А. Ш. БЛОХ, Т. Л. Т Р У X А Н
НЕРАВЕНСТВА
А. Ш. БЛОХ, Т. Л. ТРУХАН
НЕРАВЕНСТВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАРОДНАЯ АСВЕТА»
МИНСК Ш»
ОТ АВТОРОВ
Эквивалентные преобразования, проводимые
над неравенствами при их решении, делятся на
вычислительные и логические. Анализируя ошиб-
ки, допускаемые при решении неравенств, и
вскрывая основные причины их возникновения,
нетрудно сделать вывод, что во многих случаях
учащиеся ошибаются там, где следует рассмат-
ривать оба вида этих преобразований.
В настоящем пособии в отличие от других,
посвященных неравенствам, систематически рас-
сматриваются кроме вычислительных также и
логические операции. Эти операции всегда ис-
пользовались при решении неравенств, но без
четкого их определения, исследования их Свойств
и возможных преобразований. Такое неявное
применение логических операций при решении
неравенств вызывает большие трудности у уча-
щихся. Использование логических операций' не
требует предварительных знаний по математи-
ческой логике, наоборот, решение неравенств
может служить хорошей подготовкой к после-
дующему введению элементов математической
логики в школьный курс математики.
Первая глава книги посвящена числовым не-
равенствам. Авторы вначале предполагали огра-
ничиться перечнем необходимых сведений по
числовым неравенствам. Однако по' мере разра-
ботки логических основ решения неравенств
появилась необходимость вернуться также и к
логическим основам числовых неравенств. Мето-,
дика изложения материала этой главы определе-
на содержанием остальных глав книги.
Во второй главе дано логическое обосно-
вание теории неравенств, содержащих перемен-
ные.
В последующих главах рассмотрены методы
решения алгебраических неравенств второй и
высших степеней, неравенств с переменной под
знаком абсолютной величины, иррациональных,
логарифмических, тригонометрических неравенств
и неравенств с переменной под знаками аркфунк-.
ций. Рассмотренные методы решения неравенств
проиллюстрированы на многочисленных примерах.
Вопросы, относящиеся к решению уравнений,
затронуты только в той части, где решение урав-
нений сводится к решению конструкции нера-
венств.
ГЛАВА I.
ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА
И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные положения о числовых равенствах
и неравенствах
Понятия равенства и неравенства являются одними из
основных понятий математики.
Для записи утверждения, что числа равны между со-
бою, употребляется символ «=» (равенства), а для записи
утверждения, что числа не равны, употребляются символы
«>» (больше) и «<» (меньше). Символы «>» и «<» назы-
ваются знаками неравенства.
Определение 1. Высказывание, в котором два числа
соединены знаком равенства, называется числовым ра-
венством. Высказывание, в котором два числа соединены
знаком неравенства, называется числовым неравенством.
Примеры равенств:
3 = 3; /8'=2/2?lg4 = 21g2; sin4-= sin-^.
Примеры неравенств:
5>— 2; 1-|-<2; V2<№ Ig3>lg2.
Числовые равенства и неравенства могут быть истин-
ными или ложными. Равенство 2 = 2 — истинное, а ра-
венство 3 = 7 — ложное. Неравенство -3 < 5 — истинное,
а неравенство 2 > 3 — ложное. Если не будет специально
оговорено, то равенство а = Ь и неравенства а > b или
а < b будем считать истинными.
Неравенства а > Ь и с > d1 называются неравенствами
одинакового смысла (знака), а неравенства а>Ь и с < d —
неравенствами противоположного смысла (знака). В нера-
венстве а > Ь, как и в равенстве а = Ь, а называется ле-
вой частью неравенства (равенства), а Ь — правой его частью.
. _ 1 В неравенствах а > b, с > d и т. д. буквами обозначаются
действительные числа.
5
Неравенства изучаются только во множестве действи-
тельных чисел, так как в любом расширении этого мно-
жества понятия «больше» и «меньше» не определены.
Будем считать известным, что во множестве действи-
тельных чисел определены арифметические действия, для
которых выполняются законы: переместительный, сочета-
тельный и распределительный.
Теория неравенств, излагаемая в настоящей книге, ос-
новывается на следующих трех утверждениях.
Утверждение 1. Для любого числа а истинным явля-
ется одно и только одно из следующих соотношений:
а — 0, а > 0, а < 0.
Определение 2. Если а > 0 — истинное неравенство,
то число а называется положительным. Если а < 0 — ис-
тинное неравенство, то число а называется отрицательным.
Следовательно, множество действительных чисел можно
разбить на три непересекающихся подмножества: 1) числа по-
ложительные, 2) число нуль и 3) числа отрицательные.
Утверждение 2. Если о > 0 и b > 0 — истинные нера-
венства, то истинными будут и неравенства а + Ъ > 0 и
ab > 0.
Методом математической индукции непосредственно до-
казывается, что если 01 > 0, а2>0, . .., а„>0 — истин-
ные неравенства, то ах -f- а^ + ... 4- ап > 0 и ах • а2 х
X ... • ап > 0 — тоже истинные неравенства.
Утверждение 3. а) Равенства а — д = 0 я а ==Ь либо
оба истинные, либо оба ложные.
б)	Неравенства а — & > 0 и а > 6 либо оба истинные,
либо оба ложные.
в)	Неравенства а > Ъ и b < а либо оба истинные, либо
оба ложные.
' К числовым неравенствам также относятся два число-
вых выражения, соединенные знаком неравенства, например,
2 +	----1, 2a + b>c, lg2 + l>2 — 1g 3. Это
дополнение не противоречит приведенному выше опреде-
лению числовых неравенств, ибо, выполнив указанные
действия, мы получим в левой и правой частях неравенст-
ва соответствующие числа.
Определение 3. Если а + Ь = 0—истинное равенство,
то числа а я b называются противоположными, то есть
число а противоположно Ь, а число Ь противоположно а.
Число, противоположное а, буррм обозначать —а. Из
6
определения 3 следует, что если —а противоположно а,
то число, противоположное —а, будет а, то есть — (—а) =
= а. Если а = 0, то и — а — 0, ибо 0 + 0 = 0, то есть
число нуль противоположно самому себе.
Имеют место следующие правила знаков:
1.	а — Ь — а + (—Ь), то есть разность двух чисел
равна сумме уменьшаемого с числом, противоположным вы-
читаемому.
Действительно. Так как — b + Ь = 0 (определение про-
тивоположных чисел), то а = а + ((— Ь) + Ь) (свойство
нуля), или а = (а + (— &)) + Ь (сочетательное свойство
суммы). Откуда а — Ь = а + (— Ь) (определение разности
чисел).
2.	— (а + Ь) = —а + (— Ь), то есть число, противопо-
ложное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противопо-
ложных слагаемым.
Действительно. Вычислим разность (—а + (—&))—
— (—(а + 6)), применив правило знаков 1: (—а-|-(—6))—
- (- (а + Ь)) = (- а + (- Ь)) + (- (- (а + &))) = (- а +
+ (—&)) + (а + &). Используя сочетательное и перемести-
тельное свойства суммы и определение противоположных
чисел, получим:
(-а + (-&)) + (а + Ь) = (-а + а) + (-6 + Ь) = 0.
Итак, (— а + (— Ь)) — (— (а + 6)) = 0. Откуда (утвержде-
ние 3):	— « + (— Ь) — —(а + Ь).
3.	—(а — Ь) =—а + Ь, то есть число, противополож-
ное разности двух чисел равно сумме вычитаемого с чис-
лом, противоположным уменьшаемому.
Действительно, применив последовательно правила зна-
ков 1 и 2 и определение противоположных чисел, получим:
— (а — Ь) — — (а + (— Ь)) = — а + Ь.
4.	— аЬ — а (— Ь), то есть число, противоположное
произведению двух чисел, равно произведению одного из
сомножителей и числа, противоположного другому сомно-
жителю.
Действительно, вычислим разность а (—Ь) — (—аЬ), при-
менив последовательно правило знаков 1, распределитель-
• ное свойство умножения й определение противоположных
чисел:
а(— Ь) — (—аЬ) -а(—b) + ab = а(— Ь + Ь) = а • 0 = 0.
7
Итак,	а (— b) — (—ab) — 0,	откуда — ab = а (— Ь)
(утверждение 3).
Отметим несколько основных следствий из утверждений
1—3.
Теорема 1. Число, противоположное положительному
числу, ерть число отрицательное и обратно, .число, проти-
воположное отрицательному числу, есть число положи-
тельное, то есть если а>0, то —а<0, и обратно, если
а < 0, то — а > 0.
Доказательство. Пусть а>0, тогда 0 + а>0
(свойство нуля) и 0 — (— а)>0 (правило знаков 1), сле-
довательно, 0> — а и —а<0 (утверждение 3).
Обратно, если а < 0, то 0 > а и 0 — а > 0 (утвер-
ждение 3). Откуда 0 4-(—а)>0 (правило знаков 1)
и — а > 0.
Теорема 2. Произведение положительного числа на
число отрицательное есть, число отрицательное. '
Доказательство. Пусть а>0 и &<0. Так как
Ъ < 0, то противоположное ему число — Ь > 0 (теорема 1).
Тогда а (— Ь) > 0 (утверждение 2) и — (а (—• £>)) < 0 (те-
орема 1). Но —(а(—b))—ab (правило знаков 4), поэтому
ab < 0, что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются теоремы 3—6 (их доказа-
тельство предлагается провести самостоятельно).
Теорема 3. Произведение двух отрицательных чисел
есть число положительное.
Теорема 4. Квадрат любого числа, неравного нулю,
есть число положительное.
Теорема 5. Если а1( а2..ап — отрицательные числа,
то их сумма at 4- Oj 4- ..., + ап есть число отрицательное.
Теорема 6. Положительное число больше числа отри-
цательного.
Теорема 7. Если а — 6 < 0, то а < 6 и обратно.
Доказательство. Пусть а — 6 < 0. Противополож-
ное число —(а — 6)>0 (теорема 1). Но —(а — Ь)—
= — а 4- Ь (правило знаков 3) и — а 4- 6 = & — а (пра-
вило знаков 1). Следовательно, b — а>0. Откуда 6>а
и а < Ь. Аналогично доказывается обратное утверждение.
Итак, если даны два числа а и Ь, то истинным яв-
ляется одно и только одно из следующих соотношений:
о > b, а = b, a<Z Ъ. Действительно, в соответствии с
8
утверждением 1 для числа а — Ь возможен один из - слу-
чаев: а — Ь — 0, а — 6>0, а — Ь<0. Откуда, применяя
утверждение .3 и теорему 7, получим: а — Ь, а > 6, а < (>.
Числовые неравенства подчиняются закону транзитив-
ности.
Теорема 8. Если а > b и b > с, то а > с.
Доказательство. Из того, что а >b и 6 > с —
истинные неравенства, следует, что а — 6>0 и Ь-сУ-
>0 — тоже истинные неравенства (утверждение 3). Но
тогда и неравенство а — b b — с > 0 — истинное (утверж-
дение 2), откуда а — с>0 и а>с (утверждение 3).
Теорема обобщается для п неравенств.
§ 2. Сложение и вычитание числовых неравенств
Алгебраические операции (сложение, вычитание и др.)
и трансцендентные операции (логарифмирование, потенци-
рование и др.) над неравенствами будем понимать как
соответствующие операции, производимые с левыми и
правыми частями данных неравенств. Так, например, сло-
жить два неравенства — значит сложить их левые и пра-
вые части по отдельности; прологарифмировать неравенст-
во— значит взять логарифм правой и левой частей нера-
венства по отдельности и т. д.
В этом и трех последующих параграфах остановимся
на выполнении алгебраических операций. Необходимые
сведения о трансцендентных операциях будут рассмотрены
в главе, посвященной вопросу решения трансцендентных
неравенств.
Буквы, которые встречаются в формулировках теорем,
обозначают действительные числа. Для удобства теоремы
или правила будут формулироваться только для знака
неравенства «>». В каждом случае имеется аналогичное
правило для отношения «<».
Теорема 9. Если а > Ь и с — любое число, то а + с >
b с.
Доказательство. Из неравенства а >b следует
неравенство а — Ь>0, откуда а — b + с — с > 0, или
(а -рс) — + с) > 0. Следовательно, а + с > b + с
(утверждение 3).
Итак, при прибавлении к обеим частям неравенства
(или вычитании из обеих частей неравенства) одного и
того же числа знак неравенства не изменяется.
Пример.
Прибавив к обеим частям неравенства 3 > 1,5 число
— 2, получим 3 — 2 > 1,5 — 2, то есть 1 > — 0,5.
Следствие. Если а>Ь + с, то а—с>Ь, то есть
любой член можно переносить из одной части неравенства
в другую с противоположным знаком.
Теорема 10. Если > blt а2 > Ь2...... > Ьп, то
+ ^2 + • • • + On >	+ 62 + . . • + Ьп-
Доказательство. Из неравенств аг > Ь2, а2 >
>62, ..., ап>6п следуют неравенства: ах— &i>0, а2 —
— 62>0, ... , ап — 6„>0, (fli — &i) + (o2 — &2) + ...+
+ (ап — Ьп) > 0, откуда (ах -Ь а2 + ... + М — (&i + b2 ,+
+ ... + Ьп) > 0 и cii + Oj + ... + о-п > Ь2 + Ь2 + ... + Ьп
(утверждения 2 и 3).
Итак, неравенства одинакового смысла можно почлен-
но складывать, при этом знак неравенства не изменяется.
Примеры.	'
I. ,12 >5	2.	5<— 2
+ 1 >—5	+ 3<5
13 > 0.	—2<3.
Теорема 11. Если а>6 и c<d, то а — с>Ь — d.
Доказательство. Если с< d, то d>c (утверж-
дение 3). Складывая неравенства а >6 и d>c (теорема
10), получим а 4- d > Ь + с. Откуда а — с">Ь— d (след-
ствие из теоремы 9).
Итак, неравенства противоположного смысла можно
почленно х вычитать, ставя в полученном неравенстве знак
неравенства, из которого вычитали.
Примеры.
1.	13 >	10
~ —5< — 2
18 >	12.
2.	—7<—3
— 3>	1
—10 <— 4
§ 3. Умножение числовых неравенств
Теорема 12. Если а > Ь, то ас">Ьс при о>0, ас<
< Ьс при с < 0 и ас = Ьс при с = б.
Доказательство. Так как а >6, то а — b~>Q
(утверждение 3). Если с>0, то (а— 6)с>0 (утвержде-
ние 2). Откуда ас — &с>0 и ас>Ьс (утверждение 3).
Ю
Диалогично получим, если а > Ь, то ас < be при
с < 0 и ас = Ьс при с = 0.
Очевидно, если с >0, то -у- > 0 и теорему 12 можно
распространить на случай деления неравенства на число
с =jt 0.
Итак, при умножении (или делении) неравенства на
одно и то же положительное число знак неравенства не
изменяется, при умножении (или делении) неравенства на
одно и то же отрицательное число знак неравенства ме-
няется на противоположный.
Примеры.
• 1, Умножить неравенство —2,4< — 1,3 на —2.
Решение. При умножении данного неравенства на
отрицательное число —2 знак неравенства изменится на
противоположный (теорема 12), поэтому получим 4,8 >
>2,6.
2. Умножить неравенство 2а > Ъ на Ь.
Решение. Если Ь > 0, то 2а& > Ь2. Если Ъ < 0, то
2аЬ < Ь2. Если b = 0, то 2аЬ = 0 и & = 0, поэтому
2аЬ = Я
Следствие. Если а > Ь, то	при а&>0 и
при аЬ<°-
Доказательство. Разделим неравенство а > Ь на
ab. Если а&>0, то —Д—>—А—, откуда -4~>—, то
ао ао J о а
есть — <— (теорема 12, утверждение 3). Если а&<0,
_ а Ь 1^1	1.1
то —г < —г- и -г- < —, то есть — > -г-.
ab ab b а ’	а b
Теорема 13. Если а > b, c^>d, то при а > 0 и d > 0 име-
емас > bd, а при а< 0 и d<. 0 имеем ас< bd.
Доказательство. Пусть а > 0 и d >0, учитывая,
что с > d и а > Ь, получим ac>ad и ad^>bd (теорема
12). Откуда ас> bd (теорема 8).
Аналогично (с использованием теорем 8 и 12) доказы-
вается, что ас< bd, если а< 0,	0, а > b, c>d.
Примеры.
1.	Перемножить неравенства 2> — 1 и 4>3.
Решение. Так как условие теоремы 13 выполнено,
то, перемножив неравенства, получим 8 > — 3;
11
2.	Перемножить неравенства: 2 (а* + 1) > b и b > 2.
Решение. Так как условие теоремы 13 выполнимо,
ибо 2(аа + 1) > 0 и 2 >J0, то 26(аа + 1) > 26.
,С л еде твие . 1. Если а>с>0 и 6>d>0, то
ab > cd, то есть неравенства одинакового смысла с по-
ложительными левыми и правыми частями можно по?
членно перемножать. При этом знак неравенства не
изменяется.
Следствие 1 обобщается на случай произведения п не-
равенств: если Oj > > 0, Oj > 62 > 0...... > Ьп > О,
то at • а2 • ... • ап > 6Х • Ьг • ... • Ьп.
Следствие 2. Если а<6<0 и c<d<0, то
ac^>bd то есть при перемножении неравенств одинако-
вого смысла с отрицательными левыми и правыми частя-
ми знак неравенства изменяется на противоположный.
Следствие 3. Если а>6>0 и d>c>0, то
а . b
— > то есть неравенства противоположного смысла с
положительными левыми и правыми частями можно по-
членно делить, ставя в полученном неравенстве знак
первого неравенства.
Примеры.
1. 25 >23, 5 >4, 1	12 >3 — истинные нера-
венства. Перемножив их, получим истинное неравёнство
1500 > 138.
2. —Пб > — 6 и — 1> — 3 — истинные неравенства.
Перемножив их, получим истинное неравенство 5 < 18.
§ 4. Возведение в п-ю степень и извлечение
корней л-й степени
Теорема 14. Если а>6>0 и п — натуральное число,
то ап ~>Ьп.
Справедливость теоремы . 14 непосредственно следует
из обобщения следствия 1 теоремы 13, положив а< = а,
bi — Ь (i = 1,2...n).
Примеры.
1. 3 > 2, следовательно З5 > 2®.
„2^3	/ 2 \«	/ 3 \«
2. — < —, следовательно 1—1 < I—I •
Теорема 15. Если а<6<0 и п — натуральное число,
то при четном п ап > Ьп, а при нечетном п ап < Ьп.
12
Доказательство. Из а <6 следует —я>— b
(теорема 12). Так как —а>0и —6>0, то (— а)" >
>(—ьу (теорема 14). Последнее неравенство можно за-
писать так: (—1)пап>(—1)пЬп. Если п — четное, то
(—ul)n= Г, и истинным будет неравенство ага>&га. Если
п—нечетное, то (— 1)" = — 1, и истинным будет нера-
венство — ап > — 6", то есть ап <
Примеры.
1. Возвести неравенство —3> — 7 в квадрат и в
куб.
Решение. Так как — 3 < 0 и — 7 < 0, то (.— З)2 <
<(—7)2 и (—3)а>(—7)3.
2. Возвести неравенство а > b в квадрат при условии,
что ab > 0.
Решение. Так как ab > 0, то или а > 0 и b > 0, или
а < 0 и Ь < 0 (утверждение 2, теоремы 2 и 3). При
а > 0 и b > 0 имеем а2 > &2, а при а < 0 и b < 0 имеем
а2 < Ьг (теоремы 14, 15).	_
Теорема 16. Если а>6>0 и п—натуральное число,
то	(при четном п берется только арифмети-
ческое значение корня).
Доказательство. Рассмотрим два числа: у а п
fy'b. Истинным является одно из выражений: -\/~а >
> Ь, или у'а —у^Ь, или у^а < у b (§ 1). Из истин-
ности неравенства " а < следует истинность неравенст-
ва а <Ь (теорема 14), что противоречит условию. Анало-
га г—	-п, ~—
гично доказывается ложность равенства У а —У у.
Следовательно, истинным будет неравенство у/а > Ь.
Итак, из обеих частей неравенства с положительными
левой и правой частями можно извлечь корень натураль-
ной степени, при этом знак неравенства не изменится.
Теорема 17. Если я>6>0 и п~~^-------произвольное
рациональное положительное число, то ап > Ьп.
Р
я ’
Доказательство.
По условию п =
где ряд —
натуральные числа. Применяя последовательно теоремы
14 и 16, получим ар >bp, frap> Ьр, то есть а’ > Ьч .
13
Итак, неравенства с положительными левой и правой,
частями можно возвести в одну и ту же положительную
рациональную степень, знак неравенства не изменится.
Пример.
Из истинности неравенства 7 > 5 следует истинность
2	2
неравенства 75 > 5\
Теорема 18. Если я>&>0 и п — --------любое поло-
жительное рациональное число, то а~п < Ь~п.
Доказательство. Применяя последовательно след-
ствие из теоремы 12 и теорему 17, получим я-1 < 6-1,
р	р
(я-1)* < (£>-1)’, то есть а~п < Ь~п.
Итак, при возведении неравенства с положительными
левой и правой частями в одну и ту же отрицательную
рациональную степень знак неравенства меняется на про-
тивоположный.
Пример.
Из истинности неравенства 12 > 11 следует истинность
5	5
неравенства 12 ’< 11
§ 5.	Конъюнкция и дизъюнкция числовых неравенств
В предыдущих параграфах встречались такие высказы-
вания: «я > & И с > d» (см., например, формулировку тео-
ремы 8) и «я > b ИЛИ с >4» (см., например, доказатель-
ство теоремы 16), то есть высказывания, в которых нера-
венства соединены или союзом И или союзом ИЛИ. Вве-
дем следующие определения.
Определение 4. Конъюнкцией неравенств называется
высказывание, составленное из неравенств с помощью
союза И. Конъюнкция неравенств — истинная, если истин-
ным является каждое неравенство, входящее в конъюнк-
цию. В противном случае конъюнкция является ложной.
Конъюнкцию неравенств обозначим фигурной скобкой.
Примеры.
1.	Высказывание «я > & И о > d И е > /» является
конъюнкцией неравенств и записывается так:
( а > b
< с > d
I« > А
14
2.	| 13 >4
{ 2 > Г— истинная конъюнкция неравенств, ибо все
( 6<12
неравенства, входящие в нее, истинные.
3.	( 3> 5
{	2 <	4 — ложная конъюнкция неравенств, ибо
( -2 > — 3 '
неравенство 3 )> б — ложное.
Определение б, Дизъюнкцией неравенств называется ,
высказывание, составленное из неравенств с помощью
союза ИЛИ. Дизъюнкция неравенств, истинная, если
истинным является хотя бы одно неравенство, входящее
в дизъюнкцию. В противном случае дизъюнкция является
ложной.
Дизъюнкцию неравенств обозначим квадратной скобкой.
Примеры.
1.	Высказывание «а > Ь ИЛИ с< d» является дизъюнк-
[а 2> Ь
c<^d
а Г 2>4	' Л
2.	L 3<6 — истинная дизъюнкция неравенств, ибо она
содержит истинное неравенство 3 < 6.
_ Г —1 >3
3.	I 2 <; 0 — ложная дизъюнкция неравенств, ибо все
неравенства, входящие в нее, ложные.
. Г Ю < 15	х
4.	I 2 > 1 — истинная дизъюнкция неравенств, ибо
все неравенства, входящие в нее, истинные.
Неравенства, входящие в конъюнкцию или дизъюнкцию
неравенств, будем называть компонентами данной конъюнк-
ции или дизъюнкции.
Однако двумя совокупностями неравенств (только дизъ-
юнкцией и конъюнкцией) ограничиться нельзя, ибо на
практике встречаются совокупности неравенств,1 построен-
ные с помощью и союзов И, и союзов ИЛИ (см. гл. III).
Такие совокупности неравенств также можем записывать с по-
мощью знаков конъюнкции и дизъюнкции, причем знаки
конъюнкции и дизъюнкции указывают не только на союзы
И и ИЛИ, с помощью которых построена данная сово-
купность, но и на порядок следования связей одного не-
равенства с другим в этом построении. Такие совокуп-
ности неравенств будем называть конструкциями нера-
венств.
15
I
I
Примеры.
, 1. Г | at >t>!	 S, •
I a2 > f>2— есть'конструкция неравенств, первым .
6g	'
компонентом которой является конъюнкция неравенств
/ bj	. ,	'f
1 а >> hГ> а вторым — неравенство а3 > Ь3.
V <*2	^2
Г Я1 > bl
[ а2 > &2
| а3 > Ь3 — есть конструкция неравенств, первым
1 <*4
компонентом которой является дизъюнкция неравенств
Г 01 > bi
а ~>b ,й ВТОРЫМ компонентом —
( а3 > Ья
конъюнкция неравенств | в •
Вопрос об истинности и ложности конструкции не-
равенств решается в соответствии с истинностью и лож-
ностью компонентов, входящих в конструкцию, и с тем,
какая операция объединяет все компоненты.
Примеры.
1.	5>3
Г 2 < 1 — истинная конструкция
L 7>6
истинным является неравенство 5 > 3 и
Г2< 1
равенств 7x6
неравенств, ибо
дизъюнкция не-
4
Г 2 > 3 — истинная конструкция неравенств, ибо
IL1 < 6
истинным является один из ее компонентов (дизъюнкция
неравенств i <• 61 и все компоненты объединяет операция
дизъюнкции.
3.
2>— 1
3<	3
= । > з — ложная конструкция неравенств, так
2< — 1
Г1 >	3
как дизъюнкция 2 <;____1 — ложная, а все компоненты
объединяет операция конъюнкции. *
4
16
юнкция равенств. 3.
Все выше изложенное обобьется и на случаи, когда
все или несколько компонентодфонъюнкции или дизъюнк-
ции являются равенствами.
Примеры.
1.	Г а = b	'	( а = b
с = — дизъюнкция равенств. 2. | c = d — конъ‘
" а > b
с — d — дизъюнкция неравенств.
- e = f
Г а > b
4. I с = d — конъюнкция неравенств.
a~>b л
а== b обозначает, что
тл	(а >Ь
Конъюнкцию неравенств вида С < с условились запи-
сывать так: Ь < а < с и называть двойным неравенст-
вом.
Дизъюнкция неравенств вида
ИЛИ а больше Ь, ИЛИ а равно Ь, то есть, что а не
меньше Ь. Такую дизъюнкцию условились записывать так:
а > 6. Аналогично дизъюнкция неравенств вида [ а =
обозначает, что ИЛЙ а меньше Ь, ИЛИ а равно Ь, то
есть, что а не больше Ь. Записывают ее так: а <1 Ь.
v	(а>Ь	. о
Конъюнкция неравенств вида ш с является двойным
неравенством и записывается так: b < а	с.
Неравенства а > b или с d называют нестрогими не-
равенствами в отличие от неравенств а > b или с < d,
которые называются строгими неравенствами или просто
неравенствами.
В заключение отметим, что выражение а #= & есть ни-
Еа > Ь
a<Zb'
ГЛАВА ll<
НЕРАВЕНСТВА И УРАВНЕНИЯ
§ 1. Определения
Пусть f (хх, х2, ,.., хп) и <р (хх, х2, ..,, хп) — две дейст-
вительные функции от действительных переменных
Определение 6. Неравенством относительно перемен-
ных хх, х2, ... , х„ называется высказывательная форма*»,'
имеющая вид f (хх, х2, ... , хп) > <р (хх, х2,,.. , хп) ‘ или
f(xit х2, ... , х„) < ф(Хх, х2, .... х„).
Подобное определение можно дать и для уравнения.
Примеры.
1. Зх + у >х + 2.
2. х2 4- 1 < Зх.
Функции, стоящие в левой и правой частях неравенст- -
ва или уравнения, называются его компонентами.
Числовые неравенства можно рассматривать как нера-
венства относительно переменных хх, х2, ,,. , х„, компо-
нентами которых являются функции, принимающие посто-
янное значение, поэтому в дальнейшем, если не будет
специально оговорено, слово «числовое» писать не будем.
При задании функции, кроме соответствия, с помощью
которого по заданному значению переменной определяется
соответствующее значение функции, указывается также и
область изменения переменных, называемая областью
определения (или областью задания) функции.
> Примеры.
1.	y = cosx, х£ (—со; со).
2.	у = Xх, х £ (0; со).
3.	у— Xх, х g N.
Если область определения функции не указана, то под
областью ее определения понимают множество тех значе-
*) Высказывательными формами называют такие высказывания, у
которых слово или выражение является переменным.
18
ний переменных, для которых аналитическое выражение
функции имеет смысл. Например, для функции у =	1,
заданной во множестве действительных чисел, область
определения находится из условия, что в этом множестве
не выполнимо деление на нуль. Поэтому функция у —
=	„ определена для всех действительных значений пе-
ременной х, отличных от нуля.
Определение 7. Областью определения (или множест-
вом допустимых значении) неравенства или уравнения на-
зывается пересечение областей определения его компонентов.
Примеры.
1. Рассмотрим уравнение 3x = x24-lgx. Компонент Зх
определен для всех действительных значений переменной х,
а компонент x2 + lgx определен для положительных зна-
чений переменной. Пересечением областей определения, то
есть областью определения уравнения, будет множество
положительных чисел.	_____
2. Областью определения неравенства х>]/3—х
являются значения переменной х 3, которые находятся
из условия существования квадратного* корня во множест-
ве действительных чисел.
Неравенство или уравнение при подстановке в него
вместо переменных хъ х2, ... , хп каких-либо значений,
взятых из области определения, обращается в числовое
(истинное или ложное).
Приме ры.
1. Неравенство 2х + Зу >х2 + бху + у2 определено при
всех действительных значениях переменных х и у. При
подстановке значений х = 1, у = 1 получим .5 > 7 — лож-
ное числовое неравенство; при подстановке значений х ==
= 1, у = 0 получим истинное числовое неравенство 2 > 1.
2. Уравнение х2— 98 —21g х определено во множестве
положительных чисел. При подстановке значения х = 2
получим 4 — 98 = 21g2—ложное числовое равенство, а
при подстановке значения х= 10 получим 100 — 98 — 2 —
истинное числовое равенство.
Определение 8. Совокупность значении переменных,
взятая из области определения неравенства (уравнения) и
. обращающая его в истинное числовое неравенство (равенст-
во), называется решением неравенства (уравнения).
19
Примеры.
1. Значения х = 1 и у = 0 принадлежат области опре-
деления неравенства 2х + Зу > х2 -f- 5ху + у2 и обращают
его в истинное числовое неравенство 2 > 1, значит явля-.
ются решением.
2. Значение х = 10 принадлежит области определения
уравнения х2 — 98 = 21g х и обращает его в истинное число-
вое равенство, поэтому является его решением. Значение
х = 2 тоже принадлежит области определения данного
уравнения, но при подстановке его вместо переменной в
уравнение получается ложное числовое равенство, поэтому
значение х = 2 не является решением заданного уравнения.
Если совокупность' значений переменных является реше- .
нием неравенства (уравнения), то говорят, что она удов-
летворяет неравенству (уравнению).
Решения уравнения обычно называют корнями уравнения.
Решить неравенство (уравнение) — значит найти мно-
жество всех его решений (корней).
Встречаются неравенства и уравнения, которые обра-
щаются в истинные числовые неравенства и равенства при
всех допустимых значениях переменных, или, наоборот,
такие, которым не удовлетворяет ни одно допустимое
значение переменной. Введем следующее определение.
Определение 9. Неравенство (уравнение) называется
тождественно истинным, если при всех допустимых значе-
ниях переменных оно обращается в истинное числовое
неравенство (равенство). Если же не существует значений
переменных, которые обращают неравенство (уравнение) в
истинное числовое неравенство (равенство), то такое нера-
венство (уравнение) называется тождественно ложный.
Примеры.
1. Неравенство х2 + 1 >0 — тождественно истинное, а
неравенство х2 < 0 — тождественно ложное.
2. Уравнение х — у = -g- (2х — 2у) — тождественно ис-
тинное, а уравнение х2 4- у2 = — 2 — тождественно ложное.
Тождественно истинное уравнение в случае, когда об-
ласти определения правой и левой частей совпадают, на-
зывается тождеством. В этом случае говорят, что компо-
ненты его тождественно равны. Замена одного выражения >
тождественно равным ему выражением называется тож-
дественным преобразованием.
20
Пример.
Преобразование вида lg х2 — 21g х не будет тождествен-
ным преобразованием, ибо приводит к изменению области
определения; тождественным будет преобразование lgx® =
= 21g|x|.
§ 2. Эквивалентность неравенств
Относительно неравенств можно поставить две задачи:
1. Решить данное неравенство, то есть найти множест-
во всех его решений.	ч,
2. Доказать неравенство, то есть установить, является
оно тождественно истинным или тождественно ложным.
Вторая задача непосредственно связана с пёрвой. При
решении обеих задач основную роль играет понятие экви-
валентности (равносильности).
' Определение 10. Два неравенства называются экви-
валентными, если любое решение одного неравенства яв-
ляется решением второго неравенства и наоборот.
Для записи утверждения, что неравенство
fl (Хъ Х2, ... , Хп) > фх (хь х2.х„)
эквивалентно неравенству
А(Хь х2, ... , х„) ><p2(xX1 х2, ... , х„)
употребляется знак эквивалентности
A (*1, Х2, . . . , Х„) > <J>i(Xi, х2, ... , х„) ~-
~А(Х1, х2, . .. , Х^)>ф2(Х1( х2, ... , х„).
Из определения 10 следует, что если множество реше-
ний одного неравенства совпадает с множеством решений
второго неравенства, то неравенства эквивалентны.
Примеры.
1. Неравенства 6х<2х — 4 (1) и Зх<х —2 (2) —
эквивалентны. Действительно, - пусть х = а — произвольное
решение неравенства (1), тогда 6а<2а— 4 — истинное
числовое неравенство. Применяя теорему 12, получим
истинное числовое неравенство За < а — 2 (3) (разделили
неравенство на 2). Сравнивая неравенство (3) с неравенст-
вом (2), замечаем, что х = а обращает неравенство (2) в
истинное числовое неравенство, то есть является его ре-
шением. Аналогично доказывается обратное утверждение.
2. Неравенства х2 4- 1 < 0 и х2 4- 2 < 0 эквивалентны.
Они тождественно' ложные, решений не имеют (в этом
случае говорят, что множество решений пусто).
21
Рассмотрим основные теоремы об эквивалентных -не-
равенствах.
Теорема 19. Неравенства f(xu х2,	, х„) >
>ф(Х1, х2, ... , хп) (4) и _/(*,»  .........., Хп) +
4- (£>(*!, х2, ... ,хп) >ф(Х1,х2, ••• ,ха) + а(х1г х2, ... ,хя)(5)
эквивалентны, если имеют одну и ту же область опреде-
ления..
Доказательство. Докажем, что произвольное ре-
шение неравенства (4) является решением неравенства (5).
Пусть хх = ai, х2 = а2, ... , хп = ап—произвольное реше-
ние неравенства (4). Тогда /(аь а2, ... , ап) >
>Ф(аь а2,... , ап)—истинное числовое неравенство. При-
бавим к обеим его частям число © (аь а2, ... , ап) (по ус-
ловию это число существует, ибо неравенства (4) и (5)
имеют одну и ту же область определения). На основании
теоремы 9 заключаем, что числовое- неравенство
f(ait а2, ... , ап) + со (аь а2, • • • , ап) > ф (Oi, а2,	, ап) +
+ со (oj, а2, ... , ап) — истинное. Следовательно, произволь-
ное решение неравенства (4) является решением неравенст-
ва (5).
