Автор: Болотин В.В. Новичков Ю.Н.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация механика машиностроение
Год: 1980
Текст
В.В.БОЛОТИН, ю.н.новичков
МЕХАНИКА
многослойных
КОНСТРУКЦИЙ
МОСКВА*МАШИНОСТРОЕНИЕ‘ 1980
ББК 22.25
Б 79
УДК 539.3
Рецензент акад. АН АрмССР С. А. АМБАРЦУМЯН
ВИ В ЛИО""W а
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
ИНВ Г& 33
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИВ~
[ ОДНИ РУКИ И 2Х ВДДЕ
В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков
Б79 Механика многослойных конструкций.—М.:
Машиностроение, 1980. — 375 с., ил.
В пер.: 3 р. 20 к.
В монографии изложены методы расчета многослойных коиструк-
ций на статические, динамические и температурные воздействия и ме-
тоды расчета и а устойчивость; описаны методы определения эффектив-
ных физико-механических характеристик и оптимального выбора пара-
метров слоистых композиционных материалов.
Книга рассчитана на научных работников, и и жен еров-расчет-
чиков и конструкторов всех отраслей машиностроения.
Б ,703040000 %*
Vqo(v1J-Ou 001
© Издательство «Машиностроение», 1980 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методы расчета трехслойных пластин и оболочек освещены
в литературе достаточно подробно. Имеется также немало работ,
в которых теория многослойных пластин и оболочек строится
на основе гипотез относительно характера деформирования пакета
в целом. В настоящей книге на основе единого подхода изложена
теория многослойных конструкций при произвольном числе слоев
и при относительно широких предположениях о свойствах отдель-
ного слоя. Теория применима не только к тонким и тонкостенным
конструкциям, но и к телам произвольной формы. В книге раз-
виты методы расчета систем регулярной структуры, позволяющие
в ряде случаев построить решения, содержащие число слоев
как параметр, а также развита теория слоистых композиционных
материалов, полученная в результате предельного перехода к си-
стемам мелкослоистой структуры.
Книга состоит из девяти глав: в гл. 1 и 2 рассмотрены кон-
струкции с плоскими слоями, в гл. 3—7 — конструкции с криво-
линейными слоями, а также задачи динамики, устойчивости и тер-
моупругости, в гл. 8 и 9 — механика слоистых композитов. Наи-
более подробно рассмотрены конструкции, состоящие из череду-
ющихся несущих слоев из высокопрочных и высокомодульных
материалов и слоев пониженной жесткости, выполненных, на-
пример, из полимерных материалов. Особое внимание уделено
расчету многослойных оболочек и толстостенных многослойных
конструкций, краевым эффектам и локальным формам потери
устойчивости в многослойных конструкциях. Дан вывод основных
уравнений и изложены методы расчета элементов из слоистых
композитов, методы определения эффективных упругих, вязко-
упругих и теплофизических характеристик по заданным свойствам
компонентов, а также методы расчета оболочек из слоистых компо-
зитов.
Книга в основном отражает направление механики много-
слойных конструкций, в развитии которого авторы принимали
активное участие. Двухслойные и трехслойные конструкции
почти не затрагиваются. Вместе с тем всюду, где имеется пересече-
ние или соприкосновение с другими подходами, делается соот-
ветствующий анализ и сопоставление результатов. Кроме того,
1* 3
авторы постарались сделать так, чтобы были упомянуты все основ-
ные работы (прежде всего, книги) в этой области.
Вопросы, составляющие содержание настоящей книги, разра-
батывались главным образом в Московском ордена Ленина энер-
гетическом институте. Многие из них излагались на лекциях
для аспирантов и студентов старших курсов, обсуждались на
семинарах. При подготовке рукописи к изданию существенную
помощь оказали Г. В. Арутюнян, А. М. Бутко, А. Н. Воронцов,
3. X. Зебельян и А. В. Петровский, которым авторы приносят
глубокую благодарность.
ВВЕДЕНИЕ
Конструкции, имеющие слоистую структуру, широко при-
меняются в современной технике. Эти конструкции обычно состоят
из материалов с существенно различными физико-механическими
свойствами. Несущие слои из материалов высокой прочности
и жесткости предназначены для восприятия основной части меха-
нической нагрузки. Связующие слои, служащие для образования
монолитной конструкции, обеспечивают перераспределение уси-
лий между несущими слоями. Еще одна группа слоев предназна-
чена для защиты от тепловых, химических, радиационных и дру-
гих нежелательных воздействий. Такое сочетание слоев с различ-
ными свойствами позволяет обеспечить надежную работу систем
в неблагоприятных условиях окружающей среды, создавать кон-
струкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относи-
тельно малой массой, хорошими тепло-, электро- и звукоизоля-
ционными свойствами, стойкостью по отношению к агрессивным
средам и т. п.
В настоящее время значительное распространение получили
трехслойные конструкции, которые состоят из двух несущих
слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу.
В условиях работы на изгиб трехслойные конструкции оказы-
ваются наиболее рациональными, т. е. близкими к оптимальным
с точки зрения обеспечения минимума весовых показателей при
заданных ограничениях на прочность и жесткость. Однако трех-
слойные конструкции не всегда удовлетворяют всем требова-
ниям, предъявляемым к объектам современной техники.
Значительный толчок к широкому распространению много-
слойных конструкций был дан прогрессом в области новых ком-
позиционных материалов. Многие из этих материалов имеют
слоистую структуру; созданные из них конструкции следует
рассматривать как мелкослоистые. Технологические приемы, при-
меняемые при создании конструкций из композиционных мате-
риалов (например, намотка и прямое прессование), таковы, что
конструкция естественно получается состоящей из ряда слоев.
Так, оболочки, изготовленные методом продольно-поперечной или
перекрестной спиральной намотки, состоят из двух групп слоев
с различной ориентацией армирующих элементов.
5
Теорию многослойных конструкций можно трактовать как
результат обобщения классической теории пластин и оболочек
и теории трехслойных конструкций. В ряде случаев многослойные
конструкции уже нельзя считать тонкими в смысле гипотез клас-
сической теории пластин и оболочек. При увеличении числа слоев
и применении различных заполнителей существенную роль начи-
нают играть эффекты, связанные с работой отдельных слоев. Кроме
хорошо известных эффектов типа поперечных сдвигов и обжатия
нормалей, в многослойных конструкциях часто приходится учиты-
вать моментные эффекты в несущих слоях, локальные формы
потери устойчивости и др.
Основы теории трехслойных пластин были заложены еще
в довоенные годы. К этому времени относятся первые работы
по механике многослойных конструкций. Так, А. В. Дятлов
(1938 г.) рассмотрел составные стержни с непрерывно распреде-
ленными упругими связями, а С. Г. Лехницкий (1941 г.) вычислил
эффективные жесткости многослойных упругих пластин на основе
гипотезы Кирхгофа — Лява. К настоящему времени издано не-
сколько тысяч работ по теории трехслойных пластин и оболочек.
Обзор основных результатов можно найти, например, в ра-.
боте [2]. Существенный вклад в развитие этой теории был внесен
А. Я. Александровым, С. А. Амбарцумяном, К. 3. Галимовым,
Э. И. Григолюком, М. А. Колтуновым, В. И? Королевым,
Л. М. Куршиным, X. М. Муштари, А. П. Прусаковым, А. В. Са-
ченковым и др.
Вопросы теории многослойных пластин и оболочек разрабаты-
вались С. А. Амбарцумяном [4, 5], А. Н. Андреевым и Ю. В. Не-
мировским [6], Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым [35],
Я- М. Григоренко [37], С. Г. Лехницким [45], П. М. Огибаловым
и М. А. Колтуновым [68], А. П. Прусаковым [83], А. Ф. Рябовым
и А. О. Рассказовым [88], А. Г. Терегуловым [94] и др. Укажем
также на обзоры [3, 36]. К этому направлению примыкают иссле-
дования по механике пластин и оболочек из композиционных
материалов: В. Л. Бидермана [9], А. Н. Елпатьевского и В. В. Ва-
сильева [39], В. И. Королева [41 ], А. К. Малмейстера, В. П. Та-
мужа и Г. А. Тетерса [46], И. Ф. Образцова, В. В. Васильева
и В. А. Бунакова [67], Ю. М. Тарнопольского, А. М. Скудры
и А. В. Розе [97, 99] и др.
В 1963 г. был предложен подход к построению механики много-
слойных конструкций [И, 114], получивший развитие в ряде
дальнейших публикаций. Особенность этого подхода — максималь-
ная алгоритмизация, достигаемая систематическим использова-
нием вариационных принципов, тщательным выбором системы
основных понятий, обозначений и структуры уравнений. Исход-
ным пунктом по-прежнему является теория трехслойных пластин
и оболочек. Эта теория обобщается таким образом, что становится
справедливой при произвольном (в том числе бесконечном счет-
ном) числе слоев. Теория развивается при достаточно общих
6
предположениях о характере работы каждого слоя; для одних
слоев можно принять гипотезу Кирхгофа — Лява, для других —
гипотезу Тимошенко, для третьих — гипотезу Тимошенко, обоб-
щенную с учетом изменения длины нормалей. Столь же общий
характер носят предположения о свойствах материала и условиях
нагружения. Определяющие уравнения теории оказываются диф-
ференциальными по координатам, отсчитываемым в плоскости
слоев, и разностными по третьей координате, отсчитываемой по
нормали к слоям. Такая структура уравнений позволяет получить
дальнейшие результаты. В частности, для некоторых типов кон-
струкций регулярной структуры удается отделить функции раз-
ностной переменной и получить таким образом эффективные
аналитические решения, в которые общее число слоев входит как
параметр. Когда число слоев достаточно велико, конструкцию
можно рассматривать как мелкослоистую. В этом случае получен-
ные уравнения допускают предельный переход, при котором разно-
стная переменная становится непрерывной. В статье [12] этот
предельный переход был впервые проведен на основе принципа
энергетической континуализации (размазывания, сглаживания);
позднее принцип континуализации был применен для получения
определяющих уравнений механики слоистых композитов [15].
Развитая таким образом теория занимает промежуточное место
между теорией многослойных пластин и оболочек, основанной
на гипотезах для пакета в целом (гипотезы Кирхгофа — Лява,
Тимошенко и др.), и точными подходами, основанными на уравне-
ниях теории упругости. В теории многослойных конструкций
не накладывается ограничений на суммарную толщину пакета,
поэтому она применима, например, не только к пластинам, но
и к толстым плитам, пространству и полупространству. Теория
естественным образом учитывает изменения метрических свойств
отсчетных поверхностей при переходе от слоя к слою, поэтому,
она пригодна, например, для расчета толстостенных цилиндров
слоистой структуры. Уравнения этой теории в одинаковой степени
применимы к расчету многослойной сферической оболочки и рас-
чету шара слоистой структуры. Общая точка соприкосновения
теории многослойных конструкций с классической теорией упру-
гости — континуализированный вариант теории, разработанный
для конструкций мелкослоистой структуры.
Задачи теории упругости для слоистых сред рассматривались
главным образом в связи с приложениями к геофизике и стро-
ительству. Для многих из них можно построить точное решение
в замкнутом виде или алгоритм, включающий конечное число
операций. Таковы статические задачи о слоистом пространстве
и полупространстве с параллельными слоями в относительно
простых условиях нагружения, а также задачи о распространении
волн. Обзор работ этого направления можно найти в книгах [31,
49]. Точные решения, полученные без каких-либо допущений
о характере напряженно-деформированного состояния в слоях,
7
представляют значительный интерес Для механики многослойных
конструкций: эти решения позволяют проконтролировать точность
вводимых допущений и уточнить границы применения техниче-
ской теории.
Уравнения теории многослойных конструкций были исполь-
зованы для расчета стержней, пластин и оболочек, находящихся
под действием статических [II, 12, 22, 47, 54, 60, 63] и тепловых
[23, 53, 64, 100, 101 ] нагрузок, для расчета этих элементов на
устойчивость [16, 25, 43, 57, 59, 79, 81] и колебания [13, 44, 58,
61, 114], для исследования процессов распространения волн [34,
52, 55, 62] и диссипации энергии [21, 28, 38]. На основе этих
уравнений были исследованы механизмы передачи усилий в сло-
истых конструкциях [24, 48, 69, 70], распределение напряжений
около разрезов и трещин [72, 73]. Уравнения были применены
для решения некоторых задач механики, возникающих в гео-
физике [93], а также широко использованы для расчета конструк-
ций из слоистых композиционных материалов [17, 27, 50, 51,
95, 96].
В настоящей книге основное внимание уделено обоснованию
и выводу основных уравнений, формулировке типичных задач
и методам решения. Значительное место занимают методы расчета
на силовые и тепловые воздействия, вычисления критических
нагрузок, динамического расчета с учетом вязкоупругих свойств
материалов и др. Подробно изложены расчеты прямоугольных
плит, круговых цилиндрических и сферических оболочек, т. е.
конструкций, наиболее часто встречающихся на практике. В книге
приведены эффективные характеристики слоистых композитов,
описан принцип континуализации в теории композитов, а также
методы расчета пластин и оболочек из слоистых композитов.
Рассмотрены также некоторые технологические задачи [10, 26,
99], допускающие эффективный анализ методами механики много-
слойных конструкций. Особый интерес представляют задачи,
связанные с процессами намотки и термической обработки изделий
из слоистых материалов. Тип технологического процесса и его
параметры оказывают большое влияние на надежность и долго-
вечность конструкций из композитов [26], поэтому выбор мате-
риала, проектирование технологического процесса и проектирова-
ние конструкции в целом практически неразделимы. Теория много-
слойных конструкций открывает возможность для комплексного
подхода к решению таких задач.
ГЛАВА 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1.1. исходные допущения-
В настоящей главе выводятся и обсуждаются основные урав-
нения равновесия, устойчивости и колебаний упругих систем,
составленных из плоских слоев с различными механическими
характеристиками. К этим системам кроме прямолинейных стерж-
ней и пластин слоистой структуры относятся слоистые плиты
произвольной толщины, а также слоистое пространство и полу-
пространство с бесконечным счетным множеством плоских слоев.
Два типа подобных систем подробно изучены. Во-первых,
это упругие пластины, для которых обеспечивается выполнение
гипотезы Кирхгофа — Лява или гипотезы Тимошенко для пакета
в целом. В этом случае основные уравнения принципиально не
отличаются от соответствующих уравнений теории однородных
пластин. Например, вместо цилиндрической жесткости в эти
уравнения входит приведенная цилиндрическая жесткость, кото-
рая учитывает различия упругих характеристик слоев. Во-вторых,
подробно изучены трехслойные упругие пластины с так называ-
емым мягким заполнителем. В трехслойных авиационных панелях
жесткость сотового заполнителя или заполнителя из пенопласта
значительно меньше жесткости несущих слоев. Заполнитель вы-
полняет функцию связи между этими слоями и работает в основ-
ном на сдвиг. Поэтому удается удовлетворительно описать де-
формацию таких панелей, трактуя несущие слои как классические
пластины (иногда даже как мембраны), а заполнитель — как среду,
работающую преимущественно на поперечный сдвиг.
Изложим кратко общую теорию многослойных пластин [II,
16]. Это не только кратчайший путь получения различных ча-
стных случаев, но и возможность выявить общие свойства слоистых
систем, не замеченные ранее. В качестве предельного случая полу-
чим уравнения для весьма большого числа слоев, которые есте-
ственным образом переходят в уравнения теории слоистых компо-
зитов [12, 14].
В зависимости от механических характеристик материалов
целесообразно различать жесткие и мягкие слои. Жесткими будем
называть слои, для которых выполняются гипотезы обычной тео-
рии пластин и оболочек. Для мягких слоев имеет место значитель-
ное отступление от указанных гипотез. Деформации, которые
9
в обычной теории пластин и
оболочек полагаются пренеб-
режимо малыми (поперечные
сдвиги и относительные уд-
линения нормалей), для мяг-
ких слоев играют преобла-
дающую роль.Гипотезы Кирх-
гофа — Лява и Тимошенко
заменены здесь предположе-
ниями о законе распределе-
ния этих деформаций по
толщине мягкого слоя.
В статьях [11, 16] была
предложена теория упругих
пластин, составленных из жестких и мягких слоев в произ-
вольной последовательности. Для вывода уравнений использо-
вались вариационные принципы, что позволило получить также
естественные граничные условия и установить систему внут-
ренних усилий, не противоречащих введенным допущениям.
Уравнения равновесия были выведены на основе принципа Ла-
гранжа, уравнения колебаний — на основе принципа Остроград-
ского — Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия —
на основе принципа Треффца.
Рассмотрим пластину, состоящую из скрепленных между собой
изотропных упругих слоев. Направим ось 0х3 = Ог по нормали
к слоям, а ортогональную ей плоскость Охгх2 расположим произ-
вольно (рис. 1.1). Пусть пластина подвергается изгибу из пло-
скости слоев. Чтобы ввести обоснованную классификацию слоев
в зависимости от соотношений между упругими характеристиками,
используем энергетические соображения. Плотность потенциаль-
ной энергии деформации упругого тела определяется по формуле
1 *
и 2
(1-1)
где ojk — компоненты тензора напряжений; — компоненты
тензора деформаций. Здесь и в дальнейшем латинские индексы
принимают значения 1, 2, 3, а греческие— 1, 2, причем исполь-
зуется правило суммирования по немым индексам. Последнее
означает, что каждый раз, когда индекс встречается в одночлене
дважды, следует проводить суммирование по этому индексу, хотя
знак суммы перед одночленом опущен.
В развернутом виде формула (1.1) имеет вид
и = “Г °33833 Ч” Т12?12 4“ Т1зУ13 4“ Т23?2з), ( 1 -2)
где оп, о22, ст33 — нормальные напряжения; т12 = <у12, т13 = о13,
•т23 = <т23— касательные напряжения; еи, е22, е33 — относитель-
10
ше удлинения; у12 = 2е12, у13 = 2е13, у23 = 2е23 — относительные
сдвиги.
Жесткие слои — это те, для которых в правой части формулы
(1.2) доминируют первый, второй и четвертый члены; для мягких
слоев — доминирующими являются последние два члена (может
быть, еще третий член). Очевидно, что может существовать еще
ряд промежуточных и смешанных случаев.
Установим условия, при выполнении которых слой должен
быть отнесен к той или иной группе. Выберем вначале эталонный
слой, деформации которого с заданной точностью описываются
гипотезой Кирхгофа — Лява. Относящиеся к этому слою пара-
метры будем снабжать черточкой сверху. Для эталонного’слоя
« = 4" (^н + а^22 + T12Y12) + ЁеЮ (б). (1.3)
Здесь Е — характерный модуль упругости эталонного слоя;
е — характерная деформация (eu ~ е22 ~ у12 —- е); б — некоторое
положительное число, малое по сравнению с единицей.
Символ 0(6) означает число, модуль которого имеет порядок
6, а символ ~ означает, что модули сравниваемых величин имеют
одинаковый порядок. Если сравниваются две функции, заданные
в некоторой области, то подразумевается равенство порядков ве-
личин характерных (например, средних квадратических) значений
функций в этой области.
Остальные компоненты тензора деформаций для эталонного
слоя удовлетворяют соотношениям
е33~т12е> (1-4)
где т] — некоторое положительное малое число, в общем случае
зависящее от геометрических и упругих параметров пластины,
вида опорных закреплений и характера внешней нагрузки. Для
изгибаемой однородной пластины толщиной Н при отсутствии
сосредоточенных сил можно принять
4-4- (1.5)
Здесь 1 — один из размеров пластины в плане или масштаб
изменения напряженно-деформированного состояния в плоскости
слоев. Оценки (1.4) с параметром малости, определяемым по фор-
муле (1.5), следуют из уравнений равновесия
доц I । дТ1з q.
дх± ' дх2 ' дх3 ~~ ’
дхц । да22 . дт23 _~ ^31 1 ^тз2 д^зз_____л
дХ} ' дх2 ' дх3 ’ дхг ' дх2 ' дх3 ’
если принять
д _1_. д 1 д 1
~ К ’ дх2 X ’ дх3 Н
11
Для пластины из жестких слоев, между которыми находятся
очень податливые связи, справедлива формула (1.5), в которой
полная толщина Н заменена толщиной слоя h. Таким образом
Рассмотрим соседний слой с характерным модулем упругости
при деформации в срединной поверхности Е, характерным модулем
упругости при деформации в направлении нормали (трансвер-
сальным модулем) Ег и характерным модулем поперечного сдвига
G. Пусть
Е —срЁ; Ег = ч>г£; (1.7)
где ср, ф. и i|) — некоторые параметры.
Из условия неразрывности деформаций на границе раздела
слоев следует, что eu ~ eu; е22 ~ е221 Y12 ~ Via- Отсюда стп —
— срстп; ст22 ~ срст22; т12 — фт12. Из условия равновесия на границе
слоев следует, что ст33 — ст33; т13 ~ т13; т23 ~ т23. Учитывая соот-
ношения (1.4) и (1.7), найдем
Т1з~-уе; у23 ~ е; е33~ — е.
В результате приходим к следующим оценкам для членов,
входящих в формулу (1.2):
°iteii ~ ®г%£-22' ' Ti2?i2 ~ фЕе2;
<Ws3~-^-£e2; т13у13 ~ т23у23 ~ £ег. (1.8)
Используя оценки (1.8), нетрудно получить условия примене-
ния формулы (1.3):
<₽>* T<S; -£<S- (h9)
Слой, параметры которого удовлетворяют этим условиям,
назовем жестким. Слой, параметры которого удовлетворяют усло-
вию
(P<S:^>S;-^<S’ (Ы0)
назовем мягким (по сравнению с эталонным слоем). Плотность
потенциальной энергии деформации для этого слоя находится
по формуле
« = (т1зУ1з + ТгзУи) + £е20 (6). (1.11)
Если
ср<6; -^->6; -^->6, (1.12)
‘ ’ i[) ’ <р2 '
12
то в формуле (1.2) наряду с поперечными сдвигами необходимо
учитывать удлинения нормалей. Слой, удовлетворяющий усло-
виям (1.Ю), назовем трансверсально мягким. Для этого слоя
и = (Т1зУ1з -f- T23Y23 4* °ззезз) 4“ Е^2О (6), (1-13)
Два последних неравенства в (1.12) согласованы между собой,
если ф ~ срг и т] ~ 1. Первое условие, очевидно, обычно выпол-
няется; второе условие, как это следует из (1.6), сводится
к требованию, чтобы % ~ И и даже менее. Поля перемещений,
обладающие таким свойством, имеют локальный характер. Они
возникают, например, в окрестности точек приложения сосредото-
ченных сил, вблизи опорных закреплений, а также при коротко-
волновых изгибных колебаниях и местных формах потери устой-
чивости.
Если
ф>б= f>б; <<б- (1Л4)
то в формуле (1.2) следует учитывать все члены, кроме члена,
соответствующего удлинению нормалей:
U = -g- (ffUeU 4* 4" Т12Т12 4" Т1зТ13 4" Т2зТ2з) 4" (6). (1 • 15)
Приведенная классификация слоев для ср ~ <рх ~ ф при 6 =
= 10-3 проиллюстрирована на рис. 1.2. Область параметров I
соответствует жестким слоям, подчиняющимся гипотезе Кирх-
гофа — Лява. Мягким слоям соответствует область V, транс-
версально мягким слоям — область
принадлежат области //, то должна
применяться уточненная теория пла-
стин типа сдвиговой теории Тимо-
шенко; в области III должна при-
меняться теория толстых плит. Если
параметры данного слоя попадают
в область IV, то с относительной
погрешностью порядка 6 можно счи-
тать, что связь между соседними же-
сткими слоями отсутствует. Этот
рисунок соответствует изгибу плиты
из плоскости слоев и приведен толь-
ко для ориентировки. Условный ха-
рактер деления на области виден
хотя бы из того, что соотношения
типа (1.8), на основании которых
установлены критерии (1.9) и т. д.,
связывают лишь порядки сравнивае-
мых величин. Таким образом, в дей-
VI. Если параметры слоя
13
ствительности. границы между областями существенно размыты.
Данная классификация слоев может быть распространена также
на неупругие системы, если вместо модулей упругости использо-
вать соответствующие характеристики жесткости.
Допустим, что некоторые слои многослойной пластины (см.
рис. 1.1) можно трактовать как изотропные упругие пластины,
подчиняющиеся гипотезе Кирхгофа — Лява. Остальные слои счи-
таем трансверсально мягкими, в том смысле, что вклад в потен-
циальную энергию деформации этих слоев напряжений <ru, ст22
и т12 пренебрежимо мал по сравнению с вкладом напряжений т13,
т23 и ст33, так что плотность потенциальной энергии деформации
определяется по формуле (1.13). Случай мягких слоев легко полу-
чается путем предельного перехода. Для краткости будем называть
трансверсально мягкие слои просто мягкими.
Объединим соседние жесткие слои: полученные слои также
будут жесткими, но из-за переменности упругих характеристик
по толщине неоднородными. Гипотеза Кирхгофа — Лява остается
справедливой и для объединенных жестких слоев. Аналогично
объединим соседние мягкие слои.
Здесь и далее под жесткими и мягкими слоями понимаем
именно эти объединенные неоднородные слои. Если крайний слой
мягкий, то его энергия деформации, как правило, пренебрежимо
мала по сравнению с энергией деформации соседнего жесткого
слоя. Поэтому без особого ограничения общности можно считать
крайние слои жесткими.
Пусть число жестких слоев п. Пронумеруем жесткие слои,
начиная от одной из внешних плоскостей пластины: k = 1, 2, ..., п.
Аналогично пронумеруем расположенные между ними мягкие
слои: k = 1, 2, ..., п — 1. Индексы, указывающие номер жесткого
слоя, заключим в круглые скобки, индексы, указывающие номер
мягкого слоя, — в квадратные. Это позволит легко отличить пара-
метры и величины, относящиеся к слоям различной жесткости.
Толщины жестких слоев обозначим h(k), модули упругости —
коэффициенты Пуассона — v^. Примем = E(k> (z). Считаем,
что коэффициент Пуассона v<*j для каждого жесткого слоя по-
стоянен. Срединную поверхность каждого жесткого слоя выберем
из условия
E(k)z^dz^ Q
(1-16)
где интеграл берется по всей толщине слоя. Здесь — рассто-
яние, измеряемое по нормали к срединной поверхности слоя.
Напряженно-деформированное состояние жесткого слоя пол-
ностью определено, если известны нормальные кН*) (хх, х2) и танген-
циальные и'*) (хх, х2) и (хх, х2) перемещения точек, принадлежа-
щих срединной поверхности. На основании гипотезы Кирхгофа —
14
Лява перемещения u;ft) (хь х2, z) (j — 1,2, 3) произвольных точек
этого слоя — определяются по формулам
u^=w(ky. (1.17)
Наличие «свободного» индекса а говорит о том, что первая фор-
мула заменяет две соответствующие формулы при а = 1,2. Ис-
пользуя эти формулы, получим компоненты деформации жесткого
слоя в его срединной поверхности
” dX!
ib\ tb\ d2w^
—1-----z<*> e<«> = ------z<*> - t-s-
22 dx2 dxi
дх* ’
Т1Ф
dx2 ' dxi dxi dx2
(1-18)
(1-19)
Более компактная запись этих формул, использующая преиму-
щества индексных обозначений, имеет вид
₽<*> _ 1 _ ,<*>
“Р 2 \ дхц "Т" дха ) дха дх$ ‘
С учетом формул (1.18) нетрудно получить выражения для
соответствующих компонент тензора напряжений
11 \ dXl ’ dx2 /
E[k/k} d2w(k>x
< dxi +V<ft) dxi /
2);
T-(k) __
12 2(1+v(ft)) V
h 20i
dX! ) 1 + v(ft) дхг dx2 ' 7
Выражение 1 2 означает, что первой из формул (1.20) соответ-
ствуют две формулы: вторая получается из первой круговой за-
меной индексов 1 и 2.
Рассмотрим допущения для мягких слоев. Простейшее из них
состоит в том, что для всех компонент вектора перемещений при-
нимается линейный закон изменения по толщине. Тогда перемеще-
ния в произвольной точке мягкого слоя
= + (1-21)
Здесь и — перемещения на срединной поверхности
мягкого слоя; и — нормальные составляющие гра-
диента от этих перемещений.
15
Рис. 1.4
С учетом формул (1.17) получаем выражения для деформаций
в мягком слое
ДУ _ 1 f Д*+0 _ ДУ । ’ dw(k} । с" ^<й+1) \ •
7 ~ hW ‘ “ + дх* + дх* ' ’
g[*] =-^-— (да<4+1> — и/(У),
(1.22)
в которых использованы обозначения q и q для расстояний от
срединной плоскости й-го мягкого слоя до срединных плоскостей
й-го и (k + 1)-го жестких слоев соответственно (рис. 1.3);
c'k = (h(k) -J- ^[*]); c"k = ~2~ (/1(*+1) + tow)- (1.23)
Из формул (1.22) следует, что деформации мягкого слоя пол-
ностью определяются перемещениями жестких слоев, ограничи-
вающих этот слой.
Если мягкий слой неоднороден по толщине, то могут наблю-
даться значительные отступления от допущений (1.21). Тогда
вместо этих допущений лучше ввести гипотезу о равномерном
распределении касательных напряжений т13 и т23 по толщине
Погрешность этого допущения, очевидно, тем меньше, чем тоньше
слой и ниже его упругие характеристики по сравнению с упругими
характеристиками соседних жестких слоев. В рамках этого до-
пущения напряжения в мягком слое могут быть определены как
TaV = Bkyoti', °33] = (1.24)
где уаз] и е33] — осредненные по толщине деформации (рис. 1.4);
Bk и Ck — приведенные жесткости, для определения которых
используем условия
f Ta3ld2 .
J -Щ)
h[k]
о[У dz
^z(Z)
= e33]/i[ft].
(1.25)
16
Подставляя в выражения (1.25) осредненные деформации,
определяемые согласно формулам (1.22), и учитывая (1.24), полу-
чим формулы для напряжений
т“3=ВЧа“ + (1.26)
При этом для приведенных жесткостей получаются соотношения
-8Г= J ~G(J)-; ~СГ= J ~ЁД$’ ^-27^
Л[А] А[*]
Отметим, что трансверсальный модуль Ег в общем случае не
совпадает с модулем упругости материала мягкого слоя. Если
слой можно считать трансверсально мягким, обычно выполняются
условия еи е33, е22 < е33, т. е. обжатие мягкого слоя проис-
ходит практически без его расширения в плоскости слоя. В этом
случае трансверсальный модуль Ez связан с модулем упругости Е
и коэффициентом Пуассона v зависимостью
Ег = (i+v)(l—2v) ’ (1 ’28)
Очевидно, что для того, чтобы слой можно было считать транс-
версально мягким, материал должен обладать достаточной сжима-
емостью.
1.2. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для получения основных уравнений равновесия многослойных
упругих пластин воспользуемся вариационным принципом Лаг-
ранжа. Вариационные принципы открывают естественный путь
для сведения трехмерных задач механики сплошной среды к одно-
мерным и двухмерным задачам. При этом все кинематические и
динамические гипотезы, лежащие в основе приближенных теорий,
реализуются весьма прозрачно и почти одновременно — при
замене функционалов соответствующей трехмерной задачи их
приближенными выражениями. На этом же этапе естественно
разрешается вопрос об упрощениях, обеспечивающих один и тот
же уровень точности. Все упрощенные варианты, а также пре-
дельные и частные случаи приближенных теорий также легко
получаются из вариационной формулировки.
Вариационные принципы позволяют естественно разрешить
некоторые противоречия, которые содержатся в исходной системе
кинематических и динамических гипотез. Так, поля перемеще-
ний, введенные в п. 1.1, непрерывны, в то время как поля де-
формаций могут иметь разрывы. Например, на границе жесткого
и мягкого слоев претерпевают разрыв деформации е33, у13 и у23.
Второстепенные напряжения о33, т13 и т23 в жестких слоях, строго
17
говоря, ие определены. Применяя вариационный принцип Лаг-
ранжа, мы в сущности строим некоторое наилучшее в энергети-
ческом смысле приближение полей перемещений, деформаций
и напряжений к истинным полям.
Кроме того, применение вариационных принципов позволяет
получить наряду с уравнениями равновесия и движения также
и соответствующие граничные условия. Это особенно важно для
приближенных одномерных и двухмерных теорий, которые могут
содержать известные внутренние противоречия. Классическими
примерами служат вопросы о граничных условиях на свободном
краю в теории тонких пластин, о шестом уравнении в теории тон-
ких оболочек и т. п. Если уравнения выводятся обычным путем,
т. е. из рассмотрения равновесия (движения) и совместности де-
формаций бесконечно малого элемента, то эти противоречия при-
ходится снимать искусственным путем. Применение же вариацион-
ного принципа естественно разрешает вопрос об обобщенных
внутренних усилиях, совместимых с вводимыми гипотезами, и
о непротиворечивых граничных условиях. Наконец, вариацион-
ные формулировки представляют самостоятельный интерес, в ча-
стности, потому что служат основой для различных приближенных
методов (например, Ритца или конечных элементов).
Согласно вариационному принципу Лагранжа, потенциальная
энергия упругой системы в положении равновесия принимает
стационарное значение. Эта потенциальная энергия складывается
из потенциальной энергии упругой деформации жестких и мягких
слоев и потенциальной энергии внешней нагрузки.
Для определенности примем, что слоистая пластина имеет
форму прямого цилиндра с основанием й и высотой Н, где й —
область, занимаемая срединной плоскостью каждого из слоев.
Контур этой области обозначим Г. Плотность потенциальной
энергии деформации жесткого слоя определяется выражением
(1.3). Пренебрегая малыми членами в правой части формулы
и интегрируя по всему объему жесткого слоя V(fej, найдем потен-
циальную энергию деформации слоя
= 4" J Ш dV. (1.29)
’U
Подставляя сюда выражения (1.18) и (1.20) для напряжений и де-
формаций и учитывая условие выбора срединной поверхности
(1.16), после интегрирования по толщине получим
/
\ дх2
+ v(k)
до^ X Мй) । / dv^
dx! ) dx2 ' 2 \ dxa
, м2_\Ъй +
‘ dX1 ) J r
2 I
о
дх2 ) dxt +
18
d2ww
дх%
1 f г> Г/ \ .
2~ J Uk |A dx{ + V(ft) ~dx% / ~dxf H
й
dW*) \ , П/1 ч/ д2и№
^V(ft) dxl ) dx* + 2 C1 ~ v(ft>) ( d%3
dx'i
У dQ.
(1.30)
Интегрирование в этой формуле проводится по всей площади
срединной плоскости й; через Ak и Dk обозначены жесткости слоя
при растяжении (сжатии) и цилиндрическая жесткость слоя соот-
ветственно:
Л- J
Л(6)
E(k) dz
J
h(6)
E(k)z\dz
l~vW
(1-31)
Для трансверсально мягких слоев плотность потенциальной
энергии деформации определяется выражением (1.13). Аналогично
(1.29) получим
^]=4 f (^зМзАЧ^Мз] + ^ЧА1)^, (1.32)
‘'[й]
где интегрирование проводится по объему мягкого слоя Ур].
Подставляя в выражение (1.32) выражения (1.22) и (1.26), найдем
,, 1 f D Г/ (6+1) (6) । ' \2 .
о
+-A jCft(ie><*+1) - иИб))ЧЙ. (1.33)
Как и в формуле (1.30), интеграл берется по площади й. Потен-
циальная энергия деформации всей пластины
п Л—1
U-34)
k=l k=l
где слагаемые U(k) (k = 1, 2, ..., n) вычисляются по формуле
(1.30), а слагаемые U[ky {k = 1, 2, .... п—1) — по формуле (1.33).
При определении потенциальной энергии внешней нагрузки
для упрощения формул примем, что внешние силы и моменты
приложены только к жестким слоям. Тогда
П = — ^ J + <7Р)46’ + -
fe=l о
- £ J (№»(*> + лгГМ*’ - + л|“> +
г
+ Мр» У ) dr -I- const, (1.35)
19
где — интенсивность нормальной нагрузки, приложенной
к 6-му жесткому слою; и — действующие в срединной
плоскости внешние силы, приходящиеся на единицу длины кон-
тура Г &-го жесткого слоя (составляющая направлена по
нормали к контуру, Л/р* — по касательной); Q(ft) — внешняя
поперечная сила; M{nk> и М?1 — внешние изгибающий и крутя-
щий моменты, отнесенные к единице длины контура k-ro жесткого
слоя; vP и — составляющие тангенциального перемещения
по нормали и по касательной к контуру Г; dw^ldn и dw(k'>ldl —
нормальная и касательная производные от нормального перемеще-
ния. Интегралы первой суммы в правой части формулы (1.35)
берутся по площади срединной плоскости й, остальные инте-
гралы — по контуру Г срединной плоскости.
С учетом формул (1.30), (1.33), (1.34) и (1.35) получаем выра-
жение для полной потенциальной энергии системы
Э = j LdQ.-\- j ЛЫГ + const, (1.36)
or
где под первым интегралом стоит объемная плотность лагран-
жиана L, а под вторым — контурная (линейная) плотность лаг-
ранжиана М. Эти плотности представляют собой функции пере-
мещений п-*), при k = 1, 2...........п, а также их первых
и вторых производных. Согласно принципу Лагранжа в положении
равновесия первая вариация от полной потенциальной энергии
системы должна быть равна нулю:
8Э = 0. (1.37)
Это условие позволяет получить все уравнения равновесия и сово-
купность всех вариантов граничных условий, совместимых с при-
нятыми гипотезами.
Задача состоит в отыскании условий стационарности квадра-
тического функционала от конечного числа функций двух незави-
симых переменных, заданных в ограниченной области. Эта клас-
сическая задача вариационного исчисления хорошо изучена.
Однако в литературе нелегко найти готовые результаты, которые
можно было бы использовать как справочные данные. Поэтому
наметим путь вычислений, обратив внимание на определение
граничных условий. Для этого рассмотрим функционал
/= . . ., wN- w1:1, . . ., wN,2; wbll.ayWi22)dQ +
o
+ j M(tOj, . . wN\ wltl, . . ., wNt 2)dr (1.38)
г
для двумерной плоской области й с гладким контуром Г. При
этом L — квадратическая, а М — линейная функции выписанных
переменных, где ws (xL, х2) — дважды дифференцируемые по обеим
20
координатам Скалярные функции; U»s,a — их первые производные
по координатам ха; wSt — их вторые производные, т. е.
dws d2ws
Ws, а = аВ = 3-•
s>« дха s’ “₽ дха дх$
Дадим функциям ws малые возмущения 8ws = е£„ где е —
малый параметр; £s (хъ х2) — произвольные допустимые в смысле
вариационного исчисления функции. Подставляя в формулу (1.38)
возмущенные значения o»s + e£s и вычисляя первую вариацию
функционала /, получим
Л'
6/ = eV f/jLg + a₽W +
J \ dws bs 1 dws a bs,a r dwSt aR bs’ 15 / 1
s=l Q
+ 'Ef(x^C7;-“)‘,r <L39>
s=l Г
В этой формуле по-прежнему используется правило суммирования
по немым индексам, принимающим значения 1, 2.
Необходимо преобразовать интегралы в правой части таким
образом, чтобы по возможности исключить производные от вари-
аций по координатам. Это достигается двукратным применением
формулы Гаусса — Остроградского для преобразования интеграла
по области в интеграл по контуру, ограничивающему эту об-
ласть. Опуская промежуточные выкладки, выпишем результат
преобразования
N
52 dL
s=l £2
V
dL
dws
d dL__________________________
dxa dws< a “r dxa dxp dwSt ap
d dL
top dWs.ap
дМ
dws
dL
dws, a
(1-40)
dws a 1 SS1 “
Ввиду произвольности вариаций 6tos = e£s одним из необхо-
димых условий обращения в нуль вариации 6/ является равенство
нулю выражений, стоящих в скобках каждого из Л/ интегралов
по области й. В результате приходим к И уравнениям Остроград-
ского — Эйлера
dL _ д dL , 52 dL
dws dxa dws, a "r dxadxfr dws< ap
которые представляют собой линейные дифференциальные урав-
нения относительно функций ws в области й. В уравнениях (1.41)
21
= 0 (s= 1, 2, . . ., N), (1.41)
плотность L следует Трактовать как сйммеТрическую функЦйкУ
производных ws,a& при а =/= 0.
Другая группа необходимых условий стационарности функ-
ционала (1.38) получается из рассмотрения членов в правой
части выражения (1.40), которые содержат интегралы по кон-
туру Г. Целесообразно преобразовать эти члены так, чтобы они
содержали кроме граничных значений функций £s граничные зна-
чения нормальных производных £s,n- Пусть па — компоненты
вектора внешней нормали к контуру Г; — элементы матрицы,
осуществляющей ортогональное преобразование координатного
базиса в системе 0(х|2 к местному базису, орты которого напра-
влены по нормали и касательной к контуру. Таким образом,
vxx — v22 == fii, v12 = —v21 = n2- В результате остальные необхо-
димые условия равенства нулю первой вариации б/ сводятся к тре-
бованию, чтобы во всех точках контура Г обращались в нуль вы-
ражения
(/ dL д dL
(\ dws> a “ dxp dwSf
д Г/ dL , dM
dl L \ dws, ap г dw.
Г ( dL I dM A
L \ dwSt ap dwSt a /
Кинематические граничные условия имеют вид
6a)s = 0; 6&ySj п — 0 (s = 1, 2, . . ., N).
's, a
дМ
dws
s, a
(1-42)
's, п = 0.
(1-43)
Сопряженные с ними динамические (естественные) граничные усло-
вия
dL
dws, а
д dL \
<4 dwSl ap /
дМ
dws
д dL
dl L \ dwSi ap &
(1.44)
(-яд1 }vna = Q (s= 1, 2, . . ., N).
X dws, ap ₽ ' dws, a / na ' ’ ’ ’ 7
Любое сочетание 2N условий из числа условий (1.43) и (1.44),
при которых выполняются равенства (1.42), можно трактовать
как систему граничных условий, совместимых с данным вариацион-
ным принципом. Такая система условий, в общем случае изменя-
ющаяся при переходе от одного отрезка контура к другому,
должна быть поставлена для всех точек контура. Если последний
является кусочно-гладким, то эти условия ставятся всюду, кроме
угловых точек. Условия в этих точках формулируются особо.
При решении прикладных задач часто бывает достаточно за-
писать граничные условия для сторон контура, параллельных
координатным осям. Рассмотрим, например, участок контура,
22
для которого — const'. При этом «1=1, «2 = 0. Раскрывая
в формулах (1.44) суммирование по немым индексам, получим
0L______д dL_______\ д dL . дМ d дМ ____________д. (145)
dws, х dws, и 2 dx2 dwSi 12 ' dws dx2 dwSt 2 ’ ' ’ '
~яд-Ь 4-~а~~~ = 0 (s= 1, 2, . . ., N). (1.46)
dtfls,ii 1 dws, i 4 ’ ’ ’ ’ v ’
Плотность функции Лагранжа в (1.38) по определению яв-
ляется симметрической функцией производных tjys, 12 и tjys, 21.
При переходе же к условиям (1.45) и (1.46) производные tjyS)21
заменены производными a>s, 12, чем объясняется появление множи-
теля */2 в выражении (1.45).
Вернемся к вариационному принципу (1.37). С учетом соотно-
шений (1.30), (1.33) и (1.35) поверхностная плотность лагран-
жиана в выражении (1.36) имеет вид
т _ 1 V л , .. \ <*!k) ,
L --2- L М+V(ft) "dir) +
&=1
/ du^_ dfl<fe) X dfl<fe> , 1 — v(fe) / dfl<fe> dfl<fe> \21
' \ dx2 ' dxt ) dx2 2 \dx2'~dxi/]'_
+ 2 dxl dx2 ) dx( ~\ dxl
k—1
, d2tfl<fe)\ d2tfl<*>
+ dxl ) dxl
d2tfl(fe) X2
dxi dx2 /
n
— У1, (q^vW + q^v^ + q^w^) +
fe=i
R Г/ (fe+i) (ft) 1 ' dtfl(ft) . " dtfl(ft+1)
k=l
+ > + 4 +4 )’l+c‘
\ СМ2 СМ2 / J J
(1-47)
Уравнения Остроградского — Эйлера (1.41) распадаются при
этом на две группы:
dL_____d dL________d dL ______ q . ,
dv^ dxi dv^L dx2 dv^K
Ulf 1 1Л • xt
(Jfe= 1, 2, . . ., «; a= 1, 2);
dL d dL d dL . d2 dL .
— dT dw^ ~ ^x2 dw(k) + Г2” dtfl'^j +
+-=Г--------------------^тгг=° (^ = 1, 2, ..., «). (1.49)
dXg dtfl'^2 dXidx2 dw^h
23
Подставляя плотность лагранжиана (1.47) в уравнения (1.48)
и (1.49), получим систему Зп дифференциальных уравнений отно-
сительно перемещений , v^> и при k = 1, 2, п. Эти
уравнения справедливы для пластин с переменными параметрами
Ak, Bk, Ck и т. д. Из-за громоздкости полных уравнений запишем
лишь уравнения для пластин с постоянными параметрами [16].
Уравнения (1.48) принимают вид
, / д2^) . 1~V(Z:) d2u(ft) . 1+'V(A) 324ft) \ ,
\ дх\ 2 дх1 ' 2 дхг дх2 / “г
। о / (fe+1) (ft) । ' " дш(А+1)\
- Щ + с*_1 —------F
+ 4_1-^-)+<7Р) = 0 (6=1, 2......п; 1^2). (1.50)
Подставив выражение (1.47) в уравнения второй группы,
получим
Dk -j- (о)(*> — w^k~^) — Ck (®</i+1> — o)(ft)) —
- B,.,4Г 4 Ы” - 1’) + Л-, +
+ 4_, 1 - b.4 [4 Ы‘*“ - 4’) + 4 -
•-t^+^A^’^A/’j =q(3k} 1,2, . . ., n). (1.51)
Уравнения (1.50) и (1.51), строго говоря, записаны для k =
= 2, 3, .... п—1, т. е. для внутренних слоев пластины. Для
наружных слоев в уравнениях следует положить k — 1 и k = п
при Во = Со = 0 и Вп = Сп — 0 соответственно.
Уравнения (1 50) можно записать более компактно, если ввести
обозначения для входящих в них дифференциальных операторов
плоской задачи теории упругости
v\ = ^ + -L1VW.. / + (*.)__
UA - dx2 '2 dxl < 2 dXidxz’
A(fe) (v v\= д2щ 4- , 1 + V(A) 54 52
A2 (fP V2) - dx2_ + 2 dx* + 2 dx1dx2 '
2 дх*
Тогда уравнения (1.50) примут вид
л.л!« ^>) + в» -»!*’ + 4 + 4 -
о / (ft) (ft-1) । ' dw^k~r^ . " du№ \ . (ft) n
- B^ [v[ > - Ц} > + + Ck^ = 0
. (Jfe= 1, 2, . . ., n; 1=^2). (1.53)
24
Наряду с уравнениями равновесия рассмотрим естественные
граничные условия. Учитывая формулу (1.35), запишем выраже-
ние для линейной плотности лагранжиана М, входящей в формулу
(1.36) для полной потенциальной энергии:
м - - £ («<%“> + - Q"wm + <> 4
к=1
+ Л4|*’
dl / •
Поскольку старший порядок производных от тангенциальных
перемещений v\k> и в выражении для полной энергии равен
единице, то при варьировании энергии в правой части соотноше-
ний типа (1.40) отсутствуют члены, содержащие производные
от тангенциальных перемещений. Поэтому в точках контура слоя
Г на каждое из перемещений Va'1 накладывается только по одному
условию.' Старший порядок производных от нормальных пере-
мещений в выражении для полной потенциальной энергии
равен двум; поэтому для нормальных перемещений сохраняются
оба граничных условия. Таким образом, общее число граничных
условий, соответствующих уравнениям (1.50) и (1.51), для каждой
точки контура слоя равно четырем, а для совокупности всех
слоев равно 4п.
Выпишем граничные условия для отрезка контура хх = const.
Используем общие соотношения (1.45). Естественные граничные
условия, сопряженные с кинематическими условиями = 0
и = 0, имеют' вид
Ak (+ v<*> ~д^~) = Nnk’
1 —vlk, / dv^ \
(£= !, 2, . . л). (1.54)
Эти условия имеют очевидный механический смысл; в левой части
записаны внутренние тангенциальные усилия, действующие в сре-
динной плоскости жестких слоев, в правой — соответствующие
внешние нагрузки, отнесенные к единице длины.
Условие, сопряженное с кинематическим условием Saffi = 0:
= ...................(L55)
В левой части записаны внутренние изгибающие моменты в же-
стких слоях, в правой — соответствующие внешние моменты.
25
Кинематическому условию — 0 соответствует естествен- '
ное граничное условие при хг = const [11 ]
п [а3ш(/г) , /п _ ч cPw^ 1
Dk [ dx* + дХ] дх22 J
D ' 7 (fe+1) (k) I ' dw(k’> . " dt0(ft+1) \
-Bkck^ ----
n " 7 (fe) (fe-1) । ' . » dw^ \
- Bk_xck.i (Vi ’ - Vi + ck-t —-------h Ck-1 ) =
= (*=1,2--------«) U-56)
Первый член в левой части представляет собой обобщенную
в смысле Кирхгофа перерезывающую силу в k-м жестком слое.
Сопоставляя условие (1.56) с первой формулой (1.26), видим, что
во второй и третий члены входят касательные напряжения тз?]
и Тз1~1], которые действуют в мягких слоях, примыкающих к упо-
мянутому жесткому слою. Эти напряжения умножаются на c'k
и c'k-i соответственно, т. е. на расстояния от срединной пло-
скости мягкого слоя до срединных плоскостей примыкающих
жестких слоев (1.23).
Таким образом, в левой части условия (1.56) записана обобщен-
ная перерезывающая сила в жестком слое, вычисленная с учетом
касательных напряжений в примыкающих мягких слоях (см.
рис. 1.3). При этом касательные напряжения в мягких слоях Т311
и тз1”1] распространяются по толщине жесткого слоя. В самом
деле, в условия (1.56) входят размеры (1.23), а ие размеры Л[*]/2
и /i[fe-i]/2, как при распространении напряжений лишь по тол-
щине мягких слоев. Возможно, что это обстоятельство было бы
упущено, если бы граничные условия формулировали, исходя
из «наглядных» соображений, т. е. минуя вариационный принцип
Лагранжа. Достаточно указать на сходную историческую ситуа-
цию с граничным условием Кирхгофа в классической теории пла-
стин.
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
Уравнения (1.50) и (1.51) были выведены для трансверсально
мягких слоев, при наличии которых необходимо учитывать удли-
нения нормалей. В приложениях чаще всего встречаются слоистые
конструкции, при расчете которых достаточно принять схему
мягких слоев, т. е. для слоев пониженной жесткости ограничиться
учетом поперечных сдвигов. Переход от уравнений для транс-
версально мягких слоев к уравнениям для мягких слоев не яв-
ляется тривиальным и сопровождается уменьшением числа не-
известных функций, снижением общего порядка системы уравне-
ний и уменьшением числа граничных условий.
26
Условие применимости модели мягкого слоя отличается от
соответствующего условия для трансверсально мягкого слоя
знаком последнего неравенства в соотношениях (1.10) и (1.12).
Чтобы получить переход к мягкому слою, следует положить
оо (k = 1, 2, .... п — 1). Из уравнений (1.51) следует, что
при С*-»- оо должно быть (o><ft+1) — и;<*)) —О (Л== 1, 2, ..., п — 1).
Это значит, что для всех жестких слоев нормальный прогиб оди-
наков. Число неизвестных функций сокращается при этом с Зп
до 2n + 1. Уравнения (1.53) изменятся незначительно; в них
достаточно положить u>(1) = u><2) ==...= = w:
AkA^ + -
- (u|*> - u}*-1’ + -g-) = 0 (k = 1, 2, . . n- 1 2).
(1-57)
Здесь использованы обозначения для операторов (1.52) и, кроме
того, обозначено
Cfe = d + d. (1.58)
Уравнения (1.51) при предельном переходе содержат неопре-
деленности типа О-оо. После предельного перехода лишь одно
из уравнений остается линейно независимым. Чтобы получить
это уравнение, просуммируем почленно все уравнения системы
(1.51), после чего положим Ck—> со, = w (хъ х2) при всех
k = 1, 2, ..., п. В результате получим уравнение [11]
Ds AAw - V Bkck И+1) - нН) +
6=1
+ aT-(y2ft+1) —v^) +cfeAay] = q,. (1.59)
Здесь введены обозначения
Ds = i Dk- <7s = L qP, (1.60)
k=i fe=i
где Ds — суммарная (но'не монолитная) цилиндрическая жест-
кость, qs — суммарная интенсивность нормальной нагрузки,
приложенной к пластине.
Естественные граничные условия (1.54) при предельном пере-
ходе не изменяются; из 2п условий (1.55) и (1.56) остается два
условия, для получения которых достаточно почленно просум-
мировать соответствующие условия, положив в них =
= w (xr, х2), k = 1, 2, ..., п. Пусть коэффициенты Пуассона
27
всех жестких слоев одинаковы v(^) = v, k = 1, 2,
.... n. Тогда
получаем
d2w , d2w \
Ixf + V "dxiF / —
d3w
(2-v)
d3w
dx.
= 0-61)
k=l
где кроме обозначений (1.58) и (1.60) введены обозначения для
внешних моментов Мп и М{ и внешней перерезывающей силы Q,
просуммированных по всем слоям:
мп = s Mnk-, М, = S Mlk; Q = S Qk.
k=i k=i k=i
Если все перемещения и нагрузки зависят только от одной
координаты х, то уравнения (1.57) и (1.59) можно записать в форме,
содержащей в качестве неизвестных касательные напряжения
в мягких слоях т[А] = Bk (ujA+1) — UiA)) и нормальный прогиб
w (х). При 0, преобразованные таким образом уравнения
превращаются в уравнения составных стержней с упругоподатли-
выми связями.
Дальнейший предельный переход связан с рассмотрением
абсолютно жестких связей. Пусть Ck->- оо и, кроме того, В*-»- оо
для всех k = 1, 2, ..., п — 1. Из уравнений (1.50) и (1.51) следует
dw^ , " dw(M> „
+ = 0;
(£+1) (*) , '
V2 ' - V2 + Ck -j—
. „ dw(k+1)
+Ck dx2
= 0;
_ w(k) — Q (^ = 1, 2, . . ., П — 1).
Эти соотношения будут удовлетворены тогда и только тогда, когда
(А) (0) dw <ky (0) dw ,, , с ,
Vi = Vi — zk -ч—; V2 =V2 — ; wk = w (k == 1,2, ..., n).
(JXq
(1.62)
Здесь (xi, X2) и U20) (xi, X2) — тангенциальные смещения точек,
лежащих в некоторой плоскости пластины, параллельной слоям;
zk — расстояния от этой плоскости до срединных плоскостей
соответствующих жестких слоев; w (хъ х2) — нормальные переме-
щения, одинаковые для всех слоев. Уравнения (1.50) и (1.51)
28
при оо, Bk-+ <х содержат неопределенности типа 0-оо.
Чтобы исключить эти неопределенности, составим тождество
йй 1
где учтено, что да(/!+1) —да(/е» = 0 (k = 1, 2, .... п). Умножая
уравнения (1.53) почленно на zk и суммируя от единицы до п,
получим
£ вл („;*•'> _ „®аw*>,
fe=l k=l
Аналогично
n—1 n
2 Вл (vS‘-> - + = У Лл№ W*1, о?1)-
fe=l 2 k=l
Подставляя эти выражения в уравнение (1.59) и учитывая, что
Л<*) vp) + Л^) (vW v^) = ~ Av<*> + ~ Av<4
t/Aj_ C/Ag С/Л]. C/Ag
получим
n
D, ДДа» - V Ал Л^>) = (1.63)
fe=l
Это уравнение учитывает предельный переход С*-*- оо, однако
жесткости на поперечный сдвиг В* пока еще полагаются конеч-
ными. Поэтому уравнение (1.63) может быть использовано как
замыкающее уравнение вместо (1.59) для многослойной пластины
с чередующимися мягкими и жесткими слоями. Чтобы получить
переход к пределу при оо, подставим в уравнение (1.63)
тангенциальные перемещения u<fe) и y<ft), найденные в соответ-
ствии с формулами (1.62). В результате получим
(п . \ п
Ds 4- 2 Akzl I А Ада — AkZk Ау}0) + = qs.
/ k=i 2
29
Пусть плоскость, от которой отсчитываются расстояния Z*,
выбрана так, что
А&к — О-
k=i
Очевидно, это соответствует выбору срединной плоскости в клас-
сической теории пластин с учетом неоднородности упругих свойств
по толщине. В этом случае получим классическое уравнение изгиба
пластины
Dm ААау qs,
(1-64)
где Dm — «монолитная» цилиндрическая жесткость, т. е.
Dm = S (Dk + Akzl).
(1.65)
Аналогично нетрудно получить еще два уравнения, соответству-
ющих плоской задаче для монолитной плиты.
Рассмотрим случаи, когда модули упругости материала мягких
слоев настолько малы, что жесткие слои можно считать нескре-
пленными. Это соответствует области IV на рис. 1.2. Полагая
в уравнениях (1.50) В* — 0 (k = 1, 2, ..., п — 1), получим урав-
нения плоской задачи для жестких слоев
А*
ГдМ*) 1—V 320<fe) l+v
—_L_ I 1 v<fe) ° । 1 T v(fe> ° 2
[ dx% ' 2 дх% "I” 2 dx2
+ ^’=0;
Mfe) , i-v(fe) , 1+v(fe>
k dx% ' 2 dx'j "I” 2 dxj dx
(k = 1, 2, . . ., n).
Уравнения (1.51) при 0, Cft-> 0 (k = 1, 2, .... n— 1) пре-
вращаются в классические уравнения
Dk ААоИА) = qk.
Таким образом, уравнения (1.50) и (1.51) носят весьма общий
характер и включают как предельный случай ряд других под-
ходов к расчету многослойных пластин. Обобщение этих уравне-
ний на случай анизотропных слоев не представляет каких-либо
затруднений. В некоторых приложениях может возникнуть вопрос
об учете деформаций поперечного сдвига в жестких слоях, т. е.
об обобщении теории на случай слоев повышенной жесткости,
когда выполняются условия (1.14). Уравнения для этого случая
будут рассмотрены несколько ниже.
30
1.4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
Уравнения (1.50) и (1.51) допускают обобщения, которые
отвечают многообразию слоистых конструкций и условий их
работы. Выше были рассмотрены варианты основных уравнений,
основанные на введении различных упрощающих предположений.
Возможны обобщения, уточняющие работу многослойной кон-
струкции и учитывающие специфические свойства материала слоев
и, в частности, анизотропию.
Учет анизотропии материала слоев является одним из суще-
ственных моментов, поскольку жесткие слои многослойной кон-
струкции часто обладают анизотропными свойствами естественного
или конструктивного происхождения. Мягкие слои, как правило,
изотропны, но и здесь часто встречаются анизотропные заполни-
тели типа сотовых, гофрированных, складчатых и т. п.
Рассмотрим многослойную конструкцию с плоскими анизо-
тропными жесткими и изотропными мягкими слоями. Сохраним
все гипотезы, использованные при выводе уравнений (1.50) и
(1.51), за исключением закона Гука. Связь между напряжениями
и деформациями в обобщенном плоском напряженном состоянии
жесткого слоя запишем с учетом анизотропии этого слоя
<и?>=a?? neir+a?; rf+a?; 22а?> (i 2);
at’=at? паг+at? па?’+at? rf. (1 .ее)
Частными случаями (1.66) являются соотношения для изо-
тропного материала
(ft) „<*) . />'1
Си, 11 £22,22 1 ^2 ’ £11,22 = V(*)C11? 1Г»
(/г)
at? i2=at? 12 = 0; at? i2=g<*) == /*’—г- (i .67)
2(*+v(fc))
и для ортотропного материала с главными направлениями, парал-
лельными выбранным осям координат:
11 = 1 (1 2): с*2’11 12 =
at? 22=^>at? п=а*>а?? 22; at? n=at? i2=о. (i .68)
Если главные направления анизотропии в жестком слое орто-
гональны, но не совпадают с направлениями осей координат
Охг и Ох2, то в (1.66) упругие постоянные следует заменить пре-
образованными после поворота системы координат на угол 0.
31
Для ортотропного материала постоянные Cap, ve из (1.66) опре
деляются по формулам [5]
Сп/ 11 = i’ll' 11 cos4 0 —j— 2 (fl!'22 А c1212) Sin2 0 COS2 0 -j- C22J 22 SlH* 0
(1^2);
Cll? 22 = C1L 22 + tCn' 11 4" c22,' 22 — 2 (сц* 22 + 2C12> 12) ] sln2 0 COS2 0;
C12* 12 = C12* 12 -j~ [di , 11 C22J 22 — 2 (сц’22 + 2C12> 12)] Sin2 0 COS2 0;
Cll,1 12 = -y 1^22,' 22 SiD2 0 — 41'll COS2 0 -f- (41? 22 4* 2C)^ 12 ) COS20]sln20
(1.69
C22! 12 = § [^22?22 cos2 0 — 4i? u sin2 0 — (4i? 22 4“ 12) cos 20] sin 20
где компоненты co штрихами определяются согласно (1.68). За
метим, что в отличие от (1.68) постоянные с<^12 и с$12, входящи<
в (1.69), отличны от нуля.
После введения параметров жесткости
ve = j cag, dZ(k)‘, Da^, уб = j dZ(k) (1.70
и применения вариационного принципа Лагранжа получим урав
нения
Д2 (fe) д2 (fe) =2 (fe) з2 <k)
A<k) °V1 I 9Д(Ь> ° V1 I Д<*) ®°1 I Л<к) 0V2
Лп’11 "^г + 2Лп-12 ~д^ + А2'12 ~дЦ—Л11’12 ~д^~
ЯАК d2v^
4- (412? 12 4- 122) д д 4- Л(2? 12 —-----------F
tzAJ tzAg tzAg
, n I (fe+1) (fe) , cto(fe+1> , " \
n ( (k) (fe-1) 1 ' dww , dw(k 11 \ ,
- (vt -t/1 + + ^-1 - ) +
4-<7<ft> = 0 (1^2);
^(k) dVft) 4ri(fe) dWft) . o/npW 1 n(*) \ г
Dl1-11 ~d^~ +4Dn-12 ~d^ +2 ^2Di2> 12 + Al>22' +
.n(fe) S4W(fc) . n(fe) б4Ш(А) . n / Ik) (k-l)\
+ 4D22’12i^r + 'D22'22 _^T“ + Cfe-1^ ~w
- с, - »'*') - [-£ (»!*' - «,«->) +
+ 4- Ы*> - rf*-1’) + ft., W'< + 4., Ab,'4-4 1 -
0a2 J
- B.4 [Ы«> + £ - v5«) +
4-4Aui("+I)- + cfeAffii(fe)] = ^) (£= 1, 2, . . ., n). (1.71)
32
Естественные граничные условия при хх = const, сопряженные
с кинематическими условиями 6n‘ft> = 0; 6i4fc) = 0; 6 (dv^^/dx^) =
= 0; 6&y(fc) = 0, имеют вид
л (ft) л'2(,!)
ЛИ, 11-я7------Г ^11, 22
= Л^;
дхг 22 дх2
dv{k) duff* \
1AI2\ dx2
n(ky d2w^
d / n(fe)
lDn-
'll, 11
47)12* 12
дхг
Qfa . I . .
1 дхг /
cto(fe)\ п , dMtk
~д^~) = Qk +
dx2
12 1 dx2 ' dx^
dv[k> A(k. dv^>
-^— + 42* 12-/— = Nlk;
дхг 1 dx2 lR
p(ft) Qp(fe) ... .. _
+ A1,22-&4—+ 2Z?11’12 = (L72)
aVfe) , n(fe) aVft) , nrt(k) \ ,
“ST+ и + "" +
I on® I op(*) ^w(k) \
+2D,U ,2-sr + • -
+ c;^
+ *-1 ~dX1 +C*-!
(k= 1, 2, .... n).
Как частный случай из уравнений (1.71) и граничных условий
(1.72) следуют с учетом (1.67) уравнения (1.50), (1.51) и граничные
условия (1.54)—(1.56). Если материалы жестких слоев ортотроп-
ные с главными направлениями, совпадающими с направлением
осей координат, то с учетом (1.68) получим
л (ft) ^ulfe) Л (Л) ^ulfc) Л(й) ^v2k)
А г —+ 4 * —+ 4 * -г 1 +
дх[ дх22 дх1дх2
о Lu+i) „т । / dw(k+1) - dw(k>
+ B*(v} > + Cft__+Cfc__
+ <7i(fe)=0
---Dfe_l I U1 — U1
1 т к &Х1
dw^ " dw^k~^
дх! +Cfc-1 дхг
, n(fc) д4а>(/г) Qn(fe) d4w(k)
[_£_(„(»-v(.->) +
') + <Vi Aa>(fc) +4_1A&y(fc j
7s-«*“> - <4‘>)+4 +c; дш«> ]=
(k = 1, 2, ..., n).
D{k)
dxj
— Bk-lCk-l
,(k)
2 В. В. Болотин
(1-2);
(1.73)
ИНВ № 33 __ |
HE БОЛЕЕ 1Й КНИГИ B^|
ОДНИ РУКИ И 2X В ДВЕ )
ВИ В ЛИО""W a
КОЛОХЗА
33
Здесь
c(k)t.3 f' r3
n<ft) “ w . n(k) _^(k)n(k) . • n(fe) on**’_!_»**>П**’-
Da = 12(1 _;^v**’) ’ K-------------12—’ D3 =2Dk +V2 Dl ’
pWlh
A«' = \k\k\k)’ 4fc,=G(^(fc); = (1.74)
Естественные граничные условия (1.72) принимают следу-
ющий вид (хх = const):
1Ь, I tbx ^>2^ \
du**’
дх2
Nlk;
oi*>( 4?-+^’
\ dxl dx2 )
D»> -££. + (4D«' + vS'W)
dx° dx10X2
- в,.л., (4‘> - 4‘-1> + 4-. + 4-. - ('-75>
- 8,4 (#*'’ - <4n + 4 +4 - <2. +
K \ 1 1 ' R дхг ' дхг ] ' dx2
(k = 1, 2, . .., ft).
Для учета анизотропии мягких слоев вместо (1.24) необходимо
использовать соотношения
оЙ1 - <й,]ззгй1 + ей? 13уЙ] + 4*]23<;
*131 = С13,1 зз₽зз1 + С13? 13Т131 + С13? 23Т23]; (1 /6)
ТЙ1 = <й,] ЗЗбУР + № 1зТЙ] + 23<
Если относительная толщина жестких слоев велика, так что
для описания деформирования такого слоя, взятого в отдельности,
гипотеза Кирхгофа — Лява становится неприменимой, то эту
гипотезу, очевидно, нельзя применять и для описания деформиро-
вания жесткого слоя как элемента многослойной конструкции.
Для жестких слоев необходимо ввести гипотезы, соответствующие
уточненным теориям деформирования однородных пластин. Про-
стейший из подходов основан на введении предположений о рас-
пределении поперечных сдвигов по толщине жесткого слоя. Для
поперечных сдвигов берется выражение
№ = ^ak} (Xi, Х2) (zlk)) (a = 1, 2), (1.77)
где /**’ (г**>) — функции, характеризующие распределение по-
перечных сдвигов по толщине, аппроксимацию для которых вво-
дят, формулируя исходные допущения при решении конкретной
задачи; (хь х2) — искомые функции, характеризующие рас-
пределение поперечных сдвигов по срединным поверхностям
жестких слоев.
34
Наиболее часто вводится гипотеза о том, что поперечные сдвиги
по толщине распределены по тому же закону, что и в классической
теории, т. е. по квадратичной параболе
f(k) (z(ky) = 1 - V. (1.78)
Более простым является предположение о равномерном распре-
делении поперечных сдвигов по толщине. В этом случае полагают
= !
Используя общие зависимости между деформациями и пере-
мещениями и введенные соотношения (1.77), после интегрирования
получим следующее распределение тангенциальных перемещений
по толщине:
№ = - г(*> [-^У - (z(fe))] (а = 1, 2). (1.79)
Здесь введены функции
^)(2<ft>)= * [f^(z^)dz(k\ (1.80)
При равномерном распределении поперечных сдвигов по толщине
(z(ft>) = 1, а для распределения (1.78)
^)(2<*))=1 ору.
6 \л(*о /
Заметим, что при равномерном распределении поперечных
сдвигов по толщине удобно ввести функции
(а=1, 2), (1-81)
которые имеют смысл общих углов поворота нормальных элемен-
тов, остающихся при деформировании прямолинейными, но не
перпендикулярными к деформированной срединной поверхности.
Длина нормального элемента при этом по-прежнему не меняется.
Учет поперечного деформирования может быть следующим этапом
уточнения схемы деформирования слоя. Введение функций (1.81)
вместо (1.79) дает
№ = - z(k,c(ak) (а==1, 2). (1.82)
Компоненты деформации жесткого слоя при введенных гипо-
тезах определяются по формулам
(fe) 1 (4fe) \ (fe) ,
“P ~ 2 \ dx& + dxa ) Z дхадхр +
+ + (a, p=l, 2) (1.83)
2*
35
или для равномерного распределения поперечных сдвигов — по
формулам
М . 1 ( \ 1 (fe)
а₽ “ 2 \ дхр дха J 2
<>
( дхр дха
Компоненты напряжений
(а, р= 1, 2).
(1-84)
~(k) E(k)
°П — ------—
1 ~v(fe)
дхх +V<ft> дх2 z I dx2 дх2
— G(k)
щине
d<p<fe>
dx±
^2k) \
(1—2);
_____ dv2k) _ 2 (k) d2w(ky>
dx2 dX], Z dXidx2 1 47
Mfe) \
д%1 у ’
(1.85)
4T= G<k)fw(zik))<fa} (« = 1> 2).
Для равномерного распределения поперечных сдвигов по тол-
вместо (1.85) получим
g(fe) Г
1 — v(fe>
T121 = G(k)
' do!*’
(1-2);
dV2k) _ _(fe)
3xi
(fe)
dxi
дхя
т&=С(к)Ч><?> (a =1,2).
Перемещения в мягких слоях по-прежнему
деленными по линейному закону (1.21). При этом
Va +Va ----фо Фа
A(fe) ( dw(k} ...(feUfeA .
---------------фО фа I >
aPJ - _L
Ua ~~ 2
считаем pacnpe-
Г
2 \ dxa
tpJ __ 1 Г,д+м । л(ь+1) (зш(,!+1) ,u(fe+i)m(fe+i)') ,
ё“ -Wa “ +~2~ ф“ / +
I ft(fe) (
2 (
~a—'•’° Л’
(1-87)
W[kJ — — (u)P+I> | дор)). gjfc]
) (a = 1,2).
1
Л[6]
С учетом свойств функции ф (z) здесь введено обозначение
Фо/г) = Ф<6> (ft(fe>/2) = Ф<6> (—/i(fe)/2). При справедливости закона
36
(1-78) ф0 = 2/3- При равномерном распределении поперечных
сдвигов по толщине жестких слоев вместо первых формул (1.86)
получим
е1=4 [+4й + 4- - '•«&*’) 1; •
, г , < <‘-88>
и*1 - [«г0 - +4 +м1и) ].
После интегрирования по толщине при использовании гипотез,
соответствующих (1.79), выражение для потенциальной энергии
деформации принимает вид
п
dvW dv^
+ 2v(4) —!---------
4=1 а
1 -vw / ^I(fe)
2' у дх2
dv^ \2‘
dxt I
дх± дх2
2
+
4=1 й
- 2/г<*>
)2w<*> \2
, _ d2w(k) .
+ 2VW^
аф(*> <Mft)
J \21
d(p<fe>
дх2 дх2
&Г +v<fe>-
, d2w^ <Mft> , 4 d2w^ f
dx$ dxi dxxdx2 \ dx2
+c
dx2
X~\k)
2
d<pp>
dx2
<> V
J
dtl +
n
+ 4 У, J Ы"! + <p!‘>!) da +
Й=1 Й
n-1 2
+тЕй‘Ек,,"’г’+с‘2С1+
й=1 й а=1
, dw(k) h(k+l) ,b(fe+I)^(ft+I) h(k) ло i
‘ ~dx-------2 0 2 0 '
n—1
+ 4"^ Jc*(®(*+1)-®(4))2dQ, (1.89)
4=1 Й
37
где кроме ранее введенных обозначений для Ak, Bk, Ck и Dk
согласно (1.27), (1.31) введены следующие обозначения для коэф-
фициентов, характеризующих неравномерность распределения
сдвигов по толщине жестких слоев, однородных в трансверсальном
направлении:
4/2 4/2 4/2
kz = ^ j ^dz; = J г2ф2<&; kf = 4" J fdz. (1.90)
-4/2 -4/2 -4/2
Для квадратичного закона распределения поперечных сдвигов
(1.78) эти коэффициенты равны: kz = 4/5; = 68/105; kf = 2/3.
При равномерном распределении kz = = kf = 1.
При равномерном распределении поперечных сдвигов в же-
стких слоях получим
2
ди^ \2
1 ~ v(4) / ^i(t)
2 \ дх,_.
п
4=1 Я
d£i +
дх^ дх2 2 I дх2
+
Z1—1 2 >
+4- Е Ь Е к" - 1+к
fe=l Q ос=1
л—1
+ 4- (V1)^+I) + dtl + -±- J1, Jcfc (^(fc+I) - Ш<4’)2^.
4=1 я (1 91)
Введение гипотез уточненной теории позволяет более полно
учесть характер нагружения многослойной пластины: кроме нор-
мальной и тангенциальной нагрузок, отнесенных к срединным
поверхностям жестких слоев, учитываются моментные нагрузки.
Потенциал внешних сил (1.35) при введении гипотез о равномер-
ном распределении поперечных сдвигов по толщине жесткого слоя
П = - S J + rik}^dV +
4=1 Я
+ £ J (-Q(4)^(4’ + Mnk№ + +-NnkV{nk) + /W) dr +
4=1 Г
+const. (1-92)
38
Аналогичное выражение может быть записано и с учетом не-
равномерного распределения поперечных сдвигов по толщине
жестких слоев.
Приведем некоторые варианты уравнений, описывающих пове-
дение многослойных пластин при отказе от гипотезы Кирхгофа —
Лява для жестких слоев. Пусть распределение поперечных сдви-
гов по толщине жестких слоев неравномерное, а пластина нахо-
дится под действием только нормальных и тангенциальных нагру-
зок, приложенных к жестким слоям. В этом случае уравнения
следующие:
м*’, »!в) + В» (vl*’1’ - -Г’ + i +
+- т* ’ - 4 '"«л1*’) -
-V1 Cfe_! Cfe_x --------
----^-Л(4)Фо4)ф1<4)--^-^(4-1)Фо4 1)(Р1<4 + <71А) = 0 (1 ^2);
— Bk-iCk-i
Dkbbw(k> - Dkk^ ГAcpf*> + Aq>^ 1 +
4- Ck-i (wW — — Ck (w(k+1) — w(k)) —
Г dv?> dv{k-^ dvp M*-1) „ k
1 1 ’ 2 2 +cft_iAu/4) +
BkCk
+ c'k Aw(k)-А(4+1)ф^+
-1-Wo (
dv[k dv^ dv^k
dxi dx2 dx2 dx2
+4_,w“’-4
-> ^4— + 4—
dv<4+1) dvik+r> dv^ „ fb+n
-4--------A---1---1 -------/— + Ck АиГ+1) +
dx-i дхг 1 dx2 dx2 1 1
дх2 у
=4*’; <i.9.3)
- О^’лГ «•>, rf>) + (AC?4) -
- в,
_ в,., [„«> _ „(•-«++с;_,
--2~ ВФ1В---2" Вф|* 11 = 0 (
дх±
39
Здесь использованы обозначения для операторов плоской задачи
(1.52).
Если в этих уравнениях положить kz = = kf = 1 и восполь-
зоваться обозначениями (1.81), то получим уравнения для случая,
когда вводится предположение о равномерном распределении
поперечных сдвигов по толщине жестких слоев. Приведем эти
уравнения для пластины регулярной структуры Ek = Е-, vk — v;
Dk = D\ Л = A; Bk = B\ Ck = C; /i(4) = h\ = s; ck = c'k =
= c0. Пусть действует также моментная нагрузка m<A. Для того,
чтобы выделить уравнения для первого и n-го слоев, введем сим-
вол = 1 — 8jk, где 8jk — символ Кронекера. Окончательный
вид уравнений
ЛЛ, (»!•>, »(*') + в{[»!*«> - »|" + 4 +
, h ^(*+1) , „ Г,,(ft) ,,(fe-i) । s (dw(k) , dw^-^ )
+ -2-(?i +?i -t»i + -y] +
+ 4 + Bl*’0)] Пи} + =0 (1 Z2 2);
nA Z₽(fe) । Eh ( dw<k>
, g2 )+ 2-(1+v)
„1»
+4 й“>+£1,>)1п..+k
Bs
2
s / cto(/'+1) dw^ ) ,
T дхг г ~д^г~) +
................ +
Z \ UXi
+ 4 (£“’+ El*'”)] »l]+rf’-o (132); (1.94)
2(1 +v) dxt дх2 I
+ C _ Ш<^+1>) + (^> - 1141] -
f *r> л«> + *4 * +1 (W«,+to<H)+
1 dx2 dx2 ' 2 x 1 71
dg<fe) d^k+v> t
dXi A dx2
dv^ dv^
dx± dxt ~r dx2 . dx2
dx2
dw^
дхг
4(a®(,!) + a^-1)) +
dx± ' dx$
nfej — 4ak) == 0.
Sxj dx±
+ A
' 2
, h / <> ,
+ 2 dx± +
+
40
Остановимся на вопросе о граничных условиях. В связи с уве-
личением общего порядка исходной системы уравнений на каждом
краю вместо 4м условий (1.54)—(1.56) для учета неравномерного
распределения сдвигов необходимо сформулировать 6п условий.
Для края = const эти условия можно записать в следующей
альтернативной форме типа (1.42):
v(fe) ) — Nnk М&) = 0;
C/AJ /
Ak
1 ~v(fe) (
2 dx2
doff*
dx-i
-Nik
8v(2k) = 0;
+
(n. 52 (dw(k) , ,, ч d2 (dw‘k> b(fe)rn(«') 1
—z 4,1 —** CP1 / +
+ _ ^>)1 _ ВЛ J*+1> - 4- ck +
1 dxx dx2 \ dx2 T / \ 1 R dxi 1
, / dw^ h(k+l} , (fe+i) (fe+i) h(k) ,b(fc)„(*A
+ Ck --------------2— T0 cpi-------------2“ ve ф! j —
- В..Й., 4« - - V -
- 44 tf-'M1-11) - <?<„ - 441 &»'*’ = o;
I
tDk +
( R дхх \ дхг z у i
d I dw(fe) .(fe) <fe)\l .. 1 x dw(k} n, ,, Qk4
+ v(fe> ~d^ ----kz ф2 Д — Mnk) 6 ~d^~ °’ -95>
Dk^k}
4fe>
d /
6x1 I дхг
t ф(*Л1 _ mJ 6ФР> = 0;
дх2 I dx2 j «к
Dk
1 v(fe) ^(fe) 3
2 dx%
д I dw(k)
dxj I dx2
4fe)
-M/J6q4ft, = O.
Обращение в нуль вариаций от перемещений дает кинематические
граничные условия, а обращение в нуль множителей при этих
вариациях — динамические (естественные) граничные условия.
41
Приведенные граничные условия используются при решении задач
на основе уравнений (1.93). При равномерном распределении по-
перечных сдвигов по толщине жестких слоев в связи с уменьше-
нием общего порядка системы уравнений уменьшится и число
граничных условий до 5п. Приведем эти условия для пластины
регулярного строения, поведение которой описывается системой
(1.94). Для края xL — const они имеют вид
dv'^
+ V
+
I dv\k)
A
д 1-v f M*’ |
A 2 I dx2 *
J2
dx2
Eh / dw<k)
.2(1 + v) ( dxt
,,(k) । s
fl -fi +y^-r / T
| л.»+|>Г’ - »i*-”+f +»'*-«)+
- 0;
-Nnk 6^ = 0;
j - Nlk = 0;
+4(е,,‘,+еГ")]>
D + v-J-
1 UX± 0X2
2 \ dx2 "i” dx
-Mlk 6^ = 0.
(1.96)
д
;lfe)=0;
Приведенные уравнения и граничные условия легко обоб-
щаются на случай анизотропных жестких и мягких слоев.
1.5. ДВУХСЛОЙНЫЕ И ТРЕХСЛОЙНЫЕ ПЛАСТИНЫ
КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Нами были рассмотрены многослойные пластины достаточно
общего строения по толщине. На практике часто встречаются
двух- и трехслойные конструкции. Теории и методам расчета этих
конструкций посвящено много отечественных и зарубежных ра-
бот. Ограничимся указанием на справочное пособие для инжене-
ров [2] и обзор [36].
Двух- и трехслойные пластины являются частным случаем
многослойных пластин. Приведем вывод уравнений для этих
типов конструкций на основе общей теории, изложенной в преды-
дущих пунктах. Если в уравнениях многослойных пластин (1.51)
42
и (1.53) ограничиться числом жестких слоев п = 2, то получим
уравнения для трехслойных пластин
Л,ЛС' («1», V?') + В(»Р - f(") + Вс, (^- + = 0;
лл!" м». - в(»(" _„<>) + ^1) + ,«> _ 0;
AM" (fl", fl") + ВЫ" - »1") + Вс, (^1 + + ,('> = 0;
\ С/Л2 (/Л2 /
АЛ)" (fl", f?>) - В Ы" - »1") - Вс, + ^2.) + ,р = 0;
\ (7Л2 С/Л2 /
DXAW” - С (®(2) _№<’>)_ V
х ' 1 I dxt дх1 /
- Вс, - В4 (Д!»'" + Л»1") _ (1.97)
D,A,W" + <?(»'" - г»’") - Вс, ( -
~ Мтг— тй ~ U»e> + 4“"’) = ч>’-
\ С/Л2 С/Л2 /
£1
S
Жесткие слои, входящие в трехслойную пластину, называют несу-
щими, а материал связующего слоя — заполнителем. Несущие
слои и слой заполнителя обычно однородны по толщине. Тогда
из (1.27) и (1.31) следует
л - Eafla п • R G" Г
Л“-Т=Ч' = 1577-5-’ В -Т’ с
ha +s
с“----“ ’
(1.98)
где s — ftp] — толщина слоя заполнителя; а = 1,2.
Приведенные уравнения соответствуют так называемому лег-
кому заполнителю. Дополнительно учтена возможность попереч-
ного деформирования заполнителя. Эффектами, связанными
с этим деформированием, можно пренебречь для достаточно же-
стких в трансверсальном направлении заполнителей, а также для
пластин, толщина пакета которых мала по сравнению с характер-
ными размерами пластины или масштабом изменения напряженно-
деформированного состояния на поверхности приведения.
Если поперечным деформированием в заполнителе можно
пренебречь, то в уравнениях (1.97) необходимо положить а/1) =
= ау<2> = w и просуммировать последние два уравнения. Для
43
трехслойной пластины с одинаковыми несущими слоями Аа = А,
Da = D, с = h + s после введения обозначения g3 = g3” + <?з2)
получим
ЛА! (up, up) + В РР - 4”) + Вс^ + дР = 0;
ЛА, (up, ор) - В (op - vP) - Вс^ + дР = 0;
лл2рр, ир) + В(иР-иР) + ВС^ + дР = 0; (1.99)
ЛЛ2 РР, up) - в (up - up) - Вс^- + др = 0;
оХг
2D А Ада — Вс
dv^ <fep
дх1 дхг
/ <^Р
I дх2
л-р \
-=— 4- с Ада
дх2 I 1
= <7з-
Если тангенциальные нагрузки, приложенные к жестким не-
сущим слоям, отсутствуют и деформирование трехслойных пластин
преимущественно изгибное, то в уравнениях (1.99) нужно поло-
жить иР = —иР = t»i, иР = —иР = и2, др = 0 (а, р = 1, 2).
Тогда получим
AAj (иъ и2) — 2BvL -}- Вс = 0;
AA2(Ui, и2) - 2Bv2 4- Вс = 0; (1.100)
Заметим, что введение функций их и и2 могло быть проведено
заменой
vp- vp v^’-vp vp+vp
Ui------2---> v2 —------2---’ ^10 =----2----’
_ vp+*p
г20----2
(1.101)
При этом для и10 и и20 дополнительно получились бы однородные
уравнения, не зависящие от да, которые имеют только тривиальное
(нулевое) решение, так что и10 = 0, и20 = 0. Вариант уравнений
для трехслойных пластин (1.100) является наиболее популярным
при расчетах и широко применяется на практике [2, 3, 41 ].
Уравнения (1.100) можно дополнительно преобразовать. Вве-
дем функцию
дхг ' дх2
(1.102)
44
Дифференцируя первое уравнение (1.100) по а второе по х2
и складывая, получим
A AF — 2BF Д- Вс Аву = 0; 2£>А Аву ф- 2BcF — Вс2 Аву = д3. (1.103)
Общий порядок системы (1.103) ниже порядка системы (1.100).
Это обусловлено тем, что наряду с (1.102) следовало ввести функ-
цию
F = _ ^2
0 дх2 dxt ’
(1.104)
для которой получается однородное уравнение, не зависящее от
других неизвестных функций:
я(г1^Ло = 0' (1.Ю5)
Если учесть это уравнение и систему (1.103), то общий порядок
исходной системы (1.100) не изменится. Из уравнений (1.103)
можно исключить F и получить одно уравнение для w
-^-(1(2Z)AA^-^) + AA^ = 0. (1,106)
Несмотря на то, что уравнение для Fo не зависит от других не-
известных, их разделения полностью не происходит, поскольку
связь остается в граничных условиях.
Для уравнений (1.97) на каждом краю пластины должно быть
поставлено восемь граничных условий, которые для края X! =
= const имеют следующий вид:
ла
\ dxt
+ va-^-)-Nna 6^ = 0;
А - v“
2
~Nla
6^“’ = 0;
дх2
дх! }
+ (2 “Va)
(1107)
— Вса
_,(2) (1) / до/1) <W2) дМ/a )
1 1 + Са + "аН] ~ Qa =0;
п /
\ dxi
д4 ) Мпа
бЫг
45
Если пренебречь поперечными деформациями в заполнителе,
то справедливы уравнения (1.99) и граничные условия для края
Xj = const примут вид (Мп1 = Мп2 = Мп; Мг1 = Ml2 = Mf,
Q(i> = Q(2) = Q)
4T
1 dx-±
__i_ ___Д7
дх2 У
Ma> = 0;
___r —1------1___i __
2 t dXi у '*Za
M“> = 0;
dsw
dxj dx$
(1.108)
При справедливости уравнений (1.100) число граничных ус-
ловий на каждом краю уменьшается до четырех. Вместо (1.108)
для ненагруженного края получаем
А(>+.'-»=°;
D(#+^)8(£M <*•*««
При отсутствии на краях тангенциальных усилий для о10
и ц20 получаются однородные граничные условия, которые удов-
летворяются нулевым решением »и = 0, d20 = 0.
При использовании уравнений (1.103) тангенциальные гра-
ничные условия, а также условия для поперечной силы должны
быть выражены через F. Использование одного уравнения (1.106)
возможно, если краевые условия удается выразить только через w.
