Неравенства - Харди Г.Г., Литлвуд Дж.Е., Полиа Г.

Из предисловия авторов к английскому изданию
Глава III СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Глава VII НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава VIII ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
Глава IX НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ
Автор: Харди Г.Г. Литлвуд Дж.Е. Полиа Г.
Теги: математика неравенства
Год: 1948
Похожие
Неравенства
Вариационное исчисление и оптимальное управление
Неравенства в задачах
Неравенства
Текст
                    INEQUALITIES
by
G. H. HARDY
J. E. LITTLEWOOD
G. POLYA
1934

Г. Г. ХАРДИ, Дж. Е. ЛИТТЛЬВУД и Г. ПОЛНА
НЕРАВЕНСТВА
Перевод с английского
В. И. ЛЕВИНА
с дополнениями
В. И. ЛЕВИНА а С. Б. СТЕЧКИНА
19 4 8
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА

ОГЛАВЛЕНИЕ
Теоремы Стр.
От переводчика 11
Из предисловия авторов к английскому изданию . . 12
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Неравенства для конечных сумм, рядов и
интегральные неравенства — 13
1.2. Обозначения — 14
1.3. Положительные неравенства — 15
1.4. Однородные неравенства — 15
1.5. Аксиоматическая основа алгебраических нера- —
венств — 17
1.6. Сравнимые функции — 18
1.7. Выбор доказательств — 19
1.8. Выбор предмета — 21
Глава II
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.1. Обыкновенные средние — 24
2.2. Взвешенные средние — 25
2.3. Предельные случаи средних Шг(а) 1—5 26
2.4. Неравенство Коши 6—8 28
2.5. Теорема о среднем арифметическом и среднем
геометрическом 9 29
2.6. Другие доказательства теоремы о средних ... — 31
2.7. Неравенство Гельдера и его обобщения .... 10—11 35
2.8. Неравенство Гельдера и его обобщения
(продолжение) 12—15 38
2.9. Общие свойства средних Шг{а) 16—17 41
2.10. Суммы (&г(а) 18—23 42
2.11. Неравенство Минковского 24—26 44
2.12. Аналог неравенства Минковского 27—28 47
2.13. Иллюстрации и приложения основных неравенств 29—36 48
2.14. Доказательства основных неравенств методом
индукции 37—40 53
2.15. Элементарные неравенства, связанные с
теоремой 37 41—42 55
2.16. Элементарное доказательство теоремы 3 . . . . — 58
2.17. Неравенство Чебышева 43—44 59
2.18. Теорема Мюрхеда 45 61
2.19. Доказательство теоремы Мюрхеда — 62
2.20. Другая теорема о сравнимости симметрических
средних 46—47 65

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Теоремы Стр.
2.21. Дальнейшие теоремы о симметрических средних 48—50 66
2.22. Элементарные симметрические функции от п
положительных чисел 51—55 68
2.23. Замечание о положительных формах — 72
2.24. Теорема о строго положительных формах . . . 56—57 75
Разные теоремы и примеры 58—81 79
Глава III
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
И ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Определения 82 85
3.2. Эквивалентные средние 83 86
3.3. Одно характеристическое свойство средних Шг 84 88
3.4. Сравнимость 85 90
3.5. Выпуклые функции — 91
3.6. Непрерывные выпуклые функции 88—87 92
3.7. Другое определение 88—89 93
3.8. Случаи равенства в основных неравенствах . . 90—91 95
3.9. Новая формулировка и обобщение теоремы 85 92—93 96
3.10. Дважды дифференцируемые выпуклые функции 94—95 97
3.11. Приложения свойств дважды дифференцируемых
выпуклых функций 96—97 98
3.12. Выпуклые функции от нескольких переменных 98—99 100
3.13. Обобщения неравенства Гельдера 100—101 103
3.14. Некоторые теоремы о монотонных функциях . 102—104 105
3.15. Суммы с произвольной функцией, обобщения
неравенства Иенсена 105 106
3.16. Обобщения неравенства Минковского 106 107
3.17. Сравнение последовательностей 107—110 111
3.18. Дальнейшие общие свойства выпуклых функций 111 114
3.19. Дальнейшие свойства непрерывных выпуклых
функций 112 117
3.20. Разрывные выпуклые функции — 119
Разные теоремы и примеры 113—139 120
Глава IV
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
4.1. Введение — 126
4.2. Приложения формулы конечных приращений . 140—143 126
4.3. Дальнейшие приложения элементарных теорем
дифференциального исчисления 144—148 128
4.4. Максимумы и минимумы функций от одного
переменного 149—150 131
4.5. Приложения ряда Тэйлора 151 132

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Теоремы Стр.
4.6. Приложения теории максимумов и минимумов
функций от нескольких переменных — 132
4.7. Сравнение рядов и интегралов 152—155 135
4.8. Неравенство Юнга 156—160 136
Глава V
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
5.1. Введение — 140
5.2. Средние Wr — 142
5.3. Обобщения теорем 3 и 9 — 145
5.4. Неравенство Гельдера и его обобщения .... 161—162 146
5.5. Средние Шг (продолжение) 163 148
5.6. Суммы (&г 164 149
5.7. Неравенство Минковского 165—166 150
5.8. Неравенство Чебышева — 150
5.9. Сводка результатов 167 151
Разные теоремы и примеры 168—180 151
Глава VI
ИНТЕГРАЛЫ
6.1. Предварительные замечания об интегралах
Лебега — 154
6.2. Замечания о нулевых множествах и нулевых
функциях — 156
6.3. Дальнейшие замечания, относящиеся к
интегрированию — 157
6.4. Замечания о методах доказательств — 159
6.5. Дальнейшие замечания о методе; неравенство
Шварца 181—182 161
6.6. Определение средних Шг(/)> когда гфО ... 183 163
6.7. Среднее геометрическое функции 184—186 165
6.8. Дальнейшие свойства среднего геометрического 187 168
6.9. Неравенство Гельдера для интегралов 188—191 169
6.10. Общие свойства средних УЯГ(/) 192—194 173
6.11. Общие свойства средних Шг (/) (продолжение) 195 174
6.12. Выпуклость log^V 196—197 176
6.13. Неравенство Минковского для интегралов . . . 198—203 176
6.14. Средние значения, зависящие от произвольной
функции 204—206 182
6.15. Определение интеграла Стилтьеса — 184
6.16. Частные случаи интеграла Стилтьеса — 186
6.17. Обобщения приведенных выше теорем .... — 187
6.18. Средние <ЖГ (/; <р) 207-214 188
6.19. Функции распределения — 189
6.20. Характеристические свойства средних значений 215 190
6.21. Замечания о характеристических свойствах . . — 192
6.22.' Окончание доказательства теоремы 215 .... — 194
Разные теоремы и примеры 216—252 196

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Теоремы Стр.
7.1. Общие замечания — 207
7.2. Предмет настоящей главы — 209
7.3. Пример неравенства с недостижимым
экстремумом 253—254 210
7.4. Первое доказательство теоремы 254 — 212
7.5. Второе доказательство теоремы 254 255 214
7.6. Дальнейшие примеры применения методов
вариационного исчисления 256 219
7.7. Дальнейшие примеры: неравенство Виртингера 257—258 221
7.8. Пример неравенства, содержащего вторые
производные 259—260 225
7.9. Более простая задача 261 232
Разные теоремы и примеры 262—272 232
Глава VIII
ТЕОРЕМЫ
О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
8.1. Введение — 237
8.2. Одно неравенство для полилинейных форм
с положительными коэффициентами и
переменными 273—275 237
8.3. Одна теорема Юнга 276—277 239
8.4. Обобщения и аналоги 278—284 242
8.5. Приложения к рядам Фурье — 244
8.6. Теорема выпуклости для положительных
полилинейных форм 285 246
8.7. Общие билинейные формы 286—288 247
8.8. Определение ограниченной билинейной формы — 249
8.9. Некоторые свойства форм, ограниченных в
[р, q) 289—290 252
8.10. Свертка двух форм в [р% р'] 291 253
8.11. Некоторые специальные теоремы о формах
в [2,2] 292-293 255
8.12. Приложение к формам Гильберта 294 256
8.13. Теорема выпуклости для билинейных форм с
комплексными коэффициентами и переменными 295 258
8.14. Дальнейшие свойства максимальной
последовательности [х% у] — 261
8.15. Доказательство теоремы 295 — 261
8.16. Приложения теоремы М. Рисса 296—297 264
8.17. Приложения к рядам Фурье — 266
Разные теоремы и примеры 298—314 267

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
Глава IX
НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА,
ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ
Теоремы Стр.
9.1. Теорема Гильберта о двойных рядах 315—317 272
9.2. Об одном общем классе билинейных форм . . 318 273
9.3. Интегральный аналог теоремы 318 319 276
9.4. Обобщения теорем 318 и 319 320-322 278
9.5. Наилучшие константы: доказательство теоремы
317 — 279
9.6. Дальнейшие замечания к теоремам Гильберта . 323 282
9.7. Приложения теоремы Гильберта 324—-325 285
9.8. Неравенство Харди 326—327 288
9.9. Дальнейшие интегральные неравенства .... 328—330 293
9.10. Дальнейшие теоремы о рядах 331—332 296
9.11. Вывод теорем о рядах из теорем об
интегралах 333 298
9.12. Неравенство Карлемана 334—335 299
9.13. Теоремы с 0<р<1 336—338 301
9.14. Теорема с двумя параметрами р и q 339—340 304
Разные теоремы и примеры 341—367 306
Глава X
ПЕРЕСТАНОВКИ
10.1. Перестановки конечных систем переменных . . — 313
10.2. Теорема о перестановках двух систем 368—369 314
10.3. Второе доказательство теоремы 368 — 316
10.4. Другая формулировка теоремы 368 370 317
10.5. Теоремы о перестановках трех систем .... 371—373 318
10.6. Сведение теоремы 373 к частному случаю . . — 319
10.7. Окончание доказательства — 322
10.8. Другое доказательство теоремы 371 — 324
10.9. Перестановки любого числа систем 374—376 328
10.10. Еще одна теорема о перестановках любого
числа систем 377 330
10.11. Приложения — 332
10.12. Перестановка функции — 332
10.13. О перестановках двух функций 378 334
10.14. О перестановках трех функций 379 335
10.15. Окончание доказательства теоремы 379 .... — 338
10.16. Другое доказательство — 342
10.17. Приложения 380—383 345
10.18. Другая теорема о перестановке функции в
убывающем порядке 384—385 349
10.19. Доказательство теоремы 384 — 351
Разные теоремы и примеры 386—405 355

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
ДОПОЛНЕНИЯ
Теоремы Стр.
I. Неравенства для выпуклых функций . . . . Д. 1—Д. 11 361
II. Неравенство Карлсона Д. 12 —Д. 17 367
III. Неравенство Карлсона (продолжение) . . . Д. 18 — Д. 22 377
IV. Обобщения теоремы 256 Д. 23 —Д. 26 382
V. Аналоги неравенства Виртингера Д. 27 — Д. 32 384
VI. Неравенства между верхними гранями
производных Д. 33 —Д. 37 388
VII. Неравенства для производных Д. 38 —Д. 41 393
VIII. Неравенство Ингама о билинейных формах Д. 42 397
IX. Обобщения неравенства Харди Д. 43—Д. 48 398
X. Обобщения неравенства Карлемана .... Д. 49 —Д. 56 402
XI. Уточнение неравенства Эллиота Д. 57 — Д. 60 409
XII. Точные константы в неравенствах Харди и
Литтльвуда Д. 61 —Д. 62 413
XIII. Аналоги неравенств Харди и Литтльвуда . Д. 63 — Д.65 421
XIV Константы в двупараметрических
неравенствах Гильберта Д. 66 —Д. 68 424
XV. Интегральный аналог Д. 69 431
XVI. Разные теоремы Д. 70 —Д. 83 432
Библиография 442

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
До выхода в свет в 1934 г. английского оригинала предла-
предлагаемой русскому читателю книги Г. Харди, Дж. Литтльвуда и
Г. Полиа в мировой математической литературе не существовало
монографии, посвященной неравенствам как таковым. Появле-
Появление этой книги способствовало повышению интереса к нера-
неравенствам среди математиков и вызвало ряд новых работ в этой
области. Несмотря на то, что многие из рассмотренных в этой
книге неравенств приводятся в качестве вспомогательного аппа-
аппарата в уже существующих на русском языке книгах по
различным вопросам, и несмотря на то, что выбор материала
в предлагаемой книге по необходимости ограничен и далеко не
содержит всех типов неравенств, применяемых в анализе, книга
эта оказалась весьма полезной не только тем читателям, которые
заинтересованы в неравенствах как в специальном предмете
математического исследования, но и тем, для которых неравен-
неравенства являются лишь необходимым орудием при исследовании
других вопросов.
Содержание настоящей книги достаточно полно освещено в
предисловии авторов и во введении.
Книга снабжена дополнениями, которые содержат новые
результаты, появившиеся с 1934 г. Эти дополнения никоим
образом не претендуют на полноту; они содержат лишь отчеты
о тех новых исследованиях в области неравенств, которые по
своему характеру близки к содержанию книги.
Дополнения I, V, VI, VII, XI, XII, XIII написаны С. Б. Стеч-
киным, дополнения II, III, VIII, X, XIV, XV — переводчиком.
Остальные дополнения написаны совместно. Часть результатов,
содержащихся в дополнениях, публикуется здесь впервые.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга была задумана и начата в 1929 г. По перво-
первоначальному плану она должна была выйти в серии Cambridge
Tracts, но вскоре стало ясно, что размеры последних далеко
не достаточны для наших целей.
Задачи, которые мы поставили себе при составлении настоя-
настоящей книги, достаточно разъяснены в вводной главе. Здесь мы
добавим лишь несколько слов к истории и библиографии нашего
предмета. Исторические и библиографические вопросы особенно
трудны в такого рода предмете, который имеет применение в каж-
каждой области математики, но никогда еще систематически не раз-
разрабатывался.
В самом деле, иногда бывает действительно трудно про-
проследить историю возникновения даже какого-нибудь общеизвест-
общеизвестного неравенства. Весьма возможно, что оно появилось сначала
как вспомогательное предложение в каком-либо труде по гео-
геометрии или астрономии, часто даже не сформулированное в яв-
явном виде. Много лет спустя оно могло быть вновь найдено
несколькими авторами, и все же все опубликованные
формулировки его могут быть неполными. Мы почти всегда
находили, что даже к самым известным неравенствам можно
прибавить нечто новое.
Мы не предпринимали систематического исследования би-
библиографических вопросов, но привели все ссылки на лите-
литературу, которые были нам доступны. Неравенства, обычно
связываемые с именем тех или иных математиков, мы также
называем по имени этих математиков; так, мы говорим о не-
неравенствах Шварца, Гельдера и Иенсена, хотя все эти нера-
неравенства, как можно проследить в литературе, были известны
до них. Отметим еще, что мы не оговариваем всех небольших
дополнений, которые необходимы для исчерпывающей полноты.
Библиография содержит все книги и работы, ссылки на ко-
которые были сделаны в тексте, но не выходит за эти пределы1).
г. г. харди
Кэмбридж и Цюрих дж. е. литтльвуд
Июль 1934 г. г. полна
х) В библиографию русского перевода внесены также все работы,
цитированные в дополнениях. [Прим. ред,)

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Неравенства для конечных сумм, рядов и интеграль-
интегральные неравенства. Общие замечания, которые составляют пред-
предмет настоящей главы, будет удобнее всего иллюстрировать на
примере какого-нибудь частного и типичного неравенства; мы
выбираем для этой цели одну замечательную теорему, принад-
принадлежащую Коши, обычно известную как „неравенство Коши".
Неравенство Коши (теорема 7) гласит:
A.1.1) (Ml+*2*2+ •¦•+*» *»J<
или
A.1.2) (Sav^J<S^S^-
1 11
Оно справедливо для всех действительных значений аи а2> ..., ап>
bx> b2, . .., Ьп. Мы называем аи . .., Ьи ... переменными
неравенства. Здесь число переменных конечно, и неравенство
выражает соотношение между некоторыми конечными суммами.
Такое неравенство мы называем элементарным.
Самые основные неравенства относятся к конечным суммам,
но мы будем рассматривать также неравенства не элементарные,
содержащие обобщения понятия суммы. Наиболее важными
из этих обобщений являются бесконечные ряды
A.1.3) ?*v, 2 я,
1 — с»
и интеграл
ь
A.1.4) ff(x)dx
а
(где пределы интегрирования а и Ъ могут быть конечными или
бесконечными). Этим обобщениям соответствуют следующие
аналоги теоремы A.1.2):
A.1.6) (Е*Л11

14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
(или подобная формула, в которой оба предела суммирования
бесконечны) и
ъ ъ ъ
A.1.6) (J / (X) g (х) dxj> < J> (X) dx j g* (X) dX.
а а а
Мы называем A.1.5) неравенством для рядов, а A.1.6) — ин-
интегральным неравенством.
1.2. Обозначения. Нам часто придется рассматривать разные
последовательности переменных. Так, в A.1.2) мы имеем две
последовательности av a2, . •., ап и bu b2i •.., Ьп. Удобно
ввести более короткое обозначение для последовательностей пере-
переменных; поэтому вместо слов „последовательность аи а2, ..., апи
мы будем часто писать „последовательность (я)а, „(я)", или
просто „а".
Мы будем, как правило, опускать индексы и пределы сум-
суммирования там, где это не может вызвать недоразумений. Так, мы
п оо со
будем писать %а для каждого из выражений ?av, ?#v> ?#v'>
1 1 —оо
например,
A.2.1) (?я?J<?а2??2
может, таким образом, обозначать A.1.2) или A.1.5), смотря
по контексту.
В интегральных неравенствах последовательность заменяется
функцией-, так, при переходе от A.1.2) к A.1.6), {а) и (Ь)
заменяются функциями / и g. В интегралах мы тоже будем часто
опускать переменные и пределы; например, вместо AЛ.4) мы
будем писать ifdx, так что A.1.6) будет записано в виде
A.2.2)
Пределы суммирования и пределы интегрирования будут
оговорены в начале глав и параграфов, или будут ясны из
контекста.
1.3. Положительные неравенства. Нас будут интересовать,
главным образом, „положительные" неравенства1).
1) Существуют и исключения, как, например, в §§ 8.8—8.17. Там
„положительные" случаи рассматриваемых теорем сравнительно три-
тривиальны.

1.4] ОДНОРОДНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 15
Неравенство называется положительным, если все входящие
в него переменные а, 6,... действительны и неотрицательны.
Из неравенства этого типа обычно следует как тривиальное след-
следствие неравенство на вид более общее и справедливое для всех
действительных и даже для всех комплексных а, Ь, . .. . Так,
из A.1.2) и неравенства
A.3.1) |Е«1<Е|и|,
справедливого для всех действительных или комплексных и,
мы выводим
A.3.2) |S^I2 < (?
где а и Ь — произвольные комплексные числа. Обычно мы
будем ограничиваться формулировкой наших теорем в основ-
основной „положительной" форме и оставлять формулировки сле-
следующих из них более общих результатов читателю. Только
в случае очень важных неравенств мы будем приводить их
наиболее общую формулировку.
Аналогичные замечания относятся и к интегральным нера-
неравенствам. Независимое переменное х будет действительным,
но вообще будет (как и индекс суммирования v) принимать
как положительные, так и отрицательные значения, тогда как
функции /(х), g(x), ... будут, вообще говоря, принимать
только неотрицательные значения. Неравенству, справедливому
для неотрицательных / и g, соответствует более общее нера-
неравенство; так, из A.1.6) следует неравенство
A.3.3) \ffgdx\2*cf\f\*dx j\g\*dx,
справедливое для любых комплексных функций /, g действи-
действительного переменного х.
Показатели &, /, г, s, ..., входящие в наши теоремы, всегда
будут действительны, однако, они могут в общем случае при-
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
1.4. Однородные неравенства. Обе части неравенства
A.1.2) — однородные функции от а и b степени 2; вообще
обе части наших неравенств будут однородными функциями
относительно некоторых совокупностей переменных с одинако-
одинаковой степенью однородности. Так как однородные функции
положительной степени обращаются в нуль, когда все их аргу-
аргументы равны нулю, то и обе части наших неравенств (если их

16 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
степени однородности положительны) будут равны нулю, а
значит и равны между собой, если все переменные, от кото-
которых они зависят, обращаются в нуль. Так, A.1.2) обращается
в равенство, если все а или все b равны нулю.
Назовем последовательность, состоящую из нулей, нулевой
последовательностью. Пусть (а) = @) обозначает, что (а) —
нулевая последовательность. Многие из наших неравенств будут
обращаться в равенства, когда одна или все последовательно-
последовательности переменных, в них входящие, — нулевые. Иногда это будет
единственным случаем равенства. Однако, чаще будут встречаться
и другие случаи равенства; так, например, A.1.2), очевидно, обра-
обращается в равенство, когда каждое а равно соответствующему Ь.
Где это только будет возможно, мы будем явно формулировать
все случаи равенства.
Однородность неравенства относительно некоторых совокуп-
совокупностей переменных часто будет способствовать упрощению
наших доказательств, так как она позволит наложить некоторые
добавочные ограничения на эти переменные — нормировать их.
Так, например, в § 2.2 средние Шг(а) однородны, со степенью
однородности равной 0, относительно весов /?, и мы можем,
когда это нам будет удобно, предполагать, что?/? = 1. Или,
если мы хотим доказать, что
A.4.1) (а? + с%+ ... +4I/8< (al-\-al-\- ... -\-arnfr
при 0<r<s (теорема 19), то так как обе части однородны
относительно а со степенью однородности, равной 1, мы можем
предположить, что %аг=1. Тогда имеем
и, таким образом, %а8 ^ ?аг = 1. Без этой предварительной
нормировки наше доказательство велось бы так:
L
Существует еще другой, иногда весьма важный, вид „одно-
„однородности". Сравним неравенство A.4.1), записанное в виде
A.4.2) (EaO1/1/

1.5] АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 17
с A.1.2). Оба неравенства однородны относительно перемен-
переменных, но A.1.2) обладает еще одним видом однородности, кото-
которым A.4.2) не обладает. Мы можем сказать, что неравенство
A.1.2) яоднородно относительно ?", понимая под этим, что
буква 2 входит в обе его части в одинаковой степени.
Следствием этой однородности относительно 2 является то,
что A.1.2) остается справедливым, если в нем каждую сумму
заменить соответствующим средним, т. е. если записать его в виде
Значение этого вида однородности станет совершенно ясным
в §§ 2.10 и 6.4. Грубо говоря, неравенство, им обладающее,
имеет интегральный аналог, в то время как неравенство, им не
обладающее, как, например A.4.2), интегрального аналога не
имеет.
1.5 *). Аксиоматическая основа алгебраических нера-
неравенств *). Нашу тему трудно определить с достаточной четкостью;
частью она относится к „алгебре"; частью к „анализу". Алгебру
и анализ можно, подобно геометрии, построить аксиоматически.
Вместо того чтобы, как в дедекиндовой теории действитель-
действительных чисел, говорить, что рассматриваются такие-то и такие-то
определенные объекты, мы можем говорить, как в проектив-
проективной геометрии, что рассматривается множество объектов,
обладающих определенными свойствами, сформулированными в
некоторой системе аксиом. Мы не предполагаем детально рассмат-
рассматривать „аксиоматику" различных частей нашего предмета, но нам
представляется целесообразным сделать здесь несколько замечаний
об аксиоматической основе тех теорем, которые, как A.1.2)
и как большинство теорем гл. II, полностью относятся к алгебре.
Мы можем взять за аксиомы алгебры только обычные законы
сложения и умножения. Все наши теоремы будут тогда спра-
справедливы во многих кольцах, например, в поле действительных
чисел, в поле комплексных чисел, в кольце вычетов по лю-
любому модулю. Или мы можем добавить аксиомы о разрешимо-*
*) Этот параграф носит характер беглого наброска. В нем затраги-
затрагиваются вопросы, которые, как нам кажется, заслуживают более обсто-
обстоятельного рассмотрения. См. Ван-дер-Варден „Современная алгебра"
ГТТИ, 1947, т.1, гл. IX. (Прим. перев. и ред.)
*) См. Artin and Schreier [1].

18 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
сти линейных уравнений — аксиомы, гарантирующие существо-
существование и единственность разности и частного. Тогда наши тео-
теоремы будут справедливы в поле действительных или комплекс-
комплексных чисел или в поле вычетов по простому модулю.
В этой книге мы рассматриваем отношение неравенства —
понятие, присущее алгебре действительных чисел. Мы можем
аксиоматически обосновать теоремы о неравенствах добавле-
добавлением к уже приведенным „неопределимым" и аксиомам еще
одного нового неопределимого и двух новых аксиом. Мы берем
как неопределимое понятие о положительном числе, а в каче-
качестве аксиом следующие два предложения:
I. Либо а есть нуль, либо а положительно, либо—а поло-
положительно, и эти три возможности исключают друг друга.
И. Сумма и произведение двух положительных чисел по-
положительны.
Мы говорим, что а отрицательно, если — а положительно,
и что а больше (меньше), чем Ъ, если а — Ь положительно
(отрицательно) Это может быть положено в основу любого
неравенства, если оно, как например A.1.2), принадлежит
к чисто алгебраическому типу.
1.6. Сравнимые функции. Мы говорим, что функции
/00 = /0*i, яа» • • •» ап\ g 00 = g(au а2, ..., ап)
сравнимы, если между ними имеет место неравенство, справед-
справедливое для всех неотрицательных действительных а, т. е. если
f-^Cg для всех таких а или f^g для всех таких а. Две дан-
данные функции обычно несравнимы. Так, два положительных
однородных полинома разных степеней наверное несравнимы *);
если О^/^g- для всех неотрицательных а, и / и g одно-
однородны, то степени однородности fug должны быть равны.
Это определение, естественно, может быть распространено
на функции f(a,b,...) от нескольких последовательностей
переменных.
В предлагаемой книге мы будем заниматься задачами о срав-
сравнимости функций. Так, среднее арифметическое и среднее гео-
геометрическое от а сравнимы: ©(а)<^21 (а) (теорема 9). Функ-
Функции &{а-\-Ь) и ®(а)-\- (§>(Ь) сравнимы (теорема 10). Функ-
Функции 91 (ab) и %(а) 21(?) несравнимы; их относительная
D Ср. § 2.19.

1.7] ВЫБОР ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 19
величина зависит от отношения величин а и Ь (теорема 43).
Функции
сравнимы тогда и только тогда, когда функция yty-1 выпукла
или вогнута (теорема 85).
Одна важная общая теорема Мюрхеда о сравнимости двух
функций типа 20J1 a!j2 ... afjn приведена в § 2Л8,
1.7. Выбор доказательств. Методы доказательств, приме-
применяемые в настоящей книге, принадлежат весьма различным
кругам идей, и мы будем часто, особенно в гл. II, давать
несколько разных доказательств одной и той же георемы. Мо-
Может оказаться полезным обратить здесь внимание на основные
различия в применяемых нами методах.
В первую очередь, многие доказательства гл. II „строго
элементарны" в том смысле, что они опираются исключительно
на арифметические понятия и действия. Мы будем, как правило»
приводить по крайней мере одно такое доказательство каж-
каждой важной теоремы, характер которой это позволяет.
Далее, многие доказательства — даже в гл. II — не элемен-
элементарны в этом смысле, потому что они оперируют с понятиями
предела и непрерывности. Мы также даем, в частности в гл. IV,
доказательства, применяющие элементарные свойства производ-
производных, например, теорему Ролля. Все эти доказательства отно-
относятся к элементам теории функций одного действительного
переменного.
Еще дальше, рассматривая в гл. VI интегралы, мы, есте-
естественно, применяем теорию меры и интеграл Лебега. Они пред-
предполагаются известными, но мы даем в §§ 6.1—6.3 краткую
сводку тех частей этой теории, которыми в дальнейшем поль-
пользуемся.
Иногда мы прибегаем к более высоким областям теории
функций действительного переменного, но мы делаем это только
при повторных доказательствах или же при доказательствах
по существу трудных теорем. Так, в гл. IV (§ 4.6) мы поль-
пользуемся теорией экстремумов функций нескольких переменных;
в гл. VII мы применяем метода вариационного исчисления,
а в гл. IX мы применяем двойные и повторные интегралы.
Мы нигде не опираемся на теорию функций комплексного пере-
переменного, хотя в последних главах иногда ссылаемся на нее

20 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
в целях иллюстрации. Параграфы, содержащие такие ссылка,
не принадлежат к основному содержанию настоящей книги.
Приведем еще несколько дальнейших замечаний более част-
частного характера.
(i) Неравенство Коши A.1.2) является предложением алгебры
в том смысле, как это определено в § 1.5. Согласно широко
признаваемому принципу, доказательство такой теоремы должно
применять методы только той теории, к которой она принад-
принадлежит.
(И) Нам будут часто встречаться теоремы, как, например,
неравенство Гельдера
A.7.1) Sa*<(S^)^(S*^)W
(теорема 13), в формулировке которых участвует некоторый
параметр k. Если k рационально, то теорема имеет алгебраи-
алгебраический характер и имеет силу наше замечание (i). Если k
иррационально, то ак не является алгебраической функцией,
и очевидно, что строго алгебраического доказательства не су-
существует.
Разумно, однако, требовать, чтобы при доказательстве нера-
неравенства столь важного, как неравенство Гельдера, наши шаги
за пределами алгебры были сведены к тому абсолютному ми-
минимуму, которого требует существо доказываемой теоремы.
Ясно, что эти шаги будут зависеть от нашего определения ак.
Можно определить ак как exp(&loga), и в этом случае, оче-
очевидно, законно и неизбежно применение теории показательной
и логарифмической функций. Если же, что более обычно, опре-
определить ак как предел а пу где kn — рациональные приближения
к k, то этот предельный переход должен быть единственным,
применяемым в доказательстве.
(iii) Предположим, что, став на последнюю точку зрения,
мы доказали неравенство Гельдера в форме A.7.1) для рацио-
рациональных k. Мы можем теперь вывести его справедливость для
иррациональных k переходом к пределу.
Однако, такое доказательство обычно недостаточно для нашей
цели. Мы всегда стремимся доказать более точную теорему,
чем A.7.1), в которой, как в теореме 13, мы утверждаем стро-
строгое неравенство, кроме определенных указываемых частных
случаев. Когда мы переходим к пределу, „ <а превращается
в *<^% МЬ1 теряем из виду возможные случаи равенства (хотя,

1.8] ВЫБОР ПРЕДМЕТА 21
как оказывается, они остаются теми же, что и в случае рацио-
рациональных k), и наше доказательство становится неполным. Необхо-
Необходимо поэтому вести доказательства таким образом, чтобы,
где это только возможно, избегнуть таких переходов к пре-
пределу. То же затруднение возникает, когда мы хотим пе-
перейти от неравенства для конечных сумм к соответствующему
неравенству для рядов или интегралов. Оно будет нам встре-
встречаться на протяжении всей книги и часто будет определять
наш выбор доказательства.
(iv) При нашем выборе методов мы руководствовались сле-
следующими общими принципами. Когда теорема проста и важна,
как, например, теоремы 7, 9 или 11, мы доказываем ее несколь-
несколькими различными методами, причем обращаем особое внимание
на то, чтобы один из наших методов соответствовал принципам,
изложенным в (i) и (и). Когда теорема имеет вспомогательный
характер, либо является трудной, или когда доказательство,
соответствующее этим принципам, затруднительно или длинно,
мы выбираем тот метод, который кажется нам наиболее про-
простым или поучительным.
1.8. Выбор предмета. При выборе материала и задач мы
руководствовались принципами, которые могут быть резюми-
резюмированы следующим образом.
(i) Первая половина книги (гл. II—VI1)) содержит систематиче-
систематическое изложение определенного предмета. В этой части нашей
целью являлось детальное рассмотрение простых неравенств
(с их аналогами и обобщениями), которые „повседневно" приме-
применяются в анализе. Из них три являются наиболее важными, а
именно:
A) теорема о среднем арифметическом и среднем геометри-
геометрическом (теорема 9);
B) неравенство Гельдера (теорема 11);
C) неравенство Минковского ^теорема 24);
и эти три теоремы господствуют в первых шести главах. Мы
доказываем их многими путями: для конечных сумм — в гл. II,
для рядов — в гл. V и для интегралов — в гл. VI; что касается
гл. III (содержащей общую теорию выпуклых функций), то
она посвящена главным образом их обобщениям. В этих
главах, из которых наиболее важными являются II, III и VI,
Кроме, может быть, некоторых частей гл. IV.

22 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
мы ставим своей целью полное и в некоторых отношениях исчер-
исчерпывающее изложение.
(ii) Остальная часть книги (гл. VII—X) написана в другом
духе, и к ней необходим иной подход. Эти главы содержат
ряд очерков на темы, возникшие в связи с более системати-
систематическим исследованием материала предыдущих глав. В них мы
на пытаемся достигнуть ни стройности, ни полноты. Они
мыслятся как введение к некоторым областям современных
исследований, и мы позволили нашим личным интересам влиять
на выбор тем.
Несмотря на это (или вследствие этого), гл. VII—X обладают
некоторым единством. Во многих современных исследованиях
по теории функций действительного или комплексного перемен-
переменного, теории рядов Фурье, или общей теории рядов по ортого-
ортогональным функциям «классы Лебега Lk» занимают центральное
положение. Эти исследования требуют полного овладения техни-
техникой неравенств; неравенства Гельдера и Минковского и дру-
другие более современные и более тонкие неравенства того же
общего характера применяются в них на каждом шагу. Нашей
целью было написать такое введение к этой области анализа,
которое могло бы считаться естественным продолжением и
развитием материала первых глав.
(Ш) Мы интересуемся главным образом некоторыми частями
действительного анализа, а не арифметикой или алгеброй как
таковыми. Часто бывает трудно провести границу между алгеб-
алгеброй и анализом, особенно в теории квадратичных или билиней-
билинейных форм, и мы часто колебались в вопросе о том, что вклю-
включить и что отбросить. Мы, однако, отбросили весь материал,
в котором, как нам казалось, главный интерес представляли чисто
алгебраические соображения.
Мы также исключили чистую теорию функций действитель-
действительного и комплексного переменных. Однако в последних главах
мы в ряде случаев старались показать значение наших теорем,
намечая пути некоторых из их теоретико-функциональных
приложений.
Так, например, в нашу программу не вошли:
A) неравенства определенно арифметического характера,
как, например, неравенства из теории простых чисел, или
неравенства, дающие грани форм от целочисленных переменных;
B) неравенства, принадлежащие к чисто алгебраической тео-
теории квадратичных форм;

1.8] ВЫБОР ПРЕДМЕТА 23
C) такие неравенства, как „неравенство Бесселя", принад-
принадлежащие к теории ортогональных рядов;
D) такие неравенства, как теорема Адамара о трех кругах,
принадлежащие к чистой теории функций;
здесь нет также систематического рассмотрения геометрических
неравенств, хотя мы часто применяли их в целях иллюстрации.
Нам представляется полезным закончить это введение сове-
советом тем читателям, которые захотят избегнуть ненужного для
них проникновения в детали. Наша тема, несмотря на всю свою
привлекательность, требует, во всяком случае от авторов,
большого внимания к деталям довольно утомительного свой-
свойства. Эти детали возникают главным образом в связи с опре-
определением особых случаев, полным перечислением случаев равенства
и рассмотрением нулевых и бесконечных значений. Читатель,
которого мы сейчас имеем в виду, может пойти на следующие
упрощения: A) пренебрегать различием между неотрицательным
и положительным, так что все числа и функции, с которыми он
будет иметь дело, он может предполагать положительными в стро-
строгом смысле; B) игнорировать наши соглашения относительно „бес-
„бесконечных значений"; C) предполагать, что параметры k и г в таких
неравенствах, как неравенства Гельдера и Минковского, больше 1;
D) считать, что „все, что проходит для сумм, проходит с оче-
очевидными изменениями и для интегралов" (и обратно). Тогда он
будет в состоянии усвоить самое существенное без излишних
хлопот.
Этот совет „легкого чтения" не надо понимать слишком бук-
буквально. Существенно понять типы встречающихся особых
случаев и общие принципы определения случаев равенства.
Перечисление отдельных случаев равенства в таких неравен-
неравенствах, как неравенство Гельдера, не является лишь простым
упражнением; значение этих случаев дает нам в руки (как ясно
показано в §§ 8.13—8.16) могущественное средство для откры-
открытия глубоких и важных теорем. Каждый читатель должен по-
поставить себе задачу хотя бы это неравенство исследовать до
конца.

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.1. Обыкновенные средние. В дальнейшем мы будем иметь
дело с последовательностями, состоящими из п неотрицатель-
неотрицательных чисел а (или &, с>...)>
B.1.1) аи а2 ..., а„ ..., ап (av>0)
и с вещественным параметром г, который мы пока предполо-
предположим не равным нулю.
Мы обозначим последовательность B.1.1) через (а). Когда
мы говорим, что „(я) пропорционально (&)", мы подразуме-
подразумеваем, что существуют два таких числа X и |х, из которых по
крайней мере одно отлично от нуля, что
B.1.2) \а, = ^К (v = l, 2, ..., п).
Отметим, что нулевая последовательность, т. е. последовательность
(а), в которой каждое а = О, пропорциональна любой последователь-
последовательности (Ь). Пропорциональность, как мы ее определили, — симметрич-
симметричное, но не транзитивное соотношение между последовательностями;
оно станет транзитивным, если мы исключим из рассмотрения нуле-
нулевую последовательность.
Если последовательности (а) и (Ь) пропорциональны и ни одна из
них не нулевая, то 6V = 0, если #v = 0, а для остальных значений
индекса v отношение #V/6V не зависит от v.
Мы полагаем
B.1.3) ^г = ШЛа)
кроме тех случаев, когда (i) r = 0 или (ii) r<0 и одно или
несколько а равны нулю. В особом случае (ii), когда B.1.3)
не имеет смысла, мы по определению полагаем Шг равным
нулю, так что
B.1.4) 2Rr = 0 (r<0, некоторые я = 0I).
Здесь и в дальнейшем мы будем опускать индексы и пределы
суммирования, когда это не может вызывать недоразумений.
х) Если бы мы допускали бесконечные значения, то имели бы
соответствующий особый случай для положительных г, а именно:
г>0, некоторые а бесконечны, Шг = оо.

2.2] ВЗВЕШЕННЫЕ СРЕДНИЕ 25
В частности, мы полагаем
B.1.5) Я = «(*) = ЗЙ1(а),
B.1.6) *
и, наконец,
B.1.7) ® = ®{а)
Таким образом, 51 (а) есть обыкновенное среднее арифмети-
арифметическое, ф (а) — среднее гармоническое и (В (а) — среднее гео-
геометрическое.
Мы исключили случай г = О, но ниже (§ 2.3) мы увидим, что ЭД?0
может быть интерпретировано как ®. Мы, вообще, не будем рассма-
рассматривать отрицательных а, но иногда удобно применять %(а) без
всякого ограничения на знаки а. Определение не меняется.
2.2. Взвешенные средние. Обычно мы будем рассматривать
более общую систему средних значений. Предположим, что
B.2.1) Л>0 (v=l, 2, ..., п\
и положим
B.2.2) Жг= mr(a) = Wlr{a,p)
B.2.3) 2Кг=0 (г < 0, некоторые а = 0),
B.2.4) © = © (а) = © (а, р) = 17*
Равенства B.1.5) и B.1.6) остаются в силе для 51 (я, р) и
ф(я, /?). Последнее замечание § 2.1 применимо и к обобщен-
обобщенным 51. Взвешенные средние сводятся к обычным средним,
когда pv = 1 для всех v.
Так как средние являются однородными функциями нулевой
степени относительно р, мы можем, если пожелаем, предполо-
предположить, что ?/? = 1. В этом случае мы будем писать q вместор\ так,
B.2.5) Wr(a) = mr(a, q)
B.2.6) ©(*) = © (a, 9)= Пав B? = 1).
Мы не будем, как правило, явно указывать веса в наших фор-
формулах, но будем всегда подразумевать, что средние, которые
сравниваются друг с другом, образованы с одинаковой
системой весов.

26 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Обыкновенные средние являются частными случаями взвешен-
взвешенных средних. С другой стороны, взвешенные средние с соизме-
соизмеримыми весами являются частными случаями обыкновенных
средних (для другой системы а). Действительно, в силу однород-
однородности, мы можем предположить, что веса целочисленные а сред-
средние с целочисленными весами получаются из обыкновенных
средних заменой каждого числа системой соответствующего
числа одинаковых чисел. Средние с несоизмеримыми весами
можно рассматривать как предельные случаи обыкновенных
средних.
Мы будем постоянно применять следующие очевидные
формулы:
B.2.7) mr(a) = {%(ar)}lf\
B.2.8)
B.2.9) K.r(a)=_i_f
B.2.10) Wra(")={Wa(ar)}1<r.
В B.2.8) мы предполагаем, что #>0; то же предположение
делается и в других формулах, если индекс отрицателен.
Уславливаясь надлежащим образом о смысле обозначений, мы
можем распространить все эти формулы и на исключенные
случаи. Далее,
B.2.11) Я(
B.2.12)
B.2.13) Жг (Ь) = Шг(а), если (*) = k (a)
(т.е. если Ь^ = ка„ где k не зависит от v),
B.2.14) ©(*) = *© (а), если (f>) = k(a)9
B.2.15) 2tfr(a)<2tfrF), если tfv<?v для всех v.
2.3. Предельные случаи средних §ЩГ(#). Обозначим через
rnin a, max a
соответственно наименьшее и наибольшее значение ач.
1. rnin a < 2ЯДя)<тахя, кроме тех случаев, когда либо
все а равны, либо г<0 и хотя бы одно а равно нулю.

2.3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ СРЕДНИХ Шг(п) 27
Здесь и в формулировках всех дальнейших теорем подра-
подразумевается, что когда мы утверждаем справедливость нера-
неравенств, кроме тех случаев, когда выполнены некоторые условия,
то по крайней мере одно из этих неравенств вырождается
в равенство в исключенном случае. Например, min а = Шг{а) =
= max я, если все а равны, и min а = Шг(а) ^ max я в другом
исключенном (особом) случае.
Образуем наши средние с весами q. Так как ? Ч (а — 21) = О,
то либо каждое а равно 91, либо а — 21 положительно по
крайней мере для одного а и отрицательно для другого а. Это
рассуждение доказывает нашу теорему для г = 1.
В общем случае мы можем предположить, что либо а > О,
либо г > 0, так как исключенные случаи тривиальны. Тогда
и лежит между (min a)r и (max a)r, что и доказывает теорему
в общем случае.
2. min а < © (а) < max л, кроме тех случаев, когда все а
равны, или хоть одно аз а равно нулю.
Во втором исключенном случае © = 0. Если ©>0, то
так что либо каждое а равно ©, либо, по крайней мере одно
из них больше ©, а другое меньше.
3. ИтШг(а)=®(а).
0
Если все а > 0, то
при г->0.
Если некоторые а = 0, b обозначает положительное а и s
обозначает ^, соответствующее Ь, то
/r = (ZsI/rmr(bys) -* 0
при г->-|-0, так как ffir(by s) ->©(i, s)h^<1. Если же

28 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
г < О, то 2Wr и © оба равны нулю, и результат остается вер-
верным и при г -> — 0.
Это доказательство основано на теории показательной и лога-
логарифмической функций. В § 2.16 дадим более элементарное
доказательство теоремы 3.
4. lim Шг (а) = max я, \\т Шг (а) = min a.
Г -»ОО Г -»— СО
Если ак является наибольшим а или одним из наибольших а и
г>0, то мы имеем
откуда сразу следует первое равенство. Второе равенство три-
тривиально, если хотя бы одно из а равно нулю; в противном
случае оно следует из B,2.9).
Условимся теперь писать
B.3.1) ЭД0(я) = ©(а), $1оо(а) = тжа, Wl-^ia) = mina.
Тогда мы имеем
б. 9№_oo(^<9J^a)<9Jt,»(a) для всех конечных г, кроме
тех случаев, когда все а раеныу ила г<^0 а хотя бы одно
из а равно нулю.
2.4. Неравенство Коши. Здесь удобно доказать следующую
теорему, хотя она является частным случаем более общей
теоремы 16.
6. Ttr(а)<Э0?2г(а) (г>°)> кроме того случая, когда все а
равцы.
Это неравенство, которое можно записать в виде
вытекает из следующей очень важной теоремы.
7. (?я?J<?а22#2, кроме того случая, когда (а) и (Ь)
пропорциональны ]).
В самом деле
s а2 2 *2 - (S ab)* = 1S (а А - я АJ-
J) Это неравенство обычно называют неравенством Коши: см.
Cauchy [1, 373]. Соответствующее неравенство для интегралов (тео-
(теорема 181) обычно называют неравенством Шварца, хотя, повидимому,
оно было впервые сформулировано Буняковским: см. Buniakowsky
[1,4], Schwarz [2, 251].

2.5] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ 29
Вот другое доказательство: квадратичная форма
2 (ха -\-у *J = jc2 2 я2 + 2*У 2 ab + у* 2 *2
положительна для всех л;, ^, и, следовательно, ее дискрими-
дискриминант должен быть отрицательным, если только не существует
таких х, у, что по крайней мере одно из них отлично от нуля
и хач-\-уЬч = Ъ для всех v.
Для вывода теоремы 6 достаточно взять в теореме 7 вместо
а и Ь соответственно "J//7 и яг]//7.
8. Теорема 7 может быть обобщена следующим образом:
2/а 2/6 ... 2/2
кроме того случая, когда (а), (?), ..., (/) линейно зависимы,
т. е,у когда сущрствуют такие числа х,у, ..., w, не все равные
нулю, что xa^-\-yb^-\- ... -\- wl4 = 0 для каждого v.
Оба доказательства теоремы 7 могут быть обобщены и для доказа-
доказательства теоремы 8, а именно, мы можем либо представить опреде-
определитель в виде суммы квадратов определителей, либо рассмотреть
неотрицательную квадратичную форму
как функцию от х, у, ..., w. Мы не вдаемся в подробности, так как
систематическое рассмотрение неравенств, связанных с определите-
определителями и квадратичными формами, выходит за рамки настоящей книги.
2.5. Теорема о среднем арифметическом и среднем гео-
геометрическом. Мы переходим теперь к самой знаменитой тео-
теореме нашего предмета.
9. ®(а)<ЭД(я), кроме того случая, когда все а равны.
Неравенство, которое нам предстоит доказать, может быть
записано в любой из следующих двух форм:
B.5.1) ар, щ aPnf++P
или
B.5.2) ^
(где, как обычно, ?<7 = 1)-
Эта теорема настолько важна, что мы даем для нее несколько
доказательств разных степеней простоты и общности. Из двух
доказательств, приведенных в этом параграфе, первое совершенно

30 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
элементарно. Второе основано на теореме 3, и, таким образом,
пока на теории показательной и логарифмической функций.
Ниже (в § 2 16) мы покажем, что и это доказательство может
быть изменено так, чтобы строже соответствовать принципам § 1.7.
(i) ^ Мы имеем 2)
кроме того случая, когда а1 = а2 и, таким образом,
со знаком строгого неравенства в одном из случаев, если только
av a2, ал и а4 не все равны между собой. Повторяя это рас-
рассуждение т раз, мы найдем, что
( п\ + • •• + ^2m \
B.5.3) Л1...л2ш<^ ^ ) '
кроме того случая, когда все а равны, Это — неравенство B.5.1)
с единичными весами и п = 2т.
Допустим теперь, что п — любое число, меньшее 2т. Полагая
а1 + ' • - + ап
и, применяя B.5.3) к (Ь), найдем
а а
или
ах...ап<
за исключением того случая, когда все 6, а, значит, и все а
равны. Это — неравенство B.5.1) с единичными весами. Мы
выводим B.5.1) с любыми соизмеримыми весами рассуждением,
приведенным в § 2.2.
А) Cauchy [1.375J.
V Euclid [I, II 5, V 25].

2.6] ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ 31
Если веса несоизмеримы, то мы можем заменить их системой
соизмеримых приближений, доказать B.5.1) для этих прибли-
приближенных весов и перейти к пределу. При этом знак „ < а
превращается в „ <С а, так что мы не получаем еще полного
доказательства теоремы. Мы можем закончить доказательство
следующим образом. Положим
?v = ?v-H" (v = l, 2, . .., n)t
где #v>0, #">0 и q[ рациональны. Тогда
рациональны и r'-J-r/7 = l. Мы уже доказали B.5.1) с „<
для рациональных р} и с „<CU для любых /?. Отсюда
jrlЯ'of (^r S tf'*f
Другой способ закончить доказательство был сообщен нам Р. Палеем.
Он опирается на теорему 6. Из этой теоремы, формулы B.2.10) и того,
что доказано выше, следует, что
5Г (а) = ЯК,, (а) > Щ?а) = Ш\ {а'*) > W (а1**) = Ща).
(иI) По теоремам 6 и 3,
%(а) = ЗЯ1(а)>3I1, {а) >Ш1.(а)> ...> lim aRa-w(e) = ®(а).
Это доказательство очень коротко, но не столь элементарно,
как первое. Заметим, что мы применяем только частный случай
теоремы 3, когда г стремится к нулю, пробегая специальную по-
последовательность значений 2-т.
2.6. Другие доказательства теоремы о средних, Мы вер-
вернемся к теореме 9 в §§2.14—15 и еще раз в § 2.21. Здесь мы
добавим несколько замечаний по поводу других доказательств
этой теоремы с единичными весами.
Schlomilch [1].

32 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
(iI) Случай, когда все а равны, тривиален. Поэтому пусть
at = min a < max a = #2,
Если мы заменим аг и а2 через — (Ях + Яг)* т0 5Иа) не изме-
изменится, а так как
то © (а) возрастет.
Допустим теперь, что мы изменяем а так, что 21 не меняется,
и предположим, что существует последовательность (а*), для
которой © достигает своего наибольшего значения. Тогда все а*
х) Это доказательство, наиболее известное из всех доказательств,
было дано впервые (насколько мы могли это проследить) Маклореном
[Maclaurin, 2]. Маклорен формулирует теорему геометрически следую-
следующим o6pd3OM: „если Отрезок АВ разделен на любое Число Частей АС,
CD, Db, ЬВ, то Произведение всех этих Частей будет наибольшим,
когда Части равны между собой". Его доказательство, по существу,
тождественно с приведенным в тексте; впоследствии это доказательство
было найдено вновь или воспроизведено многими позднейшими авто-
авторами, например, Grebe [I], Chrystal [1,47].
Доказательство Коши (§ 2.5) может рассматриваться как более
замысловатая форма доказательства Маклсрена, так как он доказы-
доказывает теорему в частном случае п = 2т рассуждением, подобным рас-
рассуждению Маклорена. Доказательство Маклорена вообще не принадле-
принадлежит к „конечному" типу. В юм виде, как мы его привели, оно основано
на теореме Вейерштрасса о максимуме непрерывной функции. Это
Маклорен, естественно, считал очевидным, как и многие из его после-
последователей: Гребе, К ристал.
Можно избежать ссылки на теорему Вейерштрасса, но дорогой це*
ной. Ясно, что если а^\ а{^\ af}, af*; ... обозначают наименьшие и
наибольшие числа последовательностей, получающихся в результате
применения рассуждения Маклорена 1, 2,... раза, то а*?* возрастает,
а а^р убывает с возрастающим s. Таким образом
af -» alf aBs) -> «2. «2 > «I-
Небольшое рассмотрение показывает, что п повторений рассуждения
уменьшают разность между наибольшим и наименьшим а, по крайней
мере, наполовину, так что с№ — а^ < ~ (я2 — ai)- Следовательно,
^ и а1 = а2* Отсюда следует, что все а стремятся к оди-
одинаковому пределу Ж. Это доказывает теорему, но значительно менее
просто, чем в тексте.

2.6] ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ 33
должны быть равны, так как в противном случае мы могли бы
заменить их указанным образом другой системой, для которой
® было бы больше. Отсюда следует, что максимум © равен 21
и достигается только тогда, когда все а равны между собой.
Для доказательства существования (а*) положим
Тогда Ф непрерывна в замкнутой области
а:>0, ..., <*„_!> О, ах-\-а2-\-.. . +лп.1<л91
и, следовательно, достигает своего максимального значения для
некоторой системы (#*) в этой области.
Читателю рекомендуется провести доказательство, в котором
© сохраняется постоянным, а ах и а2 заменяются на Уаха2.
(ii) Доказательству Коши можно придать вид, в котором выявляется
одно обстоятельство, важное с точки зрения логики.
Обыкновенное доказательство методом индукции ведется от п
к лг —р- 1; справедливость некоторого предложения Р{п) следует из
предпосылок:
(a) Р(п) влечет Р(п + 1),
(b) Р(п) справедливо для /1 = 1.
Существует и другой метод доказательства, который может быть
наззан методом „обратной индукции"; справедливость Р{п) следует из:
(а') Р(п) влечет Р(п— 1),
(Ь'; Р(п) справедливо для бесконечного числа значений п.
Доказательство Коши может быть представлено, как доказатель-
доказательство этого последнего типа. Во-первых, Коши доказывает {Ъ') для
п = 2т. Дальше, если теорема доказана для п и если % — среднее
арифметическое от аь а2,..., ап~ь то применение теоремы к п чис-
числам ait a2, ..., ап_ь % дает;
т.е. результат для п—1.
(iiI) Определив ах и я2, как в (i), мы можем заменить ах и
а2 через 21 и ах-\-а2—$1. Тогда 21 опять остается без измене-
изменений и
2) Об этих доказательствах см. Sturm [1, 3], Crawford [1], Briggs and
Bryan [1, 1*5], Muirhead [3], Hardy [1, 32].

34 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
так что © возрастает. Повторяя это рассуждение, мы прихо-
приходим, не более, чем через п—1 шаг, к системе я, каждое из
которых равно 51. Отсюда следует, что ©<ЭД.
Это доказательство несколько сложнее, но совершенно эле-
элементарно. Аналогичное доказательство, в котором а1 и а2 заме-
заменяются © и аха21®У мы предоставляем провести читателю.
(iv) Существует целый ряд индуктивных доказательств теоремы:
см., например, Chrystal [I, 46J, Muirhead [3]. Одно из простейших ве-
ведется следующим образом1). Предположим, что 0 < #i •< я2 <*. ..<я„,
ai < ап и что 2(v и @v относятся к первым v числам а, и пусть уже
доказано, что 2lw-i>©w-i. Тогда, по теореме 1, tfn>2In_i и
Возводя это равенство в п-ю степень и вспоминая, что л>1, мы
получаем
(v) Другое интересное доказательство было недавно дано Стефен-
сонэм [Sieffensen, 1, 2]* Оно исходит из следующей леммы: если av_!-<
< а^ ^v_i< b^ и ан < Ь^ для всех v, то Ца Ц& яв убывает при пе-
перемене местами а^ и Ь$ и возрастает, кроме тех случаев, когда
а$ =bi или av = #v для чф1. Эга лемма сразу следует из тождества
Чтобы вывести отсюда теорему о средних, представим ее в виде
(ai + a1+ ...+ai)...(an + an + ...+ an) <
Не уменьшая общности, мы можем предположить, что Д1<я2<!.. .<tfw.
Если мы поменяем местами п — 1 слагаемое из первого множителя
в левой части с одним из слагаемых в каждом из остальных мно-
множителей, то получим
(а1 + а2 + аъ + ... + ап) («1+^2+^2+- • •-№) • • • («i+«n+fln+- • • +^w)»
что по лемме больше, чем исходное выражение, если не все а равны.
Теорема выводится повторением этого рассуждения.
х) Другое доказательство, данное Р* Радо (R. Rado), приведено
в конце настоящей главы (теорема 60).

2.7] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 35
(vi) Дальнейшие доказательства теоремы 9 (или ее частных случаев,
рассмотренных в этом параграфе) даны в § 2.14, 2.21, 3.11 и 4.2.
2.7. Неравенство Гельдера и его обобщения. Следующая
группа теорем концентрируется вокруг теоремы 11 (неравенство
ГельдераI).
10. Пусть (а), (&),...,(/) — пь последовательность по п
чисел каждая. Тогда
B.7.1) ®(a) + ®(ft)+...+©(O<ffl(fl + ft+.-+0>
кроме тех случаев, когда либо A) каждые две из последова-
последовательностей (а), (Ь), .. ., (/) пропорциональны, либо B) суще-
существует такое v, что а^=Ьч= ... = /v = 0.
Теорема утверждает, что если ?а=1, то
.+/a)«»... (fln+bn+ ... +
кроме тех случаев, когда каждые два столбца в таблице
аи bv . .., /jl
^2' ^2» • • •» *2
пропорциональны, или одна из строк состоит только из нулей.
Необходимым и достаточным условием того, что все столбцы
пропорциональны (т. е. чтобы каждая пара столбцов была
пропорциональна), является система равенств: ajb^ — я^ = 0>
ay.cv — av^> = 0> • • • > Для любых [х и v. Это же условие необ-
необходимо и' достаточно для пропорциональности всех строк.
Учитывая это, поменяем местами строки и столбцы нашей
таблицы, и будем писать а, р, . .., к вместо q{, q2, . .., qn.
Тогда нетрудно видеть, что теорема 10 эквивалентна теореме
*) Строго говоря, неравенство Гельдера — это теорема 14, или
B.8.3) теоремы 13. Неравенство B.7.1) было сформулировано в явном
виде Минковским [Minkowski, 1, 117] в случае двух последователь-
последовательностей и равных весов.

36 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
11. Если a, (J, ... X положительны #а
то
B.7.2) S aV.. . Р < (Е а)а (? ft/ . . . (Е0\
кроме тех случаев, когда либо A) последовательности
(а), (?), . . ., (/) вс? пропорциональны, либо B) хотя й>/ одна
из последовательностей нулевая.
Условия равенства могут быть выражены и так: одна из
последовательностей пропорциональна всем остальным (причем
нулевая последовательность считается пропорциональной всем
другим последовательностям). Случай, когда одна из последо-
последовательностей нулевая, тривиален, и мы можем исключить его
при доказательстве.
И здесь мы даем два доказательства.
(i) По теореме 7,
кроме того случая, когда (а) и (Ь) пропорциональны. Отсюда
B abed)* < (?а2?2J (? c2d2J < ? а4 ??4 ?с4 ?d4,
причем, если (а), (#), (с), (д?) не все пропорциональны 1), то по
крайней мере в одном случае будет иметь место знак строгого
неравенства. Повторяя это рассуждение, мы находим, что
B.7.3) Qab ... lfm < Ъа?т S Ь2т • • • S'2W
для 2т последовательностей (а), (Ь), ..., если только они не
все пропорциональны. Это эквивалентно B.7.2), если в нем
каждый показатель равен 2~w.
Пусть теперь М—любое натуральное число, меньшее,
чем 2т, и (g) — М-я последовательность. Если (ab . . . g) —
ненулевая последовательность, положим
А2т= ам,. . ., G2m = gM (M последовательностей),
нуп =К2т= _ =L2nb=abtg pm __м последователь-
последовательностей),
так что АВ , . . L = ab . . . g, и применим B.7.3) к А,
В, . . ., L. Тогда мы получим
{ЪаЪ... g)*m < 2а" .. . %gM (s ab .. . gym^,
или
B.7.4) (%ab.. . g)M <Ъа
x) Так как нулевая последовательность исключена из рассмотрения,
то пропорциональность — теперь свойство транзитивное: см. § 2.1.

2.7] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 37
если не все последовательности (А)} (В), . .., (Z,), а, значит,
и не все последовательности (а), (Ь), . . ., (g) пропорциональны.
Неравенство эквивалентно B.7.2), в котором каждый показатель
равен \\М. Мы предположили, что (ab ... g)— не нулевая
последовательность; в противном случае B.7.4) очевидно, так
как ни одна из последовательностей (а), (#), ..., (g) — не нулевая.
Если теперь а, [3, ... рациональны, мы можем выбрать их
так, что
— ?L й — Л!
где а', р', . . . — целые числа и 2<х' = Л/. Применяя B.7.4)
к Ж последовательностям, образованным из а' одинаковых а,
[3' одинаковых Ъ и т. д., мы получим B.7.2) с показателями
«, р,....
Наконец, если а, C, ... не все рациональны, мы заменяем их
рациональными приближениями с суммой, равной единице, обра-
образуем B.7.2) для этих рациональных показателей и переходим
к пределу. При переходе к пределу знак „<" вырождается
в „^а и, как в § 2.5(i), мы сперва не получаем полного
доказательства. Мы можем закончить доказательство следующим
образом. Положим, а = ix -\- а2, [3 = (^ -|- C2, . . ., где все числа
положительны и числа с индексом 1 рациональны. Если тогда
S «! = ох, ? а2= а2, так что ох + о2 = 1 и /?ji = aai*Pi . . ., pj =
= аа-'№ .. ., мы имеем
? аа^ ... /х = S р?р? ^ 7
Так как <хг, $1} . . . рациональны, то
для 2/^2 мы получаем аналогичное неравенство, но только со
знаком „<!tf. Сочетая эти результаты, мы получаем B.7.2).
(и) Мы можем вывести теорему 11 из теоремы 9. Действи-
Действительно, так как ни одна последовательность не нулевая,
имеем
2 а*$ ...Iх v (jL^fJLy ( l Y Г

38 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Знак равенства имеет место только, когда
aJ%a = btIZb=... =Ш1 (v=l, 2, ..., л),
т- е. когда (а), (Ь), ,.., (/) пропорциональны.
Заметим, что независимо от того, являются ли <х, р, ,..
рациональными или нет, это доказательство не содержит никаких
предельных переходов, кроме уже встречавшихся в доказатель-
доказательстве теоремы 9. Принцип этого доказательства тот же, что
и следующего ниже доказательства теоремы 13, данного неза-
независимо друг от друга Фрэнсисом и Литтльвудом *) [Francis and
Littlewood, 1] и Ф. Риссом [F. Riesz, 6J.
2.8. Неравенство Гельдера и его обобщения (продолжение).
Если мы предположим, что гфО, и заменим в теореме 11
а,Ь, ..., / через qart*, qbr®} ,.., g/A, то получим теорему
12, Если г, а, р, ,.., к положительны и а-|- p-f- ,.. -|-
А = 1, то
Ttr (ab .../)< Шф (а
кроме тех случаев, когда (а1/л), (ЬЛ®), ..., (/1/х) пропорцио-
пропорциональны, или один из множителей правой части равен нулю.
Для г<0 имеет место обратное неравенство.
Следует отметить, что когда г>0, то второй исключенный
случай встречается только если одна из последовательностей
(а), (Ь), ... нулевая, тогда как при г < 0 он наступает уже,
если в одной из последовательностей содержится нулевой член.
Когда г = 0, то всегда имеет место знак равенства.
При рассмотрении только двух последовательностей мы часто
будем пользоваться обозначением
B.8.1) k'=~k^l'
где k—любое действительное число, отличное от единицы.
Соотношение B.8.1) может быть также записано в следующих
симметричных формах:
B.8.2) (ft 4
См. Hardy [81.

2.8] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 39
(последняя форма теряет смысл, когда k = 0, k'=0). Мы
называем k и к' сопряженными показателями.
13. Пусть k ф О, k Ф 1 и кг сопряжено с k. Тогда
B.8.3) ЪаЪ<(?а*)т(?Ь*Ук' {k > 1),
кроме того случая, когда (ак) и (br) пропорциональны; и
B.8.4) ЪаЬ>Ъа*Ук{Ъ1??* (* < 1),
кроме тех случаев^ когда (ак) и (Ьк') пропорциональны или
(ab) —нулевая последовательность.
Неравенство Коши (теорема 7) является частным случаем
теоремы 13 при k = k'=2; здесь k сопряжено с самим собой.
(i) Предположим, что ?>1; тогда B.8.3) является частным
случаем теоремы 11 для двух последовательностей и ос = 1/&,
Р=1/&;. Этот случай представляет собой обычную форму
неравенства Гельдера *).
(и) Предположим теперь, что 0 < k < 1, так что k! < 0.
Если одно из b равно 0, то второй множитель правой части
B.8.4) должен быть, как в § 2.1, интерпретирован как 0, так
что B.8.4) справедливо, если (ab) — не нулевая последователь-
последовательность. Если же каждое b положительно, то определим /, #, v
с помощью равенств
<=!•
так что
так что
ab = ul, ak = uv, bk' = vL'.
Тогда B.8.4) сведется к B.8.3) с и, v, l вместо а, Ь, к.
Исключенным случаем является тот, в котором (и1) и (vl), т. е.
{ab) и (Ьк') пропорциональны; но если это так, то (так как
теперь все b положительны) последовательности (а) и (^&/"),
а значит, и последовательности (ак) и (Ьк'), пропорциональны,
(iii) Если к < 0, то 0 < &;< 1, и этот случай сводится к (и),
если поменять местами а и Ь, к и к!: оба случая (ii) и (iii)
содержатся в B.8.4).
х) Holder [1]. Гельдер формулирует теорему в менее симметричной
форме, данной несколько раньше Роджерсом [Rogers, 1].

40 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Неравенства остаются в силе в исключенных случаях 6 = 0,
k = 1, если мы надлежащим образом осмыслим входящие
в них выражения. Если & = 0, k' = 0, то под B.8.4) мы дол-
должны понимать неравенство
дА + аА + • • • + anbn>n(ax...anbi.. .bn)ifn.
Если А = 1, мы можем интерпретировать kr как -|-оо или
— оо. В первом случае мы должны понимать под B.8.3)
?я#<тах#Еа, а во втором: ?a#>min b%a. Мы предоста-
предоставляем читателю нахождение случаев равенства.
Мы можем объединить B.8.3) и B.8.4) в одно неравенство
B.8.5) (Saft)**'<(Sa*)*4S**')k (кфО, кф\).
Ввиду чрезвычайной важности неравенства Гельдера, мы от*
клоняемся здесь от нашего обычного правила и в явном виде
формулируем вытекающую из него теорему для комплексных я, Ь,
14. Если k > 1 и kr сопряжено с &, то
Равенство имеет место в том и только в том случае^ когда
( | ан |л) и (| ftv \h') пропорциональны и arg аД не зависит от v.
Единственным дополнительным замечанием, необходимым для
доказательства, является то, что
кроме того случая, когда arg av#v не зависит от v. Мы
рассматриваем 0 как число, имеющее любой аргумент.
Следующий вариант первой части теоремы 13 называют
иногда „обратным неравенством Гельдера".
15. Предположим, что ft>l, k' сопряжено с k и Б> 0.
Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы
%ак^А, является ? ab ^ А^кВ^кГ для всех Ь, для которых
2 ?*'<?.
Из B.8.3) вытекает необходимость этого условия. Если же
2flfe>i4, то мы можем выбрать Ъ так, что %Ьк' = В и (Ьк>)
пропорционально (ак), и тогда
Следовательно, это условие также и достаточно.
Теорема 15 часто бывает полезной при определении верхней
грани 2 ак. Каждое рассуждение, опирающееся на эту теорему,
может быть изменено так> чтобы оно содержало только одну

2.9] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ 41
специальную последовательность (b)t но приведенная здесь
форма теоремы, где последовательность (Ь) не фиксирована,
иногда более удобна1).
2.9. Общие свойства средних Шг(а). Мы можем теперь
доказать теорему, которая завершает и дополняет некоторые
из теорем §§ 2.3—4.
162>. Если r< s, то
B.9.1) задкзед,
кроме тех случаев, когда все а равны или s <; 0 и хотя бы
одно а равно нулю.
Мы уже доказали это в частных случаях (i) г = — оо (тео-
(теорема 5), (ii) s=-|-oo (теорема б), (iii) r=0, s=l (тео-
(теорема 9), (iv) 5 = 2r (теорема 6).
Предположим сначала, что 0</*<s и положим г = $ау
так что 0<а<1, и pas = ut p = v, так что г/> 0 и pas* =
= (/?as)a p1-* = иа?/1-а.
Тогда, по теореме И,
B.9.2) %u«vx-«<(%и)« (Е^У'%
кроме того случая, когда ujv^ не зависит от v, т. е. когда ая
не зависит от v< Следовательно,
а это и есть B.9.1).
Случаи, в которых г^Ои одно а равно нулю, тривиальны,
и мы можем исключить их из рассмотрения. Если все а поло-
положительны и r = 0<s, мы имеем, по теореме 9 и B.2.7),
№0 (a)f = 8
Два оставшихся случая, r<s<0 и /-<s = 0, сводятся, в силу
B.2.9), к разобранным выше.
178>. Если 0<r <s <t} то
B.9.з) ак;<(
!) См. §§ 69 (стр. 172) и 6.13 (стр. 180).
2) SchlOmiich [1]. См. также Reynaud and Duharael [1,155] и Chrystal
П,48].
3) Liapounoff [1, 2].

42 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
кроме того случая, когда все отличные от нуля а равны
между собой.
Мы ограничиваемся положительными значениями параметров,
так как осложнения, вызываемые отрицательными и нулевыми
значениями, вряд ли заслуживают систематического рассмотрения.
Мы можем положить
s = ra-\-t(l— ос) @<<х < 1).
Неравенство B.9.3) принимает тогда вид
и подстановкой u = qar, v = qaf сводится к частному случаю
теоремы 11. Условием равенства является пропорциональность {и)
и (v), что, очевидно, эквивалентно данной формулировке. Читатель
должен отметить разницу в условиях равенства в теоремах 16 и 17.
Ниже (§ 3.6, теорема 87) мы увидим, что теорема 17 может
быть сформулирована в более сжатой и компактной форме.
2.10. Суммы ®г(а). @ Мы пишем
®г = ©г (а) = (Е О1/г (г > 0).
Мы ограничиваемся положительными г, оставляя построение тео-
теории <&г для г^О как упражнение для читателя,
18. Если 0<r<s</, то
t—s s—r
B.10.1) ©1<(®г)*~Г(®Ь*~Г,
кроме того случая, когда все отличные от нуля а равны
между собой.
Это в сущности теорема 17. В самом деле,
B.10.2) <Zr(a)=n1/rmr(a),
где среднее %Rr(a) образовано с единичными весами, и B.10.1)
сводится к B.9.3), так как степени п сокращаются.
Соответствие между теоремами 17 и 18 объясняется тем,
что B.9.3) и B.10.1) однородны относительно знака ?. Имеет
место также теорема 19 для сумм, соответствующая теореме 16,
нос обращенным знаком неравенства. Неравенство B.10.3) тео-
теоремы 19 не однородно относительно S и не соответствует B.9.1),
как BЛ0.1) соответствует B.9.3).

2.10] СУММЫ <5r(tf) 43
191). Если 0O<s, то
BЛ0.3) ©,(*)< ©Л*).
за исключением того случая, когда все а, кроме одного
равны нулю.
В силу однородности неравенства B.10.3) относительно а мы
можем предположить, что ? аг = 1, т. е. <5Г = 1 2). Тогда av ^ 1 для
каждого v и, следовательно, a* ^flv и
Если более одного а положительно, то, по крайней мере, одно
положительное а<1, и тогда имеет место знак неравенства.
Теорему 19 обычно называют неравенством Иенсена (Jensen),
(ii) Приведем теперь две теоремы для ©r(a), соответствующие
теоремам 4 и 3 для $Rr{a).
20. При /--> оо 8r-> max a.
21. Приг-+0 ®Г-> оо, если более одного а отличны от нуля.
Теорема 20 следует из B.10.2) и теоремы 4с. Для доказа-
доказательства теоремы 21 мы должны только заметить, что ?#г =
=/V+o(l), где N—число положительных а.
(ш) Теорема 19 в сочетании с теоремой 11 дает следующую
теорему Иенсена3).
22. Если а, C, ..., X положительны и а -\- f)-|-.. . + Х> 1, то
за исключением тех случаев, когда каждое число одной по~
следовательности, или все числа, кроме одного, в каждой
последовательности равны нулю и, в последнем случае, поло*
жителъные члены всех последовательностей имеют один
и тот же номер.
Положим а = &а',р = *Р', ..., где k> 1 и а' + р' + ...= 1,
и введем обозначения ак=А, Ьк = В, ... . Тогда из теорем
11 и 19 следует, что
У (? В)Р'... (? L)x'=
= (? ^)a/fe... (? ^*< (S а)*... (? 1)\
1) Pringsheim fl]. Jensen [2]. Прингсгейм приписывает свое дока-
доказательство Люроту (Ltiroth).
2) Ср. с замечаниями к этому доказательству в § 1.4.
3) Jensen [2J.

44 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
причем равенство имеет место в том и только в том случае,
когда одновременно удовлетворены условия равенства в теоре-
теоремах 11 и 19.
(iv) Естественно рассматривать взвешенные суммы
%г = %г(а) = %г (а,р) = f
Ясно, что для таких сумм не может существовать никакой универсаль-
универсальной зависимости типа B.9. 1) или B. 10. 3), так как при р^ = 1
%г совпадает с <&г теоремы 19, а при ?/?v = 1 — с Шг. Возможности
в этом направлении определены следующей теоремой.
23. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
B.10.4) %г<%8 @<гО)
для данных весов р и всех а, является Ер<!1- Равенство в B.10.4)
имеет место в тех и п олько тех случаях* когда последователь-'
носггь (а) нулевая, или когда JJ/? = 1 и все а равны.
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
B.10.5) %s<%r @<r<s)
для данных весов р и всех а, является /?., > 1 для каждого v.
Равенство в B.10.5) имеет место в тех и только тех случаях,
когда последовательность (а) нулевая, или я&>0, ри = I и все
остальные а равны нулю.
(i) Пусть а^= 1 для каждого v; тогда 5?г = (Е/?I/г, и B.10.4) мо-
может иметь место только в том случае, когда Е/?<1. Если это
условие удовлетворено и r= so., так что 0<<х<1, то мы имеем
что представляет собой B.10. 4). Указанные условия равенства опять
очевидны.
(ii) Пусть ак = 1, а все остальные а равны нулю. В этом случае
%г = рк1/г и B.10.5) может иметь место только в том случае, когдаРи>\.
Предполагая это условие выполненным, положим s = рг, так что р>1,
и допустим (мы имеем право сделать это в силу однородности 51),
что %раг = 1. Тогда раг < 1 для каждого ч и
мы получили неравенство B.10.5). Указанные условия равенства снова
очевидны.
2.11. Неравенство Минковского. Следующая теорема является
обобщением теоремы 10.
24. Допустим, что г конечно и не равно 1. Тогда
B.11.1)

2.11] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МЮРХЕДА 45
B.11.2)
кроме тех случаев, когда (а), (?), ... (I) пропорциональны,
или г^Ом
av ^ Ьу^ ... = /v = 0
для некоторого v.
Если г = 1, то равенство имеет место для любых а, ?, ... .
Теорема 10 является частным случаем г = 0 теоремы 24.
Для г=со или г=—оо основной результат остается справед-
справедливым (и становится тривиальным); только условия равенства
требуют в этих случаях иной формулировки, которую мы
оставляем читателю.
Возьмем средние с весами q и положим
Тогда
Sr = 2 gsr = ? qas**1 + ? fte + ... + 2 qlsr=
= E (^1/ra) (***)'-* + ... + S (^/) (^Гx.
Предположим сначала, что г > 1. Применяя B.8.3) теоремы 13
каждой сумме в правой части, получим
Предположим сначала, что г > 1. Приме
к каждой сумме в правой части, получим
B.11.3)
Равенство имеет место только когда все (qar), (qbr), ...
пропорциональны (qsr), т. е. когда (а), (?), ... пропорцио-
пропорциональны. Так как 5 положительно (за исключением тривиального
случая, когда все последовательности нулевые), то из B.11.3)
следует B.11.1I}.
Предположим далее, что 0<г<1. Если не все последо-
последовательности (а), (&), ... нулевые, то s4 > О для некоторого v.
Если s4 = О для некоторого частного значения v, то ан=Ьн= ... =
=/v = 0, и мы можем исключить это значение v из рассмотрения.
Поэтому можно считать, что все sv > 0. При этом предполо-
предположении B.8.4) теоремы 13 дает B.11.3) с обратным знаком
неравенства, и доказательство может быть закончено так же,
как выше.
Предположим, наконец, что г < 0. Если какое-либо sv равно
нулю, то все средние равны нулю. Мы можем поэтому предпо-
х) Это доказательство дано Ф. Риссом [F. Riesz, I, 45].

46 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
ложить, что s^ > О для каждого v. Если какое-либо #v равно
нулю, то дЛг(а) = О, и мы можем опустить букву а [мы применяем
здесь B.2.15)]. Вследствие этого мы вправе предполагать, что
каждое а, Ь> ... положительно, а тогда наша теорема следует
из B.8.4) теоремы 13.
Когда все q равны между собой, мы получаем теорему
25. Если г конечно и не равно ни О, ни 1, то
B.11.4)
{S(a
B.11.5)
тех случаев, когда (а), (?), ..., (/) пропорциональны,
или г< Оййч) !>„,,,, /v равны нулю для некоторого v.
Неравенство B.11.4) обычно называют неравенством Минко-
вского1). Теорема 24 только кажется более общей, чем теорема
26; на самом же деле она может быть выведена из теоремы 25
заменой а, Ь,... на p1/ra, plrb,....
Теорема 24 может быть сформулирована в следующей очень
изящной и симметричной форме 2).
26. Пусть Ш^) обозначает среднее, взятое по индексу \i
с весами рр, и 5Ш^) — среднее, взятое по индексу v с весами #v8),
м пусть 0 < г < 5 < оо.
кроме того случая, когда а^ = b^cr
Результат остается справедливым для всех г, s, таких%
что г < s, за исключением случаев равенства.
Мы докажем эту теорему для 0 < г < s < оо, оставляя
другие случаи читателю. Если г ^ 0 или одно из г и
*) Minkowski [1,115—117].
2) Теорема 26 была сообщена нам в 1929 г. А. Ингамом (А. Е. In-
gham). Эта же формулировка неравенства Минковского была не-
независимо найдена Иессеном и опубликована им [Jessen, 1J Эта и поз-
позднейшие его работы [2] и [3] содержат много интересных обоб-
обобщений: см. теоремы 136 и 137.
3) Мы отклоняемся здесь от принятого нами обозначения и не пред^
полагаем, что Е<7= 1 (хотя мы докажем неравенство, преобразуя его
в такое, в котором мы можем предположить, что 2 q = 1).

2.12] АНАЛОГ НЕРАВЕНСТВА МИНКОВСКОГО 47
5 бесконечно, то равенство имеет место в целом ряде дополни-
дополнительных случаев.
Пусть sjr=k> 1 и /yz?v = Л^. Тогда искомое неравенство
принимает вид
( п т ) 1/8 ( т п I/г
( v=sl v^ J ( K--1 ' v=l J
или
f fl m , )l/k m
(s
I ^ \i SK) „ Лк \Vu
Это неравенство однородно относительно q, и поэтому мы
можем предположить, что ? q = 1; а тогда оно сводится
к B.11.1).
2.12. Аналог неравенства Минковского, Следующая теорема
аналогична теореме 25, но более проста.
27. Если г положительно и не равно 1, то
B.12.1) ?<
B.12.2) ?<
за исключением того случая, когда в каждой из последова-
последовательностей а^у 6V, .. ., /v (v = 1, 2, . .., п) все числа> кроме
одного, равны нулю.
Это сразу следует из теоремы 19, так как, например,
если г>1, за исключением того случая, когда все числа йу
Ь, ... /, кроме одного, равны нулю. Заметим, что знаки
неравенства в B.12.1) и B.12.2) изменены на обратные по
сравнению с B.11.4) и B.11.5).
На практике обычно применяется сочетание неравенств
B.11.4) и B.12.2), а именно, следующая теорема
28. Если г > 0, то
где R=\ для 0<г< 1 и R = l/r для г>1.

48 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
2.13. Иллюстрации и приложения основных неравенств.
(i) Геометрическая интерпретация неравенств Гельдера и
Минковского, Особенно простыми случаями неравенств Гель-
Гельдера и Минковского являются следующие неравенства:
B.13.1) (*, ?\Ь414
И
B.13.2) {(х,
Эти неравенства имеют место для всех действительных значе-
значений переменных и выражают, соответственно, что абсолютное
значение косинуса действительного угла меньше 1 и что
сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей
стороны; B.13.1) обращается в равенство, когда векторы
(*i> Ун ^i) и (*2> Уъ г2) параллельны (и имеют одинаковое
или противоположное направление), а B.13.2) — когда эти
векторы параллельны и одинаково направлены.
Обычная форма неравенства Минковского является обобще-
обобщением B.13.2) на пространство п измерений с обобщенным
определением расстояния, а именно,
Наиболее очевидные обобщения B.13.1) связаны не с нера-
неравенством Гельдера для общих г, а с обобщением случая г = 2
в другом направлении.
29. Если 2 я^л:^, где а^ = а^ есть положительная
квадратичная форма (с действительными, но не обязательно
положительными, коэффициентами)^ то
кроме того случая, когда (х) и (у) пропорциональны.
Это непосредственно следует из положительности
см. второе доказательство теоремы 7. Геометрически теорема 29
является обобщением B.13.1) на пространство п измерений
с косоугольной системой координат.

