СМ. НИКОЛЬСКИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Государственным Комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных отделений вузов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I «89

ББК 22.161
Н64
УДК 517@
Никольский С. М. Элементы математического анализа: Учеб.
пособие.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1989.—С. 224.—ISBN 5-02-013957-2.
Математический анализ в этой книге изучается на геометриче-
геометрической и физической основе. Непрерывный график и движение сами
по себе служат основой для фундаментальных выводов. Излагаются
дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения.
Последняя глава посвящена действительному числу, изучаемому
на базе представления его в виде десятичной (вообще бесконечной)
Дроби.
Первое издание вышло в 1981 г. Для второго издания книга
переработана и дополнена.
Для школьников и преподавателей средних школ. Может ока-
еаться полезной учащимся техникумов и для самообразования.
Ил. 122.
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского энергетического инсти-
института (заведующий кафедрой член-корреспондент АН СССР С. И, tloxo»
жаев);
доктор физико-математических наук профессор Л Н. Яковлев
1G02070000—069
Н —п-„ ,пч. „о— 57-89 © Издательст
053@2)-89 Главная рб
ыатеыатиче
ISBN 5-02-013957-2 Wef

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию Г 6
Из предисловия к первому изданию [8
Глава 1. Функция 9
§ 1.1. Чем занимается математический анализ? .... 9
§ 1.2: Обозначение множества чисел 9
§ 1.3. Примеры функций 10
§ 1.4. Определение понятия функции 11
§ 1.5. Задание функции формулой 12
§ 1.6. Задание функции графиком . 14
§ 1.7. Задание функции таблицей 16
§ 1.8. Сложная функция 17
§ 1.9. Свойства некоторых функций 18
Глава 2. Тригонометрические функции 24
§2.1. Числовая окружность . . . 24
§ 2.2. Функция cos а и sin а 28
§ 2.3. Графики функций sin а и cos а 32
§ 2.4. Функции tg а и ctga 35
§ 2.5. Ось тангенсов и ось котангенсов 37
§ 2.6. Графики функций tg a и ctga 40
§ 2.7. Арксинус 43
§ 2.8. Арккосинус 46
§2.9. Арктангенс и арккотангенс . . 49
§ 2.10. Обратная функция 52
§ 2.J1. Функции arcslnjt, агосовлг, arctg.* 54
§ 2.12. Примеры решений тригонометрических уравнений 57
§ 2.13. Список основных формул тригонометрии .... 60
Глава 3. Предел 63
§ 3.1, Предел последовательности 63
§3.2. Бесконечно большая величина 66
§ 3.3. Действия с пределами 66
§ 3.4. Предел ?—Z 70
§ 3.5. Предел функции 72
§ 3.6. Действия с пределами функций 74
§ 3.7. Непрерывность функции 77
§ 3.8. Элементарные функции 81
§ 3.9. Непрерывность сложной функции 81
§ 3.10. Разрывные функции 82
Глава 4. Показательная, логарифмическая и общая степен-
степенная функции . . 86
§ 4.1. Свойства функции а* «,,..,.,.,,... 86

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.2. а* для целых и рациональных х 87
1 <5 4.3. а* для действительных х ............ 89
' § 4.4. Неравенство Бернулли .. i 90
§ 4.5. Число е 92
E 4.6. Логарифмическая функция 96
¦ ¦ -« 4.7. Логарифм с основанием 10 102
. § 4.8. Степенная функция ............... 104
Глава 5. Производная 107
¦: § 5:1-. Мгновенная скорость 107
: § 5.2. Касательная к кривой и сила тока . ...... 109
.¦¦¦§ 5.3. Производная , ..... '. .111
5.4. Непрерывность функции, имеющей производную 112
5.5. Формулы дифференцирования . \ ...... ^ . 114
5.6. Производная от показательной функции ..... 116
6.7. Производная от логарифмической функции ... 117
5.8. Производная от произведения и частного .... 117
5.9. Производная от tg х и ctg х ...... . .... ..... 118
5.10. Задачи . 118
§ 5.11. Производная сложной функции 119
§ 5.12. Производная обратной функции ,,,,...., 121
Ряава 6. Применения производной ....,...,,,, 124
§6.1. Максимум и минимум функции ..... .". , . 124
§ 6.2.' Возрастание и убывание функции ....,,,. 130
§ 6.3. Выпуклость и вогнутость ............ 131
§6.4. Черчение схематических графиков ....... 134
§ 6.5. Теоремы о среднем 137
Рдава 7. Интегральной исчисление 141
§ 7.1. Первообразная . . . ; 141
§ 7!2. Неопределенный интеграл .............. 142
§ 7.3. Замена переменной ...... I 144
§ 7.4. Проблема интегрирования элементарных.функций 146
§ 7.5. Площадь криволинейной фигуры. Определенный
интеграл 147
§ 7.6. Работа. Масса стержня . . . . . . . . . < . . . 149
§ 7.7. Теорема Ньютона—Лейбница .. ...... . « 150
§7.8. Доказательство формулы Ньютона-^Лейбница ^ ,153
§ 7.9. Свойства определенных интегралов 154
§ 7.10. Площадь круга 156
§7.11. Длина окружности ' . , . . ..... < . . . •¦¦¦¦ 157
§ 7.12. Объем тела вращения . < 158
§ 7.13. Объем шара 159
§ 7.14. Площадь поверхности шара < 159
§ 7.15. Работа электрического заряда 160
§ 7.16. Давление жидкости на стенку • 161
§ 7.17. Центр тяжести 162
Рлава 8. Дифференциальные уравнения ......... 165
§ 8.1. Охлаждение тела 165
§ 8_.2. Нахождение закона движения тела по его ско-
скорости 166
§ 8.3. Равномерно ускоренное движение ..,..<,. 167
§ 8.4. Колебание пружины 168

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 9. Формула Тейлора . ... . «¦¦.- ... . . ;¦• , .' 172
§ 9.1. Понятие формулы Тейлора . . . . . , . .: . , ¦, '172
§ 9.2. Примеры . , . . 174
Глава 10. Действительное число . . . . . . . . . . . , . 176
§ 10.1. Десятичные разложения рациональных чисел . . 176
§ 10.2. Десятичные разложения иррациональных чисел . 179
§ 10.3. Сравнение действительных чисел . . . . . . . . 181
§ 10.4. Десятичное приближение действительного числа 182
§ 10.5. Числовая прямая ................ 183
§ 10.6. Принцип вложенных отрезков .......... 187
§ 10.7. Арифметические действия. Оценки приближений 187
§ 10.8. Свойства действительных чисел ......... 190
Глава 11. Формула бинома Ньютона. Комбинаторика ... 192
§ 11.1. Число С* .192
§ 11.2. Формула бинома Ньютона. Метод индукции . . .193
§ 11.3. Перестановки 195
§ 11.4. Размещения 196
§ 11.5. Сочетания 197
§ 11.6. Связь с биномиальными коэффициентами. Другой
вывод формулы бинома Ньютона . ....... 199
§ 11.7. Вероятность события 199
Глава 12. Комплексные числа .............. 203
§ 12.1. Понятие комплексного числа . . . . . ... . . 203
I 12.2. Уравнение х2 = с 205
§ 12.3. Применение комплексных чисел в квадратных
уравнениях ......". . 207
§ 12.4. Геометрическое изображение комплексных чисел 209
§ 12.5. Показательная форма комплексного числа ... 210
Глава 13. Приближенные вычисления . 214
§ 13.1. Понятие приближения . 214
§ 13.2. Абсолютная погрешность 215
§ 13.3. Относительная погрешность .......... 216
§ '3-4. Вычисление произведения и частного 217
§ 13.5. Обоснование правила . . . , , 219
Дополнительные упражнения 221

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Моя книга «Элементы математического анализа», из-
изданная в 1981 г. массовым тиражом, была быстро рас-
распродана, и теперь видно, что ее целесообразно выпустить
вторым изданием. Для второго издания я решил ее пе-
переработать на основании опыта, который приобрел в
последние годы, занимаясь школьными учебниками.
Изменения направлены на то, чтобы книгу свободно
мог читать всякий, кто знает математику в пределах
8 классов десятилетней школы. Я проследил за тем, что-
чтобы в новом издании был охвачен программный материал
9 и 10 классов. Этот материал исчерпывают первые во-
восемь глав настоящей книги.
Появилась необходимость ввести главу «Тригонометри-
«Тригонометрические функции». Тригонометрию хотя и изучают в
8 классе, но без введения тригонометрических функций,
тем более без обратных тригонометрических функций.
Во втором издании читатель также обнаружит неко-
некоторые методические изменения в изложении материала о
показательной функции. В школе показательную функ-
функцию проходят в 10 классе. Определение функции а* для
любых действительных х—трудный вопрос. Автор много
размышлял над тем, как лучше преподнести его школь-
школьнику, чтобы было и элементарно, и научно.
Изложение понятий собственно анализа—предела,
производной, интеграла—осталось прежним, как в пер-
первом издании. Понятие предела дается на интуитивной
основе, выясняется на примерах, без формальных опре-
определений. Без доказательства формулируются основные
свойства пределов. Такие факты как существование мак-
максимума у непрерывной на отрезке функции или сущест-
существование и единственность точки пересечения непрерыв-
непрерывного монотонного графика с прямой, параллельной оси
абсцисс, обнаруживаются из рассмотрения графика. Но
и при этом можно изложить вопрос совсем элементарно
или провести формальные рассуждения. Последние даны

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 7
петитом. Добавлена глава о дифференциальных уравне-
уравнениях.
Остальные пять глав (9—13) могут быть исполь-
использованы для дополнительного изучения в школах с фи-
физико-математическим уклоном. Комплексные числа, би-
бином Ньютона, комбинаторика, приближенные вычисления
— вев это совершенно необходимые темы. Неплохо подвес-
подвести также итог своих знаний о действительных числах.
Кстати, надо сказать, что о них школьник получает до»
вольно-таки разрозненные сведения.
Автор придает значение главе «Формула Тейлора»,
дающей важную точку зрения на элементарные функции.
В настоящем издании вывод этой формулы приведен в
более доходчивой форме, чем в первом издании. Я бла-
благодарю академика А. Д. Александрова, обратившего мое
внимание на то, что в первом издании изложение этого
вопроса трудное.
Эта книга будет полезна не только школьникам, но
и учащимся ПТУ, техникумов и студентам вузов с очень
краткой программой по математике, учителям и вообще
для общего образования.
Считаю своим долгом выразить благодарность А. В. Шев-
кину, который помог мне написать главу «Тригонометри-
«Тригонометрические функции» и перераспределить главу «Функции».
С. М. Никольский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Я имею опыт преподавания математического анализа
на элементарной основе. В тридцатых годах я препода-
преподавал в технических вузах Днепропетровска, где слушате-
слушателями были в основном рабфаковцы. Сейчас я делюсь
евоим опытом.
Эту книгу порекомендовали мне написать академик
И. М. Виноградов, академик К. К. Марджанишвили и
член-корреспондент АН GCCP Е. Ф. Мищенко. Они озна-
ознакомились с написанной рукописью и дали весьма ценные
советы. Рукопись была прочитана подробно проф.
С. И. Адяном, проф. А. А. Карацубой и официальными
рецензентами издательства «Наука» проф. А. В. Ефимо:
вым и проф. М. К. Потаповым. Они дали много ценных
советов. Полезные замечания по рукописи я получил
также от профессора С. А. Теляковского и Главного
управления школ Министерства просвещения СССР, где
она изучалась. Наконец, главу «Математический анализ»
с дополнением к ней подробно изучил академик Л. С. Пон-
трягин. Ряд его замечаний я учел, в частности, дополнив
рукопись (петитом) формальными доказательствами некото-
некоторых положений, объясненных из наглядных соображений.
Всем указанным лицам и Главному управлению школ
Министерства просвещения СССР я выражаю глубокую
благодарность.
Наконец, я отмечаю, что Комиссия по реформе мате-
математического образования в средней школе при Бюро,
отделения математики Академии наук СССР под предсе-
председательством академика И. М. Виноградова рекомендовала
Министерству просвещения СССР допустить данную книгу
как учебное пособие для учащихся средних школ.
Сейчас, когда книга находится в корректуре, стало
известно, что она рекомендована в качестве пособия для
учителей. Все же я не изменяю начало своего предисло-
предисловия, потому что убежден, что эта книга вполне доступна
школьникам.
1980 СМ. Никольский

ГЛАВА 1
ФУНКЦИЯ
§ 1.1. Чем занимается математический анализ?
Название «математический анализ»—сокращенное ви-
видоизменение старого названия «анализ бесконечно малых».
Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное.
Название «анализ посредством бесконечно малых» харак-
характеризовало бы предмет более точно.
Было бы лучше, если бы название отражало те объек-
объекты, которые подвергаются анализу (изучению). В клас-
классическом математическом анализе такими объектами явля-
являются прежде всего функции, т. е. переменные величины,
зависящие от других переменных величин. Функции мы
всюду встречаем в практике, функции описывают движе-
движения, физические явления. Они встречаются в технике,-'
геометрии, механике, химии, экономике. Изучая функции,
мы изучаем конкретные явления, которые они описывают.
Одна и та же функция может описывать явления совер-
совершенно различной природы и тем самым объединять в себе
закономерности, которым эти явления подчиняются.
Математический анализ является средством изучения
функций, но тогда и средством изучения окружающих
нас явлений. Важными понятиями математического ана-
анализа являются предел и непрерывность функции, произ-
производная и интеграл. В этой главе читатель получит на-
начальные сведения об этих понятиях, их связи и их при-
приложениях.
§ 1.2. Обозначение некоторых множеств чисел
Рациональные и иррациональные числа называются
действительными числами (см. гл. 10).
rtytfrb а и Ь—действительные числа (точки числовой
прямой), удовлетворяющие неравенству а<Ь.
Отрезком [а, Ь] называется множество чисел (точен)
#, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ Ь. Интервалом
(о, о) называется множество чисел х, удовлетворяющих

10 гл. i. функция
неравенствам а < х < Ь. Интервалом. (— оо, -f оо) назы-
называется множество всех действительных чисел х (точек
числовой прямой). Говорят еще, что это есть множество
чисел х, удовлетворяющих неравенствам — оо < х < -f оо.
Интервалом (а, + °°) называется множество чисел х,
больших числа а, или, как говорят, множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а<;г< + оо. Интерва-
Интервалом (—оо, Ь) называется множество чисел х, меньших
числа Ь, или, как говорят, множество чисел х, удовлет-
удовлетворяющих неравенствам — оо < х < Ъ.
Полуинтервалом [а, Ь) или (а, 6] называется множе-
множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ^ х < b
или а < х ^ b соответственно.
Отрезок, интервал или полуинтервал мы будем назы-
называть еще промежуткам..
Нам встретятся и другие множества (совокупности)
чисел, которые не обязательно имеют специальные назва-
названия. Их обозначают разными буквами; Е, А, В, ...
§ 1.3. Примеры функций
В окружающей нас действительности мы всюду на-
наблюдаем явления, органически связанные между собой.
Нередко эти явления сопровождаются связями между те-
теми или иными величинами, заключающимися в том, что
одна величина, вообще говоря переменная, зависит в си-
силу определенного закона от другой переменной величины.
В таких случаях говорят, что первая величина есть функ-
функция второй. При этом вторую величину называют незави-
независимой переменной или аргументом, а первую—зависимой.
Приведем примеры таких функций.
1. Пусть в начальный момент времени / = 0 матери-
материальная точка находилась в покое, а затем (при t > 0) на-
начала падать под воздействием силы тяжести: Тогда путь
s, пройденный точкой за время /, выразится формулой
где g—ускорение силы тяжести. В данном случае мы
имеем дело с двумя переменными величинами t и s.
Каждому значению времени t в силу закона, выражен-
выраженного формулой A), приводится в соответствие определен-
определенное значение s. Этим определена функция s = 4p на
множестве неотрицательных значений t.

$ 1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ f|
2. Закон Бойля—Мариотта устанавливает связь меж-
между давлением и объемом данного количества газа при
постоянной температуре!
р = ± (О>0), B)
где с—константа, v—объем, занимаемый данным коли-
количеством газа, р—его давление. Здесь р является функ-
функцией v и однозначно вычисляется по формуле B).
3. Площадь круга радиуса г есть величина 5, зави-
зависящая от г. S вычисляется по формуле
Если изменять г, то соответственно будет изменяться
5. Поскольку здесь речь идет о площади круга, то дан-
данная функция определена на множестве положительных
чисел г.
§ 1.4. Определение понятия функции
Пусть Е есть множество чисел и пусть в силу неко-
некоторого вполне определенного закона каждому числу х из
Е приведено в соответствие одно число у; тогда говорят,
что на Е задана функция, которую записывают так:
Это определение функции предложено Н. И. Лобачев-
Лобачевским и Дирихле *). Множество Е называют областью за-
задания или областью определения функции f(x). Говорят
также, что задана независимая переменная х, которая мо-
может принимать частные значения х из множества Е.
Каждому такому значению х в силу упомянутого закона
приведено в соответствие определенное значение (число)
другой переменной у, называемой функцией аргумента х.
Для выражения понятия функции употребляют гео-
геометрический язык. Говорят, что задано множество точек
хдействительной прямой—область определения функции —
и закон, в силу которого каждой точке множества ? при-
приводится в соответствие число # = /(#), Если мы хотим
говорить о функции как о некотором законе, приводя-
•) Н. И. Лобачевский A792 —1856) — русский математик, соз-
создатель неевклидовой геометрии. П. Г. Дирихле A805—1859)—ие«
мвпкнй математик.
мецкнй математик.

12 гл. \. фи1 кция
щем в соответствие каждому числу хиз Е некоторое
число у, то достаточно ее обозначить одной букйоЙ'""f.
Символ f{x) обозначает число у, которое в силу заюi на
/ соответствует числу к. Если, например, число 1 при-
принадлежит области Е определения функции /, то /A)есть
значение функции f в точке х=\. Если 1 не принадле-
принадлежит Ё, то говорят, что функция / не определена в точке
x—i..
Для функций / и ф, имеющих одну и ту же область
определения Е, определяются сумма / + q>, разность
f—ф, произведение /чр, частное //ф. Это новые функции,
значения которых выражаются соответственно формулами
f{x)-v(x), f{xL[x).
здесь в случае частного предполагается, что у(х)Ф0
на Е.
Для обозначения функции употребляются и любые
другие буквы: F, Ф, ^Р, . .., так же как вместо х, у
можно писать г, и, v, w, ...
§ 1.5. Задание функции формулой
j. Возможны различные способы задания функции. Среди
них особенно важное значение имеет задание функции
при помощи формулы.
Приведем несколько примеров функций, заданных
формулами.
Постоянная функция
У = с .(— оо < х < + оо).
Каждому действительному х соответствует одно и то же
значение у, равное числу с.
Степенная функция
у = хп (_оо<*< + оо, и = 1, 2, 3, ...),
При различных значениях п получим у = х, у = х%, у = х*
и т. д.
Линейная функция
Линейные функции встречаются в приложениях очень
часто Многие физические законы выражаются, и притом

$ 1.5. ЗАДАНИ? ФУНКЦИИ ФОРМУЛОЙ 4,3
достаточно точно, линейными функциями. Например,
длина / стержня с хорошим приближением рассматрива-
рассматривается как линейная функция его температуры t\
где а—коэффициент линейного расширения, /л— длина
стержня при * = 0. Если х—время, а у—путь, пройден-
пройденный за это время точкой, то линейная функция у = kx-\-b
выражает тот факт, что точка движется равномерно со
скоростью k, число же Ь есть расстояние точки от нача-
начала отсчета пути в момент времени х = 0. Возможность
приближенно считать равномерными различные изменения
хотя бы на малых участках и простота линейной функ-
функции делают ее очень употребительной.
Частным случаем линейной функции (при 6 = 0) яв-
является прямая пропорциональность
Функция второй степени
(—оо <*<-]-ос)
тоже встречается в приложениях, например, при описа-
описании равномерного ускоренного движения.
Можно рассматривать функции третьей, четвертой ¦
вообще ft-й степени. Функция
(— со < х < -J- оо)
есть пример функции четвертой степени.
Функция n-й степени, или, как ее называют, много-
многочлен п-й степени; получается из заданных постоянных я
степенной функции у = х при помощи действий сложения,
вычитания и умножения, взятых в конечном числе. Если
прибавить к этим действиям еще деление, то будем по-
получать так называемые рациональные функции. Вот при-
примеры рациональных функций;
у~ х ' у~~\—х' у~ х2~5х-\-6 '
Рациональную функцию всегда можно записать в виде
би, у которой числитель и знаменатель—многочлены.
Национальная функция определена для всех действитель-
действительных х, которые не обращают знаменатель в нуль.

14
гл. i. функция
Частным случаем рациональной функции являете*
функция, выражающая обратную пропорциональность
Функция на различных частях ее области определе-
определения может быть задана различными формулами. Напри-
Например, пусть поезд, вышедший из пункта А в момент / = 0,
шел в течение двух часов со скоростью 100 км/ ч и,
прибыв в пункт В, стоял там один час, а затем шел
дальше в течение трех часов со скоростью 80 км/ч. Тогда
функция s = / (t), выражающая расстояние (в километрах)
поезда от А в момент времени /, очевидно будет опреде-
определяться следующими тремя формулами!
( 100/, 0</<2,
f(t) = { 200, 2<*<3, C)
[ 80/—40, 3</<6.
В дальнейшем мы остановимся достаточно подробно
на тригонометрических функциях и введем новые функ-
функции—показательную и логарифмическую.
§ 1.6. Задание функции графиком
Важным средством задания функции является график.
Зададим прямоугольную (декартову) систему координат
хОу (рис. 1), на оси х отметим отрезок {а, Ь\ и изобра-
У
0
\
а я
b x
Z
г
X
Рис. 1
Рис. 2
зим любую кривую Г, обладающую следующим свойством;
какова бы ни была точка х отрезка, прямая, проходящая
через нее параллельно оси у, пересекает кривую Г в един-
единственной точке А. Такую кривую Г мы будем называть
графиком. График определяет функцию y = f{x) наотрез-

i 1.6. ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ ГРАФИКОМ Б
ке \а, Ь] следующим образом. Если х есть произвольная
точка отрезка \а, Ь], то соответствующее значение y=f(x)
определяется как ордината точки А (см. рис. 1). Следо-
Следовательно, с помощью графика дается вполне определенный
закон соответствия между х и y = f(x).
Графиком функции у = с является прямая, параллель-
параллельная оси х и пересекающая ось у в точке @; с). На рис. 2
изображен график функции у =4.
ЯГ*
Рис. S
Графики степенной функции для я = 1, 2, 3, 4 изобра-
изображены на рис. 3 и 4.
Графиком линейной функции y = kx-\-b является пря»
мая, образующая с положительным направлением оси й
угол, тангенс которого равен k, и пересекающая ось §
в точке, ордината которой равна Ь.

re
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
Графиком функции второй степени у = ах* + Ьх+с яв-
является парабола.
Графиком обратной пропорциональности является ги-
гипербола.
¦з
2-
1-
¦»¦ I -i 'i 2
Рис. 7
Рис. 8
На рис. 5—7 приведены графики функций у**2х—3,
y=Yxt—2х+2 и У==Т-
График функции, заданный формулами C), изображен
на рис- 8-
§ 1.7. Задание функции таблицей
Функция может быть задана с помощью таблицы. Пусть,
например, результаты измерения температуры воздуха Т
в момент времени / = 0, 1, 2 10 часов занесены в
таблицу:
т
0
2
1
1,5
2
1
3
I
4
0,5

1
6
1,5
7
2
8
3
9
4
10
6
Таким образом, мы получили функцию T = f (t), опреде-
определенную на множестве Е целых чисел от 0 до 10, задан-
заданную -таблицей. График функции 71 = /(/), состоящий из
12 точек, изображен на рис. 9.
Используя приведенную таблицу и учитывая, что тем-
температура Т изменялась непрерывно, можно рассмотреть

$ i.e. сложная функция
17
/ Z 3 4 & fi 7 8 3
Рис. 9
функцию T=f(t) на множестве [0, 10]. Ее график может
быть получен из первого лишь приближенно, плавным со-
соединением его точек.
§ 1.8. Сложная функция
С помощью арифметических действий можно конструиро-
конструировать по данным функциям новые функции. Но существует
еще и другое средство конструирования функции по дан-
данным функциям. Мы имеем в виду операцию функции от
функции.
Пусть заданы две функции y = f(u) и ы = ф(лс), где О
есть область определения /, а Е—область определения ф,
и пусть каждому л: из ? соответствует при помощи функ-
функции ф значение и, принадлежащее G. Тогда можно скон-
сконструировать сложную функцию y = f(<$ {x)) от л: с областью
определения Е. Ее называют также функцией от функции.
Например, функцию '
можно рассматривать как сложную функцию
(, = «3, ц = ха+1 (_оо <*< + «>),
определенную для всех точек дг или, как говорят, опре*
деленную на интервале (—оо, + °°)
Возможна сложная функция, в образовании которой
участвует п функций:

18 ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
Например, функция
2 = V\— хг (—1<*<1) D)
есть сложная функция, сконструированная из трех функ-
функций;
1 = Кп, и=\— у, у = х\
Так как функция Vи определена только для и^О, то
функция D) определена для таких х, которые удовлетво-
удовлетворяют неравенству 1 — х* > 0 или, что все равно, неравен-
неравенствам —1 г^я^ 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое
1) функция,
2) область задания функции,
3) постоянная функция,
4) линейная функция,
5) степенная функция,
6) многочлен второй степени,
7) многочлен л-й степени,
8) рациональная функция,
9) сложная функция?
2. Нарисуйте схематические графики функций хг, дс*,
3. Укажите области определения функций
1) ^, 2) V~x, 3) Ух.
4. По цепочкам функций написать соответствующую
сложную функцию и указать область ее задания!
1) y = Vv :у = 1 + и и = х2;
2) y = Vv, v=l—и, и =
§ 1.9. Свойства некоторых функций
Функция f(x) называется четной, если выполняется
равенство
для всех значений х из области ее определения.

§ 1.9. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
19
Например, функция х* четная, потому, что (—'Х)а — ха
для всех х. Вообще любая функция вида х", где п—чет-
п—четное число, четная. Ведь для четного п выполняется ра-
равенство
(— х)п = хп,
каково бы ни было х.
График четной функции y = f(x) симметричен относи-
относительно оси у, потому что при условии/(—х) — f (х) точки
графика (х, f(x)) и (—х, /(—х)) симметричны относи-
относительно оси у. На рис. 4 изображены графики четных функ-
функций у = хг и у = х*.
Функция f(x) называется нечетной, если выполняется
равенство
для всех значений х из области ее определения.
Например, функция х" нечетная, потому что (—х)* =
= —л? для всех х. Вообще функция хп при нечетном п
нечетные, а при четном п—четные.
График нечетной функции y = f(x) симметричен относи-
относительно начала координат, потому что при условии /(—х)=
=—f(x) точки (х, f(x)) и (—х, /(—#)) симметричны от-
относительно начала координат. На рис. 3 изображены гра-
графики нечетных функций у = л: и у — х%.
Функция y = f(x) называется возрастающей на про-
промежутке значений х, если большему значению х из этого
промежутка соответствует большее значение у.
ь
Рис. 10
Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке,
если большему значению х из этого промежутка соответ-
соответствует меньшее значение у.
Следовательно, если точки хх и х% принадлежат про-
промежутку и хг < xt, то в случае возрастающей функции
f(Xi)<f{x2) и в случае убывающей функции f(xt) > /(*2).

20
ГЛ.. 1. ФУНКЦИЯ
На рис. 10 изображен график функции, возрастающей
на, [a, ft] и убывающей на \р,с].
Функция у — х" при нечетном п возрастает на всей
действительной оси (— оо, оо); при четном же п Она воз-
возрастает только на [0, оо) и, убывает на (— оо, 0] (см.
рис, 3 и 4).
График функции | / (х) | совпадает с графиком / (х) там,
где / (х) > 0, ;и симметричен ему относительно оси х там,
где f(x)<0.\ На рис. 11 изображен график функции
(х для х>0,
0 для * = 0,
— х для х < 0.
На рис. 12 приведены графики функций л:2—2x^—3 и
\хг—2х—3\. ;
График функции /(*+ а), где а—заданное число, по-
получается сдвигом графика f(x) влево на величину а. При
Рис. 12
а < 0 на самом деле это есть сдвиг на величину] а| вправо.
На рис. 13 изображен график функции \х—21.
На рис. 14 изображен график функции У=
Так как
^
то график этой функции можно получить следующим обра-
образом. В системе координат хОу задан пунктиром графин

$ 1.9. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
21
функции —. Сдвигая его (мысленно) влево на величину 2,
прлучим график функции ^—^. Опуская последний вниз
на величину 3, получим искомый график функции —3+ jq
Функция f(x) называется периодической с периодом
Т (Т > 0), если выполняется равенство
/: ¦/(*+Л = /(*)
для всех х. Чтобы изобразить график этой функции, надо
нарисовать его для отрезка [0, Т), а затем продолжить
его периодически на всю действительную ось (рио. 15).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Запишите множество чисел х, удовлетворяющих не-
неравенствам (см. п. 1.2)
l)a^x<b; 2)a<x^b; 3) — оо<
4) а^х < оо.
2. Что называется функцией?

гл. I. функция
3. Функция y~f(x) задана таблицей
X
У
—3
9
—2
4
1
I
0
0
1
1
2
4
3
9
Задайте эту функцию графиком. Его точки соедините
плавной кривой.
4. Даны функции f{x) = — и <р (х) = х%+Ъх. Задайте
формулой функцию
1) ftoix)); ' 2)-Ф (/(*)); 3) /(Ф (/(*))).
5. Докажите, что функция
а) у = —4я2 + 5 является четной,
б) у — 7х3—Зх является нечетной.
в. Функции f(x) и ф (х) четные. Докажите, что функции
1) /(*) + ф(*); 2) /(дг)-ф(*); 3)/(Ф(*))
являются четными. Нужна ли четность /?
7. Функции f(x) и ф (jf) ¦ нечетные. Какими (четными
или нечетными) являются функции
1) f(x) + <p(x); 2) /М-Ф(х); 3) /(ф(*))?
Нужна ли нечетность ft
8. Какие из функций
I) i/ = 5*4—4л2 + 2; 2) y = 5jc3 + 3x5-f-Jt; 3) у = *• + *•
являются нечетными?
9. Какая функция называется а) возрастающей, б) убы-
убывающей на данном числовом промежутке?
10. Докажите, что функция у = х* является
¦¦; а) возрастающей на [0, + оо),
б) убывающей на. (—оо, 0].
Является ли функция у — хп возрастающей на всей своей
области определения?
ti. Докажите, что функция У = — является
а) возрастающей при k < 0,
б) убывающей при k > 0 на каждом из промежутков
(- оо, 0) и @, + оо).
12. Постройте графики функций
\) у = х-*\ 2) у = \х-4\; 3) 0 = |*-4|-2{
4)у = ||*-4|-2|; Ь) у = {х-\У; 6) у-(|*|-1)«;
7)у = (|дг|-1)«-1; 8) у = \{\х\-\У-\\;
9) у = х*—6д:+5; 10) у = х*—6|л| + 5;
II) у=|А*-6х+5|; 12) у = \х*-в\

14) у =
«1.9. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
У—Х—3~ 2х—6 ~ 2*_6 -'г+х~
3*+10
16)
13.
4) у
5) y
14.
x+2 '
15) у = \х-
17) y = Vx+4; 18) t/ = K —.
Найдите область определения функции:
з „ч 10
3) и — ух3 {
3;
= Vx%—lx+\2-\-V— x2 + 8x—15.
Постройте график функции
11 U2I а
д^2 Т+З
4) ^ = |лр|— х; 5) у = х—\х\; 6) *, = л;+2—
23
15. Функция y = f(x) задана своим графиком на от-
отрезке [—4, 2] (рис. 16). Постройте график функции
1) y=—f(x); 2) y = \f(x)\; 3) y = f(\x\);
4) y = f(x)-\
n 5) t/ = |
8) y = f{
|-/W; 6) y
9) y = 2f(x).

ГЛАВА 2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 2.1. Числовая окружность
Величины cos a, sin a, tg a, ctg а изучались в 7 — 8 клас-
классах на уроках геометрии и алгебры. Эти величины можно
рассматривать как функции от угла а или, отвлекаясь от
понятия угла, как функции от числового аргумента а.
Их называют тригонометрическими функциями. Здесь мы
рассматриваем графики этих функций. Чтобы понять как
они устроены, напомним определения тригонометрических
функций, которые, как мы знаем, даются из геометри-
геометрических соображений—при помощи единичной числовой
окружности. С нее и начнем.
Но прежде всего вспомним понятие радиана. Радианом
называется величина центрального угла окружности, опи-
опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу окруж-
окружности. Это определение не зависит от размеров окружно-
окружности. Поэтому можно еще сказать, что радиан есть вели-
У
Рис. 17
чина центрального угла единичной
окружности, опирающегося на дугу
длины 1.
Окружность радиуса 1 называют
единичной. Так как длина единичной
окружности равна 2я, то
360° = 2я радиана = 2я
или
В прямоугольной системе координат хОу зададим ок-
окружность радиуса 1 с центром в начале координат, назы-
называемую числовой окружностью. Точку А ее пересечения
с положительной полуосью х будем называть начальной
точкой числовой окружности (рис. 17).
Будем поворачивать радиус О А вокруг точки О в поло-
положительном направлении (против часовой стрелки) и в отри-
отрицательном направлении (по часовой стрелке). В отличив
от геометрии тригонометрия рассматривает углы поворота,

J2.1. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
?5
которые могут быть; больше я, 2я радиан, а также любые
отрицательные углы, отложенные в отрицательном направ-
направлении.
Каждому действительному числу ос поставим в соответ-
соответствие точку В (рис. 17) числовой окружности, полученную
с помощью поворота радиуса О А на угол | а | радиан вокруг
точки 0 в положительном направлении, если а > 0, и в отри-
отрицательном направлении, если ос < 0. Точку В, соответст-
соответствующую числу ос, будем называть точкой а. На рис. 18
Рис. 18
показаны точки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, —1, —2, —3, —4,
—5, —6. Так как числовая окружность имеет радиус 1,
то угол J ос | радиан равен длине дуги, на которую он
опирается.
Поэтому указанное соответствие можно определить и
следующим образом: каждому числу ос соответствует такая
точка В числовой окружности, чтобы дуга ^АВ имела
длину | ос | и была отложена в положительном направле-
направлении,, если а > 0, и в отрицательном, если ос < 0. При этом
имеются в виду дуги какой угодно длины. То есть число-
числовую окружность можно рассматривать как окружность
радиуса 1, на которую «намотана» числовая Прямая.
Так как окружность радиуса 1 имеет длину 2я, то
в силу сказанного числа ,
ос, а + 2я, а+4я, ос + бя, ,..t а—2я, ос—4я, а—6я, ...
изображаются одной и той же точкой числовой окружно-
окружности. Короче, числа вида а + 2ля, где п—любое целое
число, изображаются одной и той же точкой числовой
окружности (рис. 19).
Так как числовая окружность имеет длину 2л, то на
пересечении ее с осями координат расположены точки
л л Зя

ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Но эти же точки могут соответствовать также числам
2я, -^, Зл, -?
или числам
— 2я, ?, —л, —-|.
Замечание. В приведенных рассуждениях число а
определяет величину угла, выраженную в радианах.
Рис. 19 Рис. 20
Бывает удобно эту величину выразить в градусах!
Пример 1. Какой четверти принадлежат точки l-g-я.
Решение. Так как n<l-g-n<-^-, то точка l-g-я
3 3
принадлежит III четверти. Так как 7-^л = 6п + l-j-я и
х
Рис. 21
Рис. 22

$2.1. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ 27
-у- < 1 -j-я < 2л, то точка 7-^-я Г как и точка \j-nj при-
принадлежит IV четверти.
Замечание. В дальнейшем нам довольно часто при-
придется на числовой окружности отмечать числа, кратные
я я я
Т1 "'  '
Для построения соответствующих точек следует пом-
помнить, что -^—половина j (рис. 20), cos у — —¦ (рис. 21);
sin | = 1 (рис. 22).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое радиан?
2. Как определяется радиан при помощи окружности
а) радиуса 2? б) радиуса 1?
3. Запишите формулу перехода от градусов к радианам.
4. Как определяется точка а на числовой окружности,
если а заданное действительное число?
5. Как могут отличаться между собой числа аир,
определяющие одну и ту же геометрическую точку число-
числовой окружности?
6. По какому закону каждому действительному числу
приводится в соответствие точка числовой окружности?
7. Точка В числовой окружности соответствует целому
числу а. Найдется ли такое целое число (отличное от а),
которому соответствует та же точка В?
8. Запишите все точки а, изображенные на числовой
окружности точкой
1) 0; 2) я; 3) у; 4) Щ-.
9. Какой четверти принадлежат точки
IV 7л . 9ч 19л . ъ 17я . .V 15л .
''"Г1 г> ~Т~' > ~5~' > 4~'
5) — Zg-i 6) —Щ-\ 7) 20; 8) —100?
10. Запишите три числа, которые изображаются на
окружности той же точкой, что и -j-.
«* м л я л 2л 5л о
11. Выразите в градусах 0, -j, -^-, -j-, -^-, Зл,
7я л 9я
2~, —у, 2" РаДиан-

28 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
12. Выразите в радианах 60°, 150°, 225°, 765°, 390°,
—30°,— 45°, 240°, —300°. .
13. На числовой окружности отмечена точка -j . Пере-
Перенесите рис'. 20 в тетрадь и отметите точки -т- = -тг, —г,
4я _ 5я 6л _ Зя 7я
4 ~п' Т' ~-"Т> "Г*
14. На числовой окружности отмечена точка ~. Пере-
Перенесите рис; 21 в тетрадь и отметьте точки -^-, -Д = я,
4л 5я
"з"' 'T-
'TIS. На числовой окружности отмечена точка -jj.. Пере-
Перенесите рис. 22 в тетрадь и отметьте точки -5-, -?¦. -jr.
5л 7я 4л Зл 5л 5я 11я
6 >Itl~6">~3~>~2"(~2~>~1 ~6~'
18. Точка М числовой окружности имеет координаты
@,8; 0,6). Определите координаты точек Mit Mt, Мя,
симметричных точке М относительно оси х, оси у, начала
координат соответственно.
17. На числовой прямой изобразите числовые проме-
промежутки
• а) [0, я]; б) [%,.Щ\ в) (я, 2я); ,
Зя5я\ ,г п-. ЧГ яп|
{-тг-y); лI-п,оу, е) |^_T,_j.
18. Укажите один промежуток, для всех точек а
которого
а) абсцисса точки а положительна; отрицательна;
б) ордината точки а положительна; отрицательна.
19. Точка В соответствует целому числу а; найдется ли
такое рациональное число, отличное от а, которому соот-
соответствует та же точка В?
§ 2.2. Функции cos а и sin а
Рассмотрим в системе координат хОу единичную окруж-
окружность и на ней произвольную точку а (см. рис. 23). Коси-
Косинусом числа а называется абсцисса точки а и обозначается
cos а. Синусом числа а называется ордината точки а и
обозначается sin а.