В противном случае необходимо обращаться к системам (1.97), (1.99)
и (1.100).
Непосредственно из (1.50) и (1.51) уравнения для трехслойных
пластин с жестким заполнителем не следуют, но их легко получить
из соответствующего варианта уравнений для многослойных пла-
стин, полученного при сохранении в выражении для потенциаль-
ной энергии деформации мягких слоев членов, связанных с тан-
генциальным деформированием этих слоев.
46
Рассмотрим некоторые предельные случаи. Если модуль сдвига
материала заполнителя стремится к бесконечности, то уравнения
для трехслойных пластин приводятся к уравнениям для однород-
ных пластин с изгибной жесткостью 2(£) + Дс2/4), т. е. с жест-
костью составного сечения из двух слоев, разнесенных на высоту
заполнителя. В другом предельном случае (G" —> 0) получаются
уравнения для изолированных несущих слоев. Решение различ-
ных задач для трехслойных пластин значительно упрощается,
если пренебречь неравномерностью распределения напряжений
по толщине несущих слоев, т. е. считать, что несущие слои рабо-
тают как мембраны (для этого необходимо положить D —♦ 0).
Порядок системы (1.100) понизится; соответственно уменьшится
число граничных условий.
Для двухслойных пластин в зависимости от соотношения ха-
рактеристик слоев, что обычно определяется назначением кон-
струкции, могут быть приняты различные гипотезы относительно
деформирования слоев. Рассмотрим три возможных варианта.
В первом считаем, что каждый слой работает в соответствии с ги-
потезами уточненной теории пластин, т. е. учитываем деформации
поперечных сдвигов в обоих слоях. Во втором — предполагаем,
что для более жесткого слоя поперечными сдвигами можно пре-
небречь, а учитывать их только для слоя пониженной жесткости.
Здесь возможно также использование дополнительного предпо-
ложения: в слое пониженной жесткости изгибными эффектами
можно пренебречь. Наконец, третий вариант основан на приме-
нении гипотезы Кирхгофа—Лява для пакета в целом. Пластину
считаем тонкой, а за поверхность приведения принимаем поверх-
ность спая. Трансверсальной деформацией во всех трех вариантах
пренебрегаем.
Отнесем пластину к прямоугольной декартовой системе ко-
ординат. Обозначим перемещения точек поверхности спая vlr
v2, w. Учитывая неравномерное распределение поперечных сдви-
гов по толщине каждого слоя, принимаем
Т^ = ФЙ°(х?, x2)f(?,(z) (а = 1, 2; Т=1, .2). (1.110)
Здесь фд?) (хп х2) — некоторые искомые функции координат
поверхности приведения; f<?> (z) — функции, характеризующие
закон изменения поперечных сдвигов по толщине слоя.Например,
можно принять квадратичное распределение, как это обычно де-
лается в уточненных теориях однородных пластин и оболочек:
= 0«|z|<4 (7=1. 2). (1.111)
Выбор функций f<v) (z) относительно мало влияет на окончательные
значения основных расчетных величин [4, 5]. Принятие квад-
ратичного закона распределения поперечных сдвигов обеспечивает
47
удовлетворение условия равенства нулю касательных напряжений
на лицевых поверхностях пластины, при переходе через поверх-
ность спая эти напряжения претерпевают разрыв, который в ре-
альных конструкциях воспринимается тонким склеивающим слоем.
Учитывая связь уа3 с перемещениями
_____ дм диа
Таз — дха ~дГ
и выражение (1.110), после интегрирования получим
— ---фаЧ(?)) (?=!, 2), (1.112)
где
Z
^<?) = т р<?)(2Ж
О
Остальные компоненты деформации (кроме УдР,
определяются согласно (1.110), и = 0)
которые
(1-113)
где
1 / dv„ , dVa \
^8 = 4 ^+^- (а, р=1, 2);
ар 2 \ дх$ дха / v > г > л»
(1-Н4)
(?) 1 Г д /дм „(?),.,(?)\ . д / дм <v)| (v)\ 1
Дальнейшая процедура получения уравнений стандартна.
Используя для изотропного материала закон Гука, определяем
напряжения
„(V) —
011 =
1 -V2
V
dv, , dv., ( дгм
<ЙГ+ '’,<57-414
. д2м
(1.115)
_(Т> == Еу [ _1_ dV2 — О~ d2w _ ,lb<V> I а<Р*?) _L
1 2 (1 v?) дх2 + dxj dxt дх2 у дх2 ‘
дф2?> ')
У
(?=1, 2),
48
Считая, что на контуре пластины действуют усилия NnN[,
Q и моменты Мп, М[} запишем выражения для потенциальной
энергии деформации и потенциала внешних сил
2 2 Д
Se(V) дфа
Л“Р ~d^~
V=1
u = ^\
Q
., . ,. d2w
^“Pe“P + dxadx&
v=l
Здесь
da,
n = — f ( qaVa + q^} + S ma ’<Ta ’
J \ V=I
Q
(1.116)
-Г7 dw -T7 dw \ Jr,
^sr-^-sr)^-
использовано правило суммирования по немым индексам а
от 1 до 2.
(1.116) введены усилия
Mz₽ = Л^ар + A/^api
ftv
Л^ар = J 4р’ dz\ = — J 4p’z dz;
о о
hv \
SkV = - Jdz-, = Jо<й7(?) dz.
о о
С учетом (1.112)—(1.115) получим
= Л? [
В
и моменты
м^л^ + Мр’;
ftv
(1.H7)
dvi i dv2 ! / i \v 2^. /
dXl “I" Vv dx2 ‘I-1. 2 [ dx2
v h? (y) / M?) , M?) \ ’
1 2M dX1 +Vv дх2 I
d2w \
’v~d$j
2);
л/1? = лаЦ^’
-(~1)?4^’
d^w , d2w
dxy ' ?
'« I й«, 4 »
лл(?) г» V® I
Mil —r + v.
dvt . dv2 , d2w
dx2 "г dxx v dx1 dx2
2);
.V 3 1 / dvi , dv2
' 2 hv \-^r + vva^
2);
(1.118)
49
W = 4-D,(1-s) 2^
(>+»-
, М?)\1
дхг
д2и> . д
^ + ^~с
М I *rf”
V 3 йгУ
1 2 A?
2
дхг
'v
(1-2);
Sg>-4-Dv (>-’,)
д2и> .
дхг дх2 ' '
<MV)
о £<V)
.V 3 кгд
’ 2 й?
'2
(1-2);
дх2 ~ дхг
Q$ = GyfcpV’ (а =1,2),
где использованы обозначения
_ Eyhv . _ Е^ ___________________
7 1-v2’ uv 3(l-v2)’ Uv-2(l+v?)’
Ay Ay
7 0 VO
*«> = ’ fzV”<fe; 4”--£гJ*V”2<lz.
""VO "'VQ
(1.119)
Применение вариационного принципа Лагранжа с исполь-
зованием выражений (1.114), (1.116)—(1.118) дает уравнения для
двухслойных пластин
2 [ Ма ’ (»ь Ъ) + (—1)? 4" Л А (Лж) -
v=i а
-(-l)’P WS’^’W’’. Ф?’)] -?а = 0;
2
2 [о,л Д» + (-1)’ 4- А А [ -Д. (4„J + (А»,) ] _
V=I
-Dve)[^r(A<p(I?))-i-^-(A<p?))]}=93; (иго)
50
ч?)м?) (фР”, <рГ) - (-о7 4- -
“ <*<у
— -^—(Дау) - 4'Цт^^?)<Р“) = ° (а, Т=1, 2),
аха ч
где
д2 д2
дх^ дх% ’
Ai(v) (t’b f2) = -+
их^
1 — Уу д2^ 1 + vv дЪг
2 dx} + 2 dxidxi
Полученная система имеет шестнадцатый порядок, и для ее
решения в каждой точке контура пластины должно быть сформу-
лировано по восемь условий (vj = const)
(Afn — Nn) &>х = 0; (N21 — Afz)6t>2==0;
(Afu-Af„)6(-g-) = 0; (Q1-Q)6uj = 0; (1.121)
5)Г6ф;?, = 0; S^’M?, = 0.
Здесь использованы обозначения (1.117), (1.118) и, кроме того,
обозначение для обобщенной поперечной силы
2
V' 1г> Г г /О \ &W 1 I
— 2j [ дХз + (2 vy) dXidx2 J +
v=iv
+(-D’ 4 лл[4£
+('
_<?2t>a "I
dxidx2 J
-DyA<V)
d2<p(V)
~dxf~
а2ф<*) 11
vv) дх2 + дХгдхг])'
(1.122)
Неравномерность распределения поперечных сдвигов по тол-
щине слоев характеризуется коэффициентами k{, kz, k^, kz^.
Если принять квадратичный закон (1.111), то Az=2/3, kz^ = 5/6,
kz — 4/5, = 68/105. Для равномерного распределения попереч-
ных сдвигов /<v) = 1, ф<?) = 1 и = Арр = ^?) — ^?) = 1-
Общий порядок системы при этом понижается на два. Число кра-
евых условий (1.121) оказывается избыточным. Для ликвидации
этого кажущегося противоречия необходимо ввести суммарные
углы поворота нормальных элементов в слоях
= (1-123)
51
Это удается сделать, поскольку, как это следует из (1.118), 5$ =
= 41$. Тогда на краю хг = const должны быть поставлены усло-
вия (свободный край не нагружен)
Мпбщ = 0; ?V21&>2 = 0; = 0; Л^ГбфР” = 0; (1.124)
Qx6k) = 0 (у = 1, 2).
Обычно на практике один слой является несущим, а второй
выполняет в основном защитные функции. При этом характери-
стики материалов слоев резко различаются. Для несущего слоя
(пусть это слой /) можно принять гипотезу Кирхгофа—Лява,
а поперечные сдвиги учитывать только в защитном слое. Для по-
лучения уравнений в (1.120) следует положить q4u = 0 и опу-
стить два уравнения в третьей группе, соответствующие вариациям
б<Ра’• Соответствующие преобразования необходимы и в гранич-
ных условиях. Из двух последних групп (1.121) необходимо от-
бросить условия, соответствующие у = 1.
Для получения уравнений третьего варианта, когда прини-
мается гипотеза Кирхгофа—Лява для пакета в целом, в уравне-
ниях (1.120) следует положить фа1 = 0 и опустить уравнения
третьей группы, а в краевых условиях (1.121) необходимо от-
бросить обе последние группы условий. Уравнения в этом случае
совпадут с известными уравнениями Э. И. Григолюка, В. И. Ко-
ролева и др. (см. например, [2, 36, 42]).
1.6. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
Уравнения динамики многослойных конструкций могут быть
получены с использованием принципа Даламбера или вариацион-
ного принципа Гамильтона—Остроградского. Согласно последнему’
принципу истинное движение выделяется из всех возможных дви-
жений, переводящих систему из одного и того же начального по-
ложения за один и тот же промежуток времени в одно и то же ко-
нечное положение тем, что для него и только для него интеграл
действия
/= J (Т — £7 — П)с?/ (1.125)
to
принимает стационарное значение, т. е. б/ = 0. В выражении
(1.125) Т — кинетическая энергия системы; U — потенциальная
энергия деформации; П — потенциал внешних сил.
При выводе уравнений вариационный принцип предпочтитель-
нее, поскольку он позволяет на каждом этапе контролировать
вводимые упрощения. Применение этого способа позволяет из-
бежать ошибок при учете динамических членов. Дело в том, что
динамические члены, которые должны быть учтены в уравнениях
динамйки, должны быть согласованы с характером принятых
52
гипотез в основной части уравнений, т. е. с видом напряженно-
деформированного состояния. Выполнить эти условия при исполь-
зовании принципа Даламбера часто оказывается затруднительным,
в то время как при применении вариационного принципа Га-
мильтона—Остроградского существует достаточно надежный кри-
терий сохранения тех или иных динамических членов, состоящий
в выполнении энергетических оценок погрешности пренебреже-
ния отдельными членами в выражении для кинетической энергии
системы.
Если для жестких слоев принимается гипотеза Кирхгофа—
Лява, а для мягких слоев учитываются только трансверсальные
деформации и деформации поперечного сдвига, т. е. если для
потенциальной энергии деформации принимается выражение (1.34)
с учетом (1.30) и (1.33), а для потенциала внешних сил — (1.35),
то при вычислении кинетической энергии необходимо учесть
только инерционные члены, связанные с перемещениями, а инер-
цией вращения нормальных элементов отдельных слоев и инер-
цией, связанной с деформацией поперечного сдвига и трансвер-
сальной деформацией мягких слоев, можно пренебречь. Пусть
p(fe) и р[£] — плотности материалов жестких и мягких слоев
соответственно, тогда
Р(*)^(Л)
&фг+1) \
dt у
2
+
t=i а
~дГ
, 1 у dv^ , &4*+1>\2 , 1 (dwW ,
+ 4 \ dt ' dt ) 4 \ dt +
dw<k+l> \2
dt )
(1.126)
Уравнения Остроградского—Эйлера для функционала (1,125)
имеют вид
Л}*’ 1 / д2^*) \
P(ft)^(fe) | 4*P[fc]^[*] I Qfi I QfZ ) +
. / a2?/*-1)
+ jpp-iAn] —F у — AAp’ (vlfe), V2ft)) —
_ Bk + ck + ck +
R \ 1 1 1 K dxi 1 K dxx / 1
! P L.W ,.(*-1) I d^\ n(k) H—>04.
Dk-\ ( t»l — t»l ---TC*-1--------У 71 ------ U
(1.127)
53
u d2w^ , 1 , , дЫк+1>\ ,
Р(Л)Л(Л) ^2 “T 4 Ppl^p] ^/2 r ^2 ] +
. 1 , ( йУ*"1) й2а><*> \ i n .л <k\ i
+ *4* P[*-l]/l[*-H ---1----gfi ) + £>*AAffi)< > +
+ Ck-i (W1^ — — Ck (шИ*+1> — шД*>) —
- r ’ - v!‘-«)+°- «) + д»«> +
I. С7Л<Х v^»2
+ «i-.to»-”]-ВЛ [-£-«*•” -«!*>) +
+ i~ M‘*” - to<“” + < 1 ~
V%2 J
(6 = 1, 2, . . ., n).
Эти уравнения совпадают с (1.50) и (1.51), если ввести фиктивные
нагрузки q^*, вычисляемые с учетом даламберовых сил инер-
ции по формулам
Ча У = Ча > (-V1, Хч, t) — |p(fe)&(fe) + j Р[*]Й[Ч^-^Г + --j +
+ *4*у—--------------------b-^a (a=l, 2); (1.128)
Чзк>* = 43k\xi, x2, t)— |p(*)/i(*) -^2----1- -|- pp]/ipj X
(c№) 52^+l)\ 1 Л/*-1) \1
X \ <Э/2 "r. dt2 / + 4 P[*-iP[*-i] dt2 ‘ dt2 /) ‘
Здесь qa}, q^ — внешние динамические нагрузки. Кроме того/
считается, что р[0] — р[п] = 0.
При упрощениях, вводимых в основную часть исходных урав-
нений, должны вноситься соответствующие изменения и в динами-
ческие члены. Кроме того, упрощения в динамические члены
вносятся также в зависимости от характера изучаемого напря-
женно-деформированного состояния, имеющего место при дина-
мических процессах. При рассмотрении случая Ck —» оо необ-
ходимо лишь просуммировать инерционные члены, связанные
с нормальными перемещениями по всем слоям, а остальные члены
оставить без изменения. В то же время, если изучаются пре-
имущественно изгибные формы колебаний, то можно пренебречь
тангенциальными силами инерции, положив q\k^* = q^k> = 0
(предполагается, что внешних тангенциальных нагрузок нет).
Суммирование инерционных членов, связанных с перемещениями
в нормальном направлении, приводит к следующему выражению:
~ *t-r д2°>
qz =q3-p*H
(1.129)
54
где введены обозначения
__ п / п п-1 \
Чз==1^Чзк>> р* = -fj- + Jj • (1-130)
При использовании подходов, основанных на применении
гипотезы Кирхгофа—Лява для пакета слоев многослойной пла-
стины, пренебрежение тангенциальными инерционными членами,
как правило, обязательно. Вообще, тангенциальными силами
инерции можно пренебречь и для исходных уравнений (1.127),
если рассматривать преимущественно изгибные нормальные формы
колебаний, а также если суммарная толщина пластины мала по
сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-де-
формированного состояния. При использовании варианта исход-
ных уравнений с введением потенциальных функций для танген-
циальных смещений тангенциальные силы инерции также не учи-
тываются.
При использовании для описания динамических процессов
уравнений, основанных на применении гипотез уточненной тео-
рии пластин для жестких слоев, должны быть приняты во внима-
ние дополнительные инерционные члены, связанные с поворотом
нормальных элементов в жестких слоях. Выражение для кинети-
ческой энергии при неравномерном распределении поперечных
сдвигов по толщине слоев принимает вид
п
*=i а
, 1 „ h3 V nMft) •М*’
+ 12 Р<*> <*) |Д dxLdt J + \ dx2dt ) dxidt dt
— 2k<k}
(ft)
dx2dt dt + *
, 1 V1 f 1 t. (dwik+r> . dw^ \2 , 1 (dw(k+1>
' 2 J 4 H dt + dt J + 3 \ dt
k=l Q
2
V г <*+1)
+ 2jH-+
a=l
, 1 ( d2w(k+1>
+ <э7а<эГ~'1”)
dw^ \2 ,
“ dt ) +
<ЭФ£+1> \
dt /
~ ~2h^
dxadt dt )
dF~
55
Если справедливо предположение о равномерном распределе-
нии поперечных сдвигов по толщине жестких слоев, то кинетиче-
ская энергия
п
k=i а
дк'(/г+1)
dw^ \2 _| j_ /dw<-k+^ dw^k^\2
“I di~ / 3 \ Qt dt~ / +
£=i а
2
V Г (+1> d'^}
+ \ di ~~dt~
a=l
dt
1 ^a+1>
У h(k+i) -Qt
dt
т =
dva+1) 1
dt dt ' 2 П{к+1}
C"+1)
, 1 и V
dt +2 ”<*> dt )
2
+
(1.132)
В соответствии с приведенными выражениями для кинетиче-
ской энергии записываются выражения для составляющих далам-
беровых сил инерции. Выражения для инерционных членов полу-
чаются варьированием соответствующих функционалов (1.131),
(1.132) ит. п. В приближенных расчетах могут быть использованы
упрощенные выражения для динамических членов, основанные
на предположении о близости соответствующих инерционных
членов для соседних слоев, например, выражения
„(ft) ___° ь ° va । 0 va
Яа Qa (к) ~ 4 P[*l^[fe] + dt2
4" Pp-i]^p-i] I 'di2 I 'dt2 * ’
(i)* (fe) , d^w^ 1 , / d2ziz>(fe+1)
^3 =^3 — P(fe)n<fe) dt2 — -4- P[A]«[fe] ---------------------------dt~2-------1-
1 , / d2ww , av-1»
- X-^ - + dt2
d2w^k^
dt2
(1.133)
56
„,(£)* mW * „ Ь3 U ®“
та —та j2” д/2
1 ( д2^+,) d2^ak) \
---48" P[fe]^[fe]^(fe) |fr(fc+i)—^2-\-h<k) —di2~ I —
1 / dV> d2t{k-^ \
— Is-P[t-I]ft[ft-I]ft(ft) I nW —Qii-1- —op. ) •
1.7. УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Пусть конструкция с плоскими слоями нагружена тангенци-
альными усилиями. Считаем, что такие усилия воспринимаются
только жесткими слоями, в которых возникают усилия №^к\
A^i2<fe>, A^22<ft>- Состояние, реализуемое в пластине, считаем безмо-
ментным, отождествляя его по перемещениям с исходным неде-
формированным состоянием (vak) = 0, w(k) = 0). При определен-
ном сочетании внешних нагрузок плоская форма пластины может
потерять устойчивость. Под критическим понимаем такое соче-
тание параметров нагрузки, при котором впервые появляется
возможность потери устойчивости, т. е. существования смежных
форм равновесия. Если все нагрузки изменяются пропорцио-
нально одному параметру, то критическим называют наименьшее
из бифуркационных значений этого параметра (при отсутствии
нагрузки, т. е. при равенстве нулю параметра нагрузки, состоя-
ние конструкции предполагается устойчивым).
Для исследования устойчивости невозмущенного состояния
тангенциально нагруженной многослойной пластины необходимо
составить уравнения нейтрального равновесия.
Эти уравнения можно получить двумя путями. Первый осно-
ван на линеаризации нелинейных уравнений относительно не-
возмущенного состояния; второй заключается в применении ва-
риационных принципов. Согласно принципу Треффца вторая
специальная вариация от полной энергии системы принимает
для состояния нейтрального равновесия стационарное значение
б(б2Э) = 0. (1.134)
Функционал, представляющий собой вторую специальную
вариацию, состоит из двух частей = Iг + /2. Первая часть Iг
формально совпадает с потенциальной энергией деформации,
вычисленной в предположении, что возмущения компонентов
вектора перемещения совпадают с действительными, но малыми
перемещениями. Эта часть функционала может быть вычислена со-
гласно (1.34) при учете (1.30) и (1.33). Второе слагаемое часто ин-
терпретируют как работу внешних сил; однако это не совсем
точно, поскольку эта часть функционала зависит от компонент
57
предварительного напряженного состояния, а весь функционал
является второй вариацией полной энергии системы, включая
потенциальную энергию нагрузки.
Пусть конструкция состоит из чередующихся жестких и транс-
версально мягких слоев. Тогда второе слагаемое 12 определяется
с учетом (1.17) по формуле
п
, (V , 1 Л2 у , (dw^ у
дх! у 12 (А) \ дх!дх2 / \ дх! '
1 Л2 V
12^ +
дхг дх2
+Л&<*>
\2
<3х2 I
+
+
। dv^ ,| 1 ь2 ( дУ*» \2 , dw^ dww 1 ,о .„г,
dxi дх2 6 \ дх±дх2 ' дхг дх2 J • ( • )
Члены, входящие в (1.135), Имеют различный порядок
dw^ dw^ f
dxj дх2 X ’
&,<*) dv^> fh(ln
дх! дх2 дх± дх2 X.2 ’
(1.136)
где f — характерный нормальный прогиб; Л. — характерный мас-
штаб изменения перемещений на срединной поверхности.
Примем порядок последних членов в квадратных скобках за
единицу. Из оценок (1.136) следует, что порядок остальных чле-
нов при этом равен /i(*)A2. Такой же порядок, как известно, имеет
погрешность, связанная с применением гипотезы Кирхгофа —
Лява. Поэтому в функционале (1.135) должны оставаться лишь
следующие члены:
fe-lQ
dxt дх2 J
(1.137)
58
Составим теперь уравнения Остроградского—Эйлера для ва-
риационной задачи (1.134). Учитывая (1.137), получим, что пер-
вые две группы уравнений и соответствующие им однородные
естественные граничные условия не отличаются от тех, которые
имеют место в задачах изгиба, т. е. от уравнений (1.50) и условий
(1.54) при Nnk = 0, N lk = 0. Третья группа уравнений вместо
(1.51) в задачах устойчивости принимает вид
О^А -|- Ck_r — и)(*-1)) — Сц (аЛ*+1> — аМ*>) —
_ 4 - ^-‘>)+4. M*’ - в?-")+
+ <;_, AwIB +<J-14»WI] — — Sil*') +
+ W**1’ - “**’> + c‘tM""’ + 4 'W” ] -
- i И“’ + -k C) + -k №» +
+ -k ТГ-)] - 0 (‘-1’2......") (438)
Граничные условия (1.55) при Mnk = 0 также не изменяются,
а вместо (1.56) получаем (х2 = const)
Dk + (2 _ Vft) -^1 - Bkck U+1) - vP + ck +
[At? 1 ' K' dxydxl\ * * \ i । я dxt 1
□ » / (*) ' да><к~ц ~ dww
+ v1 ~Vl
_(^)^> + ?v02(ft)^W)=() (k=l,2, n). (1.139)
Члены в уравнениях нейтрального равновесия и граничных
условиях, зависящие от параметров, характеризующих предвари-
тельное напряженное состояние, назовем параметрическими. Им
соответствуют некоторые эквивалентные нагрузки. Например,
для рассматриваемого случая
(?<*>** = = 0.
^‘•-^И4>^)+^И4'С)+
<|Л40>
С/Л1 X C/«*2 ' (/«*2 ' l/Aj •
Выражения для параметрических членов должны быть согла-
сованы с принятыми гипотезами для описания деформирования
многослойной конструкции и характером напряженно-деформиро-
ванного состояния при потере устойчивости. Если при исследова-
нии задач устойчивости используются варианты уравнений, ос-
59
нованные на предположении об абсолютной трансверсальной жест-
кости мягких слоев (Ск —> оо), то при суммировании уравнений
для нормальных перемещений необходимо ввести в рассмотрение
суммарные усилия
п
(а, Р=1, 2). (1.141)
k=i
Параметрические члены вводятся в уравнения посредством экви-
валентной нагрузки вида
q** = q** = 0;
„** А7о д2и> . О.,о d2w . .,о д2ш
7з = «11 -д-5- 4- 2/V12 -3 3--------------4- «22 тг •
™ дх1 1 5xi д*2 дх?,
(1.142)
При решении задач устойчивости уравнения нейтрального
равновесия необходимо рассматривать совместно с граничными
условиями. Выше было отмечено, что граничные условия для всех
случаев, кроме свободного края, не изменятся по сравнению
с задачами статики. Точнее, претерпевает изменение условие, со-
держащее обобщенную поперечную силу. Если обозначить об-
общенную поперечную силу, входящую в условия (1.56), Qp>,
то условие (1.139) можно переписать следующим образом:
С!”= 0. (1.143)
иХ^ Ол2
ГЛАВА 2
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
2.1. КОНСТРУКЦИИ РЕГУЛЯРНОЙ структуры
Полученные в гл. 1 основные уравнения механики многослой-
ных конструкций являются дифференциальными по координатам
в плоскости слоев и конечно-разностными — по третьей коорди-
нате, отсчитываемой по нормали к этой плоскости. Последняя
координата принимает дискретные значения, выбираемые с уче-
том принятого способа нумерации слоев. Если конструкция имеет
регулярную структуру, т. е. механические и геометрические ха-
рактеристики слоев периодически повторяются по толщине,
то основные уравнения также имеют регулярную структуру,
что позволяет применить к ним хорошо разработанные конечно-
разностные методы. При некоторых ограничениях на геометрию
конструкции и граничные условия удается разделить непрерыв-
ные и дискретные переменные. В конечном счете это приводит
к решениям, применимым для конструкций с произвольным числом
слоев; при этом число слоев входит в получаемое решение как па-
раметр [11].
Поясним сказанное на примере плиты, состоящей из чередую-
щихся изотропных жестких и мягких слоев. По сравнению с урав-
нениями (1.57) и (1.59) введем более простые обозначения =
= hk, hw = sft; ск = c'k + ck\ xt = x; x2 = y, v\k> = uk, =
= A<ft> = AxA; Ap> = A.yk. Коэффициенты жесткости для
однородных слоев принимают вид
Ак = Ekhk,-; Вк=—,
k 1_V2 k sk '
где Ek и vk — модуль упругости и коэффициент Пуассона матери-
ала жестких слоев; Gk — модуль сдвига материала мягких слоев.
Перепишем в новых обозначениях уравнения (1.57)
' ] _2_ *2 (uk, vk) + -^- (uk+1 — Uk + Ск —
(uk, vk) + (vk+1 - Vk + ck^) -
^(yk-vk^+ck-^) + №=^ (*= 1, 2, ..., n).
61
Строго говоря, уравнения (2.1) выведены для внутренних
слоев. Чтобы применить их к крайним слоям, достаточно в них
положить Go = Gn = 0. Вместо уравнения (1.59) получаем
п-1
DsWw - («ш ~ «*) + (^+i - vk) + Ck Aw] = qs-
(2.2)
Нетрудно видеть, что по дискретной координате k уравнения
(2.1) и (2.2) имеют разностную структуру. В самом деле, два по-
следних члена в (2.1) содержат первые разности uk+1 — uk, uk —
— ик_г и т. д., а разности этих членов содержат вторые разности
uk+1 — 2uk + uk_t и т. д. Под знаком суммы в (2.2) стоят первые
разности «*+1 — uk и vk+r — vk, а сама сумма является разност-
ным аналогом интеграла.
Для решения отдельных задач может оказаться удобной также
следующая форма основных уравнений. Введем потенциалы ф*
и ф* для тангенциальных перемещений, так что
Эф* Эф* . _ Эф* Эф* 9 .
^ = 'аГ + ~эГ’ Vk-----------Ту-----эГ-
Представим в аналогичном виде интенсивности тангенциальной
нагрузки
0(fe) _ dOfe Wk . Akf _ ЭФ* _ ЭФ*
дх -г ду ’ 42 ду дх ’
Подставляя эти выражения в уравнения (2.1) и отбрасывая не-
существенные константы, придем к уравнениям [11 ]
,£лЧ" дф* + (<P*+i - <Ра + ck®) ~
— - (ф* — ф*_1 + c^w) Ф* = 0; (2.4)
2<Г&Г Afa + > (♦« - fa) - & (fa - К.) + Ч-. - 0
(k — 1, 2, . . ., п).
Как и ранее, в уравнениях (2.4) при k — 0 и k = п нужно поло-
жить Go = Gn = 0. Подстановка (2.3) в уравнение (2.2) дает
п-1
DSA Аш - V А (ф*+1 - Ф* + ckw) = qs. (2.5)
fe=l
Таким образом, в уравнениях (2.4) неизвестные функции ф*
и ф* (k — 1, 2, ..., п) разделены. Кроме того, вторая группа
уравнений (2.4) не содержит нормального перемещения w. Если
аналогичное разделение имеет место также и в граничных усло-
виях (для чего, впрочем, требуются условия специального вида),
то это существенно упрощает аналитические выкладки.
62
Плита будет регулярной, если характеристики слоев Ек,
vk, Gk, hk, sk и ck не зависят от индекса k. В этом случае индекс k
всюду, кроме тангенциальных перемещений uk и vk, можно опу-
стить. Уравнения (2.1) принимают вид
Лх (Uk, Vk) 4—^5- (ы^+i — -f- Ufc-i) -|- <7i ’ — 0; (2.6)
(uk, vk) + (Vk+i — 2vk + vk-i) + <?2ft) = 0
(k = 2, . . ., n — 1),
Где использовано обозначение для безразмерного параметра,
характеризующего соотношение между податливостями жестких
и мягких слоев [11]:
_ Gc2(l —V2)
Х ~~ Ehs
(2.7)
Для крайних слоев в уравнениях (2.1) следует положить Go
= Gn = 0. В результате получим соотношения
Ах («1, V1) + («2 - «I + с-~} -1- ---^v2 qP = 0;
AH«i, Pi) + (t>2 - Oi + + 1 ~Eh* = 0;
Ax(«n, O„) --^-(«„-«„-1 + c-^-)+ -^^-^'” = 0; < \
Ay (un, vn) - (vn - vn_i 4- c + -1-~gv2 q(2n) = 0,
U \ / J-tlk
которые с точки зрения уравнений в конечных разностях представ*
ляют собой граничные условия по разностной переменной k.
Наконец, уравнение (2.2) после раскрытия знака суммирования
принимает вид
DsAAu)--^[-^(w„-w1) + -^-(y„-y1) + (n- 1) с До;] ^qs.
(2-9)
Аналогично преобразуются уравнения относительно потен-
циалов qk и 'Фл- Вместо уравнений (2.4) получаем
А<& + - (фл+1 - 2<р* + <p*_i) 4- --^у2 Ф* = 0;
АЧ’* + -c2(12X-v)~ + ^-1) + Т = 0
(£=1, . . /1 — 1). (2.10)
63
Уравнения (2.4) при k = 1 и k = п дают граничные условия по
разностной переменной
ДФ1 + - Ф1 + cw) + -1 = 0;
у l-v* (2Л1)
АФ» - (Ф« - Ф»-1 + cw) Н—Ф„ = 0;
+tt-v)^ № - + т =°;
2Х 2d +V) <2-12)
= -(-1Д)с2 - ^-i) + = о.
Уравнение (2.9), замыкающее эту систему, можно записать
в виде
Dskkw - А [<р„ - Ф1 + (п - 1) cw] = qs. (2.13)
Для примера возьмем прямоугольную в плане плиту со сто-
ронами а и b под действием нормальной нагрузки qs. Пусть плита
имеет нечетное число жестких слоев п = 2пг + 1. Среднему
слою припишем индекс k = 0, остальные пронумеруем следующим
образом: k = ±1, ±2, ..., ±пг При этом верхний знак соответ-
ствует слоям, для которых zk > 0. Примем следующие граничные
условия:
d*w d2w Л , п .
+ = 0 (х = 0, X = G);
м М (2.14)
d*w , д2и> п , п v '
^ = 1F + v^ = 0 ^ = 0>
v'^-= °: w* = 0 (х = °. х = А = 0, ±1, . . ., ±nx);
(2-15)
^ + v4r^0; ы* = ° (i/ = 0, z/ = b; k^O, ±1, ..., ±ni).
Условия (2.14) соответствуют обычному опертому контуру в клас-
сической теории пластин. Выполнение условий (2.15) отвечает обра-
щению в нуль нормальных усилий в срединной поверхности жест-
ких слоев, а также тангенциальных смещений в плоскости слоев.
Условия (2.14) и (2.15) будут удовлетворены, если принять, что
в»-2 1/3?cosяс
а^1 ₽=1
ОО оо
(2Л6)
а=1 0=1
а=1 0=1
Здесь U$, и Га₽ — постоянные.
64
Для принятых граничных условий некоторые упрощения
вносит переход к уравнениям (2.10) и (2.13). Из соотношений (2.3)
следует
дх 1 ду г ду дх
Подставляя в правые части выражения (2.16), найдем, что с точ-
ностью до несущественных гармонических функций, решение
уравнений (2.10) и (2.13) можно представить в виде
а=1 р=1
=S S v“₽) cos cos -дг-; (2-17)
а=1 р=1
а=1 Р=1
гдеФ^р, Т'ар* и Waft — некоторые постоянные. При этом граничные
условия (2.14) и (2.15) будут автоматически удовлетворены.
В дальнейшем будем исходить из уравнений (2.10) и (2.13).
Интенсивность внешней нагрузки qs (х, у) представим в виде ряда
Фурье
qs(x, Z/) = SSQ“₽Sin-^rSin-^F- (2.18)
а=1 Р=1
В силу линейности задачи достаточно построить решение для од-
ного члена ряда при произвольных аир. Так мы и поступим,
опуская временно индексы аир при Qa₽, Ф^р, V^p’ и и обо-
значая для краткости
Подставив выражения (2.17) в первую систему уравнений (2.10),
получим уравнение в конечных разностях
Фл-1 - 2Ф, + Фл+1 - ф, = 0. (2.20)
Таким образом, разностная переменная k отделилась от перемен-
ных х и у. Граничные условия для системы (2.20) вытекают из (2.11)
ф«, - Ф«,-1 + ФП1 = —cW; Ф.„, - Ф. („._!) + Ф_Я1 = cW.
(2.21)
Поскольку в теории многослойных конструкций регулярной
структуры многократно встречается аппарат исчисления конеч-
ных разностей, то целесообразно хотя бы раз остановиться на
3 В. В. Болотин 65
подробностях вычислений. Уравнение (2.20) является дискретным
аналогом обыкновенного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого
уравнения, как и в случае непрерывной независимой переменной,
ищется в виде
фА = C^k + C^k, (2.22)
где Ct и С2 — произвольные постоянные, ру- — характеристиче-
ские показатели.
Чтобы найти показатели ру-, подставим в уравнение (2.20)
выражение ФЛ = Се*1*. При С =j= 0 должно выполняться равенство
е-н _ 2 4- е» - = 0.
1 X
Это и есть искомое уравнение. Переходя к гиперболическим функ-
циям, перепишем его в такой форме:
chp = l+^. (2.23)
При фиксированном х уравнение (2.23) имеет два действитель-
ных корня, отличающихся знаком. Положительный корень обоз-
начим р. Общее решение (2.22) лучше записать в виде
ФЛ = Сг sh р& С2 ch р&. (2.24)
Значения постоянных Сг и С2, входящих в (2.24), найдем из гранич-
ных условий (2.21):
'-'I - C2Z2 > ^2 v
sh pnt — sh p (nj — 1) 4-— sh p/i!
или, если учесть уравнение (2.23),
С. = — -г—-7—г'тт—г-----; С, = 0. (2.25)
В аналогичном виде ищется решение уравнения
^-1 - 2V, + - ^-=^- v, = 0
относительно коэффициентов в выражении для потенциалов
Граничные условия, соответствующие этому разностному урав-
нению, вследствие условий (2.12) однородные. Отсюда все = 0,
т. е. второй потенциал в формулах (2.3) тождественно равен нулю.
Для нахождения постоянной W подставим выражения (2.17)
с учетом найденных решений в уравнение (2.13). После несложных
преобразований найдем
й? _______________2____________
X4£)s „)
(2.26)
66
где
2
F(и, п) = п. - 1--------------(п-1)ц------
ch р — 1 + cth *-sh р-
(2.27)
Для получения решения исходной задачи осталось только про-
суммировать решения, соответствующие различным членам ряда
Фурье (2.18) для интенсивности внешней нагрузки. В результате
с учетом формул (2.3), (2.17), (2.24), (2.25) и (2.27) окончательно
находим [11]
_ , , апх . рлу
aQap sh fepap cos —— sin
Fl (Hap. «)
A 2
zapDs + ~ Z«P F (Mag’ n)
vk(x,
y} = -
ее оо
а=1 Р=1
a=l P=1
„„ L owtx В ли
PQap sh fepap sin —— cos
Л (HaP> «) [zapDs-|----— zaPf (Hap. «) J
(2.28)
eo eo
w (x, y) =
a=l p=l
n . апх , Вш/
Qap sin —— sin
zaPDs “I — zap^ (Hap> n)
Здесь величины xap определяются из (2.19), цар — из уравнения
(2.23) при замене п на кроме того, введено обозначение
Л (Hap, n)==sh-i-pap(n+ l)-sh-l-Hap(n-1). (2-29)
Пример. Вычислим прогиб посредине квадратной плиты (а = &), загружен-
ной равномерно распределенной нагрузкой постоянной интенсивности qs. Тол-
щина мягких слоев пренебрежимо мала по сравнению с толщиной жестких слоев,
так что s Л, Коэффициенты ряда (2.18) заданы формулой
Qap —
16<7s
л2ар
(a, Р — нечетные)
О (в остальных случаях).
Для расчета принято, что полная толщина плиты Н ж nh = a/40. Прогиб w
отнесен к прогибу ю0 для слоистой пластины с нескрепленными жесткими слоями,
т. е.
а—1, 3, ... р=1. 3,
а+Р j
l&?sa«(-l) 2
л6сф (а2 + Р2)2 Ds
(2.30)
Параметр х, характеризующий соотношение между деформативностью жестких
и мягких слоев, изменялся от х = 10~® ДО X Последнее соответствует пере-
3* 67
ходу к монолитной плите. Результаты
приведены иа рис. 2.1, где по оси абсцисс
отложено число жестких слоев п.
2.2. СЛОИСТОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ
СИЛЫ
Задачи о действии сосредото- ’
ченных сил и моментов на упру-
гое полупространство относятся
к числу фундаментальных задач
теории упругости. Решения этих
задач имеют самостоятельное зна-
а также используются для решения более сложных'
чение,
задач: о вдавливании штампа в полупространство, о распределении -
напряжений в окрестности трещин, разрезов и т. п. При решении
таких задач фундаментальные решения играют роль функций ;
(тензоров) Грина. Примерно такое же значение имеют задачи о дей- ;
ствии сосредоточенных сил и моментов на слоистое упругое полу-
пространство. Рассмотрим действие на слоистое упругое полу-
пространство регулярной структуры сосредоточенной силы, при- 4
ложенной по нормали к поверхности.
Пусть упругое полупространство состоит из чередующихся «
изотропных жестких и трансверсально мягких слоев (для крат- ?
кости в дальнейшем последние называются просто мягкими), ?
параллельных поверхности [24]. Все характеристики жестких
и мягких слоев соответственно равны между собой; таким обра- ~
зом, полупространство имеет регулярную структуру. Внешняя -
сила приложена по нормали к поверхности полупространства.
При этом задача становится осесимметричной. При ее решении "
естественно пользоваться уравнениями, записанными для цилинд-
рической системы координат г, 0, г с осью Ог, направленной по
линии действия силы. Основные уравнения для этого случая
могут быть получены заменой независимых переменных из урав-
нений (1.50) и (1.51), записанных для прямоугольной системы ~
координат. Можно получить основные уравнения для цилиндри- ~
ческой системы координат и другим путем: составив выражение
для деформаций и напряжений в цилиндрических координатах
и вычислив соответствующие выражения для потенциальной энер- -
гии упругой деформации, проварьировать вновь функционал
полной потенциальной энергии. Поскольку для дальнейших вы-
числений необходимы формулы для компонент тензоров деформа- а
ций и напряжений в отдельных слоях, то второй путь более це-
лесообразен. Наметим второй путь вычислений, полагая с самого
начала, что все компоненты перемещений, деформаций и напря- *
жений не зависят от полярного угла 0, т. е. что задача обладает
осевой симметрией.
68
Вместо формул (1.18) получим выражения для отличных от
нуля компонент тензора деформаций в жестких слоях
„(*)_ duk (k. <Pwk . „«)_ uk z(k' dwk on
Er -~dT~z d^' 80 ~~r-------~~dT' (2-31)
Здесь uk (г) и wk (r) — радиальное и нормальное перемещения
точек срединной плоскости k-ro жесткого слоя; z<*> — нормаль-
ная координата, отсчитываемая от этой срединной плоскости.
Для компонент тензора деформаций в мягких слоях вместо
(1.22) получим
vp]_ 1 Г„ _!_r I dwk+i . dwk \1.
Угг - s [Uk+1- Uk-\-C0^—^—+ -dr JJ,
ep] = ±(^+1-^), (2.32)
где уже использовано предположение о регулярности структуры.
При этом с0 = (h + s)/2, где h и s — толщина жестких и мягких
слоев соответственно. Формулы для компонент тензора напряже-
ний по виду аналогичны формулам (1.20) и (1.26). Используя
эти формулы, нетрудно получить выражение для потенциальной
энергии упругой деформации жесткого слоя
и<‘<=4- М Ш ]da +
а
+ f f D Г+ _ 2 (1 _ v) ^.±^.1 dQ.
' 2 J L \ dr2 1 r dr / v ' dr2 r dr j
Q
Для потенциальной энергии упругой деформации мягкого
слоя получим
= 4 J В [Uk^ -Uk + co 4- ~3г~) ]2dQ +
й
+ 4fC^+1 — wkfd&.
В этих выражениях использованы обозначения
В = —; С=—; D = ,9-;-1£/t3-a?, (2.33)
1—v2 s s 12(1—v2) ’ ' '
причем индексы с учетом регулярности структуры опущены.
Наконец, для потенциальной энергии внешней силы Р полу-
чаем выражение
П = — Pw0 (0) const — j i^o (<) dii + const,
n
где 6 (r) — дельта-функция. При этом предполагается, что с
приложена в точке г = 0 и что наружному жесткому слою
писан индекс k = 0.
Суммируя вычисленные значения потенциальной энергии уп-
ругой деформации по всем слоям и добавляя потенциальную энер-
гию для внешней силы, получим выражение для полной энергии
системы (1.36), где L и М — плотности лагранжиана, явные
выражения для которых мы не выписываем. Уравнения Остро-
градского—Эйлера (1.41) в данном случае принимают вид
dL 1 d / dL \ = 0.
duk г dr V duk, r / ’
dL______1 d / dL \ \ 1 .( Г-LjL/’ dL Ml -n
dwk r dr V dwk, r / ' r dr [ r dr V dwk, rr ) J J
(A= 1, 2, . . .).
Подставляя в эти уравнения плотность лагранжиана L,
получим систему дифференциально-разностных уравнений
Л (- -^) + В [ им - 2uk + + с0 ] = 0;
DbAwk - С (wk+1 - 2wk + wk_J - Вс0 [yuk+1 - \juk_r +
+ с0 (ДдаА+1 + 2 ДдаА + Дда^)] = 0 (& = 1, 2, . . .). (2.34)
В этих уравнениях использованы обозначения для оператора
Лапласа и оператора градиента в полярных координатах при на-
личии осевой симметрии
. d2 । 1 d . d . 1 /r) пС,
A = ^ + Td7; V = -37 + -- (2-35)
Уравнения (2.34) применимы ко всем слоям, кроме наружного.
Для наружного слоя (k = 0) варьирование функционала полной
энергии дает
А (д«0 - ) 4- В [ Ы1 - и0 + с0 + -^) ] = 0; (2.36)
D ДДиу0 - С (ыг - u)0) - Вс0 [v«i - V«o + с0 (Д^х + ДаУ0)] = '
. / dw, . dw„
«о
Решение уравнений (2.34) и (2.36) должно удовлетворять ус-
ловиям ограниченности деформаций и напряжений при k—»oo.
Потребуем, чтобы перемещения uk и wk при k = 1,2, ... удовлет-
воряли условиям при г—* оо:
bw^olrW). (2.37)
( dr ’ dr ’ dr2 ’ dr K) 4 ’ ' '
Кроме того, наложим ограничение на поведение функций в на-
чале координат, т. е. при г —♦ 0:
d^ _^д^1 = 0(г1);
[dr dr dr R J ' '
(2.38)
70
Решение ищем при помощи метода интегральных преобразо-
ваний Фурье—Бесселя. Положим
00
= j *A(p)/’A(p'W
1 (2-39)
®t(') = J Wk(p)pJ0(pr)dp,
о
где Uk (р) и Wk (р) — изображения по Фурье—Бесселю от функ-
ций ик (г) и wk (г) соответственно; Jo (•) и J± (•) — функции Бес-
селя действительного аргумента; р — параметр преобразования
Фурье—Бесселя.
Выполняя соответствующие преобразования над уравнениями
(2.34), получим систему конечно-разностных уравнений относи-
тельно изображений
t2Uk - X [ Uk+1 - 2Uk + и- 4-1 (Wk+1 - Wk_>) ] = 0;
tiWk-x1(Wk+1-2Wk + Wk,1)-
- 2^t [Uk+1 - Uk_t - 4 t (^+i - 2^ + WVx)] - 0 (2.40)
(k = 1, 2, . . .).
При этом изображения рассматриваются как функции безразмер-
ного параметра преобразования t = ср. Граничные условия для
этой системы получим, применяя преобразования Фурье—Бес-
селя к уравнениям (2.36):
t2u0 - х [f/1 - Uo - + ^o)] = 0;
Wo - X1(W\ - ^o) - 2х24^1 - ^0 - + ^o)] = Q. (2.41)
Кроме того, решения системы уравнений (2.40) должны удовлет-
ворять требованиям ограниченности Uk и Wk при k —> оо. В (2.40)
и (2.41) в дополнение к (2.7) использованы обозначения
_ 12ЕгС*(1-у*). _3Gc4(l —v2). (2 421
Eh3s ’ м Ehts ’ 4 2nD '
Решение системы (2.40) ищем в виде
t/A = Ce-^; Wk = Ct-^,
где С' и С" — постоянные; р — характеристический показатель.
Подставляя эти выражения в уравнения (2.40), после некоторых
преобразований получим
[/2 + 2%(1 - ch р)] С" - sh р-С = 0;
4/2/sh р-С" + + 2Х/(1 + ch р) + 2Х1 (1 - ch р)] С = 0. (2.43)
71
Условие существования нетривиального решения С', С" си-
стемы уравнений (2.43) дает уравнение для определения харак-
теристических показателей
ch-|l-2(l+^+^.<‘)chH+l + g.+
+ = °. (2.44)
2%%1 ~ 4Х%1 v ’
Его корни можно представить в виде
± Р; = In I I 4- i (— 1)/ arg С; (/ = 1 , 2),
где использованы обозначения
= +
к, = 1 +t2 (рх - р/) ± р/ [(? - р3)2 - Р1Г/2;
й __ 1 й _ Хг~X r _ Xi (X + Ха).
Р1 4Х ’ Рг 4xxi ’ Рз (Ха —X)2 ’
Заметим, что
arg£; = 0 при /2<р3 — р4; arg^=n при t2 > р3 + р4;
0<arg£z<n при р3- р4<t2<рз + р4.
Таким образом, в зависимости от соотношения между параметрами
слоев и параметрами преобразования Фурье—Бесселя характери-
стические показатели могут принимать как действительные, так
и комплексные значения.
Решения, соответствующие характеристическим показателям
с положительной действительной частью, должны быть опущены
из условия .ограниченности напряжений и перемещений при
k —» оо. Используя первое из соотношений (2.43), представим
решение системы (2.40) в виде
= X/ S sh цуе-*»*/;
/=1
wk = L С, [t2 + 2х (1 - ch И/)1 (2.45)
Постоянные Сг и С2 определяются из условий (2.41). В результате
получим
2
Uk=^f S(“1),a/+iSh^e'4‘;
2
/=1
72
g = axb2 — a2bx\ a, = 1 + eu/J
bt = fi [0 + Xi(1 - e’11/)] + х/ (1 + e-“/); (2.46)
f;=P + 2x(I-ch|i;.) (/= 1, 2; k = l, 2, ...).
Здесь и далее a3 = аг. Переходя от изображений Uk и Wk к ори-
гиналам по формулам (2.39), получим окончательные выражения
для перемещений в функции от безразмерного радиуса £ = г/с
ео 2
® т S(-1)7 ai^sh (?о
° /=’ (2.47)
ео 2
® = S f Т S (-1)/ (10 dt.
о /=1
Вычислим напряжения в жестких слоях. Используя формулы
(2.31) для компонент тензора деформаций, запишем формулы для
максимальных изгибных напряжений и <т^Н, а также напряже-
ний в срединных плоскостях жестких слоев — мембранных на-
пряжений <у«*о и o^fo:
iky 6D / ii2uj . v dwk \. _(*)
Or.b + — -rfF-)’ ffe.b
<k) __ A l duk , uk\. (A)
a''°~Tk^r + vvh a&'°
_ 6D / 1 dwk I dbDk \ .
h2 \ r dr ^ dr2 ) '
После подстановки сюда выражений (2.47) получим (о0 = Р/с2):
a'-* = J 7 S (-!)'
О /=1
J v S(_1)/ ai^ie^iZ2 di'> <2-48>
О /=1
О /=1
a^sh^iZ,^) dt (k = 0, 1, 2, ...);
о /=1
zx (SO = Л (10 - -4r A = vJ°
Напряжения поперечного сдвига и трансверсальные на-
пряжения <тР] вычислим, используя формулы (2.32):
4? - в [«„ - U„ + С. (; 4” - с (Ш4„ _ w).
73
Подставляя сюда выражения (2.45), после преобразований
получим
тк*] = _£<£=] (-1)/ е- <*+1> “/ А df,
° /=1 (2.49)
со 2
ар] = J JL (_1}/a.+j. (! _ е-И/) е- (/-1) Р/ Jodt
О j=l
(6 = 0, 1, 2, . . .).
74
Интегралы в формулах (2.48) и (2.49) сходятся для всех k и
при любых за исключением первых двух интегралов из (2.48),
которые при k = 0 имеют в окрестности точки Е = О особенность
логарифмического типа. Наличие особенности в изгибных напря-
жениях внешнего слоя под сосредоточенной силой согласуется
с известными результатами классической теории пластин. Отметим
также, что соотношения (2.48) и (2.49) удовлетворяют поставлен-
ным выше условиям при г -> 0 и г —> оо. Отсюда следует непротиво-
речивость преобразований, при помощи которых были получены
выражения для перемещений и напряжений.
Пример. Для примера возьмем значения параметров G = 0,01 Е; v=0,25;
h. = s. Кривые, построенные по результатам вычислений полных максимальных
напряжений в жестких слоях
аг - аг, о > аг ь, <те — ае> 0 -t- o0j ь,
показаны на рис. 2.2 сплошными линиями. Напряжения вычислены путем чис-
ленного интегрирования в формулах (2.48) с шагом t = 0,2. Уменьшение шага
интегрирования вдвое давало поправку лишь в пятом знаке. На рис. 2.3 по-
казаны аналогичные кривые для напряжений поперечного сдвига и трансвер-
сального сжатия для мягких слоев. Цифры у кривых указывают номер слоя
(k = 0 соответствует внешнему слою).
Точный расчет напряжений в слоистом полупространстве
весьма трудоемок, но его можно упростить, введя упрощающую
гипотезу о характере деформирования мягких слоев. Анализ
формул (2.47) показывает, что тангенциальные перемещения uk (г)
по сравнению с нормальными перемещениями wk (г) тем меньше,
чем меньше безразмерная характеристика %, т. е. чем податливее
мягкие слои по сравнению с жесткими. Положим в исходных
уравнениях uk (г) = 0. Тогда, повторяя все выкладки, придем
к следующим соотношениям для напряжений и перемещений:
Рс2 г г ,,
о
о
со
4*’ = _ З^2 । (2,50)
о
ТЙ1 _ _ j ^1+^)^. Jt (В) dt.
о
a[*J = - /о(|0dt (Z: = о, 1, 2, . . .).
75
При этом
ch |х = ; & = ** + W (1 + е"ц) + Xi (1 - е‘ц)-
Здесь, как и в соотношениях (2.48) и (2.49), интегралы сходятся
для всех k при любых 1, исключая интегралы для о{.0) и о^0), ко-
торые в окрестности точки 1 = 0 имеют особенности логарифми-
ческого типа. Кривые, построенные по результатам вычислений
для данных предыдущего примера, показаны на рис. 2.2 и 2.3
штриховыми Линиями.
Дальнейшие упрощения получим, если примем сдвиги в мяг-
ких слоях равными нулю. В этом случае
рсг 7
о
о
(2 51)
о
Г* -"- '«60 л (* = 0’ *2’
о
где в отличие от формул (2.50)
/4
сЬ(Х = 1 + Ж; £2 = /4 + Х1(! ~eZ)-
Здесь расходятся как интегралы для напряжений во внешнем
слое в окрестности точки 1 = 0, так и интеграл для перемещений
wk при всех значениях k и любых 1- Результатам расчетов по фор-
мулам (2.51) соответствуют штрихпунктирные линии на рис. 2.2
и 2.3.
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод,
что при значительном различии между упругими характеристиками
жестких и мягких слоев учет тангенциальных перемещений дает
значительные поправки только для напряжений поперечного сдвига
в первом мягком слое. Что касается приближенного расчета,
при котором не учитываются поперечные сдвиги в мягких слоях,
то его результаты удовлетворительно согласуются с точным ре-
шением лишь для напряжений поперечного обжатия (см. рис. 2.3).
Отметим также существенную роль моментных эффектов в жестких
слоях, которые особенно сильно влияют на напряжения попереч-
ного сдвига и обжатия в окрестности точки приложения сосредо-
точенной силы.
76
Остановимся кратко на задаче расчета слоистого регулярного
полупространства на действие нагрузки, равномерно распределен-
ной вдоль некоторой прямой. Расположим систему координат
Oxyz таким образом, чтобы плоскость Оху совпадала со срединной
плоскостью крайнего жесткого слоя, причем ось Оу направим вдоль
линии нагружения. Поставленная таким образом задача явля-
ется плоской, т. е. все перемещения, напряжения и деформации
полупространства зависят только от координаты х и от номера
слоя k. Уравнения для этого случая легко получаются из общих
уравнений (1.50) и (1.51):
D - С (wk+1 - 2wk + wk_J - Вс0 -
_ 0( 2 + = 0 (Л = 1, 2, ...).
dx 1 u \ dx2 1 dx2 1 dx2 / J v » » /
(2.52)
Здесь uk (x) и wk (x) — тангенциальные и нормальные перемеще-
ния на срединной поверхности k-ro слоя. Остальные обозначения
те же, что и в уравнениях (2.34). Для наружного слоя аналогично
получаем уравнения
Л^+ВГЫ1_Ыо + Со(^+^\1=0;
dx2 1 L ° 1 ° \ dx 1 dx / J ’
+ э(^-+^-)]=Р8«. (2.53)
где р — линейная интенсивность внешней нагрузки. Как и для
осесимметричной задачи, решение этих уравнений должно удов-
летворять условиям ограниченности напряжений на бесконечности
т. е. при х оо и k —> оо.
Схема решения прежняя. Применяя к уравнениям интеграль-
ное преобразование, сведем их к системе разностных уравнений
по дискретной переменной k, а после решения разностной системы
применим формулы обращения. В данной задаче вместо преобра-
зования Фурье—Бесселя (2.39) следует использовать обычное пре-
образование Фурье. Для этого необходимо принять
00 00
f £/*(“) = J ^(M)e£fflXdco, (2.54)
— 00 —00
где Uk и Wk — изображения по Фурье; co — параметр преобразо-
вания Фурье.
Дальнейшие вычисления проводятся как для осесимметричных
задач. Отметим только, что характеристическое уравнение для
системы в конечных разностях в этой задаче также имеет вид
(2.44) (подробнее см. статью [24]).
77
Все рассмотренные задачи решались следующим образом:
вначале проводилось преобразование Фурье или Фурье—Бесселя
по непрерывной переменной, после чего решалась система урав-
нений относительно функции дискретной переменной. Однако
можно было бы сначала применить преобразование Фурье к функ-
циям дискретной переменной. Этот метод мы проиллюстрируем
на другом классе задач.
2.3. ПОЛУПРОСТРАНСТВО со слоями, ОРТОГОНАЛЬНЫМИ
ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
Пусть полупространство представляет собой регулярную си-
стему чередующихся жестких и трансверсально мягких слоев,
срединные плоскости которых ортогональны поверхности полу-
пространства. К одному из жестких слоев приложены силы и мо-
менты, равномерно распределенные вдоль линии пересечения сре-
динной плоскости и поверхности полупространства. Выберем
систему координат, как показано на рис. 2.4, т. е. расположим
плоскость Оху в срединной плоскости нагруженного слоя, а ось Oz
направим по нормали к этим слоям. Присвоим нагруженному
жесткому слою номер k = 0, а мягкому слою, расположенному
между жесткими слоями с номерами k и k — 1, номер k, если k > О,
и номер k — 1, если k < 0 (этот способ нумерации отличается
от принятого в предыдущих разделах книги). Уравнения плоской
задачи для регулярной системы имеют вид (2.52). Однако они вы-
писываются для всех слоев при —оо < k < оо:
D ~ С “ 2Wk + Wk~1'> ~
Вс0 Г + с0 ( + 2 а +
u L dx dx ‘ ° \ dx2 1 dx2 1
(^ = 0- ±1- ±2, ...), (2.55)
Рис. 2.4
где использованы те же обо-
значения, что и в (2.52). Вы-
писанные уравнения при-
годны также в том случае,
когда жесткие слои ор-
тотропны, но их главные
направления упругости па-
раллельны координатным
осям.
Для формулировки гра-
ничных условий на поверх-
ности полупространства х=0
необходимо обратиться к ес-
78
тественным граничным условиям (1.54) — (1.56), которые в дан-
ном случае имеют вид
dx Г °*’
° -2s -Вс» [ “»«- “»-*+с« (^ + <2-66)
+ 2^-+^)]“А* (* = °. ±>. ±2' )
В правых частях стоят интенсивности тангенциальной р и попе-
речной q нагрузок и момента т, приложенных- к жесткому слою
(см. рис. 2.4). Через 6/А обозначен символ Кронекера. Кроме того,
следует потребовать достаточно быстрого затухания решения при
х—> оо. По дискретной переменной k также ставится условие
затухания при |Л(—» оо.
В дальнейшем целесообразно перейти к безразмерной коорди-
нате | — х/2с0, а также отнести к линейному размеру с = 2с0
перемещения uk и wk. Сохраним для последних прежние обозна-
чения. Уравнения (2.55) принимают вид
^+фм-м«и+-И^-^)]=»;
dlwk , п . .
- 2wk + w^) -
Г d“k+! duk-i I 1 / d?wk+1 , (2.57)
H di, dg + 2 V +
+ 2^ + ^5H]=° (* = 0, ±1, ±2, ...),
где использованы обозначения (2.42).
Применим к уравнениям (2.57) преобразование Фурье по ди-
скретной переменной k [48]. При этом изображения по Фурье
от функций uk (?) и wk (|) представляются в виде рядов Фурье
U(l, ®)= f W& «)= £ ®ДВ)е^“. (2.58)
Это равносильно тому, что решение уравнений (2.57) ищется в виде
коэффициентов разложения в ряды Фурье некоторых функций
U (§, со) и U7 (|, со) от координаты g и от параметра со. Область из-
менения этого параметра может быть выбрана так, что —л <
< со <л. Обратное по отношению к (2.58) преобразование имеет
вид
л Л
MS) = f V (I, ®) e~tka> da>; wk (|) = ~ J W (|, со) dw.
-л -л
(2.59)
79
Фактическое осуществление преобразования проводится сле-
дующим образом. Преобразуемые уравнения умножаются почленно
на eika и суммируются по k от нуля до оо. Учитывая формулы
(2.58), представим результат преобразований в виде системы
двух уравнений относительно изображений U (1, со) и IF (£, со):
d2(7 , • 2 <о г, • . dW п
-jgr - 4хsin2 у •£/ - ex sinco-= 0;
d«IF . 2 ш d2W . . . , со wz , .. . dU „ (2,6°)
— 4%2 cos2 у • -д2- 4- 4%! sin2 2“ • IF+ 4г%2 sin со • -%- = 0.
Аналогично преобразуются условия (2.56) на границе 1 = 0
dU __ р d2W _ тс .
dt, ~ А ’ dg2 “ D ’ , п ч
d3IF и dW' ос2 (2.61)
-^3--4x2cos2у-^ + 4%sin СО.С/ =-%-•
Итак, мы получили относительно вновь введенных функций
U (1, со) и Г (1, со) систему обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами по переменной 1
с параметрической зависимостью по со. Полагая, как обычно,
U = С'е^; IF = С”е^,
где р — характеристический показатель, получим относительно
постоянных С' и С" систему уравнений
(р2 — 4% sin2 у С' — i/p sin и • С" = °;
(р1 — 4х2р2 cos2 у + 4Xisln2 -у) С" ф- 4ix2p sin со • С' = 0.
Для получения характеристического уравнения достаточно при- |-
равнять нулю определитель этой системы. В результате получим _
уравнение
р® - 4р4 (х sin2 -у + х2 cos2 у) +
+ 4p2Xi sin2 -у — 16xXi sin1 -у = 0, (2.62) •
которое в общем случае имеет шесть различных корней. Корни -
с положительными действительными частями исключаются из
рассмотрения ввиду требований ограниченности функций U (1, со)
и IF (1, со) при 1 —> оо. В результате получим решение в виде
з
U (1, со) = ix sin со Сараеи“6;
з “=1 (2.63) J
W (1, со) = £ (Re ра < 0),
а=1
80
где введены обозначения
fa = На - 4/sln2 (а = 1, 2, 3). (2.64)
Для нахождения постоянных Са необходимо обратиться к гра-
ничным условиям (2.61). Подставляя выражения (2.63) в эти
условия, получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно Са:
3
Soa₽Cp = ba (06=1, 2, 3). (2.65)
3=1
Элементы аар матрицы коэффициентов этой системы и свободные
члены Ьа вычисляются по формулам, вытекающим из (2.61),
(2.63) и (2.64):
flip = Н₽; «23 = Рз/з; Озз = из (/з - 4/2 cos2 4) ф = 1, 2, 3);
h — ip h — тс - h чс*
1 %А sin <в ’ 2 D ’ 3 D '
В результате решение (2.63) принимает вид
з з
и{1, и)==й^2 2наМз«е^; .
3 “71Р=1 (2.66)
F(g, со) = 4-2
а=1 р=1
где Да₽ — алгебраические дополнения элементов аа& матрицы
коэффициентов; а — определитель этой матрицы.
Чтобы получить выражения для тангенциальных и нормаль-
ных перемещений, следует провести обратное преобразование
Фурье. С учетом формул (2.59) получаем
л .зз
uk (?)=j -1п \е-‘ю S S ^Мз«еМ
л lk 71₽3=1 (2-67)
j 4^ S S /«Мз«еМ
-л а=1 3=1
(Хг = 0, ±1, ±2, . . .).
Имея выражения для перемещений, нетрудно вывести соответ-
ствующие формулы для напряжений <т*А о в срединных плоскостях
жестких слоев и для максимальных изгибных напряжений в этих
слоях
_lk) A duk . „(ky _ 6£> d3wk
° — h dx ’ х- ь Л2 dx2 •
(2.68)
81
Для определенности рассмотрим действие тангенциальной
нагрузки р. Подстановка в (2.68) выражений (2.67) дает
л з
я,«о „ г eosto у (2.69)
ЛЛ J U лишЛ
О а=1
л 3
= - 2^7 (X d<0 (k = 0, ± 1, ±2, . . .),
О а=1
где использовано обозначение <т0 = р/с. Для напряжений в транс-
версально мягких слоях имеем
ТЙ] = В\uk - + Со + ^L') 1; Ozk] = c(wk- Wk-1)-
I \ ил ил / J
(2-70)
Отсюда
Л/2
3
Р-аЛав1^5 dof,
“=1 (2.71)
"/2 / , 1 \ 3
Л COS ---------g- J (й «
* = 4п%7 1 а cos ш fa,Aae>la^d<>) (k= 1, 2, . . .).
(Г “=1
Эти формулы пригодны для мягких слоев при k > 0. Для опре-
деления напряжений в мягких слоях при k < 0 следует положить.
= —тй], o^k] = Ozfc]. Интегралы в формулах (2.69)
и (2.71) для напряжений сходятся при любых 0 < £ </ оо для
всех значений k. Интеграл в формуле (2.67) для танген-
циальных перемещений uk (£) расходится, а интеграл в фор-
муле для нормальных перемещений wk (£) имеет при k —♦ оо
особенность логарифмического типа. Такое поведение интегралов
согласуется со свойствами решений аналогичной задачи в теории
упругости. Как известно, перемещения для упругой полуплоско-
сти не определены, если главный вектор приложенных к ней внеш-
них сил отличен от нуля. При преобразовании основных уравне-
ний (2.57) существование перемещений uk (£) и wk (£) не исполь-
зовалось (эти уравнения связывают между собой производные и
конечные разности от соответствующих перемещений, но не сами
перемещения).
Пример. Для численного примера возьмем слоистое полупростран-
ство, к одному нз жестких слоев которого приложена тангенциальная на-
грузка р. Примем G = 0,01£; h = s. Коэффициенты Пуассона для обоих мате-
риалов v = 0,25. Расчет сводится к численному решению характеристического
уравнения (2.62), вычислениям образов Фурье (2.66) и обращению преобразова-
ния Фурье. Последнее осуществлялось непосредственным численным интегри-
рованием с шагом Дш = л/80. Уменьшение этого шага вдвое вносило изменения
82
в шестом знаке при k = 1 и в пятом знаке при k = 4. Дополнительные труд-
ности были связаны с тем, что в зависимости от значения параметра <в изменялся
тип корней уравнения (2.62): в одной области для вычислений использовались
три отрицательных действительных корня, в другой — один отрицательный
действительный и два комплексно-сопряженных корня с отрицательными дей-
ствительными частями.
На рис. 2.5 приведены результаты вычислений безразмерных напряжений
(&) в зависимости от координаты £ = xlc для четырех жестких слоев (k =
= 0, 1,2, 3). Сплошные линии соответствуют полным напряжениям, штриховые —
мембранным напряжениям (при k = 0 полное и мембранное напряжения совпа-
дают). Полные напряжения в ненагруженных слоях достигают максимума на
глубине порядка нескольких толщин. На рис. 2.6 приведены аналогичные
графики для напряжений поперечного сдвига и трансверсальных нормальных
напряжений в мягких слоях при 1, 2, 3. Эти напряжения (одинакового
порядка) примерно на порядок меньше напряжений в жестких слоях.
Остановимся на некоторых упрощенных способах расчета.
Одно из возможных упрощений получим, полагая в уравнениях
(2.55) и граничных условиях (2.56) —> 0. Это соответствует
допущению о том, что моментные эффекты в жестких слоях можно
считать пренебрежимо малыми. Процедура решений остается
прежней, однако промежуточные выкладки и окончательные ре-
зультаты заметно упрощаются. Так, вместо характеристического
уравнения (2.62) получаем несравненно более простое уравнение
р* - f - р2 tg2 f + 4 tg1 f cos21=0.
Л2 z Л2 z *
Если %<^1, то для представляющих интерес двух отрица-
тельных характеристических корней выполняются приближенные
равенства
что в свою очередь приводит к дальнейшему упрощению конечных
формул.
83
Еще более простую расчетную схему получим, если примем
wk (1) = 0. Очевидно, что такое предположение можно ввести
только при действии тангенциальной нагрузки р и для достаточно
податливых мягких слоев. Основные уравнения при этом
+ %(uk+1-2uk + «,_!) = о (£ = 0, ±1, ±2, ...)
должны решаться с граничными условиями при 1 = 0
= (* = 0, ±1, ±2, ...)
и условием ограниченности напряжений при 1 —> оо и k —» оо.
Решение этой задачи нетрудно получить в форме сходящихся
рядов [48, 69].
Погрешность приближенных подходов существенно зависит
от того, какие компоненты напряжений вычисляются. При числен-
ных параметрах рассмотренного примера эта погрешность невелика ;
для напряжений в срединной поверхности жестких слоев. При
определении полных напряжений погрешность получается по- i
рядка максимальных напряжений от изгиба (см. рис. 2.5). Пред-
ставление о погрешности при определении касательных напряже-
ний в мягких слоях можно получить из рис. 2.6. Сплошные линии
соответствуют полной постановке, штриховые линии — прибли- *
женному решению, основанному на пренебрежении моментными j
эффектами в жестких слоях, штрихпунктирные линии — чисто '
сдвиговому решению. Как видно из графика, для определения мак- >
симальных напряжений в мягких слоях, примыкающих к загру- г
женному слою, вводимые допущения неприемлемы. По мере -
удаления от загруженного слоя влияние моментных эффектов ста- •-
новится пренебрежимо малым. Сдвиговая модель начинает давать •_
удовлетворительные результаты лишь на достаточном удалении ;
от поверхности полупространства. '
Как уже указывалось, решения задач о действии на полупро-
странство сосредоточенных сил и моментов могут быть исполь- :
зованы в качестве фундаментальных решений при рассмотрении
контактных и других смешанных задач. Действие плоского жест-
кого штампа на слоистое пространство рассматривалось в статье •*
[70]. Не останавливаясь на подробностях, ограничимся поста- ”
новкой некоторых из этих задач и некоторыми численными ре- »
зультатами.
Рассмотрим полупространство с регулярной системой слоев, 1
ортогональных поверхности. На эту поверхность действует плос-
кий бесконечно длинный штамп, плоскость симметрии которого
совпадает с плоскостью одного из жестких слоев. Пусть под штам-
пом находится N = 2п + 1 жестких слоев. Выберем систему коор-
динат, как показано на рис. 2.7, т. е. совместим подошву штампа .
с плоскостью Oyz, а плоскость симметрии штампа — с плоскостью
84
Оху. Сохраним прежнюю нуме-
рацию слоев: жесткому слою,
лежащему в плоскости сим-
метрии, приписываем номер
k = 0, примыкающим мягким
слоям — номера k = ±1 и т. д.
Отнесенную к единице длины
штампа внешнюю силу обозна-
чим Р.
Основные уравнения для
этой задачи в безразмерных
переменных сохраняют вид
(2.57). Решение этой системы
должно удовлетворять усло-
виям ограниченности напряже-
ний при Ё->оои k —> оо, а также
нице £ = 0. Для штампа, жестко
некоторым условиям на гра-
связанного с поверхностью
полупространства, граничные условия с учетом симметрии имеют
вид
«fe - “fe-i = 0; ayfc = 0; -^r = 0 (4=1,2,...,»);
dtik _ n. d*wk _
di d& ~
(2.72)
[и —и I 1 ( dWk+i i n dwk , dwk-i \ I _ A
dg3 2%2 [ «fe+i + 2 \ dl + 2 di + di ) J — U
(A = n + 1, n + 2, . . .). (2.73)
Для решения поставленной задачи используем решение (2.67)
для полупространства, один из слоев которого загружен тан-
генциальной нагрузкой р, поперечной нагрузкой q и моментами т.
При этом неизвестными параметрами являются усилия и моменты,
возникающие под штампом. С учетом симметрии остается Зп + 1
неизвестных: п + 1 тангенциальных сил pk в жестких слоях
(k = 0, 1, 2, ..., п), п поперечных сил qk (k — 1, 2, ..., ri) и п
моментов mk (А = 1, 2, ..., п). Для определения этих неизвест-
ных имеем Зп условий (2.72), к которым добавляется равенство
k—n
2 pk = P, (2-74)
k——n
связывающее тангенциальные силы с полной нагрузкой на штамп
Р. После подстановки в эти условия соотношений, связывающих
перемещения с неизвестными усилиями, получаем систему Зп + 1
линейных алгебраических уравнений с Зп + 1 неизвестными pk,
qk и mk.
85
Если основание штампа гладкое, то под подошвой штампа
все силы qk равны нулю. Условия (2.72) при этом заменяются
условиями
= ^ = 0 (Л=1, 2, . . п), (2.75)'
а естественные граничные условия третьей группы в (2.73) распро- -
страняются на все k = 1, 2, ... Роль неизвестных параметров
в этом случае играют п + 1 тангенциальных усилий pk при k =
= 0, 1, 2, ..., п и п моментов mk при k — 1, 2, ..., п. Для опре- .
деления 2м + 1 неизвестных имеем 2м граничных условий (2.75)
с дополнительным соотношением (2.74).
Пример. На рис. 2.8 и 2.9 приведены результаты расчета численного при-
мера для гладкого штампа. Параметры слоистого пространства такие же, как -
в предыдущем примере. При расчете варьировалось число жестких слоев, иахо- .
дящихся под штампом. На рис. 2.8 показана зависимость тангенциальных -
усилий ph под штампом от числа нагруженных слоев N. Дискретные значения
условно соединены ломаными линиями. По мере увеличения числа загруженных
слоев степень неравномерности распределения усилий между ними увеличивается:
усилия, действующие в слоях, расположенных вблизи углов штампа, сущест- .
венно превышают усилия под центральной частью штампа. За характеристику :
неравномерности может быть принят коэффициент концентрации, равный отио- *
шению напряжений в крайних жестких слоях (при k = ±п) к номинальному 1
напряжению, вычисленному в предположении, что нагрузка поровну распре- '
деляется между слоями: о0 = Р/(2п+ 1)й.На рис. 2.9 показана зависимость
коэффициента концентрации а0 мембранных напряжений и коэффициента кон-
центрации а полных напряжений от числа слоев N = 2п + 1. С уве- -
личением числа слоев коэффициенты концентрации возрастают. Заметим, что
в аналогичной задаче для сплошной упругой среды под углами штампа имеет
место особенность типа г-1/2. Приведенный график иллюстрирует также роль__"
моментных эффектов, которые оказываются особенно заметными для макси-
мальных напряжений в крайних слоях.
2.4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
В первом пункте данной главы изложен метод расчета много-
слойных плит регулярной структуры, основанный на разделении -
непрерывных и дискретной переменных и сведении задачи к реше-
86
нию системы в конечных разностях. Такой подход относится
к классу точных методов расчета. Он возможен только для опре-
деленного вида граничных условий, например, типа (2.14), (2.15).
В общем случае разделение переменных удается провести лишь
приближенными методами. Рассмотрим некоторые приближенные,
в том числе и численные методы. Эти методы проиллюстрируем
на примере прямоугольной в плане многослойной плиты регуляр-
ного строения, жесткие слои которой работают в соответствии
с гипотезой Кирхгофа—Лява, а в мягких слоях учитываются
трансверсальные деформации и деформации поперечных сдвигов,
распределение которых по толщине предполагается равномерным.
Слои считаются изотропными. Исходными в этом случае являются
уравнения (1.50), (1.51) с граничными условиями (1.54)—(1.56).
Введем безразмерные переменные
w<k> х.
= vk = -—; wk———; x=-!-;
Сд Cq c0 Co
= 2c0 = c = h + s;
co
g42(i-v2). t .^(M.
* 2c0 ’ л E'hs ’ E'hs
(2.76)
Тогда уравнения приводятся к виду
А, (иь vk) + % [(мш - uk) t]kn - (ик - u^) т|и] +
+ X [(«’fc+1. x + x) - (^, x + Wk-i, x) Пи! + <7ifc = 0
(utIv, x^y); (2.77)
у kkwk - C [(oyft+1 — wk) i]kn - (wk - nJ —
- % [(«fe+l, x — «*, r) + (Ukt x — Uk_b л) nw] —
- % I(ffe+1, у — vk, y) Hfcn + (vk, у — Vk_i, у) Пи! —
- X [(Aa’fe+I + Aa’fc) Ъ* + (Awk + \wkj) т]и] = <7зи
Индексы после запятой означают дифференцирование по этим
переменным; А — оператор Лапласа; T]/ft =1 — 8jk;
хх Ч 2 УУ ”1 2 ^k,xy (ы <—v> —у)-
Граничные условия на краю х = const следующие:
(«и х + wfc у) 8uk = 0; (uk, у + vk, д) 8vk = 0;
4№k,xx ±VWk'yy)6Wk,x = &,
W lwk, xxx + (2 — v) xyyl — X [(«hi — uk + wk+i, x + x)n*n +(2 yg)
+ (Wfe - Wfc-1 + ®k, X + wk-i, x) Пн]] Swk = 0.
87
Условия при у = const записываются аналогично (2.78). Заметим,
что на практике могут встретиться более сложные граничные
условия. В качестве примера приведем условия при х = const:
для шарнирно закрепленного края при наличии жесткой связи
между слоями
wk = 0; ®k, х = <Р; «л = + ф2с0 (k — 1);
п п
£ uktX = 0; £ uk-x2c0(k~ 1) = 0; vk = 0,
k=i k=i
для скользящей заделки скрепленного пакета
п
«ъ = 0; ^,х = 0; ^ = 0; «А = «х; £ мА1Х = о.
к=Л
Основной метод решения статических задач теории много-
слойных плит — сведение задачи к системе разностных уравнений
путем представления решений в виде рядов по некоторым системам
координатных функций с дальнейшим применением метода Буб-
нова—Галеркина. В результате задача сводится к одной или
нескольким группам разностных уравнений с постоянными ко- •
эффициентами.
Проиллюстрируем применение данного подхода на задаче об '
изгибе прямоугольной в плане плиты с граничными условиями, i
отличными от условий опирания. Пусть многослойная плита с без- ,
размерными длинами сторон а и b нагружена статической нормаль- 1
ной нагрузкой qk. Используем уравнения (2.77). Решение ищем^
в виде рядов, члены которых удовлетворяют соответствующим
граничным условиям
Uk = £ £. (X, у);
j т 'V
V1 V1 I/ / ч (2.79)
j т »
г^ = ££ Wk}m<p8jm(x,y).
! т
Для заделанных кромок функции <ppjm должны быть подобраны -
так, чтобы удовлетворялись условия
иА=цА = а>А = 0 (х = 0, а и г/ = 0, Ь)\ .
^,х = 0(х = °. а)’ wk.y = 0(y^0, b). ’
Если условия одинаковы для всех слоев, то функции <ppjm
не зависят от номера слоя k. В общем случае система функций <рр;т
должна зависеть и от k. В качестве для заделанной пластины
могут быть взяты, например, балочные, тригонометрические или
другие функции, обладающие свойством полноты или представи-
тельности и обеспечивающие выполнение условий (2.80).
88
Уравнения (2.77) после введения векторов щ = (ии и2, и,.}1-,
и2 = (ui. ^2. > Чг)т; и3 = (ге/j, w2. ге/„)т можно записать
в виде
SLMuft = f/ (/ = 1, 2,3),
Й=1
(2.81)
где введены векторы внешних нагрузок fj = f2 = 0 (тангенци-
альные нагрузки отсутствуют), f3 = (^1( q2, ..., qny. Матричные
дифференциальные операторы L/fc имеют трехдиагональный вид
(L}\ L}1 0 0 ... О \
РД L$ 0 ... О |
О Lfk L?k ... О J. (2-82)
О 0 0 0 ... L^J
Операторы для прямоугольной пластины, жесткие слои
которой работают в соответствии с гипотезой Кирхгофа—Лява,
имеют вид
rfefe дг 1— v д2 , . .
Lu qx?. 4" 2 ду2 %(Лап 4“ Ли)»
г k, k+l _ г k, Д»+1 • г kt k—1 _ т kt k—1 _ •
Lu = L22 = ХЦйп, Lu = L22 = ХЛн,
j k, k+1 f k, k+l j k, k-i r k, k-i n.
•*^12 ^21 -*^12 ^21
^22 ~ Qy2 I 2 дх2 (Лап 4“ Ли)»
Lu = L31 = x (ли! — л*1) -
T kt A+l _ г fe( fe + 1 , г k» fe—1 т k, k~ 1 д ,
Ь1з = —ь31 = > мз = —L31 — —ХПн ,
L33 = у ДА -]- £ (л*п 4~ Ли) — X (л*п 4~ Ли) А;
L33 м = —£л*п — ХЛ*л А; ^23* = = X (цй„ — цы) ;
L33 4-1 = — £лн — ХЛнA; L23 4+1 = —Ьи fe+1 = ХЛ*л !
1*з 4-1 = -L32 4-1 = -ХЛн • (2.83)
Искомое решение (2.77) перепишем в виде
= S S IWz/m (*» У) (/ = 1, 2, 3). (2.84)
/ m
89
Условия ортогональности результата подстановки (2.84) в (2.81)
(р, <7=1, 2, 3; J, т, г, s=l, 2, 3, ...).
Перенумеровав члены в двойных рядах (2.84)
и/ = J] UZs<pZs,
S
перепишем (2.85) следующим образом:
з
f 2 [L« (Е u?s<P?s) - fp] q>dQ = о.
Q s
Тогда результат (2.87) можно представить в виде
(2.85)
(2.86)
(2.87)
з
L Е -Г = 0 (р = 1, 2, 3; s, г = 1, 2, ...), (2.88)
0=1 S
где обозначено f = J ip(pprdQ. Матрицы Apq имеют трехдиаго-
нальную форму Q
/Qwll «М12 0 • ° \
/ Gw21 Й^22 . • ° 1
Ars — 1 0 0^32 аГрЧзз • • 0 Г (2.89)
0 0 0 ... arpsqnn,
Для операторов (2.83) коэффициенты arpqjk определяются по
формулам
aUkk = «Пхх + 2— а11уг/ — Ха11 (т]*п 4- T]fci);
aiik, л-i = ХанЛлГ, «шл =—^—«21X4, (1^2);
^1злл —' X (Ллп !]Л1) осз1х (1 «— 3); Онл, л+i — Х^иЛлп!
агзлл = X (Ллп — ЛлО а32р (2 <— 3);
a22kk — а22уу 4---2--а22хх — Ха22 (ЛЛп 4"
a22k, Л-1 = Ха22Т]ЛЬ Й22Л. Л+1 = Х^г^Лп!
(2.90) .
аЗЗЛЛ — У (ыззхххх 4- 2а33ххщ/ 4" а33уууу) 4"
+ С (пля 4- ПЛ1) азз — X (пля 4- ПлО («ззхх 4- аззуу);
90
аззА, k-i = — [£«зз + X (азз** + азз<///)1
а33/г, *+1 = — [&*33 + X (а33™ + аЗЗ'///)1
ai2k, k+i = ai2k, k-i — 0 (1^2);
a13fc, A+l = Xa3lx11fcn; a3U, k+1 = —У&Зх^кп,
aiik, k-i = —Хази'Пьь fl3ifc, k-i = Х^з^Лм»
а23*. A+l = Х®32»я*п5 °32*, Л+1 = —Ха23//1]Ап;
а23*. й-1 = —Х°ЗДйJ 032*. *-1 ~ Xot23iz'rl*l»
«Л= (фИ^Й; а",...,...= Г^^ср^й. (2.91)
V '"Т' V ОХ ЩТ
О т 1 U
Полученная система (2.88) представляет собой систему урав-
нений в конечных разностях, решение которой можно получить
стандартными методами. При малом числе слоев и невысоком при-
ближении систему можно решить как обычную алгебраическую
систему линейных уравнений. В прикладных расчетах ряды (2.84)
или (2.86) обычно приходится усекать. Выпишем получающуюся
систему для одночленного приближения (индексы г и s опускаем,
q(k) = qrk = j qkqZr dQ,
Q
^aiixx H---2— аида) k H —алхуУk +
+ Xan — ^fe) ~ (Uk Uk-i) ^Iai] +
4- х«зи [(^4+i + ^kn ~ Wk + ^*-i) Ли!=
(а22ад H 2—a22-«) V k alzxyUk +
+ Xa22 [(Vk+1 ~~ У*) Лйп ~ k — fe-1) ЛAll “Г
+ Xa32u 1(^+1 + Wk) - (Wk + Пй] = 0; (2.92)
Y (&33XXXX “Ь 2<Х3зд.Л;Лу -4- Ctssyyyg) Wk
— Сазз [(^a+i ~ ^k) ^kn — (Wk ~~ ^-i) Ла11
— Xai3x l(^A+i — Uk) Лйп + (^k ~ Uk-i) "Пи!
- Xa23y [(Vfc+1 - Vk) + (yk - Vy.r) T1A11 -
— X (a33xx + аЗЗда)[(^4+1 + 1^*) ^kn + Wk 4~ 1^4-1) "nAll — 4k‘
Предположим, что нагрузка действует только на внешние
слои, т. е. qk = 0, кроме ql и qn. Для k =/= 1 и k + п (2.92) пред-
ставляет собой однородную разностную систему. Ищем ее решение
в виде
Uk = U^k-, Vk = V^k-, Wk = Wellk. (2.93)
91
Вводя обозначение ch р — 1 = X, получим для X кубическое
уравнение
а3Х3 4 + 4Л + 4» = 0- (2.94)
С учетом того, что отношение размеров плиты к толщине одного
жесткого слоя достаточно велико, можно получить приближенные.
выражения для корней характеристического уравнения (2.94).
Один корень
[у (а33хххх + 2оСззХА,,у 4- <ХзЗуууу) —
— 4% (<Хззхх 4- <%зЗуу)\ [2&Хзз + 2% {^ЗЗхх Н- а33уу)1 (2.95)?
Два других определяются из уравнения
4у2а11а22?.2 4 2/Z [аиа
22уу + а22а
Ихх Н 2 (а11а22лх + “22а1ш) ] + /
I /-. । 1 —V \/„ । 1—\ O4'v)2_. „ А
Т П 2 а11уу ) ( а22уу I 2 а22ЛХ ) 4 а12х»а21л </ —
(2.96>
При одинаковых на всех краях граничных условиях и одинаковой
аппроксимации по направлениям х и у перемещений и и v между
коэффициентами а с различными индексами существует связь
а11 = а22 = а0> Р2а11хх ~ а22УУ = P2ali
а110{/ = Р2а22хх = Р2®2> (2.97
а12ху = а21х» = а3> Р = а/Ь,
где а и b — безразмерные длины сторон плиты. Корни уравнений
(2.96) с учетом (2.97) следующие:
^2 =-о21-; = (а/&«1),
2 2Ха0 3 2 2Ха0 v h
a I 1~v~ (2.9&
__ ai + 2 2 1 4 v , . :
?-2>3— 2Xa0 ±—~ “3
Все корни X положительные, следовательно, все р действительный
При этом р входят парами =ьр;, где ~
р7 = In (1 + %, 4 У+ 2%;). (2.99
Чтобы построить общее решение для найденных корней харак
теристического уравнения, необходимо найти ненулевое решени
системы для U, V, W, которое назовем коэффициентами распреде»
ления. Для упрощенного случая (2.97) имеем
№(i) = 1; U(1) = У(1) = 0; И7(() = 0; U (I) =—у—<&з, «
У(0 = 2Xa0Xz - (ai 4 Р2«г) (/ = 2, 3).
