
Определение 7. Величина
если указанный предел существует, называется интегралом (Римана)
от функции f на промежутке I.
Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс постро-
построения интеграла на промежутке / С 1" дословно повторяет уже зна-
знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на отрезке. Для
большего сходства мы даже оставили прежний вид f(x)dx подынте-
подынтегрального выражения. Равносильные, но более развернутые обозначе-
обозначения интеграла таковы:
f f{x\...,xn)dx1-...- dxn или [■■■ f f(x\...,xn)dx1-...- dxn.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной
области /, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной
и т. д. в соответствии с размерностью /).
d. Необходимое условие интегрируемости
Определение 8. Если для функции f-.I—^Ш указанный в опреде-
определении 7 конечный предел существует, то / называется интегрируемой
(по Риману) функцией на промежутке I.
Множество всех таких функций будем обозначать символом
Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрируе-
интегрируемости.
132 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Утверждение 1. / е 71{1) => / ограничена на I.
•4 Пусть Р — произвольное разбиение промежутка /. Если функ-
функция / неограничена на /, то она неограничена и на некотором про-
промежутке 1го разбиения Р. Если (Р, £'), (-Р, £")—разбиения Р с такими
отмеченными наборами точек, что £' и £" отличаются только выбором
точек £'го, £" в промежутке 1го, то
Меняя одну из точек £' , £" , при неограниченности /в/,0, мы могли
бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой.
В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы фун-
функции / не имеют предела при А(Р) —> 0. ►
2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили
читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования инте-
интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот крите-
критерий.
а. Множество меры нуль в Шп
Определение 9. Говорят, что множество Е ЕШп имеет (п-мер-
ную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега),
если для любого е > 0 существует покрытие множества Е не более чем
счетной системой {1г} n-мерных промежутков, сумма J^|/i| объемов
которых не превышает е.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества ме-
меры нуль.
b) Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль
есть множество меры нуль.
c) Подмножество множества меры нуль само есть множество ме-
меры нуль.
d) Невырожденный промежуток1^ 1а$ С Шп не является множест-
множеством меры нуль.
есть такой промежуток 1а,ь = {i 6 R" | о' < i' ^ 61, г = 1,... ,п}, что при
любом значении г е {1,..., п} имеет место строгое неравенство а1 < Ъг.
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 133
Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее
одномерного варианта, рассмотренного з п. 3d, § 1, гл. VI, поэтому мы
на нем не останавливаемся.
Пример 1. Множество рациональных точек в Шп (точек, все ко-
координаты которых рациональны) счетно и потому является множест-
множеством меры нуль.
Пример 2. Пусть /: / —> Ш — непрерывная вещественнозначная
функция, определенная на (п — 1)-мерном промежутке / С М"". Пока-
Покажем, что ее график в W1 есть множество n-мерной меры нуль.
•4 Поскольку функция / равномерно непрерывна на /, то по е > О
найдем 6 > 0 так, чтобы для любых точек х\,Х2 6 / при условии
|xi — жг| < 5 иметь |/(a;i) — f(x2)\ < £■ Если теперь взять разбиение
Р промежутка / с параметром Х(Р) < 6, то на каждом промежутке It
такого разбиения колебание функции / будет меньше е. Значит, если
хг — произвольная фиксированная точка промежутка 1г, то п-мерный
промежуток I, = /, х [f (хг) — е, f (хг) + е], очевидно, содержит всю часть
графика функции /, которая лежит над промежутком 1г, а объедине-
объединение \_}1г промежутков 1г покрывает весь график функции / над /. Но
г
«1 = Т.Ш • 2е = 2е171 (здесь |/,| — объем 1г в Е", |/,|— объем 1г
i г
в W1). Таким образом, уменьшая е, действительно можно общий объем
покрытия сделать сколь угодно близким к нулю. ►
Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с приме-
примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции
/: !Rn-1 -> IK или непрерывной функции /: М -> М, где М С Шп~1
является множеством n-мерной меры нуль в К".
Лемма 3. а) Класс множеств меры нуль не изменится от того,
понимать ли в определении 9 покрытие множества Е системой про-
промежутков {1г} в обычном смысле, т. е. считая Е c\JIu или в более
г
жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была вну-
внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия1^.
''Иными словами, все равно, иметь ли в виду в определении 9 замкнутые или
открытые промежутки.
134 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Компакт К в Шп является множеством меры нуль в том и
только в том^ случае, если для любого е > 0 существует конечное
покрытие К промежутками, сумма объемов которых меньше е.
•4 а) Если {1г} — покрытие множества Е, т.е. Е С [Jit, причем
г
^ \h\ < £, то, взяв вместо каждого промежутка 1г гомотетичный ему
г
относительно его центра промежуток 1г, получим систему промежут-
промежутков {1г} такую, что ^2 \h\ < ^п£> гДе А — общий для всех промежутков
коэффициент гомотетии. Если А > 1, то, очевидно, система {1г} будет
покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней
точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.
Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из
любого открытого покрытия компакта К. (В качестве такого покры-
покрытия может выступать система {1г\ д1г} открытых промежутков, полу-
получаемая из рассмотренной в а) системы {/г}.) ►
Ь. Одно обобщение теоремы Кантора. Напомним, что колеба-
колебанием функции /: Е —> R на множестве Е мы назвали величину
ш(/;Е):= sup \f(xi) — f(x2)\, а колебанием функции в точке х € Е—
величину cv(f; х) :== lim cu(f; Ut(x)), где Ug{x) — ^-окрестность точки х
6—>о
в множестве Е.
Лемма 4. Если в каждой точке компакта К для функции f :
К —> К имеет место соотношение ш(/; х) ^ ujq, то для любого е > О
найдется 6 > 0 такое, что для любой точки х € К будет выполнено
неравенство ш(/; 11^(х)) < шо + е.
При шо = 0 это утверждение превращается в теорему Кантора о
равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте. До-
Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства тео-
теоремы Кантора (п. 2, § 2, гл. VI), поэтому мы на нем не задерживаемся.
с. Критерий Лебега. Как и прежде, будем говорить, что некото-
некоторое свойство имеет место почти во всех точках множества М или
выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство
может нарушаться, имеет меру нуль.
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 135
Теорема 1 (критерий Лебега). / 6 7^G) -О (/ ограничена на /)Л
Л(/ непрерывна почти всюду на I).
< Необходимость. Если / 6 7£(/), то по утверждению 1 функ-
функция / ограничена на /. Пусть |/| ^ М на /.
Проверим, что / непрерывна почти во всех точках /. Для этого
покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть мно-
множество меры нуль, то / ^TZ(I).
оо
Действительно, представив Е в виде Е = \J Еп, где Еп = {х Е
п=1
€ / | w(f;x) ^ 1/^}, на основании леммы 2 заключаем, что если Е
не имеет меру нуль, то найдется номер щ такой, что множество Епо
тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р — произвольное разбиение
промежутка / на промежутки {1г}- Разделим промежутки разбиения Р
на две группы А и В, где
Система промежутков А образует покрытие множества ЕПо. В са-
самом деле, каждая точка Епо лежит либо внутри некоторого промежут-
промежутка /г € Р, и тогда, очевидно, 1г € А, либо на границе некоторых про-
промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих
промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства тре-
треугольника) не менее чем ^-, и он войдет в систему А.
Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор £ отме-
отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять
величину интегральной суммы.
Именно, выберем наборы точек £', £" так, чтобы в промежутках
системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежут-
промежутках /г системы А точки £'г, £" выберем так, что /(£() —/(£") > д^. Тогда
Hf,P,?)-aV,P,t")\ =
Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки
системы А образуют покрытие множества ЕПо, которое по предполо-
предположению не есть множество меры нуль.
Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка /, на ос-
основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы ст(/, Р, £)
136 ГЛ XI КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
не могут иметь предел при Х(Р) —> 0, т. е. /
Достаточность. Пусть е — произвольное положительное число,
а Ее = {х € / | u>(f; х) ^ е}. По условию Е£ есть множество меры нуль.
Кроме того, Е£, очевидно, замкнуто в /, поэтому Ее —компакт.
По лемме 3 существует такая конечная система Д ,...,/& промежутков
к к к
в Rn, что Е£ С U Д и Е \Ч < е- Положим Сх = \J 1г, а через С2 и С3
t=i t=i t=i
обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков 1г
гомотетией с центром в центре 1г и коэффициентом 2 и 3 соответствен-
соответственно. Ясно, что Е£ лежит строго внутри С2 и что расстояние d между
границами множеств С2 и Сз положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежут-
промежутков, которые лежат в Сз и попарно не имеют общих внутренних точек,
не больше чем Зпе, где п — размерность пространства К". Это следует
из определения множества Сз и свойств меры промежутка (лемма 1).
Отметим также, что любое подмножество промежутка /, диаметр
которого меньше d, либо содержится в множестве Сз, либо лежит в
компакте К = 1\ (Сг \ «ЭСг), где dCi — граница С2 (и, следовательно,
Ci \ дСч, —совокупность внутренних точек множества С2).
По построению Е£ С I \ К, поэтому в любой точке х € К должно
быть о>(/; х) < е. По лемме 4 найдется число 8 > 0 такое, что для любой
пары точек xi,x% € К, удаленных друг от друга не больше чем на 6,
имеет место неравенство \f(x\) — /(жг)! < 2е.
Сделанные построения позволяют теперь следующим образом про-
провести доказательство достаточности условий интегрируемости. Берем
любые два разбиения Р', Р" промежутка / с параметрами А(Р'), Х(Р")
меньшими, чем А = min{d, 5}. Пусть Р — разбиение, полученное пере-
пересечением промежутков разбиений Р', Р", т. е. в естественных обозна-
обозначениях Р = {1гз = 1[ П /"}. Сравним интегральные суммы a(f,P,£) и
a(fiP'A')- Учитывая, что \1'г\ = ^2 \1Ч\, можно записать:
з
Здесь в первую сумму Y^,i вошли те промежутки /^ разбиения Р,
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 137
которые лежат в промежутках 1[ разбиения Р', содержащихся в множе-
множестве Сз, а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме J^2,
т.е. все они обязательно содержатся в К (ведь Х(Р) < d).
Поскольку |/| ^ М на /, заменяя в первой сумме |/(£() — /(£ij)|
величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М • 3"е.
Учитывая, что во второй сумме £'г, £^ € 1[ С К, а, Х(Р') < S, за-
заключаем, что |/(£') — f(£ij)\ < 2e, и, следовательно, вторая сумма не
превосходит 2е|/|.
Таким образом, \a(f,P',?) - a(f,P,Q\ < BМ • 3" + 2|/|)е, откуда
(ввиду равноправности Р' и Р"), используя неравенство треугольника,
получаем, что
W(f,P',Z') - <T(f,P",Z")\ < 4CnM+ |/|)e
для любых разбиений Р', Р" с достаточно малыми параметрами. В силу
критерия Коши теперь заключаем, что f e7l(I). ►
Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования преде-
предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве,
то критерий Лебега в его достаточной (но не в необходимой) части,
как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в
любом полном линейном нормированном пространстве.
3. Критерий Дарбу. Рассмотрим еще один полезный критерий
интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к ве-
щественнозначным функциям.
а. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть / — вещест-
веннозначная функция на промежутке I, а Р = {1г} — разбиение про-
промежутка /. Положим
тпг = inf f{x), Мг = sup f(x).
Определение 10. Величины
называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой
(Дарбу) функции f на промежутке I, отвечающей разбиению Р этого
промежутка.
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лемма 5. Между интегральными суммами функции /:/->!
имеют место следующие соотношения:
a) s(f,P) = inf<7(/,P,0 < <r(f,P,0 ^ mp<r(f,P,S) = S(f,P);
b) если разбиение Р1 промежутка I получается измельчением про-
промежутков разбиения Р, то «(/, Р) < «(/, Р') < S(f, Р') ^ 5(/, Р);
c) d*x любой пары Р\, Р2 разбиений промежутка I справедливо не-
неравенство s(f,P\) < S(f,P2).
М Соотношения а) и Ъ) непосредственно следуют из определений б
и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней чи-
числового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть вспо-
вспомогательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков
разбиений Р\ is.Pi- Разбиение Р можно рассматривать как измельчение
каждого из разбиений Pi, P2, поэтому из соотношений Ъ) следует, что
s(f, A) < s(f, Р) ^ 5(/, Р) < 5(/, Р2). ►
Ь. Нижний и верхний интегралы
Определение 11. Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от
функции f: I —> Ж на промежутке I называются соответственно ве-
величины
J = sups(f,P), J = m(S(f,P),
р р
где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Р
промежутка /.
Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу
следует, что для любого разбиения Р промежутка имеют место нера-
неравенства
Теорема 2 (Дарбу). Для любой ограниченной функции f: I
имеют место утверждения
3 lim s(f,P))f\( lim s(f,P)-
Л(Р)-»О / \л(р)-*°
Л I lim S(f,P)
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 139
4 Если сопоставить эти утверждения с определением 11, то стано-
становится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование указан-
указанных пределов. Проверим это для нижних интегральных сумм.
Фиксируем £ > 0 и такое разбиение Ре промежутка /, для которого
s(/, Ре) > J_ — Е. Пусть ГЕ — совокупность точек промежутка /, лежа-
лежащих на границе промежутков разбиения Ре. Как следует из примера 2,
Ге есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры множест-
множества Ге очевидно даже, что найдется число А£ такое, что для любого
разбиения Р, для которого А(Р) < А£, сумма объемов тех его проме-
промежутков, которые имеют общие точки с Г£, меньше чем е.
Взяв теперь любое разбиение Р с параметром \(Р) < Ае, образуем
вспомогательное разбиение Р\ получаемое пересечением промежутков
разбиений Р и Р£. В силу выбора разбиения Ре и свойств сумм Дарбу
(лемма 5), находим
J-E<S(f,Pc)<S(f,P')tZJ.
Теперь заметим, что в суммах s(f,P') и s(f,P) общими являются
все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р\ не заде-
задевающим Ге. Поэтому, если \f(x)\ ^ М на /, то
\s(f,P')-s(f,P)\<2Me
и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что при
\(Р) < Ае имеет место соотношение
J-s{f,P)< BМ + 1)£.
Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем,
что предел lim s(f,P) действительно существует и равен J.
А(.Р)-»0 —
Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм. ►
с. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначнои
функции
Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке I С
С Жп вещественнозначная функция f: I —» R интегрируема на нем то-
тогда и только тогда, когда она ограничена на I и ее нижний и верхний
интегралы Дарбу совпадают.
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак,
f е Щ1) <^=> (/ ограничена на I) Л (J = ~J).
■* Необходимость. Если / G Щ1), то по утверждению 1 фун-
функция / ограничена на /. Из определения 7 интеграла, определения 11
величин J\, J и п. а) леммы 5 следует, что в этом случае также J_ = J.
Достаточность. Поскольку s(f,P) ^ a(f,P,Q ^ S(f,P), то
при J_ — J крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к
одному и тому же пределу, когда А(Р) —)■ 0. Значит, ст(/, Р, £) имеет и
притом тот же предел при А(Р) —\ 0. ►
Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что ес-
если функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу
совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции.
Задами и упражнения
1. а) Покажите, что множество меры нуль не имеет внутренних точек.
b) Покажите, что если множество не имеет внутренних точек, то это вовсе
не означает, что это множество меры нуль.
c) Постройте множество, имеющее меру нуль, замыкание которого совпа-
совпадает со всем пространством Шп.
d) Говорят, что множество Е С I имеет объем нуль, если для любого
е > 0 его можно покрыть конечной системой 1\,...,/,(. промежутков так, что
к
Y^, |Л| < £■ Всякое ли ограниченное множество меры нуль имеет объем нуль?
Покажите, что если множество Е С Кп является прямым произведением
Мхе прямой Е и множества е С Шп~1 (п — 1)-мерной меры нуль, то Е есть
множество п-мерной меры нуль.
2. а) Постройте аналог функции Дирихле в Кп и покажите, что если огра-
ограниченная функция /: / -*■ Е равна нулю почти во всех точках промежутка /,
то это еще не означает, что / е Щ1).
Ъ) Покажите, что если / 6 Т1{1) и f{x) = 0 почти во всех точках проме-
промежутка /, то / /(ж) dx = 0.
/
3. Между прежним определением интеграла Римана на отрезке / С Е и
определением 7 интеграла на промежутке произвольной размерности имеется
маленькое различие, связанное с определением разбиения и меры промежутка
рачбиения. Уясните для себя Этот нюанс и проверьте, что
о
I f(x) dx= I f{x) dx, если а
<b
§2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
О
/ f(x) dx = — / f(x) dx, если а > 6,
где / — промежуток на прямой Е с концами а, 6.
4. а) Докажите, что определенная на промежутке / с I" вещественно-
значная функция /: / —> Ш интегрируема на нем тогда и только тогда, ко-
когда для любого s > 0 существует такое разбиение Р промежутка /, что
S(f,P)-.4(f,P)<e.
Ь) Используя результат а) и считая, что рассматривается вещественно-
значная функция /: / —> М, можно несколько упростить доказательство кри-
критерия Лебега в разделе, относящемся к достаточности. Постарайтесь само-
самостоятельно сделать эти упрощения.
§ 2. Интеграл по множеству
1. Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит инте-
интегрировать функции не только по промежутку, но и по другим не слиш-
слишком сложным множествам в Кп.
Определение 1. Множество Е С R™ будем называть допусти-
допустимым, если оно ограничено в W и его граница ЭЕ есть множество меры
нуль (в смысле Лебега).
Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в К3 (IR") являются допустимыми
множествами.
Пример 2. Пусть определенные на (п— 1)-мерном промежутке / е
£ Кп функции (pi: I ^ Ш, i — 1,2, таковы, что tp\(x) < ip%(x) в любой
точке х Е /. Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2
из § 1 можно утверждать, что область в R", ограниченная графиками
этих функций и боковой цилиндрической поверхностью, лежащей над
границей 81 промежутка /, является допустимым множеством в R".
Напомним, что граница ЭЕ множества Е С Ж1 состоит из точек,
в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и
точки дополнения Е в W1. Значит, справедлива
Лемма 1. Для любых множеств E,Ei,E2 С К":
a) ЭЕ — замкнутое в Шп множество;
b) d(ElUE2)
c) д{Е1ПЕ2)
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d) d(Ei\E2) ddE1UdE2.
Отсюда и из определения 1 вытекает, что имеет место
Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа допус-
допустимых мноокеств явллется допустимым множеством; разность до-
допустимых мноокеств — тоже допустимое множество.
Замечание 1. Для бесконечного количества допустимых мно-
множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и соответствую-
соответствующие утверждения Ь) и с) леммы 1.
Замечание 2. Граница допустимого множества- не только за-
замкнутое, но и ограниченное множество в R™, т.е. это— компакт в К".
Значит, по лемме 3 из § 1 ее можно покрыть даже конечной системой
промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов.
Рассмотрим теперь характеристическую функцию
1, если х е Е,
О, если х £ Е
допустимого множества Е. Как и для любого множества Е, функция
XF(X) имеет разрывы в граничных и только в граничных точках мно-
множества Е. Значит, если Е — допустимое множество, то функция Xjr(x)
непрерывна почти во всех точках пространства R™.
2. Интеграл по множеству. Пусть / — определенная на множес-
множестве Е функция. Условимся, как и прежде, символом fxE(x) обозначать
функцию, равную }(х) при х е Е и равную нулю вне Е (хотя / вне Е
не определена).
Определение 2. Интеграл от функции f по множеству Е опре-
определяется соотношением
J
J f(x)dx:= I fXt;(x)dx,
Е
где / —произвольный промежуток, содержащий множество Е.
Если стоящий в правой части равенства интеграл не существует,
то говорят, что / неинтегрируема (по Риману) на множестве Е. В
противном случае / называется интегрируемой (по Риману) на мно-
множестве Е.
§2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ 143
Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Е функций
будем обозначать символом И(Е).
Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое доставляет
Лемма 3. Если 1\ и 1ч —два промежутка, содержащие порознь
множество Е, то интегралы
I fXE(x)dx, I fxE(x)dx
существуют или не существуют одновременно, причем в первом слу-
случае их значения совпадают.
4 Рассмотрим промежуток / = Д П 1ч- По условию IDE. Точки
разрыва функции f%E либо совпадают с точками разрыва функции /
на -Б, либо проистекают от разрывов функции %Е и лежат на дЕ. Во
всяком случае, все эти точки лежат в / П 1\ П 1ч- По критерию Лебега
(теорема 1, §1) отсюда следует, что интегралы от fxE по промежут-
промежуткам /, Ilt 1ч существуют или не существуют одновременно. Если они
существуют, то мы вправе выбирать разбиения /, I\, I4 по своему усмо-
усмотрению. Будем поэтому брать только те разбиения промежутков Ii, I4,
которые получаются продолжением разбиений промежутка / = Д П h-
Поскольку вне / рассматриваемая функция равна нулю, интегральные
суммы, отвечающие описанным разбиениям 1\ и 1ч, сведутся к инте-
интегральной сумме соответствующего разбиения промежутка /. После пре-
предельного перехода отсюда получается, что интегралы по Д и 12 равны
интегралу от рассматриваемой функции по промежутку /. ►
Из критерия Лебега (теорема 1, § 1) существования интеграла на
промежутке и определения 2 вытекает
Теорема 1. Функция f: Е —> R интегрируема на допустимом
множестве тогда и только тогда, когда она ограничена и непрерывна
почти во всех точках множества Е.
■* Функция fxE по сравнению с функцией / может иметь дополни-
дополнительно точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е, которая по
условию является множеством меры нуль. ►
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3. Мера (объем) допустимого множества
Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного
множества Е С R" назовем величину
ц(Е):= jl-dx,
Е
если указанный интеграл (Римана) существует.
Поскольку
l-dx = / xE(x)dx,
Е IDE
а множество точек разрыва функции %Е совпадает с дЕ, то по крите-
критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для
допустимых множеств.
Таким образом, допустимые множества и только они являются из-
измеримыми в смысле определения 3.
Выясним теперь геометрический смысл величины [i{E). Если Е—
допустимое множество, то
КЩ = I XE(x)dx= I xE(x)dx= I XE(x)dx,
IDE ,~DE IDE
где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дар-
Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла
(теорема 3 § 1) мера [i(E) множества определена тогда и только тогда,
когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме
Дарбу (теорема 2 § 1) они являются пределами нижних и верхних инте-
интегральных сумм функции хк, отвечающих разбиениям Р промежутка /.
Но в силу определения функции хЕ нижняя интегральная сумма рав-
равна сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем
вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов
тех промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множе-
множеством Е (объем описанного многогранника). Значит, [i(E) есть общий
предел при А(Р) —> 0 объемов вписанных в £ и описанных около Е
многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме
простых тел ЁС1".
§ 2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ 145
При п = 1 объем принято называть длиной, а при п = 2 — площадью.
Замечание 3. Поясним теперь, почему вводимая определением 3
мера fi(E) множества называется иногда мерой Жордана.
Определение 4. Множество Е С К" называется множеством
меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для
любого s > 0 его можно покрыть такой конечной системой промежут-
к
vxmlh...,lk, что £ \1{\ <£.
»=1
По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось тре-
требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс мно-
множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является
множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.
Для того, чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограничен-
ограниченное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов
описанных около Е многогранников (и служила мерой fi(E) или объ-
объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница ЭЕ мно-
множества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому прини-
принимают
Определение 5. Множество Е называется измеримым в смысле
Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле
Жордана.
Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жор дану,
это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен
определением 1. Вот почему определенная выше мера ц(Е) может быть
названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по
Жор дану).
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что если множество Е с 18.™ таково, что fi(E) = 0, то и
для замыкания Е этого множества справедливо равенство у,{Е) = 0.
b) Приведите пример ограниченного множества Е меры нуль в смысле Ле-
Лебега, замыкание Е которого уже не является множеством меры нуль в смысле
Лебега.
c) Выясните, надо ли понимать утверждение Ь) леммы 3 из § 1 как то, что
для компакта понятия множества меры нуль в смысле Жордана и в смысле
Лебега совпадают.
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d) Докажите, что если проекция ограниченного множества Е С Жп на
гиперплоскость lnl имеет (п - 1)-мсрный объем нуль, то само множество Е
имеет n-мерный объем нуль.
e) Покажите, что измеримое по Жордану множество без внутренних точек
имеет нулевой объем.
2. а) Может ли существовать введенный определением 2 интеграл от не-
некоторой функции / по ограниченному множеству Е, если Е не является до-
допустимым множеством (измеримым в смысле Жордана)?
b) Интегрируема ли постоянная функция /: Е —> Ж на ограниченном, но
неизмеримом по Жордану множестве Е1
c) Верно ли, что если некоторая функция / интегрируема на множестве Е,
то ограничение /|_д, этой функции на любое подмножество А с Е множест-
множества Е является интегрируемой на А функцией?
d) Укажите необходимые и достаточные условия на функцию f: Е -* Ж,
определенную на ограниченном (но не обязательно измеримом по Жордану)
множестве Е, при которых интеграл Римана от нее по множеству Е суще-
существует.
3. а) Пусть ^-множество меры нуль в смысле Лебега, а /: Е -» К —
непрерывная и ограниченная функция на Е. Всегда ли / интегрируема на Е1
b) Ответьте на вопрос а), считая Е множеством меры нуль в смысле Жор-
Жордана.
c) Чему равен интеграл от указанной в а) функции /, если он существует?
4. Неравенство Брунна - Минковского.
Непустым множествам Л, В с 1П сопоставим их (векторную) сумму (в
смысле Минковского) А+В :— {а+Ь | а 6 A,h £ В}. Пусть V(E) — обозначение
для объема множества ЕсМ".
a) Проверьте, что если А и В стандартные n-мерные промежутки (парал-
(параллелепипеды), то
V1/n(A + B)^ V1/n(A) + V1/n(B).
b) Докажите теперь предыдущее неравенство (оно называется неравен-
неравенством Брунна - Минковского) для произвольных измеримых компактов Аи В.
c) Покажите, что неравенство Брунна - Минковского переходит в равен-
равенство лишь в следующих случаях: когда V(A+B) = 0; когда А и В одноточечны;
когда Аи В выпуклые гомотетичные тела.
§3. Общие свойства интеграла
1. Интеграл как линейный функционал
Утверждение 1. а) Множество 7t(E) функций, интегрируемых
по Риману на ограниченном множестве Е С W1, является линейным
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
пространством относительно стандартных операций сложения фун-
функций и умножения функции на число.
Ь) Интеграл является линейным функционалом
J
: ЩЕ) -> И но пространстве ЩЕ).
Е
< Если учесть, что объединение множеств меры нуль также явля-
является множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает непосред-
непосредственно из определения интеграла и критерия Лебега существования
интеграла от функции на промежутке.
Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом
получаем линейность интеграла. ►
Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел инте-
интегральных сумм должен существовать при \(Р) —> 0 независимо от выбо-
выбора отмеченных точек £, то можно заключить, что (/ £ 7l(E)) f\(f(x) =
= 0 почти всюду на Е) =^ I f f(x) dx = 0 1.
Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти
во всех точках множества Е, то их интегралы по Е тоже совпадают.
Значит, если профакторизовать линейное пространство 71(Е), относя
в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех
точках множества Е, то получится линейное пространство ЩЕ), на
котором интеграл тоже будет линейным функционалом.
2. Аддитивность интеграла. Хотя мы всегда будем иметь дело
с допустимыми множествами Е С IR", в п. 1 можно было этого и не
предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о
допустимых множествах.
Утверждение 2. Пусть Е\: Е2 - допустимые множества в И",
a f — функция, определенная на Е\ U Е?.
а) Имеют место соотношения
\3Js(x)dx\f\Ujl
3 I f(x)dx\ ^ \3Js(x)dx\f\Ujl(x)dx\ =>Э | f(x)dx.
\E,UE2 I \ Ei / V Е2 I Eint'2
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь) Если еще известно, что ц(Е^ С\Е2) = 0, то при условии сущес-
существования интегралов имеет место равенство
EiUbT2 Ei E2
•4 Утверждение а) следует из критерия Лебега существования ин-
интеграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, §2). При этом
надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых
множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, §2).
Для доказательства утверждения Ь) заметим сначала, что
Значит,
f f{x)dx= f /xElUE2Wdx =
K1UE2 /O£lU#2
= / fXEl (x) dx + f fXE2 (x) dx-f /xb,nE2 (x) dx =
ill
= jf(x)dx + Jf(x)dx.
Ei £2
Дело в том, что интеграл
как нам известно из а), существует, а поскольку ц(Е± П -Ег) = 0, то он
равен нулю (см. замечание 1). ►
3. Оценки интеграла
а. Общая оценка. Начнем с одной общей оценки интеграла, спра-
справедливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном
линейном нормированном пространстве.
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
Утверждение 3. Если / £ ЩЕ), то |/| 6 ЩЕ) и имеет место
неравенство
Jf(x)dx <J\f\(x)dx.
Е Е
Ч То, что |/| 6 ЩЕ), вытекает из определения интеграла по мно-
множеству и критерия Лебега интегрируемости функции на промежутке.
Указанное неравенство получается теперь предельным переходом из
соответствующего неравенства для интегральных сумм. ►
Ь. Интеграл от неотрицательной функции. Следующие утвер-
утверждения относятся уже только к вещественнозначным функциям.
Утверждение 4. Для функции f: Е —> И справедливо следующее
предложение:
(/ S ЩЕ)) Л (Уж 6 E(f(x) Js 0)) =>■ Г f(x)dx > 0.
Е
Ч Действительно, ведь если /(ж) ^ 0 на Е, то fxE(x) ^ 0 в R".
Далее, по определению
Jf(x)dx= I fxE(x)dx.
Е 1эЕ
Последний интеграл по условию существует. Но он является пре-
пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он неотрицате-
неотрицателен. ►
Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем
Следствие 1.
| J'f{x)dx < j'g(x)dx\ .
\е е I
Следствие 2. Если / 6 ЩЕ) и в любой точке допустимого мно-
множества Е выполнены неравенства т < /(ж) ^ М, то
Г f(x)
150 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Следствие 3. Если f 6 ЩЕ), т = inf f(x), M = sup f(x), то
*££ xqE
найдется такое число в Е [m, M], что
/'
Следствие 4. Если Е — связное допустимое множество и функ-
функция /:Е—>Ш непрерывна, то найдется такая точка £ & Е, что
Следствие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2 имеет-
имеется функция g £ 'R,(E)! неотрицательная на Е, то
т / g(x) dx < / fg(x) dx < М д(х) dx.
ЕЕ Е
Последнее утверждение является обобщающим и обычно называет-
называется, как и в случае одномерного интеграла, теоремой о среднем для
интеграла.
■4 Оно вытекает из неравенств rng(x) < f(x)g(x) < Mg(x) с учетом
линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и непосред-
непосредственно, если перейти от интегралов по Е к соответствующим интегра-
интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а
затем перейти к пределу. Поскольку все эти рассуждения уже подробно
проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся.
Отметим лишь, *гго интегрируемость произведения / • g функций / ид,
очевидно, вытекает из критерия Лебега. ►
Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе, про-
проверив с их помощью, что справедлива следующая полезная
Лемма, а) Если интеграл от неотрицательной но промежутке I
функции /: I —> Е равен нулю, то f(x) = 0 почти во всех точках
промежутка I.
Ъ) Утверждение а) остается в силе, если промежуток I в нем
заменить любым допустимым (т. е. измеримым по Жордану) множе-
множеством Е.
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
Л По критерию Лебега функция / £ TZ(E) непрерывна почти во всех
точках промежутка /, поэтому доказательство утверждения а) будет
закончено, если мы покажем, что /(а) = 0 в любой точке а £ /, в
которой функция / непрерывна.
Предположим, что f(a) > 0. Тогда f(x) ^c> Ов некоторой окрест-
окрестности U[{a) точки а (окрестность Uj(a) можно считать промежутком).
Значит, по доказанным свойствам интеграла
Jf(x)dx = I f(x)dx + J f(x)dx> I f(x)dx^Cfi(U,(a))>0.
Г U,(a) l\U,(a) U,{a)
Полученное противоречие проверяет справедливость утвержде-
утверждения а). Если применить это утверждение к функции fxE и учесть, что
li(dE) = 0, то получим утверждение Ь). ►
Замечание 2. Из доказанной леммы следует, что если Е — изме-
измеримое по Жордану множество в И™, а ЩЕ)— рассмотренное в заме-
замечании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций, ин-
интегрируемых на Е и различающихся лишь на множествах меры нуль в
смысле Лебега, то величина ||/|| = J |/|(ж) dx является нормой на ЩЕ).
Е
■* Действительно, ведь из равенства f\f\(x)dx = 0, теперь можно
Е
заключить, что / лежит в том же классе эквивалентности, что и фун-
функция, тождественно равная нулю. ^~
Задачи и упражнения
1. Пусть Е — измеримое по Жордану множество ненулевой меры, а / :
Е -> Е — непрерывная, неотрицательная интегрируемая функция на Е и М =
= sup f(x). Покажите, что
lim I Г f"(x)dx] =M.
2. Докажите, что если /, д 6 1^{Е), то справедливо
а) неравенство Гёльдера
J(f-g)(x)d*
1/8
< I l\}\'(x)dx\ I I \g\"(x)dx\
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
О 1и ± + | =1;
b) иеравенстео Миикоес
\j\'(x)dx
если р ^ 1.
Покажите, что
c) предыдущее неравенство меняется на противоположное, если 0 < р < 1;
d) знак равенства в неравенстве Минковского имеет место тогда и только
тогда, когда существует число А ^ 0 такое, что с точностью до множества
меры нуль на Е выполнено одно из двух соотношений f = \д или д = А/;
( V/P
e) величина ||/||р — I —гщ / \f\p{x)dx 1 , где (i{E) > 0, монотонна отно-
сительно р € Е и при р ^ 1 является нормой в пространстве 1Z(E).
Выясните, при каких условиях в неравенстве Гёльдера имеет место знак
равенства.
3. Пусть Е — измеримое по Жордану множество в Ж", причем fJ>(E) > 0.
Проверьте, что если <р £ С(ЕУ Ж), а /: Е —> Ж — выпуклая функция, то
4. а) Покажите, что если Е — измеримое по Жордану множество в Ж", а
интегрируемая на нем функция /: Е —> Ж непрерывна в его внутренней точке
а е Е, то
/
где, как обычно, [/^(а) обозначает E-окрестность точки в множестве Е.
Ь) Проверьте, что предыдущее соотношение остается в силе, если условие
«а — внутренняя точка Е» заменить условием fJ'iU^(a)) > 0 для любого 6 > 0.
§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному
1. Теорема Фубини1). До сих пор мы говорили об определении
интеграла, условиях его существования и его общих свойствах. Здесь
1^Г. Фубини A870- 1943) —итальянский математик. Его основные труды относят-
относятся к теории функции и геометрии.
§4 СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 153
будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене перемен-
переменных является инструментом для вычисления кратных интегралов.
Теорема1'. Пусть X х Y— промежуток в Д"*+п, являющийся
прямым произведением промежутков X С Rm uY С ВР. Если функция
f: X х У —> Е интегрируема на X х У, то интегралы
J f(x,y)dxdy, Jdxjf(x,y)dy, Jdyjf(x,y)dx
XxY X Y Y X
существуют одновременно и равны между собой.
Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл
входящих в ее формулировку символов. Интеграл J f(x,y)dxdy—
XxY
это записанный в переменных х Е X, у EY знакомый нам интеграл от
функции / по промежутку X X У.
Символ J dx J f(xy y) dy следует понимать следующим образом: при
х Y
фиксированном значении х Е X вычисляется интеграл F(x) =
= f J(x, у) dy по промежутку У, а затем полученная функция F: X —> И
Y
интегрируется на промежутке X. При этом, если для некоторого х £ X
интеграл J f(x, у) dy не существует, то F(x) полагается равным любо-
Y
му числу между J(x) = f f(x,y)dy и J(x) = f f(x,y)dy, не исключая
~Y_ У
и самих значений J{x), J(x) нижнего и верхнего интегралов. Будет
показано, что тогда F £ 71(Х).
Аналогичный смысл имеет символ J dy J f(x, y) dx.
Y x
В процессе доказательства теоремы выяснится, что совокупность
тех значений х £ X, для которых J_(x) ф J(x), является множеством
m-мерной меры нуль в X.
Аналогично и совокупность тех у Е Y\ при которых интеграл
^Эта теорема была доказана задолго до появления известной в теории функций
теоремы Фубини, частным случаем которой она является Однако теоремы, позво-
позволяющие сводить вычисление кратных интегралов к повторному интегрированию в
меньших размерностях, принято называть теоремами типа теоремы Фубини или,
для краткости, теоремами Фубини.
154 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
i У) dx может не существовать, окажется множеством n-мерной ме-
х
ры нуль в У.
Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (т + п)-мерно-
му промежутку X х У, который мы в свое время условились назы-
называть кратным интегралом, последовательно вычисляемые интегралы
от функции /(ж, у) по У, затем по X, или по X, а затем по У, принято
называть повторными интегралами от этой функции.
Если X и У—-отрезки прямой, то сформулированная теорема в
принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку XxY
к последовательному вычислению двух одномерных интегралов. Ясно,
что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление
интеграла по /г-мерному промежутку к последовательному вычислению
к одномерных интегралов.
Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в
следующем. Рассмотрим интегральную сумму "^1(х^Уз)\^\ ' №з\ч от"
ьз
вечающую разбиению промежутка X х У на промежутки Хг х Y3. По-
Поскольку интеграл от / по промежутку XxY существует, то отмеченные
точки £jj E Хг х Y3 можно выбирать по своему усмотрению, и мы их
выбрали как «прямое произведение» выборов хг £ Хг С X и yi £ У С Y.
Тогда можно записать, что
\Y3\ = £ \Х
а это и есть допредельный вид нашей теоремы.
Дадим теперь ее формальное доказательство.
•4 Любое разбиение Р промежутка XxY индуцируется соответству-
соответствующими разбиениями Рх, Ру промежутков X и У. При этом каждый
промежуток разбиения Р есть прямое произведение Хг xY3 некоторых
промежутков Хг, Y3 разбиений Рх, Ру соответственно. По свойствам
объема промежутка \Хг х Y3\ = \Хг\ ■ \Yj\, где каждый из объемов вы-
вычисляется в том пространстве Rm+n, №m, №n, которому принадлежит
рассматриваемый промежуток.
Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения
нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 155
следующие оценки:
sup /(х,у)\Хг xY3\ = S(f,P).
Поскольку / G TZ(X x Y), то при А(Р) ->■ 0 оба крайних члена этих
неравенств стремятся к значению интеграла от функции / по проме-
промежутку X х Y. Это обстоятельство позволяет из написанных оценок
заключить, что F £ ~R-(X) и что имеет место равенство
/ f{x,y)dxdy= / F{x)dx.
XxY X
Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования
по У, а затем по X. Ясно, что аналогичные рассуждения можно про-
провести и в случае, когда сначала идет интегрировалие по X, а затем
по У. ►
2. Некоторые следствия
Следствие 1. Если / £ TZ(X x У), то при почти всех (в смы-
смысле Лебега) значениях х е X интеграл J f(x,y)dy существует и при
у
почти всех значениях у EY существует интеграл f f(x,y)dx.
х
156 ГЛ XI КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
•4 По доказанной теореме
Л Jf(x,y)dy-Jf(x,y)dy\dx=O
X \ Y y )
Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интегралов нео-
неотрицательна. На основании леммы из § 3 можно заключить, что эта
разность равна нулю почти во всех точках х & X.
Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 §1) интеграл f f(x,y)dy cy-
Y
шествует почти при всех значениях х £ X
Аналогично доказывается и вторая часть сделанного утвержде-
утверждения. ►
Следствие 2. Если промежуток / С К" является прямым про-
произведением отрезков 1г = [аг,Ьг], г = 1, . , п, то
ff{x)dx= fdxn f dxn 1... ff(x\x2,...,xn)dx1.
•4 Эта формула, очевидно, получается повторным применением до-
доказанной теоремы Все внутренние интегралы в правой части понима-
понимаются, как и в теореме. Например, всюду можно поставить знак верх-
верхнего или нижнего интеграла. ►
Пример 1. Пусть f(x,y,z) — zs'm(x + у) Найдем интеграл от
ограничения этой функции на промежуток I С К3, определяемый соот-
соотношениями 0 ^ X ^ 7Г, \у\ ^ 7г/2, 0 ^ Z ^ 1
По следствию 2
1 7г/2 7Г
/// f{x,y,z)dxdydz = dz / dy zsin(x -\-y)dx =
I 0 -тг/2 О
1 тг/2 1 тг/2
= I dz I (—zcos(x + y) |J=0) dy = I dz / 2zcosydy
О -тг/2 О -я/2
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 157
iz = 4zdz = 2.
О О
Доказанную теорему можно использовать и для вычисления инте-
интегралов по достаточно общим множествам.
Следствие 3. Пусть D — ограниченное множество в К", а
Е - {{х,у) G R" | (х е D)/\((pi(x) < у < (р2(х))}. Если f G ЩЕ),
то
f{x,y)dxdy= dx / f{x,y)dy. A)
E D
M Пусть Ex = {{x,y) e Шп | <py(x) < у < ^2(^)}, если a; G D, и
пусть ^х = 0 при х <£ D. Заметим, что хЕ(%,У) = XD{x) • ХЕя(у)-
Вспоминая определение интеграла по множеству и используя теорему
Фубини, получаем
f{x,y)dxdy= /
J J
IDE
j dx I fxE{x,y)dy= / /
~\ ГЛ I —it1 Г\/
(<P2(X) \ / <P2(X) \
j f(x,y)dy\xD{z)dx= j f{x,y)dy\ dx.
Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на неко-
некотором множестве точек х G D меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему
приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини. ►
Замечание. Если в условиях следствия 3 множество D измеримо
по Жордану, а функции щ: D —> Е, г = 1,2, непрерывны, то множество
Е С W1 измеримо по Жордану.
Л Граница дЕ множества Е состоит из двух графиков непрерывных
функций (pi: D —у М, г = 1,2 (являющихся в силу примера 2 § 1 множест-
множествами меры нуль), и части Z прямого произведения границы dD множе-
158
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ства D С Шп 1 на достаточно большой одномерный отрезок длины /.
По условию 3D можно покрыть системой (п — 1)-мерных промежут-
промежутков, сумма (п — 1)-мерных объемов которых будет меньше е/1. Прямое
произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины I) даст
покрытие множества Z промежутками, сумма объемов которых мень-
меньше е. ►
На основании этого замечания можно сказать, что на измеримом
множестве Е такой структуры (как и на любом измеримом множест-
множестве Е) функция /: Е —> 1 G R интегрируема. Опираясь на следствие 3 и
на определение меры измеримого множества можно теперь заключить,
что справедливо
Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество D изме-
измеримо по Жордану, а функции </?$: D —у К, г = 1,2, непрерывны, то
множество Е измеримо и его объем можно вычислять по формуле
fi{E) = /
- (pi{x))dx.
D
Пример 2. Для круга Е = {{х,у) £
формуле получаем
х2 + у2
B)
г2} по этой
-г -г
г тг/2 ж/2
= 4/ л/г2 — у2 dy — 4 / г cos <p d(r simp) = 4r I r cos ipd(p
= кг2.
Следствие 5. Пусть Е —измеримое множество, лежащее в про-
промежутке / С К". Представим I в виде прямого произведения I =
= 1Х х 1у (п — 1)-мерного промежутка 1Х и отрезка 1у. Тогда при по-
почти всех значениях
G 1у сечение Еуо =
Е Е
у =
множес-
множества Е (п— 1)-мерной гиперплоскостью у = уо является измеримым ее
подмножеством, причем
f
C)
j 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 159
где ft(Ey)—(п — 1)-мерная мера множества Еу, если оно измеримо,
и любое число между числами J 1 - dx и J 1 ■ dx, если Еу оказалось
Ёу еу
неизмеримым множеством.
•4 Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы
и следствия 1, если положить в них / = xF и учесть, что Хр(х^У) =
{)
Отсюда, в частности, получается
Следствие 6 (принцип Кавальери1'). Пусть А и В — два тела
в пространстве Ш , имеющие объем (т.е. измеримые по Жордану).
Пусть Ас = {(x,y,z) G A | z = с} и Вс = {(x,y,z) G В | z ~ с} —
сечения тел А и В плоскостью z = с. Если при каждом с G К множе-
множества Ас, Вс измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В
имеют одинаковые объемы.
Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для прост-
пространства М71 любой размерности.
Пример 3. Используя формулу C), вычислим объем Vn шара В =
— {х G R" | \х\ ^ г} радиуса г в евклидовом пространстве W1.
Очевидно, V\ = 2г. В примере 2 мы нашли, что Vi ~ ттг2. Покажем,
что Vn — en?"", где сп —постоянная (которую мы ниже вычислим). Вы-
Выберем какой-нибудь диаметр [—г, г] шара и для каждой точки х G [—г, г]
рассмотрим сечение Вх шара В гиперплоскостью, ортогональной вы-
выбранному диаметру. Поскольку Вх есть шар размерности п — 1, радиус
которого по теореме Пифагора равен VV2 — я2, то, действуя по индук-
индукции и используя формулу C), можно написать:
г ( тг/2
V- [- .(r^'W^-L , /"cos
V
(При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена
х = г sirup.)
'Б. Кавальери A598 - 1647) —итальянский математик, автор так называемого ме-
метода неделимых для определения площадей и объемов.
160 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак, показано, что Vn ~ спгп, причем
тг/2
с„ = с„_1 / cos" (pdtp. D)
-тг/2
Теперь найдем постоянную сп в явном виде. Заметим, что при т ^ 2
тг/2 7г/2
7т = / cosm ю dip — / cosm </?A — sin <p) d<p ~
J J
-■к/2 —к/2
тг/2
1 / , т-1 !
= Лп-2 Н г / sin^dCOS (р = Im-2 г/пц
тп~1 J т - 1
-тг/2
т.е. имеет место рекуррентное соотношение
Т -~
1тп —
m
—2-
В частности, 7^ = тг/2. Непосредственно из определения величи-
величины 7т видно, что 1\ = 2. Учитьтая эти значения 1\ и 7г, из рекур-
рекуррентной формулы E) находим, что
Возвращаясь к формуле D), теперь получаем
B*0" 9_
-l)!! Bfc-2)!! _ B7т)
*-1
Но, как мы видели выше, с\ = 2, а сг = тг, поэтому окончательные
формулы для искомого объема Vn таковы:
-о
" 2
r
где /г € N, причем первая из этих формул справедлива и при к = 0.
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 161
Задачи и упражнения
1. а) Постройте такое подмножество квадрата /Cl2, что, с одной сто-
стороны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой
состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого
множества совпадает с /.
Ь) Постройте функцию /: / -j- М, для которой оба участвующих в теореме
Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время
с) Покажите на примере, что если значения участвующей в теореме Фу-
Фубини функции F(x)y подчиненные там условиям 3_{х) ^ F(x) ^ J{x), в точ-
точках, где J_{x) < J(x), просто положить равными нулю, то функция F может
оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в Ж2 функцию f(x,y),
равную единице, если точка (х,у) € М2 не является рациональной, и равную
1 - i/q в рациональной точке (p/q,mfn), где обе дроби несократимы.)
2. а) В связи с формулой C) покажите, что если все сечения ограниченного
множества Е семейством параллельных гиперплоскостей измеримы, то это
еще не означает, что Е измеримо.
Ь) Пусть в дополнение к условиям а) известно, что функция 1л(Еу) из фор-
формулы C) интегрируема на Отрезке 1У. Можно ли в этом случае утверждать,
что Е — измеримое множество?
3. Используя теорему Фубини и положительность интеграла От положи-
н'2 f я'2 f
тельной функции, дайте простое доказательство равенства дк — 3-Х- сме-
шанных производных в предположении, что они являются непрерывными
функциями.
4. Пусть /: /О](, ~> Ш. — непрерывная функция, определенная на промежут-
промежутке /а,{, = {х е W1 | а1 ^ хг ^ b\ i = l,...,n}, a функция F: 1а>ь ~> Ж,
определена равенством
F{x)= / f(t)dt,
!a,x
где /а]1 С 1а,ь- Найдите частные производные этой функции по переменным
X ,. . . ,Х .
5. Определенная на прямоугольнике / = [a,b] x [c,d\ с М2 непрерывная
функция f(x,y) имеет непрерывную в / частную производную jfi-.
а) Пусть F(y) = J f{x,y)dx. Исходя из равенства F{y) = /j f$-{x,t)dt+
+f(x,c) J rfx, проверьте правило Лейбница, согласно которому F'(y) =
}
162 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Пусть G{z,y) =ff(t,y)dt. Найдите Щ и Щ.
а
Ну)
c) Пусть Н(у) = J f(x,y)dx, где h G С^>[а,Ь]. Найдите Н'(у).
а
6. Рассмотрим последовательность интегралов
х х
ОД = Jf(y)dy, Fn(x) = j^^tLfitfdyt п е N,
где / е
a) Проверьте, что Ffa) = Fn-i(x); i^A)@) = 0, если А ^ я; F^n+1){x) =
= f(x).
b) Покажите, что
ХП—1
f f f If
dxi dx2... / f{xn)dxn = ~ {x-y)nf{y)dy.
J J J n. j
о о
7. а) Пусть /: E -j- Ш. — функция, непрерывная на множестве Е — {(х, у) G
2 (О^гОлО^г/^з:}. Докажите, что
1 ж
f f f f
dx f{x, y)dy= dy f{x, y) dx.
J J J J
0 0 О у
2ж sin x
b) На примере повторного интеграла J dx j 1 ■ dy объясните, почему
о о
не каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубини
двойным интегралом.
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы за-
замены переменных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы
получили в свое время важную формулу замены переменной в таком
интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу
замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.
Пусть Dx—множество в R", / — интегрируемая на Dx функция,
а (р: Dt —> Dx —отображение t ->■ <p(t) множества Dt С Rn на Dx.
Спрашивается, по какому закону, зная /и^, находить функцию ф в Dt
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 163
так, чтобы иметь равенство
f(x)dx =
позволяющее сводить вычисление интеграла по Dx к вычислению инте-
интеграла по D{t
Предположим сначала, что Dt есть промежуток 7 С №n, a (p: I —>
~> Dx диффеоморфное отображение этого промежутка на Dx. Лю-
Любому разбиению Р промежутка 7 на промежутки 7г, Ii,..., 7* соответ-
соответствует разложение Dx на множества </?Gг), i = l,...,/c. Если все эти
множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам ме-
меры нуль, то в силу аддитивности интеграла
№<b. A)
Если / непрерывна на Dx, то по теореме о среднем
/
где & G (p(It). Поскольку /(^) = f(<p(n)), где тг = (/э^.), то нам
остается связать fi(<p(It)) с цAг).
Если бы (р было линейным преобразованием, то (рAг) был бы парал-
параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии
и алгебры, был бы равен | det (р'\(л{1г). Но диффеоморфизм локально
является почти линейным отображением, поэтому, если размеры про-
промежутков 1г достаточно малы, то с малой относительной погрешностью
можно считать, что fi(ip(It)) « | det <р'(тг)\\1г\ (можно показать, что при
некотором выборе точки тг G 7г будет иметь место даже точное равен-
равенство). Таким образом,
Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сум-
сумма от функции f((p(t))\det <pr(t)\ по промежутку 7, отвечающая разби-
разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при
164 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Х(Р) -» 0 из A) и B) получаем
f f{x)dx= /*/(¥>(<))! det ¥>'(*)] (ft.
Dx Dt
Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный
путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями (и это стоит проде-
проделать). Однако, чтобы познакомиться с некоторыми новыми полезными
общематематическими приемами и фактами и избежать чисто техни-
технической работы, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся
от этого пути.
Перейдем к точным формулировкам. Напомним
Определение 1. Носителем заданной в области DcK" функции
/: D —> R назоЕ^м замыкание в D множества тех точек области D, в
которых f(x) ф 0.
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая
функция /: Dx —> Ш равна нулю в окрестности границы области Dx,
точнее, когда носитель функции Dx (обозначаемый supp/) является
лежащим в Dx компактом1) К. Интегралы от / по Dx и по К, если
они существуют, очевидно, совпадают, поскольку вне К в D функция
равна нулю. С точки зрения отображений, условие supp/ = К С Dx
равносильно тому, что замена х = <p(t) действует не только на множес-
множестве К, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой
окрестности Dx этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать.
Теорема 1. Если <р: Dt —> Dx—диффеоморфизм ограниченно-
ограниченного открытого множества Dt С Ж1 на такое же множество Dx —
= (p(Dt) С IK", a f €. 7l(Dx) и supp/ —компакт в Dx, то fo(p\det(p'\ e
G Tl{Dt) и справедлива формула
I f(x)dx= I fo(p(t)\det(p'(t)\dt.
Dx=<p(Dt) Dt
C)
функции обычно называют финитными в рассматриваемой области.
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 1G5
2. Измеримые множества и гладкие отображения
Лемма 1. Пусть (р: Dt —> Dx —диффеоморфизм открытого мно-
множества Dt С Кп на такое же множество Dx С К". Тогда справедли-
справедливы следующие утверждения:
a) Если Ei С Dt —множество меры нуль (в смысле Лебега), то его
образ (p(Et) С Dx также является множеством меры нуль.
b) Если множество Et, содержащееся в Dt вместе со своим замы-
замыканием Et, имеет объем нуль [в смысле меры Жордана), то его образ
(p(Et) = Ех содержится в Dx вместе со своим замыканием и тоже
имеет объем нуль.
c) Если измеримое (по Жордану) множество Et содержится в об-
области Di вместе со своим замыканием Et, то его образ Ех = <p(Et)
лвляется измеримым множеством и Ех С Dx.
< Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество D
пространства Ж1 можно представить в виде объединения сметного чи-
числа замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют
общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить коор-
координатные оси на отрезки длины Д и рассмотреть соответствующее
разбиение пространства Rn на кубики с ребрами длины А. Фиксиро-
Фиксировав Д — 1, возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся
в D. Обозначим через F± их объединение. Взяв далее Д = 1/2, добавим
kFi те кубики нового разбиения, которые содержатся в D\Fi. Получим
множество i7^ и т.д. Продолжая процесс, получим последовательность
F\ С ... С Fn С ... множеств, каждое из которых состоит из конеч-
конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних
точек и, как видно из построения, \JFn = D.
Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры
нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом,
достаточно проверить для множества Et, лежащего в замкнутом про-
промежутке / С Dt. Это мы и сделаем.
Поскольку <р е С^A) (т. е. ц>* £ СA)), то существует постоянная М
такая, что |!<£>;(£)
для любой пары точек £ь£2 £ / и их образов х\ ~
должно тогда выполняться соотношение \х2 — %\\ ^ M\t2 —
Пусть теперь {ij} — такое покрытие множества Ei промежутками,
что X]|ij| < £■ Без ограничения общности можно считать, что /г- =
М на /. В силу теоремы о конечном приращении
166 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= h п / с /.
Совокупность {ip(h)} множеств <р{Ц); очевидно, образует покрытие
множества Ех = (p(Et)- Если U — центр промежутка 1{, то, ввиду уста-
установленной выше оценки возможного изменения расстояний при отобра-
отображении (р, все множество <p{Ii) можно накрыть таким промежутком 1{ с
центром Х{ = ц>(Ц), линейные элементы которого в М раз отличаются
от соответствующих элементов промежутка ij. Поскольку |/j| = Мп\1{\,
a <p(Et) С (Jli, то мы получили покрытие множества (p(Et) — Ех проме-
жутками, сумма объемов которых меньше, чем Мпе. Тем самым основ-
основное утверждение а) леммы доказано.
Утверждение Ь) следует из а), если учесть, что Et, а значит, по
доказанному и Ех = <p(Et) суть множества меры нуль в смысле Лебега
и что Et, а значит и Ех — компакты. Ведь в силу леммы 3 § 1 всякий
компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет
объем нуль.
Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если
вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффео-
диффеоморфизме внутренние точки множества Et перейдут во внутренние
точки его образа Ех = <p(Et)i а значит, дЕх = (p(dEt). ►
Следствие. При условиях теоремы стоящий в правой части фор-
формулы C) интеграл существует.
-4 Поскольку | det (p'(t)\ ф 0 в Dt, то supp/o^p. j det (p'\ — supp/o^p —
— yp~1(supp/)— компакт в Dt. Значит, точки разрыва функции /о
о (р ■ \det(p'\xDt в М" совсем не связаны с функцией XDf, a являются
прообразами точек разрыва функции / в Dx. Но / Е Tl(Dx), поэтому
совокупность Ех точек разрыва функции / в Dx является множеством
меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы мно-
множество Et = ip~l{Ex) имеет меру нуль. На основании критерия Лебега
теперь можно заключить, что функция / о (р ■ \ det <p'\xDt интегрируема
на любом промежутке It D Dt. ►
3. Одномерный случай
Лемма 2. а) Если (р: It —у 1Х —диффеоморфизм отрезка It С R1
на отрезок 1Х С Ш1, a f Е Щ1Х), то f о (р • \(р'\ Е Щ^) и
= J(fo<p-\<p'\)(t)dt. D)
h
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 167
Ь) Формула C) справедлива в Ш1.
•4 Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно,
мы дадим здесь независимое от изложенного в части I его короткое до-
доказательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении
критерий Лебега существования интеграла.
Поскольку / е 71AХ), a ip: It —> Ix— диффеоморфизм, функция
f°<p\<p'\ ограничена на It- Точками разрыва этой функции могут быть
только прообразы точек разрыва функции / на 1Х. Последние по кри-
критерию Лебега образуют множество меры нуль. Образ этого множества
при диффеоморфизме <р~х: 1Х —> It, как мы видели при доказательстве
леммы 1, имеет меру нуль. Значит, / о (р \ip'\ £ TZ(It).
Пусть Рх —разбиение отрезка 1Х. Посредством отображения ip~l
оно индуцирует разбиение Pt отрезка It, причем из равномерной непре-
непрерывности отображений (р и <р~1 следует, что Х(РТ) —И) О- X(Pt) —> 0.
Для разбиений Рх, Pt с отмеченными точками £г = <р(тг) запишем инте-
интегральные суммы:
причем точки £г можно считать выбранными именно так, что £г — <р(тг),
где тг — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности
Поскольку оба интеграла в соотношении D) существуют, выбор от-
отмеченных точек в интегральных суммах можно делать по своему усмо-
усмотрению, не влияя на величину предела. Значит, из написанного равен-
равенства интегральных сумм в пределе при Х(РТ) —> 0 (X(Pt) —> 0) получа-
получается равенство D) для интегралов.
Утверждение Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства D).
Прежде всего отметим, что в одномерном случае | det (p'\ ■= \(р'\. Далее,
компакт supp/ легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих
в Dx и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл
от / по множеству Dx сведется к сумме интегралов от / по отрезкам
указанной системы, а интеграл от f ° <р\<р'\ по Dt сведется к сумме
интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой си-
системы. Применяя к каждой паре соответствующих друг другу при ото-
168 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
бражении tp отрезков равенство D), после сложения получаем форму-
лу C). ►
Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены перемен-
переменной в одномерном интеграле имела вид
0
f(x)dx = J(fo(p-<p')(t)dt, E)
<р(а) ос
где (р было любым гладким отображением отрезка [а, /3] на отрезок с
концами <p(ct) и ip(fi). В формуле E) стоит не модуль \ip'\ производной,
а сама производная. Это связано с тем, что в левой части формулы E)
может быть (р{0) < <^(а)-
Если, однако, заметить, что для отрезка / с концами а и Ь имеют
место соотношения
1Ъ
ff(x)dx, если а < Ь,
— f f(x) dx, если а > Ь,
то становится ясно, что в случае, когда (р— диффеоморфизм, формулы
D) и E) отличаются лишь внешним видом, а по существу совпадают.
Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем вос-
воспользоваться), что если (р: It -*■ Ix — диффеоморфизм отрезков, то все-
всегда справедливы формулы
= J(fo(p\(fi'\)(t)dt,
It
= J(fo(p\(p>\)(t)dt,
I* It
относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественноэначных
функций.
А если зто так, то, значит, в одномерном случае можно считать
установленным, что формула C) остается в силе для любой ограничен-
ограниченной функции /, если интегралы в ней понимать как верхние или как
нижние интегралы Дарбу.
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 169
•4 Будем временно считать, что / — неотрицательная функция, ог-
ограниченная константой М.
Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно
взять отвечающие друг другу в силу отображения (р разбиения -Рх, Pt
отрезков 1Х и It соответственно и написать следующие оценки, в кото-
которых е —максимальное из колебаний функции (р на промежутках разби-
разбиения Pt:
Sup f(x)\xt - Xt-ll ^ ^Г SUp f((p(t)) SUp \<pf(t)\\tt - *t_i/ <
«еде,
Учитывая равномерную непрерывность <^, отсюда при A(F() —> О
получаем
ff(x)dx$J(fo<p[<p'\)(t)dt.
h It
Применяя доказанное к отображению ip^1 и функции /о^р J^p'j, получаем
обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицатель-
неотрицательных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую
функцию можно представить в виде / = шах{/,0} — max{ — /,0} (раз-
(разности неотрицательных), то это равенство можно считать доказанным
и в общем случае. Аналогично проверяется и второе равенство. ►
Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утвержде-
утверждение а) леммы 2 в случае вещественнознаяной функции /.
4. Случаи простейшего диффеоморфизма в Шп. Пусть <р :
Dt -4 Dx — диффеоморфизм области Dt С Ж£ на область Dx С Щ;
(i1,*-■>*")) (xl,...:xn) — координаты точек t E l^1 и х £ Щ соответ-
соответственно. Напомним
170 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 2. Диффеоморфизм (р: Dt —У Dx называется про-
простейшим, если его координатная запись имеет вид
х
= t\
хк=
xn=
Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только
одна из координат (в данном случае координата с индексом к).
Лемма 3. Для простейшего диффеоморфизма (р: Dt —>■ Dx фор-
формула C) верна.
М С точностью до перенумерации координат можно считать, что
рассматривается диффеоморфизм (р, меняющий только n-ю координа-
координату. Введем для удобства записи следующие обозначения:
Dxn(x0) := {(х,хп) £ D
Таким образом, Dxn{x), Dtn(t)—это просто одномерные сечения
множеств Dx и Dt соответственно прямыми, параллельными n-й ко-
координатной оси. Пусть 1Х—промежуток в R£, содержащий Dx. Пред-
Представим 1Х в виде прямого произведения 1Х = 1% х 1хп (п — 1)-мерного
промежутка 1% и отрезка 1хп n-й координатной оси. Аналогичное раз-
разложение It = Ц х Ifn запишем для фиксированного в Щ промежутка /(,
содержащего Dt.
Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 171
замечание 2, можно написать, что
f(x)dx=* I f-xDx(x)dx= dx f-xDx(x,xn)dxn =
= [dx [ f{x,xn)dxn =
-I
di
к Dtn(t)
dtn
(i,tn)dtn =
— I (f ° <p\ det ш у„ )(t) dt — I (f о uy\ det с
В этой выкладке мы учли также то обстоятельство, что для рас-
рассматриваемого диффеоморфизма det (р' = -*§тг • ►
5. Композиция отображений и формула замены перемен-
переменных
Лемма 4. Если Dr —> Dt —> ^ —два диффеоморфизма, для каж-
каждого из которых справедлива формула C) замены переменных в инте-
интеграле, то она справедлива и для композиции (ро-ф; DT —> Dx этих
отображений.
< Для доказательства достаточно вспомнить, что ((р о ф)' t= ^ о ч$
и что det(yp о Ф)'(т) = det (p'(t) det-ф'(т), где i = (р(т). Действительно,
тогда получаем, что
f(x)dx= j(fo(p\det<p'\)(t)dt =
Dx Dt
DT
Ф) \)){T)dr.
DT
172 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства
формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят
на мысль воспользоваться возможностью локального разложения лю-
любого диффеоморфизма в композипию простейших (см. утверждение 2
из п. 4 §6 гл. VIII часть I) и на этом пути получить в общем случае
формулу C).
Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестно-
окрестностям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться
аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1,
3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных
в кратном интеграле.
М Для каждой точки t компакта Kt = supp((/ о (р)\ det tft\) С Dt
построим такую ее £(£)-окрестность U(t), в которой диффеоморфизм
(р раскладывается в композицию простейших. Из -^-окрестностей
U(t) С U(t) точек t Е Kt выделим конечное покрытие и U(ti),..., Ufa)
компакта Kt. Пусть б = ^mm{6(ti),... ,£(£*)}. Тогда любое множес-
множество, диаметр которого меньше чем 5, и которое пересекается с Щ,
очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из
окрестностей системы U(ti),..., U(tk)-
Пусть теперь 7 —промежуток, содержащий множество Dt, a P —
такое разбиение промежутка /, что А(Р) < mm{5, rf}, где число 6 най-
найдено выше, a d—расстояние от Kt до границы множества Dt. Пусть
{1г} — те промежутки разбиения Р, которые имеют с Kt непустое пе-
пересечение. Ясно, что если 1г Е {/г}, то /г С Dt и
Dt I
о (p\ det ip \)(t) dt. F)
Образ Ег = <рAг) промежутков 1г по лемме 1 является измеримым
множеством. Тогда и множество Е = [J Ег измеримо, и supp / С Е =
г
= Е С Dx. Используя аддитивность интеграла, отсюда выводим, что
/ f(x)dx~ / fxD (x)dx= / fxD (x)dx-\~ / fxD (x)dx =
J J x J x J x
Ac IxDDx IC\E E
5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 173
f(x)dx. G)
Е Е г Ег
По построению любой промежуток 1г £ {Ц} содержится в некоторой
окрестности U(x3), в пределах которой диффеоморфизм (р раскладыва-
раскладывается в компазицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно
записать, что
[ f(x)dx= f(fo<p\tet<(!\)(t)dt. (8)
Et Л
Сопоставляя соотношения F), G), (8), получаем формулу C). ►
7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены пе-
переменных в кратных интегралах
а. Замена переменных при отображениях измеримых мно-
множеств
Утверждение 1. Пусть <р\ Dt —> Dx—диффеоморфизм откры-
открытого ограниченного множества Dt С W1 на такое же множество
DXCW", Et и Ех —подмножества Dt и Dx соответственно, причем
такие, что Е% С Dt, Ех = Dx и Ех = (p(Et). Если f 6 ЩЕХ), то
$oip\&etip'\ £ TZ(Et) и имеет место равенство
[ f(x) dx - /(/ о tp\ det <p'\)(t) dt. (9)
Ex Et
•4 Действительно,
Jf(x)dx = j(fxEx)(x)dx = f(((fxEx) о
Dt
/ ° V)l det v'lxBi)(*) d* = У"((/ о sp)| det v/
Dt Et
В этой выкладке мы использовали определение интеграла по мно-
множеству, формулу C) и то обстоятельство, что \Е — ХЕ ° <р- ►
174 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь. Инвариантность интеграла. Напомним, что интеграл по мно-
множеству Е от функции f-.E-^Ж сводится к вычислению интеграла от
функции fxE по промежутку / D Е. Но сам промежуток / был по опре-
определению связан с системой декартовых координат в R™. Теперь мы в
состоянии доказать
Утверждение 2. Величина интеграла от функции f по множе-
множеству Е С Ж1 не зависит от выбора декартовых координат в W1.
< Действительно, переход от одной системы декартовых координат
в Ш1 к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю равный
единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство
= J(fo<p)(t)dt.
Et
Но это и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если
р — точка множества Е, х = (ж1,..., хп) — ее координаты в первой си-
системе, t = (t ,...,in)— во второй, Эь х = <p(t) — функция перехода от
одних координат к другим, то
где ft = fxo (p. Значит, мы показали, что
/fx(x)dx = jft(t)dt,
Ех Et
где Ех и Et — запись множества Е в системе координат х и t соответ-
соответственно. ►
Из утверждения 2 и определения 3 §2 меры (Жордана) множества
Е С Ж1 можно заключить, что эта мера не зависит от выбора системы
декартовых координат в R™, или, что то же самое, мера Жордана инва-
инвариантна относительно группы движений евклидова пространства Rn.
с. Пренебрежиадые множества. Используемые на практике за-
замены переменных или формулы преобразования координат иногда име-
имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение
взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие
Ej 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 175
дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на мно-
множествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полез-
полезна следующая
Теорема 2. Пусть (р: Dt —> Dx—отображение измеримого (по
Жордану) множества Dt С Щ на такое оке множество Dx с Щ£.
Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие множества St, Sx
меры нуль (в смысле Лебега), что Dt\St и Dx \ St — открытые мно-
множества, а <р отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом
первое из них на второе. Тогда для любой функции / Е TZ(DX) также
^) и
f{x)dx= [ (tfo<p)\deiv'\){t)dt. A0)
Dx Dt\St
Если, кроме того, величина |detc^'| определена и ограничена в Dt,
то
J f(x)dx = Jttfo^detip'lMdt. A1)
Dx Dt
M По критерию Лебега функция / может иметь разрывы в DX1 a
значит, и в Dx \ Sx, лишь на множестве меры нуль. Образ этого множе-
множества точек разрыва при отображении ср: DX\SX —>■ Dt\ St по лемме 1
является множеством меры нуль в Dt\ St- Таким образом, соотноше-
соотношение (/ о ip)\ det (p'\ G 1Z{Dt \ St) будет немедленно следовать из того же
критерия Лебега интегрируемости функции, если мы установим, что
множество Dt \ St измеримо. То, что это действительное измеримое по
Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже
рассуждений.
По условию DX\SX — открытое множество, поэтому (Dx\Sx)C\dSx =
= 0, значит, dSx С dDx U Sx и, следовательно, dDx U Sx ~ dDx U SX:
где Sx = Sx U dSx —замыкание в R!£ множества 5а:. Получается, что
dDx U Sx есть замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт в W1,
который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является мно-
множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 § 1 нам известно, что
тогда множество dDx U Sx (а вместе с ним и Sx) имеет объем нуль, т. е.
для любого £ > 0 найдется такое конечное покрытие /i, , Jfc этого
к
множества промежугками, что ^ |/г| < е. Отсюда, в частности, следу-
г=1
176
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ет, что множество Dx \ Sx (и аналогично множество Dt \ St) измеримо
по Жордану: ведь d(Dx \ Sx) С dDx U dSx С dDx U Sx.
Покрытие I\,..., Ik, очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы лю-
любая точка х G dDx\Sx была внутренней точкой по крайней мере одного
из промежутков покрытия. Пусть Ux = Ц=1 к- Множество Ux измери-
измеримо, как и множество Vx = DX\UX. По построению множество Vx таково,
что Vх С Dx \ Sx, и для любого измеримого множества Ех С Dx, кото-
которое содержит компакт Vx, справедлива оценка
dx —I f{x)dx
dx
A2)
где M = sup f{x).
x __
Прообраз Vt — (p^1{Vx) компакта Vx является компактом в
Dt \ St. Рассуждая как и выше, можно построить измеримый ком-
компакт Wt, подчиненный условиям Vt С Wt С Dt \ St и обладающий
тем свойством, что для любого измеримого множества Et такого, что
Wt С Et С Dt \ St, выполняется оценка
J ((f о
J((f o
< €.
A3)
Пусть теперь Ex = <p{Et). Для множеств Ex С Dx \ Sx и Et С Dt\ St
по утверждению 1 имеет место формула (9). Сопоставляя соотношения
(9), A2), A3) и учитывая произвольность величины е > 0, получаем
равенство A0).
Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция
(/ о (р)\ det (р'\ определена на всем множестве Dt, то, поскольку Dt \ St
открыто в Щ, все множество точек разрыва этой функции на Dt состо-
состоит из множества А точек разрыва функции (/ о <р)\ det f'WotXSt (огра-
(ограничения исходной функции на множество Dt \ St) и, быть может, неко-
некоторого подмножества В множества St U dDt-
Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по
Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства A0) существует), а по-
§5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 177
скольку StUdDt имеет объем нуль, то это же можно сказать про множе-
множество В. Значит, достаточно знать, что функция (/ о ip)\ det</?'| ограни-
ограничена на Dt, как по критерию Лебега получится, что она интегрируема
на Dt Но |/ о ip\(t) ^ М на Dt, поэтому функция (/ о ip)\ det <p'\ ограни-
ограничена на St, коль скоро функция |det^/| по условию ограничена на St.
Что же касается множества Dt\ St, то на нем функция (f ° <p)\ detip'
интегрируема и, значит, ограничена. Итак, функция (/ о <^)| det ip'\ ин-
интегрируема на Dt. Но множества Dt и Dt \ St отличаются лишь на
измеримое множество St, объем которого, как было показано, равен
нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль ин-
интеграла по St можно заключить, что правые части равенств A0) и A1)
в рассматриваемом случае действительно совпадают. ►
Пример. Отображение прямоугольника / = {(г, ip) Е R2 | 0 ^ г ^
< R/\0 < ip < 2тг} на круг К = {(xty) GR2 | х2 + у2 ^ R2}, задаваемое
формулами
х = rcosip, у = г sirup, A4)
не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника /, на кото-
которой г — 0, переходит при этом отображении в одну точку @,0); образы
точек (г, 0) и (г,2тг) совпадают. Однако если рассмотреть, например,
множества 1\д1 и. К\Е, где Е - объединение границы дК круга К и
радиуса, идущего в точку @,й), то ограничение отображения A4) на
область 1\д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К\Е. Значит,
по теореме 2 для любой функции / G 7t{K) можно написать, что
// f{x->y)d£dy = // f(rcos(p}rsinip)rdrdip
к
или, применяя теорему Фубини,
2тг R
// f(x,y)dxdy~ dip f (r cos ip, r sin ip)r dr.
к oo
Соотношения A4) суть хорошо известные формулы перехода от по-
полярных координат к декартовым на плоскости.
Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей
полярной (сферической) системе координат в М71, которую мы рассма-
рассматривали в части I, где был указан также якобиан перехода от полярных
координат к декартовым в пространстве R" любой размерности.
178 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что лемма 1 справедлива для любого гладкого отображе-
отображения ср: Dt —>• Dx (см. в этой связи также задачу 8).
Ь) Докажите, что если D — открытое множество в Em, a tp Е C^(D,W)}
то ip(D) при т < п является множеством меры нуль в Еп.
2. а) Проверьте, что мера измеримого множества Е и мера его обра-
образа ip(E) при диффеоморфизме tp связаны соотношением fi(tp(E)) = 6fi(E), где
inf | det ip' (t) |, sup | det tp1 (t) |
tE.E te-K
b) В частности, если Е — связное множество, то найдется такая точка
т Е Е, что ц{ф{Е)) = I det ^'(т)!//(£).
3. а) Покажите, что если формула C) справедлива для функции / = 1, то
она верна и в общем случае.
Ь) Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая / = 1, упро-
упрощая его в этой специальной ситуации.
4. Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая
известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций,
отличающихся лишь на множестве меры нуль.
5. Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его ис-
использованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы C) к ее
локальному варианту (т. е. к проверке формулы для малой окрестности точек
отображаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации,
основанным на линейности интеграла.
a) Если гладкие функции е1,...,е* таковы, что 0 ^ ег ^ 1, г = 1,... ,&,
к / к \
а Y^ei(x) = 1 на До то / ( 12 ег1) (x)dx — / f(x)dx для любой функции
г Dx \г=1 / Dx
fen(Dx).
b) Если виррег лежит в множестве U С Dx, то J (etf)(x) dx = f(etf)(x) dx.
dx и
c) С учетом лемм 3 и 4 и свойства линейности интеграла из а) и Ь) можно
вывести формулу C), если для любого открытого покрытия {Ua} компакта
К = supp/ С Dx построить такой набор гладких в Dx функций ei,...,ejb,
к
что 0 ^ ег ^ 1, г = 1,..., к] У" ег = 1 на К; и для любой функции ег G
найдется множество Ua% ^ {Ua} такое, что suppez С Ua%-
Набор {ег} в этом случае называют разбиением единицы на компакте К,
подчиненным покрытию Ua.
6. Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о ко-
котором шла речь в задаче 5.
а) Постройте функцию / G С^°°^(Е,Ж) такую, что /|[-i,i] е 1 и supp/ с
1-<U+ 6], где6>0.
§5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 179
b) Постройте функцию / Е С'°°)(ЕП, Е) с указанными в а) свойствами для
единичного кубика в Еп и его Й-раздутия.
c) Покажите, что для любого открытого покрытия компакта К С Еп
существует гладкое разбиение единицы на К, подчиненное этому покрытию.
d) В развитие с) постройте С'°°^-разбиение единицы в Еп, подчиненное
локально конечному открытому покрытию всего пространства. (Локальная
конечность покрытия означает, что любая точка покрываемого множества, в
данном случае Еп, имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным чи-
числом элементов покрытия. Для разбиения единицы, содержащего бесконечное
число функций {ег}, вводится требование, чтобы любая точка множества, на
котором это разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу
носителей функций системы {ег}. При этом условии не возникает вопросов о
том, в каком смысле понимать равенство Х^ег = 1> точнее, стоящую в его
левой части сумму.)
7. Несколько иное в сравнении с изложенным доказательство теоремы 1,
опирающееся на возможность разложения лишь линейного отображения в ком-
композицию простейших и более близкое к указанным в п. 1 эвристическим со-
соображениям, можно получить, доказав последовательно следующие утвержде-
утверждения.
a) Проверьте, что при простейших линейных отображениях L: Еп ь-> Еп
вида (х\...,хк,...,хп) -> (xlf...,xk-1,\xk9xk+l,...,xn), \ /Ои (ж1,...,
хк,...,хп) ь-> (ж1,... ,хк~х,хк 4- х3,я*,... , жп) для любого измеримого мно-
множества Е С Еп выполнено соотношение fi(L(E)) — \ det Ь'\ц(Е) и докажи-
докажите, что это соотношение справедливо для любого линейного отображения L :
1П -у Еп. (Используйте теорему Фубини и возможность разложения линейно-
линейного преобразования в композицию указанных простейших.)
b) Покажите, что если ip: Dt -> Dx—диффеоморфизм, то для любого
измеримого компакта К С Dt и его образа <р(К) имеет место соотноше-
соотношение ii{if{K) ^ J\d.etip'(t)\dt. (Если о G А, то 3(ф'(а))~1 и в представлении
к
ip(t) = (if'(о) о (^'(о)) о tp)(t) отображение уг'(а) линейное, а отображение
((^'(а)) о (р близко к изометрическому в окрестности точки о.)
c) Покажите, что если рассматриваемая в теореме 1 функция / неотрица-
неотрицательна, то / /(ж) dx ^ J ((/ о ip)\ det y>'|)(£) dt.
Dx Dt
d) Применив предыдущее неравенство к функции (f оф)\ det y/| и отобра-
отображению (р~х: Dx —>■ Dt, покажите, что для неотрицательной функции / фор-
формула C) верна.
e) Представив функцию / из теоремы 1 в виде разности интегрируемых
неотрицательных функций, докажите справедливость формулы C).
8. Лемма Сарда. Пусть D—открытое множество в Жп, if G
Е C^(.D,En) u S—множество критических точек отображения (р. Тогда
ip(S) является множеством меры нуль (в смысле Лебега).
7-4574
180 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Напомним, что критической точкой гладкого отображения ip об-
области D с Ет в пространство Еп называлась такая точка х € D, в которой
rang (р'(х) < min{m, п). В случае т = п это равносильно условию det ip'(x) = 0.
a) Проверьте лемму Сарда для линейного отображения.
b) Пусть / — промежуток в области D, a tp € C^^D^W1). Покажите, что
существует такая функция a(h), а: Шп -> R, что a(h) -> 0 при h -> 0 и
\tp(x + h) — tp(x) — if'(x)h\ ^ а(Л)|Л| при любых x, x + h G /.
c) Используя b), оцените уклонение образа у>(/) промежутка / при отобра-
отображении^ от его же образа при линейном отображении L(x) = (р{а)-\-ф' (а){х—а),
где а € I.
d) Опираясь на а), Ь), с), покажите, что если 5 — множество критических
точек отображения ц> в промежутке /, то ip(S) есть множество меры нуль.
e) Закончите теперь доказательство леммы Сарда.
f) Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно потребо-
потребовать, чтобы отображение <р было взаимно однозначным отображением класса
Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным слу-
случаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо,
даже если D С Rm, а <р G C^(D,Rn), где к — тах{т — п + 1,1}. Величина к
здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы
ни было сочетание чисел тип.
В геометрии лемма Сарда известна как утверждение о том, что если
ip: D -> Еп—гладкое отображение открытого множества D с Ет в Еп, то
для почти всех точек х Е <p(D) их полный прообраз (р-1(х) = Мх в D есть
поверхность (многообразие) коразмерности п в Шт (т.е. т — dimMx — п для
почти всех х Е D).
9. Пусть вместо диффеоморфизма ц> в теореме 1 рассматривается произ-
произвольное отображение if G C^(DtiDx) такое, что det^'(£) Ф 0 в Dt. Пусть
п(х) = card{£ G supp(/ о ip) | ip(t) — #}, т.е. n(ar)—число точек носителя фун-
функции / о ср, которые при отображении <р: Dt -> Dx переходят в точку х G Dx.
Имеет место следующая формула:
/(/ • п)(х) dx = f((f о <p)\det (p'\)(t) dt.
Dx Dt
a) Какой геометрический смысл этой формулы при / = 1?
b) Докажите эту формулу для специального отображения кольца Dt =
= {t € Щ | 1 < \t\ < 2} на кольцо Dx - {х е Щ. \ 1 < \х\ < 2}, если в
полярных координатах (г, ср) и (р, в) плоскостей К^ и Ж| соответственно это
отображение записывается формулами г = /?, с^р = 20.
c) Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде.
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
§6. Несобственные кратные интегралы
1. Основные определения
Определение 1. Исчерпанием множества Е С Шт будем назы-
называть такую последовательность измеримых множеств {Еп}, что Еп С
оо
С En+i С Е при любом п е N и [J Еп = Е.
п=1
Лемма. Если {Еп} —исчерпание измеримого множества Е, то:
a) lim ц(Еп) = ц(Е);
п-»оо
b) для любой функции / Е 1Z(E) также /|#n Е lZ(En) и
lim / f(x)dx— / f(x)dx,
n—>oo / I
J J
En E
M а) Поскольку Еп С Еп+1 С Е, то fj,(En) ^ p(En+i) ^ p(E) и
lim fi(En) ^ ji>{E). Для доказательства равенства а) покажем, что вы-
п-^оо
полняется также неравенство lim ii(En) ^ и(Е).
п->оо
Граница 9S множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно по-
покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов кото-
которых меньше наперед заданной величины е > 0. Пусть А — объединение
всех этих открытых промежутков. Тогда множество EU А =: Е откры-
открыто в К™, причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е
и р{Е) ^ ц(Е) + р( А) < ц(Е) + е.
Для каждого множества Еп исчерпания {Еп} можно повторить опи-
описанное построение со значением £п — е/2п. Тогда получим последова-
последовательность открытых множеств Еп — Еп U Ап таких, что Еп С Еп,
~ оо _ оо
ц(Еп) ^ ii(En) + ц(Ап) < ii(En) + еп и \J En D \J En D Е.
Система открытых множеств А, Е\, Щ^... образует открытое по-
покрытие компакта Е.
Пусть A,Ei,E2,--.,Ek — извлеченное из него конечное покрытие
компакта Е. Поскольку Е\ С Е2 С ... С £^, то множества A, Ai,...,
тоже образуют покрытие Е и, значит,
^ (л(Ек) + //(А) + M(Ai) + ... + Д(ДЛ) < р(Ек) + 2е.
Отсюда следует, что ц(Е) ^ lim ц(Еп).
пюо
182
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) То, что /\еп G lZ(En), нам хорошо известно и следует из критерия
Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По усло-
условию / G И(Е), значит, существует постоянная М такая, что |/(х)| < М
на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем
Jf(x)dx-Jf(x)dx = J f(x)
Е
Еп
dx
Е\Еп
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) дей-
действительно имеет место. ►
Определение 2. Пусть {Еп} — исчерпание множества Е, а функ-
функция f:E—>R интегрируема на множествах Еп G {Еп}. Тогда величина
/f(x)dx~ lim f(x)dx,
n-»oo /
E
E
n
если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора
любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным
интегралом от функции f no множеству Е.
Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла
обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что
этот интеграл существует или сходится, если существует указанный
в определении 2 предел. Если же такого общего для всех указанных
исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функ-
функции / по множеству Е не существует или что интеграл расходится.
Цель определения 2 состоит в том, чтобы распространить понятие
интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или
неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом
обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо
Замечание 1. Если Е — измеримое множество и / G TZ(E), то
интеграл от / по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с
собственным интегралом от функции / по множеству Е.
М Именно об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше лем-
леммы. ►
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 183
Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного мно-
множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не пользу-
пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает
Утверждение 1. Если функция /:Е~^Ш неотрицательна и хо-
хотя бы для одного исчерпания {Еп} множества Е указанный в опре-
определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функ-
функции f по множеству Е сходится.
М Пусть {Efk}~ другое исчерпание множества Е, на элементах ко-
которого функция / интегрируема. Множества Е^ := ЕкГ\ЕП1 п = 1,2,...
образуют исчерпание измеримого множества Ек, поэтому из утвержде-
утверждения Ь) леммы следует, что
/f(x)dx — lim / f(x)dx^ lim / f(x)dx — A.
п-юо J n~>oo J
К Е\ En
Поскольку / ^ 0, а Ек С Ек+1 С Е, то
3 lim
К
Но теперь исчерпания {Еп}, {Е'к} равноправны, поэтому
значит, А = В. ►
(О О \
Будем исчерпывать плоскость Mr последовательностью кругов Еп =
- {(^5 у) € М2 | х2 + у1 < п2}. После перехода к полярным координатам
легко получаем, что
27Г П
И e(x4y2Uxdy = f dip I e~r2rdr = тгA - е~п2) -> тг
Еп 0 0
при п ->• оо.
В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый
интеграл сходится и равен 7г.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если
рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Е'п — {(х,у) G
184 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
х\ < п Л \у\ < п}. По теореме Фубини
п п
е^+у^ dxdy = I dy I е^хЧу2) dx=\ I e
E'n — n -n \ —n
В силу утверждения 1 последняя величина при п —> оо должна стре-
стремиться к 7г. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем,
что
+ ОО
/
е х dx =
—оо
Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд
особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут
указаны ниже в замечании 3.
2. Мажорантный признак сходимости несобственного ин-
интеграла
Утверждение 2. Пусть f и д — определенные на множестве Е
и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах
функции, причем \f(x)\ ^ g(x) на Е. Тогда из сходимости несобствен-
несобственного интеграла f g(x) dx вытекает сходимость интегралов f \f\(x)dx
Е Е
и f f(x)dx.
Е
М Пусть {Еп} — исчерпание множества i?, на элементах которого
обе функции g и / интегрируемы. Из критерия Лебега вытекает ин-
интегрируемость функции |/| на множествах Еп, п Е N, поэтому можно
записать, что
\f\(x)dx-J\f\(x)dx= I \f\(x)dx<
^ / g(x)dx— / g(x)dx— g(x)dx,
Еп+к\Еп En+k En
где к и п—любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом утвер-
утверждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности
позволяют заключить, что интеграл f \f\{x) dx сходится.
Е
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185
Рассмотрим теперь функции /+ := j(|/| + /), /_ := ^(|/| — /). Оче-
Очевидно, 0</+<|/|и0</_<|/|.В силу уже доказанного несоб-
несобственные интегралы от функций /+ и /_ по множеству Е сходятся. Но
/ — /_!_ — /_, значит, сходится и несобственный интеграл от функции /
по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций
/+ и /-). ►
Для того, чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользо-
пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полез-
полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения. Рассмо-
Рассмотрим в этой связи
Пример 2. В n-мерном единичном шаре В С W1 с выколотым
центром 0 рассматривается функция 1/га, где г = d@, x) —расстояние
от точки х £ В \ 0 до точки 0. Выясним, при каких значениях a £
Е К интеграл от этой функции по области В \ 0 сходится. Для этого
построим исчерпание области кольцевыми областями В(е) = {х 6 В
e<d{0,x) < 1}.
Переходя к полярным координатам с центром 0, по теореме Фубини
получаем
dx /■.,,. Г rn~ldr
где dip = d(p\...d(pn-i, f(cp)—некоторое произведение синусов углов
(^1,..., (рп-2) появляющееся в якобиане перехода к полярным координа-
координатам в Кп, а с — величина интеграла по S, которая зависит только от п
и не зависит от г и е.
При е —> +0 полученная величина интеграла по В(е) будет иметь
конечный предел, если а < п. В остальных случаях последний интеграл
стремится к бесконечности, когда е —> +0.
Итак, мы показали, что функция -^—г, где с?—расстояние до
точки 0, интегрируется в проколотой окрестности этой точки лишь
при а < п, где п — размерность пространства.
Аналогично показывается, что вне шара S, т.е. в окрестности бес-
бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле,
лишь когда а > п.
Пример 3. Пусть / = {х £ Шп | 0 < ж* < 1, г = 1,...,п} —
186 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
n-мерный куб, a Ik— его /г-мерная грань, задаваемая условиями ;
= ... = хп = 0. На множестве I \ Ik рассмотрим функцию ,а/ \, где
d(x) — расстояние от точки х € / \ h до грани /&. Выясним, при ка-
каких значениях аб! интеграл от этой функции по множеству /
сходится.
Заметим, что если х = (ж1,... ,ж*,ж*+1,... ,жп), то
Пусть 7(е) —это куб /, из которого удалена ^-окрестность грани
По теореме Фубини
/dx /* , 1 , ь f dxk+l... dx71 f du
— / Wt1 //t I = /
» / \ — / {*"Ь • • • ^*"*J I ,,iiiso / \O\/o — / 1
if\ ж \ ж Ш i i к* —I— I \ У \ i / T7 ixi /V / У f я fY
/T t-* I /T* If f I I ^Y*fv ^^ -i- 1 « I I I /T* r v \ ^J 1 1-* / if f 4 I *-*
\ / J J \\ / I • ■ • I \ / / ч/
где w = (xfc+1,..., жп), /n_fc(e) —грань /n_fc С W~k, из которой удалена
е-окрестность точки и — 0.
Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что послед-
последний интеграл сходится лишь при а < п — к. Значит, рассматривае-
рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при а < п — &, где
к — размерность грани, около которой функция может неограниченно
возрастать.
Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было провере-
проверено, что сходимость интеграла от функции |/| влечет сходимость инте-
интеграла от функции /. Оказывается, для несобственного в смысле опре-
определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в
рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на
прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) схо-
сходимости несобственного интеграла. Чтобы сразу понять суть возник-
возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следу-
следующий
Пример 4. Пусть функция /: М+ —>■ R определена на множест-
ве М+ неотрицательных чисел следующими условиями: f(x) = *—^—,
если п — 1 ^ ж < n, n€N.
оо
п
Поскольку ряд Y1 —п— сходится, то, как легко видеть, предел
п=1
Л
при А —> оо интеграла f f(x) dx существует и равен сумме указанного
о
§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 187
ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его чле-
членов можно получить ряд, например, расходящийся к +оо. Частичные
суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от фун-
функции / по объединению Еп соответствующих членам ряда отрезков
вещественной оси. Множества Еп в совокупности, очевидно, образуют
исчерпание области М+ задания функции /.
оо
Таким образом, несобственный интеграл *J f(x)dx от предъявлен-
о
ной функции /: М+ 4 1в прежнем его понимании существует, а в
смысле определения 2 не существует.
Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от
выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от поряд-
порядка суммирования его членов. Последнее, как нам известно, в точности
равносильно абсолютной сходимости.
На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать
лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная
в области D функция f:D—>M. неограничена в окрестности некото-
некоторого множества Е С 3D. Тогда мы удаляем из D точки, лежащие в
£-окрестности множества Е, и получаем область D(e) С D. При е —> О
эти области порождают исчерпание D. Если же область неограничен-
неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в D к окрестно-
окрестностям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое
время и рассматривали в одномерном случае, и именно эти специальные
исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай простран-
пространства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения
несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили,
изучая несобственные интегралы на прямой.
3. Замена переменных в несобственном интеграле. В заклю-
заключение получим формулу замены переменных в несобственных интегра-
интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое допол-
дополнение к теоремам 1 и 2 из § 5.
Теорема 1. Пусть tp: Dt —> Dx—диффеоморфное отображение
открытого множества Dt С Щ на такое же множество Dx С К£,
а функция /: Dx —> К интегрируема на измеримых компактных под-
подмножествах множества Dx. Если несобственный интеграл J f(x)dx
188 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходится, то интеграл f ((/ о ф)\ det (pf\)(t)dt такэюе сходится и их
значения совпадают.
< Открытое множество Dt С Щ можно исчерпать последовательно-
последовательностью лежащих в Dt компактов Е^ k € N, каждый из которых является
объединением конечного числа промежутков пространства Щ (см. в
этой связи начало доказательства леммы 1 из §5). Поскольку ср: Dt ->
—>■ Dx — диффеоморфизм, исчерпанию {Е$} множества Dt отвечает ис-
исчерпание Ех множества Dx, где Е% = <р(Е^)— измеримые компакты
в Dx (измеримость множеств Ех следует из леммы 1, § 5). В силу утвер-
утверждения 1 из § 5 можно записать, что
f(x)dx= f((fo<p)\deb<ff\)(t)dL
Левая часть этого равенства при к -* оо по условию имеет предел.
Значит, правая часть при к —>■ оо тоже имеет, и притом тот же, пре-
предел. ►
Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоя-
стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот
же предел при любом исчерпании Dt указанного специального вида. В
дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть те-
теоремы. Но формально для завершения доказательства сформулирован-
сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 прове-
проверить, что найденный предел существует для любого исчерпания обла-
области Dt- Эту (не вполне элементарную) проверку мы оставляем чита-
читателю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из дока-
доказанного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от
функции |/ о ср\\ det tpf\ по множеству Dt (см. задачу 7).
Теорема 2. Пусть ср: Dt —> D% —отображение открытых мно-
множеств Dt и Dx. Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие
множества St, Sx меры нуль, что Dt\St, DX\SX —открытые множе-
множества, а ср диффеоморфно отображает первое из них на второе. Если
при этих условиях несобственный интеграл f f(x)dx сходится, то
Dx
сходится также интеграл J ((/ ° у>)| det (pf\){t) dt и их значения со-
Dt\St
впадают. Если к тому же величина \ det <pf\ определена и ограничена на
§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189
компактных подмножествах множества Dt, то функция (f°ip)\ det ip1
интегрируема в несобственном смысле по множеству Dt и имеет ме-
место равенство
[f(z)dx= J ((fotp)\det<p'\)(t)dt.
Dx Dt\St
M Сформулированное утверждение является прямым следствием те-
теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из § 5, если учесть, что при
отыскании несобственного интеграла по открытому множеству мож-
можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых
компактов (см. замечание 3). ►
Пример 5. Вычислим интеграл ff \ У 2 , который
х2+у2<1 A~Ж ~У >
при а > 0 является несобственным, поскольку тогда подынтегральная
функция неограничена в окрестности окружности х2 + у2 = 1.
Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем
dxdy ff rdrd(p
При а > 0 последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку
подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как
предел по специальному исчерпанию прямоугольника / — {(г,ф) 6 IK2
0<£^<27гЛО<г< 1} прямоугольниками 1п = < (г, ф) € IK2 \ 0 < tp <
<2тгЛО<г<1 — ^ L n € N. Используя теорему Фубини, находим, что
при а < 1
2тг 1~п
п 1
7Г
A-г2)« I-a'
0<¥><2тг О О
0<г<1
На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный
интеграл при а ^ 1 расходится.
Пример 6. Покажем, что интеграл ff . ,pf |<7 сходится
лишь при условии р + о < 1.
190
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
< Ввиду очевидной симметрии достаточно рассмотреть интеграл
только по области D, в которой ж ^ 0, у^0иж + у>1.
Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное вы-
выполнение условий р > 0 и q > 0. Действительно, если бы, например, было
р ^ 0, то уже для интеграла по прямоугольнику 1а = {(ж, у) €
, лежащему в D, мы бы получили оценку
1
П
JJ
1А
dx dy
Л
Г Г
У Х]
dy
Л
х\*+\у\
Г Г
] J
dy
1+Ы
1
Г
dy
которая показывает, что при А —>■ оо этот интеграл неограниченно воз-
возрастает. Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать,
что р > 0 и q > 0.
В ограниченной части области D подынтегральная функция не име-
имеет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла
равносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции,
но, например, по той части G области D, где хр 4- yq ^ а > 0. Число
а предполагается достаточно большим, чтобы кривая хр + уя = а при
х ^ 0, у ^ 0 лежала в D.
Переходя к обобщенным полярным координатам ip по формулам
х = (г cos
на основании теоремы 2 получаем
У =
ff
JJ
dxdy
ff
JJ
1+I-2
P 9
Используя исчерпание области {(г, у?) G
< оо} промежутками/^ = {(г, ^)б1К2
и применяя теорему Фубини, получаем
drdcp.
0 < у? < тг/2 Ла ^ г <
£^< тг/2—еЛа < г < Л}
гр•
I—2
я cosp
--1
p
drdip —
a<r<oo
г/2
/
lim
A-too
I_|_I_2
р
im гр я
-too J
dr.
a
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 191
Поскольку р > 0 и q > О, первый из этих пределов заведомо конечен,
а второй конечен, лишь когда „ + ^ < 1. ►
Задачи и упражнения
1. Укажите условие на р и q, при котором интеграл JJ
сходится.
л
2. а) Существует ли lim Jcosx2dx?
А—Юо q
b) Сходится ли интеграл J cos x2 dx в смысле определения 2?
c) Проверив, что
lim / / sinB:2 + y2)dxdy = ж
n^ooJJ
и
lim / / sin(a;2 + у2) dxdy = 0,
n->oo JJ
убедитесь, что интеграл от sin(a;2 -Ь у2) по плоскости М2 расходится.
ill
3. а) Вычислите интеграл Г Г Г d%d4d$
b) Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к несобствен-
несобственным (как, впрочем, и к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл
2 2
// (Х{1 ~\л dx dy расходится, в то время как оба повторных интеграла
00ОО22 ОООО
22
и SdvfjZr^fcdx сходятся
с) Докажите, что если / £ С(М2,М) и / ^ 0 в й2, то из существования
оо ос ос оо
любого из двух повторных интегралов f dx f f{x^y)dy, J dy J f(x,y)dx
—oo —oo . —oo —oo
вытекает, что интеграл JJ f(x,y) dxdy сходится и равен значению этого по-
R2
вторного интеграла.
4. Покажите, что если / £ С(Е, Е), то
1
lim- f--h—f(x)dx = №.
h^O 7Г J tlz + Xz
5. Пусть D — ограниченная область в En с гладкой границей, a S — глад-
гладкая fc-мерная поверхность, лежащая на границе области D. Покажите, что
192 ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
если функция / € C(D,R) допускает оценку |/| < п\_£ -> где d = d(S,x) —
расстояние от точки х € D до S, а е > О, то интеграл от функции / по
области D сходится.
6. В дополнение к замечанию 1 покажите, что оно остается в силе даже
без предположения об измеримости множества Е.
7. Пусть D — открытое множество в!п,а функция /: D —> Ж интегриру-
интегрируема на любом измеримом компакте, лежащем в D.
a) Покажите, что если несобственный интеграл от функции |/| по D рас-
расходится, то найдется такое исчерпание {Еп} множества -D, что каждое из
множеств Еп является элементарным компактом в .D, состоящим из конеч-
конечного числа n-мерных промежутков и // \}\{х) dx —> +оо при п —> ос.
Еп
b) Проверьте, что если интеграл от / по некоторому множеству сходится,
а от |/| расходится, то должны расходиться также интегралы от /+ — j
с) Покажите, что полученное в а) исчерпание {Еп} можно разрядить так,
что для любого п € N будет выполняться соотношение / /+ (х) dx >
> f |/|(ж) da: +n.
Еп
d) С использованием нижних интегральных сумм покажите, что если
J f+(x)dx > Л, то найдется такой элементарный компакт F С Е, состоящий
Е
из конечного числа промежутков, что f f(x) dx > А.
F
e) Выведите из с) и d), что существует такой элементарный компакт Fn С
С En+i \Еп, для которого / f(x)dx> f \f\(x)dx -\-n.
Fn En
f) Покажите, используя е), что множества Gn = Fn П Еп являются ле-
лежащими в D элементарными компактами (т. е. состоят из конечного числа
промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества D и
для которых имеет место соотношение / f(x) dx —> +оо при п —> ос.
Gn
Таким образом, если интеграл от |/| расходится, то расходится (в смысле
определения 2) и интеграл от функции /.
8. Проведите подробно доказательство теоремы 2.
9. Напомним, что если х — (ж1,... ,хп), а£ = (£*,... ,£п), то (х,£) = х1^1 +
+... +хп1;п есть стандартное скалярное произведение в W1. Пусть А = (агз) —
комплексная симметричная (гг х п)-матрица. Обозначим через Re А матрицу с
элементами Re а^; запись Re А ^ 0 (Re А > 0) означает, что ((Re А)х,х) ^ 0
(соответственно > 0) для любого х £ Шп, х ^ 0.
§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 193
а) Покажите, что если Re А ^ 0, то при А > 0, £
/
>п
exp l
При этом ветвь \/det~A выбрана следующим образом:
(det А)/2 - | det Ay1'2 ехр(-г bid
1 г—«, 7Г
2 ^-^ ' 2'
где fAj(A)—собственные значения матрицы А.
Ь) Пусть А — вещественная симметричная невырожденная (пхгг)-матрица.
Тогда при С € Шп и А > О
= {^у | det АГ1/2 exp (-^(A-4,f>J exp (Д sgn
Здесь sgn Л — сигнатура матрицы Л, т.е.
где v+(A)—число положительных, v~(A)—число отрицательных собствен-
собственных значений матрицы А.
ГЛАВА XII
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ В W1
В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности, со-
согласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для
вычисления площади поверхности, лежащей в Мп, а также даны на-
начальные представления о дифференциальных формах. Владение пере-
перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и
поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава.
§ 1. Поверхность в W1
Эталоном fc-мерной поверхности является Шк.
Определение 1. Поверхностью размерности к (k-мерной поверх-
поверхностью или к-мерным многообразием) в Шп называется такое множе-
множество ScRn, каждая точка которого имеет в S окрестность1), гомео-
морфную2) Шк.
Определение 2. Отображение (р: Шк —)■ U С 5, осуществляю-
осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется
окрестностью точки х G S С Шп в множестве 5, как и прежде, понимается
множество Us(x) = SO U(x), где U(x) окрестность ibR". Поскольку в дальнейшем
речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения обозначе-
обозначений, если не возникает недоразумений, мы пишем U или U(x) вместо Us(x).
2^Ha5cRn, а значит, и на U С S имеется естественная, индуцированная из Rn
метрика, поэтому можно говорить о топологическом отображении U bW1 .
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn 195
картой или локальной картой поверхности S; Шк — областью параме-
параметров, a U — районом или областью действия карты на поверхности S.
Локальная карта вводит в U криволинейные координаты, сопоста-
сопоставляя точке х = (p(t) 6 U числовой набор t = (tl,... ,tk) 6 Шк. Из опре-
определения поверхности видно, что совокупность описываемых им объек-
объектов S не изменится, если в нем Шк заменить любым гомеоморфным Шк
топологическим пространством. Чаще всего вместо Шк за стандартную
область параметров локальных карт принимают открытый куб 1к или
открытый шар Вк в Шк. Но это чистая условность.
Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядно-
наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве кано-
канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать
куб 1к. Итак, карта
<p:Ik -+UCS A)
локально дает параметрическое уравнение х = (p(t) поверхности
Scln,a сама fc-мерная поверхность, таким образом, локально устрое-
устроена как продеформированный стандартный fc-мерный промежуток
1кСШп.
Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, па-
параметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю по-
поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность
обычно называют элементарной. Например, график в Шк+1 непрерыв-
непрерывной функции /: 1к -» К является элементарной поверхностью. Однако
элементарность поверхности скорее исключение, чем правило. Напри-
Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать толь-
только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней
мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа).
В соответствии с возникшей аналогией примем
Определение 3. Набор A(S) := {(рг: 1к —> Uui 6 N} локальных
карт поверхности S, районы действия которых в совокупности покры-
покрывают всю поверхность (т.е. S — [JU%)) называется атласом поверхно-
г
emu S.
Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно,
тоже является атласом этой поверхности.
Если на отображения A) —локальные параметрические уравнения
поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что
196 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в Шп может ока-
оказаться расположенной весьма странно. Например, может случиться,
что гомеоморфнал двумерной сфере поверхность, т. е. топологически—
сфера, лежит в Ш3, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару
(так называемая рогатая сфера1)).
Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с суще-
существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. VIII, § 7 определи-
определили гладкую k-мерную поверхность, лежащую в Мп, как такое множество
SCln, что для каждой точки хо 6 S найдутся ее окрестность U(xq)
вГи диффеоморфизм ф: U(x0) -> In = {t 6 Шп | |t| < l,i = 1,... ,n},
при котором множество Us{xo) '•— S П U(xo) преобразуется в куб 1к =
= in n {t e шп | tk+1 = ... = tn = o}.
Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхно-
поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения х = ip~l(tl,..., tk)
О,..., 0) = <p{tl,..., tk), очевидно, задают локальную параметризацию
поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера ро-
рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, даже если ф просто го-
гомеоморфизмы. Однако если отображения A) достаточно регулярны, то
понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле
совпадают.
По существу, это уже было показано в примере 8 из § 7 гл. VIII,
но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и
напомним, как получается ответ.
Утверждение. Если отображение A) принадлежит классу
С(г'Aк,Шп) и в каждой точке куба Ik имеет максимально возможный
ранг к, то найдутся число е > 0 и такой диффеоморфизм <р£: If —> W
куба I™ :— {t Е Шп | |£г| ^ е,г = 1,... ,гг} размерности п в пространс-
пространство Шп, что <p\jkn/n =
Иными словами, утверждается, что при указанных условиях ото-
отображения A) локально являются ограничениями на fc-мерные кубы 1к =
= 1к П If диффеоморфизмов полномерных кубов If.
< Положим для определенности, что уже первые к из п коорди-
координатных функций хг = (pl(t%,..., tk), г = 1,..., 7i, отображения х = <p{t)
^Пример поверхности, о которой идет речь, был построен Александером.
Дж.У. Александер A888-1977)—американский математик-тополог.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
197
таковы, что det ( -£г ) @) Ф 0, i,j = 1,..., к. Тогда в силу теоремы о
\ dtJ /
неявной функции соотношения
около точки
.k+l _
— @,
эквивалентны соотношениям
^/V, ••-,**),
= fk(x1,...,xk),
J
В таком случае отображение
tl=fl(x\...,xk),
= fk(x\...,xk),
, . . . , х
является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки #о £ Кп
В качестве </?е можно теперь взять ограничение обратного к нему диф-
диффеоморфизма на некоторый куб /". ►
198 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в по-
последнем диффеоморфизме было е — 1, а куб I™ был единичным.
Итак, показано, что для гладкой поверхности в Шп можно принять
следующее эквивалентное прежнему
Определение 4. Поверхность размерности ^вЕп (введенная оп-
определением 1) называется гладкой (класса С^ш\ т ^ 1), если она обла-
обладает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса
С(ш\ т ^ 1) отображениями и в каждой точке области своего опреде-
определения имеют ранг &.
Заметим, что условие на ранг отображений A) существенно. На-
Например, аналитическое отображение Мэ(н (ж1, ж2) GK2, задаваемое
формулами ж1 = £2, ж2 = £3, определяет кривую в плоскости М2, име-
имеющую острие в точке @,0). Ясно, что эта кривая не является гладкой
1-мерной поверхностью в R2, ибо последняя должна иметь касательную
A-мерную касательную плоскость) в любой точке1).
Таким образом, в частности, не следует смешивать понятие гладко-
гладкого пути класса С^ и понятие гладкой кривой класса С^т\
В анализе, как правило, имеют дело с достаточно гладкими пара-
параметризациями A) ранга к. Мы убедились, что в этом случае принятое
здесь определение 4 гладкой поверхности совпадает с уже рассмотрен-
рассмотренным в гл. VIII, § 7. Однако если прежнее определение было наглядным
и сразу избавляло от некоторых лишних хлопот, то известное преиму-
преимущество определения 4, согласованного с определением 1 поверхности,
состоит в том, что оно с легкостью может быть доведено до определе-
определения абстрактного многообразия, не обязательно лежащего в W1. Здесь
же нас будут интересовать пока только поверхности в Шп.
Рассмотрим некоторые примеры таких поверхностей.
Пример 1. Напомним, что если F1 е С(т\Шп,Ш), г = 1,...,
п — к — такой набор гладких функций, что система уравнений
= 0,
B)
хп) = 0
, . . . , X ) — \)
в любой точке множества S своих решений имеет ранг п — &, то эта
касательной плоскости см. в гл. VIII, § 7.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В
199
система либо вовсе не имеет решений, либо в качестве множества ре-
решений имеет fc-мерную С'т'-гладкую поверхность S в Шп.
•4 Проверим, что если S ф 0, то S действительно удовлетворяет
определению 4. Это вытекает из теоремы о неявной функции, в силу
которой в некоторой окрестности любой точки хо 6 S система B), с
точностью до переобозначения переменных, эквивалентна системе
fc+1
где /fc+1,..., fn E
Записывая последнюю систему в виде
хк =
приходим к параметрическому уравнению окрестности точки хо 6 S
на S. Дополнительным преобразованием область параметров, очевид-
очевидно, можно превратить в каноническую, например в /fe, и получить стан-
стандартную локальную карту A). ►
Пример 2. В частности, задаваемая в Шп уравнением
(г>0)
C)
сфера есть (п — 1)-мерная гладкая поверхность в Мп, поскольку мно-
множество S решений уравнения C), очевидно, непусто и в любой точке S
градиент левой части уравнения C) отличен от нуля.
При п = 2 получаем в М2 окружность
200 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
которую легко локально параметризовать полярным углом 0, используя
полярные координаты
X1 = Г COS в,
ж2 = г sinO.
Отображение в \-¥ (ж*,ж2)@) при фиксированном значении г > О
является диффеоморфизмом на любом промежутке вида во < в < #о +
+ 2тг, и двух карт (например, отвечающих значениям во = 0 и 0q = —тг)
достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической
картой A) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность-
компакт, в отличие от Ш1 или I1 = В1, а свойство топологического
пространства быть компактом инвариантно относительно топологиче-
топологических преобразований.
Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и
для параметризации двумерной сферы
(х1J + (х2J + (х3J = г2
в М3. Обозначая через ф угол между направлением вектора (ж1, ж2, я3)
и направлением оси Ох3 (т. е. 0 ^ ф ^ тг), а через <р — полярный угол
проекции радиус-вектора (а:1, ж2, ж3) на плоскость (ж1, ж2), получаем
х3 = г cos?/;,
ж2 = rsin^sin^,
х1 = г siпф cos if.
В общем случае полярные координаты (г, #i,..., 0n-i) в Кп вводятся
соотношениями
х1 = г cos 01,
х2 = г sin 0i cos 02,
D)
xn-i _ r sin 0i sin 02 •... • sin0n_2cos0n_i,
хп —v sin 0i sin 02 • ... • sin 0n_2 sin 0n-i •
Напомним якобиан
J = rn~l sin71'2 0i sinn 02 •... • sin0n_2 E)
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn 201
перехода D) от общих полярных координат (r,0i,... ,#n-i) K декарто-
декартовым координатам (ж1,..., хп) в Шп. Из выражения якобиана видно, что
он отличен от нуля, если, например, 0 < #г < тг, г = 1,..., п — 2 и г > 0.
Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл параме-
параметров 0Х,... ,0n_i, можно гарантировать, что при фиксированном г > 0
отображение @Х,..., 0п_х) н-> (ж1,..., жп) как ограничение локального
диффеоморфизма (г, вг,..., #п_!) >-»■ (ж1,..., жп) само локально диффео-
морфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных пре-
преобразований Ш1, поэтому отсюда уже следует возможность построения
локальной карты для окрестности любой точки сферы.
Пример 3. Цилиндр
(ж1J + ... + (ж*J = г2 (г>0),
при к < п есть (п — 1)-мерная поверхность в Шп, являющаяся прямым
произведением (г — 1)-мерной сферы плоскости переменных (ж1,... ,хк)
и (п — &)-мерной плоскости переменных (ж*+1,..., хп).
Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может
быть получена, если в качестве первых к — 1 из (п — 1) параметров
(f1,..., tn~l) взять полярные координаты #!,..., 0^-1 точки (& ~ ^-мер-
^-мерной сферы в К^, a tk,..., tn~l положить равными xk+l,..., хп соответ-
соответственно.
Пример 4. Если в плоскости ж = 0 пространства М3, наделенного
декартовыми координатами (ж, у, z), взять кривую A-мерную поверх-
поверхность), не пересекающую ось Oz, и вращать ее относительно оси Oz,
то получится 2-мерная поверхность, в качестве локальных координат
которой можно принять локальные координаты исходной кривой (ме-
(меридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на парал-
параллели).
В частности, если в качестве исходной кривой взять окружность
радиуса а с центром в точке F,0,0), то при а < Ь получим двумерный
тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено
в виде
ж = (b + a cos ф) cos (p,
у = (b + a cos ф) sin <£,
z = a sin
щеф—угловой параметр на исходной окружности — меридиане, аир
угловой параметр на параллели.
202 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Рис. 69.
Рис. 70.
Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в
топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором). Как
видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей.
Поскольку окружность получается из отрезка склеиванием (отожде-
(отождествлением) его концов, тор можно получить из прямого произведения
отрезков, т.е. из прямоугольника, склеиванием противоположных сто-
сторон прямоугольника по соответствующим точкам (рис. 70).
В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда устано-
установили, что конфигурационное пространство двойного маятника является
двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе.
\
Ч
а.
Ъ.
Рис. 71
ч /
С.
Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по стрел-
стрелкам, указанным на рис. 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или
цилиндрическую поверхность (рис. 71, Ь), что с топологической точки
зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны). Если же ленту
склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в Ш3 по-
поверхность (рис. 72, Ь), называемую в математике листом Мёбиуса1'.
. Ф. Мёбиус A790-1868) —немецкий математик и астроном.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В
203
г -,i
ШиШУШШ '%
а.
Ь.
Рис. 72.
Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся
посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный пря-
прямоугольник.
Пример 6. Сопоставляя изложенное в
примерах 4 и 5, поддавшись естественной ана-
аналогии, можно теперь предписать склейку пря-
прямоугольника (рис. 73, а), объединяющую в се-
себе и элементы тора, и элементы листа Мёбиу-
Мёбиуса. Но подобно тому, как лист Мёбиуса нельзя
было склеить без разрывов или самопересече-
самопересечений, не выходя за пределы плоскости М2
так и
предписанную склейку не удастся выполнить
а.
в
г»
в
Рис. 73.
это уже можно сделать и в
результате получить в Ш4 поверхность, кото-
которую принято называть бутылкой Клейна1*. Попытка изобразить эту
поверхность предпринята на рис. 73, Ь.
Последний пример дает некоторое представление о том, что поверх-
поверхность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в опре-
определенном пространстве Шп. Более того, многие важные поверхности
(различной размерности) первоначально возникают не как подмноже-
подмножества Мп, а, например, как фазовые пространства механических систем,
как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как
фактор-пространства относительно групп автоморфизмов исходного
пространства, и так далее, и тому подобное. Мы ограничимся пока эти-
этими первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. XV,
где будет дано общее определение поверхности, не обязательно лежа-
.Х.Клейн A849-1925)—крупный немецкий математик, впервые строго обо-
обосновавший непротиворечивость неевклидовой геометрии. Знаток истории матема-
математики, один из организаторов издания «Энциклопедии математических наук».
204 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
щей в Шп. Но уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим,
что, согласно известной теореме Уитни1^, любую fc-мерную поверхность
можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую
в пространстве M2fc+1. Значит, рассматривая поверхности в К", мы на
самом-то деле ничего не теряем с точки зрения их топологического раз-
разнообразия и классификации. Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне
от наших скромных потребностей в геометрии.
Задачи и упражнения
1. Для каждого из множеств Еа, задаваемых условиями
Еа = {(x,y,z) Е Е3 | х2 + у2 - z2 = а},
Еа ={zeC\ \z2-l\=a},
в зависимости от значения параметра qgM выясните:
a) является ли Еа поверхностью;
b) если да, то какова размерность Еа;
c) связно ли Еа.
2. Пусть /: W1 —»■ W1—гладкое отображение, удовлетворяющее условию
/°/ = /.
a) Покажите, что множество /(Еп) является гладкой поверхностью в Еп.
b) Какой характеристикой отображения / определяется размерность этой
поверхности?
3. Пусть ео, ег,..., еп — ортонормированный базис в евклидовом простран-
пространстве Rn+1, х = х°ео + х1е1 + .. . + хпеп, {х} — точка (ж0,ж1,.. .,хп), е1?... ,еп —
базис в W1 С En+1.
Формулы
. х - х°ео , .х- х°е0
фг = — г- при х ф е0, 4>ъ = -i——п~ при х ф -е0
1 хи 1 + хи
задают стереографические проекции
ф1: Sn \ {е0} -> Еп, ф2 ■ Sn \ {-е0}
1
из точек {ео} и {—ео} соответственно.
а) Выясните геометрический смысл этих отображений.
.Уитни A907-1989)—американский математик-тополог, один из создателей
теории расслоенных пространств.
§ 2 ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 205
b) Проверьте, что если t Е W1 и t ф 0, то (гр2 ° Ф-^1)^) = гт?? где
\Ц
c) Покажите, что две карты фг 1 = cpi: Еп —>■ Sn \ {eo}, ф2 * = № '• ^п ~*
-4 Sn \ {—ео} образуют атлас сферы Sn С En+1.
d) Докажите, что любой атлас сферы должен иметь не менее двух карт.
§2, Ориентация поверхности
Напомним, прежде всего, что переход от одного репера е1?..., еп
пространства W1 к другому е1?..., ёп осуществляется посредством ква-
квадратной матрицы (ар, возникающей из разложений е3 — агег. Опреде-
Определитель этой матрицы всегда отличен от нуля и все реперы простран-
пространства разбиваются на два класса эквивалентности, если в один класс
отнести реперы, для которых определитель матрицы взаимного пере-
перехода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами
ориентации реперов пространства W1.
Задать ориентацию Мп значит по определению фиксировать один из
этих классов ориентации реперов ШР1. Таким образом, ориентирован-
ориентированное пространство W1—это само пространство W1 плюс фиксирован-
фиксированный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации,
достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что
ориентированное пространство W1—это Мп вместе с фиксированным
в нем репером.
Репер в Шп порождает в W1 систему координат, и переход от од-
одной такой системы координат к другой осуществляется матрицей (с^),
транспонированной по отношению к матрице (аг3) связи реперов. По-
Поскольку определители этих матриц одинаковы, можно было бы все ска-
сказанное выше об ориентации повторить на уровне классов ориентации
систем координат в W1, относя в один класс те координатные систе-
системы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с
положительным якобианом.
Оба эти, по существу, совпадающие подхода к описанию понятия
ориентации пространства W1 проявятся и при описании понятия ори-
ориентации поверхности, к которому мы переходим.
Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между ко-
координатами и реперами в случае, когда речь идет о системе криволи-
криволинейных координат.
206 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Пусть G и D — диффеоморфные области, лежащие в двух экземпля-
экземплярах пространства W1, наделенных декартовыми координатами
(ж1,... ,жп) и (t1,...,^) соответственно. Диффеоморфизм ip: D —»• G
можно рассматривать как введение в области G криволинейных ко-
координат (i1,...,*") по закону х = (p(t), т.е. точка х Е G наделяет-
наделяется декартовыми координатами (t1,...,^) точки t = (p~l(x) Е D. Ес-
Если в каждой точке t Е D рассмотреть репер е1,...,еп касательно-
касательного пространства ТЩ, составленный из ортов координатных напра-
направлений, то в D возникнет поле реперов, которое можно рассматри-
рассматривать как разнесение по точкам D параллельно самому себе орторе-
пера исходного пространства Мп, содержащего область D. Поскольку
ip: D —> G — диффеоморфизм, отображение <p'(t): TDt —> TGx=(p^ ка-
касательных пространств, осуществляемое по закону TDt Эеч <pf(t)e -
= £ Е TGX, в каждой точке t является изоморфизмом касательных
пространств. Значит, из репера е1,...,еп в TDt при этом получится
репер £1 = (p'(t)ei,..., £n = (pf(t)en в TGX, а поле реперов на D пре-
преобразуется в поле реперов на G (рис. 74). Поскольку (р Е C^(D,G), то
векторное поле £(х) = £(<p(t)) = (pf(t)e(t) непрерывно в G, если век-
векторное поле е(£) непрерывно в D, Таким образом, любое непрерывное
поле реперов (состоящее из п непрерывных векторных полей) при диф-
диффеоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов. Рассмотрим
1
I
D
Рис. 74.
теперь пару диффеоморфизмов срг: D% —> G, г = 1,2, которые по закону
х = (Pi(tt) вводят в одной и той же области G две системы криволи-
криволинейных координат (£},..., t™) и (&2, • • •, Щ)• Взаимно обратные диффео-
диффеоморфизмы (р\о(р2: D\ —)■ D2, (p2OiPi'- D2 —> D\ осуществляют взаимные
переходы между этими системами координат. Якобианы этих отобра-
отображений в соответствующих друг другу точках областей Z?i, D2 взаимно
обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область G
(а вместе с нею D\ и^) связна, то ввиду непрерывности и необраще-
необращения в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак
во всех точках областей D\ и /?2> соответственно.
§ 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 207
Значит, все вводимые указанным способом в связной области G
системы криволинейных координат распадаются точно на два клас-
класса эквивалентности, если в один класс отнести те системы, взаимные
преобразования которых осуществляются с положительным якобианом.
Такие классы эквивалентности называют классами ориентации систем
криволинейных координат в области G.
Задать ориентацию в области G по определению означает фикси-
фиксировать в G класс ориентации систем ее криволинейных координат.
Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу ориента-
ориентации системы криволинейных координат области G порождают в G (как
это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой
точке х Е G лежат в одном классе ориентации реперов касательного
пространства TGX. Можно показать, что вообще непрерывные поля ре-
реперов области G в случае ее связности разбиваются точно на два класса
эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в
каждой точке х Е G принадлежат одному классу ориентации реперов
пространства TGX (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа).
Таким образом, одну и ту же ориентацию области G можно задать
двумя совершенно равносильными способами: указанием некоторой си-
системы криволинейных координат в G или заданием любого непрерыв-
непрерывного поля реперов в G, принадлежащего тому же классу ориентации,
что и поле реперов, порожденное этой системой координат.
Теперь ясно, что ориентация связной области G вполне определит-
определится, если хотя бы в одной точке х Е G будет указан репер, ориентирую-
ориентирующий TGX. Это обстоятельство широко используется на практике. Если
такой ориентирующий репер в некоторой точке xq E G задан, и взята
какая-то система криволинейных координат ср: D —> G в области G,
то, построив в TGXo репер, индуцированный этой системой координат,
сравниваем его с заданным в TGXo ориентирующим репером. В слу-
случае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации TGXo,
считают, что криволинейные координаты задают на G ту же ориента-
ориентацию, которая предписывается ориентирующим репером. В противном
случае — противоположную ориентацию.
Если G открытое, но не обязательно связное множество, то, по-
поскольку все изложенное применимо к любой связной компоненте мно-
множества G, для того, чтобы ориентировать G, надо задать свой ориен-
ориентирующий репер в каждой связной компоненте G. Значит, если таких
компонент т, то множество G допускает 2т различных ориентации.
208 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Сказанное об ориентации области G С К" можно дословно повто-
повторить, если вместо области G рассмотреть задаваемую одной картой
гладкую fc-мерную поверхность S вШп (рис. 75). В этом случае системы
криволинейных координат S тоже разбиваются естественным образом
на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана преобра-
преобразований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов на 5;
тоже задание ориентации может быть осуществлено ориентирующим
репером, лежащим в некоторой касательной к S плоскости TSXQ-
Единственный новый элемент, который тут возникает и требует
проверки, это неявно присутствующее
Утверждение 1. Взаимные переходы от одной системы криво-
криволинейных координат на гладкой поверхности S С W1 к другой явля-
являются диффеоморфизмами той же степени гладкости, что и карты
поверхности.
Щ В самом деле, в силу утверждения
из § 1 любую карту Ik —>• U С S локально
можно рассматривать как ограничение на
Ikn0(t) диффеоморфизмаT\ O(t) -»■ О(х)
некоторой n-мерой окрестности O(t) точ-
точки t G Ik С Мп на n-мерную окрестность
О(х) точки х Е S С Мп, причем Т того
же класса гладкости, что и <р. Если теперь
ip\: Ik —V U\ и ср2: /| —► U2 — две такие
карты, то возникающее в их общей обла-
обла/
2
1
jk
сти действия отображение ср2 о (pi (пере-
(переход от первой системы координат ко вто-
Рис. 75. «ч _1
рои) локально представляется в виде ср2 о
о ipi (t1,..., tk) = Т2Х оТ\ (t1, ...,<*, О,..., 0), где Т\ и Т2 — соответству-
соответствующие диффеоморфизмы n-мерных окрестностей. ►
На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой,
мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации по-
поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями,
относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в W1.
Пусть S — гладкая fc-мерная поверхность вКп,и пусть щ\ 1к —¥ Uu
ip3: Ik —> Uj—две локальные карты поверхности S, районы действия
которых пересекаются, т.е. Ut П U3 Ф 0. Тогда между множествами
§2 ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 209
7* = ip~ (U3), J* = (p~ (С/г), как было только что доказано, естественно
устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы (ptJ: J* -> J*
(fp\ 1^г —у J*, осуществляющие переход от одной локальной системы
криволинейных координат на S к другой.
Определение 1. Две локальные карты поверхности называют со-
согласованными, либо когда районы их действия не пересекаются, либо
когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области
действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с
положительным якобианом.
Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим
атласом поверхности, если он состоит из попарно согласованных карт.
Определение 3. Поверхность называется ориентируемой, если
она обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверх-
поверхность называется неориентируемой.
В отличие от областей пространства W1 или элементарных поверх-
поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может
оказаться и неориентируемой.
Пример 1. Лист Мёбиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3
в конце параграфа), — неориентируемая поверхность.
Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае — тоже неориентиру-
неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист
Мёбиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки
Клейна, изображенной на рис. 73.
Пример 3. Окружность и вообще fc-мерная сфера—ориентируе-
сфера—ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением
атласа сферы, состоящего иэ согласованных карт (см. пример 2 из § 1).
Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из § 1 двумерный тор так-
также является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя
указанные в примере 4, § 1 параметрические уравнения тора, легко
предъявить его ориентирующий атлас.
Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан
другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно
простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить ска-
сказанное в примерах 1-4.
210 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Ж1
Формальное описание понятия ориентации поверхности будет за-
завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже
определения 4, 5.
Два ориентирующих атласа поверхности будем считать эквива-
эквивалентными, если их объединение также является ориентирующим атла-
атласом этой поверхности.
Указанное отношение действительно является отношением эквива-
эквивалентности между ориентирующими атласами ориентируемой поверхно-
поверхности.
Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов
поверхности по указанному отношению эквивалентности называется
классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией
поверхности.
Определение 5. Ориентированной поверхностью называется
поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т. е. с
фиксированной на ней ориентацией).
Таким образом, ориентировать поверхность—значит тем или
иным способом указать определенный класс ориентации ориентирую-
ориентирующих атласов этой поверхности.
Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях
Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхности суще-
существует точно две ориентации.
Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями.
Доказательство утверждения 2 см. в гл. XV, § 2, п. 3.
Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее ориен-
ориентации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой
поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее касатель-
касательных плоскостей. Этим широко пользуются на практике.
Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое
указание локальной карты или репера естественно делается в каждой
компоненте связности.
Очень широко на практике применяется также следующий способ
задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном
пространстве. Пусть 5-ориентируемая (п — 1)-мерная поверхность, ле-
лежащая в евклидовом пространстве Мп, с фиксированным в W1 ориен-
ориентирующим репером ei,..., гп. Пусть TSX — (п — 1)-мерная плоскость,
§ 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 211
касательная к S в точке х Е 5, а п — вектор, ортогональный TSX, т.е.