$3.2. ФУНКЦИИ cos а и sin а
29
и
«г
01 а?
Рис. 23
Формулы jf = cosa, # = sina определяют функции от а.
Так как' а—произвольное действительное число, то эти
функции определены на интервале (— оо, сю). Перечислим
некоторые свойства функций cos a и;
sin a, которые помогут понять, как
выглядят графики этих функций.
1. Функции cos a и sin a непре-
непрерывны. Ведь из геометрических сооб-
соображений видно, что при непрерывном
изменении числа а в свою очередь
непрерывно изменяются хну.
2. Функции cos a и sin a имеют
период 2я, т. е. для любого значе-
значения а выполняются равенства
sin(a-f 2л) = sin a, cos (a -f- 2л) = cos a. A)
Это следует из того, что точки а и а-\- 2я геометрически
совпадают, таким образом, совпадают также их абсциссы
и ординаты.
о. Функция cos a четная, т. е. для любого а выпол-
выполняется равенство
cos (— a) = cos a. B)
4. Функция sin а нечетная, т. е. для любого а выпол-
выполняется равенство
sin (—«) = — sina. C)
Свойства 3 и 4 следуют из того (рис. 24), что для
любого а точки а и —а симметричны относительно оси х,
Рис. 24
Рис. 25
поэтому их абсциссы равны между собой,: а ординаты
равны по абсолютной величине, но- противоположны по

ЗА ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5. Для любого а выполняются равенства!
=sin(T- a), D)
— cos (т"~
Это следует из того, что точки ||ои у—а симмет-
симметричны относительно оси у и потому их ординаты равны,
а абсциссы равны по абсолютной величине, но противо-
противоположны по знаку (рис. 25).
6. Если а непрерывно возрастает от 0 до -у, то sin a
непрерывно возрастает от 0 до 1 f sin 0 = 0; sin у = 1J, a
cos а непрерывно убывает от 1 до 0 (cos 0 = 1, cos у- = 0 j.
Это свойство вытекает из геометрических соображений
(см. рис. 13).
Значения sin а для различных а из отрезка 0, у|
. можно вычислить с любой степенью точности. Существуют
таблицы таких значений, но их можно получить и при
помощи микрокалькулятора. Например, чтобы вычислить
надо выполнить такие операции (нажать на указанные
кнопки):
О sin = « 0,1736482.
Так как cosa = sinfy—см , то вычисление косинуса
от а сводится к вычислению синуса от (~—a J.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется косинусом и синусом числа а?
2. На каком интервале определены функции * = cosa,
у = sin a? Какие значения принимают эти функции?
3. Какая функция называется а) периодической с пери-
периодом Т; б) четной; в) нечетной?
4. Сформулируйте свойства функций cos a и sin a.

Зп
4 '
2я
3 '
5я
6 '
2 '
5я
4 '
4п
3 '
7я
7л
"Г1
бя
3 '
Пя
6
| 2.2. ФУНКЦИИ cos а я sin a 31;
6. Какие из функций
a) sin о; б) cos о; в) sin a-cos о; г) sin а -f cos а
являются четными, нечетными?
в. Отметьте точки о на числовой окружности, опреде-
определите sin а и cos а при
а) а =
б) « =
в) а =
г) а =
7. Сравните с нулем
а) sin I, sin 2, sin3, sin 4, sin 5, sin 6;
б) cosl, cos 2, cos3, cos 4, cos 5, cos 6.
8. Сравните a) sin 2 и 2; 6) sin у и -j;
> . Зя Зя
в) sin—г- и cos—г .
'4 4
9. Докажите тождества*
a) sin(n—а) = —sin(n + a); б) соз(л—а) = cos (я-Ь а);
в) cosa = sin (-j—а].
10. Вычислите a) cos 240°; б) sin 390е; в) cos(—-150*)j
г) sin (—780°); д) cos 585°; е) cos 235°.
11. Вычислите а) cos-^-; б) sin-т^-; в) sin f д~м
ч I 17я \ ч . 23я ч / Ьп\
г) cos^ g-J; д) sin-j-; e) cos^ — -j-j .
12. Приведите к вычислению синуса или косинуса
наименьшего положительного угла ( от 0° до 45° или от 0
л \ V
до -j радиану :
а) sin 173°; б) cos 121°; в) sin (—127°);
г) cos (—185°); д) sin 417°; е) cos 284°;
ч . 23я ч . Зя . . / 12я "
ж) sin-jj-; з) sin—; и) sin [^ jj-
ч 45я л 5я ч / 16я
к) cos-^j-; л) cos-j-; м) cos f j- j
13. Задайте формулой все точки а, отмеченные на чис-
числовой окружности (рис. 26).
14. Укажите на числовой окружности точки а, для
которых верны следующие равенства:
а) sina=l; б) cosa = 0; в) sina = — 1;
г) cos а = 1; д) sin а = 0; е) cos a = — 1.

ГЛ. 2, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
\
Рис. 26
16. Найдите все а, для которых
a) sinaa—3sina = 0,; б) sin2 a—3 sin a-f-2 = 0;
в) sina-cosa = 0; r) cos* a + 2 cos a + 1 =0.
Запишите З решения каждого уравнения. Задайте фор-
формулой все решения уравнений.
§ 2.3. Графики функций sin a и cos a
График функции sin a называется синусоидой; чтобы
его нарисовать в прямоугольной системе координат аОу,
составим таблицу значений у = sin a, например, для а,
пробегающих значения через
от 0 до
a
У
0
0
я
12
0,26
я
0,50
Зя
12
0,71
я
3"
0,87
5я
12
0,97
я
т
1
Эти данные можно взять из тригонометрических таблиц
или вычислить на микрокалькуляторе. Например, поль-
пользуясь микрокалькулятором, получим
sin -g- = sin. 15°=[
1=10,2583 Wp.
Нанесем точки (a, sin а) из таблицы в системе Коорди-
Координат аОу и соединим плавной кривой (рис. 27). Получим
приближенный график синусоиды, соответствующий- от-
отрезку I 0, у изменения а. Для любых других значений a

$2.3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ sin а и cos a 33
график синусоиды естественно получить, воспользовавшись
свойствами функции sin а, перечисленными в предыдущем
пункте.
На основании свойства sin ( — -{-a) == sin (у—aj гра-
график синусоиды должен быть симметричен относительно
Рис. 27
Рис. 28
прямой x = y- Поэтому на отрезке [0, я] график сину-
синусоиды выглядит так, как показано на рис. 28. На осно-
основании же свойства sin(— a) — — sin a график синусоиды
симметричен относительно начала координат системы аОу.
Поэтому на отрезке [—л, я] график выглядит, как на
рис. 29.
Н
Наконец на основании свойства sinBrc-fa)=sina,
верного для любого а, график синусоиды периодический
с периодом 2я. Поэтому он выглядит как на рис. 30.
График функции cos a называется косинусоидой. Коси-
Косинусоида есть сдвинутая на величину у влево синусоида
2 С. М, Никольский

34
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(рис. 31). Это следует из равенства
sin
-рг- •= cos a,
верного для любого а. Ведь sin f -5- +а) = sin f у—ем
= cos а,
УПРАЖНЕ НИЯ
1. В каких четвертях a) sina>0; б) slna<0;
в) cos a > 0; г) cos a < 0?
2. Укажите все числовые промежутки, для которых
а) sin a > 0; б) sin a < 0; в) cos a > 0; г) cos a < 0?
Рис. 32
Решение, а) sina>0, в частности, если a в I или
во II четверти, т.е. 0< а<л (рис. 32). Вообще, sina>0,
если 0-f 2/гл < а < л-|-2/гя, где k — целое число.
Ответ: B/гл, л + 2/гл), где k—любое целое число.
3. В каких четвертях с увеличением a
а) sin a увеличивается; уменьшается?
б) cos a увеличивается; уменьшается?
4. Сформулируйте определение функции
а) возрастающей; б) убывающей на отрезке \а, 6].
5.; На каких отрезках функция у = sin a
а) возрастает; б) убывает?

$2-4- ФУНКЦИИ tea и ctg a 35
Решение, а) С увеличением а функция sin a уве-
увеличивается (рис. 33) на [ — у, у), т. е. на отрезках
[я о, л . п, 1 ,
— у-р-ййя; у + ^дя , где я — любое целое число.
6. На каких отрезках функция х = cos a
а) возрастает; б) убывает?
7. Постройте
а) синусоиду, б) косинусоиду.
8. Ответьте на вопросы заданий 2, 5, 6 с помощью
графика.
9. Постройте графики функций
а) /(*)=*¦, *е[0, 4]; б) fBx); в) /(у*).
10. Дан график функции y = f(x) (рис. 34). Постройте
графики функций „.
а) у=/B*); б) *=/(!*).
11. Постройте схемати-
схематически графики функций
а) у=—sin a; 6)</=|sina|;
в) # = sin|cc|;
г) у = sin 2а; д) </ =
= sin(-2-aj; e) </ = cosCa).
Все ли эти функции пери- Рис. 34
одические?
Определите наименьший положительный период для
периодических функций.
12. Постройте график функции
I /чЛО ? I
а) y — \sina\—sina; б) у = -—-—-.
§ 2.4. Функции tga и ctg ос
Тангенсом числа а называется отношение sin a к cos a,
обозначаемое так.1
sin a ,яЧ
Котангенсом числа а называется отношение cos a к sin a,
обозначаемое так.1
^ G)
Эти определения обобщают известные определения тангенса
и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

36 ГЛ. 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Величина tg а определена для всех действительных а
кроме тех, для которых cos а = 0, т. е. кроме а = -2- + ^,
где k—любое целое число. Этим определена функция tga.
Величина ctg a определена для всех действительных a
кроме тех, для которых sin a = 0, т. е. кроме а = /гя,
где k—любое целое число. Этим определена функция ctg a.
Из равенств sin (—a) =— sin a, cos(—a) = cos a сле-
следует, что для всех действительных чисел а выполняются
равенства
(8)
ctg(— a) = — ctg a (афкл), (9)
означающие, что tga и ctg a—нечетные функции. Дока-
Докажем равенство (8):
, . . sin (— a) _ — sin a _ sin a _ ,
tg(—a)- cos(_a)-= cosa EoilT^ ga;
доказательство равенства (9) аналогично. Функции tg a
и ctg a периодические с периодом Т = п, так как верны
равенства
tga = tg(a+jT), A0)
' ctg a = ctg (a + л). A1)
Докажем равенство A0):
' cos (л + a) —cosa cosa
доказательство равенства A1) аналогично.
Верны также равенства
tg (a + kn) ¦= tg a
ctg (a + kn) = ctg a (a ф Ы).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется а) тангенсом числа а, б) котанген-
котангенсом числа а?
2. Для каких значений а не определена функция
а) tg a? б) ctg a?
3. Сформулируйте свойства функций tga и ctg a.
4. Докажите формулы из § 2.13 (с. 60).
5. Вычислите тангенс и котангенс

S 2.5. ОСЬ ТАНГЕНСОВ И ОСЬ КОТАНГЕНСОВ
37
a) 30°, 45°, 60°; б) 120°, !30°, 150°;
в) 210°, 225°, 240°; г) 300°, 315°, 330°;
д) _30°, —45°, —60°; е) 405°, —315°, —495°.
л v я # я 5я в 5я -v я /I Зя р Зя
а' ": 7Г' Т' б" • ' Т • ~~Т' Т' ~у '
¦.я я 2я 2я v 15я 17я # 23я л 19я
В' 3"' ~Т' Т' 3~' Г' ~4~; 3~' ~6~' 3~*
7. Сведите вычисление к наименьшему положительному
углу (от 0° до 45° или от 0 до -j) \
a) tg228°; б) tg(-250°); в) tg(-400°);
г) ctg 260°; д) ctg (-410°); е) ctg 525°;
4 . 16я ч , / 19я \ . , 2я
ж) 4ё-к~; з) cts{—з- ; и) 1ё~г-
8. Сравните
\ * л я -.» * 2я ж Зя
a) tg j и т ; б) tg -g. и ctg -g-.
9. Задайте формулой все точки а, отмеченные на чис-
числовой окружности (рис. 35).
Рис. 35
10. Известно, что для некоторого числа a tga-fctga =з
= 3. Вычислите
a) tg2a-|-ctg2a; б) tg3a-fctg8a; в) tga — ctg.a.
§ 2.5. Ось тангенсов и ось котангенсов
В системе координат хОу зададим числовую окруж-
окружность с начальной точкой А на ней. Проведем касатель-
касательную к окружности в точке А, которую будем считать
числовой осью, направленной вверх. Эта ось называется
линией тангенсов (рис. 36 и 37).
Каждому действительному числу а соответствует точ-
точка В числовой окружности. Если a^y + foi (k—любое
целое число), то прямая ОВ пересекает ось тангенсов в
точке D(l; у). Докажем, что #=tga.

38
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Если а в I четверти, то Д ОВ1С1 ~ Д ODA (рис. 36) и
, sin а BiCi AD AD
2. Если а во II четверти, то АОВцр2~ /S.ODA
(рис. 37) и
tcr гу — 5HL? —
ь cos а
5L?
cos а - ОС2
_ В2С2_ АР __ АР _ АП_
пг. ~ пл ~ 1 — ли—у.
~ос
~оа
3. Если а в III четверти, то Д ОВ3С3 ~ Д ODA (рис. 36) и
tg а = ^-^ = -
AD _^D
~0A ~ T
4. Если а в IV четверти, то
(рис. 37) и
¦Д ODA
sina -
ОС*
OA
5. Если a = nk, то точка D совпадает с точкой А, но
и в этом случае равенство у = tg а верно.
Рис. 36
Рис. 37
Таким образом, любому действительному числу a
Ф-^-^-nk, k—любое целое число] соответствует един-
ственная точка D оси тангенсов, ордината которой равна
tgo:
t/=tga.
Рассмотрим снова в системе координат хОу числовую
окружностц (рис. 38, 39). Проведем к ней касательную
в точке М ее пересечения с положительной полуосью у.

J2.5. ОСЬ ТАНГЕНСОВ И ОСЬ КОТАНГЕНСОВ
39
Будем считать эту касательную числовой прямой, направ-
направленной вправо. Она называется осью котангенсов. Пусть
В есть точка а.
ctga
Рис. 38
Рис. 39
Так же как и для tga, можно показать, что если а
(k—любое целое число), то прямая ОВ пересечет ось ко-
котангенсов в точке k, координата которой равна ctga:
л: = ctga.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называют осью тангенсов и чему равен tga?
2. Что называют осью котангенсов и чему равен ctga?
3. Покажите на "числовой окружности точки а, для
которых
a) tga=l; б) tg.a = —1; в) tga=--0;
г) ctga=l; д) ctga = —I; e) ctga = 0.
4. Задайте формулой все решения каждого уравнения:
а) tga =
б) tga = —
д)
в)
e)
ж) ctga = K3; з) ctga = —
5. Как изменяется tga, ctga при увеличении a
а) от 0 до -J? б) от у до я?
в) от я до —у? г) от —j до О?
6. Покажите на числовой окружности все точки а,
для которых
а) tga = 2; б)'ctg a = — 4-; в) tga-—3; г) ctga=^~.

40 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7. Решите уравнения
a) Vgc—tgo—2 = 0; б) 2 tg'a-3 tga + 1 =0;
в) ts2a —1 =0; г) tg2a—4 = 0.
§ 2.6. Графики функций tga и ctga
Чтобы построить график функции у = tg a в прямо-
прямоугольной системе координат абу, составим таблицу зна-
значений функции </=tga на полуинтервале 0; 4г). напри-
например через интервал -^:
а
Iga
0
0
я
12
0,27
я
т
0,58
п
т
1
я
7F
1,7
Бя
12
3,7
Эти данные можно взять из таблиц или вычислить с
помощью микрокалькулятора. Если а непрерывно возра-
возрастает от 0, приближаясь к у, то ордината точки D
(рис. 36) непрерывно, неограниченно возрастает, т. е.
если а-*-у (a<y). то У-^ + °°-
Если учесть еще, что tg 0 = 0, то график функции
у = tg a на полуинтервале 0, ^ J представляет собой не-
непрерывную кривую, выходящую из начала координат и
такую, что для ее точек (а, у) с возрастанием а от 0 до
Y у неограниченно возрастает от 0 до -f оо.
По табличным данным построим в системе координат
аОу точки (a, tga) и соединим их плавной линией. Мы
получим график функции t/=tga на полуинтервале
[О, \) (рис. 40).
Функция t/=tga нечетная, следовательно, ее график
симметричен относительно начала координат. На рис. 41
изображен график этой функции на интервале ( — — ; у ).
Для удобства на рис. 40, 41 проведены прямые о. = ~
и а = — у. К ним неограниченно приближается график

§2.6. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ tga и ctg a
41
функции |/=fg a. При a-* y (a<y) *g a
при a—»-—y (a>—у) tga-> — 00. Такие прямые
3
г
1
0
-t
/
I/
у
m
i ii ¦ i ЗМ
1 ft
Рис. 40'
называются вертикальными асимптотами графика. Гра-
График их не пересекает.
Если учесть, что функция y—tga периодическая о
периодом я, то представление о ее полном графике можно
Н
Рис. 42
получить из рис. 42. График функции у = tg a называет-
называется тангенсоидой, он состоит из бесконечного числа не-
непрерывных кривых. Для значений а, равных
я л Зл _5л^
• • •, y • Т' ~2~' Т'
функция fga не определена.

42
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Для построения графика функции # = ctga восполь-
воспользуемся равенством
ctga=tg(?_a)=-tg(a—*).
Перенесем тангенсоиду на у вправо и симметрично
отразим относительно оси а. Мы получим график функ-
функции x = ctga (рис. 43).
2# а
Рис. 43
Замечание. Для выражения тригонометрических
функций независимую переменную мы обозначили а.
Однако часто мы будем употреблять и другие буквы.
Например, «/ = cosx, y = smx, i/ = ctgx, y=\
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?
2. Как называется график функции
a) y=tga? б) x = ctga?
Нарисуйте эти графики схематически.
3. Как изменяется tg a
а) при а-*у, а<у?
,\ Я ^ Я т
б) при а—>у, а>у?
в) при а-»-— у, а<—у?
г) при а-^у, «>—¦??

§2.7. АРКСИНУС
. Зл Зя,
д) при а-* — , а<—?
е) при а->4г, а>^?
4. Постройте схематически график функции
а) у = — tga; б) y = \tga\\ в) ?g|-;
г) tg3a; д) ctg2a; e) ctg-J.
5. Постройте график функции
а) У — ^g a • ctg a; б) г/ = tg | а: |; в) г/ = -
sin a
43
г) У =
Д) # = sina-ctga.
§ 2.7. Арксинус
Зададим число р\ удовлетворяющее условию ||3|<:1.
Покажем, что на отрезке [—j, у] существует единст-
единственное число а, синус которого равен |5:
sin a =
Рассмотрим числовую окружность в системе коорди-
координат хОу. Проведем прямую у = &. Так как ||3|^ I, то эта
44
Рис. 45
прямая пересечет правую полуокружность в некоторой
точке а с ординатой y — f>, причем эта точка единственна
(рис. 44). Это означает, что существует единственное
число а из промежутка —~; у , синус которого ра-
равен р.

44 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Число а из отрезка —у; у I, синус которого равен
Р, называется арксинусом р и обозначается так:
а = arcsin р.
Например, arcsin 0 = 0, arcsin у = -^-, arcsin-^y—= -^-,
arcsinl=y, arcsinf '~.\ — — jLt arcsin(—1) = — y.
Заметим, что arcsin p, где |Р|> 1, не имеет смысла, по-
потому что модуль синуса любого числа не превышает 1.
Например, arcsinf- не имеет смысла, так как Кг > 1.
/ | " |
Из определения арксинуса следует, что если —l^p^l,
то sin (arcsin Р) = р\
С помощью арксинуса можно записать все решения
уравнения
sin a = р. A2)
Если |Р|> 1, то уравнение A2) не имеет решений. Если
|Р| < 1, то прямая у = Р пересекает числовую окружность
в двух точках at = arcsin P, оц = л — arcsin P (рис. 45).
Все решения уравнения A) можно записать так:
а = arcsin р + 2/гл, (
t— arcsin р + 2feit = — arcsinp+B6+ 1)п, A3J
где k—любое целое число. Объединим формулы A3)х и
A3)а в одну:
а = (— 1)" arcsin р + шх, A3)
где п—любое целое число. Очевидно, что при подста-
подстановке в A3) вместо п четного числа n = 2k получится
формула A3)(, нечетного п = 2&+1—формула A3)а.
Формула A3) дает все решения уравнения (J = sina и
в том случае, если | Р | = 1.
П р и меры.
1. Решениями уравнения sina = —1 являются все
а =—j-r-2/ш, где п—любое целое (рис. 46, а).
2. Решениями уравнения sin 4a =1 являются все 4а =
= у + 2пл, т. е. а =-f-+-j-f гДе ti—любое целое
(рис. 46, б).

§ 2.7. АРКСИНУС
45
8. Решениями уравнения sin j = 0 являются все ~ =»
пл, т. е. а = 3шт, где я—любое целое (рис. 46, в).
Рис. 46
4. Решениями уравнения sin a = 0,1 являются все
а = (—1)" arcsin 0,1 -\-пл, где «—любое целое.
УПРАЖНЕНИЯ
s
1. Что называется арксинусом числа р? Для каких
Р arcsinp определен, для каких нет?
2. Вычислите arcsinp, если
а)р = О; б) Р=1; в)р = -1; г) |3 = у; д) р = -1;
3. Постройте на числовой окружности точки
1 1 3
a)arcsin-rj-; 6)arcsin-^-; в) arcsin-j-;
г) arcsin (—0,5); д) arcsinj—0,25); е) arcsin (—0,75).
4. Упростите выражение:
a) sin (arcsin 0,3); б) sin (arcsin (—0,9));
в) arcsin I sin -g-J; г) arcsin I sin-^-1;
д) arcsin (cos0); e) arcsin (cos -~Y
5. Решите уравнение!
a) sina = 0; 6) sina = l; в) sin a ——1;
1 1 V^2"
r) sin a = -2-; д) sina = — у; е) ь\па = -^-;,
ж)8ша = r-^—; з) sin a = -^—\ и) sin a = g—;
к) sin a = 0,6; л) sina = —0,7; м) sina==—-g-;
H)sin2a = 0; o) sin-^-a^ 1;

ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
р) sin(a—л) =
^; с) sinBa + я) = —-О-;
т) sin(a+7n) = y.
6. При каких х равенство
а) sin (arcsin я) — х\ б) arcsin (sin x) = х выполняется,
при каких нет? Приведите примеры.
а?
7. На числовой окружности задана точка at (рис. 47).
Укажите на числовой окружности точку сц = arcsin (sin ах).
( \
8. Вычислите a) sin (arcsin^); б) sin f -^ — агссоэл:).
§ 2.8. Арккосинус
Зададим число Р, удовлетворяющее условию |Р|^1.
Покажем, что существует единственное число а, удовлет-
удовлетворяющее неравенствам 0 < а < л, косинус которого ра-
равен Р:
cos a = р.
Рассмотрим числовую окружность в системе коорди-
координат хОу. Проведем прямую * = р. Так как |РК1, то
У Л x=J3 У\\
Рис. 48
Рис. 49
эта прямая .пересечет верхнюю полуокружность в точке
с абсциссой # = Р, причем эта точка единственная (рис. 48).
Это означает, что существует единственное число а из
отрезка [0, я], косинус которого равен р.

$ 2.8. АРККОСИНУС
47
Число а из отрезка [0, я], косинус которого равен р,
называется арккосинусом Р и обозначается arccos p.
Например, arccos 0 = -2-; arccos -,-=-? ; arccos ¦——=~;
arccos 1=0; arccos f—
=-^; arccos (—1) = л.
Заметим, что arccos p\ где |p|> 1, не имеет смысла,
потому что модуль косинуса любого числа не превышает I.
Например, arccos 2 не имеет смысла.
Из определения арккосинуса следует, что если
—1<Р<1, то
cos (arccos p1) = р.
С помощью арккосинуса можно записать все решения
уравнения
cosa = p\ A4)
т. е. все а, для которых выполняется равенство A4).
Е Р 1 A4)
Если
Если
р р ()
> 1, то уравнение A4) не имеет решений.
1 р
ур (
< 1, то прямая # = р пересекает числовую
окружность в двух точках аг = arccos J3 и а2 = — arccos 0
(рис. 49) решения уравнения A4) можно записать так:
а = arccos Р + 2&л, A5),
а = — arccos р+2йя, A5),
где k—любое целое число. Объединим формулы A5)х и
A5K в одну:
а = ± arccos Р + 2&Л, A5)
где k—любое целое число. Формула A5) дает все реше-
решения уравнения A4) и при |Р| = 1.
Примеры.
1. Решениями уравнения cosa = — 1 являются все а =>
= я-|-2&я, где k—любое целое число (рис. 50, а).
Рис. 50
2. Решениями уравнения cosa=l являются все ос =
04-2^л = 2Ал, где k—любое целое число (рис. 50, б).
3. Решениями уравнения cos2a = 0 являются все 2а=
~-\- kn, а——- +-?¦ ,гдей — любое целое число (рис. 50, в).

48
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4. Решениями уравнения cosa = -5- являются все а =
.о
= ± arccos-г-+ 2&л, где й — любое целое число.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется арккосинусом числа |3? Для каких
C arccos р определен, для каких нет?
2. Вычислите arccos P,'если _ _
а)Р=1;
= О; в) р = -1; г) р=Л; д) р=Х^ ;
е) р = |; ж) Р = —J-; з) Р = -^; и) Р = -
3. На числовой окружности постройте точки:
I 1 3
a) arccos-q-; б) arccos-т-; в) arccos-j-;
г) arccos (— -j) > Д) arccos (— -jj ; e) arccos Г — -j-j .
4. Упростите выражение:
a) cos (arccos -^
в) arccos (cos -2-
д) arccos (sin -2-
; 6) cos (arccos 0);
; r) arccos ^cos (— y
; e) arccos (sin 0).
5. Решите уравнение:
a) cosa = 0; 6) cosa=l; в) cosa = —1;_
r) cosa = ^-; д) cosa = y; e) cosa = — ^—\
1 2
ж) cosa = -j; з) cosa = — 0,1; и) cos = —^-;
6. a) cos3a = 0; 6) cosya = y; в) cosO,2a=l.
7. При каких х равенство
a) cos (arccos л:) = x; 6) arccos (cos x) = x
выполняется, при каких нет? Приведите примеры.
8. На числовой окружности задана точка а1 (рис. 51).
Укажите на числовой окружности точку а2 = arccos (cos aj.

$2.9. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС
9. Докажите, что
a) arcsin ^
49
б) sin(arccos*) = Vl —х3, \x\^l;
в) cos(arcsinx) — К1—х2, \х\^1.
§ 2.9. Арктангенс и арккотангенс
На рис. 52 изображена числовая окружность и ось
тангенсов. Очевидно, что для любого действительного
числа Р (— со < р < -j- оо) на правой полуокружности
найдется единственная точка а такая, что tg a = р.
¦ -1
Рис. 52
Рис. 53
(— оо < р < -\- оо) называется
— —, -j) . тангенс которого ра-
раАрктангенсом, числа
число а из промежутка
вен |3 и обозначается
Например, arcfgO-O, arctg(—1) = — i, j
(рис. 53).
На рис. 54 изображена числовая окружность -и ось
котангенсов. Очевидно, что для любого действительного
Р' (— оо <K < -\- оо) на верхней полуокружности найдется
точка а такая, что ctga = p\
Арккотангенсом числа |3 (— оо < р < -f оо) называется
число из промежутка @, я), котангенс которого равен р
и обозначается -
a = arcctg p.

50
ГЛ. 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Например, .arcctg 0 = -?, arcctg l = j, arcctg(— КЗ)
Арккотангенс и арктангенс используются для записи
решений уравнений вида ctga = |3 и tga = p\ Уравнение
А/ -
Рнс. 54
Рис. 55
ctg a = р с учетом периодичности котангенса имеет решение
а = arcctg$-\-kn, где k—любое целое число.
Уравнение tg а = р с учетом периодичности тангенса
имеет решение
где k—любое целое.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется a) arcctg а? б) arctg а?
2. Вычислите arcctg р и arctg р, если
а) р = 0; б) р=1; в)_Р = — 1; г) p=J
д) р=— КЗ; е)Р = ^; ж) р = — ?~.
3. Изобразите на числовой окружности точки)
a) arctg2; б) arcctg(—1,5); в) arctg ( — yj ;
г) arcctg-^-; д) arcctg 2; e)arctg(—1,5).
4. Упростите выражение:
a) tg (arctg 1); б) tg (arctg (-0,2),
в) ctg (arcctg К 3); г) ctg ( arcctg \—^-Л
Д) tg (arcctg (-КЗ)), e) ctg (arctg -^) .

S 2.9. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС
51
5. Решите уравнение:
a) tga = 0; б)
r)ctga=l; д)
fga=l;
ж)
к)
з)
и) tga = O
л)
~; м) ctga =
О;
6. Решите уравнение:
a) tga = 5; б) ctga = 3; в) tga —— 2;
г) ctg a = —у; д) tga = — 0,3; е) ctg a
7. Решите уравнение:
а) tg2a=l; б) ctg0,5a = 0; B)tg(a + ^
г) ctgfi-a—j-) = l; д) tg3a = 7; e)ctg7a =
—I;
3.
8. При каких х равенства
а) tg(arctgx)=;t:; б) ctg (arcctg x) = x;
в) arctg (tg x) = jt; r) arcctg (ctg x) = x
выполняются, при каких нет? Приведите примеры.
9. На числовой окружности задана точка aSj (рис. 56).
Укажите на числовой окружности точку
а) «2 = arctg (tg«i); б) аг = arcctg (ctg at).
10. Вычислите
a) tg (arctg л:); 6) ctg (arcctg x)\
в) tg ^|— arcctg *) ; r) ctg {^— arctg *
11. Докажите, что
a) arctg*+arcctg*
6) tg (arcctg*) =1; в) ctg (arctg *) =

52 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 2.10. Обратная функция
Рассмотрим непрерывную возрастающую на [а, Ь]
функцию
y = f(x) (a^.x^b).
Ее график изображен на рис. 57. С помощью графика мы
можем для каждого значения х из отрезка [а, Ь\ опре-
определить соответствующее значение г/ =
—f{x). При этом, если х непрерывно
возрастает от а до Ь, то у соответст-
соответственно непрерывно возрастает от с =
=--f{a) до d=-f(b).
С другой стороны, мы видим, что
и обратно каждое значение у из отрез-
_^ ка [с, d\ соответствует одному и только
о . а х б х одному значению х из отрезка [а, Ь\.
c=f(a),d=f(b) Таким образом, возникает новая функ-
Рис. 57 ция х от у, определенная на отрезке
[с, d\, называемая обратной функци-
функцией к функции f(x). Обозначим ее
?>та функция тоже возрастает и непрерывна на [с, d].
Итак, для каждой непрерывной возрастающей на [а, Ь]
функции f(x) существует обратная ей функция х от у,
определяемая следующим образом: каждому у из отрезка
\с, d] соответствует единственное значение х на отрезке
[а, Ь], такое что y = f(x), где c — f(a), d = f(b).
Отметим равенства
Ф [/(*)]=*
В самом деле,
Отметим еще, что функция f(x) может быть задана на
интервале (а Ь), тогда утверждение остается верным, если
считать, что (р(у) определяется на интервале (с, d), где
c=limf(x), d=iimf(x),
х-*- а х-*Ь
т. е. с есть число, к которому стремится f(x}, когда х
стремится к a, a d—число, к которому стремится f(x),
когда х стремится к Ь. Но может быть с =, — оо или d—- + <x>.

§ 2.10. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 53
Функция / может быть задана на полуинтервале [а, Ь),
и тогда функция ф задается на полуинтервале [с, d), где
f{)d\if)
х -»¦ Ь
Аналогично, если / задана на (а, Ь], то ф задана на
(с, d\, где с= (imf(x), d = f(b).
х-*- а
Пример. Функция у = х* @<* <-{-оо) непрерывна
и возрастает на полуинтервале [0, -f- oo). Поэтому суще-
существует обратная к ней функция х = (р(у) @<#< +оо),
которую условились обозначать так:
Здесь а = 0, b=ao, с = 02 = 0, d= lim *а = оо,
х -f m
Замечание 1. Кривая на рис. 57 есть график функ-
функции y = f(x) (a^x^b). В то же время она есть также
график функции х = (р(у) на от-
отрезке \с, d].
Если бы мы захотели полу-
получить график функции <р в виде
то можно рассуждать следующим
образом. В системе координат хОу
рисуем график функции (рис. 58)
У
b
У
а
О
_
—г
с х d 
т. е. значения независимой пере-
переменной у откладываем на оси ординат, а значение х от-
откладываем на оси абсцисс. Полученная кривая автомати-
автоматически будет графиком функции
Отметим, что графики функций у = / (д;) и у = ф (х) сим-
симметричны относительно биссектрисы первого координат-
координатного угла. Это свойство упрощает построение графиков
обратных функций.
Замечание 2. По аналогии можно получить следую-
следующее утверждение. Пусть функция y — f{x) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и убывает на нем (т. е. если х возрастает
от а до Ь, то f(x) убывает от c = f\a) до d = f(b), c>d).
Тогда существует обратная к функции /функция
убывающая на отрезке [d, с].

54 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что значит, что существует обратная функция к дан-
данной непрерывной возрастающей функции у = f (x)?
2. Если непрерывная и возрастающая функция у = /(х)
задана на
а) отрезке fa, й], б) интервале (а, Ь),
в) полуинтервале [а, Ь), г) полуинтервале (а, й],
то на каком промежутке, задана обратная ей функция?
3. Как по данной возрастающей непрерывной функ-
функции / построить обратную ей функцию в виде у = (р(х)?
§ 2.11. Функции arcsin*, arccosj?, arctgje
Функция
непрерывна и, если х возрастает от —-^ до ^, то у воз-
возрастает от —1 до 1. Поэтому, как мы знаем, существует
обратная к этой функции функция, т. е. каждому у из
1 я
ft
г
Рис. 59
О
Рис. 60
отрезка [—I, I] соответствует единственное значение х на
отрезке —-2-. у > Для которого у = sin x. Но тогда
х = arcsin у (—l^.y^.1).
Таким образом, функция arcsin у есть обратная функция
к функции y=sinx, рассматриваемой на отрезке —тт-t -т •

§2.11. ФУНКЦИИ arcsln x. arccos x. arctg x 55
Чтобы получить в системе координат хОу график
функции
// = arcsinx (— ^х^.: ),
строим график функции (рис. 59)
Одновременно он является также графиком функции у =
= arcsinx (—1^*<С1). Функция
у = cos х (О^х^л)
непрерывна, и если х возрастает от 0 до п, то у убывает
от 1 до —1. Но тогда, рассуждая как выше, получаем,
что существует обратная ей функция, определяемая фор-
формулой х = arccos у (—1<г/^1).
График функции
у — arccos х (—1
в системе координат хОу совпадает с графиком функции
(рис. 60)
x = cosy (
Функция
y=.tgx (-?
непрерывна на интервале ( — у, у J , и при этом, если х
возрастает от —у до +-§", она возрастает от—оо до+ <».
Следовательно, существует обратная к ней функция
x = arctgy (— со <Су < + оо).
График функции (/=arctgA; (— оо < х < сх>) (см. рис. 61)
совпадает с графиком х — tgу (— у<У<у) (и сим"
метричен графику функции y = tgx относительно биссект-
биссектрисы первого координатного угла).
Справедливо равенство
arcsina + arccosa= у, A6)
верное для любого а, удовлетворяющего неравенствам

56
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В самом деле, равенство A6) проверяется непосредст»
венно при й = 0, 1, —1. Если же 0 < а < 1, то обратимся
к числовой окружности (рис. 62), на которой отметим
в I четверти точку В, имеющую ординату, равную а.
Рис. 61
Рис. 62
Рис. 63
Опустим из В на оси координат перпендикуляры. Отме-
Отметим, что а = BF = OD = sin ^АВ = cos "-'ВС. Поэтому
= arcsin a,
— arccos a,
arcsin a + arccos а = ^АВ + ^ВС = у.
Пусть теперь —1 < а < 0. Отмечаем (рис. 63) на число-
числовой окружности в IV четверти точку В, имеющую орди-
ординату, равную а — — \а\, и опускаем из В на ось х пер-
перпендикуляр BD. Отмечаем также на числовой окружности
точку Е, имеющую абсциссу, равную а = — \а\, и опускаем
из Е на оси координат перпендикуляры EL и E.F. Оче-
Очевидно, ^ЕС = ^АВ, поэтому ^АЕ—^АВ = ^-. Так как
.л
, afcsina = — ^АВ, то arccos a + arcsin a —
= -тг, что и требовалось доказать.
= К-'АЕ—к
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое
a) arcsin x? б) arccos x? в) arctg дг?
2. Какой функции обратна функция
a) arcsinх? б) arccos*? в) arctg*?
3. Как можно получить графики этих функций, если
воспользоваться соответственно графиками функций sin x,
cosx, tgx?

§2.12 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ 57
§2.12. Примеры решений тригонометрических уравнений
Пример 1. Решить уравнение
sinmx—sin/я = 0 (т — 1фО, m-f/^0).
Решение.
п ¦ т— / т-\-1 n
2 sin—g—я cos—~—x = v,
m—l
= 0 или
2 x~ 2Л Rn> X~ m+l '
где k—любое целое число.
Ответ: х — -^—) и ^ = „^ / . где k—любое целое
число.
Подобным образом решаются уравнения
sin mx+sin lx = 0, cosmx—cos/x = 0,
cos mx -\- cos Ix = 0
с помощью формул для суммы синусов и косинусов углов
и разности косинусов.
В некоторых частных случаях уравнения рассмотрен-
рассмотренного вида можно решить другими способами. Вот пример.
Пример 2. sin2.v—sin.x; = O.
Решение.
2 sin л; cos л;—sinx = 0,. sin ^B cos*—1) = 0,
sinA; = 0 или cos* = -$-•
Ответ: x — kn и * = ±-т + 2^я, где k—любое целое
О
число.
Пример 3. Решить систему уравнений
cos х — a, s\nx = b,
где а и Ь—данные числа.
Решение. Если ай-\-№ф\, то система не имеет ре-
решения, потому что cos2je-fsinaA:=l для любого а. Пусть
теперь а3 + й3=1. Тогда точка (а, Ь) находится на число-

58
ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
вой окружности. Она определяет некоторый угол а„, ко-
который и является решением задачи.
На оси х отмечаем точку, имеющую координату, рав-
равную а, и восстанавливаем из нее перпендикуляр до пере-
пересечения с окружностью в положительном направлении,
если b > 0, или отрицательном, если b < 0. Точка пере-
пересечения и будет иметь координаты
(а, Ь).
Общее решение задачи записыва-
записывается в виде
а = а0 + 2йя,
где k — произвольное целое число.
Пример 4. Решить систему урав-
уравнений
Рис. 64 [ . VI
Решение. Сумма квадратов правых частей системы
/ 1 г^З \
равна 1. Поэтому точка (у, —~f~) нах°Дится на чис-
числовой окружности (рис. 64). Ей соответствует угол (рис. 64)
а——^--\-2kn, где k — произвольное целое число.
Пример б. Решить уравнение
C. A7)
Решение. Делим обе части уравнения на
Получаем
acosx-\-bsmx — c,
где
а =
&=
в
с —
Так как аг-\-Ьг=\, то можно подобрать такой угол а,
что а = cos a, b = sina. Заданное уравнение тогда можно
записать в виде
cos a cos х + sin a sin x = с
или
cos(#—а) —с. A8)
Если |с|> 1, то уравнение A8), а следовательно и
A7), не имеет решений. Если же |с|^1, то все решения

§2.12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ 59
записываются формулой
х—а = ± arccosc + 2#я,
или
х = а ± arccos с + 2/ст,
где k—любое целое число.
Пример 6. Решить уравнение
cos*—sinx = K2.
Решение.
cos x sin л: .
V2 V 2
cos ( — ~ J cos х -f- sin ( — -^ j sin x = 1,
cos' f jc + -j- J = 1,
Ответ: x = — j + 2te, где k—любое целое число.
Пример 7. Решить уравнение 7 sin2 л:—sin л:—8 = 0.
Решение. Выполним подстановку s\nx = a; решим
уравнение 7а2—а—8 = 0; получим ах = —1, аа = у.
Следовательно,
8
~~Т'
нет решений, так как sinjc
л
х = — -j + 2Ы,
где &—любое целое число;
не может быть больше 1.
Ответ: х = — ~-\-2Ы, где k—любое целое число.
Пример8. Решить уравнение2sin (-2-
Решение.
2 sin Cy + 2x]+cosA: = 3, 2 cos2x-f cosx = 3,
2 B cos2 x — 1) + cos x = 3, 4 cos2 л; + cos x—5 = 0,
cos;c = fl, 4йа + а—5 = 0, «j = — -j, #2 = 1;
5 .
cos^=—-j или cosa:=1
В первом случае нет решений — не может быть
|cosx|>l; во втором случае x = 2kn, k — Q, ±1, ±2, ...