92
Общее решение записывается в виде
uk = S \C^ik ±C^ik (—1)/+1];
/=1
vk = Е Vu) [С^1к + С3+,^1к (-1)'+1]; (2.100)
/=1
w{n [с^к + с3+^к].
i=1
Константы С; находятся из граничных условий, которыми яв-
ляются уравнения (2.92) при k — 1 и k = п. Вводя фиктивные
значения, соответствующие нулевому и п + 1 слоям, получим
аи (^i — ^о)+азп 0Г1 + ^о)= 0;
а11 Щп+1 — Un) + а31х(^и+1 + ^л) = 0;
а22 (У1 — V Q) Н- а32у (^1 Н- ^о) ~
а22 п+1 — Vn) Н- а32!/ (^Л+1 “Ь ^л) ~ 0; (2.101)
£а33 (H^i 1FO) — % [(а331л. -f- а33уу) (1FX -|- №0) -|-
+ а1з% (Ui — Uo) -|- а23у (Vr — Ко)] = —f?1;
£а33 (Гл+1 — 1Г„) -|- % [(«ззхх + аззу//) (^л+i — ^п) Н-
+ а13х (Un+1 — Un) -f- а23у (Кл+1 — Кл)] = qn.
Удовлетворяя этим условиям,, получим неоднородную систему
уравнений для определения констант Сс = f, где с = (Сх, С2,
С3, ..., С6)т; f = fz, ..., /g)T; fi = f2 = f3 = fi = 0, а эле-
менты матрицы С и выражения для /8 и fe нетрудно выписать, ис-
пользуя решение (2.100) и условия (2.101).
Определитель матрицы С отличен от нуля. Формулы (2.100)
с найденными значениями Cf дают распределение перемещений,
зная которые можно найти распределение всех силовых факторов.
Для расчета многослойных конструкций может быть применен
метод, аналогичный методу Власова—Канторовича, когда описан-
ная выше процедура выполняется лишь по одной координате, и
затем задача сводится к одномерной краевой задаче или ряду не-
зависимых одномерных краевых задач. Решение в этом случае
ищется в виде
uk = W<Pi/(y); ^Vki (x)<p2/(y);
' ’ (2.102)
wk = 2 Wki (x) Фз/ (У)
i
или
“| = 2Ц/(х)ф//(?)- (2.103)
93
— fp<PPr^ = O. (2.104)
Условия ортогональности
ь
3 /
Zj Lp? I Zj Ц/уФ?/
<7=1 \ /
В результате приходим к одномерной краевой неоднородной задаче,
которая решается стандартными методами. Решение представ- -
ляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения,
которое находится, например, методом неопределенных коэффи-
циентов, и общего решения однородного уравнения
Uki = U*kj + U°kj-, Vkl = V*kj + V°kf, Wki = W*kj + W°kj. (2.105)
Для нахождения общего решения однородного уравнения вво-
дятся характеристические показатели
U°ki = U°kjeKx; = W°ki = W°kieKx, (2.106)
составляется характеристическое уравнение и находятся его •
корни Для каждого из находится ненулевое решение для .
U°kj, Vkj, W°ki, которое обозначим V°kim\ wkjm\ Затем
выписывается общее решение
u°kj = S Cmu^m^x- V°kj = li Cm14;m)ex-X; L
m m (2.107)
m
Удовлетворение граничных условий приводит к неоднородной
системе для определения констант Ст, решение которой заканчи-
вает решение общей задачи нахождения перемещений. Усилия и>,
напряжения затем находятся по известным формулам (см. гл. 1).
Если задача сведена к одномерной, то для ее решения могут
быть применены различные численные методы, например метод
конечных разностей, прогонки и др. Рассмотрим метод прогонки. *
Для его применения необходимо систему дифференциальных урав-
нений записать в канонической форме
у'= Ау + В, (2.108)’
где у (х) — А^-мерная искомая вектор-функция; А — матрица
правых частей канонической системы; В — вектор внешних воз- ‘
действий. Граничные условия на концах отрезка интегрирования
запишем также в векторной форме. Пусть N — четное. Тогда
а1У(0) = Ь! при х = 0, а2у(а) = Ь2 при х = а, (2.109)
где Д1 и а2 — матрицы N/2xN; bx и Ь2 — У/2-мерные векторы.
94
Идея метода состоит в сведении краевой задачи к решению
ряда вспомогательных задач с начальными условиями — задач
Коши. Для решения последних может быть использована стан-
дартная процедура метода Рунге—Кутта или его модификаций.
Решение краевой задачи (2.108) при условиях (2.109) ищем
в виде
N/2
У=^Сл+у„ (2.110)
/=1
где у* — решение задачи Коши для заданного, неоднородного
уравнения (2.108), удовлетворяющее при х = 0 заданным неодно-
родным условиям (2.109); г,- (/ = 1, 2, ..., N/2) — полная система
линейно-независимых решений задачи Коши для соответствую-
щего (2.108) однородного уравнения, удовлетворяющих при х = 0
соответствующим (2.109) однородным граничным условиям. Общее
решение, таким образом, записанное в форме (2.110), удовлетворяет
заданным граничным условиям при х = 0 при любых значениях
постоянных Cj. Значения этих констант определяются из условия
удовлетворения граничных условий на другом конце отрезка ин-
тегрирования х = а
N/2
L Cza2zz + а2у$ - Ь2 = 0. (2.111)
При машинной реализации изложенного метода решения z/(
линейно-независимые при х = 0, в результате ошибок округле-
ния могут оказаться при х = а близкими к линейно-зависимым
векторам, в результате чего матрица системы (2.111) окажется
плохо обусловленной. Возможен также чрезмерный рост)'реше-
ния Zj в процессе интегрирования. Для предотвращения аварий-
ного останова машины по этим причинам решения z;- должны под-
вергаться время от времени ортонормировке, т. е. преобразованию
в ортонормированный базис в Af/2-мерном пространстве (метод
С. К. Годунова).
Отрезок интегрирования разбивается точками х, на отрезки,
длина которых должна быть тем меньше, чем хуже обусловлен-
ность матрицы А канонической системы уравнений. Сначала урав-
нения (2.108) интегрируются на участке от 0 до хг Полученная при
х — хх система векторов z;- ортогонализируется и нормируется.
Построенную в результате ортонормировки систему векторов обо-
значим Z)1J. Вектор Y*’ получается вычитанием из вектора у* его
проекции в пространстве, базисом которого являются векторы Z)u.
Вектор Y*1’ не нормируется. Приняв далее систему векторов Z)n
за начальную (при х = х^, производят интегрирование от хх до х2.
После этого из системы векторов z^ (х2), у* (х2) аналогично полу-
чают векторы Z)2’, Y*’. Указанный процесс продолжается до ко-
нечной точки интегрирования х = а. Описанный процесс препят-
ствует «сплющиванию» системы векторов zz. Приведем формулы
95
ортогонализации (скалярное произведение обозначено круглыми
скобками)
Zx = -^-; <ou = [(Z1) Z1)]2 ;
1 '2
Z2 = — (z2 — ю21^1); G>22 [(z2> *^211 » to21 (Z2* ^1)>
U>22
\ ( k~' \
[k—i
(zft, zk) — L 4,
/=i
(2-
k
Y* = y* — S co*/,; = (j = 1, 2, . . k).
(ok/ = (zktZf) (j = 1,2,
12)
’Sf
2
При выполнении ортогонализации в точке х — х3 вырабаты-
вается треугольная матрица Q<s), состоящая из чисел (Ор^:
/coM)...coV?^\
/ 0 (022 > • • • 4V (0*2 |
Q<s) =
(2.113)
0 0 ... сой 4^
0 0 ... 0 1 ,
В конечной точке отрезка интегрирования х — а путем под- *
становки общего решения (2.110)
N/2
У(а) = ^С^2(ГЧа) + \^а) (2.114)1
/-1 41
в граничные условия при х = а из получающейся системы линей-
ных алгебраических уравнений находятся коэффициенты С;т). -
При обратном ходе численные значения решения могут быть най-
дены во всех промежуточных точках ортогонализации xs по фор- •;
муле
N/2
y(*s)=I CPZ/W + Y*^)- <2Л15> ;
Коэффициенты C;s) определяются рекуррентно через C-s+1> ;
при помощи матрицы S<s+1). Если составить из коэффициентов C)s) -
и единицы вектор C(s) следующим образом C<s) — (Cis), С^\ ...,
Cyv/2, 1)т, то рекуррентные соотношения для C/s) примут вид
Q(s+i)c(s) = C(s+i> (2.116)
96
Таким образом, C(s) определяются через C(s+1) решением системы
уравнений с треугольной матрицей. Описанный метод обеспечи-
вает хорошую устойчивость решения системы уравнений типа
(2.108) практически любого порядка при надлежащем выборе
длины отрезка ортогонализации.
Вместов метода,аналогичного методу Бубнова—Галеркина,
описание которого было приведено, для приближенного расчета
многослойных пластин можно применять метод Ритца. Для этого
решение (2.79) следует внести в выражение для полной энергии Э,
являющейся суммой потенциальной энергии деформации (1.34) и
потенциала внешних сил (1.35). Затем следует выписать соотно-
шения метода Ритца
= 0- — = 0- —дЭ = 0.
dUkjm dVkjm и’ dWk;m
(2.117)
Полученные соотношения представляют собой алгебраическую
систему для определения Ukjm, Vkjm, Wk/m. Эта система является
системой в конечных разностях того же типа, что и при применении
метода Бубнова—Галеркина.
Рассмотрим еще один метод расчета, учитывающий специфику
многослойной конструкции и, в частности, характер гипотез,
принятых для описания ее деформирования. Пусть пластина
имеет регулярное строение. Основные уравнения запишем в век-
торной форме (2.81). Искомые n-мерные вектор-функции uk (и —
число жестких слоев) представляем в виде линейной комбинации
п векторов, образующих систему линейно-независимых ортого-
нальных векторов и обладающих свойством полноты в том смысле,
что любой вектор рассматриваемого n-мерного пространства мо-
жет быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов.
Другими словами, выбранная система векторов составляет базис
в рассматриваемом n-мерном пространстве, и любой п-мерный
вектор, в том числе и иь может быть разложен по этому базису.
Решение представим в виде
п
U*= S &/(*,!/)% (*=1,2,3). (2.118)
Если в рядах (2.118) сохранить все члены, то метод можно
отнести к группе точных методов; при ограничении членов ряда
(2.118) получим приближенные решения. Перепишем (2.81) в сле-
дующем виде:
/ 1—v д2 \ _ с , 1+у А. । уС
V дх2 + 2 ду2 )U1 XL°U1 + 2 дхду +дх Г1’
/ д2 । 1 — v d2 \ . 1 -|- v d2iii . л dus . . n ,. n\
Г- IF) “2 ~ xC°U2 "I 2~ дхду +кС2 dy — f2; (2.119)
yA Au3 £Cou3 — х<\ Au3 — хОг =
4 В. В. Болотин 97
где введены матрицы
/1 1 О О...О
/1 2 1 О...О
Cj = |o 1 2 1...0
ООО О...1
(2.120)
Граничные условия запишем также в векторной форме
S 24m — 0 при ха = Ха12- (2.121) ..
т
Приведем альтернативные граничные условия (х ж const)
+ (2.122)
Систему векторов ф/( входящую в решение (2.118), можно вы-
брать по-разному, но требования, предъявляемые к этой системе, -
должны быть выполнены. Например, в качестве системы векторов
фу можно взять формы собственных колебаний цепочки, состоящей .
из п одинаковых масс, соединенных пружинами одинаковой жест- -
кости. Для случая, когда наружные слои не закреплены, в каче-
стве фу можно взять
fc-i; *,/»(-1)'“[з1п<Ц2^ + 51„.Е1]
(г=1, 2. ... /1-1). (2.123)
Эти векторы удовлетворяют уравнению ;
Соф8 - «мЬ = 0, (2.124)
где
®s = sin9^7-T (s = 0. b---, «-!)• (2-125)
—f— 1
Для этой системы векторов выполняются условия ортогональности
(скалярное произведение обозначено круглыми скобками)
(Ф/, Ч>*) = 0 (/ + k)-t (Софу, фА) = 0 (/ + k). (2.126)
98
Кроме того,
(С0Фь фй)
(Фь Фл)
(2.127)
Подставим (2.118) в уравнения (2.81) или (2.119) и граничные
условия (2.121) и потребуем, чтобы выполнялись следующие усло-
вия разложения по введенному базису:
' ® _я_
.«=i
L Lp? 2 gqj^l— fp > M’s = О
. L«=i /=i J /
(р = 1, 2, 3; s = 1, 2, ..., n);
(2.128)
3 n
S 2 S gq№
9=1 /=1
M’s ) = 0 при Xa= Xal.2
(s=l, 2, .... n; r=l, 2, 3, 4).
(2.129)
Для уравнений (2.119) из (2.128) получим
d2gis 1—V d2gis , 1 + v d2g2S _ 2 . VI о _______
dx? ** 2 dy2 ** 2 дх dy wsASis-Г X P2/S dx
dgsf
, i —v a2g2s i + v a2gis _ 2 । у, R dg3j __ f .
dy2 r 2 dx2 ** 2 dxdy ш»Хв25 Г X Pz/s dy /2s.
/_1 (2.130)
yA Ag3s + ©s&ss — X 2 0VS A^3s “x S ^/s + = ^3s
/=1 1^1
(s = 1, 2, .... n),
где
fi =MjA). f (ffe> M’s)
Pa,s (ф5, ф5) ’ lks (ф5, ф5)
(2.131)
Выпишем граничные условия для края х = const:
|'тг + ’»6г-.'-г>' О+-^-)
(П п Л
ч + <2 ~ v) — х S ^2/sgl/ — х S ^1/s ~дх~
i=i j=i
4*
Sg3s = 0;
+ <2-132)
99
Полученная краевая задача для уравнений (2.130) с гранич-
ными условиями типа (2.132) проще исходной краевой задачи, и,
кроме того, она допускает приближенное решение при ограниче-
нии числа членов в разложениях (2.118). При этом следует обра-
тить внимание на имеющуюся особенность ограничения членов
в (2.118). Для Uj и и2 необходимо удерживать члены с антисимме-
тричными векторами, если для и3 удержаны симметричные век-
торы, и наоборот. Вообще, по четности происходит разделение, и
задачи о симметричном и антисимметричном деформировании
можно решать раздельно. Отметим, что описанные методы с неболь-
шими изменениями могут быть применены и для других вариантов
исходных уравнений, приведенных в гл. 1.
2.5. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МНОГОСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЯХ
При расчетах многослойных конструкций большое значение
имеет определение напряженно-деформированного состояния -
вблизи заделок, мест резкого изменения нагрузок и параметров
конструкции. Это приводит к необходимости изучения быстро-
меняющихся состояний типа краевых эффектов. При этом искомое
решение строится на основе частного решения, справедливого
для внутренней области. Влияние границ учитывается добавоч-
ным решением, затухающим при удалении во внутреннюю область.
Исследование краевых эффектов состоит в непосредственном иссле-
довании корней характеристического уравнения и построении
частных решений, соответствующих этим корням. На их основе
ищется решение, содержащее необходимое число постоянных для,
удовлетворения граничных условий. Данный метод позволяет,
классифицировать краевые эффекты и указать системы нагрузок, _
приводящих к их реализации.
Рассмотрим краевые эффекты в многослойных плитах регу- ‘
лярного строения [54]. Уравнения, описывающие краевые эффек-.
ты в пластинах у края х = const, имеют вид -;
uk, хх + X [(ий+1 — uk + “’ft+l. х 4“ wk, х) ^kn ~~
— (uk — uk^ ф- wk) х -|- wk_lt х) Ли] — 0;
(2.133).
ywk, хххх - £ [(uyfc+1 — wk) — (wk — а^) —
~ X [(UH1. x — uk, x + S’ft+l, xx + xr) Лл« +
4“ (uk, X.— uk-l, x 4- wk, XX 4- wk-l, xx) Ли] = 0-
Безразмерные переменные, входящие в эти уравнения, опре-;
деляются согласно (2.76). Индексы после запятой означают диф-"
ференцирование по этим переменным. Обратим внимание на то,"
что уравнения (2.133) являются однородными. Фактически можно
100
считать, что выделено частное решение неоднородной системы и
внесены соответствующие поправки в граничные условия. Подста-
новка в (2.133) решений вида
= wk^WkeKx (2.134)
*2£4 + X l(t/4+i - Uk + KWk+1 + KWk) -
- (*4 - uk-i + ^wk + ^*-i) n*il = 0;
- 5 [(rA+1 - Wk) - (Wk - Г)й] - (2.135)
X l(^*+i — MJk + %2^+i + ^a) Лап +
+ (Wk - + KWk + X2^) t]H]^ 0.
При отыскании характеристических показателей систему (2.135)
можно заменить двумя системами, соответствующими симметрич-
ному и антисимметричному деформированию плиты относительно
ее срединной поверхности. При симметричной деформации
^A = -^-A+i; </а = £/„_а+1; (2.136)
при антисимметричной деформации
Wk = Wn_k+1-, Uk^-Un_M. (2.137)
Для пластины с нечетным числом слоев п — 2т + 1 для
(2.136) Wm+i = 0, а для (2.137) Um+1 = 0. В зависимости от чет-
ности числа слоев и характера деформирования относительно
срединной поверхности можно выделить четыре различных случая.
Для k < т во всех случаях справедливы уравнения (2.133). Пусть
число слоев четно. Тогда для (2.136) при k = т имеем
wum U т-1 + 4^4- ^т-1)] = 0;
?XWm + С (ЗГт - W^) - X [X (Um - Um_]) + м (Wm - W^] = о,
(2.138)
а для (2.137)
мит - X [3^ - - X (Wm - HUI = 0;
+ £ (Win - W^) - x [—X (Um 4- Um_J + X2 (3Wm + rm_i)]=o.
(2.139)
При нечетном числе слоев для (2.136) получим
X2t/m - х [2Um - - X (Wm+1 - W^)] = 0;
Y^m+i + 2£ (Wm+1 - Wm) + (2.140)
+ x [2Wm - 2X2 (Wm+1 + 1FJ] = 0,
а для (2.137)
MUm+i ~ X [2 (Um+1 - Um) 4- 2%wm] = 0;
yXiWm + ^(2Wm-Wm_1)-
-X^(^m+i-t/m-1) + ^(2^4-«7m-1)l = 0. (2.141)
101
Характеристическое уравнение можно получить двумя спосо-
бами. В первом случае решается разностная система, для чего
вводится параметр р
l/* = l/p*; Wk = Wpk. (2.142)
Обозначив ц = р + р-1, а затем введя дополнительное обозна-
чение р = 2 + 2РХ2, из условия существования ненулевого ре-
шения для U и W получим
4£хР2 - 2р (п - X - - (У^2 - 4%) = 0.
Для каждого корня этого уравнения имеем
Р/1,2 = 1+₽/ ±/р/(РУ + 2);
_ UU) 2ХХ/₽;(р/+2)
F(.j - Л»Ч-2хР; •
Решение для Uk и Wk запишем в виде (pyj = р,)
Uk = Cit/(i)pi Сг^<1)Р1к -р Сз{/(2)Рг + С41/(2)р2*;
IF* = Ci IF(i) pf C2lF(i)pi* + C3lF(2)p2ft + C4IF (2>f^* •
(2.143)
(2.144)
(2.145)
(2.146)
Постоянные Cs находятся из граничных условий при k = 1
и одного из выражений (2.138)—(2.141). Равенство нулю опреде-
лителя однородной системы для С/ дает характеристическое урав-
нение для определения X, которое нетрудно выписать, используя
(2.133) при k = 1, уравнения (2.138)—(2.141) и вид решения (2.146). -
. При численной реализации указанного подхода встречаются
определенные трудности, связанные с тем, что характеристические "
показатели X, а следовательно, и р, р, U^, W(/), а также постоян- ,
ные С, в общем случае являются комплексными.
Более- просто уравнение для определения характеристических
показателей выводится для (2.138)—(2.141) из условия существо- '
вания ненулевого решения системы для Uk и Wk. Характеристиче-
ское уравнение получается при этом в виде равенства нулю опре-
делителя, члены которого зависят от X. Выпишем виды этих опре-
делителей для четного числа слоев п = 2т
X2—X X 0 •••° 0 Хх Хх 0 ... 0 0
х X2—2Х X ...0 0 —Хх 0 хх ... 0 0
0 X М-2Х...0 0 0 -хх 0 ... 0 0
0 0 0 . • X X2-2х±х 0 0 0 —Хх ТХх
Хх -Хх 0 . .0 0 Т>Х‘-Н-Х2Х -:-Х2х 0 0 0 = 0.
Хх 0 -Хх. .0 0 -:-Х2х Т>Х<+2£-2Х2Х -:-Х!Х •• 0 0 *
0 Хх 0 . ..0 0 о -:-Х2х ?Х‘+2Е-2Х2Х-- 0 0 -
о о о ..Дх тхх о о
о ...-С-Х2х тм+
±(£+х«х)
(2.147) :
102
Верхний знак в (2.147) относится к симметричной деформации
(2.136), нижний—к антисимметричной (2.137). Раскрывая опреде-
литель (2.147), получим уравнение степени 6п относительно X или Зп
относительно V. Часть корней равны нулю. Они соответствуют
перемещениям плиты как жесткого целого, вращению, растяже-
нию и т. д. Их можно исключить из рассмотрения, соответственно
уменьшив число граничных условий, привлекая уравнения равно-
весия плиты. При исследовании краевых эффектов у края х = О
для области х > 0 из условия затухания решения при х-> оо
следует исключить из рассмотрения корни с положительной дей-
ствительной частью (половина ненулевых кор ней) .-Общее решение
записывается в виде
Зл—s Зл—s
S CjUk^ix-, wk = S Ctwku^lx, (2.148)
/=i /=i
где 2s — число нулевых корней.
При симметричной деформации существует два, при антисим-
метричной—четыре нулевых корня. Среди ненулевых корней
имеются действительные и комплексные. При симметричной де-
формации действительные корни соответствуют сдвиговым крае-
вым эффектам (краевые эффекты Рейсснера), а комплексные —
эффектам, связанным с поперечным деформированием мягких слоев
(краевые эффекты Сен-Венана). При антисимметричной деформации
действительные кор’ни связаны с моментными краевыми эффектами
Коссера, а комплексные — с краевыми эффектами Сен-Венана [22,
51, 54]. Поясним сказанное на примере пластины с небольшим
числом слоев.
Пример. Пусть п. = 2. При симметричной деформации отличными от нуля
являются четыре корня (С/х = Ua = 0)
V4 = n(±l ±0. ^ = ({У/4. (2.149)
Для пяти различных случаев (рис. 2.10) решения имеют вид:
a) w =
2^7- е ' (coS ~ sln + -2^
e-Tlx cos х\х;
(2.150)
б) w =-Sz- [е“Ч* (cos rjx + sin трг) — 1];
в) W —
Д) w =-
-^^-е ’l* (sin r]x-|-cosrpO;
Л4 —их
7, g— e sin rpc;
2т]2? 1
p
—e-n* cos rjx при x > 0;
— (е~ч* cos — 2) при x < 0.
103
При ф = Л/2с0 = 0,5; / —Е /Ег = 50; ЕгЮ = 2,7 параметр т) = 0,577.
Краевой эффект практически затухает (точнее, возмущение составляет 5%
начального значения) на расстоянии, равном 3,5//, где Н — толщина пластины.
При антисимметричной деформации отличны от нуля два корня
11„=±x,=±(ax<i+iL)''!.
Для приведенных численных значений Хо == 0,419 и возмущения затухают
на расстоянии 4,77/ от края. Данный краевой эффект связан с приложением
к краю уравновешенной системы моментов (рис. 2.11). Условие равновесия дает
—уХои)~Ь и = 0, что следует также из (2.135) и (2.139). Решение в данном
случае описывает неосциллирующий краевой эффект w = Л4Х^"2у—1е—^qJC.
Пусть теперь п = 3. Для (2.136) ненулевые корни определяются из урав-
нения
ул» - (3Y + 1) + + 6Х2) - Зх£ = 0. (2.152)
Для выбранных числовых данных ХЬ2 = ±0,141; Л3_в = ±0,5047 ± /0,4634.
Действительный корень отвечает сдвиговым краевым эффектам, соответствующим .
нагрузкам, показанным на рис. 2.12, а. На рис. 2.12, б приведены системы
нагрузок для остальных корней. Зона протяженности сдвигового краевого эф-
фекта для принятых числовых данных равна 14//. Отличные от нуля корни '7
для (2.137) находятся из уравнения С
У2Х6 _ Х«ух (У + 3) 4- Зу£Х2 — £х (Зу -J- 8) = 0.
(2.153) “
Для числовых данных Л, 2 = ±0,4701; Х3_в = ±0,6342 ±/0,6393. Система
Рис. 2.11
нагрузок для краевых эффектов, описи- ;
ваемых этими корнями, показана на
рис. 2.13.
Нагрузки, соответствующие различ-
ным краевым эффектам в пластине с че-
тырьмя жесткими слоями, показаны на
рис. 2.14. Аналогичная классификация..
104
Рис. 2.12
Рис. 2.13
может быть проведена для краевых эффектов в пластинах с большим чис-
лом слоев.
Одной из возможных областей приложения рассматриваемой
теории может быть обоснование испытаний образцов из слоистых
материалов. Простейшим видом испытаний является растяже-
ние образца. В образце наряду с однородным состоянием в
средней части (рабочая часть) в областях, примыкающих
к захватам, наблюдается искажение однородного состояния —
краевые эффекты, связанные с пуассоновскими эффектами
в мягких слоях. При рассмотрении данной задачи в выра-
жении для потенциальной энергии деформации мягких слоев
должны быть частично сохранены члены, содержащие ехх и еуу,
точнее, содержащие еххе22 и еууе,гг. Вместо уравнений (2.133)
получим
WA, хх + X l(M*+l — uk + Wk+1, х + wk, х) ЛАп —
- (Мй - Wk, х 4- Wk_lt х) Т|й] +
+ V ((И’й+ь X - wk, J Т]^ + (Wk, х - wk_lt х) Т|й] = 0;
W, хххх - £ 1(^+1 - Щ) Лал - К - ®А-1) Л All - (2.154)
— X ((«A+l, х - «А, х + И’а+Ь XX + И»А, хх) Ла« +
+ (WA, х — uk-l, X + wk, XX + ^A-l, хх) Лах] ~
— V [(И*+1. х + х) ЛАп - («А, х + «А-1, х) ЛА1] = 0-
Здесь
£гСд v"(l—v'2)
v — E'hs 1 — у" ’
где v' и v" — коэффициенты Пуассона материалов жестких и мяг-
ких слоев.
Решение в центральной области пластины имеет вид ик = ах\
— const. Перемещения w^ определяются из системы уравнений
- w°k) ЛАп - (ОУ* — 0У*-1) ЛА1] -v2a(T]An - ЛА1) = 0.
(2.155)
Выделяя это решение, представим решение исходной системы
в виде суммы
^ = ^ + ^1 и* = ох+ма, (2.156)
105
Рис. 2.14
где wl и ul описывают краевые эффекты. Для них справедливы урав-
нения (2.156) и граничные условия
оу*гХ = О; — w°k-t uk=—al (x=±l). (2.157)
Характеристическое уравнение отличается от (2.147) недиагональ-
ными членами, в которые входят величины ±Xv. Характер корней
при этом не меняется.
Пример. При п = 2 (симметричная деформация) получаем
/г___2v2 V/4
^1, 2 — ’loli1 ± 0; Ло = -2у---/ (2.158)
Для принятых числовых данных и v' = v" = 0,3 получим г|0 = 0,570 вместо
0,577. Решение для w вблизи края х = —I имеет вид
w =— шое”11”(л+г> [cos ijo (« + /) + sin "По (*+ 1)1- (2.159)
Зона затухания здесь такая же, как для эффекта Сен-Венана (2.149).
2.6. УЧЕТ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что материалы
слоев идеально упругие и на контактных поверхностях перемеще-
ния непрерывны. Нагрузки, действующие на конструкцию, могут
в отдельных слоях вызвать пластические деформации. При этом
принятые гипотезы об идеально упругом поведении материала
оказываются несостоятельными, и принятая расчетная схема
требует уточнения. При уточнении модели с целью учета упруго-
пластического поведения материала отдельных слоев важную
роль играют относительные механические характеристики раз-
личных слоев, их геометрические характеристики и условия ра-
боты. Существенным моментом является формулировка критериев
пластичности, выбор подходящей теории пластичности и схемы
деформирования конструкции при возрастающей нагрузке.
106
Появление ‘ пластических деформаций в многослойной кон-
струкции не приводит к немедленному исчерпанию ее несущей спо-
собности. Возможность использования имеющегося в многослой-
ной конструкции резервирования делает учет появления пласти-
ческих деформаций чрезвычайно важным. В то же время возникает
задача об определении предельного состояния конструкции. При
постановке последней задачи могут быть использованы дополни-
тельные гипотезы, характерные для задач о предельном равнове-
сии. Наметим некоторые подходы к решению данной задачи.
Учет пластического деформирования может быть выполнен
на основе различных расчетных схем. Одна из -них основана на
предположении, что пластические деформации возникают только
в слоях повышенной жесткости, в то время как материал мягких
слоев является идеально упругим. При учете возможности появ-
ления пластических деформаций сохраняются все соотношения,
за исключением уравнений состояния — связи между напряже-
ниями и деформациями. Особенностью расчета тонкостенных кон-
струкций при неупругом поведении является формулировка урав-
нений состояния в усилиях. Усилия и моменты в жестких слоях
вводятся по формулам
Л<*>/2 \*)/2
С’= J = - J ^zwdzw. (2.160)
_ft(*)/2 А*)/2
При использовании деформационной теории учитывается
зависимость между интенсивностью напряжений и интенсив-
ностью деформаций для материала данного жесткого слоя
= Ф* (е^). В качестве такой зависимости может быть ис-
пользована, например, модель с линейным упрочнением. Связь
между напряженным и деформированным состояниями в &-м жест-
ком слое можно описать соотношениями [42]
Mf’ - (sSf> + 4-ей’) + 1$ (х!Г +4 хЙ>) (1 «2|;
№ = t-/!W + 4'(M’;
- I® (elf -: 4 е"') + («!*’ +4 ”й>) (2|61>
«If - 4'1»* +4
где
А(*>/2 (ky
Л?)’= 4 f (2.162)
107
Последние величины удобно выразить через деформации сре-
динной поверхности слоя и кривизны и три параметра, ко-
торые представляют собой интегралы от интенсивности напряже-
ний и интенсивности деформаций, а интегрирование вести по ер’
[42]. При этом выражения для этих параметров существенным
образом зависят от вида состояния (доминируют ли деформации
растяжения-сжатия или деформации изгиба).
Зависимости (2.161) должны быть использованы в областях,
где нарушаются условия упругого поведения материала жесткого
слоя (оР’ < ОтА)> ер’ < ер’). Для решения задач упругопласти-
ческого деформирования многослойных конструкций могут быть
использованы методы, применяемые для решения аналогичных за-
дач для однородных тонкостенных конструкций, например, метод
переменных параметров упругости, метод упругих решений и др.
Другой подход к учету пластического деформирования много-
слойных конструкций состоит в применении модели идеально пла-
стического материала для жестких слоев и основывается на приме-
нении концепции последовательного исчерпания несущей спо-
собности отдельных жестких слоев. При этом необходимо исполь-
зовать конечные соотношения между усилиями и моментами, яв-
ляющиеся аналогом условий пластичности для тонкостенных кон-
струкций. Конечные соотношения, соответствующие определяю-
щим уравнениям (2.161), имеют достаточно сложную структуру.
Достаточную для практических целей точность (погрешность не
более 9%) дают следующие соотношения, являющиеся аналогом
критерия Мизеса:
_1_ >2 _ _|_ <)2 + 3N[»2) +
+ Mi’2 -Мп'М^ + М’2 + 2) = 1, (2.163)
где
^’ = 0;%,; (2-164)
Для многослойных конструкций с достаточно тонкими жесткими
Слоями, в которых изгибными деформациями можно пренебречь,
конечные соотношения (2.163) значительно упрощаются. При этом
в левой части (2.163) остается только первое слагаемое. При изуче-
нии локальных эффектов, когда происходит изгиб жестких слоев
без заметных деформаций их срединных поверхностей, в левой
части (2.163) следует оставить только второе слагаемое. Для одно-
мерных объектов вместо (2.163) берется зависимость, которая при-
меняется при исследовании продольно-поперечного изгиба упруго-
пластических
стержней
N&2
~N^~ +
1.
т
(2.165)
108
Если TVisP = 0 и Alisp = 0 (при осесимметричном изгибе круговых
пластин или осесимметричной деформации оболочек), то исполь-
зуются другие упрощенные соотношения, например
max[/V(ft), М(й)]= 1 (2.166)
или
д^)2+ M(k)2 = 1, (2.167)
где
ЛЯ = тах1 I (/V^M). (2.168)
I N<k) JV«.*> N<.k) J
Расчет проводится по следующей схеме. Сначала решается
задача в предположении об идеальной упругости материала слоев
и проводится проверка выполнения условий пластичности. Для
слоев, где эти условия нарушаются, принимается (2.163) (или одно
из других приведенных соотношений), и расчет повторяется. Расчет
заканчивается, когда условия пластичности для слоев, к которым
применены соотношения упругости, не нарушаются.
Для определения несущей способности многослойной кон-
струкции с успехом могут быть использованы общие теоремы о пре-
дельных состояниях. Для нахождения предельного значения на-
грузки выбирается кинематическая схема предельного состояния и
составляется уравнение баланса работ. Дополнительно должно
быть введено предположение, что и в мягких слоях достигается
предельное состояние, характеризуемое пределом текучести мате-
риала Т'т.
Пример. Определим предельную нагрузку для удлиненной в направлении
оси Оу многослойной, заделанной по краям пластины регулярного строения,
находящейся под действием сосредоточенной нормальной нагрузки, действующей
на внешний слой и распределенной по линии х — а!2 (рис. 2.15). В качестве
кинематической схемы предельного состояния примем схему с образованием
пластических шарниров во всех жестких слоях в местах заделки и н сечении
х = а/2. Составляя уравнение работ, найдем предельное значение нагрузки
(п — число жестких слоев)
Р* = + T;s(n-1). (2.169)
Еще один подход, противоположный использованному, со
стоит в предположении, что жесткие слои деформируются упруго
а пластические деформации воз-
никают в мягких слоях. В силу
того, что касательные Напряжения
поперечного сдвига по толщине
мягкого слоя в используемой мо-
дели предполагаются распреде-
ленными равномерно, при приме-
нении модели идеального упруго-
пластического тела для материа-
ла мягкого слоя данный подход
может трактоваться как учет воз-
Рис. 2.15
109
можного скольжения одного жесткого слоя относительно другого.
Это обусловлено тем, что скольжение начинается одновременно
по всему сечению мягкого слоя.
Рассмотрим одномерную задачу. Пусть пластинН, имеющая
регулярное строение, испытывает цилиндрический изгиб. Урав-
нения в усилиях запишутся следующим образом [60]:
--- о;
-j- - «‘-''ч..) - (2170)
+ ‘±1(№1ч.. + №-'Ч.) = о.
Усилия Q(*> из уравнений (2.170) могут быть исключены, а уси-
лия N^ и Ур1 и моменты М® выражены через перемещения:
= Ур] = В(шй+1-^); (2.171)
где А — жесткость на растяжение-сжатие; В — трансверсальная
жесткость; D — жесткость на изгиб.
Если материал мягкого слоя деформируется упруго, то усилия
N^ определяются по формуле
^[«>..-..+^(^4^)], (2.172)
где G" — модуль сдвига материала мягкого слоя.
Подстановка (2.171) и (2.172) в (2.170) после исключения Qw
приводит к уравнениям (2.52).
Будем считать, что пластическое деформирование возникает,
если Nxkz превышает некоторое допустимое значение N*. При этом
пластические деформации возникают одновременно по всему сече-
нию мягкого слоя. Если рассмотреть жесткий слой с номером k, то
наличие областей пластических деформаций в соседних мягких
слоях позволяет выделить для этого жесткого слоя ряд характер-
ных зон. Возможны области четырех типов: I — в обоих соседних
мягких слоях пластические деформации отсутствуют; II — в обоих
соседних мягких слоях имеются пластические деформации; III —
пластические деформации только в мягком слое с номером k\ IV —
пластические деформации только в мягком слое с номером k — 1.
Выяснить характер расположения областей указанных типов мож-
но, проанализировав решение задачи об изгибе пластины без учета
пластических деформаций в мягких слоях и распределение тан-
генциальных усилий Nx?.
НО
В качестве критерия появления пластических деформаций
в мягких слоях (или зон проскальзывания) примем условие пре-
вышения усилием N^ предельного значения V?. Если <
< У*, то деформирование мягкого слоя упругое и проскальзывание
отсутствует. В области пластических деформаций (зоне проскаль-
зывания) = Nr. При ЭТОМ ОТНОСИТеЛЬНО Nt могут быть при-
няты различные предположения. Простейшее из них: Nt — NT =
— const. Другим предположением может служить гипотеза о про-
. -Ь
порциональности NT нормальному трансверсальному усилию
Nlzk\ т. е. Nt = fN[k\ где f = const.
При получении систем уравнений для зон I—IV необходимо
в системе (2.170) заменить для данного k усилие М*1 и (или) Мг 11
в соответствии с рассматриваемым случаем значением Nt (Vt-1)-
Пусть х — x*k есть граница области проскальзывания k-vo и
(k + 1)-го жестких слоев. На этой границе должны выполняться
условия непрерывности перемещений и касательных усилий
4 = и~к; ut.x = Uk.x; Wk = Wk\ Wk,x = wk,x; (2.173)
Wk, xx — Wk, xx> Wk, xxx ~ Wk, XXXt Nxz^ ^Nt-
Знаком плюс отмечены величины, относящиеся к области пласти-
ческих деформаций (зоне проскальзывания) х > хк, знаком
минус — величины для области х < х*, где проскальзывания нет
(нет пластических деформаций в й-м мягком слое). Первых шести
условий достаточно для стыковки решений на границе х = х*к,
последнее служит для определения границы области проскальзы-
вания Х*Ь.
Заметим, что распространение описанного подхода на двух-
мерный случай не является тривиальным. Применить принцип
суперпозиции не представляется возможным. В качестве критерия
появления пластических деформаций может быть выбрано условие
достижения предельного значения N*, например, величиной
= (V^2 + Vlz]2)1/2, так что деформирование будет упру-
гим, если N\k^ < N^. Область пластических деформаций или об-
ласть проскальзывания определяется условием N\kJ — Nt-
Направление скольжения зависит от отношения N[xz!NlyZ.
Далее будем трактовать задачу изгиба многослойной пластины
с учетом упругопластического деформирования мягких слоев
как задачу об изгибе с учетом проскальзывания между слоями.
Пусть удлиненная в одном направлении пластина имеет два жест-
ких слоя и заполнитель (трехслойная пластина) и находится в ус-
ловиях цилиндрического изгиба под действием равномерной нор-
мальной нагрузки q, приложенной к слою 1. Пусть для каждого
слоя выполнены условия свободного опирания, Если проскальзы-
Ш
ванне отсутствует, то система (2.170) в перемещениях записывается
в безразмерном виде
vnyiv—(пу2 _ + х [«; -+ w;+w“2] = 2<?;
+ t, (w2 - wj + X [U2 - + w'; 4- w"2] = 0;
«I + x («2+ “0 = 0; (2.174)
«2 - X («2 - “1 + W1 + Wt) = 0 •
Безразмерные величины введены согласно (2.76). Кроме того,
введено обозначение для безразмерной длины пластины L = 11с0
в направлении оси Ох. Штрихи означают дифференцирование
по х. На краях пластины должны выполняться условия
w1 = w2 = w"1== w"2 = и[ — и'2 = 0 при х = ± L. (2.175)
Введение новых переменных, аналогичных (1.101), приводит
к уравнениям
ya>IV + 2Х (ц + аГ) = q\ и -|- 2% (и а/) = 0; (2.176)
и0" = 0; уа>°IV 4-2£а>° = — q (2.177)
и условиям
w = w" = w° = w°" = и' = и0' — 0 при х = ±L. (2.178)
Решение системы (2.177), удовлетворяющее (2.178) и условию
отсутствия смещения как жесткого целого:
0 _ q / . ch PLcos 0Lch pxcos flx + sh 0L sin 0Z, sh sin
2£ V ~ ch2 PL cos2 pL 4-sh2 pz, sin2 pZ, Г
(2.179)
u° = 0; P4 = £/2y.
Общее решение (2.176) записывается в виде
w = Ci cos т]% 4- с2х? 4- С3 4-
и = — Ctf т] sin т]х — 2С^х 4- м*. (2.180)
Параметр т] и частное решение (2.179) определяются следующим
образом:
n = (2zl±lf; = +
Удовлетворяя условиям (2.178), найдем
с =. г = _ я Г La । у8 4- 2? — 1 1.
1 2т]4(у4-l)ycos i]L’ 2 2(T-f-l) L 2 + 4X (у +1) J ’
С = 5 ___________, о2ч
24 ?4-1 + 4х(у + 1) 4х2(у+1)2,
Полученные решения позволяют определить распределение
сдвиговых и нормальных усилий в направлении оси Ох. С учетом
(2.171) и (2.172) получим для безразмерных усилий выражения
NXi = u-\- w'; N; = (2.183)
112
Й„/*т
Пример. Зависимость усилия NxzINt для пластины с параметрами у = 1/12,
X = 0,00675, L = 100 приведена иа рис. 2.16. В качестве критерия отсутствия
проскальзывания принято условие < .VT. Нагрузку q, соответствующую
достижению значении Мт, обозначим q* (кривая 2). Кривая / соответствует
q < q„ кривая 3 — q > qt.
Исходя из решения задачи об изгибе пластины без учета про-
скальзывания, найдем, что области проскальзывания при q > q*
располагают у краев пластины х* < |х| < L, где х* — граница
области проскальзывания, подлежащая определению. В данном
случае можно ограничиться только рассмотрением и и w. Для
зоны | х | < х* перемещения и и w удовлетворяют условиям (2.178),
а для х* < | х | < L имеем _
ytt>+1 v = q‘, и+" 4- 2%NT — 0. (2.184)
Решение (2.184), удовлетворяющее условиям свободного опи-
рания при х —
«+--2хЛ7т-^5^- + В3.
Константы Clt С2, С3, Въ В2, В3 и координату х* найдем из
условий (2.173). Для определения х* получим уравнение
tgv* = [^4~ n(v + i)] X
Г1 . (L — х*)х*3 „*ч «/V+1 . 1 \ ,
Х[27+3-------+ (L-x*)x* +_J +
+ (Л )2 ~ (L ~x*) H2 (? + !) ^ Г • (2.185)
Пример. Дли плиты с выбранными параметрами зависимость границы зоны
проскальзывания от qlNT показана иа рис.2.17. При проскальзывании проис-
ходит перераспределение напряжений в слоях. Это перераспределение опреде-
ляется полученным решением. На рис. 2.16 приведен пример изменения за-
висимости (кривая 3) при учете проскальзывания (кривая 4). В результате
решения данной задачи можно определить также и распределение перемещений
по длине х и относительное проскальзывание.
113
ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ слоями
3.1. ИСХОДНЫЕ допущения.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Рассмотрим упругую многослойную конструкцию с криволи-
нейными слоями. Число слоев считаем произвольным. В зависи-
мости от характеристик материала слои разделяем на мягкие и
жесткие (см. гл. 1). Считаем, что жесткие и мягкие слои переме-
жаются. Для большинства используемых на практике материалов
и конструкций это предположение справедливо. Кроме того,
как уже было отмечено в гл. 1, совокупность соседних жестких
или мягких слоев можно заменить одним слоем с приведенными
характеристиками. Считаем, что каждый слой тонкий или средней
толщины (по принятой в классической теории оболочек класси-
фикации), в то время как толщина всего пакета в общем случае
малой не считается. Срединные поверхности слоев и поверхности
контакта между слоями считаем эквидистантными.
В зависимости от геометрических размеров, в частности, от
отношения характерной толщины жесткого слоя h к характерному
минимальному радиусу кривизны срединной поверхности слоя R
и от отношения толщины к характерному масштабу изменения
напряженно-деформированного состояния X на срединной поверх-
ности, а также в зависимости от соотношения между упругими
характеристиками и геометрическими размерами (толщинами от-
дельных слоев) для описания деформирования многослойной кон-
струкции с криволинейными слоями, в частности жестких и мягких
слоев, могут быть приняты различные гипотезы. Одним из про-
стейших является случай, соответствующий тонкому жесткому
слою (h/R 1; /i2/X2<; 1), связанному с относительно податливыми
на сдвиг и поперечное деформирование мягкими слоями. В этом
случае вводится предположение, что для описания деформирова-
ния жестких слоев может быть использована гипотеза классиче-
ской теории тонких упругих оболочек — гипотеза Кирхгофа—
Лява. Другой подход — применение для описания деформирова-
ния жестких слоев одной из уточненных теорий оболочек, учиты-
вающих поперечные сдвиги. Простейшим вариантом такой уточ-
ненной теории является теория, основанная на гипотезе о равно-
мерном распределении поперечных сдвигов (обобщение теорий
С. П. Тимошенко для стержней на оболочки). Согласно введенной
гипотезе считается, что элемент нормальный к срединной поверх-
114
ности до деформации, остается прямолинейным, но не перпендику-
лярным к деформированной срединной поверхности, длина эле-
мента при этом не меняется. Именно эту теорию будем использо-
вать в случае, когда жесткий слой можно считать оболочкой сре-
дней толщины, или когда масштаб изменения напряженно-де-
формированного состояния в слое сопоставим с толщиной слоя, или
наконец, когда жесткости слоев на сдвиг становятся сопостави-
мыми.
Простейшим вариантом теории, учитывающей неравномер-
ное распределение поперечных сдвигов, служит распространение
на оболочки подхода, использованного для пластин (см. гл. 1).
Возможно также использование других подходов, применяемых
для однослойных оболочек.
Слои пониженной жесткости осуществляют связь между жест-
кими несущими слоями и работают в основном на поперечный
сдвиг и трансверсальное деформирование. Именно эти виды де-
формаций будем учитывать для данных слоев. Для оболочечных
многослойных конструкций в совокупности тонких или даже сред-
ней толщины, особенно при большом масштабе изменения напря-
женно-деформированного состояния, а также при относительно
тонких мягких слоях по сравнению с жесткими трансверсальным
деформированием можно пренебречь. Для толстостенных много-
слойных оболочек при наличии весьма податливых в трансверсаль-
ном направлении мягких слоев, а также при изучении локальных
эффектов деформирования в многослойных системах учет попереч-
ного деформирования необходим. Поперечным деформированием
можно пренебречь, если мягкие слои анизотропные и их жесткость
в направлении, нормальном к срединной поверхности, много
больше жесткости в тангенциальном направлении и жесткости на
поперечный сдвиг.
Перечисленные гипотезы являются фактически аналогами ги-
потез для многослойных конструкций с плоскими слоями. Для
конструкций с криволинейными слоями вводятся дополнительные
только для них предназначенные гипотезы, касающиеся измене-
ния метрических характеристик срединных поверхностей слоев.
При переходе от одного слоя к другому метрика срединных по-
верхностей меняется незначительно, так что для достаточно тон-
ких многослойных оболочек этим изменением можно пренебречь.
Для толстостенных многослойных оболочек и для массивных много-
слойных тел учет изменения метрики срединных поверхностей при
переходе от одного слоя к другому необходим. Это один из сущест-
венных моментов теории многослойных конструкций с криволи-
нейными слоями [47].
Примем также предположение о малости перемещений точек
срединных поверхностей жестких слоев по сравнению с толщи-
нами этих слоев, которые в свою очередь малы по сравнению
с минимальным радиусом кривизны слоев (перемещение как жест-
кого целого исключаем).
115
Используем тензорные обозначения. Это позволит в компакт-
ной форме дать вывод основных соотношений и уравнений. Окон-
чательные уравнения и соотношения запишем в физических пере-
менных. Примеры расчетов также будут даны в физических пере-
менных. Приведем основные сведения из теории тензоров и теории
поверхностей.
Положение точки в трехмерном пространстве может быть за-
дано тремя криволинейными координатами х1, х2, х3. Метрика
выбранной системы координат характеризуется расстоянием ds
между двумя смежными точками пространства
ds2 = gjk dx! dxk. (3.1)
Здесь и в дальнейшем использовано правило суммирования по
немым индексам /, k = 1, 2, 3 (один — нижний, другой — верх-
ний). Совокупность элементов gjk = gkj определяет метрический -
тензор пространства. Если система координат ортогональная, то -
gjk = 0 (/ =(= k), gjj = Н2, где Hj — параметры Ламе (по / не сум-
мировать). Для прямоугольной декартовой системы координат
gjk = б/*, где 8jk — символ Кронекера. _
Пусть переход от одной системы координат к другой осущест- '
вляется по формулам
xi = х/(х1, х2, х3). (3.2)
Функции (3.2) предполагаются взаимно однозначными и Непрерывно
дифференцируемыми. Величины, остающиеся неизменными при
преобразовании, называются скалярами или инвариантами. Сово- ~
купность величин р1, р2, р3, преобразующихся при переходе к но-
вой системе координат по закону
Mi
называется контравариантными компонентами вектора, а сово- А
купность величин plt р2, р3, преобразующихся по закону
называется ковариантными компонентами вектора. Аналогично j
определяются контравариантные, ковариантные и смешанные
компоненты тензора второго ранга J
—,ь дх1' дхк tm - дх1 дхт дх1 дхт ,
<3JS>
Дифференциалы криволинейных координат преобразуются по
правилам преобразования контравариантных компонент вектора
. dxi . ь
dxi — —г- dxk.
дхк
(3.6)
116
В формулу (3.1) входят ковариантные составляющие метриче-
ского тензора. Контравариантные компоненты могут быть най-
дены из условия gjig‘k — бу, где бу — тензорная запись символов
Кронекера. Переход от одних составляющих к другим осущест-
вляется при помощи метрического тензора
Pi^gjiP1', P! = gilPi-, Pjk = 8ngkmPkm\ • • • (3.7)
В правилах дифференцирования векторов и тензоров учиты-
вается изменение метрики при переходе к смежной, бесконечно
близкой точке. Ковариантная производная от вектора представ-
ляет собой тензор второго ранга с составляющими
= (3.8)
' ox dxR
Здесь Гу* — символы Кристоффеля второго рода, которые выра-
жаются через компоненты метрического тензора следующим обра-
зом:
1 -Jm I dgjm [ \ /о п\
(3‘9)
Контравариантные производные вводятся с использованием
правила поднятия и опускания индексов (3.7)
V*Py = g^iPf, W = gklV(Pl- (3.10)
Приведем также правила дифференцирования тензора второго
ранга
^mPjk ~ ---FjmPik — ГkmPjii
Xik (зи)
+ Г‘”Р/! *
dxm
Для ортогональных криволинейных координат часть символов
Кристоффеля обращается в нуль; ненулевые — выражаются через
параметры Ламе Н{ (по индексам не суммировать):
r/‘=rt<=T^; г«=-^ <'**>• <зл2>
/ ил и & ил
Элемент объема в криволинейных координатах
dV ^Vgdx1 dx2 dx3, (3.13)
где g — определитель метрического тензора gjk (псевдоскаляр).
В механике обычно используются физические составляющие
векторов и тензоров, которые, вообще говоря, не совпадают с кова-
117
риантными и контравариантными составляющими. Связь между
ними дается формулами (физические составляющие обозначены
звездочками)
P*T = ir; = HiPh’ Р^--^-Н1Нкр‘к = т^Р^ (ЗЛ4)
Тензорный анализ является естественным средством для опи-
сания внутренних свойств поверхности и свойств евклидова про-
странства, окружающего эту поверхность. Положение точки на
поверхности, находящейся в трехмерном евклидовом пространстве,
определяется при помощи криволинейных координат х“, где а =
= 1,2. Внутренние свойства поверхности характеризуются двумя
фундаментальными тензорами. Первый фундаментальный тензор ;
аар, называемый метрическим тензором поверхности, аналогичен
тензору gjk в трехмерном пространстве. Его элементы вводятся
как коэффициенты в выражении для расстояния между двумя
смежными точками, взятыми на поверхности:
ds2 = <zap dx01 dx&. (3.15) "
При помощи этого тензора устанавливается связь между кова- ;
риантными и контравариантными составляющими векторов и тензо- ’
ров, заданных на поверхности
= Pap = aaiia^v; . . . (3.16) .
Элемент площади поверхности
dQ = ]/adx1dx2, (3.17) ?
где а — определитель метрического тензора.
Тензорное дифференцирование выполняется, как в трехмерном $
пространстве; в отличие от формулы (3.8), суммирование идет от
1 до 2
V₽Pa = ^--r^; Vpp“ = -g- + r^/, (3.18) ;
где Гар —- символы Кристоффеля второго рода на поверхности,
которые выражаются через компоненты метрического тензора
по аналогичным формулам; при этом компоненты g/k заменяются г
на Оцр, индексы — на греческие, суммирование проводится по ин- >
дексам 1, 2. Дифференцирование тензоров проводится по форму-
лам (3.11), в которых суммирование идет по индексам 1, 2.
Формула Гаусса — Остроградского записывается следующим
образом:
[ Vaua [/adx1 dx2 = [ ц“па dr, (3.19) .
Я Г ;
где па — вектор внешней нормали к контуру Г. >
118 |
Если область ограничена четырьмя отрезками координатных
линий, то nadr = sap dx&, где — антисимметричный тензор на
поверхности (sn = s22 = 0; $12 = —s2l = У"а).
Второй фундаментальный тензор поверхности (тензор кривизны)
Ьар связывает нормальную кривизну кривой, принадлежащей
поверхности, с компонентами единичного вектора касательной к
этой кривой ta
(3.20)
Экстремальные значения кривизны (главные кривизны и k2)
являются корнями характеристического уравнения
I — ^Цхр | — 0- (3.21)
Соответствующие направления на поверхности называются глав-
ными, а линии, которые в каждой точке касаются главных на-
правлений, называются линиями кривизны. Линии кривизны
образуют ортогональную систему координат на поверхности и ча-
сто используются при рассмотрении частных задач. Инварианты
Н = (^i -р- &2)/2 и К. = krk2 называются средней и гауссовой кри-
визной соответственно. Компоненты тензора кривизны удовле-
творяют тождествам Гаусса—Кодацци
^аР^ац ^ац^рх = aXv Г«р - Гац^.
V^op = Vp&aX. (322)
Кроме рассмотренных фундаментальных тензоров поверхности,
иногда удобно ввести еще так называемый третий фундаментальный
тензор поверхности
сар = ЬауЬ"$ = а? Ьа11Ь$у. (3.23)
При рассмотрении евклидова пространства, окружающего по-
верхность, используем следующую систему координат: в качестве
двух координат примем криволинейные поверхностные координаты
х“ (а = 1,2), а третью координату х3 будем отсчитывать по нор-
мали к поверхности. При этом рассмотрим достаточно тонкий слой,
примыкающий к поверхности. Вектор нормали направим от центра
положительной кривизны. Компоненты метрического тензора
рассматриваемого пространства определяются по формулам
(2 = х3)
go$ — аар + 2zfeap 4' z2^; ga3 = 0; gS3 = 1. (3-24)
Для элемента объема имеем
dV = Va (1 4- 2zH 4- г2К) dr1 dx2 dx3. (3.25)
Если рассматривается тонкий слой |z| < R, где R— мини-
мальный радиус кривизны поверхности, то при операциях над
векторами и тензорами, заданными в этом слое целесообразно
относить их к метрике поверхности. Связь между компонентами
119
вектора Pj в точке z =j= 0 и его компонентами pt, отнесенными на
поверхность z = 0, дается соотношением
р = р^ == р^.
Здесь ez — единичные векторы в точке z 4= 0: ez — соответствующие
единичные векторы на поверхности. Между этими векторами
имеется связь
e“ = ?4-z^?; е3 = ё3.
Отсюда получаем
Pi = \Ч~Рь (3.26)
где р* — оператор сноса, представляющий собой матрицу с эле-
ментами
^ = 6^4-z^; Цза = 0; Изз=1. (3.27) ?
Для контравариантных компонентов, учитывая соотношение _
PjPk = б*, получим
р! = ^рк, (3.28) i
« . Ь
где vk — матрица, обратная по отношению к Ц/. ~
Аналогичные формулы можно получить для тензоров более 1
высоких рангов.
Пространственные тензорные производные вектора и связаны £
с поверхностными соотношениями
(VpuJo^VpVa+bafW (329) J
7 Д ) dw , v
\Vp«3,'o = ---b^vv. j
Здесь v — компоненты поверхностного вектора, образуемого на >
2 = 0 тангенциальными компонентами иа, w = и3 — поверхност- --
ный скаляр. При этом символы Кристоффеля также сносятся на 4
поверхность
ГаР = Гра = — Ьар; Гзр = Грз = bp ;
рЗ ____ра ____рЗ ____рЗ ____ л
1 33 — 1 33 — 1 За — 1 аЗ — V.
Если известны для ортогональной криволинейной системы 1
координат на поверхности параметры Ламе Н/, а также кривизны 4
и кручение координатных линий ka(i, то компоненты фундамен- i
тальных тензоров поверхности определяются следующим образом: ~
1 гг2
(1^2);
й12 = д21 = 0;
Ьп = /71^п (1 =^2); bi2 = &2i = /71/72^12;
си = 771 (^и ^12) (1^2);
С12 = С21 = 7717/ 2^12 (kn 4" ^22).
(3.31)
4®-’в11
12Q
(3.32)
Физические компоненты вектора и тензора второго ранга
даются формулами (по а и 0 не суммировать)
п* — Ра п*о — Ра$
Ра~ На’ РаЬ ~ HaHfi •
Для символов Кристоффеля на поверхности, используя фор-
мулы (3.9) и (3.11), получим выражения
_____ 1 дН& , -рсс Titt 1 дН а ,
laa~ На дха ’ —1₽а- На ’
„ Hr дНа
(пр аи p не суммировать).
(3.33)
3.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Отнесем многослойную конструкцию к ортогональной системе
координат х1, х2, х3, в которой срединные поверхности жестких,
а следовательно, и мягких слоев являются координатными х3 =
= const. Поверхности х“ = const (a = 1,2) ортогональны этим
поверхностям. Кроме того, введем для каждого слоя локальные
системы координат, являющиеся следствием параллельного пере-
носа указанной системы вдоль оси х3, с изменением масштабов
по другим координатным направлениям.
Принимая для жестких слоев гипотезу уточненной теории
оболочек с равномерным распределением поперечных'сдвигов по
толщине, после интегрирования выражений для трансверсальной
деформации и поперечных сдвигов получим
№ = (<£ + *) (#> -
Здесь Va \ изк) — ковариантные составляющие вектора перемеще-
ния точек срединной поверхности k-ro жесткого слоя; b$k} “ —
смешанные компоненты тензора кривизны; — компоненты
поверхностного вектора углов наклона нормали. Первый множи-
тель в выражении для в (3.34) представляет собой оператор
сноса (3.27).
В случае справедливости гипотезы Кирхгофа—Лява для опи-
сания деформирования жестких слоев в (3.34) вместо следует
внести
(3-35)
где Va * — символ ковариантного дифференцирования на средин-
ной поверхности k-vo жесткого слоя. Если жесткие слои являются
121
тонкими оболочками, вторым слагаемым в первом множителе
(3.34) можно пренебречь, так что
(3.36)
Компоненты деформации жестких слоев находятся по форму-
лам
= -J- (3.37)
з
Здесь Vm — символ ковариантного дифференцирования в про-
странстве, окружающем срединную поверхность k-ro жесткого
слоя. Используя соотношения (3.34) и (3-29), найдем, что с точ-
ностью до линейных членов относительно нормальной координаты
существенные компоненты деформации
(3.38)
ар ар («) ар ’ ' 7
где компоненты тензора деформации срединной поверхности
и изменения кривизн определяются выражениями
4’ = 4- №4“ + + 2Ь<^МУ,
(3.39)
- 4- (w+чй1);
. *й' - 4’+«Й1; <4 - 4- W ~ W)- (3.40)
Здесь — компоненты антисимметричного тензора вращения
вокруг нормали. Формулам для в теории однородных оболо-
чек соответствуют формулы из работ [66, 105]. В этих же работах
можно найти анализ и сопоставление различных выражений для
деформаций в теории однородных оболочек.
Трансверсальные деформации в жестких слоях по предположе-
нию пренебрежимо малы езз’ = 0, а компоненты деформации попе-
речных сдвигов при использовании уточненной теории для жест-
ких слоев определяются как
(3-41)
При принятии гипотезы Кирхгофа—Лява для жестких слоев
(5aft> = фа 0 компоненты деформации поперечных сдвигов пре- .
небрежимо малы. Кстати, именно интегрирование выражения
(3.41) и равенство = 0 привело к выражениям (3.34).
122
Для мягких слоев принимаем гипотезу линейного изменения
перемещений по толщине. Эта гипотеза позволяет выразить пере-
мещения точек мягких слоев через функции, характеризующие
перемещения и углы поворота жестких слоев, без введения до-
полнительных неизвестных функций. Из условий непрерывности
перемещений на границах слоев получим
= VW + UW = да[« + 2[fe]^]; (з.42)
где
«4й=4- [ 4м (^) + 4**‘> (- “-ТО ];
= (if1-)];
h[k1
Эти выражения по форме совпадают с аналогичными выраже-
ниями для многослойных конструкций с плоскими слоями (1.21),
с той разницей, что функции Ua} выражаются через v&\
(j = k, k 1), или в случае справедливости гипотезы Кирхгофа—
Лява для жестких слоев через Va\ (j = k, k 1) в соответ-
ствии с (3.34) и с учетом во втором случае (3.35).
Гипотеза о линейном изменении перемещений по толщине
мягкого слоя достаточно эффективна и дает хорошее приближение
для большого класса задач для многослойных конструкций.
В то же время в некоторых случаях принятия этой гипотезы недо-
статочно для описания характерных эффектов при деформирова-
нии мягкого слоя (например, локальное деформирование торцо-
вой свободной поверхности усилиями, нормальными к поверхно-
стям слоев). В этом случае следует внести уточнение в принятые
кинематические гипотезы с введением новых неизвестных функ-
ций, характеризующих отклонение изменения перемещений в мяг-
ких слоях по толщине от линейного закона (искривление нормаль-
ного элемента). Например, в (3.42) могут быть введены дополни-
тельные слагаемые
/ а2 \
+ + - -HL j &*] + • • •, (3-43)
где vla} и определяются по формулам типа(1.21); Й*1 (x1, x2),...
— вновь введенные неизвестные функции.
123
Учитывая, что линейному распределению перемещений (3.42)
по толщине соответствует равномерное распределение деформаций
поперечного сдвига, можно утверждать, что вновь введенные
функции характеризуют отклонение распределения поперечных
сдвигов по толщине мягкого слоя от равномерного. Аналогичные
слагаемые можно ввести и в выражение для чтобы учесть от-
клонение от равномерного распределения трансверсальных де-
формаций по толщине мягкого слоя. За основной вариант примем
линейное распределение перемещений по толщине мягких слоев,
описываемое (3.42).
Существенными деформациями мягких слоев считаем попереч-
ные сдвиги и трансверсальную деформацию езз1. Вычислим
эти компоненты по формулам, аналогичным (3.37). Учитывая (3.42), «
(1.21) и (3.34) и производя оценку порядков членов, входящих
в полученные выражения, после пренебрежения членами более .
высокого порядка малости придем к соотношениям для осреднен- -
ных компонент поперечного сдвига и поперечной деформации ’
в мягких слоях 4
I (0£*+1> — __ + y(ft+i) Л(Й) + 2Л[Й]
+ ; (3-44)
(3.45) s
J
Если гипотеза Кирхгофа—Лява для жестких слоев справед-1*
лива, то вместо (3.44) получаются выражения i
4? - +с><») + !
+ - <4*>) - Vrf” ’+4-HJ; (3
2c'fe = h(k) + 2cft = h(fe+i) + Л[Ь]- Д
Выражения для 8331 остаются при этом без изменения. $
Напряжения в жестких и мягких слоях упругой конструкции *
подсчитываются согласно закона Гука. При этом для жестких?
слоев выполняются соотношения для обобщенного плоского на- г
пряженного, состояния
</*>“₽ ==jt(fc)a₽ve8^6); o(ft)“3 = 2G(ft>a(ft>“₽8^); f
aW аз = 2G[V] аЦ«. a[ft] 33 = (3-47)2
124
Здесь X(fe) “₽vs — контравариантные компоненты тензора упругих
постоянных плоского напряженного состояния k-ro жесткого
слоя; G(fe) — модуль сдвига материала жестких слоев; и
GW — трансверсальный модуль и модуль сдвига материала мяг-
ких слоев; и — контравариантные компоненты метри-
ческих тензоров срединных поверхностей k-ro жесткого и мягкого
слоев. Формулы (3.47) пригодны как для изотропных, так и для
анизотропных жестких слоев.
В приложениях часто встречаются слоистые оболочки регу-
лярного строения, для которых выполняются следующие соотно-
шения:
hik)=h; Vi = s; vfe)“Pv6 = zap?6;
= G[fel = G"; c; = cl=co = 4-(ft + s). (ЗЛ8)
Использование этих соотношений несколько упрощает выражения
для перемещений, деформаций и напряжений (3.42)—(3.47).
Запишем приведенные выше выражения для перемещений, де-
формаций и напряжений в тензорных обозначениях, в физических
переменных (см. 3.1). Сохраняя для физических переменных те же
обозначения, что и для соответствующих тензорных величин, за-
пишем выражения для компонент деформаций и изменения кри-
визн, справедливые при принятии для описания деформирования
жестких слоев гипотезы Кирхгофа—Лява. Обозначим главные
радиусы кривизны срединных поверхностей, отнесенных к орто-
гональным системам координат, совпадающих с линиями кривизны,
Rx и Упростим выражения для хЦ’ в соответствии с рекоменда-
циями работы [66], используя тождества Гаусса—Кодацци (3.22) и
отбрасывая некоторые члены порядка Ь%е^. Для жестких слоев
имеем
... J dH[k) i (k.
P— 1 1 J_______*_______L_ I ____/1 ^->-9V
en ~ #(*) dX1 T dXi +
.(fe) 1 Г d ( №
12 2 [//(ft) dXl /
d ( \ 1
dx2 /]
(3.49)
X11 Я(*) + dx2
(ft) 1 / ______1 dH[k' dwW
X12 ~ H\k)H{2k) \d*idx2 dx2
i /
\ dx2
1 ’ /
— R^H[k) \~axj др
1 dH^ OwW
dH^ \
125
где
Ф1&) = ’ ---LT (1=^2). (3.50)
Для мягких слоев существенные компоненты деформации
имеют вид
с!?1 ~ (2ЛтГ' Й»'1*1’ + с><‘>) +
(3.51)
+ M“" -„(«) —+ (1 »2).
Заметим, что из (3.49)—(3.51) как частный случай при R'^ -> оо,
На’ = 1 (а = 1,2) следуют формулы для пластин, отнесенных
к прямоугольной декартовой системе координат (см. гл. 1),
Соотношения закона Гука в физических переменных запи-
шутся для данного случая следующим образом (слои упругие и
изотропные):
oil1=-Ц-1Wf>+vm А*’) - Ы!’ + ’)};
(1^2); (3.52)
ой' „й1 = ой1 = 4ll4w,
где £({.), v(fe) — модуль упругости и коэффициент Пуассона мате-
риала жесткого слоя.
3.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ многослойных
УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
При рассмотрении многослойных конструкций с криволиней- ;
ными слоями можно указать три типа оболочек: тонкие, средней
толщины и толстостенные (массивные тела). Для тонких оболочек
можно пренебречь изменением метрики при переходе от слоя к слою
и не учитывать поперечное деформирование мягких слоев. Жест-
кие слои при этом подчиняются гипотезе Кирхгофа—Лява (или
считаются тонкими мембранами). В большинстве прикладных рас-
четов для тонких оболочек могут быть использованы различные
методы осреднения с введением общих гипотез относительно де-
формирования всего пакета в целом. В частности, для всего пакета
может быть использована гипотеза Кирхгофа—Лява или гипо-
тезы уточненных теорий.
126
Для оболочек средней толщины необходим учёт Дискретного
характера работы конструкции. Жесткие слои при этом подчи-
няются гипотезе Кирхгофа—Лява. Для мягких слоев существен-
ными являются деформации поперечных сдвигов и трансверсаль-
ная деформация. В ряде случаев поперечным деформированием
мягких слоев можно пренебречь, и тогда оболочка будет работать
в соответствии с гипотезой ломаной линии. При этом для пологих
оболочек изменением метрики при переходе от слоя к слою также
можно пренебречь. Для непологих оболочек учет изменения ме-
трики желателен.
Для толстостенных оболочек учет изменения метрики при пере-
ходе от слоя к слою обязателен. Трансверсальное деформирование
для толстостенных оболочек нужно учитывать обязательно. Для
учета поперечного сдвига и трансверсального деформирования
мягких слоев можно принимать гипотезу о линейном распреде-
лении перемещений или более уточненные гипотезы. В зависимости
от характера напряженно-деформированного состояния и характе-
ристик слоев для описания деформирования жестких слоев могут
быть использованы гипотезы классической теории оболочек или
гипотезы уточненных теорий. Во многих случаях для толстостен-
ных оболочек необходимо принимать уточненные гипотезы. Раз-
витая на основе этих гипотез теория пригодна не только для тол-
стостенных оболочек, но и для массивных тел слоистой струк-
туры (например, для многослойных цилиндров и других тел вра-
щения, для толстых плит, составленных из криволинейных слоев,
и т. д.). Имея в виду практические приложения, а также тесную
связь развиваемой теории с теорией оболочек, в дальнейшем будем
все же в основном говорить о толстостенных оболочках.
Приведем вывод уравнений равновесия для многослойной обо-
лочки регулярного строения, когда для жестких слоев прини-
мается гипотеза Кирхгофа—Лява, а для мягких учитываются
трансверсальные деформации и деформации поперечных сдвигов.
Изменение метрики по толщине оболочки также будем учитывать.
Усилия и моменты для жестких слоев определяются так же,
как в классической теории тонких упругих оболочек. Для изотроп-
ных слоев
+ + W2ft)) (1.^2);
(3.53)
nW=л,(1 -vw)eW\ mW = d*(i -vw)*W (i^2),
где 4$ и хй? определяются согласно (3.49);
Л,= Dk — f . (3.54)
127
Для мягких слоев введем трансверсальные и сдвиговые усилия
(шИ&+1)_
Of». 0(« [_а_ г (ш,(w> ю(11) яГМ^-ярм" _
[ Яр1 7 Н[к1
- 2с0/?Р1-1 (Яр+1М*+1) + ЯР]оР>) Яр1"1 (1 =f*2). (3.55)
Из многослойной оболочки вырежем элемент, представляющий
собой элементарный объем жесткого слоя с номером k с прилегаю-
Рис. 3.1
щими к нему частями мягких слоев с номерами k и k — 1 толщиной
ft[ft]/2 и Л[k-1 j/2(рис. 3.1). Введем в рассмотрение ортогональный три-
едр с единичными векторами ех, ез и е„. Всеусилия отнесем к средин-
ной поверхности /г-го жесткого слоя. Считаем, что внешние нагрузки
Воспринимаются жесткими слоями. На вырезанный элемент дей-
ствуют объемные силы с равнодействующей q(ft)Н{к}H^dx^dx^.
Главный вектор и главный момент внутренних усилий, действу-
ющих на грани элемента х^ = xffl:
Np> = - (Np’eP1 + Мрер’ + Qp>*ep>) Яр> dxp>;
Мр> = (Мр’ер’ - АгёРеР’) Яр’ d*P’.
На грани хр’ = хр’ действуют главный вектор и главный мо-
мент
Np> = - (Яр ’ер’ + + QP’*eP’) Яр’ dxp>;
Мр> = (M(12ft’eP’ - М^’еР’) Я}6’ dx\kK
128
В этих выражениях Q«fe)* — эквивалентное перерезывающее уси-
лие, складывающееся из обычного перерезывающего усилия для
оболочки k-ro жесткого слоя Qa1 и дополнительных слагаемых
от сдвиговых напряжений мягкого слоя
= + + (1^2). (3.56)
На противоположных гранях хр* + dx\k} и хм* + dxzk} дей-
ствуют усилия и моменты
И -(N2fe) + ^-dX2A));
— dX‘fe>) И ~ (М^’ + •
Равнодействующие от трансверсальных и сдвиговых усилий
В k-м и k — 1-м мягких слоях, отнесенные к срединной поверхно-
сти k-ro жесткого слоя:
r[fe] ( w[fe3 (А) , 1 . И1к)
F ~ " + hW wQ
Г- X d‘Mw) M''1#' d#'-,
ft[A] Hlf1 /
где
FCfe-13 = / ep> + _L_ -^L Ql\^ + (3.57)
+г—эт w'l ww1^. '
, яр1яр1 „ яР-ЧяР-11
к = Яр>Яр> ; = яр>яр> ; ^ = /1 = 0-
Существенный вклад в общий момент дадут перерезывающие
усилия Q/fe) И усилия A'uP и ^1’
[Qp)ep> _ + (M2fe) + NW)e(nk}] H\^H^dx[k}dAk}.
Заметим, что вклад в общий момент от поперечных и сдвиговых
усилий в мягких слоях равен нулю.
5 В. В. Болотин 129
Приравнивая нулю главный вёктбр й главный момент всех
действующих на рассматриваемый элемент усилий и моментов,
получим два векторных уравнения равновесия
dx{k> + 2^2.dx^ 4. F[ft] - +
UX | С/Л2
+ q(kyH[kyHp dx[k> dx^ = 0;
л)” +^-*4*> + - QlV +
с/л|
+ (/Vi^ - N$) dx[k> dx^ = 0.
Используя выражения для N« \ F[ft] и правило диффе-
ренцирования векторов и раскладывая (3.58) по ортам, получим
шесть групп уравнений равновесия для многослойных оболочек
дадан
Н[к>Н^ [ dxt v дх2
дН\к> дН№ /г,.1
___212____Qp-Ч
ck ep-1J \
tH" Q1
H\k} If' ck QP]
яр> v*
____ N®
Яр> R^
1 d
ЯР>ЯР> dxx
1 d
яр>
Х1Г^ + 4^^+^=0(1в2);
7,- el*’ < оГ-'1^,
Д »w я[*> + *t*-u »!*”/
7,- «; es« -
r Лг IV* hm »S‘J + ‘(•-U
+ т1-Й№«-4№‘-Ч)-,Г' = 0;
"[*]
Qlfe) = Г-L (М.фЯр)) 4- + -
1 L дхг ' ” 2 ’ 1 dx2 v 12 dx2 21
____ЛШ)
dx! ™ _
yy(fe) _ N<k) I _2L--
12 21 ф /?}*=> R^
ck
(3.59)
-2);
- о.
130
Последнее конечное уравнение удовлетворяется при помощи
соотношений В. В. Новожилова [66]. Исключая из первых пяти
групп Q[k) и Q2fe) и переходя к тензорным обозначениям, придем
в результате к трем группам уравнений равновесия = Л;
= s)
“Р _ &(fc) Pv _ J_ _ tkQlk-1}**a) -
_ 4- /iQt*-11***5) -J- <7(fe) “ = 0 (a = 1, 2); (3.60)
b$N(k} “P + V<fe)M(k) ap + V‘‘> (f'feQ[ft *a 4- -
- _L (t’kNW _ ^P-U) _ з = 0>
где использованы обозначения
t'k = (aW*))1'2; ^ = («[й-и./«(й))1/2; « = /; = 0; (3.61)
= (fi« _ Cob^] a) Q[fel p; 4- cob^ “) Q[ftl p.
Вместо (3.53) и (3.55) в (3.60) введены обозначения для усилий и мо-
ментов
= M(fe>ap = x(ft)ap?s-§2-x’fe6); (3.62)
Q[fel а =
Компоненты тензора деформации и изменения кривизн (3.49)—
(3.51) не являются независимыми. Между ними существует ряд
тождественных соотношений. Последние могут рассматриваться
как условия разрешимости уравнений (3.49)—(3.51) относительно
перемещений. Эти условия являются [уравнениями совместности
или неразрывности. Они получаются из (3.49)—(3.51) путем иск-
лючения перемещений и использования соотношений Гаусса—Ко-
дацци.
На торцовых поверхностях многослойной конструкции должны
выполняться граничные условия, соответствующие закреплению
краев. Предполагая, что край совпадает с координатной поверх-
ностью х1 = const, имеем
[У^ al - 21) - y^Wk} - M*>=0;
(3.63)
У Uk + rftQ[*-u**i) + ^,^(4) ip +
v a<12
5*
131
Непосредственный вывод уравнений равновесия может быть
проведен и для толстостенных оболочек, когда для жестких слоев
принимаются гипотезы уточненной теории. Схема вывода та же,
но необходимо дополнительно ввести сдвиговые усилия для
жестких слоев
S(fe) “ = 2G(k)h(k)a(k) “эе^. (3.64)
Рассматривая равновесие вырезанного из конструкции элемента,
получим следующие уравнения равновесия:
v^W(fe) “Р + b^aS{k} р - -1- (t'kQlk}*a - -
_ ./1_+2s. “ (/'+ “ = 0;
“p - a + Va ’ - (3‘65)
__ _L (t'kNW - - qW 3 = 0;
afi + S(fe) a + h Q[ft]*a _ Ю *«) + mW a = 0.
Граничные условия для края х1 = const принимают вид
Nw al - У ДУ N^] &>« > = 0;
M(ft) al - УДУ M%}] = 0; (3.66)
\y+ s(fe)*) - /4F Q^J 8w(k} = 0.
В зависимости от характера конструкции и вида нагрузки
могут быть введены в рассмотрение дополнительные упрощающие
гипотезы. Так, если жесткость мягких слоев в трансверсальном
направлении достаточно велика, то при выводе основных урав-
нений трансверсальными деформациями мягких слоев можно
пренебречь (еУ] = 0; u(k} = а). При этом получаются уравнения
вида (3.60), в которых последняя группа просуммирована по k.
Для тонких оболочек допустимо пренебречь изменением метрики
по толщине пакета и положить
^ap == aap> == Лйл> 4 = ЛЫ> Л&/ = 1 ^kj> (3.67)
V« —V« —V«> «Э ~~ 4 —4 —4
Вводя дополнительные предположения, соответствующие поло-
гим оболочкам, получим основные уравнения в виде
VjJ2V(fe) ар _ J_ « — T)mQ[*"1] “) + ?<fe) “ = 0;
s (3.68)
aPZ?a₽ 4- VaVp^(fe)“P + -7- VafafenQtfel“ 4 ЛмС[Й"1] “) ~
-^(Т1*Л[Ь1-ЛИ^-1]) = <7(‘)3.
132
Граничные условия для края х1 = const
[ /a N(k) “* - ]/ N(k} “] = 0;
{/a Mw 11 - M(k) Ч 6ФР> = 0;
{/« [-^ (Пы<2[6] 1 + Ч + VpM(ft) 1₽ +
+-рт^-<|/“
- V S Г<2<*> 4- 4г (Г S М'*>2)
L V °22 °
= 0.
Дальнейшие упрощения получаются при пренебрежении де-
формациями нормальных элементов в мягких слоях и введении ги-
потез, соответствующих тонким пологим оболочкам:
. Vp/V(fc) ар _ ±(T)ftnQ[«a _ «) + <?(*)« = 0;
2с (37°)
+ VaV₽Al“₽ + VaQ“ =
где
п V дцй) ар. п
fe=i п-1 k=i п (3-71)
Q« = S Q[ft]a; 6=1 q3 = S 3- fe=i
Суммирование первых уравнений системы (3.70) приводит
к уравнению для суммарных усилий
Vp/V“P= 0, (3.72)
где
^=2^)» (3.73)
fe=i
В некоторых задачах следует ввести функцию суммарных
усилий
= /а'',/₽й\7?у8% — а“₽Ф, (3-74)
где /“Р — антисимметричный псевдотензор; Ф — потенциальная
функция внешней нагрузки (qa = ?аФ). Уравнение совмест-
ности, которое может быть получено путем исключения средних
тангенциальных смещений, для изотропных жестких слоев при-
нимает вид
[ДДХ - (1 - v) ДФ] = /“v/₽6WVp (&тбИ)). (3.75)
133
Аналогичное уравнение в декартовой системе координат полу-
чено для нелинейной задачи в работе [35 ]. Если зависимость про-
гиба и тангенциальных компонент вектора смещения от номера
слоя близка к линейной, то могут быть использованы уравнения,
полученные в работе [22].
Гипотезы, принятые для мягких слоев, ставят в соответствие
мягкие слои так называемым легким заполнителям в теории трех-
слойных оболочек. Излагаемая здесь теория легко распростра-
няется и на жесткие заполнители, т. е. заполнители, восприни-
мающие дополнительно еще и тангенциальные усилия. Как пра-
вило, в этом случае разделяется работа заполнителя в тангенци-
альном и трансверсальном направлениях. Соответствующий коэф-
фициент Пуассона полагается равным нулю.
Еще одно направление уточнений полученных уравнений со-
стоит в учете неравномерного распределения поперечных сдвигов,
а в ряде случаев и поперечного деформирования в мягких слоях.
В частности, может быть использована зависимость для перемеще-
ний в мягком слое вида (3.43). В этом случае получаются дополни-
тельные уравнения для функций Соответствующим образом
изменяются число и вид граничных условий.
В качестве одного из вариантов описания поведения много-
слойных конструкций типа пластин и оболочек используется под-
ход, в котором напряженно-деформированное состояние мягких
слоев описывается общими уравнениями теории упругости в пере-
мещениях или различными вариантами уточненных теорий обо-
лочек, основанных на разложении искомых функций перемещений
в ряды по ортогональным полиномам. Противоположным данному
является использование концепции абсолютно тонкого промежу-
точного слоя, работающего на поперечное сжатие и сдвиг.
Если в приведенных уравнениях положить п = 2, то получим
уравнения для трехслойных оболочек. Уравнения для двухслой-
ных оболочек непосредственно не следуют из приведенных уравне-
ний, но могут быть получены на основе использованных выше соот-
ношений. Принимаем те же предположения, что и для двухслой-
ных пластин (см. 1.5). Дополнительно считаем, что (ftx 4- h^/R <& 1,
где R — минимальный радиус кривизны поверхности приведения.
Распределение поперечных сдвигов по толщине каждого слоя счи-
таем неравномерным, т. е. справедливо выражение (1.110). Для
оболочек перемещения определяются по формулам [а не по (1.112) ]
«а’ =Уа — z($aW — — q>aVV)) (у = 1, 2). (3-76)
Выражение для деформаций сохраняет форму (1.113), но еар
и х'сф находятся по формулам
^а₽ = 4 + VfPa) + (3.77)
= -j- (Va (vp® — + Vp (v«® ~ ^6 — фа 4<V>)1-
134
Эти выражения в физических переменных имеют вид
1 dv, , 1 . w
вп "" 7/х дХ1 + ЯХЯ2 дх2 Vi + 7?! 2);
Н2 д ( v2 \ Hi д / Vi \ .
12 “ Hi дХ1 \Н2}^ Н2 дх2 \Н1 ]'
..W . 1 д I 1 dw Vi .(v)„(v)\ ,
Xlf --нГ^Д~нГ^~^Г~^ ф1 ) +
, 1 dHj / 1 dw v2 ,,.(v)„(v)\ /i-^ov
ЛТ = Г J- / J*!L _ _ ф<ЧрН j +
77j dx^ [_ H2 \ H2 dx2 T?2 / J
(3.78)
Hi д Г 1 / 1 dw____Vi___I (V) (V)')
H2 dx2 [fhXHi dxi Ri VW'
где Ha — параметры Ламе; Ra — главные радиусы кривизны.
Напомним, что оболочка отнесена к ортогональной криволинейной
системе координат, совпадающей с линиями кривизны поверхно-
сти приведения, за которую принимается поверхность спая.
Напряжения вычисляются по формулам для плоского напря-
женного состояния с учетом (1.113) и (3.78). Усилия и моменты
вводятся по формулам, аналогичным (1.117), но подынтегральные
функции должны быть умножены на множители (1 ± zIR^}. Как
и в теории однородных оболочек, слагаемыми z!Ra можно прене-
бречь за исключением выражений для усилий Уи? и Л’гГ, для
которых необходимо принять
hy hy
А^’ = j <Т12(.1 +-^)dz; W’ = j 021(1 (3-79)
0 2 0
Используя (1.117) и (3.79), связь между напряжениями и дефор-
мациями и выражения (3.78), получим явные выражения для уси-
лий и моментов через перемещения. Ввиду громоздкости их не
приводим.
Уравнения равновесия двухслойных оболочек получаются из
условий равновесия элемента оболочки, загруженного внешними
и внутренними усилиями. Эти уравнения имеют вид
> + -Й1 + -HJT. [ J ] = *
--i-Qi + 'h-o (1=2);
1 г я я» (3-8°)
~1ПГ [- яГ- + %TS£> -
Л1Л3 L uxi о*1
(Г-1.2). (1=2).
0X2 \ 0X2 / J
135
где введены обозначения для поперечных усилий
- «к [ £ +^-(ад)+
+<- Л'- - "*] (,г-2)' <3-81>
В тензорных обозначениях уравнения (3.80) записываются
следующим образом:
W“₽ + VaV₽^“₽ = <73; V^“₽-6₽Ve^e6 + <7“ = 0; (3.82)
VpS(v) “₽ + Q(V) аз + m(v) а = о (а =1,2; у = 1,2).
Граничные условия формулируются так же, как и для двухслой-
ных пластин. Приведем условия для края = const при равно-
мерном распределении поперечных сдвигов по толщине слоев.
Для свободного незагруженного края
М1?’ = МЙ) =Q! + -^1-=Уп = У21 = 0 (у» 1,2). (3.83)
С/Лд
Для заделанного края
да = с1 = у2 = -^-cpiv) = <p2V) = 0 (у =1,2). (3.84)
3.4. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Выведенные вп. 3.3 уравнения равновесия (3.60) являются урав-
нениями Остроградского—Эйлера для вариационной задачи
6J = 0; J = U + П, (3.85)
где U — потенциальная энергия деформации; П — потенциал
внешних сил.
