Текст
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ
НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Л. М. Зубов
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
И. И. Ворович
ИЗДАТЕЛЬСТВО
РОСТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1»82
391
•49- -
Печатается по решению бюро отделения меха-
ники и математики Северо-Кавказского научного
центра высшей школы
Рецензенты: старший научный сотрудник НИИМ и ПМ
Л. Б. Царюк, кандидат технических наук К. Б. Ак-
сентян
Л. М. Зубов. Методы нелинейной теории упругости в теории
оболочек. — Издательство Ростовского университета, 1982.
144 с.
Монография содержит построения нелинейной теории упругих и не-
упругих тонких оболочек на основе понятий и представлений современ-
ной механики сплошных сред И нелинейной теории упругости.
В монографии развит метод прямого бескоординатного тензорного
исчисления в теории оболочек, подробно представлена кинематика конеч-
ных деформаций движущейся поверхности, даны различные формы урав- ‘
нений равновесия оболочек, указаны общие представления определяющих
соотношений для изотропных оболочек. Автором предложены новые урав- <
нения динамики оболочек, в классе изотропных оболочек найдено не-
сколько семейств универсальных решений статических задач.
Книга адресована специалистам по теории упругости.
„ 21.5—065
3 ----------- 32—81
M175(03J—82
(g) Издательство Ростовского университете, 1962.
ПРВДИСЛОВЛЕ
н
.. Н астоящая монография посвящена общей нелинейной теории тонких
оболочек. Этот раздел механики деформируемого твердого тела, актуаль-
ность которого нет нужды здесь обосновывать, представлен в отечествен-
ной и ^мировой литературе эначительным-количеством публикаций. В дан-
ной работе нелинейная теория оболочек рассматривается на основе поня-
тий и представлений современной механики сплошной среды и нелинейной
теории упругости, что и отражено е незвании книги.
. Хотя содержание книги (не считая первых двух глав, носящих' ввод-
ный характер) основано преимущественно на исследованиях автора, невоз-
можно было избежать изложения некоторых уже известных результатов.
В освещение этих вопросов внесены новые элементы как по форме изло-
жения, так и по существу. В частности, особенностью настоящей работы
является систематическое Применение в теории оболочек прямых (бес-
координатных) методов тензорного исчисления. Инвариантная безындёкс-
ная запись тензоров существенно упрощает формулы и придает им ясный
физический смысл. Бескоординатный метод предпочтительнее традицион-
ного также и с методологической точки зрения, поскольку механике дол-
жна оперировать понятиями, свободными от выбора той или Иной коорди-
натой системы. Кроме того, используя разложения трнзоров по различ-
ным базисам, из безындексной записи легко можно получить самые раз-
нообразные координатные формы уравнений и соотношений теории обо-
лочек.
В первой главе сообщаются необходимые в дальнейшем сведения из
тензорного анализа в бескоординатной форме.
Вторая глава содержит краткий обзор применяемых далее понятий
и уравнений механики сплошной среды и нелинейной теории упругости.
В третьей главе устанавливаются соотношения кинематики деформи-
рующейся поверхности. Введены и исследованы две группы тензорных мер
деформации поверхности, представлена теория вектора конечного поворо- *
та, при помощи Операций индифферентного дифференцирования тензоров
по времени систематизированы тензоры, характеризующие скорости из-
менения метрики и кривизны поверхности. Выведены формулы для пре-
образования резличных геометрических характеристик поверхности при
произвольных конечных деформациях.
В четвертой главе строго выводятся уравнения равновесия и дви-
жения оболочки е усилиях и моментах. Даны различные формы уравнений
3
равновесия. Формулируются при конечных деформациях кинематические
гипотезы Кирхгофа — Лява. Как точное следствие этих гипотез получены
общие определяющие соотношения для оболочек из гиперупругого мате-
риала. На основе теории инвариантов найдены общие представления за-
кона состояния изотропных упругих оболочек. Формулируются краевые
задачи нелинейной тебрии оболочек. .Впервые установлено согласованное
с вариационным принципом геометрическое граничное условие, задающее
угол поворота края, в общей нелинейной теории оболочек. В связи с
принципом Лагранжа найдены необходимые и достаточные условия кон-
сервативности нагрузки в виде равномерного следящего давления.
Здесь же представлен прямой двумерный подход к построению тео-
рии оболочек, базирующийся на.принципе возможных скоростей. Приво-
дятся определяющие соотношения для оболочек с Памятью, построены .
модели оболочек с внутренними связями.
В пятой главе строится система уравнений динамики упруговязколла-
стичных оболочек относительно составляющих вектора .скорости в Ла-
гранжевом базисе деформированной оболочки и коэффициентов квадра->
тачных форм. Перемещения оболочки при таком подходе определяются
на конечном этапе, после решения указанной системы. Предложен метод
описания деформаций оболочки при помощи координат отсчетной и дефор-
мированной конфигураций. На основе этого метода даны постановки кон-
тактных задач для оболочек при конечных деформациях, выведена систе-
ма уравнений е задаче кручения оболочки вращения. Найдены некоторые
точные решения' задач о больших деформациях оболочек из произволь-
ного изотропного (в том числе и неупругого) материала.
В работе над вопросами нелинейной теории оболочек автор постоян-
но ощущал моральную поддержку со стороны своих учителей А. И. Лурье
и И; И. Воровича, давших много ценных советов и рекомендаций. Стиму-
лирующее влияние на автора оказывало также сотрудничество с возглав-
ляемым Л. Б. Царюком коллективом отдела тонкостенных конструкций
НИЙ механики и прикладной математики РГУ.
Всем этим лицам автор приносит глубокую благодарность.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Евклидовы тензоры
Рассмотрим евклидово векторное пространство Эп размерно-
сти и над полем вещественных чисел. Скалярное произведение
—> —> —>
векторов а, b из Эп обозначается точкой: ia-b. .Пусть ek(k=l, 2,
... п) — некоторый базис в пространстве Эп. Тогда любой вектор,
разлагается единственным образом по векторам базиса
a = akek = a’es. (,1Л)
Здесь и в дальнейшем применяется соглашение о суммиро-
вании от 1 до. и по повторяющимся индексам, расположенным
на разной высоте. Скалярное произведение двух векторов выра-
жается через их компоненты с помощью положительно опреде-
ленной матрицы метрических коэффициентов g8k=es-ek:
a-b = gskasbk.
Наряду с базисом еь который назовем основным, рассмотрим:
базис е®, определенный уравнениями
es-ek = 8® = ( °’ (1.2)
I 1, s = k.
Здесь 6к— символ Кронекера. Единственное решение уравне- '
ний (1.2) имеет вид
es = gsmem, (1.3)
где gsm — матрица, обратная матрице gkm : gsmgmk=6k. Базис е®
называется взаимным по отношению к базису ет. Векторы ос-
новного базиса выражаются через векторы взаимного формула-
ми, аналогичными (1.3):
e1» = gmkek- ’ (1-4)
S
ми относительно сложения и умножения на число, но не комму-
тативно.
Аналогичными свойствами, а также ассоциативностью обла-
дает тензорное произведение трех и более векторных пространств.
Эт®Эп®.... ®ЭГ, 'порождаемое элементами вида ар ... х.
Пусть ек — базис в пространстве Эт, fi — базис (в простран-
стве Эп,..., hj— базис в пространстве Эг. Размерность простран-
ства Эт®Эп®.. .®ЭГ равна произведению размерностей пе-
ремножаемых векторных пространств, а его базис составляют
—> —► —>
элементы вида ekfi.. hj (к=1,2,,..m; i=l,2,...n; j=l,2,.. .г).
Элементы пространства Тр, являющегося тензорным произве-
дением р идентичных евклидовых векторных пространств Эп, на-
зываются евклидовыми тензорами ранга р.
->
В соответствии с этим определением вектор аеЭп можно на-
звать тензором первого ранга, скаляр (число) а — тензором ну-
левого ранга.
Базисом в Тр может служить совокупность элементов вида,
ekejt'ek" .... где еь, ек', ек" ... — произвольные базисы в Эп. Наи-
более часто используется так называемый простой полибазис:
в Тр, который строится на основе некоторого основного базиса
и взаимного к нему. Так для пространства Т2 тензоров второго-
ранга возможны четыре простых полибазиса: ekes, eke®, ekes, ^е®.
Любой тензор второго ранга Т можно представить в виде сле-
дующих разложений *:
Т = tsk es ek = tsk es ек == t®k es ek = tks ek ee. (lfc9>
Числа tsk называются 'ковариантными компонентами тензо-
ра Т, fBk — контравариантными, t sk и tks — смешанными компо-
нентами. Аналогично определяются компоненты евклидовых тен-
зоров любого ранга.
Не следует отождествлять тензор с его компонентами. Тензор
есть инвариантный объект, не связанный с выбором базиса, в то
время как его компоненты зависят от выбора базиса. Например,
для тензора третьего ранга имеем _
Р = P“s em en es == Pk'£ ek- et- еч'.
(1Д0>
Тензорные величины отмечаются тильДой под буквой.
В евклидовом пространстве Эп существует базис ik, удовле-
творяющий соотношению ik-i8— 6ks. Такой базис называется ор-
тонормированным и образует совокупность п взаимно ортого-
нальных единичных векторов. Очевидно, что базис, взаимный; к
ортонормированному, совпадает с ним самим. Поэтому при ис-
пользовании ортолормированного базиса условимся все индексы
писать на одном (нижнем) уровне, при этом -соглашение о сум,-
мировании по повторяющемуся индексу остается в силе.
С помощью неособой матрицы А£, можно перейти от основ-
ного базиса вк к другому основному базису ет> по формуле
ет'==А*,ек. (1.5)
Матрицу обратного преобразования обозначим А™', так что
<J = A“’em,, А“'А£, = 8®', А*, А®'=8*. (/1.6)
Преобразование базисов, взаимных» к ек и ет', осуществляет-
ся также с помощью матриц А*, и А®'-;
ek' = A£'es, es = A^,e®’. (й)
В основе прямого (бескоординатного) тензорного исчисления
лежит понятие тензорного произведения линейных пространств.
•Строгое определение и описание конструкции тензорного произ-
ведения содержится в [12, 28 , 41, 58]. Здесь мы ограничимся
перечислением основных свойств тензорного произведения. Тен-
зорное произведение двух евклидовых векторных пространств
Эщ и Эп обозначается Эт(*)Эп и представляет собой линейное
пространство, порождаемое тензорными (диадными) произведе-
ниями вектора из Эт на вектор из Эп. Тензорное-произведение
-> •-> 'о
векторов обозначается ар (а еЭт, реЭп) и обладает следующи-
ми свойствами:
(аа + ₽Ь)р== а(ар) + Р (Ь р),
а(а р + И) == «(ар) + ₽ (aq). (18)
Здесь a, Р — произвольные вещественные числа. Как видно
из (1.8), тензорное произведение обладает обычными свойства-
4
Из (1.6), (1.7) получаем формулу преобразования компонент
тензора при изменении базиса
Pk.T'=AmAn Aq’P“’s- <1Л1)
Тензоры вида abc... I называются разложимыми. Очевидно,
что произвольный тензор есть линейная комбинация разложи-
мых тензоров.
§ 2. Действия с тензорами
1) Так как пространство тензоров ранга р является линей-
ным пространством, в нем определены действия сложения и
умножения на число. Если тензЬр представлен своими компонен-
тами в некотором базисе, то умножение его на число сводится
к умножению на это число всех компонент тензора. При сложе-
нии двух тензоров одного ранга, представленных в одном и том
же базисе, соответствующие компоненты складываются.
2) Тензорное умножение тензоров из Тр на тензоры
из *ГЧ. Результатом является тензор ранга p-f-q:
ХеТр, YgTv XY6Tp+q, X = X“ "sem ... es,
Y = Yk-r 7k ... er, XY = Xm" s Yk-r"em ... es ek ,t.. er.
Тензорное произведение произвольного йисла тензоров обла-
дает свойством ассоциативности.
3) Перестановкой Oi, j тензора называется линейная
функция f: Tp-»-Tq, определяемая сначала на разложимых тен-
зорах и состоящая во взаимной перестановке векторов, стоящих
на i-том и j-том местах. Например, su (a b с d) = d b с а.
На произвольные тензоры операция перестановки распро-
страняется по линейности. Для тензора второго ранга возможна
только одна перестановка, обозначаемая так:
(a b)T = b а, X = Xmn em en, Хт = Х™ en em = Xnra ега е* (2J1)
4) Свертыванием (i, j) тензора называется линейная
функция f: Тр—►Тр—2, определенная на разложимых тензорах
формулой
' а' ’ а* ’ а₽) = ••• а,~1 в|+< ••• А-1 flj+i ••• ар
4
и состоящая в скалярном перемножении вектора, занимающего
i-тое место; на вектор, занимающий j-тое место. По линейности
операция свертывания распространяется на произвольные тен-
зоры. Свертывание уменьшает ранг тензора на две единицы.
Свертывание тензора второго ранга обозначается просто tr, а
скаляр trX называется следом тензора X
trX = Xmnera.e" = Xmngmn = X“ingmn==-Xmm = X™m. _ (2.2)
5) Простым умножением тензора X ранга р на тен-
зор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании
(р,-р+1) тензора XY и обозначаемая X«Y. Другими словами,
жростое умножение сводится к скалярному перемножению по-
следних векторов в разложении тензора X на первые векторы
в разложении тензора Y. Ранг тензора X-Y равен p + q— 2. В
частности, для тензоров второго ранга имеем
X.Y = XtaY“»e4.
6) Косое умножение. Это действие имеет смысл только
для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного
пространства Эз. Как известно, в Эз определено векторное про-
о*
изведение векторов а X Ь. Косое умножение X X Y, где X е Тр,
Y е Tq, приводит к тензору ранга p + q — 1 Лн состоит в векторном
перемножении последних векторов в разложении тензора X на
первые векторы в разложении тензора Y.
7) Полное умножение. Пусть ХеТр, YeTq, причем
p^q. Полное умножение—операция, приводящая к тензору ран-
га р — q и состоящая в последовательности свертываний
(Р>Р+ Ч)> (Р — 1, p + q—1), ... (р — q + 1, р + 1) тензора XY. .
Эта операция обозначается знаком °:
X ° Y = X'-i»»~-« Ymn...s et... ej. (2.3)
Если X и Y — тензоры* одинакового ранга, то XoY=Y°X,
4V
9
причем X ° Х>0, а Х° Х=0 тогда и только тогда, когда Х=0.
Следовательно, операция полного умножения тензоров в про-
странстве Тр имеет свойства скалярного произведения. Таким
образом, пространство Т₽ можно рассматривать как векторное
евклидово пространство размерности пр.
Для тензоров второго ранга верны соотношения
X ° Y = tr (X • YT) = Y ° X = Хт ° YT. (2.4)
Соотношение Y=Lo X, где ХеТр, YeTq, LeTp+q, задает ли-
нейную функцию Y=/(X). Справедливо обратное утверждение:
любую линейную функцию I: ТР->-Тд можно представить с по-
мощью полного умножения некоторого тензора ранга р + q на
тензор X.
В частном случае линейного преобразования векторного про-
странства Эп в себя имеем у =/(х)— L-x, LeT2.
Таким образом, пространство тензоров второго ранга можно
рассматривать как пространство линейных операторов, преобра-
зующих векторы в векторы. Аналогично, пространство Т3 есть
пространство линейных операторов, переводящих векторы в тен-
зоры второго ранга, и т» д.
Рассмотрим в Эп тождественное преобразование 1(х)®х
Реализующий это преобразование тензор второго рднга называ-
ется единичным и обозначается Е. Единичный тензор имеет сле-
дующие эквивалентные представления:
E = ekek = ekek = gskesek = gskesek=7sTs. (2.5)
§ 3. Тензоры второго ранга
.Наиболее широкое применение.в механике сплошной среды
имеют тензоры второго ранга. 'Как уже указывалось в § 2; тен-
зор второго ранга есть линейный оператор, действующий в про-
странстве Эп по правилу
Ь=Р-а = а.рт. (3.1)
/ Тензор второго ранга ,Р называется симметричным, если
10
Р=₽РТ, и антисимметричным, если Р = —Рт. В трехмерном про-
странстве антисимметричный тензор А имеет только три незави-
симые компоненты и можетг быть представлен через вектор а но
формуле
А = ЕХл = лХЕ, а =-----------— Д°А. (3.2)
44» *4* 2 *4< Л»
' i > >
Здесь Д = —Е X Е = Skmnikimin — дискриминантный тензор
(тензор Леви-Чивита). Его компоненты р ортонормированием
базисе 6kmn, называемые символами Леви-Чивита, равны нулю,
если среди индексов k, m, п имеется хотя бы два одинаковых,
равны числу е, если индексы образуют четнукпперестановку >чи-
сел 1, 2, 3, и равны — е, если индексы образуют нечетную пере-
становку. е=1, если векторный базис ik имеет правую ориен-
тацию, в = —1 в противоположном случае. Для ковариантных и
контравариаНтных компонент тензора Д в произвольном косо-
угольном базисе ек справедливы, соотношения
Дктп = g ®ктп5 . Дктп = ____, §ктп, S ~ I glk I • (3.3) '
/ g
. При простом умножении двух тензоров второго ранга снова
получается тензор второго ранга. Поэтому множество тензоров
второго ранга замкнуто не только относительно линейных опе-
раций, но и относительно простого умножения. Результат про-
стого умножения тензоров второго ранга в дальнейшем будем
называть 1фоизведением этих тензоров.
- При использовании смешанных компонент тензора в фикси-
рованном простом полибазисе имеет место соответствие между
алгеброй тензоров второго ранга и алгеброй матриц в том смы-
сле, что линейной комбинации тензоров соответствует та же ли-
нейная комбинация матриц смешанных компонент, а произведе-
нию тензоров соответствует произведение матриц. При замене
базиса по формулам (1.5), (1.7) матрица смешанных компонент
заменяется подобной матрицей. Благодаря такому соответствию,
многие понятия и факты из теории матриц соответствующим об-
разом переносятся на тензоры второго ранга.
Кроме того, ясно, что для тензоров второго ранга справед-
ливы все понятия и теоремы, известные в теории линейных one-,
ра-торов в конечномерных Пространствах.
Я
Детерминантом тензора второго ранга называется определи-
тель матрицы его смешанных компонент
detX = | X- | = | Х“ | =g | Xkm | | Xkm | . (3.4)
Это определение корректно, так как величины |Х^П | и | X™ |
не зависят от выбора базиса. Тензор X называется неособым,
если detX^=O. Для неособого тензора существует единственный
обратный X-1, удовлетворяющий соотношению-
Х-Х-1 = Х->Х = Е. (3.5)
Л/ м лг /V
Целая степень Хт тензора X вводится как m-кратное произ-
ведение тензора самого на себя. Тензор (Х_1)П^Х-П называется
отрицательной степенью тензора X.
Линейное преобразование q:3u—>ЭП, сохраняющее скаляр-
ное произведение векторов, называется автоморфизмом евклидо-
ва пространства Эп:
q(a) • q(b) = а • b, у а, b в Эп. (3.6)
Как и любое линейное преобразование, автоморфизм реали-
зуется с помощью тензора второго ранга Q:q(a)=Q-a. Этот
тензор называется ортогональным. Из (3.6) следует, что он удов-
летворяет соотношению «
Q,QT==QT.Q = E. (3.7)
«v ли /V л» л/
Из (3.7) получаем detQ = ±l. Ортогональные тензоры с по-
ложительным детерминантом называются собственно ортогональ-
ными, а с отрицательным — несобственно ортогональными. Орто-
гональное преобразование не меняет длин векторов и углов меж-
ду ними, поэтому собственно ортогональный тензор в трехмер-
ном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолют-
но твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно орто-
гональный тензор осуществляет преобразование, состоящее из
жесткого поворота и отражения.
Совокупность ортогональных тензоров образует группу, в ко-
торой операцией умножения служит простое умножение тензо-
ров. Эта группа называется полной ортогональной группой.
Ортогональный тензор переводит ортонормированный базис
векторов в другой ортонормированный базис:
Js == Q • is» к ' *k = ^sk, Js ' jk = ^sk- (3.8)
Л*
Если базисы ik, js заданы, то тензор Q находится из уравне-
ния (3.8) в "виде
Q=T,C (3.9)
Л#
В трехмерном пространстве примером несобственно ортого-
нального тензора служит тензор — Е. Соответствующее линейное
преобразование меняет направления всех векторов на противо-
положные и называется инверсией. В Э3 любое несобственно ор-
тогональное преобразование можно представить в виде супер-
позиции некоторого собственно ортогонального и инверсии. Если
в формуле (3.8) тензор Q несобственно ортогональный, то бази-
сы jk и ik имеют разноименную ориентацию.
В связи с несобственно ортогональными преобразованиями
в Э3 надо сделать следующее замечание. Векторное произведе-
ние двух векторов а X b не является в строгом смысле вектором,
так как оно не меняет знака при инверсии пространства. Такие
величины называют псевдовекторамн. Точно так же, если а —
истинный вектор, то формула (3.2) определяет псевдотензор А.
Псевдотензором третьего ранга является и тензор Леви-Чиви-
та Д.
При неизменной ориентации пространства, т. е. при исполь-
зовании только одноименных (например, правых) векторных ба-
зисов, различие между истинными тензорами и псевдотензорами
пропадает.
Для подавляющего большинства излагаемых ниже вопросов
различие между тензорами и псевдотензорами не является су-
щественным, в связи с чем в дальнейшем не будем проводить
терминологического различия между ними.
Единичный вектор d, удовлетворяющий уравнению
И
X-d = kd, (ЗЛО)
называется собственным вектором, или главной осью тензора X.
Те значения л, при которых существует решение уравнения (ЗЛО),
называются собственными, или главными значениями тензора X.
Они являются корнями характеристического уравнения, которое
в трехмерном пространстве записывается так: •
—13+11Х2 —12%+13 = 0. (ЗЛ1)
I1 = trX, I2=—(tr2X — trX2), I3 = detX.
*4Z 2 *** 4
' Коэффициенты уравнения (ЗЛ1) называются соответственно
первым, вторым и третьим • (главными) инвариантами тензора
второго ранТа X.
Для симметричного тензора главные значения вещественны,
а соответствующие им собственные единичные векторы — ортого-
нальны. В ортонормированием базисе собственных векторов сим-
метричный тензор представляется следующим образом:
X = dj dt -f- Х2 d2 d2 -f- d3 d3. (3.12)
*4*
Представление (3.12) называется спектральным разложением
тензора второго ранга.
Для любого тензора второго ранга справедлива теорема Кэ- ;
ли — Гамильтона: тензор удовлетворяет своему характеристиче-
скому уравнению. В трехмерном пространстве это тождество за- •,
писывается следующим образом:
* —Х3 + 11Х2т-12Х + 13Е = 0. ' (ЗЛЗ) ]
С помощью (3.13) любую целую (а для неособого тензора —
н любую целую отрицательную) степень тензора можно выра-
зить в виде трехчлена ОоЕ -f- OjX -f- а2Х2, коэффициенты которо-
го Оо, Оь а2 будут полиномами от главных инвариантов тен-
зора X.
Тензор Xе, определённый для п=3 формулой
. >-X>-ItX + bB, (3.14) ’
HiiiiTFr-
называется присоединенным к X. Для неособого тензора верно
равенство XL=X-1 detX. Матрица смешанных компонент тензо-
ра XL совпадает с транспонированной матрицей алгебраических
дополнений матрицы смешанных компонент тензора X.
Симметричный тензор X называется неотрицательным, если
а.Х-а^Оуа, и положительно определенным; если а-Х-а>0
уа=#0. Собственные значения неотрицательного (положительно
определенного) тензора неотрицательны (положительны).
Неотрицательным (положительно определенным) квадратным
корнем из неотрицательного (положительно определенного) тен-
зора X называется тензор Х,/г, определенный формулой
П «
. X1/8 = ' (3.15)
S = 1
Здесь Xs —собственные значения, тензора X, а квадратные
корни берутся в арифметическом смысле.
Справедлива следующая теорема о полярном разложении.
Любой неособый тензор второго ранга Y можно единственным
Is/
образом представить в виде
Y = Н • Q = Q • Н* ' (3.16)
где Н, Н* —симметричные положительно определенные тензо-
ры, a Q — ортогональный тензор. Эти тензоры определяются по
тензору Y следующим образом:
Н = (Y-YT)V2, Н* = (YT-Y)1/2, q = h-’.Y. (3.17)
. Обозначив орты главных осей тензоров Н и Н* соответствен-
но ds и d*, имеем
н = Ун*=Jj/y; Ь й. (зле)
S=1 • s=l
IS
Ортогональный тензор Q переводит главные осн тензора Е
/у ***
в главные оси тензора Н* : ds-Q=±d*.
Полярное разложение возможно и для особого, тензора. В
этом случае симметричные неотрицательные тензоры Н, Н* на-
ходятся по формуле (3.17) единственным образом, однако орто-
гональная часть разложения Q определяется ino тензору Y не
4W Л*
единственным образом.
§ 4. Изотропные и гиротропные тензоры
Автоморфизм векторного евклидова пространства Эп, опреде-
ленный формулой (3.6), порождает в пространстве тензоров ран-
га р линейнде преобразование Avq(X), действующее по правилу
•
Avq<X’J е, е,... et) = X«~*(e, • Q) (e, - Q)... (et • Q), (4.Ц
ГЧ/ /V *4Z
где Q — ортогональный тензор второго ранга. Это преобразова-
ние сохраняет скалярное произведение в простанстве Тр:
XoY*= Avq(X)oAvq(Y)VXYgTp, (4.2) -
«М ГЫ Гы ги гы гы вы ГЫ
и поэтому называется автоморфизмом в Тр, порожденным авто-
морфизмом в Эд.. , -
Согласно (4.1), действие автоморфизма на тензор второго
ранга можно записать ,в такой форме:
Avq(X) = Qt- X • Q. (4.3)
Тензор ранга р называется изотропным (гиротропным), если
для любого ортогонального (собственно ортогонального) тензо-
ра Q выполняется равенство Avq (X) — X.
Таким образом, изотропный (гиротропный) тензор не меняет-
ся при автоморфизмах, порожденных любыми ортогональными
(собственно ортогональными) преобразованиями в Эп. Из этого
определения и (4.1) непосредственно следует, что изотропной
тензор имеет одни и те же компоненты в любом ортонормиро-
ванием базисе. Гиротропный тензор имеет одни и те же компо-
ненты во всех ортонормированных базисах одноименной ориен-
тации.
14
Примером изотропного тензора может служить единичный
тензор Е.
§ 5. Тензорные (функции
Тензорной функцией s тензорных аргументов называется ото-
бражение, ставящее в соответствие каждой совокупности тен-
зоров различного ранга рк (к=1, 2, ... s) из некоторого множе-
ства .тензор ранга q:
Y = f (Хп Хг, ... Xs); XkeTPk, YeTq. (5.1)
Рассмотрим частный случай тензорной функции f: Tp->-Tq,
Y=f(X), ХеТр, YeTq. (5.2)
Записав компонентные представления тензоров X и Y в фик-
сированном базисе:
X = Х-~»% ... et, Y = Y'-'e, ... e„
r-t fXj
из (5.2), видим, что тензорной функции f можно поставить в со-
ответствие и’ скалярнозначных функций от п₽ скалярных аргу-
ментов:
Y1-'— f,-,(Xn’-t). (5.3)
-- - I
При другом выборе базиса ега в Эп вид компонентных функ-
ций Р-1 будет, вообще говоря, другим. Очевидно, что такое
компонентное представление возможно и для тензорной функции
общего вида (5.1) Г*
л Тензорная функция называется изотропной, если для любого
ортогонального тензора Q выполняется соотношение [58]
AvQ(Y) = f[AvQ(X1), ... Avq(Xs)]. (5.4)
%
Если (5.4) выполняется только для любых собственно орто-
гональных тензоров, то функция называется'гиротропной.
Для функции f: Т2->-Т2 условие изотропности (5.4) можно
переписать так:
f (QT • X • Q) = QT- f (X) • Q. (5.5)
Изотропная тензорная функция имеет одинаковые компонент-
17
ные представления во всехортонормировацных базисах, т. е. вид
компонентных функций Р-'не зависит от выбора ортонормнро-
ванного базиса в Эп.
Все рассмотренные в § 2 действия с тензорами задают изо-
-тропные функции от тензоров.
Рассмотрим тензорную функцию
Y = LeX, ХеТр, УбТч, L6Tp+q. (5.6)
Если Y рассматривать как функцию двух тензоров L и X, то
эта функция изотропна. Если же (5.6) рассматривается как
-функция только одного аргумента X, a L считается параметри-
ческим тензором, то эта функция будет, вообще говоря, неизо-
тропной. Она будет изотропной только в случае, когда L — изо-
тропный тензор.
Скалярнозначная изотропная функция одного тензора назы-
вается инвариантом этого тензора, а скалярнозначная изотроп-
ная функция нескольких тензоров называется совместным инва-
риантом этих тензоров.
Известно, что в трехмерном пространстве любой инвариант
симметричного тензора второго ранга есть функция его собствен- -
ных значений или, что эквивалентно, функция его главных1 инва-
риантов Ii, 1<2, 1з- Любой инвариант вектора есть функция его
.длины. . , .
Сведения о полных системах совместных инвариантов про-
извольного числа векторов и тензоров второго ранга содержатся
в [43, 62]..
Общее представление изотропной функции, аргумент и зна-’
чение которой есть симметричные тензоры второго ранга, в трех- .
мерном пространстве имеет вид
. . ;y -=<Р.0В-|-.¥1Х.-Т-срзХ2', (5.7)
где <ро> Ф1, ф2 — функции главных инвариантов тензора-X. Как
видно из (5.7), тензоры X и Y соосны, т. е. .имеют совпадающие
собственнйе векторы;
Рассмотрим тензорную функцию f (X), отображающую тензо-
ры ранга р в тензоры ранга q. Если для любого тензора ВеТр
существует такой тензор f,x(X) ранга p-f-q, что выполняется
•соотношение
4S
" f(X + aB)-f(X) •
f x о. в := 4 f(X + <xB) I «=0 = lim ~ , (5.8)
fKi f\t vO- r\> a->0 a v:
то этот тензор f, x(X) называется производной тензорной функ-
ции по тензору X.- В компонентном представлении в фиксирован-
ном простом полибазисе, образованном на основе базиса е^ в Эп
и взаимного к нему, правая часть (5.8) примет вид
A ^fk...s
— fk...s ( х»~» 4- a Bm-‘) I a^o. = —------ B“-».
да
По определению полного умножения (2.3) и в силу произ-
вольности тензора В из (5.8) получим
A fk...s -* -»-> -►
и <х-= е* -Cs em -et- <5-9>
-----dXn'-t
Таким образом, компоненты производной f, х представляют
собой совокупность частных производных компонентных функ-
ций но компонентам тензорного аргумента.
От (5.8) можно перейти к обычным дифференциальным обо-
значениям, если обозначить тензор В. через dX и назвать его
дифференциалом независимой тензорной переменной,, а правую
часть (5.8) назвать дифференциалом функции df:
d f = f,x (X) о dXt (5.,10)
или в компонентном представлеиин ;
A fk’...s
<Jfk-s= ——-----dX*”’».