Обратно, пусть х1 = 61, х2 = Ь2, ... , хп=Ьп— про-
извольное решение неравенства (5), значит f{bi, Ь2,..., дя) +
+ ® Ф1, Ь2,	... , Ьп) > ф (bi, Ь2.......... Ьп) +
+ ® (bi, Ь2, ... , Ьп) — истинное числовое неравенство.
После вычитания из обеих частей этого неравенства числа
со(6ь Ь2,	, Ьп) (теорема 9) получим истинное числовое
неравенство
f(blt Ь2, ... , bn)>4(bi, Ь2, ... , 6п).
Итак, произвольное решение неравенства (4) является
решением неравенства (5), и произвольное решение нера-
венства (5) является решением неравенства (4). Теорема
доказана.
Следствие. Любой член неравенства можно перено-
сить из одной части в другую с противоположным знаком.
В частности неравенства f(xu х2,	... , х„) >
> ф(*1, Х2,... , хп) и f (х1гх2,...» Хп) — Ф(хх,х2,... ,х„) >0
эквивалентны.
Пример.
Неравенство 2х + у + хг > 3 + х2 эквивалентно нера-
венству 2х + у > 3, так как второе неравенство получено
из первого вычитанием из обеих его частей выражения х2
22
и областью определения обоих неравенств является мно-
жество действительных чисел.
Замечание. Следует подчеркнуть, что хотя при пе-
реносе членов из одной части неравенства в другую экви-
валентность не нарушается, но в результате приведения
подобных членов после переноса возможно расширение
области определения и, следовательно, возможно наруше-
ние эквивалентности.
Пример.	______ _________
Неравенство х + Ух— 3 > ]/х — 3+1 эквивалентно
неравенству х + |/х — 3 — ]/х — 3>1 (следствие теоремы
19). Приведение подобных членов в левой части нера-
венства приводит к замене данного неравенства неравенст-
вом х>1. Область допустимых значений расширилась, й
эквивалентность в данном случае нарушилась. В отдельных
случаях эквивалентность может не нарушиться.
Следовательно, применив следствие теоремы 19 и сде-
лав приведение подобных членов, нужно проверить, не из-
менилась лй область определения неравенства и, если изме-
нилась, установить, содержится ли найденное решение в
области определения исходного неравенства.
Теорема 20. Неравенства
}(хъ х2, .... xra)><p(xb х2, ... , х„)	(6)
Hf(Xi, х2,... , х„) • (О(ХЬ х2,'... , х„) ><р(хь х2, ... , х„) х
X со (xlt х2, ... , х„)	(7)
эквивалентны, если имеют одну и ту же область опреде-
ления и неравенство со (хх, х2, ... , х„) > 0 в этой области
тождественно истинное.
Доказательство. Пустьхх — alt х2 = а2, ... , х„=
= яп — произвольное решение неравенства (6). Тогда
/(Оь а2, ... , ап) >Ф(«1, о2, ••• , яп) — истинное числовое
неравенство. Умножив это неравенство на положительное
(по условию) число и (а1г ait ... , ап), получим истинное
Числовое неравенство (теорема 12):
f («ь «г, •.. , яп) • w (ах, Да, ... , ая) > <р (аь аг, ... , а„) X
х со (аь а2, ... , а„).
Следовательно, значения переменных xt = alt х2 = а2,
•.. , хп = ап являются решением и неравенства (7). Ана-
логично доказывается обратное утверждение, что произ-
вольное решение неравенства (7) является решением нера-
венства (6).
23
Теорема 21. Неравенства f(xlt х», ~... , х„) >
>ф(*1. Х2......Х„) И f (х1( Х2, ... , Х„) • <й(Х{, Х2, . . . , Хп) <
< ф (*i> х2, ... , хп) • со (х1( х2.хп) эквивалентны,
если имеют одну и ту же область определения и неравен-
ство со (хъ х2...хп)^ 0 в этой области тождественно
истинное.
Теорема доказывается аналогично теореме 20. Доказа-
тельство предлагается провести самостоятельно. -
Замечание, сделанное относительно применения теоре-
мы 19, имеет место и в случае применения теорем 20 и 21.
Примеры.
1. Неравенства (Igх—1)х>3х и 1gх—1>3 эквива-
лентны. Действительно, область определения рассматри-
ваемых неравенств состоит из множества положительных
чисел и в этой области неравенство х > 0 тождественно
истинное.
2. Неравенство^-----lj]/x < xpGt эквивалентно не-
(о \ 1/ х х
-----1)^—= <.х—=• (теорёма 20), но, вообще
х / V х у х
говоря, не эквивалентно неравенству —— 1 < х, полу-
ченному из предыдущего неравенства в результате со-
кращения дробей. Произошло расширение области опре-
деления исходного неравенства, поэтому возможно нару-
шение эквивалентности. В самом деле, х — — 1 является
решением неравенства —----1 < х, но не является решением
данного неравенства.
Теорема 22. Неравенства	> 0
r	v(xi, х2, ... , хп)
и f(xlt х2.......хп) • ф(*1, х2, ... хп)>0— эквива-
лентны.
Доказательство теоремы следует из того, что если при
некоторых значениях переменных функции f (xlt х2, ... , хп)
и ф(хь х2,.....хп) одновременно положительные или од-
новременно отрицательные, то их частное
и произведение f(xltx2, ... , хп) • <p(xb х2, ... , хп) будут
положительными для этих значений переменных. Если же
при некоторых значениях переменных функции
f (хь х2, ... , х„) и <р fa, ...хп) имеют разные знаки
24
J
(одна положительная, а другая отрицательная), то их
частное и произведение будут отрицательными.
Пример.
X I 1
Неравенство g > 0 можно заменить эквивалентным
неравенством (х 4- 1) (х — 2) > 0.
В данном параграфе не рассмотрены теоремы об экви-
валентных преобразованиях, употребляемых только при
решении иррациональных, логарифмических, тригонометри-
ческих и других конкретных видов неравенств. Эти во-
просы будут рассмотрены при решении соответствующего
вида неравенств.
§ 3. Конъюнкция и дизъюнкция неравенств
Понятия конъюнкции и дизъюнкции, рассмотренные
в § 5 гл. I применительно для числовых неравенств, рас-
пространяются и на неравенства относительно переменных.
Рассмотрим неравенство (х 4- 1)(х + 2) > 0. Исходя
из возможных комбинаций знаков (утверждение 2 и теоре-
ма 3); решения неравенства находим ИЛИ из условия,
что х+1>0 И х 4- 2 > 0, ИЛИ из условия, что х4-1<0
И х + 2 < 0.
Следовательно, для нахождения решения неравенства
необходимо рассмотреть высказывательные формы, в кото-
рых неравенства соединены с помощью союза И и с по-
мощью союза ИЛИ) то есть рассмотреть конъюнкцию и
дизъюнкцию неравенств (определения 4 и 5).
Пример.
Высказывательная форма «Неравенство х 4- 1 > 0 И не-
равенство х + 2 > 0» есть конъюнкция неравенств
J х 4- 1 > 0
{ х 4- 2 > 0.
Областью определения конъюнкции неравенств являет-
ся пересечение областей определения ее компонентов.
Пример. Областью определения конъюнкции нера-
венств
Г х +_1 > 3
I V х >2
является множество неотрицательных чисел.
Определение 11. Решением конъюнкции неравенств на-
зывается совокупность значений переменных, которая яв-
25
ляется решением И первого компонента конъюнкции, И
второго ее кбмпонента, И и т. д1.
Чтобы проверить, • будет ли данная совокупность значе-
ний переменных решением конъюнкции неравенств, доста-
точно подставить ее в заданную конъюнкцию вместо соот-
ветствующих переменных и установить истинной или лож-
ной является конъюнкция числовых неравенств. Совокуп-
ность значений переменных должна принадлежать И к
области определения первого компонента, И к области
определения второго компонента и т. д., то есть к области
определения конъюнкции неравенств.
Решить конъюнкцию неравенств — значит найти множест-
во всех ее решений.
Пример.
Дана конъюнкция неравенств
( 2х > Зу
I 1g* > 1 + у-
Значения х — 1 и у — 1 принадлежат И к области опре-
деления первого компонента, И к области определения
второго компонента, то есть к области определения конъ-
юнкции неравенств. Подставим их в данную конъюнкцию,
получим ложную конъюнкцию числовых неравенств
( 2>3
11Г1>2.
Если же взять значения х = 10 и у = —20 также из об-
ласти определения и подставить в конъюнкцию, то полу-
чим истинную конъюнкцию числовых неравенств
(20> — 60
I 1g 10 >—19.
Следовательно, пара чисел х = 1 и у = 1 не является
решением данной конъюнкции неравенств, а пара чисел
х = 10 и у = — 20 — есть одно из ее решений.
Рассмотрим теперь дизъюнкцию неравенств.
Пример.
Высказывательная форма «х 4-1 > 2, ИЛИ х 4-
4- 1 <—2» есть дизъюнкция неравенств
Г х+1>2
[ х+ 1<— 2.
1 Конъюнкция неравенств есть ничто иное, как система неравенств.
26
Областью определения дизъюнкции неравенств является
объединение областей определения ее компонентов.
Пример.
Областью определения дизъюнкции неравенств
, является множество действительных чисел.
Действительно, областью определения первого компонента
является множество действительных чисел, второго ком-
понента— множество неотрицательных чисел и их объ-
единением— множество действительных чисел.
Определение 12. Решением дизъюнкции неравенств
называется совокупность значений переменных, которая
является решением ИЛИ первого неравенства дизъюнкции,
ИЛИ второго неравенства, ИЛИ и т. д.
Возьмем произвольную совокупность значений перемен-
ных из области определения дизъюнкции неравенств и
подставим ее в эту дизъюнкцию вместо соответствующих
переменных. Получим дизъюнкцию числовых неравенств.
Если полученная дизъюнкция числовых неравенств истин-
ная (а это значит истинным является хотя бы один ее
компонент) и совокупность значений переменных входит в
область определения тех компонентов, которые обращают-
ся в истинные, то эта совокупность значений переменных
будет одним из решений дизъюнкции неравенств.
Решить дизъюнкцию неравенств — значит найти мно-
жество всех ее решений.
Примеры.
1. Дана дизъюнкция неравенств
Г12х>25-|-ц
[ 2х > 5у.
Возьмем значения х = 2 и у = 2 и ‘подставим в данную
дизъюнкцию неравенств. Получим ложную дизъюнкцию
числовых неравенств
Г24 > 27
L 4 > 10.
При подстановке вместо х и у значений 3 и 2 получйм
истинную дизъюнкцию числовых неравенств
Г36 >27
L 6 > ю,
У которой первый компонент 36 > 27 истинный, причем
х =» 3 и у = 2 содержатся в области определения этого
2Z
компонента дизъюнкции. Значит, х — 3 и у = 2 есть одно
из искомых решений.
2. Дана дизъюнкция неравенств
Г2х > — 3
|х + 5 < 2,
причем задано, что областью определения первого компо-
нента является множество положительных чисел, а вто-
рого — множество действительных чисел. Если значение
переменной х = — 1 подставить в данную дизъюнкцию
неравенств, то получим истинную дизъюнкцию числовых
неравенств
Г—2> —3
L 4 <2,
у которой истинным является первый компонент. Но так
как по условию область определения первого компонента
дизъюнкции состоит из положительных чисел, то х — — 1
не может быть решением дизъюнкции неравенств. Значе-
ние переменной х — — 4 будет одним из решений данной
дизъюнкции неравенств, ибо обращает ее в истинную, у
которой истинным является второй компонент и значение
х = — 4 входит в область определения этого компонента.
§ 4. Конструкции неравенств
В начале § 3 этой главы отмечалось, что решение не-
равенства (х 4- 1)(х-)-2)>0 может быть найдено ИЛИ из
условия, что х + 1 > О И х 4- 2 > О, ИЛИ из условия,
что х + 1 < О И х + 2 < 0.
Если решение выразить с помощью операций конъюнк-
ции и дизъюнкции, то получим следующую конструкцию
неравенств (§ 5, гл. I).
(х 4- 1 > О
(х 4~ 2	О
(х 4~ 1	О
(х +• 2< 0.
Знак конъюнкции (фигурная скобка) и знак дизъюнк-
ции (квадратная скобка) указывают на порядок следова-
ния связей одного неравенства с другим. Последователь-
ность связей вытекает из условия той конкретной задачи,
из которой получены неравенства.
28
Перейдем к определению понятия решения конструкции
неравенств.
Рассмотрим две конструкции неравенств:
х + у>2
2х< 1
* + у>3
х< 1,
(х + у >2
12х < 1
х + #>3
_х< 1.
(2)
Возьмем значения х = 2 и у = 3 и подставим их в кон-
струкции неравенств (I) и (2). Получим конструкции чис-
ловых неравенств:
"{5>2
l4< 1
[5 > 3
' U< 1
Г5 > 3
1г< 1,
у которых первый компонент ложный, а второй истинный.
Так как в конструкции (1) первой стоит операция конъ-
юнкции, а в конструкции (2) — операция дизъюнкции, то
в соответствии с определениями 11 и 12 значения х = 2
и у = 3 будут являться одним из решений конструкции
(2) и не будут являться решением конструкции (1).
Если обозначить через Аъ Л2, ..., Ап различные кон-
струкции неравенств, то можно сформулировать два ин-
дуктивных определения.
Определение 13. Совокупность значений переменных
Xi = alt х2 = о2, ..., хп = ап называется решением конструк-
ции неравенств
А.
а2
Ап,
если она является решением компонента А1г И компонента
4 И и т. д., И компонента Ап.
Определение 14. Совокупность значений переменных
*1 = alt х2 = а2...хп = ап называется решением кон-
струкции неравенств
Лх
А
Лп,
29
если она является решением компонента Ль ИЛИ компо-
нента Л2, ИЛИ и т. д., ИЛИ компонента Лп.
Решить конструкцию неравенств — значит найти мно-
жество всех ее решений.
Пример.
Значение х «= а будет решением конструкции
"ГЗх 4- 1 > 2
L х —у <2
,/х+у>3
_13у>1, .
если х = а является решением дизъюнкции неравенств
'Зх 4- 1 > 2
. х — у< 2,
ИЛИ решением конъюнкции неравенств
( х 4* У > 3
(Зу>1.
В свою очередь х — а будет решением дизъюнкции не-
равенств
ГЗх4-1>2
[ х — у< 2,
если х = а является решением неравенств
3x4-1 >2 ИЛИ х — у < 2,
а решением конъюнкции неравенств
f х + у>3
(Зу>1,
если х — а является решением неравенств
*:4-у>ЗИЗу>1.
Отметим, что понимается под областью определения
конструкции неравенств.
, Областью определения конъюнкции
Лх
Л2
Ап
30
г
i >
К
является пересечение областей определения компонентов
-^2» • * '»
Областью определения дизъюнкции
ГА
А
_А
является объединение областей определения компонентов
А* • • •>
Примеры.
1.	Областью определения конструкции неравенств .
(flgx 4-1 >2
|х > 1
( 2х > — 1
I х < 3
является множество всех действительных чисел, ибо дизъ-
юнкция неравенств	'
Hgx+f >2
|х > 1
и конъюнкция неравенств
f 2х > — 1
( х< 3
определены при всех действительных значениях перемен-
ной.
2.	Областью определения конструкции неравенств
Hlgx+1>2
I х > 1
г2х> —1
[х<3
является множество всех положительных чисел, ибо конъ-
юнкция неравенств
Mgx+1>2
| х > 1
определена при положительных значениях переменной.
3.	Область определения конструкции неравенств
31
состоит из объединения областей определения конъюнкции
и дизъюнкции
lgx>5
У х <3.
Областью определения конъюнкции неравенств будут
все числа за исключением нуля, а областью определения
дизъюнкции неравенств будут все неотрицательные числа.
Поэтому областью определения заданной конструкции не-
равенств будет объединение двух указанных множеств, то
есть множество действительных чисел.
Если множество всех решений конструкции неравенств
совпадает с ее областью определения, то говорят, что дан-
ная конструкция неравенств тождественно истинная. Если
же ни одна допустимая совокупность значений перемен-
ных не обращает ее в истинную числовую конструкцию,
то такая конструкция неравенств называется тождествен-
но ложной.	х
К конструкциям неравенств применимо введенное ранее
понятие эквивалентности.
Определение 15. Две конструкции неравенств экви-
валентны, если любое решение одной конструкции являет-
ся решением другой конструкции неравенств и наоборот.
При решении различных конструкций неравенств будем
заменять одно или несколько неравенств конструкции эк-
вивалентными им неравенствами, пользуясь теоремами, рас-
смотренными в § 2 этой главы, и следующей теоремой.
Теорема 23. Если в данной конструкции неравенств
заменить входящие в нее компоненты эквивалентными, то
получим конструкцию, эквивалентную данной.
Справедливость теоремы непосредственно следует из
правила проверки решения конструкций неравенств.
32
I	Пример.
*	Дана конъюнкция неравенств
/ 5х 4-10 > О
?	.	(Зх—6<0.
' 4 Преобразовав каждый ее компонент, получим:
/5х4-10>0	( 5х > — 10	(х> — 2
(Зх — 6<0 ~( Зх < 6	~ ( х < 2.
?	§ 5. Основные свойства конструкций неравенств'
Рассмотрим следующие теоремы, которые в дальней-
шем будут часто использоваться. Предварительно условим-
ся обозначать буквой И тождественно истинное неравенст-
во, а буквой Л — тождественно ложное.
Теорема 24. Конъюнкция, содержащая тождественно
ложный компонент, тождественно ложная.
Доказательства. По определению 13 конъюнкция
неравенств имеет решение только в том случае, когда сущест-
вует совокупность значений переменных, прц которых все
компоненты. конъюнкции будут истинны. Но так как для
’ тождественно ложного компонента такой совокупности
значений переменных не существует, то ее нет и для всей
' конъюнкции, то есть конъюнкция неравенств тождественно
\ ложная.
v Пример.,
( х2 < 0
ибо компонент х2 < 0 — Тождественно ложный.
‘	(А
’’ Теорема 25. Конъюнкция содержащая тождест-
венно истинный компонент Ai, эквивалентна компоненту
А,, если область определения этого компонента принадле-
жит области определения конъюнкции.
Доказательство теоремы аналогично доказательству те-
оремы 24 (при доказательстве делается ссылка на решение
.тождественно истинного компонента).
Примеры.
1-	(х>15
( х2 + 1 >0 ~х>
2 Неравенства	33
ибо компонент х2 4- 1 > О — тождественно, истинный и
область определения компонента х>15 принадлежит об-
ласти определения конъюнкции.
2.	Конъюнкция неравенств
х 4- 1 О
-т>0
содержит тождественно истинный компонент >0, од-
нако конъюнкция неравенств
х + 1 >0
1
ха
>0
не эквивалентна неравенству х 4- 1 > 0, ибо область опре-
деления неравенства х + 1 > 0 шире области определе-
ния конъюнкции неравенств. Будет иметь место следую-
щая эквивалентность:
| х + 1 > ° / х -J- 1 > 0
|А>0	~ (х^=0. „
Теорема 26. Дизъюнкция Г41, содержащая тождествен-
1Л*2.
но ложный компонент Аи эквивалентна компоненту Л2.
Доказательство. По определению 14 значения пе-
ременных Xi = ai, хг = а2, ..., хп = ап являются решением
данной дизъюнкции, если они являются решением ИЛИ
первого компонента Аи ИЛИ второго компонента
А2. Но компонент Лх тождественно ложный и решений не
имеет, поэтому любое решение данной дизъюнкции явля-
ется решением компонента Л2. Обратно, любое решение
компонента А2 является решением одного компонента дизъ-
юнкции, значит, решением самой дизъюнкции. Эквивалент-
ность доказана.
Пример.
Дизъюнкция неравенств	*
компонент х2 < 0 — тождественно ложный.
х 4- 1 > 0, ибо
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема'27. Дизъюнкция ГА, содержащая тождествен-
на
34
но истинный компонент эквивалентна этому .компонен-
ту, если его область определения совпадает с областью
определения дизъюнкции.
Примеры.
1. Дизъюнкция неравенств
неравенству ха + 1 > О, ибо
эквивалентна
» оно тождественно истин-
но? и его область определения совпадает с областью опре-
деления данной дизъюнкции неравенств.
О
эквивалентна
1
хг
2. Дизъюнкция неравенств
-т>0
*	, но не эквивалентна неравенству
х — О
дизъюнкции
-р">0, ибо его область определения не совпадает с об-
ластью определения дизъюнкции неравенств.
Теоремы 24—27 распространяются на случай конъюн-
кции и дизъюнкции неравенств, имеющих более двух ком-
понентов.
Отметим основные свойства конструкций неравенств.
Все они справедливы для конструкций нескольких нера-
венств со многими переменными. Для простоты будем рас-
сматривать их для неравенств с одной переменной.
I. Переместительное свойство конъюнкции и дизъюнк-
ции:
/ А(х)>0
Ш*)>0
f2W>0
а)
А(х)>0.
II. Сочетательное свойство конъюнкции и дизъюнкции:
Л(х)>0
/г W > О
М*) >0.
Свойства I и II непосредственно следуют из определе-
ний дизъюнкции и конъюнкции и их эквивалентности.
2*
33
Ш. Распределительные свойства конъюнкции и дизъюнк-
ции.
Первое распределительное свойство:
О (1) ~
Щ*) >0
(Д(х)>0
U(*)>o
Доказательство. Пусть х — а — произвольное ре-
шение конструкции неравенств (1). Тогда_ Д (а) > 0 — ис-
тинное неравенство и
0
О
— истинная дизъюнкция неравенств. Из истинности дизъ-
юнкции следует, что хотя бы одно из входящих в нее не-
равенств истинно. Пусть для, определенности истинно не-
равенство Д(а) >0. Тогда конъюнкция неравенств
Л(а)> 0
f,(a)>0
будет истинной, а следовательно, истинной будет и кон-
струкция (2). Итак, любое решение конструкции нера-
венств (1) является решением конструкции (2).
Докажем обратное утверждение. Пусть х — Ь — произ-
вольное решение конструкции (2). Тогда х = Ь является
решением хотя бы одного из входящих в дизъюнкцию
компонентов (определение 14). Пусть для определенности
истинным является компонент
f Ш>0
1Ш>0.
Тогда истинными будут неравенства Д(6)>0 и Д(6)>0
(§ 5, гл. I). Следовательно, неравенство Д (&) > 0 и дизъ-
юнкция неравенств [ 1* $ > ® истинны, поэтому истин-
ной будет конструкция неравенств (1) (определение 13).
То есть х — b является решением конструкции неравенств
(1). Свойство доказано.
Следствие. Имеет место эквивалентность:
36
rAW>o
1ш>о
|f3W > 0
Uw>0
{ h(x) >0
U(*)>o
Второе распределительное свойство:
Доказательство аналогичное.
§ 6. Уравнения, конструкции уравнений и
их эквивалентность
Во многих случаях, приходится встречаться с конст-
рукциями, компонентами которых являются уравнения.
Примеры.
1. Высказывательная форма «Уравнения Зх = 5 И х-|-
+ у = 2» есть конъюнкция уравнений, которую будем за-
писывать так:
( Зх = 5
I х + У = 2.
2. Высказывательная форма «Уравнение 2х + у = 1
ИЛИ уравнение х — у — 2» есть дизъюнкция уравнений:
Г2х + у = 1
[х — у = 2.
(х=2 + у
(х = 5 — у
.х» + 1 « 3
является конструкцией уравнений,
рой — конъюнкция уравнений ,
(х=2+у
I х —5 — у,
второй — уравнение х2 + 1 == 3.
один компонент кото-
87
х 4-1 > 2у
(Зх + 1 = 2у
Дх = 3
х + у > О
есть конструкция неравенств, компонентами которой явля-
ются конструкция неравенств
х + 1 > 2у
(Зх 4- 1 = 2у
Дх=3
и неравенство х 4- У > 0. В свою очередь последняя кон-
струкция неравенств имеет своими компонентами неравен-
ство х 4- 1 > 2t/ и конъюнкцию уравнений
/ Зх 4- 1 = 2у
( х = 3.
По аналогии с неравенствами и с конструкциями не-
равенств (в частности с конъюнкциями и дизъюнкциями
неравенств) даются определения эквивалентности и реше-
ния уравнений и конструкций уравнений.
Отметим основные теоремы об эквивалентности уравне-
ний.
Теорема 28. Уравнения f(x£, х2, ..., х„) =ф(х1, х2, ..., х„)
и f (хь х2, .... х„) 4-о(хх, х2.х„) = ф(х1( х2.хп) 4-
4 ©(хх, х2, ..., хга) эквивалентны, если имеют одну и ту
же область определения.
Доказывается теорема по аналогии с доказательством
теоремы 19, но в процессе доказательства делается ссылка
на свойства числовых равенств.
Примеры.
1. Уравнение х24-х = 2 эквивалентно уравнению х24-
4-х — 2 = 0 (теорема 28).
2. Уравнение х24-]/х—1 = ]/х— 1 эквивалентно
уравнению х2 4- Vх— 1 —р^х— 1=0, но не эквивалент-
но уравнению х2 = 0, полученному из последнего уравне-
ния после приведения подобных членов в левой части
уравнения. Как отмечалось в § 2 главы II, приведение по-
добных членов может повлечь за собой расширение об-
ласти определения уравнения и, следовательно, возмож-
ность нарушения эквивалентности.
38
Теорема 29. Уравнения f (хх, х2,	хп) = <р(хх, х2, .... хп)
и f(xlt х2, ..Хп) • со (Xi, х2, ..хп) = <р(хх, х2, ..хп) X
х ®(хх, х2, ..., хп) эквивалентны, если имеют одну и ту
же область определения и неравенство ® (хх, х2...хп) 4=
=#0 в этой области тождественно истинное.
Доказательство теоремы предлагается провести само-
стоятельно.
Пример.
Уравнение 21g2x = 51gx не эквивалентно уравнению
21gx — 5. Области определения этих уравнений одинаковы
(множество положительных чисел), но при х = 1 Igx = 0,
то есть неравенство Igx #= 0 в этой области не тождест-
венно истинное.
Теорема 30. Уравнение	— о (1) и
конъюнкция неравенств
f f 01» Xg, •. ., хп) = 0
* I <р(*1, Х2....хп)^0	W
эквивалентны.
Доказательство. Пустьхх = ах, х2=а2........хп—ап—
произвольное решение неравенства (1), тогда
7(Д1. Да..Д„) _ 0_
? (Дъ Д«> • • •. Д„) ~
истинное числовое равенство. Следовательно,
f(ax, a2, ...» an) = 0 И <p(ax, a2, ..., a„)#=0
(деление на нуль невозможно), то есть хх = ах,
х2 = а2, ..., хп = ап являются решением конъюнкции не-
равенств (2). Обратно, пусть хх = &х, х2 = Ь2.хп = Ьп —
произвольное решение конъюнкции неравенств (2). Тогда
f f(blt Ь2, ..., Ьп) = 0
I ф(р! Ь2 . Ьп) ¥= 0 — истинная конъюнкция числовых
неравенств. Разделив истинное числовое равенство
/01, Ь2, .... &„) = 0 на число ф(&х, Ьг, ..., £>„)¥= 0,
получим истинное числовое равенство
/(&!, fe2, , &„)
<p0i, ...ь„)
39
Значит, любое решение конструкции неравенств (2)
является решением уравнения (1). Теорема доказана.
Примеры.;
. 5х-М n /,5х+1=0
Е^~=0 ~ (х^О.
2 -о ~ р2 = 0
2- ~ - 0 t х * 0.
Если предварительно произвести сокращение в левой части
уравнения, то получим уравнение х — 0. которое не экви-
валентно данному уравнению (область допустимых значе-
ний уравнения расширилась).
Теорема 31. Уравнение
/1(ж1> х2> • Хя) • fifXj, х2,..., хя) • • • • • fh (Xj, Х2, ..., хя)=0
эквивалентно дизъюнкции уравнений
х2, • • •» хя) = 0
fi (Xi» х2, .хя) = 0
(-*-!» Х2г • • •» хп) —
если область определения уравнения совпадает с областью
определения дизъюнкции уравнений.
Доказательство теоремы не вызывает затруднений. Его
предлагается провести самостоятельно.
Примеры.
х -f-1 = 0
1. (х-Ь 1)(х —3)(х —4) = 0 ~
х —3 = 0
х — 4 = 0.
2. Уравнение 1) (х — 3) Igx = 0 не эквивалентно
дизъюнкции уравнений
х -|- 1 = 0
х — 3 = 0
Jgx =0,
ибо областью определения уравнения является множество
положительных чисел, а областью определения дизъюнк-
ции уравнений — множество действительных чисел. На-
пример, значение х = — 1 является решением дизъюнкции
уравнений и не является решением данного уравнения.
Будет иметь место следующая эквивалентность:
40	’	'	;
(х + 1) (х — 3) Igx = 0 —
х > О
х 4* 1 — О
х— 3 = 0
_lgx = O.
При решении конъюнкции уравнений пользуются мето-
дом алгебраического сложения и методом подстановки,
применение^ которых не нарушает эквивалентности. Этй
методы не применяются при решении конъюнкции нера-
венств, ибо открытым остается вопрос об эквивалентности
начальной и последующих конъюнкций неравенств.
§ 7. Неравенства и уравнения с параметрами
\
Рассмотрим неравенство
f(x1( х2, ..., х„, ах, а.2, ..., ай) > О	(1)
и уравнение <р (хх, х2, ..., х„, Ох, а2, ..., ак) = 0	(2)
с переменными хх, х2, ..., х„ и параметрами а1, а^, ..., а*.
Параметром называют такую переменную, значения
которой постоянны в пределах рассматриваемой задачи.
Пример.	✓
Уравнение у = ах 4- Ь определяет на плоскости мно-
жество прямых. Полагая, например, а= 1, 6=1, мы вы-
деляем из этого множества вполне определенную прямую
у = х-|-1,
а полагая а = 2, Ь = 0, мы получаем другую прямую —
У = 2х.
Следовательно, а и b в уравнении у = ах 4- b — пара-
метры, то есть они остаются постоянными в пределах
каждой задачи, относящейся к одной прямой.
Значения параметров (ах, а2, ..., ай), для которых
функции f(xlt х2, ..., хп, а1, ...ай), <р (хх, х2, ..., х„,
aL, Ог, ..., ай) определены, называются множеством допус-
тимых значений параметров (областью определения пара-
метров). Если они не указаны, то под множеством допус-
тимых значений параметров понимают те значения пара-
метров, для которых функции, стоящие в левых частях
неравенства (1) или уравнения (2), имеют смысл.
41
Примеры.
1. Дано уравнение —---2ах. При значении Ь =
= 0 и любом значении а выражение Зх + а Не имеет смыс-
ла (деление на нуль невозможно), а при значениях, напри-
мер, а = 2 и b = 2 оба выражения — и 2ах имеют
смысл.
2. При всех отрицательных значениях параметра а один
из компонентов неравенства 2х +	4 не имеет смыс-
ла в поле действительных чисел. При всех остальных зна-
чениях параметров оба компонента неравенства имеют
смысл. Следовательно, множеством допустимых значений
параметра неравенства 2х 4- У а >4 будет множество
неотрицательных чисел.	>
Аналогично рассматриваются конструкцйи неравенств
или уравнений, содержащих параметры.
Если дана конструкция неравенств (уравнений)
А
4
где компоненты А, Д2, ..., Ап содержат параметры, то мно-
жеством допустимых значений параметров (областью опре-
деления параметров) такой конструкции будет множество
тех значений параметров, для которых имеет смысл ИЛИ
компонент А, ИЛИ компонент А>, ИЛИ и т. д., ИЛИ
компонент Ап, то есть объединением множеств допусти-
мых значений параметров.
Пример.
Дана конструкция неравенств
Г х
а
2
xlga > 1
| х<а
( УГ-[ < У~а.
42
Найти множество допустимых значений параметра а.
Решение. Первый компонент имеет смысл, при
а. # О,- второй^— пр» а > Оу а. третий — при а > 0. Объеди-
пение множеств, допустимых значений параметра а. каждого
компонента—множество действительных чисел*
Если рассматриваемая конструкция имеет вид
' Г А
, А»
* -
где компоненты. Аь А2, Аа содержат параметры, то
допустимой системой значений параметров (областью опре-
деления параметров) будет множество, значений парамет-
ров, для которых имеет смысл И компонент Аь И ком-
понент Аг, И и т. д., И компонент Ап, то есть пересече-
ние множеств допустимых значений параметров.
Пример.
Найти множество допустимых значений параметра а в
конструкции	Г
— >2
а
'	, xlga > 1
1Ух — 1 < У "а
. (х < а.
К	Решение. Первый компонент имеет смысл при
а #= 0, второй компонент — при а > 0, третий — при а > 0.
Только при значениях параметра а > 0 будет иметь смысл
И первый, И второй, И третий компоненты данной кон-
струкции. Следовательно, множеством допустимых значе-
ний параметров исходной конструкции неравенств будет
множество положительных чисел. Предлагается сопоста-
' вить полученный ответ с ответом предыдущей задачи и
объяснить, почему они различные.
Параметр — это переменная, поэтому неравенство (урав-
нение) с параметрами можно рассматривать как неравен-
‘ ство (уравнение) число переменных которого увеличено на
число имеющихся в нем параметров. Однако при решении
такого неравенства (уравнения) нас интересует вид реше-
43
ния в зависимости от значений, входящих в него пара-
метров.
Пусть множество D допустимых значений параметров
разбивается на подмножества Db D2, ..De. Характер
разбиения D вытекает из условия поставленной конкретной
задачи.
Определение 16. Решить неравенство, уравнение или
их конструкцию, содержащие параметры, значит найти
множество их решений относительно всех переменных
хь хг, ..., хп, аь а2, ..., аА для каждого подмножества
Di, D2, ..., De.
Неравенство (уравнение) решается последовательно при
значениях параметров, содержащихся в Dlt D2, ..., De.
В результате получим искомое решение при значениях па-
раметров ИЛИ из Di, ИЛИ из D2........ИЛИ из De.
Примеры.
1. Пусть требуется решить неравенство ах >2. В дан-
ное неравенство входит параметр а. Допустимые значения
параметра а образуют множество действительных чисел.
Следовательно, требуется решить неравенство ах > 2 при
условии, что а может быть любым действительным числом.
'Чтобы найти искомые значения х, разделим неравенство
на а. В зависимости от того, будет а числом положитель-
ным или отрицательным, знак неравенства сохранится или
изменится. Поэтому множество допустимых значений пара-
метра естественно разбить на три части:
Di — множество, положительных чисел,
£>2 — множество отрицательных чисел,
D3— множество, состоящее из числа нуль.
Неравенство ах >2 решается для каждой области
D2, D3, то есть:
ах
2
а > О
ах > 2
|а< О
[ах > 2
\а = О
[ах > 2,
2. Дано неравенство t > 2^ Допустимыми значе-
ниями параметра а будут числа а — 1 (при а — — 1
знаменатель дроби обращается в нуль). Множество допус-
44
тимых значений параметра естественно разбить на две час-
ти: Di — множество чисел больших —1, D2 — множество
чисел меньших —1. Итак,
Упражнения
1.	Установить, будут ли значения х =— 2 и у =15
одним из решений дизъюнкции неравенств
'х + у > 5	___
> + 3t/</~
2.	Установить, будет ли значение х = —10 одним из
решений конъюнкции неравенств
(x + lg(l—х)<3
(—2х + 4>5.