2.13] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МЮРХЕДА 49
Для иллюстрации теоремы 15 возьмем k = 2y Л = /2, В = 1
и прямоугольную систему координат. Тогда теорема утвер-
утверждает, что если длина проекции вектора на любое направле-
направление не превосходит /, то длина самого вектора тоже не пре-
превосходит /.
(и) Одна теорема Адамара1). В нашей следующей теореме
мы также имеем дело с совокупностью чисел a^v, которые
предполагаются действительными, но не обязательно положи-
положительными.
30. Пусть D — определитель с элементами
^(^ v = lf 2,..., п).
Тогда
B.13.3) ?>2
Равенство имеет место только в том случае, когда
B.13.4) Sia'i + S*a*9+ ••• +<V*vn = 0
для каждой пары различных ц, v, или когда хотя бы
один множитель в правой части B.13.3) равен нулю.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что
объем параллелепипеда в пространстве п измерений не пре-
превышает произведения длин его ребер, исходящих из одной
вершины, и что равенство имеет место, когда эти ребра
взаимно перпендикулярны, или когда длина одного ребра равна
нулю.
Предположим, что ^с^х^х^ где с^ = с^ положитель-
положительная квадратичная форма и что А обозначает определитель
с элементами ?av. Тогда уравнение
B.13.5)
и А сх2
= 0
имеет п положительных корней2), сумма которых равка
н*>
х) Hadamard [1]. Адамар рассматривает определители с комплекс-
комплексными элементами. Теорема 30 была найдена раньше Кельвином
(Kelvin) и доказана Мюиром [Muir, 1J.
2) См. Бохер [1,171].

50 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
а произведение которых равно Д. Следовательно, по тео-
теореме 9,
B.13.6) А<^^
Если с^ > 0 для всех [а, то форма
также положительна, и если мы применим B.13.6) к этой
форме, то получим
B.13.7) А<с11с22... спп.
Это, в основном, эквивалентно теореме Адамара. Ибо форма
2 (aixxt + а2жх2 + ... + ашхпJ = ? ^х^
положительна, если А Ф 0. Кроме того, А = ?>2 и
так что B.13.7) совпадает с B.13.3).
Для равенства в B.13.6) все корни B.13.5) должны быть
равны, что возможно только в том случае, когда с^=® Для
jj. Ф v и с^ не зависит от jx. Следовательно, для равенства
в B.13.7) мы должны иметь С^ = 0 для ja Ф v, С не зависит
от |а. Последнее условие заведомо выполнено, так как С^= 1,
а С^=0 следует из с^ = 0, что представляет собой B.13.4).
Мы можем распространить теорему на определители с ком-
комплексными элементами, используя вместо квадратичных форм
эрмитовы. Дальнейшие обобщения были даны Шуром [Schur, 2]1).
Следующее остроумное доказательство B.13.7) было дана
Оппенгеймом [Oppenheim, 2]. Рассуждение Оппенгейма доказы-
доказывает не только B.13.7), а, следовательно, и теорему Адамара,
но и приведенные дальше неравенства B.13.8) и B.13.9),
найденные соответственно Минковским и Фишером2).
Любые две положительные квадратичные формы Ъс1кх%хъ
? А^хгхи могут быть одновременно приведены одним линейным
преобразованием с определителем, равным 1, к суммам квад-
квадратов3), скажем Ъсчу\ и ?а?уу!> где cv и d4 положительны.
!) См. также A. L. Dixon [1].
2) Minkowski [2], Fisher [1].
3) См. Ббхер [1,171].

2.13] ИЛЛЮСТРАЦИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ НЕРАВЕНСТВ 51
Тогда JL(Pik-\-dik)хгхк приведется к ^(c^-\-d4)y^ и определители
I cik |> \dik Iй \cik H~ dik I этих форм удовлетворяют соотношениям
Отсюда, по теореме 10, для последовательностей (cv), (a?v) мы
получаем
B.13.8) \cj1/n +№*{*" <\cik + dik\1/n.
Предположим теперь, что матрица d образована из матрицы с
умножением сначала первых г ее строк, а затем первых г
столбцов на —12L Если мы теперь разделим B.13.8) на 2 и
возведем в п-ю степень, то получим
B.13.9) \cik\ = \cn ... ^п|<|си ... crr\\cr+Ur+1 ... спп\,
где \сп ... сгг\ и |cr+i,r+i ... спп\—определители, остаю-
остающиеся в рез)льтате отбрасывания в \cik\ соответственно
последних п — г и первых г строк и столбцов. Повторяя это
рассуждение, т. е. заменяя каждый множитель в правой части
B.13.9) произведением двух множителей и т. д., мы придем
к B.13.7).
(iii) Модуль матрицы. Пусть А и В — две матрицы,
элементы которых суть а^ и Ь^\ они могут быть комплекс-
комплексными. Матрицы Л-\-В n BA определяются как матрицы, эле-
элементами которых являются
0Ц.у + Ь^ И V*
312). Если |Л|, модуль матрицы А, определен как
то
|Л + В|<|У1| + |В|, \ВА\^\В\\А\.
Первое неравенство является непосредственным следствием
теоремы 25 с г = 2. Второе следует из теоремы 7, так как
г) Таким образом, форма I] dikxixk получается из формы JJ c^iXk
в результате замены Xi, xk (/, k = 1, 2,..., г) на—xi и—хк{п поэтому
положительна, если Sc^xfc положительна).
2) См. Wedderburn [1].

52 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
(iv) Максимумы и минимумы в элементарной геометрии. Мы
приведем (как упражнения для читателя) некоторые из многочи-
многочисленных приложений основных неравенств к задачам элементарной
геометрии.
32. Площадь треугольника данного периметра 2р имеет наи-
наибольшее значение, когда его стороны a, Ь, с равны.
[Применить теорему 9 к р—ау р — b, p — с].
33. Если поверхность прямоугольного параллелепипеда дана,
то его объем имеет наибольшее значение¦, когда параллелепи-
параллелепипед является кубом.
[Обозначить ребра, исходящие из одной вершины, через а, Ь, с и
применить теорему 9 к be, са, аЬ. Аналогичная теорема имеет место
для параллелепипеда в /2-мерном пространстве; если & < л и повер-
поверхность ^-мерной границы задана, то объем будет наибольшим, когда
параллелепипед прямоугольный и его ребра равны. Это может быть
доказано с помощью теорем 9 и 30 и тождеств между определителями.]
34. Definition Si la Base d'une Pyramide est circonscripttble a un
Cercie; et si le Pie de la Hauteur est аи Centre de ce Cercle: fap-
pele cette Pyramide droite.
Dans une Pyramide droite toutes les Faces ont une тёте Hauteur,
et sont egalement inclinees аи Plan de la Base.
Theoreme. Soient deux Pyramides de тёте Hauteur, dont les
Bases sont egale tant en Surface qu'en Contour; que Г une soit droite
et que Vautre nelesoit pas: 'faffirme que la Surface de la premiere
Pyramide est plus petite que la Surface de la seconde*).
[Lhuilier, 1. 116]
[Пусть h — высота пирамиды, &v — сторона основания и /?v — пер-
перпендикуляр к &v, опущенный из основания h. Тогда боковая поверх-
поверхность второй пирамиды равна
по B.11.4) теоремы 25, если не все /?v равны.]
(v) Некоторые неравенства, полезные в элементарном анализе.
Следующие теоремы, которые являются простыми следствиями из
теоремы 9, играют основную роль в теории показательной и лога-
логарифмической функций.
*) Определение. Если в основание пирамиды можно вписать
окружность, и если основанием высоты является ^центр этой
окружности, то я называю такую пирамиду прямой.
В прямой пирамиде все грани имеют одинаковую высоту и равно
наклонены к плоскости основания.
Теорема. Пусть даны, две пирамиды одинаковой высоты, осно-
основания которых имеют как одинаковую площадь, так и одина-
одинаковый периметр; когда одна из них прямая, а другая нет, я
утверждаю, что поверхность первой пирамиды меньше поверх-
поверхности второй. (Прим, ред.)

2.14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНДУКЦИИ 53
35. Если ?>0, 0</и<л, то
Если, кроме того, 5 < т, /по
'-4Г>0-!Г.
36. Ясли ?>0, 5^=1, 0</и<л, /по
яE1
Имеем, по теореме 9,
] mj ^ л \ ' /иУ^ л ' /г
Если ?</и, мы можем писать — 5 вместо 8. Это доказывает тео-
теорему 35. Теорема 36 следует из теоремы 35, если мы заменим ?
/ ? \т
в теореме 36 на 1 it — .
2.14. Доказательства основных неравенств методом индук-
индукции. Нашими основными теоремами являются теоремы 9,
10 (или 11) и 24 (или 25), которые мы будем для краткости
обозначать соответственно через О, Ну М. Мы вывели Н из G1)
и М из Я; G является предельным случаем Я, а Я — частным
случаем или предварительной формой М.
Простейшим случаем Q является теорема
37. (О0): а«?Р<яа + *р (а + р = 1).
Покажем прежде всего, что О может быть выведено из Go
методом индукции.
Предположим, что G доказано для т букв а, #, ..., &
(или любого меньшего числа) и что
Тогда
Хотя мы дали и прямое доказательство //.

54 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
по О для 2 и для т букв. В окончательном неравенстве равен-
равенство имеет место только в том случае, когда
a«V...*x/*=/, a = b=...=k9
т. е. когда все буквы равны. Следовательно, G справедливо
для т -\- 1 букв.
Простейшими случаями Н и М являются следующие:
38. (Яо): а\ь\ + a\b\ < (а, + o,)e(*i + *з)р (« + Р = 1),
39. (Af0):
+ V + К
(с обратным знаком неравенства, когда г < 1). Мы можем
вывести Но из Go и Жо из Яо, перенося на эти частные слу-
случаи наши выводы Я из О и Ж из Я. Мы можем также вы-
вывести Н и М из Но и Af0 методом индукции, но так как эти
индуктивные доказательства несущественны для наших рас-
рассмотрений, то мы их только наметим,
(i) Имеем
Повторяя это рассуждение и выявляя случаи равенства, мы
получаем неравенство B.8.3) теоремы 13 (Н для двух после-
последовательностей по п чисел каждая).
Далее, если а -|- C -|- у = 1, а -^ ^ = а, то имеем
S (афьУ9У<я < (S афЬ*19)\Ъ <0Y < (S <
Это рассуждение тоже может быть повторено и ведет
к общей форме теоремы Я.
Мы можем проводить индукцию и иначе, увеличивая сперва
число последовательностей. Получающееся промежуточное обоб-
обобщение Но (Я для любого числа последовательностей из двух
чисел) заслуживает отдельной формулировки.
40. Если а+р+...+Х=1, то
а\Ь\ . .. l\+ a\b\

2.15] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 55
креме тех случаев, когда — = ^ = ... = -}- или когда одна
из последовательностей — нулевая.
(и) Подобным образом и Мо можно обобщать в двух направ-
направлениях. С одной стороны,
а с другой —
{(«1 + b,Y+ (с,
Повторяя и сочетая эти рассуждения, мы приходим к общему
случаю.
2.15. Элементарные неравенства, связанные с теоремой 37.
Перепишем Go в следующей форме
a*< {aa-f?(l — а)} ?*-*
или
а* — ?* < aft»-1^ — ft) @ < а < 1).
Это — частный случай системы неравенств, занимающих важное
место в учебниках анализа. Полная система установлена ниже
в теореме 41. Эта теорема настолько важна, что стоит дать
ее прямое доказательство, которое строго удовлетворяет кри-
критериям § 1.7.
41. Если х и у положительны и не равны, то
B.15.1) rxr-\x — y) >xr—yr> ryr-\x—y)
(г < 0 или г > 1),
B.15.2) гхг-\х — у) <х'—уг< гуг~\х—у) @ < г < 1).
Здесь, очевидно, имеет место равенство, если г = 0, г = 1
или х=у. Начнем со сведения теоремы к одному из ее слу-
случаев.
(i) Мы можем предположить, что г положительно. В самом
деле, допустим, что BЛ5.1) доказано для /*>1 и что г < О,

56 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
г = — $, так что 5 + 1 > 1. Тогда
хг —уг = x-s —y-s _ x-sy -s-l^s+l _ xsy) =
= x-sy-s-1{ys+1 — Xs*1— xs(y — x)} >
> x-8y-8-lsx*(y — x)= ryr~\x —y).
Подобным образом можно доказать и второе неравенство
в B.15.1).
(И) Обозначим левое и правое неравенства в B.15.1) соот-
соответственно через Aа) и A*) и введем аналогичные обозначения
для B.15.2). Если мы поменяем местами х и у, {\Ь) и BЬ)
перейдут в Aа) и Bа). Поэтому достаточно доказать (\Ь) и B?).
{[[[) Из соображений однородности мы можем предположить,
что у = 1.
Таким образом, мы свели доказательство теоремы 41 к дока-
доказательству следующей теоремы.
42. Если х положительно и не равно 1, то
B.15.3) х' — 1 >г(х—1) (г> 1),
B.15.4) х'— 1<г(х — 1) @<г < 1).
Если в B.15.3) положить г=г18 и х =y1/r =ys, то оно
переходит в B.15.4) с уу s вместо ху г. Поэтому доста-
достаточно доказать B.15.3).
Если q—целое, большее 1 J) и j/>l, то
Если О <С.У <С 1> т° знак этого неравенства меняется на обратный.
Заменяя у* на х, мы в обоих случаях получаем
B.15.5) -^ < q (*/« - 1)< х - 1.
Далее, мы имеем
J) Здесь мы отказываемся от нашего обычного соглашения о зна-
значениях q и р.

2.15] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 57
Фигурные скобки заключают iyq(q-\-l) членов, и все они ле-
лежат между / и 1, так что
B.15.6) |0,-1)<^!_ l=±<yq{y-Xf (y>1}.
Таким образом, если р— какое-нибудь целое число, большее
чем <7, то
BЛ5.7) ^p-q){y-
Из B.15.5) следует теперь, что
если х>1, в то время как для 0<л;< 1 неравенства заменя-
заменяются на обратные. Следовательно, заменяя у% через х в B.15.7),
мы получаем
B,5.S, 1^^1Г^-(х<
Пусть теперь г > 1. Если г рационально, то мы поло-
положим r=vlq\ если г иррационально, то пусть P/q—>г. В обоих
случаях мы получим неравенства
B.15.9) |(r_i)fc^<J^
<i-(r-l)^(^-lJ
которые, очевидно, содержат B.15.3).
Это доказывают теоремы 42 и 41, но полезно также иметь
неравенства, соответствующие B.15.9), когда /*<1. Для их
вывода заменим в B.15.7) yv через х и применим B.15.5)
с #, замененными на р. Таким путем мы получим
BЛ5.10)

58 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
B.15.11) ^A_
Мы сделали доказательство B.15,3) несколько более сложным,
чем нужно, чтобы получить неравенства „второго порядка" B.15.6) —
B.15.11), которые интересны сами по себе. Если же мы заинтересованы
только в доказательстве B.15.3), то можем рассуждать следующим
образом. Вместо B 15.6) напишем просто
— 1 . уа—1
д-1 " я
откуда
ур — 1 уа— 1
если рад целые np^>q. Отсюда мы выводим B.15.3) для рациональ-
рациональных г и, таким образом, переходя к пределу, получаем
для любого г^>\. Если г иррационально, мы можем написать г = as,
где а и .у оба больше 1 и а рационально. Тогда
так что B.15.3) всегда справедливо.
Другие доказательства теоремы 41, удовлетворяющие нашим тре-
требованиям, см. Штольц и Гмейнер [Stolz und Gmeiner, 1, 202—208)
и Прингсгейм [Pringsheim, 1]. Прингсгейм пользуется этим результа-
результатом для элементарного доказательства Н. Радон [Radon, 1, 1351]
выводит Н и М из теоремы 41, но доказывает эту последнюю мето-
методами дифференциального исчисления. Доказательства теоремы 41,
приводимые в учебниках, обычно ограничиваются рациональными г.
2.16. Элементарное доказательство теоремы 3. В последнем
параграфе мы, между прочим, доказали несколько предложений,
более сильных, чем теоремы 41 и 42. Мы не придаем этому большого
значения, так как легко найти гораздо более точные неравенства
с помощью дифференциального исчисления (см. § 4.2); но, быть может,
интересно кратко показать, как эти неравенства позволяют нам, если
это желательно, „элементаризировать" доказательство теоремы 3.
Заметим, прежде всего, что
B.16.1) аГ=\ + О(г)
для данного положительного а и малых (положительных или отри-
отрицательных) г;
B.16.2) A + и)я. = 1 + qu + О (и2)

2.17] НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА 59
для данного q и малых и и
B.16.3) {1 + 0{г*)}х?г = 1 + О(г)
для малых г. Мы оставляем читателю вывод этих формул из резуль-
результатов последнего параграфа.
Предполагая теперь, что г мало, мы имеем агн = 1 + щ, где,
по B.16.1), и,= О (г), и
ло B.16.2). Следовательно, принимая во внимание B.16. 3), имеем
" ¦
2.17. Неравенство Чебышева. Мы знаем (теорема 24), что
$?г(а + *) сравнимо (§1.6) с Ttr(a)-\- Wlr(b). Естественно
поставить вопрос, сравнимы ли Шг{аЬ) и Шг (а) УЛГ (р). Тео-
Теорема 43 показывает, что это не так.
Мы говорим, что (а) и (Ь) одинаково упорядочены, если
для всех \i и v, и обратно упорядочены, если всегда имеет
место обратное неравенство. Ясно, что (а) и (Ь) будут одина-
одинаково упорядочены, если существует перестановка индексов
vn V2> • • •> v/* такая, что ач, аЧ) ..., а,л и fcVl, b^%...,b^n суть
последовательности неубывающие, и обратно упорядочены,
если ап,... есть последовательность невозрастающая, a ?V1,... —
неубывающая. Обратные предложения, очевидно, также спра-
справедливы.
43!). Если /*>0 и (а) и (Ь) одинаково упорядочены, то
B.17.1)
1) Интегральный аналог был дан Чебышевым. См. Hermite [1, 46—47],
Franklin [1], Jensen [1] и теорему 236. Когда г = 1, Шг= Й, и нера-
неравенство справедливо для любых вещественных и одинаково упоря-
упорядоченных (a), (b).

60 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
кроме того случая, когда все а или все b равны. Если по-
следователъности обратно упорядочены, то имеет место
обратное неравенство.
Как видно из B.2.7), достаточно рассмотреть случай г = 1.
Тогда
Iplpab —
A—
SS /y\ (<V — fl,)(*^ — *,) > 0
или
Я (я) «(*)<« (a*),
если последовательности одинаково упорядочены.
Мы можем определить случаи равенства следующим образом.
В силу предыдущих замечаний, сделанных в этом параграфе,
мы можем предположить, что (а) и (Ь) — неубывающие после-
последовательности. В этом случае двойная сумма содержит член
PiPn (аг — «n) (*i — ьп)
и может обратиться в нуль, только если все а или все b равны
между собой.
Непосредственным следствием является неравенство
жг (а)акг(*)- • -а»г@ < а»ги.. .о,
если г положительно и (а), (?), ...(/) одинаково упорядочены;
в частности Шг(а) < Штг (а), где w — целое число >1. Это
обобщает теорему 6 и, в свою очередь, является частным слу-
случаем теоремы 16.
Вопрос о сравнимости Ttr (ab) и Шг (а) Шг (Ь) содер-
содержится в более общем вопросе о сравнимости Шг (аЬ..Л) и
Ша (a) $Rt (b). . .Ttv (/), который решается следующей теоремой.
44. Пусть г, s, .. ., v положительны; для того чтобы
Шг (ab. .. /) и Tis (a), $lt (b), ..., Tlv {I) были сравнимы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
B.17.2) ±>i + i.+ ...+I,
и в этом случае
B.17.3) Ttr(ad.. ./

2.18] ТЕОРЕМА МЮРХЕДА 61
Достаточность этого условия следует из теорем 12 и 16.
Если подставить вместо каждой последовательности в B.17.3)
последовательность A, 0, 0, . . ., 0), то станет очевидным,
что условие B.17.2) и необходимо. Общее неравенство,
обратное B.17.3), невозможно ни для каких г, 5,..., так
как ajb^... /v может быть нулем для каждого v, в то время как
правая часть остается положительной.
2.18. Теорема Мюрхеда. В этом и в четырех следующих
параграфах мы будем предполагать, что все а положительны.
Обозначим через
сумму п\ выражений, получающихся из F(au a2, ... ап) путем
всех возможных перестановок а. Мы будем рассматривать
только специальные случаи
F(alya2, ...,ап)=сфсф...а% (av>0, ocv > 0)
и вводим обозначение
Ясно, что при любой перестановке а значение [а] не меняется,
так что мы можем рассматривать две последовательности
а как одинаковые, если они отличаются друг от друга только
порядком своих членов. Средние типа [ос] могут быть названы
симметрическими средними. В частности,
[1, 0, 0, ..., 0]=^^
являются средним арифметическим и средним геометрическим
с единичными весами. Когда ocj -|- а2~Ь ... -|- лп = 1, [а] есть
обычное обобщение %{а) и ©(а).
В общем случае [а] и [V] несравнимы в смысле § 1.6.
В настоящем и следующих двух параграфах определяются
условия, при которых они становятся сравнимыми.
Мы говорим, что (ос') мажорируется (ос), и пишем (<*')-<(<*)>
если (а) и (а') могут быть перегруппированы так, чтобы

62 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
удовлетворялись следующие три условия:
B.18.1) «;+«;+...+«;=«1+а2+...+«„;
B.18.2) а;>а;>...>а;, «1>а2>... > ап;
B.18.3) «; + «;+... +а;<«1+а2+...+а, (l<v<«).
Второе условие само по себе, конечно, не является ограниче-
ограничением, так как («') и (а) можно перегруппировать в любом
порядке, но оно существенно для формулировки третьего.
Ясно, что (а)-<(ог).
45. Для того чтобы [а'] было сравнимо с [а] для всех
положительных а, необходимо и достаточно, чтобы одна
из последовательностей (а), («') мажорировалась другой*
Если (<*')-<(<*), то
B.18.4) [<*']< [а].
Равенство имеет место только в том случае, когда (а)
и (а) тождественны^ или когда все а равны1)*
2.19. Доказательство теоремы Мюрхеда. A) Условие не-
необходимо. Предположим, на что мы имеем право, что выпол-
выполнено B.1$.2) и что B.18.4) справедливо для всех положи-
положительных а. Полагая все а равными х, мы получаем
Это может иметь место как для больших, так и для малых х,
только если удовлетворено B.18.1). Далее положим
аг = а2= ... =av = x, av+1 = ... =ап=\,
причем х предположим достаточно большим. Так как (а7)
и (а)—последовательности невозрастающие, то наивысшими сте-
степенями х в [а'] и [а] являются
откуда следует B.18.3).
B) Условие достаточно. Доказательство достаточности
несколько более затруднительно, и нам потребуется одно новое
определение и две леммы.
1) Теорема 45 найдена Мюрхедом [Muirhead, 2], но он рассматри-
рассматривал только целые значения о.

2.19] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МЮРХЕДА 63
Определим некоторый специальный тип линейного преобразо-
преобразования ос, который мы назовем трансформацией Т. Пусть ак и аг —
два неравных а, скажем, <хк > ah и пусть
B.19.1) ak = p + >z, *i = 9— * @<т<р);
если теперь
B.19.2) 0<о<т<р,
то трансформация Т определяется формулами
B.19.3)
Если Т преобразует (or) в (а'), то мы пишем а' = Та. Это опре-
определение не предполагает, что а или or' убывают.
Ясно, что достаточность нашего условия сравнимости и
утверждения теоремы 45 относительно случаев равенства будут
доказаны, если мы докажем следующие две леммы.
Лемма 1. Если а' = 7а, то [ог']<Пог], причем равенство
имеет место только в том случае, когда все а равны.
Лемма 2. Если («^-^(а), но (or7) не тождественно с (а),
то (а') может быть получено из (а) последовательным при-
применением конечного числа трансформаций Т.
Доказательство леммы 1. Мы можем так перегруппиро-
перегруппировать (а) и (а'), что 1Sj = 1 и /=2. Тогда
B.19.4) /г!2[а]_ я!2[ог'] =
= л!2[р + т, р— т, ог3, ...] — п!2[р+о, р —о, а8, ...] =
и знак равенства имеет место, только если все а равны.
Доказательство леммы 2. Пусть для (а) и (а7) удовлетворено
условие B.18.2). Обозначим через A (a, a') число отличных
от нуля разностей av — aj. Если A (a, a') = 0, то (а) и (а7)
тождественны. Мы докажем лемму методом индукции, полагая
ее справедливой для А (а, а')< г и доказывая ее для А (а, а7)^/-.

64 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Предположим, что (<*')¦< (а) и что А (а, а')= г > 0. Так как,
согласно B.18.1), ?(av— <*^) = 0 и не все эти разности в отдель-
отдельности равны нулю, то между ними должны быть положительные и
отрицательные; по B.18.3), первая отличная от нуля разность
должна быть положительна. Следовательно, мы можем найти
k и / так, что
B.19.5) ^<**. а^+1 = вл+11 ..., 0^ = ^, «;>*Л
Положим, как в B.19.1), <xfe = p-|-T, <*г = р — т и определим
B.19.6) а
Тогда 0<х^р, так как сск > аг. Далее,
о^— р =—а или а'к—р=а2),
так как си'к^а'р и a < т, ибо а'к < ак и о^ > <хг Следова-
Следовательно,
0<а<т<р,
как и в B.19.2).
Положим теперь
B.19.7) < = p + a, < = p-a, < = «v (v Ф A, v ^ /).
Если a'fc — р^а, то а? = а'л; если а^ —р^—а, то а^^а^3).
Так как каждая из неравных пар а#, ак и а^, а^ увеличивает
А (а, а') на единицу, то А (а', а") < А (а, а') = г, а именно,
A(a',aA/) = r —1 или г— 2.
Далее, сравнивая B.19.7J и B.19.3) и замечая, что имеет
место B.19.2), мы видим, что (а") получается из (а) с помощью
трансформации Т.
Наконец, (а') мажорируется последовательностью (а"). Чтобы
доказать это, мы должны показать, что удовлетворены условия,
соответствующие B.18.1), B.18.2) и B.18.3), с а" вместо а.
Что касается первого условия, то мы имеем
B.19.8) aft+ejr = 2p
*) at — a!t есть первая отрицательная разность, а^. — <х'к—последняя
положительная, ей предшествующая. В тексте принято, что / —
случай /—-k= 1 проще.
2) Возможны оба случая.
3) Снова возможны оба случая.

2.20] ДРУГАЯ ТЕОРЕМА О СРАВНИМОСТИ 65
Что же касается второго условия, то мы заметим, что
«Л < Р + | «й — Р | •< Р + О = «Л»
<*z > р — | *i — р | > р — а = а"
и следовательно, в силу B.19.5),
= ? — ° >Р — т =
что и дает нужные неравенства, относящиеся к а". Наконец, мы
должны доказать, что
/ I / I | / ^ /У | /У | | /У
«1 + *2 + • • • + «v < «1 + «2 + • • • + «V
По B.19.7) и B.18.3) это неравенство справедливо для v<&
и v^>/; оно справедливо также для v = &, так как оно справед-
справедливо для v=&—1 и aft^a^.; для /j<v</ это неравенство
также справедливо, потому что оно справедливо для v = k, и
промежуточные ar и а" равны.
Мы, таким образом, доказали, что («0 "К (а//\ где а" = Та
и А (а', а") < г. Это заканчивает доказательство леммы 2,
а с ней и теоремы 45!).
2.20. Другая теорема о сравнимости симметрических
средних. Мы называем (а') осреднением (а), если существуют п2
чисел /7^v, удовлетворяющих условиям
B.20.1) /V>0, SPa* = l, 2/Vv=l,
так что
B.20.2) < = Р,А+/У*2+ • • • +/VA-
Так как условия B.20.1) не нарушаются от перестановки ja или v,
то наше определение, подобно тому, как это имеет место в§ 2.18,
не зависит от порядка av и aj. Равенства B.19.3) показывают,
что (p-j-a, p—a, a3, ...) есть осреднение (р + т, р — т, ос3, ...)>
если выполнено условие B.19.2).
Другое доказательство можно получить из теорем 74 и 75.

66 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Последние два условия B.20.1) могут быть выражены так:
?а', как функция от а, тождественна с ?а, и каждое а' = 1,
если каждое ос=1. Отсюда следует, что это соотношение обла-
обладает свойством транзитивности: если (а') есть осреднение (а) и
(а")—осреднение (а'), то (а") есть осреднение (а). А отсюда,
и из леммы 2 § 2.19 следует, что если (а') -< (а), то (а') есть
осреднение (а).
Обратное также справедливо. Предположим, что выполнены
условия B.20.1) и B.20.2). Тогда, складывая почленно равенства
B.20.2), мы получим B.18.1). Наконец, предполагая, что (а) и
(а') — невозрастаюшие последовательности, и полагая
мы будем иметь &V<!1, ?&v=#z no B.20.1). Отсюда следует,
что
т. е. B.18.3). Мы, таким образом, доказали следующие две
теоремы.
46. Для того чтобы (а') было осреднением (а), необходимо
и достаточно, чтобы (а') мажорировалось (а).
47. Для того чтобы [а'] я [а] быля сравнимы, необходимо
и достаточно, чтобы одна из последовательностей (а') и (а)
бьшг осреднением другой. Если (а') есть осреднение (а), то
[а/] <^ 1аЬ причем равенство имеет место в тех же слу-
случаях, что и в теореме 45.
2.21. Дальнейшие теоремы о симметрических средних.
A) Теоремы 45 и 47 могут служить для двух целей. Во-первых,
каждая из этих теорем дает простой критерий сравнимости
средних [а] и [а']. Во-вторых, доказательство теоремы 45
показывает нам, как повторным применением трансформации
B.19.3) и формулы B.19.4) мы можем разложить разность
двух сравнимых средних в сумму очевидно положительных
выражений. Мы получаем, например, новое и интересное дока-
доказательство теоремы о среднем арифметическом и среднем

2.21] ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ О СИММЕТРИЧЕСКИХ СРЕДНИХ 67
геометрическом (с единичными весами); в самом деле,
*)—®(a»)=[/i,0,0, ..., 0] —[1,1, ..., 1] =
= ([/1,0,0, ..., 01 — 1/1—1,1,0,..., 0]) +
— 1,1,0, ..., 0]—[л —2, 1,1,0, ..., 0]) +
+ ([* —2,1,1,0, ...,0] — [/t —3,1,1,1,0, ..., 0])+ ...=
! (Л?" 8-fl2~3)(*i-
Теорема доказана, так как {аг — as) (d*r — я?)>0, если
0
B) 48. Если «1 + ^2+ •" -\-an = l> mo
©(*)<[«]<«(*),
кроме тех случаев, когда [а] = © (а), [а] = 31 (а) или все а
равны.
Эта теорема2) показывает, что все [а] со степенью одно-
однородности, равной единице, сравнимы с © (а) и 51 (а), хотя
между собой они вообще несравнимы. Для доказательства
применяем теорему 47; так как
а^ =а^. 1 + а,+1 • 0 + ... +ая • 0 +ах • 0+ ...+«^-1 * °>
( —,—, ..., —) есть осреднение (а) и (а) есть осреднение
A,0,...,0). Теорему 48 можно также вывести непосред-
непосредственно из теоремы 45.
C) Приведем еще две теоремы аналогичного характера.
49. Если 0<<7<;1, то необходимым и достаточным условием
для того, чтобы было [«'] ^ [а]а, является (а')-<(са). Если с>1,
то это условие необходимо, но не достаточно.
$ Это доказательство было известно до работы Мюрхеда; см.
Hurwitz [1].
У Сообщенная нам Шуром.

68 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
[Доказательство необходимости вести так же, как § 2.19 A).
Для доказательства достаточности объединить теоремы 45 и 11.
В качестве примера получается:
[г, 0,0, ...]<[s,0,0, ...]r's @<rO).
Это Шг (а) < Ш8 (а) (теорема 16) с единичными весами. Тот же
самый пример показывает, что условие перестает быть достаточным
для а> 1.]
50. Если г, р, а положительны и
(в обозначениях § 2.10 (iv)), mo необходимым и достаточным усло-
условием для того чтобы выполнялось неравенство
та[та,2...та,п <та1т«2...тап
для всех аир, является (а')-<(а).
[Необходимость условия может быть установлена, как и выше.
Для доказательства достаточности применить теорему 46 и нера-
неравенство Гельдера, которые дают
Т . — Т <? (Т \S^tT \S^2 (T \S^m
мы слегка изменили обозначения, чтобы избежать конфликта с обо-
обозначениями в § 2.10. Перемножая эти неравенства, получаем нужный
результат.]
2.22. Элементарные симметрические функции от п поло-
положительных чисел. Если
(х-\-а1)(х-\-а2) ...(х + <*п) = х* + сгх^ + Cft*»-»+... +cn=
то сг является г-й элементарной симметрической функцией
от а, т. е. суммой всевозможных произведений г различных
чисел последовательности {а), а рг — средним от этих произведе-
произведений.
В этом параграфе мы рассматриваем две известных теоремы
о рг. Мы полагаем со=/?о=1.
В обозначениях § 2.18
C

2.22] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 69
(г единиц и п — г нулей). Очевидно, р1=%{а) и рп = ®п(а^
с единичными весами. Различные рг, будучи различных степе-
степеней, несравнимы между собой1); они, однако, удовлетворяют
следующим нелинейным неравенствам.
51. Pr-iPr+i< Рг (I ^Сг^п)> кроме того случая, когда
все а равны.
52- /71>Р2/2>Рз/3> • • - >РпП, кроме того случая, когда
все а равны.
Теорема 51, данная Ньютоном2), на самом деле справед-
справедлива для всех действительных, не обязательно положитель-
положительных а; в § 4.3 мы докажем методами дифференциального
исчисления более общую теорему. Теорема 52данаМаклореном3).
Теорема 52 является следствием теоремы 51, ибо из
(Р0Я2)(PiPsJ(PzPtf • • • (A-i/V+iV<P2iPipl ---р?
следует
p'r+г < /r+1
ИЛИ
Это замечание, вместе с доказательством в § 4.3, устанавли-
устанавливает справедливость теорем, однако интересно рассмотреть их
доказательства методами настоящей главы.
(i) Доказательство теоремы 52 методами § 2.6 (ш).
Начнем с доказательства теоремы, подобной теореме 51, но
более слабой.
530. сг^сг+1<4.
Эта теорема слабее, чем теорема 51, так как pr
эквивалентно
(г+})(п-г+\) 2
г(п-г)
1) Это — тривиальный случай теоремы 45.
2) Newton [1, 173]. См. также Maclaurin [2].
3) Maclaurin [2]. См. также SchlOmilch [1]. Неравенство
есть частный случай теоремы 9.
4) Теорема сформулирована, как и теоремы 51 и 52, для положи-
положительных а. Как показывает доказательство, она остается справедли-
справедливой и для я!>0, если сгф0 (т. е. если больше, чем г—1 чисел а
отличны от нуля).

70 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
Для ее доказательства заметим, что общий член в cr_1cri.1 — сп-
справен
а\а\ ... al_sar_s+l ... ar+s
и входит с коэффициентом
Из теоремы 53 следует, что если г < s, то
B.22.1) cr^c8<crc8_v
Мы можем теперь следующим образом доказать теорему 52.
Если не все а равны, то положим
а{ = min a, a2 = max a.
Тогда
B.22.2) аг < ах < а2%
где аг = р1/{Х.
Заменим ах и а2 на а1 и а2, выбирая а2 так, чтобы р{и не
менялось, и докажем, что каждое /?N, для которого v>[x,
увеличивается от такой замены. Результат будет тогда получаться,
как в § 2.6 (iii).
Мы имеем
где ^ есть сг, образованное из az — 2 чисел, отличных от ах
и а2. Так как р^ не меняется, то
B.22.3) (а^з — аха2)с^2 = — (аг
B.22.4) («1^-2+ ^-i)«2 = ei?j-
Значение а2, определенное формулой B.22.4), положительно
в силу B.22.2).
Следовательно, если ры переходит в р*9 то
+ «2 — п\ — а2) С$-1>

2.22] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 71
и, таким образом, р*—/?v имеет знак выражения
Из B.22.1) следует, что второй множитель отрицателен, а из
B.22.3) —что
sign (ах + ог2 — яj — а2) = sign (я ^ — аг<х? =
= sign {«,(«! + а2 — ^ — я2) + Д1а2 — а^} =
= sign {(«! — ах) («! — л2)} = — 1
ввиду B.22.2). Отсюда р* > pv, что и доказывает теорему.
(и) Доказательство теоремы 51 методом индукции1). Пусть
теорема 51 доказана для п — 1 чисел av a2, . ..,tfn_i, и
пусть с^, pj. суть сп рг, образованные для этих п — 1 чисел,
о которых мы сначала предположим, что они не все равны. Тогда
cr=c'r-\-anc'r_u
и, таким образом,
Отсюда мы выводим, что
п2 {рг_г pr+1 — pl)=A-\-Ban-\-Ca2ny
где
Л = { (П - rf - 1 } />;_! p'r+i - (П - Г) 2р'г\
— 2r(n—r)p'r-ip'r,
Так как ava2) ..., ап_х не все равны, то имеем, по пред-
предположению,
Pr-iPr+l< P'r , p'r—2Pr<p'r-l, Pr—2Pr+l<p'r-lPr,
х) Это доказательство сообщено нам независимо друг от друга
А. Диксоном (A. L. Dixon), А. Жолифом и М. Ньюменом (А. Е. Jolliffe,
М. Н. A. Newman).

72 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
так что
Это доказывает теорему. Результат остается справедливым и
при ах = а2 = . .. = ап_и так как тогда апФ ах = prrlprr—\*
Теорема 51 может быть также основана на тождествах типа, рас-
рассмотренного в § 2.21 A).
54. Если
причем сумма распространена на все произведения указанного
типа, то
¦• {ir-wn-r-ivYW-Pr-iPr+d -<»-ш*ч-«ЖЗ J4-
где tfz\ обозначает сумму произведений по г—1 из (п — 2)-х
а, отличных от аь а^ и т. д.
Теорема 54 принадлежит Мюрхеду [Muirhead, 1], теорема 55 — Жо-
лифу [Jolliffe, 1]. Теорема 55 делает „интуитивно" ясной более общую
форму теоремы 51 (для действительных а любого знака), упомянутой
в начале этого параграфа.
2.23. Замечание о положительных формах. Тождество
Гурвица и Мюрхеда, приведенное в § 2.21 A), показывает,
что если а > 0, то
может быть представлено в виде суммы, очевидно, неотрица-
неотрицательных членов.
Если мы положим
я, = Хи а2 = х1У. . .,

2.23] ЗАМЕЧАНИЕ О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФОРМАХ 73
то получим
B.23.1)
= 2(п— 1I р* " * ""
Далее
, 2м—-2 2м —- 2Ч / 2 2Ч
(*! — Х2 ) (ATi — ЛГ2) =
2 2x2/ 2w — 4 | 2п— 6 2 . .
X) (AT +X X+
является суммой квадратов многочленов, подобных (х\ — xl)Xi 2;
таким образом, правая часть B.23.1) есть сумма квадратов. На-
Наконец, так как
2п_|_ _|_ 2п су v2nJ- -U у2п
л>1 | • • . ~~р~ А2,п аплцЛ,^ • • . -^2п — 1 ~\ • • • I "^п
2 2 | 2п | I 2п Л 2
-\- П (Xt. . . Хп — Хп ^ j. . . Х2п\ ,
то, следовательно,
B.23.2) /> = *;»+... + хЙ —2лд:Л.. .x2n =Sp?f
где /?г-— действительные многочлены я-й степени. Например,
= j
+ у (
+ 3 (xyz — uvwJ
есть сумма 9+9+ 1 = 19 квадратов действительных много-
многочленов.
Под вещественной формой мы понимаем однородный много-
многочлен F(xux2i .. чХт) с действительными коэффициентами от
действительных переменных xvx%, ...,xm. Форма F называется
определенной в некоторой области переменных, если она в этой
области не меняет знака, например, если F^>0. Определен-
Определенные формы можно подразделить на положительные и отри-
отрицательные и, очевидно, достаточно рассматривать поло-

74 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
жителъные формы. Так, форма B.23.2) положительна для
всех действительных значений переменных. Ясно, что положи-
положительная форма, обладающая этим свойством, должна быть мно-
многочленом четной степени.
Если в некоторой области F > 0, то говорят, что F строго
положительна в этой области.
Форма B.23.2) и формы, рассмотренные в теоремах 7 и 55
(с х вместо а), могут быть представлены в виде сумм квадра-
квадратов действительных многочленов. Естественно поставить вопрос,
является ли это общим свойством положительных форм.
Верно ли, что если F^-О для всех действительных х, то
F = 2/?f, где pi — действительные многочлены ?
Эта проблема была полностью решена Гильбертом 1К Мы
ж>жем поместить здесь только несколько отдельных замечаний.
Начнем с указания, что существует два случая, в которых
ответ получается сразу. Обозначим степень F через 2п и
число переменных через т.
Если т=2, так что F = F (х,у)} и п произвольно, то любой
действительный множитель ах -\- by должен входить в F с чет-
четной кратностью, а комплексные множители должны входить
парами сопряженных чисел ax-\-by, ax-\-by. Следовательно,
группируя надлежащим образом множители, мы получаем
Р = Р* (Ч + ir) (Д — if) = {pqf + {pf)\
где /?, q9 r — действительные многочлены.
Из алгебры хорошо известно 2\ что любая определенная
квадратичная форма от какого угодно числа т переменных
может быть представлена как сумма не более чем т квадра-
квадратов действительных линейных форм. Таким образом, ответ на наш
вопрос положителен в следующих двух случаях:
1) т = 2, п произвольно,
2) т произвольно, 2я = 2.
Гильберт нашел третий случай
3) т = Ъ, 2п = 4
и доказал, что любая положительная биквадратичная форма от
трех переменных представима в виде суммы трех квадратов
действительных квадратичных форм. Он доказал также, что
Hilbert [1].
См., например, Бохер [1].

2.24] ТЕОРЕМА О СТРОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФОРМАХ 75
во всех других случаях ответ отрицателен, и существуют опре-
определенные формы степени 2п от т переменных, которые не
могут быть представлены указанным образом.
Гильберт высказал тогда следующее предположение: всякая
положительная форма F может быть представлена в виде
г
где Rt — действительные рациональные функции.
Этому предположению эквивалентна следующая теорема: вся-
всякая положительная форма F представима в виде отноше-
отношения сумм квадратов действительных форм1).
Гильберт 2) дал очень трудное доказательство этой теоремы
для тернарных форм относительно (л;, у, г). Общая теорема
впервые была доказана Артином 3). Доказательство Артина
весьма замечательно и сравнительно просто, но настолько
использует идеи современной абстрактной алгебры, что мы не
можем воспроизвести его здесь.
2.24. Теорема о строго положительных формах. Замечания
§ 2.23, носящие довольно отрывочный характер, являются
естественным введением к следующей более простой задаче. Мы
рассматриваехМ формы, которые строго положительны в области
положительных х. Теорема, которую мы докажем, напоминает
теоремы § 2.23, утверждая, что положительная форма может
быть представлена в таком виде, который делает очевидным ее
положительный характер. Здесь уже не требуется, чтобы степень
формы была четной.
56 4). Если форма F(xvx2, ...,xm) строго положительна
для
х>0, 1х > О,
х) Очевидно, что из первого утверждения вытекает второе (только
с одним квадратом в знаменателе). И, так как
SA*
2
то из второго следует первое.
2) Hilbert [2].
3) Artin [1].
*) Polya [3]. Первое утверждение теоремы было доказано раньше
Пуанкарэ [1J для т = 2 и Мейсснером [Meissner, 1] для т = 3. Прин-
Принципиально метод Мейсснера применим и в общем случае, но приводит
уже не к столь простому результату.

76 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
то она может быть представлена в виде
F = 0/Н,
где G и Н—формы с положительными коэффициентами.
В частности, можно взять
Н=(хг+х2+... +хту
с надлежаще выбранным р.
Для простоты записи положим т = Ъ; доказательство приме-
применимо и к общему случаю.
Функция F(x,yy z) положительна и непрерывна в замкнутой
области
B.24.1) х>0, j/>0, *>0, x + y + z = l
и достигает в этой области положительного минимума [ь.
Положим
B.24.2) F(x,y,z) = XnA
где суммирование производится по
B.24.3) «>0, p>0, 7>0, a-\-$-\-4 = n,
и
B.24.4) Ф (*, j/, г; 0 = *»1Я ЛаРт
где t > 0 иг* ], ... — обычные биномиальные коэффи-
коэффициенты, так что
*
(Xt-i\ _
2-3...a
для a = 1,2, 3,....
Ясно, что Ф(х, yyz\ ?)->F{xyy,z) при ?->0; если мы
положим

2.24] ТЕОРЕМА О СТРОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФОРМАХ 77
то Ф непрерывна в области
#>-0> у^-о* z^>Q> x-\-y-\-z = i, o<;^<;i.
Существует поэтому такое е, что
B.24.5) Ф (х,у, г;Г)>Ф(х,у,г;0) — ~^ =
= F(xyyy г) — ^>
для 0</< е и всех х,у, z из области B.24.1).
Мы имеем также
B.24.6) (X+y+zY-* = (Л —я)! Ъи-п
где суммирование производится по
j = ft —л.
Умножая B.24.2) на B.24.6), получаем
Положим теперь
так что
B.24.7) а>0, ft > 0,
и
B.24.8) 0<а<а, 0 < р < ft,
Тогда мы получим
B.24.9)
Е; в B.24.9) означает, что суммирование производится по
а, р, •( при условиях B.24.8); но так как ( а J = 0, f Л = 0, ...,
если а > а, р > ft . . ., то это суммирование можно заменить
суммированием по а, р, •(, удовлетворяющим B.24.3), т. е.
2Л. Таким образом мы получаем

78 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
B.24.10) (x-\-y-\-z)*-»F =
По B.24.5), Ф здесь положительно, если k достаточно велико,
и теорема доказана.
(I) Эта теорема дает регулярный процесс для решения вопроса,
является ли данная форма F строго положительной длял:>0, или нет.
Мы умножаем F повторно на Цл: и, если У7>0, мы должны после
конечного числа шагов получить форму с положительными коэффици-
коэффициентами.
Поучительно применить этот процесс к форме
F = < + *?+..•+^-(/г-
где ?>0 и мало. Коэффициент при
где h + h+ ... +1п = п(д+\)в
несомненно положителен, если одно из / равно нулю. Если i± ;> 1, ...,
/WJ>1, этот коэффициент равен
и имеет одинаковый знак с
+ ...—(Л —e)iV2...*n-
Мы должны показать, что <\>>0 для всех допустимых /Ч. г2, ..., *'л.
Если не все / равны ^+1»то существует одно /, скажем ib мень-
меньшее, чем q + 1, и одно /, скажем /2» большее, чем q + 1. Заменим ib l2
на i\ + U h— lj тогда значение f^ изменится на
n{h{h — I).-- (*i-я+ 2) — (|я—1) (?2~2)... (/2—я + 1)} —
— (я — О /з- --hi(k—h~ 1)<0.
Следовательно, ф будет положительным для всех допустимых /, если
оно положительно, когда все / равны ^+1. А в этом случае оно
будет положительно, если

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 79
ИЛИ
и тем более, если г)
Таким образом, если это условие удовлетворено, все коэффициенты
у ф положительны.
Отсюда следует, что F^>0 для лг>0, ?лг>0. Переходя к пределу
при ?-^0, мы получаем еще одно доказательство теоремы о средних
в форме I>xn^nUx.
B) Если мы положим
^т = *¦ *^1 * * • ^т — 1»
то получим теорему об общих неоднородных многочленах от т—1
переменного.
57. Если {неоднородный) многочлен f(xbx2, .. ->xm^i) положите-
положителен в области
mo f(x) может быть представлен в виде
f(X) = ^CXai. ..Хпт-Х A — Л^ . .. Хт-1)A'т,
где а — целые неотрицательные числа и с положительны.
Эта теорема является обобщением одной теоремы Хаусдорфа 2).
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ з) *)
58. Если а, р, у, ...Д больше —1, и все положительны или все
отрицательны, то
[О случае а = р= ... = X см. James Bernoulli [I, 5, 112].]
59. Если г>0, то
| а + Ъ р < A + с) \а р + (l + j) I Ь?
для всех (действительных или комплексных) а, Ь.
[См. Bohr [1, 78].]
*) См. теорему 58.
2) Hausdorff [1] Хаусдорф рассматривает случай п = 2.
3) Некоторые из этих теорем являются простыми упражнениями
для читателя, но большинство имеет самостоятельный интерес.
*) См. также Дополнение XVI в конце книги. (Прим. ред.)

80 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
60. Если Жп, @5W— среднее арифметическое и среднее геометриче-
геометрическое от аь а2,...,ап с единичными весами, а Шп+ь @Wi —от
#1. #2 ап,ап+1, то
кроме того случая, когда ап+1 = ®w.
[На этой теореме сообщенной нам Р. Радо (R. Rado), можно осно-
основать еще одно доказательство теоремы о средних.
Если мы положим ап+1 = хп+1, (&п =уп+1, то искомое неравенство
примет вид
хп+1 _ (д _[-
а это следует из теоремы 41.].
61. я&< у + -р-'
причем знак равенства имеет место, только если b = а**-1.
[Другая форма теоремы 37. Об этой и двух следующих теоремах
см. Юнг [Young, 1, 5, б].]
±^f+P)№ (й>0, ,>-1
[Заменим г в теореме 61 через 1-{-р и а,Ь через и, A +/?#)/( 1 + /?).]
63. Htf < м log u + е®-1 (>)
[Предельный случай р -> 0 теоремы 62. См. также § 4.4E).]
64. Если #>0, a1a<i...an = lnt то
кроме того случая, когда все а равны.
[Chrystal [1, 51]. Пример к теореме 40.]
65. Если а и Ь положительны и /?> 1 или /?<0, то
v дР ^
кроме того случая, когда (а) и (Ь) пропорциональны. В случае
0</?<1 имеет место обратное неравенство.
[Radon [1, 1351]; видоизменение теоремы 13.]
66. Если а>0, то 2й5]Л"~1>Л кроме того случая, когда все а
равны.
[Следует из теорем 7, или 9, или 16, или 43.]

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 81
67. S(a + ?)S
кроме того случая, когда (а) и (Ь) пропорциональны.
[Milne [1].]
68.
кроме того случая, когда (я), (Ь), (с) пропорциональны.
69. Если 0<r<s и
Mr(a, b) = (
\ - /
TO
SAfr (a, b) ?Л!_у (^, &)<^SAf 8 (a, b) ИМ_s (a,
кроме того случая, когда (а) и F) пропорциональны.
70. Если 0<&<1 и
для всех b, ToSa^> Ak.
[Это является аналогом теоремы 15 в случае 0<&<1 (когда^'<
Если все а>0, определим b равенством ab = я&, т. е. Ь = а7*-1,
bk' = afa тогда
(I)
Если все а обращаются в нуль, то А должно быть равным нулю, и
нечего доказывать. Если некоторые, но не все а равны нулю, то
пусть Е будет множество всех (скажем (х) отличных от нуля а; поло-
положим тогда в Е b = ф-\ а в дополнительном множестве СЕ из
п — (х = v элементов положим Ь =G. Тогда
Переходя к пределу при G-»oo, опять получаем (i).]
71. Если 0</г<а,<Я, 0</? <?„<#, то
( Ж +У Щ Г
[См. Полна и Сеге [1, I, 57,213], где даны и условия равенства.]
Если все а положительны, то существует аналогичная теорема для
п ->— со.

82 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
73. Если
ЭД(д)-@@) ^ .1
%{а) ^?<]>
причем средние образованы с единичными весами, то
1 + Е<Ж/И<1 + 5\
где ? есть отрицательный и ?' — положительный корни уравнений
(\+х)е-* = (\+ву\
[См. Полна и Сеге [1, I, 58, 215].]
74. Если [т1....Лл]<[7И"-.7йЬ К» ...,^1 <[^---Л] Для всех
рассматриваемых значений переменных, то
[Из первого предположения и определения сумм следует
7ft.
и теорема следует из (i) и (И).]
75. Если (а')к(а) и как а так и а! сгруппированы в убывающем
порядке, то существует наибольшее неотрицательное В, для которого
(I) (P) = («! + *.«? «;_lf «n-~s)-<(«)•
Если S имеет это максимальное значение, то
(И) («!.<) "<(Рь Рп)
й для некоторого k(\ <^<« — 1)
(Ш) (Plf .. ., рл) -< («! ал), (Рл+1, .. ., рп) -< (ал+1, .. ., ап).
повторяя это
W 1
Аналогично,
(И)
рассуждение,
имеем
I7i» '"*7к> ЬР
получаем
•., ч < |
[Из определений следует (а), что (i) справедливо для В = О, (Ь) что
Множество значений о, для которых (i) справедливо, замкнуто,
(с) что если (i) справедливо для какого-нибудь S>0, то оно справедливо
и для всех меньших положительных значений 5. Отсюда следует, что
максимум S существует и что для него справедливы (i) и (iij.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 83
Если S имеет это максимальное значение, то или (а) $п = ап — Ь = О,
или
(b) fc+--.+P* =«!+••.+«? + »=«!+ •••+«*
для некоторого k<C,n\ ибо в противном случае мы могли бы увели-
увеличить Ь, не нарушая (i). В случае (а)
W—-1 П П W—-1 W—-1
2 a,<S av = Spv= 2 pv< 2 av,
1111 1
так что Pi + ... + Ря-i = ai + • •. + a»-i, а это есть (b) ck = n— L
Таким образом, (b) справедливо и в этом случае, и (ш) следует из
определений.
Р. Радо, сообщивший нам теоремы 74 и 75, пользуется ими для
нового и изящного доказательства достаточности критерия Мюр-
хеда (теорема 45). По лемме 1 (стр. 68) результат верен для п = 2;
пусть теперь я>2, условия B.18.1), B.18.2) и B.18.3) удовлетворены,
и результат верен для любого числа переменных, меньшего, чем п.
Тогда в силу наших предположений,
Дважды применяя теорему 74, мы получаем
76. Если a>0 и г и s — натуральные числа, то
кроме того случая, когда все а равны.
[Обобщение теоремы 66. По теореме 45,
[г. г...., (* раз), 0, 0,...,0]>[2, р...,^].
Образовав теперь соответствующее неравенство с 5 вместо г и с г
вместо ^ и заменив а через 1/я, перемножим оба неравенства.]
77. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы для всех
положительных a

84 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. II
где /?!,... определены, как в §2.22, и а положительны, является
выполнение неравенств
для 1 <!/я-<А7, с равенством для т = \.
[Достаточность этого условия следует из теоремы 51: необходи-
необходимость может быть доказана методом §2.19A). Дугалл [Dougall, 1]
дает доказательство для целых а, основанное на одном тождестве.
О некоторых частных случаях, как, например,
см. Kritikos [1].]
78. Средние [~, 1, 0, 0,..., ol и [-|, 1, у, 0, ..., ol несрав-
несравнимы.
[Пример к теореме 45 и иллюстрация теоремы 48.]
кроме того случая, когда все а равны.
[Smith [1.440] Пример к теореме 45:
79. Если #>0 и Рр — средние арифметические [х-х корней из
произведений по \ь различных а, то
, I, 1,0
80. Если у. > 0 и Ху у, z положительны, то
{У -~г)(У — х)+ г
кроме того случая, когда х = у = z.
81. Если v>0, S>0 и а положительны и не все равны, то
, 0, 0, a4....l-2[v + 5f Ъ, 0, а4, ... ] + [v, Ъ, Ъ, а4,...]>0.
[Этот результат, сообщенный нам проф. Шуром, не является след-
следствием из теоремы 45, но следует из теоремы 89 с \i = v/§.]

ГЛАВА III
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
И ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Определения. Средние ffir(a) и ©(а) имеют вид
C.1.1) mv(a) = o-
где о(х) — есть, соответственно,
a ®~l(x) — функция, обратная у(х). Естественно рассматривать
более общие средние типа C.1.1), образованные с произволь-
произвольной функцией <р, подчиненной некоторым условиям. Наиболее
очевидными такими условиями являются непрерывность и стро-
строгая монотонность <р, так как в этом случае ф существует и
удовлетворяет тем же условиям.
В дальнейшем нам понадобится следующая предварительная
теорема.
82. Если
(i) функция <?(х) непрерывна и строго монотонна
в интервале И < х < /С,
(и) tf<X</C (v=l,2, ..., п)
a (iii) ?v>0, 2<7v = l,
то A) существует одно и только одно Ш в (И, К), для
которого
C.1.2) ?BK) = S??(fl)
и B) ffi больше одних и меньше других а, если не все а
равны.
Так как у(х) непрерывна и при возрастании х от И до К
возрастает или убывает от о(Н) до ®(К)> a %q®(a) лежит
между этими пределами, то существует в точности одно 9W,
которое удовлетворяет C.1.2). Далее,
2<7{<?BК) -?(«)} = О,
так что некоторые слагаемые этой суммы должны быть положи-
положительны, а некоторые — отрицательны, если они не все равны
нулю. Следовательно, Ш — а иногда положительно, а иногда
отрицательно, если оно не всегда равно нулю.
Мы предположили, что ?(*) непрерывна в замкнутом интер-
интервале (//, К). Рассуждение остается справедливым и тогда,

86 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
когда (р(х) непрерывна и строго возрастает в Н<х<К,
причем у(х) -> — со при х ->Я и ®(х) -> со при х ->/С, если
только под ф(Я) и <р(/О мы будем, соответственно, понимать
— со и со и считать, что Ш =//, если %q<?(a) = — со, и Ш = К,
если ?<7<р(а) = со. Здесь может быть Н=—со, или К = о°;
особенно важным случаем является #=0, /С = со. В сле-
следующем ниже определении и далее при рассмотрении свойств Ш9
мы будем предполагать, что <?(х) непрерывна и строго моно-
монотонна в замкнутом интервале, или ведет себя только что ука-
указанным образом.
Мы пишем 1)
Ж, = т^(а) = %(a,q) = <гЧЕ9?(а)} =
C.1.3) =<p
Веса q — произвольные положительные числа с суммой рав-
равной единице, и когда мы сравниваем два средних, мы предпо-
предполагаем, что они образованы с одной и той же системой весов.
В случаях о 0*0 = х> log x и дсг, 9JL сводится, соответственно,
к %, © и Шг.
3.2. Эквивалентные средние. Среднее Ш^ определено,
если задана функция <р. Возникает естественный вопрос, спра-
справедливо ли обратное предложение: если 3№ф = ЭД?у для всех
а и q, то следует ли отсюда, что ^ тождественно с у? Ответ
на этот вопрос дает следующая теорема.
832). Необходимым и достаточным условием равенства
C.2.1) Щ(а) = Ща)
для всех a a q является условие
C.2.2) Х
где а и $ — постоянные иа^О,
При доказательстве мы предполагаем, что ф и 7 непрерывны
в Н^х^К- Нетрудно убедиться, что оно применимо (с три-
1) В настоящей главе мы даем прямое (конструктивное) определе-
определение ЭД^ и выводим его свойства из определения. В гл. VI
(§§ 6.19—6.22) мы покажем, как ЭД1ф может быть определено „аксиомати-
„аксиоматически", т. е. предписанием его характеристических свойств.
2) Knopp [2J» Jessen [2].

3.2] ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СРЕДНИЕ 87
виальными изменениями) и в других допускаемых нами случаях
(§ 3.1). Мы в действительности докажем больше, чем утвер-
утверждается в теореме, а именно, что C.2.2) является достаточным
условием для справедливости C.2.1) для всех а и q и что
оно является необходимым условием для того, чтобы C.2.1)
имело место для всех последовательностей из двух переменных
и весов. Ниже, в § 3.7, мы докажем еще больше, а именно,
что C.2.2) необходимо для справедливости C.2.1) для всех
последовательностей из двух переменных и данной системы
весов.
(i) Если выполняется условие C.2.2), то
и, следовательно, 3№у= Ш^- Таким образом, условие достаточно.
(ii) Для доказательства необходимости условия мы предпо-
предположим только, что C.2.1) имеет место для всех последователь-
последовательностей из двух переменных и двух весов.
В C.2.1) положим
где H<t<K. Тогда
для Н <?< КУ это также верно для t = H и t = K. Если мы
обозначим через х общее значение левой и правой части, то
когда t изменяется от Я до /С, х принимает все значения
из интервала (Н, К) и

88 средние значения с произвольной функцией [гл. ш
где а и р не зависят от х. Отсюда
для всех х в (#, ДГ), что совпадаете C.2.2). Таким образом,
теорема 83 доказана.
Вот одно следствие из теоремы 83, которое иногда оказы-
оказывается полезным. Так как —? является линейной функцией отер
и —<р возрастает, когда <р убывает, то мы всегда можем, при
желании, предполагать, что <р в Ш^(х) является функцией воз-
возрастающей.
Теорема 83 дает нам также возможность объяснить, почему, несмо-
несмотря на иное определение, естественно включить 9Ло = ® в число сред-
средних ffir гл. II. Так как
1
есть линейная функция от хг для гфО, то, по теореме 83,
JL.J* 1
Это равенство остается справедливым и для г = О, ибо 4q(x) = lim —— =
г->о г
= log х.
3.3. Одно характеристическое свойство средних 9Jir. Есте-
Естественно возникает вопрос, обладают ли средние гл.II каким-
нибудь простым свойством, выделяющим их среди более общих
средних, рассматриваемых в настоящей главе.
84!). Пусть <р(л') непрерывна в открытом интервале @, со)
и пусть
C.3.1) Щка) = кЖ(,(а)
для всех положительных а% q a k. Тогда ^Я^(а) = ffir(a)>
Другими словами, средние %Rr являются единственными одно-
однородными средними Зй<р.
Естественно, что C.3.1) не влечет <р = л;г (или logx)] ибо,
согласно теореме 83, мы можем заменить ср через осср—|— р, не ме-
меняя шг
Очевидно, что C.3.1) справедливо, когда ср = .*;>* или logx.
Предположим теперь, что равенство C.3.1) имеет место, и вы-
выведем из него вид функции ср. В силу теоремы 83 мы можем
предположить, что
C.3.2) ?A)=0,
V Nagumo [I], de Finetti [1], Jessen [4]. Приведенный в тексте книги
простой вариант доказательства де Финетти был сообщен нам Иессеном.

3.3] ОДНО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО СРЕДНИХ 89
так как мы можем заменить ъ(х) на ®(х)— <рA).
Перепишем C.3.1) в виде
№f,(a)=k-1*tR9(ka)=k-1<p-1[Zq<p(ka)} = Ща),
где &(х) = <s>(kx).
Из теоремы 83 ^ следует, что
C.3.3) ff{kx) = a(k) <р
где <х(&) и Р(А) — функции от &, и а(&)=^0; а из C.3.2) и
C.3.3),—что
C.3.4) ?(A)=p(A)i
Подставляя теперь значение р(?) в C.3.3) и заменяя k на
j/, найдем, что
C.3.5) ср (лу) = «(у)
для всех положительных х и у.
Аналогично,
(з.з.б)
и формулы C.3.5) и C.3.6) дают:
а(Х) — 1 _ д(у) — 1 2)
Отсюда следует, что каждая из этих функций равна постоян-
постоянной с, так что а(у) = 1 -\- су (у). Из C.3.5) вытекает теперь,
что
C.3.7) ?(лу) = «р(*)<рО0 + ?(*)+?О0.
При рассмотрении этого функционального уравнения мы разли-
различаем два случая:
A) с=0; тогда C.3.7) сводится к классическому уравнению
?00-
2) Если бы мы применили одну из более точных форм теоремы 83,
упомянутых вслед за ее формулировкой в § 3.2 то мы получили бы
более точную форму теоремы 84, в которой однородность предпола-
предполагалась бы только для ограниченных классов переменных и весов.
2) Если только хф\ и уФ\, однако C.3.7), очевидно, справедливо
н для этих значений х и у, т. е. это ограничение несущественно.

90 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
Наиболее общим решением, непрерывным для х > 0, является *)
ср = clogx.
B) с Ф 0; положим
Тогда C.3.7) сведется к уравнению
f{xy)=f{x)f{y),
общим решением которого является f(x) = xr. Отсюда
3.4. Сравнимость. Наши общие замечания о „сравнимости"
функций от а (§ 1.6) приводят нас к следующему вопросу:
Пусть даны две функции ф и у, непрерывные и строго монотон-
монотонные в {Н, К)\ будут ли тогда сравнимы средние Ш^ и ЭД?у,
т. е. справедливо ли неравенство
C.4.1) Щ<ШХ
{или обратное ему) для всех а и q? Если ф и ^ — степен-
степенные функции, теорема 16 говорит нам, чго ответ на этот во-
прос положителен.
Положим
Тогда ср (х) непрерывна и строго монотонна, так что суще-
существует обратная функция <р-1 = <!^-1. Положим также
Тогда х—произвольные числа между $(Н) и ty(/O> и C.4.1)
примет вид
C.4.2) ?№)<S??W
(для всех q), если х — возрастающая функция; если же у
убывает, то C.4.1) сведется к C.4.2) с обратным знаком нера-
неравенства. Таким образом мы получим теорему
85. Если ф и ^ — непрерывные и строго монотонные функ*
ции> то для того, чтобы Ш^ и ffiy были сравнимы^ необходимо
Я Cauchy [1,103—105].

3.5] ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 91
и достаточно, чтобы функция ср = 7^" удовлетворяла
неравенству C.4.2) или обратному неравенству.
В дальнейшем мы подробно изучим класс функций ср, для
которых имеет место C.4.2).
Для любых весов C.4.2) принимает вид
C.4.3)
3.5. Выпуклые функции. Функция ср из § 3.4, будучи моно-
монотонной функцией от монотонной функции, сама монотонна; но
теперь мы рассматриваем функции ср, подчиненные только C.4.2).
Простейшим случаем неравенства C.4.2) является
C.5.1)
Функция, удовлетворяющая C.4.2), удовлетворяет и C.5.1), но
класс функций, удовлетворяющих C.5.1), шире. Однако мы
покажем, что эти два неравенства эквивалентны для функций,
удовлетворяющих некоторым, не очень ограничительным, уело-
виям.
Функция, удовлетворяющая C.5.1) в некотором интервале,
называется выпуклой в этом интервале. Если —ср выпукла,
ср называется вогнутой. Мы можем также определить выпуклость
и вогнутость в открытом интервале. Часто бывает удобно до-
допускать бесконечные значения на концах интервала; ясно, что
такие значения должны быть положительны для выпуклых и
отрицательны для вогнутых функций.
Основы теории выпуклых функций были даны Иенсеном
[Jensen^]1). Геометрически C.5.1) выражает, что середина
любой хорды кривой у = ср (х) лежит над этой кривой или на
ней; под кривой здесь следует понимать любой, не обязательно
непрерывный, график. Неравенство
C.5.2) ср (qlXl -\- q2x2) < дг<р(хг) -\- ?2?(х2)
(для всех q) выражает, что вся хорда лежит над кривой или на ней,
а общее неравенство C.4.2) утверждает то же самое относи-
относительно центра тяжести любого числа произвольно взвешенных
точек. Геометрически очевидно, что если кривая непрерывна,
*) Хотя Гельдер [Holder, 1] рассматривал неравенство (ЗА.2) еще
до Иенсена,

92 средние значения с произвольной функцией [гл. ш
то из самого слабого условия C.5.1) следует и более сильное,
и мы увидим, что из наших рассмотрений будет вытекать го-
гораздо больше. Мы могли бы взять C.4.2) или C.5.2) за наше
определение выпуклости, но мы следуем Иенсену и начинаем
с самого слабого определения. Наиболее естественными опре-
определениями являются, пожалуй, C.5.2) и еще одно определение,
которому будет посвящен § 3.19. Возможно более слабые
предположения представляют некоторый логический интерес.
Иногда полезно иметь определение выпуклости или вогнутости
конечной или счетной последовательности чисел. Мы будем говорить,
что последовательность ah ..., ап выпукла, если
2flv<0v_i + flv+i (v = 2, 3, ..., п — 1),
т. е. если вторые разности неотрицательны.
Так, теорема 51 (в менее точной форме с „<") утверждает, что
последовательность log/? вогнута; полная теорема говорит, что log/?
строго вогнута (см. § 3.8), если не все а равны. Когда два произведе-
произведения степеней от р сравнимы, неравенство, связывающее их, может
быть выведено (в основном аналогично тому, как теорема 52 была
выведена из теоремы 51) из вогнутости log/?. Это является ядром
теоремы 77.
3.6. Непрерывные выпуклые функции. Перейдем теперь
к исследованию простейшего случая, когда C.4.2) и C.5.1)
эквивалентны.
Если ср(лг) удовлетворяет условию C.5.1), мы имеем
< ? C*i)
и т. д. Таким образом мы докажем, что
C.6.1)
для специальной последовательности значений л, а именно п = 2т.
Для того чтобы доказать справедливость неравенства C.6.1) в
общем случае, достаточно еще доказать, что если оно имеет место
для я, оно также имеет место для п— 1 *). Допустим, что C.6.1)
доказано для п чисел и что xv дг2, ..., хп_г даны. Взяв
г) Здесь мы следуем рассуждению в § 2.6 (ii). Доказательство, бо-
более тесно следующее рассуждению Коши, дано у Иенсена [Jensen, 2].

3.7] ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 93
в качестве хп среднее арифметическое 51 (с одинаковыми
весами) этих п — 1 числа и применяя C.6.1), мы получим
и, следовательно,
т. е. неравенство C.6.1) с п — 1 вместо п. Таким образом,
C.6.1) справедливо для всех п.
Далее, предполагая, что в C.6.1) л>ы образуют надлежащим
образом выбранные группы равных чисел, мы получаем C.4.2)
для любых соизмеримых q.
Наконец, если функция ®(х) непрерывна, мы можем доказать
C.4.2) для всех q, ибо, если q несоизмеримы, мы можем их
заменить соизмеримыми приближениями и перейти к пределу.
Таким образом получим
86. Любая непрерывная выпуклая функция удовлетворяет
условию C.4.2).
В качестве приложения рассмотрим теорему 17. Если s =
= "(Г~М)» имеем, по теореме 7,
или
или
log 2)Z» < 1 {log Wlfa) + log 3Rj(a)}.
Другими словами
87. Iog2)i^(a) = rlog2)ir(a) является выпуклой функцией
от г.
Отсюда, используя теорему 86 (или повторяя рассуждение,
которым эта теорема была доказана), мы получаем теорему 17
(кроме определения случаев равенства).
3.7. Другое определение1). В § 3.5 мы определили выпуклую
функцию о(х) тем, что середина любой хорды кривой у = )
1) М. Riesz [I], Jessen [2].

94 средние значения с произвольной функцией [гл. ш
лежит над этой кривой или на ней. Рисе и Иессен заметили инте-
интересный и иногда важный в приложениях факт *), что если
<?(х) непрерывна, то достаточно потребовать, чтобы какая-
нибудь точка хорды лежала над кривой или на ней.
88. Если <р (х) непрерывна, и на каждой хорде кривой
у = <р (х) существует по крайней мере одна точка {отличная
от концов хорды), лежащая над кривой или на ней, то каж-
каждая точка каждой хорды лежит над кривой или на ней,
так что у (х) выпукла.
Пусть PQ—хорда и /? — точка на ней, лежащая под
кривой. Тогда существует последняя точка S на PR и первая
точка Т на RQ, в которых кривая пересекает хорду; S может
совпадать с Р и Т может совпадать с Q. Но хорда ST лежит
целиком под кривой, а это противоречит условию теоремы.
Это замечание дает нам новое доказательство теоремы 86.
Если ®(х) выпукла, середина каждой хорды лежит над кривой
или на ней. Следовательно, как мы доказали, каждая точка
хорды лежит над кривой или на ней, т. е.
если qt>0, q2>0, ^f ?2 = 1, а в остальном qx и ^произ-
^произвольны.
Далее рассуждаем по индукции. Если #i + #2+#з = *» т0
C.7.1)
И Т.Д.
Следствием теоремы 88 является теорема
89. Если у(х) непрерывна и если каждая хорда кривой
j/=<P(a;) пересекает кривую в точке, отличной от ее концов,
то у(х) —линейная функция.
По теореме 88 каждая точка каждой хорды лежит над кривой
или на ней. Но теорема 88 остается в силе, если „над"
^ См., например, § 8.13.

3.8] СЛУЧАИ РАВЕНСТВА В ОСНОВНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ 9 5
заменить на „под" в условии и в утверждении. Поэтому каждая
хорда кривой совпадает с кривой.
Из теоремы 89 можно вывести уточнение теоремы 83, упо-
упомянутое в § 3.2. Пусть
для фиксированных qx и q2 и произвольных а. Полагая
ф() лг, а= $~х(х), мы получаем
так что, по крайней мере, одна точка каждой хорды кривой
лежит на кривой. Тогда по теореме 89 следует, что <р — линей-
линейная функция.
3.8. Случаи равенства в основных неравенствах. Мы
предполагаем теперь, что у(х) непрерывна и выпукла; рас-
рассмотрим, когда может иметь место равенство в C,5.1), C.5.2)
или C.4.2).
Предположим, что хх < хв < х2} что х3 = qxxx -\- q2x2 и
что Pv Р2> *** —точки на кривой j/=<p(je), соответствующие
xv х2> ... . Если <р (х) не линейна в интервале (xv х2), то в
этом интервале найдется такая точка хА, что РА лежит под
отрезком РХР2- Допустим, например, что д*4 лежит в (л:^ х%).
Тогда хь лежит в (лг4, х2) и Р3 лежит под Р±Р2 или на этом
отрезке, а, следовательно, под РгР2. Следовательно, в C.5.2)
имеет место знак неравенства. Отсюда следует, что равенство
может иметь место в C.5.2) только тогда, когда <р(лг)
линейна в (xv x2).
Этот вывод легко распространить на общее неравенство
C.4.2). Допустим, например, что равенство имеет место
при й = 3 и что х1 < х2 < хъ. Тогда все знаки неравенства
в C.7.1) должны свестись к равенству и ®(х) должна быть
линейна в каждом из интервалов
+03*3 \ ( .
а, следовательно, и в (д:^ лг3).
Мы, таким образом, доказали теорему
90. Если у(х) непрерывна и выпукла, то
C.8.1)

96 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
<3.8.2)
кроме тех случаев, когда либо (i) все х равны, либо (и) ср(л:)
линейна в некотором интервале, содержащем все х.
91. Любая хорда непрерывной выпуклой кривой, за исклю-
исключением ее концов, лежит целиком над кривой, или совпа-
совпадает с ней.
Мы говорим, что о(х) строго выпукла, если
C.8.3)
для каждой пары х, у, х фу. Так как строго выпуклая
функция не может быть линейной ни в каком интервале, такая
функция, если она непрерывна, удовлетворяет условиям C.8.1)
и C.8.2), если не все х равны.
3.9. Новая формулировка и обобщение теоремы 85 *). Мы
можем теперь придать теореме 85 следующую форму:
92. Если ty и у — непрерывные и строго монотонные
функции и у возрастает, то для того чтобы Ш^ ^ Шу для
всех а и q, необходимо и достаточно, чтобы функция
<р = ^-1 была выпуклой 2).
При выполнении условий этой теоремы будем говорить, что
у выпукла относительно ty. Так, t8 выпукла относительно tr,
если s^ r>0.
Кривая у = у (х) имеет параметрическое представление
* = ф(*), y = y(t).
Хорда, проходящая через точки кривой, соответствующие t = tx
и t = t2, имеет уравнение
где
является функцией вида
D Jessen [2, 3].
2) Что касается необходимости условия, то мы доказали в действи-
действительности больше: см. замечания к теореме 83.

3.10] ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 97
принимающей значения x(^i) и Х(^) для ^ = ^i и ^=^2-
можем назвать y=ty*(x) ^-хордой кривой у=-^(х). Для
того чтобы функция х была выпукла относительно ф, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы х^^*> т- е- чтобы каждая точка
^-хорды кривой 1 лежала над кривой или на ней.
Теорема 92 может быть обобщена на случай нескольких
переменных. Пусть
будет функцией от т переменных \> v2, ..., vw, и пусть
будет результатом последовательного образования средних по
Vj, v2, ..., vm. Имеет место следующая теорема.
93. Пусть ^ w Х^ — непрерывные и строго монотонные
функции, и пусть все х^ являются возрастающими функци-
функциями. Тогда для того чтобы
Ж*™ ... $Q (a) < Ж™ ... 2К>)
для всех а и q, необходимо и достаточно, чтобы каждая у^
была выпукла относительно соответствующей ф .
При этом, конечно, подразумевается, что веса, входящие в Ш^
и Т1Х , одинаковы, хотя они могут быть различными для различ-
различных [а. То, что условия достаточны, следует из теоремы 92.
Для доказательства их необходимости достаточно предположить а
функцией одного v^.
ЗЛО. Дважды дифференцируемые выпуклые функции.
Мы отложим до §3.18 дальнейшее изучение общих свойств
выпуклых функций и рассмотрим здесь один особенно важный
подкласс этих функций, а именно, функции, имеющие вторую
производную.
94. Предположим, что о(х) имеет вторую производ-
производную ср'Ч*) в открытом интервале (Я, К). Тогда необходимым
и достаточным условием выпуклости ср(дг) в этом интервале
является неравенство
C.10.1) ?"(*)> 01}.
*) В приложениях важным случаем является тот, когда у" существует
в открытом интервале (как в теореме). Однако, обычно желательно

98 средние значения с произвольной функцией [гл. ш
(i) Условие необходимо. Заменяя в C.5.1) -к{х-\-у)и -^(х—у)
через t и /г, и предполагая, что х>уу т.е. что /г>0, мы
получаем
C.10.2) ?(* + й) + ?(< —А)—2<р@>0
для всех ^ Л, таких, что аргументы лежат в интервале (Я, К).
Предположим теперь, что <р"@ < 0. Тогда существуют положи-
положительные числа 8 и Л, такие, что.
для 0 < я ^ Л. Интегрируя это неравенство от я = 0 до u =
мы получаем
(< —*) —2? (/)<—-^й*,
что противоречит неравенству C.10.2).
(п) Условие достаточно. Докажем, что ср удовлетворяет
условию C.4.2). Действительно, если X = JEqx, то мы имеем
ср (о = ? (X)+(xv - X)
для некоторого Ev между X и л;у и, таким образом,
Если ф//(^)>0, равенство может иметь место только в том
случае, когда каждое хч=Х. Таким образом мы доказали
951). Если v"(x) > 0, то ®(х) строго выпукла и, если не
все х равны, удовлетворяются неравенства C.8.1) и C.8.2).
3.11. Приложения свойств дважды дифференцируемых
выпуклых функций. Следующая теорема, вытекающая из
теорем 95 и 852), особенно полезна в приложениях.
утверждать выпуклость в замкнутом интервале. Так как ср" > 0,
ср' и ср монотонны вблизи концов интервала и стремятся к конечным
или бесконечным пределам; ср' может стремиться к —оо в левом конце
и к + оо в правом, и ср может стремиться к +оо в каждом конце.
Функция будет выпуклой в замкнутом интервале, если ее значение
в каждом конце не меньше ее предела в этом конце.
« Holder[l].
2) Точнее, из теоремы 95 и доказательства теоремы 85. По теореме 95
C.4.2) справедливо со знаком неравенства, и, таким образом, Ш < $Щ
если не все а равны.

3.11] ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 99
96. Если ^ и ^монотонны, у возрастает, <р = у^~1 и ©" > О,
то 2Яф < Шу, если не все а равны.
Примеры. (У) Если ^ = log л*, х=л'> то <р=7^~1=^г-
Теорема 96 сводится к теореме 9.
B) Если ty = xr, x = xs, где 0</-<s, то y = xs/r, <р"> 0.
Теорема 96 дает теорему 16 (для положительных показателей).
Другие случаи теоремы 16 могут быть выведены подобным же
образом.
C) Пусть у = хк, где k не 0 и не 1. Тогда ср выпукла
в @, со), если &<0 или &>1, и вогнута, если 0<&<1.
Предположим, что &> 1; применяя теорему 95, мы находим, что
или
если не все х равны. Полагая рх = аЪ, рхк = ак, мы получаем
теорему 13 для & > 1. В других случаях получаются аналогичные
результаты.
D) Пусть ср = log A + ех\ так что
<W=(TW>0'
и пусть абсциссы и веса в C.8.1) будут соответственно log — ,
logr^,... и а, р,... . Мы получаем
кроме того случая, когда — ^^ = ... (теорема 40: Я для лю-
любого числа последовательностей из двух чисел).
E) Пусть ср = A -|- хгу!г, где г не 0 и не 1, и пусть абс-
абсциссы и веса в C.8.2) будут ~, —•,... и аъ Ь1}... . В дан-
данном случае <р выпукла для г>1 и вогнута для г< 1. Мы на-
находим, например, что
+ («. + К + . . . + /2)Т <

100 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
если г>1 и —, у, ... не все равны (теорема М для лю-
любого числа последовательностей из двух чисел). Напомним, что
теоремы Н и М могут быть по индукции распространены на
последовательности, состоящие из любого количества чисел.
F). 97. Если а>0, р>0, то
если не все а равны.
Из соображений симметрии мы сформулировали эту теорему
с р вместо q. Первое неравенство — это обращенное неравен-
неравенство C.8.2) с <? = logx, являющейся вогнутой функцией; оно
эквивалентно G (теорема 9). Второе неравенство — это C.8.2)
с o = xlogx, являющейся выпуклой функцией.
3.12. Выпуклые функции от нескольких переменных.
Пусть D — выпуклая область в плоскости (х, у), т. е.
область, содержащая целиком отрезок прямой, соединяющий
какие-либо две из ее точек г\ Функция Ф(лг, у) называется
выпуклой в Z), если она всюду определена в D, и
C.12.1)
для всех (хи У}) и (х2, у2) из D2). Это определение утвер-
утверждает больше, чем выпуклость отдельно относительно х и от-
относительно у; так, ху является выпуклой функцией от х для
каждого у и выпуклой функцией от у для каждого л;, но не
является выпуклой функцией от х и у.
!) Было бы достаточно рассматривать прямоугольные области,
но естественным ограничением, которое должно быть наложено на D,
является выпуклость. Рассмотрение вопросов о структуре выпуклых
или общих областей не входит в нашу задачу.
2) Существует более широкое обобщение понятия выпуклой функ-
функции от одного переменного, важное в теории функций, но которое
мы здесь не будем рассматривать. Функция Ф (дг, у) называется
субгармонической, если ее значение в центре любого круга не пре-
превосходит ее среднего значения на окружности. В частности, Ф будет
субгармонической функцией, если она дважды дифференцируема и
О теории субгармонических функций см. F. Riesz [5, 9], Montel [1]
и Привалов [1].