Эта вариационная задача соответствует принципу Лагранжа,
согласно которому из всех статически возможных состояний
только для истинного положения равновесия полная энергия
принимает стационарное (минимальное) значение. Потенциальная
энергия деформации при этом определяется как сумма потен-
циальных энергий деформации жестких и мягких слоев [см. фор-
мулу (1.30)]. Для каждого слоя имеем
t/(fc) = т J + М‘*’ “₽х“р)dQ; (3-86)
uw = 4 J (—2Q[*] Чз] 4- АГ[*Мз]) dtl. (3.87)
й
Здесь энергетические усилия N<*> “₽ и моменты M<fe> “Р связаны
с обычными (3.62) следующими соотношениями:
|^(*) «₽ _ у(*) ар___________1_ frW «7 | —Ь^к}
ДО(*) а₽ = Д4<*) а₽.
(3.88)
136
Остальные усилия определяются формулами (3.62).
При вычислении потенциала внешних сил без ограничения
общности принимаем, что внешние силы и моменты приложены
к жестким слоям. Считая, что на контуре действуют изгибаю-
щий M„k и крутящий Mik моменты, перерезывающие Q(k), нор-
мальные Nnk и касательные Nlk усилия, получим
п
п = - 2 П + (_Q(k)w<k> +
k=l я г
+ Mnk^nk) + Mtk^ik) + Nnk№ + NtkvT}) dr. + const. (3.89)
Вариационный принцип Лагранжа справедлив и при принятии
других кинематических гипотез относительно работы многослой-
ной конструкции. Соответствующие изменения должны быть
внесены при этом в выражение для потенциальной энергии дефор-
мации и для потенциала внешних сил. Если для жестких слоев
принимаются гипотезы уточненной теории оболочек с равномер-
ным распределением поперечных сдвигов по толщине, то после
дополнительного введения сдвиговых усилий для жестких слоев
(3.64) вместо (3.86) получим
U(k-, = 4- J (N<*> + М(&) + S(ft) Чз’) dQ. (3.90)
я
Учитывая, что при введенных гипотезах жесткие слои могут
воспринимать кроме усилий q^ I еще и локальную моментную
нагрузку запишем вместо (3.89)
п
п = - 2 П (q(k} + rn(k} 4*’) dfi +
k=l Я
J (—Q<k)W( J + Mnk^n) 4~ Mik^i 14- ^nkvii) 4-
Г
4- NtkVik)) dr 4-const. (3.91)
Для рассматриваемого случая из вариационного принципа
Лагранжа (3.85) с использованием (1.30), (3.57), (3.90) и (3.91)
как уравнения Остроградского—Эйлера получим уравнения рав-
новесия (3.65) и соответствующие граничные условия (3.66).
При применении вариационного принципа Лагранжа в каче-
стве варьируемых функций принимаются перемещения точек сре-
динных поверхностей жестких слоев. Можно показать, что спра-
ведлив принцип минимума для смещений. Принцип Лагранжа
является частным случаем общего вариационного принципа.
Последний можно получить, переходя от несвободной вариацион-
ной задачи с дополнительными условиями к свободной, исполь-
137
зуя метод множителей Лагранжа. Если в качестве варьируемых
переменных принять перемещения ®(А), углы поворота
деформации е$, 4V, е|з], изменения кривизн %$>, уси-
лия ДМ*)£<*>“, моменты то полный функ-
ционал энергии записывается в виде
I V’ll'1!, I a(k)„(k) ( 1 h2 „(*)„,(*)\ ।
р — / j J s 2 । ]2~ ) +
k=l Q
+ Gwa^ “₽ [_ -L + v<«^> +
+ 2^>U))] - “₽ [x$ - ± (v<^> + № - e -
- T MV)] - S(k) “ [4V - 4-(ф« ’ - 4м)] -
— q(k} aVa} — q(k} 3w(k> — m(k} MV} d£l -4-
+ S J {-г '[И 1Й*1 (4П2 + о1И«[Ч ”W1 - Q‘*>“ <«S’ -
k=\ Q
- ЙГ- [Ar- (»-'*•" + »,H) + W" - « -
/,R]0 (h(k+l) +2h[kl ,,(k+l) ( h(k)+2h[k] I
— °® \-----2------------------2-----/ +
+ 4 (Mi)4*+,) ) --A^] )])dQ-
J L JJ
— f j (p{k} 3w(k) dr —
k=i
- j -^)*) + Q(i)₽(te><« _wW*) +
r2
+ M(i,“₽(^)-^)*)]«₽drj. (3.92)
Таким образом, справедлив следующий общий вариационный
принцип: в истинном положении равновесия поля смещений, де-
формаций и усилий таковы, что функционал Jр имеет стационар-
ное значение
6УР = 0. (3.93)
Общая вариационная теорема состоит в том, что уравнениями
Остроградского—Эйлера в данной вариационной задаче является
совокупность уравнений равновесия (3.65), физических (3.62),
(3.64) л геометрических (3.39), (3.44), (3.45) соотношений. Есте-
ственные граничные условия, получающиеся при этом, соот-
138
ветствуют обращению усилий на той части контура, где они
приложены, в заданные. На остальной части контура переме-
щения обращаются в заданные [в функционале (3.92) заданные
смещения отмечены звездочками]. Для доказательства вариа-
ционной теоремы достаточно произвести варьирование выра-
жения (3.92) и воспользоваться формулами Гаусса—Остроград-
ского (3.19) и основной леммой вариационного исчисления.
Частные вариационные принципы и теоремы получаются из
общих, если в качестве дополнительных условий принять неко-
торые из соотношений (3.39), (3.44), (3.45), (3.62), (3.64), (3.65)
и соответствующие граничные условия. Так, принцип Лагранжа
(3.85) получается из (3.93), если в качестве дополнительных
условий принять геометрические и физические соотношения (3.39),
(3.44), (3.45), (3.62), (3.64).
Если в качестве дополнительных условий принять физические
соотношения (3.62), (3.64), уравнения равновесия (3.65) и стати-
ческие краевые усиловия, то придем к принципу Кастильяно.
Уравнениями Остроградского—Эйлера в этом случае будут гео-
метрические соотношения (3.39), (3.44), (3.45), записанные в уси-
лиях. Независимыми варьируемыми функциями в этом случае
будут Можно доказать, что
данный принцип является принципом максимума для усилий.
Когда в качестве дополнительных условий принимаются
только физические уравнения (3.62), (3.64), приходим к вариа-
ционному принципу Рейсснера. Независимые варьируемые функ-
ции при этом w(k), 4ft), W(fe)“e, S(ft)“, M(k)afs,
Переход к динамическим задачам наиболее просто осуще-
ствляется на основе принципа Даламбера, согласно которому
система находится в равновесии, если к приложенным активным
силам и силам реакции связей добавить силы инерции. Нагрузки
в (3.65) должны быть заменены с учетом даламберовых сил инер-
ции следующими выражениями:
а = qlk) а (0 _ p'h ------.L p«s + t' _
1 "„2 (/ г .
“ 12 Р \ k dt3 k dt3 У ’
. - aV*) 1 Г / aVft+1) \ (3-94)
<7(*>3 = 3 (0 + P'h + 4 P"s [t* + ^2- ) +
, ( d2wlk'> , .
। tk \ dt3 dt3 /J ’
m(ft) a = + p„hs _ fk -
o’? o"s3h ( , \
12 dt3 24~ Гk dt3 Гtk di3 J ’
139
Здесь р' и р" — плотности материалов жестких и мягких
слоев, а также использованы обозначения (1.21). В (3.94) учтены
инерционные силы, связанные е поступательным движением нор-
мальных элементов жестких и мягких слоев, а также с их враще-
нием. В общем случае учет или пренебрежение теми или иными
инерционными членами при использовании принципа Даламбера
довольно сложен. Решение вопроса об учете различных инер-
ционных членов может быть осуществлено на основе сопостав-
ления порядков членов, входящих в интеграл действия
t
I = j (Т - и - П) dt, (3.95)
о
где Т — кинетическая энергия системы. Порядок членов, вхо-
дящих в Т, должен совпадать с порядком членов, входящих в вы-
ражение для потенциальной энергии деформации U. Если для
жестких слоев принимаются гипотезы уточненной теории с равно-
мерным распределением поперечных сдвигов по толщине, то
dw(k} \2 h2 dg(fe)“ d^ak)
di ' + 12 di di
dt dt
dtffl
~dT
dwtkl
~di~
dQ.
(3.96)
^[fe]a ^[ft]
di> 4-
При справедливости для жестких слоев гипотезы Кирхгофа—
Лява инерционными членами, связанными с вращением нормаль-
ных элементов, можно пренебречь. Тогда вместо (3.96) получим
1 v ( 'ь Г dvbk) ,
2 2j J P h dt dt +
k=i я
. 1 V f 1 " [/cto(>+”a , \ / <4*+1) . dv'^ \
\ di ^~di dt ^~dT~l +
k=iя ' '
, (dw(k+}}
+ \ dt
dw<^ у
dt /
(3.97)
Уравнения динамики получаются из вариационного принципа
Гамильтона—Остроградского, согласно которому истинное дви-
жение выделяется из всех движений, совместимых со связями и
переводящих систему из одного и того же начального состояния
140
за одно и то же время в одно и то же конечное состояние, тем,
что для него и только для него интеграл действия (3.95) прини-
мает стационарное значение
6/ = 0. (3.98)
Применение принципа Гамильтона—Остроградского с исполь-
зованием для кинетической энергии выражения (3.96) приводит
к уравнениям (3.65), в которые должны быть подставлены выра-
жения (3.94). Если же используется выражение (3.97), то полу-
чаем уравнения (3.60), в которые должно быть внесено
d2V^ 1 Г / d2V<ft+,) \
q{k} а = q(k) a (f) __ P'h _ p«s fk J +
„ / \1
+ J" I (л I (л 1 ,
lk di2 1 дГ2 J J ’
(3.99)
9(ft)3==~(fc)3(f) + p^^L
+ 4 nrr„
уР 8
Г., ( ЛЛ*+1>
и* \ dt2
+ di2 / +
, ... / , dV"11 \1
+ tk \ at2 + dt2 /]’
При использовании уравнений пологих многослойных оболо-
чек можно пренебречь тангенциальными силами инерции. Для
недеформируемых нормалей в мягких слоях в рассмотрение вво-
дится приведенная погонная плотность (1.130).
Класс варьируемых движений в принципе Гамильтона—Остро-
градского ограничен условием отсутствия варьирования в на-
чальный и конечный моменты времени. При этом предполагается,
что состояние многослойной оболочки в конце движения из-
вестно. Однако обычно Динамические задачи ставятся как задачи
с начальными условиями, а состояние в конце движения неиз-
вестно. Расширяя класс возможных движений, можно сформу-
лировать общий вариационный принцип динамики многослойных
оболочек в форме интеграла свертки (по времени). Этот вариацион-
ный принцип является распространением общего вариационного
принципа (3.93) на случай динамики.
При рассмотрении задач устойчивости многослойных кон-
струкций с криволинейными слоями рассмотренные вариационные
принципы не пригодны. Для получения уравнений нейтрального
равновесия может быть использован вариационный принцип
Треффца. Согласно этому принципу в положении нейтрального
равновесия вторая специальная вариация полной энергии системы
принимает стационарное значение
6(62Э) = 0. (3.100)
141
Функционал, являющийся второй специальной вариацией,
состоит из двух частей
62,Э = Л + /2, (3.101)
где Iх совпадает с выражением- для потенциальной энергии де-
формации ненагруженной предварительными усилиями много-
слойной оболочки U- /2 зависит от невозмущенного предвари-
тельного состояния оболочки, которое предполагается безмо-
ментным:
п
= “3 W v + ф£%Н dQ, (3.102)
fe=l я
где и фа*’ определяются согласно (3.35) и (3.40); №(*)а₽—
безмоментные усилия в невозмущенном состоянии, которое нахо-
дится в результате решения системы, уравнений
(fe) а₽ qikya _ 0;
b$№(fe) “₽ — - J— (t'kNw - t"kNlk-u) - <7(fe) 3 = 0. (3.103)
После выполнения формальных операций варьирования и
использования основной леммы вариационного исчисления из
принципа Треффца (3.100) получим уравнения нейтрального рав-
новесия, совпадающие по форме с (3.65), только вместо нагру-
зок I и “ в эти уравнения должны быть внесены фиктив-
ные нагрузки
qlk> “ = V <fc> + v<fc> (№<*> ₽); (3.104)
qw 3 = v^> (№ (*> + <fc> “^) 3; mW a = 0
или для пологих тонких оболочек
0(fe)“ = m(fc)“ = O- q{k} 3 = v^> (№ <fc> “Pv<p* Wfc>). (3.105)
Полученные уравнения являются по существу уравнениями
в вариациях. Формулы (3.104) и (3.105) определяют так назы-
ваемые параметрические члены. По виду эти члены совпадают
с аналогичными членами для однослойной оболочки. При расчете
многослойных оболочек существенную трудность может внести
неравномерное распределение усилий предварительного напря-
женного состояния по слоям.
Сформулированные вариационные принципы и теоремы яв-
ляются распространением на многослойные конструкции извест-
ных вариационных принципов и теорем теоретической механики,
теории упругости и теории тонких упругих оболочек. Вариацион-
ные принципы, связанные с задачами теплопроводности и термо-
упругости многослойных оболочек, также являющиеся распро-
странением известных принципов на многослойные конструкции,
будут сформулированы в гл. 5.
142
3.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
Запишем общие уравнения в перемещениях в операторной
форме. Для этого введем «-мерные векторы
Ua = (г»а 1»а2), . . t#”)*; U3 = (®(1), ®(2), • • W(n))T; (3.106)
из+а = (^1), Е12), .. м Un))T (а = 1.2),
где индекс т означает транспонирование. Тогда уравнения (3.65)
после внесения в них (3.62), (3.64) и использования формул (3.39)—
(3.41), (3.45) принимают вид
5
S LyftUft = q/ (/ = 1, 2, . . ., 5). (3.107)
k=i
Здесь введены векторы нагрузок q* = (t/V’, <Д2>, ••> Опе-
раторы Ljk нетрудно выписать, используя указанные соотно-
шения.
Другая операторная запись получается, если ввести векторы
u = (ul, U2.....Us)T, q = (qi, qj, .... q£) и оператор
/ ^11 ^-12 ‘ ' Мб \
I __ I ^21 Ma * ‘ ' ^-25 |
'Mi Ma ‘" Ms/
В результате приходим к уравнению
Lu = q. (3.108)
Граничные условия при этом
1и = р. (3.109)
Основная задача статического деформирования многослой-
ных конструкций заключается в решении дифференциального
уравнения (3.108) при граничных условиях (3.109). Для сформу-
лированной задачи при условии, что граничные условия (3.109)
совместимы с вариационным принципом (3.85), справедлива тео-
рема единственности: если решение данной краевой задачи суще-
ствует, то оно единственно. Утверждение теоремы следует из
положительной определенности оператора L, которая является
следствием положительной определенности квадратичной формы,
являющейся плотностью потенциальной энергии деформации.
Краевая задача (3.108) с граничными условиями (3.109),
совместимыми с вариационным принципом (3.85), эквивалентна
решению задачи о минимуме функционала
Ф(и) = (Lu, и) — 2 (u, q). (3.110)
Здесь скобки означают скалярное произведение в вещественном
гильбертовом пространстве.
143
Можно доказать, что при определенных условиях существует
элемент и0, сообщающий минимум функционалу (3.110). Этот
факт позволяет сформулировать следующую теорему существова-
ния: решение краевой задачи (3.108) при граничных условиях,
совместимых с вариационным принципом Лагранжа, существует
во всех случаях, когда не допускается жесткого смещения. Иначе
для существования решения необходимо выполнить дополнитель-
ные условия: система внешних сил должна быть самоуравновешен-
ной. Решение в этом случае определяется с точностью до жесткого
смещения.
Особенность уравнений (3.108), описывающих деформирова-
ние многослойных конструкций, состоит в том, что они являются
дифференциальными по тангенциальным координатам и разност-
ными по нормальной координате. В связи с этим используемые
методы расчета должны учитывать по возможности это свойство
исходных уравнений. Разумеется, это особенно важно, когда
число слоев достаточно большое, но еще не настолько, чтобы можно
было перейти к эквивалентной моментной анизотропной среде,
используя принцип континуализации (см. гл. 8).
Для тонких многослойных оболочек Задачу нередко удается
свести к разностной системе с постоянными коэффициентами.
Для решения такой системы используется стандартная процедура
(см. гл. 1) с составлением характеристического уравнения после
представления решения в виде
Ujfe = UAe*\ ... (3.111)
Затем строится общее решение
• • • (3.112)
/
и константы определяются из, разностных граничных условий,
которыми являются уравнения при k = 1 и k = п. Если измене-
нием метрики пренебречь нельзя, получаются разностные системы
с переменными коэффициентами. Если не удается построить их
общее аналитическое решение, то эти системы следует решать
непосредственно, т. е. как системы большого числа алгебраиче-
ских уравнений. Для их решения обычно используются различ-
ные приближенные, в частности, итерационные методы.
Можно считать, что если задача сведена к алгебраической
системе, которая решена методами теории систем в конечных раз-
ностях или другими методами, то получено точное решение. Это
относится, например, к пологим оболочкам с граничными усло-
виями типа свободного опирания, когда разделение переменных
с удовлетворением граничных условий проводится путем пред-
ставления решения в виде рядов по тригонометрическим функ-
циям. Точное решение удается также построить для пологих обо-
лочек, две противоположные стороны которых оперты, а на двух
других выполняются произвольные условия. Аналогичное решение
получается для замкнутых круговых цилиндрических оболочек.
144
После разделения переменных получается ряд одномерных задач,
которые решаются обычными методами. При этом строится общее
решение после нахождения частного решения, характеристиче-
ских показателей и коэффициентов распределения. Константы,
входящие в общее решение, находятся при удовлетворении гранич-
ных условий. Вообще, схема построения точного решения не
отличается от схемы, изложенной в гл. 2. Системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с граничными условиями, к которым
сводится задача в данном случае, особенно если система имеет
переменные коэффициенты, предпочтительно решать различными
численными методами, например, методом ортогональной про-
гонки (см. п. 2.4).
При выполнении расчетов многослойных конструкций с кри-
волинейными слоями применимы с некоторыми модификациями
методы, описанные в п. 2.4. Так, при применении метода Бубнова—
Галеркина задача сводится к системе типа (2.88). Отличие лишь
в выражениях для коэффициентов (2.90). В качестве примера при-
ведем основные соотношения метода Бубнова—Галеркина для
круговой цилиндрической оболочки, поведение которой описы-
вается системой уравнений (4.39) с учетом (4.40) и (4.41). Пред-
варительно проводится разделение переменных подстановкой
M/rn =(//щ cosmq) (/ = 1,3); Sin тер. (3.113)
Далее решение представляется в виде рядов по функциям, удовлет-
воряющим заданным граничным условиям на торцах (индекс т
опущен)
= S^/s (X). (3.114)
S
Применение процедуры метода приводит к системе (2.88). Коэффи-
циенты ar^jk определяются из (2.90) при замене
Пи = (1 - rk) (1 - 6И); = (1 + rk) (1 - 6М);
х-.. — (rkm)' arpqx••• (3.115)
/
и коэффициентах
ai3kn = £«31* -j- (1 3); аззн = ^«зз + йззш (3.116)
a23kk = —/fe/пазг- + аз2° (2Z^3)
(по индексам не суммировать). В последних выражениях нулевым
индексом отмечены величины, определяемые согласно (2.90) с за-
меной (3.115). Величины arpsqx... определяются при этом по фор-
мулам, аналогичным (2.91):
i i
аг4= «мх..• = I ^^®QSdx. (3.117)
О /0х
145
При применении метода с представлением решения в виде раз-
ложения (2.118) для оболочек, при деформировании которых необ-
ходимо учитывать изменение метрики по толщине, имеются опре-
деленные трудности, связанные с тем, что векторы t|?s должны
подбираться с учетом отмеченного фактора.. Эти векторы могут
быть найдены, например, при решении задачи, о колебаниях
цепочки, описываемых уравнениями
Соф;. - = 0, (3.118)
где
1 ах — 1 — cq 0 • • • О
— 1 +а2 2 —1 — а2 • • • 0
Со — 0 — 1+а3 2 0 . (3-119)
( 0 0 0 •••!—«„
Здесь ak — коэффициенты, характеризующие изменение метрики
по толщине. Кроме того, необходимо ввести координаты х =
= xk/ak, у = yklbk.
Если оболочка тонкая, так что изменением метрики по тол-
щине можно пренебречь, то 1 и матрица Со определяется
выражением (2.120). Координатные векторы имеют компоненты
(2.123). В результате получаем уравнения, аналогичные (2.130),
где операторы плоской задачи и классической теории пластин
заменяются операторами теории оболочек вида (4.40).
При расчете многослойных конструкций в ряде случаев допу-
стимо расчленение напряженно-деформированного состояния на
безмоментное, справедливое для внутренней области, и краевые
эффекты. Безмоментное состояние описывается системой урав-
нений, следующей из (3.60):
v^)^(A)a₽^^A)a = 0;
b™NWa*-----L (t’kNw -t"kN^)-qw 3 = 0. (ЗЛ2°)
Решение этой системы строится, как правило, довольно просто.
Примеры решения этой системы для цилиндрических и сфериче-
ских оболочек приведены в гл. 4.
ГЛАВА 4
РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
НА СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
4.1. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Точные решения в замкнутом виде удается получить только
в отдельных случаях, например, при решении плоской задачи
для круговой цилиндрической оболочки, центрально симметрич-
ной задачи для сферической оболочки и др. В той и другой задаче
имеет место безмоментное деформирование. Точное решение
удается также получить для круговых цилиндрических оболочек
с произвольными краевыми условиями, для пологих оболочек,
прямоугольных в плане, с краевыми условиями типа свободного
опирания (краевые условия Навье) и для пологих оболочек, на
двух противоположных сторонах которой реализуются условия
свободного опирания, а на двух других — произвольные краевые
условия. Реализация указанных решений возможна только при
помощи современных ЭВМ. Остановимся на некоторых точных
решениях.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку регулярного
строения, отнеся ее к цилиндрической системе координат. Компо-
ненты первого и второго метрических тензоров ап’ = 1; = 0;
а%> = R\ = с2 (k + N)2- b\ = Ь12 = 0; №2 = RT1 = [с (k +
+ М)]’1.
Уравнения (3.32) в физических переменных принимают вид
dN[?
дх1
dN^
(1-rk) + #> = o;
1 1 / 1 dM& '
дх! r Rk dx2 Rk \ dxi ' Rk dx2 >
->WZf] + WA-1]) + #,= °;
N® <W> 2 , 1 d2M<*>
Rk + dx, + Rk dxxdx2 + д2 dxl +
(4-1)
147
+4 {1п*л (1+Q^]+(1 ~rk) +
+ -k-k +
- 4 h*n (1 + rO Nw - T)« (1 - rk) АЛ*-1]] =
(%- = 1 -6W; rk = 4 (* + ^r1; 6 = 1, 2,.... n).
Пусть в бесконечной цилиндрической оболочке отличны от
нуля только усилия QW, которые зависят от номера слоя (скру-
чивание оболочки). При этом должны быть равны нулю компо-
ненты нагрузки qik>, q2k<>. Пусть = 0 при 1 < k < п. Тогда
из уравнений (4.1) находим = C/Rk- Рассмотрим другой
случай. Предположим, что в бесконечной цилиндрической обо-
лочке отличны от нуля лишь усилия не зависящие от Xi, х2
(сдвиг оболочки). Полагая, что qik) = 0 при 1 < k < п, полу-
чаем Qi*] = C/Rk. Указанные примеры элементарны, но они
служат косвенным подтверждением правильности уравнений (4.1).
Рассмотрим задачу о деформировании многослойной трубы,
находящейся под внутренним давлением р0. Уравнения (4.1)
для этого случая
nW 1
— = 0; ----L [ти„ (1 + rk) NW _
дх± Rk s l isn \ । й/
= 2...n). (4.2)
Полагая слои изотропными, находим из закона Гука
lk. / о><*> , lk} I w<W \
N11 =л \~dZ~ + v~RT)’ ("Rr + V~);
NW^E^w^—wW) = (4.3)
При учете, что = ft = const, из второй группы урав-
нений (4.2) получим
\k + N)* ~[Tbrt <1 + (йУ<*+1> — aw(ft>) —
(k=l,2,...,n), (4.4)
Ег
где
8 Е' t (1 -t) . ф = (45)
а - 1 —v2 ’ * Л + « ’
148
Частное решение уравнения (4.4) при 1 < k < п
= — v№k. (4.6)
Общее решение соответствующего однородного уравнения
Ц» = С, (^ + ^ + 02^ + ^)"^. (4.7)
Величина определяется из уравнения
сЬ2цЛ= 1 + 2а24 (4.8)
Если величина а24 мала по сравнению с единицей, то рц а.
Постоянные Clt С2 определяются из граничных условий, полу-
чающихся из уравнений (4.4) при k = 1 и k = п.
Данная задача может быть решена также на основе уравне-
ний для тонких оболочек. Полагая R = 2с0 (N + п/2), получаем
вместо (4.4)
--------г-7 (10(/г) V&R)-[Т]А„ (ffi^+O — ш(й>) —
("+1)
— Пи (^(/!) — = 4г рАк (& = 1, 2.....п). (4.9)
Ег
Общее решение уравнений (4.9) при 1 < k < п
= — v&R Ge**1 -|- C2e_ftM., (4.10)
причем р находится из уравнения
сЬр=1 + сс2[2(# + -|-У]"1. (4.11)
Постоянные Сх, С2 определяются из уравнений (4.9) при k = 1
и k = п.
Пример. Для оболочки, характеризуемой параметрами п. = N = 10, а = 3,
v = 0, результаты вычислений безразмерных прогибов и безразмерных окружных
усилий
*.-М; (4.12)
SPo boPoa K J ' '
показаны на рис. 4.1 сплошными линиями. Эти результаты получены на основе
решения уравнений (4.4). Аналогичные результаты при изменении параметра N
на N = 40 приведены на рис. 4.2. При коэффициенте Пуассона, отличном от нуля,
для ш и получаются аналогичные зависимости, но появляются еще про-
дольные усилия A'fk). Если при решении воспользоваться уравнениями (4.9),
то получим'результаты, показанные на рис. 4.1 и 4.2 штриховыми линиями.
Еще более упрощающим является предположение р пренебрежении трансверсаль-
ными деформациями в мягком слое. При этом нормальные перемещения, одина-
ковые для всех слоев — w, определяются выражением
п
w —
PqCq(1 — Уа)
Е'ф
Е'ф
1 п
4- 2] (k + Nyi
п *=1
Л-1
или для тонкой оболочки
149
tt._ PoO-v2)^ v
пЕ'фс0 п£'ф
Соответствующие результаты на указанных рисунках показаны штрихпунктир-
ными линиями. Рассматриваемые примеры показывают, что учет трансверсальных
деформаций мягких слоев для достаточно толстых оболочек необходим. В против-
ном случае при определении максимальных окружных усилий можно получить
погрешность до 30% и более.
Аналогичные результаты получаются для сферической обо-
лочки, находящейся под действием внешнего давления. Урав-
нения статического деформирования получаются из (3.60). Ком-
поненты первого и второго метрических тензоров ап* =
sin2xi; ai2 = 0; bj = 0; bl = b? = Оболочка
отнесена к географической системе координат = а, х2 = 0).
Основные уравнения для оболочки регулярного строения при-
нимают вид
Rk da ' sin a 30 ' a 0 / g Qa
(1 +rft) run—Qa*~1] (1 -rk) 1U1] —
[Q«] (1 + rk) w (i—Fft) п«] +4ft> = 0;
-к+ 2JV« -
—[Qb&] (I + a) run-Q^1] (1-^) nd -
[QH] (1 + rk) r]ftn + Q^1] (1 - rk) пи] + == 0; (4.13)
1 f Nw I N{k} I * I 1 I O(Zf) ct£ a) I
’ d (Q[*] sin a) 3(2^
T +
7?ftsina s )(l+/*)1bn
da.
150
Г д((% 1] sin a) д($ Ч] |
+ --------to + ~Эр J (1 ~ Гк) j ~
----L [Mftl (1 + rtf X\kn - М*-1] (1-а)2 IU1] = яР
(гк = с (2Rtf1, fc=l, 2.....n).
При центрально-симметричной деформации для оболочки, на-
ходящейся под действием внешнего давления р0, из (4.13) следует
(М2 ’ + Mi ’) Rk + -
— R[k—1]£?езз *4i = ^>knPoR2k> (4-14)
M*’—Mi’ = 0 (k= 1, 2,..., n).
Поскольку
<> = <> = -Д^, (4.15)
*\k
то уравнения (4.14) примут вид
(k^+Nf a,(fe) — К1 + r*) (ay<*+1)—a><ft>) rjta —
- (1-rfe) (w^ — ay!*-1») Ла1] = 8knPi-^ (k=l, 2,..., n). (4.16)
Ez
Если оболочка тонкая и можно пренебречь изменением ме-
трики по толщине оболочки, то к полученной системе уравнений
можно применить стандартный прием. Характеристическое урав-
нение имеет вид
ch X = 1 + Я = 2а2с2//?2) (4.17)
и решение
ui(Zf) = Cjen + C2e~kK. (4.18)
Постоянные находятся из условия удовлетворения уравнений
при k = 1 и k - п
q _ Pos__________________(Р'О + 1) е~лХ| ~ к________________
1 Ег 2 [— (р,2 -|- I)2 sh (n — 1) к -|-2 (jig 4- 1) sh (n — 2) X — sh (n — 3) X] ’
q _ pos_____________________e<n ’> ~ (m-o + 1) enXl_____________
2 Ег 2 [— (|i2 -]- l)2 sh (n — 1) X -j- 2 (uq 4- 1) sh (n— 2) X — sh (n — 3) X]
(4.19)
151
Росо(1 — у2)
2£'ф
Пример. Для сферической оболочки
с параметрами п = N — 10; а = 3; v = 0
распределение безразмерных прогибов и
усилий N = ] Nn | = | N22 |, [см. выраже-
ния (4.12)] показано на рис. 4.3. Сплош-
ными линиями даны результаты, соответст-
вующие изменению метрики по толщине, а
штрихпунктирными — результаты, соответ-
ствующие пренебрежению трансверсальными
деформациями в мягких слоях. В последнем
случае нормальные перемещения считаются
одинаковыми для всех слоев (а/*) = ш)
и вычисляются по формуле
(k + N)-3
Ро (1—v2) R3
2п£'фс0
Приведенные результаты и вычисления, выполненные для других А, показали, что
пренебрежение изменением метрики при А = 10 дает погрешность при опре-
делении максимальных усилий —12,5%, а для более тонкой оболочки А =
= 100 — всего 2%. Пренебрежение трансверсальными деформациями мягких
слоев для N = 10 дает погрешность около 53%, а для А = 100 примерно 9%.
Рассмотренные примеры показывают, что учет изменения
метрики для толстостенных многослойных оболочек оказывается
существенным. При расчетах следует также принимать во внима-
ние деформируемость мягких слоев в трансверсальном направ-
лении.
Для остальных перечисленных случаев точное решение строится
после разделения переменных по стандартной схеме получения
общего решения для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Методика получения
точного решения для указанных случаев такая же, как и для
соответствующих случаев однородных оболочек. Применение этих
схем и результаты, полученные для цилиндрических и сфериче-
ских оболочек, приведены в пп. 4.3 и 4.4.
4.2. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧКАХ
В расчетах многослойных оболочек целесообразно использо-
вать идею расчленения напряженно-деформированного состояния
на безмоментное состояние и краевые эффекты. Безмоментное
состояние может возникать во внутренней области, вдали от линий,
где происходит резкое изменение либо параметров оболочки,
либо нагрузки. Безмоментное решение находится, как правило,
относительно просто. При получении решений типа краевых эф-
фектов решаются, так же как и в теории однородных оболочек,
одномерные задачи.
Изучим особенности краевых эффектов в многослойных обо-
лочках [54] на примере осесимметричной деформации круговой
многослойной цилиндрической оболочки в окрестности торца
152
х = 0. При этом используем полубесконечную модель с требо-
ванием асимптотического стремления решения при х —> оо к без-
моментному.
Основные уравнения теории краевого эффекта для оболочки
регулярного строения, когда для жестких слоев справедлива
гипотеза Кирхгофа—Лява, принимают вид
4^ + S[n..W‘+,’-4‘>) (1+0) —
- (< - (1 -г»)1 + л 4- т- +
Aft U-AJ
+ -
— Пи + w^-V) (1 —г*)] = 0;
dWA) д „ v
D^-+iaH‘>+-4x
dt»^
dxi
— С [Т]*п (мЛМ-1) — ау(й>) (1 + rk) — Г]И (ау(*> — 1>) (1 —rft)] —
- Вс. ((1 + rft) (^+’> -^>) + cQ (^+1> + «И] +
[ ах1 UXJ
+ ЧП (1-г») И м*> - + А, 4 («,'*'
<7з
' ' dxj j
r*==-g"^ +h 2,. .п).
dxr
(П/*= 1 — 6M-
Напомним, что для однородных по толщине слоев
В = ^-; С^;
1 — v2 s s (4.21)
При постоянных нагрузках безмоментное решение, спра-
ведливое во внутренней области, определяется как решение ал-
гебраической системы
_(№<*)_(1,—rk) т]й1] = -у-; .(4.22)
= 0 (£=1,2..п).
153
Эта система совпадает с (4.4) при $ 0 (£ = ос 2). Представляя
решение (4.20) в виде суммы
ау(*) = цу<*) _|_ у(*) = (4.23)
получим относительно Wgk) и v)*’ однородную систему. Выбирая
затем решение для Wok> и в виде
vio ’ = VkeKXt; &&к) = W^*, (4.24)
придем к разностной системе с переменными коэффициентами
для Vk и Wk. С другой стороны, эта система представляет собой
систему однородных линейных алгебраических уравнений. Тре-
буя существование ненулевого решения этой системы и приравни-
вая нулю ее определитель, получим характеристическое уравне-
ние для определения X, поскольку коэффициенты системы зависят
от X. Раскрывая определитель, получим уравнение степени 6п
относительно X или Зп относительно X2.
Для оболочки в общем случае, вообще говоря, нельзя выде-
лить симметричные и антисимметричные решения, как для пла-
стин. Такое разделение возможно только, если изменением метрики
по толщине оболочки можно пренебречь, а коэффициент Пуас-
сона для жестких слоев положить равным нулю.
Характеристическое уравнение для оболочки имеет два нуле-
вых корня, соответствующих перемещению и растяжению в про-
дольном направлении. Вместо четырех нулевых корней, которые
имеет уравнение для пластины, для оболочки получается две пары
комплексно-сопряженных корней, соответствующих простому крае-
вому эффекту в оболочках (краевые эффекты Лява). Остальные
корни разбиваются на группы и классифицируются так же, жак
для пластины (см. п. 2.5). Так, комплексно-сопряженные корни,
описывающие эффект поперечного деформирования мягких слоев,
соответствуют краевым эффектам Сен-Венана. Характеристиче-
ское уравнение имеет две группы действительных корней. Одна
соответствует моментным деформациям в жестких слоях, а соот-
ветствующее решение аналогично краевым эффектам Коссера
в моментной упругой среде. Другая связана со сдвиговыми дефор-
мациями в мягких слоях и соответствует краевым эффектам рейсс-
неровского типа. Последняя группа характерна для оболочек,
имеющих более двух жестких слоев.
Как и для пластин, каждому из описанных краевых эффектов
ставится в соответствие система самоуравновешенных нагрузок,
приводящих к его осуществлению. Протяженность зон краевых
эффектов различного типа зависит от действительных частей
корней характеристического уравнения. При этом зона краевого
эффекта оценивается по пятипроцентной «погрешности», т. е.
по уменьшению в 20 раз максимальных отклонений исследуемых
величин при удалении от края.
154
В частном случае, когда оболочка имеет два жестких слоя
(п = 2), после введения среднего радиуса 7? и величины г = c0/R
характеристическое уравнение можно записать в виде
Х! (1 - Г) - X X vrX + хХ xX
X X2 (1 + r) -X — XX vrX — xX
vrX + хХ XX — XX vrX — хХ vVli-o+j^+C-xX’ -S-xX8 -S-XX2 VX‘ (l + n + q^+t-xX” = 0.
(4.25)
Здесь использованы обозначения (2.76). Если можно пренебречь
изменением метрики и vr *=« 0, то
*1,2 = 0; Л3_6 = (2£+^)1/4 (±1±0 =-^(±1±0. (4.26)
Остальные X определяются из уравнения
у*6 — 2х (у + 1) *4— г2*2 — 2хг = 0.
(4-27)
Пример. Для оболочки, характеризующейся параметрами г = 0,1; ф = 0,5;
Е /Ег = 50; EzlG = 2,7, при п = 2 корни характеристического уравнения
— 0; Xg_g = 0,611 (+1 i i)Х7,8 = 4=0,3755; X9-12 = i0,4221 4- i’0,4011.
Значения Л3_6 соответствуют симметричной деформации (краевой эффект Сен-
Венана), Х7>8 — моментному краевому эффекту, X9_i2 — эффекту Лява (антисим-
метричная деформация). Протяженности зои краевых эффектов Сен-Венана и
Коссера в оболочке имеют тот же порядок, что и в пластине, а краевой
эффект Лява затухает на расстоянии 4,75/7 или 1,85]/^RH от заделанного края
оболочки.
Зависимость корней уравнения (4.25) от отношения жесткостей слоев f =
= Е lEz показана на рис. 4.4. Штриховые линии соответствуют мнимым частям
корней. Отметим, что при увеличении относительной жесткости слоев f (же-
сткость мягких слоев в трансверсальном направлении уменьшается) краевые
эффекты Сен-Венана переходят в краевые эффекты Лява для отдельных жестких
слоев. Исследовалось также изменение корней в зависимости от коэффициента
армирования ф и от параметра т, являющегося отношением внутреннего ра-
диуса оболочки к внешнему. Изменение коэффициента армирования не приводит
к изменению характера корней и, следовательно, краевых эффектов. В то же
время изменение параметра т существенно влияет иа величину корней, соответ-
ствующих краевым эффектам Коссера и Сен-
Венана.
Проводились вычисления и для оболочек
с большим числом слоев. Для оболочки с тре-
мя жесткими слоями (п = 3) при ф = 0,2,
т ~ 0,9, v = 0,3 зависимость корней от f при-
ведена на рис. 4.5. Протяженность зон крае-
вых эффектов Рейсснера при f=_ 102 примерно
в 4 раза больше протяженности зон краевых
эффектов Коссера. Отметим также, что при
п = 4 уменьшение жесткости мягких слоев в
трансверсальном направлении приводит к вы-
рождению краевых эффектов Лява в эффекты
Коссера, причем интегральный краевой эффект
имеет неосциллирующий характер.
155
Общее решение записывается после нахождения ненулевых
решений У*'*. соответствующих Ху:
+ 6£S С+ S
бп-Г1 s~l (4.28)
w<k> = + £ сМ’е^ + S фГМЧ
/=1 /=1
где s — число нулевых корней.
В действительной форме это решение может быть записано
в виде (s = 2)
w(k) = LiCCjye^-Cze^1)^ +
+ L 2 [C^e"^1 W cos — №$ Sin X/txx) -
- Cv,^ (И? cos -j- sin X;7xx) -
- Сг,^ (Wtf cos XjM - IFV? sin Xz,xx) + (4.29)
+ С2Ле^Л (№$ cos ХуЛ + Wtf sin Х;-Л)] +
+ cM (24 + c>°(1) + w[k)
Wk->Vk;
где под 2i подразумевается суммирование решений, описываемых
действительными корнями, а под 2 г — комплексными. При изу-
чении краевых эффектов у края хх = О для области хх > 0 из
условий им* —> 0, wok) —»
О при хх —» оо в решении (4.29) следует
опустить члены с Re Ху > 0. Для
определения оставшихся констант
привлекаются граничные условия
при хх = 0.
Рассмотрим оболочку с двумя
жесткими слоями (п = 2). Считаем,
что = 0, q(3} = —q. Тогда для
безмоментного решения получим
и)*’ = 0 (Л = 1, 2);
4° = — 8с0аМ(2Х2+ 1) ’ (4,3°)
цу(2) _ _ <7(4а2г2 + г+ 1)
• — 8с0а2г2(2а2г2-|-1) 1
156
Общее решение в действительной форме
= (—l)*+1Cie-111JCl cos лЛ + (—l)*+1C2e~W1 sin +
+ C3e“W1 + C4e~V1 cos т]Л + Cse-”'*1 sin T]t*i (k = 1, 2); (4.31)
= -1$) = C3V(0) + (CiVr - C5Vi) e cos +
+ (CbVr + CiVi) sin
где T]0 = %7c0т]г = Re ^co 4t = Im X9c0 '•
Коэффициенты распределения определяются" no формуле
v BVb . „ Ву0[(ц2 + ^)Л-2В] .
<0) А^-2В’ r [(л2+^)Л-2В]2 + 4^Л2’
v _ ^Со[(т)2 + т)2)Л+2В]
‘ [^r+^A-2Bf+4^(A2-
Удовлетворяя граничным условиям при х} — О
dw^
dx1
_ „(О _ „(2) _ л- и?1»— ?«(')•.
— U10 = Vjo = U, w0 = — wt >
w02) = --
и решая систему
С1 = С2 = оу<2)-ayi1); Сз + С4 = —«1> + ^2));
С3У(0) + О41/, C6VZ = 0; С3т]0 CVb + CgY]; = 0,
(4.32)
(4.33)
(4-34)
найдем константы, а следовательно, и распределение перемещений
в многослойной оболочке в зоне краевого эффекта. На рис. 4.6
показаны зависимости прогибов wk = ay<ft)/ay<2> (0) и перемещений
V2 = и2й'102/и><2) (0), (ир = —up). Штриховой линией показан
вклад в общее решение краевых эффектов Лява для ау2-
Приведем еще решение для абсолютно жестких в трансвер-
сальном направлении мягких слоев (изменением метрики по тол-
щине пренебрегаем). Краевой эффект описывается системой урав-
нений (v = 0)
d2o(ft> />»
E'h^. + »г>)-
, G" (h -)- s) dw . .
+ ' s ~d^ ~ = 0;
E‘hs d*w . E'h G" (h 4- s) n — 1 d2w n
-пг^ + ^-------------—=
(4.35)
157
Решение последнего уравнения этой системы, удовлетворяющее
условию затухания на бесконечности, имеет вид
= 1 + т- 1 г 1^2exp(— Ml) - ехр (— Mi)], (4-36)
Л1 — Л2
где
1 1 _i_
. _ / 6 (» - 1) Т) \ 2 Г / Я2 \ 2 ] 2
1,2 \ лфа2 / [ \ (п — I)2 г2т] / J ' ’ (4.37)
r=R/(h + s), ^—h/(h + s).
Пример. Для а = 3, п = 10, W = 40 эта зависимость приведена на рис. 4.7.
Краевой эффект имеет неосциллирующий характер. Для сравнения штриховой
линией показано решение, полученное на основе гипотезы Кирхгофа—Лява для
пакета в целом. Протяженность интегрального краевого эффекта при учете
поперечных сдвигов в многослойной оболочке значительно уменьшается.
4.3. РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Цилиндрические многослойные оболочки — наиболее распро-
страненный вид слоистых конструкций с криволинейными слоями.
В задачах статики основным является подход, основанный на
использовании гипотезы Кирхгофа—Лява для жестких слоев (4.1).
Считаем также, что справедливы гипотезы, позволяющие упро-
стить выражения для изменения кривизны, как в теории однород-
ных оболочек, приводящей к уравнениям Доннела—Муштари—
Власова.
Для удобства записи уравнений статики многослойных цилин-
дрических оболочек в перемещениях используем обозначения, отли-
чающиеся от (2.76) безразмерными переменными
„(*> и*)
4ft> = -у- (а = 1, 2); ; х = <р = х2. (4.38)
‘'О с0 ^0
Кроме того, используем обозначение для величины, обратной
радиусу k-ro жесткого слоя,
158
Урайнёнйя для многослойной цилиндрической оболочки с изо-
тропными слоями запишем следующим образом:
У LlW + хП*М*’ + X & Ц‘М‘> + = 0;
У + хП*Мм+»•»-= Ц*М‘>+«!*'- 0;
₽3 s ф (4.39)
у .
/=1
-х4‘> (^+'i^)-xiW-»S‘,-o.
Операторы L/« совпадают с операторами уравнений Доннела—
Муштари—Власова для цилиндрической оболочки с радиусом,
равным радиусу k-ro жесткого слоя
, (fe> д2 ,1 — у j d2 . ,1k) д2 , 1 — у д2 .
L11 ~ дх2 + 2 Гк дф2 ’ дф2 + 2 дх2 ’
(4.40)
= У + 2г* д^ф2 + Гк
Кроме того, в (4.39) введены операторы
4^) = («Г1)-«Г)(1+^)^-
_ (ы<*> _ Ы<Л-О) ц _ fft)
= (Ы<.*+1> Ц- ц<.*>) (1 4- rk) T|fe„ —
— (“Г+«/*-1))(1—W>
Lkk)u<jk) = (м<*+1> - u(tk)) (1 + гк) +
+ (^)-«Г“1))(1-а)Пи; (4-41)
L<7k)u3k) = [(«£*+1) + (1 +rft) +
+ (“3fc) + n) (1 - rk) n*il +
+ “^+1> + “^0 t1 + Гк> +
(Л|> L \ ‘ к •
+ («3ft) + (1 - fk) n«] •
На практике часто встречаются многослойные оболочки с ани-
зотропными слоями. В этом случае следует использовать соот-
159
ношения (1.66). В силу специфики изготовления таких оболочек
(например, намоткой) в качестве расчетной схемы можно принять
модель с ортотропными слоями, характеризующимися углами
анизотропии 0* для k-ro жесткого слоя. С учетом (1.68), (1.69)
получим, что вместо операторов (4.40) следует принять
г (*> _(*> д2 । or(*>, д2 । д2 .
“п дх2 + 2РП * дхд<р + Р12 k dtp2 ’
£,<,« = LSf> - Plf> £ + («!?’ + f®>) rt +
£Й>-Ц,‘>-«Й>г»А+₽Й>?,^-;
щ> = Г^+2Й>г.^_ + в8>4^.: <4'42)
UJ>_£g>_fe‘>r’ + ой>п;
(уЛ (/W
_ а8ч + [ a|f > %. + + 4М £+
Здесь
ап > = cos40* + 2 (v -f- 2gi) sin20* cos2 0* 4~ P sin4 0*;
a}*’ = v + [1 + H ~ 2 (v -j- 2gi)] sin2 0* cos2 0*;
a^*‘ = sin4 0* 4~ 2 (v 4~ 2gi) sin2 0* cos2 0* 4- p, cos40*;
Pii> = -g- [ji sin20* — cos2 0ft 4- (v 4- 2gi) cos 20*] sin 20*’, (4-43)
P^ = gi4-[14-R — 2 (v 4- 2^i)] sin2 0* cos2 0*’,
№ = 4" In c°s26* — sin20* — (v 4- 2gi) cos 20*] sin20*;
л Eh . _ (1 — p'M) G Gh
1—p-M ’Si— E - л ’
где E Ei, p = E^IEi, v = v^; G — Gi^, = E'^i^E^ —
— v/p, а в (2.76) вместо 1 —v2 необходимо внести (1 — p-1v2),
так что в уравнения (4.39) войдут
GV0(i-p-V). < (1-рЛ2Н.
Х Ehs ’ Е hs
(4.44)
Для оболочек, образованных намоткой с постоянным шагом,
знаки углов главных направлений анизотропии чередуются, а аб-
солютная величина их не меняется. Уравнения для указанного
160
случая получаются, если в выражениях (4.43) принять 0ft =
= (—1)*0. Если главные направления упругости в жестких слоях
совпадают с линиями кривизны (0ft = 0), то для оболочек регу-
лярного строения получаема*** = .1; = р,; а)*’ = v; (J)*’ = gi‘>
’ = $2* = 0. В этом случае операторы определяются сле-
дующим образом:
2.lf' = ;g- + 2g,^;
Мз* = L1?> = = gi + prl 0-5-; (4.45)
= £S’-i4+
+т ["а?" + 2 (v + 2g0 г» аЛ8йра + ]
Операторы для изотропных жестких слоев (4.40) получаются из
(4.45) при р = 1, gj. = (1 — v)/2.
Уравнения для упрощенных случаев могут быть получены
в соответствии с указаниями, .приведенными в гл. 1 и 3. Так,
для тонких многослойных оболочек можно пренебречь изменением
метрики при переходе от одного слоя к другому. При этом в урав-
нениях (4.39) и операторах (4.40), (4.41) следует положить rk —
= г = c0/R, где R — средний радиус оболочки, и, кроме того,
пренебречь в (4.41) rk по сравнению с единицей (1 ± rk 1).
Аналогичные изменения проводятся в этом случае и для оболо-
чек с анизотропными слоями [см. выражения (4.42), (4.45)1.
Если мягкие слои являются абсолютно жесткими в трансвер-
сальном направлении, то в первых двух группах уравнений (4.39)
следует положить «з** = wk = w = u3, а последнюю группу Про-
суммировать. Для тонких многослойных оболочек эти уравнения
записываются в виде
2
+ +х Г(«|*+”-«|*>) о,
/=1
- («|‘> - «!*-'>) + 2 (ли - ли) ^-1=0;
г J (4.46)
2 + * [ М‘+' ’ - -
- «*’ _ «Г»)+ 2 (ли - л..)<• - о;
2 п
уД Д«з г2и3 “Ь ~ 2 — (ы$п) — ЫР) +
k=i
6 В. В. Болотин 161
В этих уравнениях операторы Ljk определяются согласно (4.40),
в которых нужно положить rk = г. Кроме того, учтено, что г 1.
При изучении локальных эффектов могут быть использованы
уравнения, следующие из (3.65) при учете, что с}?’ = 1; а^1 = 0;
а£> = £1; Ь{к> 1 = = 0; ^ft>2 = Я?1, где Rk = с (k + N).
Уравнения для трехслойных цилиндрических оболочек полу-
чаются из (4.39) при п = 2 (k — 1,2). Наиболее употребимый
вариант уравнений для трехслойных цилиндрических оболочек
следует из (4.46) при п = 2. Уравнения для двухслойных цилин-
дрических оболочек получаются из уравнений (3.80), если при-
нять 7?i —» со; Т?2 = R; Нх — 1; Нг = R. Эти уравнения после
введения обозначений Д — w, = Vi, /з = и2; /4 = ф}1’; /з =
= ф‘2>; /б — Ф20; fr = принимают вид
S 1/Л = <7/ (/==1,2......7). (4.47)
^=1
Дифференциальные операторы Ljk имеют достаточно сложный
вид и здесь не приводятся.
Дадим некоторые рекомендации по расчету многослойных
цилиндрических оболочек и примеры решения конкретных задач.
При расчете многослойных цилиндрических оболочек представле-
ние решения в виде
и[к) = ик = £ Ukm (x)cosm<p;
т
и12к} = vk = S (*)sin ™Р'> (4.48)
т
«3° = Wk = S Wkm (X) COS Щф
т
приводит к разделению переменных и сводит исходную задачу
к ряду одномерных задач. Полученные системы должны быть
решены при граничных условиях на краях интервала (0, Z), полу-
чающихся после подстановки в исходные граничные условия выра-
жений (4.48). Процедура получения решения стандартна. Решение
ищется в виде, аналогичном (4.23) и далее (4.24), составляется
характеристическое уравнение, находятся корни этого уравнения
и коэффициенты распределения U^'m, V^m, и выписывается
общее решение, аналогичное (4.31). Постоянные, входящие в это
решение, находятся из системы уравнений, получающейся при
удовлетворении граничных условий при х = 0 и х = I. Исполь-
зуя метод расчленения напряженно-деформированного состоя-
ния, можно к частному решению добавить два слагаемых: одно
описывает краевой эффект у края х = 0, другое у края х = I.
Постоянные, входящие в общее решение, определяются из двух
независимых систем алгебраических уравнений. После определе-
ния перемещений напряжения находятся по известным формулам.
162
Расчет значительно упрощается, если внешняя нагрузка
осесимметричная. При этом в (4.48) остаются слагаемые, соответ-
ствующие т = 0 и, кроме того, vk = 0. Простым является
постоянное нагружение нормальными нагрузками. В этом слу-
чае, для определения частного решения служит система (4.22),
которую удобно решать методом прогонки. Пусть оболочка нагру-
жена внешним давлением qk = 0 (£=1,2.............. п — 1); qn =
= р {яk = q^ColA). Система (4.22) является системой в ко-
нечных разностях, и уравнения при k = 1 и k = п можно трак-
товать как граничные условия. С учетом введенных безразмерных
параметров они имеют вид
rfwi + £ (&У1 — и>2) = 0; (4.49)
r2nWn + С (Wn — и>„_1) = Р- (4.49а)
Введем обозначение
u>k = (4.50)
Из уравнений (4.22), приведенных к безразмерному виду, найдем
£ 0 + >~й) 14 511
Из граничного условия (4.49) определяем
Т1 = И + £)Л (4-52)
а из (4.49а) и (4.50) находим
^ = рИ + ?(1-%)Г1. (4.53)
Таким образом, начиная с (4.52) «ходом вперед» согласно (4.51)
находим коэффициенты yk, а затем начиная с (4.53) по (4.50)
«ходом назад» определяем распределение перемещений wk. Окруж-
ные усилия определяются при этом по формуле
(4.54)
Пример. Рассмотрим оболочку, состоящую из 10 жестких слоев и нагружен-
ную внешним давлением р. Примем: п = 10; N = 10; гр = 0,5; Ег1(л = 2,7;
f=E lEz = 10; 100. Результаты вычисления безразмерных окружных усилий
(4.54), полученные методом прогонки, приведены на рис. 4.8. Анализ резуль-
татов показывает, что увеличение относительной толщины оболочки и уменьшение
трансверсальной жесткости мягких слоев приводит к более неоднородному рас-
пределению усилий. Поэтому при очень податливых заполнителях в качестве
первого приближения можно рассматривать модель, состоящую из одного
жесткого слоя на упругом основании с характеристиками, соответствующими
материалу мягкого слоя.
Частное решение при произвольном нагружении можно нахо-
дить методом неопределенных коэффициентов или подбором.
Другой метод состоит в применении тригонометрических рядов.
6* 163
Рис. 4.8.
При этом уже не решается задача
определения безмоментного состоя-
ния. Необходимо только, чтобы ис-
комое решение удовлетворяло ис-
ходным уравнениям и не обяза-
тельно удовлетворяло граничным
условиям. В методе тригонометриче-
ских рядов обычно удовлетворяются
условия свободного опирания. Далее
решается задача о нахождении ре-
шений, соответствующих краевым
эффектам при х = 0 и х = / с та-
кими граничными условиями, чтобы
сумма искомого решения краевого эффекта и частного решения
удовлетворяла исходным граничным условиям. Такой подход
отвечает так называемому методу компенсирующих нагрузок.
Заметим, что все методы, описанные в п. 3.5, пригодны для рас-
чета цилиндрических оболочек.
Иногда при расчете цилиндрических многослойных оболочек,
особенно удлиненных вдоль образующей (нагружение может быть
и неосесимметричным), бывает достаточно ограничиться решением
плоской задачи. Приведем пример расчета удлиненной вдоль обра-
зующей цилиндрической оболочки, находящейся под действием
сосредоточенных усилий, распределенных вдоль диаметрально
противоположных образующих. Этот пример, кроме всего про-
чего, демонстрирует возможность изложенной теории описывать
как интегральные, так и локальные эффекты. Уравнения плоской
задачи, справедливые для рассматриваемого случая, следующие
(vk = 4ft); wk ~ u{3k)) [61 ]:
г&ь, фф + rlwk, ф + X [(уа+1 - vk + rkwk, ф + rMwM, ф) (1 + гк) Tjfo, -
- (Vk - + fk-iWk-i, ф + rkwk, ф) (1 - rk) = 0;
ТаУ*,ФФФф4 + rfwl + rlvk. ф + С [H — t»4+i) (1 + rk} T]te —
- {Wk.i - Wk) (1 - rk) Пи] - Vk k^+i, <P - vk, ф + rkwk,w + (4.55)
^k+i^k+i, фф) (1 ^k) ^]kn (Pk, ф ^A-i, <p ^k-i^k-i, <pq> “b
+ rk vok, фф) (1 — rk) T]ftl] = 4k^kn [6 (X) + 6 (X - 3T)].
С точностью до обозначений уравнения (4.55) совпадают с урав-
нениями изгиба многослойного кольца под действием сосредото-
ченных сил.
Нагрузку представим в виде ряда
(-г + Scos (4-56)
164
Искомые перемещения ищем также р
в виде рядов
оо
у(А) = J] Vkm sin 2m<p;
m=0
w(k} — S wkmcos2mq>. (4.57)
m=0
Для определения коэффициентов по-
лучим систему уравнений, вектор-
ная запись которой имеет вид
АщЦт = f/П’ (4.58)
Здесь введен в рассмотрение век-
тор смещений ит = (и1т, ..., vnm,
wlm, ..., wntn)T. Компоненты правых
частей (4.58) fmn = qm-, fmk = 0 (£ =£ n). Явное выражение для
матрицы А нетрудно получить, используя (4.55) и (4.57) [61].
Пример. Пусть оболочка характеризуется следующими данными: п = 10;
А = 10; Е'lEz = 50; ip = 0,5; EzlG =. 2,7. На рис. 4.9—4.11 приведены ре-
зультаты вычислений безразмерных перемещений (1 —v2)/(<?s)
и и = 1/Р)£'"(1—v2)/(</s) и безразмерных изгибающих моментов в жестких
слоях М = MR1l(wEh?~). Используя найденные значения, нетрудно получить
любые напряжения и деформации многослойной оболочки. При вычислениях
в рядах удерживалось до 10 членов. Достаточным оказалось сохранять 6—8
членов. Анализ результатов показывает, что наряду с общими закономерностями
(характер поведения средних значений прогибов и тангенциальных смещений)
данная теория дает возможность выявить и локальные эффекты, связанные
с характером приложения сил и особенностями строения оболочки. На рис. 4.9
просматривается локальное смятие в месте приложения сил, а рис. 4.11 пока-
зывает, что наружные слои ведут себя как оболочки (кольца) на упругом осно-
вании.
Как и для цилиндриче-
ских, для сферических обо-
лочек основным является
подход, основанный на при-
нятии гипотезы Кирхгофа-
165
учете для мягких слоев только трансверсальной деформации и
поперечных сдвигов. Эти уравнения имеют вид (4.13). Чтобы по-
лучить уравнения в перемещениях, необходимо использовать ос-
новные соотношения, устанавливающие связь между усилиями и
моментами с деформациями и изменениями кривизн, и выраже-
ния для деформаций и изменений кривизн через перемещения.
Относя оболочку к географической системе координата и 0, вы-
пишем еще раз основные соотношения
A^> = ^(4*’ + v4*’), (а^Р); М*’=Щх^ + *4*’)(а^0);
= А (1 - v) = D (1 - v) х$;
Qa - Rk + + )ctgaJ>
m i гдМ$ 1 dM(?>
=‘ЯГ['“<Ф Sin'S dp + Ctg“]’
Rk X da 1 /
1 7 1 <>
Rk \sin a dp
1 / 1 dva}
“3 2Rk \ sin a dp T da
1 d / du>(ft)
X“ ~ Rl da \ da
Г 1 d / i dtnw
[ L sin a dp sin a dp
(4.59)
(*)
=
+ ctg а w
—------Vp ctg а);
«•«»
'S’ - -ТГ + ^<1,)+rf+” - “«*’];
ew =-L(k/*+d
S’ - i- [акт(^“+‘>++”S+1> -4й]; (4.6i)
Ml« = £j‘lsegl; Ql‘1 = 201‘lseg1. (4.62)
166
Полученные после подстановки соотношений (4.59)—(4.62)
в (4.13) уравнения могут быть преобразованы введением потен-
циальных функций, аналогичных потенциалам В. 3. Власова:
=-Д— Г sin а) -|- -^1—1 + 2ww;
sin a L да v 71 сф J 1 ’
1 г a
^>=2^- sina - (4-63>
{“t ’)sin a] + ^F ’
= ЖЫг sin a] ~ IjF ’)} •
В этих соотношениях выражения
№ = - 7 [<] (1 + 2rk) (1 + rft) - Q^“I]( 1 - 2rk) (1 - rft) пн];
(4.64)
^ft) =---7 [Q[₽1 (1 + 2rk) (1 rk) - Q[pk~1] (1 - 2rk) (1 - rk) tim]
равны тангенциальным нагрузкам, которые действуют на жесткие
слои со стороны мягких слоев. После преобразования имеем
[(Аг + 1 ~ v) $к — 12^ Ai + 1 — vj (Д] 2) wA] —
— -7— пД1 (гА+1Шй+1 + rkwk) - 2 (“4+1 - wk) + (1 +2rft) X
x (1 + rj f]kn - [^!(rkwk + — 2(wk — wkS) +
+ ~ <Vx] (1 - 2гЛ) (1 - rk) ты} + = 0;
-v)^--f^r(A1+1-v)(A1 + 2)^ -
- ~Y~ ИДт ta+1^+1 + гл)—2 И+1 - Wk) + tf*+i - x
X (1 + rk) (1 + 2rk) T|ft„ - [Дг (rhwk + r^w^) - 2 (wk - ш^) +
+ - ^-il (1 - rk) (1 - 2rk) т|Л1} + -7- 1(®W - wk) (1 + rk)2 T|ft„ -
- (wk - w^) (4 - rk)2 T|W] = q(3k); (4.65)
^=21 (Д1 + 2) Ф. - -7- [feu - ФА) (1 + rk) (1 + 2rk) T]te -
- Ok - 'I’ft-i) (1 - rk) (1 “ 2rk) Ли] + = o,
где Ai — оператор Лапласа в географических координатах
а 1 д / . д \ . 1 д2 .. сс.
Д,=—------— ( sin а -г— ) + ---—(4.66)
1 sin а да \ да ] sin-а др2 ' '
167
Используя
v______Х_.
л/г ‘ ’
безразмерные переменные
г =А_. г-^1. г
А As ’ Лз ’ k Rk '
qk
(4.67)
о Л2 ‘I’2 2 . О I, I . ,1 Л
p* ~ 12/?2 3 rk’ 2c0 — ft + s; ф — h + s,
=—-----------, wk = —, vk--------------------------------------—, ipA = ——
CZ co C0 60
и пренебрегая членами более высокого .порядка малости, запи-
шем уравнения (4.65) в виде
дЛ - (1 - v) ^wk - xfc ИAi (rk+iwk+1 + rkwk) - 2(ayft+1 - wk) -J-
+ 'fl'A+i “ (1 + rfe) О + 2rft) i\kn — [Aj (rkwk -]- r—
— 2 (wk — w^) + fl* — fl'/j-i] (1 — rk) (1 — 2rfc) T]ftl} q$k = 0;
Д1Д1^ - rk( 1 - V) A^ + (1 - v) + rk ДЛ -
— tk l(^+i “ wk) (1 + rkY ~ (®k - wk-i) (1 - rk)a TkJ = ft*;
Mt H—tf'h+i—’h) 0 + rk) (1 + 2rJ Vkn ~ (Ф* - W X
X (1 - rk) (1 - 2rk) nJ + = 0. (4.68)
Последняя группа уравнений определяет деформации вращения
элементов срединных поверхностей жестких слоев относительно
нормали. При отсутствии тангенциального нагружения эти урав-
нения не используются. Для замкнутой оболочки можно поло-
жить фА = 0. Для незамкнутой оболочки связь фь и wk осу-
ществляется через граничные условия. Например, условия сво-
бодного опирания можно записать следующим образом:
дЛ = ^ = -^- = 0 [ха = 0; Фа(а=1,2)];
>=>(х1 = 0.Ф,); = (4-И)
Дальнейшие упрощения уравнений производятся в соответ-
ствии с общими указаниями (см. гл. 1 и 3). Так, например, для
тонких оболочек следует положить rk = г = c0/R, где R —
средний радиус оболочки, и пренебречь г по сравнению с еди-
ницей, так что 1 =t гк 1; 1 ± 2rk ль 1. Для абсолютно жестких
в трансверсальном направлении мягких слоев следует положить
wk — w и вторую группу уравнений просуммировать и т. д.
При изучении локальных эффектов могут быть использованы
уравнения, следующие из (3.65) при учете, что а}** = R2k, =
= R2k sin2 а; = 0; 1 = 61<ft)2=0; № ’= 2 = где
Rk = с (k + N), a х± = а; хг = 0. Уравнения для трехслойных
сферических оболочек получаются из (4.66) при п = 2 (k = 1,2).
168
Уравнения для двухслойных оболочек представимы в виде (4.47)
и следуют из (3.80) при 7?, = Т?2 = R- Нг = 7?^ Н2 = 7? sin а.
При расчете сферических многослойных оболочек остаются
справедливыми рекомендации, которые были приведены для
цилиндрических оболочек, и применимы методы, описанные в п. 3.5.
Однако для сферических оболочек имеются некоторые особенности.
При разложении нагрузки в ряд по окружной координате (дол-
готе) и представлении решения в виде, аналогичном (4.48), для
замкнутых в окружном направлении оболочек переменные разде-
ляются, но системы обыкновенных дифференциальных уравнений
при этом получаются с переменными коэффициентами. Полученные
системы можно решать численными методами, например, методом
ортогональной прогонки (см. п. 2.4). Для сферических оболочек
также удается применить метод расчленения напряженно-дефор-
мированного состояния, при котором для получения решений,
описывающих краевые эффекты, приходится использовать метод
асимптотического интегрирования, как в теории однослойных
оболочек.
При применении приближенных методов используются различ-
ные аппроксимации, например, с привлечением полиномов Ле-
жандра. Для расчета многослойных сферических оболочек при-
меним также метод разложения по толщине (см. пп. 2.4 и 3.5).
Если оболочка замкнута, а нагрузка является равномерно
распределенной и нормальной, то для расчета используются
уравнения (4.14). Для их решения удобно применить метод про-
гонки. Для тонкой оболочки эти уравнения решаются точно как
уравнения в конечных разностях. Примеры решения их даны
в п. 4.1.
4.4. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
В п. 2.6 рассмотрены возможные подходы учета неупругого
поведения многослойных конструкций с плоскими слоями. Эти же
подходы можно применять и при исследовании упругопластиче-
ского поведения многослойных оболочек. В качестве примера
рассмотрим осесимметричную деформацию круговой многослойной
оболочки с учетом упругопластического деформирования мягких
слоев [63]. Используем подход, основанный на предположении
о равномерном распределении поперечных сдвигов по толщине
мягких слоев и гипотезе об идеально упругопластическом дефор-
мировании материала этих слоев. В связи с тем, что пластическое
состояние наступает по всей толщине мягкого слоя одновременно,
эту задачу будем трактовать как задачу деформирования оболочки
с учетом проскальзывания между жесткими слоями. Заметим,
что эту задачу можно принять в первом приближении в качестве
расчетной схемы для рулонированных оболочек.
169
Для жестких слоев принимаем гипотезу Кирхгофа—Лява.
Запишем уравнения равновесия в усилиях при осесимметричной
деформации
- №’’1ъ.)-0;
С- + Т (4'70>
"Д _ + Л±£.(у!«Пь, + №-%,) _ о,
о
где
^=(1 +W)(1 ^=0 -W-)(1_6w)- (4-71)
Усилия при этом определяются согласно (2.171) и (2.172), за
исключением Nxk\ которые в данном случае равны
<4-72>
Если проскальзывание, или, что то же самое, пластические
деформации в мягких слоях отсутствуют, то определяются
согласно (2.172). В области проскальзывания следует принять
= У?- Величина N? выбирается в зависимости от принятого
критерия (см. п. 2.6). Простейшая гипотеза состоит в том, что
Ут = Ут = const. Этот критерий и будем использовать. Гра-
ницы областей проскальзываний (областей пластических дефор-
маций мягких слоев) находятся при удовлетворении условий
стыковки решений на этих границах (2.173). При этом находится
распределение перемещений и напряжений.
Пусть оболочка имеет два жестких слоя (п = 2) и нагружена
внутренним давлением. Считаем, что оболочка тонкая, так что
изменением метрики по толщине пренебрегаем Rk = R и, кроме
того, считаем, что (h + s)/7? 1. Безразмерная форма уравнений
для рассматриваемого частного случая имеет вид (ql = 0; </2 =
= —Ро)
U'{ + vrW{ + х [Ui - и. + + W2] = 0;
U2 + vrW'2 - X [U2 - 1Л + Wi + W2] = 0;
-$(W2- W\) + r2Wi + vrU[ - x\U’2-U{ + W'i + W2] = 0;
4- £ (W2 - Wt) + r2W2 + vrU2 - x [U2 - + (4.73)
+ Г( + ^] = 2р.
Штрихи означают дифференцирование по безразмерной продоль-
ной координате х. Здесь использованы обозначения (2.76) и г =
= cJR, 2р = PtfiJA.
170
(4-75)
(4.76)
(4.77)
Для зоны, где имеет место проскальзывание между слоями,
уравнения имеют вид
(71 + - yUT = 0; U2 4- vrl^2 — Х^т = 0;
?№{v - £ (№2 - №1) + r2№i + vrU\ = 0; (4-74)
£ (№2 - + r2W2 4- vrU2 = —2p.
Для тонкой оболочки удобно ввести преобразование перемен-
ных, аналогичное (1.101):
2w = Wy4- №2; 2w„ = W2 - 2и = l/2 - Ui,
2u0 = U2 4- Ux.
Тогда уравнения (4.73) и (4.74) примут вид
ysyIV — 2% {и 4- ш ) + г2ш 4“ vru0 = — Р’
IV I ,2 I
удао + 2£да0 4- r wo 4- vru = — р;
и" — 2% (и 4- ш') 4- vrwo = 0; «о 4- vrw' = 0;
уда1 v 4- г2 w 4- vruo — р\ и 4 - 2%Л\ 4- vrwo = 0;
yw,^ 4- 2£да0 4- г2да0 4- vru = — р; «о 4- vrw’ = 0.
Если вместо оболочки рассмотреть пластину при цилиндри-
ческом изгибе г —» 0, то уравнения разделяются, и мы приходим
к уравнениям (2.176) и (2.177). Для оболочки уравнения разде-
ляются только если принять v = 0.
Пусть проскальзывание отсутствует, т. е. материал мягких
слоев работает как упругий. Тогда решение ищем в виде
+ ау = ш4-^; «о = «о + «о*; « = « + «*• (4.78)
Частное решение неоднородных уравнений
и* ~ 0, йУо*= 2^ 4~ г2 ’ = г2 ’ (4-79)
Для получения общего решения соответствующей однородной
системы необходимо выписать характеристическое уравнение,
которое после выделения нулевых корней, соответствующих жест-
кому смещению и растяжению цилиндра в продольном направ-
лении, может быть записано в виде
[уХ4 + (2? + г2)] [уХ4 - 2ХХ2 + г2 (1 - V2)] (X2 - 2Х) -
- 4х2Х2 [уХ4 + 2? 4- г2] - XW [уХ4 - 2хХ2 + г2 (1 - v2)] = 0. (4.80)
При v = 0 уравнения симметричной и антисимметричной дефор-
маций разделяются, и первые четыре корня порождают решение
для wQ и и0:
по = 0; ^ = -^±-(1 -e-₽*cospx); = (4.8i)
171
Остальные корни определяются из уравнения
yV - 2Х (у + 1) X* 4- r2X2 - 2x7s == 0. (4.82)
Удовлетворяя условиям ограниченности при х —♦ оо, сохраним
только три корня с отрицательной действительной частью
Xj = • осо; Х23 = <xr ± (4.83)
Решением для w и и являются
w = —Д- -|- С\е а°х 4- С2е ar* cos а,х 4~ С3е sin aix'< (4.84)
и = CjKjQ а°х 4- (С2КГ 4- С3К,)е а,Лсо8а;х 4-
+ (С3КГ - C2Kt) sin а(-х.
На первом этапе расчета рассматривается случай отсутствия
проскальзывания. Константы С,- определяются из условий при
х = 0
и' = w = w' — 0. (4.85)
После определения С/ необходимо построить график зависимо-
сти Nxz от х
Nxz = 2х (и 4- w') = 2х 1С1е~а°х (Кг — а0) 4- е-“'* cos а(х (С2КГ 4-
4- CgKi — С^хг “Ь ^за/) 4- е r sin а;х ( — C2K,i 4~
+ С3КГ-С^-С^Г)\. (4.86)
Здесь, как и в (4.84), коэффициенты распределения
К ____ 2хао . .L. {К_______2% (—± ia,j) л-.
ag4-2X’ (ar ± ja()2 + 2x ’
Анализируя полученные
зависимости, можно сделать
вывод о месте появления
зон проскальзывания. По-
172
строим решение для случая проскальзывания. Пусть это область
О < х< х*. При v = 0 система (4.77) имеет решение и0 и ny0 такое
же, как и в случае без проскальзывания, а
U = -2X/vT 4- в, (п4 = rW;
(4.88)
w =-----(1 — е ’1* cos г]Х) 4- В2 sh т]Х cos г]ХВ3 ch ЛХ51П Лх-
Решение (4.88) удовлетворяет условиям (4.85). При х > х* спра-
ведливо (4.84). Постоянные Сх, С2, С3, Ви В2, В3 и х* находятся
из условий (2.173). Система для их определения достаточно гро-
моздка. Уравнение для х* можно получить при этом, исключая
неизвестные Су, В] из полученных уравнений, что нетрудно сде-
лать, поскольку относительно этих неизвестных система ли-
нейна [63].
Пример. Пусть параметры оболочки равны: п = 2; у = 1/12; v = 0; his — 1;
h!R = 0,005; £=0,01; 2% = 0,0135. Зависимости построенные по
(4.86) при различных р, показаны на рис. 4.12. Для опертой цилиндрической
оболочки зона пластических деформаций в мягких слоях, или зона проскаль-
зывания, возникает вблизи ее торцов. Эта зона возникает при р >• р*, где р*
отвечает достижению Nхг предельного значения NT. При превышении р зна-
чения р* происходит перераспределение усилий Nxz. На рис. 4.13 показано
распространение зоны проскальзывания при дальнейшем увеличении давления р.
ГЛАВА 5
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
5.1. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЯХ
Первый этап решения задач термоупругости — определение
температурных полей. При этом, как правило, считается, что
напряженно-деформированное состояние не влияет на распределе-
ние температур в конструкции, т. е. рассматривается несвязанная
задача термоупругости. Разрыв указанной связи существенно
упрощает решение задачи термоупругости. Определение темпера-
турных полей производится путем решения задачи теплопровод-
ности.
Пусть конструкция состоит из чередующихся жестких и мяг-
ких слоев с различными теплофизическими свойствами. Распре-
деление температур по толщине каждого слоя представим в виде
разложения по полиномам Лежандра
N
Т = 17’/(/,хт)РДг). (5.1)
/=о
При мйлой толщине слоев, достаточно медленной изменяемости
температуры по координатам срединной поверхности и при доста-
точно малой частоте изменения температуры во времени может
быть использована линейная аппроксимация
r<fe) T(k) х?) + Z{k)Q(k) х?). (5.2)
Tw = тГ1 (/, Xv) 4- z[ft]0[S1 (f, xv). (5.3)
Здесь T{ok) и Т[ок] — температуры срединных поверхностей k-ro
жесткого и k-ro мягкого слоев; ©<*> и ©1*1 — температурные гра-
диенты в этих слоях.
Соотношения, связывающие характеристики распределения
температур в мягких слоях с соответствующими функциями для
жесткого слоя, получаются из условия идеального теплового
контакта между слоями. Эти условия сводятся к равенству тем-
ператур и тепловых потоков в направлении общей нормали к по-
верхности контакта слоев. Для оболочки регулярного строения
174
(характеристики всех жестких и мягких слоев соответственно
одинаковы) условия идеального теплового контакта
имеют вид
— Т'
_____h_ 1
2<ft+l)~ 2
.[ft]
s ’ *
w=—
___T’tft]
____h_ 1
2<ft>— 2
гм=—г’
(5.4)
<?z(ft+i>
I . -4И
___________«. dz,
z(ft+l>~ 2 '
Л, дт^ I dTw I
dzk L = *-
Z(ft) 2 1 1 W 2
Ш 4*]=-|-
материалов
Здесь X' иГ — коэффициенты теплопроводности для
жестких и мягких слоев в направлении общей нормали к поверх-
ности контакта этих слоев.
В качестве примера приведем зависимости, связывающие рас-
пределения температур в слоях при сохранении в (5.1) двух чле-
нов ряда для жестких слоев и четырех членов ряда для мягких
слоев:
тР1 =
'(ft-H) ___ УРО]"
тр] = 4- - Tok} ~ 4
О
(5-5)
sk’ ,
ftF’
Л
2
(5-6)
(5-7)
жестких
(5-8)
Более простыми получаются соотношения, если использовать
линейную аппроксимацию изменения температуры как по тол-
щине жестких, так и по толщине мягких слоев, т. е. выраже-
ния (5.2), (5.3). Из условий (5.4) в этом случае следует, что гра-
диенты во всех жестких и во всех мягких слоях многослойной
конструкции должны быть соответственно одинаковы
©<*>=©'; ©[ft] = 0"; X'0'=X"0".
Температуры срединных поверхностей мягких слоев
тР1 = Д- (г°*+1> ~ Tok^’
Между температурами срединных поверхностей соседних
слоев существует зависимость
T(ft+i) = ^ft)_|_ft(1 +Х)©',
где X = X's /(k"h).
175
Таким образом, при использовании линейной аппроксимации
достаточно знать две функции, например, Т(Р и 0 , чтобы можно
было найти все характеристики распределения температур во
всех слоях. Формулы несколько упрощаются, если перенуме-
ровать слои и вместо То1* в качестве искомой функции взять
температуру срединной поверхности всего пакета. Пусть число
жестких слоев нечетное 2m + 1. Среднему слою присвоим ин-
декс нуль, остальным ±1, —2, ..., ±т. Обозначим 7^0) = То-
Тогда
Т^> = То + ^(1+Л)0 (Л = 0, ± +т);
Л*1 = 7о+-^-!-М1+М® =
= 0, ± 1,..., ± (m — 1),— т); (5.9)
0<*> = ©; 0[*] = _А_ Х0.
S
Аналогичные формулы получаются и для четного числа жестких
слоев.
Уравнения теплопроводности могут быть получены из вариа-
ционного принципа, согласно которому требуется стационар-
ность некоторого функционала, в который наряду с температурой
искомого процесса Т (t, хУ) входит температура фиктивного про-
цесса Т* (t, хУ), являющегося временном зеркальным отображе-
нием действительного процесса. Введение этого процесса необ-
ходимо, чтобы явление в целом было консервативным. Действи-
тельно, прямая сумма указанных процессов представляет собой
изэнтропический процесс.
Вариационный принцип теплопроводности для многослойных
конструкций записывается следующим образом:
6/ = 0, (5.10)
где функционал I при линейной аппроксимации изменения темпе-
ратуры во всех слоях для конструкции регулярного строения
имеет вид (число жестких слоев п = 2m + 1)
*0
tn tn—1
2 j/(4)dQ +
k——tnQ k=—tnQ □
У + J (Z+-|_/_) dQ+
m—1
/p>dr-|- 2 pr’dr dt.
(5.11)
k——m Г
176
Подынтегральные выражения определяются при этом по фор-
мулам
7(4) с'р'й /^,(4)* дТл дток)* \ (
1 =—2~\То —~Т°—Г) +
+ X'“f»/i V<*>7W \<kW + Х'й0*0 + ( 0* -
-0^-) + X^-g-vW0*V‘ft>0;
/± = х± [(7’o±'n)±-g-0) (T^±m)* ±-J-O*) - Т± (T{o±m) ± (5Л2)
±4®)-7,±(^±т>’±40*)1;
/р> = xh [Tp>To(fc)* - (T{ok} + Т}?') Тог’] +
+ [00* - (0 + 0*) 0р>].
Чтобы получить выражения для /[fc] и /р1, в правых частях
выражений (5.12) необходимо произвести замены: Tofc) —> То4];
0 —>/iX0/s; с'—> с"; р'—>р"; h —> s; и'—> и"; КХ'“₽ —>
-^Х"а₽; Тог —> ТоР; 0p>^0p]; Vp’-> Vp]. Для получения
явной зависимости функционала / от функций То, То, 0 и 0*
необходимо в (5.12) подставить соотношения (5.9). В выраже-
ниях (5.12) обозначено: с' и с" — удельные теплоемкости для
жестких и мягких слоев; р' и р" — плотности материалов этих
слоев; Х'а₽ и Х"а₽ — контравариантные компоненты тензора
коэффициентов теплопроводности для жесткого и мягкого слоев;
X' и X ’ — коэффициенты теплопроводности материала жесткого
и мягкого слоев в трансверсальном направлении; Vp* и vP] —
символы ковариантного дифференцирования на срединных по-
верхностях соответствующих слоев; х± — коэффициенты тепло-
отдачи поверхности жесткого слоя в окружающую среду на лице-
вых, ах' и х"— на торцовых поверхностях; Т+ и Т. — темпера-
туры окружающей среды соответственно над /n-м и под слоем
номера — tn. Параметры Тог , 0rfe) и 0р] характеризуют
распределение температуры внешней среды Тя на торцовых по-
верхностях
h/2 s/2
r»‘) = Tj T^dz^-, тЕг] = 4 j Tvk}dZ[ky,
-s/2 (5,13)
Л/2 s/2
0^=4^ [ T*\»dZW\ 0p] = 4“ I
Il J о J
—h/2 —sf2
При получении выражений (5.12) предполагалось, что на ли-
цевых и торцовых сторонах многослойной конструкции с внеш-
177
ними средами выполняются условия теплообмена Ньютона, а вну-
тренние тепловые источники в слоях отсутствуют. Выражения,
аналогичные (5.12), но более громоздкие нетрудно получить и
для четырехчленной аппроксимации распределения температуры
в мягких слоях (5.1) с использованием (5.5). Для пластин и доста-
точно тонких оболочек, когда изменением метрики по толщине
можно пренебречь, так что исчезает различие между и V**1
при неодинаковых k = vL*1 = Va), выражения (5.11) удается
просуммировать.
Уравнения теплопроводности получаются как уравнения Остро-
градского—Эйлера для вариационно# задачи (5.10) Для рассма-
триваемого случая они имеют вид
- стРтЯ + Н V«(^VpTo) 4- (х+ + х_)то + (х+ -
— х_) hi]Q — х+Т++х_Т_;
. (5.14)
------12---Qi- + ~i2~ Va (Хе Vp0) - ХОД0+/1Г] (х+—
— х_) То — h2t] (х+ + х_) 0 = ht] (и+Т+ — х_Т_).
Здесь введены обозначения
Н = (2m l)/i 2ms; = m(l 4-X) 4~-j-I
с^Н = (2m 4- 1) c'p'h 4- 2mc"p"s;
= (2m 4- 1) c'p'h [1 4-4m(m4- 1)(1 4~X)2] 4-
4-2/nc"p"s [X2 4-(4/n2 — 1)(1 4-X)J; (5.15)
Х0Я = (2m 4- 1) K'h 4- 2mV-^-;
X?₽tf = (2m 4- 1) X'“₽ h -4- 2mK(* s;
Xep/f = (2/n 4-1) X'a₽/i [1 4-4/n (m 4-1) (1 4-X)2] 4-
4- 2mX"“f»s [X2 + (4m2 - 1) (1 4- X)].
Вариационный принцип (5.10) доставляет также естественные
граничные условия, которые в рассматриваемом случае запи-
сываются в виде
X^VpTo 4~ нтТо = %тг7ог; (5 ig)
Хе^ V(j® 4- хв0 = Хвг©г,
где
хтЯ = (2m 4- 1) х'Л 4- 2mx"s; хтг — хт,
п&Н = (2m4“ 1)х'Л[1 4* 4m (т 4- 1)(1 4-Х)2] 4-
4-2mx"s[X24-(4m2 — 1)(1 4-X)2]; (5 Л7)
х0ГЯ = (2m 4- 1) v! \h 4- 4 (h 4- s) m (m 4- 1) (1 4- X)] 4~
+ 2mx" [sX 4- (h + s) (1 4- X) (4m2 - 1)].
178
При формулировке условий (5.16) сделано предположение,
что на торцовой поверхности температура окружающей среды
меняется по линейному закону от Т_ до Т+. Отсюда из (5.13)
следует, что
Тог = Тог k (h -f- s) ©г;
74o^ = Tor + -V1(A + s)e: 0 = (5’18)
Используя правило перехода к физическим составляющим
(см. п. 3.1), можно записать уравнения (5.14) и условия (5.16)
в физических переменных. Физические составляющие тензора
коэффициентов теплопроводности определяются выражениями
А„ = cos20 + А2 sin2 0; А2* = Ai sin2 0 -f- А2 cos2 0;
Ai2 = A2* = (A2 — Ai) sin 0 cos 0,
где 0 — угол между главными осями тензора теплофизических
постоянных и линиями кривизны; Aj и А2 — главные значения.
Для изотропного случая Ai = А2 = Ап = А22 = А ; А12 = 0.
При решении нестационарной задачи теплопроводности необ-
ходима формулировка начальных условий. Простейшим случаем
является задание в начальный момент времени t = 0 функций Tok)
и Т\к\ характеризующих распределение температуры в слоистой
оболочке:
= Т[к-> = Т<*>’ при t = 0. (5.20)
При использовании линейной аппроксимации изменения темпе-
ратуры в жестких и мягких слоях эти условия принимают вид
То = 7’о; 0 = ё при ( = 0. (5.21)
Таким образом, нестационарная задача теплопроводности для
многослойных конструкций заключается в нахождении решения
системы (5.14), удовлетворяющего одному из видов граничных
условий, например, (5.16) и начальным условиям (5.21). Сформу-
лированная задача теплопроводности решается без учета влияния
деформирования конструкции на изменение поля температур,
что является характерным для несвязанных задач теории термо-
упругости.
Соответствующая стационарная задача получается, если в урав-
нениях (5.14) опустить производные по времени и, кроме того,
отвлечься от начальных условий. Если, кроме того, поля темпе-
ратур внешних сред являются однородными по координатам,
а теплофизические характеристики слоев конструкции также не
зависят от координат ха, то распределение температур
при х+ = х_ полностью определяется формулами (5.9),
в слоях
где
(5.22)
179
Эти формулы следуют из уравнений
(5.14) и легко могут быть получены
также непосредственно из (5.9).
Пример. Пусть оболочка регулярного строе-
ния состоит из пяти жестких слоев (т = 2).
Разность температур на внешней и внутренней
поверхностях АТ=Т_—Т+ = 50° С. На рис. 5.1
показано распределение температур по слоям
при X = = 0,3. Результаты получены с
Л Л
. применением формул (5.22).
При более полном учете распределе-
ния температуры в мягких слоях, т. е.
при сохранении большего числа чле-
нов в разложениях (5.1), задача теп-
лопроводности при наличии однород-
ных по координатам полей также решается достаточно просто.
Искомые функции в нестационарной задаче зависят только от вре-
мени, и задача сводится к интегрированию системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с начальными условиями.
В случае стационарной задачи необходимо решить систему ал-
гебраических линейных неоднородных уравнений. И в том, и
в другом случае используются стандартные методы.
В общем случае рекомендуется следующий путь решения за-
дачи: выполнить преобразование Лапласа (или Лапласа—Кар-
сона) по времени, затем одним из известных методов решить неод-
нородную краевую задачу и, наконец, выполнить обратное пре-
образование (возможно численно). Для замкнутых оболочек или
при использовании бесконечных моделей можно применять раз-
личные интегральные преобразования по одной или двум коор-
динатам, например преобразование Фурье.