вектор нормали к поверхности S в точке х. Если при заданном векто-
векторе п условиться в TSX репер £1?..., £n_i выбирать так, чтобы реперы
(е1> • • •, еп) и (n, £i, • - -, £n-i) = (els..., ej принадлежали одному клас-
классу ориентации пространства W1 то, как
легко видеть, такие реперы (£i,...,
£n-i) плоскости TS^ сами окажутся
принадлежащими одному классу ориен-
ориентации этой плоскости. Значит, указа-
указание класса ориентации плоскости TSX,
а вместе с ним и задание ориентации на
связной ориентируемой поверхности, в
этом случае можно осуществить, задав
нормальный вектор п (рис. 76).
Нетрудно проверить (см. задачу 4), что ориентируемость (п — 1)-
мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве W1, равно-
равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных век-
векторов.
Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сфе-
сферы, тора и неориентируемость листа Мёбиуса, о чем говорилось в при-
примерах 7-10.
Связные (п — 1)-мерные поверхности в евклидовом пространстве Мп,
на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных
нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.
Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в М3 —двусторон-
—двусторонние поверхности, в отличие от листа Мёбиуса, являющегося в этом смы-
смысле односторонней поверхностью.
Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем
несколько замечаний, относящихся к практике использования этого по-
понятия в анализе.
В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными поверх-
поверхностями в Мп, обычно сначала находят какую-то локальную параме-
параметризацию поверхности 5, не заботясь об ориентации. Затем строят в
некоторой касательной плоскости TSX к поверхности репер £1э..., £п_х
из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы кри-
криволинейных координат, т. е. строят ориентирующий репер, индуциро-
индуцированный этой системой координат.
Если пространство W1 было ориентировано, а ориентация S зада-
8-4574
212 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
валась полем нормальных векторов, то берут вектор п данного поля в
точке х и сравнивают репер п, £1?..., £n_i с репером е1э..., еп, ориен-
ориентирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации,
то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную
ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбран-
выбранная карта задает ориентацию поверхности, противоположную предпи-
предписанной нормалью п.
Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (п — 1)-мерной
поверхности простым изменением порядка координат можно получить
локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фик-
фиксированным нормальным вектором п к двусторонней гиперповерхно-
гиперповерхности, лежащей в ориентированном пространстве W1).
В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ори-
ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее
точке, и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят на-
направление движения вдоль кривой.
Если на плоскости М2 выбран ориентирующий М2 репер и задана за-
замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль кри-
кривой) ограниченной этой кривой области D принято считать такое, при
котором репер n, v, где п — вектор внешней по отношению к D нормали
к кривой, a v — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим
репером М2.
Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоско-
плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение «против
часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается
«слева».
В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто
задают, отмечая не репер вК2,а положительное направление движения
вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности.
Задание такого направления по существу есть указание направле-
направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения
со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на
плоскости.
Задачи и упражнения
1. Является ли указанный в задаче 3 с) из § 1 атлас сферы ориентирующим
атласом этой сферы?
§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 213
2. а) Воспользовавшись примером 4 из §1, предъявите ориентирующий
атлас двумерного тора.
b) Докажите, что не существует ориентирующего атласа листа Мёбиуса.
c) Покажите, что при диффеоморфизме f:D->D ориентируемая поверх-
поверхность S С D переходит в ориентируемую поверхность S С D.
3. а) Проверьте, что принадлежащие одному классу ориентации системы
криволинейных координат области G С W1 порождают такие непрерывные
поля реперов в G, которые в каждой точке х € G задают реперы одного
класса ориентации пространства TGX.
b) Покажите, что в связной области G С W1 непрерывные поля реперов
разбиваются точно на два класса ориентации.
c) На примере сферы покажите, что гладкая поверхность S С Шп может
быть ориентируемой, хотя на S не существует непрерывного поля реперов
касательных к S пространств.
d) Докажите, что на связной ориентируемой поверхности можно задать
точно две различные ориентации.
4. а) В пространстве W1 фиксировано подпространство Wl~1, взят вектор
v Е КП\КП~1 и два репера (£ь... ,£n_i), (£i,-- ->£n-i) подпространства R".
Проверьте, что эти реперы принадлежат одному классу ориентации репе-
реперов пространства Rn~l тогда и только тогда, когда реперы (v,^,... ,£n_i),
(v>€i> - • • i£n-i) задают одинаковую ориентацию пространства Еп.
b) Покажите, что гладкая гиперповерхность 5 С W1 ориентируема тогда
и только тогда, когда на S существует непрерывное поле единичных нормаль-
нормальных к S векторов. Отсюда, в частности, вытекает ориентируемость двусто-
двусторонних поверхностей.
c) Покажите, что если grad -F/0, то задаваемая уравнением F(x1,..., хп) =
= 0 поверхность ориентируема (предполагается, что уравнение имеет реше-
решение).
d) Обобщите предыдущий результат на случай поверхности, задаваемой
системой уравнений.
e) Объясните, почему не каждую гладкую двумерную поверхность в Е3
можно задать уравнением F(x,y,z) = 0, где F — гладкая функция без крити-
критических точек (т. е. grad F Ф 0).
§3. Край поверхности и его ориентация
1. Поверхность с краем. Пусть Шп—евклидово пространство
размерности &, наделенное декартовыми координатами i1,..., tk. Рас-
Рассмотрим полупространство Нк := {t G 1* | t1 ^ 0} пространства К*.
Гиперплоскость дНк :~ {i G МЛ \ tl = 0} будем называть краем полу-
полупространства Нк.
214 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
о
Заметим, что множество Нк := Нк \ дНк:, т. е. открытая часть Нк)
является простейшей /^-мерной поверхностью. Само же полупростран-
полупространство Нк формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду
наличия в Нк точек края дН . Множество Нк является эталоном по-
поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем.
Определение 1. Множество 5 С W1 называют поверхностью
(размерности к) с краем, если любая точка х Е S имеет окрестность U
в S, гомеоморфную либо К*, либо Нк.
Определение 2. Если при указанном в определении 1 гомеомор-
гомеоморфизме U на Нк точке х Е U соответствует точка края дНк, то х назы-
называется точкой края поверхности (с краем) S и своей окрестности U.
Совокупность всех точек края называется краем поверхности S.
Край поверхности 5, как правило, будет обозначаться символом 8S.
Отметим, что дНк при к — 1 состоит из одной точки, поэтому, сохра-
сохраняя соотношение дНк = Шк-1, мы в дальнейшем будем понимать М° как
одну точку, а <Ж° будем считать пустым множеством.
Напомним, что при гомеоморфном отображении (ptJ : G% —> G3 обла-
области G% С Шк на область G3 С Шк внутренние точки области G% пе-
переходят во внутренние точки образа <ргз(Сг) (это —теорема Брауэра).
Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора
локальной карты, т. е. определено корректно.
Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности,
описанный в определении 1, § 1. Сопоставляя эти определения, видим,
что если на S нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему опреде-
определению поверхности, которое теперь можно было бы считать определе-
определением поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин «поверх-
«поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек
края непусто.
Понятие гладкой (класса С^) поверхности S с краем вводится, как
и для поверхностей без края, требованием, чтобы S обладала атласом
карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для
карт вида <р: Нк —> U и частные производные от <р в точках края дНк
вычисляются только по области Нк определения отображения <р, т.е.
иногда это односторонние производные, а якобиан отображения <р от-
отличен от нуля всюду в Нк.
Поскольку Шк можно диффеоморфизмом класса С(°°) преобразовать
§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ
215
в куб Ik = {t € Rk | |t*| < 1, г = 1,... ,k}, причем так, что Нк пре-
преобразуется в часть /# куба 1к, определяемую дополнительным условием
tl ^ 0, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае
ее гладкости) можно было бы заменить Шк на J , а Нк на 1# или на
t1 = 1, \tf | <
куб 1к с одной присоединенной гранью 1к г := {t £
< 1, г = 2,... ,fc}, являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей
размерности.
С учетом этой всегда присутствующей свободы в выборе канони-
канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и
определение 1 из § 1 видим, что справедливо следующее
Утверждение 1. Край к-мерной поверхности класса Слт' сам
является поверхностью того же класса гладкости, причем поверх-
поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с
размерностью исходной поверхности с краем.
Ч Действительно, если A(S) = {(Hk,<pt,U%)}U{(Rk,<p3,U3)} — атлас
поверхности S с краем, то A(dS) = {{Rk~1-)<pi\dHk=Rk~1^dUl)}, очевид-
очевидно, является атласом того же класса гладкости для края dS. ►
Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем.
а.
Ъ.
Рис. 77.
Пример 1. Замкнутый п-мерный шар В в W1 есть n-мерная по-
—-—fj
верхность с краем. Ее край дВ есть (п — 1)-мерная сфера (см. рис. 76
—71
и рис. 77, а). Шар В , называемый часто по аналогии с двумерным слу-
случаем п-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину
n-мерной сферы, краем которой является экваториальная (п— 1)-мерная
сфера (рис. 77, Ь).
216 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
Рис. 78.
Пример 2. Замкнутый куб Iй в Шп
по лучам, исходящим из его центра, можно
гомеоморфно преобразовать в замкнутый
шар дВ . Следовательно, 1п как и В , есть
n-мерная поверхность с краем, который в
данном случае образован гранями куба
(рис.78). Отметим, что на ребрах, являю-
являющихся пересечениями граней, никакое ото-
отображение куба на шар, очевидно, не может
быть регулярным (т. е. гладким и ранга п).
Пример 3. Если лист Мёбиуса получать описанным в примере 5,
§ 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого
прямоугольника, то, очевидно, в М3 получится поверхность с краем,
причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной вМ3).
При другой возможной склейке этих же сторон получится цилин-
цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей.
Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71
к примеру 5, § 1). На рис. 79, а, Ь, 80, а, Ь, 81, а, Ь, которые мы исполь-
а.
Рис. 79.
Рис. 80.
зуем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности
с краем, лежащие вМ и М . Как видно, край поверхности может ока-
оказаться несвязным, даже если сама поверхность была связной.
2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в ев-
евклидовом пространстве К фиксирован ориентирующий орторепер
еь ..., ек, который индуцирует в Шк декартовы координаты ж1,..., хк,
§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ
217
то векторы в2,
■к __
к __
на краю дН = Mr полупространства Н ~ {х £
х1 ^ 0} задают ориентацию, которую считают согласованной с
к
заданной репером еъ ..., ек ориентацией полупространства Н .
Рис. 81
к = Шк г =
В случае, когда к — 1 и дНк = Шк г = к" есть точка, следует
особо договориться о том, как ориентировать точку. По определению
точку ориентируют, приписывая ей знак + или —. В случае дН1 =
берется (К°,+) или короче
Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласо-
согласованность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для прак-
практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о кото-
которых будет речь ниже.
Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее
Утверждение 2. Край dS гладкой ориентируемой поверхно-
поверхности S сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть мо-
может, и несвязной).
< С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориенти-
ориентируемость <9£. Покажем, что если A(S) = {(Нк,(рг,иг)}и{(Шк,(p3,Uj)} —
ориентирующий атлас поверхности с краем S, то атлас A (dS) =
= {(Шк~1^(рг\дНк:=^к~17диг)} края тоже состоит из попарно согласо-
согласованных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если
t = ф(г) есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрест-
окрестности UHk(to) в Нк точки tfo G дНк на окрестность Uffk(io) в Нк
точки £о G дНк, то положительный якобиан имеет также отображе-
отображение ф\ои кп0\ окрестности UQffk(to) = dUHk(to) в дНк точки £о на ок-
окрестность UdHk(to) = dUHk(io) в дНк точки to = ij>(to).
Заметим, что в любой точке ^о = @, tffj,..., t§) ^ дНк якобиан J
218 ГЛ XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
отображения ф имеет вид
J(to) =
дф2
dF
d^_
dF
0 ..
% ■■
. 0
• %
дф1
dt1
дф2
Q.2 ' ' '
дфк дфк
Qi2 * * ' Qj.fc
поскольку при t1 = О должно быть также i1 = ф1 (О, t2,..., tk) = 0 (гра-
(граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные). Остается
заметить, что при t1 < 0 должно быть также i1 = ф1^1^2,... ,tk) < О
(ведь I — ф(г) £ Нк), поэтому значение ^Ч-@, t2,..., tk) не может быть
отрицательным. По условию J(to) > 0 и раз ^4-@,t2,... ,tk) > 0, то из
указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения
ф\ди к = ф@,t2,... ,tk) положителен. ►
Отметим, что случай одномерной поверхности (к = 1) в утвержде-
утверждении 2 и следующем определении 3, очевидно, надо оговорить особо в
соответствии с принятым по этому случаю в начале пункта соглашени-
соглашением.
Определение 3. Если A(S) = {(Нк,(рг,иг)}П{(Шк,(р3,из)} — ори-
ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности S с кра-
краем dS, то A (dS) = {(Mfc-1 ,<р\днк=№к-1,диг)} есть ориентирующий атлас
края. Задаваемая им ориентация края dS называется ориентацией
края, согласованной с ориентацией поверхности.
Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой поверх-
поверхности, сделаем два полезных замечания.
Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше, ориента-
ориентацию лежащей в Шп поверхности часто задают репером касательных к
поверхности векторов, поэтому проверку согласованности ориентации
поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом.
Берут ^-мерную плоскость TSXo, касательную к гладкой поверхности S
в точке xq края dS. Поскольку локально структура поверхности S око-
около точки £о такая же, как и структура полупространства Нк около
точки О G дНк, то, направив первый вектор ориентирующего S орто-
репера £i, £2, • • • > £fc £ TSXo по нормали к dS и в сторону внешнюю по
§3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 219
отношению к локальной проекции S на TSXo, получают в (к — ^-мер-
^-мерной плоскости TdSX0, касательной к dS в точке #о, репер £2э--->£а;э
который и задает ориентацию TdSXo, а значит, и dS, согласованную с
заданной репером £i, &> •••>£& ориентацией поверхности 5.
На рис. 77-80 на простых примерах показаны процесс и результат
согласования ориентации поверхности и ее края.
Отметим, что описанная схема предполагает возможность перено-
переносить задающий ориентацию S репер в разные точки поверхности и ее
края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным.
Замечание 2. В ориентированном пространстве Ж рассмотрим
полупространства Ht = Нк = {х G Шк \ х1 ^ 0} и Н+ = {х € Ж^
х1 ^ 0} с индуцированной из Шк ориентацией. Гиперплоскость Г =
= {х £ Шк | х1 — 0} является общим краем Н^ и Н+. Легко видеть,
что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями Н_
и Н+, противоположны. Это относится и к случаю к = 1, в котором
это постулируется.
Аналогично, если ориентированную ^-мерную поверхность разре-
разрезать некоторой (к — 1)-мерной поверхностью (например, сферу — эква-
экватором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ори-
ориентации, индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу ча-
частей исходной поверхности.
Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных ин-
интегралов.
Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом
определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности.
Дадим прежде всего определение такой поверхности.
Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой по-
поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям
любого класса гладкости.
Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой кри-
кривой) назовем такую кривую в Шп, которая после удаления из нее конеч-
конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек)
распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые).
Поверхность S С W1 размерности к назовем кусочно гладкой, если
из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких
поверхностей размерности не выше к — 1, что остаток распадется на
220 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Ж1
гладкие ^-мерные поверхности вг (с краем или без края).
Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть ку-
кусочно гладкие кривые.
Граница куба или граница прямого кругового конуса в М3 суть дву-
двумерные кусочно гладкие поверхности.
Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности.
Точку (нульмерную поверхность), как это уже отмечалось, принято
ориентировать, приписывая ей знак + или —. В частности, край отрез-
отрезка [а, Ь] С К, состоящий из двух точек а, 6, если отрезок ориентирован
направлением от а к 6, принято согласованно (с этой ориентацией от-
отрезка) ориентировать так: (а,—), F,+) или в иной записи —а, +6.
Рассмотрим теперь ^-мерную (к > 0) кусочно гладкую поверхность
S CW1.
Предположим, что две гладкие поверхности 5^, Sl2 из определе-
определения 4 кусочно гладкой поверхности S ориентированы и примыкают
друг к другу вдоль гладкого куска Г (к — 1)-мерной поверхности (ре-
(ребра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные
с ориентациями Stl и Sl2 соответственно. Если эти две ориентации на
любом таком ребре Г С Sn П Sl2 противоположны, то исходные ориен-
ориентации Sn и Sl2 считаются согласованными. В случае, если SnC\Sl2 пусто
или имеет размерность, меньшую чем (& — 1), любые ориентации 5П, Sl2
считаются согласованными.
Определение 5. Кусочно гладкую ^-мерную (к > 0) поверхность
будем считать ориентируемой, если с точностью до конечного или счет-
счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше (к — 1)
она является объединением гладких ориентируемых поверхностей 5г,
допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.
Пример 5. Поверхность трехмерного куба, как легко проверить,
является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все
указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы.
Пример 6. Лист Мёбиуса легко представить в виде объединения
двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части
края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно.
Можно проверить, что лист Мёбиуса не является ориентируемой по-
поверхностью даже с точки зрения определения 5.
§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 221
Задачи и упражнения
1. а) Верно ли, что край поверхности S СЖ71 есть множество S\S, где S —
замыкание S вЖп?
b) Имеют ли поверхности Si = {{x,y) eW | 1 < х2-\-у2 < 2}, S2 = {{х,у) €
2 |0< х2 -Ьу2} край?
c) Укажите край поверхностей Si — {(ж,у) Е Ж2 | 1 ^ х2 + у2 < 2}
2. Приведите пример неориентируемой поверхности с ориентируемым
краем.
3. а) Каждая грань куба 1к = {х £ Жк | \хг\ < 1, i = 1, ...,&} параллельна
соответствующей (fc — 1)-мерной координатной гиперплоскости пространст-
пространства Жк, поэтому в грани можно рассмотреть тот же репер и ту же систему
координат, что и в этой гиперплоскости. Укажите, в каких гранях получа-
получающаяся при этом ориентация согласуется с ориентацией куба Jfc, индуциро-
индуцированной ориентацией Rfc, а в каких не согласуется. Разберите последовательно
случаи fc = 2, fc = 3nfc = n.
b) В некоторой области полусферы S = {(ж,у, г) G I3 | х2 + у2 + z2 =
= lAz > 0} действует локальная карта (tl,t2) *-> (sintf1 cost2, sin t1 sin ^2, cos ^x),
а в некоторой области края dS этой полусферы действует локальная карта
t н» (cos£, sin^, 0). Выясните, задают ли эти карты согласованные ориентации
поверхности 5 и ее края dS.
c) Постройте на полусфере S и ее крае dS поля реперов, индуцированные
указанными в Ь) локальными картами.
d) На крае OS полусферы S укажите репер, задающий ориентацию края,
согласованную с полученной в с) ориентацией полусферы.
e) Задайте полученную в с) ориентацию полусферы S с помощью вектора,
нормального kSc!3.
4. а) Проверьте, что лист Мёбиуса не является ориентируемой поверхно-
поверхностью даже с точки зрения определения 5.
Ь) Покажите, что если S — гладкая поверхность в 1П, то определения ее
ориентируемости как гладкой и как кусочно гладкой поверхности равносиль-
равносильны.
5. а) Будем говорить, что множество S С Шп есть fc-мерная поверхность
с краем, если для каждой точки х £ S найдутся ее окрестность U(x) в!пи
диффеоморфизм ф: U(x) —> In этой окрестности на стандартный куб /пс1п,
при котором ф(Б П U(x)) совпадает либо с кубом Ik = {t € In | tk+l — ... =
= tn = 0}, либо с его частью 1к П {t G En | tk ^ 0}, которая является fc-мерным
промежутком с одной присоединенной к нему гранью.
Исходя из сказанного в § 1 при обсуждении понятия поверхности, покажи-
покажите, что это определение поверхности с краем не эквивалентно определению 1.
Ь) Верно ли, что если / € С®{Нк,Ж), где Нк = {х е Шк | х1 ^ 0}, то
для любой точки х € дНк можно найти ее окрестность U{x) в Шк и функцию
222 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Т G СЩЩх),Щ так, что F\Hknu(x) - ()
с) Если указанное в а) определение использовать для описания гладкой
поверхности с краем, т. е. считать ф гладким отображением максимального
ранга, то будет ли такое определение гладкой поверхности с краем совпадать
с принятым в § 3?
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
Перейдем теперь к определению площади ^-мерной кусочно гладкой
поверхности, лежащей в евклидовом пространстве Mn, n ^ к.
Напомним сначала, что если £1?..., £к — к векторов евклидова про-
пространства К*, то объем ^(£17... ,£fc) параллелепипеда, натянутого на
эти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством опреде-
определителя
a A)
матрицы J = (£j), строки которой образованы координатами данных
векторов в некотором ортонормированием базисе еъ ... ,ек простран-
пространства Шк. Отметим, однако, что на самом-то деле формула A) дает не
просто объем, а так называемый ориентированный объем параллеле-
параллелепипеда. Если V Ф О, то определяемое формулой A) значение V положи-
положительно или отрицательно в соответствии с тем, принадлежат ли реперы
е1;..., е^, £1?..., £к одному или разным классам ориентации простран-
пространства Шк.
Заметим теперь, что произведение JJ* матрицы J на ее транспони-
транспонированную J* есть не что иное, как матрица G = (дгз) попарных скаляр-
скалярных произведений д%3 = (£z, £3) данных векторов, т. е. матрица Грама1'
системы векторов £1э..., £к. Таким образом,
det G = det(JJ*) = det Jdet J* = (det JJ, B)
и, значит, неотрицательное значение объема К(£1;... ,^fc) можно полу-
получить в виде
/ C)
Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет
координат, а есть только набор геометрических величин, характери-
характеризующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если эти же
. сноску на стр. 592.
§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 223
векторы £1;...,£д. считать лежащими в n-мерном (п ^ к) евклидовом
пространстве Шп, то формула C) й-мерного объема (или ^-мерной пло-
площади) натянутого на них параллелепипеда останется без изменений.
Пусть теперь r:D->5cKn — к- мер-
мерная гладкая поверхность S в евклидо-
евклидовом пространстве Шп, заданная в парамет-
параметрическом виде г — г^1,...,^ ), т.е. в
виде гладкой вектор-функции г (t) =
= (х1,... , яп)(£), определенной в области
D С Шк. Пусть el5..., efc — ортонормиро-
ванный базис в К*, порождающий коор-
координатную систему (tf1,..., tk). Фиксиро-
Фиксировав точку *о = (*о> • • •' *о) ^ ^) возьмем по-
положительные числа /г1,..., hk столь малы-
малыми, чтобы параллелепипед /, натянутый
на векторы кгег G TDt0, г = 1,..., &, при- рис> §2.
ложенные к точке to> лежал в области Z).
На поверхности S в силу отображения D —¥ S параллелепипеду I
соответствует фигура Is, которую условно можно назвать криволиней-
криволинейным параллелепипедом (см. рис.82, отвечающий случаю к = 2, п — 3).
Поскольку
1
смещению от ^о на вектор Кгег отвечает в W1 такое смещение от точ-
точки г(£о), которое при h% —> 0 можно с точностью до o(hl) заменить
частным дифференциалом ~(to)hl =: ггкг. Таким образом, при ма-
с/с
лых значениях /г7, г = !,...,/?, криволинейный параллелепипед Is мало
отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы hlr\,..., /г^г^,
касательные к поверхности 5 в точке г (to). Считая по этой причине,
что объем AV криволинейного параллелепипеда Is должен тогда быть
близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим
приближенную формулу
AV
1 • • • • • А**,
D)
где положено дгз(к) = {rt,r3)(to), Af = h\ г, j = 1,... ,
224 ГЛ XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Если теперь все пространство Ж , в котором лежит область пара-
параметров Z), стандартным образом замостить к-мерными параллелепи-
параллелепипедами малого диаметра d, взять среди них те, которые лежат в JD,
вычислить по формуле D) приближенное значение ^-мерного объема
их образов и взять сумму полученных так значений, то мы придем к
величине
£ \fdet(gtJ)(ta)Atl • ... • Atk,
а
которую можно считать приближенным значением ^-мерного объема
или площади рассматриваемой поверхности 5, причем это приближе-
приближение должно становиться более точным при d —> 0. Таким образом, мы
принимаем
Определение 1. Площадью (или к-мерным объемом) заданной в
параметрическом виде D э t н-> r(t) Е S гладкой ^-мерной поверхно-
поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве Мп, называется величина
Vk(S) := J ^det((rt,r3))(t)dtl... dtk. E)
D
Посмотрим, как выглядит формула E) в уже знакомых нам частных
случаях.
При к = 1 область Вей1 есть промежуток с некоторыми конца-
концами а,Ь (а < Ь) на прямой Ш1, a S в этом случае — кривая в Мп. Форму-
Формула E), таким образом, при к — 1 превращается в формулу
b b
VX(S)= f\r(t)\dt= [>
a a
для вычисления длины гладкой кривой.
Если к = п, то S— диффеоморфная области D n-мерная об-
область в1". В этом случае матрица Якоби J = xr(t) отображения D Э
Э (t1,...,^) =f н r(t) = (ж1,... ,a:")(t) G 5 квадратная. Воспользо-
Воспользовавшись теперь соотношением B) и формулой замены переменных в
кратном интеграле, можно написать, что
Vn(S) = f y/det G{t)dt= f | detx'(t)\ dt
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225
т.е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области S в W1.
Отметим, что при к — 2 и п = 3, т.е. когда S — двумерная по-
поверхность в М3, часто вместо стандартных обозначений дгз = (гг,г3)
используют следующие: а := V2{S), Е := дп = (гх, гх), F := д12 = 521 =
— (^1)^2)) G :— ^22 = (^2)^2)) ^ вместо t1, t2 пишут соответственно и, и.
В этих обозначениях формула E) приобретает вид
а
D
ffy/EG-F2dudv
В частности, если и = гг, и = у, а поверхность 5 — есть график глад-
гладкой вещественнозначной функции z = /(rr, у), определенной в области
ИСК2, то, как легко подсчитать,
о =
//
Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полез-
полезных для дальнейшего замечаний.
Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда
стоящий в формуле E) интеграл существует. Он заведомо существует,
например, если D — измеримая по Жордану область, а г G
Замечание 2. Если поверхность 5, участвующую в определе-
определении 1, разбить на конечное число поверхностей S1^...^Sm с кусочно
гладкими краями, то этому разбиению S будет отвечать такое же раз-
разбиение области D на соответствующие 5Х,..., Sm области Z)x,..., Dm.
Если поверхность S имела площадь в смысле равенства E), то при ка-
каждом значении а = 1,..., т определены величины
Vk{Sa) = J
В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что
Мы установили таким образом, что площадь ^-мерной поверхности
аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл.
226 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если
нужно, к исчерпанию области D, а значит, оно позволяет расширить
смысл формулы E), в которой теперь интеграл можно понимать и как
несобственный.
Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно
использовать для определения площади произвольной (а не только за-
заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности.
Определение 2. Пусть S — произвольная кусочно гладкая ^-мер-
^-мерная поверхность в Ш1. Если после удаления из S конечного или счетного
числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем к — 1 она
распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых
поверхностей 515..., Sm,..., то полагаем
а
Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так
определенная величина Vk(S) не зависит от способа описанного разбие-
разбиения поверхности S на гладкие куски 51;..., 5Ш,..., каждый из которых
лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности S.
Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой по-
поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение S
на гладкие параметризуемые куски 5Х,..., Sm всегда возможно и да-
даже с соблюдением естественного дополнительного требования локаль-
локальной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт
К С S может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхно-
поверхностей £1э..., Sm)... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что
любая точка поверхности S должна обладать окрестностью, которая
пересекается не более чем с конечным числом множеств £1э..., Sm,...
Замечание 5. В основной формуле E) участвует система кри-
криволинейных координат i1,..., tk. Естественно поэтому проверить, что
определяемая равенством E) величина V^(S) (а тем самым и величи-
величина Vk(S) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе
D Э (t1,..., ik) — i (->■ t = (i1,..., tk) G D к новым криволинейным коор-
координатам t1,...,?, меняющимся в соответствующей области D С
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227
< Для проверки достаточно заметить, что матрицы
в соответствующих друг другу точках областей D и D связаны со-
соотношением G = J*GJ, где J = [-^)—матрица Якоби отображе-
отображения О Э t И t G О, a J*—транспонированная по отношению к J
матрица. Таким образом, det G(t) — det G(t)(det JJ(£), откуда следует,
что
G(t) dt = f ^det G(t(t))\J{i)\dt = f yjdet G{i) dl ►
D
Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы ко-
координат определение ^-мерного объема или площади ^-мерной кусочно
гладкой поверхности.
Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем
Определение 3. Про множество Е, лежащее на ^-мерной кусоч-
кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множес-
множеством к-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега,
если при любом е > 0 его можно покрыть конечной или счетной систе-
системой £1?..., Sm,... (возможно пересекающихся) поверхностей Sa С S
так, что ^2 Vk{Sa) < e.
а
Как видно, это дословное повторение определения множества меры
нуль, лежащего в Шк.
Легко видеть, что в области D параметров любой локальной карты
tp: D —> S кусочно гладкой поверхности S такому множеству Е отве-
отвечает множество <р~1(Е) С D С М ^-мерной меры нуль. Можно даже
проверить, что это характеристическое свойство множеств Е С S пло-
площади нуль.
На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже по-
поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно глад-
гладкая поверхность S получена из кусочно гладкой поверхности S удале-
удалением из S множества Е площади нуль, то площади поверхностей S и S
одинаковы.
228 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности
часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате
получится гладкая поверхность 5, задаваемая всего лишь одной картой.
Но тогда площадь S1, а значит, и площадь S можно вычислить прямо
по формуле E).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Отображение ]0,27г[э t (->■ (.Rcost, Rsint) G M2 есть
карта дуги S окружности х2 + у2 = Д2, получаемой удалением из
этой окружности S единственной точки Е — (Д, 0). Поскольку Е —
множество длины нуль на S1, можно писать, что
2тг
Vi(S) = Vi{S) = f \/R2 sin2t + R2 cos21dt - 2тгД.
о
Пример 2. В примере 4 § 1 было указано следующее параметри-
параметрическое представление двумерного тора S в
г(<р,ф) = {{Ь + асоъф) cos у?, (Ь + асоъф) sin^,аътф).
В области D — {(<р,ф) | 0 < <р < 27г,0 < ф < 27г} отображение ((р,ф) ^
\-> г(<р, ф) диффеоморфно. Образ S области D при этом диффеоморфиз-
диффеоморфизме отличается от тора S на множество Е, состоящее из координатной
линии (р = 2тг и линии ф = 27г. Множество Е состоит, таким образом,
из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, име-
имеет площадь нуль. Значит, площадь тора можно найти по формуле E),
исходя из приведенного параметрического представления, рассматри-
рассматриваемого в пределах области D.
Проведем необходимые выкладки:
а cos Ф) sin ¥•> (b + асоъф) cos (p, 0),
ф = (—asini/?) cos^, —asini/;sin^, a
=521 = (г<р,Гф) = 0,
522 = {гф,Гф} = a2,
9n 9l2
521 522
§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
Следовательно,
27Г 27Г
V2{S) =V2{S) = f dip I a(b + асоБф) йф = 4ir2ab.
о о
Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом
можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кри-
кривых и поверхностей.
Задами и упражнения
1. а) Пусть Р и Р — две гиперплоскости евклидова пространства Шп, D —
подобласть Р, a D — ортогональная проекция D на гиперплоскость Р. По-
Покажите, что (п — 1)-мерные площади D и D связаны соотношением a(D) =
— cr(D) cos а, где а — угол между гиперплоскостями Р, Р.
b) Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы da =
= л/l + (fxJ + (fyJ dxdy для элемента площади графика гладкой функции
z = /(#, у) в трехмерном евклидовом пространстве.
c) Покажите, что если поверхность S в евклидовом пространстве М3 задана
в форме гладкой вектор-функции г = r(u,v), определенной в области Del2,
то площадь поверхности S можно найти по формуле
<r(S) = JJ\[r'uyv]\dudv,
D
где [r^r^]—векторное произведение векторов
d) Проверьте, что если поверхность Scl3 задана уравнением F(x, у, z) —
— О, а область U поверхности S взаимно однозначно ортогонально проекти-
проектируется на область D плоскости (х,у), то имеет место формула
а\и)- ii Щ^п—\-dxdy.
Wz
D
2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя
параллелями и двумя меридианами сферы Set3.
3. а) Пусть (r,(f,h)—цилиндрические координаты в М3. Гладкая кривая,
расположенная в плоскости <р = <ро и заданная там уравнением г = r(s),
где s~ натуральный параметр, вращается вокруг оси h. Покажите, что пло-
площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего
отрезку [si,$2] изменения параметра 5, может быть найдена по формуле
82
а = 2тг / r(s) ds.
8\
230 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
b) График гладкой неотрицательной функции у = /(ж), определенной на
отрезке [а, Ь] С ffi.+ , вращается сначала вокруг оси Охь затем вокруг оси Оу.
В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей
поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, Ь].
4. а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой
кривой, имеющей длину L. Покажите, что площадь поверхности образованно-
образованного при этом трубчатого тела равна 2тг • 1 • L.
Ь) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора, полученно-
полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окруж-
окружности и удаленной от ее центра на расстояние Ь> а.
5. Изобразите заданную в декартовых координатах (x,y,z) пространст-
пространства Е3 винтовую поверхность
2/-^tg- = 0, \z\ ^ -h
и найдите площадь той ее части, для которой г2 $J х2 + у2 $J R2.
6. а) Покажите, что площадь ftn_i единичной сферы в Еп равна
где Г(а) = / е~хха~х dx. (В частности, если п четно, то Г E) = ( п ^ )!, а
о v }
если п нечетно, то Г
= ^ ~J/"
J/
2^2
Ь) Проверив, что объем Vn(r) шара радиуса гвЕп равен уп]_0\ гп, пока-
жите, что 5
c) Найдите предел при п —> оо отношения площади полусферы {х Е
\х\ = 1 Л хп > 0} к площади ее ортогональной проекции на плоскость хп ~ 0.
d) Покажите, что при п —У оо основная часть объема n-мерного шара
сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы,
а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее
экватора.
e) Покажите, что из сделанного в d) наблюдения вытекает красивое след-
следствие:
Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти
постоянна на ней.
Поконкретнее:
Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с
фиксированной константой. Тогда для любых е > 0 и S > 0 найдется такое N,
что при п > N у любой такой функции /: Sn —> Ж имеется значение с со
следующими свойствами: площадь того множества, где значения / отличаются
от с больше чем на е, составляет не более чем <5-долю от площади всей сферы.
7. а) Пусть х1}... ,хк —система векторов в евклидовом пространстве Еп,
п ^ к. Покажите, что определктель Грама этой системы может быть предста-
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231
влен в виде
где
det«ztJz,» =
х1
X
>2
*1
гк
= det
X
ч
b) Выясните геометрический смысл величин Рп 1к из а) и сформулируйте
результат задачи а) как теорему Пифагора для мер произвольной размерно-
размерности fc, 1 $J к $J п.
c) Объясните теперь формулу
•■/
D
\
det
дхгк\
дхгк
\ dtk
dt
dt1 ... dt
п
для площади, заданной в параметрическом виде х =■ x(tl,..., tk), t E D С
^-мерной гладкой поверхности.
8. а) Проверьте, что в определении 2 величина Vk(S) действительно не за-
зависит от указанного там способа разбиения S на гладкие куски Sl7..., Sm,...
b) Покажите, что кусочно гладкая поверхность S допускает локально ко-
конечное разбиение на куски Sx,..., Sm,..., описанные в определении 2.
c) Докажите, что из гладкой поверхности S всегда можно так удалить
множество Е площади нуль, что останется гладкая поверхность S = S \ Е,
которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой кр: I —у
9. Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности, ча-
часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кри-
кривую ломаных. Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных
ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу, показыва-
показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень
гладкой поверхности через площади «вписанных» в нее многогранных поверх-
поверхностей могут привести к абсурду.
В цилиндр радиуса R и высоты Н впишем многогранник следующим обра-
образом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных цилин-
цилиндров высоты Н/т каждый. Каждую из т + 1 окружностей сечения (включая
окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем
на п равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности на-
находились под серединами дуг ближайшей верхней окружности. Теперь берем
пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно
над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек
232 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех та-
таких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исход-
исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового
цилиндра). На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в
гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца.
a) Покажите, что если тип устремить к бесконечности, но так, чтобы
при этом отношение п2/т стремилось к нулю, площадь построенной много-
многогранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее
грани (треугольника) при этом стремятся к нулю.
b) Если же п и т стремятся к бесконечности так, что отношение т/п2
стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных по-
поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости
от величины р может быть больше, меньше или (при р = 0) равен площади
исходной цилиндрической поверхности.
c) Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой поверхно-
поверхности с тем, который изложен в §4, и объясните, почему в одномерном случае
результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. Ка-
Каковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей,
гарантирующие совпадение результатов?
10. Изопериметрическое неравенство.
Пусть V(E) —обозначение для объема множества i£ С Mn, a А+В — сумма
(векторная) множеств Л,БсМп (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4
к § 2 главы XI).
Пусть В— шар радиуса h. Тогда А + В =: Ah есть /i-окрестность множе-
множества А.
Величина
hm—-—— =: fi+
называется внешней площадью по Минковскому границы дА множества А.
a) Покажите, что если дА — гладкая или достаточно регулярная поверх-
поверхность, то /л+(дА) совпадает с обычной площадью поверхности дА.
b) Используя неравенство Брунна-Минковского (см. задачу 4 к §2 гла-
главы XI), получите теперь классическое изопериметрическое неравенство в W
здесь v — объем единичного шара в En, a ia(Sa)—площадь ((п — 1)-мерная)
поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А.
Изопериметрическое неравенство означает, что тело А с W1 имеет пло-
площадь границы /л+(дА), не меньшую, чем шар того же объема.
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
Дадим теперь первоначальные представления об удобном матема-
математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное
внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности
теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. XV.
1. Дифференциальная форма, определение и примеры. Из
курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы,
и мы этим понятием уже широко пользовались при построении диф-
дифференциального исчисления. Там главным образом встречались симме-
симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (анти-
(антисимметрических) формах.
Напомним, что форма L: Хк —> Y степени или порядка &, определен-
определенная на упорядоченных наборах £х,..., £к векторов линейного простран-
пространства X и принимающая значения в линейном пространстве У, называет-
называется кососимметрической (антисимметрической), если значение формы
меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т. е.
В частности, если £г = ^, то независимо от остальных векторов
значение формы будет равно нулю.
Пример 1. Векторное произведение [СьСг] векторов пространс-
пространства R3 есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в
линейном пространстве М3.
Пример 2. Определенный формулой A) § 4 ориентированный
объем F(£1;..., £к) параллелепипеда, натянутого на векторы £г , £к
пространства Шк, является кососимметрической вещественнозначной к-
формой в Шк.
Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай
У = R), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации,
например, когда Y есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в
свою очередь является кососимметрической формой, т. е. кососимме-
трические формы одной степени образуют линейное пространство.
В алгебре вводится, кроме того, операция Л внешнего умножения
кососимметрических форм, которая упорядоченной паре Ap,Bq, таких
234 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
форм (степени р и q соответственно) сопоставляет кососимметриче-
скую форму Ар A Bq степени р + q. Эта операция
ассоциативна: (А*> А В*) А Сг = А*> A (Bq А Сг),
дистрибутивна: (АР + В?) ЛС9 = #ЛСЧ^Л С*,
косокоммутативна: А? А В* = (-1)WJ3* Л А*.
В частности, если речь идет об 1-формах А и В, то имеет место
антикоммутативность А А В = —В А А операции, подобная антикомму-
антикоммутативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обоб-
обобщением которого и является внешнее умножение форм.
Не вникая в детали общего определения внешнего произведения,
примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отме-
отметим, что в случае внешнего произведения 1-форм Ll,...,Lk E £(Rn,R)
результат £ХЛ.. -ALk есть &-форма, которая на наборе векторов
1
принимает значение
A)
Если соотношение A) принять в качестве определения его левой ча-
части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных
1-форм А, Б, С действительно: А А В = —В ЛЛи (А + В) А С =
= ААС + ВАС.
Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров.
Пример 3. Пусть 7гг G £(Rn,R), г = 1,...,п — проекторы. Точ-
Точнее, линейная функция 7тг: W1 —> Ш такова, что на любом векторе
£ = (£х5... ? £п) g W1 она принимает значение 7тг(£) = ^г проекции этого
вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии
с формулой A) получаем
Л...
СП СЧ
si ••• si
£ll
B)
Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения
,£2] векторов £i = (Ci,C?^iM 6 = {BЛ2Л2) евклидова простран-
пространства К3, как известно, определяются из равенства
1
P2
S2
P1 P2
SI SI
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235
Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно за-
записать, что
Пример 5. Пусть f:D—> R— определенная в некоторой обла-
области D С W1 и дифференцируемая в точке xq £ D функция. Как из-
известно, дифференциал df(xo) функции в точке является линейной фун-
функцией, определенной на векторах £ смещения от этой точки, точнее,
на векторах пространства TDXo, касательного к D (к W1) в рассма-
рассматриваемой точке. Напомним, что если ж1,..., х
то
п
координаты в
>n
а
В частности, dxl(£) = £г, или, более формально, dxl(xo)(£) —
Если Д,..., fk —определенные в G и дифференцируемые в точке xq £
£ G вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой A) в
точке xq на наборе £1э..., £к векторов пространства TGXQ получаем
C)
4fi (&)••• 4ffcF
и, в частности,
SI ••• Si
D)
Таким образом, из линейных форм d/x,..., d/fc, определенных на ли-
линейном пространстве TDXo и TIR^0 и Кп, получились определенные на
этом же пространстве кососимметрические формы степени к.
Пример 6. Если / G C^ (D, К), где D — область в W1, то в любой
точке х £ D определен дифференциал df(x) функции /, который, как
было сказано, является линейной функцией df(x): TDX —> ТШ*,} и R
на линейном пространстве TDX, касательном кйв точке х. При пере-
переходе от точки к точке в области D форма df (х) = f'{x), вообще говоря,
236 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
меняется. Итак, гладкая скалярная функция f:D—>R. порождает в
каждой точке области D линейную форму df(x), или, как говорят, по-
порождает в D поле линейных форм, определенных на соответствующих
касательных пространствах TDX.
Определение 1. Будем говорить, что в области DcK" задана
вещественнозначная дифференциальная р-форма со7 если в каждой точ-
точке х £ D определена кососимметрическая форма со(х): (TDX)P —> R.
Число р обычно называют степенью или порядком дифференциаль-
дифференциальной р-формы со. В этой связи р-форму со часто обозначают через сор.
Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала df
гладкой функции /: D —> R есть дифференциальная 1-форма в обла-
области D, а со — dx%1A.. .Adx1? есть простейший пример дифференциальной
формы степени р.
Пример 7. Пусть в области D С W1 задано векторное поле, т.е.
с каждой точкой х £ D связан вектор F(x). При наличии евклидовой
структуры в Шп это векторное поле порождает следующую дифферен-
дифференциальную 1-форму colF в D.
Если £ —вектор, приложенный к точке х £ D, т. е. £ £ TDXJ то
положим
Из свойств скалярного произведения вытекает, что со]г(х) =
= {F(x),-) действительно является линейной формой в каждой точке
хе D
Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Напри-
Например, если F — непрерывное силовое поле в области D, а £ — вектор ма-
малого смещения от точки х £ Z), то элементарная работа поля, отвеча-
отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно
величиной (F(x),£).
Итак, поле сил F в области D евклидова пространства Шп естествен-
естественным образом порождает в D дифференциальную 1-форму u)lF, которую
в этом случае естественно назвать формой работы поля F.
Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал df гладкой
в области Del" функции /: D —> К тоже можно считать 1-формой,
порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле
F — grad/. В самом деле, ведь по определению вектор grad/(a;) таков,
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237
что для любого вектора £ Е TDX имеет место равенство df(x)(£) =
= (grad/(x),O.
Пример 8. Заданное в области D евклидова пространства Шп век-
векторное поле V может также следующим образом порождать дифферен-
дифференциальную форму <jy~ степени п — 1. Если в точке х Е D взять соответ-
соответствующий ей вектор поля V(x) и еще п — 1 векторов £15..., £п_\ G TDx->
приложенных к точке ж, то ориентированный объем параллелепипеда,
натянутого на векторы V(x), £х,..., £n_x, равный определителю матри-
матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно,
будет кососимметрической (п — 1)-формой по переменным £х,..., £п_х.
При п = 3 форма Шу есть обычное смешанное произведение (V(#),
£ь£г) векторов, из которых один V(x) задан, а тогда по двум остав-
оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма Шу —
Например, если в области D имеется установившееся течение жид-
жидкости и V(x)—вектор скорости течения в точке х € D, то величина
(V(x), ^i, ^2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за
единицу времени через натянутую на малые векторы £i, £2 £ TDX пло-
площадку (параллелограмм). Выбирая по разному векторы £i, £2, мы будем
получать различные по конфигурации и расположению в пространст-
пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является
точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое зна-
значение (V(ar),£i,^2) формы Шу(х). Как было сказано, оно показывает,
сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площад-
площадку, т.е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную
элементарную площадку. По этой причине форму ujy, как, впрочем, и
ее многомерный аналог ы^, часто называют формой потока вектор-
векторного поля V в области D.
2. Координатная запись дифференциальной формы. Оста-
Остановимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебра-
алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что лю-
любая дифференциальная А;-форма в некотором смысле является линейной
комбинацией стандартных дифференциальных форм вида D).
Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных
случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подра-
подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих
238 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
индексов.
Пусть L — /.-линейная форма в W. Если в Шп фиксирован базис
ех,... ,еп, то каждый вектор £ Е Шп получает координатное предста-
представление £ — £гег в этом базисе, а форма L приобретает координатную
запись
L(Sl,...,Sk) = L№e4,...,ekke4) = L(e4,...,e4)ei\■■-,&"■ E)
Числа а% * — L(en,... ,eijb) вполне характеризуют форму L, если
известно, в каком базисе е15..., еп они получены. Эти числа, очевидно,
симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только
тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма L.
В случае кососимметрической формы L координатное представле-
представление E) можно несколько преобразовать. Чтобы направление этого пре-
преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случаи
соотношения E), когда L — кососимметрическая 2-форма в R3. Тогда
для векторов £i — Cien-) £2 — C2ei2-> гДе ^ъ^2 — 1,2,3, получаем
ЩъЬ) = т1ег1,С22ег2) = L(ell,el2)Cl1C22 =
+ L(e2,
+ L(e3,
= L(eb
+ L(e2,e3)(£12£23-£&2) = У! ЬК,ег2) £\ ^
$2 ^2
5
где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов
гх,г2, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравен-
неравенствам.
Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы L
можно получить следующее представление:
/ ^ L(e4,..., е1к)
<...<гк^п £п £%к
Тогда в соответствии с формулой B) последнее равенство можно
переписать в виде
F)
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239
Таким образом, любую кососимметрическую форму L можно пред-
представить в виде линейной комбинации
L= Y1 а,1...,л7г'1Л...Л7г|* G)
fe-форм тт*1 Л ... Л 7ГН, являющихся внешним произведением, составлен-
составленным из простейших 1-форм тг1,..., 7гп в W1.
Пусть теперь в некоторой области D С Мп задана дифференци-
дифференциальная &-форма ш и некоторая система криволинейных координат
а:1,...,^". В каждой точке х Е D фиксируем базис е\{х),..., еп(х)
пространства TDx<i составленный из единичных векторов координат-
координатных направлений. (Например, если ж1,..., хп — декартовы координаты
в Кп, то ei(x),..., еп(х) есть просто репер е15..., еп пространства Rn,
параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в
каждой точке х € D на, основании формул D) и (б) получаем, что
" • Л
ИЛИ
и(х) = ^ atl..mlk(x) dx%1 Л... Л dxlk. (8)
Таким образом, любая дифференциальная /г-форма является комби-
комбинацией простейших /г-форм dxn Л... Л dx%k, составленных из дифферен-
дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная
форма».
Коэффициенты аЧш Лк(х) линейной комбинации (8), вообще говоря,
зависят от точки ж, т. е. это какие-то функции, определенные в области,
где задана форма u)k-
В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала
df(x) = -—^(x)dx + ... + tj~^(x) Лх , (9)
а, как видно из равенств
240 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
имеет также место разложение
u)lF{x) = (F(x),-) = (gnl(x)Fll{x))dxl = a%(x)dx\
A0)
которое в декартовых координатах выглядит особенно просто:
п
u)XF(x) =
(и)
г=1
Далее, в R3 имеет место равенство
Vl{x) V2(x) V3{x)
tl c2 fZ
Si SI SI
4^2 4^2 4^2
s;
si si
a
S2
si si
S2 S2
откуда следует, что
- Vl{x) dx2 A dx3 + V2(x) dx3 A dx1 + V3(x) dx1 A dx2. A2)
Аналогично, из разложения по строке определителя n-го порядка
для формы
.n-1
получаем следующее разложение:
п
U)y —
dx1 A...Adxl A...Adxn,
A3)
г=1
где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в
указанном слагаемом.
3. Внешний дифференциал формы. Все, что было до сих пор
сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к
каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто
алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над
дифференциальными формами является операция их (внешнего) диф-
дифференцирования.
Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого
порядка в области Del" понимать функции /: D —> К, определенные
в этой области.
§ 5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 241
Определение 2. (Внешним) дифференциалом от 0-формы / в слу-
случае, если / — дифференцируемая функция, называется обычный диф-
дифференциал df от этой функции.
Если заданная в области Del" дифференциальная р-форма (р ^ 1)
ш(х) = ач„Лр(х) dxn A ... Л dxlp
имеет дифференцируемые коэффициенты аг1шшЛр(х), то ее (внешний)
дифференциал есть форма
dco(x) = datl.imt (x) Л dx%1 Л ... Л dxlp.
Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на
вытекающую из соотношения A) дистрибутивность внешнего произве-
произведения 1-форм, заключаем, что
да, Л ,
ёш(х) = ' ; р(д) dxl Л dx4
,i
dx% Л dx11 Л ... Л dxlp,
т.е. (внешний) дифференциал от р-формы (р ^ 0) всегда есть форма
степени р + 1.
Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальнойр-фор-
мы в области Д С М", как теперь можно понять, слишком общо, по-
поскольку никак не связывает формы ш(х), соответствующие различным
точкам области D. Реально в анализе используются лишь формы, ко-
коэффициенты ап.шЛр(х) координатного представления которых являются
достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемы-
дифференцируемыми) функциями в области D. Порядок гладкости формы ш в области
D С W1 принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее
коэффициентов. Совокупность всех форм степени р ^ 0 с коэффици-
коэффициентами класса С^°°Цв,Ш) чаще всего обозначают символом fip(D,R)
или QP.
Таким образом, определенная нами операция дифференцирования
форм осуществляет отображение d: fip —> fip+1.
Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров.
Пример 9. Для 0-формы ш = /(х, у, z) — дифференцируемой фун-
функции, определенной в области D С К3, — получаем
df J 8f , 8f
dcu = cte + dy +
rcte + ^dy + z
ox ay oz
242 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Пример 10. Пусть
ш(х, у) = Р(ж, у) dx + Q(x, у) dy
— дифференциальная 1-форма в области D пространства R2, наделен-
наделенного координатами (ж, у). Считая Р и Q дифференцируемыми в D
функциями, в соответствии с определением 2 получаем
du){x, у) — dP Adx-\- dQ Ady =
dx + dv) Adx + \-fodx + ^dy) Ady =
. J (8Q ЭР\ . w А ,
dxAdy ={—-—) (x,y)dxAdy.
Пример 11. Для 1-формы
ш = Р dx + Q dy + R dz,
заданной в области D пространства R3, получаем
BR dQ\ J J (дР 8R\ , J (dQ дР
)dyAdZ+{)dAdX+{
Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы
ш = Р dy A dz + Q dz A dx + Rdx A
где Р, Q, R — дифференцируемые в области Dcr функции, приводит
к соотношению
(ЭР dQ dR\ ,
dcu = ——I- ——h -r— dx Ady A dz.
\ ox ay dz J
Если (ж1, ж2, ж3) — декартовы координаты в евклидовом пространс-
пространстве R3, а х н> /(ж), ж н> F(x) = (F\ F2, Р3)(ж), x^V = (F1, F2, F3)(x)
— гладкие скалярное и векторные поля в области D С К3, то вместе с
ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответ-
соответственно векторные поля
(Of О р Г\ г \
тг~п тг~9 тгт ) —градиент скалярного поля /, A4)
ox1 ox* ox6 J
5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 243
„ fdF3 8F2 8F1 8F3 8F2 8Fl\
rot F = I 1
\ dx2 dx3 ' dx3 dxl' dxl dx2 J
ротор векторного поля F A5)
и скалярное поле
dVl dV2 dV3
divV = -r—r- + -r—5- + -7—=- —дивергенция векторного поля V. A6)
ox1 ox1 ox6
О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не
останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции
векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов
теории поля с операцией дифференцирования форм.
В евклидовом ориентированном пространстве R3 между векторны-
векторными полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное соот-
соответствие
Заметим также, что любая 3-форма в области Bel имеет вид
р(х1, х2) х3) dx1 A dx2 A dx3. Учитывая эти обстоятельства, можно ввести
следующие определения для grad/, rot.F, div V:
f .-> ш°(= f) ^ du\= df) = ш\ h4 9 := grad/, A4')
F \-t cup \-t dcup — cul \-t r := rot F, A5')
^ \ 2:= div V. A67)
Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых коор-
координатах мы приходим к выписанным выше выражениям A4), A5), A6)
для grad/, rot.F, div V. Таким образом, перечисленные операторы тео-
теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции
дифференцирования внешних форм, которая выполняется единообраз-
единообразно на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и дивер-
дивергенции будет сказано в гл. XIV.
4. Перенос векторов и форм при отображениях. Посмотрим
внимательнее на то, что происходит с функциями @-формами) при ото-
отображении областей.
9-4574
244 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
Пусть (р: U —> V — отображение области U С Ш™1 в область V С
С Шп. Под действием отображения (р каждая точка t Е U переходит в
определенную точку х = (p(t) области V.
Если на V определена функция /, то благодаря отображению </? :
U —> V на области U естественно возникает полученная из / функ-
функция <£*/> которая определяется равенством
т. е. чтобы найти значение (p*f в точке £ Е С/, надо отправить £ в точку
х = </?(<) G V и вычислить там значение функции /.
Таким образом, если при отображении (р: U -> V точки области U
переходят в точки области V, то множество определенных на V функ-
функций под действием построенного соответствия / н-> <р*/ отображается
(в обратную сторону) в множество функций, определенных на С/.
Иными словами, мы показали, что при отображении <р: U —> V есте-
естественно возникает отображение <р*: il°(V) -> П°(С/), которое преобра-
преобразует заданные на V нуль-формы в нуль-формы, определенные на U.
Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.
Пусть <р: U -> F —гладкое отображение области U С Щ1 в область
V С М£, <pf(t)'- TUt —> TV^=V?^)—соответствующее <р отображение ка-
касательных пространств, и пусть со — некоторая р-форма в области V.
Тогда форме и можно сопоставить р-форму <р*ы в области С/, которая
в точке t G U на наборе векторов тх,..., тр Е TUt определяется равен-
равенством
ls..., тр) := a;(^))(^in, • • •, ^тр). A7)
Таким образом, каждому гладкому отображению (р: U —> V соот-
соответствует отображение <р*: J1P(F) —>• ^Р(С/), которое переносит задан-
заданные на V формы в область U. Из соотношения A7), очевидно, следует,
что
/ + и") = <р*(ы') + v*(a/'), A8)
у?* (Aw) = A^*w, если ХеШ. A9)
Вспомнив закон (ф о фI = ф1 о <р; дифференцирования композиции
отображений </?: U -$V, ф: V —> W, из A7) заключаем дополнительно,
что
оср* B0)
5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 245
(естественный обратный ход: композиция отображений
ф*: Up(W)
UP{U))
Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм.
Пример 13. В области V С Ш£ возьмем 2-форму и ~ dxn A dx12.
Пусть хг = x%{tl,..., tm), i = 1,..., п — координатная запись отображе-
отображения <р: U ->• V области U С Ц* в V.
Мы хотим найти координатное представление формы (р*со в U. Бе-
Берем точку t G С/ и векторы ti,T2 G ГС/й. В пространстве TVx=zip^ им
отвечают векторы fi = ^'(t)ri, ^2 = ^'(^)г2э координаты (£j,... ,^J"),
(^2' • • • 5 £2*) которых выражаются через координаты (т1,..., т["),
(rj,..., Tjf1) векторов ri, Г2 с помощью матрицы Якоби по формулам
(по j суммирование от 1 до гп).
Таким образом,
si si
дП £t2
S2
dm 1
E
т.
'
Tl Ч
2 '2
dtn
) =
dtn dtn
dm
{t)dt
31
246 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Следовательно, мы показали, что
Ей(тп тп\
a/, it*)*?1 Adt3\
Если воспользоваться свойствами A8) и A9) операции переноса
форм1) и повторить проведенную в последнем примере выкладку в об-
общем виде, то получим следующее равенство:
V
* ' V о,, ,Jx)dx4 A...Adxl" =
. B1)
Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком <£>*, формаль-
формально сделать замену х = x(t), выразить дифференциалы drr1,... ,dxn че-
через дифференциалы dt1^...^dtm и упростить полученное выражение,
пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и полу-
получим правую часть равенства B1).
Действительно, для каждого фиксированного набора индексов
atu...,tp(x)dxtl A...Adxtp
Вт11
^rf*J1 Л ... Л
Л ... Л
Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1 ^ i\ <
< ... < ip ^ n, получаем правую часть соотношения B1).
^Если A9) использовать поточечно, то видно, что
(p*(a(x)uj) = a{ip{t))ip* ш.
§5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 247
Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом от-
отношении
Утверждение. Если в области V С W1 задана дифференциаль-
дифференциальная форма ш, а <р: U —> V — гладкое отображение области U С Мш
в V, то координатная запись формы ср*со может быть получена из
координатной записи
dx%1 Л... Ada;1'
формы и прямой заменой переменных х = <p{t) (с последующим преобра-
преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произведения).
Пример 14. В частности, если т — п — р, то соотношение B1)
сводится к равенству
ip*{dxr Л ... Л dxn) = det (p'{t)dtl Л ... Л dtn. B2)
Значит, если под знаком кратного интеграла вместо f(x) dx1... dxn
писать f(x)dx1 Л ... Л dx71', то формула
J f(x)dx = f f(<p(t)) det <f/(t)dt
V=<p{U) U
замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориента-
ориентацию диффеоморфизмах (т.е. при det(pf(t) > 0) получалась бы автома-
автоматически формальной подстановкой х = (f{t), подобно тому, как зто
имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следу-
следующий вид:
ш= [<р*ш. B3)
tp(U) U
Заметим в заключение, что если степень р взятой в области V СЩ
формы и больше, чем размерность т области U С Мш, которая отобра-
отображается посредством <р: U —> V в область V, то соответствующая со на U
форма <р*о>, очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение
tp*: £lp(V) —>• ПР(С/), вообще говоря, не обязано быть инъективным.
С другой стороны, если <р: U —> V имеет гладкое обратное отобра-
отображение ip~l: V —> С/, то в силу соотношения B0) и равенств (р~1оср =
248 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
ip о (р~1 = еу получаем, что (</?)* о (<р~1)* — e*j, (v?)* ° (^)* = е\/-> и по-
поскольку ёу и ву — тождественные отображения QP{U) и QP(V) соответ-
соответственно, то отображения ср*: W(V) -> №(£7), О/?)*: ^р(^) "► ^W,
как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными. То есть в
этом случае отображение ip* : QP(V) —> £lp(U) биективно.
Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойства-
свойствами A8)-B0) отображение (р* переноса форм, как можно проверить,
удовлетворяет также соотношению
<p*(du>) =d{<p*cj). B4)
Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что
определенная нами в координатном виде операция дифференцирования
форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в кото-
которой записана дифференцируемая форма со. Подробнее это будет обсу-
обсуждаться в гл. XV.
5. Формы на поверхностях
Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности S С Кп
задана дифференциальная р-форма ш, если в каждой точке х Е S на
векторах касательной к S плоскости TSX определена р-форма w{x).
Пример 15. Если гладкая поверхность S лежит в области D С
С1и,в которой определена форма ы, то поскольку в любой точке х Е S
имеет место включение TSX С TDX, можно рассмотреть ограничение
формы и){х) на TSX- Так на S возникает форма ы|з, которую естест-
естественно назвать ограничением формы и на поверхность S.
Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается параме-
параметрически. Пусть ip: U —> S = <p{U) С D — параметризованная гладкая
поверхность в области D, а ш — форма в D. Тогда форму ш можно пе-
перенести в область U параметров и записать (р*ш в координатном виде
в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ясно, что получа-
получаемая при этом в U форма (р*со совпадает с формой <p*(w\s)'
Заметим, что коль скоро <pf{t): TUt —> TSX в любой точке t E U есть
изоморфизм между TUt и TSX, то можно переносить формы как с S
на С/, так и с U на 5, поэтому как сами гладкие поверхности обычно
задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в
конечном счете обычно задают в областях изменения параметров ло-
локальных карт.
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 249
Пример 16. Пусть cjy — рассмотренная в примере 8 форма пото-
потока, порожденная векторным полем скоростей течения V в области D
ориентированного евклидова пространства М3. Если S — гладкая ори-
ориентированная поверхность в D, то можно рассмотреть ограничение
Wy\s формы &у на S. Получаемая при этом форма Wy\s характери-
характеризует поток через каждый элемент поверхности S.
Если <р: I —> S локальная карта поверхности 5, то, сделав заме-
замену переменных х = <p(t) в координатном выражении A2) формы (Jy,
получим координатное выражение определенной на квадрате I фор-
формы (р*и)у = <p*(<Uy\s) в данных локальных координатах поверхности.
Пример 17. Пусть ulF— рассмотренная в примере 7 форма ра-
работы, порожденная действующим в области D евклидова пространства
полем сил F. Пусть (р: I —> (рA) С D — гладкий путь (ср — не обязатель-
обязательно гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом ограниче-
ограничения и переноса форм на отрезке / возникает форма <р*ш]?, координат-
координатное представление a(t) dt которой можно получить, выполнив замену
переменных х = <p(t) в координатном выражении A1) формы ulF.
Задачи и упражнения
1. Вычислите значения приведенных ниже дифференциальных форм ш
в Еп на указанных наборах векторов:
a) и) = х2 dx1 на векторе £ = A,2,3) Е ^^C,2 i) •
b) и = dx1 A dx3 + х1 dx2 A dx4 на упорядоченной паре векторов £i,£2 €
с) w = df, где / = х1+2х2 + .. .+пжп, а ^ = A, -1,..., (- ^^^
2. а) Проверьте, что форма dx4 А.. .Adxtk тождественно равна нулю, если
не все индексы г1?..., ik различны.
b) Объясните, почему на n-мерном векторном пространстве нет отличных
от нуля кососимметрических форм степени р> п.
c) Упростите запись формы, заданной в виде
2dxl A dx3 A dx2 + 3dx2 A dx1 A dx2 - dx2 A dx3 A dx1.
d) Раскройте скобки и приведите подобные члены
(ж1 dx2 + х2 dx1) А (ж3 dx1 A dx2 + x2 dx1 A dx3 + x1 dx2 A dx3).
е) Форму df Adg, где / = ln(l + |ж|2), д = sin|a:|, х — (х ,ж2,ж3), запишите
в виде комбинации форм dxn A dx12, I ^ i\ < %2 ^ 3.
250 ГЛ. XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
f) Проверьте, что в
п
df1 Л ... Л dfn(x) = det (^-) (x)dx1 A...Adxn.
\охз J
g) Проведите все выкладки и покажите, что при 1 ^ к ^ п
df1 А ... Л dfk = Yl det
df1 df1
дхЧ ' ' ' дх1к
dfk dfk
дхг1 ' ' ' дхгк
dx4 A...Adxtk.
3. а) Покажите, что форма а четной степени коммутирует с любой фор-
формой /3, т. е. а А /3 = C А а.
п
Ь) Пусть со = 53 dp% Adq1 и ujn = со А ... А со (п раз). Проверьте, что
1
г=1
соп = n\dp1Adq1A...A dpn A dqn = (-1) * dpi A ... Л ф„ Л dq1 А ... Л dqn.
4. а) Форму со = df7 где f(x) = (х1) + (х2J + ... + (хп)п, запишите в виде
комбинации форм dx ,..., dxn и найдите дифференциал du формы со.
b) Проверьте, что для любой функции / € C^(D,R), d?f = 0, где d2 =
= do d, a d—оператор внешнего дифференцирования.
c) Покажите, что если коэффициенты ач tfe формы со = atl lfc(x)dx4 Л
Л ... Л dx%k принадлежат классу C^(D, М),то (i2^ = 0 в области D.
d) Найдите внешний дифференциал формы Vd^~x^V B области ее опреде-
X \ У
ления.
5. Если под знаком кратного интеграла / f{x)dx1.. .dxn произведение
D
dx1.. dxn понимать как форму dx1 A ... Л dxn, то, согласно результату при-
примера 14, у нас будет возможность формально получать подынтегральные вы-
выражения формулы замены переменных в кратном интеграле. Выполните, со-
согласно этой рекомендации, переход от декартовых координат:
a) к полярным координатам в Ж2,
b) к цилиндрическим координатам в М3,
c) к сферическим координатам в М3.
6. Найдите ограничение формы:
a) dx1 на гиперплоскость хг = 1.
b) dx A dy на кривую х = x(t), у = y(t), a < t <b.
c) dx A dy на плоскость в М3, задаваемую уравнением х = с.
d) dy A dz + dz A dx + dx A dy на грани стандартного единичного куба в Е3
e) сог = dx1 А ... Л dxl~xA dx1 Adx%+1 A ... Л dxn на грани стандартно-
стандартного единичного куба в Мп; знак стоит над дифференциалом dx1, который
выбрасывается из написанного произведения.
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 251
7. Выразите в сферических координатах М3 ограничение следующих форм
на сферу радиуса R с центром в начале координат:
a) dx.
h)dy.
с) dy A dz.
8. Отображение <р: Ш2 -»■ Ш2 задано в виде (и, и) *-> (и • v,l) = (x,y) Най-
Найдите:
a) <p*(dx).
b) ip*(dy).
c) <p*(ydx).
9. Проверьте, что внешний дифференциал d: UP(D) —> QP+1(Z>) обладает
следующими свойствами:
a) d((j± + W2) — db>i + cL;2-
b) d(coiAtO2) = da;iA^2 + (—l)degu;i^iArfa;2) где deg^i—степень формы и\.
c) Vu e № d(du) = 0.
dff:
i=i dx
Покажите, что отображение d: Q,P(D) —> np+1(D), обладающее свойствами
a), b), c), d), единственно.
10. Проверьте, что отображение tp: №(V) —у QP(C/), отвечающее отобра-
отображению <р: U —> V, обладает следующими свойствами:
a) ip*(a>i + Ш2) = <р*&! +
b) ip*(tui Л^2) = <^*^i A
c) dip*co = ip*du.
d) Если еще имеется отображение ф: V —> W,to (ф о <р)* = <р* о ф*.
11. Покажите, что гладкая к-мерная поверхность ориентируема тогда и
только тогда, когда на ней существует нигде не вырождающаяся &-форма.
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры
а. Работа поля. Пусть F(x) — непрерывное векторное поле сил,
действующих в области G евклидова пространства Шп. Перемещение
пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вы-
вычислить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной проб-
пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути
Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения опре-
определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение
задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего
элементы конструкции.
Известно, что в постоянном поле F
перемещение на вектор £ связано с ра-
работой, равной (-F1, £).
Пусть t \-> x(t) —определенное на от-
отрезке I = {tE.R\a^t^b} гладкое
отображение j: I —> G.
Ц+1
Рис. 83.
Возьмем достаточно мелкое разбие-
разбиение отрезка [а, Ь]. Тогда на каждом про-
промежутке 1г = {t E / | tt-i ^ t ^ tt} раз-
разбиения с точностью до бесконечно малых
§ 1 ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 253
более высокого порядка выполняется равенство x(t) — x(tt) « xf(tt)(t —
— tt). Вектору тг = tt+\ —1% смещения из t% в tl+\ (рис. 83) в пространст-
пространстве W1 отвечает перемещение из точки x{tt) на вектор Ахг = жг+1 — жг,
который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с
вектором £г = £(£г)тг, касательным к траектории в точке x(tt). Ввиду
непрерывности поля F(x), его можно считать локально постоянным, и
потому работу ДАг, отвечающую промежутку (времени) /г, можно с
малой относительной погрешностью вычислять в виде
или
Значит,
А = Y, ДА * £№(*•))' x{U))Att,
г г
откуда, переходя к пределу при измельчении разбиения отрезка /, по-
получаем, что
b
A = J{F(x(U)),x(t))dt. A)
а
Если выражение {F(x(tt)),x(t)) dt переписать в виде (F{x),dx), то,
считая координаты в W1 декартовыми, ему можно придать вид F1 dxl-\-
+ ... + Fn dxn', после чего формулу A) можно записать как
А= [ F1dx1 + ... + Fndxn B)
7
или как
A = Ju>1F. B')
7
Точный смысл написанным в B) и B') интегралам от 1-формы ра-
работы вдоль пути 7 придает формула A).
, I, опре-
22 22)
деленное во всех точках плоскости М2, кроме начала координат. Вычи-
Вычислим работу этого поля вдоль кривой 7ъ заданной в виде х = cost, у =
254 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
— sint, 0 ^ t ^ 27Г, и вдоль кривой 72, заданной соотношениями х = 2 +
+ cost, у — sint, 0 ^ t ^ 27Г. В соответствии с формулами A), B), B;)
находим
/II Т
х2 2
х2 Л-у2 х2 Л-у
71 71
2тг
// sin t •
о
\ cos^ £
(—sin t) cost-cost \ _
+ —5 г-о- МЙ = 2тг
■ 2 + 5г
+ siir t cos^ t + sir
и
2тг
i _ f—ydx-\-xdy_ Г —sint(— sint) + B + cost) cost _
F J x2 + y2 J B + cos tJ + sin21 ~
72 72 0
27Г 7Г 0
+ V f*O4 T /1 —J— V РПО / /1 —J— V PflQ l9ir 1/1
^ v-UO I/ _ IX I ^f VvWO I/ _ /X I ^ LiUO I L/l U» I _
: ^ dt = -—— dt + / ^ ; f du =
) + 2cost J 5 + 2cost J 5 + 2cosB7r — u)
О О 7Г
7Г 7Г
/*l + 2cost , /*l + 2cosu ,
/ г—t: at— I -— аи = О.
J 5 + 2 cos t J 5 + 2 cos и
о о
Пример 2. Пусть г — радиус-вектор точки (x,y,z) € М3, а г =
Пусть всюду в М3 вне начала координат задано поле сил вида F — f(r)r.
Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля F на
пути 7: [0,1] —>■ К3 \ 0. Используя B), находим
1 f
Л\ / 1 i 7 i l\ IP/
v 11 т пт A- it nil А- у пу — — I f I'
А У У ) 2J J\
7 7
1
= ^//H*))*-2(*) = i
2
r2
Здесь мы, как видно, положили a;2(t) + y2(t) + ^2(t) = r2(t), r2(t)
, r0 = r@), rx =
§1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 255
Итак, в любом центральном поле работа на пути 7 оказалась зави-
зависящей только от расстояний го, т\ начала и конца пути до центра О
поля.
В частности, для гравитационного поля -$г единичной точечной
массы, помещенной в начало координат, получаем
Ь. Поток через поверхность. Пусть в области G ориентирован-
ориентированного евклидова пространства М имеется установившееся течение жид-
жидкости (или газа) и х ь-»- V(x)—поле скоростей этого течения в обла-
области G. Пусть, кроме того, в G взята гладкая ориентированная поверх-
поверхность S. Для определенности будем считать, что ориентация S задана
полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток
жидкости через поверхность 5, точнее, требуется найти, какой объем
жидкости протекает в единицу времени через поверхность S в указан-
указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.
Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения по-
постоянно и равно V, то поток в единицу времени через натянутый на
пару векторов £i, £2 параллелограмм П равен объему параллелепипеда,
построенного на векторах V, &, &• Если rj — нормаль к П и ищется по-
поток через П в сторону, указываемую нормалью 77, то он равен смешан-
смешанному произведению (V, £ь £гM если 7] и репер £i, £2 задают одинаковую
ориентацию П (т.е. если 77, £i, £2 — репер заданной в М3 ориентации).
Если же репер £i, £2 задает в П ориентацию, противоположную опреде-
определяемой нормалью ?7, то поток в сторону, указанную нормалью 77, равен
Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для просто-
простоты, что поверхность S в целом допускает гладкую параметризацию
(р: I —> S С G, где I — двумерный промежуток плоскости М2. Разо-
Разобьем I на маленькие промежутки 1г (рис.84). Образ <рAг) каждого та-
такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на
образы £i = <£>'(£г)т1, £2 = <Pf(ti)T2 векторов Ti, T2 смещения вдоль ко-
координатных направлений. Считая, что V(x) мало меняется в пределах
куска (рAг) поверхности, и заменяя <р{1г) указанным параллелограммом,
можем считать, что поток Д^7, через кусок <рAг) поверхности с малой
256
ГЛ XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Т2
I
Рис. 84
относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля
скоростей V(xt) = V((p(U)) через параллелограмм, порожденный век-
векторами £i, £2-
Считая, что репер £i, £2 задает на S ту же ориентацию, что и т?,
находим
Суммируя элементарные потоки, получаем
где oJ^{x) = (V(x), •, ) (рассмотренная в примере 8 § 5 гл. XII) 2-форма
потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р
промежутка /), то естественно считать, что
>2v
C)
Последний символ есть интеграл от 2-формы о;^ по ориентирован-
ориентированной поверхности S.
Вспомнив (см. формулу A2) §5 гл. XII) координатное выражение
формы потока ujy в декартовых координатах, мы вправе записать так-
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 257
же, что
Т = f V1 dx2 Л dxs + V2 dx3 Л dx1 + V3 dx1 Л dx2. D)
5
Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи.
В сущности, мы дали только точное определение C) потока Т и вве-
ввели некоторые обозначения C), D), но не получили пока эффективной
вычислительной формулы, подобной формуле A) для работы.
Заметим, что формула A) получается из выражения B), если вместо
ж1,... ,хп в него подставить функции (ж1,... ,xn){t) = x(t), задающие
путь 7- Напомним (см. §5 гл. XII), что такая замена интерпретируется
как перенос заданной в G формы ш на отрезок I = [а, Ь].
Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока мо-
может быть получена прямой подстановкой в D) параметрических урав-
уравнений поверхности.
В самом деле,
и
Форма (р*и)у определена на двумерном промежутке I С М2. В I
любая 2-форма имеет вид f(t)dtl Л dt2, где /■—зависящая от формы
функция на /, поэтому
Но dtl ЛсЙ2(т*1, т*г) = т\ -т$ есть площадь определяемого ортогональ-
ортогональными векторами t*i,T2 прямоугольника 1г.
Таким образом,
При измельчении разбиения в пределе получим
f f(t)dtl Adt2 = f ftydt^dt2, E)
258
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где в левой части, согласно C), стоит интеграл от 2-формы о;2 =
= f(t) dt1 Adt2 по простейшей ориентированной поверхности 7, а в пра-
правой части — интеграл от функции / по прямоугольнику I.
Остается вспомнить, что координатное представление f(t) dt1 A dt2
формы ip*Wy получается из координатного выражения формы иХу пря-
прямой заменой переменных х = </?(£), где tp: I —> G — карта поверхности S.
Выполнив эту замену, из D) получим
<7Г
S=<p(I)
дх2
W
дх2
W
дх3
W
дх3
W
дх3 дх1
W~ ~dF
дх3 дх1
W W
дх] дх2
дх1 дх2
W W
dt1 A dt2.
Последний интеграл, как показывает равенство E), есть обычный
интеграл Римана по прямоугольнику I.
Таким образом, мы нашли, что
I
а
dt1 dt2,
F)
где x = (p(t) =
карта поверхности S, задающая ту
же ориентацию 5, что и указанное нам поле нормалей к S. Если карта
tp: I —> S задает на S противоположную ориентацию, то равенство F),
вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале
пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут
отличаться только знаком.
Окончательная формула F), очевидно, есть просто-напросто акку-
аккуратно записанный в координатах i1, t2 предел сумм знакомых нам эле-
элементарных потоков AJ-t ~ (V(a;t),£i,£2)'
Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой.
В общем случае гладкую поверхность S можно разбить на гладкие кус-
куски Su не имеющие между собой существенных пересечений, и найти
поток через S как сумму потоков через куски St.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
259
Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной
скоростью V — A,0,0). Если в области течения взять любую замкну-
замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется, количе-
количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно
оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую
поверхность должен быть равен нулю.
Проконтролируем в этом случае формулу F), взяв в качестве S сфе-
сферу х2 + у2 + z2 = R2.
Сферу S с точностью до множества, имеющего площадь нуль и по-
потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать пара-
параметрически
х = R cos ф cos ip,
у ~ Rcos ф sin ip^
z = Rsmф,
где 0 < if < 27Г, -7г/2 < ф < 7г/2.
После подстановки в F) этих соотношений и V = A,0,0), получим
дх* дх2
дх1 дх2
тг/2 2тг
= R / cos2 фdф cos ipdip = 0.
-тг/2 О
Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в ка-
какую сторону (внутрь или нарушу) ведется расчет потока.
Пример 4. Пусть поле скоростей движущейся в пространстве
среды в декартовых координатах #, у, z определяется равенством
V(x,y,z) = (V1,V2^V3)(x^y^z) = (x,y,z). Найдем в этом случае по-
ток через сферу х + у + z — К внутрь ограниченного ею шара (т. е.
в сторону внутренней нормали).
Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив
подстановку в правую часть формулы F), найдем, что
R cos ф cos (/? R cos т/> sin у? R sin ^
—Д cos ^ sin ip R cos ^/» cos ip 0
Д sin ф cos (/? —/2 sin ф sin t/? /2 cos ф
-тг/2
260 ГЛ XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2тг
-тг/2
Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными коор-
координатами ((/?, ф) ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутрен-
внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый
поток Т = —47г/23.
В данном случае полученный результат легко проверить: вектор V
скорости течения в каждой точке сферы равен по величине Д, ортого-
ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен
площади сферы 47г/22, умноженной на R. Поток в противоположную
сторону получается равным
2. Определение интеграла от формы по ориентированной
поверхности. Решение рассмотренных в п. 1 задач приводит к опре-
определению интеграла от fc-формы по ориентированной fc-мерной поверх-
поверхности.
Пусть сначала S — гладкая fc-мерная поверхность в Мп, заданная
одной стандартной картой <р: I —> S. Пусть на S задана fc-форма ш.
Интеграл от формы и) по параметризованной поверхности tp: I —» S
строится следующим образом.
Берем разбиение Р fc-мерного стандартного промежутка I С Мп,
индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные
оси. В каждом промежутке 1г разбиения Р берем вершину £г, имею-
имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней к векто-
векторов Ti,...,Tfc, идущих в направлении координатных осей в к сосед-
соседних с tt вершин промежутка 1г (см. рис.84). Находим векторы £i =
= <р'(и)тх,... ,£k = <pf(ti)i~k касательного пространства TSXi=ip(tt^ вы-
вычисляем u(Xi)(£i, • • • ,£fc) =: (<p*u))(tt)(Ti,... ,Tfc), составляем интеграль-
интегральную сумму X^O^H^b • • • ,£k) и переходим к пределу, когда параметр
г
\(Р) разбиения стремится к нулю.
Таким образом, мы принимаем
Определение 1 (интеграла от к-формы и) по заданной картой
(р: I —> S гладкой к-мерной поверхности).
Um ^(^*t^)(^)(rb...,rfc). G)
г
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 261
Если применить это определение к fc-форме f(t) dtl А ... Л dtk на I
(когда <р—тождественное отображение), то, очевидно, получим, что
f f(t) dtl Л ... Л dtk = [ f(t) dtl... dtk. (8)
Таким образом, из G) следует, что
J*u>, (9)
S=<p(I) I
а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычно-
обычному кратному интегралу от соответствующей форме ip*w функции / на
промежутке 7.
Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но
они сами могли бы быть приняты в качестве исходных определений.
В частности, если D — произвольная область в Шп (не обязательно про-
промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим
[f(t)dtl A...Adtk := If{t)dtl ...dtk.
D D
а для гладкой поверхности, заданной в виде tp: D —» S и fc-формы ш на
ней, положим
S=<p(D) D
= [<р*и>.
Если S — произвольная кусочно гладкая fc-мерная поверхность,
а ш — определенная на гладких кусках S fc-форма, то, представив S
как объединение (J S% гладких параметризованных поверхностей, пере-
секающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности,
полагаем
1 s.
262 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соот-
соотношением A0) задачи, такое определение вызывает вопрос о независи-
независимости полученной величины интеграла от разбиения [JSi и от выбора
параметризации отдельных его кусков.
Проверим корректность данного определения.
<4 Рассмотрим сначала простейший случай, когда S есть область Dx
BMn,a(/?:Dt-> Dx— диффеоморфизм области Dt С Мп на область Dx.
В Dx = S fc-форма ш имеет вид f{x)dx1 А ... Л dxk. Тогда, с одной
стороны, в силу (8)
f f{x)dxl A...Adxk = f f(x)dx1...dxk.
Dx Dx
С другой стороны, по (9;) и (8')
/ ш := / (р*ш = / f((p(t)) det tp9(t) dt1... dtk.
Dx Dt Dt
Но если det(pf(t) > 0 в £)^, то по теореме о замене переменных в
кратном интеграле имеет место равенство
f f(x) dx1... dxk = f f(<p(t)) det (p'(t) dt1... dtk.
Dx=<p(Dt) Dt
Значит, считая, что на S = Dx имелись координаты х1,...,хк и
криволинейные координаты <*,..., t одного класса ориентации, мы по-
показали, что величина интеграла f uj не зависит от того, в какой из этих
S
двух систем координат проводить его вычисление.
Отметим, что если бы криволинейные координаты <*,..., t задава-
задавали на S другую ориентацию, т.е. при det(pf(t) < 0, очевидно, правая и
левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким обра-
образом, о корректности определения интеграла можно говорить только в
случае ориентированной поверхности интегрирования.
Пусть теперь tpx: Dx —> S и tp^: Dt —> S — две параметризации од-
одной и той же гладкой fc-мерной поверхности S и ш — fc-форма на S.
Сравним интегралы
(р%ш и / (р*и. A1)
Dx Dt
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 263
Поскольку ipt = <рх о ((р~1 о (pt) = ipxoip, где (р = ip~l о щ: Dt -> Dx —
диффеоморфизм Dt на Dx, то tp^u) = <p*(<p%w) (см. равенство B0) §5
гл. XII). Значит, форму tp^uj в Dt можно получить заменой х — (p(t) пе-
переменных в форме (рхьо. А как мы только что проверили, в этом случае
интегралы A1) совпадают, если det (pf(t) > 0 и отличаются знаком, если
Итак, показано, что если щ\ Dt —» 5, tpx: Dx —> S — параметриза-
параметризации одного класса ориентации поверхности 5, то интегралы A1) со-
совпадают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных
систем криволинейных координат на поверхности S проверена.
Независимость интеграла A0) по ориентированной кусочно гладкой
поверхности S от способа ее разбиения (J St на гладкие куски вытека-
г
ет из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно рассмо-
рассмотреть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух разбие-
разбиений и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со значе-
значением на каждом из двух исходных разбиений). ►
На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять сле-
следующую цепочку формальных определений, соответствующих изложен-
изложенной в определении 1 конструкции интеграла от формы.
Определение 1; (интеграла от формы по ориентированной по-
поверхности S С Мп).
a) Если в области D сШк задана форма f(x) dx1 A ... Л dxk, то
f f(x)dxl A...Adxk := If{x)dx1.. .dxk.
D D
b) Если S СШп —гладкая fc-мерная ориентированная поверхность и
(р: D —> S — ее параметризация, а ш — &-форма на 5, то
причем знак + берется, если параметризация tp согласуется с заданной
ориентацией 5, а знак — берется в противоположном случае.
с) Если S — кусочно гладкая &-мерная ориентированная поверхность
в М, ш — fc-форма на S (определенная там, где S имеет касательную
264 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
плоскость), то
5
где 5i,..., 5m,... —разложение S на гладкие параметризуемые &-мер-
&-мерные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким поверхно-
поверхностям меньшей размерности.
Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности вле-
влечет за собой изменение знака интеграла.
Задачи и упражнения
1. а) Пусть ж, у — декартовы координаты на плоскости М2. Укажите, для
какого векторного поля форма и = — -^—^ ^х ~1—2 х 2 dy является его фор-
формой работы.
Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы uj по следующим путям 7г:
[О,тг] 3t ^h (cost,sin*) G R2; [О,тг] 3t -^> (cos*,-sin*) e
i2;
путь 7з состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точ-
точки A,0), A,1), (—1,1), (—1,0); путь 74 состоит в движении по отрезкам, со-
соединяющим последовательно точки A,0), A,-1), (—1,-1), (—1,0).
2. Пусть / — гладкая функция в области Dcln,a 7~~глаДкии путь в D
с началом ро е D и концом р\ £ D. Найдите интеграл от формы и — df по
пути 7-
3. а) Найдите интеграл от формы to = dy Л dz + dz Л dx по границе стан-
стандартного единичного куба в R3 , ориентированной внешней нормалью.
Ь) Укажите поле скоростей, для которого рассмотренная в а) форма и
является его формой потока.
4. а) Пусть х, у, z ~ декартовы координаты в Rn. Укажите поле скоро-
скоростей, для которого форма
х dy Л dz + у dz Л dx + z dx Л dy
^= (х2 + у2 + z2fi2
была бы его формой потока.
b) Найдите интеграл от указанной в а) формы со по сфере x2+y2+z2 = i?2,
ориентированной внешней нормалью.
c) Покажите, что поток поля —-—^ly'% Q/o через сферу (х — 2J+y2+z2 =
= 1 равен нулю.
d) Проверьте, что поток указанного в с) поля через тор, параметрические
уравнения которого даны в примере 4 § 1 гл. XII, также равен нулю.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 265
5. Известно, что между давлением Р, объемом У и температурой Т дан-
данного количества вещества имеется связь f(P,V,T) — 0, называемая в тер-
термодинамике уравнением состояния. Например, для одного моля идеального
газа уравнение состояния выражается формулой Клапейрона -^г- — R = О,
где R — универсальная газовая постоянная.
Поскольку величины Р, У, Т связаны уравнением состояния, зная любую
пару из них, в принципе можно определить и остающуюся величину. Значит,
состояние любой системы можно характеризовать, например, точками (У, Р)
плоскости IR2 с координатами У, Р, тогда эволюции состояния системы как
функции времени t будет отвечать некоторый путь 7 B этой плоскости.
Пусть газ помещен в цилиндр, в котором без трения может перемещаться
поршень. Меняя положение поршня, за счет механической работы мы можем
изменить состояние газа, заключенного между поршнем и стенками цилин-
цилиндра. Наоборот, меняя состояние газа (например, подогревая его), можно за-
заставить газ совершать механическую работу (например, за счет расширения
поднимать груз). В этой задаче и следующих задачах 6, 7, 8 все процессы
считаются проходящими столь медленно, что в каждый конкретный момент
давление и температура успевают усредниться во всем объеме вещества и,
таким образом, в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению
состояния. Это так называемые квазистатические процессы.
a) Пусть 7~~ путь в плоскости У, Р, отвечающий квазистатическому пе-
переходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния
Vo, Ро в состояние Уь Pi- Покажите, что величина А совершаемой на этом
пути газом механической работы определяется следующим криволинейным
интегралом: А = J PdV.
7
b) Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального
газа при переходе из состояния Vo, Ро в состояние Vi, Pi по каждому из следую-
следующих путей (рис. 85): joli —изобара OL (Р = Ро), затем изохора Ы (У = Vi);
Joki — изохора ОК (У = Ро); затем изобара KI (Р = Pi); 70/ — изотерма
Т = const (в предположении, что PqVq = P1V1).
c) Покажите, что полученная в а) формула для механической работы, со-
совершаемой заключенным между поршнем и стенками цилиндра газом, на са-
самом деле является общей, т. е. она остается в силе для работы газа, заключен-
заключенного в любой деформируемой оболочке. D
6. Количество тепла, получаемого систе- р
мой в том или ином процессе изменения ее со-
состояний, как и совершаемая системой механи-
механическая работа (см. задачу 5), зависит не только
от начального и конечного состояний системы, *
но и от пути перехода. Важной характеристи-
характеристикой вещества и совершаемого им (или над ним)
термодинамического процесса является тепло- Рис. 85.
ViV
266 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
емкость — отношение полученного веществом тепла к изменению его темпе-
температуры. Точное определение теплоемкости можно дать в следующей форме.
Пусть х — точка в плоскости состояний F (с координатами V, Р, или F, Т,
или Р, Г), а е G TFX—вектор, указывающий направление смещения из точ-
точки х. Пусть t — малый параметр. Рассматриваем смещение из состояния х в
состояние х + 4е вдоль отрезка на плоскости F, определяемого этими состо-
состояниями. Пусть AQ(x,te)—полученное в этом процессе веществом тепло, а
AT(x,te)—изменение температуры вещества.
Теплоемкостью С = С(х,е) вещества (системы), отвечающей состоя-
состоянию х и направлению е смещения из этого состояния, называется величина
AQ(x,te)
С(х,е) = hm ~r-=r~ -.
v ' } t-ю AT(x,te)
В частности, если система теплоизолирована, то ее эволюция происходит
без обмена теплом с внешней средой. Это так называемый адиабатический
процесс. Отвечающая такому процессу кривая на плоскости состояний F на-
называется адиабатой. Значит, смещению из данного состояния х в направлении
адиабаты отвечает нулевая теплоемкость системы.
Смещению по изотерме Т = const отвечает бесконечная теплоемкость.
Особенно часто используются теплоемкости Су — С(х,еу), Ср =
= С(х, ер), отвечающие смещениям по изохоре V = const и изобаре Р = const
соответственно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне со-
состояний данной массы вещества каждую из величин Су, Ср можно считать
практически постоянной. Теплоемкости, отвечающие одному молю данного
вещества, принято называть молярными и обозначать (в отличие от прочих)
прописными (а не строчными) буквами. Мы будем считать, что имеем дело с
одним молем вещества.
Между количеством AQ полученного веществом в данном процессе теп-
тепла, изменением АС/ его внутренней энергии и совершенной им механической
работой АЛ в силу закона сохранения энергии имеется связь AQ = АС/ + АА.
Таким образом, при малом смещении te из состояния х € F полученное ве-
веществом тепло можно найти как значение формы 8Q :~ dU + PdV в точке х
на векторе te G TFX (формулу PdV работы см. в задаче 5с)). Значит, если
координатами состояния считать Т и V, а в качестве параметра при смещении
(в неизотермическом направлении) принять Т, то можно написать, что
AQ dU dU dV dV
dT^av dr* or'
Производная -X определяет направление смещения из состояния х Е F
плоскости состояний с координатами Т, V. В частности, если ^ = 0, то
смещение идет в направлении изохоры V = const, и мы получаем, что Су =
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 267
= 2£. Если Р = const, то % = ($£) (в общем случае V = V(RT) —
ai ai \ai /P^const
это разрешенное относительно V уравнение состояния /(Р, V, Т) = 0). Значит,
Г _ (dU\ , (fdU\ , p\ (dV\
C{) + {{) + p){)
где индексы Р, V, Т в правой части указывают параметр состояния, фикси-
фиксируемый при отыскании соответствующей частной производной. Сопоставляя
полученные выражения для Су и Ср, видим, что
г г ((ди\ , тЛ fdV\
Ор °v - \\w)T~*~r) \w)Р-
Экспериментами на газах (опыты Джоуля1) -Томсона) установлено и за-
затем постулировано в модели идеального газа, что его внутренняя энергия U
зависит только от температуры Т, т. е. ( ^ ) ~ 0* Таким образом, для иде-
(dV\
i i
ального газа Ср — Су = Р I Й£) . Учитывая, что для моля идеального газа
PV = ВТ, отсюда получаем соотношение Ср — Су = В, называемое в термо-
термодинамике уравнением Майера2\
То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры,
позволяет записать форму 8Q в виде
Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути 7 изме-
изменения его состояний, надо5 следовательно, найти интеграл от формы Су dT +
+ PdV по 7- Эту форму иногда удобно иметь в переменных V, Р. Если вос-
воспользоваться уравнением состояния PV = ВТ и соотношением Ср — Су = В,
то получим
CP?-dV + Cy~
К XL
a) Напишите формулу для количества Q тепла, получаемого молем газа
при изменении его состояний вдоль пути у плоскости состояний F.
b) Считая величины Ср, Су постоянными, найдите величину Q, отвеча-
отвечающую каждому из путей уоы, Joki, yoi> указанных в пункте Ь) задачи 5.
c) Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через
точку (Vo,.Po) плоскости состояний F с координатами V, Р (Пуассон нашел,
. П. Джоуль A818-1889) —английский физик; открыл закон теплового дей-
действия тока, а также определил независимо от Манера механический эквивалент те-
теплоты.
2^Ю.Р.Майер A814-1878)—немецкий ученый, врач по образованию; высказал
закон сохранения и превращения энергии, нашел механический эквивалент теплоты.
268
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4
у
гис. оо.
что на адиабате PV р'Су = const. Величина Ср/Су называется адиабатиче-
адиабатической постоянной данного газа. Для воздуха Ср/Су яа 1,4.) Вычислите после
этого работу, которую необходимо совершить, чтобы теплоизолированный от
внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии (Vb, Ро)> поместить в
объем Vi — tjVo-
7. Напомним, что цикл Карно1^ изменения
состояния рабочего тела тепловой машины (на-
(например, газа, находящегося в цилиндре под
поршнем) состоит в следующем (рис. 86). Име-
Имеются два энергоемких тела, нагреватель и холо-
холодильник (например, паровой котёл и атмосфе-
атмосфера), находящиеся при постоянной температуре
Т\ и Тг соответственно G\ > Т2). Рабочее тело
(газ) рассматриваемой тепловой машины, имея
в состоянии 1 температуру Т\, приводится в
контакт с нагревателем и за счет уменьшения
внешнего давления по изотерме квазистатиче-
ски расширяется и переводится в состояние 2.
При этом машина заимствует от нагревателя тепло Q\ и производит механи-
механическую работу А\2 против внешнего давления. В состоянии 2 газ теплоизо-
теплоизолируют и заставляют квазистатпчески расширяться до состояния 3, пока его
температура не достигнет температуры Т2 холодильника. При этом машина
также совершит некоторую работу А2з против внешнего давления. В состоя-
состоянии 3 газ приводят в контакт с холодильником и путем увеличения давления
изотермически сжимают до состояния 4. При этом над газом совершается ра-
работа (сам газ совершает отрицательную работу Л34) и газ отдает холодиль-
холодильнику некоторое количество тепла Q2- Состояние 4 выбирается так, чтобы из
него можно было вернуться в исходное состояние 1 квазистатическим сжа-
сжатием газа по адиабате. Итак, из состояния 4 газ возвращают в состояние 1.
При этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет отри-
отрицательную работу Л41). В результате описанного кругового процесса (цикла
Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, не из-
изменится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная
машиной работа равна А = АХ2 + А2г + ^34 + Аи = Q\ —Q<i-
Полученное от нагревателя тепло Q\ лишь частично пошло на совершение
работы А. Величину V — ту ~ п естественно назвать коэффициентом
Q
— ту ~ п
полезного действия рассматриваемой тепловой машины.
а) Используя результаты, полученные в пп. а) и с) задачи б, покажите,
что для цикла Карно имеет место равенство &• = Ш
. Л. С. Карно A796-1832)—французский инженер, один из родоначальников
термодинамики.
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 269
Ь) Докажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Кар-
но. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по ци-
циклу Карно, зависит только от температур Т\ и Т2 нагревателя и холодиль-
холодильника (но не зависит от устройства машины и вида ее рабочего тела).
8. Пусть 7 — замкнутый путь в плоскости F состояний рабочего тела про-
произвольной тепловой машины (см. задачу 7), отвечающий замкнутому циклу ее
работы. Количество тепла, которым рабочее тело (например, газ) обменива-
обменивается с внешней средой, и температура, при которой происходит теплообмен,
связаны фундаментальным неравенством Клаузиуса J -*?- ^ 0. Здесь 8Q —
7
форма теплообмена, о которой говорилось в задаче 6.
a) Покажите, что для цикла Карно (см. задачу 7) неравенство Клаузиуса
обращается в равенство.
b) Покажите, что если рабочий цикл 7 может протекать и в обратном
направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство.
c) Пусть 7i и 72—те участки пути 7> на которых рабочее тело тепло-
тепловой машины соответственно получает тепло извне и отдает его в окружаю-
окружающую среду. Пусть Т\ — максимальная температура рабочего тела на участ-
участке 7i ? аТг — (его) минимальная температура на участке 72 цикла 7- Наконец,
пусть Qi —полученное на участке 71 тепло, a Qi —тепло, отданное на участ-
участке 72- Исходя из неравенства Клаузиуса, покажите, что ffi $J 4Я.
d) Получите оценку rj $J -^—2- коэффициента полезного действия (см.
задачу 7) любой тепловой машины. Это—вторая теорема Карно. (Оцените
заодно к. п. д. паровой машины5 в которой максимальная температура пара не
превышает 150°С т.е. 7\ = 423К, а температура холодильника—окружаю-
холодильника—окружающей среды — порядка 20°С, т.е. Тг = 291 К).
e) Сравните результаты задач 7Ь) и 8 d) и проверьте, что тепловая маши-
машина, работающая по циклу Карно, имеет наибольший (в пределах возможного
при заданных значениях 7\ и 7*2) коэффициент полезного действия.
9. Дифференциальное уравнение -Л = ЦЩ- называют уравнением с разде-
ах 9\У)
ляющимися переменными. Обычно его переписывают в виде g(y) dy = f(x) dx,
в котором «переменные разделены», и затем «решают», приравнивая перво-
первообразные / д(у) dy = / f(x) dx. Используя язык дифференциальных форм, дай-
дайте теперь развернутую математическую аргументацию этому алгоритму.
§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
1. Масса материальной поверхности. Пусть S — материальная
поверхность в евклидовом пространстве Шп. Предположим, что нам из-
известна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на поверх-
поверхности S. Требуется определить массу всей поверхности S.
270 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Для решения задачи прежде всего надо учесть, что поверхностная
плотность р(х) в точке х € S есть предел отношения массы Am части
поверхности, попавшей в окрестность точки #, к площади Аа этой же
части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х.
Разбив поверхность S на мелкие доли S% и считая р непрерывной
функцией на 5, можно, пренебрегая изменением р в пределах каждой
малой доли, найти массу St из соотношения
Атг w р(хг)Ааг,
в котором Ааг — площадь поверхности 5г, а хг € St.
Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при
измельчении разбиения, получим, что
т = / pda. A)
S
Символ написанного здесь интеграла по поверхности 5, очевидно,
требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до вычисли-
вычислительных формул.
Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства A)
никак не зависит от ориентации поверхности S и, значит, этим же
свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Это на первый
взгляд контрастирует с тем понятием интеграла по поверхности, о ко-
котором мы подробно говорили в § 1. Ответ на возникший вопрос кроется
в определении элемента поверхности d<7, к анализу которого мы и пе-
переходим.
2. Площадь поверхности как интеграл от формы. Сопоста-
Сопоставляя определение 1 § 1 интеграла от формы с конструкцией, которая
привела нас к определению площади поверхности (§4 гл. XII), видим,
что площадь заданной в параметрическом виде <р: D —> S гладкой
А;-мерной поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве Мп, явля-
является интегралом от некоторой формы Q, которую мы пока только ус-
условно будем называть формой объема или элементом объема на поверх-
поверхности S. Из соотношения E) §4 гл. XII следует, что в криволинейных
координатах <р: D —> S (т.е. будучи снесена в область D) форма п
(точнее <p*Q) имеет вид
ш = Jdet(gtJ)(t) dt1 Л...Л dtk, B)
2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 271
При другой параметризации <р: D —> S той же поверхности для вы-
вычисления площади S по области D надо соответственно интегрировать
форму
ш = <Jdet(gl3)(i) df Л...Л dtk, C)
Обозначим через ф диффеоморфизм <р~1 о ф: D —» £), осуществля-
осуществляющий переход от координат t к координатам t поверхности 5. В свое
время мы уже подсчитали (см. замечание 5 §4 гл.XII), что
| det ф'{1)\. D)
Вместе с тем очевидно, что
ф*и - y/det(g%3)(il>(t)) det ф\1) di1 A ... Л dik. E)
Сопоставляя равенства B) - E), видим, что ф*и; = cD, если det
> 0, и ф*ш = —а;, если det^'(i) < 0. Если формы а; и а; получались
переносом <р* и соответственно <р* из одной и той же формы Q на 5, то
всегда должно быть выполнено равенство ф*(<р*С1) = <p*Q или, что то
же самое, ф*и> = о5.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на па-
параметризованной поверхности 5, которые надо интегрировать, чтобы
получить площадь этой поверхности, различны — отличаются знаком,
если параметризации задают на S различные ориентации; эти формы
совпадают для параметризаций, принадлежащих одному классу ориен-
ориентации поверхности S.
Таким образом, форма объема Q. на S должна определяться не толь-
только самой поверхностью 5, лежащей в евклидовом пространстве Мп, но
и ориентацией S.
Это может показаться парадоксальным: площадь поверхности по
нашим представлениям не должна зависеть от ориентации!
Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной по-
поверхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если
результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации по-
поверхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориента-
циях поверхности мы должны интегрировать разные формы.
Доведем высказанные соображения до точных определений.
272 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3. Форма объема
Определение 1. Если Шк —ориентированное евклидово про-
пространство со скалярным произведением ( ,), то формой объема fi на R ,
соответствующей данной ориентации Ш и скалярному произведению
{ , ), называется такая кососимметрическая &-форма, которая на орто-
нормированном репере данного класса ориентации Шк принимает зна-
значение единицы.
Значение &-формы на репере ei,..., е^, очевидно, вполне определяет
эту форму.
Заметим также, что форма Q определяется не индивидуальным ор-
тонормированным репером, а только их классом ориентации.
М В самом деле, если ei,..., е^ и ei,..., е^ — два таких репера од-
одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к
первому является ортогональной матрицей, причем detO = 1. Значит,
7Г1,..., 7rfc — проектирование Шк на соответствующие координатные
Если в Шк фиксирован ортонормированный базис ei,..., еь а
..., 7rfc — проектирование Шк на соответст:
оси, то, очевидно, 7Г1 Л ... Л 7rfc(ei,..., ejfe) = 1 и
U = тг1 Л ... Л тЛ
Таким образом,
si ••• si
k
Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упо-
упорядоченные векторы £ь ...,&.
Определение 2. Если гладкая А;-мерная ориентированная поверх-
поверхность S лежит в евклидовом пространстве Rn, то в каждой касательной
к S плоскости Т5Х, имеются ориентация, согласованная с ориентаци-
ориентацией 5, и скалярное произведение, индуцированное скалярным произве-
произведением вКп, а значит, есть и форма объема £1(х). Возникающая при
этом на S дифференциальная А;-форма ft называется формой (или эле-
элементом) объема на поверхности 5, индуцированной вложением S в
евклидово пространство W1*
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 273
Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверхности
есть интеграл по этой поверхности от формы объема, соответствую-
соответствующей выбираемой на поверхности ориентации.
Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей
определение площади, конечно, согласуется с определением 1 § 4 гл. XII,
к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом
виде ^-мерную гладкую поверхность S С Мп.
•4 Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все
касательные к ней плоскости TSX. Если £i,... ,£& — репер в TSX фик-
фиксированного в TSX класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы
объема Л следует, что tt(x)(£i,... ,£&) > 0. Но тогда (см. равенство B)
§ 4 гл. XII)
j * F)
Отметим, что сама форма Q(x) определена на любом наборе
*; векторов TSX, но равенство F) действует только на реперах задан-
заданного в TSX класса ориентации.
Отметим также, что форма объема определена только на ориенти-
ориентированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно говорить о
форме объема на лежащем в М3 листе Мёбиуса, хотя можно говорить
о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверх-
поверхности.
Определение 4. Пусть S—^-мерная кусочно гладкая (ориенти-
(ориентируемая или неориентируемая) поверхность вМп,а Si,..., Sm,... —ко-
—конечное или счетное число ее гладких параметризуемых кусков, пересе-
пересекающихся, быть может, лишь по поверхностям размерности не выше
к — 1 и таких, что S = \JSt.
г
Площадью (или к-мерным объемом) поверхности S называется сум-
сумма площадей поверхностей 5г.
В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет лежа-
лежащий в М3 лист Мёбиуса, или, что то же самое, искать его массу, если
это материальная поверхность с единичной плотностью распределения
вещества.
Традиционными рассуждениями проверяется корректность опреде-
определения 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения
5*1,..., 5т,... поверхности S).
274
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
Пусть S — гладкая гиперповерхность (размерности п — 1) в ориенти-
ориентированном евклидовом пространстве Шп, наделенная ориентирующим ее
непрерывным полем единичных нормалей т)(х), х £ S. Пусть V — форма
(n-мерного) объема в Мп, а £1 — форма ((п — 1)-мерного) объема на S.
Если в касательном пространстве TSX взять репер £i,. • • ,£n-i из
класса ориентации, задаваемого единичной нормалью г}(х) к Т5Х, то,
очевидно, можно записать следующее равенство:
V(x){n £i ... £ _i) = fi(x)(£i ... £ _i). G)
M Справедливость его следует из того, что при указанных условиях
обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что
объем параллелепипеда, натянутого на векторы rj,£i,... ,£п-ъ равен
площади основания £l(x)(£i,..., £n-i)i умноженной на высоту \т)\ — 1. ►
Но
п
V
рп
si
П
\ рп
n—1 * • • sn—1
dxl A ... Л dx% Л ... Л
г=1
Здесь х1,...,
x
n
декартовы координаты в задающем ориентацию
ортонормированном базисе е\,..., еп, а крышка над дифференциалом
dxl означает, что в этом слагаемом он отсутствует.
Таким образом, получается следующее координатное выражение
для формы объема на ориентированной гиперповерхности 5cln:
п
-1I"У (ж) dxl Л ... Л dxl Л ... Л dxn(£u ..., £n_i). (8)
г=1
Здесь стоит заметить, что при изменении ориентации поверхности
направление нормали tj(x) меняется на противоположное, т. е. форма п
при этом заменяется новой формой —fi.
Из тех же геометрических соображений следует, что при фиксиро-
фиксированном значении г Е { 1,..., п }
,.,., £n_i) = V{x){e%, £ъ ..., £n_x).
(9)
§2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 275
Последнее равенство означает, что
rf{x)u{x) - (-1I dxl А ... A dxl А ... Л йхп{£ъ ..., £п-Х). A0)
Для двумерной поверхности S вШп элемент объема чаще всего обо-
обозначают символами da или dS. Их не следует воспринимать как диф-
дифференциалы неких форм а и 5, это единые символы. Если х, у, z—
декартовы координаты вМ , тов этих обозначениях соотношения (8),
A0) запишутся так:
da = cos ot\ dy Adz + cos 0.2 dz Adx + cos 0:3 dx A dy,
cos a\ da — dy A dz, ,
1 7*7 (ориентированные площади проекции
cos ao da = dz A ax. ч
... на координатные плоскости).
cos 0:3 da = dx Ady
Здесь (cosai,cos«2,cosa^)(x) —направляющие косинусы (коорди-
(координаты) единичного вектора rj(x) нормали к S в точке х Е S. В этих
равенствах, как, впрочем, и в равенствах: (8), A0), во избежание недо-
недоразумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак \s огра-
ограничения соответствующей формы на поверхность 5, но чтобы не за-
загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием.
5. Интегралы первого и второго рода. В ряде задач, типич-
типичным представителем которых является рассмотренная выше задача об
определении массы поверхности по известной плотности, возникают ин-
интегралы типа A). Их часто называют интегралами от функции по по-
поверхности или интегралами первого рода.
Определение 5. Интегралом от функции р по ориентируемой
поверхности S называют интеграл
(И)
от дифференциальной формы /?£2, где fi — форма объема на S (отвеча-
(отвечающая выбираемой при вычислении интеграла ориентации S).
Ясно, что так определенный интеграл A1) не зависит от ориента-
ориентации 5, поскольку изменение ориентации сопровождается соответству-
соответствующей заменой формы объема.
10-4574
276 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об интегрирова-
интегрировании функции, а об интегрировании формы р£1 специального вида по
поверхности S с определенной на ней формой объема.
Определение 6. Если S — кусочно гладкая (ориентируемая или
неориентируемая) поверхность и р — функция на £, то интегралом A1)
от функции р по поверхности S называют сумму \, \ Р& интегралов
от функции р по параметризуемым кускам Si,..., S*m,... описанного в
определении 4 разбиения поверхности S.
Интеграл A1) обычно называют поверхностным интегралом пер-
первого рода.
Например, таковым является интеграл A), выражающий массу по-
поверхности S через плотность р распределения массы по поверхности.
Для выделения интегралов первого рода с их свойством независимо-
независимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхно-
поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода.
Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососим-
метрические формы, степень которых равна размерности пространст-
пространства, пропорциональны, между любой А;-формой ы, заданной на А;-мерной
ориентируемой поверхности £, и формой объема Q, на S имеется связь
, где р — некоторая, зависящая от ш функция на S. Значит,
т. е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответ-
соответствующего интеграла первого рода.
Пример 1. Интеграл B') §1, выражающий работу на пути 7 :
[а, Ь] —> Мп, можно записать в виде интеграла первого рода
A2)
где 5 — натуральный параметр на 7> ds~~ элемент A-форма) длины,
а е — единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию
об ориентации у. С точки зрения физического смысла решаемой инте-
интегралом A2) задачи он столь же выразителен, как и интеграл A) § 1.
§2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 277
Пример 2. Поток C), § 1 поля скоростей V через ориентирован-
ориентированную единичными нормалями п(х) поверхность .Scl" можно записать
в виде поверхностного интеграла
(V,n)da A3)
7
первого рода. Информация об ориентации S заключена здесь в напра-
направлении поля нормалей п.
Геометрическое и физическое содержание подынтегрального вы-
выражения в A3) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл
подынтегрального выражения окончательной вычислительной форму-
формулы F) § 1.
Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются
обозначения ds := eds, da \= nda, вводящие векторный элемент длины
и векторный элемент площади соответственно. В этих обозначениях
интегралы A2), A3) имеют вид
J(F,ds) и
7
наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для
краткости скалярное произведение (А, В) векторов А, В часто запи-
записывают символом А • В.
Пример 3. Закон Фарадея1) утверждает, что электродвижущая
сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в пере-
переменном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения по-
потока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность S.
Пусть Е — вектор напряженности электрического поля. Точная запись
закона Фарадея с учетом ориентации и принятых выше обозначений
может быть представлена в виде равенства
В -da.
Кружок в знаке интеграла по Г — дополнительное напоминание о
том, что интеграл берется по замкнутому контуру. Работу поля вдоль
. Фарадей A791 -1867) —выдающийся английский физик, создатель учения об
электромагнитном поле.
278
гл. хш. криволинейные и поверхностные интегралы
замкнутого контура часто называют циркуляцией поля вдоль этого
контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности элек-
электрического поля, пооожденного в замкнутом проводнике Г переменным
магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости измене-
изменения потока напряженности магнитного поля через натянутую на кон-
контур Г поверхность 5.
Пример 4. Закон Ампера1)
B-ds =
1
SQC2
j da
(где В — вектор напряженности магнитного поля, j— вектор плотно-
плотности тока, £(ь с — размерные постоянные) утверждает, что циркуляция
напряженности, порожденного электрическим током магнитного по-
поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через
ограниченную контуром Г поверхность S.
Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог
заметить, что это терминологическое различие очень условно. Реаль-
Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные
формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл пре-
претендует на независимость от выбора системы координат, используемой
при его вычислении).
Задачи и упражнения
1. Дайте формальное доказательство равенств G) и (9).
2. Пусть 7 — гладкая кривая, ds— элемент длины на 7-
а) Покажите, что
J
7
f(s)ds
ds
7
для любой функции / на j, для которой оба интеграла определены.
Ь) Проверьте, что если \f{s)\ ^ М на 7, а / — длина кривой 7, то
ds
7
<ML
. М. Ампер A775 -1836) —французский физик и математик, один из основопо-
основоположников современной электродинамики.
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 279
с) Сформулируйте и докажите аналогичные а) и Ь) утверждения в общем
случае интеграла первого рода, взятого по fc-мерной гладкой поверхности.
3. а) Покажите, что координаты (arj, x^Xq) центра масс, распределенных
с линейной плотностью р(х) вдоль кривой 7, следует искать из соотношений
хо / Р(х) ds = хгр(х) ds, г — 1,2,3.
7 7
b) Запишите уравнение винтовой линии в М и найдите координаты цен-
центра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с
постоянной плотностью, равной единице.
c) Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверхности 5
с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно распреде-
распределенных по поверхности полусферы.
d) Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с плот-
плотностью р по поверхности 5.
e) Покрышка колеса имеет массу 30 кг и форму тора, внешний диаметр
которого 1 м, а внутренний 0,5 м. При балансировке колеса его устанавливают
на балансировочный станок, раскручивают до скорости, отвечающей скоро-
скорости движения порядка 100 км/час, и затем останавливают тормозными ко-
колодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40см, а ширина 2 см.
Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся кинети-
кинетическая энергия раскрученной покрышки при остановке колеса ушла на нагре-
нагревание диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с = 420 Дж/(кг-К).
4. а) Покажите, что силу, действующую на точечную массу то, распо-
расположенную в точке (хоуУо7%о), со стороны материальной кривой j, имеющей
линейную плотность р, следует искать по формуле
= Gm0 I
7
где G — гравитационная постоянная, а г — вектор с координатами (а: — х$, у
b) Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса распреде-
распределена по поверхности 5.
c) Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой.
d) Найдите гравитационное поле однородной материальной сферы. (Ука-
(Укажите поле как вне шара, ограниченного сферой, так и в самом этом шаре.)
e) Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве однород-
однородным материальным шаром (рассмотрите как внешние, так и внутренние точ-
точки шара).
f) Считая Землю жидким шаром, найдите давление в нем как функцию
расстояния от центра. (Радиус Земли 6400км, средняя плотность 6г/см3.)
280 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5. Пусть 7i и 72 — Два замкнутых проводника, по которым текут токи J\
и J2 соответственно. Пусть ds\ и ds2—векторные элементы этих проводни-
проводников, отвечающие направлениям тока в них, вектор R±2 направлен от ds\ к ds2,
a R2i = — R\2-
По закону Био и Савара1^ сила dF\2, испытываемая вторым элементом со
стороны первого, равна
7 J
где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а
со—размерная постоянная.
a) Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы
Био и Савара может случиться, что dF\2 ф —dF2\, т.е. «действие не равно
противодействию».
b) Напишите (интегральные) формулы для полных сил F\2 и F2\ взаимо-
взаимодействия проводников 7i» 72 и убедитесь, что F\2 = —-**21-
6. Формула коплощади (формула Кронрода - Федерера).
Пусть Мт и Nn — гладкие поверхности размерностей тип соответствен-
соответственно, лежащие в евклидовом пространстве высокой размерности (Mm, Nn могут
быть и абстрактными римановыми многообразиями, но сейчас это несуще-
несущественно). Допустим, что т ^ п.
Пусть /*. Мт —)■ Nn — гладкое отображение. При т > п отображение
df(x): TxMm -)■ Tf(x^Nn имеет непустое ядро kerdf(x). Обозначим через
Т^МШ ортогональное дополнение к kerdf(x), а через J(f,x) обозначим яко-
якобиан отображения df(x)\TxMm : Т^МШ ->• Tf^Nn. Если m = n, то J(/,x)
совпадает с обычным якобианом.
Пусть dvfc(p) —обозначение для формы объема на fc-мерной поверхности в
точке р. Будем считать, что г>о(£) = card.E, где v^{E) — fc-объем множества .Е.
a) Используя, если нужно, теорему Фубини и теорему о ранге (о локаль-
локальном каноническом виде гладкого отображения), докажите следующую форму-
формулу Кронрода-Федерера: / J(f,x)dvm(x)= / Vm~n{f~l(y)) dvn(y).
b) Покажите, что если А — измеримое подмножество в Mm, то
/ J(f,x)dvm(x) - / fm_n (Anf1^)) dvn(y).
Л Nn
Это общая формула Кронрода-Федерера.
c) Докажите следующее усиление теоремы Сарда (утверждающей в ее про-
простейшем варианте, что образ множества критических точек гладкого отобра-
отображения имеет меру нуль). (См. гл. XI, пар. 5, задача 8.)
1}Био A774-1862), Савар A791 - 1841)—французские физики.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 281
Пусть, как и прежде, /: Мт ->■ Nn — гладкое отображение, а К — ком-
компакт в Мт, на котором rang d/(я) < п при всех х € К.
Тогда / vm_n [К П f~1(y)) dvn(y) = 0. Получите отсюда также сформу-
NJ1
лированный выше простейший вариант теоремы Сарда.
d) Проверьте, что если /:П—>Шии:П—> Ш— гладкие функции в регу-
регулярной области DcEn, причем и не имеет критических точек в D, то
Г . Г da
D
е) Пусть V/ (£)— мера (объем) можества {х £ D \ f(x) > t} и пусть функ-
функция / неотрицательна и ограничена в области D.
оо
Покажите, что / / dv — - JtdVf(t) = / Vf(t)dt.
d r о
f) Пусть ер € CA)(H,E+) и <p@) = 0, a / E CW(AE) и V,/((t) —мера
oo
можества {x £ D \ \f(x)\ > t}. Проверьте, что f cp о fdv = f ipr(t)V\f\(t)dt.
d о
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
Важнейшей формулой анализа является уже известная нам форму-
формула Ньютона-Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы
Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны,
являются развитием формулы Ньютона - Лейбница, а с другой сторо-
стороны, в совокупности, образуют наиболее используемую часть аппарата
интегрального исчисления.
В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности форму-
формулировок, на наглядном материале мы получим три классические инте-
интегральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу
Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать неза-
независимо от первых трех.
1. Формула Грина. Формула Грина1)—это следующее
Утверждение 1. Пусть М2 —плоскость с фиксированной в ней
системой координат х, у; D—компактная область в этой плоско-
. Грин A793-1841)—английский математик и математический физик. Мо-
Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве обрамлена пятью меньшими плитами с
блистательными именами: Фарадей, Томсон (лорд Кельвин), Грин, Максвелл, Дирак.
282 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сти, ограниченная кусочно гладкими кривыми] Р, Q—функции, глад-
гладкие в замкнутой области D. Тогда имеет место соотношение
dxdy= Jpdx + Qdy, A)
D dD
в котором справа стоит интеграл по границе 3D области £), ориен-
ориентированной согласованно с ориентацией самой области D.
Рассмотрим сначала простейший вариант формулы A), когда D
есть квадрат / = {(х,у) Е Ш2 | 0 < а; < 1, 0 ^ j/ ^ 1}, a Q е О
в /. Тогда формула Грина сводится к равенству
/ di
которое мы и докажем.
•4 Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Нью-
Ньютона-Лейбница, получаем
— dxdy = dx ^-dy =
I 0 0
1 1 1
= f(P(x,l)-P(x,0))dx = - I P{x,0)dx+ I P(x,l)dx.
0 0 0
Доказательство закончено. Остальное—дело определений и интер-
интерпретации уже полученного соотношения. Дело в том, что разность двух
последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части равен-
равенства B).
Действительно, кусочно гладкая кривая 81 рас-
распадается на четыре куска (рис. 87). Их можно рас-
рассматривать как параметризованные кривые
Рис. 87.
71:
72:
73:
74:
[0,
[0,
[0,
[0,
1]-»
1]-»
1Н
■ м2,
► м2,
■ I2,
ТГ-_О
где
где
где
где
X 1
У1
X 1
У
71
72
73
74
(х,
A,
(х,
(у,
0),
У),
1),
0).
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 283
По определению интеграла от 1-формы ш = Р dx по кривой
1
:= J <yt(P(x,y)dx) := [P(x,0)dx,
И [0,2] 0
1
Jp(x,y)dx:= f -fi{P(x,y)dx) := f Ody = 0,
72 [0,1] 0
1
J P(x, y) dx := J 7з* (P(x, y) dx) := I P(x, 1) dx,
73 [0,1] 0
1
Jp{x,y)dx:= J yt(P(x,y)dx) := JOdy = 0
74 [0,1] 0
и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации
границы области, с учетом ориентации кривых 71, 725 7з и 74, очевидно,
+ I и) + и; + ы=и;+и-и;-и;}
dl 7i 72 -73 -74 7i 72 73 74
где —jt есть кривая jt, взятая с противоположной задаваемой отобра-
отображением 7г ориентацией.
Таким образом, равенство B) проверено. ►
Аналогично проверяется, что
C)
/ di
Складывая равенства B) и C), получаем формулу Грина
dxdy = Jpdx + Qdy (I')
di
для квадрата /.
Заметим, что несимметричность Р и Q в формуле Грина A) и ра-
равенствах B), C) связана с несимметричностью х и у: ведь х и у упоря-
упорядочены, и этим в К2 и в / задана ориентация.
284
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
На языке форм доказанное соотношение A') можно переписать в
виде
fdu)= [ш, A")
/ di
где о; —произвольная гладкая 1-форма на /. Справа здесь стоит инте-
интеграл от ограничения формы со на границу di квадрата /.
Проведенное доказательство соотношения B) допускает очевидное
обобщение: если Dy — не квадрат, а «криволинейный четырехуголь-
четырехугольник», боковые стороны которого — вертикальные отрезки (быть мо-
может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны—графики
кусочно гладких функций <pi(x) ^ Ц>2{х) над отрезком [а,6] оси Ох, то
ду
dxdy = — / Pdx.
B')
D,
dD,
Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» Dx по отно-
отношению к оси Оу, т. е. с двумя горизонтальными сторонами, то для него
справедливо равенство
dQ_
дх
dxdy
Qdy.
C')
Dx
dDx
Предположим теперь, что область D можно разрезать на конечное
число областей типа Dy (рис. 88). Тогда для этой области D тоже верна
формула вида B').
< В самом деле, двойной интеграл по области D в силу его аддитив-
аддитивности есть сумма интегралов по кускам типа Dy, на которые разрезана
область D. Для каждого такого куска справедлива формула B'), т.е.
двойной интеграл по нему равен интегралу от
формы Р dx по ориентированной границе это-
этого куска.
Но соседние куски на общей части их гра-
границ индуцируют противоположные ориента-
ориентации, поэтому при сложении интегралов по гра-
границам всех кусков в результате взаимных уни-
х~ чтожений, очевидно, останется только инте-
р лл грал по границе 8D самой области D. ►
У
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 285
Аналогично, если область D допускает разбиение на области ти-
типа Dx, то для D справедливо равенство типа равенства C').
Области, которые можно разрезать как на куски вида DXi так и
на куски вида Dy, условимся пока называть простыми областями. На
самом-то ^еле зто достаточно богатый для всех практических целей
класс областей.
Записав для простой области оба соотношения B'), C'), после их
сложения получим формулу A).
Итак, для простых областей формула Грина доказана.
Мы не будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см.
по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма
плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти,
установив равенства A'), A").
Пусть область С получена гладким отображением (р: I —>• С ква-
квадрата I. Если и) — гладкая 1-форма на С, то
/ du) :— / (p*du) — I d(p*u) = / (p*u) —: / и). D)
С I I dl dC
Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами ра-
равенство (см. A")); крайние равенства — определения или их прямые
следствия; оставшееся второе слева равенство связано с независимо-
независимостью внешнего дифференцирования от системы координат.
Значит, для области С тоже справедлива формула Грина.
Наконец, если какую-то ориентированную область D удается разре-
разрезать на конечное число областей типа области G, то из уже описанных
выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям
границ областей Сг, которые лежат внутри .D, следует, что
E)
т. е. для области D формула Грина тоже имеет место.
Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей
попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать,
поскольку позже (гл. XV) будет описан полезный технический прием,
который позволяет избежать подобных геометрических затруднений,
заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом.
286 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина.
Пример 1. Положим в A) Р = —у, Q — х. Тогда получим, что
/ —ydx + xdy— 2dxdy = 2a(D),
дО О
где <r{D)— площадь области D. Используя формулу Грина, можно, та-
таким образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам выражения
для площади области на плоскости через криволинейные интегралы по
ориентированной границе этой области:
cr(D) = - / —ydx + xdy — — I ydx — / xdy.
до до до
В частости, отсюда следует, что работа А — f PdV, которую тепло-
7
вал машина совершает при изменении состояния ее рабочего вещества
по замкнутому циклу 7? равна площади той области плоскости Р, V
состояний, которая ограничена кривой j (см. задачу 5 § 1).
Пример 2. Пусть В = {(ж, у) Е IR2 | х2 + у2 ^ 1} —замкнутый
круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение f:B—*B
замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную
точку (т. е. такую точку р € В, что f[p) = р).
< Предположим, что неподвижных точек у отображения / нет. То-
Тогда для любой точки р е В однозначно определены луч с вершиной /(р),
проходящий через точку р, и точка (р(р) G дВ пересечения этого лу-
луча с ограничивающей круг В окружностью. Таким образом, возникло
бы отображение <р: В —»• дВ, которое, как легко видеть, тождествен-
тождественно на границе дВ круга, а в целом той же гладкости, что и исходное
отображение /. Покажем, что такого отображения ip не существует.
В области М2 \ 0 (плоскость с выброшенным началом координат)
рассмотрим уже встречавшуюся нам в § 1 форму и) — ~^ ,/ % У. Не-
посредственно проверяется, что duo = 0. Поскольку дВ Е М2 \ 0, то при
наличии отображения ip\ В —» дВ можно было бы получить форму (p*oj
на В, причем d(p*oj = (p*duj = (p*0 = 0. Значит, по формуле Грина
— 0.
3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
287
Но ограничение (р на дВ есть тождественное отображение, поэтому
Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 § 1, отличен
от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформу-
сформулированного утверждения. ►
Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размер-
размерности (см. пример 5). Оно справедливо также не только для гладких,
но и для любых непрерывных отображений /: В —» В. В этом общем
виде оно называется теоремой Брауэра1' о неподвижной точке.
2, Формула Гаусса-Остроградского, Подобно тому, как фор-
формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соот-
соответствующим интегралом по самой области, приводимая ниже форму-
формула Гаусса-Остроградского связывает интеграл по границе простран-
пространственной области с интегралом по самой области.
Утверждение 2. Пусть
пространство с фиксированной в
нем системой координат х, у, z\ D —компактная область в М , огра-
ограниченная кусочно гладкими поверхностями; Р, Q, R — функции, глад-
гладкие в замкнутой области D.
Тогда имеет место соотношение
/ / Pdy Adz + Qdz Adx + Rdx Ady
F)
Вывод формулы F) Гаусса-Остроградского можно провести, шаг
за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина.
Чтобы это повторение не было дословным, рассмотрим сразу не ку-
кубик вВ3,а область DZi изображенную на рис.89, которая ограничена
. Э. Я. Брауэр A881 -1966) —известный голландский математик. С его именем
связан ряд принципиальных теорем топологии, а также анализ оснований матема-
математики, приведший к философско-математическим концепциям, называемым интуици-
интуиционизмом.
288 ГЛ XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 89
боковой цилиндрической поверхностью S с образующей, параллельной
оси Oz, и двумя шапочками 51; S2 — графиками кусочно гладких фун-
функций ipi, (f2, определенных в одной и той же области G С R^py Прове-
Проверим, что для области Dz, выполнено соотношение
dR
dxdydz — Rdx A dy.
G)
3D,
dR
dz
dxdy dz = / / dx dy
dR
dz =
G
/ / (R(x, у, (р2(х, у)) - R(x, у, <pi (ж, у))) dx dy =
G
= - R{x,y1(pi(x1y))dxdy+ // R(x1y1(p2{x,y))dxdy.
G
G
Поверхности Si, S2 имеют соответственно следующее параметриче-
параметрическое представление:
Si: (x,y) i—> (x,y,<pi(x,y)),
S2' (х,у) '—> (х,у,<р2(х,у)).
