железобетонных конструкций
по предельным состояниям
и предельному равновесию
Издательство АСВ
Москва 2004
А.В. Боровских
РАСЧЕТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ
СОСТОЯНИЯМ И ПРЕДЕЛЬНОМУ
РАВНОВЕСИЮ
Допущено Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальности
«Промышленное и гражданское строительство»,
«Гидротехническое строительство» и «Проектирование
зданий» направления подготовки дипломированных
специалистов «Строительство»
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
Москва 2004 г.
Издательство Ассоциации строительных вузов
УДК 624.012.45
Рецензенты: проф. кафедры «Строительные конструкции» Московского
государственного университета путей сообщения В.С. Федоров; зав. каф.
«Железобетонные конструкции» МГСУ, д-р. техн, наук, проф. А.В. Забегаев
ISBN 5-93093-125-9
Боровских А.В.
Расчеты железобетонных конструкций по предельным
состояниям и предельному равновесию: Учебное пособие - М.:
Издательство Ассоциации строительных вузов, 2004. - 320 с.
В учебном пособии представлены основные сведения о железобе-
тоне и его компонентах, изложены особенности и закономерности силово-
го сопротивления бетона и арматуры под действием статических нагрузок.
Представлены расчеты по предельным состояниям. Приведены конструк-
тивные решения и расчет панелей-оболочек перекрытий малой материало-
и энергоемкости.
Книга предназначена для студентов и аспирантов строительных
специальностей.
ISBN 5-93093-125-9
© Боровских А.В., 2004 г.
© Издательство АСВ, 2004 г.
ВВЕДЕНИЕ
Основным конструкционным материалом в строи-
тельстве зданий и сооружений настоящего времени и обо-
зримого будущего является железобетон. Из железобетона
проектируются и строятся многие объекты промышленно-
го, гражданского и специального назначения. В транспорт-
ном строительстве железобетонные конструкции применя-
ются для мостов, труб, железнодорожных пассажирских
платформ и др.
В современных рыночных условиях хозяйствования
важное значение приобретают вопросы снижения материа-
лоемкости и энергоемкости строительства зданий и соору-
жений. Это выражается в снижении стоимости строитель-
ства объектов.
Снижение материало- и энергоемкости строительных
конструкций при обеспечении их надежности и долговечно-
сти является важнейшей проблемой строительной науки и
практики.
Решение этой проблемы базируется на грамотном,
квалифицированном проектировании конструкций, разра-
3
ботке новых эффективных конструктивных решений эле-
ментов зданий и сооружений, совершенствовании методов
расчета с использованием новейших достижений в теории
железобетона.
В основу данного пособия положены монографии,
написанные совместно с В.М. Бондаренко [25], В.Г. Назарен-
ко [26], В.С. Федоровым [66].
В учебном пособии рассмотрены традиционные мето-
ды расчета железобетонных конструкций на основе строи-
тельных норм и правил [1] с изменениями, утвержденными
постановлениями Госстроя СССР от 8 июля 1988 г. №132,
25 августа 1988 г. №169 и от 12 ноября 1991 г. №11;
обобщены и систематизированы отдельные результаты ис-
следований
Рассмотрено силовое сопротивление материалов, влия-
ние на него основных факторов (возраст, режим и длитель-
ность нагружения, стеснение деформаций) и, как объектив-
ный факт, учитывается физическая нелинейность, неравно-
весность и частичная необратимость деформирования бето-
на и железобетона.
Изложены перспективные, эффективные решения (гео-
метрия, армирование) конструкций перекрытий зданий и
методы их расчета, показана эффективность использования
высокопрочной арматуры в сжатой зоне при неоднородном
распределении напряжений по сечению элемента. Уделено
внимание выявлению физического смысла расчетных фор-
мул.
Пособие предназначено для студентов строительных
специальностей, аспирантов и может быть использовано
инженерами при проектировании железобетонных конст-
рукций.
4
Автор выражает благодарность действительному чле-
ну РААСН профессору В.М. Бондаренко и профессору
В.С. Федорову, взявшим на себя труд прочитать рукопись и
сделать ценные замечания.
Глава 1
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1.1.	Строительные конструкции
и требования к ним
Продукцией любого строительства являются строи-
тельные объекты — здания и сооружения, предназначенные
для выполнения различных функциональных или техноло-
гических процессов.
Здания — строительные объекты, связанные с пребы-
ванием в них людей и предназначенные для жилья, произ-
водственных, культурных, общественных и других целей.
Сооружения — строительные объекты, предназначен-
ные для выполнения технических (мосты, тоннели, путепро-
воды, башни, мачты, рабочие площадки и прочее), эстети-
ческих (памятники, монументы, обелиски и т.д.) и других
задач.
Все строительные объекты должны отвечать опреде-
ленным требованиям:
—	функциональным — должны быть удобными для
жилья, труда, отдыха и т.д.;
6
—	техническим — должны выдерживать нагрузки,
обеспечивать нормальные условия эксплуатации, долго-
вечность и огнестойкость;
—	эстетическим — обладать архитектурной
выразительностью, оказывать благоприятное воздействие
на сознание и психику людей;
—	экономическим — обеспечивать минимальные зат-
раты материалов, энергии и труда на изготовление, транс-
портировку, монтаж и эксплуатацию;
—	экологическим — не наносить вреда окружающей
природе и жизнедеятельности человека.
По назначению все здания делят на три основные
группы (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Классификация зданий по назначению
По числу этажей здания делят на:
—	малоэтажные (один-три этажа);
—	многоэтажные (четыре-девять этажей);
—	повышенной этажности (10 и более этажей);
—	высотные (свыше 25 этажей).
7
Перечислим основные предпосылки для строительства
одноэтажных производственных зданий (ОПЗ):
—	наличие крупногабаритного, тяжелого технологи-
ческого оборудования;
—	необходимость размещения в здании подъемно-
транспортных устройств большей грузоподъемности, на-
польного рельсового транспорта;
—	повышенные требования к естественному освеще-
нию и аэрации здания, связанные с необходимостью исполь-
зования проемов в стенах и покрытии;
—	размещение пожаро- и взрывоопасных производств;
—	повышенные требования к эвакуации людей из
здания;
—	градостроительная необходимость.
В остальных случаях предпочтительнее строительство
многоэтажных зданий.
Укажем основные предпосылки строительства много-
этажных производственных зданий (МПЗ):
—	требование получить значительную полезную пло-
щадь здания при ограничении площади участка строитель-
ства;
—	сокращение затрат на инженерные коммуникации;
— развитие технологического процесса по вертикали.
Все здания и сооружения представляют собой комп-
лекс различных конструктивных элементов; это фундамен-
ты, стены, колонны, лестницы, перекрытия и покрытия,
окна, двери, кровля и т.д. По функциональным требованиям
эти элементы разделяются на две группы:
—	несущие — элементы, воспринимающие силовые и
температурные воздействия и передающие эти воздействия
через другие несущие элементы на грунт;
8
—	ограждающие — элементы, защищающие внутрен-
ние помещения от негативного воздействия внешней среды
и отделяющие одно помещение от другого.
Отдельные элементы (стены, перекрытия и др.) могут
одновременно выполнять несущие и ограждающие функции
(например, плиты перекрытия и покрытия).
Совокупность несущих элементов образует несущую
систему (несущий остов) здания или сооружения. Таким
образом, несущая система строительных объектов воспри-
нимает любые виды постоянных (от собственной массы
элементов) и временных (от оборудования, снеговых, ветро-
вых) нагрузок и воздействий (температура, влажность) и
передает их на основание.
Характер расположения и работы несущих элемен-
тов, связь их между собой определяют конструктивную
схему здания. В несущих системах различают три основ-
ные конструктивные схемы: бескаркасная — выполня-
ется с продольными или поперечными (или с теми и
другими) сплошными несущими стенами (из бетона,
камня, кирпича и т.д.); каркасная — несущая система
изготавливается из вертикальных и горизонтальных стер-
жней (железобетон, сталь); с неполным каркасом (сме-
шанная).
Каркас здания должен быть геометрически неизме-
няемым в любом направлении, допустимы лишь упругие
незначительные деформации системы. При недостаточной
жесткости конструктивного остова здания может нару-
шаться целостность перекрытий, покрытий и перегородок,
нормальная работа лифтов и другого технологического
оборудования. Основными несущими конструкциями кар-
каса являются поперечные и продольные рамы, состоящие
9
из колонн, заделанных в фундаменты, и ригелей, опираю-
щихся на колонны.
Каркасные системы по характеру работы подразделя-
ются на рамные, связевые и рамно-связевые.
В рамных системах осуществляется жесткое сопря-
жение между колоннами и ригелем, которые образуют
рамы одного направления. В перпендикулярном направ-
лении они связаны ригелями с жестким сопряжением или
горизонтальными жесткими дисками, выполненными в
виде замоноличенных железобетонных плит. Геометри-
ческая неизменяемость и жесткость каркаса обеспечива-
ется рамами, много раз статически неопределимыми. Дос-
тоинство этой схемы — свободное пространство между
колоннами в любом направлении. Недостаток — слож-
ность узлов сопряжения колонн с ригелями. Кроме того,
изгибающие моменты в ригелях передаются на колонны, а
это невыгодно, так как увеличивается расход материала.
Поэтому рамные схемы целесообразно применять до 20-
25 этажей.
В связевых системах колонны с ригелями соединяют-
ся шарнирно. Жесткость и геометрическая неизменяемость
обеспечивается системой вертикальных и горизонтальных
жестких дисков, воспринимающих всю горизонтальную на-
грузку. Колонны работают только на сжатие, а балки (риге-
ли) — на изгиб. Связи устанавливаются во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях, обеспечивая неизменяемость и же-
сткость системы. Связи устанавливаются либо в каждой
плоскости, либо через 2-3 ряда. В этом случае необходимо
устанавливать горизонтальные жесткие диски в виде замо-
ноличенных железобетонных плит. Связевые каркасы позво-
ляют увеличить этажность здания до 40—45 этажей.
10
Рамно-связевая система характеризуется как наличи-
ем связевых вертикальных элементов, так и жестким сопря-
жением ригелей с колоннами. Это позволяет строить здания
выше 45 этажей. Связевые элементы несущей системы зда-
ний воспринимают горизонтальные (ветровые, сейсмичес-
кие и технологические) нагрузки, обеспечивают простран-
ственную геометрическую неизмеряемость и жесткость кар-
каса, его работу на изгиб и кручение. Выполняют связевые
элементы (диски жесткости) в виде сквозных (стержневых)
или сплошных диафрагм, а также ядер жесткости из железо-
бетона.
Требования, предъявляемые к несущим элементам и
системам зданий и сооружений:
—	обеспечение прочности, устойчивости и жесткости
строительного объекта на весь срок эксплуатации;
—	индустриальное^, технологичность и экономич-
ность изготовления, транспортировки, монтажа и эксплуа-
тации;
—	обеспечение экологической безопасности.
1.2. Особенности сопротивления
железобетонных конструкций
Силовое сопротивление конструкций в сооружениях
определяется рядом взаимосвязанных и взаимообусловлен-
ных характеристик строительного объекта; оно должно
обеспечивать конструктивную безопасность сооружений в
течение расчетной продолжительности их существования,
т.е. на всех стадиях возведения и эксплуатации. Требуемые
11
качества сооружений целесообразно достигать не любой
ценой, а при наименьших суммарных затратах на строи-
тельство и на поддержание эксплуатационной пригодности.
Сложность рассмотренной проблемы определяет необходи-
мость введения некоторой последовательности в процессе
исследований. Поэтому предлагается следующая иерархия
объектов исследования:
—	материалы,
—	элементы конструкций,
—	конструкции и сооружения.
Силовое сопротивление материалов характеризуется
особенностями их деформируемости в процессе нагружения
и пределом прочности в момент разрушения, меняющимися
по мере накопления повреждений.
Силовое сопротивление элементов конструкций оп-
ределяется жесткостью и прочностью их сечений, отпорнос-
тью и несущей способностью элементов, накоплением не-
компенсируемых дефектов, изменчивостью характеристик
силовых сопротивлений, средовых воздействий, граничных
условий, развитием и локализацией повреждений.
Силовое сопротивление конструкций сооружений и
уровень их безопасности зависят как от силового и несило-
вого сопротивления материалов элементов конструкций, так
и от собственно специфических качеств сооружений. К этим
качествам относятся:
—	обеспеченность геометрической неизменяемости над-
земных сооружений, адаптационные возможности заглуб-
ленных и подземных сооружений;
—	степень статической неопределимости схемы со-
оружения и наличие выключающихся и односторонних
связей;
12
—	характеристики несущей способности, деформируе-
мости и устойчивости оснований;
—	возможность силовой приспособляемости соору-
жений;
—	выбор критериев при оптимизации технических
решений, в том числе при усилении конструкций в ходе
реконструкции;
—	техника и технология управления напряженно-де-
формированным состоянием конструкций и сооружений.
Известно, что реальные несущие строительные конст-
рукции и сооружения испытывают постоянные (неизменяе-
мые во времени) и режимные (переменные во времени)
нагрузки, температурные и коррозионные воздействия.
Переменные нагрузки могут быть сгруппированы
следующим образом:
—	обычные переменные нагрузки, обусловленные ор-
динарными климатическими воздействиями или жизнедея-
тельностью человека;
—	экстраординарные (как правило, импульсивные) тех-
ногенные или природно-климатические нагрузки, восприя-
тие которых требует гашения энергии;
—	длительные (как правило, стационарные) динами-
ческие нагрузки, сопровождающие производственную дея-
тельность и приводящие к режимному, в том числе к знако-
переменному динамическому деформированию конструк-
ции, что обуславливает необратимое рассеивание энергии.
Конструкции, предназначенные для восприятия нагру-
зок первого типа, не требуют энергетической оценки.
Конструкции, используемые в случаях импульсив-
ных экстраординарных техногенных или природно-кли-
матических нагрузок (второй тип), ориентируются на
13
максимальное необратимое поглощение энергии, а выбор
конкретных конструктивных решений диктуется видом
экстраординарной ситуации и экономическими сообра-
жениями.
При действии нагрузок третьего типа принципиально
то, что многоцикловые нагружения и колебания, возбуждае-
мые в производственных зданиях, транспортных сооружени-
ях, в трубопроводах неизбежно сопровождаются гистерезис-
ным рассеиванием энергии; при этом возникает и может
быть решена задача энергетической оптимизации техничес-
ких решений с учетом стоимости конструкций и стоимости
энергии.
Заметим, что в общем случае заключительная оценка
осуществляется с учетом требований конструктивной безо-
пасности здания или сооружения в течение расчетного вре-
мени.
При оценке силового сопротивления исходных матери-
алов используются определенные феноменологические пред-
посылки о связи между причинами и следствиями силового
деформирования и разрушения материалов.
При этом для построения уравнений механического
состояния (без коррозийных повреждений материала) учи-
тываются:
—	анизотропия механических свойств в зависимости
от знака и величины силовых напряжений;
—	нелинейность функциональных связей между на-
пряжениями и деформациями (т.н. физическая нелиней-
ность);
—	возрастная и деструкционная изменчивость механи-
ческих свойств;
—	неравновесность деформирования материалов;
14
—	частичная необратимость деформаций и, как след-
ствие, гистерезисное рассеивание энергии при знакопере-
менном деформировании;
—	малость и сложение относительных и абсолютных
полных деформаций;
—	инвариантность силовых и несиловых деформаций с
выделением мгновенных и запаздывающих частных компо-
нентов;
—	наследственность и суперпозиция деформаций пол-
зучести;
—	возможность аффинноподобия для разноуровневого
развития одноименных деформаций.
Дополнительно для решения некоторых частных задач
привлекаются энергетические гипотезы:
—	об инвариантности от режима нагружения вели-
чины потенциальной энергии деформирования материала
к моменту разрушения;
—	о независимости от частоты вынужденных колеба-
ний (величины периода многоциклового стационарного про-
цесса нагружения) количества необратимо диссипированной
энергии за один цикл силового воздействия в единице объе-
ма материала.
Установлено, что 20-75% (в зависимости от назначе-
ния сооружений) строительных конструкций подвергаются
воздействию агрессивных сред, а размер общего ущерба от
коррозии достигает 4% ВВП, т.е. примерно в 3 раза больше,
чем все ассигнования на научные исследования в стране.
Из этого количества расходов не менее 1/5 доли приходится
на строительные конструкции.
Известно несколько концепций механизма разрушения
бетона, воспринимающего воздействие химически агрессив-
15
ной среды. Среди них наибольшее распространение имеют
следующие:
а)	по схеме отрыва:
—	деструктивное влияние давления со стороны новооб-
разованных вследствие химических процессов кристаллов;
—	достижение критических величин осмотического
давления, возникающего в структуре бетона при вторичном
образовании гипса, эттрингита и т.п.;
б)	по схеме среза:
—	уменьшение усредненной вязкости псевдотвердого
бетона за счет образования коллоидных форм гипса и этт-
рингита;
—	вследствие преодоления тангенциального сопротив-
ления межкомпонентных слоев, поврежденных в процессе
коррозионных реакций.
В большинстве случаев продукты коррозии кольмати-
руют поры в бетоне, поэтому коррозионные повреждения
проявляются наиболее интенсивно в поверхностных слоях,
которые непосредственно соприкасаются с агрессивной сре-
дой, и постепенно снижаются по мере отдаления рассматри-
ваемого слоя от поверхности разделения агрессивной среды
и бетона.
Силовое сопротивление элементов конструкций оцени-
вается с учетом следующих факторов:
—	силовое сопротивление бетонных и железобетонных
элементов деформированию и их прочность существенно
зависят от предыстории нагружения;
—	силовое сопротивление бетона сжатию и растяже-
нию различно (отличается примерно на порядок);
—	обусловленные этим недостатки компенсируются
несимметричным армированием (или предварительным на-
16
тяжением арматуры), более прочными компонентными вклю-
чениями или т.н. фибровым армированием;
—	в целом принимается справедливой гипотеза плос-
ких сечений (прямых нормалей) в смысле В.И.Мурашева
[48], а для участков с высоким уровнем поперечных сил
предполагается дополнительный учет депланации попереч-
ных сечений, например, по формуле:
где х — высота сжатой зоны сечения, z — текущая ордината
сжатой зоны, £ф — величина фибровой относительной де-
формации сжатой зоны, Г]е — степенной параметр деплана-
ции, зависящий от величины поперечных сил и трещин;
—	учитываются связанные с физической нелинейнос-
тью деформирования материала изменения формы эпюры
нормальных напряжений в сжатой зоне вдоль координат и
полнота сцепления растянутого бетона и арматуры в растя-
нутой зоне изгибаемого (внецентренно сжатого) элемента;
—	учитываются неравновесность силового деформи-
рования, наследственность деформаций;
—	предусматривается неизбежное изменение жест-
кости вдоль координат, обусловленное нелинейностью
силового деформирования при разноуровневом напряжен-
но-деформированном состоянии.
Силовое сопротивление элементов конструкций с уче-
том накопления коррозионных повреждений рассматривает-
ся с использованием следующих предпосылок:
—	количественно оценивается влияние предыстории
нагружения на силовое сопротивление;
17
—	принимается неизменная или усредненная во време-
ни интенсивность агрессивного воздействия и температур-
но-влажностных условий среды;
—	учитывается возможность полного разрушения тех
слоев сечения, которые находятся непосредственно в контак-
те с агрессивной средой, и постепенное восстановление
сопротивления по мере удаления слоев от поверхности
контактов с этой средой;
—	оцениваются коррозионные повреждения бетона,
арматуры, нарушение сцепления между ними и дефекты
элементов конструкций;
—	рассчитываются с учетом уровня и режима нагру-
жения износная начальная прочность материалов, сцепле-
ние арматуры с бетоном, временный и интегральный мо-
дуль деформации бетона.
Силовое сопротивление конструкций до проявления
силовых и коррозионных повреждений прогнозируется ис-
ходя из геометрической схемы сооружения, включающей
характеристики связей и способности сооружения к адапта-
ции; степени статической неопределимости (статически оп-
ределимая схема наделяется нулевой степенью неопределен-
ности); потенциала приспособляемости сооружения, харак-
теризующего способность к перераспределению усилий в
статически неопределимых конструкциях. Перечисленные
свойства конструкций сооружений рассматриваются с уче-
том силовых особенностей деформирования (нелинейности,
неравновесности, необратимости, изменения длительной
прочности материалов и связей).
Общим признаком потенциала силового сопротивле-
ния сооружения является сохранение его геометрической
неизменяемости при одномоментном или режимном загру-
18
жении, последовательном выключении связей, сечений, эле-
ментов, изменении граничных условий (4-я краевая задача
[21, 25]). Частными признаками можно назвать способ-
ность к приспособляемости и перераспределению усилий;
удовлетворение нормативным требованиям по несущей спо-
собности, долговечности, эксплуатационной пригодности
отдельных элементов конструкций или их групп.
Таким образом, для материалов оценивается прочность
и деформативность, для сечений — прочность и жесткость,
для элементов конструкций — потенциал силового сопро-
тивления при обеспеченном сохранении функционального
использования.
Глава 2
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ЖЕЛЕЗОБЕТОНЕ
2.1. Сущность железобетона
Железобетон — составной конструкционный матери-
ал, в котором бетон и стальная арматура рационально объе-
динены для совместной работы.
Железобетон является основным строительным мате-
риалом и применяется в виде сборных, монолитных или
сборно-монолитных конструкций.
Прокатный металл, применяемый в металлических кон-
струкциях, имеет прочность от 26 кН/см2; арматура железо-
бетона — от 36 до 190 кН/см2. Следовательно, металл
целесообразно использовать в железобетоне — это важный
способ экономии металла в строительстве.
Железобетон — огнестойкий и долговечный конструк-
ционный материал, его главная составляющая — каменный
заполнитель (щебень или гравий, песок) широко распростра-
нен на земле.
Железобетонные конструкции обладают высокой несу-
щей способностью.
Бетон хорошо работает на сжатие и плохо сопротивля-
ется растяжению: Rbt = (1/8 -« 1/10)7?*, где Rbt, Rb —
20
расчетные сопротивления бетона соответственно растяже-
нию и сжатию.
Стальная арматура обладает значительно более высо-
ким сопротивлением растяжению по сравнению с бетоном,
но имеет низкую устойчивость при действии сжимающих
усилий.
Соединение бетона и арматуры в железобетоне основа-
но на рациональном использовании свойств этих материа-
лов: бетон воспринимает сжатие, арматура — растяжение.
Перед армированием конструкций определяют величи-
ну и направление действия растягивающих напряжений и
для восприятия их устанавливают арматуру.
В изгибаемой железобетонной балке на двух шарнир-
ных опорах (рис. 2.1) нормальные растягивающие напряже-
ния воспринимаются продольной рабочей арматурой. Глав-
21
ные растягивающие напряжения воспринимаются попереч-
ной арматурой — хомутами и отгибами.
Рабочую арматуру можно применять не только в растя-
нутых, но и в сжатых элементах, вследствие чего несущая
способность их значительно увеличивается.
Долговечность совместной работы бетона и арматуры
определяется следующими факторами:
—	между бетоном и арматурой развиваются значитель-
ные силы сцепления;
—	арматура в бетоне не подвергается коррозии;
—	коэффициенты температурного расширения бетона
и арматуры близки по значению друг другу.
Прочность сцепления обеспечивается силами трения
по контакту бетона и арматуры, склеиванием арматуры с
бетоном и механическим зацеплением бетона за выступы
арматуры периодического профиля. Коррозия арматуры в
бетоне не происходит при содержании в нем более 225
килограмм цемента на 1 м3 бетона. Коэффициенты темпера-
турного расширения:
—	бетона (0,7 + 1) • 10-5 от (-50 до +50°С)
—	арматуры min 0,625 • 10-5, max (1,1 + 1,2) • 10-5
При нагревании железобетонных конструкций до +50°С
и при охлаждении до -70°С опасных перенапряжений в
материале не возникает.
К достоинствам железобетона относят его высокую
долговечность и огнестойкость; достаточную прочность и
высокую перекрывающую способность; хорошее сопротив-
ление статическим и динамическим нагрузкам; слабую про-
ницаемость для влаги, газов, радиоактивных излучений;
широкое использование жестких материалов; экономию ста-
ли и малые эксплуатационные расходы.
22
Недостатками обычного железобетона являются значи-
тельный собственный вес, недостаточная химическая стой-
кость и слабая трещиностойкость.
Рзработаны радикальные меры устранения этих недо-
статков:
—	для снижения веса используют легкий бетон;
—	в агрессивных средах используют бетон со связую-
щим из полимерных материалов (армополимербетон);
—	для борьбы с трещинами используют предваритель-
ное напряжение арматуры.
Предварительно напряженными называют такие кон-
струкции, при изготовлении которых (до приложения эксп-
луатационных нагрузок) в бетоне создаются значительные
сжимающие напряжения, получаемые путем натяжения вы-
сокопрочной арматуры. В последующем предварительно
созданные сжимающие напряжения в бетоне суммируются с
растягивающими напряжениями от внешней нагрузки.
Укажем достоинства и недостатки предварительно на-
пряженных железобетонных конструкций по сравнению с
обычными железобетонными конструкциями.
Создание предварительного напряжения в арматуре и
бетоне способствует:
1)	увеличению момента трещинообразования (повы-
шению трещиностойкости);
2)	увеличению жесткости элемента (уменьшению про-
гиба);
3)	снижению материалоемкости конструкций (главным
образом из-за использования эффективной высокопрочной
арматуры);
4)	расширению области применения железобетона
посредством увеличения пролетов, уменьшения сечений,
23
возможности применения железобетона в растянутых эле-
ментах.
К недостаткам следует отнести:
1)	образование микротрещин в стадии изготовления;
2)	потребность в сложном технологическом оборудо-
вании;
3)	повышенные требования к технике безопасности.
2.2. Физико-механические
свойства бетона
Бетон представляет собой неоднородный искусствен-
ный материал, в котором инертные заполнители (щебень,
песок) скреплены в единый монолит с помощью связующего
— цементного камня.
Физико-механические свойства бетона (прочность, де-
формативность) зависят от его состава, качества цемента и
заполнителей, водоцементного отношения, характера напря-
женного состояния, скорости приложения нагрузки, формы
и размеров образцов и других факторов.
2.2.1.	Прочность бетона
Основной физико-механической характеристикой бе-
тона, которую необходимо знать при проектировании и
контролировать при изготовлении конструкции, является
его прочность. Различают кратковременную и длительную
его прочность. Кратковременную прочность определяют
24
при стандартных испытаниях опытных образцов, изготов-
ленных в стандартных условиях. Кратковременная проч-
ность бетона характеризуется: на сжатие — кубиковой и
призменной прочностью; на растяжение — прочностью на
растяжение.
Бетон в железобетонных конструкциях преимуществен-
но используется для восприятия сжимающих напряжений.
Вследствие этого за основную эталонную характеристику
прочностных и деформативных свойств бетона принята его
прочность на осевое сжатие.
Кубиковая прочность (R) — это временное сопротив-
ление при сжатии бетонного куба с ребром 15 см, хранимого
и испытанного в стандартных условиях в возрасте 28 дней.
При осевом сжатии кубы разрушаются вследствие разрыва
бетона в поперечном направлении (рис. 2.2а). Поскольку
реальные конструкции по форме отличаются от кубов, куби-
ковая прочность непосредственно в расчетах не использует-
ся, а служит только для контроля качества бетона. На основе
испытания кубов определяется класс бетона по прочности на
сжатие.
Как уже отмечалось, элементы железобетонных конст-
рукций по форме отличаются от кубов, поэтому в расчетах
используют характеристику бетона, получаемую по резуль-
татам испытаний на осевое сжатие бетонных призм (рис.
2.26) — призменную прочность (Rb). Опыты показывают,
что с увеличением высоты призмы влияние на прочность
образца сил трения, развивающихся по опорным граням,
уменьшается (рис. 2.2в).
При соотношении размеров основания к высоте 1:4 и
более значение призменной прочности становится постоян-
ным и составляет (0,72 * 0,75) от кубиковой прочности.
25
Рис. 2.2. Определение прочности бетона
а — характер разрушения бетонных кубов 150x150x150 мм;
б — схема испытания призмы для определения
в — зависимость R,/R от соотношения размеров образцов h/a.
26
При расчете железобетонных конструкций использует-
ся призменная прочность бетона Rb — временное сопротив-
ление осевому сжатию бетонных призм с размерами 10x10x40
см, испытанных в возрасте 28 дней.
Призменная прочность связана с кубиковой прочнос-
тью соотношением:
Rb = (0,77 - 0,001 R)R > 0,72 R
(2-1)
Прочность бетона на растяжение Rbt в 10-Н 5 раз
меньше прочности на сжатие и определяется испытанием
бетонного образца в виде восьмерки на осевое растяжение.
Прочность бетона на растяжение может быть также
определена по кубиковой прочности бетона по формуле:
Rbt =
5R
45 + R
(2.2)
Прочность бетона при местном сжатии Rb 1ос существен-
на, когда нагрузка действует не на всю площадь элемента, а
на ее часть. В этом случае загруженная часть площади
обладает большей прочностью, чем Rb, поскольку в работе
участвует также бетон, окружающий площадку смятия и
создающий эффект обоймы. Прочность при местном сжатии
^bjoc ~ ^bjoc^b
(2.3)
ГДе (Pbloc ~	/ ^locl
Aloci, А/ос2 — соответственно площадь площадки смятия
и расчетная площадь, равная Л/ос1 плюс дополнительный
участок.
27
Под длительной прочностью бетона понимают тот
максимальный уровень постоянных напряжений, при кото-
ром бетон не разрушается при любой длительности дей-
ствия этих напряжений. В настоящее время на этом поня-
тии и основывается проектирование железобетонных кон-
струций.
2.2.2.	Деформативность бетона
Основным фактором, определяющим прочность боль-
шинства материалов, являются деформации, поскольку они
характеризуют действительные изменения структуры мате-
риала под действием нагрузки.
К важнейшим деформативным свойствам относится
сопротивление бетона мгновенному деформированию, мерой
которого является величина, обратная начальному модулю
деформаций бетона, и длительному деформированию, мерой
которого является мера ползучести.
Известно, что меры деформаций зависят от возраста
конкретного бетона. Они зависят также от других много-
численных факторов и меняются с изменением вида бето-
на. Увеличение или уменьшение мер деформаций двояко
сказываются на поведении конструкций. С одной стороны,
увеличение мер приводит к увеличению деформативности
конструкций, что является отрицательным эффектом. С
другой стороны, в нелинейной области деформирования и
за счет ползучести бетона увеличение мер приводит к
большей интенсивности перераспределения усилий в нео-
днородных статически неопределимых системах между
28
отдельными ее частями, например, между бетоном и арма-
турой в поперечном сечении железобетонного элемента
(что очень важно с точки зрения рассматриваемой нами
проблемы), или опорных и пролетных моментов в нераз-
резных балках, что является в определенных условиях
положительным явлением. Важной деформативной харак-
теристикой является предельная сжимаемость и растя-
жимость бетона, увеличение которых влечет за собой
большую интенсивность использования, например, сжатой
арматуры в первом случае и увеличение момента образова-
ния трещин во втором.
Важнейшим инструментом построения теории сопро-
тивления деформированию и разрушению материалов слу-
жит диаграмма «напряжения-деформации» (а-е).
Зависимость между напряжениями (а) и относитель-
ными деформациями (е) содержит все необходимые для
расчета сведения о материале. Если ее математическая
зависимость учитывает факторы, влияющие на поведение
конструкции, то она будет являться уравнением механи-
ческого состояния, определяющим поведение материала в
конструкции при заданных условиях эксплуатации. По-
скольку бетон является реологически деформируемым
материалом со свойствами, изменяющимися во времени, а
также в зависимости от воздействия окружающей среды,
то рассматриваемая зависимость должна учитывать ре-
жим нагружения и изменения этих свойств. Процесс де-
формирования бетона является типичным неравновесным
процессом.
При экспериментальном построении связи «о - е»
используют эталонные режимы нагружения — кратковре-
менные и длительные. При кратковременном исследова-
29
нии возможны два типа нагружения. Первый из них предус-
матривает измерение деформаций «е» опытного образца при
равномерном увеличении напряжений «а». Полученная кри-
вая в координатах «а - е» отражает деформативность
опытного образца при монотонном нагружении с постоян-
ной скоростью (если ступени нагрузки достаточно малы).
Известно, что скорость нагружения влияет на величину
деформаций и, принимая ее разной для разных образцов, мы
будем получать различные кривые «о - е». Эти кривые
имеют общее свойство, которое заключается в том, что
максимальные деформации соответствуют максимальным
напряжениям — образец разрушается при достижении пре-
дела прочности.
Второй тип основан на измерении напряжений «а» при
равномерном увеличении вынужденных деформаций «е»
опытного образца. Полученная в координатах «а - е» кривая
отражает отпорностъ образца при определенном режиме
деформаций (монотонном их увеличении с постоянной ско-
ростью). При этом в отличие от первого типа, исключающего
релаксацию напряжений, второй режим непрерывно сопро-
вождается режимной релаксацией. Релаксация будет режим-
ной потому, что величина деформаций переменна в процессе
реализации диаграммы «а - е».
Известны различные записи диаграмм «о - е» при
кратковременном нагружении, описывающие, в том числе,
ниспадающую ветвь. Среди них наиболее удобными для
наших целей являются экспоненциальная запись В.М. Бон-
даренко [22]:
о = еЕе£/£к,
(2.4)
30
или запись Бамбуры А.Н. в форме степенного ряда [14]

(2-5)
В (2.4) - (2.5) £ — текущие относительные деформации
бетона, a eR — предельная на восходящей ветви деформация
при о = Rb, зафиксированная при данном испытании.
Бетон является материалом с ярко выраженным нели-
нейным характером деформирования. При однократном крат-
ковременном нагружении полная деформация еь складыва-
ется из линейной (так называемой упругой) ее1 и нелинейной
(так называемой пластической) ер1 (рис. 2.3):

(2-6)
31
Из диаграммы видно, что при небольших напряжени-
ях (о < 0,252?6) бетон можно рассматривать как линейно
деформируемый материал. При о > 0,252?6 возникают и
развиваются нелинейные деформации. При 0,252?Л < о <
0,5Rb развитие нелинейных деформаций обеспечивается
уплотнением геля. После образования микротрещин рост
нелинейных деформаций становится более интенсивным.
При напряжениях более О,82?6 микротрещины объединяют-
ся, образуя макротрещины, которые пронизывают весь
образец, что приводит к его разрушению. Если по мере
падения сопротивления бетона удается в той же мере
снижать нагрузку, то может быть получен нисходящий
участок диаграммы.
Важной характеристикой бетона является модуль мгно-
венной (упругой) деформации, так называемый начальный
модуль упругости, равный:
ЕЬ ~ ^8а0 £el
(2.7)
При напряжениях <зь > 0,25Rb влияние нелинейных
деформаций становится существенным, и в расчетах
используют так называемый модуль упругопластичнос-
ти, представляющий собой тангенс угла наклона секу-
щей:
Eb,pl ~	-<7b! еь
(2.8)
Такой модуль деформаций меньше начального Еь.
Eb,Pi ~ vEb
(2.9)
32
где v = eel / еь так называемый коэффициент упругопласти-
ческих деформаций, равный
и = 0,45 — при непродолжительном действии на-
грузки;
и = 0,1-*-0,15 — при продолжительном действии на-
грузки.
Таким образом характер диаграммы а - s при осевом
кратковременном нагружении бетонного образца показыва-
ет, что связь а - s для бетона нелинейна и количественно
нелинейность деформирования проявляется тем ярче, чем
выше уровень напряжения.
При длительном действии нагрузки неупругие де-
формации бетона с течением времени увеличиваются. В
качестве эталонного режима длительного нагружения при-
нимается режим простого нагружения, в котором изучают
развитие деформаций опытного образца во времени при
постоянных нагрузках.
Наибольшая интенсивность нарастания неупругих де-
формаций наблюдается в первые три-четыре месяца, затем
их рост постепенно замедляется и прекращается через не-
сколько лет. Нарастание неупругих деформаций во времени
при длительном действии нагрузки называют ползучестью
бетона. Деформации ползучести бетона и скорость их нара-
стания во времени зависят от очень многих факторов: возра-
ста и состава бетона, влажности и температуры среды,
уровня нагружения и др.
Для количественной оценки деформаций ползучести
пользуются характеристикой ползучести (pt и мерой ползу-
чести Ct:
(Pt=epl(t^ee6 Ct = Ep/(t) / <5Ь	(2.10)
2 — 9454
33
где Epl(l) — деформация ползучести к моменту времени t;
£е1 — упругая деформация в момент загружения;
оь — длительно действующие напряжения.
Предельные деформации бетона, то есть деформации
перед разрушением, зависят от многих причин и изменяются
в значительных пределах. Для расчетов принимают: при
осевом кратковременном сжатии еЬ и = 2 • 10 3, длительном еЬ и
= 2,5 - 10-3, при изгибе и внецентрянном сжатии ЕЬ и = 3,5-10-
3, при центральном растягивании еЫи = 1,5 • 10<
2.2.3	Уравнение механического состояния бетона
Уравнение механического состояния бетона пред-
ставляет собой математическую связь между деформация-
ми, напряжениями и временем. Известные в настоящее
время уравнения состояния являются феноменологически-
ми, так как базируются на эмпирических данных о сопро-
тивлении деформированию материалов при нагружении и
на ряде подтвержденных практикой гипотез, которые отра-
жают физически нелинейную и частично необратимую
связь между напряжениями, деформациями, режимом и
длительностью нагружения.
Назовем основные используемые гипотезы:
—	деформации материала считаются малыми по срав-
нению с размерами образцов;
—	деформации различной природы исследуются раз-
дельно и суммируются (суммируемость, наложение частных
деформаций);
—	принцип аффиноподобия частных деформаций, со-
ответствующих разным уровням напряженного состояния;
34
—	положение о взаимонезависимости частных дефор-
маций;
— принцип суперпозиции деформации ползучести.
Как отмечалось выше, часть деформаций следует за
изменениями напряжений и фиксируется с их фиксацией;
такие деформации называются упругими (мгновенными), их
величина зависит от величины напряжений, возраста и тем-
пературы материала и не связана с режимом загружения; они
частично необратимы. Вторая часть деформаций следует за
напряжениями, при фиксации напряжений не фиксируется, а
продолжает увеличиваться во времени; такие деформации
называются деформациями ползучести (запаздывающими),
их величина зависит как от величины напряжений, возраста
и температуры материала, так и от режима и длительности
нагружения.
Инвариантно по отношению к используемой разновид-
ности теории ползучести (теория старения, теория наслед-
ственности, теория упруго-ползучего тела) уравнение меха-
нического состояния записывается в виде [25]
£М = £М + Е3(и0)	(2.11)
где £(М0) —текущая полная относительная деформация
бетона;
£н(?0) — мгновенная относительная деформация;
£з(?,?0) — запоздавшая относительная деформация;
?0 — начало отсчета с момента нагружения;
t — момент наблюдения накопленных деформаций.
Экспериментальные кривые «а - г» при различной
скорости нагружения имеют один и тот же характер (см.
рис. 2.3). Напряженно-деформированное состояние мате-
2*
35
риала на диаграмме характеризуется восходящим участ-
ком (da /d£ > 0) с максимальным значением напряжения в
точке перегиба {da / d£ - 0), где a = Rb и е = er , и нисхо-
дящим участком (da/d£ <0). Можно выделить три ос-
новных состояния, определяемые фиксированными значе-
ниями потенциалов: 1-е — нулевое напряженно-деформи-
рованное состояние; 2-е — точка максимального напряже-
ния; 3-е — точка ,максимальных деформаций. Зная коор-
динаты этих точек при одном эталонном нагружении,
можно описать напряженно-деформированное состояние
для любого процесса деформирования материала.
При этом свойства нелинейности деформирования
учитываются обычными функциями нелинейности, а рео-
логические свойства— запаздывающими деформациями
ползучести. Надлежащий выбор функции нелинейности и
выражений для мер деформаций вместе с принятыми
гипотезами должен привести к уравнению механического
состояния, способного описать связь «а - е» при любом
режиме нагружения, в том числе и при кратковременном
нагружении. Предполагается, что процесс деформирова-
ния протекает в интервале времени (t0, t), проходя за это
время три отмеченных выше фиксированных состояния:
первое — в момент времени t0, второе между t0 и i, третье
— в момент времени t.
Исходя из удобств вычислений, предлагается использо-
вать связь между напряжениями и деформациями в модифи-
цированной форме С.В. Бондаренко [22, 26]. Это уравнение
единообразно учитывает нелинейность мгновенных и запаз-
дывающих деформаций.
36
£(0/[£(0] = cr(t)/Eb(t) + a(t)Cx(t,T)- fa(r)^-Cx(t,T)dT
i dt
(2.H)
здесь f — функция нелинейности деформирования; прини-
мается в форме
Де(0] = kem(,W}; т < 0;	(2.12)
где к — константа материала;
т — параметр нелинейности деформирования, завися-
щий от режима нагружения;
to, т, t — моменты времени;
e(t) — полная относительная силовая деформация;
a(t) — напряжение;
Eh(t) — модуль мгновенных деформаций;
C*(t,t) — мера ползучести.
Два последних члена в (2.12) нормируются так, что
л(/,/.)=с-«,о-|^С7лг)Л	(2.13)
<0	' '
Тогда (2.11) можно преобразовать к виду:
<214)
37
Координаты точки 2 (см. рис. 2.3) находятся из условия
do/de = 0. С учетом того, что в этой точке е - eR и а = Rb,
получается, что
(2-15)
Так как величина к введена как константа материала, то
из (2.15) при t0 = t получим:
k = e +	,	(2.16)
ея,«р(0^б(0
тогда
су(П =------------------------em(o^(o	(2J7)
Величина параметра нелинейности m(t) или его
эквивалент eR(t) пока неизвестен. Кроме того, неизвест-
на величина eu(f) при режимном нагружении. Эти вели-
чины находят, основываясь на инвариантности потен-
циалов в состоянии 2 и 3 по режиму нагружения. В
качестве потенциала можно принять количество потен-
циальной энергии деформирования в единице объема
материала [23]
(2-!8)
38
Количество потенциальной энергии в единице объема:
ь
о
(2.19)
где b = eR(t) для состояния 2 и b = eu(t) для состояния 3. С
учетом (2.17) при t0 = tu. (кратковременное нагружение при
температуре 20°С) получим:
,0 =
кр	Eb{t) + k^cA(tA0)\ ’
(2.20)
Соответственно при t0 < t (длительное нагружение) и
Т=7\:
w0 _	к[1-е^ + Гкр^]	(2 21)
дл <Wo6.JEb{t) + k^cA{t4.)] ’
где r(t) = m(t)  b. Согласно принятому критерию (2.18) для
состояния 2:
4>(')[^л /£об(')+	= "Ж, !Eb{t) + Л(мо)] ,
(2.22)
откуда с учетом (2.15) можно вычислить:
39
1 1коб,к + коб,сЕь(*)А(*’*о) ,	(2.23)
£R (О V коб,к * ^об,с^б(0-^(^^о)
W') = ^(O
1коб,к ко6,сЕЬ^УА^А^У
\ коб,К + ко6,сЕь(()А(^()
(2.24)
Для состояния 3 (см. рис.2.3) на основании (2.20) и
(2.21):
е/'ч’(,)-r(t/,(z)e'',<'’(') = еГа,(')-гдл(/)еГа,(,) •	(2.25)
Такое возможно только при rv(t) = тдя((). Это с учетом
(2.15) и (2.22) приводит к соотношению:
£ик₽ (О / «7(0 = ^(0 / £«л(0	(2.26)
На основании полученных результатов утверждается:
— в качестве параметра состояния, аналогичного для
обратимых процессов, следует принимать величину
е(О/Ел(О ;	(2.27)
— точки диаграммы «а - е» при кратковременном
нагружении трансформируются в соответствующие точки
при длительном нагружении по правилу
40
£*.(') = £ "(О
^об,к %б,с^б(0-^(^’^о)
^об,к + ko6,cEb(t)A(t,t)
(2.28)
Казалось бы неожиданные выводы вытекают из пред-
ложения об одинаковых значениях функций нелинейности
мгновенных и запаздывающих деформаций. В случаях, ког-
да это не так, соотношение (2.28) справедливым не будет.
Погрешность, появляющаяся из-за уравнивания функций
нелинейности, обсуждалась выше. Полученные результаты
подтверждены экспериментально исследованиями В.Г. На-
заренко [50].
Подставив в (2.14) значение к по (2.16), т по (2.23) и е
по (2.26), получим:

(2.29)
T] = £(t)/eR(t) ,
(2.30)
1 +Eb(t)C*(t,t) у ^o6,K+^b(t)A(t,t0)
l + £6(O^(Mo) V коб к + ko6cEb(t)A(t,t)
(2-31)
Как будет видно позже, величину можно тракто-
вать как коэффициент изменения прочности. При r(t,t0) -
r(t,f) = 1.
Из (2.29) при г] = e(t)/eR(t) = 1 имеем
41
^Ь,дя ~ Кь,крГ(!’?о) '
(2.32)
Помножив и разделив правую часть (2.32) на RbKp (28),
получим
R (f\
= ^(28)-^^r(Z,Z0); R^t) = RbYb2 (2.33)
гае	(2-34)
кь
уЬ2 — коэффициент надежности, учитывающий нара-
стание кратковременной прочности бетона во вре-
мени, длительность и режим действия напряжений;
/?6>ч,(0 — кратковременная призменная прочность бето-
на в возрасте t суток;
Rb —то же в возрасте 28 суток (призменная прочность
бетона по [1]).
При кратковременном испытании (f0=f) из (2.29) с уче-
том (2.32):
«МОЯмЛе"-’”, или =	= 5	(2.35)
КЬ,кр V?
При длительном действии нагрузки из (2.29) с учетом
(2.32)
= пео-ч) = s
42
Сравнение этого выражения с предыдущим приводит к
соотношению
е, ^л(0 _ % (О
^6,дл(0	&Ь,кр(!)
(2.36)
На основе этого заключается, что величина 5 = o(t)/
Rb(t) также может рассматриваться как параметр состояния,
аналогичный a(t) для равновесных процессов деформирова-
ния.
Окончательно уравнение механического состояния бе-
тона можно представить в виде:
S = tie^,	(2.37)
где S = o(t)/Rb(t),	(2.38)
Tj = E(t)/ER(f)	(2.39)
Тогда
сг(О = SRb(t) и е(/) = r)ER(t)	(2.40)
Выражение (2.29) описывает зависимость «а-s» при
режимном нагружении, а выражение (2.32) — максималь-
ное значение напряжений на восходящей ветви диаграммы
«о- - s». Причем, как видно из вышеизложенного, (2.29)
основано на зависимости «а - £», полученной из кратковре-
менного испытания образца, например, по стандартной
Методике. При этом считается, что за время испытания
43
реализуется часть ползучести, которую условно обознача-
ют как быстронатекающую, определяемую мерой ползуче-
сти
2.2.4 Оценка длительной прочности бетона
Общеизвестно, что механические свойства неравно-
весно деформируемых материалов зависят от длительнос-
ти нагружения. В частности, нами при оценке длительной
прочности используется предложение В.М.Бондаренко [22,
25], позволяющее учесть влияние на прочность не только
длительности нагружения, но и его режима. Основой этого
предложения является сформулированный автором посту-
лат об инвариантности от режима нагружения величины
потенциальной энергии деформирования материала к мо-
менту разрушения:
W^W^const.	(2.41)
Деформируя единицу объема тела, внутренние силы
совершают работу (рис. 2. 4) и передают телу энергию,
равную площади фигуры ОАС; при разгрузке часть дефор-
маций восстанавливается, тело возвращает часть передан-
ной ему энергии (площадь фигуры CAD), а часть деформа-
ций при полном снятии нагрузки не восстанавливается, а
соответствующая ей работа представляет собой необратимо
рассеянную, диссипативно поглощенную энергию (ей соот-
ветствует площадь фигуры OAD).
44
Рис. 2.4. Схема диаграмм «а — Е» для бетона:
а — при кратковременных нагружениях, ^О1<^о2<^оз'>
б — при длительных нагружениях,
Удельная (отнесенная к единице объема тела) потенци-
альная энергия W° вычисляется по формуле:
^тах
ИЛИ
(2-42)
W°=a е
max max
(2.42')
Использование предпосылки об инвариантности по-
тенциальной энергии разрушения материала от длитель-
ности и режима нагружения требует выделения из полных
и из частных деформаций их обратимой части. Для осуще-
ствления этого требования может быть использовано пред-
ложение, когда (2.11) получает вид:
= K^MEM(t) + Ko6HEn(t0t),	(2.43)
где Койм и Ко6п — коэффициенты обратимости, соответству-
ющие частным деформациям (мгновенным и ползучести).
С помощью (2.43) применительно к (2.41) получим для
длительной прочности материалов при длительных нагру-
жениях:
R. = п • R ,
ОЛ • Л Кр 9
(2.44)
где RKp — прочность материалов при кратковременном ста-
тическом нагружении; т/л — множитель, учитывающий влия-
ние режима и длительности нагружения.
46
В частности, при стационарном нагружении:
1
1 +K,d-<p(t0,t) ’
где d =------------------—
Ko6n(2 + mK + 2Vv)
(2-45)
(2.46)
где к — константа материала, определяемая
(см. формулу (2.16));
Кв — коэффициент виброползучести
(см. формулу (2.66));
т — параметр нелинейности (нормируется отдельно
для мгновенных и отдельно для запаздывающих
деформаций).
Аналогично можно подобрать усредненное для част-
ных деформаций (мгновенных и ползучести) значение обще-
го коэффициента обратимости К^:
Ko6e(t0,t) = Ko6MEM(t) + Ko6nen(t0,t)	(2.47)
и- _ (О Коб пЕп (?[, t0)
^об
(2.49)
Для количественного анализа выражения (2.49) удобно
зафиксировать некоторые пределы:
/0 = 28 ; t = оо ; <т(Г) -> RKp ;
(2.50)
47
и тогда:
К б = Коб^М=^) + Ko6MEn(t0 = 28;t =qq;R) ,	(2 5 j>
E(I\t0 = 2%;t = °°
С учетом (2.51) выражение (2.43) примет вид
£об(^о) = ^/’<т(')
Следовательно, временный модуль деформации для
обратимых деформаций:
; (2.53)
(2-54)
1 _ 'гсг(т) Э
—---\^~C*dT
E-.it) {а(1)дт
Далее, опираясь на инвариант (2.41), записываем:
1/2	1/2 Д^(<)
Е вр .об (/о )	Евр ,об (О
с учетом (2.50) перепишем (2.56):
48
1/2 r2^ _1/2 r2M
Ko6f*E°p(t0) Ko6f*E°ep(r)
(2.57)
Теперь можно получить:
2	E°(t) 7
RM = j^R2P(t0) >
EgpVo)
ИЛИ
(2.58)
C(0
V) = Jj£4('o) •
V EgP vo )
(2.59)
В наиболее встречающемся частном случае линейной
постановки при а(т) = a(t) - const:
откуда
Egp(t0) = E°M ;	(2.61)
следовательно, при а(т) = a(t) = const получим:
(2.62)
49
[l/£:(/) + C*G0Q Г
EM
E°M(t)
______,	(2.63)
i+£:(/)-c*(roo
Путем преобразований получим выражение для дли-
тельной прочности бетона в виде, удобном для практическо-
го использования (при t0 = 28 и t = °°):
— при статическом неизменном нагружении
«-и-
(2-64)
— при стационарном вибрационном нагружении
(рис. 2.5)
(2.65)
где Кв — коэффициент виброползучести:
К, = Р+(1-рХ.,	(2.66)
р—динамическая характеристика асимметрии циклов коле-
баний:
р = ^-<1
&тах
(2.67)
50
Рис. 2.5. Схема изменения напряжений при вибрациях
Коэффициент Кв0 определяется экспериментально:
= Кв при р = 0, при amin —> 0; зависит от класса бетона,
отношения уровня напряжений omax/R и частоты вынуж-
денных колебаний <b - (<omin... а>тах).
В качестве примера в табл. 2.1 приводятся данные о
значениях для некоторых бетонов, при двух вариантах
уровня напряжения и трех вариантах а> [23].
Анализ экспериментальных результатов показывает,
что длительная статическая прочность (2?Эл) составляет
примерно (0,7-0,8)2?^, а длительная вибрационная проч-
ность (выносливость) Rd]te = (0,45-0,55)2?^.
Таблица 2.1
Величина Кв0 в зависимости от уровня напряжения
и частоты вынужденных колебаний о.
R, МПа	К ВО			
	O/R	(0		
		5п	9п	13п
10	0,5	3,74	6,30	9,32
	0,7	3,93	6,64	9,82
20	0,5	3,59	6,05	8,95
	0,7	3,89	6,07	9,68
30	0,5	3,51	5,9	5,7
	0,7	3,83	6,43	9,55
40	0,5	3,47	5,87	8,69
	0,7	3,77	6,41	9,45
50	0,5	3,44	5,75	8,51
	0,7	3,73	6,27	9,28
52
2.3.	Физико-механические
свойства арматуры
2.3.1.	Классификация арматуры
и применение арматурной стали
Арматурой называют элементы (стержни и профи-
ли), размещаемые в бетоне в соответствии с расчетом,
конструктивными и технологическими требованиями.
Основным назначением арматуры в железобетонных
конструкциях является восприятие растягивающих на-
пряжений. Кроме того, арматура устанавливается в сжа-
той зоне сечения в целях повышения ее несущей спо-
собности.
Арматуру можно классифицировать по различным при-
знакам:
—	по функциональному назначению различают ра-
бочую (продольную и поперечную), а также монтажную
(распределительную, конструктивную и технологическую)
арматуру.
Площадь сечения рабочей арматуры определяется рас-
четом на действие внешних нагрузок.
Распределительная арматура служит для более рав-
номерного распределения усилий между отдельными стер-
жнями рабочей арматуры.
Конструктивная арматура устанавливается по кон-
структивным соображениям и воспринимает усилия, не
учитываемые в расчетах (напряжения от усадки и ползуче-
сти бетона, температурные, местные или случайные напря-
жения).
53
Технологическая арматура применяется для сохране-
ния проектного положения рабочей арматуры в конструкци-
ях при бетонировании;
—	по технологии изготовления арматура может быть
горячекатанная стержневая, холоднотянутая проволочная, в
некоторых случаях термически или термомеханически упо-
рядоченная, канатная;
—	по форме поверхности: периодического профиля и
гладкая;
—	по способу применения — напрягаемая и ненапря-
гаемая (обычная);
—	по характеру деформирования (рис. 2.6) арматур-
ные стали бывают:
а)	мягкие (с явно выраженной площадкой текучести);
они имеют физический предел текучести (сту) — напряже-
ние, при котором деформации развиваются без заметного
увеличения нагрузки;
б)	твердые стали, деформирующиеся вплоть до разру-
шения без значительных пластических деформаций. В этих
сталях физический предел текучести отсутствует, а для
расчетов принимается условный предел текучести (ст0>2) —
напряжение, при котором остаточные деформации после
снятия нагрузки составляют 0,2%.
В зависимости от механических свойств и способа
изготовления арматура для железобетонных конструкций
делится на классы. Класс объединяет арматуру из сталей
различных марок, но с одинаковыми прочностными и де-
формативными свойствами.
Арматура класса A-I — стержневая горячекатанная
гладкая; используется, как правило, для монтажного, иногда
для поперечного рабочего армирования.
54
л)	S)
LA
LA
Puc. 2.6. Диаграммы as — Ss при растяжении арматурной стали:
а) с площадкой текучести (мягкая сталь)
б) с условным пределом текучести (упрочненная сталь)
Арматура классов А-П, А-Ш, A-IV, A-V, А-VI, А-VII —
стержневая горячекатаная периодического профиля, исполь-
зуется в основном для рабочего, в отдельных случаях для
конструктивного (А-П) армирования.
Стержневая термически и термомеханически упроч-
ненная арматура периодического профиля классов А-Ш, А-
IV, A-V, А-VI, А-VII используется в качестве предваритель-
но напрягаемой арматуры.
Проволочная холоднотянутая низкоуглеродистая арма-
тура периодического профиля Вр-I предназначается для
сварных сеток и поперечной арматуры каркасов.
Для предварительно напряженных конструкций наи-
более эффективны высокопрочная углеродистая холодно-
тянутая термически упрочненная гладкая проволока клас-
са В-П и проволока периодического профиля класса Вр-П.
Из проволоки В-П изготавливаются канаты семипрово-
лочные К-7 и девятнадцатипроволочные К-19.
Для армирования конструкций также может приме-
няться стеклопластиковая арматура.
2.3.2.	Связь между напряжениями
и деформациями в арматуре
Исследованиями в области физики, а точнее в области
механики твердого деформированного тела установлено,
что связь между напряжениями и деформациями (а - е)
принципиально нелинейна. Существующие линейные зако-
ны (например, закон Гука) представляют собой не что иное,
как известное упрощение, и с математической точки зрения
они могут интерпретироваться как удержание линейных
56
членов в степенных рядах, которыми аппроксимируются
фактические нелинейные физические соотношения. По-
скольку арматурная сталь в изделиях работает при доста-
точно высоких напряжениях, с учетом вышесказанного
будем рассматривать только варианты нелинейных записей
связи а - е.
Полученные из испытания опытных образцов армату-
ры экспериментальные кривые «ст - е» аппроксимируются
различными аналитическими записями. При этом секущий
модуль упругости можно определить в виде:
Exs=fiEs ,
(2.68)
где [3 — функция нелинейности деформирования арматурой
стали. Для мягких сталей с физическим пределом текучести
(сту)достаточно принять (3 = 1, т.к. вряд ли целесообразно
допускать работу такой стали при а5 > ау. При этом за
фактический предел сопротивления такой стали следует
принимать ау.
Для твердых сталей функция [3 может быть принята в
форме П.И.Васильева [45]:
Р =
1+Ъ
где
1]г =(55,8-103)-36,3 ,
(2.69)
57
ms =6,92 + 4,44-1014(107?s)”3’79
(2.70)
В [26, 43] предложена также форма записи для секуще-
го модуля деформаций арматурной стали:
Е* = ES-(ES-fu/£su)((Js-(j002)/fu/ms .	(2.71)
Не вдаваясь в анализ зависимостей (2.68) и (2.71),
можно сказать, что использование того или иного выраже-
ния для Es должно быть поставлено в зависимость от нали-
чия надежного обеспечения константами, входящими в вы-
ражение. Таковыми в выражении (2.71) являются о-0 02, esu,fu,
т. Их нормативные значения (по [45]) приводятся в табл. 2.2.
Не отступая от методики норм, для упрощенных расче-
тов в качестве предельных сопротивлений арматурной стали
растяжению целесообразно принимать величину физическо-
го или условного предела текучести с учетом (в необходи-
мых случаях) коэффициента ys6 [1]. Предельное сопротивле-
Параметры нормативных диаграмм
высокопрочной арматуры
Таблица 2.2.
Класс арматуры	Оо,02	fu, МПа	£su102	m
A-IV	358,5	900	6	0,607
A-V	644,2	1000	3	0,3558
A-VI	866,3	1200	3,5	0,2781
В-П	1077,3	1600	3	0,3266
К-7 (012 мм)	1163,1	1700	3	0,3158
58
ние арматуры сжатию, кроме того, должно быть ограничено
предельными деформациями бетона. Учитывая, что после-
дние в определенных условиях больше принимаемых норма-
ми, при соответствующем обосновании предельное сопро-
тивление арматуры сжатию можно увеличить по сравнению
с нормативными значениями [1].
Напряжения в арматуре as = esE*. Подставив это значе-
ние в (2.71), после несложных преобразований получим:
g* =	+ °^0,02 ,
5	1 + аЕ
где
a^Es-fjEsu ,
fum
тогда
Л,с <сгол(О) ,
(2.72)
(2.73)
(2.74.а)
(2.74.6)
Как видно из выражения (2.74.6), предельное сопро-
тивление арматуры сжатию Rsc зависит от величины относи-
тельных деформаций в бетоне 8Ьи, соответствующих макси-
мальным деформациям на ниспадающей ветви диаграммы
«ст - е» (рис. 2.3), которая, в свою очередь, зависит от
Длительности действия нагрузки и режима нагружения. Та-
ким образом, величина предельного сопротивления армату-
ры сжатию со временем увеличивается. Это позволяет
59
вскрыть дополнительный резерв использования сжатой ар-
матуры, особенно в элементах, сжатая зона которых нахо-
дится в условиях стесненного деформирования (например, в
изгибаемых элементах).
2.4.	Основные положения конструирования
железобетонных элементов
При проектировании для обеспечения технологичнос-
ти изготовления, прочного сцепления арматуры и бетона,
надежности и долговечности конструкций, в эксплуатации
необходимо соблюдать определенные конструктивные тре-
бования, устанавливаемые СНиП [1].
2.4.1.	Размеры поперечных сечений элементов
Минимальные размеры сечения бетонных и железобе-
тонных элементов должны назначаться с учетом экономи-
ческих требований, необходимости унификации опалубоч-
ных форм и армирования, с учетом технологии изготовления
конструкции. Размеры поперечного сечения, принятые диа-
метр и количество арматуры определяют в соответствии с
расчетом по предельным состояниям.
Размеры сечений элементов железобетонных конст-
рукций должны приниматься с соблюдением требований,
касающихся расположения арматуры в сечении (толщины
защитного слоя бетона, расстояний между стержнями и
т.п.), а также анкеровки арматуры.
60
Толщина монолитных плит, мм, должна приниматься
не менее:
—	для покрытий	40
—	для междуэтажных перекрытий жилых
и общественных зданий	50
—	для междуэтажных перекрытий
производственных зданий	60
—	для плит из легкого бетона
класса В 7,5 и ниже во всех случаях	70
Минимальная толщина сборных плит должна опреде-
ляться из условий обеспечения требуемой толщины защит-
ного слоя бетона и условий расположения арматуры по
толщине плит.
Размеры сечений внецентренно сжатых элементов дол-
жны приниматься такими, чтобы их гибкость (Л = —) в
i
любом направлении, как правило, не превышала:
—	для железобетонных элементов
из тяжелого, мелкозернистого
и легкого бетонов	200
—	для колонн, являющихся
элементами зданий	120
—	для бетонных элементов
из тяжелого, мелкозернистого,
легкого и поризованного бетонов	90
—	для бетонных и железобетонных
элементов из ячеистого бетона	70
61
2.4.2.	Защитный слой бетона
Минимальная толщина защитного слоя бетона (рас-
стояния в свету от поверхности элемента до поверхности
арматуры) установлена опытом из условий обеспечения
совместной работы арматуры с бетоном, а также предохра-
нения арматуры от коррозии и нагрева. Минимальную тол-
щину защитного слоя бетона принимают согласно указаниям
норм в зависимости от типа конструкций и диаметра стерж-
ней арматуры.
Для продольной рабочей арматуры (ненапрягаемой и
напрягаемой, натягиваемой на упоры) толщина защитного
слоя, (мм), должна быть, как правило, не менее диаметра
стержня или каната и не менее:
—	в плитах и стенках толщиной, мм:
до 100 включительно	10
—	то же, свыше 100	15
—	в балках и ребрах высотой, мм:
менее 250	15
250 и более	20
—	в колоннах	20
—	в фундаментных балках	30
—	в фундаментах:
сборных	30
монолитных при наличии
бетонной подготовки	35
монолитных при отсутствии
бетонной подготовки	70
62
Толщина защитного слоя бетона, мм, для поперечной,
распределительной и конструктивной арматуры должна при-
ниматься не менее диаметра указанной арматуры и не менее:
—	при высоте сечения элемента менее 250 мм 10
—	при высоте сечения элемента
равной 250 мм и более	15
2.4.3.	Расстояния между стержнями,
канатами, пучками
Расстояния в свету между стержнями арматуры по
высоте и ширине сечения должны обеспечивать совместную
работу арматуры с бетоном и назначаются с учетом удобства
укладки и уплотнения бетонной смеси.
Стержни продольной арматуры в поперечном сечении
железобетонных элементов располагают, обеспечивая сле-
дующие расстояния в свету между стержнями одного карка-
са, а также между продольными стержнями соседних плос-
ких сварных каркасов:
—	при бетонировании в горизонтальном или наклон-
ном положении — не менее наибольшего диаметра стержня
и не менее 25 мм для нижней арматуры и 30 мм для верхней;
—	при расположении нижней арматуры более чем в два
ряда при бетонировании в вертикальном положении — не
менее 50 мм; по высоте — не менее 50 мм.
Расстояния в свету между отдельными напрягаемыми
стержнями, пучками и канатами при натяжении на бетон
Принимают не менее диаметра канала для арматуры, а между
Каналами — не менее 25 мм.
63
2.4.4.	Конструктивные требования
к армированию элементов
Количество продольной арматуры в железобетон-
ных элементах во всех случаях принимают не менее
0,05% площади сечения бетона (за исключением сжатых
элементов гибкостью 17 и более, где оно выше). Сжатые
стержни продольной арматуры при бетонах класса ниже
В25 должны быть диаметром не более 40 мм, а при
бетонах на пористых заполнителях и ячеистых классов
В15-В25 — не более 25 мм, при классе В10 и ниже — не
более 16 мм.
У всех поверхностей железобетонных элементов, вбли-
зи которых ставится продольная арматура, должна предус-
матриваться поперечная арматура. Шаг поперечной армату-
ры должен приниматься не более 500 мм и не более двойной
ширины армируемой стороны элемента.
В балочных конструкциях высотой свыше 150 мм, а
также в многопустотных плитах (или аналогичных часто-
ребристых конструкциях) высотой свыше 300 мм должна
устанавливаться поперечная арматура. В сплошных пли-
тах независимо от высоты, а в многопустотных плитах,
(или аналогичных часторебристых конструкциях) высо-
той менее 300 мм и в балочных конструкциях высотой
менее 150 мм допускается поперечную арматуру не уста-
навливать.
К конструированию продольной и поперечной армату-
ры изгибаемых, сжатых и растянутых элементов предъявля-
ют требования, отвечающие особенностям силовых воздей-
ствий. Во всех случаях продольную и поперечную арматуру
целесообразно объединять в сварные или вязаные каркасы
64
(для армирования плитных и других линейных элементов)
или же в сетки (для армирования плитных и стеновых
конструкций).
2.4.5.	Анкеровка ненапрянаемой арматуры
В железобетонных элементах надлежит обеспечивать
анкеровку арматурных стержней в бетоне запуском их на
определенную длину за расчетное сечение или, если это
невозможно, приваркой анкерующих деталей (шайб, коро-
тышей и т.д.) и др.
Стержни периодического профиля анкеруются, как
правило, без особых устройств на концах. Длину заделки 1ап
принимают большей из трех значений:

R,
со„„ —
R.