<?Xm •»
При вычислении производной по тензорному аргументу часто
можно пользоваться представлением (5.9), однако во многих
случаях удобнее применять бескоординатное определение (5.8).
Из (5.8) нетрудно установить, что производная изотропной
тензорной функции есть также изотропная тензорная функция.
Отсюда, в частности, следует, что производная любого инва-
рианта симметричного тензора X второго ранга есть симметрич-
ный тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ-
водной от инварианта симметричного тензора есть частные про-
изводные этой функции по главным значениям тензорного аргу-
мента.
Приведем еще формулы дифференцирования главных инва-
риантов симметричного тензора X второго ранга
11. х = Е, k х = Е tr X — Хт, к х = (XL)T. . (5Л11)
****** *** *** **> *4# *ч* **#
•§ 6. Тензорные поля
В евклидовом точечном пространстве [2] положение точки
можно задать радиусом-вектором R=Xkik, где Хк —декартовы
координаты, ik — орты координатных линий.
Тензорным полем P(R) называется отображение, ставящее
в соответствие каждой точке из некоторой области точечного
-евклидова пространства тензор Р произвольного ранга. Тензор Р
можно считать либо функцией радиуса-вектора R, либо функ
цией декартовых координат Хк-
Если существует такой тензор VP, что для любого вектора *
выполняется соотношение
а • vP=-7-P(R+»а) I «=о» (6Л)
***
то тензор VP называется градиентом тензорного поля в точке R
Очевидно, что ранг тензора VP на единицу больше ранга тек
.зора Р.
***
Если тензорйое поле рассматривается как функция декарта
•вых координат, то соотношение (6.1) запишется следующим об
разом: ' .
-* d dp - - др
Лк «к (vP)*= P(XS + a аа) I = ак ik • is —. -
~ оо ~ oXs dXs
В силу произвольности вектора а получаем
дР фр _►
vP==is"^-------(&?)
*** CFAe *
. Обозначив вектор а через dR, можно записать (6.1) в диффе-
ренциальных обозначениях
dP = dR-yP. (6.3)
Дифференциал (линейная часть приращения) тензора при
смещении из данной точки пространства в соседнюю равен про-
изведению вектора смещения dR на градиент этого тензора в
данной точке.
Непрерывно дифференцируемые функции декартовых коорди-
нат QB(Xb Х2, Х3) (s=l, 2, 3) называются криволинейными
координатами в трехмерном точечном евклидовом пространстве,
если якобиан |idQB/dXk| отличен от нуля во всех точках, за
исключением нескольких особых.
Определим векторный базис формулой
RS : v Qs = (d Qs I dXk)7k. (6.4)
Найдем базис, взаимный к RB, т. е. удовлетворяющий соотно-
шению RB-Rm=6m. Решение последнего уравнения ищем в ви-'
де Rm=Amik. Учитывая (6.4), получим (дОв/дХт)А”=6<.
Отсюда следует, что матрица А “есть матрица частных про-
изводных обратных функций Xk(QB):
А“ — (dX“ / dQ‘). (6.5)
Из (6.5) имеем
Rm = №/dQ“) Гп = dR/dQ“ (6.6)
Векторные базисы Rm и Rk называются естественными бази-
сами, соответствующими данным криволинейным координатам.
Из (6.6) следует, что вектор Rm направлен в каждой точке
по касательной к координатной линии, вдоль которой изменяет-
ся координата Qm.
В отличие от естественного базиса декартовых координат ik
векторные базисы Rm, Rk — переменные, они меняются при пере-
ходе от одной трчки пространства к другой. Для вычисления
градиентов тензорных полей необходимо знание производных ба-
зисных векторов по координатам. Так как. dRm/dQ8 есть ;вектор,
его можно разложить по базису Rm:
^Rm/oQs = r‘ Rt, Г» =Т‘ (6.7)
fns ms stn ' '
Величины называются символами Кристоффеля второго
рода. Они могут быть выражены через метрические коэффици-
—► —► —► —►
енты Gkm=Rk-Rm, Gmk—Rk-Rm и их производные: :
Р = — Grm
st 2
dGsm u dOtm dQst A
, dQ* dQs dQra / '
(6.8)
- >
Выражения* производных векторов взаимного базиса име-
ют вид
d^/dQm = — rknsR5. (6.9)
При замене координат по формулам Qm'=Qm'(Q1, Q2, Q3)
естественные векторные базисы преобразуются по формулам -
(1.5)—(1.7), при этом А“'=^Qn'/^Qm.
Рассмотрим представление градиента тензорного поля в кри-
волинейных координатах. Согласно (6.2), (6.4) имеем
— / r)Os \ / дР \ -» / дР \
?Peik ==RS —
~ \ олк у \ dQs у \ dQs'/
Получаем следующее представление символического
pa V (набла-оператор) в криволинейных координатах:
V =7S<? / ^Xs = Rkd/<?Xk.
(6.10)
векто-
(6. Ill)
При. вычислении производных по координатам от тензора
P=Pm--tRIn... Rt следует помнить, что от координат зависят не
только компоненты Рт •••*, но и векторы Rm,... Rt- В частности,
для векторного поля a(R) с помощью (6.7) получим
V а = R9 (ат Rm) = Vs ат Rs Rm, (6ЛЙ)
" Т.‘а“ = д‘ап,7Л5’+Т“а<.
Vs называется символом ковариантной производной [44, 45].
- Для тензорного поля второго ранга. аналогично имеем
22
vP = VrPskRrRsRk, ?гР’к=дРл/дрг + г«гр* + г*грв’. (6.13)
Кроме градиента тензорного поля часто используются дивер-
генция тензора
V-P = tr(vP) = Rk« (oP/dQk) (6.14)
~ (1»2) ~
и ротор тензора
V X Р = Rk X (dP/dQk). (6.15)
Для любого дважды дифференцируемого тензорного поля
(произвольного ранга) справедливы тождества
VX(VP) = O, v.(vXPl = 0. (6.16)
Пусть в некоторой области пространства, занимающей объ-
ем V и ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью О,
задано непрерывно дифференцируемое тензорное поле Р любого
ранга. Тогда справедлива формула Остроградского — Гаусса
j у Р dV = J f N Р dO. (6.(17)
Здесь N — единичный вектор внешней нормали к поверхно-
сти О. Из (6.17), в частности, следуют формулы
>'Edv“
V
JJ n • р do, ууу vx.Pdv= уу N X Р
NXPdO. (638)
б ~у б
Для непрерывно дифференцируемого вблизи кусочно-гладкой
поверхности О, опирающейся на замкнутый контур Г, тензорно-
го поля Р (произвольного ранга) справедлива формула Стокса,
УУ N (v X P)dO = f dR • Р, (6.19)
О г
причем направление обхода контура выбирается таким образом,
чтобы у наблюдателя, направленного по нормали N и движу-
щегося по контуру, поверхность О оставалась-слева.
о
Глава II
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Кинематика трехмерного континуума А
Материальным телом в механике сплошной, среды называют
множество, для которого задано взаимно однозначное и гладкое
отображение его в область точечного евклидова пространства
Элементы этого множества называются частицами и обознача
ются Z. Однопараметрическое семейство отображений, завися-
щих от времейи t и сопоставляющих каждой частице ее положе
ние в пространстве в момент времени t, называется движением
тела:
R-x(Z,t), Z^x-’CRft). (HI
Здесь R— радиус-вектор частицы Z. Область пространстве
занимаемая телом в момент t, вместе с отображением (1.1) на-
зывается текущей, или актуальной конфигурацией. Некоторо
фиксированное отображение, ставящее частицы во взаимно одно
значное соответствие с точками пространства
i*=x(ZJ, Z=x-'(r). . (>1м2
называется отсчетной конфигурацией тела. В качестве отсчетно
можно выбрать любую конфигурацию.
Согласно (1.1), (1.2) можно записать
R-xk'WJHxM) . (1-3*
-то есть движение тела можно рассматривать как отображен»
одной области евклидова пространства в другую.
Введя декартовы хк или криволинейные qk координаты части
тела в отсчетной конфигурации
r = xkik, qs = qs(x‘, х2, Xs) (k, s = l,2, 3), (1.4
вместо (1.3) получим R=x(q1, q2, qs, t).
С другой стороны, можно ввести декартовы Xk или криволь
нейные QM координаты в пространстве
24’
R = Xkik, QM = QM (X1, X2, X3) (M=l, 2, 3). (1.5)
Вместо (1.3) движение тела может быть задано посредством
функций
QM = QM(qs, t). (1.6)
Любую тензорнозначную функцию частиц и- времени <p(Z, t)
можно рассматривать либо как функцию координат q* и вре-
мени t
9(Z,f) = f(7,t) = f(qk,t), (Д.7)
либо, согласно (1.1), как функцию координат пространства QM
и времени
• <F(Z, t) x=j [х-1 (R. О, t] = F(R, t) = F' (QM, t). (1.8)
При первом способе описания (1.7) наблюдатель следит за
процессами, происходящими в данной материальной частице.
Этот способ описания называется материальным, или лагранже-
вым. При втором способе описания (1.8) наблюдатель следит
за процессами, происходящими в данной точке пространства.
Такой способ описания называется пространственным, или эйле-
ровым. В соответствии с этим координаты qs (или Xs), индиви-
дуализирующие частицу, называются' материальными, или ла-
гранжевыми, а координаты QM (или Хк) называются простран-
ственными, или эйлеровыми.
Рассмотрим векторные базисы, соответствующие введенным
координатам. Основной и взаимный векторные базисы в отсчет-
ной конфигурации, согласно формуле (6.6) главы I, определя-
ются соотношениями
7s = <Mqk)/<?qs, ?-7s = 8k. (1.9)
. Материальный векторный базис текущей конфигурации опре-
деляется соотношениями [26, 31, 42]
Rs = dR.(qk, t) /<?q\ Rk.R* = 8k. - (1.10)
Этот базис называют также конвективным базисом, так как
->
длины и направления векторов Rs в данной частице меняются
в соответствии- с движением этой частицы. Будучи как бы вмо-
роженными в среду, координатные линии лагранжевой системы
координат qB деформируются вместе с телом.
... Наконец введем векторный базис эйлеровых координат [42]
у »
Rm = dR(QN)/dQM = (dXs/dQ" ) is, RM • RN = 8n . (q. 11)
При материальном способе описания базис гк не зависит от
времени, при пространственном описании базис Rm не зависит от
времени.
Градиентом деформации С называется градиент векторного
поля R(r, t):
C=vRj v = rsd/dqs= ikd/dxk. (L'lfi)
o-
Здесь V — набла-оператор в отсчетной конфигурации. На ос-
новании (1.6),' (1.10)—(1.1.2) получаем следующие эквивалент-
ные представления градиента деформации:
С = rTС = (dXk/dxs) С17= (dQM /dq8) ? Rm - (1.13)
Из определения градиента (6.3) главы I и (1.12) имеем
dR = d?-C. (-1.114)
Таким образом, тензор второго ранга С является линейным
оператором, переводящим элементарный отрезок (материальное
волокно) из его положения в отсчетной конфигурации в положе-
ние, занимаемое в текущей конфигурации. Можно сказать, что
градиент деформации представляет собой линейное приближен
ние отображения (1.3) вблизи данной частицы. Так как пре-
образование отсчетной конфигурации в текущую гладкое и вза-
имно однозначное, тензор С — неособый: detC= |dXB/dxk|7fc0,
причем систему координат всегда можно выбрать так, чтобы
det С был положительным. .
Наряду с операцией градиента в отсчетной конфигурации чат
стр используется пространственный градиент и соответствующий11
ему набла-оператор V=isd/dXs= RMd/dQM [32, 37]. Для тен-
зорного поля (1.7), (1.3) имеем
?F'(QM, t) = RM dF'/dQ* = RM (df/dq8) (dqs/dQM) = ;
= (dqs/dQMRMrs) -rM/dq11 ==<->• ft (M§)
.. Формулу (1.15) можно .переписать- в виде символического
равенства
V = C~,-v, v = C-v, (1.16)
О
причем подразумевается, что операторы V и V действуют на
одну и ту же функцию частиц <p(Z, t). Так как_С-1= Rsrs, то из
(1.16), (1.12) получаем
v = RsW. (1.17)
Поэтому V можно называть также набла-оператором в акту-
альной конфигурации тела.
Отметим очевидные соотношения
yr = yR = Е, ?Г = С-1. (L18)
: Частная производная по времени от функции <p(Z, t) назы-
вается материальной, или индивидуальной, производной
т = (d/dt) T(Z, t). (1.19)
При лагранжевом способе описания (1.7) вычисление мате-
риальной производной сводится также к частному дифферен-
цированию:
f = (<d/dt)f(r, t). (1.20)
При использовании эйлерова способа описания (-1.8) следует
иметь в виду, что от времени зависит также и радиус-вектор ча-
стицы, а следовательно, и ее пространственные координаты QM:
F'(QM , t) _ эр' (qm , ty/dt + (<?F'/dQN) QN. (1 .21)
.По определению вектора скорости частицы имеем
v = R = (dR/dQM ) = QM Rm .
Следовательно, производные QM представляют собой контр-
авариантные компоненты вектора скорости в пространственном
векторном базисе. Согласно (1.21), (1.15), можно записать
F' = <?F'(QM, i)/dt + vK RK-RN (<?F'/^QN) ~
==dF'(QM,t)/dt + v-vF': (L22)
• * 8-
Первое слагаемое в правой части (1.22) представляет собой
производную па времени, вычисляемую для фиксированной *гоч-
ки пространства, и называется локальной производной. Формула
(1122) устанавливает связь материальной и локальной производ-
ных по времени для любой тензорнозначной функции.
Легко видеть, что операция вычисления материальной про-
О -
изводной перестановочна с набла-оператором V в отсчетной кон-
фигурации, а операция локального дифференцирования по вре-
мени d/dt перестановочна с пространственным набла-операто-
ром V.
Применим к градиенту деформации С' теорему о полярном
разложении (3,16) главы I:
C = U-A = »A-V, U = (C-CT)1/2, V=(CT-C)>'2. (1.23)
Здесь U, V — симметричные положительно определенные тен-
зоры, А — ортогональный тензор, причем delA=l, так как
detC>0.
Пусть сплошная среда движется как абсолютно твердое тело
R(r,t) == a(t) + г-Q(t)* C = Q. (И.24)
/X/ Aw ,/w
В этом случае из единственности полярного разложения по-
лучаем U=V=E, A=Q. Таким образом, тензоры U и V харак-
теризуют чистую деформацию среды, т. е. , изменение длин мате-
риальных волокон. Они называются соответственно левым н пра-
вым тензорами деформаций. Тензор А называется тензором по
ворота.
Представление (1.23) разлагает деформацию окрестности
данной частицы на две составляющие: чистую деформацию и
жесткий поворот.
Неудобство тензоров U и V состоит в том, что затруднитель
но получить явные выражения их компонент через компоненты
градиента деформации. Более удобными с этой точки зрения
являются симметричные тензоры А и А, называемые соответ-
ственно мерой деформации Кошн — Грина (илн первой мерой
деформации) и мерой деформации Альманзн (или второй мерой:
деформации):
A-lP-C-Cf, k==V-2 = C-’.C-T, 6-т=(С->)т (1.25)
Часто используются также обратные тензоры
д-> = С-т-С-1, Ь' = СТ-С, (1.26}
причем тензор X-1 именуется мерой деформации Фингера. Из:
(1.13) следуют представления описанных мер деформации в раз-
личных базисах:
Л = Gsk*Ts7k == (dQ" /<?qs) (t?QN/dqk) Gmn
A-i = Gsk r^7k = (dtf/dQ*) (<?qk/<?QN) GMN7S 7k, (1.27)
X = gsk Rs Rk = (dq’/^Q«) (dqW) gsk R« R\
X-1 = gsk RsRk = (<?QM /0qk) (dQW) gsk Rm Rn,
gsk = rs-rk, gsk = rs-rk, Gsk = Rs*Rk,
G*k = Rs-Rk, Gmn=RmRn, Gmn = Rm-Rn.
Для сравнения с (1-27) приведем различные представления
единичного тензора:
Е = gsk ?? = gsk7s7k = Gsk Rs Rk = GskRs Rk =
= GmnRmRn = GmnRmRn- (il.28)
Рассмотрим изменение длины элементарного материального
волокна при деформации
dSa — ds2 = dR-dR — d?-dГ= 2dГ-И-dИ =-- (Л —Е).
(4.29)
Введенный здесь тензор И называется тензором деформации
Коши — Грина. Вместо (1.29) можно записать
dS2 — ds2 == dR • dR — (dR • C1) (C~T- dR) = 2dR • И • dR,
/X/ zx, ZX*
И = А(Е-к). (1.30)
/X/ '4fc ZXZ ГЧ/
Тензор И называется тензором деформации Альманзн. Пр>
жестких движениях тела тензоры И, и обращаются в нуль. Н-
основании (1.27), (1.28) имеем
2И — (Gsk — gsk)"rs"rk, 2И = (Gsk — gsk) RsRk.' (1.31)
/V» ZKZ
Видим, что . ковариантные . компоненты тензора деформации
Коши в лагранжевом базисе отсчетной конфигурации совпадаю-
с ковариантными компонентами тензора деформации Альманз!
в лагранжевом базисе деформированной конфигурации.
Введя в рассмотрение вектор перемещения частицы u=R — г
получим на основании (1.29), (1.30) представления тензоров де
формации через градиент перемещения:
* 1 О -*• о -> о -> о г
и =?=-Hv U-Hv u)T + vu-(vu)T],
/X/
И = -i- ivu + (VU)T — VU • (?u)TJ.
(1.32)
(1.33‘
Рассмотрим произвольный объем, выделенный в деформиро
ванной конфигурации материального тела:
v* ~ ШdV== ШdXi dXs dXs-
v* V*
Так как X^X^Xk, t), то, сделав в интеграле замену пере
менных, получим
V, = JJJ | dXj/dXk ] dx1dx2dx3= JJJ Jdv,
V*. v*
J = | ад^хк | = detC = /detA = /G/g;
(;L34;
(l-35>
G = | Gsk | , g = I gsk I .
Здесь V* — объем, занимаемый выделенной частью тела в от-
M
счетной конфигурации. Так как часть тела v* произвольна, при-
ходим к формуле преобразования элементарного объема при де-
формации
dV=Jdv. (1.36)
Масса произвольной части материального тела остается по-
стоянной в процессе движения. Отсюда podv=pdV, где р0 — плот-
ность материала в отсчетной- конфигурации, р — плотность в
деформированной, актуальной конфигурации. Из (1.36) полу-
чаем формулу изменения плотности при деформации
p=J-‘po. (1-37)
Приведем без доказательства формулу преобразования при
деформации элементарной ориентированной площадки [31, 32]
NdO »‘CL • n do.
(11-38)
Из (1.38) вытекают формулы преобразования элемента пло-
щади и вектора единичной нормали .
dO=J г п • Л-1 • n do,
N = ('п-Л-,.п)-,/>С-,-щ
(1.39)
Рассмотрим пространственный градиент поля скоростей ма-
териального тела
L = vv (1.40)
г»
и разложим его на симметричную и антисимметричную состав-
ляющие с использованием формулы (3.2) главы I:
L = e-a, e=±(L + LT), 2=4-(LT-L), (1.41)
2 = EX<I), w =---J-До a, w=-l-vXv.
/X/ /X/ Z /X/ Z
Симметричный тензор в называется тензором скоростей де-
формаций, антисимметричный-тензор й— £пином, а сопутству-
эщнй ему вектор называется угловой скоростью частицы. Тен-
юр е характеризует скорость .чистой деформации. Действнтель-
ю,: если материальное тело движется как абсолютно твердое,
"о поле скоростей имеет вид
V = + % X (R — Ro), v0= Ro,
и no (1.40), (1.41) получим
L = — v(R — Ro) X «>o = — E X %, e = 0, ш = %.
Из (1.12), (1..16) получим связь градиента поля скоростей со
скоростью градиента деформации
L = vv = C-’ • vv = C-' -С, C = C-L. (1.42)
Далее, согласно (1.25), (1.29), имеем '
Л = 2Се-Ст, Й = С.е-Ст. (1.43)
*** —>
Два движения материального тела R=z(Z,t) и R*=Z*(Z, t)
называются эквивалентными [47, 61], если они связаны соотно-
шением
X* (Z, t) = a(t) + [z(Z, t) -p] • Q(t), (1.44)
где Q(t) — произвольный ортогональный тензор, a(t)—произ
вольный вектор, р— постоянный вектор, задающий фиксирован
ную точку пространства. Введя по формуле (1.2) отсчетную кон
фигурацию, условие эквивалентности движений можно записат
в другом виде:
R* (7, t) = a(t) + [R (7, t) -7] • Q(t). (1.45)
Так как в (1.44), (1.45) вектор a(t) и тензор Q(t) одинаковь
для всех частиц, хотя и могут произвольным образом зависет
от-времени, эквивалентные движения отличаются друг от друг
движением материального тела как абсолютно твердого. Поэте'
му эквивалентные, движения можно трактовать как одно и то ж
движение материального тела, ио рассматриваемое с точки зр<
ния различных систем отсчета.
Из (Г. 12), (1.45) следует, что градиенты деформации в дау
эквивалентных движениях связаны соотношением
С* = С • Q. (L4f
flW Л# ***
п
• Пусть в каждой частице материального тела определены не-
который скаляр ф и тензор Т произвольного ранга. Скаляр на-
зывается индифферентным (употребляются также термины: не-
зависимый от системы отсчета, объективный, нейтральный), если
для любых двух эквивалентных движений выполняется соотно-
шение q>*=q>.
Тензор Т называется индифферентным, если для любых двух
эквивалентных движений выполняется равенство
T*=Avq{T). (1.47)
Л/ /V ли
С помощью (1.25), (1.26), (1.46) нетрудно проверить, что тен-
зоры Л-1, Л неиндифферентны так же, как и тензор деформаций
Кошн — Гринд И. Меры деформации Альманзи X и Фингера X-1,
а также тензор деформаций Альманзи и суть индифферентные
тензоры. Так как Л*=Л, из (1.43) и (1.46) следует, что тензор
скоростей деформаций ® индифферентен. Спин П, разумеется,
неиндифферентен так же, как тензор поворота А. Вектор ско-
л*
рости частицы v также неиндифферентен, |гак как очевидно, что
он зависит от системы отсчета. -
Примером индифферентного вектора может служить вектор
единичной нормали N к поверхности тела в текущей конфигура-
ции. Его индифферентность легко устанавливается с помощью
формулы (Ц.38).
Инварианты тензоров Л и X есть индифферентные скаляры.
Из определения (1.47) непосредственно вытекает следующее
утверждение. Значение изотропной функции от индифферентных
тензоров произвольного ранга есть индифферентный тензор.
Рассмотрим материальную производную по времени от ин-
дифферентного тензора второго ранга Р. Так как в (1.47) орто-
гональный тензор Q может произвольным образом зависеть от
времени, тензор Р не будет индифферентным. Однако можно по-
строить также операции дифференцирования по времени, кото-
рые приводят к индифферентным тензорам. Возьмем следующие
выражения:
и
2. Зак. 5
Р = С~’ • (С • Р • Ст) • • с-т, (.1.48)
ZW zv *v *W Z\Z
p « CT • (C-T • P • C-’)' • C. (1.49)
ZV ZW ZW /V ZW zv
- *•
С помощью формул (1.46), (1.47) нетрудно убедиться в том
V А
что тензоры Р и Р суть индифферентные, если индифферентеь
тензор Р. Выражение (1.48) называется производной Ривлйиа,
а (1.49)—производной Олдройда от тензора Р. Сославшись нг.
£1.42), найдем связь йронзводных Ривдина и Олдройда с мате?
риальной производной:
р ~ р + р . lt + L • Р, (l-Sfoj
ZW ZV zv ZV W ZW •
Р==Р —LT*P — Р • L. (1.51;
ZV ГЧ/ AZ, ZV
Записав представление тензора P в лагранжевом базис
актуальной конфигурации тела P=PekRsRk=PekR,Rk и учт
представление градиента деформации (1ЛЗ), получим вмест
(1.48), (1.49)
Р = (P.k) R*^. Р “ (P*k) R.Rk- * а.52|
Таким образом, вычисление производной Ривлина (Олдрой
да) от тензора сводится к дифференцированию по времени кс
вариантных (контравариантных) компонент в лагранжевом век
торном базисе, в то время, как при вычислении материально
производной надо дифференцировать и компоненты, и базисны
векторы Rk, Rs.
По аналогии с (1.52) можно определить производные. Риц
лина и Олдройда для тензоров любого ранга (исключая нуле
вой). ‘ -
Выражение
Р== JL(p_|_p) = p+,p.e-S.p (L53
. /W^ZSZZVZWZSZZWZSZ/sf • -
также является индифферентным тензором и называется произ
»
водной Зарембы — Яуманна. Из (1.50), (1.51), (1,53)
формулы
V □ . - Л □
р==Р+р.е+е.Р, Р-=Р—Р . е —е • Р.
Так как тензоры Р и е индифферентны, выражение
Р + (К о е) о р.
следуют
(1.54)
(1.55)
где К — постоянный изотропный тензор шестого ранга, будет ин-
дифферентным тензором и его можно рассматривать как неко-
торую индифферентную производную по времени от тензора Р.
Представления (1.54) являются частными случаями выраже-
ния (1.55). '
Таким образом, существует бесчисленное множество спосо-
бов определения индифферентных производных от индифферент-
ных тензоров. В случае, когда окрестность материальной части-
цы движется как абсолютно твердое тело (е=€) все эти произ-
водные совпадают и сводятся к производной Зарембы—Яуманна.
С помощью (1.41), (1.42) непосредственно проверяется такое
представление для производной 'Зарембы — Яуманна от тензора
второго ранга [22]:
Р = С 1 * (с• Р ’ с~*)' • С + — Ст- (С-т• Р • Ст)- • С-т. (1.56)
Это представление позволяет дать производной Яуманна ин-
терпретацию типа (1.52). Действительно, учтя формулы C=rsR,,
С-1 — Rkrk, из (1.56) получим
Р - + (₽?.) fl S7)
P;‘-R,P-R’, Р*-1*.рХ
Л*
Введем в рассмотрение собственно ортогональный тензор
H(t), определяемый единственным образом из следующей зада-
чи Коши:
H_Tz=S(t) . Нт, Н(0) = Е. (1.58)
На основании (1.58) вместо (1.53) можно записать
р = НТ-(Н-Р.НТ)- • Н. (1.59)
/V* /W /4Z /V ****
Ортогональный тензор Н можно представить в виде
H(t)=7k1;(t), Т;(о) = к, (1.60)
где' ik. ik(t) — ортонормированные базисы. Представив тензор Р
в: виде разложения Р=Р’к i' ik , из (1.59), (1.60) получим
1^/
Последняя формула показывает, что производная Зарембы—
Яуманна есть производная' по времени, вычисляемая с точки зре
ния наблюдателя, неподвижно связанного с системой осей к
вращающейся с угловой скоростью частицы <о = —— Д°О.
Представление (1.59) подсказывает способ определения про-
изводной Яуманна для тензора любого ранга:
Р = Avh{[Avht(P)]-}. (1.62,
Под производной Зарембы — Яуманцд от скаляра (тензор
нулевого ранга). будем. понимать материальную, производную’
Рассмотрим тензорнозначную функцию некоторого числа тен
зоров произвольного ранга, зависящих от времени:
Y = f[Tt(t), ...у Tm(t)J. (1.63)
Из определения пройзводной тензорной функции (5.8) гла
вы I непосредственно вытекает формула для материальной про-
изводной по времени от тензора Y:
Y -= f. т, о Т, + ... + f. тю ° Ти. (1.J64
Производная Яуманна обладает важным свойством, выделя
ющнм ее среди других операций индифферентного дифференцнг
рования по времени. Оказывается, что если функция f есть изо
- тропная или гиротропная функция своих тензорных аргументов
то для производной Яуманна верна формула типа (1.64):
Y = t т. »Tt + ... + f. т ° T„. (1.65)
ZV /Ч» /V
Некоторые из тензоров Tk (k=sl, 2, . •. , m) могут иметь ну-
левой ранг, т. е. быть скалярами. г
Чтобы избежать, громоздких обозначений, приведем доказа-
тельство соотношения (L65) в частном случае изотропной функ-
ции Y= f (Т), где Т и Y — тензоры второго ранга. По свойству-
изотропности (5.5) главы I и в соответствии с (1.59) имеем
Y = Нт • (Н • Y • И1)'. Н = Нт [f(H • Т • Нт)]‘ • Н =
=НТ • [<£(Z)oZ] • Н, ZsH-T-HT, ®(Z)==f,z. (1.66)
Будучи производной изотропной функции f, функция Ф(2)х
значение которой есть тензор четвертого ранга, изотропна. Пусть
ек — некоторый фиксированный (не зависящий от времени) век-
торный базис, а ег — базис, взаимный к нему. Положив Ф=
==OksmPeke8emep, Z =s Zrqere4, будем иметь
ф(г) = Ф (Н-Т-Нт) = AvHT [ф (Т)] =
- Фк8тр (Т) (Н • ek) (H-es) (Н -em) (Н . ер),
ф (Z) ° t = Фк’тр (Т) Zrq ((Н.ек)(Н-е,)(Н.Гт)(Н.1р)] о (??>)=
= 0bmp(T)(H,;k)(H.es)[(emlp)o (HWHMZrJ =
= Фкяпр(Т)Н . (еке.) • НЧ(е„Гр) о (Нт • Z • Н)(. (II.67)
Учитывая, что Нт • Z • Н = Т , из (1.66), (1.67) получим
Нт • [®(Z) ° Z] • Н =Ф(Т) о (Нт ‘ Z • Н) — f,T° Т»
что и требовалось доказать. г
п
Если иметь в виду представление (1.61), то доказанная фор-
мула (Г.65) для дифференцирования по Яуманну сложной функ-
ции кажется интуитивно очевидной. Однако следует помнить,
что она справедлива только для изотропных и гиротропных
функций.
Для производных • Ривлина и Олдройда правило (1.65) не-
справедливо даже в случае изотропных функций.
Частным случаем теоремы (1.65) является правило днффе-..
ренцирования по Яуманну произведения двух тензоров второго
ранга, установленное в [38] путем непосредственного примене-
ния представления (1.53)
(Т • Р)О = Т • Р + Т - Р. • (1468)
Отметим еще, что производная по Яуманну от гиротропного
или изотропного тензора, материальная производная которого
равна нулю, также равна нулю. Для производных Ривлина и
Олдройда это несправедливо. Например:
Е = 0, Е = 2е, Е = —2е. ' (1.69)
“*• -►
Материальные векторные базисы Rg, Rk, как показывает
(1.10), зависят от времени. Рассмотрим два момента време-
ни t и ;т и образуем тензор
С4(г) = Р8(1)Р8(г) = Р8(0^.>Рк(г) = С-*(1) • ОД. (.1.70)
Сравнивая с (il.l3), видим, что тензор Ct(x) аналогичен гра-
диенту деформации, только в качестве отсчетной здесь взята
актуальная конфигурация, а в качестве актуальной—конфигу-
рация в момент времени т. Этот тензор называется относитель-
ным градиентом деформации, он «замеряет» деформацию окрест-
ности частицы В момент времени т по отношению к постоянно
'меняющейся актуальной конфигурации. Формула (1.70) уста-
навливает связь относительного градиента деформации с гради-
ентами деформации по отношению к фиксированной отсчетной
конфигурации, соответствующими моментам времени t и т. По
аналогии с (11.23), (1.25), (1226) вводятся относительные меры
деформации и относительный тензор поворота
ОД= (ОД-СОД, ОД = Сг‘(^) СГОД, (U.71)
Ut(z)= [Д*О)]Ч At(x) = U-1(T) . ОД.