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 289
Криволинейные координаты (ж, у) на S\ задают ориентацию, про-
противоположную той, которая индуцируется ориентацией области DZj a
на 52 —такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией Dz.
Значит, если S\ и £2 считать частями ориентированной указанным в
утверждении 2 образом границы области Dz, то последние два инте-
интеграла (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно
как интегралы по S\ и £2 от формы Rdx A dy.
Цилиндрическая поверхность S имеет параметрическое представле-
представление вида (t,z) И- (ж(£),у(£),2:), поэтому ограничение формы Rdx A dy
на S равно нулю, как, следовательно, и интеграл от этой формы по S.
Таким образом, для области Dz соотношение G) действительно име-
имеет место. ►
Если ориентированную область D можно разрезать на конечное чи-
число областей типа области _D2, то, поскольку на поверхности, по кото-
которым примыкают друг к другу две такие области, индуцируются про-
противоположные ориентации, при сложении интегралов по границам про-
произойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь
интеграл по ориентированной границе dD исходной области D.
Следовательно, формула G) верна и для областей, допускающих
указанное разбиение на области типа области Dz.
Аналогично можно ввести области Dy и Dx, цилиндрические по-
поверхности которых имеют образующие, параллельные осям Оу и Ох
соответственно, и показать, что если некоторую область D можно раз-
разрезать на области вида Dy или DX} то для D соответственно имеют
место соотношения
о/л
dxdydz — II Qdz A dx, (8)
_ ду
D
дР
— dxdydz = // PdyAdz. (9)
D dD
Итак, если D — простая область, т.е. область, допускающая ка-
каждое из трех указанных выше разбиений на области типа DX) Dy) Dz,
то, складывая равенства G), (8), (9), получаем для D равенство F).
В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не
будем сейчас заниматься описанием условий простоты области и даль-
дальнейшим уточнением доказанного (см. по этому поводу задачу 8 или
пример 12 к § 5 гл. XVII).
290 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Отметим, однако, что на языке форм в бескоординатном виде фор-
формулу Гаусса-Остроградского можно записать следующим образом:
duj = / а>, F')
D до
где и) — гладкая 2-форма в области D.
Поскольку для кубика / = I3 = {(x,y,z) EM3 |0^ж^1,0^у^
^ 1,0 ^ z ^ 1} формула F'), как было показано, верна, то ее распро-
распространение на более общие классы областей, конечно, можно провести с
помощью стандартных выкладок D) и E).
Пример 3. Закон Архимеда. Вычислим результирующую силу да-
давления однородной жидкости на погруженное в нее тело D. Декартовы
координаты ж, у, z в М выберем так, чтобы плоскость ж, у совпада-
совпадала с поверхностью жидкости, а ось z направим в сторону выхода из
жидкости. На элемент da площади поверхности S тела D, находящейся
на глубине z, действует сила давления pgznda, где р—плотность жид-
жидкости, g — ускорение силы тяжести, а п —единичная внешняя нормаль
к поверхности S в соответствующей элементу da точке поверхности.
Значит, искомая результирующая сила выражается интегралом
pgzn da.
Если п = e^coso^ + eycosay + ezcosaZi то п da = exdy Л dz +
+ eydz Adx + ez dx A dy (см. § 2, п. 4). Используя формулу F) Гаусса-
Остроградского, находим, таким образом, что
F = ехрд II zdy Adz -\- eypg It zdz Adx + expg I I zdx Ady —
s s s
= exP9 III Odxdydz + eypg / / / Odxdydz +
D D
+ ezp9 /// dxdydz = pgVez,
D
где V — объем тела .D, а значит, Р = pgV — вес жидкости в объеме,
занимаемом телом. Мы приптли к закону Архимеда: F = Pez.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 291
Пример 4. Используя формулу F) Гаусса-Остроградского, мож-
можно дать следующие формулы для объема V(D) тела D, ограниченного
поверхностью dD:
V(D) — - / / xdy Adz -\-ydz Adx + zdx Ady —
dD
xdy Adz = ydz Adx — zdx Ady.
dD dD dD
3. Формула Стокса в
Утверждение 3. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
компактная двумерная поверхность с краем <9£, лежащая в области
G С М3, в которой задана гладкая 1-форма ш = Рdx + Qdy + Rdz.
Тогда имеет место соотношение
A0)
ориентация края OS берется согласованной с ориентацией поверх-
поверхности S.
В иной записи это означает, что
dw= Iш. A0')
s ds
-4 Если С — стандартная параметризованная поверхность ip; I —»• С
в М3, где / — квадрат в R2, то для С соотношение A0) вытекает из
равенств D), с учетом доказанной для квадрата и используемой в них
формулы Грина.
Если ориентируемую поверхность S можно разрезать на простей-
простейшие поверхности указанного вида, то для такой поверхности соотно-
соотношение A0) тоже справедливо, что следует из равенств E) с заменой в
них D на S. ►
Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, напри-
например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение.
292
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Покажем, как выглядело бы приведенное до-
доказательство формулы A0) в координатной за-
записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких
выражений, мы распишем только первую и основ-
основную из двух его фраз, да и то с некоторыми упро-
упрощениями. А именно, введем обозначения а;1, ж2, х3
для координат точки х G М3 и проверим только,
что
P(x)dx1 =
дР
дх2
dx2 A dx1 + тгт dx* A dx1,
dS
Рис. 90.
поскольку остальные два слагаемых левой части
формулы A0) можно исследовать аналогично. Будем для простоты счи-
считать, что S получается при гладком отображении х = x(t) области D,
лежащей в плоскости М2 переменных t1, t2 и ограниченной одной глад-
гладкой кривой 7 — dD, параметризованной с помощью отображения t —
= t{r) точками отрезка а ^ г ^ /3 (рис. 90). Тогда край Г = dS поверх-
поверхности S можно записать в виде х = a;(t(r)), где г пробегает отрезок
[а, /3]. Используя определение интеграла по кривой, формулу Грина для
плоской области D и определение интеграла по параметризованной по-
поверхности, последовательно находим
p
f P(x)dx1 := I
г
dxldt
l
dtl A dt2 =
дР дх1 дР dxl
дР дхг дх1
dt1
AdV =
3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
293
дх2 dt1
дР^дх^\ дх^_
dx^~df) ~W
_ ( дР
дР дх3\ дх1
dt1 Л dt2 =
дР
дх2 дх2
дх1 дх1
W
дх3 дх3
dt1 Л dt2 =
Л dx
ЭР
ох6
л
Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а воскли-
восклицательным знаком —переход, использующий уже доказанную формулу
Грина. Остальное —тождественные преобразования.
Используя основную идею доказательства формулы A0'), мы, таким
образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что tp*d =
= dtp*, но фактически доказав это в рассматриваемом случае), что
формула A0) для простой параметризованной поверхности действи-
действительно имеет место. Формально мы провели рассуждение только для
члена Рdx, но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся
слагаемых 1-формы, стоящей под знаком интеграла в левой части ра-
равенства A0).
4. Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул
A), F), A0) их бескоординатная запись A"), E), F'), A0') оказывается
просто идентичной. Это дает основание считать, что мы имели дело
с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь
легко угадать.
Утверждение 4. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
k-мерная компактная поверхность с краем OS, лежащая в области
G С Мп, в которой задана гладкая (к — 1)-форма со.
Тогда имеет место соотношение
(и)
294 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
в котором ориентация края dS берется согласованной с ориентацией
поверхности S.
<4 Формула A1), очевидно, доказывается теми же общими выклад-
выкладками D), E), что и формула Стокса A0;), если только она справедлива
для стандартного ^-мерного промежутка Ik = {х = (ж1,..., xk) E Шк
О ^ х% ^ 1, г = 1,..., к}. Проверим, что для 1к формула A1) действи-
действительно имеет место.
Поскольку на 1к (к — 1)-форма имеет вид со = ^ аг(х) dx1 A ... Л
Л dx% Л... Л dxk (суммирование по г = 1,..., к с пропуском диффе-
дифференциала dx1), то A1) достаточно доказать для каждого слагаемого
в отдельности. Пусть со = а(х) dx1 Л ... Л dx% Л... Л dxk. Тогда dco —
= (—\)г~1 ^{x)dxl Л ... Л dx1 Л ... Л dxk. Теперь проведем выкладку:
(JJL
dco= (~iy-l-^(x)dxl Л... Ada;* =
l
-1 [ dx1 ...dx1 ...dxk t
jk-1
1 J (а(х\...,хг-\1,хг+\...,хк)-
jk-X
- a{x\ .. .,хг-\0,хг+\..., xk)) dx1 ...dx1 ... dxk =
1 I a(t\...,f-\l,t\...,tk-1)dt1...dtk-1
/fc-1
jk-\
Здесь Ik~l такой же, только (к — 1)-мерный промежуток в
как и^вМ^; кроме того, мы здесь переобозначили переменные х1 =
Отображения
тк-1 ^ ± (Л Л—
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 295
суть параметризации соответственно верхней Гг\ и нижней 1\о гра-
граней промежутка 1к, ортогональных оси Охг. Эти координаты на обеих
гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер ei,..., ег_х,
ег_|_1,... ,efc, отличающийся от репера ei,...,e^., пространства Шк от-
отсутствием вектора ег. Вектор ег на грани I\i является внешней по отно-
отношению к 1к нормалью, как и вектор —ег для грани 1\о- Репер ег, ei,...,
ег_х, ег+1,..., е*., переходит в репер ei,..., е*, пространства Шк после
г — 1 перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или несовпаде-
несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа (—I)*. Таким
образом, указанная параметризация задает на Ггх ориентацию, которая
превращается в ориентацию I\i, согласованную с ориентацией /*, если
ее взять с поправочным коэффициентом {—1)г~1 (т.е. не менять при
нечетном г и менять при четном г).
Аналогичные рассуждения показывают, что для грани 1\о придется
взять поправочный коэффициент (—1)г к ориентации, заданной предъ-
предъявленной параметризацией грани Гго-
Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэф-
коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы
от формы и; по граням I\i и 1\о промежутка 1к, взятым с ориентацией,
индуцированной на них ориентацией промежутка 1к.
Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней промежут-
промежутка 1к постоянна одна из координат ж1,... ,ж*~1,х*+1,... ,х*. Значит,
соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на та-
такой грани. Таким образом, форма dco тождественно нулевая и интеграл
от нее равен нулю по всем граням, отличным от 1\о, Гг1.
Значит, найденную выше сумму интегралов по этим двум граням
можно интерпретировать как интеграл от формы ы, взятый по всему
краю д1к промежутка 1к, ориентированному согласованно с ориента-
ориентацией самого промежутка 1к.
Формула
а вместе с ней и формула A1) доказаны. ►
Как видно, формула A1) является следствием формулы Ньютона-
Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и се-
серии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности,
296 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и пере-
перенос.
Формулы A), F), A0) Грина, Гаусса - Остроградского и Стокса
являются частными случаями общей формулы A1). Более того, если за-
заданную на отрезке [а, Ь] С Ш функцию / интерпретировать как 0-фор-
му ы, а интегралом по ориентированной точке от 0-формы считать
значение функции в этой точке, взятое со знаком ориентации точки,
то саму формулу Ньютона - Лейбница тоже можно рассматривать как
простейший (но независимый) вариант формулы A1). Следовательно,
фундаментальное соотношение A1) справедливо во всех размерностях
к ^ 1.
Формулу A1) обычно называют общей формулой Стокса. В каче-
качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из пре-
предисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы.
«Впервые формулировка теоремы1) появилась в виде приписки к
письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу, датированно-
датированному 2 июля 1850 г. Опубликована она была в качестве восьмого вопроса
к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен,
которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики Кем-
Кембриджского университета, с 1849 по 1882 г. проводился профессором
Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен
как теорема Стокса. Современниками Стокса были даны по крайней
мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было изло-
изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье
предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме». С тех пор именем
Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие
столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что
теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о цен-
ценности обобщений».
Отметим, что современный язык форм восходит к Эли Картану2),
а вид A1) общей формулы Стокса для поверхностей в Мп, по-видимому,
впервые предложил Пуанкаре. Для областей n-мерного пространст-
пространства Шп формулу знал уже Остроградский, а первые дифференциальные
формы написал Лейбниц.
Таким образом, общую формулу Стокса A1) не случайно порой
^Имеется в виду классическая формула Стокса A0)
2^Эли Картан A869-1951) — выдающийся французский геометр.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 297
называют формулой Ньютона -Лейбница -Грина -Гаусса - Остроград-
Остроградского -Стокса-Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это
еще далеко не полное ее название.
Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, полученный
в примере 2.
Пример 5. Покажем, что любое гладкое отображение /': В -> В
замкнутого шара В С Шт в себя имеет по крайней мере одну непо-
неподвижную точку.
<4 Если бы отображение / не имело неподвижных точек, то, как и в
примере 2, можно было бы построить гладкое отображение <р: В —> дВ,
тождественное на сфере дВ. В области Мш \ 0 рассмотрим векторное
поле |-рг, где г — радиус-вектор точки х — (ж1,... ,жт) Е Rm \ 0, и
отвечающую этому полю форму потока
т
dxl Л ... Л dx% Л ... Л dxm
и) =
(см. формулу (8) из §2). Поток такого поля через границу шара В =
= {х € К | \х\ = 1} в сторону внешней нормали к сфере дВ, очевидно,
равен площади сферы дВу т.е. f lo ф 0. Но, как легко проверить прямой
дв
выкладкой, dco ~ 0 в Шт \ 0, откуда с использованием общей формулы
Стокса, как и в примере 2, следует, что
= 0.
= / dtp*ш = / <p*du> =
Полученное противоречие завершает доказательство. ►
Задачи и упражнения
1. а) Изменится ли формула A) Грина, если перейти от системы коорди-
координат х, у к системе координат у, х?
Ь) Изменится ли при этом формула A")?
2. а) Докажите, что формула A) остается в силе, если функции Р, Q не-
непрерывны в замкнутом квадрате /, их частные производные -я-, %И непре-
рывны во внутренних точках квадрата /, а двойной интеграл из формулы A')
существует хотя бы как несобственный.
298 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь) Проверьте, что если граница компактной области D состоит из кусочно
гладких кривых, то в аналогичных указанным в а) предположениях форму-
формула A) остается в силе.
3. а) Проведите подробно доказательство равенства B').
b) Покажите, что если граница компактной области D С К2 состоит из
конечного числа гладких кривых, имеющих лишь конечное число точек пе-
перегиба, то D — простая область по отношению к любой паре координатных
осей.
c) Верно ли, что если граница плоской области состоит из гладких кривых,
то в W1 можно так выбрать оси координат, что по отношению к ним она
окажется простой областью?
4. а) Покажите, что если функции Р, Q в формуле Грина таковы, что
-^ — -£- = 1, то площадь a(D) области D можно находить по формуле &(D) =
= J Pdx + Qdy.
dD
b) Выясните геометрический смысл интеграла J ydx, взятого по некото-
7
рой (быть может, и незамкнутой) кривой на плоскости с декартовыми коор-
координатами ж, у. Исходя из этого, вновь истолкуйте формулу <t(D) = - / ydx.
dD
c) В качестве проверки последней формулы найдите с ее помощью пло-
площадь области
5. а) Пусть ж = x(t) —диффеоморфизм области Dt С Щ на область Dx С
С М^. Используя результаты задачи 4, а также независимость криволинейного
интеграла от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что
dx= \x'(t)\dt,
Dx Dt
где dx — dx1 dx2, dt — dt1 dt2, \xf(t)\ — detx'(t).
b) Выведите из а) формулу
I }{x)dx= f f(x(t))\detx'(t)\dt
Dx Dt
замены переменных в двойном интеграле.
6. Пусть f(x,y,t) — гладкая функция, удовлетворяющая в области опреде-
(\ 2 / \ 2
Ш1 "*"(<?£) Ф ®' Т°гДа ПРИ каждом фиксированном значе-
значении параметра t уравнение /(ж, у, t) = 0 задает кривую jt в плоскости IR2. Так
на плоскости возникает семейство {7*} кривых, зависящих от параметра t.
3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 299
Гладкая кривая Гс! , задаваемая параметрическими уравнениями ж =
у = y(t), называется огибающей семейства кривых {jt}i если при любом зна-
значении £0 из совместной области определения {7*} и функций x(t), y(t), точка
x(t0), У (to) лежит на соответствующей кривой jt0 и кривые Г и 7*0 касаются
в этой точке.
а) Считая, что ж, у — декартовы координаты на плоскости, покажите, что
задающие огибающую функции x(t), y(t) должны удовлетворять системе урав-
уравнений
f{x,y,t) = 0,
а сама огибающая с геометрической точки зрения есть граница проекции (те-
(тени) поверхности /(ж, у, t) = 0 пространства Щх £ч на плоскость Ж? ч.
b) В плоскости с декартовыми координатами ж, у дано семейство прямых
ж cos а 4- у sin а — р(а) = 0. Роль параметра здесь играет полярный угол а.
Укажите геометрический смысл величины р(а) и найдите огибающую этого
семейства, если р(а) = с 4- a cos a -h bs'ma, а, Ь, с — постоянные.
c) Опишите зону досягаемости снаряда, который может быть выпущен из
зенитного орудия под любым углом (р € [0, тг/2] к горизонту.
d) Покажите, что если функция р(а) из Ь) 2тг-периодическая, то соответ-
соответствующая огибающая Г является замкнутой кривой.
e) Используя задачу 4, покажите, что длина L полученной в d) замкнутой
кривой Г может быть найдена по формуле
2тг
L — / Ыа) da.
= j P(<*)
(Считайте, что р €
f) Покажите также, что площадь а области, ограниченной полученной в d)
замкнутой кривой Г, может быть вычислена по формуле
dp
7. Рассмотрим интеграл J спв\*>п) ds, в котором 7 — гладкая кривая в
7
г — радиус-вектор точки (х,у) € 7> т — \Л — Vх2 +У2) п — единичный нор-
нормальный вектор к 7 в точке (ж,у), меняющийся непрерывно вдоль 7? ds —
элемент длины кривой. Этот интеграл называется интегралом Гаусса.
а) Запишите интеграл Гаусса как поток j(V^n)ds плоского векторного
7
поля V через кривую 7-
300 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Покажите, что в декартовых координатах х, у интеграл Гаусса имеет
знакомый нам по примеру 1 § 1 вид ± J "У £ + \ У, где выбор знака определя-
х + у
ется выбором поля нормалей п.
c) Вычислите интеграл Гаусса для замкнутой кривой 7, один раз обходя-
обходящей начало координат, и для кривой 7, ограничивающей область, которая не
содержит начала координат.
d) Покажите, что cos\?*n) ds — d</?, где tp — полярный угол радиус-векто-
радиус-вектора г, и укажите геометрический смысл значения интеграла Гаусса для за-
замкнутой и для произвольной кривой 7 С IR2.
8. При выводе формулы Гаусса-Остроградского мы считали, что D —
простая область, а функции Р, Q, R принадлежат классу С'1'^, R). По-
Покажите, усовершенствовав рассуждения, что формула F) верна, если D —
компактная область с кусочно гладкой границей; P,Q,R € C(jD,K); £—, ^,
-g— € C(D, Щ] а тройной интеграл сходится хотя бы как несобственный.
9. а) Если функции Р, Q, R в формуле F) такие, что -^- + -^- + -§- = 1,
то объем V(D) области D можно найти по формуле
V(D)= PdyAdz + QdzAdx + RdxAdy.
3D
b) Пусть /(re, t) —гладкая функция переменных х € Dx С Щ£, t € Dt С MJ1,
причем тД = П'""'Р ^ ^" Напишите систему уравнений, которой
должна удовлетворять (п — 1)-мерная поверхность в Ж£, являющаяся огиба-
огибающей семейства поверхностей {St}, задаваемых условиями f(x,t) — 0, t € Dt
(см. задачу 6).
c) Выбирая в качестве параметра t точку на единичной сфере, укажите
такое семейство плоскостей в R3, зависящих от параметра £, огибающей ко-
2 2 2
торого был бы эллипсоид ^т + ?чг + т- = 1.
а о с
d) Покажите, что если замкнутая поверхность S является огибающей се-
семейства плоскостей
cosa\(t)x +cosa2(t)y -f cosa3(t)z — p(t) = 0,
oti, ol<i-> «з—углы, которые нормаль к плоскости образует с осями коор-
координат, а параметром t является переменная точка единичной сферы S2 С IR3,
то площадь а поверхности 5 можно найти по формуле а = J p(t) da.
е) Покажите, что объем тела, ограниченного рассмотренной в d) поверх-
поверхностью 5, можно найти по формуле V = ^ J p(t) da.
s
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 301
f) Опробуйте указанную в е) формулу, отыскав по ней объем эллипсоида
ё 4
а Ь сг
g) Как выглядит n-мерный аналог формул, указанных в d) и е)?
10. а) Используя формулу Гаусса-Остроградского, проверьте, что поток
поля г/г3 (где 1—радиус-вектор точки х € Е&3, а г = \г\) через гладкую,
гомеоморфную сфере поверхность 5, охватывающую начало координат, равен
потоку этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы |х| — е.
b) Покажите, что указанный в а) поток равен 4тг.
c) Проинтерпретируйте интеграл Гаусса / со ^>п/ ds в R3 как поток поля
5
г /г3 через поверхность 5.
d) Вычислите интеграл Гаусса по границе компактной области D С I3,
рассмотрев как случай, когда D содержит внутри себя начало координат, так
и случай, когда начало координат лежит вне области D.
e) Сопоставляя задачи 7 и 10 a) -d), укажите n-мерный вариант интеграла
Гаусса и соответствующего векторного поля. Дайте n-мерную формулировку
задач а) - d) и проверьте ее.
11. а) Покажите, что замкнутая жесткая поверхность Sc 13 остается в
равновесии при действии равномерно по ней распределенного давления. (На
основании принципов статики задача сводится к проверке равенств ff nda =
s
= 0, //[г, п] da = 0, где п —вектор единичной нормали, г — радиус-вектор,
5
[г, п]— векторное произведение г и п.)
Ь) Твердое тело объема V полностью погружено в жидкость, имеющую
удельный вес 1. Покажите, что полный статический эффект давления жидко-
жидкости на тело сводится к одной силе F величины V, направленной вертикально
вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
12. Пусть Г: Ik -> jD —гладкое (не обязательно гомеоморфное) отобра-
отображение промежутка 1к С Ш.к в область D пространства W1, в которой опре-
определена &-форма ил По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем
называть к-путем и положим по определению f u? = f Г*и>. Просмотрите до-
Г jk
казательство общей формулы Стокса и убедитесь, что она верна не только
для Аг-мерных поверхностей, но и для &-путей.
13. Используя общую формулу Стокса, докажите по индукции формулу
замены переменных в кратном интеграле (принцип доказательства указан в
задаче 5а)).
14. Интегрирование по частям в кратном интеграле.
Пусть D — ограниченная область в Ш71 с регулярной (гладкой или кусочно
гладкой) границей dD, ориентированной внешней единичной нормалью п —
= (п\...,пт).
Пусть /, д — гладкие функции в D.
302 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
a) Покажите, что
fd2fdv= [ fnlda.
D dD
b) Докажите следующую формулу интегрирования по частям:
f(&f)9 dv= j /дпг da- f f(dtg) dv.
D dD D
ГЛАВА XIV
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа
1. Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматрива-
рассматриваются функции х ь-» Т(ж), которые каждой точке х фиксированной обла-
области D сопоставляют некоторый специальный объект Т(ж), называемый
тензором. Если в области D задана такая функция, то говорят, что
в D задано тензорное поле. Мы не намерены здесь давать определе-
определение тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной
геометрии. Скажем только, что числовые функции D 3 х ь-» f(x) Е М,
а также вектор-функции Шп D D 3 х ь+ V(x) е ТЩ « W1 являют-
являются частными случаями тензорных полей и называются соответственно
скалярным и векторным полем в области D (эту терминологию мы
употребляли и раньше).
Дифференциальная р-форма ш в D есть функция Шп Э D 3 х ь-»
ь-» со(х) Е £((МП)Р,М), которую можно назвать полем форм степени р в
области D. Это тоже частный случай тензорного поля.
Здесь мы прежде всего будем интересоваться скалярными и вектор-
векторными полями в областях ориентированного евклидова пространства W1.
Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных
приложениях анализа.
2. Векторные поля и формы в М3. Напомним, что в евклидовом
векторном пространстве М3 со скалярным произведением ( , ) между
линейными функциями А: М3 -> М и векторами 1 6 М3 имеется со-
304 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид
А(£) = (-4,0, где А — вполне определенный вектор из R3.
Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная
функция B\W xr —> R однозначно записывается в виде i?(£i,£
— (В, £1,^2)) гДе В — некоторый, вполне определенный вектор из
а (В,£1,^2)) как всегда, — смешанное произведение векторов В, £i, £2
или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном прост-
ранстве R с каждым его вектором можно указанным способом связать
линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной
формы равносильно заданию соответствующего вектора в R3.
Если в R имеется скалярное произведение, то оно естественным
образом возникает и в любом касательном пространстве TR^, состоя-
состоящем из векторов, приложенных к точке х Е R3, а ориентация R3 ори-
ориентирует каждое пространство TR^.
Значит, если в TR^ задать 1-форму а;1 (х) или 2-форму а;2(х), то
при перечисленных условиях это равносильно заданию в TR^ некото-
рого вектора А(х) Е TR£, соответствующего форме or (ж), или вектора
В(х) Е TR^, отвечающего форме lj2(x).
Следовательно, задание в некоторой области D ориентированного
евклидова пространства R3 1-формы а;1 или 2-формы а;2 равносильно
заданию в D соответствующего форме векторного поля А или В.
В явном виде это соответствие состоит в том, что
A)
B)
гтгр А(т) Жт) Р Рл £о GTT)
Мы видим уже знакомые нам форму работы со1 = uj1a векторного
поля А и форму потока up1 = uPfe векторного поля В.
Скалярному полю /: D —> R можно следующим образом сопоста-
сопоставить 0-форму и З-форму в D:
"J = /, (з)
D)
где dV — элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидо-
евклидовом пространстве
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 305
Ввиду соответствий A)-D) операциям над формами отвечают оп-
определенные операции над векторными и скалярными полями. Это на-
наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно.
Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степе-
степени отвечает линейная комбинация соответствующих им векторных
или скалярных полей.
М Утверждение 1, конечно, очевидно. Приведем, однако, например,
для 1-форм полную запись доказательства:
Из доказательства видно, что ai и а2 можно считать функциями
(не обязательно постоянными) в области D задания форм и полей.
Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми
символами (,),[,], скалярное и векторное произведения векторов А
и В в R3, когда это будет удобно, обозначать соответственно через
А В и Ах В.
Утверждение 2. Если А, В, Ai, А2 —векторные поля в евкли-
евклидовом ориентированном пространстве R3, то
xA2^ E)
. F)
Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных по-
полями Ai, A2, отвечает векторное произведение А\ х А2 этих полей,
поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму.
В этом же смысле внешнему произведению 1-формы uj1a и 2-фор-
мы Ыд, порожденных векторными полями А и В соответственно, от-
отвечает скалярное произведение А • В этих полей.
•4 Для доказательства фиксируем в R ортонормированныи базис и
ечающую ему декартову си<
В декартовых координатах
отвечающую ему декартову систему координат ж1, ж2,
= А(х) ■ ^ =
306 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
т.е.
ш1А = A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3,
G)
и
В1(х)В2(х)В3(х)
а с2 а
si si Si
а с2 сЗ
S2 S2 S2
drr2 Л с?х3 + В2(х) dx3 A dx1
B3{x) dx1 А
т.е.
= В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dx1 + В3 dx1 A dx2.
(8)
Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений G) и (8),
получаем
л Ч
A? dx2 + A? cfo3) Л (А\ dx1 + A\ dx2 + A\ dx3)
2 Л dx3 + {А\А\ - AJA^) dx3 A dx1 +
+ (A\A% - А\А\) dx1 A dx2 = ш%
где В = А\ х Аг.
Координаты были использованы при доказательстве лишь для того,
чтобы проще было найти вектор В соответствующей 2-формы. Само
же равенство E) от координат, разумеется, не зависит.
Аналогично, перемножив равенства G) и (8), получим
и>1ААш% = (А1 В1 + А2В2 + А3В3) dx1 A dx2 A dx3 = <jj.
В декартовых координатах dx1 Adx2 Adx3 есть форма объема в R3, а
стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений
координат векторов А и В есть скалярное произведение этих векто-
векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что р(х) =
= А(х) • В(х). ►
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 307
3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V
Определение 1. Внешнему дифференцированию 0-форм (функ-
(функций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом пространстве R3
отвечают соответственно операции нахождения градиента (grad) ска-
скалярного поля, ротора (rot) и дивергенции (div) векторного поля, опре-
определенные соотношениями
— "grad/» (9)
— u%QiA, A0)
В силу установленного равенствами A)-D) соответствия между
формами, скалярными и векторными полями в R3, соотношения (9)-
A1) являются корректным определением операций grad, rot и div, вы-
выполняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями.
Эти операции, или, как говорят, операторы теории поля, отвечают од-
одной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой
к формам различной степени.
Укажем сразу же явный вид этих операторов в декартовых коорди-
координатах ж1, ж2, х3 пространства К3.
Как мы выяснили, в этом случае
"J = /, (з7)
ш^ = A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3, G')
ш2в = В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dxl + В3 dx1 A dx2, (8')
и3 = рdx1 A dx2 A dx3. D')
Поскольку
то из G') следует, что в этих координатах
где ei, в2, ез—фиксированный в Ш ортонормированныи базис.
11-4574
308
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Поскольку
■2 := dulA = d (A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3)
дА3 ял2
А
то из (8') следует, что в декартовых координатах
дАъ 0А2
дА1 дА3
дА2 дА1
Для запоминания последнее соотношение часто записывают в сле-
следующем символическом виде:
rot A =
ei e2 ез
д д д
дх1 дх2 дх
А1 А2
A0")
Далее, поскольку
:= duj2B =
Л cte3 + В2 dx3 Л
_ (дВ1 ЭВ2
+ В3 dx1 Л dx2) =
дВ3\ _, i ,2 _, ,
* dx Adx Adx ,
то из D') следует, что в декартовых координатах
— — —
дх1 дх2 дх3'
(И')
Из полученных формул (9'), A0'), A1') видно, что grad, rot и div
являются линейными дифференциальными операциями (операторами).
Оператор grad определен на дифференцируемых скалярных полях и со-
сопоставляет им векторные поля. Оператор rot тоже векторнозначен, но
определен на дифференцируемых векторных полях. Оператор div опре-
определен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в соот-
соответствие скалярные поля.
§ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 309
Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь
выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их выраже-
выражений в декартовых координатах Об этом мы еще скажем в п. 5 этого
параграфа.
Заметим еще, что векторное поле rot А обычно называют рото-
ротором А, ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо
символа rot А иногда пишут символ curl A.
В качестве примера использования рассмотренных операторов при-
приведем запись через них знаменитой1) системы уравнений Максвелла2),
описывающей состояние компонент электромагнитного поля как фун-
функций точки х = (х\х , х ) пространства и времени t.
Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного
поля в вакууме).
1. div£? = —. 2. divB = 0.
дВ з 1 дЕ
t
. 4. rotB 4 + r^.
at eocz c1 at
Здесь p(x,t)—плотность электрического заряда (количество заря-
заряда, отнесенное к единице объема), j(x,t) — вектор плотности электри-
электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку),
E(x,t) и B(x,t) — векторы напряженности электрического и магнит-
магнитного поля соответственно, е$ и с — размерные постоянные (при этом
с — скорость света в вакууме).
В математической и особенно физической литературе наряду с вве-
введенными операторами grad, rot, div широко используется предложен-
предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный опе-
о этому поводу известный американский физик и математик Р Фейнман
A918-1988) в своих лекциях по физике (см русский перевод М , Мир, 1966, т 5,
с 27) с присущим ему темпераментом пишет «В истории человечества (если посмо-
посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX
столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики На
фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же
десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием»
2^Дж К Максвелл A831- 1879) —выдающийся шотландский физик, создал мате-
математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по
кинетической теории газов, оптике и механике
310 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ратор набла {оператор Гамильтона1*)
г\ г\ г\
v
где {ei, в2, ез}— ортонормированный базис в R3, а ж1, ж2, ж3 — соот-
соответствующие ему декартовы координаты в R3.
По определению применение оператора V к скалярному полю / (т. е.
к функции) дает векторное поле
что совпадает с полем (9'), т.е. оператор набла есть попросту записан-
записанный в других обозначениях оператор grad.
Используя, однако, векторную структуру записи оператора V, Га-
Гамильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую
соответствующие алгебраические операции с векторами.
Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в обраще-
обращении с оператором V надо придерживаться тех же принципов и соблю-
соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным
оператором дифференцирования D = -,-. Например, (pDf равно </?-/-,
их их
а не -^-((pf) или не f-£. Значит, оператор действует на то, что ему
их их
подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль ко-
коэффициента, т.е. cpD есть новый дифференциальный оператор </>
не функция % Далее D2 = D-D, т. е. D*f = D(Df) = £ (£/) = £,f.
Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с V как с заданным в
декартовых координатах векторным полем, то, сопоставляя соотноше-
соотношения A3), (9'), (Ю") и (И'), получаем
grad/ = V/, A4)
rot A- Vx A, A5)
dWB = V Б. A6)
Так через оператор Гамильтона и векторные операции в W записы-
записываются операторы grad, rot и div.
. P. Гамильтон A805-1865) —знаменитый ирландский математик и механик;
сформулировал вариационный принцип (Гамильтона) и построил феноменологиче-
феноменологическую теорию оптических явлении; создатель теории кватернионов и родоначальник
векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор»).
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 311
Пример 2. В записи A2) системы уравнений Максвелла участ-
участвовали только операторы rot и div. Используя описанные принципы
обращения с оператором V = grad, мы в качестве компенсации для
оператора grad перепишем систему Максвелла в следующем виде:
1. V •£? = —. 2. V-S = 0.
3.Vx-g. 4.VxB = A + 4f.
at eoc2 cl at
4. Некоторые дифференциальные формулы векторного
анализа. В евклидовом ориентированном пространстве R3 мы уста-
установили связь A) - D) между формами, с одной стороны, и векторными
и скалярными полями — с другой. Это позволило внешнему умножению
и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции
над полями (см. формулы E), F) и (9)-A1)).
Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда основ-
основных дифференциальных формул векторного анализа.
Например, имеют место следующие соотношения:
rot (/-А) = / rot A - А х grad/, A7)
div(/A) = А • grad/ + / div A, A8)
d\v{A х В) = В • rot A - А • rot В. A9)
•4 Проверим последнее равенство:
AxB = d^AxB = d(^A Л Ъ>в) = du>A Л ^В ~ <Л А <кIв =
2 112 3 3 3
^rot Л Л ШВ - ША Л 4ot В = ШВ-Ш А - ^А-Ш В = ^B-rot A-A-mt В-
Аналогично проверяются и первые два соотношения. Разумеется,
проверку всех этих равенств можно осуществить и непосредственным
дифференцированием в координатах. ►
Если учесть, что d2uj = 0 для любой формы а;, то можно также
утверждать, что справедливы равенства
rotgrad/ = 0, B0)
= 0. B1)
312 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
< Действительно:
^rotgrad/ = <Цгас1/ = d(du)°f) = d2UJ°f = О,
"div rot A = du;2rotA = d{dujlA) = d2u>\ = 0. ►
В формулах A7)-A9) операторы grad, rot, div применяются одно-
однократно, в то время как в B0) и B1) рассматриваются операции второго
порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух
из трех исходных операций. Кроме приведенных в B0) и B1), можно
рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов:
grad div A, rot rot A, div grad /. B2)
Оператор div grad применяется, как видно, к скалярному полю. Этот
оператор обозначают буквой Д («дельта») и называют оператором Ла-
Лапласа ' или лапласианом.
Из формул (9'), A1') следует, что в декартовых координатах
д2 f d2f d2f
J 4 J 4 J
^ д(х2) ^
д f df
A f — J 4- J 4-
1" д{х1J ^ д(х2J ^
Поскольку оператор Д действует на числовые функции, его можно
применять покомпонентно к координатам векторных полей А = е\ А1 +
+ в2^2 + езЛ3, где ei, в2, ез — ортонормированный базис в R3. В этом
случае
АА = eiAA1 + е2АА2 + е3ДЛ3.
С учетом последнего равенства, для тройки операторов второго по-
порядка B2) можно выписать следующее соотношение:
rot rot A = grad div A - АА, B4)
на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2). Ра-
Равенство B4) может служить определением АА в любой, не обязательно
ортогональной системе координат.
. С.Лаплас A749-1827)—знаменитый французский астроном, математик и
физик; внес фундаментальный вклад в развитие небесной механики, математиче-
математической теории вероятностей, экспериментальной и математической физики.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 313
Используя язык векторной алгебры и формулы A4)-A6), все опе-
операторы второго порядка B0) - B2) можно записать через оператор Га-
Гамильтона V:
rotgrad/ = V х V/ = 0,
divrot A ^V-(Vx4) = 0,
grad div A = V (V • A),
rot rot A = Vx(Vx4),
div grad / = V • V/.
С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух
из этих операторов представляется вполне естественным.
Последнее равенство означает, что между оператором Гамильто-
Гамильтона V и лапласианом А имеется простая связь:
А-V2.
*5. Векторные операции в криволинейных координатах
а. Подобно тому, как, например, сфера х2 + у2 + z2 — а2 имеет
особенно простое уравнение R = а в сферических координатах, век-
векторные поля х н-> А(х) в R3 (или W1) часто приобретают наиболее про-
простую запись в системе координат, отличной от декартовой. Поэтому
мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы
находить grad, rot и div в достаточно широком классе криволинейных
координат.
Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной запи-
записью поля А в той или иной системе криволинейных координат.
Начнем с двух наводящих примеров описательного характера.
Пример 3. Пусть на евклидовой плоскости М.г фиксированы де-
декартовы координаты ж1, х2. Когда мы говорим, что в R2 задано век-
векторное поле (А1, А2)(а;), то мы имеем в виду, что с каждой точкой
х = (ж1, ж2) Е М2 связан некоторый вектор А(х) Е ТМ2, который в
базисе пространства TIR2, состоящем из ортов е\{х), в2(х) координат-
координатных направлений, имеет разложение А(х) = А1(х)е\(х) + А2(х)в2(х)
(рис. 91). В данном случае базис {ei(a;), e2(x)} пространства ТМ2, по
существу, не зависит от точки х.
Пример 4. В случае, когда в той же плоскости R2 задается по-
полярная система координат (г, уз), с каждой точкой х G М2 \ 0 тоже мож-
314 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
О
Рис. 91.
Рис. 92.
но связать орты е\{х) = ег(#), в2{х) — е^х) (рис.92) координатных
направлений. Они тоже образуют базис в TR^, по которому можно раз-
разложить связанный с точкой х вектор А(х) поля А: А(х) = Al(x)ei(x) +
+ А2(х)е2(х). Тогда упорядоченную пару функций (А1,А2)(х) естест-
естественно считать записью поля А в полярной системе координат.
Так, если (А1, А2)(х) = A, 0), то это поле единичных векторов в R2,
идущих в радиальном направлении в сторону от центра 0.
Поле (Аг,А2)(х) = @,1) получается из предыдущего поля поворо-
поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол тг/2.
Это не постоянные поля в М2, хотя компоненты их координатного
представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет
разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки
к точке.
Ясно, что компоненты координатного представления этих полей в
декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой сто-
стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разне-
разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых коорди-
координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело
бы переменные компоненты.
Ь. После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о зада-
задании векторных полей в криволинейных системах координат более фор-
формально.
Прежде всего напомним, что система криволинейных координат f1,
£2, £3 в области Del3 —это диффеоморфизм ср: Dt —> D области Dt
о
евклидова пространства параметров Щ на область D, в результате ко-
§ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 315
торого каждая точка х = cp(t) € D приобретает декартовы координаты
*ъ ^2, ^з соответствующей точки t € Df.
Поскольку (р — диффеоморфизм, касательное отображение ip'(t) :
ТЩ -> ТЩ. ,^ является изоморфизмом векторных пространств. Ка-
Каноническому базису &(*) = A,0,0), &(*) = @,1,0), &(*) - @,0,1)
пространства ТЩ отвечает базис пространства ТМ3 ,f4 э состоящий
из векторов £г(х) = <^'@&@ = tti г = 1J,3, координатных на-
с/с
правлений. Разложению А(х) = ai£i(#) + а2^2(з') 4- «зСз(^) любого
вектора А(х) £ ТМ^ по этому базису отвечает такое же разложение
A(t) = oti£i(t) + «2^2(*) + скз£з(*) (с теми же компонентами ai, a2, аз!)
вектора A(t) = (ipf)~lA(x) по каноническому базису £i(£), ^2(^M Сз(^) в
ТЩ. При отсутствии евклидовой структуры в М3 числа ai, a2, аз со-
составили бы наиболее естественную координатную запись вектора А{х),
связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат.
с. Однако принятие такого координатного представления не вполне
соответствовало бы тому, о чем мы договорились в примере 4. Дело в
том,что базис £i(#), ^2(^O £з(#) пространства TR*, соответствующий
каноническому базису £i(£), &(£), £з(*) в T*IRf, хотя и состоит из век-
векторов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из ортов
этих направлений, т.е., вообще говоря, {&,&} (х) ф 1.
Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием струк-
структуры евклидова пространства в М3 и, следовательно, в каждом вектор-
векторном пространстве TR*.
Благодаря изоморфизму (p'(t): ТЩ -> ТМ3= ^ в ТЩ можно пе-
перенести евклидову структуру пространства TR*, положив для любой
пары векторов ri, Т2 € ГК^ {т\,тъ) := {чр1т\^(р1Т2) - В частности, для
квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение:
(<)tv=9ц(() **(т) №{т)-
Квадратичная форма
ds2 = gl3{t) df dt3, B5)
коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векто-
векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение
316 ГЛ. XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в ТЩ. Если такая форма задана в каждой точке некоторой области
Dt С 1^3, то, как известно из геометрии, говорят, что в этой области
задана риманова метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в
прямолинейных координатах f1, £2, £3 пространства К^, в каждом каса-
касательном пространстве ГК^ (t 6 Dt) ввести свою евклидову структуру,
что соответствует «кривому» вложению (р: Dt —>■ D области Dt в евкли-
евклидово пространство М3.
£1 / л. \
Если векторы £г(х) = ¥>'(£)&(£) = t\ {t)i г = 1,2,3, ортогональ-
с/с
ны в TR*, то g%3(t) = 0 при г Ф j. Это значит, что мы имеем дело с
триортогональной сеткой координат. В терминах пространства
это означает, что векторы &(£), г = 1,2,3, канонического базиса вза-
взаимно ортогональны в смысле определяемого квадратичной формой B5)
скалярного произведения в ТЩ. Дальше мы будем рассматривать для
простоты только триортогональные системы криволинейных коорди-
координат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма B5) имеет сле-
следующий специальный вид:
ds2 = Ei(t) {dt1J + E2(t) (dt2J + Es(t) (dt3J , B6)
где £(t)
Пример 5. В декартовых (#,у,г), цилиндрических (r,(p,z) и сфе-
сферических (R,tp,O) координатах евклидова пространства М3 квадратич-
квадратичная форма B5) имеет соответственно вид
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - B6')
= dr2 + r2 dcp2 + dz2 = B6")
= dR2 + R2 cos2 в dip2 + R2 d62. B6'")
Таким образом, каждая из этих систем является триортогональной
системой координат в области своего определения.
Векторы £i(£), £2^), £з@ канонического базиса A,0,0), @,1,0),
@,0,1) в Г1^, как и отвечающие им векторы £г(х) 6 ГМ3, имеют следу-
следующую норму1); |£г| = у/д^г. Значит, орты (единичные в смысле скалярно-
скалярного квадрата векторы) координатных направлений имеют для триорто-
!^В триортогональной системе B6) |£г| = л/Щ = Нг, г = 1, 2, 3. Величины Н\, Н2,
з обычно называют коэффициентами или параметрами Ламе.
Г. Ламе A795- 1870) —французский инженер, математик и физик.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 317
тональной системы B6) следующее координатное представление в ТЩ:
1 \ / 1 \ / 1 \
Пример 6. Из формул B7) и результатов примера 5 вытекает,
что для декартовых, цилиндрических и сферических координат трой-
тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий
вид:
ех = A,0,0), еу = @,1,0), ez = @,0,1); B7')
ег = A,0,0), е(р = @, -, оУ ez - @,0,1); B7")
-"•°-°>- е^^я^д'0)' е>={олн)- B7'">
Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор по-
поля раскладывается по базису, состоящему из ортов координатных
направлений. Значит, отвечающий вектору А(х) 6 TR* поля вектор
A(t) 6 ТЩ следует раскладывать не по каноническому базису £д£),
^2(^M £з@> а по базису ei(i), в2(£)> ез@э состоящему из ортов коорди-
координатных направлений.
Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства М3, можно
считать, что в области Dt С К^ задана риманова метрика B5) или B6)
и векторное поле t —>■ A(t), координатное представление (Al,A2,As)(t)
которого в каждой точке t 6 Dt получается в результате разложения
A(t) = Al{i)e%(t) соответствующего этой точке вектора A(t) поля по
ортам координатных направлений.
d. Теперь разберемся с формами. Любая форма в D при диффео-
диффеоморфизме tp: Dt —> D автоматически переносится в область Dt. Этот
перенос, как нам известно, происходит в каждой точке х Е D из про-
пространства TR* в соответствующее пространство ТЩ. Поскольку мы
перенесли в ТК^ евклидову структуру из TR*, то из определения пе-
переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в ТК^
форме uj\(x) = (А(х), •) соответствует точно такая же форма uilA(t) —
= (A(t),-} в Tffij*, где А(х) — ip'{t)A{t). Это же можно сказать и о
формах вида оУд, ы3, не говоря уж о формах иЛ — функциях.
После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже
можно вести только в области Dt С Щ, отвлекаясь от исходного про-
пространства М3, считая, что в Df задана риманова метрика B5), заданы
318 ГЛ. XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
скалярные поля /, р и векторные поля А, В, а также формы ы9, си^
Ыд, Ыр, которые в каждой точке t £ Df определяются в соответствии с
евклидовой структурой в ТК^, задаваемой римановой метрикой.
Пример 7, Форма объема dV в криволинейных координатах t\,
£2, £зэ к^к мы знаем, имеет вид
dV = д/det д%3 (t) dt1 A dt2 A dts.
Для триортогональной системы
dV = ^EiE2Es(t) dt1 A dt2 A dt3. B8)
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических коор-
координатах соответственно получаем
dV = dxAdyAdz= B8')
= rdrAdtpAdz= B8")
= R2 cos в dR A dip A d6. B8'")
Сказанное позволяет записать форму иЛ = р dV в различных систе-
системах криволинейных координат.
е. Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача состоит в
том, чтобы, зная разложение A(t) = Al(t)e%(t) вектора A(t) € ТЩ по
ортам et(t) £ TM$7 i = 1,2,3, триортогональной системы координат,
определяемой римановой метрикой B6), найти разложение форм w\(t)
и oj\(t) по каноническим 1-формам dt1 и 2-формам dt1 A dt3 соответ-
соответственно.
Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но фикси-
фиксированной точке £, для сокращения записи мы позволим себе опускать
символ £, отмечающий привязку рассматриваемых векторов и форм к
касательному пространству в точке t.
Итак, ei, в2, ез — базис в ТЩ, состоящий из ортов B7) коорди-
координатных направлений; А = Axe\ + A2e2 + A3e^ — разложение вектора
А £ ТЩ по этому базису.
Заметим, прежде всего, что из формул B7) следует, что
1*11 N -Я Я ) J' еСЛИг ' ■" /от
dP {ег) = -=*;, где «5J = ^ . . B9)
-Oj 1, если г = j,
1 - где яг = <;':; "V.".;' x;;',v (зо)
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 319
f. Таким образом, если uj\ :— (А, •) = а\ dt1 + а2 dt2 + аз (ft3, то, с
одной стороны,
шгА(ег) - (А,ег) = А\
а с другой стороны, как видно из B9),
\ *1 + <*2 Л2 + а3 dt3)(et) = аг •
т
уЕг
Следовательно, аг = Агу/Ег, и мы нашли разложение
u)lA = A1y/E[dtl + A2y/Ehdt2 + Azy/Ebdtz C1)
формы илд, отвечающее разложению А — А1е1 + -42в2 + А3ез вектора А.
Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и цилиндриче-
цилиндрических координатах соответственно
Л. = Лхвх + Л.уВу -\~ Лгег =
= Л.ГВГ -\- /±ф£(р -f- J\ZGZ =
то, как следует из результатов примера 6,
lA = Axdx + Ay dy + Azdz = C1')
= Ar dr + A^r dip + Azdz = C1")
= AR dR + Д^ Л cos
g. Пусть теперь В = 51ei + -B2e2 + -B3e3, aw^ == Ьх dt
A dt1 + Ьз di1 Л dt2. Тогда, с одной стороны,
= В1 • (еие2,ег) = В\
где с?У —форма объема в ТН? (см. B8) и B7)).
С другой стороны, из C0) получаем
, е3) = (bi dt2 A dts + b2 dts A dt1 + bs dt1 A dt2)(e2,es) =
= bid*2Ad*3(e2,e3) =
320 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Сравнивая результаты, заключаем, что Ь\ — В1^/Е^Щ. Аналогично,
убеждаемся в том, что Ь2 = В2у/Ё\~Щ и Ь$ — Вгл/Е\Е2.
Таким образом, мы нашли координатное представление
и>% = Bl^/E2Esdt2 A dt3 + B2y/E3Eidts A dt1 + Bsy/E1E2dt1 A dt2 =
= dt2 A dts + -pL dts A dt1 + -^L dt1 A dt2) C2)
E\ \jE<i \/Es )
формы Wg, отвечающей вектору В = 5^1 + -В2в2 + -В3ез.
Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и фор-
формулы B6'), B6"), B6"'), в декартовых, цилиндрических и сферических
координатах получаем соответственно
uj2b = Bxdy Adz + By dz A dx + Bz dx A dy = C2')
= Brr dip Adz + Др dz Adr + Bzr dr A dip = C2")
2 cos в dip Add + B^R d9 A dR + Я^ Л cos (9 di? Л d^. C2'")
h. Добавим еще, что на основании формулы B8) можно написать,
что
шър - p^E1E2Esdt1 A dt2 A dts. C3)
Пример 10. В частности, для декартовых, цилиндрических и
сферических координат формула C3) имеет соответственно следую-
следующий вид:
u>sp = pdx A dy A dz = C3')
= prdrAd(pAdz= C3")
= pR2 cos в dR A dip A dB. C3'")
Теперь, когда получены формулы C1)-C3), легко, исходя из опре-
определений (9)-A1) операторов grad, rot и div, найти их координатное
представление в триортогональнои системе криволинейных координат.
Пусть grad/ = Ale\ + А2е2 + Ase%. Опираясь на определения, запи-
запишем
j Ц := df :=
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 321
На основании формулы C1) отсюда заключаем, что
1 df _ . 1 df , 1 df
grad / =
+
C4)
Пример 11. В декартовых, полярных и сферических координа-
координатах соответственно
, , df df df
grad/ = —ex + —ey + —
dx dv dz
df 1 df df
—*> j —p -i——p —
ar r oip oz
df
+
1 df
1 df
C4')
C4")
C4'")
dR~" ' R cos в dip v R?d6• ""
Пусть задано поле -4.(f) = (A1ei + Л2в2 + A3e^)(t). Найдем коорди-
координаты В1, В2, В3 поля rot-A(t) = B{t) = {Blei + В2е2 4
Исходя из определения A0) и формулы C1), получаем
:=duA =d(A1y/E1dt1 + A2 JE2 dt2 + A3 JE^ dt3) =
d*2 Л Л3 +
dt2
dt3
dt1
dt
На основании соотношения C2) теперь заключаем, что
dt2
dt3
dt3
dt1
ВА =
dt2
т.е.
votA =
1
У/Е1Е2Е3
d
W
ЖА1
E2e2
d
d
C5)
322 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Пример 12. В декартовых, цилиндрических и сферических коор-
координатах соответственно
. (дАг дАу\ (дАх дАЛ (дАу дАх\
rotA=Ы~^?)ех+ Ы"^-)еу+ Ы-ъ)е*= C5}
=
г \ dip dz ) r \ dz дг ) v r \ dr dip )
1 (дАв дА^соъвЛ 1 (dAR dRAA
~ Rcose\dip дв )eR +
1 dAR\
)e C5
r {dk ^9w)ee- C5
i. Пусть теперь задано поле B(t) = {Ble\ +B2e<i + Bze?,)(t). Найдем
выражение для 6\vB.
Исходя из определения A1) и формулы C2), получаем
= d (Bl^E2E^dt2 A dt3 +
ldti A dt1 + B3^E1E2dt1 A dt1) =
, 2
dt *dt Adt
На основании формулы C3) теперь заключаем, что
C6)
В декартовых, цилиндрических и сферических координатах отсюда
соответственно получаем
^_ ,36')
ду
R2cose[ dR + dip
oz
dRBy dR cos 9Be \
(
1 fdR2coseBR dRBy dR cos 9Be \ ,„
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 323
j. Соотношения C4), C6) можно использовать для получения запи-
записи оператора Лапласа А = div grad в произвольной триортогональной
системе координат:
~7^=Шei + ~7WU2e2 + rsr tub ез
y/E\ otL -/Е2 otz л/Е3 ot6
= l (jL ( f^ETdf\
у/ЕгЕ2Ег left1 IV Ex dt4
E.E2dfll
dt3 \ V es ot*
Пример 13. В частности, для декартовых, полярных и сфериче-
сферических координат из C7) получаем соответственно
л , d2f d2f d2f
Д f — — J ~ _L — =
dx2 dy2 dz2
i о (an , i d2/, a2/
r dr \ dr
"
1:1 Qn i" ПО 9 n d. -9 "^ тэ9 п dn \ CUt> ^ *w I ' V° '
Л29Л \ dRJ R2 cos2 в dip2 R2cos9d9 \ дв
Задачи и упражнения
1. Операторы grad, rot, div и алгебраические операции.
Проверьте следующие соотношения:
для grad:
a) V(/ + g) = V/ + Vg,
c) V(A • В) = (В ■ V)A + (A ■ V)B + В х (V х А) + А х (V х В),
d) V (^А2) = (А ■ V)A + А х (V х А);
для rot:
e) V х (fA) = /V х А + V/ х А,
f) V х (А х В) = (В • V)A - (А ■ V)B + (V • В)А - (V • А)В;
для div:
g) V • (fA) = V/ • А + /V • А,
h) V • (А х В) = В ■ (V х А) - А ■ (V х В)
и перепишите их в символах grad, rot, div.
(Указания. А ■ V = A1 -L- + А2Л* + А3 А; В ■ V ф V • В, А х (В х С) =
= B(A-C)-C(A-B).)
324 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
2. а) Запишите в декартовых координатах операторы B0)-B2).
b) Проверьте прямым вычислением соотношения B0), B1).
c) Проверьте формулу B4) в декартовых координатах.
d) Запишите формулу B4) через оператор V и докажите ее, используя
формулы векторной алгебры.
3. Из рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите,
что V • j = —
if
4. а) Укажите параметры Ламе .Hi, Н2, -Нз декартовых, цилиндрических
и сферических координат в Е3.
Ь) Перепишите формулы B8), C4)-C7), используя параметры Ламе.
5. Поле А = grad i, где г = ух2 -\- у2 + z2, запишите в
a) декартовых координатах х, у, z\
b) цилиндрических координатах;
c) сферических координатах.
d) Найдите rot А и div A.
6. В цилиндрических координатах (r,(p,z) функция / имеет вид In -. За-
Запишите поле А — grad / в
a) декартовых координатах;
b) цилиндрических координатах;
c) сферических координатах.
d) Найдите rot А и div A.
7. Напишите формулы преобразования координат в фиксированном ка-
касательном пространстве ТМ5, р € М3, при переходе от декартовой системы
координат в!3 к
a) цилиндрическим координатам;
b) сферическим координатам;
c) произвольной триортогональной системе криволинейных координат.
d) Применяя полученные в с) формулы и формулы C4)-C7), проверь-
проверьте непосредственно инвариантность векторных полей grad A, rot А и величин
div -А, Д/ относительно выбора системы координат, в которой происходило
их вычисление.
8. Пространство Е3, как твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с
постоянной угловой скоростью и. Пусть v—поле линейных скоростей точек
в фиксированный момент времени.
a) Запишите поле v в соответствующих цилиндрических координатах.
b) Найдите rot и.
c) Укажите, как направлено поле rot и по отношению к оси вращения.
d) Проверьте, что | rotu| = 2lj в любой точке пространства.
e) Истолкуйте геометрический смысл rot v и геометрический смысл обна-
обнаруженного в d) постоянства этого вектора во всех точках пространства.
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 325
§ 2. Интегральные формулы теории поля
1. Классические интегральные формулы в векторных обо-
обозначениях
а. Векторная запись форм ы^, и^. В предыдущей главе мы уже
отметили (см. §2, формулы B3), B4)), что ограничение формы u)lF ра-
работы поля F на ориентированную гладкую кривую (путь) 7 или огра-
ограничение формы (Jy потока поля V на ориентированную поверхность S
можно записать соответственно в следующем виде:
где е — ориентирующий 7 единичный вектор, сонаправленный с век-
вектором скорости движения вдоль 7, ds— элемент (форма) длины на 7;
п — ориентирующий поверхность S вектор единичной нормали к по-
поверхности, a da— элемент (форма) площади на поверхности S.
В векторном анализе часто используют векторный элемент длины
кривой ds := eds и векторный элемент площади поверхности dcr :=
= nda. Используя эти обозначения, можем теперь писать:
ujlA\ = (А,е) ds = (A,ds) = А • ds, A)
J*B = (В, п) da = (В, da) =B da. B)
b. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть / 6 C^(D^R) a 7
[а,Ь] —> D — путъ в области D.
В применении к 0-форме иЯ формула Стокса
ду 7
с одной стороны, означает равенство
= fdf,
ду 7
что совпадает с классической формулой
ь
а
326 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ньютона-Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента
она означает, что
/
C)
Таким образом, используя соотношения A), формулу Ньютона -
Лейбница можно переписать в виде
C')
В такой записи она означает, что
приращение функции на пути равно работе на этом пути по-
поля градиента этой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме очевидно-
очевидного вывода о том, что работа поля grad / вдоль пути 7 зависит только
от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более
тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности f = с уровня
функции / происходит без совершения работы полем grad/, поскольку
в этом случае grad/ • ds — 0. Далее, как показывает левая часть фор-
формулы, работа поля grad/ зависит даже не столько от начала и конца
пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции / лежат
эти точки.
с. Формула Стокса. Напомним, что работа поля на замкнутом
пути называется циркуляцией поля на этом пути. Чтобы отметить,
что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обо-
обозначения J F • ds часто пишут § F • ds. Если 7— кривая на плоскости,
7 7
то иногда употребляют еще и символы р , ф , в которых указано на-
7 7
правление движения по кривой 7-
Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об ин-
интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например,
таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной по-
поверхности с краем.
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
327
Пусть А — гладкое векторное поле в области D ориентированно-
ориентированного евклидова пространства 1R3, a S—(кусочно) гладкая ориентирован-
ориентированная компактная поверхность с краем в области D. В применении к
1-форме ш\, с учетом определения ротора векторного поля, формула
Стокса означает равенство
D)
Используя соотношения B), формулу D) можно переписать в виде
классической формулы Стокса
<р A- ds = / / (rot A) • da.
ds
D')
В такой записи она означает, что
циркуляция векторного поля на границе поверхности равна
потоку ротора этого поля через саму поверхность.
Как всегда, при этом на 8S выбирается ориентация, согласованная
с ориентацией S.
d. Формула Гаусса —Остроградского. Пусть V — компактная
область ориентированного евклидова пространства 1R3, ограниченная
(кусочно) гладкой поверхностью dV — краем V. Если В —гладкое по-
поле в V, то в соответствии с определением дивергенции поля формула
Стокса дает равенство
E)
Используя соотношение B) и запись pdV формы иА через форму
объема dV в М3, равенство E) можно переписать в виде классической
формулы Гаусса-Остроградского
В d<r =
div В dV.
v
E')
В такой записи она означает, что
поток векторного поля через границу области равен инте-
интегралу от дивергенции этого поля по самой области.
328 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
е. Сводка классических интегральных формул. В итоге мы
пришли к следующей векторной записи трех классических интеграль-
интегральных формул анализа:
/ = / (^/) ' ds (формула Ньютона-Лейбница), C")
ду 7
A-ds = / (V х А) • da (формула Стокса), D")
dS S
I В • da = / (V • В) dV (формула Гаусса-Остроградского). E")
dV V
2. Физическая интерпретация div, rot, grad
а. Дивергенция. Формулу E;) можно использовать для выясне-
выяснения физического смысла величины div В (х) — дивергенции векторного
поля В в некоторой точке х области V задания поля. Пусть V(x) —
содержащаяся в V окрестность (например, шаровая) точки х. Объем
этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом V(x), a
ее диаметр буквой d.
Из формулы E') по теореме о среднем для тройного интеграла по-
получаем
ffВ -da = div B(x')V(x),
dV(x)
где х* — некоторая точка окрестности V(x). Если rf -> 0, то ж' -> ж, а
коль скоро В — гладкое поле, то и divl?(:r') —> divi?(:r). Значит,
И В-da
. F)
V\X)
Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа).
Тогда поток поля через границу области V(x) или, что то же самое,
объемный расход среды через границу этой области, в силу закона со-
сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том
числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной
интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 329
словом «источники» в области V(x). Значит, дробь в правой части соот-
соотношения F) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность
источников в области V(x), а предел этой величины, т. е. div В(х) есть
удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в
точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины
в области V(x) к объему этой области, когда d —> О, принято называть
плотностью этой величины в точке #, а плотность как функцию точки
обычно называют плотностью распределения данной величины в той
или иной части пространства.
Таким образом, дивергенцию div В векторного поля В можно ин-
интерпретировать как плотность распределения источников в области те-
течения, т. е. в области задания поля В.
Пример 1. Если, в частности, div В = 0, т. е. никаких источников
нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым:
сколько втекает в область — столько из нее и вытекает. И, как показы-
показывает формула E'), это действительно так.
Пример 2. Точечный электрический заряд величины q создает в
пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в нача-
начало координат. По закону Кулона1' напряженность Е = Е(х) поля в
точке а;б13 (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в
точке х) представляется в виде
Е =
где во — размерная постоянная, а г — радиус-вектор точки х.
Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических ко-
координатах Е — 5^"Б2"е^' поэтому из формулы C6'") предыдущего
параграфа сразу видно, что div Е — 0 всюду в области определения
поля Е.
Значит, если взять любую область V, не содержащую начала коорди-
координат, то в силу формулы E') поток поля Е через границу dV области V
окажется нулевым.
Возьмем теперь сферу Sr = {х Е М3 | \х\ = R} радиуса R с цен-
центром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность
1JIH.O. Кулон A736-1806) —французский физик. С помощью изобретенных им
же крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) взаимодействия поко-
покоящихся зарядов и магнитных полюсов.
330 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару)
нормали. Поскольку вектор е# как раз и является единичной внешней
нормалью к сфере, то
Таким образом (с точностью до размерной константы во, зависящей
от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда,
содержащегося в ограниченном сферой объеме.
Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть фор-
формулы E') корректно определена на сфере dV = 5#, а подынтегральная
функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре V, кроме
всего лишь одной точки—начала координат. И тем не менее проведен-
проведенные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы E')
нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля.
С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбо-
разбора этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке 0 6 V, и
потому мы не имеем права говорить о равенстве E'), доказанном для
гладких, определенных во всей области V интегрирования полей. Од-
Однако физическая интерпретация равенства E') как закона сохранения
массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть
справедливо всегда.
Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в нача-
начале координат величины divE из примера 2. Формально в начале коор-
координат не определено и исходное поле 25, но, если искать divE, исходя
из формулы F), то, как показывает пример 2, надо было бы считать,
что div2£@) = +oo. Значит, под интегралом в правой части E) ока-
оказалась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она
равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала коорди-
координат вообще нет зарядов, а весь заряд q мы умудрились поместить в
нулевой объем — в одну точку 0, в которой плотность заряда, естест-
естественно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой S
(дельта)-функцией Дирака1).
. А. М. Дирак A902-1984) — английский физик-теоретик, один из создателей
квантовой механики. Подробнее о ^-функции Дирака будет сказано в гл. XVII, § 4,
п. 4 и § 5, п. 4.
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 331
Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы,
взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет
нужды определять отдельно J-функцию как функцию точки, важнее
определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция»
5Хо(х) = 5(хо;х) должна отвечать плотности такого распределения, на-
например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по вели-
величине единице, сосредоточена только в одной точке xq, to естественно
положить, что
1, когда хо £ У,
когда xq Ф V.
I 5(xO]x)dV= I Q'
V
Таким образом, с точки зрения математической идеализации пред-
представлений о возможном распределении физической величины (массы,
заряда, и т.п.) в пространстве, следует считать, что ее плотность рас-
распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непре-
непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора
сингулярных «функций» (типа 5-функции Дирака), отвечающих сосре-
сосредоточению величины в отдельных точках пространства.
Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вы-
вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства div E(x) =
= £-5@] х). Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части
соотношения E') действительно оказывается равным либо q/eo, либо О,
в зависимости от того, содержит ли область V начало координат (и
сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.
В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток
напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с
точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме
электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо
трактовать плотность р распределения электрического заряда в систе-
системе уравнений Максвелла, рассмотренной в § 1 (формулы A2)).
Ь. Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного
поля начнем со следующего примера.
Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается
с постоянной угловой скоростью uj вокруг фиксированной оси (пусть
это ось Oz). Найдем ротор поля v линейных скоростей точек простран-
332 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент време-
времени).
В цилиндрических координатах (r,<p,z) поле v(r,<p,z) имеет про-
простую запись: v{r,(p,z) = шге^. Тогда по формуле C5") из § 1 сразу на-
находим, что rotv = 2wez. To есть rotv в данном случае является векто-
вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина 2ы с точностью
до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а напра-
направление вектора, с учетом ориентации всего пространства R3, вполне
определяет и направление вращения.
Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей
жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воз-
воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх). Таким образом, ротор
векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в
окрестности этой точки.
Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется
пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убе-
убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве
характеристики завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне опи-
описать завихренность поля в окрестность точки, придется считать цирку-
циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем
сказанное.
Возьмем круг St(x) с центром в точке х, лежащей в плоскости, пер-
перпендикулярной к направлению г-й координатной оси, г = 1,2,3. Ориен-
Ориентируем St(x) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт ег
этой координатной оси. Пусть d — диаметр St(x). Из формулы D) для
гладкого поля А сразу получаем, что
§ A- ds
(rot A) • ei = lim^J , . , G)
d>o Si(x)
где через Sx{x) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким
образом, отнесенная к единице площади циркуляция поля А на окруж-
окружности dSx в плоскости, ортогональной г-й координатной оси, характе-
характеризует г-ю компоненту вектора rot A.
Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспо-
вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть компо-
композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, пере-
переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого те-
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 333
ла. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг
некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости
или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально ли-
линейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если
имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей
точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось
вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости
и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор полно-
полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет
несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рас-
рассматривать как некоторую плотность распределения локальных враще-
вращений среды.
с. Градиент. О градиенте скалярного поля, т.е. попросту о гра-
градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили,
поэтому здесь остается только напомнить главное.
Поскольку ^Jrad/(£) = (grad/,0 = df(£) = D^f, где ^/ — про-
производная функции / по вектору £, то вектор grad/ ортогонален по-
поверхностям уровня функции /, указывает в каждой точке направление
наиболее быстрого роста значений функции, а его величина |grad/|
дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой из-
измеряются смещения в пространстве изменения аргумента).
О градиенте как плотности будет сказано ниже.
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы
а. Векторные варианты формулы Гаусса-Остроградского.
Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей, анало-
аналогичное истолкованию F) дивергенции как плотности, можно получить
из следующих классических формул векторного анализа, связанных с
формулой Гаусса-Остроградского:
/ V • BdV — da ■ В (теорема о дивергенции), (8)
v dv
/ V х AdV = da x А (теорема о роторе), (9)
v dv
334 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
/ VfdV= / daf (теорема о градиенте). A0)
v dv
Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений со-
совпадает с равенством E') и является формулой Гаусса-Остроградско-
Гаусса-Остроградского. Векторные равенства (9), A0) вытекают из (8), если применить эту
формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля.
Сохраняя те же обозначения V(x), d, что и в равенстве F), из фор-
формул (8)-A0) единообразно получаем
/ da В
/ da х А
Правые части равенств (8) - A0) можно интерпретировать соответ-
соответственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток
векторного поля А и как векторный поток скалярного поля / через
поверхность 8V, ограничивающую область V. Тогда величины div.B,
rot A, grad/, стоящие в левых частях равенств (б7), A1), A2), можно
интерпретировать как соответствующие плотности распределения ис-
источников этих полей.
Заметим, что правые части соотношений (б7), (И), A2) не зависят
от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвари-
инвариантности градиента, ротора и дивергенции.
Ь. Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как
формулы (8) - A0) были результатом совмещения формулы Гаусса-Ос-
Гаусса-Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и ска-
скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением
этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает
в качестве первого из этих трех соотношений).
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 335
Пусть S—(кусочно) гладкая компактная ориентированная поверх-
поверхность с согласованно ориентированным краем dS, da— векторный эле-
элемент площади на поверхности 5, a ds — векторный элемент длины
на dS. Тогда для гладких полей А, В, / имеют место соотношения
fd<r.(V хА) = I ds-A, A3)
ds
l{d<rxV)xB = dsx В, A4)
5 dS
= dsf. A5)
5 dS
Формулы A4), A5) вытекают из формулы Стокса A3). На их дока-
доказательстве мы здесь не останавливаемся.
с. Формулы Грина. Если S — некоторая поверхность, а п — еди-
единичный вектор нормали к 5, то производную Dnf функции / по век-
вектору п в теории поля чаще всего записывают символом -J-. Например,
(V/, dcr) — (V/, n)da = (grad /, п) da = Dnf da = fifcda. Таким обра-
образом, jJ-da есть поток поля grad/ через элемент da поверхности.
В этих обозначениях можно записать следующие достаточно широ-
широко используемые в векторном анализе и теории поля формулы Грина:
y A6)
V V dV \ dV I
V
■ A7)
dV \ dV /
В частности, если в A6) положить / — #, а в A7) положить д = 1,
336 ГЛ XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
то соответственно получим
A6')
A7')
Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса. Докажем,
например, второе из равенств A6), A7):
-fVg)-da = J V-(gVf-fVg)dV =
av v
V/ + gV2f -Vf-Vg- fV2g) dV =
v
= f(9V2f - fV2g) dV - J(gAf - fAg) dV.
v v
Мы воспользовались формулой Гаусса-Остроградского и тем, что
V • (<рА) = V<p-A + <pV -А. ►
Задачи и упражнения
1. Исходя из формулы Гаусса-Остроградского (8), докажите соотноше-
соотношения (9), A0).
2. Исходя из формулы Стокса A3), докажите соотношения A4), A5).
3. а) Проверьте, что формулы (8), (9), A0) остаются в силе и для неогра-
неограниченной области V, если подынтегральные функции в поверхностных инте-
интегралах имеют порядок О (-^) при г -> оо. (Здесь г = |r|, r — радиус-вектор
точек пространства Ж3.)
b) Проверьте, остаются ли в силе формулы A3), A4), A5) для некомпакт-
некомпактной поверхности 5 С I3, если подынтегральные функции в криволинейных
интегралах имеют порядок О (~^ ) при г -> оо.
c) Приведите примеры, показывающие, что для неограниченных поверх-
поверхностей и областей формулы Стокса D;) и Гаусса- Остроградского E;), вообще
говоря, несправедливы.
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 337
4. а) Исходя из интерпретации дивергенции как плотности источников,
объясните, что уравнение 2 системы A2) § 1 уравнений Максвелла подразу-
подразумевает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т. е. магнитных
зарядов не бывает).
Ь) Используя формулу Гаусса-Остроградского и систему A2) § 1 уравне-
уравнений Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация пробных за-
зарядов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого
равновесия в области электростатического поля, свободной от (других) за-
зарядов, создающих это поле. (Предполагается, что никакие иные силы, кроме
создаваемых полем, при этом на систему не действуют.). Этот факт известен
как теорема Иришоу.
5. Если электромагнитное поле стационарно, т.е. не зависит от времени,
то система A2), §1 уравнений Максвелла распадается на две независимые
части — систему V'-Е = /-, VxE = 0 уравнений электростатики и систему
V х В = -^тг, V • В = 0 уравнений магнитостатики.
Уравнение V • Е — р/во, где р — плотность распределения зарядов, по фор-
формуле Гаусса-Остроградского преобразуется в соотношение / Е • do- — Q/sq,
s
где слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую
поверхность 5, а справа — сумма Q зарядов, попавших в область, ограничен-
ограниченную поверхностью 5, деленная на размерную постоянную е$. В электростатике
это соотношение обычно называется законом Гаусса. Используя закон Гаусса,
найдите электрическое поле Е
a) создаваемое однородно заряженной сферой, и убедитесь, что вне сферы
оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в
центре сферы;
b) однородно заряженной прямой;
c) однородно заряженной плоскости;
d) пары параллельных и однородно заряженных зарядами противополож-
противоположного знака плоскостей;
e) однородно заряженного шара.
6. а) Докажите формулу Грина A6).
b) Пусть / — гармоническая в ограниченной области V функция (т. е. /
удовлетворяет в V уравнению Лапласа Д/ = 0). Покажите, исходя из равен-
равенства A7'), что поток градиента этой функции через границу области V равен
нулю.
c) Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области функ-
функция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей
нормальной производной на границе этой области.
d) Исходя из равенства A6'), докажите, что если гармоническая в огра-
ограниченной области функция на границе области всюду равна нулю, то она то-
тождественно равна нулю во всей этой области.
e) Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух
338 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
гармонических в этой области функций совпадают, то эти функции совпадают
во всей области.
f) Исходя из равенства A6), проверьте следующий принцип Дирихле: среди
всех непрерывно дифференцируемых в области функций, принимающих задан-
заданные значения на границе области, наименьшее значение интегралу Дирихле
(т. е. интегралу от квадрата модуля градиента функции по области) до-
доставляет гармоническая в области функция и только она.
7. а) Пусть r(p,q) = \р — q\— расстояние между точками р, q евклидова
пространства Е3. Фиксировав точку р, получим функцию rp(q) точки q € Ш3.
Покажите, что Ar~1(q) = 4irS(p;q), где 6 — дельта-функция.
Ь) Пусть g — гармоническая в области V функция. Полагая в формуле A7)
/ = 1/гр, с учетом предыдущего результата получаем
Vol -da.
s
Докажите это равенство аккуратно.
с) Выведите из предыдущего равенства, что если 5 —сфера радиуса R с
центром в точке р, то
s
Это так называемая теорема о среднем для гармонических функций.
d) Исходя из предыдущего результата, покажите, что если В — шар, огра-
ограниченный рассмотренной там сферой 5, a V(B)—его объем, то справедливо
также равенство
е) Если р, q — точки евклидовой плоскости Е2, то вместо рассмотренной
в а) функции ~ (отвечающей потенциалу заряда, помещенного в точку р)
возьмем теперь функцию In ^- (отвечающую в пространстве потенциалу рав-
равномерно заряженной прямой). Покажите, что Д1п^- = 2тг£(р;д), где 6{p;q) в
данном случае есть дельта-функция в
f) Повторив проведенные в а), Ь), с), d) рассуждения, получите теорему о
среднем для функций, гармонических в плоских областях.
8. Многомерная теорема Коши о среднем.
Классическая теорема о среднем для интеграла («теорема Лагранжа») ут-
утверждает, что если функция /: D -> Е непрерывна на компактном, измеримом
и связном множестве D с Шп (например, в области), то найдется такая точка
£ € .D, что
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 339
где \D\—мера (объем) D.
а) Пусть теперь f,g € C(D,R), т.е. /, д— непрерывные вещественнознач-
ные в D функции. Покажите, что верна следующая «теорема Коши»: найдется
точка £ 6 D такая, что
D D
b) Пусть D — компактная область с гладкой границей dD, a f,g — два
гладких векторных поля в D. Покажите, что найдется такая точка £ € D, что
divg(O • Flux/ = div/(£) • Fluxg,
где Flux — поток векторного поля через поверхность 3D.
§ 3. Потенциальные поля
1. Потенциал векторного поля
Определение 1. Пусть А — векторное поле в области В С Р.
Функция U: D —> Ш называется потенциалом поля А в области D,
если в этой области А ~ grad U.
Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется по-
потенциальным полем.
Поскольку в связной области частные производные определяют
функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал
поля определен с точностью до аддитивной постоянной.
В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь
мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в свя-
связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного
рода силовых полей потенциалом поля F обычно называют такую функ-
функцию U, что F — —gxdAU. Такой потенциал отличается от введенного
определением 1 только знаком.
Пример 1. Напряженность F гравитационного поля, создаваемо-
создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке прос-
пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Ньютона
в виде
F = -GM±, A)
12-4574
340 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где г =
Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответ-
соответствующей точке пространства. Гравитационное поле A) потенциально.
Его потенциалом в смысле определения 1 является функция
U = GM-. B)
г
Пример 2. Напряженность Е электрического поля точечного за-
заряда #, помещенного в начало координат, в точке пространства, имею-
имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Кулона
,-. or
4тг£о г3'
Таким образом, такое электростатическое поле, как и гравитацион-
гравитационное поле, потенциально. Его потенциал <£>, в смысле физической терми-
терминологии, определяется соотношением
V * '
4тге0г
2. Необходимое условие потенциальности. На языке диффе-
дифференциальных форм равенство А = grad U означает, что и\ = dcvfj =
= dU, откуда вытекает, что
<*"А = 0, C)
поскольку d2tofj = 0. Это необходимое условие потенциальности поля А.
В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение.
Если А — (Л1,... ,ЛП) и А = gradf/, то в декартовых координатах
Аг = —-j. г = 1, ...,п, и при достаточной гладкости потенциала U
ох
(например, непрерывность вторых частных производных) должно быть
что попросту означает равенство смешанных производных
д2и _ д2и
дхг дхЗ дхЗ дхг'
п
В декартовых координатах а/д — Yl Aldxl1 поэтому равенство C)
г=1
и соотношения C') действительно в этом случае равносильны.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 341
В случае R3 по определению ротора dulA — uJ20iA, поэтому необхо-
необходимое условие C) потенциальности поля А для R3 можно переписать в
виде
rot А = О,
что соответствует уже знакомому нам соотношению rotgradf/ = 0.
Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства
поле А = (x,xy,xyz) не может иметь потенциал, так как, например,
д(ху) / cto
Пример 4. Рассмотрим поле А = (АХ,АУ) вида
Уs
2' х2 + у2
х2 + у2' х2 + у
'
D)
заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме
начала координат. Необходимое условие потенциальности ^ = J
здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, это поле не потен-
потенциально в области своего определения.
Таким образом, необходимое условие C) или, в декартовых коор-
координатах, условия C'), вообще говоря, не являются достаточными для
потенциальности поля.
3. Критерий потенциальности векторного поля
Утверждение 1. Непрерывное в области D С Шп векторное по-
поле А потенциально в D тогда и только тогда, когда его циркуляция
(работа) на любом лежащем в D замкнутом пути у равна нулю:
= 0. E)
7
М Необходимость. Пусть А = gradC/. Тогда по формуле Нью-
Ньютона—Лейбница (§2, формула C'))
7
где у; [а,Ь] —)■ D. Если у (а) = у(Ь), т.е. когда путь у замкнутый, оче-
очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обра-
обращаются в нуль.
342 ГЛ XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Достаточность. Пусть условие E) выполнено. Тогда интеграл
по любому (не обязательно замкнутому) пути в области D зависит толь-
только от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит. Действи-
Действительно, если 7i и 72 — два пути с общим началом и концом, то, пройдя
сначала путь 71, a затем путь —72, (т- е. 72 в обратном направлении), мы
получим замкнутый путь 7, интеграл по которому, с одной стороны, в
силу E) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по
7i и 72- Значит, эти интегралы действительно равны.
Фиксируем в D некоторую точку хо и положим теперь
х
U(x) = I A-ds, F)
где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области D из
точки хо в точку х Е D. Проверим, что определенная так функция U
является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать,
что в W1 взята декартова система координат (а;1,..., хп). Тогда A-ds =
= A1 dxl + • • • + Ап dxn. Если от точки х прямолинейно сместиться на
вектор /гег, где ег — орт соответствующей координатной оси, то при
этом функция U получит приращение
xl+h
het)-U(x) = I
X1
равное интегралу от формы А • ds по указанному пути перехода из х
в x + het. Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме
о среднем можно записать в виде
U(x + het)-U(x) - А1(х1,...,х1-1,х% + 0Н,х1+1,...,хп)Н,
где 0 ^ в ^ 1. Поделив это равенство на h и устремив h к нулю, полу-
получаем
т. е. действительно А — grad U. ►
Замечание 1. Как видно из доказательства, для потенциально-
потенциальности поля А достаточно, чтобы условие E) выполнялось для гладких
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 343
путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых параллель-
параллельны координатным осям.
Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 § 1 гл. VIII)
мы подсчитали, что циркуляция поля D) на окружности х2 + у2 = 1,
пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна 2тг(/ 0).
Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что
поле D) не потенциально в рассматриваемой области R2 \ 0.
Но ведь, например,
У ( У х
grad arctg - = I —
х \ х2 + у2 ' х2 + у2
и, казалось бы, функция arctg ^ является потенциалом поля D). Что
это — противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный
правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, со-
состоит в том, что функция arctg ^ не определена во всей области R2 \ 0.
И это действительно так: возьмите, например, точки оси Оу. Но тогда,
скажете вы, можно рассмотреть функцию <р(х, у) —полярный угол точ-
точки (#, у). Практически это та же функция arctg ^, но (р(х, у) определена
и при х = 0, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат.
Всюду в области R2 \ 0
XI X
dip — ъ dx +
Xz +У
ъ dx + z
Xz +У X1 + У
Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже си-
ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что (р на самом-то
деле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей
области R2 \ 0. При обходе точки вокруг начала координат против ча-
часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2тг,
когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в
исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следова-
Следовательно, либо надо отказаться от непрерывности (р в области R2 \0, либо
надо отказаться от однозначности (р.
В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой
точки области R2 \ 0 можно выделить непрерывную однозначную ветвь
функции <р. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоян-
постоянную, кратную 2тг. Именно поэтому все они имеют одинаковый диффе-
дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля D).
Тем не менее во всей области R2 \ 0 поле D) потенциала не имеет.
344
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том
смысле, что необходимое условие C) или C') потенциальности поля А
локально является и достаточным. Имеет место
Утверждение 2. Если необходимое условие потенциальности
поля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет
потенциал.
•4 Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга
D — {ж, у Е К2 | х2 + у2 < г2} на плоскости R2. В точку (х,у) круга из
начала координат можно прийти по двум различным двузвенным лома-
ломаным 7i? 725 звенья которых параллельны координатным осям (рис.93).
Поскольку D — выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными
прямоугольник / содержится в D.
По формуле Стокса с учетом условия C) получаем
На основе замечания к утверждению 1 от-
отсюда уже можно сделать вывод о потенциаль-
потенциальности поля А в D. Кроме того, на основе дока-
доказательства достаточности в утверждении 1 в
качестве потенциала вновь можно взять функ-
функцию F), понимая при этом интеграл как ин-
интеграл по пути, ведущему из центра в рассма-
рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья кото-
которой параллельны координатным осям. В рас-
рассмотренном случае независимость такого ин-
интеграла от выбора пути 71, 72 непосредственно
вытекала из формулы Стокса для прямоугольника.
В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного пря-
прямоугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути
на два звена, составляющие параллельные исходным стороны соответ-
соответствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути. Поскольку
такими перестройками последовательно можно перейти от одного ло-
ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем
случае потенциал оказывается определенным корректно. ►
Рис. 93.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 345
4. Топологическая структура области и потенциал. Сопо-
Сопоставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выполне-
выполнении необходимого условия C) потенциальности поля вопрос о том, все-
всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической струк-
структурой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь
и в п. 5) дают первоначальное представление о том, какие именно ха-
характеристики области отвечают за это.
Оказывается, если область D такова, что любой замкнутый путь,
лежащий в Z), можно, не выходя за пределы области Z), стянуть в не-
некоторую точку этой области, то в D необходимое условие C) потен-
потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие
области односвязными. Шар — односвязная область (и потому имеет
место утверждение 2), а вот плоскость с проколом R2 \ 0 не являет-
является односвязной, так как охватывающий начало координат путь нельзя
стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы. Именно по-
поэтому не всякое удовлетворяющее условиям C') поле в I2 \ 0, как мы
видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области R2 \ 0.
Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде
всего поясним, что мы имеем в виду, когда говорим о деформации или
стягивании пути.
Определение 3. Говорят, что в области D имеется гомотопия
(или деформация) замкнутого пути 70: [0,1] —>• D в замкнутый путь
7i *• [0,1] —>■ .D, если указано такое непрерывное отображение Г: I2 —> D
квадрата I2 = {(t1,*2) G К2 | 0 < f < 1,г = 1,2} в область Д что
T(t\O) = 7о(^), Г(г\1) = 7i(<1) иГ@,£2) = ГA,<2) при любых t\t2 е
Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: I2 —» D (рис. 94).
Если переменную t2 считать временем £, то согласно определению 3
в каждый момент времени t = t2 мы имеем свой замкнутый путь
Г^1,^) = jt (рис.94I). Изменение этого пути со временем таково, что
в начальный момент t = t = 0 он совпадают с путем 70, a B мо-
момент t = t2 = 1 он преобразуется в путь 71-
Поскольку в любой момент t E [0,1] выполняются условия 7
рис. 94 вдоль некоторых кривых стоят ориентирующие их стрелки, которые
будут использованы несколько позже и на которые читатель пока не должен обра-
обращать внимания.
346
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рис. 94.
= Г@,£) = ГA,<) = 7*A)? означающие, что путь jt~~замкнутый, ото-
отображение Г: I2 —>■ D индуцирует на боковых сторонах квадрата I2
одинаковые отображения /?о(^) :~ Г(^,0) = Г^1, 1) =:
Отображение Г является формализацией нашего представления о
том, как постепенно путь 70 деформируется в путь 71 • Изменение этого
пути со временем таково, что в начальный момент t2 — 0 он совпадает
с путем 70э а в момент t2 = 1 он преобразуется в путь 71-
Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и тогда мы из
пути 71 получим путь 7о-
Определение 4. Два замкнутых пути называются гомотопными
в области, если их можно гомотопировать друг в друга в пределах
этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в
другой.
Замечание 2. Поскольку пути, с которыми нам придется в ана-
анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, то без до-
дополнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или
кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии.
Для областей, лежащих в R71, можно проверить, что наличие не-
непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и
наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.
Утверждение 3. Если 1-форма и1А в области D такова, что
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 347
dco\ = О, а замкнутые пути 70 и 71 гомотопны в D, то
М Пусть Г: I2 —>■ D — гомотопия 70 в 71 (см. рис.94). Если /о, 1\ —
основания квадрата /2, a Jo, J\ —его боковые стороны, то, по опреде-
определению гомотопии замкнутых путей, ограничение Г на /о и 1\ совпадает
с 7о и 71 соответственно, а ограничение Г на Jo и J\ дает некоторые
пути /?о и Р\ в D и, поскольку Г@,£2) = ГA,£2), пути /?о и f3\ просто
совпадают. В результате замены переменных х — T(t) форма и)\ пере-
перенесется в квадрат I2 в виде некоторой 1-формы со = Т*иIА. При этом
duj = dT*ujlA = T*duA = 0, так как duA = 0. Значит, по формуле Стокса
= 0.
Но
f "A + f "A' f "A- f "A = f "A- f "A-
70 Pi 71 Ро 70 71
Определение 5. Область называется односвязнощ если любой за-
замкнутый путь в ней гомотопен точке (т. е. постоянному пути).
Итак, именно в односвязнои области любой замкнутый путь можно
стянуть в точку.
Утверждение 4. Если заданное в односвязнои области D поле А
удовлетворяет необходимому условию C) или C') потенциальности,
то оно потенциально в D.
Л В силу утверждения 1 и замечания 1 к нему нам достаточно про-
проверить, что равенство E) имеет место для любого гладкого пути j в
области D. Путь 7 по условию гомотопен постоянному пути, носитель
которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному
пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии
348 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
интеграл не меняется, значит, и для пути j должно быть выполнено
равенство E). ►
Замечание 3. Утверждение 4 включает в себя утверждение 2. Од-
Однако, имея в виду некоторые приложения, мы сочли полезным дать не-
независимое конструктивное доказательство утверждения 2.
Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на воз-
возможность гладкой гомотопии гладких путей.
5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы
Определение 6. Поле А называется векторным потенциалом
поля В в области D С R3, если в этой области выполняется соотно-
соотношение В — rot A.
Если вспомнить связь между векторными полями и формами в ев-
евклидовом ориентированном пространстве R3, а также определение ро-
ротора векторного поля, то соотношение В = rot А можно переписать в
виде (jJb = du)lA. Отсюда следует, что u>divB ~ ^ш<в = d2wlA ~ 0. Таким
образом, мы получаем следующее необходимое условие
div В = 0, G)
которому в области D должно удовлетворять поле .В, чтобы оно мог-
могло иметь векторный потенциал, т. е. чтобы оно могло быть ротором
некоторого векторного поля А в этой области.
Поле, удовлетворяющее условию G), часто, особенно в физике, на-
называют соленоидальным полем.
Пример 5. В § 1 мы выписали систему A2) уравнений Максвелла.
Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством G).
Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное
поле В ротором некоторого векторного поля А — векторного потенци-
потенциала поля В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при
решении системы уравнений Максвелла.
Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном
потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили
только в R3) являются частными случаями общего вопроса о том, когда
дифференциальная р-форма шр является дифференциалом dwp~~l неко-
некоторой формы и)р~1.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 349
Определение 7. Дифференциальная форма шр называется точ-
точной в области .D, если в этой области существует такая форма up y
что шр = dcop~ .
Если форма шр точна в Z), то dujp = d2cop~1 = 0. Таким образом,
условие
du = 0 (8)
является необходимым условием точности формы ш.
Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая
этому условию, является точной, поэтому вводится
Определение 8. Дифференциальная форма ш называется замк-
замкнутой в области Z), если в этой области она удовлетворяет условию (8).
Имеет место
Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то
она и точна в нем.
Здесь уже речь идет о шаре в!пио форме любого порядка, поэтому
утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы.
Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8)
точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой точ-
точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность,
в которой форма ш точна.
В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию G), то
из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является
ротором некоторого векторного поля А.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной тео-
теоремы (желающие прочитают его в гл. XV), а предпочтем в заключение
(опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь
вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.
Пример 6. Рассмотрим плоскость К с двумя выколотыми точка-
точками pi, p2 (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути 70•> 71
и 72- Путь 72 B пределах рассматриваемой области D можно стянуть в
точку, поэтому если в D задана замкнутая форма и, то интеграл от нее
по 72 равен нулю. Путь 70 нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения
интеграла от формы о;, этот путь можно прогомотопировать в путь 71-
350
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Интеграл по пути 71, очевидно, сводится к ин-
интегралу по одному циклу, обходящему по часо-
часовой стрелке точку pi, и удвоенному интегралу
по циклу, обходящему точку Р2 против часовой
стрелки. Если через Т\ и Т^ обозначить интегра-
интегралы от нашей формы со по малым окружностям,
охватывающим соответственно точки pi и р2 и
проходимым, например, против часовой стрел-
стрелки, то можно понять, что интеграл от формы со
по любому замкнутому пути в области D будет
равен n\Ti + П2Т2, где п\ и П2— некоторые це-
целые числа, указывающие, сколько раз и в каком
направлении мы обошли каждую из дырок р1? р дк
Р2 плоскости R2.
Окружности ci, C2, зацепляющие р\ и Р2, служат как бы базисом, в
котором любой замкнутый путь j С Z), с точностью до не влияющей
на интеграл гомотопии, имеет вид j = niC\ + П2С2. Величины f со = Тг
Сг
называют циклическими постоянными или периодами интеграла. Если
область более сложная и в ней имеется к штук независимых простейших
циклов, то в соответствии с разложением j = n\Ci + . • -+nkCk получится,
что J и = n\Ti + ... + rtkTfc. Оказывается, для любого набора Т\,..., Тд.
7
чисел в такой области можно построить замкнутую 1-форму, которая
будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай теоре-
теоремы Де Рама; см. гл. XV).
Для наглядности мы обратились к рассмотрению плоской области,
но все сказанное можно повторить и для любой области D С W1.
Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в R3 тором)
все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой
окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь
единственный не точечный базисный цикл с.
Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших раз-
размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей—отображений
окружности или, что то же самое, отображений одномерной сферы,
брать отображения ^-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии
и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений к-
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 351
мерной сферы в данную область Del71 существует, то получится не-
некоторая характеристика области Z), которая в топологии оформляется
в так называемую k-ю гомотопическую группу области D и обозна-
обозначается 7Tk{D). Если все отображения ^-мерной сферы в D гомотопны
постоянному отображению, то считается, что группа 7rfc(_D) тривиаль-
тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что
7ri(.D) тривиальна, a ^{D) не тривиальна.
Пример 8. Если в качестве D взять пространство М3 с выбро-
выброшенной из него точкой 0, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой
области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную
из М3 точку 0, нельзя в пределах этой области прогомотопировать в
точку.
Оказывается, за периоды замкнутой fc-формы ответственна не со-
совсем гомотопическая группа tt^(Z)), а так называемая группа гомоло-
гомологии Hk{D) (см. гл. XV).
Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в
области D = R3 \ 0 всякая замкнутая 1-форма точна (R3 \ 0 — одно-
связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точной. На
языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А
в R3 \ 0 является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В
без источников (div В = 0) является в этой области ротором некоторо-
некоторого поля.
Пример 10. В противовес примеру 9 возьмем в качестве обла-
области D полноторие. Для полнотория группа ni(D) не тривиальна (см.
пример 7), а 7Г2{Щ тривиальна, поскольку любое отображение /: S2 —>
—> D двумерной сферы bDb пределах D стягивается в постоянное
(образ сферы стягивается в точку). В этой области не всякое безвихре-
безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором
некоторого поля.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что любое центральное поле А = f(r)r потенциально.
2. Пусть F = — gradf/— потенциальное силовое поле.
Покажите, что положения устойчивого равновесия частицы в таком поле
находятся в точках минимума потенциала U этого поля.
3. Для электростатического поля Е система уравнений Максвелла (§1,
A2)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений V - Е = -f-, V х Е = 0.
352 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Условие V х Е = 0, по крайней мере локально, подразумевает, что Е —
= — grad^?. Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое электро-
электростатическое поле есть сумма (или интеграл) таких полей, то оно тоже всегда
потенциально. Подставляя Е = — V(p в первое из уравнений электростатиче-
электростатического поля, получим, что его потенциал ц> удовлетворяет уравнению Пуассо-
Пуассона1' А<р = -&-. Потенциал <р полностью определяет поле Е, поэтому описание
поля Е сводится к отысканию функции ^ — решения уравнения Пуассона.
Зная потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу.
а) Два заряда —q, +q находятся в точках @,0, —d/2), @,0, d/2) простран-
пространства М3, наделенного декартовыми координатами (x,y,z). Покажите, что на
большом по сравнению с величиной d удалении от этих зарядов потенциал
создаваемого ими электростатического поля имеет вид
1 z . / 1
<Р =
где г — модуль радиус-вектора г точки (x,y,z).
b) Удаление от зарядов на большое расстояние равносильно сближению
зарядов, т.е. уменьшению величины d. Если теперь величину qd =: p фик-
фиксировать и уменьшать d, то в пределе в области R3 \ 0 получится функция
(р — ^_ -?-р. Удобно ввести вектор р, равный по величине р и направленный
от — q к +q. Пару зарядов —q, -\-q и получаемую описанным предельным пере-
переходом конструкцию называют диполем, а вектор р—дипольным моментом.
Полученная в пределе функция <р называется потенциалом диполя. Найдите
асимптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему
угол 0 с направлением дипольного момента.
c) Пусть (ро —потенциал единичного точечного заряда, a (pi —потенциал
диполя, имеющего дипольный момент р\. Покажите, что <р\ = —(pi • У)^о-
d) Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для па-
пары зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов
(точнее, для двух диполей с дипольными моментами pi, рз) и получить ква-
друполь и соответствующий ему потенциал. В общем случае можно получить
мультиполъ порядка j с потенциалом (р3 = (—1K(р3 • V)(pj-i • V)... (pi •
У.!.* — так называемые компоненты момен-
та мультиполя. Проведите выкладки и проверьте формулу для потенциала
мультиполя в случае квадруполя.
е) Покажите, что главный член асимптотики потенциала скопления заря-
зарядов при удалении от этого скопления равен т—— Ц-, где Q^ суммарный заряд
. Д. Пуассон A781-1840)—-французский механик, математик и физик; основ-
основные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории
вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного
потенциала и притяжения сфероидами.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 353
скопления.
f) Покажите, что главный член асимптотики потенциала электрически
нейтрального тела, состоящего из зарядов противоположного знака (напри-
(например, молекула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от
него равен з^г~Р':Гг • Здесь ег—единичный вектор, направленный из тела на
наблюдателя; р — X^d», гДе Qi — величина г-го заряда, а d^ — его радиус-
вектор; начало координат выбрано в одной из точек тела.
g) Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от скоп-
скопления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенциалов
мультиполей. Покажите это на примере первых двух членов такого потенци-
потенциала (см. d), e) и f)).
4. Проверьте, односвязны ли следующие области:
a) круг {(х, у) € I2 | х2 + у2 < 1};
b) круг с выколотым центром {(х, у) eR2 | 0 < х2 + у2 < 1};
c) шар с выколотым центром {(х, t/,2)el3 | 0 < х2 + у2 + z2 < 1};
d) кольцо Ux,y) Gl2 \ <х2 +у2 <l\\
e) шаровое кольцо |(х,у,г)еМ3 ^ < х2 -\- у2 -\- z2 < l\]
f) полноторие в R3 .
5. а) Дайте определение гомотопии пути с закрепленными концами.
Ь) Докажите, что область односвязна тогда и только тогда, когда любые
два пути в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны в смысле
определения а).
6. Покажите, что:
a) любое непрерывное отображение /: 51 —> S2 окружности 51 (одномер-
(одномерной сферы) в двумерную сферу S2 стягивается по S2 в точку (в постоянное
отображение) ;
b) любое непрерывное отображение /: S2 -> 51 тоже гомотопно отобра-
отображению в одну точку;
c) любое отображение f:Sl -> 51 гомотопно при некотором п £ Ъ ото-
отображению (р И- тир, где ц> — полярный угол точки окружности;
d) любое отображение сферы S2 в полноторие гомотопно отображению в
одну точку;
e) любое отображение окружности 51 в полноторие гомотопно при неко-
некотором п е Ъ замкнутому пути, пробегающему п раз окружность, охватываю-
охватывающую дырку полнотория.
7. В области Ш3 \ 0 (пространство с выброшенной точкой 0) постройте:
a) замкнутую, но не точную 2-форму;
b) векторное поле без источников, которое не является ротором какого-
либо векторного поля в этой области.
8. а) Могут ли в области D = Еп \ 0 (пространство Шп с выброшенной
точкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени р < п — 1?
354 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ь) Постройте в области D — Шп \ 0 замкнутую, но не точную форму сте-
степени р — п — 1.
9. Если 1-форма со замкнута в области 1)с1п,тов силу утверждения 2
любая точка х G D имеет окрестность U(x), в пределах которой форма со
точна. Далее со— замкнутая форма.
a) Покажите, что если два пути %: [0,1] —»• D, г = 1,2, имеют одинако-
одинаковые начала и концы и отличаются лишь на промежутке [а,/?] С [0,1], образ
которого при каждом из отображений 7г лежит в пределах одной и той же
окрестности U(x), то / со = / со.
71 72
b) Покажите, что для любого пути [0,1] Э t н» j(t) G D можно указать
такое число S > 0, что если путь 7 имеет те же начало и конец, что и путь 7,
и уклоняется от 7 не больше чем на J, т. е. max \^y(t) — 7@1 ^ S, то J со = J со.
c) Покажите, что если два пути 7i, 72 с общими началом и концом гомо-
гомотопны в области D как пути с закрепленными концами, то для замкнутой в D
формы со имеет место равенство / со = J со.
71 72
10. а) Позднее будет доказано, что любое непрерывное отображение Г:
I2 —)■ D квадрата I2 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать
гладким отображением (даже с полиномиальными компонентами). Выведите
отсюда, что если пути 7ъ 72 в области D гомотопны, то при любом е >
> 0 можно найти такие гладко гомотопные между собой пути 71 > 72 > чт°
max |7»(*)-7*WI ^ * = М.
b) Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы
по гладко гомотопным путям от замкнутой в области D формы равны меж-
между собой, то они равны и для любых гомотопных в этой области путей (без
предположения о гладкости этой гомотопии). Сами пути, разумеется, предпо-
предполагаются настолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования
по ним.
11. а) Покажите, что если формы сор, сор~1, сор~1 таковы, что сор =
= dcop~l = dcop~1, то (по крайней мере локально) можно указать форму сор~2
такую, что сор~1 = сор~1 + dcop~2. (To, что любые две формы, отличающи-
отличающиеся на дифференциал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал,
очевидно, вытекает из равенства d2co = 0.)
b) Покажите, что потенциал ip электростатического поля (задача 3) опре-
определяется с точностью до аддитивной постоянной, которая фиксируется, если
потребовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю.
12. Из системы уравнений Максвелла (§1, A2)) получается следующая па-
пара уравнений магнитостатики: V-B = 0, VхВ = —^-. Первое из этих урав-
нений показывает, что, по крайней мере локально, поле В имеет векторный
потенциал А, т.е. В = V х А.
а) Опишите произвол в выборе потенциала А магнитного поля В (см. за-
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 355
дачу 11а)).
b) Пусть х, у, z — декартовы координаты в Е3. Найдите потенциал А од-
однородного магнитного поля В, направленного вдоль оси Oz, при соблюдении
каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А
должно иметь вид (О, АУ10); поле А должно иметь вид (Ах, 0,0); поле А должно
иметь вид (Лж,Лу,0); поле А должно быть инвариантно относительно пово-
поворотов вокруг оси 0z.
c) Покажите, что выбор потенциала А, удовлетворяющего дополнитель-
дополнительному требованию V-A = 0, сводится к решению уравнения Пуассона, точнее к
отысканию скалярной функции ф, которая при заданной скалярной функции /
удовлетворяет уравнению Аф = /.
d) Покажите, что если потенциал А статического магнитного поля В вы-
выбрать так, что V • А = 0, то он будет удовлетворять следующему векторному
уравнению Пуассона: ДА — — —2-%. Таким образом, привлечение потенциалов
позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магнитостати-
ческих полей к решению уравнения Пуассона.
13. Известна следующая теорема Гельмгольца1': любое гладкое в обла-
области D евклидова ориентированного пространства М3 поле F можно разло-
разложить в сумму F — F\ +1*2 безвихревого поля F\ и соленоидального поля 1*2.
Покажите, что построение такого разложения можно свести к решению неко-
некоторого уравнения Пуассона.
14. Пусть данная масса некоторого вещества переходит из состояния, ха-
характеризуемого термодинамическими параметрами Vo, Ро, (То), в состояние
V, -Р, (Т). Предположим, что процесс протекает медленно (квазистатически) и
идет по пути 7 плоскости состояний (с координатами V, Р). В термодинамике
доказывается, что величина S — f -if-, где SQ — форма теплообмена, зависит
7
только от начала (Vq,Po) и конца (V,P) пути, т.е. после фиксирования одной
из этих точек, например (Vb,-Po), S становится функцией состояния (V,Р)
рассматриваемой системы. Эта функция называется знтропией системы.
a) Выведите отсюда, что форма ш = 4f- является точной, причем ш = dS.
b) Используя указанный в задаче 6 § 1 гл. XIII вид формы SQ для идеаль-
идеального газа, найдите энтропию идеального газа.
§ 4. Примеры приложений
Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояс-
пояснить физический смысл формулы Гаусса - Остроградского - Стокса как
. Л. Ф. Гельмгольц A821 -1894) —немецкий физик и математик, один из перво-
первооткрывателей общего закона сохранения энергии. Кстати, именно он впервые четко
разделил понятия силы и энергии.
356 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вы-
вывод некоторых важных уравнений математической физики.
1. Уравнение теплопроводности. Изучается скалярное поле
Т = Т(ж,у,2,£) температуры наблюдаемого тела как функция точки
(ж, у, г) тела и времени t. В результате теплообмена между различны-
различными частями тела поле Т может как-то меняться. Однако это изменение
не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и хо-
хотим в явном виде выписать.
Пусть D — некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограни-
ограниченная поверхностью S. Если в D нет источников тепла, то изменение
внутренней энергии содержащегося в D вещества может происходить
только в результате теплообмена, т. е. в данном случае путем переноса
энергии через границу S области D.
Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме D и
поток энергии через поверхность S, мы на основе закона сохранения
энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение.
Известно, что для увеличения на AT температуры однородной мас-
массы m требуется тепловая энергия в количестве cm AT, где с — удельная
теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежу-
промежуток времени At наше поле Т изменилось на величину AT = Т(ж, у, z, t +
+ At) — Т(х,у, 2,t), то внутренняя энергия в области D изменилась на
величину
JJJcpATdV, A)
D
где р — р{х, у, z) —плотность вещества.
Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне
изменения температур количество тепла, протекающее в результате
теплообмена через выделенную в теле площадку da = nda за едини-
единицу времени, пропорционально потоку — grad T • da поля — grad T через
эту площадку (grad берется по пространственным переменным ж, у, z).
Коэффициент к пропорциональности зависит от вещества и называ-
называется его коэффициентом теплопроводности. Знак минус перед gradT
отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела
к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени Д£ через
границу S области D в сторону внешней нормали пройдет следующая
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 357
энергия (с точностью до o(At)):
At ff-kgrcidT-da. B)
5
Приравнивая величину A) ко взятой с противоположным знаком
величине B) после деления на At и перехода к пределу при At —> О,
получаем
cp—dV = // A; grad T-dcr. C)
d s
Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Т до-
достаточно гладкой, преобразуем равенство C), используя формулу Гаус-
Гаусса - Остроградского:
ср— dV = [И div(k grad T) dV.
D D
Отсюда ввиду произвольности области D, очевидно, следует, что
дТ
ср— = div(A;gradT). D)
Мы получили дифференциальный вариант интегрального равенст-
равенства C).
Если бы в области D были источники (или стоки) тепла, интенсив-
интенсивность которых имела бы плотность F(x, у, z, t), то вместо равенства C)
мы должны были бы написать равенство
dV= ffk grad T • do- + Iff F dV, C')
D S D
и тогда вместо D) мы получили бы уравнение
дТ
ср— = div(A;gradT) + F. D')
Если тело считать изотропным и однородным в смысле его тепло-
теплопроводности, то коэффициент к будет постоянной и уравнение D) пре-
преобразуется к следующему каноническому виду:
ВТ
358 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где / = —, а2 — ^ — коэффициент температуропроводности. Урав-
Уравнение E) называется обычно уравнением теплопроводности.
В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т не
зависит от времени, это уравнение превращается в уравнение Пуассона
AT = <р, F)
где if = —-«/, а если еще и ^тепловых источников в теле не было, то
а
получается уравнение Лапласа
AT = 0. G)
Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют гармо-
гармоническими функциями. В теплофизической интерпретации гармониче-
гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в те-
телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих
телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на гра-
границе 0V тела V поддерживать заданный тепловой режим T\dv = г, то
со временем температурное поле в теле V стабилизируется в виде неко-
некоторой гармонической функции Т. Такая интерпретация решений урав-
уравнения Лапласа G) позволяет предугадать ряд свойств гармонических
функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области V
функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов,
иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они
бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно.
2, Уравнение неразрывности. Пусть р=р(х, у, я, £) — плотность
некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое простран-
пространство, a v = v(;r,y,£, t)—поле скоростей движения среды как функция
точки (ж, у, z) пространства и времени t.
Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь фор-
формулой Гаусса-Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин.
Пусть D — область в наблюдаемом пространстве, ограниченная по-
поверхностью 5. За промежуток времени At количество вещества в обла-
области D изменяется на величину
, у, z, t 4- At) - р(ж, у, z, t)) dV.
J
D
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 359
За малый промежуток времени At поток вещества через поверхность 5
в сторону внешней нормали к 5 равен (с точностью до o(At)) величине
At- / / pv • da.
s
Если в области D не было источников и стоков, то в силу закона
сохранения количества вещества
ApdV - -At И pv -da
d s
или в пределе при At —> О
др
dt
D
dV — — pv * da.
Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса-Остро-
Гаусса-Остроградского и учитывая, что D — произвольная область, заключаем, что
для достаточно гладких функций р, v должно выполняться соотноше-
соотношение
^ (8)
называемое уравнением неразрывности сплошной среды.
В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в
виде
^ + V • (pv) = 0, (8')
или, в более развернутом виде,
+ v • Vp + pV • v = 0. (8")
Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды че-
через замкнутую поверхность 5 должен быть нулевым:
v • da = 0,
г
S
360 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
откуда (на основании той же формулы Гаусса-Остроградского) следу-
следует, что для несжимаемой среды
divv-0. (9)
Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и ма-
масло) уравнение (8") приводится к виду
0. A0)
Если среда еще и однородна, то Vp = 0, и потому -т£ — 0.
3, Основные уравнения динамики сплошной среды. Выве-
Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплош-
сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями р, v, ко-
которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной
точке (x^y^z) пространства в момент времени t, рассмотрим давление
р = р(х, у, я, t) как функцию точки пространства и времени.
Выделим в пространстве, занятом средой, область Z), ограничен-
ограниченную поверхностью 5, и рассмотрим силы, действующие на выделенный
объем среды в фиксированный момент времени.
На каждый элемент pdV массы среды могут действовать некото-
некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так
называемые массовые силы. Пусть F — F(x,у,z,t) —плотность созда-
создаваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей
на элемент массы pdV действует сила FpdV\ Если указанный элемент
в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону
Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, рав-
равной —apdV.
Наконец, на каждый элемент da — п da поверхности S со сторо-
стороны частиц среды, соседних с попавшими в Z), действует поверхностная
сила — pdcr, вызванная давлением (здесь п — внешняя нормаль к 5).
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой матери-
материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции,
взаимно уравновешиваются, т. е. их равнодействующая должна быть
равна нулю. В нашем случае это означает, что
(F-a)pdV - II pda = 0. A1)
D
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 361
Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и
сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверх-
поверхность 5, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты
считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или га-
газом, в которых давление на площадку da имеет вид pda, где число р
не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу A0) из § 2, на основании равенства A1) получаем
(F-a)pdV-
D D
откуда ввиду произвольности области D, очевидно, следует, что
= pF - gradp. A2)
В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответ-
соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.
Ускорение а частицы среды есть производная -£ от скорости v этой
частицы. Если х = x(t), у = у(£), z = .г(£)^закон движения частицы в
пространстве, a v = v(x,y,z,t)—поле скоростей среды, то для любой
индивидуальной частицы получаем
dv dv dv dx dv dy dv dz
Q = — I I — -I
dt dt dx dt dy dt dz dt
или
Таким образом, уравнение движения A2) приобретает следующую
форму:
^ I A3)
ИЛИ
-I
v = F- -Vp. A4)
Уравнение A4) обычно называется гидродинамическим уравнением
Эйлера.
362 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Векторное уравнение A4) равносильно системе трех скалярных
уравнений на три компоненты вектора v и еще на пару функций р, р.
Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движе-
движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить
уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопре-
делена.
Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и A4)
следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии
среды (например, уравнение состояния /(р, р, Т) = 0 и уравнение на
теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения,
читатель получит из следующего заключительного пункта этого пара-
параграфа.
4. Волновое уравнение. Рассмотрим теперь движение среды, со-
соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что та-
такое движение тоже подчиняется уравнению A4), но благодаря специ-
специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить.
Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения сре-
среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой
волне очень малы — порядка 1 %. Поэтому звуковое движение состоит в
малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия,
совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость распростране-
распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью
движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость
теплообмена между различными частями рассматриваемой среды. Та-
Таким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как
малые колебания около положения равновесия, совершаемые без тепло-
теплообмена (адиабатический процесс).
Ввиду малости самих макроскопических скоростей v, пренебрегая
в уравнении движения A4) членом (v • V)v, получаем равенство
Если по той же причине пренебречь членом вида S^v, то последнее
равенство приводится к уравнению
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 363
Применив к нему оператор V (по координатам ж, у, г), получим
Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение
V • pF = — Ф, приходим к уравнению
A5)
Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение A5)
сводится к соотношению
W =
между плотностью и давлением в звучащей среде. Поскольку процесс
адиабатический, уравнение состояния /(р, р,Т) = 0 сводится к некото-
некоторому соотношению р = ф(р), из которого следует, что ^-£ = </>'(#) $г
+ ф"(р) (з?) • Ввиду малости колебания давления в звуковой волне
можно считать, что ф'(р) = ф'(ро)) где ро — равновесное давление. То-
гда ф" = 0 и ^-£ « ^'(р)—f • Учитывая это, из A6) получаем оконча-
окончательно
|| ,17)
где а = (^'(ро)) • Это уравнение описывает изменение давления в
среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение A7)
описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно назы-
называется однородным волновым уравнением. Величина а имеет простой
физический смысл: это скорость распространения звукового возбужде-
возбуждения в данной среде, т.е. скорость звука в ней (см. задачу 4).
В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема
среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения
которых задана, уравнение A7) заменяется соответствующим уравне-
уравнению A5) соотношением
^ A8)
которое при / ф О называют неоднородным волновым уравнением.
364 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Задачи и упражнения
1. Пусть поле скоростей v движущейся сплошной среды потенциально. По
кажите, что если среда несжимаема, то потенциал <р поля v является гармо
нической функцией, т.е. Aip ~ 0 (см. (9)).
2. а) Покажите, что уравнение Эйлера A4) можно переписать в виде
-I-grad I -v I ~vxrotv = F gradp
Оь
(см. задачу 1 к § 1).
b) Проверьте, исходя из полученного в а) уравнения, что безвихревое те-
течение (rot v = 0) однородной несжимаемой жидкости возможно только в по-
потенциальном поле F,
c) Оказывается (теорема Лагранжа), если в какой-то момент течение в
потенциальном поле F = grad U было безвихревым, то оно было и будет без-
безвихревым всегда. Такое течение, следовательно, по крайней мере локально
потенциально, т. е. v = grady?. Проверьте, что для потенциального течения
однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле JP,
в каждый момент времени выполняется соотношение
d) Выведите из полученного равенства так называемый интеграл Коши
— соотношение, утверждающее независимость левой его части от простран-
пространственных координат.
е) Покажите, что если течение к тому же и установившееся, т. е. поле v
не зависит от времени, то имеет место соотношение
^2 Р
_j и — const,
2 р
называемое интегралом Бернулли.
3. Течение, поле скоростей которого имеет вид v — (ьх,Уу, 0), естественно
назвать плоскопараллельным или просто плоским течением.
а) Покажите, что условия div v — 0, rot v = 0 несжимаемости и потенци-
потенциальности для плоского течения имеют соответственно следующий вид:
dvy_ _n 9vx dvy _
ду ду дх
n
дх ду ду дх
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 365
b) Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально гарантиру-
гарантируют существование функций ф(х,у) и <р(х,у) таких, что (—vy,vx) = grad^> и
c) Проверьте, что линии уровня tp = Ci, ф = С2 этих функций ортого-
ортогональны и покажите, что в установившемся потоке линии ф — с совпадают с
траекториями движущихся частиц среды. Именно поэтому функцию ф назы-
называют функцией тока^ в отличие от функции <р — потенциала скоростей.
d) Покажите, в предположении достаточной гладкости функций уз, ф, что
обе они являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе урав-
уравнений Коши - Римана:
д<р _ дф dip _ дф
дх ду' ду дх'
Гармонические функции, удовлетворяющие системе Коши - Римана, называют
сопряженными гармоническими функциями.
e) Проверьте, что функция f(z) = (<р + 1ф)(х,у), где z = х 4- гу, является
дифференцируемой функцией комплексного переменного z. Это и определяет
связь плоских задач гидромеханики с теорией функций комплексного пере-
переменного.
4. Рассмотрим простейший вариант —£ = а2—§ волнового уравнения
dtz dz
dtz
A7). Это случай плоской волны, в которой давление зависит только от коор-
координаты х точки (ж, у, z) пространства.
а) Сделав замену переменных и = х — at, v = x + at, приведите это уравне-
уравнение к виду Л % — 0 и покажите, что общий вид решения исходного уравнения
\J (X С/ к)
таков: р — f(x + at) + g(x — at), где f,g — произвольные функции класса
b) Истолкуйте полученное решение как две волны f(x) и д(х), распростра-
распространяющиеся соответственно влево и вправо вдоль оси Ох со скоростью а.
c) Считая, что и в общем случае A7) величина а есть скорость распро-
распространения возбуждения, и учитывая соотношение а = (ф'(ро))~1/2, найдите,
вслед за Ньютоном, скорость сдг звука в воздухе, полагая, что температура в
звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний явля-
является изотермическим. (Уравнение состояния р = ^; R = 8,31 град .
град .
универсальная газовая постоянная; /г = 28,8 ~^ — молекулярный вес возду-
воздуха. Расчет проведите для воздуха, находящегося при температуре 0°С, т.е.
Г = 273 К. Ньютон нашел, что cN = 280 м/с.)
d) Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед за
Лапласом, скорость с/, звука в воздухе и уточните тем самым результат с^
Ньютона. (При адиабатическом процессе р = ср1. Это формула Пуассона из
задачи б к §1 гл.XIII. Покажите, что если см — \1\ч т0 сь = 1\1\- Д^3
воздуха 7 ^ 1L- Лаплас нашел сь = 330 м/с, что превосходно согласуется с
опытом.)
5. Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений
366 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Максвелла (A2) § 1) можно свести к волновому уравнению (точнее, к несколь-
нескольким однотипным волновым уравнениям). Решив эту задачу, вы убедитесь в
сказанном.
a) Из уравнения V • В = 0 вытекает, что, по крайней мере локально, В =
= V х А, где поле А — векторный потенциал поля В.
b) Зная, что В = V х А, покажите, что из уравнения V х Е = ■
следует, что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция <р такая,
что Е = —*Vip — ?£.
c) Проверьте, что поля Е = — V(p — -£• и В — V х А не изменятся, если
вместо пары <р, А взять другую пару потенциалов !р, А, такую, что ф = <р — —^
А = А + V^/>, где ^ — произвольная функция класса С^2К
d) Из уравнения V-E ~ -@- вытекает первое соотношение — V2v?— iV'
= ^- между потенциалами уз и А.
e) Из уравнения c2V x В — ^~ = ^- вытекает второе соотношение
от ai2 г0
между потенциалами <р и А.
f) Используя с), покажите, что, решив вспомогательное волновое уравне-
уравнение Аф + / = -^4^г> не меняя полей Е и В, можно выбрать потенциалы у?
и А так, чтобы они удовлетворяли дополнительному (так называемому кали-
бровочному) условию V • А = —~2^-
g) Покажите, что если потенциалы <р и А выбраны так, как сказано в f),
то из d) и е) получаются искомые неоднородные волновые уравнения
на потенциалы у? и А. Найдя у? и А, найдем и поля i£ — Vy?; Б = V х 4.
* ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
1. Алгебра форм. Пусть X—линейное пространство, a Fk\
Хк —> I& —вещественнозначная fc-форма на X. Если ei,...,en—базис
в X, а х\ = хг1еп,..., х^ = хчегк —разложение векторов х\,..., х^ Е X
по этому базису, то в силу линейности Fk по каждому аргументу
Г \Х\^ • • • , Хк) Г уХ ег1, . . . , X €гк) —
= Fk
Таким образом, после задания базиса в X, fc-форму Fk: Xk -> К
можно отождествить с набором чисел ап...гд. = Fk(e4,..., elfc).
Если е1,...,еп — другой базис в X и Ъ31...3к = Fk(fi3l,... ,е3к), то,
полагая е3 = йег, j = 1,... ,гг, находим (тензорный) за-кон
a3i-3k = F (слег1) ' " ) cjfce*fc) = ^l-.tfc^i ' ' ' ' * Sfc ^ '
преобразования числовых наборов an ttlfc, ^3l...3k-> отвечающих одной и
той же форме Fk.
Множество Тк := {Ffc: Xfc —> Ш} fc-форм на линейном пространст-
пространстве X само является линейным пространством относительно стандарт-
стандартных операций
C)
{\Fk)(x):=\Fk(x) D)
368 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
сложения &-форм и умножения &-формы на число.
Для форм Ffc, Fl произвольных степеней к и I определяется следу-
следующая операция <2> их тензорного произведения:
(Fk <2> Fl)(xu ..., xkj xk+u ..., xk+i) :=
= Fk(xu...,xk)Fl(xk+u... ,xk+l). E)
Таким образом, Fk <2> Fl является формой Fk+l степени к + L Оче-
Очевидны соотношения:
k®Fl = \(Fk®Fl), F)
® F' = Ff ® F' + F2fc B) F\ G)
Fl2) = Fk B) F/ + Ffc B) FJ, (8)
F') B) Fm = Ffc B) (F' B) Fm). (9)
Итак, множество J7 = {!Fk} форм на линейном пространстве X
относительно введенных операций является градуированной алгеброй
•Т7 = 0 Fk-> B которой линейные операции выполняются в пределах каж-
к
дого входящего в прямую сумму пространства Тк, и если Fk E Тк:,
F' е^г, то Fk®Fl efk+l.
Пример 1. Пусть X* — сопряженное к X пространство (состоя-
(состоящее из линейных функций на X) и е1,..., еп — базис в X*, взаимный с
базисом ei,...,en вХ, т.е. е%{ез) = $y
Поскольку ег(х) — ег(х3е3) = х3ег(е3) = х38г — хг, то, учитывая A)
и (9), любую /с-форму Fk: Хк —> К можно записать в виде
Fk = аг1..Лкег1 <2>...<2>elfc. A0)
2. Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь
в Тк подпространство £1к кососимметрических fc-форм, т.е. ш G fifc,
если для любых различных индексов i,j E {1,...,п} имеет место ра-
равенство
Из любой формы Fk E ^*fc можно получить кососимметрическую
форму с помощью операции А: Тк —> fl альтернирования форм, опре-
определяемой соотношением
AFk(xu...,xk) := ^Fk(xtl,...,xtk)S[\"^, A1)
1. АЛГЕБРА ФОРМ
369
где
1, если подстановка (\1"'г^) четная,
— 1, если подстановка (\b"^) нечетная,
О, если
не подстановка.
Если Fk — кососимметрическая форма, то, как видно из A1), AF =
= Fk. Таким образом, A(AFk) = AFk и Аш = а;, если ш G пк. Значит,
А: Тк —> £1к является отображением Тк на пк.
Сопоставляя определения C), D), A1), получаем
A2)
A3)
Пример 2. С учетом соотношений A2), A3) из разложения A0)
получается, что
поэтому интересно найти А(е11 ® ...0е
Из определения A1) с учетом того, что ег(х) = хг, находим
1_
Л!
x
%k°l..k
х-
X
к
X
Зк
X
Зк
к
A4)
Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще говоря,
уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе косо-
кососимметрических форм вводится следующая операция Л их внешнего
произведения:
U)
A5)
Таким образом, сок Л со1 есть кососимметрическая форма о>+' сте-
степени к +1.
370
ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Пример 3. Опираясь на результат A4) примера 2, из определе-
определения A5) находим
АегЦх1,х2) =
ег*)(х1,х2) =
ег1(х2) ег2(х2)
X
М Л2
'2 Х2
■ A6)
Пример 4. Используя полученное в примере 3 равенство, соотно-
соотношение A4) и определения A1), A5), можно написать, что
ег1 А(ег2 Аегз)(х1,х2,х3) =
A+2)!
А(еч 0 (ег2 Аегз))(х1,х2,х3) =
3!
1,'
2\Х-
23
г3
" I ьС< 1
.12
.ii «*2 ^.гз
.^1 ^2
Х
Ч „г2
Аналогичная выкладка показывает, что
е11 А (е12 А егз) = (еч Лег2)Ле
A7)
Используя разложение определителя по столбцу, на основании прин-
принципа индукции заключаем, что
е11 /\.../\егк(хи...,хк) =
A8)
причем, как видно из проведенных выкладок, формула A8) справедлива
для любых 1-форм еч,..., е4 (не обязательно базисных форм простран-
пространства X*).
1. АЛГЕБРА ФОРМ 371
Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произведения
и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего про-
произведения кососимметрических форм:
(сок + сок) Л со1 = со\ Л J + со\ Л J, A9)
fc' fc' B0)
/ B1)
fc Л со1) Л a;m - сок Л (а/ Л ыт). B2)
<* Равенства A9), B0), очевидно, следуют из соотношений F)-(8)
и A2), A3).
Из соотношений A0) -A4) и A7) для любой кососимметрической
формы со = аг1„Лке11 (g> ... (g> е%к получаем
од = Аш = аг1.,ЛкА(еч ®...®еч) - тг}ац. лкеч A...Ae'fc.
Используя уже доказанные равенства A9), B0), теперь для доказа-
доказательства равенств B1), B2) их достаточно проверить лишь для форм
вида е*1 Л ... Л е**.
Ассоциативность B2) для таких форм уже установлена равенст-
равенством A7).
Из равенства A8) и свойств определителей для указанных специаль-
специальных форм немедленно получаем соотношение B1). ►
Заодно мы показали, что любая форма со Е Qk может быть предста-
представлена в виде
<h1...tketlA...Aetk. B3)
Итак, множество О, = {&к} кососимметрических форм на вектор-
векторном пространстве X относительно линейных операций C), D) и внеш-
dimX
него умножения A5) является градуированной алгеброй Q, —
fco
Линейные операции на Q, выполняются в пределах каждого линейного
пространства fifc, и если сок Е пк, со1 Е R', то сок А со1 Е пк+1.
В прямой сумме 0 Q,k суммирование ведется от нуля до размерно-
размерности пространства X, поскольку кососимметрические формы сок: Хк —>
—> М, степень которых выше размерности линейного пространства X,
обязательно тождественно равны нулю? что видно из соотношения B1)
(или из соотношений B3) и A8)).
13-4574
372 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
3. Линейные отображения линейных пространств и сопря-
сопряженные отображения сопряженных пространств. Пусть X
и У—линейные пространства над полем R вещественных чисел (или
над любым иным, но одним и тем же для X и У полем) и пусть I: X ^
—> Удлиненное отображение X в У, т.е. для любых х,х\,Х2 Е X и
любого числа Л Е R выполнено
1(хг + х2) = 1(хг) + 1{х2) и 1{\х) = \1(х). B4)
Линейное отображение I: X -+Y естественным образом порождает
сопряженное с ним отображение I*: Ту -> Тх множества Ту заданных
на Y полилинейных форм в аналогичное множество Тх- Если Fy—
&-форма на У, то по определению
{l*F$){xu...,xk):= FY{lxu...,lxk). B5)
Из B4) и B5) видно, что l*Fy есть fc-форма F^ на пространст-
пространстве X, т.е. Г(Ту) С Тх- Более того, если форма Fy была кососим-
метрической, то форма (l*Fy) = F-% тоже кососимметрическая, т.е.