60 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ответ: 2kn, где k = 0, ±1, ±2, ...
Другое решение. Заметим, что в уравнении
2 cos 2х -\- cos х = 3
2 cos 2х ^ 2, cos х ^ 1, следовательно, равенство возможно
лишь при одновременном выполнении условий
2 cos 2х = 2 и соз х = 1;
cos 2x=\,
х = 2?л,
где * = 0, ±1; ±2, ...
2л-= 2/г л,
х — пп,
еде п = 0, ±1, ±2, ...
Оба условия выполняются в точках
х = 2/гл, где й = 0, ±1, ±2, ...
Пример 9. Решить уравнение
sin2 х + 4 sin x cos л:—5cos2a: = 0. A9)
Решение. Каждое слагаемое в левой части имеет
степень 2. Очевидно, что cosx^O, так как в противном
случае sinx=l или sin.K = —1, но в том и в другом
случае равенство A9) неверно. Разделим правую и левую
части на cos2x:
sin2 х . sin х cos x r cos2*__ ^
cos2a:"' cos2 x cos2*~ •
tgx—5 = 0.
Обозначим tgx = a:
a*+4a—5 = 0; at = l; аг = — 5.
Отсюда
tgA:=l или tgx = —5,
где k = 0, ±1, ±2, ...;
Ответ: -j + Ля, arctg(—5) + &я, где й = 0, ±1, ±2,...
§ 2.13. Список основных формул тригонометрии
*—¦

§2.13. СПИСОК ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ 61
cos a
sin a
ctga=
6
sin (a-fP) = sin a cos p+sin P cos a,
sin (a—P) = sin я cos P —sin P cos a,
cos (a + p) = cos a cos p — sin a sin p,
cos (a—13) = cos a cos p -f sin a sin p,
sin 2a = 2 sin a cos к,
cos 2a = cos2 a — sin2 a,
cosf-±/I±^",
. f n \
sin f -j—a j = cosa,
sin (Y
cos ^-2. + aj = — sin a,
tg (д + о^ = — ctga,
sin(n — a) = sin a,
cos (я — a) = — cos a,
tg(n — a) = — tga,
dg(n—a) = — ctga,
sin(n + a) = — sin a,
cos (я + a) = — cos a,

62 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ctg (я + а) = ctg а,
. /Зя \
sin I-д а ) = — cos а,
cos l -^ а I = —sin а,
tg(^-«)=clga,
sin (-5" + a) = —cos a,
cos \~Y + a) =sina,
3il+a) = -ctga>
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти все решения уравнения
1 —5 sin x + 2 cos2 jc = О,
удовлетворяющие неравенству
2. Решить уравнение
sin 2х = ]/^3 sin лг.
3. Решить уравнение
sin 2*
4 +sin*
= —2 cos я.
4. Вычислить cos 2x, если sin x = у .
5. Решить уравнение
sin 2л: —

ГЛАВА 3
ПРЕДЕЛ
§ 3.1. Предел последовательности
Метод пределов—это основной метод, с которым опе-
оперирует математический анализ.
Чтобы уяснить, что такое предел, начнем с класси-
классической задачи. В прямоугольной системе координат задана
фигура, ограниченная
параболой (рис. 65) у= "*
=jca, осью х и прямой
х=1. Требуется найти
ее площадь. Вот как мо-
можно поступить.
Разделим отрезок
[О, 1] оси х на п рав-
равных частей точками
nil ±zi Г
' я ' я ' " - '' л ¦
ш
zw,
Рнс. 65
и построим на каждой
из этих частей прямо- „
угольник, левый верх-
верхний угол которого дости-
достигает параболы. Тогда
получим заштрихованные на рис. 11 прямоугольники,
сумма площадей которых Sn, очевидно, равна
...+(n—lJ^ (n—l)nBn—1) »
)¦
*) Мы воспользовались формулой
— IJ
(я— 1)иBя— 1)
6
которая может быть введена следующим образом. Сложив левые
и правые части равенств (A-J- I}3— А3 = ЗА3-f-3A-f-1, соответствую-
соответствующих значениям ?=1,2 л—1, получим уравнение
Решив его, получим 0"„-1 =
(я—1)яBя—1)

64 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
Представим Sn в виде
S +[)
Величина ос„ хотя и имеет сложный вид, но обладает
замечательным свойством: она стремится к нулю при не-
неограниченном возрастании п. Такие величины называют
бесконечно малыми.
Бесконечно малой называется переменная величина
ап, зависящая от натурального п, стремящаяся к нулю
при неограниченном возрастании п.
Дадим формальное определение бесконечно малой ве-
величины.
Величина <х„, зависящая от натурального значения п,
называется бесконечно малой, если, как бы ни было малое
заданное положительное число е, найдется число N > 0
настолько большое, что выполняется неравенство
для всех « > N'.
Сумма Sn площадей заштрихованных на рис. 65 прямо-
прямоугольников есть тоже переменная величина, зависящая от
натурального п. Мы показали, что она может быть запи-
записана следующим образом:
где ап есть бесконечно малая величина. Но тогда естест-
естественно считать, что Sn стремится при неограниченном воз-
возрастании п к числу -V, и естественно считать, что 5 = -%•
О О
есть площадь рассматриваемой фигуры. Поставленная за-
задача решена.
В ходе рассуждений мы, во-первых, дали определен-
определенные площади рассматриваемой фигуры как числа 5, к кото-
которому стремится сумма Sn площадей заштрихованных на
рис. 65 прямоугольников при неограниченном возраста-
возрастании п, а во-вторых, нашли это число. Оказалось, что
Дадим определение предела. Пусть задана перемен-
переменная хп, зависящая от натурального п = 1, 2, ... Если
кп можно записать в виде суммы
ха=а + аа (я = 1, 2, 3, ...),

§3.1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 65
где а—некоторое постоянное число, а„—бесконечно малая,
то говорят, что хп имеет своим пределом число а или хп
стремится к а, а пишут
lim х„ = а
П-* »
или
хп -> а (п -> оо).
Приведем примеры переменных величин, зависящих от
натурального «•
_ 1 _ _ _1_ _ (—1)"
»„ = (—П". Р„ = а-
Переменные хп, уп, гп и «„—бесконечно малые; хп
и и„ стремятся к нулю, принимая положительные значе-
значения, убывая; уа стремится к нулю, принимая отрицатель-
отрицательные значения, возрастая; a zn стремится к нулю, колеблясь.
Величина vn стремится к 1 / lim и„ = 1у
Переменная р„ есть на самом деле постоянная, равная
для любого п одному и тому же числу а (НтР„ = а). Что
же касается величины wn, то она ни к какому пределу
не стремится, принимая последовательно значения +1
и —1.
Очевидно, если ап есть бесконечно малая, то ее пре-
предел равен нулю:
lim ос„ = О.
П -*¦ со
Пример.
lim ?±±= lim (l+-L) = l.
П-* х п-+
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите пределы переменных, представляя их как
сумму постоянной и бесконечно малой;
+з i21
a) lira -±-\. б) hm
" пн.- я*
в) lim п з ; г) lim
л -* да л -* оо
3 С. М. Никольский

66 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
§ 3.2. Бесконечно большая величина
Антиподами бесконечно малых величин являются бес-
бесконечно большие величины.
Переменная хп называется бесконечно большой, если,
как бы ни было велико число М > 0, найдется такое N,
что | хп | > М для всех п > N.
Если хп бесконечно большая, то пишут
lim хп = оо или хп—*¦ оо (п —>• оо).
П-+ 00
Может случиться, что бесконечно большая величина хп
начиная с некоторого п становится положительной; тогда
пишут
lim xn = + <x>,
п -*• оо
или отрицательной, тогда пишут
lim хп = — оо.
П-+ 00
Вот примеры бесконечно больших величин:
х„ = п, уп = — п, zn = (—l)"n, и„ = п\
Нтх„ — + оо, hmun = + oo, lim yn = — оо.
Что же касается величины г„, то про нее можно написать
lim гп — оо,
но здесь нельзя символ оо заменить ни символом + «,
ни символом — оо. Впрочем, мы часто будем писать оо
вместо + оо, если нет опасности недоразумений.
§ 3.3. Действия с пределами
Переменные хп и уп можно складывать, вычитать, ум-
умножать и делить, образуя величины
Хп + Уп, Хп — Уп, хпУп, *Г-
Уп
В случае частного надо предполагать, что упф0 для лю-
любых /г=1, 2, 3, ...
Справедливы следующие, в сущности очевидные, свой-
свойства пределов:
lira (xn±yn)=* lim xn± lim у„,
п
lim (х„уп) == lim xn lim yn, B)
П -*¦ СО П -*• со

§3.3. ДЕЙСТВИЯ С ПРЕДЕЛАМИ QJ
в частности, если хп = с постоянная, то
Urn (схп) = lim с lim хп = с lim хп,
ft -> оо n-+ a> n-*- » п-»-оэ
lim Хп
Нт *л = * + * / lim у*фО\.
Л -*- сю
Эти свойства надо понимать в том смысле, что если суще-
существуют пределы, фигурирующие в правых частях равенств
B), то автоматически существуют пределы в левых частях
соответствующих равенств и справедливы сами равенства.
Добавим еще, что
Нт 1-0,
хп -* да п
lim (*„{/„) = оо, lim l = oo. C)
Хп-+ А Ф0 хп ¦* 0 *"
Уп -*¦ » хп Ф О
Более сложный вопрос возникает при вычислении пре-
предела частного —, когда и хп —>¦ 0 и уп —>¦ 0 или если
я„—»оо и уп—>оо. В таких случаях заранее невозможно
сказать, чему равен предел. В зависимости от индивиду-
индивидуальных свойств переменных хп и уп предел может быть
любым конечным или бесконечным числом *). Может также
случиться, что отношение — не имеет никакого предела,
даже бесконечного.
Например, пусть хп = ~, уп = -^\ тогда, очевидно,
хп — 0, 0„ —0,
^ п> + оо, >0.
Уп П ' ' Хп П
/ J^n 1 х
Если же хп = - п , у„ = —, то отношение — = (—1)"
ни к какому пределу не стремится.
Мы рассматривали переменные х„, зависящие от нату-
натурального п (п=1, 2,3, ...). Такие переменные называют
последовательностями.
*) Символы +оо, — оо, оо удобно называть бесконечными чис-
числами, хотя это вовсе не числа, и тогда обычные числа называют
конечными числами.

G8 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
Пример 1.
1 + -
ИГЛ j 7-—- НГП z =s ~т~ —-- 1.
Я
Пояснение. У дроби ?-?у как числитель, так и
знаменатель стремится к бесконечности, и непосредственно
нельзя сказать, к какому пределу она стремится. Однако
после деления числителя и знаменателя на п обнаружи-
обнаружилось, что числитель стремится к 1 и знаменатель стремится
к 1. Это дает возможность воспользоваться формулой о пре-
пределе частного.
Пр имер 2,
lim (л4—100л3—2яа+1) =
Пояснение. Сразу неясно, к чему стремится исход-
исходное выражение: первый член я4 стремится к + °°i а член
— 100я3—2и2 стремится к —оо. Но после вынесения
за скобки я.4 все проясняется- множитель я4—<- + °°i a
/ 100 2 1 \
A ——-^д- Н—г J —»- 1 ^=0. Но тогда произведение
стремится к оо и даже к -f оо (см. C)).
П р имер 3.
lim У V
0>
потому что знаменатель последней дроби стремится к оо.
Нет общего способа вычисления предела разности двух
переменных, каждая из которых стремится к + оо. В каж-
каждом конкретном случае приходится придумывать свой
способ.
Пример 4. Сумма первых п членов геометрической
прогрессии со знаменателем q (дф\) и первым членом 1

§ 3.3. ДЕЙСТВИЯ С ПРЕДЕЛАМИ 69
равна
Sn=l + <!+<l*+...+<r-1=l1^ = ~-q"T±-Q. D)
Если прогрессия убывающая, т. е. если |^|<1, то
второй член правой части D) стремится к нулю при п —*¦ оо:
q
Поэтому существует предел
П-* а» ' Ч
который называют суммой ряда
*+... E)
(состоящего из бесконечного числа членов!), и при этом
пишут
т. е. приписывают выражению E) число, равное сумме
ряда. В этом случае говорят, что ряд E) сходится.
Если | q|> 1, то
Jo (n—.оо);
q
при <7=1
Sn =
Если же q = — 1, то
S2 = 0, S3 = l, S4 = 0, S,= l, ...
и Sn не стремится к пределу.
Из сказанного следует, что если условие | q\ < 1 не
выполняется, то Sn не стремится к конечному пределу
при п—»-оо. В этом случае говорят, что ряд E) расхо-
расходится. Ему не приписывают никакого чцсда.
Замечание. Следует обратить внимание на свойства
переменных, имеющих предел (конечный и бесконечный),
выраженные формулами B). Надо знать также, что пере-
переменная, имеющая предел, равный а, есть сумма а-\-<хп,
где а„—бесконечно малая. О самом же понятии беско-
бесконечно малой для наших целей достаточно иметь чисто
интуитивное представление, выясненное на примерах.

70 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
УПРАЖНЕНИЯ
1. Приведите примеры бесконечно малых хп, зависящих
от натурального я=1, 2, ...
2. Что значит, что переменная хп (я=1,2, ...) имеет
предел, равный числу а? Приведите примеры.
3. Каким свойством обладает переменная хп, называе-
называемая бесконечно большой? Приведите примеры.
4. Что значит lim *„ = +оо и lim х„ —— оо? При-
п -*• а> п -* ел
ведите примеры.
5. По каким правилам вычисляют пределы суммы, раз-
разности, произведения и частного переменных хп и уп?
6. Что называется суммой убывающей геометрической
прогрессии?
7. Вычислить пределы:
?+1. 9. ,. п3 —
3) li.n
4) lim
,rts—100—5'
¦1
5) lim [ir1— Юп2+2п—1); 6) lim (n9— 10rt2+2rt—1);
fl -> + CD fl -*¦ — <B
7) lim ((/^TTK) '
-K«); 8) lim n3_
fl —*¦ 00
§ 3.4. Предел
Sltl JC
Рассмотрим функцию (рис. 66)
sin x
Она определена для всех значений х, за исключением
х — 0. Посмотрим, как изменяется эта функция, когда х
Рис. 66
приближается к нулю все ближе и ближе, оставаясь от-
отличным от нуля. Вот таблица'

§ 3.4. ПРЕДЕЛ
71
X
sin*
X
0
0
,50
,9589
0
0
,10
,9983
0
0
,05
,9996
Таблица наводит на мысль, что когда независимая пе-
переменная х приближается к 0, оставаясь положительной,
функция приближается к 1. Этот факт можно получить
из геометрических соображений. На рис. 67 изображена
окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Пусть ^АС = а. Тогда AB = s\na, AD = tg a.
Но тогда, как видно из рисунка (длина дуги окруж-
окружности больше стягиваемой ею хорды и меньше объемлю-
объемлющей ее ломаной),
2AB<2<?AC)<2AD.
Поэтому
2 sin а < 2а < 2 tg a,
а „ 1
к
cos a <
sin a cos а'
sin а , ,
Рис. 67
Если теперь а приближать
(стремить) к 0, то функция
cos а, как это видно из графика (см. рис. 67), будет при-
приближаться к 1. Но функция 5JL25 находится все время
между cos а и 1. Это показывает, что она стремится к 1,
когда а стремится к нулю, оставаясь положительной. Этот
факт записывают так:
.. sin a 1 /сг\
lim = 1, (о )
а-* 0 а
а> О
и говорят, что предел функции ^р, 'когда а стремится
к нулю, принимая положительные значения, равен 1.
Но если а —* 0, принимая отрицательные значения, то
указанный предел все равно существует и равен 1. Это
получается из F') посредством замены переменной а = — t.

72 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
в силу которой, если а —> 0, а < 0, то t —> 0, i > Oi
]lm ?^= lim *J*tz*> = Нш !5L*=1. F")
а< О а<0 /> О
Равенства F') и F") объединяют в одно]
lim ?^=1, F)
0 а
и говорят, что предел 5-^-2 я^ы а—».О равен 1.
Пример 1.
Чтобы свести вычисление этого предела к пределу F),
делаем замену переменной х на у при помощи равенства
у = 2х. Очевидно, у—»-0 при х—* 0.
Пример 2.
1 .. /sin(ж/2)\ я 1 .. /siny\» J
= Tllm wo ) ^Т llm ~7Г") '"Т
Здесь сделана замена -я- = ^| где у—*-0 при л—»-0,
УПРАЖН ЕНИЯ
1. Вычислить пределы;
!^; б) UmgLg; в) Н
ч .. Sina д: . ,¦
г) hm ——-; д) hm 5
х-*0 х х-+0 х
2. Повторите вывод формулы F) и запомните эту фор-
формулу.
§ 3.5. Предел функции
Рассмотрим произвольную функцию y — f (x). Пусть она
определена в некоторой правой окрестности точки a, ja
исключением, быть может, самой точки а. Это значит, чтф
она определена для значений х, удовлетворяющих нера-
неравенствам с < х < а-\- б, где б — некоторое положительное
число.

§ 3.5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 73
Говорят, что функция y = f(x) имеет правый предел
в точке а, равный А, если из того, что х приближается
(стремится) к а, оставаясь в правой окрестности точки а,
следует, что f(x) приближается к Л. Это записывают так:
lim f(x) = A.
х-* а
х > а
Аналогично, если функция у = f (x) определена в левой
окрестности точки а, за исключением, быть может, точки а,
т. е. она задана для значений х, удовлетворяющих нера-
неравенствам а—б < х < а (б > 0) при некотором б > 0, то
говорят, что она имеет левый предел в точке а, равный
числу В, если из того, что х приближается к а, оставаясь
в левой окрестности а, следует, что f(x) приближается
(стремится) к В. Этот факт записывают так:
х -*а
х < а
Если существуют левый и правый пределы функции
у «= f(x) в точке а и они равны одному и тому же числу А,
то говорят, что функция имеет предел в точке а, равный А,
и пишут
limf{x) = A.
х-э- а
В этом случае само собой разумеется, что функция f
определена в некоторой полной окрестности а—б < х <
< а-\- б точки а за исключением, быть может, самой точки а.
Функция у = -—-, которую мы рассмотрели выше, опре-
делена для всех значений х, за исключением х = 0. Мы
уже знаем, что эта функция имеет предел при х —> 0,
равный 1.
Формально выражение «при х, стремящемся к а, функция / (х)
стремится к Л» надо понимать следующим образом: для любого
положительного числа в > 0 найдется такое б > 0, что
\Кх)-А\<г
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < \х — а\ < б.
О функции / (х) говорят, что она стремится к оо при
к-+а, если для значений х, достаточно близких к а, она
может сделаться по абсолютный величине больше как

74 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
угодно большого числа М > 0. В этом случае пишут
Можно при этом говорить о правом и левом пределе в
точке а и заменять символ оо на + оо или —оо, если
функция вблизи а положительна или, соответственно, от-
отрицательна.
Например, мы знаем, что
Игл tgx—oo G)
*->л/2
и, что точнее (см. рис. 42),
lim tgx — + oo, lim tgx = — оо. (?')
х-*я/2 x-t-n/2
х>а/2
Заметим, наконец, что в этих определениях конечное
число а (точку числовой прямой) можно заменить на сим-
символ оо, или +оо, или —с».
Вспомним, что функция i/ = arctg# задана для всех
вначений х, т.е. на интервале —оо<х<оо. Для нее
справедливы равенства (см. § 2.11 рис. 61)
lim arctg* = я/2, lim arctgx = — л/2.
Х-> + 00 Х-* - 00
§ 3.6. Действия с пределами функций
Так же как для пределов переменных, пробегающих
последовательности, для пределов функций имеют место
аналогичные свойства:
lim [f (х) ± Ф (*)] = lim / (х) ± lim <p (*), (8)
х-*а х-*а х-*а
lim [/ (х) ¦ ф (х)] = lim / (*) lim ф (х), (9)
В частности, если f(x) есть постоянная (f(x)*=*o), и,
еледовательно, lim / (х) = с, то
х-*а
Пт[сф(л:)]=с11шф(дс). A1)
х-*а х-*а
©ти свойства снова надо понимать в том смысле, что если
существуют конечные пределы в правых частях равенств

§ 3.6. ДЕЙСТВИЯ С ПРЕДЕЛАМИ ФУНКЦИЙ 75
(8) —A1), то автоматически существуют пределы в левых
частях этих равенств и выполняются сами равенства.
Верны также свойства (f()Q)
если lim f (х) = оо, то lim -грг — Ф
х-*а х-*а I \х
если lim/(.*:) = 0, то Мт
х-*а х-*а
Замечание. В приведенных равенствах а может быть
не только конечным, но и бесконечным, т.е. может быть
JC—«-H-0O, Х-^—ОО ИЛИ X—ЮО.
Пример 1.
lim {ах2 + bx + с) = lim (ax1) + Hm (bx) + lim с —
х-*х0 х-*х„ х-*х0 х-*Ха
= а ( limхV + blim х+с = ах\ + bxQ
\х^-х0 ) х-+х0
при х0 конечном.
Пример 2.
lim (*2 + 4)
1lm *2+4 _ л:->2 4+4 g
J™ lim Z
В этих примерах, чтобы вычислить предел функции
при х—^ а, достаточно подставить в нее х = а. В частности,
в примере 2 это можно сделать потому, что как числи-
числитель, так и знаменатель стремятся к конечным пределам
и при этом предел знаменателя не равен нулю.
х-4-2
Пример 3. lim —?- = оо.
Здесь нельзя применить свойство A0), выражающее,
что предел частного равен частному пределов, потому что
предел знаменателя равен нулю. С другой стороны, надо
считать очевидным, что если числитель дроби стремится
к конечному числу, не равному нулю, а знаменатель стре-
стремится к нулю, то дробь стремится к бесконечности.
Пример 4. Требуется вычислить предел
,. ж2 —4
Решение. В данном случае числитель и знаменатель
дроби стремятся к нулю и соображения, приведенные
в примере 3, тоже неприменимы. Но вот как можно по-
ступить. Для любого хф2 имеем ——у = л:+2, атак как
при определении предела при х—*2 совсем не принн-

76 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
мается во внимание значение f в точке х — 2, то
Х-+2
х-*1.
Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более
сложной функции . _', достаточно вычислить предел
более простой функции дс+2. Последний при х-* 2, оче-
очевидно, равен 4. Ведь
lim (х+ 2) = Нт х + Нт 2 = 2 + 2 = 4.
2 2 2
дг->2
Вычисления, связанные с нахождением данного пре-
предела, обычно располагают следующим образом:
lim -^^ = lim (х+ 2) = lim x+ 2 = 4.
jU-j.2 * * х-г-2 Х-+2
Подчеркнем, что функции f(x)=x ~~ и <р(х) = х+2
являются разными функциями. Первая из них определена
п
О 2
Рис. 68
Рис. 69
Рис. 70

§ 3.7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 77
для х ф1, вто время как вторая определена для всех х.
Однако при вычислении предела функции при х—*2 нас
совершенно не интересует, определены или не определены
эти функции в самой точке х = 2, и так как / (я) = <р (я)
для х Ф 2, то (рис. 68 и 69)
lim / (х) = lim ф (х) = ср B).
Х-+2 х-+2
Пример 5. Функция y = sih— (график ее изображен на
рис. 70) определена для всех значений х ^ 0. Она определена,
таким образом, в окрестности точки х = 0 за исключением самс-А
точки х = 0. Эта функция не имеет предела при х—»-0, потому
что последовательность отличных от нуля значений хд.=—.„. . г-
(fe = 0, 1, 2, ...) стремится к нулю, и в то же время /(*&) = (—l)ft
не стремится при k—>¦ оо ни к какому пределу.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулируйте утверждения о пределе суммы, раз-
разности, произведения и частного функций.
2. Что значит, что функция стремится
а) к оо, б) к +°°. в) к —оо
при х —-»- а?
3. Вычислить пределы:
х0 х0 х
X3 —1
4) lim ctg л:; 5) lim ctg r, 6) lim ——г-;
x-t-О х->-0 х-*0 * 1
х>0 х<0
7) lim (х3 — 20х2+\); 8) lim (х3—20х2+1);
9) lim^-; 10) lim (?/FTT— v^*=
§ 3.7. Непрерывность функции
Ha рис. 71 изображен график функции y = f{x)
(a^x^b). Его естественно назвать непрерывным графи-
графиком, потому что он может быть нарисован одним непре-
непрерывным движением карандаша без отрыва от бумаги.
Зададим произвольную' точку (число) х отрезка [а, Ь].
Близкая к ней другая точка х' отрезка [а, Ь] может быть
записана в виде х'^=х-\-Ах, где Дд: есть число положи-
положительное или отрицательное, называемое приращением х-

ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
78
Разность
называется приращением функции f в точке х, соответст-
соответствующим приращению Ад;. На рис. 71 Ау равно длине
отрезка ВС.
Будем стремить Дл: непрерывно к нулю; тогда для рас-
рассматриваемой функции, очевидно, и Ау будет стремиться
к нулю:
Ау-+0 (Длг — О). A2)
Рассмотрим теперь график функции F (х), изображен-
изображенный на рис. 72. Он состоит из двух непрерывных кусков
i
*¦
«у
1
1
)
/
с
R
т
\
1
1 у.
(П
Рис. 72
РА и QR. Однако эти куски не соединены непрерывно,
и потому график естественно назвать разрывным. В точке
х„ нам надо как-то определить нашу функцию; условимся,
что F(x0) равно длине отрезка, соединяющего А и х0;
в знак этого точка А изображена на графике жирно, в то
время как у точки Q нарисована стрелка, указывающая,
чю Q не принадлежит графику. Если бы точка Q принад-
принадлежала графику, то функция / была бы двузначной
в точке ха.
Придадим теперь ха приращение Ах0 и определим со-
соответствующее приращение функции!
Если мы будем Ах0 стремить непрерывно к нулю, то те-
теперь уже нельзя сказать, что AF будет стремиться к нулю.
Для отрицательных Ах0, стремящихся к нулю, это так,
но для положительных вовсе не так; из рисунка видно,
что если Ах0, оставаясь положительным, стремится к нулю,
то соответствующее приращение AF при этом стремится
к положительному числу, равному длине отрезка AQ.

§3.7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 79
После этих рассмотрений естественно ввести следующее
определение. Функция /, заданная на отрезке [а, Ь], назы-
называется непрерывной в точке х этого отрезка, если при-
приращение ее в этой точке, соответствующее приращению
Да;*), стремится к нулю при любом способе стремления
Ах к нулю при Дя > О и Дд: < 0. Это свойство (непре-
(непрерывности в х) записывается в виде соотношения A2) или
еще так:
lim Ау=0. A3)
А*-» 0
Запись A3) читается так: предел Ду равен нулю, когда Ах
стремится к нулю по любому закону. Е1прочем, выраже-
выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая
его. В частности, Ах может пробегать любую стремящуюся
к нулю последовательность, значения которой могут быть
как положительными, так и отрицательными.
Если определенная на отрезке [а, Ь\ функция f не яв-
является непрерывной в точке х этого отрезка, т. е. в этой
точке для нее не выполняется свойство A3) хотя бы при
одном способе стремления Ах к нулю, то она называется
разрывной в точке х.
Функция, изображенная на рис. 71, непрерывна в лю-
любой точке х отрезка [а, Ь], функция же, изображенная на
рис. 72, очевидно, непрерывна в любой точке х отрезка
[а, Щ за исключением точки х0, потому что для послед-
последней соотношение A3) не выполняется, когда Дя0—»0,
оставаясь положительным.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интер-
(интервала), называется непрерывной на нем.
Непрерывная функция математически выражает свой-
свойство, с которым нам приходится часто встречаться на
практике, заключающееся в том, что малому приращению
независимой переменной соответствует малое же прира-
приращение зависимой от нее переменной (функции).
Прекрасными примерами непрерывной функции могут
служить различные законы движения тел s = f(t), выра-
выражающие зависимости пути s, пройденного телом, от вре-
времени t. Время и пространство непрерывны, при этом тот
или иной закон движения s — f(t) устанавливает между
ними определенную непрерывную связь, характеризую-
*) Здесь имеется в виду Ах такое, что х-{-Ьх принадлежит
[а, 6].

80 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
щуюся тем, что малому приращению времени соответст-
соответствует малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая
окружающие его так называемые сплошные среды—твер-
среды—твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду,
воздух. На самом деле всякая физическая среда представ-
представляет собой скопление большого числа отделенных друг
от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и рас-
расстояния между ними настолько малы по сравнению с объ
емами сред, с которыми приходится иметь дело в макро-
макроскопических физических явлениях, что многие такие
явления можно достаточно хорошо изучать, если считать
приближенно массу изучаемой среды непрерывно распре-
распределенной, без всяких просветов в занятом ею простран-
пространстве. На таком допущении базируются многие физические
дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, тео-
теория упругости. Математическое понятие непрерывности,
естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих
других, большую роль.
Из A2) следует
Jim / (х) = lim [f (х0) + (/ (х) - / (*„))] -
= lim / (*0) + lim [/ (х) - / (х0)] = f(Xo) + 0 = f (ха),
и мы получили равенство
lim/(*) = /(*„), A4)
К-*Ха
которое может служить другим эквивалентным определе-
определением непрерывности / в точке х0: если функция f непре-
непрерывна в точке х„, то она должна быть определена в ок-
окрестности этой точки, в том числе в самой точке х0,
должен существовать предел f в точке х0 и должно вы-
выполняться равенство A4).
Равенство A4) можно еще записать так:
lim/(*)=//lim лЛ. ' A5)
Х-+Х, \ *-*¦*(, /
Говорят, что если функция / непрерывна в точке х0,
то «предел f(x) при х—*хЙ равен / от lim», или еще
говорят, что в этом случае символы / и lim перестановочны.

§ 3.9. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 81
§ 3.8. Элементарные функции
Функции хр, sinx, cos#, tg x, arcsiri x, arccos*, arctg x
и функции а* и \gax, которые рассматриваются в следую-
следующей главе, называются простейшими элементарными
функциями. Они непрерывны на областях их определения
(интервалах или отрезках). Это надо учитывать при вы-
вычислении пределов этих функций. Справедливы, например,
равенства:
1) Птхп = л# (« = 1, 2, .... —оо <л;0 <оо);
2)Ита* = дс8 (р?=0, О < ха <оо);
х-*-ха
3) limo* = a«i (a>0, аф\, — оо < х0 <оо);-
4) lim logaA: = loga^0 (a>0, аф1, 0<л:0<оо);
5) Нт 310^ = 310^,, (—оо<д:0<оо);
Хг+Х,
6) lim cos х = cos х0 (—оо < л;0 <оо);
х-*ха
7) limtg^=tg^0 (хоф(к + -
Х-+Х, \ \ I
k = 0, ±1, ±2, ...
8) lim
х-*ха
9) lim arccosх = arccosxQ (—1
х-*х0
10) lim arctgx = arctgx0 (—оо<х„<оо).
х-*х„
Если простейшие элементарные функции комбиниро-
комбинировать, разрешая применять конечное число раз операции
сложения, вычитания, умножения, деления и функции от
функции, то будем получать функции, которые называ-
называются элементарными функциями, например, 2-\-хЛ, У\ —xi,
cos3 л;2, tg -j-, -^^—элементарные функции.
§ 3.9. Непрерывность сложной функции
При вычислении пределов функции надо учитывать,
что если функция х = (р(и) непрерывна в точке ы0, а функ-
функция f(x) непрерывна в точке Jfe = <p(u0), то функция

82 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
непрерывна в точке и0. Ведь
lira F (и) = Jim / [<р (и)] = lim / [<р (и)] =>
y\. A6)
Пример 1. Функцию у = sinx3 можно записать через
две непрерывные функции у = sin и, и = х3, поэтому она
тоже непрерывна для всех х.
Пример 2. Функцию
можно записать в виде цепи функций
y = Vu, u = \—v, v = x2.
Первая из этих трех функций непрерывна для «^0, вто-
вторая непрерывна для всех v, и третья непрерывна для
всех х. Это показывает, что исходная функция непре-
непрерывна для всех тех х, для которых 1—х2 ^ 0, т. е. для х,
удовлетворяющих неравенствам —l^x^l.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выяснить, для каких х непрерывны функции cos2 x,
cos3*, tg2x, ?±?
Непрерывные функции образуют основной класс функ-
функций, с которыми оперирует математический анализ.
§ 3.10. Разрывные функции
Разрывные функции описывают скачкообразные про-
процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например,
величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие
качественные переходы сопровожда-
сопровождаются скачками.
Пример 1. Упругий шарик дви-
двигался прямолинейно и равномерно
со скоростью va. В момент времени
/„ он ударился о стенку и после
этого стал двигаться в противопо-
р 73 ложном направлении с той же ско-
скоростью и0. Зависимость скорости ша-
шарика от времени t изображена графиком на рис. 73, раз-
разрывным в точке /„.

§3.10. РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 83
Практически можно считать, что скорость в момент ta
изменилась мгновенно: в момент ^0 она еще равнялась о0,
а при t > t0 стала равной —vB.
График изображает функцию v(t), определяемую сле-
следующими равенствами:
V{t)-\-v0 (t>t0).
Она разрывна при t—t0 и непрерывна для остальных
Пример 2. Зависимость Q = f(t) между температу-
температурой t одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий
находящегося в ней тепла, когда / изменяется между
—10° и +10°, если принять условно, что при ^
—10° величина Q = 0, выражается следующими j
формулами: 85
+ 85*), 0<*<10.
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5.
При / = 0 эта функция оказывается неопреде-
неопределенной: многозначной; можно для удобства ус-
условиться, что при / = 0 она принимает вполне
определенное значение, например /@) = 45. ~7U 1U r
Функция Q = /(<), очевидно, разрывная при Рис.74
2 = 0, изображена на рис. 74.
На рис. 66 изображен график функции f(x) = —^-.
Она определена и непрерывна для всех х ф 0. Непрерыв-
Непрерывность следует из того, что функции </ = sin л: и у = х от-
отдельно непрерывны, поэтому их частное тоже есть непре-
непрерывная функция для тех х, для которых знаменатель не
равен нулю, т. е. для всех х, исключая х=0.
Из графика видно, и мы это подкрепили выше вычис-
вычислениями, что
sin дг
Положив /@) = 1, мы получим, что функция f(x) будет
определена и непрерывна для всех х, в том числе и х=0.
*) Удельная теплота таяния льда при 0°С равна 80 кал. на
грамм.

84 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
Обратим внимание на график функции y = sln —, изображен-
иый на рис. 70. Эта функция не определена при л: = 0, и ее пре-
пределы в точке д: = 0 (правый и левый) не существуют. Следовательно,
функция sin— будет иметь разрыв в точке х = 0 при любом дооп-
доопределении ее в этой точке.
Часто встречаются функции f(x), непрерывные на не-
некотором интервале, за исключением отдельных точек х0,
где
Говорят, что в таких точках функция / обращается в
бесконечность. Например, функция
(х-2)(х
непрерывна на (—оо, оо), за исключением точек #==2,
хг=ж—3, где она обращается в бесконечность:
Замечание. Надо знать два определения непрерыв-
непрерывности функции f (х) в точке х0: 1) на языке приращений
(если Ах—*-0, то Ау—>-0) и 2) lim f(x) = f(x0). Надо знать
также, что если функция f(x) непрерывна в любой точке
интервала (отрезка), то ее график непрерывен на этом
интервале (отрезке), и обратно, непрерывность графика
f(x) на интервале (отрезке) влечет непрерывность f(x) во
всех его точках. Функция разрывна в точке х0, если она
не является непрерывной в ней.
УПРАЖН Е НИЯ
1. Что такое приращение Ау функции y — f(x) в точ-
точках х, соответствующее приращению аргумента Л*?
2. Сформулируйте непрерывность функции y = f{x)
а) на языке свойств ее графика,
б) при помощи А у и Ах.
3. Если функция / непрерывна в точке хв, то как она
аедет себя при х —»¦ я0?
4. Приведите примеры разрывных функций.

§3.10. РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 83
5. Перечислите простейшие элементарные функции.
6. Как определяются элементарные функции? Приве-
Приведите примеры.
7. Приведите примеры функций, обращающихся в точке
в бесконечность.
8. В каких точках обращаются в бесконечность функ-
функции
_L *+' х2+* + 2 х—2
х—3 ' х+5
9. Вычислить пределы!
2/_~1_, : б) \i
в) lim К^Пз-д/г+Т . г) н
... tg4x ... у/^6
д) hm -2-— ; е) lim a

ГЛАВА 4
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
§ 4.1. Свойства функции ах
Показательная функция а* для положительного числа а,
не равного 1 (а > 0, аФ 1), определялась в школе на раз-
различных этапах обучения для х натуральных, целых и раци-
рациональных. Ниже она будет определена для произвольных
действительных х.
Имеют место следующие фундаментальные свойства
показательной функции:
а* > 0 (—оо < х < оо),
ахаУ (—оо < х, у < с»),
и, если а> 1 (рис. 75, а), то
а* < а» (—оо < х < у < оо),
G*—>-Ьоо при X—»-+оо,
ах —у 0 при л—*¦ — оо.
Если же а < 1 (рис. 75,6), то в силу равенства
a* = -J_.
" / 1 / _ V V 1
B)
C)
D)
E)
F)
G)

§ 4.2. а* ДЛЯ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ к
и из D), E), F) следует, что
87
ax > а
ах -
ах —*
у (-оо <
-*0, если
+ оо, если
х<У< оо),
X—<¦-(- оо,
X—»-—00.
E')
F')
G')
Кроме того, справедливо свойство: показательная функ-
функция ах непрерывна на всей действительной оси.
На рис. 75 изображены графики а" при а > 1 и
01
§ 4.2. ах для целых и рациональных х
Если п—натуральное число, то число а" определяется
как произведение ап = а...а из п сомножителей, каждый
из которых равен а, а число а~п — при помощи равенства
По определению а° = 1, ах = а.
Этим функция а* определена для любых целых п
(л = 0, ±1, ±2, ...). Свойства A) — G) для целых х
Проверяются легко. Если q — натуральное, то число а"»
определяется как арифметическое значение корня q-н сте-
степени из а, т.е. alii=\/a есть такое неотрицательное
число, q-я степень которого равна а\
На самом деле это число поло-
положительное, потому что q-я степень
нуля есть нуль, а в данном случае
а> 0.
Возникает вопрос о существовании
числа а1'', т. е. есть ли на самом
деле такое положительное число, q-я
степень которого равна а. Да, есть.
Убедимся в этом. Функция
Рис. 76
где q—натуральное число, имеет для значений x~^Q гра-
график Г вида, как на рис. 76. Ордината у точек Г непре-
непрерывно возрастает от 0 до -f оо, когда ее абсцисса непре-
непрерывно возрастает от 0 до Ч-оо. Проведем выше оси х
прямую, параллельную оси х, да расстоянии, равном а.