/V *** • «Ы А/ ли
Согласно (1.70)Л имеем *
Ct(t) = At(t) = Ut(t) = E.
Если'ввести обозначение Ct(t)=-p Ct(r) |t=t, то будут вер-
ны соотношения
Ut(t) = *(f), At(t) =-—S(t), Ct(t) = L(t). (1.72>
/4/ /V/ Л/ /4/ /V
Используя ; тензоры (1.70), .(1.71), можно записать такие
представления производный Ривлина, Олдройда и Яуманна
Р —~ ICt(x) • Р(х) • ОД) | _t, . (1.73>
л* ОТ л* *** - ***
р - т-1СГЧ*) • р (т) • с^б) ] I
/V ОТ **» ли ,
P=-A[At(t).p(T).AT(?)]|„st==
ли ОТ ли » ли ли
= 4”4 |С‘^ ' р<х)' СГ‘(411 <-* +
Z ОТ щ л*
+-~ 1СГТ(’). •₽<’)• C'MI I —
X ОТ -л* Л/
Пусть f (Ut) — изотропная функция, значения которой есть
симметричные тензоры второго ранга, a f (Е) = Е. ’Выражение
-у- {f [Ut (t)] • At(x) • Р(г). AT(t) . f [Ut(t)]J | x-t
дает представление индифферентной производной вида (1.55).
§ 2. Уравнения движения и определяющие
соотношения
Выделим мысленно в актуальной конфигурации материаль-
ного тела . произвольную его часть, ограниченную поверх-
ностью О». На выделенную часть со стороны остальных частей
тела действуют распределенные по поверхности О. силы, интен-
1»
сивность которых на единицу площади обозначим F. В курсах
механики сплошной среды доказывается тёорёма Кошн: суще-
-> *-► -*•
ствует тензор второго ранга Т, такой, что F=N-T, где N — век-
тор единичной внешней нормали к Поверхности О» в рассматри-
ваемой точке. Тензор Т называется тензором напряжений Коши,
или просто тензором напряжений.
Кроме поверхностных сил, на часть тела, ограниченную по- _
верхностью О., могут действовать внешние силы, распределен- ‘
ные по объему. Интенсивность этих сил на единицу массы тела
обозначим К, так что на единицу объема тела в текущей конфи-
гурации действует сила рК. Вектор К называется массовой силой.
Применим к произвольной части тела теоремы об измене-
нии количества движения и момента количества движения:
О.
№fKdV+W*id0-^№₽;<lv’ <21)
V* О. V,
JJj* р К х (R - Ro) dV 4- f J N • Т х (R - Ro)dO =
Соотношения (2Л) можно преобразовать к такому виду:
V. о.
NTdO = 0,
гы
(22)
ffiР -Я X <R —Ro) dV + JJ N T X (R - Ro) dO « 0.
V. O.
Последние уравнения можно интерпретировать как условия
равенства нулю главного вектора и главного момента всех внеш-
них сил, Приложенных к произвольной части тела, -причем в
число внешних сил включаются и силы инерции.
Иг произвольности объема V» и формулы Остроградского —
Гаусса (6.18) главы I вытекает, что в каждой точке тела должны
выполняться уравнения
40
Vi'- т 4- pK = PV, ;(2.3)
. ***
T.= TL (2.4)
Уравнения (2.3) называются уравнениями движения. В слу-
чае, если рассматривается состояние покоя,-они называются
уравнениями равновесия.
Кроме тензора напряжений Коши, в механике сплошной сре-
ды применяются другие тензоры напряжений. Одним из них яв-
ляется тензор напряжений Пиола D, определяемый соотноше-
нием
D = JC-t.T = (CL)T-T. (2.5)
/ч» ли *4/ ли
Механический смысл тензора напряжений Пиола состоит в
том, что с его помощью поверхностная сила, действующая на
материальную ориентированную площадку NdO в деформиро-
ванной конфигурации, выражается через направляющий вектор
ndo этой площадки в отсчетной конфигурации:
N-TdO ="FdO=n-D do. (2.6)
Здесь использована формула (1.38).
Уравнения движения (2.3) через тензор напряжений Пиола'
записываются в метрике отсчетной конфигурации:
V-D + РоК = р0 V. (2.7)
Уравнение локального баланса моментов (2.4) накладывает
следующее ограничение на несимметричный тензор Пиола:
CTD = DT-C. (2.8)
Соотношениями
Pi = С-т-Т-С-’, Рц=С.Т-Ст (2.9)
вводятся симметричные тензоры Pi и Рп, называемые соответ-
ственно первым и вторым ’ конвективными, тензорами напря-
жений. ‘
v ' ,
4»
Записав разложение тензора напряжений Коши в лагранже-
вом базисе актуальной конфигурации
Т = tsk R» Rk = tIk R* Rk (2.10)
и используя (Л.13), получим из (2.9)
Pi=tsk7,7k, (2Л1)
Для тензора напряжений Пиола справедливо представление
D = Jt8k^Rk.
Тензор напряжений Коши Т характеризует контактные силы
взаимодействия частей тела в актуальной конфигурации и ни-
как не связан с какой-либо отсчетной конфигурацией. Тензо-
ры D, Pi, Рц, поскольку в их определениях участвует градиент
деформации, зависят от выбора отсчетной конфигурации. Из
свойства индифферентности контактной силы F и вектора нор-
мали N вытекает индифферентность тензора напряжений, в то
время как тензоры D, Рь Рп неиндифферентны.
Использование относительного градиента деформации (1.70)
позволяет ввести в рассмотрение относительный тензор напря-
жений Пнола и относительные конвективные тензоры напря-
ЖеНИ ' Dt(x) = Jt(x) СГТ(т). Т(т), Jt(x) - det Ct(x), (2.12)
"р1‘(г)=СГ7(г). Т(я).С£(т),
PiitW = С*(т).Т(т).СТ(т).
Л/ л/ «чг
Рассмотрим материальное тело, движущееся под действием
-> -*
поверхностных сил F н массовых сил К, и вычислим скорость
изменения его кинетической энергии:
1 “ ’г'Щр ™ “ тШ «'’*
I = JjJp v-vdV = JjJv.(v-T + ₽К) dV = -
“ Ш » к ’dv + Яр-’ОО+fП (- »>dv’ • - J
V О V
(2.13)
Здесь, использованы уравнения движения (2.3), свойство сим*
метричиости тензора напряжений и выполнено интегрирование
по частям с применением формулы Остроградского — Гаусса
(6.18) главы I. _
Согласно, известной теореме теоретической Механики, ско-
рость изменения кинетической энергии системы равна мощности
всех внешних и внутренних сил. Первые два интеграла в правой
части (2.2) представляют собой мощность внешних сил, прило-
женных к материальному телу. Поэтому третий интеграл. есте-
ственно назвать мощностью внутренних сил материального тела.
Индифферентный скаляр л называется мощностью напряжений.
Для этой величины справедливы представления
к = Т о e = -Lpl о А =----!~рп о (A-');«h«D.o С. (2.14)
/V 2 Л* л, 2 ГУ/ ГУ/ ГУ/
Материальное тело-называется гиперупругим (идеально упру-
гим), если существует такая функция W[A(t)], называемая
удельной потенциальной энергией деформации, что для любых
движений выполняется соотношение
J<=W. (2Л5)
Дифференцируя W как сложную функцию и учитывая, что -
А — произвольны^ симметричный тензор., получаем из (2,14)
Pi =2J-> W, a=J_1W,H* Рп = —2J-> W,A-.. (2.16)
*** /4Z
D = W, с, Т = 2J-’ Ст- W. д • С.
**/ л/ л/ 2 rv *** rv
Для мощности внутренних сил гиперупругого тела имеем,
согласно (2.15):
да (~’>dv—да**—да wav—й.
V v v
Il-JJJwdv. (2.17)
V
Так как W есть потенциальная энергия деформации, содер-
4»
экащаяся в единице объема отсчетной конфигурации, величина П
представляет собой потенциальную энергию всего тела. Форму-
ла (2.15) показывает, что мощность внутренних сил в гиперупру-
гом теле равна скорости убывания потенциальной энергии де-
формации. -
Сформулированное выше определение гиперупругого тел а-яв-
ляется насколько, формальным, хотя и не лишено физического
содержания. Более обоснованным с физической точки зрения
является вывод соотношений (2.16) из законов термодинамики ,
[35, 42, 47], причем оказывается, что представления (2.16) дей-
ствительно выполняются для изотермического или адиабатиче- ,
ского процессов.
Соотношения вида (2.16), выражающие напряжения в части- i
це через движение окрестности частицы, в механике континуума =
принято называть определяющими соотношениями, так как они
определяют, задают механические свойства материала. Для ги-
шерупругого материала, согласно (2.16), тензор напряжений в !
частице в данный момент времени полностью определяется за-
данием градиента деформации в этой частице в тот же момент 1
времени. Модель гиперупругого материала не учитывает влия- ;
ния предшествующей данному моменту времени истории дефор-
мации на тензор напряжений, то есть пренебрегает эффектами
памяти материала.
Иногда используется модель материала, в которой эффекты-
памяти также не учитываются, но существование энергии дефор-
мации не предполагается. Такие материалы называются упруги-
ми и имеют такое определяющее соотношение
Т = СТ?(А)..С, * (2.18).
где <р — тензорная функция, значение которой есть симметрич-
ный тензор второго ранга.
Свойства гиперупругого материала полностью определяются
заданием удельной потенциальной энергии ^деформации как
функции компонент тензора А, или, что эквивалентно, как функ-
ции тензора деформаций Коши;—Грвда И. Вид,,зависимости W
от тензора А определяется не только^свойствами матерйа'ла, но
и выбором отсчетной конфигурации, т. е. положения тела, от ко-
торого отсчитывается градиент деформации. Для одного и того
же материала функции W(A) будут, вообще говоря, различными
при использовании различных отсчетных конфигураций.
44
Для неоднородных гиперупругих тел зависимость W(A) бу-
дет различной для разных частиц, т. е. упругий потенциал W
будет явно зависеть от материальных координат.
Определяющие соотношения любого материала должны удов-
летворять условию, чтобы задаваемый ими тензор напряжений
Коши Т был индифферентным (принцип материальной индиффе-
рентности [47]). Из (1.46) следует, чУо упругий потенциал
W(A), как и мощность напряжений л — индифферентные скаля-
ры. Индифферентность тензора напряжений, определяемого со-
отношением (2.16) или (2.18), также легко проверяется с по-
мощью формулы (1.46).
Определяющее соотношение материала с памятью, удовлетво-
ряющее принципу материальной индифферентности^ имеет' сле-
дующее общее представление:
T(t) = CT(t)-d>[A(t - s)] - G(t), s > 0. (2.19)
Здесь A(t — s)—предыстория меры деформации Коши, Ф —
тензорнозначный оператор, определяемый на некотором множе-
стве предысторий.
Гиперупругий материал называется изотропным, если суще-
ствует такая отсчетная конфигурация, относительно которой
удельная потенциальная энергия деформации W является изо-
тропной функцией меры деформации ,К°ши~ Грина Л. Эта от-
счетная конфигурация называется неискаженным состоянием.
Так как скалярнозначная функция симметричного тензора
есть функция его главных инвариантов, то в изотропном гипер-
упругом теле упругий потенциал есть функция главных инвари-
антов тензора А, или, что эквивалентно, функцией главных ин-
•‘W
вариантов тензора деформаций Коши И. Поскольку главные ин-
варианты тензоров Л и Л-1 совпадают, W можно считать также
функцией инвариантов меры деформации Фингера или Альман-
зи, т. е. изотропной функцией тензора Л или и.
Из формулы (2.16) следует, что в изотропном гиперупругом
теле тензоры Pj и Рц есть изотропные функции меры деформа-
ции Коши—Грина Л, а тензор напряжений Т — изотропная функ-
ция меры деформации Фингера Л-1,
zxz
4S
Глава III
Г
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
к
$ 1. Формулы теории поверхностей
Поверхность в трехмерном пространстве задается уравнением
в параметрической форме:
*•
P = P(q‘,q2), (1.1)
гре Р — радйус-вектор точки поверхности, а параметры q1, q2 на-
зываются гауссовыми координатами на поверхности. Поверх-
ность предполагается кусочно гладкой, причем (требуемая сте-
пень гладкости (т. е. порядок непрерывных’производных функ-
ций (1.1)) будет ясна из контекста и специально оговариваться
не будет.
Геометрическое'место точек, для которых значение одной из
координат зафиксировано, образует кривую на поверхности, на-
зываемую координатной линией.
Предполагается выполненным условие
¥=0.
Векторы Pa=^P/(3qa (a—1, 2) являются касательными к
координатным линиям и образуют базис в плоскости, касающей-
ся новерхности-в данной точке. Здесь и в дальнейшем греческие
индексы (принимают значения 1, 2. |В общем случае векторы Рв
не являются взаимно ортогональными и единичными.
. При «переходе от одних гауссовых координат к (другим q₽' ба-
зисные векторы преобразуются по формулам
р₽,= р.
д<^’
-* -+
, Числа Ga₽=Gpa=P<x-Pp называются коэффициентами пер-
вой квадратичной формы. Через них выражается элемент дуги
кривой на поверхности:
dS’ = dP - dP = G«p dq“ dq₽.
Единичный вектор нормали к поверхности задается соотно-
шением '
N== Р,ХР2/1 Р,ХР2 | . - fl .2)
Векторы Pi, Р2, N образуют базис в трехмерном евклидовом
пространстве, изменяющийся при переходе от-одной точки по-
верхности к другой. Векторный базис на . поверхности, взаимный
к Ра, находится из уравнений
р₽.р« = P₽.N=O. (1.3)
Аналогично (1.3) главы I получим
Р₽ = q«₽ pe> q«₽ G₽1 = &», Р° - PS =? G“₽. (1.4)
Формулу (1-2) можно записать иначе:
N = P1XP2//G‘, G = G11G22 —G*2. ’ (1.5)
Пусть в каждой точке поверхности определен Тензор X про-
извольного ранга, являющийся элементом тензорного произве-
дения нескольких экземпляров трехмерного евклидова простран-
ства. Тензор X назовем принадлежащим поверхности, если для
любой перестановки Ок,8 выполняется соотношение
N-Ok. s(X) = O. (1.6)
Тензор второго ранга
G = Е — NN = G“₽ Р« Р₽ = С«/Р» Р₽ = Р« Рв (1!-7)
называется первым фундаментальным тензором поверхности. Ои
является единичным тензором в плоскости, касательной к по-
верхности. •
Дифференцируя по координатам равенство N»N=4, видим,
что вектор dN/dq«-принадлежит поверхности и может-быть пред-
ставлен в виде
*
./ dN/d<£ = ^B.₽P₽, (1.8)
/ -► -*
. С другой стороны, дифференцируя равенство Pe-N=0, по-
лучим I
N-(dP./dq₽) = N(d2P/dq«dq₽) = - P“-(dN/dq₽) = В.₽ = Bp..
(19)
Числа Вар называются коэффициентами второй квадратичной
формы поверхности, а. тензор второго ранга
в = В.р Р« РР = «РР. Р₽ = В« Р. РР, (1.10).
ВЧ? = G“T QP® В76, В“ = G’T Вт₽
называется вторым фундаментальным тензором поверхности. Он
Характеризует кривизну поверхности в данной точке.
Тензоры G и В симметричны и принадлежат пбверхности.
Если тензор второго ранга X принадлежит поверхности, то
детерминант (третий инвариант) X, рассматриваемого как трех-
мерный тензор, равен нулю. Поэтому детерминантом тензора,
принадлежащего поверхности, будем называть его второй инва-
риант. Эта терминология оправдывается тем, что последний ра-
вен определителю матрицы смешанных компонент тензора X в
векторном базисе на поверхности:
. X = Х«₽ Р. Р₽ = Хр«Р₽ Р«, det X = I Хр“ I = I .1 =
= -^-(tr2X — trX2), trX=EoX = GoX. (1.11)
* o' л/ /V /ч/ /ч.
Под тензором Х“‘, обратным к тензору второго ранга X, при-
надлежащему поверхности, будем понимать тензор второго ран-
га, также принадлежащий поверхнбсти й удовлетворяющий со-
отношению X-1.X==X.X_1=G. Матрицы, смешанных компонент
тензоров X и X-1 взаимно обратны.
Формула Гамильтона — Кэли для двумерных, то есть при-
надлежащих поверхности,- тензоров второго ранга приобрета-
ет ВИД
X1— X tr X + GdetX =0. (1.12)
Дифференциальный оператор*
V' = P«d/<?q“ (L13)
называется набла-оператором на поверхности, а тензор V'X на-
зывается градиентом тензорного поля X, заданного на поверх-
ности: Здесь X — тензор произвольного ранга в трехмерном
евклидовом пространстве. С помощью набла-оператора записы-
вается линейная часть приращения тензорного поля X при сме-
щении из одной точки поверхности в соседнюю:
dX = dP-v'X. (’1Л4)
На основании (1.9), (1.13) второму фундаментальному тен-
зору поверхности можно дать следующее бескоординатное опре-
деление [19]:
В = —VN. (11.15)
* ***
Как и любой симметричный тензор, тензор. В имеет веще-
ственные собственные значения Кь Кг, называемые главными
кривизнами поверхности в данной точке. Спектральное разложе-
ние тензора В записывается в виде
В — Ki Ci et 4-.К2С2е2,
-> -►
где ei, е2 — единичные ортогональные векторы, принадлежащие
поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым в
каждой точке направлены по главным осям еа тензора В в этой
точке, называются линиями кривизны. Первым и вторым инва-
риантами тензора В будут соответственно удвоенная средняя
кривизна 2Н' и гауссова кривизна К поверхности:
Н'= — trB= — (К\ 4-К2), K = detB=K1K2. (1Л6)
2 2 zv'
Принадлежащий поверхности антисимметричный тензор вто-
рого ранга е, определяемый соотношением [17, 21, 27]
.4»
е = —G X N = —N X G = N-Д = Д-N, (L17)
/чг *м /чг ***
называется дискриминантным тензором поверхности. Здесь Д —
тензор Леви-Чивита (см.3славы I). Из (1.17) получим
е = е«₽ Р, Р₽ = е«₽ Р» Р₽, (1.18)
ГЧ/
eII=e11=e22«eaa=0, ei2=—e2i=yG, е,а=—e21=l/|'G.
Имеют место тождества
e«f>e«T = 8j8₽ —8«8g, е2 = —G. (1.19)
Тензор Леви-Чивита выражается через дискриминантный тен-
зор поверхности следующим образом:
Д = eN + Ne —ai,2(Ne). (1.20)
/чг /чг /чг
Учитывая, что тензор Леви-Чивита постоянный, а тензор V'N
симметричен, из предпоследнего равенства в (1.17) получаем ~
тождество
v'-e = v'-(N-Д) = - (v'N) о Д =0. (1.21)
Для любого дважды дифференцируемого тензорного поля X,
'определенного на поверхности, справедливы тождества, анало-
гичные соотношениям (6.16) главы I:
V' X (V' X) = — N X В-у7 X, (1.22) „
г» л* «V
V' • (v' X X) = Р’-В-(N х <?x/dq«). (1.23)
Используя непосредственно проверяемое тождество
N-(v' X Y) = -V-(NX Y) = v'-(e-Y) (1.24)
и умножив (4.22) слева иа вектор N, придем к важному тож-
деству:
v'-(e-vzX) =0. (1.25)
«Ч/ ГМ
При вычислении градиента тензорного поля на поверхности
наряду с формулами дифференцирования вектора нормали (1.8)
нужны выражения производных векторов базиса по координа-
там. Они имеют вид
dP«/dq₽ = Гт₽Рт 4- Ba₽N, = -I* Pi + B“N. (1.26)
Символы Кристоффеля на поверхности выражаются че-
рез коэффициенты первой квадратичной формы-формулами, по-
вторяющими *(6.8) главы I, с той разницей, что индексы пробе-
гают значения (1.2). ,
—* * • "
Рассмотрим векторное поле a(q‘, qz). Разложим вектор а на
составляющую по нормали к поверхности и составляющую, при-
надлежащую поверхности:
a — a! + <zN, a' = a-G = a“ Ра = ааР“; a = a-N.
Для градиента векторного поля согласно (1.8), (1.26) по-
лучим
v'a = (v'a') -G — Ba 4- (v'a 4- В -a') N. (1-27)
• —►
Принадлежащий поверхности тензор (V'a') имеет следу-
ющее представление:
(v,a'),G = v»a3I>eP₽= VeapP’P’, (1.28)-
где Ve — символ ковариантной производной на поверхности:
^.«₽ = <?а₽^'4-Г^ат, Vafl₽ = <fo₽/dq“— (1,29)
Приведем еще представление вектора V'-X, где X — принад-
лежащий поверхности тензор второго ранга:
VZ*X = v«Xe|XPlx4-Ntr(X-B), (НЛО)
v₽ х^ = <)X«W 4-1* X4*- 4- Г& Х-т.
Важное значение для теории оболочек имеет теорема о ди-
вергенции на повёрхности, являющаяся аналогом формулы
Остроградского — Гаусса (6.18) главы I. Для ее вывода восполь-
зуемся формулой Стокса (6.19) главы I.
Я
Предварительно отметим, что тензор произвольного ранга X
можно представить в виде следующего разложения:
X^NXX. + NX,. (11-01)
В самом деле, имея в виду тождество G = —NX(NXG),
можно написать
X = E-X = (G+~NN)-X =---NX(NXG-X) + NN-X,
откуда
Х1== — NXG-X = — NXX=e-X, X2 = N-X. (1.32)
Применим к тензору Xi формулу Стокса
ff N.(Vxx1)dO= Jt-XjdS, (1.33);
О ~ Г ~
где t — единичный вектор касательной к контуру Г. Далее имеем
N-(V X X,) = N-(v' + Nd/dZ) X Xt = N (V +XJ.
rv
Здесь Z — координата, отсчитываемая по нормали к поверх-
ности. Таким образом, хотя в исходной форме теоремы Стокса
(6.19) главы I фигурирует тензорное поле, заданное в трехмер-
ной области, левая часть равенства (1.33) не зависит от способа
продолжения поля, определенного на поверхности, в трехмерную
область, примыкающую к поверхности.. Приходим, к. формулу
Стокса, применимой для тензорного поля, определенного толькс
на поверхности: .f
№•(¥' X X.) dO = f t-Xi dS. (1.34)
О г
В соответствии с требуемым в формуле Стокса направление»'
обхода контура верно равенство
t = -MXN, (ОД
где М — единичная нормаль к контуру Г, лежащая в касатель-
ной к поверхности плоскости (M-N=0) и направленная в сто-
рону, внешнюю по отношению к поверхности.
Сославшись на (1.24) и тождество (MXN) • Х|«М • (NXXi),
вместо (1.34) получим •-i .
JJv'-(N X Xt) dO - ф M.(N X Xi) dS. (11.36)
Далее на основании (1.15), (1.16) имеем
V'-(NX2) = (v'-N) Х2 = - 2Н' Х2. (1.37)
Из (1.31), ('1.36), (1.37) получаем искомую формулу, спра-
ведливую для произвольного непрерывно дифференцируемого
тензорного поля X:
fj(v'-x + 2H'N-X)dO = ф M-XdS. (Ъ.38)
О * ~ г
Из (1.38) можно получить более общую формулу. Положим
X = GY и заметим, что V'-G—2H'N. Тогда будем иметь
Л(?' Y + 2HNY)dO = (A MYdS. (1.39)
~ ~ т ~
о г
' Из (1.39) следует формула, аналогичная второй формуле
(6.18) главы I:
JJ (v' ><; X + 2H'N X X) dO = ф М X X dSv. . (Ц.40)
-о ~ ~ г
Наконец, положив в (1.40) X=NY, придем к такой интеграль-
нор формуле:
" JJ V' X (NY) dO = ф 7Y dS. (1.41)
Я
Так как площадь элементарного параллелограмма, построен-
ного на векторах Pidq1, Padq2 равна |PiXP2|dq1dq2=VG dq‘dq2,
элемент плрщади поверхности выражается формулой
dO = fGdi‘dq2 (1.42)
§ 2. Деформация поверхности
Рассмотрим некоторую.'поверхность о, параметризированную
гауссовыми координатами q1, q2. Радиус-вектор точки этой по-
верхности обозначим р, векторы основного и взаимного базисов -
иа поверхности обозначим ра, р₽, первый и второй фундамен- ’
тальные тензоры соответственно,—g и Ь, коэффициенты перво#
и второй квадратичной формы — ga₽, bap, единичный вектор-
нормали — и.
Далее рассмотрим взаимно однозйачное гладкое отображе-.
ине'поверхности о в другую поверхность О. Это отображение,
-зависящее от времени t, как от параметра, назовем движением
поверхности, а положения поверхностей о и О в пространстве
назовем соответственно отсчетной и актуальной (текущей,, де-
формированной) конфигурацией. Движение ставит в соответ-
ствие положению точки поверхности в момент времени tp ее по-
ложение в момент t, задаваемое радиусом-вектором Р(р, I). Вей-
тор единичной нормали и фундаментальные тензоры поверхно-
сти О обозначим соответственно N, G, В; Считая координаты'
q1, q2 лагранжевыми, будем иметь
P«=dP/dqe,. В == — v'N, у' = Ped/dqe. (2.1)
Набла-оператор на поверхности о, то есть в отсчетной кон-
фигурации, обозначим V', после чего будем иметь
> о -♦
v'=P“d/dq“, b = -v'n. (2.2) >
Движение Р(р, t), определенное на поверхности, продолжим-
в трехмерную область, примыкающую к поверхности следующим
образом [19]. Будем считать, что любая точка с радиусом-век-
м
тором р -f- z п в отсчетной конфигурации, то есть расположенная
на нормали к поверхности О на некотором сколь Угодно малом
расстоянии от нее, ' будет иметь в ‘ момент t. радиус-вектор
Р(р, t)4-zN(p, t). Такой подход позволяет для изучения-кине-
матики поверхности применить теорию деформаций трехмерного
континуума, изложенную в главе II, и в то же время не вносит
в деформацию самой поверхности ничего лишнего. Соответству-
ющий этому движению градиент деформации в точках поверх-
ности имеет вид-
С = (V + п д/д!) (Р + zN) | ж_о = V'Р 4- nN. (2.3)
Тензор второго ранга С, введенный соотношением (2.3), есть
неособый трехмерный тензор. В то же время тензор-градиент
о “* -*
V'P = р®Рв является особым, так как
n-V/P = (v,P)-N=O. (2.4)
Легко проверить справедливость формул
С-1 =v'p+Nn, v'P = P“Pa. VzP = g» v'P = G;
~ л*
(?' P) • (V' p) = g, W P) • P) = G. (2.5)
л/
Поскольку вектор нормали N определяется заданием век-
торного поля P(q‘, q®, t), его можно выразить через тензор V'P.
Согласно (1.5), имеем
П = Pl X Ъ/'/'е — /VР1 X л g == g« g32 — g?2; (2.6)
N = Р, X Р2//~О, G - G« Озг - G?2.
С помощью (2.6) составим выражение диады nN:
" N - (? X P2) (Pi X P2)= у (P“ X?) (P- X P₽). (2.7)
Для любых векторов a, b, x, у справедливо непосредствен-
но проверяемое тождество
и
а X b х X У = (а-х by—a-у b-х) Е — а-х у Ь 4-
4-b-xya + a-yxb — Ь-уаа.
В применении к (2.7) это тождество дает
Z G /g п N = у • Ро J₽ • Рр — Р“ • Рр Р₽ • р«) Е +
+ р₽-РоРррв —р“-Р«РрР₽.
Далее заметим, что
Р« р“ = (?' Р)т, р₽ -Рр = tr (?' Р)т,
Р₽-‘РоР₽Р“ = РрР₽-Ыà = К^Р)Т]2. -
Окончательно получаем
ZG/g- « N = I (V' Р)т]2 - (V' Р)т tr (V' Р)т + .
1 о -* о-»- о -* .
+ т£ {tr8(v'P)T-tr[(v'P)TW = I(V'Р)Т- (2.8)
Здесь использовано определение присоединенного тензора:
(3.14) главы I. Заметив, что, согласно (1.412),
йО=|/Г^-йо, (2.9)
из’(2.8) окончательно находим
NdO = (v'P)L-ndo. (2.10)?
Полученная формула очень похожа на формулу (1.38) гла
1 ' о •*
вы II. Однако в последней фигурирует неособый тензор C=VR
(V — трехмерный набла-оператор). В формуле же (2.10) уча
ствует не имеющий обратного тензор V'P. Формула (1.38)! гла-
вы II предполагает знание движения трехмерной окрестности
рассматриваемой материальной точки, например, шара произ-
вольно малого радиуса. При использовании формулы (2.10) тре-
буется знание движения лишь двумерной окрестности данной
частицы, напримёр, круга произвольно малого радиуса.,
М '
Пусть имеется некоторая кривая у, -лежащая на поверхно-
сти о, a m — вектор единичной нормали к этой кривой, лежащий
в касательной к поверхности плоскости. Единичный вектор ка-
сательной к кривой у обозначим т. Предполагается, что взаим-
ная ориентация векторов ш, т, п такова, что выполняется со-
отношение, аналогичное (1.35). После деформации поверхности
кривая у перейдет в кривую Г, лежащую на поверхности О и
имеющую вектор нормали М = t X N. С помощью соотношений
(2.3), (2.5) и (1.38) главы II получается формула преобразо-
вания
М dS == •,/ Q/g С-1 • m ds — Q/g (v' р) • m ds. (2.11)
Здесь dS и ds — элементы дуги кривых у и Г. Формула, свя-
зывающая векторы t и т, выводится так:
.. t = dP/dS = е-»<?P/ds = •-»<• v' р, е = dS/ds. (2.12)
Рассматриваемые вектбры представим в виде следующих раз-
ложений:
М = М« Р®, rii = m« р“, t = t® Ро, t = t® р». (2.13)
Из (2.11)—(12.13) получим
М» = e-’G/g tna , t® = e-11® ,
e = У t« G.₽ = )/ (G/g) m« m₽ G*^. (2.14)
Рассматривая изменение длины материального волокна по-
верхности при деформации, приходим к мере деформации Ко-
ши— Грииа на поверхности:
dS’ = dP-dP= dp-Qx-dp, Gx = (v,P)-(v/P)T =
= C-CT— nn. (2.15)
Меняя местами отсчетную и деформированную конфигура-
ции, получим меру деформации Альманзи на поверхности:
ds* = dpdp = dP-gx-dP, gx =C-’-C-T— NN-
*>* fW fw /**
= (v'₽) • (v'p)T. (2Л6);
Наряду с этими тензорами можно использовать им обратные
Gx-‘, gx~*. Введенные тензоры имеют следующие представления:'
•W /** „
Gx =G«pp°p₽, Gx~* =G°₽popp bbG~,
gx= g«pP“P₽, g^-> = g«₽Po P₽==g-. ’ (2Л7)
Из (2.17) следует, что тензоры Gx, GA принадлежат поверх-
ности о, в то время как тензоры gx и g* принадлежат дефор-
мированной поверхности О. Отметим, что
detGx =* det gx = G/g. (2.18)
Как и в трехмерной теории деформации, вводятся тензоры
деформации Коши И' и Альманзи и7 на поверхности:
n'=4-(Qi-g)« н7--^0-^)* (2J19)
W. - И«в> ?. и7 = И„₽ Р* Р₽, И«₽ = 4- - g«₽ )•
_ Л/ /V *
Введя в рассмотрение вектор перемещения точек поверхно-:
ста и = Р — р, получим из (2.15), (2.16), (2Л9)
2И7= (v'u)-g + g-(v'u)T + (-v,u)«(v/ u)T,
2И'= (v'u)-G + G’(v'u)T —(v'u)*(v'u)*. (2.20)
Вектор перемещения представим следующими разложениями:
о-* “* О’*-*
u = Uo + u n =±= u7 + u N, u; = u“p., u7 = u°Po, (2.21)
и введем обозначения
{= (v'Uo)-g —bu == (v»u₽ —bPu)p“pP1 (2.22)
*** zw *v
f = (v'u')-G — Bu==(VaU₽ — B₽u)P°P₽,
-* о о -* о о . о -* . -о -*
Фо = v'u + b-u = (v«u + b₽Up)p° — <₽«рв,
ф = v' U +XB-U fe= (v« u + B£ Up) P“ — <P« Pa.