3.12] ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю1
Часто бывает удобно пользоваться другой формой приведен-
приведенного определения. Допустим, что х, у, и, v заданы, и рассмотрим
такие значения t (если они вообще существуют), для которых
(x-\-ut, у -\- vt) принадлежит к D. Так как D выпукла, то эти
значения t заполняют интервал (который может быть нулевым).
Тогда мы говорим, что Ф [х9 у) выпукла в ?>, если
C.12.2) yXt) = 4x + »t>y + vt)
является для каждых х, у, и, v выпуклой функцией от t
в означенном интервале. Это определение эквивалентно преды-
предыдущему, так как если
x-\-uti = xl, y-\-vti=yv x-\-ut2=x2y
то C.12.1) принимает вид
Ф называется вогнутой, если — Ф выпукла.
Если z = Ф (х, у) есть уравнение поверхности в прямоуголь-
прямоугольных декартовых координатах, то C.12.1) утверждает, что сере-
середина любой хорды поверхности лежит над соответствующей
точкой поверхности, или совпадает с ней. Если поверхность
непрерывна, мы можем вывести, что вся хорда лежит над по-
поверхностью или на поверхности и что это же утверждение
справедливо относительно центра тяжести любого числа произ-
произвольно взвешенных точек поверхности. Это составляет утверж-
утверждение следующей теоремы.
98, Если Ф(дг, у) выпукла и непрерывна, то
C.12.3) Ф(??х, Ъду)<ЪдФ(х9у).
Доказательство то же, что и для теоремы 86, если не считать
очевидных изменений в обозначениях.
Имеет место также теорема, соответствующая теореме 88;
достаточно утверждать, что ни одна хорда поверхности не лежит
(за вычетом ее концов) целиком под поверхностью. Все
другие замечания § 3.7 остаются (с очевидными изменениями)
также справедливыми.
Следующая теорема соответствует теоремам 94 и 95.
99, Если Ф(х, у) дважды дифференцируема в открытой
области Д то необходимым и достаточным условием для

102 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ.III
выпуклости Фей является положительность !) квадратич-
квадратичной формы
ф2+Ф ^
для любых и, v и всех (х, у) из D.
Если Q строго положительна®, то в C.12.3) имеет место
знак неравенства, кроме того случая, когда все х и у равны.
A) Условие необходимо. Если (х, у) лежит в /3, то функция
y(t), определенная уравнением C.12.2), выпукла в окрестности
?=0. Следовательно, по теореме 94, х/7^-0, т. е. Q>-0.
B) Условие достаточно. Если
то
где индекс 0 обозначает точку (X, Y), а индекс 1—некото-
1—некоторую точку отрезка, соединяющего эту точку с точкой (xv, _yv)-
Следовательно,
?? Ф(*, У)>Ф(Х, Y) = Ф(Е qx^qy).
Если Q строго положительна и имеет место знак равенства,
то х, = X, _yv = У для всех v.
Заметим, что форма Q положительна тогда и только тогда,
когда
C.12.4) Ф^>0, Фуу>0, Фа?а?Ф2/2/-Ф2^>0,
и строго положительна тогда и только тогда, когда
C.12.5) фхх > 0, Фуу > 0, ФххФуу—Ф1у > 0.
Она отрицательна, если имеют место третье неравенство C.12.4)
и неравенства, обратные первым двум неравенствам C.12.4).
Обобщение определений и теорем этого параграфа на функ-
функции от более чем двух переменных может быть предоставлено
читателю.
$ Q > 0 для всех и, v.
2) Q>0 для

3.13] ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА ЮЗ
3.13. Обобщения неравенства Гельдера. Неравенство
Гельдера можно записать в следующей форме:
C.13.1)
или
C.13.2)
где F(x) =xr(r > 1) и G(x)=xr\ причем г' — число, сопря-
сопряженное с г в смысле § 2.8. Полагая <р = Z7, ty = G, F(a) = х>
G(b)=y, д = <р(;с), Ь = ^{у), получаем
C.13.3) S ?? (*) Ф (У)< ? (S ?*) ф B «О-
Простейшим случаем этого неравенства будет
оно показывает, что функция <р(л;)<К.У) является вогнутой функ-
функцией от л: и у. Когда, как в данном случае, ср и ^ непре-
непрерывны, последнее неравенство эквивалентно более общему
неравенству C.13.3). Следовательно, обращая рассуждение (с про-
произвольными <р и <Jj), получаем
100. Если F и G непрерывны и строго монотонны, то для
того чтобы %{ab) и WIf (a) WI& (Ь) были сравнимы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы F~l(x) Q~l(y) была вогнутой
или выпуклой функцией от двух переменных х и у; в пер-
первом случае имеет место C.13.1), во втором — неравенство,
ему обратное.
Приведем пример. Пусть F (х) = xr, G (у) = ys. Тогда из
теорем 100 и 99 следует, что
еслиг>1, 5>1 и (г — l)(s —1)>1. Если г<1, s<l,
A — г) A — s) ^> 1, то имеет место обратное неравенство.
Эти случаи являются единственными случаями сравнимости *).
Не вошедшие в рассмотрение случаи г = 0 и s = Q могут быть
включены, если взять показательную функцию вместо степенной.
1) См. теорему 44.

104 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ.III
Мы могли бы искать более прямых обобщений неравенства
Гельдера. Неравенство Гельдера утверждает, что C.13.1) имеет
место, или f(x) и g(x) — взаимно-обратные положительные сте-
степени х и либо
(a) F(x) = xf(x), G(x) = xg(x),
либо
х х
(b) F(x)=lf(f)dt, G(x)=\g{t)dt.
о о
Можно было бы ожидать, что C.13.1) останется справедливым
для каких-нибудь других пар взаимно-обратных fug. Следую-
Следующая теорема показывает, что такое обобщение невозможно.
101. Предположим, что f(x) — непрерывная и строго
возрастающая функция, обращающаяся в нуль при х = 0, и
что f\x) существует и непрерывна для дг>0; пусть g(x)
— функция, обратная f(x) (и, следовательно, обладающая
теми же свойствами). Предположим далее, что F(x) и G(x)
определены как в (а) или (Ь) и что C.13.1) имеет место для
всех положительных а, Ь. Тогда f является степенью х и
C.13.1) сводится к неравенству Гельдера.
Рассмотрим случай (аI). Если мы обозначим F и G
через <р и ф, то, как в доказательстве теоремы 100, y(x)ty(y)
должна быть вогнутой функцией от х и у. Из теоремы 99
и C.12.4J) следует, что ср" < 0, <|/'' < 0 и
C.13.4) {?'(*) ГОО}" < ?(*Ж.У)?"(*) Г(У)
для всех положительных хну.
Если <р(л;) = я, ty(x)=v, то
а, следовательно,
C.13.5)
Отсюда
ф"(х) ф (х
О случае (Ь) см. Cooper [4].
С надлежащими изменениями знаков.

3.14] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЯХ Ю5
а значит, по C.13.4),
причем все аргументы равны лг. Это возможно только в том
случае, когда
'ф' = О,
т.е. когда cp'ty постоянна. Отсюда, по C.13.5), ху'у постоянна,
т.е. <р и другие функции являются степенями х.
3.14. Некоторые теоремы о монотонных функциях. Дока-
Докажем здесь несколько простых теорем, которые будут полезны
в дальнейшем. Первая из них характеризует монотонную
функцию, как C.4.2) характеризует непрерывную выпуклую
функцию.
1022). Для того чтобы для всех положительных х и р
выполнялось неравенство
C.14.1) (Е/О?(Е*)<Е/*К*),
необходимо и достаточно, чтобы &(х) была функцией,
убывающей в широком смысле для х > 0. Обратное неравенство
характеризует возрастающие функции.
Если ср (л:) — строго убывающая функция и число х-ов
больше единицы, то имеет место строгое неравенство.
(i) Если ср убывает, <р(?л;) ^ <р(*), откуда следует C.14.1).
(И) Если принять в C.14.1) я = 2, хх = х, х2= h, pt=l,
р2 = р^ то получится неравенство
Устремляя р к нулю, мы видим, что <р(лг + h)^. <?(•*)•
Случай ср (л:) = ха~1 @ < а < 1), р = х дает теорему 19.
103. Для того чтобы для всех положительных х выполня-
выполнялось неравенство
C.14.2) /(?*)<?/(*),
достаточно, чтобы x~xf(x) была убывающей функцией. Если
х~г/(х) строго убывающая функция и число х-ов больше
единицы, то имеет место строгое неравенство.
^ Jensen [2]. Иенсен не говорит о необходимости этого условия.

106 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
В самом деле, если мы положим f(x) =л;ср(л;), то C.14.2)
сведется к C.14.1) с р = х. Условие не необходимо, так как
C.14.2) удовлетворено для всякой /(л:), для которой
/(л:) > 0, max f(x) < 2 minf(x),
например, для f(x) = 3 ¦+- cos л:.
104. Если
C.14.3) <P(SP*)<2p<P(*)
для всех положительных х и р, то у(х) = сх, где с — по-
постоянная.
Положим в C.14.3) п = 2, хх = ху х2=у, px=yj2x и
/?2=1/2. Тогда мы получим, что
Так как мы можем поменять местами х и у, то <?(хIх
должна быть постоянной.
3.15. Суммы с произвольной функцией, обобщения нера-
неравенства Иенсена. Наряду со средними, рассмотрим и „суммы",
содержащие произвольную функцию ср. Положим
где, как в § 3.1, ф(х) непрерывна и строго монотонна. Теперь
мы должны, однако, предположить значительно больше, так как
?<р(а) не является средним значением ср(а) (как 2 #?(#)), и,
таким образом, не обязана быть одним из значений <?(х). По-
Поэтому мы предположим, что <р(.*0 положительна для всех
положительных х и что <?(х) стремится к оо либо при х—*0,
либо при л;-*оо. Кроме того, мы предположим, что все а>0,
оставляя читателю рассмотрение случаев, когда некоторые из
а равны нулю 1}.
105.2) Если ф и X непрерывны, положительны и строго
монотонны, то <5^ и ©х сравнимы, когда A) ф и — X
г) Предположим, например, что у(х)=хгу где г>0 (случай§2.10).
Тогда ^@) = 0, и мы можем не делать различия между такими дву-
двумя системами а, как A,1) и A,1,0). Если же <р@) было бы положи-
положительным, то мы должны были бы эти две системы различать, и рас-
рассмотрение случаев равенства в теореме 105 стало бы весьма утоми-
утомительным. Если y(x)->cowpn *-*0, то <5у (а) = 0, если какое-либо а
равно нулю.
2) В основном эта теорема принадлежит Куперу [Cooper, 2].

3.16] ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА МИНКОВСКОГО Ю7
возрастают или обе убывают} или B) <J> и х °&е возрастают
или обе убывают и х/ф монотонна.
В случае A)
C.15.1) ©
если ^ убывает, а х возрастает. В случае B) C.15.1) имеет
место, если ^/ф убывает. Равенство имеет место в случае
A) и, если х№ строго монотонна, также в случае B)
только тогда, когда имеется одно а.
В случае A), когда % возрастает,
&у(а) ^ X {У. (max a)} = max a
и аналогично ©9(я) <^ min a.
В случае B) допустим, что ^ и )г возрастают, и положим
Тогда C.15.1) сводится к C.14.2) и будет иметь место,
если x~lf{x) убывает, т. е. если
убывает. Если ф и х убывают, C.15.1) сводится к неравенству,
обратному C.14.2), и будет иметь место, если f/x возрастает,
т. е. если х/Ф убывает.
Читатель без труда определит случаи равенства. Когда ^ = xs,
Х=хг, мы имеем теорему 19.
Мы можем также, подобно тому как это было сделано в §2.10 (iv),
определить взвешенные суммы, а именно
где р — произвольные положительные числа. %^ сводится к Ш^, если
2/7 = 1, и к <§у, если каждое р = \.
3.16. Обобщения неравенства Минковского. Если <р(л;)=л;г,
где /*> 1, то имеют место неравенства
(злел) з
C.16.2) (
C.16.3) а

108 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ.III
причем все эти неравенства, в сущности эквивалентные друг
другу, содержатся в теореме 24.
Они перестают, однако, быть эквивалентными для общих ср;
все они имеют вид:
C.16.4) 2?
но различия между весами/? теперь уже существенны. В C.16.1)
2/? = 1; в C.16.2) /? = 1; в C.16.3) р — произвольные поло-
положительные числа. Назовем эти три случая (I), (II) и (III). Рас-
Рассматривая их, мы будем предполагать, что
<р'>0
для л;>0.
Неравенство C.16.4) утверждает, что <р~г[%р<?(х)} является
для данныхр выпуклой функцией от п переменных хи х2,...,хп;
или, по § 3.12 1)у что
X @ = ? {2/>?(* + «*)},
где х, /?, и фиксированы и х, р положительны, выпукла отно-
относительно t, при всех t, для которых х -\-ut положительны.
Если ср дважды дифференцируема, это условие, по теореме 94,
эквивалентно х'ЧО) ^ 0. Непосредственное вычисление дает
C.16.5) 2
где
C.16.6)
и i" = y"(p). Таким образом, мы должны найти, при каких
условиях
C.16.7) {?'(X)}2S/*V(*) - ?"(X){SW'(*)}2 > 0.
Нетрудно убедиться, что C.16.7) не может быть всегда спра-
справедливо без ограничения знака <р". Допустим, например, что
'0 и что <р" непрерывна и иногда отрицательна. Тогда мы
х) Мы пользуемся здесь очевидным обобщением сказанного в § 3.12
для двух переменных на случай п переменных.

3.16] ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА МИНКОВСКОГО Ю9
можем найти хг и х2 такие, что <p"(xi)<0> (?/\х2)<^0 и иг
и и2 такие, что
/ 2*'(x2) = 0.
В этом случае C.16.7) для п = 2 сведется к
<р"(*2)} > о,
а это — неверно. Мы будем поэтому в дальнейшем предпола-
предполагать, что
Мы можем записать C.16.7) в виде
Но по теореме 7,
C.16.9) 2
Следовательно, C.16.8) заведомо справедливо для всех х, w,
если
C.16.10) <2^
для всех л:. Далее, равенство имеет место в C.16.9), если
u = ?'(x)l<P"(x) (v = l,2,...,«),
так что C.16.10) является достаточным и необходимым усло-
условием для справедливости C.16.8). Наконец, если мы положим
у = ср (х) и
C.16.П) ф (у) = н*) = * (У1 Су)} =
то C.16.10) примет вид:
C.16.12)
Рассмотрим теперь в отдельности случаи (I), (II) и (III).
(i) В случае (I) C.16.12) справедливо тогда и только тогда,
когда Ф(у) вогнутая функция от у.
(ii) В случае (II) C.16.12) является неравенством, обратным
C.14.2) с у, Ф вместо х, /. Достаточным (но не необходимым)
условием для справедливости C.16.2) является возрастание
функции Ф(у)/у или, что то же самое, убывание функции

НО СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ.III
(ш) В случае (III) C.16.12) сводится к C.14.3) с надлежа-
надлежащими изменениями. Оно может иметь место в общем случае,
только если Ф(у)/у постоянна, т. е. если W7?'2 постоянна;
в этом случае <р должна быть одной из функций
C.16.13) (ах-\-Ь)с (а>0, с<11}), еах+ъ.
В этих случаях оно справедливо.
Чтобы яснее показать взаимоотношения между условиями (i)
и (ii), выскажем их в несколько иной форме. Предположим, что
у"" непрерывна; этим мы не можем серьезно снизить интерес
к результатам. Тогда из
ФОО = ?'*(*)/?"(*)
мы выводим
1М
dx ч»(х)
Следовательно, Ф(у) вогнута тогда и только тогда, когда
<?'(хI®"(х) вогнута или, что то же самое, когда <pV"/<p
возрастает. Это и является другой формой условия (i), а другой
формой (ii) является „®j®' выпукла".
Подводя итоги, мы имеем теорему
1 Об2). Предположим, что у"" непрерывна и что <р > 0>
?' > 0, ?" > 0. Тогда
(i) для того чтобы имело место C.16.1), необходимо и
достаточно^ чтобы ©'/?" была вогнута^ или чтобы <pV'7?"
возрастала)
(ii) для того чтобы имело место C.16.2), достаточно
(но не необходимо), чтобы ср/ср' была выпукла, или чтобы
фф"/®'2 убывала;
(ш) для того чтобы имело место C.16.3), необходимо и
достаточно, чтобы ср была одной из функций C.16.13).
Мы предоставляем читателю сформулировать варианты этой тео-
теоремы, когда (например) <р>0, <р' < 0, ^">0, или когда имеют место
обратные неравенства. Поучительно проверить, что (i) удовлетво-
удовлетворяется (для всех ху начиная с некоторого), когда y = xpj[ogx (p > 1),
U Так как у" > 0.
2) Первые результаты этого типа были даны Бозанкэ [Bosanquet, 1];
Бозанкэ рассматривает случай (II).

3.17] СРАВНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Ш
но не удовлетворяется при у = xp\ogxt тогда как для (ii) имеет
место обратное положение.
3.17. Сравнение последовательностей. Теорема 105 утвер-
утверждает, что
для данной пары функций ^ и у и для всех а. Теоремы этого
параграфа имеют иной характер: они содержат данные после-
последовательности (а) и (а') и произвольную функцию ср. Мы рас-
рассматриваем условия, при которых
или, что для возрастающих <р то же самое,
C.17.1)
для данных а и а' и всех <р, принадлежащих к некоторому
классу.
107. Предположим, что последовательности (а) и (аг)
убывают. Тогда, для того чтобы C.17.1) имело место для
всех непрерывных и возрастающих <р, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
fli<fl, (v = l,2, ..., л).
Достаточность этого условия очевидна. Чтобы доказать его
необходимость, предположим, что а'^ > а^ для некоторого [х,
что а^<С Ь<а^ и что <р*(лг) определена следующим образом:
ср*(х) = О (х<^), ср*(х) = 1 (х>Ь).
Тогда
Следовательно, C.17.1) неверно для <р*, а, значит, и для
надлежащим образом выбранного непрерывно возрастающего
приближения к ср*.
Наша следующая теорема связана с теоремами §§ 2.18 —2.20.
108. Для того чтобы C.17.1) имело место для всех не-
непрерывных выпуклых <р, необходимо и достаточно, чтобы
A) (а')~$(а) в смысле § 2.18, или чтобы B) (а') была осред-
осреднением (а) в смысле § 2.20.

112 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
Если эти условия удовлетворены и ®"(х) существует и
положительна для всех х, то равенство имеет место
в C.17.1) только в том случае, когда последовательности
(а) и (аг) тождественны1).
Мы уже доказали (теорема 46), что оба эти условия экви-
эквивалентны. Поэтому достаточно доказать, что первое из них не-
необходимо, а второе достаточно. Мы можем предположить, что
(а) и {а') убывают.
(i) Условие A) необходимо. Оно утверждает, что
C.17.2)
со знаком равенства в случае v=n.
Функции х и —х непрерывны и выпуклы в любом интервале.
Следовательно, еслиC.17.1) справедливо, ?а'^Еаи ?( — af) ^
^?(—а), т. е. 2Ж=?а, а это и есть C.17.2) со знаком
равенства для \ = п.
Далее, пусть
ср(х)=О (xt^aj, ср(х) = л: — av (x > ач).
Тогда ср(лг) непрерывна и выпукла в любом интервале, и
ср(х)>0, ^(х)^х — av. Следовательно,
= аг-\-а2-\- ... + а, — vav,
а это и есть C.17.2).
(ii) Условие B) достаточно. Если (а') является осредне-
осреднением (а), то мы имеем
где
ц=1 v=l
!) Schur [2] доказывает, что B) является достаточным условием;
замечание о случае равенства было также сделано им. О полной тео-
теореме см. Hardy, Littlewood and P61ya [2]; Karamata [1] рассматривает
условие A).

3.17] СРАВНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИЗ
для всех [а и v. Если <р выпукла, то
C.17.3) «
суммируя эти неравенства, получаем C.17.1).
(iii) Если в C.17.1) имеет место знак равенства, то каждое
из неравенств C.17.3) должно быть равенством.
Если <р"(#) >0 й каждое р^ положительно, то из теоремы 95
следует, что все а равны, а в этом случае все а' тоже
равны и их общие значения одинаковы.
В общем случае, однако, некоторые из р^ будут равны нулю.
Мы будем говорить, что а^ и av непосредственно связаны,
если р^ > 0, т. е. если av действительно встречается в формуле
для а?, и что два любых элемента (а или аг) связаны, если они
могут быть соединены цепочкой элементов, в которой каждые
два соседних элемента непосредственно связаны друг с другом.
Рассмотрим теперь совокупность С всех элементов, связан-
связанных с #j. Мы можем предположить (меняя, если нужно,
нумерацию), что совокупность С состоит из элементов
(С) аъ а2, ...,аг, а'ъ а?, .. ., a's,
в выражение каждого а' из С входят только а из С и никакие
другие а, и в выражения никаких других а' не входит ни одно
а из С. Следовательно, по свойствам сумм р,
так что С содержит равное число а и а'. Из теоремы 95 и из
равенства в C.17.3) следует, что все а, непосредственно связан-
связанные с каким-нибудь а\ должны быть равны этому а'. Следо-
Следовательно, все связанные а и аг равны и С содержит г элемен-
элементов каждой последовательности, все равные av
Повторяя это рассуждение для элементов, связанных с аг+1
и т. д., мы заключаем, что последовательности (а) и (а') со-
состоят из некоторого числа групп одинаковых элементов, причем
значения элементов в соответствующих группах равны.
Попутно мы доказали следующую теорему.
109. Если f(x)>0, p,v>0, SP.V = 1> S/Vv = l

114 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
и fl? = S/V,flv, то
C.17.4) S?(<0< ??(*),
ясли яе яге а и а' равны.
Когда все я' равны, C.17.4) является частным случаем тео-
теоремы 95.
Отметим еще следующий частный случай теоремы 108, кото-
который часто бывает полезен,
ПО. Если cp(jc) непрерывна и выпукла и \hf\ <^|/zj, то
C.17.5) ?(*_А')
3.18. Дальнейшие общие свойства выпуклых функций.
Начиная с § 3.6, мы предполагали, что ср(д-) непрерывна. Мы
откажемся теперь от этого предположения и рассмотрим непо-
непосредственные следствия из C.5.1). Общим выводом из следую-
следующих ниже теорем является тот, что выпуклая функция или
очень регулярна, или очень нерегулярна и, в частности, что
„не совсем нерегулярная" выпуклая функция обязательно непре-
непрерывна (так что предположение непрерывности является значи-
значительно менее ограничительным, чем можно было ожидать).
111. Предположим, что cp(jc) выпукла в открытом интер-
интервале (Я, К) и ограничена сверху в некотором интервале /,
лежащем внутри (Я, К). Тогда ^{х) непрерывна в #<•*;</С.
Далее, ср(лг) имеет всюду левую и правую производные; зна-
значение левой производной не превосходит значения правой и
значения обеих производных возрастают вместе с х.
Отсюда следует, что разрывная выпуклая функция не ограни-
ограничена в каждом интервале.
Докажем сначала, что ®(х) ограничена сверху в каждом
интервале, лежащем внутри (Н, К).
Идея доказательства состоит в следующем. Рассуждение § 3.6
показывает, что
для любых рациональных д; предположением непрерывности
мы пользовались только при переходе к иррациональным q.
Предположим теперь, что / является интервалом (h,k) и что
верхней гранью <р в / является G* Достаточно доказать, что <р
ограничена сверху в (/, h) и (&, т)ь где /и т — любые числа,
такие, что Я</</г<^<^</С. Если х лежит в (/, /г), то
мы можем найти в / такое ?, что х делит (/, $) рационально,

3.18] ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Ц5
и тогда <р(лг) должна быть ограничена сверху величиной, зави-
зависящей от <р (/) и G, и, следовательно, ограничена сверху в (/,/*).
Подобным же образом она должна быть ограничена сверху
и в (&, т).
Чтобы придать этому рассуждению точную форму, обозначим
через h левый конец / и через G верхнюю грань <р в /, и пред-
предположим, что
H<l<x<h.
Мы можем найти целые числа т и п^>т такие, что
лежит в /; тогда
max{G, <р
Следовательно, и(х) ограничена сверху в (/, К).
При доказательстве оставшейся части теоремы мы можем
ограничиться интервалом (#', К') внутренним по отношению
к (Н, К) или, что то же самое, мы можем предположить <р
ограниченной сверху в исходном интервале. Пусть, стало быть,
^G в (/У, /С), Н<Сх<СК, т и п^>т—положительные це-
целые числа, и 8 — настолько малое (положительное или отрица-
отрицательное) число, что х-\-пЬ лежит в (//, /С). Тогда
<чч [т(х-\-пЬ)-\-{п — т)х
или
n ^ m
Заменяя 8 на —8 и объединяя оба неравенства, мы получаем
п ^ т
т ^ п

116 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
(среднее неравенство следует непосредственно из выпуклости
Положим в C.18.1) т=\ и вспомним, что <?^G; тогда
получим
C.18.2)
_^
Пусть теперь 8 —> О и п —> оо так, что х ± л8 остается внутри
интервала. Из C.18.2) тогда следует, что ср(х-|-8) и <р(лг — 8)
стремятся к <р(х), т.е. что <р непрерывна.
Далее предположим, что 8>0, и заменим 8 в C.18.1) на 8/я.
Тогда получим
где Ь' = тЪ1п —любое рациональное кратное 8, меньшее 8. Так
как ср непрерывна, то C.18.3) справедливо для любого 8'<8.
Таким образом, при убывающем 8, стремящемся к нулю, пер-
первая дробь в C.18.3) убывает, а последняя возрастает, и, сле-
следовательно, каждая из них стремится к некоторому пределу,
т.е. ср имеет правую и левую производные ©J. и ®'г и <pj^<pj..
Положим, наконец, х — 8' = .^, х=х2, д;-|-8=#3 (или
х—Ъ=х19 х=х2, х-\-Ъ'=Хз); тогда C.18.3) даст
Если х1<Сх2<.Х'6<Сх±, мы тем более будем иметь
Переходя к пределам при х3^>х±, х2^>хг, получаем
C.18.4) ?;(*4) > ср;(х4) > ?;(^> > ?;(^,
что завершает доказательство теоремы.

3.19] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Ц7
Из предыдущего ясно, что
C.18.5) *,'(*<)
если ^j ^х.2<х% < #4.
Теорема 111 не утверждает ничего о существовании обыкно-
обыкновенной производной ©'(*). Однако, легко доказать, что ©'(*)
существует, за исключением, быть может, счетного множества
значений х. Функция ®'г(х), будучи монотонной, непрерывна,
кроме, быть может, счетного множества значений х. Если она
непрерывна в точке хь то, по C.18.4), ^(хх) лежит между
?i(*i) и ?;(*4); н0 TjC^)"* ?j(*i) ПРИ x4—>xt. Следова-
Следовательно, <р?(хг) = ?j(*!) и у'(х) существует при х = хх.
Из C.18.5) следует также, что если о(х) непрерывна и вы-
выпукла в открытом интервале (я, #), то
I *' — х |
ограничено для всех х и л;', лежащих в любом замкнутом
интервале, содержащемся в (а, Ь).
3.19. Дальнейшие свойства непрерывных выпуклых функ-
функций. Предположим теперь, что <?{х) выпукла и непрерывна.
Из C.18.5) следует, что если H<i<K и
то прямая
C.19.1) у — 9(?) = к(х — 6)
лежит полностью под кривой или на ней. Иначе говоря,
112. Если <?{х) выпукла и непрерывна, то через каждую
точку кривой у=<?(х) проходит, по крайней мере, одна
прямая, лежащая под кривой или на ней.
Прямая, проходящая через точку кривой и лежащая полностью по
одну сторону от кривой, называется опорной прямой. Если ср(лг)
вогнута, то через каждую точку кривой у = у(х) проходит опорная
прямая, лежащая над кривой. Если у(х) одновременно выпукла и
вогнута, то обе опорные прямые должны совпасть, т. е. у(х) должна
быть линейна.
Легко непосредственно убедиться в справедливости теоремы 112.
Если ?<#<.*:' и Р, Q, Q'—точки на кривой, соответствующие 5, х, х',
то PQ лежит под PQ' и угловой коэффициент PQ убывает, когда х

118 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ. III
приближается к ? и, следовательно, стремится к некоторому пределу v.
Подобным образом, если x<Cs и х стремится к ?, угловой коэффи-
коэффициент QP возрастает и стремится к некоторому пределу \х. Если бы jj-
было больше v и Х\ было меньше, а je2— больше $, но оба достаточно
близки к 5, то точка Р лежала бы над PiP2» что противоречит вы-
выпуклости кривой. Следовательно, |ji<vh прямая C.19.1) лежит под
кривой, если X имеет любое значение между ,а и v включительно.
В этом доказательстве мы не прибегаем к теореме 111, но оно
зависит как раз от тех геометрических понятий, которые лежат в основе
более формальных и аналитических рассмотрений § 3,18.
Предположим, наоборот, что <?(*) непрерывна и обладает
свойством, утверждаемым в теореме 112. Если Р1 и Р2 —
точки кривой, соответствующие xt и лг2, а Р — точка, соот-
соответствующая 5=-2"(#i + #2), то Pt и Р2 лежат над некоторой
прямой, проходящей через Р, и середина РгР2 лежит также
над Р. Следовательно, <р(#) выпукла.
Таким образом, мы доказали, что свойство теоремы 112 пред-
представляет необходимое и достаточное условие выпуклости непре-
непрерывной функции, которое можно взять в качестве нового опре-
определения выпуклости. Другими словами, мы можем определить
выпуклость для непрерывных функций следующим образом:
непрерывная функция у(х) называется выпуклой в (#, К),
если каждому Е этого интервала соответствует число
к = Щ) такое, что <р(Е) + л(лг — 6) ^ ?(%) для всех х из (Н,К).
Это определение выпуклых функций так же „естественно", как и
основанное на C.5.2). Интересно вывести некоторые характеристи-
характеристические свойства непрерывных выпуклых функций непосредственно из
него. Неравенство C.4.2), например, может быть выведено следующим
образом 3). Положим, как обычно,
и возьмем 5 равным % (а) — значению, лежащему между наименьшим
и наибольшим а. Тогда мы будем иметь
для некоторого X = >.(?) и всех а.
Взяв среднее 51 от каждой части, мы получим
?{«(«)} + ЧШа) - 5} < %Ы<*)}.
или
а это и есть C.4.2). Поучительно сравнить это рассуждение с прове-
проведенными в § 3.10 (ii).
*) Jessen [2].

3.20] РАЗРЫВНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ Ц9
3 20. Разрывные выпуклые функции. По теореме 111, раз-
разрывные выпуклые функции неограничены в каждом интервале;
их существование доказано пока только с помощью аксиомы
Цермело или (что для нашей цели эквивалентно) в предпо-
предположении, что континуум может быть вполне упорядочен. Если
C.20.1)
ТО
Таким образом, решение функционального уравнения C.20.1)
есть функция выпуклая.
Гамель [Hamel, I] *) доказал, что если аксиома Цермело
справедлива, то существуют базисы [а, [3, f, ...] действитель-
действительных чисел, т. е. каждое действительное число может быть един-
единственным образом представлено в виде конечной суммы
с рациональными коэффициентами а> Ь>...,/. Если мы предпо-
предположим, что это так, то сразу найдем разрывные решения
уравнения C.20.1); дадим f(x) произвольные значения /(а),
/(J3), ... для х = а} Р, ... и определим f(x) для произволь-
произвольного х с помощью равенства
= af{a) + b/ф) + ... + //(X).
Тогда, если у = а'а-\- ... , мы имеем
Кх+у) = /{ (а+ а')«+ ...} =
= (а + а')/(«) + ... = f(x) + f(y).
Для более детального изучения свойств выпуклых функций, реше-
решений уравнения C.20.1) и неравенств, связанных с ним, мы отсылаем
читателя к работам Darboux [1], Frechet [1,2], F. Bernstein [1], Bern-
Bernstein und Doetsch [1], Blumberg [1], Sierpinski [1,2], Cooper [3] и
Ostrowski [1]. Блюмберг и Серпинский доказывают, что любая вы-
выпуклая измеримая функция непрерывна, а Островский получает еще
более общий результат.
1) См также Harm [1, 581].

120 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ [ГЛ.III
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ*)
113. Если а — постоянная, а^О, и х = а<р» то
[Соответствующее свойство Ш содержится в теореме 83.]
114. Возрастающая выпуклая функция от выпуклой функции
выпукла.
115. Если каждая хорда непрерывной кривой содержит точку, ле-
лежащую над кривой, то каждая точка каждой хорды, кроме ее концов
лежит над кривой.
116. Если <р (дг) выпукла и непрерывна, а <] Ь < с и ср (а) = ср (Ь) =
= <р(с), то <р(лг) постоянна в (а, с).
117. Если а, Ь, х,у>0, то
х у
кроме того случая, когда — = =f.
118. Если /(л;)>0 и дважды дифференцируема, то для того чтобы
log f(x) был выпуклой функцией, необходимо и достаточно, чтобы
"/2>
119. Если <р(лт) непрерывна для л;>0 и одна из функций ху(х) или
?(Va?) выпукла, то другая также выпукла.
120. Если <р(л:)>0, дважды дифференцируема и выпукла, то
обладают теми же свойствами (первая для
121. Если ф и х непрерывны и строго монотонны и х возрастает,
то для того, чтобы для всех а и q
необходимо и достаточно, чтобы
?О0 = log (хф-
была выпуклой функцией.
[Ср. с теоремой 92.]
См. также Дополнения I, XVI в конце книги. (Прим, ред.)

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
121
122. Допустим, что
(О
или (что то же самое)
(хг — хъ) + ср(л:3) (х2 — хх) > 0.
>0
хх
х2 ср(лг2)
для всех хь хъ х3 открытого интервала /, для которых Х\ <Сх2<С хг.
Тогда у(х) непрерывна в / и имеет конечные левые и правые произ-
производные в каждой точке /.
Если у(х) дважды дифференцируема, то (i) и (ii) эквивалентны диффе-
дифференциальному неравенству <р"(лг) ;>0.
[(О и (ii) представляют собой другие формы неравенства C.5.2.), и
у(х) выпукла, так что эта теорема является перефразировкой частей
теорем 111 и 94.]
123. Допустим, что
(О Ч> C*i) sin (*з — х%) + 9 (*2) sin (хх — х3) + <р (л:3) sin (х2 — х{) > О,
или (что то же самое)
cos лг2 sin л:2 ср(лг2)
для всех xit Хч* х3 открытого интервала /, для которых 1<2СзС
<ДГ1 ¦+- те. Тогда ср (л:) непрерывна в / и имеет конечные левую и пра-
вую производные в каждой точке /.
Если ери) дважды дифференцируема, то (i) и (ii) эквивалентны диф-
дифференциальному неравенству
[Этот результат важен при изучении выпуклых кривых и поведе-
поведения аналитических функций в секторах. См. Poly a [1, 320; 4, 573—576].]
124. Для того чтобы непрерывная функция <р(*) была выпуклой
в интервале /, необходимо и достаточно, чтобы для любого веще-
вещественного а и любого замкнутого интервала /, лежащего внутри /,
<р(дг) ¦+- ах достигала своего наибольшего значения в / в одном из
его концов. Далее, если х и ср(лг) положительны» то для того чтобы
log cp(jt) была выпуклой функцией от log л:, необходимо и достаточно,
чтобы хау{х) обладала тем же максимальным свойством.
[По поводу приложений этой теоремы, которая следует непосред-
непосредственно из определений, см. Saks [\].\

122 средние значения с произвольной функцией [гл.ш
125. Для того чтобы непрерывная функция у(х) была выпукла
в (a, b)f необходимо и достаточно, чтобы
х-\- h
(О ¦¦'"* ' 1
ДЛЯ
[Это является следствием теоремы 124. Если у(х) удовлетворяет (i),
то то же справедливо и для у(х) -\- ах\ ясно также, что любая непрерыв-
непрерывная функция, удовлетворяющая (i), должна обладать свойством, утвер-
утверждаемым в теореме 124 *).
Теорема 125 может быть также доказана независимо от теоремы 124.
Существуют различные обобщения теоремы 125. В частности, до-
достаточно предположить справедливость (i) для любого х и произвольно
малого h = h(x).]
126. Если у(х) выпукла и непрерывна для всех х и не постоянна,
то ср (х) стремится к бесконечности при одном или другом приближе-
приближении х к бесконечности так, что становится в конце концов больше
с\х\, где с — постоянная.
127. Если <р">0 для х^>0 и <р@)<0, то yjx возрастает для
.v>0.
[Это сразу следует из равенств
128. Если ср">0 для л:>0 и
то yjx строго убывает для х
[Предел наверное существует, так как хуг — ср возрастает. Результат
следует из равенств, использованных при доказательстве теоремы 127.
Случаи, рассмотренные в теоремах 127 и 128, являются крайними воз-
возможными случаями при срг/>0; если ни одно условие не выполнено,
то -^ имеет минимум при некотором положительном х.]
129. Если <р">0 для всех х% <р@) = 0 и если под <р/* для л*=0
понимать у'@), то yjx возрастает для всех х.
130. Если последовательность ah аь . ..,«2»+i выпукла в смысле
§ 3.5, т. е. если
Д2^ = а, — 2av+1 + «v+2 > 0 (v = 1, 2 2п — 1),
Для формального доказательства использовать теорему 183.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 123
ТО
причем знак равенства имеет место только в том случае, когда после-
последовательность а представляет собой арифметическую прогрессию,
[Nanson [1]. Просуммировать неравенства
г{п — г + 1) Д2л2г-.! > О, г (п — г) ??а2г > 0.
Теорема 130 может быть также доказана как частный случай тео-
теоремы 108; последовательность, состоящая из чисел 2,4, ..., 2/х, взятых
каждое (п -\-1) раз, имеет мажорантой последовательность, состоящую
из чисел 1, 3, ..., 2п-\-1, взятых каждое п раз.]
131, Если0<*<1, то
1 —*w+i \—хп
>
[Положим х=у2 и ач=уч в теореме 130.]
132. Пусть С будет центром круга и А0А\ .. .АпА0 — вписанным
многоугольником, вершины которого лежат на окружности в означен-
означенном порядке. С, Ао и Ап фиксированы, а Аи Л2, ..., At-i меняются.
Тогда площадь и периметр многоугольника будут наибольшими, когда
[Пусть Лч)~1СЛ^=а^ Так как (&inxy<^0 для 0<^х<^к, мы имеем
по теореме 95,
если не все av равны. Аналогичное неравенство имеет место, если за-
заменить av на aJ2. Эти неравенства дают обе части теоремы. Когда
Ап совпадает с Ао, теорема сводится к известным максимальным
свойствам правильных многоугольников.]
133. Пусть / и g будут две непрерывные возрастающие взаимно
обратные функции, обращающиеся в нуль в начале, и пусть F=xf,
G = xg и g удовлетворяет неравенству
Пусть, далее, %ab*CAB для всех положительных а и Ь таких, что
ZG(b)^G(B). Тогда
[Cooper [3]. Этот результат содержится в теореме 15, когда /
является степенью х.)
134. Если ср(лг) выпукла и непрерывна для л:>0, v= 1, 2, ..., и а^
неотрицательны и убывают, то

124 средние значения с произвольной функцией [гл.ш
Если, к тому же, у'(х) — функция строго возрастающая, то равенство
имеет место только в том случае, когда все ач, начиная с некоторого v,
равны нулю, а предыдущие равны между собой.
[Hardy, Littlewood and P61ya [2]. Положим
$0 = 0, sv = а± + а2 + • • • + я\» (^ > 1)
и
^v + Ь — 1) «v = *v-l + *"*v = 2jf,
Sy — (v — 1) a^ = 2hy ^v -i — vav = 2h\
Тогда легко проверить, что | h' | < h и что \h'\ = h только в том случае,
когда ач = 0 или
ах= а2= ... =аг
Из теоремы 110 следует, что
и теорема получается суммированием.]
135. Если ^ > 1 и ан убывают, то
[Частный случай теоремы 134.]
136. Допустим, что а является функцией от vb v2, ..., vw, что ilt
/2. • •-, im — перестановка чисел 1, 2,..., т. Пусть, далее, ф и х непре-
непрерывны и строго монотонны и х возрастает. Тогда, для того чтобы
т im *i
для всех а и q, необходимо, чтобы
0) Х[д. была выпукла относительно ф^ для (х = 1, 2,..., т\
(И) Хх была выпукла относительно ф^» если X > [х и [х и X соответ-
соответствуют инверсии в перестановке /19 /2» •••> 1т (т. е. если в последова-
последовательности 1, 2, ...,т — [х предшествует X, а в последовательности
*'ь h, •• -fim—X предшествует [х).
[Jessen [3].]
137. Для того чтобы
для всех а и q, необходимо и достаточно, чтобы было A) ^^
B) г^ < 5Х (причем [х и X определены, как в теореме 136).
[Jessen C). Наиболее важными случаями являются
(i) т = 1, г<s.
(И) /w = 2, (/i, /2) = BЛ), s2 = r2>s1=r1.
Эти случаи соответствуют теоремам 16 и 26. Центральную часть тео-
теоремы представляет утверждение, что если две части неравенства срав-
сравнимы, то оно может быть доказано повторным применением частных
случаев, соответствующих (i) и (ii).J

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 125
138. Если непрерывная кривая у = <р(лг), определенная в открытом
интервале, например 0<*<1, обладает тем свойством, что через
каждую точку кривой проходит прямая, которая либо (а) лежит пол-
полностью под кривой, либо (Ь) лежит полностью над кривой, то одно
из (а) и (Ь) справедливо для всех точек кривой, и кривая выпукла или
вогнута.
[Легко показать, что если Sa и «S& — множества значений х, для
которых имеет место (а) и (Ь), то Sa и S& замкнуты (в открытом ин-
интервале). Но континуум не может быть суммой двух непустых, замкну-
замкнутых и непересекающихся множеств.]
139. Предположим, что <р(лг) выпукла и ограничена снизу в (//, К)
и что т(х) — нижняя грань у(х) в точке х (предел нижней грани у(х)
в интервале, содержащем х). Тогда т (х) является непрерывной вы-
выпуклой функцией от х и либо (ij y(x) тождественна с т(х), либо
(ii) множество точек графика у(х) всюду плотно в области Н^х^К,
У>т(х).
Если у(х) выпукла и неограничена снизу, то множество точек гра-
графика у(х) всюду плотно в полосе Н^^К
[Bernstein und Doetsch [1J.J

Г Л ABA IV
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
4.1. Введение. Некоторые специальные неравенства, встречаю-
встречающиеся в анализе, часто могут быть проще доказаны с помощью
особых приемов и методов, чем применением общей теории.
Поэтому мы прерываем здесь систематическое изложение нашего
предмета и включаем короткую главу, посвященную иллюстрации
простейших и наиболее полезных из этих приемов. Материал
этой главы подобран скорее с точки зрения применяемых мето-
методов, чем с точки зрения получаемых результатов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
4.2. Приложения формулы конечных приращений. Наши
первые примеры являются непосредственным приложением фор-
формулы конечных приращений
D.2.1) f{x + A) -f(x) = hf'ix + 6й) @ < 8 < 1),
или ее обобщений для производных высших порядков. Из
формулы D.2.1) следует, что функция с положительной произ-
производной возрастает вместе с х.
A) Мы имеем
\og(x-\-\) — logx = l/;,
где 0<x<S<x-|-l. Отсюда
^ /1 i I Vе /i i 1 \x+i
Следовательно, 14 возрастает, а ( 1 -+- — убы-
\ x / \ л /
ает. Так как вторая из этих функций
= лг-|- 1 >1, то имеет место теорема
вает. Так как вторая из этих функций равна A \ ь\ где

4.2] ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛЫ КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ 127
140. A + —) возрастает для х>0; A ) убывает
\ х J \ х I '
для х>1.
В основном эта теорема совпадает с теоремой 35.
B) Если х> 1, г> 1, то имеем
где 1 <И<х и, таким образом,
141. *>•>!+/¦(*-!)+!,-(,._ 1)Г?=!J (лг>1,г>1).
Это неравенство было выведено в менее точной форме
в§ 2.15.
C) Если хфО, то мы имеем
D.2.2) е*=\ -\-х-\-^х2е^,
где 0 < 6 < 1. Следовательно,
142. е*>1-\-х (хфО).
Мы можем дать теперь другое доказательство теоремы 9-
Если
и не все а равны, то можно положить а = A -\- л:)?(, где
?<7.v=0 и не все х равны нулю. Тогда l+Ar^e^ со знаком
неравенства по крайней мере для одного х, и
TfnQ — s)f TT A -I— y W << ЩрЩх ^= Щ ^= Vna
Это рассуждение является частным случаем приведенного
в конце § 3.19.
D) Функция
и ее первые две производные равны нулю при х = 0. Других
корней уравнения f(x) = 0 не существует, так как в противном
случае повторным применением теоремы Ролля можно было бы
доказать существование корня у уравнения frt(jx) = ex.
Следовательно,

128 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
Такое же рассуждение применимо к любому числу членов ряда
Тэйлора многих других функций. Для функции ех мы получаем
143. Если п — нечетное число, то
D.2.3) *»>1+* + |г + ... +^т (хфО).
Если п — четное, то для х > 0 имеет место D.2.3), а для
д:<0 — неравенство, обратное D.2.3).
4.3. Дальнейшие приложения элементарных теорем диф-
дифференциального исчисления. В этом параграфе мы дадим неко-
некоторые приложения, носящие менее непосредственный характер.
A) Повторное применение теоремы Ролля приводит без
труда к следующей лемме1): если все корни х/у уравнения
/С*э У) = Wm + c^-ty + ... + сту™ = О
действительны, то действительными будут и корни всех
нетождественных уравнений2), получаемых из него диф-
дифференцированием по х и у. Далее, если Е обозначает одно
из этих уравнений и Е имеет кратный корень а, то а
является также корнем, кратности на единицу большей,
уравнения, из которого Е получено дифференцированием.
Эта лемма может быть применена к доказательству одной
теоремы, уже доказанной в менее точной форме в § 2.22.
144 3). Если я1э а2, •••>яп— п действительных положитель-
положительных или отрицательных чисел, /?0 = 1, и р^ обозначает сред-
среднее арифметическое произведений ja различных а, то
P^iP^i<P9; O=l> 2, ..., я —1),
если не все а равны.
Мы предполагаем, что ни одно а не равно нулю, так
как, если допустить нулевые а, перечисление случаев равенства
весьма осложняется.
Пусть
, у)=(х-\- агу) (х -\-а2у).. .{х-\-апу) =
= Ро*п -\-{\
!) Maclaurin [2]. См. Полна и Cere [I, II, 45—47 и 230—232].
2) Т. е. уравнений, не все коэфициенты которых равны нулю.
8) Newton [1, 173]. Дальнейшие ссылки даны в § 2.22.

4.3] ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРЕМ 129
Так как все а Ф О, то рп ф 0 и х\у = О не является корнем урав-
уравнения / = О. Следовательно, х\у = 0 не может быть кратным
корнем ни одного из производных уравнений.
Отсюда мы можем заключить, что два следующих одно за
другим /?, как например /?а и p^hli не могут быть оба равны
нулю, т. е. что уравнение
получающееся из f(x, у) = О последовательными дифференциро-
дифференцированиями, не может быть тождеством. Но так как оно имеет
действительные корни, то
Наконец, корни производного уравнения могут быть равными
только в том случае, когда все корни исходного уравнения
равны.
Отметим, что а не должны быть обязательно положитель-
положительными, как это было предположено в § 2.22 гК
B) Пусть <?(x) = logBipax), где а положительны и неравны
(это не является действительным ограничением). Тогда, по тео-
теореме 7,
f = Y,pax log а п ? рах S pax (log af — (S pax log af ^ ft
Если ar— наибольшее а, то мы легко находим, что
ср(О) = log 2ру lim (*?'— <р) = — \ogpr.
СС ->ОО
Из теорем 127 и 129 теперь следует, что у/х возрастает для
х > 0, если Е/7^*, и для всех х, если ?р = 1« В последнем
случае
^ = log 9Яш(а), Hm igl = ^/@) = log ©(a).
Таким образом, мы имеем новые доказательства теорем 9 и 16.
Если же, с другой стороны, />V>-1 для каждого v, то, по
теореме 128, <р/* убывает. В частности, &х(а) =(ЦажI/я? убы-
убывает (теорема 19). Общий случай дает часть теоремы 23.
а) Кроме теоремы 55. Для положительных а см. теоремы 51, 54, 77
и § 3.5.

130 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
C) Следующие примеры применяются в баллистике.
1
145. log sec л: <.-^
146. Если
X
?(*) = J О + sec t)dt =x + log (sec x-f tgx)t
о
mo
?(x) = 81og^c_?
убывает от 1 до 0, когда х возрастает от 0 до -^-.
[По теореме 145 — (g3p'ctgДг)<0, и, следовательно, p'<O.J
147. Функция
CD
\ A + sec t) log sec * ^/
log secx Г A -fsec /) dt
о
монотонно возрастает от --¦ до -^ > когда х возрастает от
0 до у .
При доказательстве теоремы 147 мы можем воспользоваться сле-
следующей общей теоремой.
148. Если f, g и fig' — положительные и возрастающие функ-
функции, то fjg либо возрастает для всех рассматриваемых х, либо
убывает для всех таких х, либо убывает до некоторого мини-
минимума, а затем возрастает. В частности, если f(Q) = g@) = Q,
то f/g возрастает для х^>0.
Для доказательства заметим, что
\
gjg'
f f
и рассмотрим возможные пересечения кривых у = — , у = —j . В од-
ной из этих точек пересечения первая кривая имеет горизонтальную,
а вторая — поднимающуюся касательную, а, значит, более одного
пересечения быть не может.
Если принять g за независимую переменную, положить f(x) =
и допустить, как в последнем условии теоремы, что

4.4] МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
или что ср @) = 0, то теорема примет вид: если <р @) = 0 и y'(g) воз-
возрастает для g>0, то y/g возрастает для ?">(). Этот результат
является небольшим обобщением части теоремы 127. Теорему 148
следует также сравнить с теоремами 128 и 129.
4.4. Максимумы и минимумы функции от одного пере-
переменного. Один весьма общеупотребительный метод доказа-
доказательства неравенств заключается в нахождении максимума или
минимума функции <о(х) путем рассмотрения знака <?'(х).
A) Так как
то функция A—х)ех имеет в точности один максимум при х = 0*
Следовательно,
149. **<т=7 (*<!> хФО).
Это является также следствием теоремы 142.
B) Так как
l,
то функция logх — х -\- 1 имеет один максимум при х = 1. Сле-
Следовательно,
150. logx<x — 1 (х>0,хф1).
Заменяя здесь х на х^п, где п любое положительное
число, мы получаем более общее неравенство log л: < п(х1/п—1).
Это неравенство является также следствием теоремы 36.
C) Пусть
где k> 1, х >0, .у >0.
Легко проверить, что <?(х) имеет единственный максимум 0
при хк =ук'.
Это дает новое доказательство неравенства Но (теорема 38),
а, следовательно, и неравенства Н (теорема 11).
D) Если х и у положительны и k > 1, то функция
Т. Т./
х у
^X) = xy---JL-
имеет производную у — х ' и достигает своего максимума 0
при хк=ук'. Отсюда следует теорема 61 (а, следовательно,
и теоремы 37 и 9).

132 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
E) Функция
() = ху — х log х — еу~х,
где х положительно, достигает своего максимума 0 при х = еу~х.
Отсюда следует теорема 63.
4.5. Приложения ряда Тэйлора. Если f(x) = %anxn и
g (х) = ? Ьпхп — два степенных ряда с положительными коэффи-
коэффициентами и ап^.Ьп для каждого я, то мы говорим, что
f(x) мажорируется g(x), и пишем f-^g. Ясно, что если
/<g и ft-<gv то f/1-<gg1 и т.д.
Для иллюстрации приложения этого понятия в доказатель-
доказательствах неравенств докажем теорему
151. Если sw = аг-\- а2-\- ... -\-ап, где я>1 и все а поло-
положительны, то
В самом деле, 1 -\-анх-^еа^х, так что
ПA +а*)
Далее, суммируя коэффициенты при 1, л:, л:2, ...,x/I и заме-
замечая, что строгое неравенство имеет место уже между коэффи-
коэффициентами при л:2, получаем утверждение теоремы.
Его можно также доказать, представив левую часть в виде
(так что прх = sn) и использовав теорему 52.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ;
ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4*6* Приложения теории максимумов и минимумов функ-
функций от нескольких переменных. Наиболее „универсальным"
методом нахождения и доказательства неравенств является об-
общая теория максимумов и минимумов функций от любого числа
переменных. Допустим, что мы хотим доказать сравнимость
двух функций о и ф от непрерывных переменных xv х2, ..., хп%
например, что © — ^^-0. Если функция © — ф имеет ми-
минимум, то искомое неравенство будет иметь место тогда и
только тогда, когда этот минимум неотрицателен; решение же

4.6] МАКСИМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 133
задачи о нахождении этого минимума (во всяком случае, если
рассматриваемые функции дифференцируемы) может быть всегда
предпринято обычными методами теории максимумов и
минимумов.
Хотя теоретически этот метод и весьма заманчив, при прак-
практическом применении он часто ведет к серьезным осложнениям
в деталях (обычно связанным с „граничными значениями" пере-
переменных), и как бы полезен он ни был для получения наводя-
наводящих идей, сам по себе он редко ведет к простейшему решению. Про-
Проиллюстрируем эти замечания на основных неравенствах О и Я.
A) Для доказательства G рассмотрим функцию
/(Xj, ЛТ2, . . . , Xn-l) = Xi Х^ • • • Хп ,
где
xn = — Et — qtxt — ... — ?n-i*n-i),
Hn
в замкнутой и ограниченной области хх^>0^ ..., хп^0. Так
как / непрерывна, то она достигает своего наибольшего значе-
значения во внутренней точке области, а не на границе (где / равно
нулю). В точке максимума
0 — — ^-—q* q*q* fv — 1 2 п.—П
т. е. в ней все л;-ы равны %. В этом случае граничные значения
переменных не вводят никаких осложнений !).
B) Неравенство Н (для двух последовательностей перемен-
переменных) может служить примером применения „метода Лагранжа".
Рассмотрим функцию
f(Xv ЛГ2, . ..,Хп)= Ml + b*x2 + • • •
где ?v>0, при условии, что
равно некоторой положительной постоянной X. Определенная
неравенствами jc^-Ои уравнением & = Х (п — 1)-мерная область
замкнута и ограничена, и в каждой из ее граничных точек по
крайней мере один из д:-ов равен нулю.
Ср. § 2,6 (i)f

134 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
Если наибольшее значение достигается во внутренней точке,
то в этой точке мы имеем
 = и = *>
причем X не зависит от v, и простое вычисление показывает,
что
/=Xх1* (S bw)vv=(SхУ &кI/к'.
Остается еще возможность, что наибольшее значение дости-
достигается в граничной точке, где одно из ху скажем хПу равно
нулю. Эта возможность может быть исключена индуктивным
рассуждением, так как если мы предположим, что наше нера-
неравенство уже доказано для п — 1 переменного и что хп=0, то
Недостаток этого метода заключается в том, что индукция
должна быть все-таки применена; а раз это так, то лучше уж
доказать всю теорему методом индукции, и мы приходим
к одному из доказательств Я, данных выше.
C) То обстоятельство, что проведение этого метода во всех
деталях приводит, как в случае B), к осложнениям, весьма
характерно; тем не менее он бывает весьма полезен, так как с его
помощью очень часто можно найти путь к решению задачи.
Многие из наших теорем утверждают неравенства между
симметрическими функциями /(дгц х& ..., хп) и g(xl9 д;2,..., хп)
одинаковой степени однородности, положительными для всех
положительных х. Таковы, например, теоремы 9, 16 и 17
(для единичных весов — основной случай), теорема 45 (в слу-
случае сравнимости) и теоремы 51 и 52.
Применяя метод Лагранжа, мы должны рассматривать ма-
максимум/при постоянном g, скажем, g=l. Уравнения Лагранжа
в этом случае имеют вид
Эти уравнения всегда имеют систему решений
Xi = Xg = ... = Хщ

4.7] СРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ И РЯДОВ 135
а \ является значением / для этой системы значений х. Если
\ равно единственному наибольшему значению /, то/^Ag*,
причем f=kg только в том случае, если все х равны.
Это действительно имеет место в приведенных выше при-
примерах, но существуют и другие случаи, в которых решение
не дает наибольшего значения /, как, например, в случае
несравнимости в теореме 45.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.7. Сравнение рядов и интегралов. Существует много не-
неравенств, которые могут быть легче всего доказаны методами
интегрального исчисления — часто интуитивно, расемотрением
площадей и объемов. Ниже приведено несколько наиболее
полезных общих теорем, касающихся интегралов, взятых в эле-
элементарном смысле Римана или Римана-Стилтьеса. В гл. VI,
где неравенства между интегралами будут рассмотрены более
систематически, мы будем оперировать с общими интегралами
Лебега и Лебега-Стилтьеса.
Следующие теоремы были в принципе доказаны уже Макло-
реном и Коши *).
152. Если f{x) убывает для х^-Q, то
Если f(x) — функция строго убывающая, то имеют место
знаки строгого неравенства.
Действительно,
V+1
(со знаком неравенства, если f(x) строго убывает).
Следующие теоремы имеют аналогичный характер, и мы при-
приведем их без доказательств.
Maclaurin [I, I, 289]; Cauchy [2, 222].

136 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
153. Если а0 < ах < а2 < . .. и f(x) убывает для х ^ а0>
то
п
Е {ач — a,_x)f(a,) < f(x)dx < Е (^ — ^-i)/(^-i)«
«о
154. Если /(лг)>-0 и f(x) убывает в интервале @,;),
?^ O^S^l, w возрастает в интервале tji, I), wo
155. Если f(x,y) является убывающей функцией от х
при постоянном у и убывающей функцией от у при постоян-
постоянном х, то
т п .
S S /Ом) < J J /С** У)rf^ ^fy <
Применения этих теорем, особенно в теории сходимости
рядов, могут быть найдены в любом учебнике анализа.
4.8. Неравенство Юнга. Следующая простая, но полезная
теорема была доказана У. Юигом1) и принадлежит к другому
типу.
156. Пусть cp(#) — непрерывная и строго возрастающая
функция для х^О, <р@) = 0. Если ty(x) — функция, обрат-
обратная <р (х) (и обладающая, следовательно, теми же свойствами),
>0 *>0, то
причем знак равенства имеет место, только когда Ь = ®(а).
Теорема становится очевидной, если мы проведем кривую
у = <р (х) или х = ф (у), прямые * = 0, д; = я, ^ = 0,^у=? и
рассмотрим площади, ограниченные ими. Формальное доказа-
х) W. Н. Young [2],

4.8] НЕРАВЕНСТВО ЮНГА 137
тельство содержится в доказательстве более общих теорем, сле-
следующих ниже.
Следствием из теоремы 156 является
157. Если удовлетворены условия теоремы 156, то
Теорема 157 слабее теоремы 156, но часто оказывается столь
же полезной в приложениях.
Перейдем теперь к более общим теоремам, содержащим тео-
теорему 156.
158. Пусть v=l, 2, ..., я, av>0, /Jx) — непрерывные,
неотрицательные, строго возрастающие функции, и одно из
/v@) равно нулю. Тогда
О ^
причем равенство имеет место только в том случае, когда
aj = a2=... = an1).
Это неравенство становится очевидным, если рассмотреть
в пространстве п измерений кривую .rv = /v(?) и объемы, огра-
ограниченные координатными плоскостями и цилиндрами, проекти-
проектирующими кривую на эти плоскости.
Для проведения формального доказательства положим
так что F4(x)<^f4(x). Пусть ап будет наибольшим из av. Тогда,
принимая во внимание, что IIFv@)=0, мы имеем
v о
= S f П F^x) df4(x)<? S J П
причем знак равенства имеет место только в том случае,
когда каждое ач равно ап.
V Oppenheim fl]. Приведенное в тексте доказательство дано Т. Коу-
лингом (Т, G. Cowling).

138 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IV
1591>. Пусть gv(x) — система п непрерывных и строго
возрастающих функций^ каждая из которых обращается
в нуль при х = 0; пусть
D.8.1) llg;\x) = x
и av>0. Тогда
}-dx.
х
о
причем равенство имеет место только в том случае, когда
g&x) = 8ъ(Ч) = ¦ ¦ ¦ = gn(an)-
Положим
и применим теорему 158 к системе /v(at) =yv(x). Тогда мы
получим
\ ач
ITav = ITyv(#v) < S T~r^dyAx)= S -§:^ rfy.
w ^ Уч\Х) " v у
о '^ч 7 о ^
Система я функций
связанных соотношением D.8.1), является обобщением пары
взаимно-обратных функций. В самом деле, если п = 2, поло-
положим gt(x) = xo (х), g2(x) = xty(x) и перепишем D.8.1) в сле-
следующих двух видах:
Тогда
>Ь Их) =g2(x)/x = g-11{g2(x)})
и g^gv gi1g2 взаимно обратны. Так как ср и ф теоремы 156
всегда могут быть представлены в такой форме, теорема 159
содержит теорему 156.
Если в теореме 159 положить gv(jt) = xt/q*, 2<7v=li
то условие D.8.1) удовлетворено, и мы получаем
Cooper [1].

4.8] НЕРАВЕНСТВО ЮНГА 139
т. е. теорему 9.
Если в теореме 156 положить <р(л:) = хк~г, где k > 1, то
ty(x) = xk'~l, и получается теорема 61.
Если мы положим
и заменим и, v через а-\- 1, &-|-1, то мы получим теорему 63
для и^> 1, г^^ 1 *).
Выше мы заметили, что можно интуитивно убедиться в спра-
справедливости теоремы 156 на основании простых геометрических
соображений. Если же вместо площадей мы будем сравнивать
число точек с целыми координатами, то получим
160. Если ср(лг) строго возрастает вместе с ху <р@) = 0,
и ty(x) функция обратная ср(лг), то
где [у] обозначает целую часть от у.
Эта теорема сама по себе менее интересна, чем теорема 156,
но она дает представление об одном типе рассуждений, который
часто с успехом применяется в теории чисел.
*) В действительности этот результат имеет место для и >0и всех v.
См. § 4.4 E).

ГЛАВА V
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
5.1. Введение. До сих пор наши теоремы относились к ко-
конечным суммам; теперь мы должны рассмотреть их обобще-
обобщения на бесконечные ряды. Мы покажем, что наши теоремы
остаются справедливыми при переходе к бесконечным рядам во
всех тех случаях, когда они сохраняют смысл.
Необходимо сделать два предварительных замечания.
A) Первое замечание относится к пониманию наших формул.
Неравенство типа Х< Y (или Х^С Y)% где X и Y — бесконечные
ряды, следует всегда понимать как означающее, что „если Y
сходится, то X сходится и Х< Y (или X^Y)U. Вообще нера-
неравенство типа
E.1.1) X<Y>AYb...Ze
(или Х^ %AYb...Zc), где Г, ..., Z — конечное число беско-
бесконечных, рядов, 2— конечная сумма и Л, Ь, ...,с положи-
положительны, должно пониматься так: „если Y, ..., Z сходятся,
то X сходится и X удовлетворяет неравенству". Без этого
замечания те неравенства, в которых стоит знак „<", могут при-
привести к недоразумению. Если Y расходится, мы можем услов-
условно приписать ему величину оо; тогда Х^оо не содержит ника-
никакого утверждения, тогда как Х<оо утверждает сходимость^,
что обычно будет неверно.
Некоторые из неравенств, которые нам встретятся, не будут
иметь вида E.1.1). Они обычно будут вспомогательными, и
в случае сомнения относительно их толкования, они должны
быть сведены к виду E.1.1). Так, Xa<CAYb должно быть
понято как
X<A1/aYb/a,
а это неравенство имеет вид E.1.1); X>Y должно быть по»
нято как Y<X.
Одно важное неравенство, а именно,
E.1.2) 2 аЬ >B a*I/ft (l^ffk\
где к<1,кфОг\ мы намеренно записываем в форме,
И B.8.4) теоремы 13»

5.1] ВВЕДЕНИЕ 141
отличной от E.1.1). Мы могли бы записать его в виде
E.1.3) S а* < B <t
если 0<?<1, или в виде
E.1.4) Z^'
если &<0. Эти неравенства имеют вид E.1.1) и в такой форме
возникают непосредственно в доказательстве теоремы 13. Мы
предпочитаем вид E.1.2) по формальным соображениям, а также
потому, что он яснее выявляет различие между двумя случаями
теоремы; но если мы хотим явно и точно указать соотношения
сходимости, мы должны исходить из других форм.
В небольшом числе других случаев неравенство утверждается
не между двумя бесконечными рядами, а между выражениями,
являющимися результатами иных переходов к пределу. Так,
когда мы обобщаем неравенство G(a)<maxa (теорема 2), то
получаем неравенство между бесконечным произведением и
верхней гранью бесконечного множества. Такое неравенство
X < К должно быть, конечно, истолковано так: „если Y конечно,
то X конечно и X <i Yu.
B) Второе замечание относится к методу и должно рас-
рассматриваться в связи с § 1.7. Допустим, например, что мы
хотим доказать неравенство
для бесконечных рядов. Мы знаем, что это неравенство имеет
место для конечных сумм (теорема 7), а так как а и b поло-
положительны, то искомый результат сразу получается переходом
к пределу.
Таким простым методом мы не можем, однако, обобщить тео-
теорему 7 на бесконечные ряды в ее полном виде, так как при
переходе к пределу знак строгого неравенства „<" переходить в
Xй, и мы не в состоянии выделить возможные случаи равен-
равенства. Здесь, и в других случаях, мы должны избегать таких
переходов к пределу; вместо вывода теоремы для бесконечных
рядов из теоремы для конечных сумм, мы должны показать,
что доказательство, данное для конечных сумм, остается в силе
и для бесконечных рядов с теми минимальными изменениями,

142 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
которые необходимы в новых условиях. Например, каждое из
доказательств теоремы 7 в § 2.4 может быть распространено
на случай бесконечных рядов при помощи нескольких очевид-
очевидных замечаний о сходимости.
Нет необходимости систематически обобщать результаты
гл. II. Немногие возникающие при этом новые вопросы легко
разрешимы, и не особенно интересны, а наиболее важные из них
будут рассматриваться в более интересной форме в гл. VI.
В настоящей главе мы поэтому ограничимся лишь иллюстра-
иллюстрациями и замечаниями по поводу этих новых случаев и закон-
закончим ее перечислением некоторых более важных теорем гл. II,
которые остаются справедливыми и для рядов.
5.2. Средние Шг. Начнем с некоторых замечаний, связан-
связанных с одним новым вопросом, возникающим при определении
средних Шг. Мы имеем теперь бесконечное число элементов а
и весов /?, и должны рассмотреть два случая: сходимости и
расходимости ряда ?/?.
(i) Если ряд ? р сходится, мы можем предположить, что 2 /> = 1,
и писать q вместо р. В этом случае Шг определено для г > О
посредством равенства
E.2 Л) Шг{а) 11
и может рассматриваться, как „среднее" в смысле § 2*2, или
как „взвешенная сумма" в смысле 2.10 (iv). Шг(а) конечно или
бесконечно в зависимости от сходимости или расходимости
ряда %qar.
(ii) Если ряд %р расходится, мы все же можем определить Шг
как предел, например, как
E.2.2) Шг (а) = lim (? pX/2PvIA",
п -»оо 1 1
или как соответствующий верхний предел lim. Последнее опре-
определение не особенно интересно, хотя оно оставляет в силе
большинство наших теорем. Если мы определим Шг с помощью
E.2.2), мы встретимся со следующим затруднением: из суще-
существования Шг для данного г не следует его существование
ни для какого другого г. Действительно, мы можем найти та-
такую последовательность (а), что Шг будет существовать для
данных r = rv r2, ..., гт и ни для каких других значений г.
Поэтому мы сосредоточим наше внимание на случае (i).

5.2] СРЕДНИЕ dJtr 143
По поводу общего вопроса о существования Шг см., например,
Besicovitch [1J. В качестве иллюстрации указанного положения на-
наметим кратко, как найти а так, чтобы один из пределов
существовал, а другой нет; здесь р = 1.
Возьмем сначала две последовательности
ах, а2, ..., ош, oi» а2, ...; Pi, P2, •••, Рю» Pi» P2» •••
с периодом со. Когда я = а, оба предела существуют и равны
когда а = р, они имеют соответствующие пределы Вг и В2.
Теперь возьмем в качестве а
a1( 0-2, ....
Pi. h' ¦¦¦>
(X [, Otg, . . . ,
аш (повторенные Л
ры (повторенные Л
аш (повторенные /
/i раз),
Г2 раз),
^з раз),
Легко видеть, что предполагая последовательность Л^, -^, ^ ...
ivi ^2
быстро стремящейся к бесконечности, мы можем сделать
— (#! + я2 + ••• + ^п) и — (Й1 + а2 "Ь ••• ~\~ап) колеблющимися ме-
между соответственно, Аъ В± и Л2, ^ Условиями сходимости будут
тогда, соответственно, А\ = В\ и Л2 = i52 и очевидно, что мы можем
выбрать аир так, чтобы одно из этих условий было удовлетворено,
а другое нет.
Мы ограничиваемся в дальнейшем случаем (i). Определим Шг
для положительных или отрицательных г с помощью E.2.1) при
условии, что ШГ = ОУ если г < 0, и некоторые из а равны
нулю, или %раг расходится. Определим © (или Шо) при
помощи равенства
E.2.3) © (а) = ЗЛ0 (а) = №q = ехр (? q log a)
и условимся, что © = сю, если Ш3 стремится к сю (т. е* если
v ^ log й стремится к + со), и © = 0, если Ш« стремится к О
(т. е. если %q\oga стремится к —со). Заметим, что log a
может иметь любой знак и что определение © теряет смысл,
если Stfloga колеблется. В этом случае © не имеет смысла.

144 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
Из теорем 36 и 150 следует, что
E.2.4) iOg/<^=i<^=i @<r<st <>0),
если Ьф\. Определим log+/ и log"/ посредством равенств
log+/ = log/(/> 1), log+/ = 0 @<*<1),
log-/ = log / @ < / < 1), log"/ = 0 (/ > 1),
так что
log+*> 0, log"/< 0, log / = log+f + log"/,
log-/ = —log+y.
Из E.2.4) тогда следует, что
0 < Iq log+a < у S V <У - 1)< у S4 (л8-1),
где ?' означает суммирование по всем а, превосходящим еди-
единицу. Таким образом, если Ш8(а) конечно для некоторого по-
положительного s, то Шг(а) конечно для 0 < г < s и ?<7log+a
сходится. Аналогично мы можем доказать, что если Ш~8(а) по-
положительно для некоторого положительного sy то Tt_r(a)
положительно для —s< — г<0 и %q\og~a сходится. В пер-
первом случае © положительно и конечно или равно нулю, во
втором — положительно и конечно или бесконечно. Если 2 q log a
колеблется, то оба ряда ?#log+a и S^log"a расходятся; это
возможно только в том случае, когда Жг(а) = оэ для всех
положительных г и Шг(а) = 0 для всех отрицательных г.
Это и является тем единственным случаем, когда © теряет
смысл.
Мы сталкиваемся здесь с одним новым обстоятельством,
которое, как мы увидим в § 5.9, сказывается при определении
случаев равенства в некоторых из наших теорем. Это обстоя-
обстоятельство возникает в связи с тем, что при г^ 0 Шг(а) может
быть нулем и в том случае, когда ни одно а не равно нулю.
Если г > 0, то, как и в гл. II, Wtr(a) может быть нулем только
в том случае, когда (а) — нулевая последовательность, и в этом
случае ffir(a) = Q для всех г. Но дело обстоит иначе, если
г^О. Для такого г Шг(а) в гл. И было нулем в том и только
в том случае, когда некоторые а были нулями, и тогда Шг{а)
было равно нулю для всех г ^ 0. Теперь же при г ^ 0 возможно,

5.3] ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ 3 И 9 145
что Ш8(а) равно нулю для $<г и положительно для s^r,
или равно нулю для $^г и положительно для s > г.
Так, в теореме 1 мы имели два исключительных случая:
min а < Шг (а) < max a *),
кроме тех случаев, когда все а равны или г < 0 и одно из а
равно нулю. Все, что мы можем сказать теперь, состоит в сле-
следующем: „кроме тех случаев, когда либо все а равны (тогда
оба неравенства обращаются в равенства), либо г <С 0 и
Шг(а) = 0 (тогда первое неравенство обращается в равенство)".
Например, аналогичное затруднение возникает, в связи с тео-
теоремами 2, 5, 10, 16, 24 и 25 (если ограничиться только
результатами, упомянутыми в нашей сводке в § 5.9).
5.3. Обобщения теорем 3 и 9. Мы воспользуемся неравен-
неравенствами E.2.4) и соотношением
lim —::=— =logt.
Г
Полагая в E.2.4) ^ = a/S^a = a/?t и /-=1, имеем
log©— Iog5t = ??(loga — Iog2l)<l — 1=0,
причем равенство имеет место только в том случае, когда
каждое а равно 51. Таким образом, аналог теоремы 9 доказан.
Предположим теперь, что Ш8 конечно для некоторого поло-
положительного 5. Тогда © положительно и конечно или равно
нулю; приведенное ниже доказательство применимо к обоим
случаям^. Для данного е>0 мы можем найги N так, что
E.3.1)
E.3.2) S ?^=^<e,
n>N s
*) Здесь под min и max нужно, конечно, понимать соответственно
точную нижнюю и верхнюю грани. (Прим. перее.)
1> Это доказательство построено аналогично данному Ф. Риссом
[F. Riesz, 7J для соответствующей интегральной теоремы; см. § 6.8.

146 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
и затем г0 так, что 0 < r0 < s и
E.3.3) Е Ч^т^< Е
для 0 < г < г0. Тогда мы будем иметь
log © (а) = у log © (а') < у log % (а*) <
= 2 «*^+I <7
< Е q\oga-\-s + ? g?i=i
Следовательно,
log 5Wr (a) =y log 51 (^) -> log ©(a)
при r -> -f- 0. Доказательство того, что если 9Wr положительно для
некоторого отрицательного /*, то 9№г —> © при г-* — 0, мы пре-
предоставляем читателю.
5.4. Неравенство Гельдера и его обобщения. Дока-
Доказательства неравенства Гельдера и других теорем того же типа,
данные в гл. II, применимы и к бесконечным рядам. Заметим,
что ряды могут быть также кратными. Так,
Предположим, например, что Sms?h ^v2, сходятся, и положим
<V = *№> ?,v = (И- + v)-1-8 (8 > 0).
Так как ЕЕ(^ + v)-2-28 сходится, то, следовательно, сходится
и ряд
Это—неполная форма теоремы 315, которая будет дока-
доказана ниже.
Теоремы о $)?п выведенные из неравенства Гельдера (теоремы
16 и 17), остаются без изменений, за исключением формулировки
второго случая равенства в теореме 16, которая должна быть
изменена в соответствии с нашими замечаниями в конце § 5.2.
Теперь мы должны сказать: „кроме того случая, когда s<10
и эд (а) = 0\

5.4] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬ ДЕР А И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 147
В связи с этой группой теорем возникает еще один, более ин-
интересный, вопрос. Существует теорема,, внушаемая теоремой 15,
но не являющаяся ее следствием (даже в ее обобщенном виде
для бесконечных рядов) и не имеющая аналога для конечных
сумм.
161 *). Если k > 1 и ряд %ab сходится для всех Ьу для кото-
которых Sftfe'<ooi mo S#fe сходится.
Мы выведем эту теорему из следующей теоремы Абеля 2)?
которая представляет и большой самостоятельный интерес.
162. Если ряд ?#п расходится и
так что Ап-> со, то
(О Ет расходится,
00 Е—iqhr сходится для каждого положительного
п
(\) Правая часть неравенства
^n+2 ^+ АЛ
стремится к 1 для данного п и г -> со и, таким образом,
будет больше х/г Для каждого п и некоторого соответствующего г.
Это доказывает утверждение (i).
г) Landau [1].
2) Abel [1]. Существуют теоремы того же типа, содержащие произ-
произвольную функцию /(•*)• Так» если S «w расходится, /(*) положительна
и убывает и
с»
/= f f{x) ах,
1
то сходимость / влечет за собой сходимость S anf(An)> и из расхо-
расходимости / следует расходимость Цап/(Ап-л): см., например, Ш. Ж.
де ла Балле Пуссен [1, 398—399], Littlewood [1]. Эта теорема, хотя и
более общего характера, не содержит теорему 162 как частный слу-
случай: из расходимости / еще не следует, что ? anf(An) расходится.
Примером может служить
«„=2*", f{x)=—J—.
" v ' л: log л:

148 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
(И) Мы можем, очевидно, предположить, что 0<8<1.
Тогда ряд
А*п-А*п_± ( 1 Л
АЬ АЬ ~ \АЬ W
сходится. По теореме 41 числитель общего члена левой части
не меньше, чем S^n-iO^n—Ап_1) = ЪапАп~1'. Отсюда сле-
следует, что ряд
ап
~А^
сходится. Таким образом мы доказали даже несколько больше,
чем утверждается в (и).
Для вывода теоремы 161 положим
ак = и, ab = uv, bk> = uvk'.
Мы должны доказать, что если ряд?#п расходится, то суще-
существует последовательность vn, для которой 2#Л* расходится,
а 2 unVn сходится. Возьмем vn = l/Un, где Un = ut -\- u2-\-
-\- ... -j- un, и результат следует из теоремы 162.
5.5. Средние Шг (продолжение). О средних 9ЙГ остается
добавить лишь несколько замечаний. Начнем с замечания, касаю-
касающегося обобщения теоремы 4. Та часть этой теоремы, которая
относится к положительным г, должна быть интерпретирована
следующим образом: „если последовательность (а) ограничена,
и а* = max а есть ее верхняя грань, то
при г-*-|-оо; если же (а) неограничена, но Шг конечно для
всех положительных г, то 9№г-*оо.
Непрерывность Ttr для конечных положительных или отри-
отрицательных г теперь не совсем очевидна. Мы формулируем
ниже полную теорему, но не приводим ее доказательства, так
как все возникающие в нем вопросы повторятся в более инте-
интересной форме в гл. VI (§§ 6.10—6.11).
Если ап = С, то Шг = С для всех г и положительного
или равного нулю С. Мы исключаем этот случай, а также тот

5.6] суммы ©r 149
случай, в котором ® не имеет смысла, когда ffir = оо для г >0
и ЭД?У=О для г<0. Мы пишем
(и условимся писать log со =-|-оо, logO=—со).
163. За исключением только что упомянутых случаев,
множество I значений г, для которых 8г(а) конечно,
является либо нулевым множеством, либо замкнутым, полу-
полузамкнутым или открытым интервалом (ut v), где —оо ^ и ^
^v-^-\-oo, содержащим г = 0 внутри или в одном из кон-
концов, так что и <0<>, а в остальном произвольным (в част-
частности этот интервал может содержать все действительные г или
ни одного). gy=-|-co правее и 2Г=—со левее 1, а внутри
I (если он существует) 2Г является непрерывной и строго
возрастающей функцией от г. Далее, когда г приближается
к концам I изнутри, Qr стремится к пределам, равным его
значениям в этих точках.
5.6. Суммы ©у. Определение ©г, данное в § 2.10, остается
без изменений, и мы ничего не можем добавить к теоремам,
относящимся к этим суммам; только теоремы о непрерывности
©у как функции от г становятся теперь, естественно, менее
очевидными. Теорема 20 должна быть понята так, что „если
©г сходится для некоторого (достаточно большого) г, то она
сходится и для всех ббльших г и т. д.", а теорема 21 так, что
„если ©у сходится для всех положительных (произвольно малых)
г, то и т. д.". Обобщение теоремы 20 может быть доказано
следующим образом. Если ©j? сходится для некоторого поло-
положительного /?, то а^-»0, и ©г сходится для г > /?. Суще»
ствует наибольшее а, которое мы можем (в силу однородности)
предположить равным 1; предположим также, что последова-
последовательность (а) убывает. Если тогда
а1 = а2 = • • • = aN = 1 >
то мы имеем
для г > R. Сумма бесконечного ряда лежит между 1 и
W +
откуда и следует теорема.