5.2. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ
ИХ РЕШЕНИЯ
Предположим, что распределение температур по толщине
Жестких и мягких слоев удовлетворительно аппроксимируется
Линейными зависимостями типа (5.2) и (5.3). Из рассмотренных
в гл. 3 вариантов основных уравнений ограничимся случаем,
когда для жестких слоев справедлива гипотеза Кирхгофа—Лява.
В соответствии с принятыми гипотезами связь между компонен-
тами деформации и перемещениями дается формулами (3.39) при
учете (3.35). Отличием задач термоупругости является учет в вы-
ражениях для трансверсальной деформации мягких слоев состав-
ляющих, учитывающих температурные удлинения нормальных
элементов жестких слоев, примыкающих к данному мягкому
слою:
£зз] = -L (u^+D - _ a’T[kih), (5.23)
180
где а' — коэффициент температурного расширения материала
жестких слоев в направлении, нормальном к их срединным по-
верхностям; — средняя температура в мягком слое.
Энергетические усилия и моменты с учетом температурных
слагаемых определяются формулами
дг<*> “3 =
M(k) °* = (х$ + a;e0(ft))/12;
а _ 2saw a(iG"elkl- ^,24^
— ZiSQ, \J Ерз »
При вычислении этих усилий и моментов использовалось основ-
ное предположение теории термоупругости, состоящее в том, что
полная деформация равна сумме упругих и температурных дефор-
маций (соотношения Дюгамеля—Неймана).
Аналогом вариационного принципа Лагранжа в теории тер-
моупругости является принцип минимума свободной энергии.
Для многослойных конструкций указанный вариационный прин-
цип обобщается и приводит к требованию стационарности
функционала
п
Пт = 4 S J [N(ft) °* (*$ - + м(*(х$ + dQ +
k=l я
n—1
+ + (5.25)
ft=2 Я
Применение принципа минимума свободной энергии
6Пг = 0 (5.26)
Дает Возможность получить основные конечно-разностно-дифферен-
циальные уравнения термоупругого равновесия. Выполнив варьи-
рование и использовав лемму вариационного исчисления, получим
“3 _ ftp» a^M(k} ₽v - s’1 (t’kQw*a - -
- 2s-1c0b^ a (t’kQWtfi + = 0; (5.27)
. + V<*> [CoS-1 (t'kQw*a + -
- s’1 (t’kNw - tkNlk~X}} = 0.
Остановимся кратко на постановке основных задач теории
термоупругости. Решение задач несвязанной теории термоупру-
гости состоит из двух последовательно решаемых задач: задачи
181
теплопроводности (см. п. 5.1) и непосредственно задачи термо-
упругости. Задача термоупругости решается без учета влияния
изменения температурного поля, вызванного деформациями. Если
при решении учитываются инерционные члены, то в этом случае
имеем динамическую задачу термоупругости. Поскольку харак-
терные времена изменения температурного поля и динамических
процессов деформирования оболочки значительно отличаются, то
при исследовании задач термоупругости можно пренебречь инер-
ционными членами. В этом случае имеем квазистатическую задачу
термоупругости. Наконец, если температурное поле не зависит
от времени, то приходим к стационарной задаче теории термо-
упругости.
В зависимости от типа задачи следует выбирать и метод реше-
ния. Так, для решения динамических задач термоупругости мо-
жет быть применено одно из интегральных преобразований, на-
пример, преобразование Лапласа. Далее решается краевая задача,
аналогичная стационарной задаче теории термоупругости, а затем
выполняется обратное преобразование. При решении задачи
в квазистатической постановке зависимость от времени t можно
рассматривать как зависимость от параметра. Рассмотрим более
подробно методы решения стационарной задачи.
В ряде случаев точное решение можно получить по стандарт-
ной схеме (см., например, гл. 2 и 3). Такое решение возможно
для пластин или пологих оболочек, прямоугольных в плане,
с граничными условиями типа свободного опирания или скользя-
щей заделки на двух противоположных или на всех кромках,
а также для замкнутых круговых цилиндрических оболочек с про-
извольными граничными условиями. Для перечисленных задач
удается провести разделение переменных и свести расчет к реше-
нию ряда одномерных задач.
Разделение достигается подстановкой
V/m = Vfm (*l) Sin (AlmX2 + X/)
(/==1,2,3); (fj = u; v2 = v; v3=w). (5.28)
Волновое число km выбирается в зависимости от вида гранич-
ных условий на кромках хг — const, фаза X/ — так,- чтобы стало
возможным разделение переменных. Например, для пластин
с двумя противоположными опертыми кромками разделение до-
стигается выбором: km = trmlb, %! = л/2, Хг “ Хз = О’> если
на двух противоположных краях скользящая заделка, то km =
= trmlb, Xi ~ 0, Хг = Хз ~ л/2; если на одной стороне — опи-
рание, а на второй — скользящая заделка, то km = (т + -у-) nib,
Xi = л/2, Х2 = Хз = 0 (или Xi = 0, Хг = Хз = л/2)- Для замк-
нутой цилиндрической оболочки km = tnlR, Xi = л/2, Хг —
= Хз — 0 (или Xi = 0, Хг — Хз — л/2). В результате разделения
получается для Vjm неоднородная система обыкновенных диф-
ференциально-разностных уравнений.
182
Различные методы решения одномерных неоднородных крае-
вых задач термоупругости продемонстрируем на примере осесим-
метричной деформации круговой цилиндрической оболочки, нахо-
дящейся в однородном температурном поле. Уравнения термоупру-
гости для данного случая в безразмерной форме
Pk ( Uk, XX ~Г~ ~~ Wk, я') 4“ PfeXA Г(Wfe+1 — Uk) 4“
\ РЛ / L
+ (^*+1, х + Wk, х) ] ~
— Pfe—iX^h |яя (uk — Uk-т.) Ч—%- х Ч- x) J —
1 / Ф \2 . Wk i f
"jy \7?* j PkWk, xxxx 4 I- v Uk, x (5.29)
— Pk X [ («Л+1. * — “A. x) + 4" (Wk, XX 4- “’*+1. «)] —
• X RH (Wk+1 — tt^)^ Pfe-1 ^”2” X x Uk-1, x) Rh Ч-
4- -^-(Wk, XX 4- Wk-l. «)] — *R*H(Wk — O'ft-l)]- =
= 1 — x'p/?„(p“ — Pfe_l).
Индексы после запятой означают дифференцирование по этим
переменным. В уравнениях (5.29) введены следующие безразмер-
ные переменные
_ , u<ft> . _ X .
Wk RHaT ’ Uk RHaT ’ X* Ra ’
a = a'(14-v'); pft = -^-; pi = ;
Rk = (Rk + Rk-i)/2-, pg = pi = O; x'^-^rg.-.-
(5.30)
n*__ n — 1 +Ф .
Kk~~ 1— m ’
G"k
Ez
h
h-\-s
a,
a"
a' ’
f =
X
E' ,
E" ’
183
где R„ и RB — наружный и внутренний радиусы оболочки.
Граничные условия
(“fe.x+ 1)бы* = 0; wkiXxbwktX = 0-,
Г 1 / ’Ф \а 1 о Г г>* / \ 1
112 -у-рбХ ри(«б+1 — «б) +
1 J (5.31)
+ -g-(tt’*+l,x + O’*,x)] — ^-р6-1Х[^н(«6 — «6-1) +
+ 4- (™k, х -J- шй_1, х) ] } f>wk = 0.
Решение системы (5.29) ищем в виде суммы
«б = «бо + «б/. ®б = ^бо + ^б.> (5.32)
где иАо и wk0 — общее решение однородной системы (5.29); uk*
и и>ь* — частное решение неоднородной системы. При равномер-
ном температурном поле (Т = const) wk* находим из системы
линейных неоднородных уравнений
— рб/Ян (0У6+1 — и?б) — рб-lX Рн (^6 — ИУб-1) =
= l_x'p7?;(p»_pO_I)_v7(l+v); (5.33)
ukt = х/(1 -J- v'). (5.34)
Система (5.33) является системой в конечных разностях с сим-
метричной матрицей. Последнее следует из соотношения
7?:(р6-17?:+4-)=-^(р^-4-)- (5-35)
Эта система при небольшом числе слоев решается на ЭВМ с ис-
пользованием стандартных программ, а при большом числе слоев—
методом прогонки (см. п. 4.3).
Разыскивая решение однородной системы в виде
«бо = ^ех-х; wk0 — Wk&x, (5.36)
приходим к характеристическому уравнению для определения %.
После его решения и нахождения для каждого корня этого урав-
нения % = %,- ненулевых решений , М;) общее решение можно
записать в виде (4.29). Постоянные определяются при удовлетво-
рении граничных условий.
Исходную систему (5.29) и граничные условия (5.31) после
преобразования переменных записываем в канонической форме
(2.108) с условиями (2.109). Данную задачу можно решать мето-
дом ортогональной прогонки по алгоритму, описанному в п. 2.4.
184
Описанные методы эффективны лишь при небольшом числе
слоев. Более широкую область применения имеет конечно-раз-
ностный итерационный метод, который состоит в использовании
конечно-разностной аппроксимации при решении неоднородной
краевой задачи и решении полученной системы алгебраических
уравнений итерационным методом. Для осесимметричной дефор-
мации цилиндрической оболочки система (5.29) принимает вид
(п = 2)
Pk-^г [4£+1)—24° +4i-1)] - /-«1° + rup +
+(<+<?) 4-M'+1) -<-'>] +
+=0; (5.37)
VP* 4" lwk -2) - 4®V_,) + 6^° - 4®V+I) + +2)] +
— p -7J3- ° +
+ к-(-1М^[4Ж)-4/-1)] +
где
1 / 4’ \2. 1 oD*.
~ 12 \ R*) ’ 2 Xpl^B’
p = 4-p?%; £ = р1х'Яи2; г=р°хЯю <5-38)
qk = 1 + (-l)*xW?. k = 1, 2, j = 3 - k.
Аналогично заменяются разностными выражениями и гранич-
ные условия. Например, в случае заделки они имеют вид
и$> = = 0; ЗЧО) - + Wk} = 0. (5.39)
Система (5.37) выписана для аппроксимации с постоянным шагом.
Во многих случаях предпочтительнее использовать переменный
шаг. Сетка должна быть более густой в тех областях, где можно
ожидать быстро меняющихся решений.
185
Вводя вектор х = (и^\ запишем систему (5.37) сле-
дующим образом:
Вх = q. (5.40)
Представив эту систему в виде
«г11, <+1>.
a4°™/w(«V+,), в4/-1>. “’V+'\ и’^+г,)< (5-41)
можно реализовать схему метода последовательных приближений.
Задать в качестве нулевого приближения можно точечную аппрок-
симацию некоторой функции, по характеру приближенно соот-
ветствующей искомому решению. Процесс проводится до тех пор,
пока не будет выполнено условие
—— <в-
•*71
Указанный метод аналогичен итерационному методу Зейделя.
Необходимое условие сходимости итерационного процесса (5.41)—
диагональные элементы матрицы В должны быть отличны от
нуля и быть наибольшими (по модулю) в своих строках. Эти
условия для данной системы выполняются. Недостатком метода
конечных разностей является необходимость использования боль-
шого числа точек, что приводит к алгебраическим системам с боль-
шим числом неизвестных.
5.3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Поскольку цилиндрические многослойные конструкции встре-
чаются на практике наиболее часто, уделим им основное внима-
ние. Рассмотрим сначала стационарную задачу термоупругости
для удлиненной цилиндрической оболочки регулярного строе-
ния. Пусть деформирование осесимметричное. Для жестких слоев
принимаем гипотезу Кирхгофа—Лява, а для мягких слоев учи-
тываем равномерно распределенные по толщине напряжения о'з1
и Оз*J. Расчет сводится к решению системы (5.33) с последующим
вычислением напряжений. Радиальные напряжения в мягких
слоях вычисляются по формуле
оР] = Л1 (1-ф)-1[/?н(^+1-^)-Pl-
Окружные напряжения в жестких слоях
<k) wk 1
°ф Е'а'Т pk
(5.42)
(5.43)
186
Пример. Пусть оболочка состоит из 10 же-
стких слоев (п = 10) и характеризуется пара-
метром RB/Ri, = 0,5. Остальные параметры бу-
дем варьировать. Результаты решения системы
(5.33) приведены на рис. 5.2. Анализ результа-
тов показывает, что при достаточно малых зна-
чениях коэффициента армирования ф и относи-
тельной жесткости /"’= EzlE , достаточно боль-
шом числе слоев и большом отношении коэффи-
циентов температурного расширения а/а'
внутренний слой оболочки получает отрица-
тельные радиальные смещения. На этот эффект
было указано в работе [23]. Разность переме-
щений наружной и внутренней поверхностей
цилиндра уменьшается при увеличении ф, и тем
быстрее, чем меньше f-1.
Распределение радиальных напряжений по-
казано на рис. 5.3. Зависимости максимальных
радиальных напряжений от коэффициента ар-
мирования показаны на рис. 5.4 В зависимости
от изменения ф наблюдается
экстремальное значение для максимальных радиальных напряжений.
Результаты вычислений окружных напряжений приведены на рис. 5.5 и 5.6.
Отметим, что по мере уменьшения относительной жесткости окружные напря-
жения в n-м слое становятся и остаются больше, чем напряжения в первом
(внутреннем) слое.
Аналогичные результаты могут быть получены для оболочек
других форм, например, для сферической оболочки [301. Харак-
тер основных зависимостей перемещений и напряжений при этом
не меняется. Например, так же как и для цилиндрической обо-
лочки, для сферической оболочки возможно появление отрица-
тельных смещений на внутренней поверхности.
В области границ или сопряжения конструкционных элемен-
тов изменение температурного поля в многослойных пластинах
и оболочках может привести к появлению термоупругих краевых
эффектов. Эти области, как правило, являются наиболее опас-
ными. В области, удаленной
от торцов оболочки, имеет ме-
сто безмоментное напряженное
состояние, которое легко можно
Рис. 5.3
187
Рис. 5.6
определить, решив систему линейных неоднородных уравнений
(5.33). Пример определения такого состояния дан выше.
Исходными уравнениями при исследовании термоупругих
краевых эффектов являются уравнения (5.29). Решение ищется
в виде суммы (5.32), где решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид (5.36), а общее решение может быть записано
в виде (4.29). Для изучения термоупругих краевых эффектов,
как обычно, используется полубесконечная модель (х > 0), так
что при х — > оо решение должно стремиться к безмоментному
wk*- Поэтому в решении (4.29) константы у членов с положи-
тельным коэффициентом в показателе степени должны быть по-
ложены равными нулю. Остальные константы находятся из усло-
вий на торце оболочки х — 0.
Описанная схема точного решения трудно реализуется осо-
бенно при большом числе слоев, поэтому для приближенного
определения термоупругих краевых эффектов следует исполь-
зовать другие методы. Общий вид решения (4.29) позволяет из-
учить характер отдельных слагаемых, образующих общий инте-
гральный краевой эффект. Эти слагаемые описывают различные
типы краевых эффектов, возможные в многослойной цилиндри-
ческой оболочке, которые могут быть реализованы путем при-
ложения определенного вида самоуравновешенных систем на-
грузок на торце оболочки (см. п. 4.2). Термоупругий краевой
эффект является совокупностью частных краевых эффектов.
Применим для решения данной задачи метод прогонки. Введем
бп-мерный вектор решения системы (5.29) с компонентами
Ук = икй1 Уп^к:=^к' Узп+к ~ ^кО, х> Узп+k ~ Xi
.. , о . (5.44)
y^k = ^k,xxi Уьп+к = ®к.ххх (^=1,2, . . ,,п)
и приведем задачу о термоупругом краевом эффекте к двухточеч-
ной краевой задаче (2.108), (2.109). В то время как при х = 0
условия отвечают истинному характеру закрепления торца,
при х = I они могут быть выбраны достаточно произвольно.
188
Наиболее целесообразна формулировка условий, соответствую-
щих полной заделке или совпадению при х — I искомого решения
с решением безмоментной задачи. Отрезок интегрирования должен
быть достаточно большим и превышать зону краевого эффекта
при постановке при х = I условий, соответствующих совпадению
решения типа краевого эффекта с безмоментным. Отрезок инте-
грирования должен быть увеличен вдвое при постановке при
х = I произвольных граничных условий. Для случая, когда
при х — I ставятся условия
®4 = ®4»; «40=0; ®4,х = 0, (5.45)
грубую оценку отрезка интегрирования можно получить по фор-
муле I 10 VЯЛН, где Ra — внешний радиус оболочки; Н —
толщина оболочки.
Решение двухточечной краевой задачи проведем методом
ортогональной прогонки, схема которого описана в п. 2.4. Век-
тор частного решения в данном случае имеет компоненты
Уп+к = ; Ук = у'п+к = У°зп+к = У°пЪк = Увп+к = 0. (5.46)
Решение системы (2.108), соответствующее краевым эффектам
у торца слоистой оболочки, при выборе частного решения в виде
(5.46) следующее:
Зп
У* = У - У° = L Ckzk- (5-47)
4=1
Пример. Рассмотрим оболочку с параметрами: п = 2; т = 0,9; E'lEz = 10;
а"/а' = 10; г|> = 0,2; v = 0,3; G"iE'^ = 0,3. Приведем результаты вычислений
из работ [53 , 64].
На рис. 5.7 штриховыми линиями показаны зависимости безразмерного
прогиба w*k = w{ki/w^ от координаты х* = х//?н для оболочки с заделанным
торцом. Асимптотические значения, являющиеся решением плоской задачи
189
(безмоментное состояние), соответственно равны ш* = 0,899; = 1,0. Зави-
симость безразмерного изгибающего момента
М* = — -^з Wk- хх (5-48)
для того же случая приведена на рис. 5.8 штриховыми линиями. Сплошными
линиями на рис. 5.7 и 5.8 для сравнения показаны результаты точного решения,
полученного по стандартной схеме с построением общего решения.
На рис. 5.9 показано изменение приращения радиального напряжения в мяг-
ком слое к напряжению в этом слое при плоской деформации оболочки (резуль-
таты получены методом прогонки). При плоской деформации для рассматривае-
мого случая радиальное напряжение ог = —0,658-Ю-3. Каки следовало ожидать,
зона краевого эффекта оказалась меньше, чем для соответствующей ортотроп-
ной монолитной оболочки из эквивалентного в энергетическом смысле материала.
Представляет интерес термоупругий краевой эффект в оболочке со свобод-
ным торцом. Уравнения плоской задачи получаются из (5.29) при Uk = 0; Wk, х =
= 0. Решение плоской задачи: = 0,564; w2ie = 0,878. Приращение прогиба
вследствие влияния края незначительно. Малое значение имеют также изгиба-
ющие моменты М* по сравнению с оболочкой с заделанными торцами. При
свободном торце оболочки возможно возникновение растягивающего радиаль-
ного напряжения вблизи контура (рис. 5.10). При этом безразмерное радиальное
напряжение в плоской задаче аг =—0,423-10"2.
Для той же задачи применим метод конечных разностей. В качестве началь-
ного, нулевого, приближения для (5.41) можно выбрать функцию
Wk = wkt, [ 1 — exp (— ppr)], (5.49)
где Pi — положительная константа.
Для оболочки с теми же параметрами были произведены вычисления на
ЭВМ. В качестве начального приближения полагалось pt == 25. Поскольку при
разностной аппроксимации возникают «законтурные» точки, то итерационный
цикл организовывался для внутренних точек зоны краевого эффекта. На рас-
стоянии I = 0,ЗДн было выбрано 100 узлов, относительная погрешность при-
нималась равной е= 1,5%. Результаты вычислений приведены на рис. 5.7 и 5.8
штрихпунктирными линиями. Для достижения принятой точности нужно было
выполнить более 150 итераций. Тем не менее по затратам машинного времени,
а также из-за простоты и устойчивости программ численной реализации на ЭВМ
разностно-итерационный метод для рассмотренного случая оказался более эффек-
тивным.
Жесткие слои многослойных оболочек могут быть анизотроп-
ными. Учитывая это обстоятельство, рассмотрим неосесимметрич-
190
ную деформацию многослойных цилиндрических оболочек квази-
регулярного строения, жесткие слои которых являются ортотроп-
ными с чередующимися по знаку углами главных направлений
анизотропии 0fe = (—1)*0. Такая оболочка может служить расчет-
ной схемой оболочки, образованной намоткой нитями. При этом
за анизотропный жесткий слой принимается слой армирующих
волокон с прилегающим участком отвержденного связующего
(см. гл. 8).
Соотношения упругости имеют вид (5.24), где компоненты
тензора упругих постоянных определяются согласно (1.69) с уче-
том (1.68). Исходные уравнения (4.39) с операторами (4.41), (4.42)
необходимо дополнить температурными слагаемыми.
В оболочках рассматриваемого
типа даже при осесимметричном
равномерном нагреве (Т = const)
возникает неосесимметричное напря-
женно-деформированное состояние.
Схема решения стандартная.
Сначала находится частное реше-
ние, соответствующее области, уда-
ленной от торца, а затем строится
решение типа краевого эффекта.
Для нахождения последнего произ-
водится разделение переменных
с представлением решений в виде
рядов по системе функций от ок-
ружной координаты. Для получен-
ных одномерных систем составля-
ются характеристические уравнения
и выполняется процедура нахожде-
ния точнрго решения.
191
Пример. Пусть оболочка состоит из двух жестких слоев (п = 2) и харак-
теризуется параметрами:ф = 0,5; EilEz = 20; EilEz = 40; G/£z = 0,2; G/£z =
= 10; V] = 0,2; v„ = 0,4; v = 0,3; tn = 0,9; = 2; aja" = 0,1; 0=9;
15; 24°.
Зависимости продольных и окружных перемещений от продольной коорди-
наты х = х/с0 показаны на рис. 5.11 и 5.12. Кривые 1, 2 и 3 построены соот-
ветственно для 0 = 9; 15; 24°. В зоне краевого эффекта окружные и продольные
перемещения сопоставимы. Сравнение протяженности зон краевых эффектов при
осесимметричной н неосесимметричной деформации позволяет сделать вывод, что
анизотропия жесты х слоев приводит к существенному (почти в 2 раза) увели-
чению зоны краевого эффекта.
На рис. 5.13 показана зависимость изгибающих и крутящих моментов в зоне
краевого эффекта. В этой зоне значения крутящего момента сопоставимы со
значениями изгибающего момента.
ГЛАВА 6
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
6.1. УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Уравнения общей теории упругих многослойных конструк-
ций, полученные в гл. 3, основаны на предположении о малости
перемещений по сравнению с толщиной жесткого слоя. След-
ствием этого явилась линейность основных уравнений. Поведение
многослойных конструкций при больших деформациях и после
потери устойчивости, явление потери устойчивости «хлопком»
(определение «нижних» критических усилий), нелинейные эффекты
при динамических воздействиях вблизи резонансных частот
и т. д. исследуются на основе нелинейных уравнений.
Сохраняя предположение о малости перемещений по сравне-
нию с масштабом изменения напряженно-деформированного со-
стояния, введем предположение о сопоставимости нормальных
перемещений жестких слоев с толщиной этих слоев h^), т. е.
считаем, что справедливы оценки
w^2
V
R2
(6-1)
где X — характерный масштаб изменения напряженно-деформи-
рованного состояния. Индексом нуль отмечены характерные
перемещения.
Принимаем гипотезу о том, что жесткие слои работают в со-
ответствии с предположениями уточненной теории оболочек,
учитывающей поперечные сдвиги (см. гл. 3).
Компоненты тензора деформации жестких слоев определяем
по формуле
8$ = 4" Ц*’ + ’ + Vafc)U(*)Z (6.2)
Поскольку жесткие слои считаются тонкими, в выражении
для деформаций ограничимся линейными относительно коорди-
наты z(*) членами (3.38). Однако компоненты тензора деформации
срединной поверхности е°а^ считаем нелинейными
еар = еаР + — фа Фр? ~Г ‘2~сРа Фр > (6-3)
7 В. В. Болотнн 193
где е$, ф(х*?. ч>а} определяются согласно (3.35), (3.39) и (3.40)
[значения входящие в (3.38), определяются по формулам
(3.39)]. При вычислении деформаций пренебрегаем членами типа
имеющими более высокий порядок малости. Сохранение этих
членов привело бы к необходимости сохранения квадратичных
членов относительно г^) в (3.38) и некоторых нелинейных членов
в выражении для перемещений (3.34), что не соответствовало
бы принятым допущениям и противоречило бы соотношениям (6.1).
Принятые ограничения для нелинейных членов являются обыч-
ными в нелинейной теории оболочек.
Для мягких слоев можно сохранить прежние гипотезы. Оценки
показывают, что для деформаций мягких слоев можно ограни-
читься линейными выражениями (3.44), (3.45). Для относительно
толстых и податливых мягких слоев в некоторых случаях можно
учитывать нелинейные слагаемые также и в выражениях для
деформаций этих слоев. Например, для оболочки регулярного
строения, когда для жестких слоев используется гипотеза Кирх-
гофа—Лява, вместо (3.46) могут быть использованы выражения
I
1
hw v
-гб'»' ’М*+"+4»Г)] 1 +
(6.4)
Напряжения в жестких и мягких слоях после определения
деформаций вычисляются по формулам (3.47).
Естественный путь получения нелинейных уравнений — при-
менение вариационного принципа Лагранжа. Выражения для
потенциала внешних сил и потенциальной энергии деформации
сохраняют форму (3.91) и (3.90) или (3.89) и (3.86), а также (3.87),
только величины должны быть заменены выражениями (6.3),
а при учете нелинейных членов в выражениях для деформаций
мягких слоев также (6.4). Выражения (3.88), связывающие обыч-
ные и энергетические усилия и моменты, заменяются следующими:
(*) “Р _ “Р_________________L v₽ _|_
(6-5)
ар __
g(k) ар __ g(ft) ар
194
Если вместо (3.39) взять более простые выражения для кри-
визны (iplp* #<$), то вместо первого выражения из (6.5) следует
принять
ар __ «₽ _]___L blf* “V_____________
__L^>aM(fc)₽v + N(fe)av<)p. (6.6)
Если справедливы гипотезы, соответствующие пологим оболоч-
кам, энергетические и обычные усилия совпадают.
Выполнение процедуры применения принципа Лагранжа с ис-
пользованием выражений (3.87), (3.90), (3.91) и (6.3), (6.5) при-
водит к основным конечно-разностным дифференциальным урав-
нениям нелинейной теории многослойных оболочек. Для обо-
лочки регулярного строения они имеют вид [57]
a₽ + aN(fc)
b(k) as(k) p _ _ t"kQ[k-^a'
b$N{k} ap - V^’ (N(ft) ap<p^’) — v£fc)S(ft) a + (6.7)
+ v<fc) (^‘“ + ^[*~1]**а)-
---l-(t'kNlk} - t"kNlk~n) - q(k} 3 = 0;
V^’Al(fc) ap 4- S(fc) a 4- A 4- m(ft) a = 0.
Здесь ‘использованы обозначения (3.61) и выражения (3.62).
Подставляя в (6.7) выражения усилий и моментов через пере-
мещения, получим нелинейные уравнения в перемещениях. Ввиду
их громоздкости явную запись этих уравнений не приводим.
Естественные граничные условия для участка края, где
х1 = const:
= M?k); Kq^*14- ЙГ11’’1 4- (6.8)
4- N(ft) 4- S(fe)1] = -J/4FQ\k}.
Если поперечные сдвиги в жестких слоях пренебрежимо
малы, то во всех выражениях компоненты должны быть заме-
нены согласно (3.35). В выражении для потенциальной энергии
7* 195
деформации жестких слоев следует положить S(ft>a = 0, т. е. взять
выражение (3.86), а в выражении для потенциала внешних сил —
выражение (3.89). Вместо уравнений (6.7) в этом случае полу-
чим [57 ]
aP_ pv - -L (/'qW*« - -
_ 2£o. bw a (,;Q[*].₽ + +
+ N(fe) vP^fe) + 4lk) a = 0;
b$JV(ft)ap + v^’v^’Mw ap + <6‘9>
+ V<ft) [-^ (4Q[fc]*a + 4Q[^I]‘*a)J -
- _L (t’kN^ - fkNlk-*) - (N(ft) afMft)) - q(k} 3 - 0.
Если край совпадает с линией х1 = const, то естественные
граничные условия на этом краю имеют вид
У aw (/V(fe) aI — b(2k} аМ(к} 2I) =
и=у^м^;
[A (^qW1 4- 4- V^ft)Л1(ft) 1₽ -
-V + (К*75 Л1'м “)] =
(6.10)
= Q}k) + -L=--^
(У<№ .
Если учесть нелинейные эффекты деформации мягких слоев,
то вместо (6.9) с учетом (6.4) получим уравнения
(fc> — Ь^к) aV^’М(к} &v —
_ 2^_ &[fc] а (^Q[fe]*0
4-N(ft)v^)^)4-g(ft)a = 0;
b^N^ «р 4- ap - № (N(ft) aMfe)) +
4_ 4- x (6.11)
- 4- (&2m*a
196
X (1 + - W*-11) +
+ -^T ^QW*“Va ’ (wW + tZ+1)) -
__ co —1))
— 7Г (^(ft+I) — ^(/г>) +
-f- t"kNlk~1} (w<k> _ oy(A-1))] — q(k} 3 = 0.
Существенным моментом при получении уравнений (6.7), (6.9)
и (6.11) является учет изменения метрики при переходе от слоя
к слою. Поэтому их можно применять не только для конструкций
типа пластин и оболочек, но и для массивных тел слоистой струк-
туры.
Рассмотрим некоторые упрощения уравнений (6.7) и (6.9)
для оболочек. Если толщина оболочки Н мала по сравнению
с характерным радиусом, то оболочку можно считать тонкой
и изменением метрики можно пренебречь. При этом в уравне-
ниях (6.7), (6.9) и соответствующих граничных условиях следует
положить
аа₽) = аа₽; &<*> = &в₽; =
. , . „ (6.12)
V<x = Va» tk = Tlfen» tk = llfel) life/ — 1
Существенно упрощает уравнения введение гипотез, соответ-
ствующих пологим оболочкам. В (6.3) нелинейными членами,
содержащими фа8, в этом случае следует пренебречь, а в остав-
шихся нелинейных членах заменить <ра на ЛайУ. Кроме того,
в выражениях для компонент тензора изменения кривизны следует
пренебречь членами, содержащими Ьа- В качестве примера при-
ведем вид уравнений (6.9) для пологих оболочек
Vg/V**» “3 — s-1 (ThnQw “ — “) + “ = °;
bat№ “3 + VaVpM<*> “3 + CoS-1 (T]ft„Q[*] “ + W2[ft+I] “) - (6.13)
- s-1 (V^ - ПиМ*-1!) va(Af(fe) a₽vpU>) _ g(k) з = 0
Усилия и моменты в этом случае совпадают с энергетическими
и определяются согласно (3.62). Дальнейшие упрощения полу-
чаются, если пренебречь деформациями нормалей в мягких слоях
и ввести функции суммарных усилий. Из уравнений (6.7) при
этом получаются уравнения работ [22, 35].
197
6.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
Простейший случай линеаризации полученных в п. 6.1 уравне-
ний имеет место, если исходное состояние системы можно отожде-
ствить с недеформированным. Для проведения линеаризации
достаточно в полученных уравнениях и соответствующих гранич-
ных условиях опустить нелинейные члены, в результате чего
получаются уравнения, приведенные в гл. 3. Представляет инте-
рес линеаризация уравнений относительно безмоментного напря-
женного состояния. Полученные при этом уравнения являются
уравнениями в вариациях. Соответственно безмоментное состоя-
ние, относительно которого проводится линеаризация, можно
классифицировать как невозмущенное равновесие. Безмоментным
здесь названо состояние, при котором каждый жесткий слой
работает как безмоментная оболочка, в то же время система
тангенциальных нормальных усилий, кроме суммарного танген-
циального усилия, вообще говоря, может давать суммарный мо-
мент. Покажем, как проводится линеаризация относительно
безмоментного состояния на примере уравнений (6.9), а затем
приведем линеаризированные варианты для других случаев.
Безмоментное состояние в многослойной конструкции описы-
вается системой уравнений, вытекающей из (6.9):
afJ + N(ft) a4ft) + a = 0;
b(^Nw afJ - A- (t'kNw - - (6.14)
-V<?> (N(ft) aV’)-?(ft)3 = 0.
Пусть решение этой системы
N(ft)a₽=N0(ft)a₽; ф(*)вфор).
= = (6Л5)
Решение уравнений (6.9) ищем в виде суммы двух слагаемых,
одно из которых есть (6.15), а второе соответствует отклонению
от первоначального безмоментного состояния
ар __ N<) (Й) ар | fe) ар. q[/s] а _ q[6] а.
в ф« + ф<|>; р] +
ар в ар. = + (6-16)
ш<‘| = а^и+е
Подставим (6.16) в (6.9) и проведем линеаризацию относи-
тельно отклонений с учетом того, что (6.15) есть решение уравне-
ний (6.14). При проведении линеаризации, как это обычно де-
198
лается в теории устойчивости оболочек, считаем, что членами
типа можно пренебречь по сравнению с членами
/V0 Вместо усилий в (6.9) должно быть внесено
“f* = «0 n<*> “0 №(fc) **• (6.17)
После выполнения линеаризации получим систему уравнений
(индекс * опускаем)
ар _ ьма\/Ммм - 4“
_ 2£o. 4. ^Q[ft-1]**p) +
+ ?(ft) (jvo (ft) av^tft) P) +
$NW a& + V^k)M(k) “p +
+ V(fe> + _
_ _L (t'kNlki - t"kNlk-") - ?M (№ fft> V’) +
(6.18)
Здесь и g(ft)—дополнительные внешние нагрузки, которые
в задачах устойчивости равны нулю. Все величины, входящие
в (6.18), вычисляются по формулам линейной теории многослой-
ных оболочек (см. гл. 3).
Аналогичным образом проводится линеаризация граничных
условий
уйм (ftM al — b{2k} 2I) =
уaM M'k) 11 = У
уйм Г-£»-4- ^Q^’11**1) +
L s (6.19)
= y^2} ГQ(ft) + ^-4) (Ka'2 } M w)
r a22
199
Приведем линеаризированные варианты уравнений для других
случаев. Так, для общих уравнений (6.5) получим
V**)N(k) а& + b(yk) а№(k) %(р*’ + btf} aS(k) ₽ +
+ v(fc) (JVO (k) ₽)__!_ _ t"kQlk'1}**a) -
+ ==0; (6.20)
b$N<k) afJ - vlfc) (№(k) a4fc)) + b^N°(k) Тэ - vLk)s(k) a +
+ № (t'kQw*a + t"kQlk-^*a) - 4- (t'kNw - tkNlk-1}) - q\k} = 0;
\^M{k} °* + S(k) a+4- (tkQlk}*a - t"kQlk-l}**a) + m*k) = 0.
Естественные граничные условия для края х1 = const в этом
случае следующие:
= (6.2i)
+ У <‘>V+ S'*' ,]=/®Q[l).
Аналогичная линеаризация может быть выполнена примени-
тельно к многослойным оболочкам. Так, для пологих толстых
оболочек регулярного строения имеем
ар----1_ + qak) = 0.
b(^N(k) ар 4- +
+v<*> [^(^*а^с[*’1]**а)] - (6’22)
_ _L (t'kNw - fkNlk~iJ) - Vak) (№ (k) apv(pft)ay(fe)) - <7(fe) = 0.
Приведем запись этих уравнений в физических составляющих
перемещений, используя правило перехода из п. 3.1. Зависи-
мости усилий и моментов через перемещения следующие:
’ = А [-Х - '"vS- + (< =*2);
4(1 —v) /
— 2 \ dx^'i
Mfc) \.
200
<‘”2); (6.23)
mW -• mW -=D(i - v)-g^..
dxj ' dx$ ’
Qtf! _ _ G" Гй*+" - v£> + (ш<‘+"> + „*>)! («_ 1,2);
Вместо (6.22) получим (up* = w<k>)
3
s
3
s
3 r-
£ 4/’y/ft) - E^L^v^ - G"s'x c0
i=i
М V] + Со Ls V3 1 == и,
fW-.tk), д r<k) (k)\ _ п.
Ь4 v2 -f- Со — (^) L5 Vz 1 = U,
7 (6.24)
^«Г£‘ ” +
+с» -А- д<6>м*ме> - </W - о,
0X2 '
где A<ft) = —-------ЩТ- Операторы совпадают с опера-
OXj uX^
торами уравнений тонких пологих изотропных оболочек
(fe) __ 02 । 1 — V 02
11
г <*) _ d2 1 — v д*
22 “ дх^ 2 Ф 2 5xU) 2 ’
j (k) _ , (k) _ 1 + v д2
Ll2 ~Lil ~ 2 ’
z.ls‘’-U!, = W,| + vtf,)-4lr;
vXj
=tb*’-W*’+*»!•’)-t;
0X2
(6.25)
= D \w A(fe) + A (6p>2+ № 2 + 2vk\k)k^.
201
Здесь k{k} и k[k) — главные кривизны (координатные системы для
жестких слоев совпадают с линиями кривизны). Кроме того,
введены операторы
= 4(1- (^+1) - -
= 4 И+,) + vp) - С (vp+
= 4(1- rf1) (4fe+I) - + (6.26)
+ 4(i+^-1])(^)-^-I));
= 4 (^+I) + + 4 № + г'Г1’);
= 4 (^+I) - иП - tk (v^> - пГ”) (a = 1,2).
В приведенных вариантах линеаризованных уравнений учи-
тывается переменность метрики при переходе от слоя к слою.
Если оболочка достаточно тонкая, то изменением метрики по
толщине оболочки можно пренебречь и в уравнениях (6.22) и (6.24)
следует положить (6.12).
Если многослойная оболочка пологая и тонкая, а мягкие
слои недеформируемые в нормальном направлении, целесообразно
ввести функцию суммарных усилий х- Система нелинейных урав-
нений для данного случая
D А Доу — G [aapVaV₽^ + v“ ’ -*>«’] +
+ (bafi - VaV^)VvV6X = Q3; (6.27)
AAx - /“V/36 (bafi _ -L vaVf(U,) vvv6U, = 0,
где
D-T2-F-V)-; G = 4G'(n-l)4: (628)
/ap — компоненты антисимметричного псевдотензора; n — число
слоев.
Линеаризированный вариант этих уравнений относительно
безмоментного начального напряженного состояния, характе-
ризующегося продольными усилиями в жестких слоях №“3,
имеет в ид
А Ада - Ga“₽VaVB® + /“v/0ty v и z - №“PVaV6® = If;
1 (6.29)
A Ax - /«*/₽% VyV6№ = 0.
Необходимо отметить, что все полученные уравнения совпа-
дают с уравнениями нейтрального равновесия, полученными из
вариационного принципа Треффца. Так, для многослойных пла-
стин из полученных уравнений следуют как частный случай
уравнения нейтрального равновесия, приведенные в п. 1.7.
202
Пусть внешние силы приложены к многослойной конструк-
ции квазистатически и пропорциональны одному параметру q.
Задача устойчивости заключается в нахождении наименьшего
из возможных значений q, называемого критическим, при кото-
ром деформированное невозмущенное состояние конструкции
становится неустойчивым (при отсутствии нагрузки, т. е. при
7 = 0, равновесное состояние считается устойчивым).
В большинстве практических задач, когда нагрузки таковы,
что система является консервативной, потеря устойчивости про-
исходит по типу разветвления форм равновесия. При этом имеется
целый спектр бифуркационных состояний. Каждому такому со-
стоянию, когда существует несколько смежных форм равновесия,
соответствует определенное значение q, которое называют
бифуркационным. Критическое значение определяется как наи-
меньшее из всех возможных бифуркационных значений на-
грузки.
Математически задача определения бифуркационных значе-
ний соответствует краевой задаче на собственные значения. Со-
ответствующие собственные элементы определяют форму выпу-
чивания, отвечающую данному бифуркационному значению. Ха-
рактер спектра собственных значений зависит от вида оператора,
соответствующего параметрическим членам. Для большинства
задач этот оператор является вполне непрерывным, что наряду
с его отрицательной определенностью обеспечивает существова-
ние дискретного спектра собственных значений.
6.3. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
с плоскими слоями
Рассмотрим задачи, которые решаются классическими мето-
дами теории упругой устойчивости и для которых удается по-
строить‘точное решение. В этих задачах потеря устойчивости
происходит по типу разветвления форм равновесия, а крити-
ческие параметры нагрузок определяются как минимальные по
модулю собственные значения некоторых краевых задач для
уравнений нейтрального равновесия типа (1.50) и (1.138).
Определим критические значения нагрузки для прямоуголь-
ной в плане многослойной плиты регулярного строения, на сторо-
нах которой, совпадающих с координатными линиями, выпол-
няются условия свободного опирания (2.14) и (2.15). Допустим,
что плита находится в безмоментном напряженном состоянии,
характеризуемом суммарными усилиями и N-&, не завися-
щими от координат — 0)- Задача состоит в нахождении
таких сочетаний усилий №ц и N22, при которых впервые появ-
ляется возможность существования форм равновесия, характе-
ризующихся ненулевыми значениями перемещений, отвечающими
искривленной форме плиты.
Предположим, что мягкие слои абсолютно жесткие в транс-
версальном направлении, так что справедливы уравнения (1.50)
и (1.59) с параметрическими членами (1.142). При этом удобно
использавать вариант основных уравнений с введением потенци-
альных функций срА и определяемых согласно (2.4). Уравне-
ния, описывающие нейтральное равновесие плиты, следующие:
АФа + (ф*+1 — 2Ф* + Фа-i) = °;
Eh G ' (63°)
2(гЬ)' + V= 0 (^ = 1, 2, . . ., П);
п—1
Ds ДДау — 2 "Т Д ^ср*+1 ~ +
+ N°^^- = Q- (6-31)
Собственные функции уравнений (6.30) и (6.31) с граничными
условиями (2.14) и (2.15) ищем в виде
ф oASinJ^sin-fe; ^^cos^-cos-^;
01 01 01 “2 (6 32)
= Г sinsin(а, р=1, 2, . . .).
aj а2 v г ’
Считая, что число жестких слоев — нечетное п = 2т + 1,
и вводя более удобную при этом нумерацию слоев /s = 0,=tl, ...,
т, получим для Фй и выражения, совпадающие с (2.24) при
учете (2.25):
Фй = - • и—7С F nfe|X-h-; ^А = 0. (6.33)
* shji(m-|-l)—sh jim * v ’
где р определяется из (2.23). Подстановка выражений (6.32) и
(6.33) в уравнение (6.31) дает уравнение, связывающее JVii и
< [16]:
х?А7?! 4- хМ = X4OS + (И1 ту (6.34)
Здесь использовано обозначение для функции F (р, т) (2.27)
и, кроме того, по аналогии с (2.19) обозначено
С13Т Вл. 2 2 I 2 //? nr,
Xj =---; Х2 = ——; х = Xi Хг (6.35)
Дх «г
(индексы аир опущены).
Для каждого заданного соотношения TVii и N22 можно найти
значения целых чисел аир, при которых параметр нагрузки
принимает минимальное значение. Меняя соотношение между
Mi и N°2, на плоскости (A/ii, N22) можно при заданных значениях
204
параметров плиты построить границу области устойчивости,
охватывающей начало координат (при отсутствии усилий N^ и N22
равновесие плиты устойчиво).
Пусть плита подвержена всестороннему сжатию [(Л^п = N22 =
= N), тогда для N получаем формулу
N = (а2 + -J Р2) + (И, т). (6.36)
Критическое значение нагрузки N определяется по этой формуле
при а = р = 1.
При сжатии в направлении оси Ох имеем №ц = N-, N22 = 0;
в этом случае
a2n2£>s /. . a? Р2\2 . 2Gc2 /. . aj fJ2 \ г
+ +— (I (6.37)
В зависимости от отношения a-Ja2 нагрузка-N принимает
минимальное значение при р = 1 и различных а. Характеристи-
ческий показатель р зависит от а и р.
Аналогично находится критический параметр нагрузки и при
других отношениях Nil и N°2- Построенное решение пригодно
для плиты произвольной толщины (например, Н = ах), если
только податливость мягких слоев, характеризующаяся пара-
метром х = , достаточно мала и если с rain {a1; az}-
Рассмотрим теперь задачу о локальной устойчивости слоистого
упругого пространства регулярной структуры, в котором чере-
дующиеся жесткие и мягкие слои имеют соответственно одинако-
вые характеристики. Имея в виду дальнейшие приложения к ком-
позитным материалам, считаем жесткие слои ортотропными.
Главные оси считаем совпадающими во всех слоях с осями 0хх
и 0х2. Пусть эти слои подвергаются сжатию в направлении осей
0хх и Ох2 усилиями №ц и N22. Промежуточные слои считаем
трансверсально мягкими; однако при рассмотрении форм потери
устойчивости пренебрегаем тангенциальными перемещениями
uk и vk по сравнению с нормальными перемещениями wk. Как
показывают сравнительные расчеты, это предположение не вносит
существенных погрешностей при определении критических уси-
лий, соответствующих локальным формам потери устойчивости.
Вместе с тем это предположение существенно упрощает выкладки.
Уравнения нейтрального равновесия возьмем в виде
г> diwk । on diwk 1 n
dxidxi + ~
•---J- (wk+l ~ ^wk + ^-1)--4T~ A {wk+l + %wk + wk-i) "Г
+ JV“1T + JV“2^L=0’ (6’38)
205
где Dllt D12 и Z)22 — жесткости ортотропных слоев, остальные
обозначения прежние. В дальнейшем целесообразно перейти
к безразмерным переменным, относя все величины, имеющие
размерность длины, к характерному размеру с. В частности,
введем безразмерные координаты х = xjc, у = х2/с. Собствен-
ные функции, соответствующие локальным формам потери устой-
чивости, ищем в виде
wk (*, У) = Wk sin xix s'n кгУ< (6.39)
где хх и х2 — безразмерные волновые числа.
Относительно коэффициентов Wk из (6.38) получаем уравне-
ние в конечных разностях
Ф^ - %! (Wk+1 - 2Wk + Wk_t) + х2х2 (Wk+l + 2Wk + -
— plF = O, (6.40)
где для безразмерных параметров использованы следующие
обозначения:
. 4 , о 2 2 £>12 , 4 £>22 2 2,2.
ф = Х1 + 2Х1И2 +Х2-7Г2-; X =Х1 + Х2,
Ь<11 и1г
^"ci R ( 2Л7° I 2Л7° \ с (
= Х2=4^; Р^Ми + нгМ-^-.
Обычная подстановка Wk = Сек^ приводит к уравнению,
связывающему собственные значения параметра нагрузки с осталь-
ными параметрами:
Р = ф + 2xi (1 - ch р) + 2х2Хг (1 + ch р). (6.42)
Чтобы найти соотношения между усилиями и N22, соот-
ветствующие потере устойчивости, надо исследовать зависи-
мость (6.42) с учетом (6.41) от параметров формы хь х2 и р. При
этом на формы не накладывается никаких условий, кроме требо-
вания ограниченности при х —» —оо, у —> =too, k —♦ 00.
Это требование удовлетворяется при любых действительных
Xi и х2 и любых чисто мнимых р. Полагая р = 10 и chp = cos 9,
перепишем соотношение (6.42) в виде
Р = ф + 2Хх (1 — COS 0) + 2х2х2 (1 + COS 0). (6.43)
Случай cos 0 = —1 соответствует антифазной форме потери
устойчивости (рис. 6.1, д); при этом собственные значения (6.43)
определяются из соотношения
₽ = Р1 = ф + 4Хг (6-44)
Случай cos 0 = 1 соответствует синфазной форме потери
устойчивости (рис. 6.1, б). Для нахождения собственных значе-
ний получим
Р = Ра = ф + 4х2х2.
(6.45)
206
Рис. 6.1
Критическое значение нагрузки определяется путем его мини-
мизации по волновым числам и х2. Параметр р в соответствии
с обозначениями (6.41) зависит от и х2.
Рассмотрим более детально сжатие в направлении оси Ох.
Пусть = N, N°2 = 0. Полагая в соотношениях (6.44) и (6.45)
%! = н, ~ 0, получим
= + ^ = -^(х2 + 4х2). (6.46)
Минимизация правых частей по волновому числу х дает фор-
мулы для критических усилий
W*2=-^F-%2-
(6-47)
Безразмерные параметры %! и %2 связаны между собой. Напри-
мер, для изотропных мягких слоев
Ё' =_____1 ~ v __ е"’ G — Е"
г (l-2v)(l + v)c ’ 2(l+v)’
откуда
При изменении коэффициента Пуассона в пределах 0 < v < 1/2
имеем 8%2 < < оо.
Рассмотрим более сложную задачу об устойчивости слоистого
полупространства (рис. 6.2). Уравнения (6.40) справедливы для
всех слоев k = 1, 2, .... кроме
наружного, которому припишем
индекс k = 0. Для этого слоя
вместо (6.40) имеем
Ф^о-Х1(^1-^о) + ^Х2(^1 +
+ №о)-р№о = 0. (6.49)
Решение ищем в виде glFfe =
= Сек^; при этом характеристи-
ческие показатели р должны
иметь отрицательные действитель- Рис. 6.2
207
ные части. Подстановка в (6.40) вновь приводит к соотношению
(6.42). Подставляя Wk в (6.49) вместо (6.42), получаем
Р = Ч’ + 2хх(1 -е^) + х2хг(1+е^). (6.50)
Вычтем это соотношение почленно из (6.42). После небольших
преобразований получим характеристическое уравнение в виде,
не содержащем 0:
ch И— yl-Sl • (6-51)
Л1 —К Л2
Это уравнение справедливо при условии, что параметр 0
равен одному из собственных значений задачи. Из предыдущего
следует, что ch р, > 0, так что показатели р для полупространства
принимают действительные значения. Подставляя (6.51) в (6.42),
получаем уравнение для нахождения собственных значений для
полупространства
Р = = Ч5
4и2Х1Ха
Х1 + *2Ха ’
(6.52)
При сжатии в направлении оси Ох и при условии, что
2%s<Vxv минимизация усилия W по волновому числу z > 0
приводит ко второй формуле (6.47).
Задача о поверхностном выпучивании слоистого полупро-
странства с начальными искривлениями слоев рассмотрена
в статье [17]. Пусть при отсутствии нагрузки жесткие слои имеют
заданные начальные прогибы w% (х, у). В уравнениях (6.38)
изменятся лишь два последних члена; они заменятся на
1V?1 -^2 (wk + Wk) -J- №22 (wk + ш°). Таким образом, задача
становится неоднородной.
Приведем подробные вычисления для случая, когда все жест-
кие слои имеют одинаковые начальные искривления в форме
IF3sinxixsinхгу (k—1, 2, . . .). (6.53)
Тогда вместо (6.40) получаем уравнение в конечно-разностной
форме
Ф^ + Xj^i - 2^ + ^) +
+ х2Х2 (^+i + 2lFfe + W^) - 0 (Wk + Г>) = 0. (6.54)
Его решение представляется в виде суммы общего решения со-
ответствующего однородного уравнения и какого-либо частного
решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в виде,
не зависящем от k. В результате получаем
^ = Се-^+-^, (6.55)
208
где использовано обозначение (6.45)
для собственного значения пара-
метра нагрузки при синфазной фор-
ме потери устойчивости. Решение
(6.55) имеет смысл лишь при Р<02.
Характеристический показатель ц
определяется из уравнения (6.42),
которое с учетом обозначений (6.44)
и (6.45) записывается в виде
c|4‘-P‘p.-fe2S- (6'56)
Величина 1/р характеризует глу-
бину, на которую распространяется
поверхностное выпучивание. Это
число увеличивается с возрастанием сжимающих усилий, дли-
ны выпучивания и коэффициента Пуассона мягких слоев. Не-
которые результаты вычислений приведены на рис. 6.3. Сплош-
ные кривые построены для коэффициента Пуассона мягких слоев
v = 0,3; штриховые — для v = 0,4; штрихпунктирные — для
v = 0,45.
Постоянная С в решении (6.55) определяется из уравнения
типа (6.49):
- Хг (^ ~ ^о) + х2Х2 (^1 - ^о) -
+ (6.57)
Отсюда
Г _________________________________________ zg eg.
(₽2-₽) Н>-Xi (е~‘‘-1)+*2Х8(е_,‘-О-Pl ' '
В правую часть входит величина X— (X2—I)1/2, где
X — правая часть формулы (6.56). Здесь знак выбран с учетом
того, что X > 1, р, > 0. Подставляя выражение е-*1 в формулу
(6.58), после преобразований находим
г 4x*XtpT (р) W°
(₽1-₽)(₽г-Р)-(Ф-₽)2’
пр)~(Р1-Р)Ч&-Р)’2-(ф-Р),
откуда
‘6-69>
Здесь использовано обозначение (6.52), причем принято р < р3.
В статье [20] дано обобщение рассмотренной задачи на случай,
когда слои выполнены из линейного вязкоупругого материала.
Основные уравнения получаются при этом из (6.38) заменой упру-
209
его длительно-модульное
гих постоянных на соответству-
ющие вязкоупругие операторы.
Преобразование Лапласа — Карсо-
на по времени приводит к урав-
нениям типа (6.40) и (6.49) отно-
сительно изображений от функ-
ций Wk (f). Коэффициенты ф,
и %2 выражаются через образы
вязкоупругих операторов. Пере-
мещения как функции времени
определяются обращением пре-
образования Лапласа — Карсона.
Изменение этих перемещений во
времени в существенной степени
зависит от соотношения между
параметром внешней нагрузки и
двумя характерными критиче-
скими значениями для анало-
гичной упругой задачи. Если
параметр нагрузки меньше, чем
критическое значение, то перемещения
со временем асимптотически стремятся к некоторым постоянным
значениям. Если параметр нагрузки превышает длительно-мо-
дульное критическое значение, но меньше мгновенно-модульного
критического значения, то наблюдается рост перемещений экспо-
ненциального типа. Превышение параметром нагрузки его мгно-
венно-модульного критического значения приводит к немедлен-
ному выпучиванию. Критические значения зависят при этом
от формы волнообразования, которая задается волновыми чис-
лами в выражении (6.53). Строго говоря, все эти выводы верны
только, если параметр нагрузки не превышает критического
значения (6.52), минимизированного по волновым числам, и если
не нарушено условие применения линейной теории.
При рассмотрении устойчивости слоистого полупространства
считалось, что граница полупространства совпадает с поверх-
ностью одного из жестких слоев. Рассмотрим случай [59], когда
граница полупространства ортогональна к плоскостям слоев
(рис. 6.4). Пусть на границе действует нормальное давление,
воспринимаемое жесткими слоями, в которых возникают уси-
лия N. При исследовании устойчивости исходим из уравнений
(1.50) и (1.138) при = N; N^k) = = 0. На граничной
поверхности должны выполняться условия, которые после введе-
ния безразмерных переменных (2.76) с учетом (1.139) записы-
ваются следующим образом (х = 0):
Ы4,х = 0; ^,^ = 0;
ywkt ххх — % [(ufe+1 — uk 4- wM, x + wk, x) Пм +
(6.60)
4- (“* - “л-14- wk, x 4- Wk-1, x) nd 4- Nwk, x = o.
210
Первое условие (6.60) означает, что усилие не получает при-
ращения при выпучивании, второе — что на поверхности отсут-
ствуют изгибающие моменты, действующие на жесткие слои.
Последнее условие означает, что нагрузка является «мертвой».
Кроме того, учитывается вклад в поперечную силу усилий по-
перечного сдвига мягких связующих слоев. Дополнительно к (6.60)
должны выполняться условия затухания перемещений на бес-
конечности.
При построении решения выделим сначала часть, соответ-
ствующую периодическому изменению в направлении, ортого-
нальном расположению слоев:
uk iUk (х) exp (z&0); wk = Wk (х) exp (Д0). (6.61)
Параметр 0, входящий в (6.61), изменяется в пределах
0 < 0 < л. Значение 0 = л соответствует наименьшей возмож-
ной длине волны формы выпучивания, равной удвоенному рас-
стоянию между срединными поверхностями соседних жестких
слоев 2' (h + s) = 2с (антифазная форма потери устойчивости).
Нулевое значение соответствует предельному значению беско-
нечной длины волны — смещению сечения, параллельного гра-
нице как жесткого целого без деформации (синфазная форма
потери устойчивости). Промежуточные значения соответствуют
формам выпучивания с длинами волн Л = 2сл/0.
Решение системы дифференциальных уравнений для (х)
и Wk (х) ищем в виде
(х) = U0 ехр (Ax); Wk (х) = IF0 exp (Ax), , (6.62)
где U0 и IF0 — постоянные. В результате получаем характери-
стическое уравнение
А2 — 2%(1 — cos0)
2%% sin 0
2%Asin0 уА44-^А2 — 2%А2(1 4-cos0) 4- =0. (6.63)
4-2Ul-cos0)
Особенностью этого уравнения является зависимость коэф-
фициентов уравнения и, следовательно, характеристических по-
казателей от усилия N. Это обстоятельство значительно услож-
няет решение задачи. В зависимости от параметров среды у, %, £,
величины 0, характеризующей волнообразование вдоль поверх-
ности, и усилия У корни уравнения (6.63) могут иметь различный
характер. Чтобы можно было построить решение, соответствую-
щее поверхностному выпучиванию, уравнение (6.63) не должно
иметь чисто мнимых корней. Условие отсутствия чисто мнимых
корней нетрудно получить, используя, например, правило Де-
карта:
N < £/Х» N < 2% [1 4- у 4- (1 - у) cos 0].
211
Как показали вычисления, эти
условия всегда выполняются. При
этом возможны три основных случая
различного вида корней. В первом
случае два корня уравнения (6.63)
действительные разных знаков, оста-
льные — комплексные, что соответ-
ствует осциллирующей и затуха-
ющей при удалении от граничной по-
верхности форме выпучивания. Во
втором случае все корни действи-
тельные различные, и в третьем —
корни действительные, причем две
пары из них кратные. В последних
двух случаях затухание при удале-
нии от поверхности неосциллирующее. В каждом случае по-
ловина корней имеет положительные, а половина — отрица-
тельные действительные части, что позволяет удовлетворить
условиям затухания на бесконечности и всем условиям на гра-
ничной поверхности.
Бифуркационные значения нагрузки определяются в первом
случае из уравнения [59]
(X? + X?)2 (2ХГ3 4- 2ХД1 + X?) [X? — 2Х (1 — COS 0)] -
- Xf (ЗХ2 - X?) (X2 + < + 2х (1 - cos 6) X? (зх2 - X?) х
X (2Х? - 2Х? - X?) = 0, (6.64)
а во втором — из уравнения
ХЖ~*1) , X!(X?-Xg)
Х| — 2%(1—cos0) Х|—2/(1—cos 0)^
Хз (Х| — х?) __«
Х| — 2% (1 — cos 0) ~” и'
(6.65)
В третьем случае уравнение имеет громоздкий вид [59].
Вычисления, проведенные для конкретных примеров, по-
казали, что последний случай практически не реализуется. Крити-
ческое значение параметра нагрузки определяется как минималь-
ное бифуркационное значение, определенное в зависимости от
типа корней характеристического уравнения из (6.64), или из
(6.65), или аналогичного уравнения для третьего случая.
Пример. Пусть слоистая среда характеризуется параметрами Ez/G = 2,7.
v = 0,3. Отношение Е /Ёг и коэффициент армирования ф = h/c варьируются.
Характерная зависимость бифуркационных значений приведена на рис. 6.5.
Вычисления показали [59], что при значении 0, близких к я, корни урав-
нения (6.63) комплексные и затухание формы выпучивания при удалении от по-
верхности осциллирующее. При малых 0 корни действительные и затухание не-
осциллирующее. Минимальное значение бифуркационных значений усилия
достигается на границах рассматриваемого интервала 0. Абсолютный минимум
достигается при 0 = я при условии 2% > К£у-
212
С увеличением отношении Е /Ег критическое усилие, отнесенное к Е', умеиь-
шаетси, а абсолютное значение увеличиваетси. При 0, близких к л, имеет место
монотонная зависимость от коэффициента армировании, в то время как при
средних и малых 0 по ф имеется максимум. Анализ скорости затухании формы
выпучивании показывает, что зона распространения возмущений при поверх-
ностном выпучивании увеличивается при уменьшении 0, т. е. при увеличении
длины волны формы выпучивании вдоль поверхности.
Полученное решение громоздко и недостаточно хорошо обо-
зримо. Представляет интерес приближенное решение. Анализ
точных форм выпучивания показал, что продольные перемещения
оказываются на два-три порядка меньше, чем поперечные пере-
мещения wk, поэтому при приближенном решении можно ис-
ходить из уравнений
V Ту- + N ту -1 [(«’•и - “() ’I». — - ®ы) Ч«1 -
<666>
и граничных условий
дх* ’ 7 5хз Г дх х L \ дх дх 1
(6.67)
Отыскивая решение уравнения (6.66) в виде wk = IFexp (ikQ +
+ Хх), получим характеристическое уравнение
Х4 + «Х2 + р4 = 0, (6.68)
где
а2 N — 2Х (1 -|- cos 0). 2£ (1 —cos 0) (6.69)
Предполагая, что а4 < 404 (как показали
всегда выполняется), найдем
вычисления, это
^1-4 = ±
(20а- a2)’2 ±i(2p24-a2)?
(6.70)
2
Записывай общее решение, удовлетворяющее условиям за-
тухания на бесконечности, и удовлетворяя условиям (6.67),
получим уравнение для нахождения бифуркационных нагрузок
Х^* (Xj - X?) (а2 - МХГ) = 0, (6.71)
откуда для определения критического усилия имеем а2 = Р2 или
М<р = 2х (1 + cos 0) + 1/2?U1 -COS0). (6.72)
213
Для соответствующих числовых данных результаты опреде-
ления критических нагрузок показаны штрихпунктирными ли-
ниями на рис. 6.5.
При 0 = л точное и приближенное решения совпадают, и
при этом
Мкр =2/^. (6.73)
Форма поверхностного выпучивания при 0 = л определяется
выражением
= С exp (ikn) exp (— |/X X х) cos (|/X X х + X) . (6.74)
Найденное решение совпадает с результатами работы [1111, по-
лученными на основе других исходных предпосылок о работе
слоистой среды.
Поскольку размеры слоистого тела, на границе которого
приложено нормальное давление, конечны, то рассмотрение
форм поверхностного выпучивания при больших длинах волн
вдоль' поверхности (малых 0) лишено практического смысла,
да и сам эффект «поверхностности» в этой области оказывается
вырожденным (зона возмущений от поверхностного выпучива-
ния распространяется далеко в глубь тела).
Таким образом, оценку эффекта поверхностного выпучива-
ния на основе приведенных результатов можно получить, пред-
полагая, что минимальное по 0 значение критической нагрузки
достигается при 0 — л. Критическое значение при этом опре-
деляется формулой (6.73).
6.4. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ цилиндрических
ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Рассмотрим устойчивость многослойной цилиндрической обо-
лочки, сжатой продольными усилиями. Считаем, что эти усилия
воспринимаются жесткими слоями. Доля усилия, восприни-
маемого мягкими слоями, при этом чрезвычайно мала, и ею можно
пренебречь. Кроме того, считаем, что усилия распределяются
пропорционально жесткостям слоев, а для оболочки регулярного
строения — равномерно. В общем случае распределение усилий
по слоям неравномерное, но его отклонения от равномерного
распределения при Н R незначительно, и им можно пренебречь.
При выводе уравнений нейтрального равновесия, в данном
случае отождествляем по перемещениям, как это обычно делается
в задачах устойчивости, невозмущенное деформированное и не-
деформированное состояния. Исходными уравнениями считаем
уравнения (4.39), где операторы определяются согласно
(4.40) или (4.43); Lf — согласно (4.41). Параметрические члены,
согласованные с данным вариантом уравнений:
^>=^> = 0; N = . (б,75)
214
Рассмотрим оболочку с изотропными слоями, считая, что
при потере устойчивости формы выпучивания являются локаль-
ными. Отвлекаясь от граничных условий (на локальные формы
их влияние незначительно), ищем решение (4.39) с учетом (6.75)
в виде
v\k> = cos кх-cos mq>; v2k} = V2k} sin xxsin mm;
(k, (6-76)
vP’ = V4*’ sin xx cos mcp.
Параметр m принимает целочисленные значения и показывает
число волн в окружном направлении у формы выпучивания.
Непрерывный параметр х характеризует волнообразование в про-
дольном направлении. Длина волны формы выпучивания Л связана
с волновым числом соотношением Л = 2л/х. Если на торцах
оболочки выполняются граничные условия свободного опирания,
то волновое число х = рл//, где I — длина оболочки; р — число
полуволн формы выпучивания в продольном направлении. Под-
становка (6.76) в (4.39) с учетом (6.75) при введении n-мерных век-
торов V/ (/ — 1,2, 3) с компонентами V}*’, V(2k} и V{3k)(k= 1,2, ... ,п)
приводит к однородной системе уравнений (по s суммировать)
Aysvs - MB/3v36/3 = О (/=1,2, 3). (6.77)
Матрицы A/s — трехдиагональные; матрица В33 — диагональ-
ная с компонентами х2. Явные выражения компонент матрицы А
довольно громоздки и здесь не приводятся. Исключая vx и v2,
получим
(A-MB3S)v3 = 0; (6.78)
А = А33 А31 А„ А32Аи j
= (^11 ^12^22^21) 1 (^12^22^23 ^1з)» (6.79)
Ао = (А22 А21А1^А12) 1 (A^AjJAjg ^23).
Таким' образом, бифуркационные значения усилия N, со-
ответствующие волновым числам хит, совпадают с собственными
значениями матрицы Вз^А. Собственные элементы этой матрицы
совместно с формулами, связывающими векторы vx, v2 и v3, опре-
деляют формы выпучивания в поперечном направлении. Этим
формам соответствуют одни и те же значения волновых чисел
хит. Минимизация найденных бифуркационных значений от-
носительно волновых чисел хит дает критическое значение
сжимающего продольного усилия. Соответствующая этому зна-
чению собственная вектор-функция определяет форму потери
устойчивости.
Пусть многослойная оболочка состоит из анизотропных слоев
и имеет квазирегулярное строение, т. е. состоит из мягких и
жестких слоев с соответственно одинаковыми характеристиками,
за исключением радиусов кривизны срединных поверхностей
слоев и главных направлений анизотропии в жестких слоях.
215
Рис. 6.6
При этом углы главных напра-
влений анизотропии с осями
координат для двух соседних
жестких слоев равны по абсо-
лютной величине и противопо-
ложны по знаку. Как уже от-
мечалось, такая модель может
быть расчетной схемой много-
слойной оболочки, полученной
методом намотки с постоянным
шагом. В этом случае решение
можно искать в виде [вместо
(6.76) 1
sin (хх + тер); V2k) = Угк) sin (хх 4- тер);
v^k) = cos (хх 4- тер).
(6.80)
Задача по-прежнему сводится к системе вида (6.77), только
в A/s должны быть учтены выражения (4.42) и (4.43) и 0* =
= (—1)*0. Бифуркационные значения находятся также как
собственные значения матрицы В^А.
Пример. Пусть многослойная цилиндрическая оболочка с изотропными
слоями находится под действием сжимающей осевой нагрузки. Считаем, что
= 0,1; v = 0,3; у^= 2,7; ф = 0,5. Число слоев п и отношение модуля упру-
гости материала жесткого слоя к трансверсальному модулю мягкого слоя Е !Ег
будем варьировать. На рис. 6.6 показана характерная зависимость бифурка-
ционных значений нагрузки NKm от волнового числа х для различных значе-
ний т. Одному и тому же значению т отвечают несколько кривых, соответ-
ствующих различным формам выпучивании по толщине. Их число для данного
случая нагружения совпадает с числом жестких слоев оболочки. На рис. 6.6,
относящемся к оболочке с четырьмя жесткими слоями, такие кривые при-
ведены для т = 0 штриховыми линиями. Сплошными линиями показаны наи-
меньшие значения бифуркационных усилий N для различных т. Для данного
случая безразмерная критическая нагрузка УУкр = 0,0599, и соответствующая
ей форма потери устойчивости является осесимметричной (т — 0). Форма потери
устойчивости в продольном направлении характеризуется безразмерным вол-
новым числом х* = 0,5. Перемещения по толщине распределяются таким об-
разом, что они уменьшаются при удалении от внешней поверхности, т. е. имеет
место преимущественно поверхностное выпучивание. Для оболочек с большим
числом слоев при тех же параметрах поверхностный характер потери устойчи-
вости становится более явным. Штрихпунктирной линией на рис. 6.6 показана
критическая нагрузка для однослойной оболочки с размерами наружного слоя.
Характер формы потери устойчивости существенно зависит
от жесткости мягких слоев в трансверсальном направлении.
Если жесткость очень мала, то форма выпучивания близка к форме
потери устойчивости однослойной оболочки при осевом сжатии.
При этом выпучивается практически только наружный слой
многослойной оболочки. С дальнейшим увеличением жесткости
мягких слоев характер выпучивания меняется, и в некотором
диапазоне изменения жесткости минимальной нагрузке соответ-
216
ствует осесимметричная форма потери устойчивости. Наружный
слой ведет себя почти как оболочка на упругом основании вин-
клеровского типа. Это видно из анализа выражения для бифурка-
ционных значений нагрузки для оболочки на винклеровском
упругом основании
Nv.m —
у (х2 + г2т2)2
х2
(1 —у2) rV 4g
(х2 + r2tn2)2 х2
(6.81)
При увеличении коэффициента жесткости упругого основания
характер потери устойчивости оболочки становится осесимме-
тричным.
Увеличение трансверсальной жесткости мягких слоев при-
водит к изменению формы выпучивания [57]. Нарушается по-
верхностный характер формы, но осесимметричность сохраняется.
Длина волны формы выпучивания в продольном направлении
несколько уменьшается. Дальнейшее увеличение жесткости мяг-
ких слоев в трансверсальном направлении приводит к тому, что
оболочка .начинает работать как монолитная. Критическое зна-
чение увеличивается, а форма выпучивания приближается по
характеру к форме потери устойчивости однослойной оболочки.
С увеличением числа слоев при неизменном внутреннем ра-
диусе оболочки критическое значение продольного усилия умень-
шается. Осесимметричный характер выпучивания сохраняется,
а волновое число, соответствующее волнообразованию в про-
дольном направлении, несколько уменьшается. С увеличением
числа слоев характер выпучивания становится все более поверх-
ностным. Это хорошо иллюстрирует рис. 6.7, на котором при-
ведено распределение нормальных перемещений по слоям при
неизменном радиусе внутреннего слоя. Увеличение внутреннего
радиуса при неизменном числе слоев приводит к нарушению по-
верхностного характера выпучивания. Иллюстрацию указанного
факта демонстрирует рис. 6.8, где цифрами 1, 2 и 3 обозначены
кривые соответственно для RJH = 2; 2,5 и 25 (Н — полная
толщина оболочки).
217
Параметрическое численное исследование показывает, что
для многослойных оболочек, сжатых продольными усилиями,
в зависимости от геометрических и механических характеристик
составляющих элементов могут наблюдаться различные формы
потери устойчивости. При достаточно малой трансверсальной
жесткости мйгких слоев толстых оболочек наблюдается локаль-
ное выпучивание, носящее поверхностный характер. Для тонких
оболочек при достаточно жестких в трансверсальном направле-
нии мягких слоях реализуется общая форма потери устойчивости,
когда в работу включаются все слои оболочки.
Для указанных двух случаев может быть получено прибли-
женное решение. Рассматривая поверхностные формы потери
устойчивости, предполагаем, что выпучивается только наружный
слой. Полагая V/fc> = 0 для всех k, кроме k = п, из (6.77) получим
уравнение
a(/V^ - Nn26l3V^ = 0, (6.82)
где
«и = - (х2 - + х) ;
^22 = — (г2т2 + н2 + х);
1+V , (6.83)
«12 = «21 == —гтк; als = — х);
«2з = «з2 = — rm {г — х); аз3 = у(н2 + /-2/п2)2 +
H2 + %(x2 + rW) + £.
Бифуркационные значения продольного усилия определяются
в данном случае по формуле
ДГ а33 (а11а22 а?г) Т а23 (а11а23 а13а12) а13 (а12а23 ' а13а22)
™ хЧапам~аЪ)
(6.84)
В отличие от формулы (6.81) формула (6.84) учитывает влия-
ние поперечных сдвигов в наружном мягком слое, с которым
связан рассматриваемый жесткий слой. Для осесимметричной
формы выпучивания получаем
д, __ уи4 + г2 + хх2 -К vr-x
«хо- - Х2 + Х • (6.85)
" Приближенное решение для общих форм потери устойчивости
получим, полагая V3ky = V3. Кроме, того, так как общие формы
потери устойчивости имеют место лишь в оболочках не очень
большой относительной толщины (см. рис. 6.8), то можно прене-
бречь изменением метрики в поперечном направлении и считать
1 п
Rk = R (rk = г), где R = — 2 Rk — радиус срединной поверх-
п k=i
218
ности пакета. Проделав над исходными уравнениями пре-
образования, аналогичные проведенным в гл. 1, получим уравне-
ния (4.46), в которых нагрузка qs должна быть заменена выра-
жением
= (6.86)
Представляя решение (4.46) с учетом (6.86) в виде (6.76),
получим систему конечно-разностных уравнений для V[k> и V2k>
~ (“! + -т21 + -т1-rmKVin- +
+ z I(И‘+1 ’ - И‘>) ч». - (И*1 - И‘-'’)пм) = - vrxV‘>(6 87,
- (rW + +
+ X - И*’) ч», - (Ц*1 - И‘-”) n*iJ =
Примем' начало отсчета на срединной поверхности пакета.
Перенумеруем слои оболочки. Для оболочки с нечетным числом
слоев: k = 0, ±1, ..., ±(п — 1)/2; для оболочки с четным числом
слоев: k = ±1/2, ±3/2, ..., ±(п/2— 1/2). Решение уравнений
(6.87) для оболочки с четным числом слоев имеет вид
VP’ = хУз
х2 — г2т2
(х2 + r2m2)2
sh А//2 ch Ax-zi/2
l4'e) = — rmV3 г
2
(2 + у) х2 -|- r2m2 V4 у, sh Axfe
(х2 -f- r2m2)2 sh A(-/2 ch A,-n/2
(6.88)
Параметры X;, являются корнями уравнений
T.= -^v(l+«’4±i±-m-); (6.89)
Подставляя (6.88) в последнее уравнение (4.46), получим
выражение для бифуркационных значений усилий
и2
4 4- r2(l — v)x4 . 4Х (п — 1) а2
' ± «4 Т" п
а4
2
4х VI (x24-‘y,-r2m2)shA;(n—1)/2
п Ь sh A(/2ch Л(п/2
(=1
(6.90)
219
Если сдвиговая жесткость
мягких слоев, которая характе-
ризуется параметром %, на-
столько велика, что
х3 + г2т2
2‘Х Ъ
то, как следует из уравнения
(6.89), перемещения и
линейно зависят от номера
рис б 9 слоя, т. е. справедлива гипо-
теза Кирхгофа—Лява для всего
пакета. При % —> оо в уравнениях (4.46) появляются неопреде-
ленности типа О-оо. Их можно исключить при помощи приема,
описанного в гл. 1. В этом случае для NKm получаем формулу
а4 ( 1 I)/2 \ о/! __
s fe2 + ( Ю4 } • (6-91)
K \ n t=-(n—1)/2 / “
<n-1)/2 n(n2 — n
Учитывая, что /г2 = — ”—L, получим
k=-(n—l)/2 12
Г I n2 — 1 1 I
— Z2 [Y + 12 J 4
Г»Х3(1 — V)
a4
(6.92)
Пример. Для оболочки с теми же параметрами, что и в предыдущем примере,
на рис. 6.9 и 6.10 приведено сопоставление точного (сплошные линии) и при-
ближенных решений (штриховые линии). При сопоставлении приближенных
и точного решений для поверхностных форм потери устойчивости (рис. 6.9)
принято п = 10; ф = 0,5; EziG" 2,7; RJH = 2; Е1Ёг = Ю4, а для общих
форм (рис. 6.10) отличными от указанных взяты значения R-JH = 2,5 и Е'/Е" =
= 102. Отметим удовлетворительное совпадение точных и приближенных резуль-
татов для рассмотренных случаев.
Сопоставление результатов точного и приближенных решений
позволяет на плоскости параметров RJH и f = Е’1Е"г выделить
области, в которых можно пользоваться приближенными реше-
ниями. В области I (рис. 6.11) для анализа устойчивости обо-
220
ЛОЧКИ при осевом сжатии МОЖ- Чхт
но применять приближенное ре-
шение (6.84), в области II — °'06
приближенное решение (6.92).
' При этом максимальная по- W
грешность составляет 10%.
В области III задачу необхо- 0,02
димо решать в точной поста-
новке, т. е. использовать ура-
внения (6.78). Эти области 0
выделены на основе получен-
ных численных результатов и
проведенных оценок, которые показали, что погрешность при-
ближенных формул для поверхностных форм потери устойчи-
вости составляет
I A# | | |
I N I | NWn I’
а для общих форм потери устойчивости
I ДА I I 2№ — Wi — Wn I
I N | N | W Г
1 "
W = —гДе — амплитудные значения нормаль-
n i=1
Здесь
них перемещений в жестких слоях; X — характерный размер
вмятин, образующихся при потере устойчивости.
Пример. Пусть жесткие слои анизотропные, а вся оболочка имеет квазире-
гулярное строение. Примем следующие значения для постоянных: EJE^ = 25;
v' = 0,3; v" = 0,4; Е21Е? = 30; ф = 0,5; n = 10; HIRX = 1. Угол 0, харак-
теризующий главные направления анизотропии будем варьировать. Бифурка-
ционные значения осевого усилия при 0 = 0 и 15° показаны на рис. 6.12 соот-
ветственно сплошными и штриховыми линиями. Анализ приведенных зависи-
мостей позволяет сделать вывод, что с увеличением угла 0 критические значении
нагрузки и длины волн соответствующей формы выпучивания увеличиваются.
Формы потери устойчивости рассматриваемых оболочек иллюстрирует рис. 6.13.
При выбранных числовых значениях формы потери устойчивости оказываются
близкими к общим (рис. 6.13, а). Поэтому в общем случае можно было восполь-
зоваться приближенным решением для общих форм. Характер волнообразова-
ния в жестких слоях оболочки при потере устойчивости показан на рис. 6.13, б.
Сплошными линиями показаны узловые линии = 0), штриховыми — главные
направления анизотропии, соответствующие максимальному модулю упругости.
О
Ф
Рис. 6.13
221
6.5. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК ПРИ РАВНОМЕРНОМ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Рассмотрим устойчивость многослойной цилиндрической обо-
лочки, нагруженной равномерным внешним давлением q„ = р.
При выводе уравнений нейтрального равновесия будем различать
недеформированное состояние и невозмущенное деформированное
состояние. Особенностью данной задачи является существенная
зависимость окружных сжимающих усилий в жестких слоях
от номера слоя. Поэтому первой, точнее предварительной, частью
решения задачи устойчивости является нахождение распределе-
ния усилий по толщине многослойной оболочки. При решении
этой задачи не учитываем граничные условия и считаем напряжен-
ное невозмущенное состояние безмоментным. Для нахождения
распределения усилий необходимо решить систему уравнений
(4.22), применив, например, метод прогонки (см. п. 4.3). Исполь-
зуя решение, находим распределение окружных усилий в жестких
слоях по формуле (4.54). Характерное распределение усилий
показано на рис. 4.8. Это распределение является существенно
неоднородным. При уменьшении трансверсальной жесткости мяг-
ких слоев все более нагруженными становятся внешние слои
оболочки, в то время как внутренние слои остаются практически
ненагруженными.
Перейдем к основной части задачи. Уравнения нейтрального
равновесия при принятии гипотез, аналогичных гипотезам, при-
водящим для однослойных оболочек к уравнениям Доннела—
Муштари—Власова, в безразмерном виде с учетом соответствую-
щих упрощений параметрических членов записываются в виде
(4.39), где вместо параметрических членов (6.75) используются
o(fe) 2 I ^ife) 1 <Wfe)
(fe) _ N(k) 2 / ^v2k) , dw'V )
<72 - У<р rk J
fl(*) N^) 2 ( дЫк> (feA
Яз — «ф rk V aq)2 + < ' /
(6.93)
Формы потери устойчивости многослойных конструкций с не-
сущими слоями — тонкими оболочками обычно бывают пре-
имущественно изгибными с достаточно малым масштабом измене-
ния состояния срединных поверхностей слоев (Xft Rk). При
этом выполняются неравенства е$ и выра-
жения (6.93) для приведенных нагрузок существенно упрощаются:
q^ = q^=Q- q^ = N^k^L. (6.94)
222
Решение уравнений нейтрального равновесия (4.39) с учетом
(6.93) или (6.94) для оболочек с изотропными слоями, описывающее
локальные формы потери устойчивости длинных оболочек или
удовлетворяющее условиям свободного опирания для коротких
оболочек, ищем в виде (6.76). Подставляя (6.76) в (4.39) с учетом
(6.93) и вводя Зп-мерный вектор v с компонентами Ий), Уз*’
вместо (6.59), получим
(А® — рВ°) v == О, (6.95)
/ АЦА12А13\ /ВиВ12В13\
А® = I А21А22А23 I; В® = I В21В22В23 I
\ А^А^Ада / \ В31В32В33 /
(6.96)
Ненулевые элементы матриц A;s совпадают с аналогичными
выражениями для осевого сжатия, а элементы матриц B;s опре-
деляются по формулам
' Ви =wkr3k = +
' k ' (6.97)
В33 = wkr3k(m2-1),
где wk — решение системы (4.13) при р = 1.
Заметим, что введение Зп-мерного вектора при осевом сжатии
не имело смысла, поскольку матрица В® в этом случае является
вырожденной. При действии внешнего давления матрица В0 не-
вырожденная. При использовании упрощенных выражений для
параметрических членов (6.94) матрица В® снова будет вырожден-
ной. В этом случае следует ввести n-мерные векторы V,- и исклю-
чить из системы vx и v2, приведя уравнения для v3 к виду (6.78).
После нахождения бифуркационных значений критическое
значение внешнего давления находится путем минимизации р по
волновым числам х и т.
Пример. Пусть параметры оболочки такие же, как в первом примере п. 6.4.
Проанализируем численные результаты.
Характерная зависимость бифуркационных значений внешнего давления
от волнового числа в продольном направлении показана на рис. 6-14. Мини-
мальному значению соответствует значение х — 0, что отвечает бесконечной длине
волны. Для оболочки конечной длины с граничными условиями свободного опи-
рания минимальному значению соот-
ветствует форма выпучивания, име-
ющая одну полуволну в продольном
направлении, так же как и при ус-
тойчивости однослойных оболочек.
По числу водн в окружном напра-
влении существует минимум. Для слу-
чая, которому соответствует рис. 6.14,
число волн в окружном направлении,
отвечающее минимальной бифуркаци-
онной нагрузке, равно 18. Если
Е !Ё'г = 103, то т* = 5. Число волн
223
в окружном направлении, соответствующее1критической нагрузке]{однослой-
ной оболочки с радиусом, равным радиусу внешнего слоя т* = 4.
Трансформация бифуркационных кривых при изменении относительной
жесткости слоев показана на рис. 6.15. Критическое значение с уменьшением
f = Е'/Ег значительно возрастает. Увеличивается'также число волн^в^окруж-
иом направлении, соответствующее критической нагрузке. Правда, при переходе
к монолитной оболочке, т. е. при реализации общей формы потери устойчи-
вости, число волн формы выпучивания в окружном направлении снова умень-
шается. На рис. 6.16 показаны формы выпучивания в поперечном направлении
для данных, соответствующих рис. 6.15. Прослеживается изменение характера
выпучивания при изменении f = Е lEz от общего до поверхностного.
Зависимости критических значений параметра нагрузки рКр для оболочек
с различным числом слоев п при неизменном внутреннем радиусе показаны на
рнс. 6.17. При данном сочетании жесткостей и геометрических размеров с уве-
личением числа слоев критическое значение внешнего давления вначале уве-
личивается, а затем, начиная с некоторого п, уменьшается. Это объясняется
тем, что при сравнительно небольшом числе слоев оболочка работает как моно-
литная, и увеличение числа слоев делает ее более жесткой. С увеличением п
выпучивание при потере устойчивости приобретает поверхностный характер.
Увеличение радиусов слоев, расположенных вблизи наружной поверхности обо-
лочки, которые в основном только н выпучиваются, приводит к снижению кри-
тического значения внешнего давлении.
На рис. 6.18 штриховая линия со-
ответствует результатам, полученным
при пренебрежении изменением ме-
Рис. 6.17
Рис. 6.18
224
трики при переходе от слоя к слою, и показывает, что пренебрежение измене-
нием метрики может привести к значительной погрешности при определении
критической нагрузки. В то же время такое пренебрежение возможно для тон-
ких оболочек с достаточно жесткими в поперечном направлении заполнителями.
Численное параметрическое исследование позволяет сделать
некоторые общие выводы качественного характера. Так, много-
слойные цилиндрические оболочки, нагруженные равномерным
внешним давлением, так же как и однослойные, теряют устойчи-
вость с образованием удлиненных вдоль образующей вмятин,
причем вмятины распространяются на всю длину оболочки.
Поэтому для удлиненных оболочек независимо от граничных
условий при расчетах может быть использована модель бесконеч-
ной цилиндрической оболочки (х = 0). При этом получаются
уравнения, совпадающие с точностью до обозначений с уравне-
ниями нейтрального равновесия многослойного кольца, находя-
щегося под действием равномерного внешнего давления. Для
многослойных цилиндрических оболочек число волн формы потери
устойчивости в окружном направлении при действии равномер-
ного внешнего давления оказывается достаточно большим. Причем
оно превышает аналогичное значение для однородной оболочки
с параметрами внешнего жесткого слоя. Увеличение числа волн
формы выпучивания является следствием подкрепляющего дей-
ствия внутренних слоев многослойной оболочки.
Для достаточно большого диапазона значений отношения
трансверсальной жесткости к жесткости армирующих слоев,
так же как и при нагружении осевой нагрузкой, форма выпучи-
вания имеет ярко выраженный поверхностный характер. При
очень малом значении трансверсальной жесткости мягких слоев
выпучивается в основном только наружный слой. Имеется анало-
гия с задачей устойчивости цилиндрической оболочки, покоя-
щейся на упругом основании, под действием внешнего давления.
Бифуркационные значения для указанного случая определяются
формулой
Ркт = (2£ + Гп) [«33 («11«22 — «12) + «23 («11«23 — «13«12) ~
— «1з(«12«гз — «1з«2г)] [2г„т2 (1 — ф) (ацЯгг — «12)] 1 (6.98)
или с учетом (6.83)
, (1—v2)rx4 , 4g fi
Рк,п тйг "г m2(x24-m2r2)2 г т2г ' '
При выводе этой формулы предполагалось, что упругое осно-
вание работает в соответствии с гипотезой Винклера, и не учиты-
валась сдвиговая жесткость прилегающего к внешнему жесткому
слою мягкого слоя. Для учёта последнего фактора будем исходить
из уравнений (6.82). Полагая х = 0, Vj = 0, получим
«22 «23
«32 а33~ Р r2_|_ g
8 В. В. Болотин
(6.100)
225
где использованы простейшие выражения для параметрических
членов, а коэффициенты aik определяются формулами (6.83).