1*(О,у) С fij^. Отображение /* в пределах каждого линейного простран-
пространства Ту или fiy, очевидно, линейно, т.е.
r(F* + F$) = l*Ff + l*F$ и r{XFk) = \l*Fk. B6)
Сопоставляя теперь определение B5) с определениями E), A1), A5)
тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения
форм, заключаем, что
l*(Fp (8) Fq) = (l*Fp) ® (№), B7)
B8)
B9)
Пример 5. Пусть ei,... ,em—базис в!,?!,,,, уеп—базис в У, а
1(ег) — с^ё^, г Е {l,...,m}, j E {1,...,гг}. Если fc-форма Fy в базисе
?i,..., еп имеет координатное представление
ГДе bn-jk = FY(eji>- ■ ■ .ejj, то
§1. АЛГЕБРА ФОРМ
373
где аг1..Лк =
c^fc, поскольку
а,
... • с
Зк
Пример 6. Пусть ех,...,ет и е1,... ^ — базисы сопряженных
пространств X*, У*, взаимные (или сопряженные) с указанными в при-
примере 5 базисами пространств X и Y соответственно. В условиях при-
примера 5 получаем
= (l*e>)(x%et) = е>{хЧе%) - х%е>{<*ек) -
= хгскг53к
Пример 7. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотно
шения B2), B9), теперь получаем
Г (е*1 Л ... Л Рк) = ГР1 Л ... Л Рк =
= с?1 • ... -^е*1 Л... Аегк =
V^
с71
еч A...Aelfc.
Принимая во внимание равенства B6), отсюда можно сделать вывод,
что вообще
Е6, е71 Л Л
Л ... Л еч =
... Л е'
374 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Задачи и упражнения
1. Покажите на примерах, что, вообще говоря,
a) Fk®Fl ф¥1 ®Fk\
b) A{Fk ® Fl) ф AFk ® AFl]
c) если FkyFl £ ft, то не всегда Fk ® F1 £ п.
2. а) Покажите, что если е±,..., еп — базис линейного пространства X, а
линейные функции е1,...^71 на X (т.е. элементы сопряженного к X прост-
пространства X*) таковы, что е3{ег) = 8%, то е1,... ,еп —базис в X*.
b) Проверьте, что из fc-форм вида еч ® ... ® e2fc можно образовать базис
пространства .F* = ^(Х) и найдите размерность (dim J7*) этого пространс-
пространства, знал, что dimX = гг.
c) Проверьте, что из форм вида еп А ... Л ег* можно образовать базис
пространства пк = пк(Х) и найдите dimflk, знал, что dimX = гг.
к=п
d) Покажите, что если п = ф ftfc, то dim ft = 2n.
3. Внешняя (грассманова1*) алгебра G над линейным пространством X и
полем Р (обозначаемая обычно символом /\(Х) в соответствии с символом Л
операции умножения в G) определяется как ассоциативная алгебра с едини-
единицей 1, обладающая следующими свойствами:
1° G порождается единицей 1 и X, т. е. любая подалгебра в G, содержащая
1 и X, совпадает с G;
2° х Л х = 0 д.ля любого вектора а; € X;
3° dimG = 2dimX.
a) Покажите, что если е±,..., еп — базис в X, то совокупность 1, еь ..., еп,
ei Л ег,..., en_i Л еп,..., ei Л ... Л еп элементов G вида etl Л ... Л eZfc =: е/, где
I — {ч < • • • < ik) С {1,2,.. .,гг}, образует базис в G.
b) Исходя из полученного в а) результата, можно провести следующее
формальное построение алгебры G = /\(Х).
Для указанных в а) подмножеств / = {ii,.-.,ik} множества {1,2,...,гг}
образуем формальные элементы е/, (отождествляя е^г} с ег, ае0 с 1), кото-
которые примем за базис линейного пространства G над полем Р. Умножение в G
определим формулой
. Грассман A809 -1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, в частно-
частности, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном линей-
линейном и евклидовом векторном пространствах, а также само определение скалярного
произведения векторов.
§2. МНОГООБРАЗИЕ 375
где e(J, J) = sgn f| (j~2)- Проверьте, что при этом получается грассманова
алгебра /\(Х).
c) Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры
к=п
d) Покажите, что алгебра /\(Х) градуирована: /\(Х) = 0 Д (X), где
к=0
Д (X) — линейная оболочка элементов вида еп Л ... Л е%к; при этом, если а €
<еДр(Х), afrtE /\я(Х),тоаАЬе/\р+я(Х). Проверьте, что о Л 6 = (-1)™ЬЛа.
4. Пусть А: X —> Y — линейное отображение пространства X в прост-
пространство Y. Покажите, что существует единственный гомоморфизм /\(А) :
/\(Х) -)■ Д(У) из /\(Х) в Д(У), совпадающий с А на подпространстве /\'(Х) с
С Д(-Х"), отождествляемом с X.
b) Покажите, что гомоморфизм /\(А) переводит Д (X) в Д (У). Ограни-
Ограничение /\(А) на /\к(Х) обозначают через /\к(А).
c) Пусть {ег; г = 1,... ,т}—базис в X, а {е^; j = 1,... ,гг} — базис в У,
и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а*). Покажите, что
если {е/; J С {1,.. -,m}}, {ej; J С {1,... ,п}} — соответствующие базисы про-
пространств /\{Х) и Д(У), то матрица оператора Д (А) имеет вид a*j = det(a*),
г € /, j € J, где card / = card J = к.
d) Проверьте, что если А: X —^ У, 5: У —у Z — линейные операторы, то
справедливо равенство /\(В о А) = /\(В) о /\(А).
§ 2. Многообразие
1. Определение многообразия
Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со
счетной базой топологии ^ называется п-мерным многообразием^ если
любая его точка имеет окрестность С/, гомеоморфную либо всему про-
пространству Rn, либо полупространству Нп = {х Е W1 | х1 ^ 0}.
Определение 2. Отображение <р: W1 —> U С М (или у?: #п
—> U С М), осуществляющее указанный в определении 1 гомеомор-
гомеоморфизм, называется локальной картой многообразия М, Шп(Нп) — обла-
областью параметров, a U — районом или областью действия карты на
многообразии М,
Локальная карта наделяет каждую точку х Е U координатами со-
соответствующей ей точки t = <p~l(x) E W1. Таким образом, в районе U
. гл. IX, §2, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа.
376 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
действия карты вводится локальная система координат, и потому ото-
отображение ip или, в более развернутой записи, пара (С/, <р) в самом при-
привычном смысле слова является картой района U.
Определение 3. Набор карт, районы действия которых в сово-
совокупности покрывают все многообразие, называется атласом много-
многообразия.
Пример 1. Сфера S = {х Е W \ \х\ = 1} является двумерным
многообразием. Если S2 интерпретировать как поверхность Земли, то
атлас географических карт будет атласом многообразия S2.
Одномерная сфера S1 = {х Е R2 | \х\ — 1}—окружность в R2,
очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера Sn =
— {х Е Rn+1 | \х\ = 1} является n-мерным многообразием. (См. гл. XII,
§1.)
Замечание 1. Вводимый определением 1 объект (многообра-
(многообразие М), очевидно, не изменится, если вместо Rn и Нп брать любые
гомеоморфные Rn и Нп области параметров в пространстве Rn. На-
Например, это могут быть открытый куб 1п = {х Е Rn | 0 < хг < 1, г —
= 1,... ,п} и куб с присоединенной к нему гранью 1п = {х Е Шп\0 <
< х1 ^ 1 и 0 < хг < 1, г = 2,... ,п}. Такими стандартными областями
параметров довольно часто пользуются.
Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не
изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х Е М имела
в М окрестность С/, гомеоморфную некоторому открытому подмноже-
подмножеству полупространства Нп.
Пример 2. Если X — m-мерное многообразие с атласом карт
{(С/а,^а)}, а У — n-мерное многообразие с атласом {(^,^)}, то X х
х Y можно рассматривать как (т + п)-мерное многообразие с атласом
{(Wa{3,Xa0)}i где Wap = Ua x Vp, а отображение Ха/з = (<Ра,Ф/з) пеРе"
водит в Wap прямое произведение областей определения <ра и фр.
В частности, двумерный тор Т2 = SlxSl (рис. 69) или n-мерный тор
Тп — S х ... х S являются многообразиями соответствующей раз-
п раз
мерности.
Если районы U{, U3 действия двух карт (£/г,¥>г), (U3,<pj) многообра-
многообразия М пересекаются, т.е. Ut П U3 ф 0, то между множествами 1%3 =
§2 МНОГООБРАЗИЕ
377
-1
-1
— (рг (U3), Iji = <Р3 (Ut) естественно устанавливаются взаимно обрат-
обратные гомеоморфизмы <ргз: 1%3 -> 13%, <рзг- IJt -> /„, где <р%3 = (р~1 о срг
<рзг = ip~ о if3 j . Эти гомеоморфизмы часто называют функциями за-
•J
мены координат, поскольку они осуществляют переход от одной систе-
системы локальных координат к другой такой же системе в общей области
игпиз, их действия (рис. 96).
Рис 96
Определение 4. Число и в определении 1, называется размерно-
размерностью многообразия М и обычно обозначается символом dimM.
Определение 5. Если при указанном в определении 1 гомеомор-
гомеоморфизме (р: Нп —> U точке х Е U соответствует точка (р~г(х) на границе
дНп полупространства Нп, то х называют точкой края многообра-
многообразия М (и окрестности С/). Совокупность всех точек края многообра-
многообразия М называется краем этого многообразия и обычно обозначается
символом дМ.
В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема
Брауэра1)) понятия размерности и точки края многообразия определе-
определены корректно, т. е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5
^Теорема утверждает, что при гомеоморфном отображении <р Е к* <р(Е) множес-
множества Е С Rn на множество <р{Е) С Rn внутренние точки множества Е преобразуются
во внутренние точки множества <р(Е)
378
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не доказывали,
но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов
нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции).
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффео-
диффеоморфизмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэра.
Пример 3. Замкнутый шар В = {х
X
1} или, как
говорят, замкнутый п-мерный диск является n-мерным многообразием,
краем которого является (п —1)-мерная сфера S71 — {х £
n
х
= 1}.
Замечание 2. Многообразие М, множество точек края которо-
которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя тер-
термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без
края. В определении 1 эти случаи не разделены.
Утверждение 1. Край дМ п-мерного многообразия с краем М
является (п — 1)-мерным многообразием без края.
< Действительно, дНп = Rn-1, а ограничение на дНп карт атласа
многообразия М вида (рг: Нп —> Щ порождает атлас дМ. ►
Рис. 97.
Пример 4. Рассмотрим плоский
двойной маятник (рис.97), плечо а кото-
которого много меньше плеча Ъ и может вра-
вращаться свободно, а размах колебаний
плеча b ограничен упорами. Конфигура-
Конфигурация такой системы в любой конкретный
момент характеризуется двумя углами
а, /3. Если бы ограничений не было, то
конфигурационное пространство двойно-
двойного маятника, очевидно, можно было бы
отождествить с двумерным тором Г2 =
- Я1 v Я1
При наличии указанных ограничений
конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется
точками цилиндра S^ x /L где S^ — окружность, отвечающая возмож-
возможным положениям плеча a, a il = {/3 £ К | \/3\ ^ А} — отрезок, в пределах
которого может меняться угол /3, характеризующий положение плеча 6.
В этом случае мы получаем многообразие с краем. Край этого мно-
§2. МНОГООБРАЗИЕ 379
гообразия состоит из двух окружностей S£ x {—A}, <S£ x {А}, являю-
являющихся произведением окружности S& и концов {—А}, {А} отрезка /L
Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой ко-
координаты на множестве М (в примере это а, 0) возникают естествен-
естественным образом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определе-
определении 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать, чтобы на М
уже была топология. Суть понятия многообразия в том, что точки не-
некоторого множества М параметризуются точками некоторого набора
подобластей пространства IRn. Между появляющимися при этом на ча-
частях М системами координат возникает естественная связь, которая
выражается в отображениях соответствующих областей пространст-
пространства Rn. Значит, можно считать, что М получается из набора областей
пространства IRn указанием закона отождествления их точек или, опи-
описательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу.
Итак, задать многообразие по существу означает задать набор под-
подобластей W1 и закон соответствия точек этих подобластей. На даль-
дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или
отождествления точек, введении топологии на М и т.п.) мы не задер-
задерживаемся.
Определение 6. Многообразие называется компактным (связ-
(связным), если оно является компактом (связно) как топологическое прос-
пространство.
Рассмотренные в примерах 1-4 многообразия компактны и связ-
связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра S£ x l\ состоит из двух
независимых окружностей и является одномерным компактным, но не-
несвязным многообразием. Край Sn~x = дВ п-мерного диска из приме-
примера 3 является компактным многообразием, которое связно при п > 1 и
несвязно (состоит из двух точек) при п — 1.
Пример 5. Само пространство Rn, очевидно, является связным,
некомпактным многообразием без края, а полупространство Нп до-
доставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с
краем. (И в том, и в другом случае атлас можно взять состоящим из
единственной карты, отвечающей тождественному отображению.)
Утверждение 2. Если многообразие М связно, то оно линейно
связно.
380 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
< Фиксировав точку xq Е М, рассмотрим множество EXQ тех точек
многообразия М, которые можно соединить с Xq в пределах М некото-
некоторым путем. Множество Ехо, как видно из определения многообразия,
непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда ЕХо = М. ►
Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице по-
2
рядка п сопоставить точку пространства Rn , координаты которой
получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов ма-
матрицы, то группа GL(n, R) всех невырожденных матриц порядка п пре-
превращается в п2-мерное многообразие. Это многообразие некомпактно
(элементы матриц никак не ограничены) и несвязно. Последнее вытека-
вытекает из того, что GL(n, R) содержит матрицы как с положительным, так
и с отрицательным определителем. Точки GL(n,R), отвечающие двум
таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появи-
появилась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный
нулю).
Пример 7. Группа £0B, R) ортогональных преобразований
плоскости R2, имеющих определитель, равный единице, состоит из ма-
/ cos a sin а \
триц вида . и, таким образом, может считаться мно-
у — sin a cos a )
гообразием, которое отождествляется с окружностью — областью из-
изменения углового параметра а. Таким образом, £0B, R) —одномерное
компактное связное многообразие. Если допустить и отражения отно-
относительно прямых в плоскости R2, то мы получим группу 0B, R) всех
вещественных ортогональных матриц второго порядка. Ее естественно
можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающи-
отвечающими матрицам с определителем 1 и —1 соответственно. То есть 0B, R) —
одномерное компактное, но несвязное многообразие.
Пример 8. Пусть а — вектор плоскости R2 и Та — группа движе-
движений плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Та явля-
являются сдвиги на векторы вида па, где п Е Z. Под действием элементов д
группы Та каждая точка х плоскости смещается в точки д(х) вида
х + па. Совокупность точек, в которые данная точка х Е R2 переходит
под действием элементов данной группы преобразований, называется
орбитой этой точки. Свойство точек R2 принадлежать одной орбите,
очевидно, является отношением эквивалентности на R2, и орбиты явля-
являются классами эквивалентных в этом смысле точек. Область в R2, со-
содержащая по одной точке каждой орбиты, называют фундаментальной
§2. МНОГООБРАЗИЕ 381
областью данной группы автоморфизмов (уточнение см. в задаче 5d)).
В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять
полосу ширины |а|, ограниченную двумя параллельными прямыми, ор-
ортогональными вектору а. Следует только учесть, что сами эти прямые
получаются друг из друга сдвигом на а и —а соответственно. В пре-
пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем |а|, нет эквива-
эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой
полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей.
Так фактор-множество R2 /Та орбит данной группы Та превращается в
многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной области легко
понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получа-
получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы
ширины \а\
Пример 9. Пусть теперь а и Ь—пара ортогональных векторов
плоскости К2 и Та,ъ — группа сдвигов, порожденная этими векторами.
Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со
сторонами а, Ь. В пределах этого прямоугольника эквивалентными бу-
будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После
соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника
убеждаемся, что возникающее многообразие М2/Та)ь гомеоморфно дву-
двумерному тору.
Пример 10. Рассмотрим еще группу Gaj, движений плоскости
порожденную следующими преобразованиями: а(х,у) = (х + 1,1 — у),
Ь(х,у) = (хуу + 1).
Фундаментальной областью для группы Ga^ будет единичный ква-
квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам,
лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отожде-
отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким
образом, возникающее многообразие Ш2 /Ga^ оказывается гомеоморф-
гомеоморфно бутылке Клейна (см. гл. XII, § 1).
Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, ко-
которые были разобраны в § 1 гл. XII.
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения
Определение 7. Атлас многообразия называется гладким (клас-
(класса С^ или аналитическим), если все функции замены координат для
382 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
карт данного атласа являются гладкими отображениями (диффеомор-
(диффеоморфизмами) соответствующего класса гладкости.
Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются эквива-
эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости.
Пример 11. Атлас, состоящий из единственной карты, можно
считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой R1
один атлас, порожденный тождественным отображением R Э ж \->
м- <р(х) = х £ R1, а другой атлас — порожденный любой строго мо-
монотонной функцией R1 3 х \-> <р(х) £ R1, отображающей R1 на R1.
Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наи-
наименьшую из гладкостей функций <р и <р~х.
В частности, если <р(х) = ж3, то атлас из карт {ж,ж3} не является
гладким, так как ср~1(х) = ж1'3. Используя сказанное, можно построить
на R1 бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом
наперед заданного класса гладкости С^ К
Определение 8. Гладким многообразием (класса С^к\ аналити-
аналитическим) называется многообразие М с заданным на М классом экви-
эквивалентности атласов данной гладкости.
После этого определения понятна следующая терминология: топо-
топологическое многообразие (класса С^0^), многообразие класса С^ \ ана-
аналитическое многообразие.
Для того, чтобы задать весь класс эквивалентности атласов дан-
данной гладкости на многообразии М, достаточно задать любой атлас А
из этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что
гладкое многообразие есть пара (М, Л), где М — многообразие, а А —
атлас данной гладкости на М.
Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на много-
многообразии часто называют структурой данной гладкости на этом много-
многообразии. На одном и том же топологическом многообразии могут суще-
существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости
(см. пример 11 и задачу 3).
Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основ-
основное внимание на гладкость функций замены координат.
Пример 12. Одномерное многообразие МР1, называемое вещест-
вещественной проективной прямой, есть пучок прямых в R2, проходящих че-
через начало координат, с естественным отношением близости прямых
§2. МНОГООБРАЗИЕ 383
(измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми).
Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направля-
направляющим вектором (ж1, ж2), причем два таких вектора задают одну и ту
же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны. Зна-
Значит, ШР1 можно рассматривать как совокупность классов эквивалент-
эквивалентных упорядоченных пар (ж1, ж2) вещественных чисел. При этом по край-
крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля, и две па-
пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропор-
пропорциональны. Пары (ж1, ж2) обычно называют однородными координата-
координатами на ШР1. Используя интерпретацию ШР1 в однородных координатах,
легко построить атлас из двух карт на ШР1. Пусть £/$, г — 1,2 — те
прямые (классы пар (ж1, ж2)) из ЮР1, для которых хг Ф 0. Каждой точ-
ке (прямой) р £ U\ взаимно однозначно соответствует пара A, —г),
V х /
определяемая числом t\ = ^-. Аналогично точки района С/2 находят-
X
ся во взаимно однозначном соответствии с парами вида -^-,1 и за-
\х2 /
1
даются одним числом t^ = —«. Таким образом, в U\ и Ui возникают
X
локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной
выше в ШР1 топологии. В общей области U\ П Ui действия построен-
построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношени-
соотношениями t\ = (£2) \t\ — {t\)~l•> показывающими, что построенный атлас
принадлежит не только классу С^°°\ но даже является аналитическим.
Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию многообра-
многообразия ШР1. Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется
точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ров-
ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точка-
точками окружности. Близость прямых равносильна близости соответству-
соответствующих пар точек окружности. Значит, ШР1 можно интерпретировать
как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально про-
противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на
ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек —концы полу-
полуокружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность.
Таким образом, ШР1 как топологическое пространство гомеоморфно
окружности.
Пример 13. Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходя-
проходящих через начало координат в IR3, или, что то же самое, совокупность
384 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
классов пропорциональных упорядоченных троек (ж1, ж2, ж3) веществен-
вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно, то мы получим
вещественную проективную плоскость ЮР2. В районах t/i, £/, £/3? где
соответственно х1 ^ 0^ х2 ^ О, ж3 ^ 0, вводятся локальные системы
координат A,4,4) = (Mi.<?) ~ (<?,<?), D,1.4) = (<2,М2) ~
' кот°рые, очевидно, связаны
между собой соотношениями t\ — (ft),^ = ^(^)~Х7 относящимися к
общим частям районов действия локальных карт.
Например, переход от координат (t\,t\) к координатам (t\,t\) в
области U\ П 1/2 выражается формулами
44) i? ?? D4
х х / \ж ж
1 2
з'
2
Якобиан этого преобразования равен — (£2)~3 и, поскольку t\ = ^-,
он определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам рассма-
рассматриваемого множества U\ П U2-
Итак, ЮР2 — двумерное многообразие, обладающее аналитическим
атласом из трех карт.
По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рассмотре-
рассмотрена проективная прямая ШР1, проективную плоскость ЮР2 можно ин-
интерпретировать как двумерную сферу S2 С М3 с отождествленными
диаметрально противоположными точками или как полусферу с ото-
отождествленными диаметрально противоположными точками граничной
окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем воз-
возможность интерпретировать ЮР2 как круг (двумерный диск) с отожде-
отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной
окружности.
Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости М2 можно
разбить на два множества: U — невертикальные прямые, V — негори-
негоризонтальные прямые. Каждая прямая из U имеет уравнение вида у =
= и\х + U2 и тем самым характеризуется координатами (ui,U2)? в то
время как любая прямая из V имеет уравнение х = v\y + V2 и задается
координатами (^ь^)- Для прямых из пересечения U П V действуют
функции преобразования координат ^i = u], V2 = —П2Щ1 и щ = v^1,
U2 = —V2V^ . Таким образом, рассматриваемое множество наделяется
аналитическим атласом из двух карт.
§2. МНОГООБРАЗИЕ 385
Любая прямая на плоскости имеет уравнение ах + by + с = О и ха-
характеризуется тройкой чисел (а,Ь,с), причем пропорциональные трой-
тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь
мы вновь имеем дело с проективной плоскостью ШР2, рассмотренной
в примере 13. Однако если в ЮР2 допускались любые тройки чисел,
не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки ви-
вида @,0, с), где с ф 0. Всем таким тройкам в ШР2 отвечает одна и та
же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие го-
меоморфно тому, что получается удалением из ШР одной точки. Ес-
Если интерпретировать ЮР2 как круг с отождествленными диаметрально
противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр
круга, мы с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя
окружность которого склеивается по диаметрально противоположным
точкам. Простым разрезанием легко показать, что при этом получает-
получается не что иное, как знакомый лист Мёбиуса.
Определение 9. Пусть М и N — гладкие многообразия клас-
класса С^кК Отображение f:M^N называется l-гладпим (класса С^),
если локальные координаты точки f(x) Е N являются функциями клас-
класса С^ от локальных координат точки х € М.
Приведенное определение имеет смысл и корректно (не зависит от
выбора локальной карты), если / ^ к.
В частности, гладкие отображения МвМ1 —это гладкие функции
на М, а гладкие отображения М1 (или промежутка М1) в М — это глад-
гладкие пути на М.
Итак, степень гладкости функции /: М —>• iV на многообразии М
не может превышать степени гладкости самого многообразия.
3. Ориентация многообразия и его края
Определение 10. Две карты гладкого многообразия называются
согласованными, если переход от локальных координат одной карты к
локальным координатам другой карты в их общей области действия
осуществляется диффеоморфизмом, имеющим всюду положительный
якобиан.
В частности, если районы действия локальных карт имеют пустое
пересечение, то такие карты признаются согласованными.
Определение 11. Атлас А гладкого многообразия (М,А) назы-
386 ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
вается ориентирующим атласом многообразия М, если он состоит из
попарно согласованных карт.
Определение 12. Многообразие называется ориентируемым, ес-
если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае много-
многообразие называется неориентируемым.
Два ориентирующих атласа многообразия будем считать эквива-
эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации
многообразия), если их объединение также является ориентирующим
атласом этого многообразия. Легко видеть, что введенное отношение
действительно является отношением эквивалентности.
Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих атла-
атласов многообразия по указанному отношению эквивалентности называ-
называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией мно-
многообразия.
Определение 14. Ориентированным многообразием называется
многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с фик-
фиксированной на многообразии ориентацией.
Значит, ориентировать многообразие — это указать на нем (тем или
иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для это-
этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий
атлас данного класса ориентации.
Различные используемые на практике способы задания ориентации
на лежащих в W1 многообразиях описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
Утверждение 3. Связное многообразие либо неориентируемо7
либо допускает две ориентации.
-4 Пусть А и А — два ориентирующих атласа данного многообра-
многообразия М с диффеоморфными переходами от локальных координат карт
одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка ро € М
и такие две карты этих атласов, районы Ut0, U3o действия которых
содержат ро, а якобиан преобразования координат этих карт в соот-
соответствующих точке ро точках областей параметров положителен. По-
Покажем, что тогда для любой точки р Е М и любых карт атласов Л, А,
районы действия которых содержат точку р, якобиан преобразования
координат в соответствующих координатных точках тоже будет поло-
положителен.
2 МНОГООБРАЗИЕ 387
Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке р Е
Е М якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то
пары включающих р карт из атласов А и А, то он в р положителен
(отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах од-
одного атласа преобразования координат происходят с положительным
якобианом, а якобиан композиции отображений равен произведению
их якобианов.
Пусть теперь i£ —подмножество М, состоящее из тех точек р Е М,
в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам
другого происходят с положительным якобианом.
Множество Е непусто, так как ро Е Е. Множество Е открыто в М.
Действительно, для любой точки р Е Е найдутся содержащие р райо-
районы иг, U3 некоторых карт атласов А и А. Множества Uu U3 открыты
в М, поэтому открыто в М и множество Uxf\U3. На содержащей р связ-
связной компоненте множества UtnUJ: являющейся открытым в U% П U3 и
в М множеством, якобиан преобразования не может менять знак, не
обращаясь в нуль. То есть в некоторой окрестности точки р якобиан
остается положительным, что и доказывает открытость множества Е.
Но множество Е еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности
якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан диф-
диффеоморфизма не обращается в нуль.
Итак, Е — непустое открыто-замкнутое подмножество связного
множества М. Значит, Е = М и атласы А, А задают на М одну и
ту же ориентацию.
Заменив во всех картах атласа А одну из координат, например tl
на —t1, получим ориентирующий атлас —А, принадлежащий другому
классу ориентации. Поскольку якобиан преобразования координат из
произвольной карты в карты атласов А и —А имеет противоположный
знак, то на М любой ориентирующий М атлас эквивалентен либо Л,
либо —А. ►
Определение 15. Конечную последовательность карт данного
атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой пары карт
с соседними номерами имеют непустое пересечение (Ux П Ut+y ^ 0).
Определение 16. Цепочка карт называется противоречивой или
дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой
карты цепочки к следующей ее карте положителен, районы действия
первой и последней карт цепочки пересекаются, но преобразование ко-
388 ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ординат от последней карты к первой имеет отрицательные значения
якобиана.
Утверждение 4. Многообразие ориентируемо тогда и только
тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.
< Поскольку любое многообразие распадается на связные компо-
компоненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать
утверждение 4 для связного многообразия М.
Необходимость. Пусть связное многообразие М ориентируемо
и А — задающий ориентацию М атлас. По доказанному в утвержде-
утверждении 3 любая гладко связанная с картами атласа А локальная карта
многообразия М либо согласована со всеми картами атласа А, либо со-
согласована со всеми картами атласа —А. Это легко усмотреть из самого
утверждения 3, если ограничить карты атласа А на район действия взя-
взятой карты, который можно рассматривать как связное ориентирован-
ориентированное одной картой многообразие. Отсюда следует, что противоречивой
цепочки карт на многообразии М не существует.
Достаточность. Из определения 1 следует, что на многообра-
многообразии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем
такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту (£/i,<^i) и
любую карту (£/г, (рг) такую, что C/i П С/г ф 0. Тогда якобиан преобразо-
преобразований координат (р\г, (рг\ либо всюду отрицателен, либо всюду в области
определения преобразований положителен. Он не может иметь значе-
значения разных знаков, поскольку иначе в множестве U\ U U% можно было
бы указать связные подмножества отрицательности и положительно-
положительности якобиана £/_, U+ и цепочка карт (£/i,<^i), (t/+,y>i), (£/г, (рг), (U-,<pt)
оказалась бы противоречивой.
Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте
(Un<p%), можно получить карту с тем же районом действия Uu согла-
согласованную с картой (£/i,<^i). После описанной процедуры две карты
(Uu(p%), (Uj,(p3) такие, что Ux П U% ф 0, UiHUj Ф 0, U% П U3 Ф 0,
сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречи-
противоречивую цепочку из трех карт.
Таким образом, все карты атласа, районы действия которых пере-
пересекаются с t/i, уже можно считать согласованными между собой. При-
Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею
новые, не охваченные на первом этапе карты атласа. Противоречивых
ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек
2. МНОГООБРАЗИЕ 389
на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и
учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состо-
состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируе-
ориентируемость данного многообразия. ►
Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впро-
впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с
успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так,
рассмотренное в примере 12 многообразие ЮР1 ориентируемо. Из ука-
указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас ШР1. Для
этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух
построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной пря-
прямой ШР1, очевидно, следует также из того, что многообразие ШР1 го-
меоморфно окружности.
Проективная плоскость ШР2 неориентируема: любая пара карт по-
построенного в примере 13 атласа ШР2 такова, что преобразования ко-
координат в пределах пары имеют как области положительности, так и
области отрицательности якобиана. Как мы видели при доказательстве
утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой цепоч-
цепочки карт на ЮР2.
По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14
многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу
Мёбиуса.
Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого п-мерного мно-
многообразия является ориентируемым {п—1)-мерным многообразием, до-
допускающим структуру той -же гладкости, что и исходное многообра-
многообразие.
< Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как
и рассмотренное в гл. XII, § 3, п. 2 доказательство аналогичного утвер-
утверждения 2 для поверхностей, лежащих в Шп. ►
Определение 17. Если А(М) = {(Яп,<^, Ut)} U {{Шп,<р3,из)}
ориентирующий многообразие М атлас, то совокупность карт
А(дМ) = {(W1 \(рг\днп=шп-1т9иг)} есть ориентирующий атлас края
дМ многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края назы-
называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия.
Важные и часто используемые на практике способы задания ориен-
ориентации лежащей в W1 поверхности и согласованной ориентации ее края
390 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
подробно описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в ви-
виде поверхностей в Шп. Здесь будет изложена одна специальная кон-
конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта кон-
конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопро-
вопросов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе
формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение еди-
единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в
виде некоторой поверхности в пространстве Ш1 достаточно большой
размерности п.
Лемма. На R можно построить функцию f Е G(°°)(R, К) такую,
что f(x) = 0 при \х\ > 3? f(x) — 1 при \х\ ^ 1 и 0 < f(x) < 1 при
К \х\ < 3.
■^ Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой
( €(-1/х2) при х ф q
нам функции д(х) — < ' ' В свое время (см. часть I,
[ 0 при х = 0.
стр.221) мы проверили, что д Е С(°°)(М,М), показав, что д^пЦо) = 0
при любом значении п € N.
В таком случае неотрицательная функция
-2 {„ j i\-2
X
G(x) = J -•■■-•• ПРИ
X
1,
1
О при
также принадлежит классу С^°°'(Ш,Ш), а вместе с нею и функция
dt
F(x) = I G{t)dt / f G(t)
—оо ' —оо
оо
принадлежит этому классу, поскольку Ff(x) = G(x) I f G(t)dt.
—оо
Функция F строго возрастает на промежутке [—1,1], F(x) — 0 при
х ^ — 1 и F(x) ~ 1 при х ^ 1.
В качестве искомой функции можно теперь взять
f(x) - F(x + 2) + F(-x ~ 2) - 1. ►
2 МНОГООБРАЗИЕ 391
Замечание. Если /: М —> М — построенная в доказательстве лем-
леммы функция, то определенная в Шп функция
такова, что 9 Е C^(W,R), 0 ^ 9 ^ 1 в любой точке х Е К", в(х) = 1
на промежутке 1(а) = {х Е Шп \ \хг — аг\ ^ 1, г — 1,..., п}, и носитель
supp0 функции 9 содержится в промежутке 1{а) = {x Е
^ 3, г = 1,...,
хг — аг
Определение 18. Пусть М — многообразие класса гладкости
а X — подмножество М. Говорят, что система Е = {еа, а € А}
функций еа € С^к\М, Ж) является к-гладпим разбиением единицы на
множестве X, если
1° 0 ^ еа(х) ^ 1 для любой функции еа G Е и любого х Е М;
2° каждая точка х Е X обладает такой окрестностью £/(#) в М, что
только конечное число функций системы Е отлично от тождественного
нуля на U(x);
3° X) еа(ж) = 1 на X.
Заметим, что в силу условия 2° при любом х Е X в последней сумме
лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Определение 19. Пусть О = {ор, /3 Е В} — открытое покрытие
множества X С М. Говорят, что разбиение единицы Е = {еа, а Е А}
на X подчинено покрытию О, если носитель любой функции из систе-
системы Е содержится по крайней мере в одном из множеств системы О.
Утверждение 6. Пусть {(£/г, <^г), г = 1,..., т} — конечный набор
карт некоторого k-гладкого атласа многообразия М, районы £/г, г —
= 1,... ,т, действия которых образуют покрытие компакта К С М.
Тогда на К существует разбиение единицы класса С^\ подчиненное
покрытию {Uu г = 1,... ,гп}.
М Для любой точки х$ Е К проведем сначала следующее построение.
Берем последовательно область £/г, содержащую xq, соответствующую
карту <рг: Шп(Нп) -> <7г, точку t0 = <f^(xo) € Шп(Нп), функцию9(t-t0)
(где 9{t)~~ указанная в замечании к лемме функция) и ограничение 6t0
функции 9(t — to) на область параметров карты <рг.
Пусть If0 —пересечение единичного куба с центром ^о ^ ^ и обла-
области параметров карты tp%. Реально 9f0 отличается от 0(t—to), a It0 от со-
392 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ответствующего единичного куба, только когда областью параметров
карты (рг является полупространство Нп. Открытые в М множества
(Pi(It), построенные по каждой точке х € К и соответствующей ей точ-
точке t = <р~ (х) для всех допустимых значений г = 1,2,..., т, в совокуп-
совокупности образуют открытое покрытие компакта if. Пусть Up* (/$_), j —
= 1,2,...,/} — извлеченное из него конечное покрытие компакта К.
Очевидно,^ (It ) С Ut . Определим на U% функцию 93(х) = 9t o(p~ (х).
Распространим в3(х) на все многообразие М, полагая функцию рав-
равной нулю вне Ut . Сохраним за этой распространенной на М функцией
прежнее обозначение в3. По построению в3 G C^ ^(M,M), supp^ С U% ,
О ^ 9j (х) ^ 1 на М и 9j (х) — 1 на (рг (It ) С U% . Тогда функции
• A — #i(#)) составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что
I
^2 е3(х) — 1 на if, поскольку остальным требованиям к разбиению еди-
3=1
ницы на if, подчиненному покрытию {Utl,..., U4 } С {Uu г = 1,..., т}
компакта if, система функций {ei,..., е/}, очевидно, удовлетворяет. Но
1 - J^ej(ar) - A - вг(х)) • ... • A - 9i(x)) = 0 на if,
поскольку каждая точка х Е К покрыта некоторым множеством
^г (It ), на котором соответствующая функция в3 тождественно рав-
равна единице. ►
Следствие 1. Если М —компактное многообразие и А — атлас
класса С^ на М, то на М существует конечное разбиение единицы
{ei,...,e/}? подчиненное покрытию многообразия районами действия
карт атласа А.
-4 Поскольку М — компакт, атлас А можно считать конечным. Те-
Теперь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем
if = М. ►
Следствие 2. Для любого лежащего на многообразии М компак-
компакта К и любого содержащего К открытого множества G С М суще-
существует функция /: М —> R класса гладкости многообразия М такая,
что f(x) ~ 1 на К и supp/ С G.
-4 Покроем каждую точку а; € if окрестностью U(x), лежащей в G и
§2. МНОГООБРАЗИЕ 393
в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из от-
открытого покрытия {£/(#), х Е К} компакта К извлекаем конечное по-
покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы {ei,..., ei} на К.
I
Функция / = Y1 ег будет искомой. ►
Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное глад-
гладкое п-мерное многообразие М диффеоморфно некоторой компактной
гладкой поверхности, лежащей в пространстве Ш достаточно боль-
большой размерности N.
М Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными де-
деталями, проведем его для случая компактного многообразия М без
края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас А = {срг: / —>
—> иг, i = l,...,m}, где / — открытый n-мерный куб в W1. Подберем
чуть меньший куб /' такой, что /' С /, а множества {U'x = <а(-^')э * =
= 1,...,т} все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии 2
K = I',G = I,M = К", построим функцию / Е C^(W,R) такую, что
f(t) = 1 при t Е Г и supp/ С /.
Рассмотрим теперь координатные функции t\{x), ...,<"(#) отобра-
отображений (р~ : Uг —> /, г = 1,..., т, и введем с их помощью на М следую-
следующие функции:
_ / (/ о (р;1){х) • t*(x) при х е
г = 1,... ,т; к = 1,... ,п.
В любой точке х Е М ранг отображения МЗжи у(х) — (yj,...,
J/f)..., у^,..., у7^)(х) Е Шт'п максимален и равен п. Действительно, ее-
ли х € Щ, то ip-^x) =tel', foip-\x) = 1 и tf(<pt(t)) = tk%, к = 1,..., п.
Если, наконец, рассмотреть отображение МЗжи- Y(x) = (у(х), / о
о^1(аг),...,/о^-1(а;)) € Mw^+^, полагая / о <р;1(х) = 0 вне Uu
г = 1,...,гп, то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет
иметь тот же ранг п, что и отображение х н-> у (ж), а с другой стороны,
будет заведомо взаимно однозначным отображением М на образ М
в Km*n+W. Проверим последнее утверждение. Пусть р, д — различные
точки М. Найдем область U[ из системы {U^ г = 1,...,т}, покры-
покрывающей М, которая содержит точку р. Тогда / о <р~ {р) = 1. Если
1 < !> то Уже Г(Р) ^ ¥(я)- Если же / о ^г"Х(^) = 1, то р, g G U%,
394 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
У tip) = tkip)i y%io) ~ **(?) и tkip) Ф tfiQ) хотя бы для одного значения
к Е {1,..., п}. То есть и в этом случае Y(p) ф Y(q). ►
По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного мно-
многообразия в виде поверхности в Rn читатель может обратиться к спе-
специальной геометрической литературе.
Задачи и упражнения
1. Проверьте, что вводимый определением 1 объект (многообразие) не из-
изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х € М имела окрест-
окрестность U(x) С М, гомеоморфную открытому подмножеству полупростран-
полупространства Нп.
2. Покажите, что
a) многообразие GL(n^ Ж) из примера 6 некомпактно и имеет точно две
связные компоненты;
b) многообразие SO(n, Ж) (см. пример 7) связно;
c) многообразие 0(п, Ж) компактно и имеет точно две связные компонен-
компоненты.
3. Пусть (М,А) и (М,А)— многообразия с заданными на них гладкими
структурами одной и той же степени гладкости С^к\ Гладкие многообразия
(М, А), (М,А) (гладкие структуры) считаются изоморфными, если существу-
существует такое отображение f:M—)M класса С^к\ которое имеет обратное ото-
отображение /-1: М —> М того же класса гладкости С^ в атласах А, А,
a) Покажите, что на Е1 все структуры одинаковой гладкости изоморфны.
b) Проверьте высказанные в примере 11 утверждения и выясните, не про-
противоречат ли они задаче а).
c) Покажите, что на окружности S1 (одномерной сфере) любые две С^00)-
структуры изоморфны. Отметим, что это утверждение остается в силе и для
сфер, размерность которых не превосходит 6, а уже на 57, как показал Мил-
нор1), существуют неизоморфные С^°°^-структуры.
4. Пусть 5 — подмножество n-мерного многообразия М такое, что для
любой точки xq £ S найдется такая карта х = <p(t) многообразия М, рай-
район U действия которой содержит #о, а множеству 5ПС/ в области параметров
t = (t1,..., tn) карты if отвечает fc-мерная поверхность, задаваемая соотноше-
соотношениями tn~k — 0,..., tn = 0. В этом случае S называется к-мерным подмного-
подмногообразием многообразия М.
а) Покажите, что на S естественным образом возникает структура
fc-мерного многообразия, индуцированная структурой многообразия М и име-
^Дж. Милнор (род. 1931) —один из наиболее крупных современных американских
математиков; основные работы относятся к алгебраической топологии и топологии
многообразии.
§2. МНОГООБРАЗИЕ 395
ющая ту же гладкость, что и гладкость структуры многообразия М.
b) Убедитесь в том, что fc-мерные поверхности S в Еп в точности и явля-
являются &-мерными подмногообразиями Еп.
c) Покажите, что при гладком гомеоморфном отображении /: Е1 —> Т2
прямой Е1 в тор Т2 образ /(Е1) может быть всюду плотным подмножест-
подмножеством Т2 ив этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и
будет абстрактным одномерным многообразием.
d) Проверьте, что объем понятия «подмногообразие» не изменится, если
считать S С М fc-мерным подмногообразием n-мерного многообразия М в
том случае, когда для любой точки xq £ S найдется локальная карта мно-
многообразия М, район U действия которой содержит #о, а множеству S Г) С/ в
области параметров карты отвечает некоторая fc-мерная поверхность прост-
пространства W1.
5. Пусть X—хаусдорфово топологическое пространство (многообразие),
a G — группа гомеоморфных преобразований пространства X. Группа G на-
называется дискретной группой преобразований пространства X, если для лю-
любых (быть может, и совпадающих) точек Х\, x<i £ X найдутся такие их окрест-
окрестности [7i, С/2 соответственно, что множество {д € G \ g(Ui) Г) С/2 ф 0} —
конечно.
a) Отсюда следует, что орбита {д(х) € X \ д £ G} любой точки х € X
дискретна, а стабилизатор Gx = {д £ G \ д(х) = х} любой точки х £ X
конечен.
b) Проверьте, что если G — группа изометрий метрического пространс-
пространства X, обладающая двумя указанными в а) свойствами, то G — дискретная
группа преобразований X.
c) Введите естественную структуру топологического пространства (мно-
(многообразия) на множестве X/G орбит дискретной группы G.
d) Замкнутое подмножество F топологического пространства (многооб-
(многообразия) X с дискретной группой G преобразований называют фундаменталь-
фундаментальной областью группы G, если оно является замыканием открытого подмноже-
подмножества X и если множества g(F), где g £ G, не имеют попарно общих внутренних
точек и образуют локально конечное покрытие пространства X. Покажите
на приведенных в основном тексте примерах 8-10, как фактор-пространс-
фактор-пространство X/G (орбит) группы G получается из F «склеиванием» некоторых гра-
граничных точек.
6. а) Используя конструкции примеров 12, 13, постройте n-мерное веще-
вещественное проективное пространство ШРП.
b) Покажите, что МЗРП ориентируемо, если п нечетно, и неориентируемо,
если п четно.
c) Проверьте, что многообразия 50C, Е) и МЗР3 гомеоморфны.
7. Проверьте, что построенное в примере 14 многообразие действительно
гомеоморфно листу Мёбиуса.
396 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
8. а) Группа Ли1) —это группа G, наделенная структурой аналитическо-
аналитического многообразия так, что отображения {91,92) ^ 9\ ' 92, 9 *~* 91 являются
аналитическими отображениями GxGhGbG. Покажите, что рассмотренные
в примерах 6, 7 многообразия являются группами Ли.
b) Топологическая группа (или непрерывная группа)—это группа G, на-
наделенная структурой топологического пространства так, что групповые опе-
операции умножения и перехода к обратному элементу непрерывны как отобра-
отображения GxG—^GjG^Gb рассматриваемой топологии G. На примере груп-
группы Q рациональных чисел покажите, что не всякая топологическая группа
является группой Ли.
c) Покажите, что каждая группа Ли является топологической группой в
смысле данного в Ь) определения.
d) Доказано2), что любая топологическая группа G, являющаяся много-
многообразием, есть группа Ли (т. е. G как многообразие допускает аналитическую
структуру, в которой группа становится группой Ли). Покажите, что любое
групповое многообразие (т. е. любая группа Ли) является ориентируемым мно-
многообразием.
9. Система подмножеств топологического пространства называется ло-
локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пере-
пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно
говорить о локально конечном покрытии пространства.
Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое мно-
множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств
второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие не-
некоторого множества вписано в другое такое покрытие.
a) Покажите, что в любое открытое покрытие Шп можно вписать откры-
открытое локально конечное покрытие Жп.
b) Решите задачу а) с заменой W1 произвольным многообразием М.
c) Покажите, что на Шп существует разбиение единицы, подчиненное лю-
любому наперед заданному открытому покрытию Мп.
d) Проверьте, что утверждение с) остается в силе для произвольного мно-
многообразия.
. Ли A842-1899)—выдающийся норвежский математик, родоначальник тео-
теории непрерывных групп (групп Ли), которая имеет теперь фундаментальное значе-
значение в геометрии, топологии и математических методах физики; один из лауреатов
Международной премии имени Лобачевского (награжден в 1897 г. за работу по при-
применению теории групп к обоснованию геометрии).
о ответ на так называемую пятую проблему Гильберта.
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 397
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на
многообразиях
1. Касательное пространство к многообразию в точке. На-
помним, что каждому гладкому пути R Э t (->• x(t) G in (движению
в Мп), проходящему в некоторый момент to через точку xq — x(to) Е
Е Rn, мы сопоставили вектор £ — (£1,-.-,£п) мгновенной скорости:
£ = x(t) — (i1,... ,in)(£o). Совокупность таких векторов £, связанных с
точкой жо G Мп, естественно отождествляется с арифметическим про-
пространством Шп и обозначается символом ТЩ0 (или TXo(Rn)). В ТЩ0
вводятся те же линейные операции над элементами £ Е ТТК£0, что и
над соответствующими элементами линейного пространства W1. Так
возникает линейное пространство ТК£0, называемое касательным про-
пространством к W1 в точке хо € Ш71.
Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь ска-
сказать, что формально ТШ^0 есть пара (zo,IRn), состоящая из точки xq E
и связанного с нею экземпляра линейного пространства W1.
Пусть теперь М — гладкое n-мерное многообразие с атласом А клас-
класса гладкости не ниже, чем С^1\ Мы хотим определить касательный
вектор £ и касательное пространство ТМРо к многообразию М в точке
Ро SM.
Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касатель-
касательного вектора как мгновенной скорости движения. Возьмем гладкий
путь R Э t \—> p(t) Е М на многообразии М, проходящий в момент £q
через точку ро = p(to) € М. Параметры карт (т.е. локальные ко-
координаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой ж, отме-
отмечая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером ко-
координаты. Итак, в области параметров каждой карты (С/г,<^г), рай-
район Uг действия которой содержит точку ро> пути 7 отвечает свой путь
t \Л (р~ °p(t) = xt(t) E Rn(ifn), который является гладким по опреде-
/у
лению гладкого отображения R Э t (->• p(t) G M.
Таким образом, в области параметров карты (С/г,<^г), где <рг есть
отображение р ~ (рг(хг), возникает точка xt(ta) = (p~ (р$) и вектор
£г = xt(to) E ТШ™ ,t у В другой такой карте (U3,(p3) это будут соответ-
соответственно точка x3(to) = <р7 (ро) и вектор ^ = x3(to) E ТМ^ ,г у Естест-
Естественно считать, что это координатные выражения в различных картах
того, что мы хотели бы назвать касательным вектором £ к многообра-
многообразию М в точке ро Е М.
398 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Между координатами жг, х3 действуют гладкие взаимно обратные
функции перехода
Хг = VjtiXj), X3 == tptJ(xt), A)
в результате чего пары (яг(^о),£г)> (xj(to)Aj) оказываются связанными
соотношениями
^j j j C)
Равенства C), очевидно, вытекают из формул
получающихся из A) в результате дифференцирования.
Определение 1. Будем говорить, что задан вектор £, касатель-
касательный к многообразию М в точке р Е М, если в каждом пространстве
ТЖ£ , касательном кГв точке хг, отвечающей точке р в области па-
параметров карты (С/г, у?г), где С/г Э р, фиксирован вектор ^г, причем так,
что выполняются соотношения C).
Если элементы матрицы Якоби tp1 отображения tp3% записать в яв-
дхк
ном виде -яЧь, то получаем, таким образом, следующую явную формулу
связи двух координатных представлений одного и того же вектора £:
^C D)
где частные производные вычисляются в соответствующей р точке х3 =
Обозначим через ТМР совокупность векторов, касательных к мно-
многообразию М в точке р
Определение 2. Если линейную структуру на множестве ТМР
ввести, отождествляя ТМр с соответствующим пространством ТЩ.
(ТН% ), т.е. суммой векторов из ТМР считать вектор, координатное
представление которого в ТЩ: (ТН™) отвечает сумме координатных
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 399
представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора
на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначает-
обозначается обычно одним из символов ТМр, ТР(М) и называется касательным
пространством к многообразию М в точке р Е М.
Из формул C), D) видно, что введенная в ТМр линейная структу-
структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т. е. в этом смысле
определение 2 корректно.
Итак, мы определили касательное пространство к многообразию.
Интерпретации касательного вектора и касательного пространства мо-
могут быть различными (см. задачу 1). Например, одной из таких интер-
интерпретаций является отождествление касательного вектора с линейным
функционалом. Это отождествление основано на следующем наблюде-
наблюдении, которое мы сделаем в Rn.
Каждый вектор £ Е ТЩ0 есть вектор скорости, отвечающий неко-
некоторому гладкому пути х — x(t), т. е. £ = £(<)|t=to) причем хо = x(to).
Это позволяет определить производную D^f(xo) в точке хо по вектору
£ Е ТЩо от гладкой функции /, заданной в Rn (или в окрестности
точки хо). А именно:
E)
t=tQ
т.е.
F)
где f{xo) — касательное к / отображение (дифференциал /) в точке х$.
Функционал D^: C^^R^R) —> R, сопоставляемый формулами E),
F) вектору £ G ТЩ0, очевидно, линеен по /. Из формулы F) видно
также, что величина D^f(xo) при фиксированной функции / линейно
зависит от £, т.е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих
линейных функционалов, а умножение вектора £ на число отвечает
умножение функционала D^ на это же число. Таким образом, между
линейным пространством ТЩ0 и линейным пространством соответ-
соответствующих линейных функционалов D^ имеется изоморфизм. Остается
определить линейный функционал £>£, указав набор его характеристи-
характеристических свойств, чтобы получить новую, но, конечно, изоморфную преж-
прежней, интерпретацию касательного пространства
400 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал D^
обладает следующим свойством:
Щи ■ 9)Ы = Dzf(x0) ■ д(х0) + f(x0) ■ D^g(x0). G)
Это закон дифференцирования произведения.
В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а (->• а' коль-
кольца А, удовлетворяющее соотношению (а • b)f = а' • b + а • &', называют
дифференцированием (точнее, дифференцированием кольца А). Таким
образом, функционал D^: СA'(Шп,Щ —> R является дифференцирова-
дифференцированием кольца С^)(МП,М). Но D% еще и линеен относительно линейной
структуры пространства C^^(Mn,R).
Можно проверить, что линейный функционал /: C(°°'(Rn,M) —> R,
обладающий свойствами
(8)
(9)
имеет вид D^ где ^ Е TWj:Q. Таким образом, касательное пространство
ТШ£0 к W1 в точке xq можно трактовать как линейное пространство
функционалов (дифференцирований) на C(°°)(Mn,R), удовлетворяющих
условиям (8), (9).
Базисным векторам е^,..., еп пространства ТШ£ отвечают функци-
оналы De,f(xo) = —rf(x) вычисления соответствующей частной
OX X—Xq
производной от функции / в точке х$. Таким образом, при функцио-
функциональной интерпретации пространства ТЩЦ:0 можно сказать, что функ-
функционалы <, -~j,..., —г,: \
образуют базис
Если ( — (£\ ..., £п) £ ТЩ0, то соответствующий вектору £ опера-
оператор D^ имеет вид D^ =
Совершенно аналогично касательный вектор £ к n-мерному мно-
многообразию М класса С^00* в точке р$ G М можно интерпретировать
(или определить) как элемент пространства дифференцирований / на
С(°°'(М, М), обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотноше-
соотношении (9) яо, естественно, заменяется на ра и тем самым функционал /
связывается именно с точкой ро Е М. Такое определение касательного
вектора £ и касательного пространства ТМро формально не требует
привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвари-
инвариантно. В координатах (х\,..., х™) локальной карты (С/г, tpt) оператор /
§3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 401
имеет вид ^^ + ... + g^ = Dft. Набор чисел (#,...,£*) естес-
естественно называется координатами касательного вектора I G ТМро в
координатах карты (Uutpt). Координатные представления одного и то-
того же функционала I G ТМРо в картах (С/г, ^г), (из^(р3) в силу законов
дифференцирования связаны соотношениями
=
k—\ % m=l 3 k=l \m=l
которые, естественно, повторяют соотношения D).
2. Дифференциальная форма на многообразии. Рассмотрим
теперь пространство Т*Мр, сопряженное к касательному пространст-
пространству ТМр, то есть Т*Мр есть пространство линейных вещественнознач-
ных функционалов на ТМр.
Определение 3. Пространство T*Mpi) сопряженное пространст-
пространству ТМР, касательному к многообразию М в точке р Е М, называется
кокасатпельным пространством к многообразию М в точке р.
Если многообразие М — класса С^°°\ f S C(°°)(M,R), a 1^ — отве-
отвечающее вектору £ € ТМр дифференцирование, то при фиксированной
функции / G С(°°\М, М) отображение £ (->• ^/, очевидно, будет элемен-
элементом пространства Т*МР. В случае М = Rn получается £ (->• D^f(p) =
= /'(р)^, поэтому построенное отображение £ (->• ^/, естественно, назы-
называется дифференциалом функции / в точке р и обозначается обычным
символом df(p).
Если ТМП„!, . (или ТНп_г, . при р G 9M) —пространство, отве-
ответа (р) V ^а (Р) 7
чающее в карте (Ua,ipa) многообразия М касательному пространст-
пространству ТМг,, то пространство T*Rn_i, ., сопряженное к TRn_i, ., естес-
твенно считать изображением (представителем) пространства Т*МР
в этой локальной карте. В координатах (я^,. - - ,я{£) локальной карты
(^а,<А*) базису < -^-,..., -^- > пространства TRn_x, ч (или ТНп_Х/ ч,
если р G дМ) отвечает взаимный с ним базис {da;1,..., dxn} в сопряжен-
сопряженном пространстве. (Напомним, что dxl(^) = ^г, поэтому dx* ( -^- ) = J*
V дх3/ J
Выражения этих взаимных базисов в другой карте (Up^tpp) могут ока-
заться не столь простыми, ибо ~ ^^ , dxL =
dJ д3дг> а
402 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Определение 4. Говорят, что на гладком n-мерном многообра-
многообразии М задана дифференциальная форма сит степени т, если на каждом
касательном к М пространстве TMpi) р £ М, определена кососимметри-
ческая форма шт(р): (ТМр)т -> R.
Практически это означает, всего-навсего, что в каждом простран-
пространстве ТШп_1/ ч (или ТНп_г/ V отвечающем пространству ТМ™ в карте
¥> (Р) V ^ (Р)Л F
cntfa) многообразия М, задана соответствующая rn-форма соа(ха),
где ха = Фа1(р). То, что две такие формы соа(ха)^ сор(х^) являются
представителями одной и той же формы о;(р), выражается соотноше-
соотношением
(Ю)
в котором жа, ж^ — представители точки р Е М, a (£i)a, • • •, (£,m)a,
представители векторов £i,..., £m ^ TMP в картах
соответственно.
В более формальной записи это означает, что
C')
, D')
где, как обычно, ^а и (^а^ являются соответственно функциями tp~l о
о у?^, t^^ о ipa преобразования координат, а касательные к ним ото-
отображения ipLa =: (у^а)*) Ч^ав ~: (фа/з)* осуществляют изоморфизм ка-
касательных к W1 (Нп) пространств в соответствующих точках яа,
Как было сказано в § 1, п. 3, сопряженные отображения (<^#а)* ~
(ф'авУ =: ^ав осуществляют при этом перенос форм, и соотношение
A0) в точности означает, что
где а и C — равноправные индексы (которые можно поменять местами).
Матрица (с^) отображения ^^(^а) известна: (с?г) = I —^ 1 (жа). Та-
ким образом, если
аги~,ггп ^ Л ... Л dxl™ A1)
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 403
и
A2)
то в соответствии с формулой C0) из § 1 получаем, что
д(хп х3т)
8 ' Д <?(Ы^1ЛЛ^) A3)
где -J*—£, как всегда, означает определитель матрицы из соответству-
соответствующих частных производных.
Итак, различные координатные выражения одной и той же формы со
получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием
соответствующих дифференциалов координат и последующими алге-
алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего
умножения).
Если условиться форму соа считать переносом заданной на много-
многообразии формы со в область параметров карты (С/а, tpa), то естественно
писать, что соа = ip^co и считать, что ша — (р^о {{p~^l)*wp = (f^cop^ где
композиция ^о(^)" )* в данном случае играет роль формальной дета-
детализации отображения <р* л — (tpZ о tpa)*.
Определение 5. Дифференциальная rn-форма со на п-мерном
многообразии М принадлежит классу гладкости С^к\ если коэффи-
коэффициенты an...im{%a) ее координатного представления
соа = <р*асо = ^2 ati...tm Ы dx% Л ... Л
в любой карте (С/а,^а) атласа, задающего на М гладкую структуру,
являются функциями соответствующего класса С^к\
Из формулы A3) видно, что определение 5 корректно, если само
многообразие М имеет гладкость класса С^+1); например, когда М
есть многообразие класса
14-4574
404 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Для заданных на многообразии дифференциальных форм естест-
естественным образом (поточечно) определены операции сложения, умноже-
умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функ-
функцию /: М —> М, которая по определению считается формой степе-
степени нуль). Первые две из этих операций превращают множество Q,™
m-форм класса С^ ' на М в линейное пространство. В случае к = оо
это линейное пространство обычно обозначают символом £}ш. Ясно,
что внешнее произведение форм о/711 Е Щ11) и™2 Е £1™2 дает форму
д шт2 е +
3. Внешний дифференциал
Определение 6. Внешним дифференциалом называется линей-
линейный оператор d: SI™ —> fijj^1, обладающий следующими свойствами:
1° d: Q^ —> fijt_i на любой функции / Е £^ совпадает с обычным
дифференциалом df этой функции.
2° d: (ит1Лит2) = йит1Ла;т2 + (-1)т1ит1Лсгит2,гдеит1 Е fi™1,
3° d2 ~dod = 0.
Последнее равенство означает, что для любой формы ш форма d(dcv)
нулевая.
Наличие требования 3° подразумевает, таким образом, что речь
идет о формах гладкости не ниже чем класса С'2л
Практически это означает, что рассматривается С^-многообра-
зие М и оператор d, действующий из £tm в fim+1.
Формула для вычисления оператора d в локальных координатах кон-
конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора d) вытекает
из соотношения
d\ > j (н^.лт {x) dx%1 Л ... Л dxtm -
dcii-im(x) dxh Л ... Л dxim + A4)
cil...imd(dxhA...Adxim)=o
Существование оператора d вытекает теперь из того, что опреде-
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 405
ленный в локальной системе координат соотношением A4) оператор
удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3° определения 6.
Из сказанного, в частности, следует, что если и)а = у?* о; и wp —
— координатные представления одной и той же формы и, т.е.
wa = (^a/3aJ/bTO du)a и dwp также будут координатными представлени-
представлениями одной и той же формы (da;), т.е. dcoQ ~ Ч^ав^шр. Таким образом,
справедливо соотношение d(ip^QiVp) — (p^Adujp), что в абстрактной за-
записи означает коммутативность
= <p*d A5)
оператора d и операции ip* переноса форм.
4. Интеграл от формы по многообразию
Определение 7. Пусть М — n-мерное гладкое ориентированное
многообразие, на котором координаты xl,...,xn и ориентация зада-
задаются одной картой (рх: Dx —> М с областью параметров Dx С Кп.
Пусть и) — n-форма на М и а(х) dx1 A ... Л dxn — ее координатное пред-
представление в области Dx. Тогда
/ и := / а(х) dx1 A... A dx71, A6)
М Dx
где слева стоит определяемый интеграл от формы со по ориентирован-
ориентированному многообразию М, а справа — интеграл от функции а(х) по обла-
области Dx.
Если ipt: Dt -> M — другой состоящий из одной карты атлас М, за-
задающий на М ту же ориентацию, что и атлас (рх: Dx —> М, то якобиан
det (p'(t) функции х = ip(t) преобразования координат всюду положите-
положителен в области Dt. Форме и) в Dt отвечает форма
<р*(а(х) dxlA...A dxn) = a(x(t)) det <p'(t) dt1 A ... Л dtn.
По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место
равенство
/ а(х) dx1... dx71 - / a(x(t)) det <p'(t) dt1... dt71,
Dx Dt
406 ГЛ XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
показывающее независимость левой части соотношения A6) от выбора
системы координат на М.
Итак, определение 7 корректно.
Определение 8. Носителем определенной на многообразии М
формы со называется замыкание множества тех точек х Е М, где
и>(х) ф 0.
Носитель формы ш обозначается символом supp ал В случае 0-форм,
т. е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя коор-
координатное представление формы в любой локальной системе координат
является нулевой формой данной степени.
Определение 9. Заданная на многообразии М форма и) называ-
называется финитной формой, если supp ш — компакт в М.
Определение 10. Пусть ш — финитная форма степени п на 71-
мерном гладком многообразии М, ориентированном атласом А. Пусть
(рг: D% —> Ut {(иг,(рг), г = 1,...,т} — конечный набор карт атласа А,
районы [/],..., Um действия которых покрывают suppо;, a ei,..., е* —
подчиненное этому покрытию разбиение единицы на supp ал Повторяя
некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т = к и что
suppex С Uu г = 1,... ,т.
Интегралом от финитной формы и) по ориентированному много-
многообразию М называется величина
A7)
где (р*(егш)— координатное представление формы егю\иг в области D%
изменения координат соответствующей локальной карты.
Докажем корректность этого определения.
< Пусть А = {(fj : D3 —>• U3] — другой атлас, задающий на М ту же
гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, и пусть U\,..., С/™,
?!,..., е^ — соответствующее покрытие supp о; и подчиненное ему раз-
разбиение единицы на supp ал Введем функции ftJ = еге^, г = 1,...,т,
j = 1,..., т, и положим и%3 ~ f%3oj.
Заметим, что suppuJ^ С W%3 = Utr\Uj. Отсюда и из корректности
определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентирован-
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 407
ному многообразию вытекает, что
Суммируя эти равенства по i от 1 до т и по j от 1 до т с учетом
того, что Y1 Л? ~ ез-> S Л? = ег-> получим интересующее нас тождест-
г=1 3 = 1
во. ►
5. Формула Стокса
Теорема. Пусть М — ориентированное гладкое п-мерное много-
многообразие ии) — гладкая финитная дифференциальная форма степени п—
— 1 на нем. Тогда
и) — \ du), A8)
дм м
где ориентация края дМ многообразия М берется согласованной с
ориентацией многообразия М. Если же дМ — 0? то J dcv = 0.
м
< Без ограничения общности можно считать, что областями изме-
изменения координат (параметров) всех локальных карт многообразия М
являются либо открытый куб / = {х G W1 | 0 < хх < 1, % = 1,..., п},
либо куб / = {х е Шп | 0 < х1 ^ 1 Л 0 < хх < 1, г = 2,..., п} с одной
(определенной!) присоединяемой к кубу / гранью.
С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к
случаю, когда suppa; лежит в районе U действия одной карты вида
ip: I -+U или ср: I —> U. В координатах этой карты форма ш имеет вид
п ^
til =z л п (т 1 /7т! Л Л /7т* Л Л Wt*^1
г=1
где символ , как обычно, означает пропуск соответствующего мно-
множителя.
В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для
одного члена
ыг = пг(х) dx1 Л ... Л dxx Л ... Л dxn A9)
408 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
суммы. Дифференциалом такой формы является п-форма
dw% = (-lI!^) dxl Л ... Л dxn. B0)
Для карты вида (р\ I —>• U оба интеграла в A8) от соответствую-
соответствующих форм A9), B0) равны нулю: первый потому, что suppax С /, а
второй — по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотноше-
ние J ~\dx% — огA) — ог@) — 0. Этим заодно исчерпывается случай,
когда дМ = 0.
Таким образом, остается проверить равенство A8) для карты ip :
/-►ЕЛ
Если г > 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что
следует из приведенных выше соображений.
Если же i = 1, то
м
dx2...dxn =
I... I ai(l, x2,..., xn) dx2 ... dxn = / ш\ = I u)\.
dU дМ
Итак, при п > 1 формула A8) доказана.
Случал п — 1 совпадает с формулой Ньютона - Лейбница, если при-
принять, что концы a, P ориентированного отрезка [а, 0] отмечаются зна-
знаками а_ и /?+, а интеграл от 0-формы g(x) по такой ориентированной
точке полагается равным — д(а) и +д(C) соответственно. ►
По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. В формулировке теоремы ничего не говорится о
гладкости многообразия М и формы ал В таких случаях обычно под-
подразумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость С(°°'. Из
доказательства теоремы видно, однако, что формула A8) верна и для
форм класса С^ на многообразии М, допускающем формы такой глад-
гладкости.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 409
Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из са-
самой формулы A8), видно также, что если suppa; — компакт, лежащий
строго внутри М, т. е. suppa; П дМ = 0, то / du ~ 0.
м
Замечание 3. Если М-—компактное многообразие, то для любой
формы и на М ее носитель suppa;, как замкнутое подмножество ком-
компакта М, является компактом. Следовательно, в этом случае любая
форма ш на М является финитной и имеет место равенство A8). В
частности, если М — компактное многообразие без края, то для любой
гладкой формы на М имеет место равенство J dco — 0.
м
Замечание 4. Для произвольных (не финитных) форм и на мно-
многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула A8), во-
вообще говоря, не имеет места.
Рассмотрим, например, знакомую нам форму о; = х \~^^- в кру-
х +у
говом кольце М = {(х,у) ЕМ2 | 1 ^ х2 + у2 ^ 2}, наделенном стан-
стандартными декартовыми координатами. В этом случае М — компактное
двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит
из двух окружностей Ci = {(#, у) Е R2 | х2 + у2 = г}, г — 1,2. Поскольку
= 0, то по формуле A8) находим, что
0= I duj = I и) — /a;,
М С2 Сх
где обе окружности С\ и С*2 пробегаются против часовой стрелки. Мы
знаем, что
С2
Значит, если вместо М рассмотреть многообразие М = М \ Ci, то
дМ = С2 и
= / и).
М дМ
Задачи и упражнения
1. а) Два гладких пути 7?: Ж —>• М, г = 1,2, на гладком многообразии М
назовем касающимися в точке р Е М, если 71 @) — Ъ @) — Р и в каждой
410 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
локальной системе координат (р: №п(Нп) —>■ U, район U действия которой
содержит точку р, выполняется соотношение
l^ ° 7i(*) " V'1 ° 72@1 = o{t) при t -> 0. B1)
Покажите, что если равенство B1) выполнено в одной из указанных систем
координат, то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе
координат гладкого многообразия М.
b) Свойство путей касаться в некоторой точке р Е М является отноше-
отношением эквивалентности на множестве гладких путей, проходящих на М через
точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем пучком каса-
касающихся путей в точке р Е М. Установите намеченное в §3, п. 1 взаимно
однозначное соответствие между векторами пространства ТМР и пучками
касающихся в точке р Е М путей.
c) Покажите, что если пути 71,72 касаются в точке рЕ М, а / Е С^ (М,
то
d) Покажите, как каждому вектору £ Е ТМР сопоставляется функционал
I = /^(— £)^): С(°°)(М,№) —> №, обладающий свойствами (8), (9), где х0 — р.
Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в
точке р Е М.
Проверьте, что дифференцирование I в точке р есть локальная операция,
т.е. если /ь/г Е С^°°^ и /i(:r) = /2(ж) в некоторой окрестности точки р, то
/Л - 1/2.
e) Покажите, что если х1,..., хп —-локальные координаты в окрестности
п ~ ~
точки р, то / = J^ {Ixi)ttj-) гДе ^j —операция вычисления частной производ-
1 Ох Ох
ной по £г в точке я, отвечающей точке р. (Указание. Запишите функ-
функцию f\u(p): М 4 1 в локальных координатах; вспомните, что для функ-
п
ции / Е C(°°)(Rn,R) имеет место разложение f(x) = /@) + ^2x%gt(x), где
& EC(°°)(Rn,R) и&@) = |£@), t=l,.,,,n.)
f) Проверьте, что если М — многообразие класса С^°°\ то линейное про-
пространство дифференцирований в точке р Е М изоморфно построенному в п. 1
настоящего параграфа пространству ТМР, касательному к М в точке р.
2. а) Если в каждой точке р Е М гладкого многообразия М фиксирован
вектор £(р) Е ТМр, то говорят, что ма многообразии М задано векторное
поле. Пусть X — векторное поле на М. Поскольку в силу предыдущей задачи
любой вектор Х(р) = £ Е ТМР можно интерпретировать как дифференци-
дифференцирование в соответствующей точке р, то по любой функции / Е С^°°^ (М, Ж)
можно построить функцию Xf(p), значение которой в любой точке р Е М вы-
вычисляется применением Х(р) к /, т. е. дифференцированием / по вектору Х(р)
§3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 411
поля X. Поле X на М называется гладким (класса С^°°^), если для любой фун-
функции / Е С(°°}(М, Щ функция Xf тоже принадлежит классу С^°°Цм, Ш).
Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное
приведенному, но координатное определение гладкого (класса С^°°^) вектор-
векторного поля на гладком многообразии.
b) Пусть X и Y — два гладких векторных поля на многообразии М. Для
функций / Е С(°°)(МД) построим функционал: [X,Y]f := X(Yf) - Y(Xf).
Проверьте, что [X, Y]—тоже гладкое векторное поле на М. Оно называется
скобкой Пуассона векторных полей X и Y.
c) Наделите гладкие векторные поля на многообразии структурой алгеб-
алгебры Ли.
3. а) Пусть X и а; —гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на глад-
гладком многообразии М. Пусть ujX означает применение ш к вектору поля X
в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что шХ — гладкая
функция на М.
b) Учитывая задачу 2, покажите, что имеет место следующее соотноше-
соотношение:
<Ь>1(Х,У)=Х(ш1У)-У(ш1Х)-ш1([Х,У]),
где X, У— гладкие векторные поля, du;1— дифференциал формы ш1, du;1 (X, Y)
— применение dw1 к парам связанных с одной точкой векторов полей X, Y.
c) Проверьте, что в общем случае формы ш порядка т справедливо соот-
соотношение
771 + 1 ^-ч
..., хт+1) = £
где символ отмечает выпускаемый член, [Хг,Х^]—скобка Пуассона полей
Хи Х3, а Хги — дифференцирование функции ш{Х\,..., Xt,..., Хт+1) по век-
векторам поля Хг. Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полу-
полученное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инвариантное
определение оператора d: ft —> ft внешнего дифференцирования.
d) Пусть ш — гладкая ш-форма на гладком n-мерном многообразии М.
Пусть (£i,... ,^m+iJ^ векторы в Еп, отвечающие в карте срг: Шп 4(/СМ
векторам ^i,...,^m+i ^ ТМР. Обозначим через Иг образованный векторами
(£i j • • • ? £m+i )г в №п параллелепипед, и пусть ЛПг — параллелепипед, натянутый
на векторы (A£i,..., A£m+i)*. Образы £^г(Пг), £^г(АПг) этих параллелепипедов
в М обозначим через П и АП соответственно. Покажите, что
412 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
4. а) Пусть /: М —> N — гладкое отображения гладкого m-мерного мно-
многообразия М в гладкое n-мерное многообразие N. Используя интерпретацию
касательного вектора к многообразию как пучка касающихся путей (см. зада-
задачу 1), постройте индуцируемое отображением / отображение /*(р): ТМр —у
-+TNf(p).
b) Покажите, что отображение Д линейно и запишите его в соответству-
соответствующих локальных координатах многообразий М и N. Объясните, почему /*(р)
называют дифференциалом отображения f в точке р или отображением, ка-
касательным к f в этой точке.
Пусть / — диффеоморфизм. Проверьте, что f*[X, У] = [/*Х, /*У]. Здесь
X, У — векторные поля на М, а [■, •] — их скобка Пуассона (см. задачу 2).
c) Касательное отображение /*(р): ТМР —У TNq==f^ касательных про-
пространств, как известно из § 1, порождает сопряженное отображение /*(р) со-
сопряженных пространств и вообще определенных на TNj^ и ТМР пространств
/г-форм.
Пусть со — /г-форма на N; /г-форма f*co на М определяется соотношением
где £ь ..., & G ТМР. Так возникает отображение /*: uk(N) -» пк(М) прост-
пространства uk(N) заданных на N &-форм в пространство пк(М) А;-форм на М.
Проверьте следующие свойства отображения /*, считая М и N многообра-
многообразиями класса гладкости С^°°^:
1° /*—линейное отображение;
2° f*(u)iAub) = f*u)iAf*u)r,
3° do f* = f* о d, т.е. d(/*w) = /*(<Ч;
4°(/2o/i)*=/1*o/2*.
d) Пусть М и TV — гладкие n-мерные ориентированные многообразия, а
tp: М -^ N — диффеоморфизм М на N. Покажите, что если со — n-форма на N
с компактным носителем, то
_ 1, если (р сохраняет ориентацию,
— 1, если (р меняет ориентацию,
е) Пусть A D В. Отображение г: В —> А, которое каждой точке х Е В
ставит в соответствие ее же как точку множества А, называют каноническим
вложением В в А.
Если со — форма на многообразии М, а М' — подмногообразие М, то ка-
каноническое вложение г: М' —> М порождает на М' форму г*и;, которую назы-
называют сужением или ограничением формы ш на М'. Покажите, что правильная
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 413
запись формулы Стокса A8) должна иметь вид
/ du — I i*w,
М дМ
где г: дМ -} М — каноническое вложение дМ в М, а ориентация на дМ бе-
берется согласованной с ориентацией М.
5. а) Пусть М — гладкое (С^00)) ориентируемое n-мерное многообразие,
а П"(М)—пространство гладких (С^°°^) гс-форм с компактным носителем
на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение J :
м
ft" (M) -¥ М, обладающее следующими свойствами:
1° отображение J линейно;
м
2° если tp: In(In) —> U С М — карта задающего ориентацию М атласа,
suppu; С U и в локальных координатах ж1,... ,жп этой карты со = а(х) dxl A
Л ... Л dxn, то
/ и; = / a(x)dx1 .. .dx11,
где справа стоит интеграл Римана от функции а по соответствующему кубу
b) Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до облада-
обладающего теми же свойствами отображения J : пп(М) —У Ш пространства пп(М)
м
всех гладких n-форм на М?
c) Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия М мож-
можно вписать не более чем счетное локально конечное покрытие М и то, что
для любого такого покрытия на М существует подчиненное этому покрытию
разбиение единицы (см. задачу 9 из § 2), определите интеграл от n-формы по
ориентированному гладкому гс-мерному (не обязательно компактному) много-
многообразию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами 1°, 2° приме-
применительно к формам, для которых интеграл конечен. Покажите, что для этого
интеграла формула A8), вообще говоря, не имеет места, и дайте условия на и;,
достаточные для справедливости формулы A8) в случае, когда М = Еп, и в
случае, когда М = Нп.
6. а) Используя теорему существования и единственности решения диф-
дифференциального уравнения х = v(x), а также гладкую зависимость решения
от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле
v(x) в Шп можно рассматривать как поле скоростей установившегося тече-
течения. Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от параметра
(времени) t семейство диффеоморфизмов ipt: Шп —> Еп, что (pt(x) при фикси-
фиксированном значении iEln является интегральной кривой нашего уравнения,
414 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
т.е. ^ж' = v{(ft{x)), причем <ро(х) = х. Отображение <pt: Шп -* Мп, оче-
очевидно, характеризует перемещение частиц среды за время t. Проверьте, что
семейство отображений щ: Жп —> Жп является однопараметрической группой
диффеоморфизмов, т.е. (ргУ1 = <P-t, 4>t2 O(Ptx = ¥>t2+ti-
b) Пусть v — векторное поле в Мп, а щ — однопараметрическая группа
диффеоморфизмов Жп, порожденная полем v. Проверьте, что для любой глад-
гладкой функции / G С(°°) (Шп, Ж) имеет место соотношение
Если ввести обозначение v(f) := Dvf, согласованное с обозначениями из
задачи 2, и вспомнить, что / о щ =: <р$/, то можно написать, что
c) Теперь естественно определяется и дифференцирование заданной в W1
гладкой формы и; любой степени вдоль поля v. А именно, положим
v(w)(x) := lim -{<p*tu - ш){х).
Форма v(w) называется производной Ли от формы ш вдоль поля v и ча-
чаще всего обозначается специальным символом Lvuj. Определите производную
Ли Lxw формы ш вдоль поля X на произвольном гладком многообразии М.
d) Покажите, что производная Ли на С^°°^-многообразии М обладает сле-
следующими свойствами.
1° Lx—локальная операция, т.е. если в окрестности U С М рассматри-
рассматриваемой точки х G М поля Xi, X2 и формы u>i, uji соответственно совпадают,
то {LXlui){x) = (Lx2v2)(x).
2° Lxuk(M) CUk(M).
3° Lx' пк(М) -> пк(М)— линейное отображение при любом А: — 0,1,2,...
4° Lx{w\ Л а/2) = (-^x^i) Л 0J2 + &1 Л LXW2-
5° Если / G П°(М), то Lx/ = d/(X) =: Xf.
6° Если / G П°(М), то Lxd/ = d(Xf).
e) Проверьте, что указанные выше свойства 1°-б° однозначно определя-
определяют операцию Lx-
7. Пусть X — векторное поле, а ш — форма степени к на гладком много-
многообразии М.
Внутренним произведением поля X и формы ш называется (к — 1)-форма,
обозначаемая через ixw или через X J ш и определяемая следующим соот-
соотношением {ixw){Xu...>Xk-i) := o;(X,Xi,...,Xfc_i), где Хи ... ,Хк-\ —век-
—векторные поля на М. Для О-форм, т.е. функций на М, положим JJ / — 0.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 415
а) Покажите, что если в локальных координатах х1,..., хп карты <р: Rn —>■
U С М форма ш (точнее ш\и) имеет вид Y1 ан гк (х) dx4 Л ... Л
Ada;** = Лап lfe dx*1 Л... Л da;**, al = Хг-^, то
* \J Jl/
dx%* A ... Л
ilk
b) Проверьте далее, что если d/ = ^Ldx1, то г'л-d/ = Xl-QL = X(f) =
с) Пусть X(M)—пространство векторных полей на многообразии М, а
п(М)—кольцо кососимметрических форм на М. Покажите, что существует
только одно отображение г: Х(М) х п(М) —> п(М), обладающее следующими
свойствами:
1° г —локальная операция, т. е. если поля Х±, Х^ и формы и;±, Ш2 соответ-
соответственно совпадают в окрестности U точки х G М, то (гх1^1)(а;) = (гх2^2)(я);
2° гх(П*(М)) С^-^М);
3° %х'- пк(М) ->■ П^-1(М)^линейное отображение;
4°еслио;1 G fifcl(M),o;2 G Hfc2(M), то г'х(^1 Au;2) = гх^1 Ло;2 + (~l)klu;i Л
5° если ш G ^(М), то г^^ = w(X), а если / е П°(М), то гх/ = 0.
8. Докажите следующие утверждения.
а) Операторы d, %х и Lx (см. задачи б, 7) удовлетворяют так называемому
тождеству гомотопии
B2)
где X—любое гладкое векторное поле на многообразии.
Ь) Производная Ли коммутирует с d и ix, т. е.
Lx о d = d о Lx, Lx огх =ix ° LX
c) [Lx-,*r] =i[x,r], [Ьх,Ьу] = L[xfr]) где как всегда [Л, В] = ЛоБ-БоЛ
для любых операторов Л, В, для которых выражение АоВ — ВоА определено.
В данном случае все скобки [ , ] определены.
d) Lxfw = fLxu; + d/ Л гхо;, где / G П°(М), awE fifc(M).
(Указание. Основным в задаче является п. а). Его можно проверить,
например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы.)
§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
1. Теорема Пуанкаре. В этом параграфе будут дополнены сведе-
сведения о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были
изложены в гл. XIV, §3 в связи с теорией векторных полей в области
416 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
пространства Ж71. Как и прежде, символ QP(M) будет означать прост-
пространство всех гладких вещественнозначных форм степени р на гладком
многообразии М, a U(M) = |J^P(^)-
р
Определение 1. Форма to Е ОР{М) называется замкнутой, если
Определение 2. Форма со Е QP{M), р > 0, называется точной,
если существует такая форма а Е ПР~1(М), что со = da.
Множество всех замкнутых р-форы на многообразии М обозначим
через ZP(M), а множество всех точных р-форм на М обозначим сим-
символом ВР(М).
Для любой формы со G ЩМ) имеет место соотношение1'd(doj) = О,
которое показывает, что ZP{M) D ВР(М). Нам уже известно из гл. XIV,
§ 3, что, вообще говоря, это включение является строгим.
Важный вопрос о разрешимости (относительно а) уравнения da = ш
при выполнении необходимого условия doo = 0 на форму си оказывает-
оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более
полно сказанное будет расшифровано ниже.
Определение 3. Многообразие М будем называть стягиваемым
(в точку хо G М) или гомотопным точке, если существует такое глад-
гладкое отображение h: М х / —>■ М, где / = {t G Ш \ 0 ^ i ^ 1}, что
h(x, 1) = х и /i(:r, 0) =
Пример 1. Пространство Ш1 стягивается в точку посредством
отображения h(x,t) = to.
Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р+ 1)-форма (р ^ 0)
на стягиваемом в точку многообразии М является точной.
< Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей «ци-
«цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообра-
многообразия М.
Рассмотрим «цилиндр» М х / — прямое произведение М на единич-
единичный отрезок /, и два отображения j%: М —> Мх /, jt{x) — (х,г), г = 0,1,
отождествляющие М с основаниями цилиндра М х /. Тогда естествен-
зависимости от способа введения оператора d это свойство или доказывает-
доказывается, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включается в определение
оператора d.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 417
но возникают соответствующие отображения j*: flp(M x /)
которые сводятся к тому, что в форме из QP(M x /) переменная t за-
заменяется значением г(= 0,1), при этом, разумеется, di — 0.
Построим линейный оператор К: QP+l(M х /) —> ПР(М), который
на мономах определим следующим образом:
К (а(х, t) dx4 Л ... Л dx1**1) := 0,
К (a(x,t)dtAdx4 A... Adx1*) := (fa(x,t)dtj dx4 A... Adx1?.
Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для
любой формы ш G QP+l{M х /) имеет место соотношение
K{duj) + d{Kuj) = j{u) - jfa. A)
Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все
операторы К, d, j*, j$ линейны.
Если си = а(х, t) dx4 Л ... Л da;***1, то Кси = 0, d(Ku>) = 0,
= -к-dtA dx4 Л ... Л da^4 + [члены без
K(du) = \ I ^dt\dx4 А...Л dx1**1 =
= (a(x, 1) - a(x, 0)) dx4 A ... Л
и соотношение A) справедливо.
Если о; = а(х, *) Л Л cfcrn Л ... Л с?хгр, то j*tu = j$uj = 0. Далее,
Л ... Л rfa:1^ ] =
л...л
го \о
= d
/ a(x, t) dt\ dx4 A ... Л cfo> I =
418 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
dxt0 A dx4 Л ... Л dxtp =
' cte10 I J ' ' /
го \0 /
1
rf* I dx10 Adx4 A... Adxtp.
Таким образом, и в этом случае соотношение A) справедливо К
Пусть теперь М — стягиваемое в точку хо Е М многообразие, h: М х
х / -> М — указанное в определении 3 отображение, оо— (р + 1)-форма
на М. Тогда, очевидно, h о jx: М -> М — тождественное отображение,
a h о j0; М —> хо —отображение М в точку хо, поэтому (j* о Л*)о; = ш
и (j'q о Л*)о; = 0. Значит, в этом случае из A) следует, что
K(d(h*u>)) + d(K(h*u;)) = oo. B)
Если к тому же ш — замкнутая форма на М, то, поскольку d(h*uj) =
= h*(duj) = 0, из B) получаем, что
d(K(h*u;)) = оо.
Таким образом, замкнутая форма оо является внешним дифферен-
дифференциалом формы а — K(h*oo) G QP(M), т.е. о; —точная форма
наМ. ►
Пример 2, Пусть А, 5, С — гладкие вещественнозначные функ-
функции переменных х, у, z в IR3. Требуется решить относительно функций
Р, Q, i2 систему уравнений
^ _ ?2
ду dz
ду
дх ду
Для совместности системы C), очевидно, необходимо, чтобы функ-
функции Л, 5, С удовлетворяли соотношению
ду dz '
дх ду dz
поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дифференцирования
интеграла по переменной хг° см., например, гл. XVII, § 1.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 419
которое равносильно замкнутости в Mr формы
ш = A dy Л dz + В dz Л dx + G dx Л Л/.
Система C) будет решена, если будет найдена такая форма
а = Pdx + Qdy + Rdz,
что da = a;.
В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецеп-
рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения h после про-
простых вычислений получим
а = K(h*w) = I / A(tx, ty, tz)t dt\ (ydz - z dy) +
+ I / B(tx,ty,tz)tdt (zdx-xdz)
о /
} \
/ C(tx,ty,tz)tdt I (xdy — ydx).
Можно и непосредственно проверить, что da = a;.
Замечание. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей усло-
условию da — оо, обычно довольно большой. Так, вместе с формой а любая
форма вида a + drj^ очевидно, тоже будет удовлетворять этому же урав-
уравнению.
В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии М любые две фор-
формы а, /3, удовлетворяющие условию da = d/3 = а;, отличаются на точную
форму. Действительно, d(a — f3) = 0, т.е. форма (а — /3)—замкнутая
на М, а значит, по теореме 1 она точная.
2. Гомологии и когомологии, В силу теоремы Пуанкаре любая
замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить
эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии уда-
удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры мно-
многообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости IR2 \ 0 форма
420 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
w = ~У ж + х V э рассмотренная в § 3 гл. XIV, локально является диффе-
ренциалом функции <р = ср(х,у) —полярного угла точки (х,у), однако,
продолжение этой функции в области IR2 \ 0 приводит к многозначно-
многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охваты-
охватывает дырку — точку 0. Примерно так же обстоит дело и с формами
других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные —
не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя.
Структура многообразий высших размерностей может быть довольно
сложной. Связь между устройством многообразия как топологического
пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем
описывается так называемыми группами (ко) гомологии многообразия.
Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообра-
многообразии М образуют линейные пространства ZP(M) и ВР(М) соответствен-
соответственно, причем ZP(M) d ВР{М).
Определение 4. Фактор-пространство
Нр(М) := Zp(M)/Bp(M) D)
называется группой р-мерных когомологий (с вещественными коэффи-
коэффициентами) многообразия М.
Таким образом, две замкнутые формы u)\,W2 G ZP(M) лежат в од-
одном классе когомологий или когомологичны, если ш\ — 002 6 ВР(М),
т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы
ш Е ZP(M) будем обозначать символом [о;].
Поскольку Zp(M) есть ядро оператора <Р: пр(М) -> £F+1(M), a
ВР(М) есть образ оператора dP~l: Up~l(M) -»■ Vtp(M), то вместо D),
часто пишут
Подсчет когомологий — дело, как правило, трудное. Можно, однако,
сделать некоторые тривиальные общие наблюдения.
Из определения 4 следует, что если р > dimM, то НР(М) = 0.
Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при
р > 0 Нр(М) = 0.
На любом связном многообразии М группа Н°(М) изоморфна К,
так как Н°(М) = Z°(M), а если для функции /: М -> Ш на связном
многообразии М выполнено соотношение df = 0, то / = const.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 421
Таким образом, например, для пространства Ш1 получается, что
) = 0 при р > 0 и Н°(Шп) ~ К. Это утверждение (с точностью
до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при
М — Шп и тоже называется теоремой Пуанкаре.
Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют
так называемые группы гомологии.
Определение 5. Гладкое отображение с: Р -» М р-мерного куба
I СШР в многообразие М называют сингулярным кубом на многообра-
многообразии М.
Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай произволь-
произвольной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в
преобразовании куба / в одну точку.
Определение 6. Цепью (сингулярных кубов) размерности р на
многообразии М называется любая конечная формальная линейная ком-
комбинация ^2 ctkCk сингулярных р-мерных кубов на М с вещественными
к
коэффициентами.
Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диф-
феоморфным изменением параметризации с положительным якобиа-
якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая
замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то со-
соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы
с, с_ считаются противоположными и полагают с_ — —с.
Цепи размерности р на многообразии М, очевидно, образуют ли-
линейное пространство относительно стандартных операций сложения и
умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим
через СР(М).
Определение 7. Границей д! р-мерного куба Р в W называется
(р — 1)-мерная цепь
в W, где сгз : P~l -> W —отображение (р— 1)-мерного куба в W, инду-
индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба Р
. Точнее, если Р~1 = {х еШР'1 | 0 < 2™ < 1, m = 1,...,р-1}, то
{
2ХХ
422 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Легко проверить, что это формальное определение границы куба в
точности совпадает с операцией взятия края стандартно ориентиро-
ориентированного куба 1Р (см. гл. XII § 3).
Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть
(р — 1)-мерная цепь
i=0 j=l
Определение 9. Граница р-мерной цепи J^ &kck на многообра
k
зии М есть (р — 1)-мерная цепь
Таким образом, на любом пространстве цепей СР(М) определен ли
нейный оператор
Исходя из соотношения E), можно проверить, что для куба имеет
место соотношение д(д1) = 0. Следовательно, вообще д о д = д2 = 0.
Определение 10. Циклом z размерности р или р-циклом на мно-
многообразии называется такая цепь, для которой dz = 0.
Определение 11. Граничным циклом b размерности р на много-
многообразии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р + ^-мер-
^-мерной цепи.
Пусть Zp(M) и ВР(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных
граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Zp(M) и ВР(М) явля-
являются линейными пространствами над полем Ш и что ZP(M) D Вр(М).
Определение 12. Фактор-пространство
Нр(М) := Zp{M)/Bp{M) F)
называется р-мерной группой гомологии (с вещественными коэффици-
коэффициентами) многообразия М.
Таким образом, два цикла zi,Z2 € ZP(M) лежат в одном классе гомо-
гомологии или гомологичны, если z\ — Z2 € Вр(М), т. е. если они отличаются
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 423
на границу некоторой цепи. Класс гомологии цикла z Е Zp{M) будем
обозначать через [z].
Как и в случае когомологий, соотношение F) можно переписать в
виде
НР(М) = Kerdp/Imdp+i-
Определение 13. Если с: / —> М — сингулярный р-мерный куб, а
со —р-форма на многообразии М, то интегралом от формы си по зтому
сингулярному кубу называется величина
ш:= f с*си. G)
с /
Определение 14. Если 22а^О: — цепь размерности р, а о; —
к
р-форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи
понимается как линейная комбинация J^ a* J си интегралов по соответ-
к ск
ствующим сингулярным кубам.
Из определений 5-8 и 13, 14 следует, что для интеграла по сингу-
сингулярному кубу справедлива формула Стокса
dcu = си, (8)
с дс
где с и си имеют размерность р и степень р — 1 соответственно. Если
учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула
Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям.
Теорема 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.
b) Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.
c) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса гомологии цикла.
d) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса когомологий формы.
e) Если замкнутые реформы со\, С02 и циклы z\, Z2 размерности р
таковы, что [со\] = [и^] и [z\] = fa].
424 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
-4 а) По формуле Стокса /duj — f со = О, так как dz = 0.
z dz
b) По формуле Стокса / со = f <ko = 0, так как dco = 0.
дс с
c) Вытекает из Ь).
d) Вытекает из а).
e) Вытекает из с) и d). ►
Следствие. Билинейное отображение пр(М) х СР(М) —> R, за-
задаваемое формулой (со, с) н-> fuj индуцирует билинейное отображение
с
ZP(M) х ZP(M) чК« билинейное отображение НР(М) х НР(М)
Последнее задается формулой
f ш, (9)
co€Zp(M) uz€Zp{M).
Теорема З (деРам1)). Задаваемое формулой (9) билинейное ото-
отображение НР(М) х НР(М) —> R невырождено2}.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де
Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном
виде представить используемые в анализе ее следствия.
Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий [со] Е НР(М)
в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию [w]([2r]) =
= f со. Таким образом, возникает естественное отображение НР(М) —>•
Z
—> Н*(М), где Н*(М) — сопряженное к НР(М) пространство. Теорема
де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и
в этом смысле НР(М) = Щ(М).
Определение 15. Если со — замкнутая р-форма, a z — цикл раз-
размерности р на многообразии М, то величина рег(^) '•= f со называется
Z
периодом (или циклической постоянной) формы со на цикле z.
. де Рам A903-1969)—бельгийский математик; основные работы относятся
к алгебраической топологии.
2^Напомним, что билинейная форма L(x,y) называется невырожденной, если при
любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается
не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 425
В частности, если цикл z гомологичен нулю, то, как следует из
утверждения Ь) теоремы 2, рег(^) = 0. По этой причине между пе-
периодами имеется следующая связь:
_ -0, A0)
L к J к
т. е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом,
или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная
комбинация периодов равна нулю.
Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в совокуп-
совокупности равносильны теореме 3.
Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна
тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.
Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому р-циклу z E
Е ZP(M) на многообразии М сопоставить число рег(^) с соблюдением
условия A0), то на М найдется такая замкнутая р-форма си, что
f и> = рег(,г) для любого цикла z E Zp(M).
Z
Задачи и упражнения
1. Проверьте прямым вычислением, что полученная в примере 2 форма а
действительно удовлетворяет уравнению da — и).
2. а) Докажите, что любая односвязная область в М2 стягиваема по себе
в точку.
Ь) Покажите, что в М3 предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет
места.
3. Проанализируйте доказательство теоремы Пуанкаре и покажите, что
если гладкое отображение h: М х I —> М рассматривать как семейство зави-
зависящих от параметра t Е / отображений ht: М —)■ М, то для любой замкнутой
на М формы lj, все формы h*ui, t E / будут лежать в одном классе когомоло-
гий.
4. а) Пусть t и-» ht E C^°°\M,N) — гладко зависящее от параметра t E
Е/С1 семейство отображений многообразия М в многообразие N. Про-
Проверьте, что для любой формы lj E il(N) справедлива следующая формула го-
мотопии:
-(ВДОг) - dh*t{ixu){x) + K(ixdJ)(x). A1)
Здесь х Е М; X — векторное папе на JV, причем X(x,t) E TNht^ и X(x,t)
есть вектор скорости для пути f н-> ht/ (x) при t' = t\ оператор %х внутреннего
426 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
произведения формы и векторного поля определен в задаче 7 предыдущего
параграфа.
b) Из формулы A1) получите утверждение, высказанное в задаче 3.
c) Опираясь на формулу A1), докажите вновь теорему 1 Пуанкаре.
d) Покажите, что если К — стягиваемое в точку многообразие, то для
любого многообразия М и при любом целом значении р имеет место равенство
е) Получите из формулы A1) соотношение B2) предыдущего параграфа.
5. а) Используя теорему 4, а также непосредственно покажите, что если
замкнутая 2-форма на сфере S2 такова, что / и = 0, то форма и — точная.
b) Покажите, что группа H2(S2) изоморфна Ш.
c) Покажите, что ЯхE2) = 0.
6. а) Пусть tp: S2 —>■ S2 — отображение, которое каждой точке х £ S2
ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку — х £ S2
(антипод). Покажите, что между формами на проективной плоскости ШР2
и формами на сфере 52, инвариантными относительно отображения tp (т.е.
ip*u = и), имеется взаимно однозначное соответствие.
Ь) Представим ШР2 как фактор-многообразие 52/Г, где Г — группа пре-
преобразований сферы S2, состоящая из тождественного отображения и антипо-
дального отображения (р. Пусть 7г: S2 —> ШР2 = S2/V— естественная проек-
проекция, т. е. 7г(х) = {х, —х}. Покажите, что 7г о (р = 7г, и проверьте, что
c) Используя задачу 5а), покажите теперь, что H2(MF2) = 0.
d) Докажите, что если функция / Е СE2,Е) такова, что f(x) — f(—x) =
= const, то / = 0. Учитывая задачу 5 с), выведите отсюда, что Я1(ШР2) = 0.
7. а) Представив ШР2 в виде стандартного прямоугольника П с отожде-
отождествлением противоположных сторон, указанным на рис. 98 ориентирующими
стороны стрелками, покажите, что dli — 2с' — 2с; дс = Р — Q\ дс' = Р — Q.
Ъ) Выведите из сделанного в предыдущем задании наблюдения, что на ШР2
нет нетривиальных двумерных циклов и, используя теорему де Рама, покажи-
покажите, что Я2(ШР2) = 0.
с) Покажите, что единственным (с точностью до
множителя) нетривиальным одномерным циклом на
является цикл с' — с и, поскольку с' — с = ттсШ, выведите
из теоремы де Рама, что Я1(ШР2) = 0.
8. Найдите группы Н°(М), Н1(М), Н2(М), если:
a) М — S1 —окружность;
b) M — T2 — двумерный тор;
c) М = К2 — бутылка Клейна.
Рис. 98. 9. а) Докажите, что диффеоморфные многообра-
многообразия имеют изоморфные группы (ко) гомологии соответствующей размерности.
§ 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 427
Ь) На примере Шг и MPJ покажите, что обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.
10. Пусть X и Y —линейные пространства над полем Ж, a L(x, у) —невы-
—невырожденная билинейная форма L: X xY -) Ш. Рассмотрим отображение X ->•
—> Y*, осуществляемое соответствием ХЭхи L(x, ■) € У*.
a) Докажите, что построенное отображение инъективно.
b) Покажите, что для любой системы yi,..., у* линейно независимых век-
векторов пространства Y в X найдутся такие векторы х1,..., хк, что хг(у3) :—
= Ь(х\у3) = <$*, где 8] = 0 при i ф j и й] = 1 при * = j.
c) Проверьте, что построенное отображение X —>■ Y* является изомор-
изоморфизмом линейных пространств X и Y*.
d) Покажите, что первая и вторая теоремы де Рама означают в совокуп-
совокупности, что с точностью до изоморфизма НР(М) = Н*(М).
ГЛАВА XVI
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ
ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ
И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость
1. Поточечная сходимость
Определение 1. Говорят, что последовательность {/n; n Е N}
функций fn: X —>Ш сходится в точке хб1, если сходится последова-
последовательность {fn(%)'i п еЩ значений этих функций в точке х.
Определение 2. Множество Е С X точек, в которых последо-
последовательность {/п; п € N} функций fn: X —> М сходится, называется
множеством сходимости последовательности функций.
Определение 3. На множестве сходимости последовательности
функций {/n; n E N} естественно возникает функция /: Е —► М, за-
задаваемая соотношением fix) := lim fn(x). Эта функция называется
п->оо
предельной функцией последовательности {/n; n € N} или пределом
последовательности функций {/n; n E N}.
Определение 4. Если f:E—> Ш — предельная функция последо-
последовательности {/n; n E N}, то говорят, что эта последовательность фун-
функций сходится (или сходится поточечно) к функции f на множест-
множестве Е.
В этом случае пишут f(x) — lim fn(x) на Е или fn —> f на Е при
п —> оо.
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 429
Пример 1. Пусть X = {х Е Ш | х ^ 0}, а функции fn: X -л R
заданы соотношением /п(#) = #n, n € N. Множеством сходимости этой
последовательности функций, очевидно, является отрезок / = [0,1], а
предельной является функция /: / —> R, задаваемая условиями
{0, если 0 < ж < 1,
1, если х = 1.
Пример 2. Рассматриваемая на М последовательность функций
2
/п(з;) = sm™ х сходится на R к функции /: R —> 0, тождественно равной
нулю.
Пример 3. Последовательность fn(x) = sm™x тоже имеет своим
п
пределом функцию /: R —> 0, тождественно равную нулю.
Пример 4. Рассмотрим на отрезке / = [0,1] последовательность
функций fn(x) = 2(п + 1)#A — х2)п. Поскольку nqn —> 0 при |^| < 1, эта
последовательность на всем отрезке / стремится к нулю.
Пример 5. Пусть т,п Е N, и пусть fm(x) := lim (cosm!7ra;Jn.
n—>oo
Если mix — целое, то fm(x) = 1, если жет\х £ Z, то, очевидно, fm(x) —
Рассмотрим теперь последовательность {/m; m € N} и покажем,
что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле
@, если х Ф
Т>{х) = \ Т
A, если х €
Действительно, если х ^ Q, то mix £ Z, и fm(x) — 0 при любом значе-
значении т € N, значит, /(ж) = 0. Если же х = |, где р € Z, ^ € N, то уже
при т^ q будет т! а; € Z и /т(ж) = 1, что влечет f(x) = 1.
Итак, lim /m = V(x).
m->oo
2. Постановка основных вопросов. Предельный переход встре-
встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими
функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные
из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость,
интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная фун-
функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соот-
соответствующим свойством обладали допредельные функции. При этом
430 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при вы-
выполнении которых из сходимости функций следует сходимость произ-
производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу
от предельной функции.
Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без ка-
каких-либо дополнительных условий соотношение «fn —> f на [а, Ь] при
п —*■ оо», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной фун-
функции, даже при непрерывности функций /п, ни соотношений fn —>• /'
ь ь
или ffn(x)dx —> f f(x)dx, даже если все указанные производные и
а а
интегралы определены.
Действительно,
в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0,1], хотя
допредельные функции непрерывны на нем;
в примере 2 производные ncosn2x допредельных функций вообще
не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной фун-
функции, которая в данном случае тождественно равна нулю;
1
в примере 4 имеем f fn(%) dx — 1 при любом значении п £ N, в то
о
1
время как / f(x) dx = 0;
о
в примере 5 каждая из функций fm равна нулю всюду, кроме конеч-
b
ного числа точек, поэтому J fm(x)dx = 0 на любом отрезке [a, b] E R,
а
в то время как предельная функция V вообще не интегрируема ни на
каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем:
в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные
функции;
соъпх
в примере 3 предел производных —-— функции последовательности
smnx
совпадает с производной от предельной функции этой последова-
последовать
тельности;
1 1
в примере 1 имеем J fn(%) dx ^ f f(x) dx при п —> oo.
о о
Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные
переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования
законны.
Рассмотрим в этой связи еще
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 431
Пример 6. Мы знаем, что при любом х € R
1 1 f—"Пш
ч:пг _ _ J_r3 , ±_ 5 _ , I ^2ш+1
вшх-х 3{х +5{х ••■+ ^
но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения
00
тп—О
о
I
а т==:Оа
вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом деле, если равенство
S(x) = ai(x) + a2(x) + ... + am(x) + ...
n
понимать в том смысле, что S(x) = lim Sn(x), где Sn(x) — Yl am(x),
Ti,—rOO „v, i
771—1
то соотношения
oo
ОС
/ S(x)dx = ^J / am(x)
m=1
dx
a
в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования
равносильны равенствам
о о
/S(x)dx— lim / Sn(x)dx,
n->ooj
a a
к которым мы теперь должны относиться с осторожностью.
В данном случае оба соотношения B), C) легко проверяются, по-
поскольку известно, что при любом х € R
432 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Однако представьте себе, что равенство A) является определением
функции sin х. Ведь именно так обстояло дело с определением функ-
функций sin z, cos я, ez для комплексных значений аргумента. Тогда нам нуж-
нужно было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, диф-
ференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств B),
C), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пре-
пределом последовательности частичных сумм написанного ряда.
Главным понятием, с помощью которого в § 3 будут получены доста-
достаточные условия законности указанных предельных переходов, является
понятие равномерной сходимости.
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства фун-
функций, зависящих от параметра. При обсуждении постановки во-
вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела последователь-
последовательностей функций. Последовательность функций—это важнейший част-
частный случай семейства функций Л (ж), зависящих от параметра £, когда
£ € N. Последовательности функций, таким образом, занимают здесь
то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела
последовательности. О пределе последовательности функций и связан-
связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно го-
говорить в § 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия
сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих
от параметра.
Определение 5. Функцию (x,t) \-t F{x,t) двух переменных ж, £,
определенную на множестве X х Г, называют семейством функций,
зависящих от параметра £, если по тем или иным причинам переменная
t E T выделяется и называется параметром.
Множество Т при этом называют множеством или областью зна-
значений параметра, а само семейство часто записывают в виде ft(x) или
{ft; t € Г}, явно выделяя параметр.
Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие се-
семейства функций, для которых областью параметров Г являются мно-
множества N, М, С натуральных, действительных или комплексных чисел
соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множест-
множество Г может быть любой природы. Так, в рассмотренных выше приме-
примерах 1-5 было Г — N. В примерах 1-4 при этом можно было бы без
потери их содержательности считать, что параметр п есть любое по-
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 433
ложительное число, а предел берется по базе п —> оо, п € К_|_.
Определение 6. Пусть {ft: X —> R; t Е Т} — семейство функций,
зависящих от параметра, и пусть В—база в множестве Г значений
параметра.
Если существует предел lim ft(x) при фиксированном значении х Е
Е X, то говорят, что семейство функций сходится в точке х.
Множество всех таких точек сходимости называется множеством
сходимости семейства функций при данной базе В.
Определение 7. Говорят, что семейство функций сходится на
множестве Е С X при базе В, если оно сходится при этой базе в
каждой точке х € Е.
Функция f(x) ~ limft(x) на Е называется предельной функцией
или пределом семейства функций ft на множестве Е при базе В.
Пример 7. Пусть ft(x) = е~^х^\ х Е X = Ш, t € Г = R \ О,
В — база t —>• 0. Это семейство сходится на всем множестве М, причем
1, если х = 0,
lim ft(x) = i
+oo 10, если х ф 0.
Теперь дадим два основных определения.
Определение 8. Говорят, что семейство {ft; t € Г} функций
ft: X —> Ш сходится поточечно (или просто сходится) на множес-
множестве Е С X при базе В к функции /: Е —> М, если lim ft(x) = f(x) в
любой точке х € Е.
В этом случае мы часто будем писать (ft —> f на Е).
Определение 9. Говорят, что семейство {ft] t € Т} функций
ft'. X —> R сходится равномерно на множестве Е С X при базе В
к функции /: Е —> М, если для любого е > 0 найдется такой элемент В
базы #, что при любом значении t € В в любой точке х Е Е выполня-
выполняется неравенство \f(x) — ft{x)\ < e.
В этом случае мы часто будем писать (ft =4 / на Е).
в
434 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
Приведем еще формальную запись этих важных определений:
= Ve>0 УхеЕ ЗВеВ VteB (\f(x)-ft(x)\<e),
=4/наЕ):=
в
-Ve>0 ЗВеВ Уже Я \tteB (\f(x)-ft(x)\<e).
Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью на-
напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной непре-
непрерывностью функции на множестве.
Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной
сходимости семейства функций, введем величину А*(ж) = \f(x) — Л(ж)|,
измеряющую отклонение значения функции ft от значения функции /
в точке х € Е. Рассмотрим также величину At = sup At (ж), характе-
хеЕ
ризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по
всем точкам ж € Е отклонение значений функции ft от соответствую-
соответствующих значений функции /. Таким образом, в любой точке ж € Е имеем
At(ж) ^ At.
В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно за-
записать следующим образом:
(ft —>fn&E):=\/x<EE (At(x) -> 0 при В),
в
(ft =i f на Е) := (At -> 0 при В).
в
Теперь ясно, что
(ft=if™E)=>(ft—>/наВ),
в в
т. е. если семейство ft сходится равномерно к функции / на множест-
множестве Е, то оно и поточечно сходится к / на этом множестве.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 8. Рассмотрим семейство функций ft: I —> М, опреде-
определенных на отрезке / = {ж€М|0^ж^1}и зависящих от параметра
t е]0,1]. График функции у = ft(x) изображен на рис.99. Ясно, что в
любой точке ж € / limft(z) = 0, т.е. ft —> f при t —> 0. Вместе с тем
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 435
At = sup\f(x)~ft(x)\ = sup\ft(x)\ — 1, т.е. At -ft 0 при t -)• 0, и значит,
x€l x£l
семейство сходится, но не сходится равномерно.
Будем для удобства в таких случаях гово-
говорить, что семейство сходится к предельной
функции неравномерно.
Если параметр t интерпретировать как
время, то сходимость семейства функций ft
на множестве Е к функции / означает, что
при любой заданной точности е > 0 для лк>-
1— бой точки х G Е можно указать момент tE,
0 i 2i I x J+^
1 начиная с которого, т.е. при t > с£, значения
Рис. 99. всех функций ft в точке х будут отличаться
от значения f(x) меньше чем на е.
Равномерная же сходимость означает, что наступит момент ££, на-
начиная с которого, т. е. при t > ££, уже сразу во всех точках х G Е будет
выполнено соотношение \f(x) — ft(x)\ < s.
Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис. 99
картина бегущего горба большого уклонения.
Пример 9. Последовательность заданных на отрезке 0 ^ х ^ 1
функций /п(#) — хп — х2п', как легко видеть, в любой точке х этого
отрезка стремится к нулю при п —> оо. Чтобы выяснить, равномер-
равномерная ли эта сходимость, найдем величину Ап = max |/п(ж)|. Посколь-
ку fn{x) = nxn~l{\ — 2хп) = 0 при ж = 0иж = 2/", то ясно, что
An — fn B/71) — 1/4. Таким образом, Ап -/> 0 при п —> оо, и наша
последовательность сходится к предельной функции f(x) = 0 неравно-
неравномерно.
Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность фун-
функций /„ = хп на отрезке 0 ^ х ^ 1 сходится к функции
0, если 0 ^ х < 1,
1, если х = 1
неравномерно, так как при любом п G N
= sup |/(я)-/п(я)|= sup |(
1
= sup |/„(я;)| = sup |xn| = 1
15-4574
436 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность фун-
2
кции fn\x) — —п— сходится к нулю равномерно на всем множестве к
при п —> оо, так как в данном случае
^ п'
п
|/(я)-/п(я)| =
т. е. Дп ^ 1/п и, значит, Д^ —)■ 0 при п —>■ оо.
4, Критерий Коши равномерной сходимости. В определе-
определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций ft равномерно
на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве фун-
функции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция
еще неизвестна, поэтому разумно принять
Определение 10. Будем говорить, что семейство {ft; t G T}
функций ft: X —¥ М сходится на множестве Е С X равномерно при ба-
базе В, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей
при этом на Е предельной функции fiE—t'SL является равномерной в
смысле определения 9.
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть {ft;
t G Т} ^семейство функций ft'- X —> М, зависящих от параметра
t G Т, и В — база в Т. Для того, чтобы семейство {ft; t G Т} схо-
сходилось на множестве Е С X равномерно при базе В, необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся такой элемент В ба-
базы Б, что при любых значениях параметров t\,t2 G В в любой точке
х G Е было выполнено неравенство \fti{%) — ft2ix)\ < £-
В формальной записи это означает, что ft сходится равномерно на Е
при базе В -<=^ Ve >0 ЗВ Е В Vti,^2 € В Vx E E (\ft1(x)—ft2(x)\ < e).
-4 Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если
/: Е —)■ М — предельная функция и ft =4 / на Е при Б, то найдется
элемент В базы В такой, что при любом t G В и любом х G Е будет
\f(x) — ft(x)\ < е/2. Тогда при любых £i, t<i G В и любом х G Е будет
\UM - /*2(яI < \f(x) - ftl(x)\ + \f(x) - ft2(x)\ < е/2 + е/2 = е.
Достаточность. При каждом фиксированном значении х G Е
величину ft(x) можно рассматривать как функцию переменной t G Т.
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 437
Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены
условия критерия Коши существования ее предела при базе В.
Значит, семейство {Д; t E Т} по крайней мере поточечно сходится
к некоторой функции /: Е —> М на множестве Е при базе В.
Если теперь перейти к пределу в неравенстве \fti(%) ~ ft2{x)\ < e)
справедливом при любых t\^2 £ В и любых х G Е, то можно полу-
получить, что \f(x) — ft2(x)\ ^ е при любом ^2 € В и любом х £ -Е, а это
с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого
неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной
сходимости семейства {ft] t G Т} к функции /: Е —> Ж на множестве £7
при базе В. ►
Замечание 1. Определения сходимости и равномерной сходимо-
сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций
ft: X —У К, разумеется, остаются в силе для семейств функций ft: X —¥
-> У со значениями в любом метрическом пространстве У. Естествен-
Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных опре-
определениях, состоит в замене \f(x) — ft(x)\ на dy (/(ж), ft(%)), где dy озна-
означает метрику в пространстве У.
Для векторных нормированных пространств У, в частности для
У = С, или У = Мт, или У — С71, не приходится делать даже этих
формальных изменений.
Замечание 2. Критерии Коши, конечно, тоже остается в силе для
семейств функций ft: X —> У со значениями в метрическом простран-
пространстве У, если У — полное метрическое пространство. Как видно из до-
доказательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся
к достаточности условий критерия.
Задачи и упражнения
1. Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3-5 по-
последовательности функций.
2. Докажите равенства B), C).
3. а) Покажите, что рассмотренная в примере 1 последовательность фун-
функций сходится равномерно на любом отрезке [0,1 — S] С [0,1], но на множестве
[0,1] сходится неравномерно.
b) Покажите, что это же справедливо и для последовательности, рассмо-
рассмотренной в примере 9.
c) Покажите, что рассмотренное в примере 8 семейство функций ft при
t -> 0 сходится равномерно на любом отрезке [5,1] С [0,1], но на множестве
438 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
[0,1] сходится неравномерно.
d) Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство функ-
функций ft(x) — sin ire при t —> О, а затем при t —> оо.
e) Охарактеризуйте сходимость семейства функций ft(x) — e~tx при t ->
-> -boo на произвольном фиксированном множестве ЕсЕ.
4. а) Проверьте, что если семейство функций сходится (сходится равно-
равномерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом под-
подмножестве этого множества.
b) Покажите, что если семейство функций ft: X —> Е сходится (сходится
равномерно) на множестве Е при базе В, а д: X —> Е— ограниченная функция,
то и семейство g-ft: X -> Е тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Е
при базе В.
c) Докажите, что если семейства функций ft: X -> Е, <?*'• X -> Е равно-
равномерно сходятся на множестве Е С X при базе В, то и семейство ht = а/г Л-flgu
где а,/3 € Е, тоже сходится равномерно на множестве Е при базе В.
5. а) При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы со-
совершили предельный переход Ит/*1(ж) = f(x) по базе В в Т. Но t\ € В,
а В — база в Т, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход
так, чтобы t\ оставалось в Б?
b) Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной сходимо-
сходимости семейства функций ft: X -> Е использована полнота Е.
c) Заметьте, что если все функции семейства {ft: X —> Ш; t € Т} постоян-
постоянные, то доказанная теорема в точности дает критерий Коши существования
предела функции ip: Т —> Е при базе В в Т.
6. Докажите, что если семейство функций ft € C(J, E), непрерывных на
отрезке / = {х € Е | а ^ х ^ Ь}, сходится равномерно на интервале ]а, Ь[, то
оно сходится, и причем равномерно, на всем отрезке [а,Ь].
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций
1. Основные определения и критерий равномерной сходи-
сходимости ряда
Определение 1. Пусть {ап: X —> С; п G N}—последователь-
N}—последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функ-
оо
ций. Говорят, что ряд ^ йп{х) сходится или равномерно сходится на
71=1
множестве £сХ, если на Е сходится или соответственно равномерно
Г т 1
сходится последовательность < sm(x) = ^ ап(ж); m € N> .
I n=l J
§2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 439
т
Определение 2. Функция sm(x) — ^ о>п(%), как и в случае чи-
п=\
еловых рядов, называется частичной суммой или, точнее, m-й частич-
частично
ной суммой ряда ^ ап{х)-
Определение 3. Суммой ряда называется предел последователь-
последовательности его частичных сумм.
Таким образом, запись
оо
s(x) = 2_]ап(%) на Е
71=1
означает, что sm(x) —> s(x) на Е при т —У оо, а запись
оо
ряд 2_, ап(х) равномерно сходится на Е
гс=1
означает, что sm(x) =4 s(x) на Е при m —> оо.
Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть иссле-
исследование сходимости числового ряда, и с этим мы уже знакомы.
Пример 1. Функцию ехр: С —> С мы в свое время определили
соотношением
оо
убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при ка-
каждом значении z € С.
На языке определений 1-3 можно теперь сказать, что ряд A) фун-
функций an(z) = —jzn сходится на всей комплексной плоскости и функция
ft *
expz является его суммой.
В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательно-
последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены
ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последова-
последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда: характер
сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последо-
последовательности его частичных сумм.
Пример 2. В примере 5 из § 1 была построена последовательность
{fm\ ш € N} функций, сходящаяся на М к функции Дирихле V(x). Если
440 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
положить а\(х) = fi(x) и ап(х) = fn(%) — /n-i(#) ПРИ п > 1, то мы
оо
получим ряд Y1 an{%)i который будет сходиться на всей числовой оси,
71 = 1
ОО
и Е ап{х) = V(x).
Пример 3. В примере 9 из § 1 было показано, что последователь-
последовательность функций /п(я) — хп ~ х2п сходится, но неравномерно, к нулю на
отрезке [0,1]. Значит, полагая а\(х) — /i(#), ап(х) — fn(x) — fn-i(x)
оо
при п > 1, получим ряд Е ап(#)? который сходится к нулю на отрезке
п=1
[0,1], но сходится неравномерно.
Прямая связь между рядами и последовательностями функций по-
позволяет каждое утверждение о последовательностях функций перефор-
переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций.
Так, применительно к последовательности {sn: X —> С; п € N} до-
доказанный в § 1 критерий Коши равномерной сходимости последователь-
последовательности на множестве Е С X означает, что
Ve>0 3N£N Vnun2>N Ух ЕЕ {\зП1(х) - зП2{х)\ < е). B)
Отсюда с учетом определения 1 получается
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд
ап(%) сходится равномерно на множестве Е тогда и только то-
гда, когда для любого е > 0 найдется такое число N G N, что при
любых натуральных ту п, удовлетворяющих условию т ^ п > N, в
любой точке х £ Е выполнено неравенство
ап(х) + ... + аго(ж)| < е. C)
-4 Действительно, полагая в B) п\ = т, П2 = п — 1 и считая sn(x)
частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство C), из которого,
в свою очередь, при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает
соотношение B). ►
Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область
значений функций ап(х), подразумевая, что это М или С. На самом деле
областью значений, очевидно, может быть любое векторное нормиро-
нормированное пространство, например W1 или С1, если только оно является
полным.
оо
71 =
2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ
441
Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции ап(х) по-
постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости
оо
числового ряда Y1 ап-
71 = 1
Следствие 1 (необходимое условие равномерной сходимости ря-
оо
да). Для того, чтобы ряд ^ ап(х) сходился равномерно на некото-
некотором множестве Е, необходимо, чтобы ап =$0 на Е при п —у оо.
-4 Это вытекает из определения равномерной сходимости последо-
последовательности к нулю и неравенства C), если положить в нем т = п. ►
Пример 4, Ряд A) сходится на комплексной плоскости С нерав-
неравномерно, поскольку sup —fZn — оо для любого п £ N, в то время как по
zee n'
необходимому условию равномерной сходимости, при наличии таковой,
величина sup |ап(ж)| должна стремиться к нулю.
хеЕ
оо
Пример 5. Ряд
.п
как мы знаем, сходится в единичном круге
гс1
К = {z е С | \z\ < 1}. Поскольку %- < ^, при z £ К, то ^ =i 0 на К
при п —У оо. Необходимое условие равномерной сходимости выполнено,
однако этот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле, при любом
фиксированном п £ N, считая z достаточно близким к единице, можно
в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства
n
п 2п
1
> -
1
п
1
2п
По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд
не сходится равномерно на множестве К.
2. Признак Веиерштрасса равномерной сходимости ряда
оо
Определение 4. Будем говорить, что ряд ^ ап{$) сходится аб-
солютно на множестве Е, если в любой точке х £ Е соответствующий
числовой ряд сходится абсолютно.
оо оо
Утверждение 1. Если ряды Y1 ап(%) и Yl bn{%) таковы, что
71 = 1 71=1
^ Ьп(х) при любом х £ Е и при всех достаточно больших но-
442 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
оо
мерах п G N, то из равномерной сходимости ряда ^ Ьп(х) на Е вы-
71=1
ОО
текает абсолютная и равномерная сходимость ряда J^ ^n(^) wa том
71 = 1
же множестве Е.
-4 В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах п
и т (пусть п ^ т) в любой точке х G Е выполнены неравенства
ап(х) 4- ... 4- ат(х)\ ^ \ап(х)\ 4- ... 4- \ат(х)\ ^
^ Ъп{х) + ... + Ьт(ж) = 1ьп(ж) 4- ■ ■ ■ 4- Ьт(х)\.
По критерию Коши для любого е > 0 можно в силу равномерной
оо
сходимости ряда Y1 Ьп(х) указать номер N G N так, что при любых
т ^ п > N и любом х £ Е \Ьп(х) 4- ... 4- Ьт(#)| < £• Но тогда из
написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши
оо оо
должны равномерно сходиться и ряд ^ о>п{%)-> и РЯД Y1 1ап(жI* ►
71=1 71 = 1
Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной
оо
сходимости ряда). Если для ряда ^ сьп(х) можно указать такой схо-
71=1
ОО
дящийся числовой ряд Y2 Мп, что sup\an(x)\ ^ Мп при всех доста-
n=i хеЕ
оо
точно больших номерах п G N, то ряд ^ ап(ж) сходится на множес-
71=1
шее -Е абсолютно и равномерно.
4 Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из по-
постоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши
сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает
из утверждения 1, если положить в последнем Ьп(х) = Мп. ►
Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем
наиболее часто используемым достаточным условием равномерной схо-
сходимости ряда.
В качестве примера его применения докажем следующее полезное
оо
Утверждение 2. Если степенной ряд ^ cn(z — zqO1 сходится в
71=0
точке С Ф zo, то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге
Kq = {z € С | \z - zQ\ < q\( - zQ\}, где 0 < q < 1.
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 443
оо
-4 Из сходимости ряда Yl °n(C ~~ zo)n B силу необходимого признака
гс=0
сходимости числового ряда следует, что сп(£ — zqO1 —> 0 при п —> оо.
Значит, в рассматриваемом круге Kq при всех достаточно больших зна-
_ п
ченияхп G N справедливы оценки cn(z — zo)n\ = \cn(C~zo)n\' т—^ ^
оо
^ IcnCC "" ^оO1! • qn < qn. Поскольку ряд 5D 9П ПРИ |?| < 1 сходится, из
оценок \cn(z—zo)n < qn на основе мажорантного признака равномерной
сходимости получаем высказанное утверждение 2. ►
Сопоставляя это утверждение с формулой Коши - Адамара для ра-
радиуса сходимости степенного ряда (см. гл. V, §5, A7)), приходим к за-
заключению, что имеет место
Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степен-
оо
ной ряд ^2 cn(z — zo)n сходится в круге К — {z € С | \z — zq\ < i?},
радиус которого определяется по формуле1* R = I lim у \сп\) Ко-
ши-Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом
круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной
ряд сходится абсолютно и равномерно.
Замечание 3, Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К
степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем
может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на за-
замкнутом круге К.
v^ z
Пример 6. Радиус сходимости ряда 2^ —% равен единице. Но если
n
1, то
Z
п=\ п
п
п
2
-=-, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый
п
ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = {z G С
А < 1}.
3. Признак Абеля - Дирихле, Следующие пары родственных до-
достаточных условий равномерной сходимости ряда несколько более спе-
специальны и существенно связаны с вещественнозначностью определен-
исключительном случае, когда lim л/|сп| = оо, считается, что R — 0, а круг К
П-+ОО
вырождается в единственную точку zq.
444
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
ных компонент рассматриваемых рядов. Но эти условия тоньше, чем
признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие
ряды, которые сходятся, но неабсолютно.
Определение 5. Говорят, что семейство Т функций /: X —> С
равномерно ограничено на некотором множестве Е С X, если суще-
существует такое число М Е К, что для любой функции / Е Т справедливо
соотношение sup |/(rc)| ^ М.
хеЕ
Определение 6. Последовательность функций {Ьп: X —> Ш; п Е
Е N} называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е С
С X, если для любого х Е Е таковой является числовая последова-
последовательность {bn(x); n E N}. Неубывающие и невозрастающие на множе-
множестве последовательности функций называются монотонными последо-
последовательностями на этом множестве.
Напомним (в случае необходимости см. гл. VI, § 2, п. 3) следующее
тождество, называемое преобразованием Абеля:
т
т—1
2J akbk = Ambm - An-ibn + 2J
D)
k—n
k=n
где ак = Ак - Ак-Ь А; = n,...,m.
Если bn,bn+i,..., bm — монотонная последовательность веществен-
вещественных чисел, то, даже если an,an+i,... ,am комплексные числа или век-
векторы какого-то нормированного пространства, на основании тожде-
тождества D) можно получить следующую нужную нам оценку:
m
к~п
4 max \Ak\ • max{|6n|, |6m|}.
n— l<k<m
E)
В самом деле,
\A-mVm
m—1
к=п
(
max \Ак\ . \bm\ + \bn
1<к^ \
к=п
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 445
= шах \Ак\ • (|Ьт| + |ЬП| + \Ьп - Ьт\) <
< 4 max |i4fe| • тах{|Ь„|, \bm\}.
В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована
монотонность последовательности чисел ft*.. ►
Утверждение 3 (признак Абеля-Дирихле равномерной сходимо-
сходимости ряда). Для равномерной сходимости на множестве Е ряда
ап(х)Ьп(х), члены которого являются произведениями комплексно-
00
п=1
значных функций ап: X —> С и вещественнозначных функций Ьп: X
—> Ш, достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий:
к оо
а\) частичные суммы sk{x) = ^ ап(х) ряда ]Г) CLn{x) равномерно
71—1 П = 1
ограничены на Е]
Pi) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно
стремится к нулю на множестве Е;
или
оо
аг) ряд ]Г) ап(х) равномерно сходится на Е;
п=1
/З2) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно
ограничена на Е.
•4 Монотонность последовательности Ьп(х) позволяет при каждом
х € Е записать аналогичную E) оценку
т
к=п
4 max \Ак(х)\ • тах{|Ьп(ж)|, \Ьт(х)\}, E')
где в качестве Ак(х) возьмем sk(x) — sn~i(x).
Если выполнена пара условий ai), /?i), то, с одной стороны, суще-
существует такая постоянная М, что |Л^(ж)| ^ М при любом к G N и любом
аг € Е, а с другой стороны, каково бы ни было число е > 0, при всех
достаточно больших значениях пиши любом х € Е будет выполне-
выполнено неравенство тах{|Ьп(ж)|, |Ьт(ж)|} < ^Ж* Значит, из E) следует, что
при всех достаточно больших значениях пиши любом х € Е будет
446 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
m
]Г ak(x)bk(x) < e, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен крите-
к—п
рий Коши равномерной сходимости.
В случае пары условий о^), /%) ограниченной оказывается величи-
величина max{|bn(x)|, |bm(x)|}. В то же время, ввиду равномерной сходимости
оо
ряда Y1 ап{%)-> п° критерию Коши для любого е > 0 при любых до-
п=1
статочно больших значениях п и к > п и любой точке х € Е будет
|Ад.(ж)| = \sk(x) — sn-i(x)\ < е. Учитывая это, из неравенства E) вновь
заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши
равномерной сходимости. ►
Замечание 4. В случае, когда функции ап и Ьп — постоянные, ут-
утверждение 3 превращается в признак Абеля - Дирихле сходимости чи-
числовых рядов.
Пример 7. Исследуем при х ЕШ сходимость ряда
ОО -
Y ~einx. F)
n=l
Поскольку
1
п
а
Jinx
1
П
а
G)
то при а ^ 0 для ряда F) не выполнено необходимое условие сходи-
сходимости, и он расходится при любом значении х € R Таким образом, в
дальнейшем можно считать, что а > 0.