3.	Установить, будет ли значение х = 5 решением кон-
струкции неравенств
(х 3 5
(2*—1<3
Гх— 4 < 2
[х — 5 < 3.
4.	Установить, будет ли значение х = — 5 одним из
решений конструкции неравенств
ГЗх-|-5>2	।
|х< 1
J3(x—1)>2
_(х+ 1 >—6.
5.	Установить, будет ли значение х = 5,5 одним из ре-
шений конструкции неравенств
(х + 24 > 2
U-|-lgx<3.
•	[Зх — 4 > 5,
45
если областью определения второго компонента конструк
ции является множество натуральных чисел.
Определить множество допустимых значений парамет-
ров в следующих неравенствах:
«• _
7. j/”а 4- 1 -J- х }/” 2	3 j/”
8. lg(x—а)>3х.
Определить множество .допустимых значений параметра
в следующих конструкциях неравенств:
9.	/х4-1>/л	Ю-			(x	>lgo
	lga<x			ir	x < a
	|a+l+*>V			x >a + 1 _2aJC > 3.	
11.		—	CM V £ +	12.	r+?T>1
			3x4-lg(a+ 1)< 2 — 1 I 2 a + 2		a	a—1 2x — -Д- < 2 .	 Iga ( a + x > 0.
ГЛАВА Ilk
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Решение неравенств- первой- степени
с одной переменней!
Неравенство первой степени с одной переменней с по-
мощью эквивалентных преобразований может быть приве-
дено к виду
ах > b,	(1)
где а и b — числовые коэффициенты.
Пример.
Указать последовательность эквивалентных преобразо-
х	2	4
ваний для неравенства 5х 4- 4 > — х-----у.
Решение.
5х + 4 >-|-х----~5х------х > — 4 — *
4 л 1	к 1:
__ 3	4 3 х '>' з •
Остановимся на решении неравенства (I).
В зависимости от значения числа а возможны следу-
ющие случаи:
1.	а > 0. Разделив неравенство (1) на положительное
число а, получим (теорема 20):
а > 0
ах >6
а >0
ь.
X > —
а
(2)
Числа больше числа — и только эти числа состав-
а
ляют множество, всех решений неравенства (1) при усло-
вии, что а — число положительное.
Отметим на, числовой оси точку Все числам рас-
47
b
положенные на оси правее точки —, образуют множество
решений неравенства (1) при а>0 (рис. 1).
2.	а <, 0. Разделив неравенство (1) на отрицательное
число а, получим (теорема 21):
а< 0
ах > b
О
ь
а
(3)
Все действительные числа меньше числа — и только эти
а
числа обращают неравенство (1) в истинное числовое
неравенство и составляют множество всех его решений
при а < 0 (рис. 2).
Рис. 1	, Рис. 2
3.	а = 0. Имеем неравенство Ох > Ь, которое эквива-
лентно неравенству 0 > Ь.
а)	Если числовое неравенство 0 > b истинное, то нера-
венство Ох > Ь тождественно истинное, то есть имеет ре-
шение при любом действительном значении х:
а = 0
6<0
ах > b
а = 0
&<0
ОО < X
(4) .
оо.
б)	Если 6 О истинное числовое неравенство, то нера-
венство Ох >6 тождественно ложное, то есть не имеет
решений:
а = 0	(а = О
6 > 0	~	6 > 0	(5)
. ах > Ь { Л.
Множеством всех решений неравенства (1) будет объеди-
нение множеств решений конъюнкций неравенств (2), (3),
(4) и (5). Используя обозначения операций конъюнкции и
дизъюнкции, решение неравенства (1) можно записать так:
48
ax~>b ~
a >0
ax >b
a < 0
ax >b
a = 0
ax >b
a>0
‘>4
a< 0
b
x< —
a
a = 0
b<0
— 00 < X < 00
a = 0
b>0
JI.
Примеры.
1., Решить неравенство 5x— 7< 3(x + 1).
Решение. 5x — 7 < 3 (x 4- 1) — 2x < 10 ~ x < 5. По-
следнее неравенство является ответом. Часто ответ записы-
вают в виде интервала G—оэ; 5).
2. Решить неравенетво (а 4- 1)х 4- 3 < 5a 4- 1.
Решение, (а 4- 1)х + 3 < 5а4-1 —(а 4- 1)х< 5а—2—
а + 1 >0
(а 4- 1)х < 5а — 2
а 4- I < О
(а 4- 1) х < 5а — 2
а 4- 1 =0
(а 4- 1)х<5а —2
а = — 1
нет решения* 1.
В этом примере ответ удобнее записывать в виде
следней конструкции неравенств.
3. Решить неравенство -----------
Решение.
5тх 2х 4- 1 х 4- 3
4 (т — 3)	2	4	~
5/п,х — 2 (тп — 3)(2х 4~ О — (ж — 3) (х + 3)
4(т —3)	<'U
Зх — /«4-3 , q х , 1
4(т —3)	т— 3^ 3
1 Иногда вместо Л (тождественно ложное неравенство) будем
наглядности писать «нет решения».
по-
ДЛЯ
49
т — 3 > О
т	—	3^	3
(	т	— 3	<	О
I	х	1
.(	т—	3	3
Значение т = 3 не рассматривается, так как при нем
неравенство не. имеет смысла.
Решение неравенства ах > b подтверждает еще развито
параметры следует рассматривать как переменные, мно-
жество значений которых разбито на области способом,
вытекающим из условия задачи.
§ 2. Решение конъюнкции неравенств и уравнений
первой степени
Рассмотрим решение конъюнкции неравенств первой
степени с одной переменной. Предварительно отметим сле-
дующие теоремы.
Теорема 32. Если а! >	. > ап, то
X > Ц]
X > Oi
х > at.
х>аа
Доказательство. Пусть с — произвольное решение
конъюнкции. Тогда
с > Я1
с > а2
с > ап
— истинная конъюнкция числовых неравенств. В частнос-
ти с > ai — истинное числовое неравенство. Следовательно,
любое решение конъюнкции является решением неравен-
ства х > «х. Обратно, если число b — произвольное реше-
ние неравенства х > alt то 6 > — истинное числовое
неравенство, а так как > а2 > ... > ап — истинные чис-
ловые неравенства, то в силу свойства транзитивности ис-
тинными будут числовые неравенства £> > аь />>Ог, ..
b > ап, то есть произвольное решение неравенства х > а2
50
является решением конъюнкции неравенств. Эквивалент-
ность доказана.
Пример.
{х > 5
х > — 2 эквивалентна не-
х > 3
равенству х > 5, ибо 5 > 3 > — 2.
Теорема 33. Если &i>b2> ... >6П, то

Доказательство предлагается провести самостоятельно
по аналогии с доказательством теоремы 32.
Пример.
f х< 2
Конъюнкция неравенств < х < — 3 эквивалентна нера-
I х< —2
венству х < — 3, ибо 2 > — 2 > — 3.
Обобщением теорем 32 и 33 является следующая тео-
рема. Обозначим через а наибольшее из чисел аъ 0%, ..., ап,
а через b — наименьшее из чисел Ьи Ьг, .... bk. Кратко
это будем записывать так: а = max {аъ а* ...» ап}, Ь —
= min{61, 62, ...»
Теорема 34. Если а — max {alt ........on}, а b =
= min{61, b2...Ьь}, то
Х>Й!
х >ап
х<^Ь1
x<i>k
Очевидно, конъюнкция неравенств | имеет ре-
шения тогда и только тогда, когда числовое неравенство
а < Ь истинное (рис. За). При а > & рассматриваемая
конъюнкция неравенств ложная (рис. Зб)г
Прим-еры.
1.	Решить конъюнкцию неравенств
51
х—3 >
2х —3>
х— 1 <
х<~ 4.
5
1
2
Решение. Проведем следующую последовательность
эквивалентных преобразований:
х — 3
2х — 3
х— 1
х< 4
х 8
х > 2
х< 3
х< 4
Л.
Ответ. Нет решения.
2.	Решить конъюнкцию неравенств
( Зах— 5< 6 — ах
( (а+ 1)х— 3< (1 —2а)х + 5.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
> —
/ Зах—5 < 6—ах	I	4	я
1(а-Ь1)х—3<(1—2а)х+5 ~ |ах < 8 ~ ах < Т
.	3
Е2
а > О
„ 8
ах< 3
а = О
ах<-3-
а < О
ах <-т-
О
0-х
а = 0
— СО < X <
0
8
За
о
8
За*
со
а > О
х< ~SS
а = О
Последняя конструкция неравенств является ответом.
3.	Найти область определения функции
у = 1g (Зх — 1) +	.
Решение. Область определения функции находится
из следующих условий:
а)	Логарифмическая функция определена для положи-
тельных значений переменной: Зх — 1 > 0.
б)	Во множестве действительных чисел квадратный ко-
рень определен для неотрицательных чисел и деление на
нуль невыполнимо: Зх — 2 > 0.
в)	Деление на нуль невыполнимо: х =£ 0.
Таким образом, область определения функции составят
те и только те значения, переменной х, которые обращают
в истинное каждое из записанных выше неравенств: И не-
равенство Зх — 1 > 0, И неравенство Зх — 2 > 0, И нера-
венство х =^= 0.
Решение задачи сводится к решению конъюнкции не-
равенств:
( Зх—1 >0
{ Зх — 2 > 0 ~
( х =£ 0
х 0
.	2
Х> 3 •
„	.2
Ответ, х > -я-.
О
Решение конъюнкции уравнений проводится по анало-
гии с решением конъюнкции неравенств. Используются те-
оремы, рассмотренные в главе II.
Имеет место следующее эквивалентное преобразование;
х = а
х = Ь
I.
х — а
а — Ь.
Пример.
Решить конъюнкцию уравнений относительно перемен-
ной х
x-f- 5а—1=0
х = 3а— (x-f-2).
53
Решение.
х + 5а—1=0	|х=1—5а
х = За—(х + 2) I х — ~^-а —1
х=1—5а
1—5а=А«-1~
£
1 —5а
4
13
_ 7
13
4
13*
Переход от второй конъюнкции к третьей сделан с
учетом эквивалентного преобразования I. Заданная конъ-
л
юнкция уравнений имеет решение только при а = Ре-
Ал
у
шением будет х — —
Ответ.
§ 3. Решение дизъюнкции неравенств первой степени
При решении дизъюнкции неравенств, кроме ранее рас-
смотренных теорем, используются следующие три теоремы.
Теорема 35. Если ах > а^ > ... > ап, то
х > ах
х>а„.
_х> ап
Доказательство. Если число с -г- произвольное
решение дизъюнкции неравенств, то оно является решени-
ем хотя бы одного неравенства этой дизъюнкции. Пусть
для определенности с является решением неравенства
х>аА, то есть с > аь — истинное числовое неравенство. Тогда
в силу свойства транзитивности с > a*+i, ..., с > ап —
тоже истинные неравенства. Итак, с — решение неравенст-
ва х > ап. Обратно, если число Ь — решение неравенства
х > ап, которое также является одним из Компонентов
дизъюнкции неравенств, то b будет решением самой дизъ-
юнкции неравенств. Эквивалентность доказана.
Не вызывают затруднений доказательства следующих
теорем.
54
Теорема 36. Если 6Х > Ь2 > ... > Ьк, то
“х < bi
-x<bk
Теорема 37. Если а = min{ах, а2, ..., ап}, b = max {&х,
Ь2, .... &*}, то _
“х > 01
х~>ап Гх> а	...
x<bi ~ |х<&.
.*<**
Легко доказать, что если а^Ь — истинное числовое
неравенство, то решением дизъюнкции (1) является мно-
жество чисел х < b ИЛИ х > а (рис. 4а, 46). Если же
а < Ь, то рассматриваемая дизъюнкция неравенств тож-
дественно истинная (рис. 4в).
а) жжльо——
6 а
Рис. 4
Примеры.
1. Решить дизъюнкцию неравенств
Гх > Зх + 1
х < 2х.
Решение. Проведем следующие эквивалентные
образования:
пре-
х > Зх + 1
х < 2х
— 2х> 1
— х < О
1
х<----
х > 0.
55
. Ответ можно записать в виде объединения двух мно-
жеств (—оо; —2~il)(0> оо)' или в виде дизъюнкции
____________________1_
2 (Рис- 5)-
х > О
неравенств
О
Рис. 5
2. Решить дизъюнкцию неравенств
Г (Зя  1) х —2 х 3
|2 + Зах>14.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования, использовав приемы решения неравенств с
одной переменной (гл. III, § 1) и свойства дизъюнкции и
конъюнкции неравенств (гл. II, § 5):
(За+ 1)х —2<х + 3
2-f-3ax> 14
Г 5
ах<-3-
ах > 4
56
§ 4.. Решение неравенств второй и высших степеней
с одной переменной
Пусть дано неравенство f(x)>0, где f(x) — многочлен
степени п.
Неприводимыми многочленами во множестве действи-
тельных чисел называются такие многочлены, которые
нельзя представить в виде произведения двух других от-
личных от постоянного числа многочленов ’ с действитель-
ными коэффициентами.
Пример.
Многочлены х4-1, х2+ 1 и х—1 во множестве дей-
ствительных чисел нельзя представить в виде произведе-
ния хотя бы двух многочленов, отличных от постоянного
числа, значит они будут неприводимыми.
Доказано, что во множестве действительных чисел не-
приводимыми многочленами являются только многочлены
первой степени и те многочлены второй степени, которые
не имеют действительных корней.-
Исследуем неприводимые многочлены второй степени
(неприводимые квадратные трехчлены). Корни трехчлена
находятся по известной формуле
— b ± V Ь2 — 4ас
Х'-2------ 2^	
Если дискриминант, трехчлена D = Ь2 — 4ас является чис-
лом отрицательным, то квадратный корень ]/&2 — 4ас во
множестве действительных чисел не существует, и трех-
член не имеет действительных корней.
Теорема 38. Квадратный трехчлен, не имеющий действи-
тельных корней, знакопостоянен, причем знак его при всех
действительных значениях переменной совпадает со знаком
старшего коэффициента.
Доказательство. По условию теоремы квадратный
трехчлен не имеет действительных корней, значит 62 —
— 4ас < 0 (1). Проведем следующие эквивалентные преоб-
разования:
ах2 + Ьх + с = а [х2 + х +	=
К, ь Vs , с ьг 1
X “|" "о— ) “Ь---Л~2 I
* 2а ] 1 а 4а*J
Г/ 1 Н2 I
=	2S-)
4ас — b* 1
4а2 J
67
Принимая во внимание условие (1), заключаем, что
4дг__£2	(	ъ \2
•—^5— > 0. Но так как I х 4-	> 0 (равенство нулю
будет иметь место при х = —	1, то
I b V , 4ос —fe8 п
V + 27/ +	>0-
Если а — положительное число, то произведение
JL 1 И2 | 4ОС-Н
I \ 2а I '	4а2 J
при любом действительном значении х является числом
положительным. Если же а — отрицательное, то произве-
дение
К. Ь\2 . 4ас — &2]
ж+ 27/ +Т-]
есть число отрицательное при любом действительном зна-
чении х.
Итак, если трехчлен
ах2 + Ьх + с
не имеет действительных корней, то при любом действи-
тельном значении х он знакопостоянен, то есть либо по-
ложительный (если а > 0), либо отрицательный (если
а < 0). Теорема доказана.
Примеры.
1. Трехчлен х2 + х + 1 положительный при любом зна-
чении х, ибо он не имеет действительных корней, а стар-
ший коэффициент а = 1 — число положительное. 
2. Трехчлен х — х2— 5 при любом х отрицательный,
ибо он не имеет действительных корней и старший коэф-
фициент а = — 1 — число отрицательное.
Из понятия корня трехчлена следует обратное утвер-
ждение: если квадратный трехчлен знакопостоянен, то есть
ни при каком действительном значении х не равен нулю,
то он не имеет действительных корней и числовое нера-
венство &2 — 4ас < 0 истинно.
Отметим следующие эквивалентные преобразования, ко-
торые в дальнейшем будут использованы при решении не-
равенств высших степеней.
II. (х — а)2/”+’ <р (х) > 0 — (х — а) ф (х) > 0.
58
Действительно, так как при всех х а неравенство
(х — а)2т >0 — тождественно истинное, то, разделив не-
равенство (х — аУт+1 ф (х) > 0 на (х — а)2т (теорема 20),
получим
• (х — а)2т+* ф (х) > 0 — |
Значение х = а обращает левую часть неравенства
(х — а) ф (х) > 0 в нуль, поэтому не является его реше-
нием и
( (х — а) ф (х) > 0	.	. , .. Л
~ (х —а)ф(х)>0.
Свойство доказано.
Ш. (х —а)2/”ф(х) >0 ~ { J^a>0 ~
Действительно, при х а неравенство (х — а)2"1 > 0
тождественно истинное, и от деления данного неравенства
на (х — а)2"1 эквивалентность не нарушается (теорема 20).
Рассмотрим теперь решение неравенства f(x)>0, где
f (х) -у многочлен степени выше первой.
Представим многочлен f(x) в виде произведения не-
приводимых многочленов во множестве действительных
чисел.
f (х) = а (х—Xj)’* (х — х2)’* ... (х — хй)“* (х2 + рхх +
+ <7i)p‘ ... (х2 4-р^х 4-9е)Ч
где di + a2 ... 4*а* 4~ 2рх + 20а + ... 4~ 2РЙ = п,
хх, х2, ..., хп — действительные корни многочлена крат-
ности соответственно ax, oij, ..., ак и х2 4-Рхх 4-(i ==
= 1, 2, ..., е) — трехчлены, которые не имеют действи-
тельных корней. !
Подставив разложение f(x) в неравенство, получим:
а (х — хО01* (х — х2)®» ... (х — xk)ak (х2 4- рхх 4- д^ ... (х2 4-
+ РеХ + Яе)^>0 (2).
Пусть для определенности первые s корней многочлена,
стоящего в левой части неравенства (2), нечетной крат-
ности, то есть ax — 2mt 4- 1, a2 = 2m2 4- 1, ..., as = 2tns 4-
4-1, а остальные корни четной кратности as_|-i = 2/ns+i,
..., aft = 2тк.
Применяя последовательно теорему 38 и эквивалентные
преобразования II и III, получим:
59
a(x — хх)’* ... (х — xkyk (хг + ptx + qtfi ... (xs +	+
+ ‘Jef* > 0 ~ a (x — ax)2m*+1 ... (x — x,)2"^1 (x —
— Xs+O^s+i ... (x — x^k > 0 ~
a(x — xx) (x — x2) ... (x——xf)>0
X ф xs+1
x + xk.
Разделив неравенство a(x — xx)(x— x2) ... (x — x^) > 0 на
число а, получим эквивалентную конструкцию неравенств:
“( а > О
Ф (х) > О
X ф Xs+1
f(x)>0~
х ¥= xft .
a<0
Ф (x) < О
X Xs-f.1
X =0 Xft,’
где ф(х)==(х — xx) (x — x2) ... (x—xs).
Корни нечетной кратности многочлена f (х) разбивают
числовую ось на промежутки знакопостоянства (для опре-
деленности их занумеровали в порядке возрастания):
(—оо; хх), (хх; х2) ... (х5; оо). В каждом из этих число-
вых промежутков функция ф(х) имеет постоянный знак.
Действительно, только при переходе через однократный
корень X, функция ф(х) меняет знак, ибо в этом случае
один и только один из сомножителей изменит знак (тот
из сомножителей, который при х = xz обращается в нуль).
Установив числовые промежутки, в которых тождественно
истинным является неравенство ф (х) > 0 или неравен-
ство ф(х)<0, и, исключив из них те значения перемен-
ной, при которых многочлен f (х) обращается в нуль (корни
четной кратности), получим множество всех решений не-
равенства f (х) > 0. Решения будут содержаться ИЛИ в
первом числовом промежутке, ИЛИ во втором, ИЛИ
и т. д., ИЛИ в последнем числовом промежутке, то есть по-
лученные числовые промежутки объединяются операцией
дизъюнкции.
. 60
Рассмотренный метод решения неравенств высших сте-
пеней называется методом интервалов.
Примеры.
1.	Решить неравенство х2 4- 5х + 6 < 0.
Решение. Находим корни многочлена, стоящего в
левой части неравенства и наносим их на числовую ощ»
(рис. 6). Корнями трехчлена являются числа —2 и —3.
~3	~2

Рис. 6
Числовая ось разбилась на интервалы —оо<х><— 3,
— 3 < х < — 2 и — 2 < х < оо, в каждом из которых
функция х2 + 5х + 6 знакопостоянна (знак функции меня-
ется при переходе через корень). На рисунке 6 отмечено
чередование знаков функции. Функция .отрицательна толь-
ко в интервале — 3 < х < — 2, который и составляет мно-
жество всех решений неравенства.
Ответ. — 3<х< — 2.
2.	Решить неравенство х2 + Зх + 10 < 0.
Решение. Квадратный трехчлен, стоящий в левой
части неравенства, не имеет действительных корней. Зна-
чит, он знакопостоянный, и его знак совпадает со знаком
старшего коэффициента (теорема 38). Следовательно, трех-
член х2 + Зх + 10 положительный при любом х, а нужно
найти, когда этот трехчлен отрицательный. Так как таких
значений переменной нет, то данное неравенство тождест-
венно ложное.
Ответ. Нет решения.
3.	Решить неравенство х2 + 2х -|- 1 > 0.
Решение. Неравенство можно записать так: (х +
+ 1)2>0. При всех значениях х =£=— 1 выражение (х-{-1)2
положительное. Значит, решением неравенства будут всё
значения х =4 —1. Искомое решение состоит из объединения
Двух числовых промежутков.
61
4.	Решить неравенство
(х — З)2 (х2 — 4) (х2 — 9) (х8 + 8) (х + 6)4 > 0.
Решение. Раз^ожцр многочлен, стоящий в левой
части неравенства, на произведение неприводимых много-
членов, получим неравенство
(х — З)8 (х — 2) (х + 2)2 (х + 3) (х2 — 2х + 4) (х + 6)« > 0.
Так как трехчлен х2— 2х + 4 не имеет действительных
корней, то на него, как на положительную функцию, мо-
жем разделить неравенство (трехчлен положительный, ибо
он знакопостоянен и старший его коэффициент положи-
тельный). Далее разделим неравенство на сомножители,
имеющие четные степени (эквивалентные преобразования
II и III), получим^
(х — З)2 (х2 — 4) (х2 — 9) (Xs 4- 8) (х + 6)4 > 0 ~
[ (х —2)(х —3)(х + 3)>0
~ х Ф — 2	(3)
I х=#—6.
Итак, решение неравенства свелось к решению конъ-
юнкции неравенств (3). Найдем решение первого компонен-
та конъюнкции и из него исключим значения х = — 2 и
х = — 6. Для решения неравенства (х—2) (х—3) (х-|-3) > 0
применим метод интервалов. На числовой оси отметим те
значения х, при которых левая часть неравенства обраща-
ется в нуль. Это точки —3, 2 и 3. Числовая ось разби-
лась на четыре интервала знакопостоянства
— со < х <—3, —3<х<2, 2<х<3, 3<х<оо.
Далее отмечаем знак произведения (х — 2)(х — 3)(х-|-3)
в каждом из промежутков знакопостоянства и находим
решение неравенства (те промежутки, где левая часть не-
равенства положительная (рис. 7). Исключив из получен-
Рис. 7
62
ного множества значений переменной значения х = —• 2 й
х = — 6, получим решение данного неравенства (рис. 8.)
Ответ. Г—3<х<—2
.	—2<х<2
L 3<л< оо.
Рис. 8
§ 5. Решение конструкций неравенств второй
и высших степеней .
Рассмотрим вопрос практического нахождения мно-
жества всех решений конструкции неравенств, компонен-
тами которой являются неравенства степени выше первой.
Пусть дана конструкция неравенств
А
А
• ..;	а)
. А- .
Множество всех ее решений состоит из тех значений пе-
ременных, которые являются решением И компонента А1г
И компонента Л2, и т. д., И компонента Ak, ибо компо-
ненты объединяются операцией конъюнкции (определе-
ние 13). Для определения искомого множества решений
находим решения каждого компонента и отмечаем их на
оси, затем выделяем множество тех значений перемен-
ной, которые являются решениями И компонента А, И
компонента Д, и т. д., И компонента Ал, то есть опре-
деляем пересечение множеств решений каждого компонен-
та. Оно и составит множество всех решений конструкции
(1). Целесообразно при этом решения компонентов отме-
чать на числовой оси линиями различной формы (или цвета).
Пример.
Решить конъюнкцию неравенств
63
Зх + х2 + 2 >
х2 —1 <0
х2 — Зх > 0.
0
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
Зх + х2 + 2>0	((х+1)(х + 2)>0
х2—1<0	~ | (х-р1)(х —1)<0
х2 — Зх > 0	I х (х — 3) > 0.
Решением первого
х < — 2 и х> — 1
тервал — 1 < х < 1
компонента являются два интервала
(рис. . 9а), второго компонента — ин-
(рис. 96), а третьего компонента —
интервалы х < 0 и х > 3. Наносим решения каждого ком-
понента на числовую ось и находим решение данной
конъюнкции неравенств (рис. 10).
'	Ответ. —1<х<0.
Рис. 10
Применив рассмотренные ранее эквивалентные преобра-
зования для операций конъюнкции и дизъюнкции, все вы-
числения можно провести формально следующим образом:
64
i
Г(х+ 1)(х + 2) >0
х > — 1
х<—2
х< 1
X > — 1
х>3
х<0
X > — 1
X < 1
х>3
X > — 1
X < 1	4
x < О
x< — 2_
x < 1
X > — 1
x > 3
x < — 2
x < 1
x > — 1
x < О
~Л
( X > -ч- 1 / X > —
( х < 0	~ { х < 0.
Л
1л
В данном случае формальное решение представляет со-
бою более трудоемкий процесс и требует больше времени,
чем мете" валов, который основывается на наглядной
геометрической иллюстрации Ч
Рассмотрим теперь, как находятся решения конструк-
ции неравенств (или уравнений), у которой все компонен-
ты объединены операцией дизъюнкции
"А
(1 2 3)
_А-	, •
В соответствии с определением 14 множество всех ре-
шений конструкции (2) состоит из тех значений перемен-
ных, которые являются. ИЛИ решением компонента Лх,
ИЛИ решением компонента Л2, ИЛИ и т. д., ИЛИ ре-
шением компонента Ап. Практически решение конструкции
1 Следует подчеркнуть, что если для решения неравенств исполь-
зуется вычислительная машина, то никакая геометрическая иллюстра-
ция не применима, и речь может идти о формальном методе решения,
ибо только такой метод решения может быть реализован в машине.
3 Неравенства
(2) часто проще находить, используя геометрическую ил-
люстрацию решения. Находим множество всех решений
каждого компонента, наносим их на числовую ось и опре-
деляем на этой оси объединение всех решений.
Примеры.	4
1. Решить дизъюнкцию неравенств
г(2 — х)3 (х — I)2 (Зх -t- 1) (х — 3) > О
(Зх —4)(х—4)<0
х (х + 1) (х — 5) < 0.
Решение. Проведем эквивалентные преобразования
II и III и найдем множество всех решений каждого ком-
понента дизъюнкции неравенств
6)
Рис. 11
Г(2—х)3 (х—I)2 (Зх+1) (х—3) >0
(Зх—4) (х—4) <0	~
х (х-J-1) (х—5) < 0
Г(2—х)(3х+1)(х—3)>0
(х 1
(Зх—4)(х—4)<0
х(х+1)(х—5) < 0.
Множество всех решений первого компонента образует два
интервала — оо < х < и 2 < х < 3 (рис. 11а),
второго компонента — интервал -у<х<4 (рис. 116),
третьего — интервалы — оо<х< — I и 0<х<5
(рис. 11 в).
Решение дизъюнкции определяем по рисунку 12, на
котором отмечены решения всех трех ее компонентов.
Значения — оо<х<---------1- и 0<х<5 будут яв-
О
66
ляться решением хотя бы одного неравенства дизъюнкции,
то есть составлять множество всех ее решений.
‘Ответ.
— со <х<
О < х < 5.
О 1 R 2 3 Н 5
О
Рис. 12
Решение конструкции неравенств можно упростить,
если сразу наносить решения всех ее компонентов на од-
ну числовую ось, но таким приемом можно пользоваться
только тогда, когда имеется определенный опыт, исклю-
чающий ошибки при определении искомого множества ре-
шений.
2. Решить уравнение
(2х2 + х — 3) (Зх2 + 11х — 4) (х — 5) = 0. -
Решение. Запишем дизъюнкцию, эквивалентную
данному уравнению, и решим ее (теорема 31).
(2х24-х—3) (Зх2+11х—4) (х—5)=0
Г(х— 1)(2х4-3) = 0
(Зх—1)(х+4) = 0 ~
х = 5
Г2х2+х—3=0
Зх2+11х—4=0 -
х—5=0
х = 1
X = —
I
3 .
х = —4
х = 5.
' ав
Ответ.
'х = —4
х—4
1
Х=-у
X = 1
х = 5.
х =
3
з*
67
§ 6. Решение нестрогих неравенств второй
и высших степеней
Рассмотрим решение нестрогого неравенства /(х)>0,
где f(x) многочлен степени и >2.
Предварительно рассмотрим следующие эквивалентные
преобразования.
IV. (х - а)2* <р (х) > 0 ~ J °
Действительно, -неравенство (х — а)2Л > 0 тождественно
истинное, поэтому произведение двух сомножителей
(х — а)2* И ф (х) неотрицательное, когда ИЛИ <р (х) > О,
ИЛИ х — а = 0, то есть
(х — а)2* ф (х) > О ~
V. (х — а)2А+> ф (х) > 0 ~ (х — а) ф (х) > 0.
Действительно, запишем- следующую последовательность
эквивалентных преобразований:
(х — а)2*+’ ф(х) > 0 — (х — а)2*(х— а)ф(х) >0~
Г(х —а)ф(х)>0	,	.
= а	~ (х — а)ф(х)>0,
ибо х = а является решением нестрогого неравенства
(х — а) ф (х) > 0.
Применим эквивалентные преобразования IV и V к
решению неравенства f (х) > 0. Разложив левую часть не-
равенства на произведение неприводимых многочленов, по-
лучим эквивалентное нестрогое неравенство
а(х — Xi)’» ... (х — xft)a*(x2 + p1x-J-g1)3» ... (х2 +
+ Р*х 4- деУе > 0.
Применив последовательно ния IV и V, получим:	теорему 38 и преобразова-
~а(х — xt) f(x)>0~	... (х — xJ>0 ' (1)
= Xfi,
где хь х2, .. -1 xs — корни нечетной кратности, a xs+i, ...,
хк — корни четной кратности многочлена /(х).
68
Итак, решение нестрогого неравенства f(x) > О сводится
к решению дизыбнкции неравенств (1).
Примеры.
1. Решить нестрогое неравенство
(2х — I)2 (х + 1) (х — 5)3 (1 — х) > 0.
Решение.
(2х—I)2 (х+1) (х—5)3 (1—х) > 0 ~
'(х+1)(х—5)(1—х)>о
х = -g-.
Применив метод интервалов для решения нестрогого
неравенства (х + 1) (х — 5) (1 — х) > 0, получим:
— 1
— со
Г(х+1)(х — 5)(1 — х) > 0
-4
1
х - т- -
Геометрическая иллюстрация решения дана на рисун-
ке 13.
Рис. 13
2. Решить конструкцию неравенств
П х(х — 2)’(х+ 1)а(2х — 3)<0
I (2 — Зх) (х + 1) > 0 •
(х+1)(3х —4)(2 —х)<0.
Решение. Применим эквивалентные преобразова-
ния IV и V:
' (х (х—2)3 (х+ 1)г (2х—3) < 0
1(2—Зх)(х+1)>0
L(x+l)(3x—4) (2—х)<0 .
'[ Гх(х—2)(2х—3)<0
1 Iх = — 1
I (2—Зх)(х+1)>0
L(x+1) (Зх—4) (2—х) < 0.
Используя метод интервалов для решения каждого не-
равенства конструкции (рис. 14), получим:
69
Рис. 14
г(Гх(х —2)(2х —3)<0
I |х = — 1
1(2 — 3x)(x+ l)>0
_(x+l)(3x—4) (2 — x)<0
— l<x<4
О
—i <x<4-
о
2 < x < oo
3
Переход от второй к третьей конструкции сделан на
основании свойств конструкций неравенств (гл. II, §5).
Если при решении примера еще раз применить метод ин-
тервалов, отметив на числовой оси решения компонентов,
то от второй конструкции можно сразу перейти к дизъ-
юнкции
70
X
х < оо.
Ответ.
— 1 <х<4
О
2 < х < оо.
§ 7. Решение дробно-рациональных неравенств
Дробно-рациональным неравенством называется такое
неравенство,~которое можно привести с помощью эквива-
лентных преобразований к виду
ЭД>0 (О или ЭД >0.	{2)
Неравенство (1) можно заменить эквивалентным нера-
венством f (х) <р (х) > 0, а неравенство (2) — эквивалентной
конструкцией неравенств (теоремы 22 и 30)
Г f(x)q>(x)>0
I ф(*)=£0.
Неравенства / (х) <р (х) > 0 и f(x)q>(x)>0 представляют
собой, вообще говоря, неравенства степени выше первой и
решения их ранее рассмотрены (§ 4, 5, 6, гл. Ш).
Примеры.
1. Решить неравенство
Решение. Неравенство х>—— эквивалентно не-
равенству х — х-^3 > 0. Приведя выраж_ение, стоящее
в левой части последнего неравенства, к общему знамена-
телю, получим неравенство j-pj- > 0 (знаменатель не
отбрасывается!), которое эквивалентно неравенству (х2—
— 4) (х + 3) > О (теорема 22). Далее находим корни мно-
гочлена, стоящего в левой, части неравенства, и, применяя
метод интервалов, получим, что решением неравенства
будут все значения х из промежутков — 3 < х < — 2,
2 < х < со (рис. 15).
Ответ. Г—3<х<—2
[2 <х < оо.
71
2
Рис. 15
2. Решить неравенство — •< 1.	;
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образрвания:
4- < 1 ~ v -1 <°~-Цг- <° ~	~
При переходе от первой ко второй конструкции неравенств
был использован метод интервалов.
Ответ. Гх < О
[х>1-
3: При каких действительных значениях а тождествен-
но истинным является двойное неравенство
. ах2 + Зх + 4 к
1 х2 4- 2х 4- 2
Решение. Заменим данное неравенство эквивалент-
ной конъюнкцией неравенств и, учитывая, что неравенство
хг 4- 2х + 2 > 0 тождественно истинное (так как дискри-
минант квадратного трехчлена х2 4- 2х 4- 2 отрицательный)
(теорема 38), умножим оба компонента конъюнкции на
х2 + 2х + 2, получим:
ах2 + Зх + 4	-
.	ах2 + Зх + 4	х2 + 2х + 2	0
1	х2 + 2х + 2	0	1 ах2 4-3x4-4. i	'
х2 4- 2х 4- 2 > 1
/ ах2 4- Зх 4- 4 < 5 (х2 4- 2х 4- 2)	/х2 (а—5)—7х—6 < О
~ | ах2 + Зх + 4 > х2 4* 2х + 2	|х2 (а—1)4-х4=2 > 0.