Бифуркационные значения ' внешнего давления
л.-^[т(™)‘ + х + ^ + -Йта-]- (6-1011
Как и при осевом сжатии, в данном случае с увеличением
трансверсальной жесткости мягких слоев нарушается поверх-
ностный характер выпучивания. В работу вовлекаются внутрен-
ние слои многослойной оболочки. Увеличение жесткости мягких
слоев приводит к тому, что оболочка начинает работать как моно-
литная.
Для оценки критической нагрузки во втором предельном
случае — при общей форме потери устойчивости — необходимо
использовать подход, описанный в п. 6.4. Пренебрегая различием
метрики слоев и деформацией нормальных элементов мягких
слоев, получим равномерное распределение окружных усилий
в жестких слоях. Для приведенной нагрузки
__ 2 (1 —ip) г d2w
Р п dtp2
(6.102)
Проделав преобразования, аналогичные приведенным в п. 6.4,
получим
_ П » , r2x4(l— V) 4х(п—1)а2
Рит — 2гт2(1—ф) 7 г а4 Г п
2
4/ V (х2 + У1Г2тг) sh X,- (п — 1 )/2
n sh А.г/2 ch %гп/2
z=i
(6.103)
a2 x2 -j- г2т3
или при выполнении условия а/(2х) 1
П Г . / . П2 — 1 \ . Г2 (1 — V) X4 1 /с I
Рит = Г2т2 [а Н ) Н ] • (6.104)
Погрешность определения бифуркационных нагрузок при
приближенном подходе на основе рассмотрения общих форм
оценивается по формуле
| Др | gx21
Заметим, что погрешность приближенной формулы для би-
фуркационных нагрузок в случае поверхностных форм опре-
деляется следующим образом:
I Др | I gHW2 I
I Р I .1 Р^п Г
С учетом этих оценок; а также на основе анализа числен-
ных результатов на плоскости параметров (1g Ri/H; 1g E'/E?)
226
выделены области, соответствующие раз- tgf
личному характеру потери устойчивости
многослойной оболочки, подверженной рав- 5
номерному внешнему давлению (рис. 6.19).
Область I характеризуется поверхност- - 4
ной формой потери устойчивости оболоч-
ки, область III соответствует общим фор- з
мам потери устойчивости. Если пара-
метры оболочки попадают в область II, 2
то необходимо использовать точную по- ~7 0 7 2 WW)
становку задачи.
Рис. 6.19
6.6. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим сферическую оболочку, состоящую из чередую-
щихся п жестких и п — 1 мягких слоев. Для определенности
считаем, что оболочка имеет регулярное строение, т. е. что тол-
щины и упругие характеристики всех жестких и мягких слоев
соответственно одинаковы. Кроме того, предположим, что мягкие
слои трансверсально изотропные, а жесткие — изотропные.
Введем географическую систему координат, где — а — угол
широты; х2 = р — угол долготы. Для основных геометрических
характеристик k-ro жесткого слоя H[k) = Rk', = Rk sin a;
k[k> = = 1/Rk.
Пусть оболочка нагружена равномерным внешним давлением
р0. В качестве исходных используем уравнения (4.13), где вместо
нагрузок должны быть подставлены параметрические члены.
Так как уравнения (4.13) получены с учетом гипотезы Кирхгофа—
Лява для жестких слоев и в предположении, что при выпучива-
нии в многослойной сферической оболочке реализуется напря-
женно.-деформированное состояние с большим показателем из-
меняемости, параметрические члены имеют вид (У£(6) = Л7р(й) =
= № (fe>; = 0);
q[*> = qp=O; q(3k} = ^-^k, (6.105)
Rk
где Дг — оператор Лапласа (4.66) в географических координатах.
Усилия, входящие в (6.105), определяются по формуле
№<*>. = Л (1+ v)-^, (6.106)
где — решение системы (4.16).
Эти усилия отвечают безмоментному деформированному со-
стоянию, возникающему в оболочке при приложении давления р0.
Заметим, что система (4.16) может быть решена методом про-
гонки (см. п. 4.3).
8* 227
Используя основные соотношения для сферических оболо-
чек (4.59)—(4.62), выполним в уравнениях (4.13) с учетом (6.106)
преобразование переменных (4.63). В результате придем к урав-
нениям (4.65), где
№ = 46) = 0; qP = - Д\wk (6.107)
или после введения безразмерных параметров (2.76) к уравне-
ниям (4.68), где
qok = q^k = °; q3k = — qbk^k. (6. i oe>
При этом введены безразмерный параметр нагрузки q и пара,
метры bk
1- (6.109)
Решение последней группы уравнений (4.68) для замкнутой
сферической оболочки является нулевым (ipfe = 0). Этот факт
имеет очевидный механический смысл. Действительно, уравне-
ния (4.68) с учетом (6.107) описывают формы выпучивания, про-
исходящего без изменения объема оболочки. При этом внешняя
нагрузка не совершает работы, и любые отклонения от невозму-
щенного состояния сопровождаются увеличением функционала
6^Э, т. е. этот функционал не может принимать стационарное
значение при таких формах возмущений. Следовательно, формы
потери устойчивости, соответствующие фА ф 0, . невозможны.
Учитывая, что должны выполняться условия периодичности
(а, Р) = (а + 2/л, р + 2/ил); wk (а, Р) = wk (а + 2/л,
Р + 2тл) (/, т — целые числа), решение (4.68) представим в виде
«Ма, Р) = в6РГ(СО8а)^^ = в6УГ(«> ₽);
(6.110)
₽) = ^Л(т) (cosa)sc“^ = ^y|w)(a, .Р),
где Р\т) (т < I) — присоединенные функции Лежандра. Функ-
ции У/"*^ удовлетворяют уравнению
ДУ<п,> = _/(/_|-1)У|т). (6.111)
Подставляя решение (6.110) в (4.77), с учетом (6.111) получим
после введения n-мерных векторов 0 и W с компонентами 0ft и Wk
систему
Au© + A12W = 0; А210 + A22W - </xBW = 0. (6.112)
В уравнениях (6.112) матрицы А11( А12, А21, А22 — трехдиаго-
нальные, матрица В — диагональная. Компоненты bk матрица В
228
являются решением разностного уравнения (4.16) при рй = 1.
Исключив 0, получим
(A —(?E)W = 0, (6.113)
где
А = —В '(—AaiAi/A^Агг)- (6.114)
Таким образом, бифуркационные значения параметра на-
грузки q, соответствующие различным значениям параметра
волнообразования I или х = I (I + 1), совпадают с собственными
значениями матрицы А.
Различные собственные значения для одного и того же х со-
ответствуют различным формам потери устойчивости в попереч-
ном направлении. Минимальное значение бифуркационных на-
грузок дает критическое значение параметра дкр. Соответствую-
щая этому значению собственная вектор-функция определяет
форму потери устойчивости.
Пример. Рассмотрим многослойную сферическую оболочку регулярного
строения с изотропными жесткими слоями и параметрами п = 10; G /Ег — 1/6
v = 0,3. Остальные параметры варьируем. Приведем результаты вычислений
из статьи [79].
Характерные зависимости бифуркационных нагрузок от параметра волно-
образования для толстостенной оболочки при ф = 0,5 показаны на рис. 6.20.
Здесь также принято RjH = 1. Кривые построены для различных отноше-
ний Е'/Е" модуля материала жестких слоев к трансверсальному модулю мягких
слоев. При увеличении трансверсальной жесткости связующего критическое
давление резко возрастает, а формы потери устойчивости становятся все более
быстро меняющимися (см. рис. 6.20). Последнее объясняется подкрепляющим дей-
ствием мягких слоев- Аналогичный факт известен и в отношении оболочек
на упругом винклеровском основании при увеличении жесткости основания.
Бифуркационные кривые для слоистых оболочек средней толщины (H/Rt =
= 1/5) имеют некоторые особенности. В частности, при малых значениях коэф-
фициента армирования (ф= 0,1 рис. 6.21) на бифуркационных кривых появляются
дополнительные минимумы, а характер кривых становится более сложным. Это
объясняется тем, что при уменьшении толщин жестких слоев влияние их изгиб-
ных жесткостей становится малым. В данном случае изгибная жесткость обо-
лочки определяется в основном характером изменения тангенциальных пере-
229
Рис. 6.23
параметра волнообразования х. С увеличением сдвиговой жесткости мягких слоев
распределение тангенциальных перемещений по толщине приближается к рас-
пределению, которое принято в классической теории. Зависимости qx от / при-
ближаются по характеру к аналогичным зависимостям в классической теории
оболочек. С увеличением коэффициента армирования (ф = 0,5, рис. 6.22) роль
изгибной жесткости армирующих слоев становится определяющей и бифурка-
ционные кривые приобретают такой же характер, как и для толстостенных много-
слойных оболочек.
Изменение формы потери устойчивости по толщине оболочки иллюстрирует
рис. 6.23, на котором приведены зависимости амплитудного значения прогиба
от номера жесткого слоя. Сплошные линии соответствуют оболочке с H/Ri = 1
(кривой 1 соответствует е'/Ег = Ю3; 2 — Е'/Ег = 102; 3 — Е'/Ег = 10), штри-
ховые — более тонким оболочкам с отношением модуля жестких слоев к транс-
версальному модулю мягких слоев Е'/Ег = 103 (кривая 1 построена для H/Ri =
= 1; 4 — H/R1= 1/5; 5 — H/Rr = 1/25). Потеря устойчивости толстостенной
слоистой сферической оболочки с достаточно малым трансверсальным модулем
мягких слоев носит характер преимущественно поверхностного выпучивания.
С увеличением трансверсальной жесткости мягких слоев или уменьшением тол-
щины слоистой оболочки распределение прогибов по слоям выравнивается. Для
достаточно тонких оболочек (H/Ri = 1/25) прогиби всех жестких слоев при по-
тере устойчивости практически одинаковы (общая форма потери устойчивости).
Для ярко выраженного поверхностного выпучивания и общих
форм потери устойчивости получаются достаточно простые при-
ближенные решения.
Рассмотрим поверхностное выпучивание. Полагая все и wk
равными нулю, кроме = О, wn = w, и пренебрегая величиной
гп по сравнению с единицей, вместо (4.77) и (6.107) получим
Ai'O — (1 — v) Аде — 1Гп2 ('О + ГдАде — 2w) = 0;
(1 — v)'О + ^А1Аде + Гп2 [— X("О’ + rn^w — 2w) + (6.115)
О
+м+<?
? + (1 + V) г2
230
Представляя решение уравнения (6.115) в виде (6.110), из
условия нетривиальное™ решения полученной системы алге-
браических уравнений имеем
[С + (1 + '’)'«] (“н^г — а12а21)
««“ — <6-116)
где
аи = — ХбГ2 — х; «22 =* Л- [X (ГлХ + 2) + £];
d (6.117)
Я12 = X(1 — V 4-хг?1) 4-2хг72; «21 = 1 — V — хг?2; х = /(/4-1).
Получим теперь приближенное решение для общих форм
(п \ —1
S гг11 t
А=1 /
после соответствующих преобразований уравнений (4.68) с (6.107)
придем к системе дифференциальных уравнений относительно
функций и w
ДА— (1 - v) 4- хН [A+i - ®k) Па« - (®k - flfe-i) Пах +
4- 2r (r]fe„ -- Пах) Дх^] = 0; (6.118)
-^-г2Д1Д1® + -Ц1^ S ^а ~ А - + 2 (п - 1)гД1йу]4-
+ <7^ЛХ№ = О. (6,119)
В уравнении (6.119) параметр нагрузки связан сдавлением р0
соотношением (6.109). Среднее значение приведенной нагрузки
вычислено на основании предположения о несжимаемости мягких
слоев в поперечном направлении при рассмотрении докритиче-
ского состояния оболочки.
Решение системы (6.118), (6.119) представим в виде (6.110).
Из (6.118) получим
о ___П7 f 1 . rxshX[ft (п4"0/2]1 zc 1901
11 - v 4- jI/2) efc-^) J’ <6-120)
где x = I {I + 1). Параметр X определяется из уравнения
chX=l+-g-. (6.121)
Подставляя (6.120) в уравнение (6.119), для бифуркационных
значений параметра нагрузки получим выражение
_ г2п < ф* , 1 — v 4х (П — 1) 4Xsh[X(n — 1)/2] ) / ,
Чх — j _ з гх-f- -г f2n Г2П sh (1/2) ch (b/2) j ' .
(6.122)
231
Области, в которых справедливы приближенные формулы
(6.116) и (6.122), аналогичны соответствующим областям для
цилиндрических оболочек (см. рис. 6.19).
Если справедлива гипотеза Кирхгофа—Лява для всего пакета
в целом, когда выполнено соотношение I (I + 1) г2/2/ 1, то
г2л г / i|>2 . л2 — 1 \ .1 — VI /с .
Ч-х- — —ф —Т2~ )гл • (6.123)
6.7. ПОСЛЕКРИТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ МНОГОСЛОЙНЫХ
ОБОЛОЧЕК
Рассмотренные задачи устойчивости в линейной постановке
позволяют найти для оболочек так называемое верхнее крити-
ческое значение нагрузки, соответствующее бифуркации форм
равновесия, когда наряду с исходным невозмущенным состоя-
нием возможны другие формы равновесия, сколь угодно близкие
к исходной. Таким образом исследуется устойчивость в малом.
Для оболочек же характерна потеря устойчивости «хлопком»,
когда при нагрузке, меньшей верхнего критического значения,
происходит переход к новому равновесному состоянию, значи-
тельно отличающемуся от исходного. Возможность такого пере-
хода изучается при исследовании устойчивости в большом. При
этом наименьшую нагрузку, при которой возможен переход в но-
вое равновесное состояние, называют нижним критическим зна-
чением. Для нахождения нижних критических значений необ-
ходимы сведения о равновесных состояниях системы, в общем
случае значительно отличающихся от исходного, которые могут
существовать у данной оболочки при заданной нагрузке. Изуче-
ние возможных равновесных состояний позволяет также исследо-
вать поведение оболочки при квазистатическом превышении
верхнего критического значения нагрузки, если до ее достижения
не произошла потеря устойчивости «хлопком». Изучение после-
критических деформаций также возможно только в нелинейной
постановке. Под послекритическими деформациями обычно по-
нимают поведение оболочки при превышении не только верхнего,
но и нижнего критического значения при потере устойчивости
«хлопком».
Рассмотрим нелинейную задачу устойчивости тонкой много-
слойной цилиндрической оболочки регулярного строения при
осевом сжатии [78]. Предполагается, что сжимающие усилия
равномерно распределены по торцовым поверхностям жестких
слоев, а мягкие слои продольных усилий не воспринимают. Огра-
ничимся анализом общих форм потери устойчивости в поперечном
направлении. В связи с этим пренебрегаем поперечными деформа-
циями слоев и считаем нормальные перемещения всех жестких
слоев одинаковыми. В качестве исходных примем уравнения
типа (6.13). Уравнения для пологих оболочек в данном случае
232
применимы, поскольку напряженно-деформированное состояние
при потере устойчивости имеет большой показатель изменяемости
в окружном направлении. В данном случае в физических пере-
менных исходные уравнения можно записать в виде
дх
dN$
d<f
— п)лы + 2(л*« — = 0;
*+'*+> [Ы*+1> - ~ Ч« +
+ 2г(ч„-Чи)-^]=0; (6.124)
гЪ2 . . .. /д%и> . п ,г д2ш . о,г d2w \
~37 + Г^22 ~ "д*2 + 2гЛ^12 дхду Г Эф2")
4 [4- wn> - w +2 («- n Н +
+ <7-S = 0-
1 4 дх2
Здесь введены безразмерные параметры (2.76); rk = clRk,
/ п '— 1
г — п I г?1 • Под N„p понимаются безразмерные дополни-
\ k=i ;
тельные усилия в возмущенном состоянии, которые связаны
с размерными усилиями N$* соотношением N^p — Nap*/А =
= N$* (1 —v2)/(E'h). Кроме того, в уравнениях (6.124) введены
средние по толщине значения усилий
1 п
Nap = — S Nap-
п k=l
(6.125)
Для решения задачи рационально ввести потенциал средних
усилий
дт 2 д2Ф *т д2Ф д т д2Ф < П£?\
N™=^' N^-r-d^- (6Л26>
При этом функции Ф и w связаны уравнением совместности,
которое в тензорной форме записано как второе уравнение (6.27)
и в данном случае имеет вид
A Aris д W I 2 Г ^2w ! VI Л /С 107)
ААФ — г -^-5- + г - ) = 0. (6.127)
дх2 1 L дх2 dq>2 \ dxdq> / ' '
КОЛОХЗА
ине №33 __ |
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНЯГИ2^(
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ }
233
Заменяя в последнем уравнении (6.124) Na$ согласно (6.126)
получим
ЛЛ«. + г £ - ?£(«,. Ф) - s [ / („<.> - о +
+ - 2 (П - 1) Лю] + = О, (6.128)
где
. , ф. _________ d2w д2Ф п д2® д2Ф . д2ш д2Ф
' дх2 дер2, dxdtf дхд<р ‘ д<р2 дх2
(6.129)
Система уравнений (6.127) и (6.128) незамкнутая. Для получе-
ния замкнутой системы уравнений введем функции
dv[k> dv^>
= —з-----h r —и— •
k dx ' d<f
(6.130)
Используя закон Гука и упрощенные соотношения (6.3),
которые в данном случае имеют вид
4V = 4 + V^W*>V^W*>) + $w,k'; (6.131)
фа — Va > xap — Va Vp ,
для безразмерных усилий получим выражения
Ntk) = dv2k} , _, 1 ( dw
11 дх
mW
= Г~д^
+ w-^n-
dv^
+ v~^r+rw
N'2--T-[r~d^- + -dT
(6.132)
dw dw
дх dtp
Подставим (6.132) в уравнения первой и второй групп (6.124),
после чего продифференцируем уравнения первой группы по х,
а к уравнениям второй группы применим оператор г Склады-
вая результаты этих .преобразований, с учетом (6.130) получим
Л . / д2^ . 2 д2а>\ .1 d2 / dw \2
“H f (v ~Л 2-1- Г л 2 ) '4 ~Q-Л 2 ( “а- ) “F
R \ дх2 1 dqp2 / 1 2 дх2 \ дх /
. г2 д2 / dw \2 . . - \ д2 I dw dw \ .
^~2~ dip2" \r~d^) +(1 — v)^ 3x3(p ) +
+ X I(®fe+1 - r]kn - (cofe - co*.!) Tifei + 2 (%n - Пи) Лю] = 0. (6.133)
234
Уравнения (6.127), (6.128) и (6.133) составляют замкнутую
систему нелинейных уравнений, которая может быть исполь-
зована для изучения устойчивости «в большом» тонких цилин-
дрических многослойных оболочек регулярного строения.
Рассмотрим локальные формы потери устойчивости в направ-
лении образующих оболочки. В качестве аппроксимирующего
выражения для нормального перемещения w примем
w = a0 + a1slnxX'Sinm<p-\-a2sin2KX. (6.134)
Второй член в (6.134) совпадает с решением задачи об устой-
чивости в малом, третий член отражает несимметричность про-
гиба относительно срединной поверхности с преимущественным
направлением к центру кривизны. Постоянная составляющая
подбирается таким образом, чтобы решение было периодическим
по координате <р.
Подставляя (6.134) в уравнение (6.127) и интегрируя его,
получим
Ф = (1 - v2) cos m<p 4- cos 2хх) 4
4- а&кМг2
-4~ sin Зхх sin mtf ---sin хх sin mrp
nil Hu
— a-, -f- sin xx sin mq> 4- cos 2xx I,
1 , 4 т I 8X2 Г
Mu >
(6.135)
где введено обозначение Цар = (ах) 2 + (М2-
Условия периодичности по <р для перемещений и w вы-
полняются при любых значениях а0, ах, а2 в (6.134). Требуя
выполнения условия периодичности для среднего тангенциаль-
ного смещения в окружном направлении v2 =
и учиты-
v £
n k=i
вая (6.125), (6.126), (6.132), получим
(6.136)
Подставляя сюда (6.134) и (6.135), находим
2г2 . агг
!° 8 01 “Ь 2 '
(6.137)
235
Определим теперь функции Подстановка (6.134) в уравне-
ния (6.133) дает
+ X [(®fe+i - ®ft) - (®fe - ®ft_x) tja1] =
= 2x (%« — Ли) [fli (x2 + w2r2)sin xx- sin mg? — 2a2x2 cos 2xx] +
+ a2 [x4 cos2xx-sin m<p -|- mV4 sin хх-соз2тф —
— (1 — v) x2/n2r2 cos 2xx • cos 2m<p] -|-
+ a^- x2 [x2 sin тф (sin xx > 9 sin 3xx) —
— 1 Tv tn2)3cos/Пф(sinxx — 3sinЗхх) 1 —
— 4xM cos 4xx + a/(vx2 + m2r2) sin xx-sin m<p —
— 2x2a2rv cos 2xx. (6.138)
Полученное уравнение относительно a>k (x, ф) рассматриваем
как дифференциальное по х и ф и конечно-разностное по k. Реше-
ние его имеет вид
®л(х> ф) = ®о('х, ф) Н-
I ai (х2 + m2r2) , . /, п + 1 \ •
+ Wi/2)ch(M/2) Sh М*----------Т~ ) Sm ™ Sm “
— sh (Xj/2) ch (V/2) Sh ~ ) C0S 2xX’ <6,139)
где функция со о (*, ф) не зависит от номера слоя k; Х2 — корни
уравнений
chXx=l+2ii±£!!±; chX2-l+^. (6.140)
XA A
Подставим (6.134), (6.135) и (6.139) в уравнение (6.128) и при-
меним метод Бубнова—Галеркина
2л 2Л/Х
J с/ф J А(х, ф; ax, a2) sin xxsin mcpdx = 0;
о о
(6.141)
2л 2л/х
j dtp j А(х, ф; alt a2) sin2xxdx = 0,
о о
236
где А (х, <р; а1г а2) — функция, получающаяся в результате
подстановки (6.134), (6.135), (6.139) в левую часть (6.128) с учетом
(6.137). После преобразований и введения параметров
g = т] = /п2г (6.142)
вместо (6.141) получим уравнения
1 , 8Е4\ 1 , 4хй ( . sh [%! (п —1)/2] )
4g2 U + gfH2 + т)|2 {П 1 sh(k1/2)ch(M/2) J q’’
(6.143)
1-т2 , g2^2 _ 8x (n-1) 8x sh[X2(«-l)/2] _
„2 ' 4|2n + * n + п sh(X2/2)ch(M/2) Ц
X = 2-------------1 •/, , 85* \-----»)E2 / 1 , 1 \--------------
16B2 ( Й ) 2 u2 + й) “2
(6.144)
где = 1 + Й = 1 + 9£2.
Подставляя al, вычисленное по формуле (6.144), в (6.143),
получим уравнение, связывающее q и а2. Если положить а2 = О,
то получится выражение для бифуркационных значений нагрузки
(6.90). Выбирая определенные значения £ и т], строим кривые
q — q (а2) и находим наименьшее значение q, соответствующее
нижнему критическому значению нагрузки. Затем можно по-
строить диаграмму зависимости параметра нагрузки от среднего
сближения точек, первоначально отстоящих друг от друга на
расстоянии периода, вдоль образующих
2л 2я/х
А =* — f dtp ( ^dx=*
2л J т J дх
о о
2 я 2я/х
[ Г > (6.145)
2л J 1 J L1 — v2 \ д<р2 дх2 / 2 \ дх2 / J ' '
0 0
Подставляя в это выражение (6.134), (6.135), (6.137) и интегрируя
его, получим
Д = 9 + (1 + (6-146)
237
Рис. 6.25
При аг — а2 = 0 получаем прямую А = q, соответствующую
исходному невозмущенному равновесному состоянию.
Пример. Пусть % =. 0,45-10 2; v = 0,3; п = 10; г = 0,01. Для определения
нижнего критического значения параметра нагрузки строим зависимости q =
= q (а2) при различных | и т). Для £= 0,5 и В = 0,6 и различных т) эти зави-
симости приведены на рис. 6.24 и 6.25. Штриховыми линиями показаны оги-
бающие серий кривых. Оказалось, что нижнее критическое значение параметра
нагрузки соответствует £ = 0,6; т) = 0,19; aL = 7,2; а2 — 3,04 и равно q„ =
^= 0,174.
На рис. 6.26 изображены диаграммы зависимости параметра нагрузки q
от величины А для двух значений относительной жесткости мягких слоев при
поперечном сдвиге: х = 0,45-10-2 и 0,45-10-3. Штриховыми линиями показаны
участки диаграммы, соответствующие неустойчивым равновесным формам (при
<я этих диаграмм с прямой Л = q являются
точками бифуркации форм равновесия.
Соответствующие точкам пересечения
значения нагрузки — верхние критиче-
ские. Разные точки диаграмм рис. 6.26
соответствуют различным значениям
параметров волнообразования | и т).
Переход от неустойчивых форм равнове-
сия к устойчивым и дальнейшее развитие
закритической деформации связаны с уве-
личением параметра £. Это означает, что
вмятииы вытягиваются в окружном на-
правлении оболочки.
ГЛАВА 7
РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
7.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
При изучении динамических явлений в многослойных кон-
струкциях исходными являются уравнения движения, получае-
мые из уравнений статики при введении в них динамических
членов. Это осуществляется при помощи принципа Даламбера
или вариационного принципа Гамильтона—Остроградского (см.
гл. 1 и 3). Так, для оболочек исходными являются уравнения
(3.60) или (3.65) с учетом (3.94) или (3.99). В частных случаях
используются различные упрощенные варианты с соответствую-
щим учетом инерционных членов, например, уравнения (3.70)
с инерционными членами вида (1.120). Движение многослойных
конструкций с плоскими слоями описывается уравнениями (1.127)
или их вариантами.
Пусть для жестких слоев многослойной конструкции спра-
ведлива гипотеза Кирхгофа — Лява, а в мягких слоях суще-
ственными являются трансверсальные деформации и поперечные
сдвиги. Поведение таких конструкций описывается системой
уравнений в частных производных относительно функций t/P*,
йУ(А). По аналогии с (3.108) эти уравнения запишем в опера-
торной форме
Ьли4-Ьв-^ = ч. (7.1)
Здесь U =(У11), цр*,..., ^п>,йУ(1),..., йУ(п))т—вектор переме-
щений; q — вектор, характеризующий внешнее воздействие; Ьл и
LB — положительно определенные матричные дифференциальные
операторы, имеющие блочную структуру, причем каждый блок
представляет собой трехдиагональную матрицу. Эти операторы яв-
ляются градиентами квадратичных функционалов кинетической
энергии Т и потенциальной энергии деформации U, так что вы-
ражения для энергий могут быть записаны в виде
T = -t(Lb17’ ^=4-^u’u)- (7-2)
На торцовых поверхностях конструкции, которые предпола-
гаются ортогональными к эквидистантным срединным поверх-
239
ностям слоев, должны выполняться условия, соответствующие
характеру закрепления торцовой поверхности:
Irii = рг. (7-3)
где 1г —оператор, совместимый с вариационным принципом Га-
мильтона — Остроградского для данной системы; рг — вектор
краевых внешних нагрузок (для большинства прикладных задач
динамики рг = 0). Частный вид операторов Ьл, LB и 1г можно
найти в работах 152, 56, 62]. Если какая-либо из координатных
линий является замкнутой, например для оболочек вращения, то
соответствующие условия должны быть заменены условиями пери-
одичности.
Особенностью динамических задач является необходимость
учета рассеяния энергии при колебаниях. Уравнение движения
(7.1) принимает вид
Ьли + I-в + I-с — Ч- (7-4)
Вид введенного диссипативного оператора Lc существенным
образом зависит от модели трения, учитываемого при колебаниях
многослойных конструкций. Простейшей моделью является так
называемое «внешнее» трение. В этом случае диссипативный опе-
ратор Lc пропорционален инерционному оператору LB:
Lc = 2eLfi. (7.5)
Учет внутреннего трения, вызванного рассеянием энергии
в материале конструкций, является более сложной задачей.
Мягкие слои многослойных конструкций (заполнители), как пра-
вило, изготовляют из материалов, обладающих развитыми реоло-
гическими свойствами. Поэтому рассеяние энергии в первую
очередь нужно учитывать для мягких слоев, поскольку оно
в основном происходит именно при деформировании этих слоев.
Это явление учитывают, вводя гипотезы о справедливости основ-
ных соотношений линейной теории вязкоупругости для описания
деформирования мягких слоев. Использование вязкоупругой ана-
логии позволяет при выводе основных уравнений модуль сдвига
материала мягкого слоя и трансверсальный модуль заменить
операторами G и Е2, так что
а[Ч «3 = 2Ga[A] а₽е[4]. а[4] 33 = . (7,6)
Вид введенных операторов соответствует принятой для исполь-
зуемого материала модели. Например, если для аппроксимации
свойств материала используется модель Фойхта, то
G = G"(l-biii4); Ег = £(1+П24)- <7'7)
240
Для стандартного вязкоупругого тела
Goo + GOH1
—~ д ’
1 +
—--------<7-8)
1 +M2'aF
Возможно обобщение последних формул и использование
соотношений вида
G
д д2 др
i+bl~di + b2~di* + '" + bp~dF
Т д*Т i
(7-9)
При рассмотрении гармонических процессов на основе реше-
ний, содержащих временной множитель е£й?, вязкоупругие опе-
раторы могут быть записаны в более общей форме
G (eia‘) = (fi'r + id'i) eift/; (7.10)
ЕЛегй0 = (£г + *£.)е‘%
где действительная и мнимая части комплексного модуля в общем
случае являются функциями частоты Q. Эта модель обобщает все
рассмотренные модели, а также внутреннее трение, не зависящее
от частоты. При учете вязкоупругого поведения материала мягких
слоев могут быть использованы интегральные операторы
o[ft] “3 = d'aw а₽ е^]
t
j F (t — т) e^1 (т) di
-00
(7.И)
с различными видами ядер F (t — т).
Одна из основных и важных с практической точки зрения
задач динамики — изучение спектра собственных колебаний. Ре-
шение этой задачи позволяет определить собственные частоты
и формы. Знание же собственных частот и форм позволяет решать
различные задачи о динамическом поведении многослойных кон-
струкций (реакция на. установившиеся гармонические внешние
нагрузки, на нестационарные, ударные и случайные воздействия).
Задачу о собственных колебаниях получаем из (7.1) при усло-
виях (7.3), когда q = рг = 0. Изучение собственных колебаний
начинается с выделения гармонического временного множителя
u = U exp [i (cof-j- Т|)]. (7-12)
В результате приходим к краевой задаче на собственные значения
(L4 + ®?Lb)U = 0 (7.13)
при условиях
1ги = о. (7.14)
241
Точное решение задачи о собственных колебаниях многослой-
ных конструкций удается построить только в некоторых частных
случаях. Во-первых, это пластины и пологие оболочки или за-
мкнутые круговые цилиндрические оболочки с краевыми усло-
виями типа свободного опирания. Во-вторых, точное решение
можно построить для пластин и пологих оболочек с двумя про-
тивоположными опертыми кромками и для замкнутых круговых
цилиндрических оболочек с произвольными граничными усло-
виями. В первом случае происходит полное разделение перемен-
ных подстановкой вида
(/ = 1,2-----Зп), (7.15)
где Uj — компоненты вектора U. Индексы тир характеризуют
форму колебаний и связаны с числом узловых линий. Функции
Ф,т и Тур выбирают при этом так, чтобы удовлетворить гранич-
ные условия (7.14) или условия периодичности. В результате по-
лучим однородную систему для определения форм собственных
колебаний. Уравнение частот получается из условия существова-
ния ненулевого решения для Ujmp:
(7-16)
| А - со2В | = 0.
Матрицы А и В имеют блочную структуру
где Apq и Вм — трехдиагональные матрицы, коэффициенты кото-
рых для многослойных пластин имеют вид
Qllkk----^Х1 -]------2— Х2^ Х(Лйп + Ли)>
a^kk = — [у. + 1 xi) — %(л*л + Лы);
Й11Ы+1-----Й224*+1 -- ХЛ^п’’ allkk-l --- a22kk-l — ХЛ*1!
al2kk — a21kk ~ ----2---Z1X2> aL3kk — — a31kk — ХХ1 (ЛИ1 ~ Hfel);
a23kk = a32kk = Xx2 (Лйп Ли)’
a33kk = Y (xi + x2)2 + [£ + X («! + X22)] (Лап + Ли);
a33M-H = [— £ + X (х2 + xl)] т/fenl
a33kk-t = [— £ + x(xi + x?)] л*1> (7-18)
242
a12kk+l ~ a21kk+l = ai2**-l = = 0;
a13kk+l — a31kk+l = Xxlrl*rp °13**-1 — a31kk-l — -----Хх1Лм;
a23**+l = a32**+l = ---XX2Tl*n! ^23**-! = й32**-1 = Х^гЛ*!»
bukk = ^22** — ^зз** = i + p (л*» + Ли); (л*/ = i — 6*/);
Ь1Ш+1 — b22kk+1 = 633fefe+i = pqfe„; &1Ш-1 = — &22**-i =
= bsakk_1 = рл*1-
При этом дополнительно к (2.76) введено обозначение р =
= p"s/(4p'/i) и в (7.16) частота со должна быть-заменена ее без-
размерным выражением
Параметры хх = а1лс0/а1; х2 = а2лс0/а2, где ах и а2 — число
полуволн формы колебаний в направлении соответствующих
осей. Для круговой цилиндрической оболочки с краевыми усло-
виями свободного опирания в (7.18) следует принять
хх = (/ = АЛо); ^2 = rka2; л^ = (1 + ^)(1 “Mi
ли = (1 -г*)(1 -б«); (7-19)
арз** = — = vr*Xi -|- йзр** (₽ = 1. 2); йзз** = /"* -]- ^зз**.
Нулевым индексом здесь отмечены величины (7.18) после замены
значений г]Ал и riw.
Задача нахождения частот и форм таким образом сводится
к обобщенной задаче на собственные значения (7.16). Частоты
при невырожденной матрице В находят как собственные значения
матрицы В-1А. Данный метод удобен для реализации на ЭВМ,
поскольку вычисление частот сводится к использованию стандарт-
ных программ умножения, обращения и нахождения собственных
значений матриц. Найденные собственные векторы определяют
формы колебаний в поперечном направлении.
В других случаях решение строится по тому же принципу, что
й для однородных круговых оболочек. После выделения времен-
ного множителя (7.12) производят сведение к одномерным задачам
подстановкой
^/ = ^(4)^^) (7=1, 2, ...,3п). (7.20)
Для Ujm получается одномерная краевая задача на собствен-
ные значения. Далее вводят характеристический показатель
(Uim — Cime^Xi) и выписывают характеристическое уравнение
с коэффициентами, зависящими от частоты как от параметра.
243
Для каждого найденного характеристического показателя X = Xs
находят коэффициенты распределения Ufy (частное решение соот-
‘ ветствующей однородной системы при X = Ю- Общее решение
имеет вид
8л
uim = S CamU% (to) ек>(и) . (7.21)
Используя граничные условия при jq = const, получим одно-
родную систему для произвольных постоянных Csm. Равенство
нулю определителя этой системы дает уравнение частот
Ат(<о) = 0. (7.22)
Алгоритм получения точного решения на ЭВМ состоит в после-
довательном переборе значений со с нахождением корней характе-
ристического уравнения Xs, коэффициентов распределения
и проверкой равенства (7.22). Ненулевое решение однородной си-
стемы для Csm, соответствующее найденному значению собственной
частоты, позволяет получить форму собственных колебаний,
происходящих сданной собственной частотой (7.21). Корни харак-
теристического уравнения, а следовательно, и соответствующие
им коэффициенты распределения, вообще говоря, являются ком-
плексными. При реализации метода решение (7.21) должно быть
записано в действительной форме.
Реализация точных решений даже тогда, когда они возможны,
при помощи ЭВМ, особенно при большом числе слоев, затрудни-
тельна, поэтому предпочтительнее с практической точки зрения
различные приближенные подходы, тем более, что их можно
применять и в тех случаях, когда точного решения построить
не удается. Точное решение может служить эталоном при оценке
погрешности нахождения собственных частот и форм приближен-
ными методами.
Один из широко распространенных методов — метод Бубнова —
Галеркина. Для многослойных оболочек его удается реализовать
лишь в координатной форме. Решение представляется в виде
рядов по системе базисных функций, так чтобы были удовлетво-
рены граничные условия. Кроме того, должны быть выполнены
остальные условия, предъявляемые к координатным функциям
в методе Бубнова — Галеркина.
После выполнения обычной процедуры метода (см. п. 2.4),
состоящей в требовании ортогональности результата подстановки
решения в исходные уравнения к координатным функциям, при-
ходим к системе однородных уравнений для обобщенных коорди-
нат. Условия разрешимости этой системы дает уравнение частот,
которое имеет вид
| А — (о2В | == 0.
(7.23)
244
Здесь матрицы А и В имеют блочную структуру
(7.24)
где
/ А/^ * 12 A/ft А-3Л / B/l pl2 Djk pl3\ B/fe \
A,fe = | *21 А/* *22 A/ft A-I 1 ^]k 1 » B/ft= p22 Ojk r23 I 1 . (7.25)
I *31 \A/ft *32 A/ft a33/ \ R3’ p32 R33 / Djk/
Матрицы Afi и являются трехдиагональными
<7/%12 0 . . 0 '
0/^21 ajM2 fl/?23 • . 0
A$ = 0 aj?32 а^зз • . 0
О
О
О
В$ =
“jknn
b’jku * ^12 0 . .. 0
^22 ^23 . .. 0
0 ^мзз • .. 0
0 0 0 . . • bftnn
(7.26)
Для_ многослойных пластин при введении безразмерной ча-
стоты ш коэффициенты определяются по формулам (2.90).
Коэффициенты br‘kpq равны (по индексам не суммировать)
= - [1 + Р (Лы + Л*1)1 арр> ^pptft+i =“ РЛ**аРр>
^33*^ = [ 1 + Р (л*« + Лм)1 азз» ^ppsft-i =* —‘ РЛ*iapp'» (7-27)
= РЛ^лазз! bsskk—1 =РЛ*1азз (Р == 1» 2).
Здесь использованы обозначения (2.91).
Для круговой цилиндрической оболочки после разделения
переменных (3.113) и применения процедуры метода Бубнова —
Галеркина приходим к уравнению частот (7.23). Коэффициенты
arjkptl и briskpl) при этом определяются с учетом (3.117) из коэффи-
циентов (2.90) и (7.27) путем замен (3.115) и (3.116).
Для определения собственных частот и форм находят соб-
ственные значения и собственные элементы матрицы В-1А.
245
(7.28)
Заметим, что применение метода Ритца с использованием
тех же координатных функций, что и в методе Бубнова — Галер-
кина, приводит к тем же результатам, что и указанный метод.
Использование одночленного приближения совпадает с примене-
нием формулы Релея, которая для данного случая с использова-
нием выражений (7.2) имеет вид
-).
Особенность применения этой формулы состоит в том, что при
аппроксимации форм колебаний невозможно заранее указать
соотношения между векторами нормальных и тангенциальных
перемещений. В этом случае приходится вводить дополнительные
параметры, характеризующие эти отношения. Так, например, для
/-й формы колебаний может быть использована аппроксимация
ua = T]afy<pay (x'l, х2); и3 = Туфз,- (Xi, х2) (и = 1, 2). (7.29)
Здесь векторы us определяются по (3.106). В результате примене-
ния (7.28) получается выражение для частоты, зависящее от пара-
метров T]t и т]2. Используя свойства экстремальности частот, най-
дем а, исключая T]t и т]2 из соотношений
“-“(Ч- ч.); ^--0; ^ = 0. (7.30)
При этом получим три значения для частоты, соответствующие
формам колебаний с преимущественно поперечным или танген-
циальными характерами перемещений.
Для приближенного определения частот многослойных кон-
струкций применим метод разложения по толщине, описанный
в пп. 2.4 и 3.5. Использование одночленного приближения в этом
методе приводит к формуле, аналогичной формуле Релея (7.28).
Основной метод решения задач вынужденных колебаний много-
слойных конструкций — метод собственных функций, в котором
решение представляется в виде разложения по формам собствен-
ных колебаний. Для обобщенных координат получаются системы
обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для их
решения с успехом применяется хорошо разработанный аппарат
теории колебаний дискретных систем вне зависимости от харак-
тера внешнего воздействия (установившиеся гармонические, не-
стационарные или случайные нагрузки).
7.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Рассмотрим применение развиваемой теории для определения
частот и форм собственных колебаний упругих многослойных
конструкций регулярной структуры.
246
Широкий класс многослойных конструкций допустимо тракто-
вать как конструкции с абсолютно жесткими в трансверсальном
направлении мягкими слоями.. Такой подход в частности приемлем
при изучении преимущественно изгибных форм колебаний, когда
масштаб изменения напряженно-деформированного состояния при
колебаниях велик по сравнению с толщиной пакета. В качестве
примера рассмотрим прямоугольную в плане плиту, состоящую
из чередующихся жестких и мягких изотропных упругих слоев.
Уравнения, описывающие свободные колебания плиты, полу-
чаются из (2.6), (2.9) добавлением в них деламберовых сил инерции
(1.128) при =<7S =0.
Для определенности считаем, что число жестких слоев п —
= 2т + 1 нечетное; систему координат и способ нумерации слоев
выбираем так же, как в п. 2.1. Чтобы не усложнять задачу, учи-
тываем лишь нормальные составляющие сил инерции. Такое упро-
щение приемлемо, если только суммарная толщина плиты доста-
точно мала по сравнению с длинами полуволн форм колебаний
пластины в плоскости Оху. Предположим, что это условие выпол-
няется. Тогда уравнения (2.6) останутся без изменений, а в урав-
нение (2.9) вместо qs войдет взятое с противоположным знаком
произведение отнесенной к единице площади массы и нормаль-
ной составляющей ускорения:
D.A&W - [-^(ит—и_т) + + 2тс Ада j =
Выпишем также основные уравнения относительно потенци-
алов перемещений <pfc и фд,. Уравнения (2.10) (Ф = Т =0) оста-
нутся при этом без изменений, а вместо уравнения (2.13) получим
Ds А Ада — -у- A [<pm— <р_т ф- 2mcw] = — (7.32)
Пусть на торцах плиты поставлены условия (2.14) и (2.15).
Эти условия будут удовлетворены, есди для потенциалов ф* и фА
и нормального перемещения w принять выражения, аналогичные
(2-17):
Tt = ®iSin^-Sln^e,ef;
R а о
ф, = Т, cos ^cos (7.33)
Г, О63ТХ . BjTW / о ч п \
sin---sm-i-т^-е (а, В = 1, 2, ...).
247
Здесь а — собственная частота колебаний, подлежащая опре-
делению. Как и в аналогичной статической задаче, подстановка
выражения (7.33) в уравнения (2.10) и (7.32) приводит к системе
разностных уравнений относительно коэффициентов ФА, и W.
Из уравнений (2.10) и соответствующих им граничных условий
(2.11) и (2.12) найдем
Ф^ = Cjsh/гиг, 4*4 - 0 (k = 0, ± 1, ± 2, ..., + /и),
где характеристический показатель p > 0 определяется из урав-
нения (2.23), а постоянная С\ находится по формуле (2.25). Под-
ставляя найденные выражения вместе с (7.33) в уравнение (7.32)
и требуя, чтобы W 4= 0, получим формулу для определения соб-
ственных частот
2 4 О- 2Gc2X2aB
+ -^НГ- F п) (“> ₽ = 1. 2, . . .). (7.34)
В этой формуле использованы обозначения (2.19) и (2.27). При
этом параметры х„в и цаВ, входящие в правую часть формулы
(7.34), зависят от целых чисел аир, равных Числу полуволн
форм колебаний в направлении осей Ох и Оу соответственно. Та-
ким образом, формула (7.34) дает полный спектр собственных
частот для пластины с чередующимися жесткими и мягкими сло-
ями. Число слоев п = 2т + 1 входит в формулу (7.34) как пара-
метр. Дальнейшие подробности можно найти в статье [114].
Учтем теперь податливость мягких слоев в трансверсальном
направлении. Уравнения, описывающие свободные колебания,
в данном случае совпадают с (1.50) и (1.127). Рассмотрим колеба-
ния удлиненных в одном направлении плит, находящихся в усло-
виях цилиндрического изгиба. Заметим, что теми же уравнениями
описываются колебания многослойных стержней (отличие лишь
в выражениях для коэффициентов). Используя безразмерные
переменные (2.76) и вводя дополнительные безразмерные величины
j,
2 . 1 p"s
’ Р 4 р'Л ’
Е'
(7.35)
i» — i / o\
I C2p(l-V2)
запишем уравнения в следующем виде:
uk, хх + X [(uk+i — uk + wk+l, д. 4- wk, Л) т]Ал —
— (uk — Uk_! -J- Wk, x -|- wk_lt x) T]w] — Uk, xx — p [(Uk+1, TT 4- uk, Tt) Y\kn +
+ (uk, 4- uk-i, tt) "4*1] = 0; (7.36)
. VVk, xxxx - t [(O’fe+l - Wk) Hkn - (Wk ~ ®*_1) Tl*l] - .
— X f(M*+l, x — Ukt x 4“ Wk+1, XX 4" Wk, xx) Vkn +
+ (Uk, X — Uk_i, x + Wkt xx 4- Wk_U xx) TQfe! 1 4~ Wk, XX -|-
+ P 1(^+1. ” + Wk, xx) X]kn 4" (wk, tt 4" Wk-x, xx) T]*il = 0.
248
Задача определения частот для
плит с граничными условиями типа
свободного опирания (крепление
слоев к мембране, абсолютно жест-
кой в своей плоскости и абсолютно
податливой из плоскости) сводится
к решению уравнения (7.16). При
этом для рассматриваемого случая
размер матриц (7.17) уменьшается
до 2 X 2 (опускаются матрицы с ин-
дексом 2), а х.2 = 0.
При применении метода Бубнова
дится к решению уравнения (7.23) с
— Галеркина задача сво-
теми же изменениями, что
и для опертой плиты.
Оценки частот могут быть получены по формуле Релея (7.28),
которая в данном случае принимает вид
{п I
fe=l о
л-1 I
+ 2 f to (^*+i ~ и к+^*+1, х т k, х)2+
fe=l о
+ С(^+1-^)2]^
п I
2 j (ul + wl)dx +
fe=l о
n—1 I
+ 2 J P + Uk? + + ^)2] dx
k=l о
(7.37)
Для плит симметричного строения возможно разделение форм
колебаний на симметричные и антисимметричные по толщине
относительно срединной плоскости пакета. Это достигается пре-
образованиями (2.136) и (2.137). Система (7.36) при этом рас-
падается на две. Частоты для каждого типа форм находятся из
независимых уравнений, на которые распадаются (7.16) и (7.23).
Пример. Пусть многослойная плита имеет параметры ф = 0,5; Е /Ег = 50;
ЕгЮ" = 2,7; р — 1/12; v = 0,3. Зависимости безразмерной частоты <о от длины,
отнесенной к суммарной толщине жесткого и мягкого слоя, для опертой пла-
стины показаны на рис. 7.1. Аналогичные результаты для га = 10 в другой си-
стеме координат показаны на рис. 7.2. Изменение низших частот, соответству-
ющих «балочной» форме колебаний, в зависимости от изменения коэффициента
армирования показано иа рис. 7.3.
Сплошными линиями иа рис. 7.1 и 7.2 показаны зависимости частот анти-
симметричных по толщине пластины форм колебаний (IF* = lFn_fe+i; Uk =
= —1/л-*+1)> штриховыми — симметричных форм (Wk = —IF„_*.+i; Uk =
= (/л-fe+i)- Штрихпунктирная кривая построена для низшей частоты и соот-
ветствует учету поперечных сдвигов и инерции вращения в жестких слоях (см.
рис. 7.2). Такой учет дли основной формы колебаний необходим только для очень
коротких или очень толстых плит. Учет поперечных сдвигов и инерции вращения
249
жестких слоев необходим при исследовании форм колебаний с большим числом
узлов вдоль оси Ох. Приведенные результаты относились к безузловым формам
и отвечали различному характеру распределения перемещений по толщине.
На рис. 7.4 показана зависимость «в (/) для форм с различным числом узлов в про
дольном направлении (а — число, полуволи формы колебаний).
На рис. 7.5 сопоставлены точное (сплошные кривые) и приближенные (штри-
ховые линии — получены методом Бубнова—Галеркина, штрихпуиктириые —
по формуле Релея) решения для антисимметричных форм (га = 4); 1 — свободное
опирание; 2 — заделка пластин. Для многослойных плит граничные условия
на частоты собственных колебаний влияют менее значительно, чем для однослой-
ных пластин из изотропного материала. Результаты, полученные с использова-
нием формулы (7.34) дли основной частоты (низшая антисимметричная или «ба-
лочная» форма), близки к решению уравнения (7.16), и на рис. 7.5 соответ-
ствующие кривые неразличимы.
Остановимся на некоторых качественных выводах, следующих
из рассмотренного примера. Спектр собственных колебаний много-
слойных плит характеризуется тем, что могут быть выделены пре-
имущественно поперечные колебания, преимущественно продоль-
ные или тангенциальные колебания и колебания «сдвиговые».
250
Последний тип колебаний выделяется только при учете попереч-
ных сдвигов и инерции вращения в жестких слоях. При этом
практическое разделение происходит для форм, длина волны
которых либо мала, либо велика по сравнению с суммарной тол-
щиной жесткого и мягкого слоев. В остальных случаях колебания
носят связанный характер, являясь продольно-поперечными.
«Сдвиговые» формы отвечают высоким частотам и практически не
сопровождаются продольными и поперечными перемещениями.
В то же время моментные эффекты оказывают небольшое влияние
на продольно-поперечные формы колебаний. Приведенные резуль-
таты подтверждают возможность рассмотрения динамических про-
цессов в многослойных конструкциях на основе приближения,
основанного на гипотезе Кирхгофа — Лява для жестких слоев.
Рассмотрим теперь свободные колебания многослойных круго-
вых цилиндрических оболочек. Пусть строение по толщине регу-
лярное, а параметры слоев не изменяются в зависимости от коор-
динат. Материалы слоев считаем упругими и изотропными. От-
несем оболочку к цилиндрической системе координат. Уравнения,
описывающие свободные колебания многослойных цилиндриче-
ских оболочек, совпадают с (4.39) и операторами (4.40), (4.41).
При этом в уравнения должны быть внесены даламберовы силы
инерции (3.99), а внешние нагрузки необходимо положить равными
нулю: </<*> 1 = q^ 2 = q^ 3 = 0.
Как уже отмечалось, при изучении свободных колебаний для
цилиндрических оболочек может быть получено точное решение,
схема получения которого описана в п. 7.1. Однако реализовать
это решение с использованием ЭВМ при достаточно большом
числе слоев затруднительно из-за ограниченной памяти современ-
ных ЭВМ. Исключение составляет случай опертой по торцам
оболочки, для которой задача сводится к решению уравнения
(7.16) с использованием обозначений (7.17), (7.18) и учетом (7.19).
Применение метода Бубнова — Галеркина приводит в данном
случае к уравнению (7.23), где используются обозначения (7.24)—
(7.27), (2.90) с учетом замен (3.115) и (3.116).
Оценка для частот получается при помощи формулы Релея
(7.28), которая для цилиндрической оболочки принимает вид
(^3 = Г)
со =
п
2 j + 2vrkU\k, х (U^k, ф— +/ft (i/2fe, ч> — +
fe=l Q
4----2— (r<₽ ~b ») “h? хх ~b 2vWk, xx^kWk. <pq>
+ ФФ + 2 (1 - v)4< хф)] dQ + 2 J U (^+1 - ^)2 +
fe=l Q
+ X (Ulk+1 — Ulk + 1^*+1, x + k, xf +
251
+ x(^2fe+i —U^k -\-rkWk, <p 4-rj+i^H'. <₽)2] X
X I j (U\k 'h U^k + dQ -|- У^ j p [(t/i*-|-i + Uik) +
l*=l Q fe=l Q
+ (t/2ft+1 + U2k)2 + (Wk+1 + rfc)2]dfii . (7.38)
Здесь использованы обозначения (3.106) и формула выделения
временного множителя (7.12). (По индексам после запятой произ-
водится дифференцирование).
Для многослойных оболочек даже регулярного строения ха-
рактерно, что разделения форм на симметричные и антисимметрич-
ные относительно срединной поверхности не происходит, но пре-
имущественный характер форм остается. Поэтому выделяем квази-
симметричные и квазиантисимметричные формы, для которых
соотношения (2.136) и (2.137) выполняются приближенно. Для
цилиндрических оболочек разделение имеет место только для
тонких оболочек, когда изменением метрики по толщине можно
пренебречь, и, кроме того, v = 0. Как и для многослойных пла-
стин, частотные зависимости делятся на серии, соответствующие
формам с преимущественным характером того или иного пере-
мещения: преимущественно изгибные, преимущественно кру-
тильные и преимущественно продольные. При учете поперечных
сдвигов и инерции вращения в жестких слоях добавляется еще
одна серия, соответствующая преимущественно сдвиговым де-
формациям.
Пример. Примем для оболочки следующие параметры: п = 4; х|> = 0,5;
E'lEz = 50; Ez/G = 2,7; N = 10; v = 0,3; p7p' = 0,3. В отличие от предыду-
щего примем для безразмерной частоты выражение со* = <в (p'fts/G")1^2. Ре-
зультаты вычислений приведены на рис. 7.6—7.9.
Рис. 7.6
252
Зависимость частот осесимметричных колебаний многослойной цилиндриче-
ской оболочки с граничными условиями свободного опирания на торцах показана
на рис. 7.6. Сплошные линии относятся к квазиантисимметричиым формам соб-
ственных колебаний по толщине (U^ х —Uin_k+1-t U2k «== —«
«=* WV&+1), штриховые — к квазисимметричным формам Uin-k+i>
Uzk * UiM-, wk« -r„.fc+1).
На рис. 7.7 приведены результаты для неосесимметричных колебаний обо-
лочки, заделанной по торцам (число волн в окружном направлении а2 = 4).
Заметно разделение кривых на серии, соответствующие различному типу форм
колебаний: I — преимущественно изгибные; // — преимущественно крутиль-
ные; III — преимущественно продольные; IV — преимущественно сдвиговые
или моментные (последние являются высокочастотными и на рисунке не по-
казаны). Кривые каждой серии соответствуют различному распределению пере-
мещений по толщине. Штриховые линии на рнс. 7.7 — результаты, полученные
по формуле Релея.
Частотные зависимости для различных краевых условий сопоставлены на
рис. 7.8. Сплошные линии соответствуют оболочкам с заделанными торцами, штри-
ховые — оболочкам со скользящей заделкой, штрихпунктирные — оболочкам,
свободно опертым по торцам. Расхождение результатов имеет место только для
форм колебаний с небольшим числом полуволн в продольном направлении «j,
для которых динамический краевой эффект оказывается наиболее существенным.
На рис. 7.9 показана зависимость низших частот поперечных колебаний от числа
воли в окружном направлении. Характер последних зависимостей аналогичен
зависимостям для однослойных оболочек.
7.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ
УПРУГИХ СРЕДАХ
Распространение упругих и электромагнитных волн в слоистых
средах с точки зрения приложения результатов к акустике, радио-
технике и некоторым задачам геофизики исследовано достаточно
подробно. Представляет интерес вопрос о распространении волн
в упругих многослойных конструкциях. Рассмотрим волновые
процессы в упругих многослойных конструкциях регулярной
структуры.
Сначала рассмотрим распространение плоских волн в упругой
слоистой плите регулярной структуры — слоистой упругой среде,
состоящей из конечного числа чередующихся жестких и мягких
253
слоев с соответственно одинаковыми параметрами. Исходными
являются уравнения (7.36). Волна, распространяющаяся в на-
правлении расположения слоев, описывается решением вида
ехр [1 (хх — (оОЬ exp [i (хх — (7.39)
Результат подстановки данного решения в исходные уравне-
ния представляет собой алгебраическую систему линейных одно-
родных уравнений относительно Uk и W k. Данная система до-
пускает два вида решений: (2.136) и (2.137), которые описывают
соответственно симметричные и антисимметричные относительно
срединной поверхности плиты формы распространяющихся волн.
Дисперсионное уравнение, связывающее безразмерную частоту со
и волновое число, имеет вид (7.13) при учете, что (7.17) не содер-
жит матриц с индексами 2 и что х2 = 0. При этом параметр х
меняется непрерывно (в отличие от плиты конечных размеров).
Дисперсионное уравнение распадается на два уравнения, соответ-
ствующих симметричным и антисимметричным формам.
Исследование дисперсионного уравнения (7.13) основано на
решении его относительно безразмерной частоты со при фиксиро-
ванном волновом числе х. Полученное решение позволяет найти
фазовые и групповые скорости волн, распространяющихся в на-
правлении расположения слоев
и исследовать дисперсию распространяющихся волн. Так как
корни уравнения (7.16) совпадают с корнями уравнения
| ГА - ш2Е | = 0, (7.41)
то нахождение корней уравнения (7.13) при фиксированном х
можно заменить нахождением собственных значений матрицы
В-1А. Найдя собственные векторы матрицы Й-1А, можно полу-
чить распределение перемещений слоистой плиты по толщине при
распространении волны с заданной длиной Л = 2л/х. При фикси-
рованном волновом числе в продольном направлении фактически
имеем систему с 2/г степенями свободы (/г — число жестких слоев),
а следовательно, для каждого х 2п частот и форм колебаний.
Последние характеризуются распределением величин Uk, Wk.
Пример. Пусть многослойная плита характеризуется параметрами п = 4;
Е'/Ег = 50; E'z/G' = 2,7; р /р' = 0,3; ф = 0,5. Типичные зависимости безраз-
мерной частоты от волнового числа х показаны на рис. 7.10. Сплошная кривая
соответствует выражению (2.137), штриховая — (2.136) Каждой кривой на
рис. 7.10 соответствует определенная. форма колебаний в поперечном напра-
влении. Иллюстрацией этого является рис. 7.11, где приведены четыре низшие
антисимметричные формы колебаний для плиты, имеющей 10 жестких слоев и
те же остальные параметры. Проведенные вычисления показывают, что при изме-
нении волнового числа характер форм распространяющихся волн, соответству-
ющих одной и той же дисперсионной кривой, меняется. Изменение форм легко
254
проследить на рис. 7.11. Это может быть либо изме-
нение амплитуды с изменением преимущественного
характера формы, либо изменения формы рас-
пределения перемещений, имеющих меиьшие ам-
плитуды, либо смеиа характера форм соседних дис-
персионных кривых.
При увеличении волнового числа х частотные
кривые локализуются в двух зонах. Эти зоны со-
ответствуют преимущественно поперечным и преи-
мущественно продольным формам колебаний. За-
метим, что при х = О происходит полное разде-
ление. В этом случае жёсткие слои перемещаются
как жесткие тела, а мягкие слои служат упругими
элементами, работающими на поперечное деформи-
рование и сдвиг. С увеличением числа слоев частот-
ные кривые все гуще заполняют определенные об-
ласти на плоскости (со, х). На рис. 7.10 эти об-
ласти заштрихованы.
Зависимость безразмерной фазовой скорости От волнового числа х показана
на рис. 7.12. Обозначения и значения постоянных здесь те же, что на рис. 7.10.
Кривые фазовых скоростей также распадаются на группы в соответствии с ха;
рактером форм распространя-
ющихся волн.
Анализ численных ре-
зультатов позволяет сде-
лать некоторые качествен-
ные выводы. Отметим, что
характер распределения
перемещений для слоистой
плиты отличается от ха-
рактера распределения пе-
ремещений в однородном
слое. Это связано с тем,
что мягкие слои в рассма-
триваемой модели слоистой
среды обладают значитель-
но меньшей жесткостью и
Рис. 7.11
255
работают в основном как
упругие элементы. Однако
можно привести в соответ-
ствие формам колебаний рас-
сматриваемой дискретной мо-
дели волноводные формы для
слоя. Так, например, низшая
частотная кривая для анти-
симметричной формы колеба-
ний соответствует балочной
форме колебания плиты.
Таким образом, для регу-
лярной слоистой среды, со-
стоящей из чередующихся
слоев повышенной и понижен-
ной жесткости, имеется два
Рис. 7.13 возможных фактора, обуслов-
ливающих наличие дисперсии
при распространении плоских волн. Это дисперсионные свойства
армирующих (жестких) слоев и трансформация форм волн в попе-
речном направлении при изменении[волнового числа х.
Поскольку часто при работе в качестве элемента конструкции
многослойные плиты бывают нагружены продольными усилиями,
представляет интерес проследить влияние этих усилий на дина-
мические, в том числе и волновые, процессы, происходящие в мно-
гослойных пластинах. Методика исследования, приведенная
выше, сохраняется, но в исходных уравнениях в группе, соответ-
ствующей поперечным перемещениям, появятся члены, содержа-
щие продольные усилия Nwk<xx. Частотное уравнение по-преж-
нему имеет вид (7.13) с коэффициентами (7.18), за исключением
a^kk = ух4 + (У -г XX2) (Пйп + Пи) + №с2.
(7.42)
Пример. Пусть многослойная плита имеет те же параметры, что и в предыду-
щем примере. Зависимости частот от продольного усилия N при различных х
показаны на рис. 7.13. Сплошные линии соответствуют низшей частоте анти-
симметричных колебаний, штриховые — низшей частоте симметричных колеба-
ний. Обращение в нуль частот означает наступление потери устойчивости (выпу-
чивания) с волнообразованием, отвечающим данному значению волнового числа.
Значение х* = 2,15 разделяет области общей и поверхностной форм потери
устойчивости. Приведенные результаты показывают, что наличие растягива-
ющих продольных усилий приводит к увеличению фазовых скоростей распро-
страняющихся в пластине волн. Приложение сжимающих продольных усилий
меньше критических уменьшает скорости распространения волн.
Для исследования процесса распространения волн в неограни-
ченной упругой слоистой среде регулярной структуры решение
исходной системы (7.36) при т|/А = 1 ищем в виде
uk — iU exp [i (kQ + хх — сот)]; wk = Wexp [i (kQ xx — сот)].(7.43)
256
Подстановка (7.43) в (7.36) приводит к следующему диспер-
сионному уравнению:
х2 — 2? (cos 0 — 1) — со2 —
— 2р<о2 (cos 0 -j- 1)
2%х sin 0
2%xsin 0
ух4 — 2£ (cos 0 — 1) —|—
+ 2%x2(cos 0 1) —
— to2 — 2р<о2 (cos 0 + 1)
= 0. (7.44)
Решение (7.43) описывает волны, распространяющиеся вдоль
направления слоев, если волновое число 0 фиксировано, и волны,
распространяющиеся перпендикулярно направлению слоев при
фиксированном волновом числе х. Наложением указанных реше-
ний можно описать волны, распространяющиеся под углом к на-
правлению слоев. Заметим, что при распространении волн перпен-
дикулярно расположению слоев при фиксированном х имеем за-
дачу о распространении волн в дискретной цепочке, каждый
элемент которой представляет собой систему с двумя степенями
свободы. Фазовая и групповая скорости определяются при этом
следующим образом:
С = -^-; Cg = 2c0^-(-n сОсл). (7.45)
При распространении волн вдоль направления слоев фазовая
и групповая скорости определяются формулами (7.40).
В связи с тем, что при распространении волн в направлении,
перпендикулярном расположению слоев, данная система эквива-
лентна дискретной цепочке, в данном случае должны выполняться
основные закономерности, справедливые при распространении
волн в бесконечных периодических структурах. Ограничение
диапазона изменения волнового числа 0 значениями —л и л
соответствует тому, что длина распространяющейся волны не мо-
жет быть меньше удвоенного расстояния между срединными по-
верхностями соседних жестких слоев. При длине волны, равной
этому расстоянию, наблюдаются стоячие волны. Отрицательные
значения соответствуют распространению волн в противоположном
направлении. Слоистая среда в данном случае работает как фильтр.
Подробности о распространении волн в многослойных плитах
и упругих слоистых средах можно найти в статьях [52, 62].
Пример. Для упругой слоистой среды примем следующие значения параме-
тров: р'7р' = 0,3; ip = 0,5; Е'/Ег = 50; Ег/G" = 2,7. На рис. 7.14 показаны
зависимости со* от х для 0=0, л, л/2. Для значений волнового числа из возмож-
ного диапазона его изменения —л < 0 < л частотные кривые заполняют за-
штрихованные области. Эти области совпадают с областями локализации частот-
ных кривых для пластин при увеличении числа жестких слоев (см. рис. 7.10).
Зависимости фазовых скоростей для воли в неограниченной упругой слоистой
среде регулярной структуры при распространении волн в направлении располо-
жения слоев для 0 = Ои0 = л приведены иа рис. 7.15. Области расположения
кривых для промежуточных значений 0 заштрихованы. На рис. 7.16, где приве-
9 В. В. Болотян 257
дены зависимости низших Частот от волнового числа 9 при различных значе-
ниих х, показаны полосы пропускания. Учет сдвигов и инерции вращения в же-
стких слоях приводит к незначительному изменению при малых х низших или
«акустических» частот и к появлению еще одной, так называемой «оптической»
ветви.
Рассмотрим теперь распространение волн в многослойных
цилиндрических оболочках. Заметим, что волновые процессы
в однослойных цилиндрических оболочках изучены достаточно
подробно. Процесс распространения волн в многослойных оболоч-
ках более разнообразен: он включает волновые процессы, прису-
щие как однослойным оболочкам, так и многослойным пластинам.
Здесь мы ограничимся рассмотрением волновых процессов в много-
слойных круговых цилиндрических оболочках регулярного стро-
ения и основное внимание уделим осесимметричным волнам.
В качестве исходных возьмем уравнения (4.39) совместно
с (4.40), (4.41) и (3.39), основанные на принятии гипотезы Кирх-
гофа — Лява для описания деформирования жестких слоев. Учет
сдвиговых эффектов в жестких слоях и инерции вращения нор-
мальных элементов существенен только для достаточно коротких
волн, длина которых сопоставима с толщиной жестких слоев.
Указанными эффектами в большинстве случаев можно пренебречь.
Это подтвердилось в задаче о распространении волн в многослой-
ной плите.
Пусть в цилиндрической оболочке распространяется гармони-
ческая волна. Ее можно описать следующими выражениями:
= Uk = iUk exp [i (xpc 4~ хфФ —
V2k) =vk = iV*exp [j (х^+Хфф — cor)]; (7.46)
Vsk) = wk = IT* exp [i(ихх -|- хф<р — шт)].
В общем виде эти функции описывают монохроматическую
волну, распространяющуюся в цилиндрической оболочке по вин-
товой линии. Волна для каждого слоя характеризуется волновым
258
2 2,22
числом х = хх + г Хф, а направле-
ние ее распространения определяет-
ся отношением хх/хф.
При Хф = 0 соотношения (7.46)
описывают распространение осесим-
метричных волн в направлении об-
разующей, а при хх = О распрост-
ранение в окружном направлении
волны цилиндрического изгиба вдоль
образующей. Последний случай со-
ответствует распространению волн
в кольце. Среди других возможных
классов волн укажем на неосесим-
Рис. 7.16
метричные волны, распространяющиеся в продольном напра-
влении, которые описываются функциями
uk = iUk exp [i (xAx — сот)] cos хфср;
= VAexp [с(хлх — сот)]51пХфф; (7.47)
Wk = exP ll (Xx* — ®т)1 COS Хфф,
а также стоячие вдоль образующей волны, распространяющиеся
в окружном направлении, которые описываются решениями вида
и* = Uk ехР К (х<рФ “ mT)]cos хлх!
= i Vk exp [i (Хфф — сот)] sin хрс; (7.48)
= Wk exp [i (Хфф — сот)] sin ихх.
Подстановка (7.46), (7.47) или (7.48) в исходные уравнения
приводит к системе однородных алгебраических уравнений отно-
сительно Uk, Vk и Wk. Условие существования ненулевого реше-
ния полученной системы, состоящее в требовании равенства нулю
определителя этой системы, приводит к дисперсионному уравне-
нию, исследование которого дает ответ на вопрос о скоростях
распространяющихся волн, их дисперсии и трансформации форм
этих волн.
Вид решения для распространяющихся волн (7.46) или (7.47),
или (7.48) показывает, что для оболочки существуют три серии
волн: преимущественно поперечные, продольные и крутильные.
Кроме того, в каждой серии существуют волны с различным харак-
тером распределения перемещений по толщине. Если учитывать
сдвиговые явления в жестких слоях и инерционные члены, свя-
занные с поворотом нормальных элементов слоев, то добавится
еще одна серия волн — преимущественно сдвиговых.
Подробно рассмотрим распространение осесимметричных волн
в многослойной цилиндрической оболочке (хф =0; хх = х).
Дисперсионное уравнение можно записать в виде
I А* - Г= 0. (7.49)
9* ' 259
Коэффициенты матриц А* и В* зависят от волнового числа х
и безразмерных параметров, характеризующих оболочку. По-
скольку в рассматриваемом случае выделяется класс чисто кру-
тильных волн, которые рассматривать не будем, то структура
матриц А* и В* оказывается следующей:
- A? Aj2 в11 в12
А* = А21 А22 ; в„ = в2.1 в22 (7.50)
где матрицы А?₽ и — трехдиагональные с коэффициентами
ankk = - х2 - X [(1 + rk) + (1 - rk) aUkk+l = х (1 + '*) П*п;
«н**-1 = —Х(1
a33kk = ух4 + г* + (С + XX2) [(1 + rk) x]kn + (1 - rk) три В
a33kk+i — ( s + x«2)(l 4-б*)т1*л> (7-51)
«зз**-1 = (—£ + XX2) (1 - rk) T]w;
«13** = — «31** = vrftx + XX [(1 + rk) л*„ - (1 - rk) л*11;
«i3**+i = «3i**+i = хх (1 + /*) л*л;
«1з**-1 = «3i**-i = Xх (1 — /"*) т)А1;
^п** — ^22** = 1 + р [(1 + /*) п*™ + (1 — rk) Ли];
biikk+i = ^22**+i = Р (1 + /"*) Л*п; ^ukk-i = — ^22**-i = Р(1 ~ rk) Ли-
После решения дисперсионного уравнения (7.49) фазовые
и групповые скорости находим по формулам (7.40).
Пример. Пусть цилиндрическая оболочка состоит из четырех жестких слоев
(м=4) и характеризуется параметрами ф = 0,5; р"/р' = 0,3; E'/Ez = 50;
E'zld' = 2,7; v = 0,3; H/R = 0,15 (Я—пол-
ная толщина оболочки; R — средний ра-
диус оболочки). Зависимости фазовых скоро-
стей от волнового числа приведены на рис. 7.17
тонкими сплошными линиями. Сплошные
жирные кривые — результаты для сплошной
оболочки (материал несущего слоя). Штрихо-
вые линии соответствуют результатам, полу-
ченным в предположении о возможности
пренебрежения изменением метрики по тол-
щине оболочки. Расхождение результатов
для преимущественно изгибиых волн ока-
залось значительным. Это расхождение умень-
шается с уменьшением Н/R, и при H/R «
0,01 имеется практически полное совпа-
дение. Штрихпунктирная кривая — резуль-
таты для пластины. Заметно существенное
расхождение при малых волновых числах х.
Вообще изменение кривизны оказывает зна-
чительное влияние на скорости преимуще-
ственно изгибных воли и практически не
влияет на скорости преимущественно про-
дольных ' волн, которые мало отличаются
260
при х > 0,5 от скорости Со = (Е /р J1/2. Подробности можно найти в статье
156].
Рассмотрим особенности распространения волн в слоистых
конструкциях с учетом рассеяния энергии, обусловленного вязко-
упругими свойствами материала мягких слоев. Изучение проведем
на примере волн в неограниченной слоистой среде с плоскими
слоями [62]. Принимаем для жестких слоев гипотезу Кирхгофа —
Лява и пренебрегаем инерцией поворота нормальных элементов
слоев. Для описания волновых процессов воспользуемся уравне-
ниями (7.36), в которых х и £ заменим операторами и
£ , связанными с операторами G" и Ег форму-
лами типа (2.76). Операторы G" и Е"г ("э?) определяются
согласно одному из выражений (7.7) — (7.11).
Выше уже отмечалось, что для слоистых сред характерно, что
даже без учета эффектов диссипации в мягких слоях часть форм
при определенных частотах является затухающими. Это так назы-
ваемые зоны непропускания.
При исследовании распространения волн в слоистой среде
с учетом эффектов затухания считаем, что частота распространя-
ющихся возмущений задана. При распространении волн в напра-
влении слоев параметр 6, характеризующий вид волны в направле-
нии, перпендикулярном расположению слоев, считаем фиксиро-
ванным и действительным, а параметр волнового числа х — ком-
плексным. Если волны распространяются перпендикулярно напра-
влению слоев, то х фиксируем и считаем действительным, а 0 —
комплексным. Действительная часть Re х == хг в первом случае
и Re 0 = 0Г во втором связаны с длинами и скоростями распро-
страняющихся волн, а мнимые части Im х = х, и Im 0 = 0(- ха-
рактеризуют скорость затухания амплитудных значений волн.
Решение для неограниченной среды (k =0, ±1, ±2, ...;
r]ft/ = 1) ищем в виде (7.43).
Дисперсионное уравнение имеет вид
х2 - 2 (xr + iXz) (cos 0-1)_g? —
—- 2pco2 (cos 0 + 1)
2 (Xr + tXI)xsin0
2 (Xr + t’Xz) х sin 0
yx4 — 2 (£r + f£t) X
X (cos0 — l) + 2(xr +
+ iXi) x2 (cos 0 + 1) —
— w2 — 2pco2 (cos 0 + 1)
= 0.
(7-52)
Рассмотрим волны, распространяющиеся в направлении слоев.
Если мягкие слои считать идеально упругими, то следует поло-
жить Хг = XI 2Г = 2; X/ = 2i = 0. Для двух крайних значений 0
из возможного диапазона изменения уравнение (7.52) имеет про-
стые решения. Для 0=0, что соответствует бесконечной длине
волны в
направлении, перпендикулярном распространению, имеем
х112= ±ш(1 +4р)1/2;
Z3 g = /—2 (Xr + ‘Xi) ± [4 (Xr + ‘Xi)2 + W2Y (1 + 4р)1/2 V/2 п
Y J '
значения 0 = л, соответствующего минимально воз-
длине волны, равной удвоенному расстоянию между сре-
Для
можной
динными поверхностями соседних жестких слоев, получим
xi,2 = [“2 —4(хг + а,)]1/2;
х3_6={[«2-4(^+От-1}1/4- (7-54)
Рассмотрим распространение волн перпендикулярно напра-
влению слоев. Раскрывая определитель (7.52) для cos 0, получим
квадратное уравнение. Это уравнение имеет комплексные коэффи-
циенты. В связи с тем, что решение полученного уравнения отно-
сительно 0 многозначно, ограничимся только главным значением
262
Пример. Пусть характеристики слоистой среды совпадают с аналогичными
характеристиками среды без диссипации (см. пример на с. 257). Для простоты
считаем, что диссипативные свойства мягких слоев удовлетворительно описы-
ваются при помощи модели (7.7) (т), = %,•/%,., т]а = S/До Л = 11i = Лг)- Зависи-
мости, построенные по формулам (7.53) и (7.54) для различных т], показаны на
рис. 7.18 и 7.19. Эти результаты соответствуют распространению волн в на-
правлении слоев. Для случая распространения волн поперек слоев зависи-
мости, построенные с использованием (7.55), приведены на рис. 7.20 и 7.21.
Анализ полученных результатов показывает [62], что при малых значениях
диссипации в мягких слоях скорости распространения волн практически не ме-
няются. Амплитудные значения уменьшаются с течением времени в несколько
раз в зависимости от вязкоупругих свойств материала заполнителей (мягких
слоев). Оценка затухания производится по значению мнимых частей волновых
чисел.
7.4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В МНОГОСЛОЙНОЙ
УПРУГОЙ ПЛИТЕ
Начиная с работ Релея, поверхностным волнам в упругих
телах различной формы и структуры уделяется большое внимание.
В относительно толстых конструкциях наряду с волнами, рассмо-
тренными в п. 7.3, могут существовать волны поверхностного типа,
характеризующиеся убыванием перемещений при удалении
от поверхности. Рассмотрим такие волны в многослойной упругой
плите регулярной структуры [55]. Для рассмотрения поверхно-
стных явлений воспользуемся полубесконечной моделью, считая,
что слоистая среда занимает полупространство z > 0 и ограничена
одним из жестких слоев, срединная поверхность которого совпа-
дает с плоскостью z=0. Пусть волна распространяется в напра-
влении оси Ох и имеет место плоская деформация, так что vk ~ 0,
a uk и wk не зависят от у. Для жестких слоев примем гипотезу
Кирхгофа—Лява. Исходные уравнения
auk, хх + (ы*+1 ~ uk + ~2~ йУ*+1. х + ~у kj
-(uk- + -±-wk,x + 4"Wk-1,x) Ли —
— uk, TT — p [«*+1, tt + ukt tt + (Uk, tt + uk_x, tt) — 0;
№k. xxxx -1 [®*+l - Wk - <Wk - T)m1 - (7.56)
---у [w*+l, X — uk,x-\- (uk, x uk-l, x) Ли! —•
----4" [“’frt-l, XX + wk, XX + (wk, XX + wk-l, хх) Лы1 + wk, TT +
+ P [®fe+l, TT + Wk< TT + (Wk, TT + Wk-1, тт) Ла11 — 0-
263
Здесь перемещения отнесены к 2с0 и использованы обозначения
а - -- E'hs R = JL •
X (1—v2)G"c2’ 1 а’
, / G" \1/2 1 £
’ р = тро; В = ^-
(7-57)
Уравнения (7.56) при k = 1 следует рассматривать как гранич-
ные условия на поверхности упругой слоистой среды.
Ищем решение в классе бегущих волн
uk — iUk ехР U (х* — ®т)]; wk = W\exp [i (xx — сот)]. (7.58)
Подставляя (7.58) в (7.56), получим уравнения
(1 0,2Р) №k-i + ^a+i) + [2 4- ах2 и2 (1 4- 2р)] Uk 4-
+ ~2~х (^k-i ~ ^а+1) == 0;
(7-59)
2~ Х (^*-1 ~ ^k+i) 4" ("J” х2 ~ В ~ 0)2р) (И7*-1 4- ^7*+1) +
4- [рх4 + -^ X2 + 2| - (О2 (1 4- 2р)] Wk = 0
и граничные условия (k = 1)
[1+ах2-<о2(1 4-р)][/1-(1+со2р)[/2_-1-х(Г1 + и72) = 0;
2 х (Pi ^г) 4- 4—4~х2 4~ В —0,2 (1 4- р)] 4“ (7.60)
+ (4-х2 - I - со2р) «72 = 0.
Для получения решения, соответствующего поверхностным
волнам, необходимо потребовать, чтобы Uk и Wk стремились
к нулю при kоо. Введем характеристический показатель сле-
дующим образом:
ик--=ШЛ Wk = WXk. (7.61)
Требование затухания приводит к условию |Х| <1. Подста-
новка (7.61) в (7.59) и требование существования ненулевого
решения для U и W приводят к возвратному уравнению для Л..
Вводя обозначение
найдем
А. + х 1 = |х,
—с3ц 4- (4x2q 4- 2с3) — X J/р2 — 4
X V ц2 - 4 — сщ 4- (4х2с2 4- 2с4)
(7.62)
(7.63)
264
где
4q = а2 - С2; 4с2 = ₽х2 ф 1 - С2;
с3 = 1 ф- С2х2р00; с4 = | х2 — С2х2р00; (7.64)
С2 = ы2(1 ф-4р)х“2; р00 = р(1 4-4р)-1.
Величина С, входящая в (7.64), пропорциональна фазовой
безразмерной скорости поверхностных волн. Из требования за-
тухания следует, что | р | > 2. Дополнительное исследование
показывает, что можно ограничиться случаем р > 2 (0 <% < 1).
Положим
р = 2 ф- 2у2х2,
тогда вместо (7.63) получим
(7.65)
или
—с3«/2 (-2^ — -±-у |/2ф-у2х2
/2ф-у2х2
— с4р2 4- 2с2
= 0
(7.66)
(4с3с4 ф- х2)//4 — 2у2 (4с4с4 ф- 4с2с3 — 1) ф- 16с4с2 = 0. (7.67)
На плоскости (С, х) можно найти область, в которой квадраты
корней уравнения (7.66) положительны, что соответствует усло-
вию р > 2. Границу области найдем, полагая р = 2. Возможны
два случая: с4 = 0 или С2 = а и с2 =0 или С2 = 0х2 ф- 1.
Решая уравнение (7.66), найдем согласно (7.65) два значения
р; = р;- (С, х). Каждому р из (7.62) соответствуют два значения Л,
из которых оставляем значения, меньшие единицы (А.х/ %2/- = 1).
Обозначим оставленные корни Х4 и %2. Каждому Л соответствует
ненулевое решение для U и W, в качестве которого можно взять
ДЛ/) =Ш/2+^х2; Г(/) =-2с^ + 4С1. (7.68)
Решение системы (7.59), удовлетворяющее условию затухания:
Uk — AiU(1) %* ф- A%U(2) %2; . Wk — A[W(1; Xj ф- A2W2X2 • (7.69)
Используя граничные условия (7.60), получим однородную
систему уравнений относительно постоянных Лх и Л2, условие
существования нетривиального решения которой дает уравнение
для определения скоростей поверхностных волн
А(С, х) =
ан а12
а21 а22
= о,
(7.70)
265
где
a1i==(4cix2 + 3c3 —2)t/(i) — с3£7(1)Х1 —-^-xlFd) (1 +M;
Я12 = (4C1X2 + 3C2 — 2) £7(2, ~ C3£7(2)X2-g-xlF(2) (1 +^2); (7.71)
Й21 =---2~ (i) (1 — ^1) 4" (4x2c2 4- 3C4 — 2|) W(i) — c4U7(n
Й22 =---2~ x^(2) (1 — ^2) + (4x2C2 4- 3c4 — 2|) W(2) —C4W(2)^2.
Непосредственное решение (7.70) затруднительно. Как пока-
зали вычисления, искомое решение близко к границе области
существования. Указанное обстоятельство позволяет получить
простое приближенное решение.
Построим приближенное решение вблизи границы С2 = 0х2 +
+ 1. Решение справедливо для х2 < (а — 1)/|3, точнее, для х2 <
< х2, где х* — действительный корень' уравнения 4с4с4 +
+ 4с2с3 — 1=0 при С2 = |3х2 + 1. Примем
С2 = рх2 + 1 - 4е2 (8 < 1). (7.72)
Вводя обозначение с12 = а — |3х2 — 1, получим приближенное
выражение для корней уравнения (7.67)
и2 ~ 2е2с12 _. .2 _ 2(С12С4—°>25) /7 7о\
У1 ~ с12с4 — 0,25 ’ У2~ с2с40,25х2 • (7-73'
Характеристические показатели, удовлетворяющие условию
О < X < 1:
4 1 2~z 2е2х2 . с, _..
х-=‘-7^+— <774’
Вместо (7.68) можно взять
£7(1, = е; £7(2) =1; U7(1)
U7(2)=-t/^ + X2- <7-75)
С4 Т С12
Наконец, из (7.70), обозначая b = £х2 + 1, получим
е= |2F(1)x (1 - 4&Ро()) (2 + 2йРоох2 -хГ(2)) -
— Г(1) I2* - Г(2) (х2 + 4? — 44'оо*2)П X
X 5 f 7^(1/Г1/2 (2 + 2W ~ ) -
-&РоОх[2х-Г(2) (х‘ + 4?-46Роох2)]}-\ (7.76)
266
Скорость поверхностных волн определяется формулой (7.72)
с учетом (7.76).
Анализ полученного решения показывает, что в рассматрива-
емом диапазоне волновых чисел поверхностные волны имеют
преимущественно поперечный характер. Эта особенность позволяет
получить приближенное решение на основе пренебрежения в (7.56)
перемещениями ик. Вместо (7.59) и (7.60) получим
(0,25х2 - со2р - g) (W^ + Wk+1) +
+ [рх4 + 0,5х2 + 2g - w2 (1 + 2р)] Wk = 0 (7.77)
и
[рх4 + 0,25х2 + g - и2 (1 + р)] (0,5х2 - g - и2р) W2 = 0. (7.78)
Область существования решения ограничена линиями С2 =
= Рх2 + 1 и С2 = р^1 (0,25х2 — у) х~2.
Используя (7.61) и (7.62), найдем
„ . „ рх2-Н—С2
И 2 “I" х g— 0,25х2-ЬС2х2роо • (7,7Э)
Удовлетворяя условиям (7.78) и условию -> 0 при /г -> оо,
получим уравнение
/(И + х2 - ^С2) (>4 + 4g - = 0. (7.80)
Условие разрешимости этого уравнения дает еще одну границу
на плоскости (С, х)
С2>рх2(1 4-4р). (7.81)
Решение справедливо при 0 < х2 < (40р) х.
Для скорости поверхностных волн получим формулу
С2 = ЧЧ - 4Р (Р*2 + + ^-2)Г1/21; (7.82)
zp
g == ррх2 4- 0,25 + gx"2 (1 + 4р).
Проверка предположения, что при больших волновых числах
может существовать решение, соответствующее преимущественно
продольным поверхностным волнам, показала, что такое решение
отсутствует.
Пример. Для среды примем те же значения параметров, что и в примере
на с. 257. Основные результаты приведены на рис. 7.22. Область существования
решения, ограниченная линиями С2 = а и С2 = fx2 -f- 1, отмечена штриховкой.
Цифрой / отмечена область, удовлетворяющая условию (7.81). Штриховая ли-
ния — решение, полученное с использованием (7.76), штрихпунктирная — с ис-
пользованием (7.82). Подробности содержатся в работе [55].
267
с
Рис. 7.22
7.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
После решения задачи о собственных колебаниях пластин
и оболочек, состоящей в нахождении собственных частот и форм,
задача о вынужденных колебаниях может быть решена относи-
тельно просто: представлением искомого решения в виде ряда
по формам собственных колебаний
u = Sf/<P/, (7.83)
где <р; — формы собственных колебаний, удовлетворяющие урав-
нению
(U - ®/LB)<p/ = 0 (7.84)
(©;- — соответствующая собственная частота) и граничным усло-
виям (7.3). Для обобщенных координат получаются уравнения
7/ + Sе/Л + “/// = <7/ (0 (/=1, 2, . ..), (7.85)
где точками обозначено дифференцирование по времени t и вве-
дены обозначения
2 (ьдф/. Ф/) . ч>/) . (ч. ф/) ,7 Qfi.
(М/, ф/) e'ft (М/, Ф,) ’ q’ (М/’ф/)’(7’
В большинстве случаев диссипативными связями между обоб-
щенными координатами можно пренебречь, и задача сводится
к решению задачи о вынужденных колебаниях системы в главных
нормальных координатах.
268
В зависимости от характера внешнего воздействия получаем
задачи о вынужденных колебаниях при гармоническом возбужде-
нии (установившиеся вынужденные колебания), о нестационарных
колебаниях, о колебаниях систем под действием случайных сил
и т. д. Для систем типа (7.85) решение указанных задач можно
найти во многих работах.