Если а > 1, то из G) на основании признака Вейерштрасса заключа-
заключаем, что ряд F) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой
оси R
Для исследования сходимости при 0 < а ^ 1 воспользуемся при-
признаком Абеля-Дирихле, полагая ап(х) = егпх и Ьп{х) = -д-. Поскольку
при а > 0 постоянные функции Ьп(х) монотонно и, очевидно, равно-
равномерно относительно х Е К стремятся к нулю, то остается исследовать
оо
гпх
частичные суммы ряда ]Г ег
71=1
П
гкх
Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы ]Г е
fc=0
отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным сла-
слагаемым 1.
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ
447
Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера,
последовательно находим при х ф 2тгт, т € Z,
п
к=0
л(п+1)х _
С I
п+1
2
sinf
sm
sinf
ег2х
sin-f-x / n . . n \
= —. T cos -x + г sin -x . (8)
sml V 2 2 / w
Значит, для любого n € N
n
sinf
(9)
откуда по признаку Абеля - Дирихле вытекает, что ряд F) при 0 <
< а ^ 1 сходится равномерно на любом множестве Е С К на кото-
котором inf
sm
> 0. В частности, ряд F) просто сходится при любом
х ф 27rm, т € Z. Если жеа; = 27rm, то еш27ГШ — 1, и ряд F) превраща-
00 1
ется в числовой ряд ]Г) -я-, который при 0 < а ^ 1 расходится.
п=1
Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при 0 <
< а ^ 1 ряд F) не может сходиться равномерно ни на каком множест-
множестве Е, замыкание которого содержит точки вида 2тгт, т € Z. Положим
°° 1
для определенности, что 0 € Е. Ряд 5Z -д- при 0 < а ^ 1 расходит-
ся. По критерию Коши найдется число е$ > 0 такое, что, какое бы
N € N ни взять, можно будет подобрать числа т ^ п > N так, что
1
1
> £о > 0. В силу непрерывности функций егкх на К от-
отсюда следует, что в Е можно выбрать точку х, столь близкую к нулю,
что
лпх
лтх
п
а
m
а
>
Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда озна-
означает, что на указанном множестве Е ряд F) не может сходиться рав-
равномерно.
В дополнение к сказанному можно отметить, что, как видно из ра-
равенства G), ряд F) сходится неабсолютно при 0 < а ^ 1.
448 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя
в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие соотноше-
соотношения:
Г*(~\С —Ф . О1П "Т" Т1
coskx = 2 . , 2—, A0)
sinf
2
sinkx = ——z—-—, A1)
smf
справедливые при х Ф 2тгт, т gZ.
В качестве еще одного примера использования признака Абеля-
Дирихле докажем следующее
Утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степен-
оо
ных рядах). Если степенной ряд Е cn(z~zo)n сходится в некоторой
п=0
точке С € С, то он сходится равномерно на отрезке с концами zq, £.
<4 Точки указанного отрезка представим в виде z = zq + ((" —
где 0 ^ t ^ 1. Подставив это выражение для z в данный степенной ряд,
ОО 00
получим ряд ]Г) сп(( — zo)ntn. По условию числовой ряд Y1 сп(С ~~ zo)n
п=0 п=0
сходится, а последовательность функций tn монотонна и равномерно
ограничена единицей на отрезке [0,1]. Значит, выполнены условия о^),
признака Абеля - Дирихле и утверждение 4 доказано. ►
Задачи и упражнения
1. Исследуйте характер сходимости на множествах Е сШ при различных
значениях действительного параметра а следующих рядов:
со
C0S71X
ОО
sinnx
п=1
2. Докажите, что следующие ряды сходятся равномерно на указанных мно-
множествах:
a) Е v п х при о ^ ^ ^ 1-
п=1
00 ( -1\П
b) Е п е~пх при о ^ х ^ +°°-
п=1
со / 1 чП
с) Е 1T+F ПРИ ° ^ х ^ +0°-
п=1
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 449
со
3. Покажите, что если ряд Дирихле ^ % сходится в точке хо Е Е, то он
п=1
сходится равномерно на множестве х ^ #о, причем, если х > Xq + 1, то ряд
сходится абсолютно.
4. Проверьте, что ряд V *—^—^— сходится равномерно на Е, а ряд
оо
—х 2 хотя и сходится на Ш, но неравномерно.
5. а) На примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерштрас-
са равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым
условием равномерной сходимости ряда.
со
Ь) Постройте ряд ^2 ап(х) с неотрицательными непрерывными на отрезке
О ^ х ^ 1 членами, который сходится равномерно на этом отрезке, и в то же
оо
время ряд X] Мп, составленный из величин Мп = max |an(ar)|, расходится.
6. а) Сформулируйте упомянутый в замечании 4 признак Абеля - Дирихле
сходимости ряда.
Ь) Покажите, что условие монотонности {Ьп} в нем можно несколько осла-
ослабить, потребовав, чтобы последовательность {Ьп} была монотонна лишь с точ-
точностью до поправок {/Зп}, образующих абсолютно сходящийся ряд.
7. В дополнение к утверждению 4 покажите вслед за Абелем, что если
степенной ряд сходится в некоторой точке границы круга сходимости, то его
сумма имеет в этом круге предел по любому не касательному к граничной
окружности направлению, идущему в эту точку.
§ 3. Функциональные свойства предельной функции
1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны отве-
ответы на поставленные в § 1 вопросы о том, когда предел семейства не-
непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций является
функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных
или интегралов от функций семейства совпадает с производной или
интегралом от предельной функции этого семейства.
Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых во-
вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного пе-
перехода.
Пусть fn(x) -> f(x) на К при п —> оо, и пусть все функции последо-
последовательности {/п; п £ N} непрерывны в точке Xq € Ш. Мы интересуемся
непрерывностью предельной функции / в той же точке xq. Для ответа
на этот вопрос нам нужно проверить равенство lim f(x) = /(#o)>
X>X
450 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
торое в терминах исходной последовательности переписывается в виде
соотношения lim ( lim fn(x)) — lim fni^o) или, с учетом данной нам
х—>хо \п—>оо / п—>оо
непрерывности функций fn в точке хо, записывается в форме следую-
следующего подлежащего Проверке соотношения:
lim ( lim fn(x)) = lim ( lim fn(x)). A)
В левой части этого соотношения сначала делается предельный пе-
переход по базе п —> оо, а затем предельный переход по базе х —> xq,
а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в
другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равен-
равенство A) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных
в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел
последовательности непрерывных функций не всегда является функци-
функцией непрерывной.
Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми спе-
специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том,
получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (про-
(проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по пара-
параметру семейства, или сначала найдем предельную функцию семейства,
а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к
проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
2. Условия коммутирования двух предельных переходов.
Покажем, что если из последовательно выполняемых предельных пе-
переходов хотя бы один равномерен, то предельные переходы перестано-
перестановочны.
Теорема 1. Пусть {Ft; t G Г} —семейство функций Ft: X —> С,
зависящих от параметра t] Вх — база в X, Вт — база в Т. Если при
базе Вт семейство сходится равномерно на X к функции F: X —> С, а
при каждом t € Г существует предел limft(x) = At, то существуют
оба повторных предела lim (limFUx) I, lim f UmFt(x) ) и имеет место
кг \ кг I кг \ кг ' I
равенство
lim [ lim Ft (ж) ) - lim (limFAx)] . B)
JJX \ &T / &T \ "X /
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 451
Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы:
Ft(x) =t F(x)
/ з[вт C)
/-^ А.
в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю — их
следствия. Равенство B) означает, что эта диаграмма коммутативна,
т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли сна-
сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диа-
диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по
нижней ее стороне.
Докажем сформулированную теорему.
М Поскольку Ft =t F на X при базе Вт, по критерию Коши для
любого е > О найдется такой элемент Вт базы Вт, что при любых
<1,<2 € Вт и любом х € X будет выполнено неравенство
\Ftl(x) - Ft2(x)\ < е. D)
Переходя в этом неравенстве к пределу по базе Вх, получим соот-
соотношение
\Atl ~At2\ <e, E)
справедливое для любых <i,<2 £ Вт- По критерию Коши существования
предела функции отсюда следует, что функция At имеет некоторый
предел А по базе Вт- Проверим теперь, что А = limF(a;).
Вх
Фиксировав t^ £ Вт, найдем такой элемент Вх базы Вх, что при
любом х Е Вх имеет место неравенство
\Ft2(x) - At2\ < е. F)
Не меняя <2> совершим в D) и E) предельный переход по базе Вт
относительно параметра t\. Тогда получим, что
\F(x) - Ft2(x)\ < е, G)
^e, (8)
причем неравенство G) справедливо при любом х € X.
452 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Сопоставляя соотношения F)-(8), пользуясь неравенством треу-
треугольника, получаем, что
\F(x) - А\ < Зе
при любом х € В х- Тем самым проверено, что А = UmF(x). ►
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, теоре-
теорема 1 остается в силе для функций Ft: X —> У со значениями в любом
полном метрическом пространстве У
Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование
существования предела limAt(x) = Л, то, как видно из доказательства,
равенство limF(x) = А можно получить, даже не предполагая полноту
пространства У значений функций Ft: X —> У
3. Непрерывность и предельный переход. Покажем, что если
непрерывные в некоторой точке множества функции сходятся равно-
равномерно на этом множестве, то и предельная функция непрерывна в этой
точке.
Теорема 2. Пусть {/$; t € Г} —семейство функций ft: X —у С,
зависящих от параметра t\B — база в Т. Если ft=tfnaX при базе В
и функции ft непрерывны в точке Xq € X, то функция /: X —> С тоже
непрерывна в зтой точке.
<4 В нашем случае диаграмма C) приобретает следующий конкрет-
конкретный вид:
ft(x) =4 f(x)
В у
Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, зада-
заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие
теоремы 1 состоит именно в том, что lim fix) = f(xo). ►
х>хо
Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества X.
На самом деле это может быть любое топологическое пространство,
лишь бы в X была определена база х —> xq. Значения функций ft могут
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 453
лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из
замечания 2, даже не обязано быть полным.
Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных
на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция
тоже непрерывна на этом множестве.
Следствие 2. Если ряд из функций, непрерывных на некотором
множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непре-
непрерывна на этом множестве.
В качестве иллюстрации возможного использования полученных ре-
результатов рассмотрим
Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов.
Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждение 4
из §2), приходим к заключению, что справедливо
оо
Утверждение 1. Если степенной ряд ]Г) cn(z — zqO1 сходится в
71 = 0
некоторой точке £, то он сходится равномерно на отрезке [^го? С]? иду-
идущем из zq в точку Q, и сумма ряда непрерывна на этом отрезке.
оо
В частности, это означает, что если числовой ряд ^ сп сходится,
00
то степенной ряд ]Г спхп сходится равномерно на отрезке 0 ^ х ^ 1
оо
действительной оси и его сумма s(x) — ]Г) спхп непрерывна на этом
п=0
00
отрезке. Поскольку 5A) = ]Г) с^, можно, таким образом, сказать, что
п=0
оо
если ряд Y1 сп сходится, то справедливо равенство
п=0
00 00
п=0 п=0
Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь
смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его пони-
понимании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1 + 1 — ... соответ-
соответствует ряд х — х2 + х3 — ... , который при \х\ < 1 сходится к функции
х/A + х). При х —> 1 эта функция имеет предел 1/2.
454 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в
приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого
равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если
оо
ряд Y1 сп в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему
п=0
будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, напри-
оо
мер, расходящемуся в традиционном смысле ряду Y1 (~1)п метод Абеля
сопоставляет естественную усредненную величину 1/2.
Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно най-
найти в задачах 5-8.
Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показа-
показали, что при |х| < 1 имеет место разложение
A + х)а =
а а(а — 1) 2 а(а— 1)...(« — п + 1) „ ,.лЧ
- 1 + -х + V о. }х2 + ... + -Ь 1 V1 + ... 10
1! 1\ п\
Можно проверить, что при а > 0 числовой ряд
а а(а — 1) а(а — 1)... (а — п + 1)
1 + + ;+ + ^}' +
1 + ТТ+ 9, +... + + ...
1! 2! ш
сходится. Значит, по теореме Абеля, если а > 0, ряд A0) сходится рав-
равномерно на отрезке 0 ^ х ^ 1. Но функция A + х)а непрерывна в точке
х = 1, поэтому можно утверждать, что если а > 0, то равенство A0)
имеет место и при х = 1.
В частности, можно утверждать, что при а > 0
_1 <* 2 . а(<*-1) 4
-l-Jjt + 1 -...
и этот ряд сходится к функции A — t2)a равномерно на отрезке [—1,1].
Полагая в A1) си = ^ и f2 = 1 - х2 при |х| ^ 1, получаем, что
х
A2)
и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции |х| равномерно
на отрезке [—1,1]. Полагая Рп(х) := Sn(x) — 5п@), где Sn(x) есть п-я
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 455
частичная сумма этого ряда, находим, что какую бы точность е > О ни
задать, найдется такой многочлен -Р(х), что -Р(О) =0и
max \\х
-Р(х)\ <е. A3)
Вернемся теперь к общей теории.
Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равно-
равномерном предельном переходе. Условие равномерности предельного пе-
перехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом
непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому по-
поводу примеры 8, 9 из § 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация,
в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же сле-
следует, что эта сходимость является равномерной.
Утверждение 2 (теорема Дини1)). Если последовательность не-
непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к не-
непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
< Пусть для определенности fn стремятся к / не убывая. Фиксиру-
Фиксируем произвольное е > О и для любой точки х компакта К найдем такой
номер Пя, что 0 ^ f(x) — fnx(x) < £• Поскольку функции / и fUx непре-
непрерывны на К, неравенства 0 ^ /(£) ~~/пх (О < £ останутся в силе и в неко-
некоторой окрестности U(x) точки х Е К. Из покрытия компакта К таки-
такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие U{x\),..., U(xfc)
и затем фиксировать номер п(е) = max{na:i,..., пЖА,}. Тогда при лю-
любом п > п(е) в силу неубывания последовательности {/n; n E N} будем
иметь 0 ^ /(£) — fn@ < £ в любой точке £ Е К. ►
оо
Следствие 3. Если члены ряда ^ ап(х) суть неотрицательные
п=1
непрерывные на компакте К функции ап: К -> Ш и ряд сходится на К
к непрерывной функции, то он сходится на К равномерно.
п
4 Частичные суммы sn(x) = ^ а&(х) данного ряда удовлетворяют
условиям теоремы Дини. ►
Пример 3. Покажем, что последовательность функций fn(x) =
= пA — х1'71) при п -> +оо сходится к функции f(x) — In - равномерно
. Дйни A845 - 1918) —итальянский математик, наиболее известные его работы
относятся к теории функций.
456 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
на каждом отрезке [о, Ь], лежащем в промежутке О < х < оо.
-4 Функция х* = е*1пж при фиксированном х > О выпукла по £, поэто-
поэтому отношение х^ ~ л (как угловой коэффициент хорды) не возрастает
при £ —> +0 и стремится к lnx.
Значит, fn(%) /*lnx ПРИ # > 0 и п —» +оо. По теореме Дини отсюда
следует, что указанная сходимость /п(#) к 1п^ является равномерной
на каждом отрезке [о, Ь] С ]0, +сх>[. ►
Отметим, что при этом, например, на промежутке 0 < х ^ 1 рав-
равномерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция In - неогра-
ничена на нем, в то время как каждая из функций fn{x) ограничена на
этом промежутке (зависящей от п константой).
4. Интегрирование и предельный переход. Покажем, что ес-
если интегрируемые на отрезке функции сходятся на нем равномерно, то
предельная функция тоже интегрируема и ее интеграл по этому отрез-
отрезку равен пределу интегралов исходных функций.
Теорема 3. Пусть {ft; t Е Т}—семейство функций ft', [а,Ь] —>
—¥ С, определенных на отрезке а ^ х ^ Ъ и зависящих от параметра
t Е Т; В — база в Т. Если функции семейства интегрируемы на [а, 6]
и ft =4 / на [о, Ь] при базе В, то предельная функция /: [а, Ь] —> С тоже
интегрируема на отрезке [о, Ь] и
о о
/ f(x) dx = lim / ft(x) dx.
a a
-4 Пусть р = (Р,£)—разбиение Р отрезка [а,Ь] с отмеченными
точками £ = {£i,...,£n}- Рассмотрим интегральные суммы i*i(p) =
п п
= 5^ /t(&) Д#*) ^ Е Т и F(p) = 5^ /(£*) Д^г- Оценим разность F(p) -
г1 «1
— Ft(p). Поскольку ft =4 / на [о, Ь] при базе В, для любого е > 0 можно
найти такой элемент В базы В, что при любом t £ В в любой точке
х Е [а,Ь] будет выполнено неравенство \f(x) — ft{x)\ < r-^—- Значит,
при t € В
\F(p)-Ft(p)\ =
П
г=1
п
г=1
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 457
и эта оценка справедлива не только при любом значении t E В, но и
при любом разбиении р из множества V — {(Р, £)} разбиений отрезка
[а,Ь] с отмеченными точками. Таким образом, F% =3 F на V при базе В.
Теперь, взяв в V традиционную базу Х(Р) -» 0, по теореме 1 находим,
что коммутативна следующая диаграмма:
t =: Ft{p) =4 F(p) :=
1=1 У 1=1
А(Р)-М)
А(Р)-Ю
Ь у Ь
I ft(x) dx =: At ► A:=f f(x) dx,
a a
что и доказывает сформулированную теорему 3. ►
оо
Следствие 4. Если ряд ^ fn(%) и3 интегрируемых на отрезке
п=1
[а, Ь]с1 функций сходится равномерно на этом отрезке, то его сум-
сумма тоже интегрируема на отрезке [о, Ъ] и
оо \ оо Ь
Ef (r) I rfr = У^ / f (т\Ит
П—L , ,v—~ a
Пример 4. В этом примере, записывая ~^-, будем считать, что
при х — 0 это отношение равно единице.
В свое время мы отмечали, что функция Si(x) — f ^j^- dt не являет-
о
ся элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее,
получить достаточно простое представление этой функции в виде сте-
степенного ряда.
Для этого заметим, что
OO / .чП
п=
и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [—о, а] С
С R Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного призна-
|.|2п
ка Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку ;' ' 1., ^
B ^ IV ПРИ l^l ^ °' В Т° ВРеМЯ Как ЧИСЛОВОЙ ряд Y^ Bn-\-l)\ СХОДИТСЯ
п=0
458 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
На основании следствия 4 теперь можно написать
1 /ос
эд = / Е
i \п=о
п—\
Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом от-
отрезке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок [а,Ь] изменения аргу-
аргумента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную
погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму полу-
полученного ряда, который в любой точке отрезка [а, Ь] позволит вычи-
вычислить Si(x) с погрешностью, не превышающей заданной.
5. Дифференцирование и предельный переход
Теорема 4. Пусть {ft; t Е Т} —семейство функций ft'. X -> С,
определенных на выпуклом ограниченном множестве X [лежащем в Ш,
С или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от
параметра t ET] В — база в Т. Если функции семейства дифференци-
дифференцируемы на X, семейство {//; t E Т} производных сходится равномерно
на X к некоторой функции tp: X —> С, а исходное семейство {ft] t ET}
сходится хотя бы в одной точке хо Е X, то оно сходится равномерно
на всем множестве X к дифференцируемой функции f: X —> С, причем
-4 Покажем сначала, что семейство {ft; t E T} равномерно сходит-
сходится на множестве X при базе В. Воспользуемся теоремой о конечном
приращении в следующих оценках:
- Ыхо))\
По условию семейство {//; t Е Т} сходится равномерно на X при
базе /?, величина ft(xo) как функция t при той же базе В имеет предел,
а х — xq —ограниченная величина при х Е X. Ввиду необходимости
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 459
условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства фун-
функций // и существования предела функции /г(хо)> для любого е > О
найдется такой элемент В базы В, что для любых <i,<2 £ -В и любого
х Е X будет Д(х,<1,<2) < £• А это в силу написанных оценок означает,
что семейство функций {/$; £ Е Т} тоже удовлетворяет условиям кри-
критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на X при базе й к
некоторой функции /: X -> С.
Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь
следующие оценки:
| (ftl (x + h)- fh (х) - Л', (x)h) - (ft2 (x + h)- ft2 (x) - f't2 (x)h) I -
= \(ftl - ft2)(x + h)- (ftl - ft2)(x) - (fh - ft2)'(x)h\ ^
sup \(ftl- ft2)'(x + 0h)\\h\ + \(ftl- fta)'(x)\\h\ =
6l
= sup ifiix + OQ-fbix + OQl + l&W-fbWDlhl
Эти оценки, справедливые при х, х + h 6 X, ввиду равномерной
сходимости семейства {//; t 6 Т} на X, показывают, что семейство
{Ft;tE T} функций
ft(x + h)-ft(x)-fl(x)h
Ft{h) = щ '
которые мы будем рассматривать при фиксированном значении х Е X,
сходится при базе В равномерно относительно всех значений h ф О
таких, что х + h E X.
Заметим, что Ft(h) —> 0 при h —> О ввиду дифференцируемости
функции ft в точке х Е X, а ввиду того, что Л —>/ и //->(/? при
базе й, имеем Ft(h) -» F(h) = /(*+ /i) -/(s) - c^(x)/i при базе в
Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диа-
диаграмму
ft(x + h) - ft(x) - ft(x)h — j?Jn\ ; TP(h\ — /(ж + h) - f(x) - <p(x)h
У
У
0 ^ > 0 .
Правый предельный переход при h —> 0 показывает, что функция /
дифференцируема в точке х Е X is. f'(x) = (f(x). ►
460 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
оо
Следствие 5. Если ряд J2 fn(%) из функций fn: X -»• С, диффе-
п=1
ренцируемых на ограниченном выпуклом множестве X (лежащем в Ш,
С или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя
оо
бы в одной точке х Е X, а ряд Yl fn(x) сходится равномерно на X,
оо
то ряд Yl fn(x) тоже сходится равномерно на X, его сумма диффе-
п=1
ренцируема на X и
оо
п=1
Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной
сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования.
Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и
сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций ft: X —> Y
со значениями в любом полном линейном нормированном пространст-
пространстве Y. Например, Y может быть М, С, Мп, С72, С[а,Ь] и т. д. Областью X
определения функций ft в теореме 4 тоже может быть соответству-
соответствующее подмножество любого линейного нормированного пространства.
В частности, X может лежать в К, С, Мп или С72. Для вещественнознач-
ных функций вещественного аргумента (при дополнительных требова-
требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще
более простыми (см. задачу 11).
В качестве иллюстрации использования теорем 2-4 докажем следу-
следующее широко используемое и в теории, и в конкретных вычислениях
Утверждение 3. Если круг К С С сходимости степенного ряда
не сводится к единственной точке z — zq, то внутри К
оо
п=0
сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем
оо
/// \ V" п (^ \п—1 A К\
\ J / у п\ 0} • \ )
п=1
Кроме того, функцию f(z): К —> С можно интегрировать по любо-
"У
му гладкому пути у: [0,1] -> К, и если [0,1] Э 11—> z(t) E К, z@) = zq,
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 461
z(l) = 2, то
/
оо
1
Замечание 5. Здесь J f(z) dz := f f(z(t))z'(t) dt. В частности, ее-
7 о
ли на интервале — R < х — xq < R действительной оси М имеет место
оо
равенство f(x) = Y1 ап(х — хо)п, то
п=0
х оо
XQ
Ч Поскольку lim п \Zn\cn\ = lim у tan то из формулы Коши-
п—юо п—юо
00
Адамара (теорема из §2) вытекает, что степенной ряд Yl nCn{z—Zo)n~l,
п=1
оо
полученный почленным дифференцированием ряда Yl cn(z~zo)n, име-
имеет тот же круг сходимости if, что и исходный степенной ряд. Но по той
оо
же теореме из §2 ряд J^ nCn(z — zq)u~1 сходится равномерно в любом
п=1
оо
круге Кд таком, что Кд С К. Поскольку ряд JD Cn(z — £о)п> очевидно,
п=0
сходится при z = #о, к нему теперь применимо следствие 5, чем и обо-
обосновывается равенство A5). Итак, показано, что степенной ряд можно
дифференцировать почленно.
Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно.
Если 7: [0,1] —> К — гладкий путь в if, то найдется круг Кд та-
такой, что 7 С Кд и Кд С К. На Кд исходный степенной ряд сходится
равномерно, поэтому в равенстве
оо
п=0
стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке 0 ^ t ^ 1 функций схо-
сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции f(z(t)).
462 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Умножение этого равенства на функцию z'(t), непрерывную на от
резке [0,1], не нарушит ни самого равенства, ни равномерной сходимо
сти ряда. Значит, по теореме 3 получаем
Ho
f(z(t))z'(t) dt = f2f Сп^> ~ *>)"*'(*) dt
- z(O))nzf(t) dt = I d(z(t) - z@))n+1 =
1
оо
и мы приходим к равенству A6). ►
Поскольку в разложении f(z) = Y^ Cn{z — Zo)ni очевидно, cq =
71=0
то, последовательно применяя равенство A5), вновь получаем знакомые
f(zo)
соотношения сп = ~—У^-, которые покалывают, что степенной ряд
однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора.
Пример 5. Бесселева функция Jn{x)-> п € N есть решение уравне-
уравнения Бесселя >
х2у" + ху' + {х2 - п2)у = 0.
Попробуем найти решение этого уравнения, например, при п = 0, в
оо
виде степенного ряда у = ^ с^хк. Последовательно используя форму-
fc=o
лу A5), после элементарных преобразований приходим к соотношению
оо
сх + ]T(A;2cfc + ck-2)xk~l = 0,
из которого, в силу указанной единственности степенного ряда с дан-
данной суммой, находим
сх = 0, к2ск +- ск-2 = 0, к = 2, 3,...
. В. Бессель A784- 1846)— немецкий астроном.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 463
Отсюда легко вывести, что с^к-х — 0, к Е N, и C2k = (—l)fc
V"*'/
Если считать Jo(O) = 1, то мы приходим к соотношению
Х2к
ШJ22*"
к=0 v }
Написанный ряд сходится на всей прямой Ш (и во всей плоскости С),
поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над
этим рядом являются законными.
Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде сте-
степенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу A5), можно
непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением данно-
данного уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что
введенная Гауссом функция
Flo, А 7.
(гипергеометрический ряд) корректно определена при |х| < 1 и удовле-
удовлетворяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному
уравнению
х(х - \)у" -Ь-(а + р- 1)х] • у' + аC • у - 0.
Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4
требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных схо-
сходилось равномерно. Мы уже видели (см. пример 2 § 1), что последова-
последовательность функций /п(#) — тг s^nn2x может сходиться к дифференциру-
дифференцируемой функции f(x) = 0 равномерно, в то время как последовательность
производных ffn(x) не сходится к /'(х). Дело в том, что производная —
зто характеристика скорости изменения функции, а не величины значе-
значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине измене-
изменениях значений функции производная формально может меняться очень
сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний
большой частоты. Именно это обстоятельство легло в основу постро-
построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференциру-
оо
емой функции, которую он задал в виде ряда f(x)= Yl ctncos(bn7rx)^
n=0
464 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой R, если 0 < а < 1.
Веиерштрасс показал, что если параметр Ь выбрать удовлетворяющим
О
условию а • Ь > 1 + £7г, то, с одной стороны, / будет непрерывна как
сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с дру-
другой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке х Е М.
Формальная проверка последнего утверждения довольно утомительна,
поэтому желающие получить более простой пример непрерывной фун-
функции без производной могут посмотреть задачу 5 из § 1 гл. V.
Задачи и упражнения
1. Используя степенные ряды, найдите решение уравнения у"{х)—у(х) = О,
удовлетворяющее условиям
а)у@)=0,уA) = 1;
Ь) у@) = 1, уA) = 0.
00 тг-1
2. Найдите сумму ряда £ ц^рц-
3. а) Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция
Х\ 2А:+тг
является решением уравнения Бесселя с индексом п ^ 0 из примера 5.
Ь) Проверьте, что гипергеометрический ряд из примера б доставляет ре-
решение гипергеометрического уравнения.
4. Получите и обоснуйте следующие пригодные для вычислений разложе-
разложения полных эллиптических интегралов первого и второго рода при 0 < к < 1
Ж'
О
7Г/2
^ V Bп)!!
5. Найдите
а)
ь) YLrk cos
n
c) J^ rA sin k<p.
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 465
Покажите, что при \г\ < 1
сю
сГ) У rkeikip — - .
' *-^ 1 — г cos ip — гг sin ip'
со
7 2 A^i ^2 i-2rcos
оо
f) * ^
Ъ±х 1 - 2г cos^ + r2
Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля
б) 2 ~*~ ^ cosfcy? = 0, если ср ф 2тгп, п Е Z;
*i
00
1
h) 5D sinAry? = ^ c*g ^ если у? ф 2тгп, п € Z.
6. Рассмотрев произведение рядов
+ a>i + - - ■ )(Ьо + bi + ...) = (со +
где сп = aobn + a\bn-i + ... + an-.\bi + anbo, и используя утверждение 1, по-
оо оо оо
кажите, что если ряды ]Г) ап, ^] &„, ^ сп сходятся соответственно к А, В
тг=О п=0 тг=О
и с, то л. в = а
гг гг оо
7. Пусть sn = ^ ад: и ^"п — h ^2 Sk- Ряд Yl ak называется суммируемым
к=1 к=1 к=1
по Чезарог\ точнее (с, 1)-суммируемым к А, если lim an = А. В этом случае
оо
пишут ^2 ak = А (с, 1).
a) Проверьте, что 1 —
b) Покажите, что ап = J2 A ~ ^гМ аА*
оо
c) Проверьте, что если ^ аА = А в обычном смысле, то и ^ а* = Л (с, 1).
к — 1 *• —1
d) (с, 2)-суммой ряда J2 ак называют величину lim -(^i + ... + <тп)г если
этот предел существует. Так можно определить сумму (с, г) любого порядка г.
оо оо
оо оо
Покажите, что если ^ а* = А(с,г), то ^ а^ — -4(с,г + 1).
к=1 к=1
оо
е) Докажите, что если ^ а^ = ^4(с, 1), то и методом Абеля этот ряд сум-
k-i
мируется к той же величине А,
8. а) «Теорема тауберова типа» — это собирательное название для тео-
теорем, дающих возможность при тех или иных дополнительных условиях ре-
^Э.Чезаро A859-1906)—итальянский математик, занимался анализом и геоме-
геометрией.
466 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
гулярности судить о поведении самих величин по поведению некоторых их
средних. Примером такой теоремы, относящейся к методу Чезаро суммирова-
суммирования рядов, является следующее утверждение, которое вы можете попробовать
доказать вслед за Харди1).
ОО / 1 \ °°
Если ^2 ап ~ А(с>1) и если ап = О ( — 1 , то ряд ^2 ап сходится в обыч-
п=1 ^ ' п=\
пом смысле и к той оке сумме.
Ь) Сама теорема Таубера2) относится к методу Абеля суммирования рядов
и состоит в следующем.
ОО ОО
Пусть ряд Y1 ап%п сходится при О < х < 1 и lim Y1 апхп = А. Ес-
n=l z-H-On=1
ли lim ai + 2а2 + ■ • ■ + пап — о то ряд У) ап сходится в обычном смысле и
""►°° П п=1
причем к А.
9. Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под зна-
знаком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные доста-
достаточные условия для возможности такого перехода, чем те, которые предоста-
предоставляет теорема 3. Эти теоремы составляют одно из основных достижений так
называемой теории интеграла Лебега. В случае, когда функция интегрируема
по Риману на отрезке [а,Ь], т.е. f € lZ[a,Ь], эта функция принадлежит так-
также пространству С[а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения
ь ь
интегралов (R) J f(x) dx, (L) J f(x) dx Римана и Лебега от / совпадают.
а а
Вообще пространство £[а, Ь] есть пополнение пространства lZ[a} b] (точнее,
_ ь
lZ[a, b]) по интегральной метрике, а интеграл (L) J есть продолжение линейной
а
Ь
функции (R) J с Ща, Ь] на £[а, Ь].
а
Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимости» утверждает, что
если последовательность {/n; n € N} функций fn E С[а, Ь] такова, что су-
существует неотрицательная функция F Е £[а, 6], мажорирующая функции
последовательности, т.е. |/n(^)| ^ F(x) почти всюду на [а,Ь], то из сходи-
сходимости fn —» / почти во всех точках отрезка [а, 6] вытекает, что f Е С[а, Ь]
ь ъ
и lim (L) J fn(x) dx = (L) Jf(x)dx.
n—юо
a a
a) Покажите на примере, что даже если все функции последовательности
] п Е Щ ограничены одной и той же константой М на отрезке [а,Ь], из
. X. Харди A877-1947)—английский математик; основные труды посвящены
теории чисел и теории функций.
2^А.Таубер (род. 1866; год смерти неизвестен) — австрийский математик; основ-
основные исследования относятся к теории чисел и теории функций.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 467
условий fn Е H[a,b], n Е N и fn —>■ / поточечно на [а,Ь] не следует, что
/ Е Ща, Ь] (см. пример 5 из § 1).
ь ъ
Ь) Основываясь на сказанном о взаимоотношении интегралов (R) J, (L) J
а а
и теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи
ь ь
известно, что все же / Е lZ[a,b], то (R) Г f(x)dx — lim (R) f fn(x)dx. Это
a a
существенное усиление теоремы 3.
c) Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще следу-
следующий вариант теоремы Лебега о монотонной сходимости.
Если последовательность {/n; n Е N} функций fn Е 7Z[a, b] сходится к
нулю монотонно, т. е. О ^ /n+i ^ fn и fn —> 0 при п —> оо для любого
ъ
х Е [а, Ь], mo (R) J fn{x) dx -> 0.
а
Докажите это утверждение, используя при необходимости следующее по-
полезное наблюдение.
d) Пусть / Е Ща, Ь], |/| ^ М и J f(x)dx ^ a > 0. Тогда множество
о
£ = {х е [0,1] | f(x) ^ ol/2) содержит конечное число таких интервалов,
сумма I длин которых не меньше, чем а/DМ).
Докажите это, используя, например, интервалы такого разбиения Р от-
отрезка [0,1], которому отвечает нижняя сумма Дарбу s(f, P), удовлетворяющая
1
соотношению 0 ^ f f(x) dx — s(/, P) < a/4.
о
10. а) Покажите на примерах из § 1, что не всегда из сходящейся на отрезке
последовательности функций можно извлечь подпоследовательность, которая
сходилась бы равномерно на этом отрезке.
b) Гораздо труднее непосредственно проверить, что из последовательно-
последовательности {/n; n E N} функций fn(x) = sinna; нельзя извлечь подпоследовательность,
которая сходилась бы в любой точке отрезка [0,2тг]. Докажите, что это, одна-
однако, именно так (используйте результат задачи 9 Ь) и то обстоятельство, что
f(sinnkX — sinrik+ixJ dx = 2тг Ф 0 при n* < njfe+i)-
0
c) Пусть {/n; n E N} — равномерно ограниченная последовательность фун-
функций fn E TZ[a, b]. Пусть
= I fn(t)dt
Покажите, что из последовательности {Fn; n E N} можно извлечь подпо-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [а, Ь].
16-4574
468 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
11. а) Покажите, что если /, fn Е 7£([а, Ь], К) и /п =3 / на [а, Ь] при п —> оо,
то для любого числа е > О найдется такой номер iV E N, что при любом п > N
будет выполнено соотношение
(f-fn)(x)dx
<e(b-a).
b) Пусть fn Е СA)([а,Ь],М), п € N. Используя формулу fn(x) = fn(xo) +
X
+ f ffn(t)dt, докажите, что если fn =4 у? на отрезке [а, Ь] и существует точка
XQ
хо Е [а, Ь], для которой последовательность {/п(#о); га Е N} сходится, то после-
последовательность функций {/n; n E N} сходится равномерно на [а, 6] к некоторой
функции / Е С^^([а,Ь],М), причем /„ =4 /' = у?.
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства
непрерывных функций
Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящим-
относящимся, однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных фун-
функций. Все эти вопросы, как, впрочем, и сама метрика пространства
непрерывных функций1), тесно связаны с понятием равномерной схо-
сходимости.
1. Теорема Арцела-Асколи
Определение 1. Семейство Т функций /: X —> У, определенных
на множестве X и принимающих значения в метрическом простран-
пространстве У, называется равномерно ограниченным на множестве X, если
множество V = {y£Y\3f£F3x€X (у = f{x))} значений функций
семейства ограничено в Y.
Для числовых функций или для функций /: X —> Rn это попросту
означает существование такой константы МеК, что для любого х £ X
и любой функции / G В будет |/(х)| ^ М.
Определение 1'. Если множество V С Y значений функций се-
семейства Т вполне ограничено (т. е. при любом е > 0 для V bY найдется
конечная е-сеть), то семейство Т называется вполне ограниченным.
х^Если вы еще не вполне освоились с общими понятиями из главы IX, то без потери
содержательности дальнейшего можете считать, что всюду речь идет о функциях,
действующих из К. в R, или из С в С, или из Rm в Rn.
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 469
Для пространств Y, где понятия ограниченного и вполне ограни-
ограниченного множества совпадают (например для R, С, Rn, С71 и вообще
в случае локально компактного пространства У), понятия равномерно
ограниченного и вполне ограниченного семейства функций со значени-
значениями в Y тоже совпадают.
Определение 2. Пусть X и Y— метрические пространства. Се-
Семейство J- функций /: X —»• Y называется равностепенно непрерывным
па множестве X, если для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что
при xi,#2 £ X соотношение dx(#b#2) < ^ влечет dy(/(#i),/(#2)) < £>
какова бы ни была функция / семейства.
Пример 1. Семейство функций {хп] п G N} не является равносте-
равностепенно непрерывным на отрезке [0,1], но оно равностепенно непрерывно
на любом отрезке вида [0,д], где 0 < q < 1.
Пример 2. Семейство функций {sinnx; n G N} не равностепенно
непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [а,Ь] С М.
Пример 3. Если семейство {/а: [а, Ь] —)• К; a G А} дифференци-
дифференцируемых функций /а таково, что семейство {f'a\ a £ А} их производ-
производных f'a равномерно ограничено постоянной, то, как следует из форму-
формулы конечных приращений, |/а(х2) — /a(#i)| ^ М|#2 — #i|5 и? значит,
исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке
Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных
функций демонстрирует уже следующая
Лемма 1. Пусть К и Y—метрические пространства, причем
К — компакт. Для того, чтобы последовательность {/n; n G N} не-
непрерывных функций fn: К —)• Y сходилась на компакте К равномерно,
необходимо, чтобы семейство {/n; n G N} было вполне ограниченным
и равностепенно непрерывным.
М Пусть fn ^4 / на К. По теореме 2 из § 3 заключаем, что / G
Е C(K,Y). Из равномерной непрерывности / на компакте К вытека-
вытекает, что для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что при х\,Х2 G К
№г(#ь#2) < ^ =^ dy(f{xi))f(x2)) < е). По этому же е > 0 найдем
такой номер N G N, чтобы при п > N в любой точке х £ К иметь
dY{f{%))fn{%)) < £■ Сопоставляя эти неравенства, пользуясь неравен-
неравенством треугольника, находим, что при любом п > N и Х\ЬХ2 G К
из Ak{x\^x<i) < 8 следует dy(/n(#i),/n(#2)) < Зе. Значит, семейство
470 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
{fn] тг > N} равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепен-
равностепенно непрерывное семейство {/i,... ,/iv}, состоящее из конечного числа
непрерывных на компакте К функций, получим равностепенно непре-
непрерывное семейство {/n; n G N}.
То, что оно вполне ограничено, вытекает из неравенства
dy{f{x)^fn(x)) < е, справедливого при х £ К и п > N, а также из
N
того, что f(K) и |J fn(K) компактны в У, и, значит, вполне ограни-
чены в У. ►
На самом деле справедлива следующая общая
Теорема 1 (Арцела-Асколи). Пусть Т — семейство функций
/: К —> У, определенных на метрическом компакте К со значения-
значениями в полном метрическом пространстве У.
Для того, чтобы любая последовательность {fn G Т\ п G Щ со-
содержала равномерно сходящуюся подпоследовательность, необходимо
и достаточно, чтобы семейство Т было вполне ограниченным и рав-
равностепенно непрерывным.
М Необходимость. Если бы J- не было вполне ограниченным
семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последо-
последовательность {/n; n G N} функций fn G Т) которая не была бы вполне
ограниченной и из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь
равномерно сходящуюся последовательность.
Если семейство Т не равностепенно непрерывно, то найдутся число
6q > 0 и такие последовательность функций {fn G T\ n G N} и после-
последовательность {(а4,ж£); n ^ N} пар {х'^х1^} точек х'п) х1^ сходящихся
при п->оок некоторой точке xq G К, что dy(fn(x!n)^fn(x!/l)) ^ Eq > 0.
Тогда из последовательности {/n; n G N} уже нельзя извлечь сходящую-
сходящуюся равномерно подпоследовательность: ведь по лемме 1 функции такой
подпоследовательности должны были бы составлять равностепенно не-
непрерывное семейство.
Достаточность. Компакт К будем считать бесконечным мно-
множеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в К счетное всю-
всюду плотное подмножество Е — последовательность {хп G K\n G N}.
Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение то-
точек конечных £-сетей в iVT, получаемых при е — 1,1/2,... , 1/п,...
Пусть {/n; n G N} —произвольная последовательность функций се-
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 471
мейства J-.
Последовательность {/n(#i); n G N} значений этих функций в
точке х\ по условию ограничена в У и, поскольку Y — полное про-
пространство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
{fnk{%\)\ к G N}. Функции полученной последовательности, как будет
видно, удобно обозначить через /^, n G N. Индекс 1 показывает, что
это последовательность, построенная по точке х\.
Из полученной последовательности извлечем подпоследователь-
подпоследовательность {fnk] к £ Щ) которую обозначим через {/^; п G N}, такую, что
последовательность {fnAx2)\ к £Щ является сходящейся.
Продолжая этот процесс, получим серию {/*; п G N}, к = 1,2,...
последовательностей. Если теперь взять «диагональную» последова-
последовательность {дп = /™; п G N}, то она, как легко видеть, будет сходиться
в любой точке всюду плотного множества Е С К.
Покажем, что последовательность {дп; п G N} сходится в любой
точке компакта К и что ее сходимость равномерная на К. Для это-
этого фиксируем е > 0 и подберем 8 > 0 в соответствии с определением 2
равностепенной непрерывности семейства Т. Пусть Е\ =
конечное подмножество Е, образующее £-сеть в К. Поскольку последо-
последовательности {<?пF); wGN},i = l,2,...,fc сходятся, найдется такой но-
номер N, что при т,п^ N будет dy (ffm(&)) 0п(&)) < £ для г = 1, 2,..., А;.
Для каждой точки х G К найдется такая точка ^ G J5, что
^Лг(^,С^) < ^- В силу равностепенной непрерывности семейства Т от-
отсюда следует, что dy(gn(x),gn(^3)) < е при любом п G N. Используя
полученные неравенства, теперь находим, что при любых т,п > N
+ dY(gm(x))gm(Q) < е + е + е = Зе.
Но х — произвольная точка компакта К, значит, по критерию Коши
последовательность {дп\ п G N} действительно равномерно сходится
на К ►
2. Метрическое пространство С(К, Y). Одной из наиболее
естественных метрик на множестве C(K,Y) функций f:K—>Y, не-
непрерывных на компакте К и принимающих значения в метрическом
пространстве У, является следующая метрика равномерной сходило-
472 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
сти
где /, д 6 С(К) У), а максимум существует, так как К — компакт. Про-
Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, d(/n,/) —>
-> 0 & fn =4 / на К.
Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из §3
и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что ме-
метрическое пространство С(К, Y) с метрикой равномерной сходимости
является полным.
Напомним, что компактным подмножеством метрического прост-
пространства называется такое подмножество, из любой последовательности
точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то
же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное ме-
метрическое пространство полное, то такая последовательность будет да-
даже сходящейся.
Теорема Арцела - Асколи дает описание компактных подмножеств
метрического пространства С (К, Y).
Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст
описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств про-
пространства С (К, Y). Естественный интерес, который представляют та-
такие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их,
можно равномерно, т. е. со сколь угодно малой абсолютной погрешно-
погрешностью на всем К, аппроксимировать любую функцию f:K—>Y, непре-
непрерывную на К.
Пример 4. Классический результат Вейерштрасса, к которому
мы будем еще не раз возвращаться и который обобщает приведенная
ниже теорема Стоуна, состоит в следующем.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если f G С([а, Ь],С), то существует
такая последовательность {Pn; n G N} многочленов Рп\ [а,Ь] —> С,
что Рп =4 / на [а,Ь]. При этом, если f G C([a,fe],R), то и многочле-
многочлены Рп можно выбрать из С ([а, Ь],
На геометрическом языке это означает, например, что многочлены
с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное подмноже-
подмножество в пространстве
Пример 5. Если теорема 2 требует все-таки нетривиального до-
§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 473
казательства (оно дано ниже), то на основании равномерной непрерыв-
непрерывности любой функции / £ С([о,Ь],1К) легко заключить, что множество
кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке [а, Ь]
функций является всюду плотным подмножеством в C([a,fe],R).
Замечание 1. Отметим, что если Е\ всюду плотно в Е2, а Е2
всюду плотно в £^3э то в смысле той же метрики Е\, очевидно, будет
всюду плотным в Е%.
Это означает, например, что для доказательства теоремы 2 доста-
достаточно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно
хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке.
3. Теорема Стоуна. Прежде чем переходить к общей теореме
Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего,
доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае вещественнознач-
вещественнозначных функций.
М Заметим сначала, что если /, д 6 C([a, fe],R), a 6 М и функции
/, д допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию
многочленами, то ее допускают и непрерывные на [а, Ь] функции / + #,
/ * 9, "/•
На отрезке [—1,1], как было показано в примере 2, §3, функция
х
допускает равномерное приближение полиномами Рп(х) = Y1 а>кхк-
к=1
Значит, соответствующая последовательность полиномов М - Рп(х/М)
дает равномерную аппроксимацию функции \х уже на отрезке
х
Если / G С([а,Ь]>Ш) и М = тах|/(ж)|, то из
п
Ы ~ Е
к
< е при
\у\ < М следует
п
к
< е при а ^ х ^ Ь. Значит, если /
допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, Ь],
п
то Е ckfk и 1/1 тоже допускают такую аппроксимацию.
к=х
Наконец, если / и д допускают равномерную аппроксимацию много-
многочленами на отрезке [а, Ь], то в силу сказанного ее допускают и функции
1g) + \f-g]), rmn{f)9} = l((f + g)-\f-g\).
Пусть а < ft < & < Ь, f{x) = 0, gtlb(x) = ff^, h{x) = 1,
max{/,д£г£2}, F^2 ~ min{^5 ^6^}* Линейные комбинации фун-
функций вида i^x^2) очевидно, порождают все множество непрерывных ку-
474 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
сочно линейных функций на отрезке [а, 6], откуда, в силу примера 5, и
следует теорема Вейерштрасса. ►
Прежде чем формулировать теорему Стоуна, определим несколько
новых понятий.
Определение 3. Совокупность А вещественно (комплексно)-
значных функций на множестве X называется вещественной {ком-
{комплексной) алгеброй функций на X, если из /, д Е А и a Е М(С) следует,
что
(f + g)€ A; (f-g)e A; (a/) G А.
Пример 6. Пусть X С С Многочлены P(z) = со + c\z + c2z2 +
+ ... + cnzn, n Е N, очевидно, образуют комплексную алгебру функций
на X.
Если взять X = [а, 6] с М и многочлены брать только с действитель-
действительными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на
отрезке [а, Ь].
Пример 7. Линейные комбинации с коэффициентами из Ш или С
функций еп:Е, п = 0,1,2,..., очевидно, тоже образуют алгебру (соответ-
(соответственно вещественную или комплексную) на любом отрезке [а, Ь] С Н.
То же можно, сказать и о линейных комбинациях функций
{einx; n g Z}.
Определение 4. Будем говорить, что некоторая совокупность S
функций, определенных на множестве X, разделяет точки множест-
множества X, если для любой пары точек x\,X2 £ X найдется функция / G S
такая, что f(xi) ф f(x2).
Пример 8. Совокупность функций {епх; п G N} и даже каждая
из них разделяет точки М.
Вместе с тем, совокупность 2тг-периодических функций {егпх\ п Е
Е Z} разделяет точки отрезка, если его длина меньше 2тг и, очевидно,
не разделяет точки отрезка длины, большей или равной 2тг.
Пример 9. Вещественные многочлены в совокупности образуют
множество функций, разделяющее точки любого отрезка [а, 6], так как
это делает уже один многочлен Р(х) = х. Сказанное можно повторить
относительно множества X С С и совокупности комплексных полино-
полиномов на X. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять
P(z) = z.
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 475
Определение 5. Будем говорить, что семейство Т функций
/: X —> С не исчезает на множестве X, если для любой точки х$ G X
найдется функция /о Е Т такая, что /о(#о) ф 0.
Пример 10. Семейство Т = {1, х, х2,... } на отрезке [0,1] не исче-
исчезает, а вот все функции семейства Т$ = {#, #2,... } обращаются в нуль
при х = 0.
Лемма 2. Если алгебра А вещественных (или комплексных) на
множестве X функций разделяет точки X и не исчезает на X, то
для любых различных точек х\,х2 6 X и любых вещественных (или,
соответственно, комплексных) чисел с\, с2 в А найдется такая фун-
функция /, что f(xi) = a, f(x2) = с2.
< Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда с\ = 0, с2 = 1
и когда с\ = 1, С2 = 0.
Ввиду равноправности точек xi, хг, рассмотрим лишь случай ci = 1,
Заметим сначала, что в А существует такая специальная разделяю-
разделяющая точки #i, X2 функция 5, которая, наряду с условием s(x\) ф s(x<i),
удовлетворяет требованию s(x\) ф 0.
Пусть ^,/iE i, g(x\) Ф я{х2), g(x\) — 0, h(x\) ф 0. Очевидно, най-
найдется такое число Л G М\0, что \(h(x{) — h(x2)) ф g(x2)- Тогда функция
5 = g + Xh и будет искомой.
Теперь, полагая f(x) = * ^х' ~ S\XV8\X) э находим функцию / из
s (хг) - s(x1)s(x2)
нашей алгебры Л, удовлетворяющую поставленным условиям: f(x\) = 1
и f(x2) = 0. ►
Теорема 3 (Стоун1)). Пусть А —алгебра определенных на ком-
компакте К непрерывных вещественнозначных функций. Если А разде-
разделяет точки компакта К и не исчезает на К, то А является всюду
плотным подмножеством пространства С(К,
А Пусть А — замыкание в С(К,Ш) множества А С С(К,Ш), т.е. А
состоит из тех непрерывных функций / 6 С (К,Ж), которые можно
сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А. Теорема
утверждает, что А = С(К,
Х. Стоун A903-1989)—американский математик; основные труды относят-
относятся к топологии и функциональному анализу.
476 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Веиерштрасса
рассуждения, замечаем, что если /, д Е А и a Е М, то функции /+#, /-<7,
а/, |/|, max{/, #}, min{/, #} тоже принадлежат А. По индукции можно
проверить, что вообще, если /ь /2,..., /n E Л, то тах{/ь /2,..., /п} и
min{/i, /2,..., fn} тоже лежат в Л.
Теперь покажем, что для любой функции / Е С (К, М), любой точки
х Е X и любого числа £ > 0 найдется такая функция дх 6 А, что
5ж(#) = /(#) и <7а;(£) > /(*) "" £ ПРИ любом t £ К.
Чтобы в этом убедиться, для каждой точки у Е К возьмем в со-
соответствии с леммой 2 функцию hy Е А такую, что hy(x) = f(x)
и hy(y) = f(y). В силу непрерывности на К функций / и hy най-
найдется такая открытая окрестность Uy точки ?/, что hy(t) > f(t) — е
при любом t E Uy. Из покрытия компакта К открытыми множества-
множествами Uy извлекаем конечное покрытие {Uyi, Uy.2,..., UVn }. Тогда функция
дх = тах{/г2/1, hy2,..., /iyn } Ei будет искомой.
Взяв теперь для каждой точки х Е К такую функцию дх, заме-
заметим, что ввиду непрерывности функций дх и / найдется такая от-
открытая окрестность Vx точки х Е К, что gx(t) < f(t)+e при лю-
любом t Е Vx. Поскольку К — компакт, найдется его конечное покры-
покрытие {VXl, VX2,... ,VXm} такими окрестностями. Функция д = min{gXl,
9x2i * • • чЯхуп} принадлежит алгебре Л и по построению в любой точке
удовлетворяет двойному неравенству
f(t) - е < g(t) < fit) + e.
Но число е > 0 было выбрано произвольно, поэтому доказано, что
любую функцию / Е С(К, К) можно сколь угодно точно равномерно
приблизить на К функциями из алгебры А. ►
Задачи и упражнения
1. Семейство Т функций /: X -> У, определенных на метрическом прос-
пространстве X и принимающих значения в метрическом пространстве Y, назы-
называется равностепенно непрерывным в точке Хо Е X, если для любого е > О
найдется 8 > 0 такое, что для любой функции / Е Т соотношение dx(x, xq) < S
влечет dy(f (х), f (xQ)) < e.
а) Покажите, что если семейство Т функций /: X -> У равностепенно
непрерывно в точке х0 Е X, то любая функция / Е Т непрерывна в точке xq,
но утверждение, обратное к этому, неверно.
§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ 477
b) Докажите, что если семейство Т функций /: К -> Y равностепенно
непрерывно в любой точке компакта К, то -оно равностепенно непрерывно
на К в смысле определения 2.
c) Покажите, что если метрическое пространство X не является компак-
компактом, то из равностепенной непрерывности семейства Т функций /:Х~Oв
каждой точке х G X еще не вытекает равностепенная непрерывность Т на X.
По этой причине, если семейство Т равностепенно непрерывно на множе-
множестве X в смысле определения 2, его часто называют равномерно равностепен-
равностепенно непрерывным на множестве. Таким образом, между равностепенной непре-
непрерывностью в точке и равномерной равностепенной непрерывностью семейства
функций на множестве X соотношение такое же, как между непрерывностью
и равномерной непрерывностью отдельной функции /: X —> У на множест-
множестве X.
d) Пусть u(f]E) — колебание функции /: X -> Y на множестве Е С X,
a B(x,S)—шар радиуса 8 с центром в точке х G X. Определением каких
понятий являются следующие записи:
Ve>0 36 > О V/G.F tu(f]B(x,S)) <£,
Ve>0 36 > 0 V/GJF Vx G X uj{f;B(x,8)) < е?
e) Покажите на примере, что теорема Арцела-Асколи, вообще говоря,
не имеет места, если К не является компактом: постройте на Е равномерно
ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность {/n; n G N}
функций /„ — (р(х 4- п), из которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся
на Е подпоследовательность.
f) Опираясь на теорему Арцела-Асколи, решите задачу 10с) из §3.
2. а) Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную
функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации
функций вида ^£ь£2т указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса.
b) Докажите теорему Вейерштрасса для комплекснозначных непрерывных
функций /: [а, Ь] -> С.
ь
c) Величину Мп = J f(x)xn dx часто называют п-м моментом функции
а
/: [а, 6] -> С на отрезке [а,Ь]. Покажите, что если / G С([а, Ь],С) и Мп = 0 при
любом п G N, то f(x) ~ 0 на [а, Ь].
3. а) Покажите, что алгебра, порожденная парой функций {1,ж2} плотна
в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [—1,1] функций.
b) Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функци-
функцией {х}, и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [—1,1].
c) Любую ли функцию / G С([0, тг],С) можно сколь угодно точно равно-
равномерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций
d) Ответьте на предыдущий вопрос в случае / G С([—тг, тг], С).
478 ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
e) Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положительным то-
тогда и только тогда, когда /(—тг) = /(я")-
f) Любую ли функцию / G С([а, 6], С) можно равномерно аппроксими-
аппроксимировать линейными комбинациями функций системы {1, cosx, sinx,..., cosnx,
sinna:,... }, если [a, b] С ]— тг,тг[ ?
g) Любую ли четную функцию / G С([—тг, тг],С) можно равномерно ап-
аппроксимировать функциями системы {l,cosx,... ,cosn:r,... }?
h) Пусть [a, b] — произвольный отрезок прямой Ж. Покажите, что алгебра,
порожденная на [a, b] любой не обращающейся в нуль строго монотонной фун-
функцией ip(x) (например, еж), плотна в C([a,6],R).
i) При каком расположении отрезка [a, b] С Ж порожденная функцией
ip(x) = х алгебра плотна в C([a, b], E)?
4. а) Комплексная алгебра функций А называется самосопряженной, если
из / G А следует, что / G Л, где /(ж)—значение, сопряженное к f(x). По-
Покажите, что если комплексная алгебра А не вырождается на X и разделяет
точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать,
что подалгебра Ar вещественнозначных функций алгебры А тоже не выро-
вырождается на X и тоже разделяет точки множества X.
b) Докажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна.
Если комплексная алгебра А функций f: X —> С не вырождается на X и
разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно
утверждать, что она плотна в С(Х,С).
c) ПустьХ = {z G С | \z\ = 1} — единичная окружность, А — алгебра наХ,
порожденная функцией elip, где tp — полярный угол точки z G С. Эта алгебра
не вырождается на X и разделяет точки X, но не является самосопряженной.
Докажите, что для любой функции /: X —> С, допускающей равномер-
равномерную аппроксимацию элементами алгебры Л, должно выполняться равенство
/ f(ettp)emtp dip ~ 0 при любом п G N. Используя это обстоятельство, проверь-
о
те, что ограничение на окружность X функции f(z) = z есть непрерывная
на X функция, которая не входит в замыкание указанной алгебры А.
ГЛАВА XVII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от пара-
параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в
анализе виду таких семейств —к интегралу, зависящему от параметра.
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл,
зависящий от параметра, — это функция вида
F(t) = Jf(x,t)dx, A)
где t играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а
каждому значению t 6 Т отвечает множество Et и интегрируемая на
нем в собственном или несобственном смысле функция <ft(x) ~ f{x^)-
Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важ-
важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т — подмножество про-
пространств М, С, Шп или С1.
Если при каждом значении параметра t Е Т интеграл A) является
собственным, то принято говорить, что функция F в A) есть собствен-
собственный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях t E T интеграл
в A) существует только в несобственном смысле, то функцию F обычно
называют несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Но это, конечно, всего лишь терминологические условности.
480 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В том случае, когда х Е Mm, Et С Шт и т > 1, говорят, что имеют
дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом A), зависящим
от параметра.
Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае,
составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы
сначала в качестве Et будем брать только не зависящие от параметра
промежутки числовой прямой 1, ик тому же будем считать, что на
них интеграл A) существует в собственном смысле.
2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
Утверждение 1. Пусть Р ~ {{х,у) Е Ш2 \a^x^bAc^y^
^ d} —прямоугольник в плоскости Ш . Если функция /: Р —> Ш непре-
непрерывна, т. е. если / Е С(Р,Ш), то функция
B)
непрерывна в любой точке у Е [с,с?].
< Из равномерной непрерывности функции / на компакте Р вы-
вытекает, что <ру(х) := f(x,y) =4 f(x,yo) =: ^2/0(ж) на [°>&] при у -» 2/0,
2/, 2/о £ [с>^]- При каждом у Е [с, d] функция ^0*0 — 1{Х->У) непрерывна
по х на отрезке [а, 6], а значит, и интегрируема на нем. По теореме о
предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать,
что
6 6
г г
= lim Fly). ►
У-+УО
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утвер-
утверждение 1 о непрерывности функции B) остается в силе, если в качестве
множества значений параметра у взять любой компакт К, конечно, при
условии, что / Е СA х К, К), где I = {х Е Ш | а ^ х ^ Ь}.
Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если / Е C(I x
х Z?,R), где D—-открытое множество в Мп, то F E C(Z),M), поскольку
любая точка уо Е D имеет компактную окрестность К с £>, а ограни-
ограничение функции / на 7 хК является непрерывной функцией на компакте
IxK.
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 481
Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных фун-
функций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для
векторнозначных функций, например, для функций, принимающих зна-
значения в С, вМш или С71.
Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть I, гл. VIII,
§6) мы упоминали о следующем утверждении, называемом леммой
А дамара.
Если функция f в окрестности U точки х$ принадлежит классу
С^(и,Ш), то в некоторой окрестности точки xq ее можно предста-
представить в виде
f{x) = f(x0) + <p{x){x ~ ж0), C)
где ip — непрерывная функция, причем (р(хо) = ff(xo).
Равенство C) легко следует из формулы
1
/0го + К) - /(а*) = j f'(x0 + th) dt • h D)
Ньютона-Лейбница и утверждения 1, применяемого к функции F(h) =
i
— J ff(xo+th) dt: остается сделать замену h = х — х$ и положить (р(х) =
О
= F(x-xo).
Полезно заметить, что равенство D) имеет место для хо, h 6 W1, где
п не обязано быть только единицей. Раскрывая символ /' подробнее и
полагая для простоты записи xq = 0, можно вместо D) написать
г~1 о
и тогда в равенстве C) следует положить
п
(р(х)х = У~](рг(х)х\
ще<рг(х) = /
ОХ
i
f
о
482
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3. Дифференцирование интеграла, зависящего
от параметра
Утверждение 2. Если на прямоугольнике Р = {(х,у)
а
функция f: Р —> Ш непрерывна и имеет непрерыв-
непрерывную частную производную по у, то интеграл B) принадлежит классу
причем
E)
а
Формулу E) дифференцирования собственного интеграла B) по па-
параметру часто называют формулой или правилом Лейбница.
< Проверим непосредственно, что если уо G [с, d], то -F
вычислить по формуле E):
можно
а
ду
df
dx
V '
dx С
а
sup
ду
dx\h\ =
\h\.
a
л
а
По условию Ц е С(Р,М), поэтому Щ(х,у) =4 щ(х,Уо) на отрезке
7 откуда следует, что (р(уо, h) —> 0 при h —> 0. ►
х
Ь при у
Замечание 2. Непрерывность исходной функции / использована
в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех
участвующих в нем интегралов.
Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в
нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утвер-
утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, d\ взять выпуклый
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 483
компакт в любом векторном нормированном пространстве. При этом,
очевидно, можно еще считать, что / принимает значения в некотором
полном векторном нормированном пространстве.
В частности, и это порой бывает весьма полезно, формула E) при-
применима и к комплекснозначным функциям F комплексного переменно-
переменного у £ С и к функциям F(y) = F(y1^..., уп) от векторного параметра
у = (у\...,уп)е€п.
В последнем случае ^, конечно, можно расписать покоординатно в
виде ( Щг,..., —^- ] и получить из E) соответствующие частные про-
\ду1 дуп)
изводные |^(у) = j^L{x,y1,...,yn)dx функции F.
д1 а дУ
7Г
Пример 2. Проверим, что функция и(х) = J cos(mp — xsmmp) dip
о
удовлетворяет уравнению Бесселя х2и11 + хь! + (х2 — п2)и = 0.
Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с
формулой E), после простых преобразований находим
7Г 7Г
2
\ sin2 ip cos(n<p — х sin (p)d<p + x / sin <p s'm(mp — x sin <p) dip
0
7Г
(x2 — n2) / cos(mp — x sin <p) dip =
7Г
= ((x sin ip + n — x ) cos(mp — xsimp) —
о
— x sin ip sin(n(p — x sin (p)) dip =
= — (n + x cos ip) sm(mp — x sin ip) \q = 0.
Пример З. Полные эллиптические интегралы
тг/2 тг/2
Е(к) = [ у/\ -к2 Sin2 ip dip, К(к) = f ^ F)
J J V 1 - k2smz ip
о о v ^
как функции параметра к, 0 < к < 1, называемого модулем соответ-
484 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
ствующего эллиптического интеграла, связаны соотношениями
dE E-K dK E К
dk k ' dk k(l-k2) к'
Проверим, например, первое из них. По формуле E)
тг/2
= - ( к sin2 <р • A - к2 sin2 ip)~1/2 dtp =
dE_
~dk
о
тг/2 тг/2
Е-К
= i /"A - k2 sin2 tpI/2 dip - £ /"A - к2sin2 ер)-1'2 dip =
О
Пример 4. Иногда применение формулы E) позволяет даже вы-
вычислить интеграл. Пусть
тг/2
F(a) = / 1п(а2 - sin2 у?) ^ (а > 1).
о
Согласно формуле E)
тг/2
2а dip 7г
'И = /" -
2 — sin2 (^ у/а2 — 1'
откуда F(a) = тг ln(a + у/а2 — 1) + с.
Величину с тоже легко найти, если заметить, что при а -> +оо, с
одной стороны, F(a) = тг In а + тг In 2 + с + оA), а, с другой стороны, из
определения F(a) с учетом равенства 1п(а2 — sin2 <р) = 2 In а + оA) при
а —>■ +оо получается, что -F(a) = 7г1па + оA). Значит, 7г1п2 + с = 0и
Утверждение 2 можно несколько усилить.
Утверждение 2'. Пусть на прямоугольнике Р — {(х,у) G
a^x^bAc^y^d} функция /: Р —► R непрерывна и имеет непре-
непрерывную частную производную jf-\ пусть далее ос(у) и C(у) такие не-
прерывно дифференцируемые на [с, rf| функции, что при любом у € [с, rf]
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 485
их значения лежат на отрезке [а, Ь]. Тогда интеграл
= I f{x,y)dx G)
определен при любом у Е [c,d\, принадлежит классу С^([с}d],R) u
справедлива формула
Р/(У)=/Ш,У)-Р(У)-/Ш,У)'<*'(У)+ I ?£(x,v)dz. (8)
•^ В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по
пределам интегрирования и с учетом формулы E) можно сказать, что
функция
Р
а,)9,у) = / f{x,y)dx
а
при условиях, что а,/3 Е [а, 6] и у Е [с, </], имеет следующие частные
производные:
dx.
,y),
С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производ-
производные функции Ф непрерывны в ее области определения. Значит, Ф —
непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8) получа-
получается дифференцированием сложной функции F(y) = Ф(а(у),C{у),у). ►
Пример 5, Пусть
X
где п Е N, а / — непрерывная на промежутке интегрирования функция.
Проверим, что F^\x) = f(x).
486 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
х
При п = 1 Fi{x) = ff(t)dt и F[{x) = f{x).
о
По формуле (8) при п > 1 нах цим
X
Мб — J^n—
По принципу индукции заключаем, что, действительно, Fn (х) =
= /(х) при любом п Е N.
4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 3. Если функция /:Р^Ш непрерывна в прямо-
прямоугольнике Р — {(х,у) 6R2 \ а ^ х ^ b Лс ^ у ^ d}, то интеграл B)
интегрируем на отрезке [c,d] u имеет место равенство
d / ъ \ ъ / d
fUf(x,y)dx\ dy = J П'f(x,y)dy\ dx. (9)
a /a
М С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть простей-
простейший вариант теоремы Фубини.
Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее
обосновать его независимо от теоремы Фубини.
Рассмотрим функции
и / b \ b / и
= 1 ljf(x,y)dx\ dy, ф(п)=1 U
с \а / а \с
Ввиду того, что / Е С(Р, R) на основании утверждения 1 и непре-
непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела интегрирования,
заключаем, что (р,ф Е С([с, d],R). Далее, ввиду непрерывности функ-
Ь
ции B), находим, что (р'(и) = J/(x,u)dx, а по формуле E) получаем,
а
Ь
что ф'{и) = f f(x,u)dx при и Е [c,d]. Таким образом, <р'(и) — ф!(и) и,
а
значит, (р(и) = ^(w) + с на отрезке [с, d]. Но поскольку ip(Q) = ф@) = О,
то на отрезке [с, d\ имеет место равенство (р(и) = ^(и), из которого при
и — d получается соотношение (9). ►
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487
Задачи и упражнения
1. а) Объясните, почему функция F(y) из соотношения B) имеет предел
ь
f(p(x)dx, если зависящее от параметра у б Y семейство функций (ру{х) =
а
— f{x)V)i интегрируемых на отрезке а ^ х ^ 6, равномерно сходится на нем
к функции (р(х) при некоторой базе В bY (например, при базе у —у уо).
b) Докажите, что если .Е —измеримое множество в Ет, а функция f:Ex
х In —> Е, определенная на прямом произведении Е х 1п = {(x,t) 6 Ет+П
х 6 Е At 6 /"} множества Е и n-мерного промежутка /п, непрерывна, то
определенная равенством A) при Et — Е функция F непрерывна на 1п.
c) Пусть Р = {(х,у) бЕ2 {a^x^bAc^y^d}, и пусть / 6 С(Р,Е),
а, /3 6 С([с, d], [а, Ь]). Докажите, что тогда функция G) непрерывна на отрезке
[с А-
а
2. а) Покажите, что если / 6 С(Е,Е), то функция F(x) = ^~ f f(x -j- t)dt
—a
не только непрерывна, но и дифференцируема на Е.
Ь) Найдите производную указанной функции F(x) и убедитесь, что F 6
3. Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при \г\ < 1
7Г
F(r) = I
4. Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя,
указанному в примере 2.
7Г
2n
a) u = xn f cos(x cos ip) sin
0
n
= Bп-1)!!тг /
с) Покажите, что отвечающие различным значениям п 6 N функции J
связаны соотношением Jn+i = Jn-\ — 2J'n.
5. Развивая пример 3 и полагая к := \/1 — к2: Е(к) \— Е(к), К (к) :=
покажите, вслед за Лежандром, что
Ь) ЕК + ЁК - К К = тг/2.
6. Вместо интеграла B) рассмотрим интеграл
ь
где р — интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция (д G Ща,Ь])
488 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Повторив приведенные выше доказательства утверждений 1-3, последо-
последовательно проверьте, что
a) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция Т
непрерывна на отрезке [c,d\ (J7 Е C[c,d\).
b) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция Т
непрерывно дифференцируема на [c,d] {Т Е С^[с, d]), причем
с) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 3, то Т интегри-
интегрируема на [c,d\ {Т Е TZ[c,d\), причем
d ь / а \
f f I f \
/ F{y)dy = I / f(x1y)g{x)dy) dx.
J J \J I
с a \c /
7. Формула Тейлора и лемма Адамара.
a) Покажите, что если / — гладкая функция и /@) = 0, то f(x) = х(р(х),
где (р — непрерывная функция и (р@) = f'@).
b) Покажите, что если / Е С^ и /(*) = 0 при к = 0,1,... ,п — 1, то
f(x) = xnip(x), где <р — непрерывная функция и <р@) = -f/^@).
c) Пусть / — определенная в окрестности нуля функция класса С^п\ Про-
Проверьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в
форме Адамара:
= /(о) + tJ'
где (р — функция, непрерывная в окрестности нуля, и (р@) = —г
d) Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда / — функция
нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультиин-
дексных обозначениях
п—1
1
= Е -l
|а|=0
и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если / Е
а Е
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1, Равномерная сходимость несобственного интеграла от-
относительно параметра
а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом значе-
значении у 6 Y сходится несобственный интеграл
= Jf(x,y)dx A)
а
по промежутку [а,ы[С R. Для определенности будем считать, что ин-
интеграл A) имеет единственную особенность, связанную с верхним пре-
пределом интегрирования (т. е. или ы = +со или функция / неограничена
как функция х в окрестности точки ы).
Определение. Говорят, что несобственный интеграл A), завися-
зависящий от параметра у Е У, сходится равномерно на множестве Е С У,
если для любого числа е > О существует такая окрестность Ura^i(u>)
точки ы в множестве [а, ы[, что при любом Ь Е Ща^[(и) и любом значе-
значении у Е Е имеет место следующая оценка
I f{x,y)dx
ь
<е B)
остатка интеграла A).
Если ввести обозначение
D
Fb(y):=Jf(x,y)dx C)
а
для собственного приближения несобственного интеграла A), то при-
приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет
видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в
иной, равносильной прежней, форме:
равномерная сходимость интеграла A) на множестве Е С Y по
определению означает, что
Fb{y) =4 F(y) на Е при Ь -> ы, Ье[а,о>[. D)
490 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Действительно, ведь
ш b
= I f{z,y)dx:= lim f(x,y)dx = Jim Fb(y),
a ье[аМ a
поэтому соотношение B) можно переписать в виде
\F(y)-Fb(y)\<e. E)
Последнее неравенство справедливо при любом Ь Е Щаы((л)) и любом
у Е Е, что и указано в соотношении D).
Итак, соотношения B), D), E) означают, что если интеграл A) схо-
сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с
любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у Е Е этот
несобственный интеграл A) можно заменить некоторым собственным
интегралом C), зависящим от того же параметра у.
Пример 1. Интеграл
+ ОО
J
dx
х2 + у2
сходится равномерно на всем множестве R значений параметра у Е
поскольку при любом у Е К
+ ОО +ОО
dx f dx 1
[ dx f
J x2 + у2 ^ J
х2 Ь
Ь b
как только Ь > 1/е.
Пример 2. Интеграл
e'^dx,
I
о
очевидно, сходится, лишь когда у > 0. При этом на любом множестве
{у Е R | у ^ 2/о > 0} он сходится равномерно.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491
В самом деле, если у ^ уо > О, то
+ ОО
о
[ e~xydx = -e~by ^ — е~Ьуо -> 0 при Ь -> +со.
У У Уо
Вместе с тем на всем множестве К+ = {у Е R | у > 0} равномерной
сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости
интеграла A) на множестве Е означает, что
ЗуЕЕ
U)
I
f(x,y)dz
>
В нашем случае в качестве во можно взять любое действительное
число, поскольку
+ОО
/е~ху dx = -е~Ьу -> +оо, когда у -> +0,
каково бы ни было фиксированное значение Ь Е [0, +оо[.
Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в
дальнейшем воспользуемся.
Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов
+ОО
ф(х)= f xV*
+оо
F{y)= f xaya
в которых а и C — фиксированные положительные числа, сходится рав-
равномерно на множестве неотрицательных значений параметра.
492 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что
f xaya
+ОО +ОО
= [(хуГе-^у^е-Уёу < Ма Г у^е'У dy,
где Ма — max uae u. Поскольку последний интеграл сходится, то
0^u<+oo
при достаточно больших значениях Ь Е К он может быть сделан меньше
любого наперед заданного числа е > 0. Но это и означает равномерную
сходимость интеграла Ф(х).
Теперь рассмотрим остаток второго интеграла F(y):
+00
у f\xy)ae~xyydx = yPe-y f ua
+ ОО +ОО
e~u du,
b by
Поскольку при 2/^0
+ОО +ОО
/ uae~udu^ I uae~udu < +00,
by 0
a y@e~y -> 0 при у —> 0, то для е > 0, очевидно, найдется такое число
Уо > 0, что при любом у 6 [0, уо] остаток интересующего нас интеграла
будет меньше е независимо даже от значения b E [0, +оо[.
Если же у ^ уо > 0, то, учитывая, что Мр = max у@е~у < +оо, а
+ОО +ОО
0 ^ J uae~u du ^ / uae~udu —> 0 при Ь -> +оо, заключаем, что при
Ьу Ьуо
всех достаточно больших значениях Ь 6 [0, +оо[ одновременно для всех
значений у ^ уо > 0 остаток интеграла F(y) можно сделать меньшим,
чем г.
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493
Объединяя участки [0, уо], [У0)+со[, заключаем, что, действительно,
по любому г > О можно так подобрать число 5, что при любом b > В и
любом у^О соответствующий остаток интеграла F(y) будет меньше,
чем е.
Ь. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла
Утверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтобы несобст-
несобственный интеграл A), зависящий от параметра у Е Y, сходился рав-
равномерно на множестве Е С У', необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 существовала такая окрестность U[a^[(u) точки и), что
при любых 61,62 £ Ща,ш[{^) и любом у Е Е выполняется неравенство
Ь2
I
f(x,y)dx
<€.
F)
•4 Неравенство F) равносильно соотношению |-Рь2(у) — Fbi(y)\ < e>
поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи D) опре-
определения равномерной сходимости интеграла A) и критерия Коши рав-
равномерной сходимости на Е семейства функций -Р&(у), зависящих от па^
раметра Ь Е [а,ы[. ►
В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рас-
рассмотрим следующее иногда полезное его
Следствие 1. Если функция f в интеграле A) непрерывна на
множестве [a,w[x[c,d], о» сам интеграл A) сходится при любом у Е
E]c,d[, но расходится при у — с или у = d, то он сходится неравно-
неравномерно на интервале ]c,d[, равно как и на любом множестве Е с]с, d[,
замыкание которого содержит точку расходимости.
М Если при у = с интеграл A) расходится, то на основании критерия
Коши сходимости несобственного интеграла существует число €q > 0
найдутся числа 6i, 62, для
такое, что в любой окрестности
которых
Ь2
f(x,c)dx
bi
02
I
G)
494
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Собственный интеграл
f(x,y)dx
является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем
отрезке [с, d\ (см. утверждение 1 из § 1), поэтому при всех значениях у,
достаточно близких к с, вместе с неравенством G) будет выполняться
неравенство
ь2
f(x,y)dx
>
На основании критерия Коши равномерной сходимости несобствен-
несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рас-
рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком
подмножестве Е с]с, d[, замыкание которого содержит точку с.
Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится
при у = d. ►
Пример 4. Интеграл
е tx dx
сходится при t > 0 и расходится при t = О, поэтому он заведомо сходит-
сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем
нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на
всем множестве {t Е R | t > 0} положительных чисел.
В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно:
tx dx =
1
— W
+oo при t -> +0.
Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множе-
множестве {t Е
0<
> 0} наш интеграл сходится равномерно, поскольку
+О0
—w
1
е du —> 0 при Ь —> +оо.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495
с- Достаточные условия равномерной сходимости несобст-
несобственного интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 2 (признакВейерштрасса). Пусть функции f(x,у),
д(х,у) интегрируемы по х на любом отрезке [а,Ь] С [a,w[ при каждом
значении у G У.
Если при каждом значении у G У и любом х G [а, и)[ имеет место
неравенство |/(ж,у)| ^ д(х,у), а интеграл
g(x,y)dx
а
сходится равномерно на Y', то интеграл
f(x,y)dx
а
сходится абсолютно при каждом у G Y и равномерно на множест-
eeY.
Это следует из оценок
Ь-2
f(x,y)dx
62
\f(x,y)\ dx ^ / g(x,y)dx
h
и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде-
(утверждение 1). ►
Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда фун-
функция g вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае до-
доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком
Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.
Пример 5. Интеграл
оо
cos аз;
1+х2
dx
о
сходится равномерно на всем множестве К значении параметра а, по-
оо
скольку
cos ax
1+х4
1 r dor
2 5 a интеграл J ^ сходится.
1 ~г X п 1 ~г X
496
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 6. Ввиду неравенства
sin
—tx'
оо
smze
—tx1
dx,
,—tx'
интеграл
как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится рав-
равномерно на любом множестве вида {t Е Ш \ t ^ to > 0}. Поскольку
при t = 0 интеграл расходится, на основании следствия критерия Ко-
ши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком
множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.
Утверждение 3 (признак Абеля-Дирихле). Предположим, что
функции /(#, у), д(х, у) при каждом значении у EY интегрируемы по х
на любом отрезке [а, Ь] С [а,ы[.
Для равномерной сходимости интеграла
UJ
I
а
U
на множестве Y достаточно, чтобы была выполнена любая из следу-
следующих двух пар условий:
ori) Существует постоянная М Е К такая, что при любом b E
Е [а,и>[ и любом у EY выполнено неравенство
f(x,y)dx
а
А) при каждом у Е Y функция g(x,y) монотонна по х на проме-
промежутке [o,w[ и g(x,y) =3 0 на Y при х —> to, x E [а, с
Интеграл
f(x,y)dx
а
сходится равномерно на множестве У;
/%) при каждом у Е Y функция д(х,у) монотонна по х на проме-
промежутке [а, и>[ и существует постоянная М ЕШ такая, что при любом
х Е [а,ы[ и любом у EY выполнено неравенство
\д(х,у)\
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497
<4 Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что
f(x,y)dx,
£ £ [&ъ&г]- Если 6i и £>2 брать в достаточно малой окрестности
Ща^[(и) точки о;, то правую часть написанного равенства можно сде-
сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа е > 0, причем
сразу для всех значений у € У. В случае первой пары условий ai), /?i)
это очевидно. В случае второй пары а^), /Зг) это становится очевид-
очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости
интеграла (утверждение 1).
Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что
исходный интеграл от произведения / -д по промежутку [a, w[ действи-
действительно сходится равномерно на множестве Y значений параметра. ►
Пример 7. Интеграл
sin я;
ха
как следует из критерия Коши и признака Абеля - Дирихле сходимо-
сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при a > 0. Полагая
/(ж,a) = sina:, д(х,а) — #~а, видим, что при а ^ ао > 0 для рассма-
рассматриваемого интеграла выполнена пара ai), /3i) условий утверждения 3.
Следовательно, на любом множестве вида {а € Ш | а ^ «о > 0} данный
интеграл сходится равномерно. На множестве {a G К | a > 0} всех
положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно,
поскольку он расходится при a = 0.
Пример 8. Интеграл
sin х
е ху dx
х
сходится, и притом равномерно, на множестве {у € К | у ^ 0}.
<4 Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несоб-
несобственного интеграла легко заключить, что при у < 0 данный интеграл
498 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
sins
вообще расходится. Считая теперь у ^ 0 и полагая JV-,y/ — х ,
д(х,у) = е~Ж2/, видим, что выполнена вторая пара 0:2M А) условий
утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассма-
рассматриваемого интеграла на множестве {у Е R | у ^ 0}. ►
Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее
важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные соответству-
соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде,
чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.
Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основ-
основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла, мы
всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественно-
значных функций. Вместе с тем, как теперь легко проанализировать,
полученные результаты распространяются и на интегралы от вектор-
нозначных функций, в частности, на интегралы от комплекснозначных
функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии
Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее
векторное пространство значений подынтегральной функции являет-
является полным (для М, С, Rn, U1 это выполнено), а в признаке Абеля-
Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости
рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель
произведения / •#, относительно которого предполагается, что он явля-
является монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным результа-
результатам последующих пунктов этого параграфа.
Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл A),
единственная особенность которого была связана с верхним пределом
интегрирования и). Аналогично определяется и исследуется равномер-
равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана
с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет особенно-
особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют
в виде
f(x,y)dx= / f(x,y)dx+ / f(x,y)dx,
LO\ UJ\ С
где с G ]wi, u^k и считают сходящимся равномерно на множестве
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 499
если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства
интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не
зависит от выбора точки с
2. Предельный переход под знаком несобственного инте-
интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависяще-
зависящего от параметра
Утверждение 4. Пусть /(я, у) — семейство зависящих от пара-
параметра у EY функций7 интегрируемых хотя бы в несобственном смы-
смысле на промежутке а ^ х < и), и пусть By — база в Y.
Если
а) для любого b Е [o,
f(x,y) =3 <p(x) на [a, ft] при базе By
и
b) интеграл J f(x,y)dx сходится равномерно на Y,
а
то предельная функция <р несобственно интегрируема на [а, и>[ и
справедливо равенство
UJ UJ
lim / /(ж, у) dx = I tp(x) dx. (8)
"у J J
а а
Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы:
Fb(y):=ff(x,y)dx =1 ]f(x,y)dx=:F(y)
а Ь-иь> а
Ь ^ ш
J (p(x) dx > J (p(x) dx .
a к1?Ш г а
Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и
теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла
(см. теорему 3 из § 3 гл. XVI).
Верхний горизонтальный переход есть запись условия Ь).
17-4574
500 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда
следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов.
Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в ле-
левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный пре-
предельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоя-
стоящий в правой части равенства (8). ►
Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае не-
несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенст-
равенства (8), вообще говоря, недостаточно.
Пример 9. Пусть Y = {у G К | у > 0}, а
если ° < х < У>
если у<х^
Очевидно, /(я, у) =4 0 на промежутке 0 ^ х < +оо при у —> +оо. Вместе
с тем, при любом у G У
+оо у у
I f(x, y)dx= I f(x, у) dx = / - dx - 1,
0 0 0
поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места.
Используя теорему Дини (утверждение 2 § 3 гл. XVI), из только что
доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное
Следствие 2. Пусть при каждом значении вещественного пара-
параметра у G Y С К вещественнозначнал функция /(ж, у) неотрицатель-
неотрицательна и непрерывна на промежутке а ^ х < и).
Если
a) с ростом у функции f(x,y), монотонно возрастая, стремятся
на [a,w[ к функции <р(х),
b) (ре С([а,ш[,Ш) и
c) интеграл J <p(x) dx сходится,
а
то справедливо равенство (8).
<4 Из теоремы Дини следует, что f(x,y) =£ <p{x) на каждом отрезке
[a, b] С [a,
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 501
Из неравенств 0 ^ f(x,y) ^ ¥>(#) и мажорантного признака равно-
равномерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у
сходимость интеграла от f(x,y) по промежутку а ^ х < со.
Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит,
имеет место равенство (8). ►
Пример 10. В примере 3 из § 3 гл. XVI мы проверили, что после-
последовательность функций fn(x) = n(l — ж1'") является монотонно возра-
возрастающей на промежутке 0 < х ^ 1, причем fn(x) /* In ^ при п —> +оо.
Значит, по следствию 2
1 1
lim I n(l-xlln)dx= [\n-dx.
n^ooj J X
Утверждение 5. Если
а) функция f(x,y) непрерывна на множестве {(х,у) G М2 | а ^ х <
UJ
Ь) интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится равномерно на [с, d\, то
а
функция F(у) непрерывна на [с, d\.
<4 Из условия а) следует, что при любом Ь G [а,и>[ собственный ин-
интеграл
о
= / f(x,y)dx
а
является функцией, непрерывной на [с, d\ (см. утверждение 1 § 1).
По условию b) Fb(y) =£ F(y) на [с, d\ при Ь —у w, Ь G [a, w[, откуда
теперь и следует непрерывность на [с, d] функции F(y). ►
Пример 11. В примере 8 было показано, что интеграл
+ОО
Р(У)= J —e xydx (9)
о
сходится равномерно на промежутке 0 ^ у < +оо. Значит, на основании
утверждения 5 можно заключить, что функция F(y) непрерывна на
каждом отрезке [0, d\ С [0, +оо[, т. е. непрерывна и на всем промежутке
502 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
0 ^ у < +оо. В частности, отсюда следует, что
+ ОО +ОО
hm / е xydx = / dx. A0)
2/^+0 У a: J х
о о
3. Дифференцирование несобственного интеграла по пара-
параметру
Утверждение 6. Если
a) функции /(а:,у)? fly{x,y) непрерывны на множестве {(х,у) Е 1R2
а ^ х < и> Лс ^. у ^ d},
b) интеграл Ф(у) = / ffy(x,y)dx сходится равномерно на множес-
а
тве Y = [c,d\, a
c) интеграл F(y) = J f(x,y)dx сходится хотя бы при одном значе-
а
нии уо G Y,
то он сходится, и даже равномерно, на всем множестве У; при
этом функция F(y) оказывается дифференцируемой и справедливо ра-
равенство
'(у) = I fy(x, У) dx.
а
В силу условия а) при любом Ь G [а, и)[ функция
о
Fb(y) = / f(x,y)dx
а
определена и дифференцируема на промежутке с ^ у ^ d, и по правилу
Лейбница
ь
а
В силу условия Ь) семейство зависящих от параметра Ь G [а, и)[ фун-
функций (Fb)y(y) сходится равномерно на [c,d] к функции Ф(у) при Ь
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 503
По условию с) величина -Рь(уо) имеет предел при Ь —> w, Ь € [а,
Отсюда следует (см. теорему 4 § 3 гл. XVI), что само семейство фун-
функций Fb(y) сходится на [с, d\ равномерно к предельной функции -F(y),
когда b —> о;, Ь Е [a,w[, при этом функция F оказывается дифференци-
дифференцируемой на промежутке с ^ у ^ d и имеет место равенство Ff(y) — Ф(у).
Но это как раз то, что и требовалось доказать. ►
Пример 12. При фиксированном значении а > 0 интеграл
+ ОО
vae~xydx
о
сходится равномерно относительно параметра у на любом промежутке
вида {у G К | у ^ уо > 0}: это следует из оценки 0 ^ хае~ху < хае~хуо <
< е~х 2 ? справедливой при всех достаточно больших значениях a: G М.
Значит, по утверждению 6, функция
F(y) - / e~xydx
о
бесконечно дифференцируема при у > 0 и
+ ОО
о
Но F(y) — i поэтому F^n\y) = (—1)п-^гг, и, следовательно, можно
ы it
заключить, что
-|-ОО
(-l)n f хп>
0
В частности, при у = 1 получаем
+ ОО
tne~x dx = п\
о
Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле
sin а:
х
о
504 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у > 0
+ 0О
0
поскольку интеграл A1) сходится равномерно на любом множестве ви-
вида {у е R | у > уо > 0}.
Интеграл A1) легко вычисляется через первообразную подынте-
подынтегральной функции и получается, что
0
откуда следует, что
F(y) = — arctgy + с при у > 0. A2)
При у -» +оо, как видно из соотношения (9), F(y) -» 0, поэтому из A2)
следует, что с = тг/2. Теперь из A0) и A2) получается, что -Р(О) = тг/2.
Итак,
/sinx __ тг
х 2"'
о
Заметим, что использованное при выводе равенства A3) соотноше-
соотношение «F(y) —> 0 при у —> +оо» не является прямым следствием утвержде-
утверждения 4, поскольку ^^-е~ху =$ 0 при у -» +оо лишь на промежутках вида
{х £ Ш | х ^ xq > 0}, а на промежутках вида 0 < х < хо равномерной
сходимости нет: ведь Щ±£е~ху -» 1 при х -» 0. Но при хо > 0
сю хо +оо
sinx
/sinx __.. 7 /"sinx _TW . /* si
e xydx=: / e xydx+ I
x J x J x
0 0 xo
e xy dx
и, если задано е > 0, то сначала выберем xq столь близко к нулю, что
sinx ^ 0 при х € [0,Хо] и
ХО XQ
f si
f sinx _ /sinx e
0 < / е xydx< / dx < -
У У 2
о о
при любом у > 0, а затем, фиксировав хо, на основании утверждения 4,
устремляя у к +оо, сделаем интеграл по промежутку [хо,+оо[ тоже по
модулю меньшим, чем е/2.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 505
4, Интегрирование несобственного интеграла по пара-
параметру
Утверждение 7, Если
а) функция f(x,y) непрерывна на множестве {(х,у) еК2 | а ^ х <
и
U)
b) интеграл F(y) = f /(x, y) dx сходится равномерно на промежут-
а
ке [c,d\,
то функция F интегрируема на [с, d\ и справедливо равенство
d oj oj d
dy f(x,y)dx = / dx / f{x,y)dy. A4)
с а а с
<4 При b £ [a,co[ на основе условия а) и утверждения 3 из § 1 для
собственных интегралов можно записать, что
d Ь Ь d
dy f(x, y)dx= I dx I f(x, y) dy. A5)
a a
Используя условие b) и теорему 3 § 3 гл. XVI о предельном переходе
под знаком интеграла, в левой части равенства A5) делаем предельный
переход при Ь -» ш, b G [a,w[ и получаем левую часть равенства A4).
Правая часть равенства A4) по самому определению несобственного
интеграла является пределом при b —> со, b £ [а,со[ правой части ра-
равенства A5). Таким образом, благодаря условию Ь) из A5) при b —> со,
b£ [a,co[, получаем равенство A4). ►
Следующий пример показывает, что, в отличие от случая переста-
перестановки двух собственных интегралов, одного условия а), вообще говоря,
недостаточно для справедливости равенства A4).
Пример 14. Рассмотрим функцию f(x,y) = B — ху)хуе~ху на
множестве {(х,у) G М2 | 0 ^ х < +оо Л 0 < у ^ 1}. Используя пер-
первообразную и2е~и функции B — и)ие~и, легко подсчитать непосред-
непосредственно, что
1 +0О +ОО 1
0= dy / B -xy)xye~xydx / / dx I B - xy)xye~xy dy = 1.
506 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Следствие 3, Если
а) функция f(x,y) непрерывна на множестве Р = {{х,у) G М2 | а
b) неотрицательна на Р и
c) интеграл F(y) = f f(x,y)dx как функция у непрерывен на про-
а
межутке г
то имеет место равенство A4).
4 Из условия а) следует, что при любом ft £ [а,со[ интеграл
ь
Ыу) = / f(x,y)dx
а
является непрерывной по у функцией на отрезке [с, d].
Из условия Ь) вытекает, что Ръх{у) ^ Ffoiv) ПРИ &i ^ ^2-
На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что
Fb =$ F на [с, d\ при ft -» ш, ft £ [а, ш[.
Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следователь-
следовательно, в рассматриваемом случае равенство A4) действительно имеет мес-
место. ►
Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем
функция f(x,y) не является знакопостоянной.
В заключение докажем теперь одно достаточное условие переста-
перестановочности двух несобственных интегралов.
Утверждение 8, Если
a) функция f(x,y) непрерывна на множестве {{х,у) £ М2 | а ^ х <
< LO Л С ^ у < Щ,
b) оба интеграла
U)
F{y)= I f(x,y)dx, Ф(х)= I f(x,y)dy
а
сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке
[с, d] С [с,и$[, а второй — относительно х на любом отрезке [a, ft] С
С [а,а;[,
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 507
с) существует хотя бы один из двух повторных интегралов
U3 U) U3 U3
dy \f\(x,y)dx, / dx j \f\(x,y)dy,
с а ас
то имеет место равенство
U3 U3 U3 U3
dy f(x, y)dx= dx f(x, у) dy. A6)
a a
< Пусть для определенности существует второй из двух указанных
в с) повторных интегралов.
Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании утвержде-
утверждения 7 можно сказать, что при любом d G [с,5[ для функции / справед-
справедливо равенство A4).
Если мы покажем, что при d —> 5, d € [с,ш[ правая часть равен-
равенства A4) стремится к правой части соотношения A6), то равенство A6)
будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существо-
существовать и являться пределом левой части равенства A4) по самому опре-
определению несобственного интеграла.
Положим
d
~ I f(x,y)dy.
При любом фиксированном d E [с,5[ функция Ф^ определена и, вви-
ввиду непрерывности /, непрерывна на промежутке а ^ х < ш.
В силу второго из условий Ь) на любом отрезке [а, Ь] С [а, ш[
=1 Ф(х) при d -> 2, d G [c,u5[.
из из
Поскольку |Ф<*(ж)| < f \f\(x,y)dy =: G(x), a интеграл fG(x)dx, co-
c a
впадающий со вторым из интегралов условия с), по предположению схо-
сходится, на основе мажорантного признака равномерной сходимости за-
из
ключаем, что интеграл f Ф^х) dx относительно параметра d сходится
а
равномерно.
508 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, выполнены условия утверждения 4 и можно заклю-
заключить, что
/ Фл(х)ёх = /
J J
lim
а именно это нам и оставалось проверить. ►
Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 до-
дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является
случайным.
Пример 15. Вычисление при А > 0 интеграла
/
2 2
ЯГ — УZ , X
dx = —
(х2 -\-у2J х2 + у2
+оо
А 1
А А
А2 Л-у2 А
показывает заодно, что при любом фиксированном значении А > 0
он сходится равномерна относительно параметра на всем множестве R
действительных чисел. То же самое можно было бы сказать об инте-
интеграле, отличающемся от написанного заменой dx на dy. Значения этих
интегралов, кстати, отличаются только знаком. Прямое вычисление по-
показывает, что
4 1 I /~9 i 9\9 */ * \ */ / (~9 i 9\9
I If /pZ J_ niZ 1Z I If /j«Z I niZ \Z
«/ «/ \ £7 / »/ i/ V ' £7 /
Пример 16. При а > 0 и /3 > 0 повторный интеграл
+ ОО +0О +СХ) +СХ)
0 0 0 0
от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное
тождество, существует: он равен нулю при у = 0 и равен / у@е~у dy -
о
■ / иае~и du при у > 0. Таким образом, в этом случае выполнены усло-
0
вия а) и с) утверждения 8. То, что для рассматриваемого интеграла
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509
выполнены оба условия Ь), было проверено в примере 3. Значит, в силу
утверждения 8, имеет место равенство
+0О +0О +0О +0О
f dy f xaya^+1e~^x^ dx = f dx f xaya
0 0 0 0
Подобно тому, как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из утвер-
утверждения 8 можно вывести
Следствие 4. Если
a) функция f{x,y) непрерывна на множестве
Р = {(х,у) еК2 \а^х <и Лс^у <£},
b) неотрицательна на Р,
c) оба интеграла
F(y) = J f(x,y)dx, Ф(х) = J f(x,y)dy
а
являются непрерывными функциями на промежутках [а,о;[; [с,ш[ со-
соответственно и
d) существует хотя бы один из повторных интегралов
dy f(x,y)dx, dx f(x,y)dy,
a a
то существует и другой повторный интеграл, причем их значения
совпадают.
М Рассуждая, как и при доказательстве следствия 3, из условий
а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом
случае выполнено условие Ь) утверждения 8. Поскольку / ^ 0, наше
условие d) совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом,
все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место равенст-
равенство A5). ►
Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имею-
имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сво-
сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной
510 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утвержде-
утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам ]u;i,u;2[C Ж.
При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на
отрезках [a, ft] С [а,а;[, теперь должны быть выполнены на отрезках
[a, ft]
Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных
интегрирований, покажем, что
= ~^. A7)
Это известный интеграл Эйлера - Пуассона.
^ Заметим сначала, что при у > О
+ 0О +0О
г уху) dx
~ f e~u2 du = y [
и что значение интеграла в равенстве A7) не изменится от того, пони-
понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу [0,+оо[ или по интервалу
]0,+оо[.
Таким образом,
+ОО +0О +0О +0О
f уе~У2 dy [ е-(*»>2 dx = [ е~У2 dy f е~и' du = J2,
при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интер
вала ]0, +оо [.
Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо из
менение порядка интегрирований по переменным х и у, поэтому
откуда и следует равенство A7).
Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований.
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511
Функция
+ 0О
1 1
— (Л _|_т2<и'2
уе
о
непрерывна при х ^ 0, а функция
-f оо
/"
непрерывна при у > 0. Учитывая сделанное выше общее замечание 3,
на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение
порядка интегрирований действительно законно. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть а = ао < ai <.<an<...<uj. Представим интеграл A) в виде
оо а-п
суммы ряда ^2 <Рп(у), гДе ^п(у) = / f(%,y)dx. Докажите, что интеграл A)
п=1 о-п—1
сходится равномерно на множестве Е CY тогда и только тогда, когда любой
оо
последовательности {ап} указанного вида отвечает ряд ^ (рп(у), сходящийся
равномерно на множестве Е.
2. а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае
комплекснозначной подынтегральной функции /.
Ь) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения.
1
3. Проверьте, что функция Jq(x) = — f c^= dt удовлетворяет уравне-
о v 1 -*
нию Бесселя у" + ^-у' + у = 0.
+ ОО +ОО
4. а) Исходя из равенства Г „ У „ = £-, покажите, что Г о У „— =
Q •*- "T У 0 ^ ' " '
_ 7Г Bn - 3)!! 1
' Bn - 2)!! ' a;2n-l •
+ OO
b) Проверьте, что /
^
с) Покажите, что A + (у2/п)) \ е~у на М. при п —>■ +оо и что
-/-со -/-со
/ / е
512 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
d) Получите следующую формулу Валлиса:
Bп-3)!! ]
hm
Bп - 2)!!
5. Учитывая равенство A7), покажите, что
+ °° _ 2 1 _ 2
а) / е~х cos 2xy dx = ^у/пе у .
2^2
2 22
b) / е~х s'm2xydx = е~у Jеь dt.
о о
6. При условии t > 0 докажите тождество
+ оо +оо
t
е tx f sm(# — t)
dx — I ::::^ — dx,
о
x2 J x
используя то обстоятельство, что оба эти интеграла как функции параметра t
удовлетворяют уравнению у + у = 1/t и стремятся к нулю при t —> +00.
7. Покажите, что
[K(k)dk=7-*-*p (=[?«*Zdx),
J J siny? I J x
0 \ 0
*72
где К (к) = / . ^ —полный эллиптический интеграл первого рода.
О у 1 - к2 sin2 ip
8. а) Считая, что а>0и&>0и используя равенство
Ь +00
/T/ —ЭЧ1 J /^ ^ T
Wrt> I /Э i/ rlit I fill*
(JLJL I о U,у — I UJ/,
У У а:
О о О
вычислите последний интеграл.
Ь) При а > 0, b > 0 вычислите интеграл
f е~ах - еа:
/ cos х
J x
о
с) Используя интеграл Дирихле A3) и равенство
+oo Ь +оо
/dx f , /* cos аж — cos for
— / smxydy= / = dx,
xi I xz
О а О
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 513
вычислите последний интеграл.
9. а) Докажите, что при к > О
+ ОО +00 +ОО +ОО
f e~ktsintdt f e~tu2du= f du f e~{kW)t sintdt.
0 0 0 0
b) Покажите, что предыдущее равенство остается в силе и при значении
c) Используя интеграл Эйлера-Пуассона A7), проверьте, что
+ ОО
-1 = * [ е-2 du.
yt V Я" J
О
d) Используя последнее равенство и соотношения
+ОО +ОО +ОО +ОО
/о, 1 /" sini , Г п. If cost ,
sin x ox— - I —=- dt, I cos x dx— - I —■=- dt,
2 J Vi J 2 J Ji
0 0 0 0
получите значение (^л/^) интегралов Френеля
+ OO +OO
/Г
sin x2 dx, / cos x2 dx.
j
о о
10. а) Используя равенство
-boo +oo +oo
/sin x f f
dx — / sinxdx I e~xy dy
о oo
и обосновав возможность изменения порядка интегрирований в повторном
интеграле, получите вновь найденное в примере 13 значение интеграла Дирих-
Дирихле A3).
Ь) Покажите, что при а > 0 и /3 > О
. f f, если /?<а,
sin ах _ , 12 п
cospxdx = < j, если р = а,
[ 0, если /3 > а.
х
о
Этот интеграл часто называют разрывным множителем Дирихле.
514 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с) Считая а > 0, /3 > О, проверьте равенство
+ ОО
/sin ax sin вх , Г £/?, если в < а,
хх \ f а, если а ^ /3.
о
п
d) Докажите, что если числа о;, а\,..., ап положительны иа > ^) а^, то
+ ОО
...ах
хх х 2
о
sin ах sinaix sinanx тт
ах ~ -
2
11. Рассмотрим интеграл
где д—локально интегрируемая на промежутке [а7си[ функция (значит, при
любом b E [а, си[ д\[а,ь] £ *Ща, Ь]). Пусть функция / удовлетворяет порознь усло-
условиям а) утверждений 5-8. Если в остальных условиях этих утверждений под
знаком интеграла f(x,y) заменить на f(x,y) • д{х), то получатся условия, при
которых можно, используя задачу 6 из § 1 и дословно повторяя доказательства
утверждений 5-8, заключить соответственно, что
[4
Ь) Те C^[c,d\, причем
с) Т е 7£[c,d], причем
d и / d
J T{y) dy = J If f(x, y)g{x) dy I dx.
а \с
d) Т несобственно интегрируема на [с,а;[, причем
ш
JT{y)dy = J IJf{x,y)g{x)dy\ dx
a \c
Проверьте это.
§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 515
§ 3. Эйлеровы интегралы
В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано прило-
приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа кон-
конкретным интегралам, зависящим от параметра.
Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно
называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции:
В(а,/3):= fxa-l(l-xf-ldx, A)
о
+ ОО
Г(а) :-/«-.-.*. B)
О
Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто
используемую, гамма-функцией Эйлера.
1. Бета-функция
a. Область определения. Для сходимости интеграла A) на ниж-
нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялось условие а > 0. Аналогично, сходимости интеграла A) в единице
отвечает условие /3 > 0.
Таким образом, функция В(а, /3) определена при одновременном вы-
выполнении двух условий:
а > 0 и /3 > 0.
Замечание. Мы здесь всюду считаем аи/3 действительными чи-
числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина
свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций
связаны с выходом в область комплексных значений параметров.
b. Симметричность. Проверим, что
C)
< Для доказательства достаточно в интеграле A) сделать замену
переменной х = 1 — t. ►
516 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с. Формула понижения. Если а > 1, то имеет место равенство
В(а,C)= В(а~1,C). D)
а + р — I
^ Выполняя при а > 1 и /3 > 0 интегрирование по частям и тожде-
тождественные преобразования, получаем
• " »
1 г
J
1
a-1
[ха~2(A - а;)^ - A
/3
о
откуда и следует формула понижения D). ►
Учитывая формулу C), можно теперь записать формулу понижения
B(a,/3)= f1 В(а,;9-1) D')
О! + Р — I
по параметру /3, считая, разумеется, что C > 1.
Непосредственно из определения функции В видно, что В (а, 1) = —,
поэтому при п Е N получаем
п(„ *Л г* "-2 n-(n-l)
В(О!, П) = • • . . . • ; Т^ЩЫ, Ч =
а + п — 1 а + п-2 а + п — (п — 1)
1М
• E)
a(a + 1) •... • (а + п — 1)
В частности, при m,nEN
d. Другое интегральное представление функции В. Иногда
бывает полезно следующее представление бета-функции:
О
Оно получается из A) заменой переменной х = * У . ►
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 517
2. Гамма-функция
a. Область определения. Из формулы B) видно, что задающий
функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а > О, а на бесконечно-
бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е~х, сходится при любом
значении а Е К.
Таким образом, функция Г определена при а > 0.
b. Гладкость и формула для производных. Функция Г беско-
бесконечно дифференцируема, причем
[
0
< Проверим сначала, что при любом фиксированном значении п Е
Е N интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра а на
каждом отрезке [а,Ь] с]0,+оо[.
Если 0 < а ^ а, то (поскольку ха12 1пп х —> 0 при х —> +0) найдется
число Сп > 0 такое, что
l^-1 lnn xe~x
при 0 < х ^ Сп, Значит, на основании мажорантного признака равно-
равномерной сходимости можно заключить, что интеграл
Сп
/п/—Л л т) —т 1
х In xe dx
о
сходится равномерно по а на промежутке [а, +оо[.
Если же а ^ Ь < +оо, то при х ^ 1
ха Мппже
х
6-1
1пп х
.—ж
)
и аналогично заключаем, что интеграл
+оо
хе~х dx
f xa~l In71
сходится равномерно по а на промежутке ]0, Ь]
518 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится равно-
равномерно на любом отрезке [о,Ь] с]0, +оо[.
Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла A)
законно. Значит, на любом таком отрезке [а,Ь], a следовательно и на
всем промежутке 0 < а, функция Г бесконечно дифференцируема и
справедлива формула (8). ►
с. Формула понижения. Имеет место соотношение
= аГ(а), (9)
называемое формулой понижения для гамма-функции.
^ Интегрируя по частям, находим, что при а > О
+ОО +ОО
Г(а + 1) := f xae~x dx = ~хае~х\J°° + а /" a^e"* da; -
о о
+оо
Г ,
-a J х
О
+оо
Поскольку ГA) =: f e~x dx = 1, заключаем, что при п Е N
о
Г(п + 1) =п! A0)
Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретико-
числовой арифметической функцией п!
d. Формула Эйлера —Гаусса. Так обычно называют следующее
равенство:
Г(а) - lim па . — *" V гг- (И)
v } п^оо а(а + 1) •... • (а + п - 1) v У
^ Для его доказательства сделаем в интеграле B) замену перемен-
переменной х = In ^ и получим новое интегральное представление функции Г:
1
Г(а)= An* (-} du. A2)
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 519
В примере 3 § 3 гл. XVI было показано, что последовательность фун-
функций fn(u) = n(l — и1/71), монотонно возрастая, сходится на промежутке
О < и < 1 к функции In ( - 1 при п —> оо. Используя следствие 2 из § 2
(см. также пример 10 из § 2), заключаем, что при а ^ 1
1 1
An**'1 (-} du = lim na~l f(l-ulln)a-ldu. A3)
J \uj n->oo J
0
Сделав в последнем интеграле замену переменной и = г>п, из A2),
A3), A), C) и E) получаем
Г(а)= lim na [ vn~l{l - v)a~l dv =
п—>оо J
о
= lim naB(n,a) = lim naB(a, n) —
= lim n •
n-»oo a(a + 1) • ... • (a + n — 1)
Применяя к доказанному для а ^ 1 соотношению Г(а) = lim naB(a, п)
формулы понижения D) и (9), убеждаемся в справедливости форму-
формулы A1) при всех а > 0. ►
е. Формула дополнения. При 0 < а < 1 значения а и 1 — а ар-
аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому ра-
равенство
Г(а) • ГA - а) = ^— @ < а < 1) A4)
shitto:
называют формулой дополнения для гамма-функции.
-4 Используя формулу Эйлера-Гаусса A1), после простых тожде-
тождественных преобразований находим, что
/ (n — lV
Г(а)ГA - а) - lim (па— -^ f х
v } v ' n>oo\ а(а + 1) (а + п 1)
520 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
хп
\ =
= lim (п т г х
V ( )
х
(i-f)(i-f)-----(i-^r)(«-
= — lim
а n-юо Л а2 А Л а
V1 J [} г
2 А Л а2
Итак, при 0 < а < 1
П
Но имеет место классическое разложение
00 / a2\
sinTTo; = тга ГТ A ^ I . A6)
ХА V и /
71 = 1 Ч '
(Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку
позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве
простого примера использования общей теории; см. гл. XVIII, §2, при-
пример 6.)
Сопоставляя соотношения A5) и A6), приходим к формуле A4). ►
Из формулы A4), в частности, следует, что
Г (I) = ,/i. A7)
Заметим, что
1 \ Г Г -у
1 1 / —1/9 —Т 1 гх I —II2 1
1 -— I <Г *-/*'£> Х Hrr / I f> fill
V J J
о о
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 521
и, таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эйлера-
Пуассона:
+оо
1
/
е du = -
о
3. Связь между функциями В и Г. Сопоставляя формулы F)
и A0), можно заподозрить следующую взаимосвязь:
между функциями В и Г. Докажем эту формулу.
< Заметим, что при у > 0
=уа f xa
поэтому справедливо также равенство
.а—1
Via 4- в) • иа~1 , Г ,
п \Лв =у / xa+e~le-^xdx
о
используя которое, с учетом формулы G), получаем
Г(а
о
+оо / +оо
-boo / +oo
-boo / +oo
= f fy^
522 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Vх /{xy)a~l
dx =
xe~x [ ua~le~udu dx = I» • Г(/3).
о
Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком ра-
равенство. Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из § 2. ►
4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую
группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные
здесь специальные функции В и Г.
Пример 1.
тг/2
2'2
о
-4 Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену пе-
переменной sin2 (p = х. ►
Используя формулу A8), интеграл A9) можно выразить через функ-
функцию Г. В частности, с учетом A7) получаем
тг/2 тг/2
sina ipdip = I cosa~ ipdip = — . 4-1 \ • B0)
J ^1 \~~T~)
о о z
Пример 2. Одномерный шар радиуса г—это попросту отрезок,
а его (одномерный) объем V\(r)—это длина 2г такого отрезка. Итак,
Vi(r) = 2r.
Если считать, что ((п — 1)-мерный) объем (п — 1)-мерного шара ра-
радиуса г выражается формулой Vn^\(r) = cn_irn~x, то, интегрируя по
сечениям (см. пример 3 §4 гл. XI), получаем
/ _ /о \
Г / 7T/Z '
П
Vn(r) = I cn_i(r2 — х2) ^ dx = cn_i / cos71 ipdip
\ -т/2 У
r
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 523
т.е. Vn(r) = СпГп, где
тг/2
Сп —
/ cosn (p dip.
Благодаря соотношениям B0), последнее равенство можно перепи-
переписать в виде
°п улГ/п+2\Сп~Ь
1 I 2 /
таким образом,
-1 Г
или, короче,
Но ci = 2, а Г (ту 1 — ттГ (ту 1 — к
V 2 У
поэтому
7Г2
Следовательно,
тг
7Г2
или, что то же самое,
тг
7Г2
21 \2
Пример 3. Из геометрических соображений ясно, что dVn(r) —
= Sn-i(r) dr, где Sn-i(r) — (n — 1)-мерная площадь сферы, ограничива-
ограничивающей в W1 n-мерный шар радиуса г.
Таким образом, 5n_i(r) = "зр-(г), и с учетом формулы B1), полу-
получаем
524 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Задачи и упражнения
1. Покажите, что:
a)
о
с) ^(а.р) = Jх^-
о
+оо _ _r t
J (a + bx^)r Я vo/ I g '
0
о
_ 7Г
Г a% _
/ Tl/т i эт" й сГ* 7Г
ax _
Q i
c\ с
} JQ i
о
i) Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением гп =
~ ап cos тир, где п € N и а > О, выражается формулой аВ I ^? ^) ■
2. Покажите, что:
a) ГA) = ГB);
b) производная Г' функции Г в некоторой точке хо С ]1,2[ обращается в
нуль;
c) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке ]0, +оо[;
d) функция Г монотонно убывает на промежутке ]0, xq] и возрастает на
промежутке [хо,+оо[;
1 / 1 \х~ 1 -1
e) интеграл J I In - J In In - du равен нулю при х = xq ;
о v '
f) Г(а) ~ i при а -> +0;
-f-oo
g) lim f e~x dx = 1.
n->oo q
n—.
3. Формула Эйлера Е :=
а) Покажите, что Е2 = Ц Г ( ^ ) Г
n—1
b) Проверьте, что Е2 = . ff . ^
с) Исходя из тождества _ и = \[ I z — ег * 1, получите при z —> 1
§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 525
последовательно соотношение
п-1
»=
П
а из него соотношение
п-1
«п-1 ТТ • Г7Г
п = 2п L I sin —
J--L п
d) Используя последнее равенство, получите формулу Эйлера.
4. Формула Лежандра Г(а)Г Га + ^) — 2а^1 ГBа).
1/2 / • \2\а~1
a) Покажите, что В(а, а) = 2 / I ^ — (^ — х) ) ^х-
b) Сделав в предыдущем интеграле замену переменной, докажите, что
с) Получите теперь формулу Лежандра.
5. Сохраняя обозначения задачи 5 из § 1, укажите путь, на котором с ис-
использованием интегралов Эйлера может быть выполнена вторая, более дели-
деликатная часть указанной задачи. _
а) Заметьте, что при к = —т~ будет к = к и
тг/2 тг/2
J
Ь) После соответствующей замены переменных эти интегралы приводятся
к виду, из которого следует, что при к = 1/\/2
^ В A/4,1/2) и 2Е - К = ~В C/4,1/2).
^ = В A/4,1/2) и 2Е К =
с) Теперь получается, что при к = 1/\/2
ЁК-КК = к/2.
1
6. Интеграл Раабе1^ JlnT(x)dx.
о
Покажите, что:
1 1
a) J\nT(x)dx =
о о
. Л. Раабе A801 -1859) —швейцарский математик и физик.
526 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
1 тг/2
b) / In Г(х) dx = 2 In 7Г - i / In sin x dx.
о о
тг/2 тг/2
c) J lnsinxdx = J In sin 2x dx — J
о о
7Г/2
d) / lnsinxdx = — ^ In 2.
о
l
e) /lnr(x)dx = ln\/27r.
0
7. Используя равенство
-f-oo
xs T(s) J
и обосновав возможность изменения порядка соответствующих интегрирова-
интегрирований, проверьте, что
-f-OO 1
а) / ^dx = ™° та @ < а < 1);
b) Г «5^ д. = ^^ @ < /3 < 2).
5 ^^ 2Г(/3) sin ^ V
с) Получите теперь еще раз значение интеграла Дирихле / ^^ dx и зна-
о
+оо +оо
чение интегралов Френеля j cosx2 dx, / sinx2 dx.
о о
8. Покажите, что при а > 1
-f-oo
оо
1
где £(а) = ^ —& — дзета-функция Римана.
9. Формула Гаусса. В примере 6 §3 гл.XVI была указана введенная Гаус-
Гауссом функция
ОО у I -I \ { \
^у^о^о )...(а п-
£, т4 П 11/11/ -Л- I I
п=1 П*717 + ^ * • *
7, *) :=
являющаяся суммой написанного гипергеометрического ряда. Оказывается,
имеет место следующая формула Гаусса:
ГG-а).ГG-/?Г
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 527
а) Раскладывая функцию A — tx)~$ в ряд, покажите, что при а > О, j—a >
>0и0<х<1 интеграл
1
Р(х) = [р-гA -
сю
о
можно представить в виде
Р(х) =
п=0
р — /?(/? +1) ■••(/? + »- 1) _ Г(а + п) • ГG - а)
b) Покажите, что
_ Г(а) • ГG ~ а) а(а + 1) ■ ■ ■ (а + п - 1H@ + 1).. ■ @ + п - 1)
п ~ ГG) п!7G + 1)... G + n - 1)
c) Докажите теперь, что при а>0, j ~ а>0и0<#<1
d) При дополнительном условии 7 — а — ^ > 0 обоснуйте возможность
перехода к пределу при х 4 1-0 в обеих частях последнего равенства и
покажите, что
Г(а)-ГG-а-0 _ Г(а)-ГG-а)
~ ГG)
откуда и следует формула Гаусса.
10. Формула Стирлинга}}
Покажите, что:
= 2х
ш=0
Л, П
1 < ii±nj
d)
e12(n+l)
\ n'en ^
e) an = /wli /o\ — монотонно убывающая последовательность.
. Стирлинг A692-1770)—шотландский математик.
528 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
f) Ъп = ane~~V2K—монотонно возрастающая последовательность.
g) n! = спп+1/2е п+т#г5 где 0 < вп < 1, а с = lim ап = Um Ьп.
п—>оэ п—>оэ
h) Из соотношения sin тгх = жх f| A — ^) ПРИ ж = 1/2 вытекает формула
Валлиса
(п!J22п 1
= lim
Bп)!
i) Имеет место формула Стирлинга
у /П\п вп
! = V27rn(-J e«fe, О<0П<1.
j) Г(х + 1) ~ а/2тгх (|)ж при х -)• +оо.
11. Покажите, что Г(х) = Y1 п + ж ' n^ + J 1х~1е~~г dt. Это соотношение
п=0 ' 1
позволяет определить Г(г) для комплексных г € С вне точек О, —1, —2,...
§ 4, Свертка функций и начальные сведения об обобщен-
обобщенных функциях
1, Свертка в физических задачах (наводящие соображе-
соображения). Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы
осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом / на
воздействие /. Иными словами, каждый такой прибор или система явля-
является оператором А, преобразующим входной сигнал / в сигнал / = Af
на выходе. Разумеется, у каждого такого оператора своя область вос-
воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на
них (область значений). Удобной математической моделью для большо-
большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный опера-
оператор А, сохраняющий сдвиги.
Определение 1. Пусть А—линейный оператор, действующий на
линейном пространстве определенных на R вещественно- или комплекс-
нозначных функций. Обозначим через Т^о оператор сдвига, действую-
действующий на том же пространстве по закону
№„/)(*) :=/(*- *о).
Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или
сохраняет сдвиги), если для любой функции / из области определения
оператора А справедливо равенство
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 529
Если t— время, то соотношение AoTtQ = Т^о о А можно трактовать
как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во вре-
времени: реакции прибора на сигналы f(t) и f(t — to) отличаются только
сдвигом на to по времени и больше ничем.
Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи:
во-первых, предугадать реакцию / прибора на произвольное входное
воздействие / и, во-вторых, зная сигнал / на выходе прибора, опреде-
определить, если это возможно, поступивший на прибор входной сигнал /.
Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух за-
задач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному
оператору А. Простой, но очень важный факт состоит в том, что ока-
оказывается для описания отклика / такого прибора А на любой входной
сигнал / достаточно знать отклик Е прибора А на импульсное воздей-
воздействие 5.
Определение 2. Отклик E(t) прибо- -
ра А на единичное импульсное воздействие S —
называют аппаратной функцией прибора (в
оптике) или импульсной переходной функци-
функцией прибора (в электротехнике).
Мы будем, как правило, пользоваться бо- , , Sa(t)
лее коротким термином «аппаратная функ-
функция».
Не вдаваясь пока в детали, скажем, что q ~ Г
импульс имитируется, например, функцией
<5Q(£), изображенной на рис. 100, причем эта Рис. 100.
имитация считается все более точной по мере уменьшения длительно-
длительности а «импульса» при сохранении его общей «энергии» а • — = 1. Вме-
Вместо ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать
гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий:
fa > 0, J fa{t) dt = 1, f fa(t) dt -> 1 ПРИ а -> 0,
R U@)
где f7@) — произвольная окрестность точки t = 0.
Откликом прибора А на идеальный единичный импульс (обозначае-
(обозначаемый вслед за Дираком через S) следует считать функцию E(t), к кото-
которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс S входные
530
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сигналы по мере того, как эта имитация улучшается. Разумеется, при
этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность
оператора А, т.е. непрерывность изменения отклика / прибора при
непрерывном изменении входного воздействия /.
Рис. 101.
Рис. 102.
Например, если взять последовательность {An(i)} ступенчатых
функций Дп(*) := 8\/n{t) (рис. 100), то, полагая ААп =: Еп, получа-
получаем AS := Е = lim En = lim AAn.
п—ьоо п—юо
Рассмотрим теперь входной сигнал /, рис. 102 и изображенную на
этом же рисунке кусочно постоянную функцию 1
г
— Ti)h. Поскольку /ft —> / при h —> 0, то надо считать, что
/ft = A/ft -> Af = /при h -> 0.
Но если оператор А—линейный и сохраняющий сдвиги, то
где Е^ = Абь. Таким образом, при h —> 0 окончательно получаем
f(t) = Jf(T)E(t-r)dr. A)
Формула A) решает первую из двух указанных выше задач. Она
представляет отклик f(t) прибора А в виде специального интеграла,
зависящего от параметра £. Этот интеграл полностью определяется
входным сигналом f(t) и аппаратной функцией E(t) прибора А. С ма-
математической точки зрения прибор А и интеграл A) просто одно и то
же.
§4 СВЕРТКА ФУНКЦИИ 531
Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по выхо-
выходу / сводится теперь к решению относительно / интегрального урав-
уравнения A).
Определение 3. Сверткой функций и: Ш ~> С и v: Ш ~> С назы-
называется функция и * v: Ш —> С, определяемая соотношением
(и * v){x) := / u(y)v(x - у) dy, B)
в предположении, что указанный несобственный интеграл существует
при всех jER.
Таким образом, формула A) утверждает, что отклик линейного
прибора Л, сохраняющего сдвиги, на входное воздействие, задаваемое
функцией /, является сверткой / * Е функции / и аппаратной функ-
функции Е прибора А.
2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с
математической точки зрения основные свойства свертки.
а. Достаточные условия существования. Напомним сначала
некоторые определения и обозначения.
Пусть /: G —> С — вещественно или комплекснозначная функция,
определенная на открытом множестве GcK.
Функция / называется локально интегрируемой на G, если любая
точка х Е G имеет окрестность U(x) С G, в которой функция f\u(x)
интегрируема. В частности, если G = К, условие локальной интегриру-
интегрируемости функции /, очевидно, равносильно тому, что f\[uib] ^ ТЦр»>Ь] для
любого отрезка [а, 6].
Носителем функции f (обозначение supp/) называется замыкание
в G множества {х Е G \ f(x) Ф 0}.
Функция / называется финитной (в G), если ее носитель —ком-
—компакт.
Множество функций /: G —У С, имеющих в G непрерывные произ-
производные до порядка т @ ^ т $С оо) включительно, принято обозна-
обозначать символом C^m'(G), а его подмножество, состоящее из финитных
функций, символом Cq(G). В случае, когда G = К, вместо С^(Ш) и
(К) принято употреблять сокращения С^ и Cq соответственно.
18-4574
532
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки фун-
функций, в которых без труда обосновывается ее существование.
Утверждение 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий
является достаточным для существования свертки u*v локально ин-
интегрируемых функций и: Ш —> С и v: Ш —> С
и
и
v
1) Функции
2) Одна из функций
интегрируемы на
и
v
интегрируема на М, а другая ограничена
на
3) Одна из функций и, v финитна.
•4 1) По неравенству Коши-Буняковского
/ \u(y)v(x -y)\dy\ ^ / |w|2(y)dy I \v\2{x - у)dy,
R / Ж Ш
откуда и следует существование интеграла B), поскольку
+ОО +CXJ
/ \v\2(x-y)dy = / \v\2(y)dy.
—оо
—оо
2) Если, например, |«| — интегрируемая на М функция, a
v
на М, то
/ \u{y)v{
x -
\u\(y)
dy < +оо.
3) Пусть suppw С [а,й] С М. Тогда, очевидно,
о
/ u(y)v(x -y)dy= / u{y)v{x - у)
- У) dy.
а
М
Поскольку uvlv локально интегрируемы, последний интеграл суще-
существует при любом значении х Е М.
Случай, когда финитной является функция г;, сводится к разобран-
разобранному заменой переменной х — у = z. ►
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 533
b. Симметричность
Утверждение 2. Если свертка u*v существует, то существу-
существует также свертка v *и и имеет место равенство
u*v = v *и. C)
< Выполнив в интеграле B) замену переменной x — y~z, получаем
(х) := I u(y)v(x — у) dy — / v(z)u(x — z)dz =\ v * и(х). ►
и * v[x) :=
— CXJ —CXJ
с. Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше, ТЖо —оператор сдви-
сдвига, т.е. (ТЖо)/(аг) = f{x - х0).
Утверждение 3. Если свертка u*v функций и и v существует,
то справедливы следующие равенства:
ТХо(и * v) = ТХои * v = и * TXov. D)
•4 Если вспомнить физический смысл формулы A), то первое из на-
написанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается
из симметричности свертки. Проведем, однако, формальную проверку
первого равенства:
(ТХо)(и * v)(x) := (и * v)(x - х0) :=
+ CXJ +ОО
= / «(y)v(a: - xQ - у) dy = / u(y - xQ)v(x - y)dy =
— CXJ —CXJ
+ CXJ
= / (TXou)(y)v(x - у) dy =: ((TXo«) * v){x). ►
— CXJ
d. Дифференцирование свертки. Свертка функций является
интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование про-
проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких
интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий.
Условия, при которых свертка B) функций и и v непрерывно диф-
дифференцируема, заведомо выполнены, если, например, и — непрерывная,
a v — гладкая функция и одна из функций u, v — финитна.
534 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
<4 Действительно, если ограничить изменение параметра любым ко-
конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл B)
сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от ж, конечному
отрезку. А такой интеграл уже можно дифференцировать по параме-
параметру в соответствии с классическим правилом Лейбница. ►
Вообще справедливо следующее
Утверждение 4. Если и—локально интегрируемая функция, а
v —финитная функция класса С$ @ ^ т ^ +оо)? то (и * v) E С^т\
причем *'
Dk(u*v) =u*{Dhv). E)
<4 Когда и — непрерывная функция, утверждение непосредственно
следует из только что доказанного выше. В общем виде оно получается,
если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 § 1. ►
Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула C)) ут-
утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять места-
местами и и v, сохранив, однако, левую часть равенства E).
Формула E) показывает, что свертка коммутирует с оператором
дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором
сдвига (формула D)). Но если формула D) симметрична по и и ?;, то в
правой части формулы E) и и v, вообще говоря, нельзя поменять ме-
местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей
производной. То, что свертка и * v, как видно из E), при этом все же
может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что
приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не
необходимыми для дифференцируемости свертки.
Пример 1. Пусть /—локально интегрируемая функция, а ёа —
«ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда
+ ОО X
(/ * 6а)(х) = J f(y)Sa(x -y)dy=± J f(y) dy, F)
—oo x—a
и, следовательно, в любой точке непрерывности функции / свертка
f*Sa уже оказывается дифференцируемой—усредняющее действие ин-
интеграла.
^Здесь D — оператор дифференцирования и, как обычно, Dkv = v
(k)
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 535
Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утвер-
утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для
всех встречающихся случаев применения формулы E). По этой причи-
причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а пред-
предпочтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности,
которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему дей-
действию свертки.
3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимацион-
ная теорема Вейерштрасса. Заметим, что интеграл в соотноше-
соотношении F) дает среднее значение функции / на промежутке [х — а,ж],
поэтому, если / непрерывна в точке я, то, очевидно, (/ * Sa)(x) —> f(x)
при а —> 0. Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям
п. 1, относящимся к представлению о ^-функции, хотелось бы записать
в виде предельного равенства
(/ * 8)(х) = /(ж), если / непрерывна в х. G)
Это равенство показывает, что J-функцию можно трактовать как
единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки.