/дя= '>
an ап "
(2-75)
ап
ал,min
где d — диаметр арматуры.
В формуле (2.75) значения соап, &Лап и Лап, а также
Допускаемые минимальные значения 1ап определяются по
табл. 2.3. При этом гладкие арматурные стержни должны
оканчиваться крюками или иметь приваренную поперечную
65
Таблица 2.3
Коэффициенты для определения анкеровки
ненапрягаемой арматуры
Условия работы ненапрягаемой арматуры	Периодического профиля				Гладкой			
			^ап	мм		Мн,	Лш	L, мм
Заделка арматуры:								
растянутой в растянутом бетоне	0,7	11	20	250	1,2	11	20	250
сжатой или растянутой в сжатом бетоне	0,5	8	12	200	0,8	8	15	200
Стыки арматуры внахлестку:								
в растянутом бетоне	0,9	11	20	250	1,55	И	20	250
в сжатом бетоне	0,65	8	15	200	1,0	8	15	200
арматуру по длине заделки. К величине Rb допускается
вводить коэффициенты условий работы бетона, кроме %2.
При невозможности выполнения указанных требова-
ний должны быть приняты меры по анкеровке продольных
стержней для обеспечения их работы с полным расчетным
сопротивлением в рассматриваемом сечении (постановка
косвенной арматуры, приварка к концам стержней анкерую-
щих пластин или закладных деталей, отгиб анкерующих
стержней). При этом величина 1ап должна быть не менее 10d.
66
Анкеровка гладких арматурных стержней должна
отвечать следующим требованиям: растянутые гладкие стер-
жни вязаных каркасов должны оканчиваться крюками; сжа-
тые стержни диаметром свыше 12 мм должны иметь крюки
(при меньшем диаметре постановка крюков необязательна);
стержни в сварных каркасах и сетках анкеруются в бетоне за
счет приваренной поперечной арматуры и могут быть вы-
полнены без крюков.
Глава 3
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЙ
ЖЕЛЕЗОБЕТОН
3.1.	Сущность предварительного
обжатия бетона
Основная цель создания предварительного напряжения
в арматуре и бетоне — борьба с трещинами. Она достигается
предварительным натяжением арматуры и обжатием бетона
там, где он при эксплуатации растянут. Предельные дефор-
мации бетона при растяжении ebtu = 15 • 10 s, поэтому
трещины в бетоне растянутой зоны элемента образуются
при напряжениях в арматуре os = Es£btu = 2105х1510-4 = 30
МПа.
С увеличением нагрузки напряжение в арматуре возра-
стает до Rs, а ширина раскрытия трещин увеличивается. В
элементах с рабочей арматурой класса А-П (Rs = 300 МПа)
ширина раскрытия трещин не превысит допустимого значе-
ния. При использовании высокопрочной арматуры (Rs >500
МПа) ширина раскрытия трещин будет превышать допусти-
мые значения. Поэтому использование высокопрочной арма-
туры наиболее выгодно в железобетонных конструкциях с
предварительно напрягаемой арматурой, в которых трещи-
68
ны образуются уже при более высоких нагрузках. Это
приводит к уменьшению расхода стали и бетона. Создание
предварительного напряжения в бетоне и арматуре способ-
ствует также увеличению жесткости элемента, то есть сни-
жению его деформативности (прогибов). Недостатками пред-
варительно напряженных железобетонных конструкций яв-
ляются: трудоемкость изготовления, необходимость исполь-
зования сложного оборудования; повышенные требования к
технике безопасности; опасность образования начальных
микротрещин в бетоне в процессе его обжатия.
3.2.	Требования к трещиностойкости
железобетонных конструкций
В соответствии с условиями эксплуатации и защиты
арматуры от коррозии к трещиностойкости железобетонных
конструкций предъявляются требования трех категорий:
Первая категория — не допускается образование трещин
вообще.
Вторая категория — допускается ограниченное по ширине
кратковременное раскрытие трещин
(нормальных и наклонных) при
условии их последующего надежного
закрытия (зажатия).
Третья категория — допускается ограниченное по ширине
кратковременное и длительное
раскрытие трещин, нормальных
и наклонных к продольной оси
элемента.
69
Таким образом, в предварительно напряженных желе-
зобетонных конструкциях при требованиях:
1 категории — 2 категории —	нет трещин; есть трещины, ограниченные по ширине и возникающие только при действии постоянной, длительных и кратковременных нагрузок;
3 категории —	есть трещины, ограниченные по ширине; возникают от кратковременных и длительных нагрузок.
К железобетонным конструкциям без предварительно-
го напряжения предъявляются требования 3-ей категории
трещиностойкости. Более подробно см. главу 6.
3.3.	Методы создания
предварительных напряжений в бетоне
и способы натяжения арматуры
Существует два метода создания предварительного
обжатия бетона: натяжение арматуры на упоры и натяже-
ние арматуры на готовый бетон.
1.	Натяжение на упоры. Изготовление конструкции
производится с натяжением арматуры до бетонирования и
временной передачей сил натяжения на упоры стенда или
силовой формы. Арматуру укладывают в форму, натягивают
до заданного напряжения osp и закрепляют в упорах формы
анкерами. Затем бетонируют форму; после достижения бето-
ном передаточной прочности Rbp арматуру освобождают с
70
упоров. Стремясь вернуться в первоначальное состояние,
арматура обжимает бетон элемента, так как имеет с ним
надежное сцепление.
2.	Натяжение на бетон. Изготовление конструкции
ведется с натяжением арматуры после затвердения бетона и
передачей сил напряжения на бетон конструкции. При бетони-
ровании элементов в форме в них оставляют каналы или
наружные пазы для размещения напрягаемой арматуры; диа-
метр отверстий предусматривается на 5-Н5 мм больше диа-
метра арматуры. После набора бетоном передаточной прочно-
сти Rbp арматуру пропускают через каналы, натягивают до
заданного напряжения asp и закрепляют на торцах железобе-
тонного элемента анкерами. В процессе натяжения арматуры
происходит обжатие бетона. Для обеспечения надежного сцеп-
ления арматуры с бетоном каналы обязательно заполняют
раствором под давлением.
Применяется несколько способов натяжения арма-
туры:
—	механическое натяжение, осуществляется с помо-
щью домкратов, винтовых, гидравлических и других машин;
—	электротермическое — арматуру нагревают до 300-
350°С, в результате она удлиняется. Нагретые стержни уклады-
вают в форму и закрепляют на упорах. При остывании упоры
препятствуют укорочению арматуры, за счет этого в ней возни-
кают растягивающие напряжения asp. После укладки бетона и
набора им передаточной прочности Rbp арматуру освобождают
С упоров, при этом происходит обжатие бетона;
—	электромеханическое — представляет собой соче-
тание двух первых способов натяжения.
71
3.4.	Напряжения в арматуре
предварительно напряженных элементов
Назначение величины предварительного напряже-
ния в арматуре. Чем выше предварительное напряжение,
тем выше его положительное влияние. Однако при этом
должна быть исключена возможность разрушения бетона и
обрыва арматуры в процессе изготовления. Эти условия
устанавливают максимальное значение предварительного
напряжения (oQ арматуры. Минимальное значение asp огра-
ничено эффективностью предварительного натяжения для
конструкции. При малых значениях asp эффект предвари-
тельного напряжения с течением времени будет утрачен
вследствие релаксации напряжений в арматуре, ползучести
и усадки бетона, а также других технологических и конст-
руктивных факторов.
Опыт и нормы проектирования железобетонных конст-
рукций устанавливают величину предварительного напря-
жения в напрягаемой арматуре asp и a’sp, расположенной
соответственно в растянутой (Asp) и сжатой (A'sp) зонах с
учетом предельно допустимых отклонений р:
vsp + P^ R^er; — верхний предел	(3.1)
°sP~P^ Q’3R^er; — нижний предел
Значения допустимых отклонений р, МПа: при механи-
ческом способе натяжения р = О,О5сгЛ/?; при электротермичес-
ком и электромеханическом р = 30 + 360/L, где L — длина
натягиваемого стержня, м (как правило, равна длине эле-
мента).
72
При этом предварительное напряжение арматуры на-
значают таким образом, чтобы сжимающие напряжения в
бетоне от обжатия не превышали значения:
аЬр < (0,85...0,95)7?6р— если от внешней нагрузки бетон
растягивается;
аЬр < (0,55...0,7)7?6р— если от внешней нагрузки бетон
сжимается.
Передаточная прочность бетона. Передавать усилие
обжатия на бетон можно тогда, когда его прочность достиг-
нет значений передаточной прочности Rbp.
Как правило, принимается/?^ 11 МПа; а при стержне-
вой арматуре классов A-VI, Ат-VI, At-VI К, Ат-VII и
высокопрочной арматурной проволоке без анкеров — не
менее 15,5 МПа. Передаточная прочность во всех случаях
должна быть выше 50% принятого класса бетона по прочно-
сти на сжатие.
Контролируемые напряжения в арматуре. Предва-
рительные напряжения в арматуре (asp) снижаются в резуль-
тате потерь предварительного напряжения, обусловленных
технологическими факторами изготовления конструкций и
свойствами материалов. В связи с этим в процессе изготов-
ления предварительно напряженных конструкций существу-
ет понятие контролируемых напряжений, которые создают-
ся в арматуре. В зависимости от метода создания предвари-
тельного напряжения контролируемые напряжения состав-
ляют:
73
— при натяжении арматуры на упоры:
СУ > СУ	СУ 1 СУ а
соп\ sp 3	4
(7 . = ст — сгсг 1
con 2 sp	bp
где ^(crj) и сг4(сг4) —потери напряжений соответственно от
деформаций анкеров и огибающих приспособлений;
— при натяжении арматуры на бетон:
ст ,=сг -cctj, :
соп2 sp	bp i
ст о=сг -ао\ :
где оЬр и о'Ьр — напряжения в бетоне при обжатии с учетом
первых потерь; а = Е/Еь.
Вследствие погрешностей, вызванных различными про-
изводственными факторами, фактическое значение предва-
рительного напряжения может отличаться от проектного.
Поэтому возможность отклонения предварительного напря-
жения от заданных значений в неблагоприятную сторону в
расчете учитывается коэффициентом точности натяжения
арматуры:
Г,„=1±Д)%	(3-2)
где — коэффициент предельных отклонений предвари-
тельного напряжения в арматуре; знак «+» принимается при
неблагоприятном влиянии предварительного напряжения (т.е.
на рассматриваемой стадии работы конструкции или на рас-
74
сматриваемом участке элемента предварительное напряжение
снижает несущую способность, способствует образованию
трещин и т.п.), знак «-» — при благоприятном.
Ду5р= 0,1 — при механическом способе натяжения
ду = 0,5-2- 1 +
₽	о-,.
<0,1
— при электротермичес-
ком и электротермомеханическом способе натяжения, пр —
число стержней напрягаемой арматуры.
Потери предварительного напряжения в арматуре
Начальные предварительные напряжения в арматуре
не остаются постоянными, а уменьшаются с течением
времени. Различают две группы потерь предварительного
напряжения. Первые потери происходят при изготовлении
элемента и обжатии бетона, вторые потери — после
обжатия бетона [4].
Первые потери
1.	ст, — потери от релаксации напряжений в арматуре,
МПа, при натяжении на упоры зависят от способа натяжения
и вида арматуры:
— при механическом способе натяжения:
проволочной арматуры о, = [0,22(сглр / A5 !(,r)-0,l]o’jp;
стержневой о, = 0,los/, - 20;
75
— при электротермическом и электромеханическом
способах натяжения:
проволочной арматуры ст, = O,O5trj;,
стержневой о-! = О,ОЗсгsp
Здесь asp принимается без учета каких-либо потерь.
Если значения потерь окажутся отрицательными, их сле-
дует принимать равными нулю.
2.	сг2 — потери от разности температур натянутой
арматуры и упоров при пропаривании или прогреве бетона,
МПа; зависят от класса бетона и температуры:
— для бетона классов В15 + В40: а2 = 1,25А?,
— для бетона класса В45 и выше: сг2 - 1,0А/,
где А/ — разность между температурой арматуры и упоров,
воспринимающих усилия обжатия, °C; при отсутствии дан-
ных принимают А/ = 65°С.
3.	сг3 — потери от деформации анкеров, расположенных
у натяжных устройств, вследствие обжатия шайб, рмятия
высаженных головок, смещения стержней в зажимах или в
захватах.
При механическом натяжении на упоры:
<у,= — Е .МПа
I
где А / = 2 мм — при обжатии запрессованных шайб или
смятии высаженных головок и т.п.;
AZ = 1,25+0,15d, мм — при смещении стержней
в инвертарных зажимах;
76
d — диаметр стержня, мм;
I — длина натягиваемого стержня, мм.
При натяжении на бетон:
Д/] + Д/2 КЛГГ
ст, = —1--2-Е,, МПа
3 I
где Д/j = 1мм — обжатие шайб, расположенных между
анкерами и бетоном элемента;
Д/2 = 1мм — смещение анкеров стаканного типа,
колодок с пробками, анкерных гаек и захватов;
I — длина стержня, мм.
4.	сг4 — потери от трения арматуры, МПа:
а)	об огибающие устройства при натяжении на упоры:
<т4=^[1-(1/е0’250)]
где asp — принимается без учета потерь;
е — основание натурального логарифма;
в — суммарный угол поворота оси арматуры, рад.
б)	о стенки каналов или поверхность конструкции при
натяжении на бетон:
a4 = a„(l-e-«-“)
где % — длина участка каната;
(л	) — коэффициент, учитывающий отклонения каната
от проектного положения;
8—	коэффициент трения; значения этих
коэффициентов приведены в таблице 3.1.
77
Таблица 3.1.
Значения коэффициентов й) и S
Канал	со	5, при арматуре в виде	
		Пучков, канатов	Стержней периодического профиля
С металлической поверхностью	0,003	0,35	0,40
С бетонной поверхностью, образован каналообразователем: — жестким — гибким	0 0,0015	0,55 0,55	0,65 0,65
5.	сг5 — потери от деформации стальной формы при
изготовлении предварительно-напряженных железобетонных
конструкций с натяжением арматуры домкратами:
и-1 А/ „
ст, =-------Е,, МПа
2п I
где AZ — сближение упоров по оси равнодействующей
силы обжатия, определяемое из расчета
деформации формы;
п — число групп стержней, натягиваемых
одновременно.
При отсутствии данных о конструкции форм сг5 =
ЗОМПа
При электротермическом способе натяжения потери от
дефомации формы в расчете не учитываются.
78
6.	сг6 — потери от быстронатекающей ползучести бето-
на, МПа; зависят от условий твердения, уровня напряжений
(jbp/Rhp и класса бетона; развиваются они в момент обжатия и
в первые 2-3 часа после обжатия.
При естественном твердении бетона:
сг=40^- при^-<а
6 Rbp Rbp
<уб = 4Оа+850(^—а)
Rbp
<y.
при —— >а
RbP
где а и /3 — коэффициенты, принимаемые в зависимости от
передаточной прочности бетона Rbp (табл. 3.2):
Таблица 3.2
Rbp, МПа	а	Р
30 и выше	0,75	1,2
25	0,7	1,35
20	0,65	2,5
15 и ниже	0,6	2,5
аЬр — напряжение обжатия бетона на уровне центра
тяжести продольной арматуры As и A's от действия усилия
обжатия Р с учетом потерь Ст] + сг2 + сг3 + гг4 + сг5; при тепловой
обработке бетона потери сг6 умножают на коэффициент 0,85.
79
Вторые потери
7.	сг7 — потери от релаксации напряжений в арматуре
при натяжении на бетон:
—	высокопрочной арматурной проволоки
(77=(0,22-^--0,1)(7„ ,МПа
—	стержневой арматуры
а7= 0,1(7,,-20 , МПа
Здесь osp принимается без учета потерь. Если значе-
ния потерь окажутся отрицательными, их следует прини-
мать равными нулю.
8.	сг8 — потери от усадки бетона; зависят от вида
бетона, способа натяжения арматуры, условий твердения.
Значения os приведены в таблице 3.3.
9.	о9 — потери от ползучести бетона (и, как следствие,
соответствующего укорочения элемента), МПа; зависят от
вида бетона, условий твердения, уровня напряжений obp/Rbp.
Для тяжелого и легкого бетона на плотном заполнителе
(79 =150а^ при <0,75
9 Rbp RbP
(79 = 300а(^ - 0,5) при > 0,75
Rbp	RbP
80
Таблица 3.3
Потери напряжений в арматуре от усадки бетона, МПа
Бетон	Натяжение на		
	упоры		бетон
	естественного твердения	тепловая обработка при амосферном давлении	независимо от условий твердения
Тяжелый класса В35 и ниже	40	35	30
В40	50	40	35
В45 и выше	60	50	40
Легкий на мелком заполнителе: — плотном	50	45	
— пористом,	65	55	—
кроме вспученного перлитового песка — вспученном	90	80	
перлитовом песке			
где
р Ре -у
а =_£_+—
bp А I
^red	U red
Р — усилие предварительного обжатия бетона, опре-
деляется с учетом первых потерь; а = 1 при естественном
твердении бетона; а = 0,85 — для бетона, подвергнутого
тепловой обработке при атмосферном давлении.
81
10.	сг10 — потери от смятия бетона под ветками спи-
ральной или кольцевой арматуры (при диаметре конструк-
ции до 3 м):
сг10 = 70 - 0,22dx , МПа
где dx — диаметр конструкции, см.
11.	сгн — потери от деформаций обжатия стыков между
блоками (для конструкций, состоящих из блоков):
где п — число швов конструкций и оснастки по длине
натягиваемой арматуры;
Д/ — обжатие стыка; принимается для стыков,
заполненных бетоном — 0,3 мм;
при стыковании насухо — 0,5 мм;
I — длина натягиваемой арматуры, мм.
Потери предварительного напряжения в напрягаемой
арматуре A\ определяются также, как в арматуре As.
Для конструкций, эксплуатируемых при влажности
воздуха ниже 40%, потери должны быть увеличены на 25%,
за исключением конструкций из тяжелого и мелкозернистого
бетона, предназначенных для эксплуатации в районах IVA
согласно СНиП 23-01-99 с сухим жарким климатом), для
которых потери увеличиваются на 50%.
Учитываемые виды потерь определяются в зависимос-
ти от метода натяжения арматуры.
82
При натяжении арматуры на упоры:
—	первые потери: ct/oj , = ст, + ст2 + ст3 + ст4 + ст5 + ст6
—	вторые потери: crte>2 = ст8 + ст9
При натяжении арматуры на бетон:
—	первые потери: <Jlos, = ст3 + ст4
—	вторые потери: ст;<и 2 = ст7 + ст8 + ст9 + ст10 + ст,,
Суммарные потери предварительного напряжения
(ст/(И =ст/(И ,+ct/oj 2) могут составлять 15...20% контролируе-
мых напряжений для стержневой арматуры и 20...30% — для
проволочной. По нормам суммарные потери не должны
приниматься менее 100 МПа.
Напряжения в ненапрягаемой арматуре бетона. В
ненапрягаемой продольной арматуре предварительно напря-
женных элементов под влиянием совместных с бетоном
деформаций возникают начальные сжимающие напряжения:
при обжатии бетона они равны потерям от быстронатекаю-
щей ползучести о; = ст6, а перед загруженном элемента
эксплуатационной нагрузкой, становятся равными потерям
от быстронатекающей ползучести, усадки и ползучести бе-
тона as = ст6 + ст8 + ст9.
Для ненапрягаемой арматуры, расположенной в зоне,
растянутой при обжатии элемента, принимают ст, = ст8.
83
3.5. Напряжения в бетоне
предварительно напряженных элементов
Геометрические характеристики приведенного се-
чения. В общем случае предварительного напряжения арма-
туры As и A's (рис. 3.1) определяют геометрические характе-
ристики приведенного сечения железобетонного элемента
для стадии 1 (см. п. 4.3), при этом площадь сечения арматуры
заменяют эквивалентной площадью сечения бетона, исполь-
зуя коэффициент приведения a = EJЕь.
Площадь приведенного сечения элемента составит
(рис. 3.1,а):
Ared =bh + asPAsP + a'sfAp + asAs + «X
Статический момент приведенного сечения относи-
тельно оси, проходящей по его нижней грани:
= 0,5bh2 + а А а + a,nA,n(h - а') + а А а, + а' X (h - а’)
red "	sp sp sp sp sp\ sp J s s s s s \ s/
Расстояние от нижней грани до центра тяжести приве-
денного сечения:
Л = Sred'Ared
Момент инерции приведенного сечения относительно
оси, проходящей через центр тяжести приведенного сечения
Уге“=IT+Ki " Уй ] + а*р А’рУ* +а^^+ а^у"+У
84
Рис. 3.1. Предварительно напряженный железобетонный элемент:
а — поперечное сечение;
б — схема распределения усилий обжатия;
в — эпюра нормальных напряжений в бетоне от усилия предварительного обжатия.
1 — линия центров тяжести приведенного сечения,
2 — эпюра с учетом неупругих деформаций бетона (фактическая),
3 — линейная эпюра (используемая для расчета).
Расстояние до верхней и нижней границы ядра сечения
от центра тяжести приведенного сечения:
„ _ У red . у. —	Уred	.
“	^(Л-Jo)
Усилие предварительного обжатия бетона. Усилие
обжатия бетона (Р) принимается равным равнодействующей
усилий в напрягаемой и ненапрягаемой арматуре (рис.3.1,б)
Р = сг,„Лп + сг'пЛ'п+<7,Л+<7’/	(3.3)
Эксцентриситет приложения усилия Р относительно
центра тяжести приведенного сечения:
_ ^зр^зрУзр + ^г^-гУг &spAspySp °ЛУ,
eop ~	D	V3 -4)
Напряжения в бетоне от обжатия силой Р. В расче-
те усилие обжатия Р рассматривается как внешняя сжима-
ющая сила. При передаче усилия предварительного натя-
жения арматуры на элемент в бетоне развиваются неупру-
гие деформации, в связи с этим эпюра нормальных напря-
жений по высоте сечения приобретает криволинейное
очертание.
Для упрощения предполагается упругая работа мате-
риала в сечении и линейное распределение напряжений
по высоте. Это позволяет достаточно просто вычислять
напряжения в бетоне от обжатия аЬр в любой координате
сечения:
86
„ _ р Реор
°bp~ а + J Уо
Ared	J red
(3.5)
В зависимости от цели расчета определение напряже-
ний в бетоне (сгЬр) производят в разных по высоте сечения
координатах:
а) при вычислении контролируемого напряжения в
арматуре, натягиваемой на бетон, напряжения в бетоне опре-
деляют в уровне усилий в напрягаемой арматуре:
Р
а»Р=-1~ +
S^red
Ре
-----У
т J*P
J red
Р	Ре
ст = — + —зе-у
ЬР Л Г	JsP
Ared	J red
(3.6)
(3.7)
Здесь P вычисляют с учетом первых потерь при Ysp= 1;
б) при проверке предельных напряжений при обжатии
напряжения в бетоне вычисляют в уровне крайнего сжатого
волокна:
(3-8)
в) при расчете потерь а6 (от быстронатекающей ползу-
чести) и ст9 (от ползучести) напряжения в бетоне вычисляют
на уровне центра тяжести напрягаемой арматуры формулам
(3.6) и (3.7).
Глава 4
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ
4.1.	Сущность метода расчета
по предельным состояниям
При расчете по методу предельных состояний создают-
ся проектные гарантии надежности и безопасности работы
здания и сооружения в течение всего срока эксплуатации.
Кроме того, расчет имеет и экономическую направленность
— позволяет создать конструкцию минимальной стоимости
с наименьшими материальными, энергетическими, трудовы-
ми и эксплуатационными затратами. Это достигается рацио-
нальным использованием свойств материалов, применением
оптимальных конструктивных решений и форм, позволяю-
щих наиболее полно использовать несущую способность
конструкции.
Предельным является такое состояние строительной
конструкции, при достижении которого она перестает удов-
летворять предъявляемым требованиям эксплуатации, транс-
портирования, монтажа. Железобетонные конструкции рас-
считываются по двум группам предельных состояний:
88
1-я группа — по потере несущей способности (непри-
годности к эксплуатации вообще), включает:
—	расчет на прочность;
—	расчет на устойчивость;
—	расчет на выносливость.
2-я группа — по непригодности к нормальной эксплу-
атации, включает:
—	расчет по трещиностойкости;
—	расчет на деформацию конструкции без трещин или
с трещинами;
—	расчет по долговечности.
При расчете конструкций по несущей способности и
по пригодности к нормальной эксплуатации четко уста-
навливаются предельные состояния конструкции и вво-
дится система расчетных коэффициентов, гарантирую-
щих конструкцию от наступления этих состояний при
самых неблагоприятных сочетаниях нагрузок и при наи-
меньших значениях прочностных характеристик материа-
лов. Современные СНиП используют так называемый
полувероятностный метод расчета железобетонных кон-
струкций.
Расчет по несущей способности является основным,
используется для подбора размеров сечения элементов и
диаметра арматуры, поэтому он проводится на максималь-
ные нагрузки и воздействия, возможные в период эксплуа-
тации.
Несущая способность считается обеспеченной, если
усилия от расчетных нагрузок не превышают разрушающих
усилий, определяемых по расчетным сопротивлениям с уче-
том коэффициентов условий работы:
89
YnF{qn-,YfM) < &(A,Rb„,Rs„,ym,ys)
или
У^М)<Ф(АЛуь,у,)
где q = q„Af; R = R„lYm-
Левая часть неравенства — расчетное усилие F =
(М, N, Q) в элементе, зависит от нормативной нагрузки
q„, коэффициента надежности по назначению здания у„,
коэффициентов надежности по нагрузке yf> 1, коэффи-
циентов сочетания нагрузок 1//; кроме того, для статичес-
ки неопределимых конструкций от особенностей пере-
распределения усилий.
Правая часть неравенства — несущая способность Ф
сечения элемента, определяется по тому же силовому факто-
ру, что и F, зависит от геометрии сечения А, нормативного
сопротивления Rn, коэффициентов надежности по материалу
у„, коэффициентов условий работы бетона и арматуры %, у,
кроме того, в зависимости от перераспределения напряже-
ний между компонентами сечений.
Величина проектной надежности регулируется коэф-
фициентами надежности по нагрузке yf, материалу ут, назна-
чению здания уп, условий работы yb, ys.
Расчет по пригодности к нормальной эксплуата-
ции позволяет обеспечить эксплуатационные качества кон-
струкции, которые могут утрачиваться еще до исчерпания
ее несущей способности. Этот расчет проводится по норма-
тивным эксплуатационным нагрузкам.
90
Нормальная эксплуатация элемента будет обеспечен-
ной, если деформации (прогибы, углы поворота, перемеще-
ния и др.), а также ширина раскрытия трещин не превышают
предельно допустимых значений.
Условия обеспечения требований предельных состоя-
ний по второй группе имеют вид:
—	по прогибам
7W]
—	по ширине раскрытия трещин
асгс^\.асгс)
где f и асгс — прогиб и ширина раскрытия трещин в бетоне
от эксплуатационной нагрузки; [/] и [асге] — предельно
допустимые значения прогиба и ширины раскрытия тре-
щин.
Численные характеристики прочностных и деформа-
тивных свойств материалов (бетона, арматуры), получае-
мые при стандартных испытаниях, обладают статистичес-
кой изменчивостью вследствие влияния многих случайных
факторов: размеров образцов, неоднородности структуры,
режимов загружения, условий испытаний и т. п. В реаль-
ных конструкциях свойства материалов также будут зави-
сеть от геометрических размеров элементов и вида воздей-
ствий. Таким образом, механические характеристики мате-
риалов могут отличаться от заданной вероятности, в том
Числе и в неблагоприятную сторону уменьшения средних
значений.
91
Основным свойством действующих нагрузок являет-
ся их изменчивость. Нагрузки и воздействия также могут
отличаться от принятой вероятности, в том числе и в
неблагоприятную сторону увеличения средних значений.
Учет статистической изменчивости нагрузок и механичес-
ких характеристик материалов при расчете по методу пре-
дельных состояний обеспечивается использованием норма-
тивных и расчетных значений нагрузок и сопротивлений
материалов.
В расчетах по предельным состояниям отдельными
коэффициентами учитываются факторы нестатистическо-
го характера, различные неблагоприятные, а иногда и
благоприятные физические, химические и механические
условия работы бетона и арматуры, возникающие в про-
цессе изготовления и эксплуатации конструкций. В нор-
мах установлены коэффициенты условий работы %, ys,
учитывающие влияние коррозии и агрессивности среды,
длительность действия нагрузок, их многократную повто-
ряемость и др.
Степень ответственности зданий и сооружений конст-
рукций определяется размерами материального и социаль-
ного ущерба при возможном отказе. При расчете конструк-
ций степень ответственности зданий учитывается коэффи-
циентом надежности по назначению ул, величина которого
принимается в зависимости от класса ответственности зда-
ний и сооружений.
92
4.2.	Нормативные и расчетные
сопротивления материалов
4.2.1.	Статистический учет
изменчивости прочности
Характеристики механических свойств материалов об-
ладают изменчивостью. По этой причине из всех возмож-
ных значений прочности в расчет необходимо вводить
такое, которое с необходимой надежностью будет обеспе-
чивать безопасную эксплуатацию конструкции. Основным
параметром сопротивления материалов силовым воздей-
ствиям является нормативное сопротивление Rn, обеспе-
ченность значения которого согласно СНиП принимается
равной 0,95.
Нормативные сопротивления определяются статисти-
ческой обработкой опытных данных, при которой построен-
ные гистограммы частот (рис. 4.1) аппроксимируются теоре-
тическими законами распределения. Математически распре-
деления прочностей для бетона и арматурных сталей с
определенной точностью могут быть описаны нормальным
законом'.
.	(5(Я)-Я)2
/(7?)=	'---е 2Г
V2Tt 5(7?)
где S(R) и 7? — соответственно стандарт кривой распределе-
ния и математическое ожидание прочности.
По результатам испытания партии из большого чис-
ла стандартных образцов устанавливается изменчивость
93
в)
Рис. 4.1. Гистограмма (1) и кривая распределения (2)
бетона (а) и арматурной проволоки (б)
94
прочности: П\ образцов имеют прочность 7?,; п2 образ-
цов — Т?2> •••» образцов — Rk.
При этом общее число образцов п = щ + п2 + п3 +... + пк.
Откладывая по оси абсцисс значения 7?„ Т?2,... 7?*, а по
оси ординат — соответствующие числа п„ п2,... nh получают
гистограмму, а затем и статистическую кривую распределе-
ния (рис. 4.1).
Результаты испытаний подвергают статистической об-
работке, в ходе которой определяют:
— среднеарифметическое значение прочности по ре-
зультатм испытаний:
п
R =-&—
п
(4.1)
— среднеквадратическое отклонение (стандарт), ха-
рактеризующее разброс прочности относительно истинного
значения R:
(4-2)
Из теории вероятности известно, что истинное значе-
ние прочности материала с заданной надежностью (вероят-
ностью) будет находиться в доверительном интервале:
R -4- S(R) <R<R+-$=S(R)
у/П	у/П
(43)
95
Здесь t — параметр, зависящий от заданной надежнос-
ти Р и числа опытов п.
Принято использовать следующие показатели:
5(7?) zv f
v = -^- , a =
R	y/n
v — коэффициент вариации (изменчивости) прочности
материала в партии; чем меньше значение и, тем совер-
шеннее и экономичнее производство.
а — показатель надежности, его численное значение
равно числу стандартов S(R), откладываемых в сторо-
ну большей и меньшей прочности от среднего ее
значения R .
При расчетах верхний предел доверительного интерва-
ла значений прочности нас не интересует; нижний предел
принимается за нормативное сопротивление материала R„
(см. формулы (4.5) и (4.6)).
Нормами проектирования установлена доверительная
вероятность (обеспеченность) нормативных сопротивле-
ний, равная Р = 0,95. Это означает, что из 100 испытанных
образцов не менее 95 будут иметь прочность, большую
нормативного сопротивления, или равную ему. При нор-
мальном законе распределения вероятности Р = 0,95 соот-
ветствует значение а = 1,64.
На основе опытных исследований, проведенных на
заводах железобетонных изделий, для тяжелых бетонов и
бетонов на пористых заполнителях нормами установлены
следующие коэффициенты вариации:
— при сжатии и = 0,135;
— при растяжении v =0,165, так как при растяжении
разброс прочности больше, чем при сжатии.
96
При уровне надежности Р = 0,95 возможно (с малой
вероятностью, всего 5%) попадание в конструкцию материа-
ла с прочностью ниже нормативного сопротивления, особен-
но, если размеры конструкции значительно больше размеров
опытных образцов. В результате несущая способность кон-
струкции может оказаться ниже, поэтому в расчет по несу-
щей способности вводят не нормативное, а расчетное сопро-
тивление материала (/?):
R = ^-
Ут
(4-4)
где ут — коэффициент надежности по материалу (ym > 1);
устанавливается с учетом свойств материала, их статисти-
ческой изменчивости, характера разрушения, допусков на
размеры сечений проката, опыта проектирования и эксплуа-
тации конструкций.
При таком подходе обеспеченность расчетных сопро-
тивлений для расчета по 1-й группе предельных состояний
составляет уже Р = 0,99...0,97; при этом коэффициент надеж-
ности по материалу ут = 1,50...1,15. В расчетах по 2-й группе
предельных состояний принимается ут = 1.
4.2.2.	Показатели качества бетона
Для возможности проектирования бетонных и железо-
бетонных конструкций в соответствии с их назначением и
условиями работы нормами устанавливаются показатели
качества бетона, называемые классами и марками:
—	класс по прочности на осевое сжатие В — указы-
вается в проекте во всех случаях;
97
—	класс по прочности на осевое растяжение Bt —
назначается в случаях, когда эта характеристика имеет
главенствующее значение и контролируется на производ-
стве;
—	марка по морозостойкости F — назначается для
конструкций, подвергающихся в увлажненном состоя-
нии действию попеременного замораживания и оттаива-
ния;
—	марка по водонепроницаемости W — назначается
для конструкций, к которым предъявляются требования
ограничения водопроницаемости;
—	марка по средней плотности D — назначается для
конструкций, к которым, кроме конструктивных, предъявля-
ются требования теплоизоляции;
—	марка по самонапряжению (для напрягающего
бетона) Sp — назначается для самонапрягающихся конструк-
ций, когда эта характеристика учитывается в расчете и
контролируется на производстве.
Классом бетона по прочности на осевое сжатие В
называется кубиковая прочность бетона, гарантированная с
обеспеченностью 0,95:
В = R-aS(R) = 1-^Ж |= 7?(1-аи)
R I
(4.5)
R — средняя кубиковая прочность бетона;
а — число стандартов (показатель надежности),
а = 1,64;
v — коэффициент вариации, учитывающий
неоднородность прочности бетона, v = 0,135.
Элементы железобетонных конструкций по форме от-
личаются от кубов, поэтому в расчетах применяют призмен-
98
ную прочность. Призменная прочность бетона с обеспечен-
ностью 0,95 называется нормативным сопротивлением бето-
на сжатию Rb„. Нормативная призменная прочность опреде-
ляется по эмпирической формуле:
Rbn = В(0,77 -0,00125В) > 0,72В	(4.6)
Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию:
(4.7)
Нормативное сопротивление осевому растяжению
Rbtn определяется в зависимости от класса бетона по прочно-
сти с обеспеченностью 0,95:
B6ftI=0,5/cVF	(4.8)
где К = 0,8 — для бетонов класса В35 и ниже;
K=Q,1 — для бетонов класса В40 и выше.
Расчетное сопротивление бетона осевому растяжению:
Rbl=RbjYbl	(4-9)
При главенствующем значении прочности бетона на
осевое растяжение и контроле бетона по прочности на
осевое растяжение нормативное сопротивление бетона осе-
вому растяжению Rbt„ принимают равным его классу на
осевое растяжение, установленному с обеспеченностью
0,95 путем испытаний на осевое растяжение эталонных
Образцов.
99
Расчетные сопротивления бетона для предельных со-
стояний первой группы Rb и Rbt снижаются (или повышают-
ся) путем умножения на коэффициенты условий работы
бетона ybi, учитывающие особенности свойств бетона, дли-
тельность действия и многократную повторяемость нагруз-
ки, условия и стадию работы конструкции, способ ее изго-
товления и т.п.
Расчетные сопротивления бетона для предельных со-
стояний второй группы Rb se„ Rbt ser, вводят в расчет с коэффи-
циентом условий работы бетона yw = 1,0.
4.2.3.	Нормативные и расчетные
характеристики арматуры
В качестве нормативного сопротивления арматуры
Rsn принимается наименьшее контролируемое значение:
—	физического предела текучести ау — для стержне-
вой арматуры классов A-I, А-П, А-Ш;
—	условного предела текучести <т0 2 — для стержневой
арматуры класса A-IV и выше, а также для проволочной
арматуры.
Нормативные сопротивления арматуры принимаются в
соответствии с государственными стандартами или техничес-
кими условиями на арматурную сталь и гарантируются с
вероятностью не менее 0,95.
Расчетные сопротивления арматуры растяжению Rs
для предельных состояний первой и второй групп определя-
ются по формуле:
Я,=Л„/Г,	(4.10)
100
Расчетные сопротивления арматуры сжатию Rsc,
используемые в настоящее время в расчете конструкций по
первой группе предельных состояний, при надежном сцеп-
лении арматуры с бетоном принимают равными соответ-
ствующим расчетным сопротивлениям арматуры растяже-
нию Rs, но не более 400 МПа, исходя из предельной сжимае-
мости бетона еЬ и (т.е. без учета работы бетона на ниспадаю-
щей ветви диаграммы а - е).
При расчете элементов конструкций по 1-й группе
предельных состояний расчетные сопротивления арматуры
снижаются (или повышаются) путем умножения на соот-
ветствующие коэффициенты условий работы у,-, учитыва-
ющие:
—	опасность усталостного разрушения, неравномер-
ное распределение напряжений в сечении, условия анкеров-
ки арматуры, низкую прочность окружающего бетона и т.п.
(снижающие коэффициенты);
—	работу арматуры при напряжениях выше условного
предела текучести, изменение свойств стали в связи с усло-
виями изготовления и т.д. (повышающие коэффициенты).
Расчетные сопротивления арматуры для предельных
состояний второй группы Rsser вводят в расчет с у = 1,0, т.е.
П — D
^s,ser ^-sn*
Расчетные сопротивления поперечной арматуры
(хомутов, отогнутых стержней) Rsw снижаются по сравне-
нию с Rs путем умножения на коэффициенты условий
работы у41 и у2:
—	- независимо от вида и класса арматуры — на
коэффициент у, = 0,8, учитывающий неравномерность
распределения напряжений в арматуре по длине рассматри-
ваемого сечения;
101
для стержневой арматуры класса А-Ш диаметром
менее 1 /3 диаметра продольной арматуры и для проволочной
арматуры класса Вр-I в сварных каркасах—на коэффициент
Кг " 0,9, учитывающий возможность хрупкого разрушения
сварного соединения.
4.3.	Особенности работы
Железобетонных элементов под нагрузкой
Из курса сопротивления материалов известно, что проч-
ность изгибаемого элемента из идеально-упругого материа-
ла выражается зависимостью:
М
о = —	*
jy "₽е3-
Однако свойства железобетона и его составляющих
(бетона и арматуры) далеки от идеально-упругого матери-
ала.
Для бетона реальным фактом является анизотропия
его CBOgCTB, проявляющаяся в существенной разнице
между качественными показателями сопротивления бето-
на сжатию и растяжению. Расчет конструкций из железо-
бетона как из идеально-упругого материала не будет
учитывать образования трещин в бетоне растянутой зоны
элемецта Важными особенностями свойств бетона и
арматуры, которые также необходимо учитывать, являют-
ся физическая нелинейность деформирования и ползу-
честь. Расчет прочности изгибаемого элемента из железо-
бетона как идеально-упругого материала возможен толь-
102
ко при небольших нагрузках, которые вызывают напря-
жения в бетоне растянутой зоны abt < (0,i...0,2)oblu, то
есть когда бетон и арматура работают упруго. Свойства
материалов при этом используются неполно, что, есте-
ственно, невыгодно.
При более высоких значениях нагрузки материал не
подчиняется закону Гука, в растянутом бетоне образуются
трещины. Несоответствие этих процессов идеально-упруго-
му телу не позволяет использовать классические методы
сопротивления материалов для расчета железобетонных кон-
струкций.
Теория силового сопротивления железобетона ба-
зируется на опытных данных и законах механики, раскры-
вающих напряженно-деформированное состояние желе-
зобетона на различных стадиях нагружения внешней на-
грузкой.
Многочисленные эксперименты с изгибаемыми, вне-
центренно сжатыми и внецентренно растянутыми железо-
бетонными элементами с двузначной эпюрой показали, что
при постепенном увеличении нагрузки до разрушения на-
блюдаются три характерные стадии напряженно-дефор-
мированного состояния: стадия I — до возникновения
трещин в бетоне растянутой зоны; стадия II — после
появления трещин в бетоне растянутой зоны; стадия III —
стадия разрушения. Эти стадии можно выделить в различ-
ных по длине сечениях изгибаемой под нагрузкой балки
(рис. 4.2).
Стадия I наблюдается до возникновения трещин в
бетоне растянутой зоны (см. рис. 4.2).
При небольшой нагрузке (до 0,15...0,2 от разрушаю-
щей) напряжения в бетоне и арматуре невелики, материалы
103
104
Рис. 4.2. Стадии напряженно-деформированного состояния ЖБК:
I — упругая (до образования трещин),
II — упругопластическая (эксплуатационная),
III — пластическая (перед разрушением).
железобетона работают упруго. Эпюры нормальных напря-
жений в бетоне сжатой и растянутой зон — треугольные.
Арматура работает совместно с бетоном. Нейтральная ось
находится в центре тяжести приведенного сечения. С увели-
чением нагрузки в растянутом бетоне развиваются уже
неупругие деформации, эпюра напряжений искривляется.
Напряжения в бетоне у растянутой грани элемента сначала
приближаются, а затем становятся равными пределу прочно-
сти бетона на растяжение Rbt, а его относительные деформа-
ции — предельным значениям еЬ1 = еы = 15 • 10'5.
Это состояние выделяется в стадию 1а, предшествую-
щую образованию нормальных трещин. Нагрузка, при кото-
рой завершается стадия I (М=МТ), составляет 0,1...0,15 от
разрушающей.
Стадия 1а положена в основу расчета железобетонных
конструкций по образованию трещин. При дальнейшем уве-
личении нагрузки в растянутом бетоне образуются трещи-
ны, наступает новое качественное напряженно-деформиро-
ванное состояние.
Стадия II характеризуется работой железобетонного
элемента с трещинами в бетоне растянутой зоны (см. рис.
4.2). По мере увеличения нагрузки трещины раскрываются
шире и увеличиваются по высоте. Вследствие образования
трещин растягивающее усилие в сечении с трещиной почти
полностью воспринимается арматурой. На участках между
трещинами сцепление между арматурой и бетоном не нару-
шено и бетон совместно с арматурой воспринимает растяги-
вающие усилия.
В сечении с трещиной нейтральная ось перемещает-
ся в сторону сжатой зоны, в сечении между трещинами —
в сторону растянутой зоны. Опасным является сечение с
105
трещиной. По мере увеличения нагрузки в бетоне сжатой
зоны развиваются неупругие (пластические) деформации,
эпюра сжимающих напряжений искривляется.
Стадия II соответствует эксплуатационному состоя-
нию и положена в основу расчетов по прогибам (деформа-
циям) и ширине раскрытия трещин. Напряжения в бетоне
сжатой зоны меньше предела прочности на сжатие, напря-
жения в растянутой арматуре не достигают предела текуче-
сти.
При дальнейшем увеличении нагрузки наступает ста-
дия III, когда напряжения в сжатом бетоне достигают преде-
ла прочности на сжатие, а в растянутой арматуре — физичес-
кого (или условного) предела текучести.
Стадия III — стадия разрушения железобетонного эле-
мента, положена в основу расчета железобетонных элемен-
тов по прочности. Опыты показывают, что характер разру-
шения железобетонного элемента зависит главным образом
от количества и вида растянутой арматуры (см. рис. 4.2).
Различают два случая разрушения.
Случай 1 — характерен для элементов с нормальным
содержанием рабочей арматуры. Разрушение начинается в
момент, когда напряжения в арматуре (crs.) достигают физи-
ческого оу (или условного сг0 2) предела текучести. С развити-
ем в арматуре пластических деформаций проявляется замет-
ное раскрытие трещин в бетоне, быстрое сокращение высоты
сжатой зоны бетона. Наконец, напряжения в сжатой зоне
возрастают до значений призменной прочности (ab = Rb), при
этом происходит исчерпание несущей способности бетона
сжатой зоны вследствие проявления его предельной сжимае-
мости. Такое разрушение носит постепенный, пластический
характер.
106
Случай 2 — характерен для элементов с избыточным
содержанием рабочей арматуры. Здесь принцип пластичес-
кого разрушения нарушается. Разрушение происходит вслед-
ствие раздавливания бетона сжатой зоны, когда напряжения
в нем достигают предела прочности бетона сжатию (сг6 = Rb),
а напряжения в арматуре остаются ниже предела текучести.
Такое разрушение проявляется внезапно, имеет хрупкий
характер.
4.4.	Расчетная модель разрушения
железобетонных элементов
Для изгибаемых и внецентренно нагруженных элемен-
тов, имеющих двузначную эпюру нормальных напряжений,
характерно одно и то же неоднородное напряженно-дефор-
мированное состояние. Нормальные напряжения в бетоне
меняются по высоте сечения по некоторому криволинейно-
му очертанию от нуля на нейтральной оси до максимального
значения в фибровых волокнах; в растянутой зоне усилия
воспринимает арматура.
В общем случае условие равновесия моментов вне-
шних и внутренних сил, записанное относительно нейтраль-
ной оси, имеет вид (рис. 4.3):
X
М<Ь^ c^Z.dz + (Tie4 (х - а) + osAs (^ - х) = 0	(4.11)
о
Высота сжатой зоны (X) определяется из условия рав-
новесия сил на продольную ось элемента:
107
Рис. 4.3. Схема усилий в нормальном сечении
изгибаемого элемента
108
b j °bdx + <4 -	= °	(4.12)
0
где ab — напряжения в бетоне /-ого слоя;
as — напряжения в продольной арматуре растянутой
зоны;
osc — напряжения в сжатой арматуре.
В предельном состоянии фибровые напряжения рав-
ны пределу прочности бетона на сжатие (ст6 = 7?6). Прини-
мая справедливость гипотезы плоских сечений для средних
деформаций крайнего сжатого волокна бетона и растянутой
арматуры, связь между относительными деформациями
арматуры и бетона в момент разрушения можно предста-
вить так:
Теперь напряжения в сжатой и растянутой арматуре:
ст,' = s'sE' ;	ст, = esE	(4.14)
Они могут быть представлены также в виде:
>	(х-а)	„ (hn-x)
= EsEbu ±; ст, = Esebu	(4.15)
X	X
где Е', Es — модуль деформаций сжатой и растянутой
арматуры в предельном состоянии;
е', es — относительные деформации сжатой
и растянутой арматуры;
ЕЬ и — предельные относительные деформации
фибровых волокон бетона сжатой зоны
(при ст6 = Я6).
109
В работах [11, 25, 27] приводится аппарат интеграль-
ного решения силового сопротивления железобетона при
неоднородном напряженно-деформированном состоянии
элементов, в том числе для предельного случая. При этом
предлагаемый способ решения обсуждаемой задачи впер-
вые приводится в реальной для железобетона нелинейной
постановке и независимо от принятой формы уравнения
состояния.
Величина действующих напряжений в арматуре не
должна даже в предельном состоянии превышать на-
пряжений текучести (или условной текучести) o's < Rsc
и os < Rs.
Кроме того, действующие напряжения в сжатой армату-
ре oscu не должны превышать предельных напряжений, соот-
ветствующих предельным деформациям сжатия бетона ЕЬи,
регламентирующим возможные деформации арматуры при
сохранении совместной работы.
сгк „ = EbuEs = 2 • 10’3 х 2 • 106 = 4000	= 400 МПа
’	см
При длительном действии нагрузки (согласно [1])
при коэффициенте условий работы у62<1) предельная
сжимаемость бетона увеличивается и достигает 0,0025,
тогда
osc и = 2,5 • 10’3 х 2 • 10б = 5000= 500 МПа
см
Для инженерного расчета прочности железобетонного
элемента по нормальному сечению нормами [1] принимают-
ся дополнительные упрощающие предпосылки:
ПО
—	бетон растянутой зоны не работает, его сопротивле-
ние растяжению принимается равным нулю;
—	сопротивление бетона сжатию представляется на-
пряжениями, равными расчетному сопротивлению бетона
сжатию Rb;
—	действительная криволинейная эпюра нормальных
напряжений в бетоне сжатой зоны сечения заменяется прямоу-
гольной (рис. 4.4);
—	усилия в растянутой зоне воспринимаются только
продольной арматурой, напряжения в которой принимаются
не более расчетного сопротивления растяжению (<7S. <
—	деформации (напряжения) в арматуре определяются
в зависимости от высоты сжатой зоны бетона (для предвари-
тельно напряженных конструкций — с учетом деформаций
(напряжений) от предварительного напряжения).
Рис. 4.4. Расчетная модель разрушения
железобетонных элементов
111
На основе анализа результатов большого числа экспе-
риментов выявлено, что напряжение as зависит от высоты
сжатой зоны х и может определяться по следующей эмпири-
ческой зависимости:
<LC,» ((О__/
и

(4.16)
где asc u — предельное напряжение в арматуре сжатой
зоны;
со — характеристика сжатой зоны бетона,
зависит от вида и класса бетона (со <1);
£ — относительная высота сжатой зоны бетона
в сечении с трещиной,
£ = х/йо;
£<1;
osp — предварительное напряжение в арматуре As.
Для элементов, выполненных без предварительного
напряжения, имеем:
1	03	£
1--------7
1,1
(4.17)
Из данной зависимости легко найти граничную отно-
сительную высоту сжатой зоны £ =	, при которой
напряжения в арматуре растянутой зоны (о;) начинают дос-
тигать предельных значений, равных величине расчетного
112
сопротивления (о; => Rs), к моменту исчерпания несущей
способности элемента. Приравнивая crs = Rs, получим:
(4.18)
При £ >£Л напряжение в растянутой арматуре As остает-
ся меньшим расчетного сопротивления; при £ <£Л напряже-
ние может быть равным расчетному сопротивлению (у арма-
туры классов A-I, А-П, А-Ш, имеющих физический предел
текучести) или большим расчетного сопротивления (у арма-
туры классов A-IV и выше, не имеющих площадки текучес-
ти на диаграмме crs - £v).
В общем случае для железобетонных конструкций с
предварительным напряжением арматуры граничная отно-
сительная высота сжатой зоны определяется по формуле:
(О
, а.й (. со А
1 + —1-------
и;
(4-19)
где crsR = Rs — для арматуры с физическим пределом
текучести;
cysR = RS + asp — для арматуры с условным пределом
текучести.
Таким образом, при £ <£Л разрушение нормального
сечения элемента происходит вследствие достижения в рас-
тянутой арматуре предела текучести (физического или ус-
ловного) и последующего раздробления бетона сжатой зоны
(случай 1 разрушения); при £ >£Л разрушение происходит
113
вследствие раздробления бетона сжатой зоны при напряже-
ниях в растянутой арматуре меньших расчетного сопротив-
ления <js < Rs (случай 2 разрушения).
Теперь остается выявить физический смысл параметра
(о — характеристики сжатой зоны бетона.
Приняв в (4.17) = 0, т.е.
а = 0 = -^
—-1
(О Е
Ц
(4.20)
получим (О = £ =
*о
ho
Таким образом, при £ = (О (при £ < 1), напряжения в
арматуре обычного железобетонного элемента равно нулю.
Приравняв в (4.16)	= asp , получим тот же результат:
Е, = (о =	, т.е. нагрузка к моменту разрушения элемента (при
Л0
£ = (О ) не вызывает приращения напряжений в растянутой
предварительно напряженной арматуре.
Отметим, что следует различать фактическую (хфакт) и
расчетную (х) высоту сжатой зоны (рис. 4.5). При x(?iaKm= h0
нейтральная ось проходит через центр тяжести арматуры As,
т.е. <js = (Jsp (или = 0 в элементах без предварительного
напряжения). Тогда из уравнения (4.17) получаем (о = £, т.е.
величина (о является расчетной (при принятии прямоуголь-
ной эпюры напряжений в сжатом бетоне) относительной
высотой сжатой зоны (со = x^h^, соответствующей факти-
ческой относительной высоте £ = хфакт/кй = 1, когда напряже-
ния в арматуре действительно равны нулю (или равны сг5;,
для предварительно напряженных элементов). Поэтому со
114
Рис. 4.5. Физический смысл характеристики сжатой зоны бетона ((У)
1 — фактическая эпюра напряжений в бетоне
2 — расчетная эпюра напряжений в бетоне
3 — эпюра деформаций
115
рассматривается как коэффициент полноты фактической эпю-
ры напряжений в бетоне при замене ее условной прямоу-
гольной эпюрой. На основе опытных данных подобрана
следующая эмпирическая зависимость для определения (о:
a> = a-0,008Rh	(4.21)
где а — коэффициент, учитывающий вид бетона: для тяже-
лого бетона а = 0,85; легкого а = 0,8.
Обратим внимание еще на одну особенность. В зависи-
мости (4.16) первый член правой части представляет собой
приращение напряжения в напрягаемой арматуре, а в (4.17)
правая часть уравнения есть напряжение в ненапрягаемой
арматуре As. Если относительная высота сжатой зоны £ < со,
то напряжения в арматуре будут растягивающими, если £ >
со — сжимающими.
Глава 5
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
5.1. Изгибаемые элементы
5.1.1. Расчет прочности железобетонных элементов
по нормальному сечению
Элементы прямоугольного сечения с одиночной ар-
матурой. Условие равновесия сил на продольную ось эле-
мента имеет вид (рис. 5.1.):
Rbbx=RsAs	(5.1)
Отсюда высота сжатой зоны:
x = RsAs/Rbb	(5.2)
Относительная высота сжатой зоны:
(5.3)
117
Рис. 5.1. Схемы усилий в нормальном сечении
изгибаемых элементов прямоугольной формы
при^<^Л(а)и^>^(б)
118
где 1Л = Ag/bhfy — коэффициент армирования. В расчетной
практике часто используют также понятие «процент ар-
д
мирования» ц = —- • 100%.
дЛо
Проверка эффективности рабочего сечения: если £ <
имеем = Rs.
Условия прочности элемента в предельном состоянии:
—	по бетону сжатой зоны:
М <Rbbx(h0-xl2')	(5.4)
—	по растянутой арматуре:
М <RsAs{hb-xl2')	(5.5)
Если £ > условие равновесия сил (5.1) примет вид
^ЬЬХ = ° А
(5-6)
При этом напряжение о; в арматуре с площадью As
определяют по формуле (4.17).
Для изгибаемых элементов из бетона класса ВЗО и
ниже с арматурой классов A-I, А-П, А-Ш допускается при-
ближенный расчет при х = xR = £Лй0.
Тогда несущая способность сечения:
(5.7)
119
Таблица 5.1.
Параметры для расчета изгибаемых элементов
£	Л	<Р
0,01	0,995	0,01
0,02	0,99	0,02
0,03	0,985	0,03
0,04	0,98	0,039
0,05	0,975	0,048
0,06	0,97	0,058
0,07	0,965	0,067
0,08	0,96	0,077
0,09	0,955	0,085
0,1	0,95	0,095
0,11	0,945	0,104
0,12	0,94	0,113
0,13	0,935	0,121
0,14	0,93	0,13
0,15	0,925	0,139
0,16	0,92	0,147
0,17	0,915	0,155
0,18	0,91	0,164
0,19	0,905	0,172
0,2	0,9	0,18
0,21	0,895	0,188
0,22	0,89	0,196
0,23	0,885	0,205
0,24	0,88	0,211
0,25	0,875	0,219
0,26	0,87	0,226
0,27	0,865	0,236
0,28	0,86	0,241
0,29	0,855	0,248
0,3	0,85	0,255
0,31	0,845	0,262
0,32	0,84	0,269
0,33	0,835	0,275
0,34	0,83	0,282
0,35	0,825	0,289
£	Г]	<Р
0,36	0,82	0,295
0,37	0,815	0,301
0,38	0,81	0,309
0,39	0,805	0,314
0,4	0,8	0,32
0,41	0,795	0,326
0,42	0,79	0,332
0,43	0,785	0,337
0,44	0,78	0,343
0,45	0,775	0,349
0,46	0,77	0,354
0,47	0,765	0,359
0,48	0,76	0,365
0,49	0,755	0,37
0,5	0,75	0,375
0,51	0,745	0,38
0,52	0,74	0,385
0,53	0,735	0,39
0,54	0,73	0,394
0,55	0,725	0,399
0,56	0,72	0,403
0,57	0,715	0,408
0,58	0,71	0,412
0,59	0,705	0,416
0,6	0,7	0,42
0,61	0,685	0,424
0,62	0,69	0,428
0,63	0,685	0,432
0,64	0,68	0,435
0,65	0,675	0,439
0,66	0,67	0,442
0,67	0,665	0,446
0,68	0,66	0,449
0,69	0,655	0,452
0,7	0,65	0,455
77 = 1-0,5^ (р = £(1 - 0,50	£ =1-д/1-2ф
120
Для упрощения расчетов формулы можно преобра-
зовать, если в условия прочности (5.4) и (5.5) подставить
х =
М <	-0.5&) = ЯЖ(1 -0>5?)	(5-4*)
М<Я,ДД(1-0,5{)	(5.5*)
Обозначим
77 = 1-0,5^ и	<р = £(1-0,5£)	(5.8)
Тогда (5.4*) и (5.5*) будут иметь вид:
M<Rbb(ph20	(5.9)
M<RSAS^	(5.10)
Безразмерные параметры ср, %, Т] взаимно связаны друг
с другом. По выражениям (5.8) составлена таблица значений
этих параметров (табл. 5.1). Зная один из них, можно найти
любой другой.
Из равенства (5.9) несложно определить рабочую высо-
ту сечения:
Ло = у/М / (pRbb
(5.П)
Пользуясь полученными формулами, можно решать
различные практические задачи по расчету нормального
121
сечения изгибаемых элементов с одиночной арматурой: про-
верить несущую способность сечения; определить площадь
растянутой арматуры As; подобрать размеры поперечного
сечения элемента b и h при арматуре As.
Из уравнения (5.3) коэффициент армирования
u = ER.JR
Г ~ О S
(5-12)
Максимальное содержание арматуры при одиночном
армировании сечения будет при = ^R:
LL =ErR./R
«max	о s
(5-13)
Для изгибаемых элементов максимальный процент
армирования повышается с увеличением прочности бето-
на и уменьшается при использовании более прочных
сталей.
Из условия минимальной стоимости конструкции оп-
тимальные проценты армирования составляют [3]:
—	для балок	д = (0,5... 0,6)дтах, %
—	для плит	ц = (0,2... 0,3) дтах, %
Элементы прямоугольного сечения с двойной ар-
матурой. Сечениями с двойной арматурой называют такие,
в которых, кроме растянутой арматуры, по расчету ставит-
ся продольная арматура в сжатой зоне. Сечения с двойной
арматурой характеризуются повышенным расходом стали,
так как увеличивается расход продольной арматуры на
сжатую зону. Кроме того, чтобы обеспечить устойчивость
сжатых продольных рабочих стержней, их следует закре-
122
пить поперечными стержнями, которые устанавливаются
уже чаще (с шагом и не более 15d в вязаных каркасах и
20d — в сварных). Поэтому продольную рабочую арматуру
в сжатой зоне элемента применяют, когда бетон сжатой
зоны не обеспечивает прочность элемента, а увеличить
размеры поперечного сечения элемента или повысить класс
бетона невозможно.
В соответствии с расчетной схемой (рис. 5.2) уравне-
ние равновесия сил на продольную ось имеет вид:
R.bx + RA' = R.A.
О	SC S S S
(5.14)
Рис. 5.2. Элемент прямоугольного сечения с двойной арматурой
а — схема усилий при расчете прочности
по нормальному сечению
б — поперечное сечение
123
Отсюда высота сжатой зоны:
x = (R,As-RscA')/Rbb
(5.15)
Условие прочности изгибаемого элемента в предель-
ном состоянии запишется в виде:
М < Rbbx(h0 - 0,5х) + R^A'^ - as)
(5.16)
Исследования показывают, что сечение будет наиболее
экономичным, когда на бетон передается максимально воз-
можное сжимающее усилие. Это будет иметь место при
£ = ; тогда с учетом того, что cpR = СлО ~ 0,5£я):
М < (pRRbbhl + 7?iC4(^o ~ <),
(5.17)
откуда вычисляют площадь сечения сжатой арматуры:

(5-18)
После этого по сортаменту определяют диаметр, ко-
личество стержней и фактическую площадь сечения арма-
туры а;.
Далее с учетом принятого А' определим параметр:
<р = [М - R^A'^ho - as)]/Rbbh% < (pR
124
затем на основе соотношений (5.8) или таблицы 5.1 найдем
относительную высоту сжатой зоны
Тогда из уравнения равенства нулю суммы всех сил на
горизонтальную ось получим:
' R. R.
(5-19)
Элементы таврового профиля. Тавровые сечения в
наибольшей степени отвечают основному принципу компо-
новки сечений сборных и монолитных изгибаемых конст-
рукций с точки зрения эффективного использования высо-
кой прочности бетона на сжатие и низкой на растяжение.
Бетон в растянутой зоне служит преимущественно для вы-
полнения функций защиты арматуры (рис. 5.3).
Тавровое сечение, как правило, имеет одиночное арми-
рование. Опыты показывают, что при большой ширине
полки участки свесов, более удаленные от ребра, менее
напряжены, чем вблизи ребра (см. рис. 5.3,6). Это учитыва-
ется условным уменьшением ширины свесов, вводимой в
расчет.
Значение b f, вводимое в расчет, принимается из
условия, что ширина свеса полки в каждую сторону от
ребра должна быть не более 1/6 пролета элемента и не
более:
Для отдельных балок таврового сечения:
а)	при h'f > ОДЛ и 6] < 6h'f пр инимают b’f = 12Л^ + Ъ
б)	при 0,1 Л > h'f > 0,05й	и bt < 3h'f принимают
b'f=6h'f+b
125
Рис. 5.3. Расчет элементов таврового профиля с полкой в сжатой зоне
на прочность по нормальным сечениям
а — тавровое сечение в составе монолитного перекрытия;
б — распределение напряжений по ширине сжатой полки;
в — граница сжатой зоны находится в пределах полки;
г — граница сжатой зоны проходит в ребре.
N^R^X
Nt^R,At

126
в)	при h'f < 0,05й свесы полок в расчете не учитыва-
ются.
Для монолитных и сборных ребристых плит:
а)	при наличии поперечных ребер или при h'f > 0,1 h
принимают bf < 112с (с — расстояние в свету между продоль-
ными ребрами);
б)	при отсутствии поперечных ребер или при расстоя-
ниях между ними больших, чем расстояния между продоль-
ными ребрами, и h'f < 0,1 А, bx < 6h'f принимают b'f = \2h'f + b.
При расчете элементов таврового сечения в зависимо-
сти от положения нейтральной оси в сечении различают
два случая (см. рис. 5.3):
сл	учай 1 — {x<h^) — нейтральная ось находится в
полке;
случай 2 — (х>Л]) — нейтральная ось пересекает
ребро.
Положение нижней границы сжатой зоны рекоменду-
ется определять из сравнения несущей способности сжатой
полки элемента Ф при х = h'f с изгибающим моментом от
внешней нагрузки М:
(5.20)
При М < Фх=1^ граница сжатой зоны проходит в полке,
Т.е. x<h'f. Это первый случай расчета, тавровое сечение
рассчитывается как прямоугольное шириной, равной шири-
Йе полки b'f, по формулам (5.1), (5.3) и (5.4) или (5.6), (5.7) с
127
заменой в них ширины сечения b на расчетную ширину
полки bf (см. рис. 5.3,в).
При М > ФХ=К/ граница сжатой зоны пересекает ребро,
т.е. х > h'f. В работе на сжатие участвует бетон полки и ребра.
Расчетные формулы удобно записывать, мысленно разделив
площадь сжатого бетона на две части (рис. 5.3, г): одна из
них находится в ребре (Ьх), другая — в свесах полки
[(^ -b)h'f}; тогда сечение можно рассматривать как прямоу-
гольное (Ьх), усиленное в сжатой зоне двумя свесами общей
площадью [(бу ~b)h'f}.
Формулы расчета прочности принимают вид:
Rbbx = RsAs-Rb(b'f-b)h'f,	(5.21)
М <Ф = Rhbx^ -0,5x) + Rb(b'f -tyh^-O^h'/), (5.22)
или
М < Ф = (pRbb(h20 -0,5х) + Rb(b'f -b)h'f(h0 - Q,5h'f). (5.23)
Уравнения (5.21)... (5.23) справедливы, если
й;<х<еД.	(5.24)
При выполнении условия х < h'f необходимо перейти к
расчету по формулам 1-го случая. Если x>^Rh0, следует
вместо (5.21) использовать уравнение:
Rbbx = osAs-Rb(b'f-b)h'f.	(5.25)
128
5.1.2. Расчет прочности железобетонных элементов
по наклонному сечению
Механизм разрушения железобетонных элементов
по наклонному сечению. При поперечном изгибе элемента
вследствие совместного действия вблизи опор изгибающего
момента и поперечной силы возникают главные сжимающие
<утс и главные растягивающие <тт, напряжения (рис. 5.4).
Когда главные растягивающие напряжения достигают проч-
ности бетона на растяжение, в нем образуются наклонные
трещины, которые разделяют элемент на два блока, соеди-
ненных между собой бетоном в сжатой зоне над трещиной, а
также продольной и поперечной арматурой, пересекающей
трещину.
В этих условиях арматура работает на растяжение, а
бетон над трещиной — на сжатие. С повышением нагрузки
напряжения в поперечной и продольной арматуре, а также
бетоне над наклонной трещиной возрастают. В зависимости
от того, где напряжения быстрее достигнут предельных
значений, различают три случая разрушения элемента по
наклонным сечениям (рис. 5.4, б, в, г):
Случай 1.
Напряжения в продольной и поперечной арматуре,
пересекаемой трещиной, достигают предела текучести.
От действия изгибающего момента происходит взаимный
поворот двух частей элемента относительно центра тяже-
сти сжатой зоны бетона над трещиной (точка 0), до
раздробления бетона (аналогично разрушению в нормаль-
ном сечении).
129
Рис. 5.4. Возможные схемы разрушения изгибаемых элементов
по наклонным сечениям
а — схема действия главных напряжений;
б — схема разрушения от действия изгибающего момента;
в — схема разрушения от действия поперечной силы;
г — схема разрушения по сжатой полосе бетона
между наклонными трещинами.
130
Случай 2.
Напряжения только в поперечной арматуре, пересека-
ющей наклонную трещину, достигают предела текучести.
От действия преимущественно поперечной силы происхо-
дит срез бетона сжатой зоны над трещиной.
Обе части элемента при этом смещаются относитель-
но друг друга. Такое разрушение возможно при наличии
достаточно мощной и надежно заанкеренной продольной
растянутой арматуры, препятствующей повороту обеих
частей.
Случай 3.
Главные сжимающие напряжения в бетоне между
наклонными трещинами достигают предела прочности. В
зоне действия поперечной силы происходит раздробление
бетона и разрушение элемента.
Для обеспечения прочности изгибаемых элементов по
наклонным сечениям должны производиться 3 вида расче-
тов: на сжатие по наклонной полосе между наклонными
трещинами; по наклонной трещине на действие поперечной
силы; по наклонной трещине на действие изгибающего
момента.
Обеспечение прочности бетона по наклонной
полосе между наклонными трещинами. Бетон между
Наклонными трещинами находится в условиях двухосно-
го напряженного состояния из-за действия по взаимно
перпендикулярным площадкам главных сжимающих на-
пряжений и растягивающих усилий от поперечной арма-
туры. Прочность бетона на сжатие в этом случае снижа-
ется.
131
Для обеспечения прочности железобетонного элемента
по наклонной полосе между наклонными трещинами долж-
но выполняться условие:
Q	,
(5.26)
где (pwl — коэффициент, учитывающий влияние поперечной
арматуры:
<pwi=\ + 5a^w<l,3 ,
(5-27)
где a = Es/Eb;
д
p,w =	— коэффициент армирования сечения
bS
поперечной арматурой;
Asw — площадь поперечной арматуры
в сечении элемента;
b — ширина элемента на уровне середины высоты
сечения;
S — расстояние между хомутами;
(рЬ1 — коэффициент, учитывающий влияние
прочности бетона;
(pbi =1-ркь
(5.28)
где Д — коэффициент, учитывающий вид бетона:
Р - 0,01 для тяжелого, мелкозернистого бетона,
Р = 0,02 для легкого бетона.
Если условие (5.26) не выполняется, то увеличиваются
размеры сечения элемента или повышается класс бетона.
132
Обеспечение прочности железобетонного элемента
по наклонной трещине на действие поперечной силы.
Основное уравнение прочности наклонного сечения на дей-
ствие поперечной силы выводится из условия равновесия
приопорной части железобетонного элемента (рис. 5.5,а):
Q - Qb + й-и + Qsjnc
(5-28)
где Qb — поперечное усилие, воспринимаемое бетоном над
трещиной; и Qsinc — поперечные силы, воспринимаемые
соответственно хомутами и отгибами, пересекающими опас-
ную наклонную трещину.
Поперечное усилие, воспринимаемое бетоном равно:
ей=Л/й/с	(5.29)
где
мь = <Рьг0+<Pf+<ря;	(5.зо)
и должно быть
Qb > <рй3(1 + <pf + cpn)Rblbh0 .	(5.31)
Коэффициент (рь2, учитывающий влияние вида бетона,
принимается равным для бетона: тяжелого и ячеистого — 2;
мелкозернистого — 1,7; легкого при марке по средней плот-
ности D 1900 и более — 1,9, при D 1800 и менее при мелком
заполнителе: пористом— 1,5; плотном — 1,75; (pf— коэф-
фициент, учитывающий влияние сжатых полок в тавровых и
Двутавровых элементах, определяется по формуле:
133
Рис. 5.5. Расчетные схемы усилий в наклонных сечениях
а — при армировании хомутами и отгибами (общий случай);
б — при армировании только хомутами.
134
0,75h'(b'-b)
<pf=------------<0,5
f bh.
(5-32)
при этом b'f < b + 3h'f
(pn — коэффициент, учитывающий влияние продоль-
ных сил:
(pn=O,lN/Rbtbho<Q,5
(5.33)
В формуле (5.30) принимается (1 + (pf + (рп) < 1,5.
Для хомутов поперечное усилие Qsw определяется по
формулам:
в„ = 'ХК„^,в„ = Ч,Л,	(5.34)
=	(5.35)
где qsw — погонное усилие в поперечных стержнях,
отнесенное к единице длины элемента;
S— шаг поперечных стержней;
ASVJ — площадь сечения хомутов в одной плоскости.
Для отгибов поперечное сечение Qsinc вычисляется по
выражению:
.	(5.36)
135
где Asinc — площадь сечения отгибов, расположенных
в одной плоскости;
в — угол наклона отогнутых стержней к продольной
оси элемента.
Условие прочности (5.28) для элементов, армирован-
ных только хомутами, имеет вид (рис. 5.5,6)
(537)
а наименьшая несущая способность в расчетном наклонном
сечении определяется из минимума функции:
dQ Mb
de с
= 0.
(5-38)
Отсюда для расчетного наклонного сечения (в кото-
ром несущая способность наименьшая) и элементов, арми-
рованных поперечными стержнями без отгибов, длина про-
екции опасной наклонной трещины на продольную ось
равна:

(5-39)
но не более сине более 2й0, а также не менее й0, если c>h0.
При расчете элементов на действие равномерно рас-
пределенной нагрузки q принимают:
с = ^Мь/д{
(5.40)
136
Если <7, >0,56<grSM, принимают
c = A/^i/(?,+?w)
(5.41)
Принимается: с < ((pb21(pbi)h0; в частности, для тяжело-
го бетона с<О,ЗЗйо.
При этом qt определяется следующим образом: если
действует равномерно распределенная нагрузка, то qt=q,
если в нагрузку q включена временная нагрузка, которая
проводится к эквивалентной равномерно распределенной
нагрузке v, то
v
д=8+2 '
(5-42)
где g — постоянная нагрузка.
Расчетной является поперечная сила в вершине на-
клонного сечения:
б = бтах-^
(5.43)
где Qmax — поперечная сила в опорном сечении.
Расчет железобетонных элементов на действие изги-
бающего момента заключается в проверке их прочности по
йаклонной трещине из условия:
M<Ms+Msw+MSJnc
(5-44)
137
где Л/— момент от внешней нагрузки, расположенной по
одну сторону от рассматриваемого сечения, относитель-
но оси, перпендикулярной плоскости действия момента
и проходящей посередине высоты сжатой зоны над на-
клонной трещиной; Ms, Msw, Msinc — моменты от усилий
соответственно в продольной арматуре, хомутах и отги-
бах, пересекающих растянутую зону наклонного сече-
ния:
Ms=RsAz ; Msw = yRsA^sw- Ms.nc = y'RsASJnezs.nc (5.45)
здесь zs, zsv>, zs inc — расстояния от равнодействующей усилий
соответственно в продольной арматуре, хомутах, отгибах до
равнодействующей усилий в сжатой зоне.
Поперечная арматура, независимо от того, требуется
она по расчету или нет, должна обязательно устанавливаться
в балочных конструкциях высотой свыше 150 мм, а также в
многопустотных плитах и аналогичных часторебристых кон-
струкциях высотой свыше 300 мм. Допускается не устанав-
ливать поперечную арматуру в сплошных плитах (независи-
мо от высоты), в многопустотных плитах высотой менее 300
мм и в балочных конструкциях высотой менее 150 мм. При
этом, естественно, должны быть обеспечены требования
расчета.
Если поперечная арматура необходима по расчету
или по конструктивным соображениям, необходимо со-
блюдать следующие требования по ограничению шага
хомутов [1,3]:
—	на приопорных участках (равных при равномерно-
распределенной нагрузке 1/4 пролета, а при сосредоточен-
ных нагрузках — расстоянию от опоры до ближайшего
138
груза, но не менее 1/4 пролета):
S<hH и 5 < 150мм, если h < 450мм,
S<h/3 и S < 500мм, если h < 450мм;
—	на остальной части пролета при h > 300мм
S' < Зй/4 и S < 500 мм.
5.2. Внецентренно сжатые элементы
5.2.1.	Особенности расчета
внецентренно сжатых элементов
В условиях сжатия работают различные железобетон-
ные элементы: колонны многоэтажных зданий; стойки, вос-
ходящие раскосы и верхние пояса ферм; элементы рамных
конструкций и арки; стены прямоугольных резервуаров,
воспринимающие боковое давление жидкости или грунта и
др. В соответствии со статическим расчетом по правилам
строительной механики в сечениях сжатых конструкций
определяются усилия от внешней нагрузки. Это могут быть
Продольная осевая сила сжатия N (рис. 5.6,а); продольная
сжимающая сила/V, приложенная с расчетным эксцентриси-
тетом е0 относительно центра тяжести сечения (рис. 5.6,6);
продольная сжимающая сила N и изгибающий момент М,
Что эквивалентно действию продольной силы с эксцентриси-
тетом е0 = А//2У(рис. 5.6,в).
Особенностью расчета железобетонных элементов по
прочности при действии продольной сжимающей силы зак-
лючается в том, что необходимо учитывать случайный экс-
139
Рис. 5.6. Схемы приложения нагрузки
при сжатии железобетонных элементов
а — осевое (центральное) сжатие;
б — продольная сила приложена с эксцентриситетом;
в — совместное действие продольной силы
и изгибающего момента.
центриситет еа, обусловленный неучтенными в статическом
расчете факторами: неоднородностью свойств материалов
бетона по сечению, отклонениями от проектных размеров
при изготовлении, неточностью монтажа и др. Значение
случайного эксцентриситета согласно нормам должно удов-
летворять условиям:
еа>//600 ; еа>Л/ЗО;
здесь
/ — длина элемента или его части между точками
закрепления элемента;
h — высота сечения элемента.
140
Из полученных значений для расчета принимается
наибольшее.
С учетом вышесказанного все железобетонные элемен-
ты, работающие на сжатие, при расчете на прочность рас-
сматриваются как внецентренно сжатые элементы, испы-
тывающие воздействие продольной сжимающей силы, при-
ложенной с эксцентриситетом е, равным [7]:
—	в статически определимых элементах е = е0 + еа;
—	в статически неопределимых элементах е = е0, но не
менее еа;
—	при отсутствии расчетных эксцентриситетов (е0 = 0)
е = еа.
При расчете элементов прямоугольного сечения все
эксцентриситеты (е, еа, е0) принимаются относительно цент-
ра тяжести бетонного сечения, т.е. относительно середины
высоты прямоугольного сечения элемента.
5.2.2.	Конструктивные особенности
внецентренно сжатых элементов
Для сжатых элементов применяется бетон классов по
Прочности на сжатие не ниже В 15, для сильно загружен-
ных — не ниже В 30.
Сжатые элементы армируют сварными или вязаными
каркасами. Продольные стержни (рабочая арматура) прини-
маются диаметром 12-40 мм из стали классов A-III, Ат-Ш,
А-П, поперечные стержни (хомуты) — из стали классов A-I,
А-П, А-Ш и проволоки Вр-1. Диаметр поперечных стержней
сварных каркасов принимается из условия свариваемости с
продольными стержнями, диаметр хомутов вязаных карка-
141
сов должен быть не менее 0,25d и не менее 5 мм (d —
наибольший диаметр продольной арматуры).
Поперечные стержни устанавливаются без расчета (но
в соответствии с конструктивными требованиями) и служат
для:
1	— сдерживания поперечных деформаций бетона, воз-
никающих при сжатии продольной силой;
2	— образования пространственного арматурного карка-
са, обеспечения проектного положения продольных
стержней;
3	— предотвращения выпучивания продольных стерж-
ней при действии нагрузки.
Шаг хомутов S' не должен превосходить 500 мм. Кроме
того, при Rsc < 400 МПа:
—	в сварных каркасах S < 20d,
—	в вязаных каркасах 5 <15d;
при Rsc > 400 МПа: S < 400 мм;
S < 15d для сварных и 5 < 10d для вязаных каркасов;
здесь d — наименьший диаметр рабочей арматуры
Насыщение элемента продольной арматурой характе-
ризуется коэффициентом армирования /л, который принима-
ется равным в элементах со случайным эксцентриситетом
H = AslbhQ и д' = A's lbhQ. По экономическим соображениям
для элементов с гибкой арматурой рекомендуется [3,5,6] д
=1...2%, и не более 3%. Для восприятия неучитываемых
расчетом усилий (от колебаний температуры, усадки и др.)
минимальное содержание арматуры принимается в преде-
лах: для статически определимых дт(я >0,1%; для статичес-
ки неопределимых д =д' > 0,05...0,25%.
142
5.2.3.	Учет влияния прогиба элемента
Внецентренно сжатый элемент под действием изги-
бающего момента Л/= ЛГе0 деформируется, что приводит к
увеличению начального эксцентриситета е0 продольной
силы (рис. 5,7). При этом изгибающий момент возрастает
и разрушение происходит при меньшей продольной силе
по сравнению с короткими (менее гибкими) элементами.
Как показывают опыты, чем больше гибкость элемента Л,
тем больше будет прогиб и меньше продольная сила,
Рис. 5.7. Учет влияния продольного изгиба
при внецентренном сжатии
143
требуемая для разрушения. Прогиб железобетонного эле-
мента при внецентренном сжатии зависит от гибкости
элемента, начального эксцентриситета, неупругих свойств
железобетона и длительности действия нагрузки. Учесть
влияние указанных факторов в расчете достаточно слож-
но, поэтому нормами допускается производить расчет
сжатых железобетонных конструкций по недеформиро-
ванной схеме, учитывая влияние прогиба элемента на его
прочность путем умножения эксцентриситета е на коэф-
фициент Г]:
eP=e0 + f илиер=е077 , где т? = 1/(1-У/Усг); (5.46)
(5-47)
где 10 — расчетная длина элемента;
а = EJEh,
JbnJs — моменты инерции соответственно бетонного
сечения и сечения всей продольной арматуры относительно
центра тяжести сечения элемента;
— коэффициент, учитывающий влияние длительно-
сти действия нагрузки на прогиб элемента в предельном
состоянии:
, О м
<р1=1 + ^ТГ
(5.48)
здесьМ и Mld — моменты внешних сил относительно оси,
проходящей через центр тяжести крайнего ряда арматуры,
расположенного у растянутой (менее сжатой) грани, соот-
144
ветственно от полной нагрузки и от действия постоянных и
длительных нагрузок;
Р — коэффициент, учитывающий вид бетона;
<5, — относительный эксцентриситет, принимаемый
равным 5] = yh, но не менее
3itmin=O,5-(O,O\lo/h)-Q,Q\Rb-,	(5.49)
(рь — коэффициент, учитывающий влияние предварительно-
го обжатия бетона на жесткость элемента; при равномерном
обжатии сечения напрягаемой арматурой
ф/> = 1 + 152^4	(5.50)
^Ь^ег ^0
здесь оЬр — напряжения обжатия в бетоне с учетом всех
потерь при коэффициенте у^< 1; значение yh принимается
не более 1,5;
При гибкости элемента /(//<14 (для прямоугольных
сечений при yh < 4) принимается 5=1.
Для ограничения прогибов элементов рекомендуется
соблюдать условие: т] < 2,5. При т] > 2,5 следует увеличить
размеры поперечного сечения.
5.2.4.	Механизм разрушения и расчет на прочность
внецентренно сжатых элементов
При нагружении внецентренно сжатых элементов лю-
бого симметричного сечения в зависимости от количества
Продольной арматуры и эксцентриситета приложения силы в
145
стадии III напряженного состояния возможны два случая
разрушения.
Первый случай разрушения относится к сжатию
элементов силой, приложенной с большим эксцентрисите-
том. Напряженное состояние сечений внецентренно сжатого
элемента при увеличении внешней нагрузки от нуля до
разрушения меняется аналогично напряженному состоянию
сечений изгибаемых нормально армированных элементов. В
большинстве случаев в сечении имеется сжатая и растянутая
зоны. В растянутой зоне, более удаленной от линии действия
силы, в стадии II имеются нормальные к продольной оси
трещины, а растягивающие усилия в сечении воспринима-
ются продольной арматурой. Разрушение элемента (стадия
III) начинается в растянутой арматуре и заканчивается
раздроблением бетона сжатой зоны (рис.5.8,а). В растянутой
арматуре напряжения достигают физического (или условно-
го) предела текучести, напряжения в сжатом бетоне —
предельного сопротивления, а в сжатой продольной армату-
ре — значений Rsc. Процесс разрушения происходит посте-
пенно и плавно.
Второй случай разрушения относится к внецентрен-
ному сжатию элементов с относительно малым эксцентриси-
тетом приложения продольной силы. Основное отличие
заключается в том, что элемент разрушается в результате
достижения предельных сопротивлений в бетоне и арматуре
сжатой зоны (рис. 5.8,6).
К моменту разрушения элемента в арматуре, более
удаленной от линии действия силы, возникают сжимающие
или растягивающие напряжения, которые, как правило, мень-
ше предела текучести. Для элементов из бетона класса ВЗО и
ниже с рабочей арматурой класса A-I, А-П или А-Ш эти
146
Рис. 5.8. Схемы усилий в нормальном сечении
внецентренно сжатого элемента
с большим (а) и малым (б) эксцентриситетом
147
напряжения в арматуре As определяются по эмпирической
формуле:
(5.51)
Из рассмотрения зависимости (5.7) видно, что при
£ = или х = xR (на границе между 1-ым и 2-ым
случаями внецентренного сжатия) напряжение в арма-
туре As, более удаленной от силы, равно расчетному
сопротивлению при растяжении: os = Rs. При £>1 (х > h0)
напряжение в арматуре As достигает расчетного сопро-
тивления при сжатии us = Rsc = -Rs. Между двумя этими
значениями £ напряжение изменяются по линейному
закону и равно нулю при
2(1 “О л	е 1 + £о	h + xR
——— = 0, то есть когда t = —или х =--------
i-e«	г 2
где х — расчетная высота сжатой зоны при прямоуголь-
ной эпюре напряжений в бетоне сжатой зоны и <тй = Rb.
Фактическая высота сжатой зоны при криволинейной
эпюре и os = 0 составляет х = h0.
При Е, < имеется первый случай разрушения при
внецентренном сжатии, а при £ >	— второй случай
разрушения.
Расчет на прочность внецентренно сжатых элемен-
тов с большим эксцентриситетом (£ < £«). Расчетная схема
усилий (рис. 5.8,а) в нормальном сечении принимается исхо-
дя из следующих предпосылок:
—	сопротивление бетона растяжению принимается рав-
ным нулю;
148
—	напряжения в растянутой арматуре принимаются
равными расчетному сопротивлению (<JS = RS);
—	эпюра напряжений в бетоне сжатой зоны прямоу-
гольная с напряжениями в бетоне, равными расчетному
сопротивлению (аь= Rb);
—	сжимающие напряжения в арматуре сжатой зоны
принимаются равными ее расчетному сопротивлению сжа-
тию (asc = Rsc).
Расчет таких внецентренно сжатых элементов произ-
водится из условия обеспечения прочности нормального
сечения:
Ne<Rbbx(h0-G,5x) + RscA's(h0-A') ;	(5.52)
при этом высота сжатой зоны определяется из уравнения
равновесия всех сил на продольную ось:
N = Rbbx + RscA'-RsAs,	(5.53)
где e = e0T] + h/2-a — расстояние от линии действия про-
дольной силы до центра тяжести сечения растянутой арма-
туры.
Некоторое упрощение расчета дает преобразование
формулы (5.52) с использованием безразмерных парамет-
ров ф, %.
Ne < Rbbx(h0 - 0,5х) + RscA's(h0 - а) = (pRbbh20 + RSCA'S{\ - а)
1Де р = £(1-0,5£); £ = х/Ао-
149
При проектировании часто требуется при заданном
сечении бетона определить площадь сечения арматуры As и
A's. Решение сводится к назначению граничной высоты сжа-
той зоны х = xR = %Rh0 и вычислению площади сжатой арма-
туры из (5.52):
A'= (Ne-<pRRbbhq)/Rsc(h0-a),
(5.55)
а из формулы (5.53) — площади растянутой арматуры:
As=(Rbb£Rh0+RscA'-N)/Rs
(5.56)
Если по расчету сжатая арматура не требуется (A's < 0),
она должна быть поставлена конструктивно в количестве A's =
tfmi„bh0. В этом случае из (5.54) определяется параметр (р:
Ne-RscA's{hQ-a)
Rbb^
(5-57)
Затем по таблице (5.1) находят и вычисляют As по
формуле (5.56).
При необходимости симметричного армирования As =
А' и при Rs = Rsc (для арматуры классов А-П и А-Ш)
(5.58)
(5.59)
150
Расчет на прочность внецентренно сжатых элемен-
тов с малым эксцентриситетом (£ > £Л). Расчетная схема
усилий (см. рис. 5.8,6) в нормальном сечении принимается
из тех же предпосылок, что и в первом случае, за исключени-
ем второй. Теперь напряжения в арматуре, наиболее удален-
ной от продольной силы, составляют us< Rs. Расчет прочнос-
ти внецентренно сжатых элементов с малым эксцентрисите-
том производится из условия (5.52), но при этом высота
сжатой зоны определяется из уравнения равновесия сил на
продольную ось:
N + asAs - RSCA'S = Rbbx	(5.60)
где as для элементов из бетона класса ВЗО и ниже с ненапря-
гаемой арматурой классов A-I, А-П, А-Ш определяют по
эмпирической формуле (5.51).
5.2.5. Особенности расчета сжатых элементов,
усиленных косвенным армированием
Рабочее поперечное армирование коротких сжатых эле-
ментов позволяет существенно увеличить их несущую спо-
собность. Это объясняется тем, что рабочее поперечное
армирование сдерживает развитие поперечных деформаций
бетона при продольном сжатии, повышая тем самым сопро-
тивление бетона сжатию. Такой результат наблюдается и
после образования первых продольных трещин, и даже при
отслаивании защитного слоя бетона. Рабочее поперечное
армирование, способное эффективно сдерживать попереч-
ные деформации бетона, называется косвенным. Продоль-
151
ные деформации элементов с косвенным армированием тем
больше, чем сильнее поперечное армирование. Это позволя-
ет применять продольную арматуру из сталей более высокой
прочности (классы A-IV, A-V вместо А-П, А-Ш), что повы-
шает несущую способность элемента при меньшем расходе
арматуры. Для элементов с прямоугольным сечением ис-
пользуется объемное косвенное армирование в виде часто
размещенных поперечных сварных сеток (рис. 5.9,а).
При центральном сжатии максимальная эффективность
достигается при кольцевом армировании (рис. 5.9,6); с увели-
чением эксцентриситета приложения сжимающей силы эф-
фективность снижается. Спиральная (кольцевая) арматура
охватывает сжатый бетон лишь по внешнему контуру и не
может в достаточной мере ограничить развитие поперечных
деформаций. При косвенном армировании в виде сеток
арматурные стержни пронизывают сжатый бетон, и каждая
ячейка сетки работает самостоятельно, сдерживая развитие
поперечных деформаций. Поэтому прочность бетона во
внецентренно сжатых элементах с сетчатым поперечным
армированием не снижается.
Косвенное армирование выполняется из стали классов
A-I, А-П, А-Ш диаметром 6-14 мм; сетки и спирали — часто
из предварительно сжатой проволоки. Поперечные сварные
сетки выполняются с ячейками не менее 45 мм и не более 0,25
меньшей стороны колонны, а также не более 100 мм; шаг
сеток — 60-150 мм. Во всех случаях продольная арматура
сжатых элементов должна проходить внутри контура сеток
или спирали (рис. 5.9,6). Расстояние между витками спирали
или кольцами в осях должно быть не более 0,2 диаметра
элемента и не более 100 мм. Минимальный шаг витков из
удобства бетонирования должен быть не менее 30 мм.
152
Рис. 5.9. Сжатые элементы, усиленные косвенным армированием
сварными сетками (а), спиральной арматурой (б)
153
Косвенное армирование в виде поперечных сеток часто
используется для местного усиления участков вблизи торцов
сборных железобетонных колонн. Сварные сетки вблизи
стыков устанавливаются в количестве не менее четырех на
длине не менее 20d от торца, если продольная арматура
выполнена из гладких стержней, и не менее 10d — из
стержней периодического профиля; d — диаметр продоль-
ной арматуры.
Для расчета по прочности сжатых элементов с косвен-
ным армированием используют те же уравнения равновесия
моментов и сил, что и для расчета внецентренно сжатых
элементов с обычным армированием (5.52) и (5.53), учиты-
вая в расчете лишь часть площади бетонного сечения Aefi
ограниченную осями крайних стержней сетки или спирали,
и подставляют в расчетные формулы вместо расчетного
сопротивления бетона Rb приведенную призменную проч-
ность бетона Rbreci-
Ne < R^bx^ ~ 0.5х) + RSCA'S	(5.61)
N + aSAS- RSCA' - Rb redbx = 0	(5.62)
При армировании сварными поперечными сетками зна-
чение Rb red определяется по формуле:
&Ь,ге<1 =	(5.63)
где (р — коэффициент эффективности косвенного
армирования:
154
1
ф =--------
0,23+*F
<1 ; где «Р =
и R
г~ху s,xy
Vho
— коэффициент косвенного армирования:
пЛЛ + ПуАЛу
—	 	 ' 9
(5.64)
(5.65)
где пх, Asx, 1Х — соответственно число стержней, площадь
поперечного сечения и длина стержня сетки в одном
направлении;
пх, Asy, 1у — то же, в другом направлении;
Aef — площадь сечения бетона, заключенного внутри
контура сеток;
5 — расстояние между сетками;
Rsxy — расчетное сопротивление стержней арматурных
сеток.
Площади сечения стержней сетки на единицу длины в
одном и другом направлении не должны различаться более,
чем в 1,5 раза.
Гибкость Л = /о/(,/ элементов с косвенным армирова-
нием не должна превышать при косвенном армировании
сетками — 55, спиралью — 35; здесь — радиус инерции
части сечения, вводимой в расчет.
155
5.3. Растянутые элементы
Механизм разрушения растянутых железобетонных
элементов. В практике имеют место элементы, работающие
на центральное и внецентренное растяжение. В ходе загру-
жения такие элементы так же как и изгибаемые, претерпева-
ют три стадии напряженно-деформированного состояния:
работа без трещин (I стадия), работа с трещинами (II стадия)
и разрушение (III стадия).
При центральном растяжении железобетонных эле-
ментов в бетоне образуются сквозные трещины, бетон в
сечениях с трещинами выключается из работы, а растягива-
ющее усилие воспринимается арматурой. По мере увеличе-
ния нагрузки напряжения в арматуре достигают предела
текучести (физического или условного). Поэтому несущая
способность центрально растянутого элемента определя-
ется предельным сопротивлением арматуры без участия
бетона.
Характер работы и вид разрушения внецентренно
растянутых элементов определяется эксцентриситетом
приложения продольной силы е0 = M/N. При этом выделя-
ется два случая работы: с малым и большим эксцентриси-
тетом.
Первый случай — растяжение с малым эксцентри-
ситетом возникает при растяжении элементов силой, прило-
женной между равнодействующими усилий в арматуре. По
характеру напряженного состояния этот случай близок к
центральному растяжению. К концу второй стадии напря-
женно-деформированного состояния элемента все сечение
растянуто и в бетоне имеются нормальные сквозные трещи-
ны, поэтому внешнему усилию сопротивляется лишь про-
156
дольная арматура. При увеличении нагрузки разрушение
элемента (III стадия напряженного состояния) наступает,
когда напряжение в продольной арматуре достигает предель-
ного значения.
Второй случай — растяжение с большим эксцент-
риситетом возникает при внецентренном растяжении эле-
ментов силой, приложенной за пределами расстояния между
равнодействующими усилий в арматуре. Предельное состоя-
ние по несущей способности элементов аналогично напря-
женному состоянию изгибаемых нормально армированных
элементов. Вследствие наличия трещин в бетоне растянутой
зоны растягивающие усилия в сечениях с трещиной воспри-
нимаются только арматурой. Разрушение элемента опреде-
ляется предельным сопротивлением растяжению арматуры
растянутой зоны и предельным сопротивлением сжатию
бетона и ненапрягаемой арматуры сжатой зоны. Если в
сжатой зоне имеется предварительно напрягаемая арматура,
напряжения в ней принимаются равными asc и определяются
по формуле:
°;с =o-j2-<\, <Я5С	(5.66)
где сг'р — определяется при коэффициенте ysp > 1, a as2 —
предельное напряжение в арматуре сжатой зоны, принимае-
мое при YsP 1 равным 400 МПа, а для элементов из
Тяжелого, мелкозернистого, легкого и поризованного бето-
нов, если учитывается коэффициент условий работы уи < 1,
<тй принимается равным 500 МПа.
Расчет на прочность растянутых железобетонных
элементов. Расчет прочности центрально растянутых желе-
зобетонных элементов ведется по III стадии напряженно-
157
деформированного состояния, когда в бетоне сечения име-
ются сквозные трещины, а напряжения в арматуре принима-
ются равными предельным сопротивлениям. Прочность эле-
ментов, имеющих в общем случае в составе сечения предва-
рительно напрягаемую арматуру с площадью сечения Asp и
ненапрягаемую с площадью сечения As, рассчитывается по
условию:
Н = Г,ЛрА,„ + К,А,,	(5.67)
где yi6 — коэффициент, учитывающий условия работы высо-
копрочной арматуры при напряжениях выше условного пре-
дела текучести.
Расчет прямоугольных сечений внецентренно растяну-
тых элементов производится с учетом положения продоль-
ной силы N:
а)	если продольная сила N приложена между равнодей-
ствующими усилий в арматуре S и S' (рис. 5.10,а) — из
условий:
Ne Ys<,RsA'sp(ho ~а'р) + RsA's(h0 - а),
(5.68)
Ne < Ys6RsAsp<K ~ар) + RSAS(K ~ а);
б)	если продольная сила N приложена за пределами
расстояния между равнодействующими усилий в арматуре S
и S' (рис. 5.10,6) — из условия:
Ne < Rhbx(h0 - 0,5х) + R^A'^ - а) + а^А'^-ар),	(5.69)
158
Рис. 5.10. Схемы усилий в нормальном сечении
при внецентренном растяжении
с малым (а) и большим (б) эксцентриситетом.
при этом высота сжатой зоны х определяется из условия
равновесия всех сил на продольную ось элемента:
N - Г,А, 4, + RA - R„bx - a,cA'v -Ккл:	(5.70)
Если полученное из расчета по формуле (5.70) значе-
ние х > E,Rh0 в условие (5.69) подставляется х = E,RhQ.
159
Если в сечении элемента отсутствуют отдельные виды
растянутой или сжатой арматуры, то выпадают и соответ-
ствующие члены в приведенных формулах.
Для определения площади сечения продольной армату-
ры в элементах без предварительного напряжения формулы
(5.69) и (5.70) приводятся к виду:
Л' ~ Ne-(pRbbh^
S Rsc(h0-a)
(5.71)
N + Rhb^Rh0 + RA
—	о o SC S ,
(5-72)
Площадь сечения арматуры А' должна назначаться
таким образом, чтобы коэффициент армирования не был
меньше минимально допустимого: /л > }1тт = 0,005.
В случаях, когда сечение арматуры A's известно (напри-
мер, принято по для определения площади сечения
арматуры As сначала находят параметр <р:
Ne-RscA's(h0-a)
Rbbhl
(5.73)
Затем вычисляются относительная высота сжатой зоны
£ и площадь арматуры As.
Глава 6
РАСЧЕТ
НА ОБРАЗОВАНИЕ И РАСКРЫТИЕ ТРЕЩИН
В ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ
6.1.	Требования к трещиностойкости
железобетонных конструкций
При работе железобетонных конструкций под нагруз-
кой в бетоне растянутой зоны чаще всего возникают трещи-
ны, неконтролируемое развитие которых увеличивает де-
формативность элемента, вызывает коррозию арматуры, что
в итоге снижает несущую способность и долговечность
несущего элемента. Под трещиностойкостъю железобетон-
ных конструкций понимают их сопротивление образованию
и раскрытию трещин.
В зависимости от условий эксплуатации и вида рабо-
чей арматуры к трещиностойкости железобетонных конст-
рукций предъявляются требования, подразделяемые на три
Категории.
Первая категория — не допускается образование
трещин. К этой категории трещиностойкости относятся пред-
варительно напряженные железобетонные конструкции, на-
ходящиеся под давлением жидкости и газов, а также эксплу-
атируемые ниже грунтовых вод при полностью растянутом
сечении.
161
Таблица 6.1
Предельная ширина раскрытия трещин
Условия эксплуатации конструкции	Категория трещиностойкости, ат1, ат1, мм		
	Арматура		
	Стержневая классов A-I, А-П, А-Ш, А-Шв, A-IV; проволочная класса Вр-1	Стержневая классов A-V, А-VI; проволочная классов В-П, Вр-П, К-7, К-19 при диаметре проволоки 3,5 мм и более	Проволочная классов В-П, Вр-П, К-7 при диаметре проволоки 3 мм и менее; стержневая класса Ат-VII
1. В закрытом помещении	3-я категория а . = 0,4 сп?1	’ а , = 0,3 сгс2	’	3-я категория а =0,3 а =0,2	3-я категория а =0,2 а , = 0,1 ск2	’
2. На открытом воздухе, а также в грунте	3-я категория а =0,4 а =0,3 сгс2	’	3-я категория а =0,2 Ctrl	9 а =0,1 сгс2	’	2-я категория а ,=0,2
3. В грунте при переменном уровне грунтовых вод	3-я категория а =0,3 а =0,2 сгс2	1	2-я категория а =0,2 стс1	’	2-я категория а =0,1
162
Вторая категория — допускается образование и огра-
ниченное по ширине непродолжительное раскрытие трещин
при условии обеспечения их надежного закрытия при дей-
ствии длительных нагрузок. Ширина раскрытия трещин
должна удовлетворять условию Д1 < асгс1.
Третья категория — допускается ограниченное по
ширине непродолжительное и продолжительное раскрытие
трещин. Основное требование по ширине раскрытия трещин:
Д1<аСгс1; А2<асгс2.
Здесь асгсХ и асгс2 — предельно допустимая ширина
раскрытия трещин, которая еще обеспечивает сохран-
ность арматуры (табл. 6.1) [1, 3].
Под непродолжительным раскрытием трещин по-
нимают их раскрытие при совместном действии постоян-
ных, длительных и кратковременных нагрузок; под про-
должительным раскрытием — при действии постоян-
ных и длительных нагрузок, без учета кратковременных
нагрузок.
Железобетонные элементы рассчитываются по образо-
ванию трещин:
—	нормальных к продольной оси элемента;
—	наклонных к продольной оси элемента.
6.2.	Расчет по образованию трещин,
нормальных к продольной оси элемента
В основу расчета по образованию трещин положена
1-ая стадия напряженно-дефформированного состояния
Железобетона. Для железобетонных элементов усилия,
163
воспринимаемые нормальными к продольной оси сечени-
ями при образовании трещин, определяются исходя из
следующих положений:
—	сечения элемента, плоские до деформации, остают-
ся плоскими после деформации (гипотеза плоских сечений);
—	удлинение бетона перед образованием трещин дос-
тигает предельного значения Ebtu'.
р _____ E-bt^er _ E-bt^er _
bt" ~ E'b ~ vbtEb ~
Еь
(6.1)
^i=tga; ^=tg</
—	напряжения в бетоне растянутой зоны распределены
равномерно и равны Rbtser (расчетному сопротивлению по
второй группе предельных состояний;
—	напряжения в напрягаемой арматуре равны сумме
предварительных напряжений с учетом всех потерь и
дополнительного приращения напряжений за счет удли-
нения растянутого бетона до Ebtu и погашения усилий его
обжатия:
сур = <т +сг
sp sp2 gon
ст =еЕ ~Eh, Е = ^b,’serр =2aRh,
gon s s bt,u s	r, s	bl,ser
—	напряжения в ненапрягаемой арматуре предвари-
тельно напряженных элементов равны сумме сжимающих
напряжений от усадки и ползучести бетона и приращения
164
растягивающего напряжения из-за деформаций растянутого
бетона:
as = ст8+ст9 + 2аЛ^.
Центрально-растянутые железобетонные элементы.
Трещины в нормальных сечениях элемента не образуются,
если соблюдается условие:
N<Ncrc
сгс
(6.2)
В формуле (6.2) N — усилие в нормальном сечении
элемента от внешних нагрузок, Ncrc — усилие, воспринимае-
мое сечением, нормальным к продольной оси элемента, при
образовании трещин. Для элементов без предварительного
напряжения (ОЖБК):
(6-3)
гае а, = 2аЯ^,
As — площадь арматуры;
czs — EJEb.
Дря предварительно напряженных конструкций:
= Rbl,Ser<A + 2aspAsp + 2asA,) + P,	(6.4)
где asp=Esp/Eb,
P — усилие предварительного обжатия.
165
Ay
Рис. 6.1. Схемы усилий и напряжений в нормальном сечении
при расчете по образованию трещин
а) изгибаемый элемент
б) внецентренно сжатый элемент
1 — ядровая точка
2 — центр тяжести сечения
166
Изгибаемые, внецентренно сжатые и внецентренно
растянутые элементы. Расчет ведется с использованием
метода расчета по ядровым точкам поперечного сечения
(рис. 6.1), т.е. моменты определяют относительно оси, про-
ходящей через точку, лежащую на границе ядра сечения и
наиболее удаленную от проверяемой растянутой зоны.
Трещины в нормальном сечении не образуются, если
выполняется условие:

(6.5)
где Мг — ядровый момент от внешней нагрузки;
Мсгс — момент, воспринимаемый сечением перед
образованием трещин, продольных
к нормальной оси.
Для изгибаемых элементов Мг = М,М— изгибающий
момент от внешней нагрузки, определяемый по правилам
строительной механики;
Для внецентренно нагруженных элементов Mr = N(e0 ± г),
N — продольная сила от внешней нагрузки; е0 — эксцентриси-
тет продольной силы относительно центра тяжести приведен-
ного сечения; г— расстояние от ядровой точки, наиболее
удаленной от растянутой зоны, до центра тяжести приведенно-
го сечения. Знак «минус» принимается для сжатых элементов,
знак «плюс» — для растянутых элементов.
Момент образования трещин определяется по фор-
муле:
Mcrc = RbhserWpl±Mrp,	(6.6)
167
где Mrp — ядровый момент обжатия (момент от усилия
обжатия Р); определяется относительно той же оси, что
и Мг; знак «+» ставится, когда направления моментов
Мг и Мгр противоположны и знак «-» — когда они
совпадают:
Мгр=Р(еОр+г)
Мгр — момент, уменьшающий напряжение предвари-
тельного обжатия бетона аь от аЬр до 0.
Н = <6'7>
Лге<1 "red
Р — равнодействующее усилие во всей продольной
арматуре с учетом потерь:
Р = а А + ст' А' -ст А - а'А'
sp sp sp sp s s s s
Mtp=P(eOp+ry)	(6.8)
Rht.serWpi = Rbl,serY^red — момент, повышающий напряже-
ние в растянутом бетоне от 0 до Rbtser.
Wred = J^lyо — приведенный упругий момент сопро-
тивления сечения для крайнего растянутого волокна бетона;
Wpl = yWred — момент сопротивления приведенного
сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупру-
гих деформаций бетона; у — коэффициент, учитывающий
неупругие деформации растянутого бетона; для прямоуголь-
ного и таврового сечения с полкой в сжатой зоне у =1,75.
Расчет в зоне, растянутой от действия усилий предва-
рительного обжатия, при условии:
168
МгР=Р^т-Гу)
(6.9)
P, — равнодействующее усилие,

(6.10)
Положение ядровой точки задается расстоянием г, оп-
ределяемым по формулам:
— для сжатых элементов и для изгибаемых — при их
внецентренном обжатии (е02 Ф 0):
г =	red , где	т = 1,6---—	(6.П)
j	R
Ared	1Xb,ser
— для внецентренно растянутых:
W
г =------,
4е</+«(4 + 4)
при выполнении условия
Rhl
(р-р А < bt'ser Р1
е0р/— г>
(6.12)
— для изгибаемых, выполняемых без предварительно-
го напряжения, а также для растянутых элементов, если не
удовлетворяется условие (6.12)
^red
(6.13)
169
Принимаемое значение внешнего воздействия:
— при центральном растяжении:
N = Мрасч ПРИ требованиях 1-ой категории,
N = ^„орм ПРИ требованиях 2-ой категории
— при изгибе:
Мнорм = 0иМг = Мнорм
— при внецентренном сжатии и растяжении:
NНОрм^0
6.3.	Расчет по раскрытию и закрытию трещин,
нормальных к продольной оси элемента
Ширина раскрытия трещин асгс, мм, нормальных к про-
дольной оси элемента, определяется на уровне центра тяжес-
ти наиболее растянутых арматурных стержней по формуле:
асгс=8(рг]а? 20(3,5-100ju)Vrf	(6.14)
Е,
где <5 — коэффициент, учитывающий вид силового воздей-
ствия: для изгибаемых и внецентренно сжатых элемен-
тов 5=1; для растянутых элементов 8 = 1,2;
ф] — коэффициент, учитывающий продолжительность
170
действия нагрузки: при действии всей нагрузки, если
считать ее кратковременной, <р, = 1; при продолжитель-
ном действии постоянной и длительной нагрузки или
многократно повторяющейся нагрузке (р} зависит от вида
бетона: для тяжелого естественной влажности <р, = 1,6-
15/1, а в водонасыщенном состоянии (рх = 1,2; мелкозерни-
стого бетона группы: А-1,75; Б-2; В-1,5; легкого и поризо-
ванного — не менее 1,5; ячеистого — 2,5;
Г] — коэффициент, характеризующий напряжение сцеп-
ления арматуры с бетоном: для стержней периодическо-
го профиля — j] = 1; для проволоки классов Вр-I и В-П и
канатов К-7 г/ = 1,2, а для гладкой проволоки класса В-П
Л = 1,4;
as — напряжение в стержнях крайнего ряда растянутой
арматуры или приращение напряжений от действия
внешней нагрузки (при наличии предварительного на-
пряжения);
d — диаметр растянутой арматуры, мм;
д — коэффициент армирования, определяется без учета
сжатых свесов полок:
д =-----А-Р- As----< 0,02,
bh. + {bf -b)(hf -а)
Для центрально растянутых элементов коэффициент арми-
рования:
ц 2<Л,М)
д bh
где X(ASf+As) — площадь всей продольной арматуры в
Поперечном сечении.
171
Напряжение в растянутой арматуре железобетонных
элементов без предварительного напряжения:
М
Asz
где z — плечо внутренней пары сил, для прямоугольного
сечения z-h0- 0,5х.
Напряжение crs для предварительно напряженных эле-
ментов определяется по формулам:
— для центрально растянутых элементов:
N-P2
°’ ~ SM+4) ’
(615)
где E(Asp+As) — площадь сечения всей продольной арматуры
в поперечном сечении элемента;
— для изгибаемых и внецентренно сжатых элемен-
тов приращения напряжений в растянутой арматуре оп-
ределяется из условия равновесия (ХМ = 0) относитель-
но оси, проходящей через точку приложения равнодей-
ствующей усилий в сжатой или менее растянутой зоне
сечения.
Для изгибаемых элементов (рис. 6.2,а):
M-P2(z-e^)
(4 + Л)^
(6.16)
172
Рис. 6.2. Схемы усилий и напряжений
в нормальных сечениях элементов
при расчете по раскрытию трещин
а) при изгибе
б) при внецентренном сжатии
1 — точка приложения равнодействующей
усилий в сжатой зоне сечения
2 — то же, в растянутой арматуре
173
Для внецентренно сжатых элементов (рис. 6.2,6):
a =N(e,-z)-P^-e,r)
’	(4, + A,)z
Если к элементу предъявляют требования 2-ой катего-
рии трещиностойкости, то вычисляется только ширина крат-
ковременного раскрытия трещин асгс1.
При требованиях 3-ей категории вычисляется ширина
непродолжительного раскрытия трещин от кратковремен-
ного действия всей нагрузки:
а'сгс2 — от постоянной и длительной временной,
как таковой;
а'сгс\ — от всей нагрузки, считая ее кратковременной;
асгс\ — от постоянной и длительной, считая ее
кратковременной;
тогда
асгс\ = (асгс1 ~ асгсд + асгс2 >
и ширина продолжительного раскрытия трещин:
асп2 — от постоянной и длительной временной,
как таковой.
Если полученные значения асгс1 и асгс1 меньше предель-
ных по нормам (табл. 6.1), то расчет закончен.
Если ширина раскрытия трещин асгс1 или асгс2 превы-
шает допустимые значения, то необходимо увеличить
сечение элемента или применить предварительное напря-
жение.
174
Закрытие трещин. В соответствии с нормами про-
ектирования в предварительно напряженных конструк-
циях, отвечающих требованиям 2-ой категории трещино-
стойкости, допускается непродолжительное раскрытие
трещин при условии, что они будут надежно закрываться
после снятия кратковременных нагрузок. При действии
только постоянных и длительных нагрузок трещины
должны надежно закрываться во избежание коррозии
арматуры.
Условие обеспечения закрытия трещин считается вы-
полненным, если при длительно действующих нагрузках в
сечении элемента сохраняется обжатие бетона (<т6) интенсив-
ностью не менее 0,5 МПа, а также, если растягивающие
напряжения в напрягаемой арматуре при нормативных на-
грузках ограничены значениями, соответствующими преде-
лу упругости.
Трещины считаются надежно закрытыми, если при
действии постоянных и длительных нормативных нагрузок
обжатие бетона отвечает условию
°b +r)-Mr-\!Wred >0,5МПа
(6.18)
где Мг — момент внешних сил относительно оси, прохо-
дящей через ядровую точку г, наиболее удаленную от
растянутой грани; для изгибающих элементов Mr = М;
для внецентренно сжатых Mr = N(e0-r)-, Wred — приведен-
ный момент сопротивления, определяемый как для упру-
гого тела.
Кроме того, при действии нормативных (yz = 1) посто-
янных, длительных и кратковременных нагрузок в напрягае-
мой арматуре не должно возникать необратимых деформа-
175
ций; это происходит при условии:
^+^<0,8/?,^
где osp — предварительное напряжение в арматуре
с учетом всех потерь;
(js — приращение напряжений в арматуре от действия
внешних нагрузок.
6.4.	Расчеты по образованию,
раскрытию и закрытию трещин,
наклонных к продольной оси элемента
Наклонные сечения железобетонных элементов рабо-
тают в условиях двухосного напряженного состояния: в этих
сечениях действуют главные растягивающие (jmt и главные
сжимающие <утс напряжения. Трещиностойкость наклонных
сечений проверяют в зоне действия главных растягивающих
напряжений <jmt на уровне центра тяжести приведенного
сечения.
Трещиностойкость наклонного сечения считается обес-
печенной, если главные растягивающие напряжения (Ут1 удов-
летворяют условию:
mt — /b4^bt,ser ’
(6.19)
где ум — коэффициент условий работы бетона:
176
1 me ^bl ,ser
Q,2abB
<1,0;
аь — коэффициент, учитывающий вид бетона:
аь = 0,01 — для тяжелого бетона;
аь - 0,02 — для мелкозернистого, легкого и ячеистого
бетона;
В — класс бетона по прочности на сжатие;
произведение ahB принимается не более 0,3.
Значения главных растягивающих и главных сжимаю-
щих напряжений в бетоне определяют по известной из
сопротивления материалов формуле для плоского напряжен-
ного состояния:
(6.20)
где <ух — нормальные напряжения в бетоне от действия
внешней нагрузки и усилия предварительного об-
жатия бетона продольной арматурой, возникаю-
щие на площадке, перпендикулярной продольной
оси элемента;
(jy — нормальные напряжения в бетоне от местного
действия опорных реакций, сосредоточенных сил,
распределенной нагрузки и усилия предваритель-
ного обжатия бетона поперечной арматурой (пред-
варительно напряженными хомутами и отогнуты-
ми стержнями), возникающие на площадке,.парал-
лельной продольной оси элемента;
177
тху — касательные напряжения в бетоне от действия
внешней нагрузки и усилия обжатия бетона пред-
варительно напряженными отогнутыми стерж-
нями.
Напряжения сгх и <зу подставляют в формулу со знаком
«+», если они растягивающие, и «-», если сжимающие.
Напряжения сгх, сгу, тх>, определяют по закону независи-
мости действия сил как для упругих материалов, за исключе-
нием касательных напряжений от действия крутящего мо-
мента, которые вычисляют по формулам для пластического
состояния элемента:
и - Р ± Реоруо +
Х
При отсутствии предварительно напряженной попе-
речной арматуры напряжения в бетоне от местного сжатия,
возникающие вблизи места приложения опорных реакций и
сосредоточенных сил, определяют как для упругого тела:
 F Д2 Г 3~2Д Д
'~6Л1,57 (1-а2)2 (а2 + Д2)2
где F— сосредоточенная сила или опорная реакция;
P=y/h;
а = х/у — относительная координата точки, для кото-
рой определяют местные напряжения, в месте приложения
F: х=0, у = 0, при этом ось х направлена параллельно
продольной оси элемента, ось у — перпендикулярна ей,
местные напряжения (Уу учитывают на участке длиной х =
0,7Л в обе стороны от точки приложения сосредоточенной
силы F.
178
При отсутствии предварительно напряженной попе-
речной арматуры
т	(6.21)
-О’	Г L	'	7
Jredb
где Q — поперечная сила от внешней нагрузки;
Sred — приведенный статический момент сдвигаемой
части сечения относительно оси, проходящей через
центр тяжести приведенного сечения;
Jred — приведенный момент инерции сечения;
b — ширина элемента в исследуемом сечении на уровне
рассматриваемого волокна.
Определение ширины раскрытия наклонных тре-
щин. Расчет ширины раскрытия наклонных трещин произво-
дится для сечений, отстоящих от опоры на расстоянии / > Ло:
a =Vi----------,	(6.22)
£„«/*0) + 0,15£t(l+2o?1,)
где <р, и Т] — те же величины, что и в формуле (6.14);
dw — диаметр поперечной арматуры;
a = EJEb-,
= AsJbS, здесь S — шаг хомутов.
Ширина раскрытия наклонных трещин в большей мере
зависит от насыщенности сечения поперечной арматурой
(хомутами, отгибами). Чем больше поперечной арматуры,
Тем значительнее уменьшается ширина раскрытия трещин.
Сцепление поперечной арматуры с бетоном также влияет на
Ширину раскрытия наклонных трещин.
179
Напряжения в хомутах определяют по формуле:
Ms»
s,ser
(6.23)
здесь Q — наибольшая поперечная сила от внешней нагруз-
ки на рассматриваемом участке элемента; Qbl — наибольшая
поперечная сила, воспринимаемая элементов без попереч-
ной арматуры.
Для элементов, изготавливаемых из легких бетонов
классов В 7,5 и ниже, значение асгс, определяемое по форму-
ле (6.22), необходимо увеличить на 30%.
Глава 7
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
7.1.	Общие положения расчета
При работе конструкций под действием эксплуата-
ционных нагрузок в них могут возникнуть недопустимые
деформации (прогибы, углы поворота). Они зависят от
нагрузки, размера и формы элементов, характеристики
материалов, величины предварительного обжатия, нали-
чия трещин в бетоне. Цель расчета по деформациям
состоит в ограничении прогибов конструкции до допусти-
мых пределов:
f$fu,	(7-1)
где f — прогиб от нормативных нагрузок (при ^=1);
fu — допустимый предельный прогиб.
Предельные прогибы fu (табл. 7.1) устанавливаются
нормами с учетом следующих требований:
181
Таблица 7.1
Предельные прогибы железобетонных элементов
Элементы конструкций	Предельно допустимые прогибы
1. Подкрановые балки при кранах: ручных электрических	//500 //600
2. Перекрытия с плоским потолком и элементы покрытия (кроме указанных в поз.4) при пролетах, м: /<6 6 </<7,5 Z > 7,5	//200 3 см //250
3. Перекрытия с ребристым потолком и элементы лестниц при пролетах, м: /<3 5</< 10 /> 10	//200 2,5 см //400
4. Элементы покрытий сельскохозяйственных зданий производственного назначения при пролетах, м: /<6 6</< 10 /> 10	//150 4 см //250
5. Навесные стеновые панели (при расчете из плоскости) при пролетах, м: /<6 6 </<7,5 /> 7,5	//150 3 см //250
/ — пролет балок или плит; для консолей принимается значение /, равное удвоенному вылету консоли. Примечания: 1. Предельно допустимые прогибы по поз. 1 и 5 обуслов- лены технологическими и конструктивными, а по поз. 2-4 — эстетическими требованиями. 2. Допустимые прогибы для конструкций, не предусмотренных табли- цей, не должны превышать 1/150 пролета и 1/75 вылета консолн [3].	
182
—	технологических, обеспечивающих нормальную ра-
боту кранов, технологических установок, машин и т.п.;
—	конструктивных, обусловленных влиянием сосед-
них элементов, ограничивающих деформации, а также необ-
ходимостью выдержать заданные уклоны и т.п.;
—	эстетических, основанных на зрительном впечат-
лении людей о пригодности конструкций к эксплуатации
[1,3,4].
Расчет элементов по деформациям производят, как
правило, только для стадии эксплуатации (при yf = 1),
поскольку на остальных этапах (изготовление, транспорти-
рование, монтаж) деформативность конструкции не имеет
решающего значения.
Расчет деформаций ведется по правилам строительной
механики и связан с определением уравнения изогнутой оси
элемента:
d'yldx2 = Мх ЦЕ1Х) = Нгх	(7.2)
После интегрирования получим прогиб:
f = f—dx + Cx + D.
Таким образом расчет сводится в основном к определе-
нию кривизны оси элемента при изгибе (7/г). Так как железо-
бетонные конструкции (или их части) могут работать с
трещинами и без них, существуют соответственно два мето-
да определения кривизны.
183
7.2.	Кривизна железобетонных элементов
на участках без трещин
К конструкциям, работающим без трещин, обычно
относятся предварительно напряженные. Для участков
элемента, где в растянутой зоне не образуются трещины
или они закрыты, кривизну определяют, как для сплошно-
го упругого тела, находящегося в стадии 1 напряженно-
деформированного состояния. Полную кривизну изгибае-
мых и внецентренно нагруженных элементов находят по
формуле:
1 / г = (1 / г), + (1 / г )2 - (1 / г)3 - (1 / г)4,	(7.3)
где (1/г)] и (1/г)2 — соответственно кривизны от кратковре-
менного и длительного действия нагрузки. При этом к
длительным нагрузкам относят часть некоторых кратковре-
менных нагрузок, а вводимая в расчет кратковременная
нагрузка должна быть уменьшена на эту часть. Кривизны
(1/г)! и (1/г)2 определяют по формуле:
l/r = M<pb2W,S5EbIred),	(7.4)
где <рв2 — коэффициент, учитывающий увеличение деформа-
ций за счет длительной ползучести бетона: при кратковре-
менных нагрузках (рв2 = 1; при постоянных и длительных
нагрузках и влажности воздуха 40...75% (рв2 = 2, а при
влажности ниже 40% (рв2 = 3; 0,85 — коэффициент, учитыва-
ющий влияние кратковременной ползучести бетона.
184
Кривизна (1/г)3 учитывает выгиб элемента от кратков-
ременного действия усилия предварительного обжатия Р,
определенного с учетом потерь напряжений, отвечающих
той стадии, на которой определяется кривизна. Например,
для стадии эксплуатации:
(llr\=P2eOpl^5Eblred)	(7.5)
где Р2 — усилие обжатия с учетом всех потерь.
Кривизна (1/г)4 учитывает нарастание выгиба элемента
вследствие усадки и ползучести бетона от предварительного
обжатия. Ее определяют как тангенс угла наклона эпюры
деформаций от усадки и ползучести бетона:
(l/r)4 = (ei-<)/i0	(7.6)
где еь и е'ь — относительные деформации бетона, вызванные
его усадкой и ползучестью, определяемые соответственно на
уровне центра тяжести растянутой продольной арматуры и
крайнего сжатого волокна.
Так как деформации бетона и арматуры одинаковы,
можно принять:
eb=Es=os!Es и Eb=Es=0slEs,
где <ys принимается численно равной сумме потерь напряже-
ний в арматуре от усадки и ползучести бетона, т.е. (Js = сг6 +
(% + сг9; ст' — то же, для напрягаемой арматуры, если она
имелась на уровне крайнего сжатого волокна.
185
Если в стадии изготовления в верхней зоне элемента
от действия усилия обжатия Р (с учетом первых потерь)
образуются трещины, то в формуле (7.6) принимают e'j = 0;
значения (1/г)„ (1/г)2 и (1/г)3 увеличивают на 15%, а (1/г)4 —
на 25%.
На участках элемента, где образуются нормальные
трещины, но при действии рассматриваемой нагрузки обес-
печено их закрытие, учитывают снижение жесткости конст-
рукции путем увеличения кривизны (1/г)15 (1/г)2 и (1/г)3 на
20%. В элементах с ненапрягаемой арматурой величины (1/
г)3 и (1/г)4 принимают равными нулю.
7.3.	Кривизна железобетонных элементов
на участках с трещинами
На участках элемента, где образуются трещины, кри-
визну определяют, исходя их напряженно-деформирован-
ного состояния в стадии II, т.е. с учетом трещин и упру-
гопластических свойств бетона. Переменная жесткость
элемента (в сечениях с трещинами и между ними) не
позволяет определять прогиб, как для сплошного упруго-
го тела.
Рассмотрим вырезанную двумя плоскостями часть
элемента, испытывающую чистый изгиб (например, сред-
ний участок балки). После появления трещин растянутая
зона бетона разделяется на отдельные участки длиной 1СГС
(рис. 7.1,а). В сечении с трещиной все растягивающие
усилия воспринимает арматура, и напряжения в ней дости-
186
00
Рис. 7.1. Схемы для определения кривизны оси изгибаемого элемента
гают наибольшей величины. По мере приближения к сере-
дине участка длиной 1СГС постепенно в работу вовлекается
бетон, и напряжения в арматуре уменьшаются. Напряже-
ния, а следовательно, и деформация сжатого бетона на
участке между трещинами также будут изменяться, так как
высота сжатой зоны по длине элемента непостоянна и
нейтральная ось проходит по волнообразной линии. Опре-
делять кривизну такой оси балки весьма сложно. В целях
упрощения расчетов принимают следующие допущения:
напряжения в арматуре и бетоне (соответственно и их
деформации), а также высоту сжатой зоны бетона принима-
ют равными их средним значениям. Тогда нейтральная ось
элемента пройдет по кривой с радиусом г (пунктирная
линия 0-0). Для средних сечений, расположенных на участ-
ке между трещинами, считают справедливыми гипотезу
плоских сечений и закон Гука.
Рассматривая участок длиной 1СГС (рис. 7.1,6) с уче-
том сделанных допущений можно принять, что эпюры
относительных деформаций в растянутой и сжатой зонах
изменяются по линейному закону (имеют вид треуголь-
ников). Тогда абсолютные деформации арматуры (удли-
нение) и бетона в сжатой зоне (укорочение) на участках
длиной /сге соответственно составят Е,т1сгс и 8hJrrc- Из
подобия треугольников АОВ и DCB составим уравнение
IcrJr = (esm +Ebm)lcrc/ho • Сокращая на lcrc, получим искомое
уравнение средней кривизны балки (уравнение изогну-
той оси):
Hr = {esm-Ebm)lh0.	(7.7)
188
Средние деформации растянутой арматуры определя-
ют в сечении с трещиной по напряжениям <т5 с коэффициен-
том неравномерности деформаций арматуры между трещи-
нами 4fs <1 (см. рис. 7.1):
е =‘Fcr IE .
^sm ss s s s
(7.8)
Средние деформации крайнего сжатого волокна бетона
определяют по краевому сжимающему напряжению бетона
<ть. Неравномерность деформаций (напряжений) крайнего
волокна сжатого бетона учитываются опытным коэффици-
ентом = 0,9, а влияние пластических деформаций сжатого
бетона — модулем упругопластичности ЕЬр1 - vEb. С учетом
этого
еЬт = *ь£ь =	1ЕЬ.=	1(уЕ.).	И.9)
от о о оо о,р1 Ob'- о/	\	/
Напряжения в арматуре и бетоне в сечении с трещи-
ной получим, принимая как ранее, прямоугольную эпюру в
сжатой зоне. Из условия равновесия внешних и внутренних
моментов относительно центра тяжести растянутой арма-
туры можно определить краевые сжимающие напряжения в
бетоне <уь, а также напряжения в арматуре ст/
а ь = (М + Pesp) l(Abredz)
а _ 'M-Ntolz
’ (4P + As)z
(7.Ю)
189
где Ab raJ — приведенная площадь сжатой зоны сечения;
z — плечо внутренней пары сил;
Ntol — равнодействующая продольных сил,
включая силу обжатия.
При изгибе элементов с ненапрягаемой арматурой
afc=A//(4re/z).
Подставив необходимые величины в формулу (7.7) и
учитывая, что Abred = (g>f + E,)bhQ — получим уравнение кри-
визны изгибаемых элементов с ненапрягаемой арматурой:
1 М	у,
—	S ।	и
r hoz [ ЕЛ vEb	+&bho
(7.П)
Если к элементу приложена также продольная сжима-
ющая сила (или усилие предварительного обжатия), то фор-
мула (7.11) примет вид:
У, ,
г hoz\_EsAs vEb((pf+^)bh0\ E^h^
(7.12)
где М— заменяющий момент, равный моменту
всех сил относительно центра растянутой
арматуры;
£ - xm/h0 — относительная высота сжатой зоны;
190
(pf— коэффициент, учитывающий влияние сжатых
полок в тавровых сечениях.
С течением времени кривизна элемента изменяется в
зависимости от характера и длительности действия нагруз-
ки, поэтому полная кривизна
(7.13)
— кривизна от кратковременного действия всей
нагрузки;
(п
— то же, от постоянных и длительных нагрузок;
V /2
( Г)
— кривизна от длительного действия длительных
V Л
нагрузок;
'П
— кривизна, обусловленная выгибом элементом вслед-
v Л
ствие усадки и ползучести бетона от усилия обжатия, опре-
деляется по формуле (7.6); в элементах с ненапрягаемой
- ГП п
арматурой 1-1=0
191
1А. Определение прогибов
Прогибы элементов железобетонных конструкций оп-
ределяют по правилам строительной механики, используя
значения кривизны. Для этого наиболее удобной зависимос-
тью является интеграл Мора:
(7-14)
1
где Мх — наибольший изгибающий момент в сечении х от
действия единичной силы, приложенной в точке и по направ-
лению искомого прогиба; (1/гх) — полная кривизна в сече-
нии от нагрузки, при которой определяется прогиб.
В свободно опертых и консольных балках с одно-
значной эпюрой моментов участки с повышенной жест-
костью (без трещин) невелики, поскольку они располо-
жены в зоне малых моментов. Исследования показали,
что влияние этих участков на величину наибольшего
прогиба незначительно (в пределах 5... 15%) и ими мож-
но пренебречь. В результате этого допущения прогиб
таких элементов определяют по минимальной жесткости
(максимальной кривизне), которая принимается посто-
янной по всей длине пролета. В этом случае можно
использовать формулы для упругих материалов. Для
балок постоянного сечения с ненапрягаемой арматурой
прогиб:
(7-15)
192
Таблица 7.2
Значения коэффициентов S
193
где S — коэффициент, зависящий от расчетной схемы эле-
мента и вида нагрузок (табл. 7.2).
Примечание. При загружении элемента одновременно
по нескольким схемам, из представленных в табл. 7.2, коэф-
фициент S равен:
$ _ SXMX + S2M2 +...
Л/] + М2 + ...
где S2... и Мх, М2... — соответственно коэффициенты S и
наибольшие изгибающие моменты для каждой схемы загру-
жения. В этом случае в формуле прогиба величина 1/г
определяется при значении М, равном сумме наибольших
изгибающих моментов, определяемых для каждой схемы
загружения.
Глава 8
КОНСТРУКТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ
И РАСЧЕТ
СБОРНЫХ ПАНЕЛЕЙ ПЕРЕКРЫТИЙ
8.1. Типы панелей-оболочек
Основной принцип компоновки сечений перекрытий
зданий — эффективное использование высокой прочности
бетона на сжатие. Перекрытия работают в условиях попереч-
ного изгиба. В этой ситуации бетон в растянутой зоне
необходим в основном для защиты арматуры от внешнего
воздействия, а также при необходимости создания плоского
готового потолка. Поэтому лишний бетон является баллас-
том и необходимо стремиться к созданию конструкции плос-
ких перекрытий наименьшей массы. Это в свою очередь
снизит нагрузки на вертикальные несущие элементы здания,
фундамент и основание. Снижение массы сборных плит
перекрытий на 20-30% обеспечит снижение перевозок этих
элементов на четверть, то есть уменьшение транспортных
расходов и связанных с этим экономия энергоносителей и
снижение вредных выбросов автотранспортом.
По ряду объективных причин в России из всего мно-
гообразия железобетонных пространственных конструк-
195
ций наибольшее распространение получили сборные и
сборно-монолитные решения панелей-оболочек, основны-
ми типами которых в жилищном и гражданском строитель-
стве в настоящее время являются многопустотные панели с
круглыми пустотами и сплошные панели размером на
комнату.
Совершенствование пространственных конструкций
традиционно было связано со стремлением разнообразить
формы их поверхности и изыскать за счет этого резервы
материалоемкости.
В настоящее время в отечественном строительстве
используют два основных типа конструкций панелей-оболо-
чек. Оболочки качественно новых форм, для производства
которых требуется создание специальной металлооснастки.
Среди них можно отметить: гиперболические панели-обо-
лочки [28, 60, 61], цилиндрические панели-оболочки [62,
63], панели КЖС и КСО [46, 55, 56]. Достоинствами таких
конструкций являются их высокие статические свойства,
относительно низкая материалоемкость и хорошие архитек-
турные качества. Главным недостатком, сдерживающим их
применение в массовом строительстве, является необходи-
мость создания нового парка металлооснастки и технологи-
ческих линий по их производству.
К панелям-оболочкам второго типа относятся конст-
рукции, изготавливаемые на основе оборудования и метал-
лоформ существующей базы стройиндустрии, без значи-
тельного увеличения капитальных вложений в ее перевоору-
жение. В качестве примеров можно привести традиционно
применяемые ребристые канели П-образного профиля, мно-
гопустотные панели с круглыми пустотами с высотой попе-
речного сечения 22 см.
196
Более экономичными являются плиты с пустотами
овальной формы. Однако эти плиты не нашли широкого
применения в строительстве. При изготовлении панелей с
овальными пустотами после извлечения пуансонов ( пусто-
образователей) стенки каналов и верхняя полка свежеотфор-
мованного изделия достаточно часто обрушались.
Расход арматуры на 1 м2 площади перекрытия при
пролете 6 м и нормативной полезной нагрузке 6-7 кг/м2
составляет для панелей с круглыми пустотами 8,5 кг/м2, а
для панелей с овальными пустотами— 8,0 кг/м2, а для
ребристых панелей с ребрами вниз — 8,3-21 кг/м2 в зависи-
мости от величины временной нагрузки.
Весьма эффективными со многих точек зрения являют-
ся панели размером на комнату, работающие в двух направ-
лениях. Применение таких особенно целесообразно в круп-
нопанельном домостроении. Наиболее простыми с точки
зрения технологии изготовления и конструктивного реше-
ния являются сплошные плоские панели толщиной 16 см.
Недостатком таких панелей является повышенный расход
бетона и, следовательно, большой вес.
Одним из путей совершенствования конструктивных
решений железобетонных перекрытий рассматриваемого
класса является исполозование и усиление пространствен-
ного эффекта их работы. Оболочки одинарной или двоякой
кривизны, характеризующиеся криволинейными внешней
и внутренней поверхностями, наилучшим образом отвеча-
ют указанной цели. Однако в технологическом отношении,
как с точки зрения упрощения технологии изготовления
панелей, монтажа перекрытия, так и создания плоского
основания пола и готового потолка перспективным направ-
лением в области применения в жилищном и гражданском
197
строительстве пространственно работающих конструкций
являются железобетонные панели-оболочки, характеризу-
ющиеся плоским прямоугольным контуром, криволиней-
ной внутренней и плоской верхней и нижней наружными
поверхностями [15, 16]. Внутренняя поверхность панелей
может быть двоякой кривизны: вспарушенной (рис. 8.1,а)
или одинарной (цилиндрической) (рис. 8.1,6). При отноше-
нии сторон прямоугольного плана плиты-оболочки больше
двух, когда эффект двоякой кривизны поверхности снижа-
ется в силу существенного ее уположения в продольной
направлении, рекомендуется применять панели с цилинд-
рической внутренней поверхностью, а при отношении сто-
рон меньше двух — со вспарушенной. Сохраняя все
преимущества обычно применяемых панелей перекры-
тий — плоский контур, облегчающий сопряжение кон-
струкции с перекрываемой ячейкой, и плоский верх,
облегчающий устройство пола, плиты-оболочки харак-
теризуются свойственным оболочкам пространствен-
ным эффектом работы, представляя собой по существу
оболочки переменной толщины, утолщающиеся к контуру.
Вместе с тем, в отличие от оболочек, плиты-оболочки
более приспособлены к массовому применению в строи-
тельстве с точки зрения технологии их изготовления и
монтажа, позволяя, например, при их бетонировании ис-
пользовать существующие формы и методы вибропрессо-
вания.
По своей материалоемкости плиты-оболочки занимают
промежуточное положение между оболочками и плоскими
плитами, однако превосходят первые с точки зрения техно-
логии изготовления и монтажа, а вторые — с точки зрения
расхода материалов, позволяя снизить приведенную толщи-
198
Рис. 8.1. Плиты-оболочки
а — со вспарушенной внутренней поверхностью;
б — с цилиндрической внутренней поверхностью.
199
YZZZZZZZZZ^ZZZZZZZZZZZ^
Рис. 8.3. Конструктивное решение плиты-оболочки,
предложенное Г.М. Мамедовым
(поперечный разрез по оси симметрии
и план со стороны внутренней поверхности)
200
Рис. 8.4. Ступенчато-вспарушенная
панель
(поперечный разрез по оси симметрии
и план со стороны внутренней поверхности)
201
ну обычно применяемых многопустотных панелей с круглы-
ми пустотами на 20-30%.
Одним из вариантов дальнейшего совершенствования
конструктивных решений панелей-оболочек является разра-
ботанная Г.М.Мамедовым [49] конструкция железобетонной
панели перекрытия с центральной областью постоянной
толщины и утолщающимися приконтурными зонами (рис.
8.3), что придает панели эффект двоякой кривизны и повы-
шает степень индустриальной готовности изделия, которое
по существу выпускается уже с готовыми карнизами. Одно-
временно, однако, усложнаяется изготовление форм для
бетонирования плиты-оболочки на заводе сборных конст-
рукций.
Оригинальным развитием этой конструкции плиты пе-
рекрытия, преследующим цель усиления эффекта ее про-
странственной работы являются предложенные Г.К.Хайду-
ковым ступенчато вспарушенные панели [58,59], характери-
зующиеся плоским верхом и ступенчатой нижней (внутрен-
ней) поверхностью, делающей толщину панели уменьшаю-
щейся от контура к ее центру (рис. 8.4). Такая конструкция
панели вписыванием в нее виртуальной оболочки создает
определенный эффект двоякой кривизны, повышая проч-
ность конструкции. Тем не менее в местах ступенчатого
изменения жесткости панели следует ожидать нежелатель-
ной концентрации напряжений. С целью их устранения и из
архитектурных соображений переход от плиты одной ступе-
ни к плите следующей ступени осуществляется фигурно,
что усложняет изготовление форм. Тем не менее эта конст-
рукция по сей день остается одной из наиболее прогрессив-
ных среди пространственно работающих сборных железобе-
тонных панельных перекрытий.
202
Попыткой использования пространственного эффекта
работы конструкции в составном (комбинированном) пере-
крытий предпринята С.З. Карапетяном [12]. Разработанная
им конструкция (рис. 8.5) состоит из нижних панелей в
виде лотка с вогнутой внутренней поверхностью, радиус
кривизны которой г - 0,256, где b — ширина панели, и
уложенных на них с помощью упругих прокладок верхних
панелей, снабженных ребрами жесткости и имеющих кри-
визну внутренней поверхности, характеризуемую отноше-
нием Ь:гь = 1:20. Как отмечает автор, благодаря вогнутым
формам внутренних поверхностей панелей создается до-
полнительная прочность, позволяющая сократить расход
арматуры. Вместе с тем существенным недостатком конст-
рукции является уменьшение рабочей высоты сечения кон-
турных ребер нижней части панели, связанное с укладкой
верхней части.
4	12	5
"ZZZZ^ZZZZZZZ^ZZZZZZZZZZZ2^
ЧЧЧкЧЧЧккГ
Рис. 8.5. Раздельная конструкция перекрытия
с корытообразными верхней и нижней панелями
1	— верхняя лотковая панель,
2	— ребро жесткости верхней панели,
3	— нижняя лотковая панель,
4	— заполнение.
203
В связи с изложенным представляется, что включение
в работу железобетонных перекрытий пространственного
эффекта (эффекта оболочки) тонкостенных железобетон-
ных плит конструкций обеспечит снижение собственного
веса (постоянная нагрузка уменьшается) и экономному рас-
ходу материалов. При этом выявляется ряд научных и
практических задач: выявление геометрии кривой внутрен-
ней поверхности, кривизна которой должна обеспечить
максимальную эффективность в статическом плане; выбор
расчетных схем и разработка алгоритмов расчета этих кон-
струкций. При этом необходимо помнить о минимизации
материальных и трудовых затрат на изготовление и монтаж.
Эффективным путем является аппроксимация криволиней-
ной внутренней поверхности многогранником, составлен-
ным из плоских граней, что в значительной степени облег-
чает изготовление соответствующей оснастки на заводах.
С учетом пологости срединной поверхности плиты-
оболочки объемы бетона, получаемые в случаях цилиндри-
ческой и призматической поверхностей, уже при аппрокси-
мации первой пятигранником оказываются близки друг к
другу. Вместе с тем использование призматической поверх-
ности дает больше простора для вариации формы попереч-
ного сечения панели, а, следовательно, достижения большей
экономии материалов. Использование в призматической по-
верхности количества граней более пяти нецелесообразно
ввиду осложнения технологии изготовления форм для бето-
нирования плит-оболочек.
Основными конструкциями устройства сборных пере-
крытий в жилищном и гражданском строительстве являются
многопустотные панели с круглыми пустотами и сплошные
панели размером на ячейку (комнату).
204
В практику строительства внедряются эффективные
многопустотные и двухпустотные облегченные панели пере-
крытий с пустотами в виде призматического многогранника
(рис. 8.6). Изготовление панелей производится в формах и
технологических линиях для панелей с круглыми пустотами
при условии замены образователей пустот (пуансонов). Рас-
четы показывают, что приведенная толщина облегченной
панели составляет 9 см против 12 см в панелях с круглыми
пустотами, т. е. обеспечивается экономия материалов и
снижается вес конструкции на 25-30%.
Альтернативным решением сплошных плит на комнату
предлагаются вспарушенные плиты-оболочки (рис. 8.7). Кон-
структивное решение зданий при этом предполагает опира-
ние панелей по контуру, наиболее благоприятное для плит-
оболочек, которые в этом случае характеризуются большей
несущей способностью, что показали лабораторные и натур-
ные эксперименты.
Применение пространственно работающих плит-обо-
лочек в данном случае является альтернативным решением
используемых на практике плит сплошного сечения толщи-
ной обычно 16,0 см. Использование плит-оболочек позволя-
ет при этом достичь экономии бетона не менее 30%.
Если вес плит сплошного сечения размером на комна-
ту достигает величины 7,0 тонн, то вес шатровых плит-
оболочек не превосходит 5,0 тонн, что существенным
образом облегчает их монтаж и уменьшает величину по-
стоянной нагрузки на вертикальные конструкции здания,
фундамент и основание. При этом шатровые плиты-обо-
лочки характеризуются необходимой в эстетическом плане
архитектурной выразительностью потолка. В необходимых
случаях они, по аналогии с описанием в [13] призматичес-
205
м
о
о
Рис. 8.6. Многопустотные панели пониженной материале- и энергоемкости
л)
1
1-1