150 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
Имеет место новая теорема (тривиальная в случае конечных
сумм).
164. Если Zr сходится, то ©г непрерывна для г > R и
непрерывна справа для r=R. Если ©# расходится, но ®г
сходится для г>/?, то ©г->оо при r-+R.
Доказательство может быть предоставлено читателю.
5.7. Неравенство Минковского. Основные рассуждения
§§ 2.11—2.12 не требуют изменений. Теоремы 24—26 могут
быть следующим образом обобщены на двойные бесконечные
ряды.
165 !). Если г>1 и атп не имеет вида Ьшсп, то
{1 Чп (S РтатпУ }lfr < S pm (S 4fflmnfr.
п т т п
Если 0<г< 1, то имеет место обратное неравенство.
Не ограничивая общности, мы можем предположить, что
/;=1, #=1, и доказательство проходит, как раньше Анало-
Аналогично, теореме 27 соответствует
166.
если г> 1 (с обратным знаком неравенства, если 0<г<1),
за исключением того случая, когда для каждого п атп = 0
для каждого т, кроме одного.
5.8. Неравенство Чебышева. В качестве дальнейшего при-
примера возьмем неравенство Чебышева (теорема 43).
Мы можем предположить, что ?/?=1. Тождество
п п п п л п п
2 /V S /^А — s р^ ? р,д, = у S S /VPv (^и. — av) (*jt — *v)
показывает, предполагая, конечно, что ни (а), ни (Ь) не является
нулевой последовательностью, (i), что если (а) и (Ь) упорядочены
в одинаковом смысле, то из сходимости %pab следует сходи-
сходимость Яра и ?/?^ и (и), что если (а) и (Ь) упорядочены
в противоположных смыслах, то из сходимости ?/?# и %pb
следует сходимость %pab. В каждом случае мы можем поло-
положить в тождестве п = оо, и наши выводы следуют, как раньше.
V Здесь, как и в теореме 26, мы отклоняемся от нашего обыч-
обычного условия относительно q.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 151
5.9. Сводка результатов. Следующая теорема является по
существу перечислением основных теорем гл. II, которые
остаются справедливыми для бесконечных рядов, с теми приме-
примечаниями и дополнениями, которые были приведены в предыдущих
параграфах.
167. Теоремы 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28 и 43 остаются
справедливыми и для бесконечных рядову если их утвержде-
утверждения понимать в соответствии с замечаниями § 5.1 и если
в теоремах 1, 2, 5, 10, 16, 24 и 25 изменить формулировки
случаев равенства в соответствии с замечаниями § 5.2.
Полезно все же развить последнюю оговорку теоремы более по-
подробно. Последние слова теорем должны быть заменены следующими:
A) „или
B) „или
E) „или г<0м Wtr(a) 0,
A0) „или B) © (а + Ь +..,+/) = 0",
A6) „или s < 0 и Ws (a) = 0м,
B4) „или г<0 и <Жг{а + Ъ+... +1) = 0\
B5; „или if
Добавим также, что (как было разъяснено в § 6.4) большинство
теорем, перечисленных в теореме 167 (в особенности те, которые
относятся к Шг), могут быть выведены как частные случаи из соот-
соответствующих теорем для интегралов. В гл. VI, однако, мы часто не
будем рассматривать отрицательные значения г.
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ *)
Большинство следующих ниже теорем связано, главным образом,
€ теоремами 156 и 157. В теоремах 168—175 мы предполагаем, что
f(x) и ^"(лг) взаимно обратные, строго возрастающие функции, обра-
обращающиеся в нуль при х = 0, и что
X X
Fix) = | fWdtt, G{x) = J g(t) dt.
о
168. Если ряды ? F{<*n) и ZG(bn) сходятся, то *laubn тоже
сходится и
[Следствие из теоремы 156]
*) См. также Дополнение II в конце книги. (Прим. ред.)

152 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [ГЛ.У
169. Если ряды Tianf(an) и I,bng(bn) сходятся, то ряд ?anbn тоже
сходится и
Е anbn < Lanf(an) + E bng(bn).
[Следствие из теоремы 157.]
170. Можно найти такую / (и, следовательно, g, F, G) и такие ап>
что У,Г(ап) расходится, но %апЬп сходится для всех Ьп> для которых
Б О(Ьп) сходится.
171. Возможно сделать ряд ? a<nf(an) расходящимся, в то
время как y?ianbn сходится для всех Ьп, для которых сходится T>bng <bn).
[Последние две теоремы показывают, что для теорем 168 и 169 не
существует обратных теорем в том смысле, в каком теорема 161
обратна неравенству Гельдера, и, следовательно, не существует соот-
соответствующего признака сходимости. Теорема 171 была доказана Купе-
Купером [Cooper, 3J; теорема 170, содержащая теорему 171 и несколько
более сильная, чем она, может быть доказана аналогично.]
172. Если Е; Л», v сходится, то Ei—— также сходится.
^ogi\/bn) log я
[Cooper [3J; теорема 172 используется в доказательстве Купера
теоремы 171.]
173. Если g(x) удовлетворяет неравенству
и если Ъс1пЬп сходится всегда, когда сходится ?bng(bn), то %ctnf(an)
сходится. Аналогично, из сходимости ^anbn для всех Ьп, для которых
?C/(#w)<oo, следует сходимость %F(an).
[По поводу первого утверждения, которое в данном случае силь-
сильнее, см. Cooper [3]; второе утверждение является следствием первого.]
174. Если ЪйпЬп сходится всегда, когда сходится JC(ftft), то суще-
существует число Х = Х(а), зависящее от последовательности (а), для
которого %F(kan) сходится.
175. Если удовлетворены условия теоремы 174 и F(cx)*CkF(x)
для малых лг, некоторого с>1 и некоторого k, то T,F(an) сходится.
[О последних двух теоремах см. Birnbaum и Orlicz [1J.J
176. Если ап и Ьп стремятся к нулю, k положительно и
сходятся, то Е anbn сходится.
[Использовать теорему 169.]
177. Если х >0, ап > 0 и f(x) = Е апхп% то f(x) — выпуклая функ-
функция от х и \ogf(x) — от log*.
[Ясно, что У"(х)^0. Для доказательства второго утверждения
положим х = е~У, f(x) = g(y). Тогда
gg" ~gr2=L ane-«v S n*ane-«v - (? nane-«vf > 0,
по теореме 7. Результат следует теперь из теоремы 118.]

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 153
178. Если ям>0, Хп > Хя_1>Ои f(x) = %апе~ п*\ то logf(x) —
выпуклая функция от х.
179. Если ап^>0 и 1п, [хп, ..., vn, л:, j;, ..., 2 — действительные
числа, то область D сходимости ряда
выпукла, и log/ — выпуклая функция от х, у, ... , z в D.
[Ибо (по теореме 11, обобщенной на бесконечные ряды)
Здесь наши соглашения относительно сходимости играют важную
роль.]
180. S 4 < 2 (S п2а2п)Ч* (Е (ап
если не все а равны нулю.
[См. теорему 226.]

ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЫ
6.1. Предварительные замечания об интегралах Лебега»
Интегралы, рассматриваемые в настоящей главе, — это интегралы
Лебега; только в §§ 6.15—6.22 мы будем иметь дело с инте-
интегралами Стилтьеса. Здесь уместно указать, какие сведения из
теории интегрирования предполагаются известными. Как правило,
они очень невелики. Читателю, обычно, достаточно знать, что
существует некоторое определение интеграла, которое обладает
свойствами, перечисленными ниже. Многие из наших теорем
сохраняют смысл и остаются справедливыми и при более ста-
старых определениях интеграла; однако рассмотрения становятся
легче и в то же время более полными, если мы будем осно-
основываться на определении интеграла достаточной общности.
Мы предполагаем известным понятие измеримого множества,
как правило, линейного, но иногда и нескольких измерений.
Рассматриваемые нами множества могут быть ограниченными
или неограниченными. Определение меры применимо в первую
очередь к ограниченным множествам; неограниченное же множе-
множество считается измеримым, если каждая ограниченная часть его
измерима, и за его меру принимается верхняя грань мер всех
его ограниченных частей *).
Мы будем без оговорок предполагать, что каждое рассмат-
рассматриваемое нами множество Е измеримо. Мы обозначаем меру Е
через тЕ, а когда это не может вызвать недоразумений, то и
просто через Е. Когда Е неограничено, тЕ может быть бес-
бесконечностью.
Мы также предполагаем, что читатель знаком с понятием
измеримой функции. Суммы, произведения и пределы измери-
измеримых функций измеримы. Все функции, определяемые обычными
процессами анализа, измеримы, и мы ограничимся рассмотрением
только измеримых функций; мы не будем, как правило, каждый
раз повторять, что рассматриваемые нами функции предпола-
предполагаются измеримыми.
Далее, мы предполагаем у читателя знакомство с определе-
определением интеграла от ограниченной или неограниченной функции
*^ Здесь под ограниченной частью множества понимается его общая
часть с некоторой конечной сферой. (Прим. перев.)

6.1] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ЛЕБЕГА 155
по (ограниченному или неограниченному) интервалу, или по
измеримому множеству. Ограниченная измеримая функция инте-
интегрируема по любому ограниченному измеримому множеству.
Мы называем класс (ограниченных или неограниченных) функ-
функций, интегрируемых в (ограниченном или неограниченном) интер-
интервале, или на множестве Е, классом L или, если нужно подчерк-
подчеркнуть множество, по которому берется интеграл, классом L{E).
Если / принадлежит к L, то мы пишем f?L.
/»
Если / = 1, то \ fdx = тЕ.
Если /?L, то \f\?L.
Если /+ и /~ — функции, равные /, когда /, соответственно,
положительна или отрицательна, и равные нулю в остальных слу-
случаях, так что
/+ = тах(/, 0), /~=min(/,0), / = /+ +
и если /?L, то /+?L и /~?L и *)
\fdx =
Если/^ 0 и (f)n = min (/, /г), то (по определению)
\fdx = lim \{f)ndx.
Если f?L и (g измерима и) \g\ < C|/|, то
Если Л,/2, ...,/йб/:, то
i/i + «a/a + • • • + ^А) ^ =
Если р > 0 и (/ измерима и) |/|р?1, то мы говорим, что
/ принадлежит к классу /Д и пишем f?Lp. Эти классы осо-
особенно важны при р^>1. Класс Z,1 совпадает с L.
Если интегрирование производится по конечному интервалу
(или по ограниченному множеству), то класс 1Р содержит каждый
*) Мы приводим результаты, относящиеся к функциям одного
переменного, и не указываем те множества, по которым производится
интегрирование.

156 интегралы [гл. vi
класс L« с # > р; f?Lq влечет /?ZA Ограниченная функции
принадлежит к каждому Lq. Эти предложения не имеют места для
бесконечных интервалов: / может принадлежать к Lp (О, оо)
для единственного значения р.
Если интервал конечен и fdLq, р <#, то \f\p < 1 + \f\q, так
что f$Lp.
Если рассматриваемый интервал есть @, а), где а < 1, то
A) x~~xlp $Lp~b для любого о>0, но не принадлежит к Lp;
B) x-^Aog —)~/P€Z.*, но не принадлежит к Lpbb; C) log— ?LP
\ X J X
для любого р\ и D) е1!® не принадлежит ни к какому Lpt Если мы
имеем дело с интервалом @, оо), то х~^2 A + 11о§^ I)" €^2. но не
принадлежит ни к какому другому Lp.
6.2. Замечания о нулевых множествах и нулевых функ-
функциях. Множество меры нуль называется нулевым множеством.
В теории интегрирования мы можем пренебрегать нулевыми
множествами. Если f = g, за исключением точек, составляющих
нулевое множество, то мы говорим, что / и g эквивалентны,
и пишем f = g. Эквивалентные функции имеют равные инте-
интегралы (если они вообще интегрируемы).
Если / = 0, то мы говорим, что / есть нулевая функция.
Аналогично мы определяем понятия: „функции, эквивалент-
эквивалентные на Е", „функция, нулевая на Е". Вообще мы не будем
отмечать множество Е, если все ясно из контекста, как, напри-
например, если мы рассматриваем интегралы, распространенные по Е.
Если все ху кроме х, принадлежащих некоторому нулевому
множеству, обладают каким-либо свойством р{х), то мы говорим,
что почти все х обладают свойством р(х), или что р{х) имеет
место для почти всех х, или почти всюду. Так, нулевая функ-
функция почти всюду равна нулю.
Обычно мы предполагаем, что наши функции /, gy ... почти
всюду конечны; но в некоторых случаях мы должны будем
рассматривать функции, бесконечные на множестве положитель-
положительной меры. Так, если / неотрицательна, равна нулю на множе-
множестве Е положительной меры, и г < 0, то мы должны рассмат-
рассматривать fr на Е как бесконечность и \ frdx как имеющий зна-
значение оо.

6.3] ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ 157
Если Е — нулевое множество, то
в
для всех /. Мы будем без оговорок предполагать, что множе-
множество Еу по которому распространяется интеграл, не нулевое.
Если /^>0, то необходимым и достаточным условием
для того, чтобы \fdx = Ot является /=0.
Напомним здесь теорему, которая заменяет это предложение
в теории интеграла Римана. Мы обозначаем через R класс функций,
интегрируемых в смысле Римана. Чтобы / принадлежала к R, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы / была ограничена и чтобы множество
точек разрыва / имело меру нуль.
Если f?R и />0, то необходимым и достаточным условием
для того, чтобы \/^лг = О является выполнение равенства / = 0
во всех точках непрерывности /.
Действительно, если, во-первых, условие выполнено, то /=0 и,
следовательно, \/d* = 0. И, во-вторых, если оно не выполнено, то
существуют точка непрерывности ?, в которой /(?)>0, и интервал,
содержащий ?, в котором /(*) > i-/(?), так что (*/^лг>0.
Эта теорема позволяет нам определять случаи равенства в наших
неравенствах, когда они относятся к функциям, принадлежащим к R.
Действительно, большинство наших теорем может быть понимаемо
двояко. Мы будем все время считать, что интегралы суть интегралы
Лебега и „нулевая функция" и „эквивалентные функции" должны
пониматься как в теории Лебега. Но можно также принять, что инте-
интегралы суть интегралы Римана, а „нулевая функция" — это функция,
равная нулю во всех точках ее непрерывности, и „эквивалентные функ-
функции" — это функции, разность которых есть нулевая функция в этом
смысле.
6.3. Дальнейшие замечания, относящиеся к интегрирова-
интегрированию. Изложенное в §§ 6.1 и 6.2 является достаточным осно-
основанием для большинства дальнейших теорем, как, например, для
самых полных форм неравенств Гельдера и Минковского (тео-
(теоремы 188 и 198). Мы встретимся лишь с немногими случаями,
в которых мы должны будем прибегнуть к более сложным
теоремам, которые мы здесь сформулируем.
(а) Интегрирование по частям. Нужна следующая теорема:
если f и g—абсолютно непрерывные функции, то
]fg'dx=\fgfa-lfgdx.

158 интегралы [гл. vi
(b) Переход к пределу под знаком интеграла. Двумя основ-
основными теоремами являются здесь следующие.
A) Если \sn(x)\ < 9(*)> где ?€^> и sn{*) стремится
к пределу s (x) для всех или почти всех х, то
\sn{x)dx-± f s{x)dx.
B) Если sn{x)?L для каждого п, sn(x) возрастает с /г
для всех или почти всех х, и
\\msn(x) = s(x),
то
\ sn(x) dx -» i s{x) dx.
В предложении B) интеграл в правой части может быть
бесконечен, и в этом случае результат должен читаться как
\ sn(x) dx—> оо; в частности, это имеет место, когда $(.*:) = оо
на множестве положительной меры. В каждой из этих теорем
п может быть целым числом, стремящимся к бесконечности, или
непрерывным параметром, стремящимся к некоторому пределу.
Как показывается в руководствах по теории функций действитель-
действительного переменного, из A) следует, что функция f(x), для которой разно-
разностное отношение \f(x-\-h) — f(x)]jh ограничено (и которая, следова-
следовательно, почти всюду имеет производную), является интегралом от своей,
производной. Из этого замечания и из замечания сделанного в конце
§3,18 следует, что непрерывная выпуклая функция f(x) является инте-
интегралом от своей производной f(x) или ее односторонних производных
f'l{x), f'r{x). Она является, таким образом, интегралом от возрастающей
функции. С другой стороны, если f(x) есть интеграл от возрастающей
функции g(x) и /г>0, то
^ g(u)du=f(x)-f(x-h),
х—h
так что f(x) выпукла. Следовательно, класс непрерывных выпуклых
функций совпадает с классом интегралов от возрастающих функ-
функций.
Любая возрастающая функция принадлежит к /?, так что эти ин-
интегралы существуют в смысле Римана, и предыдущая теорема может
быть доказана и без применения теории Лебега.

6.4] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 159
(с) Подстановка, Основной теоремой является: если fug
интегрируемы, g^®> О — интеграл от g, и a = G(a),
? = G(p), то
ъ р
F.3.1)
Здесь любое из а, Ьу а, {J может быть бесконечностью*).
(d) Кратные и повторные интегралы. Мы будем применять
только „теорему Фубини": Если f(x,y) измерима и неотри-
неотрицательна и один из интегралов
а в а в в а
Hfdxdy, Idxlfdy, \dy\fdx
Ъ Ъ Ь
а Ъ а Ъ Ь
существует, то существуют и два других, и все три равны.
Пределы интегрирования могут быть конечными или бесконеч-
бесконечными, и сами интегралы могут быть расходящимися (если один
из них расходится, то расходятся и другие два).
Пусть /(л:, у) измерима и неотрицательна. Двойной интеграл
равен нулю только в том случае, когда f{x,y) — нулевая
функция, т. е. когда множество значений, для которых / > О,
имеет меру 0. Первый повторный интеграл равен нулю в том
и только в том случае, когда fix,у)—нулевая функция от
у для почти всех х; второй—когда f(x,y) —нулевая функ-
функция от х для почти всех у. Следовательно, соответствующие
три понимания „нулевой неотрицательной функции от двух
переменных* эквивалентны.
6.4. Замечания о методах доказательств. Неравенства,
доказанные для конечных сумм, часто могут быть распростра-
распространены на интегралы посредством предельных переходов, но при
этом обычно кое-что теряется. В качестве примера рассмотрим
интегральный аналог теоремы 7.
*) Добавим еще два замечания, относящиеся к формуле F.3.1).
A) Если мы, как в тексте, предположим, что g неотрицательна
и интегрируема, но что / только измерима, то существование выра-
выражения в правой части F. 3. 1) является как необходимым, так и до-
достаточным условием для существования левой части, т.е. для интегри-
интегрируемости /.
B) Хотя из интегрируемости f(x) следует интегрируемость
f{G(y)}g(y), отсюда не следует даже измеримость f{G(y)}.

160 ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VI
Предположим сперва, что f(x) и g(y) неотрицательны и
интегрируемы в смысле Римана в @,1); положим в теореме 7
Разделив обе части на л2, получим
и, переходя к пределу при п—> оо,
F.4.1) (J jfe at*) < J /9Лс J g4x.
О 0 0
При рассмотрении интегралов Лебега мы должны рассуждать
иначе2).
Предположим, что fug неотрицательны и ?1? на @,1)
и что ers есть множество, на котором
<4 (/•,«=1,2,3,...).
Тогда, по теореме 7,
Но
и для g" имеет место аналогичное неравенство. Отсюда, пере-
переходя к пределу при п-> оо, мы получаем F.4.1).
В обоих случаях наш окончательный результат несовершенен
Даже если мы воспользуемся теоремой 7 с „<", это вы-
вырождается в „ ^" при переходе к пределу, и мы теряем из
виду возможные случаи равенства.
Переход в обратном направлении от интегральных неравенств
к неравенствам между рядами значительно проще и может
*) Здесь существенна „ однородность относительно 2а (§ 1.4).
*) Строгая форма этого рассуждения была предложена нам
Г. Эрселлом (Н. D. Ursell).

6.5] ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ 161
быть произведен подходящим выбором функций. Рассмотрим,
например, неравенство
1 1
F.4.2) ехр (J log/(*) dx) < j f(x)dx
о о
(§ 6.7, теорема 184). Если
и мы положим
-х <x<qx-\- ...
причем qx-\- ... -\- <7v-i означает нуль при v = 1, то получается
теорема 9. Случаи равенства в теореме 9 следуют также не-
непосредственно из случаев равенства в F.4.2).
Этот метод часто бывает очень полезен, так как с интегра-
интегралами обычно легче оперировать, чем с рядами. Примеры этого
мы встретим в гл. IX.
6.5. Дальнейшие замечания о методе; неравенство
Шварца. Мы преодолеваем осложнения § 6.4 так же, как в слу-
случае бесконечных рядов, а именно таким изменением дока-
доказательств гл. II, что они становятся применимыми к интегралам
наиболее общего типа. Рассмотрим для примера „неравенство
Шварца" (или Буняковского; см. стр. 16), аналог теоремы 7.
181.
кроме того случая, когда Af=Bg, где А и В постоянные,
из которых, по крайней мере одна отлична от нуля.
Здесь, и дальше, мы опускаем пределы интегрирования, если
они не играют никакой роли. Они могут быть конечны или
бесконечны, или интегралы могут быть распространены на любое
измеримое множество Е, причем в этом последнем случае
Af^Bg означает, конечно, что A/ =Bg на Е. Мы также пред-
предполагаем, в соответствии со сказанным в § 5.1, что „Лг< Уи
означает, „если Y конечно, то X конечно и J< Г, и что
другие формы неравенств, упомянутые в § 5.1, должны быть
интерпретированы аналогично. Так, каждое неравенство содер-
содержит некоторое утверждение относительно „сходимости", кото-
которое мы будем особо подчеркивать только в отдельных случаях.
Например, в теореме 181 неявно содержится утверждение,

162 ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ.У1
что „если \ f2dx и J g2dx конечны, то fgdx конечен; если
/и g?L*, 7ofg?L\
Приведем доказательства, соответствующие доказательствам
§ 2.4.
(i) Имеем
dX j g*(y)dy + \ j f\X) dx j g\y) dy -
) dx
= у j dy j {/(*) ^(^) — g{x) f(y)fdx > 0.
Остается рассмотреть возможности равенства. Во-первых,
равенство несомненно имеет место, если Af^Bg. Дальше,
если равенство имеет место и g—нулевая функция, то Af^Bg
с А = 0, В=\. Мы можем поэтому предположить, что g ф 0,
так что множество Е, на котором g Ф 0, имеет положитель-
положительную меру. Если
\ J ^ = 0,
то
F.5.1) jlf(x)g(y)-g(x)f(y)?dx = O
для почти всех у и, следовательно, для некоторого у, принад-
принадлежащего к Е. Мы можем поэтому предположить, что g (у0) Ф 0
и что F.5.1) имеет место для у = у0. Но тогда f(x) g(y0) —
— g(x)f(yo) = ® ^ля почти всех xt и теорема доказана,
(и) Квадратичная форма
положительна. Мы можем теперь закончить доказательство,
как в § 2.4.
Подобным образом доказывается аналог теоремы 181 для
кратных интегралов. Обычно мы не будем приводить таких
обобщений, но будем ими иногда пользоваться. Во всех таких
случаях эти обобщения могут быть доказаны таким же образом,
как и основная теорема.

6.6]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНИХ 2КГ(/) ДЛЯ
163
Аналогично, перенеся доказательство теоремы 8} мы получим
182 О.
\fdx \fgdx ... \fhdx
\hfdx \hgdx
кроме того случая, когда f,g, ..., h линейно зависимы,
т. е. когда существуют такие постоянные А, В, ..., С, из
которых, по крайней мере, одна отлична от нуля, что
Af-\-Bg-\- ...+СА = 0.
СРЕДНИЕ Wlr(f)
6.6. Определение средних Ttr(f) для г=?0> В дальней-
дальнейшем знак интеграла без указания пределов относится к конеч-
конечному или бесконечному интервалу (а, ?), ияи к измеримому
множеству Е2\ Функция f(x) конечна почти всюду на Е и не-
неотрицательна; р(х), „весовая функция", конечна и положительна3)
всюду на Е и интегрируема. Параметр г — действительное число,
отличное от нуля.
Из наших предпосылок следует, что 0< J/?
бывает удобным предполагать, что jjpdx = l;
(ср. § 2.2) мы пишем q вместо р.
Положим
/ (pfdx
F.6.1) Ш(/) Ш(/р) [JF
< со. Часто
этом случае
Jpdx
F.6.2)
так что
F.6.3)
П/r
!) Gram 11].
2) Когда г>0, мы можем свести каждый случай к интервалу
(— со, оо), полагая / = 0 на множестве, дополнительном к Е.
3) Предположение р > 0 вместо /?>0 привело бы к несколько
иным результатам относительно случаев равенства (например, pf^pC
вместо /^С). Этот случай мог бы быть сведен к нашему на вид бо-
более специальному случаю заменой Е подмножеством Е, на котором
р>о.

164 интегралы [гл. vi
и условимся, что если интеграл J pfrdx бесконечен, то
f'dx = со, 3Rr(/) = co (г>0), ЗЯГ(/)=О
В частности, Ttr(f) = 0, если /' < 0 и /= 0 на множестве поло-
положительной меры. Если мы далее условимся рассматривать 0 и
оо обратными друг другу, то мы будем иметь
Эта формула дает нам возможность переходить от положитель-
положительных к отрицательным г, и в следующих ниже теоремах мы
будем ограничиваться в большинстве случаев положительными г.
Если /= 0, 2Rr(/) = 0 для всех г. Если /= С, где 0 < С < оо,
то Шг (/) = С для всех г. Если /=00*), то 2Wr (/) = со для
всех г. За исключением этих случаев, Шг(/) может быть равно
оо только для г > 0 и равно 0 только для г < 0.
Мы определим Мах/как „эффективную верхнюю грань" от/,
т. е. как наибольшее ?, обладающее следующим свойством:
„для каждого е>0 существует множество ?(е) положительной
меры, на котором />? — е". Если такого \ не существует,
мы пишем Мах/=оо. Для функций, непрерывных в замкну-
замкнутом интервале, Мах/ равен обыкновенному максимуму. Min/
определяется аналогично; Min/^О и
F.6.5) Min/ = -
Мах
(т)"
Эквивалентные функции имеют одни и те же Мах и Min.
Предположим, например, что пределы интегрирования суть 0 и оо
и что f(x) и q(x) — ступенчатые функции
f(x)=ani q{x)= qn (n — 1 <*<л, п= 1,2,...)*
Тогда
по определению E.2.1). Аналогично
Мах/ = Max a, Min / = Min at
х) Мы на момент допускаем этот случай вопреки принятому
в § 6.2 условию что, / конечна почти всюду.

6.7] СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ 165
и (предвосхищая определение в § 6.7) © (/) = Ща). Это замечание
дает нам возможность включить многие теоремы гл. II « гл.У в со-
соответствующие теоремы настоящей главы.
Мы можем также предположить, что пределы интегрирования суть
О и 1, и положить
И в этом случае Шг(/) сводится к Шг(а).
183. Если гфО и Wlr(f) конечно и положительно, то
Min/<3)tr(/)<Max/,
кроме того случая, когда / = С\
Здесь г может быть любого знака. Доказательство аналогич-
аналогично доказательству теоремы 1. Докажем сначала искомое нера-
неравенство для г = 1. Применяя весовую функцию q(x), мы имеем
§q(f-%)dx=0.
Отсюда следует, что либо /=21, либо / — 21 положительно
и отрицательно на множествах положительной меры. Это дока-
доказывает результат для г=1, и мы можем перенести его на
общий случай с помощью соотношения F.6.3).
Если мы хотим сформулировать теорему 183 в форме, точнее
соответствующей теореме 1 и ее обобщению в § 5.2, мы должны
сказать:
„Min/< Шг(/) < Мах/, кроме тех случаев, когда f^c
или при г < 0, когда Э№г(/) = 0". Мы тогда имеем два случая
равенства, в точности соответствующие случаям § 5.2, а именно
„основной" случай, р котором оба неравенства превращаются
в равенства (f=c), и „побочный" случай, в котором только
одно из неравенств сводится к равенству; последний может
иметь место только для г < 0. Это различие встречается во
многих из наших теорем, когда г < 0, как в гл. II и V; но оно
менее заметно здесь, так как мы часто пренебрегаем отрицатель-
отрицательными значениями г.
6.7. Среднее геометрическое функции. Мы определяем
среднее геометрическое ©(/) следующим образом:
/ {p\ogfdx\
F.7.1) %(f\=-(&(f"b ™r~ \ Jr &
jpdx
или
F.7.2) log ©(/) = « (log/),

166 ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VI
так что, в частности, если р = qy \ pdx=\y то мы имеем
F.7.3) ЗСЯ = log ©(/) = J q logfdx.
Здесь необходимы некоторые предварительные разъяснения.
Так как log/ не обязательно положителен, то вопрос схо-
сходимости 3 более сложен, чем в прежних случаях.
Если мы обозначим через 3+ и 3~ интегралы, образованные
с функциями log+/ и log- / так, как 3 образовано с log/1),
то мы имеем четыре возможности: (а) 3+ и 3~ °ба конечны,
(Ь) 3+ конечен, 3~ =—°°> (с) 3+ = °°> 3" конечен и (d) 3+=
= оо, 3"" = — °°- Эти четыре случая будут, например* иметь
место, когда, соответственно,
/(*) = *, в1*, е1^ exp(lsinl)
в (ОД) и q(x) = l.
Если ЗКГ(/) конечно для некоторого г>0, то вследствие
3+G) 6уяет конечен, и мы будем иметь только случай (а) или
(Ь). В случае (а) 3(/) существует как интеграл Лебега, и ©(/)
положительно и конечно. В случае (Ь) мы пишем
3G) =—оэ, ®(/) = 0.
Аналогично, если $Яг(-г) конечно для некоторого г>0,
мы имеем случай (а) или (с); в последнем случае мы пишем
В случае (d) ©(/) не имеет смысла. В этом случае Шг(/)и
ШгA//) бесконечны для каждого г>0 и 2Кг(/)^0 для
каждого г<^0.
В случае (а) мы имеем
F.7.4)
где обе части положительны и конечны. Легко убедиться, что
это равенство остается в силе во всех случаях, если мы усло-
условимся, как в F.6.4), считать 0 и оо обратными друг другу
г) Определение log+ и log- дано в § 5.2.

6.7] СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ 167
и считать одну часть равенства лишенной смысла, когда не
имеет смысла другая.
Перейдем теперь к доказательству аналога теоремы 9.
184. Если %{/) конечно, то
F.7.5) ©(/К Ж/),
кроме того случая, когда / = с, где с — постоянная. Вообще,
если 9№г(/), где г>0, конечно, то
F.7.6) ®(/)<аЯг(/)
кроме того случая, когда /^с1).
Предположим сначала, что r=l, 2№r = St. Если 51(/) = 0,
то/^0, и, следовательно, 2К/)=—°°» ©(/) = 0 = 51 (/). Мы
можем поэтому предположить, что 5Ц/)>0. Так как по
теореме 150
F.7.7)
если t > 0 и t Ф 1, мы имеем
log/-logЯ(/
«(log/) — log Ж/) < 0, log ©(/) = «(log/) < log Ж/).
Равенство может иметь место только в том случае, если /=51(/).
Результат для любого г следует теперь из F.6.3).
В теореме 184 мы явно указали предпосылки: „если Ж/)
конечно", „если Ttr(f) конечно"; как мы объяснили в §§ 5.1
и 6.5, мы будем такие предпосылки часто опускать. Где нет
опасности недоразумений мы будем также без объяснений обо-
обозначать постоянные через С, А, В, а, Ъ, . . . . Даже в пре-
пределах одного и того же рассуждения С может обозначать разные
постоянные.
Добавим два следствия (обобщения теоремы 10).
185. ©(/) + © (g)<©(/+g). кроме тех случаев, когда Af=Bg,
где Л и В не оба равны нулю, или ®(/-f-g) = O.
Мы можем предположить, что $(/+?)> 0. Тогда, по теореме 184,
Складывая два неравенства этого Типа, мы получим искомый результат.
По поводу приведенного в тексте доказательства см. F. Riesz [7].

168 интегралы [гл. vi
Вообще,
186.
(где число слагаемых может быть конечным или бесконечным),
кроме тех случаев, когда
или
6.8. Дальнейшие свойства среднего геометрического.
Наша следующая теорема соответствует теореме 3 (для г > 0).
187. Если Шг(/) конечно для некоторого г > 0, то при
г^ + 0
F.8.1) 5Ю,(/) ->©(/).
Заметим, что ©(/) может быть конечным, даже если
Шг(/) = со для всех г > 0. Это, например, имеет место для
f(x)= ехр (лг"~1/2), <7(-*0 = 1 и интервала @,1).
Если Е является замкнутым интервалом или замкнутым
множеством, и / непрерывна и положительна, то доказательство
очевидно. В этом случае / ^ 8 > 0, log/ ограничен и
lim log 2Rr = lim -i log { 1 + r^ + О (r2) } = %
Распространение этого доказательства на общий случай на-
наталкивается на некоторые затруднения. Эти затруднения могут
быть преодолены следующим образом1). По F.7.6) и F.7.7)
мы имеем
F.8.2) log©(/)<log2R(/) W
7
Когда г убывает и стремится к нулю, (t2—1)г убывает (по
теореме 36) и стремится к пределу log/.
г) F. Riesz [7]. Другие, менее простые, доказательства были даны
Безиковичем, Харди и Литтльвудом. См. Hardy [7].

6.9] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬ ДЕРА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 169
Следовательно, *)
F.8.3)
причем правая часть конечна или равна —со. Из F.8.2) и
F.8.3) следует, что
log ©(/)< Щп log аКД/ХЙЫ log S»r(/) < log ©(/),
и теорема доказана.
6.9. Неравенство Гельдера для интегралов. Рассмотрим,
далее, интегральные теоремы, соответствующие теоремам 11 —
—15. Здесь удобно ввести новое определение, которое по-
позволит упростить формулировку случаев равенства. Две функ-
функции fug будут называться пропорциональными, если суще-
существуют две такие постоянные Л и Л, не обе равные нулю,
что Af^Bg. Это понятие уже встретилось нам в теоремах
181 и 185. Нулевая функция пропорциональна любой функции.
Мы будем также говорить, что/, g, /г,... пропорциональны,
если каждые две из них пропорциональны.
188.Если а, $,..., \ положительный а-\-$-\-...-\-\ = \у то
F.9.1)
кроме тех случаев, когда одна из функций нулевая или они
пропорциональны.
Если ни одна функция не нулевая, то по теореме 9
Я
причем равенство имеет место в том и только том случае, когда
/ _ g - _ /
jfdx jgdx '" jldx '
См. § 6.3 (b) B).

170 интегралы [гл. vi
Как следствие *) мы имеем
189. Если & > 1, то
F.9,2) Ifgdx < (J P ^(jV dxjlk\
кроме того случая, когда fk и gk' пропорциональны.
Если 0 < k < 1 ими k < О, то
F.9.3) Ifgdx > (j /*
тех случаев, когда (а) /* и gk' пропорциональны или
(Ь) /g" — нулевая функция.
Вторая половина теоремы требует небольших разъяснений.
Предположим сначала, что 0<&<1 и что \ gk> dx конечен,
так что g почти всюду положительна. Если тогда положить
/ = 1//г, так что / > 1, и
так что
fg = и1> Р = uv, gk' = vv,
то и и v определены почти для всех х и
или
кроме того случая, когда и1 и vl\ или, что то же самое,
когда fk и gkf пропорциональны. Так как I g*rdx конечен и
отличен от нуля 2), то последнее неравенство равносильно
F.9.3).
Если Jg-fc'dA;= оо, то
1) См. § 2.8.
2) Из того, что i gk'dx = 0, следовало бы gk' = Q и, таким образом,
g=oo; но такая возможность была нами исключена в § б. 2,

6.9] НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 171
(так как А'<0). Следовательно, правая часть F.9.3) равна
нулю и имеет место знак неравенства, если J fg dx Ф О, т.е.
/Ф
Когда &<0, то 0<&'< 1, и рассуждения остаются в сущ-
сущности теми же.
Как уже было объяснено в §§ 5.1 и 6.5, теорема неявно
содержит утверждение о сходимости или конечности; если два
из трех интегралов, входящих в неравенство, конечны, то
конечен и третий. Интегралом, конечность которого следует,
когда конечны остальные два, является \fgdx, если k < 1,
j fkdx, если 0<*< 1, и ^gk'dx, если к < 0.
Теорема, соответствующая теореме 161, весьма важна и, как
теорема 161, не является прямым следствием предыдущих тео-
теорем
1901). Если &> 1 и fg принадлежит L для каждой g,
принадлежащей Lk', то f принадлежит /Л
Рассмотрим сначала случай конечного интервала (а,Ь) (или
конечной тЬ) и предположим, что \fkdx = со. Мы можем
найти такую функцию /*, которая A) принимает только счет-
счетное множество значений аг и B) удовлетворяет условиям
/*-</< /*+е. Так как по теореме 13 fh не превосходит
2*-i { /** +(/ — /*)*}, то §f*kdx = oo. Следовательно,
если е+ есть множество, на котором /* = ah то
Sa?6. = со.
Полагая теперь
а\ег = А > bi'ei = vi'> aibiei = uivi >
мы по теореме 161 заключаем, что существуют такие biy что
2 bYei сходится, тогда как ? aJbiei = со. Положим ?*(.*;) = ^
на ei (для всех /). Тогда
сходится, но
F. Riesz [2].

172 интегралы [гл. vi
и, следовательно, j fgdx = 00, что противоречит предполо-
предположениям.
Если же мы имеем дело с бесконечным интервалом, скажем,
с @, оо), то положим
Тогда
1 оо 1 со 1
эс/х = j FOdty ^fkdx = §Fkdx, j g*'dx = J Gk> dt,
ooooo о
где
F(t) = (l—tya/Kf(t^-7 , Q(t) = (l —
Таким образом, теорема сводится к случаю конечного интервала.
191. Если ft>l, то необходимым и достаточным усло-
условием для того чтобы \ fkdx <; F, является
для всех g, для которых^ g^'dx <; G.
Условие необходимо, по теореме 189. Если оно выполнено,
/» ,-»
то \fkdx конечен, по теореме 190. Если J fkdx > Т7, то выбе-
выберем g так, чтобы g*' было пропорционально /fc, и тогда, по
теореме 189,
Теорема может быть также сформулирована с „<" вместо
„<^" в первых двух неравенствах: для того чтобы j/A:^a:</7,
необходимо и достаточно, чтобы \fgdx<C Fx^kOllk для всех
g*, для которых
Теорема 191 может быть также доказана независимо от более
трудной теоремы 190. Если \/ferfjc>/7, то \(f)\dx>F для доста-
достаточно больших л. Тогда, выбирая функцию g пропорциональной (/)^~\
находим
что противоречит условиям теоремы.

6.10] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ Шг(/) 173
Другое доказательство теоремы 190 (и связанной с ней теоремы
161) было дано Банахом [Banach, 1, 85—86].
Один пример применения теоремы 191 будет дан в § 6.13 при
доказательстве теоремы 202, дальнейшие примеры— в гл. IX1). В § 6.13
теорема 202 доказана двумя различными способами, из которых один
явным образом зависит от теоремы 191, тогда как другой ее не при-
применяет.
Там же подробно разъяснено логическое место теоремы 191 в до-
доказательствах такого рода.
6.10. Общие свойства средних Шг(/). Мы переходим теперь
к доказательству ряда теорем, которые являются аналогами тео-
теорем § 2.9.
Свойства, которые мы здесь будем исследовать, носят не-
несколько более сложный характер, чем в § 2.9. Сперва мы на-
наложим некоторые дополнительные ограничения, и лишь потом
сможем установить эти свойства с исчерпывающей полнотой.
Мы будем предполагать на первых порах, что г>0; теоремы,
которые будут доказаны для этого случая, вместе с теми, ко-
которые мы уже доказали для ©(/), дадут нам достаточное
представление об искомых результатах, и мы сможем форму-»
лировать теоремы для произвольных г, предоставляя детали
доказательств читателю.
192. Если 0<г<5 и Ш8 конечно, то Шг < 9KS, кроме
того случая, когда / = С.
Если r = sa, так что 0 < a < 1, то мы имеем по теореме 188
кроме того случая, когда qfs=Cqt Так как q > 0, то тео-
теорема доказана.
193. Если Шг конечно для каждого rt то 9Яг->Мах/ при
г-> -[- оо.
(i) Пусть ц=Мах/ конечен. Тогда (а) 9№ГО и (Ь) />
> у — г на множестве е положительной меры С, так что
* = C>Of aRr>({x — е)С1/г, Ита«г>^ — г.
(п) Допустим, что {х=оо. Тогда, для любого О > 0, />О
на множестве е положительной меры, и, как и выше, Шп Шг ^> G.
См., в частности, §§ 9.3 и 9.7 [2].

174 интегралы [гл. vi
Из F.6.4), F.6.3) и теоремы 193 следует, что
Шг -> Min/
при г-> —оо.
194. Если 0 < s < со и Ш8 конечно, то Шг непрерывно для
О < г < 5 и непрерывно слева для r = s. Если Wls = со, но
ЗЯг<оо для 0 </*<.?, то 9ftr-*oo, /г/7// r~+s.
(i) Допустим, что 2J?s<oo. Тогда
<?/>•<? max (l,/s),
что является мажорантой, не зависящей от г и принадлежащей
к классу L; теорема следует теперь из § 6.3 (b) (iI}.
(ii) Пусть Ш8 = со. Мы можем найти такое пу что
Но (qfr)n — непрерывная функция от г, и, следовательно2},
для г > s — е. Отсюда
к-
и теорема доказана.
6.11. Общие свойства средних Шг(/) (продолжение). В пре-
предыдущих параграфах мы преимущественно ограничивались рас-
рассмотрением средних для г^О, оставляя читателю вывод соот-
соответствующих результатов для средних отрицательного порядка
из формул F.6.4) и F.6.5). В настоящем параграфе мы под-
подвергнем средние более исчерпывающему рассмотрению. Как это
естественно делать после теорем 187 и 193, мы будем писать
2)?0(/) может не иметь смысла, именно, в том случае, когда
2Jir(jf) = oo для всех г>0 и 2Кг(/) = 0 для всех г<0.
Начнем с того, что освободимся от двух исключительных
случаев.
(А) Если /=С, то %Rr = C для всех г, и это имеет место
даже в предельных случаях С = 0 и С = оо3).
1) Непрерывность для г<$ может быть также выведена из тео-
теорем 111 и 197 (см. § 6.12).
Ь По § 6.3 (Ь) A).
3^ Строго говоря, второй случай исключен согласно § 6.2.

6.11] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ 2КГ(/) 175
(В) Шг = 0 (г>0), 2К0 не имеет смысла, Шг= со (г>0).
Эти случаи мы исключаем, и предоставляем читателю дока-
доказательство справедливости следующих ниже утверждений
A) и B), которые покрывают все случаи, кроме исключенных
(А) и (В).
A) 2)?r<3)is для —oo^r<s^oo, кроме тех случаев,
когда (a) 2)tr = 5)?в = оо (что может иметь место, только если
г^О) и (Ь) ШГ=УЯ8 = О (что может иметь место, только
если 5<; 0).
B) Мы обозначаем через 3№г_0 и 2IГ+О (всегда существую-
существующие) пределы dJtt при t-+ r соответственно снизу или сверху.
Если г > 0, то 9№Г_О = ЗЙГ и ШГ+О = ШГ> за исключением
того случая, когда 2МГ положительно и конечно, но Tlt = со
для t > г\ в этом случае Шг+0 = оо > %)ir.
Если г < 0, то 2ftr f 0 = 3)tr и Шг_0 = SKr, за исключением
того случая, когда 0<2)?г<оо, но 9^ = 0 для ^<г; в этом
случае 9Wr_0 = 0 < 2)ir.
Если, наконец, г = 0, то имеют место исключительные случаи,
соответствующие каждому из указанных выше. Если 2R0=0
или оо, то либо (а) ЗИ_0 и 3)i+0 равны каждое 9)i0, либо (Ь)
или
Если 0<9)i0<oo, то каждое из Ш-о и SDt+0> если ohq
также положительно и конечно, равно Шо; но Ш-о может
быть также равно 0 и 2К+0 может быть равно оо.
Наконец, все не исключенные возможности могут действи-
действительно иметь место (см. теорему 231).
Эти результаты могут быть сформулированы более симметрично
и кратко, если обозначить ?r = log9Jtr и допустить, что logoo =
= + со, Iog0= — оо. Мы отбрасываем случаи, соответствующие (А)
и (В), т. е.
(a) f=.C (где С может быть 0 или со), т.е. 8г=к^Сдля всех г;
(b) Со не имеет смысла, когда gr=-|-oo для г>0 и 8Г=— оо
для г<0.
195. За исключением только что упомянутых случаев, множество
значений г, для которых 8r=log2)ftr конечно, является или нуле-
нулевым множеством или замкнутым, полузамкнутым или открытым
интервалом 1 (и, v)} где — co<H<0<t/<oo;e остальном оно

176 ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VI
произвольно (так что, например, и может быть -оо и » может
быть + °°, или и и v оба могут быть равны 0). 2r = -j-oo для г, лежа-
лежащих справа от /, а 8Г = —оо для л лежащих слева от /.
В I 2Г непрерывна и строго возрастает. Если г стремится
к одному из концов I через значения, принадлежащие к I, то %г
стремится к пределу (конечному или бесконечному), равному его
значению в этом конце.
6.12. Выпуклость log3W?. В настоящем параграфе (как и
в теореме 17), мы предполагаем, что г>0.
196. Если 0<r<s<t и $flt < оо, то
t — s s—r
кроме того случая, когда f=0 в некоторой части Е uf = C
в дополнительной части.
Доказательство основано на теореме 188 и аналогично дока-
доказательству теоремы 17. Для равенства должно быть qfr^
Как следствие мы имеем
197. log2R?(/) = rlog!iWr(/) является выпуклой функцией
от г.
Ср. с теоремой 87. Читатель найдет полезным вывести непре-
непрерывность Шг (теорему 194) из теоремы 197.
6.13. Неравенство Минковского для интегралов. Нера-
Неравенства типа Минковского выводятся по существу так же, как
в § 2.11. Обычная форма неравенства Минковского для инте-
интегралов имеет следующий вид.
198. Если k > 1, то
FЛ3.1)
а если 0 < k < 1, то
F.13.2) {J(/+ g+...+ О* dx)llk>
кроме того случая, когда /, g, ..., / пропорциональны.

6.13] НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 177
Неравенство F.13.2) остается справедливым и для k < О,
но тогда мы имеем еще и второй исключительный случай,
когда обе части неравенства обращаются в нуль.
Мы выводим эту теорему из теоремы 189 так же, как мы
вывели теорему 24 из теоремы 13, но определение возмож-
возможных случаев равенства здесь, естественно, несколько слож-
сложнее, и поэтому мы приведем подробное доказательство нера-
неравенства F.13.2).
Если S=f-\-g-\- ...+/, то
F.13.3)
Предположим сначала, что 0<&<1. По теореме 19
Следовательно, если [fkdx, ... конечны, то \Skdx также ко-
конечен. Кроме того, \Skdx > 0, если 5^0, т.е. если /, g,... —
не нулевые функции. Мы можем поэтому предположить, что
Skdx положителен и конечен.
По теореме 189,
кроме тех случаев, когда (a) fk и Sk пропорциональны или (Ь)
/S*-i=0.
Так как k — 1 < 0 я S почти всюду конечно, то fSk мо-
может быть =0 только в том случае, когда /=0. Таким образом,
второе из приведенных условий является частным случаем пер-
первого. Следовательно, из F.13.3) мы получаем
F.13.4)
кроме того случая, когда /, g, ..., / пропорциональны, откуда
следует утверждение.
Рассуждение проводится так же и в случае k < 0, если
только \Skdx положителен и конечен. Если \Skdx = 0t то так
как k < 0, S почти всюду бесконечно, что невозможно, так
так каждое/почти всюду конечно. Если J Sk dx = cot то (опять

178 интегралы [гл. vi
в силу k < 0) \fkdx, ... все бесконечны, и обе части нера-
неравенства F.13.2) равны нулю. Это и есть тот дополнительный
случай равенства, который упоминается в конце теоремы. Он
имеет, например, место, когда
f=g= ... =/ = 0
на множестве Е положительной меры.
В теореме 198 мы исключили из формулировки случаи k = \
и k = 0.
Первый случай тривиален, второй содержится в теореме 186.
Мы предоставляем читателю сформулировать теорему
198 в форме, соответствующей теореме 24.
Соответственно теореме 27 мы имеем теорему
199. Если k > 1, то
F.13.5)
а если 0 < k < 1, то
F.13.6)
за исключением того случая, когда для каждого х, кроме,
быть может, точек множества меры нуль, не более чем одна
из функций ft g, ..., / отлична от нуля.
Если все /, g, ..., / почти всюду положительны, то
F.13.6) имеет место и для k < 0.
Теорема 198 с k > 1 является частным случаем первой из сле-
следующих ниже трех более общих теорем, в которых суммы ко-
конечны или бесконечны и пределы интегрирования произвольны.
Мы ограничиваемся случаем А> 1; для й< 1 знак неравенства
будет, вообще говоря, обратным.
200. Если /г> 1, то
F.13.7) [ J {2/«(*)}* dx]v* < S {\рш (х) dx
кроме того случая, когда /w(jc) = Cmcp(jc).
201. Если k > I, mo
lf\
F.13.8)
кроме того случая, когда fn{x) = Cn

6.13] НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 179
202. Если k> 1, то
F.13.9) [ j { §f(xiy)dy)kdx]lfk
кроме того случая, когда /(х,у) ()
В исключенных случаях в каждой из теорем имеет место
знак равенства.
Рассмотрим, например, теорему 202 (наименее элементарную
из трех). Сначала докажем эту теорему в форме „<;". Мы
дадим два доказательства, в первом из которых применим тео-
теорему 191. Возникающие в каждом доказательстве равенства и
неравенства должны пониматься так, что „если правая часть дан-
данного равенства или неравенства конечна, то конечна и левая,
и обе части находятся в указанном соотношении". Перемены
порядка интегрирования законны, по теореме Фубини.
Мы пишем J = J (х) = j* f(x, у) dy.
(i) Для того чтобы
F.13.10) J" УМлг < Ж*,
по теореме 191 необходимо и достаточно, чтобы
F.13.11)
для всех g, для которых
F.13.12)
Но
F.13.13)
= I *У (J «W/tojO dx) < J dy{ j f\x,y)dx)vh
по теореме 189 и F.13.12). Следовательно, в F.13.10) мы
можем взять
и теорема доказана в форме „<?'.

180 интегралы [гл. vi
(ii) Если f Jfcrfjc = o, то 7 = 0 для почти всех х% и, следо-
следовательно, (для почти всех х) / = 0 для почти всех у. Отсюда,
по § 6.3 (d), f{x,y)=0.
Мы можем поэтому предположить, что I Jkdx > 0. Допустим,
что f Jkdx <oo . Тогда
и, следовательно,
F.13.14)
т.е. F.13.9) имеет место со знаком „•<" вместо я<*.
В этом доказательстве мы предположили конечность \ Jkdxt
которая не была нам нужна в доказательстве (i). Для того чтобы
освободиться от этого ограничения, мы должны аппроксими-
аппроксимировать /функциями, для которых конечность \ Jkdx несомненна.
Пусть, например, интегралы распространены на конечные интер-
интервалы или множества конечной меры, (f)n определена, как
в § 6.1, и
Тогда f Jkdx конечен и
Переходом к пределу п-+со отсюда следует F.13.9) со зна-
знаком „<\
Доказательства (i) и fii) принадлежат, по существу, к одному
и тому же типу, причем роль произвольной функции g в (i)
играет в (ii) определенная функция
удовлетворяющая F.13.12), если \ Jkdx конечен. Применяя эту
специальную функцию g*, мы избегаем ссылки на не совсем

6.13] НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 181
простую общую теорему, за счет, однако, некоторых добавоч-
добавочных осложнений. Аналогичная возможность представляется нам
всегда, когда мы применяем теорему 191.
Остается рассмотреть возможность равенства в F.13.9).
Неравенство будет иметь место, если х) [jgdx<M для всех g,
удовлетворяющих F.13.12). В неравенстве
равенство будет иметь место, если для почти всех у f1 и gk'
пропорциональны, т. е. если (для почти всех у)
F.13.15) P(y)fk(x,y) =°{y)gk\x\
где р2-|-а2>0, для почти всех х. Если бы р(у) было равно
нулю для некоторого у, для которого имеет место F.13.15),
то g(x) было бы нулевой функцией. Следовательно, в F.13.15)
р (у) > 0, и таким образом
Это равенство имеет место, для почти всех х, для почти
всех у, и следовательно, по § 6.3 (d), для почти всех х, у.
Доказательства теорем 200 и 201 ведутся аналогично. Так, в доказа-
доказательстве теоремы 201 мы пишем
Jn = \fn dx
и рассуждаем следующим образом. Для того чтобы S«^<CMft по тео-
теореме 152^, необходимо и достаточно, чтобы Е^пЛг<С^. коль скоро
S &д' < 1. Следовательно,
S V» = 2 Ьп [fn dx = J (S bnfn) dxK^dx (б /?I/fc(? bfflk' <
и т, д. Суммирование под знаком интеграла законно по § 6.3 (Ь)B),
См. последнее замечание в § 6.9.
Распространенной на бесконечные ряды.

182 интегралы [гл. vi
Аналогом теоремы 28 является
203. Если 0 < г О, то
кроме того случая, когда fix, j>)= ?(-*)
Доказательство см. Jessen [1].
6.14. Средние значения, зависящие от произвольной
функции. Существует теория интегральных средних значений,
содержащих произвольную функцию, аналогичная теории, раз-
развитой в гл. III. Мы не будем подробно излагать ее здесь, ибо
это было бы большей частью повторением, в несколько иной
форме, того, что было нами уже сказано. Мы ограничимся
поэтому только доказательством аналога теоремы 95 *).
204. Предположим, что а </(лг)< р, где а и р могут быть
конечными или бесконечными, и что f(x) почти всюду
отлична от а и р; предположим далее, что пределы интегри-
интегрирования и весовая функция р(х) удовлетворяют условиям
§ 6.6 и что <р/7@ положительна и конечна для а</<р.
Тогда
если правая часть существует и конечна. Равенство имеет
место только в том случае, когда f=C.
Возможно, что \fpdx=oo или Г/р^д:=—со; тогда F.14.1)
все еще справедливо при правильном понимании этого неравенства.
Но когда правая часть конечна, не может быть, чтобы [fpdx не су-
существовал, т. е. чтобы было \f+pdx = со, \f~pdx = — со , так
как в этом случае а = — со, р = со и ср(/), будучи выпуклой
и отличной от постоянной, должна стремиться к бесконечности
для больших положительных или больших отрицательных
значений /2) по крайней мере, как С|/|, так что \y(f)pdx
не может существовать и быть конечным.
х) Целый ряд других аналогов теорем гл. III приведен среди раз-
различных теорем в конце настоящей главы. Более подробное рассмо-
рассмотрение некоторых из них дано у Иессена; Jessen [2], [3]. Значитель-
Значительная часть содержания этих работ была включена, с надлежащими
изменениями, в гл. III.
2) См. теорему 126.

6.14] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 183
Возьмем p=q, \qdx=li и предположим сначала, что
Ш = fqdx конечно. Если /ФС, то а < Ш < р. Таким
образом, / конечна и ос </< р для почти всех х; так что, для
почти всех х,
<?(/) = «р CR) + (/ - 2R) ?'EГС) +1 (/- 3W)V(ii),
где jx лежит между / и 2R, или а < jt < р. Следовательно,
а это и есть F.14.1). Равенство имеет место только в том
случае, когда (/—3№Jcp"([j,) = O; но а<[А<|3, и следова-
следовательно <р" (р) > 0 для почти всех х, так что тогда / = ffi.
Далее, предположим, например, что \ fqdx = со, так что
р = оо. Тогда, как уже было доказано,
Так как <р(/) непрерывна и монотонна для больших /, интеграл
в правой части стремится к ®{f)qdx> тогда как интеграл
в левой части стремится к ср(оо). Следовательно, срС00) конечна,
откуда следует, что <р убывает и ср (со) <; ср (/). Отсюда следует,
что
ср(со) = ?(оо) j grrfA? <j?(/j ^,
причем равенство имеет место только когда <р(/)=<р(оо)— слу-
случай, который мы исключили. Аналогичные рассмотрения про-
проводятся в случае \fqdx = —со.
Может случиться, что левая часть F.14.1) равна —со.
Читателю полезно проверить, что все случаи, рассмотренные
нами, могут иметь место.
Если мы возьмем <р @ = — log ^ т0 получим
ехр ( j q logfdx^j < j qfdx,
т. е. ©(/)<21G) (теорема 184). Выбор <? = Г приводит нас
рпять к неравенству Гельдера; по аналогии с § 3,11 могут

184 интегралы [гл. vi
быть построены и другие примеры. Если мы положим <р(<) =
= tlogt, то найдем
205.
jpdx ^ PV jpfdx
кроме того случая, когда / = С.
Мы можем распространить результат теоремы 204 (за исклю-
исключением перечня случаев равенства) на любую выпуклую и непре-
непрерывную функцию ср.
206. Неравенство F.14.1) имеет место а для <р@> выпук-
выпуклых и непрерывных в а < t < р.
Как в § 3.19, имеем
где X — любое число между левой и правой производной ® (t)
в точке t = 3№. Следовательно,
что и является неравенством F.14.1).
ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
6.15. Определение интеграла Стилтьеса. До сих пор мы
рассматривали ряды и интегралы отдельно, и все основные
теоремы были сформулированы дважды; так, неравенство Гель-
дера содержится в теоремах 13 и 189. Естественно искать
обобщение этих теорем, которое объединяло бы оба эти случая.
Такое обобщение может быть найдено, если мы воспользуемся
интегралами Стилтьеса.
Предположим, что ср (х) возрастает (в слабом смысле) в
а^Сх^СЬ и что <?(а) = а, ср(?) = р. Мы предполагаем, что а
и C (но не необходимо а и Ь) конечны1). Кривая
возрастает и может иметь счетное множество разрывов первого
рода и интервалов постоянства. Обратная функция
х) Если, например, Ь = со, то 48 = lim
о?»

6.15] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА 185
определена однозначно, кроме (а) интервалов .уСУи^)» соответ-
соответствующих разрывам х = I функции о и (Ь) значений ул соответ-
соответствующих интервалам постоянства ср. Если мы условимся,
что (у19 у2) есть интервал постоянства функции х(у), в котором
она имеет значение S, то х(у) определена всюду, кроме значе-
значений (Ь), и является возрастающей функцией от у для тех
значений у, для которых она определена. Наконец, мы заканчи-
заканчиваем определение х(у) как возрастающей функции, приписывая
ей для значений (Ь) аргумента у любое из значений х в
интервале постоянства. Эти значения у составляют счетное
множество, и наш выбор значений х(у) для них не влияет
на следующие ниже определения. Мы теперь определяем инте-
интеграл Стилтьеса или Лебега — Стилтьеса,
от f{x) относительно <p(x), с помощью равенства
ь Р
F.15.1)
при условии, что интеграл в правой части существует в смысле
Лебегах).
Определение F.15.1), данное Радоном (Radon [1]), сводит
теорию интегралов Стилтьеса к теории интегралов Лебега,
и мы можем поэтому ожидать, что не возникнет никаких новых
затруднений. Полное рассмотрение этого, и более старых
определений интеграла Стилтьеса читатель найдет, например,
у Хобсона, Поллерда и Юнга: Hobson [I], Pollard [I],
Young [7] *).
Аналогично мы можем определить
^ Если g — функция ограниченной вариации, то g = <р — ф» где ср
и ф — возрастающие функции, и мы сможем определить интеграл
Стилтьеса от / относительно g формулой
Однако это более общее определение нам не понадобится,
*) См, также Гливенко [1]. {Прим. ред,)

186 интегралы [гл. vi
где о — возрастающая функция, а Е — некоторое множество
значений х, а именно:
=f/{л; (?
' &
где & есть множество значений <р> соответствующее Е. Мы
должны предположить § измеримым. Интеграл fafcp есть
вариация о на Е.
6.16. Частные случаи интеграла Стилтьеса. Простейшими
случаями являются следующие:
(a) ® = х. В этом случае интеграл Стилтьеса сводится
к обыкновенному интегралу Лебега;
(b) <р есть абсолютно непрерывная функция. В этом случае
ь ъ
J/(*)rf<P = J/00 ?'(*)<**;
а а
(c) ср — конечная возрастающая ступенчатая функция.
Предположим, чю ^г = ах < а2< ... <дп= ft, что ср(д:) =
= ал, где ал<«л+1, в ^<х<^+1, и что ? (ал), где 1<А<я
имеет любые значения, совместимые с условием возрастания ср-
Тогда х(у) является ступенчатой функцией со значениями
аи а2, . . ., ап, и
F.16.1)
где рд. есть скачок ср в точке х = cty,. Ясно, что любая конечная
сумма может быть выражена как интеграл Стилтьеса; так,
где ср — ступенчатая функция с единичными скачками в av
a2i ..., ап и uk=f(ak).

6.17] ОБОБЩЕНИЯ ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ ТЕОРЕМ 187
(d) Эти рассуждения тотчас же распространяются на ступен-
ступенчатые функции со счетным множеством разрывов, причем
интеграл Стилтьеса будет тогда равен ?рй/(яа-)» где суммиро-
суммирование распространяется на все точки разрыва. Любой сходящийся
бесконечный ряд может быть представлен таким путем, как
интеграл Стилтьеса.
6.17. Обобщения приведенных выше теорем. Теперь
очевидно, что все наши основные теоремы могут быть сразу
распространены на интегралы Стилтьеса и что получаемые таким
образом теоремы содержат в себе как частные случаи теоремы
для интегралов Лебега и для сумм. Мы приводим наиболее
характерные из них в следующем параграфе. Два предваритель-
предварительных замечания могут оказаться полезными.
A) Если интеграл Стилтьеса записан как интеграл Лебега, то
переменная интегрирования есть ср. Наши условия равенства
всегда имели вид f = g> т. е. / = ?*, кроме множества значе-
значений меры нуль. Это исключительное множество в наших новых
теоремах будет меры нуль относительно ©, и в нашей форму-
формулировке для х это будет звучать так: „кроме множества зна-
значений х, на котором вариация ср равна нулю", т. е. такого
множества ?", для которого соответствующие значения <р соста-
составляют нулевое множество. Наши новые условия равенства
должны быть, таким образом, понимаемы в этом смысле. Так,
„/ пропорциональна gu означает, что
Af=Bg,
где Л и В — постоянные, не обе равные нулю, кроме точек
множества, на котором вариация ср равна нулю. Заметим, что
такое исключительное множество не может содержать точек,
в которых <р(х) разрывна.
Аналогичное обстоятельство возникает и в определении Мах/
и Min/. Так, Мах/ есть наибольшее число ?, обладающее тем
свойством, что для каждого е > О, />? — г на некотором
множестве значений х, на котором вариация <р положительна.
B) Многие неравенства „Х< Y"y справедливые для инте-
интегралов Лебега, для интегралов Стилтьеса справедливы только
с „ < *. Предположим, например, что интегралы распростра-
распространяются на @, оо) и что \fdx=l. Тогда, по теореме 181,
F.17.1)

188 интегралы [гл. vi
кроме того случая, когда x2f = Cf или х2 = С, что неверно,
так что F.17.1) всегда справедливо. В соответствующей теореме
для интегралов Стилтьеса мы имеем \ dv = 1 и
F.17.2) ( J xduf < j do j x2dv = J Aty.
В F.17.2) имеет место равенство, если х2 = С, т. е. если х
постоянно, за исключением множества, на котором вариация <р
равна нулю; а это означает, что <р — ступенчатая функция
с одним скачком. Так, если у(х) = 0 для 0^л:<1 и ср(л;) ^= 1
>-1, то
6.18. Средние Шг (/;?). Мы обозначаем
lfr
В этих определениях предполагается, что входящие в них
интегралы конечны. Если 1/%р = оо, то мы условимся считать
(следуя соглашению, принятому в §6.6), что 9Кг=оо, когда
г>0, и2№г=0, когда г<0. Вопросы, рассмотренные в §§ 5.2
и 6.7 в связи с определением ©, естественно, возникают и здесь.
Теоремы, соответствующие теоремам 183, 184, 187, 189,
192, 193, 197 и 198, принимают следующий вид, —для простоты
формулировок мы предполагаем, что г>0:
207. Min/ < Шг (/) < Мах/, кроме того случая, когда f=C.
208. ©(/)< 2йг(/)э и> в частности, ®(/)<2Ц/), кроме
того случая, когда f = С.
209. Если 9#г(/) конечно для некоторого г, то
ЗИг(/) ->©(/), *огда г -> + 0.
210. ?сля *> 1, то
кроме того случая, когда ик и vk' пропорциональны. Если
О < k < 1 или к < О, то имеет место обратное неравенство,

6.19] ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 189
в котором знак равенства имеет место тогда и только
тогда, когда либо ик и vk' пропорциональны^ либо левая часть
равна нулю (тогда и правая часть равна нулю).
Это — неравенство Гельдера; существуют, конечно, и соот-
соответствующие обобщения теорем 11 (или 10) и 188.
211. Если г<5, то Шг{/) < Wls(f), кроме того случая,
когда f = C.
212. Если 2№г(/) конечно для каждого г>0, то 3№г(/)-> Мах/
при г-> -|- со.
213. logffl^rif) является выпуклой функцией от г.
214. Если k > 1, то
( J (и + vfd.f < (J a*rf?)v* + (j Л?I/й,
кроме того случая, когда и и v пропорциональны. Если
О < /г < 1 или /г < 0, то будет иметь место обратное
неравенство1).
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЯМ
6.19. Функции распределения. В гл. III мы непосред-
непосредственно определили среднее значение
2КФ = 2R, (в, ?) = ?-ЧЕ??(<*)}
и вывели его характеристические свойства из определения. Здесь
мы действуем противоположным образом и даем „аксиоматиче-
„аксиоматический" подход, обещанный на стр. 86. При этом оказывается
удобным употреблять обозначения интегралов Стилтьеса; это
и является причиной того, что мы не рассматривали этого во-
вопроса до сих пор; но интегралы Стилтьеса, которыми мы вос-
воспользуемся, в действительности являются конечными суммами.
Рассмотрим специальный класс ступенчатых функций, опре-
определенных для всех действительных х, которые мы называем
конечными функциями распределения. Мы называем ^(лг)
конечной функцией распределения, если
(a) она кусочно-постоянна и имеет только конечное число
разрывов;
(b) она возрастает (в широком смысле) от 0 до 1, так что
F(-<x>) = 0, F(oo)=l,
и (с) F(x) = ^{F(x — 0)-\-F(x-\-O)} для всех х,
^ Мы оставляем читателю определение возможных случаев равен»
ства.

190 интегралы [гл. vi
Функция распределения, имеющая скачки q в точках а, может
считаться представлением и значений а и весов q, входящих
в Ш9(а). Простейшей такой функцией является
?(*)(
которая имеет единственный скачок 1 для х = 0. Если мы
положим ?*? (л:) = Е (х— ?), то
F.19.1) F(x) = %qEa(x),
где
а = а„ q = q^ (v=l, 2, .. ., я), %q,= I, av <a2< . .. < яп,
является общей конечной функцией распределения со скачками q
в точках а. Таким образом,
F.19.2)
и среднее C.1.3) может быть записано в виде
с»
F.19.3) 2)??[^] = ?( J ?(*)^(*)).
— оо
Любая конечная функция распределения равна нулю для
л:<Л и равна 1 для #>?, где А и В — некоторые конечные
числа, зависящие от F. В последующем мы ограничимся рас-
рассмотрением подкласса этих функций, а именно рассмотрением
функций, удовлетворяющих условиям
F.19.4) F(x) = 0 (*<Л), F(x) = l (x>B)
для данных А и В. При этих обстоятельствах мы говорим,
что F принадлежит к О (Л, В).
Если ср(лг) непрерывна и строго возрастает в замкнутом
интервале (Л, В), то ^[Z7] определено, по F.19.3), для всех
F из О (Л, В). Значения <?(-*0 вне (А^В) в действительности
не играют никакой роли, и мы можем их выбрать произвольно;
естественно выбрать их так, чтобы <?(х) была непрерывной
и строго возрастающей функцией для —оо^лг^оо.
6.20. Характеристические свойства средних значений.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы*

6.20] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 191
215. Предположим, что каждому F из О {А, В) соот-
соответствует единственное действительное число ffi[F], обла-
обладающее следующими свойствами:
A) №5 (*)] = * (Л <?<?);
B) если Fx и F2 принадлежат к О (Л, В)у FX^F2 для
всех х и Z7! > F2 для некоторых лг, то
C) если F, F* и G принадлежат к О (Л, В), и
то
a» [*f + A — 0 о] = a» itF* + 0 — 0 g]
для 0< *< 1.
Тогда существует функция <?(х), непрерывная и строго
возрастающая в замкнутом интервале (Л, В), для которой
с»
F.20.1) ал[л=а»9[Л = ?-1( J т(*)^(*)).
— оо
Обратно, если Ш [F] определено с помощью F.20.1) при ср(лг),
обладающей указанными свойствами, то оно удовлетворяет
условиям A), B) и C), так что эта условия являются
необходимыми и достаточными для представления Wl [F] в
форме F.20.1) 1}.
Начнем с доказательства второй половины теоремы. Если Ш [F]
определено формулой F.20.1), то очевидно, что оно обладает
свойством A), и легко убедиться, что оно обладает и свой-
свойством C). В самом деле,
<р (ЭК [tF + A — <)О]) = t J ydF + A — 0 J 9dG =
= t§ydF* + A — Oj <?dG = T CK[/F* +0 — 0 01).
Остается доказать B). Допустим, стало быть, что Ft и F2
удовлетворяют приведенным условиям. Тогда существует число
х) См. Nagumo [1] Kolmogoroff [1], de Finetti [1]. Мы следуем дока-
доказательству де-Финетти.

192 интегралы [гл. vi
|а>0 и интервал (а, Р) такие, что Fx {х) > F2 (х) -\- \х > F2 (х)
в («, f3K).
Следовательно,
6.21. Замечания о характеристических свойствах. Мы
должны еще показать, что свойства A) — C) полностью
характеризуют средние 9№ф. Приведем сначала несколько общих
замечаний о „значении" этих свойств.
(I) A) утверждает, что „если все элементы некоторой сово-
совокупности равны между собой, то их среднее равно их общему
значению";
(II) B) утверждает, что „Ж [F] является строго монотонным
функционалом от Fu. Было бы достаточно утверждать, что
(при данных условиях) Ш [Ft] <9И [F2], т. е. что „9JJ [F] есть
монотонный функционал".
Рассмотрим некоторые примеры.
(а) Среднее арифметическое %{a,q) = ^qa= \ xdF = ®[F] есть
строго монотонный функционал от F, В этом случае <р (х) = х.
*) Существует Xq, для которого
Ъ(хо)>Ъ(хо)
или
Следовательно, либо
Fi(xQ-0)>F2(xQ-0)t
либо
В первом случае интервал, удовлетворяющий нашим условиям, лежит
слева от дг0, во втором — справа.
2) Если мы вспомним наше соглашение в конце § 6.19 об определе-
определении <р (х) вне (Л, В).

6.21] ЗАМЕЧАНИЯ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ 193
(Ь) Мы можем определить „max я" как нижнюю грань значений х,
для которых F(x) = 1 (где/7—любая конечная функция распределе-
распределения со скачками в точках а). Тогда max a = \x [F] есть монотонный Функ-
Функционал от F: если /^^ F2 для всех х, то р- [Fi\ < \* [F2]. Но функционал
p. [F\ не строго монотонен: если
/? = ^ = 0
то
p. [/у = max (ОД) = max A,1) = \л [F2],
То, что p. [F] не может быть представлено в виде F.20.1), следует из
самой теоремы; в противном случае p[F] должно было бы быть строго
монотонным функционалом.
(с) Среднее геометрическое ® = %{а} q) — не строго монотонный
функционал от F, так как, например, совокупности @, а%, ... ) и
@, Ь2, ...) имеют равные ©. Оно мож^т быть представлено формулой
= ехр ( f log x dF(x)),
которая имеет форму F.20.1) с функцией y(x) = \ogx для х>0; но @
все же не представлено требуемым в теореме образом, так как
log х ->• — оо при х -*• 0.
(III) Если мы дважды применим C), во второй раз с Z7*, G,
G*, 1 — t вместо G, F> Z7*, ^, то мы увидим, что
F.21.1) №[tF-\-(l — t)O] = Tt[tF*-\-(l — 0 О*],
если 2№[/Ч =2Л[/7*] и 2К [О] =2К [О*]. Иначе говоря,
(a) 2)i[^+(l—0^1 однозначно определяется через ^l[F]y
3R[O] и Л
Вообще,
F.21.2) ^US<7/\]=$US7A*h
если ЗК [FJ = 9#[/\*] и S ^ = 1 •
Функционал g[F] называется линейным, если
в этом случае он несомненно обладает свойством (а). Если
удовлетворяет (а), или C), следствием чего является (а), то мы
можем назвать 2Л [F] квазилинейным. Если мы, кроме того,
условимся называть свойство A) свойством совместности, то
мы можем кратко сформулировать теорему 215 следующим

194 интегралы [гл. vi
образом: наиболее общий строго возрастающий квазилинейный
функционал, обладающий свойством совместности, может
быть записан в виде F.20.1).
6.22. Окончание доказательства теоремы 215. Функции
ЕА (*), Ев (х) и (I — /)ЕА (х) + tEB (*), где 0 <t < 1, принад-
принадлежат к О (Л, ВI). Обозначим
^ $=т i(i-t)EA-\-tEB],
так что
Допустим сначала, что ф(/) строго возрастает и непрерывна.
Тогда ф(/) имеет обратную функцию
которая также непрерывна и строго возрастает от 0 до 1Г
когда и возрастает от А до Б. Если
то
ЗК [fij = « = «КО = Эй [A -
Следовательно, применяя C) в обобщенной форме F.21.2),
и выражение F.19.1) для любой конечной функции распреде-
распределения F, мы получаем
= 2» [A - S ?? (а)) ЕА + B ^? (а)) ?в] =
т. е. утверждение теоремы.
Заметим, что здесь ср(Л) = О, срС#) = 1« Когда одно ср найдено, оно
может быть (по теореме 83) заменено на аср -J- р.
Остается еще доказать, что 6(?) строго возрастает и непре-
непрерывна.
г) ?" и Я —экстремальные функции из ?) (А, В): если F принад-
принадлежит к О (А, В), то ?", >/7>?'та для всех х.
А а

6.22] ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 215 195
Если
ТО
для всех х, со знаком неравенства для некоторых х. Следова-
Следовательно, по B),
Щ) = Ш [A - QЕА + tJ>B] <Tt[(l-QEA-\- t2EB] = Щ).
Допустим теперь, что <Ь (t) разрывна справа в точке ^0, где
0<^0<1. Тогда мы можем найти такое ?, что
для произвольно малого е, и
^Ф (U > ^^> ^Wo + e)
для всех х, со знаком неравенства для некоторых х. Следо-
Следовательно, по B),
F.22.1) ^[}
для любого t в @,1). Но если s и t принадлежат интервалу
@,1), то, по A),
] = ЩA_S)EA Н-5?"и],
и аналогично для /; и, по C),
If ilp I cnH1-*
2 ^А-г- 2
Отсюда и из F.22.1) следует, что
разделены некоторым числом, а именно, 9И — ?^-|--^ ?ф(^ ,

196 интегралы [гл. vi
не зависящим от г; по переходе к пределу при з->0 мы получаем
Следовательно $ разрывна в точках (to-\-f)/2 для всех t из
некоторого интервала; но это невозможно, так так точки раз-
разрыва монотонной функции образуют не более, чем счетное
множество.
Отсюда следует, что ty(f) не может быть разрывной справа;
аналогично, она не может быть разрывной слева. Следовательно
она непрерывна, и, таким образом, теорема доказана.
Мы ограничились рассмотрением конечных функций распределения,
так что все наши функции были ступенчатыми, а средние — средними
гл. III. Существует аналогичная теорема, в которой и предположения
и утверждение сильнее, а именно в том, что они относятся к более
обширному классу функций, чем О (Л, В). Обозначим через О* (Л, В)
класс функций, обладающих свойствами (а) и (Ь) § 6.19 и удовлетво-
удовлетворяющих также F.19.4). Мы можем тогда доказать теорему, отличаю-
отличающуюся от теоремы 215 только подстановкой О* вместо О. Доказа-
Доказательство ведется почти так же, но оно несколько сложнее на последних
этапах. См. de Finetti [1].
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ *)
216. „Средняя скорость по времени меньше средней скорости по
расстоянию".
(JJ
4г)л' случай тео-
ремы 181.]
217. Если кинетическая энергия движущейся несжимаемой жидкости
массы М есть Е, а средняя скорость ее частиц V, то Ey>MV2/2,
кроме того случая, когда все частицы имеют одинаковую скорость.
[Если р—плотность, a v — скорость элемента dS = dxdydz, то
М={
и утверждение следует из теоремы 181 (для тройных интегралов).]
218. Через замкнутый провод, лежащий в плоскости и ограничиваю-
ограничивающий площадь А, проходит единичный электрический ток. Пусть F
будет сила, действующая на единичный магнитный полюс Р, лежащий
в А. Тогда 2AF2 >Bтс)з, кроме того случая, когда провод есть круг
с центром в Р.
*) См. также Дополнение III в конце книги. (Прим. ред.)

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 197
[Предположим для простоты, что область А „звездообразна" отно-
относительно Р (т. е. что каждая точка отрезка прямой от Р до любой
точки провода принадлежит к А). Тогда, применяя полярные коорди-
координаты г и 6 с полюсом в Р, имеем (интегралы берутся в пределах
от 0 до 2т.)
если г не постоянно.]
219. Если Л (дг, у) и q^(x, у) суть две (конечные или бесконечные)
последовательности функций от х и _у, то
J J fg dx dyf < S J J f dx dy S J J g* dx dy,
кроме того случая, когда существуют две постоянные а и Ь% из кото-
которых, по крайней мере, одна отлична от нуля, такие что а^(х,у) =
= bg^(x,y) для каждого v.
[Это следует из теорем 7 (для бесконечных рядов) и 181 (для двой-
двойных интегралов), или непосредственно вторым методом § 2.4. Теорема
иллюстрирует следующий принцип. Неравенство
A) (ЕЕЕ«*О2<ЕЕЕ«2ЕЕЕ*2,
где и и v — функции трех целочисленных переменных т, п и р не
отличаются существенно от обычной формы неравенства Коши; но мы
можем вывести из A) существенно отличные неравенства, заменяя по-
разному выбранные знаки сумм интегралами.]
220. Предположим, что все а положительны, и что qr определены
соотношением
Тогда
кроме того случая, когда все а равны между собой.
221. Я1<Сд122<^^з3" -' кРоме того случая, когда все а равны.
[Теоремы 220 и 221 были сообщены нам И. Шуром. Как и р в
§ 2.22, q суть средние однородных произведений из а, но теперь
в каждом из произведений множители могут повторяться. В част-
частности ql = p1.
Теорема 221 следует из теоремы 220, так теорема 52 следовала из
теоремы 51. Для доказательства теоремы 220 заметим, что
A) qr = (п — 1)! j j ... j (a1x1 + a2x2 + ... + anxnf dx1...dxn^l9
где xn = 1 — jq — x2 — ... — -*n-i к область интегрирования опреде-
определена соотношениями" хг>0, ..., -^и_1>0, хте>0. Мы получаем тео-
теорему 220, применяя к A) теорему 181 (для кратных интегралов).