Равенство G) можно считать вполне осмысленным, если будет показа-
показано, что любое семейство функций, сходящихся к ^-функции, обладает
тем же свойством, что и рассмотренное в F) специальное семейство ёа.
Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное
Определение 4. Семейство {Аа; а € А} функций Да: R —> R,
зависящих от параметра а Е А, называют S-образным или аппрокси-
аппроксимативной единицей при базе В в А, если выполнены следующие три
условия:
a) все функции семейства неотрицательны (Аа(х) ^ 0);
b) для любой функции Аа семейства J Aa(x) dx = 1;
к.
c) для любой окрестности U точки 0 Е R lim/ Aa(x) dx = 1.
в и
Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно то-
тому, что lim J Aa(x) dx = 0.
в R\u
Рассмотренное в п. 1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» ёа,
конечно, является ^-образным при а —> 0. Приведем другие примеры
<5-образных семейств функций.
536
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 2. Пусть <р: R —»■ R— произвольная неотрицательная ин-
интегрируемая на R финитная функция такая, что f(p(x)dx = 1. При
а > 0 построим функции Аа(а;) := ^<^(§)- Семейство этих функ-
функций при а —»■ +0, очевидно, является аппроксимативной единицей (см.
рис.101).
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций
Ап(х) =
/ (X~x2)ndx
О
I
Х\
при \х > 1.
Для того, чтобы установить ^-образность этой последовательности,
надо лишь проверить, что кроме условий а), Ь) для нее при базе п —>■ оо
выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом е ё]0,1]
[A - ж2O1 da; < f(l - е2O1 dx =
е е
= A - е2)пA - е) -> 0, когда п -> оо
Вместе с тем
1 1
/"A - ж2O1 dx > f{\ - х)п dx = —i-.
о о
Значит, условие с) действительно выполнено.
Пример 4. Пусть
Ап(х) =
тг/2
cos2n(x)l J cos2nxdx при
-тг/2
о
при \х\ > тг/2.
Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). За-
Заметим сначала, что
тг/2
cos xdx = -B{n+-,-)=--
>
n
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 537
С другой стороны, при е G]0, тг/2[
тг/2 тг/2
cos2nxdx ^ / cos2nedx < -
/
Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы
ни было число е Е]0, тг/2],
тг/2
/ Ап(х) dx —> 0 при п —¥ оо,
е
откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено.
Определение 5. Будем говорить, что функция f:G—>C рав-
равномерно непрерывна на множестве Е С G, если для любого е > О
можно указать число р > 0 такое, что при любом х € Е и любом
у G G из р-окрестности Uq{x) точки ж в G выполнено соотношение
В частности, если Е = G, мы возвращаемся к определению функции,
равномерно непрерывной на всей своей области определения.
Теперь докажем следующее основное
Утверждение 5. Пусть /: Ш —> С — ограниченная функция, а
{Да; a G А} —8-образное семейство функций при а —^ си. Если при
любом a G А свертка f * Аа существует и функция f равномерно
непрерывна на множестве Е С Ш, то
(/ * Аа)(х) =4 f(x) на Е при а —> а>.
Итак, утверждается, что семейство функций /* Аа равномерно схо-
сходится к функции / на множестве Е ее равномерной непрерывности. В
частности, если Е состоит только из одной точки ж, условие равномер-
равномерной непрерывности / на Е сводится к условию непрерывности функ-
функции / в точке ж, и мы получаем, что (/ * Аа)(х) —> /(ж) при а—>ш. Это
и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения G).
Докажем утверждение 5.
<4 Пусть |/(ж)| ^ М на R. По числу е > 0 подберем в соответствии с
определением 5 число р > 0 и обозначим через 17@) р-окрестность нуля
в К.
538
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывая симметричность свертки, получаем следующие оценки,
справедливые одновременно для всех точек х Е Е:
\(f*Aa)(x)-f(x)\ =
Jf(x-y)Aa(y)dy~f(x)
f{f{x-y)-f{x))Aa{y)
dy
f \f{x-y)~f{x)\Aa{y)dy+ f \f(x-y)-f(x)\Aa(y)dy<
r@) R\U(O)
' ^e + 2M I Aa{y)dy.
I Aa(y) dy + 2M I Aa(y)
R\U@)
17@)
R\U@)
При а —>■ и) последний интеграл стремится к нулю, значит, начиная
с какого-то момента, при всех х Е Е будет выполнено неравенство
\(f*Aa)(x)-f(x)\<2e,
что и завершает доказательство утверждения 5. ►
Следствие 1. Любую финитную непрерывную на R функцию
можно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно диффе-
дифференцируемыми функциями.
-4 Проверим, что в указанном смысле Сд всюду плотно в Со.
Пусть, например,
, v I k • ехр (— т-~^ ) при
[ 0 при
где коэффициент к выбран так, что / <р(х) dx = 1.
и
Функция <р финитна и бесконечно дифференцируема. В таком слу-
случае семейство бесконечно дифференцируемых функций Аа = а^(§)>
как отмечалось в примере 2, является ^-образным при а —>■ +0. Если
/ Е Со, то ясно, что и / * Аа Е Со- Кроме того, по утверждению 4
/ * Аа Е Cq. Наконец, из утверждения 5 вытекает, что / * Аа =j
на К при а -> +0. ►
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 539
Замечание 2. Если рассматриваемая функция / Е Со принадле-
принадлежит классу Cq , то, каково бы ни было значение п Е {0,1,...,т},
можно гарантировать, что (/ * Аарп^ =3 /^ на R при а —>■ +0.
-^ Действительно, в этом случае (/ * Аарп> = /(")* Да (см. утвер-
утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следст-
следствие 1. ►
Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Ка-
Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно прибли-
приблизишь на этом отрезке алгебраическим многочленом.
-4 Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит
в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функ-
функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном
нам отрезке [а<>Ь] С М. Будем поэтому считать, что 0 < а < Ь < 1, и
пусть р = min{a, 1 — ft}. Заданную нам функцию / Е С[а, Ь] продолжим
до непрерывной на Ш функции F, полагая F(x) — 0 при х Е М\]0,1[ и,
например, линейно сопрягая 0 с /(а), /(Ь) с 0 на участках [0,а] и [Ь, 1]
соответственно.
Если теперь взять ^-образную последовательность функций Дп, из
примера 3, то на основании утверждения 5 уже можно заключить, что
F * Ап =4 / = -F|[a,b] на [ау Щ при п -> оо. Но при х £ [а, Ь] С [0,1]
оо 1
F * Ап(х) := I F(y)An(x -y)dy= F(y)An(x -y)dy =
■ОО
JF(y)pn ■ A - (x - yf)ndy = у F(y) (f^ak(y)x4 dy =
n n \fc=O /
/ F{y)ak{y)dy
xk.
Последнее выражение является многочленом Р2п(%) степени 2п, и
мы показали, что Р2п =^ / на [а, Ь] при п —>■ оо. ►
Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения, мож-
можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если от-
отрезок [a, ft] заменить произвольным, лежащим в R компактом.
540 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого от-
открытого в R множества G и любой функции / Е C^(G) существу-
существует последовательность {Р&} полиномов такая, что при каждом п Е
Е {0,1,..., т} Р^ z=t /^ на любом компакте К С G, когда к —> оо.
Если, кроме того, множество G ограничено и / Е C(m)(G), то можно
добиться, чтобы Pjf1' =3 /^ на G при А; —> оо.
Замечание 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2
была использована ^-образная последовательность примера 3, можно
использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая
2тг-периодическая функция на R равномерно приближается тригономе-
тригонометрическими полиномами вида
п
Тп(х) — \] аь cos kx + bfc sinkx.
fc=o
Выше использовались лишь ^-образные семейства финитных фун-
функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную
роль играют ^-образные семейства не финитных функций. Приведем
только два примера.
Пример 5. Семейство функций Ау(х) = - ■ а У s при у —> +0
х т У
является ^-образным на R, так как Ду > 0 при у > 0,
7 А , , . 1 /аЛ +о°
= — arctg I -
= 1
:=—оо
—оо
и при любом /9 > 0 справедливо соотношение
р
Г
I
2 р
Ау(х) dx = — arctg >• 1,
7Г У
когда у —> +0.
Если /: Ж —>• R—непрерывная и ограниченная функция, то функция
+оо
— ОО
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 541
представляющая собой свертку / * Ау, определена при любых х G М и
У>0.
Интеграл (8), называемый интегралом Пуассона для полуплоско-
полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномер-
равномерной сходимости), является ограниченной бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой функцией в полуплоскости Щ_ = {(х,у) Gl2 \ У > 0}. Дифферен-
Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у > 0
— = f * f— — ^ А - 0
Зу2 \&г2 с?у2/ у '
т.е. и — гармоническая функция.
На основании утверждения 5 можно гарантировать также сходи-
сходимость и(х,у) к f(x) при у —> 0. Таким образом, интеграл (8) решает
задачу построения ограниченной функции, гармонической в полуплос-
полуплоскости К+ и принимающей заданные граничные значения / на
1 _£?.
Пример 6. Семейство функций Af = ^~ е 4t является ^-образ-
2\Лг£
+ОО
+ОО
ным на М при t —> +0. Действительно, At(x) > 0; / Д^(ж) = 1, посколь-
—оо
оо
ку f e v dv = урк (интеграл Эйлера-Пуассона); наконец, при любом
—оо
р > 0 выполнено соотношение
- _ 2
е~Т dx = —= I e~v dv -> 1, когда t -> +0.
2л/пг
Если / — непрерывная и, например, ограниченная функция на R, то
функция
+О0
^tJ
-оо
представляющая собой свертку / * Д^, очевидно, бесконечно дифферен-
дифференцируема при £ > 0.
Дифференцируя под знаком интеграла при t > 0, получаем, что
ди д2и (д д2
at
542 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводно-
теплопроводности с начальным условием и(х,0) = f{x). Последнее равенство следует
трактовать как предельное соотношение u(x^t) —»■ f(x) при t —»■ +0,
вытекающее из утверждения 5.
* 4. Начальные представления о распределениях
а. Определение обобщенных функций. В п. 1 настоящего пара-
параграфа мы на эвристическом уровне вывели формулу A), дающую воз-
возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной
сигнал / по известной аппаратной функции Е прибора А. При опре-
определении аппаратной функции прибора существенно использовалось не-
некоторое интуитивное представление о единичном импульсном воздей-
воздействии и описывающей его ^-функции. Ясно, однако, что ^-функция на
самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого
термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым
с классической точки зрения набором свойств: 8{х) ^ 0 на К; ё(х) = 0
при х ф 0; J ё(х) dx = 1.
к
Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, ^-функ-
^-функцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математи-
математические описания в так называемой теории обобщенных функций или,
иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и началь-
начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сей-
сейчас изложить.
Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы т, способ-
способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упру-
упругой пружиной; к— коэффициент упругости пружины. На покоящуюся
в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени
сила /(£), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона
тх + кх = /, A0)
где x{t) —координата точки (смещение от положения равновесия) в мо-
момент t.
При указанных условиях функция x{t) однозначно определяется
функцией / и решение x(t) дифференциального уравнения A0), очевид-
очевидно, линейно зависит от его правой части /. Таким образом, мы имеем
дело с линейным оператором / н-> ж, обратным к дифференциальному
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 543
в ( л2 \
оператору жи/ (В = т—х + к 1, связывающему x(t) и /(£) соотноше-
V dt /
нием .В а; = /. Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по
времени, то, чтобы найти отклик x(t) описанной механической систе-
системы на функцию /(£), достаточно ввиду формулы A) знать отклик на
единичное импульсное воздействие <5, т. е. достаточно знать (так назы-
называемое фундаментальное) решение Е уравнения
тЁ + кЕ = ё. A1)
Соотношение A1) не вызвало бы вопроса, если бы S действительно
обозначало функцию. Однако пока равенство A1) неясно. Но формаль-
формально неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем
случае надо лишь уяснить смысл равенства A1).
Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: S можно пони-
понимать как имитирующее ^-функцию ^-образное семейство классических
функций Да(£), а Е — как предел, к которому стремятся решения Ea(t)
уравнения
тЁа + кЕа = Аа
при соответствующем изменении параметра а.
Другой, имеющий свои значительные преимущества, подход к об-
обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении предста-
представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблю-
наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими («пробными»)
объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор
значений в различных точках, а как объект, способный определенным
образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем
это пока слишком общее высказывание.
Пример 8. Пусть / Е C(R,R). В качестве пробных возьмем фун-
функции класса Со (непрерывные финитные на R). Функция / порождает
следующий, действующий на Со функционал
(f,ip):=ff(x)<p(x)dx. A2)
Используя ^-образные семейства финитных функций, легко понять,
что (/, ip) = 0 на Со в том и только в том случае, когда f(x) = 0 на R
544 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, каждая функция / Е G(К, К) порождает в силу A2)
линейный функционал А: Со —> К, и, подчеркнем, при этом различным
функциям /х, /2 соответствуют различные функционалы Af1} Af2.
Значит, формула A2) осуществляет вложение (инъективное отобра-
отображение) множества G(М,К) функций в множество £(Со;К) линейных
функционалов на Со и, следовательно, каждую функцию / Е G(М, К)
можно интерпретировать как некоторый функционал Af E £(Со;К).
Если вместо множества G(М, К) непрерывных функций рассмотреть
множество функций, локально интегрируемых на К, то по той же фор-
формуле A2) получается отображение указанного множества в простран-
пространство £(Со;К). При этом ((/, (р) ~ 0 на Со) О (f(x) ~ 0 во всех точках
непрерывности функции / на К, т. е. f(x) = О почти всюду на К). Зна-
Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в С(Со\ Щ классов
эквивалентных функций, если в один класс отнести локально интегри-
интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.
Итак, локально интегрируемые на К функции / (точнее, классы
их эквивалентности) в силу формулы A2) можно интерпретировать
как линейные функционалы Af E С(Со\Щ- Осуществляемое по фор-
формуле A2) отображение / \-t Af — (/, •) локально интегрируемых функ-
функций в пространство С(Со\ К) не является отображением на все С(Со\ К),
поэтому, интерпретируя функции как элементы £(Со; К) (т. е. как фун-
функционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как
функционалы вида A2), получим и новые функции (функционалы), не
имеющие прообраза в классических функциях.
Пример 9. Функционал 5 Е С(Со\Щ определяется соотношением
F,<р):=6(<р):=<р@), A3)
которое должно быть выполнено для любой функции <р Е Cq.
Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально интегрируе-
интегрируемая на К функция / не способна представить функционал 6 в виде A2).
Итак, мы вложили множество классических локально интегриру-
интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов.
Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или
распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный
термин «распределение» имеет физическое происхождение.
Пример 10. Пусть на К распределена единичная масса (или еди-
единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ 545
смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую
на К плотность р(х)} то взаимодействие массы М с другими объек-
объектами, описываемыми функциями (р Е Cq°°\ может задаваться в виде
функционала
М{ф) = / p(x)(p(x)dx.
ж
Если распределение сингулярно, например, вся масса М сосредото-
сосредоточена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя предель-
предельную точечную ситуацию с помощью <5-образного семейства регулярных
распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными
выше другими объектами должно выражаться формулой
мы = <р(о),
показывающей, что такое распределение массы на К следует отожде-
отождествить с E-функцией A3) на R
Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным
следующее общее
Определение 6. Пусть Р—линейное пространство функций, на-
называемое в дальнейшем пространством основных или пробных функ-
функций с определенной в Р сходимостью функций.
Пространством обобщенных функций или распределений над Р на-
назовем линейное пространство Р1 линейных непрерывных (вещественно-
или комплекснозначных) функционалов на Р. При этом предполага-
предполагается, что каждый элемент f E P порождает некоторый функционал
Af = (/, •) Е -Р' и что отображение / —> Aj является непрерывным
вложением Р в Р;, если сходимость в Р1 вводится как слабая («пото-
(«поточечная») сходимость функционалов, т.е.
P'3An^AeP':=VipeP (Ап(<р)-> А(<р)).
Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линей-
линейное пространство Cq (G,C) бесконечно дифференцируемых финит-
финитных в G функций, где G — произвольное открытое подмножество К
(быть может, и совпадающее с К).
Определение 7 (пространств V и V). Сходимость в Cq(G, С)
введем следующим образом: последовательность {<Рп} функций срп Е
546 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Е Со'(G,C) будет считаться сходящейся к функции <р Е Cq (G, С),
если существует компакт К С G, в котором содержатся носители всех
функций последовательности {<Рп} и при любом значении т = О,1,2,...
^4т' =$ (р(т> на if (а значит, инаС), когда п —» оо.
Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем схо-
сходимостью принято обозначать символом £>(G), а когда G = К — симво-
символом V.
Соответствующее этому пространству основных (пробных) функ-
функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают
символом Vf(G) или V соответственно.
В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать ника-
никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного прост-
пространства Z>'(G), поэтому без специальных оговорок будем употреблять
термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элемен-
элементы V'{G).
Определение 8. Распределение F E V(G) называется регуляр-
регулярным, если его можно представить в виде
где /—локально интегрируемая в G функция.
Нерегулярные распределения называют сингулярными распределе-
распределениями или сингулярными обобщенными функциями,
В соответствии с этим определением <5-функция (из примера 9) явля-
является сингулярной обобщенной функцией.
Действие обобщенной функции (распределения) F на основную
(пробную) функцию у?, т. е. спаривание F и <р будем, как и прежде,
обозначать одним из двух равнозначных символов F(cp) или (F,<p).
Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с
обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение
обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной функ-
функции, как и большинство математических понятий, имело определенный
период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось
в трудах ряда математиков.
Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале трид-
тридцатых годов активно использовали <5-функцию и оперировали с сингу-
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 547
лярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной
математической теории.
В явном виде идея обобщенной функции была высказана С. Л. Со-
Соболевым1), заложившим в середине тридцатых годов математические
основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата
теории распределений в значительной степени связано с выполненными
в конце сороковых годов работами Л. Шварца2). Сказанное поясняет,
почему, например, пространство V обобщенных функций часто назы-
называют пространством обобщенных функций Соболева - Шварца.
Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распределе-
распределений. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжа-
продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории диффе-
дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функцио-
функционального анализа и их приложений.
Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только об-
обобщенные функции класса £>', хотя все их свойства, как будет видно
из определений и доказательств, остаются в силе для распределений
любого класса £>'(G), где G — произвольное открытое подмножество К.
Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных
соотношений, справедливых для классических функций, т. е. для регу-
регулярных обобщенных функций.
Ь. Умножение распределения на функцию. Если /—локально
интегрируемая на К функция, а д Е С'00', то при любой функции ср £
Е Cq, с одной стороны, дер £ Cq , а с другой стороны, имеет место
очевидное равенство
/(/ • д)(х)<р(х) dx = / f{x)(g-ip){x)dx
или, в других обозначениях,
(f'9,<P) = (f,
. Л. Соболев A908-1989) —один из наиболее крупных советских математиков.
2)Л. Шварц (род. 1915)—известный современный французский математик. За
упомянутые работы на Международном математическом конгрессе 1950 г. удостоен
Филдсовской премии, присуждаемой молодым математикам.
548 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функ-
функций, лежит в основе следующего определения распределения F • </, полу-
получаемого умножением распределения F € V на функцию g E С'00':
(F-g,v):=(F,g-<p). A4)
Правая часть равенства A4) определена, и тем самым задается зна-
значение функционала F • g на любой функции ср € £>, т.е. задается сам
функционал F • д.
Пример 11. Посмотрим, как действует распределение 6 ■ </, где
д € С(°°\ В соответствии с определением A4) и определением распре-
распределения 5 получаем
F ■ д, if) := (S, g-<p):=(g- v)@) := д@) ■ <р@).
с. Дифференцирование обобщенных функций. Если / Е
а (р Е Cq , то интегрированием по частям получаем равенство
J
= -J f(x)<fJ(x) dx. A5)
R
Это равенство является отправной точкой для следующего основно-
основного определения дифференцирования обобщенной функции F Е V:
{F*,<p):=-(F,v/). A6)
Пример 12. Если / Е С^х\ то производная от / в классическом
смысле совпадает с производной от / в смысле теории распределений
(разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию
с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует
из сопоставления соотношений A5) и A6), в которых правые части
совпадают, если распределение F порождается функцией /.
Пример 13. Возьмем функцию Хевисайда1^
тт/ ч ГО при х < О,
1 при х ^ О,
. Хевисайд A850 -1925) — английский физик и инженер, разработавший на сим-
символическом уровне важный математический аппарат, который теперь называется
операционным исчислением.
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 549
называемую иногда единичной ступенькой и, рассматривая ее как об-
обобщенную функцию, найдем производную Н1 этой разрывной в класси-
классическом смысле функции.
Из определения регулярной обобщенной функции Н} отвечающей
функции Хевисайда, и на основании соотношения A6) находим
+оо +оо
{H\ip) := -<#,*/) := - / H(x)<p'(x)dx = - f <pf(x)dx =
-oo
поскольку ip G Cq . Таким образом, (J47, <p) = (<5, y>), какова бы ни была
функция if E Cq . Значит, J47 = 5.
Пример 14. Вычислим (Sf,<p):
Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в класси-
классическом случае, для определения высших производных полагают, что
Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно, следова-
следовательно, записать, что
Пример 15. Покажем, что (£(n\<^) = (-l)Vn)(O)-
•^При п = 0 это — определение <5-функции.
Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и
При 71 = 1.
Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного значе-
значения п EN оно уже установлено. Опираясь на определение A6), находим
- (-i)n+yn+1)(o). ►
Пример 16. Пусть функция /: К —>■ С непрерывно дифференци-
дифференцируема при х < 0 и при х > 0, и пусть существуют односторонние
пределы /(—0), /(+0) функции в точке 0. Обозначим через J/@) ве-
величину /(+0) — /(~0) скачка функции в точке 0, а через /' и {/'} со-
соответственно производную функции / в смысле теории распределений
550 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной про-
производной от / при х < 0 и х > 0. При х = 0 последняя функция не
определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет
регулярное распределение {/'}.
В примере 1 мы отмечали, что если / Е С'1', то /' = {/'}• Пока-
Покажем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная
формула:
/' = {/'}+ 1/@)-*. A7)
•^ Действительно,
00
(I'M = -(/V) = - J f(x)<p'(x)dx =
— 00
О +00
f f)(f{x)v'(x))dx = -
-оо О
О +оо
f Г(х)ф) dx)
-оо О
+ 00
= ((/(+0) - /(-0))р@) + f /'(х)ф) dx =
—оо
Если все производные до порядка т функции /: К -> С на проме-
промежутках х < 0 и х > 0 существуют, непрерывны и имеют односторонние
пределы при х = 0, то, повторяя проведенное при выводе формулы A7)
рассуждение, получим
f(m) = уу |() 1(
A)J. A8)
Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования
обобщенных функций.
Утверждение 6.
а) Любая обобщенная функция F € V бесконечно дифференцируема.
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 551
b) Операция D: V1 —>Т>Г дифференцирования линейна.
c) Если F Е V, g Е C^°°\ mo (F * g) E V и справедлива формула
Лейбница
(F
т
С*
d) Операция D: V1 —>■ ТУ дифференцирования непрерывна.
00
e) Если ряд ^2 fk(x) — S(x), составленный из локально интегриру-
к=\
емых функций fk: К —> С, сходится равномерно на каждом лежащем
в К компакте, то в смысле обобщенных функций его можно диффе-
дифференцировать почленно любое число раз, и получаемые при зтом ряды
будут сходиться в V'.
М a)
b) Очевидно.
c) Проверим формулу при т = 1:
= (F',g<p) + (F,gr ■ <р) = (F' ■g,<p) + (F- g',ip) = (F' ■ g + F ■ g',ip).
В общем случае формулу можно получить теперь методом индук-
индукции.
d) Пусть Fm —> F в V при т —> оо, т.е. для любой функции ц> Е
Е V{Fm,(p) —> (F, (р) при т —> оо. Тогда
:= -(Fm,<ff) -> -(*V) =:
e) При указанных условиях сумма S(x) ряда как равномерный на
m
компактах предел локально интегрируемых функций Sm(x) = ^2 fk(x)
сама является локально интегрируемой. Остается заметить, что для
любой функции <р Е Т> (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой)
имеет место соотношение
/ Sm(x)(fdx -)■ /
Теперь на основании доказанного в d) заключаем, что S^ —> Sf при
m —> оо. ►
552 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического диф-
дифференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций
приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих боль-
большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае из-
за наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (от-
(отсутствия непрерывности) классического дифференцирования относи-
относительно предельных переходов.
d. Фундаментальное решение и свертка. Мы начали этот
пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппа-
аппаратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая ме-
механическая система, которая естественным образом порождает линей-
линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы
пришли к уравнению A1), которому должна удовлетворять аппаратная
функция Е этого оператора.
Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь
с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание
на языке обобщенных функций.
Начнем с осмысления уравнения A1). В правой его части стоит
обобщенная функция <5, поэтому соотношение A1) следует трактовать
как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны опера-
операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции
над распределениями, то левая часть уравнения A1) теперь тоже по-
понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций.
Попробуем решить уравнение A1).
При t < О система находилась в покое. При t = О точка получила
единичный импульс, поэтому в момент t = О она приобрела такую ско-
скорость v = *у@), что mv = 1. При t > О на систему не действуют внешние
силы и ее закон движения х = x(t) подчиняется обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению
тх + кх = О, A9)
которое следует решать при начальных данных х@) = О, х@) = v =
/ *m
- / I i V 9
Такое решение единственно и немедленно выписывается:
1 . Д~
xlt) = . sin \ —L t ^ 0.
Vkm V т
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 553
Поскольку в нашем случае при t < 0 система покоится, то можно
заключить, что
E(t) = -7= sin \ — i, t Е К, B0)
VA V т
где # — функция Хевисайда (см. пример 13).
Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования обоб-
обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что
задаваемая равенством B0) функция E(t) удовлетворяет уравне-
уравнению A1).
Для упрощения записи проверим, что функция
e(x)=H(x)S-^^ B1)
удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению
B2)
Действительно,
1 I ■rjaix±wa' \ 2 / тт
) d1 \ J \
dx2 I dx2 \ со } \ со
= я//^5^ + 2Hl cosux - coH(x) si:
CO
+ coH(x)sincox ■= §f"±xx""*' _j_ 2Scoscox,
CO
Далее, для любой функции ср ЕТ>
ZO СОо СОХ. (р I — \ О ,
,p ,
тем самым проверено, что функция B1) удовлетворяет уравнению B2).
Введем, наконец, следующее
554 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Определение 9. Фундаментальным решением или функцией
Грина (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А:
V* —> V1 называется такая обобщенная функция Е Е Т>\ которая под
действием оператора А переходит в функцию S Е Т>\ т.е. А(Е) = 5.
Пример 17. В соответствии с этим определением функция B1)
является фундаментальным решением для оператора А = ( —к + си2),
поскольку она удовлетворяет уравнению B2).
Функция B0) удовлетворяет уравнению A1), т.е. является функци-
(j2 \
гп—2 + к ). Фундаментальная роль ап-
аппаратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась
в п. 1, где была получена формула A), на основании которой можно
теперь записать соответствующее указанным в примере 7 начальным
условиям решение уравнения A0):
+О0 . I h
/
—oo
+00
+О0 ,
= f f{t -т) sin J-rdr.
km J V m
A9)
B0)
Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фунда-
фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку
обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы
на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае регу-
регулярных распределений определение свертки обобщенных функций рав-
равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки
функций.
Задачи и упражнения
1. а) Проверьте ассоциативность свертки: и * (v * w) — (и * v) * w.
b) Пусть, как всегда, Г (а)—гамма-функция Эйлера, а Я (х)—функция
Хевисайда. Положим
Щ(х) := H(x)°^eXx, где а > 0, а А € С.
Покажите, что Н? * Яг = Н?+^.
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 555
с) Проверьте, что функция F = Н(х) ,х__ .^е^ является n-й сверточной
степенью функции / = Н(х)еХх, т. е. F = /*/*...*/.
п
2. Функция Ga(a;) = —т===е 2^, а > 0, задает плотность распределения
Gл/2тг
вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей.
a) Нарисуйте график функции Ga(x) при различных значениях параме-
параметра о.
b) Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной
величины с распределением вероятностей Ga равно нулю (т.е. JxGa(x)dx =
R
)
c) Проверьте, что среднее квадратическое уклонение величины х от своего
( \V2
среднего значения (дисперсия х) равно а (т. е. / J x2Ga(x) dx) = a).
d) В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности сум-
суммы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей рас-
распределения вероятностей самих этих величин. Проверьте, что Ga * G@ =
е) Покажите, что сумма п однотипных случайных величин (например,
п независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по
нормальному закону Gs, распределена по закону Ga^, Отсюда, в частно-
частности, следует, что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического
п таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен
а/у/п, где а —вероятная погрешность отдельного измерения.
оо
3. Наломним, что функция А(х) = £] апхп называется производящей фун-
кцией последовательности скьб&ъ • • •
Пусть даны две последовательности {а&}, {bk}- Если считать, что аи =
= bk = 0 при к < 0, то свертку последовательностей {а^}, {bk} естественно
}
определить как последовательность < с*; = Ylambk~m \ • Покажите, что про
изводящая функция свертки двух последовательностей равна произведению
производящих функций этих последовательностей.
4. а) Проверьте, что если свертка и * v определена и одна из функций и, v,
периодична с периодом Г, то и * v — тоже Г-периодическая функция.
b) Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной пе-
периодической функции тригонометрическими полиномами (см. замечание 5).
c) Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы Вейер-
Вейерштрасса, указанные в замечании 4.
5- а) Пусть компакт К С К содержит строго внутри себя замыкание Е
множества Е из утверждения 5. Покажите, что в этом случае J f(y)Ak(x —
к
556 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
-V)dy=t /(я?) на Е.
Ь) Из разложения A — z)~l = 1 + z + z2 + ... выведите, что д(р,9)
с) Проверьте, что при 0 ^ р < 1
Рр(в) :=Кед(р,в) = ~ + рсоъв + р
функция Рр{в) имеет вид
и называется ядром Пуассона для круга.
d) Покажите, что семейство зависящих от параметра р € [0,1[ функций
обладает следующим набором свойств: Рр(9) ^ 0, - / Рр(9)с1в = 1,
6> -У 0 при р -У 1-0.
е) Докажите, что если / € С[0,2тг], то функция
2тг
= ~jpp(e-t)f(t)dt
гармоническая в круге р < 1 и и(р, в) =4 /@) при р -> 1 — 0. Таким образом,
ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую
заданные граничные значения на границе круга.
f) Для локально интегрируемых функций и и v в случае, когда они пери-
периодические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить
операцию свертки (свертки по периоду) следующим образом:
(u*v)(x):= I u(y)v(x-y)dy.
Периодические функции на R можно интерпретировать как функции, за-
заданные на окружности, поэтому введенную операцию естественно считать
определением свертки двух функций, заданных на окружности.
Покажите, что если /(#)—локально интегрируемая 2тг-периодическая
функция на Ж (или, что то же самое, / — функция на окружности), а семейство
Рр@) зависящих от параметра р функций обладает свойствами ядра Пуассо-
Пуассона, перечисленными в d), то (/ * Рр) (9) —> f(ff) при р —У 1 — 0 в любой точке
непрерывности функции /.
4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ 557
6. а) Пусть (р(х) :— а-ехр I —^—- 1 при |а;| < 1 и ср(х) := 0 при \х\ ^ 1; а —
постоянная, выбираемая из условия f ip(x) dx = 1. Проверьте, что при а —у +0
R
семейство функций <ра(х) = ~ip (^) является <5-образным семейством функций
класса Ср на М.
b) Для любого промежутка /С1и любого е > 0 постройте функцию е(х)
класса С$ такую, что 0 ^ е(х) ^ 1 на Ж, е(а;) = 1 ^Ф- х € / и, наконец, supp e С
С /е, где 1£—е-окрестность (или е-раздутие) множества /вМ. (Проверьте,
что при соответствующем значении а > 0 в качестве е(х) можно взять
c) Докажите, что для любого е > 0 существует такой счетный набор
функций е* € Cq (е-разбиение единицы на М), который обладает следую-
следующими свойствами: VA; E N, Va; € М @ ^ е^(аг) ^ 1); диаметр носителя suppe^
любой функции семейства не превосходит е > 0; любая точка а: € М. принад-
принадлежит лишь конечному числу множеств suppe^; Ylek(x) = 1 на ffiL
к
d) Покажите, что, каково бы ни было открытое покрытие {?77,7 £ Г}
открытого множества G С Ж и какова бы ни была функция ip e C^°°^(G), су-
существует такая последовательность {ifk]k € N} функций (fk € Cq , которая
обладает следующими свойствами: V& € N, З7 € Г (supp у?* С t/); любая точка
х € G принадлежит лишь конечному числу множеств slippy;
А:
на G.
e) Докажите, что множество функций Cq , интерпретируемых как обоб-
обобщенные функции, всюду плотно в соответствующем C^°°^(G) множестве регу-
регулярных обобщенных функций.
f) Две обобщенные функции F±, F2 из ТУ (G) считаются совпадающими на
открытом множестве U С G, если для любой функции (f € X>(G), носитель
которой лежит в [/, выполняется равенство (р Е T)(G). Обобщенные функции
Fi, F2 считаются локально совпадающими в точке х € G, если они совпадают
в некоторой окрестности U(x) С G этой точки. Докажите, что (_F\ = F2) -ФФ-
= F2 локально в любой точке х € G).
7. а) Пусть (р(х) := ехр [ —*—- 1 при |х| < 1 и ip(x) := 0 при \х\ ^ 1. По-
кажите, что для любой локально интегрируемой на М функции / выполняется
соотношение / f(x)ipe(x)dx -у 0 при е -У +0, где (ре(х) = (р (|).
R
b) Учитывая предыдущий результат и то обстоятельство, что F,(р£) =
z= у?@) ф 0, докажите, что обобщенная функция S не является регулярной.
c) Покажите, что существует последовательность регулярных обобщен-
обобщенных функций (даже отвечающих функциям класса Cq ), которая сходится
в ТУ к обобщенной функции S. (На самом-то деле любая обобщенная функция
является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям
558 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
из V = Cq . В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют всю-
всюду плотное в V множество, подобно тому как рациональные числа Q всюду
плотны в множестве М всех действительных чисел.)
8. а) Вычислите значение (F,y>) обобщенной функции F € V на функции
(f eV, если F = sinxS] F = 2cosa;<5; F = A + а;2)<5.
b) Проверьте, что операция F \-ь i/>F умножения на функцию ф € С(°°)
является непрерывной операцией в ТУ.
c) Проверьте, что линейные операции над обобщенными функциями
непрерывны в Т>'.
9. а) Покажите, что если F — регулярное распределение, порожденное
j. » J-/ \ Г О ПРИ X <0, п/ Тг тт
функцией fix) = < Л то f = if, где л—распределение,
I i при £ > (J,
отвечающее функции Хевисайда.
Ь) Вычислите производную от распределения, отвечающего функции \х .
10. а) Проверьте справедливость следующих предельных переходов в V:
OL (XX с v X
lim — = 7to: lim —г =" = ^^ lim ~о~,—о = "
Ttr + X a-f+0 X + Of
b) Покажите, что если / = /(ж) —локально интегрируемая на R функция,
а/е = /(яг + е), то Д -> / в V при е -у 0.
c) Докажите, что если {Да} — J-образное семейство гладких функций при
х
а —У 0, то Fa — f Aa(t)dt —У Н при а —У 0, где Н — обобщенная функция,
— оо
отвечающая функции Хевисайда.
11. а) Через 6(х—а) обычно обозначают «сдвинутую в точку а S-функцию»,
т. е. обобщенную функцию, действующую на функции у> € Т> по правилу
— а), у>) = ^(а)- Покажите, что ряд £] J(a; — Аг) сходится в V,
b) Найдите производную функции [я:] ([х]—целал часть числа я:).
c) 27г-периодическая функция на М в пределах промежутка ]0,2л*] задана
формулой /|]0Jтг](^) = I - яр Покажите, что /' = -^ 4- Ё 5(х - 2irk).
d) Проверьте, что 5{х — е) -> <5(я;) при е -> 0.
e) Обозначал, как и прежде, сдвинутую в точку е <5-функцию через 8(х—е),
покажите прямым вычислением, что ^{5{х — е) — S(x)) —> —Sf(x) = — 8',
f) Исходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте — 6'
как распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим момен-
моментом + 1, расположенному в точке х = 0. Проверьте, что (—£',1) — 0 (полный
заряд диполя равен нулю) и что (—5'^х) = 1 (его момент действительно ра-
равен 1).
g) Важным свойством J-функции является ее однородность: £(Аж) =
= A-1£(x). Докажите это равенство.
4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
559
оо
12. а) Для обобщенной функции F, заданной в виде {F, ip) = / </xip(x) dx,
о
проверьте следующие равенства:
-f оо
ф)
dx;
+оо
x3/2
dx;
3 f (p(x)-<p(Q)-X(p*(Q)
dx\
I
x
dx.
,-p
b) Покажите, что если п — 1 <р<пи обобщенная функция £+ задана
соотношением
dx,
Pi4>) :~ I
то ее производной является функция — рх+ , определяемая соотношением
dx.
13. Определяемая равенством
-f оо
—оо
-е +оо
—оо е
<р(х)
dx
х
обобщенная функция обозначается символом 7^-. Покажите, что:
560 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
С) /(Р±)>¥Л - У Ф)+ *(-*)-МО) dx.
4
14. С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть
сложности: например, функция |я|~2/3 абсолютно интегрируема (в несобствен-
несобственном смысле) на М; она порождает соответствующую обобщенную функцию
/ |а;|~2'3<^(а;) dx, но квадрат ее |ж|~4/3 уже не является интегрируемой функ-
—со
цией даже в несобственном смысле. Ответы на следующие вопросы показыва-
показывают, что в ТУ принципиально нельзя определить естественную ассоциативную
и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций.
a) Покажите, что для любой функции / € С^°°^ имеет место равенство
f(x)S = f(O)S.
b) Проверьте, что xV- = 1 в V.
c) Если бы операция умножения была распространена на любые пары обоб-
обобщенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и ком-
коммутативной, иначе
0 = 0V- = (х6(х))Р- = F(х)х)Р- = 5(х) (хР-} = 6(хI = Щх) = S.
15. а) Покажите, что фундаментальное решение Е для линейного операг
тора А: Т)' —> 2?', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до
любого решения однородного уравнения Af = 0.
b) Рассмотрим дифференциальный оператор
I гр 1 .— _1_ п, /*) I Л- п (тЛ
\ dxj dxn v Jdxn'1 }
Покажите, что если uo = щ(х) такое решение уравнения Р \X)-?L}UQ =
= 0, которое удовлетворяет начальным условиям ио@) = ... = Uq ^@) = 0,
ио '@) = 1, то функция Е(х) = Н(х)щ(х) (где Н(Х) —функция Хевисайда)
является фундаментальным решением для оператора Р (х, -т-).
с) Найдите указанным способом фундаментальные решения для операто-
операторов
d \ (dP Л dm (d
d) Используя полученные результаты и свертку, найдите решения уравне-
=f>
§ 5 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 561
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства
собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от па-
параметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свой-
свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не от-
отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше
одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте
мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного инте-
интеграла, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в
четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих пере-
переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных
функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и
классическими интегральными формулами анализа.
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параме-
параметра. Пусть X — измеримое подмножество Rn, например, ограничен-
ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; У— некоторое
подмножество Rn.
Рассмотрим зависящий от параметра у Е У интеграл
F(y)=Jf(z9y)dx9 A)
X
где функция / предполагается определенной на множестве X х У и
интегрируемой на X при любом фиксированном значении у еУ.
Для интеграла A) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. ЕслиХхУ — компакт ein+m, и f e C(XxY),
moFeC(Y).
Утверждение 2. Если Y — область в Rm? / е С(Х х У) и ^L e
£ С(Х х У), то функция F дифференцируема в У по переменной уг, где
у = (у1,...,!/1,...,») и
dF ■-■-■■- B)
ду
х
Утверждение 3. Если X uY — измеримые компакты в Rn и
562 ГЛ. XVII- ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
соответственно, a f E C(X x Y), то F G C(Y) С Tl(Y) и
/ F{y)dy:= dy f(x,y)dx = dx f{x,y)dy. C)
Y Y X X Y
Отметим, что значения функции / могут при этом лежать в любом
векторном нормированном пространстве Z. Важнейшие частные слу-
случаи— когда Z есть R, С, Rn или С". В этих случаях проверка утвер-
утверждений 1-3, очевидно, сводится к их доказательству при Z = R Но
при Z ~ R доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют дока-
доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла
(см. гл. XVII, § 1), а утверждение 3 является простым следствием утвер-
утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. XI, §4).
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от пара-
параметра. Если в интеграле A) неограничены множество X С Мп или
функция /, то он понимается как несобственный кратный интеграл
(см. гл. XI, §6), т.е. как предел собственных интегралов, взятых по
множествам соответствующего исчерпания X. При исследовании крат-
кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило,
интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые
мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с од-
одномерным случаем из области интегрирования X при этом удаляют
е-окрестность множества особых точек1), находят интеграл по остав-
оставшейся части Х£ множества X и затем находят предел значений инте-
интегралов по Хе при е —> +0.
Если указанный предельный переход является равномерным относи-
относительно параметра у Е У, то говорят, что несобственный интеграл A)
сходится равномерно на У.
Пример 1. Интеграл
F(X)=
?о есть точек, в любой окрестности которых функция / неограничена. Если и
множество X неогранячено, то из X удаляется также окрестность бесконечности.
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
563
получается предельным переходом
Г Г е-л(*2+г/2) dx dy ~
И
dx dy
R2
и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится
при А > 0. Далее, на множестве Е\о = {А Е R | А ^ Ао > 0} он сходится
равномерно, поскольку при А Е Е\о
Ц
И
0 <
а последний интеграл стремится к нулю, когда е —> 0 (исходный инте-
интеграл F(X) сходится при А = Ао > 0).
Пример 2. Пусть, как всегда, В{а,г) = {х £
n
х
а
< г}
шар радиуса г с центром а Е Мп, и пусть у EW1. Рассмотрим интеграл
J
dx:=
f
J
{l-\x\)"
dx.
Переходя к полярным координатам в Мп, убеждаемся, что данный
интеграл сходится лишь при а < 1. Если значение а < 1 фиксировано,
то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте
Y С
п
M(Y) G
, поскольку в этом случае \х — у\
Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек
интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять ука-
указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного ин-
интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все
основные свойства таких кратных несобственных интегралов, завися-
зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств собствен-
собственных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств
функций, зависящих от параметра.
Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже зна-
знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при
рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситу-
ситуации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или
кратного) сама зависит от параметра.
19-4574
564 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью
Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку х Е
G R3 единичного заряда выражается формулой U(x, у) = т г, где у —
\х ~У\
переменная точка пространства R3. Если теперь заряд распределен в
ограниченной области ХсМ3с ограниченной плотностью fi(x) (равной
нулю вне X), то потенциал U(y) так распределенного заряда (в силу
аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде
U(v) = / U(x v)u(x)dx = / ^v } (A)
K3 X
Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка
у 6 R3. Если точка у лежит вне множества X, то интеграл D) соб-
собственный, если же у 6 X, то \х — у\ -> 0 при X Э х -> у и точка у
оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка,
таким образом, перемещается.
Поскольку U(у) = lim U£(y), где
е—>-+0
= Г
J х — у\
Х\В(у,е)
то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый инте-
интеграл D) с переменной особенностью сходится равномерно на множест-
множестве У, если U€(y) =4 U(y) на У при е -» +0.
Мы приняли, что \(л(х)\ < М Е К на X, поэтому
Г ц{х)<1х Г
/ ^-^—г < М /
J я-У\ J
dx
1 v ' ^М j —
/Y* - 1/1 /I О**
ХПВ(у,б)
Эта оценка показывает, что \U(y) — U£(y)\ ^ 2тгМе2 при любом у G
G М3, т.е. в указанном смысле интеграл D) сходится равномерно на
множестве У = R3.
В частности, если проверить, что функция Us(y) непрерывна по у,
то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о не-
непрерывности потенциала U(y). Но непрерывность функции U€(y) фор-
формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 565
интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изме-
изменением у меняется область интегрирования X \ В(у,е). Рассмотрим
поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции Ue(y).
Заметим, что при |у — уо| ^ £
fi(x)dx
X\B(yo,2e) Х\В(у,б))ПВ(уо,2е)
Первый из этих двух интегралов при условии, что \у — уо\ < е, не-
непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной областью
интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не пре-
превосходит
Mdx
Г
J \х~у\
В(уо,2е)
= 8тгМе2.
Значит, при всех значениях у, достаточно близких к уо> будет вы-
выполнено неравенство \U€(y) — Ue(yo)\ < e + 167ГNs2, устанавливающее
непрерывность U€(y) в точке уо 6 R3.
Таким образом, показано, что потенциал U(y) является непрерыв-
непрерывной функцией во всем пространстве
Разобранные примеры дают основание принять следующее общее
Определение 1. Пусть интеграл A) является несобственным и
как таковой сходится при каждом значении у EY. Пусть Х£—часть
множества X, полученная удалением из X е-окрестности множества
особых точек интеграла1), a Fe(y) = / f(x,y)dx. Будем говорить, что
хе
интеграл A) сходится равномерно на множестве У, если F£(y) =4 F(y)
на Y при е -> +0.
Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые
были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следую-
следующее полезное
Утверждение 4. Если функция f в интеграле A) допускает
оценку |/(ж,у)| ^ | ;У,й, где М е R, х 6 X С W, у 6 Y С W и
\х у\
а <п, то интеграл сходится равномерно на множестве Y.
. сноску на стр. 562.
566
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем,
что интеграл
ц{х){хг -уг)
X
х~у\
dx,
полученный формальным дифференцированием потенциала D) по пе-
переменной уг (г = 1,2,3), сходится равномерно на множестве Y =
поскольку
1л(х)(хг-уг)
\*-у[
М
\х-у\
2'
Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции Уг(у)
на
Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция U(y) — по-
аи
аи
тенциал D) — имеет частную производную — и что —(у) = V%(у).
дуг дуг
Для этого, очевидно, достаточно проверить, что
о
/
a
6
Уг=а
Но действительно,
-уг)
a
а X
Ь
х-у\
dx =
д
V(x) dx j |д_у[з W = У ^х) dx J Qy
x
a
X
a
fi(x)dx
X
x-y\
x-y\
dyl =
= Щу)
yl=a
yl=a
Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение
порядка интегрирований. В общем случае для перестановки несобст-
несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по
совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случая это усло-
условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, ко-
конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рас-
рассматриваемой функции.
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
567
Итак, показано, что потенциал U{y), порожденный распределенным
в пространстве R3 зарядом ограниченной плотности, является функци-
функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве.
Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют
вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию.
Пусть
F(y) = jK(y-<p(x)Wx,y)dx, E)
X
где X — ограниченная измеримая область в Rm; параметр у пробегает
область Y С К™, причем п ^ m; ip: X -> Rm—гладкое отображе-
отображение, удовлетворяющее условиям rang^'(nr) = п, и ||<^'(#)|| ^ с > 0, т.е.
ip задает n-мерную параметризованную поверхность, точнее, п — путь
в Rm; К Е С(Шт \ 0,R), т.е. функция K(z) непрерывна в Rm всюду,
кроме точки z = 0, около которой она может быть и неограниченной;
ф: X х Y -> R — ограниченная непрерывная функция. Будем считать,
что при каждом у G Y интеграл E) (вообще говоря, несобственный)
существует.
В рассмотренном нами выше интеграле D), в частности, было
ip(x) = х, ф{х,у) = li{x), K(z) —
-l
Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функ-
функцию ip определение 1 равномерной сходимости для интеграла E) озна-
означает, что по любому а > 0 можно выбрать е > 0 так, что при любом
у е Y будет
<
F)
К(у-(р(х))ф(х,у)<!х
\y-lf(x)\<£
где интеграл берется по множеству1) {х G X \ \у — (р(х)\ < е}.
Для интеграла E) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5. Если интеграл E) с указанными при его опи-
описании условиями на функции ip, ф, К сходится равномерно на Y', то
F е С(У,
*) Здесь мы считаем, что само множество X ограничено в Rn. В противном случае
к неравенству F) надо еще приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл
берется по множеству {х £ X \ \х\ > 1/е}-
568 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Утверждение 6. Если про интеграл E) известно дополнитель-
дополнительно, что функция ф не зависит от параметра у (т. е. ф{х,у) = ф(х)),
а К £ G(x)(Rm \0,R), то при условии равномерной сходимости инте-
интеграла
{у - 1р{х))ф(х) dx
J
х
на множестве у Е Y, можно утверждать, что функция F имеет
непрерывную частную производную —, причем
дуг
ду№ = J -^-г{У ~ Ф)Ш*) dx. G)
Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне анало-
аналогичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не остана-
останавливаемся.
Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при про-
произвольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В приме-
примерах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках
и при перестановке порядка интегрирований. В качестве иллюстрации
возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один при-
пример из теории потенциала.
Пример 5. Пусть заряд распределен на гладкой компактной по-
поверхности S С R3 с поверхностной плотностью заряда v{x). Потенциал
такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя
и, очевидно, представляется поверхностным интегралом
Пусть v — ограниченная функция; тогда при у £ S этот интеграл
собственный и функция U(y) бесконечно дифференцируема вне S.
Если же у G 5, то интеграл имеет в точке у интегрируемую особен-
особенность. Особенность интегрируема, так как поверхность S гладкая и в
окрестности точки у G S мало отличается от куска плоскости R2, на ко-
которой, как мы знаям, особенность типа 1/га интегрируема при а < 2.
Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить
в формальное доказательство, если локально в окрестности Vy точки
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 569
у G S представить S в виде х = <^(£), где t G Vt С R2 и rangy' = 2.
Тогда
и, применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8)
представляет функцию С/(у), непрерывную во всем пространстве R3.
Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал D)
и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя
зто дифференцирование под знаком интеграла, единообразно убежда-
убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1/\х—у|,
в К3 удовлетворяет уравнению Лапласа AU = 0, т.е. является в ука-
указанной области гармонической функцией.
*4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные фун-
функции в многомерном случае
а. Свертка в
>п
Определение 2. Свертка u*v определенных на Rn вещественно
или комплекснозначных функций u, v задается соотношением
(u*v)(x) := / u(y)v(x — y)dy. (9)
Пример 6. Сопоставляя формулы D) и (9), можно заключить,
что, например, потенциал U распределенного в пространстве R3 с плот-
плотностью fi(x) заряда есть свертка (/z * Е) функции fi и потенциала Е
единичного заряда, помещенного в начало координат пространства R3.
Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в § 4 опре-
определения свертки. По этой причине все разобранные в §4 для случая
п = 1 свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если
там всюду заменить КнаКп.
Дельтаобразное семейство в W1 определяется так же, как и в R с
заменой 1 на 1П и с пониманием {7@) как окрестности в W1 точки
0GRn.
Понятие равномерной непрерывности функции /: G -> С на множе-
множестве Е С G, а вместе с ним и основное утверждение 5 § 4 о сходимости
570 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
свертки / * Аа к /, тоже со всеми деталями и следствиями переносится
на многомерный случаи.
Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из §4
при определении функций Ап(х) и ip(x) соответственно следует заме-
заменить х на \х\. Небольшие видоизменения ^-образного семейства, приве-
приведенного в примере 4 § 4, потребуются для доказательства теоремы Вей-
ерштрасса об аппроксимации периодических функции тригонометриче-
тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции
/ (х1,..., хп), непрерывной и периодической с периодами Т\,
Т2,..., Тп по переменным х1, #2,..., хп соответственно.
Утверждение состоит в том, что для любого е > 0 можно предъ-
предъявить тригонометрический полином от п переменных с соответствую-
соответствующими периодами 7\,Т2,... ,ТП, который равномерно с точностью до е
приближает / на W.
Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка
доказанных в §4 для п = 1 свойств свертки (9) в случае произволь-
произвольного п Е N будет для читателя простым, но полезным упражнением,
способствующим адекватному пониманию изложенного в § 4.
Ь. Обобщенные функции многих переменных. Остановимся
теперь на некоторых многомерных элементах введенных в § 4 понятий,
связанных с обобщенными функциями.
Пусть, как и прежде, C^(G) и Cq(G)—соответственно обозна-
обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконеч-
бесконечно дифференцируемых в области G С W1 функций. Если G = М.п,
то будем применять сокращения С^00) и С$ соответственно. Пусть
m := (mi,..., mn) —мультииндекс, а
5?
В Cq(G) вводится сходимость функций; как и в определении 7, §4
считается, что щ —> <р в С$ (G) при к —> оо, если носители всех фун-
функции последовательности {%} содержатся в одном и том же лежащем
в G компакте и для любого мультииндекса т ip^ =4 <р(т' на G при
к -> оо, т.е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их
производных.
После этого принимается
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 571
Определение 3. Линейное пространство Cq(G) с введенной
сходимостью обозначается через V{G) (при G = W1 через V) и на-
называется пространством основных или пробных функций.
Линейные непрерывные функционалы на T>(G) называются обоб-
обобщенными функциями или распределениями. Они образуют линейное
пространство обобщенных функций, обозначаемое через T>'(G) (или D',
Сходимость в £>'(£), как и в одномерном случае, определяется как
слабая (поточечная) сходимость функционалов (см. §4, определение 6).
Определение регулярной обобщенной функции дословно переносит-
переносится на многомерный случай.
Остается прежним и определение ^-функции и смещенной в точку
xq Е G (^-функции, обозначаемой через S(xq) или чаще, но не всегда
удачно, через 5(х — х$).
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 7. Положим
2
1 м2
А+(х) := =—е ОТ
V ' BV^rf)n
где а > О, t > 0, х G W. Покажем, что эти функции, рассматривае-
рассматриваемые как регулярные распределения в Rn, сходятся в V при t -> +0 к
<5-функции W1.
Для доказательства достаточно проверить, что семейство функ-
функций At является ^-образным в W1 при t -> +0.
Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к по-
повторному и значение интеграла Эйлера-Пуассона, находим
+оо
Далее при любом фиксированном значении г > О
_ 1
В@,г)
когда t -> +0.
п
оо
572 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывая, наконец, неотрицательность функций At(x), заключаем,
что они действительно составляют ^-образное семейство функций в Rn.
Пример 8. Обобщением ^-функции (отвечающей, например, еди-
единичному заряду, помещенному в начало координат пространства Rn)
является следующая обобщенная функция Ss (отвечающая распределе-
распределению заряда по кусочно гладкой поверхности S с единичной поверхност-
поверхностной плотностью распределения). Действие Ss на функции tp £ Т> опре-
определяется соотношением
i<p) := / (p(x)da.
Распределение Ss, так же как и распределение £, не является регу-
регулярной обобщенной функцией.
Умножение распределения на функцию из V определяется в W1 так
же, как и в одномерном случае.
Пример 9. Если \i Е £>, то jaSs есть обобщенная функция, дей-
действующая по закону
= / <p(x)p(x)da. A0)
Если бы функция fi(x) была определена только на поверхности £,
то равенство A0) можно было бы рассматривать как определение обоб-
обобщенной функции fiSs- Так вводимая обобщенная функция по естествен-
естественной аналогии называется простым слоем на поверхности S с плотно-
плотностью fi.
Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае
определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет не-
некоторую специфику.
Если F G V(G) и G С Rn, то обобщенная функция — определяется
соотношением
Л =-F
' V " \ ' дх
Отсюда следует, что
W H^) A1)
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 573
п
где т = (mi,..., тт) — мультииндекс и \т\ = Y1 тг-
г=1
Естественно проверить, что = . Но это следует из ра-
дхгдх3 дх3дхг
венства правых членов соотношений
, и
вытекающего из классического равенства ^ = ^ , справедли-
дхгдх3 дх3дхг
вого для любой функции if EV.
Пример 10. Рассмотрим теперь оператор D = ^ amDm, где т =
— (mi,...,mn)—мультииндекс, Dm = (-^)
т
числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый ко-
конечный набор мультииндексов. Это дифференциальный оператор.
Транспонированным по отношению к оператору D или сопряжен-
сопряженным к D называется оператор, обозначаемый обычно символом lD
или D* и определяемый соотношением
которое должно быть выполнено при любых ip EV и F eV. Исходя из
равенства (И), можно теперь написать явную формулу
D = У (-l)|m|amDm
тп
для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному опе-
оператору D.
В частности, если все значения \т\ четны, оператор D оказывается
самосопряженным, т. е. для него bD = D.
Ясно, что операция дифференцирования в V^W1) сохраняет все
свойства дифференцирования в Т>'(Ш). Рассмотрим, однако, следующий
специфически многомерный и важный
Пример 11, Пусть S — гладкое (п — 1)-мерное подмногообра-
подмногообразие Rn, т.е. S — гладкая гиперповерхность. Предположим, что опре-
определенная на W1 \ S функция / бесконечно дифференцируема и все ее
574 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
частные производные имеют предел в каждой точке х Е S при одно-
одностороннем подходе к х с любой стороны (локально) поверхности S.
Разность между этими пределами будет скачком J —*- рассматрива-
рассматриваем
емой частной производной в точке ж, соответствующим определенному
направлению прохода сквозь поверхность S в точке х. При изменении
этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, мож-
можно считать функцией на ориентированной поверхности, если, например,
условиться, что направление прохода задается ориентирующей поверх-
поверхность нормалью.
Функция —*- определена, непрерывна и локально ограничена вне £,
причем в силу сделанных допущений / локально является финально
ограниченной при подходе к самой поверхности S. Поскольку S — под-
подмногообразие Мп, как бы мы ни доопределили ^*- на 5, мы получим
дхг
функцию с разрывами разве что на £, и потому локально интегриру-
интегрируемую в W1. Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве
меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о значе-
значениях на Sj можно считать, что —*- порождает некоторую регулярную
дхг
обобщенную функцию < -^- >, действующую по закону
1дхг)
<р ) (х) dx.
Покажем теперь, что если / рассматривать как обобщенную функ-
функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет ме-
место следующая важная формула:
где последний член понимается в смысле равенства A0); (J f)s — ска-
скачок функции / в точке х Е £, соответствующий любому (из двух воз-
возможных) направлению единичной нормали п к S в точке ж, a cosa2 —
проекция п на ось хг (т. е. п = (cos ai,..., cos ah))-
M Формула A2) обобщает равенство A7) из §4, которое мы и ис-
используем при ее выводе.
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 575
Рассмотрим для определенности случай, когда г = 1. Тогда
+ 00
f df _r f Л г ,ч г 2
п
Здесь скачок J/ функции / берется в точке а; = (ж1, ж2,...,
при прохождении через нее в направлении координатной оси х\. В этой
же точке берется значение функции <р при вычислении произведения
(J f)(p. Значит, последний интеграл можно записать в виде поверхност-
поверхностного интеграла первого рода
(J f)ip cos oti da,
s
где oti — угол между направлением оси х\ и нормалью к S в точке х,
направленной так, что при прохождении через точку х Е S в направле-
направлении этой нормали функция / имеет именно полученный нами скачок
\f. Это означает всего-навсего, что cosai ^ 0. Остается заметить, что
если выбрать другое направление нормали, то для него одновременно
изменят знак и скачок функции и косинус угла между направлением
оси х1 и направлением нормали, значит, произведение (J/)cosai при
этом не изменится. ►
Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства, фор-
формула A2) имеет место уже тогда, когда для функции / определен ска-
скачок (J f)s в любой точке х Е £, а вне S существует частная производная
-^-, локально интегрируемая в Ш1 хотя бы в несобственном смысле, по-
дхг
рождающая регулярную обобщенную функцию < —^- >.
I дхг j
576 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 2. В точках х Е S, в которых направление оси х1 не
трансверсально £, т.е. касательно к £, могут возникнуть затруднения
в определении скачка J / по такому направлению. Но из доказательства
формулы A2) видно, что последний ее член получен в связи с интегра-
интегралом
J...f(\f)lpdx2...dxn.
Х2...Хп
Проекция на плоскость ж2,..., хп множества Е указанных точек
имеет (п — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение ин-
интеграла. Значит, форму A2) можно считать имеющей смысл и спра-
справедливой всегда, если при cosa2 = 0 символу (J f)s cos аг приписывать
значение нуль.
Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют пренебре-
пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу A2)
можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей,
В качестве следующего примера покажем, как из дифференциаль-
дифференциального соотношения A2) непосредственно получается классическая ин-
интегральная формула Гаусса-Остроградского, причем в том наиболее
свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы
в свое время поставили читателя в известность.
Пример 12. Пусть G — конечная область в Мп, ограниченная ку-
кусочно гладкой поверхностью S; А = (А1,..., Ап) — векторное поле, не-
прерывное в G и такое, что функция div А = У^ определена в G и
»1
интегрируема в G хотя бы в несобственном смысле.
Если считать, что вне G поле А равно нулю, то скачок такого поля
в любой точке х границы S области G при выходе из области G равен
—А(х). Полагая, что п — единичный вектор внешней нормали к £, при-
применяя формулу A2) к каждой компоненте Аг поля А и, суммируя эти
равенства, приходим к соотношению
div А - {div А} - (А • nNs, A3)
в котором А • п — скалярное произведение векторов А и п в соответ-
соответствующей точке х Е S.
Соотношение A3)—это равенство обобщенных функций. Приме-
Применим его к функции ф Е Cq , равной единице на G (существование и
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 577
построение такой функции уже неоднократно обсуждалось). Поскольку
для любой функции <р Е V
(div A, if) = - f(A-V<p)dx A4)
(что вытекает непосредственно из определения дифференцирования об-
обобщенной функции), то для нашего поля А и функции ф, очевидно,
(div А, ф) = 0. Но с учетом равенства A3) это дает соотношение
которое в классической записи
0- divAdx- (A-n)da A5)
G S
совпадает с формулой Гаусса-Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифферен-
дифференцированием обобщенных функций.
13. Рассмотрим векторное поле А = -^-, определенное
в М3 \ 0, и покажем, что в пространстве Т>'(Ш3) обобщенных функций
имеет место равенство
div -^ = 4тг£ A6)
х
Заметим сначала, что при х ф 0 в классическом смысле div -^ = 0.
I I
Теперь, используя последовательно определение div А в виде со-
соотношения A4), определение несобственного интеграла, равенство
^g- = 0 при х ф 0, формулу A5) Гаусса-Остроградского и фи-
1
ч
нитность функции у>, получаем
**J \ ш I «' — / \ 1 7
ах —
х ° / I \ х
у
578
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
= lim - /
£->+0 J
X
X
V<p(x) ) dx =
= lim — /
e^+0 J
X
e<\x\<l/e
= lim —
е-Я-0
IX * ТЬ )
tp(xy ~~da = i7np@)
x
\x\~e
Для оператора A: V'(G) —> V(G), как и прежде, фундаменталь-
фундаментальным решением назовем обобщенную функцию Е С V{G), для которой
А{Е) = 6.
Пример 14. Проверим, что в Х>'(М3) регулярная обобщенная фун-
функция Е{х) = —. | ■ является фундаментальным решением оператора
Лапласа Д = ( —^ 1 + I —^ ) + ( —з ) *
Действительно, Д = div grad, a grad E{x) = ——^ при ж/0, поэтому
4тг|а;|
равенство div grad E = 5 вытекает из доказанного соотношения A6).
Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом п Е N, п ^ 2,
TTtv»'!
В
div
х
X
п
A6')
где ап
площадь единичной сферы в
т
Отсюда с учетом соотношения Д = div grad можно заключить, что
и
X
п~2
в
П> 2.
Пример 15. Проверим, что функция
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
579
где х Е К.п , £ GK, &Н — функция Хевисайда (т. е. мы полагаем Е(х, t) =
= О при t < 0), удовлетворяет уравнению
dt
Здесь Д — оператор Лапласа пожв!п,а^ = 6(x,t) есть 6-функция
В
При t > О Е Е C(°°)(lRn+1) и прямым дифференцированием убежда-
убеждаемся в том, что
/я \
Е = О при t > 0.
dt
Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для
любой функции <р Е Т>(Ш!г+1) получаем
dt
'Лт
= - dt E(x, t) ( -¥- + а2А<р) dx =
+ 00
= — lim
/ dt I E(x,t)
-—- + a2A(p ) dx =
= lim
+ 00
E(x,e)(p{x,O)dx+ dt ( — -a2AEj(pdx
>n
'71
= lim
/ Е(х,е)<р(х,О) dx + / E(x,e)(<p(x,e) - <p(x,O))dx
lim f
£-»+0 J
= lim
= <р@,0) —
Пример 16. Покажем, что функция
,t) = —H(at-\x\),
580
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
где а > 0, ж Е lj, t E ij, H—функция Хевисайда, удовлетворяет
уравнению
в котором 6 = S(x,t) есть <5-функция пространства Т>'(М^ х Щ) -
Пусть <р Е X>(]R2), полагая для краткости Па :— ~ — а2-^-, находим
(E,Datp) = fdx f E(x,t)Daip(x,t)dt
+ 00 +00
—ex)
+ ОО
dt
О -at
2a
dx
-oo
+00
+O0
dt
В § 4 мы достаточно подробно изложили роль аппаратной функции
оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и
по выходу и линейного оператора Аи = и, сохраняющего сдвиги. Все
изложенное там по этому поводу без изменений переносится на много-
многомерный случай. Значит, если нам известно фундаментальное решение Е
оператора А, т.е. если АЕ = <5, то можно предъявить и решение и и
уравнения Аи = / в виде свертки и = f * Е.
Пример 17. Используя функцию E(x,t) примера 16, можно, та-
таким образом, предъявить решение
t x+a(t—r)
f
0 x-a(t-r)
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 581
уравнения
д2и од2и
dt2
являющееся сверткой / * Е функций / и Е, заведомо существующей в
предположении, например, непрерывности функции /. Непосредствен-
Непосредственным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко
проверить, что u(x,t)— действительно решение уравнения Паи = /.
Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 нахо-
находим решение
t
Г Г
u(x,t) = dr
V ' J J \2a
т
[2ay/ir{t -
уравнения Sjr — Aw = /, например, в предположениях непрерывно-
непрерывности и ограниченности функции /, обеспечивающих существование на-
написанной свертки / * Е. Отметим, что эти предположения делаются
для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщен-
обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решении уравнения
Ш~—Аи = /, допуская в качестве /(ж, t) обобщенную функцию (p(x)-6(t),
()Х/()
Формальная подстановка такой функции / под знак интеграла при-
приводит к соотношению
[2ауЩп
кп
Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от
параметра, можно убедиться, что эта функция является решением урав-
уравнения т^г — а2Аи = 0 при t > 0. Отметим, что u(x,t) —> (р(х), когда
t -> +0. Это вытекает из результата примера 7, где была установлена
E-образность встретившегося здесь семейства функций.
Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14 фунда-
фундаментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим
решение
и{х) = j
582 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
уравнения Пуассона Аи = — 4тг/, которое с точностью до обозначений
и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциа-
потенциалом D) распределенного в пространстве с плотностью / заряда.
Если в качестве функции / взять v{x)8s-i гДе S — кусочно гладкая
поверхность в R3, то формальная подстановка в интеграл приводит к
функции
и(х) = I
являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее, потен-
потенциалом заряда, распределенного по поверхности 5сК3 с поверхност-
поверхностной плотностью v(х).
Задачи и упражнения
1. а) Рассуждая, как и в примере 3, где была установлена непрерывность
объемного потенциала D), докажите непрерывность потенциала простого
слоя (8).
Ь) Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5.
2. а) Покажите, что для любого множества Мс!"и любого е > 0 можно
построить функцию / класса С^00) (ЕР, Щ, удовлетворяющую следующим трем
условиям одновременно: Vx € W1 @ ^ f(x) ^ 1); Ух € М (f(x) = I); supp/ С
С Ме, где М£—е-раздутие (т.е. е-окрестность) множества М.
Ь) Докажите, что для любого замкнутого в W1 множества М существует
такая неотрицательная функция / € С^°°^(МП,М), что (f(x) = 0) Ф> (х € М).
3. а) Решите задачи б и 7 из § 4 применительно к случаю пространства W1
произвольной размерности.
Ь) Покажите, что обобщенная функция 5s (простой слой) не является ре-
регулярной.
4. Используя свертку, докажите следующие варианты аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса.
a) Любую непрерывную на компактном n-мерном промежутке I С W1
функцию /: I —>■ М. можно равномерно приблизить на нем алгебраическим
многочленом от п переменных.
b) Предыдущее утверждение остается в силе, даже если заменить I про-
произвольным компактом К С Ж и считать, что / € С(К, С).
c) Для любого открытого в W1 множества G С Ш1 и любой функции
/ € C^(G, Щ найдется такая последовательность {Рк} алгебраических мно-
многочленов от п переменных, что при любом мультииндексе а = (а\,...,ап)
таком, что \а\ ^ т, на каждом компакте К с G будет Р^а) =£ /^ при
к —> оо.
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 583
d) Если G — ограниченное открытое подмножество Шп и / €
то существует такая последовательность {Рк} алгебраических многочленов
от п переменных, что при любом а = (ai,...,an) Р% =4 f^ на G, когда
к —)■ оо.
e) Любую периодическую с периодами Тх, Тг,..., Тп по переменным х1,...,
хп функцию / € С(МП,М) можно в Мп равномерно аппроксимировать триго-
тригонометрическими многочленами от п переменных, имеющими те же периоды
Гц, T2,..., Тп по соответствующим переменным.
5. Эта задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии
свертки.
а) На основе числового неравенства Минковского в свое время при р ^ 1
мы получили интегральное неравенство Минковского
I\а{х) + Ъ{х)\р dx
Оно в свою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное инте-
интегральное неравенство Минковского:
v \ 1/р / \ 1/р
f j f{x,y)dy dx\ ^ f [j\f\p{x,y)dx\ dy.
X Y I Y \X /
Докажите это неравенство, считая что р ^ 1, что X, Y — измеримые мно-
множества (например, промежутки в Жт и Ш1 соответственно) и что правая часть
неравенства конечна.
Ь) Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке / * д, пока-
покажите, что при р ^ 1 имеет место соотношение ||/ * д\\р ^ \\f\\x • \\д\\Р, где, как
всегда, ||и||р = I / \u\p(x)dx
с) Пусть (р € С^^Л), причем 0 ^ (р(х) ^ 1 на Г и J (p(x)dx = 1.
Положим (р£(х) := gtp (~) и /е := / * (р£ при е > 0. Покажите, что если / €
€ Tlp(Rn) (т.е. если существует интеграл / \f\p(x)dx), то /е € С^°°)(МП,М) и
\Ш\Р ^ \\f\\P.
Отметим, что функцию /е часто называют усреднением функции f с яд-
ядром tp£.
d) Сохраняя предыдущие обозначения, проверьте, что на любом проме-
промежутке I СШ1 справедливо следующее неравенство:
,/^ snp\\rhf-f\\pJ,
\h\<e
584 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
/ \ 1/р
гДе 1М1р,/= [J\u\p(x)dx) > агА/(а:) = f(x~h).
e) Покажите, что если / £ 71р(Шп), то Цтд/ — /||Р,/ ->■ 0 при /i ->■ 0.
f) Докажите, что для любой функции / е lZp(Rn), р ^ 1 справедливы
соотношения ||Д||Р ^ ||/||р и \\fe - /||р ->■ 0 при е ->■ +0.
g) Пусть lZp(G) —векторное с нормой || ||Pjg пространство абсолютно ин-
интегрируемых на открытом множестве G С Шп функций. Покажите, что фун-
функции класса C^°°^(G) П 1ZP(G) образуют всюду плотное подмножество Hp(G)
и что это же верно и для множества Cq (G) П TZP(G).
h) Случаю р = оо в предыдущей задаче можно сопоставить следующее
утверждение: любую непрерывную на G функцию можно в G равномерно ап-
аппроксимировать функциями класса С^°°ЦС).
i) Если / — Т-периодическая локально абсолютно интегрируемая на Ш фун-
кция, то, полагая ||/||р,т = I / \f\p(x)dx I , будем через 72J обозначать
\ ° /
линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что ||/с — /||Р,т —> О
при е ->■ +0.
j) Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна периодиче-
периодическая, сама периодична, покажите, что гладкие периодические функции клас-
класса С(°°) всюду плотны в 72J.
6. а) Сохраняя обозначения примера 11 и используя формулу A2), про-
проверьте, что если / £ С^(Шп \ 5), то
дхгдхз
b) Покажите, что сумма J2 (I ,) cos аг равна скачку (J1^) нормаль-
ной производной от функции / в соответствующей точке х £ 5, причем этот
скачок не зависит от направления нормали и равен сумме (^^+^^) (х)
нормальных производных от /, взятых в точке х с обеих сторон поверхно-
поверхности S.
c) Проверьте соотношение
где ^-—нормальная производная (т.е.
скачок функции / в точке х £ S в направлении нормали п.
d) Используя полученное выражение для А/, докажите справедливость
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 585
классической формулы Грина
/ (fAtp - <pAf) dx
G
в предположении, что G — конечная область в Шп, ограниченная кусочно глад-
гладкой поверхностью S; f,tp £ С^1' (G) П С^ (G), а стоящий слева интеграл суще-
существует хотя бы как несобственный.
e) Покажите, что если J-функция соответствует единичному заряду, по-
помещенному в начале координат 0 пространства Шп, и функция —-^К- отвечает
дх
диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке 0 и ориенти-
ориентированному вдоль оси х1 (см. задачу Не) из §4), а функция v{x)8s — простой
слой, отвечает распределению зарядов по поверхности S с поверхностной плот-
ностью v(x), то функция — -gjr(v(x)Ss), называемая двойным слоем, отвечает
распределению диполей по поверхности S, ориентированных по нормали п и
имеющих поверхностную плотность момента v(x).
f) Полагая в формуле Грина <р = т г и используя результат примера 14,
\х У\
покажите, что любая гармоническая в области G функция / класса C^(G)
представляется в виде суммы потенциала простого и двойного слоя, располо-
расположенных на границе S области G.
1 т
7. а) Функция т—г является потенциалом напряженности А = — -^ элек-
\х\ \х\6
трического поля, создаваемого в пространстве М3 единичным зарядом, поме-
помещенным в начало координат. Нам известно также, что
/ х \ ( qx\ ( a \
div -ГГТ5- = 4ttJ, div -— = A-nqS, divgrad [—r) =
x\
Исходя из этого, объясните, почему надо полагать, что функция U(x) =
= / у_£\ должна удовлетворять уравнению AU = — 4тг/2. Проверьте, что она
R3
действительно удовлетворяет написанному уравнению Пуассона.
Ь) Физическое следствие формулы Гаусса-Остроградского, известное в
теории электромагнитного поля как теорема Гаусса, состоит в том, что по-
поток через замкнутую поверхность S напряженности электрического поля, со-
создаваемого распределенными в пространстве М3 зарядами, равен Q/eq (cm.
с. 329), где Q — полный заряд в области, ограниченной поверхностью 5. Дока-
Докажите эту теорему Гаусса.
8. Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории обоб-
обобщенных функций.
а) АЕ = S, если
Г ^1п|х| при хеШ2,
ВДЧ __£Ш_ч-(»-2)
586 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
t/clxl 2/clxl
b) (A + к2)Е = ё, если Е(х) = ~%~тт ши если Е(х) = -еА ■ ■ их £
а2
с) De.E = J, где оператор Па = ~ — а
a hi —
при х
< G 1. Здесь H(t)—функция Хевисайда, Sat = {^ Е I3 | \х\ = at} — сфера,
а>0.
d) Используя предыдущие результаты, предъявите решение и уравнения
Аи — f для соответствующего дифференциального оператора А в виде сверт-
свертки / * Е и проверьте, например, в предположении непрерывности функции /,
что полученные вами интегралы, зависящие от параметра, действительно удо-
удовлетворяют уравнению Аи = /.
9. Дифференцирование интеграла по жидкому объему.
Пространство заполнено перемещающимся веществом (жидкостью). Пусть
v = v(t,x) и р = p(t,x)—соответственно скорость перемещения и плотность
вещества в момент времени t в точке х. Будем наблюдать за перемещением
порции вещества, заполняющего в начальный момент область по.
a) Выразите в виде интеграла массу вещества, заполняющего область Qt,
полученную из По к моменту £, и запишите закон сохранения массы.
b) Продифференцировав интеграл F(t) = f f(t,x)cLo с переменной облаг
стью интегрирования flt (жидкий объем), покажите, что F'(t) = /
+ / f{v,n)da, где Qt, дпц &о, da, n, v, ( , )—соответственно область, ее
t
граница, элемент объема, элемент площади, единичная внешняя нормаль, ско-
скорость потока в момент t в соответствующих точках и скалярное произведение,
с) Покажите, что F'(t) из задачи Ь) можно представить в виде Fr(t) =
d) Сопоставляя результаты задач а), Ь), с), получите уравнение неразрыв-
ности ~& + div(pv) = 0. (См. в этой связи также гл. XIV, §4, п. 2.)
с/с
e) Пусть \ilt\—объем области fit. Покажите, что КМ = / divide*;.
f) Покажите, что поле v скорости потока несжимаемой жидкости безди-
вергентно (div v = 0) и что это условие есть математическая запись несжима-
несжимаемости (сохранения объема) любой порции эволюционирующей среды.
g) Поле (р, q) фазовой скорости гамильтоновой системы классической ме-
ханики удовлетворяет уравнениям Гамильтона р = — -jj— , q = -^—, где Н —
= Н (р, q) — функция Гамильтона системы. Вслед за Лиувиллем покажите, что
гамильтонов поток сохраняет фазовый объем. Проверьте также, что функция
Гамильтона Н (энергия) постоянна вдоль линий тока (траекторий).
ГЛАВА XVIII
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием
ряда Фурье1)
1. Ортогональные системы функций
а. Разложение вектора в линейном пространстве. На протя-
протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные
классы функций по отношению к стандартным арифметическим опе-
операциям образуют линейные пространства. Таковы, например, основ-
основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на
области X CW1 вещественно, комплексно или вообще векторнозначных
функций.
С точки зрения алгебры равенство
где /, /i,..., fn — функции данного класса, a ai — коэффициенты из по-
поля R или С, попросту означает, что вектор / является линейной комби-
комбинацией векторов /i,..., fn рассматриваемого линейного пространства.
. Б.Ж.Фурье A768-1830)—французский математик. Его основной труд
«Аналитическая теория теплоты» A822) содержал выведенное Фурье уравнение те-
теплопроводности и метод разделения переменных (метод Фурье) его решения (см.
стр.608). Ключом в методе Фурье является разложение функции в тригонометриче-
тригонометрический ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались
впоследствии многие крупные математики. Это, в частности, привело к созданию
теории функций действительного переменного, теории множеств, а также способ-
способствовало развитию самого понятия функции.
588 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные
линейные комбинации» — ряды функций вида
оо
а)
Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом ли-
линейном пространстве была задана некоторая топология (в частности,
метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности / — 5П,
п
где Sn = £ akfk-
Основным для классического анализа приемом введения метрики на
линейном пространстве является определение в этом пространстве той
или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения
векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен § 1 гл. X.
Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные
скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать
символом ( , )). В таких пространствах можно говорить об ортого-
ортогональных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных
базисах, подобно тому, как это говорилось в знакомом из аналитиче-
аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства.
Определение 1. Векторы х, у линейного пространства, наделен-
наделенного скалярным произведением { , ), называются ортогональными (от-
(относительно этого скалярного произведения), если (я, у) = 0.
Определение 2. Система векторов {х^; к € К} называется орто-
ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям
индекса к, попарно ортогональны.
Определение 3. Система векторов {е^к € К} называется орто-
нормированной (или ортонормальной), если для любых индексов i,j €
6 К выполняется соотношение (ег, е3) = 8tj, где 5h3 —символ Кронеке-
г Г 1, если г = j.
pa, т. е. дг - = < ' . . .
н ' I 0, если г ф j.
Определение 4, Конечная система векторов xi,..., хп называет-
называется линейно независимой, если равенство а\Х\+с*2#2 + - ■ - + оспхп = 0 воз-
возможно, лишь когда а\ = с*2 = • • • — &п = 0 (в первом случае 0 — нулевой
вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 589
Произвольная система векторов линейного пространства называет-
называется системой линейно независимых векторов, если линейно независима
каждая ее конечная подсистема.
Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это во-
вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно
независимых векторов.
Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (ко-
(которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем,
что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ря-
ряда A). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотре-
рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который
мы поставили.
Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по
ортогональным и ортонормированным системам имеют много техни-
технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным ли-
линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты раз-
разложения; по координатам векторов в ортонормированием базисе легко
вычисляется скалярное произведение этих векторов и т.д.).
Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложения-
разложениями по ортогональным системам. В пространствах функций это будут
разложения по ортогональным системам функций или ряды Фурье,
изучению которых и посвящена эта глава.
Ь. Некоторые примеры ортогональных систем функций.
Развивая пример 12 из § 1 гл.Х, на линейном пространстве 1Z2{X,C)
локально интегрируемых на множестве X СШ71 функций, имеющих ин-
интегрируемый на X (в собственном или несобственном смысле) квадрат
модуля, введем скалярное произведение
(f,9):=f{f-9)(x)dx. B)
х
Поскольку |/ • g\ ^ з(|/|2 + 1#|2)> интеграл в равенстве B) сходится
и, значит, корректно определяет величину (/, д).
Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в соответству-
соответствующем вещественном пространстве Т^гСХ", R) соотношение B) сводится
590 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
к равенству
(f,g)'.= f{f-g)(x)dx. C)
X
Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все указан-
указанные в § 1 гл. X аксиомы скалярного произведения в этом случае выполне-
выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах
n-мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа ска-
скалярные произведения функций будут пониматься в смысле равенств B)
иC).
Пример 1. Вспомним, что при целых тип
eimx . e mx dx __ j , 7- ) /4j
1 '* если m = n:
— 7Г
cos mx cos nx dx = <
0, если т
тг, если т = п Ф 0, E)
2тг если т = п = 0;
7Г
cos mx sin nx dx = 0; F)
— 7Г
j i kj* если TTv -j— iv. /w4
sin mx sin nxdx = < . _ G)
1 * если m = n Ф 0.
— 7Г
Эти соотношения показывают, что {егпх; п € Z} является ор-
ортогональной системой векторов пространства 7?я([—яг, тг], С) отно-
относительно скалярного произведения B), а тригонометрическая си-
система {1, cosnx,sinпх]П € N} ортогональна в 7^2([~^Oг])К). Если
рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в
7£г([—я",тг],С), т.е. допустить линейные комбинации с комплексными
коэффициентами, то в силу формул Эйлера егпх = cosnx + isinnx,
cos га; = i(ema: + е~*м), sinnx = ^(etnx — е~~гпх) окажется, что рас-
рассмотренные системы линейно выражаются друг через друга, т. е.
алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент
{егпх; п € Щ также называют тригонометрической системой или
точнее тригонометрической системой в комплексной записи.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 591
Соотношения D) - G) показывают, что рассмотренные системы ор-
ортогональны, но не нормированы, а системы < -—=етж;п 6 Z|, | -А=,
-i= cosnx, -4= sin nx;n 6N| уже ортонормированы.
Если вместо отрезка [—тг,7г] взять произвольный отрезок [—1,1] С
С R, то заменой переменной можно получить аналогичные системы
<егтпх;п 6 Z > и < 1,совупж, sinjnx;n 6 Nf, ортогональные в прост-
пространствах 7?я([—/,/],С) и 7?<2([—М])К), а также соответствующие орто-
нормированные системы
1 1^-пт ™1 Г 1 1 7Г 1 . 7Г
—==е * ; п е Ъ > , < —=, —р cos -г^^э —f sin —пж; п 6 N
л/И J 1л/2/ л// ' Д 1
Пример 2. Пусть /^ — промежуток в Шт, а /у — промежуток
в К71, и пусть {/»(х)} — ортогональная система функций в ^(Jj.,!), a
— ортогональная система функций в ^2(/у,К). Тогда, как сле-
следует из теоремы Фубини, система функций {щ3{х,у) := /г(ж)^(у)} ор-
ортогональна в 72-2 (-£r x 1у,
Пример 3. Заметим, что при а Ф /3
I
/
sinaxsinpxdx = -
= cos al cos pi • ^—
Значит, если величины а и /3 таковы, что -&р- = -^-, то исходный
интеграл равен нулю. Следовательно, если £i < £2 < • • • < £>п < • • • по-
последовательность корней уравнения tg£Z = с£, где с — произвольная по-
постоянная, то система функций {sin(£na;);n 6 N} ортогональна на отрез-
отрезке [0, /]. В частности, при с = 0 получаем знакомую систему I sin f jtix J ;
Пример 4. Рассмотрим уравнение
Аи(х),
592 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
где q 6 С(°°'([а, ft],R), a A — числовой коэффициент. Предположим, что
функции ui,U2,... класса С^([а,Ь],Щ обращаются в нуль на концах
отрезка [а, Ь] и каждая из них удовлетворяет данному уравнению со
своим значением Ai, A2,. •. коэффициента А. Покажем, что если Хг ф Aj,
то функции и», и3 ортогональны на [а,Ь].
Действительно, интегрируя по частям, находим, что
dx.
/ [ ~Т~2 + $(х) ) ui(x) u3(x)dx= иг(х)
a a
В соответствии с уравнением отсюда получаем, что
Хг(иг,и3) = Х3(иг,и3)
и, поскольку Аг Ф Aj, теперь заключаем, что {щ,и3) = 0.
В частности, если q(x) = 0 на [a, ft], a [а, ft] = [0,7г], мы вновь полу-
получаем ортогональную на [0, я*] систему {s'mnx;n 6 N}.
Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для матема-
математической физики ортогональных систем, читатель найдет в задачах к
этому параграфу.
с. Ортогонализация. Хорошо известно, что в конечномерном ев-
евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы
векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализа-
ции Грама1) -Шмидта2)) можно построить ортогональную и даже ор-
тонормированную систему векторов, эквивалентную данной. Этим же
способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным
произведением можно ортонормировать любую линейно независимую
систему его векторов ф\, ip2,...
. П. Грам A850 -1916) — датский математик, продолживший исследования
П Л. Чебышева и выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным
системам и проблемой наилучшего квадратичного приближения (см. далее ряды Фу-
Фурье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогонализации и известная
матрица Грама (см. стр.222 и систему A8) на стр.601.)
2^Э. Шмидт A876-1959)—немецкий математик, изучавший в связи с интеграль-
интегральными уравнениями геометрию гильбертова пространства и описывавший ее языком
евклидовой геометрии.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 593
Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонорми-
рованной системе (pi, tp2, • • ■, описывается следующими соотношениями:
Ф\ Ф2 -
\\ФЛ9
п-1
А:=1
п-1
Пример 5. Процесс ортогонализации линейно независимой систе-
системы {1,ж,ж2,...}в 72-2 ([~1j I]? Щ приводит к так называемой системе ор-
ортогональных многочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Ле-
жандра часто называют не сами многочлены этой ортонормированной
системы, а им пропорциональные. Множитель пропорциональности вы-
выбирается из разных соображений: например, чтобы коэффициент при
старшей степени многочлена был равен 1 или чтобы значение много-
многочлена при х = 1 было равно 1. Ортогональность системы при этом,
очевидно, не нарушается, а ортонормированность, вообще говоря, те-
теряется.
Стандартные многочлены Лежандра, определяемые формулой Род-
рига
1 A( _ п
нам уже встречались. Для них Рп{1) = 1. Выпишем несколько первых
многочленов Лежандра, нормированных условием равенства единице
коэффициента при старшей степени переменной:
Ро{х) = 1, ^(х) = х, Ъ{х) ^х2--, РЪ{х) = хг- -х.
о о
Ортонормированные многочлены Лежандра имеют вид
где п = 0,1,2,...
Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на от-
отрезке [—1,1]. Принимая указанную выше формулу за определение мно-
многочлена Рп(х), проверим ортогональность системы {Рп(х)} многочле-
многочленов Лежандра на отрезке [—1,1]. Для этого достаточно проверить, что
594 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
многочлен Рп(х) ортогонален многочленам 1,а;,... ,а;п~1, линейными
комбинациями которых получаются многочлены Pk{x) степени к < п.
Интегрируя по частям при к < п, действительно получаем, что
dx = ——г I |L|1 , i. i—— da: = 0.
A! 2k J dxk+x dxn~k~l
-l -l
Некоторые представления об источнике ортогональных систем фун-
функций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в
задачах к нему, а сейчас мы вернемся к основным общим вопросам,
связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в ли-
линейном пространстве со скалярным произведением.
d. Непрерывность скалярного произведения и теорема Пи-
Пифагора. Нам предстоит работать не только с конечными, но и с бес-
бесконечными суммами (рядами) векторов. Отметим в этой связи свой-
свойство непрерывности скалярного произведения, которое позволяет рас-
распространить привычные алгебраические свойства скалярного произве-
произведения и на случай рядов.
Пусть X— векторное пространство со скалярным произведением
( , ) и с индуцированной им в X нормой ||а;|| := у/{х, х) (см. § 1 гл. X).
оо
Сходимость ряда ]Г) х% = х из векторов хг Е X к вектору х Е X будет
*=1
пониматься именно в смысле указанной нормы.
Лемма 1 (о непрерывности скалярного произведения). Пусть
( , ): X2 —>■ С — скалярное произведение в С-линейном пространст-
пространстве X. Тогда
a) функция (х,у) i->- (а;, у) непрерывна по совокупности переменных]
оо оо
b) еслих = £>г> то (х,у) = £(а;г,2/);
*=i t=i
c) если ei,e2,-.. —ортонормированная система векторов в X и
оо оо оо
а:гу \
х = £ хгег, ay=Yl Угеи ™<> {х, у) = £
г=1 г=1 г=1
■^ Утверждение а) вытекает из неравенства Коши-Буняковского
(см. § 1 гл. X):
1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 595
Из а) вытекает Ь), поскольку
п I оо
1=1 \г=п-\-1
оо
а ]С хг —> 0 при п —> ос.
г=п+1
Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом
соотношения (гс, у) = (у,х). ►
Из доказанной леммы непосредственно вытекает
Теорема (Пифагор1)).
a) Если {хг}—система взаимно ортогональных векторов и х =
г г
b) Если {ег} —система ортонормированных векторов их =
и
\x\\
X1
2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье
а. Определение коэффициентов и ряда Фурье. Пусть {ег}—~
ортонормированная, а {1г} — ортогональная системы векторов в прос-
пространстве X со скалярным произведением ( , ).
Допустим, х = ^2хг1г. Коэффициенты хг в таком разложении векто-
г
ра х находятся непосредственно:
г _ \х-> п/
Если 1% = ег, то выражение еще упрощается:
X —
х*Пифагор Самосский (ориентировочно 580-500 до н.э.) —знаменитый древне-
древнегреческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в ко-
которой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о
несоизмеримости стороны и диагонали квадрата Сама же классическая теорема
Пифагора была известна в ряде стран задолго до Пифагора (правда, возможно без
доказательства).
20-4574
596 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Заметим, что формулы для хг имеют смысл и вполне определены,
если дан сам вектор х и ортогональная система {1г} (или {ег}). Равен-
Равенства х = ^хг1% (или х — Y^x%ei) Для вычисления хг по этим формулам
г г
уже не требуется.
Определение 5- Числа s Г'л > называются коэффициентами
Фурье вектора х Е X в ортогональной системе {1г}.
Если система {ег} ортонормирована, то коэффициенты Фурье име-
имеют вид {{х,ег}}.
С геометрической точки зрения г-й коэффициент Фурье {х,ег} век-
вектора х Е X есть проекция этого вектора на направление единичного
вектора ег. В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Ег
с заданным в нем ортонормированным репером ei, е2, ез коэффициен-
коэффициенты Фурье хг = {ху ег), г = 1,2,3, суть координаты вектора х в базисе
ei, ^2, ез, возникающие в разложении х = х1е\ + х2в2 + #3ез-
Если бы вместо трех векторов ei, e2, ез нам было дано только два
ei, e2, то разложение а: = rc1ei +ж2е2 по ним имело бы место уже далеко
не для каждого вектора х Е -Е3. Тем не менее, коэффициенты Фурье
хг — (гс, ег), i = 1,2, определены и в этом случае, а вектор хе = х1е\+х2е2
в этом случае является ортогональной проекцией вектора х на плос-
плоскость L векторов ei, e2- Среди всех векторов этой плоскости вектор хе
выделяется тем, что он наиболее близок к вектору х в том смысле, что
для любого вектора у Е L будет \\х — у\\ ^ \\х — хе\\. В этом и состоит
замечательное экстремальное свойство коэффициентов Фурье, к кото-
которому мы вернемся ниже в общей ситуации.
Определение 6. Если X—линейное пространство со скалярным
произведением ( , ), a /i, /2, • • •, In, • • • —ортогональная система ненуле-
ненулевых векторов в Ху то любому вектору х Е X можно сопоставить ряд
оо
X
«
Этот ряд называется рядом Фурье вектора х по ортогональной си-
системе {Ik}-
Если система {Ik} конечна, то ряд Фурье сводится к конечной сумме.
В случае ортонормированной системы {е^} ряд Фурье вектора х Е
1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 597
Е X запишется особенно просто
оо
(8')
Пример 6. Пусть X = 7^2(["~7г,я"],К). Рассмотрим в этом прос
транстве ортогональную систему {l,cos kx^sinkx; к Е N} примера 1
Функции / Е К2([-К)К],Щ отвечает ряд Фурье
/ г\
по этой системе- Множитель ^ ПРИ ао(/) поставлен, чтобы придать
единообразие следующим, вытекающим из определения козффициентов
Фурье, формулам:
7Г
= \ f f(x) cos kxdx, k = 0,1,2,... (9)
— 7Г
7Г
— 7Г
A0)
Положим /(ж) = ж. Тогда а^ = 0, А; = 0,1, 2,..., а Ьк
к = 1, 2,... Значит, в этом случае получаем:
оо
Пример 7. В пространстве 7^2([~7Г) 7г], С) рассмотрим ортого-
ортогональную систему {егкх;к Е Щ примера 1. Пусть / Е ^([—тт^п^С).
В соответствии с определением 5 и соотношениями D), коэффициенты
Фурье {ck(f)} функции / в системе {егкх} выражаются формулой:
7Г
*<л = £//<«).--.* (=Щ§^)- (")
— 7Г
598 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Сравнивал равенства (9), A0), A1), с учетом формулы Эйлера ег(р —
= cos (р+г sin <p получаем следующие соотношения между коэффициента-
коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической
системы, записанной в действительной и комплексной формах:
1 / •
K(ak — ^Ojt), если к ^ О,
A2)
1
2\0>-k + ib—A:), если к < 0.
Для того, чтобы в формулах (9) и A2) случай к = 0 не составлял
исключения, принято (считал Ьо = 0) через ао обозначать не сам на-
начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было
сделано выше.
Ь. Основные общие свойства коэффициентов и рядов Фу-
Фурье. Следующее геометрическое наблюдение является ключевым в
этом разделе.
Лемма (о перпендикуляре). Пусть {Ik}—конечная или счетная
система ненулевых взаимно ортогональных векторов пространст-
пространства X и пусть ряд Фурье вектора х Е X по системе {Ik} сходится
к некоторому вектору х\ £ X.
Тогда в представлении х = х\ + h вектор h ортогонален Х{\ более
того, h ортогонален всему линейному пространству, порожденному
системой векторов {Ik}, а также его замыканию в X,
4 Учитывал свойства скалярного произведения, достаточно прове-
проверить, что (hylm) = 0 для любого вектора lm E
Нам дано, что
к
Значит,
1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
599
Геометрически лемма о перпендикуляре очень прозрачна, и мы ее
по существу уже отметили, рассмотрев в разделе 2 а систему из двух
ортогональных векторов в трехмерном евклидовом пространстве.
На основании этой леммы можно сделать ряд важных общих за-
заключений о свойствах коэффициентов Фурье и рядов Фурье.
Неравенство Бесселя
Учитывал ортогональность векторов х\ и h в разложении х — х\ + /г,
по теореме Пифагора находим, что ||гс||2 = ||#/||2 + ||^1|2 ^ \\xi\\2 (гипоте-
(гипотенуза не меньше катета). Это соотношение, записанное в терминах ко-
коэффициентов Фурье, называется неравенством Бесселя. Выпишем его.
По той же теореме Пифагора
к
(x,h)
{hJk}
A3)
Значит,
к
A4)
Это и есть неравенствош Бесселл. Особенно просто оно выглядит
для ортонормированной системы векторов
A5)
к
В терминах самих коэффициентов Фурье а^ общее неравенство Бес-
Бесселя A4) запишется в виде Y1 \ак
к
мированной системы сводится к
||2 ^ 11Ж1|2) чт0 в случае ортонор-
ак
к
Мы поставили знак модуля у коэффициента Фурье, допуская ком-
комплексные пространства X. В этом случае коэффициент Фурье может
принимать комплексные значения.
Отметим, что при выводе неравенства Бесселя мы воспользовались
предположением о существовании вектора х\ и равенством A3). Но если
система {/^} конечна, то нет сомнений в существовании вектора х\ (т. е.
в сходимости ряда Фурье в X). Значит, неравенство A4) справедливо
для любой конечной подсистемы {/&}, а тогда и для всей системы тоже.
600 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пример 8. Для тригонометрической системы (см. формулы (9),
A0)) неравенство Бесселя имеет вид
оо 1 п
— 7Г
Аг=1
Для системы {еъкх;к Е Z} (см. формулу A1)) неравенство Бесселя
записывается особенно изящно:
+ 0О
-7Г
Сходимость рядов Фурье в полном пространстве
Пусть ^2 xkejc = ^(^j eJb)eib — РЯД Фурье вектора х Е X по ортонор-
к к
мированной системе {е^}. В силу неравенства Бесселя A5) ряд
X
к 2
к
сходится. По теореме Пифагора
По критерию Коши сходимости ряда правая часть этого равенства
становится меньше любого е > 0 при всех достаточно больших значе-
значениях т и п > т. Значит, тогда
хтет + ... + хпеп\\ <
Следовательно, ряд Фурье Y2 хке^ удовлетворяет условиям критерия
к
Коши сходимости ряда и сходится, если только исходное пространст-
пространство X является полным относительно метрики, индуцированной нормой
IMI = >/(х>х)-
Для упрощения записи мы провели рассуждение для ряда Фурье по
ортонормированной системе. Но все можно повторить и для ряда Фурье
по любой ортогональной системе.
Экстремальное свойство коэффициентов Фурье
Покажем, что если ряд Фурье Ylxkek — 1С / \ек вектора х Е X
fc fc \ектек)
по ортонормированной системе {е^} сходится к вектору х\ Е -X", то
именно вектор х\ дает наилучшее приближение вектора х среди всех
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 601
оо
векторов у = Y2 акек пространства L, натянутого на {е&}, т.е. для
к=1
любого у Е L
По™ — о™! ^ о™ — ii\\
причем равенство здесь возможно только при у — х\.
Действительно, по лемме о перпендикуляре и теореме Пифагора
х-у\\2 = \\(х - xi) + (xi - у)\\2 = \\h + (xi - у)\\2 =
2 ■
Пример 9. Несколько отвлекаясь от нашей основной цели —изу-
—изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что име-
имеется произвольная система линейно независимых векторов х\,...,хп
в X и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора х Е X ли-
п
нейными комбинациями Y1 акхк векторов системы. Поскольку в прос-
ib=l
транстве L, порожденном векторами х\,... ,жп, процессом ортогонали-
зации можно построить ортонормированную систему ei,... ,еп, поро-
порождающую пространство L, то на основании экстремального свойства
коэффициентов Фурье можно заключить, что существует, и притом
единственный, вектор х\ Е L такой, что \\х — xi\\ — inf \\x — у\\. По-
скольку вектор h — х — х\ ортогонален пространству L, из равенства
х\ + h = х получаем систему уравнений
+ ... + {xn,xi)an = {х,х
A8)
^ \Х\, Хп)(Х\ -\- . . . -\- \Хп, Xn)OLn =■ \Х, Хп)
п
на коэффициенты ai,..., ап разложения х\ — ^ оск%к искомого векто-
fci
ра х\ по векторам системы х\,..., хп. Существование и единственность
решения этой системы вытекают из существования и единственности
вектора х\. В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сде-
сделать заключение о необращении в нуль определителя этой системы.
Иными словами, попутно показано, что определитель Грама системы
линейно независимых векторов не равен нулю.
Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система
уравнений A8), как мы уже отмечали, возникает, например, при обра-
602 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ботке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших ква-
квадратов (см. также задачу 1).
с. Полные ортогональные системы и равенство Парсеваля
Определение 7. Система {ха;а Е А} векторов нормированно-
нормированного пространства X называется полной по отношению к множеству
Е С X (или полной в Е), если любой вектор х Е Е можно сколь угодно
точно в смысле нормы пространства X приблизить конечными линей-
линейными комбинациями векторов системы.
Если через L{xa} обозначить линейную оболочку в X векторов си-
системы (т. е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векто-
векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим
образом:
система {ха} полна по отношению к множеству Е С X, если Е со-
содержится в замыкании L{xa} линейной оболочки векторов системы.
Пример 10. Если X = Е3, a ei, е<±, ез— базис в Е3, то система
{ei, е2, ез} полна в X, а система {ei, ег} уже не является полной в -X", но
является полной по отношению к множеству L{ei,e2} или любому его
подмножеству Е.
Пример 11. Последовательность функций 1, ж, ж2,... рассмотрим
как систему {хк\ к Е 0,1, 2,... } векторов пространства 7^2([а5 Ь], К) или
7^2([я, Ь], С). Если С[а, Ь] — подпространство непрерывных функций, то
эта система полна по отношению к множеству С[а, Ь].
-4 Действительно, какова бы ни была функция / Е С[а,Ь] и каково
бы ни было число е > 0, по теореме Вейерштрасса найдется алгебраи-
алгебраический многочлен Р(х) такой, что max \f(x) — Р{х)\ < е. Но тогда
х£[а,Ь]
f\f-P 2(x) dx < Vb-a
и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь
угодно точно приблизить функцию / в смысле нормы рассматриваемо-
рассматриваемого пространства 7^2 [а, Ь]. ►
Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не
каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция является конечной ли-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 603
нейной комбинацией функций взятой системы, а всего лишь приближа-
приближается такими линейными комбинациями. Итак, С[а, Ь] С L{xn} в смысле
нормы пространства 7^2 [я ? Ь].
Пример 12. Если из системы функций {1, coskxysinkxmy к Е N}
удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система {cos fear,
sinkx]k Е N} не будет полной в 1Z2([—7Г, 7г],С) или ^Ц—7Г,7г],М).
< В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции
f(x) = 1 среди всех конечных линейных комбинаций
п
Тп(х) — У](ак cos ^х + bk s'mkx)
данной длины п дает тот тригонометрический многочлен Гп(ж), в ко-
котором ак и bfc — коэффициенты Фурье функции 1 относительно рас-
рассматриваемой ортогональной системы {coskx,sinkx] к Е N}. Но в силу
соотношений E) такой полином наилучшего приближения должен быть
нулевым. Значит, всегда
— Т
п
\
dx = V2tt > 0
и приблизиться к единице ближе, чем на величину у/2п линейными ком-
комбинациями функций системы нельзя. ►
Теорема (условия полноты ортогональной системы).
Пусть X — линейное пространство со скалярным произведением
( , ), & hifo, • • • Jw> • ■ ■ —конечная или счетная система ненулевых вза-
взаимно ортогональных векторов в X. Тогда следующие условия эквива-
эквивалентны:
a) система {1^} полна по отношению к множеству1' Е С Х\
b) для любого вектора х Е Е С X имеет место разложение (в ряд
Фурье)
г' Множество Е может, в частности, состоять из одного, по тем или иным причи-
причинам представляющего интерес, вектора.
604
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с) для любого вектора х Е Е С X имеет место равенство {Парсе-
валя1')
\2
X
-Е
B0)
Особенно простой вид равенства A9) и B0) имеют для ортонорми-
рованной системы векторов {е^}. В этом случае
A9')
и
B0')
Таким образом, важное равенство Парсеваля B0) или B0')—это
теорема Пифагора, записанная в терминах коэффициентов Фурье.
Докажем сформулированную теорему.
< а) =>> Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье;
b) =>> с) по теореме Пифагора;
c) =>> а), т.к. ввиду леммы о перпендикуляре (см. раздел Ь) по тео-
теореме Пифагора имеем
71
х
= X
п
П
ТП —
•AS
Замечание. Отметим, что из равенства Парсеваля вытекает сле-
следующее простое необходимое условие для полноты ортогональной си-
системы по отношению к множеству Е С X: в Е нет ненулевого вектора,
ортогонального всем векторам системы.
В качестве полезного добавления к теореме и сделанному замечанию
докажем следующее общее
Утверждение. Пусть X —линейное пространство со скалярным
произведением, а х\,Х2,... —система линейно независимых векторов
в X. Для того, чтобы система {ж/Л была полной в X,
. А. Парсеваль A755 -1836) —французский математик, обнаруживший это со-
соотношение для тригонометрической системы в 1799 г.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 605
a) необходимо, чтобы в X не было отличного от нуля вектора,
ортогонального всем векторам системы;
b) в случае, когда X—полное (гильбертово) пространство, до-
достаточно, чтобы в X не было отличного от нуля вектора, ортого-
ортогонального всем векторам системы.
<4 а) Если вектор h ортогонален всем векторам системы {х^}, то на
основании теоремы Пифагора заключаем, что никакая линейная ком-
комбинация векторов системы {х^} не может отличаться от h меньше, чем
на величину \\h\\. Значит, если система {х^} полная, то \\h\\ — 0.
Ь) Процессом ортогонализации получим из системы {х^} ортонор-
мированную систему {е^}, линейная оболочка которой Ь{е^} совпадает
с линейной оболочкой Ь{х^} исходной системы.
Берем теперь произвольный вектор х Е X. Ввиду полноты прост-
пространства X ряд Фурье вектора х по системе {е^} сходится к некоторому
вектору хе Е X. По лемме о перпендикуляре вектор h = х — хе ортого-
ортогонален пространству Ь{е^} = Ь{х^}. По условию h = 0. Значит, х = хе
и ряд Фурье сходится к самому вектору х. Таким образом, вектор х
сколь угодно хорошо приближается конечными линейными комбинаци-
комбинациями векторов системы {е^}, а следовательно, и конечными линейными
комбинациями векторов системы {х^}. ►
Условие полноты пространства в пункте Ь) утверждения является
существенным, о чем свидетельствует следующий
Пример 13. Рассмотрим пространство fe (см. §1 гл. X) вещест-
оо
венных последовательностей а = (а1, а2,...), для которых ]Г) (а3J < ос.
Скалярное произведение векторов а = (а1, а2,...) и6= (б1, б2,...) из fe
оо
определим стандартным образом: {а, 6} := XI а-7^-
Рассмотрим теперь в fe ортонормированную систему е^ = @,... ,0,
к
1,0,0,...), к = 1,2,... В нее не входит вектор ео = A,0,0,...). К систе-
системе {е^; к Е N} добавим еще вектор е = A,1/2,1/22,1/23,...) и рассмо-
рассмотрим линейную оболочку L{e, ei, ег,... } указанных векторов. Эту ли-
линейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство X
(подпространство fe) c0 скалярным произведением, взятым из ^2-
Отметим, что вектор ео = A,0,0,...), очевидно, не может быть
606 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, в\, б2,...,
поэтому он не лежит в X. Вместе с тем, он сколь угодно точно может
быть приближен в \^ такими линейными комбинациями, поскольку е —
П 1 Л _ /1 п П 1 1
и, ... , и,
Значит, мы одновременно установили, что X не замкнуто в \^ (по-
(поэтому X, в отличие от ^2, не полное метрическое пространство), но в
то же время замыкание X в fe совпадает с ^ т. к. система ео, ei, б2,...
порождает все пространство 1^-
Теперь заметим, что в X = L{e, ei, ег,... } нет отличного от нуля
вектора, ортогонального всем векторам ei, б2,...
Действительно, пусть х Е X, т. е. ж = ае+ ]Г) а^е^, и пусть (ж, е&) =
fc=i
— 0, к = 1,2,... Тогда (x,en+i) = -~~ = 0, т.е. а = 0. Но тогда
а*. = (х,ек) = 0, А; = 1,...,п.
Значит, мы построили нужный пример: ведь ортогональная система
ei,e2,... не является полной в X, т.к. она неполна в замыкании X,
совпадающем с
Рассмотренный пример, разумеется, ти-
' h ? ео = h Ф X пично бесконечномерный. На рис. 103 сделана
f"" /' хеФ X попытка изобразить случившееся.
/ i Отметим, что в бесконечномерном случае
(так характерном для анализа) возможность
сколь угодно точно приблизить вектор ли-
линейными комбинациями векторов системы и
возможность разложить вектор в ряд по век-
р 1По торам системы, вообще говоря, разные свой-
свойства системы.
Обсуждение этого вопроса и заключительный пример 14 прояснят
особую роль ортогональных систем и рядов Фурье, для которых эти
свойства имеют место одновременно (о чем говорит доказанная выше
теорема).
Определение 8. Система xi, Х2,..., хп,... векторов линейного
нормированного пространства X называется базисом пространст-
пространства X, если любая конечная ее подсистема состоит из линейно незави-
независимых векторов и любой вектор х Е X может быть представлен в виде
х = ]Г) ctkxki гДе ак —коэффициенты из поля констант пространства X,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 607
а сходимость (в случае бесконечной суммы) понимается по норме про-
пространства X.
Как соотносятся полнота системы векторов и свойство системы
быть базисом?
В конечномерном пространстве X полнота в X системы векторов,
как следует из соображений компактности и непрерывности, очевидно,
равносильна тому, что эта система является и базисом в X. В беско-
бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так.
Пример 14. Рассмотрим множество С([— 1,1],К) непрерывных на
отрезке [—1,1] вещественнозначных функций как линейное пространс-
пространство над полем R со стандартным скалярным произведением, определен-
определенным формулой C). Обозначим это пространство символом Сг([—1,1], К)
и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, ж, ж2,...
Эта система полна в пространстве Gг([—1,1], Щ (см. пример 11), но
не является базисом.
оо
<4 Покажем сначала, что если ряд ]Г) щхк сходится в Gг([—1,1],К),
к=0
т.е. в смысле среднего квадратического уклонения на отрезке [—1,1],
то он же, рассматриваемый как степенной ряд, сходится поточечно на
интервале ]— 1,1[.
Действительно, по необходимому условию сходимости ряда имеем
fc|| —> 0 при к —> ос. Но
1
(акхк
Значит, |afc| < л/2к + 1 при всех достаточно больших значениях к.
оо
В таком случае степенной ряд ]Г) акхк заведомо сходится на интервале
к=0
Обозначим теперь через (р сумму этого степенного ряда на интер-
интервале ]— 1,1[. Заметим, что на каждом отрезке [а, Ь] С]— 1,1[ степенной
ряд сходится к (р\[а1щ равномерно, а следовательно, и в смысле среднего
квадратического уклонения тоже.
Отсюда следует, что если непрерывная на отрезке [—1,1] функция /
является суммой этого ряда в смысле сходимости в пространстве
С2Ц— 1,1],К), то / и (р совпадают на ]— 1,1[.
608 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Но функция <р бесконечно дифференцируема. Значит, если в прос-
пространстве С^([— 1,1],К) взять любую не бесконечно дифференцируемую
на интервале ]— 1,1[ функцию, то ее уже нельзя в этом пространстве
разложить в ряд по системе {хк\ к = 0,1,... }. ►
Итак, если взять, например, функцию /(ж) — \х\ и последователь-
последовательность чисел <£n = -;neNf,TO можно построить последовательность
{Рп{х)\п Е N} конечных линейных комбинаций Рп{х) = а$ + а\х +... +
+ апхп элементов системы {хк; к Е N} такую, что ||/ — Рп\\ < ^, т.е.
Рп —> f ПРИ п —> оо. Если нужно, то в каждой такой линейной комбина-
комбинации Рп(х) коэффициенты можно даже считать выбранными единствен-
единственным наилучшим способом (см. пример 9). Тем не менее, разложения
оо
f ~ 1С ак%к пРи этом не возникает по той причине, что при переходе
fc=0
от Рп{х) к Рп+\(х) меняется не только последний коэффициент an+i,
но, возможно, и все предыдущие ао,..., ап.
Если же система ортогональная, то этого не происходит (ао,..., ап
не меняются) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье.
Например, можно было бы от системы мономов {хк} перейти к си-
системе ортогональных полиномов Лежандра и разложить /(ж) =
ряд Фурье по этой системе.
х
в
* 3. Об одном важном источнике ортогональных систем
функций в анализе. Теперь дадим представление о том, как в кон-
конкретных задачах появляются те или иные ортогональные системы фун-
функций и возникают ряды Фурье по этим системам.
Пример 15. Метод Фурье.
Отрезок [0,1] С R будем считать положением равновесия однород-
однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в осталь-
остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания
около этого положения равновесия. Пусть u{x,t) — функция, описыва-
описывающая эти колебания, т. е. в каждый фиксированный момент времени
t = ^о график функции и(ж,<о) наД отрезком 0 ^ х ^ I задает форму
струны в момент ^о- Это, в частности, означает, что u@,£) = u{l,t) = 0
в любой момент £, поскольку концы струны закреплены.
Известно (см., например, гл. XIV, §4), что функция u(x,t) удовле-
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 609
творяет уравнению
-а2
а
где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля
упругости струны.
Одного уравнения B1), конечно, недостаточно для определения фун-
функции u(x, t). Из опыта мы знаем, что движение и(х, t) однозначно опре-
определится, если, например, задать положение -u(x,0) = <р{х) струны в
какой-то (будем его называть начальным) момент времени t = 0 и
скорость ^г(ж,0) — ф(х) точек струны в этот момент. Так, если мы,
оттянув струну, придаем ей форму <р(х) и отпускаем, то ф(х) = 0.
Итак, задача о свободных колебаниях струны1', закрепленной в кон-
концах отрезка [0,£], свелась к отысканию такого решения u(x,t) уравне-
уравнения B1), которое удовлетворяет граничным условиям
u@,t) =u(l,t) = 0 B2)
и начальным условиям
ди
и(х,0) = <р(х), —(х,0)=ф(х). B3)
Для решения подобных задач существует довольно естественная
процедура, называемая в математике методом разделения переменных
или методом Фурье. Она состоит в следующем. Решение u(x,t) ищется
оо
в виде ряда ]Г) Xn(x)Tn(t), члены которого X(x)T(t) являются специ-
п=1
ального вида (с разделенными переменными) решениями данного урав-
уравнения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как
мы увидим, это равносильно разложению колебания и (ж, t) в сумму про-
простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн).
Действительно, если функция X{x)T{t) удовлетворяет уравнению
B1), то X{x)T«{t) = a2Xff(x)T(t), т.е.
гпП
it) X"(x)
a2T{t) X(x) '
B4)
^Отметим, что начало математическому исследованию колебаний струны поло-
положил еще Брук Тейлор.
610 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В уравнении B4) независимые переменные х и t оказались в разных
его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле долж-
должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Л. Если учесть
еще граничные условия X@)T(t) = X{l)T{t) = 0, которым должно удо-
удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его
отыскание сводится к одновременному решению уравнений
B5)
Х'\х) = XX(х) B6)
при условии, что Х@) = ХA) = 0.
Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в от-
отдельности:
T(t) = A cos y/Xat + В sin y/Xat, B7)
Х(х) = С cos y/Xx + D sin VXx. B8)
Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х@) — ХA) — 0, то
получим, что при А Ф 0 должно быть С = 0 и, отбросив тривиальный
случай D = 0, получаем, что sin\/A/ = 0, откуда уХ = ±птг/1, п Е N.
Таким образом, в уравнениях B5), B6) число Л, оказывается, можно
выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так назы-
называемых собственных чисел задачи), Хп — (птг/^J, где п Е N. Подста-
Подставляя эти значения Л в выражения B7), B8), получаем серию специаль-
специальных его решений
тг / 7га . 7га \
,£) = sinn—х I An cos n—t + fi^sinn—с 1 , B9)
t v t t /
удовлетворяющих граничным условиям un@,^) = un{l,t) = 0 (и описы-
описывающих стоячую волну вида Ф(х) • sin(u;£ + 0), в которой каждая точка
х Е [0, /] совершает простые гармонические колебания со своей ампли-
амплитудой Ф(ж), но одной и той же для всех точек частотой а;).
Величины ujn = n?Y, n E N, по естественной причине называют соб-
собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические коле-
колебания B9)—собственными колебаниями струны. Колебание u\{x,t) с
наименьшей собственной частотой называют основным тоном стру-
струны, а остальные ее собственные колебания U2(x,£), uz{x,t), - • • называ-
называют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного
музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 611
Мы хотим теперь представить искомое колебание и(х, t) в виде сум-
оо
мы ]Г) ип{%, t) собственных колебаний данной струны. Граничные усло-
п=1
вия B2) при этом автоматически выполнены, и надо только позабо-
позаботиться о выполнении начальных условий B3), которые означают, что
оо
(р(х) = У. Ап sirm—х C0)
n=l
И
оо
ip(x) — У^п—j- Bnsmn—x. C1)
n=l
Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных ко-
коэффициентов Ап, Вп, или, что то же самое, к разложению функций <р
и ф в ряд Фурье по системе I sin п у ж; п G N к ортогональной на отрезке
Полезно заметить, что возникшие из уравнения B6) функции
lsmrijx;n G N? можно рассматривать как собственные векторы ли-
нейного оператора А — —^ отвечающие его собственным значениям
dx
A/i = Пу, которые появились из условия, что оператор А действует на
пространстве функций класса С^2^[0,1], обращающихся в нуль на кон-
концах отрезка [0,1]. Значит, равенства C0), C1) можно трактовать как
разложения по собственным векторам данного линейного оператора.
Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являют-
являются одним из основных источников ортогональных систем функций в
анализе.
Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину
ортогональности таких систем.
Пусть Z—линейное пространство со скалярным произведением
( , }, а Е — некоторое (возможно совпадающее с Z) его подпростран-
подпространство, плотное в Z. Линейный оператор А: Е —> Z называется симме-
симметрическим, если для любых векторов ж, у Е Е выполнено равенство
(Ах,у) — (х,Ау). Так вот: собственные векторы симметрического опе-
оператора, отвечающие различным его собственным значениям, ортого-
ортогональны.
А Действительно, если Аи = аи, Av = Cv и а ф /3, то
612 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
a(u}v) = (Au}v) = (u,Av) = C{u,v),
откуда следует, что (u,v) = 0. ►
Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где,
в сущности, рассматривались собственные функции оператора А =
( d2 \
= (—р + q(x) , действующего на пространстве функций класса
С [а)Ч, обращающихся в нуль на концах отрезка [а, 6]. Интегрирова-
Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указан-
указанном пространстве является симметрическим (относительно стандарт-
стандартного скалярного произведения D)), поэтому результат примера 4 явля-
является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта.
В частности, когда q{x) = 0, из А получается оператор —*, который
dx
при [а, Ь] = [0,1] встретился нам в последнем примере 15.
Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разло-
разложению функций (риф (см. соотношения C0) и C1)) в ряд по собствен-
ным функциям оператора А — -2-=-. Здесь, конечно, возникает вопрос о
dx
принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как
мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций
рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в 7^2 [—7Г, тг] тригонометрической системы (и некоторых
других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме,
по-видимому, впервые доказана Ляпуновым1). В неявном виде полнота
конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах
Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических
рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометри-
тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще
на рубеже XVIII -XIX веков. В общей постановке вопросы полноты ор-
ортогональных систем и их приложения в задачах математической фи-
физики были одним из основных объектов исследований Стеклова2), ко-
. М. Ляпунов A857-1918) —русский математик и механик, выдающийся пред-
представитель шкоды П. Л. Чебышева, творец теории устойчивости движения. Успешно
занимался различными областями математики и механики.
^В.А.Стеклов A864-1926)—русский советский математик, представитель со-
созданной П. Л. Чебышевым петербургской математической школы, основатель школы
математической физики в СССР. Его имя носит Математический институт Россий-
Российской Академии наук.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 613
торый и ввел в математику само понятие полноты (замкнутости) ор-
ортогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати,
активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания)
функции (см. §§4, 5 гл. XVII), который поэтому часто называется ме-
методом усреднений Стеклова.
Задачи и упражнения
1. Метод наименьших квадратов. Зависимость у — f(xi,... ,хп) величи-
величины у от величин xi,..., хп изучается экспериментально. В результате т (^ п)
экспериментов была получена таблица
Xi
a\
nm
al
x2 ..
a\ ..
xn
1
an
У
b1
bm
в строках которой указан набор (а\,аг2,... ,агп) значений параметров xi,
атг,... ,хп и соответствующее ему значение Ъг величины у, измеренное прибо-
прибором с определенной точностью. По этим экспериментальным данным требует-
п
ся получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у = J2 аг%г-
Коэффициенты ai, аг,..., «п искомой линейной функции надо подобрать так,
т / п ч 2
чтобы минимизировать величину \/ ^2 \^k ~~ J2 агаг ) среднего квадратич-
к-1 \ г=1 )
ного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от результа-
результатов, полученных в экспериментах.
Проинтерпретируйте этот вопрос как задачу о наилучшей аппроксима-
аппроксимации вектора (Ь1,..., Ът) линейными комбинациями векторов (а\,..., а™), г =
= 1,..., п, и покажите, что дело сводится к решению системы линейных урав-
уравнений типа системы A8).
2. а) Пусть C[a, b]—линейное пространство непрерывных на отрезке [а,Ь]
функций с метрикой равномерной сходимости функций на этом отрезке, а
то же линейное пространство, но с метрикой среднего квадратич-
ного уклонения функций на этом отрезке (т.е. d(f,g) = * f \f — g\2(x)dx ).
Va
Покажите, что сходимость функций в С[а,Ь] влечет их сходимость в Сг[а, 6],
но не обратно, и что пространство С*2[а,&] не является полным, в отличие от
пространства С[а,Ь].
Ъ) Объясните, почему система функций {1, х, х2,... } линейно независима
и полна в Сг[а, Ь], но не является базисом этого пространства.
614 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
c) Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной ортогональ-
ортогональной системой и даже базисом в Сг[—1,1].
d) Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции sinyrx на
отрезке [—1,1] по системе полиномов Лежандра.
e) Покажите, что квадрат нормы ||РП|| в Сг[—1? 1] п-го полинома Лежандра
равен
2)...2n f
(n + l)(n + 2)...2n f 2
f 2 _
2n
\ -l
f) Докажите, что среди всех полиномов данной степени п, с коэффициен-
коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полином Лежандра Рп(х) является
наименее уклоняющимся от нуля в среднем на отрезке [—1,1].
g) Объясните, почему для любой функции / € Сг([—1,1],С) должно быть
выполнено равенство
1
Г f{x)Pn{x)dx
п=еЛ *' {
где {Pq, Р\,... } — система полиномов Лежандра.
3. а) Покажите, что если система {xi,X2, - -. } векторов полна в простран-
пространстве X, а пространство X является всюду плотным подмножеством простран-
пространства Y, то система {х\, #2, • • • } полна также и в Y.
b) Докажите, что линейное пространство С[а, Ь] функций, непрерывных на
отрезке [а, 6], всюду плотно в пространстве 7^2[а, Ь]. (В задаче 5g из § 5 гл. XVII
утверждалось, что это верно даже для бесконечно дифференцируемых финит-
финитных на отрезке [а, Ь] функций.)
c) Используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, докажите, что
тригонометрическая система {l,cos&x,sin&ar, к € N} полна в 7^2[—тг, 7г]-
d) Покажите, что системы {1,х,х2,... }, {1, cos Ax, sinkx; к € N} полны в
7^-2[—7Г) 7г], но первая не является, а вторая является базисом этого пространс-
пространства.
e) Объясните, почему для любой функции / € 7£([—тг,тг],С) справедливо
равенство (Парсеваля)
оо
где числа а^, Ь^ определены формулами (9), A0)
1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 615
f) Используя результат примера 8, покажите теперь, что
сю
~
п=1 п'
4. Ортогональность с весом, а) Пусть po,Pi,. . . ,рп — непрерывные поло-
положительные в области D функции. Проверьте, что формула
задает скалярное произведение в
b) Покажите, что в пространстве 7Z(D,C) при отождествлении функций,
отличающихся лишь на множествах меры нуль, с помощью положительной и
непрерывной в D функции р можно ввести следующее скалярное произведение:
= j p(x)f(x)g(x)dx.
D
Функция р в этом случае называется весовой функцией, а если (/, д) = О,
то говорят, что функции / и д ортогональны с весом р.
c) Пусть (р: D -> G — диффеоморфизм области D сШп на область СсГ,
и пусть {uk{y)\k € N}—ортогональная в смысле стандартного скалярного
произведения B) или C) система функции в G. Постройте систему функций,
ортогональных в D с весом р(х) = | dety?'(x)|, а также систему функций, ор-
ортогональных в D в смысле стандартного скалярного произведения.
d) Покажите, что система функций {ет^п(х:у) = e^mx+ny^;m,n € N} ор-
ортогональна на квадрате / = {(х, y)el2 | |х| ^ тг Л \у\ <С тг}.
e) Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т2 с
С М2, заданном параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 из
§ 1 гл. XII. Скалярное произведение функций / и д на торе при этом понима-
понимается как поверхностный интеграл J fgda.
Т2
5. а) Из алгебры известно (и мы это попутно в теории условного экстре-
экстремума тоже доказали), что каждый симметрический оператор А: Еп -> Еп,
действующий в n-мерном евклидовом пространстве Еп, имеет отличные от
нуля собственные векторы. В бесконечномерном случае это, вообще говоря,
не так.
Покажите, что линейный оператор f(x) ь-> xf(x) умножения на независи-
независимую переменную является симметрическим в Сг([а, 6],М), но не имеет отлич-
отличных от нуля собственных векторов.
Ь) Задача Штурма1^ -Лиувилля, часто возникающая в уравнениях мате-
математической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля
. Ш. Ф. Штурм A803-1855)—французский математик (кстати, иностранный
почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к реше-
решению краевых задач уравнений математической физики.
616 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
решения уравнения и"{х) 4- [q(x) + Хр(х)]и(х) = 0 на промежутке [а, 6], удовле-
удовлетворяющего некоторым краевым условиям, например, и(а) = иF) = 0.
При этом функции р(х) и д(х) считаются известными, непрерывными на
рассматриваемом промежутке [а, 6], причем р(х) > 0 на [а, 6].
Такая задача нам уже встретилась в примере 15, где нужно было решить
уравнение B6) при условии, что -Х"@) — ХA) = 0. В этом случае у нас было
q(x) = 0, р(х) = 1 и [а,Ь] = [0,/]. Мы убедились в том, что задача Штурма -
Лиувилля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых
специальных значениях параметра А, которые по этой причине называют соб-
собственными значениями соответствующей задачи Штурма - Лиувилля.
Покажите, что если функции / и g являются решениями задачи Штурма-
Лиувилля, отвечающими собственным значениям А/ ф А5, то на отрезке [а,Ь]
выполнено равенство -g^itf 1~Гя) ~ (^f~^g)pf9 и Функции /, g ортогональны
на [а, Ь] с весом р.
c) Известно (см. §4, гл. XIV), что малые колебания неоднородной струны,
закрепленной в концах отрезка [а, Ь], описываются уравнением (рих)х = pu'lt)
где и = u(x,t)—функция, задающая форму струны в каждый момент £, р~
— р(х)—линейная плотность, а р = р(х)—коэффициент упругости в точке
х 6 [а, Ь]. Условия закрепления означают, что и(а, i) = wF, i) = 0.
Покажите, что если искать решение этого уравнения в виде Х(х)Т(г), то
дело сведется к системе Т" = AT, (рХ1)' — ХрХ, в которой А — общее для
обоих уравнений число.
Таким образом, для функции Х(х) возникает задача Штурма-Лиувилля
на отрезке [а, 6], разрешимая лишь при определенных (собственных) значени-
значениях параметра А (Считая, что р(х) > 0 на [а,Ь] и что р £ С^[а,Ь], заменой
X
переменной s = j —JL уравнение {рХ')' = ХрХ, очевидно, приводится к виду,
а ^
в котором оно уже не содержит первой производной.)
d) Проверьте, что оператор S(u) = (р{х)и'(х))' — q(x)u(x), действующий
на пространстве тех функций класса С^[а,Ь], которые удовлетворяют усло-
условиям и(а) = и(Ь) = 0, является симметрическим на этом пространстве (т.е.