88 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log а, х"
Она пересекает Г в одной-единственной точке А, абсциссу
которой обозначим через Ь:
Следовательно,
Мы доказали существование числа b — axiq графическим
методом. Можно доказать это и формально, не обращаясь
к графику. Число b—единственное: любое другое число,
возведенное в степень q, дает число либо большее, чем а,
либо меньшее, чем а.
Из единственности вытекает следующий факт: если А
и В — положительные числа и
А" = В",
то
/4=5.
В самом деле, А и В суть арифметические значения
корня q-й степени из одного и того же числа. Но тогда
А = В, потому что арифметическое значение корня q-yi
степени из положительного числа единственно.
Пусть теперь p/q есть произвольное положительное
рациональное число (р и q—целые, q > 0).
По определению
или аР'* = (Ч/Ъ)р = {/а?. (8)
Здесь первое равенство дает определение apl9, второе же
можно доказать. В самом деле, если возвести третий член
в (8) в <7-ю степень, то получим ар, а если возвести вто-
второй член (8) в q-ю степень, то тоже получим ар:
Этим функция ах определена для любых рациональ-
рациональных х. Ее свойства A) — G) п. 4.1 для рациональных
х, у вытекают из соответствующих свойств корней. Напри-
Например, если лг = —, г/ = — дроби (q, s—натуральные и р,
Q s
г — целые), то
=aqsasq =
ps + rq

§ 4.3. а* ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ х 89
§ 4.3. ах для действительных х
Показательной функцией ах называется непрерывная
функция, определенная на действительной оси х, вычисляе-
вычисляемая для рациональных значений х = — по формуле
Из этого определения следует, что если х есть ирра-
иррациональное число, то для того чтобы вычислить ах, надо
взять любую последовательность рациональных чисел rk,
стремящуюся к х (rk —> х), и по-
ложить а* равным пределу пере-
переменной аг*, когда rk—+х, т.е.
В системе координат хОу мыс-
(9)
'•'
ленно отметим все точки (х,ах) для р „_
рациональных значений (рис. 77).
График изображен пунктирной линией, чтобы подчеркнуть,
что он состоит из точек, соответствующих только рациональ-
рациональным значениям х. Это точки вида( —, у/ ар), где р, q —
целые и q^=0.
Оказывается, этот график можно продолжить для лю-
любых иррациональных х единственным образом, так что
пунктирная линия превращается в непрерывную линию,
в график непрерывной функции ах.
Доказательство свойств A)—G) п. 4.1 для действи-
действительных х, у может быть получено на основании того,
что эти свойства верны для рациональных х, у, примене-
применением метода пределов.
Например, пусть х и у—данные действительные числа;
вводим две последовательности рациональных чисел rh
и pft, для которых
rh —* х, pk —s- у.
Тогда
ахау = limar*limар* = lim (аг*ар*)= lima1"*+ pfc =ах+ь>
k-+m fe-> oo k-+ ao ft-> ao
и мы получим свойство C) для действительных х, у.
Замечание. Сформулированное выше определение
показательной функции требует обоснования. Именно,

90 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log а, *»
требуется доказать, что существует, и притом единствен-
единственная, функция, указанная в определении.
Ниже выводится неравенство (неравенство Бернулли),
на основе которого возможно провести это доказательство.
§ 4.4. Неравенство Бернулли
Рассмотрим функцию а" на отрезке [с, d]. Положим
M — ad. Справедливо неравенство (а > 1)
\аУ-ах\^2М(а—\)\х—у\, с^х, y^d, \х—у\<1,
A0)
называемое неравенством Бернулли.
Это неравенство показывает, что если приращение
у—х аргумента х мало, то соответствующее ему прира-
приращение показательной функции а"—а" тоже мало, т.е.
функция ах непрерывна. _
Пример. Вычислить приближенно 3^2. Определить
абсолютную погрешность.
Решение. На микрокалькуляторе получаем
К 2 ж 1,4142136,
3V да 31.4142136^4,728817 « 4,72882.
Абсолютная погрешность не превышает (а = 3, \х—г/|<
< 10"', |/2<2 = d, M<3a)i
2М(а— l).10-i<2-3a-2-10-' = 36-10-i < 10"».
Поэтому результат естественно округлить до пятого знака
после запятой:
3V^ « 4,72882.
Дадим обоснование неравенства A0). Отметим прежде всего
неравенство
(l-\-a)N2z\+Na (а > 0, N= 1, 2, 3, ...). (И)
При yV = l оно тривиально. Допустим теперь, что оно верно при
N—\: '
Тогда оно верно и при N:
Мы доказали неравенство (И) по индукции (см, далее § 11.2).

$4.4. НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ 91
Пусть теперь а > 1 и N — натуральное число, тогда al^N > 1 и
ai/^l+a (а > 0), a
Следовательно, allN — 1 < .
Пусть теперь Л — произвольное рациональное число, удовлет-
удовлетворяющее неравенствам О < h < 1. Подберем натуральное N так,
чтобы
Тогда
e*_,<e./*_,<«^e^^<2(a-lJ*. A2)
потому что
Пусть теперь * и (/ — рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам | х—у\ < 1, с<*х, y^d и M = ad; тогда на основа-
основании неравенства A2), считая, что у > х и у — x = h, получаем
Мы доказали неравенство Бернулли для рациональных чисел
х, у (М = ad, csSx,0<d,O<(/— *<1):
|ax — аУ|^2М (а— 1)|х — у\.
Если д:—рациональное число и переменная у^ (fe=l, 2, .».),
пробегающая рациональные числа, стремится к х, то имеет место
неравенство | ах~aUk\ <2УИ (а — 1) | х—уь |. Правая его часть при
/г —> оо стремится к нулю {х — уь—> 0), следовательно, и левая.
Откуда для рациональных х
ах = lim аУк .
гк-*х
Если теперь х—произвольное иррациональное число, то для
него тоже можно подобрать стремящуюся к нему переменную
Ук (Ук'—* х) и доказать, что переменная ак имеет предел. Естест-
Естественно его обозначить через ах. Этим дается определение показа-
показательной функции для иррационального х. Доказательство сущест-
существования предела основано на уже выведенном неравенстве Бернулли
для рациональных х, у. При этом приходится обращаться к более
развитой теории пределов чем та, которую мы получили в этой
книжке. Переход в A0) от рациональных х, у к действительным
нетруден.
Пример 1. Вычислить 21" с помощью микрокаль-
микрокалькулятора.

92 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log а, х"
Решение.
НО [13 Ш ? Ш Н 3,2490096,
результат выписан с точностью до единицы седьмого раз-
разряда после запятой, т. е. абсолютная погрешность не пре-
превышает 10"'.
Пример 2. Вычислить на микрокалькуляторе 71/11.
Решение.
тг~ ED GD ПИ СП Г^10,0909091 (записываем),
J.
7US 7 0,0909091 =
= ШИШШШШШШШШШНиязя.
В оценке Бернулли приближения У1/11»?0'09090»1 имеем
/И = 21/11<2, а = 7, |jc—г/|<Ю, следовательно, абсо-
абсолютная погрешность этого приближения не больше
Поэтому мы оставили только 5 цифр у окончательного
результата.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для какого числа а определяется показательная
функция av?
2. Определите ах для х натуральных, целых отрица-
отрицательных, рациональных.
3. Дайте определение функции ах для любого действи-
действительного числа.
4. Сформулируйте неравенство Бернулли.
5. Вычислите на микрокалькуляторе числа 23'7, 22'1,
З0'23, 40'2'. Оцените погрешность приближения.
6. Вычислить на микрокалькуляторе числа 2V 3, 3V ',
Зл, 51/'.
§ 4.5. Число е
Рассмотрим переменную хп, пробегающую последова-
последовательность чисел хи xt, xs, ...
Определение. Переменная хп ограничена сверху
числом М, если выполняются неравенства хп^.М для
любых « = 1,2,...

§ 4.5. ЧИСЛО с 93
Определение. Переменная х„ не убывает, если для
любого п
Теорема 1. Если переменная хп не убывает и огра-
ограничена сверху числом М, то она имеет предел, равный
некоторому числу а, не превышающему Ms
lim xn = а < М.
n
Наметим доказательство.
Если на числоьой прямой отметить точки Xi, xit х3, ...
и точку М (рис. 78), то,каждая последующая точка хп+1
будет находиться правее предыдущей хп или совпадать
О Xj az <г3 а М
Рис. 78
с ней и в то же время все точки хп будут находиться
левее М или, может быть, какая-либо из них совпадает
с М (но тогда, очевидно, и все последующие за ней сов-
совпадут с М) в \imxn = M.
П-*ОО
Так как номеров п бесконечное множество, то точки
хп обязательно должны сгущаться около некоторой точки
а-^М, которая и будет пределом хп.
Замечание 1. В теореме 1 можно считать, что пе-
переменная х„ ограничена снизу числом m (m^xn, п=\,
2, .. .) и не возрастает (л;„+1<хп), и тогда тоже сущест-
существует предел \imxn^m.
Рассмотрим переменную
(«=1,2,3,...). A3)
Вот таблица первых ее значений:
«х = 2; ы2 = 2,25; ы, « 2,37; ui » 2,44; ...
Мы видим, что для малых п переменная ип возрастает.
Можно установить и в общем случае, разлагая выраже-
выражение A3) по формуле бинома Ньютона (см. п. 11.2), что
(доказательство см. ниже)
«„<«„+! (л = 1, 2, 3, ...).
Кроме того, с помощью разложения по биному Ньютона
доказывается, что переменная ип (п = 1, 2, 3, ...) огра-

94 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log а, х"
ничена сверху числом 3. Но тогда на основании теоремы 1
переменная ип имеет предел, не превышающий 3.
Этот предел называется числом е. Он равен *)
е= lim A+-)" = 2,71828... A4)
Если положить в формуле A4) а=\/п, то получим,
что при п—* оо будет а—>0, и, следовательно,
lim A-Ьа)'/а = б>. A5)
Мы установили формулу A5) в предположении, что а
стремится к нулю по закону а = — (л=1, 2, ...). Но
можно доказать, что эта формула (и этим мы будем поль-
пользоваться в дальнейшем) верна при любом способе стрем-
стремления а к нулю.
Докажем приведенные выше утверждения.
Согласно формуле бинома Ньютона для натурального п имеют
место равенства
1\' + 1^'Ч + l
Члены суммы и (п) меньше соответствующих членов u(n-j-i)
и, кроме того, и(п-\-\) имеет на один (последний) положительный
член больше чем и (п). Поэтому и (п) < и (и+ 1) (л = 1, 2, ...) и
переменная и (п) возрастает.
Далее
*) Читатель, который ознакомится с гл. 9, может вычислить
самостоятельно число е с любой точностью.

§ 4.5. ЧИСЛО , 95
Это показывает, что переменная и(п) ограничена сверху чис-
числом 3.
Таким образом, переменная и (п) возрастает и ограничена
сверху числом 3. По теореме 1 она имеет предел, не превышающий
3, который мы называем числом е.
Мы доказали равенство A4), когда п стремится к бесконеч-
бесконечности, пробегая натуральные чигла. Но равенство A4) верно и
тогда, когда п стремится к оо любого знака, и притом пробегая
любые числовые значения, не обязательно натуральные. Дока-
Докажем это.
Пусть сначала п стремится к +оо, пробегая какие-либо зна-
значения не обязательно целые. Обозначим через [и] целую часть п.
Таким образом,, например,
[7, 31 = 7, [7] = 7.
Для любого положительного числа п имеют место очевидные
неравенства
(rt]<rt < Ii]+1.
Но тогда
[и] + 1 / 1 \и+1 / Г \[в] + 2
Деля на 1 -] , получим неравенства
п п
Будем п стремить к +оо. Тогда переменное число [n]-f-l будет
тоже стремиться к -(-со, пробегая натуральные числа. Но тогда
числитель в левой части соотношений A6) стремится к е. Что же
касается знаменателя, то он стремится к 1. Следовательно, левая
и правая части в A6) стремятся к е, но тогда средняя часть, рав-
/ 1 \"
ная I 1-) 1 , тоже стремится к е. Этим доказана верность ра-
равенства A4), когда положительное п стремится к -f оо по любому
закону.
Пусть теперь п—*— оо, тогда /п = —п—>-т-оо, и, следова-
следовательно,
1Г= lim (l-^V= Mm
n j J
Теперь уже равенство A4) доказано как в случае п—*¦+¦»,
так и в случае п—)¦—оо, где числа п не обязательно целые.
Введем теперь новую переменную а при помощи равенства
1 — / 1 \п
а=—. Тогда, очевидно, lim A-}-а)а= lim 1-j— =<?, и мы
доказали формулу A5), когда а стремится к нулю по любому
закону.

96 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log а, х»
Пример 1. Если 0<<7<1, то переменная q* убы-
убывает (qn+1<Cqn) и ограничена снизу числом 0 @ < qH).
Поэтому на основании замечания 1 существует предел
На самом деле А = О, потому что
А = iim qn+l — lim qn+1= Iim (q"-q)~ lim q"-q = Aq
n+ l-*ao rt-voo «-><» л-*-оо
и Л=Л^г, т. е. А(\—(?) = 0, откуда Л=0.
Пример 2.
iim fl+14)^ Hm Л 4- —)~'
lim(l +a)T =ea.
La-*o J
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить пределы;
1) lim М -|—J ; 2) lim
3) lim fl--M"; 4) lim(l + 2a)^.
2. Сформулируйте теорему о существовании предела
ограниченной неубывающей последовательности.
3. Что такое число е? Дайте несколько определений.
4. Нарисуйте схематические графики функций ех и е~х.
§ 4.6. Логарифмическая функция
Пусть а есть положительное число, не равное единице
(О < а, а ф\), и ц есть произвольное положительное
число @ < у < оо). Логарифмом у при основании а
называется такое число x = \ogay, что если возвести а
в степень х, то получается у. Таким образом,
ах = у. A7)
Поэтому можно еще написать
а'°^у = у, 0<у<оо, A8)
или еще
logaa* = *, —оо<л;<оо. A9)

S 4,6, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 97
Примеры
0, log, 8== log 2s -3,
bgel=0, loglo10 = l,
Iog10100 = 2, log1(j 1000 = 3,
log100,l = —1, bgM0,01=-2.
Возникает вопрос, всегда ли решается относительно *
уравнение A7), или, что все равно, существует ли для
положительного числа у его логарифм при основании а.
Да, существует, и единственный. В этом мы убедимся на
основании свойств функции ах, которые мы сейчас пере-
перечислим (будем считать, что а>1); ¦
1) а* непрерывна на (— оо, оо), т. е. имеет непре-
непрерывный график;
2) а*—возрастающая функция, т. е. ах<ау, если
х < у,
3) ах —*-+оо при х —*¦ -f- оо;
4) а* —*0 при х-*-— оо.
На рис. 75, а изображен график функции а" (а> 1).
В силу 1) это непрерывная кривая, распространенная
над всей осью х. В силу 2), 3), 4), когда абсцисса х точки
графика возрастает от —оо до + оо, ее ордината у воз-
возрастает от 0 до + оо.
Значение х, удовлетворяющее уравнению A7) для дан-
данного у > 0, можно получить следующим образом. На оси
ординат отложим вверх от начала координат на расстоя-
расстоянии, равном у, точку и через эту точку проведем прямую,
параллельную оси абсцисс. Эта прямая обязательно пере-
пересечет график, и притом в единственной точке А. Абсцисса *
точки А и решает, очевидно, уравнение A7) для данного у
(см. рис. 75, а).
Мы доказали существование логарифма у (у>0) при
основании а, применив графический метод. При этом мы
получили новую функцию х, зависящую от j/, которая
называется логарифмом у при основании а и обозначается
так! x = \ogay.
Итак,
\ 0)
есть функция, приводящая в соответствие каждому поло-
положительному числу у такое х, что у=*ах, т. е. выполняется
равенство A8).
4 С. М, Никольский

96 ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a", log я. Л"
Благодаря свойствам A8) и A9) функция ^^назы-
^^называется обратной по отношению к функции а*, а функция а*
называется обратной по отношению к logay (см. § 2.10).
Логарифмическая функция x = hgay при а> 1 обла-
обладает следующими, вытекающими непосредственно из приве-
приведенных рассмотрений свойствами;
1) 1°ёаУ непрерывна на @, оо);
2) \ogdу—возрастающая функция, т. е.
<loge& @ < я* < 0, < оо)
для любых указанных ylt «/,;
3) l°fief/—*°° ПРИ У~*-\-°°!
4) \ogay—>—оо при у —> 0.
Если в формуле -«= Jog,у @<#<оо) поменять мес-
местами х и у, то получим запись логарифмической функции
в обычном виде:
y=\ogax @<jc<oo),
где х—аргумент, а у—функция.
График функции y=\ogax в си-
системе координат хОу получим,
если в этой системе изобразить
график функции
Рис.79 x = aV (— °°<У<<х>)
(рис. 79), т. е. множество точек вида (а», г/J или, так как
то множество точек (дс, 1о&,дс].
Таким образом, кривая на рис. 79 есть не только гра-
график функции х — а» (—оо <у< оо), но и график функ-
функции у = Ioge х @ < х < оо).
Можно еще сказать, что при а> 1 функция logajr
отображает интервал @, оо) значений х на интервал
(—оо, оо) значений у.
Пусть теперь а удовлетворяет неравенствам 0<о< 1.
Выпишем нужные нам свойства функции y = axi
1) ах непрерывна на (— оо, оо);
2) а*—убывающая функция, т. е. #*>а{' (х<у);
3) а*—*0 при х—*-f °°;
4) а* —* -f- °° при л; —+• — оо.
График а* при 0 < а < 1 изображен на рис. 75, б. Мы
видим, что функция у = а* и в случае 0 < а < 1 отобра-

S 4.9. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 99
жает интервал (—оо, оо) значений л; на интервал @, оо)
значений у.
Мы, как и выше, можем задать произвольное положи-
положительное (т. е. принадлежащее к интервалу @, оо)) значе-
значение у и привести ему в соответствие такое х, что будет
выполняться равенство x = logay. .
Чтобы получить х по данному у, надо взять на оси
ординат (см. рис. 75, б) точку, имеющую ординату у, и
провести через эту точку прямую, параллельную оси к.
Последняя пересечет график Г в единственной точке А,
абсцисса которой и есть искомое значение х, т. е, такое х,
для которого у = а*.
Свойства функции Ioge у при 0 < а < I такие же, как
в случае а > 1; однако есть исключение. Теперь, когда д
возрастает от 0 до -f °°» соответственно х убывает от + оо
до — оо:
Выпишем формулы A8) и A9) i !
x = a]oga* @<*<оо), |B0)
= ;e (— оо<д;<оо). i
Мы заменили в A8) у на х, но это не имеет значения.
Число а может быть здесь любым положительным чис-
числом, отличным от 1 (а<ф1). Равенства B0) и B1) назы-
называют тождествами на указанных там интервалах, потому
что они имеют место для любых х, принадлежащих к ука-
указанным интервалам.
Из равенства B0) на основании свойств показательной
функции следует для любых х, у>0:
aloge«je=_^==alog<>J(alogey==aloee*+loe«». B2)
Но тогда
@<х, r/<oo, a>0, aj*\).
Из B2) следует B3), потому что если аа>=аа', то
щ=иг. Если бы и^Фиг, то числа ав' и ав« были бы раз-
различны. Но можно и формально получить B3), взяв лога-
логарифм при основании а от левой и правой частей B2),
т. е. воспользовавшись формулой B1).
Если в B3) заменить х на -?, то получим

100
или
Далее
ГЛ. 4. ФУНКЦИИ в», log в, *»
log, — •=¦ tog, дг—log, у
х, у<оо, а>0,
' =xv~{aXoe*x)v = dlXoe*\
0<дс, у<<х>, а>0,
B4)
. B5)
Наконец, отметим, что для положительных не равных 1
чисел а и Ь имеет место
fllogfl
Верно также
потому что alog^ = Л и а[ое«ь1оеьА =Ь1о*ьА =А.
B6)
B7)
Рис.
Логарифм числа а при основании е называется нату-
натуральным логарифмом числа а и обозначается так: loge a =;
<=]па.
Формулы B0)—B7) являются основными при вычисле-
вычислениях с логарифмами. Их надо усвоить и запомнить.
На рис. 80, а, 6 приведены графики частных функций
ах, logejc.

$4-6; ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
101
1. Для каких оснрваний, рассматриваются логарифмы?
2. Что такое логарифм числа у при основании а?
3. Для каких чисел у определяется логарифм? Может ли
у быть отрицательным? ..,.,.. ;
4. Заполните таблицу
X
fogio *
1
10
100
1000
10000
0,1
0,01
0,001
6,0001
5. Сравните эти числа с нулями и между собой!
a) Iog107; б) log1017; в) Iog10873;
г) log1010232; д) Iog100,7; е) logl00,03;
ж) logioO; з) logio 0,0027; и) logl0(—10).
в. Покажите с помощью графика функции у = ах, что
\ogay существует.
7. Как называются функции у = ах и х — loge у?
8. Как построить график логарифмической функции
у = loga х при помощи графика показательной функции?
9. Чем отличаются графики loga* с а> 1 от графика
logdje с а < 1?
10. Выпишите основные формулы логарифмирования.
11. Решите уравнения:
1) а* = Ь, 2) ах = а», 3) с^ = а~К
4) а" = 1, 5) 10* = 1000, 6) 10* = щд, 7) 10* = 0,
8) 2х = 32, 9J* = -^, 10) 2* = — 3.
Решение. 1) По определению логарифм от Ь при
основании а есть такое число х, что ах = Ь, т. е. x = logab.
Но можно рассуждать так. Прологарифмируем при осно-
основании а левую и правую части равенства ах' =Ь. Тогда
logaах = logeЬ. Но \ogaax = x, поэтому x = \ogab.
' 12. Чему равно число у, если
2)
3)
= — 3,
4) log10y=X,
5) hgloy = 2,
6) logl0(/ = — 2.
Решение. 1) f/=
;= a*.

4102 ' ГЛ. 4 ФУНКЦИИ Л к« О. ж» «
§ 4.7. Логарифм с основанием 10
Пусть в десятичной системе счисления задано положи-
положительное число А.
Значащей цифрой числа А называется первая (слева
направо) цифра, не равная нулю, а также любая сле-
следующая за ней цифра. Например, все цифры числа 830200
значащие, у числа 0,00302 цифра 3 и следующие за ней
цифры 0 и 2—значащие.
Положительное число А можно представить в виде
/?=й-10*. B8)
где а удовлетворяет неравенствам
10
и k—целое. Говорят, что число А записано в стандарт-
стандартном виде.
Число а можно получить, переставив в А запятую так,
чтобы она оказалась непосредственно после первой зна-
значащей цифры. Например, правые части равенств
830200 = 8,302-10»,
0,00302 = 3,02-10-»,
100 = 1 - 10я
суть записи левых в стандартном виде.
Логарифмируя равенство B8) при основании 10, по-
получим
Число k называется характеристикой, а число log,efi—
мантиссой десятичного логарифма А. Характеристика —
целое число, а мантисса—неотрицательное число, удовлет-
удовлетворяющее неравенствам 0 <! logI0 a < 1. Ведь 1о&,1=0,
logie 10= 1, а функция у — Iog10 лс возрастает.
Существуют подробные таблицы мантисс—таблицы деся-
десятичных логарифмов. Ими широко пользовались несколько
столетий для вычислений произведения и частного чисел,
а также корней из чисел. Однако в настоящее время эта
работа выполняется на электронных микрокалькуляторах.
Пример 1.
logio 830 200 = logjj (8,302 105) = 5,9041744,
log,» @,00302) = Iog10C,02-10-8) =3,4800069,

S 4. Т. ЛОГАРИФМ С ОСНОВАНИЕМ 10 Ш
После запятых выписаны вычисленные на микрокаль-
микрокалькуляторе или по таблицам мантиссы соответствующих
чйс§л.
Пример 2.
Перед запятой записывается характеристика. Если Она
отрицательная, то знак ставится над ее абсолютной вели-
величиной (—3=3). Таким образом, если характеристика отри-
отрицательная, то перед запятой стоит отрицательное число,
а после запятой—положительное.
Пример 3. Пусть logl0 ж «=>¦ 3,4800069, тогда
я» 10-« 1О°-4вооовв _ ю-» 3,0199997 = 0,00302.
Действия умножения и деления больших чисел мы
выполняем на микрокалькуляторах. Все же приведем
пример вычисления при помощи таблиц десятичных лога-
логарифмов. Пусть надо вычислить произведение А = 830 200 х
X 0,0032. Находим с помощью таблиц логарифмы множи-
множителей. Имеем
logtt A = log10 830 200 + logio 0,0032 -*
«=6,9041744 + 3,4800069 = 3,3841813.
Отсюда
А = а-10»= 10" .10».«»"»" = 103- 2,4220399 = 2422,0399.
В предпоследнем равенстве по мантиссе 0,3841 813 нахо-
находим число а.
Часто обозначают log10 a — lg a.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В десятичной системе счисления задано положитель-
положительное число А.
1) Что такое значащие цифры числа А?
2) Что такое число, заданное в стандартной форме?
Дайте три примера приведения числа к стандартной форме.
3) Как найти характеристику и мантиссу десятичного
логарифма числа?
• 2. С помощью микрокалькулятора вычислите lg числа
1) 3070, 2) 2003, 3) 0,76, 4) 0,00101, 5) 0,00032.
3. С помощью микрокалькулятора по полученным
в предыдущей задаче логарифмам восстановите исходные
числа. (Могут получиться не точно исходные числа, потому
что вычисления ведутся приближенно.)

104
ГЛ. 4. ФУНКЦИИ a», log л, **
§4.8: Степенная функция
Функция вида
у = х* @<дс<оо),
где афО,называется степенной функцией. При любом а
степенная функция во всяком случае определена для поло-
положительных х.
Степенная функция непрерывна, т. е. ее график есть
непрерывная кривая.
Если а положительное, то функция у = х* определена
также и при х = 0, именно—она равна нулю при лс==0,
потому что в математике считают, что 0е = О (а > 0).
Попутно скажем, что 0° не есть число, не есть также
число 0е, где а < 0.
Таким образом, при а > 0 функция
у—ха @<*<оо)
определена не только для положительных х, но и для
х = 0.
На рис. 81 даны графики степенных функций у=*хр
для некоторых значений р. Для р > 0 они равны нулю
*
Рис. 81
при х=*0, поэтому их графики выходят из начала коорди-
координат. При возрастании х от 0 до оо соответствующие орди-^
наты у всех графиков возрастают тоже от 0 до оо. Однако^
характер возрастания различный. Также очевадщ что
.:¦,-.,. х* < jfl <х< я1'»<хЧ*. О < д:< 1,
х* > х% > х > х1/% > л1/4, 1<д;<оо.
Если *—1, то у=\ для всех графиков.

$ 4.8. СТЕПЕ.ННАЯ ФУНКЦИЯ , 10В
Функции х и х1'* можно рассматривать и для отрица-
отрицательных X.
Что же касается функций ж1/а и х1'*, то они при
х < 0 не имеют для нас смысла, потому что не существует
действительного числа, квадрат или четвертая степень кото-
которого равнялись бы отрицательному числу х. Среди комп-
комплексных чисел есть такие числа, но мы о них сейчас'не
говорим.
Выделим в особую группу степенные функции, соот-
соответствующие натуральным а (а=1, 2, 3, ...). Они опре-
определены и непрерывны на всей действительной оси х: На
У к
-2 -1
Рис. 82
рис. 82 даны графики функций действительного перемен-
переменного х%, х4, х, хя, х*..
Степенную функцию можно записать в виде
у = ха = Ь1оеьха=Ьа1оеьх B9)
при любом положительном Ъ (Ь > 0). Часто в качестве Ь
берут неперово число е. Тогда формула B) примет вид
у = ха=еа\пх. B9')
Степенная функция х* обладает следующим характер-
характерным для нее свойством:
{ху)а = хауа, 0 < х, у < .оо.
C0)

106, ГЛ. 4. ФУНКЦИИ о», logo, л»
- / Действительно,
(ху)" = 6е 1п {ху) = е°«1п *+а 1п * = еп * еа 1п ' в
eln
*•</•.
Отметим, что степенная функция Xе при иррациональ-
иррациональном а как функция действительного переменного для отри-
отрицательных х не имеет смысла. Более глубокое изучение
показывает, что функция х° при иррациональном а должна
быть комплексной для отрицательных х. Однако на этом
вопросе, относящемся к теории функций комплексного
переменного, мы здесь останавливаться не можем.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какое из двух чисел больше!
я) 2V'2 и 2», б)- ЗП7 и 3*3, в) }/1
г) |/'1и f/Т д) ^ и _^, е) 7
2. Решить уравнения!
а) е" — 5еы-\-Ь = 0,
б) lofo(x-l) = log5l^,
в) 4*-1 = 33* (прологарифмировать по основанию 4).
г) l l3 25
3. Решить неравенства:
а) Ух> Ух, б) Ух>Ух,
2
У _
в) ¦Jlog.J/Jc—21og4*> I.

ГЛАВА 8
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 5.1. Мгновенная скорость
Понятие производной возникло как результат многове-
многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как
задача о проведении касательной к кривой, о вычислении
скорости неравномерного движения. Подобными задачами
и задачей о вычислении площади криволинейной фигуры
занимались математики с древних времен. В XVII веке
в работах Ньютона и Лейбница эта деятельность получила
определенное теоретическое завершение. Ньютон и Лейб-
Лейбниц *) создали общие методы дифференцирования и интег-
интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую
их имя, устанавливающую тесную связь между операциями
дифференцирования и интегрирования. Надо, однако, иметь
в виду, что современное изложение этих вопросов сущест-
существенно отличается от того, как они излагались во времена
Ньютона и Лейбница. В рассуждениях и понятиях, кото-
которыми оперировали в то время, с нашей точки зрения,
можно найти много неясного; да и сами математики того
времени это сознавали, о чем свидетельствуют ожесточен-
ожесточенные дискуссии, которые происходили по этим вопросам
между ними.
Современный математический анализ базируется на
понятии предела, которое выкристаллизовалось в четкую
формулировку не так уж давно—в первой половине прош-
прошлого столетия. Большая заслуга в этом принадлежит фран-
французскому математику Коши**).
Понятие предела существенно используется в опреде-
определениях понятий непрерывности функции, производной,
интеграла.
¦) И. Ньютон A643—1727)-английский физик и математик,
Г. В. Лейбниц A646—1716) —немецкий математик.
•*) О. Л. Коши A789—1857)—французский математик. В его
трудах впервые определены понятия математического анализа (пре-
(предел, непрерывность, интеграл,.,,) так, как это принято в современ- -
ной математике.

J08 ГЛ. 6. ПРОИЗВОДНАЯ
Пусть точка движется по прямой и функция s_r=l
выражает зависимость от времени t (a < t < Ъ) ее расстоя-
расстояния (с учетом знака) до начальной точки О прямой. В мо-
момент времени i точка находится на расстоянии s=~f(t)
от О. В момент же времени t + At (At =/= 0) она находится
на расстоянии s-\-As = f(t 4- ДО от 0. Средняя скорость ее
на промежутке времени (t, t-\-At) равна
As
Мгновенную, или истинную, скорость v точки в момент
времени t естественно определить как предел, к которому
стремится иср при Д* —> 0, т. е.
t>= lim ?.
Пример. Как известно, свободно падающее тело под
влиянием силы притяжения Земли движется в безвоздуш-
безвоздушном пространстве по закону
в предположении, что отсчет пути происходит с момента
времени / = 0 и скорость тела в момент t = 0 равна нулю.
Мгновенная скорость тела в момент времени t (t > 0)
равна
0= lim T-i= lim
¦ lim
М
¦gt.
и мы получили известную формулу для скорости равно-
равномерно ускоренного движения
t
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите мгновенную скорость в момент времени I
точки, движущейся по закону:
a) s = 2f + 4; б) s=tK

«6.2. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ И СИЛА ТОКА Ш)
§ 5.2. Касательная к кривой и сила тока
Рассмотрим какую-нибудь непрерывную кривую Г
в плоскости или пространстве (рис. 83). Пусть А —лежа-
—лежащая на ней точка и А'— другая лежащая на F точка.
Прямую S, проходящую через А и А', будем называть
секущей (кривую Г). Будем теперь точку А' двигать не-
непрерывно по Г, неограниченно приближая к А. Тогда
секущая S будет вращаться относительно А. Может слу-
случиться, что при этом S будет стремиться занять в пределе
положение вполне определенной (проходящей, очевидно,
А,
Рис. 83
Рис. 84
через А) прямой, которую мы обозначили через Т. Если
это будет иметь место, то говорят, что кривая Г имеет
в точке А касательную. Именно прямую Т называют ка-
касательной к Г в точке А.
Не всякая непрерывная кривая в любой ее точке имеет
касательную. Тривиальным примером этого может служить
кривая, изображенная на рис. 84. Она состоит из двух
гладких кусков 1\ и Г4, соединенных в точке А «под уг-
углом». На рисунке отмечены две другие точки А', А",
соответственно лежащие на Ти Г2; через S' и S" обозна-
обозначены проходящие через А', А" и А секущие.
Очевидно, что если А', А", двигаясь соответственно
по IV Г4, будут приближаться к А, то секущие S', S"
будут стремиться занять в пределе положение двух разных
прямых Т' и Т". Поэтому рассматриваемая кривая не имеет
касательной в точке А. Впрочем, можно было бы, развивая
введенное определение, сказать, что наша кривая имеет
в точке А две односторонние касательные, но об этом речь
сейчас не идет.
Пусть теперь кривая Г есть график непрерывной на
интервале (а, Ь) функции y = f(x) (рис. 85, я или б).

1Ю
ГЛ. t ПРОИЭВОДЯАЯ
Зададим на Г точку А, имеющую абсциссу х и орди-
ординату у, и другую точку С, имеющую абсциссу х+Дх
"и соответствующую ординату у+Ьу. Секущая S,
и
-1
ч
А
Я
v \ ti+M
_ г
Ах-Аб/Ау-ВС
а
Рис. 85
в. Ау—дВ
S
проходящая через А и С, очевидно, образует с положи-
положительным направлением оси х угол р, тангенс которого
. Ay _f(x+bx)~f(x)
В случае рис. 85, а 0 < Р < -5-, а в случае рис. 85, б -у <
<Р<я. Будем Дх стремить к нулю; тогда, вследствие
непрерывности /, будет также Д«/ стремиться к нулю
и точка С, двигаясь по Г, будет стремиться к точке А.
Если окажется (этого может и не быть!), что при этом
отношение •? стремится при любом способе стремления
Дх к нулю к одному и тому же конечному пределу (числу) в:
^—¦k (Дх-^О),
то тогда и _угол р будет стремиться к некоторому отлич-
отличному от я/2 углу а. Вместе с Р и секущая о, вращаясь
около точки А, будет стремиться занять в пределе поло-
положение прямой Т, проходящей через А под углом а к по-
положительному направлению оси х. Но тогда Т есть каса-
касательная к Г в точке Аи
* Нт -г— => Нш tg p = tg я.
Д* -* 0 "* Дж -¦• О
(Для рис. 85, а 0 < а < я/2 и для рис. 85, б я/2 < а < я.)
Мы установили, что если отношение А^Дх при Дх—>0

»6.3. ПРОИЗВОДНАЯ 1Ц
стремится к конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А
касательную, тангенс угла которой с положительным на-
направлением оси х равен атому пределу.
Сила тока. Допустим, что известна функция Q =
= f(t), выражающая количество электричества, прошедшее
через фиксированное сечение провода за время /. Зй пе-
период от t до t-\-At через сечение протекает количество
электричества &Q = f(t + &t)—f(t). Средняя сила тока
при этом равна :
. _д<г_
ср~ л/ ~~
Предел этого отношения при Д/ —>• 0 дает силу тока в мо-
момент t\
1= Urn 4r-
УПРАЖНЕНИЯ
1. Нарисовать в прямоугольной системе координат па-
параболу у — х* и касательную к ней в точке, имеющей
абсциссу jc == 1. Найти угловой коэффициент этой касатель-
касательной, т. е. тангенс угла, образованного ею с положитель-
положительным направлением оси х.
§ 5.3. Производная
Все три рассмотренные задачи, несмотря на то что они
относятся к различным областям человеческого знания—¦
механике, геометрии, теории электричества, — привели
к одной и той же математической операции, которую нужно
произвести над функцией. Надо найти предел отношения
приращения функции к соответствующему приращению
аргумента, когда последнее стремится к нулю. Мы могли
бы как угодно увеличить число задач, решение которых
приводится к подобной операции. К ней приводят задачи
о скорости химической реакции, о плотности неравномерно
распределенной массы и др.
Естественно, что эта операция получила в математике
специальное название. Она называется операцией диффе-
дифференцирования функции. Результат ее называется npcus-
водной.
Итак, производной от функции f, заданной на некотором
интервале (а, Ь), в точке х этого интервала называется

112 гл. 6. производная
предел, к которому стремится отношение приращения i
ции / в этой точке к соответствующему приращению аргу-
аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную
принято обозначать так:
f'(x)= lim ,-rr= Ь'ш
Но широко употребляются и другие обозначения! у', -^,
-У-, j-f(x)- Результаты рассмотренных примеров теперь
можно сформулировать так:
скорость точки, пройденный путь которой s есть функ-
функция s = f(t) от времени t, равна производной от этой
функции s' = /'@;
тангенс угла а между касательной к кривой y = f(x)
в точке, имеющей абсциссу х, и положительным направле-
направлением оси х равен производной f (х);
сила тока I в проводе в момент t, если функция Q =
— f{t) выражает количество электричества, прошедшее за
время t через сечение провода, равна производной / = Q'=
§ 5.4. Непрерывность функции, имеющей производную
Если функция f имеет в точке х производную, т. е.
для нее отношение -Л стремится при Дя —>• 0 к конечному
числу f (х):
л „,
*0), A)
B)
то она необходимо непрерывна в этой точке.
В самом деле, из A) следует, что
*) Предел lim -А-, где рассматриваются только Дх > 0 или
Дд:-*-о &х
только Дл: < 0, называется соответственно правой или левой произ-
производной от / в точке х. Про функцию f, заданную на отрезке [a, ft],
принято говорить, что она имеет на этом отрезке производную, если
она имеет производную в любой точке интервала (а, Ь) и, кроме
того, правую производную в точке а в левую—в точке Ь.

$5.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ИЗ
где а (Ах) —»¦ 0, Дл;—> (). Но тогда приращение Д# нашей
функции можно записать в виде суммы
Д у = /' (х) Ах+а (Ах) Ах
двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при
Д* — 0.
Следовательно, lim Ay = 0, т. е. функция / непрерывна
Ах -*¦ О
в точке х.
Обратное утверждение не всегда верно. Если функция /
непрерывна в точке х, то она может и не иметь производ-
производной в этой точке. Например, функ-
функция у
как видно из ее графика (рис. 86),
непрерывна для всех х но в точке
х = 0 не имеет производной. В этой
точке не существует касательной
к графику. Есть правая касатель-
касательная и левая, но они не совпадают.
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс
угла между этой прямой и положительным направлением
оси х. Прямые S и Т на рис. 85, а образуют острые углыр, а
с положительным направлением оси х, а на рис. 85,6" —
тупые углы.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти угловые коэффициенты касательных к кривым
(уравнения которых заданы ниже) в заданных точках ха:
а) у = х\ *0=1;
б) у = х*, *0 = 1;
в) y = s'mx, #0 = 0, я/4, л/2, Зя/4.
2. Вычислить f @), если/(х) = VНхили /(х)-j—.
3. Вычислить мгновенную скорость точки, движущейся
по закону s = 5t*, в моменты, времени 1 = 1, 2, 3.
4. В чем заключается геометрический и механический
смысл определения производной?

114 гл. ь. производная
§ 5.5. Формулы дифференцирования
При любом натуральном п справедлива формула
¦(«")'= ядгя-1. C)
Убедимся в справедливости этой формулы при п«=2
и п = 3. В самом деле, считая Д* = А, будем иметь
h-»0
t= lim
= 2*.
= Нт 4-
,»—х3) =
lim (Зх*-\
Доказательство формулы C) для любого натурального л
будет дано в конце § 5.5.
На самом деле формула C) верна при любом л—поло-
л—положительном и отрицательном—не обязательно натуральном.
Это будет доказано ниже.
Справедливы также формулы
(sin х)' — cos х, D)
(cos x)' = — sin x. E)
Докажем равенство D) (доказательство E) предостав-
предоставляем читателю):
lim cos (* + -я-) — 1-cosjf:
sin a
Мы воспользовались свойством lim =1 и тем фактом,
a-*o a
что функция cosx непрерывна.
Производная от функции f(x) есть в свою очередь
функция f {x). Если производная от /' (х) существует, то
она называется второй производной от f {x) и обозначается
так*, f (x). Подобным же образом определяются высшие
производные fin)(x) от f(x) порядка п, где п—любое нату-
натуральное число.
Вторая проиаводная от функции s^f(t), выражающей
закон движения точки на прямой, равна, очевидно, уско-
ускорению этой точки в момент времени t.