По условию последняя конъюнкция неравенств должна
быть тождественно истинной, поэтому квадратные трех-
члены
х2 (а — 5) — 7х — 6 и х2 (а — 1) 4- х 4- 2
72
не имеют действительных корней, значит их дискриминан-
ты, должны быть отрицательными. Кроме того, так как
первый трехчлен должен быть при всех значениях пере-
менной отрицательный, а второй — положительным, то
коэффициент при старшем члене должен быть отрицатель-
ным в первом трехчлене и положительным во втором; По-
этому ответ найдем из решения следующей конструкции
неравенств:
I а — 5 < О
I 49 + 24 (а — 5) < О
/ а—1>0
t 1—8(а —1)<0
9	71
8 •	а < 24 •
Ответ.
§ 8. Решение иррациональных неравенств
Иррациональным неравенством называется неравенство
вида <р (х) > 0, где ф (х) — алгебраическая иррациональная
функция. Функция ф(х) будет иррациональной, если ее
закон соответствия задается с помощью иррационального
алгебраического выражения и не может быть задан с по-
мощью рационального алгебраического выражения. Напри-
мер, функция у = V(x* + I)2 не будет иррациональной,
так как закон соответствия этой функции может быть за-
дан с помощью рационального алгебраического выражения
у = х2+1.
В начале отмечалось, что неравенства рассматриваются
только в поле действительных чисел. Поэтому, решая ир-
рациональное неравенство, нужно учитывать, что допус-
тимые значения для переменных и длй радикалов должны
удовлетворять следующим дополнительным условиям:
А. Подкоренное выражение радикалов четной степёни
должно быть неотрицательным.
Б. Значения радикалов четной степени неотрицательны,
_________
то есть у а > 0.
При решении иррациональных неравенств или уравне-
ний, содержащих только один радикал четной степени,
применяются следующие эквивалентные преобразовайия:
73
VI. р(х)>Ф(х)
f(x)>0	~
I ф(х)>0
f2" (x) > ф2я (x)
f(x)>0 '
ф (x) > 0.
VII. у</(х)<ф(х)~
f(x)>0
ф (x) > 0
2kr__	ff(x)>0
VIII. / f (x) = Ф (x) ~ { Ф (x) > 0
I f(x) = ф2*(х).
IX. уЛ/(х)>ф(х) ~
ф (X) > 0
f(x)>0
/(х)>ф2*(х)
Ф(х)<0
f(x)>0. .
Доказательство указанных эквивалентных преобразова-
ний не вызывает затруднений. Для примера докажем по-
следнее эквивалентное преобразование. Возможны два
случая: ИЛИ ф(х) > 0, ИЛИ <р (х) < 0. Если ф (х) > 0 и
таи как f(x)>0 (условие А), то возведем неравенство
1^7(х).>ф(х) в степень 2k (преобразование VI), получим
f (х) >ф**(*•)• Если ф(х)<0 и так как левая часть дан-
ного неравенства неотрицательная (условие Б), то долж-
но выполняться только одно условие /(х)>0 (условие А),
ибо неотрицательное число больше числа отрицательного.
Итак, неравенство }/7(х)>ф(х) эквивалентно ИЛИ конъ-
юнкции неравенств	г
ф(х) > 0
П(х)>0
f (х) > Ф2* (х),
ИЛИ конъюнкции неравенств
Следовательно:
Ф (х) < 0
/(х)>0.
ф (х) > 0
/М>ой
^(х)>Фа*(х)
Ф (х) < 0
f(x)>0.
74
Примеры.	_______
1. Решить неравенство У" 2х-}-5 < 2х—1.
Решение. Заменим данное неравенство эквивалент-
ной конъюнкцией неравенств (эквивалентное преобразова-
ние VII) и решим ее, используя свойства конъюнкции и
дизъюнкции*(§ 5, гл. П):
_____	|2х	5 >0
j/2x-|-5<2x—1~12х—1>0
12x4-5 < (2х—I)2
х> — 4-
<>4-
(х-2)(х4-4)>0
Решение можно несколько упростить, если использо
вать метод интервалов.
2. Решить уравнение
2/2х24-7х—15 = 3—х.
Решение. 1 способ. Заменив данное уравнение экви-
валентной конъюнкцией неравенств, получим:
_______________ (3—х>0
2/2х24-7х—15 = 3 —х~ I 2х24-7х—15>0	~
I 4(2х24-7х—15)=(3—х)2
х<3
(х4-5) (х — у) > 0 ~
7х2 4- 34х —69 = 0
х <3
х> "Г
х — 5
• _	17 4- 2	)<193
X---------7	—
_	_ 17 — 2	1/193
X-------у
— 17 4-2 |/193
7
— 17 — 2 |/Т93
7
7S
,	. ry _l о 1/ 193
Только значения х =------------- удовлетворяют всем
трем компонентам конструкции неравенств и являются ре-
шением исходного уравнения. (В процессе решения был
использован метод интервалов, рис. 16.)
Рис. 16
2 способ. Возведем обе части уравнения в квадрат и
решим полученное квадратное уравнение:
>	4 (2х2 + 7х — 15) = (3 — х)г
7х2 + 34х — 69 = 0
- 17 ± 2 /193
*1,2 =------?------.
Чтобы проверить, имеются ли посторонние корни, нужно
подставить значения Xi и х2 в уравнение. Работа эта до-
вольно сложная, поэтому этим способом решать данное
уравнение нецелесообразно.
3. Решить неравенство Ух2—1 > х — 2.
Решение. Используя эквивалентное преобразование
IX, запишем конструкцию, эквивалентную данному нера-
венству, и решим ее:
У х2—1 > х — 2 —
х2—1 >0
х —2> 0
х2—1 > (х—2)2~
х2 — 1 > 0
х — 2<0
"[(х-1)(х+1)>0
{ х>2
I 4х — 5 > 0
76
Применим метод интервалов для решения последней
конструкции неравенств. На рисунке 17 отмечаем реше-
ние первого компонента конструкции, а на рисунке 18 —
второго ее компонента.
Итак,
___	Гх>2
Ух2—1 > х — 2 — х>< — 1
[1 < X < 2
Все вычисления можно провести формально, если при-
менить свойства конъюнкции и дизъюнкции (§ 5, гл. 11).
~7
Действительно:
(х—1)(х + 1) > О
х > 2
4х > 5
Г (х— 1)(х 4- 1) > О
Д х < 2
х > 2
Л	Гх > 1
1 < х < 2	[х -С — 1-
х<— 1
77
При решении иррациональных неравенств и уравнений
иногда полезно ввести новые вспомогательные перемен-
ные.
Пример. Решить неравенство
]/~х2^-х 4-1 > 1 —х — х2.
Решение. Обозначим Ух2 + х4-1 через у, полу-
чим х2 + х = у2 — 1, где у>0 (условие Б). Данное нера-
венство перепишется так:
f у > О
I У >2— у2.
Решаем его:
у>0	(t/>0
у>2-у2	(f/-l)(«/+2)>0
у> о
Гу>1 ~у>1.
Ь<— 2
Итак,
У х2 + х + 1 >1 — х — х2 ~ х2 4- х 4-1 > 1.
Решение последнего неравенства состоит из совокупности
Гх< — 1
двух числовых промежутков I х >
§ 9. Решение иррациональных неравенств и .уравнений,
содержащих переменную под знаком двух
и более радикалов четной степени
Пусть дано иррациональное неравенство
y/T(x)>y/'q>(x)	(1)
или иррациональное уравнение
У?!*) = ФМ-	(2)
В неравенстве (1) и уравнении (2) левые и правые
части положительные, поэтому при возведении в четную
78
степень эквивалентность не нарушается, если будет вы-
полнено условие А, отмеченное в начале § 8 (эквивалент-
ное преобразование VI). Поэтому имеют место следующие
эквивалентные преобразования:
X. ^f(x) >	ф(х)~
fW>0
ф (х) > О
/(х)><р(х).
XL у?(х) = уЛФ(х) ~
f(x)>0
ф(*)>0
/(х) = <р(х).
В первой конъюнкции неравенств записано f(x) > О,
потому что в неравенстве (1) левая часть не может рав-
няться нулю, так как правая его часть неотрицательная.
Пример. Решить неравенство V2x4-1 > ]ЛЗ —х.
Решение. Заменим данное неравенство эквивалент-
ной конъюнкцией неравенств и решим ее:
(x>-J-
_____	____ ( 2х 4- 1 > 0	"	2
У2x4-1 > /3—х~{ 3 —х>0	~ х<3	~
I 2x4-1 >3—х	„	2
. > з
з
<х<3.
Ответ.
Если неравенство содержит два и более радикала
четной степени с переменными и переменную, которая не
содержится под знаком радикала, то решение неравенства
иногда усложняется.
Примеры.
1. Решить неравенство
х~ 1	\ а _1_
+	2	*
Решение. Предварительно упростим данное неравен-
ство, умножив его на положительное выражение
2(У х 4-1) (по условию Б У х >0), и проведем экви-
валентные преобразования:
79
^=^>4 + 3^^ ~2(х—1)>8/х +х+7 ~
__ (х — 9 > О [х > 9
— х— 9>8/х —1х > О ~<х>0	—
Цх — 9)2 > 64х	1(х—81) (х—1) > О
[ х > 9
— { Гх < 1 ~ х > 81.
Цх > 81
2. Решить неравенство У22—х — У10—х > 2.
Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая
и правая его части были неотрицательными -
/22=х > /1сГ=х + 2
и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалент-
ные преобразования:
/22 —х> J/10—х-|-2~
22
10
/10 —х
<-22 —х>0
10—х>0
22—х> (/10 —х + 2)а
( х< 10 _ б<х< 10.
I х > 6
3. Решить неравенство
х > 1^х (1 + Ух (х—3)).
Решение. Правая часть данного неравенства неотри-
цательная (условие Б), поэтому левая его часть положи-
тельная (те значения переменной, при которых левая часть
отрицательная, не являются решением). Учитывая это,
проведем следующие эквивалентные преобразования:
х > /х (1 4- /х(х — 3))~
х > 0
х (1 + /х(х —3)) >0 ~
х3 * * * * 8 > х (1 4- /х(х — 3))
х >0
х (х — 3) >_0_-
х > 1 4- /х(х —3)
х>3	/х>3
(х — 1)а> х(х—3)	|х > — 1
х 3.
Ответ, х > 3.
80
4. Решить уравнение
Ух + ^х— УЛ —х — 1.
Решение.
ух+ Vх —1/1— * = 1~]/х — У1 — х
х — У 1_—х О
1 _j/T>o
х — /1— х = (1 — Ух)2
1 —х > О
х2 > 1 — х -
0<х< 1
|/1-х = 2/х—1
-1 + /5
2
— 1—1/5
2
О<£< 1
2|/х> 1_
5х = 4 Ух
- Рассматривая рисунок 19, замечаем, что Только значе-
ние х = -gg- является решением каждого компонента по-
следней конъюнкции неравенств и, следовательно, реше-
нием данного уравнения.
$ 10. Решение -иррациональных неравенств и уравнений,
содержащих переменную под знаком радикала
нечетной степени
Рассмотрим решение уравнений и неравенств, содержа-
щих переменную под знаком радикала нечетной степени.
Решение проводится также путем последовательного возве-
дения обеих частей неравенства (уравнения) в соответст-
81
вующую степень и преобразования его в неравенство (урав-
нение), нё содержащее радикалов. При возведении нера-
венства (уравнения) в нечетную степень эквивалентность
не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные
преобразования (доказательство предлагается провести са-
мостоятельно, использовав свойства числовых неравенств):
XII. f (х) > ф (х) ~ f2^1 (х) > ф2«+х (х),
XIII. f (х) = Ф (х) ~ /2«+1 (х) = ф2к+х (х).
Примеры.
1. Решить неравенство у^х— 1 < j/x-]- 2 -f- 2.
Решение.
Ух — 1 <Ух + 2 + 2~х — 1 < (х + 2)/х + 2 + 6 х
X (х + 2) + 12 |/х + 2-+-8-5х —21 <(х-Ь 14) х
.----( х 2 О
X |/х + 2~( _5х_21 <(х+ 14) Ух+2 ~
_____ Ответ, х> — 2.
2. Решить неравенство Ух — 2 — Ух — 1 > — 1.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
Ух —2 — Ух— 1> — 1~р/х^2>]/х — 1 — Г
х —2>(/х^1 — 1)3~4(х— 1)>(х + 2) Ух — 1
х > 1
х > —2
[16 (х—I)2> (х + 2)2(х—1)
х > 1	( х > 1
(х—1)(х2—12х + 20)<0 I (х — 2)(х — 10) <О
~2<х<10.
Ответ. 2 < х < 10.
3. Решить уравнение хг — 1 у = Ух3 — 2х.
Решение. Возведем уравнение в шестую степень и
заменим его эквивалентной конъюнкцией неравенств:
82
"j/"x2 — 1 у = F *3 — 2x —
x2 — ly>°
x3 — 2x > 0
I i \8
(x2 — 1-Ц =(x3—2x)2.
При составлении конъюнкции неравенств были учтены
условия: а) существования радикала четной степени
(х2 — 1у>0^ б) неотрицательности'радикала четной сте-
пени (левая часть уравнения неотрицательная, значит и
правая часть должна быть неотрицательной (х3 — 2х > 0).
Решая каждый крмпонент конъюнкции неравенств, по-
лучим эквивалентную конструкцию:
(2 \ /	2 \
\ + |/з7	0
х(х—]?2)(х + /2) >0~
,	16
Х ="9"
Для нахождения множества всех решений конъюнкции
неравенств пользуемся геометрической иллюстрацией (рис.
20). Только _ значение х ---является решением И пер-
вого, И второго, И третьего компонента конструкции, то
есть решением данного уравнения.
Рис. 20
В отдельных случаях удобно пользоваться формулами
возведения в степень в преобразованном виде. Так, если
Уравнение имеет вид
83
+	=	(i)
то при возведении в куб обеих частей уравнения пользу-
ются тождеством '
(а 4- Ь)3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ (а + Ь). '
В результате получается уравнение
Дх) + ф (х) + 3^(х)-ф(х)'(^) +) = ф(х). (2)
Выражение j/ Дх) + у''"ф (х) является левой частью исход-
ного уравнения. Подставив вместо него правую часть того
же уравнения, Получим:
f (х) + Ф (х) + 3 р//(х)ф(х)ф(х) = ф (х).	(3)
Это уравнение легко заменить другим, не содержащим
переменную под знаком радикала. Однако уравнение (3),
вообще говоря, не эквивалентно уравнениям (1) и (2).
Действительно, если при некоторых значениях перемен-
ной
+ ГфМ*Кш. -
то при этих же значениях переменной и
f (х) + ф (х) + 3|<Дх)ф(х) (|<Дх) + IVW) * Ф (х).
Но если вместо К/(х) + ф(х) подставить неравное ему
число ^ф (х), то может случиться, что в результате полу-
чится равенство. Приведем пример: значения f(x) =
= у/ ф (х) = — 1, У ф (х) = 1 обращают уравнение (3) в истин-
ное равенство, а (1) и (2) — в ложное. Поэтому, если про-
водится замена, отмеченная выше, то необходимо делать
проверку найденных решений. В рассматриваемом способе
решения область определения уравнения не меняется, по-
этому посторонние корни исключаются при подстановке
найденных решений в исходное уравнение.
Аналогично решается уравнение вида
F7W—/ф(х) = ^ф(х).
Примеры.
1.	Решить уравнение у/ х — 1 —У к + 1 = 1.
Решение. Применим рассмотренный выше способ.
Возведя уравнение в куб, получим эквивалентное урав-
нение
«
х_ 1-х—1 —Зр/х2-1(3/х—1—/х + 1)= 1.
Выражение, стоящее в скобках, по условию должно рав-
няться 1, заменяя его числом 1, получим уравнение, кото-
рое, вообще говоря, не эквивалентно исходному, и решим
его:
— 2— З3/х2 —1 = 1 ~ Z х2 — 1 = — 1~х2=0~х = 0.
Проверкой убеждаемся, что х = 0 посторонний корень.
Уравнение не имеет решений.
2.	Решить уравнение
Ух— 1 + У 2х — 1 — Ух + 1.
Решение. Возведем уравнение в куб:
х — 1 + 2х — 1 + ЗИ(х—1)(2х—1)	+
+ j/2x-l) = xj-1-.
Так как по условию выражение Ух — 1 + У2х — 1 долж-
но равняться Ух + 1, то, сделав соответствующую заме-
ну, получим:
3(х —1) (2х—1) (х + 1) = 3 — 2х.
Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения
переменной:
27 (х — 1) (2х — 1) (х + 1) = (3 — 2х)3 ~ 62х* — 63х2 = 0 ~
"х = О
~	63
_Х~ 62 •
Проверка. 1. jct = 0.
У — 1 + У—1 =>У 1'----2=1 — ложное равенство,
корень Xi = 0 — посторонний.
1_______.	4	=	5
j, бГ ", бГ Уй
85
— истинное равенство. Значит, х2 = — корень уравне-
ния.
Рассмотренную выше замену нельзя производить при
решении неравенства, содержащего несколько слагаемых с
переменной под знаком кубического радикала. Действитель-
но, пусть требуется решить неравенство
V Нх) + WW > V ф(х).'
После возведения его в куб получим неравенство
f (X) + Ф (х) + 3)/ f(x) • <р(х) (|/ /(х) + ф (х)) > <[> (х). „
Сумму Ff (X) + Уф(х) нельзя заменить т^ф(х), как это
делалось при решении уравнения, ибо по условию сумма
+ F*₽ (х) Должна быть больше Vф (х). Многократ-
ное же возведение в куб неравенства в общем случае не
приводит к освобождению от радикалов. Для решения та-
ких неравенств целесообразно использовать метод интерва-
лов, рассмотренный в § 4 этой главы. Суть его заключает-
ся в следующем.
Пусть требуется решить неравенство вида
FfW ±	> FHF	(4)
ИЛИ
F7(x) ± Ft (х) < Ft (х).'	/	(5)
Сначала установим, при каких значениях переменной
левая часть неравенства равна правой его части, то есть
решим иррациональное уравнение, которое назовем соот-
ветствующим
F7W ± F<F(*) = FHO-	(6)
Далее находим область определения данного неравенства
(она совпадает с областью определения соответствующего
уравнения). Затем наносим корни уравнения (6) на число-
вую ось, на которой отмечаем также область определения
неравенства. Пусть, например, область определения нера-
венства (4) или (5) состоит цз двух числовых промежут-
ков а<х<6 и c<x<d (рис. 21), а аь а^, а8 — корни
уравнения (6).
Корни уравнения (6) разбивают область определения
неравенства на промежутки знакопостоянства. Функция ме-
86
няет знак при переходе через корень нечетной крайности,
а в промежутках между корнями знак функции постоян-
ный. В рассматриваемом на рисунке 21 примере такими
числовыми промежутками будут промежутки а < х < alt
a Qj а2 S с d3 d
Рис. 21
ах < х < Да, а2 < х < Ь, с < х < а3, а3 < х < d. Далее опре-
деляем в каждом из отмеченных числовых промежутков
знак функции у — f(x) ± у^ф (х) — Уф (х). Для опреде-
I	ления знака функции достаточно взйть любое число из соответ-
ствующего промежутка, подставить в функцию вместо пе-
ременной х и установить знак полученного числового вы-
ражения. Те числовые промежутки, в которых функция
у = у/"f (х) ± угф(х)—	(х) положительная, будут реше-
' нием неравенства (4), ибо любое значение переменной, взя-
тое из этих числовых промежутков, обращает его в истин-
ное числовое неравенство. Остальные числовые промежут-
ки образуют множество решений неравенства (5).
Примеры.
1. Решить неравенство j/x—1 4-j/”2x—l>y^x-j-l.
Решение. Сначала находим решение соответствующе-
го уравнения у*' х — 1 4- у''"2х—1 = у/’х 4- 1. Корнем урав-
нения будет х = (решение уравнения рассмотрено выше).
Областью определения неравенства является множество
действительных чисел. Корень соответствующего уравнения
разбивает числовую ось на два числовых промежутка:
! х < и х > -Ц-. Взяв любое число (например, х = 0) из пер-
I вого промежутка и подставив в неравенство, получим: у^—1 4-
4-у/"—1 >у/Т —ложное числовое неравенство. Значит,
числовой промежуток х < не входит в решение нера-
венства. Значение х — 2, взятое из числового промежутка
87
63
х > -g2, обращает данное неравенство в истинное числовое
неравенство 1 Ч-р^З >p^3. Значит, числовой промежу-
ток х > -gg- является решением неравенства.
2. Решить неравенство Vx + ^2х — 3 < р^ 12 (х — 1).
Решение. Решим соответствующее уравнение
уг + /2х —3 = F12(x—1) ~(УГ + jZ2x —З)3 =
= 12(х — 1)~ ^х(2х—3) (Ух- + 3/2х —3) = 3(х — 1).
Сделаем рассмотренную выше подстановку и решим по-
лученное уравнение:
У 12х(2х —3)(х— 1) = 3 (х — 1) ~ 12х (2х — 3)(х — 1) =
Гх = 1
= 27(х— 1)3~(х— 1)(х2 — 6х + 9) = 0~	-
Отмечаем корни на числовой оси. Областью определения
неравенства являются все действительные числа, поэтому
рассматриваем три числовых промежутка: х< 1, 1 < х < 3
и х > 3. Пусть х = О, тогда 0 + V—3 < У —12 — лож-
ное числовое неравенство. Значит, числовой промежуток
х < 1 не входит в решение. Пусть х = 2, тогда У 2 +
+ 1 < У12 — истинное числовое неравенство, в чем мож-
но убедиться, вычислив значения радикалов приближенно
по таблицам. Следовательно, числовой промежуток 1 < х< 3
входит в решение. Аналогично устанавливаем, что число-
вой промежуток х > 3 тоже входит в решение. Итак, мно-
жество всех решений неравенства состоит из двух число-
вых промежутков: 1 < х < 3, х > 3.
§ 11. Решение иррациональных неравенств
и уравнений с параметрами
Неравенство или уравнение, . содержащее параметры,
только тогда, считается решенным, когда указано множест-
во всех его решений при произвольной допустимой системе
значений параметров (гл. II, § 7).
Решение параметрических иррациональных неравенств
и уравнений рассмотрим на примерах. Чтобы проанализи-
'88
ровать все допустимые значения параметров и найти соот-
ветствующие искомые значения переменной, целесообразно
данное неравенство или уравнение заменить эквивалентной
конструкцией неравенств, как это будет показано ниже на
примерах.
Примеры.
1. Решить уравнение
р^(а + х)2 +4 у^а —х)2 =5 рЛ? — х2.
Решение.
у^(а + х)2 + 4 р^(а — х)2 = 5р/”а2—х2 — (а 4- х)2 4-
+ 64 (а — х)2 + 12 р/(а2 — х2)2 (р<(а 4-х)24- 4 |/(а—х2)) =
= 125(а2— х2). •
Так как выражение у''(а + х)2 4- 4 f/~(a—х)2, стоящее в
левой части данного уравнения, должно равняться правой
его части 5 у/ а2—х2, то, сделав соответствующую замену,
получим уравнение
(а + х)2 4- 64 (а —х)2 4- 12 у^(а2 —х2)2 • 5 р/а2—х2 =
= 125 (а2—х2),
решая которое, находим:
65х2—63ох — О
х = О

В процессе замены могла быть нарушена эквивалентность
(гл. III, § 10), поэтому необходимо сделать проверку най-
денных корней.
4 П р о в е р к а. хх = 0.
у^ а2 4- ‘iy'' а2 ,= 5 у^а2 — истинное равенство при любом
значении параметра а.
_ 63а
Х2~ 65 * 16 *
16 V+ 4= 20Т/Л~~ истинное Раб-
ство при любом значении параметра а.
89
Ответ.
/
’— оо < а < со
Гх = О
2. Решить уравнение + х + j/'a — х — ^2a.
Решение. Введем обозначения:
х у, У а — х = z.
Тогда а 4- х = у5, а — х — z\ у5 4- z5 = 2а.
Подставив эти значения в данное, уравнение, получим:
у + z = >/у5 4- z5.
Возведем уравнение в 5-ю степень:
у5 + 5y4z + 10y3z2 4- 10у2г3 4- 5уг4 4- z5 = у5 4- z5 ~ 5уг(у34-
4- 2у2г 4- 2уг2 4- г3) = 0 ~ yz (у 4- z) (у2 4- г2 4- у г) = 0.
Последнее уравнение эквивалентно следующей конструкции:
У = 0
уг = О
У 4- z = О
y24-z24-yz = 0
г = О
у = ^-г
(У = О
[г = О
Подставив вместо у и z их значения, получим:
Решением уравнения будут значения х = —а, х = а при
любом а и —оо < х < оо при а = 0. Легко проверить,
что посторонних решений нет.
Иррациональные неравенства, содержащие параметры,
решаются так же, как уравнения, только накладываются
дополнительные условия при возведении неравенств в чет-
ную степень (правая и левая часта или положительны, или
отрицательны и т. Д.).
во
Примеры.
1.	Решить неравенство
У а — х + У b — х У>Уа + b — 2х.
Решение. Возводим  неравенство в квадрат. Так как
левая и правая части неравенства неотрицательны, то экви-
валентность не нарушается в области определения нера-
венства. Первый радикал имеет смысл при х^а, второй —
при х Ь. При этих же значениях переменной имеет смысл
и выражение, стоящее в правой части неравенства.
Итак, Уа — х-)-УЬ — х^>Уа-\-Ь — 2х~
а — х > О
b — х > О
(У а — х + У Ъ — х)2 >а4-& —2х
У (а—х)(Ь—х)>0
х > b
При выполнении эквивалентных преобразований были
использованы приемы решения неравенств высших степеней
и свойства конструкций неравенств.
2.	Решить неравенство
У (а + х)2 + 4 У (а — х)2 >5 У а2—х2.
Реш ение. Используем метод интервалов. Решим со-
ответствующее уравнение
У (а + х)2+ 4 У (а — х)2 =5 У а2 — хг.
.Решением уравнения являются значения переменной х ₽= О
и х = при любом действительном значении параметра
а (см. первый пример).
91
Кории соответствующего уравнения разбивают числовую
ось на промежутки знакопостоянства, в каждом из кото-
рых неравенство или тождественно истинное, или тожде-
ственно ложное.
а)	Если а > 0, то -gg- > 0 и числовая ось разбивается
на следующие промежутки знакопостоянства (рис. 22):
с\ (х	63а	. 63ях
х < 0, 0 < х < х >
65 ’	65
о
63.
Рис. 22
63а
Рассмотрим промежуток х > Возьмем значение
х = а из этого промежутка и подставим в данное нера-
венство. Получим (2а)2 + 4 • 0 > 5 • О — истинное чис-
ловое неравенство. Следовательно, промежуток х >
принадлежит решению.
Любое значение переменной х, взятое из промежутка
знакопостоянства 0 < х < обращает данное неравен-
ство в ложное числовое неравенство. Например, при
а
х = -g- имеем ложное числовое неравенство
V	+ 4)>5]/4
Следовательно, промежуток 0 < х < не принадлежит
решению.
Подставив, например, значение х — —а, взятое из про-
межутка знакопостоянства х < 0, в данное неравенство,
получим истинное числовое неравенство 04-4 У(2а)2 > 5 • 0.
Значит, числовой промежуток х < 0 принадлежит решению.
Итак, при а > 0 решением неравенства является объедине-
х< 0
.	63а
Х > -65~’
ние двух числовых промежутков:
92
б)	Если а < 0, то < 0 и числовая ось разбивается
_ 63а	63а	'
на промежутки знакопостоянства х < -gg-, -gg? < х < О,
х > 0 (рис. 23). Как и в первом случае, устанавливаем,
что данное неравенство тождественно
63п	О
65й
Рис. 23
63а	. А
истинное в промежутках х < -gg- и х > 0 и тождественно
ложное в промежутке < х < 0. Следовательно, при
а < 0 решением неравенства будет объединение двух чис-
Гг^ 63а
65
х > 0.
в)	Приа = 0 -^-= 0. Получим два промежутка, зна-
копостоянства: х < 0 и х > О,
легко установить, принадлежит
ловых промежутков:
каждый из которых, как
решению.
Ответ.
а > О
х < О
г 63а
63д
65
*>0.
3.	Решить неравенство
У 2ах — х2 > а — у а2 — х2.
Решение. Данное неравенство перепишем
]/2ах—х2 + Уа2 — х2 >а.
так:
93
Легко видеть, что при а —0 неравенство решения не
имеет. Рассмотрим значения параметра а > 0 и а < 0. При
а > О левая и правая части неравенства положительные,
поэтому при возведении неравенства в квадрат получим не-
равенство, эквивалентное данному в области его определе-
ния. При а < 0 данное неравенство тождественно истин-
ное в области его определения (левая часть неотрицатель-
ная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство
можно заменить следующей эквивалентной конструкцией
неравенств:
а > 0
2ах— х2 > 0
а2 — х2 0
(]Л2ох — х2 + jAz2—х2)2 > а2
У2ах—х2 + Уа2—х2>а—
а = 0
нет решения
а < 0
2ах— х2>0
а2—х2;>0
а > 0
2а
а
У(2ах — хг)(а2 — х2) > х(х — а)
а = 0
нет решения
Г а < 0
2а<х<0
а <С х < —а.
При а >0 значения х=а их = 0 не удовлетворяют неравен-
ству У(2ах—х2)(а2 — х2) >х(х — а), а при всех значениях
0< х < а указанное неравенство тождественно истинное,
поэтому
94
]/(2ах — х2)(а2 — х2) > х(х—а)
Итак:
У 2ах—х2 > а — ]/а2 — х2
0< х<а
а = О
нет решения
а < О
а<х<^0.
Последняя конструкция неравенств является ответом.
Для решения данного неравенства можно было приме-
нить и метод интервалов, как это сделано в предыдущем
примере.
Упражнения
Решить неравенства:
14.	ах-j- 3 >х— 1.
15.	ах + &< 2 —Зх.
16.	(т + 1)х + 4< (1—2т)х4-3.
Решить следующие конъюнкции неравенств:
2 — Зх ч. с___Зх — 1
Зх —> 6х 4- -|-
х--1- < 4х — 3.
2х—1< О
х + 4 > 0.
95
20.	Найти область определения функции:
у = /9=3x4- —=.
21.	Решить дизъюнкцию неравенств
'5х-Ц^<?^4-х
^=-? — 2х>5 —2^-.
22.	При каких действительных значениях а неравенство
(а2 — 1)х24-2(а — 1)х+ 1 >0
тождественно истинное?
23.	Каким условиям должно удовлетворять число т,
чтобы квадратный трехчлен
х2 — 2(4m — 1)х + 15/п2 — 2т — 7
был положительным при любых значениях х?
Решить следующие неравенства:	\
24.	(2х — 1 )2 + (Зх — 2)2 < (х — 2)(2х 4-^4- (2х + 1 )2. '
.25. (4х2 — 1)(х + 2)2х® (х 4-1)(2 — х)8 > 0.
26.	х3(3х — 1)(4х + 1)5(х — 2)2(3 — 4х)3,> 0.	.
27.	х2 —2(4а—1)х+15а2 —2а —7< 0.
28.	(т — 1 )х2 — 2(/п + 1)х 4- т — 3 > 0.
Решить следующие конъюнкции неравенств:
29.
30.
' 2(х — 4)2(х + 1 )\х — 3) > 0
(3 — х)(2х + 1)3(х + 4) < О
. (Зх+ 1)(х—1)>2.
(х2 + х — 2)(х + 3)>0
(х2 + х 4- 1)(х — 3)(х — 2)(х 4- 1) < 0
. (Зх2 4- 4х — 4)(х2 4- 5х 4- 6) < 0.
Решить следующие дизъюнкции неравенств:
31. Г(х—1)(х 4-1)(2 —х) >0
(х— 1)4(х 4- l)s > 0.
96
32.
"(х2 4- х — 2)(х 4- 3) > О
(х2 4- х 4- IX* — ЗХ*—2Х* 4-1) < О
.(Зх2 + 4х — 4)(х2 + 5х 4- 6) < О.
33.	Решить неравенство
(х — 3)2(5х 4- 2)8(2 — х)(1 — Зх) > 0.
Найти область определения функций:
34’ »° У<._'г,_3 +^ + Зх+15.
35' У= /^-L + 6 -/(^-1)(^+2)‘(2-3i)(1-4j»).
Решить следующие неравенства:
36.	3 — 2х л
(3x+D(x-4)
37.	х3 + 5ха + 8х + 4 п
ха + х—2
38.	1	1
х(х — 1)(х + 2)	_ха(х 4- 3) •
39.	1 .	»	1 I 1_____—
2ха ;'4(х + 2)2 ^ 2х» 8х	8(х 4-2)*
Найти область определения функций:
40-	у = /(9-х2)(х2-4) 4-
41.	*/ x-t-2 х 4- 4 , ______L___
. У-у Х-l X —3 + i/xa-3x4-1	.
У ха —1 1е
Решить следующие неравенства:
42.	_2	1_ . т/ 4 з
х	2 г ха	4
43.	у 1 4-8х2 ->2х—1.
44.	/х24-х—1<х— 1.
45.	/Г—/6x4-1 < V 2x4-1.
46.	л /х4-1	-I /х— 1	3
У X— 1 — V Х4- 1 > 2 •
47- /Г+5 4- /х + 3 > /2х 4- 7.
^равенства
97
48.	/14+|/х — /14— Ух >3|/2.
49.	/х 4- к 6х — 9 + /х — Убх — 9 < |/Т01
50.	/г+Т — /х + 3< 1.
51.	2^—5/Г>3.
52.	-2х jZF — Зх У < 2°.
53.	/ГГГ + У~х + 2 + /Г+3< 0.
54.	> /2х —3.
55.	]/х 4- а + Ух — а > У 2х.
56.	х<а— /а2— хУа2 + х2.
57.	Уа + х + Уа — х > 2 Iх а2 — х2.
58.	У(х+а)2 + /х—а)2 + /х2—а2<Уа^
59.	Ух — 2а > Ух—а — У а.
ГЛАВА IV.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С НЕСКОЛЬКИМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Решение неравенств первой степени с двумя
переменными
Неравенство первой степени с двумя переменными в об-
щем виде записывается так:
Лх 4~ By -f- С О,
(1)
где Л, В и С — параметры.
Рассмотрим решение неравенства (1) при различных чис-
ленных значениях параметров.
1.	В > 0. Ах 4- By + С > 0 ~ у > — ^-х —
2.	В<0. Лх + Ву + С>0~у< — 4х— Т-
3.	В — 0. В этом случае неравенство (1) эквивалентно
неравенству Ах + С > 0, которое истинно при всех значе-
ниях переменной у и тех значениях переменной х, которые
являются решением неравенства Ах + С > 0 (гл. Ill, § 1).
Итак:
( В>0
I Ах + By + С > О
j В<0 ,
[ Ах + By + С > О
(В = О
А = 0
гс>о
с = о
С<0
(В > О
. Л • С
У > вх в
(В< О
< в х в
( В = О
4>О
х>~ 4
—00 у <с00
в = о
с
х<~ А
— 00 < У 00
в = о
л = о
С>0
— оо < х < <ю
—00 < У < 00
в = о
4 = 0
Л.
Рассматривая последнюю конструкцию неравенств, за- ж
мечаем, что при В —О, 4 = 0 и С 0 неравенство Ах + 
+ By + С > 0 не имеет решения. Во всех остальных слу- 
чаях решением неравенства будут пары чисел х и у, зна- 
чения которых определяются из указанных в конструкции Л
условий. Так, например, если В > 0, то для произвольного I
значения х соответствующее значение у находится из ус- Я
АС	Я
ловия у > — -д-х — -д-. Решением неравенства в этом. слу- Ж
чае будет	в
00 <	00
> В х В
В дальнейшем значения переменной обычно . записывать ,
не будем, если ими являются все действительные числа, ]
100
— оо <;х<оо	л
.и-> — ~А.х—£г бУЛ&л писать у>—g-х — -g-
Если В — б и А < 0, то у может быть любым числом,
а соответствующее значение х определяется из ус-
_ С
ловия X < — -j.