(Su,v) = (u,Sv), где ( , } — стандартное скалярное произведение веществен-
вещественных функций). Проверьте также ортогональность собственных функций опе-
оператора 5, отвечающих его различным собственным значениям.
e) Покажите, что решения Xi, X^ уравнения (рХ1I = ХрХ, отвечающие
различным значениям Ai, A2 параметра А и обращающиеся в нуль на концах
отрезка [а, 6], ортогональны на [а, Ь] с весом р(х).
6. Полиномы Лежандра как собственные функции, а) Используя указанное
в примере 5 выражение полинома Лежандра Рп(х), а также равенство (х2 -
= (х - 1)п(х + 1)п, покажите, что РпA) = 1-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 617
Ь) Дифференцируя тождество {х2 — 1)-^{х2 — 1)п = 2пх(х2 — 1)п, покажите,
что Рп(х) удовлетворяет уравнению
(х2 - 1) • Р%{х) + 2х • Р'п{х) - п(п + 1)Рп(х) = 0.
с) Проверьте симметричность оператора
2 <r d _ d
dx2 dx dx
-1)
A.
dx
на пространстве С^[—1,1] С 7^2 [—1,1] и, исходя из соотношения А(Рп) —
= п(п + 1)-Рп, объясните ортогональность полиномов Лежандра.
d) Используя полноту системы {1,х,х2,... } в С^[—1,1], покажите, что
размерность собственного пространства оператора А, отвечающего его соб-
собственному значению А = п(п + 1), не может быть больше единицы.
e) Докажите, что оператор А = -^ (ж2 — 1)^ не может иметь в про-
пространстве СB)[—1,1] собственных функций, не входящих в систему {Ро(ж),
Рг(хI... } полиномов Лежандра, и собственных значений, отличных от чисел
{n(n + l);n = 0,1,2,...}.
7. Сферические функции, а) В М3 при решении различных задач (напри-
(например, задач теории потенциала, связанных с уравнением Лапласа Аи = 0) ре-
решение ищут в виде ряда из решений специального вида. В качестве таковых
берут однородные многочлены Sn(x,y,z) степени п, удовлетворяющие урав-
уравнению Аи = 0. Такие многочлены называются гармоническими многочлена-
многочленами. В сферических координатах (г,(р,в) гармонический многочлен Sn(x,y,z),
очевидно, имеет вид rnYn(8, ip). Возникающие при этом функции Yn(e,(p), за-
зависящие только от координат 0 ^ в ^ тг, 0 ^ ip ^ 2тг на сфере, называют
сферическими функциями. (Они являются тригонометрическими многочлена-
многочленами от двух переменных с 2п+1 свободными коэффициентами у Fn, что связано
с условием Д5П =0.)
Используя формулу Грина, покажите, что при т ф п функции Ут, Yn
ортогональны на единичной сфере в Е3 (в смысле скалярного произведения
(Ym,Yn) = J J Ym ■ Yn da, где поверхностный интеграл берется по сфере г = 1).
Ь) Отправляясь от полиномов Лежандра, можно ввести еще полиномы
Рппг = A — x^m/2d fi*(x), rn = 1,2,... ,п, и рассмотреть функции
(JLJL
(JLJL
Рп (COS в), Рп,т (C°S #) COS ПИр, Рп,т (sin в) sin ПКр. (*)
Оказывается, любая сферическая функция Yn(9,ip) с индексом п является
линейной комбинацией указанных функций. Принимая это к сведению и учи-
учитывая ортогональность тригонометрической системы, покажите, что функ-
функции системы (*) образуют ортогональный базис в Bп + 1)-мерном простран-
пространстве сферических функций данного индекса п.
618 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
8. Полиномы Эрмитпа. В квантовой механике при исследовании уравнения
линейного осциллятора приходится рассматривать функции класса С^2' (Е) со
скалярным произведением (/,д) = / fgdx в С^(Ш) С 72-2(Е,С), а также
— оо
.2 АП < _2
специальные функции Нп(х) = (-l)nex ~r^€^~x ), и = 0,1,2,...
a) Покажите, что Hq(x) = 1, #i(#) = 2х, Я2(х) — 4х2 - 2.
b) Докажите, что Нп(х)—полином степени п. Система функций {Но(х),
))...} называется системой полиномов Эрмита.
c) Проверьте, что функция Нп(х) удовлетворяет уравнению Н^(х)-
-2хН'п(х) + 2пНп(х) = 0.
d) Функции фп(х) = e~x /2Нп(х) называют функциями Эрмита. Покажи-
Покажите, что ф'п(х) + Bп + 1 - х2)фп(х) =0и ^п(а?) -> 0 при х -»■ оо.
+ ОО
e) Проверьте, что J фпфт dx = 0 при тфп.
— оо
2
f) Покажите, что полиномы Эрмита ортогональны на Е с весом
9. Полиномы Чебышева-Лагерра1} {Ln(x)\n = 0,1,2,...} можно опреде-
лить формулой Ln(x) := ех—^ ^.
ассп
Проверьте, что:
a) Ln(#) есть полином степени щ
b) функция Ьп(;с) удовлетворяет уравнению
xL'^x) + A - a?)L^(a?) + nLn(x) - 0;
c) система {Ln; n = 0,1, 2,... } полиномов Чебышева- Лагерра ортогональ-
ортогональна с весом е~х на полупрямой [0, +оо[.
10. Полиномы Чебышева {Т0(х) ~ l,Tn(x) = 21~ncosn(arccosx);n € N}
при |х| < 1 можно задать формулой
Покажите, что:
a) Тп(х) есть полином степени п;
b) Тп(х) удовлетворяет уравнению
A - х2)ТЦ(х) - хТ'п{х) + п2Тп(х) = 0;
c) система {Tn; n = 0,1,2,... } многочленов Чебышева ортогональна с ве-
весом р(х) = на промежутке ]— 1,1[.
. Н. Лагерр A834-1886) —французский математик.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 619
11 а) В теории вероятностей и теории функций встречается следующая
система функций Радемахера1* {фп(х) — <рBпж);п = 0,1,2,...}, где (p(t) —
— sgn(sin27r£). Проверьте, что это ортонормированная система на отрезке
[0,1].
Ь) Система функций Хаара2^ {Xn,k(x)}> гдеп = 0,1,2,..., а к — 1,2,22,...
определяется соотношениями
-i 2k 2 2k 1
i, если л™-}-i ^ x <С. „n_f_i,
-1, если |^рт < x < ^r,
О в остальных точках [0,1].
Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [0,1].
12. а) Покажите, что любое n-мерное векторное пространство со скаляр-
скалярным произведением изометрически изоморфно арифметическому евклидову
пространству Мп той же размерности.
b) Напомним, что метрическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество. Докажите, что ес-
если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, как ме-
метрическое пространство с индуцированной этим скалярным произведением
метрикой, то в нем есть счетный ортонормированный базис.
c) Пусть X — сепарабельное гильбертово пространство (т. е. X — сепара-
бельное и полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной ска-
скалярным произведением в X). Взяв в X ортонормированный базис {ег\г € N},
построим отображение 13x4 (ci,C2,...), где сг = (х,ег)—коэффициенты
Фурье разложения вектора х по базису {ег}. Покажите, что это отображение
является биективным, линейным и изометричным отображением X на прост-
пространство /г? рассмотренное в примере 14.
d) Используя рис. 103, укажите, в чем состоит идея построения примера 14,
и объясните, почему она связана именно с бесконечномерностью рассматри-
рассматриваемого пространства.
e) Объясните, как построить аналогичный пример в пространстве функ-
функций С[а, Ь] С 7^2[а, Ь].
. А. Радемахер (род. 1892) — немецкий (с 1936 г. — американский) математик.
. Хаар A885-1933) — венгерский математик.
620 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье
а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд Фу-
Фурье. Классический тригонометрический ряд — это ряд вида1)
оо
— + 2Zakcoskx + bk sin kx, A)
получаемый на базе тригонометрической системы {l,coskx,sinkx;к Е
G N}. Коэффициенты {а^^а^^Ъ^к G N} здесь вещественные или ком-
комплексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда A) суть
тригонометрические многочлены
п
Тп (х) = — + V^ ah cos kx + bk sin kx B)
соответствующей степени п.
Если ряд A) сходится поточечно на М, то его сумма /(#), очевидно,
2тг-периодическая функция на Ш. Она вполне определяется заданием ее
ограничения на любой отрезок длины 2тг.
Обратно, если дана 2тг-периодическая функция на Ш (колебания, сиг-
сигнал и т. п.) и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических
периодических функций, то для этой цели первыми претендентами слу-
служат простейшие 2тг-периодические функции {l,cos kx,s'mkx; к € N},
представляющие простые гармонические колебания кратных частот.
Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде
суммы
оо
f(x) = IT + zZ ак cos kx + Ь^ sin кх C)
Zi
k=l
равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда. Тогда коэф-
коэффициенты разложения C) легко и вполне однозначно находятся.
Домножая в этом случае равенство C) последовательно на каждую
из функций системы {l^coskx^s'mkx; к G N}, пользуясь возможностью
^Запись свободного члена в виде ао/2, удобная для рядов Фурье, здесь не обяза-
обязательна.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 621
почленно интегрировать получаемые при этом равномерно сходящиеся
ряды и учитывая соотношения
7Г
I2 dx = 2тг,
— 7Г
7Г 7Г
/ cos mx cos nxdx — I sin mx sin nxdx = 0 при тф n, m, n E N,
— 7Г —7Г
7Г 7Г
cos nxdx— I sin nxdx = 7c, n E N,
— 7Г —7Г
находим коэффициенты
7Г
1 ' -' - i. л i. n i />,ч
cos /ся; аж, /с = 0,1,..., D)
— 7Г
7Г
= - f(x)sinkxdx, к = 1,2,... E)
— 7Г
разложения C) функции / в тригонометрический ряд.
Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели, рассма-
рассматривая C) как разложение Фурье вектора / Е 7^2[—'л*, я] по ортогональ-
ортогональной системе {l^coskx,sinkx]k E N}. Это не удивительно, поскольку
из равномерной сходимости ряда C), конечно, вытекает и его сходи-
сходимость в среднем на отрезке [—7Г, 7г], а тогда коэффициентами ряда C)
должны быть коэффициенты Фурье функции / по рассматриваемой ор-
ортогональной системе (см. §1).
Определение 1. Если для функции / имеют смысл интегралы
D), E), то сопоставляемый / тригонометрический ряд
оо
f ^ ^Ш + J2ak(f) cos кх + bk(f) sinкх F)
называется тригонометрическим рядом Фурье функции /.
Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом
параграфе не будет, мы для краткости позволим себе порой опускать
622 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье фун-
функции /».
В основном мы будем иметь дело с функциями класса 7£([—7Г, тг],С)
или, несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых интегри-
интегрируем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ] — 7Г, 7г[. Со-
Сохраним прежний символ 'Я,2[—'к,'к\ для обозначения линейного прост-
пространства таких функций со стандартным скалярным произведением в
нем
7Г
ТП/77* I / )
— 7Г
Неравенство Бесселя
оо
(8)
справедливое для любой функции / Е 7£2([~я">я"]5С)> показывает, что
далеко не каждый тригонометрический ряд A) может быть рядом Фу-
Фурье некоторой функции / £
Пример 1. Тригонометрический ряд
^v sin kx
как нам уже известно (см. пример 7 из §2 гл. XVI), сходится на К, но
он не является рядом Фурье никакой функции / Е 7^2[~тг, я*], так как
РЯД Е (-7Г) расходится.
Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические
ряды A), а ряды Фурье F) функций класса ^[—к',тг], а также класса
абсолютно интегрируемых на ]— 7Г,7г[ функций.
Ь. Сходимость в среднем тригонометрического ряда Фу-
Фурье. Пусть
(9)
§ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 623
— п-я частичная сумма ряда Фурье функции / Е 7£г[—я", я*]. Отклоне-
Отклонение Sn от / можно измерять как в естественной метрике пространства
7^2 [—я*, я*], индуцированной скалярным произведением G), т. е. в смысле
среднего квадратичного уклонения
7Г
[\f-Sn\Hx)dx A0)
Sn от / на промежутке [—7г,7г], так и в смысле поточечной сходимости
на этом промежутке.
Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда
Фурье был рассмотрен в § 1. Конкретизация полученных там результа-
результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде
всего с тем, что тригонометрическая система {l^coskx^s'mkx; k £ N}
полна в 7^2[~тг,7г] (зто уже отмечалось в §1 и будет независимо дока-
доказано в п. 4 настоящего параграфа).
Значит, основная теорема из § 1 в нашем случае позволяет утвер-
утверждать, что справедлива следующая
Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда
Фурье). Ряд Фурье F) любой функции / Е 7^2([— я*)Я"]>С) сходится к
ней в среднем A0), т. е.
f(x) = -\— + У2 ak{iI cos kx + bk(f) sin kx,
и имеет место равенство Парсеваля
oo
l-1 \f\Hx) dX =
~7Г
М/)Г + |ь*(/I2- (и)
Мы часто будем использовать более компактную комплексную фор-
форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических ря-
рядов, основанную на формулах Эйлера егх = cos х + г sin #, cos а: = \{егх +
+ е~гсс), sina: = 2~(егсс — е~гх). Используя их, частичную сумму (9) ряда
Фурье можно записать в виде
n
гкх
Sn(x) = ^ cketkx, (9')
624
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
а сам ряд Фурье F) —в виде
+оо
F')
—оо
где
\{o>k
т. е.
если к > О,
если к = О,
если к < О,
к&Ъ,
A3)
— 7Г
и, значит, с^ — попросту коэффициенты Фурье функции / по системе
{etkx;keZ}.
Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье F') пони-
понимается в смысле сходимости сумм (9').
Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции
/е7г2([-7г,тг],С)
оо
тг2
л/еж
—оо
и
оо
2тг
A4)
—оо
с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фу-
Фурье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье F)
в среднем, т. е. по норме пространства Т^—я"! я*]* Вся дальнейшая часть
этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и ха-
характера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы
рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса. Исследо-
Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило,
дело настолько тонкое, что, несмотря на традиционное центральное
место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций за-
занимали ряды Фурье, до сих пор нет внутреннего описания класса тех
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 625
функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке
тригонометрическим рядом (проблема Римана). До недавнего време-
времени не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной функ-
функции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом
может не быть, уже знали). В свое время А.Н.Колмогоров1) даже по-
построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции / Е L[—7г, 7г]
(где L[—7г, 7г] — пространство функций, интегрируемых по Лебегу на
промежутке [—7г,тг], получаемое метрическим пополнением пространс-
пространства 1Ц—7г, 7г]), а Д. Е. Меньшов2) построил тригонометрический ряд A),
содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю
почти всюду (нуль-ряд Меньшова). Поставленный Н.Н.Лузиным3) во-
вопрос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции
/ £ Ьг[—тг,7г] (где 1/2[—тг,7г]—метрическое пополнение пространства
7^2[~я"?^"]) сходиться почти всюду, был решен, причем утвердительно,
только в 1966 г. Л. Карлесоном4). Из результата Л. Карлесона, в частно-
частности, следует, что ряд Фурье любой функции / Е ^[—^я"] (например,
непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка [—7г,7г].
2. Исследование поточечной сходимости тригонометриче-
тригонометрического ряда Фурье
а. Интегральное представление частичной суммы ряда Фу-
Фурье. Обратимся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье F) и, под-
подставив в ее комплексную запись (9') выражения A3) коэффициентов
Фурье, проделаем следующие преобразования:
п ■ п
—ikt jj. 1 Лкх
f(t)e-iktdt\e
— 7Г
^ А. Н. Колмогоров A903-1987) —выдающийся советский ученый; работы по тео-
теории вероятностей, математической статистике, теории функций, функциональному
анализу, топологии, логике, дифференциальным уравнениям и прикладным аспек-
аспектам математики.
2^Д. Е. Меньшов A892 - 1988) —один из наиболее крупных советских математиков,
специалист в теории функций действительного переменного.
3^Н. Н. Лузин A883 -1950) — русский советский математик, один из наиболее тон-
тонких знатоков теории функций, родоначальник большой московской математической
школы («Лузитании»).
4^Л.Карлесон (род. 1928)—выдающийся шведский математик; основные труды
относятся к различным областям современного анализа,
626 ГЛ XVIII РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
A5)
Но
IL 4 / *"i _.l. 1 111 i vt11 я i 'KJ -1. — 111 11 T") -4— ill
£>„(«) := V егА:и = f Zl = f ~e A6)
К — — ТЬ
ет-1
причем, как видно из самого определения, Dn(u) = Bn+l), если еги = 1.
Значит,
sin (п + к) и , ч
Dn{u) = \ г2' , A7)
sin^u
где отношение считается равным 2п + 1, когда знаменатель дроби обра-
обращается в нуль.
Продолжая выкладку A5), теперь имеем
7Г
f(t)Dn(x-t)dt. A8)
— 7Г
Мы представили Sn(x) в виде свертки функции / с функцией A7),
называемой ядром Дирихле,
Как видно из исходного определения A6) функции Dn(u), ядро Ди-
Дирихле 27г-периодично, четно, и, кроме того,
7Г 7Г
-^ IDn{u)du = - I Dn{u)du = l. A9)
27Г J Ж J
-7Г О
Считая функцию / 27г-периодической на R или периодически про-
продолженной с отрезка [—тг, 7г] на М, делая в A8) замену переменной, по-
получаем, что
7Г 7Г
1 /" If sinn+i t
= 5" //*-i)Ai(t)*=5- f(x-t)~^-j^~dt. B0)
27Г У 27Г J sin я*
— 7Г —7Г
Делая замену переменной, мы здесь воспользовались тем, что ин-
интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого
равна периоду функции, одинаков.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
627
Учитывая четность Dn(t), равенство B0) можно переписать в виде
7Г
S
n
{x) = ~ f(f(
x -
f{x + t))Dn{t)dt =
2тг
sm|;
. B1)
b. Лемма Римана и принцип локализации. Полученное пред-
представление B1) частичной суммы тригонометрического ряда Фурье со-
совместно с формулируемым ниже наблюдением Римана служит основой
для исследования поточечной сходимости тригонометрического ряда
Фурье.
Лемма 1 (Риман). Если локально интегрируемая функция /:
]u;i,u;2[—>■ Л£ абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном смы-
смысле) на промежутке ]uJi,U2[, то
UJ2
I
лХх
f(x)etAX dx -»■ 0 при А -»■ оо, ХеШ.
B2)
М Если ]o;i,a;2[ — конечный промежуток, a f(x) = 1, то B2) прове-
проверяется непосредственным интегрированием и переходом к пределу.
Общий случай сведем к этому простейшему.
Фиксируя произвольно е > 0, выберем сначала отрезок [а, 6] С
с] tc?i, tc?2 [ так, чтобы при любом А £ Ш было
UJ2
f f(x)elXxdx- f f{x)etXxdx
а
< €.
B3)
Ввиду оценок
0J2
I f{x)elXxdx- I f{x)elXxdx
а
а
a
dx +
dx =
J\f\(x)dx + J\f\{x)
21-4574
628
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и абсолютной интегрируемости / на ]^i,ti>2[5 указанный отрезок [а,6],
конечно, существует.
Поскольку / Е 73([а,6],М) (точнее /|[а?ц Е 7£([а,6])), то найдется
п
такая нижняя сумма Дарбу ^ rrijAx3, где m3 = inf
что
n
Ах3 < е.
а
J=l
Вводя теперь кусочно постоянную функцию д{х) = т3, если х Е
Е [#?-!, a?j], j = 1,..., п, получаем, что д(х) ^ /(гг) на [а, 6] и
о о
[ f {х)егХх dx - fg(x)elXxdx
а
а
о
\f(x) - д(х)\ \егХх\ dx = J(f(x) - д(х)) dx < e. B4)
а
а
Но
b
г
j д{х)
п
гХх dx =
а
J— х3.
f
У 3
егХх dx =
гп3е
г\х
х-
Х-,-1
-»■ 0 при А -> оо, А Е К. B5)
Сопоставляя соотношения B2)-B5), получаем то, что и утвержда-
утверждалось. ►
Замечание 1. Отделяя в B2) действительную и мнимую части,
получаем, что
UJ2 UJ2
cosXxdx —>■ 0 и / f(x)smXxdx —>■ 0 B6)
UJ2
//w
/ f(x)s
UJ\
при А —> оо, А Е Ш. Если бы в последних интегралах функция / была
комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимую
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 629
части, мы получили бы, что соотношения B6), а значит, и соотноше-
соотношение B2), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснознач-
ных функций /: ] ш\,Ш2[—> С
Замечание 2. Если известно, что / Е Т^2[—^^]ч то в силу нера-
неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что
7Г
/
/(х) cos nxdx чОи / f(x)sinnxdx —>■ О
— 7Г — 7Г
при п —>■ оо, п Е N. Этим дискретным вариантом леммы Римана в
принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях
классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены.
Возвращаясь теперь к интегральному представлению B1) частич-
частичной суммы ряда Фурье, замечаем, что если функция / удовлетворя-
удовлетворяет условиям леммы Римана, то, поскольку sin^ ^ sniwJ > 0 при
О < S ^ t ^ тг, мы вправе на основании соотношений B6) записать,
что
. B7)
sin \t
Важное заключение, которое можно сделать, имея равенство B7),
состоит в том, что сходимость ряда Фурье в точке вполне определяется
поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Сформулируем этот принцип в виде следующего утверждения.
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть fug — вещественно-
или комплекснозначные локально интегрируемые на промежутке
]—7г,7г[ и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобствен-
несобственном смысле) функции.
Если функции fug совпадают в сколь угодно малой окрестности
точки xq Е ]—7г,7г[, то их ряды Фурье
+ О0 +ОО
■оо —оо
630 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
сходятся или расходятся в точке xq одновременно, а в случае сходи-
сходимости их суммы в хо совпадают '.
Замечание 3. Как видно из проведенных при получении равенств
B1), B7) рассуждений, точка xq в принципе локализации может быть
и концом отрезка [—7г, 7г], но тогда (и это существенно!) для совпаде-
совпадения в окрестности точки Хо периодически продолженных наКс отрез-
отрезка [—7г,7г] функций / и g необходимо (и достаточно), чтобы исходные
функции / и g совпадали в окрестности обоих концов отрезка [—7г,7г].
с. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
Определение 2. Говорят, что функция /: U —> С, заданная в про-
проколотой окрестности точки х £ К, удовлетворяет в точке х условиям
Динщ если
а) в точке х существуют оба односторонних предела
:.)=lunof(x-t), f(x+)=ljmof(x + t);
b) интеграл
dt
t
+o
сходится абсолютно2).
Пример 2. Если /^непрерывная в U(x) функция, удовлетворя-
удовлетворяющая в точке х условию Гельдера
t)-f(x)\^M\t\a, 0<а<1,
то, поскольку тогда справедлива оценка
t)-f(x)
t
<
М
1*1
1-а'
функция / удовлетворяет в точке х условиям Дини.
я и не обязательно совпадают со значением /(яо) = 9(хо)-
£
^Имеется в виду абсолютная сходимость интеграла J хоть при каком-нибудь зна-
о
чении е > 0.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 631
Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности U(x)
точки х непрерывная функция / имеет односторонние пределы
и удовлетворяет односторонним условиям Гельдера
\f(x-t)-f(x-)\^Mta,
где £ > О, 0 < а < 1, а М — положительная постоянная, то функция /
по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.
Определение 3, Вещественно или комплекснозначную функ-
функцию / будем называть кусочно непрерывной на отрезке [а, 6], если су-
существует такой конечный набор точек а = хо < х\ < ... < хп = Ь этого
отрезка, что функция / определена, непрерывна на каждом интервале
]xj-i,Xj[, 3 — 1) • • ■ ,го и имеет односторонние пределы при подходе к
его концам.
Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно
непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно диф-
дифференцируемой функцией на этом отрезке.
Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируе-
дифференцируема на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем
а = 1в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа
о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция удо-
удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В
концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствую-
соответствующая односторонняя пара условий Дини.
Пример 4. Функция f(x) = sgnrr удовлетворяет условиям Дини в
любой точке х £ К, в том числе и в нуле.
Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке).
Пусть f:WL—> С—2-к-периодическая функция, абсолютно интегриру-
интегрируемая на отрезке [—7г, тг]. Если функция f удовлетворяет в точке х € Ш
условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем
—оо
632 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
•4 На основании соотношений B1) и A9)
У щ, - о - /(,-» + (/(,+«)- /(х+)) / 1
2 sin it V 2
о ^
Поскольку 2 sin \t ~ t при £ —>■ +0, то, благодаря условиям Дини, на
основании леммы Римана можно утверждать, что при п —>■ оо последний
интеграл стремится к нулю. ►
Замечание 4. В связи с доказанной теоремой и принципом лока-
локализации отметим, что изменение значения функции в точке не влияет
ни на коэффициенты, ни на ряд, ни на частичные суммы ряда Фурье,
поэтому сходимость и сумма такого ряда в точке определяется не ин-
индивидуальным значением функции в точке, а интегральным средним ее
значений в сколь угодно малой окрестности этой точки. Именно это и
нашло отражение в теореме 3.
d. Теорема Фейера1). Рассмотрим теперь последовательность
функций
S0(x) + ... + Sn{x)
(У г* \ X I . —
nv ; п + 1
являющихся средними арифметическими соответствующих частичных
сумм Sq(x), ..., Sn{x) тригонометрического ряда Фурье F) 27г-периоди-
ческой функции /: Ш —>■ С.
На основе интегрального представления B0) частичной суммы ряда
Фурье имеем
7Г
f'{x - t)Fn{t) dt,
— 7Г
где
Dn{t)).
ft I
Вспоминая явный вид A7) ядра Дирихле и учитывая, что
А / i\ / 1 VXA ч ч sin2^
sin I к + - 1 t = I sin -t I > (cos kt - cos(A; + l)t) = —:—f—,
. Фейер A880-1956) —известный венгерский математик.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
633
находим
2 п±1
Функция Тп называется ядром Фейера, точнее, п-м ядром Феиера.
Учитывая исходное определение A6) ядра Дирихле £>п, можно за-
заключить, что ядро Феиера является гладкой 27г-периодической функ-
функцией, значение которой равно (п + 1) там, где знаменатель последней
дроби обращается в нуль.
Свойства ядер Феиера и Дирихле во многом схожи, но в отличие
от ядер Дирихле ядра Феиера еще и неотрицательны, поэтому имеет
место следующая
Лемма 2. Последовательность функций
0,
если
если
х
х
> тг
является 8-образной на Ш.
М Неотрицательность Ап(х) ясна.
Равенство A9) позволяет заключить, что
ОО
7Г
7Г
/ Ап(х) dx = / Ап(х) dx ~ — Тп(х) dx =
— ОО
— 7Г
7Г
ТЬ
7Г
Наконец, при любом 5 > О
— S
/
-оо
+OO
/
7Г
/
j
^
dx
sin2 \x
при n —> oo. ►
634 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Теорема 4 (Фейер). Пусть /: К —> С—2тг-периодическая абсо-
абсолютно интегрируемая на отрезке [—тг,тг] функция. Тогда,
a) если на множестве Е С К функция f равномерно непрерывна,
то
ап(х) =$ f(x) на Е при п —>■ оо;
b) если / Е С(М,С), то
сгп(:г) =3 /(ж) wa К при n —>■ оо;
c) если f непрерывна в точке хЕЙ, то
f(x) при п —>■ оо.
•* Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями утвержде-
утверждения а).
Само же утверждение а) является частным случаем общего утвер-
утверждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку
7Г
— 7Г
Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригоно-
тригонометрическими многочленами). Если функция f: [—7г, 7г] —> С непрерыв-
непрерывна на отрезке [—7г,7г] и /(—7г) = /Gг), то эта функция может быть
сколь угодно точно равномерно на отрезке [—7г, 7г] аппроксимирована
тригонометрическими многочленами.
< Продолжая / 27г-периодически, получим непрерывную периодиче-
периодическую на R функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся
тригонометрические многочлены сгп(х). ►
Следствие 2. Если функция f непрерывна в точке х, то ее ряд
Фурье либо вовсе расходится в этой точке, либо сходится к f(x).
М Формально в проверке нуждается только случай сходимости. Если
последовательность Sn(x) при п —> оо имеет предел, то тот же предел
имеет и последовательность ап(х) = °W ~^nvt n\xK Но по теореме
Фейера ап(х) —> f(x) при п -» оо, значит, и Sn(x) -> f(x) при п —>■ оо,
если вообще предел Sn(x) при п —>■ оо существует. ►
Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и
в самом деле может в некоторых точках расходиться.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 635
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов
Фурье
а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функции. Начнем
с простой, но важной и полезной леммы.
Лемма 3 (о дифференцировании ряда Фурье). Если непрерыв-
непрерывная функция / Е С([—7г, 7г],С), принимающая на концах отрезка [—7г,7г]
равные значения (/(—тг) = /(тг)), кусочно непрерывно дифференцируема
на [—7г,7г]? то ряд Фурье ее производной
оо
лкх
— ОО
может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье
оо
—оо
самой функции, т. е.
ск(П = ikck(f), kEZ. C1)
< Исходя из определения коэффициентов Фурье A3), интегрирова-
интегрированием по частям находим
7Г
— 7Г
7Г
ik
—7Г
поскольку /Gг)е гкп - f{-ir)elkn = 0. ►
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее коэффициентов Фурье). Пусть / Е С^ш~1^([—7г, 7г],С) и f^(-ir) =
= /^(я"), j — 0,1,... ,т — 1. Если функция f имеет на отрезке [—7г, 7г]
кусочно непрерывную производную /(ш) порядка ш? то
/с Е Z, C2)
636 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и
оо
причем ^2 li < оо.
—оо
< Соотношение C2) получается в результате m-кратного использо-
использования равенства C1)
CkU{m)) = Wck(f(m~V) = ... = (ik)mck(f).
Полагая jk = lcfc(/ )l? с учетом неравенства Бесселя
оо 1 п
-п
из C2) получаем соотношение C3). ►
Замечание 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 3, вме-
вместо условий /^"(—7г) = /^)Gг) можно было бы считать, что / является
заданной на всей прямой 27г-периодической функцией.
Замечание 7. Если тригонометрический ряд Фурье записывать
в форме F), а не в комплексной форме F'), то вместо простых со-
соотношений C2) пришлось бы писать заметно более громоздкие равен-
равенства, смысл которых, однако, тот же: при указанных условиях ряд
Фурье можно дифференцировать почленно (в какой бы из форм F)
или F') он ни был задан). Что же касается оценок коэффициентов Фу-
Фурье ak(f), bk(f) ряда F), то, поскольку ak(f) = ck{f) +c_fc(/), bk(f) =
— i(ck(f) — c-k(f)) (см. формулы A2)), из C3) следует, что если функ-
функция / удовлетворяет указанным в утверждении условиям, то
= ~, к€Ц C3')
оо оо
.2
где ^2 ак < °° и X] Рк ^ °°» причем можно считать ак = /Зк =
k=l k=l
b. Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда Фу-
Фурье
Теорема 5. Если функция /: [—тг, 7г] —> С такова, что
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 637
a) /еС^-^-тг.тг], m£N,
b) /W(-vr) =/О)(тг), j = 0,l,...,m-l,
c) / имеет на [—7г,7г] кусочно непрерывную производную рш> по-
порядка т ^ 1,
mo рл<? Фурье функций / сходится к f абсолютно и равномерно на
отрезке [—7г, тг], причем отклонение п-й частичной суммы Sn(x) ряда
Фурье от f(x) на всем отрезке [—7г,7г] имеет оценку
где {£п} —стремящаяся к нулю последовательность положительных
чисел.
М Частичную сумму (9) ряда Фурье запишем в компактной фор-
форме (9')
п
—п
В соответствии с условиями на функцию /, согласно утверждению 1,
имеем |с*;(/)| = 7fc/l&|m> причем S7fc/|u|m < оо: поскольку 0 <
< lkl\k\m < \Ы + l/k2m) и m > 1, имеем J2lk/\k\m < оо. Значит,
последовательность Sn(x) на отрезке [—7г, 7г] равномерно сходится (в
силу мажорантного признака Вейерштрасса для рядов или критерия
Коши для последовательностей).
В силу теоремы 3 предел S(x) последовательности Sn(x) совпадает
с f(x), поскольку функция / удовлетворяет условиям Дини в каждой
точке отрезка [—7г, 7г] (см. пример 3) и, ввиду /(—7г) = /Gг), функция /
периодически продолжается наКс сохранением условий Дини в любой
точке х Е К.
Теперь, используя соотношение C1), имеем возможность присту-
приступить к оценке:
ОО
±к=п+1
638
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
оо
оо
Е ы/I= Е
Первый сомножитель в правой части неравенства Коши-Буняков-
оо
ского стремится к нулю при п —> оо, поскольку ^2 Ik < °°
—оо
Далее (см. рис. 104)
1
1
;2m 2т - 1 п2т~1
n
Таким образом, получается то, что и утверждает теорема 5. ►
У
0
п п + 1
X
Рис. 104.
В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных
замечаний.
Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при
ее доказательстве теоремы 3) можно легко и независимо от теоремы
Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса,
сформулированную в следствии 1.
М Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Ис-
Используя равномерную непрерывность функции / на отрезке [—7г, 7г], ап-
аппроксимируем / на этом отрезке равномерно с точностью до е/2 ку-
кусочно линейной непрерывной функцией (р(х), принимающей на концах
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
639
отрезка те же значения, что и /, т. е. <^(—7Г) — V?Gr) (рис. 105). По теоре-
теореме 5 ряд Фурье функции <р сходится к <р равномерно на отрезке [—7г, тг].
Взяв частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от <р(х) не более чем
на е/2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий
исходную функцию / с точностью до е на всем отрезке [—7г, 7г]. ►
— 7Г
7Г X
Замечание 9. Предположим, нам удалось представить функ-
функцию /, имеющую особенность ^скачок, в виде суммы / = <р+ф некото-
некоторой гладкой функции ф и некоторой простой функции <р, имеющей ту
же особенность, что и / (рис. 106 а, с, Ь). Тогда ряд Фурье функции /
окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5
ряда Фурье функции ф и ряда Фурье функции <р. Последний можно
считать известным, если взять стандартную функцию <р (на рисунке
(р(х) = — 7Г — X При —7Г < X < 0 И <р(х) = 7Г — X При 0 < X < 7г).
ф
— 7Г
0
7Г — Ж
а.
о
— 7Г
ь.
Рис. 106.
О 7Г
с.
Это наблюдение используется как в прикладных и вычислительных
вопросах, связанных с рядами [метод А. Н. Крылова1) выделения осо-
особенностей и улучшение сходимости рядов), так и в самой теории три-
.Н.Крылов A863-1945)—русский советский механик и математик, внесший
большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета элемен-
элементов кораблей.
640 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
гонометрических рядов Фурье (см., например, явление Гиббса}\ опи-
описанное в задаче 11).
Замечание 10 об интегрировании ряда Фурье.
Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать следующее
дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье
Утверждение 2. Если функция /: [—7г, 7г] -> С кусочно непрерыв-
оо
на, то соответствие f(x) ~ ^ Ck{f)elkx после интегрирования пре-
—оо
вращается в равенство
х оо
о
где штрих свидетельствует об отсутствии в сумме члена с индек-
индексом к — 0; суммирование происходит по симметричным частичным
п
суммам ^2, и при этом ряд сходится равномерно на отрезке [—тг,7г].
—п
Рассмотрим вспомогательную функцию
X
(x) = ff(t)dt-oo(f)x
О
на промежутке [—7г,7г]. Очевидно, F Е С[—7г, 7г]. Далее, F(—n) =
поскольку
7Г
F(n) - F(-tt) = I f{t)dt- 2тгсо(/) = 0,
— 7Г
что следует из определения со(/). Поскольку производная Fr(x) — f{x)-~
оо
— cq(/) функции F кусочно непрерывна, ряд Фурье Yl Ck{F)e%kx фун-
—оо
кции F по теореме 5 сходится к F равномерно на отрезке [—7г, 7г]. По
лемме 4 ck(F) = Ы|^ при /с ^ 0. Но cfc(F;) = cfc(/), если А; ^ 0. Запи-
оо
сывая теперь равенство F(x) = ^2 Ck{F)elkx в терминах функции / и
—оо
учитывая, что -F(O) = 0, получаем то, что и утверждалось. ►
1^Дж.У. Гиббс A839-1903) — американский физик и математик, один из осново-
основоположников термодинамики и статистической механики.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 641
4. Полнота тригонометрической системы
а. Теорема о полноте. В заключение вернемся вновь от поточеч-
поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем A0). Точ-
Точнее, используя накопленные факты о характере поточечной сходимо-
сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в зада-
задачах доказательство полноты в 7?2([—7г, 7г],М) тригонометрической си-
системы {l,cos kx,s'mkx] к Е N}. При этом, как и в п. 1, под 7^2([~'л")Я"]5Л&)
или Т^2{[~~^1 я"]) Q понимается линейное пространство вещественно- или
комплекснозначных функций, локально интегрируемых на промежутке
] — тг, 7г[ и имеющих интегрируемый на ] — 7г, 7г[ (хотя бы в несобствен-
несобственном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство предполага-
предполагается наделенным стандартным скалярным произведением G), порожда-
порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем A0).
Теорема, которую мы собираемся доказать, попросту утверждает,
что система тригонометрических функций полна в 7^2([—тг, 7г],С). Но
мы сформулируем теорему так, что в самой формулировке будет ключ
к излагаемому доказательству. Оно основано на том очевидном факте,
что свойство полноты транзитивно: если А приближает В, а В прибли-
приближает С, то А приближает С.
Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая
функция / Е 7^2[~'7Г57Г] может быть сколь угодно точно приближе-
приближена в среднем
a) финитными на ] — я", ?г[ интегрируемыми по Риману на отрезке
[—7г, 7г] функциями;
b) финитными кусочно постоянными на отрезке [—7г, 7г] функция-
функциями]
c) финитными непрерывными кусочно линейными на отрезке [—7г, 7г]
функциями]
d) тригонометрическими полиномами.
М Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для веще-
ственнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем,
а) Из определения несобственного интеграла следует, что
7Г 7Г —
[ f{x)dx= lim / f2{x)dx.
642 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, каково бы ни было число е > О, найдется число S > 0 такое,
что функция
Т* <*^ Г — Л
Jb *\ /I L/,
^ 7Г
ш~<Т' Z „-
будет отличаться в среднем на [—•zr, 7г] от / меньше, чем на в, поскольку
7Г 7Г + 5 7Г
dx + f2(x)dx.
—7Г —7Г 7Г —5
Ь) Достаточно проверить, что любую функцию вида fs можно в
—7г, 7г], К) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на
[—7г, тг] функциями. Но функция fs уже интегрируема по Риману на
отрезке [—n + S,n~S\. Значит, она ограничена на нем некоторой по-
постоянной М, и, кроме того, существует такое разбиение —тг + S = xq <
< х\ < ... < хп = тг — S этого отрезка, что соответствующая ему
п
нижняя интегральная сумма Дарбу ^ тпгАхг функции fs отличается
г=1
от интеграла fs по отрезку [—тх + 5, тх + S] меньше чем на е > 0.
Полагая теперь
д(х) = < ' г ,
1 0 в остальных точках отрезка [—7г, тг],
получим, что
7Г 7Г
\fs - д\ \fs + g\(x) dx
— 7Г —7Г
^2М
-7Г+5
и, значит, действительно fs можно сколь угодно точно в среднем на от-
отрезке [—7г, 7г] аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрез-
отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка
[-7Г,7Г].
с) Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем ука-
указанные в Ь) функции. Пусть д — такая функция. Все ее точки разрыва
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 643
xi,..., хп лежат в интервале ] — 7г, 7г[. Их конечное число, поэтому, како-
каково бы ни было число е > О, можно подобрать число S > О столь малень-
маленькое, что (^-окрестности точек х\,...,хп не пересекаются, содержатся
строго внутри интервала ] — 7г,7г[ и 28пМ < в, где М = sup |g(x)|. За-
меняя теперь функцию д на отрезках [хг—£, хг+6], г — 1,..., п, линейной
функцией, интерполирующей значения д(хг — 6) и д(хг+д), которые фун-
функция д принимает на концах соответствующего отрезка, мы получим
кусочно линейную непрерывную и финитную на [—7г, 7г] функцию д§. По
построению |<7$(ж)| ^ М на [—7г, 7г], значит,
7Г
(9 ~ 9sJ(x) dx^2M \g- gs\{x) dx =
и возможность аппроксимации доказана.
d) Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно
в среднем на отрезке [—7г, 7г] приблизить любую функцию класса с). Но
ведь при любом е > 0 для любой функции типа д$ по теореме 5 най-
найдется тригонометрический многочлен Гп, равномерно с точностью до е
7Г
аппроксимирующий д$ на отрезке [—7г,7г]. Значит, J (д$ — ТпJ[х) dx <
— 7Г
< 2гке , и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем
на отрезке [—7г, 7г] любой функции класса с) посредством тригономе-
тригонометрических полиномов установлена.
Ссылаясь на неравенство треугольника в 7^2[—'л", тг], можно теперь
заключить, что и вся теорема б о полноте в 7?.2[—я", я"] указанных клас-
классов функций тоже доказана. ►
Ь. Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После
доказанной полноты в 7£г([—тг,7г],С) тригонометрической системы на
основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции / Е
Е 72.2([—7Г, 7г],С) имеет место равенство
+ X)afc(/) coste + bk(f) sinte C4)
644 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
или, в комплексной записи, равенство
оо
C5)
— ОО
где сходимость понимается как сходимость по норме пространства
7^2[—я", я*], т. е. в среднем, а предельный переход в C5) совершается при
п->оопо суммам вида Sn{x) = J2 с^(/)е
—п
Если переписать равенства C4), C5) в виде
kx
C4)
°° „ikx
= VcJ/)^=, C5')
—oo *
то в правых частях окажутся ряды по ортонормированным системам
< —1=, ~= cos for, ~=sinkx;k G NL l -т==егкх;к eZ>. Значит, на ос-
основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов,
по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 1 из § 1)
можно утверждать, что для любых функций / и д из 7£2([~~7rj7r])Q
справедливо равенство
l-U,g) = ""Г^ + > >№*(<?) + ШЬн(д) C6)
или, в иной записи, равенство
ОО
2ttW)
— ОО
где, как всегда,
7Г
C7)
= / f(x)g(x)dx
— 7Г
В частности, при / = <? из C6) и C7) получаем записанное в двух
эквивалентных между собой формах классическое равенство Парсева-
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 645
ля
оо
||/l|2 ^^ f>(/)|2 M/)|2 C8)
тг""" 2
ОО
—оо
Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство
Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант тео-
теоремы Пифагора.
На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное
Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть fug —
функции из 7£г[—я")Я*]- Тогда,
a) если тригонометрический ряд
оо / оо
— + 22/ak cos ^х ~*~ ^k sin for I = У2 ске%кх
к=\ \ -оо
сходится к f в среднем на отрезке [—тг,тг]? то он является рядом Фу-
Фурье функции /;
b) если функции fug имеют один и тот же ряд Фурье, то они
совпадают почти всюду на отрезке [—тг, тг], т. е. f = g в Т^2[—тг-,тг\.
М Утверждение а) на самом деле есть частный случай общего факта
единственности разложения вектора в ряд по ортогональной системе.
Скалярное умножение, как мы знаем (см. лемму 1Ь), немедленно пока-
показывает, что коэффициентами такого разложения являются коэффици-
коэффициенты Фурье и только они.
Утверждение Ь) можно получить из равенства Парсеваля с учетом
доказанной полноты в Т^2([~7Г^]^) тригонометрической системы.
Поскольку разность (/ — д) имеет нулевой ряд Фурье, то в силу
равенства Парсеваля ||/ — <?||7г2 =0. Значит, функции /hj совпадают
во всех точках непрерывности, т. е. почти всюду. ►
оо An) ( \
Замечание 10. Рассматривая ряды Тейлора Y1 —р(а;-а)п,мы
/г=0
в свое время отметили, что различные функции класса C^°°'(R, R) мо-
могут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках а Е R). Этот
646 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фу-
Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема
единственности относительна в том смысле, что она относится к опре-
определенному пространству и определенному виду сходимости.
Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций,
допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к
оо
ним степенного ряда ]Г) an(z — zqO1) две различные функции в любой
п=0
точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения.
Если, в свою очередь, при изучении тригонометрических рядов от-
отказаться от пространства TZ2[~7r,7r] и рассматривать поточечную схо-
сходимость тригонометрического ряда, то, как уже отмечалось (см.
стр.520), можно построить тригонометрический ряд, не все коэффи-
коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду
сходится к нулю. По утверждению 3 такой нуль-ряд, конечно, не схо-
сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения.
В заключение в качестве иллюстрации использования свойств три-
тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий
Гурвицу1) вывод классического изопериметрического неравенства в
двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и слу-
случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной
записью.
Пример 5. Между объемом V области в евклидовом пространс-
пространстве Еп', п ^ 2 и (п — 1)-мерной площадью F, ограничивающей область
гиперповерхности, имеется соотношение
п\Гч ^ Fn, D0)
называемое изопериметрическим неравенством] здесь vn — объем еди-
единичного n-мерного шара в Еп. Равенство в изопериметрическом нера-
неравенстве D0) имеет место только для шара.
Название «изопериметрическое» связано с классической геометри-
геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной
длины L той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь S. В
этом случае неравенство D0) означает, что
^L2. D1)
.Гурвиц A859-1919)—немецкий математик, ученик Ф.Клейна.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 647
Именно это неравенство мы теперь и докажем, считая, что рассма-
рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде
х — <p(s), у = V*E)) гДе s — натуральный параметр (длина) вдоль кри-
кривой, а функции (риф принадлежат классу С^^[0, L]. Условие замкнуто-
замкнутости кривой означает, что (р@) = <p(L), ф@) = ф(Ь).
Перейдем от 5 к параметру t — 2тг4 — 7г, изменяющемуся от —тг до тг,
и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде
х = x(t), у = y(t), -тг ^ t ^ тг, D2)
причем
х(-п) = х(тг), у(-тг) = у(тг). D3)
Соотношения D2) запишем в виде одной комплекснозначной функ-
функции
-тг^^^тг, D2')
где z(t) = x(t) + iy(t), и ввиду D3) z(—тг) — z(ir).
Заметим, что
и, значит, при нашем выборе параметра t
D4)
Учитывая далее, что ~zzf = (x — iy)(xr + iyr) = (xxr+ yyr) + i(xyf — xfy),
и пользуясь равенствами D3), запишем в комплексном виде формулу
площади области, ограниченной замкнутой кривой D2):
7Г 7Г
5 = \ J(xy' - yx')(t) dt = ±-.J z'(t)z(t) dt. D5)
— 7Г — 7Г
Напишем теперь разложение функции D2') в ряд Фурье
оо
—оо
648 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тогда
оо
— ОО
Равенства D4) и D5) означают, в частности, что
7Г
1 1 г г:
"|~'||2 _ ■*■ / ~//мм2 jj. -^
2тг" " 2тгУ чл 4тг2'
а
1 1 Г , г
2тг 2тг J тг
— 7Г
В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств C7),
C9), полученные соотношения приобретают вид
оо
—оо
оо
—оо
Таким образом,
оо
L2 - AnS = 4п2^(к2 - к)\ск
—оо
Правая часть этого равенства, очевидно, неотрицательна и обраща-
обращается в нуль только при условии, что Cfc = 0, когда fcGZnfe/O,l.
Итак, неравенство D1) доказано, и заодно получено уравнение
=со + схег\ -тг ^ у ^ тг,
той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это комплекс-
комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке со
комплексной плоскости и радиуса \с\
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 649
Задами и упражнения
1. а) Покажите, что
оо
81П ПХ ТГ - X
Esmnx п — х
— —-— при 0 < х < 2тг,
п 9
1 п
п=1
и найдите сумму этого ряда в остальных точках х Е Е.
Используя предыдущее разложение и пользуясь правилами действий с три-
тригонометрическими рядами Фурье, покажите теперь, что:
b) £ «^ = f - § при 0 < х < тг.
c) £ ''"^-'i X = J при 0 < х < тт.
оо
— sinn# = §
= § ПРИ
х\
00
cosna: при
тг.
=1 п
cosBfc -
< г < тг
g) Зх2 - бтгх + 2п2 = j2 cosnx при о ^ a: ^ тг.
п=1 п
h) Нарисуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических ря-
рядов над всей осью Е. Используя полученные результаты, найдите суммы сле-
следующих числовых рядов:
(-1)" ^ 1 ^ (-1)"
^2п+1 n J n2
п—0 п=1 п~1
2. Покажите, что:
a) если /: [—тг, тг] -» С нечетная (четная) функция, то ее коэффициенты
Фурье имеют следующую особенность: а*(/) = 0 (bk(f) = 0) при к — 0,1,2,...;
b) если /: Е -» С имеет период 2тг/т, то ее коэффициенты Фурье Cjfc(/)
могут быть отличны от нуля, лишь когда к кратно т;
c) если /: [—тг, тг] -» Е вещественнозначна, то при любом к Е N с*(/) =
d) |о*(/)| ^ 2 sup |/(я;)|, \bk(f)\ «С 2 sup |/(я;)|, |cfc(/)| ^ sup
fi li ii
3. а) Покажите, что каждая из систем функций {cosfcz;A; = 0,1,...},
inkx; к Е N} полна в пространстве !Z2[o>,Q> + тг] при любом значении а Е Е.
b) Разложите функцию f(x) = х в промежутке [0,7г] по каждой из этих
двух систем.
c) Нарисуйте графики сумм найденных рядов над всей числовой осью.
650 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d) Укажите тригонометрический ряд Фурье функции f(x) = \x\ на отрезке
[—тг, тг] и выясните, сходится ли он равномерно к этой функции на всем отрезке
[-7Г,7Г].
оо
4. Ряд Фурье J2 Ck(f)etkx функции / можно рассматривать как специаль-
—оо
оо / — 1 +оо
к ( = J2 °kzk + J2 ск%к
ный случай степенного ряда J2 ск%к ( = J2 °kzk + J2 ск%к ) > в котором z про-
— оо \ -оо 0 /
бегает единичную окружность комплексной плоскости (т.е. z = elt).
Покажите, что если коэффициенты Фурье с&(/) функции /: [—тг, тг] -» С
убывают так быстро, что lim |с*(/)|1///г = с_ > 1, a lim \ck(f)\l/k = c+ < 1,
*->-оо *-Н-оо
то:
а) функцию / можно рассматривать как след на единичной окружности
d
оо
некоторой функции, представимой в кольце d < \z\ < с+ рядом
—оо
оо
b) при z = x 4- iy и In ^ < у < In -L ряд £] Ck(f)etkz сходится абсолютно
~~ — oo
(и, в частности, его сумма не зависит от порядка суммирования членов);
c) в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а ^
оо
^ Imz ^ 6, где 1п^-<а<6<1п^-, ряд Yl Ck(f)etkz сходится абсолют-
~~ — оо
но и равномерно;
2
d) используя разложение ez = 1 4- уг 4- fr + • • • и формулу Эйлера егх =
= cos а: 4- г sin а:, покажите, что
cos a: cos па: гпчт , . ч
1 Н — 4- - - • Н : h ... = ecosx cos(sina:),
1! п!
sin a: sin па: гпчт . , . ч
—— + ... + — + ... = ecosx sin(smar);
1! п!
e) используя разложения cos z=l — ^-Ч-^- — ...,sinz = z—^-+^- — ...,
проверьте, что
оо
= sin(cos x) ch(sin x),
п=0
оо
E4T1sinizn -+- i)x . ч , / . ч
( —1) —г^ ~- = cos(cosa:)sh(sina:),
oo
E. i4ncos2na: . . f . .
(-1) /o 4. = cos(cosa:)ch(sina:),
n=0 v }
E°° sin2na: .
(—1) = cos(cosa:)sh(sina:).
n=0 ^ ''
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
651
5. Проверьте, что:
a) системы < 1, cos к-fix, sin к%р-х; к Е Щ, 1егк~гх; к Е Ъ > ортогональны и
полны в пространстве 7^2 ([а >а + Т], С) при любом а Е Е;
b) коэффициенты Фурье а*(/), Ь*(/), с&(/) Т-периодической функции /
по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд
— 4, у или на любом ином отрезке вида [а, а + Т];
c) если Ck(f) и Ck(g)—коэффициенты Фурье Т-периодических функций /
ид, то
а+Т оо
1 /
—оо
d) коэффициенты Фурье с&(Л) нормированной множителем ^ «свертки»
1
= ~Jf(x-t)g(t)
dt
Т-периодических гладких функций /иди коэффициенты Фурье Ck(f), Ск(д)
самих функций /ид связаны соотношением Ck(h) — Ck(/)ck(g), к Е Z.
6. Докажите, что если а несоизмеримо с тг, то:
N 1 тг
111 IX »г / С ^^ г> I С CXt1 ■
Лг-^оо n=i Z7r_ff
b) для любой непрерывной 2тг-периодической функции /: Е —> С
n=1
7. Докажите следующие утверждения:
а) Если функция /: Ш -» С абсолютно интегрируема на Е, то
оо
— оо
da:
ОО
—оо
\) -f(x)
dx.
b) Если функции /:Е->Сир:Е->С абсолютно интегрируемы на Е и,
кроме того, д по модулю ограничена на Е, то
оо
/
tXt
t)g(t)etXtdt=:(px(x) =4 0 на Е при Л -> оо.
— оо
652 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с) Если /: Е —у С — 2тг-периодическая абсолютно интегрируемая на пери-
периоде функция, то остаток Sn(x) — f(x) ее тригонометрического ряда Фурье
может быть представлен в виде
7Г
Sn(x) - f(x) = 11
О
где Dn —n-е ядро Дирихле, а (А2/)(х, t) = f(x + t) — 2f(x) + f(x — t).
d) Для любого д Е]0, тг[ полученную выше формулу остатка можно приве-
привести к виду
s
5 1 , J- I Ы11 ИЬ ,»<">_«■• V. .-V
/\ ^/\ I I \ Z г\ / «л Л л. i _/1 \
I /у* \ ■§■ I /У* \ I I /\ Т W Т Т"! /IT 1 /II I I
^IXJ — J \^) — — I \^^ J /\'t'> *"/ **Ь ^ *^\-*-/ Т
тг у £
о
где оA) стремится к нулю при п -> оо, причем равномерно на каждом отрезке
[а, Ь], на котором функция / ограничена.
e) Если функция /: [— тг, тг] —> С удовлетворяет на отрезке [—тг, тг] условию
Гельдера \f(xi) — f(x2)\ ^ М\х\ - Х2\а (где М и а — положительные числа) и,
кроме того, /(—тг) = /(тг), то ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно
на всем отрезке.
8. а) Докажите, что если /: Е -» Е — 2тг-периодическая функция, име-
имеющая кусочно гладкую производную /(т) порядка m (m E N), то / можно
представить в виде
7Г
- /
тг J
— 7Г
00
b) Пользуясь указанным в задаче 1 разложением в ряд Фурье функции
п 2 х на промежутке [0,2тг], докажите, что В\(и) — многочлен степени 1, а
Вт (и) —многочлен степени т на отрезке [0,2тг]. Эти многочлены называются
многочленами Бернулли.
2тг
c) Проверьте, что при любом т Е N / Вт(и) du = 0.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 653
9. а) Пусть хт = зп ал ? ш = 0,1,..., 2п. Проверьте, что
2 2"
2n 4- 1
т=0
т=0
2п
sin kxm cos tem = О,
т=0
где А;, Z— неотрицательные целые числа, а бы = 0 при к ф1 и5ы = 1 при к = I.
Ь) Пусть /: Е -» Е — 2тг-периодическая абсолютно интегрируемая на пери-
периоде функция. Отрезок [0,2тг] разобьем точками хт = ^пгт? ш — 0,1,..., 2п,
на 2п + 1 равных отрезков. Интегралы
2тг 2тг
1 / 1 [
a,k(f) = — I f(x)coskxdx, bk(f) = — I f(x)sinkxdx
к J к J
о о
вычислим приближенно по формуле прямоугольников, соответствующей это-
этому разбиению отрезка [0,2тг]. Тогда получим величины
2"
т=0
О 2"
т=0
которые и подставим в n-ю частичную сумму 5П(/, ж) ряда Фурье функции /
вместо соответствующих коэффициентов а^(/) и bk(f)-
Докажите, что при этом получится тригонометрический полином Sn(f,x)
порядка п, интерполирующий функцию / в узлах ят, т = 0,1,..., 2п, т. е. в
этих точках f(xm) = S(f,xm).
10. а) Пусть функция /: [а, Ь] —> Е непрерывна и кусочно дифференциру-
дифференцируема, и пусть ее производная /' интегрируема в квадрате на промежутке ]а, Ь[.
Используя равенство Парсеваля, докажите, что:
а) если [а, Ь] = [0, тг], то при выполнении любого из двух условий /@) =
7Г
= /(тг) = 0 или J f(x) dx = 0 справедливо неравенство Стеклова
о
7Г 7Г
Jf2(x)dx^J(f'J(x)dx,
654 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
в котором равенство возможно лишь при f(x) = acosx;
b) если [a, b] = [—7г, 7г] и одновременно выполнены два условия /(—7г) = /(л")
7Г
и J f(x) dx = 0, то справедливо неравенство Виртингера
—7Г
7Г 7Г
J f(x)dx^ J(f'J(x)
dx,
— 7Г — 7Г
где равенство возможно лишь при f(x) = acosx -f- bsinx.
11. Явление Гиббса — так называется описываемая ниже особенность по-
поведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, «впервые обна-
обнаруженная Уилбрейамом A848 г.) и позже A898 г.) переоткрытая Гиббсом».
(Математическая энциклопедия, том 1, Москва, 1977 г.)
а) Покажите, что
sinBA: —
b) Проверьте, что функция Sn(x) =■ ~ У\ ^W—т-№- имеет максимум при
Х — ^ И ЧТ0 ПРИ П ~*" °°
2n/ тг^ Bfc-l)^ n
Таким образом, колебание 5п(х) при п —> оо около точки а; = 0 примерно
на 18% превышает скачок самой функции sgna; в этой точке (проскакивание
Sn(x) «по инерции»).
с) Нарисуйте предел графиков функций Sn(x) задачи Ь).
Пусть теперь вообще Sn(f,x)—п-я частичная сумма тригонометрическо-
тригонометрического ряда Фурье функции /, и пусть при п —>■ оо Sn(f,x) —>■ f(x) в проколотой
окрестности 0 < \х — £| < S точки ^, в которой / имеет односторонние пределы
/(£-) и /(С+)- Дл^ определенности будем считать, что /(£-) ^ /(С+)-
Говорят, что в точке £ имеет место явление Гиббса для сумм 5п(/; #)? если
lim Sn(f,x) < /(С_) ^ /(£+) < RS 5
п->оо п-*-оо
d) Используя замечание 9, покажите, что для любой функции вида <р(х) -f-
+ csgn(a; - ^), где с ^ 0, |£| < 7г, а у? G С^^[—7г, 7г], в точке £ имеет место
явление Гиббса.
12. Многомерные тригонометрические ряды Фурье, а) Проверьте, что
система функций 7оегкх> гДе ^ = (&i,. ..,&„), а: =
{2)п1г
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 655
+ .. - + кпхп и &i,..., кп € Z, ортонормальна на любом n-мерном кубе
1= {х eW1 \aj ^х3 ^ а3 +2tt,j = 1,2, ...,п}.
+ОО
Ь) Интегрируемой на / функции / сопоставим сумму / ~ Yl ck(f)elkxi
которая называется рядом Фурье функции f по системе < 7ое%кх >, ес-
I B)п/^ J
— оо
1 а%кх
ли Ck(f) = —^72" / f(x)e~tkx dx. Числа с&(/) называются коэффициентами
Фурье функции f по системе
В многомерном случае ряд Фурье часто суммируют с помощью сумм
Sn(x)=
где запись |А:| ^ N означает, что 7V = (TVi,..., 7Vn) и \к3\ ^ N3, j = 1,..., п.
Покажите, что для любой 27г-периодической по каждой из переменных
функции f(x) = f(xi,..., хп)
1 /"тт
Sn(x) = —- / ТТ Dn. (tj - Xj
/l •/ л 1
— 7Г —7Г
/(i-^H^fe )dt1...dt,
где Dn (и) — Л^-е одномерное ядро Дирихле.
с) Докажите, что сумма Фейера
:i=0 fcn=0
27г-периодической по каждой из п переменных функции f(x) = /(#i,...,a;n)
может быть представлена в виде
[ f(t-x)$N(t)dt,
i
п
где Фту(^) = П ^n{^3)i a Tn3 ~N3-e одномерное ядро Фейера.
d) Распространите теперь теорему Фейера на n-мерный случай.
e) Покажите, что если 27г-периодическая по каждой из переменных функ-
функция / абсолютно интегрируема на периоде I хотя бы в несобственном смысле,
то / \f(x + и) ~ f(x)\ dx ->0 при и -)■ 0 и J |/ - <tn\(x) dx -)■ 0 при N -)■ оо.
656 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
f) Докажите, что две абсолютно интегрируемые на кубе I функции / и д
могут иметь совпадающие ряды Фурье (т.е. с^(/) = Ck(g) для любого муль-
тииндекса к) в том лишь случае, когда f(x) = д(х) почти всюду на /. Это
усиление утверждения 3 о единственности ряда Фурье.
g) Проверьте, что исходная ортонормальная система < j2e%kx \ полна
в 7^2COj значит, ряд Фурье любой функции / € 7^2 (-0 сходится к / в среднем
на I.
h) Пусть / — 27г-периодическая по каждой из переменных функция класса
С^(Жп). Проверьте, что с*(/<а>) = ilalkack(f), где а = (аь...,ап), к =
= (Ал,..., кп), \а\ = \ai\ + ... + |ап|, ка = А: •... • к%п, а3 —неотрицательные
целые.
i) Пусть / — 27г-периодическая по каждой из переменных функция класса
C(mn)(Rn). Покажите, что если для каждого мультииндекса а ~ (ai,..., ап)
такого, что а3 есть 0 или т (при любом j = 1,..., п), выполнена оценка
то
где TV = mm{7Vi,..., Nn}, а С — постоянная, зависящая от m, но не зависящая
от 7V и от х Е I.
j) Заметьте, что если какая-то последовательность непрерывных функций
сходится в среднем на промежутке I к функции / и одновременно сходится
равномерно к функции (р, то f(x) = (р(х) на I.
Используя это наблюдение, докажите, что если 27г-периодическая по ка-
каждой из n-переменных функция /: Еп —> С принадлежит классу CW(Rn,C),
то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно на
всем пространстве Еп.
13. Ряды Фурье обобщенных функций. Любую 2тг-периодическую функцию
/: Е —> С можно рассматривать как функцию f(s) точки на единичной окруж-
окружности Г (точка фиксируется значением s натурального параметра 0^5^ 2-к).
Сохраняя обозначения §4 гл. XVII, рассмотрим на Г пространство Х>(Г)
функций класса С(°°)(Г) и пространство Х>'(Г) обобщенных функций, т.е. ли-
линейных непрерывных функционалов на Т>(Г). Действие (значение) функциона-
функционала F € £>'(Г) на функцию ip € 2?(Г) будем обозначать символом F((p), избегая
символа {F, (р), использованного в этой главе для обозначения эрмитова ска-
скалярного произведения G).
Каждая интегрируемая на Г функция / может рассматриваться как эле-
элемент Р'(Г) (регулярная обобщенная функция), действующий на функции (р €
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 657
Е Т>(Г) по формуле
f(<P) = / /(*М«) ds.
о
Сходимость последовательности {Fn} обобщенных функций пространства
£>'(Г) к обобщенной функции F Е Х>'(Г), как обычно, означает, что для любой
функции (р Е Р'(Г)
lim F
а) Используя то обстоятельство, что для любой функции (р Е С^°°^(Г) по
оо
теореме 5 на Г справедливо соотношение (p(s) = Yl Ck((p)etk8 и, в частности,
—оо
оо
равенство у?@) = Y1 ск(<р), покажите, что в смысле сходимости в пространс-
— оо
тве обобщенных функций Р'(Г)
п
—егЛ* ->■ 5 при п -¥ оо.
—п
Здесь S — тот элемент пространства Р'(Г), действие которого на фикцию
ip € £>(Г) определено соотношением 6((р) = у?@).
Ь) Если / € 7£(Г), то коэффициенты Фурье функции / по системе {егк8},
определенные стандартным образом, можно записать в виде
2тг
По аналогии определим теперь коэффициенты Фурье Ck(F) любой обоб-
обобщенной функции F € Х>'(Г) формулой Ck(F) = ^F(e~lh8), имеющей смысл,
поскольку е~гк8 € ЩГ).
Так любой обобщенной функции F € £>'(Г) сопоставляется ее ряд Фурье
оо
— ОО
оо
Покажите, что 5 ~ X)
— оо
с) Докажите следующий замечательный по своей простоте и открываю-
открывающейся свободе действий факт: ряд Фурье любой обобщенной функции F Е
Е £>'(Г) сходится к F (в смысле сходимости в пространстве £>'(Г)).
658 ГЛ XVIII РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d) Покажите, что ряд Фурье функции F € Т>'(Г) (как и сама функция F и
как любой сходящийся ряд обобщенных функций) можно дифференцировать
почленно любое число раз
оо
e) Исходя из равенства 5 — ]Г] ^-elks, найдите ряд Фурье функции 5'
— оо
f) Вернемся теперь с окружности Г на прямую Ж и рассмотрим функ-
функции elks как регулярные обобщенные функции пространства Р'(Ж) (т е как
линейные непрерывные функционалы на пространстве Т>(Ж) финитных на М
функций класса С$(Ж))
Любая локально интегрируемая функция / может рассматриваться как
элемент пространства Р'(Ж) (регулярная обобщенная функция из £>'(Ж)), дей-
действующий на функции if € Cq (Ж, С) по закону f(tp) = j f(x)<p(x) dx Сходи-
R
мость в Т>'(Ш) определяется стандартным образом
( hm Fn=F) =Vtpe V(M) ( km
Покажите, что в смысле сходимости в Т>'(Ж) справедливо следующее ра-
равенство
оо оо
2тг
—оо —оо
в обеих частях которого подразумевается предельный переход при п —> оо
п
по симметричным частичным суммам ]Г], a S(x — xq), как всегда, обозначает
— п
сдвинутую в точку хо <$-функцию пространства Р'(Ж), т е 5(х — хо)((р) =
§ 3. Преобразование Фурье
1. Представление функции интегралом Фурье
а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть f(t) —
Т-периодическая функция, например, периодический сигнал частоты m
как функция времени Будем считать, что функция / абсолютно инте-
интегрируема на периоде Раскладывая / в ряд Фурье (в случае достаточной
регулярности / ряд Фурье, как известно, сходится к /) и преобразо-
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 659
вывая этот ряд
cos ktoot + bfc(/) sin
OO OO
— > Ck(f)el = en + 2 > \сЛ cos(ku)r\t + are Ch)-, A)
-oo A;=l
получаем представление / в виде суммы постоянного члена ^ — со —
среднего значения f no периоду и синусоидальных компонент с ча-
частотами uq = тр (основная частота), 2щ (вторая гармоническая ча-
стота), и т.д. Вообще k-я гармоническая компонента 2|с&| coslk^
+ argcfc) сигнала f(t) имеет частоту kuo = m, круговую частоту
= -^А:? амплитуду 2\ск\ = л/а| + Ь| и ^азу argc*. —
Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых гар-
гармонических колебаний называют гармоническим анализом функции /.
Числа {cfc(/); k £ Щ или {ао(/), afc(/)> &&(/); fc € N} называют спектром
функции (сигнала) /. Периодическая функция, таким образом, имеет
дискретный спектр.
Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложени-
разложением A) при неограниченном увеличении периода Т сигнала /.
Полагая для упрощения записи I = -о- и а& = &у, перепишем разло-
разложение
оо
—оо
в следующем виде:
ОО • , \
/w-z^lCfe-)e у' ^
—оо х /
где
22-4574
660 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и, значит,
7Г
Считая, что при I —> +оо мы приходим в пределе к рассмотрению
произвольной абсолютно интегрируемой на Ш функции /, введем вспо-
вспомогательную функцию
C)
—оо
I
значения которой в точках а = а^ мало отличаются от величин с^- в
формуле B). В таком случае
оо
/(t) « 5>(afc)e'e*«y, D)
— ОО
где a-k = kj и а&+1 — а^ = у. Последняя сумма напоминает интеграль-
интегральную сумму и при измельчении разбиения, происходящего при I —> оо,
получаем
оо
лаг
/(«)= У c(a)eiat da. E)
— ОО
Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции /
в континуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты
и фазы.
Интеграл E) ниже будет назван интегралом Фурье. Это контину-
континуальный эквивалент ряда Фурье. Функция с(а) в нем—аналог коэффи-
коэффициента Фурье. Она будет названа преобразованием Фурье функции /
(заданной на всей прямой Ж). Формула C) преобразования Фурье впол-
вполне эквивалентна формуле коэффициентов Фурье. Функцию с(а) естест-
естественно считать спектром функции (сигнала) /. В отличие от рассматри-
рассматриваемого ранее случая периодического сигнала / и соответствующего
ему дискретного спектра (в виде коэффициентов Фурье), спектр с(а)
произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых проме-
промежутках и даже на всей прямой (непрерывный спектр).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 661
Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный
спектр:
/i, если
с{а) -
О, если
> а.
F)
По формуле E) при t ф 0 находим
а
/1 (Л я — 1 fl Т
he"* da = he -J = 2/jirpi, G)
а когда t = 0, получаем /@) = 2/ia, что совпадает с пределом 2hsm^
при t -> 0. ►
Представление функции в виде E) называют представлением фун-
функции в виде интеграла Фурье. Ниже мы обсудим условия, при которых
такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один
Пример 2. Пусть Р — прибор, обладающий следующими свойст-
свойствами: это линейный преобразователь сигналов (т.е. Р
V J
, сохраняющий периодичность сигнала (т.е. P(eluJt) —
з
= p{<j))elU3t, где коэффициент р(ш) зависит от частоты ш периодического
сигнала elu;t).
Мы употребляем компактную комплексную форму записи, хотя, ко-
конечно, все можно переписать и через функции cos tot и smut.
Функция р(ш) =: Я(и))ег{р(ш' называется спектральной характери-
характеристикой прибора Р, ее модуль R(co) принято называть частотной ха-
характеристикой, а аргумент <р(ш) — фазовой характеристикой прибо-
прибора Р. Сигнал eIaji, пройдя через прибор, преобразуется на выходе в
сигнал R{u))el^t+{p^\ измененный по амплитуде благодаря множите-
множителю R(co) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого (р(и)).
Предположим, что нам известны спектральная характеристика р(ы)
прибора Р и сигнал /(t), поступивший на вход прибора, а требуется
узнать сигнал x(t) = P(f)(t) на выходе прибора.
Представив сигнал f(t) в виде интеграла Фурье E) и пользуясь ли-
662
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
нейностью прибора Р и интеграла, находим
оо
x(t) = P(f){t) = f
dw.
— СХ)
В частности, если
р{ш) =
1 при
О при
(8)
то
п
x(t) =
-п
и, как видно из определения спектральной характеристики прибора,
0
при
Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (филь-
(фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие О, и срезает всю
ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам (превыша-
(превышающим Q). По этой причине такой прибор в радиотехнике называют
идеальным фильтром низкой частоты (с верхней граничной часто-
частотой Q).
Перейдем теперь к математической стороне дела и к более тщатель-
тщательному рассмотрению возникших здесь понятий.
Ь. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье.
В соответствии с формулами C) и E) введем
Определение 1. Функция
СХ)
(9)
— СХ)
называется преобразованием Фурье функции /: Ш —> С.
Интеграл здесь понимается в смысле главного значения
А
сх)
-oo
:= lim
A->+cx)
-A
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 663
и считается, что он существует.
Если /: М —> С — абсолютно интегрируемая на Ш функция, то, по-
поскольку \/{х)е~гх^\ = \f(x)\ при я,£ € Щ для любой такой функции
имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится
абсолютно и равномерно по £ на всей прямой Ш.
Определение 2. Если с(£) = «?"*[/](£)—преобразование Фурье
функции /: Ш —> С, то сопоставляемый / интеграл
оо
— СХ)
(Ю)
понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фу-
Фурье функции /.
Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции явля-
являются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье
и интеграла Фурье соответственно.
Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения инте-
интегралы
СХ)
~\ f f(x)costxdx, (И)
— СХ)
СХ)
==- [ f(x)smt;xdx A2)
—сх)
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье
функции /.
Полагая с(£) = .F[/](£), а(£) = .Fc[/])(£), 6@ = .F, [/](£), получаем
отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение
\ A3)
Как видно из соотношений A1), A2),
A4)
664 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Формулы A3), A4) показывают, что преобразования Фурье вполне
определяются на всей прямой К, если они известны лишь для неотри-
неотрицательных значений аргумента.
С физической точки зрения это вполне естественный факт — спектр
сигнала надо знать для частот и ^ 0; отрицательные частоты а в C)
и E) — плод формы записи. Действительно,
А / О А\ А
Jc®e"*dt =
~А
и, значит, интеграл Фурье A0) можно представить в виде
оо
A0')
вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье. Если
функция / вещественнозначна, то из формул A3), A4) в этом случае
следует
Ш A5)
поскольку в этом случае а(£) и 6(£) — вещественные функции на R, что
видно из их определений A1), A2). Впрочем, равенство A5) при условии
f(x) = f(x) получается и непосредственно из определения (9) преобра-
преобразования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под
знак интеграла. Последнее наблюдение позволяет заключить, что для
любой функции /: R —> С справедливо равенство
A6)
Полезно также заметить, что если / — вещественная и четная фун-
функция, т.е. f(x) = f(x) = f(-x), то
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
665
если / — вещественная и нечетная функция, т. е. f(x) = f(x) = —/(—ж),
то
A8)
= ЯЛ(-£);
а если / — чисто мнимая функция, т.е. f(x) = —f(x), то
A9)
Заметим, что если / — вещественнозначная функция, то ее интеграл
Фурье A0') можно записать также в виде
оо
оо
= 2
где ip(O = - arctg Щ| = argc(O-
Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции /(£)
(считая /@) = о G R).
1°
-Л
1 /* sin at cos at , 2 /* sin at cos at ,
= hm — / dt=— dt
2тг У t
-Л
+ OO
2тг
t
о
1 f fsm(a + a)t sin(a — a)t
2тг
о
oo
1 / smn
= — (sgn(a + a) + sgn(a - a))
Z7T
0
1
- J 2>
если
0. если
поскольку нам известно значение интеграла Дирихле
оо
Sin 14 , 7Г
du = —.
и 2
B0)
666
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, если считать с ) Ои взять функцию f(t) = 2h
slIija
из
равенства G), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве
ее преобразования Фурье указанный соотношениями F) спектр этой
функции.
Рассмотренная в примере 3 функция / не является абсолютно инте-
интегрируемой на К и ее преобразование Фурье имеет разрывы. О том, что
преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет
разрывов, говорит следующая
Лемма 1. Если функция /: Ш —> С локально интегрируема и аб-
абсолютно интегрируема на Ш, то
а) ее преобразование Фурье ^*[/](£) определено при любом значении
\Hx)\dx;
—ОО
4 Мы уже отмечали, что \/(х)е~гхЦ ^ \f(x)\, откуда следует абсо-
абсолютная и равномерная по £ Е R сходимость интеграла (9). Этим одно-
одновременно доказаны пп. а) и с) леммы.
Пункт d) следует из леммы Римана (см. § 2).
Для фиксированного конечного А ^ 0 оценка
Л
-А
A
sup
~lxh
\f(x)\dx
устанавливает непрерывность по £ интеграла
-А
равномерная сходимость которого при А —> +оо позволяет заключить,
Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции f(t) = e~f /2:
+ ОО +ОО
~t2/2 cos at dt.
Jf[/](a)= I e-t2l2e~latdt= Г
—oo
—oo
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 667
Дифференцируя последний интеграл по параметру а и интегрируя
затем по частям, находим, что
——(а) + аТ\п(а\ = О
da
или
а) = -а.
da
Значит, T[f]{a) = се~а '2, где с — постоянная, которую, пользуясь
интегралом Эйлера - Пуассона (см. гл. XVII, § 2, пример 17), находим из
соотношения
оо
с = T[f]@) = ( е-'2/2 dt = >/2тг.
—оо
Итак, мы нашли, что T[f]{a) = \[Ъке а /2,ъ одновременно показа-
показа2
ли, что Fc[f\(a) = у/^е-*2/2, a Ts[f]{a) = 0.
с. Нормировка преобразования Фурье. Преобразование Фу-
Фурье C) и интеграл Фурье E) мы получили как естественные конти-
7Г
нуальные аналоги коэффициентов Фурье ск — ^ f f(x)e~ikx dx и ряда
— 7Г
ОО
Фурье ^ Cke периодической функции / в тригонометрической си-
—оо
стеме {eikx;k G Z}. Эта система не является ортонормированной, и
лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заста-
заставляет по традиции рассматривать ее вместо значительно более есте-
естественной ортонормированной системы I —=eikx\ к G Z >. В этой норми-
рованной системе ряд Фурье имеет вид ^ с^—т~=е ж, а коэффициенты
—оо
7Г
Фурье определяются формулами с& = -j= f f(x)e ikx dx.
Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда
Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье
оо
1
—оо
668 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и интеграл Фурье
оо
L I fcb* B2)
—оо
отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множи-
множителем.
В симметричных формулах B1), B2) практически сливаются «ко-
«коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по
существу, интересоваться только свойствами интегрального преобра-
преобразования B1), называя его нормированным преобразованием Фурье или,
если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье фун-
функции /.
Вообще, интегральным оператором или интегральным преобразо-
преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции / по
закону
A{f){y) = j K{x,y)f{x)dx,
X
где К(х,у)— заданная функция, называемая ядром интегрального опе-
оператора, а X С 1КП—множество, по которому происходит интегриро-
интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные фун-
функции. Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества У,
то A(f) есть функция на этом множестве Y.
В математике существует ряд важных интегральных преобразова-
преобразований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключе-
ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и свя-
связано с замечательными свойствами преобразования B1), которые мы в
какой-то степени опишем и продемонстрируем в работе в оставшейся
части параграфа.
Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фу-
Фурье B1).
Наряду с обозначениями / для нормированного преобразования Фу-
Фурье, введем следующее обозначение
оо
/(£):= 4= [ S(x)e**dx, B3)
VZTT J
— оо
т.е. /(£) = /(-О-
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 669
Формулы B1), B2) говорят о том, что
/ = / = /, B4)
т.е. интегральные преобразования B1), B2) взаимно обратны. Значит,
если B1) есть преобразование Фурье, то интегральный оператор B3)
естественно назвать обратным преобразованием Фурье.
Ниже будут подробно обсуждены и обоснованы некоторые замеча-
замечательные свойства преобразования Фурье. Например,
/ * д = л/2тг/ • §,
Т.е. преобразование Фурье переводит операцию дифференцирова-
дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную; преобразова-
преобразование Фурье свертки функций сводится к умножению их преобразований
Фурье; преобразование Фурье сохраняет норму (равенство Парсеваля)
и тем самым является изометрическим преобразованием соответству-
соответствующего пространства функций.
Но начнем мы с формулы обращения B4).
По поводу еще одной удобной нормировки преобразования Фурье
см. задачу 10.
d. Достаточные условия представимости функции интегра-
интегралом Фурье. Мы сейчас докажем теорему, вполне аналогичную как по
форме, так и по содержанию, теореме о сходимости в точке триго-
тригонометрического ряда Фурье. Чтобы максимально сохранить знакомый
вид прежних формул и преобразований, мы в этом пункте использу-
используем ненормированное преобразование Фурье с(£) вместе с его несколько
громоздким, но порой удобным обозначением .?"[/](£)• В дальнейшем,
изучая интегральное преобразование Фурье как таковое, мы, как пра-
вило, будем работать с нормированным преобразованием Фурье / фун-
функции /.
Теорема 1 (о сходимости интеграла Фурье в точке). Пусть
/: R —> С — абсолютно интегрируемая функция, кусочно непрерывная
на каждом конечном отрезке числовой оси R.
670 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если функция f удовлетворяет в точке х Е R условиям Дини, то
ее интеграл Фурье (E), A0), (Ю'), B2)) сходится в этой точке к зна-
значению ^(f(x^) + f(x+)), равному полусумме левого и правого пределов
функции в этой точке.
-4 По лемме 1 преобразование Фурье с(£) — .?"[/](£) функции / не-
непрерывно на Ш и, значит, интегрируемо на любом отрезке [—А, А]. По-
Подобно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье,
проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фу-
Фурье:
sin
= ^ / {f{x - u) + f{x + u))~— du.
0
Произведенное во втором от начала выкладки равенстве изменение
порядка интегрирования законно. В самом деле, ввиду кусочной непре-
непрерывности / для любого конечного В > 0 справедливо равенство
"? dt
-A \ -B
из которого при В —> +оо, учитывая равномерную сходимость по
в
интеграла f f(x)e~lt^ dt, получаем нужное нам равенство.
~в
Теперь воспользуемся значением интеграла Дирихле B0) и завер-
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 671
шим наши преобразования:
Sa(x) -
2
+ ОО
(f(x -и)- f{x-)) + ifix + и) - f(x+))
sin Аи du.
и
Полученный интеграл стремится к нулю при А —> оо. Поясним это
и тем самым закончим доказательство теоремы.
Представим этот интеграл в виде суммы интегралов по промежут-
промежутку ]0,1] и по промежутку [1,+оо[. Первый из этих двух интегралов
стремится к нулю при А —> +оо ввиду условий Дини и леммы Римана.
Второй интеграл есть сумма четырех интегралов, отвечающих четы-
четырем слагаемым f(x — u), f(x + u), /(#-), /(#+)• К первым двум из этих
четырех интегралов опять применима лемма Римана, а последние два
с точностью до постоянного множителя приводятся к виду
+ ОО +ОО
sinAu , f sin?;
аи = / dv.
и J v
А
Но при А —> +оо последний интеграл стремится к нулю, поскольку
интеграл Дирихле B0) сходится. ►
Замечание 1. В доказательстве теоремы 1 мы фактически рас-
рассматривали сходимость интеграла в смысле главного значения. Но если
сопоставить записи A0) и A0') интеграла Фурье, то становится очевид-
очевидным, что именно рассмотренное понимание сходимости интеграла A0)
отвечает сходимости интеграла A0').
Из доказанной теоремы получаем, в частности,
Следствие 1. Пусть /: R —> С — непрерывная, абсолютно инте-
интегрируемая функция.
Если в каждой точке х G R функция f дифференцируема или име-
имеет конечные односторонние производные, или удовлетворяет условию
Гельдера, то она представляется своим интегралом Фурье.
Итак, для функций указанных классов оба равенства C), E) или
B1), B2) имеют место, и мы тем самым доказали для таких функций
формулу обращения преобразования Фурье.
672 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5. Предположим, что известен сигнал v(t) — P{f)(t) на
выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти
сигнал /(£), поданный на вход прибора Р.
В примере 2 мы показали, что f жю связаны соотношением
оо
v(t) = I c(w)p(uj)etujt duj,
— ОО
где с(ш) = T[f\{u)) — спектр сигнала / (ненормированное преобразова-
преобразование Фурье функции /), а р—спектральная характеристика прибора Р.
Считая все эти функции достаточно регулярными, на основе доказан-
доказанного заключаем, что тогда
с(ш)р(ш) = .7ГМ (<*>).
Отсюда находим с(ш) = T[f\{u))> Зная с(о>), интегралом Фурье A0)
найдем сигнал /.
Пример 6. Пусть а > 0 и
e~ax ПРИ х
\ 0 при
Тогда
+ ОО
2тг J 2тг
о
Обсуждая само определение преобразования Фурье, мы уже отме-
отметили в пункте b ряд его очевидных свойств. Отметим еще, что если
f-(x) := /(—re), то ^г[/_](^) — T[f]{—£). Это элементарная замена пе-
переменной в интеграле.
Возьмем теперь функцию е~а'ж' — f(x) + f(—x) —: <р(х).
Тогда
Если же взять функцию ф(х) = f(x) — f(—x), являющуюся нечетным
продолжением функции е~аж, х > 0, на всю числовую ось, то
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 673
Используя теорему 1, точнее, ее следствие, получаем, что
егх{ (е~аж, если х> О,
«, если х = О,
=
2
О, если х < 0;
— ОО
е аж, если я: > 0,
0, если х = 0,
к — еаа\ если я; < 0.
Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя
второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле
обычного несобственного интеграла.
Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые
части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа
л* -
*
-*
X
тг _e|d
6
Пример 7. Ha основе примера 4 легко найти (элементарной заме-
заменой переменной), что если
то
Очень поучительно проследить за одновременной эволюцией гра-
Л
фиков функций / и / при изменении параметра а от 1/л/2 до 0. Чем
«сосредоточеннее» одна из функций, тем «размазаннее» другая. Это об-
обстоятельство тесно связано с квантово-механическим принципом Гей-
зенберга. (См. в этой связи задачи 6, 7.)
Замечание 2. Заканчивая обсуждение вопроса о возможности
представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как пока-
показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и ее
674 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
следствии условия на функцию / являются достаточными, но не явля-
являются необходимыми для возможности такого представления.
2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических
свойств функции и ее преобразования Фурье
а. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразова-
преобразования Фурье. Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье
любой абсолютно интегрируемой на Ш функции стремится на бесконеч-
бесконечности к нулю. Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь
мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фу-
Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно
берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее
стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье,
тем глаже ее преобразование Фурье.
Начнем со следующего вспомогательного утверждения.
Лемма 2. Пусть /: Ш —> С — непрерывная функция, обладающая
локально кусочно непрерывной производной /' на Ш. Если при этом
a) функция /' интегрируема на Ш, то f(x) имеет предел и при х —>■
—>■ —оо? и при х —> +оо;
b) функции f и /' интегрируемы на Ш, то f(x) —>■ 0 при х —>■ оо.
Ч При указанных ограничениях на функции /, /' имеет место фор-
формула Ньютона - Лейбница
В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при
х —> +оо, так и при х —> —оо.
Если же имеющая пределы на бесконечности функция / интегри-
интегрируема на М, то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны ну-
нулю. ►
Теперь докажем
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее преобразования Фурье). Если f Е С^ = (М, С) (к = 0,1,...) и все
функции f', /',..., /( ' абсолютно интегрируемы на Ш, то
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 675
а) при любом пЕ{0,1,...,А}
B5)
Ь) Ш = о (^) при £ -► 0.

4 Если А; = 0, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана.
Пусть к > 0. По лемме 2 функции /,/',..., /( ) стремятся к нулю
при гг —)■ оо. Учитывая это, выполним интегрирование по частям:
Таким образом, равенство B5) установлено. Это очень важное со-
соотношение и мы к нему еще вернемся отдельно.
Мы показали, что /(£) = (i£)~*/^@) н0 по лемме Римана /(*)(£)
—>■ 0 при ^ —)■ 0, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. ►
Ь. Скорость убывания функции и гладкость ее преобразо-
преобразования Фурье. Ввиду почти полного совпадения прямого и обратно-
обратного преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к
утверждению 1,
Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладко-
гладкости ее преобразования Фурье). Если локально интегрируемая функция
/: Ш —> С такова, что функция х f(x) абсолютно интегрируема на Ш,
то
a) преобразование Фурье функции f принадлежит классу С^(М, С);
b) имеет место равенство
^-Й B6)
676 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ч Для к = 0 соотношение B6) тривиально выполнено, а непрерыв-
ность /(£) уже была доказана в лемме 1. Если к > 0, то при п < к на
бесконечности имеет место оценка \xnf(x)\ ^ \хк f{x)\, из которой сле-
следует абсолютная интегрируемость функции xnf(x). Но \xnf(x)e~%^x\ ^
^ \xnf{x)\, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру £
сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести
их дифференцирование под знаком интеграла:
оо
—оо
оо
f xf(x)e-*xdx,
J
—oo
к
2тг
— ОО
Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерывной
по £ на всей числовой прямой. Значит, действительно, / 6
►
с. Пространство быстро убывающих функций
Определение 4. Обозначим символом 5(М,С) или более корот-
коротким символом S совокупность всех функций / 6 С(°°)(М,С), удовлетво-
удовлетворяющих условию
sup |^/(a)(;c)| <оо,
хеш
каковы бы ни были неотрицательные целые числа аир. Такие функции
называют быстро убывающими (при х —> оо).
Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует ли-
линейное пространство относительно стандартных операций сложения
функций и умножения функции на комплексное число.
2
Пример 8. Функция е~х или, например, все финитные функции
класса Cq (М,С) входят в S.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 677
Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на S является ав-
автоморфизмом S как линейного пространства.
< Проверим, что (/ е 5) => (/ е
Для этого заметим сначала, что по утверждению 2а) / € С(°°) (R, С).
Далее заметим, что операция умножения на ха (а ^ 0) и опера-
операция D дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих
функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях аи/?
из того, что / € £, следует, что функция D@(xaf(x)) принадлежит про-
пространству S. Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к
нулю на бесконечности. Но по формулам B5), B6)
и мы показали, что £^/^@ —► О ПРИ £ —>■ оо, т. е. / € £.
Покажем теперь, что S ~ £, т. е. что преобразование Фурье ото-
отображает S на все множество S.
Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны
простым соотношением /(£) = /(—£)• Изменение знака аргумента фун-
функции, очевидно, является операцией, переводящей множество S в себя.
Значит, обратное преобразование Фурье тоже переводит пространст-
пространство S в себя.
Наконец, если / — произвольная функция из £, то, по доказанному,
(р — f e S и по формуле обращения B4) получаем, что / = <р.
Линейность преобразования Фурье очевидна, поэтому лемма 3 те-
теперь полностью доказана. ►
3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье
а. Некоторые определения, обозначения и примеры. Выше
мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной
на вещественной прямой функции /: Ш —> С. В частности, мы уяснили
связь, существующую между свойствами регулярности самой функции
и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, ко-
когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобра-
преобразования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы в кон-
концентрированной форме и без технических осложнений изложить фун-
фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы
рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование
678 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от
изложенного выше.
Желающие ограничиться одномерным случаем могут ниже считать
п = 1.
Определение 5. Пусть /: Шп —> С—локально интегрируемая
на Шп функция. Функция
называется преобразованием Фурье функции /.
При этом имеется в виду, что х — (xi,... ,rrn), £ —
, х) = £i#i + ... + £nxn, а интеграл считается сходящимся в следу
ющем смысле главного значения:
А А
[ , ^ f f /
I (П\Фл Т I /7*7*1 /"/т *Z= llTTl I I (П\ 1*л Т \ /77*1 /7Т*
I \U\Ju ], . * . ,*^71/ **"*/1 * • • ^*"^П • 11111 I ... I '+'1 •*/1 ч * * * 1 *^П ) **"*/1 • • • ^*"*/71 *
У Л-^-bcxj у у
В таком случае многомерное преобразование Фурье B7) можно рас-
рассматривать как п одномерных преобразований Фурье, проведенных по
каждой из переменных rri,..., хп.
Тогда, когда функция / абсолютно интегрируема, вопрос о том, в
каком смысле понимается интеграл B7), вообще не возникает.
Пусть а = (ai,..., ап) и {3 = (/?i,..., f3n) — мультииндексы, состо-
состоящие из неотрицательных целых чисел оу, /?у, j = l,...,n, и пусть,
как всегда, Da обозначает оператор дифференцирования — —
порядка [а\ := а\ + ... + an, а х^ := х± • ... • Хп.
Определение 6- Обозначим символом 5(ЖП,С) или, если не воз-
возникает недоразумений, символом 5, совокупность всех функций / 6
6 С(°°^(ЖП,С), удовлетворяющих условию
sup \x^Daf(x)\ < оо,
каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы аи/?. Такие фун-
функции называют быстро убывающими (при х —> оо).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 679
Множество S с алгебраическими операциями сложения функций и
умножения функции на комплексное число, очевидно, является линей-
линейным пространством.
Пример 9. Функция е~ х , где |ж|2 = х\ + .. .+х£, и все финитные
функции класса Cq'(Rn,C) входят в S.
Если / Е 5, то интеграл в соотношении B7), очевидно, сходится аб-
абсолютно и равномерно по £, на всем пространстве W1. Более того, если
/ € Sj то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл
можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных
£ь... ,£п. Таким образом, если / € S, то / € С(°°)(МП,С).
Пример 10. Найдем преобразование Фурье функции ехр(—|гг|2/2).
При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно
пользоваться теоремой Фубини и, если требуется, то можно беспрепят-
беспрепятственно менять порядок несобственных интегрирований.
В данном случае, используя теорему Фубини и пример 4, находим
_ т 2 /9 —i(P т
Btt)^/2
00 п
—оо •?
Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства преобра-
преобразования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что
преобразование Фурье применяется к функциям класса S. Это пример-
примерно так, как если бы научиться оперировать (считать) рациональными
числами, а не полным пространством Ш сразу. Процесс пополнения еди-
единообразен. См. по этому поводу задачу 5.
b. Линейность. Линейность преобразования Фурье очевидна: она
следует из линейности интеграла.
c. Взаимоотношения оператора дифференцирования и пре-
преобразования Фурье. Имеют место формулы
, B8)
B9)
680 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
М Первая из них получается, как и формула B5), интегрированием
по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы
Фубини, если речь идет о пространстве Жп размерности п > 1).
Формула B9) обобщает соотношение B6) и получается прямым
дифференцированием интеграла B7) по параметрам £i,... ,£п- ►
Замечание 3. Ввиду очевидной оценки
из равенства B8) вытекает, что /(£) —> 0 при £ —>■ оо, какова бы ни
была функция /6 5, поскольку Daf E S.
Далее, совместное использование формул B8), B9) позволяет напи-
написать, что
откуда следует, что если / Е 5, то при любых неотрицательных муль-
тииндексах а и /3 имеем ^Daf(Q —> 0, когда £ —> оо в К". Таким
образом, показано, что
(/G5) => (feS).
d. Формула обращения
Определение 7. Оператор, определяемый (вместе с его обозна-
обозначением) равенством
1 Г
C0)
называется обратным преобразованием Фурье.
Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:
C1)
или в форме интеграла Фурье
1^Ы C2)
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 681
Используя теорему Фубини, формулу C1) можно немедленно полу-
получить из соответствующей формулы B4) для одномерного преобразо-
преобразования Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое
доказательство этой формулы.
М Покажем сначала, что для любых функций /, д Е 5(М, С) справед-
справедливо соотношение
у) dy. (зз)
Оба интеграла имеют смысл, поскольку /, д Е £, а по замечанию 3
тогда и /,£ Е S.
Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого ра-
равенства
е~<Ш dy
= I 9(y- z)f(y) dy= g(y)f(x + y) dy.
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений ввиду того, что / и д — быстро убывающие функ-
функции. Итак, равенство C3) проверено.
Заметим теперь, что при любом е > О
/ ОЛ*(Р0 df / (A~(yu/€) du —
значит, в силу равенства C3)
= J e'ng(y/e)f(x + y)dy = jg(u)f(x + eu) du.
682 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Учитывая абсолютную и равномерную по е сходимость крайних ин-
интегралов последней цепочки равенств, при е —> 0 получаем
f(x)Jg(u)du.
Положим здесь д(х) = е Iх" I2. В примере 10 мы видели, что д{и) =
оо
_ е-и\ /2 Вспоминая интеграл Эйлера - Пуассона J e~x dx = д/тг, с
—оо
помощью теоремы Фубини заключаем, что / e~lul I2 du = Bтг)п/2, и в
результате получаем равенство C2). ►
Замечание 4, В отличие от одного равенства C2), означающего,
что / = /, в соотношениях C1) присутствует еще равенство / = /.
Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку /(£) = /(—Q и
f(-.x\ — fhp\
J \ х) — J \x)-
Замечание 5. Мы уже видели (см. замечание 3), что если / € £,
то / Е 5, а значит, и/ Е S, т.е. Sc ShSc S. Из соотношения
/ = / = / теперь заключаем, что S = S = S.
е. Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение
</,£> = </,</>, C4)
которое в развернутой форме означает, что
Г Г * -
/ f(x)g(x)dx= / f@9@^' C4')
J Jn
Из C4), в частности, следует, что
II/II2 = </,/> = </,/> = И/И2- C5)
С геометрической точки зрения равенство C4) означает, что пре-
преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между функци-
функциями (векторами пространства S) и, значит, является изометрией прос-
пространства S.
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 683
Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение
C6)
которое получается из равенства C3), если положить там х = 0. Основ-
Основное равенство Парсеваля C4) получается из соотношения C6), если в
нем вместо д написать д и воспользоваться тем, что (д) = д (ибо Тр = ф
f. Преобразование Фурье и свертка. Имеют место следующие
важные соотношения:
C7)
C8)
(называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции
свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.
Докажем эти формулы:
ах =
f{x~y)g{y) dy) e~l^'x) dx=
/
f f(x-y)e-^x~yUx j dy
Rn /
f
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений, если /, # € S.
Формула C8) может быть получена аналогичной выкладкой, если
воспользоваться формулой обращения C2). Впрочем, равенство C8)
684 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
можно вывести из уже доказанного соотношения C7), если вспомнить,
что f = f = f, f = f, f = f и что u • v = га • v. u * v = u*v. ►
Замечание 6. Если в формулы C7), C8) подставить /ид вме-
вместо /иди применить к обеим частям полученных равенств обратное
преобразование Фурье, то придем к соотношениям
C7')
C8')
4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь преобразо-
преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе.
а. Волновое уравнение. Успешное использование преобразования
Фурье в уравнениях математической физики связано (в математиче-
математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заме-
заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией умноже-
умножения.
Пусть, например, ищется функция и: R -> М, удовлетворяющая
уравнению
_ G1) / __"\ i \ТЬ—1) /__\i i /__\ j» / \
flrill^ ' I Т I -+- П t 11^ /|7Ч _1_ _1_ /ТГ_ 7/ I Т 1 ^Z Т I T 1
1Л|) Hi I *JU I I I* I I* I *JU I \ ■ • • f ""П. I* I «-1 I I V •*/ / 1
где ao,...,an — постоянные коэффициенты, а / — известная функция.
Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в
предположения достаточной регулярности функций и и /), благодаря
соотношению B8) получим алгебраическое уравнение
~1 + ... + ап)й(О =
относительно й. Найдя из него й(£) = I)?А , обратным преобразованием
*4*
Фурье получаем и(х).
Применим эту идею к отысканию функции и = и(х, £), удовлетворя-
удовлетворяющей в К х К одномерному волновому уравнению
д2и од2 и
dt2 Эх2
и начальным условиям
(а > 0)
u{x,0) = f(x), —(x,0)=g(x).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 685
Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обо-
обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче
бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она
решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возни-
возникающие по дороге технические трудности. Существенную роль в прин-
принципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные
функции, о чем уже упоминалось.
Итак, рассматривая t как параметр, сделаем преобразование Фурье
по х обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выно-
выносить дифференцирование по параметру t за знак интеграла, с одной
стороны, и, пользуясь формулой B8), с другой стороны, получим
откуда находим
u(f,t) = А(£) cos a(t +В (£) sin a(t.
В силу начальных данных
Таким образом,
, t) = f@ cos
1Щ
2 гас,
Домножая это равенство на -^==егх^ и интегрируя по £, короче, взяв
обратное преобразование Фурье и используя формулу B8), непосред-
непосредственно получаем
и
i
1 1С
, t) = -(f(x - at) + f(x + at)) + - / (g(x - ar) + g(x + от)) dr.
686 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ь. Уравнение теплопроводности. Еще один элемент аппарата
преобразований Фурье (а именно формулы C7'), C8')), оставшийся в
тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при
отыскании функции и = и(х, t),a;GKn,i^O, удовлетворяющей во всем
пространстве Кп уравнению теплопроводности
= а'Аи (а > 0)
и начальному условию и(х,0) = f{x).
д2 д2
Здесь, как всегда, А = —к + ... +
дх2 дхп
Выполнив преобразование Фурье по переменной х Е Мп, получим в
силу B8) обыкновенное уравнение
из которого следует, что
где |<^|2 = £i + ... + ^. Учитывая, что й(^, 0) = /(£), находим
и
Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотноше-
соотношения C7') получаем
и
(х, t) = B7г)-"/2 J f(y)E0(y - x, t) dy,
где E${xyt)—та функция, преобразованием Фурье которой по х полу-
получается функция е~а 1£1 г. Обратное преобразование Фурье по £ функции
е~а № г, в сущности, нам уже известно из примера 10. Сделав очевид-
очевидную замену переменной, найдем
Полагая E(x,t) = Bn)~n^2Eo(x,t), находим уже знакомое нам (см.
гл. XVII, § 4, пример 15) фундаментальное решение
\х\2
E(x,t) = BaVnt)~ne~^rt (t > 0)
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 687
уравнения теплопроводности и формулу
u(x,t) = (f*E) (x,t)
для решения, удовлетворяющего начальному условию и(х,0) = f(x).
с. Формула Пуассона. Так называется следующее соотношение:
оо оо
771= — ОО П= —ОО
между функцией (р: К -> С (пусть <р G 5) и ее преобразованием Фу-
Фурье ф. Формула D0) получается при х = 0 из равенства
оо оо
v27T /^ <£>(# + 2тт) — Y", Ф{п)еШХ•> D0)
771= — ОО П= —ОО
которое мы и докажем, считая, что <р — быстро убывающая функция.
Щ Поскольку </?, ф G 5, ряды в обеих частях равенства D0) сходятся
абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно
по х на всей прямой R. Далее, поскольку производные быстро убываю-
убывающей функции сами являются функциями класса 5, то можно заключить,
оо
что функция f(x) = Y1 ^(я + 27гп) принадлежит классу С^°°)(М,С).
п=—оо
Функция /, очевидно, 27г-периодическая. Пусть {£&(/)} — ее коэффици-
коэффициенты Фурье по ортонормированной системе < -~=егкх; к G Z >. Тогда
оо
—гкх
f(x)e-ikxdx=
2тг
о
2тг(п+1)
о п=-°°
п=-°° ' " 2<кп v 2?Г-оо
Ho / — гладкая 27г-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье
сходится к ней в любой точке х G К. Значит, в любой точке х G К
справедливо соотношение
00 °° Лих 1
п=—оо п=—оо
688 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Замечание 7. Как видно из доказательства, соотношения C9),
D0) справедливы далеко не только для функции класса 5. Но если все же
<р Е 5, то равенство D0) можно сколько угодно раз дифференцировать
почленно по аргументу ж, получая как следствие новые соотношения
между </?,<//,... и (р.
d. Теорема Котельникова1). Этот пример, основанный, как и
предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье,
имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу свя-
связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу огра-
ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспри-
воспринимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например,
ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким образом,
какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см. п. 1), вырезаем
только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы
с финитным спектром.
Будем поэтому сразу считать, что передаваемый или получаемый
нами сигнал f(t) (где t — время, —оо < t < оо) имеет финитный спектр,
отличный от нуля лишь для частот и), величина которых не превышает
некоторого критического значения а > 0. Итак, f{uj) — 0 при \uj\ > a,
поэтому представление
оо
f(t) =
для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по про-
промежутку [—а, а]:
а
1 Г
D1)
На отрезке [—а, а] функцию f{uj) разложим в ряд Фурье
оо
D2)
— оо
. А. Котельников (род. 1908) — советский ученый, известный специалист в тео-
теории радиосвязи.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 689
по системе <е <* ;fc E Z>, ортогональной и полной на этом отрезке.
Учитывая формулу D1), для коэффициентов с&(/) этого ряда получаем
следующее простое выражение:
D3)
—а
Подставляя ряд D2) в интеграл D1), с учетом соотношений D3)
находим
Ё '(=*)
fc——cxj
oo a
Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Ко-
телъникова
E/flOT'".??- m
Формула D4) показывает, что для восстановления сообщения, опи-
описываемого функцией f(t) с финитным спектром, сосредоточенным в
полосе частот \си\ ^ а, достаточно передать по каналу связи лишь зна-
значения f(kA) (называемые отсчетными значениями) данной функции
через равные промежутки времени А = 7г/а.
Это утверждение в совокупности с формулой D4) принадлежит
В. А. Котельникову и называется теоремой Котелъникова или теоре-
теоремой отсчетов.
Замечание 8. Сама по себе интерполяционная формула D4) бы-
была известна в математике еще до работы В. А. Котельникова A933 г.).
Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение раз-
разложения D4) для теории передачи непрерывных сообщений по каналу
связи. Изложенная выше идея вывода формулы D4) также принадлежит
В. А. Котельникову.
Замечание 9. Реально время передачи и приема сообщения огра-
ограничено, поэтому вместо всего ряда D4) берут некоторую его частичную
690 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
N
сумму ^2. Специальные исследования посвящены оценке возникающих
-N
при этом погрешностей.
Замечание 10. Если известно, сколько времени занимает переда-
передача одного отсчетного значения сообщения f(t) в данном канале связи,
то легко оценить количество таких сообщений, которые можно парал-
параллельно передавать по этому каналу связи. Иными словами, появляется
возможность оценить пропускную способность канала связи (более то-
того, еще и в зависимости от информационной насыщенности сообщений,
которая сказывается на спектре сигнала f(t)).
Задачи и упражнения
1. а) Запишите подробно доказательства соотношений A6)-A9).
Ь) Рассматривая преобразование Фурье как отображение / н- /, покажи-
покажите, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами:
а
(правило изменения масштаба);
(сдвиг входного сигнала — фурье-прообраза — по времени, или теорема о пе
реносе),
(сдвиг преобразования Фурье по частоте);
1
1 -
[/
(амплитудная модуляция гармонического сигнала);
/(*)sin^^[2/H-
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 691
с) Найдите преобразования Фурье (или, как говорят, фурье-образы) сле-
следующих функций:
jj при |*| ^ Л,
О при |*| > А
(прямоугольный импульс)]
LLA(t) COSCJq*
(гармонический сигнал, промодулированныи прямоугольным импульсом);
(два прямоугольных импульса одинаковой полярности);
(два прямоугольных импульса разной полярности);
при 1*1 ^ Л,
О при |*| > А
(треугольный импульс);
cos а*2 и sinai2 (a > 0);
|*| и |*|-ie-al*l (а >0).
d) Найдите фурье-прообразы следующих функций:
сиА п. sin2 си А Л . 2
sine , 2г —, 2 sine
7Г СОЛ 7Г
где sine ^ := ^^ — функция отсчетов.
е) Используя предыдущие результаты, найдите значения уже встречав-
встречавшихся нам интегралов:
оо оо оо оо
sin а: . f sin x , , „ . , . 2
IT IT'
— оо —оо —оо —оо
, f 2 , f .
аж, / cos а: аж, / sin а:
f) Проверьте, что интеграл Фурье функции f(t) можно записать в любом
из следующих видов:
сю оо оо
— оо —оо —оо
сю оо
= — / du) I f(x)cos2u)(x~t)dx.
О -оо
23-4574
692 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2. Пусть / = f(x,y)—решение двумерного уравнения Лапласа
+ —£ =0в полуплоскости у^О, удовлетворяющее условиям /(ж,0) = д(х) и
/(ж, у) —> 0 при у —> +оо для любого xGl.
a) Проверьте, что преобразование Фурье /(£, у) функции / по перемен-
переменной х имеет вид д(£)е~у^.
b) Найдите фурье-прообраз функции е~у^\ по переменной £.
c) Получите теперь уже встречавшееся нам (гл. XVII, §4, пример 5) пред-
представление функции / в виде интеграла Пуассона
+ ОО
1 Г V
/ 72?23
7Г J (X -О + У
— оо
3. Напомним, что n-ж моментом функции /: Ж —>■ С называется вели-
оо
чина Mn(f) = f xnf(x)dx. В частности, если / — плотность распределения
— оо
оо
вероятностей, т.е. /(ж) ) Ои / f(x)dx = 1, то #о — ^i(f) есть матема-
— оо
тическое ожидание случайной величины а: с распределением /, а дисперсия
оо
а2 := f (x — xoJf(x)dx этой случайной величины представляется в виде
— оо
= M2(f) - M*
Рассмотрим следующее преобразование Фурье
оо
№ = I f(x)e~lix dx
— оо
функции /. Раскладывая е г^х в ряд, покажите, что:
оо
а) /(О = Е ('г)"У"(/) С если, например, / 6 5.
с) Пусть теперь / вещественнозначна, тогда /(£) = Л(^)е^^, где Л(^) —
модуль, а (^@— аргумент /(£), причем Л@ = А(-£) и ^(-^) = -^@- Поло-
оо
жим для нормировки, что / f(x)dx = 1. Проверьте, что тогда
— оо
И
а а2 = Ml(f) - М2(/) = -Л"
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 693
4. а) Проверьте, что функция е~а^ (а ^ 0), как и все ее производные,
определенные при х ф 0, убывает на бесконечности быстрее любой отрица-
отрицательной степени переменной \х\ и тем не менее эта функция не принадлежит
классу 5.
Ь) Убедитесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно
дифференцируемо на Е, но не принадлежит классу 5 (и все потому, что е~а\х
не дифференцируема при х = 0).
5. а) Покажите, что функции класса 5 плотны в пространстве lZ2(Rn,C)
абсолютно интегрируемых с квадратом функций /: W1 —у С, наделенном ска-
скалярным произведением (/,<?) = / (/ -g)(x)dx и порожденными им нормой
= ( I\f\2(x)dx) и метрикой d(f,g) = \\f - g\\.
b) Рассмотрим теперь 5 как метрическое пространство E, d) с указанной
метрикой d (сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на W1).
Пусть L2(Mn,C) или, короче, L2—пополнение метрического пространства
E, d) (см. гл. IX, §5). Каждый элемент / Е L2 определяется последователь-
последовательностью {ifk} функций (fk E S, которая является последовательностью Коши в
смысле метрики d.
Покажите, что тогда и последовательность {фк} фурье-образов функ-
функций (fk является последовательностью Коши в S и, следовательно, задает опре-
определенный элемент / Е L2, который естественно назвать преобразованием Фу-
Фурье элемента / Е L2.
c) Покажите, что в L2 естественным образом вводится линейная структу-
структура и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фурье
L2 A L2 оказывается линейным изометрическим отображением L2 на себя.
d) На примере функции f(x) = . можно видеть, что если / Е
А / 1 Л, 1>£
Е 7г2(М,С), то не обязательно / Е 7г(М,С). Тем не менее, если / Е 7г2(М,С),
то, поскольку / — локально интегрируема, можно рассмотреть функцию
Проверьте, что fA Е С(К,С) и fA Е П2(Ш,£).
е) Докажите, что fA сходится в L2 к некоторому элементу / Е L2 и \\fA\
—у II/H = у/]! при А —> +оо (это — теорема Планшереля1^).
6. Принцип неопределенности. Пусть <р(х) и ф(р) —функции класса S (или
оо
элементы пространства L2 из задачи 5), причем ф — ф и J \(p\2(x)dx =
— С5О
1->М. Планшерель A885-1967)—швейцарский математик.
694 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
оо
= J \ф\2(р) dp = 1. В таком случае функции \<р\2 и l^]2 можно рассматривать
— оо
как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин х
и р соответственно.
а) Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала
отсчета аргумента) функции <р, не меняя величины \\ф\\, можно получить но-
оо
вую функцию (р такую, что М\(ф) = J x\(p\2(x)dx — 0, а затем, не меняя
— оо
Mi(<p) = 0, можно аналогичным сдвигом по аргументу функции ф добиться
оо
того, что М\(ф) = J р\ф\2{р) dp = 0.
— оо
Ь) Рассмотрите при вещественном параметре а величину
оо
/ \axip(x) +(pl(x)\2dx > 0
— оо
и, опираясь на равенство Парсеваля и формулу (р'(р) = ip<p{p), покажите, что
а2М2(<р) - а + М2{ф) > 0. (Определения М\ и М2 см. в задаче 3.)
с) Получите отсюда соотношение
М2(ср)-М2(ф) ^ 1/4.
Это соотношение показывает, что чем более «сосредоточена» сама функ-
функция (р, тем «размытее» ее преобразование Фурье и обратно (см. в этой связи
примеры 1, 7 и задачу 7Ь).
В квантовой механике это соотношение, называемое принципом неопре-
неопределенности, приобретает конкретный физический смысл. Например, нельзя
одновременно измерить точно и координату квантовой частицы, и ее им-
импульс. Этот фундаментальный факт (называемый принципом неопределенно-
неопределенности Гейзенберга1^), в математическом отношении совпадает с найденным вы-
выше соотношением между М2((р) и М2(ф).
Следующие три задачи дают начальное представление о преобразовании
Фурье обобщенных функций.
7. а) Используя пример 1, найдите спектр сигнала, выражаемого функцией
О при \t\ > a,
b) Проследите за изменением функции Aa(t) и ее спектра при а —> +0
и скажите, каким, по вашему мнению, следует считать спектр единичного
импульса, выражаемого ^-функцией.
. Гейзенберг A901 - 1976) —немецкий физик, один из создателей квантовой ме-
механики.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 695
c) Используя пример 2, найдите теперь сигнал <p(t) на выходе идеального
фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как
ответ на единичный импульс S(t).
d) Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь физический
смысл членов ряда Котельникова D4) и предложите принципиальную схему
передачи сигнала /(£), имеющего финитный спектр, основанную на формуле
Котельникова D4).
8. Пространство Л, Шварца. Проверьте, что:
a) Если (р Е S, а Р— полином, то (Р • <р) Е S.
b) Если (р Е S, то Da(p E S и DC(PDa<p) E S, где а и /3 — неотрицательные
мультииндексы, а Р — полином.
c) В S вводится следующее понятие сходимости. Последовательность {<рк}
функций ifk E S считается сходящейся к нулю, если для любых неотрицатель-
неотрицательных мультииндексов а, /? последовательность функций {x@Da(pk} сходится
к нулю равномерно на Шп. Соотношение <pk —>• <р Е 5 будет означать, что
(<Р~<Рк) -> 0 в S.
Линейное пространство S быстро убывающих функций, наделенное ука-
указанной сходимостью, называется пространством Шварца.
Покажите, что если ifk —У <р в 5, то и <рь —> ф в S при к —> сю. Таким
образом, преобразование Фурье является линейным непрерывным преобразо-
преобразованием пространства Шварца.
9. Пространство S1 обобщенных функций умеренного роста. Линейные
непрерывные функционалы, определенные на пространстве S быстро убы-
убывающих функций, называют обобщенными функциями медленного или уме-
умеренного роста. Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к
пространству S) обозначают символом £'. Значение функционала F Е 5" на
функции <р Е S будем записывать символом F(<p).
а) Пусть Р: Шп —> С ^полином от п переменных, а /: Шп —> С — локально
интегрируемая функция, допускающая на бесконечности оценку |/(х)| ^
^ |Р(аг)| (т.е., быть может, растущая при х —> сю, но умеренно: не быстрее,
чем степенным образом). Покажите, что тогда / можно считать (регулярным)
элементом пространства 5', если положить
= J
b) Умножение обобщенной функции F E S' на обычную функцию /: Шп —>
—> С определяется, как всегда, соотношением (fF)(ip) :— F(fip). Проверьте,
что для обобщенных функций класса S' корректно определено умножение не
только на функции / Е 5, но и на полиномы Р: Шп —> С.
c) Дифференцирование обобщенных функций F Е 5' определяется тради-
традиционным способом: (DaF)((p) := (-l
696 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Покажите, что это определение корректно, т. е. если F Е £', то и DaF Е 5'
при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе а — (ai,... , a:n).
d) Если / и (р достаточно регулярные функции (например, класса S), то,
как видно из соотношения C6), имеет место равенство
/О) = / f(x)<p(x)dx = / }(xH(x)dx = f@).
Это равенство (Парсеваля) и кладут в основу определения преобразования
Фурье F обобщенной функции F Е 5", полагая по определению, что F(<p) :=
Благодаря инвариантности пространства 5 относительно преобразования
Фурье, это определение корректно для любого элемента F Е 5.
Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций про-
пространства Р'(ЕП), действующих на пространстве Т>(Шп) гладких финитных
функций. Именно этим обстоятельством и объясняется роль пространства 5
Шварца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным
функциям.
е) В задаче 7 мы получили начальное представление о преобразовании
Фурье J-функции. Преобразование Фурье J-функции можно было бы наив-
наивно искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной
функции. Тогда мы нашли бы, что
Покажите теперь, что при корректном отыскании преобразования Фурье об-
обобщенной функции 6 Е S'(Rn), т.е., исходя из равенства 6((р) = 6(ф), получа-
получается (то же самое), что 6@) = 0@) = у^. Итак, преобразование Фурье
B7Г)
J-функции есть постоянная функция. (Можно перенормировать преобразова-
преобразование Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.)
f) Сходимость в 5', как всегда в обобщенных функциях, понимается в
следующем смысле: (Fn —> F в 5' при п —> оо) := (Vy> E S(Fn(<p) —У F(<p) при
п —> оо)).
Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) для ^-функции:
-А
g) Пусть 6(х — хо), как обычно, означает сдвиг J-функции в точку хо, т.е.
6(х — хо)((р) = (р(хо). Проверьте, что ряд
оо / N
У^ 6(х — п) I = lim 2_\
п= — оо \ —N
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 697
сходится в пространстве 5"(Е), (здесь 6 Е 5"(Е) и п Е Z).
h) Используя возможность почленно дифференцировать сходящийся ряд
обобщенных функций и учитывая равенство из задачи 13f, § 2, покажите, что
оо
если F = J2 $(х ~ n)? T0
п= — оо
оо
2тг ^ 6(х - 2тгп)
п= — оо
i) Используя соотношение F(tp) — F((p), получите из предыдущего резуль
тата формулу Пуассона C9).
j) Докажите следующее соотношение @-формула)
ОО I ОО
Е ^ = S Е е"#п2 (* > о),
п~ — оо п= —оо
играющее важную роль в теории эллиптических функции и теории теплопро-
теплопроводности.
10. Если преобразование Фурье T[f\ функции /: Е ->• С определить фор-
формулой
оо
/("):=£[/]("):= J №e-2*wtdt,
—оо
то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно
простыми и изящными.
а) Проверьте, что f(u) = -^
Ь) Покажите, что ^г[^г[/]]@ = /(—*), т.е.
/(') =
оо
■ОО
Это наиболее естественная форма разложения f(t) по гармоникам различ-
различных частот V, a f(v) в этом разложении есть частотный спектр функции f.
c) Проверьте, что 6 = 1 и 1 = S.
d) Убедитесь в том, что формула Пуассона C9) теперь принимает особен-
особенно изящный вид
оо оо
п= — оо
ГЛАВА XIX
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в ма-
математическом отношении характеризуется некоторым набором число-
числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако
описание явления, как правило, существенно упрощается, если извест-
известно, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики
или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений, происходя-
происходящих со скоростями и, много меньшими скорости света (\v\ <£. с), вместо
преобразований Лоренца (гл.1, §3, пример 3)
x-vt , t- Cz)x
X' =
:, t =
можно использовать преобразования Галилея
х* — х — vt, tf — t,
поскольку v/c « 0.
Пример 2. Период
- к2 Sin2 в
колебаний маятника через параметр к2 = sin2 Щ- связан с углом
максимального отклонения маятника от положения устойчивого равно
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 699
весия (см. гл. VI, § 4). Если колебания малы, т. е. щ « 0, то для периода
таких колебаний получается простая формула
Пример 3. Пусть на частицу массы т действует возвращающая
ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклоне-
отклонения (пружина с коэффициентом жесткости к), и сила сопротивления
среды, пропорциональная (с коэффициентом а) квадрату скорости ча-
частицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см. гл. V, §6)
тх + ах + кх = 0.
Если среда «разрежается», то а -» 0 и, надо полагать, движение
становится близким к описываемому уравнением
тх + кх = 0
(гармонические колебания частоты л/т), а если среда «густеет», то
а —> оо и, поделив на а, получаем в пределе уравнение ж = 0, т. е.
x(t) = const.
Пример 4. Если тг(ж) — количество простых чисел, не превосхо-
превосходящих ж € М, то, как известно (см. гл. III, § 2), при больших значениях ж
величину тг(ж) с малой относительной погрешностью можно находить
по формуле
7г(ж) W .
In ж
Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными явля-
являются соотношения
sin ж ~ ж или 1пA + ж) « ж,
относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе ж к нулю
(см. гл. V, § 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены,
sin ж «ж — —ж , 1пA + ж) « х — -ж ,
О. Zi
приписыванием одного или более следующих членов, .получаемых по
формуле Тейлора.
700 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в су-
существенном правильное описание изучаемого явления, используя специ-
специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явле-
явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю)
или, наоборот, велик (стремится к бесконечности).
Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехо-
перехода.
Задачи такого рода называются асимптотическими. Они возника-
возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и есте-
естествознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих
этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного чле-
члена) асимптотики, т.е. удобного упрощенного описания явления; оцен-
оценка погрешности, возникающей при использовании найденной асимпто-
асимптотической формулы, и выяснение области ее применимости; уточнение
главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь
алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле
Тейлора.
Методы решения асимптотических задач (называемые асимптоти-
асимптотическими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой за-
задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементар-
элементарных асимптотических методов, конечно, относится формула Тейлора —
одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления.
Эта глава должна дать читателю начальные представления об эле-
элементарных асимптотических методах анализа.
В первом параграфе мы введем общие понятия и определения, от-
относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором ис-
используем их при изложении метода Лапласа построения асимптотиче-
асимптотического разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный Лапла-
Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятно-
вероятностей, является важнейшей составной частью развитого впоследствии
Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного
анализа. Дальнейшие сведения о различных асимптотических методах
анализа можно найти в специальных книгах, цитированных в списке
литературы. В них также имеется обширная бибилиография, относя-
относящаяся к этому кругу вопросов.
§1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 701
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
1. Основные определения
а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства.
Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений.
Определение 1. Пусть f : X —> Y и д : X —> Y — вещественно-,
комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой
множества Y) функции, определенные на множестве X, и пусть В —
база в X. Тогда соотношения
/ = О(д) или f(x) = О(д(х)) х € X,
/ = О(д) или f(x) = О(д(х)) при базе #,
f = о(д) или f(x) = о{д{х)) при базе В
означают по определению, что в равенстве |/(ж)| = а(х)|^(а:)| веще-
вещественная функция а(х) является, соответственно, ограниченной на X,
финально ограниченной при базе В и бесконечно малой при базе В.
Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками
(функции /).
Соотношение
f ~ д или f(x) ~ д(х) при базе В,
по определению означающее, что }{х) = д(х)-\-о(д(х)) при базе #, назы-
называют обычно асимптотической эквивалентностью или асимптотиче-
асимптотическим равенством1* указанных функций при базе В,
Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют
термином асимптотические формулы.
Там, где указание аргумента функции несущественно, принята со-
сокращенная форма обозначений / = о(д), / = О(д), или f ~ д, которой
мы уже систематически пользовались.
Если / = О(д) и одновременно д = О(/), то пишут /xjh говорят,
что / и д — величины одного порядка при данной базе.
В наших дальнейших рассмотрениях Y = С или Y = М; X С С, или
#, — как правило, одна из баз X Э х —> 0 или X Э х -¥ ею.
^ Полезно иметь в виду также часто употребляемый для обозначения асимптоти-
асимптотических равенств символ ~.
702 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Используя введенные обозначения, можно, в частности, написать,
что
cos я; = 0A), жеК,
cos z ф 0A), z Е С,
In ez = 1 + z + o(z) при z -> 0, г G С,
A + ж)а = l + ах + о(х) при ж -> 0, х G М,
X / X \
7т(х) = h о ( ) при х -» +оо, жеМ.
lnrr Мпж/
Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно за-
заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями,
использование которых в вычислительных целях возможно, но после
дополнительной работы, связанной с оценкой остатка. Об этом мы уже
говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в ви-
виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет
проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолют-
абсолютной погрешностью. Так, например, при х -» +оо разность тг(ж) — т^-
111 А/
не стремится к нулю, поскольку при каждом значении #, являющемся
простым числом, функция тг(ж) имеет единичный скачок. Вместе с тем,
относительная погрешность от замены тг(ж) на р^- стремится к нулю:
X \
^J -> 0 при х -> +оо.
Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в
вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за от-
относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому
часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых
абсолютная величина разности между приближаемой функцией и п-й
частичной суммой ряда стремится к нулю при п —> +оо.
Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических фор-
формул.
Пример 6. Трудоемкость вычисления значений п! или Inn! возра-
возрастает при увеличении п Е N. Воспользуемся, однако, тем, что п велико
и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для
приближенного вычисления Inn!
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 703
Из очевидных соотношений
п к п п
п п п
I In х dx — 2_. I ln x dx < 2_] In к < 2^ / hi ж da; = / In a; da;
следует, что
n 2 n+1
0 < Inn! — / lna;da; < / lna;da; + / lna;da; < In2(n + 1).
1 1 n
Ho
n
/ lnxdx = n(lnn — 1) + 1 = nlnn — (n — 1),
1
поэтому при n -» oo
n
lnn!= /lna;da; + O(ln2(n
= nlnn — (n — 1) + O(lnn) = nlnn + O(n).
Поскольку O(n) = o(nlnn), когда n —> +oo, относительная погреш
ность формулы Inn! ~ nlnn стремится к нулю при п —> +оо.
Пример 7. Покажем, что при х -» +оо функция
X
асимптотически эквивалентна функции дп(х) = x~nex. Поскольку
9n(z) —> +°o при х -» +oo, то, применяя правило Лопиталя, находим,
что
hm —~- = hm ' = lirn ■— = 1.
дп(х) ж-^+оо дп(х) ж-^+оо х пех — пх п 1ех
Пример 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функ-
функции
X
1
704
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экс-
экспоненты
х
Щх) = I —dt.
— оо
Интегрируя по частям, получаем
х
х
X
X
Hi
t3
dt =
2\е
f
X
X
0! 1! 2!
3!e*
(n-l)!
x
x
dt
Последний интеграл, как показано в примере 7, есть О(х (п+1)ех)
при х —> +оо. Включая в О(х~^п^ех) еще и получаемую при подста-
п
новке t = 1 постоянную — е ^ (к — 1)!, находим, что
к=1
X
Погрешность О I -§+т) приближенного равенства
асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе
и последним, членом написанной суммы. Вместе с тем, при х —> +оо
каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с
предшествующим членом, поэтому естественно написать неограничен-
неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда,
порожденного функцией /:
оо
f(x) ~ ё
X
к
§1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 705
Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении
М, поэтому нельзя писать
k=l
Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно
полезным асимптотическим пониманием ряда, связанным, в отличие
от классического случая, с относительным, а не абсолютным прибли-
приближением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в
отличие от классического случая, используются не столько для прибли-
приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания
коллективного поведения значений функции при рассматриваемом пре-
предельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении х
к +оо).
Ь. Асимптотическая последовательность и асимптотичес-
асимптотический ряд
Определение 2. Последовательность асимптотических формул
fo(V>i(s)),
Т \ — inn I т \ -4- 1п-1 I т \ Л- Л- in I о™ I
справедливых при некоторой базе В в множестве Х: где определены
рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения
f(x) ~ <фо(х)
оо
или, короче, в виде /(#) — J^ ^k(x) и называют асимптотическим
разложением функции f при данной базе В.
Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении
всегда
о(фп(х)) = фп+Лх) + о{фп+1{х)) при базе В
и, значит, при любом значении п = 0,1,...
Фп+\(х) = о(фп(х)) при базе В,
706 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
т.е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асим-
асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом.
Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной
комбинации
+ ... + сп<рп(х) + ...
функций той или иной удобной для конкретной задачи последователь-
последовательности {<рп(х)}.
Определение 3. Пусть X — множество с заданной в нем базой В.
Последовательность {(рп(%)} определенных на X функций называется
асимптотической последовательностью при базе 5, если (pn+i(x) =
= o(tpn(x)) при базе В (каковы бы ни были два соседние члена у?п, у>п+1
этой последовательности) и если на любом элементе базы В ни одна из
функций <рп £ {<рп(х)} не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (^рп\в)(х) Ф 0 на элементах В ба-
базы В естественно, поскольку в противном случае все функции ^п-ы,
у>п+2, • • • были бы равны нулю тождественно на В и система {<рп} ока-
оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной.
Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются
асимптотическими:
а) 1,ж,ж2,..., жп,... при х —> 0;
ь) h h ^> • • • '^' • • • при х -^ °°;
\j I t/LJ . *XJ • • • • . **J • • • .