/V
Теперь по формуле (1.27) получим такие представления тен-
зоров деформации Коши и Альманзи на поверхности:
2И' = f + F + j • F + ?0 Фо, (2.23)
2и' =f-Мт —Ыт~ ?Ф.
’ о о
Тензор — (f + fT) называется линейным тензором деформа-
ций поверхности. Если перемещения и их производные по коор-
динатам настолько малы, что можно пренебречь их произведе-
ниями по сравнению с линейными членами, то получим
И'«и'»4*(*+ *Т>. (2-24)
Градиент вектора перемещений можно представить следую-
щим'образом:
V'u = f + Ь-ЕХФ,------------
/>/ At «V
ф== ФоХ’п + фп^е°₽фрр« + фп, • (2.25)
о о ,ооо | о -*
Ф= VeOf—7 e«₽voup = — n-(v'Xu0),
2 л/ А/ Z
о ,<оо о •* ' 0 «* "*
фе= 4 (f- fT), е = — nXg = ев₽Р«рр.
«М X л/ #v «v ***
Здесь е — дискриминантный тензор поверхности в отсчетной
конфигурации. Вектор ф называется линейным вектором поворо-
та поверхности. Вектор <р0' выражается через линейный вектор
поворота так:
?о = п XV (2.26)
Учитывая, что
V' Р = g + f + Фо п, (2.27}
*4/
из формулы (2.10) найдем представление вектора нормали к
деформированной поверхности через вектор перемещений:
N=Zg/G‘Kf — 8** — g)‘?o +(1+trf Ц-detf) nJ. (2.28)
Аналогичным образом с учетом равенства
V' р — G — f — ф. N (2.29)
придем к выражению
n =/“G/g I(f — Gtrf +G) •? + (1—trf+ detf)N], (2.30).
Тензорные меры деформации (12.15) — (2.17) характеризуют
изменение длин материальных волокон поверхности при ее де-
формации, то есть определяют изменение метрики Деформирую-
щейся поверхности. Для теории оболочек этих мер деформации
недостаточно, требуются еще меры деформаций, определяющие
изменение кривизны деформирующейся поверхности. Эти тензо-
ры вводятся соотношениями
В^ = C-B-CT= - (v'N)-(v'P)1, ВА == С~Т-В*С-1', (2.31)
Л* *** ** Л* /V л* /ч/ /ЧЛ ♦ -
Ъх == С-’ • b • С-т = — (V'п) • (V' Р)т, ЬА — Ст • ь • с.
Л/ fW /V fV ► /V /V
Их геометрический смысл вытекает из разложений по мате-
риальным базисам *
В = В.₽ Р* Р₽ == В«₽ Ро Р₽, b = W? = b“p pl рр,
ВХ = В.₽Р“Р₽, ВА =В“з75₽, (2.32)-
/Ч/ Л*
Ь1 = Ь«₽р* р₽, ЬА = Ь“^>« рр. i
Принадлежащие поверхности о симметричные тензоры Вх,
В4 являются аналогом соответственно меры деформации Ко-
ши Gx и обратного ему тензора G* . Принадлежащие поверхно-
сти'О симметричные тензбры Ьх, ЬА аналогичны соответственно
мере деформации Альманзи и тензору g* и
Естественным образом вводятся аналоги тензоров деформа-
ции Коши и Альманзи
К = ВХ— b, к = В —Ьх, К==КарР’?,
к = К«?Р“Р₽, К«₽ = Вв?—Ь«?. (2.33)
Заметим, что в до время как тензоры Gx, gx являются поло-
жительно определенными двумерными тензорами, тензорные ме-
ры изменения кривизны (2.31) этим свойством не обладают.
Для того, чтобы получить представление тензора Вх через
вектор перемещения, найдем выражение тензора третьего ранга
V'V'P, учитывая (>1.26):
V' V'Р = V'(₽W = W Рр)/*Г =
= ВХ N + Ь«?пР« + (Г*₽ -4)?Р«. (2.34)
Здесь и Г’р символы Кристоффеля соответственно неде-
формированной о и деформированной О поверхностей. Из (2.34)
имеем
Вх =(J'J'P)-N. (2.35)
Используя (2.27), (2.28), из (2.35) получим
BX = |/"gjQ* {[fT*<pe — (1 Ч-trf) <р] (v«ffh —Ь«т<Р₽) +
+ (1 + tr f 4- det f) (b.₽+b* f₽« + v» ?₽) J P“ ? • (2.36)
По аналогии с (2.36) записывается выражение тензора Ьх:
Ьх = Qfe ЦП* <р» + 0 — tr f) тЧ (В.т <р₽ — V. fpT) +
и
+ (1 - tr f + det f) (B«₽—B* f₽« - Va ?₽)} Pe P₽. (2.37)
На основании (2.33) из (2.36), (2.37) получим
Кор = Z'g/G’ IP* Ф» — (1 + trj) ФТ] (Va t₽T — Ьат ф₽) +
+ (1 4- tr f + det f) (bag + b* fps + Va фр) J — b«p =
= UfT*Ф» + (1 — trf)ФТ1 (BnФ₽ — Vaf₽7) +
+ (1 — tr f + detf) (Be₽ — B«fps — Va ?₽)}. (2.38)
Можно показать, что с точностью до линейных относительно
перемещений и их производных членов справедливо равенство;
/1/0 ~ 1 — trf.
Л/ Л/
Поэтому при весьма малых перемещениях имеем
Ka₽*« V«?₽ + b*f₽«,
К k ^ (v'^o)-g +b-fT, - (2.39)
причем можно проверить, что тензор в правой части (2.39) сим
метричен. ;
Рассмотренные выше тензорные меры деформации поверхно-
сти не являются единственно возможными. С чисто геометриче-.
. ской точки (зрения вместо тензора Gx в качестве 'меры деформа
.
ции, характеризующей изменение метрики поверхности, можно
взять симметричный тензор, являющийся некоторой изотропной
функцией от !GX, например GxYj или In Gx и т. д. (Вместо тензо
ра Вх в качестве меры изменения кривизны можно взять сим
метричный тензор, представляющий изотропную функцию тен-
зоров b, Gx, Вх (такой тензор также будет принадлежать по-
верхности о). Вместо тензора Ьх можно рассмотреть изотроп-
ную функцию от В, gx, bx. Примерами таких мер деформация
могут служить рассмотренные выше тензоры В*, Ь*. В самом
деде» нз (2.31) следует
ВА ==GX _,*ВХ "0х b? — gx~1-Ьх .gx (2.40)
Лг *V •*** /V Л/ JW rv
Применив. к неособому тензору (2.3) теорему о полярном
разложении, получим
С = (С-Ст),/»-А = А(СТ-С)Ч- (2.41)
Собственно ортогональный тензор А называется тензором
поворота поверхности. На” основании (2.15), (2.16) имеем
(C.CT)v.«Uz + nn, UZ = GX4
... (CT.C),/.= gx-,/« + NN. . (2.42)
Из (2.3), (2.5), (2.41), (2.42) вытекают формулы
C-U'-A + nN, C-1 = gx‘/-AT+ Nn, • (2.43)
<4, /V /V /V /м Л/
у'Р = 1Г-А, v'P = g’,/-AT, (2.44)
N=±n-A, n=N-AT, (2.45)
#**
• •
A=U'~’.v'P + ftN, AT==gx-y'-p + Nn. (2.46)
Как линейный оператор в пространстве трехмерных векторов
тензор А переводит главные оси тензора Gx в главные оси
тензорр gx, а вектор п — в вектор N.
Если в процессе деформации в каждой точке поверхности
тензор деформации Коши равен нулю )(т. е. Gx = g), то длина
любой кривой на поверхности остается неизменной. Такие де-
формации называются изгибаниями поверхности. При изгиба-
ниях каждый элементарный отрезок на поверхности испытывает
жесткий поворот, задаваемый тензором А. В самом деле, из
(2.44) при Gx = g имеем
43
dP=dp-A. (2.47).
#v
С помощью теоремы Гамильтона — Кэли (1.12) легко прове-
рить справедливость формул*
и' '=* (2/17 + ЬН’ (/Те + °х).
и'-* == !/ (2/17 + Ь)-* le(ii+/Т> - °х1>
I* = tr Gx, l2 = detQx = G/g = 4- [I] — trG*2]. (2.48)
Здесь I], I2— первый и второй инварианты меры деформации.
Gx. Из (2.46), (2.48), (2.9), (2.10) вытекает явное выражение
тензора поворота через поле перемещений поверхности [19]:
о -* о
/Т А = (2/Т +fc + /Т) - о*] • v' Р+[ (V' Р)ТЬ
(2<49)
Сходйщийся для любого тензора второго ранга X степенной
ряд
ех^“2тг?" ('2'50’
п-=0
называется экспонентой тензора. Для нее справедливы, соот-
ношения '.[11]
ехрХ-ехр(—X) =Е, det(expX) = exp(trX). (2.51)
rs/ /V Л/
антисимметричного тензора X = %kXE» где k — еди-
ничный вектор, имеем [exp (хЕ X k)]T=exp [—/EXM-
Отсюда и из (2.51) вытекает, что экспонента антисимметрич-
ного тензора есть собственно ортогональный тензор. Более того,,
можно показать, что антисимметричный «показатель» экспонен-
ты единственным образом определяется по заданному собствен-
но ортогональному тензору. Таким образом, тензор поворота А
Л»
допускает однозначное представление
A = exp (x E X k). (2.52)
Далее имеем
(E X к)2 = к X E X к = к к - E, (Е X к)2" =(— 1)“-* (к к — Е),
Л/ Л/ * «V
(Е X к)8 = (к к—Е)-Е X к === — Е хХ (ЕХк)2Т+’= (—1)тЕХк.
Из этих соотношений на основании (2.50), (2.52) получим
такое представленйе собственно ортогонального тензора:
А =(Е —kk)cosx+kk — kXEsinx- (2.53)
Известно, что любое перемещение абсолютно твердого тела
с неподвижной точкой сводится к повороту на некоторый угол
вокруг некоторой фиксированной оси. С другой стороны, сме-
щение твердого тела можно задать с помощью собственно орто-
гонального тензора. Формула (2.53) дает выражение этого тен-
зора через угол поворота х и вектор к, задающий направление
оси поворота.
Вместо вектора хк удобнее пользоваться так называемым
вектором конечного поворота [30]., который вводится соотноше-
нием
fl-2ktgz/2. (2.54)
Воспользовавшись известными формулами тригонометрии
cos х = , sin х — —2tg , (2.55)
l+tgax/2 A l+tg3x/2
из (2.53) получим представление тензора А через вектор конеч-
ного поворота поверхности:
А =-~[(4 —вг)Е + 288— 4Е ХО]. ’
Л/ 4+“а Л/
62 = 6.6 = 4tg2x/2. (2.56)
Выражение (2.56) можно преобразовать еще к такому виду:
3, э«- л
%
= (е + 4Е X V • (Е — 4ЕX ®). (2.57)
Обращение зависимостей (2.56), (2.57) имеет вид
"8 = 2(1 +tr А)-* До А, (2.58).
Е X ®=2(Е — А) • (Е + А)-’.
Если подставить в (2.58) выражение (2.49) и сохранить толь*
ко линейные относительно вектора перемещения и члены, тем
в этом приближении получим 6 « ф, где ф—определяемый фор-
мулой (2.25) линейный вектор поворота.
Тензор <ВХ, -определяющий кривизну деформированной по»
верхностн, можно выразить через вектор конечного поворота 6
и меру деформации Коши Gx. Согласно (2.31), (2.44), (2.45)
имеем
B>< = - (V'N);(V'P)T = - [v'(n-A)]-AT-U' =
м Л* Л/ /V
= b-U' p*n-(^A/^q“)-AT-U'. (2.59)
Дифференцируя тождество А • Ат = Е, легко убедиться «*
том, что тензоры (fdA/t?q“) • Ат (а=1, 2) антисимметричны Я
поэтому допускают представление
(<?A/<?q«) • Ат = — Е X Р«. (2.60)?
Из (2.56) можно получить следующее выражение векторов ра
через вектор конечного поворота:
* 4 / * । 1 ->\
Р“~ 4+0» ( dq“ + 2 dq“ XeJ- (2.61)
Теперь из (2.59)—(2.61) следует.
Вх .u'-i _ b = _> р. х п = (е + -у Е х е) Хп -
м
4 ° * Г 0 -1 -*-* 1 -*
“ 7Т5Г Wе)’ ®~ vn8 + Т("’8)Е1 • (2-62>
Представив вектор 0 в виде разложения:
6 = ФХп Н'п, Ф п«=О, Ф = пХ6, пб, (2.63)
вместо (2.62) можно получить
Bx-U'-* — Ь=----—----[2(у'Ф)-8 —
~ ~ ~ 4+Ф>+чп I vv ’ »
— Т(у'Ф «ь 2Ь)-е — (Ф* 4- ¥»)Ь + Ь.ф Ф — (vf ЧГУе-Ф],
ф’=ф.ф «х еа—(2.64)
Симметричный тензор
Кх 4 -4 [Вх •U'-1 + U'-1 -В* ] — b (265)
можно использовать в качестве тензорной меры, задающей из-
менение кривизны поверхности в данной точке при деформации.
Как следует из (2.64), особенность этого тензора состоит в том,
что он выражается только через вектор конечного поворота и
его первые производные по гауссовым Координатам. Если дефор-
мация, поверхности представляет собой изгибание, то тензоры
К1 и К совпадают.
Если линеаризовать соотношение (2.65) относительно пере-
мещений, то получим применяемую в линейной теории оболо-
чек [53] меру изменения кривизны, выражающуюся через ли-
нейный вектор поворота поверхности.
z Заметим, что представление (2.38) тензора К через вектор
перемещения, содержащее вторые ковариантные производные,
чрезвычайно громоздко. Получаемое из (2.64), (2.65) выраже-
ние тензора !КХ через вектор конечного поворота значительно
проще. Этим обстоятельством обусловлена целесообразность
применения вектора конечного поворота в нелинейной теории
оболочек.
Согласно тождеству (1.25) и формуле (2.44), имеем
V7-(e-U'-А) = 0. (2.66)
3*
. С помощью (2.60), (2.61) уравнение (2.66) преобразуется
к виду
о о 4 -* о / д 6 1 д0 -*• \
vHe-U')—^г-р’-е.Ц'Х — + -7 —Х8) = О- <2^7)
Векторное уравнение (2.67) состоит из трех скалярных диффе-
ренциальных уравнений относительно трех компонент тензо-
ра U' и трех компонент вектора 0. Эти уравнения представля-
ют собой необходимые и достаточные условия, которым должны ..
•удовлетворять тензор U' и вектор поворота 0, чтобы определяемый
по ним, согласно (2.44), тензор V'P действительно был гради-;
ентом на поверхности qt некоторого векторного поля. Поэтому
условия (2.67) называются уравнениями совместности для тен-
зоров U' и А. По заданным функциям U'(q*, <$), 0(q-, q2),
удовлетворяющим уравненийм (2.67), доле вектора перемещений '
находится с помощью квадратур из уравнения
du = d Р - dр = dp- (LJ' • А — g). (2.68)
Вектор конечного поворота в нелинейной теории оболочек
впервые был введен в работе [60] способом, отличным от изло-
женного выше. Сравнительная простота и компактность настоя-
щего изложения теории вектора конечного Поворота достигнута
за счет применения бескоординатных методов тензорного ана-
лиза.
Широкому применению вектора конечного поворота в уточ-
ненной (с учетом деформации поперечного сдвига) нелинейной
теории оболочек посвящены работы [56, 57].
Формулы (2.67), (2.68) решают вопрос об определении век-
тора перемещений по заданному тензору деформации Коши по-
верхности и заданному вектору конечного поворота. Может воз-
никнуть задача определения перемещений точек поверхности по
заданным тензору деформаций и какому-либо тензору, опреде-
ляющему изменение кривизны поверхности, что эквивалентно
заданию функций Gx(q1, q2), Bx(q1, q2). А эта задача равно-
сильна задаче определения радиуса-вектора точки деформиро-
ванной поверхности по известным первой и второй квадратич-
ным формам этой поверхности. В дифференциальной геометрии
доказывается, что поверхность определяется своими основными
квадратичными формами с точностью до перемещений абсолют-
и
вд, твердого тела. При этом квадратичные формы должны быть
подчинены трём соотношениям, называемым условиями Гаус-
са— Кодацци. Эти условия,' которые можно, очевидно, рассмат-
ривать как уравнения совместности для тензоров Gx и Вх, име-
ют вид [27]
ви в22 - в?2 = ^rI112/dq2 - агии/ар + г», гв212 -
— Г?2 Га!,2; Гвр,8= G.p.j Г^; (2.69)
e“₽VpBaT=O. (2.70 >
Последнее уравнение можно переписать в более явном виде:*
^Вв₽ № - аВ^/^q» + Гт₽ В - Гти В7₽ = 0. (2.71)
Так как символы Кристоффеля Г]₽ и Га₽, v выражаются че-
рез коэффициенты первой квадратичной формы Gap, видим, что-
(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Bap. Уравнение
Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности через;
коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодацци
(2.71) есть следствие того, что второй фундаментальный тензор
поверхности представляет собой градиент вектора нормали.
Заметим, что соотношения (2.69), (2.70), записанные для
квадратичных форм gap, bap недеформированной поверхности»
являются тождествами, поскольку эта поверхность задана.
§ 3. Поле скоростей деформирующейся поверхности
Вектор скорости частицы движущейся поверхности опреде-
ляется очевидным соотношением
v=P. (6.1)
Соответствующий градиенту деформации (2.3) тензор L (гра-
диент поля скоростей) находится по формуле (1.42) главы II:
L = С-1 - С = С-1 tfP +~Ji N) = v'v + N N. *(3.2)
Здесь использовано соотношение, связывающее набла-опера-
торы на Поверхностях Ойо:
v'^c-I.v'=(v'7)V. (3.3)
И
Скорость изменения вектора нормали проще всего вычислить
с помощью вытекающего из (2.3) соотношения
CN = n. ' (3.4)
Дифференцируя (3.4) и учитывая, что N-N=0, получим
N = — С-1 • (у'v) • N = — (v' v) • N — — N • (у' v)T. (3.5) -
j Обозначив
» = _ N = N-(v'v)T = v’w 4-B-v', (3.6)
"" ЛИ '
v'= v-O, w — v-N,
из (3.2) получим с учетом (1.27)
L = (v'v')-G—Bw + »N—N». (3.7)
Здесь v' — составляющая вектора скорости, лежащая в каса-
тельной к поверхности О плоскости, w — нормальная составля-
ющая скорости. _
Разложение тензора L иа симметричную и антисимметрич-
ную составляющие приводит к тензору скоростей деформаций
поверхности в и вектору угловой скорости (частицы /поверхно-
-►ли
ста w:
L = е — ЕХЧ (3.8)-
« = VI)-О + 0-(v'v')т] - В w,
Е X <d = 2 = 4 [G'(v'v')т— (y'v')-G] + N& —BN, •*
u> = &XN4-u>N, i» = N-u>=yN-(v'Xv/).
Тензор е симметричен и принадлежит поверхности О в eel
актуальной конфигурации. Он характеризует скорости измене-
70
няя удлинений элементарных волокон на поверхности. Действи-
тельно, допустим, что окрестность некоторой частицы поверхно-
сти с радиусом-вектором Ро совершает жесткое движение, т. е_
поле скоростей имеет вид
v •= v0 + «0 X (Р — Рв), v0 = Ро. (3.9)
Применительно к (3.9) из (3.7) имеем
V'v = —GX«>o, »== NX“o. L = — EX «о»
откуда е=0; <о=|<о0.
Из (2.15) следует формула, аналогичная (1.43) главы II:
2е == С-'-СХ-С-т. (ЗЛО)
«Ы «М «V м
Как и в случае трехмерной сплошной среды, два движения'
Р*(₽, t) и Р(р, t) некоторого участка поверхности называются
эквивалентными, если они связаны соотношением
Р* (Р. t) = a(t) + [Р(р, t) - 7]-Q(t), (3.11)
л*
где Q(t)—произвольный ортогональный тензор, г — фиксиро-
ванная точка пространства.
Тензоры-градиенты Ф'Р и (V'P)* в двух эквивалентных дви-
жениях связаны соотношением
О о -*
(v'P)*= (v'P)Q. (3.12)
Из формулы (2.10) вытекает индифферентность вектора нор-
мали к поверхности О
N*=N-Q. (3.13)
гм
Из (2.3), (3.12), (3.13) следует
С» = C-Q. (3.14)
*** /ч» «V
п
Первый й второй фундаментальные тензоры актуальной по-
верхности О индифферентны. В самом деле, из (3.13), (3.14) по-
лучаем .
О*=(Е — NN)*=E — QT-NN-Q = QT-O-Q, (3.15)
В = —C-’-v'N, В* = — Qt C-, v,N-Q = Qt B Q- . '
Меры деформации Gx, GA, Вх, ВА при переходе к эквива-
лентному движению преобразуются следующим образом:
(OX)* = GX, (ВХ)*=ВХ, (G~)*=G~, (В-)*==В~ (3.16)
и поэтому данные тензоры неиндифферентны.
В противоположность им тензоры gx, gA, bx, ЬА индиффе-
рентны, т. е.
(gx)*=QT-gx-Q» (bx)*= QT-bx-Q. (3.17)
Из (3.10), (3.16) следует индифферентность тензора скоро-
стей деформаций поверхности.
При построении тензоров, характеризующих скорость изме-
нения кривизны деформирующейся поверхности, следует иметь -
в виду, что тензор В не может служить такой характеристикой/
так как он неиндифферентен. Следствием неиндифферентности
является тот факт, что тензор В отличен от нуля при движени-
ях поверхности как абсолютно твердого тела. Поэтому следует
лрименить описанные в § 1 главы II операции дифференциро/
вания тензоров по времени, приводящие к индифферентным тен-
зорам, в частности, производные Яумаина, Ривлина и Олдройда:
В = В +ВХ "-“X В = 4-В;(Р«Р₽ + Р₽Р<), (3.18)
B = B + B-LT + L-B= В.рР-РР, (ЗЛ9)
В= В — LTB — B-L = В“₽Р«Р₽. (3.20)
С помощью (3.5)—(3.8) получим представления этих тензо-
ров через вектор скорости поверхности:
П . -
B = (v'&)-G-e.B + 4-B-[(v,v')T“(v'v')-01. (3.21)
/V /V /V * «V ***
В = C-’ • Bx • C~T = (v' ft) • Q + в (V' V)T =
= (v'»)-o + B-(v'v' )T— B2W, (3.22)
B = (v'&)-O — 2e- B— B-(v'v')-O + BJ w. (3.23)
Тензоры 1 (3.21)—(3.23) индифферентны, симметричны и при-
надлежат поверхности О. Нетрудно проверить с помощью (3.9),
что при жестком движении .поверхности все они обращаются
в нуль и поэтому действительно характеризуют скорость изме-
нения кривизны поверхности. Если движение поверхности пред-
ставляет собой изгибание, то е=0 и все эти три тензора совпа-
дают. Таким образом, понятие тензора, определяющего скорость
изменения кривизны поверхности, можно ввести не единствен-
ным образом. Более того, из вышеизложенного ясно, что в ка-
честве такого тензора по аналогии с (1.55) главы I можно взять
□
тензор вида B-f-(Soe)o В, тде S —любой 'постоянный изо-
тропный тензор шестого ранга. Примером может служить тен-
зор
*х = В + 4 (е-В + В.е)=-Ь[(^).е-е.(¥'ш)т] =
= 4-l(v'»)O + G(v'i)T] + 4”»(е-В - Be). (3.24)
Этот тензор, характеризующий скорость изменения кривизны
поверхности в данной частице, интересен тем, что выражается
через градиент вектора угловой скорости в этой частице.
На первый взгляд может показаться, что симметричный и
1 “* *
принадлежащий поверхности тензор —[(V'O) • G -f-G • (V'0)T],
выражающийся, согласно (3.6), через' градиент скорости векто-
ра нормали, также может служить тензорной мерой скорости
изменения кривизны.
Однако легко показать, что он неийдифферентен и не обра-
щается в нуль при жестких движениях поверхности.
Применительно к первому фундаментальному тензору по-
верхности О имеем
п
0 = 0, G = 2e«<X₽P-P₽, O = -2i. (3.25)
/w л/ /V
Сравнивая выражения (3.22), (3.10), а также (3.22) и (3.25),
видим, что среди всех описанных выше тензоров, характеризую-
щих скорости изменения кривизны поверхности, производная"
Ривлина (3.19) выделяется тем, что является наиболее близким
диалогом тензора скоростей деформаций. По этой причине тен-
зор (3.19) будем называть тензором скоростей искривлений и
введем для него специальное обозначение:
В = х. (3.26)
Согласно (3.18) — (3.20), (3.24), имеем
□ д ।
х=В + е’В + В*е==В +"2е-В + 2В-е = х* Н-------(е-В + В-е). v
*** ГЧ/ ZV fV *** *** Л/ /V *** 2 а/ Л* ZW «V
(3.27).
Отметим также соотношение ,'
-# -*
N = N = N=0. (3.28).
Скорости изменения главных кривизн поверхности—можно"1
вычислить, дифференцируя спектральное разложение тензора-
B=Kietei + Кге2е2. Учитывая, что ei e!=e2-e2=0, получим
о - . -* . - - о -
Kt =е1-В*е1==е1,В*е1; К2 —е2-В-ё2 = е2-В-е2. (3.29).
*** Л/ *V /V -
Вторые равенства в (3.29) непосредственно проверяются с
помощью (3.18).
Для скоростей средней и гауссовой кривизн верны формулы
Н'= К = (2H'G — В) ° В. (3.30)
f*Z *ч/ *** rv rv
Дифференцируя по. времени полярное разложение градиента
деформации (2.41) с учетом (3.2), (3.8), получим такие соот-;
ношения:
Ат-А = 2 +AT-(U'-1*tj? -U'-U'-'J-A,. S=EX«, (3.31)
r>j £ T'-J пи
A.AT = A.S-At + -^(U'-1-U'-U'-U'"1). (3.32)-
/ч/ /w rv Z л/ л/
Из (2.56) можно найти
Ат-а = [еXе +-L (Ге-ее)], (з.зз>
а-ат=-^—fexe-X (Ге_'в'е)1. (3.34J
Из (3.31)—(3.34) следуют формулы, связывающие тензор
угловой скорости Q со скоростью изменения вектора конечного
поворота:
а = -4—1ех6+-1-(в е - е е)1 - 4-at-(U'-*-u'-й-и’-ч-А,
~ 4“г« Lai 2 J 2 rv rv л/ л/ лл ~
(3.35)
|ех6-—(6 6-6 6)]=- А-2-Ат+4- (U’-’-Й-U'-U'-1).
Lrv 2 j rv Л/ /Ч> 2 rv 4V ЛЫ
(3.36)
Последнее соотношение можно разрешить относительно про-
изводной вектора поворота. Результат имеет вид
6 = р-4~рх®+т0 0-р> (3.37)
?=-4-До (А.-Й-Ат + U’-'-U').
Как и в кинематике трехмерного континуума (глава II),мож-
но ввести относительный градиент деформации поверхности; от-
носительные меры деформации и относительный тензор поворо-
та. Аналогично (1.70) главы II имеем
Ct(t) = P«(t)P«(x) + N(t) N(t). . (3.38)
Л/
Согласно (2.15), (2.31), (2.65) можно-записать
сад=ад • сад - n(t) адТ (з.зэ)
вад=ад-в(1)-сад,
кад = 4 [вад-цад+и;ад-в>ад] -B(t).
Имеют место формулы типа (1.72) главы II:
G* (t) = 2e(t), B*(t) = ȣ), KX(t) = *x(t), e7(t) = 7(t). (3.40)
n
Глава IV
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ
СООТНОШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Выражение геометрических характеристик оболочки
через геометрические характеристики
срединной поверхности
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя поверхно-
стями, расположенными по разные стороны от некоторой по-
верхности о, называемой срединной, на одинаковом расстоянии
h/2 от нее и линейчатой поверхности а, образованной движени-
ем нормали к срединной поверхности по граничному контуру.
Положение точки оболочки в отсчетной конфигурации задается
радиусом-вектором:
r = p + zn, --h/2^ z^h/2. (1.1)
Здесь р — радиус-вектор точки срединной поверхности, z—
расстояние от срединной поверхности. Толщина h может быть
переменной: h=h(q1, q2).
Для вычисления геометрических характеристик оболочки
удобно воспользоваться следующим приемом. Можно предста--
вить себе, что оболочка получена из плоской пластины перемен-
ной толщины путем деформации специального вида, когда сре-
динная плоскость плиты отображается в срединную поверхность _
оболочки, а материальные волокна, нормальные к плоскости,
плиты, не изменяют своей длины и переходят в волокна, перпен-
дикулярные срединной поверхности.' При такой деформации бо-
ковая цилиндрическая поверхность плиты переходит в поверх-
ность а.
Пользуясь тем, что геометрические характеристики пластин-
ки постоянны по толщине, и применяя приведенные в § 1 гла-
вы II формулы преобразования ориентированной элементарной'
площадки, элемента объема и набла-оператора при конечной
деформации, можно вывести следующие соотношения [21]:
тв da = a(g — zb)-1 • m ds dz, (1.2)
h
dv = a do dz, a = det (g —г b),
ЛИ ГМ
О О -*
V Ф(Ч*« q’. z) = (g — z b)-1 • v' <F + n dtf/dz. (1.4)
Здесь mo — единичная нормаль иа поверхности о, m—еди-
ничная нормаль к граничному контуру срединной поверхности о
(т • n=0), ds — элемент длины этого контура,'q1, q2—гауссовы
координаты срединной поверхности, do — элемент площади сре-
динной поверхности, dv — элемент объема оболочки, <р — произ-
вольная функция координат (не обязательно скалярнозначная),
V — трехмерный набла-оператор в отсчетной конфигурации обо-
лочки.