198 интегралы [гл. vi
Формула A) ведет к более полной теореме. Если а действительны
[но не обязательно положительны, то квадратичная форма Ц gr+syrys
строго положительна; если же все а положительны, то форма ИЯг+з+гУгУв
строго положительна — в обоих случаях, если не все а равны между
собой.]
X
222. Если /?>1, /? Lp@, а) и F(x)= $ f(t) dt, то F (x) = о (х1/р')
о
для малых х.
[По теореме 189
XX X
Fp< j fpdt (j dtj~l =xp~l\ fPdt,
0 0 0
и последний множитель стремится к нулю.]
223. Если /?>1 и /?//@, оо), то F(x) = o {x1(p') для малых и боль-
ШИХ X.
[Для малых х, по теореме 222. Чтобы доказать теорему для боль-
оо
ших х, выберем X так, чтобы I fpdx<^z2\ и положим х^>Х, Тогда
{F(x)-F(X)f = [
х
х
X X
F (x) < F(X) + exllp' < 2bx1/p'
для достаточно больших х.]
224. Если у абсолютно непрерывна, за исключением, быть может,
if 1\1/21
точки х = 0, и ху'2 интегрируема в @, а), то у = о \yog—J J
для малых х.
225. Если у — абсолютно непрерывна, за исключением, быть может,
точек х=0 илг=1,и хA —х)у2 интегрируема в @,1), то у6?2@,1) и
[То, что у ?/,2, следует из теоремы 224. Первое неравенство содержится

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 199
в теореме 181. Далее, имеем
1 1
О 0 0 0
1 1 v 1
{ ^
1 1
= [du [dv { [y\t)d^\<,\du Uv — a) dv[yf\t)dt =
и и
1 t 1 1
= \yf\t)dt \du\{v — u)dv = ^t{l — t)y'*dt.
0 0 ? 0
Из двух неравенств теоремы, первое может свестись к равенству
только когда у равен постоянной, а второе — когда у есть линей-
линейная функция.]
226. Если т>1, л> —1 и/—положительная функция и абсолютно
непрерывна, то
оо w(w+l) т—1 оо J_
а)
"ЛсГ
причем равенство имеет место только когда /= В
где?>0, С>0. В частности,
00 °° 1 /9 °° 1/9
(b) J72(j>2) J(j'2) \
кроме того случая, когда f = Be~Gx , и это неравенство имеет место
независимо от того, положительна / или нет, а также для интер-
интервала ( —оо, оо).
[Самым интересным случаем является (Ь); он был найден Вейлем
[Weyl 1,345], и оказался полезным в квантовой механике.
Предположим, что интегралы в правой части (а) конечны. Так как
/ непрерывна и п<^т(п-\-\I(т — 1), интегралы в левой части тогда
тоже конечны. Следовательно
lim xn+1fm=0;
х-> оо
распространяя интегралы на @, х^), где (х^) — подходящая последова-
последовательность, стремящаяся к бесконечности вместе с k, и интегрируя по
частям, получаем
[xnfmdx= ^р lim
J П+l fe

200
интегралы
[гл. vi
Но, по теореме 189,
оо т(п+1)
j$ [\fVdx)m,
0 0 0
кроме тех случаев, когда /'<() или f и JC(W+1)/(W—*)/ пропорцио-
пропорциональны; в этих случаях мы приходим к f=Be~Cx2.\
227. Если ср возрастает, то
кроме того случая, когда fug пропорциональны (в смысле § 6.17).
[Содержится в теореме 210; нужна для теоремы 228.J
228. Если а > 0, b > 0, а Ф Ь, <р неотрицательна и убывает, то
I1-
кроме того случая, когда у=су где с>0, в @, 8) и <р = 0 в (S, оо).
[I может быть равно 0. Это неравенство сильнее получающегося
в результате непосредственного применения теоремы 181. Оно следует
из теоремы 227, если мы интегрированием по частям сведем инте-
интегралы к рассмотренной там форме. Частный случай а = 0, Ь = 2 был
упомянут Гауссом в связи с теорией ошибок: см. Gauss [1, IV, 12] и
Полна и Сеге [1, II, 114, 318].]
229. Если а !> 0, #!>0, а Ф 1 и у неотрицательна и возрастает, то
A-
-тdx J^Tdx,
кроме того случая, когда у = С.
[См. Полна и Сеге [1, I, 57, 214]. В этом случае теорема 181 дает
обратное неравенство с множителем 1 в правой части.]
230. Если 00</<Л<оо, 0<&<g<?<oo, то
[Аналог теоремы 71: см. Полна и Сеге [1, J, 57, 214].]
231. Если мы рассмотрим замкнутые или открытые интервалы
(в общем случае числом четыре) (—а,Ь), где а>0, ?>0, и предположим
каждое из а, Ь нулем, положительным и конечным, или бесконечным,
то мы получим всего 34 типа интервалов /. Требуется найти для
каждого интервала / функцию f(x), определенную для 0<д:<1, так,
чтобы log9Jtr(/), где ШГ(Л образовано для интервала @,1) с q = l,
был конечен только для значений г из /.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 201
[Примеры:
I есть -а<г<?; /(*) = х1^ (l-^f^ "'
I есть —со < г < со; f(x) = 1 + х2;
I сводится к одной точке 0, f(x) = ехр ( — х~1/2 + A—д:)~1/2);
I пустой интервал; /(л:) = ехр ( — л:-1+ A — д:)).
Это содержит доказательство части утверждения, приведенного
в конце § 6.11.]
232. Геометрическая интерпретация неравенства Минковского*
Предположим, что точка в функциональном пространстве опреде-
определена как функция, принадлежащая к Z,2, причем две функции опреде-
определяют ту же точку, если их разность — нулевая функция. Пусть
расстояние между двумя точками fug будет
= y
(f-gfdx.
Тогда (а) расстояние между двумя различными точками положительно,
и (Ь)
[Если мы определим расстояние посредством
то мы получим аналогичные результаты в „функциональном простран-
пространстве I/".]
233. Кратчайшее расстояние между двумя данными точками евкли-
евклидова пространства есть прямая линия.
Кривая в пространстве дана уравнениями
x=x{t), y=y(t), z = z{t).
Предположим, что t возрастает от 0 до 1. Если допустить, что х, у, z
являются интегралами от функций, принадлежащих L2, то для длины
/ кривой будем иметь
по теореме 198; но это не меньше, чем
W+(W+U"'7-
Если имеет место равенство, то Ах' = By' = Cz't т. е. кривая
является прямой.]

202 интегралы [гл. vi
234. Если 0<р<1 и
для всех g, то \ fpdx^> Ap.
[Ср. с теоремой 70. Если />0 для всех л:, то определим g равен-
равенством fg = fp. Если />0 в E,f = 0 в СЕ, и мера СЕ конечна,
определим g в Е равенством fg = fp, а в СЕ равенством g = G, и
рассуждаем дальше, как в доказательстве теоремы 70. Если мера
СЕ = оо, возьмем (например) g = Gex2 в СЕ. Тогда
j>rfx = §fgdx > A ^fpdx + Gp' j **'*%
и теорема снова получается переходом к пределу G->co.]
235. Предположим, что / и р положительны, и что / имеет период
2я. Предположим, далее, что
2тс 2тс
(x + t)P(f)d*/{p(t)dt
о
и что средние *ЩГ относятся к интервалу @, 2л) с весовой функцией,
равной постоянной. Тогда
[Это может быть выведено из теоремы 204, или доказано непо-
непосредственно (например, для/->-1) следующим образом:
\$f(x+t)p(f)dty
$p(f)dt J
:-n-\dx —
В случае r = 0 см. Полна и Cere [1, I, 56, 212].]
236. Мы будем говорить, что f(x,у, ...) и g(x,y,...) одинаково
упорядочены, если

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 203
и обратно упорядочены, если / и —g одинаково упорядочены.
Требуется доказать, что
J... j / dx dy... j... j g- Лс dy... <
если fug одинаково упорядочены, и что если fug обратно упо-
упорядочены, то имеет место обратное неравенство. Интегралы могут
быть распространены на любую общую часть областей определения
/ и g.
[Аналог теоремы 43 (для г = 1), данный по существу уже Чебы-
шевым (который рассматривает только монотонные функции от одного
переменного).]
237. Если ср и ф удовлетворяют условиям теоремы 156 и
то
238. Если / и g положительны, k — положительная постоянная, и
/log+/ и еш интегрируемы, то fg интегрируема.
[По теореме 63, */&</log+/+ e^.]
239. Если / положительна, то
а а
J f(x) log I dx <2 j/ log+/ dx + Ц?-.
о о
[Положим g =  log— , k = 1 в неравенстве, примененном в дока-
доказательстве теоремы 238.]
240. Если / положительна и принадлежит /,@, а) и
j fgdx < j Ф (/) dx + j 4T(g) dx.
то
а а
\f{x)\og-dx= [^ф-dx + F(a) log- ,
J X *J X п
о о
при условии, что один из интегралов конечен.
241. Предположим, что а положительно и конечно; что В = В (а)
обозначает числа, зависящие только от а; что f(x) >0; наконец, что
х а а

204 интегралы [гл. vi
Тогда: (а) если Jконечно, Д^тоже конечно, и K<CBJ-\- B\ (b) если/—
убывающая функция, то справедливо и обратное предложение: если К
конечно, / тоже конечно, и 7< BK\og+K~\- В.
[По поводу двух последних теорем см. Hardy and Littlewood [8].]
242. Если / положительна и принадлежит 1@, а) и
то
[Интегрируем по частям, или подставим выражение для g и пере-
переменим порядок интегрирования.]
243. Определим Ш9 (/), где <р — непрерывная и строго возрастаю-
возрастающая функция, формулой
Тогда, для того чтобы
для всех /, необходимо и достаточнот чтобы ^ была выпукла отно-
относительно ср.
244. Для того чтобы
для всех / = /(лг1,*2» •••» хп)> необходимо и достаточно, чтобы каждая
функция <?v была выпукла относительно соответствующей <pv.
245. Для того чтобы
для всех /, необходимо и достаточно, чтобы (a) ^v>pv и (b) q^^p^
если ^>v и подстановка, которая переводит A, 2,..., п) в
(vlf v2, ..., vw), меняет местами р. и v.
[По поводу трех последних теорем, соответствующих теоремам
92, 93 и 137, см. Jessen [2, 3].]
246. Неравенство Гельдера может быть выведено из неравенства
(теорема 203), если положить
[См. Jessen [3]

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 205
247. Если (a) v(x,t) положительна, непрерывна и выпукла отно-
относительно х для a:i<x<a:2, *>0, (b) р@>0 и (с) интеграл
конечен для х = х1 и х = х2, то 1(х) — непрерывная и выпуклая
функция для хх < х < х2.
[Что функция /(jc) ограничена и выпукла, следует непосредственно
из выпуклости <р; что она непрерывна — из теоремы 111.]
248. Если f(x) и у(х) положительны и у(х) выпукла для положи-
положительных X И
I(x)=x[^{f{t)lx}dt
конечен для х = х± и х = лг2, то функция 1(х) непрерывна и выпукла
для Хх<^х<^х2.
[По теореме 119 ху(\/х) и
выпуклы, и мы можем применить теорему 247. Более общие резуль-
результаты могут быть выведены из теоремы 120.]
249. Для того чтобы имело место неравенство
ъ ъ
для каждой выпуклой и непрерывной функции <р, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
ь
а
Ъ
а а
для всех у.
[Здесь а+, как в § 6.1, означает тах(я, 0).]
250. Если / и g—функции возрастающие, то эквивалентным усло-
условием является
ь ь
для

206 интегралы [гл. vi
[По поводу двух последних теорем, содержащих интегральные
аналоги частей теоремы 108, см. Hardy, Littlewood and Polya [2].]
251. Если fitt), fz(t), ..., fi(t) действительны и интегрируемы
в @,1), то либо (i) существует функция х (t), такая что
о о
либо {и) существуют неотрицательные числа уи у2, .. .,j/z, не все
равные нулю, такие, что
yiMt)+y2f2(t)+ ... +yifi(t)= о.
252. Если /i@» /2(^I •••! fmtt) действительны и непрерывны
в @,1), то либо (i) существуют действительные числа xiy лг2 хт
такие, что
+ + • • • +xmfm(t)
неотрицательно для всех, и положительно для некоторых t в (ОД),
либо (ii) существует положительная и непрерывная функция y(t)
такая, что
1 1
j §
о о
[Теоремы 251 и 252 являются интегральными аналогами одной
важной теоремы Stiemke [1], касающейся систем линейных нера-
неравенств. Предположим, что ах^(к = \, 2 /; [х = 1, 2 т) пред-
представляют таблицу с / строками и т столбцами, и что
и рассмотрим две задачи:
(i) найти действительную последовательность (х)у для которой
(ii) найти неотрицательную и ненулевую последовательность (у),
для которой
М1(у) = 0, М2(у) = 09...,Мт(у) = 0.
Так как
то обе задачи не могут быть одновременно разрешимы для одной и
той же таблицы (а), но теорема Стимке утверждает, что одна из
них всегда разрешима, каковы бы ни были а.
Теоремы 251 и 252 являются аналогами теоремы Стимке, в ко-
которых т столбцов или / строк заменены непрерывной бесконеч-
бесконечностью столбцов или строк. Мы исключили эти теоремы и дальней-
дальнейшее рассмотрение теории систем линейных неравенств из нашей
программы только из-за необходимых для них алгебраического и
геометрического введения. Их можно найти у Хаара и Динеса:
Нааг [1], Dines [1].J

Г Л А В А VII
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1. Общие замечания. „Простейшей задачей вариационного
исчисления" является определение максимального или мини-
минимального значения интеграла
для всех функций у = у(х), для которых
0) Уо = У(хо), yi=y(Xi) заданы,
B) у' непрерывна.
Обозначим этот класс функций через Ш. Тогда нашей задачей
является определение функции
у = У(х)
из й так, что либо для всех у из ®, отличных от У,
Xq
либо J(y)>7(F). Из общей теории нам известно, что если
такая функция Y существует, то она должна удовлетворять
„уравнению Эйлера"
_dP d /dF\
^ ' ду dx \дуг)'
Рассмотрим несколько простых примеров.
(I) Пусть
и yQ = 0, ^1 = 1- Тогда (Е) принимает вид у" = 0, и единствен-
единственным решением, удовлетворяющим условиям, будет у=х.
Легко проверить, что Y = x действительно дает минимум J(y).
Действительно, У(У) = 1 и
1 it
fdxj < \^dx\^y'2dx =J0>),
б 0 0

208 некоторые приложения вариационного исчисления [гл. vii
по теореме 181, кроме того случая, когда у'=\, т. е. у = х.
Следовательно, J > 1 для всех у, отличных от Y.
На самом деле мы доказали больше того, что требова-
требовалось в задаче, так как доказательство остается в силе при
том лишь предположении, что у — абсолютно непрерывная
функция1). Это предположение, однако, уже существенно,
так как существуют функции _у, для которых
G.1.1) J>@)=0, y(\) = \,
у'=0, J{y) = 0.
Абсолютная непрерывность у{х) является необходимым и доста-
достаточным условием того, чтобы существовала такая интегрируе-
интегрируемая функция /(х), что
Для этого необходимо, хотя и недостаточно, чтобы у(х) имела
ограниченную вариацию. В частности, недостаточно, чтобы у(х)
была монотонной; существуют возрастающие функции у, кото-
которые удовлетворяют G.1.1).
Если у — интеграл от/, то _у'=/; абсолютно непрерывная
функция является интегралом от своей производной. Все это
подробно изложено в руководствах по теории функций дей-
действительного переменного*).
Основной теоремой, применяемой в настоящей главе, является
теорема об интегрировании по частям, сформулированная
в § 6.3 (а).
Эти замечания приводят нас к необходимости условиться
о следующем. В настоящей главе мы будем предполагать, что
если у и yf встречаются в какой-либо формулировке, или
каком-либо доказательстве, то у является абсолютно непре-
непрерывной функцией (а следовательно, интегралом от у'). Ана-
Аналогичное предположение мы будем делать и относительно у'
и у" (если уг встречается в задаче). Естественно, что все это
относится также и к другим буквенным обозначениям. Без
этого предположения все задачи этой главы не имели бы
смысла.
х) См., например, de la Vallee Poussin [2], Hobson [1]. См. также
П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. Введение в теорию функций
действительного переменного. {Прим. перев.)

7.2] ПРЕДМЕТ НАСТОЯЩЕЙ ГЛАВЫ 209
(ИI) Пусть
и уо = у1 = О. Единственным решением (?), удовлетворяющим
условиям, является у = 0. Если К=0, J(Y) = 0, но Y не
дает ни максимума, ни минимума J(y). В самом деле, легко
построить у из $, для которой значение J(y) будет как угод-
угодно большим, положительным или отрицательным числом. Так,
если/(х) — некоторая функция, для которой /@) =/A) =0 и
то, полагая y = Cf(x), мы найдем, что J (у) будет большим,
когда С велико, и будет иметь тот же знак что и С.
(III) Пусть
Уо=О, уг=1. Здесь J(y) > 0 для всех у из St. Но, при
у = хт, J=1r-m> так что существуют у из $, для которых /(^у)
как угодно мало. Для у из $ J(y) имеет недостижимую точ-
точную нижнюю грань 0. Это остается справедливым и для более
общих классов, чем 51 (например, для класса абсолютно непре-
непрерывных функций). С другой стороны, J(y) принимает значение
нуль для функции, упомянутой в (i), а также для разрывной
функции, равной 0 при х=0 и 1 при лг>0.
7.2. Предмет настоящей главы. Можно было бы пред-
предполагать, что вариационное исчисление даст нам очень мощное
орудие для доказательства интегральных неравенств. Однако,
почти не существует примеров его приложения к неравен-
неравенствам, играющим сколько-нибудь важную роль в анализе.
Это может быть объяснено двумя причинами. В первую
очередь, вариационное исчисление занимается преимущественно
достижимыми максимумами и минимумами, тогда как многие
х) Этот и следующий пример принадлежат Вейерштрассу и пред-
представляют большой исторический интерес.

210 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
из наиболее важных интегральных неравенств содержат утвер-
утверждения относительно недостижимых точных верхних и нижних
граней. Во-вторых, условия „непрерывности" в классической
теории являются слишком ограничительными. Часто оказы-
оказывается значительно труднее распространить неравенство, дока-
доказанное вариационными методами для некоторого специального
класса функций, на те наиболее общие классы функций, для
которых оно требуется, чем провести прямое доказательство
окончательного результата. В силу этого вариационное исчи-
исчисление почти не применялось в главах анализа, трактующих
о неравенствах.
Идеи вариационного исчисления часто оказываются, тем не
менее, весьма полезными, и мы применяем их здесь к ряду
специальных неравенств. Когда (как в примере (i) предыдущего
параграфа, или в теоремах 254 и 256, рассмотренных ниже),
грань, утверждаемая неравенством, достигается, и притом
экстремалью, т. е. решением уравнения Эйлера, эти идеи должны,
очевидно, иметь прямое отношение к вопросу, и может ока-
оказаться, что результат трудно получить каким-либо другим
путем. Мы, однако, увидим, что они иногда оказываются
эффективными и в тех случаях, когда грань не достигается, и
окончательный результат не получается непосредственно мето-
методами вариационного исчисления.
Наши рассмотрения не потребуют никаких углубленных
знаний теории. За исключением § 7.8, нам нужны будут только
ее простейшие формальные понятия1).
7*3. Пример неравенства с недостижимым экстремумом.
В качестве первого примера применения методов вариацион-
вариационного исчисления мы выбираем частный случай одной теоремы,
которая была сначала доказана совершенно иным путем, и
к которой мы еще вернемся в § 9.8.
253. Если /?L2@5 оо), ^0=0 // у не равно тожде-
тождественно нулю, то
*) А именно, уравнение Эйлера и инвариантный интеграл Гиль-
берта. Все что мы предполагаем известным, может быть без труда
найдено, например, в курсах Bolza [I], Bliss [1] [см. также Лав-
Лаврентьев и Люстерник [1J. (Прим. перев.)]

7.3] НЕРАВЕНСТВО С НЕДОСТИЖИМЫМ ЭКСТРЕМУМОМ 211
Рассмотрим сначала более общий интеграл
G.3.1)
о
Уравнение Эйлера
имеет решение
y
при \i = 4, и
у = Ахш-\-Вх}\
при jj, > 4 , где
В обоих случаях единственным решением, для которого
У?/,2@, оо), является у = 0.
Вследствие этого, перед тем как применить к этой задаче
методы вариационнного исчисления, необходимо ее несколько
изменить. Рассмотрим
1
при условиях ^уо = О, ,У1 = 1? Iх > 4. Тогда существует одна
экстремаль1), удовлетворяющая всем условиям, а именно
где
G.3.3) а =
\-°-
Так как после простых вычислений мы находим, что
G.3.4) ду)=_?_|
г) Экстремаль у = 1х2 -\-A—Ъ)х2 удовлетворяв^ усло-
условиям ^ = 0,^ = 1 для любого X, Но у' не принадлежит L" и J (у)
расходится, если \ф\.

212 некоторые приложения вариационного исчисления [гл. vii
то эти соображения делают вероятной справедливость следую-
следующей теоремы.
254.J) Если [Х>4) у{0) = 0, y(l) = l a /?L2@, 1), то
G.3.5)
где а определено в G.3.3). Равенство имеет место только
для у из G.3.2).
7.4. Первое доказательство теоремы 254. Мы дадим два
доказательства теоремы 254. Первое не требует знания вариа-
вариационного исчисления, хотя применяемые в нем преобразования
внушены знанием вида экстремали К.
Если
G.4.1) у=
ТО
G.4.2) J(y) =
где
Так как Y' ? Z,2, то и t\' ? Z,2, а, следовательно, ч\ =
для малых х 2); отсюда заключаем, что
= 2lim(-\
= 2 Ига
8-»0
Следовательно, из G.4.2) вытекает, что
G.4.3) /0,) = _J
х) Относительно этой и некоторых других теорем настоящей
главы см. Hardy and Littlewood [10].
2) Теорема 222.

7.4] ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 254 213
и достаточно показать, что
J(r\) > 0.
Здесь r\?L2> ч\ не равно тождественно нулю и обращается
в нуль на концах интервала.
Положим теперь
Y)=KC
Тогда
G.4.4) Л(Ч) =
1 9 9 Х Х
ь ь ь
Но
1 1
и из G.4.4) и G.4.5) следует, учитывая, что Y есть решение
уравнения
G.4.6)
Но
при х-*0. Следовательно, переходя в G.4.6) к пределу при
8 -> 0, получаем
G.4.7)
если С не равно тождественно нулю.
Это доказывает теорему. Условие ja>4 было нужно для
того, чтобы K'^Zr2. Однако, это доказательство теоремы све-
сведено нами к получению тождества G.4.7.) Так как

214 некоторые приложения вариационного исчисления [гл. vii
то из G.4.7) и G.4.3) следует
G.4.8) ^
о
а сюда Y более не входит. Так как обе части G.4.8) непре-
непрерывны относительно jx, мы можем включить случай р< = 4, а = 0.
Если форма тождества G.4.8) найдена, оно может быть, конечно,
доказано и непосредственно интегрированием по частям (хотя
при рассмотрении сходимости в нижнем пределе нужна неко-
некоторая осторожность).
Мы теперь в состоянии доказать теорему 253. Полагая
и заменяя опять Х> Y на #, у, мы получаем
G.4.9,
о
Г2/
гдетеперь у@) = 0, у(?) = с. Если У ? L2@,oo), то с = о(к/2)у
для больших ?, х) и первый член в правой части G.4.9) стре-
стремится к нулю при Е->оо. Переходя к пределу при?-^оо, и
полагая jj< = 4, мы получаем
Это тождество, делающее теорему 253 очевидной, справедливо
для всех уу для которых y?L2, и может быть, конечно, дока-
доказано и непосредственно 2*.
7.5. Второе доказательство теоремы 254. Во втором дока-
доказательстве явным образом применяются методы вариационного
исчисления, лежащие в основе первого доказательства.
*¦) Теорема 223.
2) Grandjot [1] дает несколько аналогичных тождеств для рядов.

7.5] ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 254 215
Предположим, что у = Y(x), или ?, является экстремалью,
проходящей через точки р0 и р1У и что
G.5.1) у=у(х,а),
или ?"(«), есть семейство экстремалей, содержащее Е и зави-
зависящее от одного параметра а. Предположим далее, что
(i) Е (а) покрывает некоторую область, содержащую Е так,
что через каждую точку этой области проходит одна и только
одна экстремаль, и а является однозначной функцией от л: и у;
или, что
(и) каждая кривая семейства Е(а) проходит через р0> так
что у(хо,а) не зависит от а, но в остальном условие (i) удо-
удовлетворено.
При выполнении этих условий1) говорят, что G.5.1) опре-
определяет поле экстремалей, содержащее Е.
Наклон
экстремали, проходящей через точку Р поля, может быть
выражен как однозначная функция
Р = Р(х> У)
от х и у, Инвариантный интеграл Гильберта имеет вид
где/7 и Fp суть значения F(x,y,y') и Fy,{x,y,yf) при
yf=pi и интеграл берется вдоль любой кривой С, лежащей
в области, покрытой полем.
Интеграл Гильберта обладает следующими основными свой-
свойствами.
(i) /*(C) зависит только от конечных точек Q и R пути
интегрирования С; другими словами,
(F — pFp) dx + Fpdy = dW
г) Должны быть еще удовлетворены некоторые дополнительные
условия о дифференцируемости функции а(х, у), которые мы здесь
не будем формулировать: см. Bolza [1, 95 —105]. [См. также Лав*
рентьев и Люстерник [1, 131]. (Прим. ред.)]

216 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
есть полный дифференциал, и
J*(C)=WM-WQ.
(и) Если С совпадает с экстремалью ?, то
Е
Отсюда следует, что если С идет от PQ к Pv то
ДС) - J(E) = J(C) - J*(E) = J(C) - Г (С) =
У, y')dx - \{F(x, yy p)—pFp(x, у, p)dx
a
G
где
*(*,У>Р> У') = F(*>y>yf) — Fix* У'. P) — (У'— P) Fp(x,y, p).
Здесь yf означает наклон С в какой-нибудь точке, а р — наклон
экстремали, проходящей через эту точку. Функция S назы-
называется функцией Вейерштрасса. Если §>0 для у'Фр, то,
очевидно
и Е действительно дает минимум J.
В данном случае возьмем в качестве Е(а)
Имеем
где

7.5] ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 254 217
В данном случае
если у'фр. Тождество
СВОДИТСЯ К
т.е. к G.4.8).
Эти выкладки показывают происхождение G.4.8), но еще
не содержат строгого доказательства этого тождества, по двум
причинам. Во-первых, теория поля к данному F не применима
(F имеет особую точку х = 0) и, во-вторых, эта теория пред-
предполагает у' непрерывной.
Чтобы устранить первое затруднение, мы можем взять в каче-
качестве Ро и Рг точки (8, S^1'2) и A,1). Теория дает тогда
тождество
5 5
и мы получаем G.4.8) для непрерывных у' переходом к пре-
пределу при 8-*0.
Когда таким образом G.4.8) полностью доказано для непре-
непрерывных у\ распространение на общие yr^L? может быть осу-
осуществлено обычными методами приближения. Это рассуждение
будет детально проведено в следующем параграфе при рассмо-
рассмотрении другой задачи, элементарное решение которой неиз-
вестнов Таким же образом может быть доказано тождество
G.5.2)
х) Теория поля дает форму этого тождества, справедливость кото-
которого может быть потом показана и независимо от этой теории. Огра-
Ограничение у' > 0 вводит дополнительное осложнение в чисто вариацион-
вариационное доказательство.

218 некоторые приложения вариационного исчисления [гл. vii
где
h />о, k>\,
и X означает (единственный) корень уравнения
G.5.3) *
который лежит между \\k! и 1. После того как форма тожде-
тождества G.5.2) найдена, мы можем положить
jj, = К, т. е. \ = \\kr и уЛА = 1.
Тогда получим
Интегрированием по частям можно непосредственно прове-
проверить, что это тождество и имеет место для всех^/^^Л Далее,
как в § 7.4, можно доказать, что верхний предел интегралов
может быть заменен на оо, и первый член в правой части опущен.
Принимая еще во внимание, что по теореме 41
для положительных а и Ь, мы получаем доказательство одной
теоремы (теоремы 327), которая будет сформулирована и дока-
доказана совершенно иным путем в § 9.8.
Между прочим, мы получаем
255. Если
у@)=0, уA) = 1 и y'ZL", mo
где \ — корень уравнения G.5.3), лежащий между \\k! и 1.

7.6]
ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
219
7.6. Дальнейшие примеры применения методов вариацион-
вариационного исчисления. Провести четкое разграничение между дока-
доказательствами „элементарными" и основанными на вариационном
исчислении почти невозможно, так как существует много дока-
доказательств промежуточных типов. Настоящий и следующий пара-
параграфы содержат выбор таких доказательств, проведенных более
или менее подробно.
(I). 256. Если у @) = О и 2k— четное положительное це-
целое число, то
G.6.1) §§
где
Знак равенства имеет место только для некоторой гапер-
эллиптической кривой 1).
(i) Предположим сначала, что j;(l) =^= 0; тогда мы можем
принять, что у A) = 1. Рассмотрим интеграл
Уравнение Эйлера
дает
Bk — \)Cyf2k=C—
где С—постоянная интегрирования.
Существует одна экстремаль, проходящая через точки @, 0)
и A, 1) и пересекающая прямую х = 1 под прямым углом.
Действительно, если мы возьмем С'=1, то у' обратится в
нуль, когда у= 1. Далее,
а так как
См. также Дополнение IV в конце книги. (Прим. ред.)

220 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vn
то экстремаль этого типа, проходящая через точки @,0) и A,1),
действительно существует. Если мы обозначим эту экстремаль
через Y, то
j
так как У'A) = 0.
Чтобы доказать теорему, остается показать, что у = Y дает
сильный минимум, а это слелует из общей теории. Найденная
экстремаль является возрастающей кривой, подобной по форме
кривой у = sin-i-тгд;, в которую она переходит при k = 1. Кри-
Кривая y = aY также является экстремалью. Семейство y = aY
определяет поле в смысле § 7.5. Функция Вейерштрасса
положительна, и, таким образом, все условия для минимума
удовлетворены. Это доказательство чисто вариационное и (вви-
(ввиду сложности вычисления функции /;) весьма возможно, что
трудно найти более элементарное доказательство.
В доказательстве есть, однако, один пункт, который требует
дополнительного замечания. „Общая теория" предполагает не-
непрерывность у', и может показаться не совсем очевидным, как
ее выводы, в особенности касающиеся единственности решения,
распространяются на рассматриваемый нами более общий класс
функций у.
Обозначим через /2^ класс интегралов у от функций, при-
принадлежащих к 1?р и через /* — класс интегралов у* от непре-
непрерывных функций. Мы доказали, что
G.6.3) J0>*)>J(Y)
для у*?1* и отличных от У, в то время как нам нужен тот
же самый результат для любой у из /2Л Для любой y?J2p,
отличной от У, можно найти последовательность функций
j/*?/* так, что
J(y) = limJ(y*);
но из этого и из G.6.3) мы можем только заключить, что
так что в процессе предельного перехода теряется знак стро-
строгого неравенства.

7.7] ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ: НЕРАВЕНСТВО ВИРТИНГЕРА 221
Трудность эта исчезает, если мы станем на несколько иную
точку зрения. Общая теория доказывает не только неравенство
G.6.3), но и тождество
где § (у*) — функция Вейерштрасса, соответствующая у* и
полю экстремалей y = aY. Аппроксимируя у подходящей после-
последовательностью функций з>*> мы заменяем это тождество сле-
следующим:
интеграл положителен, кроме того случая, когда у = Y.
(ii) в случае у A) = 0 доказательство протекает аналогично,
так как у=0 является тогда экстремалью, удовлетворяющей
всем условиям и находящейся в поле у = %У, рассмотренном
в (I).
Если не делать никакого предположения о значении уA),
то доказательство можно вести и иначе. Тогда мы имеем задачу
«со свободным концом", состоящую в определении минимума
J(y) для кривых, проведенных от начала координат до пере-
пересечения с прямой х=1. Экстремали пересекают эту прямую
„трансверсально" (в данном случае ортогонально) и все кри-
кривые у = яУ удовлетворяют этому условию. Из общей теории
следует, что значение J(y) для всех экстремалей равно, а зна-
значит равно нулю, так как оно равно нулю, когда а=01}.
7.7. Дальнейшие примеры: неравенство Виртингера. (II)
Рассмотрим подробнее частный случай (I), когда k = 1. Простое
преобразование дает
тг/2 тг/2
G.7.1) j
если зЧО)=О и j; не является кратным sin л;.
На основании общей теории можно ожидать, что существует
тождество типа
(y'-y2)dx = ^y'-y^x))idx>
О О
Эти замечания были сделаны Блиссом (Bliss).

222 некоторые приложения вариационного исчисления [гл. vn
или
j
о
Это будет, очевидно, верно, если
/A + ф2) dx + 2
где z обращается в нуль в концах интервала интегрирования,
т. е., если
причем z=—tyy2. Положим у=-|-'1Г> т- e- ^^ctgA:; тогда г
обращается в нуль при лт^утт, и вследствие того, что y'^L2,
т.е. у = о(х^2) для малых л:^, г обращается в нуль также
при л; = 0. Таким образом, мы получаем
тг/2 тг/2
G.7.2)
что делает G.7.1) очевидным.
Простое преобразование приводит к теореме
257. Если у(р)=у(п)=0, y'?L2, то
О О
кроме того случая, когда
у = Cs'mx.
Имеем у = о(х^2) для малых х и у = о[(ъ—хУ/2} для х
близких к тс ^, так что y2ctgx обращается в нуль в обоих
концах интервала интегрирования. Следовательно,
1С 1С
G.7.3) J (У8—/)<** = j(/—.yctg*)arfx.
Теорема 222.

7.7] ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ: НЕРАВЕНСТВО ВИРТИНГЕРА 223
Другое видоизменение G.7.2) дает более интересную теорему
Виртингера гК
258. Если у— периодическая функция с периодом 2тг, У??2
и
G.7.4)
о
то
2тс 2тс
\у'Чх,
О
кроме того случая, когда у = A cos x -\- В sin х *).
Мы не можем сразу написать тождество, подобное G.7.2)
или G.7.3), но с пределами 0, 2тс, так как yctgx будет обра-
обращаться в бесконечность в интервале интегрирования. Мы можем,
однако, рассуждать следующим образом2).
Функция
принимает значения разных знаков при х=0 и лг = тг, и, сле-
следовательно, обращается в нуль в интервале @,тс). Пусть
,г(а)=0, где 0 ^ а < тг, и пусть у(а) = а. Так как ^'?L2, то
(у — aJ ctg (х — а) обращается в нуль при х = а и при
х = а -|- тг 3); следовательно,
1} См. Blaschke [1.105] Наиболее коротким доказательством является
приложение теоремы Парсеваля к рядам Фурье
у ^ ¦— aQ + S (^n cos пх + ^n sin пх)у У' ~ S (л^« cos /?л" — л^м sin nx)
(с ^ = 0).
*) См. также Дополнение V в конце книги. (Прим. ред.)
2) Следующее в тексте доказательство было сообщено нам Леви
(Dr. Hans Lewy).
3) По теореме 222 (как в 7.4 и выше).

224 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vn
Принимая во внимание G.7.4), мы получаем
о о
что всегда положительно, кроме того случая, когда д = 0 и
у' =yctg (х — а), у = С sin (x — а).
Теорема 258 имеет особый интерес, так как на ней мо-
может быть основано доказательство изопериметрического свой-
свойства круга. Рассмотрим простую замкнутую кривую С длины L,
ограничивающую площадь Л. Пусть
х = *(?), У =У(Ч) @ < ? < 2тг),
будут уравнения С, где параметр
2тг5
и $ есть длина дуги С.
Предположим для простоты, что х' и у' непрерывны; дока-
доказательство остается в силе и для более общих х и у. Мы
можем также без ограничения общности предположить, что
центр тяжести С лежит на оси х, так что
= 0.
Тогда мы имеем
~\\ds
° ИЛН I{@+(f)'}^-2|j'^d<P.» зависимости от того,
возрастает или убывает s, когда мы ооходим кривую в определенном
направлении.

7.8] НЕРАВЕНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 225
последнее по теореме 258. Знак равенства имеет место только,
если
у = A cos ср-^ В sin ср
и
х = — \yd® = — A sin ф -\- В cos о -\- С,
т.е., если С есть круг1).
7.8. Пример неравенства, содержащего вторые производ-
производные (III). Известно2), что если/ имеет для х^О вторую произ-
производную, и если [*0, {J.J, \i2 верхние грани |/|, |/'| |/"|, то
Это наводит на мысль, что существует аналогичное соотноше-
соотношение между интегралами
$ $ $
ооо
где р>Л. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос
в случае р = 2.
259. Если у и /'?/,2@,оэK), то
причем знак равенства имеет место только в том случае,
когда у= AY(Bx), где
К=? sin(xsinY т) =
Рассматривая эту теорему, как изопериметрическую задачу
вариационного исчисления:
со со
„ даны Jo = \ y2dx и J2 = \ ydx, найти максимум
^ В принципе — это доказательство Гурвица [Hurwitz, 2], но оно
отличается от последнего тем, что мы не ссылаемся в нем на теорию
рядов Фурье, и тем, что х и у входят в него несимметрично.
а> Landau [2,3].
*) См. в Дополнении VI доказательство этого неравенства. См.
также Дополнение VII в конце книги. (Прим. ред.)
3) В соответствии с условленным в §7.1,./ есть интеграл от у" и
у — от /.

226 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vii
со
Jx = \yf2dxu, мы должны составить уравнение Эйлера для
о
J(/a-*/-!*/")<**.
О
Это — линейное уравнение вида
я/"'+ */' + * = О,
решениями которого являются линейные комбинации показа-
показательных функций. Когда мы пытаемся подобрать параметры
наиболее выгодным образом, то приходим к функции Y.
Однако завершение доказательства на этом пути с исполь-
использованием общей теории затруднительно. Поэтому мы выведем
теорему 259 из следующей более простой теоремы.
260. При выполнении условий теоремы 259
со
Л.У) = jlv2-/2+/'V* > О,
о
кроме того случая, когда y = AY.
Мы даем несколько доказательств этой теоремы, иллюстри-
иллюстрирующих различные методы. Первые два облечены в элементар-
элементарную форму, а в третьем, которое мы только намечаем, вариа-
вариационное исчисление, лежащее в основе первых двух, используется
в явном виде.
Начнем с необходимого замечания, что интеграл Jx конечен.
В самом деле,
X X
G.8.1)
так как Jo и 72 конечны, интеграл в правой части стремится
к конечному пределу при Х->оз *). Таким образом, если бы Jx
было бесконечно, то уу' и тем более
стремились бы к бесконечности, что противоречит сходимости Уо.
Следовательно, J{ конечен и все три члена в G.8.1) стремятся
х) По теореме 181.

7.8] НЕРАВЕНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 227
к конечным пределам. В частности, уу1 стремится к пределу,
который может быть только нулем (вследствие сходимости Уо).
A) Наше первое доказательство протекает более или менее
аналогично первому доказательству теорему 254 (§ 7.4). Легко
убедиться, что
Y-\-Y' -|-Г"=0, К@) + К'@) = О, к"@)=0
и
/(К)=0. Ц
Положим теперь
У=г + с?,
и выберем с так, чтобы г@) = 0. Тогда г, г1 и zf/?L? и при
х-+оэгпг' = о (*V2) 2) и zz'-+ 0.
Далее,
у(вУ) = У(г) + 2сК(У,г) -\-c2J(Y),
где
оо
К = j (Кг — КV + КV) rfx =
о
оо схэ оо
= — J (Г' + Y") zdx—\ (Y Н- Г') г^л: — J Г'г^л: =
0 0
Следовательно, J(j/) = J(z), т. е. достаточно показать, что
, если г не равно тождественно нулю. Но ,г@) = 0 и
при л:->оо, а потому
и, следовательно,
оо
JO) = j (г2 + «г" + *"*) rfx > 0,
о
кроме того случая, когда z ^ 0. Таким образом, теорема 260
доказана.
х) Это требует некоторых вычислений.
2) По теореме 223.

228 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vii
B) Следуя доказательствам в §§ 7.5 и 7.7, можно попытаться
основать теорему 260 на тождестве. Для этого сделаем
G.8.2) {/-/"+/"- (у" + <?у + */)'}**
полным дифференциалом, для чего достаточно положить ср = ф~^>
причем G.8.2) сведется к
-d{y+y'f.
Таким образом,
JV-/2+/'2-су +/+/?} ^=- [(у-\-yff0-
о
Интеграл в левой части этого тождества стремится к конечному
пределу при X-+ со, так как Уо, У,,У2 конечны *). Кроме того,
уут-* 0, а значит j;2-}-^'2 стремится к пределу, который может
быть только нулем. Отсюда следует, что
G.8.3)
а это выражение положительно, за исключением того случая
когда
Из этих условий следует, что у = AY.
C) Общая теория, лежащая в основе приведенных выше
доказательств, несколько более сложна, чем в § 7.5. Если мы
Так как, по теореме 181, интегралы
оо оо оо
\yyrdx, \yryrtdx, \yy"dx сходятся.

7.8] НЕРАВЕНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 229
ПОЛОЖИМ
G.8.4) у' = г,
G.8.5) J(y)=
и предположим, что
G.8.6) у@) = 19 *@) = С, у(оо) = 0, г(со) = 0,
то мы имеем перед собой „задачу Лагранжа": найти минимум
J(y,z) при условиях G.8.4) и G.8.6).
В пространстве (л:, у, г) экстремали задаются уравнениями1)
а я. 7\ дФ d [дФ\ дФ d (дФ
где
и X есть функция от х, определенная самими уравнениями.
В данном случае уравнения G.8.7) сводятся к
G.8.8) 2у+^B/+Х) = 0, к=-±{2г%
и отсюда, принимая во внимание G.8.4), мы получаем
G.8.9) /
Наиболее общим решением уравнения G.8.9), для которого у
и z стремятся к нулю при л;->оо, является
/7 Й im \t — лр-Р00 -U пр~?х
y^t . О • 4. \J у у ttcJ ttcJ ,
где р = е™/3 и черта означает комплексно-сопряженную вели-
величину.
Уравнения G.8.10)
G.8.11) z = — аре~?х — аре~?х,
и
G.8.12) X = 2ае~рх -\- 2ае~^х
См. Лаврентьев и Люстерник [1].

230 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vii
определяют двупараметрическое „поле" экстремалей, проходя-
проходящих через (со, 0, 0). Функциями поля р, q и множителем к
являются функции
получаемые в результате выражения наклонов экстремали и
функции X, определенной в G.8.8), через х, у, z. Прямое
вычисление дает
G.8.13) р = г, q=—y—z)
G.8.14) Х=2у1>.
Обобщенный интеграл Гильберта
У* = J [(Ф - рФр - qOq) dx + Фрс!у + Ф^г]
обладает теми же свойствами, что и рассмотренный в § 7.5:
его значение зависит только от конечных точек пути интегри-
интегрирования, а для путей, совпадающих с экстремалями, оно равно
J =^Fdx.
Кроме того, если Е экстремаль, а С — какая-либо другая кри-
кривая, соединяющая конечные точки Еу то
G 8 15) J —J =J —7* — J —J*=[td
с
где $—обобщенная функция Вейерштрасса:
6 = Ф (*, у, z, у', z\ Х) — Ф (X у, z, /?, q, X) —
В данном случае мы имеем
G.8.16) S = СУ + z + z'f - (/ - zf
х) Функции /?, q и X зависят в первую очередь от х и параметров
я, а экстремали. В данном случае
у г = - аре-?х _ аре-?* =г9 г' = ар2е~?х + afe~^x = —у — г,
f?x = 2у.

7.8] НЕРАВЕНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 231
Так как § сводится к (у -\- z -\- z'f для y'=z, то мы полу-
получаем
т.е. G.8.3). Таким образом, мы доказали теорему 260 тремя
различными способами.
Полагая у @) = 1, мы предположили, что _у@)=^=0. В случае _у@)=0
доказательство ведется аналогично 1).
Нашей целью было иллюстрировать метод, а не излагать трудную
общую теорию, и поэтому мы ограничились очень краткими рассмот-
рассмотрениями. Следующие замечания 2) могут служить для лучшего уясне-
уяснения метода.
(а) Интеграл /*, образованный для какого-нибудь двупараметриче-
ского семейства экстремалей, не обязательно инвариантен. В данном
случае мы можем непосредственно проверить инвариантность /*;
в самом деле,
J*=-)d(y
Эта инвариантность обеспечивает то, что наши экстремали образуют
„поле", так как они проходят через фиксированную точку, ибо у, z и
X обращаются в нуль при д; = оо.
(b) В данном случае Ф многочлен второй степени и
S = \ {{У'-pf ФРР + 2{y'-p)(z' - q) Фм + (г' - qf Ф?а}.
что непосредственно ведет к формуле G.8.16).
(c) Пусть Е и С определены как выше, Ео обозначает положитель-
положительную ось х и L — любую кривую, соединяющую точку @,1, С) с началом
координат; тогда
Таким образом мы получаем G.8.3), избегая непосредственного вычи-
вычисления /g. Иначе мы можем рассуждать так:
jc - je = j $dx, je = j* =
c—jE— Ьах% je—je—jl-
к)
о
J) Cp. § 7.6.
2) Которые были сообщены нам Блиссом и Л. Юнгом (L.C. Young).

232 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vii
Для вывода теоремы 259 из теоремы 260, применим эту
последнюю к у(—J вместо у(х). Тогда мы получим
J -Р2У2 -\-у)
о
Так как это справедливо для всех положительных р, в частно-
частности для р=-^-р, то мы имеем J12<470/2, кроме того случая,
когда yU^j=AY(x).
7.9. Более простая задача. Интересно отметить, что соответствую-
соответствующая теорема для интервала (—оо, оо) значительно более элементарна
и носит совсем другой характер.
261. Если у и у" ?L2(— оо, оо), то
оо
\у"Ч
ОО
кроме того случая* когда у = 0. Константа (единица) в пра-
правой части является наилучшей.
Действительно, уу'-* 0 (как в доказательстве теоремы 260), и мы
имеем
4=1
оо
\уЧх
оо
Для доказательства того, что постоянная —наилучшая, положим у = sin x
для | х | •< пк, у = 0 для \х\^>пп и округлим углы при х = zt пк так,
чтобы у" стала непрерывной: сделаем эти округления еще так, чтобы
изменения, внесенные ими в значения интегралов Jq, J± и J2f остава-
оставались конечными при п -> оо. Тогда каждый из этих интегралов будет
равен ял; + 0A), т. е. мы будем иметь для произвольно малого е>0и
достаточно большого п
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ *)
262. Пусть у @) = у A) = 0 и/^2; тогда
1 1
Г.
J*(l-,
*) См. также Дополнение XVI в конце книги. {Прим. ред.)

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 233
кроме того случая, когда у = сх{\ — х).
[Если
j
то (Е) будет
хA —
и у = ах(\ — х) является экстремалью, удовлетворяющей всем усло-
условиям при любом а. Изменяя а, получаем поле 1) вокруг каждой из
экстремалей. Простое вычисление дает: J(Y) = 0 и
В основе теоремы 262 лежит тождество
x(\-x)-
Эту теорему следует сравнить с теоремой 225. Подробное доказа-
доказательство обеих теорем с помощью функций Лежандра, см. в работе
Hardy and Little wood [10].]
263. Если
/ =
о
то
кроме того случая, когда у = ае~Ьх.
264. Если
(a) j,(_l) = _l) _y(ij = 1) y^jj—y^j—Q
и k — положительное целое число, то
1
i
причем знак равенства имеет место только если
4А--1
У~ 2к Х
2к Х 2k
^ Это поле носит несколько иной характер чем поля, рассмот-
рассмотренные в § 7.5, так как в данном случае каждая экстремаль проходит
через @,0) и A,0).

234 некоторые приложения вариационного исчисления [гл.vii
[Эта теорема может служить простым примером к теории § 7.8.
В данном случае
$ /2k2k2k('
265. Если у удовлетворяет условиям (а) предыдущей теоремы и у'г
существует для всех х в интервале (—1, 1), то \у"{х)\^>2 для
некоторого х,
[Эта теорема, которая легко доказывается и непосредственно, соот-
соответствует предельному случаю k = оо теоремы 264. Экстремалью
в данном случае является
у = 2х — л;2 sign*;
для нее получаем у = 2A —|л:|) и у" = — 2sign x (хФО). В начале
координат вторая производная не существует.]
266. Если y$L2, z'=y и
=y{2n) = z@)=zBn) = О,
то
У(У2 -у) dx = f (у , (X COS X - Sin Х)У + A ~ COS x) Z \*
J ^ J ' J \y ^ 2 — 2 cos x — x sin x )
о о
[Это тождество дает другое (но менее простое) доказательство тео-
теоремы 258. Оно получается в результате применения методов § 7.8 C)
к неравенству Виртингера, рассматриваемому как частный случай
задачи Лагранжа.]
267. |(У + 2/2 +у) dx> !/@),
о
кроме того случая, когда у = Се~х{х-\~2),
268. Пусть &>1 и у и у" ? Lk на @, оо) или ( — оо, оо). Тогда
K{k) j \y\kdx j |yf rfx,
где интегралы берутся по рассматриваемому интервалу.
[Наилучшее значение величины К неизвестно даже в случае k = 4.]
269. Если k>\, y?Lk и y"?Lk', то
если у не равно тождественно нулю.
270. Если У 6Z,2, то

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 235
кроме того случая, когда
(и) у= Х
ах + Ь '
где а и Ь положительны; в этом случае имеет место равенство. Вообще,
если
/
(iii) />/г>1, г = — —\
и ут положительно и принадлежит к /Л*, то
где
кроме того случая, когда
х
( У ~ (ахг + Ь)Х/Г '
[Легко вывести неравенство типа (i), но с худшей константой. Так,
если мы обозначим интегралы в (i) соответственно через К и /, то
а, следовательно,
по теореме 253. Мы не знаем элементарного доказательства тео-
теоремы 270. За деталями доказательства, основанного на вариационном
исчислении, которое гораздо труднее, чем доказательство теоремы
269, мы должны отослать к работе Блисса [Bliss, 3].]
271. Пусть «>1 и Щ/) обозначает среднее геометрическое от/
в интервале @, х). Тогда
кроме того случая, когда
/ = С ехр( — Вх*~1).
[Hardy and Littlewood [7]. Предельный случай а = 1 соответствует
теореме 335.]

236 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ.VII
272. Уравнение Эйлера для задачи
оо оо оо
„найти максимум \ y2dx при данных I x2y2dx и I y/2dxu
— оо —оо —оо
имеет вид
и может быть решено в цилиндрических функциях параболического
типа; если Ь= — а2 = — BсJ, то оно имеет решение у = е~сх2.
[Это обстоятельство является вариационной основой неравенства
Вейля (см. теорему 226).]

ГЛАВА Vlll
ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ
И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
8.1. Введение. В настоящей главе доказывается ряд общих
теорем о максимумах билинейных и полилинейных форм. В на-
начале главы рассматриваются формы относительно п систем
переменных, причем предполагается, что коэффициенты и пере-
переменные положительны. Дальше это ограничение отбрасывается,
но зато п принимается равным 2; большая часть второй поло-
половины настоящей главы посвящена доказательству одной весьма
важной теоремы М. Рисса о билинейных формах с комплексными
коэффициентами и переменными.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
8.2. Одно неравенство для полилинейных форм с поло-
положительными коэффициентами и переменными. Предположим,
что
суть п систем переменных, где ?, /, ..., k пробегают все значения
от —со до оо; условимся, что
s, s, t
г г
обозначают, соответственно, суммирование по всем индексам,
суммирование только по индексу / и суммирование по всем
индексам, кроме /. Выражение
называется полилинейной формой от переменных х, у, ...,#.
Когда я = 1, 2 или 3, форма называется соответственно линей-
линейной, билинейной или трилинейной.
Если ряд сходится абсолютно, то мы имеем
iij,..kyj ...zk = %y^aiJu.mlsXi.. .гк=
г г j j
273. Пусть
(8.2.1)

238 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл. viii
(8.2.2) 0<
определим величины а, р, ..., 7 равенствами
(8.2.3) a-« = p-p=...=.r-Y=8 + ft+
положительные числа р, а, ..., т удовлетворяют уравнению
(8.2.4) ар + р"а -4- • • • + Т* = 1-
Предположим далее, что
(8.2.5)
(8.2.6)
мы имеем
S =^а^
В самом деле, так как
lvV ... ZY
то мы имеем в силу теоремы 11
()()
г г к к г к
EУ)Р...
х) Обобщенной на бесконечные ряды. Мы не будем, как правило,
повторять это замечание.

8.3] ОДНА ТЕОРЕМА ЮНГА 239
Отметим несколько частных случаев»
A) Если
то
и формулировка теоремы несколько упрощается.
B) Когда п = 2, второе неравенство (8.2.2) автоматически
удовлетворяется. Если положить *)
а — — В= —
то
а В
Меняя местами р и а, А и В, получаем
274. Если
P>h q>h J~\-J>h P>0, a>0, ^ + ^7=1,
то
C) В интересном и еще более частном случае р = а=1?
q=p\ мы получаем
275. Если
+ 1
ТО
5 = S aijXiyj <(B^I^ (Л ГI/а.
О случае p = q=2 этой теоремы см. Frobenius [1] и Schur [1].
8.3. Одна теорема Юнга. Другой частный случай тео-
теоремы 274 ведет к неравенству Юнга, которое играет очень
важную роль в теории рядов Фурье.
V В предыдущих главах мы обозначали через р и q веса средних
значений. В настоящей главе эти веса не фигурируют и мы исполь-
используем буквы р и q для обозначения показателей.

240 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл. viii
Положим о = р>1, так что
и пусть, aij = ai+j. Тогда
для каждого /, соответственно /. Следовательно, если поло-
положить
(8.3.1) zn= ? *о>я
то, по теореме 274, мы будем иметь
(8.3.2) Ъап
Так как (8.3.2) справедливо для всех aw для которых %а?п=А,
то, согласно теореме 15, отсюда следует, что
Если р = 1, это последнее неравенство должно быть заменено на
Таким образом, мы доказали (кроме определения случаев
равенства) следующую теорему Юнга х).
276. Если
и zn определяется формулой (8.3.1), то
ря. я.
(8.3.3) s^n-p+e~-pe ^ (%xf)P+a-p
Знак равенства имеет место только в том случае, когда
все а:, или все у, или все х, кроме одного, и все у, кроме
одного, равны нулю.
Приведем еще одно более прямое доказательство этой тео-
теоремы, которое дает все возможные случаи равенства. Полагая
^ Joung [3, 4, 6]. Юнг не рассматривает случаев равенства.

8.3] ОДНА ТЕОРЕМА ЮНГА 241
1/р = 1 — A, \jq = 1 — {а находим, что А > О, |а > О, A -j- |J- < 1,
и мы можем сформулировать теорему 276 следующим образом:
277. Если
А>0, ix>0, Х + ц<1
и если z определено, как в (8.3.1), а ©г(х), как в §2.10, то
(8.3.4) в^_(г)<в^_(х) в^ОО,
1 — X — tJ- 1-Х 1 — р-
причем знак равенства имеет место только в случаях, пере-
численных в теореме 276.
Пусть v = l — X — [х. Из теоремы 11 следует, что
1 1
Применяя это неравенство с
к (8.3Л), мы получим
(8.3.5) 4<(рРГ
I v- x i i
(8.3.6) z\.
Отсюда
iTR ITT
Но двойной ряд равен
и, следовательно,
а это и есть неравенство (8.3.4).

242 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл. viii
Вопрос о случае равенства может быть решен следующим
образом.
Если не все jc и не все у равны нулю, то существуют такие п,
что xiyj>0 для некоторых /, у, для которых /+/ = /*.
Назовем точку с такими целочисленными координатами /, у точ-
точкой Рп. Тогда для такого п имеет место неравенство (8.3.5),
если в первых двух суммах правой части мы ограничимся значе-
значениями / и у, соответствующими точкам Рп. Поэтому, если в
(8.3.5) имеет место знак равенства, то для таких / и/ отношения
1 1 1 1
не зависят от I и у, а соответствующие xi и у$ все равны.
Отсюда следует, что каждому п может соответствовать только
конечное число точек Рп.
Допустим, что все эти условия удовлетворены для некото-
некоторого п. Тогда равенство будет все еще исключено в следующем
неравенстве (8.3.6), кроме того случая, когда / несоответствую-
несоответствующие точкам РПу исчерпывают все i и у, для которых хг^>0
и yj > 0. Отсюда следует, что общее число положительных хг
и yj конечно. Поэтому существует единственная точка, для
которой хгу^0 и n = i-\-j минимально. Для этого п суще-
существует единственное Рп, и если для этого п в (8.3.6) имеет
место знак равенства, то Xi = 0 и .^=0 для всех / и у, кроме
соответствующей этому п пары /, у.
8.4. Обобщения и аналоги. Теоремы 276 и 277 имеют много
интересных частных случаев, обобщений и аналогов. Приведем
без доказательств некоторые из них.
278. Пусть А>0, ja>0, ..., v>0, A + Ix+...
wn
Тогда
1 — X — \ъ —...— v 1-Х 1 — p- 1 —v
причем знак равенства имеет место только в тех случаях,
когда все числа одной из последовательностей или все числа,
кроме одного, каждой последовательности равны нулю.
279. Если
Сп= S CLifii^ • • uiky

8.4] ОБОБЩЕНИЯ И АНАЛОГИ
то
причем знак равенства имеет место только в том случае,
когда все а, кроме одного, равны нулю.
Теоремы 277—279, будучи „однородными относительно ?"
в смысле § 1.4, имеют интегральные аналоги.
280. Пусть X > 0, ц. > 0, у -f * < 2»
/г
-—оо
Тогда
3
кроме того случая, когда /=0 или g^~0.
281. Х + <
х
*(*)- J f(f)g(x-t)dt.
О
1 —X —{А 1-Х 1—1А
кроме того случая, когда /===0 ила ^ =е= 0.
282. ?слг/ k целое число, большее 1, и
— 00 —ОО
то
iX>
ft—1

244 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл. viii
283. Если
причем область интегрирования определяется неравенствами
то
оо оо 2&
о о
284. Если f(x) имеет период 2тг и
X J ... J /(*i)- • ¦f(xk_1)f(x—x1— . ..—Xjc.JdXi.. .dxk_v
mo
8.5. Приложения к рядам Фурье. Теоремы 279 и 284 имеют
важные приложения в теории рядов Фурье. Рассматриваемые здесь
функции и коэффициенты являются положительными, но доказанные
теоремы оказываются достаточными для приложений.
Предположим, что f(x) и g (x) — комплексные функции, принад-
принадлежащие L2 и что
Б anenix% Б bnenix
— оо —оо
— их комплексные ряды Фурье. Хорошо известно, что
п
(8.5.1) S«А = ^ J /(х)g{x) dx.
где черта применяется для обозначения сопряженной величины, В част-
частности,
те
(8.5.2) EU«lf = ^ J
Обратно, если Sl^l2 сходится, то существует f?L\ коэффициенты
Фурье которой равны ап% и для которой имеет место (8.5.2).

8.5] ПРИЛОЖЕНИЯ К РЯДАМ ФУРЬЕ 245
Эти теоремы (Парсеваля и Фишера — Рисса) были обобщены Юнгом
и Хаусдорфом. Положим
к
(8.5.3) <Вр (а) = (S I а п\ Р)х">, %р (/) = {A- j | /|* dx\Vp,
— К
так что ^pia) есть <&р (| л |), определенное в § 2.10, и запишем (8.5.2)
в виде
(8.5.4) ©а О) = За (Л-
Юнг и Хаусдорф доказали, что если
(8.5.5) 1<Р<2,
то
Ограничение на р существенно. Эти теоремы были сначала доказаны
Юнгом [Joung, 3,4,6] для частной последовательности значений
р и р'% а именно,
(8.5.8) р =_?!_, р'в2ft (ft-1,2....).
а затем, в общем виде, Хаусдорфом [Hausdorff, 2].
Ограничимся здесь случаем ^8.5 8>, рассмотренным Юнгом. В этом
случае (8Л6) и (8.5.7) являются следствиями теорем 279, соответ-
соответственно, 284. Например, сп теоремы 279х) является коэффициентом
Фурье функции ^=/&, й, таким образом,
к к
^ J \f\ikdx = ± J
а это и есть (8.5.6). Аналогично, а^ь являются коэффициентами Фурье
функции <р (х) теоремы 284, и (8.5.7) следует из этой теоремы.
Доказательство (8.5.6) и (8.5.7) для общих р значительно труднее:
см, § 8.17,
Интересно отметить Скак еще одно применение неравенства Гель-
дера), что (8.5.7) может быть выведено из (Ь.5.6). Положим
*Й=|ЛП| 1^-1 Sign Hn^i^i^,
если апфЪ и | п \ ^ N, и Ъп=*0 в остальных случаях. Пусть
Образованное теперь, конечно, с комплексными а.

246 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
Тогда
/V N _ 1 л
так как ^ есть тригонометрический полином* Отсюда, применяя нера-
неравенство Гельдера и (8.5.6), получаем
? I ап \р> < 3Р (Л 3/ (g) < %р (/) % (*)«
Разделив на последний множитель и перейдя к пределу при N-> оо,
полечим (8.5.7).
8.6. Теорема выпуклости для положительных полили^
нейных форм. В этом параграфе доказывается простое, но
важное свойство полилинейных форм с положительными коэф-
коэффициентами и переменными. Следую цая теорема является про-
простым следствием неравенства Гельдера, но она полезна, как
введение к более глубокой теореме §8.13.
2851>. Пусть я>,0, #>0, ..., ^>-0; обозначим через
верхнюю грань
для всех х, у, ..., г, для которых
Тогда logA4aif p, ..., Y ecmb выпуклая функция от or, p, ...,•(-
в области а > 6, Р > 0, . . ., -у > 0.
Под выпуклой функцией от и переменных а, р, ..., у мы
понимаем функцию, выпуклую вдоль каждой прямой в простран-
пространстве (а, р, ..., V (§ 3.12).
Мы должны проверить, что если
то
(8.6.1)
М. Riesz [1]; у Рисса п = 2.

8.7] ОБЩИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 247
Но
S « 2 аху ... г = 2 (ах^лум ... zu>r)u (ахч1%ум .. . *Ti/')'f <
< (S ах'*'*уМ ... Л'ЧЕ Д*а*У*/р ... гт'")\
Так как
Z- чл ; = Ъ х ^ 1, ...,
то первая сумма в правой части не превосходит ЖЯ1,plf...,Yl;
аналогично, вторая не превосходит Жа,,р»,...,v»* Таким образом,
(8.6.1) доказано.
Эта теорема может быть распространена и на случай замкну-
замкнутой области а>-0, j3>-0, ..., ?>-О, если для а = 0, C — 0
и т. д. заменить условия Sx1/os<^l, S-V^-^b ••• неравен-
неравенствами jc^I, ^^1» • • • •
Предположим, например, что « = 2 и
Тогда /И0I<Л? ^Wi>0<^» так что Afa> 1.«<BM1-a для
0<a<l' Если р>1, q = p\ мы можем положить a = l//?,
1 —а = 1/qr, и получим
что равносильно теореме 275.
ОБШИЕ СВЕДЕНИЯ О БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
8.7. Общие билинейные формы. До сих пор мы занимались
„положительными" полилинейными формами, т. е. формами
с неотрицательными коэффициентами и переменными. Наиболее
важными полилинейными формами являются билинейные, и
окончание настоящей главы и большая часть следующей главы
будут посвящены рассмотрению, с разных точек зрения, били-
билинейных форм, не обязательно положительных.
Форму с коэффициентами atj мы будем обозначать через Л,
и аналогично для других букв. Мы отказываемся здесь от усло-
условия § 8.2 относительно пределов суммирования. До конца
§ 8.12 мы будем считать, что индексы i, у,... пробегают зна-
значения от 1 до оо. Положим

248 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
а также
i
Если форма положительна, то
(8.7.2) Д = ?]
причем из сходимости каждого из этих рядов следует сходи-
сходимость остальных двух и равенство всех трех. Равенства (8.7.2)
справедливы также и для комплексных а, х, у, если форма
конечна.
Следующие теоремых) часто применяются в дальнейшем,
286. Если
(так что //>1, qr > 1) и если а, х, у действительны и
неотрицательны, то следующие три утверждения равно-
равносильны:
(8.7.3)
для всех Ху
(8.7.4)
для всех х;
(8.7 5)
287. Следующие три утверждения равносильны:
(i) Знак равенства имеет место в (8.7.3) только в том
случае, когда все х или все у равны нулю;
(ii) Знак равенства имеет место в (8.7.4) только в том
случае, когда все х равны нулю)
(Ш) Знак равенства имеет место в (8.7.5) только в тол
случае, когда все у равны нулю.
х) О случае p = q = 2 см. Hellinger и Toeplitz [1], о случае q=*pf
см. F. Riesz [1]. Основное содержание общих теорем может быть
найдено у М. Рисса [М. Riesz, 1]. Важными случаями являются, ко-
конечно, те, в которых К имеет наименьшее значение, а именно равно
верхнему пределу А (§ 8.8).
2) Здесь А^О; hq мы пишем |Л| вместо А ввицу теоремы 288.

8.8] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ 249
288. Если формы конечны, то теоремы 286 и 287 оста-
остаются справедливыми и для комплексных коэффициентов и
переменных.
Теорема 286 является простым следствием теорем 13 и 15,
Из (8,7.2) и теоремы 13 следует
(8.7.6) А = ZyjXj < ©g (у)® q. (X),
так что (8.7.4) является достаточным условием для справед-
справедливости (8.7.3); теорема 15 показывает, что оно является
также и необходимым условием. Таким образом, (8.7.3) и (8.7,4)
равносильны, и аналогично равносильны и (8.7.3) и (8.7.5).
Знак неравенства будет иметь место в (8.7.3) во всех слу-
случаях кроме тех, когда либо все у равны нулю, либо в (8.7.4)
имеет место знак равенства. Поэтому из второго утверждения
теоремы 287 следует первое. Если х$, а значит и Xj% даны,
мы можем, по теореме 13, найти такие yj (не все равные нулю),
что в (8.7.6) будет иметь место знак равенства. Следовательно,
если в (8.7.4) имеет место знак равенства для некоторой последо-
последовательности х^ не состоящей только из нулей, то он имеет
место и в (8.7.3) для некоторых последовательностей хг и у^
не состоящих только из нулей. Таким образом первое и вто-
второе утверждения теоремы 287 равносильны. Аналогично дока-
доказывается равносильность первого и третьего. Это доказывает
теорему 287.
Наконец, в случае комплексных а, х, у, доказательство
можно вести также, если формы конечных), только вместо
теоремы 13 мы должны тогда применить теорему 14.
Самым важным случаем является qr=p, p' = q; тогда (8.7.3),
(8.7.4) и (8.7.5) превращаются в
ОГРАНИЧЕННЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
8.8. Определение ограниченной билинейной формы.
В оставшейся части настоящей главы мы будем предполагать —за
исключением тех случаев, когда мы явно оговариваем против-
противное, что все коэффициенты и переменные рассматриваемых
форм—произвольные действительные или комплексные числа.
1) В противном случае возникают затруднения в связи с порядком
суммирования в Л.

250 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.VIII
Назовем пространством [р] совокупность всех действитель-
действительных или комплексных последовательностей х{, л:2>'-ч обозна-
обозначаемых ниже через (х), для которых
(8.8.1) ®P{x) = ®,{\x\)*=*(?\xt\P)Vp <1.
Здесь р может быть любым положительным числом, но обычно
р > 1. Аналогично, совокупность всех (х, у), где последователь-
последовательности (л:) и (у) удовлетворяют условиям
(8.8.2) ©„(*)< 1, ®flO)<l,
назовем пространством [р, q]. Самым важным случаем явля-
является /?=^=з 2; важность пространства [2.2] была впервые
выяснена Гильбертом и мы будем кратко называть это простран-
пространство пространством Гильберта.
В наших общих определениях р и q могут также быть
равны со, если только понимать под ©«>(#) Мах |л:|*>. Таким
образом, пространство [ оо , оо] есть совокупность всех (х, у)^
для которых |лг|<;1, I j> | < 1.
Билинейная форма
(8.8.3) А = А (*, у) = SS
называется ограниченной в [р, q]y если
(8.8.4) \Ап{х,у)\^\ S S ^
для всех точек пространства^/?, q], где М не зависит от л:, у и я.
Назовем Л?г отрезком А: форма ограничена, если ее отрезки
равномерно ограничены.
Очевидно, что (8.8.4) будет справедливым для всех точек
[р, q], если оно справедливо для точек (х,у) для которых
(8.8.5) ©„(*)=!> ©а(У) = 1-
В этом случае (8.8.4) может быть записано в виде
(8.8.6) | Ап (х, у) |< М (S, (х) ®, (у).
*) Под Мах |л:| авторы понимают здесь, конечно, sup |лг|. (Прим.
перев.)

8.8] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ 251
В этом неравенстве обе части однородны относительно хиу
(со степенью однородности 1), так что для него условия (8.8.5)
несущественны. Таким образом, (8.8.6) без всяких ограничений
на х и у может рассматриваться, как определение ограничен-
ограниченности форм.
До сих пор М могло быть любым числом, для которого
справедливы неравенства (8.8.4) и (8.8.6); в этом случае мы
говорим, что А ограничено числом М> или что М есть грань Л.
Естественно взять для М его наименьшее допустимое значение,
тогда мы будем говорить что М является точной гранью А *).
Весьма важным частным случаем является р = q и
тогда А называется симметричной формой. В этом случае
необходимым и достаточным условием ограниченности А
является ограниченность квадратичной формы
А (х, x)=
Когда мы говорим, что Л (л:, л:) ограничена, мы, естественно,
подразумеваем, что А {х> у) ограничена, когда последователь-
последовательности (х) и (у) совпадают, т. е. если
\Ап(х, *)[<М
для всех х, для которых ®^(л;)=1.
Прежде всего очевидно, что это условие необходимо, и что
точная грань А(ху х) не превосходит точной грани А(х9 у).
Что это условие также и достаточно, следует из тождества
(8.8.7) Ап(х,у)=±-Ап{х + у, х-\-у)—±Ап(х-у, х-у).
Если Мп является максимумом Ап при условиях
hf l
то, очевидно, АГЛ< Мп±\ и Мп ограничено относительно /г. Таким
образом Af = lim Mn существует, и равняется точной грани Л.

252 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.VIII
Если р =3= 2Г мы можем итти даже несколько дальше: тогда
точные грани А (х, х) и А (х, у) равны. В самом деле, если М
есть точная грань А (*, х), то (8.8.7) дает
Очевидно также, что если коэффициенты а положительны,
то А ограничена, если она ограничена для неотрицательных
х и у я что при определении ее точной грани достаточно рас-
рассматривать только такие хну* Если форма
ограничена, то говорят, что А абсолютно ограничена,
8.9. Некоторые свойства форм, ограниченных в [ру q].
Теория ограниченных форм очень важна, но мы не можем из-
излагать ее здесь систематически. Мы ограничимся доказатель-
доказательством тех результатов, которые будут нам нужны при рассмотре-
рассмотрении некоторых особенно интересующих нас специальных форм.
Пусть р> 1, # > 1 и, как обычно,
289. Если А имеет точную грань М в [р, q], то
соответственно для каждого j и L
Возьмем все х равными нулю, кроме л:/, xj=1, и все у
равными нулю, кроме у1л у2,..., yj. Согласно (8.8.6)
j j г
Так как это справедливо для всех^- и всех У, то, по теореме 15,
отсюда следует, что
т. е. второе неравенство (8.9.1). Первое неравенство доказы*
вается аналогично.

8.10] СВЕРТКА ДВУХ ФОРМ В [/?,//] 253
Таким образом, необходимым условием для ограниченности фор-
формы Л в [2.2] является
E|
для всех у и I. Условие
достаточно, так как
но оно далеко не необходимо, даже если коэффициенты положительны.
В § 8.12 будет, например, доказано, что форма
^ i + t
ограничена.
В силу теоремы 289
SI atj Xiy31 < \yj |( S | x
Это обстоятельство может быть сформулировано в виде следую-
следующей теоремы:
290. Каждая строка и каждый столбец ограниченной
формы абсолютно сходятся,
В случае #г-^>0 необходимым условием ограниченности А является,
очевидно, сходимость
(8.9.2) US aij x4 yj
для всех положительных х и у в [р, q]. Естественно возникает вопрос,
верно ли это для ограниченных форм с любыми действительными или
комплексными коэффициентами, т. е. следует ли из ограниченности А
сходимость ряда (8.9.2) (для х и у в [/?, q]) в одном из принятых смыс-
смыслов? Ответ оказывается положительным: если А ограничена, ряд (8.9.2)
сходится (даже равномерно) в трех употребительных смыслах, а именно,
как двойной ряд в смысле Прингсгейма и как повторная сумма по
строкам или столбцам. Но вопросы сходимости двойного ряда для наших
настоящих целей несущественны (они не очень важны и для общей
теории), так что мы этих теорем доказывать не будем. О случае [2,2]
см. Hellinger and Toeplitz [1].
8.10. Свертка двух форм в [р, р']ш Предположим теперь,
что q = pf. Если А и В ограничены в [р} /?'], имеют точные
грани М и N, то, по теореме 289,

254 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
а, следовательно, по теореме 13, ряд
= laik b
bkj
(8Л0.1)
абсолютно сходится. Мы называем
сверткой А и В. Порядок А и В существенен, так как формы
F(B, А) и F(A, В) в общем случае различны.
291. Если М и N — точные грани А и В в [р, //], то
F ограничена в [/?, //], и ее точная грань не превосходит ММ.
Пусть т^п и^ = 0 для />п. Тогда, так как А ограни-
ограничена гранью М в [/?, /?'], мы имеем
для всех хну, для которых
Поэтому, по теореме 16,
т п
к-1 {=1
и <2уО>)<1.
для
(8.10.2)
Аналогично,
(8.10.3)
Но
(8.10 4)
; следовательно,
А г = 1
к /=1
i — 1 ^ = 1
Е S
S
Из (8.10.2), (8.10.3), (8.10.4) и теоремы 13 следует теперь,
что
1
и теорема доказана.

8.11] НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ФОРМАХ В [2,2] 255
Ясно, что мы можем определить свертку А и В вне зависи-
зависимости от того, ограничены ли А и В, если только ряды
СХОДЯТСЯ.
8.11. Некоторые специальные теоремы о формах в [2,2]1).
В этом параграфе мы ограничиваемся классическим случаем
р =z q = 2, и предполагаем, что коэффициенты и переменные
действительны (но необязательно положительны). Пусть Л будет
вещественной формой; обозначим через
(8.11.1) A' = SZaJtx{yj
форму, образованную из А заменой a{j- на а^. Если
(8.11.2) 2^к<*>
для всех /, то ряд
(8.П.З) Су=*ЪщкаЛк
к
будет абсолютно сходящимся, и, согласно (8.10.1),
(8,11.4) С(х, *) = ?
является сверткой Г(Л,Л'). В частности, С(ху х) есть квадра-
квадратичная форма, отрезок Сп которой, согласно (8.10.4), может быть
представлен в виде
(8.11.5) Сп(х, *)==?(
к (e
Мы введем обозначение
и назовем С(х, х) нормой Л. Если А удовлетворяет (8.11.2),
то мы говорим, что норма А существует. Существование N (А)
является по теореме 289 необходимымусловтм ограниченности А.
Если А ограничена гранью М, то, по теореме 289, N (А)
ограничена, и ее грань Р не превосходит Ж2. С другой стороны,
l) Hellinger und Toeplitz [1], Schur fl].

256 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.VIII
если N (Л) существует, мы имеем
К (*, у) I = 1.1 yi I <*ijXi I < (s V)Vi & & а***№ч% <
Следовательно, если N (Л) ограничена гранью Р, то А ограни-
ограничено гранью Р1/*.
Объединяя наши результаты, имеем
292. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы вещественная форма А была ограничена в [2,2], является
существование и ограниченность нормы N(A). Если М есть
точная грань А, а Р — точная грань N(A), то
Полезным следствием является теорема
293. Пусть А, В, ... 6ydyfn формы, нормы которых суще-
существуют, и пусть (число форм Л, В, .. . предполагается
конечным)
ограничена и имеет точную грань Р. Тогда Л, В, ... огра-
ограничены и их точные грани не превосходят Pv'-
В самом деле, если Nn(A), ...—отрезки N(A), ..., то
по (8.11.5), Nn(A), ... неотрицательны1), и
Следовательно, Nn(A), •.. ограничены гранью P1/f.
8.12. Приложение к формам Гильберта. Применим теперь
теорему 293 к двум очень важным специальным формам, впер-
впервые изученным Гильбертом.
294. Формы
!) Т. е. принимают для действительных х только неотрицательные
значения. Термин „положительная форма" употреблялся в настоящей
главе в другом смысле, а именно для обозначения форм с неотрица-
неотрицательными коэффициентами и переменными.

8.12] ПРИЛОЖЕНИЕ К ФОРМАМ ГИЛЬБЕРТА 257
где i,/=1, 2, «.., и штрих у суммы обозначает исключе-
исключение из суммирования членов с i=j\ ограничены в веществен-
вещественном пространстве [2,2] и их грани не превосходят тт.
Ясно, что каждая из этих двух форм удовлетворяет усло-
условию (8.11.2). Пусть
N (А) = ?2 с4&х3, N (В) =
ВЫЧИСЛИМ ц\ц
Если / =у, то мы имеем
(8.12 1)
Если i^fcy, то
причем штрих обозначает здесь исключение значений 4 = / и
k—j. Если К больше, чем |t| и чем |/|, то
i-K
причем в последовательностях слагаемых в последних скобках
пропускаются только члены с знаменателем 0; сумма, заклю-
заключенная в эти скобки стремится к нулю при К—> оо *). Отсюда
(8.12.2) cij + di3 = jr—jf (
Из (8.12.1) и (8.12.2) следует, что
(8.12.3) ж"'4 ' *т'~ч *2
г) Все слагаемые сокращаются, кроме некоторого их числа, не
зависящего от Д".

258 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл.viii
тс2
Первая форма в правой части имеет точную грань -g- ; вслед-
вследствие того, что
у' ** i
вторая удовлетворяет условиям теоремы 275, и имеет точную
грань -^-. Таким образом, А/"(Л) -f- Л/Х#) имеет точную грань тг2,
и теорема 294 следует из теоремы 2932).
То обстоятельство, что Л ограничена, может быть доказано проще;
ряд доказательств дается в главе IX.
А даже абсолютно ограничена (§8.8), так как ее коэффициенты
положительны. Важно отметить, что для В это неверно. Для этого
достаточно показать, что
для некоторых положительных последовательностей (хг) и (у7-), для
которых ряды ? л:? и Sjij сходятся. Положим
s - Г -
S
log3 и "*=i*log(ft+l)
а этот ряд расходится.
В главе IX мы увидим, что Л ограничена в [р, рг]. В тоже огра-
ограничена в [р, /?'], но доказательство этого значительно труднее* см.
М. Riesz [1,2], Titchmarsh [2,3].
ТЕОРЕМА М. РИССА
8.13. Теорема выпуклости для билинейных форм с ком-
комплексными коэффициентами и переменными. Докажем теперь
одну очень важную теорему М. Рисса2). Эта теорема, как и
1) Приведенное выше доказательство принадлежит Шуру [Schur, 1]
2) М. Riesz [1]. Приведенное ниже доказательство по существу
принадлежит Риссу. Другое доказательство было дано (в не совсем
полном виде) Палеем [Paley, 2,4].

8.13] ТЕОРЕМА ВЫПУКЛОСТИ 259
теорема 285, утверждает выпуклость logMa^y где Жа,3 есть
точная верхняя грань формы типа Л; но в теореме Рисса форма
билинейная, а, х и у комплексные числа, и выпуклость доказы-
доказывается только для ограниченной области плоскости (а, C).
Для рассуждений Рисса существенно, чтобы М^ было до-
достижимым максимумом, а не только верхней гранью. Поэтому
мы рассматриваем конечную билинейную форму
(8.13.1) Л= S \
295. Пусть Ма,р будет максимумом А для
(8.132) S*,lVe<l, 21УЛ1^1'
1 1
причем в случае а = О или C = О эти неравенства должны быть
заменены на \х4\^\ или |^|<!1. Тогда XogM^ является
выпуклой функцией от а и $ в треугольнике
(8.13.3) 0<а<1, а<0<1, а + р>1.
Нужно показать, что если (а19 рх) и (<х2, р2)—две точки
треугольника (8.13.3), 0<*<1, и
(8.13.4) а = а^+ааA-0, P=Pi^+P.(l —0.
то
(8.13.5) ^«.P<<,b^U-
По теореме 88 достаточно доказать справедливость (8.13,5)
при данных а, р для некоторого t в интервале (О,!I).
Определим р, ^, //, ^' при помощи равенств
(8.13.6) а = -, Р = -, 14-1 = 1, l-f-1 — l.
Точкам @, 1) и A, 0) не соответствуют конечные значения (/?', q).
Эти точки особенно важны, но мы можем не рассматривать их
J) Непрерывность Ма,3 мы считаем доказанной. М#$ есть
максимум в вещественном пространстве 2т + 2/г измерений (если
разделить действительные и мнимые части х и у), определенном
в (8.13. 2), и меняющемся непрерывно сайр. Доказательство непре-
непрерывности максимума, утомительное в деталях, принадлежит к элемен-
элементам анализа.