В качестве примера применения общего подхода рассмотрим
задачу о случайных колебаниях многослойной плиты регулярной
структуры. Пусть на одну из сторон плиты действует случайная
нагрузка. Характер ее может быть различным: акустическое
воздействие, пульсации давления в турбулентном пограничном
слое и т. п. Считаем нагрузку стационарной во'времени и дельта-
коррелированной в пространстве. Предположим, что поведение
многослойной плиты или оболочки описывается уравнениями
(7.4), в которых q(3n> — пространственно-временная случайная
функция, остальные компоненты внешней нагрузки равны нулю.
Для простоты считаем, что для жестких слоев справедлива гипо-
теза Кирхгофа—Лява, так что размерность векторов, входящих
в (7.4), равна Зп. Кроме того, пусть оператор Lc пропорционален
Lg : Lc = 2eLfi.
Предположим, что задача о собственных колебаниях рассма-
триваемой многослойной конструкции решена, и формы собствен-
ных колебаний <pmps (х, у), соответствующие собственным частотам
6»mps, известны. Индексы тир характеризуют распределение
перемещений по координатам хи у, s — по толщине конструкции.
Например, для свободно опертой прямоугольной плиты (крепле-
ние к мембране, абсолютно жесткой в своей плоскости и абсо-
лютно податливой из плоскости) формы колебаний имеют вид
t/^COS^-Sin^
t/^COS^-Sin^
V&iSin^cos-T-
Tmps —
(7-87)
e^n^cos^
sin = sin
Ms’nsin=.sin^
где Umpk, ^mpk — ненулевые решения линейных однород-
ных систем, следующих из (7.4) при ы = (omps и е = 0.
269
Решение задачи о случайных колебаниях ищем в виде ряда
по формам собственных колебаний
u = S S S fmps (О4W (х, у). (7.88)
т d s
Применяя метод Бубнова — Галеркина и учитывая свойства
ортогональности форм собственных колебаний получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
’firms + ^fmns ^tnnsftnns — Qmns- (7.89)
Обобщенные силы определяются при этом следующим образом:
Q™ = Д ф ’ ФОТф )-Т = Т1- Ч’—>• (7-90)
(Lfl'Pmns, Tmns) Vmns
Выделяя задачу определения математического ожидания пере-
мещений, которая является достаточно простой, считаем, что
внешняя нагрузка представляет собой центрированный процесс.
Моментные функции обобщенных координат
(^1) Qm2n2p (^2)) = ~ ~Т~ (Л ^). (7.91)
Ymns *
Параметры ра представляют собой коэффициенты разложения
вектора и по векторам Umpk, Vm₽fe)T. Для стационарного
и экспоненциально-коррелированного процесса имеем
Kq & - t2) = Kq (т) = KQe~v 1x1. (7.92)
Используя (7.89) и (7.91), нетрудно получить выражение для
взаимной корреляционной функции обобщенных координат, пред-
варительно определив спектральные плотности нагрузки и об-
общенных координат:
{fa, М= j (_IW) р е'“т do). (7.93)
-----------00
При получении этой формулы обобщенные координаты пере-
нумерованы и каждому сочетанию tnps поставлено в соответствие
число а (или р). Кроме того, обозначено
Fa (± zco) = о)« ± 2еои — ш2. (7.94)
Полученное выражение (7.93) позволяет получить корреля-
ционную функцию вектора перемещений и средний квадрат пере-
мещений
<(u, и)) = 2 2 {fa, fp) (фа, <рр); (7.95)
а 3
о= = V V 06 ? °[ W , qfi,
“ ТаЗ 8л J J Га(—' ( • )
ОС p —оо —оо
270
6г-10'^
15
10
5
7
| Нормальные формы
I Квазиантисимметричные
। / Квазисимметричные
-/—Тангенциальные —
' формы ~
О
4 8 12 ;
16 ot
Рис. 7.23
Пример. Рассмотрим колебания свободно опертой многослойной плиты,
находящейся в условиях цилиндрического изгиба (плоская деформация). Пусть
внешняя.нагрузка такова, что
Kq = ^е-“« 14 Sq (со) = . (7.97)
Характерные результаты приведены на рис. 7.23, 7.24. На рис. 7.23 по-
казана зависимость квадрата дисперсии от номера формы а. Поскольку нор-
мальная нагрузка действует на одну из сторон плиты, то естественно ожидать,
что в первую очередь будут возбуждаться преимущественно поперечные анти-
симметричные относительно срединной поверхности пластины формы колебаний.
Это подтверждено вычислениями, которые отражены на рис. 7.23, где указан-
ным формам соответствуют зачерненные точки. Зависимость <4 от Н/1, где Н —
полная толщина плиты; I — размер плиты в направлении оси Ох, дана на
рис. 7.24. Анализ этого рисунка и аналогичных для показывает, что при
уменьшении относительной длины плиты и /или при увеличении отношении
модулей упругости жестких и мягкях слоев (для последних берется трансвер-
сальный модуль) возбуждение плиты происходит таким образом, что оно носит
все более поверхностный характер.
Рассмотрим теперь задачу о вынужденных колебаниях много-
слойной конструкции, которая имеет точное решение. Пусть на
многослойную плиту регулярного строения, лежащую на абсо-
лютно жестком основании и находящуюся в условиях плоской де-
формации, действуют гармонические усилия, распределенные по
линии х = 0. Воспользуемся уравнениями (7.36), положив в них
«<л) = ш(п) = 0 и внеся в правую часть =0 (s = 1, 2, 3;
k = 1, 2, 3, .... п — 1). Считаем, что направление силы совпа-
дает с линией х = 0. Используем условие симметрии, рассмо-
трим область х > 0 и условия при х = 0 запишем следующим
образом:
«(*) = 0; =0 (& = 1, 2, . . . , п — 1);
w^xx = - е'е/; w^xx = 0 (k = 2, . . . , n - 1). (7.98)
271
Выделим гармоническую часть (7.12) (ю = 0) и введем харак-
теристические показатели. Общее решение записываем в ком-
плексной форме (7.21). Константы определяем из условий (7.98)
и условий излучения Зоммерфельда. Последние сводятся к следу-
ющему: возмущения должны уходить от источника и быть огра-
ниченными или затухать на бесконечности. При решении рас-
сматриваемой задачи эти условия оказываются существенными.
Дело в том, что при частотах возбуждения, меньших наименьшей
собственной частоты, для построения решения достаточно лишь
условий затухания на бесконечности. Форма движений при этом
представляет собой стоячие волны, затухающие с удалением от
начала координат (точки приложения силы). Среди всех корней
характеристического уравнения половина имеет положительные,
а другая половина — отрицательные действительные части.
Условий (7.98) оказывается достаточно для определения Зп кон-
стант в (7.21), соответствующих членам, отвечающим корням
с отрицательной действительной частью.
При увеличении частоты возбуждения у характеристического
уравнения появляются чисто мнимые корни. Это свидетельствует
о том, что характер движения при вынужденных колебаниях
меняется, и наряду с затухающими решениями, соответству-
ющими стоячим волнам, появляются решения, имеющие смысл
бегущих волн. Привлечение условий излучения в данном случае
необходимо для построения решения. Особенностью является
необходимость записи решения в комплексной форме. При наличии
чисто мнимых корней у характеристического уравнения условий
ограниченности оказывается недостаточно. Недостающие условия
сводятся к отсутствию членов, содержащих множители d <е,
которые описывают волны, приходящие из бесконечности.
Удовлетворяя условиям (7.98) при х = 0, получим систему
с комплексными коэффициентами для определения постоянных С1; ,
Ci/r, C\ji и C{j = Cijr + iCiji. Для получения окончательного
решения необходимо от найденных выражений взять действи-
тельные части Re uk и Re wk.
Пример. Рассмотрим плиту, содержащую два жестких слоя и имеющую сле-
дующие параметры: г|> = 0,5; p7pz = 0,3; Е'/Ег = 50; Ег/d' = 2,7. Для нере-
зонансного случая, когда 9 < 0,78, на рис. 7.25 приведено распределение вдоль
плиты амплитудных значений нормальных перемещений w^/w^ (0). Там же
показано статическое решение и>[%) (штриховые линии). При превышении значе-
ния 9* = 0,78 решение имеет вид бегущих волн. Несколько распределений
перемещений точек срединной поверхности наружного слоя в нормальном на-
правлении для последовательных моментов времени t приведено на рис. 7.26
для 9 = 1,2.
Заметим, что для решения рассмотренной задачи можно при-
менить метод интегральных преобразований. Если рассматри-
вается установившийся случай, то после выделения гармонической
составляющей применяется преобразование Фурье. При этом
272
Рис. 7.25
в силу условий симметрии для нормального перемещения исполь-
зуется косинус-преобразование, а для тангенциального переме-
щения — синус-преобразование Фурье. При рассмотрении не-
установившихся процессов дополнительно, используется преобра-
зование Лапласа или Лапласа—Карсона. После выполнения пре-
образований с учетом начальных и граничных условий получим
систему уравнений в конечных разностях для изображений.
После решения полученной неоднородной системы выполняется
обратное преобразование по известным формулам. При выпол-
нении обратного преобразования в резонансном случае имеются
особенности в связи с наличием особых точек на действительной
и мнимой осях комплексной плоскости параметра преобразования
Фурье. При этом возникает вопрос о выборе контура интегриро-
вания, который решается с привлечением условий излучения.
В качестве еще одного примера рассмотрим вынужденные
колебания двухслойной пластины. Для одного слоя толщиной h
считаем справедливой гипотезу Кирхгофа—Лява, а второй слой
толщиной s считаем тонким и работающим только на растяжение-
сжатие. Уравнение колебаний такой пластины имеет вид
Рп + Ос)ЛЛш + (рп/1 + рс5)^=^(0, (7.99)
Eh.3 р Ech2s
12(1—v‘2) ’ b'c“4(l-v?)'
где Dn
Добавление тонкого слоя меняет собственную частоту пластины.
Отношение частот характеризуется коэффициентом
oJmn - = (1 + £>с/Оп)1/2 [ 1 + pcs/(p№/2. (7.100)
Зависимость этого коэффициента от отношения толщин слоев
для различных отношений модулей и постоянного отношения плот-
ностей, равного 0,3, показана на рис. 7.27. Частота уменьшается,
если 3£срп (1 —v2)/ [£npc (1 — v2)l <1.
При рассмотрении вынужденных колебаний {q (t) =
= Q exp (70/)] или других динамических задач следует учитывать
273
рассеяние энергии в тонком слое из полимерного материала в соот-
ветствии с одной из рассмотренных моделей, используя вязко-
упругую аналогию и заменяя£)с одним из операторов (7.7)—(7.11).
Пример. Приведем решение задачи о вынужденных колебаниях квадратной
опертой по сторонам пластины под действием гармонической нагрузки. Считаем
что нагрузка распределена по пластине следующим образом:
Q = Qo sin sin . (7.101)
Амплитуда прогиба в центре пластины легко находится стандартными ме-
тодами и описывается зависимостью
'ст
При получении формулы (7.102) предполагалось, что поведение материала
полимерного покрытия соответствует модели (7.10) (r| = ECi/Ecr) На рис. 7.28
приведена зависимость для различных значений тангенса потерь г] и E<jEn —
= 0,09. Приведенные результаты показывают, что использование полимерных
покрытий при незначительном изменении собственной частоты может дать зна-
чительное уменьшение амплитуд при резонансе.
7.6. РАСЧЕТ СЛОИСТЫХ ВИБРОДЕМПФИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ
Один из эффективных способов борьбы с вибрациями в тонко-
стенных конструкциях — применение вибродемпфирующих по-
крытий, которые обычно состоят из двух слоев. Один слой, не-
посредственно примыкающий к несущей конструкции, выполняют
из материала с высокими диссипативными свойствами, например,
из полимера, битумной смолы и т. п. Наружный (стесняющий)
слой выполняют из материала с.достаточно высоким модулем упру-
гости. В первом слое в основном происходит диссипация энергии.
Назначение второго слоя — увеличивать деформации сдвига
в диссипирующем слое и тем самым повышать эффективность по-
крытия. Если несущая конструкция — однослойная, то вместе
274
с покрытием, нанесенным с одной стороны, она станет трехслойной,
а с покрытиями, которые нанесены с обеих сторон, — пятислойной
конструкцией. По классификации теории многослойных конструк-
ций диссипирующие слои относятся к мягким, а стесняющие —
к жестким слоям.
Приближенный расчет вибродемпфирующих покрытий обычно
базируется на применении гипотезы Кирхгофа — Лява для пакета
в целом или в лучшем случае на модели трехслойных конструкций
[122]. Разработанный на основе теории многослойных конструк-
ций метод расчета слоистых вибродемпфирующих покрытий [281
позволяет провести систематическое исследование влияния струк-
туры многослойных и двусторонних покрытий, свойств материалов
слоев, а также частот и форм колебаний на эффективность покры-
тия. Рассмотрим некоторые результаты, полученные при помощи
этого метода. Считаем материалы несущей конструкции и покры-
тия линейными вязкоупругими и используем принцип вязкоупру-
гой аналогии.
За характеристику демпфирования в конструкции примем
относительное рассеяние энергии при гармонических колебаниях
с частотой со
(7-ЮЗ)
где АЭ (со) — энергия, рассеиваемая за период; Э(со) — среднее
за период 2п/о> значение полной механической энергии.
Для вычислений по формуле (7.103) необходимо знать поле
деформаций в конструкции, заданное в виде
8(г,/) = е0(г, о>)е‘ш/. (7.104)
Поле 80 (г, ®) обычно вычисляется по полю перемещений, которое
соответствует вынужденным колебаниям системы под действием
некоторой гармонической нагрузки с частотой ®. При этом поле
80 (г, со) и, следовательно, характеристика демпфирования (7.103)
зависят от вида приложенной нагрузки. Это обстоятельство ти-
пично для систем со многими степенями свободы и тем более для
распределенных систем, хотя часто не принимается во внимание
в прикладных расчетах. Другой способ оценки диссипативных
свойств основан на рассмотрении свободных колебаний. При этом
характеристика демпфирования определяется как
ф(со) = 4л-^-, (7.105)
где и ю,- — действительная и мнимая части комплексной соб-
ственной частоты в» = + гео,-.
Два способа оценки демпфирования дают близкие результаты,
если формы вынужденных колебаний достаточно близки к формам
свободных колебаний и демпфирование в системе не слишком
275
велико. Для прикладных расчетов наиболее важно знать харак-
теристики демпфирования при колебаниях, частоты и формы кото-
рых близки к частотам и формам соответствующей упругой си-
стемы. Чтобы вычислить эти характеристики по формуле (7.103),
необходимо предварительно рассмотреть вынужденные колебания
системы под действием распределенных нагрузок, интенсивность
которых пропорциональна перемещениям в соответствующих фор-
мах колебаний. Небольшие отступления от этого правила не
должны приводить к заметным погрешностям.
Расчет эффективности вибродемпфирующих покрытий бази-
руется на уравнениях теории многослойных конструкций с за-
меной упругих постоянных на соответствующие линейные вязко-
упругие операторы. Подстановка типа (7.104) приводит к уравне-
ниям относительно амплитудных значений перемещений и нагру-
зок, которые формально не отличаются от уравнений статики,
однако их коэффициенты являются комплексно-значными функ-
циями частоты в». Рассеянная АЗ и полная механическая Э энер-
гии вычисляются по формулам типа (1.30), (1.33) или (3.86), (3.87)
с заменой упругих постоянных на мнимые и действительные части
соответствующих комплексных модулей. Вычисления несколько
упрощаются, если считать, что диссипация происходит только
в мягком слое покрытия, т. е. что потери энергии в несущей кон-
струкции и в жестких слоях покрытия равны нулю.
Пример. Приведем некоторые численные результаты, полученные А. Н. Лит-
виновым. Основная (несущая) конструкция—это круговая цилиндрическая
оболочка длиной I = 5R и толщиной Нй = 0,01 R (R — радиус срединной по-
верхности несущей оболочки). По торцам оболочка считалась опертой. Было
принято, что вибродемпфирующее покрытие состоит из мягкого и жесткого слоев
одинаковой толщины h = s = 0ДНа- Модули упругости материала несущей
конструкции и жесткого слоя одинаковы, а отношение действительного модуля
сдвига G” материала мягкого слоя к модулю упругости Е' жесткого слоя варьи-
ровалось. На рис. 7.29 показана зависимость относительных потерь ср (ш) =
= ср (а>)/2лг]'' (со) от отношения G"r!E'. Здесь т)" (со) — тангенс потерь в материале
мягкого слоя. Рассматривались различные формы колебаний оболочки: было
276
принято, что по длине оболочки укладывается одна полуволна пх = 1, число «о
узловых диаметров в поперечном сечении варьировалось от 2 до 11. Все кривые
обладают четко выраженным максимумом по отношению к G’^JE'. Это означает,
что для каждой частоты и формы колебаний существует соотношение между же-
сткостями демпфирующего и стесняющего слоев, при котором покрытие ока-
зывается особенно эффективным. Этот факт хорошо известен; более неожиданна
довольно сильная зависимость эффективности вибродемпфирующего покрытия
от формы колебаний.
На рис. 7.30 проиллюстрировано влияние числа слоев покрытия на его
эффективность. График построен для пх = 1; «е = 7; h + s == O,O5ffo. Через п
обозначено число диссипирующих слоев, чередующихся с таким же числом же-
стких слоев. С увеличением числа слоев демпфирующее действие покрытия уве-
личивается, хотя при достаточно большом числе слоев следует ожидать явления
насыщения. При одинаковой суммарной толщине покрытия мноюслойное покры-
тие дает примерно такой же эффект, как и однослойное. '
Точный расчет требует решения задачи о колебаниях много-
слойной вязкоупругой системы и довольно затруднителен. Расчет
можно существенно упростить, если принять во внимание, что
жесткость основной (несущей) конструкции во много раз пре-
вышает жесткость вибродемпфирующего покрытия. Поэтому на-
личие покрытия оказывает относительно небольшое влияние на
собственные формы и собственные частоты системы. В связи с этим
возникает мысль о том, чтобы расчленить расчет на три этапа [28].
На первом этапе вычисляют собственные частоты и собственные
формы несущей конструкции. На втором этапе, полагая движение
несущей конструкции заданным, ищут соответствующие поля
перемещений в демпфирующем слое. На заключительном этапе
вычисляют энергию, рассеиваемую в этом слое, при найденном
распределении перемещений и деформаций.
Полная механическая энергия системы 3 складывается из
энергии несущей конструкции 3S и энергии покрытия Эс. Если
последнее достаточно тонкое и если его жесткость относительно
невелика, то 3 = 3S + Эс 3S. Для рассеянной энергии суще-
ственны оба слагаемых АЭ = A3S + АЭС. Относительное рассе-
яние в несущей конструкции cps = \3J3S полагается известным.
В выражении для энергии, рассеиваемой в покрытии, будем учи-
тывать лишь вклад мягких слоев. Это выражение представим
в виде АД. — 2лт)рД, где т) (<о) — тангенс потерь для материала
мягких слоев; р — безразмерный коэффициент; Эс — некоторое
характерное значение полной энергии для покрытия, которое
выбирают таким образом, чтобы оно легко вычислялось. При этом
выбор значения Эс и коэффициента 0 взаимно обусловлен. Для
относительного рассеяния (7.103) получаем приближенную фор-
мулу
ф ~ <ps + 2л (7.106)
S э<-1
i=i
277
Полная энергия и энергия, рассеянная за период, вычисляются
суммированием по т частям системы, что позволяет применять
формулу (7.106) для оценки демпфирования в сложных системах.
Полагая жесткость покрытия достаточно малой, используем
при практическом применении формулы (7.106) в качестве форм
колебаний соответствующие собственные формы для упругой
конструкции без покрытия. При этом имеем в виду, что любой виб-
рационный расчет конструкции должен опираться на знание соб-
ственных форм, так что эти формы и соответствующие частоты
можно считать заданными. Далее, введем локальную замену
собственных форм более простыми аналитическими выражениями
и локальную аппроксимацию покрытия на криволинейной по-
верхности плоским покрытием. Движение покрытия рассматри-
ваем как вынужденное квазистатическое деформирование, вызван-
ное заданным движением несущей конструкции.
Для нахождения коэффициента 0 в формуле (7.106) рассмотрим
вспомогательную задачу об определении поля перемещений в мно-
гослойном покрытии при заданном движении несущей конструк-
ции. Пусть несущая конструкция с плоской наружной поверх-
ностью совершает гармонические колебания с заданной частотой <в
и с формой перемещений на поверхности, задаваемой в виде
и0 = U0 sin хх (х — У sin х2 (у — тн) ez“<;
v0 = Vo sin хх (х — У sin х2 (у — i]2) е1'"'; (7.107)
= l^o sin хх (х — g3) sin х2 (у — r]3) е‘и'.
Здесь Uo, Vo, Wo — амплитудные значения перемещений на по-
верхности; хх и х2 — числа, характеризующие длины волн на
поверхности; gx, g2, £3, т)г, т]2 и г]3 — фазовые постоянные. Эти зна-
чения находятся из решения задачи о колебаниях несущей кон-
струкции без учета влияния покрытия. Предположим, что размеры
поверхности достаточно велики по сравнению с = л/хх и Х2 =
= так что на перемещения покрытия не накладывается
никаких ограничений, кроме условий периодичности. Если ха-
рактерные парциальные собственные частоты покрытия доста-
точно велики по сравнению с частотой ®, то задачу о деформиро-
вании покрытия при заданном движении поверхности можно рас-
сматривать, не учитывая силы инерции покрытия. В дальнейшем
ограничимся этой квазистатической постановкой.
Пусть покрытие состоит из п мягких и п жестких слоев. Несу-
щей конструкции припишем индекс k = 0, полагая вместе с тем,
что толщина соответствующего жесткого слоя h0 -* 0, поскольку
перемещения (7.107) заданы не на срединной плоскости несущей
конструкции, а на ее поверхности. Ближайший к этой поверхности
мягкий слой имеет индекс k = 0, а ближайший жесткий k = 1.
Таким образом, мягкие слои имеют индексы k = 0, 1, ..., п— 1,
а входящие в покрытие жесткие слои — индексы/? — 1, 2, ..., п.
278
С учетом принятой нумерации слоев уравнения (1.57) при-
нимают вид
AfAxk(uk> vk) 4"Bk (u*+i — uk 4~ ck~Q^ —
Bk-i(uk~ uk_1-\-ck_1-^L''} ==0; (7.108)
^k^yk (uk< vk) + &k (v*+i— vk 4"—
Bk-i(vk ~ vk-i 4” ck-i) == 0 (k = 1, 2,..., ft).
Вместо u0 и v0 в эти уравнения подставляются заданные выраже-
ния (7.107), а нормальное перемещение w заменяется на w0.
Граничные условия по разностной переменной содержатся
в уравнениях-(7.108) при k = 1 и при k = п. Заметим, что Во 0;
с0 = s0 + /гг/2. Как обычно, следует положить Вп = 0. Выписан-
ных уравнений достаточно для нахождения 2ft неизвестных функ-
ций иг, vlt ..., ип, vn. Вместо уравнений (1.59) получаем
П —1
Ds ДДда0 — Bkck [ (uA+1 - uk) +
л=о
+ (Уы - vk) + ck Дш0] = qs- (7.109)
Это уравнение не является лишним: его можно использовать для
определения нормальных напряжений отрыва между покрытием
и несущей конструкцией (оно входит в уравнение как нормальная
нагрузка на покрытие qs).
Для покрытия, состоящего из одного демпфирующего и одного
жесткого слоев, т. е. при ft = 1, вместо (7.108) имеем систему
двух уравнений
ЛЛХ (u, v) - Ви = В (с0 - ы0) ;
(7.110)
ллу (u, v) - Bv == В (с0 .
В уравнениях (7.110) опущены индексы при иг, Лп Во,
Лл1 и Лу1. Если число слоев ft > 1, а покрытие имеет регулярную
структуру, то при k = 1, 2, ..., n — 1 будут действительны урав-
нения (2.6). Граничные условия по разностной переменной, т. е.
279
аналогичные уравнения при k = 1 и k = п, несколько отличаются
от (2.8):
у- Лх (ыь vx) 4- (и2 - 2ых) = — ~ — и0;
с2 4 . ... „ . h дЮп
— л» («1, V1)+(V2 - 2V1) = — -г-~ — v0;
(7.111)
С2 А / \ / \ ^0 . 7
vn) (“л “л-1) — qx 1
с2 . . . , , dwa
Y («„, V„) - (Vn - V„_x) = С -£.
Здесь все ck при k > 1 обозначены через с.
Если материал мягких слоев является вязкоупругим, то мно-
жители В* и у. в уравнениях (7.108) — (7.111) нужно трактовать как
операторы. Ограничимся отысканием полей перемещений в упру-
гом покрытии, используя затем эти поля в качестве кинематически
допустимых для оценки энергии, рассеиваемой в вязкоупругом
покрытии. Чтобы достаточно хорошо аппроксимировать поля
перемещений, в качестве упругих постоянных следует использо-
вать действительные части соответствующих комплексных моду-
лей. При умеренных значениях тангенса потерь поле перемещений
в упругом покрытии не должно сильно отличаться от поля пере-
мещений в соответствующем вязкоупругом покрытии.
Решение уравнений (7.110), удовлетворяющее условиям пери-
одичности по координатам, ищем в виде
uA = f/ftslnx1(x-g1)sinx2(f/- гц)е1<в/; (7.112)
uA = VAsinx1(x —g2)sinx2(z/ —ij2)e‘“' (Л=1, 2.n).
При выполнении условий
Tli= = £2; £1= Si ^1/2; Т)2 = Сг ^г/2 (7.113)
в уравнениях (7.110) вновь удается отделить координаты х и у
от разностного аргумента k. Подставляя (7.112) с учетом (7.113)
в уравнения (7.110), получим систему уравнений в конечных
разностях
xluk + -Цр- Х1Х2Е* —
-^(^+i-2^ + ^_1) = 0;
। „ 1 > (7-114)
*lVk 4---2“^Х11/*4--~-Х1Х2£Д —
—J(n+1-2VA + Vi_1) = 0.
Решение этой системы, как и ранее, ищем в виде
= Vk = C’tk^,
где С и С' — постоянные; р, — характеристический показатель.
280
Подставляя это решение в (7.114) и требуя, чтобы получаемая
при этом однородная система алгебраических уравнений имела
ненулевое решение, приходим к характеристическому уравнению
относительно р. Это уравнение распадается на два:
chp = l+^; chp = l+ , (7.115)
где использовано обозначение х2 = х2 4 х2, аналогичное обозна-
чению (2.19). Заметим, что первое из уравнений (7.115) совпадает
с (2.23); оно соответствует потенциалам перемещений <рА. Второе
уравнение соответствует потенциалам 4л- В отличие от задачи,
рассмотренной в п. 2.1, в этой задаче оба потенциала перемещений
отличны от нуля.
Обозначая положительный корень первого из уравнений
(7.115) через р, а положительный корень второго уравнения
через рь представим общее решение для Uk и Vk в виде
Uk = Ci sh &р + С2 ch йр -|- С3 sh Ajpx -f- С4 ch £рх;
Vk = — (CiSh&p 4- C2ch&p) — (7.116)
Xi
-——— (C8 sh &pi 4 C4ch Aipi).
Л2
Постоянные С, определяются из граничных условий, которые по-
лучаются из (7.111) после подстановки в них выражений (7.103)
и (7.112):
4 (х^Л 4 4 -Ц^х^) 4
+ 2С1-С2 = 4х1Го + ^о;
+ 2УХ - 1/2 = А х2Г0 4 Уо;
4 (>&/„ 4 -Цр“H^Un + 4 — Un-i = — cXiWo;
4 xtoU,) 4 Vn - И„_1 = - схЛ.
Учитывая уравнения (7.115), получим
г _ с; [ch р(п + 1) — ch pn] + сГр . _
1 shp(n-|- 1)— shpn ’ 2 ii,
r п' chpi(» + 1)— ch Pin . г фЛМ}
3 3 shp^n-f- 1)— shpin ’ 4 3’
281
где использованы обозначения
с;-4»7о+^г(хЛ + «11,«);
c; = J^-(v,-^0).
Таким образом, решение задачи о поле перемещений в упругом
покрытии при заданном движении несущей поверхности записано
выражениями (7.112), (7.116) и (7.117).
Рассмотрим теперь соответствующую задачу вязкоупругости.
Пусть материал мягких слоев вязкоупругий с комплексным
модулем сдвига G)'(co) + iG'i (со), материал жестких слоев —
упругий с модулем упругости Е. Используя решение упругой за-
дачи в качестве кинематически допустимого поля перемещений,
близкого к истинному полю, вычислим энергию, которая рассе-
ивается в мягких слоях за один период 2л/со. Поскольку из всех
компонент тензора деформаций существенными являются только
деформации поперечного сдвига, то рассеянная в единице объема
материала энергия определяется как
$ т dy = JlGz (co) Ymax-
Здесь ymax — максимальный за период угол сдвига. С учетом фор-
мулы (1.22) для деформаций сдвига найдем энергию, рассеянную
в области покрытия площадью 2^ X
„ П~1 Л>2
ЛЭ. = £ j J [ _ и, + е, «4У +
fe=i о о
+ (vk+i - ^ + Q-^-)2 ] dxdy,
где uk, vk и ау0 — амплитудные (т. е. взятые без множителя е,<0<)
выражения для перемещений (7.107), (7.112). Подставляя эти вы-
ражения и принимая во внимание соотношения (7.116) и (7.117),
найдем
2 [(£/а+1 - Uk + +
k^l
+ (^+1-^ + сЛх2ед. (7.118)
В качестве характерного значения энергии покрытия Эс возь-
мем потенциальную энергию деформации слоев, вычисленную
282
в предположении, что все тангенциальные перемещения равны
нулю:
9 _ 1 V f* (л Г i V \ d2 * * S *w„
2 2j J J Uk L V dx2 + * dy2 ) dx2 +
ft=l о о
+4 s j i’f[Ш+on^- <7 *-"9’
ft=l 0 0 R
Полагая покрытие регулярным и подставляя в формулу (7.119)
выражение для ьу0 (х, у) согласно (7.107), получим
а,=4 [i2(fl^) (»-1+4)’] р-120>
С учетом формул (7.118) и (7.120) получим коэффициент 0,
входящий в приближенную формулу (7.106):
п— 1
I Rt/*+i - Uk + crIUWm - Vk + сЛх2Г0)2]
*=0
(7.121)
Из этой формулы видно, что при тангенциальных перемещениях,
малых по сравнению с нормальными перемещениями, коэффициент
Р в значительной степени зависит от безразмерного параметра
_ Gr (со) (1 — у2) 122)
S ЕН2(к^+п1)' (iiZZ)
При этом на достаточно широком отрезке значений параметра g
коэффициент р достаточно близок к единице. Более определенные
выводы о зависимости коэффициента р от параметров задачи,
к сожалению, можно получить лишь из результатов численного
анализа.
Пример. Пусть конструкция представляет собой пластину толщиной Яо,
а покрытие состоит из’ п мягких и жестких слоев равной толщины. При изгиб-
ных колебаниях пластины тангенциальные перемещения на поверхности кон-
такта пластины с покрытием связаны с нормальными перемещениями зависи-
мостями
Uo =----х,Я01Г0; Уо = - 4- х2Яо^о-
Считаем, что общая толщина покрытия Н = 0,1Я0 й что упругие постоян-
ные материала пластины и материала жестких слоев одинаковы. Кроме безразмер-
ного параметра (7.122) варьируем число жестких слоев п, оставляя йри этом
суммарную толщину покрытия Н неизменной. На рис. 7.31 приведена зависи-
мость безразмерной характеристики демпфирования (7.106) от параметров g
283
и п. Максимальный коэффи-
циент Р близок к единице. При
этом по сравнению с безразмер-
ной мерой диссипации <р (<о)
(см. рис. 7.29 и 7.30) коэффи-
циент Р обнаруживает более
слабую зависимость от числа
слоев, соотношения между их
жесткостями, а также от харак-
терных длин полуволн или соб-
ственных форм колебаний. Об-
ратим внимание, что значения
Ф (<о) отложены на рис. 7.29 и
7.30 в логарифмическом мас-
штабе, а значения коэффициен-
та Р на рис. 7.31 — в равно-
мерном.
Расчет вибродемпфирующих покрытий существенно упро-
щается, если в формуле (7.106) положить (3, = 1. Тогда для рас-
чета демпфирования достаточно знать относительное рассеяние
энергии в несущей конструкции, тангенс потерь в материале
мягких слоев и нормальные перемещения при собственных коле-
баниях несущей конструкции. Характерные значения полной
механической энергии покрытия вычисляются при этом по фор-
муле (7.120). Характер сделанных допущений таков, что в боль-
шинстве случаев приближенный расчет дает для относительного
рассеяния завышенные значения.. Так, для одной из рассчитанных
цилиндрических оболочек относительное рассеяние при колеба-
ниях с одной полуволной вдоль образующей и с двумя узловыми
диаметрами принимает следующие значения <р: точный расчет по
формуле (7.103) дает 0,229-Ю-2, точный расчет по формуле
(7.105) 0,248-10-2 и приближенный расчет 0,251 10-2. Для
формы колебаний с двенадцатью узловыми диаметрами <р =
= 3,72-10“2; 3,67-10-2 и 3,77ДО-2 соответственно. В общем слу-
чае точность приближенного расчета увеличивается, если узловые
линии на поверхности колеблющейся оболочки образуют более
мелкую сетку.
ГЛАВА 8
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ слоистых КОМПОЗИТОВ
8.1. РОЛЬ КОМПОЗИТОВ В СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНИКЕ
Конструкционные материалы, представляющие собой компо-
зиции с использованием волокнистых или слоистых элементов
из высокопрочных материалов, имеют широкое распространение
в машиностроении, авиации и других областях техники. Древесно-
слоистые пластики и фанеры, в которых в качестве армирующих
элементов используются древесные шпоны, а в качестве связу-
ющего — смолы и клеи, относятся к типу наиболее ранних при-
меров материалов такого рода. Гетинаксы и текстолиты также
давно применяются в машиностроении. Развитие химии и хими-
ческой технологии привело к широкому внедрению в промышлен-
ность стеклопластиков, в которых используются высокие прочно-
стные характеристики тонких стеклянных волокон и высокие
связующие свойства фенольных, полиэфирных, эпоксидных и дру-
гих полимерных смол. В настоящее время успешно разрабаты-
ваются новые конструкционные армированные материалы: метал-
лопластики, металлы, армированные керамическими нитями, само-
армированные металлы, в которых роль армирующих элементов
играют «усы», и т. д.
Принцип армирования открывает перспективный путь для
получения новых искусственных материалов. Выбором компонен-
тов, их относительного содержания и структуры удается создавать
материалы, которые сочетают прочность и жесткость с другими
ценными качествами: относительно малыми плотностью и тепло-
проводностью, высокой стойкостью по отношению к агрессивным
средам и т. п. Эти материалы, как правило, макроскопически
анизотропные. Характер искусственной анизотропии может ме-
няться в весьма широких пределах. Применение анизотропных
материалов будет особенно эффективно, если удастся согласовать
поля напряжений и деформаций с полями механических характе-
ристик. Как указывал в свое время В. А. Каргин, в этом отноше-
нии мы учимся у природы. Подавляющее большинство животных
и растительных тканей’представляет собой армированные матери-
алы. К ним относятся, например, кожа, кости, мышечные ткани
у животных и почти все растительные ткани. Их армированная
структура вырабатывалась ь процессе длительного отбора. Есте-
ственно, что и одно из важнейших направлений по созданию новых
285
конструкционных материалов использует в качестве основы прин-
цип армирования.
Строго говоря, армированные материалы представляют собой
лишь один из классов гетерогенных материалов, состоящих из
двух или нескольких компонентов с различными физико-механи-
ческими свойствами. Эти материалы называют композиционными,
композитными материалами или просто композитами. Компоненты
могут быть упругими, вязкоупругими, высокоэластичными и даже
газообразными (например, композиты с газообразными компонен-
тами — пенопласты и другие пористые материалы). С общей точки
зрения армированные материалы — это композиты, один из ком-
понентов которых обладает высокой механической прочностью
и жесткостью по сравнению с другим компонентом. От второго
компонента обычно требуются малая плотность, высокие адге-
зионные и когезионные свойства. Первый компонент, называемый
армирующим материалом, или наполнителем, предназначен для
передачи основных силовых потоков в изделии. Назначение вто-
рого компонента (связующего) — обеспечить связь между отдель-
ными частицами композита. Существенно, чтобы размер структуры
композита (например, диаметр волокна, размер частицы и т. п.)
был мал как по сравнению с характерным размером детали или
элемента конструкции, так и по сравнению с расстояниями, на
которых сглаженные макроскопические поля напряжений и де-
формаций заметно меняются.
Механика композитов — один из основных разделов современ-
ной механики деформируемого твердого тела. Предметом механики
композитов является, во-первых, разработка моделей и методов
для предсказания свойств композита по известным свойствам ком-
понентов с целью проектирования наилучшего для поставленной
задачи композита, во-вторых, исследование процессов деформиро-
вания и разрушения изделий из композитных материалов и раз-
работка методов расчета и оптимального проектирования этих
изделий. Эти два направления механики композитов тесно свя-
заны между собой, тем более, что, как правило, композитный
материал проектируется и создается одновременно с изделием.
Значительное место в механике композитов принадлежит техно-
логическим задачам [26]. В отличие от свойств традиционных
материалов, технология которых хорошо отработана и устойчива,
свойства композитов довольно чувствительны к малым изменениям
технологического режима, а сами технологические приемы отли-
чаются большим разнообразием. В принципе проектирование ма-
териала, изделия и технологического процесса должно составлять
единое целое.
Задачи механики композитов различают также по уровням
описания, которые отличаются характерным масштабом длины.
Нижний уровень описания — это уровень структурной неодно-
родности. Его масштаб h равен характерному размеру частицы
наполнителя, диаметру волокна или толщине армирующего слоя.
286
Типичные задачи, возникающие на
этом уровне, — это задачи концен-
трации напряжений у границы двух
компонентов, задачи локальногожраз-
рушения и т. п.
Следующим уровнем рассмотре-
ния служит тот, на котором ста-
новится возможным замена гетеро-
генного материала эквивалентным
ему в некотором смысле гомогенным
материалом. Соответствующий мас-
штаб обозначим Н. Одна из центра-
льных задач механики композитов —
вычисление эффективных (макроско-
пических) характеристик ^композита
по заданным характеристикам ком-
понентов — связана с переходом
с уровня описания h на уровень описания Н. Наконец, самый
высокий уровень — это тот, масштаб которого А равен харак-
терному размеру изделия или расстоянию, на котором сглажен-
ные напряжения и деформации изменяются заметно.
Для достаточно крупных изделий и при отсутствии слишком
острых концентраторов можно принять h Н А (рис. 8.1).
В этом случае расчет изделия может быть проведен в следующем
порядке. На первом этапе (уровень h) решается задача для суще-
ственно гетерогенного материала. Затем вычисляются эффектив-
ные характеристики композита, т. е. осуществляется переход
с уровня h на уровень Н. Следующий этап — решение краевой
задачи для тела с найденными эффективными характеристиками
(уровень А). Если цель состоит в определении сглаженных полей
напряжений, деформаций и перемещений, то на этом решение
задачи заканчивается. Если же необходимо найти структурные
напряжения и деформации, то необходимо вернуться на уровень h.
Механика композитов находится в тесной связи с механикой
многослойных конструкций. Многие широко применяемые на
практике композиты имеют слоистую структуру, причем компо-
ненты существенно отличаются по жесткости. Примером служат
стеклопластики, образованные на основе стеклоткани или стекло-
шпона. Каждый слой ткани или шпона, пропитанный связующим,
можно трактовать как жесткий слой, а прослойку отвержденной
смолы между жесткими слоями — как мягкий слой. Эта схема
подтверждается характером распределения усилий между слоями:
слои стеклоткани (стеклошпона) обычно работают на растяжение,
сжатие и сдвиг в своей плоскости, прослойки связующего — на
межслойный сдвиг и отрыв.
Многие изделия из волокнистых композитов имеют также сло-
истую структуру. Так, изделия, образованные продольно-попе-
речной намоткой, состоят из последовательности слоев, отлича-
287
ющихся направлением армирующих нитей или прядей. Каждый
слой можно рассматривать как анизотропный и жесткий. Сказан-
ное относится также к изделиям, образованным перекрестной
спиральной намоткой. Во всех перечисленных примерах слоистая
структура проявляется на уровне h. Существенным моментом
служит то обстоятельство, что, как правило, число армирующих
слоев по толщине изделия весьма велико и структура изделия по
толщине регулярна. Поэтому теория многослойных пластин и
оболочек, в которой эти два момента также играют существенную
роль, оказывается весьма подходящим аппаратом для изучения
работы армированных слоистых материалов.
Другая область применения теории многослойных пластин
и оболочек — расчет неоднородных конструкций, составленных
из двух или более различных материалов. Примером могут слу-
жить трехслойные оболочки, несущие слои которых выполнены
из стеклопластика, а в качестве легкого заполнителя используется
пенопласт. Еще один пример — оболочки из гибридных компо-
зитов, наиболее напряженная часть которых выполнена из высо-
копрочного и высокомодульного композита (например, из угле-
-пластика), а остальная — из более дешевого стеклопластика.
Наконец, многослойные системы служат удобной моделью
для качественного описания ряда эффектов, наблюдаемых в ком-
позитных материалах. Регулярные слоистые системы проще под-
даются расчету, чем, например, системы, содержащие цилиндри-
ческие включения. Между тем многие эффекты — распространение
трещины на границе раздела компонентов, локальное выпучива-
ние и т. п. — протекают примерно одинаково в слоистых и волок-
нистых системах. Ряд количественных оценок, полученных для
слоистых композитов, сохраняет смысл (по порядку величины)
также и для волокнистых композитов.
8.2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Вычисление эффективных характеристик композитных мате-
риалов соответствует рассмотрению композита на уровне h с пере-
ходом на уровень И. Обсуждаемые методы применимы для опреде-
ления упругих и вязкоупругих характеристик композитов, ко-
эффициентов теплопроводности и теплового расширения и других
характеристик, связывающих осредненные по объему Я3 поля
физико-механических параметров. Предсказание прочностных ха-
рактеристик композитов представляет некоторые дополнительные
трудности.
Механика композитов берет начало от классической работы
Фойхта (1887 г.). Фойхт занимался в основном поликристаллами,
ставя задачу нахождения свойств поликристалла по известным
свойствам кристаллитов. Принципы, впервые сформулированные
Фойхтом, легли в основу дальнейшего развития теории компози-
288
тов. Фойхт предложил вычислять параметры композитов путем
осреднения соответствующих параметров компонентов по объему
и по ориентациям и провел осреднение для физико-механических
свойств, которые описываются тензорами второго, третьего и
четвертого рангов. При этом он обнаружил, что параметры компо-
зита получаются, вообще говоря, разными в зависимости от того,
осредняются компоненты прямого или обратного тензора в соот-
ношениях между обобщенными силами и обобщенными перемеще-
ниями.
Позднее Рейсс (1929 г.) применительно к поликристаллам пред-
ложил осредн ять компоненты обратного тензора. В настоящее время
способ вычисления параметров композита путем осреднения пря-
мого тензора механических свойств называется методом Фойхта;
противоположный способ называется методом Рейсса. Например,
для макроскопически изотропного композита, представляющего
собой смесь изотропных компонентов с модулями сдвига Gi,
Gz, ..., осреднение по Фойхту дает
G = ф1О1 + + ••• • (8-1)
Здесь ф1, фг, ... — относительные объемные содержания компо-
нентов.
Применяя осреднение по Рейссу, находим
Метод Фойхта соответствует предположению об однородности
поля обобщенных перемещений, а метод Рейсса — предположению
об однородности поля обобщенных сил. Расхождение между двумя
способами осреднения тем значительнее, чем больше различаются
упругие модули компонентов. Исходя из энергетических сообра-
жений, Хилл [119] показал, что для упругих постоянных метод
Фойхта дает оценку сверху, а метод Рейсса — оценку снизу.
В последние годы был предпринят ряд попыток получить более
узкие оценки для эффективных упругих и термоупругих постоян-
ных композитов. Для этого развивались различные подходы, об-
суждение и сравнение которых можно найти в работах [18, 46,
1151. Различие между результатами обычно лежит в пределах ста-
тистического разброса опытных данных, а так называемые точные
решения, полученные для геометрически правильных регуляр-
ных структур, остаются таковыми лишь по отношению к принятой
постановке задачи: достаточно небольшого отступления от идеали-
зированной структуры, чтобы эти решения перестали быть точ-
ными. Поэтому в механике композитов по-прежнему широко при-
меняется метод осреднения. Но в отличие от первоначальных работ
Фойхта и Рейсса, осреднение проводится в сочетании с некоторыми
гипотезами о полях напряжений, перемещений и деформаций;
при формулировке этих гипотез учитывается фактический способ
10 В. В. Болотин 289
взаимодействия между эле-
ментами. Такой усовер-
шенствованный подход по-
зволяет получать резуль-
таты, удовлетворительно
согласующиеся с опытны-
ми данными и поэтому до-
статочные для технических
приложений.
Для слоистых упругих
композитов благодаря чет-
кому характеру взаимо-
действия между компо-
нентами удается сформу-
лировать надежные (Гипо-
тезы о полях напряжений, перемещений и деформаций. Эти
гипотезы аналогичны гипотезе Кирхгофа—Лява из теории пла-
стин и оболочек. Первыми работами по механике слоистых
композитов считаются статьи Н. Г. Ченцова (1936 г.) и С. Г. Лех-
ницкого (1941 г.), в которых рассмотрены задачи о деформации
упругой пластины, состоящей из анизотропных слоев с раз-
личными свойствами. Вопросу определения механических свойств
слоистых композитов посвящены работы Д. С. Аболиньша [1],
В. Л. Бидермана [8], Г. А. Ван Фо Фы [32], Ю. М. Тарно-
польского и А. М. Скудры [97], Г. А. Фокина и Т. Д. Шермергора
[103], Л. П. Хорошуна [104] и др. Дальнейшее изложение в этом
и следующем пунктах в основном следует статье [18].
Рассмотрим элемент слоистого упругого композита с доста-
точно большим числом слоев, но достаточно малый для того, чтобы
считать, что сглаженные поля напряжений, деформаций и темпе-
ратуры в пределах этого элемента однородны. Характерный раз-
мер элемента имеет порядок Н согласно классификации п. 8.1.
Слои, образующие этот элемент, могут быть плоскими или криво-
линейными. Однако поскольку характерный радиус кривизны
слоев R ~ А, то можно принять Н R и без ограничения общно-
сти считать, что все слои в пределах элемента плоские. Отнесем
элемент к декартовой системе координат Oxyz, направив ось Oz
по нормали к слоям. Считаем, что все слои ортотропные и ось
Oz является главным направлением упругости для всех слоев.
Два других главных направления для каждого слоя, вообще го-
воря, произвольны. Наряду с системой координат Oxyz введем
для каждого слоя систему Ох[^х^г таким образом, что оси Ох[Н
и Охр совпадают с главными направлениями упругости слоя.
Угол между осями Охг и Охр обозначим 0, (рис. 8.2). В пределах
элемента введем сплошную нумерацию слоев, не различая арми-
рующие слои и слои из связующего материала.
Пусть в элементе слоистого композита, подверженному макро-
скопически однородному деформированию, температура распре-
290
делена однородно по всему объему. Задача состоит в отыскании
эффективных упругих характеристик и эффективных характери-
стик теплового расширения, связывающих осредненные поля
напряжений, деформаций и температуры. Учитывая существенное
различие между механизмами деформирования в плоскости слоев
и в ортогональном направлении, целесообразно ввести следующую
терминологию. Компоненты тензоров напряжений, деформаций
и т. п., соответствующие деформированию в плоскости слоев,
назовем послойными. К послойным компонентам тензора напряже-
ний относятся ахх, аху и ow, а также компоненты для отдельных
слоев и ст’р. К послойным компонентам тензора деформа-
ций относятся ехх, в и а также е<{>, е<р и е<р. Остальные ком-
поненты назовем трансверсальными. К ним относятся напряжения
агг растяжения (сжатия), ортогональные слоям, и напряжения
поперечного сдвига ахг и оУ2, а также аналогичные компоненты
для отдельных слоев о^> и а^. Трансверсальные компоненты
тензора деформаций — это е2г, еУг и &У2.
Для решения задачи об определении эффективных постоянных
используем следующие допущения.
1. В пределах каждого слоя поля напряжений и деформаций
однородны. Чтобы это допущение было приемлемо (например,
чтобы можно было пренебречь моментными эффектами в жестких
слоях), необходимо, чтобы слои были достаточно тонкими.
2. Послойные компоненты тензора деформаций, описывающие
деформирование в плоскости слоев, одинаковы для всего пакета
слоев и, следовательно, совпадают с соответствующими осред-
ненными компонентами. Справедливость этого допущения оправ-
дывается идеальным сцеплением между слоями и повышенной жест-
костью армирующих слоев, обеспечивающей совместное деформи-
рование пакета в плоскости армирования.
3, Трансверсальные компоненты тензора напряжений одина-
ковы для всех слоев и, следовательно, совпадают с соответствую-
щими осредненными компонентами. Это допущение оправдыва-
ется непрерывностью трансверсальных компонент тензора напря-
жений на границах слоев, а также тем, что армирование мало
стесняет трансверсальное деформирование.
С учетом допущения (1) введем осредненные напряжения сле-
дующим образом: ахх = Zj / °ХУ = Zj i OxxVi', Oxy<fj', оуу = Zj 4V<p/; / охг = Zj Oxz<f>h i Gzz — Zj
°yz = Zj / <Jyz<Ph (8-3)
где <р7- — относительные толщины слоев hi Vl £/>» k (8.4)
10*
291
hj — толщина отдельного слоя. Суммирование производится по
всем слоям, входящим, в элемент. Аналогично введем осредненные
деформации
&хх — S 42ф/> ^уу — S Syiytyj't ezz = S 42фр
- . - v . - _v „> (8.5)
&xy —• Z-i &Xy (pj, exz — 2-1 &xz <Pj, &yz — 2j &yz Ф/-
I I I
Рассмотрим соотношения упругости, связывающие осреднен-
ные напряжения и деформации:
<*хх ^хх. хх^хх “I- ^хх, уу^уи Ч- Схх, zfizz Ч- ^^хх, xifixy Рхх Tq),
вуу = СУУ- хх^хх Ч~ суу, yfiyy Ч- суу, zfizz 4“ ^УУ, xfixy Qyy (Т То),
°zz = сгг, ххехх Ч" czz, УУ&УУ Ч- czz, zfizz Ч“,2сгг, ху^ху Pzz Т’о), ._
_ _ _ _ _ (о.Ь)
О Ху Сху, ХХ^ХХ Ч~ Сху, УУ&УУ 4“ Схи, ZZ^Z Ч~ %СХУ' ху^ху Рх^/ (7" Т'о) ’
®хг ~ 2^X2, xzExz Ч- 2^X2, yz^yz'
°yz ~ ^Cyz,xzexz 4“ 2Cj,M yz^uz,
где cXx,xx, схх,ху и т. д.—эффективные коэффициенты жестко-
сти композита, т. е. элементы матрицы, связывающей осредненные
напряжения с осредненными деформациями; Р.„, Рда, fizz и Рх^ —
эффективные термоупругие постоянные композита; Т — То —
приращение температуры. Отметим, что матрица коэффициентов
жесткости является симметричной, т. е. слх. ху — сху, хх и т. д.
Общее число независимых упругих постоянных 13 (как для среды
с моноклинной симметрией [45]). В действительности пакет не
обязательно должен обладать физической моноклинной симме-
трией достаточно, чтобы выполнялось допущение (2) о равенстве
послойных компонент тензора деформаций для пакета в целом.
Соотношения упругости для отдельных слоев имеют вид
<т(/)
Vzz
Р(П_1Г(1) „(/).„(/) „(/) !
иХХ --- ''ХХ, ХХЪХХ “Т" СХХ, УУЪУУ ~г Схх; ZZfcZ2 Г
4-2d2,^4V-p^(T-To);
п</)_д/) „(/).„(/) „(7) .„(/) „(/) I
иУУ — ЬУУ, хх^хх “г СУУ, УУЪУУ “Г Lyy> ZZ^ZZ гг
Ч- ^суу,гхуеху — f>yy (Т — То);
_ Д/) „(/) I д/) _</) 1 „</) „(/) ।
— чгг, хх^хх । czz, ууъуу г Lzz, zz^zz *Т"
+ 2cU! ху^ - РЙ’ (Т - То);
_ J/) Р(/) 1 Д/) Р(/) 1 //) р(/) I ‘
-- ^ху, ХХЬХХ г сху, ууъуу г Lxy, zz^zz ч
Ч” ^Сху, ху^ху — Pip (Т — То);
п(/) _ 9//) ₽(/) I 9р(/) ₽(/)•
°xz — ^(-xz, xz^xz ~г ^хг, уг^уг » .
42 = 242, xze<2 ч- 242, ,ze'2 (/ = 1,2,...).
(8.7)
„(/)
°х//
292
Характеристики слоев обычно задаются для главных направле-
ний упругости для данного слоя, поэтому наряду с (8.7) рассмотрим
соотношения
О?? = dP udP + dP 22dP + dP zzdP - рК> (Т - То);
ОгР = dP 11Е1{> + С22, 22 dP + С$, ZZEZZ — P2P (Т — То)',
O{JZ} = dP udP + dP 22dP 4- dP zzdP - № (Т - То)', (8.8)
dP = dp 1261Р; о'р = dP udP; <dp = dp 2ZdP
(/=1,2,...).
В соотношениях упругости (8.6)—(8.8) учтено, что композит
составлен из ортотропных слоев, что ось Oz является главным
направлением упругости как для отдельного слоя, так и для па-
кета в целом и что оси Охр) и Ох^ совпадают с главными направле-
ниями упругости каждого слоя.
Задача состоит в том, чтобы установить связь между характери-
стиками сА?,\.х, схх< уу, рхх и т. д., с одной стороны, и характери-
стиками с)р и, dP 22, Р1Р и т- Д- — с другой. Для установления
этой связи выразим коэффициенты из правой части соотно-
шений (8.7) через аналогичные коэффициенты из правой части соот-
ношений (8.8). Используя формулы преобразования для компо-
нент тензора четвертого ранга, получим
Схх, хх = dP и cos4 0/ + dP 22 sin4 0;- -ф- 2dP sin2 Qj cos2 0/;
СУУ. УУ = dP 11 sin4 Qj dp 22 cos4 Qj 2dP sin2 0/ cos2 0,;
Cxx, уу = C11 ? 22 + (dp 11 + dp 22 — 2dP) sin2 Qj cos2 07;
dp. = dP zz COS2 0/ + dp zz sin2 Qj',
Cyy, zz = dp zz Sin2 Qj + dp zz COS2 Qj',
Cxx, xy = — (dp 11 COS20/ - dp 22 Sin2 Qj -
— dp cos 20/) sin Qj cos 0/;
Cyy. xy = ~ (ClP 11 Sin2 0/ — dp 22 COS2 0/ +
+ dP cos 20/) sin 0/cos 0,-;
dp, xy = (dP zz — dP zz) Sin 0/ COS Qj’,
Cjcy, xy = dP 12 + (dp 11 + dp 22 - MP) Sin2 0/ COS2 Qj'
c*xz, xz = dp iz cos 0/ -J- dP 2z sin 0/;
4Р yz = C1P 1г Sin2 0/ + dp 2z COS2 Qj-,
Cxz, yz=— (dp 1г — dp 2z) Sin Qj COS Qj.
293
Здесь и несколько ниже с[О = с[р 22 + 2с<0 12. Термоупругие
характеристики преобразуются по правилам для компонент
тензора второго ранга
₽U)=₽K)cos20/ + p^) sin2e/;
= PIP sin2 0;. + № cos2 0;.; (8.10)
№ = - PIP) sin Ql cos 0/ (/=1,2,...).
Характеристики cIC’zz и PzP остаются при этом без изменений.
Допущение (2) для послойных компонент приводит к условиям
4Р = ех/, = гуу‘, = гХу (/ = 1,2,...), (8.11)
а допущение (3) для трансверсальных компонент — к условиям
ой’ = агг; орг’ = охг', (/=1,2,...). (8.12)
Вместе с соотношениями (8.3), (8.5), (8.7), (8.9) и (8.10) эти
условия позволяют вычислить все эффективные упругие и термо-
упругие постоянные, входящие в соотношения (8.6). Вычисления
осложняются из-за того, что трансверсальные компоненты входят
в соотношения упругости для послойных компонент (и наоборот),
в то время как условия (8.11) и (8.12) для двух групп компонент
существенно различны [40]. Однако если пренебречь взаимным
влиянием послойных и трансверсальных компонент, то получаются
сравнительно простые формулы, допускающие наглядное истол-
кование [18].
Чтобы исключить влияние трансверсальных компонент на
эффективные постоянные при послойной деформации, достаточно
в первых двух и в четвертом уравнениях из (8.6) и (8.7) принять
exs = eyz = ezz = 0- Это можно трактовать так: определяемые
эффективные постоянные относятся к деформации в плоскости ар-
мирования. Тогда применение условий (8.10) дает
@xx, хх '= (Сц! 11 COS 0у С22’ 22 Sin 0у 2cJP Sin 0у COS 0у) фр
Суу. УУ = И И! 11 sin4 0; + с^\ 22 cos4 0, Д- 2сИ’ sin2 0, cos2 0у) <pz;
i
схх. yy = Yi ИС 22 + (cii? и + 22 — 2с(1Р) sin2 0, cos2 0/] Ф/;
/
Cxy, xy == S HC 12 -]- ИС 11 Ч" C2C 22 — 2C$P) Sin 0y COS 0y] фу! j
Cxx, xy = — S (Cl 1! 11 COS2 0/ — dC 22 Sin2 0 - —
I
— tip cos 20z) sin 0y cos 0; • ф,-;
cyy, xy — — S HC 11 Sin 0y — C22! 22 COS 0j
i
+ cfP cos 20;) sin 0y cos 0;- • фу.
294
Полученные формулы можно истолковать как результат осред-
нения по Фойхту соответствующих упругих постоянных для от-
дельных слоев. Для термоупругих постоянных аналогично по-
лучаем
Рлгх = S (PiP cos2e;. P2P sin20y)
i
Ppp = S (PlP sin2 0;. + p^> cos2 0,.) Ф/; (8.14)
/
Рлгр = S (P2P — P1P) sin 0, cos 0/.Ф/.
i
Перейдем к определению эффективных постоянных, характе-
ризующих трансверсальную деформацию. Применение условий
(8.11) к третьему уравнению в (8.6) и (8.7) приводит к следующему
результату:
__1_ = У ф/ •
сгг, zz ЬлЛ с(1") ’
j zz, zz
Pzz ‘'zz, zz
j cz£zz
(8.15)
Отсюда видно, что эффективная жесткость композита в трансвер-
сальном направлении определяется путем осреднения по Рейссу.
Запишем последние два соотношения упругости в (8.6) и (8.7)
в виде, разрешенном относительно компонент тензора деформаций:
^лг, хг^хг 4“ ^zz. yz^yz'
^Syz ~ byz, xz°xz 4" byz, yz°yz’
2eU’ = b^\ xz<Jxz> + feU’ yzOpz’;
2epz’ = xz&xz 4- b(yz, yz^yz-
(8.16)
Здесь bXZ' xz, bXZt yz и т. д. — элементы матрицы упругих подат-
ливостей, т. е. матрицы, обратной по отношению к матрице упру-
гих жесткостей.
Используя условия (8.12) и формулы типа (8.9), найдем
Ьхг, хг = S (^lz! IzCOS 0/ -j- &2z^ 2z Sin 0y) (p/J
/
Ьуг, yz=Hi (№ izSin20f b£ 2zcos20/) Ф/; (8.17)
i
bxz, yz = ~^ Wz? Iz - fc2z! 2z) Sin 0/ COS 0/ • фу.
295
Для трех оставшихся эффективных постоянных в (8.6) с уче-
том (8.9) получим формулы
Схх, гг = Сгг, гг У —(c'i{’ ZZCOS2 0; -j- гг Sin2 0у);
CZZ, zz
Cyy, zz = Сгг, zz —zz Sin 0/ C22J zzCOS 0j), (8.18)
j czz, zz
Cxy, гг = Сгг, гг У {с^\ гг - с}{? гг) Sin 6, COS Qjt
*1 агг, гг
где czz, 2Z определяется первой формулой в (8.15).
8.3. КОМПОЗИТЫ, АРМИРОВАННЫЕ ВОЛОКНАМИ
Наиболее распространенные в настоящее время армированные
материалы имеют слоисто-волокнистую структуру. Типичный при-
мер — стеклопластик, образованный продольно-поперечной или
спиральной намоткой из нитей или прядей. Расчет эффективных
характеристик такого стеклопластика может быть произведен
по формулам п. 8.2, если соответствующие характеристики слоев
вычислять с учетом их волокнистой структуры.
Рассмотрим один из слоев, направив ось Охх вдоль волокон
(для упрощения записи пока опускаем индекс /, обозначающий
номер слоя). Волокна считаем изотропными и упругими с моду-
лем упругости Е', модулем сдвига G' и коэффициентом Пуассона
v'. Аналогичное предположение сделаем относительно матрицы,
обозначив ее упругие постоянные соответственно Е", G" и v". Отно-
сительное объемное содержание волокон (коэффициент армирова-
ния) обозначим ф', а относительное объемное содержание связую-
щего ф" = 1 —ф'. Размещение волокон в элементарном объеме
композита примем в среднем однородным и изотропным по отно-
шению к оси Oxi, а в остальном — произвольным. Это означает,
что мы не делаем различия, например, между правильной гекса-
гональной и однородной стохастической укладкой волокон.
Простейший способ расчета эффективных характеристик во-
локнистого композита основывается на допущениях, похожих
на допущения п. 8.2 для слоистых композитов. Считая, что в во-
локнах и во всем объеме матрицы напряженно-деформированное
состояние однородное, компоненты деформации еА.х в направлении
армирования в волокнах и матрице одинаковы и по остальным ком-
понентам имеет место равенство напряжений, получаем следую-
щие формулы для эффективных упругих постоянных:
£, = ♦'£'+ fГ; £, = £,= ;
V21 = V81 = ф\' + ф'\"; (8.19)
_фЧ'Е'+ф'т’£'. G'G"
V23 — > W ^,G„ ^„0, .
296
При этом некоторые члены, имеющие порядок квадрата от коэффи-
циентов Пуассона по сравнению с единицей, отброшены. Для
эффективных коэффициентов теплового расширения аналогично
получаем
«1 = Ф'а' + Ф"а"; = + • (8-20)
Согласно выписанным формулам эффективные характери-
стики — продольный модуль упругости, продольно-поперечный
коэффициент Пуассона и продольный коэффициент теплового
расширения — определяются осреднением соответствующих харак-
теристик по Фойхту. Поперечный модуль упругости и модуль
сдвига получаются осреднением по Рейссу. Поперечный коэффи-
циент теплового расширения получается из условия осреднения
соответствующей термоупругой постоянной.
Формулы типа (8.19) и (8.20) уточнялись многими авторами.
При этом использовались как точные решения задач теории упру-
гости для среды с системой регулярных упругих включений, так
и различные'приближенные модели, более точно учитывающие
характер взаимодействия компонентов и неоднородность полей
напряжений и деформаций. Наряду с этим применялись вариа-
ционные и статистические методы. Обзор результатов можно найти
в книгах по механике композитов [40, 46]. Приближенные фор-
мулы для характеристик, получаемых осреднением по Фойхту,
дают достаточно высокую точность. Наихудшие результаты полу-
чаются для тех характеристик, которым в формулах (8.19) и
(8.20) соответствует осреднение по Рейссу. Рассмотрим, например,
модуль поперечного сдвига G. Для этого модуля вариационный
метод дает двусторонние оценки [1181:
(l+riG' + rG" . (1+ц/')<г + 1|/0'
Применение модели «волокно в коаксиальном цилиндре» [120]
для модуля сдвига G дает формулу, совпадающую с нижней оцен-
кой (8.21). Имеются основания ожи-
дать, что формула обладает удовле-
творительной для прикладных рас-
четов точностью. Результаты вычи-
слений по формулам (8.19) и (8.21)
приведены на рис. 8.3. При этом при-
нято G"IG' =’0,1. Нижняя оценка по
(8.21) показана штриховой линией.
Более систематический анализ
различных подходов к определению
эффективных характеристик ком-
позитов можно найти в работах
[32, 40, 115]. Отметим лишь, что
Рис. 8.3
даже самые простые формулы дают
297
в конечном счете удовлетворительную для практических рас-
четов точность, особенно если учесть большой разброс опытных
данных и высокую чувствительность этих данных к технологиче-
ским факторам (например, к искривлениям волокон, несовер-
шенной адгезии и т. п.). Дальнейшее изложение в этой книге
сравнительно мало опирается на конкретную форму зависимостей
для эффективных характеристик слоев.
Рассмотрим теперь композит, который состоит из ряда слоев,
имеющих различную ориентацию волокон. Рассмотрим наиболее
интересный случай: слои отличаются лишь ориентацией волокон.
Чтобы учесть наличие прослоек из связующего между армирован-
ными слоями, введем коэффициент % армирования по толщине
слоев, равный отношению суммарной толщины армированных
слоев к общей толщине пакета. Осреднение по армированным слоям
в формулах типа (8.13) должно производиться лишь по углу ориен-
тации волокон 0. Пусть р (0) — плотность распределения волокон
Р2
по углам, нормированная на отрезке [0, л]. Интеграл I р (0) dQ
равен отношению числа слоев, волокна которых ориентированы
под углами из отрезка [01, 021, к полному числу армированных
слоев. Плотность распределения, вообще говоря, является
обобщенной функцией 0: она может содержать особенности типа-
дельта-функции.
Вычислим по формулам (8.13) эффективные упругие постоян-
ные для деформации композита в плоскости слоев. Отделяя в этих
формулах осреднение по армированным слоям от осреднения по.
прослойкам связующего, получим
схх, хх — ( 1_____I" X J (с11,11 COS4 0 -ф- С22> 22 Sin4 0 +
о
ф- 2с12 sin2 0 cos2 0) р (0) dQ;
эг
СУУ, УУ ~ 1 ______^"2 Ь X J (С11, 11 Sin4 0 Ч- С22, 22 C°S4 0 4“
0
ф- 2с13 sin2 0 cos2 0) р (0) dQ;
Схх, уу = - 1 _^v"2 ' + X j [Сц, 22 + (с11,11 +
О
+ с22,22 ~ 2с12) sin2 0 cos2 0] р (0) dQ;
л (8.22)
сху, ед = (1 х) G Ч- X j [с12, 12 4“ (с11, 11 4~
О
4~ с22,22 — 2с12) sin2 0 cos2 0] р (0) dQ;
298
л
^хх, ху = X J (pH, 11 COS2 0 Cgg, 22 Sin’2 0
О
— с12 cos 20) sin 0 cos 0-р (0) <70;
л
суу, ху — ' X | (си, 11 sin2 0 — С22,22 cos2 0
о
Ц- с12 cos 20) sin 0 cos 0 • р (0) dQ.
Рассмотрим ортотропный материал, полученный методом про-
дольно-поперечной намотки или укладки. Пусть число слоев,
волокна которых ориентированы по оси Ох, относится к числу
слоев, ориентированных по оси Оу, как пх : пу. Тогда плотность
распределения
р (0) = -rh- 6 (0) + -~Е- 6 (0—4) >
ПХ т ПУ \ /
где 6 (0) — дельта-функция.
Подстановка в формулы (8.22) дает
СХХ, XX X ( Пх _|_ С11, 11 4“ Пх _|_ С22, 22 ) F 1 — г"2 ’
суу-1 уу — У Сп,п + п 22) + j 2 > (8.23)
£%х, уу = ХС11, 22 4 | у» я ’ Сху, xy — 1Р12, 12 4~ О X) @ •
Остальные упругие постоянные, определяемые по формулам (8.13),
равны нулю.
В качестве другого примера рассмотрим трехнаправленно-
армированный материал. Пусть 01 = 0; 02 = 60°; 0з = 120°.
Такое армирование иногда называют звездообразным. Плотность
распределения волокон по углам
р(0) =—. 6(0) J---------2k-—б(0-4-л) 4-
/11 -j- ^2 + и3 4“ ^2 + ^3 х 3 /
+ - Пз ; 8(0------ЯV
rtl "Ь п2 "Ь \ 3 /
где rti, m и пз — числа слоев, ориентированные в соответствую-
щих направлениях.
Пусть т ~ nz = пз. Тогда по формулам (8.22) находим
^ХХ, XX Суу, УУ X L 8 ^11' И ^22,22) 4- 4 £12 j 4- j ____________________у" 2 ’
схх, уу —% [си. 22 4 8~ (сп, п 4~ £22,22 — 2с1г)] 4- j 2 ’ (8.24)
сху, ху — f. С12, 12 4- “g" (СИ. 11 4- C22, 22 2с1г) J -{- (1 х) G .
299
Остальные постоянные равны нулю. При звездообразном армиро-
вании с соотношением числа слоев 1:1:1 получается трансвер-
сально изотропный композит. В этом случае cXXiXX — суу,уу.
Кроме того, из формул (8.24) следует cXXt хх = схх< уу + 2сху, ху,
что является признаком изотропии тензора эффективных упругих
постоянных в плоскости Оху.
Общие формулы (8.22) справедливы также и для композитов,
которые получены в результате стохастической укладки слоев.
Пусть волокна равномерно распределены по ориентациям в пло-
скости Оху. Тогда плотность р (0) постоянна на отрезке [0, л]
и равна 1/л. Подставляя это выражение в формулы (8.22) и про-
изводя интегрирование по углу 0, найдем, что эффективные упру-
гие постоянные в этом случае совпадают с постоянными (8.24)
для звездообразного армирования 1:1:1 потрем ориентациям [18].
Остановимся кратко на интересном случае, когда отношение
модулей упругости £"/£' весьма мало по сравнению с единицей,
а коэффициент армирования ф' не близок ни к нулю, ни к единице.
Эффективные упругие постоянные для слоев определяем по фор-
мулам (8.19). Тогда для эффективного модуля однонаправленного
волокнистого композита в направлении волокон получается при-
ближенная оценка ЕХ^\[Е', где ф = ф'%. Для ортотропного
композита в этом случае получаем Ех^ Еу^ф£72. Наконец, для
трансверсального изотропного композита по формулам (8.18) и
(8.24) получаем Ех Еу^ ф£73. Таким образом, при одинако-
вом объемном армировании ф модули упругости в направлении
волокон относятся как 1 : 1/2 : 1/3. Отметим также, что для
трансверсально изотропного волокнистого композита при Еп1Е'
1 формулы (8.24) дают Gxy =* ф£'/8; vxy 1/3. Другие под-
робности можно найти в статье [18].
8.4. ПРИНЦИП ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ КОНТИНУАЛИЗАЦИИ
В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ
Рассмотренные методы определения эффективных характери-
стик композитов были развиты применительно к классическим
моделям сплошной среды, которые используются в теории упру-
гости и строительной механике. Однако заранее неизвестно, будет
ли макроскопическое поведение композитного материала удовлет-
ворительно описываться в рамках классических представлений.
Например, в композитных материалах могут возникать эффекты
типа тех, которые обсуждаются в обобщенных теориях сплошной
среды (например, в моментной теории упругости). Поэтому пред-
ставляет интерес обсудить способы построения механики компо-
зитов, которые не связаны с наперед выбираемыми моделями
классической теории. В статьях [12, 114] был предложен метод
построения теории композитов, основанный на структурных
соображениях. Этот метод позволяет, отправляясь от уровня рас-
смотрения h, получать уравнения механики композитов на уровне
300
Н, формулировать на этом уровне Краевые задачи и вариационные
принципы и попутно устанавливать связь между эффективными
характеристиками композита и характеристиками компонентов.
Этот метод основан на принципе энергетической континуализации
(неудачно названном первоначально [12] принципом энергетиче-
ского размазывания).
Рассмотрим композит с большим числом армирующих элемен-
тов повышенной прочности и жесткости. Компоненты, вообще
говоря, могут обладать произвольными механическими свойствами
— могут быть упругими, упруговязкими, упруговязкопластичными
и т. д. Армирующие элементы могут быть как одномерными (нити
или стержни), так и двухмерными (мембраны, пластины'оболочки,
двухмерные решетчатые системы). В основу положим следующие
два допущения общего характера: 1) жесткость материала арми-
рующих элементов существенно превышает жесткость связую-
щего; 2) масштаб h армирующих элементов и расстояние между
соседними элементами малы как по сравнению с характерными
размерами тела, так и по сравнению с расстояниями порядка Н,
на которых функции, характеризующие напряженно-деформиро-
ванное состояние армирующих элементов, изменяются заметно.
Эти допущения позволяют выразить все параметры напряженно-
деформированного состояния композита через параметры, характе-
ризующие напряженно-деформированное состояние армирующих
элементов.
Если армирующие элементы представляют собой пластины,
деформации которых описываются гипотезой Кирхгофа—Лява, то
состояние каждой пластины характеризуется тремя функциями —
перемещениями точек срединной поверхности uk(x, у), vk(x, у),
wk(x, у). Зная эти перемещения для всех армирующих слоев
(k = 1, 2....п), найдем распределение перемещений в слоях
связующего. Если армирующие элементы представляют собой
систему параллельных стержней, деформация которых описыва-
ется гипотезой Бернулли, то для задания перемещения в любой
точке композита достаточно знать по четыре функции для каждого
армирующего элемента: три перемещения точек его оси uk(x),
vk(x), wk(x) и угол поворота сечения вокруг этой оси Ф*(х). Рас-
пределение перемещений в связующем материале находится из
решения некоторой контактной задачи с перемещениями, задавае-
мыми на поверхностях контакта связующего и армирующего ма-
териала.
При таком подходе деформирование композита описывается
системами весьма большого (Зп или 4п, где п — число элементов)
числа уравнений относительно функций, описывающих состояние
армирующих элементов. Эти уравнения — дифференциальные по
переменным х и у, если армирующие элементы — пластины, и по
переменной г, если эти элементы — стержни. По индексам, при
помощи которых производится упорядочение армирующих эле-
ментов, уравнения будут разностные. Таким образом, определяю-
301
щие уравнения армированной среды будут дифференциально-раз-
ностные.
Пусть число армирующих элементов весьма велико и пусть
функции uk(x, у), vk(x, у) и т. д. достаточно медленно меняются
в зависимости от индекса k. Аппроксимируем функции координат
и индекса k при помощи гладких функций и*(х, у, z), у, z)
ит. п., а дифференциально-разностные уравнения —соответству-
ющими уравнениями в частных производных. Эту процедуру
назовем континуализацией. Вместо системы дифференциально-
разностных уравнений получим систему трех или четырех
дифференциальных уравнений в частных производных, описыва-
ющих деформацию некоторой эквивалентной гомогенной среды.
Если для вывода основных уравнений используются вариа-
ционные принципы, то перейти к эквивалентной гомогенной среде
можно на более раннем этапе. А именно, гладкие функции коор-
динат, аппроксимирующие поля перемещений, могут быть введены
уже при составлении минимизируемого функционала. Эту про-
цедуру назовем энергетической континуализацией [12]. Она приво-
дит к тем же конечным результатам, что и замена дифференциально-
разностных уравнений дифференциальными уравнениями относи-
тельно функций большего числа независимых переменных. Неко-
торые математические аспекты, связанные с принципом конти-
нуализации, рассматривались в статье [7].
Рассмотрим более подробно слоистый композит, который полу-
чен армированием некоторого связующего материала системой
эквидистантных (или почти эквидистантных) мембран, пластин
или оболочек. Считая армирующие слои плоскими, отнесем тело
к декартовой системе координат Охуг (см. рис. 8.2). Расстояние
между срединными плоскостями соседних армирующих слоев
обозначим с. Это расстояние, вообще говоря, может быть медленно
меняющейся функцией координат х, у и г. Если связующий и арми-
рующий материалы — линейно-упругие, то для получения урав-
нения равновесия естественно применять вариационный принцип
Лагранжа. Поля перемещений, напряжений и деформаций опре-
делены, если известны Зп функций uk (х, у), vk (х, у), wk (х, у)
(k — 1, 2, ..., п). Потенциальная энергия деформации тела U
является при этом квадратичным функционалом от указанных
функций
п
=4“ 2.[ф* (“i’ *Ып; ......Vn’Wi' ’ ’ Wn>d^- <8,25>
я
При этом принято, что рассматриваемый элемент композита имеет
объем V = й//. Толщина Н выбирается из условия, чтобы в объ-
еме V находилось достаточно большое число слоев п.
Введем функции ц*(х, у, г), цДх, у, г) и ш*(х, у, z), такие, что
в точках, принадлежащих срединным плоскостям армирующих
слоев, они приближенно равны соответственно uk(x, у), vk(x, у) и
302
wk(x, у). Функции и*(х, у, z), цДх, у, z), w*(x, у, z) предполагаем
непрерывными и дифференцируемыми столько раз, сколько это
требуется. Так, если армирующие слои — пластины, подчиняю-
щиеся гипотезе Кирхгофа—Лява, то следует потребовать суще-
ствования четвертых производных по х и у, а также вторых про-
изводных по z. Если армирующие слои — мембраны, то достаточно
потребовать существования вторых производных.
Поскольку состояние армирующих слоев меняется достаточно
медленно, то формула для потенциальной энергии допускает даль-
нейшее упрощение, а именно: первые разности по индексу k при-
ближенно выражаются через первые производные по переменной z,
вторые разности — через соответствующие вторые производные,
конечные суммы аппроксимируются при помощи интегралов
Римана по z:
ди„ п ,
«*+1 ~ uk ~ с; иА+1 - 2«а + цА_! с2;
п
^(«i. • •, «п; ^1, • •, vn', wlt . . ., wn) (8.26)
\ F (и v
И
где F — соответствующая сглаженная функция и т. д. В резуль-
тате потенциальная энергия деформации композита
wJdV. ' (8.27)
v
Здесь функция Ф имеет смысл плотности потенциальной энергии
деформации для некоторого квазиоднородного упругого тела.
Переход от формулы (8.25) к формуле (8.27) составляет процедуру
энергетической континуализации.
Используя формулу (8.27) и применяя стандартные приемы
вариационного исчисления, нетрудно получить уравнения равно-
весия для эквивалентного квазиоднородного тела. Выпишем эти
уравнения в операторной форме
+ ^i3w* Ч~ х* — 0;
^2iM* Ч-^22у* Ч-^23^* Ч-= 0> (8.28)
Lsiu* Ч- ^зги* 4“ ^33w* Ч- 4“ ^З2и* Ч- ^зз®*) Ч* = 0.
Здесь X*, Y*, 7* — энергетически «размазанные» компоненты
объемных сил; Ljk — линейные дифференИиальные операторы
второго порядка; Mjk — линейные дифференциальные операторы
четвертого порядка; h — характерная толщина армирующих
слоев. Члены, содержащие множитель /г2, учитывают изгиб и кру-
чение армирующих слоев; жесткость армирующих слоев при де-
формации в их срединной поверхности входит в операторы Ljk.
303
Отметим одно замечательное преимущество энергетической
континуализации перед прямой аппроксимацией дифференциаль-
но-разностных уравнений при помощи непрерывных аналогов.
Вариационный подход позволяет получить наряду с дифферен-
циальными уравнениями также и непротиворечивую систему гра-
ничных условий. Это очень важно для сложных моделей, где
наглядные физические соображения могут оказаться недостаточ-
ными для правильной постановки всех граничных условий. Есте-
ственные условия на границе х = const имеют вид
#п(ы*,бы* = о; ^12 ч». =
[Я1з(«*, V*, ^) + ^1з(и*, Чр = (8.29)
h2Si3 («*, и*, да*) б = О,
где Rjk — линейные операторы первого порядка; S13 — линей-
ный оператор второго порядка и — линейный оператор третьего
порядка.
Пусть перемещения на границе х = const произвольны, а внеш-
ние силы отсутствуют. Тогда первое условие (8.29) требует обра-
щения в нуль нормального напряжения на границе, второе —
обращения в нуль тангенциального напряжения, параллельного
плоскости слоев, третье — обращения в нуль другого тангенциаль-
ного напряжения. Последнее из перечисленных трех условий со-
держит с множителем h2 «размазанный» крутящий момент в арми-
рующих слоях. Таким образом, третье граничное условие (8.29)
аналогично условию Кирхгофа в классической теории изгиба пла-
стин.
На границе, параллельной плоскости армирующих слоев
(z = const), имеем три естественных граничных условия
£з2(^, <)Ч==о; (8-3°)
^зз(и*. и’*)би’* = 0,
аналогичных граничным условиям в классической теории упру-
гости.
Полагая в уравнениях (8.28) и граничных условиях (8.29)
члены с /г2 пренебрежимо малыми, получим уравнения и гранич-
ные условия, имеющие такую же структуру, как и уравнения
теории упругости для анизотропных тел. Коэффициенты этих
уравнений выражаются через упругие характеристики материа-
лов, образующих композицию, и через коэффициенты армирования.
Упрощенные уравнения соответствуют, очевидно, пренебрежению
жесткостью армирующих слоев при изгибе и кручении.
Еще в 1887 г. Фойхт предложил обобщение классической тео-
рии упругости, основанное на учете (наряду с обычным тензором
304
напряжений) тензора моментных напряжений. Уравнения момент-
ной теории упругости в перемещениях имеют вид
Lutt Ч- ^12^ "I- Ч- А2 (Л4цМ 4“ Л^хг^' + Afjgtw) 4* X = 0;
L21U 4*L22V 4* 4~ A2 (Af2iw -f- 4~ -М-гзиО 4* Y = 0; (8.31)
^31Ы 4* ^-32У 4~ L33W 4* А2 (М.1« 4" Л1з2У 4~ -МззЭД) 4- Z = о,
где Ljk и Mjk — линейные операторы второго и четвертого по-
рядка соответственно; А — формально вводимый малый параметр,
имеющий размерность длины.
До сих пор имели место попытки предложить моментную тео-
рию упругости к описанию полей деформаций в упругих поли-
кристаллических материалах; параметру А приписывался при этом
смысл характерного размера кристаллита.
Нетрудно видеть, что уравнения (8.28) аналогичны уравнениям
моментной теории упругости для некоторой анизотропной среды.
Оценим структурный параметр А в этих уравнениях. Заметим, что
операторы Lp, в последнем уравнении (8.28) содержат в качестве
множителя эффективные трансверсальные модули упругости для
связующих слоев, в то время как операторы Mjk — эффективные
упругие модули армирующих слоев в плоскости армирования.
Используя простейшие соображения из п.п. 8.2 и 8.3 о вычислении
эффективных модулей, получим, что первая группа модулей имеет
порядок Е"/(\—ф), где Е" — модуль упругости связующего;
ф — коэффициент армирования.
Для второй группы модулей имеем оценку фД', где Е' — ха-
рактерный модуль упругости материала армирующих слоев.
Отсюда находим, что параметр длины А в уравнениях (8.31) имеет
порядок [14]
А~Л]/ф(1—ф) (8.32)
При этом предполагаем, что коэффициент армирования ф не
очень близок ни к нулю, ни к единице. Весьма существенно, что
в композитах параметр длины А, как правило, превышает характер-
ный размер структуры — толщину армирующих слоев.
Уравнения (8.28) и (8.31) могут быть записаны в общем виде
Lu + h2Mu + X = 0, (8.33)
где и (х, у, г) — векторное поле перемещений; X (х, у, z) — век-
торное поле объемных сил; L и М — некоторые линейные опера-
торы второго и четвертого порядков соответственно; h — малый
параметр, имеющий размерность длины.
Векторное уравнение (8.33) относится к подробно изученному
типу уравнений с малым параметром при старших производных.
Если h —» 0, то число соответствующих граничных условий умень-
шается таким образом, что оставшиеся условия обеспечивают
существование и единственность решения и0(х, у, z) уравнения
Lu0 + X = 0, (8.34)
305
Таким образом, уравнения (8.28) и (8.31) обладают регулярным
вырождением.
Отмеченные свойства уравнений обеспечивают наличие двух
типов решений: медленно изменяющихся для внутренних областей
и быстро затухающих типа краевого эффекта. Приближенное реше-
ние и0(х, у, z) для внутренних областей строится с использованием
уравнения (8.34), описывающего деформацию среды с безмомент-
ными армирующими слоями. Моментные эффекты вблизи поверх-
ности получаются из уравнений типа (8.33), в которых опускаются
производные по всем направлениям, кроме направления быстрого
изменения функций. Для окрестности границы х = const попра-
вочное решение имеет вид
и(х, у, z)^tt(y, z)exp(—хД). (8.35)
Характерная длина зоны краевого эффекта % имеет порядок
(8.32). Краевой эффект типа (8.35) обусловлен релаксацией мо-
ментного состояния в армирующих слоях. Его не следует смеши-
вать с краевым эффектом, связанным с релаксацией самоуравно-
вешенных систем усилий (краевой эффект Сен-Венана), а также
с краевыми эффектами Лява и Рейсснера в теории пластин и обо-
лочек.
Ранее предполагалось, что слоистый композит таков, что его
напряженно-деформированное состояние может быть описано
при помощи перемещений uk(x, у), vk(x, у) и wk(x, у) на срединных
плоскостях армирующих слоев. Этот подход допускает как обоб-
щение, так и специализацию. Например, можно рассмотреть мо-
дель слоистого композита с учетом поперечных сдвигов в армирую-
щих слоях. Тогда к перечисленным функциям перемещений доба-
вятся функции поперечного сдвига Ф.Дх, у) и вк(х, у), а система
уравнений типа (8.33) будет содержать пять уравнений относи-
тельно сглаженных полей «Дх, у, z), v* (х, у, z), w* (х, у, г),
Ф*(х, у, z) и 0Дх, у, z). В качестве примера более специальной
модели рассмотрим композит, все слои которого являются транс-
версально жесткими по классификации, данной в п. 1.1. Тогда
нормальное перемещение w (х, у) одинаково для всех слоев, и мы
приходим к системе интегро-дифференциальных уравнений отно-
сительно функции «Дх, у, z), цДх, у, z) и w*(x, у, z) = w (х, у)'.
^11Ы* + ^12и* + ^13® + = 0; ^-21Ы* + ^22у* + ^23® + У* = 0;
(8.36)
f [(^-31 4* ^Al31) + (^32 4~ ^2Л4за) 4~
н
4~ (^зз + ^зз) W 4" J rfz = 0.
н
Операторы Llk и M!k здесь имеют смысл, вообще говоря, отличный
от одноименных операторов в уравнениях (8.28).
306
8.5. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ.
СРАВНЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Чтобы показать подробности вывода уравнений теории слои-
стых композитов и провести сопоставление с результатами, кото-
рые дает теория многослойных конструкций, рассмотрим модель
упругого композита с чередующимися мягкими и трансверсально
жесткими изотропными плоскими слоями. Считаем, что для мяг-
ких слоев все компоненты тензора деформаций, кроме попереч-
ных сдвигов, пренебрежимо малы, а поперечные сдвиги постоянны
по толщине каждого мягкого слоя. Для жестких слоев примем
гипотезу Кирхгофа—Лява. Уравнения для этой модели-в рамках
теории многослойных конструкций имеют вид (1.57) и (1.59).