Из (1.2) легко находим
do = а у m• (g — zb)-2-m ds dz, ('1 -5)
*
m0 — (g — zb)-1 (m)[m-g — z b)-2-m)]-4 (1.6)
Аналогичным способом можно поручить выражение направ-
ленного элемента площади (ndo)± поверхностей z=±h/2 в слу-
чае оболочки переменной толщины:
(n do)± = а(+ h/2) [± п+ 4*Т h/2b)-‘/‘-v'hJ do.' (1.7)
Z Л/ л/
Из (1.7) следуют формулы
(do±)=a(±h/2) 1/ 1+4-v'h-(gTh/2b)-2-v'h do, (1.8)
±n+ 4-(g +-1i/2b)-’-v'h
n±=--------- . ~ -------- (1-9)
1/" 1 + 4"V'h-(g ± h/2b)-2-v'h
Формулы (1.2)—(1.9), выражающие геометрические характе-
ристики трехмерного тела-оболочки через геометрические харак-
теристики срединной поверхности, справедливы для достаточно
тонкой оболочки, а именно такой, для которой det(g ± h/2b)#=0.
ТТ
При нарушении последнего условия система криволинейных
координат q1, q2, z становится непригодной для однозначного за-
дания положений точек оболочки.
Формулы, аналогичные (1.2) — (1.9), имеют место также для
деформированной (актуальной) конфигурации оболочки. Онн
получайте»! из формул, приведенных выше, заменой строчных
букв на прописные.
§ 2. Уравнения рмиовесмя оболочки
усилиях и моментах
Пусть в актуальной конфигурации оболочка, имеющая сре-
динную поверхность О и толщину Н, находится под действием
внешних поверхностных ецл F+ н F-, распределенных соответ-
ственно по поверхностям Z = 4-Н/2 и Z = —Н/2, и массовых
сил К, распределенных по объему оболочки. Прн этом будем
считать, что в число массовых сил включены и силы инерции.
. Запишем условия равновесия участка V. оболочки, ограни-
ченного поверхностями Z==±H/2 н линейчатой поверхностью 2»,
пересекающейся со срединной поверхностью по произвольному
замкнутому контуру Г»:
H?-d0+W₽'KdV^
О*- у.
(2-1)
Е» 0*+
(?- n)dO- 4- f ffp К X (P + ZN) dV = 0.
(2.2)
О,
Здесь T — тензор напряжения Коши в оболочке. Эти уравне-
ния означают равенство нулю соответственно главного вектора
н главного момента всех сил, приложенных к объему V». С ис-
пользованием формул (1.3), (1.8) нх можно переписать в та-
ком виде:
j'j’Ms-TdE + ppFdO = 0, . (2.3)
V ~ О*
п
JJMj.T X R dE + JJ (F x P +1 X N) dO - О, (2Л)
- о*
где
H/2
F= [ pAKdZ + A(-^-'jl/l+-l-v'H./q-—В V.v'HF++
—H/2 ' '* 4 2 ~/
+А(“т)]Л !+т?'н-(2+^в)'2-*'н^--’ m
A(Z) = det (Q - Z B);
^=т[А(1т)1Лi + q-v'H-fG-iBr2 .V'HF+*G-
L \ £ / V 4 2 ~ ~
H/2
' + f pK-GZdZ. (2.6)
—H/2
Механический смысл формул (2.5), (2.6) состоит в том, что
с их помощью внутри каждого участка оболочки, опирающегося
на элемент dO срединной-поверхности, система сил F+, F_, рк
заменяется статически эквивалентной ей системой сил и момен-
тов, сосредоточенных на срединной поверхности с интенсивно-
—► —► “► —► *-► г - i
стями соответственно F и £XN (£ • N=0) на единицу площади.
. Сославшись на (1.2), вместо (2.3), (2.4) получим
jM«(v'4-V'N) dS4- Jf FdO =0, (2.7)
г* ~ о;
J М-(/ХР + V'N X Р +!»' X N) dS+JJ(FX Р +1X N)dO = 0.
г* ~ ~ У* (2.8)
Здесь естественным образом введены принадлежащие поверх-
ности О тензор усилий v', тензор моментов р,' и вектор пере-
резывающих сил V':
7*
/=/1 A(Z) (О-ZB)-’ T-Q dZ, (2.9)
~”/2
H/2
|/= f A(Z)(G-ZB)‘TG^dZ, (2.10)
/V Л /ч> л/ л? /ч>
—H/2
H/2
V'« f ,A(Z) (O — Z B)-1-T«NdZ. (2.1)1)
J /%? rv /V
—H/2
По теореме о дивергенции (1.38) главы ИГ и в силу произ-
вольности поверхности О. из (2.7), (2.8) придем к уравнению
равновесия сил
v'.a'+F = 0, a'sv'+V'N (2.12) k-
и уравнению равновесия моментов
V X N) +₽••«' X Р« + Гх N = 0. (2.13)
ZW /Ч>
Используя (1.17) главы III, последнее уравнение можно пе-
реписать так:
V' • fa' -е) + Д ° 9' +1-е = 0. (2.1-4)
rv /W -
Силовое уравнение равновесия (2.12) преобразуется следу-',
ющим образом:
у' • / + NV' • V' - V' • В + F = 0, (2Я-5)
а моментное уравнение равновесия (2.13) распадается на» два:
(V'-I*')-G-V'-|-1 = O, (2.116)
^ + <В-ИТ=(*'Т) + ВУ. (2Л7)
Введя в рассмотрение тензор
v =/ + (В-|л')т, (2.18) ‘
который симметричен в силу уравнения\равновесия (2.17), и
исключая из (2.15), (2.16) вектор V', полупим
V'•* —В-[57,-(и' + и'т)| —+
4- NV' • [G • (v' • p') ] + F - В -1 + Nv' •?= 0. (2.19)
гм /ч>
Представив тензор р' его контравариантными компоиеитами
р'—ц/аррвРр, будем иметь. \
(р' • v')-в = — р'о v' v'N -7 (р' + р'т) ° v' v' N =
гч» гч» £ гу/ гу/
= [t(£' + £'T)-v']-J- J2-2°)
Далее получаем * (
v'|G-(v'-p.')i = v« v₽ р,₽“ =—д₽д«)р,₽в +
гу/ л/ А
+ ~(v« v₽+v₽ V«)p,₽e..
На основании тождества Риччи [27, 40, 45] имеем
(v- v₽ - v₽ v«)p,₽B ₽= - 1Ц₽ р'т‘ — R^“ р,₽* =
= r^p>-r.^.
Здесь R^*T’4 — тензор Римана — Кристоффеля на поверхности.
Для него справедливо тождество [27]
. р-Р = -КО«ъ К =det В.
' ***
Отсюда получаем
(V« V₽ — v₽ V«) р’1* = — к fr р' + Ktr Р' — 0.
Таким образом:
V«Vp p'^ = y-(Va V₽ +VpvJp'3’= 2 V«Vp(p'₽e + l»'*₽)- (2.21)
Соотношения (2.20), (2.21) показывают, что в уравнении
(2.19) участвует лишь симметричная часть тензора р':
1
/И.в-Е(^+Р'т). (2.22)
f *v Z ***
Теперь уравнения равновесия оболочки принимают вид одно- :
го векторного уравнения относительно двух симметричных тен-.
зрров v и ц:
V' -Mv' ‘Iх) + Nv' [G.(v' -nM+F-B-H-Nv' .$ = 0.
~ ~ ~ ~ ~ (2.23) >
Уравнение (2.23) получено из (2.12), (2.14) путем тождествен- :
ных преобразований. Проведя эти преобразования в обратной;
порядке, придем к уравнениям, отличающимся от (2.12), (2.14),.
хотя и эквивалентным им:
v'-o + F==Ot ^',(и,е) + До«’ + Ье = 0, (2.24)..
«V ГЧ» AU /V /V /V
c^v-p-B + VN, V»(v,.|»).Q+l (2.25)
Л/ *4/ rv Л»
Первое уравнение (2.24) можно назвать модифицированным
уравнением равновесия сил, а второе — модифицированным урав-
нением равновесия моментов.
В компонентной форме уравнение (2.23), состоящее из трех,
скалярных, запишется в виде
?«(** - р'1 В₽) - В₽ V- И‘т + F₽ - В₽ 6- -= 0 (₽ « 1, 2), (2.26)1
V<V₽l*e₽ + Bep(ve₽ —B"p₽) + F -h v«5, = 0) >
F=F₽P₽ + FN,l=^«Pe, v = v«₽PeP₽, p = p“₽P.P₽.
Отметим еще одну запись уравнений (2j23), которую моЖно
назвать дивергентной формой уравнений равновесия оболочкг*
в усилиях и моментах:
р,.в + (v' .|x).GN + Ш] +F = 0. (2.27)
Важно заметить, что уравнения равновесия (2.23) в усилиях,
и моментах, являются совершенно точными. Они справедливы:
для оболочки из любого материала и не связаны с какими-либо,
гипотезами о характере изменения перемещений и напряжений
по толщине оболочки. . . ’
М
Из формулы (2.6) видно, что для тонкд^ оболочки внешний
момент £ X N есть малая величина и в большинстве случаев им
пренебрегают. В частности, пренебрегают и моментом сил инер-
ции относительно срединной поверхности (так называемой инер-
цией вращения).
Составляющую вектора F, обусловленную силами инерции,
с достаточной для тонких оболочек степенью -точности можно
' ' ' 4' . -
принять в виде —p'v, где v — скорость на срединной поверхно-
сти, а р'— двумерная плотность оболочки, т. е. масса оболочки,
приходящаяся на единицу площади средиииой поверхности О в
актуальной конфигурации:
Н/2
р' = f A(Z)p(Z)dZ. (2.28)
-H/2
Ниже будет использоваться тождество
?'•(/ G/g v'PT) — Q/g N,
^detG*--^-Gj* ; H'=-J-trB.
8 J* gllgsr—g?2 2
(2.29)
Для доказательства (2.29) обратимся к теореме о диверген-
ции (1.38) главы III, положив X = Е:
jMdS = Jj2H'NdO.
Г. О.
(2.30)
С помощью (2.11) главы III перейдем в (2.30) к интегриро-
ваний) по контуру и поверхности в отсчетной конфигурации по-
верхности:
Jm-(/ G/g v'?)ds= [pZH'N/ G/g do. (2.31)
7. o*
Преобразуя контурный интеграл в (2.3J) в поверхностный и
учитывая, что участок поверхности о, может быть выбран про-
извольно, получаем требуемый результат (2.29).
Из (2.29) и (3.3) главы III следует, что для тензорного по-
33
ля X, удовлетворяющего условию N • Х=0, справедливо соот-
ношение
Х=у.[/-О7^(¥7)т-Х] (232),
t» r*J
Тождество (2.32) позволяет записать уравнения равновесия
(2.124) с помощью набла-оператора отсчетной конфигурации по-
верхности:
V7 + 7= 0, ?7 • (р--е) + Д о [(v'P)T-o~] = 0, (2.33)
= /"G/g"(v'p)T-°, ==Z’G/g' (VZP)T-P, f =/"G/g F-‘
Здесь мы пренебрегли внешним моментом £.
Тензоры <rv и pv являются аналогами тензора напряженш
Пиола (2.5) главы II.
Из соотношений (2.25) получаем
= v- — р'- • В + V'-' N, v4" = / G;'g (v' р)т • *♦ (2.34*
V^<G/g (v'pF-V, (v'P)t.V~=
Подстановка (2.34) в (2.33) приводят к таким формам урав
нений равновесия в геометрии отсчетной конфигурации:
’ * !Г “JT ’В + • <VP)NJ +7 = 0, (2.35*
v'. (V- — |Х- В) — В-(V7 •р-') + Nv7 - [(V7р)т• (?' -р~)] +7= 0.
(2.361
—> —> —►
Так 1как ,V7p = Pape, имеем
- •
Gig v“₽ Ра Р₽, рх =/ G/g Р^ Ра Р ₽. 2.37)
Здесь v“₽, ра₽ — контраварнантные компоненты симметрия
яых тензоров усилий и моментов v и р в базисе актуально!
14
конфигурации поверхности. Согласно (2.27), (12.22) главы 1ПГ
получаем '
P₽=P₽ + f₽7g^P«+^n. ’
О 00 00 00 о
f«p = v«u₽ — b£u, <р₽ = v₽u 4-b*u«. L
Далее имеем на основании (2.38)
<V'p)T =Pt Рх ==O”PxPx = G”[(8; + fxTg^)ptpe + <pxptn]. (2.39)
Представим векторы I и N разложениями:
f = f“ Р«х + f п, N = № р« + N п. (2.40)
Из (2.28) главы III следует
N₽=Z'g/G‘ g>₽gT’[L + (М”1 - 1) gxV], (2.41)
N = <g/G“ (1 + trf + det f).
Учтя соотношения (2.37)—(2.41), вместо (2.36) получим
VaT“? - b₽ Т“ - В« (8₽ +°f«TgT₽ )SX + n4«(G«Sx) 4- f3 = 0,
bag T«₽ 4- V« T“ — B« ?a Sx + Nva (G« Sx) +1 = 0, (2.42)
T’₽ = /‘G/g (*“ - P” BJ) (8₽ + Ц g* ),
T“=/^G/g - p” B;) ?»•
Sx = (gx₽4-°M {v«[/‘G/g' 1*“х(8?4-^8тР)Г-
— •/ G/g ba V“ *₽’} + ’P’J^'G/g'baii JAex (8₽ 4" fxT gT₽ ) 4-
4-v«(j<G7g
Уравнения равновесия в форме (2.42) отличаются от уравне-
ний (2.26) тем, что в них участвуют операции ковариантного
дифференцирования в метрике иедеформированной конфигура-
ции оболочки. Кроме того, уравнения (2.42) составлены в про-
екциях на векторы базиса р“, п отсчетной конфигурации.
Другие формы записи уравнений равновесия оболочек пред-
ставлены в работах [10, 13, 29, 33, 36, 50, 51].
$ 3. Кинематические гипотезы Кирхгофа—Лева
Классическая теория оболочек базируется на кинематических
гипотезах Кирхгофа — Лява, выражающих перемещения любой
частицы оболочки через перемещения срединной поверхности.
Эти гипотезы означают,' что материальная частица с радиусом-
вектором г = р 4- z и в отсчетной конфигурации, то есть в не-
деформированном состоянии, будет иметь в деформированной
конфигурации радиус-вектор
К(Г1) = Р(7, t) + zN(M). (3.1)
Здесь Р — радиус-вектор срединной поверхности О деформи-
рованной оболочки, N — вектор нормали к поверхности О.
Градиент деформации, соответствующий точечному преобра- -
човаиию (3.1), согласно (1.4), а также (2.3) главы III, имеет вид
AR = (g — zb)-’-C-(G — zB) + nN = (g — zb)-I-(v'P +
+ г v'N) + nN. (3.2)
Аналогично записывается выражение обратного тензора:
Vr — (G — zB)-’-C_’-(g — zb) + Nn = \
= (G —zB)-’-(v'p + zv'n) 4 Nn. (3.3) •
Из (3.2), (3.3) и (1.25) главы II получаем представления i
трехмерных мер деформации Коши и Альманзи в теле оболочки:
А = (g — zb.~’-C-(G — zB)s-CT-(g — zb)-1 4- п п = (3.4)
= (g — zb)-1-(Gx— zBx)-Gx-’-(Gx—zBx)-(g — zb)-’ 4- n n;
u »
X -= (G — zB)->. C-‘ • (g — zb)’ • C-T- (G - zB)-1 4- NN =
= (G - zB)-1 • (gx - zbx)-g*-1 • (gx — zbx)- (G - zB)->+ NN. (3.5)
Эти формулы показывают, что меры деформации в любой
точке оболочки выражаются через введенные в главе III меры
деформации срединной поверхности Gx, Вх или gx, bx. Далее
из (3.4) и (1.29) главы II следует
n-A-g = п-И-g = 0, п-И-п=0. (3.6)
Видим, что гипотезы Кирхгофа — Лява предписывают такую
деформацию оболочки,-при которой отсутствуют поперечные
сдвиги, а также отсутствует удлинение волокон, перпендикуляр-
ных срединной поверхности (Z = z).
Сославшись на (3.6) главы III, из (3.1) получим представ-
ление вектора скорости любой материальной частиды оболочки:
v (Z) = v 4- ZN = v — Zv = v — Z (v' w 4- Bv). (3.7)
—► —►
Здесь v = v'4-wN — вектор скорости иа срединной поверх-
ности. Соответствующий (3.7) градиент поля скоростей находит-
ся с помощью соотношения (1.4), записанного для актуальной
конфигурации оболочки:
Vv (Z) = (G — ZB)-1 •(?' v - Z v' &) - N &• (3.8)
Л/
Используя содержащиеся в § 3 главы III определения тензо-
ра скоростей деформаций срединной поверхности е и тензора
скоростей искривления х, выражение (3.8) можно преобразо-
вать к такому виду:
Vv(Z)=r(G-ZB)- -[e — Z(x — В-е)] 4-a>e4-iN-Nl (3.9)
Из (3.9) следует представление тензора скоростей деформа-
ций оболочки:
2е (Z) = (G — ZB.)-1 • [е — Z (х — В-е)] 4-
4- [е — Z (х — e-B)]-(G — ZB)-1. (3.10)
§ 4. Мощность напряжений и определяющие соотношения
для упругих оболочек
Принимая кинематические гипотезы Кирхгофа — Лива, вы-
числим с помощью формулы (2. fa) мощность напряжений в обо-
лочке:
1£
\ 2
= A(Z)T(Z)« e(Z)dZdO. (4,1)
v о 2L
~ 2
Подставив сюда вместо e(Z) выражение (3.10), использоваг
определения симметричных тензоров усилий и моментов *(2.9),
(2.10), (2.18), (2.22), а также учитывая симметричность тензор-
ров е и х, формулу (4.1) можно преобразовать к такому виду:
’ ж dV = f J (v ° е — р. ° к) dO. (4.2)
v О
По определению. гиперупругого тела (2.15) главы II для ги-
перупругой оболочки справедливо соотношение
V v о
h/2
W'= у <zW(A)dz. (4.3)
—h/2~ ~ i
Здесь W' —- удельная потенциальная энергия деформации
оболочкц, то есть энергия, приходящаяся на единицу площади
срединной поверхности в отсчетной конфигурации.
Сославшись на формулу (3.10), (3.22), (3.26) главы III, вме-
сто (4.2) получим
УУУ it dV = УУ КG/g (у . Gx — |хх • ВхjdO,
(4.4)
= С-т-vC-1, 1хх = С-т-р-С-1. (4.5)
Сравнивая (4.3) и (4.4), имеем в силу (3.4)
м
W' (Gx, Bx) = y]/ Gx- j/"-J Bx. (4.6)
Соотношение (4.6), являющееся точным следствием гипотез
Кирхгофа — Лява, можно также получить и из второго равен-
ства в (12.14) главы II:
h .. _h_
2 2
W' = f <zWdz = f — <zdet(vR)[(vOTTX
л. J 2 л. л.
_h_ h
2 “ 2
X(vr)l’Adz, (4.7)
при использовании (3.2), (3.4).
Важно отметить, что кинематические гипотезы Кирхгофа —
Лява не следует рассматривать как категорическое требование
отсутствия поперечной нормальной деформации в оболочке
(то есть отсутствия удлинений материальных волокон, перпен-
дикулярных к срединной поверхности), хотя это и следует из
соотношений (3.4), (3.10). Вместо этого следует привлекать так
называемую статическую гипотезу Кирхгофа [36, 46], состоящую
в пренебрежении поперечным нормальным напряжением 1вд=
=N • Т • N. При такой трактовке формула (4.2) остается спра-
ведливой, так как участвующий в выражении (4.1) член
tNN 6nn(8nn = №• e(z) • N) обращается в нуль за счет пренебре-
жения нормальным напряжением Inn (а не за счет равенства
нулю величины enn). При построении по второй .формуле (4.3)
функции удельной потенциальной энергии деформации оболочки
W'(GX, Вх) для гиперупругого материала с заданной функцией
W(A) поперечная нормальная деформация должна быть исклю-
чена При ПОМОЩИ УСЛОВИЯ tNN=0.
Введенные формулами (4.5) симметричные тензоры vx, рх
принадлежат поверхности о и являются аналогами первого кон-
вективного тензора напряжений в механике сплошной среды.
Контравариантные компоненты тензоров vx, цх в лагранжевом
базисе отсчетной конфигурации поверхности совпадают с коитр-
авариантными компонентами соответственно тензоров v и g в
лагранжевом базисе деформированной конфигурации:
v = v«₽p(1p₽} |i = |**pP«P₽,
(4.8)
vx = р₽ , |*х =—р. р., .
Из произвольности тензоров Gx, Вх в (4.6) приходим к
определяющим уравнениям гиперупругой оболочки:
-/f'!‘=w:B.=w.y <•«>
или в компонентной записи:
, Г G .8 dW' dW' / 1 « = Р
’’И g И ~‘ЗВ7== Ж.* ’ (2 а=£р.
Здесь использованы определения тензоров И' и К, приве-
денные в § 2 главы III.
Следует помнить, что, вообще говоря, удельная энергия де-
формации оболочки W' является функцией еще и некоторых по-
стоянных, т. е. не меняющихся в процессе деформации, пара-
метров, например, тензоров, характеризующих анизотропию ма-
териала, тензора Ь, задающего кривизну оболочки в отсчетной
конфигурации и т. д. Другими словами, вид функции W(GX, Вх)
определяется не только свойствами материала, но и выбором
отсчетной конфигурации Оболочки.
Для неоднородных гиперупругих оболочек энергия W' будет
кроме того явно зависеть от лагранжевых координат q1, q2. При-
мером неоднородной оболочки является оболочка переменной
толщины.
Энергию W' можно рассматривать, очевидно, так же, как и
функцию тензоров Gx-1 и ВЛ или тензоров V'P и V'N. Тогда
из (4.9) можно получить следующие представления:
N
^ = C-(v- 2|1-В-2В-[х)-Ст, р.л = С-р.-Ст,
vv = W' -[xv-v'N. pv=W' . (4.12)
~ ,V’P ~ ,?'N
Компонентное представление формулы (4.11) дает выраже-
ние ковариантных компонент тензоров усилий v н моментов р
в векторном базисе Р“:
./"о _
J/ — — 2 dG«₽
г ь
/ \ R / dW' \
, Г в dW’ f 1 « — ?
W >J = |2a7M.
(4.113)
Рассмотрим еще случай, когда удельная энергия оболочки
задана как функция тензора U'— Gx,/‘ и тензора Кх, выража-
емого через вектор конечного поворота. Опуская вычисления,
приведем для этого случая представления тензоров усилий и
моментов:
W'KX + WК« (414>
1/ — Vx = —1— W' ,4-1/ — u'-’-W' .U'-’-
V g ~ trU't у g ,и
—Bx- W'KX )-U'-> -
_ ±1/^Q’[-1 • (w;KX • в* + bx • w' KX) •
2 V g ~. ~ ~ ~
Участвующий в (4.14) тензор Bx можно выразить через тен-
зоры Кх и U', разрешив относительно тензора Вх уравнение
(2.65) главы III. Результат имеет вид
91
Вх - 7Т7 [iZ— (К« + b) + U'. (Кж + b). U'J. (4Л5>
Тензоры U' и U'-* выражаются .через (тензор Gx формула-
ми (2.48) главы III.
Предписываемая гипотезами Кирхгофа — Лява мера дефор-
мации Коши в оболочке, согласно (3.4), выражается через при-
надлежащие 'поверхности о симметричные тензоры g, b, Gx, В1.
Для изотропного гиперупругого материала удельная энергия де-i
формации W есть функция инвариантов тензора Л. В качестве
полной системы независимых инвариантов тензора Л можно
взять следующие величины: trA, trA2, trA3. Как следует из (3.4)
и тождества Гамильтона — Кэли (1.12) главы,III, эти величины?
представляют собой следы полиномов от цензоров g, b, Gx, <ВК
с коэффициентами, зависящими от координаты z и от инвариан-
тов каждого-из этих тензоров.
Известно [43], что след произведения любого числа двумер
ных симметричных тензоров выражается через следы пройзве
дений не более чем двух из этих тензоров. В рассматриваемо
нами случае тензор g можно исключить из числа тензорны.
аргументов (функции W, так как он является единичным тензс?
ром на поверхности о.
Приходим к выводу, что главные инварианты тензора Л npi
выполнении гипотез Кирхгофа — Лява будут рациональным"
функциями координаты z н следующих девяти совместных ин
вариантов тензоров b, Gx, В1:
trb==g“₽be₽, trGx = g’3G„₽, trBx = g“3Be?, (4.16}
det b = (bn bI2 — b?2 )/g, detGx=—, detB = (Bn B12 -
~ ~ g ~ ...
- Bfe )/g, b ° Gx = b«₽ G«3, b о Bx = b»₽ B.₽}
Gx о BX = g“₽ gT« Ga7 G₽8-
После интегрирования по толщине, согласно второй формул
(4.3), зависимость от координаты z исчезнет и удельная энер.
п
гия деформации W' длй оболочки из гиперупругого изотропного
материала будет функцией инвариантов (4.16). Инварианты
Ь о G\ b о В1 и G1 о В1 называются взаимными инварианта*
ми тензоров b, Gx, В1. Они определяют взаимное расположе-
ние главных осей перечисленных симметричных тензоров, в то
время как остальные инварианты (4.16) задают главные значе-
ния этих тензоров. Может показаться, что эти взаимные инва-
рианты не являются независимыми, так как задание угла между
главными осями тензоров b и G1 и угла между главными ося-
ми тензоров (В1 и Gx определяет и угол между главными'ося-
ми тензоров ,Ь и 'Вх. Однако это (рассуждение справедливо толь-
ко в случае, если главные оси каждого из тензоров определены
однозначно, и теряет силу, когда хотя бы один из тензоров ста-
новится вырожденным, то есть принимает вид тензора a g, про-
порционального первому фундаментальному тензору, у которого
положение главных осей неопределенно. ;Так как тензоры Gx, Вх
заранее неизвестны и в процессе деформации могут принимать
любые значения, в общей теории следует использовать полную
систему инвариантов (4.16).
Для изотропного гиперупругого материала энергию W можно
считать функцией инвариантов меры деформации Альманзи Z.
Имея в- виду формулу (3.5) и проводя рассуждения, аналогич-
ные изложенным выше, придем к выводу, что для оболочки из
гиперупругогб изотропного материала удельная энергия дефор-
мации W< является функцией- совместных инвариантов принад-
лежащих (поверхности О симметричных тензоров ®, gx-1, ЬА
Эти инварианты выражаются формулами, аналогичными (4.16).
Указанное обстоятельство наводит на мысль, что система ин-
вариантов (4.16) может быть выражена через совместные инва-
рианты тензоров В, gx-1, ЬЛ и обратно. Это действительно так,
а соответствующие формулы имеют вид (gA = gx-1)
trGx = trgA, trBx = B°gA, (4.17)
tr b = (det gA)_| [tr gA tr bA — gA ° bA],
det Gx = det g, det Bx = det gA det B.
93
det b = det bA/det gA, b» Gx == tr bA,
Л/ /V л* л/ Л*
b « Bx = В » bA, Gx ° Bx — tr gA В • gA — detgA tr B,
tr gA = tr Gx, >tr bA = b ° Gx, (4Л8)
tr В = (det Gx)~‘ [tr Gx tr’Bx - Gx • Bx],
det gA = det Gx, det bA = det b det Gx,
det В = det Bx/det Gx, В•gA = g• Bx,
В\ ''
gA° BA = trGxbbGx“detGxtrb.
<v' г, Л»"’V ... ~ • Л,
При использовании тензоров И' и К \(или ’U' — g и К?) ДЛ1
описания изотропных оболочек надо рассматривать совместны*
инварианты тензоров Ь, И', К !(или b, U', Кх). Завйсимоет"
энергии W'(b, И', К) от тензора b учитывает влияние началь-
ной геометрии (т. е. геометрических свойств поверхности в от
счетной конфигурации) на механические свойства оболочки.
многих случаях этой зависимостью пренебрегают, и тогда удель
ная энергия деформации изотропной оболочки может считатьс
функцией пяти совместных инвариантов двух тензоров И' и 1
(два инварианта каждого’из тензоров и один взаимный инва*
риант).
Из (4.9), (4.16) следует представление закона состояния изо-
тропной гиперупругой оболочки:
vx = cog + с, ЬД- с2 Gx + с3Вх, (4.19)
Нх = d0 g + dt b + d2Gx + d3 B\ .
Здесь Ck, dk (k=0, 1, 2, 3) — скалярнозначные функции вели-
чин (4.16), выражающиеся через производные удельной энер;
гии W/ по инвариантам (4.16). т
Для дальнейшего потребуются некоторые свойства двумер-
ных тензоров второго ранга, то есть тензоров, принадлежащих,
некоторой поверхности.
94
В тождестве Гамильтона — Кэли (1.12) главы III положим
X = Xj4-XX2, где X.—произвольный числовой параметр. При-
равняв нулю коэффициент при Л, придем к тождеству, справед-
ливому для любых двумерных тензоров Xi, Х2:
X, • Х2 + X, • X, - X, tr X, + X, tr X, + g (tr (Xt • Xa) -
-tr^trX,]. (4.20)
Здесь g — первый фундаментальный тензор рассматриваемой
поверхности.
Если тензоры Xi,X2 симметричны, то левая часть равенства
(4.20) является симметричным тензором.
Уьсйожив (4.20) справа на Ха и снова применяя формулу Га-
ммльтона — Кэли, можно получить тождество
^.4-X;^(X^gtrX0det^^X1tr(X^. (4.21)
В работе [62] доказано, что полная н несократимая система
совместных инвариантов трех трехмерных ' симметричных тензо-
ров состоит из следующих 22 величин:
1гХ„ trX], trX»; trXa, trXJ, trX’; tr X8,
trXJ, trXf; tr (XrX2), tr(X?-Xa), tr(XrX$), (4J22)
tr(XbXp; tr(Xt-X8), tr(X[.X8), tr(XrX3),
tr(XVXl); tr(Xa.X,), tr(X2-X8), tr(X2-Xn,
tr(X^XJ); tr (XrX2.X8).
В [62] также доказано, что полная н несократимая система
совместных инвариантов произвольного числа симметричных тен-
зоров второго ранга в трехмерном пространстве состоит из ве-
личин вида (4.22), где в качестве тензоров Xi, Х2, Х3 надо взять
поочередно все тензоры из рассматриваемой совокупности.
Применив эту теорему к двумерным тензорам и учтя, что след
произведения любого числа двумерных симметричных тензоров
w
выражается через следы произведений не более чем двух тензо-
ров, получаем, что любой совместный инвариант (т. е. скалярно-
значная изотропная функция) произвольного числа N симмет-
ричных двумерных тензоров есть функция следующих величину
tr Xk, tr Х{, tr (Xr Xj) (i > j), (4.23)
(i, j, k=l, ... , N).