207
Рис. 8.7. Шатровая плита-оболочка
а)	поперечное сечение по оси симметрии;
б)	продольное сечение по оси симметрии;
в)	план внутренней поверхности
кими плитами-оболочками, могут применяться и ребрами
вверх.
Известно, что обеспечение гребований звукоизоляции
перекрытия достигается при наличиии около 400 кГ/м2
массы сплошного перекрытия. Это требование в опреде-
ленной степени затрудняет применение вспарушенных плит-
оболочек ребрами вниз. Другим недостатком этих конст-
рукций является отсутствие плоского потолка в жилых
помещениях, к которому более свойственна психология
людей.
Избежать указанные недостатки позволяет железобе-
тонная панель ребрами вверх (рис. 8.8). Как видно, перекры-
тие состоит из контурной рамы, образованной обращенными
вверх продольными ребрами 1 и поперечными 2, заключен-
ной между ними плиты 3, ограниченной обращенной вниз
плоской поверхностью 4, и обращенной вверх призматичес-
кой поверхностью 5. Внутренняя поверхность панели, огра-
ниченная боковыми гранями ребер 1, 2 и поверхностью 5,
заполняется звукоизолирующим материалом 6 заподлицо с
верхней гранью 7 контурной рамы. По верху заполнения 6 и
контурных продольных и поперечных ребер 1,2 укладывает-
ся пол 8.
В качестве звукоизолирующего материала, заполняю-
щего внутреннюю полость панели 6, могут быть использо-
ваны газобетон или пенобетон на известковом вяжущем
при минимальной призменной прочности порядка 5 МПа,
шлак, керамзит или любой другой заполнитель. Отсут-
ствие в несущей панели перекрытия промежуточных про-
дольных и поперечных ребер значительно облегчает за-
полнение внутренней полости панели звукоизолирующим
материалом. При использовании в качестве последнего
208
aD
3 oooo°/<>0<>0 V ° О
OqO /оо о о СТО о
о & о о а ° о ° о о'
0 О °о о о ° О ° ° о и
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
/'1
7
Рис. 8.8. Призматическая плита-оболочка ребрами вверх
а) поперечное сечение,
б) продольное сечение по оси симметрии.
209
газо- или пенобетона или какого-либо другого твердого
материала заполнение внутренней полости панели 6 может
быть осуществлено на заводе железобетонных конструк-
ций; в случае же насыпного материала заполнение произ-
водится непосредственно при монтаже перекрытия. Ис-
пользование в качестве звукоизолирующей внутренней
полости панели 6 позволяет одновременно уменьшить и
толщину пола 8, что сопровождается увеличением высоты
потолка в помещении.
Ограничение плиты 3 с внешней стороны плоской
поверхностью 4, а с внутренней — призматической 5
обеспечивает в процессе монтажа получение готового
потолка (при этом рекомендуется роторный способ бето-
нирования панелей), а также пространственный характер
работы панели, свойственный плитам-оболочкам и спо-
собствующий экономии материалов — бетона и стали.
Вместе с тем, если в цилиндрических плитах-оболочках
внутренняя поверхность выполняется криволинейной, то
здесь она призматическая, что облегчает изготовление
форм для бетонирования панелей, а наличие плоской верх-
ней поверхности при бетонировании изделия облегчает и
этот процесс.
Работа конструкции характеризуется следующими осо-
бенностями. Основным несущим элементом перекрытия яв-
ляется обращенная контурными ребрами 1 и 2 вверх железо-
бетонная панель в виде плиты-оболочки с призматической
внутренней поверхностью 5, характеризующаяся простран-
ственным характером работы. Изгибное напряженное состо-
яние панели в упругой стадии работы соответствует изгиб-
ному напряженному состоянию аналогичной, уложенной
ребрами вниз. Мембранное же напряженное состояние меня-
210
ет знак [65]. В результате в контурных зонах возникают
тангенциальные усилия сжатия. При использовании в каче-
стве звукоизолирующего заполнителя внутренней полости
панели 6 твердого материала, характеризующегося опреде-
ленной прочностью на сжатие, например, газо- или пенобе-
тона, заполнитель препятствует смещению угловых точек
панели внутрь и тем самым выполняет не только звукоизоли-
рующие функции, но и участвует в общей пространственной
работе панели.
Описанные плиты-оболочки размером на комнату
отличаются упрощенной формой внутренней поверхнос-
ти, преследующей цель использования существующих
форм для изготовления плит сплошного сечения с некото-
рыми доработками. Это упрощение, однако, достигается
за счет получения менее благоприятного распределения
усилий в теле конструкции в сравнении с плитами-оболоч-
ками со вспарушенной внутренней поверхностью. Оче-
видно, что чем ближе та или иная поверхность аппрокси-
мирует вспарушенную оболочку, тем больше технико-
экономический эффект использования данной плиты-обо-
лочки в перекрытии.
Отличительной особенностью вспарушенной поверх-
ности является невозможность ее аппроксимации много-
гранником, составленным из плоских граней. Поэтому пред-
лагаемая конструкция (см. рис. 1.10) предполагает аппрокси-
мацию последней многогранной шатровой поверхностью
[5], что существенным образом облегчает изготовление форм
для бетонирования панелей. При этом рекомендуется сече-
ние по оси симметрии внутренней поверхности плиты-
оболочки, так же как и в случае призматической плиты-
оболочки, аппроксимировать многоугольником, содержащим
211
пять сторон. Использование трех сторон существенно сни-
жает возможность вариации формы поперечного сечения
панели при ее оптимизации [6, 38, 54] и затрудняет тем
самым получение должного экономического эффекта. В
случае же семи сторон опять-таки будет затруднено изготов-
ление форм с соответственным увеличением трудозатрат. К
этому выводу привели и многочисленные консультации со
стороителями.
Необходимо отметить, что в данном случае при беско-
нечном увеличении числа граней рассматриваемой внутрен-
ней шатровой поверхности плиты-оболочки последняя стре-
мится в пределе не к вспарушенной поверхности, а к род-
ственной ее в виде сомкнутого свода, образуемого пересече-
нием двух взаимно перпендикулярных в плане цилиндри-
ческих поверхностей.
8.2. Геометрия панелей-оболочек
малой материале- и энергоемкости
Как уже указывалось, характерной особенностью рас-
сматриваемых вспарушенных плит-оболочек перекрытий
(рис. 8.1,а) является наличие плоского прямоугольного кон-
тура срединной поверхности, уравнение которой в обобщен-
ном виде [20] с варьируемым параметром с при расположе-
нии начала координат в углу плиты-оболочки и направлении
х вдоль короткой стороны, может быть записано в виде:
[а2 - (2х-а)2][Ь2 - (2у-Ь)2]
Z=/—-----
а2Ь2 - с\Ь2(2х — а)2 + а2(2у — />)]
(8-1)
212
где а и b (а<Ь) — размеры плиты-оболочки в плане; f —
стрела подъема; с — геометрический параметр срединной
поверхности плиты-оболочки, варьируемый в пределах
0<с<0,5. При граничных значениях с, а именно при с = 0 и с =
0,5 получаем уравнения поверхности, предложенные соот-
ветственно Ю.Я.Штаерманом [64] и И.Я.Штаерманом [52].
В таблицах 8.1 и 8.2 даны относительные значения ординат
Zlf поверхности (8.1) вдоль ее оси симметрии и диагонали в
зависимости от параметра с.
По данным таблиц 8.1, 8.2 на рис. 8.9 построены
соответствующие кривые, иллюстрирующие изменение кон-
фигурации сечений срединной поверхности оболочки вдоль
оси симметрии и диагонали при изменении параметра с. С
ростом последнего от 0,0 до 0,5, как видно из рис. 8.9,6,
точка перегиба в диагональном сечении смещается к углу
оболочки, совмещаясь с ним при с = 0,5. Смещение точки
перегиба к углу оболочки сопровождается уположением ее
центральной области и увеличением кривизны приконтур-
ных зон.
Значения параметра с, выходящие за указанные преде-
лы, не рассматриваются как заведомо неприемлемые: при с =
0,5 поверхность терпит бесконечные разрывы в угловых
зонах, при с = 0 происходит «выпрямление» поверхности в
приконтурных зонах с последующим возникновением в них
точек перегиба (при < -1/3), что нерационально, так как при
опирании вспарушенной оболочки по контуру именно в
приконтурных зонах в сечениях вдоль осей симметрии воз-
никают, как показывает опыт, наибольшие изгибающие мо-
менты [20].
Сказанное не является еще полной характеристикой
геометрии рассмотренной поверхности. Наибольший ин-
213
Таблица 8.1
Относительные ординаты поверхности,
заданные уравнением (8.1), в сечении вдоль ее осн симметрии
в зависимости от параметра с
С х/а	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0,00	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,05	0,1900	0,2608	0,2267	0,2510	0,2811	0,3193
0,10	0,3600	0,3846	0,4128	0,4455	0,4839	0,5294
0,15	0,5100	0,5363	0,5654	0,5979	0,6343	0,6755
0,20	0,6400	0,6639	0,6897	0,7175	0,7477	0,7805
0,25	0,7500	0,7692	0,7895	0,8108	0,8333	0,8571
0,30	0,8400	0,8537	0,8678	0,8824	0,8974	0,9130
0,35	0,9100	0,9183	0,9267	0,9352	0,9440	0,9529
0,40	0,9600	0,9639	0,9677	0,9717	0,9756	0,9796
0,45	0,9900	0,9910	0,9920	0,9930	0,9940	0,9950
0,50	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
Таблица 8.2
Относительные ординаты поверхности,
заданные уравнением (8.1), в диагональном сечении
в зависимости от параметра с
С х/а	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0,00	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,05	0,1900	0,2608	0,2267	0,2510	0,2811	0,3193
0,10	0,3600	0,3846	0,4128	0,4455	0,4839	0,5294
0,15	0,5100	0,5363	0,5654	0,5979	0,6343	0,6755
0,20	0,6400	0,6639	0,6897	0,7175	0,7477	0,7805
0,25	0,7500	0,7692	0,7895	0,8108	0,8333	0,8571
0,30	0,8400	0,8537	0,8678	0,8824	0,8974	0,9130
0,35	0,9100	0,9183	0,9267	0,9352	0,9440	0,9529
0,40	0,9600	0,9639	0,9677	0,9717	0,9756	0,9796
0,45	0,9900	0,9910	0,9920	0,9930	0,9940	0,9950
0,50	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000 J
214
z/f			с=о С=од	L5					
		с=оз					y*Q5b		
	С=0,2			*31					
		\с^	0.0 ‘						
									х/а
0,05 0,10 Q.15 0,20 0,25 0,30 035 0,40 0,45 0,50
Рис. 8.9. Сечения срединной поверхности плиты-оболочки,
заданной уравнением (8.1), вдоль оси симметрии (а)
и диагонали (б) в зависимости от параметра с
215
терес представляет построение геометрического места
точек срединной поверхности оболочки с нулевой гауссо-
вой кривизной, образующего замкнутый контур, отделяю-
щий на срединной поверхности оболочки область поло-
жительной от области отрицательной гауссовой кривизны
(поверхность (8.1) характеризуется смешанной гауссовой
кривизной.
В общем случае выражение гауссовой, или полной,
кривизны описывается выражением [10]:
LN-M2
EG-F2
(8-2)
Здесь Е, G, F — коэффициенты первой квадратичной
формы, определяемые формулами:
( dZ\n
Е = 1 + — 2
I dx
(83)
dZ dZ
-----,
dx dy
G = l +

L,M,N — соответственно коэффициенты второй квад-
ратичной формы:
216
L =
d2Z
d2Z
dxdy
d2Z
(8-4)
Подставляя(8.3), (8.4) в (8.2) и пренебрегая для пологой
оболочки выражениями
' dZ_ 1
Л 7
в сравнении с едини-
M =
цей, получим:
d2Z d2Z
dx2 dy2
^2Z\
(8.5)
где функция Z определяется выражением (8.1).
Выражение (8.5) было запрограммировано, и по со-
ставленной программе были подсчитаны значения гауссо-
вой кривизны по полю оболочки для с, меняющегося в
пределах 0<с<0,5 с шагом 0,1. По полученным результатам
217
на рис. 8.10 построены кривые, изображающие геометри-
ческое место параболических точек поверхности. Внутри
его располагаются эллиптические точки поверхности, а вне
его — гиперболические.
Как видно из рис. 8.10 при с = 0 геометрическое место
параболических точек поверхности образует замкнутый кон-
тур ромбовидного, с закругленными углами, очертания. При
э^ом плоский прямоугольный контур поверхности оболочки
составлен из асимптотических линий.
С увеличением с граница области эллиптических точек
поверхности расширяется и при с — 0,5 совпадает с контуром
оболочки, так что вся поверхность оказывается положитель-
ной гауссовой кривизны (за исключением контурных точек).
Толщина вспарушенной плиты-оболочки в той или
иной точке ее срединной поверхности должна определяться
в нормальных к ней сечениях. При этом координаты соответ-
ствующих точек на верхней (плоской) и нижней поверхнос-
ти плиты-оболочки определяются по известным формулам
аналитической геометрии [57]:
на верхней поверхности:
А(х,у) р(х,у)___________,	(86)
1	2	д/1 + р2(х,у) + q2(x,y)
= Кх,у) q(x,y) ,
1	2 y[l + p2(x,yj + q2(x,y)
zt=z(x,y) +
h(x,y)	1
2 J\ + p2(x,y) + q2(x, у)
218
Рис. 8.10. Геометрическое место параболических точек
срединной поверхности плиты-оболочки,
заданной уравнением (1.2),
в зависимости от параметра с.
219
на нижней поверхности:
у _ у , Цх,у) р(х,у)	(8 7)
1	2	у/1 + р2(х,у) + q2(x,y)
У = у ।	,
1	2	^/1 + р2(х,у) + q2(x,y)
t ч h(x,y)	1
z. = z(x,y)-------1-------------------
2 -J1 +p2(x,y) + q2(x, у)
В формулах (8.6), (8.7):
р(х,у) = ^2.	=	(8.8)
ах	ау
Толщину плиты-оболочки на контуре обозначим через
hx. Тогда при наличии в плите-оболочке плоского верха
можем принять по всему ее полю zx = hx!2, что позволяет из
третьего уравнения (8.6) установить вид функции:
Л(х, у) = - 2z(x, у)д/1 + р2(х, у) + q2(x,у) .	(8.9)
Пренебрегая для пологой оболочки величинами р2(х,у)
и q2(x,y) в сравнении с единицей, из (8.9) получим:
h(x,y) = hx-2z(x,y') ,	(8.10)
Формулы (8.1) и (8.10) в сочетании с принятыми разме-
рами контурных ребер (их шириной Ьр и высотой hp) пол нос-
220
тью определяют геометрию вспарушенной плиты оболочки.
При этом ее стрела подъема равна:
f =	,	(8.11)
2
где h0 — толщина панели в ее центре.
В случае необходимости придания плите-оболочке
максимально возможной стрелы подъема принимается,
что hx = hp, т.е. утощение на контуре делается на высоту
контурного ребра. В общем случае параметры с, h0, h{,bpn
hp назначаются из условий прочности и жесткости панели,
а также экономических соображений методами оптималь-
ного проектирования [6, 9, 38, 54 и др]. Размеры ребер
принимаются также в соответствии с указаниями [5].
Минимальное значение толщины плиты-оболочки в цент-
ре Ло = 0,025-^-0,03 м; первое из указанных значений может
быть использовано при применении плит-оболочек в каче-
стве панелей междуэтажных перекрытий, второе — в
качестве панелей покрытий при наличии более жестких
условий в отношении защитного слоя бетона. Значение
этого параметра определяется также условиями размеще-
ния арматуры [1, 3]. Из этих же условий назначается и
ширина контурного ребра Ьр, определяемая, как правило,
конструктивными соображениями.
Минимальную ширину панели рекомендуется назна-
чать не менее 1,5 м, максимальную — 3,0 м (из условий
транспортировки). Максимальная длина — 12,0 м.
В случае, если на панель не налагается условие плоско-
го верха (характерная особенность плиты-оболочки), то име-
ем вспарушенную плиту переменной толщины, функция
которой может быть задана в виде:
221
h = hi+(h0-hl)
[2x - a2n - a2n(2y - b2n - b2n)]
(8.12)
a2nb2n
где n — варьируемый параметр, на который налагается
условие п>0,5. Параметр п в уравнении (8.12) может
принимать как целые, так и дробные значения. В плите-
оболочке параметр п является функцией параметра с. В
общем же случае вспарушенной плиты переменной тол-
щины эти параметры независимы и геометрию попереч-
ного сечения оболочки определяют уже не пять парамет-
ров, как это было в предыдущем случае, а шесть: с, п, h0,
h{, bp, hp.
Вариацией параметра п можно обеспечить более или
менее резкое уменьшение толщины оболочки от контура к ее
центру, иллюстрируемое на рис. 8.11 для плиты оболочки
толщиной на контуре hx = 0,3 м и в центре /г0 - 0,03 м. Как
видно из рисунка, при увеличении геометрического пара-
метра п скорость убывания толщины оболочки от контура к
ее центру возрастает.
Величине /г0 со статической точки зрения следует при-
давать минимально возможные значения, что обеспечивает
при заданной стреле подъема оболочки максимально воз-
можную величину коэффициента вспарушенности ф = flhQ,
благоприятно сказывающуюся на общем напряженно-де-
формированном состоянии (НДС) конструкции. С этой точ-
ки зрения целесообразно и максимально возможное увели-
чение стрелы подъема f Вместе с тем следует учитывать, что
при рассмотрении весьма пологих оболочек перекрытий во
всем диапазоне изменения стрелы подъема, если начинать с
ее нулевого значения, существует область, в которой при
222
Рис. 8.11. Графики изменения толщины ненарушенной оболочки по ее оси симметрии (у = 0,56)
в зависимости от параметра п.
возрастании/будут одновременно увеличиваться растягива-
ющие усилия на контуре. Иначе говоря, существует стрела
подъема, для которой растягивающие усилия на контуре, при
прочих равных условиях, достигают максимальных значе-
ний.
Могут быть заданы и другие, отличные от (8.1) и (8.12)
выражения, характеризующие форму срединной поверхнос-
ти оболочки и закон изменения толщины. Однако подбором
соответствующих значений параметров сил можно обеспе-
чить, как показывает анализ, их практическое совпадение. С
этой точки зрения совокупность уравнений (8.1) и (8.12)
обладает определенной универсальностью, позволяя варьи-
ровать форму поперечного сечения вспарушенной оболочки
в очень широком спектре.
Придавая толщины оболочки на контуре значение hx =
2/+ Ло, вытекающее из (8.11), соответствующим подбором
параметра п, как функции с, можно получить верхнюю
поверхность оболочки практически плоской. С этой целью
на основе формул (8.6) с подстановкой в них в качестве
функций срединной поверхности и толщины выражений
(8.1), (8.12) было проведено по составленной для ЭВМ
программе специальное исследование. Машина выдавала
координаты верхней поверхности оболочки с определенным
заданным шагом, затем выбирала и печатала координаты
наиболее отклоняющихся вверх и вниз от плоскостиz=f+
точек, по которым можно было судить о степени достиг-
нутой аппроксимации и подобрать для каждого значения
параметра с соответствующее значение п, наилучшим обра-
зом ее обеспечивающее.
В таблице 8.3 в качестве примера приводятся указан-
ные значения сип для оболочки с размерами: а = Ь- 6м,/=
224
Таблица 8.3
Зависимость между параметрами с и п при аппроксимации
верхней плоскости вспарушенной плиты-оболочки
с помощью уравнения (8.12)
с	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
п	1,00	1,07	1,15	1,28	1,40	1,72
	±0,4	±0,6	±1,3	±2,0	±4,1	±7,3
_У(м3) _	6,48	6,28	6,05	5,77	5,62	4,92
0,135м, Ло = 0,03м, hx = 0,3м. В этой же таблице даны
отклонения в процентах ординат верхней поверхности обо-
лочки от плоскости z -f + hJ2. В последней строке таблицы
приведены соответствующие объемы бетона скорлупы обо-
лочки, расхождение между минимальным и максимальным
значениями которых составляет 23%, что подтверждает воз-
можность достижения существенного экономического эф-
фекта при решении задачи оптимизации формы поперечного
сечения оболочки.
Как видно из третьей строки таблицы 8.3, отклонения
ординат верхней поверхности оболочки от плоскости z =f+
/zq/2 незначительны.
Уравнение срединной поверхности плиты-оболочки по-
ложительной гауссовой кривизны с использованием идеи,
заложенной в уравнение (8.1), записывается в виде:
z = г а^-^х-а)2 +	&2-(2у-&)2 ,	(8 л 3)
1 а2-с1(2х-а)2	2 Ь2-с2(2у-Ь)2
где а и b (а<Ь) — размеры оболочки в плане; f и f2 —
максимальные ординаты срединной поверхности оболочки
225
на контуре соответственно в направлении осей х и у (общая
стрела подъема оболочки в ее центре /=/i +7г); с\ и с2 —
геометрические варьируемые параметры, придающие сре-
динной поверхности плиты-оболочки те же особенности,
что и в (8.1); для квадратной плиты-оболочки сх = с2 = с, это
же соотношение, в принципе, может быть принято и для
прямоугольной (а = Ь) плиты-оболочки.
В случае, если срединная поверхность плиты-оболочки
цилиндрическая (см. рис. 1.5,6 и рис. 8.6), то ее уравнение, в
соответствии с предложенными выше, может быть записано
в виде:
z = f а2-(2х-а)2 ,	(8.14)
а2-с(2х-а)2
однако здесь, в отличие от (8.1) параметр с может варьи-
роваться в пределах 0<с<1,0. При с - 0 имеем практически
круговую поверхность (с учетом ее пологости), а при с -
1,0 криволинейная поверхность вырождается в плоскость
(z = const). Таким образом, как и в предыдущих случаях,
при увеличении параметра с происходит уположение цен-
тральной зоны внутренней поверхности плиты-оболочки,
сопровождаемое увеличением кривизны приконтурных
зон.
Поперечное сечение срединной поверхности призма-
тической плиты-оболочки (рис. 8.6 и 8.8) может быть
получено аппроксимацией поверхности (8.14) многоуголь-
ником, стороны которого являются касательными к после-
дней. При этом с учетом пологости срединной поверхности
плиты-оболочки объемы бетона, получаемые в случае ци-
линдрической и призматической поверхностей, уже при
аппроксимации первой пятигранником, оказываются близ-
226
ки друг к другу. Вместе с тем использование призматичес-
кой поверхности дает больше простора для вариации фор-
мы поперечного сечения панели, а, следовательно, дости-
жения большей экономии материала.
Размеры призматических плит-оболочек в плане и
высота при их применении в жилищном строительстве
должны соответствовать типовым решениям многопустот-
ных настилов. В частности высота контурных ребер долж-
на быть равна 0,22 м. В промышленном строительстве при
применении призматических плит-оболочек ребрами вниз
этот размер может достигать величины 0,45 м при пролете
12,0 м.
Как указывалось в предыдущем параграфе, сечения
по оси симметрии внутренней поверхности призматичес-
кой и шатровой плит-оболочек рекомендуется аппроксими-
ровать многоугольником, содержащим пять сторон. Пере-
ходя к шатровой плите-оболочке, отметим, что координаты
точек 1 и 2 (рис. 8.12) полностью определяют геометрию
рассматриваемой шатровой поверхности, выступающей в
качестве внутренней поверхности панели перекрытия. При
оптимизации геометрических параметров шатровой плит-
оболочки вариации подлежат абсцисса Х] и ордината zx
точки 1 и абсцисса х2 точки 2. При этом в качестве
исходного базового варианта оптимизируемой шатровой
поверхности рекомендуется использовать такую, которая
обеспечивает тот же объем бетона панели, что и плита-
оболочка с внутренней поверхностью, описанной уравне-
нием (8.1) при соответствующем выбранном геометричес-
ком параметре с.
С целью выдачи соответствующих рекомендаций, об-
щих для любой шатровой поверхности с пятью гранями
8*	227
Рис. 8.12. Шатровая поверхность: план (а) и поперечный разрез (б)
по оси симметрии
228
вдоль осей симметрии, уравнение (1.2) запишем в безраз-
мерных координатах:
z =	16х1у,[1-х,(1-у1)]	(8 15)
1 1 - c[(2xj -1)2 + (2 у, -1)2]
Поиск координат х,, x2=zb х3, удовлетворяющих ука-
занному выше условию, осуществляется ниже на основе
методов теории планирования экстремального эксперимента
для оптимизации многофакторных технологических процес-
сов, а именно — метода Бокса-Уилсона [30].
В качестве минимизируемой целевой функции исполь-
зуется:
S.'Xfc-Z-)2,	(8.16)
1=1
где Z°t — ордината поверхности, описываемой уравнением
(8.15);
Z“ - ордината шатровой поверхности;
и — номер варианта;
i — 1, 2, 3 ... п, где п — число точек, в которых
подсчитываются значения ординат поверхности. В методе
Бокса-Уилсона минимизируемая целевая функция аппрокси-
мируется так называемой функцией отклика, представляю-
щей собой степенной ряд, в данном случае (с учетом вариа-
ции трех параметров) — третьей степени:
S' =b0 +Z>]X] + b2x2 + b3x3 +bl2xlx2+bi3x{x3 + b23x2x3 +bl23xlx2x3
(8.17)
229
Функция (8.17) представляет собой математическую
модель объекта исследования, содержащую три эффекта
взаимодействия первого порядка (xtx2, х{х3, х^х3) и эффект
взимаодействия второго порядка (х1х2х3). Принятый шаг
вариации оптимизируемых параметров — 0,005. Вариация
осуществляется в соответствии с матрицей планирования
полного трехфакторного эксперимента 23 на двух уровнях.
Коэффициенты функции отклика (8.17) подсчитываются из
выражения:
N
6,.=^------, i = о, 1,2,3	(8.18)
Ы=1
где N— количество опытов (вариантов); хш — кодированные
значения переменных. Вектор-столбец, соответствующий
значению параметра х0, вводится с целью достижения общ-
ности формулы (8.18), позволяющий вычислить все коэффи-
циенты £>,, в том числе и в случае i = 0.
По аналогично построенной формуле подсчитываются
коэффициенты функции (8.17) при эффектах взаимодей-
ствия первого порядка:
N
-----	(8.19)
и=4
ит.д.
230
Постолько поскольку эксперимент проводится матема-
тический, а не физический, то проверка адекватности моде-
ли в условиях отсутствия дисперсии опыта заменяется про-
веркой отклонений, подсчитываемых по формуле:
S=S“ 100% .
Su
(8.20)
В таблицах 8.4 - 8.6 приведены: в таблице 8.4 —
матрица планирования эксперимента и соответствующие
значения переменных параметров; в таблице 8.5 — получен-
ные значения функции отклика для различных значений с в
уравнении (8.15); в таблице 8.6 — значения коэффициентов
функции отклика для различных параметров с. В качестве
исходных значений переменных параметров приняты: =
0,2; х2 = 0,7; х3 = 0,4.
Проверка отклонений, подсчитанных по формуле (8.20),
показала, что они практически равны нулю, т. е. построенная
математическая модель вполне удовлетворительна.
Далее, с целью поиска геометрических параметров,
минимизирующих целевую функцию, осуществляется дви-
жение по градиенту функции отклика, выражающееся в
следующем. Изменяя параметры (факторы) пропорцио-
нально величинам и в соответствии со знаками коэффици-
ентов bt, можно осуществить движение в направлении
градиента функции отклика, т. е. по самому крутому пути.
Поэтому саму процедуру движения к почти стационарной
области называют крутым восхождением. Из табл. 8.6
следует, например, что для случая с=0 в процессе движения
По градиенту параметры х, и х3 надо увеличивать, а пара-
231
Таблица 8.4
Матрица планирования эксперимента
и соответствующие значения переменных параметров
№ опыта	х0	*1	Х2	хз	х,х2				Х1	Х2	хз
I	+1	-1	-1	-1	+ 1	+1	+1	-1	0,195	0,695	0,395
II	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	0,195	0,705	0,405
III	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	0,195	0,705	0,395
IV	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	0,195	0,695	0,405
V	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	0,205	0,695	0,395
VI	+1	+1	-1	+1	-1	+ 1	-1	-1	0,205	0,695	0,405
VII	+1	+1	+1	-1	+ 1	-1	-1	-1	0,205	0,705	0,395
VIII	+1	+1	+1	+1	+1	+ 1	+1	+1	0,205	0,705	0,405
Таблица 8.5
Опытные значения функции отклика
при вариации геометрического параметра с
№ опыта	5,104 4					
	с = 0,0	с = 0,1	с = 0,2	с = 0,3	с = 0,4	с = 0,5
I	9,6485	6,6758	4,3673	3,1738	3,9517	8,7099
II	10,342	7,1888	4,6690	3,2247	3,6969	8,0661
III	10,608	7,3918	4,8055	3,2911	3,6893	7,9802
IV	9,3911	6,4839	4,2441	3,1230	3,9774	8,8166
V	7,4038	5,1077	3,3773	3,2950	5,1674	11,299
VI	7,1869	4,9527	3,4872	3,2731	5,2172	11,424
VII	8,1745	5,6375	3,8337	3,2361	4,7365	10,412
VIII	7,9479	5,4708	3,7297	3,1980	4,7677	10,516
232
Значения коэффициентов функции отклика
для различных параметров
Таблица 8.6
с в-101	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
во	8838,0	6113,6	4089,2	3226,8	4400,5	9653,1
Bi	-1159,6	-821,45	-432,24	-23,693	571,70	1259,9
В2	430,39	398,58	170,25	10,610	-177,91	-409,52
В3	-120,88	-89,566	-56,709	-22,163	14,250	52,471
В12	-47,462	-46,620	-45,537	-44,117	-42,201	-39,471
В13	10,032	9,1629	8,2026	7,1376	5,9498	4,6163
В23	-2,3252	-2,8472	-3,3948	-3,9706	-4,5774	-5,2190
В123	-0,11355	-0,099052	-0,083047	-0,065297	-0,045500	-0,02927
Таблица 8.7
Значения геометрических параметров х. шатровой поверхности,
аппроксимирующей соответствующую вспарушенную
при принятом критерии оптимальности, в зависимости от с
С		xi	хз
0,0	0,240	0,680	0,418
0,1	0,225	0,681	0,417
0,2	0,210	0,685	0,415
0,3	0,195	0,695	0,415
0,4	0,180	0,705	0,414
0,5	0,155	0,720	0,413
233
метр х2 — уменьшать. После того как по крайней мере два
последующих опыта в процессе движения по градиенту
дают увеличение значения целевой функции, оно прекра-
щается. Далее, выбирая факторы, соответствующие мини-
мальному значению целевой функции Su, в качестве исход-
ных (базовых), весь процесс, с целью уточнения их опти-
мальных значений, повторяется снова. Обычно в повторе-
нии процесса возникает необходимость не более одного
раза.
Описанный процесс был воспроизведен для решения
рассматриваемой задачи. В результате были получены
значения геометрических параметров х„ минимизирую-
щих функцию (8.16) для случая шага сетки, определяю-
щего значение п, равное 0,05. Аналогичные расчеты были
проделаны и при шаге сетки, равном 0,01, но они практи-
чески не дали какого-либо ощутимого изменения резуль-
татов.
Окончательные рекомендуемые значения геометри-
ческих параметров х, наилучшим образом позволяющие
аппроксимировать поверхность (8.15) при принятом крите-
рии оптимальности в зависимости от заданного геометри-
ческого параметра с, приведены в табл. 8.7.
Анализ показал, что объемы бетона плит-оболочек,
полученные в случае вспарушенной внутренней поверхно-
сти и шатровой при координатах точек 1 и 2, приведенных в
табл. 8.7, отличаются не более, чем на 1,5%. Как видно из
таблицы, наиболее существенное значение при аппрокси-
мации внутренней вспарушенной поверхности плиты-обо-
лочки шатровой поверхностью, содержащей вдоль оси
симметрии пять граней, играет параметр хь т. е. абсцисса
точки 1.
234
Высота ребра hp шатровой плиты-оболочки должна
соответствовать высоте ребра типового плоского решения
конструкции перекрытия. Так, например, при замене ими
плит сплошного сечения размером на комнату в панельном и
объемно-блочном домостроении высота ребра должна при-
ниматься равной 0,16 м в предположении опирания панели
по контуру.
Функция толщины и стрела подъема всех рассмотрен-
ных плит-оболочек, как с криволинейной, так и с многогран-
ной внутренней поверхностью определяется в соответствии
с формулами (8.10), (8.11).
8.3.	Физические модели железобетона,
применяемые для расчета конструкции
Железобетон, как композиционный материал, отлича-
ется от других конструкционных материалов рядом специ-
фических свойств (неоднородность, анизотропия, трещино-
образование и др.), которые создают определенные трудно-
сти при расчете и проектировании конструкций. В настоя-
щее время известны и применяются различные модели для
описания деформирования и разрушения железобетонных
конструкций, которые условно можно разделить на три
группы.
К первой группе моделей сопротивления железобетона
Силовым воздействиям можно отнести, так называемые мак-
роструктурные деформационные модели В.И. Мурашева.
При построении модели рассматривается некоторый харак-
терный участок железобетонного элемента между двумя
235
смежными трещинами, на котором специальным образом
определяются усредненные деформации арматуры и бетона.
Влияние растянутого бетона на жесткость элемента непос-
редственно не учитывается, а оценивается интегрально,
введением корректирующего коэффициента зависящего
от уровня напряженного состояния в данном сечении и
модуля деформаций растянутой арматуры. Эта модель полу-
чила наиболее широкое распространение как в исследовани-
ях, так и в практике проектирования железобетонных конст-
рукций. Она с небольшими изменениями и дополнениями
включена в действующие в настоящее время нормы [1].
Значительный вклад в развитие этой модели в разное время
внесли В.М. Бондаренко [8, 11, 21, 25], А.А. Гвоздев [32],
А.В. Забегаев [37], В.И. Колчунов [39, 40], и многие другие
исследователи. В работе В.М. Бондаренко и С.В. Бондаренко
[22] на основе детального анализа предложено обобщенное
выражение для коэффициента снимающее методологи-
ческую несогласованность расчетов жесткости в I и во II
стадиях напряженного состояния железобетонных элемен-
тов.
Для развития общей теории сопротивления железобе-
тона сыграл предложенный В.М. Бондаренко метод опреде-
ления интегрального модуля деформаций [11]. Автор ввел
новое понятие обобщенной характеристики деформативнос-
ти железобетонного элемента в рассматриваемом сечении —
интегральный модуль деформаций. Такой подход позволяет
свести задачу о напряженно-деформированном состоянии
железобетонного элемента к расчету стержня переменной
жесткости и использовать обычные методы строительной
механики. Интегральный модуль деформаций определяется
с учетом уровня, режима и длительности загружения, проч-
236
ностных и деформативных свойств бетона и арматуры,
формы поперечного сечения.
Развитие теории деформирования железобетона с тре-
щинами нашло в работах Н.И. Карпенко [41, 42]. Автором
построена макроструктурная физическая модель деформи-
рования характерного анизотропного элемента конечных
размеров с трещинами. Работа растянутого бетона между
трещинами учитывается с помощью коэффициентов для
арматуры соответствующего направления. Деформации рас-
четного элемента определяются, как сумма деформаций
бетона в полосах между трещинами и деформаций армату-
ры. При этом, в соответствии с видом напряженного состо-
яния в железобетонном элементе, при построении уравне-
ний равновесия для сечений с трещиной учитывается слож-
ный характер деформирования арматурного стержня и,
соответственно, определяются нормальные и тангенциаль-
ные напряжения в арматуре. Физические зависимости де-
формационной модели Н.И. Карпенко по форме совпадают
с обобщенным законом Гука для анизотропных материалов
[44], а коэффициенты уравнений в принципе сохраняют те
же свойства, которые присущи обобщенному закону Гука.
Опыт применения теории Н.И. Карпенко для расчета тонко-
стенных конструкций (плит, оболочек и др.) показал, что с
помощью физических уравнений этой теории вполне удов-
летворительно описываются интегральные параметры на-
пряженно-деформированного состояния конструкции (пе-
ремещения, усилия). Что же касается дискретных характе-
ристик, таких, как ширина раскрытия трещин, расстояние
между трещинами, то в ряде случаев наблюдаются суще-
ственные расхождения между опытными и расчетными
значеними [47]. В этой связи исследования по уточнению
237
физической природы образования и раскрытия трещин и
разработка расчетных зависимостей, моделирующих эти
процессы в тонкостенных элементах, представляются акту-
альными.
Продолжая идею В.М. Бондаренко [22] для устране-
ния разрыва в методическом подходе к оценке деформиро-
вания железобетонного элемента до и после образования
трещин в работах А.Б. Голышева, В .Я. Бачинского [17,35],
Б.С. Расторгуева [51] вместо усредняющего коэффициен-
та и сечения с трещиной, как принято в традиционной
модели, предложено рассматривать железобетон до и пос-
ле образования трещин условно, как квазисплошное тело.
Модель реализуется введением некоторого усредненного
расчетного сечения на участке блока между трещинами с
линейным законом распределения деформаций по высоте.
При этом трещинообразование учитывается назначением
для растянутой зоны некоторого обобщающего коэффици-
ента. Несложно видеть, что, если говорить о стрежневых
и балочных конструкциях, то модель представляет инте-
рес лишь в отношении единства методологии расчета на
всех уровнях деформирования конструкции. Что же каса-
ется сложных конструкций типа оболочек, то описанный
подход может оказаться очень эффективным для упроще-
ния расчетного аппарата, поскольку его применение от-
крывает возможность сохранения хорошо разработанных
методов расчета линейно-упругих пространственных сис-
тем.
Ко второй группе физических моделей можно отнес-
ти так называемые блочные модели сопротивления желе-
зобетона. Идея этих моделей состоит в том, что поле
оболочки (плиты) с макротрещинами представляется со-
238
стоящим из блоков, заключенных между смежными тре-
щинами, при этом перемещения в этих блоках непрерыв-
ны [27].
Анализируя применяемые физические модели сопро-
тивления, уместно несколько подробнее остановиться и на
существующих сегодня подходах к определению расчетных
параметров, характеризующих процесс трещинообразова-
ния в железобетонных элементах. Как установлено рядом
последних исследований [18, 19, 31, 39], длина отдельных
блоков, на которые разделяется элемент в процессе трещи-
нообразования, переменна и зависит от многих факторов:
напряжений в арматуре и геометрических характеристик
арматуры (диаметра, типа профиля), процента армирования,
прочности бетона на растяжение, характера контактного
взаимодействия арматуры и бетона и ряда других. Важной
задачей при определении расстояния между трещинами и
ширины раскрытия трещин является установление закона
изменения напряжений в арматуре на участке перераспреде-
ления усилий.
Третья группа — модели, в которых рассматривается
напряженно-деформированное состояние железобетона в
точке: отдельно для бетона и отдельно для арматуры, на
основе использования их действительных диаграмм состо-
яния.
Построение физических уравнений для сечения или
некоторого характерного элемента в этом случае произво-
дится, исходя из совместности деформирования композита.
При этом, в зависимости от принимаемых расчетных диаг-
рамм состояния, учитывают упругое или упругопластичес-
кое деформирование материала. Достоинством этих моделей
является их общность и универсальность.
239
К наиболее известной модели такого типа, рассматри-
вающей бетон как упругопластический материал, относится
теория пластичности бетона и железобетона Г.А. Гениева,
В.Н Киссюка [33, 34]. Согласно этой теории, железобетон с
трещинами рассматривается как трансверсально-изотроп-
ный материал с плоскостью изотропии, параллельной плос-
кости трещин. Полагается, что размеры тела велики по
сравнению с арматурными стержнями. Таким образом, пре-
небрегают местными напряжениями контакта арматуры с
бетоном, и арматура как бы «размазывается». Условием
совместности работы двух сред: бетона и арматуры, являет-
ся равенство их деформаций. Полные напряжения складыва-
ются из напряжений в арматуре и бетоне. Полагается, что
арматура воспринимает только нормальные напряжения.
Образование трещин происходит вдоль площадок, на кото-
рых главные растягивающие напряжения превосходят пре-
дел прочности бетона.
Модели этой группы получили использование при
исследовании железобетонных тонкостенных простран-
ственных конструкций. Так, например, в работе В.М. Леви-
на, В.Е. Райгородецкого [43] для железобетона были приня-
ты физические соотношения деформационной теории пла-
стичности.
Более широкое распространение модели этой группы
получили в исследованиях применительно к оболочкам в
работах Ч. Лина, А. Скорделиса [66], Г. Манга [67] и ряда
других. На основе соотношений деформационной теории
пластичности построены физические зависимости для ком-
позиционных моделей железобетона, реализуемых на осно-
ве метода конечных элементов.
240
Широкое использование моделей этой группы сдер-
живается рядом недостатков, которые требуют своего раз-
решения:
—	высокая степень внутренней статической нео-
пределимости физических уравнений и, соответственно,
сложность из численной реализации при расчете конст-
рукций;
—	использование простейших идеализированных, в
ряде случаев далеких от действительности, диаграмм рабо-
ты материалов.
В кратком обзоре мы коснулись с некоторой частью
исследований физических моделей силового сопротивле-
ния железобетона с трещинами. Цель представленного
обзора в том, чтобы привлечь внимание студентов и специ-
алистов, занимающихся проектированием пространствен-
ных конструкций, к некоторым новым задачам расчета
тонкостенных элементов и показать важность их решения
для надежного и рационального проектирования этих кон-
струкций.
8.4.	Метод предельного равновесия
в железобетоне
Теория железобетона включает:
— расчет по предельным состояниям — это «сопромат»
железобетона;
—расчет по предельному равновесию — это строительная
механика железобетона.
Теория сопротивления железобетона силовым воздей-
ствиям основана на учете не только линейных мгновенных,
241
но и нелинейных запаздывающих деформаций материала,
тогда как теория сооружений ориентирована только на упру-
гие деформации.
В железобетонных конструкциях проявляются не толь-
ко упругие, но и неупругие деформации, а также происходят
другие необратимые изменения (например, образование и
раскрытие трещин в бетоне, текучесть арматуры). Все они,
по сравнению с расчетом упругой системы, приводят к
перераспределению усилий, оказывающему часто значи-
тельные влияния на несущую способность конструкции, на
ее деформативность и трещиностойкость. Поэтому расчет
железобетонных конструкций по первой и второй группам
предельных состояний следует производить с учетом пере-
распределения усилий, вызываемого проявлением неупру-
гих свойств железобетона.
В сечениях конструкций, где действуют наибольшие
изгибающие моменты, образуются пластические шарниры.
Железобетонные конструкции в этом сечении получают
угловые перемещения и приходят в состояние предельного
равновесия вследствие пластических деформаций материала
в шарнире (рис. 8.13). Максимальные перемещения железо-
бетона в шарнире ограничены предельной сжимаемостью
бетона: £Ь и - 0,0018-^0,0020.
Рассмотрим простую свободно опертую балку (рис.
8.13,а). Работа внешних сил на бесконечно малом возмож-
ном перемещении, обусловленном изменяемостью системы,
будет:
£/’у(=рК = /Д./7	(8.21)
242
Рис. 8.13. Статическая схема и перемещения
в состоянии предельного равновесия статически определимой (а)
и статически неопределимой (б) балки;
пластический шарнир (в) и идеализированная диаграмма
упругопластического материала (г).
7777.
243
Работа предельных внутренних сил при этих переме-
щениях:
(8.22)
Приравнивая эти работы, найдем:
p^fl = Mnp2xp	(8.23)
При малых углах:
=	(8.24)
-I 1
2
Подставляя в (8.23), получим:
М=-р12
пр 8
Такой же результат имеем и при расчете балки в
упругой стадии работы. Так получается во всех статически
определимых системах.
Рассмотрим другой пример — балку с заделанными
концами (рис. 8.13,6).
или
ХИФ,. = Моп(р + Мпр2(р + Мо„(р = 2<р(Моп + Мпр)
244
Зададимся соотношением:
= тМ„п
оп	пр
и будем иметь:
^М,<р,=2<1М,г{1 + т)
Приравнивая работы, найдем:
^flp = 2(pMnp(l+m)
Подставляя (р из (8.24), получим:
Окончательно будем иметь:
М р=-^—
пр 8(1 + т)
Моп=тМпР
при т = 1 найдем:
М=М= —
пр	ОП 1 X-
1О
Обычно такие значения и используются.
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
245
Из упругого расчета в этом случае имеем:
..	Р/2	Р/2
М„„ ~ — И - - —
оп 12 р 24
Разница в усилиях в статически определимых системах
всегда имеет место. В практических расчетах стержневых
статически неопределимых конструкциях применяют пере-
распределение усилий.
8.5.	Методика расчета несущей способности
железобетонных плит-оболочек
Для определения несущей способности железобетон-
ных плит-оболочек ниже применен кинематический метод
теории предельного равновесия, в форме, использованной
в [36, 53]. Предполагается, что в момент исчерпания несу-
щей способности оболочка превращается в механизм с
одной степенью свободы вследствие образования пласти-
ческих шарниров в результате совместного действия мемб-
ранных N„ Ny, Nxy и изгибных Мх, Му, Мху усилий. Влияние
поперечных сил на переход материала оболочек в пласти-
ческое состояние неведико, поэтому Qx, Qy обычно в расче-
тах жесткопластических оболочек не учитываются. В зави-
симости от особенностей материала и конструкции сило-
вые факторы могут оказывать как взаимно догружающее,
так и разгружающее действия, при этом в общем случае
каждый из внутренних силовых факторов Nx, Ny, Nxy, Мх, Му,
Мху (рис. 8.14) может не достигать своего предельного
значения.
246
Рис. 8.14. Внутренние усилия в оболочке
Выражение вида
F(Nx,Ny,Nxy,Mx,My,Mxy') = К
(8.30)
называется условием пластичности (текучести) и опреде-
ляет такое сочетание внутренних усилий, которое приводит
к пластификации материала. В (8.30) К — константа.
Выражение (8.30) связывает все внутренние силовые
факторы и учитывает их полное взаимодействие. Помимо
(8.30) в расчетах иногда используются также и условия
текучести с неполным взаимодействием. В них предполага-
ется взаимное влияние лишь части силовых факторов, на-
пример:
247
F^N^)^, F2(M X,M y,M = K2
(8.31)
либо
FX(NX,MX) = K.X\ F2(Ny,My) = K2; F3(Nxy,Mxy) = K,
(8-32)
Уравнени. (8.30) отвечает геометрическое представ-
ление в виде гиперповерхности в шестимерном простран-
стве внутренних усилий. Эта поверхность выпукла, замк-
нута и содержит внутри себя начало координат. Комбина-
ция внутренних усилий, которой отвечает точка на повер-
хности (8.30), означает пластическое состояние материа-
ла. Точке внутри (8.30) отвечает жесткое состояние мате-
риала, а точка вне поверхности (8.30) невозможна по
определению.
В отличие от (8.30) условия текучестей (8.31), (8.32)
описывают отдельные поверхности в пространстве внутрен-
них усилий и являются условиями с частичным взаимодей-
ствием силовых факторов, так как они связывают не все, а
лишь часть внутренних усилий. Уравнения (8.31), (8.32)
отвечают пересечению двух или трех гиперповерхностей.
Оно может быть негладким, то есть в результате образуются
ребра или вершины.
Для железобетонных оболочек, помимо условий теку-
чести типа (8.30) — (8.32), получило распространение при-
ближенное условие, в котором принято, что взаимодействие
внутренних силовых факторов отсутствует и каждый из них
независимо от других достигает своего предельного значе-
ния. Такое условие текучести может быть представлено
шестью двусторонними неравенствами:
248