$ 5.5. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ U5
Уже из сказанного видно, что понятие производной
имеет громадное значение в прикладных вопросах, но оно
является фундаментальным и в самой математике.
Отметим, что постоянное число С, рассматриваемое как
функция от х, имеет производную, равную нулю тождест-
тождественно (т, е. равную нулю для всех х). В самом деле,
f(x) = C, f(x+Ax) = C, C'= lim ^=^= lim 0=0.F)
Д.С-.-0 Д* Д*-*0
Отметим еще, что если функции и{х) и v(x) имеют
в некоторой точке х производную и А, В—постоянные
числа, то функция
f(x) = Au(x) + Bv(x) G)
также имеет производную, равную
f'(x) = Au'(x) + Bv'(x). (8)
В частности, при Л = 5 = 1 получим формулу
+ v(x)\' = u'(x) + v'(x), (9)
выражающую тот факт, что производная от суммы функ-
функций равна сумме производных от этих функций. А при
В = 0 получим формулу
(Аи)' = Аиг, A0)
выражающую, что постоянную можно вынести за знак
производной.
В самом деле,
lim
Во втором равенстве в этой цепочке равенств мы вос-
воспользовались тем фактом, что предел суммы равен сумме
пределов, и в третьем—что постоянную законно вынести
за знак предела.

lie
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ
По индукции (см. § 11.2, замечание) можно доказать
более общее утверждение *);
( 2 ajuj (x)) — 2 ajui (x\
(И)
где а,—постоянные числа, а про функции uf(x) пред-
предполагается, что они имеют производные.
В частности, получим производную от многочлена:
2
=2 to***
1
(ак—постоянные).
Доказательство формулы C) для любого
натурального п. Применяем метод индукции. При
п = 2 формула верна. Допустим, что она верна для не-
некоторого натурального п. Тогда она верна также, если
в ней п заменить на п+1:
=(п+
Но тогда согласно принципу индукции формула C)
верна для любого натурального п.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вывести формулу E).
2. Вычислить производные от функций
х—х+7, 2cosx—3
5sin я+4cos*—
—2,
3. Напишите производные от хп, sin*, cos* и запом-
запомните их.
§ 5.6. Производная от показательной функции
Производная от а* вычисляется по формуле
(а*)' = a* In а (а>0, 0=^1). A2)
В частности,
*) Надо иметь в виду обозначение
п
2 «/=
i

$ 5.8. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО П7
В самом деле,
1 1
lim loga A +гI'г"~ logae
Здесь мы воспользовались-подстановкой #—1 —i—*0
(А —*¦ 0), откуда h = loga(l-\-z). Надо учесть, что функция
,и для «>0, в частности при и = ё, непрерывна
§ 5.7. Производная от логарифмической функции
Производная от loga x вычисляется по формуле
В частности,
Aп^)' = 1. A4)
В самом деле,
)' = Hm ^btt+g-lofc* = „ ,og
= lim — loga (I + гI/г = — logae = —:—.
z-*o* * дета
§ 5.8. Производная от произведения и частного
Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точ-
точке х, то их произведение и частное (при условии, что
имеют производные и справедливы равенства ;
(uv)' = uv' + u'v, A5)
(v^O). A6)
f u\' vu'
-uv'
-.Придадим независимой переменной х приращение Ах.
Пусть соответствующие приращения функций и и у будут
Дм и Аи. Тогда
Д10 Д^0
= lim и—+ Ига »4т+ Iim 4^Аи^
Л>: А* Д*

'118
6. ПРОИЗВОДНАЯ
потому что из тотоу что и имеет производную, следует, что
она непрерывна, т. е. что До —*¦ О при Аде —¦ 0.
В частности, если С—постоянная, то
потому что С = 0.
Далее,
/ и V г *
Аи До
"Тх~иЛ
vuf—utf
§ 5.9. Производная от tgje и ctgjr
'— ^ sln * V ._ cos х (sinx)' —sinx (cosх)'
~~ cos2 x
COS2* ~ COS2*
cos x у ^_ sin x (cos x)' — cos x (sin x)'
slnx ) = sin2*
_-sin2*-cos2* __ ,
ШЪ - —cosec x
A7)
. A8)
§ 5.10. Задачи
Задача 1. Докажите, что
(«=1. 2. 3, ...5
Это показывает, что формула C) верна и при отрица-
отрицательных целых п. Дальше мы увидим, что она верна и для
нецелых п.
Задача 2. Вычислить производные от следующих
функций: '.;
х х—1 хг—1
x—Г х+Г д»-+Г
2e' + 31nx—5, sec л;,
e* slnx
2 sin* cos дс,
^cosoc, лее*,
, x\nx, x* In x.

$5.11. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ||9
§5.11. Производная сложной функции , , ,
Пусть у = f (х) == (pfijj (x)] есть сложная функция, задан-
заданная на некотором интервале. При этом известно, что
функции
!/ = ср(и), u = ij)(*)
имеют производные. Тогда функция y = f{x) тоже имеет
производную, вычисляемую по формуле
y'x = y'uUx, A9)
где Ух есть производная от у по x(y'x — f (x)), а у'и есть
производная от у по и (у'а = ср' (и)) или
П*) = <Р»Ч>'(*). A9')
Чтобы доказать A9), зададим х и придадим ему про-
произвольное приращение Ах Ф 0. Тогда и и = л? (*) получит
соответствующее приращение Аи, а г/(г/ = ф(ы)) получит
в свою очередь определенное приращение ку.
Имеем при условии, что Аи Ф 0,
Если перейти в этом равенстве к пределу при Длг —> 0, то
получим
/;= lim ^- lim -^- lira
т. е. формулу A9).
Надо учесть, что так как функция и = i|> (x) имеет по
условию производную, то Аи—+0 при Ах—»-0.
Замечание. В равенстве B0) мы предполагали, что
каждому достаточно малому Ах Ф 0 соответствует Аи Ф 0.
Если случится, что Ди = 0 при некотором Ах, то уже
делить и умножать на Аи нельзя и надо доказывать фор-
формулу A9) другим путем. Это можно сделать, но мы соот-
соответствующее доказательство не приводим, тем более что
этот случай встречается редко.
Пример .]. Найти производную от функции у=еы,
Решение. Полагаем # = еи, и = 2х; поэтому
Пример 2, Найти производную от функции у~е**.

126- ^ гл.*. производная
Решение. Полагаем у«е",и=**•,поэтому
,;..... ¦ у*~П(*% = е°2хге**-2х.
Пример3 . Н йти производную от функции у*»
= &n(kx-\-b).
Решение. Полагаем у—sin и, и =kx -f- b; поэтому
' \}Х-М$т и)' (Jix+b)' f—^cos и) k = k cos (Лл+Ь).
П р и м е р 4. Найти производную от функции # = дс»
= е°1М (л;>0, а^=0).
Рещение. Полагаем y—eut и~а\пх; поэтому
Мы получили формулу
верную при любом афО, не обязательно целом. Таким
образом, например,
4 *->/>^
Пример 5. Найти производную от функции t/=sin8 л;*.
Решение. Полагаем t/ = «8, u = sin г, г — х%. Поэтому
= Уйи'х = l/««izi = Зи? cos 2 • 2х =
= 6х sin* г cos z = 6* sin* x* cos др*.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить производные от функций!
1)#"Л 2) Г". Z)^±fL;
4) **Y"* '' 5) cos(ft* + &)'. 6) sinSr.
7) sin82r, 8) Vx+T; 9) KJ?+7;
\0)Ух*+2х+\; 11)' lnBx—3); 12) ^/jc2—1;
IS) e«-4-, 14) У"с?+х~*\ 15)

S 5.12. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
121
§ 5.12. Производная обратной функций > ¦
Рассмотрим функцию y = f(x)i непрерывную и воз-
возрастающую на отрезке [а, Ь]. Последнее означает, что
большему значению х из отрезка [а, Ь] соответствует боль-
большее значение у (рис. 87).
Пусть с = f (a), d = f(b). Ha рис. 87 видно, что каж-
каждому значению у из отрезка [с, djj соответствует, и притом
одно, значение х из отрез-
отрезка [а, Ь] такое, что у= t
= f(x). Этим мы задали на
отрезке [с, d\ вполне опреде-
определенную функцию х = (р(у),
которая называется обрат-
обратной функцией по отношению fy
к функции y = f(x). На рис. у
87 видно, что функция (р(у) с
непрерывна (см. § 2.10).
Так как функция f(x) 6
возрастает и непрерывна, то
при Ах«5^0 и Ал;—>• 0 бу-
будет АуфО и Ау'-^О, следовательно,
Рис. 87
д*
lim ?¦ =
а Д* ;
lim
Мы получили формулу для производной обратной
функции;
Д B1)
она верна, если существует производная
Производная arcsinx. Пусть
y = atcsinx (—1<х<1). B2)
Это непрерывная, строго возрастающая функция на интер-
интервале (—1, +1)- Обратная к ней функция, тоже непре-
непрерывная и строго возрастающая, есть (см. § 2.11)
x = s\ny (— я/2 < i/< п/2).
В силу формулы B1)
И
(- 1 < х < 1). B3]

Й2 ; ГЛ. S. ПРОИЗВОДНАЯ
В данном случае —-j < у < -^, поэтому соз у > 0 и
перед корнем должен быть знак+•
При х = ± 1 правая часть B3) обращается в оо. Каса-
Касательная к кривой B2) в этих точках параллельна оси у.
Замечание. Запомните формулы производных суммы,
разности, произведения и формулы производных основных
элементарных функций: х", ах, lnx, ajnx, созх, tgx,
arcsin x, arctgx, а также формулу производной сложной
функции. Это даст вам возможность вычислить производ-
производную любой элементарной функции. Вся трудность здесь
сводится к тому, чтобы уметь свести каждую данную эле-
элементарную функцию к цепочке основных (простейших)
.элементарных функций.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пользуясь формулой B1), докажите равенства!
1) (arccosx)' = — .J—.? (— 1 <ж< I);
2) (arctgx)'= -^^3- (-оо < х < оо);
3) (lnx)' =-i- (учесть, что (e*)'=e*. x> Ь,.
4) Вычислить производные от следующих функций:
InBх), In (ax)t aretg ^ (а > 0), arcsin x+arccos x, arcsin 2x,
arctg x%.
2. Как определяется мгновенная скорость точки, дви-
движущейся по закону s = /@? Как определяется касатель-
касательная к кривой в ее точке?
3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к
кривой у = / (х) в точке ж?
4. Что называется силой тока?
5. Что называется производной от функции / в точке х?
6. Как выражае1ся через производную
а) скорость движущейся точки,
б) тангенс угла наклона касательной к кривой y — f{x)?
в) сила тока в проводе в момент О
7. Что называется угловым коэффициентом прямой?
Объясните, почему функция /, имеющая производную
в точке х, непрерывна в этой точке?
8. По какой формуле вычисляется производная
а) х"?
б) sinx, cosx?

«8.12. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ J23
, в), постоянной С?
г) суммы и разности?
д) произведения функций на постоянную?
е) ех, ах, In x, loga*?
ж) логарифмической функции?
з) произведения? ;
и) частного?
к) tg х, ctg х?
л) сложной функции?
м) обратной функции?
н) arcsinjc, arccosx, arctgx, \nx?
9. Что такое вторая производная? Каков ее физический
смысл?
10. Определить ускорение точки, движущейся по законам
a) s = 3t%, б) & = Ы*, в) s = 2t
в момент времени / = 0, 1, 3, 4.
11. Вычислить угловой коэффициент касательной к
кривой
а) у = sin х, б) у = cos х, в) у — tg x
в точках х = 0, ¦?-, 4J-.
12. Вычислить производные функций
а) у = х+у/х, б) y = tgi-—ctg-i,

ГЛАВА б
ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 6.1. Максимум и минимум функции
На рис. 88 изображена непрерывная функция y = f(x)
(а ^х^Ь), которую будем предполагать непрерывно диф-
дифференцируемой, т. е. имеющей непрерывную производную,
на [а, Ь].
На отрезке [а, Ь] имеются две замечательные точки х0
и Ъ. Именно ордината f{xa), соответствующая точке ха,
является наибольшей среди
ординат / (х), соответствую-
соответствующих любым точкам х отрез-
отрезка [а, Щ, а ордината /'[6] яв-
является наименьшей среди ука-
указанных f(x).
Введем определения. Точ-
Точка хв отрезка [а, Ь] называется
точкой максимума функции f
Рис. 88 на этом отрезке, если / (д;0)
есть наибольшее среди значе-
значений f(x), соответствующих любым х из [а, 6]:
f{xo)>f{x)
(см. рис. 88). Точка хх отрезка [а, Щ называется точкой
минимума функции f на этом отрезке, если f(xt) есть
наименьшее среди значений / (х), соответствующих любым х
из [а, Ь\:
f{xd<f[x)
Точка максимума или минимума / на отрезке [а, Ь]
называется точкой экстремума (extremum) на [а, Ь].
Аналогично определяются точки экстремума на ин^е^-
вале (а, Ь), т. е. на совокупности точек х оси х, для
которых а<л;<Ь (см. ниже замечание 2).
Введем определения.
Окрестностью точки х0 (оси х) называется любой ин-
интервал (#0—б, хо + 8) (оси х) g центром в этой точке
F0)

S 6.1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ 125
Левой окрестностью точки хл называется множество
точек х, удовлетворяющих условиям х0—б < *<х„.
Правой окрестностью точки ха называется множество
точек х, удовлетворяющих условиям *0^*< *o+ 6-
На рис. 88 кроме точки ха отмечены еще три замеча-
замечательные точки Xi, x2, хя. Точка ха не является точкой
максимума на [а, Ь]. Однако можно указать ее окрест-
окрестность (хя—6, ха-\- 6) настолько малую, что на ней хя ость
точка максимума. Такую точку называют точкой локаль-
локального максимума функции /.
Итак, точку х0 отрезка \а, Ь] называют точкой локаль-
локального максимума /, если существует ее окрестность, принад-
принадлежащая отрезку [а, Ь\, на которой хй есть точка макси-
максимума .
Соответственно точку я0 отрезка [а, Ь~\ называют точ-
точкой локального минимума /, если существует ее окрест-
окрестность, принадлежащая отрезку [а, Ь], на которой х0 есть
точка минимума.
Мы видим (см. рис. 88), что Xi и х2 суть точки локаль-
локального минимума /, а х0, xt—точки локального максимума /.
При этом лг„, кроме того, есть точка максимума на От-
Отрезке [а, о].
Точки локального максимума и минимума f называют
точками локального экстремума f.
В точках локального экстремума f, очевидно, произ-
производная от f равна нулю*). В случае рис. 88
/'(*.) = О,
Все же надо иметь в виду, что обратное утверждение
не всегда верно. Если производная от / в некоторой
точке х0 равна нулю (f'(xo) = O), то ха может не быть
точкой локального экстремума / (см. ниже пример 1).
Дадим формальное доказательство того факта, что если функ-
функция y = f(x) имеет производную в точке ха, являющейся тонкой
локального экстремума /, то производная от f в этой точке
равна нулю.
В самом деле, пусть для определенности / имеет в х0 локаль-
локальней максимум. Тогда выполняется неравенство /(х)</(х«) для
точек х, достаточно близких к *oi независимо от того, будет ли х
*) Можно было бы сказать, что функция / имеет правый ло-
локальный максимум в точке х0, если f(xXf(x0) для всех х, при-
принадлежащих к некоторой правой окрестности ха (хо^<*<*о + 6).
как это, например, имеет место для графика на рис. 88 при хо=а.
Но производная /' (хв) в такой точке не обязательно равна нулю.

126
ГЛ. ft. ПРИМЕ НВЦИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
больше или меньше ж„. Следовательно, для точеч ш, достаточно
близких к ха,
CD
B)
ж—дс0
sO, если х— *„< 0.
По условию функция / имеет производную в точке *0. и потому
существует предел
Jrlo этот предел должен быть одним и тем же числом, будет
ли разность х—устремиться к нулю , оставаясь положительной
, *1лй отрицательной. И з A) следует, что /'(хо)<О, а из B) следует,
что /'(жо)^О. Но это возможно, лишь если /'(хо) = 0.
Пример 1. Функция (рис.89) y=f (х)=х* (—
не имеет локальные экстремумов на отрезке [—1, +1],
но ее производная f' (х) —
=3лса в точке je = O равна
нулю (П0) = 0).
Сказанное поможет нам
указать путь, следуя которо-
которому можно находить максимум
о и минимум (экстремумы) функ-
функции на отрезке.
Пусть надо найти экстре-
экстремумы функции / на отрезке
[а, Ь\, где она непрерывна и
р jo имеет непрерывную произ-
ис" водную. Находим производ-
производную /' {х)\ приравниваем ее
нулю! /'(«)== 0, находим все корни полученного уравне-
уравнения, принадлежащие (с, Ь), считая, что их конечное число:
вычисляем числа
f(a),f{Xi), f(xt) f{Xff), f(b)
C)
и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые
обозначим соответственно через М и т.
Та из точек a, xit xt, .... xN, Ь, для которой значе-
значения C) достигают максимума, и есть точка максимума f
на [а, Ь\, обозначим ее через хл. Та же точка, для кото -
рой значения C) достигают минимума, есть точка мини-

J в. 1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ 127
мума/ на [а , Ь] , обозначим ее через х', .Итак ,
max / (х) = / (лсв) = М, min f (x) ~ f (x'tt) = т.
Замечание 1. Если на отрезке [а, Ь\ нет вовсе
корней уравнения /' (х) = 0, то М есть максимальное, а
т—минимальное среди чисел f(a) и f(b).
Замечание 2. Бывает, что надо искать экстремум
на интервале (а, Ь), где может оказаться, что а = —оо,
a &=+<». Тогда роль чисел /(а)
и f(b) будут играть пределы
lim f(x) и
х>а
х-*Ь
х<Ь
и М может оказаться не max f (x),
<<Ь
а наименьшим числом большим /(л:)
на (а, Ь).
П р и м е р 2. Дан квадратный
лист жести со стороной а. Из него
в его углах вырезают одинаковые
квадраты (рис. 90) и, загибая лист
по пунктирным линиям, делают
прямоугольную коробку. При каких размерах квадратов
объем коробки будет наибольшим?
Длину стороны каждого из вырезанных квадратов
обозначим через х. Тогда объем коробки V есть функция
от х, выражаемая формулой
Рис. 90
Надо найти максимум этой функции на I 0, у I. Имеем
V (х) = (а—2хУ—4 (а—2л;) х = (а—2х) (а—6л;).
Приравнивая нулю V (х), получим два корня: Д =¦=-§-»
,jc = -g-, оба принадлежащие отрезку 10, —¦]•
Наибольшее из следующих трех чисел
и есть максимальный объем коробки, соответствующий
х-
¦*•

128
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 3. В центре круговой конькобежной до-
дорожки радиуса г на высоте h подвешен фонарь. Освещен-
Освещенность дорожки можно выразить числом Т, которое вы-
вычисляется по формуле
rp festna
где k—число, определяемое мощностью фонаря, а tga=
= — (рис. 91). Найти высоту Л
столба, при которой дорожка бу-
будет освещена максимально.
Решение. Выразим Г через
а, исключив h\
sin a
^-jsitiacos^a
Рис. 91
Надо найти максимум функции Т = Т (а) на 10, -^-1 #
т. е. среди значений а, удовлетворяющих неравенствам
-7r. Решаем уравнение
Т'(а) =-J-(cos*a—2 sin* a cos a) = 0.
Оно распадается на два уравнения!
cos a = 0,
cos" a—2sin1!a = 0 или tgaa = -^--
Первое уравнение на I 0, — I имеет корень a = -^; второе
же имеет единственное решение
ft slna0
2 ft
ITTf

6.1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ
129
Наибольшее среди этих чисел есть Т (а0). Ему соот-
соответствует высота столба
Конечно, скорее всего, у администрации катка нет
такого высокого столба. Придется поставить какой есть.
Пусть в распоряжении администрации имеется столб вы-
высотой Я < -~ , Ему соответствует угол
<
Производная Т' (а) не обращается в нуль (не имеет
корней) на интервале @, ai). Тогда максимум Т (а) на
(О, ccj) есть наибольшее среди чисел Т@) = 0 и Г^),
т.е. число Т(oil), которому соответствует высота Я.
Таким образом, уменьшать имеющийся столб ( его
длина Я<-^=) во всяком случае не нужно.
У П Р А Ж Н Е,Н И Я
1. Число 12 разложить на два слагаемых, чтобы их
сумма квадратов была наименьшей.
2. Число 12 разложить на два сомножителя, чтобы
сумма их квадратов была наименьшей.
3. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, кото-
который можно вписать в шар радиуса R.
4. Корабль стоит в 9 км от ближайшей точки прямо-
прямолинейного берега; с него нужно послать курьера в ла-
лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от бли-
ближайшей к кораблю точки берега (лагерь находится на
бс:регу). В каком пункте берега
курьер должен пристать, чтобы
попасть в лагерь в кратчайшее
время, если он идет пешком со ско-
скоростью 5 км/ч, а на веслах со
скоростью 4 км/ч?
5. Из круглого бревна диамет-
диаметра d надо вырезать балку прямо-
прямоугольного сечения с основанием
а и высотой h (рис. 92). При
каких значениях а и h прочное::. Рис. 92
5 С. М. Никольский

130
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки
пропорциональна а/г2?
6. Найти наибольшую площадь равнобедренного тре-
треугольника, вписанного в круг радиуса R.
7. Что такое точка максимума (минимума) функции f{x)
на отрезке?
8. Что такое точка локального максимума (минимума)
функции /(лс)?
9. Что такое точка экстремума функции f(x) на от-
отрезке [а, Ь] и точка ее локального экстремума?
10. Может ли точка локального экстремума функции
f(x) быть концевой точкой отрезка [а, Ь], где задана эта
функция?
11. Чему равна производная от функции в точке ее
локального экстремума?
12. Приведите два примера функций, которые имеют
в некоторой точке хл производную, равную нулю (/' (#0)=0),
и чтобы при этом хе не была бы точкой локального экстре-
экстремума функции f.
13. В чем состоит метод нахождения экстремумов функ-
функции на отрезке?
§ 6.2. Возрастание и убывание функции
На рис. 93, а (соответственно на рис. 93,6") изображен
график непрерывной возрастающей (убывающей) на [а, Ь]
функции.
Если функция f не только непрерывна на отрезке
[а, Ь], но и имеет на нем непрерывную производную f (x),
то по знаку производной можно заключать, возрастает
или убывает f на [а, Ь\. Именно, имеют место утверж-
утверждения:

S6-3. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ [31
1) Если /'(*) > 0 на (а, Ь), то f возрастает на [а, Ь].
2) Если f (х) < 0 на (а, Ь), то f убывает на [а, Ц,
В самом деле,
где о есть угол между касательной к графику в точке х *)
и положительным направлением оси х. Но если f' (х) > О
на (а, Ь), то всюду на (а, Ь) **) угол а острый, и из
графика видно, что в этом случае функция должна поз-
растать на [а, Ь\.
Подчеркнем, что при этом первая производная в кон-
концевых точках [а, Ь\ может быть равна нулю.
Если же /' (х) < 0 на (а, Ь), то всюду на (а, Ь) угол
а тупой, что, очевидно, может быть, лишь если ^убывает
на [а, Ь] ***).
Пример 1. Функция у = е* (—оо<.г<оо) возра-
возрастает на всей действительной оси, потому что у'=е*>0
(—оо<х<оо).
Пример 2. Функция
D)
имеет производную у' — 2х+2. Неравенство 2^ + 2 > О
имеет место для *> — 1, а неравенство 2лг+2<0 имеет
место для х <—1. Следовательно, функция D) убывает
для а;^—1 и возрастает для х^—1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Определить интервалы возрастания и убывания
функций:
а) х2—4х+2; б) —х* + 2х+1; в) cos*; г) {х—1K + 2;
Д) ( 2)*
§ 6.3. Выпуклость и вогнутость
Рассмотрим функцию
y = f{x) (a<x<b).
Предположим, что она имеет вторую непрерывную произ-
производную f {х).
*) То есть в точке графика, имеющей абсциссу х.
**) То есть для всех значений х из интервала (а, 6).
***) Формальное обоснование утверждений 1), 2) см. далее
в § 6.5.
5*.

132
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Вторая производная от f(x) есть первая производная
от f (x)i
Это показывает, что если вторая производная от f на
интервале (а, Ь) положительна:
t"(x)>0 (а<х<Ь),
ШО первая производная f возрастает на этом интервале,
ш евли йторая производная от f на (а, Ь) отрицательна*
то первая производная f убывает на (а, Ь).
Рис. 94
рис. 94, 95, 96 изображецщ графики функций, со-
ющие первому случаю (/" (х) > 6, а<#<Ь|на
х [а, Ь~\ вторая производная может равняться нулю!).
Рис. 96
Рис. 97
У всех трех графиков тангенс угла а наклона каса-
касательной к оси х (tg a = f (x)) возрастает вмёете о я. На
Кс. 94 угол а острый для всех йначений х из отрезка
Ь\. На рис. 95 он тупой; g возрастанием х угол ста-
¦овится все более и более тупым, а его тангенс (отрица-

§6.3. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ
133
тельный) увеличивается. Наконец, на рио. 96 величина
tg а растет сначала, принимая отрицательные значения
(на (а, с)), обращается в нуль при с = 0, а затем растет,
принимая положительные значения (на (с, Ь)).
Рост tga вызван тем, что вторая производная от /
положительна на [а, Ь].
Мы видим, что во всех трех случаях график располо-
расположен выше касательной, проведенной в любой его точке.
а г*. п
а ад
Рис. 98
График функции f называется выпуклым книзу (кверху)
на интервале (а, Ь), если в любой точке (а, Ь) он распо-
расположен выше (ниже) касательной, проведенной к нему.
Рис. 97, 98, 99 дают примеры выпуклых кверху
функций.
Справедливо утверждение:
Если функция y — f(x) имеет на интервале (а, Ь) вто-
вторую производную f" (х) положительную (отрицательную),
то ее график выпуклый книзу (кверху) на (а, Ь).
В случае, когда /"(#)'> 0, (о < х < Ь), это утвержде-
утверждение уже разъяснено, а в случае, когда f"(x) < 0 (я<л;<6),
оно следует из рассмотрения графиков на рис. 97, 98, 99.
Выпуклые кверху (книзу) кривые называют еще вогну-
вогнутыми книзу (кверху).
Отметим важное утверждение:
Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки х0
непрерывную вторую производную. Если
/'(*•)=о, П*.)<о,
то f имеет в точке х0 локальный максимум. Если оке
/'(*») = 0, /"(*„)> О,
то f имеет в ха локальный минимум.
Справедливость этого утверждения непосредственно
следует из рассмотрения рис. 100 и 101 *). Надо учесть,
¦•) Формальное обоснование этого утверждения
в п, 6,5.
см. далее

134
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
а
Рнс. 100
Рис. 101
что ив того, что вторая производная отрицательна (поло-
(положительна) в точке х0, следует в силу ее непрерывности,
что она отрицательна (положительна) и в некоторой ок-
окрестности этой точки.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется функцией а) возрастающей, б) убы-
убывающей на отрезке [а, Ь]?
2. Как по знаку производной можнд узнать, возрастает
шли убывает функция / на отрезке [а, Ь]?
8. Что называется графиком функции а) выпуклым
кверху, б) выпуклым книзу на интервале (а, Ь)?
4. Как по знаку второй производной узнать, что кри-
кривая у = / (х) на интервале (а, Ь) выпукла
а) кверху, б) книзу?
6. Сформулируйте на языке производных достаточное
условие существования у функции / в точке х<> локального
а) максимума, б) минимума.
6. Определите интервалы выпуклости кверху и книзу
у кривых; определить по знаку 2-й производной их точ-
точки локального максимума, минимума:
у - Ь,
1) у = х3; 2) у = Зха; 3) у = —2х\
4) у = 2х*—3*+1; 5) у;= 2-х—х\ 6) у = 2х*—
7) y = exs\nx @<х<2л); 8) у = sin x 4- 0,5 sin 2x.
§ 6.4. Черчение схематических графиков
Чтобы получить схематический график функции у =
*=/(*), надо прежде всего отдать себе отчет в том, какова
ее область определения. Обычно это есть вся ось х, либо
ось с выколотыми точками, либо множество, состоящее из
нескольких интервалов или отрезков. Полезно вычисле-

§ 6.4. ЧЕРЧЕНИЕ СХЕМАТИЧЕСКИХ ГРАФИКОВ 135
нием определить одну или несколько точек, через кото-
которые проходит график функции. Если область определе-
определения функции не ограничена, то надо вычислить пределы
функции при х —> +оо и х—* — оо, чтобы представить
себе, как говорят, поведение функции на бесконечности.
Важно вычислить первую и вторую производные (f'(jc)
и /" (х)) и найти корни уравнений
Для каждого значения лг„, где первая производная равна
нулю, следует проверить, не будет ли для него локаль-
локального максимума или минимума функции. Надо также вы-
вычислить для х0 и соответствующее значение функции f(x0).
Мы, таким образом, будем знать важные точки (лг„, /(ж0)),
через которые проходит график функции. Знание втих
точек поможет найти интервалы возрастания и убывания
функции.
Наконец, если удастся найти корни уравнения f (л:)=0,
то последние помогут указать интервалы выпуклости
функции кверху и книзу. На основе этих данных уже
нетрудно представить себе схематический вид графика
исследуемой функции.
Но обратимся к примерам.
Пример 1. Надо нарисовать схематический график
функции
f(x) = *—3x* + 5x + l.
Эта функция определена и непрерывна на всей оси х.
Чтобы узнать, как она ведет себя на бесконечности,
возьмем пределы
lim /(*)= lim *« [1-4
lim
X-* —сю
Имеем также
/' (x) = *3—6*+ 5 = (x— 1) (x—5),
П*) = 2л—6,
откуда
f(l)
f'C)=0, Г(а;)>0 (*>3), fW<0 (Jf < 3).

136
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Выпишем точки х, где /' (х) = 0 и f" (x) = 0, и точку
j[ = 0 и вычислим соответствующие этим точкам значения
функции
X
Их)
0
1
1
10/3
3
—2
5
-22/3
На основании этих данных нарисуем схематический
график исследуемой функции (рис. 102).
На интервале (—оо, 1) (где f((x)>0 и f (x)< 0)
функция f возрастает от —оо до у = -д-, график обращен
выпуклостью кверху. В точке л;=1 функция f достигает
локального максимума. На интер-
интервале A, 5) функция f убывает,
достигая при х = 5 локального ми-
22
нимума, равного у= — -я-, а затем
на интервале E, оо) она возра-
возрастает, стремясь к + оо при х—>
-»-+оо. При этом на интервале
A, 3) (где f (x) <0) график про-
продолжает иметь выпуклость кверху,
а на интервале C, оо) (где f (x)>0)
он обращен выпуклостью книзу.
Точка графика *) с абсциссой
х = 3 замечательная. При переходе
х через эту точку выпуклость графи-
Рис. 102
ка кверху заменяется на выпуклость книзу. Такая точка
называется точкой перегиба графика. В точке перегиба
вторая производная от f равна нулю. В данном случае
ГC) о
)
Пример 2. Нарисовать схематический график функ-
функции
*) То есть точка графика, имеющая абсциссу дг=3.

§ 6.5. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ
Имеем
}37
' * > (l-*K\ <0 (х> 1).
Рассматриваемая функция не определена при х=\ и
lim
Х-* 1
л- < 1
= +оо,
lim
X-* 1
'-1
f (x) =
оо,
lim
На рие. 103 на основании этих данных построен схе-
схематический график функции /.
>
1
i я
Рис. 103
Пример 3. Нарисовать схематические графики функ-
функций-
1) *« + *+1; 2) х2—5х+6; 3) — х^
§ 6.5. Теоремы о среднем
Ниже мы доказываем теоремы, имеющие большое значение •
анализе —теорему Ролля и теорему Лагранжа. Их называют тео-
теоремами о среднем. С помощью этих теорем дается формальное
обоснование утверждений, доказанных в п. 6.2 и п. 6.3.
Теорема 1 (Ролля), Пусть функция f непрерывна на от-
резке [а, Ь], имеет производную на интервале (а, Ь) и принимает
равные значения на концах отрезка [a, b] (f(a)=f(b)). Тогда на ин-
интервале (а, Ь) всегда найдется такая точка с, что в ней производ-
производная от f равна нулю:
/' (с) = 0, а<с<Ь.

138
ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
На рис. 104 и 105 изображены графики функций f, удовлетво-
удовлетворяющих условию теоремы Ролля. У первой функции имеется, одна
точка из интервала (а, Ь), в которой ее производная равна нулю
(f'(c) = Q), у второй —имеются два такие точки Cf и с% (V (ci) =
ПО 0)
'(c) = Q),
Д
ПО )
Доказательство. Пусть *f и Xi суть точки, в которых f
достигает на отрезке [а, 6] соответственно минимума и максимума.
k a
Рис. 104
с, с2
Рис. 105
Если f(xi) < f(a), то точка jtf принадлежит очевидно интер-
интервалу (а, Ь) и в ней функция / достигает локального минимума.
Но тогда, как мы знаем, f (xi)=0 и можно считать, что c — X\.
Если / (xt) > f (а), то точка *2 принадлежит интервалу (а, Ь)
и в ней функция f достигает локального максимума. Но тогда, как
мы знаем, f (x%) = Q и можно считать, что с=Хъ.
Остается еще случай, когда f(x\) = /(*а). Но тогда, очевидно,
для всех х из отрезка [а, 6] функция f (x) равна одной и той же
константе C — f(a). В этом случае в качестве с можно взять любую
точку интервала (а, 6) —в ней /'(с) = 0.
Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция f имеет произ-
производную на отрезке [а, Ь]. Тогда на интервале (а, Ь) найдется точка с
такая, что в ней производная от f удов-
удовлетворяет равенству
¦li^.=/'(c) (a<c<6), E)
ас ь
Рис. 106
или, что то же самое, равенству
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a) (a<c<b).
F)
в Теорема Лагранжа имеет простой
геометрический смысл (рис. 106). Левая
часть равенства E) есть тангенс угла на-
наклона к оси х хорды, стягивающей точки (а, / (а)) и F, f F)) графика
функции y = f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона каса-
касательной к графику в некоторой точке с, принадлежащей к (а, Ь).
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график функ-
функции, имеющей производную на [а, 6], то на этой кривой сущест-
существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с {а < с < Ь) та-
такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде,
стягивающей концы кривой (о, f(a)) и {b, f{b)).
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) = [f(b)-f(a)]x-(b-a)f(x).
Она имеет производную на [а, Ь], равную

»6.S. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ J39
Кроме того,
и, следовательно, F(a) — F(b). Но тогда по теореме Ролля должна
существовать на интервале (о, Ь) точка с, для которой F'(c) — Q,
*. е.
[f(fc)-/(a)]-F-fl)/'(c) = 0 (а<с<Ь),
откуда следует D).
Пример 1. Функция /(*)=¦ У" J непрерывна на отвеэке
|0, 1], в производную имеет только на полуинтервале @, 1]. К ней
применима теорема Лагранжа, потому что для ее выполнения про-
производная от /должна существовать на интервале @; 1).
Докажем теперь теорему, которая дает обоснование утвержде-
ииям 1) и 2) § 6.2.
Теорема 3. Если непрерывная на отрезке [а, Ь] функция
имеет положительную (отрицательную) производную на интервале
{а, Ь), то она возрастает (убывает) на [а, Ь]. Если же производная
равна тождественно нулю на [а, Ь], то /(*) = С, где С—постоянная.
Подчеркнем, что в точках х—а и х—Ь производная может не
существовать или быть равной нулю.
Доказательство. Пусть хи хг— произвольные точки,
удовлетворяющие неравенствам а < Xi < хг < Ь. По теореме Лаг-
Лагранжа, примененной к отрезку [хъ хг], найдется на (xi, *2) такая
точка с, что f(xi) — f(x1) = f'(c)(xi — x1) > 0, потому что по усло-
условию /' (с) > 0. Но тогда /(*i) < f(x2), что доказывает, что / возра-
возрастает на [а, Ь]. В случае же, когда /' (х) < 0 на (а, Ь), получим
/ (*«)— ,/(*i) = /' (с) (*2 — Х\) < 0, т. е. KxiXKxj), a это доказы-
доказывает, что / убывает на [а, Ь].
Если же }'(х) = 0 на (а, Ь), то / (х2) — / (х1) = {1 (с) (х2—лх) = 0
и f(xi)^f(xt) для любых *i и х2 из [о, Ь]. Зафиксируем х\ и бу-
будем считать хг = х переменной; тогда /U) = C, где C = f(x1).
Наконец, докажем теорему, которая дает обоснование послед-
последнему утверждению § 6.3.
Теорема 4. Если функция f имеет на [лг0— 6, хо-)-6] поло-
положительную (отрицательную) производную }" второго порядка и в
точке хв первую производную, равную нулю (f (хо)==О), то в атой
точке } достигает локального минимума (максимума).
Доказательство. Пусть /" (х) > 0 на [дс0 — б, хо + Ь] и
/'(х0) = 0. Так как вторая производная есть первая производная
от первой производной: /" (x) — (f (x))', то на основании теоремы 3
функция /' (х) на отрезке [*0 — 6, хо + 6] возрастает. Но /'(д;0)=0.
Поэтому
Г (х) < 0 на [*о-6, *0)
Г(х) >0 на (*0,
Применяем теперь теорему 3 к /. Так как функция / непре-
непрерывна на отрезке [а:0—6, х0] и имеет отрицательную производи; ю
на интервале (^о — °\ -^о). то она убывает на отрезке [jc0 — 6, х„].
Так как, далее, функция Цх) непрерывна на отрезке \х0, xo-j-l] и
имеет положительную производную на интервале (х0, хо + 6), то
она возрастает на отрезке [*0, *о + ЭД. Но это показывает, что функ-
функция / (х) имеет минимум в точке *0. Подобным образом доказыва-
доказывается теорема в случае /" (х) < 0, приводящем к максимуму в х9.

140 ГЛ. 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулируйте теорему а) Ролля, б) Лагранжа.
2. Объясните эти теоремы на графиках.
3. Покажите с помощью теоремы Лагранжа, что если функция
имеет на отрезке [а, Ь] производную, тождественно равную нулю,
то она есть постоянная (f(x)=c).
4. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
у=(х—\)(х—2) на [1, 2].
5. Многочлен р(х) = х4—х3~{-х2~х имеет корень х=\. Дока-
Доказать, что многочлен р" (х) имеет действительный корень на интер-
интервале @, 1).
6. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
1+ + а
/+ +
7. Доказать неравенство ех > 1+*, х?@, о°).
8. Определить промежутки монотонности (возрастания, убыва-
убывания) функции
а) у=3+х—х*, б) (/=4*—ха.
9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
а) у = 2* на [0, 51, б) у = х+ — на |-~, ioj.
10. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
а) (/ = 3^—х\ б) у = е-*%.
11. Доказать неравенство ех~^Л-\-х для любого х (выяснить
знак производной функции <$(х) = ех— \— х, учесть, что ср(О)=О).

ГЛАВА 7
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 7.1. Первообразная
Мы знаем, что постоянное число С, рассматриваемое
как функция от х, имеет производную, равную нулю
тождественно (т. е. равную нулю для всех х).
Обратное утверждение также верно: если про функ-
функцию известно, что ее производная равна нулю тождест-
тождественно, f {х) = 0, то она есть постоянная.
Из механических соображений это простое утвержде-
утверждение совершенно очевидно*). В самом деле, пусть функ-
функция s — f{t) выражает закон движения точки по прямой,
причем ее скорость тождественно равна нулю! v = f (t) = 0.
Тогда точка стоит на месте и расстояние s ее до началь-
начальной точки 0 равно постоянной при любом t. Тот факт,
что в этом рассуждении мы х заменили на t, не имеет
значения: время тоже можно обозначить через х.
Рассмотрим произвольную непрерывную функцию /,
заданную на интервале (а, Ь), т. е. на множестве значе-
значений х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь.
Функция F называется первообразной для f на интер-
интервале (а,Ь)**), если на нем производная от F равна f:
F'(x) = f(x).
Очевидно, что если функция F есть первообразная
для / на (а, Ь), а С — постоянная, то функция F(x)-\-C
есть также первообразная для /, потому что
(F (х) + С)' = F' (х) + C = F' (х) = f (x).
*) Формальное доказательство: см. теорему 3 § 6.5.
**) Аналогично определяется первообразная для / на отрезке
[а, Ь\, т. е. множестве значений х, удовлетворяющих неравенствам
д<ж<*. Нужно только под производной в точке а понимать
правую производную, а в точке Ь — левую производную:
F> (а) = lim *СН-*>-Н4 , F. (b)e ит
h-vO ft h-*0
h> 0 h<0

142 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Обратно, если F и Ft-^-первообразные для f(x) на (а, 6),
то они необходимо отличаются друг от друга на всем
интервале (а, Ь) на некоторую постоянную Ci
Fi(x) = F{x) + C. (I)
В самом деле, [Ft (x)—F (х))' = F[ {x) — F'{x) = f(x) — f (х) s=
»0. Но тогда, как отмечалось выше, существует такое
(постоянное) число С, что Ft [х) — F (х) = С на (а, Ь), от-
откуда следует A). ^ .
Итак, пользуясь механическими соображениями, мы
установили важный факт; если F есть какая-либо перво-
первообразная от f на интервале (а, Ь), то всевозможные пер-
первообразные от f на этом интервале выражаются форму-
лой F (х) -\- С, где вместо С можно подставить любое
число.
§ 7.2. Неопределенный интеграл
Дадим теперь следующее определение:
Неопределенным интегралом от непрерывной на ин-
интервале (а, Ь) функции f называется произвольная ее
первообразная функция. Неопределенный интеграл обо-
обозначается так:
Из сказанного следует, что если F есть некоторая
определенная первообразная функция для f на интервале
(а, о), то неопределенный интеграл от f на атом ин-
интервале равен
\f(x)dx = F(x) + C, B)
где С — постоянная.
Если flt ft—непрерывные на интервале (а, 6) функции
и Ait Аг—постоянные, то имеет место следующее равен-
равенство, выражающее основное свойство неопределенного
интеграла:
\ (AJtW + AJiixyidx^Ai J ft(x)dx+At J ft(x)dx + C,
C)
где С есть некоторая постоянная.
В самом деле, по определению неопределенного интеграла
слева в C) стоит какая-то одна из первообразных функций

S7.J. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 143
от AJi (x)+Atft (х). С другой стороны, имеет место равенство
потому что интегралы \fydx, ] f2dx обозначают соответ-
соответственно некоторые первообразные функции от ft и /,-.
Поэтому правая часть C) без последнего члена С есть
также первообразная для Aifi(x)-\- А^г(х), но тогда она
отличается от левой части C) на некоторую постоянную.
Свойство C) по индукции распространяется на любое
конечное число непрерывных на (а, Ь) функций fit ..., /„
н постоянных Ait ..., Аа:
S B
Как следствие при'Л,
венство
1,
D)
получаем ра-
раа при Ai = A и
Примеры.
— f—равенство
, 2,
В самом деле,
_ (sin ах)' = — a cos ax = cos ax,
I(cosax)'-ein<w.
Из D) следует, что неопределенный интеграл от мно-
п
гочлена ^^-Hv' степени п {ак—постоянные) равеи

144 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Приведем основную таблицу неопределенных интегра-
интегралов, составленную непосредственно из формул производ-
производных от элементарных функций (см. § 5.5—5.12):
\хаах =—цгт + С J cos *dx =
(аф.—\), ^se
= nTfl+ = —arccosx +
(аф\, а>0), +
В каждом из этих равенств производная от правой
части равна подынтегральной функции в левой.
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы **)
6. \ B sin л;—3cosx)dx. 7. \ tg^xdx. 8. \2*dx.
f* YoX v С* У 1
9 1 //v 1ft 1 /~/y
§ 7.3. Замена переменной
При вычислении неопределенных интегралов нередко
пользуются методом подстановки или замены переменной.
Он сводится к формуле
(*)] Ф' (*) Лс = S / (и)du + С, E)
где /(«)—непрерывная функция, а ы = ф(л;)—функция,
имеющая непрерывную производную.
*) Для х > 0 имеем Aп|*|)' = Aп*)' = —, а для* < 0.Aп|*|)'=
X
(л) *
**) Решение задач 5, 10 можно отложить до § 7.3.