В работе [62] доказана также следующая теорема об общей
представлении симметричнотензорнозиачной изотропной функ"
ции f (Xi,.... Xn) от произвольного числа N симметричных тен-
зоров:
N
f (Х1. . . , Xn) = ТоЕ + V (Ти X, + <р12XI) + (4Л
гы гы ГЫ /х/
1=1
N N
+22 [ ?Ц1 (X, • Xj + Xj • X,) + ?Ij2 (Xf. Xj + xr XI) +
i=5+i ~
+ Tlj3 (XrX] + XJ-X,) + ФцНХГХ] + X]-X?)J.
Здесь <po, фи, фи, фц1, Ф1]2, фцз. фщ —скалярнозначные фун*__
совместных инвариантов тензоров Xj, ... , Xn. Применяй э,
теорему к двумерным тензорам с учетом тождества Гамилыч
на — Кэли и соотношения (4.20), получим, что общее предстач
ление симметричнотензорной изотропной функции произвольное
числа двумерных симметричных тензоров имеет вид
N
f (Х2, Х2,. . . ,Xn) = фоЕ + фо? + 'V? Ф1 Xj, (4.25
iz=l ‘
f ’йь
где <ро, фо. ф1 — функции величин (4.23).
Для функции, значения которой есть симметричный тензе
второго ранга, принадлежащий поверхности, коэффициент фо Р
вен нулю.
Из (4.5) с применением формул (4.20), (4j21) получим така
представление симметричных тензоров усилий v и моментов
для-изотропной гиперупругой оболочки: -
«•
v —c'G + с'В + c9gx-1-f-Cg ЬА, (4.26)
2 - а; о + а; в++ а; ь*.
Здесь с/к. d'k (к=0, 1, 2, 3)—функции инвариантов (4.16).
Их можно рассматривать также и как функции совместных ин-
вариантов тензоров ‘В, gx-1, ЬА.
Л/ /V
Формулы. (4,19), (4.26) показывают, что в изотропной гипер-
упругой оболочке тензоры усилий и моментов есть изотропные
функции тензоров lB, g*-* и ЬЛ, а конвективные тензоры уСй-
лий н моментов являются изотропными функциями тензоров Ь,
G* Вх.
Оболочку, для которой коэффициенты сь dk и с'ь d'k-^-про-
извольные скалярнозначные изотропные функции указанных вы-
ше тензорных аргументов, будем называть изотропной упругой
оболочкой. Для упругой оболочки, в -отличие от гиперупруМй,
вообще говоря, не существует функции удельной потенциальной
энергии деформации W', т. е. соотношения (4.9.) не имеют Места.
В работах [9, 46, 51, 55] предложены несколько иные спо-
собы вывода определяющих соотношений оболочек. Определя-
ющие соотношения нелинейно упругих «оболочек из конкретных,
в частности, физически линейных [34] материалов можно найти
в [10, 15,-51, 54, 59].
Уравнения движения (2.23), определяющие соотношения (4.9)
и формулы (2.22), (2.23), (2.36)“ главы III, выражающие тензо-
ры Gx, -Вх через вектор перемещения срединной поверхности,
образуют полную систему дифференциальных уравнений, описы-
вающих движение, гиперупругих оболочек. Выразив компоненты
усилий и моментов через компоненты вектора перемещения и
подставив в (2.42), придем к системе трех нелинейных диффе-
ренциальных уравнений относительно трех неизвестных функций
гауссовых координат q1, qz и времени t. При независимости внеш-
них сил от времени и отбрасывании динамических членов в урав-
нениях баланса импульса и момента импульса (2.23) или (2.42)
имеем дело со статическими задачами теории оболочек, когда
требуется определить состояние равновесия оболочки при задан-
ных внешних нагрузках.
В статических- задачах теории оболочек не обязательно рас-
сматривать в качестве-неизвестных функций компоненты векто-
ра перемещения. Можно принять в качестве неизвестных компо-.
4. Зак. 5
менты тензоров Gx, Вх, то есть шесть функций Gap, Ва₽ (или
Иа₽, Кар). Уравнениями для них служат три уравнения равнове
сия (2.26), записанные с помощью определяющих уравнений
(4.13) через компоненты Gap, В ор» и три урзвнения совместно*
стн (2.69), (2.70) главы III, представляющие собой соотношении
Гаусса — Кодацци для деформированной срединной поверхности
В качестве неизвестных можно использовать также компонента
тензора U' н компоненты вектора конечного поворота поверхно
ста 0. Уравнениями для этих функций будут уравнения равно;
вёсия, записанные через компоненты тензора U' и вектор t
(здесь нужно использовать формулу (2.64) главы III и уравне
ния совместности 5(2.67) главы III).
Возможны и другие варианты выбора неизвестных.
$ 5. Вариационный принцип Лагранжа
В статике гиперупругих оболочек.
Варианты краевых условий
Применим к
гранжа:
упругой оболочке вариационный принцип Ла
О
Q
IJ £-8NdO —
О
г.
yk.8NdS = 0.
г
(5.1
I и kXN (k-N=0) соответственно интенсивност
Здесь
распределенных по граничному контуру Г деформированной обо
дочки внешней силы и внешнего момента', F и £— интенсивно
ста распределенных по деформированной срединной поверхности
силы и момента. Функционал JJ. W'do рассматривается ка"
о
функционал над вектором перемещения срединной поверхност
или, что эквивалентно, как функционал над радиусом-вектс
ром. Р деформированной поверхности. Левая часть соотношений
(5.1) состоит 'йз вариации потенциальной энергии деформаци
оболочки и элементарной работы внешних сил.
9В
На основании определяющих соотношений гиперупругой обо-
лочки (4.9) имеем
В JJ W' do= JJ VG/g (у vx о ВО* - . 8ВХ) do =
о о
80х - цх. 8ВХ) dO.
(5.2>
Далее из (2.15), (2.31) главы Ш получаем
8GX = v'P-(v'BP)T+ v'BP.(v'P)*,
(5.3>
8BX = — v' 8N (?' P>T—Vz N • (?' 8P)T.
С учетом (5.2), (5.3), а также (4.5) вариационное уравнение
(5.1) преобразуется к виду
П[(* - tx-B) » ?8Р + |х о ?'8N — F-8P —l-BN] dO*-
/V /V /V
— J (Ь BP + к • BN) dS = 0. . (5.4>
Г
—> —►
Варьируя соотношение C-N = п, получим
8N = - N.(?8P)T== —v'(N-8P) —В-ВР. (5.5>
Пусть граничный контур Г имеет п угловых точек с коорди-
натами Sk (k= 1., 2, ... п) по дуге контура. Предположим, что
на каждом из интервалов (Sk, Sk+i) внешний крутящий момент
-* —* —►
kt == t • k (t — единичный вектор касательной к контуру .Г) и
тензор р, являются непрерывно дифференцируемыми функциями
координаты S. Тогда с применением теоремы о дивергенцииjfia
поверхности, интегрирования по частям и с использованием фор-
мулы (5.5) вместо (5.4) получим
-J’pV,7-V,-(tx-B)-B-(v,^) + Nv,-[O-(V,-P01 +
4*
4- F + N v' -1— B-Г] -8P dO + С ЦМ. (v — 2И-В) +
• fW J, *** **.
+ k-B —/.G]*8P —(M-li-M-M-k)^-(N-8P)}dS +
<V - *4Z ~
® Sk. _ ; t __
+ V f (N-8P)[M-(v't»)+i(M-|»F)-7N+«k1/dS +
ffl V ” ~ j
n *
-f-M-fc] dS —| sk+0“ M*p.*t | Sk-О’"-kt I Sk+o +
k-d
+ kt I sk-ol(N • 8P) I Sk d0 = 0- (5-6) .
Так как вариации вР на поверхности произвольны, прихо-
дим к уравнениям равновесия (2.23). Далее, если граничный кои-
тур оболочки свободен от закреплений, то на контуре величины*
<6Р = G-6P + NN-6P и <3(N-6P)/(3M будут произвольными функ-
циями. координат S на контуре. Произвольность 6Р означает,
что точки контура могут свободно смещаться в любом направ-14
лении, а произвольность d(N • 6P)/dM означает возможность сво-
бодного вращения вектора нормали к поверхности вокруг на-
правления касательной к контуру. Приходим к следующим че-
тырем силовым граничным условиям, связывающим контурные
значения тензоров внутренних усилий и моментов с заданными;
контурными нагрузками: _ ... *
M-(v —2р-В) = —к-В, (5.7)2
- M4v,^) + d(M.p4)/dS=ZN-M.t-gl, (5.8)?
ч, /V /ч/ vS
М-р--М = М-Г (5.9)1
~ sli
Разумеется, на контуре могут быть поставлены и кинемати-
ческие краевые условия, т. е. наложейы ограничения (связи) на*
возможные перемещения 6Р точек граничного контура. Напри-
мер, для жестко защемленного края возможные перемещения
должны быть подчинены* условиям . ;
№= О, <?(N-8P)/dM == О. / (5.10)
В этом случае контурный интеграл в (5.6) обращается в нуль
в силу (5.10). Часто встречаются комбинированные граничные
условия, когда контур закреплен частично. Например,(При шар-
нирном неподвижном крае выполняются только первые три усло-
вия из (5. ГО). К иим надо присоединить силовое условие(5Л),
—>
как это следует из (5.6), и производностн |?(N • 6Р)/йМ;‘.Дадло-
гичным путем из контурного интеграла в (5.6) легко выводятся
все возможные комбинации кинематических и силовыхгранич-
ных условий. Разумеется, в общем случае комбинации Типов
краевых условий на разных частях контура могут быть различ-
ными.
Таким образом, из принципа Лагранжа (5.1), в котором к
сравнению допускаются, векторы перемещения, удовлетворяю-
щие кинематическим граничным условиям, следуют уравнения,
гиперупругой оболочки в перемещениях и силовые краевые. -
условия.
Теперь заметим, что вариационное уравнение Лагранжа (5.1)
не является, вообще говоря, в полном смысле слова вариацион-
ным принципом, так как не сводится к требованию стационарно-
сти некоторого функционала от перемещений. Это обусловлено
двумя ^причинами.
Первая причина состоит в том,- что в общем случае внешние
нагрузки могут сами зависеть от перемещений оболочки и их
производных по координатам и элементарная работа внешних
сил, вообще Говоря, не является вариацией никакого функциона-
ла от перемещений. Если же такой функционал существует, то
нагрузка называется консервативной, а сам этот функционал на-
зывается потенциалом внешней нагрузки. *
К числу консервативных нагрузок относится так называемая
мертвая поверхностная нагрузка, примером которой могут слу-
жить силы веса. Мертвая нагрузка на оболочку определяется
соотношением
* (5,1'1)
где вектор F® йе зависит о? перемещений, т. е. является задан-
ной функцией координат q1, q2. Из (5.11) следует,
ч -
jjF.№dO-
О
»JJp.-PdO.
О
т. е. элементарная работа мертвой нагрузки является вариацией
•функционала.
Весьма часто встречается случай нагружения'оболочки рав-
—►
номерно распределенным следящим давлением F = —pN (р==
const). При некоторых условиях, к выводу которых мы сейчас
перейдем, эта нагрузка, называемая гидростатической, также яв-
ляется консервативной [20, 21].
Пренебрегая толщиной оболочки, будем считать давление
приложенным непосредственно к срединной поверхности О. Эле-
ментарная работа „следящей гидростатической нагрузки, очевид-
но, имеет вид
JJ F (Р) • 8Р dO---р f f N • 8?dO. (5 Я 2)
О . ' о
Требуется выяснить, при каких условиях выражение (5.12)
является вариацией некоторого функционала. Величина давле-
ния р считается заданной и не варьируется. . 4
Предварительно докажем следующее соотношение:
JJ N-8PdO = у 8 JJ N-PdO-“У (TxPHPdS, (5.13) j
О О Г
Имеем ;
T8Jp.FdO--|-j’fs(j/rfN.p)do, (5.14)
О о |
' «
G/g = det (С’СТ), ]Л G/g = det С. . I
Варьируя последнее соотношение н сославшись на форму-
лу (2.5) главы III, получаем
6 (р^т)= ~"т' Ут * +
+ П N). 8Pe 4-n8N) = ~ = j/ (5.15)
Из (5.5), (5,14) и (5.15) получим •
Y 8 JjN<PdO= у JJ [N-Pv'-BP -P-(v'8P)-N + N-8P] dO.
о о
Имея .в виду непосредственно проверяемое тождество
N- Р v • 8Р — Р• (?' 8Р)• N = v'• (N • PSP — Р N • 8Р) + 2N •8Р
и применяя теорему о дивергенции на поверхности, приходим к
соотношению
JJ N-SPdO - -у 8 JJ N-PdO = yJ(M-PN.8P —
О О* г
— N -РМ-8Р) dS = у J (М X N)-(P X 8P)dS =
г
-----j-f (tXP)-BP dS,
г
что и доказывает формулу (5.13).
Из (5.13) следует, что гидростатическая нагрузка будет по-'
теициальной, если контурный интеграл в (5.13) представляет
собой вариацию функционала. Как известно [5], линейный от-
носительно 6Р функционал б*Э. является вариацией некоторого
функционала Э от векторного поля Р тогда и толёко тогда,
когда выполняется условие симметричности билинейного функ-
ционала:
б/б.Э = 6.6/Э. (5.16)
Применительно к нашему случаю имеем
8* э = y рJ («эр/ds х pm? ds =
г
~^pJ[(dP/<?s)XPl^Pds,
1
1W
8; Э - у Р j* (dP/ds) -8' PdS. . (5Л7) ?
7
Здесь s — текущая длина дуги недеформированного конту-"
ра у> 8Р, в*Р—произвольные вариации радиуса-вектора дефор-
мированного контура, совместимые со связями, наложенными на
контурные значения перемещений поверхности. Условие (5.16) -
в рассматриваемом нами случае запишется так: *
(((дУP/dS X Р)-8Р 4- (dP/dSX 8' Р)-8P]dS =
Г "* г;
— J ((<?8P/dS X Р) -8Z Р 4- (dP/dS X 8Р)-8' Р] dS. 7
г
Это соотношение можно преобразовать к следующему про«
стому виду: -
J(8PX8'P)-dP==O, (5.18)'
•р
или в эквивалентной форме: :
J [(8ц X 8' u) (74- У") jds =*0, • (5Я 9)’
- Т ' {
Здесь и = Р—р — вектор перемещения, т — единичный век-
тор касательной к контуру у.
Соотношение (5.18) (или эквивалентное ему (5.19)) представ^
ляет собой условие на краевые значения перемещений оболочки^
необходимое и достаточное для того, чтобы равномерно распре^
деленное по поверхности.ободочки следящее давление было кон<
серватнвной нагрузкой; (
Рассмотрим некоторые примеры приложения условия (5.18).»
Если на граничном контуре перемещения заданы, то 6Р=6/Р=О
и условие (5.18), очевидно, выполняется. Гидростатическая на-
грузка в этом случае' имеет потенциал, определяемый формулой;
Э = — у р JJN-f dOW— у Р ff (Pi X Р2)-Р dq1 dq2. (5.20) j
О, О i
4М t
Если граничный контур иля его часть свободны от закрепле-
ний, то всегда можно , подобрать такие функции 6P(S) и
что интеграл в левой части (5.18) будет отличен от нуля. В этом
случае-тидростатическая нагрузка не будет консервативной.
Допустим теперь, что край оболочки -может свободно сколь-
зить по некоторой гладкой заданной поверхности с нормалью No,
ие отрываясь от нее. В этом случае все три вектора 6Р, 6'Р, t
лежат В одной плоскости, и подынтегральное выражение в (5.18)
тождественно равно нулю, т. е. условие консервативности выпол-
нено. В частности, если край оболочки скользит по плоскости,
то нетрудно найти выражение потенциала:
- "у pfJS-Pd°~^pN0-PejM0 Pd5- (&21)
Здесь Ро — радиус-вектор -опорной плоскости, Мо — внешняя
нормаль к Г, лежащая в опорной плоскости. Легко видеть, что
выражение (5.21) без учета множителя —р представляет собой
объем, ограниченный поверхностью О и опорной поверхностью.
Рассмотрим еще случай, когда'граничный контур оболочки
жестко, связан с абсолютно твердым телом. Это имеет место, на-
пример, для~контура, подкрепленного криволинейным стержнем,
жесткость которого значительно превышает жесткость оболочки.
Для данного случая имеем
8Р = у + ш'Х Р, 8' Р = v' 4- -(5.22)
Здесь со, о'-г векторы инфинитезимального поворота твер-
дого тела, v, v' — инфинитезимальные перемещения полюса (на-
—►
чала отсчета, радиуса-вектора Р). Условие потенциальности
(5.18) после .преобразований принимает вид
(<о X v — w'x — (<» X w'J’P = 0.
' 7 = -LCpXdP, p = -fpP-dP.
2 Г Г
Пользуясь формулой Стокса, можно показать:
Jj*NdO= у Jp X dP; JJn X Р dO = — J PP-dP. (5.24)
(5.23)
Таким образом, векторы X и ₽ имеют простой механический,
смысл. С точностью до множителя —р они представляют собой?
’Соответственно главный вектор и главный момент сил давления,”
приложенных к поверхности О.
- Отменим, что, как нетрудно проверить, условие (5.23) инва-
риантно относительно выбора полюса.
Если граничный контур допускает произвольные жесткие*
смещения, то легко показать, что условие консервативности-
(5.23) не выполняется. Если же контур может вращаться лишь;
вокруг фиксированной оси, причем допускается и поступатель-
ное смещение вдоль этой оси, то векторы v, v', <о все имеют
одинаковое направление й условие (5.23) выполнено. Для этого
случая также можно построить выражение потенциала гидро-
статической нагрузки. Граничные условия иа перемещения по-
верхности задаются здесь формулой конечного поворота [30]:
P = P + Vk-(--——-6x(p-h-j-6XpJ,’
44-ба .
(T=2ktg-£-. (5.25)
Здесь k — фиксированный (неварьируемый) единичный век-
тор, задающий направление оси вращения, <р—угол поворота,
V—величина поступательного смещения. Начало отсчета век-’
торов р и Р выбрано на оси вращения. После подстановки
(5.25) в (5.17) и тождественных преобразований получим про-
стое соотношение •
1 С -*• -> ->• 1 г->- -> -
у Р J (dP/ds X P)-SPds = — р j p-(k X*) ds8V + «
к т
+ у J (7х Ю • (7х ds 8<g. (5.26)
7
Потенциал гидростатической нагрузки в этом случае можно
записать в виде
Э = ~"зГ JJXР2)-Рdq1 d.qa + у pV]нГх‘5ds+
,о . 7
м
+ у РЧ» J (Р X к) • (р X т) ds. (5.27)
7
Если абсолютно твердый 'контур вращается вокруг неподвиж-
ной точки, то, выбирав ее в качестве полюса, из (5.23) видим,
что условие потенциальности будет выполнено, если вычислен-
ный относительно этого полюса вектор р равен нулю. Для
ллоского контура у такой полюс существует; нетрудно прове-
рить, что‘это — центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
контуром у.
Вторая причина некоторой «неполноценности» приведенной
!ыше формулировки принципа Лагранжа состоит в том, что при
юказательстве вариационного уравнения (5.6) в качестве глав-
!ых (устойчивых) краевых условий были использованы кинема- (
ические условия,, то есть ограничения на вариации вектора: пе-
емещения. Пока неясно, эквивалентны ли эти условия некото-
ым геометрическим условиям, то есть ограничениям, наложен-
ьем на сам вектор перемещений и его производные. Речь идет,
онечно, только о кинематическом условии d(N • 6Р)/дМ=0,.
граничивающем возможные вращения края оболочки, так как
инематическое условие 6Р=0, очевидно, эквивалентно заданию
;ктора перемещения как функции текущей дуги контура у.
Таким образом, предстоит выяснить, является ли кинемати-
зское условие
d(N-8P)/<?M = 0 (5j28)
лономной связью, наложенной на контурные значения вектора
:ремещения и его производных по координатам. Мы рассмот- '
IM этот вопрос в случае, когда перемещения граничного контура
даиы:
u|7 = u0(s).
По формуле (5.5) имеем
_ М• 8N- (N • 8Р) + В• 8Р = A (N • 8Р), (5.29)
ом ~ оМ
< как 6P|v=0. Далее, согласно (5.5) и (3.3) главы можно
1исать
8N = _ N-(у'8Р)тe N*(C-1 -у'&Р)т =
1«r
= -C-4v'*P)-N. (5.3t
Далее имеем
v' 8P = m diP/dm 4-1 d iP/ds = m d iP/dm, (5^S
так как на контуре 6Р—d6P/ds=0. На основании (5.30), (5.31
а также (2.11) и (2.12) главы III получаем
^-(N.8P) = -M.5N = e-> -5-(т-С^-С-’-т) N X *
0М _ F g /v ***
X (dW/dm}. (5М
Из (5.32) следует, что при заданных смещениях граничного ко
тура кинематическое условие (5.28) эквивалентно следующем:
N.(<HP/<?m) ==0. (5.3!
Краевые значения тензора f и вектора фоЛ определяема
соотношениями (2.22) главы III, запишем в виде разложен!
по векторному базису касательной и нормали к контуру: . |
f = lom ТП m 4- °fXIB т m'+ f« т т 4~ fmx mt, (5.3
г
s 4- фхТ.. ;
Так как перемещения на' контуре заданы, из. (2.22) главы 1|
следует, что величины ftm и <рт суть известные (неварьируемыя
функции координаты s на контуре. ?
Сославшись на формулу (2.27) главы III, будем иметь
d iP/dm = tn 8 fmrt +t8 f mx + n 8®ra. (5.35“
Наконец, используя (5.35) и (2.28) главы III, условие (5.35
приведем к виду . J
(сх2 — вхз) 6xi + (Ьх3 — cxj — с) бх2 + (5.3Q,
4- (а 4- axi — Ьха)®х3=0. t
Здесь в целях упрощения письма .введены следующие обознл
чения: для варьируемых величин— |
Jnun — fniT— х2, фт — х2, (5.37.
ддя„ неварьируемых величии —
1 + = a, ftm== b, = с. (5.38)
Заметим, что, как легко проверить, левая часть соотношения
(5.36) не является полным дифференциалом какой-либо функ-
ции от переменных хь х2, Хз.
Уравнение (5.36) является уравнением Пфаффа [39], т. ё.
уравнением вида
3
Pk (х„ «г, Хз)8 хк=0. (5,39)
Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости
(т. е. существования интегрирующего множителя, при умноже-
нии на который левая часть (5.39) превращается в полный, диф-
ференциал) уравнения (5.39) заключается в тождественном вы-
полнении равенства [39]:
Применение этого критерия показывает, что уравнение (5.36)
вполне интегрируемо. Не останавливаясь на ходе интегрирова-
ния, приведем общее решение уравнения Пфаффа (5.36):
х8 = а(1-)-х1----— х2) + —- х2, (5.41)
\ а / а
где А — произвольная постоянная, которую в нашем случае сле-
дует считать функцией координаты s, подобно тому как пара-
метры а, Ь, с — некоторые функции от s.
Возвращаясь к прежним обозначениям, из* (5.41) получаем
геометрическое граничное условие, эквивалентное кинематиче-
скому условию (5.33):
О + -----=A(s). (5.42)
о----------------------------------------о о о о о
fm *4" fхт fmm ftm
Здесь A(s)—некоторая заданная функция.
—►
Для жестко защемленного края u|v=0; A(s) = 0. В .этом
случае <pT=f„=ftm=:O, и с учетом (2.22) главы III условие
(5.42) запишется в виде
(5.44
du/dm = О, u = u-п. (5.4®
В общем случае, когда заданные на краю оболочки (или еГ
части) перемещения ие равны нулю, условие (5.42), задающе,
поворот края, в отличие от (5.43), содержит производные почю|
мали к граничному контуру от всех трех компонент вектора п
ремещения.
Теперь можно привести более аккуратную формулировку в
риациоиного принципа Лагранжа. Пусть внешние силы консе)
вативны и имеют потенциал Э, являющийся функционалом н<.
вектором перемещений срединной поверхности оболочки. Ра
смотрим функционал I, определенный на множестве векторе
.перемещений, имеющих четвертые непрерывные производные ц
координатам q*, q2 и удовлетворяющих условиям и = u0(s)
‘условию (5.42) на некоторой части yi граничного контура у: *
I = JJ Wdo — Э.
о
Среди всех допустимых полей перемещений те и только .
сообщают функционалу I стационарное значение, которые удо>
летворяют уравнениям равновесия и силовым граничным усл-
виям.
Функционал I называется потенциальной энергией оболочк”
Сформулированный принцип Лагранжа означает, что нел.
нейный оператор краевой задачи о равновесии гиперупругой обе
лочки при консервативных внешних силах является градиента
функционала потенциальной энергии. Операторы, являрщиес
градиентом некоторого функционала, называются потенциал!
ными [5] и облагают рядом полезных свойств. f
Если в качестве граничного условия, ограничивающего пов<
рот края оболочки, используется условие, отличающееся с.
(5.42), например: 7
<Pm h = A (s) или т^|= A(s),
dm -j
то вариационный принцип Лагранжа несправедлив и свойств
потенциальности оператора краевой задачи утрачивается. :
Помимо принципа Лагранжа, в нелинейной теории оболочея
установлены и другие вариационные принципы [1, 10, 18, 25, 33]
Вариационным методом исследования нелинеино-упругих обо-
лочек посвящены работы [3, 4, 6—8, 33].
И» а
♦ 6. Прямой подход к построению теории оболочек
К сформулированным выше уравнениям механики оболочек
можно прийти, не привлекая понятий и соотношений механики
трехмерной сплошной среды, а рассматривая оболочку как ма-
териальную поверхность, наделенную определенными свой-
ствами.
Назовем оболочкой поверхность, наделенную массой с плот;
ностью р' на единицу площади. Затем примем, что оболочка,,
рассматриваемая как двумерный материальный континуум, под-
чиняется принципу возможных скоростей [16], согласно которо-
му сумма мощностей внешних и внутренних сил на любом кине-
матически возможном поле скоростей равна нулю, причем в
число внешних сил включаются и силы инерции:
Плотность (на единицу-площади актуальной конфигурации)
мощности внутренних сил постулируем 1в следующем виде [19] 2
— = — V о е + р, о х.
Г* ~ Л/ (0.1 )
Здесь е м х— соответственно тензор скоростей деформаций
и тензор скоростей искривлений рассматриваемой поверхности,
v, р — симметричные тензоры, определяющие внутренние воздей-
ствия в оболочке и называемые соответственно тензором усилий
и тензором моментов. Так как мощность внутренних' сил, по
определению, индифферентный скаляр (—д'* =—л'), то из ин-
дифферентности тензоров е и х и того факта, что в локальном
смысле тензоры е и х можно взять произвольными, следует
индифферентность тензоров v и р.
Запишем выражение принципа возможных скоростей:
П [(Р —р'v)'vp ^° ep4 lx“ zpl dO -|- <6-2)
О ~ ~ Ч ~
+ J (Л7Р —k.&p)dS = O.
г - '
—> • »
Здесь vp — возможное поле скоростей, т. е. любое дважды
дифференцируемое векторное поле на поверхности О, F —вектор
внешних сил, распределенных по поверхности О, I и k X №
(k-N=O)—соответственно интенсивность внешних распреде-.
ленных по граничному контуру оболочки силы и момента. Тен*
-> ?
зоры Ер, хр и вектор Ор выражаются через возможное поле ско|
ростей по формулам (3.6), (3.8), (3.22), (3.26) главы Ш. Для
простоты письма будем считать граничный контур гладким, т.
лишенным угловых точек,. £
После интегрирования по частям и применения теоремы &
дивергенции иа поверхности вместо (6.2) получим Г
ff(v'-(v-p-B)-B(v'p)4-Nv'4G-(v'-p)H- . Г
•о • ~ ~ ~ ~ ** ~ ;
Г < ’ £
— (M-jx-M — M-k)dwp/<?M 4- [M-(v'-!*) + —
—7- N — <?kt/dS] wp) dS = 0.
Так как поле скоростей vp произвольно, приходим к урав
пениям движения в усилиях и моментах: ?
v'-(v~P-В)—B-(v'-h) + Nv'-KMv'-h)1 +F=p'v, (6.3|
и соотношениям, связывающим краевые значения внутренних
усилий и моментов с внешними контурными нагрузками: ’
М (v — 2|i-B) + k-B = /«G, М-|*-М = М«к, i
М • (?' • и) + <? (М • |* • t)/<?S = /. N - dkJdS. (6.4И
Уравнения (6.3) совпадают с уравнениями равновесия обей
лочки, выведенными в § 2 настоящей главы путем применения
условйя равенства нулю главного вектора и главного момента
всех сил, приложенных к произвольному куску оболочки. £
Заметим, что принцип возможных скоростей справедлив, ра-ь
зумеется, и для трёхмерной сплошной среды. Если возможно^
поле скоростей считается совершенно произвольным дифферент
адруемым полем,-то. из принципа возможных скоростей следуют
уравнения равновесия (2.3) главы II? Если же поле скоростей _
не совсем произвольно, а представляет собой некоторое подмно-
жество всех кинематически возмЪжиых векторных полей, то
принцип, возможных скоростей* приводит к некоторым уравне-
ниям, ' являющимся следствием точных уравнений равновесия.
Можно получить много разных уравнений для оболочек, явля-
ющихся следствиями точных трёхмерных уравнений равновесия.
Среди них наиболее простыми и важными являются уравнения
равновесия оболочки в усилиях и моментах, так как в/них^ ка-
честве осредненйых по толщине характеристик трехмерного на-
пряженного состояния участвуют только силы и моменты — фун-
даментальные понятия для механики вообще/ н не содёржйтся
сверхстатические величины (моменты высших порядков)^
Исключительно важной особенностью кинематических гипо-
тез. Кирхгофа—Лява в теории оболочек является то, что аппрок-
симация возможного поля скоростей * по толщине оболочки в
форме, удовлетворяющей этим гипотезам, дает в качестве след-
ствия принципа возможных скоростей именно уравнения равно-
весия оболочки в усилиях и момента^.
В самом деле, гипотезы Кирхгофа — Лява,-как показано в'
§ 4 данной главы,, приводят к выражению мощности внутренних
сил в виде (6.1), из которого, как только что доказано, вытека-
ют уравнения'равновесия (6.-3).
- „Отметим еще одно обстоятельство,.характеризующее модели
оболочек,, основанные на гипотезах Кирхгофа — Лява. Если про-
следить вывод уравнений равновесия оболочек, данный.в § 2, то
молено заметить, что первоначально в уравнениях равновесия,
участвовали несимметричный тензор усилий v', несимметричный
тензор* моментов д' и вектор перерезывающих сил V'. Затем,
после исключения перерезывающих сил и тождественных пре-
образований уравнения равновесия приняли форму одного век-
торного уравнения относительно симметричных тензоров усилий
и моментов.