260 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
в доказательстве, а распространить на них окончательный резуль-
результат по соображениям непрерывности.
Запишем (8.13.2) в виде
(8.13.7) ад<1, SgCvXi;
неравенства (8.13.3) эквивалентны
(8.13.8) q'>P>l
или
(8.13.9) Рг>д>1-
Положим также, как в § 8.7,
(8.13.10) Xj = Xj (к) = S ai}xu Yt =>Yt(y) =
г j
так что
(8.13.11)
или, проще,
(8.13.12)
Теорема 286 позволяет нам дать другое определение Жа,р,
которое более удобно для нашей цели. Ясно, что значение Ма, $
достигается для последовательности (х> у), для которой
(8.13.13) ®р(*) = 1, ©4Су) = 1,
и что М^р есть наименьшее /С, удовлетворяющее неравенству
(8.13.14) M
для всех (л:, у).
Так как обе части однородны относительно х и у со сте-
степенью однородности 1, то ограничения (8.13.13) теперь несу-
несущественны, и М<х, р может быть определено как наименьшее /С,
удовлетворяющее (8.13.14) для всех (л:, у)г\
По теореме 286, это также наименьшее К, удовлетворяющее
(8.13.16) ©Я'
для всех л;, или
(8.13.16) ®р
!) Это просто повторение рассуждения, проведенного уже раз
в § 8S.

8.15] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 295 261
для всех у. Мы можем, таким образом, положить
(8.13.17) Ma,p ^§$
для всех последовательностей (х) и (у)> отличных от @).
8.14. Дальнейшие свойства максимальной последователь-
последовательности (х9 у). Пусть (х*, у*) будет последовательность (х, у),
удовлетворяющая (8.13.7), для которой |Л| принимает свое
максимальное значение, и пусть X* и Г* будут соответствую-
соответствующие значения X и Y. Как уже было отмечено выше, мы будем
иметь
(8.14.1) ©,(**) =1, ®й(?*)=>\.
Далее, как и в (8.7.6),
(8.14 2) H|<^(I)®gW, М1<<5р'(П<5р(*).
Когда х, у имеют значения х*, у*% в каждом из неравенств
(8.14.2) должен стоять знак равенства; иначе мы могли бы
увеличить |Л|, оставляя х, X без перемен и меняя у, или
оставляя у, Y без перемен и меняя х. Следовательно,
Далее, по теореме 14,
1*Лв'=«*'1л1а.
ИЛИ
(8.14.3) |^| = «|^|в-1,
где со положительно и не зависит от у;
также не зависит от у. Отсюда
, У*) I = | S *Ъ>* | = S | Х*У*
Следовательно, (8.14.3) и аналогичное равенство для У^ могут
быть записаны в виде
(8.14.4) 1^1 = ^,1^ И, \Ъ\=М<,1\х'4\р-К
8.15. Доказательство теоремы 295. В дальнейшем мы
будем, опуская звездочки, предполагать, что (л:, у) есть

262 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
максимальная послгдовательность (для показателей а, р). Положим
Pi = l/ai и т« Д-» и М = Ма,^ М1=МЧ Pll Л12 = ^Иаа,р,. То
обстоятельство, что мы используем /?, рх... заставляет нас
исключить из рассмотрения точки @, 1) A, 0) треугольника,
но, как мы заметили в § 8.13, это не уменьшает общности дока-
доказательства.
Согласно (8.14.4)
Сравнивая это равенство с (8.13.17), мы получаем
(8.15.1) MSftrJw W < ^1<Зв1О0-
Аналогично,
(8.15.2) ^©^D^' С) < M2®fc (*)•
Отсюда, если 0 < / < 1, имеем
(8.15.3) S1& gJ}?*>
Допустим, что между 0 и 1 существует такое t, что имеют
место равенства
Г8154) 1 = 14.1=1 1 = t ^l-t
v 4 ' J p pi~ p2 ' q q* q* '
т. е. равенства (8.13.4), и что
(8.15.5) ©ir'CxXsgz^H. skCy)<©8=iJ?.r°(y).
Тогда (8.15.3) и (8.15.5) дают
откуда будет следовать утверждение теоремы.
Остается показать, что предположения, выражаемые формулами
(8.15.4) и (8.15.5), допустимы. Для этого предположим, что
существуют два числа \i и v,
(8.15.6) 0<|х<1, 0<v<l,
такие, что
(8.15.7) Ра = (Р—IMP+/>0—И),

8.15] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 295 263
По теореме 181), rlog©r (x) = \og<g>r(x) является выпуклой
функцией от г; далее, так как последовательность xi максималь-
максимальная, то она удовлетворяет (8.13.13). Следовательно,
(8.15.8) ©л (х) < <3gzi$> {х)®™-*> (х) = ®$z
и, аналогично,
(8.15.9) ©7, (у) < ©{«^g:11 (У) ©<A" ''> (У) = S^ZJ
Если, наконец,
(8.15.10) ^-_L ^_1-^
то неравенства (8.15.8) и (8.15.9) будут эквивалентны (8.15.5).
Чтобы закончить доказательство, необходимо показать, что
(8.15.4), (8.15.6), (8.15.7) и (8.15.10) совместны. Эти условия
содержат шесть уравнений и два неравенства, которым должны
удовлетворять четыре числа р, q, [a, v. Первое уравнение
(8.15.10) дает
первое уравнение (8.15.7) дает
т. e. (8.15.4).
Аналогичное рассуждение может быть применено и к урав-
уравнениям, содержащим д, так что (8.15.4) является следствием
(8.15.7) и (8.15.10). Если ри q\9 ръ д2 и t даны, то мы мо-
можем найти jx, v из (8.15.10) и /?, q из (8.15.7) и эти числа
будут удовлетворять всем шести уравнениям.
г) Строго говоря, по теореме, которая сформулирована аналогич-
аналогично форме 87 теоремы 17.

264 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. VIII
Остается только рассмотреть неравенства (8.15.6). Если \ь
и v удовлетворяют (8.15.10) и 0</<1, эти неравенства
эквивалентны следующим:
(8.15.11) ii^
Но так как (alf j3x) и (а2, р2) лежат в треугольнике (8.13.3),
мы имеем, по (8.13.8) и (8.13.9),
и тем более
Р2
Таким образом, Сможет быть выбрано так, чтобы (8.15.11)
было удовлетворено, и тогда будут удовлетворены все условия.
Отметим, что существенным для теоремы неравенством
а+Р^Л мы пользуемся только в последних строках нашего
доказательства. Если форма положительна, то это неравенство
несущественно; тогда, по теореме 285, log-Ma, 3 выпукла во
всем квадранте а>0, р>0 плоскости (а, Р).
8.16. Приложения теоремы М. Рисса. (i). Теорема 295
может быть без труда преобразована в следующую теорему,
не похожую на нее по формулировке.
296. Пусть
(8.16.1) Х^х)^^аьх, С/ = 1. 2 п)
и пусть Ж* обозначает максимум
(S|*}|i/T)r
для
Тогда log-Ж*. является выпуклой функцией от а и f в тре-
треугольнике
(8.16.2) 0<f<a<L

8.16] ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ М. РИССА 265
В самом деле, согласно (8.13.17),
в то время как
Ж* q c= max ^ '\ . = max —^ •
а'? ®i/«W ©,,(*)
Следовательно,
если f = 1/^=1—j3; но тогда условия (8.16.2) равносиль-
равносильны (8.13.8) или (8.13.3), и logyVfJp есть выпуклая функция
от а и 1—f или, что то же самое, от а и у.
(и) 297. Пусть А} определено, как; б (8.16.1), я
(8.16.3) |2
(8.16.4) 1<р<25
то
2—р
(8.16.5) ©
(8.16.6)
Чтобы вывести теорему 297 из теоремы 296, положим опять
а = 1//?, и рассмотрим прямую, соединяющую в плоскости
(а, т) точку G2» Vg) с точкой A, 0). Отрезок прямой между
этими двумя точками целиком лежит в треугольнике (8.16.2).
Следовательно, по теореме 296,
для -2<<х<1. Из (8.16.3) ясно, что M*f^ 1/2<1; с другой
стороны
* max 1
Поэтому
откуда получаем (8.16.5).

266 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.VIII
Условие (8.16.3) наверное удовлетворено (со знаком равен-
равенства), если (8.16.1) является „унитарной" подстановкой, т. е.
подстановкой, оставляющей Х|*12 инвариантной1). Этот слу-
случай теоремы был найден Ф. Риссом [Riesz, 4], а общая тео-
теорема М. Риссом [Riesz, 1].
8.17. Приложения к рядам Фурье. Из многих других важ-
важных приложений теоремы Рисса выберем приложение теоремы
297 к доказательству теоремы Хаусдорфа 2).
(i) Предположим, что т нечетное целое число, и
т/2
/„00= S
X -% а х ~
V«"
¦ m V
Эта подстановка унитарна, так что
у ] У I2 — V I r I2
Кроме того, т = /я~~1/2. Следовательно, по теореме 297,
Так как левая часть этого неравенства является приближением
к 3 '(/)> т0 теорема Хаусдорфа (8.5.6) следует отсюда пере-
переходом к пределу 4).
*) В этом случае т = п. Вещественная унитарная подстановка
ортогональна.
2) См. § 8 5. Рисе выводит эти теоремы другим способом и дает
ряд других приложений.
3) Мы пишем теперь ^, v вместо /, j, и суммируем по р, —-~- т <С
m
Y
4) Если /(8) — полином
Ж/2
—ЛГ/2 ^
то fm (б) = / F) для т > М и теорема для /F) следует непосред-
непосредственно из (817.1). Обобщение на любые/F) может быть доказано
на основе теории „сильной сходимости".

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 267
(И) Пусть т будет опять нечетным целым числом,
9,
/2ярЛ _____
^ —Jт[ т —¦
1 т/г -
V Р
у т — т/2
Простое вычисление дает, что
По теореме 297, имеем теперь
т Y
откуда опять соответствующим переходом к пределу следует
теорема Хаусдорфа (8.5.7).
Мы можем также, как было указано в § 8.5, вывести вто-
вторую теорему из первой.
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
298. Если р>1 и а (лг, у) — измеримая и положительная функция,
то следующие три утверждения равносильны:
оо оо оо оо
A) J j « (х, у) f{x) g (у) dx dy < К[ j f dx Jfp (j g*' dyf/p'
0 0 0 0
для всех неотрицательных /, g\
оо оо со
(ii) J dy ( j a (x, у) f (at) dx У К Kp J p dx
0 0 0
для всех неотрицательных /;
OO QO ОО
(iii) j dx (j a (x, y) g (y) dyy < K? j gP'dy
0 0 0
для всех неотрицательных g. Утверждения* „знак равенства имеет
место в (i) только если / = 0 или g=0"; „знак равенства имеет место
в (ii) только если /=0"; „знак равенства имеет место в (iii) только
если ?=0" также равносильны.
[Эта теорема соответствует теоремам 286 и 297 с q—pr. Сущест-
рует более общая теорема с произвольными р и д.]

268 ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.VIII
299. Формы
где Х>0 и штрих нужен только в случае целого X, ограничены
в [2, 2] и имеют точными гранями тс, если X целое число, и я |cosec Хтс |,
если X не целое.
[Schur [1], Полна и Сеге [1, I, 117, 290].]
300, Если /?>1 и Л = Il%aijXiyj имеет в [р, /?'] грань уИ и
где
то
имеет грань
[Ибо | Л* | = | J | Е Е aijXift (t)y3g3 @ } dt j <
< М I Е | ^Л@1р S \У3§з W ^ ^<
О случае p=pf = 2 см. Schur [1].]
301. SS'-1-1^ : -*tyj ограничена в [2, 2].
302. S E7 ; Д^— xtyj ограничена в [2, 2] для действительных 6.
Если 0 < 6 < тт, то точная грань этой формы не превышает
тах@, 71 — 0).
[О двух последних теоремах см. также Schur [1].]
303. Если ап — коэффициенты Фурье ряда из синусов нечетной
ограниченной функции, или ряда косинусов четной ограниченной
функции, то формы
щщ, Е S ^i-
ограничены в [2, 2].

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 269
[Toeplitz [1]. Предположим, что / и j пробегают значения от 1 до п,
что х и у действительны и
У!*2 __ vv2 -_ \
что
X = ?** cos /6, Хг = Ц^ sin /в,
У= ЪУг cos ;0, Г = %yj sin ; 6,
и что (например)
п
п те
О
где |/@)l-<Af. Простое вычисление дает
п п
Так как
j те J
о
ТС ТС
I J ЛГУ @) ^6 | < y М J (*2 + Г a) rf0 =
мы находим для Л верхнюю грань 2М Аналогично в других слу-
случаях.
Если, например,/(9) — функция нечетная и равная -^ (тг — 6) для
0<6<Х то М = у и ап = п^1. Мы таким образом получаем утвер-
утверждение теоремы 294, касающееся формы В,]
304. Если (I) ??яу*1У^ ограничена в [/?, #], (и) Л>1, />1 и (iii)
(ti{), (Vj) — данные последовательности, для которых <&рк'(и) <^
А = 2Е 0^-
ограничена в \pk, ql\.
[В самом деле,
IЛ | < М (S | их \р) * (Е | vy | в) «
JL JL _L
<М(Ъ\ирк>\)рк' (L\v**'\)ql' (L\*\p*)pK
305. Форма
где («t), (t;j) — данные последовательности чисел, удовлетворяющие
неравенствам
2||8<

270 теоремы о билинейных и полилинейных формах [гл. viii
ограничена, но не обязательно абсолютно ограничена, в [оо, оо].
[Примем в теореме 304 р =q = 2, ? = / = оо.
Если бы эта форма была всегда абсолютно ограничена, то форма
Гильберта В (§ 8.12) была бы абсолютно ограничена, что неверно.]
306. Если
то
[По теоремам 16 и 17. Этот результат требуется при доказатель-
доказательстве следующей теоремы.]
307. Если опустить перпендикуляры из вершин (=ъ 1, it 1, .... zt 1)
„единичного куба" в пространстве т измерений на любую гиперпло-
гиперплоскость (линейная совокупность т — 1-го измерения), проходящую через
центр куба, то среднее арифметическое длин этих перпендикуляров
лежит между постоянными А и J5, не зависящими от т и от положе-
положения гиперплоскости.
308. Если
^•-(EK'il2I/2. <Ч = (?1^-|2I/2'
3 'J
то
Р = (ЕЕ \aij |V3K/4 < K(Zbj + %сг) = К(В + С),
где К—абсолютная константа.
S09. Необходимым условием для того, чтобы форма А = ^a^Xiyj
с действительными или комплексными коэффициентами была ограни-
ограничена гранью М в [оо, оо], является, в обозначениях предыдущей тео-
теоремы,
max (В, С, Р) < КМ.
[О последних пяти теоремах см. Littlewood [2].]
310. Если
p>2,q>2, } + j<4«
X = Р<* и. =
pq p q'^ 3pq
и А ограничена гранью М в [/?, q], то
где bj и Ci определены как в теореме 308, и ЛГ зависит только от
Р и д.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
271
311. Если
а в остальном удовлетворены все другие условия теоремы 310, то
Щ )Т hY
312. Если
а в остальном удовлетворены все другие условия теоремы 310, то
i_
313. Если
р>\, q>l, — -\-— <1, д^>0,
А ограничена гранью М в [/?, q] и
1 1
то
[О последних четырех теоремах см. Hardy and Littlewood [13].]
314. Формы Гильберта в [р, р']. В главе IX будет доказано, что
форма А теоремы 294 ограничена в [р, рг]. Соответствующая теорема
для формы В лежит значительно глубже. Мы должны доказать, что
A)
где К=К(Р) зависит только от р\ или, что по теореме 286 то же
самое, что
По теореме 295 для доказательства (i) или (и) достаточно доказать
эти неравенства для целых четных значений (или для какой-нибудь
подпоследовательности этих значений). Это требует некоторого спе-
специального приема, причем наиболее естественным является, с нашей
точки зрения, прием, примененный Тичмаршом [Titchmarch, 2].

ГЛАВА IX
НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ
И ОБОБЩЕНИЯ
9.1. Теорема Гильберта о двойных рядах. В настоящей
главе дается отчет о ряде исследований, начало которым поло-
положил Гильберт, впервые изучавший замечательную билинейную
форму
А
^ m+ n'
где суммирование по т и п производится от 1 до со. Об этой
форме уже была речь в § 8.12. Мы начинаем изложение с
теоремы 315; мы приводим также ее интегральный аналог и
даем одно дополнение к ней, типичное для результатов насто-
настоящей главы.
315. Если
и Ъ < А, 1дР' < В,
причем суммирование производится от 1 до со, то
кроме того случая^ когда (а) или (Ь)—нулевая последова-
последовательность.
316, Если
/
то
о о
кроме того случая, когда /^0 или

9.2] ОБ ОДНОМ ОБЩЕМ КЛАССЕ БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 273
317. Константа —^ является наилучшей в каждой из
sinJ
теорем 315 и 316.
Случай р = р' = 2 теоремы 315 и есть „Теорема Гильберта о двой-
двойных рядах". Она была впервые доказана Гильбертом (за исключением
определения константы) в его лекциях по интегральным уравнениям.
Доказательство Гильберта было опубликовано Вейлем [Weyl, 2]. Значе-
Значение константы и интегральный аналог были установлены Шуром
[Schur, 1], а обобщения на произвольные р—Харди и М. Риссом [Hardy, 3].
По поводу других доказательств, всей теоремы или ее частей, и
обобщений в разных направлениях см. Fejer и F. Riesz [I], Francis and
Littlewood [1], Hardy [2], Hardy, Littlewood and Polya [1], Mulholland
[1, 3], Owen ft], Полна и Cere [1, 117, 290], Schur fl] и F. Wiener [1].
Многие из этих обобщений будут доказаны или упомянуты ниже.
Неравенство (9.1.1) принадлежит к тому же типу, что и общее не-
неравенство, рассмотренное в § 8.2, но теорема 315 не содержится
в теореме 275, так как ряд s —;— расходится. Заметим, что в co-
corn т -+- п
гласии с теоремой 295 функция (где а = \/р) есть выпуклая
функция от а для
9.2. Об одном общем классе билинейных форм. Мы вы-
выведем теорему 315 из следующей более общей теоремы г).
318. Предположим, что р>1, р' = -^i u что %(х, у)
обладает следующими свойствами:
(i) К неотрицательна и однородна со степенью однород-
однородности — 1;
со j оо -у
(п) f K(x,l)x~Pdx = f K(\,y)y~?dy = k,
о о
и либо
(iii) K(x, 1)х р есть строго убывающая функция от х
и КA,у)у р' —строго убывающая функция от у, либо, в
более общем случае,
1
(iii) K(x, 1)х р убывает для всех *>1, тогда как интер-
интервал @, 1) может быть разбит на две части @, ?) и (?, 1),
*) Hardy, Littlewood and Polya [1]. Для р = 2 эта теорема была уже
по существу найдена Шуром [Schur, 1J; Шур, однако, предполагает,
что К(х9 у) — убывающая функция от обеих йеременных.

274 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. IX
(одна из которых может быть пустой) так, что в первой
из них эта функция убывает, а во второй возрастает.
1
КA>У)У р' удовлетворяет тем же условиям. Наконец, пред-
предположим, что если выполняется лишь более слабое условие
(Ш'), то
(iv) K(x, х) ^ 0.
Тогда
кроме того случая, когда (а) или (Ь) — нулевая последова-
последовательность, и
(b) s Г
кроме того случая, когда (а)—нулевая последовательность,
(с) Ш№> л) '
кроме того случая, когда (Ь) — нулевая последовательность.
В каждом случае суммирование производится от 1 до оо.
Теоремы 286 и 287 показывают, что три утверждения (а), (Ь)
и (с) равносильны.
Поясним условия теоремы следующими замечаниями.
A) В силу однородности К сходимость и равенство двух интегра-
интегралов в условии (it) являются следствиями сходимости одного из них.
B) Термины „убывает", ..., должны пониматься в узком смысле.
C) S может быть равно 0 и 1 — тогда один из интервалов @, ?) или C,1)
исчезает.
D) В наиболее важном для приложений случае
и выполнено условие (ш). Одним из интересных случаев, когда вы-
выполнено только условие (ш'), является
Здесь К(х* 1) обращается в бесконечность при х = 1. Условие (iv)
и нужно для таких случаев, чтобы исключить из суммирования равные
пары (т, т).
1) См. Hardy, Littlewood and Polya [1J.

9.2] ОБ ОДНОМ ОБЩЕМ КЛАССЕ БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 275
Если т и п — положительные целые числа, и мы суммируем
по г =1,2, ..., то, очевидно,
(9.2.1) ?
(9.2.2) S
В самом деле, если выполнено условие (ш), то
г
1ь
(9.2.3)
r—l
n
откуда, суммируя по г, получаем (9.2.1). Если же выпол-
выполнено только условие (ш'), то (9.2.3) остается в силе для
и г ^ Ы, а для \n<Cj<in мы имеем
*¦
Принимая во внимание, что /СA,1) = 0, и суммируя, мы опять
получим (9.2.1); неравенство (9.2.2) доказывается аналогично.
Таким образом,
I /w4J_ 1/яч JL 1 1
где
последнее неравенство следует из (9.2.2). Оно обращается в равен-
равенство только если (а) — нулевая последовательность. Аналогично,

276 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. IX
кроме того случая, когда (Ь) — нулевая последовательность, и
теорема доказана.
Если положить К(х, у) = , то мы получим теорему 315.
•* т" У
Можно показать, что k в теореме 318 является наилучшей кон-
константой, но в этом направлении мы не пойдем дальше доказа-
доказательства теоремы 317 *).
9.3. Интегральный аналог теоремы 318. Докажем теперь
интегральный аналог теоремы 318.
319. Предположим, что /?>1, что К(х,у) неотрица-
неотрицательна и однородна со степенью однородности — 1 и что
ОО 1 /СО 1
/
О
Тогда
СО ОО ии х uw
(a) J J K(x, y)f(x) g (у) dx, dy<?k{f/PdxY{f Sp''
(b)
0 0
Y
0 0
oo oo
(c) fdx{f K(x, y) g(y) dyy < kP' J gp' dy.
0 0 0
Если К(х,у) положительна, то знак неравенства имеет
место в (а), если /ф 0 и g=j= 0, в (Ь)—если /ф 0, и в (с) —
если g ф 0.
Эта теорема может быть доказана методом, примененным
в § 9.2. Естественно, что теперь доказательство становится
значительно проще. Мы имеем
К* (у
^ Cm. § 9 5. В соответствии с теоремой 295, k есть выпуклая
функция от а = 1//?.

9.3] ИНТЕГРАЛЬНЫЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ 318 277
причем
P-Jfrdx / K(x, y)Q)Vp' dy = k f/Pdx
и
Q^kj gP'dy.
Если К положительно, и имеет место знак равенства, то
(9.3.1) А/р(х) (?I/P^B^'(»(f )VP
почти для всех у1). Если мы дадим у значение, при котором
g(y) положительна и конечна и при котором имеет место
(9.3.1), то мы увидим, что /р (х) эквивалентна функции Сл:, а
это несовместно со сходимостью \ fpdx. Поэтому либо /, либо
g— нулевые функции. Можно также показать, что константа
является наилучшей.
Существует еще одно интересное доказательство теоремы
319, принадлежащее Шуру2). Мы имеем
оо оо оо оо
j / (л:) dx J К(х, у) g(y)dy= j / (х) dx §xK(x, xw) g(xw) dw =
О 0 0
оо оо
*= j /(*) dx [К (!» w) S (xw) dw= j K(\> w)dw^f (at) g (xw) dx,
0 0 0 0
если только один из этих интегралов сходится. Применяя
теорему 189 к внутреннему интегралу и замечая, что
мы получаем (а); по теореме 191 (Ь) и (с) являются след-
следствиями из (а).
Случай К(х, ^/)=—-р— дает теорему 316. Позже (в §9.9)
мы вернемся к другим приложениям.
1) Т. е. почти для всех у обе части равны почти для всех хч
См. § 6.3 (d).
*) Schur [1], Шур предполагает р =?2<

278 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
9.4. Обобщения теорем 318 и 319. A) Следующая
теорема является в одних отношениях более общей, а в дру-
других— менее общей, чем теорема 318.
320. Пусть К(х, у) — строго убывающая функция от х
и у, удовлетворяющая условиям (i) и (И) теоремы 318.
Пусть, далее, \ш > 0, \im > 0 и
Тогда, если р > 1, то
кроме того случая^ когда (а) или (Ь) — нулевая последо-
последовательность1).
Если Ат = т и М^ = я, то мы получаем один из частных слу-
случаев теоремы 318.
Мы выведем теорему 320 из теоремы 319 способом, имею-
имеющим много применений2). Понимая под Ао и Мо нуль, и
полагая
мы
\
имеем
м
п п
/(*)«= х~25
g(y) = v-n1'
'P'bn
(Am_,<
х<Ат),
У < М„),
Am-iMn
если атЬпф0. Суммируя по т и я и применяя теорему 319,
мы получаем искомое неравенство.
Если /СО, у) = l/(*-j-.y\ мы получаем, в частности3),
321. ?2 -т —т-л-7- ашЬп < ——\Х ат) (ъоп) ,
sin I —
\P
кроме того случая, когда (а) или (р) — нулевая последова-
последовательность.
2) О случае р == 2 см. Schur [1].
2) Ср § 6.4 и см., например, § 9.11.
3) Owen [1] дает более общий, но менее точный результат.

9.5] НАИЛУЧШИЕ КОНСТАНТЫ 279
B) Теоремы 318 и 319 могут быть распространены на
кратные ряды и интегралы любой кратности.
322 *). Предположим, что п чисел /?, q, .. ., г удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:
р>1,<7>1, ... , г>1, 1 + 7+ ••¦ +у = 1.
Предположим дальше, что К(х,у, ...,г) — положительная
однородная функция от п переменных х,у, ...,г, со сте-
степенью однородности (— я+1) и что
оо со
(9.4.1) f ... \К{\,у, ...,z)f~m . .. z~1/rdy . .. dzr=k.
0 0
Тогда
со
• • • §К(х,у, . . ., z)f(x)g(y) . . . h(z)dxdy . . . dz <
0
со оо оо
\l/r
0
кроме того,
-Vtf .г"~1/г/СA V г") x~~^tp z~^rK(x 1 г)
являются убывающими функциями от всех переменных, от
которых они зависят, то
SS ... S К(т, п, ..., s)ambn... сь<
В силу однородности функции К сходимость интеграла
(9.4.1) влечет за собрй сходимость и равенство всех п инте-
интегралов того же типа.
Теорема 322 может быть доказана непосредственным обоб-
обобщением доказательств теорем 318 и 319.
9.5. Наилучшие константы: доказательство теоремы 317.
Нам нужно еще доказать теорему 317, которая утверждает,
г) О случае /> = q =...=/• см. Schur [1],

280 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
что константа в теоремах 315 и 316 является наилуч-
sin —
Р
шей. Это надо понимать в том смысле, что утверждения этих
теорем перестают быть справедливыми для некоторых ат, Ьп
или/(х), g (у), если в них заменить каким-либо мень-
sin-
Р
шим числом. Метод, который мы используем, иллюстрирует
один важный общий принцип и может быть применен к дока-
доказательству многих теорем того же „отрицательного" харак-
характера.
Положим
где 0 < s < ~-. Обозначим через О A) число, зависящее
в общем случае от р и е, и остающееся конечным (для данного
р) при е->0, а через о A) число, удовлетворяющее тем же
условиям, но стремящееся к нулю при е -»0. Тогда
оо оо
— = [x-l-*dx <2/и-1-е<1+ I" 1Ы \{
{ 1
и, таким образом,
5 + °A)
-±±l.dxdy
, p> x+y
(9.5.1) ?<4 = :
С другой стороны,
1 1
Заменяя здесь нижний предел внутреннего интеграла через 0,
МЫ делаем ошибку, меньшую, чем —^-, где а положительно и

9.5] НАИЛУЧШИЕ КОНСТАНТЫ 281
не зависит от г1); так как
то
(9.
имеем
5.2)
а \
м
1
71
sin
оо
: 1 лП1
71 1 ^ ^
ОО 1+ е
j
I "
?
Из (9.5.1) и (9.5.2) следует, что если k — любое число,
меньшее тс cosec — , то, при достаточно малом г,
Следовательно, в (9.1.1) константа — наилучшая. Так как
(9.1.1) является следствием (9.1.2) (что может быть доказано
методом, примененным в § 9.4), то очевидно и константа
в (9.1.2) — наилучшая. Это, конечно, может быть доказано и
непосредственно.
Другой метод доказательства заключается в выборе
для т ~<С \ь, п^\ь и
для т > jjl, n > |х, вычислении соответствующих сумм и переходе
к пределу при|х-> оо. Принцип в обоих случаях один и тот же:
Она меньше, чем
где
и мы можем положить а = 1/2/?, если ?<С-о^-

282 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
мы подставляем в качестве ат и Ъп функции, зависящие от
одного параметра (s или jx) и выбранные таким образом, что
суммы рассматриваемых рядов неограниченно возрастают, когда
этот параметр стремится к пределу; а затем мы сравниваем эти
суммы для значений параметра, близких к его пределу. Этот
метод весьма эффективен при доказательствах теорем типа
теоремы 317. Неравенства (9.1.1) и (9.1.2) утверждают, что
верхние грани недостижимы; если обе стороны не сводятся
к нулю, равенство в них исключено. Этим и объясняется
необходимость введения параметра (г или \i) при доказатель-
доказательстве точности константы.
9.6. Дальнейшие замечания к теоремам Гильберта1).
Теоремы 315 и 316 были доказаны многими различными путями
и имеют весьма разнообразные приложения. В настоящем и
следующем параграфах собрано несколько замечаний по поводу
этих доказательств и приложений. Цель этих замечаний — по-
показать связь изучаемых теорем с различными отделами теории
функций.
A) Методом, который привел нас к теореме 321, можно
вывести теорему 315 из теоремы 316. Определим f(x) и g(y)
равенствами
f(x)=am (m—l^x<m), g(y) = bn (я —
и заметим, что тогда
т п
с с umiy)dxdy
J J Х + У •*
т — 1 п—1
Здесь, однако, мы можем достичь несколько большего. Так как
1 j 1 2
ш -\- п — 1 — а ш -\- п — X —|— ot ш ~\- п — 1
для 0 <а< 1, то2)
dx dy 1
J J
m + n — 1
m — 1 ri— 1
2) Мы называем теоремы 315 (вместе с более сильной теоремой
323) и 316 „теоремами Гильберта". Строго говоря, теорема Гиль-
Гильберта— это теорема 315 для р = 2.
2) Объединяя части интеграла, расположенные симметрично отно^
сительно центра квадрата интегрирования.

9.6] ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРЕМАМ ГИЛЬБЕРТА 283
Заменяя теперь тип через т-\- 1 и п -f- 1, мы получаем
теорему 315 в несколько усиленном виде:
323. Если выполнены условия теоремы 315, то
оо о° птЬп ^ TZ со 1/р со pt 1/р'
о о ' ' sin — о
Р
Некоторые другие доказательства теоремы Гильберта, как, напри-
например, доказательство Малголланда [Mulholland, 1], приведенное в §8.12,
доказательство Шура, данное ниже, доказательство ФейераиФ. Рисса
и доказательство Полна и Сеге [1,1» 290] также дают результат в этой
форме. Последние три доказательства рассматривают, однако, только
частный случай р = 2*К
B) Доказательство Фейера и Ф. Рисса основано на теории
аналитических функций и состоит в следующем. Пусть /(г) =
= ? апгП есть многочлен N-Pl степени с неотрицательными
коэффициентами, неравный тождественно нулю. Тогда, по тео-
теореме Коши,
1 к
X)dX=: —I
а, следовательно,
1 1
^ ХЗ. U . I J \ J \Л> J U-Л/ \, \ J \ И/ J И*
О — 1
ИЛИ
N N N
При переходе к пределу при N ->оо мы получаем теорему Гиль-
Гильберта для случая ат — Ьт и со знаком „<;и вместо „ < ". Первое
ограничение несущественно, так как согласно результатам § 8.8
симметричная билинейная форма в пространстве [2,2] имеет
верхнюю грань, равную верхней грани соответствующей квад-
квадратичной формы. Чтобы заменить „ ^ " на „ < и нужно не-
несколько уточнить рассуждения. Мы не будем останавливаться на
этом.
Второе неравенство в (9.6.1) может быть записано в виде
—1
*^ Этот случай более подробно рассматривается в Дополнении VIII,
(Прим. ред.)

284
НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. IX
и в этой форме оно справедливо как в случае действитель-
действительных, так и в случае комплексных коэффициентов ап. Оно
имеет важные приложения в теории функций1).
C) Первоначальное доказательство Гильберта было основано на
тождестве
(9.6.2) j MS (— \)r (ar cos rt — br sin rt)\ dt = 2n(S —
где
T).
S =
n n
nr + s li ^"—5
(штрих означает, что rzfis). Отсюда следует, что
it 2
7тГ {S(— \)r(arcosrt — br*inrt)\ dt=>
(9.6.3)
Если ar = 6r, то Т обращается в нуль, и мы получаем
/О fi 4} V V ^V^S ^^ т- v /r2
а отсюда и из замечания B) в § 8.8 мы заключаем, что
п п п Ь n W g тп^2 п
Из (9.6.3) и (9.6.5) следует, что
|Г| — V у/ arbs
или, по соображениям однородности, что
1 1 Г —
Это дает второе доказательство теоремы 294, с той лишь разницей,
что полученная константа не является наилучшей.
!) См. Fejer und F, Riesz [I]. Неравенство в действительности спра-
справедливо (со знаком строгого неравенства) для любой функции f{z),
стличной от нуля, для которой ? | ап |2 < со; оно является также
следствием теоремы Гильберта (предполагается, что эта последняя до-
доказана каким-нибудь другим путем).

9.7] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГИЛЬБЕРТА 285
9.7. Приложения теоремы Гильберта. A) Из приложений
теоремы Гильберта к теории аналитических функций мы выби-
выбираем следующее. Предположим, что/(г) регулярна для |^|<1
и принадлежит к „комплексному классу L", т. е., что инте-
интеграл
ограничен для г < 1. Если /(г) не имеет корней в круге
И<1, то
/ (*) = S спгп = ^ (г) = B anz-)\
где ?*(г) регулярна для \z\ < 1. Так как \g(re^) |2d6 огра-
ограничен, то ряд 21 ап\2 сходится, а следовательно, по теореме 323,
сходится и ряд
\ I
** т + п+
Тем более сходится ряд
I
Методом, хорошо известным в этой части теории голоморф-
голоморфных функций, полученный результат может быть легко рас-
распространен на произвольные функции / (имеющие корни в
\z\ <1I). Мы получаем, таким образом, следующую теорему:
если f(z) принадлежит к L в |г|<1, то ее проинтегри-
проинтегрированный степенной ряд абсолютно сходится для \ г \ = 1.2)
B) В качестве приложения теоремы Гильберта к теории
функций действительного переменного мы докажем
324. 3) Если f(x) действительная функция, f ? L2 и ф О
в интервале @, 1) и если положить
1
dx (л=0, 1,2, ...),
г) См. F. Riesz [3], Hardy and Littlewood [2]. Мы можем представить
f(x) как сумму двух функций из L, не имеющих корней в \z\<^\.
2> Hardy and Littlewood [2]. Теорема может быть сформулирована
и так: „если g(z) = %bnzn имеет ограниченную вариацию в |г|<1,
то Ъ\Ьп\ сходится". Об этой форме теоремы и более точных резуль-
результатах см Fejer [I].
3) Значительно более общее неравенство, но без определения
наилучшей константы, было доказано Харди и Литтльвудом [Hardy and
Littlewood, 1] См. также Hardy [101.

286 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
то
Константа тг является наилучшей.
Ясно, что можно предположить/(л;) ;> 0. Тогда, если
и последовательность (Ь) не нулевая, то мы имеем
1 1
2 anbn = ? ?„ jx"f\х) dx = J (Sb^)f(x)dx,
о о
jJ
о о
1 1
dx j
0
по теореме Гильберта. Искомое неравенство следует теперь
из теоремы 15.
Чтобы доказать, что тг — наилучшая константа, положим
1
e
и перейдем к пределу при е -» 0.
Интегралы ап называются моментами функции/(л:) в интер-
интервале @,1); они играют важную роль во многих вопросах.
Теорема 324 была здесь выведена из теоремы 323 (для р = 2)
и теоремы 15 (обратной неравенству Гельдера). Если угодно,
можно, обращая рассуждения, вывести теорему 323 (для р = 2)
из теоремы 324 и 191 (интегрального аналога теоремы 15).
Пусть g(x) = %bnxnt где /»п>0и не все ^=0, и пусть
[х) ф 0. Тогда
1 1
С С
J ,'
0 0 0
I 1

9.7] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГИЛЬБЕРТА 287
по теореме 324. Так как это справедливо для всех /, то,
применяя теорему 191, получаем
j gHx <K%bl,
О
что равносильна теореме 323.
Нетрудно также убедиться в том, что если два неравенства
„обратны" в том смысле, что каждое из них может быть
выведено из другого при помощи обратной теоремы Гель-
дера, и если константа в одном из них наилучшая, то она будет
наилучшей и в другом. Другое приложение этого принципа
встретится нам в § 9.10 A).
C) Следующая теорема вытекает из теоремы 316 (с р = 2).
325.!) Пусть яте>0 и
(9.7.1) А(х) = Ъапхп, Л*(*) = E^-jc»
где суммирования производятся от 0 до оо. Тогда
(Q 7 9» V у а"тпп < „ V
1 оо
(9.7.3) j ЛЦх) dx^n j{?-* А*{х)У dx.
о о
Замена А (х) и А* (х) их степенными рядами и почленное инте-
интегрирование дает непосредственно, что (9.7.2) и (9.7.3) эквивалентны.
Докажем (9.7.3). Так как
оо _
xA*
-M* (xt) dtssz - e x A* (u) du%
о х о
TO
0
со
= ^ dy Пе-vy A* (u) du\2 = f rfw j f e-w
Widder fl], Hardy [9].

288 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
причем
а(и) = е-иЛ» (и).
Последний интеграл равен
оо оо оо оо оо
ее е р р а (и) a(v)
dw e-wwa(u)du e-vwa(v)dv= _¦ dudv ^
0 0 0 0 0
оо oo
< тс f а2 (и) rftt ¦= тс f {e-M* (и)}2 da,
о о
по теореме 316.
Нетрудно также доказать, что константа тс — наилучшая. Соотноше-
Соотношения между функциями (9.7.1) играют важную роль в теории расходя-
расходящихся рядов, в особенности в связи с особыми точками аналитических
функций.
9.8. Неравенство Харди. Следующие две теоремы были
найдены при попытках упростить известные тогда доказатель-
доказательства теоремы Гильберта *).
Если вместо полной теоремы 315, мы хотим только дока-
доказать, что из сходимости рядов %а% и ?#п следует сходи-
сходимость двойного ряда ?? т п , то естественно рассуждать
следующим образом. Диагональю т = п разобьем двойной ряд
на две части Sx и 6'2, и рассмотрим Su где т^. п. Имеем
/у h n Ъ А
S = УУ итип ^ уу ит гъ у ^п и
1~~ ткпт+п^ т^п П ~ П п"
где
Так как Ytfn сходится, то сходимость S ~Ьп будет следовать
из сходимости %п~рАп. Таким образом, для доказательства схо-
сходимости St достаточно показать, что сходимость %п~рАп сле-
следует из сходимости %а%. Сходимость S2 могла бы тогда быть
доказана аналогично.
Эти рассуждения проходят и дополняются следующей теоре-
теоремой.
^ Это было задолго до того, как было найдено первое действи-
действительно простое доказательство теоремы Гильберта.

9.8]
НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ
289
326. Пусть р>1, ап > О а Ап = аг + я2 + • • • + ап- Тогда
(9.8.1)
кроме того случая, когда все а равны 0. Констан-
Константа ( ^_ А —наилучшая*).
Соответствующей теоремой для интегралов будет
327, *) Пусть р > 1, /(x)>0 и
Тогда
,9.8.2,
кроме того случая^
лучшей.
когда f = 0. Константа является наи-
наиЭти теоремы были впервые доказаны Харди [Hardy, 2], за исключе-
исключением точного определения константы в теореме 326. Этот недостаток
был устранен Ландау fLanday, 4J. Разными авторами было дано боль-
большое число других доказательств этих теорем; см., например, Broad-
bent fll, Elliott [1], Grandjot [1], Hardy [4], Kaluza und Szego [1],
Knopp fl]. Мы начнем с изложения доказательства теоремы 326, дан-
данного Эллиотом, и доказательства Харди теоремы 327 2).
(!) При доказательстве теоремы 326 мы можем предполо-
предположить, что ах > 0. Ибо, если ах = 0, то заменим ап+1 на Ьп
и перепишем (9.8.1) в следующем виде:
но это неравенство слабее неравенства (9.8.1).
*) См. также Дополнение IX в конце книги. (Прим. ред.)
х) Эта теорема была уже приведена в гл. VII, но доказательство,
данное там (полностью только для случая /7 = 2), предназначалось
в первую очередь для иллюстрации методов вариационного «счисле-
«счисления. Оно является, конечно, далеко не простейшим.
2) Мы приводим подробные доказательства для того, чтобы иметь
возможность детально рассмотреть случаи равенства.

290 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
Положим теперь -п=ап, и условимся, что любое число
с индексом нуль равно нулю. Тогда мы имеем
р __
(п —
Отсюда
N
а, следовательно, по теореме 13,
g i<l ?^
(9,8.3) Sag <~у i<"lan < —?-B^I//» (JaJ) W.
Разделив неравенство на последний множитель в правой части
(который обязательно положителен) и возведя затем обе чдсти
в степень р, мы получим, что
(9.8.4)
Переходя к пределу при ЛГ->оо, мы находим (9.8.1) со знаком „<^ц
вместо „<". В частности, доказано, что ряд yA сходится.
Возвращаясь к (9.8.3), и заменяя N бесконечностью, мы
получаем
(9 8.5)
Во втором случае знак равенства имеет место только тогда,
когда (пп) и (о^) пропорциональны, т> е. когда ап = Сап,
где С не зависит от п\ но тогда С==1 (так как
a1 = a1>0), т. e. An^nan для всех п. Это возможно только
По теореме 9.

9.8] НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ 291
в том случае, когда все а равны; но тогда 2'Ь$ —не может
быть сходящейся. Следовательно,
(9.8.6) SaJ<_?T'(SflJ)i/ii (?a*)V/>\
Отсюда получаем строгое неравенство- (9.8.1) тем же путем,
как (9.8.4) было получено из (9.8.3).
Остается доказать, что константа не может быть улучшена.
Положим
в^л-iZP <л<Л0, я„ = 0 (я>Л0.
Тогда
где ?д-* 0 при /2->оо. Следовательно,
4t7>fAr7>(^r)'A
где т]^~>0 при N~>co. Это показывает, что неравенство
будет неверно для только что рассмотренных значений ап и
достаточно большого N.
Другим способом доказательства был бы выбор ап = п р
для всех я, и переход к пределу при е->0; ср. § 9.5, где
было применено это рассуждение.
(И) Если 0 < 5 < X, то имеем
х х
р—\
г) Интегрирование по частям законно, так как FP ~- функция абсо-
абсолютно непрерывная. См. Hardy [4].

292 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
Но, по теореме 222, если fp интегрируема, то 51-
при $ -» 0. Следовательно,
х х
Если f^fcO в интервале @, X), то левая часть (9.8.7) положи-
положительна, и из (9.8.7) следует
(9.8.8,
Переходя к пределу при А'-^оо, мы получаем (9.8.2) с „<[" вме-
вместо „<а. В частности, интеграл в левой части (9.8.2) конечен.
Отсюда следует, что все интегралы в (9.8.7) остаются конеч-
конечными при замене X бесконечностью, и что
(9.8.9)
Во втором случае знак равенства имеет место только тогда,
когда х~р Fp и /р пропорциональны, но отсюда следоваю бы?
что/ является степенью х и тогда Jfpdx был бы расходя-
расходящимся.
Следовательно,
(9.8.Ю, jg
кроме того случая, когда /==0. Так как интеграл в левой
части положителен и конечен, то (9 8.2) следует теперь из
(9.8.10) таким же образом, как (9.8.8) следовало из (9.8.7).
Доказательство того, что константа является наилучшей,
ведется так же, как и в случаях, приведенных выше: полагаем
f) = 0 для х< 1, /(х) = х-Ш~* для х>1, и т.д.

9.9] ДАЛЬНЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 293
Доказательство Эллиота теоремы 328 применимо, с очевидными
изменениями, также и к теореме 327. С другой стороны, и доказатель-
доказательство теоремы 327, данное в (И), применимо к рядам, но оно не дает наи-
наилучшего значения константы.
(iii) Интересно также следующее доказательство теоремы 327, при-
принадлежащее Ингаму. Мы ограничимся здесь слабой формой неравенства
(с „<й вместо „<")• Воспользуемся теоремой 203, предполагая, что
интервалом интегрирований служит @,1), что весовые функции равны 1,
и что
г=1, * = />>!,/(*, v)=*f(xy).
Тогда
Wlff(xy) = J f(xy)dx
X
J
)Up
= {—J fP (t) dt\ '* < Г- \ fP (t) dt\
о Х о
для x < 1. Отсюда, по теореме 203,
j
0
Полагая теперь
заменяя Xt g на х, f и переходя к пределу при с -> оо, мы получаем
искомое неравенство.
9.9. Дальнейшие интегральные неравенства. Существует
много аналогов и обобщений теорем 326 и 327, которые были дока-
доказаны разными авторами различными способами. Мы приведем
здесь некоторые из этих теорем. Рассмотрим сначала интеграль-
интегральные неравенства, так как большинство их может быть очень
просто и единообразно выведено из теоремы 319, тогда как
при доказательствах соответствующих теорем для рядов иногда
возникают некоторые дополнительные осложнения.
A) Положим в теореме 319
Тогда, если р > 1, то

294 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
и К удовлетворяет всем условиям. Следовательно, в силу нера-
неравенств (Ь) и (с) теоремы 319,
(9.9.1)
(9.9.2)
Из этих неравенств (9.9.1) является теоремой 327 с „<"
вместо „<"; мы не можем утверждать строгого неравенства
на основании общей теоремы, так как К не всегда положи-
положительно. Но если бы (9.9.1) обращалось в равенство для какой-
нибудь / фО, то мы имели бы
JJ К(х, у)fix) gWxdy^j^j (J fP dX)llP ($gp' dy)Vp>
с /#0, g* ф 0; отсюда следовало бы, как в § 9.3, что (9.3.1)
имеет место для л:<>у, т. е. что f = Cx~xfP для малых ху а
это несовместно со сходимостью j fp dx.
Таким же образом может быть доказано, что и в (9.2.2)
имеет место строгое неравенство. Простое преобразование дает
теперь
328. Если р > 1 и
то
со, оо
(9.9.3) J Fp (x) dx<pp\ (xf)? dx,
о о
кроме того случая^ когда /ф о* Константа является наи-
наилучшей,
B) Положим теперь, в более общем случае,

9.9]
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
295
где г > 0. Частный случай г=1 был рассмотрен в (L). Здесь
мы имеем
и, таким образом, приходим к
329. Если /?> 1, г>0 и
(9.9.4)
то
(9.9 5)
'Г (г)
№<*<
¦о-})
кроме того случая^ когда /фО.
со
(9.9.6) /г (х) = J^ J (/ -
/ио
(9.9.7)
\f?dx<
кроме того случая, когда /фО. В обоих случаях константа
является наилучшей.
Функция /г(х) из (9.9.4) есть „интеграл Римана-Лиувилля"
порядка г от f(x) с „начальной точкой 0" *). Функция (9.9.6)
называется „интегралом Вейля" порядка г от f(x)\ последний
более удобен в приложениях, особенно в теории рядов Фурье.
C) Положим
где а «*—-;. Тогда
C-a-l/p dx
р — ар —
г) См. § 10.17. Часть теоремы 329 была доказана Кноппом fKnopp, 3]

296 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
и (Ь) и (с) теоремы 319 дают
(9.9.8) j> fa-0 (
со со
со со f оо
(9,9.9) J х—Р' ( J /-ад rfy У<(х^пр,)Р J ?*'
о ;
Изменяя обозначения, получаем
330. Пусть р>1, г:?1, м
f
oJ
тогда
оо оо
(9.9.10) J дг-^Р(лг) ^<(|7^ТГ)Р J x~
о о
кроме того случая, когда /^0 1).
Константа является наилучшей. Легко также проверить, что если
р = 1, то обе части (9. 9. 10) равны.
9.10. Дальнейшие теоремы о рядах. Из аналогов и об-
обобщений теоремы 326 мы выбираем следующие.
A) Теоремой, так же соответствующей теореме 326, как
теорема 328 соответствует теореме 327, является
331. 2) Если р> 1, то
кроме того случая^ когда (а)—нулевая последовательность
Константа является наилучшей.
Эта теорема „обратна" теореме 326 в смысле § 9.7 B), т. е.
она может быть выведена из последней при помощи обратного
неравенства Гельдера. Полезно провести это доказательство во
всех подробностях, хотя оно и сведется к повторению в част-
частном случае того, что мы уже излагали при более общих пред-
предпосылках (см. § 8.7).
Прямое доказательство дано Харди [Hardy, 5].
Copson [1]. См. также Hardy [6].

9.10] ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ О РЯДАХ 297
Если К(х, у) определено как в § 9.9, A), то
/ Q 1 Г) 1 Ч V V If(fn п"\ п h , чпvi w i% ___
т
по теоремам 13 и 326, кроме того случая, когда (а) или
нулевая последовательность.
С другой стороны,
максимум же этого выражения для всех (а), для которых
?яш=1> равен, по теореме 15,
Следовательно, по (9.10.1),
Заменяя здесь Ъп на waw и р на /?, получаем теорему 331.
Заключение, что константа рР является наилучшей, следует
из последнего замечания § 9.7B).
B) 332. Если р> 1, яя>0, Ав>0 и
кроме того случая, когда (а)—нулевая последовательность *).
Эта теорема соответствует теореме 326, как теорема 321 соот-
соответствует теореме 315. Она может быть доказана многими
способами. В первую очередь она следует из теоремы 320 при
надлежащем выборе функции К (как теорема 327 следовала из
*) В Дополнении IX указан ряд обобщений этой теоремы. (Прим,
ред).

298 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
теоремы 319 в § 9.9); но при этом определение возможных
случаев равенства требует особого внимания. Самым простым
способом является, вероятно, применение рассуждения Эллиота,
изложенного в § 9.8. Если положить аи = ^,то мы получим
и доказательство заканчивается, как в § 9.8 О.
Теорема 332 следует также из теоремы 327, если в качестве
f(x) взять соответствующую кусочно-постоянную функцию 2)
(то же рассуждение, при помощи которого теорема 320 была
выведена из теоремы 319 в § 9.4). Это замечание затрагивает
вопросы, на которых мы более подробно остановимся в следу-
следующем параграфе.
9.11. Вывод теорем о рядах из теорем об интегралах8).
Только что упомянутый метод вывода теорем о рядах из тео-
теорем об интегралах, который применялся нами в § 9.4, весьма
естественен и часто ведет к цели. Однако его применение во
многих случаях наталкивается на затруднения в деталях, так
что, обычно, предпочтительнее прямые методы. В качестве
иллюстрации рассмотрим, например, вывод теоремы 326 из
теоремы 327. Между прочим, он приводит нас к одному важ-
важному замечанию.
Заметим, в первую очередь, что достаточно доказать тео-
теорему 326 в предположении, что ап убывают при возрастаю-
возрастающем п. Это следует из одной теоремы, которая заслуживает
отдельной формулировки.
333. Если ап заданы с точностью до порядка их следова-
следования и если ср (и) — положительная возрастающая функция
от и, то
принимает свое наибольшее значение, когда ап убывают.
Для доказательства заметим, что если av>fl^ для v > ja, to,
поменяв ач и а^ местами, мы не меняем значения Лп для п < |х
*) За подробностями обращаться к работе Копсона: [Copson, 1].
2) За подробностями (которые несколько затруднительны) обра-
обращаться к работе Hardy [4J.
3) Ср, §§ 6.4 и 9.4 [1],

9.12] НЕРАВЕНСТВО КАРЛЕМАНА 299
и п ^ v, и увеличиваем значения Лп для [л ^ п < v. Теоремы
такого типа гораздо более подробно рассмотрены в гл. X.
Предположим теперь, что ап убывают и что теорема 327
доказана. Пусть
f(x) = an (я — 1 О < я)-
Тогда
(9.11.1) Zc&=Jfp(x)dx.
Если п<х< п -\-1, то
= Иа + аЬ +а
Fix) A
Следовательно, —— убывает в интервале (я, п-\-\) от —- до
X ТЬ
т. е.
(9.И.2)
Теорема 326 следует теперь из (9.11.1), (9.11.2) и теоремы 333
Если читатель попытается вывести этим путем теорему 331
из теоремы 328, то он натолкнется на затруднения. Нечто
теряется при переходе от интегралов к рядам, и далеко не
всегда эта потеря настолько мала, что (как в данном случае)
можно осуществить переход без вреда для окончательного
результата.
9.12. Неравенство Карлемана *). Заменяя в теореме 326 ап
на ап, мы получаем
*) См. также Дополнение X в конце книги. [Прим. ред.)

300 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
Переходя к пределу при /?-> оо, и применяя теорему 3, мы
находим
в действительности имеет место строгое неравенство, а именно
334 3).
^(аха2. . ,ап) <е%ап
если (а) ф @). Константа является наилучшей.
Естественно попытаться доказать полную теорему 334 с по-
помощью теоремы 9; но непосредственное применение теоремы 9
к левой части (9.12.1) недостаточно2). Поэтому применим тео-
теорему 9 не к аи а2,..., аП) а к схаи с2а2).. ., спап и выберем сч
так, что когда ?ап близка к границе сходимости, числа с^ач
„примерно равны". Для этого сп должны быть порядка п.
Эта идея ведет к следующему доказательству. Мы имеем
cc)-V»± s са %с S (c^сI/и
Для более удобного вычисления внутренней суммы положим
т. е.
m mm-1 '
тогда
> п >п{пг1) т
l) Carleman [1]. Приведенное в тексте доказательство принадлежит
Полна [Polya, 2]. Менее точная теорема сходимости (без константы е)
была независимо найдена и другими авторами. Существует много дока-
доказательств одной или другой формы теоремы: см. Collingwood [Vali-
гоп, 1» 186, где приведено доказательство Литтльвуда]. Kaluza und Szego
[1], Knopp [1J, Osirowski [2, 201—204].
n n ft m < w m n > m n
но сумма в правой части, всегда расходится. Этот метод не ведет
к доказательству, потому что а „слишком неравны", и слишком много
теряется при замене © (q) на Щ, (а),

9.13] ТЕОРЕМЫ С 0<р<1 301
и следовательно
по теореме 140, кроме того случая, когда (а) — нулевая после-
последовательность.
Чтобы доказать, что константа не может быть улучшена, мы
можем воспользоваться методом, применимым в § 9.5; положим,
например, an—lin для п ^ у,, ап = 0 для п > ja, и перейдем
к пределу при |х—>оо.
Соответствующая теорема для интегралов имеет следующий
вид
335. *) Если /фО, то
СО О? СО
j ехрЦ J \ogf{f)dt\dx<
о и о
9.13. Теоремы с 0</?<1. До сих пор мы предполагали,
что параметр /?, входящий в наши теоремы, больше единицы.
Однако очень многие из этих теорем имеют аналоги и для р < 1;
некоторые из них мы приводим в настоящем параграфе. Как
можно было предполагать по аналогии с неравенствами Гель-
дера и Минковского, типичное различие между этими двумя
случаями выражается в обращении знака неравенства.
A) 336. Пусть К(х,у) — неотрицательна и однородна со
степенью однородности — 1, 0</?<1, и
со
К(х, \)x-l!Pdx = j K(\>y)yW dy ^k<oo
о о
Тогда
coco оо оо
(a) \lK{x,y)f(x)g(y)dxdy>k[\ fpdx)Up{\gPldy\Up\
0 0 U О
оо оо оо
(b) j dy j j K{x, у) f{x) dx )P > tf \ fdx.
и и о
Здесь, в согласии с §§ 5Л и 6,5, под (а) надо понимать; лесли
двойной интеграл и второй интеграл в правой части конечны,
то первый интеграл в правой части также конечен, и«««",
l) Knopp [1J.

302 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
а под (Ь): „если интеграл в левой части конечен, то интеграл
в правой части также конечен, и...*.
Если применить второй метод § 9.3, то доказательство (а)
будет то же, что и доказательство (а) теоремы 319. Знак
неравенства будет обратным потому, что мы применяем нера-
неравенство Гельдера для р < 1. Неравенство (Ь) выводится из (а)
при помощи теоремы 234. Предоставляем читателю сформули-
сформулировать соответствующую. теорему для р < О и рассмотреть
возможные случаи равенства.
Теперь нельзя положить К— 1/(х +/), так как тогда k == оо.
Поэтому для р < 1 не существует точного аналога теоремы
Гильберта.
B) 337. Если 0 <р< 1, /(х)>0,
оо
Г /Pdx < оо
?# !*<*¦
то
кроме того случая, когда /===Q. Константа является наи-
наилучшей.
В неточной форме теорема 337 может быть выведена из
теоремы 336, если положить
у) = 0 (x<y)t K(x, y) = j (
в этом случае
Для доказательства этим путем полной теоремы^ нужно рас*
смотреть случаи неравенства в теореме 336 (а, следовательно,
и в теореме 234), Поэтому мы приводим прямое доказательство,
данному в § 9,8,

9.13] ТЕОРЕМЫ С 0</К1 303
Можно предположить, что интегралы
//@* и f(LJdx
о
конечны, так как в противном случае нечего было бы дока-
доказывать.
Имеем
х
(9.13.1) J
Так как Z7-—убывающая функция от х% то
и стремится к нулю при х -> 0 и при х**> оо, Следовательно,
(9.13.1) дает в пределе
и доказательство может быть закончено, как в § 9„8.
Более полный результат, соответствующий теореме 330,
приведен ниже (теорема 347).
C) Докажем, наконец, теорему, соответствующую теореме 329
примерно так, как теорема 337 соответствует теореме 327. Аналогий
эта не вполне точная, и доказываемая ниже теорема очень хорошо
иллюстрирует те небольшие дополнительные осложнения, которые
свойственны некоторым теоремам о рядах.
MB.1) Если 0</7<1 и ?<<оо, то
1) Основное содержание зтой теоремы было сообщено нам Элл и*
отом в 1927 г.

304 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
кроме того случая, когда (а) — нулевая, последовательность.
Штрих при знаке суммы слева означает, что ее" первый член дол-
должен быть умножен на
Константа является наилучшей *).
Положим в теореме 337
Тогда, если
F
X
Отсюда
0<л<
(п + \
со
/(¦
с другой стороны,
1
\х<п+\
— х)ап-\-
X
F\P
х) Х^
, то
оо
yMft4
1
-а ¦! +
/г
/г
• • • у.
и искомое неравенство следует теперь из теоремы 337.
Какая-либо оговорка такого типа, как содержащаяся в теореме,
необходима; если опустить штрих, то неравенство может не иметь
местаг). **)
9.14. Теорема с двумя параметрами р п q. В заключение
приведем теорему, которая, хотя снова является обобщением
теоремы Гильберта, но обладает особенностями, не встречавши-
встречавшимися нам в остальных теоремах настоящей главы. Она содер-
содержит два параметра р и </, и константу К(р, q), наилучшее
значение которой еще не определено.
*) Авторы имеют в виду константу f—"j") » а не
а не 1 +
j) » а не 1 + т •
См, также Дополнение XI в конце книги. (Прим. ред.)
х) Положим ах = 1, д2 = а3 = ... = 0. Тогда результат неверен,
если /?>-?-. Другая форма этой же теоремы содержится в теореме 345.
*•) Это замечание не совсем точно. См. Дополнения XI, XII.
(Прим. ред.)

9.14] ТЕОРЕМА С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ pHq 305
339. Если /?>1, #>1, J- — >1, так что
р я р ~ q
то
Up
^) зависит только от р и q.
Если q = p\ т. е. Х=1, то эта теорема сводится к тео-
теореме 315, и в этом случае мы знаем наилучшее значение К-
В общем случае наилучшее значение К еще неизвестно, и его
определение представляется трудной задачей. В § 10.17 будет
доказана одна более глубокая теорема, в которой К1 ит-|-й
заменено на \т — п\ (при исключении т=п из суммиро-
суммирования).
Для доказательства теоремы 339 достаточно показать, что
если 2а* = Л и S^ = B, то
(9.14.1) ^
по теореме 13 (9.4.1) следует из
(9.14.2)
где
Так как p'^>q и
п < w
ТО
У В* <^ У т~тР'^В%* — У
Но
p-g

306 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
Таким образом,
по теореме 326, и (9.14.2) доказано.
340. При условиях теоремы 339
J J ¦
и о
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ**)
341. Если (i) am, bn, f (x), g (у) неотрицательны, (ii) все суммиро-
суммирования производятся от 1 до оо, и все интегралы берутся в пределах
от 0 до со,
(iii) (E^I/j0=
и (iv) /?>1» то
A) НИ ^^—<рр'АВ,
к ' max (m, п) ^^
кроме того случая, когда (а) или (Ь) — нулевая последовательность,
J\x)g У) dx dy<ippfFG,
max (x, у) -* ^^r
J J
кроме того случая, когда /^0, или g*=0. Константы являются наи-
наилучшими.
[Частные случаи теорем 318 и 319 (а). Во всех дальнейших тео-
теоремах этого раздела мы будем для краткости предполагать, что
выполнены условия (i), (ii) и {Hi) теоремы 341; условимся также, что
если неравенство типа
Х<КУ (или Х>КУ)
дано с определенным значением К, то это К является наилучшим
значением константы (если текст не содержит противоположного
утверждения), и что равенство исключено, если содержащиеся в тео-
теореме последовательности (функции; не состоят исключительно из нулей
(не эквивалентны нулю).
*) См. Дополнение XIV. (Прим. ред.)
**) См. также Дополнения XII, XIII, XVI в конце кииги. (Прим. ред.)

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 307
Когда же утверждение теоремы имеет вид
с неопределенными К, то К предполагается функцией параметров
теоремы.]
342. Если /?> 1, то
A) S S т ._" 7 Д„»п< *» cosec*
J Также частные случаи теорем 318 и 319 (а). Здесь
* Г JOg-*" —\jp j ^ 2 ^
0
343. Если /?>1, то
coco Л , /со ap \l/pco I bp' tl/У
у у ат°п ^ TC I S w 1 El — I
2 2 W/llOgW/I N , /ЯН2 /W / 2 \ П )
\p J
[Mulholland [2]. Так как
mm
этот результат несколько сильнее частного случая Am = log/w,
теоремы 321.]
344. Если t)</?< 1, то
[Copson [2]. Эта теорема является последним звеном в системе
теорем 326, 331, 338 и 334.]
345. Если 0</?<1, то
[Следствие из теоремы 344. Сравнить с 1еоремой 338; здесь уже
нет штриха, но константа хуже и, вероятно, 1иожет быть улучшена*)]
*) Это предположение авторов оказалось справедливым. См. Допол-
Дополнение XII. (Прим. ред.)

308 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.IX
346. Если (а) с>1, sn = ax -f- ^2+ • •• + ап или
(Ь) с<1, *я = ап + ап+1+..., то
(a) S«
(Р) Ъп
[В каждом из четырех случаев К = К(р, с), как установлено
в примечании к теореме 341. См. Hardy and Littlewood [1].]
Докажем (а) при с>1. Если
то 9п<^Кп1~С- Отсюда, полагая
и (а) следует. Hardy and Littlewood [2] дают приложения (а) и (?)
к теории функций. Важным случаем является с = 2].
347. Если г и F удовлетворяют условиям теоремы 330, но 0<jp<1,
то
/ X-rPPdX> (j^
[Hardy [5].]
348. Если
, то
[Положим в теореме 319 (Ь) К(х*У) = у^1е у. Более общие, но
менее точные результаты были даны Харди и Литтльвудом [Hardy and
Littlewood, 1]; ими же были даны и некоторые приложения к теории
функций [Hardy and Littlewood, 2].]
349. Если Кп и Ап удовлетворяют условиям теоремы 332, то
[См. Hardy [4].]
350. Если /?>1 К(х)> 0 и

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 309
ТО
/ j K(xy)f(x) g (у) dxdy<<t(±) {J xP-*fPdx } ifP I J gP'dy }1/Р',
J dx ($K(x y) f (y) dy)P< 9p A) J xP-*fPdx,
f хр-Чх (J K(x y) f (y) dyj <9p (i) J fPdx.
В частности, когда К(х) — е~х и F(x)= Г K(xy)f(y)dy есть пре-
преобразование Лапласа функции /(*),
J /^д:<Г^—) J xP-z/Pdx, Г xP~*FPdx<VP C^\ J /M*.
351. Если кроме того К(х) — убывающая функция от ху и
А (л:) = Е апК(пх), Ап = f a (x)K (nx) dx,
то
Е >^ < ^ (—) J ^-2л^ W dx.
Е пр-*А% <<?р (-,) j up(х) dx.
то
\p
352. Если F(x) — преобразование Лапласа функции f (x) и \
[О последних трех теоремах см. Hardy [10]. Теорема 350 может
бытв выведена из теоремы 319. Не утверждается, что константа
в теореме 352—наилучшая.]
35а Если
Ki (х,у) = J Ко (х t) Ко (У 0 dU К* (х, у) = $ Ki (x, t) Ki (у, t) dU
то
> n) aman < k ES K\ (m, ti) amwn.

310 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. IX
[См. Hardy [9]. Заметим, что это — теорема о квадратичных, а не
о билинейных формах.]
354.
355- ^
[Следствия из теоремы 353. Заметим, что из теорем 354 и 315
вытекает
что находится в согласии с теоремой 342.]
356. Если
с(х)= Г
о
= { x~i(x«a(x))pdx; Bq = Г x
Cr= С x-i(xtc(x))rdx,
TO
где
357. Если д0 = &0 = 0t сте = до^те + aibn-i + • • • + Я/
р> Чу г и Т удовлетворяют условиям теоремы 356, и 0 < <х<1, 0 < (<,
то С<КАВ, с /С оаределенным в теореме 356. Если а<0 или р<0,
то неравенство остается в силе с некоторым К*
358. Если
а0 = Ьо = ... = с0 = 0
и
ип == Е я^ • • • <Vtf (ri > 0, Е О' = л)'
то

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 311
359. Если jp>1, />0, /га>0 и с (х) определено, как в теореме 356,
то
Г *d-*-
</С f л: A-*И*-1)а*(*)</* f*(i-
где
Равенство имеет место в том и только том случае, когда
а{х)==Ах1~-ге-Сх9 Ь (х)~Вкт-1 е~Сх,
где
А>0, В>0, С>0.
то
[О теоремах 356—359 см. Hardy and Littlewood [3,5 и 12].]
360. Если L(x) — преобразование Лапласа функции f(x), и q >/?>l,
х р VI (х) dx < KFQ.
361. Если /?>1, q>l,
и Lt M — преобразования Лапласа, соответственно/, g, то
jx-Y-LMdx < RFG.
362. Если /?>1, 0<{j.<— и
то
[Это может быть выведено из теоремы 339 при помощи обратного
неравенства Гельдера. Целый ряд дальнейших теорем столь же общего
характера, что и теоремы 380—362, даны в работе: Hardy and Little-
wood [1].]
363. Если \п положительны и
то

312 НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. IX
364. Если \п положительны и
то
Это неравенство не всегда справедливо, если /*= 1 (но оно всегда
справедливо и в этом случае, если \п = 1).
[Об этих двух теоремах, являющихся обобщением теорем 326 и 315,
см. Hardy and Littlewood [11].]
365. Утверждения теорем 326 и 334 являются частными случаями
ср == д:*@<*<1), ср = log л: неравенства
[Knopp [2]. Это замечание привело Кноппа к систематическому
исследованию функций ср, для которых справедливо (i). См. также
MuJholland [4].]
366. Пусть ср и ф будут непрерывные и строго возрастающие функ-
функции от лг>0, стремящиеся к 0 ила —оо при х-± 0; пусть* далее, ср
выпукла относительно ф (§ 3.9). Если тогда (i) справедливо для ср, то
оно справедливо и для ф, с /С(Ф)<ЛГ()
[Кпорр [2].]
[Кпорр [2].]

ГЛАВА X
ПЕРЕСТАНОВКИ*)
10.1. Перестановки конечных систем переменных. В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать конечные системы неотрица-
неотрицательных чисел, как например
мы будем обозначать такие системы через (а), (#), ... .
Возьмем, например, первую систему, где у пробегает значения
от 1 до я, и определим перестановочную функцию ср (у), где
у = 1,2, ..., п, как функцию, принимающую один раз каждое
из значений 1, 2, ..., п.
Если
avU)=aj С/=1' 2> •••>")>
то мы говорим, что система (аг) является перестановкой сис-
системы (а). Аналогичные определения применимы и в случаях,
в которых у пробегает другие системы значений.
Для наших целей будут особенно важны некоторые специаль-
специальные перестановки системы (а). Эти перестановки, которые мы
обозначим через
определяются следующим образом.
Система (а) есть (а), переставленная в возрастающем поряд-
порядке, так что, например в том случае, когда индекс у пробегает
значения от 1 до я,
Когда система (а) дана, (л) определена однозначно, но если
некоторые из а равны, то существует несколько перестановоч-
перестановочных функций, переводящих систему (а) в (а).
*) Этот термин соответствует английскому „rearrangements" и отно-
относится не только к последовательностям, но и к функциям.
(Прим. пер.)

314 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
При определении систем (#+), (+#) и (а*) мы предполагаем,
что J изменяется от —п до п. Система (а+) определена нера-
неравенствами
а (+а) неравенствами
Особенно важным случаем является тот, когда (а) состоит
из групп равных элементов, причем все группы, кроме одной,
соответствующей max а, состоят из четного числа элементов,
тогда как эта последняя группа состоит из нечетного числа
элементов. В этом случае мы будем говорить, что система (а)
симметрична. Системы (а+) и (+а) тогда совпадают. В этом
случае будем обозначать
так что (я*) определено соотношениями
Система (а*) может быть названа симметрично убывающей)
(а + ) и (+а)—это системы, переставленные так, чтобы воз-
возможно более походить на симметричную убывающую систему,
но с неизбежным перевесом в правую или левую сторону.
Когда система (а) дана, все эти системы определены одно-
однозначно, но может существовать несколько соответствующих им
перестановочных функций.
Заметим, что
A0.1.1) д+ = +а_,.
10.2. Теорема о перестановках двух систем. Мы начи-
начинаем с доказательства одной очень простой, но важной теоремы
о системе (а).
368*). Если (а) и (Ь) заданы с точностью до перестановки,
то %ab
принимает наибольшее значение, когда (а) и (Ь) обе монотонно
убывают или обе монотонно возрастают, и наименьшее значе-
х) Эта теорема и теорема 369 справедливы для всех действитель-
действительных, необязательно положительных, а и Ь.

10.2] ТЕОРЕМА О ПЕРЕСТАНОВКАХ ДВУХ СИСТЕМ 315
ние, когда одна из них монотонно возрастает, а другая —
монотонно убывает т. е.
A0.2.1) S ^ft«+i-i<SO;^<S«i*y
j=*i i i
Заметим, что так как суммирование %ab может произво-
производиться в любом порядке, мы можем предположить, что одна
система, скажем (а), переставлена с самого начала в любом
(например, возрастающем) порядке.
Мы можем выразить утверждение теоремы и так, что мак-
максимум соответствует „подобному упорядочению" (а) и ф)
в смысле § 2.17, а минимум—„обратному упорядочениюи х).
Теорема становится наглядной, если понимать под а расстояния
точек подвеса грузов от точки опоры рычага, а под b—веса
этих грузов. Чтобы получить максимальный статический момент,
мы должны подвесить самые тяжелые грузы на наибольших
расстояниях от точки опоры.
Для доказательства теоремы предположим, что система (а)
упорядочена в возрастающем порядке, а система (Ь) нет. Тогда
существуют такие J и k, что aj^,ak и ^ > bk. Так как
а$Н + akbj — (aft. -f akbk) = (ak — aj) (bj — bk) > 0,
то мы не уменьшаем значения %ab, когда мы меняем bj и bk
местами. Конечное число таких операций ведет к упорядочению
(Ь) в возрастающем порядке, а, значит,
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Это рассуждение доказывает, между прочим, и следующий
вариант теоремы 368, который иногда бывает полезен.
369. Если
A0.2.2) ЪаЬ'^ЪаЬ
для всех перестановок {Ь') системы (?), то (а) и (Ь) подобно
упорядочены.
Ибо если (aj — cik)(bj — bk)<0 для каких-нибудь/, &, то,
меняя местами Ь$ и ок, получим систему (?'), для которой A0.2.2)
неверно.
2) Теорема 43 (с г =¦ 1 и р = 1) может быть в наших настоящих
обозначениях выражена так: n%cij bn+i_j ^ Yiaj Sfy ^ п Ъа$ bj.

316 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
10.3. Второе доказательство теоремы 368. Мы будем
в дальнейшем рассматривать аналоги теоремы 368 для трех и
более систем переменных. Эти аналоги являются значительно
более глубокими теоремами и не могут быть доказаны так же
просто, как сама теорема 368. Поэтому мы даем второе дока-
доказательство теоремы 368, которое, хотя оно и является излишне
сложным для нашей настоящей цели, может служить введением
к методу, применяемому нами ниже. Мы ограничиваемся вто-
вторым неравенством A0.2.1) и разбиваем доказательство на три
шага.
A) Предположим сначала, что рассматриваемые системы со-
состоят исключительно из нулей и единиц. Мы обозначаем такие
специальные системы готическими буквами а, Ь, .... Тогда
A0.3.1) а2-а, Ъ2 = Ъ
для всех у. В данном случае
и, следовательно,
Sab<min(sa, sb) = S
B) Любая система (а) может быть представлена в виде ли-
линейной комбинации систем
(a1), (aV.
специального типа, рассмотренного в A), так что
A0.3.2) ai = a1a} + a*ay+ ... +a*aj (у= 1,2, ...,л)
и
A0.3.3) ai = a1aj + aaay+...+a»aJ (у=1,2,..„л),
причем коэффициенты а неотрицательны.
Методика такого разложения станет ясна при рассмотрении
одного частного случая. Предположим, что (а) содержит в не-
некотором порядке три числа Л, В, С, где 0 ^ А ^ В ^ С, так
что
#! = Л, а2 = В, аъ = С.
1) а* нужно здесь понимать как а^> и а* как а^; в A0.3.1) а2 есть
степень, но в дальнейшем такие степени не встречаются.

10.4] ДРУГАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ 368 317
Тогда
at = Л • 1 + (В — А) • 0 + (С — В) • 0,
а2 = Л • 1 +(В— А)- 1 -{-(С —В)-0,
и мы имеем
^ = а1а71 + а2аУ + а3аЛ
где
аг=А, а* = В — А, а3 = С — В
и
(^) = A,1,1), (а~2) = @,1,1), (а») = @,0,1).
Если мы теперь сделаем перестановку, которая переводит (а)
в (а), и в то же самое время (а1) ... в (а1), *), то мы получим
aj = а1 а) -f а2 cty -{- а3 ^У-
В общем случае мы поступаем аналогично, а именно пишем
Таким образом мы приходим к A0.3.3), а A0.3.2) мы получаем
перестановкой, как в рассмотренном частном случае.
C) Из A) и B) мы выводим общую теорему. Разлагая (?),
как в B), мы имеем
У 9 ° J ? * j j
10.4. Другая формулировка теоремы 3684 Будет также
полезно дать другую формулировку теоремы 368. Предположим
теперь, что —n^J^.n. Положим
а1 определено этой перестановкой.

318 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
и назовем
центральным коэффициентом /. Очевидно,
Системы (aj) и (+^_j) подобно упорядочены, и если мы по-
положим
то, по A0.1.1),
и теорема 368 дает
Отсюда мы выводим
370. Центральный коэффициент
п п
п п
—п
принимает для всех перестановок (а) и (Ь) свое наибольшее
значение, когда {aj) и (b_j) подобно упорядочены, в частности,
когда (а) = (а+) и (Ь) = (+й), или когда (а) = (+а) й F) = й)
10.5. Теоремы о перестановках трех систем. Мы переходим
теперь к теоремам, содержащим три системы переменных.
371 2). Предположим, что с, х и у неотрицательны, *шо с
симметрично убывают:
и что х и у заданы с точностью до перестановки. Тогда
билинейная форма
к к
S= 2 2 cr_8xry8
r=—k s = —k
достигает своего максимума, когда (д;) = (д:+) и (у) = (у+)9
Hardy, Littlewood and Polya [1].

10.6] СВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 373 К ЧАСТНОМУ СЛУЧАЮ 319
Очевидно, что если это так, то максимум достигается и
тогда, когда (л;) = (+.х) и (у) = (+>')•
372 *). Предположим, что (а), (Ь), (с)— три системы,
удовлетворяющие условиям
A0.5.1) яо>яг=я_г, bQ^bs=b_s, co>ct = c_t.
Тогда максимум
S arbsct = d (
sc
= 0
перестановок, оставляющих а0, Ьо, с0 без изменений,
достигается тогда, когда (а), (Ь), (с) суть (я*), (?*), (с*).
3732). ?с./ш (а), (Ь), (с) — три системы, из которых
(с) симметрична в смысле § 10.1, то
Достаточно доказать теорему 373, так как другие две тео-
теоремы следуют из нее. В первую очередь, теорема 373 есть
теорема 372, освобожденная от ограничения A0.5.1)—пол-
A0.5.1)—полностью по отношению к (а) и (Ь) и частично по отношению
к (с). Чтобы вывести теорему 371 из теоремы 373, положим
2k = n, xr=a_r, ys = bs, и предположим, что а и b с ин-
индексами, лежащими вне интервала (—k, k), равны нулю. За-
Заметим, наконец, что теорема 370 является простым случаем
теоремы 373, когда cQ=\, а остальные с равны нулю.
10.6. Сведение теоремы 373 к частному случаю. Как
в §10.3, мы разбиваем доказательство теоремы 373 на три
шага. Вся трудность состоит в шаге A), где (а), (Ь), (с) — си-
системы типа (а), (Ь), (с). Допустим, что теорема доказана для
таких систем, и выведем отсюда общую теорему, т. е. сде-
сделаем сначала более легкие шаги B) и C).
Во-первых, мы можем представить (а), (Ь), (с) в виде сумм
систем (ар), (Ь3), (ст) так, что
а. = 2*4 bj = ^% ^ = Src-
!) Hardy and Littlewood [4], Gabriel [1].
2) Gabriel [3].

320 перестановки [гл.х
Здесь все а, Ь, С равны 0 или 1, а, Р, Т неотрицательны, и (новое
обстоятельство по сравнению с § 10.3) системы (ст) симметричны.
Все это может быть доказано методом § 10.3 BI). Сделав
это, и считая, что теорема доказана для систем типа (а), (Ь),
(с), мы получим
2 arbact= 2 арр
+t p,ff,T
+ r+8+t=0
и доказательство закончено.
Остается доказать теорему в том частном случае, когда все
а, ?, с равны 0 или 12). Система ?, будучи симметричной,
содержит четное число нулейч и нечетное число единиц.
Положим
Так как мы можем добавить к системам любое число нулей,
то можно предположить, что суммирования производятся от
— п до п.
Мы имеем также
/+ (х) = S <^*r = х~в +...+ 1 + •••+**>
^* W = S с*** = л:-7 + ... + 1 + ... +*
где /?, R\ 5, S\ T неотрицательные целые числа и
A0.6.1) /?<^
Мы должны доказать, что
(Ю.6.2)
Неравенство A0.6.2) может быть сделано геометрически
наглядным. Пусть л;, у будут прямоугольные координаты на
плоскости; представим каждый отличный от нуля коэффициент
!) Для того чтобы системы (сх), полученные в результате процесса
§ 10.3 B), были симметричны в смысле § 10.1, мы опускаем те, кото-
которые соответствуют *[т» равным нулю.
У Так что, строго говоря, мы должны писать а, Ь, с вместо а, Ь, с.
Но в этом уже нет необходимости.

10.6]
СВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 373 К ЧАСТНОМУ СЛУЧАЮ
321
в /, g, h прямой лг = г для яг = 1, y = s для &s=l и
х -lry = — t для ct=l. Если arbsct = l, где r-\- s-\-t = О,
то эти три прямые пересекаются в одной точке,. Каждая из
функций /, g", h представляется семейством параллельных пря-
прямых, и &(fgh) является числом тройных пересечений этих пря-
прямых. Представим /+, +g, h* таким же образом; /+ предста-
представлена опять R-\-\-\-R' вертикальными прямыми, но теперь
NJ
\
Ч
\
\
\
ч
\
\\
\
\
\
Ч \
\ 1
ч
t ч
V \
к
ч
ч
\\\
Фиг. 1. Диаграмма /, g, h.
\
Фиг. 2. Диаграмма /+, +g, /г*.
эти прямые сдвинуты возможно близко друг к другу. Типичные
диаграммы даны на фиг. 1 и 2. В них
(а) = A,0, 1,0, 0, 1,0, 0,1),
(*) = A,1, 0, 0, 1,1,1,0, 0,1),
(с) = A,0, 1,0, 0, 0, 1,0, 1,0, 0,1,0),
и
# = 1, Я'= 2, 5 = 2, S' = 3, Т = 2.
Геометрически очевидно, что число пересечений будет наи-
наибольшим, когда, как в фиг. 2, диаграмма сгущена доот-
каза.
Наше доказательство A0.6.2) можно представить геометри-
геометрически и проследить на фигурах^. Можно свести настоящий слу-
См. Gabriel [3].