Аналогично определяются соответствующие значения х
и у при других возможных значениях параметров А, В и С.
Неравенство первой степени с двумя переменными опре-
деляет часть плоскости, координаты всех точек которой
удовлетворяют этому неравенству. Построим прямую Ах 4-
+ By Ч- С = 0. Она разделит плоскость на две полуплос-
кости: «верхнюю» и «нижнюю» (если прямая пересекает
ось ОУ) или «левую» и «правую» (если она пересекает толь-
ко ось ОХ). Если В > 0, то получим „ неравенство
у > —д- х — Решением этого неравенства будут коор-
динаты точек верхней полуплоскости относительно прямой
у = —-g-x —-g, ибо при одном и том же значении х ор-
динаты точек верхней полуплоскости • относительно этой
прямой будут больше ординат точек, расположенных на
прямой.
Координаты точек нижней полуплоскости относительно
А С
прямой у = —д-х — -g-	будут решением неравенства-
У<— 4'х~ Т’
Если В = 0, то~ получим неравенство Ах + С > 0. Со-
С
ответствующая прямая х = — пересечет только ось ОХ
и разделит плоскость на две полуплоскости: левую и
правую. Координаты всех точек левой полуплоскости бу-
дут решением неравенства Лх4-С>0 при А<0, а коор-
динаты всех точек правой полуплоскости составят множест-
во всех решений рассматриваемого неравенства при А > 0.
Если В = О, А = 0 и С > 0, то неравенство Ах + Ву +
+ С > 0 тождественно истинное и ему удовлетворяют ко-
ординаты всех точек плоскости.
Если В = О, А = 0 и С > 0, то неравенство Ах + By +
+ С > 0 тождественно ложное. Это означает, что на плос-
кости нет точек, координаты которых удовлетворяли бы
данному неравенству.
101
Пример.
Решить неравенство
2х + у + 1 > 0 и дать гео-
метрическую иллюстрацию
решения.
Решение. Неравен-
ство 2х + у + 1 > 0 экви-
валентно неравенству у >
> — 2х — 1. Определим
часть плоскости, координа-
ты всех точек которой удо-
влетворяют данному нера-
венству. В системе- коор-
динат ХОУ построим пря-
мую у = —2х—1 (рис. 24).
Эта прямая разделит пло-
скость на две полуплоско-
сти. Координаты всех точек
верхней полуплоскости от-
носительно прямой у = — 2х — 1 обращают неравенство
у > — 2х — 1 в истинное числовое неравенство и образу-
ют множество всех его решений.
§ 2. Решение конъюнкции неравенств первой степени
с двумя переменными
Рассмотрим конъюнкцию неравенств первой степени с
двумя переменными:
(А1Х + В1У Ci 0	...
(zlgX -j- В%у С2 > 0.	'
Задача решения конъюнкции неравенств состоит в том,
чтобы установить неравенства, определяющие области, ко-
ординаты всех точек которых обращают каждый компонент
конъюнкции в истинное числовое неравенство, то есть свес-
ти конъюнкцию неравенств к виду
(<Р1 (х) < у < <р2 (х)	(Ф1(у)<*<<рг(у)
(а<х<6 или |а<у<г>.
В частном случае, когда конъюнкция неравенств может
быть приведена к виду
102
fa>i (*)<{/< Фа (х)	!ф1(У)<*< ф2(у)
оо<х<оо или оо<у<оо,
то обычно второй компонент конъюнкции опускается и за-
писывается Ф1 (х) < у < <р2 (х) или <Р1 (у) < х < <р2 (у).
Решением конъюнкции является множество всех значе-
ний пар чисел, х и у, которые обращают И первый, И вто-
рой ее компонент в истинное числовое неравенство.
. Рассматривая различные значения параметров А, В и С,
получим для каждого компонента конъюнкции неравенства
(1) 6 различных случаев, объединенных операцией дизъюнк-
ции. Отбросив компоненты, которые не имеют решения,
как тождественно ложные (теорема 26), получим:
Ri
(AiX -J- В[у Ci О
|,Л2х -j- В%у 4- С2 > 0
— оо < х < оо
.— оо < у < оо:
(г=1, 2).
Применяя распределительное свойство конъюнкции и
дизъюнкции, получим следующую конструкцию неравенств:
103

В1>0	Вх>0
В2 > О	|В2 < о
ит. д.
_л, а
В1 В1
A* v___Qz
Вг х Вг
У >—Р* =
02	&2
У
2-х неравенств с
Итак, любая конъюнкция
ременными может быть приведена к одному из
двумя не-
указанных
выше 25 случаев в зависимости от численных значений па-
раметров Лъ Bi, СХ) А2, В2, С2. Если Дх = 0, Bi = О, Сх О
или Л2 = 0, В2 = О, С2 0. то соответствующие конъюнк-
ции неравенств тождественно ложные (их нет среди 25 вы-
писанных компонентов конструкции) и конъюнкция нера-
венств (1) решения не имеет.
Определим решение конъюнкции неравенств в каждом
отдельном случае при Вх 0 и В2 =£ 0. Остальные случаи
рассматривать не будем, как не представляющие особого
интереса.
В зависимости от того, положительны или отрицатель-
ны параметры Вх и В2) конъюнкция неравенства (1) экви-
валентна следующей конструкции неравенств:
У >aix + bi
I У <a^ + b2
{ y<aix + bi
\y>a2x + b2
[y>aix + bi	()
I у >(hx +b2
f У <aix + bl
,	1у<02* + 62,-
где at ® gp bt = — (i = 1, 2).
При заданном значении параметров истинным будет
один из компонентов последней конструкции неравенств.
Рассмотрим решение каждого компонента в отдельности.
1) Конъюнкцию	(3) запишем в виде двой-
V и2Л *1 ^2
ного неравенства aix + bi < у < а^с + &2, из которого в си-
лу свойства транзитивности следует, что aix + &х < а%х 4- 62.
' Откуда:
104
у > aix + fti	(ахх + 61 < 02* 4- 62
у < OaX 4- 62	I'BiX -j- 6i < у < a2x + 62 *'*'
( (ai —a2)x< 62 —6i
1 <hx 4- bi < у < a^c 4- 62.
(4)
Рассмотрим отдельно три случая: аг — а2 > 0, ах — <0
и 01 — 02 = 0.
а)	01 — Ог>0. Разделив первое неравенство конъюнк-
ции (4) на положительное число аг — Оа, получим эквива-
лентную конъюнкцию
«1' х<	> а2 , b2—bi 4 ai—а2
aix 4- bi < у < <ьх 4- 62.
При 01 > Ог конъюнкции неравенств (3) удовлетворяют
все значения переменной х меньше числа и значения
переменной у больше соответствующих выбранному х зна-
чений OiX 4- 61 и меньше соответствующих значений а^х 4- 62
для того же х.
б)	01 — Ог < 0. Аналогично получим:
01 < Ог
(01 — Ог)х <62 — 61	—
OiX 4- 61 < у < a-jX 4-62
01 < Оа
Y \	'
—а2
aix 4- 61 < у < 02X4-62.
в)	01 — Оа = 0. В этом случае:
#1 — ^2
(01—Оа)х< 62 — 61
01Х 4- 61 < У < ОаХ 4- 62
01 =
О • х < 62 — 61	(5)
OiX 4- bi < у < ОаХ 4~62.
Дальнейшее решение конъюнкции неравенств зависит от зна-
чений коэффициентов 6Х и 62. Если 62 — 6Х > 0, то неравен-
ство 0 • х < 62 — 61 тождественно истинное. Решением конъ-
юнкции неравенств будут значения у, которые Определят-
ся из неравенства охх 4- bi < у < а^х + 62 при произвольном
значении переменной х. Если 62 — 6i<0, то неравенство
О • х < 62	61 тождественно ложное, а тогда ложной будет
и конъюнкция (5) (теорема 24). Конъюнкция неравенств
в этом случае решений не имеет.
Запишем общую схему решения конъюнкции двух не-
равенств с двумя переменными вида (3):
105
Ь2— bi
< а2х 4- Ь2
у > Я1Х + bl ( (Я1 — <Х2) х <
у < а^х -j- b2 [aix+ bi< у
“[ Я1>02
х <
01^—«2
<11 < Ск.
ai—th
Oi — ai
b2^>b\
О • х< Ь2— bi
[01 = 02
1 bi bi
[ 0 • х <С Ь2 — bi
Oix4- bi<y<_a2x+b2
’ Oi > а2
. г>2~&1
«1—а2
охх 4- bi < у < а^х +Ь2
611	^2
. х
ai—^2
OiX 4- bi < у < вгх 4- Ь2
[ Oi = Oj
I bi > bi
I axx 4- bi < у < a2x 4- b2
{Oi =o2
*2 <61
Л.
Поясним на рисунке различные случаи решения конъ-
юнкции неравенств (3) (рис, 25). На плоскости дОУ чертим
прямые у = ахх 4- bi и у = а2х 4- Ь2. Затем заштриховыва-
ем полуплоскости, расположенные выше прямрй у = Oix4-&i
(координаты всех точек верхней полуплоскости составляют
решение первого неравенства конъюнкции (3)) и ниже пря-
мой у = а2х 4- 62 (координаты всех точек нижней полуплос-
кости составляют решение второго неравенства конъюнкции),
получим дважды заштрихованную часть плоско9ти, коорди-
наты всех точек которой являются решением Й первого,' И
второго неравенства конъюнкции (3), то есть решением
данной конъюнкции неравенств.
Аналогично решается конъюнкция неравенств
( У < OiX 4- bi
'	\ir>a^ + b2.
Она отличается от рассмотренного случая только нумера- ~
цией коэффициентов.
Примеры.
1.	Решить конъюнкцию неравенств
[2х + у > 1
|х — у > 3.
Решение.
у > — 2x4-1	( — 2х4-1-^х — 3
у < х — 3	( — 2х4-1<у<х — 3
106
Рис. 25
l	[ — 2х 4- 1 < у < х — 3.
Решением конъюнкции неравенств является любая пара чи-
сел х и у, где х>-|-, а у — любое число'больше значе-
ния — 2x4-1 и меньше значения х — 3. Для геометриче-
ской иллюстрации решения строим прямые у = — 2х 4-1 и
У — х — 3, заштриховываем верхнюю полуплоскость отно-
сительно прямой у = —2х+ 1 (ибо у > — 2х 4- 1) и ниж-
нюю полуплоскость относительно прямой у = х — 3 (ибо
У < х — 3). Получаем угол АВС, координаты всех внутрен-
них точек которого составляют решение конъюнкции (рис. 26).
2.	Решить конъюнкцию неравенств
( 2х 4- Зу > 1
( 4х 4- бу < 2.
107
Рис. 26
Решение.
2х 4- Зу 1
4х + бу < 2
-4х+4-<-4х+4
2 „ , 1	2	,1
3 Х + 3 <У<	3 Х+ 3
Конъюнкция неравенств тождественно ложная. Решений
нет.
3.	Решить конъюнкцию неравенств
( Зх + у > 4
} 9х 4- Зу < 9.
Решение.
(3x4-у >4	(у>-“- 3x4-4 ~ Г—Зх-|-4<—3x4-3
19х4-3у<9 [у <—3x4-3 t—Зх4-4<у<—Зх 4-3
108
’ \ o' 	п
—Зх + 4 <у<—3х + 3
Конъюнкция неравенств тождественно ложная. Нет точек
плоскости, координаты которых были бы решением И пер-
вого, И второго неравенства
конъюнкции (рис. 27).
4.	Решить конъюнкцию нера-
венств
Рис. 27
(*4-у>1
( 4х + 4у < 8.
Решение.
х + у
—- х “I- 2
у< —х-}-2
— оо
2
< У< — *4-2
х < оо
<У< — х + $
Неравенство — х + 1 < — х 4- 2 тождественно истинное,
следовательно, х может быть любым числом, а значение у
определяется из двойного неравенства — х 4- 1 < у < — хЦ-2.
Геометрическая иллюстрация решения дана на рисунке 28.
Рис. 28
109
Координаты точек плоскости, Лежащие в дважды заштри-
хованной полосе, образуют решение конъюнкции неравенств.
Перейдем к рассмотрению двух последних компонентов
конструкции неравенств (2),
/У >01*+ 61	и (У <01* +&1	™
I У >о2х + Ьг ' ' и { у < а2х + Ь2.	' '
Анализируя конъюнкцию неравенств (6) видим, что для
произвольного значения х. значение у должно быть любым
числом, большим большего из чисел с^х + 6Х и а2х + &2.
Поэтому у>а1х + Ь1, если atx + Ьх > агх + &2 или у >
>а2х + 62, если а\Х + 6Х < а2х + Ь2.
Утверждение «у >01*4-61, если Oi* + 6Х > а2х + 62»
означает, что одновременно должны выполняться условия
у>ахх + 6х И яхх-+ bt > а^х + Ьг, значит эти условия об-
разуют конъюнкцию неравенств
Г ахх + 6Х > а^х + 62
I У > охх + &х.
Аналогично утверждение «у > а2х + 62, если ахх + 6Х <
-^Огх + ^г» есть конъюнкция неравенств
Г яхх + Ьх < а2х + 62
 t у > ЯгХ + &2.
Обе записанные конъюнкции соединяются союзом ИЛИ, то
есть образуют дизъюнкцию,
Итак:
У > «1* + 61
у > я2* + 62
' Г «Хх + 6Х > ЯгХ +&2
I У >ахх + 6х
( ахх + 6Х < ЯгХ+&2
{ у >а2х + 62
х(ях —а2)>62 —&х
у > ахх + bi
х(а.1 — а^<,Ьг — Ь1
у>аъх + Ь2.
Рассмотрим три случая: ах >'аа, дК аг и ах = аг.
аХ ах >я2. Заменяя последнюю конструкцию неравенств
эквивалентной, получим:
110
fli—a2
У > Л1Х + bt
\y > o2x + b2.
Следовательно, если a, > a2, то при х > ^—51 конст-
^1
рукции неравенств (6) удовлетворяют все значения
у > ахх + blt а при х < конъюнкции неравенств удов-
а1 #2
летворяют значения у > а2х 4- Ь2.
б) 01 < аа. Проведем следующие эквивалентные преоб-
разования:
Oi<Og
“ (х (01 — Оа) > b2— bt
\у > ахх 4- bi
(•^(«1—ОгХ^г —
Ь >0аХ + &2
01
<0а
х b2—bi
'	ai—а2
y>aix + bi
[х >**=*!-'
01—02
У > th* + Ь2.
Последняя конструкция неравенств определяет решения
КОНЪЮНКЦИИ (6) При 01 < О2.
в) 01 = 02. В этом случае решение зависит от значе-
ний bi и Ь2.
к Если bi < b2, то _
01
“ 02
fx(Oi — a2)>b2— bj
\y>aix + bi
- (х (01 — ОаХ Ь2 —Ь]
Уу>а^х + Ь2
ai — c^
bi<ib2 4
“(Л	*
I У >	4- bi
( И
I У > «ах 4- Ь2
^1 < ^2
--00 < X < оо
'‘У >а2х + Ь2.
111
Если bi > bt, то
Д1 s= Og
”( *(ai — (h)>lh — bi
\y>aix +bi
( xfai — d^^bi — bi
I y>a*x + b2
«1 = 0,
bi Ь^
И
у >aix +bi
Л
. у >а^х + Ь2
at = <h t
bi Ь^
— oo < x< oo
У>агх 4-fcv
Если a{ = Og и bi = Ь^, to atx + bi = a^x + Ьг. Обозна-
. чив ai = аг == а и bi = bi = b, получим:
Я1 = Og = a
bi = bt = b
”( x (ai —ai) > bi — bi
\y>Oix + bi ,
f x(ai — ai)^bi — bi
\ у >а^к +bi
a.i = Oi = a .
bi = bi = b
— 00 < x< oo
у >ax + b.
4
Запишем' общую» схему решения конъюнкции нера-
венств (6):
{ У > aix + bi
I У > ОгХ + Ьъ
f x(at — ai)>bi — bi
,\y>Oix + bi
f x(ai—Oi)^bi — bi
l У>ОгХ +bt
412
х > ь«~ь'
' 01—0g
y>aix + &i
4Х
Л	———
#1~-Я2
у>а2х + Ь2
Л '1	"*
£/>ахх + &1
х>*=^
ах—а2
у > а%х + b2
ах = а2 = а
"“Г &i Ь2
I t/>OiX + &1
( &i < Ь2
\у>а^ + Ъ2
. ( bi = Ьг = ь
Д у > ах 4- Ь .
Конъюнкция неравенств
( у > ajx + bi
(У >OiX + Ьз	
определяет множество всех точек плоскости, лежащих вы-
ше прямых у = atx +bi и у — а^х + 62. На рисунке, 29 да-
на геометрическая иллюстрация решения рассматриваемой
конъюнкции неравенств для всех возможных случаев.
Конъюнкция нестрогих неравенств вида
Г у > aiX + bi
\y>OiX +b2
решается аналогично. При геометрической иллюстрации ре-
шения учитывается/что координаты точек, расположенных
на прямых у =Oix + bi и у OiXЬ2, принадлежат реше-
нию.	'
Примеры.
1. Решить конъюнкцию неравенств
113
Рис. 29
Зх + 4у > 6
2х+ 5у > 3.
Решение.
Зх + 4у > 6
2х + 5у > 3
3.3
У>-^ + -у
2	, 3
У >	§-х +
х> 2-у-
У >----+ 4-
'у>-4-х+а
На рисунке 30 дана геометрическая иллюстрация реше-
ния. Координаты всех точек, расположенных внутри уг-
ла АВС, включая и точки на сторонах этого угла, состав-
ляют решение конъюнкции.
114
2. Решить конъюнкцию неравенств
2х 4- Зу > 1
4х + бу > 2.
Решение.
2х 4- ty > I
4х -j- 6{/ > 2
На рисунке 31 дана геометрическая иллюстрация решения.
Конъюнкция неравенств вида
{ У < atx 4- by
I У <О2Л: 4-62
решается следующим образом. Первому и второму нера-
венству конъюнкции удовлетворяют только те значения у,
которые меньше меньшего из чисел а1х-]-Ь1 и а^х + Ьа
(определение. 11), то , есть у < агх 4- 6Х, если ахх + 6Х <
< a«x 4- б2 ИЛИ у < ОаХ 4- Ьь если охх 4- 6Х > с^х 4- 62. По-
этому:
115
Примеры.
f y<aix + bt^
I y<atx + bt
“(aix+bi^a^x+bt
\y < axx + bt
~ fax+bi > а^х+Ьг
_[y < o-iX 4- b2.
Далее решение рас-
сматриваемой конъюн-
кции неравенств про-
водится так же, как
и решение конъюнк-
ции неравенств (6).
В зависимости от зна-
чений а1( а2, Ьи Ь2 воз-
можны различные частные случаи, геометрическая иллюст-
рация решения которых дана на рисунке 32.
1.	Решить конъюнкцию неравенств
Зх + У < — 2
х + у < 3.
116
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
Зх + у < — 2	( у < — Зх — 2
х + у<3	{«/<— *4-3
— Зх—2< —х + З
у <—Зх — 2
— Зх — 2 > — х + З
у<—х + З
х>—-|-
— х + 3.
Геометрическая иллюстрация решения дана на рисунке 33.
2.	Решить конъюнкцию неравенств
( 2х + у < 1
| — 2х — у > 2.
Решение.
( 2х + у < 1	f У < — 2х+1
[ — 2х — у > 2	( у < — 2х — 2
7 Л
t У < — 2х + 1
Г И
I У < — 2х — 2
— У < — 2х — 2,
ибо первый компонент конъюнкции ложный.
'— 2х + 1 + — 2х — 2
У< — 2х+ 1
'— 2х + 1 > — 2х — 2
у < — 2х — 2
117
На рисунке 34 дана геометрическая иллюстрация реше-
ния.
3.	Решить конъюнкцию неравенств
(х + Зу > х — 4
(2х — 2у > 2 (3 — у).
Решение.
(x4-3z/>x — 4	/ у>---|-
\2х-2у>2(3-у)~\х>3
Координаты всех внутренних точек прямого угла АВС
составляют решение данной конъюнкции неравенств (рис. 35).
В процессе решения конъюнкции неравенств с двумя
переменными нельзя пользоваться - методом алгебраического
сложения, которым часто пользуются_ при решении конъ-
юнкции уравнений, ибо в этом случае возможно наруше-
ние эквивалентности.
§ 3. Решение дизъюнкции неравенств первой степени
с двумя переменными
Дизъюнкцию двух неравенств первой степени с двумя
переменными
Г А}Х -f- В^у 4~ О
[ЛгХ 4- Вьу 4- С % О,
118
у которой Bi ¥= 0 и Ba ¥= Q, можно привести к одному из
следующих видов
(y>aix + 6! /n f!/<aix + 6i	[y><hx + bi.
[y<aix4-62 '	\y>a^ + b2 '[у>02*4-62	'
У <ai*4-6i /4\
у < агх 4- b2 v '•
где 01 =-57,	=	i=l,2.
Решением дизъюнкции неравенств является совокупность
значений переменных х и у, которая обращает хотя бы од-
но неравенство дизъюнкции в истинное числовое нера-
венство (определение 12). Аналитическое решение дизъ-
юнкции неравенств с двумя переменными состоит в
том, чтобы найти неравенства, определяющие промежутки
или элементарные области, где является истинным ИЛИ
первый, ИЛИ второй ее компонент.
Дадим геометрическую иллюстрацию решения дизъюнк-
ции неравенств (1). Строим на плоскости ХОУ прямые
у = а^х 4- 61 и у — а2х 4- 62. Затем заштриховываем полу-
плоскости, расположенные выше первой прямой и ниже
второй (рис. 36). Координаты всех точек, заштрихованной
части плоскости, составляют множества всех решений дизъ-
юнкции (1).
Аналогично рассматри-
вается геометрическая ил-
люстрация решения дизъюн-
кции неравенств (2), (3)
и (4).
Приме р_ы.
1.	Решить дизъюнкцию
неравенств
Г3*4-4ь>2
Iх — У < з.
Решение.
ГЗ* 4* 4г/ > 2 р>--------|-х 4- -|-
Для геометрической иллюстрации строим прямые
У в •—4-х 4- -g- и У — х — 3 (рис. 37). Заштриховываем
119
Решение.
часть плоскости, распо-
ложенную выше первой
и выше второй прямых.
Координаты всех точек
плоскости, за исключе-
нием незаштрихованной
части, составят решение
.дизъюнкции.
2.	Решить дизъюнк-
цию неравенств
х — 1 > у
2х — 2у > 2.
х—1>у ~\у<х—
[2х— 2у>2 |«/<х—1	У<'-х
3.	Решить дизъюнкцию неравенств
х — Зу>2
[2х— бу < 1.
Решение.
х — Зу > 2
2х — бу < 1
Для геометрической иллюстрации решения строим пря-
1	2	11
мне у = -ух----— и у = —х------g-, заштриховываем полу-
плоскости, расположенные ниже прямой у = -ух--д- /ибо
у << ~Х----д-) и выше прямой у — —X---д- (ибо у >
> -ух---Координаты точек, расположенных на за-
штрихованных частях плоскости, образуют множество ре-
шений данной дизъюнкции (рис. 38).
4.	Решить дизъюнкцию неравенств
х — у>1 х
2х — 2у < 5.
Решение.
х — у > 1
2х — 2у < 5
у < х — 1
'	5 .
У >х —т
120
Рис. 38	Рис.39
5
Построим прямые у — х — 1и у = х —?- (рис. 39). Дан-
ной дизъюнкции неравенств удовлетворяют координаты то-
—	о <	5
чек плоскости, расположенных выше прямой у = х---g- и
ниже прямой у — х — 1, то есть координаты всех точек
плоскости.
§ 4. Решение конструкций неравенств с двумя
переменными
Решения конструкции 3-х и более неравенств с двумя
переменными определяет'на плоскости одну или несколько
областей. Проиллюстрируем на следующих примерах реше-
ния таких конструкций неравенств.
Примеры.
1. Решить конъюнкцию неравенств
х + у>1
2х — у > 1
х< 1.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
х + у > 1
2х — у > 1
1
у > 1 —X
t/<2x — 1
х< 1
1 —х <у<2х— 1
1 —х < 2х— 1
х < 1
121
< у < 2х— 1
х< 1.
Для геометрической иллюстрации решения на координатной
плоскости строим прямые у = 1 —х, у = 2х — 1, х — 1 и
х = На этих прямых стрелками отметим области реше-
ний соответствующих неравенств.
Общей частью (пересечени-
ем) областей решений всех нера-
венств, то есть решением данной
конъюнкции неравенств, являют-
ся координаты всех внутренних
точек Л АВС. На рисунке 40 об-
ласть решения конъюнкции нера-
венств заштрихована.
2. Решить конъюнкцию нера-
венств
х — 2у<2
2* +1
х — 3.
Решение.
дующие эквивалентные преобразования:
Проведем сле-
х — 2у
2х4-у<
х > — 3
у > 4х—1
у < — 2x4- 1
х> —
1 — X
2 .
3
х — 3
— 2х+ 1 >2
4-х-1 < 2
-ух — 1 <У<2
X т—- 3
— 2x4- 1<2
4-х — К — 2x4-1
4-х-1<у<-2х4- 1
122
Строим прямые у = -----1, у — ~^2х 4-1, у = 2 и
х = — 3 и стрелками отмечаем области решений соответ-
ствующих неравенств (рис. 41). Геометрически конъюнкция
неравенств определяет множество точек, расположенных
внутри и на границах четырехугольника ABCD.
3. Решить конструкцию неравенств
Г Зх — у > 2
[ Зх — у < — 2
Г 2 у— х < 4
( 2у — х > — 4
— 2<у<2.
123
Решение.
ГЗх — у > 2
[Зх—у < —2
( 2у — х < 4	—
[ 2у — х > —4
.-2<у<2
Рассмотрим, какую область
[у < Зх — 2
[у > Зх + 2
#<4"х+ 2
9>±х-2
— 2<t/<2.
определяет эта конструк-
ция неравенств на плоскости. В системе координат ХОУ
строим прямые у = Зх — 2, у = Зх + 2, у = -1- х + 2, у =
&
= —х —2, у = 2, у = —2.
Стрелками отмечаем области решений каждого компонен-
та конструкции (рис. 42). Первым компонентом конструк-
ции неравенств является дизъюнкция
У<
.У >
Зх —2
Зх 2.
Она, определяет на плоскости две области, одна из кото-
рых расположена выше прямой у — Зх + 2, а другая —
ниже прямой у — Зх — 2.
неравенств
4"*+2
4'*“ 2
Второй компонент — конъюнкция
— определяет область, заключен*
124
ную между прямыми у = ~х + 2 и у = -^-х — 2. Реше-
ния двойного неравенства— 2 < у < 2 определяют область,
заключенную между • прямыми у — —2 и у = 2. Общей
частью отмеченных областей являются треугольники АВС
и AiBjCi, координаты всех внутренних точек которых обра-
зуют множество решений исходной конструкции неравенств.
4. Решить конструкцию неравенств
J *2 । У2 1
9 ' 16
‘бу >12
5у < -12
{ У<х
I У>—х
{ У< — х .
\ У >х.
Решение. Преобразуем данную конструкцию нера-
венств, используя ^свойства конъюнкции (гл. II, § 5):
125
V
х® u®	12	12
Строим линии: 4- jg-= 1 (эллипс), у = -g-, у = —-g-,
у = хп у —х (прямые). Решения первого компонента
определяют область А (рис. 43). Решения второго компо-
нента определяют область В. Области С и D соответствен-
но определяются третьим и
четвертым компонентом.
Так как компоненты кон-
струкции неравенств связаны
операцией дизъюнкции, то ис-
комая область состоит из объ-
единения областей Л, В, С и
D (определение 14). Запи-
шем аналитически эти обла- -
сти. Область А ограничена с
.	„	12
одной стороны прямой у =-g-,
а с другой — дугой эллипса
-^- + -|£=1. Найдем у из
уравнения эллипса:
У = ± 4 /9 —х2.
Определив координаты точек Е и F (как точек пересече-
12	/	12	12 \
ния прямой у — -g- с эллипсом), получим: Е I---g-, -g-j,
(12	12 \
-g-, -g-j. Итак, область А определяется конъюнкцией
- неравенств
5	5
Аналогично устанавливаем, что область В определяется
конъюнкцией неравенств
12 . v 12
а области С и D — соответственно конъюнкциями неравенств
О <х <4/16=7	(—3-1/Тб=7®<х<0
у < х	| х < у < — х.
— X
126
Решение заданной конструкции неравенств можно за-
писать так:
“ (	12 .	. 12
5	%	5	’
—	<-" у <-" -A. l/q	у2~
-	g-<y< -fry — X
. 12
5	5
0<x<4^16^7
—	х < У < х
_А/Тб^7<х<о
*<*/<—*•
Упражнения
Решить следующие конъюнкции неравенств и дать гео-
метрическую иллюстрацию решения:
60. 1 Зх + 4у > 10 61. (2х — у<1
(х — у >5.	{ х 4- 2у 2.
62. Г х + у < 5	63. (2х — Зу< 5
1 Зх -J- Зу 6. (X 4- 2у 1.
64. 1 х — 4у > 2у + х 4- 1 65. Г х — у < 2у 4- х 4- 1
|х— Зу<—7у4-3х.	( х + 2у < 2(у 4- 1).
Определить на плоскости области решений следующих
дизъюнкций неравенств:
66. Г3х4-4у>5 67. Г2х 4- у > 2х 4- 5
[х — 2у<3.	[Зх — у>хт-у+1.
Определить на плоскости области решений следующих
конструкций неравенств:
68. у > Зх 4- 2
70. (— 2 < х < 2 71. (25х2 4- V < 100
I— 2 < у < 2. {г > 0.
127
72.
х + у> 1
х + у< — 1 73. ( х2 + у2<;25
х-у>1	[х2 + у2>9.
_х — у< — 1.	»ч»
74. Гх2 + у2 < 4
х>у
Lx<—у.
ГЛАВА V.
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ
ПОД ЗНАКОМ АБСОЛЮТНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. Решение простейших неравенств,
содержащих абсолютную величину
Абсолютная величина числа определяется следующим
образом:
'а, если а > О
1«1= х /П
1 1	[ —а, если а < 0.
Используя операции конъюнкции и дизъюнкции, опреде-
ление абсолютной величины числа можно записать в виде
следующей конструкции неравенств:
у = |а|~
а> 0
а 0
У = —а.
Если вместо числа рассматривать функцию, то:
Г f f(Xi,	xj > 0
ч|	=	.... Х„)
У -\f(xlt х2, ..х„)|~	" xJ<()
I У == —f(xlt x2,.... xj. x

Пример.
П x > —1
, . , . IУ = х+1
У = |х-|-1|~
_(y = —(x+1).
На рисунке 44 сплошной линией начерчен график функ-
ции у = |х+1|. При значении х^-—1 он совпадает с
графиком функции у = х+ 1, а при значениях х-<—1 —
с графиком функции у = —(х 4-1).
5 Неравенства	129
Из определения следует,
что абсолютная величина
есть число неотрицатель-
ное.
Остановимся на реше-
нии неравенств вида
| / (х, У) I > Ф (*. У) или
\Кх, у)| <ф(х, у).
Имеют место следую-
щие эквивалентные пре-
образования:
I-	1/(*. 0)1 <Ф(*. 0)~
f fix, у)<Ф(х, 0
I fix, у)> — ф(х, у).
fix, y)>vix, у)
fix, y)<—4>ix, у).
Докажем преобразование I. Пусть <р(х, у)>0. Приме-
няя определение абсолютной величины, запишем следую-
щую конструкцию неравенств, которую затем заменим эк-
вивалентными конструкциями:
\fix, 0)1 <<₽(•», 0)~
f fix, 0)>О
A fix, y)<4>ix, у)
(fix, 0)<О
I —fix, y)<<f(x, у)
_ГО <7(х, 0)<<p(x, 0)
[—<P(X, 0)</(x, 0)<O~
/ x e / x /	4 f f (*> у) < Ф (*, У)
-----<f(x, yXfix, yX<Pix, 0)~Vf(x, y)>--<p(x, y).
Если <p(x, 0)<O, то обе части преобразования I тож-
дественно ложные, следовательно, они эквивалентны.
Аналогично доказывается преобразование II. Пусть
Ф (х, у)>0, тогда
!/<•*» 0)1 ><p(*. 0)
I fix, 0)>О
I/(X, 0) >ф(Х, 0)
{ fix, 0)<О
I —fix, 0)>Ф(*. 0)'
130
f f(x, у)>0
_ I f (X, у) > ф (X, у) Г/(х, у)^(р (Х, у)
{f{x, t/)<o 1Ж у><—ч>(*. у)-
J f(x, У)<—Ч(х, у)
Если ф (х, у) < 0, то обе части преобразования II тож-
дественно истинные, а так как они имеют одну и ту же
область определения, то эквивалентны.
Примеры.
1,	Решить неравенство |2х — 3|< 1.
Решение. Заменив данное неравенство эквивалентной
конъюнкцией неравенств (преобразование I), получим:
19г ЧI 1 ~	— ^ < 1	( х <Z 2
|2х —3|<1~|2х —3>—1|х>1.
Ответ. 1<х<2.
2.	Решить неравенство | Зх2 — 4х — 11 < 3.
Решение. Использовав эквивалентное преобразование
1, получим:
Зх2 —4х —1 <3
Зх2 —4х—1 >—3
( —4-<х<2
< о
И
(х 2) (х 4- з )
Зх2 —4x4-2 >0
----4-<х<2.
О
Второй компонент конъюнкции неравенств тождественно ис-
тинный, ибо дискриминант квадратного трехчлена отрица-
тельный (теорема 38).
2
Ответ.----д-<х<2.
3.	Решить неравенство |3х4-у|< 1 и дать геометри-
ческую иллюстрацию решения.
Решение.
।_ ,	( Зх 4- у < 1	' ( у< —Зх4-1
I ^х 4- УI < 1 ~ ( зх + у > —1	(у> —Зх — 1
f —Зх—1 <-3x4-1	(	—1<1
( —Зх— 1 <у< —Зх'4- 1.7 (— Зх—1 < у < —3x4-1
---Зх — 1<У<—3x4-1.
—gr----- _	131
Рис.* 45
X
В системе координат
XOY строим прямые у = —
—Зх 4-1 и у = —Зх— 1 и
отмечаем решения каждого
компонента конъюнкции
( У>—Зх—1- .
-3x4-1 (Рис. 45).
Неравенства |3х Ц- у| < 1
определяет множество то-
чек, лежащих между эти-
ми прямыми.
Ответ. —Зх—1 <
< У < —Зх 4” 1 •
4.	Решить неравенство
х« —2|х|—8>0.
Решение.
ха — 2|х| — 8>0~2|х|<ха — 8~
Гх > 4
/ 2х<х2 —8	((х — 4)(х4-2)>0	Lx<—2.
2х>—х24-8~{ (х4-4)(х — 2)>0~ Гх>2
|х < —4
Г х > 4
~L * < —4.
Геометрическая иллюстрация дана на рисунке 46.
5.	Решить неравенство
| х«+5*4-'8 |
I х4-6 I
Решение.