(Существуют теории оболочек, в которых определяющие со-
» * - ". •
отношения составляются для тензоров v', ц' и векТора' V'.B
рамках теории Кирхгофа — Лява' эти величины нё могут быть
выражены чёрез параметры, 'характеризующие деформацию обо-
лочки. Действительно, поскольку .мощность напряжений-в обо- * „
лочке, подчиняющейся гипотезам Кирхгофа--- Лява, выражает-
ся ‘только через симметричные' тензоры усилий и моментов
6.3м. в ‘ •(ft® ’"’ .’
v и у, единственно адекватным подходом будет составление
определяющих соотношений, для этих тензоров. *
’ Из представления (6.1) /ложно естественным путем лрий^ил
к понятию'гиперупругой оболочки. Учитывая формулы (3.10),
(3.22) главы' III, перепишем выражение (6.1) для мощности
внутренних сил в следующем виде: ;а *
- — JL(C-t.v.C-i) I (у + (С-Тф-С-’) ° Вх. (6£)
2 Л/ Л/ Л/ /V /V /V Л/ /4# у
По аналогии с определением трехмерного гиперупругого тела
(2.14) главы II назовем оболочку гнперупругой,-если существует
такая функция ,W,,[Gx(t), Bx(t)], что длй любых (движений обо
лочки выполняется соотношение
• , - (6.6)
W' назовем удельной (на единицу площади в отсчетной кон
" фигурации) потенциальной энергией деформации оболочки. Т<
кая терминология корректна, так как мощность внутренних си/
всей оболочки равна скорости убывания потенциальной энерги
деформации оболочки:
* ПdO = — JJ j/g/G W' dO = - A JJ W' do.
О О о
Из '(6.5), (6.6) м произвольности тензоров Gx, Вх приходи!
к определяющим уравнениям гиперупругой оболочки:
Ко/Ь = 2Ct-W' -С, V G^^-C-t.W^x-C. ’(6.7
~ О» 5 rv х о/ о/ О/ ' \
* ' «
Сравнивая (6.7) с (4.9), видим, что описанный здесь прямой
подход' к Построению теории гиперупругих оболочек приводи^
к тем же результатам, что и'метод сведения трехмерной задцч!
к двумерной, основанный на гипотезах Кирхгофа — Лява. Д
Разница этих двух способов состоит в том, что при прямой,
подходе выражение мощности внутренних сил (6.1) не выводит*
. ся, а. выдвигается в качестве аксиомы. При «том существенна
используется также аксиома индифферентности (независимост<
от’системы отсчета) мощности внутренних сил. '3
Для мощности внутренних сил оболочки можно бь&ю бь|
принять выражение, отличающееся от (6.1) тем, что в каче'
стве индифферентного тензора, характеризующего скорость из-
114
меиения кривизны поверхности, используете^ какой-либо из тен-
зоров, построенных в § 3 главы III. Возьмем, например, такое
выражение для мощности внутренних сил:
к’ = Vj о е — р., - (6.8)‘
где Xх— тензор, определенный'соотношением (3.24) главы III,
a Vi, pi — некоторые симметричные тензоры.
Так как тензор хх выражается через вектор скорости (поверх-
ности иначе, чем тензор х, выведенные из принципа возможных
скоростей ♦уравнения равновесия для тензоров vi, pi будут по
форме отличаться от уравнений (6.3). По существу же это — те
же'самые уравнения, так как они принимают вид (6.1), ecjfti в
них тензоры vi, pi выразить через тир,. Указанную связь
легко получить, воспользовавшись формулой (3.27) главы Ц1.
Подставив эту формулу в (6.1), получим
’ те'== Гт---— (р-В + В-р)]»'е — ’ (6.9)
. *
Сравнивая (6.8) и (6.9), находдм
_ *1 = * — ~г (Р-В + В-p), Pt = р... (6.10)
w *** л, «4Z ** ГУ»
Таким образом, не имеет принципиального значения, какой
из тензоров, определяющих скорость изменения кривизны по-
верхности, участвует в постулируемом выражении мощности
внутренних сил оболочки.
Как показывают соотношения1-(6.7), в гиперупругой оболочке
тензоры усилий и моментов целиком определяются изменением
метрики, кривизны и поворотом элемента поверхности в теку-
щей конфигурации по сравнению с отсчетной конфигурацией.
При более общих предположениях о материале следует учиты-
вать влияние истории движения на внутренние воздействия—
усилия и моменты. ’ *
Как видно из (6.7), тензоры усилий и моментов в некоторой
частице упругой оболочки полностью определяются заданием
О
двух тензоров в той же частице: тензора С и тензора DsV'N.
Поэтому определяющие соотношения упругой оболочки можно
записать так: '
4t) - f, [G (t), D (t)J, jx (t) = f2 [C (t), D (t),]. (641!!) *
Для оболочек с памятью следует учитывать влияние пред-'
ыстории деформирования, что приводит к таким определяющим
соотношениям: *
к (t) =®i 1С‘ (s), D‘(s)], р.(tj = Ф2 [С* (s), D‘(s)J, (6Л(2)|
/V ZX4 - /V /V >
C‘(s) = С(t — s), D*(s) = D(t —s), s>a
Здесь Фь Ф2— некоторые симметрично тензорнозначные one-a
раторы, определенные на предысториях тензоров С и D (а не-
функции, как в (6.11)). Вид этих операторов, разумеется, зави-
ситане только от свойств материала оболочки, но и от выбора,
отсчетной конфигураций. .. г
К определяющим соотношениям оболочек с памятью в форме}
(6.1.2) естественным Путем приводят также гипотезы Кирхгоф
фа — Лява. Действительно, для трехмерной сплошной среды
памятью тензор напряжений есть оператор от предыстории гра-
диента* деформации, а градиент деформации в оболочке при вы?
полпенни гипотез Кирхгофа —Лява выражается через тензору
С и D, как'это показано в § 3.
Операторы Фь Ф2 не мбгут'быть произвольными, они должны
удовлетворять требованию материальной индифферентности?
Другими словами, определяемые соотношениями (6.12) тензоры,
усилий и моментов должны быть индифферентными тензорами*
Как следует из (3.12), (3.13) главы III, условие материальной
индифферентности Накладывает такие ограничения на операто-
ры отклика Ф1 (1=1, 2): ч S
Ф, [С*(8).(№, О‘(8).(У(8)] = QT(t).®, [C‘(S), D*(S)f-Q (t). Г
ГМ v < /X/ >
. ’ • (6.13)k
где Qt(s)z-произвольная предыстория ортогонального тензора.^
Напомним, что (О) = Q(t).
Так как (6.13) должно выполняться для любых ортогон ал ь-*
ных тензоров’ Q, можно, в частности, доложить Q=AT, где A—f
введенный в § 2 главы III тензор поворота,поверхности. Учиты-'
• вая, что-по (2.31) главы III D • Ат = —В* • (U')-1, будем из[
(6.13) иметь"'
-4
Ф,[С*(s), D‘(s)] = A’“(i).fl>l[Urt(8),B’rt(s>‘..(Urt)-« (s)]*A(t).
~~ ~ ~ ~ (6.14>
Представление (6.14) найдено как необходимое условие вы-
полнения равенства (6.13). Однако оно является и достаточным,
т. е. если операторы Oj имеют вид (6.14), то соотношение (6.13)
удовлетворяется при любых ортогональных Q*(s) (s^O). В этом
легко убедиться, подставив (6.14) в (6.13). '
Так как C=U'-A, U,2=GX, очевидно, что представление:
(6.14), выражающее собой общий вид определяющих соотноше-
ний оболочки с памятью, согласованных с требованием незави-
симости от системы отсчета, можно переписать в такой форме?
3)(t) = CT(t).®[Gxt(s),Bxf(s)]-CT(t), (6.15).
’ ‘ > (t) = Ст (t).-V [Gxt (s), Bxt (S)] • С (t)- •
Л/ Л/ Л/ гм
.Соотношения (6.15) показывают, что на актуальные значения
тензоров усилий и моментов в точке поверхности не влияет
прошлая предыстория (т. е. для значений s>.0) поворота окрест-
ности этой точки, а влияет лишь предыстория мер деформации
поверхности. В то же время актуальные значения тензора пово-
рота участвуют в определяющих соотношениях.
А -Л
Как уже указывалось выше, операторы Ф и Т могут пара-
метрически зависеть от некоторых постоянных тензоров, связан-
ных с выбором отсчетной конфигурации. В качестве такого пара-
метрического тензора всегда присутствует второй фундаменталь-
ный тензор b поверхности в отсчетной конфигурации. Поэтому
этот тензор целесообразно явно указывать в числе аргументов,,
в связи с чем примем такие обозначения: -
Ф [Gxt(s), Bxt(s)] = ®(b,Gxt(s),Bxt(s)b (6J6>
£ [Gxt (s), Bxt (s)]= Ф [b, Gxt (s); Bxt (s)].
. Оболочку с памятью назовём изотропной,’ если существует
такая отсчетная конфигурация, при использований' которой опе-
, раторы Ф и.Ф являются изотропными, т. ё. удовлетворяют соот-
ношению -
®(Q-b-QT, Q-G*(s).QT, Q-Bxt (s)-QTJ =
=-Q • Ф [b, Gxt (s), Bxt (s) ] • QT (6.17) ,
Л/-" /V /47 /V /V
для любого фиксированного ортогонального тензора Q. с
Легко видеть, что в' частном рлучае изотропных гиперупру4
гих оболочек это определение эквивалентно представлениям
(4.19), строго. доказанным на основании гипотез Кирхгофа—.
Лява. . . ' -
Одним йз приближенных способов учета истории деформи-
рования в механике сплошной среды является модель материала;
скоростного типа' [61],‘Общее определяющее соотношение обо-
лочки скоростного тийа имеет вид 7
d“/dt“vx = f1 (dn~1/dt“~*'>ix}. f . , vx; d'^/dt”-1 цх,... , [ix,
dk/dtkGx,. . . , Gx; dk/dtkBx,. . . , Bx; b); (6J8>
f 1 ~ ~ ~ ~ ~
d“/dtnp.x — f2 (dn-1/dtn_1 v*>.. . » dn“,/dtn~1 px,. . . , [ix, i
• dk/dtkGx,...» Gx; dk/dtk Bx,. . . , Bx; b). .f
Соотношениями (6.18) материальная производная по времен^
порядка п от конвективных тензоров усилий и моментов задает?
-ся как функция производных до (п— 1)-го порядка включитель
но. от этих тензоров и производных, до некоторого порядка к о»
мер деформаций Gx, Вх. Для изотропных оболочек функции If
,f2 суть изотропные функции своих тензорных аргументов.
.Можно доказать (на чем мы не останавливаемся), что в по1-
слёднем случае соотношения (6.18) можно представить в такому
виде:
v v : v ? .
*п= ?1 Оп-п ...»*» Нп-1,..:, И, Gk,. , е,
/47 /47 /47/4/ *47 *4/4
Вь. . . , «, gA, ЬА, В); (6,19>^
V V ' , V ?
1»п = ?а К-1. ..•>*. Рп-1.. . . , И. Gk,. . . , е,
AM Л* /47
в*,...»ж, gA, В).
Л* ГМ *М Л7 'ЛЙ
«I
Здесь индекс п указывает на n-кратное применение операции:
производной Ривлина, фь <р2— изотропные функции своих аргу-
v V
ментов. Тензоры Gk. Выявляются аналогами тензоров Ривли-
на—Эриксена [47]. Все участвующие в (6.19) тензоры индиффе-
рентны и.принадлежат поверхности О, соответствующей акту-
альной конфигурации оболочки. z
Заметим, что если в (6.19) функции <рь <р2 не* предполагать
изотропными, то будет нарушен принцип материальной индиффе-
рентности.
В. частности, для упругих оболочек определяющие уравнения:
вида
* = ?1 (gA, ЬА, В), I* = ?2 (gA»-bA, в) (650)
•
удовлетворяют принципу материальной индифферентности тогда:
и только тогда, когда фЬ <р2— изотропные функции. Для анизо-
тропных упругих оболочек, помимо указанных в (6.20) аргумен-
тов, тензоры v р ц будут зависеть еще и от тензора поворота
поверхности.^
Частным случаем соотношений (6.19) являются определяю-
щие уравнения гипоупругой оболочки:
• v V
v = ср, (v, р, В, g, х), |* — <р2 (*» Р» В, е, х). (651)
- гм zw rv *4/ ГМ гм гм гм гм гм
Своеобразие гипоупругих оболочек состоит в том, что соотно-
шения (6.21) никак не зависят от какой-либо отсчетной конфи-
гурации, т. е. гипоупругая оболочка не имеет предпочтительного-
состояния.
Определяющие соотношения для тензоров усилий и моментов
не всегда целесообразно выводить путем осреднения по толщине
определяющего уравнения трехмерной «сплошной среда, привле-
кая, кинематические и статическую гипотезы, Кирхгофа — Лява..
Это обусловлено, с одной стороны, тем, что для сложных нели-
нейных определяющих соотношений указанную процедуру не
удается выполнить в явнбм виде, а с другой стороны, тем, что-
определяющие соотношения’трехмерных образцов часто бывают
неизвестны, или известны с низкой степенью точности. Кроме
того, в процессе изготовления (прокатка, поверхностное закали-
вание и т. д.) материал оболочки зачастую претерпевает каче-
ственные изменения. Заметим еще,'что для некоторых видов обо-
лочек, например очень тонких биологических мембран, суще-
ствующие модели трехмерной сплошной среды вообще не при-
'. • /
ыенимы, так как.в этих случаях очень значительную роль играет -
энергия поверхностного натяжения [52].
Таким образом, в ряде случаев имеются серьезные основания.
для прямого двумерного подхода к построению определяющих?
соотношений оболочек. Этот подход должен состоять в сочета-
нии экспериментальных методов (например, испытаний двумер- $
ных образцов — элементов оболочки) и теоретических соображе-
ний, к -которым, в частности, можно отнести требования мате-'
риальной индифферентности, соображения материальной симмет-
рии, т. е. учет типа анизотропии, применение методов тёбрии
размерностей. Последнее связано с тем, что меры деформаций
(Iх и ,ВХ имеют разную размерность, точно также, как различу
ны размерности, тензора усилий v и тензора моментов р,. Оче«а
видно, это. вызвано тем, что в записи определяющих соотноше3
иий в форме (6.15) -неявно присутствует параметр, имеющий разг
мерность длины,—толщина оболочки.
В механике сплошной среды, широкое применение находя|
модели материалов с внутренними связями [15, 47]. Под внуТ*
ренними связями понимаются ограничения в виде равенстГ
накладываемые на возможные деформации сплошной среды, точ-
нее, на градиеПТ деформации, который теперь уже не являете
произвольным неособым тензором. В частности, большое распро
странёние получила модель несжимаемого тела [ 15], в которо
любая часть тела не» меняет своего объема в процессе деформа
ции. Предположение о несжимаемости, во многих случаях суще?
ственно облегчающее решение краевых задач, является хороши»
приближением для сред, сопротивляющихся сдвиговым дефор
маДиям значительно слабее, чем изменению объема. :
Для оболочек в некоторых случаях также целесообразно нс»
пользовать модели с внутренними связями. Например, оболочку*
армированную достаточно жесткими на растяжение (по сравне*
иию со связующим материалом) нитями, можно считать нерастя^
Жимой в направление нитей. ?
Так как определяющими параметрами для оболочки явля-?
аотся тензоры С и D, уравнение связи следует принять в виде-
~ 1
f(C,D)=O, (6.22)?
*v’ rv
где f — некоторая скалярнозначная функция. *
Связь, накладываемая иа возможные деформации оболочки^
«сть внутреннее свойство материала, поэтому она не должна'за-
висеть от выбора наблюдателя. Методом, использованным выше-
при'выводе определяющих соотношения в форме .(6.15), легко,
показать, что уравнение связи (6.22) удовлетворяет принципу
материальной индифферентности' тогда и только тогда, когда
оно сводится к следующему виду:
? (Gx, Вх) = 0. (6.23)
Приведем некоторые примеры связей. * •'
1. Нер а стя жи м.а я в заданном направлении
оболочка. Уравнение связи имеет вйд
d0-Gx-d0 - 1 = О,- (6J4)
где; do— единичный вектор, касательный к поверхности оболоч-
ки в ее .отсчетной конфигурации. Уравнение (6.24) означает» что
* •
материальные волокна, расположенные вдоль вектора do, не
меняют своей длины при деформации оболочки. В .общем случае .
вектор do может зависеть от координат на поверхности.
2. Оболочка, для которой площадь любой ча-
сти поверхности не меняется при деформации.,
Уравнение связи имеет вид '
detGx = G/g = 1. (6.25)
%
3. Н е р а с т я л<и м а я во всех направлениях .обо-
лочка. Уравнение связи имеет вид (6.24), где теперь do-r— лю-
бой единичный вектор. Для нерастяжимой оболочки метрика при
деформации не меняется, т. е, допустимыми деформациями
являются лишь изгибания поверхности.
4. Оболочка, для которой средняя кривизна
поверхности сохраняется при деформации. Эта
связь задается таким уравнением:
tr(B-b) =tr(Bx-G^1 — Ь)==0. •' (6.26)
5. Неизгибаемая в заданном направлении
оболочка. Под этой связью будем понимать сохранение нор-
.мальйой кривизны поверхности О в направлении кривой, про-
образ которой в отсчетной конфигурации имеет касательным.век-
тором заданный единичный вектор d0. Уравнение связи в этом
случае запишется так:
Ш
d0.[(d0-.Gx.d0)-’Bx- b].do = 0. (6.27);
Для оболочек co связями определяющие соотношения (6.15)
нуждаются в модификации. При наличии связей уже нельзя счи-
тать, что тензоры усилий и моментов в данной чЯстице поверх-
ности оболочки полностью определяются заданием предыстории -
тензоров С й D в этой частице. В самом деле, рассмотрим, на-
пример, плоскую пластинку, нерастяжимую во всех направле-
ниях и нагруженную силами, расположенными в плоскости пла-?
стинки. Возникающий при этом в пластинке тензор усилий в за-«
висимости от приложенных сил может принимать произвольные”
значения, в то время как деформация отсутствует в силу усло-
вия нерастяжимости. ;
Сначала рассмотрим гиперупругие оболочки с внутренними*
связями. Согласно (6.5), (6.6), имеем
-(/ +w:b.)-b,-o-.'
(6.28)*
В силу уравнения связи (6.23) тензоры Gx и Вх теперь не
могут принимать любые значения, и поэтому, представления (6.7)'
несправедливы. Чтобы учесть наложенную св,язь, воспользуем-
ся методом множителей Лагранжа. Продифференцируем урав-
нение связи (6.23) по времени, умножим его на неопределенный,
множитель —А н сложим полученное уравнение с (6.28). Стану^
дартные рассуждения метода множителей Лагранжа приводят^
к таким, определяющим соотношениям гиперупругой. оболочки1;
с внутренней связью: -
' ~ ~ (6.29)
Из (6.29) получим
v = 2 1 Г ZСт• w', GX • С + 2ЛСТ»<Р, GX • С, Л = jAg/C к;
— !* = ]/ -£-CT-W' -С+ЛСТ.^вх-С.- (6.30)
У - О л/ . ’D «V *** Л*
• | i ' 4
* e '* >" ' f‘- I Г f* 1 V !
. Слагаемые с множителем А в (6.30) представляют собой со-
ставляющие тензоров усилий и моментов, не определяемые де-
формацией окрестности рассматриваемой точки поверхности..Их
следует трактовать» как реакцию связи, задаваемой уравнением
(6.23). Эти составляющие не вносят вклада в мощность внутрен-
них сил оболочки, т. е. не совершают работы иа движениях обо-
лочки, совместимых со связями. Последнее утверждение стано-
вится очевидным, если учесть, что уравнение связи (6.23,) экви-
валентно следующему:
2(Ст-?1 Gx-С)• е + (Ст-ф5рх-С) ох 5= 0. -(6.31)
Здесь использованы'формулы (3.10), (3.22) главы III.
Легко проверяется также обратное утверждение: если тензор
ры усилий и моментов не вносят вклада в мощность внутренних
сид на движениях, совместимых со связями, то они имеют вид
вторых слагаемых в (6.30).
Представления (6.30) естественным путем обобщаются на
оболочки с памятью. Именно, примем, что в оболочке с памятью
при наличии внутренних связей тензоры усилий и моментов в .
точке Поверхности оболочки определяются предысторией дефор-
мации сколь угодно малой окрестности этой точки лищь с точ-
ностью до слагаемых, не совершающих работы на движениях
оболочки, совместимых со связями. Таким образом, общее опре-
деляющее соотношение для оболочки, подчиненной связи (6.23),
имёет вид
' >» == 2Л Ст*?) qx-С + СТ-Ф(ОХ‘, Bxt)*C,
. Р = - Л CT.?jBx -С + CT-«F (Gxt, Вх‘)-С, (6.32)'
где операторы ф, Т — операторы, определенные на предысто-
риях мер деформации, удовлетворяющих соотношению (6.23).
При наличии нескольких связей, задаваемых уравнениями
<р*=0 (i=I, 2.....п), первые слагаемые в (6.32) будут иметь,
соответственно, вид
п •
2 V^AICTгф'дх-С; — Уа,Ст'?;вх -С.
При постановке краевых и начально-краевых задач для обо- •
лочек со связями множйтели Aj будут неизвестными функциями
координат и врем'ени. Этб'г избыток неизвестных компенсируется
дополнительными уравнениями—уравнениями связей*.
Пользуясь формулами (6.32), составим общее представление
определяющих соотношений для оболочек со связями, заданны-
ми уравнениями (6.24)—(6.27).
1. Нерастяжимая в заданно'м ,направлении
оболочка:
* = 2Л d d 4- Ст- Ф (Gxt, Bxt) • С, (6.33) :
~ ~ ~ ~ ~ j
' 'n = CT-4r(Gxt,Bxt)C, d = do-c. I
»чг Г** лг /чг /чг /чг
Вектор d принадлежит поверхности О актуальной конфигура-’
- । - ' ь
ции оболочки. Его контравариантные компоненты в базисе
^совпадают с известными контравариантными компонентами век-J
тора do в базисе pd отсчетной конфигурации ki = d“Pa, где
<1® = do • р“. - £
2. Оболочк-а, сохраняющая площадь поверх.,
иостн: •
v = 2AG 4-Ст-Ф (Gxt, Bxt)«C, _(6.34)J
и==СТ-Ч'(СХ‘, Вх‘)-С. „ ' |
~ . • 5J
3. Нерастяжимая во всех и а п р а,в л е й и я х обо»?
-JC '' *
дочка. Так как вектор сГ0 — произвольный, 'в этом случае, п<$
существу, наложена не одна, а бесконечное количество-связей;-^
Поэтому тензор усилий остается полностью неопределенным, bj
то время как тензор моментов вполне определяется деформа-?
цией:
v = Л, р. = Ст-Ф (Bxt)-С. (6.35) |
Здесь.-Л — принадлежащей поверхности О тензор второго!
ранга. Первый 'аргумент у оператора У опущен, так как он в-4*
данном случае постоянный: Gxt — g. ’ ,гь
4. Оболочка, сохраняющая'среднюю кривизн^: *
-----------------2ЛВ + Ст-Ф (Gxt, Bxt)-C, (6u36) {
. . p==-AG + CT*«r(gxt,BIt)-C. '
Неизгибаемая в заданном направлений
оболочка:
*== - 2A(d-B-d)(d-d)-2dd + CT-O(Qxt, Bxt)C, (6.37)
*** ' Л/ /V А/
P = - A (d-3)-1 d d + Ст- Ф (Gx‘, Bxf)-C; d = do-C.
'Оболочка, нерастяжимая и неизгибаемая в любом направ-
лении, допускает только жесткие перемещения, т. е. представ-
ляет собой абсолютно твердое тело. В этом случае й тензор уси-
лий, и тензор моментов остаются неопределенными.
В работах [17, 52, 63] изложены другие подходы к построе-
нию механики двумерного континуума. В основу этих рассмот-
рений положены понятия поверхностей Коссера и оснащенных
поверхностей.
Ш
1 Глава V
НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК
$ 1. Уравнения динамики оболочки
в лагранжевых координатах .
Замкнутую „систему уравнений, описывающих движение упру-
гой оболочки, относительно компонент вектора перемещений
можно получить следующим образом. Возьмем за основу урав- *
нения равновесия с учетом сил инерции в форме (2.42) главы IV. |
Так как эти уравнения спроектированы на недеформированные .-
оси ра, п, инерционную составляющую внешней нагрузки еле- \
дует спроектировать на векторы того же базиса. Так как векто-||
ры ра, п ие зависят от времени, соотношение а = и, где
вектор ускорения, и — вектор перемещения, очевидно, эквива- ?
лентно формулам _
а-£“; (1.1)1
. е - дР dt>
°аа = а = Я’П, u“ = u-p“ , u = u-n. If
Компоненты тензоров усилий и моментов v“₽, выража-
ются с помощью определяющих соотношений через Gap, Ва₽. По-
следние величины выражаются через составляющие вектора не- >-
ремещений u“, zu по-, формулам (2.23), (2.36) главы Ш.'Под- X
ставляя указанные соотношения в уравнения движения (2.42) •{
главы IV, придем к системе трех нелинейных дифференциальных
уравнений относительно трех функций, координат q“ H времени:
- ц“, и. Эта система уравнений динамики оболочки в перемеще-
ниях весьма громоздка, что обусловлено, в частности, слож-
ностыо представления величин Вар через компоненты вектора ё
перемещения. • £,
Можно предложить другой способ составления уравнений I
динамики оболочки, приводящий к менее сложным и громозд-
Ш
ким уравнениям [24]. Будем исходить из уравнений равновесия
в форме (2.26) главы IV:
Va (v*— |»“т В!?) — В₽ v« t*“T + F₽ = р' а? ,
Va V₽ + Bap (v«₽ — B“ HT₽) + F = p' a, <1.2)
F = F₽P₽ + FN, a = a₽P₽ + aN.
Входящие в выражения ковариантных производных символы
Кристоффеля деформированной поверхности О связаны с коэф-
фициентами первой квадратичной формы формулой ,
al / dCn- а dG-_ dGo- \
rL==—--------------------------М. • (1.3)
2 \ dq* dqp dq1 /
Будем рассматривать оболочки, физические свойства кото-
рых задаются определяющими уравнениями некого вида:
= фар^тР, QT8, ВТ8, GTJ, Bj«)„ -(1.4)
И«Р = фар « рЛ«, GT8, Вт8, G Т8, ВТ8).
« S
Здесь точка, как идтрежде, означает материальную произ-
водную по времени. Правые части соотношений (1.4) могут па-
раметрически зависеть от некоторых постоянных тензоров, зада-
ющих анизотропию свойств оболочки. Соотношениями (1.4) мож-
но описать поведение оболочек из материалов, обладающих
упруговязкопластическими свойствами. Для упругих оболочек
определяющие соотношения имеют более простой вид:
v“P = Ф«Р (GT8, В7а), . (1.5)
иаР = W(G^, Втг).
Учитывая, что векторный базис Pa, N зависит от времени,
н дифференцируя вектор скорости v=v'4’a + wN, найдем пред-
ставление вектора ускорения через компоненты векторного поля
скоростей в лагранжевом базисе деформированной поверхности:
аа = v“ + vp (v₽ v“ — В“ w) — w (G₽“ v₽ w + B“ v^),
a = W 4- V* (Va W + Ba₽ v₽). • (1.6)
«7
' Вектор перемещения точки поверхности представим в виде
' разложения по базису отсчетной конфигурации:
u = u“ pi + un. (1.7)
Из очевидного соотношения v=u можно получить следую-
щее представление составляющих вектора скорости в подвиж- =
-
ном базисе Ра, N через составляющие вектора перемещения в :
неподвижном базисе ра, и:
— V G^ Пег₽т + tfh)(u Т) ’ + ?₽ (V) ’ 1. (-1-8)
w == gfr<рт (4я - Ji&.₽) + (и)’(Ji + h) J,
_ о ^ © О * оо ОС о
fap — g₽T фа Ul — Ь«р U, фр — фр U + bfr ЦТ ,
L = 1 + g4p, j2 = , I2 = Gig.
gllgs2 —g?3
Здесь Va' — символ ковариантной.'производной на недефор-
мированной поверхности о.: ’
Плотность деформированной оболочки выражается через
плотность в отсчетной конфигурации формулой 4
Р'>=Ро12,/2- '. ' (1.9)
Из формул (3.8), (3.10), (3.22) Главы III вытекают следую-
щие представления скоростей изменения коэффициентов квадра-
- тичных форм деформирующейся поверхности, через составляю-
щие вектора Скорости:
Gap = GpT фа-VT 4- GaT фр V*'~ 2В«р W,
Bap = фа(фр + Врт VT) + В«т (фр VI — BjJ w). (1.Ю)
Соотношения (1.2)—(1.4), (1.6), (1.8)—(1.10) образуют пол-
ную систему уравнений относительно функций v®, w, v“₽, ц“₽,
Gap, Bag, ua, ц. Начальные условия состоят в заданий полей v®,
w, v®₽, р®₽, u®, и при t=0. Начальные значения функций Gag,
ВвР ..определяются через начальные значения перемещений по
формулам (2.33), (2.36) главы: III.
Для упругих оболочек неизвестные ц“₽, ve₽ исключаются с
помощью определяющих соотношений (1.5).
Если отвлечься от уравнений (1.8), то можно заметить, что
компоненты перемещения участвуют в указанной системе урав-
нений только тогда, когда составляющие внешних нагрузок F“, F
зависят от перемещений (или их производных по координатам).
Эта зависимость отсутствует, например, в практически важном
случае нормального к поверхности О давления, заданного' как
функция лагранжевых координат и времени.
С помощью формул (2.14) главы III силовые граничные
условия (5.7)—(5.9) главы IV можно записать в таком виде:
VlTrn. (Г? - 2В₽р“*) = e(L₽ ~ B₽d« ), (1Л'1)~
j/ 18 Шр Va |i“₽+ (V" 1г nip G«x =
' ==sLf X.(e-»ed«), *
Is me mp I*®? = etna d“ ,
L₽ = L-P₽, L = L-N, d« — d-Pa.
Из (1.1 J) видно, что если составляющие контурных нагру-
зок L“, L, da не-зависят от перемещений контура, то функции.
ц*, и не фигурируют в силовых граничных условиях:
Если хотя бы на части граничного контура оболочки заданы -
перемещения, то последние, вообще говоря, нельзя исключить
из системы уравнений.
, Однако если эта часть границы неподвижно закреплена, то _
условия u“=u=0, очевидно, можно заменить условиями на ско-
рости vu=w=0.
Таким образом, во многих практических' задачах (например,
нагруженная нормальным давлением оболочка, часть края ко-
торой защемлена 'Или шарнирно,оперта, а остальная свободна
от нагрузок) компоненты перемещения не входят ни в диффе- ’
ренциальные уравнения, ни в граничные условия. В этих случаях
полная система уравнений состоит из соотношений (1.2)—(1.4),
(1.6), (1.9), (1.10) и содержит в качестве неизвестных функций
v% w, Gap, Bap, v®*, причем для упругих оболочек неизвест-
нее v°* легко исключаются.
В тех случаях, когда полная система уравнений и граничных
условий, описывающих движение оболочки, не содержит переме-
щений, задача определения последних- возникает на конечном
этапе, после нахождения величин v“₽, р,“₽, Gag, ВЛр, v“, w как
функций координат и времени. Заметим, что фание величин
г“, w не позволяет непосредственно определить вектор скорости,
так как векторы 'базиса Ра, N неизвестны. В [24] указан спо-
соб их определения по известным величинам Gap, Вар, v“, w.