при базе х —> 0, если р\ < р2 < ... < рп < ...,
при базе х —> оо, если pi > />2 > • • • > Рп > • • •;
d) последовательность {д(х)(рп(х)}, полученная из асимптотической
умножением всех ее членов на одну и ту же функцию.
Определение 4. Если {(рп} — асимптотическая последователь-
последовательность при базе Б, то асимптотическое разложение вида
f(x) ~ сО(ро(х) + ci<pi(x) + ... + сп<рп(х) + ...
называется асимптотическим разлоэюением или асимптотическим ря-
рядом функции f no асимптотической последовательности {(рп} пР^ ба-
базе В.
Замечание 3. Понятие асимптотического ряда (применительно к
степенным рядам) было сформулировано Пуанкаре A886), активно ис-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 707
пользовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по
небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые
методы их получения, встречались в математике еще раньше. По по-
поводу возможного обобщения понятия асимптотического разложения в
смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2-4) см. зада-
задачу 5 в конце параграфа.
2. Общие сведения об асимптотических рядах
а. Единственность асимптотического разложения. Говоря об
асимптотическом поведении функции при некоторой базе #, мы интере-
интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если
какие-то две, вообще говоря, различные, функции / и д совпадают на
некотором элементе базы В, то они имеют одинаковое асимптотическое
поведение при базе Вив асимптотическом смысле должны считаться
совпадающими.
Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последователь-
последовательность {<£>п}, по которой желательно вести асимптотическое разложение,
то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой систе-
системы функций {(рп}- А именно, найдутся функции, которые при данной
базе бесконечно малы в сравнении с любым членом (рп асимптотической
последовательности {(рп}-
Пример 10. Пусть ipn(x) = -тг, п = 0,1,..., тогда е~х — o(ipn(x))
при х —> +оо.
Таким образом, естественно принять
Определение 5. Если {(рп(%)} — асимптотическая последова-
последовательность при базе #, то функция / такая, что для каждого п = 0,1,...,
f(x) = о{чрп{х)) при базе #, называется асимптотическим нулем от-
относительно последовательности {(рп(х)}.
Определение 6. Функции / и g будем называть асимптотически
совпадающими при базе В относительно последовательности функ-
функций {<£>п}, асимптотической при базе В, если разность f — g этих фун-
функций является асимптотическим нулем относительно последовательно-
последовательности {<рп}.
Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложе-
разложения). Пусть {(рп} — асимптотическая последовательность функций
708 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при некоторой базе В.
a) Если функция f допускает асимптотическое разложение по по-
последовательности {фп} Щи базе В, то это разлоэюение единственно.
b) Если функции fug допускают асимптотическое разлоэюение по
системе {<£>п}? то зти разлоэюения идентичны в том и только в том
случае, когда функции fug асимптотически совпадают при базе В
относительно последовательности {(рп}-
< а) Пусть функция <р не равна нулю тождественно на элементах
базы В.
Покажем, что если f(x) = о((р(х)) при базе В и одновременно f(x) =
= ар{х) + о(ср(х)) при базе #, то с = 0.
Действительно, \f(x)\ ^ |су?(д;)| — \о((ср(х))\ = \с\\(р(х)\ — о(\(р(х)\)
при базе #, поэтому, если \с\ > 0, то найдется элемент В\ базы #, в
любой точке которого будет выполнено неравенство \f{x)\ ^ ^|у?(ж)|.
Если же f(x) = o(tp(x)) при базе #, то найдется элемент i?2 базы 5,
в любой точке которого |/(#)| ^ ^1^(^I- Значит, в любой точке х Е
Е В\ ПВ2 должно быть выполнено неравенство ^|у?(ж)| ^ v|^(^)| или,
в предположении, что \с\ Ф 0 неравенство 3|у?(ж)| ^ 2|у?(ж)|. Но это
невозможно, если <р(х) ф 0 хотя бы в одной точке х € В\ П В2-
Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции / по по-
последовательности fan}-
Пусть f(x) = сО(ро(х) + о(щ(х)) и f(x) = cq<pq(x) + o(<po(x)) при
базе В. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что 0 = (со —
— Co)tpo(x) +о((ро(х)) при базе В. Но 0 = о(щ(х)) при базе Б, значит, по
доказанному со — ?о = 0.
Если совпадение коэффициентов со = cq, ..., cn_i = 'cn-x двух раз-
разложений функции / по системе {tpn} уже доказано, то из равенств
f(x) = со^о(гг) + ... + cn_i^n_i(rr) + cncpn(x) + o(<pn(x)),
f(x) =сощ(х) + ... + cn_i^n_i(rr) +cn(pn(x) +о(срп(х))
тем же способом получаем, что исп = сп.
Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) вер-
верно.
Ь) Если при любом п = 0,1,... f(x) = CQipo(x) + ... + cncpn(x) +
+ о((рп{х)) ид(х) = со(ро{х) + ...+Сп(рп(х)-\-о((рп(х)) при базе В, то при
любом п — 0,1,... f(x) — д(х) = о(срп(х)) при базе Б, и, значит, фун-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 709
кции /ид асимптотически совпадают относительно асимптотической
последовательности {(рп(х)}.
Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический
нуль, в качестве которого мы возьмем разность / — <?, должен иметь
только нулевое асимптотическое разложение. ►
Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптоти-
асимптотического разложения. Подчеркнем, однако, что само по себе асимпто-
асимптотическое разложение функции по заданной наперед асимптотической
последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две фун-
функции /ид вообще должны быть связаны одним из асимптотических
соотношений / = О(д), / = о(д), или / ~ д при базе В.
Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, ука-
указывает конкретный класс функций (имеющих при х = 0 производные
до порядка п), каждая из которых заведомо допускает асимптотиче-
асимптотическое представление
= /@) + ^/'@)* + .. • + ^/(n)@)z" + о(хп)
при х -> 0. Но вот уже функции х1/2 нельзя дать асимптотическое
разложение по системе 1,ж,д;2,... Таким образом, асимптотическую
последовательность и асимптотическое разложение не следует отожде-
отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему
любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения
много больше того, что может описать фиксированная асимптотиче-
асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведе-
поведения функции — это не столько разложение по заранее заданной асим-
асимптотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например, вычи-
вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее тре-
требовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных
функций, потому что он вообще может не быть элементарной функ-
функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопреде-
неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой
ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение.
Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами.
Элементарные арифметические свойства символов о и О (такие, как
=о(д), о(д) + О(д) = О(д) + О(д) = О(д) и т. п.) были рассмо-
710 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
трены еще в теории предела (гл. III, § 2, утверждение 4). Из этих свойств
и определения асимптотического разложения вытекает очевидное
Утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений).
Если функции fug допускают асимптотические разложения f ~
оо
ап(Рп> 9—^2 Ьп(рп по асимптотической последовательности
ОО 00
п-0 п=0
п} Щ1^ базе В, то их линейная комбинация af + /3g такэюе допуска-
оо
ет такое разложение, причем (af + /3g) ~ ^ (аап + /ЗЬп)(рп.
п=0
Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асим-
асимптотических формул будут относиться ко все более специальным слу-
случаям.
Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств).
Пусть f—функция, непрерывная на промежутке I = [a\ui[ (или па
промежутке /=]о;, а]).
а) Если функция непрерывна, неотрицательна на промежутке I, a
из
интеграл Jg(x)dx расходится, то из соотношений
а
f(x) = O(g(x)), f(x)=o(g(x)), f(x)~g(x) при I Э х -> ш
вытекает соответственно, что
F(x) - O(G(x)), F(x) = o(G(x)) u F(x) - G(x),
где
X X
F(x)= f f(t)dt и G(x)= fg(t)dt.
a a
b) Если непрерывные положительные на промежутке I = [а,и)[
функции (рп(х), п — 0,1,..., образуют асимптотическую последова-
последовало
тельность при I Э х —> ш, а интегралы Фп(^) = f(pn(t)dt пРи х € I
X
сходятся, то функции Фп(ог), п = 0,1,... тоже образуют асимпто-
асимптотическую последовательность при I Э х —> и).
из
с) Если интеграл Т(х) = f f(x)dx сходится и функция f имеет
X
оо
асимптотическое разложение f(x)~ Yl Cn^Pnfa) nPu I Э х —> и> по
п=0
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 711
указанной в Ъ) асимптотической последовательности {Фп(х)}, то
оо
для Т справедливо асимптотическое разложение Т{х) ~ ^ спФп(х).
71 = 0
-4 а) Если f(x) — O(g(x)) при / Э х —> ш, то найдутся точка xQ £
€ I и постоянная М такие, что |/(ж)| ^ М\д(х)\ при х 6 [жо,сс;[. Из
непрерывности функций / и д на отрезке [а,жо] следует, что тогда на
всем отрезке / имеет место неравенство |/(ж)| ^ С\д{х)\, а значит,
oQg(t)d?j.
Для доказательства оставшихся двух соотношений можно восполь-
воспользоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что G(x) =
X
= f g(t) dt —> оо при / Э х -> ш. В результате получим, что
X
J f(t)dt
a
see
X
fg(t)dt
a
а
G() G'()
G(^) /Эх-^а; G'(^) ТЭх-ч-и g(X)
b) Поскольку Фп(ж) —> 0 при / Э х —> си (п = 0,1,...), то, вновь
применяя правило Лопиталя, находим, что
= lim ^# = 0.
()
lim %# lim
с) Функция гп(х) в соотношении
f(x) = сО(ро(х) + ci<pi(x) +
как разность непрерывных на / функций, сама непрерывна на / и, оче-
видно, Rn(x) — frn(t)dt —> 0 при / Э х —> и). Но гп(х) = o(tpn(x)) при
х
I Э х -> uj и Фп(х) —> 0 при / Э х -> а;, поэтому из того же правила
Лопиталя следует, что в равенстве
^(ж) = с0Ф0(х) + С1Фх(а;) + ... + спФп(х) + Д„(а;)
величина Rn(x) есть о(ФГ1(я;)) при / Э х —> и). ►
Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и
асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно.
Пример 11. Функция f(x) = e~xsin(ex) непрерывно дифферен-
дифференцируема на Ж и является асимптотическим нулем относительно асим-
асимптотической последовательности < — > при х —> +оо. Производные от
712 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
л. " 1 1
функции — снова с точностью до множителя имеют вид -^-, однако
X X
функция f'(x) = — ех8т(ех) + cos(ex) не только не является асимпто-
асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по
последовательности \ — > при х —> +оо.
1хп)
3. Степенные асимптотические ряды. Остановимся в заклю-
заключение на степенных асимптотических разложениях, которые встреча-
встречаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как
это было в примере 8.
Мы будем рассматривать разложения по последовательности {хп\
п = 0,1,...}, асимптотической при х —> 0, и по последовательности
1 ~и'->п — 0,1,... >, асимптотической при х —> оо. Поскольку с точно-
стью до замены х — - это один и тот же объект, мы сформулируем
очередное утверждение только для разложений по первой последова-
последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых фор-
формулировок в случае разложений по второй последовательности.
Утверждение 4. Пусть 0 — предельная точка множества Е, и
пусть
f(x) ~ а0 + агх + а,2Х + ... ,
при Е Э х -> 0.
д(х) ~ Ьо + Ь\х + Ь2х2 + ...
оо
Тогда при Е Э х ->• 0
a) (а/ + Pg)(x) ~
оо
b) (f-g)(x) с± £ спггп
п=0
с) если Ьо т^ 0? mo [q)(x)~ Yl dnxn, где коэффициенты dn нахо
дятся из рекуррентных соотношений
п
&п =
d) если £^ — проколотая окрестность или полуокрестность точ-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 713
ки 0; а / непрерывна на Е, то
X
J Z П
0
е) если в дополнение к условиям d) / Е С^(Е) и
f'(x) ~a'0+a/1rr + ...,
т0 ап = (п + l)an+i> n = 0,1,...
М а) Это частный случай утверждения 2.
Ь) Используя свойства символа о( ) (см. гл. III, §2, утверждение 4),
получаем, что
= (о0 + oia; + ... + апхп + о(жп))(Ьо + &1Ж + ... + &п^п + о(хп)) =
+ . -. + (aobn + aibn_i + ... + агг60)а;п + o(xn)
при Е Э x —> 0.
с) Если &о Ф 0, то д(х) ф 0 при гг, близких к нулю, поэтому мож-
можно рассматривать отношение Цч- = h(x). Проверим, что если в пред-
представлении h(x) = do + d\x + . -. + dnxn + rn(x) коэффициенты do,...,
dn выбраны в соответствии с утверждением с), то гп(х) = о(хп) при
Е Э х —> 0. Из тождества f(x) — g(x)h(x) получаем, что
ао + а\х + ... + апхп + о(хп) =
= (bo + b\x + ... + bnxn + o(xn))(do + d\x + ... + dnxn + rn(x)) =
= Fodo) + (bodi + b\do)x + ... + (bodn + b\dn-\ + ... + bndo)xn -\-
j-o(rn(x))+o(xn),
откуда следует, что о(хп) = бо^п(^) + °(rn(^)) + o(xn) или гп(ж) = о(жп)
при Е Э х —> 0, поскольку &о 7^ 0-
d) Это вытекает из утверждения Зс), если положить там ш = 0 и
0 х
вспомнить, что — f f(t)dt = f f(t) dt.
x 0
e) Поскольку функция f'(x) непрерывна на ]0, х] (или [ж, 0[) и огра-
х
ничена (стремится к af0 при х —> 0), то интеграл f f'(x) dt существует.
о
714 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
х
Очевидно, f(x) — ао + J f'(t)dt, так как f(x) —> а$ при х —>■ 0. Под-
о
ставляя в это равенство асимптотическое разложение f!{x) и пользуясь
доказанным в d), получаем, что
2 п
Из единственности асимптотического разложения (утверждение 1)
следуют теперь соотношения а'п = (п + l)an+i, п = О,1,... ►
Следствие 1. Если U — окрестность (полуокрестность) беско-
бесконечности el, a функция f непрерывна в U и имеет асимптотическое
разложение
. . п\ 0,2 an
f(x) ~ ao-\ Ь-«+... + — + ... пРи U Э х -)■ оо,
х х1 хп
то взятый по лежащему в U промежутку интеграл
оо
-an dt
X
сходится и имеет следующее асимптотическое разложение
~ 1- -—ту + ... -\ + ... при U 3 х —> оо.
< Сходимость интеграла очевидна, поскольку
f(t) - a0 r % при U 3t -^ оо.
Остается, ссылаясь, например, на утверждение 3d), проинтегриро-
проинтегрировать асимптотическое разложение
- — ~— + — + ... + — ... при Г/ э 1
Следствие 2. Е'слгл в дополнение к условиям следствия 1 извест-
известно, что f G C(l)(U), и /' допускает асимптотическое разложение
f(x) ~ а'о + -^ + -| + ...
Х
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 715
то это разложение можно получить формальным дифференцировани-
дифференцированием разложения функции f, причем
ап — ~(п "" l)an-i) n — 2, 3,... и а'о = а[ — 0.
/
<4 Поскольку f!{x) = af0 + -^ + 0{l/xz) при U 3 х —> оо, то
/(ж) — /(жо) + / /'(*) eft = а[)а: + а'х \пх + 0A)
при U 3 ж -)• оо, и так как /(ж) с^ ао + ^ + £| + ..., а последовательность
ж, 1пж, 1, «,-»,... асимптотическая при С/ 3 х —>■ оо, утверждение 1 по-
х
зволяет заключить, что afQ = а'х — 0. Теперь, интегрируя разложение
ff(x) ~ ^ + Щ + ..., в силу следствия 1 получаем разложение функции
х х
/(ж), и на основании единственности разложения приходим к соотно-
соотношениям а'п — —{п — l)an-i при п = 2,3,... ►
Задачи и упражнения
оо
1. а) Пусть h(z) = J2 &nZ~n при \z\ > Ж, х € С. Покажите, что тогда
оо
^W — J2 anz~n при С Э z -¥ оо.
п=0
b) Считая, что искомое решение у(х) уравнения у'{х) + у2(х) = sin \ при
оо
х —> оо имеет асимптотическое разложение у(д;) ~ J^ cnx~n, найдите первые
п=0
три члена этого разложения.
оо
c) Докажите, что если f(z) = ^2 ап%п при \z\ < г, z G С, a g(z) ~ b\Z +
п=0
+ &2^2 + ... при С Э z —> 0, то в некоторой проколотой окрестности точки
О G С определена функция fog и (fog)(z) ~ Co + Ci2 + C2£2 + ... при С Э z -¥ О,
где коэффициенты со, Ci,... получаются подстановкой ряда в ряд так же, как
и для сходящихся степенных рядов.
2. Покажите, что:
а) Если / — непрерывная, положительная и монотонная функция при х ^ О,
то
п п
= f
при п —> оо;
/
А=0
О
п ,
1
b) ^^— In n + c+ o(l) при п -ь оо.
716 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
с) £ ka{\nkf ~ ^a+H^f при п -> оо и а > -1.
*1
3. Интегрированием по частям найдите асимптотические разложения при
х —> +оо следующих функций:
+ ОО
a) Г5(ж) = / ts~le~tdt— неполная голша-^унтснги;
X
1 х _2
b) erf(x) = —т= / е l dt—функция вероятности ошибок (напомним, что
* —х
оо 2
/ e~x dx ~ д/тт — интеграл Эйлера - Пуассона);
— оо
с) F(x) = / -or dt, если а > 0.
4. Используя результат предшествующей задачи, найдите асимптотиче-
асимптотические разложения при х —> +оо следующих функций:
X . ОО
a) Si(ar) = / ^- d^— интегральный синус (напомним, что / ^|^ dx = ^ —
о о
интеграл Дирихле);
Ж X
b) C(ar) = /cos^i2di, S(x) = Jsin^t2dt—интегралы Френеля (напо-
о о
+оо оо I—
мним, что / cos a;2 dx — J sin a;2 dx — ?i\l\ )•
о о v
5. Эрдейи1) принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и
рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической последова-
последовательности {фп(х)}-
Пусть X — множество, В — база в X, {(рп(%)} — асимптотическая при ба-
базе В последовательность функций на X. Если заданные на X функции /(#),
ipo(x),ipi(x),ip2(%)i* • - таковы, что для любого п = 0,1,... имеет место равен-
равенство
п
f(x) = ^2^k(^)+o((pn(x)) прибазей,
к=0
то пишут
оо
f(x) ~ Y^ ^nW, {<Pn(x)} при базе В
п=0
и говорят, что имеется асимптотическое в смысле Эрдейи разложение фун-
функции / при базе В.
a) Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения асим-
асимптотические в смысле Эрдейи, если считать <рп(х) = х~п, п = 0,1,...
b) Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не обла-
обладают свойством единственности (функции грп можно менять).
г*А. Эрдейи (род. 1908)—английский математик.
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 717
с) Покажите, что если заданы множество X, база 6вХ, функция / на X
и последовательности {fin(x)} и {ipn(x)}i вторая из которых является асим-
асимптотической при базе В, то разложение
оо
/(ж) ~ ^ап/^пО*О> {<£п(#)} при базе В,
п=0
где ап — числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.
6. Равномерные асимптотические оценки.
Пусть X — множество, их—база в X, и пусть /(ж,у), д(х,у)—опреде-
д(х,у)—определенные на множестве X и зависящие от параметра у Е Y (векторнозначные)
функции. Положим |/(ж,у)| = а(ж,у)|<?(ж,у)|. Говорят, что асимптотические
соотношения
/(ж, у) = о(д(х, у)), /(ж, у) = О(д{х, у)), /(ж, у) ~ д(х, у)
при базе Вх равномерны по параметру у на множестве У, если соответ-
соответственно а(ж,у) =4 0 на У при базе Вх, <х(х,у) равномерно по у G У финально
ограничена при базе Вх и, наконец, / = а • д + о{д), где а(ж,у) =4 1 на У при
базе Вх-
Покажите, что если в множестве X х У ввести базу В = {Вх х У}, элементы
которой суть прямые произведения элементов Вх базы Вх и множества У, то
указанные определения соответственно равносильны тому, что
/(ж, у) = о(д(х, у)), /(ж, у) = О(д(х, у)), /(ж, у) ~ д(х, у)
при базе В.
7. Равномерные асимптотические разложения.
Асимптотическое разложение
оо
/(ж, у) ~ 2^ an(y)(fn(x) при базе Вх
п=0
называется равномерным относительно параметра у на множестве У, если
в равенствах
п
имеет место равномерная по у G У оценка гп(х,у) = о((рп(х)) при базе Вх в
множестве X.
а) Пусть У — измеримое (ограниченное) множество в Rn, и пусть при ка-
каждом фиксированном значении ж G X функции /(ж, у),ао(у),ао(у)? • - - инте-
интегрируемы на У. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое раз-
оо
ложение /(ж, у) ~ £) ап(у)^п(ж) при базе их равномерно по параметру у
п=0
718 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то справедливо также асимптотическое разложение
у П — 0 V у
в>п(у) dy \ <pn(x) при базе
Ь) Пусть Y = [с, d\ С М. Предположим, что функция f(x:y) при каждом
фиксированном х Е X непрерывно дифференцируема по у на отрезке Y и при
некотором уо € Y допускает асимптотическое разложение
оо
/(х,уо) — 2^ ап(Уо)фп(х) при базе Вх-
Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у Е Y асимпто-
асимптотическое разложение
оо
Я/, ч х • , ч , ч
IIе 1A ^^ X /Л/ 111 I//1 IT1! ТТТЛТЛ1 ПОТО
^' n=0
с непрерывными по у коэффициентами агп(з/)> я — 0,1,..., то исходная фун-
оо
кция f(x,y) имеет асимптотическое разложение f(x,y) ~ ^2 ап(у)^п(^) ПРИ
базе их, равномерное по у Е У, его коэффициенты an(y), n — 0,1,..., гладко
на промежутке Y зависят от у и ^^-(у) = otn(y).
8. Пусть р(аг) —гладкая, положительная на отрезке с ^ х ^ d функция.
a) Решите уравнение —f(#, А) = Х2р(х)и(х,Х) в случае, когда р(х) = 1
на [с, d].
b) Пусть 0 < m ^ р(х) ^ М < +оо на [с,d\1 и пусть и(с, А) — 1, ^(с,Л) = 0.
Оцените снизу и сверху величину и(х, А) при х Е [с, d].
c) Считая, что lnw(x, Л) ~ 5Z сп(^)А1-п при Л —> +оо, где cq(x),ci(x), ...
(и'\' и" fu'\2
— гладкие функции, и, пользуясь тем, что ( ~ I = ~ — I — ) , покажите, что
/ п \
— Г)| Т 1 W I /* . _L \ Г, • О I ITI — П
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
1. Идея метода Лапласа. В этом параграфе будет изложен ме-
метод Лапласа — один из немногих достаточно общих методов построе-
построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничим-
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 719
ся рассмотрением интегралов вида
A)
где S(x) — вещественнозначная функция, а А — параметр. Такие инте-
интегралы обычно называют интегралами Лапласа.
Пример 1. Преобразование Лапласа
+ ОО
Щ)@ =
является частным случаем интеграла Лапласа.
Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида
ь
J f(x)(pn(x)dx, где п £ N, а <р{х) > 0 на ]а,Ь[. Такой интеграл тоже
а
является частным случаем общего интеграла Лапласа A), поскольку
ipn(x) = ещ)(п1тр(х)).
Нас будет интересовать асимптотика интеграла A) при больших
значениях параметра А, точнее, при А -* +оо, А Е R
Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться
на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле A) [а, Ь] =
= I— конечный отрезок, функции f(x) и S(x) гладкие на /, причем
S(x) имеет единственный, и притом строгий, максимум S(xo) в точ-
точке хо G I. Тогда функция ехр(А5(ж)) тоже имеет строгий максимум в
точке жо, который тем более резко возвышается над остальными зна-
значениями этой функции на отрезке /, чем больше значение параметра А.
В результате, если f(x) ф 0 в окрестности жо, т° весь интеграл A)
можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точ-
точки жо, допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к
нулю при А —>■ +оо. Это наблюдение называется принципом локализа-
локализации. Обращая историческую последовательность событий, можно бы-
было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа
очень напоминает принцип локального действия 5-образных семейств
функций и самой ^-функции.
720 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Теперь, когда интеграл берется только по малой окрестности точ-
точки жо, функции f(x) и S (х) можно заменить главными членами их тей-
тейлоровских разложений при / 3 х —> xq.
Остается найти асимптотику получаемого канонического интегра-
интеграла, что делается без особого труда.
В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу
метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла.
Пример 3. Пусть х$ = a, S'(a) /Ои /(а) / 0, что бывает, напри-
например, когда функция S(x) монотонно убывает на отрезке [а, Ь]. При этих
условиях f(x) = f(a) + оA) и S(x) = S(a) + (х - a)Sf(a) + o(l), когда
/ Э х —> а. Реализуя идею метода Лапласа, при малом е > 0 и А —> +оо
находим, что
а+е е
а 0
\S'(a)
Поскольку S'(a) < 0, отсюда следует, что в рассматриваемом случае
f(a)exs{a)
Пример 4. Пусть а < х$ < Ь. Тогда Sf(xo) = 0, и мы предполо-
предположим, что S"(xo) ф 0, т.е. S"(xq) < 0, поскольку хо — точка максимума.
Используя разложения f(x) = /{xq) + o(x — xq) и S(x) = S(xq) +
+ i2Srt(xo){x — xqJ + o((x — жоJ), справедливые при х —>■ xq, находим,
что при малом е > 0 и А —> +оо
хо+е
F(X) ~ / f(x)exs^ dx ~ f(xo)exs^ f el^"
Выполнив в последнем интеграле замену переменной
— и2 (ведь S"(xo) < 0), получаем
e~u2du
-e y (A)
f
J
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 721
/\ \ I А5"(а:о)
где <£>(А£) = у ^
Учитывая, что
оо
е" du =
— ОО
находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рас-
рассматриваемом случае:
при
Пример 5. Если xq = а, но 5"(жо) — 0 и S"'(a:o) < 0, то, рассуждая,
как и в примере 4, на сей раз получим, что
е
и, значит,
F(A) ~ sfx^
Мы получили на эвристическом уровне три наиболее употребитель-
употребительные формулы B)-D), относящиеся к асимптотике интеграла A) Ла-
Лапласа.
Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом
можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла
f(x,\)dx при А —>■+оо, E)
х
если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т. е.
весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при А —> +оо инте-
интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выде-
выделенных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную
функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с
одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко нахо-
находится.
722 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если, например, в интеграле A) функция S(x) имеет на отрезке
[а, Ь] несколько точек локального максимума xq, xi, ..., жп, то, исполь-
используя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной по-
погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым
окрестностям U{x3) точек максимума хо,хь... ,жп, что в них содер-
содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла
при А->+оо,
как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности U(x3),
и потому асимптотическое разложение этого интеграла при А -* +оо
обозначают символом F(\,x3) и называют вкладом точки х3 в асим-
асимптотику интеграла A).
Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом,
означает, что асимптотика интеграла E) получается как сумма
^-F(A,£j) вкладов всех критических в том или ином отношении то-
3
чек подынтегральной функции.
Для интеграла A) это точки максимума функции S(x) и, как видно
из формул B) - D), основной вклад вносят только те точки локального
максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума
функции S(x) на отрезке [а,Ь].
В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем высказанные
здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные при-
приложения метода Лапласа. Для многих приложений изложенного уже до-
достаточно. Ниже будет также показано, как получать не только главный
член асимптотики, но и весь асимптотический ряд.
2. Принцип локализации для интеграла Лапласа
Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). Пусть М = sup S(x) <
a<x<b
< оо? и пусть при некотором значении Ао > 0 интеграл A) сходится
абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом X ^ Xq? и при
таких значениях А справедлива оценка
F)
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
723
где АеШ.
<4 Действительно, при А
о
dx
а
eX0S(x)e(X-X0)S(x)dx
а
,(А-Ао)М
Г
о
а
еАМ ►
Лемма 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть инте-
интеграл A) сходится абсолютно при некотором значении А = Aq? и пусть
внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая
точка xq, в которой S(xq) = sup S(x) = М. Если функции f(x) и
а<х<Ь
S(x) непрерывны в точке х$, причем f(xo) ф- 0? то для любого е > О
и любой достаточно малой окрестности Ui(x$) точки xq в I имеет
место оценка
f
Ui(x0)
>
G)
с постоянной В > 0? справедливая при А ^ тах{Ао,О}.
<4 При фиксированном е > 0 возьмем любую окрестность Ui(xq), в
пределах которой \f(x)\ ^ ^\f(xo)\ и 5(rr0) — e ^ S(x) ^ 5(rro). Считая /
вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах Ui (x)
значения функции / одного знака. Это позволяет при А ^ тах{Ао,О}
записать, что
dx
Ui(xo)
f 1/И1
dx ■>
Ui(x0)
U,(xo)
l\f{xo)\e4S{xo)-£) dx = Вех^х°)-£1 ►
Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл A)
сходится абсолютно при некотором значении А = Aq, и пусть вну-
24-4574
724 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
три или на границе промежутка I интегрирования функция S(x) име-
имеет единственную точку xq абсолютного максимума, т. е. вне любой
окрестности U(xo) точки
sup S(x) < S(xo).
I\U(x0)
Если при этом функции f(x), S(x) непрерывны в точке хо и f(xo)
Ф О, то
при А^+оо, (8)
где U[(xq) —произвольная окрестность хо в I,
Uj{xq)
a 0{\~°°) —функция, которая есть о(Х~п) при А —> +00 и любом п Е
6N.
М Из леммы 2 следует, что если окрестность Ui(xq) достаточно ма-
мала, то каково бы ни было число е > 0 при А —> +оо финально выполня-
выполняется неравенство
Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности U(xq) точки xq
справедлива оценка
/ \f(x)\exs№ dx ^ Аех» при А -> +оо, A0)
I\U(xq)
где А> 0 и fj, = sup S(x) < S(xo)-
xei\u(xQ)
Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что
неравенство (9) имеет место финально при А —> +оо для любой окрест-
окрестности Ui(xo) точки xq.
Теперь остается написать, что
F(X) = F7(A) = FUj{xo)(X) +
и, сославшись на оценки (9), A0), заключить о справедливости соотно-
соотношения (8). ►
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 725
Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка
О(А~°°) при А —>■ +оо можно, описывая асимптотику интеграла Ла-
Лапласа A), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности
Uj(xo) точки xq абсолютного максимума функции S(x) на промежутке
интегрирования /.
3. Канонические интегралы и их асимптотика
Лемма 3 (о каноническом виде функции в окрестности крити-
критической точки). Если вещественнозначная функция S(x) в окрестно-
окрестности (полуокрестности) точки хо Е К принадлежит классу гладкости
( причем
S'(xo) = ... = &»-1Нх0) = О, &»){хо) ф О,
а к £ N или к = оо, то существуют такие окрестности (полу-
(полуокрестности) 1Х точки xq, Iy точки 0 в К и такой диффеоморфизм
(р € CW(Iy,Ix), что
S(<p(y)) = 5(ж0) + syn, когда Yely и s =
При этом
1/п
-4 Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным видом ос-
остатка
S(x) = S(x0) + {Х, *"} [ sW(x0 + t(x - хо))A - t)n'x dt,
(п - 1)\ J
о
представим разность S(x) — S(xo) в виде
S(x)-S(xo) = (x-xo)nr(x),
где функция
I" dt
0
726 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
в силу теоремы о дифференцировании интеграла по параметру х при-
принадлежит классу С^к\ причем г(хо) = -г^п)(хо) ф 0. Значит, функция
у = ф(х) = (х — хо) л/\г(х)\ в некоторой окрестности (полуокрестности)
1Х точки хо также принадлежит классу гладкости С^ и даже монотон-
монотонна, поскольку
В таком случае рассматриваемая на 1Х функция ф имеет обратную
функцию ф~1 = <р, определенную на промежутке 1у = фAх), содер-
содержащем точку 0 = ф(хо)- При этом <р Е ^
( 1 V
Далее, <//@) = (ф'(хо)) х = ,._?; .. . Наконец, по самому по-
\PV Ч»о)|/
строению S(<p(y)) — S(xo) + syn, где 5 = sgnr(a:o) = sgnS^n\xo). ►
Замечание 1. Наибольший интерес представляют обычно следу-
следующие случаи: п = 1 или 2, а к = 1 или оо.
Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле A) отрезок
интегрирования 1= [а, 6] конечный и выполнены следующие условия:
a) /,5еС(/,Е);
b) maxS(x) достигается только в одной точке xq E /;
c) S £ С^(С//(хо),К) в некоторой окрестности U[(xo) точки хо
(рассматриваемой в пределах промежутка I);
d) S^(x0) ф 0, и если К п, то S^(x0) - ... - в^Цхо) = 0.
Тогда при А —>■ +оо интеграл A) с погрешностью, определяемой
принципом локализации (8), может быть заменен интегралом вида
Д(Л) = еА5<*°> J г(у)е~хУп dy,
h
где Iy = [—е,е], или /у = [0, е]; е — сколь угодно малое положительное
число, а функция г того dice класса гладкости на 1у, что и функция f
в окрестности точки
-4 Используя принцип локализации, заменим интеграл A) интегра-
интегралом по такой окрестности Ix = U[(xq) точки жо, в которой выполнены
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 727
условия леммы 3. Сделав замену переменной х = <р(у), получим
\
f(x)exs^ dx=
\fv )
e
XS(xo)
Знак минус в показателе (—Хуп) связан с тем, что по условию хо =
= (р@) есть точка максимума. ►
Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных слу-
случаях приводится интеграл Лапласа A), дает
Лемма 4 (Ватсон1)). Пусть а>0, /3>0, 0<a^ooufE
Е C([0,a],R). Тогда относительно асимптотики интеграла
а
W(X) = fxp~1f(x)e~Xxa dx A2)
при А -> +оо справедливы следующие утверждения:
а) Главный член асимптотики интеграла A2) имеет вид
О(А- 1, A3)
если известно, что f(x) = /@) + О(х) при х —>■ 0.
b) Если f(x) — ао + а1^ + • • • + о,пхп + О(хп+1) при х -> 0, то
A4)
c) .Бели / — бесконечно дифференцируема при х = 0, то ижеет же-
сто асимптотическое разложение
а
которое можно дифференцировать по А любое число раз.
-4 Представим интеграл A2) в виде суммы интегралов по проме-
промежуткам ]0, е] и [е,а[, где е — сколь угодно малое положительное число.
. Н. Ватсон (Уотсон) A886-1965) — английский математик.
728
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
По лемме 1
а
поэтому
e лх dx
€
X
0(X~°°) при А-»+оо,
при A —> +00.
n
В случае b) f(x) =
на отрезке [0, е]. Значит,
rn(x), где rn e C[O,e] и \rn(x)\ ^ Cxn+1
п
W(X) =
k=0
f
е
f xn
dx
где c(A) —ограниченная величина при А
По лемме 1 при А —>■ +оо
+oo.
e
I
0
+оо
dx=
dx
Но
/
7
dx = -Г
a
A
о
откуда теперь и следует формула A4) и ее частный случай — форму-
формула A3).
Разложение A5) вытекает из равенства A4) и формулы Тейлора.
Возможность дифференцировать разложение A5) по А следует из
того, что производная интеграла A2) по параметру А есть интеграл
того же типа A2) и для V^;(A) можно в соответствии с формулой A5)
предъявить в явном виде асимптотическое разложение при А —>■ +оо,
совпадающее с тем, которое получается формальным дифференциро-
дифференцированием исходного разложения A5). ►
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 729
Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа
F(X)= f f(x)e~Xxdx,
о
уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится аб-
абсолютно при некотором значении А = Ао, а функция / бесконечно диф-
дифференцируема при х = О, то по формуле A5) находим, что
оо
F(X) ~ ^/(fe)@)A~(fe+1) при А -> +оо.
к=0
4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа
Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть
в интеграле A) отрезок интегрирования I = [а,6] конечный, f,S £
Е C(J,R) и maxS(x) достигается только в одной точке хо Е /.
Пусть также известно, что f(xo) ф 0, f(x) = f(xo) + O(x — хо)
при I Э х —> хо, а функция S принадлежит классу гладкости С^ в
окрестности точки xq.
Тогда:
а) если хо = а, к — 2 и S'(xo) ф 0 (m. e. Sr(xo) < 0), то
F(X) = _^;иY^^A-^l + О(Х-г)] при А-^+оо; B')
b) если а < хо < Ь, к = 3 и Sf/(xo) ф 0 (т. е. S"(xo) < 0), то
при X —>■ +оо; C;)
c) если хо = а, к = 3, S'(a) = 0 и S"(a) ф 0 (т. е. S"(a) < 0), то
F(X) =
^ Используя принцип локализации и делая замену переменной х —
= ip(y)y указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2 о редук-
редукции, к следующим соотношениям:
730 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
a) F(X) =
Ъ)
dy + О(\-°°)\;
с) F(X) = exs^ (f(f о
Функция (fo(p)(pr при сформулированных выше требованиях удовле-
удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона
(формула A4) при п = 0) и вспомнить выражения для </>@), и <^'@),
указанные в лемме 3. ►
Итак, мы обосновали формулы B)-D) вместе с той замечатель-
замечательно простой, ясной и эффективной рецептурой, которая привела нас в
разделе 1 к этим формулам.
Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы.
Пример 7. Асимптотика гамма-функции. Функцию
Г(А + 1) = f
можно представить в виде интеграла Лапласа
+ ОО
и если при А > 0 сделать замену переменной t = Аж, то придем к
интегралу
Г(А + 1) = AA+1 f e~^x~Xnx^ dx,
о
который можно исследовать средствами доказанной теоремы.
Функция S(x) = In ж—х имеет единственную точку максимума х = 1
на промежутке ]0,+оо[, причем S"'(l) = —1. На основании принципа
локализации (утверждение 1) и утверждения Ь) теоремы 1 заключаем,
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 731
что
Г(А + 1) = л/2тгА (- J [1 + ОСА/2)] при А -> +оо.
В частности, вспоминая, что Г(п + 1) = тг! при п Е N, получаем
классическую формулу Стирлинга1)
п\ = у/2тт(п/е)п[1 + О(п~1/2)] при тг -> оо, п Е N.
Пример 8. Асимптотика функции Весселя
7Г
In(x) = - f ехсозв cos nOdO,
0
где n E N. Здесь /@) = cosn0, S@) = cos0, max S(O) = S@) = 1,
iS"(O) = 0, S"@) — —1, поэтому на основе утверждения с) теоремы 1
/п(я:) = -|=[1 + 0(я:-1/2)] при а
Пример 9. Пусть / Е CW([a,b],R), S Е СB)([а,6],Е), причем
S(x) > 0 на [о, Ь] и max S(x) достигается только в одной точке xq E
Е [а, 6]. Если f(xo) ф 0, Sf(xo) -0и Sr/(xo) ф 0, то, переписав интеграл
6
= [f(x)[S(x)]xdx
а
в форме интеграла Лапласа
б
f
а
на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при А
. тгжже задачу 10 к § 3 гл. VII.
732 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
где е = 1, если а<хо<Ьие = 1/2, если xq — о или
Пример 10. Асимптотика полиномов Лежандра
при п —>■ оо, n E N, в области а: > 1 может быть получена как частный
случай предыдущего примера, когда / = 1,
S@) = я; 4- \/д:2 - 1 cos 0, max 5F) = 5@) - х + дА2 - 1,
S'@)=0, S"@) =--/г2 - 1.
Таким образом,
(г 4- \/т2 — Л\п+112
Рп(х) = {Х +Zl ifl>— [I + O(n-V2)] при п -> +оо,
21 1
* 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа. Те-
Теорема 1 дает только главные члены характерной асимптотики интегра-
интеграла Лапласа A) и к тому же при условии, что /(^о) Ф 0. В целом это,
конечно, наиболее типичная ситуация, и поэтому теорема 1, несомнен-
несомненно, является ценным результатом. Однако уже лемма Ватсона показы-
показывает, что асимптотика интеграла Лапласа порой может быть доведена
до асимптотического разложения. Такая возможность особенно важна,
когда f(xo) = 0 и теорема 1 ничего не дает.
Совсем отбросить условие /(а?о) Ф 0, не заменив его ничем, разуме-
разумеется, нельзя, оставаясь в рамках метода Лапласа: ведь если f(x) = 0
в окрестности точки хо максимума функции S(x) или если f(x) очень
быстро стремится к нулю при х —> xq, то точка хо может и не быть
ответственной за асимптотику интеграла. Теперь, когда в результа-
результате проведенных рассмотрений мы уже пришли к определенному типу
{еХсХ~Рк} (ро < Рх < •■•) последовательностей, асимптотических при
А —>■ +оо, можно говорить об асимптотическом нуле по отношению к
такой последовательности и, не предполагая, что f(xo) Ф 0, можно сле-
следующим образом сформулировать принцип локализации: асимптоти-
асимптотика интеграла Лапласа A) при А —> +оо с точностью до асимптоти-
асимптотического нуля по отношению к асимптотической последовательности
2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 733
(р0 < р! < ...) совпадает с асимптотикой порции этого
интеграла, взятой по сколь угодно малой окрестности точки хо, ес-
если это единственная точка максимума функции S(x) на промежутке
интегрирования.
Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточнению
этих вопросов, а, считая / и S функциями класса С^°°\ дадим вывод со-
соответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1
об экспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4
Ватсона.
Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть I = [а, Ь] —
конечный отрезок, f,SE C(J,R), maxS(x) достигается только в од~
ной точке хо Е / и /,S Е C(°°)(E7/(zo),R) в некоторой окрестности
Ui(xo) точки xq. Тогда относительно асимптотики интеграла A)
справедливы следующие утверждения:
а) Если х0 = а, S^(a) ф 0, S^(a) = 0 для 1 ^ j < m, то
оо
при А -> +оо, A6)
где
h(x,a) — J (f(x)h(x,a))\x=
1 lh(x,a) J (f(x)h(x,a))\x=a,
h(x,a) = (S(a)
b) Если a<xQ<b, S<2m)(zo) Ф 0, S^\x0) = 0 для 1 ^ j < 2m, mo
OO
при А -> +00, A7)
2k
с) -Белы /^(^o) # 0 u /(z) ~ ^/(n)(zo)(x - zo)n ^P« x -)■ жо, то
главный член асимптотики в случаях а) и Ъ) соответственно имеет
734
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
вид
F(X) = ^
т
, (I»)
A9)
d) Разложения A6), A7) можно дифференцировать по А любое чи-
число раз.
Л Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до ве-
величины вида exs^x^O{\~°°) при А —> оо интеграл A) можно заменить
интегралом по сколь угодно малой окрестности точки xq.
Сделав в такой окрестности замену переменной х = <р(у), указанную
в лемме 3, приведем последний интеграл к виду
B0)
где 1у = [0, е], а = ш, если xq = а и 1у = [—е, е], а = 2т, если а < xq < b.
Окрестность, в которой производилась замена х = <р(у), можно
считать столь малой, что обе функции /, S в ней бесконечно диффе-
дифференцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла B0) функцию
(/ ° <P)(y)(Pf(y) можно считать бесконечно дифференцируемой.
Если 1у = [0, е], т. е. в случае xq = а, к интегралу B0) непосредствен-
непосредственно применима лемма 4 Ватсона и наличие разложения A6) тем самым
уже доказано.
Если же 1У = [—е, е], т. е. в случае а < xq < Ь, приводим интеграл B0)
к виду
е
'XS(xo) J[(f о <р)Ш(у) + (/ о
dy B1)
О
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 735
и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение A7).
Возможность дифференцировать разложения A6), A7) следует из
того, что при наших условиях интеграл A) можно дифференцировать
по А, и при этом снова получается интеграл, удовлетворяющий усло-
условиям теоремы. Для него выписываются разложения A6), A7), и можно
непосредственно убедиться в том, что эти разложения действительно
совпадают с теми, которые получаются формальным дифференцирова-
дифференцированием разложений A6), A7) исходных интегралов.
Остановимся теперь на формулах для коэффициентов а*, и с^. По
лемме Ватсона ак = ^^@)Г (Ш), где ф(у) = (/ о ф)Ш{у).
Учитывая, однако, что
S(<p(y)) - S(a) = -у™,
d , d
получаем
к
(f(x)h(x,a))\x=a,
где h(x,a) = (S(a) -
Аналогично получаются формулы для коэффициентов с^ примене-
применением леммы Ватсона к интегралу B1).
Полагая ф(у) = f(<p(y))<p'(y) + f(<p(—y)){Pl{—y)i можно записать, что
при А —> +оо
dy ~
Но, ф^2к+1Цо) = 0 ввиду четности функции ф(у), поэтому последнее
асимптотическое разложение можно переписать в виде
736 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Остается заметить, что^2*)@) = 2фB*)@), гдеФ(у) = f(<p(y))<pf(y)-
Теперь формула для с^ получается из уже установленной формулы ко-
коэффициента а& заменой в ней к на 2к и удвоением результата такой
подстановки.
Для получения главных членов A8), A9) асимптотических разложе-
разложений A6), A7) при указанном в с) условии f(x) = ^^пЦхо)(х — xqO1 +
+ О((х — aro)n+1), где /(пЦхо) ф О, достаточно вспомнить, что х = <р(у),
, х~хо = <р'(О)у + О(у2), т. е.
= уп [ J—^(<p'@))n + О(у)
и
о <р)Ш(у) - уп
( I \
при у->0> поскольку (f/@) = ( Л- \ /0, если х0 = а и <р;@) =
1/2т
0, если а < х0 < Ь.
Остается подставить полученные выражения соответственно в ин-
интегралы B0), B1) и воспользоваться формулой A3) из леммы Ватсо-
на. ►
Замечание 2. Из формулы A8) при п = 0 и т = 1 вновь получаем
формулу B').
Аналогично из A9) при п = 0 и т = 1 получаем соотношение C').
Наконец, равенство D') получается из равенства A8) при п = 0 и
т = 2.
Все это, разумеется, в условиях теоремы 2.
Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция S(x)
имеет на отрезке / = [а,Ь] единственную точку максимума. Если же
таких точек несколько #i,... ,orn, то интеграл A) разбивают в сумму
таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается
теоремой 2. То есть в этом случае асимптотика получается как сумма
п
^2 F(^ixj) вкладов указанных точек максимума.
3=1
Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые
или даже полные взаимные уничтожения.
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 737
Пример 11. Если S е С^°°ЦЩШ) и S(x) -> -оо при х -> оо, то
оо
F(X) = I S'(x)exsW dx = 0 при A > 0.
—оо
Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо долж-
должна иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример мо-
может показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о конеч-
конечном отрезке интегрирования. Однако этот вопрос снимает следующее
важное
Замечание 4. В теоремах 1 и 2 для облегчения и без того гро-
громоздких формулировок мы считали, что промежуток интегрирования
/ — конечный, а интеграл A)—собственный. На самом же деле, если
вне любой окрестности U(xq) точки максимума xq E I выполнено нера-
неравенство sup S(x) < S(xq), то лемма 1 уже позволяет заключить, что
1\Щх0)
интегралы, взятые по промежуткам, лежащим вне U(xq), экспоненци-
экспоненциально малы в сравнении с e*s(x°' при А —> +оо (разумеется, при условии,
что интеграл A) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении
А = Ао).
Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к несоб-
несобственным интегралам, если выполнены указанные только что условия.
Замечание 5. Полученные в теореме 2 формулы для коэффици-
коэффициентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для
получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в конкрет-
конкретных вычислениях. Общий вид асимптотического разложения более про-
простой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для коэффици-
коэффициентов а^, с*; получить удается крайне редко. И все же такие ситуации
встречаются. Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие
примеры.
Пример 12. Асимптотику функции
Erf(a:) = / e~ du
X
738 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при х —> +оо легко получить интегрированием по частям:
2 +°° 2
е Х 1 f -2 -и2 л е ^ Зе ^ , / -4 -и2
т. г/ ч е 1 f -2 -и2 л е Зе , /
Erf(*) = — --у „ 2е du= — -^-+j и
X X
откуда после очевидных оценок следует, что
д;2 ОО
Erf(X) ~ i_ у (lj A j"a:-2fc при Ж -»• +оо. B2)
к
Получим теперь это разложение, исходя из теоремы 2.
Сделав замену и = xt, приходим к представлению
+ОО
9.9
dt.
Erf (я) = х f е~хЧ2
Полагая здесь А = х2 и обозначая переменную интегрирования, как и
в теореме 2, буквой х, сводим вопрос к отысканию асимптотики инте-
интеграла
ОО
F(\) = J e~x*2 dx, B3)
поскольку Erf(or) = xF(x2).
Интеграл B3) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию теоре-
теоремы 2: S(x) = -х2, S'(x) = -2х < 0 при 1 < х < +оо, S"(l) = -2,
5A) = -1.
Итак, хо = a = l, m = l, f(x) = 1, h(x, a) = ^^
Значит,
2x) ~ 2x ~
2o:da: V 2x
2x) — \ 2xdx) \
-2xdx) V 21^ — 2*+i
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 739
Полагая х = 1, находим, что
+ 1) ( W1I1) - f
k] + ij ^ 2fc+, J - [
Выписав теперь асимптотическое разложение A6) для интегра-
интеграла B3), с учетом соотношения Erf (ж) = xF(x2) получаем разложение
B2) для функции Erf(#) при х —> +оэ.
Пример 13. В примере 7, исходя из представления
B4)
О
мы получили главный член асимптотики функции Г(А+1) при А —> +оо.
Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее
формулу.
Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в интегра-
интеграле B4) х на х — 1. Тогда получим, что
+ ОО
Г(Л + 1) = AA+1e"A Г e*(h(i+*)-*) dx,
и дело свелось к исследованию асимптотики интеграла
F(\) = I е>(ЬA+х)-х) dx B5)
при А-> +оо. Здесь S(x) = ln(l + x)-x, Sf{x) = ^^ -1, 5"@) = 0, т.е.
= 0, Sn{x) = — 2? Sff@) = —1 =^ 0, т.е. с учетом замечания 4
A + X)
выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо положить еще f(x) = 1 и
т = 1, так как 5"'@) т^ 0.
Функция h(x,xo) — Л(ж) в данном случае имеет следующий вид:
h(x) = -
X
25-4574
740
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то нам надо
вычислить при х = 0
Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти значения /&@),
/&'(()), /&"@), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского
разложения функции h(x), ж^Ов окрестности нуля:
h(x) = -±±* [х- (х- \
х2 + \хъ - \
0{хъ))]1'2 =
Таким образом, h@) = -4-, Л'@) = -^, Л"@) = —^=,
х=0
х=0
1
3'
(h(x)%J(h(x))
х=0
12ч/2
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
741
п —
С1 -
Значит, при Л —> оо
- 4 " 2Г
т.е. при Л —> +оо
B6)
Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения A6), A7)
можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без привле-
привлечения указанных в формулировке теоремы 2 выражений для коэффи-
коэффициентов.
В качестве примера получим вновь, но несколько иначе, асимптоти-
асимптотику интеграла B5).
Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену
х = <р(у) такую, что 0 = <р@), S{cp(y)) = ln(l + <р(у)) - <р(у) = -у2,
сводим вопрос к исследованию асиптотики интеграла
— £
где ip(y) = <pf{y) +</?/(~~2/)- Асимптотическое разложение последнего ин
теграла получается на основании леммы Ватсона
при
о к~и
что с учетом соотношений
асимптотический ряд
= 0,
_ л-1/2г Л
= 2t/?Bfc+1)@) дает
-к
742 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, для интеграла B5) получаем асимптотическое разложение
-*, B7)
где х = (р(у) такая гладкая функция, что х —1пA+ж) = у2 в окрестности
нуля (по х и по у).
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую
формулу B7) надо подставить конкретные значения (р*{0) и (р^@).
Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием
для вычисления этих значений, который вообще можно использовать
для получения тейлоровского разложения обратной функции по разло-
разложению прямой функции.
Считая, что х > 0 при у > 0, из соотношения
х — 1пA + х) = у2
последовательно получаем
О(хг)
\/2 \/2
3 а 12
Но х ~ у/2у при у —>• 0 (х —> 0), поэтому, используя уже полученное
представление гс, можно продолжить зту выкладку и получить, что при
О(у3) J - ^§y(V2yJ + О(у4) =
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 743
Таким образом, для интересующих нас величин ^'@), <р^@) полу-
получаем следующие значения: </э'@) = \/2, <р^@) =
Подставляя их в формулу B7), находим, что
(l + ^A + O(A)) при А -> +оо,
откуда вновь можно получить формулу B6).
В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к обсужда-
обсуждаемым в этом параграфе вопросам.
Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае). Отме-
Отметим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании
асимптотики кратных интегралов Лапласа
в которых х Е Мп, X — область в lRn, /, S — вещественнозначные фун-
функции в X.
Для таких интегралов справедлива лемма 1 об экспоненциальной
оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла
сводится к исследованию асимптотики его порции
f
Щхо)
взятой по окрестности точки хо максимума функции S(x).
Если это невырожденный максимум, т.е. Sn(xo) ф 0, то по лемме
Морса (см. ч. I, гл. VIII, §6) существует замена переменной х = <р(у)
такая, что S(x0) - S(<p(y)) = \у\2, где \у\2 = (у1) +... + (упJ. Тем самым
дело сводится к каноническому интегралу
который в случае гладких функций /, £, применяя теорему Фубини,
можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см.
в этой связи задачи 8-11).
25—4574
744 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в
его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, это:
1° определенный принцип локализации (лемма 1 об экспоненциаль-
экспоненциальной оценке),
2° способ локального приведения интеграла к каноническому виду
(лемма Морса) и
3° описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсо-
на).
Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении 5-образ-
ных семейств функций, а также при исследовании ряда и преобразова-
преобразования Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее
преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье).
Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы
вида
F(X)= f
х
где х С Мп, называемые интегралами Фурье. Интеграл Фурье отли-
отличается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем г в показа-
показателе. Это приводит, однако, к тому, что при вещественных А и S(x)
получается etXS^ = 1 и, значит, идея доминантного максимума при
исследовании асимптотики интеграла Фурье непригодна.
Пусть X = [а,6] сМ1,/ЕСг$оо)([а,Ь],М) (т.е. / — финитна на [а,6]),
S Е С(°°)([а,Ь],М) и S'(x) ф 0 на [а, 6].
Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12),
получаем, что
= о(Х~п) при А -> оо.
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 745
Таким образом, если 5'@) ф О на отрезке [а, Ь], то за счет все увели-
увеличивающейся при А —> оо частоты осцилляции функции eiXS^ интеграл
Фурье по отрезку [а,Ь] оказывается величиной типа О(А~°°).
Функция S(x) в интеграле Фурье называется фазовой функцией. Та-
Таким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип лока-
локализации, называемый принципом стационарной фазы. Согласно этому
принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае / Е Cq ) с точ-
точностью до величины О(А~°°) при А -> оо совпадает с асимптотикой
порции интеграла Фурье, взятой по окрестности U(xq) стационарной
точки xq фазовой функции (т.е. точки xq, в которой S'(xq) = 0).
После этого заменой переменной дело приводится к каноническому
интегралу
е
Е{\) = j f{x)eiXx"dx,
о
асимптотика которого описывается специальной леммой Эрдейи, име-
имеющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона для инте-
интеграла Лапласа.
Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье назы-
называется методом стационарной фазы.
Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем
иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа,
как видно, оказывается пригодной и здесь.
Некоторые подробности, относящиеся к методу стационарной фа-
фазы, читатель найдет в задачах 12-17.
Задачи и упражнения
Метод Лапласа в одномерном случае.
1. а) Функция h(x) = е~Хх при а > 0 достигает максимума, когда х = 0.
При этом h(x) есть величина порядка 1 в ^-окрестности точки х = 0 размера
Используя лемму 1, покажите, что если 0 < S < 1, то интеграл
Ш(Х) = / xp~L f(r)e~Xx dx
c(A,5)
где с(Л, 5) — Л~^~, имеет порядок О(е~АХ ) при Л —> Ч-оо; А — положительная
постоянная.
746 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Ь) Докажите, что если функция / непрерывна при х = О, то
1^а при Л -> +оо.
с) В теореме 1,а), условие f(x) = f(xo) + О(х — хо) можно ослабить,
менив его условием непрерывности / в точке хо. Покажите, что при этом
сохраняется тот же главный член асимптотики, но, вообще говоря, не само
равенство B'), в котором теперь О(х — хо) заменяется на оA).
2. а) Числа Бернулли £?2fc определяются из соотношения
i-ef 2 £*B*)Г ' Щ
Известно, что
оо
Покажите, что
1 °° D
^ при
b) Докажите, что при х —> +оо
1пГ(х) - fж - 2
-. оо
2 ' £* 2кBк - 1)
К-— J.
Это асимптотическое разложение называется рядом Стирлинга.
c) Используя ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики фун-
функции Г(х + 1) при х —> +оо и сравните ваш результат с полученным в приме-
примере 13.
d) Следуя методу примера 13 и независимо от этого пользуясь рядом Стир-
Стирлинга, покажите, что
при а: —> +оо.
3. а) Пусть / € C([O,a],R), S Е CW([O,a],R), S(x) > 0 на [0,а] и S(x)
достигает максимума при х ~ 0, причем S"@) ^ 0. Покажите, что если /@)
^, то
a
!W--=Jf(*)S\x)dx~--AjSx+1(O) при Л
Л5'@)
о
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 747
Ь) Получите асимтотическое разложение
оо
J(A)~SA+1@)£a*A-<*+1> при А ->+оо,
fc=O
если дополнительно известно, что /, S Е С(°°)([0,а],М).
4. а) Покажите, что
тг/2
/ sinnidi-W^(l + O(n)) при п->+оо.
о
b) Выразите этот интеграл через эйлеровы интегралы и покажите, что
при п € N он равен ^2?2~w" ■ \-
c) Получите формулу Валлиса тг = lim \ [ О2п^;\..) .
П-4ОО " \\*>П ~~ Ч- /
d) Найдите второй член асимптотического разложения исходного инте-
интеграла при п —> +оо.
1 г
5. а) Покажите, что / A — х2)пdx ~ w^ при п -> +оо.
b) Найдите следующий член асимптотики этого интеграла.
6. Покажите, что если а > О, то при х —> +оо
-f-oo .
[ rattx dt ~ \ —х& exp (-X*) .
J V еа F V е /
о
7. а) Найдите главный член асимптотики интеграла
-f-oo
A + t)ne~nt dt при п -> +оо.
о
-f-o
I
Ь) Используя полученный результат и тождество kin к = J e nttkdt,
о
покажите, что
п I
/JcnA;!n~ = \/~A + О(п-1)) при п —>+оо.
fe=o '
Метод Лапласа в многомерном случае.
8. Лемма об экспоненциальной оценке. Пусть М = sup5(z), и пусть при
некотором значении А = Ао интеграл
F(A)= f
748 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
сходится абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при Л ^ Ло и
|/(A)| ^ I \f(x)exs^\dx ^ Аехм (А ^ Ло),
D
где А — положительная постоянная.
9. Лемма Морса. Пусть хо —невырожденная критическая точка функции
S(x), xGM", определенной и принадлежащей классу С'°°^ в окрестности точ-
точки хо- Тогда существуют окрестности U и V точек х = хо, у = 0 и диффео-
диффеоморфизм ip:V -* U класса С^°°) (V, U) такие, что
3=1
det y>'@) = l,i/i,..., Vn —собственные числа матрицы S'Jx(xo), & у = (у1, - -.,
уп) —координаты точки t/GR".
Докажите эту несколько конкретизированную форму леммы Морса, исхо-
исходя из леммы Морса, изложенной в части I, гл. VIII, §6.
10. Асимптотика канонического интеграла, а) Пусть t = (ti,..., tn), V =
= {t e Rn | \t3\ ^ 6,i = l,2,...,n}, a e СИA/Д). Рассмотрим функцию
-fi(A,*') = / o(*i,... ,*n)e~ 2 *i d^i, где i' = (*2,---*n)) ^i > 0. Покажите,
-s
что Fi(X,tf) ~ 5Г fljfe(*')^~^ ^ ПРИ ^ ~^ "•"OO5 это разложение равномерно по
fc=o
t' eV e {# e Rn~l \ \P\ ^ SJ = 2,...,n} и ak e С^ЦУ.Щ при любом
fc=o
k = 0,1,...
0,1,...
b) Домножая -Р\(Л, t') на e~*t2 и обосновав законность почленного инте-
интегрирования соответствующего асимптотического разложения, получите асим-
асимптотическое разложение функции
s
F2(\,t")= I F1{X,tf)e-b^Lt^db2 при Л -> -foo,
-s
с) Докажите, что для функции
о д
где i/j > 0, j = 1,..., п, имеет место асимптотическое разложение
со
А(Х) ~ Л п/2^аАЛ к при Л -¥ +оо,
k=0
2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 749
11. Асимптотика интеграла Лапласа в многомерном случае, а) Пусть
D — замкнутая, ограниченная область вМп, /,SG C(D,E), maxS(x)) дости-
гается только в некоторой внутренней точке хо области D; /, S Е С'°°) в
некоторой окрестности точки #о, причем detS"(a;o) ф 0.
Докажите, что если интеграл (*) абсолютно сходится для какого-нибудь
значения Л = Ло, то
оо
F(X) ~ ел5(жо)А~п/2 2^аАА~А при А -> +oo,
fc=O
причем это разложение можно дифференцировать по А любое число раз, а его
главный член имеет вид
b) Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо /,5 Е
известно лишь, что / е С, а 5 Е С^ в окрестности точки хо, то при А —> Ч-оо
главный член асимптотики останется тем же, с заменой О(Х~1) на оA) при
А -» +схэ.
Метод стационарной фазы в одномерном случае.
12. Обобщение леммы Римана. а) Докажите следующее обобщение леммы
Римана.
Пусть S € СA\[а,Ь],Ж) и S'(x) Ф 0 на [а,Ь] =: /. Тогда для любой абсо-
абсолютно интегрируемой на промежутке / функции / имеет место соотношение
о
F(X)= f f(x)eiXSi<x)dx^0 при А
—> оо, А
Ь) Проверьте, что если, сверх того, известно, что / Е C'n+1)(/, E), a S
G С(п+2)(/,Е), то при А ^ оо
to
c) Выпишите главный член асимптотики функции F(X) при А —> оо, А Е
d) Покажите, что если S Е С(оо)(/,Е), а /|[а,с] Е С^[а,с], /|[С)Ь] Е С^[с,
но / ^ С^2^[а,Ь], то функция F(X) не обязана быть величиной о(Х~г) при А
—> оо.
750 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
e) Докажите, что когда /, S Е C^°°\l, R), функция F(X) допускает разло-
разложение в асимптотический ряд при Л —> оо.
f) Найдите асимптотические разложения при Л —> оо, Л Е М. следующих
е
интегралов: /A + x)~aip3(x,A)dx, j = 1,2,3, если а > 0, а ф\ = егЛх, ^2 =
о
= cos Хх, фз = sin Лж.
13. Принцип локализации а) Пусть / = [а,Ь] С М, / G Cq (J,M), 5 €
G С(°°)(/,Е) и S'(x) ф 0 на /. Докажите, что тогда
при А —> оо.
о
F(X):= f
Ь) Пусть / Е С^00^/,»), S е С(°°)(/,К); жь ... ,а:т — конечное число стаг
ционарных точек функции S(xO вне которых S'(x) ф 0 на /. Обозначим че-
через F(A,Zj) интеграл от функции f(x)etXS^ по окрестности U(x3) точки х3,
j = 1,... ,m, не содержащей в замыкании других критических точек.
жите, что
m
F(X) = ^F(\x3) +O(|A|-°°) при Л->оо.
14. Лсаджптотадка «ктеграла Фурье в одномерном случае, а) В достаточ-
достаточно общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье
благодаря принципу локализации сводится к описанию асимптотики канони-
канонического интеграла
Е(Х)= fx0'1
для которого справедлива следующая
Лемма Эрдейи. Пусть а ^ 1, /3 > 0, / Е C(°°>([0,a],R) w /(fc)(«) = °>
А; = 0,1,2,... Тогда
оо
.F(A) ~ ^ afcA~ Q при А —> Ч-оо,
fc=O
(
а \ а
причем это разложение можно дифференцировать по А любое число раз.
Пользуясь леммой Эрдейи, докажите следующее утверждение.
Пусть / = [хо — 5,xo + S] — конечный отрезок, f,SG С(°°)(/,М), причем / е
Е Со(/, Щ, а S имеет на / единственную стационарную точку #о, гДе S'(xo) =
§ 2 АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 751
= 0, но S"(xo) ф 0. Тогда при Л -> +оо
f{x)elXS{x) dx ~
оо
-k
к=°
и главный член асимптотики имеет вид
\ sgnS"(zo)+AS(zo))/^/4
b) Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса п ^ 0:
7Г
1 [
Jn(x) = — I cos(zsinip — mp) dip.
я J
Покажите, что
/ 2 / П7Г 7Г\
\/ — cos \х — 1
V кх \ 2 4/
: ) при х
Метод стационарной фазы в многомерном случае
15. Принцип локализации, а) Докажите следующее утверждение. Пусть
D — область в Г, / G ^'(ДН), 5 G С^ДК), grad5(z) ^ 0 при я: G
G supp / и
F(X):= f f{x)elXS^dx. (**)
Тогда для любого A; G N найдется такая положительная постоянная А(к),
что при Л ^ 1 имеет место оценка |F(A)| ^ ^(A;)A~fe, и, значит, F(X) = О(Л~°°)
при Л -> Н-оо.
Ь) Пусть по-прежнему / G С^ф,»), S G C(°°)(Z),E), но 5 имеет в D
конечное число критических точек х\,..., жт, вне которых grad 5(ж) ^ 0. Обо-
Обозначим через F(XjX3) интеграл от функции f(x)ezXS^ по такой окрестности
U(x3) точки х3, в замыкании которой нет критических точек, отличных от
точки х3. Докажите, что
т
i^(A,x3) 4- 0(Л^°°) при
16. Приведение к каноническому интегралу. Если хо — невырожденная
критическая точка функции S E C^°°\D, R), определенной в области Del",
752 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то по лемме Морса (см. задачу 9) существует такая локальная замена пере-
менных х = у>(у), мто xq = <^@M S((p(y)) =
j
3/ = О/1,••■,</"), причем dety>'(y) > 0.
Используя принцип локализации (задача 15), покажите теперь, что если
/ G C($oo) (D, R), 5 G C(oo) (D, R), 5 имеет в D не более конечного числа крити-
критических точек и все они невырождены, то исследование асимптотики интеграла
(**) сводится к исследованию асимптотики специального интеграла
л
dy1...dyn.
17. -Aciwinmonmrca интеграла Фурье в многомерном случае, а) Используя
лемму Эрдейи (задача 14 а)) и план действий, описанный в задаче 10, дока-
докажите, что если D — область в ln, /,S G C(°°)(.D,R), supp/ — компакт в D,
хо—единственная, и притом невырожденная, критическая точка функции S
в D, то для интеграла (**) при А —> +оо имеет место асимптотическое разло-
разложение
оо
F(X) ~ \-n/2elXS^Y<akX~k>
к=0
которое можно дифференцировать по А любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
2ж
п/2
F(X) = НЧ ехр
X
А,
х |det5"(a:o)r1/2[/(a:o) +О(А~1)] при А -> +оо.
Здесь S"(x) —симметрическая и по условию невырожденная матрица вто-
вторых частных производных функции S в точке хо (гессиан), a sgnS"(xo) —
сигнатура этой матрицы (или соответствующей ей квадратичной формы),
т. е. разность i/+ — к_ между числом положительных и числом отрицательных
собственных значений матрицы S"(xq)-
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
КОЛЛОКВИУМОВ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные до-
достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
оо
рихле). Ряд C(s) = X) п~8-
п=1
2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля - Дирихле).
3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Не-
Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши-Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегриро-
интегрирование степенного ряда.
5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от па-
параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной схо-
сходимости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свой-
свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл
754 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Пуассона.
10, Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерыв-
непрерывной функции алгебраическим многочленом.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
1. Р — полином. Вычислите (ег^)Р(х).
2. Проверьте, что вектор-функция etAXo решает задачу Коши х = Ах,
х@) = Хо (х = Ах — система уравнений, задаваемая матрицей А).
3. Найдите с точностью до оA/п3) асимптотику положительных корней
Ai < А2 < ... < А„ < ... уравнения sin х + 1/х = 0 при п —> оо.
4. а) Покажите, что In 2 = 1 — 1/2 4-1/3 - ... Сколько членов этого ряда
надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до 10~3?
b) Проверьте что ^ In pi-| = * + 5*3 "*" Ъ^* + ■ • ■ Используя это разложение,
удобно вычислять In ж, полагая х = j~j-
c) Полагая в b) t = 1/3, найдите, что
1 1 /2 5
Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до 10~3?
Сравните с тем, что было в а).
Это один из приемов улучшения сходимости.
5. Проверьте, что в смысле Абеля
а) 1-1 + 1... = £.
оо
^ V ^ 2тгп, п Е Z.
с) 5 + S cos kip = 0, (p ф 2тгп, n £ Z.
k=x
6. Докажите лемму Адамара:
a) Если / € CW(U(xo))t то f(z) = f(x0) + y?(z)(z - ж0), где <р G C(U(x0))
и <р(хо) - f (хо).
b) Если/€С(п)(г7(ж0)), то
/(ж) = /(«о) + ^|/(*о)(ж - х0)
где ip € С(С^(ж0)) и
с) Как выглядят эти соотношения в координатной залиси, когда х — (ж1,
... ,жп), то есть, когда / — функция п переменных?
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 755
7. а) Проверьте, что функция
cosxt
Jn(x) = - / _ dt
0(x) = - /
к J
удовлетворяет уравнению Бесселя у" + -у' + у = 0.
b) Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.
c) Найдите степенные разложения функции Jq{x).
8. Проверьте справедливость асимптотических разложений
+оо оо „, v
а) Г(а,я):= / ta~le~ldt ~ е~х
b) Erf (ж) := / е-'Л^Я1 Е
.2
«ti ГC/2 -
при а; —> +оо.
9. а) Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 - Их + 2!ж2 — Six3 -h ... связан
с функцией
S<*> := / ГГ-7 dt
J l + xt
о
b) Сходится ли этот ряд?
c) Дает ли он асимптотическое разложение S(x) при х —> О?
10. а) Линейный прибор А, характеристики которого постоянны во вре-
времени, в ответ на входной сигнал S(t) в виде <5-функции выдал сигнал (функ-
(функцию) E(t). Каков будет ответ прибора на входной сигнал /(£), —оо < t < +оо?
Ь) Всегда ли по преобразованному сигналу / := Af однозначно восстана-
восстанавливается исходный сигнал /?
756 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
IV семестр
Интегральное исчисление (многие переменные)
1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега сущест-
существования интеграла.
2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометриче-
геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому мно-
множеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4. Оценки интеграла.
5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важ-
важнейшие следствия.
6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорант-
мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8. Поверхность размерности к в Шп и основные способы ее задания.
Абстрактное А:-мерное многообразие. Край ^-мерного многообразия как
(А: — 1)-мерное многообразие без края.
9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в Жп.
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального опера-
оператора.
11. Дифференциальная форма в области D CW1. Примеры: дифференци-
дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифферен-
дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в коор-
координатном виде.
13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференци-
дифференциальными формами.
14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от &-формы по А:-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) 757
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от диффе-
дифференциальной &-формы по ^-мерному компактному ориентированному много-
многообразию.
15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на язы-
языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к ^-мерному промежутку и доказательство для ^-мерного
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16. Форма объема в 1П и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Пло-
Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема А:-мерной поверхности Sfe С I" в локальных параметрах и за-
запись формы объема гиперповерхности 5" СГв декартовых координатах
объемлющего пространства.
17. Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом ориен-
ориентированном пространстве Е3.
18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основ-
Основные интегральные формулы теории поля в IR3 как векторная запись классиче-
классических интегральных формул анализа.
19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциально-
потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный
анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка).
21. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл гра-
градиента, ротора и дивергенции.
22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и ди-
дивергенция в триортогональных криволинейных координатах.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
Ниже за отделенным скобкой номером вопроса через тире идут номера
страниц и рекомендуемых задач, находящихся на этих страницах.
1I40 — 2,3. 2I41 — 4. 3) 145—1; 146 —3,4. 4I51 — 1,2,152 — 3,4.
5I62—6, 7; 280 —6. 6) 180— 9; 250— 5, 6. 7) 191 —1, 5; 192—7. 8J04—2,3;
229—1; 230 — 4. 9) 212—1; 213 — 2, 3, 4; 251 — 11. 10) 409—1; 410 — 2.
11) 251 — 9; 411 — 3. 12) 412 — 4. 13) 251—8, 10. 14) 264—3, 4. 265 — 5;
269 — 9. 15) 297—1; 301 — 10, 13, 14. 16) 232 — 10; 280 — 5. 17) 323—1;
324 — 2. 18) 336—1, 2, 3; 337—4; 338 — 8. 19) 353 — 7; 355—13, 14.
20K54—11,12. 21) 301 —11; 324 —8. 22K24 — 4,5,6.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные до-
достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
оо
рихле). Ряд C(s) = J2 п~8-
2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля-Дирихле).
3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Не-
Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши - Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегриро-
интегрирование степенного ряда.
5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от па-
параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной схо-
сходимости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свой-
свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл
Пуассона.
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 759
10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерыв-
непрерывной функции алгебраическим многочленом.
11. Векторное пространство со скалярным произведением. Непрерыв-
Непрерывность скалярного произведения и связанные с этим его алгебраические свой-
свойства. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема Пи-
Пифагора. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Примеры скалярных произведе-
произведений и ортогональных систем в пространствах функций.
12. Лемма о перпендикуляре. Экстремальное свойство коэффициентов
Фурье. Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье. Условия полноты ор-
тонормированной системы. Метод наименьших квадратов.
13. Классический (тригонометрический) ряд Фурье в вещественной и
комплексной форме. Лемма Римана. Принцип локализации и сходимость ря-
ряда Фурье в точке. Пример: разложение cos(ax) в ряд Фурье и разложение
sinGrx)/7rx в бесконечное произведение.
14. Гладкость функции, скорость убывания ее коэффициентов Фурье и
скорость сходимости ее ряда Фурье.
15. Полнота тригонометрической системы и сходимость в среднем три-
тригонометрического ряда Фурье.
16. Преобразование Фурье и интеграл Фурье (формула обращения). При-
Пример: вычисление / для f(x) := ехр(—а2х2).
17. Преобразование Фурье и оператор дифференцирования. Гладкость
функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Равенство Парсева-
ля. Преобразование Фурье как изометрия пространства быстро убывающих
функций.
18. Преобразование Фурье и свертка. Решение одномерного уравнения
теплопр оводно сти.
19. Восстановление переданного сигнала по спектральной функции при-
прибора и принятому сигналу. Формула Котельникова.
20. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд. При-
Пример: асимптотическое разложение функции Ш(х). Различие между сходящи-
сходящимися и асимптотическими рядами. Асимптотика интеграла Лапласа (главный
член). Формула Стирлинга.
760 ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
IV семестр
Интегральное исчисление (многие переменные)
1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега сущест-
существования интеграла.
2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометриче-
геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому мно-
множеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4. Оценки интеграла.
5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важ-
важнейшие следствия.
6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорант-
мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8. Поверхность размерности к в Шп и основные способы ее задания.
Абстрактное А:-мерное многообразие. Край ^-мерного многообразия как
(к — 1)-мерное многообразие без края.
9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в Еп.
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального опера-
оператора.
11. Дифференциальная форма в области D СШП. Примеры: дифференци-
дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифферен-
дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в коор-
координатном виде.
13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференци-
дифференциальными формами.
14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от &-формы по А:-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) 761
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от диффе-
дифференциальной /с-формы по ^-мерному компактному ориентированному много-
многообразию.
15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на язы-
языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к fc-мерному промежутку и доказательство для ^-мерного
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16. Форма объема в Еп и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Пло-
Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема /с-мерной поверхности Sk С Кп в локальных параметрах и за-
запись формы объема гиперповерхности Sn~l С Еп в декартовых координатах
объемлющего пространства.
17. Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом ориен-
ориентированном пространстве Е3.
18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основ-
Основные интегральные формулы теории поля в R3 как векторная запись классиче-
классических интегральных формул анализа.
19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциально-
потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл гра-
градиента, ротора и дивергенции.
ЛИТЕРАТУРА
I. Классика
1. Первоисточники
Ньютон И.
a. Математические начала натуральной философии. (Перевод с латин-
латинского в кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 7. — Л.-М.: Изд-во
АН СССР, 1936, с. 57-662.)
b. Математические работы. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. Успе-
Успехи машем, наук, 1948, т. 3, вып. 1, с. 165-205.
2. Важнейшие систематические изложения предмета
Эйлер Л.
a. Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. — М.: Физматгиз, 1961
b. Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
c. Интегральное исчисление. В 3-х т. ■— М.: Гостехиздат, 1956-1958.
Коши О. Л.
a. Алгебраический анализ. — Лейпциг: Бэр и Хэрманн, 1864.
b. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном ис-
исчислении. — СПб.: Имп. Акад. наук, 1831
3. Классические курсы анализа первой половины XX столетия
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. В 2-х т. М.-Л.:
ГТТИ, 1933.
Гурса Э. Курс математического анализа. В 2-х т. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
II. УЧЕБНИКИ 763
II. Учебники1^
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по
математическому анализу. — М.: Высшая школа, 2000.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X. Математический
анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 4.1, 1985.
Ч.П, 1987.
Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч. — М.: Изд-во
Моск. ун-та. 4.1, 1993. Ч.П, 1995.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. — М.: Высшая
школа. T.I, II, 1988. ТЛИ, 1989.
Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. — М.:
Наука, Физматлит, 1990.
III. Учебные пособия
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи
и упражнения по математическому анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1988.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов
А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука, Физ-
Физматлит, 1992.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. В 2-х ч. — Новоси-
Новосибирск: Изд-во Инс-та матем. Ч. I, книги 1 и 2, 1999. Ч. II, книги 1 и 2,
2000, 2001.
Ру д ин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1976.
Шилов Г. Е.
a. Математический анализ. Функции одного переменного. — М.: Наука,
Физматлит, 1969. 4.1-2, 1969. Ч.З, 1970.
b. Математический анализ. Функции нескольких вещественных перемен-
переменных. Ч. 1-2. — М.: Наука, Физматлит, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
исчисления. В 3-х т. Изд. 7-е, стереот. — М.: Наука, Физматлит, 1969.
^Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы
Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по специ-
специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная ма-
математика и информатика».
26-4574
764 ЛИТЕРАТУРА
IV. Дополнительная литература
Александров П. С, Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. — М.: ГТТИ, 1938.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сб. статей. (Сборник фундамен-
фундаментальных работ математиков и физиков, связанных со становлением и
развитием современного представления о пространстве, времени и ма-
материи. Издан к 100-летию со дня рождения А.Эйнштейна.) — М.: Мир,
1979.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 3-е,
перераб. и доп. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Де Брейн. Асимптотические методы в анализе. — М.: Изд-во иностран-
иностранной литературы, 1961.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. (В том числе статья «Ар-
«Архитектура математики».) — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
В ей ль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир,
1967.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, Физматлит,
1971.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 1986.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.:
Наука, Физматлит, 1962.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики.
— М.: Наука, Физматлит, 1967.
Зорич В. А. Анализ. (Записки лекций для студентов Математического
колледжа НМУ и механико-математического факультета МГУ.) В 3-х
вып. Вып.1. Лекции 5-7: Дифференциал. Вып. II. Лекция 8: Теорема о
неявной функции. Вып. III. Лекции 9-11: Приложения теоремы о неявной
функции. — М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 1995.
К ар тан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
— М.: Мир, 1971.
Клейн Ф. Очерки о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука,
Физматлит, 1989.
Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функ-
функционального анализа. Изд. 4-е, перераб. — М.: Наука, Физматлит, 1976.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.—
М.: Наука, Физматлит, 1986.
IV. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 765
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В
2-х т. — М.: Наука, Физматлит, 1970.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.П. Теория
поля. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
Манин Ю. И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979. — (Новое в
жизни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика; №12.)
Мил нор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965. — (Библиотека сборника
«Математика».)
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообра-
многообразиях. — М.: Мир, 1971.
О л вер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, Физма-
Физматлит, 1990.
Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х т. Изд.3-е. —
М.: Наука, Физматлит, 1978.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, Физматлит, 1974.
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1971.
Уиттекер Э. Т., Ват сон Дж. Н. Курс современного анализа . В 2-х ч.
Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1962-1963.
Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике.
T.I. Современная наука о природе; законы механики. — М.: Мир, 1965.
Т. 4. Кинетика, теплота, звук. — М.: Мир, 1965.
Т. 5. Электричество и магнетизм. — М.: Мир, 1966.
Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966.
Т. 7. Физика сплошных сред. — М.: Мир, 1966.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Наука, Физ-
Физматлит, 1963.
Шварц Л. Анализ. В 2-х т. — М.: Мир, 1972.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том IV. — М.: Наука, 1967. (В
том числе статьи «Мотивы научного исследования» (с. 39-41) и «Физика
и реальность» (с. 200-227).)
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Логические символы
=> — логическое следование (импликация)
-логическая эквивалентность (равносильность)
равенства по определению; двоеточие
со стороны определяемого объекта
Множества
Е — замыкание множества Е — 8
дЕ — граница множества Е —141
о
Е := Е\ дЕ — внутренность (открытая часть) множества Е
В(х,г) —шар с центром в точке х радиуса г — б
S(x,г) —сфера с центром в точке х радиуса ч—-7
Пространства
(X,d) —метрическое пространство X с метрикой d— 1
(X,г)— топологическое пространство X с системой г открытых мно-
множеств—11
W1 (С") — арифметическое n-мерное вещественное (комплексное) прост-
пространство
М1 = К (С1 = С) — множество вещественных (комплексных) чисел
х = (х1,..., хп) — координатная запись точки n-мерного пространства
С(Х,У) —множество (пространство) непрерывных на X функций со зна-
значениями в У — 471
С[а, Ь] — сокращенное обозначение для С([а> Ь], Ж) или С([а, Ь],С)
С^ (X, Y) — множество к раз непрерывно дифференцируемых отображе-
отображений из X в Y — 92, 104
С^ [а, Ь] — сокращенное обозначение для С^([а, Ь], Щ или С^ ([а, Ь], С)
Ср[а,Ь] — пространство С[а,Ь], наделенное нормой ||/||р — 55
С*2[а,Ь] — пространство С[а,Ь] с эрмитовым скалярным произведением
(/, д) функций или с нормой средне квадратичного уклонения
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ 767
И(Е) — множество (пространство) функций, интегрируемых по Риману
на множестве Е —143
сокращенное обозначение для И(Е) при Е = [а, Ь]
И(Е) — пространство классов интегрируемых по Риману функций, совпа-
совпадающих почти всюду на Е —147
Ир(Е) (ИР(Е))—пространство ЩЕ), наделенное нормой ||/||р
Ti2(E) (%2{Е))—пространство И(Е), наделенное эрмитовым скалярным
произведением функций (/, д) или нормой средне квадратичного уклонения
Ир[а,Ь], 7^2 (-Е)—сокращенные обозначения для ИР(Е), ИР(Е) при Е —
= [а, Ъ]
С(Х; Y) {С{Х\,..., Хп\ Y)) —пространство линейных (п-линейных) ото-
отображений из X (Х\ х ... х Хп) bY — 69
ТМР или ТМ{р), ТРМ, ТР{М) —пространство, касательное к поверхности
(многообразию) М в точке р G М — 397, 398
S — пространство Шварца быстро убывающих функций — 676
V(G) ^пространство основных финитных функций в области G — 546, 571
V'(G)—пространство обобщенных функций в области G — 546, 571
V — сокращенное обозначение для V(G) при G = Жп —546, 571
V — сокращенное обозначение для V(G) при G = Жп —546, 571
Метрики, нормы, скалярные произведения
расстояние между точками #i,X2 в метрическом пространстве
|ат|| — модуль (норма) вектора х £ X в линейном нормированном про-
пространстве X — 52
норма линейного (полилинейного) оператора А
р :— (f \f\p(x) dxI/?,р ^ 1 — интегральная норма функции / — 55
Е
— норма средне квадратичного уклонения (||/||р при р = 2)
(а, Ь) —эрмитово скалярное произведение векторов а, Ь~56
(f,g) := f(f • д)(х) dx— эрмитово скалярное произведение функций
/,^-589
а • 6 —скалярное произведение векторов а,6вМ3 —305
а х Ъ или [а, Ь] — векторное произведение векторов а, Ь в Ж3 —305
(а, 6, с) —смешанное произведение векторов а, 6, с в Е3 — 237
Функции
д о / — композиция (суперпозиция) функций / и д
Z —функция, обратная к функции /
f(x) —-значение функции / в точке х\ функция от х
/(ж1, -.. ,хп) —-значение функции / в точке х = (ж1,... ,жп) € X п-мерно-
го пространства Х\ функция, зависящая от п переменных Xi,..., хп
supp / — носитель функции / — 531
768 УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
J f(x) — скачок функции / в точке х— 549, 574
{}t]t Е Т}— семейство функций, зависящих от параметра t Е Т— 432
{fn\n £ N} или {fn} — последовательность функций — 428
ft —> f на Е — сходимость семейства функций {ft; t Е Т} к функции / на
множестве Е при базе В в Т — 433
ft =3 / на Е — равномерная сходимость семейства функций {ft',t E Т} к
в
функции / на множестве Е при базе В в Т — 433
/ — о(д) при В I асимптотические формулы (символы
/ — О(д) при В > сравнительного асимптотического поведения
f ~ д или / ~ д при В J функций / и д при базе В) — 701
со
f(x) ~ Yl Vniz) ПРИ В — разложение в асимптотический ряд — 706
п
Т>(х) — функция Дирихле — 429
ехр А —экспонента от линейного оператора А —-84
В (а,/?) — бета-функция Эйлера—515
Г (а) —гамма-функция Эйлера — 515
X —характеристическая функция множества Е—142
Дифференциальное исчисление
/;(х), f*(x),df(x),Df(x) —касательное к / отображение (дифференциал /)
в точке х — 75, 401
—LJdtf(x)iDlf(x)— частная производная (частный дифференциал) в точ-
ке х = (а:1,... ,хп) по переменной х1 от функции /, зависящей от переменных
х\...,хп — 86
Dvf(x) —производная функции / по вектору v в точке х — 99, 399
V — оператор набла Гамильтона — 310
grad / — градиент функции / — 242
div А — дивергенция векторного поля А — 243
B^—ротор (вихрь) векторного поля В — 243
Интегральное исчисление
мера множества Е —144
/ f(x)dx
Е
ff(x1,...,xn)dx1...dxn
интеграл от функции /
по множеству Е CW1 — 131, 142
Е
f---ff(x\...Jxn)dx1...dxn
Е
/ dy f f(x,y) dx — повторный интеграл—153
Y X
fPdx + Qdy + Rdz,) v u
7 I криволинейный интеграл (второго рода; или ра-
/ F -ds, f(F,ds) [бота поля F = (P,Q,R) вдоль пути 7 — 251, 277
7 7 )
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 769
/ / ds —криволинейный интеграл (первого рода) от функции / вдоль кри-
7
вой 7 — 276
JfPdyAdz + QdzAdx + RdxAdyA ^^P^ (второго рода) по
5 I поверхности Ь в Ж , поток
/ fF-der, ff(F,da), | поля F = (Р,ф,Д) через
55 ' поверхность 5—257, 277
f J f da — поверхностный интеграл (первого рода) от функции / по по-
верхности S — 276
Дифференциальные формы
и) (и)р)—дифференциальная форма (степени р) — 236, 402
и)р А а;9 —внешнее произведение форм cjp, u)q — 233, 369
du — (внешний) дифференциал от формы и — 241
f и)~~интеграл от формы и по поверхности (многообразию) М-—261,
м
263, 406
ulF :— (F(x),-)—форма работы — 236
ujy := (V(a:), •, •) —форма потока —237
предметный указатель
Указатель алфавитный; основой входа как правило является объект (дифференциал,
закон, интеграл, многообразие, теорема, форма, явление и т.п.).
Для удобства читателя некоторая часть терминов доступна несколькими путя-
путями: например, «Функция дельта Дирака», «Дельта-функция Дирака» и «J-функция»,
или «Значение несобственного интеграла главное (в смысле Коти)» и «Главное зна-
значение несобственного интеграла ...»
Кроме того, в некоторых случаях (см., например, «Кратный интеграл», «Ряд
функций» или «Ряд Фурье») через знак ~ присоединены указания о расположении
основных относящихся к объекту фактов.
J-окрестность б
J-функция 330
е-сеть 21
Ti-пространство 18
Т2~пространство 18
^-формула 697
fc-мерный объем 224
fc-путь 301
п-й момент 477
n-мерный диск 215
р-форма 236
р-цикл 422
Абсолютная сходимость несобствен-
несобственного интеграла 495
— ряда 441, 442
Адиабата 266
Адиабатическая постоянная 268
Алгебра внешняя 371, 374, 375
— Грассмана 371, 374, 375
Алгебра Ли 88
— форм 367
кососимметрических 371
— функций 474
вещественная 474
— — комплексная 474
— — — самосопряженная 478
разделяющая точки 475
Альтернирование 368
Амплитуда 659
Амплитудная модуляция 690
Анализ функции гармонический
(спектральный) 659
Аппаратная функция 529, 554
Аппроксимативная единица, см. дель-
таобразное семейство
Асимптотика 700, 701
— гамма-функции 730, 739, 746
— интеграла канонического 727
— —Лапласа 729, 733, 749
предметный указатель
771
Асимптотика интеграла Фурье 745,
750, 752
— полиномов Лежандра 732
— функции Бесселя 731
вероятности ошибок 737
Асимптотическая задача 700
— оценка 701
равномерная 717
— последовательность 706
— формула 701
— эквивалентность 701
Асимптотические методы 700
Асимптотический нуль 707
— ряд 706
степенной 712-715
Асимптотическое равенство 701
— разложение 705, 706
в смысле Эрдейи 716
равномерное 717
— совпадение функций 707
Атлас поверхности (многообразия)
195, 376
— аналитический 381
— гладкий 381
— класса С{к) 381
— ориентирующий 209, 386
Атласы эквивалентные по гладкости
382
— по ориентации 210, 386
База в множестве разбиений 130
— топологии 13
— топологического пространства 13
Базис векторного пространства 606
Бета-функция (Эйлера) 515-516
Бикомпакт 19
Брахистохрона 112-114
Бутылка Клейна 203
Вектор касательный к многообразию
398, 400, 410
— собственный оператора 611
Векторное поле 410
гладкое 411
Векторный потенциал 348
магнитного поля 354-355
Векторы ортогональные 588, 611
Величины одного порядка 701
Вес (топологического пространства)
13
Вихрь (ротор) векторного поля 309
Вложение каноническое 412
Внешнее произведение 369
— умножение 233
Внешний дифференциал 241, 404, 411
Внешняя алгебра 371, 374-375
Внешняя точка 7, 16
Внутреннее произведение 414-415
Внутренняя точка 7, 16
Волновое уравнение 363, 684
неоднородное 363
— —однородное 363
Гамма-функция (Эйлера) 515,
517-528
Гамма-функция неполная 716
Гармоническая функция 337
сопряженная с данной 365
Гармонические компоненты 659
Гармонические многочлены 617
Гармонический анализ 659
Гаусса-Остроградского формула
287, 576-577
в векторном анализе 327
Гессиан 752
Гипергеометрическое уравнение 463
Гипрегеометрический ряд 463
Главное (в смысле Коши) значение
несобственного интеграла 187
Гладкие структуры 394
Гомеоморфизм 39
Гомологии 422
Гомотопическая группа 351
Гомотопия 345
Гомотопные пути 346
Градиент 242, 307, 321, 333
—, физическая интерпретация 333
Граница куба 421
— сингулярного куба 422
Граничная точка 7, 16
Граничный цикл 422
Грассманова алгебра 371, 374-375
Группа гомологии 351, 422
— гомотопическая 351
772
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа когомологий многообразия
420, 426
— Ли 88, 396
— непрерывная 88, 396
— преобразований дискретная 395
— топологическая 88, 396
Двойной слой 585
Дельта-функция 330, 529, 534, 542,
544, 558, 571, 657, 658, 696
Дельтаобразное семейство функций
535
Деформация (замкнутого пути) 345
Дзета-функция Римана 526
Дивергенция 243, 307
—, физическая интерпретация
328-329
Диполь 352
Дипольный момент 352
Диск п-мерный 215, 378
Дискретная группа преобразований
395
Диффеоморфизм простейший 170
Дифференциал внешний 241, 404, 411
— отображения 75
— полный 86
— порядка п 98
— формы 241, 404, 411
— частный 86
Дифференциальная форма 236
- замкнутая 349, 416
класса С{к) 241, 403
на гладкой поверхности 248
—- —на многообразии 402
нулевого порядка 240
, ограничение (сужение) на под-
подмногообразие 412
— —потока векторного поля 237
— — работы поля 236
- точная 349, 416
финитная 406
Дифференциальное уравнение с раз-
разделяющимися переменными 269
Дифференциальный оператор 573
— —самосопряженный 573
сопряженный данному 573
Дифференциальный оператор, транс-
транспонированный по отношению к
данному 573
Дифференцирование 75
— в точке многообразия 410
— интеграла, зависящего от параме-
параметра 482, 502, 568
по жидкому объему 586
— кольца 400
— на многообразии 410, 412
—обобщенной функции 548, 550
— ряда функций 460
— — Фурье 635
— семейства функций, зависящего от
параметра 458
— степенного ряда 460
Единичная ступенька 549
Задача асимптотическая 700
—о брахистохроне 112
— о кратчайшей 111
— о кривой скорейшего спуска 112
— Штурма - Лиувилля 615
Закон Ампера 278
— Архимеда 290
— Био - Савара 280
— Гаусса 337
— Кулона 329
— Ньютона 339
—распределения нормальный 555
— Фарадея 277
Замена переменных в интеграле
162-173, 187-189
Замкнутое множество в метрическом
пространстве 6
—в топологическом пространстве
13
Замыкание 8, 16
Значение несобственного интеграла
главное в смысле Коши 187
Изобара 265
Изометрия (метрических про-
пространств) 30
Изоморфизм гладких структур 394
— линейных нормированных про-
пространств 73
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
773
Изопериметрическое неравенство 232,
646-648
Изотерма 265
Изохора 265
Импульс прямоугольный 691
— треугольный 691
Импульсная функция прибора 529
Интеграл 131
— Бернулли 364
— Гаусса 299
— Дарбу верхний 138
нижний 138
— двойной 131
— Дирихле 338, 503
— дифференциальной формы по мно-
многообразию 405, 406
по поверхности 260, 263
по сингулярному кубу 423
—по цепи 423
— Коши 364
— кратный 131
— криволинейный 252
— Лапласа 719
— от функции по поверхности 275,
276
— по множеству 142
— поверхностный второго рода 276
первого рода 276
— Пуассона 541, 692
— Раабе 525
— Римана по множеству 142
— —по промежутку 131
— тройной 131
— Френеля 513, 716
— Фурье 661, 663, 696, 744, 745,
749-752
— Эйлера второго рода 515
первого рода 515
— Эйлера - Пуассона 510, 521, 667,
682, 716
— эллиптический 464, 483, 487, 512
Интеграл, зависящий от параметра
479, 480, 489, 561, 562
— кратный 561 - 562
с переменной особенно-
особенностью 564
Интеграл, зависящий от параметра,
несобственный 479
~ дифференцирование 502
~ интегрирование 505, 506
~ предельный переход и непрерыв-
непрерывность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Коши 493
~ ~признак Абеля-Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
— собственный 479
~ дифференцирование 482
~ интегрирование 486
~ непрерывность 480
Интегралы Френеля 716
— эйлеровы, см. эйлеровы интегра-
интегралы
Интегральная сумма Дарбу 137
Римана 131
Интегральное представление частич-
частичной суммы тригонометрического
ряда Фурье 625
Интегральный синус 716
Интегрирование по частям в кратном
интеграле 301-302
Исчерпание множества 181
Калибровочное условие 366
Карта локальная 195, 375
—, область параметров 195, 375
—, район действия 195, 375
Карты согласованные 209, 385
Касательное отображение 412
— пространство kR"b точке 397
к многообразию в точке 399,
409-410
Касательный вектор к многообразию
в точке 398, 401, 410
Касающиеся пути 409
Категория множества 34
Квадруполь 352
Класс ориентации атласов много-
многообразия 386
— —поверхности 210
— реперов 205
— систем координат 205, 207
Когомологии 420, 426
774
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кокасательное пространство 401
Колебание отображения 37
— в точке 40
Коммутирование, см. перестановка
Компакт 19
— метрический 21
—элементарный 192
Координаты декартовы 316
— касательного вектора 401
— криволинейные 195, 313
— полярные 199
— сферические 200, 316-323
— триортогональные 316-323
— цилиндрические 316-323
Коэффициент полезного действия те-
тепловой машины 268
— температуропроводности 358
— теплопроводности 356
Коэффициенты Ламе 316
— Фурье 595, 596, 598, 651, 653
Край многообразия 378
— поверхности 214
— полупространства 213
Кратный интеграл 131
зависящий от параметра 561,
562
~замена переменных 162, 173
~ интегрирование по частям 301, 302
~ повторное интегрирование («теоре-
(«теорема Фубини») 153-155
несобственный 182
— — — с переменными особенностя-
особенностями 565
Кривизна кривой 89
Криволинейный интеграл 252
Критерий Дарбу 137-140
— Коши равномерной сходимости
интеграла 493
ряда 440
семейства функций 436
— Лебега 135-137
— метрического компакта 21
— непрерывности отображения 38
— потенциальности поля 341
Критическая точка 180
Кручение кривой 89
Лапласиан 312
Лемма Адамара 481, 488
— Ватсона727, 744
— Морса 180, 481, 725, 743, 744, 748,
752
— о вложенных шарах 34
— о непрерывности скалярного про-
произведения 594
— о перпендикуляре 598
— об е-сети 21
— об оценке вклада точки максиму-
максимума 723
— об экспоненциальной оценке 722,
747
— Пуанкаре 349
— Римана627, 749
— Сарда 179-180
— Эрдейи745, 750, 752
Лист Мёбиуса 202, 213, 216, 221,
384-385
Мажорантный признак равномерной
сходимости интеграла 495
— ряда 442
Максимум локальный 106
Массовые силы 360
Матрица Грама 222
Мгновенная ось вращения 86
Мера множества (по Жордану) 144,
145
— промежутка 129
Метод выделения особенностей
(Крылова) 639
— касательных (Ньютона) 48
— касательных модифицированный
(Ньютона-Канторовича) 49
— Лапласа 718-722
в многомерном случае 743, 747
— локализации в асимптотике инте-
интеграла Лапласа 723
— — в асимптотике интеграла Фу-
Фурье 751, 752
— множителей Лагранжа 128
— наименьших квадратов (Гаусса)
613
— разделения переменных (Фурье)
587, 608-611
предметный указатель
775
Метод стационарной фазы 744
в многомерном случае
751-752
в одномерном случае
749-751
— суммирования рядов (Абеля) 453,
454, 465
(Чезаро) 465
— усреднений Стеклова 613
— Фурье 587, 608-611
Методы асимптотические 700
Метрика 1
— дискретная 2, 10
— интегральная 4
— равномерная 4
— равномерной сходимости 4, 471
— риманова 316
— среднего квадратичного уклонения
3,4
— Хаусдорфа 11
— чебышевская 4
Минимум локальный 106
Многообразие 375
— аналитическое 382
— без края 378
— вложенное в Rn 194
— гладкое 382
— класса С(к) 382
— компактное 379
— неориентируемое 386
— ориентированное 386
— ориентируемое 386
— с краем 378
— связное 379
— стягиваемое 416
— топологическое 382
Многочлен тригонометрический 620
Многочлены Бернулли 652
— гармонические 617
— Лежандра 593, 614, 616-617
— Чебышева 618
— Чебышева -Лагерра 618
— Эрмита 618
Множество вполне ограниченное 23
— всюду плотное 15
— второй категории 35
Множество допустимое 141
—замкнутое в метрическом прост-
пространстве 6
в топологическом пространстве
13
— измеримое по Жордану 145
—канторово 29
— меры нуль по Жордану 145
по Лебегу 132
— нигде не плотное 34
— объема нуль 145
— открытое в метрическом прост-
пространстве 6
— — в топологическом пространстве
И, 12
— относительно компактное 23
— первой категории 34
— площади нуль 227
—связное 24
— сходимости семейства функций
433
Модуль вектора, см. норма
— функции 692
— эллиптического интеграла 483
Момент диполя 352
— мультиполя 352
— функции 477
Мультиполь 352
Набла (оператор Гамильтона) 310,
323
Направление движения (вдоль кри-
кривой) 212
— обхода области 212
Непрерывная группа 88
Неравенство Бесселя 599
— Брунна-Минковского 146
— Виртингера 654
— Гёльдера 151
—изопериметрическое 232, 646-648
—Клаузиуса 269
— Коши - Буняковского 57, 532
— Минковского 152
— —, обобщенное 583
— Стеклова 653
— треугольника 1
776
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Несобственный интеграл, зависящий
от параметра 479, 489
~ дифференцирование по параметру
502
~ интегрирование по параметру
505-506
~ предельный переход и непрерыв-
непрерывность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Коши 493
~ ~ признак Абеля - Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
Норма в линейном пространстве 52
—вектора 53
— оператора 64
Носитель дифференциальной формы
406
— функции 164, 531
Нуль-ряд Меньшова 625
Обертоны 610
Область действия карты 195, 375
— значений параметра 432
— односвязная 347
— параметров карты 195, 375
— простая 285
— фундаментальная группы 381, 395
Обобщенная функция 545, 571
регулярная 546
сингулярная 546
— —умеренного роста 695
Объем множества 144, 291
— промежутка 129
—шара в Rn 230, 522-523
Огибающая семейства кривых 299
Ограничение формы на подмного-
подмногообразие 248, 412
Однопараметрическая группа диф-
диффеоморфизмов 414
Односвязность области 347
Окрестность в метрическом прост-
пространстве 7
— в топологическом пространстве 13
— ростка функции 14
Оператор Гамильтона 310, 323
— дифференциальный, см. диффе-
дифференциальный оператор
Оператор инвариантный относитель-
относительно сдвигов 528
— интегральный 668
— Лапласа 312
—линейный 60, 61
— набла 310
— нильпотентный 87
— ограниченный 65
— полилинейный 60, 65, 68
— самосопряженный 573
— сдвига 528
— симметрический 611
— сопряженный 573
Операторы теории поля 307
— — —в криволинейных координа-
координатах 313-323
Операционное исчисление 548
Орбита точки 380, 395
Ориентация края, согласованная с
ориентацией многообразия 389
— — согласованная с ориентацией
поверхности 218
— многообразия 386
— области пространства 207
— поверхности 207, 210, 212, 218
— противоположная данной 210
Ориентированное пространство 205
Ортогонализация 592-594
Ортогональность с весом 615
Ортогональные векторы 588
Основная частота 659
Основной тон 610
Открытое множество в метрическом
пространстве 6
в топологическом пространстве
И, 12
Отображение билинейное 61
— гладкое 385
— гомеоморфное 39
— дифференцируемое в точке 74
— дифференцируемое на множестве
76
— касательное 75
— класса С{1) 385
— линейное 60
— непрерывно дифференцируемое 92
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
777
Отображение непрерывное 38
в точке 38
— ограниченное 36
— полилинейное 60
— производное 76
высшего порядка 97, 98
— равномерно непрерывное 41
— сжимающее 43
— сопряженное 373
— трилинейное 61
— финально ограниченное 36
— частное 86
Оценка асимптотическая 701
— равномерная 717
Параллелепипед координатный 129
Параметризация натуральная 89
Параметры Ламе 316
Перестановка интегралов 153
несобственных 506-509
собственных 153
— предельных переходов 450, 451
— суммирования и дифференцирова-
дифференцирования ряда 460
и интегрирования ряда 457
Период интеграла 350
— на цикле 424
Площадь fc-мерной поверхности 224,
273
— ___ _ как интеграл от формы
270-271
-—внешняя по Минковскому 232
— кусочно гладкой поверхности 273
— сферы в Rn 230, 523
Поверхность А;-мерная 194
— без края 214
— гладкая 196, 198
— двусторонняя 211
— кусочно гладкая 219
ориентируемая 220
— неориентируемая 209
— нульмерная 219
— односторонняя 211
— ориентированная 210
— ориентируемая 209
— с краем 214
— элементарная 195
Подмногообразие 394
Подпространство метрического прос-
пространства 8
— топологического пространства 16
Покрытие вписанное в другое покры-
покрытие 396
—локально конечное 396
Поле векторное 303
на многообразии 410
— —гладкое 411
— линейных форм 236
— потенциальное 339
— скалярное 303
— соленоидальное 348
— тензорное 303
— форм 303
— центральное 254
Полином, см. многочлен
Полная система векторов (функций)
602-608
Полнота тригонометрической систе-
системы функций 641
Полный дифференциал 86
Положительное направление обхода
212
Полярные координаты 199-201
Пополнение пространства 30, 32
Порядок (степень) дифференциаль-
дифференциальной формы 236
Последовательность асимптотическая
706
— Коши 26
— сходящаяся 26
— фундаментальная 26
— функций монотонная 444
— — невоэрастающая 444
— — неубывающая 444
— — сходящаяся в точке 428
на множестве 428
равномерно 436
Постоянная циклическая 350
Потенциал векторный 348
магнитного поля 354-355
— диполя 352
— поля 339
— простого слоя 568
778
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Потенциал распределенного заряда
564
— скалярный 339
— скоростей 365
Поток векторного поля через поверх-
поверхность 255-258, 277, 327
Почти всюду 134
Правило Лейбница 161, 482
Предел 35, 36
— интеграла по параметру 456
— отображения 35
— последовательности 26
функций 428
— семейства непрерывных функций
452-453
функций 433
Предельная точка 8, 16
— функция 428
Предельный переход под знаком ин-
интеграла 456
под знаком производной 458
Преобразование Абеля 444
— Галилея 698
— интегральное 668
— Лапласа 7.19
— Лоренца 698
— Фурье 662
в пространстве L>2 693
косинус- и синус-преобразова-
синус-преобразования Фурье 663
многомерное 678
нормированное 668
— —обобщенных функций 696
—- — свертки функций 683
— —, сдвиг по частоте 690
, скорость убывания и глад-
гладкость 674, 675
, теорема о переносе 690
, формула обращения 680
Признак Абеля-Дирихле равно-
равномерной сходимости интеграла
496
— — — ряда 445
— Вейерштрасса равномерной сходи-
сходимости интеграла (мажорантный)
495
Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости ряда (мажорантный)
442
Принцип Даламбера 360
— Дирихле 338
— Кавальери 159
— локализации для интеграла Лапла-
Лапласа 719
Лапласа 719
для ряда Фурье 629, 750, 751
— неопределенности 693 - 694
— неподвижной точки 43, 47
— Пикара-Банаха 43, 47
— сжимающих отображений 47
— стационарной фазы 744, 745, 749,
751
Проблема Гильберта пятая 396
— Лузина 625
— Римана 625
Проективная плоскость 384
— прямая 382
Произведение внутреннее поля и фор-
формы 414, 415
— многообразий 376
— обобщенных функций 560
— прямое метрических пространств
10
топологических пространств 17
— скалярное 56
— —функций 589
— форм внешнее 369
тензорное 368
Производная Ли 414
— отображения 75
— вторая 97
по вектору 99
частная 86
Производное отображение 76
— порядка п 98
Производящая функция последова-
последовательности 555
чисел Бернулли 746
Промежуток (BRn) 129
Простой слой 572
Пространство аффинное нормирован-
нормированное 76
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
779
Пространство банахово 54
— гильбертово 59
— евклидово 59
—касательное 75
к многообразию 399
— кокасательное 401
—линейно связное 26, 42
—линейное нормированное 53
полное 54
— локально компактное 23
— локально связное 25
— метрическое 1
полное 26
— нормированное полное 54
— обобщенных функций 545, 571
— Соболева - Шварца 547
умеренного роста 695
— основных функций 545, 571
— предгильбертово 59
— пробных функций 545, 571
— связное 24
— сепарабельное 15
— топологическое 11
— хаусдорфово 15
— Шварца 676, 678, 695
— эрмитово 59
Процесс адиабатический 266
— квазистатический 265
Прямое произведение метрических
пространств 10
— —топологических пространств 17
Пути гомотопные 346
— касающиеся на многообразии 409
Пучок касающихся путей 410
Пятая проблема Гильберта 396
Работа поля 253
Равенство асимптотическое 701
— Парсеваля 604, 623, 645, 682, 683
— —для преобразования Фурье 682
Равномерная ограниченность 468
— сходимость интеграла 489
, признаки, см. признак, крите-
критерий
— ограниченность ряда функций 438
— — семейства функций 436
Равномерной сходимости метрика
471
Разбиение единицы 178, 390-392
fc-гладкое 391
подчиненное покрытию 391
—локально конечное 226
— промежутка 130
с отмеченными точками
130
Разделение точек функциями
474
Разделения переменных метод
608-611
Разложение асимптотическое 705
интеграла Лапласа 733
равномерное 717
— в ряд Тейлора, см. формула Тейло-
Тейлора
Фурье, см. ряд Фурье
— в степенной ряд, см. формула Тей-
Тейлора, степенной ряд
Размерность многообразия 377
Разрывный множитель Дирихле
513
Распределение, см. обобщенная функ-
функция
Расстояние, см. метрика
Репер ориентирующий 207
— Френе 89
Решение фундаментальное 554, 578
оператора Лапласа 578
Риманова метрика 316
Росток функции 14
Ротация поля 309
Ротор 243, 307, 309
—, физическая интерпретация
331-333
Ряд асимптотический 706, 717
— — в смысле Пуанкаре 706
в смысле Эрдейи 716
общий 706
степенной 712
— гипергеометрический 463
— Дирихле 449
— степенной 442, 443, 460
— Стирлинга 746
780
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд тригонометрический 620
— функций 438
~ дифференцирование 460
~ интегрирование 457
~ непрерывность суммы 453, 455
~ сходимость (равномерная) 438
~ ~ критерий Коши 440
~ ~ необходимое условие 441
~ ~ признак Абеля - Дирихле 445
~ ~признак Вейерштрасса 441, 442
Ряд Фурье 596, 621
~ гладкость функции и скорость схо-
сходимости ее ряда Фурье 637
~ интегральное представление ча-
частичной суммы 625
~ коэффициенты Фурье 595
~ ~ экстремальное свойство 600
~ лемма Римана, принцип локализа-
локализации и сходимость в точке 627,
629
~ неравенство Бесселя 599
по общей ортогональной систе-
системе векторов 596
по тригонометрической системе
функций 621
~ полнота тригонометрической си-
системы и сходимость тригономе-
тригонометрического ряда Фурье в сред-
среднем 641, 645
многомерный 654 - 656
обобщенной функции 656 - 658
, сходимость в среднем 623
, сходимость в точке 630-632
Сапог Шварца 232
Сарда лемма 179-180
— теорема 281
Свертка функций 531
вГ 569
дифференцирование 534
симметричность 533
сохранение сдвигов 533
Семейство функций 432
^-образное, см. дельтаобразное
семейство
вполне ограниченное 468
Семейство функций не исчезающее на
данном множестве 475
равномерно ограниченное 468
равностепенно непрерывное
469, 476-477
в точке 476-477
— разделяющее точки 474
Сингулярный куб 421
Система векторов линейно независи-
независимая 588
ортогональная 588
, условия полноты 603
ортонормированная, или орто-
нормальная 588
полная 602
— подмножеств вписанная в другую
систему 396
локально конечная 396
— тригонометрическая 590
в комплексной записи 590
— функций Радемахера 619
Хаара 619
— экспонент 590
Скалярное произведение 56
Скобка Пуассона (векторных полей)
411
Слабая сходимость 545
Слой двойной 585
— простой 572, 582
Собственное значение задачи Штур-
Штурма -Лиувилля 616
Собственные колебания 610
— частоты 610
— числа задачи 610
Собственный вектор оператора
611
Согласование ориентации поверхно-
поверхности и края 218
Сопровождающий трехгранник 89
Спектр функции 659
непрерывный 660
Спектральная характеристика 661
Среднее значение по периоду 659
Среднее квадратичное уклонение 3,
623
Стабилизатор точки 395
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
781
Степенной ряд 442, 443, 460
асимптотический 712
Степень дифференциальной формы
236
Структура гладкая 382
Сужение, см. ограничение
Сумма интегральная Дарбу 137
Римана 131
Суммирование рядов методом Абеля
453, 465
Чеэаро 465
Сфера Александера 196
Сферические функции 617
Сходимость несобственного интегра-
интеграла 182
в смысле главного значения
(по Коши) 187
зависящего от параметра 489
равномерная 489
— обобщенных функций 545
— ряда векторов 588
функций абсолютная 441
равномерная 438
— семейства (последовательности)
функций в среднем 623
поточечная 433
равномерная 436
— функционалов сильная (по норме)
71-72
слабая 545
Тембр 610
Тензорное произведение 368
Теорема Абеля о степенных рядах
(«вторая») 448
о сходимости степенных рядов
448
— Арцела-Асколи 470
— Брауэра о неподвижной точке 297
об инвариантности внутренних
точек 377
— Вейерштрасса об аппроксимации
алгебраическими многочленами
472, 539, 540
тригонометрическими
многочленами 634
— Гаусса 336, 585
Теорема Гельмгольца 355
— Дарбу 138
— Дини 455
— Ирншоу 337
—Карно 269
—Котельникова 688, 689
— Коши о среднем многомерная 338
— Лагранжа 364
— Лебега о монотонной сходимости
467
об ограниченной сходимости
466
— о главном члене асимптотики ин-
интеграла 729
— о градиенте 334
— о дивергенции 333
— о коммутировании двух предель-
предельных переходов 450
— о конечном приращении 89-92
— о неявной функции 116-120
— о равномерной непрерывности 41
— о роторе 333
—о среднем для гармонических фун-
функций 338
для интеграла 150
— об асимптотическом разложении
интеграла Лапласа 733
—об обратном отображении 127
— отсчетов 689
— Пифагора 595
для мер произвольной размер-
размерности 231
— Планшереля 693
— Пуанкаре 416
— де Рама 424
— Сарда 281
— Стоуна 475
для комплексных алгебр 478
— существования решения дифферен-
дифференциального уравнения 45 - 46
— Таубера 466
— тауберова типа 465
— Уитни204, 394
— Фейера 634
— Фубини 153-155
— Харди 466
782
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тепловая машина 268
Теплоемкость 266
— молярная 266
Течение плоскопараллельное 364
Тождество гомотопии 415
—Якоби 88
Топологическая группа 88
Топологическое пространство 11
— в сильном смысле 18
Топология (на множестве) 11, 12
— более сильная 17
Тор 202
Точка внешняя 7, 16
— внутренняя 7, 16
— граничная 7, 16
— края 214
— критическая 180
— метрического пространства 2
— предельная 8, 16
Трехгранник сопровождающий 89
Тригонометрический многочлен 620
— ряд 620
Триортогональные координаты 316
Угловая скорость 84-86
Умножение внешнее 233
Уравнение адиабаты 267
— Бесселя 462, 483, 487, 511
— волновое, см. волновое уравнение
— гидродинамическое Эйлера 361
— гипергеометрическое 463
-—дифференциальное 45, 46, 269
— Манера 267
— неразрывности 359
— Пуассона 352
— состояния 265
— теплопроводности 358, 686
— Эйлера - Лагранжа 111
Уравнения Коши - Римана 365
— магнитостатики 337
— Максвелла 309, 311
—электростатики 337
Условие необходимое равномерной
сходимости ряда 441
Условия Дини 630
— полноты ортогональной системы
603-605
Усреднение функции с данным ядром
583
Фаза 659
Фазовая функция 745
— характеристика 661
Фильтр низкой частоты 662
Форма антисимметрическая 233
— дифференциальная, см. дифферен-
дифференциальная форма
— кососимметрическая 233, 368-371
— объема в Rfc 272
на поверхности в R71 272
— полуопределенная 106
— потока поля 237
— работы поля 236
—эрмитова 56
невырожденная 56
положительная 56
Формула Валлиса 512, 747
— Гаусса 526
— Гаусса-Остроградского 287, 297,
327, 333, 576-577
в векторном анализе 327
— гомотопии 425
— Грина 281, 335, 585
— дополнения для гамма-функции
519
— замены переменных в интеграле
164
— коплощади 280
— Котельникова 689
— Коши-Адамара 443
— Кронрода-Федерера 280
— Лежандра 525
— Лейбница 482
— Ньютона-Лейбница 326
— обращения преобразования Фурье
671, 680
— понижения для бета-функции 516
для гамма-функции 518
— Пуассона 687, 697
— Стирлинга 527, 731
— Стокса 291, 294, 297, 327, 334, 407,
413, 423
bR3 291
в векторном анализе 327
предметный указатель
783
Формула Стокса общая 293-296, 407
— Тейлора 105, 488
— Эйлера для гамма-функции 524
— Эйлера-Гаусса 518
Формулы Бореля 683
— Грина 335 - 336
— дифференциальные теории поля
311-313
— интегральные теории поля 328,
333, 334
— Френе 89
Фундаментальная область 381, 395
— последовательность 26
Фундаментальное решение 543, 554,
578
Функции асимптотически совпадаю-
совпадающие 707
эквивалентные 707
— замены координат 377
— сферические 617
Функционал линейный 61
— полилинейный 61
Функция аппаратная прибора 529,
554
— Бесселя 462, 487
— бета Эйлера 515
— быстро убывающая 676, 678
— вероятности ошибок 716
— гамма Эйлера 515, 517-528
— гармоническая, см. гармоническая
функция
— Грина 554
— дельта Дирака (^-функция) 330,
529, 534, 542, 544, 558, 571, 657,
658, 696
— дзета Римана 526
— Дирихле 429
— дифференцируемая, см. отображе-
отображение
— замены координат 377
— интеграл Френеля 716
—интегральная экспонента 704
— интегральный синус 716
— интегрируемая по Риману на мно-
множестве 142
— — — —на промежутке 131
Функция кусочно непрерывная 631
— кусочно непрерывно дифференци-
дифференцируемая 631
— линейная 61
— локально интегрируемая на множе-
множестве 531
— неинтегрируемая по Риману на
множестве 142
— обобщенная, см. обобщенная функ-
функция
— отсчетов 691
— полилинейная 61
— предельная 428
— производящая, см. производящая
функция последовательности
— равномерно непрерывная на мно-
множестве 537
— тока 365
— фазовая 745
— финитная 164, 531
— Хевисайда 548, 558, 560, 579, 586
Цепочка карт многообразия 387
дезориентирующая, или про-
противоречивая 387
Цепь сингулярных кубов 421
Цикл граничный 422
— Карно 268
— размерности р 422
Циклическая постоянная 424
Циклы гомологичные 422
Цилиндр 201
Циркуляция поля вдоль контура 278
Частная производная 86
Частный дифференциал 86
Частота 659
— гармоническая 659
— круговая 659
— собственная колебаний струны 610
Частотная характеристика 661
Частотный спектр 697
Чебышева многочлены 618
Чебышева - Лагерра многочлены 618
Чебышевская метрика 4
Числа Бернулли 746
— собственные задачи 610
784
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шар (в метрическом пространстве) 6
—замкнутый 6
Штурма-Лиувилля задача, см. зада-
задача Штурма -Лиувилля
Эйлера уравнение гидродинамиче-
гидродинамическое 361
Эйлера-Лагранжа уравнение 111
Эйлеровы интегралы 515-528
второго рода 515
первого рода 515
Эквивалентность атласов 382
— функций асимптотическая 701
Экспонента интегральная 704
— от оператора 84, 87, 88
Экстремум функции (функционала)
достаточное условие 106
необходимое условие 106
условный 128
Электростатики уравнения 337
Элемент (форма) объема 272
Эллиптический интеграл 464, 483,
487
Энтропия 355
Эрмитова форма 56
невырожденная 56
положительная 56
Явление Гиббса 640, 654
Ядро Дирихле 626, 633, 655
— Пуассона для круга 556
— ФейерабЗЗ
Якоби тождество 88
Якобиан замены координат общих
полярных 200
сферических 318
триортогональных 318
цилиндрических 318
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель Н.Х. (Abel N.H.) 443-445,
448, 449, 453, 496
Адамар Ж. (Hadamard J.) 443, 481,
488
Александер Дж.У. (Alexander J.W.)
196
Ампер А. М. (Ampere A. M.) 278
Архимед ('Архчл^О 290
Арцела Ч. (Arzela С.) 468, 470, 477
Асколи Дж. (Ascoli G.) 468, 470, 477
Банах С. (Banach S.) 43
Бернулли Д. (Bernoulli D.) 364
Бернулли И. (Bernoulli Johann) 112
Бернулли Я. (Bernoulli Jacob) 652, 746
Бессель Ф.В. (Bessel F.W.) 462, 464,
483, 487, 599
Био Ж.-Б. (Biot J.-B.) 280
Борель Э. (Borel E.) 683
Брауэр Л.Э.Я. (Brouwer L.E. J.) 214,
287, 377
Брунн Г. (Brunn H.) 146
Буняковскии В. Я. 57, 532
Валлис Дж. (Wallis J.) 512, 747
Ватсон (Уотсон) Дж. Н. (Watson
G. N.) 727, 744
Вейерштрасс К. Т. В. (Weierstrafi
K.Th.W.) 442, 463, 472, 477, 495,
539, 582, 634
Виртингер В. (Wirtinger W.) 654
Гамильтон У. P. (Hamilton W.R.) 310
Гаусс К. Ф. (Gauss С. F.) 287, 297,
299, 300, 327, 331, 336, 337, 463,
518, 526, 555, 576, 585
Геизенберг В. (Heisenberg W.) 694
Гёльдер О. (Holder О.) 151
Гельмгольц (фон Гельмгольц) Г. Л. Ф.
(von Helmholtz H. L. F.) 355
Гиббс Дж.У. (Gibbs J.W.) 640, 654
Гильберт Д. (Hubert D.) 396
Грам И. П. (Gram J.P.) 222, 592, 601
Грассман Г. Г. (Grassmann H. G.) 374
Грин Дж. (Green G.) 281, 297, 298,
335, 554
Гурвиц A. (Hurwitz A.) 646
Даламбер Ж. (D'Alembert J.) 360
Дарбу Г. (Darboux G.) 137-139, 144,
467
Де Рам, см. Рам
Джоуль Дж.П. (Joule J.P.) 267
Дини У. (Dini U.) 455, 500, 630
Дирак П. А. М. (Dirac P. A. M.) 330,
546 •
Дирихле (Лежен — Дирихле) П. Г.
(Lejeune — Dirichlet P.G.) 338,
429, 443, 445, 449, 496, 503, 513,
612, 626, 655, 665, 670, 671
Жордан К. (Jordan С.) 144-146, 150,
151, 157-159, 165, 175, 176
Галилей Г. (Galilei G.) 698
Ирншоу С. (Earnshaw S.) 337
786
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Кавальери Б. (Cavalieri В.) 159
Кантор Г. (Cantor G.) 34, 41, 134
Канторович Л. В. 49
Карлесон Л. (Carleson L.) 625
Карно Н. Л. С. (Carnot N. L. S.) 268
Картан Э. (Cartan E.) 296
Кельвин (лорд Кельвин), см. Томсон
Клапейрон Э. (Clapeyron E.) 265
Клаузиус Р. Э. (Clausius R. Е.) 269
Клейн Ф.Х. (Klein F.Ch.) 203, 381
Колмогоров А.Н. 625
Котельников В. А. 688, 689
Коши О. Л. (Cauchy A.L.) 26, 37, 57,
338, 364, 365, 436, 440, 443, 493,
532
Кронрод А. С. 280
Крылов А. Н. 639
Кулон (де Кулон) Ш. (de Coulomb
Ch.) 329, 340
Лагерр Э. (Laguerre E.) 618
Лагранж (де Лагранж) Ж. Л. (de La-
grange J.L.) 49, 111, 128, 364
Ламе Г. (Lame G.) 316
Лаплас (де Лаплас) П. С. (de Laplace
P.S.) 312, 323, 358, 365, 692, 718,
719
Лебег А. Л. (Lebesgue H.L.) 132, 134,
141, 144-146, 150, 167, 175, 466,
467
Лежандр А. М. (Legendre A. M.) 487,
525, 593, 614, 616
Лейбниц Г. В. (Leibniz G.W.) 161,
296, 326, 482, 551, 674
Ли С. (Lie S.) 88, 396, 414
Лиувилль Ж. (Liouville J.) 615
Лоренц Г. A. (Lorentz H. А.) 698
Лузин Н. Н. 625
Ляпунов A.M. 612
Майер (фон Майер) Ю. P. (von
Mayer J. R.) 267
Максвелл Дж.К. (Maxwell J. С.) 281,
296, 309, 331, 337, 366
Мёбиус А.Ф. (Mobius A.F.) 202, 385,
395
Меньшов Д. Е. 625
Милнор Дж. (Milnor J.) 394
Минковский Г. (Minkowski H.) 146,
152, 232, 583
Морс А.Р. (Morse A.P.) 180
Морс М.Н. (Morse M.H.) 743, 744, 748,
752
Ньютон И. (Newton I.) 48, 297, 326,
361, 365, 674
Остроградский М.В. 287, 296, 327,
576, 577, 585
Парсеваль М. (Parseval M.) 604, 612,
623, 643, 645, 682, 683
Пикар Ш. Э. (Picard Ch. E.) 43, 45
Пифагор (Пибаубрас;) 231, 595
Планшерель М. (Plancherel M.) 693
Пуанкаре A. (Poincare H.) 296, 349,
416, 425, 706, 707
Пуассон С. Д. (Poisson S.D.) 267, 352,
365, 411, 510, 521, 541, 556, 582,
667, 682, 687, 692, 697
Раабе Й.Л. (Raabe J.L.) 525
Радемахер Г. A. (Rademacher H. А.)
619
де Рам Ж. (de Rham G.) 424
Риман Б. (Riemann В.) 129-132, 365,
526, 625, 627, 632, 666, 749
Савар Ф. (Savart F.) 280
Сард A. (Sard A.) 179, 180, 281
Соболев С. Л. 547
Стеклов В. А. 612, 653
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 527, 731,
746
Стоке Дж.Г. (Stokes G. G.) 291, 294,
296, 297, 327, 407, 413, 423
Стоун М. X. (Stone M. Н.) 475, 478
Таубер A. (Tauber A.) 466
Тейлор Б. (Taylor В.) 105, 488, 609
Томсон У., лорд Кельвин (Thomson
W., Lord Kelvin) 267, 281, 296
Уитни X. (Whitney H.) 180, 204, 394
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
787
Уотсон, см. Ватсон
Фарадей М. (Faraday M.) 277
Федерер Г. (Federer H.) 280
Фейер Л. (Fejer L.) 632-634, 655
Фейнман P. (Feynman R.) 309
Френе Ж.-Ф. (Frenet J.-F.) 89
Френель О. (Fresnel A.) 513, 716
Фреше М. (Frechet M.) 14
Фубини Г. (Pubini G.) 152, 153
Фурье Ж. (Fourier J.) 587, 589, 595,
596, 608, 609, 651-654, 658-697,
744
Хаар А. (Нааг А.) 619
Харди Г. X. (Hardy G. Н.) 466
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 11, 14, 15
Хевисаид О. (Heaviside О.) 548
Чебышев П. Л. 4, 592, 618
Чезаро Э. (Cesaro E.) 465
Шварц Г. A. (Schwarz H.A.) 231, 232
Шварц Л. (Schwartz L.) 547, 695
Шмидт Э. (Schmidt E.) 592
Штурм Ш. (Sturm Ch.) 615
Эйлер Л. (Euler L.) Ill, 361, 510, 515,
518, 521, 524, 667, 682
Эрдейи A. (Erdelyi A.) 716, 745, 750,
752
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 56, 618
Якоби К. Г. Я. (Jacobi К. G. J.) 88
Владимир Антонович Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть II
Директор издательского проекта И. Ященко
Компьютерный набор А. Ахметшин, Е. Бунина,
Т.Михайлова, М.Ушаков, Д.Шварц, В.Шувалов
Верстка В. Кондратьев
Рисунки (с использованием системы MetaPost) В.Кондратьев
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000
Подписано в печать 30.09.2002. Формат 70 х 100/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 50,5
Тираж 3000. Заказ № 4574
МЦНМО
119002, Москва, Б.Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография „Новости"»
107005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, 46