§ 7.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ 145
Это надо понимать так. Если подынтегральное выра-
выражение интеграла удалось представить в виде
то можно в этом интеграле чисто формально произвести
замену и = ф(х), du = q/ (х) dx, проинтегрировать полу-
полученное выражение / (и) du по переменной и, а затем заме-
заменить и на ф(#). Выражение du = q/ (л:) dx называется
дифференциалом функции ц>(х). Оно имеет в анализе само-
самостоятельное значение, но мы в этой книге пользуемся им
только как обозначением.
Поясним формулу E) на примере
J cos(kx)kdx= J costtdM = sin u + C = sinkx+G.
Мы сделали подстановку u = kx, du — (kx)'dx = kdxt в силу
которой наш интеграл превратился в табличный.
Чтобы доказать формулу E), надо убедиться в том,
что производная по х от ее левой части равна производ-
производной по я от правой части. В самом деле,
(S /(и) du)'x = E /(и) du)'u «;¦= /(и) ф' (х) = f [ф (х)-] ф' (х).
Приведем несколько примеров на применение метода
подстановки;
tdt
(подстановка kx=t, откуда kdx = dt);
J Va*-# J
(подстановка / = Kaa—хг, откуда dt — ,* х );
\ V а2—х2 )
V сР—х2 dx = jj Ка2—a2 sin? и a cos и du —
= y(н + sin u cosы) + С = y ^arcsin ^ + -^ Vtf—x*) + G

146 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(подстановка х*= a sin u);
\ cos kxdx = -г- V cos kxk dx = — С cos и du ==
= j sin и + С = -j sin Лгх -f- C,
;dx = j^V~rrx~*-2xdx~j\VTidu =
(подстановка u = \-^-x2, du = 2xdx);
x , 1 f 2id* 1 fdu 1 1
(подстановка и ¦¦ 1 -f **, dw = 2jc dx).
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы:
x- 2. J(x«+l)*xdx. 3.
4. ^e*'xdx 5. §e*Vdx. 6.
8.
11. f xdjt , 12. Ге^-i
§ 7.4. Проблема интегрирования элементарных функций
Как видно из примеров, метод замены переменных
значительно расширяет класс тех элементарных функций,
которые мы теперь можем проинтегрировать, т. е. полу-
получить для них первообразные, являющиеся снова элемен-
элементарными функциями. Однако надо иметь в виду, что
с вычислительной точки зрения с интегрированием обстоит
дело, вообще говоря, гораздо хуже, чем с дифференциро-
дифференцированием.
Из гл. 5 известно, что производная от любой элемен-
элементарной функции есть снова элементарная функция, кото-
которую можно получить совершенно эффективно, воспользо-
воспользовавшись правилами дифференцирования. Но обратное

§7.5. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФИГУРЫ 147
утверждение, вообще говоря, неверно, так как существуют
такие элементарные функции, неопределенные интегралы
от которых не являются в свою очередь элементарными
функциями. Например, такими функциями являются е-*',
1 Sin X ,-,
-^—, и др. Для получения интегралов от них при-
приходится пользоваться приближенными методами и вводить
в обиход новые функции, не сводимые к элементарным.
Мы не имеем возможности задерживаться на этом вопросе,
заметим только, что уже в элементарной математике можно
найти много примеров, когда прямая операция выполнима
в некотором классе чисел, в то время как обратная
ей операция в этом же классе не выполняется; так, квадрат
любого рационального числа есть снова рациональное
число, но корень квадратный из рационального числа
далеко не всегда является рациональным числом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое первообразная функция для данной
функции?
2. Что такое неопределенный интеграл от функции?
3. Запомните формулы C) и E), выражающие основ-
основные свойства неопределенного интеграла, и основную
таблицу неопределенных интегралов (см. § 7.2).
4. Приведите три примера применения метода замены
переменных в неопределенном интеграле.
§ 7.5. Площадь криволинейной фигуры.
Определенный интеграл
Зададим на отрезке [а, Ь\ (а и b—конечные числа)
неотрицательную непрерывную функцию /(*). График ее
изображен на рис. 107. Поставим задачу разумно опре-
определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой
y = f(x), осью х, прямыми х = а и х = Ь, и вычислить эту
площадь. Поставленную задачу естественно решить так.
Произведем разбиение отрезка [а, Ь\ на п частей точ-
точками
а = ха <#i< ...<xn = b, F)
выберем на каждом из частичных отрезков
[xf,xJ+1] 0=0, 1 п-\) G)

§ 7.5. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФИГУРЫ 147
утверждение, вообще говоря, неверно, так как существуют
такие элементарные функции, неопределенные интегралы
от которых не являются в свою очередь элементарными
функциями. Например, такими функциями являются е~*',
— ^ _s_n? и ^ для получения интегралов от них при-
приходится пользоваться приближенными методами и вводить
в обиход новые функции, не сводимые к элементарным.
Мы не имеем возможности задерживаться на этом вопросе,
заметим только, что уже в элементарной математике можно
найти много примеров, когда прямая операция выполнима
в некотором классе чисел, в то время как обратная
ей операция в этом же классе не выполняется; так, квадрат
любого рационального числа есть снова рациональное
число, но корень квадратный из рационального числа
далеко не всегда является рациональным числом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое первообразная функция для данной
функции?
2. Что такое неопределенный интеграл от функции?
3. Запомните формулы C) и E), выражающие основ-
основные свойства неопределенного интеграла, и основную
таблицу неопределенных интегралов (см. § 7.2).
4. Приведите три примера применения метода замены
переменных в неопределенном интеграле.
§ 7.5. Площадь криволинейной фигуры.
Определенный интеграл
Зададим на отрезке [а, Ь\ (а и Ь—конечные числа)
неотрицательную непрерывную функцию f(x). График ее
изображен на рис. 107. Поставим задачу разумно опре-
определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой
y = f{x), осью х, прямыми х = а и х = Ь, и вычислить эту
площадь. Поставленную задачу естественно решить так.
Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точ-
точками
а = ха < Xi < ... < хп = Ь, F)
выберем на каждом из частичных отрезков
[Xj,xJ+l] (/ = 0, I n-l) G)

§ 7.6. РАБОТА. МАССА СТЕРЖНЯ Н9
он существует, называется определенным интегралом от f
на [а, Ь\ и записывается так>
п-\ ь
S= lim S\fa/)AxJ = \f(x)dx. A0)
В этом определении функция f(x) не обязательно по-
положительная на [а, Ь]. Она может быть отрицательной
или менять знак на [а, Ь\.
Итак, определенным интегралом от функции f на от-
отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы A0),
когда максимальный частичный отрезок разбиения (б)
стремится к нулю.
В теории определенного интеграла доказывается, что
всякая непрерывная на отрезке [а, Ь\ функция интегри-
интегрируема на нем, т. е. для нее предел A0) существует. Отсюда
и следует упомянутый факт, что всякая фигура рассмот-
рассмотренного выше типа (см. рис. 107) имеет площадь.
Пример. Площадь S, ограниченная параболой у — х%,
осью х, прямой х=\, как доказано в § 3.1, равна
л-1
Тот факт, что сумма 2 (xj)*&xjt соответствующая
произвольному разбиению [0, 1] и произвольному выбору
точек \], принадлежащих отрезкам \xj, xJ+i\, стремится
к -j , когда max Axj —* 0, непосредственно доказать эле-
элементарными методами не так уж просто. Это, однако,
следует из упомянутого утверждения, что определенный
интеграл от непрерывной на (конечном) отрезке функции
всегда существует.
§ 7.6. Работа. Масса стержня
Приведем другие примеры практических задач, реше-
решение которых сводится к вычислению определенных интег-
интегралов.
Работа. Пусть к движущейся по прямой точке при-
приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила
F = f(x), где f(x) есть непрерывная функция от х—абс-
х—абсциссы движущейся точки. Работа силы F при переден-

150 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
жении точки от а до Ь равна
п-1
W «= lim 2 ¦
•пах Д* • -¦ О /=0
где а = д:,, < хх < ... < Д„ = Ь, Ax;-==*/+i—#/• В самом
деле, в силу непрерывности f произведение {(xj) Ax;-
близко к истинной работе на \х)у */+{], а сумма таких
произведений близка к истинной работе на \а, Ь\ и притом
тем ближе, чем меньше max Ад:^.
Масса стержня переменной плотности.
Будем считать, что отрезок [а, Ь\ оси х имеет массу с пе-
переменной линейной плотностью р(х)^0, где р(х)—непре-
р(х)—непрерывная на [а, Ь] функция. Общая масса этого отрезка
М « Hm 2 Р (*/) А*/= \ Р (¦*) dx,
2
max Lx, -* 0 0
§ 7.7. Теорема Ньютона — Лейбница
Непосредственное вычисление определенного интеграла
по формуле A0) связано с трудностями: интегральные
суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громозд-
громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовывать их к виду,
удобному для вычисления пределов. Во всяком случае,
на этом пути не удалось создать общих методов. Инте-
Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил
Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно
напоминают современный метод пределов, он вычислил
площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении
веков многие математики решили задачи на вычисление
площадей фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке
постановка таких задач и методы их решения носили
сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом
вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий
метод решения таких задач. Они показали, что вычисление
определенного интеграла от функции может быть сведено
к отысканию ее первообразной.
Теорема Ньютона—Лейбница. Пусть задана
непрерывная на [а, Ь] функция f (х) и пусть F (х) есть ее

$7.7. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА Щ
первообразная. Тогда справедливо равенство
ь
F(a). A1)
Формула A1) показывает, что если для функции f
известна ее первообразная F, то вычисление определен-
определенного интеграла от f на \а, Ь\ сводится к простой подста-
подстановке чисел а и о в F. Дадим простое механическое
толкование этой теоремы. Будем считать, что л:есть время,
а функция y = F(x) выражает закон движения точки по
прямой, т. е. у есть расстояние с соответствующим знаком
в момент х движущейся точки до закрепленной нулевой
точки.
Путь, пройденный точкой за промежуток времени
а < х ^ Ь, очевидно, равен *)
A = F(b)-F(a). A2)
С другой стороны, он может быть вычислен интегриро-
интегрированием скорости f(x) = F'(x) точки;
Л = Нш 2 f [х,) Д*/ = \ f (х)dx- A3)
max Д*. -* 0 / = 0 а
Мы разделили промежуток времени [а, Ь\ на части
точками а — хй < х± < ... < хп = Ь. В силу непрерывности
функции / скорость точки на отрезке времени \xt, x/+i~\
можно считать приближенно постоянной, равной числу f(xj).
Тогда путь, пройденный точкой на этом отрезке времени,
будет приближенно равен f(x/)Ax/t а весь путь будет
п
приближенно равен сумме 2 fix/)^x/- Если тахДлу—>¦ О,
то эта сумма стремится к числу, равному истинной вели-
величине пути, пройденного точкой за промежуток времени
[а, Ь\. В то же время это число есть, очевидно, опреде-
определенный интеграл от функции f(x) в пределах от а до Ь.
Но тогда из A2) и A3) следует A1).
Обычно пишут, что F (x) \a = F (b)—F (a).
*) Впрочем, термин «путь, пройденный точкой», не совсем
точно выражает данное явление. Если, например, закон движения
таков, что точка сначала продвинулась вправо, пройдя путь At,
а затем влево, пройдя путь Aj, то A = Ai^A2.

152 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Примеры.
sin ах
\ ces ax dx =
a
—sin аи), а^=0.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите площадь,
= sinx на [0, я] и осью х.
2. Определите площадь,
41
ограниченную
ограниченную
синусоидой
параболой
/ = 4х—х1 и осью х.
2я
3. Вычислите интеграл ^ sin x dx.
4. Вычислите площадь, ограниченную синусоидой
y = s\nx на отрезке [я, 2я] и осью х.
5. Вычислите путь, пройденный свободно падающим
в пустоте телом за первые Т секунд движения, если
известно, что скорость свободного падения в пустоте
и = *><> + &*. гАе *—время, g—ускорение силы тяжести,
i>0—начальная скорость.
6. При растяжении пружины в пределах ее упругости
сила сопротивления, возникающая в ней, равна F = kx,
где х—удлинение пружины, а k—коэффициент, характе-
характеризующий свойства пружины. Вычислите работу, которую
надо затратить, чтобы в результате получилось удли-
удлинение I.
1 1
7. Вычислите интегралы j x2dx и § х3 dx, нарисуйте
-1 -1
графики функций х2 и х? и объясните результаты.
8. Что такое определенный интеграл от функции /(х)?
9. Как вычисляется определенный интеграл от функ-
функции / (х) на отрезке [а, Ь] через первообразную от f (x)?
10. В чем заключается связь между определенным
интегралом..и площадью соответствующей фигуры?
П. Как вычисляется работа силы при помощи опре-
определенного интеграла?
12. Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница.

§ 7.8. ФОРМУЛА.НЬЮТОНА- ЛЕЙБНИЦА 153
§ 7.8. Доказательство формулы Ньютона — Лейбница
Пусть f(x) есть непрерывная положительная функция
на отрезке [а, Ь] и пусть и есть произвольная точка
интервала (а, Ь) (рис. 108).
Определенный интеграл
от функции f(x) на отрезке [0, и] есть площадь затуше-
затушеванной (одной штриховкой) фигуры. Если верхний предел
интеграла есть переменная вели-
чина и, то интеграл Ф(м) есть
функция верхнего предела.
При ращение Ф в точке и, со-
соответствующее приращению h
(А > 0) аргумента и, есть пло-
площадь фигуры, затушеванной двои- el a uu+h х
ной штриховкой: Рис. 108
ы+ft u u+ft
Ф(« + Л)—Ф(и)= S f(x)dx—\f(x)dx = J /(*)d*.
а а a
Обозначим через m минимальную ординату, а через ЛГ —
максимальную ординату графика y = f(x) на отрезке
[и, u + h]. Очевидно,
mh < Ф (и + Л)—Ф (w)< МЛ
или
Если ft стремить к нулю/то /п —* /(«), М —> f(ti), следова-
следовательно, существует производная
Иш
Мы доказали, что производная интеграла как функции
верхнего предела равна подынтегральной функции;
Таким образом, Ф(х) есть первообразная для функ-
функции / (я). Любая другая первообразная F {х) отличается

154 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
от нее на постоянную:
F(x) = Q>
Но
= Ф F) = Ф (Ь)-Ф (а) = (F (&) + с)-
и мы доказали формулу Ньютона—Лейбница
ь
= F(b)-F{a).
§ 7.9. Свойства определенных интегралов
Основные свойства определенного интеграла выра-
выражаются формулами
bob
\f(x)dx=[f(x)dx+\f(x)dx, A4)
а
Ь
Af {x) dx = A ]j f {x) dx, где А — постоянная, A5)
а а
b Ь Ь
\ U {х) + Ф (х)] dx = J f(x) dx + \ Ф {х) dx, A6)
а а а
b / d
\ f [Ф W] Ф' W Лс = $ f (u) d«, где с = ф (a), d = Ф (Ь). A7)
Свойство A4) (для случая а < с < Ь) видно из рис. 109:
ощадь криволинейной трапеции над
щади над [а, с] плюс площадь над [с,
площадь криволинейной трапеции над [а, Ь] равна пло-
^ с] плюс площадь над [с, b\.
Свойство A5) выражает, что площадь криволинейной
трапеции, определяемой функцией f{x), увеличивается
в А раз для функции А{{х).

$ 7.9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
165
Свойство же A6) выражает, что площадь криволиней-
криволинейной трапеции, определяемой суммой /(*) + Ф(л;), равна
сумме площадей, соответствующих слагаемым f(x) и ц>(х).
Конечно, в этих пояснениях
мы неявно предполагали, что
функции / (л:) и ф (х), так же
как и число А, неотрицатель-
неотрицательные. Ведь если, например,
/(л)<0 на [а, Ь\, то интеграл
ь
\f(x)dx равен площади соответ- ° а с
а Рис. ]09
ствующей криволинейной тра-
трапеции, взятой со знаком минус. Но и в этом и вообще в
других случаях свойства A4) — A7) верны.
Из A5) следует
Ь Ъ Ь
J [Af (х) + By (*)] dx = J Af (х) dx + J ЯФ (х) dx =
= А \ f {x) dx+ В ) ф (х) dx,
а а
где А и 5 —постоянные.
Последнее равенство легко по индукции распростра-
распространить на любое конечное число слагаемых. Например,
i ill
^ (лга—2л:+ 1) dx =¦ ^ x2dx—2 ^ х dx+ \ \dx=--
0 0 0 0
:Т
п/2
п/2
= 2 j
и/2
¦ 2 sin
Я/2
—3cos л;
J .
sin xdx =
Я/2
1
= 2 + 3 = 5.
В формуле A7) ф (х) есть непрерывно дифференциру-
дифференцируемая на [а, Ь] функция, для которой q>(a)=c, (p(b)=*d. Если
F(u) — первообразная для /(ы), то

156 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому
л ь
lf(u)du=F(d)-F(c)=F[<?{b)]-.
а
Пример.
Я/2 я
С 1С 1
\ sin 28 = -j \ sin udu = j (—"cos и)
оо о
(подстановка ы = 2Э; 6 = 0, и = 0; 0 = я/2, и = п).
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы:
з I
1. [{x*—3x+2)dx. 2.
Я/2 1
3. [ (cos2л:—sm3x)dx. 4. §
о
2Я 1
[ (cos 2л:—si
й
2Я
5. 5 (cos Зл: + sin 2x) dx. 6. $ e**x dx. 7. J e3* dx.
0 0 0
0
я п/2
Г* ft С
8. \ sin-S-dO. 9. \ cos2 л: sin л: dx.
о °
Я/2 1 Я/2
10. $ cos»jcdx. 11. J(x» + l)**d*. 12. J tgxdx.
§ 7.10. Площадь круга
Уравнение окружности (рис. ПО) радиуса R с цент-
центром в начале координат х, у имеет вид
Следовательно, уравнение ее части, расположенной выше
оси х, записывается в виде

$ 7.11. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
157
Но тогда площадь круга радиуса R равна (пояснения ниже)
R л/2
S=2 J VR*— x2dx = 2 J VR2—R2sin2QRcos6d0-
-Я/2
Я/2
я/2
-Я/2
-Л/2
Во втором равенстве этой цепи сделана замена пере-
переменной
и использована формула A7), но примененная в обратном
порядке. При возрастании переменной 6 от —я/2 до я/2
Рис. ПО
Рис. ill
переменная х возрастает от —R до R. При этом
§ 7.11. Длина окружности
Площадь круга есть функция S = nR2 от R. Придадим
R приращение А/? > 0. Тогда соответствующее приращение
AS = 5 (R + AR)—S(R)
будет представлять собою площадь заштрихованного коль-
кольца на рис. 111. Длина окружности L(R) есть тоже функ-

158 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ция от R. Очевидно,
поэтому
Переходя к пределу в этих неравенствах при AR —> О,
учитывая, что функция L(R) непрерывна, получаем . >
т. е.
и мы получили формулу длины окружности.
§ 7.12. Объем тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной
системе координат л-, у непрерывной положительной функ-
функцией y = f{x) (a^x^b). Вычислим объем V тела вра-
вращения, ограниченного по-
поверхностью вращения кри-
кривой Г вокруг оси х и пло-
плоскостями, проходящими че-
через точки х = а, х = Ь пер-
перпендикулярно оси х (см.
рис. 112).
Произведем разбиение
отрезка [а, 6] на части
точками а = х0 < xt <... <
<#„=Ь и будем считать,
что элемент объема ДУ4 те-
тела вращения, ограничен-
ограниченный плоскостями, проходящими через точки хь и xk+i
перпендикулярно оси х, приближенно равен объему ци-
цилиндра высоты \xk=xk+i—хк и радиуса yk = f(xk)i
ДУЙ « щ\кхк = я (/ {хк)У Дхй.
Но тогда объем V может быть записан при помощи при-
ближенного равенства V«n2(f (**)J&хк. Чтобы полу-
ft=0
чить точное равенство, надо взять предел
л-1
V= lim л
maxAx^-vO
Рис. 112

б 7.14. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРА 1Б9
и мы получаем формулу для объема тела вращения!
У = я 5 (Д*)I d». A8)
§ 7.13. Объем шара
Объем V шара радиуса R равен
В самом деле, круг радиуса R в плоскости хОу имеет
уравнение
а верхняя полуокружность Г имеет уравнение
—лс* (-
Если вращать Г вокруг оси х, то получим поверхность на-
нашего шара. Но тогда согласно формуле A8)
~к -я
R=4**'. 09)
§ 7.14. Площадь поверхности шара
Объем шара радиуса R
V \?\) == 7" «ГСх\ "
о
есть функция от R.
Площадь S(R) поверхности этого шара можно полу-
получить как производную:
ДЯ->-0 Л/^
Поясним эти выкладки. Приращение объема шара, соот-
соответствующее приращению AR,
очевидно, равно объему слоя, ограниченного изнутри ша-
шаровой поверхностью радиуса R и извне шаровой поверх-

160
ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ностью радиуса R + &R. Если S{R) есть площадь поверх-
поверхности шара радиуса R, то, очевидно,
S (Я) ДR < ДV < S (R + Д/?) ДЯ
или
Поэтому, учитывая непрерывность S(R), получим
ДЯ-.-0 &R
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить объем кругового цилиндра высоты И и
радиуса основания Я.
2. Вычислить объем тела вращения, ограниченного
плоскостью, проходящей через точку я = 1 оси х перпен-
перпендикулярно к ней, и поверхностью
вращения около оси х кривой! .
1) у=_х* (рио. 113); 2) у=х*;
3) у = Ух.
§ 7.15. Работа электрического
заряда
\1/ Пусть с и с'—два заряда, нахо-
Рис. ИЗ дящиеся на прямой на расстоянии
г друг от друга. Сила взаимодействия F
между ними направлена вдоль этой прямой и равна F=-^
{a — kcc', где k — постоянная). Работу W этой силы, когда
заряд с неподвижен, а заряд с' передвигается по отрезку
[Ru Я2], можно подсчитать, разбивая отрезок [Яь Я,] на
части длины Дг,. На каждой из них приближенно счи-
считаем силу постоянной, тогда работа на таком участке
равна -4-Д>> Делая частицы разбиения все более мел-
мелкими, убеждаемся, что работа W равна интегралу

§7.16. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА СТЕНКУ
161
Этот интеграл мы сразу находим, принимая во внимание,
что
отсюда
тЪ
т R,
В частности, работа, выполненная силой f/при передви-
передвижении заряда с', находившегося сначала на расстоянии
Rx от заряда с, на бесконечность,|равна
При с' = 1 мы получили потенциал заряда с как функ-
функцию от R.
§ 7.1 в. Давление жидкости на стенку
Бассейн высоты Я наполнен водой. Вычислить давле-
давление воды на прямоугольную стенку бассейна, с основа-
основанием прямоугольника, равным а.
Делим высоту на равные малые части АЛ. Стенка раз-
разделится на «элементы» (один из них заштрихован, рис. 114).
Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жид-
жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м^, равно А,- тоннам.
Давление же воды на элемент,
находящийся на глубине А/( рав-
равно произведению Л,- на площадь
элемента: hta Ah. Величина давле-
давления на стену приближенно равна
Р»2 аЛ/АЛ = а 2 ft, ДА,
/=i ' ?¦ ' ' Рис. 114
где сумма распространена на все АА. Точное же ее выраже-
выражение равно интегралу
1
ь
'////.Ah'////////////,
а
6 G. М. Никольский
О
2 *

162 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 7.17. Центр тяжести
Центр тяжести системы материальных точек
(*l, J/l). (*a. г/а). •••- (**,
с массами ягь т2, ..., ты соответственно имеет коорди-
координаты
N N
2 mJxi 2
хп =
¦О Д1
2т/
л/
2-
Эти формулы распространяются на непрерывно рас-
распределенные по площади массы. Роль конечных сумм играют
тогда интегралы.
Найдем центр тяжести сегмента параболы у — \ — х2 с
равномерно распределенной по нему массой, ограниченного
снизу осью х (рис. 115). Для
этого отрезок [—1, 1] оси х
разделим на п равных ча-
частей длины Ах. Одна такая
часть заштрихована на рис.
115. Ввиду малости Д* можно
считать, что масса заштри-
заштрихованного элемента сегмента
равна
и она сконцентрирована в точке (xh ^Л . Здесь р—плот-
р—плотность распределения массы.
Ввиду симметрии сегмента абсцисса его центра тяжес-
тяжести равна л;0 = 0. Ординату же можно приближенно запи-
записать в виде
2
J/i Ах
i=i
п
2:
где сумма распространена на все частичные отрезки деле-
деления [—1, 1].

§7.17. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
163
Точное выражение для ординаты центра тяжести нашей
фигуры получим, перейдя к пределу при &х—>-0:
ь
-=4l • С2»)
2
2
\ydx
где в данном случае а = — 1, 6=1. Таким образом,
l
i- A-х*)Ых
П
i/o—
J
Рис. 116
Выражение B0) можно
рассматривать как общую
формулу для ординаты цент-
центра тяжести фигуры, изображенной на рис. 116, с равно-
равномерно распределенной по ней массой. Соответствующая
формула для х0 имеет вид
ъ
УПРАЖНЕНИЯ
1. В бассейн с водой опущена полукруглая пластина
радиуса R так, что ее диаметр находится на уровне воды
(рис. 117). Определить давление воды на одну из сторон
пластины.
2. Найти координаты центра
тяжести верхнего полукруга
3. Найти координаты центра
тяжести сегмента параболы у =
= х2, ограниченного сверху пря-
прямой у = 1.
Рис. 117
6*

1G4 ГЛ. 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Сила тока в проводнике есть функция времени|
у = 1 +12- Какое количество электричества проходит через
сечение проводника за промежуток времени O^j/<j3?
5. Чему равна производная определенного интеграла
от непрерывной функции по верхнему пределу?
6. Сформулируйте и запишите основные свойства опре-
определенных интегралов.
7. Чему равны а) площадь круга, б) длина окружности,
в) объем шара, г) площадь поверхности шара.
8. Запишите формулу для объема вращения. Объясни-
Объясните ее.
9. Запишите формулу
а) для центра тяжести системы материальных точек;
б) для координат центра тяжести системы материаль-
материальных точек;
в) для координат центра тяжести, выраженных через
интегралы.

ГЛАВА 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8.1. Охлаждение тела
Тело, имеющее температуру 00, помещено в среду с
температурой 0° (90 > 0). Требуется найти закон 8 (t)
изменения его температуры в зависимости от времени t.
Из курса физики известно, что скорость охлаждения
тела -тт пропорциональна разности температуры тела и
окружающей среды. Учитывая, что функция 6 (t) убываю-
убывающая, получаем равенство
где А—коэффициент пропорциональности. Мы получили
уравнение относительно неизвестной функции 0 =6 (t). Оно
называется дифференциальным уравнением, потому что в
него входит неизвестная под знаком производной.
Этому уравнению удовлетворяет функция
6 = Ле-«, B)
где А может быть любой постоянной. В самом деле,
§ = -kAe-". C)
Подставляя выражения B) и C) в уравнение A), полу-
получим тождество, т. е. равенство, верное для любого t.
Формула B) дает бесконечно много решений поставленной
задачи, соответствующих разным значениям постоянной А.
Для нашей задачи 8 = 0О при t = 0, откуда Л = 6@)=80 и
решение данной задачи имеет вид
Из полученной формулы видно, что Й = 0О при t — 0,
затем с увеличением \ температура 0 тела весьма быстро

166 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уменьшается. При t—> + °° она стремится к нулю (б—>0
при t —>¦ оо).
Замечание 1. Дифференциальное уравнение A)
можно рассматривать как уравнение радиоактивного рас-
распада. В этом случае Q = Q(t) есть масса вещества, под-
подвергающегося распаду, а 60—его масса в момент времени
1 = 0.
Задача. Найти общее решение дифференциального
уравнения и частное решение, обращающееся в у = уопщ
а) | = -2У. б)| = -У. в) g = 3y.
§ 8.2. Нахождение закона движения тела
по его скорости
Точка движется по оси х. Ее скорость—заданная
функция времени v = f(t). Надо найти закон движения
точки, т. е. зависимость ее координаты х от t, или, как
говорят, зависимость пути от времени.
Решение. Пусть искомый закон движения опреде-
определяется формулой x—F{t). Производная от х по t равна
v = f(t), т. е.
f @ = /(<)• D)
Мы получили дифференциальное уравнение относительно
неизвестной функции F (t). Его решить нетрудно: оно
показывает, что F (t) есть первообразная от /. Следова-
Следовательно,
F(t)=lf{t)dt + C, E)
где С—произвольная постоянная. Чтобы найти С для
конкретного закона, надо знать дополнительно, где нахо-
находилась точка в некоторый момент времени i, например при
* 0
УПРАЖНЕНИЯ
1. Точка движется по оси х со скоростью
a) v — 3, б) v = а, в) v = 2t, r)v = at,v = cos t, д) v = cos t,
e) v = el.
Найти возможные законы ее движения. Определить
среди этих законов тот, для которого х = 0 при ^ = 0,
а также тот, для которого х=\ при t = \.

§8.3. РАВНОМЕРНО УСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ 167
Решение, а) х=^ 3dt + C = 3t-\-C. При условии
? = 0, х = 0, получим С = 0; следовательно, в этом случае
закон движения имеет вид х = 3/. При условии t = 1, х = 1,
получим 1 = 3-|-С, т. е. С = —2. Закон имеет вид x = 3t — 2.
§ 8.3. Равномерно ускоренное движение
Точка движется по оси х равномерно ускоренно с ус-
ускорением, равным а. Найти закон ее движения.
Решение. Пусть искомый закон движения опреде-
определяется функцией x = F{t). По условию вторая ее произ-
производная равна а:
F'(t) = a.
Но первая производная есть первообразная от второй,
поэтому
где b—произвольная постоянная. Искомая же функция
F (t) есть первообразная от F' (t), поэтому
Итак, общий закон движения выражается формулой
a? F)
где Ъ и С — произвольные постоянные. Таким образом,
имеется бесконечно много законов движения, решающих
задачу — каждой паре чисел Ь и с соответствует свой конк-
конкретный закон. Чтобы найти закон, соответствующий дан-
данному движению, надо, например, знать, где находилась
точка в некоторый момент времени ta и какова была
скорость и0 ее в этот момент.
Задача. Из винтовки выстрелили вверх. Напишите
закон движения пули, считая, что ускорение земного при-
притяжения 10 м/с, скорость вылета пули из винтовки 800 м/с.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Ось х направим вертикально вверх, ее
начало считаем точкой вылета пули, за единицу длины
примем метр. Ускорение силы тяжести направлено вниз
вместе с силой тяжести. Поэтому в наших расчетах надо
считать ускорение равным отрицательному числу —10.

168 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На основании формулы F) закон движения выража-
ется функцией х = —bt^ + at + C. Так как пуля в момент
( = 0 имела координату х = 0, то 0 = 0 -f 0 -f С или С = О,
поэтому
x = —5l2 + at.
Чтобы определить а, возьмем производную от х по h
При t — 0 производная равна скорости вылета пули 800 м/с.
Поэтому а = 800, и закон движения имеет вид
УПРАЖНЕНИЯ
1. Нарисуйте график функции х=—5^ + 800^ и опре-
определите наибольшую высоту достижения пули, момент ее
достижения, момент падения на землю и скорость в мо-
момент падения.
2. Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через
сколько времени она упадет на землю и с какой ско-
скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и за уско-
ускорение земного притяжения принять 10 м/с.
3. На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки
вверх. Скорость вылета пули 800 м/с. Написать закон
движения пули, нарисовать его график. Какой наиболь-
наибольшей высоты достигнет пуля и через сколько времени?
Через какое время пуля упадет на землю и с какой ско-
скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и за ускоре-
ускорение земного притяжения принять 10 м/с.
4. В предыдущей задаче считать, что выстрел направ-
направлен вниз. Через какое время пуля достигнет земли и с
какой скоростью упадет на землю?
§ 8.4. Колебание пружины
Внизу к висящей пружине прикреплен груз т. Ось х
направлена вдоль пружины вниз (рис. 118). В неподвиж-
неподвижном состоянии груз находится в начале оси х. Выведем
пружину из равновесия, сжав или растянув ее, и предо-
предоставим самой себе с момента времени / = 0. Груз будет
колебаться в вертикальном направлении. Пусть x = x(t)—
координата груза в момент t. Чтобы найти функцию х (t),
напишем ее дифференциальное уравнение.

§ 8.4. КОЛЕБАНИЕ ПРУЖИНЫ
169
По закону Ньютона в любой момент времени произ-
произведение массы груза на его ускорение т равно силе, дей-
действующей на груз в этот момент. Это сила упругости,
равная по закону Гука произведению некоторого посто-
постоянного коэффициента а на величину отклонения груза от
положения равновесия. Сила эта, таким образом, равна
— ах. Знак минус возникает из следующих соображений.
Если х > 0, то пружина
(рис. 118) находится в
растянутом состоянии и
сила упругости действу-
действует на груз снизу вверх,
т. е. она отрицательна;
если же х < 0, то пру-
пружина сжата и сила уп-
упругости положительна.
Итак, тх" =—ах или
Рис. 118
G)
Мы получили дифференциальное уравнение второго
порядка, потому что неизвестная функция в нем находит-
находится под знаком второй производной. Функции sin Л^ и
coskt являются решениями уравнения G), потому что,
например,
(sin kt)" + k* sin kt = — k* sin kt + k1 sin kt = 0.
Но тогда функция вида
x(t) = Asmkt + Bcoskt, (8)
где А и В— любые произвольные постоянные, есть тоже
решение уравнения G).. Ведь если у—решение, то Ау
есть тоже решение:
(Ay)" + k*Ay = A (у" + k?y) = А0 = 0,
а также, если у и 2—решения, то и у-\-г есть реше-
решение:
Выходит, что дифференциальное уравнение G) имеет
бесконечно много решений, соответствующих произвольным
парам чисел А я В. Каждое конкретное движение нахо-
находится заданием двух начальных условий. Обычно в ка-

170 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
честве этих начальных условий задают два числа х0 и х'о,
где хв—отклонение груза в момент времени ? = 0, а х'о —
скорость, сообщенная грузу в момент / = 0.
Например, пусть xi = 0 и х0ф0 при ^ = 0. Тогда из
формулы (8) следует, что ха~В, х (t) = kA cos kt—
— xaksin kt и 0 = kA или А — 0. Поэтому груз колеблет-
колеблется по закону
х (t) = х0 cos kt.
Мы знаем, что формулу (8) можно записать в виде
х = С cos (to—а) (С>0). (8')
Число С называется амплитудой колебания. Отклонение
груза x(t) от точки 0 удовлетворяет неравенствам
—С^.x(t)^C, и при этом существуют значения t, для ко-
которых х — С и х = —С. Число k называется частотой
колебания. Функция (8) имеет период, равный -г-. За
единицу времени происходит ^'•~r-==Y~ коле^ании- На-
Наконец, число а называется фазой колебания.
Замечание. Формула (8') моделирует процесс коле-
колебания пружины неточно и пригодна только для доста-
достаточно малого отрезка времени [0, t0], при ее выводе не
учтены трения, возникающие при колебании пружины, и
сопротивление воздуха.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Написать уравнение описанного выше движения
груза при условии, что начальное (при / = 0) его откло-
отклонение х0 и начальная скорость ха равняются
а) *0 = 0,01, х; = 0; б) *в = 0, 4 = 0,01.
2. Напишите дифференциальное уравнение для темпе-
температуры охлаждающегося тела. Напишите общую формулу
решения этого уравнения. Много ли решений имеет это
уравнение? Как можно выделить частное решение? Почему
это уравнение называется уравнением первого порядка?
3. Напишите дифференциальное уравнение, выражаю-
выражающее связь между законом движения тела и скоростью
движения. Каков порядок этого уравнения? Напишите
общую формулу решения этого уравнения.
4. Напишите дифференциальное уравнение для закона
равномерного ускоренного движения. Каков его порядок?

§ 8.4. КОЛЕБАНИЕ ПРУЖИНЫ G1
Напишите общую формулу решения этого уравнения. От
скольких произвольных постоянных это решение зависит?
Что надо знать, чтобы определить конкретные значения
этих постоянных для данного частного решения?
5. Напишите дифференциальное уравнение колебания
точки пружины. Объясните его. Каков его порядок? Ка-
Каково его общее решение? От скольких произвольных по-
постоянных оно зависит? Как их находят на практике?
6. Для дифференциального уравнения
найти
а) общее решение;
б) частные решения, удовлетворяющие начальным ус-
условиям:
* = 0, х = 2, х' = 3;
f = 0, x = 2, х' = 0;

ГЛАВА 9
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
§ 9.1. Понятие формулы Тейлора
Пусть функция f(x) имеет производную на отрезке
[О, а]. Тогда для любого ее значения выполняется фор-
формула Лагранжа (см. § 6.5):
где с—некоторое число, для которого выполняются не-
неравенства 0 < с < х. Эту формулу можно записать так:
f(x) = f(O) + xf'(c) {0<с<х). A)
Пусть теперь функция f(x) имеет на отрезке [0, а] не
только первую, но и вторую производную. Тогда для нее
верна формула, которую называют формулой Тейлора:
I^ ^r{c) @<c<x), B)
для любого значения х из отрезка [0, а].
Вообще, если функция f(x) имеет на отрезке [0, а]
производные до порядка п включительно, то для любого
х из отрезка [0, а] выполняется равенство
C)
где
Rn = ^rf(n)(c) @<c<x) D)
и с—некоторое число, зависящее от л и п.
Это равенство называется формулой Тейлора с остат-
остатком я-й степени. Величину Rn называют остатком или
остаточным числом формулы Тейлора*).
*) Может быть а<0, и тогда символ [0, а] на самом деле обозна-
обозначает [а,.О] и формулы A) — D) остаются верными при а<х<с<0.