Рис. 46
132
( (х + 5)(х —1)(х + 6)<0
((х + 13)(х 4- 6) > 0.
Применив метод интервалов для решения последней
конъюнкции неравенств (рис. 47), получим:
-7J
1
• Рис. 47
((х4-5)(х — l)(x-f-6)<0
I (х+ 13)(х + 6)>°
— оо. < х < —6
—6 < х < оо
—оо <х< — 13
Г—5 < х < 1
[—оо < х < —13.
\	Г—5<х<1 .
Ответ. [_00<х<-13.
6.	Решить неравенство 12х — у | —х< 3.
Решение.
4~ 3	( у	х —— 3
- х — 3	( у	Зх -|~ 3
х —3<|/<3(х+1)
|2х — у\ — х< 3~ | 2х-
( х — 3<y<3(x-j-
х —3<3(х+1)
Геометрически неравенство опре-
деляет множество точек, располо-
женных внутри угла АВС (рис. 48).
Ответ.
(	х> —3
(х —3<у<3(х4-1).
7.	Решить неравенство
|2* + 3|>3.
Решение. Заменив данное не-
равенство эквивалентно» дизъюнк-
цией неравенств (преобразование II),
получим:
133
|2r + 3|>3~[g + |>L3~[^L3.
Ответ- [i<%.
8.	Решить неравенство 12х + у | + у > 2.
Решение.
Рис. 49
На рисунке 49 дана геометрическая иллюстрация ре-
шения (заштрихованная часть плоскости) (§3, гл. IV).
Ответ.
Q. Решить неравенство | х — 12х — 311 > 2.
Решение.
In 19* Ч11 "S 2Г* I	31 > 2
|х |2х 3И	— J2х — з| —2
Г(2х — 3<х — 2
Г|2х— 3|<х— 2^ \2х— 3>2—х
[|2х —3|>х4-2	Г2х — 3>х-Ь2
[2х — 3<— х—2
134
X
X
’х > 5
1
Ответ.
Уравнение вида \f(x, у)|=ф(х, у) не имеет решений
при ф(х, у).< 0. При остальных значениях <р(х, у) реше-
ния уравнения можно найти, использовав следующее экви-
валентное преобразование:
Ш. |/(х, у)| = <р(х, !/) —
<р(^, у)>о
|7(*. у) = <₽(*» у)
[j(x, у) = —<р(х, у).
Истинность его легко устанавливается на основании
определения абсолютной величины функции.
Примеры.
1. Решить уравнение | х — 11 = 2х — 1.
Решение. Запишем следующую последовательность
эквивалентных конструкций неравенств (преобразование III):
|х—1| = 2х—1~
2х —1 > 0
"х — 1 = 2х — 1 —
х—1 = 1—2х
2
~х —-у>.
х>-|-
гх = 0 ~
Значение х = 0 является решением второго компонента
конъюнкции неравенств и не является решением первого ее
компонента. Следовательно, х = 0 не является решением
конъюнкции.
„	2
Ответ, —.
2. Решить уравнение | х | -f- у = 2.
135
Решение.
2 —#>0
х — 2 — ।
х = у —!
Рис. 50
х = 2 — у
х = у — 2
х >0
У = 2 —х
y = x4-2.
На рисунке 50 дана гео-
метрическая иллюстрация
решения. Координаты всех
точек, расположенных на
прямой у = х + 2 при х< 0
и на прямой у = 2 —х при
х 0, образуют множество
*-всех решений уравнения.
О т в е т.
х>0
у = 2-х
у = х + 2.
§ 2. Решение неравенств общего вида с одной
переменной, содержащих абсолютную величину
Для решения неравенств вида
 AIAWI + А1М*)1 >Ф(Х)
можно использовать следующее эквивалентное. преобразо-
вание, доказательство которого не вызывает затруднений;.
lV.A|A(x)|+AiA(x)|><f(x)
"( fi (х) > 0
W>0
AJi(x) + Aafsfx) > Ф(*)
fi(x)>0	,
Г,(х)<0 w
Aifi(x) — AJ2 (х) > ф (х)
( fi(x)<0
К(х)>0
—AJi (х) + Д/2 (х) > <р(х)
f fl(x}^£‘: t ’	! i
J — Ai?! (X) ^Aif2 (x) > <P(X)
136
Преобразование IV справедливо и для неравенств со мно-
гими переменными.
Примеры.
1. Решить неравенство | х — 11 —21 х 4- 51 > 3 4- х.
Решение. Используя преобразование IV, получим:
| х — 11 —21 х -J- 51	3 -J- х
х > 1
х > —5
х — 1 — 2х — 10 > 3 + х
х> 1
—5
х — 1 2х .-J-10 3 “1“ х
х< 1
х> —5
—х + 1 — 2х — 10 > 3 4- х
х<С 1
х <: —5
—х 4-14- 2х 4-10 3 4- х
2; * Решить йеравенство | х 4- 31 > 12х 4-1|.
Решение. Левая и правая части данного неравенства
неотрицательные при любом допустимом значении перемен-
ной, поэтому при возведении неравенства в квадрат ‘ экви-
валентность не нарушается. Получаем:
|%4-3|>|2х4-1|^-|х4-3|2>|2х4-1|2-
Затем проведем следующие эквивалентные преобразования:
х2 4- 6х 4- 9 > 4х2 4- 4x4-1 — (х — 2) х 4- -у) < 0 ~
з*<х<2.
4
,	 Ответ.--J-<X<2.
Рассмотрим решение неравенств вида
.. , А^)|4-А]Шт+ ЛяИ„(х)|>0.
137
В каждом отдельном случае при решении таких нера-
венств применяются специальные приемы, упрощающие ре-
шение. Значительную помощь при этом оказывает исполь-
зование метода интервалов. Остановимся на этом подробнее.
Применение метода интервалов цри решении неравенств,
содержащих переменную под знаком абсолютной величины,
состоит в следующем: на числовую ось наносим область
определения неравенства и все корни функций, стоящих
под знаком абсолютной величины, затем решаем неравенст-
во в каждом из полученных промежутков знакопостоянст-
ва. Так как функции, стоящие под знаком абсолютной ве-
личины, в каждом промежутке имеют определенный знак,
то можно записать неравенство без знака абсолютной ве-
личины и найти искомые значения переменной в соответ-
ствующем промежутке. Искомое множество всех решений
данного неравенства состоит из объединения полученных
решений.
Пример.
Решить неравенство
|х— 1| + 2|2х4-3| —12 — х|>5 + |х[.
Решение. Находим корни многочленов, стоящих под
знаком абсолютной величины, и наносим их на числовую
ось (рис. 51). Числовая ось разбивается на следующие про-
межутки:
0	12
2
Рис. 51
хС—-----------|-<х<:0, 0<х<1, 1<х<2, х>2
(безразлично к какому числовому промежутку отнесем гра-
ничные точки).
Находим решения неравенства для каждого промежут-
ка отдельно.
3
а)' х —у- Для всех значений х каждое из выраже-
ний х— 1, 2х + 3, 2 —х и х имеет постоянный знак. Что-
бы определить этот знак, нужно взять любое число, цз рас-
сматриваемого промежутка и подставить в выражение? На-
138
пример, при значении х = —2 получим, что первое, второе
и четвертое выражения отрицательные, а третье — положи-
тельное. Поэтому |х—1| = —х+1, 12х 4- 31 = —2х— 3,
|2-—х| = 2— х и |х| =—х. Данное неравенство в рас-
сматриваемом промежутке можно записать без знака абсо-
лютной величины следующим образом:
—х +1 — 2(2х + 3) — 2 4- х > 5 —х.
Откуда:
/ з
Х<----5-	,
2 —X <~—4.
неравенства при х
Y будут зна-
Итак, решением
чения х < — 4.
3	3
б) — ту<х<0. Число —-у является корнем функ-
ции у = 2х + 3. Поэтому при* переходе через этот корень
только выражение 2х + 3 изменит знак. Следовательно,
3
при-----2" < ^ < 0 будем иметь:
х—1 < 0, 2x4-3 >0, 2 — х>0, х<0
и
|х—1| = —x-J-1, |2х + 3| = 2х + 3, |2 —х| = 2 —х,
у |х| = —X.
Итак,
— х+1+4х4-6 — 24-х>5 — х	|бх><)
Получили ложную конъюнкцию неравенств. Значит, в
указанном промежутке неравенство решения не имеет.
в) 0<х<1. В этом промежутке имеем:
|х—1 [==—х 4- 1, 12х + 31 = 2х + 3, 12 — х| = 2 —х,
| X | = X.
Данное неравенство эквивалентно следующей конъюнкции
неравенств:	'
/ 0<х<1
( — X'-}-1 4~ 4х 6 — 2 4- х 5 4~ %•
Откуда:
f0<х<1 л .	..
13х>0	~0<х<1.
Итак, все значения 0 < х < 1 будут решением.
139
г) 1 < х< 2. Рассуждая аналогично, получим конъюнк-
цию неравенств
/ 1 < х<С2
( х — 1 + 4х	6 — 2-|-х> 5’4- х
х<2 .
>2	~
х> 2
х— 1 + 4х + 6 4- 2 — х > 5 + х
2.
д) х > 2. Поступая аналогично, получим:
х > 2
.	2
Х>	д-
Объединяя решения, найденные в случаях а) — д) полу-
чим ответ Г х < — 4
[х>0.
Отметим, что пЬсле нахождения промежутков знако-
постоянства решение примера можно записать, пользуясь
операциями конъюнкции и дизъюнкции:
— со <х<-|-
— х -J- 1 — 4х — 6 — 24-*>б — х
-4<х<°
—х 4- 14-4x4*6 — 2 4-х >5 — х
0 < х < 1
— х 4* 1 4" 4х 4“ 6 — 2 4- х > 5 4- *
2
3
х < — 4
--|-<х<0
0<х< 1
х>0
1 < х < 2
*>4-
2 < х < оо
х>__1
3
х < — 4
0 < х<.
1 <х<
2 < х <*
— 4
0.
140
Такой формой записи решения рекомендуется пользо-
ваться после .приобретения навыков в определении знака
выражения, стоящего под знаком абсолютной, величины, то
есть приобретения навыков перехода в рассматриваемом
промежутке к неравенствам без знака абсолютной вели-
чины.
Примеры.
1. Решить неравенство
|х2 + 5х + 61 — | х — 21 > | х2 4- Зх — 41.
Решение. Находим корни многочленов, стоящих под
знаком абсолютной величины, и наносим их на числовую
ось (рис. 52),. В отличие от предыдущего примера трех-
члены
 » .........—  » ।
-У ~5	-2	12
Рис. 52.
х2 4- 5х 4- 6 и х2 4- Зх — 4
имеют по два корня.’ Квадратный трехчлен х2 — 5х 4- 6 от-
рицательный при — 3 < х < — 2, при. х<— 3 или х > —2
он положительный. Квадратный трехчлен х24-3х—4 отрица-
тельный при — 4 < х < 1, а при х < — 4 или х > 1 — по-
ложительный. Двучлен х — 2 при х < 2 отрицательный,
а при х > 2 — положительный. Запишем результаты в
таблицу:
-	х <— 4	— 4	< х <	: — з	—3<х< —2	—2<*< 1	1<х<2	х > 2
х8 + 5х + 6	4-		4-			4-	4-	4-
х8 + 3х —4	4-		•				4-	+
х —2						И—W	—-	4-
а)	При х — 4 или 1 < х 2 получим (см. таблицу):
|х24-5х4-6| = х24- 5x4-6; |х24-Зх —4| =х24-Зх- 4,
|х —2| = 2 —х.
141
Откуда:
( [х<: —4
j [1 <x<2
I x2 4- 5x 4- 6 4- * — 2 > x2 4- 3x — 4
~l<x<2.
Для решения последней конструкции неравенств использо-
вана геометрическая иллюстрация решения каждого компо-
нента (рис. 53).
б)	При — 4 < х — 3 или — 2 < х 1 получим:
|х2 4- 5х + 61 = х2 + 5х + 6, | х2 + Зх — 4 [ = — х2 — Зх + 4,
|х — 2| — —х 4- 2.
-Л
Рис. 53
Откуда:
« г_4<;х< —3
I I —2<х< 1
I х2 4-5x4-6 4-х — 2>— х2— 3x4-4
г_4<х<—3
[—2<х< 1~
I. х (2х + 9) > О
Геометрическая иллюстрация решения дана на рисунке 54.
в) При — 3 < х < — 2 имеем:
| х2 4- 5х 4- 61 = — (х2 4- 5х 4- 6), jx2 4- Зх — 41 =
= — (х2 4- Зх — 4), | х — 21 = (х — 2).
Откуда:	‘ "	'	>	-
f —3 < х < —2	’
(—х2 — 5х — 64-* — 2>—х2 — 3x4-4 ~
Рис. 54
142
>
Получили ложную конъюнкцию неравенств, значит при
— 3 < х	— 2 неравенство решения не имеет. ,
г) При х > 2 все выражения, стоящие под знаком абсо-
лютной величины, положительные (см. таблицу), поэтому
|х2 4- 5х 4- 61 == х2 4- 5х 4- 6, | х2 + Зх — 41 = х2 + Зх — 4,
|х — 2| = х — 2.
Откуда:
/ х > 2	( х > 2
{ х2 + 5х + 6 —х + 2>х2 + 3х —4 х> —12 ~
— х > 2.
Объединим решения данного неравенства в каждом чис-
ловом промежутке. Получим 0 < х < со.
Все выше-изложенное кратко запишем так:
' |х2 + 5х + 6| — |х — 2|>|х*4-3х — 4|~
"( Гх < — 4
[1 <х<2
х2 + 5х + б + х — 2 > х2 + Зх—4
[Г— 4<х<— 3	-
i	[— 2 < х 1
~ х2 + 5х4-6+х —2>—х2—-Зх + 4
—-3 <х<—2
—х2 — 5х — 64-х— 2>—х2 — 3x4-4
( х > 2
_( х2 4- бх 4- 6.—х 4- 2 > х2 4- Зх — 4
х 4
1 <х<2
8
1 < х -<2
О < х< 1
Л
х> 2
~х>0.
Ответ, х
>0.
из

Ixt ““ Зх ( 1 I
—x2 — 1 " >
Решение. 1-й способ. Заменим данное неравенство
эквивалентной дизъюнкцией неравенств, как это делали в
§ 1, и решим ее:	•
х2 — 3x4-1 . .
х2—1	>
х2 — Зх 4-1	«
X2 — 1
х2 — Зх 4-1 — х2 4-1 q
‘(2— Зх)(х 4- 1)(х— 1)>0
х (2х — 3)(х + 1)(х — 1) < О
X2 — 1
х2— 1
X2 —Зх-ь 1 4-х2—1 о
Для нахождения решения предпоследней дизъюнкции
неравенств использован метод интервалов (рис. 55).
2-й способ. Возведем данное неравенство в квадрат,
перенесем все члены в левую часть и приведем к общему
знаменателю. Эквивалентность неравенства не нарушится,
ибо левая и правая его часта неотрицательные при всех
допустимых значениях переменной. Получим:
х44-9х24- 1—6х»4-2х2 —6х—х44-2х2—К п
х« — 2х24-1
Знак абсолютной величины опустили, ибо |а|а = а9.
Приведя подобные члены, получим:
144
3-й способ. Так как |-у | =‘|у|> то данное неравёнство
можно записать так:
|х« —Зх+ 1|	1	( Iх* — Зх + 1 (> |х2--11	/
Ч	|х2—1|	> 1	( X2 =£ 1.	_
Применим метод Интервалов. Значения х = 3~~2^5 и
х = 3-~fcX5---корни трехчлена х2— Зх+ 1. При х = 1 и
х = — 1 выражение, стоящее в левой части неравенства,
не имеет смысла. Составим следующую таблицу:
	х<—1	,	^3-/5 1<д:<	2		.<«2±Р-	,34-/5 х> 2
X3 — Зх + 1	+	+		—	' '+
X8 — 1	+	—	—	+	+
Используя операции конъюнкции и дизъюнкции, запишем:
Гх
— 1
з + Г5~
2
'х < — 1
з+г§~
L >	2
*<4
х2 — Зх + 1 > —х2+ 1
^<«<1
—х2 + 3х—1 >—х2+ 1
1 < х 3 + У^
1 <.Х<^	2
— х2 + Зх — 1 > х2 — 1
р>4
з-Кб"
2 х < *
х>А
х> 3	_
1<х^3+/5-
0<х<4
145
“— CO X < — 1
— L<*<0
Анализируя все три способа решения, нетрудно сделать
вывод, что третий способ наиболее громоздкий. К нему
обычно прибегают, когда решается неравенство, в котором
содержится три и более выражений с переменными под
знаком абсолютной величины.
Ответ.
§ 3. Решение неравенств общего вида с двумя
переменными, содержащих абсолютную величину
Неравенства и уравнения с двумя переменными, в ко-
торых переменные содержатся под Знаком нескольких аб-
солютных величин, решаются как и соответствующие не-
равенства и уравнения с одной переменной (§ 2, гл. V).
Рассмотрим их решение на примерах.
Примеры.
1. Решить неравенство 31 х + у | + 21 х — у | < 2.
Решение. Заменив' данное неравенство эквивалент-
ной конструкцией неравенств, получим:
х + у>0
х — у >0
3 (х + у) 4- 2 (х — у) < 2
х + у>0
х —у <0
3(х + у) — 2(х — у) <2
х + у < 0
х — у>0
— 3 (х + у) 4-2 (х — у) < 2
х + у < 0
х — у < 0
— 3 (х + у) — 2 (х — у) < 2
— х + у<х
у < — 5х + 2
У>— х
у>х
у<-4-х+4
X < у < —X
у> — 5х — 2.
Г46
На рисунке 56 дана геометрическая иллюстрация ре-
шения. Решения первого компонента образуют Л OBG
(исключая сторону ВС), решения второго компонента со-
ставляют Л ОАВ (исключая стороны АВ и ОВ), решения
третьего компонента дают £\ODC (исключая стороны DC
и ОС) и решения четвертого компонента — Л OAD (исклю-
чая стороны AD, OD и АО).
VI
Итак, координаты всех точек плоскости, принадлежа-
щих параллелограмму ABCD, исключая его границы, со-
ставляют множество решений данного неравенства. Опреде-
лим координаты точек А, В, С и D. Для этого решим
конъюнкции, составленные из уравнений прямых линий, пе-
ресекающихся в вершинах параллелограмма:
1	9 (	\	9 (	1	9
. у = р’-тх+тр=-тх-т
у = — 5х — 2,	(. у = — 5х 4- 2,	( у = — 5х + 2,
__LX__L
5 х 5 ,
— 5х — 2.
Получим:
А(___L
2 ’
{/ =
у 4
147
Тогда решение исходного неравенства можно записать и в
таком виде (гл. IV, § 4):
“(__1 _____1_
2	з
х 2	.	. х . 2
(-3-—-5<У<—5-+-Г
_L< х < J_
J —у—|-< В < —5х 4-2.
2. Решить неравенство | у — 21 + | х | < 2.
Решение. Применяя эквивалентное преобразование
IV, получим:
1в-2|4-И<2~
У>2
х > О
У—2+х<2
У>2
х< О
у — 2 — х<;2
У<2
х > О
— У + 2 + х< 2
В <2
х < О
-1/4-2 —х<2
2<у<—х+4
2 < —х 4- 4
х > О
2<у <х 4- 4 .
2<х4-4
х < О
х<у<2
х < 2
х>0
—/<В<2
.— х < 2
У >2
х > О
У< — х + 4
У>2
х< О
У < х + 4.
У <2
х > О
У>х
У <2
х <0
У >— х
2<в<— х-Ь 4
0<х<2
2<у<*+4
— 2 <х<0
х<у<2
0<х<2
— x<t/<2
—2<х<0
х < О
148
— х < У < * + 4
— 2 <х <0
х < у < —х + 4
0 <х < 2.
На рисунке 57 дана геометрическая иллюстрация ре-
шения. Неравенство определяет множество точек, располо-
женных внутри квадрата ABCD. Последняя конструкция
неравенств является ответом.
3. Решить неравенство |х + у|^ о
к — у\
*
Решение. 1-й способ. Используя эквивалентное пре-
образование II, получим:
|~х + у ^2
х + У] \ 9 х ~ У
х — у	х+у о
Lx —у
Для решения дизъюнкций неравенств применим прави-
ла решения дробных неравенств и свойства конструкций
неравенств, рассмотренных В главах II и III:
ГЛ±£ >2
х-У
х + у __
_х —у \
$У X Л
X — у < и Г(3у — х)(х — у) >0 .
3* —У > о 1(3х — £/)(х — у) < 0 ~
_х — у
. 149
у>-
У<х
У< —
У>Х -
у<3х
У>х
у>3х
У <Х
Т<У<х
X
~3<х
х<у<4
:т>х
х < у < Зх
х < Зх
Зх < у
Зх с х
у
А)
С
X
~^<У<х
х > О
Х<У<-%-
х < О
х < у < Зх
х > О
Зх < у < х
о
~з~ У < х
х < у < Зх
<0
х
Х<У<~$
Зх < у < х.
Геометрически дан-
ное неравенство опре-
деляет множество то-
чек заштрихованных
углов АОВ и AiOBlt
исключая точки, рас-
положенные на сто-
ис‘	ронах этих углов, и
расположенные на прямой CD (х — у^О, рис. 58).
способ. |х — yl есть число неотрицательное и от
умножения на него данного неравенства • эквивалентность
не нарушится, если х — у ¥= 0, поэтому:
точки,
2-й
I х + у ।	о |х + у|	9	( |х + у|>2|х —у|
I X — у | '> 1х — у | I х — у =/• 0.
Для решения полученной конъюнкции неравенств при-
меним метод, рассмотренный при решении примера 1, по-
лучим:
/ |х+,у| — 2|х — у|>0~
( х—у ¥= 0
Г50
x + y>0
х — у">0
 х + у — 2х + 2у > О
( х + у>0
( х — у < О
I х + у + 2х — 2у > О
х 4- у < о
х — у>0
. —х — у — 2х + 2у>0
(*+у<0
{ х — у < О
I —х — у + 2х — 2у > О
В результате пришли к конструкции неравенств, по-
лученной при первом способе решения.
3-й способ. Так как обе части йеравенства еср> числа
неотрицательные, возводим неравенство в .квадрат. Экви-
валентность при этом не нарушается. Затем решаем полу-
ченное дробно-рациональное неравенство:
I х + у К п , (х + У)2 х. л Зх*—10xy-f-3y2
I х-у 1	(х-У)2^’ (х —у)2
X — у + 0
(х — ЗуХЗх — у) <0
151
"[ X > о
[х < у < Зх
х < О
Г3х< у <х
х
Анализируя все три способа решения, видим, что наи-
более простым из способов решения является третий.
4. Решить неравенство
I*—11 + |у —11 > 1*+11 +|у + 11.
Решение. При х = 1, х — — 1, у=1, у =— 1 вы-
ражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обра-
щаются в нуль. При х > 1 имеем |х — 11 = х — 1 и | х + 11 =
— х-{- 1, при — 1 <х< 1 имеем|х— 11 = 1 —-х, |x-j-11 =
=х+1, при х< — 1 имеем|х— 11= 1—х, |х + 11 = —х—1.
Аналогично получим и для соответствующих значений у.
В результате имеем:
а)	При х — 1 и у < — 1:
х< — 1	,	.	.
у<-1	~ ( х<~ ’ ,
.1—х —у+1>—х—1—y~J (У^-	*•
Все значения' переменных х< — 1 и у< — 1 являются
решениями.
б)	При х < — 1 и — 1 < у < 1:
х < — 1	,	.	.
— 1 <У < 1
1—	х — у+ 1 > —-х— 1 +у + 1 I
Все значения х — 1 и — 1 < у < 1 входят в решение.
в)	При х<; — 1 и у > 1:
[ х< — 1	( х< — 1
{ у > 1	~ { У > 1 . ~ Л.
I 1—х + у—1 >—х—1 4-у+1 I Л
При х<; — 1 и у>1 данное неравенство решения не
имеет.	•	’
-г) При — I •<«'< 1	‘2 ь -	• » • -> -
152
y<-i	~
l — х+ 1— у+ 1 >х+ 1— у— 1	*•
Решением неравенства будут значения — 1 < х < 1 и
i/< —1.
д)	. При — 1 < х < 1 и — 1 < у < 1:
(—1<х<1	। [—1<х<1
11 — X — у+ 1 >*+ 1+ у+ 1 I у<— X.
е)	При — 1 < х < Ьи у > 1:
— 1 <х< 1	[—1<х<1
У > 1	'	'	~ { у > 1	~Л.
1 — х + у— 1 >х+ 1 +у + 1 I х< — 1
В этой области неравенство решений не имеет.
ж)	При х > 1 и у — 1:
х>1	f х>1
У< — 1	~{у<—1—Л.
х—1—у + 1>х4-1—у—1	I Л
В рассматриваемой области неравенство решений не
имеет.
з)	При х > Г и — 1 < у < 1:
( х>1	ч	х>1
— 1<У<1	1<у<1~Л.
' х— 1— у+ 1 >х+ 1 +у+ 1 У< — 1
Неравенство при этих значениях х и «решений не
имеет.
и)	При х > 1 и у > 1:
х> 1	[ х> 1	.
У > 1 ?	~ I У > 1 — Л-
х — 1Ц-у—1>х4-1 + у+11 Л
Следовательно, данное неравенство при х>1 и 1 не
имеет решейий.
Объединяя решения из каждого отдельного промежут-
ка» находим множество всех решений данного неравенства:
153
На рисунке 59 дана геометрическая иллюстрация ре-
шений.
Все рассмотренные 9 случаев объединяются операцией
дизъюнкции, поэтому решение можно проводить, применяя за-
пись с использованием операций дизъюнкции и конъюнкции:
|х-1| + |у-1|>|х+И + |у+1|~
Х<— 1
У<-1
1	— х — у+ 1 >— X— 1— у— 1
х<— 1
-1<0<1
1	— X — у+ 1 >— X — 1 + «/ + 1
х<— 1
у> 1
1—х + у—1 >—X—1 + у+1
—1<х<1
у<-1
1—X —у+ 1 >х + 1т-у— 1
-1<х<1
-1<У<1
1—X—у+1>х+1+у+1
— 1 < X < 1
у> 1
1 — X + у— 1 > X + 1 + у + 1
х> 1
х—1—у+1>х+1—у—1
X > 1
-1 < у < 1
X—1—y+l>x+l+y+l
X 1	|,1	,. .
у> 1
х—1+у—1>х+1+у+1
154
Аналогично решаются уравнения с двумя переменными
вида:	-	,	
155
А|А(*, У)\+А^(Х, у)\ + ... + Ak\fk(x, t/)| = <p(x, у).
Примеры.
1. Решить уравнение |х + у| + | х — у| == 2.
Решение.
+	—!/1 ==2~
х + у>0
х — у > О
х+у+х—у=2
х + у > О
х + у —х+у=2
* + {/< О
х — у>0
—х—у+х—у=2
х + у<0
х—у<0
—х—у—х+у=2
у> — х
у<х
х — 1
у > — х
У>х
У — 1
У < —х
У<х
У = — 1
У < —х
У>х
X = — 1
60 дана
иллюстра-
Уравнение
плоскости
		У	1	в		 '
	•		-
	О		/ л
2?		1	
Рис 60
На рисунке
геометрическая
ция • решения,
определяет на
множество точек, располо-
женных на сторонах четы-
рёхугольника ABCD. :
2. Решить уравнение
И + lf/l + l* — У\ = 2.
Решение. Выраже-
ния, стоящие под Знаком
абсолютной вёличинЫ, ме-
няют знак при . Переходе
156
через . значения х = 0, у = 0 и ху. Поэтому рассмрт-
рим следующие случаи:
\х — у\~у — х. Откуда:
Тогда |х| = — х, |t/| = — у,
х<у ( х = — 1.
х = — 1
случае очевидно у>х. Тогда
х. Откуда:
—х —у—х + у=2
б) х < 0, у > 0. В этом
1*1 = —*. If/I =	I* —У| — У
«/>0
—х+у—х+у=2
У>0
|х — у\ = х—у. Спкум:
Тогда |х| = — х, 1у1 = —у,
*> У
У — ~ 1
х > у
—х—у+х—у=2
г) х > 0, у 0, значит х > у. Тогда |х| = х, |у | = — у,
\х— у\ — х — у. Откуда:
х—у+х—у=2
х— 1 I у = х— 1
Д) *>0, у>0, х<у. Тогда |х| = х, |у| = у,
Iх — УI =- у — х. Откуда:
У= 1
У >0
*<У
. х + у — х + у = 2
е) х > 0, у>0, х>у. Тогда |х| = х, )у1 = у,
I* — У1 = х — у. Откуда:
157
х > О
У>0
X > у
х+у+х—у=2
0< у < 1
X = 1.
На рисунке 61 дана гео-
метрическая иллюстрация ре-
шений. Решения конъюнкции
1 х =__1 образуют сторону
AF шестиугольника, решения
( —1<х<0
КОНЪЮНКЦИИ I у _ х -Р1 — сто-
рону АВ, решения конъюнкции
J — 1 <х<0	„„
I u ___1	— сторону FE,
(0<х<1
решения конъюнкции <«—
\У—х *
сторону ED, решения конъюнк-
ции (о<х<1 —сторону ВС и решения конъюнкции
/ X = 1
I 0 < х/ < 1
— сторону CD.
На плоскости уравнение определяет множество точек,
расположенных на сторонах шестиугольника ABCDEF.
Ответ записывается с помощью следующей конструкции
неравенств:
х — — 1
Г —1<х<0
I У = х+1
(—1<х<0
( У = — 1
|0<х<1
| у — X— 1
f 0<х<1
I У = 1
f х = 1
х — — 1
—
X = 1
0^У<
[«/ = — 1
0<х<1
«/=1
[у = X — 1.
Все выше изложенное решение уравнения с помощью
знаков конъюнкции и дизъюнкции можно записать так:
158
И + |у| + |х —у| = 2~
О
ч
о
о
х<0 .
— х — у — X -I- у = 2
х< О
У>0
х<У
—х + у —х + у=2
х<0
У<0
х>у
— X — у + х — у = 2
х>0
У<0
х>у
х—у+х—у = 2
х > О
!/>О
х<у
х+у—х+у=2
х>0
1/>О
х>у
х+у+х—у=2
х = — 1
-1<у<0
х = 1
0<у< 1
—1<х<0
у = х + 1
у = х— 1.
Как и при решении соответствующего вида неравенств,
можно сделать вывод, что последняя форма записи реше-
ния более строгая, компактная, не допускающая пропусков
отдельных случаев, и поэтому практически более приемле-
159
мая. В будущем будем пользоваться только этой формой
записи решения, предварительно определив промежутК
знакопостоянства для х и у.
§ 4. Решение конструкций неравенств,
содержащих абсолютную величину
Конструкции неравенств, содержащие абсолютную ве-
личину, с одной и двумя переменными решаются по об-
щим правилам решения конструкций. Если дана конъюнк-
ция неравенств, необходимо решить ее компоненты в
отдельности, а затем найти решения самой конт>ю,нк-
ций, как пересечение множеств решений ее компонен-
тов, которое будет решением И первого, И второго, И
т. д.,И последнего компонента конъюнкции. Если же да-
на дизъюнкция неравенств, то следует решить каждый ее
компонент в отдельности, а затем найти объединение
множеств решений компонентов (§ 3, 4, гл. II) которое бу-
дет являться ИЛИ решением первого компонента, ИЛИ
решением второго компонента, ИЛИ й т. д., ИЛИ реше-
нием последнего компонента.
Примеры.
1. Решить конъюнкцию неравенств
х— 11 + |х — 21 < 2
1| + |2х + 3|>4.
Решение. При решении каждого компонента конъ-
. юнкции будем применять краткую запись, пользуясь опе-
рациями конъюнкции и дизъюнкции.
з
При значениях х = 1, х = 2, х = — 1 и х =-----вы-
ражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обра-
щаются в нуль. Запишем следующую последовательность
эквивалентных конструкций, последняя из которых и
определяет решения данной конъюнкции неравенств:
х— 1 + Iх — 2| < 2
х 1	12х -f- 3]	4
160
х> 1
х> 2
х — 14-х — 2 < 2
х> 1
х<2
х —1—х+ 2<2
х< 1
*	> 2
—	х+1+х — 2<2
х< 2
—	х+ 1—х-Ь2<2
*'> — 1
х>—Г
х.Ч- 1 4* 2х 4- 3 > 4
х> — 1
Х<~Т
х 4* 1 — 2х —3>4
х< — 1
Х>---1-
— х— 1 4- 2x4-3 >4
х< — 1	л
х<—4-
— х — 1 — 2х —- 3 > 4
2. Решить дизъюнкцию неравенств
fl-*4- 2'| 4-1*| <3 —х .	.
[|х— 11 — |х — 3| > 1 — 2х.
Решение. .Для решения каждого компонента дизъ-
юнкции неравенств применим эквивалентные преобразова-
6 Неравенства	1G1. >
ния. Дальнейшие преобразования будем проводить, исполь-
зуя свойства конструкций неравенств.
Г х + 21 +1х I <С 3 — х
[ х — 11 — | х — 3J > 1 — 2х ~
х > О
х + 2 4“ х 3 — х
х > —2
х> О
— х — 2 -}~х < 3 — х
х— 1 — х + 3 > 1 — 2х
х
х> О
Х<* 3
—2<х<0
х < 1
Л
х<—2
х>—5
х > 3
__1_	'
х> 2
1<х<3
х> 4
Л
х < 1
. _3_
2
”о<х<4-
— 2О<0
— 5 С — 2 '
х 3
Ответ

.162
3. Решить конъюнкцию неравенств
Решение.

xl + ly
*| —10
х| 4-|0|<2
*1 —10|> 1-
х >0
У > О
* + У<2
х < О
У > о
— * + 0<
х>0
0<О
х — у <2
х< О
у<0
— х— У <
х> О
0>О
х — у > 1
х> О
0<О
х 4-0 > 1
х < О
0> О
— х — у >
х < О
0<О
— х + у>
2
2
1
1
х > О
у > О
0 < —х + 2
0 < х— 1
х > 0 4
0<О	4
у > х — 2
0 > —х-Ь 1
х < О
У > О
у < х 4- 2
, 0<—х—1
х<0
0<°
0> — х — 2
У >х-Ь 1.
При переходе от первой
ко второй конструкции не-
равенств использовалось
свойство 3 (§ 5, гл. И),
причем ложные компоненты
сразу опускались.
На рисунке 62 дана гео-
метрическая иллюстрация
решений. Геометрически
конъюнкция неравенств
определяет множество то-
чек, расположенных внут-
ри квадратов ABCD и
б«
163
4. Решить дизъюнкцию неравенств
П*| + 1у|<2
11*1 — 1у1> Е
Решение.
П*| + |У|<2
11*1 — |у1> 1
х>0
у>0
у<2?—х
х>0
У<0
у>х — 2
х<0
у>0
у<х + 2
х < О
У<0
У	>— х — 2
х>0
y>Q
у<х—\
х> Q
У<0
У	> — х + 1
х < О
У>0
У	< — х— 1
х<0
У<0
У	>х+ 1
х > О
У >0
< 2— х
1.У < х — 1
х> О
У<0
Гу >х —2
. 1У > —*+ 1
х<0
. У>0
\У<х + 2
[У < — х~ 1
х< О
У<0
Гу >.— х— 2
Л [у > х + 1
Рис. 63
На рисунке 63 дана
геометрическая иллюстра-
ция решения. Дизъюнкция
неравенств геометрически
определяет множество всех
точек, расположенных на
заштрихованной части пло-
скости.