Рассмотрим еще один вариант уравнений динамики оболочек,
который-можно применять в случаях, когда поверхностные и
контурные внешние цагрузки не зависят от самого вектора пере-
мещений ц, но зависят от градиента деформации поверхно- -
о **• / ' Т
оти Х(Р. Точнее говоря, интенсивность поверхностной F или кон- :
т’урной L силы в данной точке поверхности задана как функция
градиента деформации в этой точке и времени. Как показано в-
§ й главы III, градиент деформации выражается через коэффи->
циенты первой квадратичной формы поверхности и компоненты?
-* -* ' -*• . ч
в базисе ра, п вектора конечного поворота 0. Кроме того, ко-j
эффициенты второй квадратичной формы Вар можно выразите
через Gap’, составляющие вектора 0 и его производные по коор-
динатам (формула (2.62) главы III). Это позволяет для упругих
•оболочек/составить систему уравнений относительно коэффици-.
ентов первой квадратичной формы, компонент вектора конечной!
'поворота и составляющих вектора скорости v“, w. Эта систем#'
-отличается от описанной выше хтем; что второе из уравнений
(1.10) отбрасывается, а вместо него вводится уравнение (3.37)
главы III, связывающее вектор конечного поворота 0 со скоро
стями v“, w. Для упруговязкопластических оболочек в- числе
неизвестных входят также тензоры. va₽, р,“₽.. ‘
• %
§ 2. Описание конечных деформаций оболочек I
с помощью координат отсчетной J
и текущей конфигураций
•
Предположим, что срединная поверхность о оболочки в от-
счетной конфигурации (недеформированном состоянии) одно-
значно проектируется на некоторую плоскость л, и зададим по-
ложение поверхности о возвышением у(х“)‘ точки поверхности
над плоскостью. Здесь ха (а=1, 2,)—произвольные координаты
на плоскости л. Для радиуса-вектора точки на о имеем р =?=
430
==.р + уп,*где р — рддйус-вектор точки плоскости, и — нормаль'
« плоскости л. Здесь и в дальнейшем горизонтальной* чертой
сверху обозначаются величины на плоскости. Для порождаемо- ч
го координатами х“ векторного базиса нА о и вектора нормали •
к о получим . .
Р« = Р«у.аП, n == Kg/g <п‘— у.ар"), . (2d)
g/g = 1 + g^y, а У. ₽•
Здесь индекс после запятой означает производную по соот-
ветствующей координате. Из (2. Г) найдем выражения коэффи-
циентов первой и вТЬрой квадратичных форм и символов. Кри^
стоффеля поверхности о: '
g«₽ = g^+ у а у, ₽, b«₽ = Vg/g (у, а? - у.,), (2.2)
7^ = ?:₽ + (g/g)(y. «₽ - 7*р У.«) gw(1 У. и,
gap =’^р _ fc/gf^g* у, V у, 8, '
g = gll g22 g?2> g — gll g22 - g?r_
Предполагая, что срединная поверхность О деформирован-
ной оболочки также однозначно проектируется на некоторую
плоскость П, в которой введены произвольные кбординатш Хо/
(а'=1, 2) 'с базисом IV, определим положение поверхности О
возвышением Y (Х“') над* плоскостью. Для поверхности О/ отне-
сенной 'к координатам Х“', имеют место формулы, аналогичные.
(2.2): _
' Pa' = Ра' + Y, a'N, N*.= VG'/G' (N - Y, а'Р“'), - (2.3)
'Ga>₽' = (V₽' + Y «'Y.P', В.'₽'= |/^-(Y,tt'p'-f^,Y.,-),
г::₽' = n:₽. + (Y,a-p< -й:₽, y og^ y.^,
G7CF== 1 + G“'₽'Y,a>Y, ₽'. •
В (2.3) через N* обозначена нормаль к О, «сонаправлениая»
N<N*N>0).
Деформацию поверхности, т. е. взаимно однозначное точеч-
ное преобразование о в О, можно Описать функциями Х’ж'(х*), ’
Y (xg). При этом будем предполагать, что векторные базисы .*
ра, п и Ра, N имеют одноименную ориентацию. Сделав в (2.3) *
.замену координат Х“'-*-х“, получим для векторов базиса, коэф- ,
фициентов квадратичных форм и символов! Кристоффеля поверх- g
кости О, отнесеииой к координатам х“, следующие формулы: •
Ра = ра + Y, а N, (slgnA)N = N*= V G/G (N — Y, «Р« ); (2.4) j
' Ра = Ра.Х«;, P» = P“'x»,; |
__ - , — . G —. Й
Ge₽ = G«₽4-Y,a)Y,₽,G“₽ = G’₽-|- — G’“G!₽Y,Y,S;
G
,
(sign Д) B«₽ = V GIG (Y, e₽ — 1% Y,,); ?
_ ; . %
r:₽ = r;₽ + -|(Y,.₽-FpY,,)6^Y.>; i
Л GV х£х& x:< xp«;. (2.<
ji^r^xr;x₽;x:- + x>x^; r
x>, А-1 Х»;т x|, = Д-1 x%; x^. = — Д-> X*; x|, = -т- Д~‘ X^f
д = х»;х2'2-ху2х2.;, g = g„ g22 - g?2;
__ __ r *______________
G = Gu G22 - G^ = = 1 + G«₽ Y, »Y, ₽. ,
GO'
В формулах (2.4) величины Ра», G^'₽', Та’₽' есть известны^
«функции координат Х“', определяемые. способом введения корр~
дииат на плоскости П. В соответствии с установившейся- в ме%
.ханике сплошной среды терминологией х“ можно назвать лагран?
жевыми, а Х“' — эйлеровыми координатами деформирующейся
поверхности. Единичный вектор материальной нормали N =*
= Pi X Рг/yG к .деформированной поверхности О следует-ртли--
чать от вектора N*, определяемого из (2.3). N — это вектор, в
который переходит после деформаций вектор п. Он может, нлж
4.М
совпадать с вектором N* или отличается от него знаком. Вто-
' рая формула (2.4) выводится из (2.10) главы III.
Для статических задач упругих оболочек уравнения равнове-.
сия с помощью определяющих соотношений и представлений
(2.4) сводятся, к системе трех уравнений для трех функций'
Х“'(х“), Y(x“), . '
Указанный выше способ описания Деформации оказывается
удобным, при постановке контактных задач для оболочек. Допу-
стим, что некоторая часть-оболочки соприкасается с абсолютно
Твердой гладкой поверхностью. .Пренебрегая толщиной.обол оч-
ки, будем считать, что с этой поверхностью непосредственно кон-
тактирует срединная поверхность оболочки.-Поэтому в области
контакта Y(X“')—заданная функция. В области контакта Пер-
вые два из уравнений равновесия (2.26)-главы IV служат для
нахождения двух функций Х“'(й“), а из третьего уравнения, рав-
новесия определяется контактное давление. При этом следует
пользоваться представлениями (2.3), а величины. Ge₽, Вар, Г’?
находить через соответствующие величины со штрихованными
индексами с помощью формул типа (2.5). '
. - ' .На неизвестной заранее границе зоны контакта должны вы-
полняться услрвия сопряжения"решения в области контакта с
решением в области, свободной от контакта. -Эти условия состоят
В требовании непрерывности при переходе через граиицу функ- •
ций Xе' (х“); Y(x“) и производной функции Y по направлению
нормали к контуру, ограничивающему зону контакта. Кроме то-
- го, должны, быть непрерывны левые части первых двух и послед-
него из соотношений (1.11). Как известно из линейной теории
оболочек" и пластин [14, 48], условие непрерывности левой ча-
ста предпоследнего соотношения в (1.11), т. е. непрерывности
перерезывающей силы, не может быть удовлетворено в рамках
теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява.
‘Рассмотрим задачу о контакте двух деформируемых оболо-
чек при отсутствии трения. Лагранжевы координаты первой и
второй оболочек обозначим соответственно х“, Для' каждой
из оболочек фигурирующая в уравнениях равновесия нормаль-
ная составляющая нагрузки F состоит из заданного внешнего
давления и реакции со стороны Соприкасающейся оболочки. Эту
часть нормальной. нагрузки для- первой оболочки обозначим
р(ха), для второй—о (|“). Неизвестными функциями в области
контакта являются: ' -
для первой оболочки —
’ X*' - г’ (х“), Y - А (х« ), -р (х« ); (2.6)
для второй оболочки— • ,
X»’ = Ф«' ), Y = B (р >, a G* ). (2.7)'
Функции, задающие обратное преобразование (от эйлеровых
координат к лагранжевым), обозначим Ф“ н Чт“:х“=Ф“(Х“'),:
g® = 4го (Х“'). Для определения восьми неизвестных (2.6), (2.7)
помимо шести уравнений равновесия (по три для каждой обо-
лочки ) служат два условия контакта. Первое из них выражает
тот факт, что в области контакта обе оболочки лежат на одной
поверхности в пространстве, т. е. возвышение Y — одна и та же '
функция эйЛеровых координат для обеих оболочек:
А [Ф* (Х“'j] = В [Ф“ (X“')J. ]
Второе условие контакта выражает принцип, действия и про- ’
тиводейетвия р[Ф®(Х“')] =—<т[Чг“(Х“')]- j
Таким образом, в постановке контактной задачи для двух
оболочек кроме нелинейных дифференциальных операторов урав>- •<
нений равновесия участвует операция обращения неизвестной/;
функциональной зависимости. • <
В качестве опорных поверхностей для отсчетной и деформи-.^
рованной конфигураций оболочки не обязательно использовать
плоскости. Если поверхность О однозначно проектируется на не- j
которую фиксированную поверхность П, то положение точки
на О можно задать функцией Y (Х“'), где Y — расстояние от по-1
верхности П, отсчитанное по нормали к ней, Х“' — некоторые;^
координаты на П. Формулы, обобщающие (2.4) на случай, когда 1
П — произвольная гладкая поверхность, а поверхность О отне-J
сена к координатам х“, имеют вид * ;
А Р« = РО + Y.ON-YB₽P₽, ’ (2.8) j
х (sign Д).N == V G/G [AN - (Y,« — 2YHY, о 4- YB₽ Y, ₽)РВ[,
Gop = (1 - Y2K)GB₽ — 2Y (1 - УНГВО₽ + Y,« Y>(fS,
A = (l—2YH + Y3K), G/G = A2 + L“₽Y.OY,₽,
G«₽=( — 1 (L“P Y,T Y,«),
L“₽ = (1 — Y2 К — 4YH + 4Y2 H2) + 2Y (1 — YH) .
(sign Д) B«p=-L 1/ -2- [Y «₽ -14 Y.„ + (1 - 2YH) B^' + YKG«₽|,'
A f
IM
Г«₽ = G1*-8 (Ga«,₽ + GgJ,a — Gafti).
Здесь Ti, К — соответственно средняя и гауссова кривизны
поверхности П, ev“— компоненты дискриминантного- тензора
на П. Участвующие в (2.8) величины Gap, Ba₽ и т. д. выража-
ются по формулам тензорных преобразований (2.5) через соот-
ветствующие величины со штрихованными индексами. Последние
есть известные функции эйлеровых координат X®'. Вид этих
функций определяется выбором поверхности П и способом вве-
дения координат X®' на П. Например. ВИ'Р' — коэффициенты вто-
рой квадратичной формы поверхности П, отнесенной к коорди-
натам X®'.
Формулы для отсчетной конфигурации оболочки с некоторой
опорной поверхностью л, на которой введены лагранжевы коор-
динаты х“, получаются из (2.8) при А > 0 и заменой прописных
.букв на-строчные.
Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой в от- •
счетной конфигурации есть поверхность вращения.-
В качестве опорной поверхности для отсчетной и деформи-
рованной конфигураций оболочки возьмем круговой цилиндр
радиуса г. За лагранжевы (эйлеровы) координаты примем рас-
стояние, отсчитываемое по оси цилиндра х*=х (Х*'=Х) и угло-
вую координату х2=‘& (Х?'=0). Таким образом, Xj в есть коор-
динаты на опорном цилиндре проекции той точки срединной по-
верхности деформированной оболочки, проекция которой в от-
счетной конфигурации имела координаты х, &. Как принято вы-
ше, через у и Y обозначим расстояние точки 'поверхности обо-
лочки от опорного цилиндра соответственно в отсчетной и дефор-
мированной конфигурациях.
Рассмотрим деформацию оболочки, задаваемую соотноше-
ниями
Х=Х(х), Y=Y(x), 0=ft+’v.(x). (2.9).
Формулы (2.9) описывают деформацию кручения оболочки вра-
щения, сопровождаемую осесимметричным изгибом. При этом
деформированная срединная поверхность остается поверхностью
вращения. Для отсчетной конфигурации оболочки имеем
gii = 1+ У2, gi2=0, g22=y2r
Ь^-^з.Ь^О, b22 =-------------(2.10)
У1+у'» У1+у'а
• • ш
Здесь и далее штрих означает дифференцирование по коорди-
нате х.
. Для коэффициентов квадратичных форм и символов Кри-
стоффеля деформированной оболочки, отнесенной к координа-
там х, G, по формулам (2.8) получим
Gu=D« + W2, G22=Y2, Gi2=YV; (2.11)
G" =D“2, G”=Y-2 + D-V2, G12 = —DV, D=);X'24-Y'2;
Bn=D-‘(—X"Y' + X'Y"-YX'v'2), Bi2 = —D-‘YXV; J
’ ' B22 = -D-‘YX'; I
n11^D-2(X'X,' + Y'Y''—YY'v'2), = —D-«YYV; |
I* - D"2 [— v' X' X" - v' Y' (Y"- Yv' 2)J, « - D~2 YY'; |
Г?2 = Y"1 Y' 4 D-2 YY' Th = D~2 YY' v'.
Несмотр’я на то, что соотношения (2.8) неприменимы непо-4
средствённо для случая г=0, в окончательных выражениях мож-^g
но положить г=0, что и сделано в (2.10), (2.11)., Й
В случае, когда Д=Х'<0, соотношения (2,9) задают Д^Й
формацию кручения и осесимметричного изгиба вывернутой на<Ц
изианку оболочки вращения. « Я
Из определяющих соотношений- (4.19) главы IV и формуЛЦ
(2.10), (2.11) вытекает, что для изотропной однородной (илй”|
неоднородной. по координате х) оболочки компоненты тензороЙ!
усилий и моментов, v“₽, ца₽ зависят лишь от координаты х. Так^
как символы Кристоффеля деформированной оболочки также не'а
завися/от координаты &, видим, что система уравнений равно-, J
веейя (2.26) главы IV превращается в систему трех обыкновен—|
ных дифференциальных уравнений относительно функций Х,-3
Y, V. Разумеется, при этом компоненты внешней нагрузки Fp, F |
могут зависеть-лишь от координаты х. В противном случае де-'1
формация вида (2.9) нереализуема. . • Л
Заметим, что в- нелинейной теории кручение оболочки вра- |
щения сопровождается изгибом ее меридиана. Таким образом, 1
наблюдаемое в линейной теории изотропных Оболочек [49] рас-
падение задачи на две независимых (кручение и Осесимметрич-
ная деформация) не имеет места при конечных углах закручи-
вания.
, В случае изотропной однородной цилиндрической оболочки
(y=const=yo) и внешней нагрузки в виде равномерного нор-
мального давления рассматриваемая система уравнений допу-
скает такое решение:
ш •
Y=Y0, X=c).x, у5=<рх, (2.12)
где Yo, X, <р — некоторые постоянные. В самом деле, как выте-
кает из (2.10), (2.11), в этом случае величины ца₽, будут по-
стоянными, Так как символы Кристоффеля деформированной
поверхности, согласно (2.11), будут равны нулю, видим, что пер-
вые два уравнения равновесия (2.26) главы IV при F₽=0 обра-
щаются в тождества, а левая часть третьего уравнения равнове-
сия будет постоянной. Для определения трех постоянных Yo, X, ф
имеем следующие соотношения: третье уравнение равновесия,
задание крутящего момента в сечении оболочки, задание, осевой-
силы, действующей в поперечном сечении цилиндра, Для: обо-
лочки конечной*длины последнее из краевых условий (1,11),
вообще говоря, не может быть удовлетворено решением (2.12).
Это означает, что реализация деформации (2.12) в' нелинейно
упругой оболочке требует приложения равномерно распреде-
ленного по окружности торцов цилиндра внешнего изгибающего
момента. - •
С помощью (2.8) получим, представления «мер деформации
Альманзи gx, bx, и второго фундаментального тензора В дефор-
- Мированной поверхности в. задаче кручения оболочки вращения:.
gx = g«₽P“P = (H-y,24-y2vZ2)D-2e1e1-
- у2 v' Y-* D-* (е, е2 4. e8et) + у2 Y~2 е2; (2.13)
•; b^bapP’PP^tl + y^-^Ky"—yy/2)D-2e1e1+ „
+ yvz Y~‘D-1 (е! е2-Ь e2ei) — уУ2е2те2];
В = Kt et et 4-К2 е2 е2;
Ki =D-3(X'Y" — Y'X"), Кз = —Y-‘D-‘XZ.
Здесь ei е2 — единичные векторы, направленные соответ-
ственно по касательной к меридиану и параллели деформиро-
ванной оболочки, Ki, К2 — главные кривизны деформированной
поверхности вращения.
Тензоры усилий и моментов представим разложениями в ба-
зисе ei, е2 следующим образом:
I* = M, et e, -к M (e, e2 + e2 et) 4- M2 e2 e2< (2.14)
* = (T4 4- К, Mj)e4 e, + T (e4 e2 e2 e,) + (T2 4- K2 M2) e2 e2.
С помощью (2.13), (4.26) гл. IV находятся выражения величин
Мь М, М2, Ть Т, Т2 через функции X, У, 0 и их производные.
Уравнениям равновесия в задаче кручения оболочки- враще-
ния можно придать более обозримый вид, если записать их че-
' рез компоненты тензоров усилий и моментов в базисе еь е2.
Используя (2.23) гл. IV, полупим: в “
(YTi)' — Y'T2 — Ki[(YMi)'—У'М2] 4-DYFj = 0; (2.15)
(YT)' 4- Y'T — 2 [Кг (YM)' 4- KiYzM] 4- DYF2=0;
DY(KiTi 4- KaT2)4-. [D-1 (YMi)/ — D-‘Y'M2]' 4- DYF=0;
Fj = F-l„ F-e2 = F2, F = F-N.
Пусть оболочка в отсчетной конфигурации представляет сО-
бойГцилиндрическую панель, т. е. сектор круговой цилиндриче-
ской оболочки радиуса у0. Рассмотрим следующую деформацию
панели: • '
Y=Yo—const;- X=cx'4~'d0, 0=ex4-hf), (2.16) '
где c, d, e, h — некоторые постоянные. Выражения (2 16) вклю-
чают в себя следующие виды деформаций панели: раздувание
(с выворачиванием, если А < 0), изгиб, у кручение, растяжение,
сдвиг вдоль образующих цилиндра.
Пусть по-прежнему опорной поверхностью для отсчетной кой-
фигурации панели служит круговой цилиндр, а опорная поверх-
ность деформированной конфигурации представляет собой плос-
кость, в которой введены декартовы координаты X1', X2'. Рас-
смотрим деформацию панели, задаваемую линейными соотноше-
ниями
Y=Y0=const, X‘'=cx4-de, X2'=ex4~h0. ’ (2.17)
Деформация. (2.17) представляет собой выпрямление ци-
линдрической панели в плоский лист в сочетании со сдвигом и
растяжением.
Наконец рассмотрим изгиб, растяжение и сдвиг плоского
листа, т. е. деформацию вида
X=cxi + dx2, e=exi -f- dx2, ' Y=Y0. (2.18)
Здесь xi, x2— декартовы координаты в плоскости недефор-
мированного листа, X, в, Y, — как и в (2.9), цилиндрические
координаты деформирвванной конфигурации.
Исходя из формул (2.8), (2.5), нетрудно видеть, что для де-
формаций вида (2.16)— (2.18) коэффициенты квадратичных
форм Gap, Вар деформированной оболочки, отнесенной к лагран-
жевым координатам, будут постоянными, а все символы Кри-
|тоффеля равны нулю.- Поэтому для однородных изотропных
оболочек уравнения равновесия на этих видах деформации бу-
дут тождественно удовлетворяться в случае, когда внешняя по-
верхностная нагрузка сводится 4с равномерному нормальному
давлению (которое, в частности, может равняться нулю);
Выражения* (2.16)—(2.18) можно назвать универсальными
решениями для однородных упругих изотропных оболочек, так
как они удовлетворяют уравнениям равновесия оболочек, изго-
товленных из произвольного изотропного нелинейно-упругого
материала.
Реализация деформаций вида (2,16)—(2.18) не требует при-
ложения к оболочке поверхностных нагрузок (можно, но не обя-
зательно прикладывать равномерное нормальное давление), а
достигается только за счет сил, распределенных по контуру o6q--
лоч'Ии. Эти виды деформации можно использовать для экспери-
ментального построения определяющих соотношений оболочек.
Можно показать, что деформации вида (2.16) —(2.18) удов-
. летворяют уравнениям равновесия также и для изотропных од-
нородных оболочек с памятью. В этом случае»следует рассмат-
ривать не статические, а квазистатйческие Деформации, т. е. па-
раметры, участвующие в задании деформаций, считать не кон-
стантами, а функциями времени.
В заключение заметим, что изложенный в этом параграфе
'способ описания деформаций ори помощи координат отсчетной
и актуальной Конфигураций находит применение при составле-
нии уравнений динамики оболочек в эйлеровыхтсоординатах.На
выводе последних здесь не останавливаемся, отсылая читателя
к работе автора [23].
ЛИТЕРАТУРА
1. Айнола Л. Я. Вариационные методы для нелинейных уравнений
движения оболочек.— ПММ, 1968 т. 32, вып. 1.
2. Б а кельм а и И. Я.» Вернер А. Л., Кан-тор Б. Е. Введение
в дифференциальную геометрию, в «целом». М., 1973.
3. Бердичевский В. Л. Вариационно-асимптотический метод по-
строения теории оболочек?—ПММ, 1969, т. 43,-вып<4.
4. Бердичевский В. Л. Вариационные методы-построения моде-
лей оболочек,.—ПММ, 1972, т. 36,.вып. 5. ’
5. Вайнберг М,- М. Вариационные методы исследования иелиней-
w ных операторов. М„ 1956.
6. Ворович И. И. О существовании решений в йелииейной теории
оболочек. — Изв. АН СССР- Серия математ., 1955, К» 195
7. В о р о в и ч И. И. Некоторые вопр'осы устойчивости оболочек в
большом. — ДАН, 1958, т. 1122, № 1.
8. Ворович И: И; Общие проблемы теории пластин и оболочек.—
Тр. 6 Всесоюзной конф, по теории оболочек и пластин. Ml, 1966.
9. Г а л и м о в К. 3. К общей теории пластин и оболочек при конеч-
ных перемещениях и деформациях.—ПММ, 1951, т. 15, вый. 6. .
10. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек.
Казань, 1975.
И. Гаитмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1967.
12. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1.974.
13. Г о л>д еивейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек.
М„ 1976.
14. Г р и г о л ю к Э. И., Т о л к а ч е в В.' М. Контактные задачи теории
пластин н оболочек. М., 1980.
15. Г р и и А., Адкинс Дж. Большие упругие' деформации н нели-
нейная механика сплошной среды. М., 1965. ..
16. Жермен П. Механика сплошной среды. М., 1965.
17. Жилин П. А. Механика деформируемых оснащенных поверхно- *
стей, —Тр. 9 Всесоюзной конф.,по теории оболочек и пластин. Д„ 19751
<19. Зубов Л. М. - Вариационные принципы нелинейной теории упру-
гости.— ПММ, 1971, т. 35, вып. 3..
19. Зубов Л. М. Кинематика деформирующейся поверхности /и ее.
приложение к механике оболочек. — Йзв. СКНЦ ВШ. Естественные науки,
. 1973, №4.
20. Зубов'Л. М. Об условиях консервативности гидростатической
нагрузки на оболочку. — Тр. 10 Всесоюзной конф, по теории оболочек и
пластин, т. .1. Тбилиси, 1975. • . _ —.
21. Зубов Л. М. Теория малых деформаций предварительно напря-
женных тонких оболочек.— ПММ, 1976, т. 40, вып. L
•22. Зубов Л. М. О производной Яумаииа для"тензора второго ран-
га. — Изв. СКНЦ. ВШ. Естественные науки, J1976, № 2.
23. '3убов Л. М. Уравнения упругих оболочек в эйлеровых коорди-
натах,—ДАН, 1977, т. 237, № 5.
'24 . Зубов Л. М. Об уравнениях динамики оболочек при конечных
деформациях. — Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1979, № 2.
25. Зубов Л: М. Статико-геометрическая аналогия и вариационные
принципы в нелинейной* безмоментной теории оболочек.— Тр. 12 Всесоюз-
ной конф, по теории оболочек н пластни, т. Кл^^ван, 1980.
44.
26. Ильюши А. А. Механика сплошной среды. М. 1971..
27. К а г а н В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложен
иин. М.—Л„ 1947.
28. Ленг С. Алгебра. М., 1968.'
29. Лурье А. И. Общая теория тонких упругих оболочек.— ПММ,
1940, т. 4, вып. 2.
30. Лурье А. И. Аналитическая мехаинка. М., 1961.
З’к Лурье А. И. Теория упругости. М., 1970.
32. Лурье А. И. Нелинейная ’теория упругости. М., 1980.
33. М у ш т а р н X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих
оболочек. Казань, 1957.
34. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.—
- Л., 1947.
35. Н о в о ж н л о'в В. В. Теория упругости. Л., 1958.
36. Новожилов В. В. Теория• тонких'оболочек. Л., 1962.
37. Пальмов В. А. Колебаний упругопластическнх тел. М., 1976,
38. П р а г.с р В. Введение в механику сплошной среды. М'., 1963.
• ' 39. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частны-
ми производными. М.—Л., 1947.
• 40.-Рашевский П. К. Рймаиова геометрия и тензорный анализ..
М., 1967.
41. Ру м ер Ю. Б., Ф ет А. И. Теория унитарной симметрии. М., 1970.
42. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М., 1962.
43. Спенсер Э. Теория инвариантов. М., 9.974.
44. Стерн-берг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.,
1970.
45. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М., 1965(
46. Т е р е г у л о в И. Г. О нелинейных связях между напряжениями
я деформациями в анизотропных тонких оболочках. — Изв. АН СССР,
МТТ, 1971, № 6. • .
47. Т р у с д е л л К. Первоначальный курс рациональной механики
" сплошных сред. М., 1975.
* . 48. Ф е о д о с ь е в В. И. Избранные задачи н вопросы по сопротивле-
нию материалов. М., 1967. »
49. Черинна В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.,
1968. * '
50. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. 1—2. Л’., 1962—1964.
51. Черных К. Ф. Нелинейная теория Изотропно упругих тонких,
оболочек. —Изв. АН СССР, МТТ, 1980, Ns 2.
52. ' Э р и к с е и Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.,
1977.
53. Budiansky В., Sanders J. L. On the best first order li-
near shell theory. — Progress in applied mechanics. The Prager anniv.
Macmillan Comp., 1963, p. 129—140.
54. К о i t e r W. T. On the nonlinear theory of thin elastic shells. —
Proc. Kon. Ned. Ak, Wet.,'1966, ser. B., v. 69, № 1. - t
55. Naghdi P. M. The theory'of shells and plates'—Handbuch
der Physlk, v. 6a2. Berlin-Heidelberg — New York, 1972, p. 425—640.
56. Pi et r a azk i e wi c z W. Finite rotations and lagrangean de-
scription in the non-linear theory of shells. Warszawa—Poznan, 1979.
x 57. P i e tгл s z кi ewi cz W.. Introduction to the поп-linear theory
of; shells: Ruhr—Universitat Bochum, 1977. *
58i R у ch 1 e w s к i J. Tensors and tensor functions [in Polish].—
Bull. Inst. Fluid-Flow Meeh., Ns 652.' Gdansk, 1909.
59. Sand e'r s J. L. Non-linear theories for thin shells. — Qnart.
Appl. Math., 1963, v. 21, p. 21—36. " _
x 141
60. Simmonds J. G., Danielson D. A. Non-linear shbll theo-
ry with a finite rotation vector. — Proc, Kon. Ned. Ak. Wet. 1970, ser.
B, v. 73, p. 460—478.
61. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of
mechanies.—Handbuch der Physik, III/3: Springer Verlag, 1965.
62. Wang C.—C. A new representation theorem for isotropic fun-,
ctions.— Arch Rational Meeh. Anal, 1970, 36, p. 166—223.
63. Zhilin P. A. Mechanics of Deformable Directed Surfaces.—
Int. J. Solids Structures, 1976, 12, p. 635—648.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие- ......................................... 7
.Главе I. Сведения из тензорного исчисления .... 5
§ 1. Евклидовы тензоры...........................5
§ 2. Действия с тензорами...................... • В
§ 3. Тензоры второго ранга.....................10
$ 4. Изотропные и гмрбтропные тензоры . ... 16
§ 5. Тензорные функции ............17
§ 6. Тензорные поля............................20
Главе II. Элементы механики сплошной среды* -. . . ". 24
§ 1. Кинематика трехмерного континуума .... 24
§ 2. Уравнения движения <и определяющие icootho-
. шения.................. ....................39
Глава III. Кинематика деформирующейся поверхности ~ 46-.
§ 1. И^ормулы теории поверхностей . . 46
§ 2. Деформация поверхности ........ 54
§ 3. Поле скоростей деформирующейся поверхности Ь9
Глава IV. Уравнения равновесия и определяющие соотно-
шешя нелинейной механики оболочек 76
§ 1. выражение геометрических характеристик оболоч-
ки через геометрические характеристики средин-
ной поверхности.................................76
§ 2. Уравнения равновесия оболочки о усилиях и мо-
ментах ................................. ...... 78
§3. Кинематические гипотезы Кирхгофа—Ляеа . . 83
§ 4. Мощность напряжений и определяющие соотно-
шения для упругих оболбчек 88
§ 5. Вариационный принцип Лагранжа в статике гйпер-
,упругих оболочек. Варианты краевых условий 98
§ 6. Прямой подход к построению теории оболочек 111
Глава V. Некоторые формы разрешающей системы урав-
- нений для оболочек..................................126
§-1. Уравнения динамики оболочки в лагранжевых
. координатах . . . :.................126
§ 2. Описание конечных деформаций оболочек с по-
мощью координат отсчетной и текущей конфи- 'х
гураций....................................... 130
Литер.атура ..........................,...............140
~ 143
ЗУБОВ .,
Леонид Михайлович
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
* ВТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Редактор В. А. Бойченко
Технический редактор Т. М. Кислом
Корректор 3. IM. Хубием
Обложка Н. Н. Демидом
□
ИБ № 488
Изд. № 65/1382. Сдано « набор 30.12.8i1.
Подписано ik (печатй '15.07.82. ПК 01917.
Формат 60x84 ’/те- Бумага газетная.
. - Гарнитура литературная. Печать высо-
кая. Физ. п. л. 9,0, усл. пЬч. л. "8,37,
уч-мзд. л. _8,7. Тираж- 400 экз. Заказ 5.
Цена 1р. 35 к. ~
Издательство Ростовского университета,
344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкин-
ская, 160. .
Типография мм. М. И. Калинина Ростов-
ского областного управления по делам
издательств, полиграфии и книжной тор-
говли, 344081, Ростов-на-Дону, ул. 1-я Со-
ветская, 57.