§9.1. ПОНЯТИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 173
Мы ке знаем точно, чему равен остаток, потому что про
число с только известно, что оно находится где-то между
О и х. Но и этой информации бывает достаточно, чтобы
формула Тейлора имела практическое значение. Практи-
Практический смысл формулы Тейлора заключается в том, что в
ряде случаев удается заключить, что ее остаток мал на-
настолько, что им можно пренебречь, и тогда получим при-
приближенное равенство
которое, дает возможность вычислить f(x), если можно вы-
вычислить числа / @), /' @), .... Z-1' @).
Для примера выведем формулу Тейлора с остатком второй
степени, т. е. формулу B).
Зададим х из отрезка [0, а]. Найдем такое Р, чтобы выполня-
выполнялось равенство
. E)
Можно было бы решить это уравнение относительно Р. Но нас
интересует другое — мы хотим неизвестное Р выразить через вто-
вторую производную от функции f (х). Для этого будем рассуждать
следующим образом.
Каждое заданное значение х определяет при помощи равенства
E) число Р. Введем функцию от переменной и, заданную ня от-
отрезке 10, х]:
F (u) = f{u) + (x—u) V (и) + (х-и)* Р. F)
Будем помнить, что здесь х и Р — фиксированы и это выражение
есть функция от переменной и. Функция F (и) имеет на отрезке
[0, х] производную, потому что по условию I (и) имеет вторую
производную и, следовательно, можно взять производную не только
от f (и), но и от f (и). Кроме того, функция F (и) имеет равные
значения на концах отрезка J0, дс]. Ведь
F @) = f @) + xf @) + х*Р = f(x)
(см. E)) и F (х) = / (х). Поэтому согласно теореме Ролля сущест-
существует точка с, удовлетворяющая неравенствам 0 < с < х, в которой
производная от функции F равна нулю:
Р (с) = 0.
Нам остается лишь, пользуясь формулой F), вычислить про-
производную F' (и) и положить в ней х = с:
F («) = /' («)-/' (и) + {х-и) Г <и)—2(х—и) Р,
(*-с)/"(с)-2(х-с)Р =
Подставляя это значение для Р в равенство E), получим иско-
искомую формулу Тейлора B).

174 ГЛ. 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
§ 9.2. Примеры
Пример 1. Рассмотрим функцию у — sinx. Напишем
для нее формулу Тейлора при п = 5. Имеем
= sinx, /! (jc) = cos jc, /"(*) = —sinx,
fm (x) =—cos x, /1V (x) = sin x, /v (x) = cos x,
Поэтому
(x), Rb{x)= gj x-— |2q
Для значений х, удовлетворяющих неравенствам
<ii
Следовательно, имеет место приближенное равенство
с точностью до 1/400.
Если в разложении sinx по формуле Тейлора взять
больше членов, то получим многочлен более высокой сте-
степени, приближающий sinx еще точнее.
Замечание 1. При оценках остаточных членов сле-
следует учесть, что | cos с \ ^ 1 при любом с,
ес < ех при 0 < с < х;
ес <11 при х < с < 0;
Yj-c < 1 при 0 < с < х.
Для отрицательных х неизвестное число с тоже отри-
отрицательно и последняя оценка, не проходит. На случай
отрицательных х для функций (\-\-х)т и In A + jc) имеют-
имеются другие формулы остатков, позволяющие сделать нуж-
нужные оценки.
Замечание 2. Вычисления, связанные с формулой
C), в настоящее время производят на микрокалькулято-
микрокалькуляторах.

§ 9.2. ПРИМЕРЫ 17|
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что формулы Тейлора для функций cosj% j
ех, In (I -\-х), (l + x) при п = 5 имеют вид
2. Для функции cosx оценить Rt(x) для O^x
8. Для функции е* оценить остаток Rt(x) для
4. Написать рассмотренные в задаче 1 формулы при
«¦=5. ,
5. Вычислить числа е, е1/л, cos щ, sin Л о точность»
до 10~4. Углы взяты в радианах.

ГЛАВА 10
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
§ 10.1. Десятичные разложения рациональных чисел
Пусть задано положительное рациональное число
— (р > 0, q > 0). Требуется превратить его в десятичную
дробь.
Начнем с самого простого случая, когда q не имеет
других простых деталей, кроме 2 и 5. Вот примеры)
7 7-2* 28
3 _ 3-125 _ 375 _ _
2«.5а ~ 2В.56 — 7ов"-
Мы видим, что произвольное положительное рацио-
рациональное число — , где q не имеет других делителей, кроме
2 и 5, разлагается в конечную десятичную дробь:
j = «o. «i ...¦<*«¦ A)
Здесь а0 — целое неотрицательное число, а аи аа, ... —
цифры, каждая из них может принимать одно из значе-
значений 0, 1, 2, .... 9.
Но и обратное утверждение верно, произвольная ко-
конечная дробь а0, <*1 ... ат есть рациональное числоз
а0, at ... ат — jQ^ .
Здесь a0, af ... am—целое число, состоящее из ат единиц,
am_! десятков, ат_а сотен, ...
Мы доказали, что для того чтобы положительное
рациональное число, выраэншное несократимой дробью
—, разлагалось в конечную десятичную дробь, необходимо
и достаточно, чтобы знаменатель ее q не имел других
простых делителей, кроме 2 и 5.

§ 10.1. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 177
Остальные дроби — могут иметь только бесконечные
десятичные разложения а0, а^ ..., т. е. такие, что для
любого натурального k найдется натуральное /> Этакое,
что а1 > 0.
Произвольную конечную десятичную дробь а„, а* ...
... ат (ат > 0) мы будем записывать еще в виде
а0, «1 ... ат = а0, а± ... ат 000 ...
или в виде бесконечной десятичной дроби
а„, Of ... ат = а0, at ... ая-Лат— 1) 999 ... B)
Например, будем писать
0,2365 = 0,2365000... =0,2364999...
Читатель сам проверит, деля числитель на знамена-
знаменатель «уголком», следующие бесконечные десятичные раз-
разложения:
1 = 0,555... =0,E),
1 = 0,777... =0,G),
1 = 0,2323... =0,B3),
" g = 0,7171 0,G1),
^ = 0,007007... =0,@07).
Все это — периодические разложения. Например „- есть,
как говорят, нуль целых и 5 в периоде, а щ—нуль це-
целых и 71 в периоде.
Вообще, имеет место равенство
^^ = 0, (о, ... ат).
т раз
Выясним его справедливость на примере дроби ~ • Будем
делить 17 на 99 по известному правилу; однако припи-
припишем к числу 17 сразу два нуля. Имеем
1700= 17(994-1)= 17.99+ 17.

178 ГЛ. 10. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Следовательно, после второго этапа деления 17 на 99
получим такую картину:
17
1700
17
99
0,17 ,
т. е. в частном получается 17 и в остатке 17. Теперь
снова к остатку припишем два нуля и после деления по-
получим снова в частном 17 и в остатке 17. Так наш про-
процесс будет продолжаться периодически без конца:
17
99
0,1717...
Следовательно, gg == 0,1717...
Ниже приводятся примеры десятичных периодических
дробей более сложного вида:
1,21353535...-1,21 |g
2'C71> --¦ 2 ,371
3 13(Ц -313'W -313 1 4
0I0 ^> 100 "00^900'
Мы видим, что произвольную десятичную периодиче-
периодическую дробь а0, ах ... ая(р\ ... Р„) можно рассматри-
рассматривать как десятичное разложение некоторого рациональ-
рационального числа:
| = а0, а, ... аи(р\ ... р„). C)
Но и обратно, десятичное разложение произвольного по-
положительного рационального числа — необходимо перио-
периодическое.
В самом деле, будем делить р на q обычным спосо-
способом:
р\ а0, ах ... asa.s+l. D)
HZ
Ps+i

§10.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 179
Пусть на s-u этапе этого процесса получился остаток fis
и все цифры числа р оказались уже снесенными. Рассмот-
Рассмотрим остатки р%, р%+1, ..., Рл+(/_!. Количество их q, и
каждый из них меньше q. Но тогда какие-то два из них
обязательно должны быть равны. Пусть равны (Зи и р„
(Р/я = Ря; т < п). Это показывает, что процесс D), начи-
начиная с m-ro этапа, становится периодическим {р.т+1 = ап+и
+ 2 = ап + 2< ¦ ¦ ¦)•
Итак, каждому полооюительному рациональному числу
— соответствует его бесконечное десятичное периодическое
разложение вида C). Это разложение получается при помо-
помощи процесса D), дополняемого в случае (I) процессом B).
С другой стороны, произвольное бесконечное периоди-
периодическое разложение {вида C)) соответствует, таким обра-
образом, единственному положительному рациональному числу.
Отрицательному рациональному числу —- приводят
в соответствие бесконечное десятичное разложение числа
—, взятое со знаком «—».
Числу нуль (оно тоже рациональное) естественно при-
привести в соответствие разложение 0=-)-0,000 ...=
=—0,00 ... =0,00 ...
§ 10.2. Десятичные разложения
иррациональных чисел
Кроме периодических десятичных дробей существуют
непериодические, например:
0,1010010001...; 0,121122111222...
Вот еще пример: если извлекать корень квадратный
из 2 по известному правилу, то получим непериодиче-
непериодическую бесконечную десятичную дробь: V2 =1,41... Она
определена в том смысле, что любому натуральному числу
k соответствует определенная цифра ак k-то разряда
числа V^2, однозначно вычисляемая согласно правилу
извлечения квадратного корня.
Если наш читатель не знает это правило, то он может, чтобы
получить десятичное разложение числа У2, рассуждать так.
Сначала находим наибольшее целое число, квадрат которого'мень-
ше 2. Это, очевидно, число 1. Затем находим наибольшее число
вида 1, ах, квадрат которого меньше 2. Это есть число 1,4. Затем
находим наибольшее число вида 1,4 а2, квадрат которого меньше

180 ГЛ. 10. ДЕЙСТВИТЕЛЬНО!?. ЧИСЛО
2. Это есть число 1,41. И рассуждая так можно получить одно-
однозначно любое число цифр после запятой десятичного разложения
числа }^2.
Математический анализ дает много путей вычисления
числа я с любой наперед заданной точностью. Это приво-
приводит к определенному бесконечному десятичному разложе-
разложению л, которое, как оказываете?!, не является периоди-
периодическим.
Дадим теперь определение иррационального числа,
пока чисто формальное. Иррациональным числом назы-
называется произвольная бесконечная непериодическая дробь*)
а = ±а0, а^а,., ., E)
где а0 — целое неотрицательное число, ak (k—l, 2, ».,)—
цифры, знак же равенства выражает, что мы обозначили
правую часть E) через а. Впрочем, удобно говорить, что
правая часть E) есть десятичное разложение числа а.
Рациональные и иррациональные числа называются
действительными (или вещественными) числами.
Из сказанного следует, что всякое не равное нулю
действительное число может быть записано в виде беско-
бесконечной десятичной дроби E). Если оне рационально, то
его десятичное разложение есть бесконечная десятичная
периодическая дробь. В противном случае, согласно на-
нашему определению, выражение E) само определяет ирра-
иррациональное число.
Десятичная не равна-я нулю дробь может быть конеч-
конечной. В силу соглашения, выраженного равенством B), она
может быть заменена равной ей бесконечной периодиче-
периодической дробью.
Число а, где не все ak равны нулю, называется поло-
положительным или отрицательным в зависимости от того,
будет ли в E) фигурировать « + » или «—»; при этом,
как обычно, •« + » будем опускать.
Действительные числа определены пока формально,
надо еще определить арифметические операции над ними,
ввести для них понятие «>» и проверить, что эти опера-
операции и понятие «>» согласуются с уже имеющимися
соответствующими операциями и понятием «>» для ра-
рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам,
которые мы предъявляем к числам.
*) Конечно, знаку «-)-» соответствует одно число (положи-
(положительное), а знаку «—» другое (отрицательное).

§ 10.3. СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 181
§ 10.3. Сравнение действительных чисел
По определению два числа
а = ± а0, а^.... Ъ = ± ft,, pJ32....
разложенные оба в бесконечные, но не имеющие периода
9, или конечные десятичные дроби, равны между собой
тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и
«* = Р* (* = 0, 1, 2, ...). F)
Для тех же положительных чисел а и b по определению
а < Ь, если а0 < |30 или если найдется такой индекс (це-
(целое неотрицательное число) /, что
«* = Р* (А = 0, 1 I) и a,+i<P/+1. G)
Это определение годится для конечных и бесконечных
разложений, не имеющих периода 9. Чтобы применить
это определение к десятичным дробям с периодом 9, надо
превратить их в конечные десятичные дроби. Впрочем,
удобно писать
а0, <*!«,...<«„, ai...a/B99...=a0, ai...ixffl_i(a/n+l),
хотя промежуточный член в этой цепи не обязателен.
Между двумя действительными числами аи Ь (а < Ь) имеется
рациональное число г (а < г < Ь), разлагающееся в конечную де-
десятичную дробь. Если а < 0, Ь > 0, то можно считать г = 0.
Пусть 0 < а < Ь и
— бесконечные десятичные дроби. Если а0 < р0) то
где k такое, что Р^ > 0. Это показывает, что в данном случае
можно положить /' = ро. Pi ••• Pft-
Если же ао = Ро. то при некотором /
поэтому
. az 99...=a0, a* ... а^
- Pi ••• P/-iP/ < Po> Pi ••
< Ро, PiP2 ...=ь. <Р*>0),
и, следовательно, можно считать г = р0, pt ... Pft,
Случай a < b < 0 сводится к предыдущему.

182 гл. ю. действительное число
УПРАЖНЕНИЯ
1. Между числами
0,G8) и 0,935050050005 ...
найти: 1) рациональное число, 2) иррациональное число,
3) рациональное и иррациональное число, 4) два рацио-
рациональных числа, 5) два иррациональных числа.
§ 10.4. Десятичное приближение
действительного числа
Зададим произвольное положительное число
а = а0, a^aOj ...
в виде десятичной дроби. Число
а"" = а0, <хх ... а„ (п = 0, 1, 2, ...)
будем называть п-м десятичным приближением числа а с
недостатком.
Справедливы неравенства
а(п)<а<а(п)+Ю-" (п=0, 1, 2, ...). (8)
В самом деле,
<a0( a! ... aB 99...=a0, a* ... an
Число а{п) + \0~п называют п-м приближением числа
а с избытком.
Справедливы неравенства
т. е. a(n)<a<n + I) (л=1, 2, ...).
В самом деле,
Имеют также место неравенства
аа) + Ю-1 >оB>+ 10-*>ai3) +
т. е.

§ 10.5. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ 183
В самом деле,
+1> + 10-(и+1) = а0, ал ... а„а„+1 999 <
«i*-- ав99...=ав, а, ... ап+ 10-« = g<»>+ 10-».
Мы видим, что числа а(п) не убывают при возраста-
возрастании п, оставаясь все время не большими числа а. Числа
же а(|1)+Ю~" не возрастают, оставаясь не меньшими
числа а. Кроме того, разность
т. е. стремится к нулю при п—»• оо.
Числа а(п) и а(п) + 10~п—рациональные, к тому же
они разлагаются в конечные десятичные дроби. Совре-
Современные счетные машины приспособлены к вычислениям с
десятичными дробями *).
В практических вычислениях точные значения чисел
заменяют приближенными, в частности приближениями
аш и ()ю
§ 10.5. Числовая прямая
Зададим отрезок, который будем считать единичным—
имеющим длину 1. Мы хотим определить понятие длины
произвольного отрезка АВ относительно выбранной еди-
единицы (единичного отрезка).
Отрезок АВ называется соизмеримым с единицей
(с единичным отрезком), если существуют натуральные
числа р и q такие, что если q-ю часть единичного отрез-
отрезка отложить р раз от Л в направлении к В, то при-
придем в точности в точку В. Про такой отрезок говорят,
что он имеет длину —.
Примером отрезка, не соизмеримого с единицей, явля-
является гипотенуза прямоугольного треугольника, имеющего
единичные катеты. Длина этого отрезка равна К2.
Не соизмеримых с единицей отрезков имеется беско-
бесконечное множество. Дадим общий метод измерения
отрезков. Нас интересует чисто теоретическая сторона
вопроса. Мы отдаем себе отчет, что длину отрезка
(соизмеримого или не соизмеримого с единицей) практи-
практически можно получить только приближенно, но мы хотим
*) Впрочем, на самом деле широко применяется так называе-
называемое двоичное исчисление.

184 гл. ю. действительное число
представить себе, как это можно сделать теоретически
точно.
Зададим прямую L, для которой выберем положительное
направление (указано стрелкой, рис. 119), единивши отре-
отрезок и начальную точку О.Такую прямую называют числовой
0 7
Рис. 119
прямой потому, что ее точки можно рассматривать как иллю-
иллюстрации действительных чисел. Каждому положительному
рациональному числу — приведем в соответствие точку
прямой L, называемую точкой —, лежащую справа от О
на расстоянии — от О. Каждому же отрицательному ра-
рациональному числу—— приведем в соответствие на L
точку (точку—— ], симметричную точке — относительно
О. Числу 0 пусть соответствует точка О.
Будем называть Л на I рациональной или иррацио-
иррациональной точкой в зависимости от того, будет ли отрезок
ОА, соединяющий ее с точкой О, соизмерим или не соиз-
соизмерим с единицей.
Мы указали способ, в силу которого устанавливается
взаимно однозначное соответствие между рациональными
числами и рациональными точками прямой. Будем поль-
пользоваться этим соответствием, чтобы решить более сложную
задачу об измерении отрезка О А, где А—любая точка
прямой L.
Зададим на положительном луче L+ прямой L произ-
произвольную точку А (рациональную или иррациональную).
Чтобы определить длину \ОА\ отрезка ОА, рассуждаем
следующим образом. Подберем целое неотрицательное
число а0, приближающее длину | ОА | с точностью до еди-
единицы с недостатком (снизу). Это значит, что точка ad
луча L+ либо совпадает с А, либо находится левее А,
однако точка аа-|-1 находится на L+ правее А.
Отрезок [а0, ао + 1], соединяющий точки а0 и ао-\-\,
обозначим через ao = [ao, ao+l]. Он обладает следую-
следующими свойствами:
а) точка А принадлежит о0 (A g <x0), но не является
правым концом с0:

§ 10.5. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ 185
б) длина <т0 равна единице: |сто| = 1.
Приблизим теперь длину | О А \ снизу с точностью до
одной десятой. Это значит, что мы подбираем цифру се*
(т. е. одно из чисел 0/1, ..., 9) так, чтобы точка
«oi ai луча L+ либо совпала с А, либо была левее А,
но при этом чтобы точка а0, «j + IO была правее А.
Введем отрезок
ffi = [a0, a*; a0, at+lO],
который, очевидно, обладает следующими свойствами:
а) точка А принадлежит ait но не является правым
КОНЦОМ Oil
б) длина ах равна |о1| = 10~1.
Приближаем далее длину | О А \ снизу с точностью до
одной сотой, т. е. находим цифру а% такую, что отрезок
о2 = [а0, а^; а0, о^сц-f-lO-2] будет содержать в себе А,
правый его конец не совпадает с А. Длина |аа|=10~2.
Очевидно, о2 принадлежит а^ Этот процесс продолжим
неограниченно. В результате получим последовательность
чисел
a0, a^aa ...ak (й= 1, 2,...),
где а0—неотрицательное целое число, а а, (/ = 1, 2, ..., k)
—цифры. При этом для любого натурального к Отрезок
0fc = [ad, «1 ... ak; a0, a* ... ak+ 10"*]
содержит в себе точку А, правый его конец не совпадает
с А, длина |<7й[ = 10~* (k—l, 2, ...), и Qk принадлежит
Итак, точка А принадлежит всем отрезкам afe (fe^=0,
1, 2, ...) и длины их при неограниченном возрастании
k, очевидно, стремятся к нулю: |ай|^*0, fe—coo.
Определим теперь число а при помощи десятичного
разложения
а = а0, а&гЫз ....
где a0, ait а2, ...—найденные выше числа. Число а удов-
удовлетворяет неравенствам
a0, at ... aft<a<a0, at ... ak+ 10"ft (9)
при любом k — 0, 1, 2, ..., а точка А при любом ука-
указанном k лежит на L+ между точками ал а^ ... ak и
а0, а^ ... aft+10~ft. Это показывает, что именно число
а есть длина \0А\ отрезка ОА: а=-\ОА\.
Итак, каждой точке А луча L+ при помощи рассмот-
рассмотренного процесса A) приводится в соответствие положи-

186 гл. ю. действительное число
тельное число а = | О А |. При этом, если какая-либо другая
точка В луча L+ находится правее А, то ей соответст-
соответствует большое число (Ь > а). Число а называется координа-
координатой точки А на прямой L.
Надо учесть, что раз точка А находится на L+, т. е. лежит
на L правее точки О, то в процессе (9) при достаточно большом п
окажется, что а0, ai ... а„ > 0, откуда а > 0.
Далее, если точка В лежит на L+ правее точки А, то при до-
достаточно большом п окажется, что a0, ai .., ап4-Ю~«< E0,
Pi ... Р„, откуда а< й = Р0. Р1Р2 ...
Поставим обратную задачу. Задано положительное
число
а = а0, а^... *)
Спрашивается, существует ли на L+ точка А такая, что
а = |ОЛ|? На основании сказанного этот вопрос можно
выразить еще так: существует ли на L+ точка А, одно-
одновременно принадлежащая всем отрезкам
ok = [a0, ax ... ak; a0, а? . .. aft+10~*]
(fe = 0, 1, 2, ...)? A0)
Решение этого вопроса относится к геометрии. Геомет-
Геометрия решает его положительно, т. е. она утверждает, что
существует на L+ единственная точка А, принадлежащая
всем ak (k = 0, I, 2, ...).
Это утверждение обычно предлагается в виде одной
из аксиом геометрии (принципа вложенных отрезков, см.
10.6), либо оно есть следствие других исходных аксиом.
Заметим, что если
есть рациональное положительное число, то ему соответствует на
L+ рациональная точка p/q. Эта точка принадлежит всем отрез-
отрезкам 0? луча L+ (см. (9)). Ее как раз мы и получили, применяя
рассмотренный выше процесс. Ведь существует только одна точка,
принадлежащая всем о^.
Точке О приписывается в качестве ее координаты
число 0, а произвольной точке Л' отрицательного луча L_
приписываем число —а, где а —координата точки Л,
симметричной Л' относительно О.
*) Мы считаем, что это десятичное разложение не имеет перио-
периода 9.

§ 10.7. ОЦЕНКИ.ПРИБЛИЖЕНИЙ 187
На основании сказанного между действительными чис-
числами и точками прямой L имеет место взаимно однозначное
соответствие. При этом рациональные числа ± — пере-
переходят б рациональные точки ± — и обратно. Далее,
если точка В находится на L правее точки А, то соот-
соответствующие им числа Ь и а находятся в соотношении
а < Ь, и обратно.
§ 10.6. Принцип вложенных отрезков
Пусть по некоторому закону задана последовательность
отрезков аа, а^, а2, ..., лежащих на прямой L и обла-
обладающих свойствами:
а) отрезки ak влооюены; это значит, что при любом п
отрезок an+i принадлежит к ап (оп+1 с о„, п = 1, 2, .. .);
б) при неограниченном возрастании п длина \ ап \ стре-
стремится к нулю (| ап | —<¦ 0, п —> оо).
Тогда на L существует, и притом единственная,
точка А, принадлежащая всем отрезкам ап (п = 0, 1, 2, ...).
Отрезки а„, о которых шла речь в § 10.5, как раз
являются вложенными, и для них |о„| = Ю~п —»• 0, п —»¦ оо.
Принцип вложенных отрезков утверждает"существование
точки А, принадлежащей всем оп, и ее единственность.
§ 10.7. Арифметические действия,
Оценки приближений
Зададим два положительных числа
определенных конечными или бесконечными десятичными
дробями.
Читатель хорошо знает, как складываются конечные
десятичные дроби. Он легко догадается, как это сделать
в случае сложения конечной десятичной дроби и беско-
бесконечной. Если же оба слагаемых имеют бесконечные деся-
десятичные разложения, то возникают затруднения. Эти за-
затруднения можно преодолеть — можно указать правило
сложения дробей с бесконечными хвостами. Впрочем, это
правило носит чисто теоретический характер—оно прак-
практически неосуществимо до конца, потому что представляет
собой некоторый бесконечный процесс.

188 ГЛ. 10. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
На практике приходится числа а и Ъ заменять их при-
приближениями
ах а, ЬтаЪ,
обычно конечными десятичными дробями а, Ъ. Сумму а-\-Ь
считают приближением теоретической суммы а'-\-Ь:
a-\-b fa a-\-b.
Но тогда возникает вопрос об оценке погрешности при-
приближения. Однако и для теории, и для практики важно
отдать себе отчет в том, что сумма произвольных действи-
действительных чисел а и Ъ может быть определена пусть теоре-
теоретически, но точно. Тогда только имеет смысл говорить
о приближении какого-либо числа, в данном случае числа
а-\-Ь, когда мы уверены в том, что оно существует,
Сказанное можно распространить и на разность, и про-
произведение, и частное чисел.
Ниже мы, даем представление о том, как можно чисто
теоретически определить арифметические действия над
числами. Однако эти соображения полезны и для прак-
практики вычислений, потому что они показывают, как соот-
соответствующие действия надо производить приближенно и
какие в этих случаях возникают оценки погрешности.
Положим
аЫ) = а„, at . .. а„,
ЬШ=К Pi ...Р„ (л = 0, 1, 2, ...)•
При неограниченном возрастании п числа ain) стре-
стремятся к а, не убывая:
A1)
а числа аш-\-10~п—не возрастая:
о*" + ю-1 > а<*> + 10-* > ... > а. A2)
Сумма а + Ь определяется как число, для которого
удовлетворяются неравенства
а(л) + Ь(п1<а + Ь<(а(и) + 10-»Н-(Ь('1)+10-и) A3)
для всех п=1, 2, ... или, выражаясь геометрическим
языком, а-[-Ь есть число, которому на числовой прямой
соответствует точка, принадлежащая всем отрезкам
о« == [аш + Ьш, ain) + b{n) + 2• 10-»].

§ 10.7. ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЙ 189
Такая точка есть, и притом единственная, потому что
левые концы <г„ не убывают, правые же не возрастают
и, следовательно, отрезки ап вложены (ог => о2 р ...).
Кроме того, |о„| = 2-10~п—>0 (п —* оо).
На самом деле, если бы надо было сложить а и 6
практически, мы бы сложили аш и Ьш при достаточно
больших п и считали бы, что число a(n) + bln) есть при-
приближение а+Ь. Погрешность ц„, которую мы при этом
допускаем, не превышает 2-10"":
|in<2-10-n.
Подобным образом разность а—b (а > Ь) определяется
как число, удовлетворяющее неравенствам
а(»)_(Ь(п)_|_10-") <а—Ь<{аш +10-")—Ь{п). A4)
Этому числу соответствует точка на числовой прямой,
принадлежащая всем отрезкам
ап = \аш — {Ьш + 10""), аЫ) + Ю""—?п)]
(п = \, 2, 3, ...)•
Такая точка существует, и единственная, потому что
|ап| = 2-10-п -+ 0, п-^оо, а отрезки о„ вкладываются.
Надо учесть, что a<n) не убывает, а Ь(п'4-10~п не Еозра-
стает, следовательно, аш — (Ь(п)+ 10"") не убывает. Далее,
a(n)+10-n не возрастает, а bin) не убывает, откуда
а(в)+10~"—Ь(п) не возрастает.
Если взять в качестве приближения а—b число
а(»)—{,(и), то погрешность не превысит 2-10~", потому
чю точка о(и)—Ь{п) принадлежит оп.
Естественно далее определить произведение ab как
число, удовлетворяющее неравенствам
a(B)fc(n> <ab < (а(и) + 10"") (bw + \0~п) A5)
для всех п=1,2,3,... или как число, которому соот-
соответствует точка на числовой прямой, принадлежащая всем
отрезкам
.(/1=1,2,...).
Это определение корректно, потому что отрезки о„ вло-
вложены и
< (ao+ 1) 10-»+ (Ро+ 1) 10-»+ 10-*» -^ 0, я— оо.

190 гл. ю. действительное число
В данном случае оценка приближения зависит не только
от п, но и от а, и р0.
Наконец, частное -Ц- (а > 0, b > 0) определяется как
число, удовлетворяющее неравенствам
Это определение тоже корректно, потому что отрезки
_ Г а'"» а<- Ю-""!
вложены и
1 oSn^ oSn^\Q'
A7)
Число / есть наименьшее целое неотрицательное, для ко-
которого рг > 0. Таким образом, либо ро > 0, либо Р* = 0
(А = 0, 1, .... 1 — 1) и р,>0.
Мы видим, что в качестве приближения -г можно взять
число тт^, принадлежащее, очевидно, к ап, с оценкой
приближения, указанной в A7). Но на практике '^ (так-
же как ab) приближаются выражениями -у—^ , (ашЬ(т)),
где /г и /га определяются структурой a, b.
На арифметических действиях с числами любого знака
мы специально не останавливаемся. Как читатель знает,
они сводятся к надлежащим действиям над положитель-
положительными числами. Например, чтобы сложить два числа а и Ъ
разных знаков, где |aj^|b|, надо положить а-\-Ь =
= zf (|а\ — |Ь\), где выбирается знак, одинаковый со
знаком а.
§ 10.8. Свойства действительных чисел
Перечислим свойства действительных чисел, которые могут
быть обоснованы методами, применявшимися выше, Эти свойства
разделены на 5 групп (I —VJ.

§ 10.8. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 191
К группам I, II, Ш относятся обычные элементарные свойства,
с которыми нам всегда приходится иметь дело при вычислениях
и при сравнении чисел.
Группа IV состоит из одного свойства (архимедова).
Группа V тоже состоит из одного свойства (непрерывности
множества действительных чисел).
Мы привыкли к тому, _что рациональные числа удовлетворяют
свойствам I, II, III, IV. Сейчас утверждается, что свойствам I —IV
удовлетворяют не только рациональные числа, но и вообще все
действительные числа.
Что касается свойства V, то множество одних только рацио-
рациональных чисел ему не удовлетворяет—оно недостаточно полно.
I. Свойства порядка
11. Для каждой пары действительных чисел а и b имеет место
одно и только одно соотношение:
а = Ь, а> Ь, а < Ь.
12. Из а < Ь и Ь < с следует а < с.
13. Если а < Ь, то найдется такое рациональное число с, что
а < с < Ь.
II. Свойства действий сложения и вычитания
III.
II,.
Н3.
П4. + ( )
IIS. Из о < Ъ следует, что а-{-с < Ь-\-с для любого с.
III. Свойства действий умножения и деления
IHi. ab = ba.
Ш2. (аЪ)с = а{Ьс).
Ш3. а-1=а.
Ш4. п'—=^Ь, афО.
Ш5. ( + ) +
Ш6. Из а < Ь, с > 0 следует ас < be.
IV. Архимедово свойство
Каково бы ни было число с > 0, существует натуральное п > с.
V. Свойство непрерывности множества дейст-
действительных чисел
Пусть задана последовательность вложенных отрезков (мно-
(множеств чисел х, для которых оп<х^6„)
о„=[а„, Ьп\ (п = 1, 2, ...),
т.е. таких, что on+iCos (n = l, 2, ...), с длинами, стремящи-
стремящимися к нулю:
Тогда существует, и притом единственное, число, принадле-
принадлежащее всем ап.
С геометрическим аналогом свойства V мы познакомились
в § 10.6. Там было сказано, что это свойство для натуральных
отрезков а„ на прямой в геометрии приходится постулировать.
Здесь под отрезками понимаются соответствующие множества чисел,
и в этом случае свойство проверяется (доказывается) на десятичных
разложениях чисел, так же как все остальные свойства I — IV. j

ГЛАВА П
ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
§ 11.1. Число С*
Произведение натуральных чисел от 1 до п называют
п-факториалом и обозначают так:
1-2-3. ..п = п!
В частности,
11 = 1.
По определению считают, что
01 = 1,
хотя сам по себе символ 0! не имеет никакого смысла.
Зададим натуральное число п, и пусть k есть одно
из чисел k = 0, 1, 2, ..., п. По определению
Ck . п\ __ п(п-\) ... (я-Н-1) -/ь_о I П)
^п— k\(n—k)\ ~ k\ (К~и> 1 п>-
A)
В частности,
СХ-дёг-1. C3 = i=l B)
(при fe = 0 вторым равенством в A) пользоваться нельзя),
Из первого равенства A) непосредственно следует
формула
С^СЧг" (ft = 0, 1, 2, .... n). C)
Справедлива также формула
cuckn+i
В самом деле,
nl
Г 1 1 1 я! k+l
[(n — k) "*" fe+l J Щя —ft—!)!(„_?)
k\(n-=k~^\)\ [(n — k) "*" fe+l J Щя —ft—!)!(„_?) F+1)

§11.2. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА ЮЗ
Вот примеры чисел Ск„\
n = 2i 1, 2, 1;
/1 = 3: 1, 3, 3, 1;
п = 4: 1, 4, 6, 4, 1; E)
п = 5; 1, 5, 10, 10, 5, 1;
Мы видим здесь закономерность. В каждом ряду E)
числа Сп расположены симметрично относительно середины
ряда—это следует из формулы C), а по краям стоят
единицы—это следует из B). В каждом ряду числа С*
возрастают до середины ряда, затем убывают (см. в конце
параграфа задачи 2, 4).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Написать числа С* для п = 6, 7, 8.
§ 11.2. Формула бинома Ньютона.
Метод индукции
Формула бинома Ньютона имеет вид
(п=1, 2, 3, ...). F)
Слагаемые суммы в правой части называются членами
разложения бинома Ньютона. Член а" называют нулевым
членом разлоэюения формулы Ньютона, дальше идут пер-
первый, второй и т. д. члены до n-го включительно (рав-
(равного л;"); fe-й член бинома Ньютона имеет вид
Скпа«-*х* (* = 0, 1, .... /г). G)
Формула G) в силу свойства B) годится и для fe = 0,
и k = n. Формулу F) можно записать еще так!
(а + х)п= 2 Скпап-Чь. F')
«!=0
Правая часть F') читается так: сумма слагаемых Скпап-кхк,
распространенная на целые k от 0 до п. Числа Скп назы-
называются биномиальными коэффициентами.
Докажем формулу F). При п=\ она верна: а-\-х =
При п = 2 тоже она верна:
7 С. М. Никольский

194 ГЛ. 11. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
Она также верна при п = 3:
(а + хK = а3 4 За»* + Зах2 + х*
(см. табл. E)).
Для доказательства формулы F) в общем виде (при
любом натуральном п) будет использован тот факт, что
она верна при п = 2. Будем рассуждать так. Допустим,
что формула F) верна при некотором натуральном п;
докажем, что она тогда необходимо верна и при п-\-1.
В самом деле,
(а-\- х)п+1 = (а-\- х) (а + х)п =
= a"+l + С\апк-f Qan-lx* + ...
4С°папх+ C\an-1xi4 • ¦ •
Мы нарочно во втором равенстве справа второй ряд
сдвинули так, чтобы в столбцах стояли подобные члены
с одинаковыми произведениями an~kxk+1. Сумма коэффи-
коэффициентов при них вычисляется по формуле D).
Замечание. Мы применили при выводе формулы F)
метод полной математической индукции. Этот метод
заключается в следующем. Пусть надо доказать некоторое
утверждение для любого натурального числа п. Напри-
Например, надо доказать формулу бинома Ньютона для произ-
произвольного натурального п. Допустим, что мы убедились,
что это утверждение верно при п=1, и, кроме того,
убедились в том, что утверждение верно при натуральном
п-\-1, если предположить, что оно верно для п. Тогда
надо считать наше утверждение доказанным для любого
натурального п.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Написать разложения по формуле бинома Ньютона
(а + х)\ (а + х)*,
2. Доказать, что
3. Сравнив дробь (8) с 1, доказать, что при п четном

§ 11-3. ПЕРЕСТАНОВКИ 195
и при п нечетном
1
4. Повторить вывод формул C), D), F). Запомнить
формулы A) и F) и уметь применять их для частных
значений п и ft. Повторить метод индукции.
§ 11.3. Перестановки
Два элемента (две вещи) xt и х% могут быть располо-
расположены (записаны) двумя способами:
*i, хг, (9)
х,, xv A0)
Будем говорить, что расположения (9) и A0) являются
различными перестановками из двух элементов (хг и xj.
Таким образом, из двух элементов можно составить две
(различные) перестановки.
Из трех элементов хи хг, х3 можно составить шесть
перестановок:
X\t Хг, Х3,
Х3, X.it Xi.
Других перестановок нет.
Рассмотрим теперь п элементов
Они расположены в порядке возрастания номеров и
этим образуют определенную перестановку. При другом
расположении, например, когда номера убывают:
они образуют уже другую перестановку.
Перестановка из п элементов—это определенное рас-
расположение их (в ряд). Таким образом, различные пере-
етановки из п элементов соответствуют различным
расположениям (в ряд) п элементов. Количество возмож-
возможных перестановок из п элементов обозначают символом Рп\
перестановка по-французски —permutation.

19G ГЛ. 11. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
Покажем, что
Я„= 1.2-3 ... п = п\ A1)
В самом деле, при л=1 формула A1) очевидна: из
одного элемента можно составить только одну переста-
перестановку. Теперь, рассуждая по индукции, допустим, что
формула A1) верна для Рп; докажем ее верность для Р„+1.
Чтобы получить всевозможные перестановки из элементов
хи хг, ..., xn+i, поставим на первое место элемент х;-,
а за ним остальные п элементов, расположенных любым
образом. Количество таких расположений (перестановок
из п элементов) равно Р п = п\ Так как количество эле-
элементов Xj (j = 1,2, .. ., n-f 1) равиои-[-1, то количество
всех перестановок из /г +1 элементов равно, очевидно,
Рп+1 = (п+\)п\={П+1)\
Этим формула A1) доказана для любого натурального п.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выписать все перестановки из элементов аи аг,а3, а4.
2. Сколькими .способами можно рассадить 10 человек
на 10 стульях?
§ 11.4. Размещения
Пусть п и k—натуральные числа и k^.n. Размеще-
Размещением из данных п элементов по k называется какая-либо
группа из k элементов, взятых из данных п элементов,
определенным образом расположенная (в ряд).
Например, пусть дано три (п = 3) элемента хи xit x3.
Ниже переписаны возможные размещения данных трех
элементов по два:
xa,
Хи
X3,
Других размещений нет. Мы видим, что два размещения
отличаются либо хотя бы. одним элементом, либо располо-
расположением входящих в них элементов.

§ 11.5. СОЧЕТАНИЯ 197
Количество возможных размещений из данных л эле-
элементов по k (k^.n) обозначается символом Akn: разме-
размещение по-французски—arrangement.
Справедлива формула
Л* = я(л —1) ... (n-ft+1). A2)
В самом деле, при k = 1 она очевидна:
Рассуждая по индукции, будем считать, что фор-
формула A2) для k верна. Докажем, что она верна для fe+ 1.
Произвольное размещение из данных п элементов по
ft-f-1 может быть получено следующим образом. На пер-
первом месте размещения ставим элемент Xj, а за ним распо-
располагаем всевозможные размещения из оставшихся п — 1
элементов хи ..., Xj_it xJ+u .... хп по fc количество их
равно Ап-ъ
Итак, количество возможных размещений из данных л
элементов по /г+1, имеющих на первом месте элемент х;,
равно- An-i- Но так как / может принимать значения
j = l, 2, ..., п, то количество всех размещений из дан-
данных п элементов по /г + 1 равно
ЛЛ+1 = лЛ!и = л(л —1)(п-2) ... ((л —1)-Л+1) =
= п(л —1) ... (л—(й-т-1) + 1).
Этим формула A2) доказана для любого fe^l.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выпишите все размещения из элементов хи x.i? x3,
х,, по 2.
2. Сколькими возможными способами можно присудить
семи лицам три премии разного значения (первую, вто-
вторую и третью)?
3. Сколькими возможными способами можно распре-
распределить между шестью лицами две разные путевки в са-
санаторий?
§ 11.5. Сочетания
Сочетанием из данных п элементов по k называется
какая-либо группа, состоящая из k этих элементов

198 ГЛ. 11. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
Например, из трех элементов хи хг, ха можно соста-
составить следующие сочетания по два;
1> Л3|
Хг, Х3.
Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по
два нет. Вот еще сочетания по гри из четырех элементов
Л1, А^, ЛЗ, Aj,
%2, лз, Ад,
¦*lf Х$, Л^,
Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с рас-
расположением (порядком) элементов. Если в данном соче-
сочетании переставить каким-либо образом его элементы, то
оно (как сочетание) не изменится.
Количество сочетаний из п элементов по k (fe^n)
обозначается символом С*: сочетание по-французски —
combinaison.
Справедлива формула
р/г— Ап _ П(П~[) ... (П — fe+l) _ П\ (<~\
п~ Pk ~~ k\ ~~k\(n — k)\' \ '
В самом деле, в каждом сочетании из п элементов
по k можно произвести всевозможные перестановки. Коли-
Количество их равно Pk = k\, а количество всех сочетаний
равно Сп- Очевидно,
потому что перебирая все сочетания и сделав в каждом
из них Pk перестановок, получим всевозможные разме-
размещения из п элементов по k. Этим формула A3) доказана.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выпишите все сочетания из элементов х±, хг, х3,
xt, x5 по два.
2. Сколькими возможными способами можно присудить
семи лицам одинаковые премии?
3. Сколькими возможными способами можно распре-
распределить между шестью лицами две одинаковые путевки
в санаторий?