Сравним решения при-
меров 3 и 4. В примере 3
дана конъюнкция нера-
венств, а в примере 4—дизъ-
юнкция этих же вера-
венств. На рисунке 64 приведена геометрическая иллю-
страция решений компонента | х | + | у | < 2, а на рисунке
65 — компонента |х| — |у| > 1.
Решением конъюнкции неравенств являются те значе-
ния переменных, которые являются решением И первого,
И второго ее компонента, значит решения примера 3 опре-
деляются как общая часть заштрихованных областей,
отмеченных на рисунках 64 и 65. Чтобы найти ее, достаточ-
но совместить оба рисунка и установить, какая часть
плоскости будет дважды заштрихована (рис. 62). Реше-
нием дизъюнкции неравенств в примере 4 будут те значе-
ния переменных, которые являются решением ИЛИ перво-
го, ИЛИ второго ее компонента, значит решением ее
являются заштрихованные части плоскости рисунков 64 и
65 (рис. 63).
5. Найти все целые значения х и у, удовлетворяющие ”
конъюнкции неравенств
у —|*8—2х| + 4-> О
у+\х— 1|< 2.
Ре шение.
. У —|х* —2xf+-|->0 _ ( jr>|x8 — 2х|—~
у + |*—1|<2	|у<—|х—1| + 2
' |х2-2х| — ±<2- I*— И
Дх2 —2х| —4<?/< 2 —|х—1|
(§ 2, гл. IV).
165
Отдельно найдем решения первого компонента послед-
ней конъюнкции неравенств. Корнями многочленов, стоя-
щих под знаком абсолютной величины будут х = О, х = 1
и х = 2. Числовую ось можно разбить на следующие про-
межутки знакопостоянства:
х<0, 0<х<1, 1<х<2, х>2
(областью определения неравенства является множество
действительных чисел). Найдем решения неравенства в
каждом из этих промежутков.
2|х2 — 2х| +2|х— 1|<5~
“(х<0
t 2(х2 — 2х) — 2(х— 1) < 5
/0<х<1
( —2(х2 —2х) —2(х —1)<5
~	1<х<2	~
— 2 (х2 — 2х) + 2 (х — 1) < 5
2 < х < оо
J 2(х2 — 2х) + 2(х-— 1) < 5
Г[х<0	__
3-V15  .	3+/15
2	"<х<<	2
(0<х<1
— оо < х < оо
~	1<х<2	~
— со < х <С со
[ 2 < х < оо	__
1—1/15*	^1 + К15
J 2	2
О<х<1	3— /15	. 1 + У15
0<х<2	2 " <'х<'	2
При -—< х < 1 if1- целыми являются числа
О, 1 и 2. Следовательно, решениями будут хх = 0, х* = 1
и х3 = 2. Найдем соответствующие значения у. Для этого
подставим найденные значения х в конъюнкцию (1). По-
лучим:
166
a)	Xi = О
0-4<9<-1 + 2--
В интервале ---i-. 1 j целым числом является только
нуль, значит t/j = 0.
б)	Xj= 1
1--4<У<2---------^-<у<2.
' / 1 \
В интервале I 21 только значение у = 1 будет це-
лым, поэтому j/2=l.
в)	X, = 2
-4-<У<-И-2—4-<!/<!.
В интервале!----i-, 1) целым будет только 0, поэто-
му 03 = 0.
От в е т.
6.	Найти область определения функции
у = arcsin (х2 — х + 1) 4- 1g | х2 4- 5х 4- 61 4-
+ V + 2х + 1 — 1. '
Решение. Область определения данной функции на-
ходится из следующих условий.
1)	условие существования функции арксинус:
lx2 —х+ц<1;
2)	условие существования логарифмической функции:
| х2 4- 5х 4- 61	0;
3)	условие возможности извлечения квадратного корня
во множестве действительных чисел:
а)	/х*4-2х4- Г—1>0;
167
б)	х2 4- 2х 4- 1 > 0.
Все четыре условия выполняются одновременно, сле-
довательно могут быть объединены операцией конъюнкции:
lx2 — х+ Г|<1
l^ + sx-i-ei^o
/ха + 2х + 1 —1 > 0
х24- 2x4- 1 >0.
Решая эту конъюнкцию неравенств, находим область
определения функции.
| х2 — х 4- 11 -< 1
|х24-5х4-'6|¥=0
/х2 4-2x4-1 — 1>0
х2 4- 2х 4- 1 > 0
( х3— х 4-1 < 1
( х2 — х 4- 1 > — 1
(х 4- 2)(х 4- 3) 0	~
|х 4- 11 > 1
(х 4- I)2 > 0
( х(х—1)<0
I х2 — х + 2>0
х —2
x=h — 3
Г х4- 1 > 1
[ х4- 1<—1
Г 0<х<1
I —СО <х<
х Ф —2
х & —3
Г х > 0
I х< — 2
оо
0<х<1
х —2
х Ф —3 —
Гх>0
|х< —2
— 0<х<
1.
Ответ. 0<х«< 1.
Упражнения
Решить неравенства и дать геометрическую иллюстра-
цию решений:
75. | Зх 4- 1 | > 2. 76. | 2 —х | > 5.
77. | х-3|<1. 78. |£^.|<1.
79. | Зх2 —4х — 1 | > 3. 801 | -8^+5~3 | > !•
81. | 2х 4- у | > 1. 82. | х — Зу | > -|-.
83. | Зх — у I < 2. 84. | Зх2 4-4x4- 1| <3x4-1.
QK I ____}_____ I 1
I х(х - 1) (х + 2) |^х(х—!)•
168
86,	1 (X— 1)(х —3)| <	+ 1 •
87.	| 2х — | 3—х | |>2. 88. | х4-у |<* —у4-1.
89.	| х + у |>3х — 2. 90. | 2х — у |>у — 1.
91.	|х —2 | + {/<3. 92. | х — | у | | < 3.
93.	| 3x4-4 | — 5 | х — 2 |>0.
94.	3|2х—1| —2|3 —х|>х —4.
95.	|х—11 4-3 |х 4-11 > 2|2 —х| 4-3.
96.	3|х4-2| —5|х—1|<2 —3|х —2|.
97.	2|х24-3х — 4| — 3|х2 — 11— 1 >х4-3 — |х|.
98.	|Ш>|<2- ЗИ + ^К5-
100. |х4-у| 4-|*~У | > 2.
101. |х| + |у| 4* |* —у| <4.
Определить на плоскости области решений следующих
дизъюнкций неравенств:
102.
|х|> 3
|х-1|<1.
103.
1*1 4- 1у|< 4
|х-1|-|у-1|<1.
104 Г!*!I<Ю5
1(И- L |х —31 —|у — 11 < 0.	,05- 1|х-у|<3.
Определить на плоскости области решений следующих
конъюнкций неравенств:
106.	Мх4-1|<2	Пх-|-2|<2 —у 1 |х-1|<3. ,U/- 1 |х|-1<у. •
108.	( |у-4| + |*1<3 1 |х-1]-]у -ii<o.
109.	Н*1 + 1«/1<4 1 |х-3|-|у-2|<0.
ПО. Определить на плоскости области решений конст-
рукции неравенств:
|х —у| >2
|2х 4- у\<3
Ы<з.
ГЛАВА VI.
РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
НЕРАВЕНСТВ
Неравенство f (хь х2, .... хп) > <р (хь х2.х„) называ-
ется трансцендентным, если входящие в него функции
трансцендентные. К таким функциям относятся, в частнос-
ти, показательные, логарифмические, тригонометрические и
обратные тригонометрические функции. В дальнейшем бу-
дем рассматривать трансцендентные неравенства, содержа-
щие только перечисленные выше функции.
§ 1. Решение показательных неравенств
В основе решения показательных неравенств лежит сле-
дующая теорема.
Теорема 39. Неравенство /(х)>ф(х) (1) эквивалентно
конструкции неравенств
rpw>0
Ф(х)>0
, г( а > 1	4
I l°gaf(x)>log^(x)
(0<а<1
Ч logef(x)<loga<p(x)
I f(x)<0
Ф(х)<0
г( а> 1
I loga (— f (*)) < loga (— ф (x))
(0<a<1
Ч loga (— f (*)) > loga (— ф (x))
f f(x)>0
| Ф (x) < 0
ff(x)>0
( <p (x) = 0..
170
Действительно. Рассмотрим пять возможных случаев
комбинации знаков функции f(x) и ф (х): f(x) >0, ф (х) > 0
ИЛИ /(х)<0, ф(х)<0 ИЛИ f(x)>0, <р(х)<0 ИЛИ
f (х) > 0, <р (х) = 0 ИЛИ f (х) < 0, <р (х) > 0.
1.	Если f (х) > 0 и Ф (х) > 0, то при логарифмировании
неравенства (1) по основанию а > 1 получим loga f (х) >
>1°баФ (*)> а ПРИ логарифмировании неравенства по основанию
0<а<1 будем иметь logaf(x) < log^(x), что следует
из свойств логарифмической функции. Итак, получим:
[f (х)>0
Ф (х) > 0
/(Х)>ф (х)
И(х)>0
Ф(х)>0
I г( а > 1
I loga/(x)>loga>(x)
{0<а<1
Ч togaf(x)<log^(x).
2.	Если f(x)<0 и ф(х)<0, то левая и правая части
неравенства (1) отрицательные и его логарифмировать нель-
зя. Умножив в этом случае неравенство (1) на —1, све-
дем его к первому случаю: /(х)>ф(х)-------./(х)<—ф(х)>
где — f (х) > 0 и — ф (х) > 0. Итак, во втором, случае имеем:
f(x)<0
Ф (х) < 0
/(х)<0
Ф(х)<0
/=(х) >ф(х)
а > 1
l°g« (— f W) < loga (— Ф (*))
0<а<1
toga (— f (*))> l°ga (— ф (x)).
3.	Если f(x) > 0 и ф(х) < 0 ИЛИ f (х) > 0 и ф(х) = 0
ИЛИ f(x)<0 и ф(х)>0, то неравенство (1) логарифмиро-
вать нельзя. Анализируя в этих случаях неравенство, лег-
ко заметить, что при /(х)>0 и ф(х)<0 ИЛИ f(x)>0
и ф (х) = 0_ неравенство f (х) > ф (х) тождественно истин-
ное, а ври f(x)<0 и ф(х)>0 исходное неравенство тож-
дественно ложное, поэтому:
Дх)>0
Ф (х) < 0	—
/(х)>ф(х)
/(х)>0
Ф (*) < о,
/(х)>0
Ф(х) = 0
f(x)>(x)
( Ф (х) .= 0,
f(x)<0
Ф (х) > 0	~ Л.
/(х)>ф(х)
171
Все рассмотренные случаи образуют дизъюнкцию нера-
венств (2), эквивалентную исходному неравенству (1), что
и требовалось доказать..
Теорема 39 распространяется на неравенства со многи-
ми переменными.
Простейшими показательными неравенствами называют-
ся неравенства вида: ах > с (3), ах < с (4), где а > 0 и а 4= 1.
Так как показательная функция является функцией по-
ложительной, то при неравенство (4) тождественно
ложное, а неравенство (3) тождественно истинное. Поэто-
му в дальнейшем будем считать с > 0. Искомые значения
переменной х можно определить логарифмированием нера-
венств (3) и (4) по основанию а, применяя следующие эк-
вивалентные преобразования (их можно рассматривать как
следствие теоремы 39).
а > 1
x>logac
0<а < 1
Ч х< logac.
а > 1
х< logac
0<а< 1
x>logac.

f (*) > 1
Ч’1(х)>ф2(х)
0 </(*) < 1
При решении показательных неравенств пользуются раз-
личными частными приемами для сведения данного нера-
венства к простейшему. Одним из распространенных при-
емов является следующий. Если неравенство имеет вид
f W-j_ b^ik> f <*> 4-... -f- b/tkef^ > 0, где a > 0 и а ф 1, то
при помощи подстановки / = ^«оно преобразуется в ал-
гебраическое неравенство относительно переменной t:
№ +	+ ... +	> 0-	(5)
Если а1</1<р1, «2 </2 < Ра> • • •> а5 < ^ < — решения
неравенства (5), то решение исходного неравенства сводит-
ся к решению дизъюнкции, состоящей из s простейших по- :
казательных неравенств
172
"aj < a! (л) < px
а2<а^*)<р2
_а, < af (x) < pr
Рассмотрим некоторые приемы решения показательных
неравенств на следующих примерах.
Примеры.
1.	Решить неравенство 3*—* • 2х > 52.
Решение. В рассматриваемом примере левая и правая
части неравенства положительные, то есть имеем случай
/(х)>0 и ф(х)>0. Применяя теорему 39, записываем
только часть первого компонента конструкции (2). Осталь-
ные компоненты не записываем (они тождественно лож-
ные). Получим:
3х-* • 2х > 52—
3«-i.2r>0
52 > 0	(6)
(х— l)lg3 + xlg2> 21g5.
В конъюнкции неравенств (6) компоненты 3' ~ 1 • 2х > О
и 52 > 0 тождественно истинные. В этом и подобных ему
примерах их записывать не будем. В примерах, где левые
и правые части неравенства могут быть' и положительными
и отрицательными в зависимости от значений переменной
х, дополнительные условия обязательно должны быть за-
писаны во избежание нарушения эквивалентности.
Итак, данное неравенство можно сразу заменить экви-
валентным ему неравенством, которое получается при ло-
гарифмировании неравенства по основанию 10:
3*-f.2x>52~(x-l)lg3 + xlg2>21g5~x>MJ.
Ответ.
1£ О
2.	Решить неравенство ах > 3.
Решение. Так как а является основанием степени,
то ИЛИ а>1, ИЛИ 0<а<1. Пользуясь преобразова-
нием I, получим:
ах>3~
а > 1
х > loga 3
0<а< 1
Полученная конъюнкция неравенств является ответом.
;173
3.	Решить неравенство (4х-1)3 ’ 3“ > ТГ
Решение. Проведем следующие эквивалентные преоб-
разования:
х 2 .	24	л-(х~ л х(х — 1К ।
(4х- 1)2	4	2
1х>2
|х< — 1
(преобразование III).
ГК Г* > 2
Ответ. х<--___।
4.	Решить неравенство
2Х + 22* + 2 — 3 • 22* + 1>—3.
Решение.
2-r-i- 22* + 2 —3 • 22* + 1 > — 3~2* —2 • 22*4-3 >0.
Введя подстановку t = 2х, получим:
2/2 —/ — 3 <0-/7-----5-\(* + 1) < 0-1 </<4-
Итак, — 1<2*<-|-~0<2*<-|-~(2х<4’~
. | 2х > 0
О
— х < log2-5- (преобразование II).
Ответ, х < log2 -4-*
&
§ 2. Решение логарифмических неравенств
Рассмотрим трансцендентные неравенства, которые со-
держат переменную только под знаком логарифмической
функции. Неравенства вида logax > с, logax < с, где а > 0 и
а =# 1, называются простейшими логарифмическими неравен-
ствами.
Имеют место следующие эквивалентные преобразования,
истинность которых следует из свойств степени:
а > 1
х > ас
0<а< 1
0 < х < ас.
IV. 10gox > с
174
v- logex<c~
a >
0<
0<
x >
1
X < tf
a < 1
ac.
<p(x)
>0
>0
VI. log; W ф (x) > 1O& (X) Ф (x)~
/w>l
Ф W > '? (x)
0<f(x)<l
Ф (x) < ф (x).
Существует несколько приемов, позволяющих дан-
ное логарифмическое неравенство свести к простейшему.
Сюда относятся потенцирование обеих частей неравенства,
использование формулы перехода от одного основания ло-
гарифмов к другому, применение формул логарифмирова-
ния произведения, степени,' частного, сведение к алгебраи-
ческому виду и некоторые другие.
Если с помощью замены t = log / (х)^ (х) неравенство приво-
дится к виду aita> a2ta> + ... + akfk >0 (1), то реше-
ние исходного неравенства сведется
ции неравенств
"Pi < lognx) Ф (х) < Т1
₽2< 1<^(х)ф(х)< Ъ
к решению дизъюнк-
-₽,< log/w ф(*) <7s.
где Pi < t < 71,	< t < 7а • • • < t < 7s — решения нера-
венства (1).
При применении формул логарифмирования произведе-
ния, частного и степени возможны ошибки, возникающие
на основании необоснованного распространения правил,
справедливых для случая, когда под знаком логарифма сто-
ит положительное число, на случай, когда под знаком ло-
гарифма стоит произвольная функция.
Так в равенстве log^a2 = 21og&a, записанном на осно-
вании правила логарифмирования степени, левай часть име-
ет смысл при а Ф 0, а правая — при а > 0. Поэтому, если
при решении неравенства делают переход от выражения
loga(f(x))2 к выражению 21ogaf(x), то возможно нарушение
эквивалейтности. Чтобы не нарушать эквивалентность, нуж-
но от выражения loga(f(x))2 переходить к выражению
21oga|f(x)|. Аналогичные примеры можно привести при ис-
175
пользовании формул логарифмирования произведения и сте-
пени и при потенцировании суммы и разности. Так, на-
пример,
1	\ /хч	I f(x) • Ф(х) >0
У - loga <f (х) • Ф (*))	| у = ioga । f ф । + ioga |ф (X)|t
У = log Ж f f(x)q>(x)>0
У	U = logjf(x)| —logj<p(x)|.
Остановимся на рассмотрении некоторых способов ре-
шения логарифмических неравенств.
Примеры.
1. Решить неравенство log’ х > 25.
~2
Решение. Извлечем квадратный корень из неравенст-
ва и прйШйим приемы решения неравенств, содержащих
переменную под знаком абсолютной величины (гл. V, § 1):
'log± х > 5
2
log£x
2
2
log± X < — 5.
г
Компонентами дизъюнкции неравенств Являются прос-
тейшие логарифмические неравенства, заменив которые
эквивалентными неравенствами (преобразования IV и
получим:
"log, х>5
'	2
V),
Ответ.
о<х<4
О < х < 25
. 1
* > S=i
0 < х < 32
х>32.
2. Решить неравенство fogx (х8 4- 1) > 2.
Решение. Запишем следующую последовательность
эквивалентных конструкций неравенств (преобразование VI):
logx (х8 + 1) > 2 ~
х8 4 .1 > 0
"7 х > 1
| ха 4-1 > х8
(0<х<1
( Xя + 1 < X8
~х> 1.
X > I
1 >0	~
0<х< 1
l<Qi
Ответ, х> 1.
176
3.	Решить неравенство logax —	+ 1 > 0.
Решение. Приведем выражение, стоящее в левой час-
ти неравенства, к общему знаменателю и решим получен-
ное дробное неравенство.
10g„X — !----h 1 > и	;--------- > 0 ~
logaX ' '	logax
— (10g8x + logax — 6) logax > 0.
Сделав замену logax = /, получим:
(Z8 + ^ —6)/>0~(/ + 3)(^ —2)^>0~|’^</<°
Итак, данное неравенство эквивалентно следующей дизъ-
юнкции неравенств, решив которую, находим ответ.
— 3<logax<0
Га~8 < х
[х > а2
0 < а <
a-3,
a2.
4.	Решить неравенство
2 + log2/x+ 1 > 1—log^p 4 —x8.	/,
Решение. Перейдя к основанию логарифмов 2 и при-,
менив правила решения логарифмических и алгебраических
неравенств, получим:
2 + logjУх+ 1 > 1 — log^/4—х2~log22 |/x-h 1 >
2
/4— x3 > 0
x> — 1 .
x8 < 4
x2 4- 4x > 0
x > — 1
( x<2
I x>— 2
fx>0
lx < —4
Ответ. 0 < х < 2.
177
5.	Решить неравенство
logi. (х + 8) — logL (х — 3) > logi_ Зх.
2	2	2
Решение. Заменим разность логарифмов логарифмом
частного и проведем следующие эквивалентные преобразо-
вания:
logi_ (х + 8) — log>_ (х — 3) > logi_3x —
2	2	2
х -j- 8 О
х — 3 > О
logi_|;M> logi_3x
2 Л О	2
(х > 3
Н(х — 4)
Решение второго компонента предпоследней конъюнкции
неравенств найдено методом интервалов.
Ответ, х > 4.
6. Решить неравенство
1g (35—л8) о
1g (5-х) ->Л.
Решение. 1-й способ. Преобразуем неравенство, ис-
пользовав рассмотренные ранее эквивалентные преобразова-
ния:
1g (35-х8) о I
lg(5-x)	|
5—х> 1
35 — х3>0
I 35 —х3>(5 —х)3
0<5 —х<1
35— х3 > О
J 35 —х3<(5—х)3
lg(5—х)>0
1g (35 — X8) > 1g (5 — х)8
lg(5 —х)<0
lg(35 — х3) < lg (5 —х)3
J x< >/35
|x2 — 5x -j- 6 < 0 —
{ л
2-й способ. Используем метод интервалов, как это дела-
лось при решении иррациональных неравенств. Сначала ре-
шим соответствующее уравнение
178
lg(35 —х8)
lg(5-x) ~°-
Получим*	_3.___ i 3 —x !•
Получим. ,g (5 _ x) - 3	( lg (35 _ x3) = 1g (5 _ x)3 ~
x =k 4	__
35 —х®>0	f x < /35	Fx = 2
5 — x > 0	| x2 — 5x + 6 = 0 [x = 3.
35 — x3 = (5 — x)3
Область определения неравенства находится из следу-
ющего условия:
( 35 — х3 > О г х < /35	_
5 —х>0 ~ х<5~х</35;
I 5 — х+ 1	1x^=4
На числовой оси отмечаем область определения нера-
венства и корни соответствующего уравнения. Получаем
промежутки знакопостоянства х < 2, 2<х<3, 3 < х<
< /35.
а) Установим: истинным или ложным является неравен-
ство	> 3 при х < 2. Возьмем, например, зна-
чение х = — 5 из промежутка знакопостоянства х < 2, по-
лучим:
1g	> 3 ~ 1g 160 > 3 — ложное числовое неравен-
• ство. Значит, при х<2 неравенство решений не имеет.
б) Рассмотрим промежуток знакопостоянства 2 < х < 3.
Возьмем значение х = 2,5 из этого промежутка и подста-
вимте данное неравенство, получим:	,
> 3 ~ 19’375 > 15’625
— истинное числовое неравенство. Значит, все значения
переменной из промежутка 2 < х < 3 принадлежат реше-
нию.
Аналогично можно показать, что при 3 < х < /35 не-
равенство тождественно ложное.
Ответ. 2 < х < 3. .
7. Решить неравенство /logx/3x • log3x > — 1.
Решение. Переменная х является основанием лога-
рифма, поэтому 0 < х < 1 ИЛИ х > 1 и logaX > 0 ИЛИ
l°g»x < 0. Проведем следующие эквивалентные преобразо-
вания, используя рассмотренные выше приемы решения ал-
гебраических и трансцендентных неравенств.
17Э
logx|<3x>0
logx V 3x • logjX < 1
logx у з* > о
”[ 0<x< 1
3x<l_
log3 У Зх • logs* < 1
( x > 1
3x > 1
Lx > 1
: 0< *<-|"
log, x + IpgjX — 2 < 0
( x> 1
I 1
I *> 3
"ям
0 <x< -4~
о
, <х<:3
x > 1
_1_
9
X>
1
з
2
з
Ответ. I 9 з
|x>l.
Рассмотрим примеры на решение трансцендентных нера-
венств, содержащих показательные и логарифмические функ-
ции одновременно.
Примеры.
1. Решить неравенство 15Iogs8 • xlog5<9*> +1 > 1.
Решение. Прологарифмируем неравенство по основа-
нию 5:
Iog53 • loge 15 + Hogs (9х) + 1] log8x > 0 ~ log53 (log53 + 1) +
+ log6x (2 logs3 + 1 + log5 x) > 0.
Разложим левую часть последнего неравенства на мно-
жители и решим полученное эквивалентное неравенство:
(logjX 4- log83) (log5x + logs 15):
log6x > log5 Д
logjX < log5 Д
• 1
* > 3
0 < x < 15-
Г 1
x> —
o < x <4g-
logs*
Jogs*
— log83
— log615
Ответ.
183
'2. Решить неравенство
1g(4-1 • 2^r — 1) — 1—lg(j/ 2>- ~2 + 2) + 21g2 > 0.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
1g(4—1 . 2^г—1) —1 —2vT-2 + 2) + 21g2>0~
— Ig^--4) —lg(2^+4) + lg2—1 >0 —
Ответ, x > 36.
§ 3. Решение тригонометрических неравенств
Простейшими тригонометрическими неравенствами на-
зываются неравенства
-sinx<a, sinx>a, cosx<a, cosx>a,
tgx<a, tgx>a; ctgx<a, ctgx>a.
В основу решения тригонометрических неравенств по-
ложим следующие эквивалентные преобразования:
VII. sinx<a~
—	1<а<1
л — аге sin a 4-2/сл<х<2л4- arcsin а + 2к л
а > 1
—	оо < х < оо
а< — 1
Л.
181
VIII.	sinx>a~
— 1 <a < 1
arcsin a. 4- 2к я < x < л — arcsin a 4- 2к л
a < — 1
— oo x < oo
a > 1
Л.
IX.	cos x < a ~
“( — 1 < a < 1
( arccos а -|- 2к л < x < 2 л — arccosa 4- 2к л
~ / a > 1
( — oo < x < co
( a<. — 1
LU
X.	cosx>a~
"/ — 1 <a< 1
t —arccosa + 2к л < x < arccos a 4- 2к л
a < — 1
— oo < x < oo
a>l
J Л. .
XI.	— oo < a < oo
tg-»<a —4-к л < x <arctga 4-кл.
XII.	—	oo <a < oo
tgx>a arctg a 4- к л < x <	4- кя.
XIII.	,	(	—oo<a<oo
ctgx<a	(	arcctga4-к л < x	< л 4-кл.
XIV;	,	I	— oo < a < oo
ctgx>a	{	«л < x < arcctga	4-«л.
Справедливость отмеченных эквивалентных преобразо- -
ваний непосредственно следует из свойств тригонометри-
ческих функций.
Например, докажем эквивалентное преобразование VIII.
На рисунке 66 изображены графики функций у = sin х и
у — а при 0 < a < 1, а на рисунке 67 — графики этих же
функций при — 1 < a < 0. Так как период функции у = '
= sinx равен 2 л, то рассмотрим отрезок длиною 2 л, Кор-
нями уравнения sinx = а на этом отрезке будут xt =
182
— arcsina и x2 — л — arcsine. На промежутке между кор-
нями и X, график функции y = sinx расположен выше
графика функции у — а, поэтому для всех значений х из
этого промежутка истинным является неравенство sin х > а
при — 1 < а < 1. В силу периодичности функции у = sin х
такие промежутки будут повторяться через 2 л. Итак,
Г —1<а<1	(—1<а<1
I sin х > а { arcsina 4- 2к л <х< л — arcsin а 4- 2к л.
Так как функция у = sin х ограниченная, причем
| sin х | <1 1, то при а 1 неравенство sin х > а тождествен-
но ложное (нет решения). При а<—1 неравенство sinx>a
тождественно истинное (решением будут — оо < х < оо).
Итак,	‘
япх > а
arcsina 4- 2кл < х< л — arcsina 4- 2кл.
а < — 1
— оо < х < оо
a>-1
\Л,
что и требовалось доказать.
183
Во многих случаях решение тригонометрических нера-
венств сводится к решению конъюнкции двух простейших
тригонометрических неравенств, для решения которой ис-
пользуются следующие эквивалентные преобразования.
XV.	а < sinx <
а<Ь -
—1<а<1
—1<&<1
arcsin а + 2к л < х < arcsin b + 2к л
л — arcsin Ь + 2пл<х<л — arcsin а + 2п л
Ь> 1
а < — 1
— оо < х < со
а > &
а > 1
1
Л.
XVI.	a<cosx<&~
а < b
—1<а<1
-1<6<1
Г—arccosa 4- 2кл < х < — arccosb + 2кл
[arccosft + 2пл < х < arccosa + 2нл
а < — 1 -
Ь> 1
— оо < х со
Га > b
а > 1
Lfe< — 1
Л.
XVII.	^h~ta<b
o<ig-*:<o I arctg а+кл < х < arctgi> + «л 4
XVIII.	.	Г а <6	-
а < erg х < о	I arcctg b -f- к л <x<arcctga+/ai, -
где к, п — целые числа. Доказательство приведенных пре- 
образований не вызывает затруднений.
При решении тригонометрических неравенств пользуют-  ч
ся двумя основными приемами.	Ч
1. Данное неравенство с помощью эквивалентных пре- '
образований сводится к простейшим тригонометрическим

неравенствам. В процессе преобразований пользуются теми
же приемами, что и при решении тригонометрических урав-
нений.
2. Применяется метод интервалов для определения чис-
ловых промежутков, в которых содержатся решения нера-
венства. Предварительно решается соответствующее три-
гонометрическое уравнение устанавливаются промежутки
знакопостоянства с учетом области определения нера-
венства.
Некоторые приемы сведения тригонометрического нера-
венства к простейшему и применение метода интервалов
проиллюстрируем на примерах.
Примеры.
1. Решить неравенство 7 cos *4- 12sin2x — 13 < 0.
Решение. Проведем следующие эквивалентные пре-
образования:
7 cos х + 12 sin2* —-13 < 0 — 12 cos2* — 7 cos x 4- 1 > 0.
Введем обозначение cosx = / и решим полученное алгебра-
ическое неравенство: 12 /2 — 7 / + 1 > 0 ~
cos* > 4-
г	О
cos * < 4"-
4
Использовав преобразования IX и X, решим последнюю
дизъюнкцию неравенств:
cos* >4- Г— arccos 4* + 2кп < * < arccos 4- 4- 2кл
о	о	о
cos * < 4- arccos 4- + 2п л < *<2 л—arccos 4 4- 2п л,
где к, п — целые числа. На
рисунке 68 приведена геомет-
рическая иллюстрация реше-
ний.
Отве т.
— arccos 4" + 2« л < * <
О
< arccos 4" + 2кл
О
arccos 4- 4- 2п л < * <
4
<2 л — arccos4~ + 2л л,
где k, л —целые числа.
186
2. Решить неравенство 1 — cos x < tg x — sin x.
Решение. Упростим данное неравенство:
1 — cos* < tg* — sin* — sin* — cos* < tg* — tg -2-
У2 sin I*—
sin (x----
\	4
cosx
~ sin (xr---£-)[ 1-----—) < 0.
\	4 J\	cosx/
Заменим последнее неравенство эквивалёнтной конст-
рукцией неравенств и решим ее: sin \х-----^-1(1 —^jj<0—
sinlx------г- <0	(
\	4 /
1----— >0 I
cosx	I
sin (x---^-) >0	I
\	4 /	t
1----— <0	J
COS X
~ 5	з
—л 4-2к л < x <-g-л + 2кл
7t । л	*	Л
-r4-2nn< *< —
• те
4
4 j '
< 1
те I
-jj-H- mn.
где к, п и т — целые числа.
При переходе от конструкции к дизъюнкции неравенств
была использована геометрическая иллюстрация для опре-
деления решений компонентов конструкции. Объединение
решений первого компонента (рис. 69а) и решений второ-
го компонента (рис. 696) конструкции составляет множе-
ство всех решений исходного неравенства (рис. 69в). К
рисунку можно не обращаться, если использовать пре-
образования VII — X.
3. Решить неравенство 2 sina3* 4- sin26* < 2.
Решение. Проведем следующие- эквивалентные пре-
образования:
2sin23* 4- sin26* < 2 ~ 2sina3* 4- 4sina3* cos23* <2 —
~ 2sin43* — 3sina3* 4- 1 > 0.
186
Рис. 69
Введем обозначение t = sin3x, получим 2/4 — З/2 -|- 1 > 0.
Корнями многочлена, стоящего в левой части неравенства,
будут: 4 = —1, 4 = —4 = -^- и 4=1. Таким
&
образом:
2/4-3/*+1>0 ~(Z+	+	1Х)(/_-1)>0.
Применим метод интервалов для решения последнего не-
равенства (гл. III, § 4). Решениями неравенства будут зна-
чения переменной /<— 1, —-- </< и /> 1
(рис. 70). Итак,
Рис, 70
2/4 —3/2 + 1
-sin3x < — 1
Lsin<£>l.
Первый и последний компоненты дизъюнкции нера-
венств отбрасываем как ложные, ибо |sm3x|<ll. Поэтому:
187
2sin2 Зх + sin26x < 2 ~ — iy- < sin 3x <
Применяя преобразование XV для решения последнего
двойного неравенства, получим:
---у + 2пл < Зх <~j- + 2лл
л----^- + 2кл<Зх<л + -4- + 2кл,
4	4
где к, п — целые числа. Оба двойных неравенства можно
объединить в одно: —2- + тк < Зх < -у- + тк. Отку-
да: —у + “ < х < ту “з"' где т~ целое число-
Ответ. —+ V < х < "ГТ + где "I —Целое
1Z О	iz о
число.
4.	Решить неравенство
УЗ + 2tg х - tg2 х >
Решение. Используем правила решения иррациональ-
ных неравенств. Данное неравенство заменим эквивалент-
ной конструкцией неравенств.
/3 + 2tgx-tg2x
l + 3tgx>0
3-|-2tgx — tg2x>0
3+2tg x -tg2 x > (2-± y .^ ~
14-3tgx<0
3 + 2tgx — tg2x > 0
tgx>----
(tgx — 3)(tgx+ l)<0
(tgx—l)(tgx4--||j<0
tgx<-4
Ll(tg*-3)(tgx+l)<0.	|
На рисунке 71 дано решение первого компонента по-
следней конетрувдйи неравенств, а на рисунке 72—реше-j"
ние второго компонента. Итак, последняя конструкция не-
равенств заменяется эквивалентной дизъюнкцией, которую
< 1 ----Н- хте-^х < -j- -f- к те,
где к — целое число.
Ответ. —4“ + k«O<-j-Н-кя,
где к—целое число.
5. Решить конъюнкцйю неравенств
( 0 < х < 2те
{ sin5x + sinx 0.
Решение. 1-й способ. Проведем следующие эквива-
лентные преобразования:
(0<х<2те	(0<х<2те
{ sin 5х -р sin х > 0	| sin Зх • cos 2х > 0 ~
’ 0 < х < 2те
г ( sin Зх > О
| cos 2х > 0 —
( sin Зх < О
Ц cos 2x < О
О < х < 2 те
"Г 2к те < Зх < (2к + 1) те
--g- Ц- 2/1 те ,<^ 2х	—g- -j- 2п те
(2т—1)те<3х<2т«
-g-4-2/«<2x< Ак+2/те
.189
О < х < 2 тс
2к л 2к + 1
—<х<
Л 	л ।
-4- + /”'<х<-Г+«’с
0<х<2л
2m — 1	.	. 2т л
—3—*<Х< —
л । ,	,	. 3	. , .
—(- I л < х < -у л 4-1 л,
где к, п, т, I — целые числа.
На рисунке 73 отмечены решения первого компонента,
а на рисунке 74 — второго компонента конструкции. Объ-
единяя полученные решения, получим множество всех ее
решений:
। W' о	X
л	гл
Рис. 73
О	Л	гл
Рис. 74
2-й способ. Для определения решения второго компонента
конъюнкции применим метод интервалов. Корнями соответ-
ствующего уравнения sin Зх • cos 2х=О будут
«л
X =-х-
Л Л ,
Т
где к, п—целые числа.