322 перестановки [гл.х
чай к более простому, опуская одну горизонтальную и одну
вертикальную прямую (показанные толстыми линиями) в каж-
каждой фигуре. Мы предпочитаем, однако, вести доказательство в
чисто аналитической форме.
10.7. Окончание доказательства. Существуют три частных
случая, в которых доказательство просто.
A) Если ?;' = 0, /+ сводится к 1 и результат содержится
в теореме 370.
B) Если S' = 0, +g сводится к 1 и опять результат содер-
содержится в теореме 370.
C) Предположим, что
A0.7.1)
Мы имеем во всяком случае
A0.7.2) &(fgh)= 2
Но если имеют место неравенства A0.7.1), то
= <?{(*-*-«' + ... + xR'+s) (*-г+ ... + 1 + ... +
равно сумме всех коэффициентов f++g и, следовательно,
A0.7.3) <E</++gA
r,s
Результат теперь следует из A0.7.2) и A0.7.3).
Рассмотрим теперь общий случай, в котором
Я'>0, S'>0, max (Я-I-S', R' + S) = n
Мы будем вести доказательство методом индукции и допустим,
что результат доказан для
max(/? + S', /?'

10.7] ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 323
Пусть л;Р будет наивысшей степенью в / и Xs наинизшей сте-
степенью в g. Положим
Так как R' > О, S' > 0, то ни одна из этих функций не равна
тождественно нулю. Тогда
fgh = (<р + х?) (х* -|- ф) А = срфА + уА,
где
Так как наивысшая степень в л:аср ниже, чем л:Р+а, и наинизшая
степень в л;рф выше, чем л:Р+а, все коэффициенты в ^ равны О
или 1. Так как сумма коэффициентов h равна 2Г-|-1, мы
имеем
2Г+1,
A0.7.4)
С другой стороны,
A0.7.5) /++^А* =
где
В yu представлены все степени от(— R — 5')-й до (/?Л + )
Мы знаем, что или R-\-S\ или R!-\-S больше, чем Г. Если
R-\-S' > Г, то, по A0.6.1),
и, таким образом, все 2Г-|-1 степени от (—Г)-й до Г-й
содержатся в ^. То же следует, если /?' + 5> Г. Так как А*
содержит все степени от — Г до Г, то
и по A0.7.5)
A0.7.6)

324 перестановки [гл.х
Далее,
-f- .. . -f- хв = ? f*-1) !>.
Кроме того,
max(Д' —1+5, Я + S'—1)
а следовательно, по нашему индуктивному предположению
A0.7.7) S(cp^ S^^}
Сравнивая, наконец, A0.7.4), A0.7.6) и A0.7.7), мы видим,
что
<?(/?*)< <?(/++?**),
и доказательство закончено.
10.8. Другое доказательство теоремы 371. Существует
еще одно доказательство теоремы 371, которое интересно
само по себе, хотя оно и не может быть распространено для
доказательства более общей теоремы 373.
Мы должны доказать, что среди перестановок лг-ов и ,у-ов,
для которых 5 принимает свое максимальное значение, суще-
существует одна, при которой
A0.8.1) xr — */>0, y8— ys>>0,
если
\r'\>\r\, \s'\>\s\,
или если
г1 = — г < 0, s' = — s < 0.
По соображениям непрерывности мы можем предположить, что
все jc, у и с положительны, все х и все у различны и все с
различны, поскольку они не ограничены соотношениями с_п = сп>
условием симметричности.
х) Не всегда верно, что
так как если Rr = R, то этот многочлен имеет „перевес не на том кон-
конце". Когда /?' = /?+!, обе формулы правильны.

10.8] ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 371 325
Мы будем обозначать перестановку д:-ов и у-ов через Л.
Мы скажем, что Л „правильна", если она удовлетворяет условию
A0.8.1); сущзствует только одна правильная перестановка С.
Мы скажем, что Л „почти правильна", если A0.8.1) выпол-
выполнено, кроме, может быть, того случая, когда rf = — г и
sf ~ — $; включая С, существует 22к почти правильных пере-
перестановок, и мы обозначаем класс таких перестановок через С.
Наконец, мы обозначаем через К класс А, для которых 0> при-
принимает свое максимальное значение. Мы должны доказать,
что С принадлежит к /С
Если р дано, мы можем разбить х и у на пары
A0.8.2) (*,.«, Хр+<), (урЧ, Ур+j) (*, /=1,2, 3, ...),
или пары
A0.8.3) (*р_
Если один из индексов лежит вне интервала (— А, А), то соот-
соответствующее х или j/ должно быть заменено нулем. В первом
случае элементы хр и ур остаются без пары, и мы можем
найти такие /?, /, у, чтобы любые два элемента, разность ин-
индексов которых равна положительному четному числу, попали
в одну пару. Во втором случае ни один элемент не остается
без пары, и мы можем соединить в одну пару два любых эле-
элемента, разность индексов которых равна нечетному числу. Мы
применим оба способа спаривания; рассуждения остаются по
существу теми же, какой бы способ из этих двух мы ни при-
применяли.
Рассмотрим, например, спаривание A0.8.2), и предположим
для определенности, что /?>0, так что
\p—J\<\p+}\.
Обозначим через /? J те значения i и у, для которых
так что пары, соответствующие /и 7, не удовлетворяют A0.8.1).
Такие пары мы называем „неправильными", а остальные-—
„правильными". Если p-\-~i лежит вне интервала (—k, k), но
р — / внутри него, то хрЛ.х должно быть заменено нулем, и

326
ПЕРЕСТАНОВКИ
[ГЛ.Х
соатветствующая пара наверное правильна. Следовательно кроме,
быть может, того случая, когда р = 0, существуют /, не явля-
являющиеся /, и у, не являющиеся J.
Если для данного р и данного способа спаривания1} не су-
существует неправильных пар, то мы говорим, что А „правильно
относительно р";ав противном случае, что „неправильно отно-
относительно р". Ясно, что С правильно относительно любого р
и что каждое С правильно относительно всех /?, кроме, быть
может, /7 = 0 и спаривания A0.8.2). Далее, каждое Л, оглич-
ное от С, неправильно относительно какого-нибудь р и одного
из способов спаривания и каждое Л, не являющееся С, непра-
неправильно относительно одного р ф 0, или относительно р = 0
и спаривания A0.8.3).
Рассмотрим теперь (вновь возвращаясь к первому способу
спаривания и предполагая р^>0) как скажется на S подста-
подстановка
которая меняет местами каждую пару х v х¦ 2 и yp_Jy
Разделим S на девять сумм, определенных следующим об-
образом:
^2
°8
s9
—j, p+j
AФ I); s=p\
= p—i,
г = /7—/, /7 + 7; s=
\ s = p—j, p+j
—j\ p+j Ц
—J, /7 + 7.
V A0.8.2) или A0.8.3). В дальнейшем выражение „правильно (или
неправильно) относительно ри означает всегда „правильно (или непра-
неправильно) относительно р и рассматриваемого спаривания".

10.8] ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 371 327
Во-первых ясно, что Su S2i S% и SQ не изменяются в резуль-
результате Qp. Дальше,
не изменяется, потому что c_j=^Cj. По той же причине не
изменяются S6 и
Остается рассмотреть 57 и S8.
В выражении для 57 часть, зависящая от xp_iy хр+$ имеет
вид
*р ., S (c_i + ) +
приращение этого выражения в результате применения Qp рав-
равняется
Полное приращение S7 равняется сумме по 1ф1 всех этих
отдельных приращений; оно положительно, если существуют /
и 1ф1ъ так как из трех только что выписанных разностей,
первая и вторая положительны, а третья отрицательна. Следо-
Следовательно, S1 возрастает, если существуют J и 1ф1\ аналогично
Ss возрастает, если существуют / и ;^=Л Следовательно, вся
наша сумма 5 возрастает, если удовлетворено одно из этих
условий.
Если рфО, то существуют 1ф1 и у=^=Л и тогда S воз-
возрастает, кроме того случая, когда Л правильна относительно
р. Во всяком случае, каково бы ни было р, 5 не убывает.
Допустим теперь, что Л не принадлежит С. Тогда А непра-
неправильна относительно некоторого р Ф 0, или относительно р = 0
и спаривания A0.8.3). Рассуждения, приведенные выше, или
им аналогичные, основанные на способе спаривания A0.8.3),
показывают тогда, что в результате Qp (или соответствующей
подстановки для другого способа спаривания) S возрастает и
что, следовательно, Л не принадлежит /С. Следовательно, все
/С суть С. Но каждое С, отличное от С, переходит в С

328 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
в результате подстановки 20, причем 5 не убывает; поэтому С
является одним из К1).
Доказательство теоремы 373 столь же простыми рассужде-
рассуждениями, основанными на непосредственно определенной подста-
подстановке, не представляется возможным.
10.9. Перестановки любого числа систем. Существуют ана-
аналоги теоремы 373 для более чем трех систем (а), . .. , кото-
которые могут быть выведены из нее самой.
374 2). Если (а), (р), (с), (d), ... —конечные системы не-
неотрицательных чисел, и (с), (d), . .. симметричны, то
A0,9.1) S
< s 4
Мы предполагаем, что теорема справедлива для k — 1 сим-
симметричных систем (с), (d), ... , и доказываем, что она спра-
справедлива и для k систем. Воспользуемся следующей теоремой,
которая представляет и некоторый самостоятельный интерес.
375. Если (с*), (я?*), ...—симметрично убывающие си-
системы, то и система (Q), имеющая своими элементами
A0.9.2) Qn= ? 44...,
— симметрично убывающая.
Достаточно доказать теорему для двух систем (с*) и (rf*),
так как ее справедливость в общем случае следует тогда повто-
повторением того же рассуждения. Условимся, что если не огово-
оговорено противное, то суммирование по нескольким индексам про-
производится по таким значениям этих индексов, сумма которых
равна нулю.
Ясно, что Q_n = Qn. Далее, для каждой системы (х) мы имеем
S xnQm = s xmQn = s xmct du*
x) Это рассуждение по существу совпадает с рассуждением Харди,
Литтльвуда и Полна [Hardy, Littlewood and P61ya, 1], приведенном и
в работе [Hardy and Littlewood, 6] Мы его, однако, значительно рас-
расширили, так как Р. Радо (R. Rado) указал нам, что в его перво-
первоначальной форме оно не было достаточно строгим. Другая форма этого
доказательства дана в теореме 389 в конце главы.
2; Gabriel [3]. Частный случай, когда все системы симметричны,
был доказан Харди и Литтльвудом [Hardy and Littlewood, 4],

10.9] ПЕРЕСТАНОВКИ ЛЮБОГО ЧИСЛА СИСТЕМ 329
по теореме 373. Из теоремы 369 следует, что Qm упоряючены
подобно xti, а так как Qm есть четная функция от яг, то это
значит, что система (Q)— симметрично убывающая.
Это — яаиболее элегантное доказательство, но существует более
простое доказательство, не зависящее от теоремы 373.
Опустим для простоты звездочки, и предположим, что /г>0. Тогда
Qn = ? cn+rd-r + ? cn+t-rdr_lt
где суммирование производится по г>1. Аналогично
Вычитая второе равенство из первого и замечая, что rf_^ = dr и
d1_r = dr-b мы получаем
On — Qn+l = Е
Так как |«+1 — /•!</! + /• для «>0, г> 1, каждый член последней
суммы неотрицателен.
Возвращаясь к доказательству теоремы 374, определим Qw,
как в A0.9.2), и положим
Рт= S arb8.
Тогда
в силу теоремы для ? — 1 систем1). Иначе говоря,
где <р(т) — перестановочная функция, для которой Рт = Р
т. е.
S arb8ctduev ... < 2 аДQ, (w) < t+
= 2 at+bsQm = 2 4"Ч4
а это есть A0.9.1).
Из теоремы 374 мы можем вывести 2)
*) С Р, с, d,... вместо а, #, с,...; так как (г) симметрична, то
2) Gabriel [3].

330 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
376. Если дано конечное число систем (а), (ft), ..., то
10.10. Еще одна теорема о перестановках любого числа
систем. В теоремах 373 и 374 две из систем, (а) и (ft), были
произвольными, но остальные были подчинены условию „сим-
„симметричности". Это ограничение существенно; если (a), (ft) и
(с) произвольны, определение максимальной перестановки при
помощи символов а+,+а, ..., вообще говоря, уже невозможно *).
Существует, однако, менее точная теорема, которая часто
столь же полезна в приложениях.
377. Для любых k систем (a), (ft), (с), ...
S я А** ¦¦¦<*(*) S atbfcf...,
0 +f
где K=K(k) зависит только от k.
Мы предположим, что k = 3; доказательство применимо без
существенных изменений и к общему случаю.
Определим системы (j3*), (*j*) посредством равенств
A0.10.2) Р-«=р?, Т-»=Т« (^>0),
и (Р) и (Т) как системы, в которые переходят (р*) и (*у*) в ре-
результате перестановок, переводящих соответственно (ft+) в (ft)
и (?+) в (с). Тогда (Р) и (^) будут симметричными системами.
Далее, так как b—m ^ ft^ и cim ^ ^, когда m ^ 0, то имеем
для всех п и, следовательно,
(Ю.10.3) *л<Ря! с
для всех п.
1) См. теорему 388 в конце главы.

10.10] ЕЩЕ ОДНА ТЕОРЕМА О ПЕРЕСТАНОВКАХ ЛЮБОГО ЧИСЛА СИСТЕМ 331
Нам понадобятся также неравенства для р^ и -fm Для т < 0.
Мы имеем bn <;^"t^ + i и с% ^с1и.п+ i для я^-1, и, таким
образом, по A0.10.1) и A0.10.2),
A0.10.4) р?<Й, + ь T«4
Применяя A0.10.3) и учитывая симметричность (Р) и (?\ по
теореме 373 мы находим, что
Последняя сумма в силу A0.10.1) и A0.10.4), равна
(
S + S + ? + S
0, #>0 S<0, ^>0 s>0, /<0 s<0, t<0
Отсюда далее следует, что
A0.10.5) 5< S atbt4+
s>o, г>о s<o,
В 52, 5<0 и r-f-s-j-~/:=o, так что либо г > 0, либо t > 0.
В лервом случае a^^ajL-b а во втором cf ^df—i- Следова-
Следовательно, во всяком случае, в S2
A0.10.6) a
Аналогично, в 53
A0.10.7) dfbtct+i < at-ibtct+i + <?bt-icf+ ь
Наконец, в S4 s < 0, tf < 0, и r + s + <= 0, так что /-> 2
A0.10.8) a
Если мы теперь подставим в A0.10.5) оценки общих членов
A0.10.6), A0.10.7) и A0.10.8) и заметим, что в этих оценках
сумма индексов всегда равна нулю, то мы получим
5< A+2 + 2 + 1) s aJTbtcf^e S afbtcft
и теорема доказана.

332 перестановки [гл.х
10.11. Приложения. Эти теоремы имеют важные приложения
в теории рядов Фурье. Из теоремы 376 можно легко вывести *), что
если
/(9)= Ъаге*\ /+(8)= \ьгг*\
—R —R
где аг= |я^|+, и к натуральное число, то
и это соотношение между тригонометрическими полиномами может
быть распространено на функции, представленные общими рядами
Фурье. Ряды типа
обладают особенно простыми свойствами. Они сходятся равномерно
в любом интервале, не содержащем точек б = ?лтс, где п — целое
число, а в этих точках функции, представленные ими, равны, в общем
случае, бесконечности; и отношение
1Ъ
J
лежит между двумя положительными числами, зависящими только
от k, Мы находим, например, что
"г •
О деталях см. Hardy and Littiewood [9], Paley [3].
10.12. Перестановка функции. Теоремы §§ ЮЛ—10.10
имеют аналоги для функций от непрерывного аргумента.
Предположим, что <?(х) неотрицательна и интегрируема
в @, 1) и, следовательно, измерима и почти всюду конечна.
Если М{у) — мера множества, на котором ?(х)^>у, то М(у)
является убывающей функцией от у. Обратная функция <р от М
определена уравнением
!) См. Gabriel [3]. Менее точное неравенство было дано Харди и
Литтльв дом [Hardy and Littiewood, 9].

10.12] ПЕРЕСТАНОВКА ФУНКЦИИ 333
ср (л:) является убывающей функцией от л:, определенной одно-
однозначно в @,1)» кроме, быть может, счетного множества зна-
значений х, а именно тех, которые соответствуют интервалам
постоянства М(у). Мы можем дополнить определение ср (л:),
уславливаясь, например, что в точках разрыва
?(¦*) = ¦§¦ {?(*—о) + ?(*+о)}»)
Мы называем ср (л:) перестановкой функции ср (л:) в убывающем
порядке, ср(д-) является убывающей функцией от л:, в общем
случае равной бесконечности при х = 0.
Мера множества, на котором <?(x)^y равна М(уJ). Сле-
Следовательно, оба (вообще говоря различные) множества, на
которых
У\ < ? 00 < Л) J'i < ? (*) <^2»
имеют ту же самую меру, и это верно также для множеств, на
которых
<?(*)>У> ?(*)> У-
Мы можем сказать, что функции ср(лг) и ф(лг) яравноизмеримы";
они имеют равные интегралы по @,1) и
о о
для любой измеримой функции Z7, для которой эти интегралы
существуют.
Аналогично мы можем определить ф (х) для ср (*), заданной
в любом интервале, при условии, что если этот интервал бес-
бесконечен, то М(у>) конечно для каждого у > 0.
1) Ср. § 6.15.
2) Это становится очевидным, если сделать чертеж. Нужно пом-
помнить что ср(лг) может иметь интервалы постоянства, соответствующие
разрывам М(у). Легко, однако, доказать что М(у—0) == М(у) для
всех у и что утверждение в тексте справедливо даже для этих исклю-
исключительных у. b самом деле
где Sn есть множество, на котором у <<р<.У и предел mSn
равен нулю.

334 перестановки [гл.х
Если У!^)^?^), то, очевидно, <Pi(#)^ ?(•*)• Пусть, в част-
частности, срх (х) = (D (х) в Е и (d{ (x) = 0 в С?. Тогда
A0.12.1) J <р (*) Ас = J ?1 (ж) rfx = j'f j (x) rf* < ]"?(*) Ac.
.E 0 0
Мы воспользуемся этим неравенством в § 10.19. В частности,
A0.12.2)
если ©(*) определено в @, а) и
В дальнейшем будет важен и другой тип перестановок. Допу-
Допустим, например, что <р(лс) определено для всех, или почти
всех действительных л:, и что М{у) конечно для всех у > 0.
Мы можем определить четную функцию ср*(д;) условиями
(или, что то же самое) ср* (д:) четная и
для х > 0. Тогда ср* (х) симметрично убывает относительно
начала координат, где, в общем случае, ср* = оо. Мы называем
ср* (х) перестановкой <р (х) в симметрично убывающем порядке.
10ЛЗ. О перестановках двух функций. Начнем с дока-
доказательства интегрального неравенства, соответствующего тео-
теореме 368.
378. Для конечных и бесконечных а
а а
\ vtydx^. \ <рф dx.
о о
Мы докажем это методом, аналогичным примененному
в § 10.3. Во-первых, теорема справедлива для функций, при-
принимающих только значения 0 и 1. Ибо допустим, что Е и F
суть множества, на которых соответственно с?=1 и ф = 1, и
Е и F аналогичные множества для ср и ф. Тогда первый инте-
интеграл равен m(EF)i мере произведения множеств Е и Z7, и
m(EF) < min {тЕ, mF) = min (тЕ, mF) ^m{E P).

10.14] О ПЕРЕСТАНОВКАХ ТРЕХ ФУНКЦИЙ 335
Далее, теорема справедлива для функций, которые прини-
принимают только конечное число неотрицательных значений. В самом
деле, мы можем представить такую функцию ср в виде
? = а1?1 + а2?2 + • • • + <*rffw
где а неотрицательны и ср—функции, принимающие только
значения 0 и 1; тогда
и искомое неравенство следует из линейной комбинации уже
доказанных неравенств.
Наконец, мы можем доказать теорему в общем случае при-
приближением ср и ф функциями только что рассмотренного типа.
Мы не даем здесь деталей этих двух последних шагов, так
как аналогичные рассуждения нам еще встретятся при доказа-
доказательстве более трудной теоремы 379.
10.14, О перестановках трех функций. Мы переходим теперь
к нашей главной цели в этих параграфах, а именно, к инте-
интегральным теоремам, соответствующим теоремам 372 и 373.
379 *). Если f(x\ g(x) и h(x) неотрицательны, и /* (лг),
g* (x) и h* (x) соответствующие им равноизмеримые сим-
симметрично убывающие функции, то
со
A0.14.1) /= J
— оо —оо
оо оо
—оо —оо
Можно, очевидно, предположить, что/=?0, gф0 иНфО.
Мы можем также, не нарушая справедливости неравенства,
заменить — х —у любым из выражений ±х±у.
Докажем это неравенство A) для функций, которые прини-
принимают только значения 0 и 1, B) для функций, которые прини-
принимают только конечное число различных значений и C) для
общих функций. Как и в теореме 373, вся трудность лежит
в шаге A). Допустим сначала, что этот шаг уже сделан, и
начнем с доказательства того, что если теорема справедлива
в этом частном случае, то она справедлива и вообще.
F. Riesz [8].

336 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
Функция, принимающая только конечное число неотрица-
неотрицательных значений 0, аи а2, ... , ап, может быть выражена
в виде
где а неотрицательны, fj принимают только значения 0 и 1 и
Ибо мы можем предположить, что 0<a1<a2< ... < aw и
положить
Тогда нетрудно видеть, что мы также будем иметь
/* (х) = л/i (х) + a2fl(х) + .. . + «„/; (д:).
Если мы предположим, что f.guh принимают только конеч-
конечное число различных значений, и разложим их таким образом,
то A0.14.1) следует из комбинации аналогичных неравенств,
содержащих триады fu gj, hk *).
Чтобы перейти от этого случая к общему, мы приближаем
Л S'i h функциями, принимающими только конечное число раз-
различных значений, например / функциями /Л, где
*41. *-0, 1,2,...,»•-
и аналогично g и h. Тогда /Л^[/, f?^.f* и аналогично для
g и А. Отсюда (предполагая, что теорема уже доказана для
этого специального типа функций) мы имеем
—оо —оо
а, следовательно, / =
х) Ср. с аналогичными рассуждениями в § 10.6.

10.14] О ПЕРЕСТАНОВКАХ ТРЕХ ФУНКЦИЙ 337
Остается доказать теорему в том частном случае, когда /,
g, h принимают только значения 0 и 1. Удобно, однако, сна-
сначала произвести еще одно упрощение задачи.
Во-первых, мы можем предположить, что множества Z7, G,
//, на которых, соответственно, /, g, h принимают значение 1,
конечны. Если два из этих множеств бесконечны, то две из
трех функций /*, g-*, А* равны 1 для всех дг, и /*= оо *);
в этом случае нечего доказывать. Допустим теперь, что одно
из множеств, скажем Z7, бесконечно. Пусть /V будет часть Z7,
лежащая в интервале (—iV, N\ где N—наименьшее число,
для которого яг/тг ^> 2я, и пусть fn=f на F^ и /w=0 вне
Fjv-. Тогда (предполагая, что теорема доказана для конечных
множеств)
/„= J Ifnghdxdy^ j ^flg*h*dxdy =
— оо — оо — со — со
ft оо оо оо
= J ^f*g*h*dxdy<C J \f*g*h*dxdy = l*,
— W — CO —'CO CO
/ = Нт/я</*.
Предположим, стало быть, что f(x) = l на множестве Е
с т?<со. Мы можем представить Е в виде $-(-?—е\ где
S — конечная система непересекающихся интервалов, а ? и
#' — множества произвольно малой меры2); множества, на кото-
которых g и h принимают значения 1, могут быть представлены
в таком же виде. Так как /, g, h не превосходят 1, то оче-
бидно, что множества е, ... дают лишь очень малую поправку
к интегралам / и /*. Мы можем поэтому предположить, что
множества, на которых /= 1,#=1ий=1, представляют собой
конечную систему интервалов; если теорема доказана в этом
случае, ее справедливость в общем случае доказывается аппро-
аппроксимацией.
По аналогичным соображениям мы можем дальше предпо-
предположить, что концы всех этих интервалов — рациональные числа;
подходящими заменами переменных мы можем сделать их даже
целыми числами. Теорема, таким образом, сведена к тому
*) Если третья функция ^0*
2) См., например, de la Vallee Poussiu [2, 20—23].

338 перестановки [гл.х
случаю, когда каждое из множеств, на которых /= 1, g= 1 и
/г=1, состоит из конечного числа интервалов (т, т-\-\), где
т — целое число.
Наконец, мы можем предположить, что число этих интерва-
интервалов в любом или всех трех множеств четное, так как мы
можем разбить каждый интервал на две половины и произвести
опять соответствующие замены переменных.
10.15. Окончание доказательства теоремы 379. Удобно
заменить f(x) через /(—л;), что мы можем, очевидно, сделать,
не нарушая справедливости результата. Далее, заменим х, у
через s, t и затем положим s = х — t; тогда мы получим
A0.15.1) I=j ff(t — x)g(f)h(—x)dxdt=*
— x)x(x)dx,
A0.15.2) /*= J J f*(t — x)g*(t)h*(—x)dxdt =
Х>
оо
= J h*( — x)*yXx)dx,
—оо
оо оо
—оо —оо
где
A0.15.3) уХх)= jf(t-x)g(t)dt,
При этом мы пока только предполагаем, что/, g1, h — ха-
характеристические функции множеств (т. е. функции, прини-
принимающие только значения 0 и 1), не применяя дальнейших допусти-
допустимых упрощений, которые были обоснованы в конце § 10.14. Мы
обозначаем множества, на которых /, ..., /*, ... равны 1,
через F, ..., F*, ...; каждая функция равна б вне соответ-
соответствующего множества; интервалы Z7*, . .. расположены сим-
симметрично относительно начала координат. Положим
mF = mF* = 2/?, тО = тО* = 25, тН = тН* = 2Г.
) не следует, конечно, смешивать с х*(х)*

10.15]
ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 379
339
В этих обозначениях *) мы имеем
оо оо
A0.15.4)
7< Г Г f(t — x)g(t)dxdt =
— оо —оо
оо оо
= J / ( — s) ds f g(() dt=4RS,
— oo —oo
T
A0.15.5) /*== § *x(x)dx.
Когда x дано и t — x пробегает множество F, t, пробегает
множество Fx> получаемое из F переносом этого последнего
2R
-RS л
-т
2R-I
S+R О S-R fi+S-f
Фиг. 3. График */ и *xi.
на расстояние х. Если мы аналогично определим F% = (F*)x,
то функции A0.15.3) могут быть представлены в виде
A0.15.6) Х(х) = m (FXG), *x(x) = m(F*Q*).
Вычислим при помощи этой формулы *х(х). Мы можем пред-
предположить, что
A0.15.7) Я<5.
Тогда *x(x) непрерывна,
A0 15.8)
и %*(х) линейна в интервалах (— R—5, —S-{-R) и (S — /?,
R~\-S). График **/(л:) покззан на фиг. 3.
!) Выбранных так, чтобы подчеркнуть параллельность этих рас-
рассуждений с рассуждениями §§ 10.6—7.

340 перестановки [гл.х
Допустим теперь, что
A0.15.9) /? + 5<Г.
Тогда из A0.15.8) следует
т r+s
/* _ Г *х (д.) dx= [ *yw (*) dx = 4#S,
и утверждение теоремы следует из A0.15.4) Мы, таким обра-
образом, доказали теорему при условии A0.15.9). От, очевидно,
справедлива и когда /? = 0 или 5=0 (т. е. когда mF = 0
или mG = 0).
До сих пор F, О, И могли быть произвольными конечными
множествами. Теперь мы специализируем Z7, G, //, как было
объяснено в конце § 10.14, т. е. предполагаем, что F, G и И суть
системы интервалов (яг, /тг-f-l), причем число их пусть будет
равно, соответственно, 2/?, 25 и 27. Мы можем предположить
эти числа четными, но мы будем вести доказательство методом
индукции, и более удобным является предположение, что
только 2R-\-2S-\~2T—четное число. При этом условии
/?, 5 и Т могут быть и нецелыми, но 2/?, 25, 2Т и
A0.15.10) ^ = ^4-5—7=/? + ^+ Т—2Т
должны быть целыми. Мы уже доказали теорему в случае jx -^0;
она верна также, если /? = 0 или 5= U. Поэтому достаточно
доказать ее справедливость в случае
A0.15.11) |i =/!>(), Л>0, 5>0
при условии, что она доказана для \ь~п — 1.
Мы обозначаем через Fx множество, которое получается из F,
если опустить в F крайний правый интервал; аналогично Ох
ecib G без крайнего правого интервала. Вообще, пусть мно-
множества, функции, или числа с индексом 1 будут связаны с Fx
и Gv так как множества, функции, или числа без индексов
связаны с F и G; так, например, /* есть перестановка ft
характеристической функции Fx и *^г есть свертка /* и g[.
f\ есть интервал ^ — /?+2~> R — -j) и вообще R и S должны

10.15] ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 379 341
быть заменены на R — у и 5 — -~ , когда мы «переходим от F,
G к Fu Gv По индуктивной предпосылке,
A0.15.12) Л</1.
Функция *хг(х) = 0 для |*|>#-j-S_l равна
для |jc|^S— /?, и линейна в остальных интервалах; по
A0.15.10) и A0.15.11), Г</?4-5—1. Следовательно1),
для— Г<л;<Г, и, по A0.15.5),
A0.15.13) /*—/! = Г{*Х(О —
-г
Мы должны теперь рассмотреть
A0.15.14) /—/х =
—
Здесь, по A0.15.6),
A0.15.15)
Эта функция, очевидно, линейна в любом интервале (а^, лгг —J— 1)
и принимает поэтому свое максимальное значение для целых
значений х. Пусть х будет целое число. В этом случае сово-
совокупность FXO состоит из целых интервалов (яг, /ю+1), и
когда мы опускаем крайние правые интервалы в Fx и G,
в F^G пропадает либо одяя интервал, если крайний интервал
одного из множеств совпадает с одним из интервалов другого,
либо не пропадает ни одного, если такое совпадение не имеет
места2). Следовательно, у^(х)—Xi(-^)=1 или 0 Для целых х,
и поэтому
A0.15.16) 0
для всех д:.
!) См. фиг. 3.
2) Мы не можем потерять два интервала, потому что мы опускаем
в Fx и G крайние правые интервалы. Это основной пункт доказатель-
доказательства.

342 перестановки [гл.х
Из A0.15.14) и A0.15.16) следует
A0.15.17) 0</—/,= / {Х( —*) —Xl( — x)} dx^C
я
и из A0.15.13) и A0.15.17)
A0.15.18) / — /х</* — It
Наконец, A0.15.12) и (Ю. 15.18) дают /-</*, и теорема дока-
доказана1).
10.16. Другое доказательство. Доказательство теоремы 379,
данное Риссом, также очень интересно. Мы можем упростить
его, сведя теорему, как в § 10.14, к случаю, в котором /, gy
h равны 1 на конечных системах интервалов и равны 0 вне их.
Мы представляем переменные х, у, z на сторонах равносторон-
равностороннего треугольника, принимая среднюю точку каждой стороны
за начальную и располагая положительные направления в цикли-
циклическом порядке. Тогда x-\-y-\-z = 0 является условием того,
что точки ху у и z являются ортогональными проекциями точки
на плоскости на стороны треугольника2).
!) Это доказательство следует идеям Зигмунда [Zygmund, 1]. Оно,
однако, значительно длиннее первоначального доказательства Зигмунда,
которое, в том виде, в каком оно было им дано, не является убеди-
убедительным.
Мы доказали, что A0.15 16) имеет место, когда интервалы, опущен-
опущенные в F и G, являются крайними правыми интервалами» Оно могло
бы не иметь места, если бы мы опустили два произвольных интервала.
Предположим, например, что F и G— интервал (—4, 4) и что /^
состоит из двух интервалов (— 4, —2) и B,4), и G4— из интервала (—2,2)
Мы можем перейти от F, G к F4t G4 в четыре шага, опуская при
каждом шаге один единичный интервал в каждом множестве; но
X @) —Ул(®) ~ 8 вместо того, чтобы быть <; 4. Этот же пример показы-
показывает, что утверждение Зигмунда [Zygmund 1, 176] „таковые значения
ср (х) в (—оо, со) возрастают не более, чем на 2я, неверно, если его
построение не подчинено условиям, которых он не приводит. Деталь-
Детальное рассмотрение этого пункта существенно, так как он является ядром
доказательства.
2) Если Р есть точка и G центр треугольника, то
г — PG {cos се+ cos (а +у) + cos (а + у)}

10.16] ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 343
Функции f(x), g(y), h(z) являются характеристическими функ-
функциями множеств Ev Е2, Е^ каждое из которых состоит из
конечного числа непересекающихся интервалов, а /* (х), g* (у),
h* (г) являются характеристическими функциями интервалов El,
?*, Et длин Ev E2, Eqx\ расположенных симмметрично
относительно соответствующих начальных точек. Если ?123 есть
множество тех точек плоскости, ортогональные проекции кото-
которых принадлежат к Еи Е2 и Е3, Е12з, определено аналогично,
то2)
/ = sin д"тг2:12з, /* = sin g"
и мы должны доказать, что
Фигура ??2з определена шестью линиями, перпендикулярными
к сторонам, и представляет собой шестиугольник, если только
одно из Еи Е2, Еъ не больше суммы двух других, когда ?*2з
сводится к параллелограму. Начнем с доказательства A0.16.1)
в этом последнем случае. Предположим, например, что
ЕЪ^ЕХ~\-Е%. Тогда ??2з совпадает с ??2, множеством всех точек
плоскости, проекции которых на соответствующие две стороны
принадлежат Е% и Е*', множество же Еш содержится в /:12,
которое определено аналогично. Следовательно,
1 1 ^И—^ it* its >a*
Е1П ^ Е12 — cosec ^" ^ • ^1^2 ~ cosec -^ тг • ^i^2 = ?2 = ?23.
Это доказывает теорему, когда ?123 параллелограм.
Переходя теперь к случаю шестиугольника, предположим,
например, что
Определим множества
и соответствующие интервалы i^i(^), Et(t)y ?*@> как Резуль-
Результат вычитания из каждого 2^- с каждого конца множества
Мы обозначим через Ег и множество Ех и его меру.
Когда ?123 обозначает меру, эта мера, конечно, плоская»

344
ПЕРЕСТАНОВКИ
[ГЛ.Х
меры t*). Когда t возрастает от 0 до
/ = ±(Е + Е — Е )
E1(t)y E2(t), E$(t) убывают от Еи Я2, Е3 до множеств ^(^о),
E2{t0)y E%(t0), меры которых удовлетворяют соотношению
Ех (t0) + E2 (tQ) = ?3 fa).
Шестиугольник тогда превращается в параллелограм, так что
A0.16.2) ^123%)^
Если мы докажем, что
ПО 1 fi Я^ F F (+ \ <
^ 1 \j . 1 \J. о у 123 ^^ 123 \ О/
наше утверждение будет следовать сложением.
Фиг. 4. Отрицательное приращение
Мы докажем A0.16.3) сравнением производных от
Т. е.
В1 @ лежит слева и Ё[ (/) справа от fj (t) и
m?j @ = тЕх (f) = Д

10.17] ПРИЛОЖЕНИЯ 345
В первую очередь, разность E*^(t) — ??2з (t-\-h) предста-
представляет собой шестиугольное кольцо, площадь которого равна
h • P{t) -f- О (/г2), где Р (/) есть периметр шестиугольника,
соответствующего значению t. Следовательно,
С другой стороны, три множества
состоят в общей сложности из шести интервалов, каждый
длины h для малых h. Двенадцать перпендикуляров к сторонам
треугольника через концы этих шести интервалов образуют
шестиугольное кольцо J\ которое содержит в себе всю раз-
разность Em(f) — Em(t+fi).
Производная <р (t) равна сумме длин тех частей внешнего
контура этого кольца, которые принадлежат также к Ex^{t).
Проектируя эти части контура на стороны треугольника, как
показано на фигуре, мы видим, что
Отсюда A0.16.3) следует интегрированием, и доказательство
теоремы закончено.
10.17. Приложения. Следующий частный случай теоремы 379
соответствует теореме 371:
380. Если h (x) симметрично убывает, то
оо оо
/= J jf(x)g(y) h (x—y)dxdy<C
—оо —оо
оо со
< / / /* (*) е*(у)h (* —у)dx dy = I*-
—со —со
Применим теперь теоремы 371 и 380 к частным случаям
cr-8 = \r — s|-x и h(x—y) = \x—y\-K
х) См. фиг. 4. На этой фигуре множества E\(t+h)9. . . показаны
толстыми отрезками на сторонах треугольника, множество Е12з(* + Л)
заштриховано, двенадцать перпендикуляров проведены пунктиром и
контур ?mW — ?т(* + Л) обведен.

346
ПЕРЕСТАНОВКИ
[ГЛ.Х
381. Если
A0.17.1)
ar>0,
>1
0 < Х< 1) я
где штрих означает, что гф-S, и К= К(р, q) зависит
только от р и q.
382. Если /(*)!> 0, ^(^)>-0, р и q удовлетворяют A0.17.1)
и
оо
, fg*(y)dy = O,
то
J J \X у \
Доказательства этих теорем совершенно аналогичны. Мы
докажем теорему 3821}. *)
Из теоремы 380 следует, что мы можем заменить / и g
на /* и g-*. После этого мы делим / на четыре части, соот-
соответствующие четырем квадрантам плоскости (х,у). Северо-
Северовосточная и юго-западная части равны; северо-западная и юго-
восточная также равны, и их общее значение не превышает
общего значения двух первых частей2). Достаточно поэтому
рассмотреть только северо-восточную часть. Опустим звездочки;
тогда достаточно показать, что
0 0
^ Доказательство теоремы 381 дано Харди, Литтльвудом и Полна
[Hardy, Littlewood and Polya, 1]; о выводе теоремы 382 из теоремы 381
см. Hardy and Littlewood [6].
*) См. Дополнение XV. (Прим. ред.)
2) Северо-западная и юго-восточная части могут быть оценены
более простым методом (§ 9.14).

10.17] ПРИЛОЖЕНИЯ 347
где теперь fug положительные и убывающие функции, a F
и О их интегралы от 0 до оо. Мы пишем
где Ух и У2 — интегралы по октантам у^х и
Мы имеем
о о
Так как g (у) убывает в @, х), а (а:—у)-х возрастает, то
0 0 0
по теореме 326. Отсюда
По теореме 189
A0.17.2) J1<T
0
Но, по A0.17.1) р'> q и
X
о
опять по теореме 189. Отсюда
A0.17.3) gf (х) х~рП < g\ (x) (Gllqxnct'f-«x-p'1 =
« (Г?
(так как
Из A0.17.2) и A0.17.3) следует, что
по теореме 327.

348 перестановки [гл.х
Оценка J2 аналогична, и теорема следует.
383. Предположим, что Д#)>-0, /б^СО» °°)> где
что
A0.17.4) 0<Л<1,ч Е
и что
A0.17.5) /.(*) = рЬ ff(y)(x-y)«-* dy.
о
Тогда fa(x)?L«@, со), а
ОО
A0.17.6) j/Ux < /С {
о о
/С-/С(А *)=-К(р, q).
Пусть g{x) обозначает любую функцию из Lq' и
л = 1 — а=1 =2 т.
р~ q p q'
По теореме 382,
f
0
и тем более
0 0' 0 0
}{
Так как это справедливо для всех g, то по теореме 191
это и есть A0.17.6).

10.18] ДРУГАЯ ТЕОРЕМА О ПЕРЕСТАНОВКЕ ФУНКЦИИ 349
Доказательство показывает, что результат остается справед-
справедливым и когда
Теорема 383 представляет собой результат из теории „дробного
интегрирования". Лиувилль [Liouville.l] и Риман [Riemann, 1,331-—344]
определили интеграл /а(х) от f(x) порядка а, как
A0.17.7) /а(лг)
Нижний предел а есть „начало интегрирования"; зависимость /а от
начала интегрирования формально нетривиальна, но она не играет
важной роли для теорем рассматриваемого нами типа. Из теоремы 383 ^
легко вывести, что если f?Lp(a,b)t где—оо <; а < Ь <; оо, а< —
и /tt есть интеграл от f порядка а с началом а, то /а ? 1Я (а, Ь).
Когда а>— /а непрерывна, и даже удовлетворяет условию Липшица
порядка а — — .
В приложениях /, обычно, периодична. Вейль [Weyl, 3] заметил,
что в этом случае произвольный выбор начала а неудачен; поэтому
он изменил определение следующим образом. Если мы предположим,
что среднее значение / по периоду равно нулю (условие, которое
всегда может быть удовлетворено вычитанием из / соответствующей
постоянной;, то
X
сходится в нижнем прелеле, и в A0.17.7) мы можем положить
а = оо. Наша теорема о принаалежности к классам Лебега остается
тогда справедливой и для этого случая.
10.18. Другая теорема о перестановке функции в убыва-
убывающем порядке. Теорема, которой мы кончаем, важна главным
образом в силу ее приложений в теории функций, но доказа-
доказательство, приводимое нами2^, представляет интерес и независимо
от этого.
Эта теорема может быть дана в двух формулировках.
См. Hardy and Littlewood [6].
Оно принадлежит Ф. Риссу [F. Riesz, 10].

350 перестановки [гл.х
384. Предположим, что f(x) неотрицательна и интегри-
интегрируема в конечном интервале @, а), что f(x) есть переста-
перестановка f(x) в убывающем порядке, что
A0.18.1) в(*) = в(х, /)
и что 9 (*) ?с//г& перестановка в (л;) в убывающем порядке.
Тогда
X
(ЮЛ8.2) в (*)< ;j//(') <«
о
для 0 < л; < а.
385. Предположим, что f(x) удовлетворяет условиям
теоремы 384 и что s (у) — возрастающая функция от у, опре-
определенная для у^2>0. Тогда
а ах
A0.18.3) J s {в (л;)} dx^js {^-J/(*)*} <**•
О 0 0
Начнем с двух предварительных замечаний.
A) Мы докажем теорему 384 и выведем из нее теорему 385.
Так как в (л:) и 9 (х) равноизмеримы, то
f s 1@(х)\ dx= ^ $ J9(х)| dx,
и A0.18.3) следует из A0.18.2).
Что A0.18.2) следует из A0.18.3) и что таким образом обе
формы теоремы эквивалентны, несколько менее очевидно; это
доказано в теореме 3922). Для нашей настоящей цели достато-
V См. «Разные теоремы» в конце главы.
Теорема 385 была доказана Харди и Литтльвудом [Hardy and
Littlewood, 8], которые вывели ее предельным переходом из аналогич-
аналогичной теоремы для конечных сумм (теорема 394). Их доказательство
теоремы 394 элементарно, но длинно; значительно более простое
доказательство было найдено Габриэлем [Gabriel, 3]. Рисе „en combi-
nant се qui me paraft etre l'idee essentielle de M. Gabriel avec un
theoreme appartenant aux elements de Г analyse" (лемма А ниже в тексте)
доказал теорему непосредственно, без применения предельных пере-
переходов.

10.19] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 384 351
чен первый результат, так как в приложениях играет роль
вторая форма теоремы.
B) Если
/
о
то, по A0.12.2),
X
I
(*. /) < е0 (х, /) = е (я-, /) = IJ7(Q at,
о
и
а а , я х
A0.18.4)
Это неравенство, значительно более тривиальное, чем A0,18.3),
является интегральным аналогом теоремы 333.
10.19. Доказательство теоремы 384. Мы можем, не огра-
ограничивая общности, предположить, что а=1.
Рассмотрим точку х0, для которой
х0>0, 0(*О)>О;
положим
A0.19.1) в(хо) = р + г (р>0, в>0),
и рассмотрим множество ?, определенное условиями
A0.19.2) 0<*<1, 9(х)>р.
Так как 9 (х) и 0 (х) равноизмеримы, мера Е равна мере мно-
множества, на котором в (х) > р. Это множество во всяком слу-
случае содержит множество, на котором в (х) ^ р-\- е, а мера
этого последнего множества, по A0.19.1), не меньше х0.
Отсюда
A0.19.3) дго<т?(.
Далее, множество Е состоит из точек, для которых
(Ю.19.4) -^Г

352 перестановки [гл.х
для некоторого 1 = Ь(х)<Сх. Мы можем записать A0.19.4)
в виде
A0.19.5) ff(t)dt—px>ff(t)dt—pl,
о о
или
(Ю.19.6) g(x)>g(th
Таким образом, Е является множеством точек, в которых непре-
непрерывная функция g(x) принимает значения большие, чем по край-
крайней мере некоторые, принятые ею прежде. Это свойство
позволяет нам определить структуру Е.
Лемма А. Множество Е состоит из конечной или счет-
счетной системы непересекающихся интервалов (ак, $к). Все эти
интервалы открыты, и
кроме9 быть может, того случая, когда х = 1 принадлежит
к Е, т. е. когда существует интервал (ак, 1), замкнутый
с правой стороны, и когда gia^-tCgil), причем ^(о^) мо-
может быть и не равно g(lI).
Во-первых, так как g(x) непрерывна, Е является открытым
множеством (кроме, быть может, точки х = 1). Следовательно, Е
представляет собой систему интервалов {ак, C#), открытых,
если рл< 1.
Если Рд. < 1, то рй не принадлежит к Е9 и
(Ю.19.7) g(**)>g(h),
по определению Е.
Далее предположим, что ак < хг < (Зл, и рассмотрим ми-
минимум g(x) в интервале О^лг^^. Этот минимум не может
достигаться для а7с<л:^лг1, так как все такие х принадле-
принадлежат к Е, и, следовательно, g(x) > g F) для некоторого ? < х.
Следовательно, он принимается для х^Сак. Но ак не принадле-
принадлежит к Е, и поэтому g{<X]c)^g(x) Для всех таких лг. Следо-
х) Все, что нам нужно, это ?(ад.)< ^(Pfe); но доказательство будет,
вероятно, более ясным, если мы докажем полную лемму.

10.19] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 384 353
вательно, минимум принимается в <хк и g (ak) ^ g (хг). Переходя
к пределу при хг -> $к, мы находим
(Ю.19.8) ?(«*)< ?(Ю,
и это, вместе с A0.19.7), доказывает лемму гК
Мы можем теперь доказать теорему 384. Перепишем A0.19.8)
в виде
ak
из этого неравенства следует, что
р • тЕ = /^S (Pfc — ак)^С S Г f(x)dx= Г f(x)dx.
«л я
Отсюда, по A0.12.1),
A0.19.9) p-m?< |7(*)rfx<J f(x)dx,
Е 0
а отсюда, по A0.19.1)
A0.19.10) в(лг0)— s=p<-^ Г
о
Так как/(х) убывает, из A0.19.10) и A0.19.3) следует, на-
наконец, что
_ хо
О
Но е было произвольным, и мы получаем A0.18.1) с х0
вместо х.
Приложения теорем 384 и 385 к теории функций возникают сле-
следующим образом. Предположим, что /@) интегрируема и имеет пе-
период 2л, что
Af F) = Л1 @, /") = Мах -г
"^ б
и что /VF) есть аналогичная функция, образованная с |/F + и) |. Это
функции того же типа, что и В (х) теоремы 384, но в них средние
значения берутся с обеих сторон от 6.
J) Это доказательство дано М. Риссом. См. [F. Riesz, 10].

354 перестановки [гл.х
Рассмотрим теперь интеграл
1 с
(О *(в, р)= 2^" J
где х есть ядро, зависящее от параметра р и удовлетворяющее усло-
условиям
_L с
* ^ ' 2п J
Типичными примерами таких ядер являются „ядро Пуассона"
1-/-2
в котором р = г, 0<г<1, и „ядро Фейера"
sin2 у nt
п sin2 ~ /
в котором /? = л = натуральному числу. Соответствующими /г яв-
являются w (г, 0), гармоническая функция, определенная интегралом
Пуассона от /@), и аи@), чезаровское среднее первого порядка ряда
Фурье для /@).
Предположим теперь (а), что /@)??Л. где &>1, и (Ь) что х
удовлетворяет дополнительному условию
где А не зависит от р. Из теорем 385 с s{y)=yk и 327 следует, что
и M(Q)€Lkl>. Из (i), (ii) и (iii) легко вывести, что
где А также не зависит от р. Следовательно, h имеет мажоранту
(не зависящую от /?), принадлежащую к LK
Легко убедиться, что ядро Пуассона удовлетворяет (iii). Следо-
Следовательно, и (г, 0) имеет мажоранту U @) ? LK То же справедливо по
отношению к <зп (в), но в этом случае доказательство не столь просто,
так как ядро Фейера не удовлетворяет (iii). Мы можем, однако, до-
доказать, что \спф) | <MjV@), откуда следует ряд аналогичных резуль-
результатов. Все это детально проведено Харди и Литтльвудом [Hardy
and Little wood, 8].
V См. теорему 398 ниже в тексте.

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 355
РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
386. Если с2 > ?з^> • • • ^ сы ^> О И системы (я), (Ь) неотрицательны
и даны с точностью до перестановки, то
п п
Е 2 cr+8arb8
г=1s=l
принимает свое максимальное значение, если (а) и (?) — последова-
последовательности убывающие.
[F. Wiener [1].]
387. Следующее неравенство неверно:
Е arbsct^ E at 4 4'
[Тривиально: возьмем (а) = @, 2, 1), F) = A, 2, 0), (с) = A, 2, 1)
Тогда Е яАа = 14, Е atbsct =12-]
388. Существуют такие последовательности (а), (Ь), (с), что ни
одна из восьми сумм
не дает максимального значения Е abc.
[Пусть 0<Л<^1, а ?>0 и достаточно мало; возьмем
(а) = @, 0, 0, 1, 2), (b) = (h — е, /г, Л + е, 1, 1) и (с)-—последователь-
(с)-—последовательность из пяти различных элементов.]
389. Если
М(х) = ?\г\хг, М(у) = %\*\у8
и рфО, то в результате подстановки Qp(§ 10.8) fx = Af (x) + Af (>;)
убывает.
[Этой тривиальной теоремой можно воспользоваться для построе-
построения другого доказательства теоремы 371, которое в общем следует
доказательству § 10.8, но не использует понятия „непрерывности".
Пусть Л, С, С, К означают то же, что и в § 10.8; теперь могут
существовать несколько перестановок типа С. Определим L как
подкласс К, содержащий все те элементы из /С, для которых ц при-
принимает свое наименьшее значение. Если рфО и А неправильно отно-
относительно р, то Йр уменьшает \х и не уменьшает S. Следовательно,
любое А из L является С, и мы теперь можем показать, как в § 10.8,
что в L содержится по меньшей мере одно С]
390. В обозначениях теоремы 373,
для каждого п.
[Следствие из теоремы 373.]

356 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
391. Если (а), (а'), (Ь), (#'). (с) и (с') — шесть последователь-
последовательностей положительных чисел, удовлетворяющих A0.5.1), то
2j araroo ctct^ ь arar oo cfct .
+ t0 r-\-s-\-t=0
[После сведения (методом § 10.3) к частному случаю, когда все
числа равны 0 или 1, эта теорема является следствием теоремы 372.]
392. Если fug неотрицательны и
(I) js{f(x)}dx^j s{g(x)}dx
о о
для каждой положительной и возрастающей $ (у), то
(И) 7<Ъ
кроме, быть может, счетного множества значений х,
[На эту теорему мы ссылались в § 10.18 при упоминании экви-
эквивалентности теорем 384 и 385. Она является аналогом теоремы 107.
Так как интегралы (i) не изменяются при замене / и g на / и g,
мы можем предположить, что сами / и g—функции убывающие, так
что /=/и g = g (кроме, быть может, счетного множества точек).
Если (ii) неверно для почти всех х, то мы можем найти b n с
так, что
(HI) b<Ci f(c)>g(b).
Ибо если бы это было не так, то мы имели бы / (Ь + 0) <! g (b) для
всех Ь, и f(b)^g(b) во всех точках непрерывности функций, а, сле-
следовательно, всюду, кроме счетного множества.
Предполагая, стало быть, что b и с удовлетворяют (iii), выбе-
выберем г так, что g(b)<^r<^f(c), и положим
*O)-0
Тогда
а а
J s{f(x)}dx=* f dx>c>b> f dx= J s{g(x)}dx,
0 f>r д>г О
что противоречит (i).]
393. Если аь я2» •••» aN неотрицательны,
в (я) «в (/!,*)= max
l<<
n — v "Г
и черта означает перестановку в убывающем порядке (обозначение,
обратное условленному в § 10.1), то

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 357
394. Если выполнены условия теоремы 393 и s(y)—положитель-
s(y)—положительная возрастающая функция от _у, то
[Последние две теоремы являются аналогами теорем 384 и 385
для конечных сумм, и читатель найдет их доказательство весьма
поучительным; его можно вести методом §§ 10.18—19, соответственно
измененным для конечных сумм. Первоначальные доказательства
Харди и Литтльвуда и Габриэля были упомянуты в § 10.18.]
395. Пусть
и ev ?2. •••» ep+q суть end, переставленные в убывающем порядке;
пусть Сп = сг + с2 + ... + сп и Dn и Еп определены аналогично и
пусть s(y)— положительная возрастающая функция от у. Тогда
[Это — частный случай теоремы 394. Прямое доказательство ме-
методом индукции было дано Чоунди (Chaundy); см. Hardy and Little-
wood [8]. эта теорема является одной из лемм, на которых они осно-
основывали свое доказательство теоремы 394.]
396, Если /?, q> P, Q — натуральные числа и $(у) — положительная
возрастающая функция от у, то
[(i) и (ii) следует из теоремы 395, a (iii), которое справедливо и
для нецелых р и q, является следствием из них. Частным случаем (iii)
является
1
ЛГ
— ха+ь
это неравенство может быть, конечно, доказано и иначе (с
например, как приложение теоремы 103.]

sl — )dx+ I si — Ujc< I si —=I—
a 6 а+Ъ
358 перестановки [гл.х
397. Если а, Ь, а, C положительны и $ положительна и возра-
возрастает, то
dx.
398. Если Л>1 и в (л;) определена, как в теореме 384, то
[<®k{x)dx<(-JL--} ff*(x)dx.
о 'о
[Следует из теорем 385 и 327. Существует, конечно, и аналог
для конечных сумм. Эта теорема имеет особенно важные приложения.]
399. Для того, чтобы интегрируемая функция <р (х) обладала
свойством
1
6
для всех положительных, возрастающих и ограниченных six), не-
обходимо и достаточно, чтобы
1
"<Р @<И> О @<*<1).
а?
[Для доказательства необходимости условия подходящим образом
выбираем s (x); для доказательства достаточности интегрируем по
частям, или применяем вторую теорему о среднем. Условие наверное
удовлетворено, если существует такое 5, 0<С?<С1> что
для *>?, ср (л:) < 0 для х<Л и
1
Г ср (х) dx = 0.
о
Теорема 397 является частным случаем этой теоремы (после про-
простого преобразования).]
400. Если Е и 5 — функции от х, причем
0
то
0

РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 359
[Предположим, что f(x) принимает только значения 0 и 1 и
что Е (х) есгь мера множества точек, лежащих в @, х), в которых
f (х) — \, и применим теорему 385.]
401. Если
/г<1
, если 1 = 1, то
оо оо
Я
оо
[Здесь, как и в теоремах 402 и 403,/С обозначает положительное
число, зависящее только от параметров теоремы (в данном случае /?, а,
h, k).)
402. Если
ТО
где /а определена, как в A0.17.5). Утверждение остается справедливым
и для а!> —, причем в этом случае q может быть освобождено от
второго из наложенных на него двух ограничений.
[О последних двух теоремах см. Hardy and Littlewood [6]. В слу-
случае q =p мы имеем
оо со
о о
сравнить с теоремой 329.]
403. Утверждение теоремы 383 необязательно справедливо, когда
/? = 1.
[Пусть
где р>1. Тогда
X

360 ПЕРЕСТАНОВКИ [ГЛ.Х
Здесь
1
/7 = 1, q =
— а
, но /a?Z,# только тогда, когда
404. Предположим, что f(x) определена в (—1,1) и имеет непре-
непрерывную производную /' (jt), обращающуюся в нуль только в конечном
числе точек, и что
Тогда длина кривой _у =/(*) больше длины кривой у = /*(.*), если
[См. Steiner [1, II, 265]. Если 0<_у <К=тах/, то (за возможным
исключением конечного числа значений^) уравнение y = f(x) имеет
четное число 2п (зависящих от у) корней. Если мы обозначим эти
корни в возрастающем порядке через хь х%, ... х2п и производную
от jcv по у через х^, то, по теореме 25,
И
0 V
/
Знак равенства имеет место только в том случае, если и = 1, для
всех уt и .*! = — jr2.]
405. Предположим, что /(а:, ,у)>0 для всех д;, ^у и что мера M{z)
множества, на котором f(x, y)^z, конечна для всех z^> 0; пусть
положим
где р — функция, обратная р. Тогда (при соответствующих условиях
регулярности) площадь поверхности z=f(x, у) больше, чем площадь
поверхности 2=/*(jt, у).
[См. Schwarz [1] Эта теорема, важная сама по себе, интересна еще
тем, что она содержит двумерный аналог /*(дг).]

ДОПОЛНЕНИЯ
1. Неравенства для выпуклых функций. Ряд интересных
неравенств, содержащих выпуклые функции, возникает из сле-
следующей теоремы.
Д. 1. Пусть <р (х) определена для 0^x^.1, непрерывна
и выпукла. Пусть, далее, F (х) определена для 0^л:^1,
имеет ограниченную вариацию и удовлетворяет условию
Тогда для того, чтобы интеграл
1
был неотрицателен для всех таких ср(дг), необходимо и доста-
достаточно, чтобы F(x) удовлетворяла условиям
A)
B)
C)
Достаточно доказать теорему для <?(х), обладающих абсо-
абсолютно непрерывной производной <р'(лг), так как в общем слу-
случае <р(л;) можно аппроксимировать такими функциями.
Положим ср(-*О=1, тогда
О
Положим ср (х) ^ — 1. Тогда
Отсюда следует необходимость A).

362 дополнения
Положим теперь <р (х) = х. Тогда
1 1
Положим ср(.г) = —х. Тогда
Отсюда следует необходимость B).
Дважды интегрируя / по частям, имеем
D) ^(x)dF(x)=-
О О
1 X
= ^ F(u)du<?"(x)dx.
О О
Если в некоторой точке ?
J
J/>(«)<*«< 0,
то в силу непрерывности этот интеграл отрицателен и в неко-
некоторой окрестности этой точки. Строя ср(х) так, чтобы <р" (х)
обращалась в нуль вне этой окрестности и была положительна
в ней, убеждаемся в необходимости условия C).
Формула D) показывает также достаточность условий A),
B) и C).
Отметим частные случаи доказанной теоремы, когда
F — ступенчатая функция или абсолютно непрерывна.
Д. 2. Чтобы линейная форма
1

I] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 363
была неотрицательна для любой непрерывной выпуклой
функции <р(Х), необходимо а достаточно выполнение условий
2 а4 = О, S atx4 = О,
1 1
(* = 1,2,..., /i — l).
$=1
Д.З. Чтобы интеграл
неотрицателен для любой непрерывной выпуклой
функции у(х), необходимо и достаточно выполнение условий:
1
jf(x)dx=O,
Д.4. Пусть последовательность \q^ выпукла:
&4i = Яг - 2?<+i + ^+9 > О (/=1,2,..., я —2).
Для того чтобы линейная форма
s ад*
б'ыла неотрицательна для любой последовательности
необходимо и достаточно выполнение условий:
п п
2 а< =0, S idi = О,
Полагаем в теореме Д. 2 д:г- = /,
9(xi) = 9i (l =1,2,..., л).

364 дополнения
Из этих теорем можно получить в качестве следствий ряд
неравенств, доказанных в основном тексте книги, а также
много других. Так, из Д. 2 вытекает:
Д. 5. Пусть ф(а;) определена для 0<,х <1, непрерывна
и выпукла. Положим
Тогда
Sn>Sn-i (л = 2,3, ...)•
Аналогичным путем может быть доказана и теорема 130.
Обратно, теорема Д. 5 может быть доказана, как и тео-
теорема 130: нужно сложить неравенства
k
Д. 6. Пусть ср(д:) определена для 0<д:<1, непрерывна и
выпукла.
Положим
(л=1, 2, .... ао=О).
Тогда
где
Мах = av Mui = ia{ —(/ — 1) а{_г (/ > 1).
Это можно рассматривать как пример к теореме Д. 2 или
доказать непосредственно, подобно предыдущей теореме.
Д. 7. Если а < 0, то
Пример к предыдущей теореме.
Д,8. Пусть функция р(х) определена на @,1) и удовле-
удовлетворяет условиям:
1) р (х) не убывает для 0 ^ х ^ -^,
2) р(х)=рA-х).

I] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 365
Тогда для любой непрерывной выпуклой функции ср(х)
1 11
[p(x)y(x)dx4i [p(x)dx[y(x)dx.
О 0 0
Покажем, что для интеграла
1 1
l=\{\p{u)du-p(x)U(x)dx
О О
выполнены все условия теоремы Д. 3.
0 0
{
{
о о
1
1 V
= -j \ p(u) du — хр{х) dx — хр(х) dx =
О 0 1/2
1 V« V«
—[p(u)du— [xp(x)dx— f(l—x)p(x)dx
о
1
о о
1 х и
= yjp(«)d«— \l p{t)dtdu.
о о
Пусть сперва О^х^^» Так как р(д:) не убывает на этом
отрезке, то

366 дополнения
есть выпуклая функция, откуда
ж V»
Гр(и)du <2х \ р(и)du-= x[p(u)du
О 0 0
о о
Пусть теперь -i-< x < 1. Имеем
J J р@ <ttrfo = (* — -f)j р(и
0
1-Х 0
l l—ж
j J j ^
О 0 0 1-Ж О
1 1—ж г* 1
X (* (*
2 J J
о о
1 1—ж
= -о" P(u)du — ) J P{t)dtdu — [х — -^-) p(u)du-
0 0 0 0
1 1-х и
(U)du — I] pit)dtdu >0.
О 0 0
Итак, все условия выполнены, и теорема доказана.
Д. 9. Если ср непрерывна и выпукла, то
1 1
о о
Полагаем в предыдущей теореме
р(х)=х(\—х).
Д. 10. Если <р непрерывна и выпукла, то
jsin xy{x

II] НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА 367
Д.11. Если ср непрерывна и выпукла, 0</z<#, то
-h —H
В пределе при h —> О мы получаем доказательство достаточ-
достаточности условия теоремы 125. Это неравенство может также
рассматриваться как интегральный аналог теоремы 130.
Последнее неравенство иногда бывает удобно представить
в следующей форме:
0<a<y).
См. также Popoviciu [1], где имеются сходные результаты.
II. Неравенство Карлсона. Карлсоном1), было найдено одно но-
новое неравенство, которое послужило отправным пунктом целого
ряда исследований. В дальнейшем мы предполагаем, что п про-
пробегает все значения от 1 до со, ап^0, но не все ап равны
нулю.
Д. 122).
A) (S^L<^2S4s^a2n,3)
причем тс2 является наилучшей константой,
Ландау отметил, что имеет место более сильное неравенство
00
В самом деле, полагая
*) Carlson [1].
2) Hardy [11] дает еще два доказательства неравенства Карл-
Карлсона A). Приведенное в тексте доказательство Ландау неравенства (Г)
является усовершенствованием первого доказательства Харди.
3) По поводу интерпретации таких неравенств см. § 5Л.

368
ДОПОЛНЕНИЯ
мы имеем
Va
= 45Т
по теореме 7. Но
!+(»-iT
откуда следует (Г).
Далее, полагая для f > О
находим, что
'»— l+,%=.
71 ?27C>- — 1 TC
1
а, следовательно,
Л*
откуда
>2S
1+TV
при 1 -> 0. Таким образом, тс2 действительно является наилуч-
наилучшей константой в A), а тем более и в (I7).
Примененный метод доказательства ведет к следующему
обобщению неравенства A).

II]
НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА
369
B)
где
Д. 13 *>. Если О < q < /?, то
Hi
Г[-
является наилучшей константой для каждой пары допусти-
допустимых значений р и q.
Положим
тогда
= 4ST
г) Gabriel [4]. Габриэль доказывает неравенство B) независимо от
неравенства Гельдера рассмотрением конечных сумм. Это неравенство
было одновременно с Габриэлем найдено Ло-Кен-Хуа и Левиным. Бо-
Более общее неравенство (но с неточной постоянной) было доказано
Р. Беллманом [R. Bellman, 2]. См. Дополнение IV. См. также У. Катон
[W. В. Caton, 1]. В работе Катона исследуется вопрос о существова-
существовании неравенств типа
(Е я*
I, a)
Его результаты в основном перекрываются работой Беллмана.

370
ДОПОЛНЕНИЯ
по теореме 13 B.8.3). Далее,
v. 1 ^
dx
= Г
2p
J_4 •
Для доказательства точности константы достаточно положить
а*_
П
1/J»
и устремить X к оо.
В некоторых случаях неравенство B) может быть усилено. Для
.1 9 . 8р* — р .
Р > g- и ?2<4^+^ функция
выпукла для всех у > 0 и, следовательно,
1
1\^« . 1 / 1
2)
оо
J
так что для таких р и q
г -
В этом неравенстве можно, в частности, положить р = i
получаем
^-—, и мы

II] НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА 371
Следующее неравенство типа B) доказывается тем же методом.
Д. 14 1>. Если #>0 и k—положительное целое число,
то
2к
C)
гдв C(k) = Bk + lfk+1 П С? = П ^•-».
v = 0 |t = l
Константа q~k®k+1>>C(k) является наилучшей для каждой
пары допустимых значений q и k.
В частности, для q = \ и& = 1, 2 находим:
(S a J6 < 54 2 4 2 «4 2 яа4,
(S ^пI6 < 30° 00° 2 al 2 я4 2 я2я„ 2 я34 2 я44.
Для доказательства неравенства C) положим
5V = 2 п v ап (у = 0, 1, ...,
По теореме 13 B.8.3) имеем
2ft
П
Левин [1]. Там рассматривается случай q = 1, мало отличаю-
я от общего случая.
щийся от общего случая

372 дополнения
где
dx
oo
-J
0
Полагая, далее,
находим, что
i
так как П?^ = 1. Теорема теперь следует из оценки *)
сю
J;
<
1 »
знак равенства в этой оценке имеет место в том и только
том случае, если р^ = р^, jx = 2, 3, . . ., 2k.
Для доказательства точности константы достаточно поло-
положить
и устремить f к 0.
Неравенство C) не содержит неравенства Карлсона как
частный случай, так как в правой части C) всегда стоит
См. Левин [1].

II] НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА 373
произведение нечетного числа сумм. Неравенства этого типа,
содержащие в правой части произведение четного числа сумм,
большего двух, неизвестны.
Второе доказательство Харди [Hardy, 11] неравенства Карл-
Карлсона опирается на равенство Парсеваля. Развивая эту идею
Харди, Б. Наги 1\ применяя теорему Хаусдорфа-Юнга (8.5.6),
доказал следующие обобщения (и одновременно усиления)
неравенства Карлсона.
Д. 15. Если 1<ах<2, 1<о2<2, g = l+ Qc>{^_xy
то
D) (S*n)fl+|S(-l)Xlff<
Д. 16. В тех же обозначениях
EJ)
Докажем сначала теорему Д. 15. Предположим сперва, что
1 <°2^>2. В силу предполагаемой сходимости 2 я^а», S^2^^ °°,
и для функции
z(%\ — v no, sin tix
существующей по теореме Рисса-Фишера, имеем по (8.5.6)
при со =—^-у
1
1) В. Nagy [1].
2) Элементарное доказательство подобного неравенства, в котором
множитель (п j 2 заменен на л*2, но с худшей постоянной, было
дано Р. Беллманом [R. Bellman, 2]. См. также Дополнение IV.

374 дополнения
Далее, если
г(х) = у'(х) и по (8.5.6) при а = _-^_
О
Таким образом, учитывая, что
и что Г y(x)dx = 0, так что у(х) должна обращаться в нуль
о
внутри интервала @, тг), по Д. 26 находим
B««)e + 12 (-1)ла»|*<^-{ 2*2 }^ZT) { 2 rt'-flj
и D) доказано, так как ^^ = ^_г) , a ^i^ = ±-
Если же а2^ 1, то в силу предполагаемой сходимости
функция
j;(x)^ S^wCOS ПХ
дифференцируема и
У Xх) = — 2 пап sin azx,
По (8.5.6) при ое = ^-^
о
и по Д. 26 B) при # = 1 + ос,
Таким образом, теорема Д. 15 доказана.
Докажем теперь теорему Д. 16. Предположим снова, что
<о2^2. В силу предполагаемой сходимости %(п—"о"; ап-

II] НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА
2 Bя — 1Jя^<оо, и для функции
имеем по (8.5.6) при со =—-?-=-
тс/2
О
Далее, если
у(х) = %ancosBn— 1)х}
z(x}=y'(x)} и по (8.5.6) при <х = —^Ц-
CJj — 1
тс/2 1
о
Таким образом, учитывая, что
по Д. 26 A) находим
(S «„)«< f
т. е. неравенство E).
Если же, наконец, а2 = 1, то в силу предполагаемой схо-
сходимости 2 (я — у) ям функция
дифференцируема и
У(о) = о,
По (8.5.6) при а = 7^у
тс/2

376 дополнения
и по Д. 26 B) при q = 1 -+- а
и теорема Д. 16 доказана.
При аг = а2 = 2, ^ = 2, неравенство E) сводится к нера-
неравенству A'). Автору настоящего Дополнения неизвестно, яв-
является ли константа — наилучшей в других случаях. Инте-
Интересно отметить частный случай ах^а2^2 неравенства D):
(S an? + (S (- I)» aj
это неравенство, как и (Г), является усилением неравенства
Карлсона A), но в другом направлении.
Применяя теорему Д. 25, Б. Наги *) доказывает еще следую-
следующие неравенства.
Д. 17. Если 1<^^2, v^>2, q = 1 -\- j- и последователь-
последовательность (а) монотонна, то
F',
же последовательность (а) выпукла^ то
F") Е |~±1 > 2 Х~^ С(^> v) ^^W 9
где
1
р.* х л Г 2 (#v—I)^vr(l + ^ — #)r(#)]av
Многие из рассмотренных выше неравенств имеют интеграль-
интегральные аналоги. См. Дополнение III.
В. Nagy [1].

Ill] НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 377
III. Неравенство Карлсона (продолжение). Неравенство Карл-
Карлсона A) *) имеет интегральный аналог 2).
Д. 18. Если Дх)>0, /(х)ф0и /?Z,2@,ao), х/? V (О, сю),
то
со
гдг тг2 является наилучшей константой в том смысле, что
существуют такие f(x)> для которых знак равенства до-
достигается.
Соответствующие интегральные аналоги имеют и неравенства
B) и C). Приведем их, как и Д. 18, без доказательств, кото-
которые могут быть легко получены методом, примененным в До-
Дополнении II для доказательства соответствующих неравенств
для рядов.
Д. 19. Если /(д:)>0, /(х)фО, 0<?<р и
xp~qfp+1(x) € L@, со), xp+*fp+1(x) ? L@, со),
/Я0
0
причем константа
K(p, q) = 4B?)-*
i?)
является наилучшей для каждой пары допустимых значе-
значений р и q.
Д. 20. Если Д*)>0, /(х)фО, q>0, k=l, 2, ..., и
} со), x^+^f+^x) € ^@, со),
x) Все ссылки на номера неравенств в этом Дополнении относятся
к Дополнению И.
2) Очевидно, что неравенство AГ) интегрального аналога не имеет.

378 дополнения
то
o
где
c(k)= п y
[1=1
и константа q-^W+VCfo) является наилучшей для каж-
каждой пары допустимых значений q a k.
Неравенства D) и E) интегральных аналогов не имеют.
Однако имеет место следующее неравенство.
Д. 21. 1) Если /(х)>0, /(х)фО,
Г1
где АГ(а17 о2) — некоторая положительная константа, за-
зависящая только от оА ^ а2.
В дальнейшем мы будем обозначать через К(и, v) и т. д.
величины, зависящие только от перечисленных аргументов.
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма. Если t/>#>0, Л, В, С>0 и
для всех х > 0, то
C*-Mw >#(«,*) В*.
Действительно, это неравенство следует из предположенного
1
/Bu\
при д: = -т-
Доказательство D) ведется теперь следующим образом. Пред-
Предположим сначала, что о2> 1.
R. Bellman [2].

Ill]
НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
379
но
В первую очередь,
оо оо
J /м **=J /м т
<
{J
{ I (т^,Г 4
0 0 0
по теореме 189 F.9.2). Таким образом, полагая
~xdx
имеем
f(x) dx
{ J
0
0 0 0
Заменяя здесь /(л;) на /(—) и полагая z = px, найдем
оо оо .
р j f{x)
о
^оо
^Р^ {Jгч
О
Li p«+«/"{ J

380 дополнения
так как, по теореме 16,
(* + ft)* < 2«"J (а* По-
Последовательно, применяя лемму с р^в качестве х, а=\
и г>=1Н —, получим, что
]
что и требовалось доказать.
Если <з2=1, то рассуждение остается без изменений за
т х 1
исключением того, что ?2 надо заменить на sup 1 а = -^ .
0<а?<оо х т^ ^
Из теоремы Д. 21 следует, конечно, что если aw!>0, но не
все ап равны нулю, п = 1, 2, ..., то
(S Off < К(ои a2) (S Л1)^5^ (S «ff2a^I/ff2,
т. е. более грубая форма неравенства E). х)
Р. Беллман2) доказал также следующее обобщение теоремы
Д. 19.
Д. 22. Если f (х) > 0, / (х) ф 0,
то
г) Применим теорему Д. 21 к / (х) = ап (п — 1 < х < л, л =
= 1, 2,...)
2) R. Bellman [2]
3) После того, как книга была набрана, в теореме Д,22 была
найдена наилучшая константа. См. Левин [8],

Ill]
НЕРАВЕНСТВО КАРЛСОНА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
381
Так как
оо р—X.
f{x) dx =
о о
xp+iA+x)
оо р—\
f {
1 со
р+1
dx
1 oo
по теореме 189 F.9.2), то
где
dx

382 дополнения
Заменяя здесь f(x) на /(¦—) и полагая г = рх, мы можем за-
закончить доказательство теоремы Д. 22 с помощью леммы так
же, как это было сделано для теоремы Д. 21.
Полагая в теореме Д, 22 f(x)=an (п—1 <*<>, я = 1,
2,...), мы получим следующее неравенство для рядов: пусть
Р > 0, q > 0, 0 < \ < р, О < q < ц, aw > 0, яо яе все ап
равны нулю: тогда
(S ап
5 правой части неравенства сходятся.
IV. Обобщения теоремы 256. В теореме 256 функция
0^л;^1) подчинена ограничениям
эта теорема дает неравенства для среднего значения степени
у(х). Известно большое число теорем этого типа, появившихся
после выхода в свет „Неравенств". Здесь собраны некоторые
из них.
Д. 23. !> Пусть у(х) определена для 0 <;* < 1, у @) = 0,
у' ф: 0, у' !J> 0, & > 1 # яв является целым четным, yr ^ ZA
7Ъ?
Неравенство обращается в равенство для некоторой гипер-
эллиптической кривой.
Д. 24.2) Пусть у(х) определена для 0^лг<^1,
У@)=уA),
maxj/-|~minj; = 0
а>0, й>1, /?!*.
!) Левин [6].
2) Schmidt [1].

IV] ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ 256 383
Тогда
G@)=l,
4 ' ' G{u) G{v)
Неравенства точные.
Д. 25.1) /Тулиб а>0, р>1, /(х) gLp(—ооэоо),
Тогда для {3>0
й Я^й, t/j имеет то же значение, что и в предыдущей тео-
теореме. Неравенства точные.
Д. 26.^ ^ p
и у обращается в нуль в интервале (а, Ь), то
A) W W {|Г}{]}
a
Ь
B) \y(a)\^«-\-\y(b)\^«<C(l-\-a) sup |/(x)| f |^)Г dx.
Неравенства точные.
Nagy [2].
N [1].
gy
2) Nagy

384 дополнения
Пусть у (&) = 0, #<;?<;&. Тогда, так как
то
р-Л
р
ь _L ь
v'(x)\pdx\ \ \у(х)\ а
а а
B) является предельным случаем A) при /?-»оо.
Для выявления случаев равенства нужно записать, что нера-
неравенство Гельдера обращается в равенство.
V. Аналоги неравенства Виртингера. Неравенство Виртин-
гера (теорема 258) имеет ряд интересных аналогов. Пусть
функция f(x) имеет период 2тг, удовлетворяет соотношению
2тт
и обладает непрерывной на всей прямой и абсолютно непре-
непрерывной (k — 1)-й производной /(fc-1) (х). При выполнении
этих условий будем писать f^Ak. Положим
2тт уг
Jr(f)={ jl/Г^} @<Г<со),
Под/? Lr понимается в дальнейшем, что Jr(f) <oo,
^ Мах ср и Min cp означают соответственно существенную верхнюю
и существенную нижнюю грань функции <р (§ 6.6); тах<р и min <p, как
обычно, достижимую верхнюю или нижнюю грань <р.

V] АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА 385
Д. 27. *) Если /?Ак и /<л'?Г°, то
где
Л со
Константа наилучшая.
Д. 28.2> Если/?Ак и f(k)?L2, то
где
[ | СО 1 Т2
Константа наилучшая.
Д. 29. ?сл# 1<г<оэ, й нечетное, f?Ak uf{k)?L7\ то
= 1 —
Константа наилучшая.
Д. 30. ?сл« f ?Ак и /(*) ? I, гао
1 — к
Cjc,oo = — Е Bп —1) (k четное)^
Сic,со = — sup 2 «"^sin nt (k нечетное).
Константы наилучшие.
Д. 31. 8> Если 1<г<со, f?Ak
то
,i имеет то же значение¦, *шо /г в теореме Д. 27.
х> Бор доказал эту теорему для ? = 1, С. Н. Бернштейн и Фавар —
в общем случае. См. Bohr [2, 3, 4], Bernstein [1J, Favard [1, 2]. См.
также Northcott [1] и Н. Ахиезер [1].
V Эта и следующие две теоремы принадлежат С. Стечкину.
3) Н. Ахиезер [1]. См. также. Bellman [1], где эта теорема доказана
для четного г.

386 дополнения
В последнем неравенстве константа не является наилучшей.
Это, во всяком случае, имеет место для г = 2, когда теорема
Д. 31 сводится к неточной форме неравенства Виртингера.
Все перечисленные выше неравенства являются частными слу-
случаями следующей более общей теоремы.
Д. 32. Пусть
1<*<У<оо, 1 = 1 + 1-1;
тогда
A) Jr(f)<CKv_
?де
Если г= оо, то константа наилучшая. Если же кроме mozQ
s = \, то имеет место строгое неравенство.
Здесь, естественно, предполагается, что— = 0 и что если
— = 0, то [х = оо.
Для доказательства заметим прежде всего, что
1 оо 1 ± 1)
71
)
= — ^-=-А @<7<2тг)
?*@ = <P*-iC) (А = 2,3,...),
= <pfcBiu-0) (A = 2,3,...).
Отсюда интегрированием по частям получаем
2it
/(*) = J
о
Кроме того, очевидно,
2it
См. Зигмунд [2, 1.8.1].

V] АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА 387
Поэтому, каково бы ни было ?,
= J {«р* СО—
Применение к этой формуле теоремы Фубини *) (если г = 1,
s = l), теоремы 235 (для r=l, l<s<oo или 1<г<оо,
s = l), теоремы 280 (когда 1<г<оо, l<s<oo) или просто
оценка интеграла по модулю дает A) с
СЪ[Х есть «наилучшее приближение '^посредством константы
в пространстве I1"», и хорошо известно, что inf достигается
для некоторого ?0 (т. е. вместо inf можно писать min), что
в случае \ь > 1 ?0 единственно и что оно единственно и для
ja = 1, если ср& непрерывна для 0<^<2тг и имеет пределы
?( Н~ 0)» ? Bя — 0) (это имеет место для рассматриваемых ук) 2>.
Отметим, что для г<оо $0 удовлетворяет уравнению
2к
B) J |?*—eor~l
Для завершения доказательства остается рассмотреть вопросы
о точности константы и о возможности знака равенства. Для
г = оо неравенство A) обращается в следующее:
|/<*)| <mln { J \9k- l\s'dxf'[ ] If^fdxf*.
При s > 1 оно обращается в равенство для х = 0, если положить
?fc(—*) - 60].
Уравнение B) показывает, что выполнено и условие
г) Или неравенства Юнга. См. Young [8].
2) См., например, Гончаров [1].