§ 11.7. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 199
§ 11.6. Связь с биномиальными коэффициентами.
Другой вывод формулы бинома Ньютона
Числа Ckn мы назвали в п. 11.2 биномиальными коэф-
коэффициентами, потому что они входят в разложение бинома
Ньютона
(а+х)"= 2 Qa"-"xft A4)
ft=0
как коэффициенты при a"~kxk.
Конечно, формулу A4) можно вывести комбинаторным
путем. Для этого представим ее левую часть в следую-
следующем виде:
хп), A5)
где отдельным х, входящим в произведение, приписан
отдельный номер, несмотря на то что все они равны
= хп = х-
1
п
Раскроем в A5) скобки
n) =
l + x.i+ ...+*„) +
1xa+ ...+xn_,xn) +
... хп. A6)
Заменив все хт на х, получим
(а + х)п = а" + C\an-lx + С1ап~2х* + ... + Сппхп,
т. е. формулу A4).
В самом деле, количество слагаемых в первых скобках
(правой части A6)) равно п (каждое слагаемое равно х).
Слагаемые во вторых скобках суть всевозможные сочета-
сочетания из п элементов хи ..., хп по два, количество их
равно Сп (каждое из них равно х2). Слагаемые в третьих
скобках суть всевозможные сочетания из указанных п эле-
элементов по три (каждое из них равно х3) и т. д.
§ 11.7. Вероятность события
Приведем примеры, на которых мы выясним понятие
вероятности.
Пример 1. Из ящика, где было 2 черных и 5 бе-
белых шаров, вынут наугад один шар. Ниже мы вводим
число, которое называется вероятностью того, что вынут
черный шар.

2C0 ГЛ. 11. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
Для удобства рассуждения представим себе, что шары
в ящике перенумерованы. Возможны 7 различных случаев:
мы могли вынуть первый шар, либо второй, либо третий
и т. д., либо, наконец, седьмой шар. Все эти случаи
равновозможны, и один из них должен произойти. Поэтому
говорят, что они равновозможны и единственно возможны.
С другой стороны, только 2 из 7 указанных (равно-
возможных и единственно возможных) случаев благопри-
благоприятствуют событию, заключающемуся в том, что вынут
черный шар. Отношение 2 к 7 и называется вероятностью
указанного события.
Таким образом, вероятность того, что при указанных
2
обстоятельствах вынут черный шар, равна P = -j.
Пример 2. Из ящика, где было 3 черных и 5 белых
шаров, вынуто наугад два шара. Какова вероятность, что
оба шара черные?
Решение. Снова для удобства будем считать, что
шары в ящике перенумерованы. Количество всевозможных
способов выемки из ящика двух шаров равно числу соче-
сочетаний из 8 элементов по 2:
Указанные способы равновозможны и единственно воз-
возможны.
3*2
Только т = С\ = уто = 3 из указанных способов благо-
приятствуют событию, заключающемуся в том, что вынуты
на самом деле два черных шара. Например, если считать,
что черные шары имеют номера 1, 2, 3, то это способы,
соответствующие сочетаниям A,2), A,3), B,3).
Число Р = — = щ и называется вероятностью того, что
ft АО
при указанных обстоятельствах вынуто 2 черных шара.
Пример 3. В первом ряду театра сидят 3 женщины
и 27 мужчин. Какова вероятность, что все три женщины
сидят рядом?
Решение. Возможны п = 30! различных расположе-
расположений (перестановок) указанных лиц в ряду. Эти переста-
перестановки будем считать равновозможными. С другой стороны,
3 женщины могут занимать места с номерами 1, 2, 3 либо
с номерами 2, 3, 4 и ъ д., либо, наконец, с номерами
28, 29, 30. Всего таких случаев 28. Но в каждом из этих
случаев возможны 3! перестановок, характеризующих

§ 11.7. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 201
расположение женщин по отношению друг к другу.
Каждой такой перестановке соответствует 27! перестано-
перестановок мужчин на занимаемых ими местах. Следовательно,
количество перестановок (из 30 лиц!), благоприятных для
события, заключающегося в том, что 3 женщины сидят
рядом, равно
т = 28-3!27! = 3!28!
Отсюда следует, что вероятность указанного события
И ~~ ~п 30! 29-30 ~ 145 "
Замечание. С точки зрения теории вероятностей
в данном примере рассмотрено случайное событие А, за-
заключающееся в том, что в первом ряду театра все три
женщины оказались сидящими вместе. Это событие может
произойти и не произойти в различных возможных случаях,
которые предположены равновозможными и единственно
возможными. В данном примере отдельным возможным слу-
случаем является перестановка из 30 лиц. Количество таких
равновозможных случаев равно п. Некоторые из этих
случаев, как говорят, благоприятны событию А: если
произойдет один из них, то будет иметь место событие А.
Пусть пг — количество таких случаев.
В данном примере случаями, благоприятными собы-
событию А, являются те перестановки (расположения) из 30
указанных лиц, при которых все три женщины сидят
вместе.
По определению вероятностью Р события А называется
число
P — HL
г п '
где п—количество единственно возможных, равновозмож-
равновозможных случаев, а т—количество этих случаев, благоприят-
благоприятствующих событию А.
Пример 4. Из урны, где находятся 10 белых и
10 черных шаров, вынимают наугад 3 шара. Какая веро-
вероятность того, что будет вынуто а) 3 белых шара? б) 1 бе-
белый и 2 черных шара?
Решен ие,- Равновозможными случаями здесь будут
сочетания из 20 шаров по 3. Количество их равно
гз 20.19-18

202 ГЛ. И. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА. КОМБИНАТОРИКА
Среди этих сочетаний благоприятных событию а) будет
т — Г* 10^9-8
откуда
р_т _ 10-9-8 _ 2
п 20-19-18 19*
Благоприятных же событию б) сочетаний будет
т=10-С2 =10- — -
откуда
р_ т __ 450-6 15
^~ и "0.19.18"8*
УПРАЖНЕНИЯ
1. Чему равна вероятность того, что случайная пере-
перестановка из цифр 0, 1, 2, 3 образует четырехзначное
число (т. е. не начинается с цифры 0)?
2. В группе 32 ученика. Двое из них выбраны совсем
случайно и посажены на первую скамью. Какова вероят-
вероятность того, что оба они значатся в списке группы среди
первых десяти учеников?
3. Положение плоскости в пространстве определяется
тремя точками, не лежащими на одной прямой. Сколько
различных плоскостей можно провести через каждые три
точки, принадлежащие к заданной системе из 1) 4 точек,
2) 7 точек, 3) 10 точек, если никакие три точки не лежат
на одной прямой и никакие 4 точки не лежат на одной
плоскости?
4. Запомните определения перестановок, размещений
и сочетаний и формулы их количеств.
Усвоить понятие вероятности события на приведенных
примерах.

ГЛАВА 12
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 12.1. Понятие комплексного числа
Рассмотрим уравнение
Применив к нему известное правило нахождения корней
квадратного уравнения, получим формально выражения
xltl=*\±V"=3,- B)
которые еще записывают следующим образом)
xitt = \±Vi (i = K=T). B')
Но мы не получили действительного решения, ведь V — 3
не есть действительное число. Не существует действи-
действительного числа, квадрат которого равен —3. Однако
выражения вида B) оказались полезными в математике,
хотя они и не являются действительными числами. Их
называют комплексными числами.
По определению комплексным числом называется выра-
выражение
а-гМ, C)
где а и Ь—действительные числа, a i—специальный знак,
при этом надо учесть следующие соглашения:
1) i* = -\, D)
2) а+0? = а, E)
3) O + bi = bi, F)
4) равенство a+bi = c + di, где а, Ь, с, й—действи-
й—действительные числа, имеет место тогда и только тогда, когда
а = с и Ъ = й,
5) с выражениями C) можно производить арифмети-
арифметические операции по правилам, которые приняты для бук-
буквенных выражений в алгебре.

204 ГЛ. 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Число 0 + Ы = Ы называется мнимым или чисто
мнимым.
Из сказанного следует, что любое действительное
число а есть частный случай комплексного числа. Ведь на
основании 2) его можно записать в виде a = a + 0i. В част-
частности, 0 = 0-(-0t, но тогда, если а-{-Ы = 0, то а-\-Ы =
= 0 + 0t, следовательно,
a = 6 = 0.
Таким образом, комплексное число а^Ы равно нулю
тогда и только тогда, когда а = 0 и Ь = 0.
Из соглашения 5) следует, что при арифметических
действиях над комплексными числами законно делать
следующие преобразования:
{а + Ы) (с + di) = ac+ bci + adi—bd = (ас—bd) + (be + ad)i,
Ы __ (a+bi)(c—di) _ ac+bd cb—ad . , n
dF~(c + di)(c-di)- ca + d2 +J2 + d2 '• c + al^=u-
Мы видим, что сумма, разность, произведение и частное
(где делитель не равен нулю) комплексных чисел есть,
в свою очередь, комплексное число.
Пример.
1 — i I — ia 2 ~~l-
Заметим еще, что из D) следует:]
j» = W = _f, f* = /¦/• = 1.
t* = iH = i, t« = i4t2 = — 1, ...
Комплексные числа нередко обозначают одной буквой.
Пишут
и говорят: задано комплексное число г.
Число а называют действительной частью г и обозна-
обозначают так:
Re г = а,
число же b называют мнимой чавтью г и обозначают так:

S 12.2. УРАВНЕНИЕ х'=о 205
reel — по французски реальный, действительный, imagi-
naire—мнимый, воображаемый.
Как видите, надо различать термины мнимая часть
комплексного числа и мнимое число. Мнимая часть комп-
комплексного числа а-\-Ы есть действительное число Ь.
По определению, если z = a-{-bi есть комплексное число
(а, Ь—действительные), то а — Ы называют ему сопря-
сопряженным числом и пишут z=a—Ы.
Конечно, если 6 = 0, т. е. если на самом деле г есть
действительное число, то г —г.
Числа z и г взаимно сопряжены друг с другом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Привести к виду а-\-Ы, где а и b—действительные,
следующие комплексные числа:
!) т> 2) ~=Т ' 3) 7+7 • 4) ТЛ'
5) p_2i» + i-l, 6)-^ + -^,
7) 1' + 1и + 12-Их-И* + 1'80.
2. Убедиться в том, что
а) числа у ±1~2~ i удовлетворяют уравнению х* + х +
-\-\ =0; б) числа 1 ± i удовлетворяют уравнению хг — 2х+
+2 = 0.
3. Вычислить выражения
4. Показать, что u-\-v=u-{-v, u—v — u—v, где миv —
произвольные комплексные числа.
§ 12.2. Уравнение Х2 = с
Поставим задачу. Задано уравнение
ха = с, G)
где с—действительное число. Требуется решить его в комп-
комплексных числах, т.е. найти все комплексные x = a-\-f>i,
которые удовлетворяют уравнению G).
Будем рассуждать, как обычно. Допустим, что сущест-
существует комплексное число х = а + рл (а и р1— действитель-
действительные), удовлетворяющее уравнению G). Подставим его в
G) и будем делать законные для комплексных чисел

J2O6 ГЛ. 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
преобразования:
a8—pa
Так как с—действительное число, то
а2—Р2 = с, 2ар = 0. (8)
Из второго равенства в (8) следует, что по крайней мере
одно из чисел а, р равно нулю.
Пусть с = О, тогда а2—р2 = О. и а* = Р2 = 0, т. е. а=Р=0.
Пусть с>0. Так как из второго уравнения B) сле-
следует, что одно из чисел а, Р равно нулю, то из первого
следует, что Р = О, и мы получим уравнение аа = с, где
надо искать действительные числа а. Это уравнение имеет
два решения (корня):
a—±V~c,
где V с—арифметическое значение квадратного корня из с.
Мы получили x—±V с.
Если теперь с<0, то придется заключить, что а=0,
a P=j?O, и тогда —Р2 = с или Р2 =— с>0, откуда
и, следовательно, х— ±V—ci.
Мы решили поставленную задачу! если с > 0, то урав-
уравнение G) имеет два действительных решения ± V с и
комплексных решений не имеет, если же с < 0, то урав-
уравнение G) имеет два чисто мнимых решения ± V—с i,
а действительных решений не имеет; при с = 0 имеется
только одно решение: х = 0.
Замечание. Любое комплексное число х, удовлет-
удовлетворяющее уравнению G), называют корнем квадратным
из числа с и обозначают символом V с. Мы доказали, что
(О при с=0,
±V"c при с> О,
±У — ci при с < О,
где справа знак V понимается в смысле арифметического
значения.

$ 12.3. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 207
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить в комплексных числах уравнения^
1) ха=1, 2) ха = -1, 3) ха = 9, 4) ж» = —9,
5) ха=10, 6) г8 = —10.
§ 12.3. Применение комплексных чисел
в квадратных уравнениях
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде
0, (9)
где р и q—заданные действительные числа.
Будем искать комплексные решения этого уравнения.
Пусть комплексное число х = а + Ы является решением
(или корнем) уравнения (9).
Имеем
у= у -^
где справа стоит любое комплексное число, квадрат кото-
которого равен ——q.
Отсюда (см. замечание в конце п. 12.2)
(Ю)
Мы получили формулы решения квадратного уравнения.
Итак, квадратное уравнение (9) в случае, когда S.
— q > 0, имеет два действительных решения, а в случае,
когда-^—q < 0,— два комплексных решения. В случае
же 4—д = 0 оно имеет одно решение, равное —р/2, но
считают, что и в этом случае решений два, но они совпа-
совпадают и называют решение (корень) уравнения (9) кратным.
Пусть хх и х2 — корни квадратного уравнения (9).
Покажем, что для любого действительного х
. A1)

208 ГЛ. 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Это тождество, т. е. равенство, верное для всех х в слу-
случае, когда хх и х.ь—действительные корни, читатель, надо
полагать, знает. Его называют равенством (или теоремой)
Виета. Повторим его доказательство]
(х— xJix—хг)=
Докажем теперь A1), когда х± и xt комплексные. В этом
случае
Поэтому
[Х — Х1){Х — Х^ =
-('+*- /^
Мы доказали тождество A1), где р и g — произволь-
произвольные действительные числа, а хх и лсг — корни уравнения A).
Интересно, что равенство A1) может быть обобщено
на многочлены любой степени: всякий многочлен
степени п может быть представлен в виде произведения
Р„ {х) = {x—xj {х—х.г)... {х—х„),
где хи х2, ..., хп — числа, вообще говоря, комплексные —
корни многочлена (Рп(х/) = 0; / = 1, ..., п). Если коэф-
коэффициенты а, действительные, то комплексные корни xt обя-
обязательно попарно сопряжены.
УПРАЖНЕНИЯ
\. Решить в комплексных числах квадратные уравнения;
1) х* + *+1 = 0, 2) х1 + Зж + ^ = 0,
3) **—5х+6 = 0, 4) х%— 2*+5 = 0.

S 12.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ 209
§ 12.4. Геометрическое изображение
комплексных чисел
Зададим в плоскости прямоугольную систему коорди-
координат (х, у). Комплексное число z = x+yi удобно изображать
на плоскости точкой, с координатами (х, у). Эту точку
называют точкой г.
Мы видим, что имеет место взаимно однозначное соот-
соответствие между точками плоскости и комплексными числами,
т. е. каждому комплексному числу со- у
ответствует (указанным путем) точка
плоскости; двум разным комплексным
числам соответствуют разные точки, и
каждая точка соответствует (указанным
путем) некоторому комплексному числу. -дС '——
В силу этого соответствия коорди-
координатную плоскость называют еще ком- Рис'
плексной плоскостью.
На рис. Г20 отмечена точка z = x+ty. Введем вектор
с началом в нулевой точке О и концом в А. Длина его
называется модулем комплексного числа г. Угол ср, обра-
образуемый вектором ОА с положительной полуосью х (отсчи-
(отсчитываемый против часовой стрелки), называется аргумен-
аргументом числа г.
Таким образом, каждое комплексное число z имеет
свой модуль, который записывают таю
Р = М,
и аргумент ср, записываемый так:
tp = Arg2.
Но аргумент определяется неоднозначно. Если ср есть
аргумент z, то ср + 2/гя, где ft = 0, ±1, ±2, ... есть тоже
аргумент г. Чтобы внести четкость в этот вопрос, можно
искать аргумент 2, удовлетворяющий неравенству 0^лр<2л.
Его обозначают arg2 и называют главным значением аргу-
аргумента г или аргументом г в приведенном виде; argz одно-
однозначно определяется числом г.
Любое значение аргумента г обозначается через Argz.
Оно определяется по формуле
где k—одно из чисел fe = 0, ±1, ±2, ±3, ...

210
ГЛ. 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Очевидно,
x = pcoscp, y = psin«p,
г = х+ iy = р (cod ф + i sin ф).
A2)
В связи с равенством A2) говорят, что комплексное
число записано в тригонометрической форме.
§ 12.5. Показательная форма комплексного числа
Выражение в скобках в формуле A2) § 12.4 обозна-
обозначают следующим образом:
е»ф =«^ + isin<p,
и тогда его можно записать в более компактной форме
2 = ре'*, A3)
называемой показательной формой комплексного числа.
Отметим важные сьойства
величины е'*:
1 е'ч> | == | cos ф + i sin ф | =
= Kcos:
s2
sina ф = 1
X
при любом ф.
Это показывает, что точка
z = ei(f комплексной плоскости
находится на окружности ра-
радиуса 1 с центром в нулевой
точке.
На рис. 121 единичная ок-
окружность разделена на 12 час-
частей. При этом точка, соответствующая ф = 0, входит
в число точек деления. Ниже приведена таблица комп-
комплексных чисел, соответствующих этим точкам.
Рис. 121
ф
0
1
я/6
Гз . 1 ,
2 ' 2
л/3
1 ,/S
2 ' 2
я/2
i
...
Если ф непрерывно возрастает от 0 до 2л, то комп-
комплексная точка е'ч* непрерывно описывает нашу окружность,

§ 12.6. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА 2tl
а при дальнейшем возрастании ф точка будет продолжать
движение по окружности. Имеем
e'viffv, = (cos ф, -f i sin фх) (cos ф4 -f /sin фг) =
= (COS ф^СОЭфа—Sin ф! Sin фа) + ? (COS (fl Sin ф^ + Э'Шфх COS фг) =
= cos (ф! + ф2) + (sin ((,
для любых ф.
Мы доказали формулу
верную для любых ф4 и фа. Но тогда
Поэтому
для любых ф! и фа.
Зададим теперь два комплексных числа, которые
записаны в форме
гг = рлв'ф' (pi,
Произведение их равно
Так как PiP2^0, то мы получили тригонометрическое
представление числа z^; при этом
Arg (ZiZj = фх + ф4 + 2/гл = Arg z* + Arg z2 + 2/гя,
где /г—одно из чисел /г = 0, ±1, ±2, ...
Утверждается, что сумма ArgZi + Argz2 отличается от
Arg (Zi + za) на величину вида 2kn, где k — некоторое целое
число.
Подобным образом
Поэтому
Z-i р2 | Zi I
Arg/ — ) — Фх—ф2 = А^г!—ArgZj-
где ft—одно из чисел k—0, drl, ±2, ...

212
ГЛ. 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Мы доказали: модуль произведения комплексных чисел
равен произведению модулей сомножителей, а аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей плюс,
быть может, число, равное 21гп, где k—одно из чисел k = 0,
±1, ±2, ...
Мы доказали тлкже: модуль частного комплексных
чисел г1 и z2 равен частному модулей этих чисел, а аргу-
мент частного равен с точно-
стьюдо 2&rc(fe=0,±l, ±2, ...)
разности аргументов 2Х и гг
0)
Сумма комплексных чисел
Zi = *i + yj И 22 = Хг + yj
равна
а
Рис. 122
Из рис. 122 видно, что
радиус-вектор точки Zi + z2
представляет собой диагональ параллелограмма, построен-
построенного на радиус-векторах точек гх и гг. Длина диагонали
равна IZi + zJ, а длины его сторон равны |Zj| и |гг|, но
тогда
т. е. модуль суммы комплексных чисел не превышает суммы
их модулей.
Отсюда, как следствие, вытекает, что модуль разности
Zj и z2 не меньше разности модулей zx и г2:
Пример 1. Привести комплексное число
к тригонометрической форме.
Решение. Находим
Следовательно,
z = :
При этом среди углов а, удовлетворяющих неравенствам
02я, существует, и притом единственный, такой,

=5f4+4-0==5 (cos a
§ 12.5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА 213
ЧТО
K3/2 = cosa, 1/2 = sin a.
Очевидно, а = л/6 и ;
2 = 2 (cos (я/6) + i sin (л/6)) = 2еы>'«.
Пример 2. Привести число
2 = 3 + 4/
к тригонометрической форме.
Решение. Находим
sin a)=
где a—угол, для которого
cosa = 3/5, sin a = 4/5. A4)
Будем искать a среди удовлетворяющих неравенству
0<а<2л. Так как в данном случае cosa>0, sina>0,
то а находится в первой четверти. Из A4) следует: tga =
= -i, т. е. a = arctg-g-.
Пример 3. Привести число
z = —3 (cos a + i sin a)
к тригонометрической форме.
Решение. Если бы перед скобкой стояло положи-
положительное число, то данное выражение и было бы тригоно-
тригонометрической формой комплексного числа.
Имеем
—cos a = cos (я -f- а), —sina = sin (я + а),
поэтому
—3 (cos а + i sin а) = 3 (cos (я + а) + i sin (n + а)) = Зе''(л+а>,
и мы получили тригонометрическую форму.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Представить в тригонометрической форме числа!
л
а) 5—4i, б) 1 + 2г, в) 4, г) 6», д) —2е~-
2. Решить в комплексных числах уравнения!
a) Jt3—1=0, б) *»+1=0, в) х« З 3 0

ГЛАВА 13
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 13.1. Понятие приближения
Пусть задано число а и мало отличающееся от него число а,
которое будем называть приближением числа а. Будем при этом
писать приближенное равенство
а^Ъ A)
и читать его так: число а приближенно равно числу а. Символ яз
есть знак приближенного равенства. Будем еще писать
и величину
называть абсолютной погрешностью приближения A).
Не всегда известно точное значение абсолютной погрешности а,
но нередко известно число б, ее превышающее,
б>|Да| = |"Н-а|, B)
называемое погрешностью приближения A). Неравенство B) экви-
эквивалентно двум неравенствам
~а—Ъ<а<~а-\-Ь,
так что если известны б и а, то можно сказать,_что а есть некото-
некоторое число, принадлежащее к интервалу (а —б, а+6).
Если известно, что а<а,_то говорят, что "а приближает а
с недостатком (снизу), а если а^а, то говорят, что а прибли-
приближает а с избытком {сверху).
Если известно неравенство B), то будем говорить, что прибли-
приближенное равенство A) имеет место с точностью до 6.
Пример. При измерении температуры больного мениск ртути
термометра оказался между отметками 38,6° и 38,7°. Таким обра-
образом, температура Т удовлетворяет неравенствам
38,6° < Т < 38,7°.
Хотя точное значение Т неизвестно, все же можно написать при-
приближенные равенства
Гя38,6р, Т я 38,7е,

S 13.2. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 215
сказав, что они имеют место с точностью до 0,1; можно еще доба-
добавить, что 38,6° есть приближение снизу, а 38,7° —приближение
сверху числа Т.
Впрочем, на практике вместо я пишут знак =, т. е. в данном
случае пишут
Т = 38,7° или Т = 38,7°,
считая само собой разумеющимся, что эти равенства приближенные
и при том взятые с точностью до 0,1, т. е. с точностью до послед-
последнего знака числа Т.
Пусть a = aOl a.ia.%.., и для любого натурального п
а(п> = а0, а*.. .а„.
Тогда (см. § 10.4)
и можно считать, что имеет место приближенное равенство
a ss aw)
с точностью до 10~п, при этом <tfn> есть приближение а снизу.
Можно еще приближать десятичную дробь а с точностью до
я-го знака с округлением. Такое приближение дает погрешность
1.10-".
Пример 1. Следующие приближения
0,G3) = 0,7373... и 0,7, C)
0,G3) « 0,74, D)
0,73651 « 0,737 E)
взяты с округлением: если первая отброшенная цифра ^5, то пос-
последняя оставшаяся цифра увеличена на 1, если же первая отбро-
отброшенная цифра < 5, то оставленные цифры не изменены.
Приближения C), D), E) имеют место соответственно с погреш-
погрешностями -i- • 0,1, у • 0,01, j . 0,001.
§ 13.2. Абсолютная погрешность
Теорема 1. Абсолютная погрешность приближений суммы
и разности чисел не превышает сумму абсолютных погрешностей
приближений этих чисел. _ _
Доказательство. Даны приближения а яв а, Ь и Ь, Тогда
приближение
а ± b х а ±Ь
имеет абсолютную погрешность
\t±(a + b)\ = \(a±b)-ia± Ь)| = |Да± Д6 | <[ Д
что и требовалось доказать.

216
ГЛ. 13. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пример. Даны приближения а я 3,728, ft я—0,103, с я 2,107
все три с точностями до 0,001. Тогда приближение
a + b + с я 3,728 — 0,103+2,107
имеет погрешность
6 «0,001 +0,001 +0,001 =0,003.
§ 13.3. Относительная погрешность
Относительной погрешностью приближения а я а называется
величина
F)
Конечно, два эти числа разные. Но мы считаем, что эти числа
настолько мало отличаются друг от друга, что можно одно из них
заменить другим. Можно еще сказать, что мы рассматриваем отно-
относительные погрешности настолько малые, что их произведениями
можно пренебречь. Это видно из следующих соотношений:
До
—
а
или
Да
а
Да Да а —а _ Да Да
а а аа а а '
Да
Да
Да
Да
а
Да
а
Да
а
G)
(8)
Теорема 2. Относительная погрешность приближения про-
произведения или частного чисел не превышает сумму относительных
погрешностей приближений этих чисел:
л и I
(9)
Д(аЬ)
ab
Д (alb)
a/b
Да
а
Да
а
+
ДЬ 1
ь 1'
Д6
6
A0)
Доказательство. Пусть а к a, b я Ь. Тогда считаем ab я
~т а а
я ab, — я — . Откуда
Ь Ь
Д (ab) (a + Дй) (Ь-\- Afc) — ab fcAa + aAft + Да А6
ab ab ab
Да Ab . Да ДЬ ' Да , ДЬ
a b a b a b '
Последнее равенство написано с точностью до произведения
Да
а
ДЬ
ь
. Следовательно
Д(а&)
ab
Да
а
ДЬ
b

§ 13.4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ 217
и мы доказали (9). Далее,
а-\-Аа а
Д (а/Ь) 6-)-Д6 b ЬАа—аАЬ ЬАа — аАЬ
ajb ajb a(b-\-Ab) ab
_ЬАа — аАЬ_Аа Ab
ab a b
Здесь четвертое равенство записано с погрешностью, оценива-
оцениваемой величинами, которыми мы условились пренебречь — произве-
произведениями относительных погрешностей чисел а, Ь. Ведь
ЬАа — аАЬ ЬАа—aAb ЬАа — аАЬ
ab ab a
ЬАа—aAb Ab Да Ab Ab Ab
a bb a b b b
§ 13.4. Вычисление произведения и частного
ении
A2)
В § 10.7 отмечалось, что при практическом умножении и де-
делении двух десятичных дробей
в качестве их приближений берут конечные десятичные дроби
rf»» = oe> «!..., ат, Р<») = Ро, Pv... Р„.
Но чтобы получить достаточно хорошие приближения
не загромождая вычисления излишними выкладками, надо умело
подобрать натуральные т и п в зависимости от структуры данных
чисел а, Ь.
Надо знать, какие цифры следует оставить при приближении,
чтобы получить оптимальный (наилучший) результат, т. е. такой,
чтобы приближение было по возможиости точиее и вычисления были
экономичнее. Точность вычисления находится в противоречии с про-
простотой вычисления. Большая точность связана с употреблением
большего количества цифр, меньшая требует употребления мень-
меньшего количества цифр, если вычисление производится правильно.
Чтобы правильно приближенно умножать и делить числа, надо
правильно округлять их.
Ниже формулируется правило приближенного вычисления ум-
умножения и деления чисел, заданных десятичными дробями. В нем
употребляется понятие значащей цифры, которое было введено
в § 4.7. Повторим определение этого понятия.
Значащими цифрами в десятичной дроби называются ее первая
отличная от нуля цифра и следующие за ней цифры.
Например, в числе 33 000 все цифры значащие, в числе 0,3001
все цифры после запятой значащие, в числе же 0,000302 цифры,
начиная с 3, значащие.
Округлить число с точностью до k-й значащей цифры—это зна-
значит округлить его с точностью до того знака, где находится k-я

218 ГЛ. 13. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
значащая цифра. Например, следующие приближения взяты с точ-
точностью до 3-й значащей цифры:
235678 я 236000, 2,70315 « 2,70, 0,002031 я 0,00203.
Правило. Чтобы вычислить приблиокенно произведение или
частное положительных чисел с точностью до k-й значащей цифры,
надо округлить эти числа с указанной точностью, перемножить или
разделить полученные приближения и результат округлить с точ-
точностью до k-й значащей цифры.
Полученные приближения ab я ab, — я — имеют гарантиро-
b b
ванную относительную погрешность 10*.
Пример. Пусть а= 135,78, 6 = 0,0068751. Вычислить при-
приближенно ab, -г-, — с точностью до третьей значащей цифры.
Каковы абсолютные погрешности этих приближений?
Решение. С помощью калькулятора вычислим
ab я 136-0,00688 = 0,93568 ~ 0,936;
— ~ "¦"""""__q 00005058 *) .. к 0 0000506
a 136
Ответ, aft я 0,936, -2- я 19800, —я 0,0000506 с относитель-
b a
ными погрешностями 0,01.
В следующем параграфе будет обосновано, что, округляя числа
a, b с точностью до третьей значащей цифры, мы получим прибли-
приближения о я a, b я b с относительными погрешностями -=¦ • 0,01. Но
тогда приближения
, -г a a b b
аи я ab, — я —, — я —
b b a a
будут с гарантированной относительной погрешностью -~- • 0,01 +
_j_ A.. 0,01 =0,01.
Абсолютные погрешности этих приближений оцениваются сле-
следующим образом:
| Д (ab) | < 0,01 • | ab | < 0,01 • 1 = 0,01;
а -0,01.20000 = 200;
0,01.0,0001 = 10-«
а
@,0000506 < 0,0001).
*) Последняя цифра 8 нам нужна для округления; чтобы ее
получить, надо на калькуляторе разделить 688:135 и передвинуть
запятую.

$ 13.5. ОБОСНОВАНИЕ ПРАВИЛА
219
§ 13.5. Обоснование правила
Лемма. Пусть а > 0—десятичная дробь и а~—ее округление
с точностью до k-й значащей цифры. Тогда приближение ак~а имеет
относительную погрешность, равную -^ • Ю*1:
До о—а\ 1 ¦/,_,?_!¦
о ~а I ^Т "
Примеры. Следующие округления чисел взяты с точностью
до их четвертой значащей цифры:
356 273^356 300, 37,205 я: 37,21, 0,0020136*0,002014.
Согласно лемме относительная погрешность каждого из этих
приближений равна у ¦ 10~3.
Доказательство леммы. Дана десятичная дробь а.
Пусть as — ее первая значащая цифра. Приведем о к стандартному
виду (§ 4.7). Для этого надо в дроби а перенести запятую так,
чтобы она оказалась непосредственно после as:
Здесь 10' — возникающий при переносе запятой множитель.
Округлив о с точностью до k-й значащей цифры, получим а =
= Ю'-а.,, as + 1.. .as + k_1. _
Относительная погрешность приближения а я а оценивается
следующим образом (пояснения ниже):
До
а
а —а
а
—
Ю'-0,0...<
10'.с
.. 10*—»
Г
-=J-. 10*-1.
Мы сократили дробь на 10'; числитель не превышает -у • 10*-1.
Далее, as, as+1as + i... Э= 1, потому что a^^l есть первая зна-
значащая цифра дроби о.
Лемма доказана. _ _
Переходим к обоснованию правила. Пусть а х a, b я Ъ, где
ал Ь — округления соответственно а и b с точностью до А-й знача-
значащей цифры. Тогда по лемме
А? <» ю-(*-и, Д*
а 2 b
и по теореме 2
Aab
ab
A (alb)
ajb
Да
~a~
До
a

220 Г-Л- 13. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Остается заметить, что у полученных при помощи микрокаль-
микрокалькулятора дробей, выражающих приближенно аЬ и —, надо оста-
b
вить k значащих цифр, а остальные цифры вычеркнуть. Если их
оставить, они будут только загромождать результат, но истинного
улучшения не дадут.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Округлить числа:
а = 353,803 до 4-й значащей цифры,
6 = 0,003071 до 3-й значащей цифры,
с = 0,000209 до 2-й значащей цифры,
d = 251672 до 3-й значащей цифры,
е — 353 803 до 4-й значащей цифры.
2. Вычислить ab, -г-, — с относительной.погрешностью 10-*.
с d
3. Вычислить cd, -т, — с относительной погрешностью 0,1.
и С

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К главе 1, главе 2
1. По цепочкам функций написать соответствующую
сложную функцию и, пользуясь обозначениями, приведен-
приведенными в § 1.2, указать области задания этой функции:
1) у = cos а, и = '2х. 2) у = ех, и = 3х.
3) У — еи, и= х2. 4) у = ец, и = — х.
5) t/ = sin и, и = 3х+ 1.
6) y = u3,_u = 2v* + \, v = x—l..
7) y = V"v, w=l + u, u = ;t3.
8) у = Ки, u = l—ы, и^д;2.
9) t/ = lnu, u = K7J, w = l—Л i = xa.
2. Как в примерах к § 3.9, следующие функции пред-
представить в виде цепочек простейших элементарных функций:
\) у = е°-х. 2) у = sin4к. 3) t/ = sinB*+ 1).
4) г/ = (д;2+1K. 5) j/=lnK"T^72. 6) у = lna (
7) у = sin3г*. 8) у = е2х+3. 9) # = cosa2x.
10) г/ = эт3л:2. 11) у = е*х+3. 12) г/ = соэа2л:.
3. Убедиться в том, что приведенные выше функции
суть элементарные функции, и, пользуясь обозначениями,
приведенными в § 1.2, указать множества, на которых эти
функции определены.
4. Что такое многочлен, линейная функция, рацио-
рациональная функция .сложная функция, элементарная функция?
К главе 3
1. Какие из приведенных ниже переменных бесконечно
малые или стремятся к пределу (тогда к какому?), или
вовсе не имеют предела?
1) il I I 1
; \ ' 2' 3' 4 ' •'
1) V' 2 ' 3 ' 4 > ' • • Г ~ \ п
3) A,1-, 1,01; 1,001, ...} = {! +10-»}.

222 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Л |i i i I )-{ П ]
v \2' 3' 4' 5 • *•¦( ~)я + 1 j"
6) {1 +1 1 +1}H(
\ ( ) + j
6) {-1, +1, -1, +1,,..}H(-1)«}.
6) {0,1; 0,11; 0,111; ...} = {0,l...l}.
а раз
2. Какие из приведенных ниже переменных бесконечно
большие (стремятся к бесконечности)? Стремятся ли они
к +оо или —оо?
1) {1, 2, 3, ...} = {/!}.
2) {1, -2, 3, -4, ...}~{(-1)»-»л}.
3) -I, -2, -3, ...} = {-«}.
4) {1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, ...}.
3. Приращение функции у = х* в точке х, соответст-
соответствующее приращению аргумента Ах, вычисляется по формуле
А (А)**
При этом здесь х и Ах любые, т. е. —оо < х,
Вычислить приращение Ау в точке х, соответствующее
приращению Ах, для следующих функций;
1) у = х*. 2) у=\пх. 3) у = sin2x.
4) у = х\ 5) r/ = arcsin*. 6) y=tgx.
7) у = Bх+3). 8) у = е*. 9) у = -.
Указать интервалы, которым могут принадлежать х и Ах.
4, Если функция y = f(x) имеет непрерывный график
на отрезке (интервале), то ее называют непрерывной на
этом отрезке (интервале). Как это выражается 1) на языке
Ах и Ау и 2) на языке предела функции?
5. Пользуясь формулами 1) —10) § 3.8, написать,
чему равны пределы:
1) lim jca. 2) lim In x. 3) lim arcsinA:.
x-+2 x-*-l x-t-l/2
4) lim (sin^+cosA;). 5) lim In x. 6) lim (I ¦
x-f-n/4 x-t-e1 x-+0~
'sin.
7) lim tgjc. 8) limKl—*2. 9) lim
Х-*Л/в X-hl Х-Г-Л \
К главе 5
1. Нарисовать график функции y = cosx на отрезке
,г\ о \ 2я ' я » я 2я
@,2я), провести в его точках х = g-, —у. О, у. —
касательные и вычислить их угловые коэффициенты.
2. Вычислить производные от функций:
1) у = хЦ2х+\). 2) у = х%ъ\пх. 3) у =
4) у = х\пх. 5) у = хе*. 6) у = {х* — 1) Inлг.

Учебное издание
НИКОЛЬСКИЙ Сергей Михайлович
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор М. М. Горячая
Художественный редактор Л. Н. Романенкова
Технический редактор В. В. Морозова
Корректор И. Я. Кришталь
ИБ № 32830
Сдано в набор 15.09.88. Подписано к печати 11.04.89. Формат 84X108 Чп-
Бумага офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ.
л. 11,76. Усл. кр.-отт. 11,97. Уч.-изд. л. 11,1. Тираж 180000 акз. Заказ
№ 9—258. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 16
Ордена Октябрьской Революция
и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговля.
113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано на полиграфкомбинате UK ЛКСМ Украина «Молодь» орде-
ордена Трудового Краевого Знамени издательско-полиграфнческого объ-
объединения ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия»: 252119, Киев-119, ул. Пар-
Пархоменко, 38—14,

S. N1 КО L SKI I
ELEMENTS OF MATHEMATICAL
ANALYSIS
This popular little book «Elements of mathematical analysis»,
which was issued by publishing House «Nauka» (Moscow 1981) with
mass drawing, is sold off. There are its translations on english A983)
and Spanish A984) by Editorial «Mir» (Moscow).
Last time author with his colleagues was intersted to the pro-
problems of mathematical school teaching. There are their attempt text-
textbooks in arithmetic and algebra, which now are passing experiments
in the soviet schools. «Nauka» has issued «Arithmetics» A988) by
S. Nikolskii, M. Potapov, N. Reshetnikov, A. Shevkin.
Naturally author has made changes in the second edition of «Ele-
«Elements of mathematical analysis», using these experiences. New every
person with education for 8 classes of soviet school can read the book
free. The first 8 chapters of tha book contain object of algebra for
9—10 classes of soviet school.
To get this aim was introduced the chapter «Trigonometrical func-
functions». The chapter «Exponential functions» was also changed. The
definition of this function for any real numbers is a difficult question
in school teaching. The author though much before to stop on the
defined way of the teaching of this notion.
Style of the account of the mathematical analysis themselves is
preserved as in the First edition. Notion of the limits is given on
examples, without formal definitions. Generally, the properties of
limits and graphics are considered on the intuitive ground. Graphics
and motion themselves are serving as the ground for fundamental
conclusions. Very shortly are given differential and integral calculus
and their application.
The concluding chapters (9—12) are devoted to the elementary
account of some additional facts which also are important for the full
middle mathematical education —complex numbers, Newton's binom,
combinatoric, Taylor's formula.
In the USSR this book finds oneself usefull for adult pupils and
of the general and technical schools teachers and even for the students
of the faculties with short mathematical programme.
We hope that this book will be usefull accordingly in the foreign
countries.