190
Выделим на числовой оси отрезок 2 те, отметим на нем
корни соответствующего уравнения и определим промежут-
ки знакопостоянства: 0 < х <	-?- < х < -те-, -те- < х <
4	4	3 О
. 2	2	,	. 3	3/^	/ 5
< -о- гс, -те- гс < х < —г- те, -г“гс<х<те, те<Х<-7-те,
3	3	4’4	’	4
5	/	4	4^.5	5.^7
— к<х<т-7С, -утс<х<-угс, Тк<х<-Тк,
7
у-тс<х<2«. Затем установим, истинным или ложным
является неравенство sin Зх • cos 2х > 0 в каждом проме-
жутке знакопостоянства.
а)	0 < х < -j-. Тогда 0 < Зх < -|- тс, 0 < 2х < -у,
sin Зх > 0, cos 2х > 0 и sin Зх • cos 2х — число * положитель-
ное. Промежуток 0 < х < -j- принадлежит решению конъ-
юнкции неравенств.
б)	-т- < х < -?*• Тогда -4- п < Зх < it, ^<2х< -|-те,
4	3	4	Z	3
sin Зх > 0, cos 2х < 0 и sin Зх • cos 2х — число отрицатель-
Я .	' л
ное, значит в промежутке — < х < -у исходная конъюнк-
ция неравенств решений не имеет.
в)	-J- < х < -я- л. Тогда тс < Зх < 2 тс. -В- тс < 2х < 4 тс,
3	3	3	3
sin3x<0, cos2x<0 и sin3x-cos 2x — число положитель-
л	2
ное, промежуток -я- < х < -я- тс принадлежит решению.
3	3
г)	-я- тс < х < -4 Тогда 2 « < Зх < -4 «.
'34	4
4-гс < 2х < -!- тс, sin Зх > 0, cos 2х < 0 и sin Зх • cos 2х —
3	л
2	3
число отрицательное. В промежутке -у тс < х < -у тс конъ-
юнкция неравенств решений не имеет.
Аналогично рассматриваются остальные промежутки
знакопостоянства. В результате получаем, что решением
конъюнкции неравенств будет объединение следующих
л л л „	'2 з	,
множеств: 0 < х < -у, -у<х<-у.тс, -у-тс<х<тс,
5	. 4	5	7
-у^хС-уТС, -у’'<х<-утс.
191
3-й способ. Так как sin5x = 5sinx— 20sin3x + 16sin*x, |
то. исходную конъюнкцию' неравенств можно записать так!'
( 0 < х < 2 к	4
{ 16 sin5 х — 20 sin3 х 4-6 sin х > 0.	- -I
Сделаем замену t = sin x и решим полученное алгебра-
ическое неравенство, используя метод интервалов (рис. 75):
получим:
Рис. 76
Г 0 < х < 2л
«ш	-
O<sinx<-Jy-
^y-<sinx-Cl.	’
Решения последней конструкции неравенств определим,
используя единичную окружность. Проводим через точки
; о),	р(—^-;0)
прямые, параллельные оси абсцисс. Решениями данного не--
192
равенства будут рее числа, изображенные точками выде-
/генных на рисунке дуг (рис. 76). Ответ.	1 .1 оэ оо! а 1	Л	А Л	А	Н м	Л	А л	0 я 4 м а
	Оэ| СЯ 4*| СИ 4» а	а Л	Л	> и	X Л	Л	7 4^| ^jqo| 4» ?	Я
§ 4.	Решение трансцендентных неравенств и уравнений,
содержащих переменную под знаками аркфункций
Функция у = arcsin х по определению есть функция,
обратная функции синус на сегменте -^-j. Поэтому
—< arcsin х < -Jp sin (arcsin х) = х.
Аналогично, используя определения функций у =* arccosx,
у = arctg х и у = arcctg х, можно записать основные со-
отношения:
0< arccos х я, cos (arccos х) = х,
— -£•’< arctg х < -у, tg (arctg х) = х,
О < arcctg X < «, etg (arcctg х) = х.
Решая трансцендентные неравенства или уравнения, со-
держащие обратные тригонометрические функции, будем
пользоваться при выполнении преобразований следующими
соотношениями, известными из курса тригонометрии:
sin (arcsin х) = х, 		 sin (arccos х) «1^1 — х2,	cos (arccos x) = x,	 cos (arcsin x) = У1 — x2,
sin (arctg x) у i + xz> sin (arcctg x) = y===-, tg (arctg x) = X, .	,	.	V	X	cos (arctg X) yl + xi •
	cos(arccigx; etg (arcctg x) = x,	 i i	 etg (arcsin x) = -—-—, x cte farccos x) = —===-.
1 СЙ 4 'g F С/ -x 1 1	
tg (arcctg x) ” 4-,	wg	vwo л,}	i	’ etg (arctg x) = -J-.
7 Неравенства
193
При вычислении таких выражений, как, например,
• sin (2 arccos х 4- arcsin х),
будем использовать формулы сложения, формулы приведе-
ния и другие тригонометрические формулы, а также вы-
полнять тригонометрические операции над аркфункциями.
Например,
sin (2 arccos х arcsin х) — sin (2 arccos х) cos (arcsin х) 4-
+ cos (2 arccos x) sin (arcsin x) =
= 2 sin (arccos x) cos (arccos x) cos (arcsin x) + [cos2 (arccos x) —
— sin2 (arccos x)J sin (arcsin x) = 2 ]/1 — x2 • x • )/1 —x2 4-
4- (x2— 1 4-x2) • x = 2x(l —x2) 4-(2X2— L)x == x.
Приведенный пример вычисляется значительно проще,
если использовать соотношение arcsin х 4- arccos х *=
Тогда:
sin (2arccosx 4- arcsin х) — sin 4- arccos xj =
= cos (arccos x) — x.
Простейшими трансцендентными уравнениями, содер-
жащими аркфункции, будут уравнения arcsinх~ а,
arccosх= a, arctgx = a и arcctgx = a. Изменив знак ра-
венства на знак неравенства, получим простейшие транс-
цендентные неравенства с переменной под знаками арк-
функций.
Простейшие трансцендентные уравнения' решаются на
основании следующих эквивалентных преобразований:
194
XXI.	
arctg х = а —	( х = tga 1«1>1 J л.
XXII.	’( 0 < а < л
arcctg х = а -Ц	( х = ctga (Га<° 1 о>я АЛ.
Справедливость преобразований непосредственно следует
. из свойств аркфункций. Докажем, например, соотношение
XIX. Так как sin (arcsin х) = х, | arcsin х |	-5-, то при | а |
уравнение arcsinx = a имеет единственное (в силу
монотонности арксинуса) решение х — sin а, а при | а | >
> -у уравнение решения не имеет.
На основании свойства монотонности с учетом области
определения и множества значений аркфункций, доказыва-
ются следующие эквивалентные преобразования, лежащие
в основе решения простейших'трансцендентных неравенств
с переменной под знаками аркфункций.
XXIII.	Л tso|a
arcsin х < а —	л ±	л — 1 <х< sin а
XXIV.	н 1 ° 1 55 L л ~ v Л I А ьэ| a * Ф /Л Л 1 Л.
arcsin х > а —	К |ся V <3 V/ *—111 ""V
	[ sin а < х 1
-	(	я а>^~ Дл.
г	195
XXV.
arccosх < а —
XXVI.
arccosx > а
XXVII.
arctgx<a~
XXVIII.
arctgx> а~
XXIX.
arcctgx<a
XXX.
arcctgx> а~
а<0
Л
О < а л
cos а < х< 1
0 <а <	< л	
ctga <		; оо
а > л		
— оо <	; х<	оо.
а<0		
— оо <	' X <	00
0 < а <	Л	
— оо <	ч Х 4	<ctga
а > л		
Л.		
196
Примеры.
1.	Решить ^равнение arcsin х — —
□
Решение.
•	тс	• (	п \	Vе з	/ л
arcsin х --j- ~ х =	sin I-g-l	~ х = — -у	(преоб-
разование XIX).
л	/3
.	Ответ, —-Цу-.
Л
2.	Решить неравенство- arccosx <-у.
Решение. Так как 0<iarccosx ^я, а —у < 0, то
неравенство решения не имеет (преобразование XXV).
Ответ. Нет решений.
тс	3
3.	Решить неравенство у < arcctg х <уя.
Решение.
у < arcctg х <-у я ~ etg у- <x<ctgy~ — 1 <х< 1
(преобразования XXIX и XXX).
От.вет. —1 < х < 1.
4.	Решить неравенство -j- < arccos х < -у я.
Решение. •
Ь2	2я , к	1	'
у<arccosx <-3 я ~ cos у < х < cos у -----g- < х < О
(преобразования XXV и XXVI).
Ответ.-----g- < х< 0.
В процессе решения данное неравенство или уравнение,
содержащее переменную под знаками аркфункций, с по-
мощью эквивалентных преобразований сводится к простей-
шему. При проведении эквивалентных преобразований
пользуются различными частными приемами.
Проиллюстрируем на примерах некоторые приемы реше-
ния трансцендентных неравенств, содержащих аркфункций-
Примеры.
1. Решить неравенство
arcsin х — 2arccos х > -у.
197
Решение. Так как arcsin х + arccosх — -у-, то, под-
. ставив значение arcsin х = -arccosх в данное неравенс-
тво, получим:
3arccos х <  -arccos х <
о	1о
Использовав эквивалентное преобразование XXV, найдем
множество всех решений неравенства cos 4-< х~< 1.
1о
Ответ. cos-jy<x<l.
2. Решить неравенство
arcsin х > 2arcctg а.
Используети эквивалентные преобразования
XXX для решения данного неравенства,
Решение.
XXIV, XXIX и
получим:
arcsin Jt> 2arcctga
—у <2arcctga<-^-
sin (2arcctg а) < х 1
2arcctga < —у
—1<х<1
2arcctga>-^-
нет решения
"[ а > 1
2а ,	-
v:—» < Х<.
1 + аг
_ / Л
t —1<Х<1
( 1
, { нет решения
Последняя конструкция неравенств является ответом.
3. Решить неравенство
а > 1
2а	,
T-i—5 < X <
1 +<г2
а 1
нет решения.
Решение. В правой части вычислим значение котан-
генса разности двух углов и заменим данное неравенство
эквивалентной конъюнкцией неравенств:
Зх < cig(arctg ----arctg ~
198
arctg-^-arctg^кп
x 0
| x 4~ 1 =k 0
l 3x x(x+D + 1
1	X + 1 — X
X ф 0
X =/= — 1
xa — 2x 4-1 > 0
x =# 0
 x Ф — 1
Г x > 1
. L x < i
Неравенство arctg ---arctg —1 ¥= к л опустили как
X	X -у* 1
тождественно истинное, ибо* арктангенс функция монотон-
л 1	1	1	Л*
ная и -	< arctg— < -т< —у < arctg < ^-.
Ответ.
" х < — 1
— 1 <х<0
0<х< 1
_ х> 1.
4.	Решить неравенство arcsinх—arcctg х>0.
Решение. 1-й способ. Запишем данное неравенство
в виде arcsin х > arcctg х и вычислим значение синуса от
обеих его частей. Эквивалентность при этом может нару-
шиться. Не нарушится эквивалентность, если значения
функций, стоящих в левой и правой частях данного нера-
венства, содержатся в одном и том же промежутке моно-
тонности функции синус, или в таком промежутке, где
неравенство будет тождественно ложным или тождествен-
но истинным. Поэтому данное неравенство заменим сле-
дующей эквивалентной конструкцией неравенств и ре-
шим ее:
arcsin х> arcctg х
я ,	. я
----2~<С arcsin х<С -g-
0 < arcctg х<С -j-
sin (arcsin х) > sin (arcctg x)
-у- < arcctg x < л
Л
—1<х<1
x > О
. I
X >	.--
yi+x*

При составлении конструкции неравенств можно было вос-
пользоваться эквивалентным преобразованием XXIV.
2-й способ. На плоскости в системе координат XOY по-
строим графику функций у = arcsin х и у = arcctg х (рис. 77).
Пусть Xi — корень соответствующего уравнения
arcsin х = arcctg х.	Только при значениях
график функции у — arcsin х расположен выше графика
функции у = arcctg х, значит все значения переменной из
отмеченного промежутка составляют множество решений
исходного неравенства. Чтобы определить значение xlt ре-
шим соответствующее уравнение. Вычислим, при каких
значениях переменной синус левой части уравнения равен
синусу его правой части (можно вычислить значение ко-
тангенса). Эквивалентность при этом, вообще говоря, на-
рушится. Получим:
sin (arcsin х) = sin (arcctg х),
1
х = —=====,
у 1 4- х2
200
Х« + х2—1 =0, X1.2 = ± У
Значения переменной x = ± У ~~	~1 не рассматри-
ваются как мнимые.
Так как соответствующее уравнение имеет один положи-
тельный корень (рис. 77), тох2 = — У— посторонний
корень. Итак, хх = УУ5.Г~.1 и решением исходного нера-
венства будет У 5~1 < х < 1. '
Ответ. J/ V 5 ~1 < r<C 1
S.	Решить неравенство arctg ]/х < arccos (1—х).
Решение. 1-й способ. Трк как |/х^>0, то ОС
< arctg Vх < -у-, и данное неравенство можно заменить
следующей эквивалентной конструкцией неравенств, решив
которую, найдём искомое решение (знак неравенства из-
менится, ибо функция косинус — монотонно убывающая в
интервале от 0 до л):
arctg Yx < arccos (1 —- х) ~
* 0 < arctg /х<
0 C^rccos (1 — х)< -£
~ cos (arctg }/ х) > cos (arccos (1 — х)) ~
{-у- <arccos(l — х)Сл
х>0
х > 0
0<I—х<1
1
ГГ+7
0<х<1
х (х + 1) (х2 — х — 1) < 0 —
1<х<2
201
2.
i
’( 0 <х< 1
Г0<х<-ЦД
~	-1<х<1=К1
IL	2
. 1<х<2
0<x<1q<'x<
[1<х<2
2-й способ. Находим корни соответствующего уравне-
ния arctg Ух = arccos (1—х). Вычислим, при каких значе-
ниях переменной тангенс левой части уравнения равен
тангенсу правой его части. При вычислении значения тан-
генса эквивалентность может нарушиться:
tg (arctg j/xj = tg (arccos (1 — х)) ~
х^>0 '
/1—(1—x)a
1 — X
О
0<х< 1
0<х< 2
х(х2— х— 1) = О
1—(1 — х)?>0~
__ 2х — х2
Х~ (1—х)а
X < 1
х = 0
х-1+И_-Х =
2
1 — 1^5
2 —
~ 0<х<2.
Проверка.
х — 0, arctg О = arccos 1. Так как arctg 0=0 и arccos 1 = 0,
то равенство истинное и х = О—корень уравнения.
’ Область определения неравенства находится из следу-
ющего условия:
( х^>0	( х>-0
( _ 1<1—х<1	0<х
Затем определим промежутки знакопостоянства. Полу-
чим один промежуток знакопостоянства 0 < х 2. Уста-
новим, истинным или ложным будет. данное неравенство
в этом числовом промежутке. Возьмем значение х = 1 и,
подставив в данное неравенство, получим: arctg 1 <
< arccos 0 — истинное числовое неравенство, ибо arctg 1 =
= -J-, a arccos 0 = у-. Следовательно, при х = 1 (а в си-
202
лу знакопостоянства интервала и при всех 0<х<2) не-
равенство истинное.
Ответ. О < х < 2.
в. Решить неравенство	,
* з
arctg 2х + arctg Зх < л.
Решение. 1-й способ. Проведем следующие эквива-
лентные преобразования:
3	3
arctg 2х + arctg Зх < -у л — arctg 2х < -у л—arctg Зх ~
— ~<arctg2x<-^-
-^-<4-«-arctg3x,< -у
tg (arctg 2х) < tg (-|-л— arctg Зх
—-у < arctg2x <-у
-|-л — arctg Зх>-£-
•г	X
< arctg Зх < я
2х<? ~~ 1 ~~3*
!_3Х
203
2-й способ. Для решения примера применим- метод ин-
тервалов. Решим сначала соответствующее уравнение
з
arctg 2х + arctg Зх = у- л.
Вычислим значения тангенса от обеих частей уравнения.
Эквивалентность может нарушиться. Получим:
tg (arctg 2х + arctg Зх) = tg у —	= — 1
X 4-	*
( 6х2 * 1	*	/6	~	.
I 6х2 — 5х—Л=О	|.	. ' (	1\	'
(х— 1) (х+ -gj =0
 X = 1
1
X----6 .
Проверка.
3
1.	х = 1, arctg 2 + arctg 3 = у л. .
Из свойств функции у = arctg х имеем: -£-< arctg 2 < ^-,
4	л
-%- < arctg 3 < значит, “ < arctg 2 4- arctg 3 < л, то
4	Z	<4
3
есть оба угла arctg 2 + arctg 3 и л содержатся в интер-
вале от -у- до л. Так как тангенсы этих углов равны (из
этого условия найдены значения корней), то и углы рав-
ны, ибо функция тангенс в интервале (у-; nj монотонная.
Итак, х — 1 — корень уравнения.
2.	х =----1-. Равенство arctg (-+ arctg (------=
О	V О ]	\	4 ]
з	. ( 1 \ Л
= -г- л — ложное, так как arctg-----х- < 0,
4	\	6 J
arctg (—у) < 0 и arctg j +
4- arctg (-g-j <0. Значит, х=—g— посторонний корень.
Областью определения неравенства является множест-
во действительных чисел. На числовую ось наносим ко-
рень соответствующего уравнения х — 1 и определяем, в
204
каком из промежутков знакопостоянства (х < 1 или х > 1)
неравенство имеет решение.
Решением неравенства будут те значения переменной,
при которых значение функции у = arctg 2х + arctg Зх
меньше -4- л. Так как рассматриваемая функция монотон-
4	3
но возрастающая и при х = 1 имеет значение, равное -%- л,
з
то при х < 1 ее значение меньше — я. Итак, множеством
всех решений данного неравенства являются значения пе-
ременной х< 1.
7. Решить неравенство
arcsin -у- + arcsin -у- > arcsin х.
Решение. Неравенство решим методом интервалов.
Предварительно определим корни соответствующего урав-
нения
.	arcsin Ж 4- arcsin = arcsin х.
5'5
Проведем следующие преобразования:
sin ((arcsin у -|- arcsin	—• arcsin х,
Зх 1 /. 16ха . 4х i/~i 9ха
ТУ 1--25’+-5-У	25 =
~ Зх /25 — 16х2 + 4х/25 —9х2 = 25х.
Заменив полученное иррациональное уравнение эквива-
лентнйй конъюнкцией неравенств и решив ее, получим:
г 25 — 16х2 >0
j 25 — 9х> 0	~
I х2 |/ (25 — 16х2) (25 — Эх2) = 12х4
— 4	4 Г X = — 1
~	х = 0
з [х=1.
X* = X4
Так как в процессе решения при вычислении значения
функции синуса могла быть нарушена Эквивалентность, то
делаем проверку корней.	‘ .
Проверка.
205
(Зу	/	4 \
----- 4- arcsin	=- = arcsin (—1)
D /	\	О /
— истинное равенство,	ибо — л < arcsin (— 1) < О,
(3 \	[	4 \
----------------5*) + arcsin I-g-) < 0 и синусы этих
углов равны (из равенства синусов углов найдено зна-
чение корней соответствующего уравнения). ' Значит,
х = — 1 — корень уравнения.
3	4
2. х = I, arcsin 4- arcsin = arcsin 1 — истинное pa-
DO
венство (доказывается аналогично), х = 1 — корень урав-
нения.
3. х = 0, arcsin 0 + arcsin 0 = arcsin 0 — истинное ра-
венство, ибо arcsin 0 = 0. х = 0 — корень уравнения.
Итак, все три найденные значения переменной явля-
ются корнями соответствующего уравнения.
Наносим на числовую ось область определения нера-
венства — 1 -<х<: 1) и корни соответствующего уравне-
ния. Получим промежутки знакопостоянства — 1 < х < 0
и 0 < х< 1.
Определим, истинным или ложным будет исходное не-
равенство в каждом промежутке знакопостоянства; Под-
ставив в данное неравенство, например, значение х =
/з
=	—,	взятое из промежутка знакопостоянства
0<х< 1, получим истинное числовое неравенство:
. 3/3 .	.4/3*.	. /3
arcsin —iq—|- arcsin —> arcsin 4—.
„ ч	3/3 .	1	-4/3.1
Действительно,	—Лг— >	> -к-, значит
iu	a	1U
.	3/3 . тс	.	4/з\ тс	.	3/3 ,
arcsin- > -g-,	arcsin—пг—и arcsin—Л,—И
IU	О	1U О	1U
।	. 4 / 3 V. тс	./3 тс	тт
4- arcsin —пг~	т~> а arcsin = -5-. Итак, все
значения 0 < х < 1 входят в решение.
Возьмем значение х = —из промежутка знако-
постоянства — 1 < х < 0. Подставив его в данное нера-
венство, получим ложное числовое неравенство:
206
, (	3/3\ ,	• (	4/3 V . ( V3 \
arcsin---+ arcsin--------— > arcsin I — ~~ I,
\	IV z	\	/	\	^	/
в этом легко убедиться, умножив его на — 1 и сравнив
с предыдущим числовым неравенством (при этом исполь-
зуем свойство: arcsin(—х) = —arcsin*). Итак, значения
— 1 < х < 0 не входят в решение.
Ответ. 0<*<1.
В заключение отметим, что трансцендентные уравне-
ния и неравенства, вообще говоря, не сводятся к простей-
шим. Только в отдельных частных случаях имеется
возможность свести их к простейшим, используя при этом
особые приемы.
Упражнения
Решить неравенства:
111.
112.
5«x —7х —35 • 5^ + 35 • 7X> 0.
4х — 3Л” > 3Л+т—22x-1.
6х+г _|_ 3x4-х *> 3x4-2 _ gx _|_ 3-r.
/Л_5
44	>2	.
113.
114.
115.
116.	2X+1 — 2х-1 — 2х > 71-x —’
/З?"1 /4\± .9
П7* X 4 /	’ \ 3 /* < 16’
118.	log8(*2 —4* + 3)< 1.
119.	*,ог2Л>2,ог’лг.
120.	1 + log3 (8/Г+ 1) < loga 15.
121.	lO108*^’-3x+5>
122.
123.
124.
125.
126.
;'31ог410.
1g (2х + 1) + 1g (2Х+Х—1) > 21g 3.
2loKe(xa—6х+9)	.
10g2 (4*-2 + 1) < toga 17 + x - 4 .
2(lg x)a — -~-lg*
x 2	</10.
1g 6 -I- x 1g 5 > x 4- 1g (2X+1).
207
128.	j/kjgrj/Sx • log3x<— 1.
129.	sinx — cosx>l.
130.	sinx + cosx < 0.
131.	|sinx|
J32. log ] sinx> 1.
~2
133.	tg 2x — 2tg x < 0.
134.	2cos2 x + 3sin x—3 > 0.
135.	4cosx —2cos2x —cos4x > 1.
136.	5 — 2cos2 x < 3| 2sin x — 11.
137.	logsinx(sin x--cosxj < 3.
Решить уравнения:
138.	arcsin x = 4- 4- arcsin
О	£,
139.	arccos Л--2arctg (x — 1) = 0.
О
140.	arcsin x = arccos J/1 — x2.
141.	arccos | x | = arcsin 2x.
142.	2arcsin a = arccos x.
143.	arctg x — 2arccos a.
Решить неравенства:
144.	arctg x > arcctg x.
145.	2arcsin x < arccos V1 — 4x2.
146.	arcsinx < arcsin(l — x). .
147.	arctg (x. 4-1)4- arctg (x — 1) < arctg 2.
148.	arccos-£-> 2arctg (x—1).
it
149.	arcsin x > 2arccos a.
150.	arccos x > 2arcsin a.
151.	arctg x > 2arcctg a.
152.	arcctg x < arctg 2a.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1. Да. 2. Да. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. а =£— 1. 7. а > — 1
Ь > 0. 8. — оо < а < оо. 9. а > 0. 10. — оо < а < оо. 11. а =£ — 2.
х <----1- 22. а > 1. 23. 2 < т < 4. 24. -%- < х < 2.
О	•
х> 10 у.
25.
*х < — 2
— 2 < х < — 1
—Г<*<°
— < х <2.
209
27.
” ( 2 < a < 4
нет решения
Г а > 4
L а < 2
Ц х2 < х < хь
где xj = 4а — 1 +
+ /(а-4)(а-2),~
х2 — 4а — 1 —
— /(а —4) (а—2).
28.
_ 1
т <'3
[ нет решения
з <т< 1
[	< х х2
\ т > 1
Г * > *i
I L * < *2
[т -• 1
где
Г )	W+ 1+ /6т —2
т — 1	’
х2== w+ 1 —/6/п—2
2 т — 1	‘
29. Г 3 < х < 4 30. — 3 < х < — 2.
[ х > 4.
Г 2
32.	х<~ .
х > 1.
31. Г х < - 1
— 1 <х< 1
L х> 1.
2	1
—5-<х<Т
х > 2.
34.
35.
2 < х < —
39.
L х > 4.
37. Г — 2 < х < — 1 38. Г — 3 < х < — 2
[х>1.	— 1<х<0
[ 0 < х < 1.
х < —2
— 2 < х < ~~
.0 < х < /2.
/2
40. — 3 < х < — 2 41. х < — 1.
. 2 < х < 3.
42. 2 < х < —1=-
/3 ‘
43. — оо < х < оо. 44. Нет решения.
46. х > 0.	40. 1 < х <	47. х > — 3.
«5
48. 171 < х < 196. 49.	< х < 4. 50. — оо < х < оо
2Ю
51. Г x > 27	52.
1
ж <	8 ‘
53. х < — 2.
54.
1
3_55.
2
56.
a.
U4<'<
a < 0
Д нет решения.
1
57.
а > О
Г О < х < а
[ — а < х < О
а < О
нет решения.
58. Нет решения. 59.
а > О
Г х > 2а
[ х < а
а< О
2а < О х < а
а — О
нет решения.
3,5 <j/<x — 5
Г ф Т
(рис. 78).
4
х< 5
2х — 1 < у < 1 —~
(рис. 79).
Рис. 78
Рис. 79
62. ( — оо < х < оо
( 2 — х < (/ <5 — х
(рис. '80).
63.
13
X < у-
X । 1
у>~— + т
13
х> —
2	5
У > -3- X —у (рис. 81).
211
(рис. 83).
Рис. 82	Рис. 83
66. См. рис. 84. 67. См. рис. 85. 68. См. рис. 86.
70* См. рис. 88. 71. См. рис. 89. 72. См. рис. 90.
74. См. рис. 92. *
69. См. рис. 87.
73. См. рис. 91.
75,
76. Г х < — 3
. I х > 7.
77. 2 < х < 4.
79. ( х > 2	80.
I 2
I х <	3 ’
х <— 5
— 5 < х < — 4
— 2 —F2"<x<—2+Р2
х > 2.
212
г
213
Рие. 90	Рис.
81-	Г У > —2х+ 1	82. Г х 1
L У < — 2х — 1 (рис. 93). У < ~з------------g-
83.	Зх — 2 < у < Зх + 2	«> — j__L (Рис- 94).
(рис. 95).	L 3	6,
Рис. 95
214
84.	— -J- < * < 0.
О
89. См. рис. 97.
х > — -i- (рис.
£6).
Рис. 96
Рис. 97
90. См. рис. 98. 91.
92. См. рис. 99.
х
215
93.
96.
5
х > 7 .
— 7 < х < — 1. 97. ——~ 11/51
О
98.
99. См. рис. 100. 100. См. рис. 101. 101. См. рис. 102. 102.
’ х < — 3
0 < х< 2
х > 3.
Рис. 100	Рис. 101	Рис. 102
103. См. рис. 103. 104. См. рис. 104. 105. См. рис. 105. 106. — 2 <
< х < 1. 107. См. рис. 106. 108. См. рис. 107. 109. См. рис. 108.
ПО. См. рис. 109. 111. х < 1. 112. х < 0. 113. х >	114. х > 0.
115. х > 24. life Х> g. 117. [ Х_\ 4< х < 0.
1,8- [Г< х< 5? ‘ ‘ [ 1' < х < 2. 12°- 0 < * < 4’
121. 1 <х<2. 122 х> 1.	123. [	124. 6 < х < 4.
125. 4< х < 10. 126. х < 1. 127. 1 < х < 3. 128. О < х <
216

Рис. 108
Рис. 109
тс	3	7
129.	+ 2k тс < х < тс 4- 2&тс. 130. -£-тс~|-2& тс < х < -j- тс + 2k тс.
131.-----£-4- k п < х <	+ k к. 132.
4	4
2k тс < х <	—\-2 kn
о
5
-г-тс4-2лтс<х <тс-)-2п тс.
о
133.-----< х <	134.	4- 2£ тс < х < тс 4- 26 л.
4 Z	Z	О	О
135.
—	+ 2k тс < х < 2k к
1 л	136. {2k — 1) л < х < 2k к.
2k тс < х <	4- 2k тс.
-ГХ-4-26ТС <х < л + 2k п
137.	U
— 4- 2л тс < х < тс 4- 2л тс.
4U
138. х = 1. 139. х = ,У17~?.
2
140. 0 < х < 1. 141. х = —U-. 142. | 0 < «• < 1 .
1' 5	I х = 1 — 2а3.
143.
1^2	.
— <а<1
2а 1/1— а3
2а2— 1
144. х > 1. 145.
1
--г<л<0
х =
0 < х < "4“.
А
146. 0 < х < 4~. 147. х < 1. 148. — 2 < х < V 2.
А
218
149.
151.
&-<<<!
2a Y1 — а2' < х < 1
-1<а<
нет решения.
150.
— 1 <а < 0
—-1 < х < 1
О < а < 1
— 1 < х < 1
( а = 1
I нет решения.
2а2
а < 1
нет решения.
152.
а < О
нет решения
а > О
1
X >	.
2а
ЛИТЕРАТУРА
1.	Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. М., 1965.
2.	Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М., 1965.
3.	Блох А. Ш., Неверов Г. С. Решение неравенств. Минск,
1962
4.	Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. М., 1971.
5.	Баховский Е. Б., Рывкин А. А. Задачи по элементарной
математике. М.» 1971.
6.	Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Посо-
бие по математике для поступающих в вузы. М., 1970.
7.	Н о в и к о в П. С. Элементы математической логики. М., 1959.
8.	Невяжский Г. Л. Неравенства. М., 1947.
9.	Сиваш ин с кий И. X. Неравенства в задачах. М., 1967.
10.	Столяр А. А. Методы обучения математике. М., 1966.
11.	Столяр А. А. Педагогика математики. Минск, 1969.
12.	Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие
параметры^ М., 1972.
СОДЕРЖАНИЕ
От авторов ................................  3
Глава I. Числовые равенства и неравенства
§ 1.	Основные положения о числовых равенствах и неравен-
ствах .....................................	........... 5
§ 2.	Сложение и вычитание числовых неравенств .......	9
§ 3.	Умножение числовых неравенств ..................... 10
§ 4.	Возведение в л-ю степень и извлечение корней л-й степени	12
§ 5.	Конъюнкция и дизъюнкция числовых Неравенств .....	14
Глава II. Неравенства и уравнения
§ 1.	Определения.....................  .	....... ,	18
§ 2.	Эквивалентность неравенств ................	21
§ 3.	Конъюнкция в дизъюнкция неравенств ..........	25
§ 4.	Конструкции неравенств .............................28
§ 5.	Основные свойства конструкций неравенств .......... 33
$ 6. Уравнения, конструкции уравнений и их эквивалентность	37
§ 7.	Неравенства и уравнения с параметрами. .........	41
Упражнения ...... , , . \ ..........................  45
Глава III. Решение алгебраических неравенств с одной переменной
§ 1.	Решение неравенств первой степени с одной переменной 47
§ 2.	Решение конъюнкции неравенств и уравнений первой
степени.....................................................  50
§ 3.	Решение дизъюнкции неравенств первой степени.........	54
§ 4.	Решение неравенств второй и высших степеней с одной
переменной .................................................. 57
§ 5.	Решение	конструкций неравенств второй и	высших	степеней	63
§ 6.	Решение	нестрогих неравенств второй и	высших	степеней	68
§ 7.	Решение	дробно-рациональных неравенств..............  .	71
§ 8.	Решение	иррациональных неравенств ,.................73
§ 9.	Решение иррациональных неравенств и уравнений, содер-
жащих переменную под знаком двух и более радикалов
четной степени .............................................. 78
§ 10.	Решение иррациональных неравенств и уравнений, содер-
жаще переменную под знаком радикала нечетной степени 81
221

I
§ И. Решение иррациональных неравенств и уравнений с пара-
метрами .........................,............... 88
Упражнения ।	..............................	95
Глава IV. Решение алгебраических неравенств с несколькими
переменными
§ 1.	Решение^ неравенств первой степени с двумя переменными 99
§ 2.	Решение конъюнкции неравенств первой степени с двумя
переменными ......................................... 102
§ 3.	Решение дизъюнкции неравенств первой степени с двумя
переменными . *...................................... 118
§ 4.	Решение конструкций неравенств с двумя переменными 121
Упражнения . ....................................... 127
Глава V. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком
абсолютной величины
§ 1.	Решение простейших неравенств, содержащих абсолютную
величину I ? . ,.................•................... 129
§ 2.	Решение неравенств общего вида с одной переменной,
содержащих абсолютную величину ...................... 136
§ 3.	Решение неравенств общего вида с двумя переменными, -
содержащих абсолютную величину.............J . . . .	146
§ 4.	Решение конструкций неравенств, содержащих абсолютную
величину ...........................................  169-	\
Упражнения . . . ...................................  168	А
Глава VI. Решение трансцендентных неравенств	।
§ 1.	Решение показательных неравенств ...........	170
§ 2.	Решение логарифмических неравенств ..........	174	j
§ 3.	Решение тригонометрических неравенств.......... 181
§ 4.	Решение трансцендентных неравенств и уравнений, сод ер-	|
жащих переменную под знаками аркфункций.......... 193	1
Упражнения.......................................    207
Ответы к упражнениям ....................... . ,	.	209
Литература ........................	229
I
Абрам Шлемович Блох
Татьяна Лукинична Трухан
НЕРАВЕНСТВА
Редактор К. М. Лукашевич
Художественный редактор И. М. Андрианов
Технический редактор М. Р. Калиберова
Корректор М. А. Зеленкова
Сдано в набор 18/VI 1972 г. Подписано в печать
10/X 1972Т. Формат 84Х108,/м. Бум. тип. № 3.
Усл. печ. л. 11,76. Уч.-изд. л. 8,11. Тираж 80 000
акз. Заказ 1294. Цена 35 коп.
Издательство «Народная асвета»
Государственного комитета
Совета Министров БССР по делам издательств,
полиграфии.и книжной торговли? Минск,
Ленинский проспект, 85.
Полиграфкомбинат им. Я. Кол аса
Государственного комитета Совета Министров БССР
по делам издательств, полиграфии и книжной {
торговли, Минск, Красная, 23.
Блох А. Ш., Трухан Т. Л.
Б 70 Неравенства. Мн., «Нар, асвета», 1972..
224 С.80000ЭКЗ. 35 к.
В пособии даются наиболее важные теоретические и практические
.сведения о неравенствах. Рассматриваются методы решения алгебра и*
ческих и трансцендентных неравенств на основе использования вычисли*
тельных н логических эквивалентных преобразований.
Книга рекомендуется учителям математики. Список лит.: с. 220.
6-6
115-72 М	51(07)
Цена 35 коп