388 дополнения
При 5 = 1 A) обращается в
2it
|/(*)|<minMax|?k —S| \\fik\x)\dx
и не может обратиться в равенство, так как <рл(О принимает
каждое из своих значений только на множестве меры 0.
Подсчитывая значения
получаем сформулированные выше теоремы.
VI. Неравенства между верхними гранями производных.
Неравенство Ландау-Адамара
приведенное в начале § 7.8, имеет ряд аналогов и обобщений.
В дальнейшем / обозначает конечный отрезок 0^л:^8, полу-
полупрямую 0<^Л"< оо или всю бесконечную прямую —оо<л;< оо.
Пусть функция f{x) определена на / и имеет первую производ-
производную, удовлетворяющую условию Липшица:
|/'(* +*)-/'(*)|<*|*|.
Положим
Последнее выражение понимается как верхняя грань производных
чисел функции f(x). При этих обозначениях имеет место сле-
следующая теорема:
Д. 33.J) Если 1= [0,3] и Ь
то
0) i
1) Landau [2,3].

VI] НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ВЕРХНИМИ ГРАНЯМИ ПРОИЗВОДНЫХ 389
Если / = [0,5] и 8>2i/bT или /= [0,со),
* ^2
B) H-i<2l/j*0[Aa •
Если же /=(—со, со), /до
C) \Н<У^ЫЧ-
Неравенства точные.
Пусть y^Cx^Cz, y<z. Тогда для л;<;
то
и
J АО dt>f(x) - {и-х)ъ,
= (*-*)/'(*)-(*-*)'у-
Аналогично доказывается, что
Отсюда
J \Х)<ь JZT-у I
И
/7v•^ s 2^° -u (^
Точно так же устанавливается, что
и два последних неравенства дают
/i4^ x—у ' Z у
Пусть сперва

390 дополнения
Для доказательства A) положим в формуле D)
у = 0, * = 8.
Тогда
E) !/'(*)!< ^ + Ц {(8-*)' + *'}
что совпадает с A). Это неравенство обращается в равенство,
если
Отметим, что неравенство E) дает ответ на следующую
несколько более общую задачу: <х0 и <х2 даны] 8 < 2т/-!^. ;
найти точные неравенства для f\x) в фиксированной точке х.
В частности,
F)
Пусть теперь /= [0, 8], 3>2i/i^- или /=[0, со].
Положим
В силу условия 8^-// для любого х^/ найдется у, удовле-
удовлетворяющее неравенствам
Положим, далее,
Тогда D) дает
1/
откуда

VI] НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ВЕРХНИМИ ГРАНЯМИ ПРОИЗВОДНЫХ 391
и B) доказано. Знак равенства имеет место, например, для
функции
Получим также аналоги неравенства F). Положим
и если S <С 2/г, то положим в E) у=0, г = 8, х=-^г',
тогда оно дает:
f'(—
J о
Если же 8>-2/г, то положим у = -|- — /г, 2 =-|--|-/г, х=-?г,
после чего получаем
г{\.
В случае /^(—со, со) всякая точка может рассматриваться
как середина интервала, и предыдущее неравенство доставляет C).
Читатель сам построит экстремальную функцию для этого
случая.
Теорема доказана.
А. Н. Колмогоров поставил следующую более общую задачу.
Пусть функция f(x) определена на / и имеет (п — 1)-ю
производную, удовлетворяющую условию Липшица» Положим
ц0 (/,/) = sup |/(*)|,
[ал(/, /) понимается как верхняя грань производных чисел /^
Какие условия необходимо и достаточно наложить на положи-
положительные числа [х0, [Aj,.. ., jjlw, чтобы существовала функция f(x),
для которой
Эта трудная задача еще далека от своего полного решения.

392 дополнения
Сам А. Н. Колмогоров получил исчерпывающий результат для
случая /=( —оо, + оо) и трех чисел jx0, \iki p,n.
Д. 34.^ Для того, чтобы тройке положительных чисел |х0,
V-io ^«@ < * < л) соответствовала функция f {х), для которой
ft)=M/> Д Рл = [**(/, '), ^=^(АД /=( —оо, + оо),
необходимо и достаточно соблюдение условия
п — к к
Ki =— I (—1)^+I Bp— 1)'+I (/ четное),
Л со
Ki=— I Bp — l)m Aнечетное).
% P=i
В недавнее время А. Родов рассмотрел аналогичную задачу
для четырех и пяти положительных чисел и получил следующие
частные результаты.
Д. 35.2) Если /=(—оо,+оо), а
^_1_2 определяется как верхняя грань некоторой функции,
зависящей от параметров {ьи, jiM+i, Н-и+2* ^ти неравенства не
могут быть усилены.
Д. 36.3) В обозначениях предыдущей теоремы, если 0< / < я,
1) Колмогоров [2]. Для нескольких частных значений k и п эта
теорема была ранее доказана Ю. Боссэ (Г. Шиловым;. См. Ю. Боссэ [1].
« Родов [1].
s> Там же.

VII] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ 393
Известны также неточные аналоги неравенств А. Н. Колмо-
Колмогорова для случаев /=[0, 8] и /=[0, оо).
Д. 37.!) Если /=[0, 8], то
М/. О<4* (т) М/.0 мп
) пм:,
где
если же I = [0, оо), то
Jc 1——
Константы неточные.
При доказательстве этой теоремы автор использует резуль-
результаты из теории приближения функций. Повидимому, его метод
не может повести к точным неравенствам.
Доказательства последних теорем выходят за рамки настоящего
Дополнения,
VII. Неравенства для производных. Пусть функция f(x)
определена в конечном или бесконечном интервале /, удовле-
удовлетворяет неравенствам
и подчинена некоторым дополнительным условиям, гаранти-
гарантирующим ограниченность ее производных чисел в каждой точке /.
Теорема Ландау-Адамара (Д. 33) доставляет решение задачи
о нахождении верхней грани производной /(#), когда
/ = (—оо, со),
т (х) = — Af0, М (х) = MQ
*) Gorny [1]. В работе указаны аналогичные результаты для
/ = (—оо, + оо), но так как они полностью покрываются теоремой.
Колмогорова, то мы их не приводим.

394 дополнения
и „дополнительным ограничением" является
Здесь будут изложены некоторые другие конкретные задачи
этого типа. Во всех них рассматриваются вопросы о „дифференци-
„дифференцировании неравенств", если удовлетворяющая им функция при-
принадлежит тому или иному классу функций.
Д. 38. Пусть функции т(х), /(*), М(х) определены для
всех х^0у имеют непрерывные и строго возрастающие произ-
производные,
т(х)<М(х\ m(x)*?f(x)*?M(x).
Тогда для любого х^О уравнение
A) М(Ь)-т(х)=(Ь-
имеет единственный корень
Далее, уравнение
имеет единственный корень ?0 > 0, и если х ^ ?0, то уравне-
уравнение A) имеет единственный корень
если же 0 < х < ?0, то
Г(х)>х-Цт(х)-М@)).
Неравенства точные.
Ввиду очевидности этой теоремы, излишне приводить здесь
ее доказательство. Все сразу следует из рассмотрения чер-
чертежа, который рекомендуется сделать читателю.
Д. 39. Если 0<д<Л, #<?, с<СС
ах2 + Ьх + с</(*)< Аг2 + Вх + С (х> 0),

VII] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ 395
то
/'(*) < 2 Ах + 2 У (А — а) х2 + (Б — 6) х + (С — с) + В,
Ax > У (А - a)x2 -\-(B-b)x-\-(C-c),
2 Ax — 2 У (A — a) x2 -\- (B — b) x -\- (C — c) + B,
г/ если
Ах< У(А — а)х2-\-(В — Ь)х + (С — с) ,
то
Пример к предыдущей теореме.
Заметим, что могут быть получены аналоги теоремы Д. 38.
для конечного интервала / и для того случая, когда
М(х)-+оо (х-+хо — О).
Д. 40 х). Пусть а<А
ax*Cf(xXAx O>0),
B) f(Xl) —/'(*) > —Wt(t) (*<*!< tx, t>\).
Положим
M=supf(x),
x
m = inf f(x).
X
Тогда, если 0 < ft < 1 < X, mo
x
(X — 1)M < ХЛ — a +§Wt(t) dt,
— A — ») w < M — a + J IT^y
A) Эта и следующая теоремы принадлежат Карамата. См. Кага-
mata [2].

396 дополнения
Если кроме B) еще
f'(Xi)—f'W< W.2(() (*<
то
1
{X — S)Af<L4 — »a+J ^(y
Для доказательства рассмотрим тождество
х
— (X — 0) /и < M — Ха +J l^(y
отрим тожд
1
х
(X — 1 )/'(*) < \А — а + j ^
1
Из него следует, что
х
и
а-
1
Аналогично доказываются и остальные неравенства. Для
специальных функций Wi{i^\, 2) эти неравенства можно
записать в следующей усиленной форме.
Д. 41. Если в предыдущей теореме
то
. М — а
т — А\ ^ м — а
если, кроме того,
то
Неравенства точные.

VIII] НЕРАВЕНСТВО ИНГАМА О БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ 397
Для получения, например, первого неравенства этой теоремы
нужно положить в первом неравенстве предыдущей теоремы
VIII. Неравенство Ингама о билинейных формах, В слу-
случае /? = 2 теоремы 323 имеется следующий исчерпывающий
результат, данный уже частично Шуром *); полная теорема
Д. 42 была доказана Ингамом 2).
Д. 42. Если к>0, то
/2
где
= Л* (-!¦) = *, если Х>1.
Если последовательности (а) и (Ь) не нулевые, то знак
равенства в A) может иметь место только при 0 < X < у;
если же \^ —, то в A) всегда имеет место знак строгого
неравенства, причем в этом случае тс остается наилучшей
константой и не может быть заменено никакой функцией
от X, меньшей тт.
По замечанию, сделанному в конце § 8.8, достаточно дока-
доказать A) для ап=Ьп. Ингам основывает доказательство на
тождестве
Полагая f(z) = ?(— l)nanzn, z = reie, 0< r< 1, где f(z)
о
в силу предполагаемой сходимости ? а"п регулярна в круге
о
D Schur [1]
V Ingham [1].

398 дополнения
1
|^|< 1, и интегрируя это тождество при 0<А^ —, находим,
что
V л2 а» sin In у у атап т+п
\ar jj r
а, следовательно,
0000 а а , т °° о
у у итип т-\-п ^ тс у 2 2?i
0 0 т + п + к r "-sin Хя ^ ^n r
Отсюда при /•-> 1 следует A) для 0<Х<—. Если 0<Х< —
дано, то знак равенства в последнем неравенстве имеет место
только для функций /(^), для которых
т.е. для
_
Г(Х)Г(л
Однако при А.^ —
4>.
и, следовательно, в этом случае знак равенства в A) не
может иметь места. Так как левая часть неравенства A) убы-
убывает с возрастанием X, то строгое неравенство остается в силе
и для X > —. Наконец, что постоянная тс есть наилучшая функ-
функция от л при Х!> —, можно доказать так же, как в § 9.5.
IX. Обобщения неравенства Харди. Харди V дал следующее
обобщение своего неравенства (9.8.1).
Д. 43. Если ат^0, но не все ат равны нулю
Hardy [12].

IX]
ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ
399
где
причем i(t) возрастает с t, у@) = у(-|-0), уA)=1, то
для любого р > 1
Константа
не может быть улучшена.
Теорема 326 является частным случаем у (t) = t этой теоремы;
в этом случае \im =—-г—г и
1 Л
Ъп=-
1
Харди отмечает некоторые другие частные случаи теоремы Д. 43.
Например, при
е
@ = «A—0
е^ суть средние Чезаро порядка а от ап и
Г1+а-1
V Р'
В этом случае Кноппом1) было доказано, что
Кпорр [3].

400
ДОПОЛНЕНИЯ
где
Далее, при
Ьп являются так называемыми средними Гельдера порядка а
от ап (впервые определенными для нецелых а Хаусдорфом) и
Чоу1) получил ряд обобщений теоремы 326 в несколько ином
направлении.
Д. 44. Если k > 1, /1/Л неотрицательна и выпукла, ап дей-
действительны,
то
Д. 45. Если А>1, /1//г неотрицательна, непрерывна и вы-
пукла*\ Хя>0,
л
//го
Д. 46.
дополнительно Хп возрастают, то
1/k
Д.47, EcAtik>l9f1/k неотрицательна, непрерывна и
выпукла, Ате>0 убывают и
U Chow [1].
2) На самом деле предположение непрерывности излишне, так как
неотрицательная выпуклая функция автоматически непрерывна.

IX] ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ 401
Теорема Д. 45 является обобщением теоремы 332. Крайние
неравенства в теоремах Д. 44 и Д. 45 доказаны Кноппом1^
Теорема Д. 44 является частным случаем 1п = 1 теоремы Д. 45.
Покажем, например, как доказывается теорема Д. 45.
Положим
Тогда
Лп
и так
то по
откуда
как
теореме 8<
л!к
6
1 ^ <г
[п) ^
(«»)
Лп-1
Лп
-iV-П
^Х" -i ».П 1
и принимая во внимание теорему 156 в форме
имеем
откуда
Knopp [2].

402 дополнения
и доказательство заканчивается как в теореме 326. Аналогично
доказываются и другие неравенства.
Вот еще одно неравенство из той же работы Чоу.
Д.48. Если (ап), (Ьп)... неотрицательны и убывают
то
UAnBn.. .f <{k'f Ъ{апЬп.. .)\
кроме того случая, когда
(ab...)=0.
X. Обобщения неравенства Карлемана. Неравенство Кар-
лемана было следующим образом обобщено Ван дер Корпутом1;.
Д. 49. Пусть рА >0, C2>О, . . ., оя= рх + ра+. . .+рй.
Тогда
A) У (a*la*2 aK\v°n
(I) ^ax a2 ...an)
если последовательность (а) не нулевая.
Доказательство ведется аналогично доказательству Полна
теоремы 334. Положим
так что
V о-ЧсЬ c?n\~i/'n— v ^n+i — у (- —l — —
Тогда
у С1 • • • сп
— стат
п
— Y& С а У а
т п > т
Van der Corput fl].

X]
ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА КАРЛЕМАНА
403
Знак равенства в последней оценке мог бы иметь место только,
если для всех т атст = Ау где А > 0— постоянная. Но в этом
о
случае правая часть неравенства A) равна Л 2 — (если этот
ряд сходится), а левая равна А 2 ^ * < А 2 — . Таким обра-
образом строгое неравенство A) доказано.
Из A) дальше следует (ср. с теоремой 349):
Д. 50. Если k > — 1 и
то
B)
(а) —не нулевая последозательность. Если> кроме того,
(Ь)
w °м w "о^" стремятся к оо
Рп
в B) наилучшей константой.
Действительно, по (а)
/г—> со, /тго
+
является
L P» Vn/Pn <r ^
и B) следует из A). Если удовлетворено и условие (Ь), то
положим ап = — , п = 1,2,. . ., N и an = 0 для я > N, где гте
определены выше. Тогда
S— ЪКаг . . . ап ) —h^-^—^
Так как aw—* со, C, -|- p2H~ • • • расходится и, следовательно,
ft ft
расходится и — + —+.... Таким образом, в силу усло-
вия (b),
Р»Лп/

404
ДОПОЛНЕНИЯ
s
lim T =
так что ек+1 действительно является в этом случае наилучшей
константой.
Неравенство Карлемана является частным случаем {Зп=1,
ап= п, k = 0 неравенства B). Нетрудно видеть, что для k^>\
и — 1 < k ^ О, pw = пк удовлетворяет условиям (а) и (Ь)
теоремы Д. 50. Но для k = — 1, р?г=— неравенства типа
не существует^ какова бы ни была постоянная k. Здесь мы
имеем следующую теорему.
I n 1
Д. 51. Если $п= —, aw=?— и f — постоянная Эйлера,
v =
— In
W->CO
I
то
C)
Констанща ех+ч является наилучшей.
Отметим еще интегральные аналоги предыдущих теорем Ван дер
Корпута, которых он не приводит.
Д. 52. Пусть а(х) определена для л:>0, а@)=0, а(х)
положительна, <*'{х) положительна и а"{х) интегрируема.
Пусть, далее,
lim а(л:) In «'(*)= О
lim a(x) = со.
(* / а"(х) а(х)\
dx< expfl— a,y)f(x)dx,
о
D) jexp
о
ja'@1n/@
если

X]
ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА КАРЛЕМАНА
Здесь а'(х) играет роль j3#J, а а(х) — роль оп. Для доказа-
доказательства положим
-Jilfi.ехрA -
Тогда, по теореме 184,
ехр
Ja'@1n/@«
2 ч*5
а'2(лг)
dx =
= J exp^
0
< j
а(лг)
= j A(t)f(t)dt,
где
аА(м) In ^{u)
Для вычисления F(t/) заметим, что
о
lim
lim [a

406 дополнения
l (t) = exp (l — a J2aff)>
и, следовательно,
Таким образом,
и D) следует с „^" вместо „<". Но в предыдущей оценке,
произведенной на оснований теоремы 184, знак равенства мо-
может иметь место только, если f(x) = —г—., где Л>0—постоян-
Л>0—постоянная, а для этой функции f(x) интеграл в правой части D)
расходится. Теорема Д. 52 доказана.
Теорема Д. 52 является интегральным аналогом теоремы Д. 49.
Аналогом теоремы Д. 50 является
Д. 53. Если а (л:) удовлетворяет условиям теоремы Д. 52
и если
1 а"(*)а(лг) < 1
где &> —1, для всех л;>0, то
ал@ 1п /@ Л
E) exp
dx<ek+1
о
если Дх)>0, /(а:)
кроме того
wo ek+l является в E) наилучшей константой.
Доказательство второго утверждения может быть предоста-
предоставлено читателю.
При а(л:) = л:, & = 0 мы получаем теорему Кноппа 335.
Отметим, что в отличие от теоремы Д. 50, неравенство E)
справедливо при ск,'(х) = хк для всех k> — 1.
Теоремы Д. 52 и Д. 53 могут быть еще обобщены (см. Ле-
Левин [2]).
Точного интегрального аналога теоремы Д. 51 ожидать
нельзя, и его не существует. Вместо него мы имеем

X] ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА КАРЛЕМАНА 407
Д. 54 1). Если /О)>0, /(х)^0, для х > 0, то
Константа е является наилучшей.
Кноппу 2) принадлежит одно неравенство, которое хотя и не
является прямым обобщением неравенства Карлемана, но отно-
относится к тому же типу. Если q > О и последовательность (а)
— не нулевая, то
1
oof пп п р,п п—1 пп Л(
F) Ца^а^ ...а°«Г
где q -\-1 является наилучшей постоянной. Это неравенство
отличается от неравенства Карлемана тем, что здесь мы имеем
дело не с одной бесконечной последовательностью показателей
j5nJ я=1, 2, ..., ас треугольной матрицей показателей
^n) = cnqn-^ v = 0, 1,..., я, я = 0, 1,2,...
Неравенство Кноппа было обобщено Ван дер Корпутом, а за-
затем Левиным, Имеет место следующая теорема
Д. 55 3). Если 0<а<1, q>0, 0
то
гд^ 0<Х = X(^, р, g)< 1 однозначно определяется уравне-
уравнением
!) См. Левин [2].
2) Кпорр [3].
3) Левин [3]. В случае /?=1, когда может быть допущено м = 1,
эта теорема была доказана Ван дер Корпутом [Van der Corput, 2].

408 дополнения
// знак равенства в G) имеет место в том и только том
случае, когда
ап=с\п(с>0)
Для доказательства заметим, что
S(u)= 2 иЧ
v +1 м
Отсюда
/со \/з /со Л-^ -11
5 (а) <(?>.+ 1)(S «,„) (S >'" ) = тт^У
so у чо ^ A—ку-Ро
Если в неравенстве G) положить р = 1 и ^ = 1, то оно
примет вид:
Интегрируя это неравенство по и от 0 до 1, найдем (Van der
Gorput BJ)
v_L
но здесь тс—2 яб является наилучшей константой. Наилучшая
константа в этом неравенстве неизвестна. В этом направлении
имеет место еще следующая теорема (Левин [3]).

XI] УТОЧНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЭЛЛИОТА 409
Д. 56. Если q > 0 и (а)— не нулевая последовательность
то
1
Это неравенство — точное, т. е. существуют последова-
последовательности (а), отличные от нулевой, для которых отно-
шение тр- как угодно близко к единице.
Действительно,
^^ 4
о
о
Для доказательства точности неравенства достаточно положить
ап = хп@<.х<1); тогда y^1 ПРИ х~>1 — 0.
В пределе q —> 0 неравенство (8) обращается в тождество.
XI. Уточнение неравенства Эллиота. Неравенство Эллиота
(теорема 338) допускает следующее уточнение:
Д. 57 1;. Если 0 </? < 1, atl^>0 и не все ап равны нулю,
оо
sn= S ак (л = 1,2, ...),
то
Эта и следующие семь теорем принадлежат Cf Стечкину,

410 дополнения
где штрих у суммы слева означает, что ее первый член
нужно умножить на
1
Константа ( ^_ j —наилучшая.
Не утверждается, что константа A —р) наилучшая. Из
теоремы Д. 61 следует, что штрих при знаке суммы может
быть опущен для
Теорема Д. 57 является частным случаем г = р более общего
неравенства:
Д. 58. Если
0<р<1, 0</-</>,
ап ^> 0 и не все ап равны нулю,
оо
sn= ? ah (л = 1, 2, ...)»
7
A)
где штрих при сумме слева означает, что ее первый член
нужно умножить на
B) 1 | р
/ р \р
Константа [*__ ) — наилучшая.
Это неравенство так относится к теореме 347, как неравен-
неравенство Эллиота относится к теореме 337.
Из теоремы Д, 62 следует, что в неравенстве A) штрих
при знаке суммы может быть опущен, если 0 <р <!-«- или
так что константа B), вообще говоря, не наилучшая. Ограни-
Ограничение г > 0 несущественно, так как в противном случае Д. 62
дает даже более сильный результат.

XI] УТОЧНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЭЛЛИОТА 411
Для доказательства выведем прежде всего одно интегральное
неравенство, которое имеет и некоторый самостоятельный
интерес.
Д. 59. Пусть
О <р < 1, г<1, Е>0,
функция f(x) определена для всех х > ?, неотрицательна и
со
F(x) = J /(«) А».
Тогда
C)
кроме того случая, когда f(x) ^ 0.
Константа I ~r j — наилучшая.
Это неравенство является уточнением теоремы 347 для случая
/М=о (о<х<е),
из которой не следует непосредственно.
Можно предположить, что интегралы
конечны. Положим
Тогда f>0 и y/? — 1 = — ^. Положим еще
Применяя неравенство Гельдера F.9.2) имеем,
D) х(-гф(х)<х(-г^ u-i-4u}l~P{J f(u)du}P
Ж X

412 дополнения
Знак равенства имеет место только, если для почти всех х
E)
Интегрируя обе части D), получаем
F)
Знак равенства был бы возможен только при выполнении E),
но в этом случае интеграл справа расходится.
Интегрирование по частям дает
откуда
а а
ct-1 ф rfjc
сю оо
G) J x-r(xf)pdx < т J хч-1 Фйх + 57ФE).
Из G), F) и D) следует C).
Для доказательства того, что константа наилучшая, можно
воспользоваться стандартными методами § 9.5. Например, до-
достаточно положить
) з>0)
и устремить s к 0.
Заметим, что аналогичным способом может быть доказана и тео-
теорема 347, которая соответствует предельному случаю ? = 0 тео-
теоремы Д. 59.
Отметим частный случай z=p доказанной теоремы.
Д. 60. Если 0</?<1, ?>0, /(•*)>0, Дх)фО,
F(x) = j /(и) da,
то
17 (\—p\p
Константа — — наилучшая.
\ Р J

XII] ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 413
Теорема Д. 58 выводится из теоремы Д. 59 методом § 9.13.
Положим в Д. 58 I = 1 и
f(x)=an (я<дг< и + 1, л=1,2,...).
Тогда
сю »+1
j x~r(xf)pdx = l,apn j jeP-'-d* > 2 я~г(яой)р,
1 И-
так как р — г > 0;
/=¦(*) = (и+ 1— х)ай+«
то
и A) следует.
Доказательство того, что константа точная, снова проводится
методами § 9.5.
XII. Точные константы в неравенствах Харди и Литтльвуда
Авторы „Неравенств" высказали предположение, что константа
в теореме 345 не является наилучшей. Здесь доказывается
справедливость этого предположения, а также определяется
точное значение константы в неравенстве 345 для 0</7^
Именно, имеет место следующая теорема
Д. 61. Если 0</?<1, aw>0, но не все ап равны нулю,
то
где

414 дополнения
Константа наилучшая для 0</?<-у. Если ^-</?<1, то
не утверждается, что константа наилучшая.
Ниже доказывается, что для любого р фКр < 1)
К(Р)>Рр>
откуда следует справедливость предположения авторов „Нера-
„Неравенств". В случае 0</7^-о теорема Д. 61 является также
о
усилением теоремы 338 (или теоремы Д. 58).
Предыдущая теорема является частным случаем г = —р сле-
следующего более общего предложения:
Д. 62. Пусть 0 < р < 1, г < 1, ап ^> 0, но не все ап равны
нулю,
sn= S я*-
Тогда
? п'г(пап)Р < К{р, г) S л~г$п,
где
(О
Константа наилучшая.
(II)
для
j, P<r<\

XII] ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 415
для
J<P<J, Р<г<1
(v)
для
В случаях (ii)—(v) не утверждается, что константа
К(р, г) наилучшая.
Эта теорема решает также частично вопрос о наилучшей
константе в теореме 346.
Для доказательства потребуется несколько лемм. Часть этих
лемм дает неравенства для сумм степеней чисел натурального
ряда и имеет некоторый самостоятельный интерес.
В дальнейшем s> —1 и
pf= ? k* (я = 1,2, ...)•
Лемма 1. Если 0<><^1, то
P^Xs + iy'nin + lf (я = 1,2, ...)•
Достаточно показать, что
A) я (л + 1 )• — (я — 1) я* < ($ + 1) яв (я = 1, 2, ...) •
Тогда искомая оценка получится суммированием. Неравенство A)
эквивалентно
что следует из формулы Лагранжа. Лемма доказана.
Заметим, что для s ^ 1 неравенство леммы 1 меняется на
обратное.
Лемма 2. Если s> 1, то
(g)> s п*(п + \Г
s_ns (Я— 1, J, ...).
Положим
M«) = 7TTFTT)S (« = 0,1,2,...).

416 ДОПОЛНЕНИЯ
Для доказательства леммы достаточно установить, что при
B) hs(n)-hs(n-l)<Cns (n = 1,2,...).
Имеем
h (n\ h(n-l)--^
Таким образом, B) эквивалентно неравенству
(о, s [ A+п-у A-п-у ) ^
1°-' 5 + 1 \A4-и-Т—! 1 — (l-n-1)-9/
которое и будем доказывать. Положим у = п~х. Тогда 0 < у
и C) переходит в следующее неравенство:
5 f (\+yp (\-y)s , /L
или, после упрощений, в неравенство
Это неравенство, очевидно, обращается в тождество для
s=l. Поэтому пусть 5> 1. Положим
giy) = A +у)'+О -JO* + (* -1H -У)*-
Имеем g-(O)^s + l, и для доказательства D) достаточно по-
показать, что
Находим, что
1+У
= s(s — l)(l—y*y-1\ f a;"Vjc—2y|.
Так как функция л: выпукла, то, по теореме 125,

XII] ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 417
откуда g'(y) ^ 0 для
доказана лемма 2.
Заметим, что для 0
на обратное.
Пусть теперь
Этим установлено D), и, значит,
1 неравенство леммы 2 меняется
E)
Положим
W*= Wn(p, t, r) = n
{ E
к=1
оо
к=п
(« = 1,2,...),
(« = 1,2,...).
Лемма 3. Если y =
(О
Читатель легко проверит, что если удовлетворены условия
этой леммы, то выполнены также условия E),
Пусть сперва
тогда
Пользуясв
w —
2, получаем
у Ат

418 дополнения
так как р — г^>0. Далее, по теореме 192,
1-р
J x
то есть
и
со
к = п
1 1
К~р<чг~р
1 1 оо
п
J
п
\к=п ) \к=п
Пусть теперь
F) r>l-2p,
Тогда, как нетрудно проверить,
и, значит, применима лемма 1. Поэтому
Второе из условий F) эквивалентно
Отсюда
1 _1_Г7г+1 лЦ^Ш _1_
Л+1
|2~

XII] ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 419
и так как из F)
х±1>1
2
то по теореме 192
и доказательство заканчивается, как в первом случае. Собирая
установленные неравенства, убеждаемся, что лемма доказана.
Лемма 4. Если
0<г</7, т=2 — /> + /-,
— p + 2r/
Эта лемма доказывается точно так же, как лемма 3. Ради
краткости мы опускаем доказательство.
1 3
Лемма 5. (i) Если — ^ р <^ ^
О
о
(ii) Если же -? <! р < 1, то
Положим
Подсчитывая производную, убеждаемся, что х(г) убывает
при возрастании г, если
C-2/0A-/»)
Но если имеет место (i), то
r,>p>T
Поэтому
r

420 дополнения
Если же имеет место (ii), то снова
гР>7>0,
и
Лемма доказана.
Лемма 6. Если
0<р<1, г<1, ?>1 — г,
> но не все ап равны нулю, то
где (gn) определена, как и выше.
Как нетрудно проверить,
JV N N
? п~г(пап)р= ? /fT-i ? I
откуда, переходя к пределу при N—>оо,
оо
По неравенству Гельдера F.9.2)
{oo 1 у-
к=п к J
k=n
и лемма доказана.
Лемма 7, Пусть
<Эля любой неотрицательной последовательности (Ьп)
справедливо неравенство
k=n
то для любой неотрицательной последовательности (ап)
справедливо неравенство

XIII] АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 421
Для доказательства положим
г-гх
Ьп = п р <*п.
Тогда
Г — Гх Г — Гх Г — Гх
оо оо —р— —я— оо —=—
? *л = ? k ак^Сп ? ак = п sni
к=п к=п к=п
* Г4
гГг{па„)р = S rCr{nbnf <
ОО
и лемма доказана.
Теорема Д. 62 следует теперь простым соединением дока-
доказанных лемм. Докажем, например, первый случай (i). По слу-
случаю (i) леммы 3
\ \ г
для 0<р<-т, г</?, 7= и по лемме 6
S /Гrs?,
если не все ате равны нулю. Для доказательства того, что
константа точная, достаточно положить
дя=л-1-т-« (и=1, 2, ..., /->0)
и устремить е к 0.
Аналогично доказываются и остальные утверждения. Лемма 5
показывает, что константа в теореме 345 не наилучшая ни для
какого /?, 0 < р < 1.
ХШ. Аналоги неравенств Харди и Литтльвуда. Неравенство
теоремы 347 для случая 0<р<1, г<1 можно записать
в следующем виде: если f(x) неотрицательна,

422
дополнения
то
кроме того случая, когда / = 0.
Это неравенство теряет смысл для г = 1, так как тогда
интеграл в правой части расходится в 0. Однако это не исклю-
исключает возможности, что оно имеет аналог для г=1, если за-
заменить нижний предел интегрирования положительным числом.
На самом деле имеет место даже более сильная теорема.
Д. 63. Пусть 0 < р < 1, с > 0. Положим
ео=О, ek^=
= x, lnft+t х = In (\nkx);
k
П
Тогда
J 9Г
f dx < (j
9j-\x) (\nkx)cFpdxy
кроме того случая, когда f^O. Константа наилучшая.
Это неравенство получается из сформулированного выше
(или из теоремы 347) простой заменой переменного. Доста-
Достаточно положить
х= \nkt.
В частности для & = 1, с = \ —р имеем
Д. 64. Если 0<р<1, f(x) неотрицательна,
то
Fpdxy
кроме того случая, когда f = 0. Константа наилучшая.
Подобные неравенства имеют место и для рядов. Ограни-
Ограничимся выводом аналога последней теоремы, но заметим, что

XIII] АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВ ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 423
тем же способом можно получить и общее неравенство, соот-
соответствующее теореме Д. 63.
Д. 65. Если 0</?< 1, яп>0,
к=п
то
Имеем
N N -i N
n=l n=l k=n
где
Далее
—i °°
k=n k k'
k=
Ho
c=w K K [k=n K J k=n [k=n K J
Отсюда
Заметим, что в этой теореме нам неизвестно точное значение
константы К(р).

424 дополнения
XIV. Константы в двупараметрических неравенствах Гиль-
Гильберта. Из приведенного в тексте доказательства теоремы 339
следует, что наилучшее значение постоянной К(р, q) не пре-
превосходит p'p-\-qfq, где, как всегда, р'' = р и qr = —^-.
Можно доказать, что эти теоремы имеют место с
rw sin^
что является лучшим результатом ^ (хотя автору неизвестно,
является ли эта постоянная наилучшей для всех допустимых
значений р и q).
Д.66. В условиях теорем 339 и 340
I?)
если ят1>0, ^п^>0, яо я^ б^:^ ап и не все Ьп равны нулю, и
Л lip (со Н/(/
Н (f)
если f(x) > 0, g(y)>0.
Докажем интегральное неравенство, из которого неравенство
для рядов следует специализацией функций f(x) и g(yJ). Для
х) При X=l, q = pf эта постоянная имеет наилучшее значение —
sin—
Р
(см. теорему 317).
2) Полагая f(x) = am (т —
т, /г= 1, 2, ... имеем
a
oo oo
0 0
0 0
m ft
0000 Г Г awfin

XIV] КОНСТАНТЫ В ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВАХ 425
этого введем обозначения:
«=т- ? = ¦?•
так что
По неравенству Гельдера для двойных интегралов
' \y
где
Н-НоэШ ХР' U
TZT U (сю Л foo H-X
lo J lo J 1о
вновь по неравенству Гельдера.

426 ДОПОЛНЕНИЯ
Аналогично,
_
? и Хр , С v q л % %
\~г~, аи= -— dv = z—= =—,
J 1 + и J 1 + ^ sinJ^. sin^-
находим, что
о о
Как было уже указано, вопрос о наилучшей постоянной
в неравенствах теоремы Д. 66 для любой пары допустимых
значений р и q (кроме случая q =//) остается открытым. Однако
можно доказать одно аналогичное неравенство, содержащее
наилучшую постоянную. Для этого мы должны воспользоваться
понятием перестановки последовательности и функции (гл. X).
Пусть f(x) и g(y) неотрицательны,
оо
F<^, 0<Jg*OOrfy=G<oo
о
Положим
где f(x) и ~g(y)—перестановки / и g в убывающем порядке
(см. § 10. 12). Таккак/??р@,оо) и g?Lq@,oo), то ср(лг) -^0
при х->0 и х->оо, и ty(y)->0 при )/->0 и у-+оо. Пусть
= sup <p(x), ф= sup
0<а?<оо 0<?/<оо

XIV] КОНСТАНТЫ В ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВАХ 427
ф и ф конечны и, более того, ср -< F, Ф <! G, так как,
например,
F = J/*(*)</х> Х/*(Х) = ср(X)
для любого Х@<СХ<^оо) в силу убывания функции f(x).
Д. 67 *)
A) f f f(x)g(у) d^^
f f
J J
о о
где
Г(Х)
является наилучшей постоянной для каждой пары допусти-
допустимых значений р и q.
Отсюда следует аналогичное неравенство для рядов. Если
f(x)=am (m — l<Cx^m)y
т, п = 1, 2, ...,
где яш;>0, bn^0y но не все ап и не все Ьп равны нулю, то
Далее, /(л:) = ^ (|х —1<х<[х), g:(jy) = ^v (v— I < ^ < v),
jx,v = 1, 2, ..., где (а0) и (#v) — перестановки последователь-
последовательностей (ат) и (Ьп) в'убывающем порядке (см. § 10.2; мы от-
отклоняемся здесь от обозначений этого параграфа), и
ср = ос= sup fj-a?, ^=Q= sup ра?,
1<[JL<OO 1<V<OO
где, аналогично предыдущему, ос
Таким образом имеем
Д. 68.
1-Х 1-Х 1
Левин [4].

428 дополнения
где постоянная k из теоремы Д. 67 является наилучшей
для каждой пары допустимых значений р и q.
Таким образом, неравенство B) следует из неравенства A).
А так как то обстоятельство, что k является наилучшей по-
постоянной вA), следует из того, что k является наилучшей по-
постоянной в B), томы докажем неравенство A) и то, что k не
может быть улучшена в B).
Для доказательства неравенства A) покажем сначала, что
Из этого будет следовать, что мы можем ограничиться невоз-
растающими fug.
Достаточно показать, что
оо оо
Д = J j h(x-\-y)f(x)g{y) dx dy -
О О
оо оо
-\\ h(x+y)f(x)g(y)dxdy>0,
О О
где s>0 произвольно и
Но
О О
для некоторого Г>0, где
t
т@= §[/(*)?«—x) — f(x)g(t—x)\dx.
О
Следовательно, достаточно показать, что
т

XIV] КОНСТАНТЫ В ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВАХ 429
для всех Г> 0. Мы имеем
т т т—х т т—х
т @ dt = j f(x) dx j g(y) dy — j f{x) dx j
0 0 0 0
>J {/(*)-/(*)}<**
по A0.12.2). Далее, так как
Т-х
j g(y)dy
о
— невозрастающая функция от х, то
т т-х
j {/(¦*) —f(x)}dx j g(y) dy =
о о
т х
= j g(y) dy j [f(x) —f(x)} dx > 0,
о о
no A0.12.2), где X—некоторое число между 0 и 7.
Итак, предположим, что f(x) и g(y) — невозрастающие
функции. Выше, при доказательстве теоремы Д. 66, мы имели
оо оо 11
UX)g{y) ЛуЛ
U-
где

430 дополнения
Знак строгого неравенства имеет место потому, что если
( = ty для 0<^<оо, то G = oo. Аналогично
и искомое неравенство следует.
Для доказательства точности постоянной в B) положим
aM = m/^(l<m<r), am = 0(m>r) и *я = я-1/«(
г), где г — целое положительное число. Тогда
где
1M „, i/я
о
г
1
г/л -1 г/л
г
1
Следовательно,
>k-{p'(\ +p')
что произвольно близко к k для достаточно больших г.

XV] ИНТЕГРАЛЬНЫЙ АНАЛОГ 431
XV. Интегральный аналог. Метод, примененный при дока-
доказательстве теоремы Д. 67 в дополнении XIV, позволяет, если
мы воспользуемся понятием перестановки функции в симме-
симметрично убывающем порядке и применим теорему 380, доказать
следующее уточнение теоремы 382.
Д. 691}. В условиях теоремы 382, если /7>0, G>0, то
1-Х 1-Х 1 1
fy±y dxdy<K<?W~ ^ F^gW ,
о о ~
где
<?= sup \x\f*p(x), <|.= sup \y\g*4y),
— oo<a?<oo —оо<г/<оо
причем f* и g* обозначают перестановки f и g в симме-
симметрично убывающем порядке. Константа
J l«-l|x J |t;-l|x
ОО
является наилучшей для каждой пары допустимых значений
р и q.
Так как
сю оо
i!
0
и аналогично
то из теоремы Д. 67 следует, что в теореме 382 в качестве
К = К(Р* Ч) можно взять выражение
Левин [5J.

432
дополнения
XVI. Разные теоремы. Д. 70. Пусть Ж>1,
@1=1,2, ...,Ж; я = 0,1,...,Л/) и zn (л = 0
комплексны. Тогда
\ ртп
О)
m=\ n=0 n=0
X* есть наибольший корень уравнения
7i> A)— * (Pi.Pa) ... (Р
(р2» A) (P2>ft)~ а • • • (Р
Яж^ А)
^ Рж) —
= 0,
N
(РтРт') = S PmnPm'n (m>
»г=0
= 1, 2, . . ., Ж).
Неравенство A) точное для любых ртп.
Относительно этой и следующей теоремы см. Голузин [1],
где даны также их приложения к теории аналитических функций.
Неравенство A) является обобщением неравенства Коши
(теоремы 7), к которому оно сводится при Ж = 1.
Для доказательства A) естественнее всего найти максимум
его левой части при фиксированном значении
»г=0
с помощью метода множителей Лагранжа.
Заметим, что X* есть также максимум квадратичной формы
м м
S S (р
относительно действительных значений хт, удовлетворяющих
условию

XVI] РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ 433
Неравенство A) остается справедливым и для 7V=oo, если
дополнительно предположить, что для любого т
оо
те=0
Д.71. Если рп) zn (п=0, 1, . . .) комплексны,
1 {М — целое^ I),
сю
w=l
те=0
А* есть наибольшая из сумм
сю 9
те=О
А* > 0 и равенство
S IPm + filfl2 (/»=0, 1, ..., Af — 1).
те=0
те=0
имеет место только при rn = mli m2) ..., ms, то знак
равенства в A) имеет место в том и только том случае,
когда
з $ (/ = 1, 2, ...,s),
гп=0 в противном случае.
Здесь Cj любые комплексные числа.
Пример к предыдущей теореме.
Д. 72. Пусть а{A = 1, 2, ..., п) действительны, рг поло-
положительны,
Тогдау если 0 < у < х ^ 1 #уш 1 ^ jc < y} то
кроме того случая, когда все ^=0.
См. Bronowski [1J, где это неравенство доказано для случая
р^ = 1 (i= 1, 2, . . .,я), мало отличающегося от общего случая.

434 дополнения
Полагая
имеем
если не все #^ = 0. Итак, fit) выпукла и имеет минимум для
t = 0. Значат, она строго убывает для /<0и строго возрастает
для />0. Делая замену
х = efi, у = efif
мы находим искомое неравенство.
соотношении
Д. 73. Пусть 0< а< 1 и числа Аап 1 определяются из
xn — A X) I x I <C 1.
tt=O
Положим
Тогда^ если 0 ^ m ^ п, то
max
Неравенство точное. В частности
и
A) llX-U/J< max \s;\.
k=0 0<?<w
Эта теорема, доказательство которой столь же изящно, как
и ее формулировка, принадлежит Бозанкэ1}. Интегральный
аналог неравенства A) получен М. Риссом2) еще в 1911 г.
!) Bosanquet [2].
2) См. Hardy and M. Riesz [1].

XVI] РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ 435
Выражение внутри абсолютных скобок в левой части A)
представляет собой отрезок суммы s«, и теорема утверждает,
что всякий такой отрезок мажорируется суммой s* с номером
/</л.
При доказательстве этой теоремы предполагается, что чи-
читатель знаком с элементарными свойствами чезаровых средних.
Все необходимые сведения по этому вопросу можно найти,
например, в книге Зигмунда [2].
Результат тривиален для а = 0, а = 1 или т = п. Поэтому
пусть
О <а <1, 0<т <п.
Заметим прежде всего, что по правилу перемножения рядов,
если 0^ /^ п, то
Положим
Pi= i A'nZlAJilt (/=0,l,..,
k = l
Тогда
k=l k=m-\~l) k=m+l
Значит, Рь не возрастают при возрастании / и
0 lm
к=т-\~\
Отметим также, что
Далее,
Тогда
l=k
= 1 А*
х = к
положим
-1
1=
X
1^к
— /
¦¦к х=1
А~1
1 = 0

436 дополнения
l=k l=k
= I PiAlZl — 1 PlAlli-i =
lk lk+l
i
l=k l=k+l
— у
— Li
"-1 — A°-\
t-п—х — ля—ft»
Переходя к доказательству, имеем
т G-1 m т п—Л т I п—Л т
А:=0 к=0 1=к 1=0 к=0 1=0
max
max
и
* а -1 т
i Ап—к 5д.| ^. 2j .
= 0 ? = 0
Из этого доказательства видно также, что знак равенства
будет иметь место в том и только том случае, если
то есть если
s1 = CaT A=1, 2, .. ., т).
Простые примеры показывают, что неравенство A), вообще
говоря, несправедливо, если а>1 или а<0.
Д. 74. Характеристическое свойство непрерыв-
непрерывной выпуклой функции. Пусть <р(t) есть произвольная
действительная функция, определенная для всех t. Тогда
всякая функция вида
A) /(*)= sup {xt-?(t)}
выпукла. Обратно, для любой непрерывной выпуклой функции
найдется представление A). Например, можно взять
<р(/)= sup {xt-fix)}.
-оо<0?<оо
См. Mandelbrojt [1].

XVI] РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ 437
Д. 75. Если
СО
(И)
(НО
(Iv)
у"{х) непрерывна,
у(х+«)=у(х),
у(х)>0,
у(х) + у"(х)>0,
то
о
Это неравенство было предложено Голабом*) в качестве
задачи, им не решенной. Известные доказательства этой тео-
теоремы весьма громоздки и основываются на вариационном
исчислении. См. Lochs [I], Radon [2] и Левин [6].
Д. 76. Пусть у (х) определена для О < х <; 1, у @) = 0,
УФ 0, /? 12@,1). Тогда
о
Константа наилучшая.
о о
где X_j есть наименьший корень уравнения
и неравенство обращается в равенство в том и только
в том случае, если
Здесь JQ(t) и Jx(f) — функции Бесселя.
1 1
о
где Xv — есть наименьший корень уравнения
СО \Ш
\т ^
i Golab [1].

438 дополнения
Неравенство обращается в равенство в том и только том
случае, если
у=
Относительно этой и следующих четырех теорем см. Левин [6].
Д. 77. При выполнении условий предыдущей теоремы
'2 dx (v= 1, 2, ...),
где Лу есть наименьший корень уравнения
i _i_ у ( iw -±т л
причем неравенство обращается в равенство в том и только
в том случае, если
v=c{1_i_ v (—n«A^ ufi}
Д. 78. /7рй выполнении условий теоремы Д. 76
1 1
= CxB-x)V,
О О
/ > 0, то
1 1
J{('+1)*' — x2l-2}y2dx*C^y'2dx, [у =
0 о
в частности, для I = 1
1 1
О О
неравенства в этой и четырех следующих теоремах
являются точными, и если допускается знак равенства, то

XVI] РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ 439
он имеет место в том и только том случае, когда функ-
функция равна помещенной справа в скобки.
Д. 79. Пусть г (х) определена для О < х < 1, z @) = z A) = О,
^0 '?L2@,l). Тогда
0 о
1 1
3±
О О
1 1
i
г = Сх{1-х)е*\;
= СхA—х)е-*];
о
1
Д. 80. Пусть w(x) определена для 0<х<оо, ^(о) = О,
/ , w^x) ^Lfe@, oo) и если k не является целым
f^>0. Тогда для />0
Д. 81. Яу^/^ь /(л:)>0,
О
для любого действительного I
XiG{f(x)}dx
О

440 дополнения
Если а > 0, то
*<4-J e<*f(x)dx,
0
Относительно этой и следующей теоремы см. Левин [2].
Д. 82. Пусть /(*)>(>, р'@>°,
0
Тогда для Х>0 ^ произвольного действительного I
? -|- 1 сю
J
о о
Если р"(t) существует и суммируема, р(х)->оэ (лг->оо),
p(x)logp\x)—>0, (х —> 0),
то
Д. 83х). Если 1 <р < оо, />0, /^0, /? Z.p(—оо, оо),
сю
то
сю сю
" Fpdx<k~p \fdx.
У Эта теорема сообщена нам проф. В. В. Степановым.

XVI] РАЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ 441
Константа наилучшая.
Имеем по неравенству Гельдера
СО СО
F (х) =?*# Г e~kuf{u) da = е*х (* е~ки/рГ e~ku/Pf(u) da <
X
со оо
| J *-*, da у { \ e~^fp(u) duY'" =
X X
X X
Знак равенства был бы возможен только при
но в этом случае / не принадлежит Lp(—со, оо).
Далее,
оо оо
JFpdx= j j e*» j е-*м/(и) da \p dx
-оо —оо X
оо оо
< k-PiP' j в*» j e~^f(a) da dx =
— оо X
U
fp(u) f e^dx da = k~p
—oo —oo —oo
Для доказательства того, что константа наилучшая, доста-
достаточно положить
/М = 0, (\x\>N)
и сделать iV—> оо.
Нетрудно проверить также, что для р = 1 всегда имеет
место знак равенства. Заметим, что случаю р = со соответ-
соответствует следующее простое неравенство
max/7^ & max/
и что для 0</?<1 имеет место обратное неравенство
в соответствии с § 9.13.

БИБЛИОГРАФИЯ
i)
N. Н. Abel
1. Sur les series, Oeuvres completes, II B-е изд. Christiania, 1881),
197-201.
E. Artin
1. Ueber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abhandl a. d.
math. Seminar Hamburg, 5 A927), 100-115.
E. Artin und O. Schreier
1. Algebraische Konstruktion reeller Korper, Abhandl. a. d. math. Semi-
Seminar Hamburg, 5 A927), 85-99.
G. Aumann
1. Konvexe Funktionen und die Induktion bei Ungleichungen zwischen
Mittelwerten, Miinchner Sitzungsber, 1933, 403-415.
H. И. Ахиезер
* 1. Лекции по теории аппроксимации (Москва, ГТТИ, 1947).
S. Banach
1. Operations lineaires (Warszawa, 1932).
R. Bellman
* 1. A note on periodic functions and their derivatives, Journ. London
Math. Soc. 18 A943), 140-142.
* 2. An integral inequality, Duke Math. Journ. 10 A943), 547-550.
J. Bernoulli
1. Unendliche Reihen (Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften,
Nr. 171, Leipzig, 1909).
F. Bernstein
1. Ueber das Gauss'sche Fehlergesetz, Math. Annalen, 64 A907), 417-
447.
F. Bernstein und G. Doetsch
1. Zur Theorie der konvexen Funktionen, Math. Annalen, 76 A915),
514-526.
S. Bernstein
* 1. Sur quelques proprietes extremales des integrals successives, Comptes
rendus, 200 A935), 1900-1902.
A. S. Besicovitch
1. On mean values of functions of a complex and of a real variable,
Proceedings London Math. Soc. B), 27 A928), 373-388.
Z. W. Birnbaum und W. Orlicz
1. Ueber die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugiert-
en Potenzen, Stadia Math. 3 A931), 1-67.
^ Работы, отмеченные звездочкой, упоминаются только в Дополнениях.

БИБЛИОГРАФИЯ 443
W. Blaschke
1. Kreis und Kugel (Leipzig, 1916).
G. A. Bliss
1. Calculus of variations (Chicago, 1927).
2. The transformation of Clebsch in the calculus of variations, Proce-
Proceedings International Math. Congress (Toronto, 1924), I, 589—603.
3. An integral inequality, Journ. London Math. Soc. 5 A930), 40-46.
H. Blumberg
1. On convex functions, Trans. Amer. Math. Soc. 20 A919), 40-44.
M. Бохер
1. Введение в высшую алгебру (Москва, ГТТИ, 1934).
Н. Bohr
1. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen (I), Acta Math. 45
A924), 29-127.
* 2. Un theoreme general sur l'integration d'un polynome trigonometrique,
Comptes rendus, 200 A935), 1276-1277.
* 3. En Saetning om Fourierraekker, Mat. Tidskrift, В A935), 77-81.
* 4. Ein allgemeiner Satz tiber die Integration eines trigonometrischen
Polynoms, Prace mat.flz. 43 A936), 273-288.
0. Bolza
1. Vorlesungen п'Ъег Variationsrechnung (Leipzig, 1909).
L. S. Bosanquet
1. Generalisations of Minkowski's inequality, Journ. London Math. Soc.
3 A928), 51-56.
* 2. A mean value theorem, Journ. London Math. Soc. 16 A941), 146—
148.
Ю. Г. Боссе (Г. Е. Шилов)
* 1. О неравенствах между производными, Московский Гос. Универ-
Университет, Сборник работ научных студенческих кружков, 1937,
17-27.
W. Briggs and G. H. Bryan
1. The tutorial algebra D-е изд., London, 1928).
T. A. A. Broadbent
1. A proof of Hardy's convergence theorem, Journ. London Math. Soc.
3A928), 242-243.
J. Bronowski
* 1. An inequality relating to means, Proc. Cambr. Phil. Soc. 40 A944),
253-255.
V. Buniakowsky
1. Sur quelques inegalites concernant les integrates ordinaires et les
integrates aux differences furies, Memoires de VAcad. de St-Peters-
bourg (VII), 1 A859), No. 9.
T. Carleman
1. Sur les fonctions quasi-analytiques, Conferences faites аи cinquieme
congres des mathematiciens scandinaves (Helsingfors, 1923),
181-196.

444 библиография
F. Carlson
* 1. Une inegalite, Arkiv for Mat., Astron. och Fys. 25 В A934), Nr. 1.
W. B. Caton
* 1. A class of inequalities, Duke Math. Journ. 6 A940), 442-461.
A. L. Cauchy
1. Cours d'analyse de VEcole Royale Poly technique. Ire partie. Analyse
algebrique (Paris, 1821). [Oeuvres completes, IIе serie, III.]
2. Exercises de mathematiques, II (Paris, 1827). [Oeuvres completes, IIе
serie, VII.]
Y. C. Chow
* 1. A note on Hardy's inequality and similar inequalities, Journ. Lon-
London Math. Soc. 14 A939), 88-93.
G. Chrystal
1. Algebra, II B-е изд., London, 1900).
R. Cooper
1. Notes on certain inequalities (I): generalisation of an inequality of
W. H. Young, Journ. London Math. Soc. 2 A927), 17-21.
2. Notes on certain inequalities (II), Journ. London Math. Soc. 2 A927),
159-163.
3. The converses of the Cauchy—Holder inequality and the solutions of
the inequality g(x+y) <g(x)+g(y), Proceedings London Math.
Soc. B), 26 A927), 415-432.
4. Note on the Cauchy-Holder inequality, Journ. London Math. Soc. 3
A928), 8-9.
E. T. Copson
1. Note on series of positive terms, Journ. London Math. Soc. 2 A927),
9-12.
2. Note on series of positive terms, Journ. London Math. Soc. 3 A928),
49-51.
J. G. van der Corput
* 1. Generalisations of Carleman's inequality, Koninklijke Akademie van
Wetenschappen te Amsterdam XXXIX A936), No. 8.
* 2. Generalisation of an inequality of Knopp, Koninklijke Akademie van
Wetenschappen te Amsterdam XXXIX A936), No. 9.
G. E. Crawford
1. Elementary proof that the arithmetic mean of any number of positive
quantities is greater than the geometric mean, Proceedings
Edinburgh Math. Soc. 18 A900), 2-4.
G. Darboux
1. Sur la composition des forces en statique, Bull, des sciences math. 9
A875), 281-288.
L. L. Dienes
1. A theorem on orthogonal functions with an application to integral
inequalities, Trans. Amer. Math. Soc. 30 A928), 425-438.

БИБЛИОГРАФИЯ 445
A. L. Dixon
1. A proof of Hadamard's theorem as to the maximum value of the
modulus of a determinant, Quart. Journ. of Math. B), 3 A932),
224-225.
J. Dougall
1. Quantitative proofs of certain algebraic inequalities, Proceedings
Edinbourgh Math. Soc. 24 A906), 61-77.
J. M. C. Duhamel et A. A. L. Reynaud
1. Problemes et developpemens sur diverses parties des mathematiques
(Paris, 1823).
E. B. Elliott
1. A simple exposition of some recently proved facts as to convergency,
Journ. London Math. Soc. 1 A926), 93-96.
2. A further note on sums of positive terms, Journ. London Math. Soc. 4
A929), 21-23.
Euclid
1. The thirteen books of Euclid's Elements (translated by Sir Thomas
Heath, Cambridge, 1908).
J. Favard
* 1. Application de la formule sommatoire d'Euler a la demonstration de
quelques proprietes exiremales des integrals des fonctions
periodiques, Mat. Tidskrift, В A936), 81-94.
* 2. Sur une propriete extremale de Г integral d'une fonction periodique,
Comptes rendus, 202 A936), 273.
L. Fejer
1. Ueber gewisse Minimumprobleme der Funktionentheorie, Math.
Annalen, 97 A927), 104-123.
L. Fejer und F. Riesz
1. Ueber einige funktionentheoretische Ungleichungen, Math. Zeitschr
11A921), 305-314.
B. de Finetti
1. Sul concetto di media, Giornale dell' Istituto Italiano degli Attuari 2
A931), 369-396.
E. Fischer
1. Ueber den Hadamardschen Determinantensatz, Archiv der Math. u.
PhysikC), 13 A908), 32-40.
E. C. Francis and J. E. Littlewood
1. Examples in infinite series with solutions (Cambridge, 1928).
F. Franklin
1. Proof of a theorem of Tschebyscheff s on definite integrals, American
Journ. of Math. 7 A885), 377-379.
M. Frechet
1. Pri la funkcia equacio/(x+j)=/(x)+/(y), L'enseignement math. 15
A913), 390-393.
2. A propos d'un article sur l'equation fonctionelle f(x+y)=f(x) +
+/(y), L'enseignement math. 16A914), 136.

446 библиография
G. Frobenius
1. Ueber Matrizen aus positiven Elementen (II), Berliner Sitzungsber.,
1909,514-518.
R. M. Gabriel
1. An additional proof of a theorem upon rearrangements, Journ.
London Math. Soc. 3 A928), 134-136.
2. An additional proof of a maximal theorem of Hardy and Littlewood,
Journ. London Math. Soc. 6 A931), 163-166.
3. The rearrangement of positive Fourier coefficients, Proceedings
London Math. Soc. B), 33 A932), 32-51.
* 4. An extension of an inequality due to Carlson, Journ. London Math.
Soc. 12 A937), 130-132.
C. F. Gauss
1. Werke (Gottingen, 1863-1929).
В. И. Гливенко
* 1. Интеграл Стилтъеса (Москва, ОНТИ, 1936).
J. A. Gmeiner und О. Stolz
1. Theoretische Arithmetik, II Abteilung (Leipzig, 1902).
St. Golab
* 1. Aufgabe 151, Jahresberichte der Deutschen Mathematikerverei-
Ш?Ш2?, 43A933), 1.
Г. М. Голузин
* 1. Оценки для аналитических функций с ограниченным средним
модулем, Труды Мат. Института им. В. А. Стеклова, XVIII
A946).
В. Л. Гончаров
* 1. Теория интерполирования и приближения функций (Москва —
Ленинград, 1934).
A. Gorny
* 1. Contribution a l'etude des fonctions derivable d'une variable reelle,
Ada Math. 71 A939), 317-358.
J. P. Gram
1. Ueber die Entwicklung reeller Funktionen in Reihen, mittelst der
Methode der kleinsten Quadrate, Journal/. Math. 94 A881), 41-
73.
K. Grandjot
1. On some identities relating to Hardy's convergence theorem, Journ.
London Math. Soc. 3 A928), 114-117.
Grebe
1. Ueber die Vergleichung zwischen dem arithmetischen, dem geomet-
rischen und dem harmonischen Mittel, Zeitschr. f. Math. u. Physik
3A858), 297-298.
A. Haar
1. Ueber lineare Ungleichungen, Ada Litt. ac Scient. Univ. Hung. 2
A924), 1-14.

БИБЛИОГРАФИЯ 447
J. Hadamard
1. Resolution d'une question relative aux determinants, Bull, des scien-
sciences math. B), 17 A893), 240-248.
H. Hahn
1. Theorie der reellen Funktionen, I (Berlin, 1921).
G. Hamel
1. Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktional-
gleichung/(x+j;) =f(x) +f(y),Math. Annalen, 60 A905), 459-462.
G. H. Hardy
1. A course of pure mathematics F-е изд., Cambridge, 1928) 1}.
2. Note on a theorem of Hubert, Math. Zeitschr. 6 A920), 314-317.
3. Note on a theorem of Hubert concerning series of positive terms,
Proceedings London Math. Soc. B), 23 A925), Records of Proc.
xlv—xlvi.
4. Notes on some points in the integral calculus (LX), Messenger of
Math. 54 A925), 150-156.
5. Notes on some points in the integral calculus (LXIV), Messenger of
Math. 57 A928), 12-16.
6. Remarks on three recent notes in the Journal, Journ. London Math.
Soc. 3 A928), 166-169.
7. Notes on some points in the integral calculus (LXVIII), Messenger of
Math. 58A929), 115-120.
8. Prolegomena to a chapter on inequalities, Journ. London Math. Soc.
4 A929), 61-78 и 5 A930), 80.
9. Remarks in addition to Dr Widder's note on inequalities, Journ.
London Math. Soc. 4 A929), 199-202.
10. The constants of certain inequalities, Journ. London Math. Soc. 8
A933), 114-119.
* 11. A note on two inequalities, Journ. London Math. Soc. 11 A936),
167-170.
* 12. An inequality for Hausdorff means, Journ. London Math. Soc. 18
A943), 46-50.
G. H. Hardy and J. E. Littlewood
1. Elementary theorems concerning power series with positive
coefficients and moment constants of positive functions, Journal f
Math. 157A927), 141-158.
2. Some new properties of Fourier constants, Math. Annalen 97 A927),
159-209A99).
3. Notes on the theory of series (VI): two inequalities, Journ. London
Math. Soc. 2 A927), 196-201.
4. Notes on the theory of series (VIII): an inequality, Journ. London
Math. Soc. 3 A928), 105-110.
5. Notes on the theory of series (X): some more inequalities, Journ.
London Math. Soc. 3 A928), 294-299.
6. Some properties of fractional integrals (I), Math. Zeitschr. 27 A928),
565-606.
!) Готовится русский перевод: Г. Харди. Курс чистой математики.

448 библиография
7. Notes on the theory of series (XII): on certain inequalities connected
with the calculus of variations, Journ. London Math. Soc. 5
A930), 283-290.
8. A maximal theorem with function-theoretic applications, Ada Math.
54A930), 81-116.
9. Notes on the theory of series (XIII): some new properties of Fourier
constants, Journ. London Math. Soc. 6 A931), 3-9.
10. Some integral inequalities connected with the calculus of variations,
Quart. Journ. of Math. B), 3 A932), 241-252.
11. Some new cases of Parseval's theorem, Math. Zeitschr. 34 A932),
620-633.
12. Some more integral inequalities, Tohoku Math. Journ. Ъ1 A933),
151-159.
13. Bilinear forms bounded in space [p, q], Quart. Journ. of Math. B),
5A934), 241-254.
G. H. Hardy, J. E. Littlewood and G. Polya
1. The maximum of a certain bilinear form. Proceedings London Math.
Soc. B), 25 A926), 265-282.
2. Some simple inequalities satisfied by convex functions, Messenger of
Math. 58A929), 145-152.
G. H. Hardy and M. Riesz
: 1. The general theory of Dirichlet's series (Cambridge, 1915).
F. Hausdorff
1. Summationsmethoden und Momentfolgen (I), Math. Zeitschr. 9
A921), 74-109.
2. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes uber Fourierreihen, Math.
Zeitschr. 16 A923), 163-169.
E. Hellinger und O. Toeplitz
1. Grundlagen fur eine Theorie der unendlichen Matrizen, Math. Anna-
/era, 69A910), 289-330.
С Hermite
1. Cours de la Faculte des Sciences de Paris D-е литографир. изд.,
Paris, 1888) 1}.
D. Hilbert
1. Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquad-
raten, Math. Annalen 32 A888), 342-350. [Werke, II, 154-161.]
2. Ueber ternare definite Formen, Ada Math. 17 A893), 169-197.
[Werke, II, 345-366.]
E. W. Hobson
1. The theory of functions of a real variable und the theory of Fourier
series, I, II B-е изд., Cambridge, 1921, 1926).
0. Holder
1. Ueber einen Mittelwertsatz, Gottinger Nachrichten, 1889, 38—47.
^ Имеется русский перевод: Ш. Эрмит. Курс анализа (Москва —
Ленинград, 1936).

БИБЛИОГРАФИЯ 449
A. Hurwitz
1. Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mit-
tels, Journal/. Math. 108 A891), 266-268. [Werke. II, 505-507.]
2. Sur le probleme des isoperimetres, Comptes rendus, 132 A901),
401-403. [Werke, I, 490-491.]
A. E. Ingham
* 1. A note on Hilbert's inequality, Journ. London Math. Soc. 11 A936),
237-240.
J. L. W. V. Jensen
1. Sur une generalisation d'une formule de Tchebycheff, Bull, des scien-
sciences math. B), 12 A888), 134-135.
2. Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyen-
nes, Acta Math. 30 A905), 175-193.
B. Jessen
1. Om Uligheder imellem Potensmiddelvaerdier, Mat. Tidsskrift, В
A93IX No. 1.
2. Bemaerkinger om konvekse Funktioner og Uligheder imellem Mid-
delvaerdier (I), Mat. Tidsskrift, В A931), No. 2.
3. Bemaerkinger om konvekse Funktioner og Uligheder imellem Mid-
delvaerdier (II), Mat. Tidsskrift, В A931), No. 3-4.
4. Ueber die Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels, Acta Litt.
acScient. Hung. 5 A931), 108-116.
A. E. Jolliffe
1. An identity connected with a polynomial algebraic equation, Journ.
London Math. Soc. 8 A933), 82-85.
Th. Kaluza und G. Szego
1. Ueber Reihen mit lauter positiven Gliedern, Journ. London Math.
Soc. 7A932), 208-214.
J. Karamata
1. Sur une inegalite relative aux fonction convexes, Publ. math. Univ.
Belgrade, 1 A932), 145-148.
* 2. Beziehungen zwischen den Oszillationsgrenzen einer Funktion und
ihrem arithmetischen Mittel, Proc. London Math. Soc. B) 43
A937), 20-25.
K. Knopp
1. Ueber Reihen mit positiven Gliedern, Journ. London Math. Soc. 3
A928), 205-211.
2. Neuere Satze uber Reihen mit positiven Gliedern, Math. Zeitschrift
30A929), 387-413.
3. Ueber Reihen mit positiven Gliedern Bte Mitteilung), Journ. London
Math. Soc. 5A930), 13-21.
A. H. Колмогоров
A. Kolmogoroff
1. Sur notion de la moyenne, Rend. Accad. dei Lincei F), 12 A930),
388-391.

450 библиография
* 2.0 неравенствах между верхними гранями последовательных
производных произвольной функции на бесконечном интерва-
интервале, Ученые Записки МГУ, 30, Математика A939), 3—16.
N. Kritikos
1. Sur une extension de rinegalite entre la moyenne arithmetique et la
moyenne geometrique, Bull soc. math. Grece 9 A928), 43-46.
Б. Landau
1. Ueber einen Konvergenzsatz, Gottinger Nachrichten 1907, 25-27.
2. Einige Ungleichungen fur zweimal differentiierbare Funktionen, Pro-
Proceedings London Math. Soc. B), 13 A913), 43-49.
3. Die Ungleichungen fur zweimal differentiierbare Funktionen, Medde-
lelser Kobenhavn, 6 A925), Nr. 10.
4. A note on a theorem concerning series of positive terms, Journ.
London Math. Soc. 1 A926), 38-39.
M. Лаврентьев и Л. Люстерник
1. Основы вариационного исчисления т. I, часть II (ОНТИ НКТП,
Москва — Ленинград, 1935).
2. Курс вариационного исчисления (Москва — Ленинград, 1934).
Н. Lebesgue
1. Lecons sur Vintegration et la recherche des fonctions primitives B-е
изд., Paris, 1928) 1}.
В. И. Левин
V. Levin
* 1. О неравенствах. I. Некоторые неравенства между рядами, Матем.
сборник, 3 D5) A938), 341-345.
* 2. О неравенствах. III. Неравенства, выполняемые геометрическим
средним неотрицательной функции, Матем. сборник. 4 D6),
A938), 325-331.
* 3. Two remarks on Van der Corput's generalization of Knopp's inequal-
inequality, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, XL
A937), No. 5.
* 4. On the two-parameter extension and analogue of Hilbert's inequality,
Journ. London Math. Soc. 11 A936), 119-124, 320.
* 5. О неравенствах. IV. К неравенству Гильберта — Рисса, Известия
АН СССР, ОМЕН, 1938, 525-542.
* 6. О неравенствах. П. Об одном классе интегральных неравенств,
Матем. сборник, 4 D6) A938), 309-324.
* 7. On some integral inequalities involving periodic functions, Journ.
London Math. Soc. 10 A935), 45-48.
* 8. Точные константы в неравенствах типа Карлсона, ДАН СССР,
LIX A948), 635-639.
5. Lhuilier
1. Polygonometrie, ou de la mesure des figures rectllignes. Et abrege
d'isoperimetrie elementar ie (Geneve et Paris, 1789).
^ Имеется русский перевод: А. Лебег. Интегрирование и отыскание
примитивных функций (Москва — Ленинград, 1934).

БИБЛИОГРАФИЯ 451
A. Liapounoff
1. Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite, Memoires
de VAcad. de St-Petersbourg (VIII), 12 A901), No. 5.
J. Liouville
1. Sur le calcul des differentielles a indices quelconques, Journal de
VEcole Polytechnique, 13 A832), 1-69.
J. E. Littlewood
1. Note on the convergence of series of positive terms, Messenger of
Math. 39 A910), 191-192.
2. On bounded bilinear forms in an infinite number of variables, Quart.
Journ. of Math. B), 2 A930), 164-174.
G. Lochs
: 1. Losung der Aufgabe 151, Jahresbericht der Deutschen Mathema-
tikervereinigung, 44 A934), 1—20.
С Maclaurin
l.A treatise of fluxions (Edinburgh, 1742).
2. A second letter to Martin Folkes, Esq.; concerning the roots of equa-
equations, with the demonstration of other rules in algebra, Phil. Trans-
Transactions, 36 A729), 59-96.
S. Mandelbrojt
: 1. Sur les fonctions convexes, Comptes rendus, 209 A939), 977-978.
E. Meissner
1. Ueber positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70
A911), 223-235.
E. A. Milne
1. Note on Rosseland's integral for the stellar absorption coefficient,
Monthly Notices Royal Astron. Soc. 85 A925), 979-984.
H. Minkowski
1. Geometrie der Zahlen, I (Leipzig, 1896).
2. Discontinuitatsbereich fur arithmetische Aequivalenz, Journal f
Math. 129 A905), 220-274.
P. Montel
1. Sur les fonctions convexes et les fonctions soubharmoniques, Journal
de math. (9), 7 A928), 29-60.
T. Muir
1. Solution of the question 14792 [Educational Times, 54 A901), 83],
Math, from Educ. Times B), 1 A902), 52-53.
R. E. Muirhead
1. Inequalities relating to some algebraic means, Proceedings Edinburgh
Math. Soc. 19 A901), 36-45.
2. Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric
algebraic functions of n letters, Proceedings Edinburgh Math. Soc.
21 A903), 144-157.
3. Proofs that the arithmetic mean is greater than the geometric mean,
Math. Gazette, 2 A904), 283-287.

452 библиография
4. Proofs of an inequality, Proceedings Edinburgh Math. Soc. 24
A906), 45-50.
H. P. Mulholland
1. Note on Hilbert's double series theorem, Journ. London Math. Soc. 3
A928), 197-199.
2. Some theorems on Dirichlet series with positive coefficients and rela-
related integrals, Proceedings London Math. Soc. B), 29 A929), 281-
292.
3. A further generalisation of Hilbert's double series theorem, Journ.
London Math. Soc. 6 A931), 100-106.
4. On the generalisation of Hardy's inequality, Journ. London Math.
Soc. 7A932), 208-214.
M. Nagumo
1. Ueber eine Klasse der Mittelwerte, Jap. Journ. of Math. 7 A930),
71-79.
B. Nagy
* 1. Uber Carlsonsche und verwandte Ungleichungen, Mat. Fiz. Lapok,
48A941), 162-175.
2. Uber Integralungleichung zwischen einer Funktion und ihrer Ablei-
tung, Acta Univ. Szeged, Sect. Sci. Math. 10 A941), 64-74.
E. J. Nanson
1. An inequality, Messenger of Math. 33 A904), 89-90.
I. Newton
1. Arithmetica universalis: sivede compositione et resolutione arithme-
tica liber [Opera, I.]
D. G. Northcott
* 1. Some inequalities between periodic functions and their derivatives,
Journ. London Math. Soc. 14 A939), 198-202.
A. Oppenheim
1. Note on Mr Cooper's generalisation of Young's inequality, Journ.
London Math. Soc. 2 A927), 21-23.
2. Inequalities connected with definite hermitian forms, Journ. London
Math. Soc. 5 A930), 114-119.
A. Ostrowski
1. Zur Theorie der konvexen Funktionen, Comm. Math. Helvetici, 1
A929), 157-159.
2. Ueber quasi-analytische Funktionen und Bestimmtheit asymptotischer
Entwicklungen, Acta Math. 53 A929), 181-266.
P. M. Owen
1. A generalisation of Hilbert's double series theorem, Journ. London
Math. Soc. 5 A930), 270-272.
R. E. A. C. Paley
1. A proof of a theorem on averages, Proceedings London Math. Soc.
B), 31 A930), 289-300.

БИБЛИОГРАФИЯ 453
2. A proof of a theorem on bilinear forms, Journ. London Math. Soc. 6
A931), 226-230.
3. Some theorems on orthogonal functions, Studia Math. 3 A931), 226—
238.
4. A note on bilinear forms, Bull Amer. Math. Soc. B), 39 A933), 259-
260.
H. Poincare
1. Sur les equations algebriques, Comptes rendus, 97 (l 8Щ, 1418-1419.
5. Pollard
1. The Stiltjes integral and its generalisations, Quart. Journ. of Math. 49
A923), 73-138.
G. Polya
1. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homo-
homogeneous differential equation, Trans. Amer. Math. Soc. 24 A922),
312-324.
2. Proof of an inequality, Proceedings London Math. Soc. B), 24
A926). Records of Proc. lvii.
3. Ueber positive Darstellungvon Polynomen. Vierteljahrsschrift d.
naturforschenden Gesellsch. Zurich 73 A928), 141-145.
4. Untersuchungen iiber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen,
Math. Zeitschr. 29 A929), 549-640.
Г. Полна и Г. Cere
1. Задачи и теоремы из анализа. I, П. (Москва — Ленинград, 1937,
1938).
Т. Popoviciu
* 1. Notes sur les fonctions convexes d'ordre superieur. III. Mathematical
Cluj, 16 A940), 74-86.
И. И. Привалов
1. Субгармонические функции (ОНТИ НКТП, Москва — Ленинград,
1937).
A. Pringsheim
1. Zur Theorie der ganzen transzendenten Funktionen (Nachtrag),
Munchner Sitzungsber. 32 A902), 295-304.
J. Radon
1. Ueber die absolut additiven Mengenfunktionen, Wiener Sitzungsber.
(Ha), 122 A913), 1295-1438.
* 2. Losung der Aufgabe 151, Jahresbericht der Deutschen Mathema-
tikervereinigung, 44 A934), 20-22.
B. Riemann
1. Gesammelte math. Werke (Leipzig, 1876) 1\
F. Riesz
1. Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues (Paris,
1913).
2. Untersuchungen iiber Systeme integrierbarer Funktionen, Math.
Annalen, 69 A910), 449-497.
!) Готовится русский перевод.

454 библиография
3. Ueber die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Zeitschr. 18
A923), 87-95.
4. Ueber eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel, Math.
Zeitschr. 18 A923), 117-124.
5. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du
potentiel, Acta Math. 48 A926), 329-343.
6. Su alcune disuguaglianze, Boll. delV Unione Math. Italiana, Anno. 7
A928), No 2.
7. Sur les valeurs moyenne des fonctions, Journ. London Math. Soc. 5
A930), 120-121.
8. Sur une inegalite integrate, Journ. London Math. Soc. 5 A930), 162-
168.
9. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du
potentiel (seconde partie), Acta Math. 54 A930), 162-168.
10. Sur un theoreme de maximum de MM. Hardy et Littlewood, Journ.
London Math. Soc. 1 A932), 10-13.
M. Riesz
1. Sur les maxima des forms bilineaires et sur les fonctionelles lineaires,
Acta Math. 49 A927), 465-497.
2. Sur les fonctions conjugees, Math. Zeitschr. 27 A928), 218-244.
А. Родов
1. Зависимости между верхними гранями производных функции
действительного переменного, Изв. АН СССР, Сер. Мат. 10
A946), 257-270.
L. J. Rogers
1. An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of Math.
17A888), 145-150.
S. Saks
1. Sur un theoreme de M.Montel, Comptes rendus, 187 A928), 276-277.
0. Schlomilch
1. Ueber Mitteigrossen verschiedener Ordnungen, Zeitschr. f Math. u.
Physik, 3A858), 301-308.
E. Schmidt
* 1. Uber die Ungleichung, welche die Integrate iiber eine Potenz einer
Funktion und iiber eine andere Potenz ihrer Ableitung verbindet,
Math. Annalen, 111 A940), 301-326.
I. Schur
1. Bemerkungen sur Theorie derbeschrankten Bilinearformen mit unend-
lich vielen Veranderlichen, Journal f Math. 140 A911), 1-28.
2. Ueber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die
Determinantentheorie, Sitzungsber. d. Berl. Math. Gesellsch. 22
A923), 9-20.
H. A. Schwarz
1. Beweis des Satzes dass die Kugel kleinere Oberflache besitzt, als
jeder andere Korper gleichen Volumens, Gottinger Nachrichten,
1884, 1-13. [Werke, II, 327-340.]

БИБЛИОГРАФИЯ 455
2. Ueber ein Flachen kleinsten Flacheninhalts betreffendes Problem der
Variationsrechnung, Ada soc. sclent Fenn. 15 A885), 315-362.
[Werke, I, 224-269.]
W. Sierpinski
1. Sur l'equation fonctionene/(x+j)=/(x)+/(y), Fundamenta Math. 1
A920), 116-122.
2. Sur les fonctions convexes mesurable, Fundamenta Math. 1 A920),
125-129.
H. Simon
1. Ueber einige Ungleichungen, Zeitschr. f. Math. u. Physik, 33 A888),
56-61.
Ch. Smith
1. A treatise on algebra (London, 1888).
J. F. Steffensen
1. Et Bevis for Saetningen om, at det geometriske Middeltal at positive
Storrelser ikke storre end det aritmetiske, Mat. Tidsskrift,A A930),
115-116.
2. The geometrical mean, Journ. of the Institute of Actuaries, 62 A931),
117-118.
J. Steiner
1. Gesammelte Werke (Berlin, 1881-2).
E. Stiemke
1. Ueber positive Losungen homogener linearer Gleichungen, Math.
Annalen, 76 A915), 340-342.
R. Sturm
1. Maxima und Minima in der elementaren Geometrie (Leipzig, 1910).
E. C. Titchmarsh
1. The theory of functions (Oxford, 1932).
2. Reciprocal formulae involving series and integrals, Math. Zeitschr.
25A926), 321-341.
3. An inequality in the theory of series; Journ. London Math. Soc. 3
A928), 81-83.
0. Toeplitz
1. Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlich vielen Veran-
derlichen, Gottinger Nachrichten, 1910, 489-506.
G. Valiron
1. Lectures on the general theory of integral functions (Toulouse, 1923).
Ш.—Ж. де ла Валле-Пуссен
Ch. -J de la Vallee Poussin
1. Курс анализа бесконечно малых, I (ГТТИ, Москва — Ленинград,
1933).
2. Integrates de Lebesgue. Fonctions d'entsemble. Classes de Baire
(Paris, 1916).
J. H. Maclagan Wedderburn
1. The absolute value of the product of two matrices, Bull. Amer. Math.
Soc. 31 A925), 304-308.

456 библиография
Н. Weyl
1. Gruppentheorie und Quantenmechanik B-е изд., Leipzig, 1931).
2. Stingulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des
Fourielschen Integraltheorems, Inaugural-Dissertation (Gottingen,
1908).
3. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener
Ordnung, Vierteljahreschrift d. naturforschenden Gesellsch.
Zurich, 62 A917), 296-302.
D. V. Widder
1. An inequality related to one of Hilbert's, Journ. London Math. Soc. 4
A929), 194-198.
F. Wiener
1. Elementarer Beweis eines Reihensatzes von Herrn Hilbert, Math.
Annalen, 68 A910), 361-366.
W. H. Young
1. On a class of parametric integrals and their application to the theory
of Fourier series, Proceedings Royal Soc. (A) 85 A911), 401-414.
2. On classes of summable functions and their Fourier series,
Proceedings Royal Soc. (A) 87 A912), 225-229.
3. On the multiplication of successions of Fourier constants,
Proceedings Royal Soc. (A) 87 A912), 331-339.
4. Sur la generalisation du theoreme de Parseval, Comptes Rendus. 155
A912), 30-33.
5. On a certain series of Fourier, Proceedings London Math. Soc. B),
11A913), 357-366.
6. On the determination of the summability of a function by means of its
Fourier constants. Proceedings London Math. Soc. B), 12 A913),
71-88.
7. On integration with respect to a function of bounded variation, Pro-
Proceedings London Math. Soc. B), 13 A914), 109-150.
: 8. On Fourier series and functions of bounded variation, Proc. Royal
Soc. (A), 88 A913), 561-568.
A. Zygmund
А.Зигмунд
1. On an integral inequality, Journ. London Math. Soc. 8 A933), 175—178.
2. Тригонометрические ряды (Москва — Ленинград, 1939).
Редактор СБ. Стечкин
Техн. редакторы А. Никифорова и А. Дронов Корректор М. Шулименко
Сдано в производство 31/VII 1947 г. Подписано к печати 23/VII 1948 г. А-05679.
ne4.n.28V2. Уч.-изд.25,1. Заказ 1323. Формат60X92lh. Издат.№1/62 Цена25р.60к.
4-я типография им. Евг. Соколовой треста «Полиграфкнига» ОГИЗа
при Совете Министров СССР, Ленинград, Измайловский пр., 29