(i = 1,2, ...,6)
(8.33)
где Qj — любой из силовых факторов Nx, Ny,..., Mxy;
К и и K2i — константы.
В пространстве внутренних усилий соотношениям
(8.33) отвечает гиперпараллелепипед, при этом возможные
режимы пластического течения соответствуют только его
вершинам.
Двумерный аналог условия (8.33) использовал Иоган-
сен в расчетах несущей способности железобетонных плит.
Поэтому условие (8.33) получило название обобщенного
условия текучести Иогансена.
В общем случае усилия текучести Nx, Ny,Мху зависят
от свойств материала и от размеров сечения (толщины
оболочки). Например, предельное усилие Nox в направлении
оси ОХ в любой точке (х, у) оболочки зависит от ее толщины
в этой точке, знака усилия (сжатие или растяжение), прочно-
сти бетона, количества и размещения арматуры:
^х’У) = аКх,у)аХх,у)	(8.34)
Здесь а}(х, у) учитывает количество арматуры; h(x, у)
—толщина оболочки в рассматриваемой точке поверхности;
(У— предел текучести арматуры.
Поскольку предельная прочность при сжатии зависит,
главным образом, от прочности бетона, всюду одинаковой,
аналогично получим:
N;x(x,y) = ah(x,y)a3,	(8.35)
где константа = Rnp/<3 не зависит от координат х, у
рассматриваемой точки поверхности.
249
Выражения типа (8.34), (8.35) могут быть составлены и
для других внутренних усилий мембранной группы
N+ ,N~,N .
Для усилий изгибной группы принимаются аналогич-
ные соотношения, например:
моАх’У) = а/г2а5(х’У)’	(8-36)
где а5(х, у) описывает количество и размещение арматуры, то
есть учитывает плечо внутренней пары сил. В выражениях
(8.34), (8.36) знак «+» означает растяжение или положитель-
ный изгиб.
Из принятых обозначений следует, что помимо поля
толщины h(x, у), дифференциальные прочностные свойства
оболочки представлены полями а^х, у), с^(х, у), а5(х, у}, а6(х,
у), ... о^х, у), а также константами сс3 и а4, описывающими
прочность бетона при сжатии и сдвиге (здесь а4 = Ярст-1)-
Условие равновесия в форме принципа возможных
перемещений заключается в равенстве виртуальных работ
всех внешних и внутренних сил.
Пусть прямоугольная в плане оболочка имеет размеры
2а х 2Ь. По всей ее поверхности распределена поперечная
нагрузка q(x, у}. Эту функцию в дальнейшем будем рассмат-
ривать как произведение
д(х,у) = д0П(*»У),	(8.37)
где д0 — величина интенсивности нагрузки в определенной
точке поверхности, например, в начале координат; q(x, у) —
конфигурация нагрузки. Если нагрузка вертикальная, она
совершает работу только на вертикальных возможных пере-
мещениях, поле этих перемещений обозначим а)(х, у).
250
Виртуальная работа De внешней нагрузки равна:
De =jq0f](x,y)co(x,y)dn,
п
(8.38)
где с1П — элемент поверхности П.
Вычисление работы D, внутренних сил Nx, ... Мху
начнем с работы dD, в пределах малого элемента оболочки:
dDi=(Nx£x + Ny£y + Nxy£xy+MxXx+MyXy+MxyXxy)dn, (8.39)
где Ех, Еу — относительные удлинения элемента в двух
координатных направлениях; — деформации сдвига; Хх,
Ху — искривления срединной поверхности оболочки в коор-
динатных направлениях; Xxv — кривизна кручения.
В рамках линейной теории пологих оболочек
du „	„ dv
£. = — + Kw	+ К w
dx	dy
du dv
£хУ ~J~ + ~T + Kx' w
dy dx
(8.40)
В выражениях (8.40) u(x, у), v(x, у), w(x, у) — поля
горизонтальных перемещений точек срединной поверхнос-
ти оболочки и поля прогибов; Кх, Кг — начальные кривизны
срединной поверхности оболочки, соответственно в направ-
лении осей х, у; Кху — «кривизна кручения» поверхности.
Значения этих кривизн определяются формулами:
251
„ _dz2 K = dz^_ _ dr
x dx2 ’ У dy2 ’ dxdy
Начало координат принято в углу оболочки и направле-
ние оси z вниз.
Интегрируя (8.39) по всей поверхности П оболочки,
найдем полную работу D, внутренних сил:
О,=рЛ,.
п
Вводим в расчет поле относительных толщин:
еху = h(x,y)(by)-',
(8.41)
(8.42)
где еху = h(x, у) — поле толщин; у =/&-•; f — стрела подема
оболочки.
Входящие в (8.39) внутренние усилия, в соответствии с
изложенными выше соображениями, равны:
у)а, (X, у),	N;x = ah(x, у)а3
К =	У)«2 (х, У),	М~оу = ой(х, у)а3
Noxy = ой(х,у)а4
М+ох = ah2(x,y)o5(x,y), М;х = о-й2(х,у)ст7(х,у)
Моу = ей2 (х, у)сг6 (х, у),	М'оу = ah2 (х, y)vs (х, у)
Моху=(УЬ2(х,у)сУ9(х,у)	(8.43)
252
Условие статического равновесия плиты-оболочки мо-
жет быть выражено равенством
Dt=De	(8.44)
Подставляя в (8.44) соотношения (8.38), (8.41) с учетом
(8.40), (8.43) и принятых обозначений, получим функционал
Ф, определенный на множестве кинематически допустимых
полей перемещений и(х, у), v(x, у), w(x, у). В соответствии с
кинематическим принципом теории предельного равновесия
верхней границе предельной нагрузки отвечает min (Ф).
Таким образом, получаем вариационную задачу о минимуме
функционала Ф.
Для того, чтобы упростить и алгоритмизировать реше-
ние задачи, введем сеточную дискретизацию (рис. 8.15) —
Рис. 8.15. Сеточная дискретизация плана плиты-оболочки.
253
область плана, занимаемую оболочкой, разобьем сеткой с
регулярным шагом в обоих координатных направлениях.
Количество ячеек сетки вдоль оси ОХ обозначим т, а вдоль
оси OY — п.
Взамен исходной оболочки получим ее дискретную
расчетную модель. Для ее описания используем две раз-
мерные величины: 2Ь — длину меньшей стороны прямоу-
гольной в плане оболочки ист — наименьший предел
текучести стальной арматуры. Другие виды арматуры заме-
няются эквивалентным количеством арматуры с пределом
текучести ст. Кроме того, задаются безразмерные парамет-
ры у = fb-1 , У* = ab-1 , а3 — относительная прочность
материала при сжатии, а4 — относительная прочность
материала при сдвиге, а также двумерные массивы относи-
тельных характеристик:
0у — поле аппликат срединной поверхности (0( = —);
4 yb
e,j — поле толщин;
riij — поле конфигурации нагрузки;
а1у — поле прочностных характеристик при растяже-
нии вдоль оси ОХ;
о^у — то же вдоль оси OY;
а5у — поле прочностных характеристик при положи-
тельном изгибе вдоль оси ОХ;
a6iJ — то же вдоль оси OY;
с^,у — поле прочностных характеристик при отрица-
тельном изгибе вдоль оси ОХ;
а^у — то же вдоль оси OY;
(Хду — поле прочностных характеристик при кручении,
обычно принимаемое равным с^у = (ст5 а6 с^)1/4.
254
В записанных массивах везде i, j — номер узла сеточ-
ной области. Вместо полной нагрузки Q на оболочку вводит-
ся ее безразмерная величина
K = Qlob2
Проведенная дискретизация сводит вариационную за-
дачу о минимуме функционала Ф к минимизации некоторой
функции К, независимыми переменными которой являются
узловые значения перемещений точек i, j срединной поверх-
ности ПЛИТЫ-О6ОЛОЧКИ Uy, Vy, Wy.
К =	----SIX,	(8-45)
i J
Pc/
Ay = (a/cQQP 2 + (а2Га3)Д +	+
+ ey (а5Га7)^-2+(а6Га8)г + —
В (8.45) C, D, р, t,r,X — конечноразностные аналоги
деформаций срединной поверхности; в них, а также в масси-
вах а1} 02, а5,..., для краткости записи опущены индексы i,
j-
Верхней границе К* предельной нагрузки отвечает
наименьшая величина
К* = min К
(8.46)
и, V, W
255
Решение задачи (8.46) о несущей способности оболоч-
ки сводится к анализу различных полей перемещений и(х, у),
v(x,y), w(x,y).
После проведенной сеточной дискретизации взамен
этих непрерывных функций получаем двумерные множе-
ства
О'= 1,2,Y = 1,2,...,т).
Все поля перемещений, как непрерывные, так и диск-
ретные, обладают общим свойством — они должны быть
кинематически допустимыми, что означает согласованность
полей с условиями закрепления оболочки. С этой точки
зрения рассмотрим наиболее характерные краевые усло-
вия.
Опирание оболочки по всему контуру
При опирании оболочки по всему контуру прогибы по
краям должны отсутствовать:
w(x,y)|r=0	(8.47)
Наиболее распространенными являются свободное
опирание по контуру, неподвижное шарнирное и защемле-
ние.
Свободное опирание допускает возможность гори-
зонтальных перемещений краев, представляемых полями
и(х, у), v(x, у).
При шарнирно-неподвижном или защемленном опира-
нии обычно принимается кинематическая гипотеза, согласно
256
которой все точки срединной поверхности при вертикальном
нагружении перемещаются также вертикально; тогда пере-
мещения и(х, у), v(x, у) отсутствуют.
Помимо требования (8.47) на поля перемещений до-
полнительно налагаются условия, зависящие от конкретного
типа опирания по контуру.
Защемление означает, что по всему контуру край
оболочки не смещается и не поворачивается. Последнее
условие отражается равенством
бМ*,У)_0
dx
(8.48)
и при использовании введенной ранее дискретизации заклю-
чается в равенстве прогибов в точках предконтурной и
законтурной линий.
На рис. 8.15 законтурные линии показаны штриховы-
ми. С учетом сказанного должно быть
W2,0 = W2,2’ W0,2 = W2,2 , И T. Д.	(8.49)
Шарнирное (как неподвижное, так и подвижное) и
свободное опирания по контуру означают возможность по-
ворота контура и, следовательно, отсутствие изгибающего
момента в направлении к нормали к краю. Это условие
выражается в равенстве законтурных прогибов предконтур-
ным, взятым с обратным знаком:
W2,0 = ~W2.2’’ W0,2 = ~W2,2	(8.50)
и т. п.
9 — 9454
257
258
Рис. 8.16. Поле вертикальных прогибов w(x, у)
при опирании плиты-оболочки по контуру
В соответствии с накопленным экспериментальным и
расчетным опытом поле и-(х, у) ниже принято в форме
усеченной пирамиды. Ее сечение показано на рис. 8.16.
При единичной высоте пирамида полностью определяется
двумя переменными и £2 — относительными размерами
обоих оснований. Если = 1, верхнее основание на рис.
8.16 по размерам совпадает с наружным краем, и разруша-
ется вся оболочка. Если < 1, разрушается лишь централь-
ная ее часть, а приконтурная часть остается жесткой и (в
рамках принятой жесткопластической модели) недеформи-
рованной. Если <52 = 0, усеченная пирамида становится
полной.
Из рис. 8.9 следует, что
0<£2<£<1
(8.51)
При £] < 1 центральная (разрушающаяся) часть оболоч-
ки оказывается защемленной в периферийной (неразрушив-
шейся) части независимо от фактического закрепления края.
В этом случае всюду
м(х,у) = г(х,у) = 0
(8.52)
При = 1 поле vv(x, у) должно быть дополнено
полями и(х, у) и v(x, у). Один из возможных видов полей
и(х,у), v(x,y) показан на рис. 8.17. Такая их конфигурация
принята на основании анализа форм разрушения пологих
оболочек.
Конфигурации полей и(х, у), v(x, у), w(x, у), описанные
выше, сводят задачу (8.46) к минимизации функции К по
трем независимым переменным £3. В частном случае
при < 1 поля w(x, у), v(x, у) отсутствуют, и тогда минимиза-
ция функционала К проводится по двум переменным и £2.
9*
259
260
Рис. 8.17. Поля горизонтальных смещений и(х, у) и v(x, у)
при опирании плиты-оболочки по контуру.
Рис. 8.18. Форма разрушения «балочная-1» (а) и соответствующее ей поле прогибов (б)

Рис. 8.19. «Угловая» форма разрушения (а)
и соответствующее ей поле прогибов (б)
262
«I
Рис. 8.20. Форма разрушения «балочная-2» (а)
и соответствующее ей поле прогибов (б)
263
Опирание оболочки по двум сторонам
Прямоугольные, достаточно вытянутые в плане пли-
ты-оболочки, помимо опирания по всему контуру, могут
опираться также и по двум коротким сторонам. В этом
случае возможно «балочное» разрушение панели. Соот-
ветствующее ему поле прогибов w(x, у) имеет призмати-
ческую форму (рис. 8.18) и фиксированную конфигура-
цию.
Поскольку плита-оболочка подкреплена по контуру
ребрами, опирание по коротким сторонам не обязательно
означает разрушение по «балочной» схеме. При доста-
точно жестких ребрах возможно также и разрушение
конструкции как опертой по контуру. Вопрос о достаточ-
ной или недостаточной жесткости ребер может быть
решен единственным путем — сравнением оценок пре-
дельной нагрузки, получаемой по обоим схемам разру-
шения:
Ki = min К; К2 =	.
Ъ Ь £
(8-53)
При Ki < К2 реализуется «оболочечная» форма разру-
шения, при Ki > К2 — «балочная», поэтому окончательно
получаем:
К* = min {Kit К2}
(8.54)
264
Опирание по углам
Еще одним способом закрепления плит-оболочек мо-
жет быть опирание по четырем углам. В зависимости от
жесткости контурных ребер могут реализоваться следую-
щие схемы разрушения:
а)	как при опирании по контуру (рис. 8.17);
б)	как при опирании по двум коротким сторонам
(рис. 8.18);
в)	«угловая» схема разрушения (рис. 8.19), обнаружен-
ная в ниже описанных экспериментах;
г)	«балочная» схема с изгибом одновременно в
двух направлениях (рис. 8.20). Последнюю для краткос-
ти в дальнейшем будем называть «балочной-2» в отли-
чие от рассмотренной выше схемы (пункт б), которую
назовем «балочная-1». Поле прогибов угловой схемы
разрушения определяется с точностью до параметра £,
поэтому
К3 = min К
$
(8.55)
Второе поле имеет фиксированную форму КА = К6ал2,
поэтому окончательно получаем
^* = тт{^Л2,^3,^4}
(8.56)
Оба поля, показанные на рис. 8.19,6 и 8.20,6 имеют
единичную максимальную аппликату. Принято, что размеры
угловых участков на схеме, показанной на рис. 8.19,6, одина-
ковы вдоль обеих осей и составляют а£.
265
i)
Рис. 8.21. План шатровой (а) и призматической (б) поверхности;
вертикальное сечение по поперечной оси симметрии (в)
266
Поле прогибов, представленное на рис. 8.20,6, является
поверхностью переноса, у которой направляющая и образу-
ющая — ломаные линии. Поэтому ее аппликаты на контуре
(рис. 8.20,6) составят
1	Ф2
у'~Т+ч'2’ У2~1+^2	(8’57)
Действительно, в центре получаем yt + у2 = 1. Для
панели, квадратной в плане, х¥= 1, и из (8.57) следует, что
У1 = Уг = 1/2.
В заключение отметим, что оба поля прогибов —
балочного и углового типов — таковы, что вертикальные
перемещения точек срединной поверхности не сопровожда-
ются горизонтальными перемещениями, так что для них
всюду и(х, у) = v(x, у) = 0.
Постолько поскольку описанные ниже лабораторные и
натурные эексперименты проводились над плитами-оболоч-
ками с шатровой и призматической поверхностью, ниже в
основном уделяется внимание описанию определения несу-
щей способности плит-оболочек с многогранной (пятигран-
ной) внутренней поверхностью. Оба типа панелей имеют
плоскую внешнюю поверхность и снабжены по периметру
ребром постоянного сечения (рис. 8.21). Определение несу-
щей способности вспарушенных и цилиндрических плит-
оболочек может быть также проведено по описанной выше
методике, причем в последнем случае цилиндрическая по-
верхность без особых погрешностей расчета может быть
аппроксимирована призматической.
267
Панель с шатровой поверхностью
Внутренняя шатровая поверхность может быть пред-
ставлена как результат сложения двух усеченных пирами-
дальных поверхностей.
Введем обозначения: Н— высота ребра; Нх —толщина
плиты-оболочки на контуре (рис. 8.21); hx — толщина пане-
ли в центральной части; Л2 — толщина в месте перелома
профиля; длины Лха, Л3а показаны на рис. 8.21.
Нижняя усеченная пирамида имеет основания с разме-
рами 2Л,ах2Лз/>, 2Л^ах2Л^Ь и высоту (Я,-7^). Аналогич-
но для верхней пирамидальной поверхности получаем
2^0x2^, 2^0x2^ и высоту (Л2 - Л,) .
Для описания срединной поверхности шатровой плит-
оболочки ниже использовано поле безразмерных аппли-
кат ву. Для формирования полей 0,у и относительных
полей ву, используем вспомогательное поле Q3ij, найденное
суммированием аппликат обеих пирамид.
Тогда получим:
0=в^Ле,-,	(8.58)
Панель с призматической поверхностью
Эта панель также имеет ребра по контуру. Нормирова-
ние ее полей толщин е-у и аппликат срединной поверхности
ву также производится по правилам (8.58) с тем отличием,
268
что вспомогательное поле взу получено суммированием апп-
ликат двух призм, а не двух пирамид.
Армирование и прочностные характеристики
Армирование панели представляется тремя видами ар-
матуры. Нижняя сетка имеет стержни диаметром d„ направ-
ленные вдоль длинной стороны панели и расположенные с
постоянным шагом 5Х, а также стержни диаметром dy, на-
правленные вдоль короткой стороны контура и расположен-
ные с постоянным шагом Нижняя сетка отстоит от
нижней поверхности на расстояние щ и повторяет ее очерта-
ние (рис. 8.22).
Плоская верхняя сетка из стержней одинакового диа-
метра dx в обоих направлениях расположена полосами ши-
риной с1 и с2 вдоль длинных и вдоль коротких сторон плиты-
оболочки и имеет постоянный шаг Sb одинаковый в обоих
направлениях. Защитный слой верхней сетки обозначим и2.
Плоский каркас ребра имеет рабочую арматуру диа-
метром D. Поля безразмерных характеристик d{ij, d2iJ,..., d9ij в
(8.43) зависят от коэффициентов армирования поля плиты-
оболочки (верхнего и нижнего) в двух направлениях: р1х, р1у,
Ръ, fey. В свою очередь, коэффициенты армирования зависят
от толщины вд, диаметров стержней dx, dy, db расстояний
между ними S„ Sy, St.
Например
ягР 7ldx
и, =------— =-------i—
4Sxhy 4SxeljYb
ИТ. д.
(8.59)
269
270
Рис. 8.22. Схема армирования плиты-оболочки.
Располагая коэффициентами армирования mix, ..., т2у,
получим поля безразмерных прочностных характеристик.
Тогда площадь сечения стержней нижней сетки, направлен-
ных вдоль длинной стороны, приходящаяся на единицу
ширины (1 см) панели, составит:

(8.60)
Из условия статического равновесия внутренних сил в
сечении плиты-оболочки получаем
— AixRs
(8.61)
где Rb — призменная прочность бетона; х — высота сжатой
зоны сечения; Rs — расчетное сопротивление стальной
арматуры. Из (8.61) находим:
х = Л1ха3-’
С учетом малого диаметра стержней арматурной сетки
плечо внутренней пары сил z0 =hy -х/2-и. Обозначая
U] = З^ууЬ, получим:

(8.62)
Величина предельного погонного изгибающего момен-
та составит:
271
М'т =	= е2ау2Ь2Ц 1" ^7 “
2а,
к 3	/
(8.63)
С другой стороны, согласно (8.43):
М:х=ае2у2Ь2а5и.	(8.64)
Приравнивая правые части (8.63) и (8.64), находим:
к 3
(8.65)
Аналогично получаем:
1 я
««=^1-^-4,
J )
аТц ~
1,J	2	2а.	
к 3
(8.66)
fl е '
1 2а, &1 '
к 3	7
Для характеристик мембранных предельных усилий
можно установить, что
«1„=Д1х+Д2х,
272
a2iJ ~ ^ly + Mly •
(8.67)
Наконец, для относительной прочности сечений обо-
лочки при кручении имеем:
(8.68)
8.6. Проектирование панели-оболочки
ребрами вверх
Весьма перспективными с точки зрения внедрения в
практику строительства, как альтернативное решение много-
пустотным настилам, являются призматические плиты-обо-
лочки ребрами вверх размеров в плане 1,2 х 6,0 м и 1,5 х 6,0 м.
Разработанные опалубочные чертежи панелей с внут-
ренней пятигранной призматической поверхностью, при-
ведены на рис. 8.23 и 8.24. Объем бетона панели можно
подсчитать как разность объемов параллелепипеда, огра-
ниченного внешними плоскостями плиты-оболочки, и двух
пустот, одна из которых представляет паз на боковых
поверхностях панели, а другая ограничена призматичес-
кой поверхностью и плоскостью, совпадаюащей с нижней
(на рисунке) гранью контурных ребер. Эта последняя
пустота, как видно из опалубочных чертежей, содержит
три составные части, каждая из которых трапецевидного
сечения.
273
Рис. 8.23. Опалубочный чертеж призматической плиты-оболочки с размерами в плане 1,19 х 5,99 м.
Рис. 8.24. Опалубочный чертеж призматической плиты-оболочки с размерами в плане 1,49 х 5,99 м.
Таким образом, объем бетона призматической плиты-
оболочки размером 1,2 х 6,0 м (рис. 8.23) составит:
V = 1,19 • 5,99 • 0,22 -2-0,1225 • 0,015(1,19 + 5,99) -
f!£±^.0,08.5,78+°-96 + 0-57.0,08.5,74t
2	2
0,51 + 0,19
2
-0,02-5,715 = 0,695 м3
Соответственно, объем бетона плиты-оболочки размером
1,5 х 6,0 м (рис. 8.24) равен:
V = 1,49 • 5,99 • 0,22 - 2 • 0,1225 • 0,015(1,49 + 5,99) -
1,3+-1,26 • 0,08 • 5,78 +-,26±°’75 .0,08 • 5,74 +
2	2
0,75 + 0,25
2
-0,02-5,715 = 0,825 м3
Определяя приведенную толщину плит-оболочек по
формуле
h = V/S,	(8.69)
где S — площадь панели, найдем для первой из рассмот-
276
ренных выше плит-оболочек приведенную толщину, рав-
ную 9,75 см, а для второй— 9,24 см. При приведенной
толщине многопустотных настилов 12,0 см соответствен-
но экономия бетона составит в первом случае 19%, а во
втором — 23%.
Отметим, что достигнутая экономия бетона отно-
сится к конструкции призматической плиты-оболочки с
толщиной средней грани 4,0 см. По мере накопления
опыта изготовления панелей на заводах сборных железо-
бетонных конструкций она может быть доведена до 3,0
см, что вполне возможно из условий размещения армату-
ры, так как при максимальном диаметре продольных и
поперечных стержней нижней арматурной сетки 5 мм с
обеих сторон будет обеспечен защитный слой бетона 10
мм, что соответствует требованиям СНиП [1]. В этом
случае приведенные выше проценты экономии бетона
могут быть существенно увеличены, достигнув величи-
ны порядка 30%.
В таблице 8.8 приведены все вводимые в программу
расчета на компьютере геометрические и физические пара-
метры призматических плит-оболочек, необходимые для
получения соответствующих полей усилий, по которым
производится конструирование арматуры. В результате рас-
чета были получены все необходимые для подбора арматуры
компоненты НДС призматической плиты-оболочки, которые
приведены в табл. 8.9.
Остановимся на приведенных характеристиках, опре-
деляющих НДС панели по обеим осям симметрии и диагона-
ли, несколько подробнее.
Как видно, в поперечном направлении, как это уже
отмечалось, возникает эффект упругого защемления
277
Таблица 8.8
Геометрические и физические параметры
опертых по коротким сторонам железобетонных
призматических плит-оболочек перекрытий ребрами вверх
Принятые параметры	Панель П-1	Панель П-2
Расстояние между осями продольных контурных ребер а (мм)	1080	1380
Расстояние между осями поперечных контурных ребер b (мм)	5850	5850
Расстояние от оси ребра до первого перелома внутренней призматической поверхности по горизонтали (мм)	255	315
Расстояние от оси ребра до второго перелома поверхности а2 (мм)	445	565
Расстояние от оси ребра до третьего перелома поверхности а3 (мм)	635	815
Расстояние от оси ребра до четвертого перелома поверхности аА (мм)	825	1065
Расстояние от оси ребра до пятого перелома поверхности (горизонтальная проекция призматической поверхности) а5 (мм)	1080	1380
Принятая толщина плиты-оболочки на контуре h} (мм)	165	159
Толщина плиты-оболочки в месте первого перелома поверхности h2 (мм)	60	60
Толщина плиты-оболочки в месте второго перелома поверхности (толщина в центре) Л3 = hQ (мм)	40	40
278
Продолжение таблицы 8.8
Принятые параметры	Панель П-1	Панель П-2
Ширина ребра Ьр (мм)	80	80
Высота ребра hp (мм)	220	220
Стрела подъема срединной поверхности f= (^ - й0)/2 (мм)	62,5	59,5
Коэффициент Пуассона материала плиты-оболочки /Z	0,2	0,2
Расчетный модуль упругости бетона Е (Н/м2)	0,275-10"	0,275-10"
Жесткость контурных ребер на осевое растяжение В = В (Н)	0,495-1 О’	0,495-1 О’
Жесткость контурных ребер на кручение = В^ (Н-м2)	0,285-106	0,285-106
Жесткость контурных ребер на изгиб в горизонтальной плоскости В2 - В2 (Н м2)	0,00	0,00
Жесткость поперечных контурных ребер на изгиб в вертикальной плоскости Вьх (Н-м2)	оо	ОО
Жесткость продольных контурных ребер на изгиб в вертикальной ПЛОСКОСТИ ВЬ? (Н'М2)	0,195 107	0,196-107
Расчетная нагрузка q (Н/м2)	8000	8000
279
Расчетные изгибающие моменты в Нм/м и тангенциальные усилия в Н/м
вдоль осей симметрии и диагоналей плиты-оболочки
Таблица 8.9
х/а	у = 0,5b							
	Панель П-1				Панель П-2			
		м У	У	N У		м У	N*	N У
0,00	-88,0	2200	0,00	-7540	-155	4440	0,00	-23500
0,05	-101	1230	57,8	-4280	-264	2700	125	-13200
0,10	-7,99	583	117	-1190	-89,8	1270	257	-4090
0,15	95,0	328	182	1290	77,0	696	400	2730
0,20	161	157	229	2710	193	313	504	6600
0,25	216	112	246	3140	282	208	541	8070
0,30	366	136	243	3170	495	238	534	8490
0,35	562	174	235	3240	771	291	517	8790
0,40	746	209	225	3280	1020	338	495	8960
0,45	862	230	215	3200	1180	363	473	8880
0,50	894	235	210	3130	1220	368	464	8770
Продолжение таблицы 8.9
у/Ь	х = 0,5а							
	Панель П-1				Панель П-2			
		М У	N*	N У		м У	N*	N У
0,00	-20,2	-101	-15800	0,00	-191	-27800	0,00	-23500
0,05	68,6	-23,7	1870	5440	-41,2	149	6000	-13200
0,10	207	34,7	7960	10500	57,3	11900	12900	-4090
0,15	341	68,9	3890	12100	103	8390	17000	2730
0,20	470	103	-462	10900	151	2290	17700	6600
0,25	596	146	-388	9000	222	832	16200	8070
0,30	704	182	601	7100	283	897	14000	8490
0,35	783	200	-552	5350	312	988	11900	8790
0,40	839	213	-1700	4010	330	-2590	10200	8960
0,45	879	227	-765	3310	355	-16600	9170	8880
0,50	894	235	210	3130	368	464	8770	8770
Продолжение таблицы 8.9
х/а	х!а = у!Ъ							
	Панель П-1				Панель П-2			
	Л/_		N,		М,			N2
0,00	2910	-2910	-61700	61700	5020	-5020	-84000	84000
0,05	1990	-2030	-47500	38800	3450	-3310	-67600	55800
0,10	916	-991	-17900	17800	1610	-1550	-30000	29000
0,15	492	-421	517	7420	863	-680	3500	8450
0,20	233	-104	6790	14500	390	-184	-67300	20800
0,25	187	11,8	-6730	14800	286	5,36	-7350	22500
0,30	296	89.1	-5110	12900	414	143	-5790	20300
0,35	492	145	-4030	8930	676	237	-4730	15600
0,40	700	189	-2670	4890	962	301	-3420	10400
0,45	847	222	-830	3380	1160	350	-1680	9220
0,50	894	235	210	3130	1220	235	464	8770
тонкой средней части плиты-оболочки в утолщенных
приконтурных зонах, где в результате этого возникают в
достаточно широкой приконтурной полосе отрицатель-
ные изгибающие моменты. Как следует из таблицы 8.9,
для обоих панелей эти моменты достигают экстремаль-
ных значений в точке с абсциссой х = 0,05а. Возраста-
ние рассматриваемых изгибающих моментов в плите-
оболочке П-2 по сравнению с П-1 объясняется более
значительным уширением первой и восприятием в свя-
зи с этим большей нагрузки, а также вызванным этим
уширением увеличением пологости панели П-2 по срав-
нению с П-1.
Переходя через ноль в области 0,10а < х < 0,15а и при-
обретая положительные значения, моменты Мх по мере
движения к центру все время возрастают, приобретая в
центре экстремальные значения.
В продольных сечениях толщина плиты-оболочки по-
стоянна. В результате отрицательные изгибающие моменты
Му по оси симметрии х = 0,5а достигают максимальных
значений уже на контуре (у = 0), при этом ширина зоны
действия отрицательных изгибающих моментов в продоль-
ном направлении, как видно из табл. 8.9, меньше, чем в
поперечном.
Отметим также, что по линии х = 0,5а положительные
изгибающие моменты Мх, так же как и по линии у = 0,5b,
достигают экстремальных значений в центре панели. Мо-
менты Мх и Му вдоль обеих осей симметрии являются
главными.
Иная картина наблюдается по линии х/а = ytb, то есть
по диагонали. Здесь максимальные (положительные) глав-
283
ные изгибающие моменты достигают экстремальных зна-
чений в углу плиты-оболочки. Далее, по мере движения к
центру, они, так же как и толщина панели, уменьшаются.
Указанное снижение величины максимальных главных
моментов происходит в пределах четверти диагонали,
после чего они начинают возрастать, оставаясь, однако,
существенно меньше соответствующей их величины в
углу.
Таким образом, при расчете армирования тела
плиты-оболочки стальными арматурными сетками точ-
ки х = 0,5а, у = 0,56 (центр панели) и х = 0,0, у = 0,0
(угол панели) будут являться определяющими.
Остановимся на характере изменения тангенциальных
усилий по полю плиты-оболочки. Здесь, в отличие от панели
ребрами вниз, тангенциальные усилия Nx, действующие
вдоль поперечной оси симметрии плиты-оболочки, являют-
ся растягивающими. По мере движения от контура к центру
они сперва увеличиваются (до четверти пролета), а затем
уменьшаются. Однако это уменьшение в обеих рассматрива-
емых панелях незначительно и составляет всего 15%. Вмес-
те с тем уровень изгибающих моментов Мх в четверти
пролета значительно ниже, чем в середине, так что центр
панели по-прежнему остается определяющим при подборе
параметров нижней арматурной сетки.
Из-за расположения ребер панели вверх тангенциаль-
ные усилия Ny по лини и у = 0,56 на контуре сжимающие.Пос-
ле перехода через ноль в области 0,10а<х<0,15а они уже
растягивающие, увеличивающиеся в сторону середины про-
лета до точки х = 0,40а, после чего, как видно из табл. 8.9,
они весьма незначительно уменьшаются.
284
Вдоль линии х/а = у/b главные тангенциальные уси-
лия, так же как и главные изгибающие моменты, достига-
ют экстремальных значений в углу панели, однако, здесь,
в отличие от плиты-оболочки ребрами вниз, в диагональ-
ном сечении главные мембранные усилия являются сжи-
мающими.
Таким образом, с точки зрения совместности учета
действия главных тангенциальных усилий и главных изгиба-
ющих моментов угловая точка, так же как и центральная,
являются определяющими при подборе параметров основ-
ной (нижней) арматурной сетки.
Приведенный ниже расчет арматуры основывается на
данных табл. 8.9, а также характеристик материалов панелей
(бетона и арматуры), приведенных в табл. 8.10.
Расчет ведется в соответствии со СНиП [1].
Определим граничную относительную высоту сжатой
зоны бетона ^R=x/h0, гдех — высота сжатой зоны бетона, а
Ло — рабочая высота сечения. Значение %R определяется по
формуле:
(8.70)
где w — характеристика сжатой зоны бетона, определяемая
по формуле:
(о = а - 0,008Т?6 ;
(8.71)
285
Таблица 8.10
Физико-механические характеристики материалов
панелей П-1 и П-2
Класс бетона по прочности на сжатие			В20
Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию (призменная прочность) _ МПа /	2 кгс/см			11.5 117
Коэффициент условий работы бетона уь2			0,9
Расчетное сопротивление бетона осевому растяжению МПа ' кгс/см2			O^Q 9,18
Расчетное сопротивление арматуры класса А-Ш диаметром 10-40 мм растяжению и сжатию МПа sc кгс/см2			3750
Расчетное сопротивление арматуры класса Вр-I растяжению и сжатию о =п МПа sc кгс/см2	Диаметр, мм	3	3850
		4	3750
		5	360 3700
Коэффициент условий работы арматуры ys			1,0
286
Рис. 8.25. Схемы усилий и эпюры напряжений
в нормальном сечении железобетонного элемента
при расчете его на прочность:
а — изгибаемый элемент,
б — внецентренно растянутый элемент,
в — внецентренно сжатый элемент.
287
здесь а — коэффициент, принимаемый для тяжелого бетона
равным 0,85; Rb = 11,5 0,9 = 10,4МПа. Отсюда
со = 0,85 - 0,008 -10,4 = 0,766
=	~ &SP
(8.72)
В нашем случае aSP = 0. Величина Rs для арматуры
класса А-Ш и Вр-I (при диаметре 4 мм) имеет одинаковые
значения, равные 365 МПа. Те же значения Rs для арматуры
класса Вр-I при диаметре проволоки 3 и 5 мм отличаются,
как видно из табл. 8.10, от этой величины крайне незначи-
тельно, поэтому принимаем aSR = Rs = 365 МПа и ascu = 500
МПа [1]. В результате получаем:
0,766
, 365 С 0,766^1
500	1,1
= 0,63
Расчет сечений изгибаемых железобетонных элемен-
тов производится из условий (рис. 8.25,а):
М < Rbbx(h0 - 0,5х) + RscA's(h0 - а'),
RsAs-RscA' = Rbbx
(8.73)
в случае внецентренного растяжения (рис. 8.25,6) имеем:
288
Ne < Rbbxth^ - 0,5x) + RscA's(h0 - a),
RSAS-RSCA'S-N = Rbbx
(8.74)
наконец, в случае внецентренного сжатия (рис. 8.25,в)
имеем условия:
Ne < Rbbx(h^ - 0,5х) + RscA's(hQ - а'),
N + RsAs-RscA's=Rbbx
(8-75)
Во всех трех описанных случаях имеется в виду, что
£ = х//г0<£Л.
Как следует из табл. 8.9, подбор арматурной сетки,
располагаемой в нижней зоне плиты-оболочки, должен про-
изводиться в центре панели по условиям (8.74), а в ее углу —
по условиям (8.75). Однако, в целях сравнения результатов,
зависящих от соотношения величины изгибных и мембран-
ных усилий, в первом из указанных случаев расчеты прово-
дились как по условиям (8.73), так и (8.74), а во втором — по
условиям (8.73) и (8.75)
Ниже приведены результаты расчета плиты-оболочки,
перекрывающей площадь 1,5 х 6,0 м. Определим сначала
необходимое количество арматуры в центре панели, исполь-
зуя условия (8.73). При этом учтем, что A's = 0, так как
верхняя сетка в средней части поперечного сечения плиты-
оболочки отсутствует. В соответствии с табл. 8.10 призмен-
ную прочность бетона принимаем равной 117 • 0,9 = 105,3
кгс/см2. В соответствии со СНиП [1] при толщине панели в
средней части (в области горизонтальной грани) менее 100
мм принимаем величину защитного слоя для арматурной
Ю — 9454
289
сетки, равной 10 мм, а диаметр сетки, равным 4 мм. Тогда
рабочая высота сечения
Ло = Л-а0-<7/2 = 40-10-2 = 28 мм
(<7 — диаметр арматуры).
Подставляя приведенные выше данные в первое из
условий (8.73), получим уравнение:
12200 = 105,3 • 100х(2,8 - 0,5х),
откуда х = 0,449 (£ < 0,63). После этого из второго уравнения
(8.73) получим:
105,3-100,0 0,449
Rs ~	3750
= 1,26 см2 /п.м
что соответствует 1004 на 1 пог. м (As = 1,26 см2).
Подберем теперь необходимое количество арматуры в
центре плиты-оболочки с учетом возникающего там внецен-
тренного растяжения по условиям (8.74). Эксцентриситет
приложения продольной силы е0 = MJNX = 122/46,4 = 2,63 м
=263 см. Тогда величина е на рис. 8.25,6 составит:
e = e0-h/2 + a0 + d/2 = 263 - 2,0 +1,0 + 0,2 = 262,2 см.
Из первого условия (8.74) имеем:
46,4 • 262,2 = 105,3 • 100(2,8 - 0,5)
откуда х = 0,448 см (х < 0,63).
290
Тогда из второго уравнения (8.74) получим:
, Rhbx 105,3-100-0,488+ 46,4 , 2z
А =	’--------------— = 1,27см2 /п.м.
5 Rs	3750
то есть почти ту же величину, что и при проведении расчета
по условиям (8.73). Объясняется это низким уровнем растя-
гивающих тангенциальных усилий Nx вдоль поперечной оси
симметрии плиты-оболочки, вызванным принятыми гранич-
ными условиями и геометрическими параметрами панели.
Перейдем к подбору параметров арматурной сетки в
углу плиты-оболочки, где в диагональном сечении имеет
место внецентренное сжатие. Здесь, как видно из табл. 8.9,
достаточно высок как уровень изгибающих моментов, так и
уровень главных мембранных усилий. Проверку достаточ-
ности принятого армирования в соответствии с результата-
ми, полученными для центра панели, проведем как по
условиям (8.73), так и (8.75). При этом наличием арматурной
сетки в сжатой зоне сечения (верхняя зона плиты-оболочки)
пока пренебрегаем, так как ее параметры еще не рассматри-
вались. Они вводятся в дальнейшем в расчет в случае
необходимости, вызванной требованием усиления сжатой
зоны бетона.
Так как в соответствии с данными табл. 8.8 принятая
толщина плиты-оболочки на контуре h, превосходит 100 мм,
то толщина защитного слоя здесь должна быть в соответ-
ствии с [1] не менее 15 мм. Тогда рабочая высота сечения в
углу панели составит Ло =\-а0-б//2 = 159-15-2 = 142лш,
и из первого условия (8.73) получим:
10’
291
50200 = 105,3 Ю0х(14,2 -0,5х)
откуда х = 0,340 (£ < 0,63).
Площадь арматуры на 1 пог. м сечения из второго
уравнения (8.73) составит:
105,3 100-0,34
3750
= 0,954 < 1,26 см2 /п.м,
то есть в углу панели в ее нижней зоне по условиям (8.73)
требуется арматуры меньше, чем в центре.
Эксцентриситет приложения продольной силы е0 =
MJNX = 502/(-8400) = -0,0598 м == -6,0 см. Таким образом,
продольная сжимающая сила оказывается в пределах се-
чения, и мы имеем второй случай внецентренного сжатия
[1], когда прочность арматуры нижней зоны окакзывается
недоиспользованной. Как видно, учет действительных
условий работы конструкции в углу плиты-оболочки при-
водит к необходимости коррективы параметров сетки,
подобранных из условий ее работы в центре панели, в
сторону их ослабления. Использование прежних парамет-
ров приведет к неоправданному завышению расхода стали
на армирование рассматриваемой плиты-оболочки. По-
этому с целью ликвидации этого недостатка найдем вдоль
продольной оси симметрии (х = 0,5а) то значение изгиба-
ющего момента Мх, при котором можно осуществить
уменьшение подобранной из условий работы в центре
арматуры вдвое, то есть перейти с принятого ранее шага
100 мм на шаг 200 мм. В этом случае, как вытекает из
предшествующих расчетов, площадь арматуры должна
составить величину:
292
As = 1,26/2 = 0,63 см2/пог.м.
Из второго условия (8.73) найдем:
R,A, 3750 0,63
х = —S—L =-----------= 0,224 см
Rbb 105,3 100
Тогда величина изгибающего момента, который может
воспринять сетка, по первому из условий (8.73) составит:
М = Rhbx(h0 - 0,5 х) = 105,3 • 100 • 0,224(2,8 - 0,5 • 0,224) =
= 6340 кгс.см / п.м. = 63,4 кНсм / п.м.
В соответствии с табл. 8.9 близость к этой величи-
не момента имеет место в точке с ординатой у = 0,206
(Мх = 63,20 < 63,40 кН см/пог.м.) Начиная с этой точки
до контура, шаг принятой сетки можно увеличить вдвое,
так как в этом направлении изгибающие моменты Мх,
как видно из таблицы 8.9, продолжают уменьшаться.
Окончательно, в результате проведенных расчетов, при-
нимаем следующие параметры сетки. Ее поперечные стерж-
ни в области 0,206 < у < 0,806 принимаются диаметром 4 мм
с шагом 100 мм из арматуры класса Вр-I. В областях
0,0 < у < 0,206 и 0,806 < у < 6 шаг сетки при том же диаметре
увеличивается вдвое, то есть равен 200 мм. Продольные
стержни принимаем того же диаметра с шагом 100 мм,
однако эти параметры продольных стержней сетки могут
быть пересмотрены в направлении увеличения диаметра при
общем расчете панели на изгиб в продольном направлении
293
по балочной схеме. Заметим также, что при принятой систе-
ме непрерывного армирования контура происходит также
усиление углов за счет арматурных каркасов, располагаемых
в ребрах.
Проверим необходимость расчетной постановки вер-
хней арматурной сетки в соответствии с приведенными в
шестой главе рекомендациями. Из табл. 8.9 следует, что
отрицательный изгибающий момент вдоль поперечной
оси симметрии плиты-оболочки (у = 0,5Z>) достигает
максимального значения в точке с абсциссой 0,05а. Вы-
численная в этой точке на основе приведенного на рис.
8.24 опалубочного чертежа панели ее толщина составля-
ет 13,7 см. Тогда
= 6Л/ = 6 - 26,40 = 0	t см2 <<	=	ки t см2
bh2 100-13,72	ы
Дополнительный учет растягивающих тангенциаль-
ных усилий, действующих в рассматриваемой точке, не
вносит какие-либо коррективы в полученные результаты,
ибо их уровень весьма низок (Nx = 0,125 кН/п.м). Таким
образом, постановка верхней арматурной сетки произво-
дится конструктивно при минимальном диаметре (3 мм) и
максимальном шаге (200 мм) сетки.
Перейдем теперь к подбору основной рабочей армату-
ры, располагаемой в виде сварных каркасов в продольных
контурных ребрах (рис. 8.26). Подбор арматуры проводим в
соответствии с условиями (8.73). В качестве основной
(растянутой) рабочей арматуры плоских сварных каркасов,
располагаемых в продольных ребрах, принимаем арматуру
294
Ярм а/пуриый чертёж. Йдоль поперечной оси симметрии панели (М f-S)
1Ф22 Яя . /оо . /оо . .	,	ею
Рис. 8.26. Арматурный чертеж панели П.1
295
Ярматурный чертёж &доль поперечной оси симметрии панели (Aft-S)
1Ф21 Я &	, too у /во , Сетка /оо*юо в?! l_._4so_
Рис. 8.27. Арматурный чертеж панели П.2
296
из стали класса А-Ш диаметром d = 22 мм. Вместе с этой
арматурой в восприятии растягивающих усилий в нижней
зоне панели участвует продольная арматура располагаемой
там сетки, диаметр которой был ранее конструктивно при-
нят равным 4 мм. Однако предварительно проведенные
приближенные расчеты показали, что этого диаметра мо-
жет оказаться недостаточно для выполнения необходимых
условий равновесия. Поэтому он был увеличен до 5 мм.
Как основная рабочая арматура каркаса, так и продольные
стержни сетки имеют одну и ту же величину защитного
слоя бетона в силу опирания поперечных стержней сетки
при подготовке панели к бетонированию на продольные
стержни каркаса (рис. 8.26). В результате этого, а также из-
за различия классов стали той и другой арматуры, их
центры тяжести вдоль вертикальной оси ребра (рис. 8.27,
на рисунке эта ось для удобства чертежа изображена гори-
зонтально) находятся в разных уровнях. Расчет проводим
для одной половины панели, при этом с каждой стороны от
ее продольной оси находятся (рис. 8.27) при принятом шаге
продольных стержней нижней арматурной сетки по семь ее
стержней.
Усилия, возникающие в этой и другой арматуре, со-
ставляют:
У, = Я<*4(1) = 37,5-3,801 = 142,54 кН;
N2 = Я<2)4(2) = 37,0(7 • 0,196) = 50,69 кН;
Здесь У, — усилие в растянутой арматуре каркаса;
N2— суммарное усилие в продольных стержнях сетки.
Положение векторов усилий У15 N2 в зависимости от вели-
297
Рис. 8.28. Составляющие растягивающих и сжимающих усилий
в поперечном сечении продольных ребер
призматической плиты-оболочки П.2 ребрами вверх
при ее изгибе в продольном направлении
(Размеры указаны в см, усилия — в кг)
298
чины защитного слоя и диаметров арматуры показано на
рис. 8.28.
Складывая два направленных в одну сторону парал-
лельных вектора и N2, находим скалярную величину их
равнодействующей R = ./V] + N2 = 142,54 + 50,69 = 193,23 кН и
ее положение (рис. 8.28).
Величина равнодействующей усилий в сжатой зоне
ребра R' складывается из четырех ее составляющих. Первая
(А') — это сжимающее усилие в верхнем находящемся в
рабочем положении арматурном стержне каркаса, который
принимаем диаметром 12 мм из стали класса А-Ш при
защитном слое, равном в соответствии с [1] 15 мм. Величина
этого усилия равна:
X = С4 = 37’5 • U31 = 42,41кН
В сжатую зону ребра попадет, как минимум, один
продольный стержень верхней арматурной сетки, пара-
метры которой 200 х 200 х 3 х 3 были нами приняты
ранее конструктивно. Согласно [1], его расстояние от
сжатого стержня плоского арматурного каркаса ребра
должно составлять не менее 12 мм. В результате центр
тяжести попадающей в ребро продольного стержня верх-
ней арматурной сетки принимает положение, показанное
на рис. 8.28, а величина действующего в нем усилия
составит:
(А') = /?£2)4(1) = 38,50 • 0,071 = 2,73кН
299
Как следует из рис. 8.24, вертикальное сечение сжатой
зоны ребра состоит из двух трапеций: верхней и нижней; при
этом нижнее основание верхней трапеции является верхним
основанием нижней.
Центр тяжести трапеции вдоль вертикальной оси ребра
вычисляется по формуле:
(8.76)
где а и b — соответственно координаты (абсциссы) верхнего
и нижнего оснований, у =У(х) — уравнение боковой наклон-
ной стороны трапеции, a S — ее площадь. Сжимающее
усилие, возникающее в верхней трапеции, составит:
N'3 = RbA^ = 1,05 8,0 0,0 8,0 = 75,8 кН
Его положение находим на основе выражения (8.76).
При этом наклон боковой стороны трапеции определяется
величиной:
tga = 2,0/8,0 = 0,25
Тогда
8
| х(8,0 + 0,25x)tZx
Хс = ° 8,0 + 10,0- _ = 4,15СМ
---------------о, и
2
300
На долю части нижней трапеции (рис. 8.29), в пределах
которой проходит граница сжатой зоны, на основе второго из
уравнений (8.73) приходится усилие:
N'4 = R - (N' + N'2 + N'3) = 193,23 - (42,41 + 2,73 + 75,82) = 72,3 кН
Из рис. 8.23 имеем:
35,5-10,0 _ у-Ю , 0ТКуда х = 0,314у -3,14.
8,0 х
Тогда параметры границы сжатой зоны сечения, нахо-
дящейся в пределах нижней трапеции, находим из выраже-
ния:
(0,314 у - 3,14) • 105,3 = 7227 ,
откуда у = 23,2 см, после чего находим х = 4,14 см.
Определяя по аналогии с предыдущим на основе фор-
мулы (8.76) положение центра тяжести полученной трапе-
ции, находим х™ = 2,29 см (рис. 8.22).
Таким образом, найдены как величина, так и положе-
ние всех четырех составляющих снимающих усилий в сжа-
той зоне ребра, изображенных на рис. 8.22. В соответствии с
полученными данными находим положение их равнодей-
ствующей 7?', решая задачу о сложении четырех параллель-
ных векторов, направленных в одну сторону. В результате
плечо внутренней пары сил составит:
301
о


10,00
Рис. 8.29. К поиску нижней границы сжатой зоны бетона
35.50
Таблица 8.11
Сводная ведомость расхода стали
на армирование плиты-оболочки
Вид армиро- вания	Нижняя арматура каркасов продоль- ных ребер	Верхняя арматура каркасов продоль- ных ребер	Нижняя арматура какркасов попереч- ных ребер	Верхняя арматура каркасов попереч- ных ребер	Попереч- ная арматура каркасов контурных ребер	Армиро- вание контура	Нижняя сетка	Верхняя сетка	Общий расход стали
Расход стали, в кг	35,1	10,4	2,45	1,70	5,09	54,74	17,28	3,18	75,2
Расход стали, в кг/м2	3,90	1,16	0,27	0,19	0,56	6,08	1,92	0,35	8,35
303
Примечания:
1) в графе «Армирование контура» приводится сумма предыдущих пяти позиций;
2) в графе «Общий расход стали» приводится сумма предыдущих трех позиций.
Z = 22,0-(6,00+ 2,88) = 13,12 см
при высоте сжатой зоны х = 8,0 + 4,14 = 12,14 см.
Рабочая высота сечения
/г0 = 22,0-2,88 = 19,12 см,
а относительная высота сжатой зоны
£ =х//г0 =12,14/19,12 = 0,63 =£„.
Предельный момент в ребре
Мпр =RZ = \ 93,23 • 13,12 = 2540,00 кНсм.
Величина предельного момента, воспринимаемого пол-
ным поперечным сечением плиты-оболочки, равна
2540,00-2 = 5080,00 кн-см = 50,80 кН-м
Воспринимаемая при принятых геометрических и фи-
зических параметрах призматической плиты-оболочки пре-
дельная нагрузка:
8’5080	___ тт 2
q =---------- = 7978кН • см2
1,49-5,852
В силу принятых условий работы панели (опирание
по коротким сторонам) арматура каркасов, располагаемых
в поперечных ребрах, может быть существенно облегчена
(рис. 8.21), однако армирование контура с учетом общей
304
пространственной работы плиты-оболочки и обеспечения
ее сейсмостойкости должно быть непрерывным, поэтому
каркасы продольных и поперечных ребер в углах сварива-
ются.
Поперечная арматура каркасов подбирается в соответ-
ствии с требованиями [1] как для конструкции, оконтурен-
ной ребрами жесткости, воспринимающими поперечные
усилия. Однако, как показали натурные испытания пане-
лей, по-видимому, отмеченная выше определенная симво-
личность контурных ребер снижает необходимость в по-
становке поперечных стержней в располагаемых по конту-
ру плоских арматурных каркасах по расчету на восприятие
поперечных усилий. Эти стержни практически должны
устанавливаться конструктивно по соображениям необхо-
димой жесткости каркасов. Тем не менее в табл. 8.11, где
приведена сводная ведомость расхода стали на армирова-
ние призматической плиты-оболочки, в соответствующей
графе («Поперечная арматура») указан расход стали, полу-
ченной по расчету на восприятие поперечных усилий. Учет
вышеизложенных соображений может уменьшить расход
стали на установку поперечных стержней каркасов по
крайней мере вдвое.
Как следует из таблицы, расход стали на 1 м2 панели
составляет 8,35 кг. Между тем в многопустотных настилах с
круглыми пустотами с ненапрягаемой арматурой соответ-
ствующий расход стали составляет 8,50 кг.
Таким образом в плите-оболочке он на 2% меньше.
Возможное уменьшение поперечной арматуры каркасов вдвое
позволит довести экономию стали до 5% при одновремен-
ном снижении расхода бетона на 23%.
305
В целях унификации арматуры для изготовления пане-
ли размером 1,2 х 6,0 м принята та же система армирования и
те же физические характеристики арматуры, что и для
панели размером 1,5 х 6,0 м. Отличие заключается лишь в
ширине верхней и нижней сеток одной и другой панели.
Соответствующие арматурные чертежи приведены на рис.
8.20 и 8.21.
Литература
А. Нормативная и инструктивная
1.	СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции /
Минстрой России. М.: ГП.ЦПП, 1996. 76 с.
2.	СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия / Минстрой России.
М.: ГП.ЦПП, 1996.44с.
3.	Пособие по проектированию бетонных и железобетонных
конструкций из тяжелых и легких бетонов без предвари-
тельного напряжения арматуры (к СНиП 02.23.01-84).
М.: Стройиздат, 1986.
4.	Пособие по проектированию предварительно-напряженных
железобетонных конструкций из тяжелых и легких бето-
нов (к СНиП 2.03.01-84). Ч. 1 и 2. М.: Стройиздат, 1988.
5.	Руководство по проектированию железобетонных простран-
ственных конструкций покрытий и перекрытий И НИ-
ИЖБ Госстроя СССР. — М.: Стройиздат, 1979,423 с.
6.	Рекомендации по оптимальному проектированию железобе-
тонных конструкций И НИИЖБ Госстроя СССР. — М.:
1981, 170 с.
307
Б. Учебная
7.	Байков В.Н., Сигалов Э.Е. Железобетонные конструкции. Об-
щий курс. М.: Стройиздат, 1991, 768 с.
8.	Бондаренко В.М., Суворкин Д.Г. Железобетонные и каменные
конструкции. М.: Высшая школа, 1987. 384 с.
9.	Чирков В.П., Клюкин В.И., ФедоровВ.С., Швидко Я.И. Основы
теории проектирования строительных конструкций. Же-
лезобетонные конструкции: Учебное пособие для вузов
железнодорожного транспорта. — М.: 1999. 376 с.
10.	Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.-Л.
Госиздат, 1950, 350 с.
В. Научно-исследовательская
11.	Аванесов М.П., Бондаренко В.М., Римшин В.И. Теория сило-
вого сопротивления железобетона / Алт. гос. техн, ун-т
им. И.И. Ползунова. — Барнаул, Изд-во Алт. ГТУ. 1996.
196 с.
12.	Авторское свидетельство № 739200 /СССР/. Перекрытие /
С.В. Карапетян И Открытия. Изобретения, 1980, №21, с.
170.
13.	Авторское свидетельство (патент) №2013505 / Р.Ф. / Перекры-
тие / Б.Н Бастатский, В.С. Федоров, Г.М. Кобахидзе //
Открытия. Изобретения. — М., №10, 1990.
308
14.	Бамбура А.Н. Диаграмма «напряжения-деформации» для бе-
тона при сжатии. — В б.: Вопросы прочности, деформа-
тивности и трещиностойкости железобетона. Ростов:
РИСИ, 1980, с. 19-22.
15.	Бастатский Б.Н., Барабадзе Н.Г. Железобетонные плит-
оболочки междуэтажных перекрытий. «Бетон и железо-
бетон в энергетическом строительстве». Материалы Все-
союзной конференции по бетону и железобетону (Ка-
зань, 1988), ГрузНТОЭиЭП, ГрузНИИЭГС, Тбилиси,
1988, с. 83-93.
16.	Барабадзе Н.Г. Железобетонные плиты-оболочки с внутрен-
ней поверхностью двоякой кривизны. Автореф. канд.
диссертации. ГрузНИИЭГС. Изд-во «Мецниереба», Тби-
лиси, 1990, 24 с.
17.	Бачинский В.Я. Некоторые вопросы, связанные с построением
общей теории железобетона // Бетон и железобетон. —
1979, —№11, —С. 35-36.
18.	Барашиков А.Я., Колчунов В.И. Расчет ширины раскрытия
трещин железобетонных элементов на основе новых
физических моделей сопротивления И Материалы 3-го
международного симпозиума «Реконструкция — Санкт-
Петербург — 2005». — Санкт-Петербург: Изд-во С,-
ПбГАСУ. — 1995. — С. 87-96.
19.	Барашиков А.Я., Колчунов В.И., Гаттас А.Ф. Эксперимен-
тальные исследования трещиностойкости стержневых
железобетонных элементов. Киев, 1992. — 29 с.: —Дсп.
в УкрИНТЭИ, №1003-УК92.
20.	Бастатский Б.Н. О выборе формы срединной поверхности
пологих прямоугольных в плане оболочек двоякой кри-
визны И Строительная механика и расчет сооружений. —
1971, —№2, —С. 12-16.
309
21.	Бондаренко С.В. Теория сопротивления конструкций режим-
ным нагружениям. Стройиздат, М.: 1984, с. 392.
22.	Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нели-
нейной теории железобетона. Стройиздат, 1982, с. 287.
23.	Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории
железобетона. Изд-во ХГУ, Харьков, 1968.
24.	Бондаренко С.В., Назаренко В.Г. Методика теории ползучести.
ВЗСИ, Москва, 1981.
25.	Бондаренко В.М., Боровских А.В. Износ, повреждения и
безопасность железобетонных сооружений. — М.: ИД
Русанова, 2000. — 144 с.
26.	Боровских А.В., Назаренко В.Г. Теория силового сопротивле-
ния сжатых железобетонных конструкций. — М.: Отдел
информационно-издательской деятельности РААСН.
2000.—112 с.
27.	Белов В.В., Васильев П.И. Пространственная блочно-контакт-
ная модель деформирования железобетонных оболочек
и плит с трещинами И Пространственные конструкции
зданий и сооружений. — М.: ЦНИИСК, НИИЖБ, 1991.
— Вып. 7. — с. 12-15.
28.	Виноградов Г.Г. Расчет строительных пространственных
конструкций. — Л.: Стройиздат. Ленингр. отд., 1990. —
264 с.
29.	Воробьев Н.Д., Блинцовский А.С., Панченко Л.А. и др. Подсис-
тема «Ведомость расхода стали» САПР железобетонных
конструкций И Изв. вузов. Строительство. — 1996. —
№10, —С. 26-30.
30.	Грановский Ю.В. Основы планирования эксперимента для
оптимизации многофакторных технологических процес-
сов. Моск. Ин-т народного хозяйства, М., 1971, 72 с.
310
31.	Гаттас А.Ф. Трещиностойкость стержневых железобетон-
ных элементов. Автореферат дисс. ... канд. техн, наук //
КГТУСА. — Киев, 1995. — 17 с.
32.	Гвоздев А.А., Дмитриев С.А., Немировский Я.М. О расчете
перемещений (прогибов) железобетонных конструкций
по проекту новых Норм (СНиП П-В-1-62) // Бетон и
железобетон. — 1962. — №6. — С. 245-250.
33.	Гениев Г.А., Курбатов А.С., Самедов Ф.А. Вопросы прочности
и пластичности анизотропных материалов. — М.: Ин-
тербук, 1993. — 187 с.
34.	Гениев ГА., Киссюк В.Н., Тюлин ГА. Теория пластичности
бетона и железобетона. — М.: Стройиздат, 1974. — 316с.
35.	Голышев А.Б., Бачинский В.Я. К разработке прикладной
теории расчета железобетонных конструкций // Бетон и
железобетон. — 1985. — №6. — С. 16-18.
36.	Дехтяръ А.С., Ядгаров Д.Я. Форма и несущая способность
оболочек покрытия. Ташкент, Укитувки, 1988. — 184 с.
37.	Забегаев А.В. К построению общей модели деформирования
бетона И Бетон и железобетон. — 1994. №6. — С. 23-26.
38.	Краковский М.Б. Об оптимальном проектировании конструк-
ций на основе метода крутого восхождения. — Строи-
тельная механика и расчет сооружений. — 1973, №1.
39.	Колчунов В.И. Жесткость и трещиностойкость железобетон-
ных оболочек покрытий. — Дисс. ...докт. техн. наук. —
М., 1995. —750 с.
40.	Колчунов В.И., Панченко Л.А. Расчет составных тонкостенных
конструкций. — М.: Изд-во АСВ, 1999. — 281 с.
41.	Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с тре-
щинами. — М.: Стройиздат, 1976. — 208 с.
311
42.	Карпенко Н.И., Ярин Л.И., Кукунаев В. С. Расчет плоскостных
конструкций с трещинами // Новое о прочности железо-
бетона. — М.:Стройиздат, 1977. — С. 141-165.
43.	Левин В.М., Райгородецкий В.Е. Исследование напряженного
состояния несущих стен железобетонных башенных со-
оружений // Проектирование конструкций зданий и со-
оружений. — М.: ЦНИИСЛ, НИИЖБ, 1991. — Вып. 7. —
С. 37-39.
44.	Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.:
Наука, 1977, —415 с.
45.	МаилянД.Р. Влияние армирования и эксцентриситета сжима-
ющего усилия на деформативность бетона и характер
диаграммы сжатия. — В кн.: Вопросы прочности, дефор-
мативности и трещиностойкости железобетона. Ростов-
На-Дону, 1979, с. 7-72.
46.	Мацелинский PH. Расчет систем, составленных из панелей-
оболочек КЖС И Строительная механика и расчет соору-
жений. — 1977. — №3. — С. 41-48.
47.	Милейковский И.Е., Колчунов В.И., Оспищев П.И. К построе-
нию физических зависимостей деформирования железо-
бетонных пластин и оболочек при обобщенном плоском
напряженном состоянии // Нелинейные методы расчета
пространственных конструкций. — М.: МИСИ, БТИСМ.
— 1988, —С. 59-68.
48.	Мурашев В.И. Трещиностойкость, жесткость и прочность
железобетона. — М.: Машстройиздат, 1950. — 268 с.
49.	Мамедов ГМ. Сейсмостойкие железобетонные перекрытия
// Известия Болгарской Академии наук. Теоретическая
и прикладная механика. — 1978. — Т. 9. — №2. —
С. 45—47.
312
50.	Назаренко В.Г. Развитие основ теории расчета железобетон-
ных конструкций с учетом особенностей режимного
нагружения. Дисс.... докт. техн, наук, 1988.
51.	Расторгуев Б.С. Упрощенная методика получения диаграмм
деформирования стержневых элементов в стадии с трещи-
нами // Бетон и железобетон. — 1993. — №3. — С. 22-24.
52.	Рейтман Г.М., Штаерман Ю.Я. Про рациональный обрис
пологих оболонок (Укр) // Прикладная механика. —
1963. —Т. 9. Вып.4. с. 11-12.
53.	Рассказов А.О., Дехтярь А.С. Предельное равновесие оболо-
чек. — Киев. Вища школа, 1978,204 с.
54.	Складнее Н.Н. Оптимальное проектирование конструкций и
экономия материальных ресурсов И Приложение к жур-
налу «Строительная механика и расчет сооружений». —
1982, №6, —С. 17-21.
55.	Рекомендации по проектированию покрытий производствен-
ных зданий с железобетонными панелями-оболочками
КСО / В.И. Колчунов, Е.И. Становиченко, Е.В. Осовс-
ких. — Киев-Белгород: НИИСК Госстроя СССР, 1989. —
192 с.
56.	Спаннут Л.С. Проектирование и статические испытания
панелей-оболочек КЖС для применения в Камчатской
области И Исследования железобетонных тонкостен-
ных пространственных конструкций. — М.: НИИЖБ,
1991, —С. 46-61.
57.	Фихтенгольц ГМ. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. — Т. 3. — М.: Наука, 1966, 656 с.
58.	Хайдуков ГК. Железобетонные конструкции, изготавливае-
мые в матрицах. — М.: Госстройиздат, 1953, 50 с.
313
59.	Хайдуков Г.К. Расчет по предельным состояниям ступенча-
то-вспарушенных (шатровых) панелей. АСиА СССР.
Научные сообщения. Вып. 7. — М.: Госстройиздат,
1960, 110 с.
60.	Цейтлин А. А. Сборные железобетонные волнистые покрытия.
— Киев: Будивельник, 1978. — 151 с.
61.	Цейтлин А.А., Колчунов В.И. Исследование сборных волнис-
тых покрытий // Бетон и железобетон. — 1978. — №7. —
С. 23-24.
62.	Чиненков Ю.В. К расчету железобетонных длинных цилинд-
рических оболочек и складок по прочности И Простран-
ственные конструкции зданий и сооружений. — М.:
Стройиздат, 1975. — Вып. 2. — С. 107-112.
63.	Чиненков Ю.В. Некоторые вопросы проектирования сборных
цилиндрических оболочек покрытий и работы их под
нагрузкой // Пространственные конструкции в СССР /
Под редакцией К.А. Глуховского. — М.-Л., ГСИ. —
1964. —С. 300-302.
64.	Штаерман Ю.Я. Вспарушенные плиты. — Тбилиси: Госте-
хиздат Грузии. 1954, 168 с.
65.	Khaidukov G., Bastatski В. Design of cylindershaped jacket carrier
capacity on a rectangular profile. 10 years of progress in shell
and spatial structures. 30 anniversary of JASS, Madrid, 1989,
volume 1, 15 p.
Содержание
Введение ............................................ 3
Глава 1
Основы проектирования железобетонных конструкций .. 6
1.1. Строительные конструкции и требования к ним .....6
1.2. Особенности сопротивления
железобетонных конструкций ..................... 11
Глава 2
Основные сведения о железобетоне.....................20
2.1.	Сущность железобетона ..........................20
2.2.	Физико-механические свойства бетона.............24
2.2.1.	Прочность бетона ........................24
2.2.2.	Деформативность бетона ..................28
2.2.3.	Уравнение механического состояния бетона .... 34
2.2.4.	Оценка длительной прочности бетона ......44
2.3.	Физико-механические свойства арматуры...........53
2.3.1.	Классификация арматуры
и применение арматурной стали ..................53
315
2.3.2.	Связь между напряжениями
и деформациями в арматуре.......................56
2.4.	Основные положения конструирования
железобетонных элементов............................60
2.4.1.	Размеры поперечных сечений элементов ....60
2.4.2.	Защитный слой бетона ....................62
2.4.3.	Расстояния между стержнями,
канатами, пучками..............................63
2.4.4.	Конструктивные требования
к армированию элементов ........................64
2.4.5.	Анкеровка ненапрягаемой аппаратуры.......65
Глава 3
Предварительно напряженный железобетон...............68
3.1.	Сущность предварительного обжатия бетона........68
3.2.	Требования к трещиностойкости
железобетонных конструкций .........................69
3.3.	Методы создания предварительных напряжений
в бетоне и способы натяжения арматуры ..............70
3.4.	Напряжения в арматуре предварительно
напряженных элементов ..............................72
3.5.	Напряжения в бетоне предварительно
напряженных элементов ..............................84
Глава 4
Основные положения расчета железобетонных ,
конструкций по предельным состояниям ................88
4.1.	Сущность метода расчета по предельным состояниям .. 88
4.2.	Нормативные и расчетные сопротивления материалов .. 93
316
4.2.1.	Статистический учет изменчивости прочности .. 93
4.2.2.	Показатели качества бетона..............97
4.2.3.	Нормативные и расчетные
характеристики арматуры ..................... 100
4.3.	Особенности работы железобетонных конструкций
под нагрузкой..................................... 102
4.4.	Расчетная модель разрушения
железобетонных элементов ......................... 107
Глава 5
Расчет железобетонных элементов
по несущей способности............................. 117
5.1.	Изгибаемые элементы........................... 117
5.1.1.	Расчет прочности железобетонных элементов
по нормальному сечению........................ 117
5.1.2.	Расчет прочности железобетонных элементов
по наклонному сечению......................... 129
5.2.	Внецентренно сжатые элементы ................. 139
5.2.1.	Особенности расчета внецентренно
сжатых элементов ............................ 139
5.2.2.	Конструктивные особенности внецентренно
сжатых элементов ............................. 141
5.2.3.	Учет влияния прогиба элемента ......... 143
5.2.4.	Механизм разрушения и расчет на прочность
внецентренно сжатых элементов................. 145
5.2.5.	Особенности расчета сжатых элементов,
усиленных косвенным армированием ............ 151
5.3.	Растянутые элементы .......................... 156
317
Глава 6
Расчет на образование и раскрытие трещин
в железобетонных элементах ....................... 161
6.1.	Требования к трещиностойкости
железобетонных конструкций ....................... 161
6.2.	Расчет по образованию трещин,
нормальных к продольной оси элемента.............. 163
6.3.	Расчет по раскрытию и закрытию трещин,
нормальных к продольной оси элемента.............. 170
6.4.	Расчет по образованию, раскрытию и закрытию
трещин, наклонных к продольной оси элемента ...... 176
Глава 7
Расчет железобетонных элементов по деформациям .... 181
7.1.	Общие положения расчета ..................... 181
7.2.	Кривизна железобетонных элементов
на участках без трещин............................ 184
7.3.	Кривизна железобетонных элементов
на участках с трещинами .......................... 186
7.4.	Определение прогибов ........................ 192
Глава 8
Конструктивные решения
и расчет сборных панелей перекрытий .............. 195
8.1.	Типы панелей-оболочек ....................... 195
8.2.	Геометрия панелей-оболочек
малой материале-и энергоемкости ...................212
8.3.	Физические модели железобетона,
применяемые для расчета конструкции................235
318
8.4.	Метод предельного равновесия в железобетоне....241
8.5.	Методика расчета несущей способности
железобетонных панелей-оболочек.....................246
8.6.	Проектирование панели-оболочки ребрами вверх...273
Литература .........................................307
Учебное пособие
Александр Васильевич Боровских
РАСЧЕТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ
СОСТОЯНИЯМ И ПРЕДЕЛЬНОМУ
РАВНОВЕСИЮ
Компьютерный набор: Ю.В. Козлова
Компьютерная верстка: В.П. Кузнецов
Редактор: В.П. Кузнецов
Лицензия ЛР № 0716188 от 01.04,98. Сдано в набор 8.10.01
Подписано к печати 25.03.02. Формат 60x84/16.
Бумага офс. №1. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. II завод
Усл. 20 п. л. Тираж 1000 экз. Заказ № 9454
Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)
127337, Москва, Ярославское шоссе, 26, оф. 704
тел., факс: 183-57-42
e-mail: iasv@mgsu.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6