Применим к этой модели принцип энергетической континуа-
лизации. Пусть число жестких слоев п достаточно велико, чтобы
тангенциальные перемещения ик(х, у) и vk(x, у) точек срединной
поверхности этих слоев можно было считать медленно меняющи-
мися функциями индекса k (k — 1, 2, ..., п). Кроме того, предпо-
ложим, что характеристики жестких слоев (толщина hk, модуль
упругости Ek, коэффициент Пуассона vA) и мягких слоев (толщина
sk, модуль сдвига Qk) тоже являются медленно меняющимися
функциями k. При выводе уравнений исходим из вариационного
принципа Лагранжа. Для потенциальной энергии системы вместо
выражений (1.30), (1.33) и (1.35) возьмем приближенные выраже-
ния, в которых конечные разности по индексу k аппроксимиро-
ваны при помощи производных по z, а суммы по индексу заменены
интегралами по z в пределах от —Нг до Н2 (Н1 Н2 — Н — пол-
ная толщина плиты). В результате для потенциальной энергии
деформации получаем формулу
н,
,r 1 f f Eh Г / ди , ди \ ди , / ди . ди \ ди ,
-Hi я
' 2 \ ду 1 дх ) J 1 2 J J 12 (1 — v2) c L \ dx2 1
-Hi я
. d2w \ d2w . / d2w . d2a> \ d2^ . n/. . / d2w \21 Jrii ,
1 dy2 ! dx2 1 \ dy2 1 dx2 / dy2 1 v ' \ дх dy / J
+4 П v [ (>+£)’+(£+
-Hi я
где w (x, y) — нормальный прогиб, одинаковый для всех слоев;
и (х, у, г) и v (х, у, г) — тангенциальные перемещения, трактуе-
мые как непрерывные и дважды дифференцируемые функции всех
координат; с — расстояние между срединными плоскостями со-
седних жестких слоев. Первый интеграл в формуле (8.37) пред-
ставляет собой «размазанную» энергию безмоментной деформации
307
жестких слоев, второй — энергию изгиба жестких слоев и тре-
тий — энергию поперечного сдвига мягких слоев. Потенциальная
энергия внешней нагрузки
г
п = -J J(?1« + ^)dQ +|(^п + ад^г
-Ht я г J
— j qw dQ — j + M«^' + M^)£/r + const <8'38)
o r
Здесь использованы обозначения, аналогичные обозначениям
в формуле (1.35), но с тем отличием, что под qu q2, Nn и (Vz подра-
зумеваются сглаженные компоненты нагрузок. Варьируя функ-
ционал полной энергии системы, получим уравнения [12]
д2и 1 —v д2и . 1 -j-v d2v . . д2и .1 —v2 _ п.
Их2 ' 2 "ду2 ' 2 дхду ' Х~дг2~ "I Eh~~ U;
d2v , 1—v d2v , l-|-v д2и . л d2v , 1—v2 0- '
"dy2 " 2~ dx2' ' 2 дхду + X'dz2 Eh~~ U;
D, Ata - [ ta + £ f) ] * - (8.40)
где % — безразмерный параметр, характеризующий соотношение
между деформативностью жестких и мягких слоев
Gc2 1 — v2
s Eh
(8-41)
Параметр % связан с характерным масштабом длины X из формулы
(8.32). В самом деле, поскольку Е = Е'; G ~ f"; h = фс; s =
= (1 —ф) с, то % ~ (Л/А)2. Кроме того, в уравнении (8.40) введен
интегральный аналог суммарной цилиндрической жесткости
£>s= [ • (8-42)
s J 12(1—v2) с x '
-Hi
Аналогично получим естественные граничные условия. Рассмо-
трим один из участков границы, ортогональной плоскости слоев.
Пусть на этом участке х = const, —Нг < z < Н2. Естественные
граничные условия принимают вид
Eh / ди , dv \ кт Eh / du , dv \ кт ,о
-т- + v ) = Nn, -о/i >' (-5- -5-) = (8-43)
1 — v2 \ dx * ду / п 2 (1 v) \ dy ' дх } ‘ '
п / д2а> . д2® \ ..
Ds {дх2 +V ду2 / ~ Мп’’
(8.^
(^L+^L)dz = Q
дхоу2 J J s \ дг 1 ду / ду
308
В левых частях условий (8.43) стоят «размазанные» тангенциаль-
ные усилия в жестких слоях, в правой части — соответствующие
внешние усилия. Эти условия должны выполняться в каждой точке
по высоте пакета —Hr < z < Н2. В левых частях условий (8.44)
стоят соответственно суммарный изгибающий момент в жестких
слоях и суммарная обобщенная перерезывающая сила. При этом
интегральный член учитывает вклад касательных напряжений
в мягких слоях. В правых частях стоят соответствующие внешние
силовые воздействия. На тех частях поверхности слоистого ком-
позита, которые параллельны плоскости слоев (в рассматривае-
мом случае это плоскости z == —Нг и z — //2)> должны выпол-
няться условия
Gc / ди , dw \ Gc / до , dw \ ,с.
— ^ + -дГ)-^ <8-45)
Эти условия требуют равенства между собой внутренних и
внешних тангенциальных сил на границе тела. Нормальные со-
ставляющие внешних сил в рассматриваемой модели учитываются
в интегро-дифференциальном уравнении (8.40). Покажем, что
полученные уравнения равновесия и естественные граничные
условия можно трактовать как предельный случай уравнений и
граничных условий из п. 1.3. Так, заменяя в уравнениях (1.57)
конечные разности от перемещений жестких слоев их приближен-
ными выражениями через производные от сглаженных функций,
придем к уравнениям (8.39). При этом «крайние» уравнения (1.57)
(т. е. взятые при£=1и& = п) должны переходить в естествен-
ные граничные условия (8.43) на поверхностях z = —Нг и z =
= Н2. Этого, однако, в точности не получается. Возьмем, напри-
мер, одно из уравнений системы (1.57) при k = п
Ehn / <>2ип , 1 д2ип . 1 + уп \ _
1 — Уд \ дх2 ' 2 ду2 2 дхду /
‘ёт (Ыя ~ Ы"-1+Сп-Х ‘S’) + =°-
Переходя к сглаженным функциям и выражая разность ип —
— ип_1 через производную, получим
Gc / ди . dw \ Eh / д2и ,1 —у дги . 1 Ц-v дЧ> X
V Vdz ^~дх ) ~ ^^ 1 —V2 \ йх2- “I 2 liy2 ' 2~~ дхду)'
(8.46)
Условие (8.46) не совпадает с первым условием (8.45). Причина
расхождения состоит в том, что условие (8.46) по существу форму-
лируется не для свободной поверхности, а для срединной плоско-
сти крайнего слоя. Увеличим число слоев п, оставляя фиксиро-
ванными общую толщину Н, суммарную интенсивность танген-
циальной нагрузки, а также отношения hlc и s/c. Тогда правая
часть в (8.46) будет убывать как Мп. Следовательно, граничные
условия (8.45) действительно соответствуют модели мелкослои-
стого композита.
309
Интегро-дифференциальное уравнение (8.40) представляет со-
бой непрерывный аналог дифференциально-разностного уравнения
(1.59). В самом деле, заменяя в последнем уравнении приближенно
конечные разности производными от сглаженных функций, а ко-
нечные суммы интегралами по нормальной координате z, придем
к уравнению (8.40). Аналогичное заключение можно сделать отно-
сительно оставшихся естественных граничных условий.
Как и в теории многослойных конструкций, основные уравне-
ния можно выразить через потенциалы перемещений и нагрузок
[12]. Положим
ы==^+*к V = (8.47)
дх ' ду дудх '
где ф (х, у, z) и ф (х, у, г) — дважды дифференцируемые функции
координат. Кроме того, введем потенциалы для тангенциальных
нагрузок, так что
5Ф _ 5Ф 5Ф
дх г ду ’ ду дх '
(8.48)
Вместо уравнений (8.39) получаем
дф+х-^==_1=21ф; + (8.49)
г 1 dz2 Eh т i i —v gz2 [fa \ >
Уравнение (8.40) преобразуется к виду
н.
- J А 4- dz = q. (8.50)
-Hi
Хотя в дифференциальных уравнениях (8.49) потенциалы
Ф иф разделились, однако в граничных условиях они, как правило,
остаются неразделенными.
Для сопоставления с результатами, которые дает теория мно-
гослойных конструкций, рассмотрим задачу об изгибе прямоуголь-
ной в плане плиты из слоистого композита регулярной структуры
под действием нормальной нагрузки [12]. На контуре плиты возь-
мем граничные условия типа (2.14) и (2.15)
w = -т-т Д-v—-j = 0 (х = 0, х = а);
дх2 ’ ду2 4 ’ 7
d2W . d2W л / л гл
w =-т-5- +v-z-2- = 0 (w = 0, y~bY,
ду2 1 дх2 v '
(8.51)
i + v|r = y==0 = = -4-//<z<4-/7);
+ = 0 (y = Q> У = Ь;-1-Н'г<±Н},
где а и b — длины сторон плиты; Н — ее толщина.
310
Эти условия, очевидно, соответствуют шарнирному опиранию
в классической теории изгиба пластин. Плоскости z = ± Н/2
считаем свободными от напряжений. Тогда с учетом (8.45)
+ + = 0 (z=± А-It). (8.53)
dz ' дх дг 1 ду \ 2 ) v ’
Интенсивность внешней нормальной нагрузки q представим
в виде ряда Фурье (2.18). Ограничимся рассмотрением одного
члена этого ряда
^==Qsin^sin-^, (8.54)
где аир — положительные целые числа; Q — постоянная. Реше-
ние уравнений (8.49) и (8.50) ищем в виде
ср = Ф (z) sin sin ; ф = T (z) cos cos ; (8.55)
. w= uzsin^sin-^-,
a b ’
где Ф (z) и V (z) — функции нормальной координаты z, W — по-
стоянная.
Учитывая (8.47) и (8.55), приходим к заключению, что гранич-
ные условия (8.51) удовлетворяются. Подстановка выражений
(8.55) в уравнения (8.49) дает
Ф (z) = G sh + С2 ch ; V (z) = С3 sh + С4 ch ,
где введены обозначения
2 х2с2 •> (1—v)x2c2 , / ал \2 . / Вл \2 /о кс\
и Г’ ’ х==Н)+(V)- (8-56>
Удовлетворяя условиям (8.53), находим
(?! = -—sech-44 С2 = С3 = С4 = 0.
1 р 2с 2 л 4
Подставим вычисленные значения в формулы (8.55) и внесем
результат в уравнение (8.50). Отсюда найдем
W ________________
x4Ps л)
При этом использовано обозначение
(th 4~ рл
j--------
и, кроме того, произведена замена Н/с п.
(8.57)
(8.58)
311
В п. 2.1 было дано решение аналогичной задачи, основанной
на уравнениях изгиба многослойных пластин. В частности, для W
получена формула типа (8.57), в которой, однако, функция F (ц, п)
определяется как
/?(ц, n) = n—1-------------------------, (8.59) !
ch р, — 1 ch (п — 1) sh р.
а характеристический показатель р. определяется из уравнения
Л2„2
chp=i+4^. (8-6°)
При этом число жестких слоев принято нечетным п = 2п1 -ф 1.
Покажем, что решение, полученное с использованием принципа
континуализации, асимптотически приближается к точному ре-
шению при
Но = ^2-^ °; п —сю. . (8.61)
Здесь Л — характерный параметр изменяемости поля по коор-
динатам х и у, например, Л = 2nlk. Легко видеть, что при ц2
1 имеем р2 1. Разлагая sh р и ch р в степенные ряды, полу-
чим вместо (8.59) и (8.60)
F(p, п) = п — 1 — --t-Jxrai -ф О (р§);
Г
ф2=~ + 0(фо)-
Л
При выполнении условий (8.61) полученное здесь решение можно
трактовать как хорошее приближение при достаточно большом
числе слоев и при условии малости параметра р0 по сравнению
с единицей.
Пример. Рассмотрим квадратную в плане плиту, нагруженную равномерно
распределенной нагрузкой. Толщину мягких слоев считаем пренебрежимо ма-
лой. Решение задачи дается формулами (8.55), (8.57) и (8.58). Для прогиба
в центре плиты получается выражение для ряда Фурье
«+Р j
w(±a У У 2 ~ х
V 2 2 ) Zj Zj n*Dsa$ (а? + Р2)2 Х .
а=1,3,... 0=1,3,...
X Г 1 + IM (JL\2 l-1, (8.62)
Л L + л2 \ Н ) а2+Р2 J ’ ’
где использовано обозначение
п2 / Н \2
НаЗ =^7(4) (*2 + И- (8-63)
Результаты вычислений по формулам (8.62) и (8.63) при а = 40Н и раз-
личных значениях параметра % приведены fna рис. 8.4. Через а)0 обозначен
прогиб, найденный в предположении, что % 0. На том же графике показаны
312
результаты расчета по модели многослойной
плиты. С увеличением числа слоев соответ-
ствующие результаты асимптотически сбли-
жаются.
Для прикладных расчетов ура-
внения упрощают путем отбрасыва-
ния в них членов, которые учиты-
вают моментные эффекты. В самом
деле, сравнивая, например, члены
в уравнении (8.40), замечаем, что
первый член имеет порядок Ds&y0/A4,
а второй (точнее, интеграл от пер-
вого члена в подынтегральном выра-
жении) — порядок GcHwhIsW. Здесь
&у0 — характерный прогиб; Л — ха-
рактерный масштаб изменения сглаженного напряженно-дефор-
мированного состояния в плоскости армирования. Отношение
этих оценок имеет порядок
где X — масштаб длины (8.32).
Таким образом, чтобы моментные эффекты были существен-
ными, необходимо, чтобы % ~ Л. Но для того чтобы был применим
принцип континуализации, необходимо выполнить условие h <
< Л. Совместно эти условия выполняются лишь в том случае,
когда X > h, для чего упругие модули слоев должны отличаться
на несколько порядков. Для применяемых в настоящее время
композитов, как правило, к ~ h, так что моментные эффекты
в этих композитах носят локальный характер.
Если пренебречь моментными эффектами, то уравнения теории
слоистых композитов типа (8.28) обращаются в уравнения класси-
ческой теории упругости в перемещениях для анизотропной среды.
Уравнения типа (8.36) при этом также обращаются в уравнения
классической теории с той разницей, что последнее уравнение
представляет собой в сущности проинтегрированное по нормаль-
ной координате г третье уравнение равновесия в перемещениях.
Записанные в напряжениях, эти уравнения принимают вид
д°хх । д^ху I дГхг । у __ л. д^ух д^уг . двуу у q.
дх ‘ ду ‘ дг * ' дх дг ‘ ду' . ’
Л \ г <8'64>
н
н
Значения упругих постоянных, входящих в уравнения теории
слоистых композитов, естественно получаются как результат
энергетической континуализации. Например, в уравнениях (8.39)
эффективные модули упругости Ех и Еу присутствуют как фЕ,
для модулей поперечного сдвига Gxz и Gyz получается выражение
313
G/(l — яр) и т. д. Эти значения служат лишь довольно грубой оцен*
кой для эффективных упругих постоянных композита, поскольку
они отражают приближенный характер гипотез о работе слоев и
их взаимодействии. Если моментные эффекты не учитываются, то
вполне естественно трактовать уравнения теории слоистых компо-
зитов как уравнения классической теории упругости для анизо-
тропной среды, определяя входящие в них эффективные постоян-
ные по формулам типа (8.13), (8.15) и (8.18). Но даже и в этом
случае развитая здесь теория сохраняет некоторое значение.
В частности, она дает механическую интерпретацию и математи-
ческое обоснование тому, что для трансверсально жестких слои-
стых композитов третье уравнение равновесия берется в виде
интегро-дифференциального уравнения типа третьего уравнения
(8.64).
8.6. ТЕОРИЯ СЛОИСТЫХ композитов СО СЛУЧАЙНЫМИ
НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ
Рассмотрим модель слоистой среды, армирующие элементы ко-
торой мало отличаются от плоских. Эта модель представляет ин-
терес например, в связи с вопросом о влиянии случайных началь-
ных неправильностей армирующих слоев на деформативность и
прочность композита. Модель, предложенная впервые в работе
[17], была в этой статье применена для вычисления эффективных
упругих постоянных композита. Соответствующая задача для
линейного вязкоупругого композита рассматривалась в статьях
[19, 25]. Содержание настоящего пункта в основном следует пере-
численным выше работам.
Отнесем тело из композита к прямоугольной декартовой си-
стеме координат Оххх2х3. Пусть срединные поверхности армирую-
щих слоев весьма мало отличаются от плоскостей, параллельных
плоскости ОХ]Х2 (рис. 8.5) и почти эквидистантны, а их главные оси
упругости почти параллельны. Пусть внешние силы действуют
в плоскостях, параллельных плоскости армирования OxjX2.
Л
Присвоим послойным ком-
понентам векторов и тен-
зоров греческие индексы,
которые пробегают значе-
ния 1, 2 (в отличие от ла-
тинских индексов, пробе-
гающих значения 1, 2, 3).
Кроме того, используем
«запасные» обозначения
z = х3, w = v3. Введем сле-
дующие предположения,
которые являются допол-
нением и детализацией ос-
новных допущений теории
слоистых композитов.
Рис. 8.5
314
1. Толщины армирующих слоев h и слоев связующего s малы
по сравнению с расстояниями порядка %, на которых функции
(хх, х2), описывающие начальные искривления слоев, изме-
няются заметно. Этот масштаб мал по сравнению с расстояниями
порядка Н. Таким образом, в отличие от п. 8.1 здесь в рассмотре-
ние вводится четыре линейных масштаба, различающихся поряд-
ком h к < Н <§( Л. В дальнейшем для краткости будем говорить
о четырех уровнях рассмотрения ft, Л, Н и Л. На уровнях h и %
среда существенно неоднородна. При рассмотрении среды на уровне
Н допустимо использовать принцип континуализации, заменяя
неоднородную среду некоторой эквивалентной однородной анизо-
тропной средой.
2. Характерные тангенциальные перемещения точек на сре-
динных поверхностях жестких слоев малы по сравнению с харак-
терными нормальными перемещениями (начальными и дополни-
тельными), а характерные начальные и полные нормальные пере-
мещения малы по сравнению с %. Последнее требование можно
представить в виде <р2 1, где (р — характерное (например,
среднее квадратическое) значение угла наклона жестких слоев
к плоскости Оххх2. Используя эти допущения, мы сохраняем в вы-
ражениях тангенциальных компонент тензора деформаций лишь
те нелинейные члены, которые содержат нормальные перемеще-
ния, а в выражениях для остальных компонент отбрасываем все
нелинейные члены.
Вначале рассмотрим равновесие среды на уровне ft. Перемеще-
ния точек ft-го жесткого слоя определяем по формулам
(8.65)
где t,k — координата, отсчитываемая по нормали от срединной
поверхности слоя. Согласно предположениям (2) в качестве мер
деформации жестких слоев берём соответствующие компоненты
тензора конечных деформаций в лагранжевых переменных, сохра-
няя в них лишь те нелинейные члены, которые зависят от нормаль-
ных перемещений. Таким образом, для k-ro жесткого слоя
(8.66)
где и — первый и второй тензоры деформаций срединной
поверхности, мало отличающейся от плоскости:
(ft)___1_ Г dvgk) . + +w(ft))
е“₽ 2 дх$ "Т дха ' дха дхр
1.
дха дхр J ’
(ft) __ diw{k'>
ар дха дхр ‘
(8-67)
315
Используя формулы (8.65), выразим перемещения точек k-ro
мягкого слоя через перемещения ограничивающих его жестких
слоев, а по ним найдем компоненты тензора деформаций. Выпи-
шем формулы для деформаций поперечных сдвигов и удлинений
нормалей в мягких
p[fe] __ 1 L(*+i)
6“3 ~ 2sk \Va
слоях
,,(k) , Sk + hk+1 dw(k+^ Sk + hk dw<k> X .
-Va H 2 ^“4 2
,.[A] = ZQ
Sk
В формулах (8.68) в соответствии с предположением (2) отброшены
члены, зависящие от t,k, а также нелинейные члены.
Составим вначале основные уравнения для упругого компо- ’
зита, полагая жесткие слои анизотропными, а мягкие — изотроп-
ными. Переход к случаю линейного вязкоупругого композита
будет сделан на основе вязкоупругой аналогии. Следуя принципу
континуализации, введем непрерывные и необходимое число раз
дифференцируемые функции v, (хц х2, Хз), которые на срединных
поверхностях армирующих слоев приближенно равны функциям
у^)(хг х2) (звездочки у сглаженных полей опущены). Введем ана-
логичную функцию w^(xi, х2, Хз), описывающую распределение
начальных неправильностей. Далее, аппроксимируем параметры
hk, sk, rk и т. д. соответствующими функциями непрерывного
аргумента х3. Для потенциальной энергии упругой деформации
в учетом формул (8.67) и (8.68) получим
£7 = J фА,арур (бар^уб “I- ^2^ap^Vd) dV -f-
Н—2~ f [О — 'l5) ^«₽?б£аретб “Ь 2Аврззеаре33
v
^аЗ РЗеиЗеРЗ ЧзЗЗеЗЗ 1 <у /п Сп\
где ф — объемный коэффициент армирования; А^рур — тензор
упругих постоянных материала жестких слоев; A^p/j. — тензор
упругих постоянных материала мягких слоев. В формуле (8.69)
по греческим немым индексам ведется суммирование от 1 до 2.
Кроме того, введены обозначения (звездочки'у сглаженных полей
опущены)
__ 1 Г dva дур д (а>0 + w) д (а>0 -f- w) dw0 dw0 ) ,
~ ~2~ [ dx& + dXa dXa dx& dXa dx& J .
1 / dva . dw \ . __ dw . _ d2w____ ' ’ '
— 2 \ dx3 ' dxg / ’ 633 dx3 ’ X“p dxa dxp'
Согласно предположению (1) A^pTp C Aapve, поэтому во втором
интеграле (8.69) можно опустить все члены, кроме тех, которые
316
учитывают поперечные сдвиги и удлинения нормалей в связую-
щих слоях. Если связующий материал малосжимаем, то efo ~
~ («и 4- fe»)2, и-допустимо пренебречь также удлинением норма-
лей. В результате получим
U = 4 f [ 'I’Mve + 'Xfj’S-e) + гтзГф е“₽ ] dV' (8 •71)
где G — модуль сдвига связующего материала. Аналогично по-
лучим выражение для потенциальной энергии внешних сил, за-
данных на боковых поверхностях:
П = — j pava dS + const, - (8.72)
s
где pa — компоненты вектора поверхностных сил, «размазанных»
по боковой поверхности S.
Уравнения равновесия получим из вариационного принципа
Лагранжа 6 (U -)- П) = 0:
д<Тсф _д_ Г G / dva . to \ 1 _ „
5хр * дг L1 — Ф \ дг ‘ дха /J ’
_ д2таР д Г G / дуа dw \ ' d (wq+w) 1 __ „ ( • )
дха дхр ‘ dxa [ 1 — ф \ дг ‘ дха ) “₽ дх(1 J
где оар — тензор напряжений; таР — тензор моментных напря-
жений для эквивалентной среды,
= (8.74)
Граничные условия на S имеют вид (пр — единичный вектор нор-
мали)
оа^ = рд, та₽Пр = 0. (8.75)
Краевая задача, которая описывается уравнениями (8.73) и
граничными условиями (8.75), — нелинейная. Сведем ее к рекур-
рентной последовательности линейных задач, принимая во вни-
мание малость начальных и дополнительных прогибов армирую-
щих слоев. Заменим функцию w0 на рда0, где р. — параметр мало-
сти, полагаемый после завершения выкладок равным единице.
Если w0 = О, то w = 0 и = 0. Поэтому решение уравнений
(8.73) ищем в виде
Уа = Уа) + jWa’ + - • •! W = |W” + Ц2аУ,2) . . .;
М = аа₽ + + • • •; = 4------
Группируя члены, содержащие р°, получим уравнения
лп(0)
-af = 0 <8-77)
и граничные условия на S: о$ир = ра. Эти уравнения описы-
вают поле напряжений тела с идеальным распределением арми-
317
рующих слоев. Далее, сравнивая члены при р,1, придем к уравне-
ниям
ОДр* , а Г G /ОД’ а*>(1> \1
Зхр дг [ 1 — т|> \ дг дха / J ’
_ ЗОДр’ , д Г G 7 dw^ \1 д2(^о-|-^(1)) =
дхадхр dxa [1 — \ дг ' дха /J дхадхр
(8.78)
Граничные условия на S имеют вид
о$Пр = 0; m$np = 0 (8.79)
и т. д. Связь между напряжениями о^’, тар и перемещениями
ц)” дается формулами
+ ); /п”р’ = фг2А^6^^-. (8.80)
' u&q ' ил^ ил@
При некоторых дополнительных предположениях уравнения
(8.78) могут быть существенно упрощены. Пусть функции
y<z(*i> х2, х3) достаточно медленно изменяются при движении по
нормали к армирующим слоям. Тогда во втором уравнении (8.78)
могут быть опущены члены, содержащие производные от этих
функций по х3 = z. Перепишем это уравнение с учетом формул
(8.80)
,|„2Г aw11 g дУ" _f0) ач^о + ^(1)) ... п
Ч5 аР?б дХа дх^ gx^ gx& 1 — ip “₽ дха дхр
(8.81)
В обычной координатной записи после отнесения к главным
осям упругости армирующих слоев уравнение (8.81) принимает
вид
7 „ . п дЧ) , d*w \ G / d2w , 52ру \
Е\ I 62ц - .—Р- 2б212 "Ч о п о—Ь ^22 ' )---i---1— ( п о-F п о ) —
т \ 11 дх^ дх\ дх% 1 ) 1 —1|) \ дх\ 1 дх% /
- (’«' -5-+2о1!' Wk-+ой' <8-82)
Здесь w = ш(1); ац, а12 и а22 — безразмерные упругие постоянные
армирующих слоев
_____ 1 . __ 1 £2 ___ vi2 । 2G{2,
й11 ~ 1 — Viav21 ’ ~ 1 — v12v21 ~Ё\ ’ й12 ~ 1 — v12v21 + Е[ ’
(8.83)
Ei, Е'ъ — модули упругости армирующих слоев в направлении
осей 0х\ и Охг; 6(2 — модуль сдвига; vi2, V21 — коэффициенты
Пуассона. Применим уравнения (8.73), (8.78) и (8.82) для описа-
ния полей напряжений, деформаций и перемещений в композите
со случайными начальными неправильностями. Пусть функция
а>0 (%1, х2, х3), описывающая сглаженное поле начальных неправиль-
318
ностей, — случайная функция координат с характерными длинами
неоднородности и корреляции, имеющими порядок % 4С Н. Вы-
веденные выше уравнения вместе с граничными условиями соот-
ветствуют некоторой стохастической краевой задаче. Зная вероят-
ностные характеристики поля начальных неправильностей и за-
данные (в детерминистическом или стохастическом смысле) усло-
вия на поверхности тела, вычислим вероятностные характеристики
напряженно-деформированного состояния в слоистом композите.
Рассмотрим задачу об определении эффективных упругих по-
стоянных. Для этого проведем осреднение в объеме порядка Н3,
считая поле ш0(хг, х2, ха) однородным, а детерминистические пара-
метры среды %артб. G, ф и г2 постоянными в этом объеме.-Тогда мы
можем вообще отвлечься от граничных условий, полагая, что
среда занимает все пространство, и заменяя граничные условия
условиями в среднем. Например, вместо (8.79) получим
(о$) = 0; (т$) = 0. (8.84)
Угловыми скобками обозначена операция осреднения по множеству
реализаций поля и>0(хг, х2, х3).
Пусть ш0(г) — однородная функция координат, допускающая
представление в виде стохастического интеграла Фурье
w0 (г) » j Wo (х) etxr dx, (8.85)
где г = (х1( х2, х3) — радиус-вектор; х = (х1( х2, х3) — волновой
вектор; dx = dxxdx2dx3. Интегрирование производится по всему
пространству волновых чисел. Спектр Wo (х) представляет собой
обобщенную случайную функцию, связанную со спектральной
плотностью 3Шо(х) поля Щ)(г) зависимостью
<W (X) №о (И')) = 5Шо (х) 6 (х - х). (8.86)
Звездочка сверху обозначает комплексно сопряженную величину;
6 (х) — трехмерная дельта-функция.
При сделанных ограничениях перемещения и, (г) образуют
случайное поле с однородными приращениями. В дальнейшем
в разложении (8.76) ограничимся членами, содержащими пара-
метр р в степени не выше первой. Очевидно, что функции п}п(г)
образуют однородное векторное случайное поле. Ищем его в виде
v)1’ (г) = j Vj (х) eixr dx. . (8.87)
При этом условия в среднем (8.84) выполняются автоматически.
Подстановка выражения (8.87) в уравнения (8.78) дает
у. (х) = -F. (X) №0 (X); Fj (х) = Ж. (8.88)
319
Здесь D(x) — определитель, составленный из коэффициентов
алгебраической системы уравнений, соответствующей системе
(8.78) и формулам (8.80):
Щх) =
xjG
1 —т|>
ХрХуфА,2р1у
ххХзО
1—4’1
ХрХтф%1р2?
"Г 1 __
x3x3G
1 —яр
xxx3G
1 —я|>
x3x3G
1 —яр
Сзз(и)
(8.89)
где с83 (х) = хах3хтхвфг%₽т6 + х| G/( 1,— ib) + хахро^.
Определители D ;(х) получаются из (8.89), если соответствующие
столбцы заменить столбцами с элементами (0, 0, хахро&р).
В области волновых чисел, удовлетворяющих условию
яр (1 — Яр)£' (x? + xi)1/2
(8.90)
(£' — характерное значение упругих постоянных A^Pve), функция
F3(x) приближенно выражается так:
F3 (х) =------------. (8.91)
KaVvM^alive + —+ *a
Эта формула соответствует переходу от системы (8.78) к уравнению
(8.81).
Применим полученные результаты для исследования вопроса
о влиянии малых начальных искривлений на деформативность
слоистых композитов в плоскости армирования. Задача состоит
в том, чтобы найти коэффициенты в соотношении
O'ap — (8.92)
связывающем эффективные (т. е. измеряемые в непосредственном
макроскопическом эксперименте) напряжения и деформации.
Способ вычисления упругих постоянных в соотношении (8.92)
зависит от того, какой смысл приписывается эффективным напря-
жениям оар и деформациям eafi. В качестве эффективных напряже-
ний оар естественно взять осредненные значения напряжений.
С ошибкой порядка <р2 по сравнению с единицей эти напряжения
совпадают с номинальными напряжениями
В качестве эффективных деформаций на первый взгляд есте-
ственно принять осредненные деформации 8ар или е^. Пусть
деформации измеряются, например, при помощи двух тензодат-
чиков, наклеенных с противоположных сторон на армирующий
320
слой. Тензодатчик осредняет деформацию на длине, равной его
базе. Если база датчиков имеет порядок характерной длины X,
то измеряемую деформацию можно отождествить с (еар} (вопрос
о поправках, связанных с влиянием свободной поверхности на по-
казания датчиков, здесь не затрагивается). Осредняя первую группу
соотношений упругости (8.74), найдем
(°ар) = (8.93)
Итак, эффективные упругие постоянные, соответствующие
эффективным напряжениям и деформациям, совпадают (в рамках
данной модели) с постоянными для соответствующей среды с идеаль-
ными армирующими элементами.
Больший интерес представляет случай, когда эффективные
деформации определяются измерением взаимных перемещений
точек или поперечных сечений образцов, взаимных перемещений за-
хватов и т. п. Если база при определении этих перемещений
достаточно велика по сравнению с % (см. рис. 8.5), то результатами
измерений и статистической обработки опытных данных по мно-
гим измерительным приборам и (или) по многим образцам в сущ-
ности являются величины
= + (8.94)
р 2 \ дхр дха / ' '
называемые псевдо деформациями [17]. Следует подчеркнуть, что
псевдодеформации отнесены к неподвижной декартовой системе
координат OxiX2x3. Истинные деформации еар, определяемые по
формулам (8.70), отнесены к базису, увлекаемому вместе с дефор-
мируемой срединной поверхностью армирующих слоев. Дефор-
мации (еар) и еар могут отличаться на величину порядка ср2.
Вследствие сильной анизотропии материала это влечет за собой
значительное расхождение между упругими постоянными 7^6
и даже при ср2 < 1.
Для вычисления псевдодеформаций необходимо в рядах (8.76)
для перемещений и, (г) удержать члены до порядка pi включительно.
Чтобы избежать громоздких вычислений, используем другой путь
[19]. Сравнивая формулы (8.70) и (8.94), найдем
.* _/. \ 1 / д (w0 4- w) д (w9 -J- а>) \ 1 / dw0 dw0 \ Qt-.
еар - (М) - -2- \--------------z - -2- х— — х. (8.95)
С относительной погрешностью порядка ср2 средние деформации
{еар) срединной поверхности армирующих слоев заменим их но-
минальными значениями вар, определяемыми из соотношений
упругости (8.93) по номинальным напряжениям о&р- Нормальные
перемещения w (г) найдем из уравнений (8.78) с точностью до рс.
С учетом формул (8.86) и (8.88) получаем
&р = е'а^ + f хаур7 (х; о]?’, о$’, о^’)5Що (x)dx, (8.96)
В. В. Болотин 321
где введено обозначение
J = atf, о$, tf?’, ой’, <О- (8-97)
Пусть армирующие слои ортотропны, причем главные оси упру-
гости параллельны осям и Ох2. Обозначим, как и ранее, через
Е'ч, \’21 и G12 модули упругости, коэффициент Пуассона и модуль
сдвига армирующего материала. Для нахождения упругих харак-
теристик композита рассмотрим соответствующие элементарные
нагружения. Так, полагая ой’ = о, ой’ = стй’ = 0 и определяя по
формуле (8.96) псевдодеформацию eh, найдем выражение для
эффективного модуля Е*:
4г = 4г + 4- [(*; °- °> °)(х)dii- <8-98)
т£-,1 ° J
Эффективный коэффициент Пуассона vh определяется как взя-
тое по абсолютной величине отношение деформаций е*2 и eh:
v2i =
+ V j (Х; а’ °’ 0) Swo (Х) йХ
-^7- + -у- j (х; а, 0, 0) (х) dx
найдем модуль сдвига 0*2 для случая
(8.99)
Аналогично
= т, ой’ = ой’ = 0:
qV- = + V f Х1Н2,/ (х; °’ °’ Sw> dK-
_.<0)
012
(8.100)
Существенно, что упругие характеристики зависят от прикла-
дываемых напряжений. Таким образом, соотношения упругости
(8.92) являются нелинейными, а входящие в них характеристики
жесткости являются в сущности секущими модулями. Исключение
составляет случай относительно небольших напряжений, когда
дополнительные нормальные перемещения армирующих слоев
можно принять пренебрежимо малыми по сравнению с их началь-
ными отклонениями от плоскости.
Формулы (8.98)—(8.100) объясняют ряд опытных фактов:
заметное снижение модулей упругости реальных слоистых компо-
зитов по сравнению со значениями, вычисленными для идеальной
армированной среды, различие в жесткости композитов при растя-
жении и сжатии, особенно существенное при напряжениях, близ-
ких по порядку к минимальному критическому напряжению ло-
кального выпучивания, аномальные отклонения коэффициента
Пуассона и т. д. [17].
Рассмотрим подробнее формулу (8.98), определяя входящую
в нее функцию F3(x) согласно приближенному соотношению (8.91):
F з (х) =
________________________xfo ________________________
(х]ап + 2х?х?а12 + х^а22) + (Xt1^z)G +
(8.101)
322
При достаточно больших по модулю отрицательных значениях
|°| функция Ё3(х) имеет действительные полюсы. Кри-
тические значения
(Х) в Я- [ + 2х!х2а>2 + j (8-1 °2)
соответствуют локальной потере устойчивости армирующих эле-
ментов по формам, волновые числа которых равны хх и х2. Первый
член в правой части формулы (8.102) учитывает жесткость компо-
зита при межслойном сдвиге; второй — моментные эффекты в ар-
мирующих слоях. Если эти слои достаточно тонкие (способ оценки
малости виден непосредственно из формулы), то моментными эф-
фектами допустимо пренебречь. Тогда получим
(8.103)
Таким образом, минимальное критическое напряжение, соответ-
ствующее локальной потере устойчивости, имеет порядок модуля
сдвига связующего материала [17].
Пусть > — о*. mln. С учетом формулы (102) представим фор-
мулу (8.101) в виде
К8(х) =—Л-,--. (8.Ю4)
3V ’ а,(х) + а к
Из рассмотрения формул (8.98), (8.101) и (8.104) вытекают сле-
дующие выводы. Композит с начальными неправильностями
армирующих слоев ведет себя при нагружении в плоскости армиро-
вания как нелинейно упругий материал (рис. 8.6). Эффективный
модуль (8.98) играет при этом роль-секущего модуля. С увеличе-
нием растягивающих усилий эффективный модуль асимптотиче-
ски приближается к постоянному значению лрЕ], равному модулю
Фойхта для данной модели композита. При сжатии эффективный
модуль уменьшается с увеличе-
нием абсолютной величины сжи-
мающих напряжений. Существен-
ное уменьшение модуля начи-
нается при сжимающих напряже-
ниях, близких к критическим
(8.103). Характер диаграммы де-
формирования существенно зави-
сит от спектрального состава на-
чальных неправильностей.
Пусть выполняется условие
min' Тогда с учетом (8.104)
запишем
(8.105)
о, (»е) v 7
323
Формула (8.98) для эффективного модуля принимает вид
E1 = С (х) dx ’ (8.106)
где ст*(х)— критическое напряжение (8.102), рассматриваемое
как функция волновых чисел.
Таким образом, если напряжения достаточно малы по модулю
в сравнении с критическими, то при заданной спектральной плот-
ности SWa (х) величина и знак напряжения мало влияют на эффек-
тивный модуль.
Допустим, что во всем диапазоне волновых чисел хх и х2, в ко-
тором значения спектральной плотности S^/x) не являются пре-
небрежимо малыми, приближенно выполняется равенство о#(х) —
= const. Тогда формулу (8.106) можно упростить
£* = ___________________
Интеграл, входящий в формулу (8.107), очевидно, равен сред-
нему квадрату производной dwn/dx1. При малых отклонениях арми-
рующих слоев от плоскости эту производную можно отождествить
с углом наклона слоев к оси Ох. Среднее квадратическое значение
этого угла обозначим ср, тогда
j XiS„, (х) dx ср2,
и вместо (8.107) получим формулу [17]
р* =
о*
(8.107)
(8.108)
По предположению ср2 1. Но коэффициент фЕ{/оф имеет
порядок отношения модулей упругости армирующего и связую-
щего материалов. Это отношение обычно велико по сравнению с еди-
ницей. Отсюда вытекает, что поправка на кривизну армирующих
слоев может оказаться существенной даже в том случае, когда
неправильности малы.
Пусть спектральный состав начальных неправильностей таков,
что критическое напряжение о*, входящее в формулу (8.108),
определяется по формуле (8.103). Тогда формула (8.108) запишется
в виде
где Ех и Охг — эффективные значения модуля упругости и модуля
сдвига для материала с плоскими армирующими элементами (в рам-
ках рассматриваемой модели).
324
Зависимость Е*/Ех от среднего
квадратического угла ср и отношения
теоретических модулей EJG„ пока-
зана на рис. 8.7. Для современных
слоистых композиционных материа-
лов можно ожидать уменьшения мо-
дулей упругости вследствие искри-
вления армирующих элементов на
20% и более. Этот вывод подтвер-
ждается экспериментальными дан-
ными [98, 99]. Анализ влияния
начальных неправильностей на мо-
дули сдвига и средние квадратиче-
ские напряжения межслойного сдви-
га дан в статье [17]. Влияние сво-
бодной поверхности на выпучивание
слоистого полупространства с на-
чальными неправильностями рассмо-
трено в статье [25]. Теория распространяется на случай, когда
связующий и армирующий материалы обладают свойством ли-
нейной вязкоупругости [19]. При этом соотношения (8.74),
(8.80), (8.81) и т. д. остаются справедливыми, если параметры
и G трактовать как функции оператора р частного диф-
ференцирования по времени t, а параметры на пряжен но-дефор-
мированного состояния — как функции координат и времени.
Пусть при t < 0 среда покоится, а при t = 0 к ней квазиста-
тически прикладываются внешние силы, вызывающие в ней
номинальные напряжения которые затем поддерживаются
постоянными. Тогда для решения линейной системы (8.78) приме-
ним к ней преобразования Фурье по координатам и Лапласа—
Карсона по времени. Обозначая результат применения этого двой-
ного преобразования к функциям ^/’(r, f) через Vs (х, р), найдем,
что функции КДх, р) определяются по формулам (8.88) и (8.89),
в которых параметры и G являются функциями параметра
преобразования Лапласа—Карсона р.
Обращая преобразование Лапласа—Карсона, получим
КДх, 0 = -^-(х, П^о(х), (8-1Ю)
где в отличие от формул (8.88)
С+* 00
F/(x> 0=i J
C-l оо
Dj (x, p) cP* dp
D(n, p) p
(8.H1)
Функции F рул, t) характеризуют вклад начальных неправиль-
ностей с фиксированными волновыми числами в ползучесть мате-
риала. Псевдодеформации по-прежнему определяются по формуле
(8.94). Таким образом,
е*а& (0 ~ (0 + J хаур7 (х; , <^’, о'^, t) So.. (х) dx. (8.112)
11 В. В. Болотии 325
Здесь ва₽ (0 — деформации ползучести идеальной среды под дей-
ствием номинальных напряжений J (х, I) — элементарная
функция ползучести, связанная с функцией F3(x, f) зависимостью
(8.97).
Из формулы (8.112) следует ряд выводов о влиянии начальных
неправильностей на ползучесть слоистых композитов при растя-
жении, сжатии и сдвиге. Один из наиболее существенных фактов,
вытекающих из этой теории, состоит в указании на возможность
сплошных спектров времен релаксации у композитов, компоненты
которых обладают дискретным спектром. Подробности можно найти
в статье [20].
Пример. На рис. 8.8 проиллюстрировано влияние напряжений на ползучесть
слоистого композита. Армирующий материал полагался упругим с характери-
стиками = 0,8-101’ Н/м2; £' = 0,7-10’1 н/м2; v't = 0,25; G12 = 0,3- Юн Н/м2.
Связующее рассматривалось как стандартный линейный вязкоупругий материал
с мгновенным модулем сдвига Go = 2,5-10® Н/м2, длительным (равновесным)
модулем сдвига G„ = 1,5-10® Н/м2 и временем релаксации т = 7 сут. Осталь-
ные параметры h = 0,006 см; ф = 0,65; волновые числа xi== х2 = 6,28 см-1;
мера искривления слоев принята <р = 0,1. Характер кривых ползучести суще-
ственно зависит от соотношения между напряжением а и критическим значе-
нием a* 0О. Сжимающие напряжения вызывают большую ползучесть, чем рав-
ные им по модулю растягивающие напряжения. При a < а* ш рост деформации
со временем замедляется. При a > a* ю наблюдается ускоренный рост дефор-
маций ползучести.
8.7. РАСЧЕТ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
Внутреннее рассеяние энергии в композитах на основе поли-
мерных связующих имеет ряд отличительных черт. Во-первых,
по своей природе это рассеяние тесно связано с процессами вяз-
326
(8.113)
кого деформирования в связующем и в контактном слоях (в от-
личие от металлов и сплавов, где вязкость играет второстепенную
роль). Во-вторых, численные параметры, характеризующие вну-
треннее рассеяние в композитах, обычно велики по сравнению
с соответствующими параметрами для металлов и сплавов. Сум-
марные потери энергии в композитных конструкциях обычно опре-
деляются в основном внутренними потерями, поэтому рассмотрим
подробнее внутреннее рассеяние в композитах.
Поведение полимерных связующих обычно удовлетворительно
описывается в рамках линейной теории вязкоупругости [85].
Свойства компонентов задаем тензором комплексных модулей
A/fc/m (и) = А$т (со) -|- i A$m (со), где действительные части Л)ЙОТ
(модули упругости) характеризуют обратимое деформирование,
мнимые части АД’/т (модули рассеяния) — диссипацию энергии
при гармонических колебаниях с частотой со. Пусть поле деформа-
ций в композите изменяется во времени по закону e/fc(r, i) =
= Re {s//s(r) е‘“£}, где е/А (г)—действительное тензорное поле.
Тогда относительное рассеяние энергии за цикл 2л/©
ЛЭ _ у________________
3
В формуле (8.113) интегрирование производится по объему,
в пределах которого (г), Л;йт (г, со) и Aj-Vzm (г> ®) являются
разрывными функциями координат.
В статье [21 ] был развит приближенный метод расчета отно-
сительного рассеяния энергии. Метод основан на том, что с точ-
ностью до множителя 2л относительное рассеяние равно отноше-
нию интегралов одинаковой структуры. Один интеграл получается
из другого, если тензор модулей упругости заменить тензором мо-
дулей рассеяния. Формальные вычисления сводятся, таким обра-
зом, к двукратному применению формулы для потенциальной
энергии деформации. Один раз в нее подставляются упругие по-
стоянные, второй раз — модули рассеяния. Для приближенной
оценки потенциальной энергии деформации естественно применить
принцип энергетической континуализации, что составляет одну
из особенностей метода. Вторая особенность состоит в том, что
истинные поля деформаций аппроксимируются сглаженными по-
лями, которые выражаются через подходящие кинематически до-
пустимые для квазиоднородной среды поля перемещений (напри-
мер, через собственные формы соответствующего упругого тела).
Поясним метод на конкретном примере. Рассмотрим стержень
прямоугольного сечения длиной I и высотой Н. Ось Ох направим
по оси стержня, а плоскость Оху — параллельно слоям. Ширину
сечения стержня примем равной единице. Для вычисления потен-
11* 327
циальной энергии деформации трактуем стержень как многослой-;
ную систему, состоящую из большого числа чередующихся жестких
и мягких слоев. Применяя принцип континуализации, получим
для потенциальной энергии деформации формулу типа (8.37)
н н
12 12
о н_ о _н_
2 2
(8.114)
Здесь и (х, z) и w (х, z) — сглаженные поля перемещений; Е' —
модуль упругости материала армирующих слоев; G' — модуль
сдвига связующего; ф — объемный коэффициент армирования.
Формула (8.114) соответствует (в рамках сделанных предположе-
ний) квазиоднородному телу с модулем упругости при растяже-
нии волокон фЕ' и модулем сдвига G7(l —ф).
Среднее значение энергии Э может быть подсчитано по формуле
(8.114). Выражение для рассеяния энергии ДЭ получим из формулы
(8.114), заменяя в ней Е' на т)а(<в) Е' и G" на (<в) G". Здесь т]а(®) —
тангенс потерь в армирующем материале при растяжении; р((о>) —
тангенс потерь в связующем материале при сдвиге. Поскольку
тангенс потерь т)а(<о) в связующем велик по сравнению с т]а(<в),
то следует добавить еще один член в формулу для ДЭ. В резуль-
тате получим
н
I 2
Д5 = [фр; (<в)Е'+ (1—ф)т)';(^Е'] j j дхдг +
О __н_
2
н
„ "Iе!
1 (со) G г г / gw ди \2 , , ,о . .
+ -2-^^rJ J Ы + ^г) dxdz- (8Л15)
° н
2
Пусть стержень оперт по концам х = 0 и х = I. Родственная
задача о собственных колебаниях слоистой плиты рассмотрена
в статье [114]. Используем найденные для этой задачи формы ко-
лебаний в качестве кинематически допустимого сглаженного поля
перемещений при приближенном вычислении интегралов в фор-
мулах (8.114) и (8.115). Исходя из формул статьи [114], получим
для форм колебаний выражения
^-(Г~ЖС05Т; да = 5!П-Г’
2/.
328
где введено обозначение
р = ip (1 - ip) .
(8.117)
Обозначим длину полуволны у соответствующей формы коле-
баний % = Ип, где п — число полуволн. Параметр 0, определяе-
мый по формуле (8.117), связан с параметром х в формуле (8.41).
Если положить 1 —v2 1, то получим р = х-1-
Используя поле перемещений в виде (8.116), вычислим инте-
гралы, входящие в формулы (8.114) и (8.115):
— 1
— sh t — 1
2
Я
Л. 2
J J \ dx 1 dz / 4л
° _ 2L
2
1 4-2ch24---|- sh?
£ ъ
eh2-j-
Здесь обозначено С = n^H/k > 0. Подставляя найденные значе-
ния в формулы для Э и ДЭ, получим следующее выражение для
относительного рассеяния энергии
l1*”1® (со) £' + (! — 1р) Па (И) (sh £ -чн
n'(<o)G"p2 / г
+ I-/ (e + 2toh'4-3sb;)[
X {♦£'(* С - О +т?^- (с + 4 vi-341 с)
С учетом обозначения (8.117)
ф£' _ G"
02 - 1_ 1|) 1
Тогда формула (8.118) принимает вид
ф(ю) <(«)4--Ц^4~п°(ю) + ^(ю)Г(£)
2л ~ 1 4-£(?)
где введено обозначение
?-[-2? ch2 X — 3 sh ?
F ®= STF4 ‘
(8.118)
(8.119)
(8.120)
В числителе формулы (8.119) первый член учитывает влияние
нормальных напряжений в армирующих слоях, второй — влия-
ние нормальных напряжений в связующем и третий — влияние
сдвигающих напряжений в связующем. Относительный вклад
329
Рис. 8.9
Упростим формулу (8.119),
выражение (8.121). Последнее
последнего фактора зависит от
значений, которые принимает 1
функция F (?). ।
Пусть Н С %. Тогда при не \
СЛИШКОМ больших Р МОЖНО ОЖИ- :
дать, что ?<^1. Разложим функ-
цию (8.120) по степеням'?;. Удер-
живая первый член этого ряда, ;
получим, что при малых
(8.121)
Приближенная формула (8.121)
дает надежные результаты
вплоть до £ = 3. j
подставляя в нее приближенное .
с учетом (8.117) принимает вид
F ~ Е' И»
~ 10
G’ Xs •
Если пренебречь величиной F (?) по сравнению с единицей, то
вместо (8.119) получим
-^«Г)а(ш) + -^11а(®)Тг + ГоТ]т («Wl-W-tfr-xr.
(8.122)
Первый член в этой формуле по-прежнему учитывает рассея-
ние энергии в армирующих слоях, последний — рассеяние в свя-
зующем материале, сопряженное с деформациями сдвига. Роль
последнего члена растет с увеличением отношения Ш'К. Этот член
обладает экстремальными свойствами по отношению к коэффи-
циенту армирования ф, принимая максимальное значение при
ф = 1/2.
Пример. Типичная зависимость отношения ф/2лч^ от коэффициента арми-
рования ф и отношения Я/Х. приведена на рис. 8.9. При построении графика
принято, что = const; Ча = 'Пт = = const’> & = 20Е"; Е' = 60G".
Если отношение Н/к достаточно велико, то функция ф (ф) в интервале 0 <
<ф < 1 имеет экстремум. Таким образом, при надлежащем выборе коэффи-
циента армирования относительное рассеяние энергии максимально. Это объяс-
няется увеличением вклада сдвиговых деформаций в связующем при промежуточ-
ных значениях коэффициента армирования.
8.8. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ИЗ СЛОИСТЫХ
КОМПОЗИТОВ
Для расчета оболочек из слоистых композитов может быть
использована либо классическая теория оболочек, обобщенная
на случай анизотропии и слабого сопротивления поперечному
сдвигу, либо теория многослойных оболочек. Первый подход под-
робно освещен в литературе [5, 46, 76]. Остановимся на втором
330
подходе, предварительно изложив континуальный аналог теории
многослойных оболочек.
Рассмотрим слоистый композит, состоящий из эквидистантных
чередующихся жестких и трансверсально мягких слоев. Выберем
отсчетную (срединную) поверхность так, чтобы она совпадала
со срединной поверхностью одного из жестких слоев. На этой
поверхности введем криволинейные координаты х1, х2. Третью
координату хя = z отсчитываем по нормали к выбранной поверх-
ности. По условию на срединных поверхностях остальных жест-
ких слоев z = const. Жесткие слои считаем упругими и анизотроп-
ными, а мягкие — изотропными. Параметры одноименных слоев
(включая направляющие косинусы главных осей упругости) счи-
таем медленно изменяющимися на расстояниях порядка масштаба
сглаживания Н.
Ограничимся соотношениями, инвариантными относительно
преобразования координат х“ (а = 1,2). По отношению к этим
преобразованиям тангенциальные перемещения va образуют век-
тор, нормальное перемещение w является скаляром. Послойные
напряжения оа₽ и деформации еар образуют тензоры второго
ранга, напряжения оа3 и деформации еаз поперечного сдвига
являются векторами, а трансверсальное нормальное напряже-
ние о33 и соответствующая деформация е33 — скалярами.
В отличие от теории оболочек, где применяется аналогичный
метод описания, здесь все компоненты, вообще говоря, зависят
еще и от нормальной координаты г. От этой координаты зависят
также компоненты метрического тензора, компоненты тензора
кривизны и символы Кристоффеля. Если требуется переход
к соотношениям, инвариантным относительно преобразований
всех трех координат, необходимо составить вектор перемещений u-t
из компонент va и w, тензор напряжений из компонент оар,
°аз и а33 и т. д. Однако анизотропия свойств слоистого композита
делает естественным именно принятый метод описания.
Чтобы провести континуализацию уравнений теории много-
слойных систем, обратимся к основным соотношениям гл. 3. Вместо
перемещений (х1, х2) и (х1, х2) точек, лежащих на сре-
динных поверхностях жестких слоев, введем сглаженные переме-
щения va (х1, х2, z) и w (х1, х2, z), приближенно совпадающие
с соответствующими перемещениями (х1, х2) и (х1, х2).
При этом все вновь вводимые функции координат считаем непре-
рывными и дифференцируемыми столько раз, сколько потребуется.
Для описания послойных деформаций введем аналог тензора де-
формаций срединной поверхности (3.39)
= 4“ + 2Ь^- 123)
В силу исходных допущений теории сглаженные послойные
деформации в жестких и мягких слоях должны быть равны, т. е.
₽аЗ = : (8.124)
331
Введем сглаженные трансверсальные деформации
еаз = 4-(Уа® +^-2ьМ; езз = -^- (8.125)
Составляя континуальные аналоги формул (3.45)‘ и (3.46)
и сравнивая их с формулами (8.125), найдем сглаженные транс-
версальные деформации в мягких слоях
(8.126)
Здесь ф — коэффициент армирования. В жестких слоях, оче-
видно,
еаз — езз = 0. (8.127)
Континуальный аналог формул (3.40) для компонент тензора
приращений кривизны на срединных поверхностях жестких слоев
имеет вид
иаР = ~2~ (?аФр + VpTa — ba^pv — bp0ai>)> (8.128)
где использованы обозначения
q>a = Va®-£vT, 0a₽=4-(V“V₽-W (8-129)
и отброшены некоторые члены порядка относительных удлинений,
малых по сравнению с вращениями.
Рассмотрим формулы (3.86) и (3.89) для потенциальной энер-
гии упругой деформации. Подставляя в эти формулы выражения
для энергетических составляющих моментов и усилий в слоях,
производя суммирование по всем слоям и континуализацию, полу-
чим выражение для потенциальной энергии деформации композита
U = 4>- j фХар?б (e“₽evS -j- r2x“₽xv'5) Vg dx1 dx2 dz+
v
+ (4G"ea3ea3 + E"e233)^gdx1dx2dZ. (8.130)
v
Здесь Xap?e — тензор упругих постоянных для материала жестких
слоев; £" и G" — модуль упругости и модуль сдвига для связую-
щего материала; г2 = /г2/12. При этом вводятся энергетические
компоненты собственно напряжений и моментных напряжений
в эквивалентной квазиоднородной среде
— ф^аРтб^ > ^аР фг 7apyjX^ ,
332
Уравнения равновесия среды и естественные граничные усло-
вия, как обычно, выведем из вариационного принципа Лагранжа.
Вычисления дают
~ (bfaaV - + +
+ + Х“ = 0; (8.132)
Vao“3 + + ЬаО33 - 6а₽о“₽ - VaVp/n“₽ + X3 = 0,
где XJ — «размазанные» компоненты вектора внешних объемных
сил; внешние моменты полагаются равными нулю. Естественные
граничные условия, на участке поверхности х1 = const записы-
ваются в виде
oal + I* (tynw - &Х1) - -1®- Г+ -4 W* -
z V g L z
v g
Kg22 Г 31 „ pi 1 d /1/—m21\l
--/П” -v’ J
(8.133)
где o'* и m>ok — компоненты заданных напряжений от внешних
сил. На поверхности х3 = const имеем условия
аЗ ~а3. 33 33 /п 1 ол\
О’ == Oq , о — Ид • (о.1о4)
Уравнения (8.132) в сущности представляют собой уравнения
моментной теории упругости для среды со специальной криволи-
нейной анизотропией, которые записаны в системе координат,
связанной с этой анизотропией. Чтобы в этом убедиться, нужно
преобразовать уравнения (8.132), выразив входящие в них по-
верхностные векторы и тензоры через соответствующие простран-
ственные объекты. Например, пространственный тензор момент-
ных напряжений mjk доопределяется путем добавления компонент
/иаз = /«зз = 0- На подробностях здесь не останавливаемся, тем
более что для решения конкретных задач системы координат,
связанные со слоистой структурой композита, явно предпочти-
тельнее.
При расчете оболочек малой и средней относительной толщины
многие эффекты, которые учтены в общих уравнениях (8.132),
оказываются второстепенными. В частности, для таких оболочек
можно пренебречь трансверсальной деформацией нормали (если
только не рассматриваются локальные эффекты типа нормальных
сосредоточенных сил, продольных трещин и расслоений и т. п.).
333
В этом случае va =. va (х1, х2, z), w -= w (х1, х2), т. е. нормаль-
ное перемещение одинаково для всех слоев. Вместо (8.132) полу-
чаем систему уравнений
Vpo“₽ + 4 V₽ (t&r - b*rri*) + +
+ 2Ьро₽3 + ^o“3 - + X“ = 0; (8.135)
j (VaVp/n“₽ + ba₽o“₽ - Vao“3) dz = j X^dz.
H H
Здесь интегрирование по нормальной координате г распростра-
нено по всей толщине оболочки Н. Уравнения (8.135), записанные
в перемещениях, имеют такую же структуру, как и уравнения
(8.36) и (8.40). Дальнейшее упрощение основной системы урав-
нений связано с отбрасыванием членов, которые учитывают мо-
ментные эффекты в армирующих слоях. В результате получается
система уравнений, аналогичная системе (8.64).
В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую
оболочку с радиусом срединной поверхности R. Пусть армирую-
щие и связующие слои изотропны, а Н R, так что влиянием
переменности метрики по толщине оболочки допустимо пренебречь.
Обозначим координату, отсчитываемую вдоль образующей обо-
лочки, хр окружную координату х2 и нормальную коорди-
нату z. Из (8.135) получаем следующую систему уравнений:
, 1 — v d*vi ! 1 -j- v д*и2 , v dw d2»i ,1 — v2 v ~
~д% ' ~2 + ~2~dxxdx2 + ~R дХ1 + Х dz* + Е Л1 -
d2t>2 1 — v d2t>2 . 1 -j- v d2i>i . 1 dw
дх% 2 ~ дХ1 дх2 ' R ~д% +
г*
R2
2(1-v)^- + ^_(2-v)7?4^-7?^ +
Эх? dxj дх2 дх2
, / c?av2 и2 , 1 dw \ , 1 — v2 v п ,о . ос,
+ X Ыа?) + —Х, = °; (8.136)
Н/2
1 Г (ж dt?! , dv2
R* + RH J p dX1 + ~d^
-H/2
H/2
1 Г Г. 1 . dv2 .
--H J R^-+
-H/2
ГоЛ Адо 4-
2 o . d*v2 d*v2
r2 (2 — v) -x 2 4------------
dx2 dx2 dx2
д / дщ dv2
дг \ dxj дх2
dz —
1 —V2
— ?•
334
Здесь введены обозначения для «размазанных» объемных сил Хг
и Х2, для суммарной интенсивности нормальной нагрузки q„
а также для среднего по толщине значения г2:
Н/2 Н/2
*2 = -^; ? = f vdz; ro=4 j r*dz-
-Н/2 -Щ2
Кроме того, использовано обозначение для безразмерного пара-
метра %, характеризующего согласно формуле (8.41) соотношение
между жесткостями армирующего и связующего слоев.
Уравнения (8.136) содержат ряд членов, которыми в приклад-
ных расчетах можно пренебречь. Таковы члены,, содержащие
в качестве множителей r2/R2. Кроме того, некоторые члены вно-
сят поправку порядка г2/Х2 по сравнению с единицей, где X — мас-
штаб изменения напряженно-деформированного состояния в пло-
скости слоев. Опуская все эти члены, получим уравнения, которые
по точности примерно соответствуют так называемым уравнениям
теории пологих оболочек:
1 — v dfy 1 4- v d*v2 v dw d2^ 1 — № у __„
~d$ + 2 + ~Г~ + х + е Л1 -
<Э2г?2 , 1 — v d2u2 , 1 + v ffivx , 1 dw d2v2 1 — № у _ n
d^+~2 ^'~2~dx1dx2±~R~d^ + 7-~d^' E 2~U
ГоА Ада -]
H/2 .
w । 1 г / dvi
R2 + RH J V dxx
-H/2
(8.137>
нр
~ir J
-H/2
При R —► оо уравнения (8.137) переходят в уравнения (8.39)
и (8.40) для плиты из слоистого композита. При этом = D<JHhf
где Ds — суммарная цилиндрическая жесткость (8.42). Заметим,
что при х = const второй интеграл в последнем уравнении непо-
средственно вычисляется
Н/2
т 1 * НЖ+'йЬs
-Н/2
Н/2 '
. , 1 / Эг?! , dv2 \ |
= х Д^++ | •
L -Н/2 J
Уравнения слоистых композитов типа (8.136) и (8.137) были’
получены впервые в связи с задачей о колебаниях криволинейных;
стержней, составленных из большого числа слоев [13]. В этой,
же статье рассмотрен пример применения уравнений для вычи-
33S-
сления собственных частот круговых колец из слоистых компози-
тов. Полагая в уравнениях (8.136) Vj = 0, v2 = v и вводя вместо
X, и q соответствующие даламберовы силы инерции, получим
систему уравнений
д / dv . \ . г2 д2 [ ди) \
00 \ 00' + w) + "fl2" 002' V — ‘00’) +
, / П2 02и , ди> \ mR2 d2v п ,о . ОО\
+ *(? -ж = 0; <8Л38>
2 «/2
ro diw , , , 1 [ д / г2 d2v \
R2 004 ’W + Н J 00 V ~ R2 002 /02
-Н/2
Н/2
R2 f д / dw D dv \ , . mR2 д2и) „
Н J Х 00 ( 00 + дг ~ 1 tyEF dt2 ~~ °"
-Н/2
Здесь т — масса кольца на единицу длины его оси; F — площадь
поперечного сечения; 0 — полярный угол (х2 = R0). Естественные
граничные условия при г = ± Н/2
< + ^ = °- (8Л39>
Решение уравнений (8.138) ищем в виде
v= V (0, z)eij,t; w = №(0)е‘%
тде^<о — собственная частота; V (0, z) и W (0) — собственные
-формы колебаний.
В результате уравнения (8.138) приводятся к виду (при г2
const = г?; % = const; £ = г/с; п = Н/с)
a2±(^L + w\ + JL(V-^-\ +
00 \ 00 002 V 00 1
, а4Х^2 / д2У_____1 01F \ , со2 1Z А. .
+ 12 0£2 р2 V + р2 00 ) + ш2 V °’ (8-140)
(n/2 \ / п /2 \
1 f I IV71 a3 I 1 I* v dw I ,
— -5S- at 4- и7 — -пгт — V dt.-------+
П J 00 Ъ ' / 003 I П J ® 00 1
-п/2 / \ -п/2 /
(п/2 п/2 \
J Vdi-PT- | (8.141)
-п/2 -п/2/ *
Здесь использованы обозначения
•336
Кроме того, как и ранее, ip = h!c, с — h + s. Решение этих урав-
нений, удовлетворяющее условиям периодичности, ищем в виде
V = f (Q sin &0; W = cos kd,
(8.143)
где k = 2, 3, f (?) — искомая функция безразмерной коор-
динаты L Кроме того, среди форм колебаний содержится также-
центрально-симметричная форма, которой в выражениях (8.143)'
соответствует k = 0. Подстановка формул (8.143) в уравнение-
(8.140) приводит к уравнению
-^--И7 = Л, . (8.144>
где при k 2s 2
= _Г^2(1 _|_а2) _ 1 _ ^.1 + ; А = 1-^-(^-+.к2) + X -
а4^2 к'/ <4 Р а4хф2 Р2
(8.145)
Решение уравнения (8.144)
ПО = C1Sh pS + Qch рС--^.
должно удовлетворять граничным условиям при С = — п!2
df__________________________—
dt Р ~ Л
которые вытекают из условий (8.139). Вычисления дают Сх =-
= г—; с* = °- Отсюда
/©=4 “4^-4- (8Л46>
ИР ch -А- [хп и
Подставим выражения (8.143) и (8.146) в уравнение (8.141)..
Учитывая, что
п/2 и/2
j fM = —р-; /(£) | =-^‘14^-
~п/2 -п/2
получим уравнение для определения собственных частот ю
th -у цп
I
^ = 0-
(8.147)»
337
С учетом обозначений (8.142) получаем окончательно частотное
уравнение
(th 4- нп \
1----j---I —
Т^п /
-----1--(--2-+-!)А2_ . [а2 (! + х) А2] _ ±1 = 0) (8л 48)
12^2 ^Ч1+а2)-^г]+а4Х “•
® котором р — заданная функция ы.
Свойства этого уравнения, включая поведение его корней при
предельных переходах % —» 0 и % —> оо, рассмотрены в статье [13].
В этой же статье показано, что при р2, а2 1 и х 1 собственные
частоты, соответствующие преимущественно изгибным формам
колебаний, могут быть найдены по приближенной формуле
f-A I
® = (^_ 1)2- 1 +Ха2 fc2 1 -
со у
th 4-рг \
-г— Н
(8.149)
тде р,2 12 &2/(а2хф2).
Пример. Для численного примера возьмем значения R = 80 см; h = 0,3 см;
.5=0,1 см; Е= 1,1-10ц Н/м2. Эти данные соответствуют обмоткам мощных
трансформаторов, которые состоят из большого числа витков медной ленты с про-
слойками из материала с высокими диэлектрическими свойствами, но весьма
низкими механическими характеристиками. По опытным данным, для этих об-
моток параметр х принимает значения от 10"3 до 10"4. На рис. 8.10 приведена
.зависимость собственных частот при различных значениях числа узловых диа-
метров k в зависимости от параметра X- Величина <о0, определяемая по формуле
2 2 /г2(/?2 —I)2
tog = <0, --1
*24-1
-представляет собой собственную частоту кольца, состоящего из нескрепленных
витков. Графики на рис. 8.10 построены для кольца, состоящего из 12 слоев.
Небольшое обобщение изложенной теории позволяет вычислить
-собственные частоты круговых цилиндрических оболочек при
условиях на торцовых плоскостях %! = 0 и хг = I, взятых в виде
d2te> , д2и> п до, , / до, . w \ п ,о .
да =—5- + *—9- = 0; V, = 4- v -г-2- + -и- ) = 0- (8.150)
дх\ 1 д% 2 dx1'\dx2'R) v >
При этом решение уравнений (8.136) или (8.137) ищется в виде
И1 = V! (Q cos cos kB е'ш/; v2 = V2 (?) sln sln kQ- e'w/;
w = sincos£0-elto/ (a = l, 2, ...; k = 0, 1, 2, ...),
-причем относительно функций Vj (£) и V2 (С) получается система
обыкновенных дифференциальных уравнений.
.338
Одной из особенностей из- */%
ложенного подхода к расчету
оболочек является то, что
этот расчет в значительной
степени свободен от априор- ю
ных предположений о распре-
делении сглаженных напря-
жений и .деформаций по тол-
щине оболочки. Например,
уравнения (8.132) и (8.135) 5
в сущности представляют со-
бой уравнения для некоторой
сплошной среды, записанные
в системе координат, согла- °
сованной с геометрией обо-
лочки, и учитывающие ха-
рактер взаимодействия ее
слоев. В уравнениях (8.135) использована гипотеза о сохра-
нении толщины оболочки при деформациях, т. е. принята рав-
ной нулю трансверсальная деформация к33. Однако относи-
тельно координатных зависимостей остальных компонент тен-
зора деформаций не делается никаких специальных предполо-
жений. Так, закон изменения по толщине поперечных сдвигов
определяется каждый раз из решения краевой задачи и зависит
от свойств конкретной оболочки, условий ее закрепления и на-
гружения.
Однако расчет по этим, в сущности, трехмерным моделям
достаточно сложен. Для практических расчегов вновь оказывается
плодотворной основная идея классической теории оболочек —
сведение трехмерных задач к некоторым двухмерным задачам для
функций, заданных на срединной поверхности. Не останавливаясь
на традиционных подходах, покажем, как эта идея реализуется
применительно к континуализированным моделям слоистых
сред [22].
Рассмотрим для примера модель слоистой среды, поведение
которой описывается уравнениями (8.132). Напряжения и дефор-
мации в этой среде заданы выражениями (8.123)—(8.131), а функ-
ционал потенциальной энергии упругой деформации — форму-
лой (8.130). Выберем некоторую срединную поверхность для
оболочки в целом и, используя совокупность кинематических и
статических гипотез, сведем трехмерную задачу к двухмерной
задаче для некоторых функций на срединной поверхности.
Криволинейные координаты на срединной поверхности обо-
значим (а = 1, 2), первый и второй метрические тензоры сре-
динной поверхности аар и Ьа$. Примем, что деформация обо-
лочки может быть с достаточной точностью охарактеризована при
помощи шести функций: перемещений точек срединной поверх-
ности va и w, вращений нормалей Jja и функции продольной де-
339
формации нормалей t, (а = 1, 2). Применение вариационного
принципа Лагранжа приводит к системе уравнений равновесия
относительно тензора Уар усилий в срединной поверхности, тен-
зора 2Иар моментов общего изгиба, тензора Ма$ моментов изгиба
армирующих слоев и тензора Вар бимоментов, связанных с про-
дольной деформацией нормалей. Эти уравнения имеют вид [221
Vp№₽ - blV7M,fiv - b$Qp + qa = 0;
VaVpM'“₽ 4- bap№p - VaQ“ - q3 = 0; >
VpM“₽ - bpVvB?p H- fcpTp - Q“ + ma = 0;
VaVpB“₽ + + S - tn3 = 0.
Здесь помимо введенных выше обозначений использованы также
обозначения для векторов обобщенных внутренних сил Qa и Та
и скалярной обобщенной силы S, а также для внешних сил и мо-
ментов <?“, т“, <?3 и tn3. Тензоры обобщенных внутренних сил №#,
Ма&, M'a$ и В“₽ линейно связаны с соответствующими тензорами
деформаций
М = т (Vafp + Vpva) + bapt<y;
"хар = + ^р?а) + Ьар£;
. (8.152)
Хар = -2 [Va (Vpay — ЬрУ?) 4- Vp
<Оар = 4- t V“ (- *&?)]•
Например, если армирующие слои изотропные с модулем упру-
гости Е', коэффициентом Пуассона v' и толщиной ht то соотноше-
ния упругости для перечисленных тензоров имеют вид
= 4nap1%; Ma^Dna^K^, A4'ap = D'napvex;6;
(8.153)
В = К.П Иару§ = V G^pG^g 4~ (1 V ) Ga^,Gpg.
Упругие постоянные в соотношениях (8.153) определяются по
формулам
л - *Е'Н п .
1-v'2 ’ 12(1-v'2) ’
(8.154)
п, ^E'Hh'^ . к _ ^E'H^h'2 v ’
— 12 (1-v'2)’ ~ 144(1 — v'2)’
где ф — коэффициент армирования.
340
Обобщенные внутренние силы Qa, Та и S характеризуют
вклад связующих слоев в общую деформацию оболочки. Если
материал этих слоев изотропный с модулем упругости Е", модулем
сдвига G" и коэффициентом Пуассона v", то
Q“ = ^Ca“₽(?p-VpW-(-^v);
Та = 2 (1 - v) D"a^ (V(£ - Z$v); S = 2 (%. (8’1&5)
Здесь введены обозначения
E"H3
С _ • £)" ___________________
ь 1—4>’ 12(1 —-ф) (1 — v"2)’
(8.156)
причем числовой коэффициент k характеризует закон распределе-
ния поперечных сдвигов по толщине оболочки.
Система (8.151) относительно шести функций va, w, и £
имеет разрешающее уравнение шестнадцатого порядка. Ей соот-
ветствуют восемь естественных граничных условий в каждой точке
контура срединной поверхности. Отказ от учета локальных момент-
ных эффектов в армирующих слоях понижает порядок разрешаю-
щего уравнения на два. Если, кроме того, отказаться от учета
продольных деформаций нормалей, то порядок снижается на
шесть. Полученная после таких упрощений система соответствует
по характеру введенных допущений уравнениям теории квазиод-
нородных оболочек, обобщенных на случай, когда необходим учет
поперечных сдвигов [5]. Именно эти сдвиги являются наиболее
существенным фактором, отличающим слоистые оболочки от обо-
лочек классической теории.
Пример. Проиллюстрируем высказанное утверждение на примере квадрат-
ной плиты со сторонами а и толщиной Н, нагруженной нормальной нагрузкой,
распределенной по синусоидальному закону. Пусть на грани х± = 0 выполняются
условия
d2w , , d2w . „ <?gi , , д£2 ... д2£ , , д2£ л
w = —к-4-v'•—о- = 0; 4- у' -з^-= 0; £ = —r+v—5-=0
дх\ дх% ^1 &xz дх? дх?
и аналогичные условия на остальных гранях. Решение уравнений (8.151)—
•(8.156) ддя этого случая получается сравнительно просто. Не приводя оконча-
тельных формул, дадим лишь графическую зависимость (рис. 8.11) безразмерного
прогиба в центре w/w0 (ш0 — прогиб, вычисленный для слоистой плиты в пред-
положении, что гипотеза Кирхгофа—Лява выполняется, а моментные эффекты
в армирующих слоях пренебрежимо малы) от отношения Н/а. График построен
.для следующих данных: E"lEf — 0,05; v' = v" = 0,25; ф = 0,7; п = 5 (п — число
армирующих слоев). Кривые 1, 2 соответствуют решению с учетом всех пере-
численных факторов (одна кривая относится к верхней, другая — к нижней
грани пластины), кривая 3 — решению без учета деформации нормалей, кри-
вая 4 — учету поперечного сдвига. Вклад моментных эффектов в величину
прогиба имеет такой же порядок, что и вклад укорочения нормалей. При до-
статочно большом числе армирующих слоев вклад моментных эффектов ста-
новится ощутимым лишь в том случае, если модуль упругости армирующего ма-
териала существенно превышает модуль упругости связующего материала.
График, показывающий убывание вклада моментных эффектов с увеличением
числа слоев, показан на рис: 8.12. Штриховая линия соответствует решению,
полученному без учета моментных эффектов в армирующих слоях.
341
Рис. 8.11
Рис. 8.12
В заключение рассмотрим важный для приложений случай:
круговую цилиндрическую оболочку в условиях осесимметричной
деформации, для которой уравнения (8.151)—(8.156) принимают
вид
Л ( I V' dw -Ln—O-
А \dxl + RdXl
rv „ / de, d2w \ , А / w , , tfoi \ „
D^~K(<-7f) + TrU + '’ zt)-’" = 0;
о(^+4^'Нс(л-^)+т1-0; <81S7>
x>”2<1-’')D'-5+D(^+4»+
~T 2 | _2v" = 0
Многие прикладные расчеты могут быть выполнены с исполь-
зованием концепции краевого эффекта. При этом искомое решение
представляется в виде суммы медленно изменяющегося поля де-
формаций и краевых эффектов, быстро затухающих при удалении
от линий закрепления, точек приложения нагрузок и т. п. Кроме
краевого эффекта Лява, известного из классической теории обо-
лочек, и краевого эффекта Рейсснера, обусловленного эффектом
поперечного сдвига, в оболочках из слоистых композитов следует
ожидать других краевых эффектов. Таков, например, эффект
релаксации моментов в армирующих слоях, аналогичный крае-
вому эффекту в моментной теории Фойхта—Коссера (см. п. 8.4).
Могут возникнуть также краевые эффекты, связанные с релакса-
цией продольных деформаций нормалей в силу явления Сен-Венана.
При осесимметричной деформации круговой цилиндрической
оболочки разрешающее уравнение для системы (8.157) имеет
двенадцатый порядок. Отбросим два нулевых характеристических
корня и пять корней с положительными действительными частями.
342
Из оставшихся пяти корней два корня при не очень малых Е"/Е'
можно связать с краевым эффектом Лява. Еще один корень связан
с краевым эффектом Фойхта—Коссера, два оставшихся носят сме-
шанный характер. Более детальный анализ этих краевых эффек-
тов содержится в статье [22].
8.9. НЕКОТОРЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Методы теории многослойных конструкций позволяют поста-
вить и решить ряд задач о распределении усилий между слоями
композита при локальном приложении нагрузки, вблизи трещин
и расслоений и т. п. Так, рассмотренные в пп. 2.2 и 2.3 задачи
о действии сосредоточенных сил и моментов на слоистое полупро-
странство допускают истолкование в терминах механики компо-
зитов, позволяют дать ответ на вопросы о перераспределении
усилий между слоями в зависимости от соотношения между жест-
костями армирующих и связующих слоев с учетом моментных эф-
фектов в армирующих слоях. Контактная задача из п. 2.3 также
может быть истолкована в терминах механики композитов, а ее
небольшая модификация приводит к задаче о распределении
напряжений вблизи трещин и расслоений в слоистом композите
(подробнее см. работы [72, 73]). Остановимся здесь на некоторых
результатах применения такого подхода.
Рассмотрим плоскую деформацию композита с трещиной, пере-
секающей 2п + 1 жестких слоев (рис. 8.13). Уравнения равнове-
сия возьмем в виде (2.55). Пусть композит растягивается на беско-
нечности постоянными напряжениями направленными под
углом <р к плоскости армирования. Как обычно, представим реше-
ние в виде суммы решения для композита без трещин и решения,
построенного в предположении, что на берегах трещины прило-
жены напряжения противоположного знака. Например, при растя-
жении напряжением а” в направлении оси Ох решение ищется
при следующих условиях (х = 0):
w*=0; 4г=0
(8Л58)
-и. I г ( dWk+1 2 dWk I М - П
u dx3 ОСо[иМ + dx + dx ) J~U
(— oo <_£•< oo).
Кроме того, решение должно удовлетворять условиям ограничен-
ности напряжений при k —> оо и х —► оо.
Решение строится методом, изложенным в п. 2.3. Вначале
строятся дискретные аналоги тензора Грина, а затем решаются
дискретные аналоги интегральных уравнений контактных за-
дач [73].
343
Рис. 8.13
Пример. Приведем некоторые данные о влиянии размеров трещины на напря-
жения у ее конца в случае, когда композит нагружен напряжениями о <х>, направ-
ление которых составляет угол <р с направлением армирования. Вычисления про-
водились при следующих численных значениях параметров: Ac2lD = 48; Al Вс2 =
= 27; С/В = 6; v" = 0,4; ф' = 0,8. По оси ординат отложены значения нормаль-
ных напряжений (рис. 8.14) в первом неразорванном армирующем слое
(сплошные линии), а также эквивалентное (по критерию наибольших относи-
тельных удлинений) напряжение в примыкающем к нему (разорванном)
связующем слое (штриховые линии). Цифры на кривых — полное число разорван-
ных слоев. Полученные численные результаты позволяют обсудить возможные
механизмы разрушения композита, включая явление блокировки трещины
из-за ее продвижения вдоль связующего слоя.
Ряд задач механики композитов связан с исследованием пере-
распределений усилий между слоями, имеющими различную ориен-
тацию. Некоторые задачи этого типа изучались в статье [74].
Рассмотрим полосу постоянного сечения из четного числа арми-
рующих слоев, чередующихся со слоями связующего. Главные
направления упругости армирующих слоев с номерами k = 1,
3, ..., а также k = —2, —4, ... образуют угол <р с осью Ох,
главные направления упругости слоев с номерами k = 2, 4, ....
а также k = —1, —3, ... образуют угол —<р (рис. 8.15). В осталь-
ном армирующие слои одинаковы. Соотношения упругости для
Рис. 8.15
344
слоев, связывающие напряжения плоской задачи о<*>, о<‘> и
с соответствующими деформациями, имеют вид
„(*) __ tk) , tk} (k) , 9 (fe) tk).
^XX —‘^ХХ,ХХЪХХ "Г'-'ХХ, yytyy ~г ^cxx, хуьху >
п<*>_. _1_ /.<*) p(ft) I p(ft). /О 1 CQ\
° да — cyy, xxbxx t'ljy, ууЪуу x-cyy, xy^xy > (О.1ОУ)
„(*)_„(*> P(ft) i rW tk) , 9 (fe) (fe)
uxy —• Lxy, хх^хх “Г cxy, ууъуу “Г *-сху, хуъху •
При этом упругие постоянные для перекрестно-армированных
слоев связаны между собой формулами
с<хх, xy = sign (k) ( 1) cXXtXU\ (8 160)
сда, xy = sign (&) ( 1) Cyyt Ху,
а остальные попарно равны между собой, что позволяет в даль-
нейшем опустить индекс k у всех упругих постоянных. Связующие
слои будем считать одинаковыми, изотропными и упругими.
Рассмотрим задачу о растяжении такой полосы с равномерной
по ее объему деформацией чх> = ех. Из-за неоднородности упру-
гих свойств полосы напряженное состояние в ней неоднородно.
В частности, между перекрестно-армированными слоями возни-
кают напряжения сдвига, а у боковых границ возникают краевые
эффекты. Отказываясь пока от точного удовлетворения граничным
условиям на боковых сторонах у = ±Ь, построим основное реше-
ние, описывающее деформацию полосы в целом, а затем скоррек-
тируем его при помощи решений типа краевого эффекта. Основное
решение ищем при условии, что в армирующих слоях все eW =
а в связующих (мягких) слоях e^l = е^1 = = 0. При этом
все wk = w (х, у). Примем, что все поперечные сечения повора-
чиваются как жесткие диски с углом закручивания на единицу
длины 0. Соответствующее поле перемещений имеет вид
Uk = ехх — sign (£) z/co0 (21 k | — 1);
Vk = eyy — sign (£) xco0 (21 £ | — 1); (8.161)
wk = Qxy (k=±l, 2, ...).
Здесь по-прежнему с0 = с/2 = (Л + s)/2; h и s —толщины арми-
рующего и связующего слоев.
Вычисляя по перемещениям (8.161) деформации и используя
соотношения упругости (8.159), найдем выражения для напряже-
ний, содержащие неизвестные параметры еу и 0. Для их определе-
ния имеем условия
Н/2 Н/2
j ciyy(z)dz= j oXy(z)dz = 0,
-Н/2 -Н/2
12 В. В. Болотин
345
выражающие равенство нулю осредненных по толщине полосы Н
(в том числе нормальных и касательных) усилий в сечениях у =
= const. Из этих условий получим
схх, xxfixy, ху [4л2 1 4* (Л/с)2] — Зсху, ххсху, уу .
СУУ, УУСху, ху [^п * + (^/с) ] ^сху, ху
Q__ , Зех схх, ууСху, уу суу, уусху, XX (81621
С СУУ, УУСХУ, ху 1 + Wc) ] —' Ку. УУ
В построенном решении напряжения межслойного сдвига
и отрыва постоянны в каждом слое, а граничные условия при у =
= ±Ь удовлетворяются лишь в среднем по толщине полосы.
В действительности вблизи границ у = ±Ь возникают краевые
эффекты. Распространим уравнения (1.71) на две группы чередую-
щихся жестких слоев с различными упругими характеристиками.
Учитывая соотношения (8.160), запишем эти уравнения при
uk = uk (у); vk = vk (у); wk = wk (у) в виде
Сху, ху^- + (-1Л1 сУу, ху^г+^ (им - 2uk + uk_J = 0;
( I?-1 Г I r d2Vk ,
t ч ''УУ.ХУ dy2 -rcyy,yy dy2 ~Г
+£<8163’
Dm TJT - V f®»" ~ 2l"» + ~
G"c0 Г <tok+i dt>k-i . „ /d^k-n , о d?Wk । In
S L dy dy ° у fiyi + dy2 + dy2 / J
(Jfe=2, 3, n- 1).
346
При k = 1 в этих ура-
внениях нужно заменить и0
на —ых, v0 на vlt w0 на —
и т. д.
Уравнения (8.163) допу-
скают решения, которые об-
ладают свойствами краевого
эффекта. Например, для по-
лосы, состоящей из двух
перекрестных армирующих
слоев, квадрат характерной
длины сдвигового краевого
эффекта определяется как
12 {.суу, уусху, ХУ суу. ху)
и УУ
(8.164)
Характерная длина краевого эффекта, за который отвечает
трансверсальная деформация нормали, определяется соотношением
(8.165)
Чтобы найти решение поставленной задачи, нужно к основному
решению добавить решения типа краевых эффектов и распоря-
диться постоянными таким образом, чтобы усилия и моменты
во всех слоях при у = -Ь обращались в нуль.
Пример. Приведем численные результаты для случая, когда армирующие
слои имеют волокнистую структуру. Для расчета приняты зиачеиия: Е' =
= 7’104 Н/м2; v' = 0,21; G" = 0,13-104 Н/м2; v"=0,35; коэффициент армиро-
вания ф' = 0,7. На рис. 8.16 приведена зависимость приведенной угловой де-
формации 0с/ех от числа армирующих слоев при двух значениях отношения hlc.
На рис. 8.17 показано изменение по ширине полосы приведенных напряжений
о= (с/ех) 10й при п = 1; h/c = 0,9; <р = л/6. Здесь кривая 1 отвечает нормаль-
ному напряжению о^?. При этом ординаты отсчитываются по правой шкале.
Ординаты остальных кривых отсчитываются по основной шкале. При этом
кривые 2, 3 и 4 соответствуют напряжениям и о1°1. Зависимость на-
пряжений от угла <р показана на рис. 8.18. При этом кривые 1 и Г (отсчеты
по правой шкале) показывают изменение нормального напряжения при у =
= 0 и у = Ь соответственно. Кривая 2 показывает изменение касательного
напряжения o'*) при у — 0. Кривые 3 и 4 показывают, как зависят от угла <р
напряжения в связующем слое и Эти кривые относятся к точкам у =
= Ь.
12*
ГЛАВА 9
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
9.1. ВЛИЯНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
НА НАДЕЖНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ
Для новых композитных материалов еще нет столь отрабо-
танной и стабильной технологии, как для классических конструк-
ционных материалов. Большое разнообразие композитов и техноло-
гических приемов, высокая чувствительность механических
свойств к изменению технологических параметров приводят к тому,
что при проектировании конструкций из новых композитов мы
вынуждены в большей степени, чем при использовании класси-
ческих материалов, учитывать технологические факторы.
На рис. 9.1 приведена схема взаимодействия технологических
факторов и их влияния на прочность, долговечность и другие
качественные характеристики изделия. Эти характеристики в зна-
чительной степени зависят от полей технологических напряжений
и деформаций, образующихся в изделии в процессе изготовления.
Технологические напряжения возникают в результате сложного
взаимодействия ряда механических, физических и химических
процессов, таких, как отверждение связующего, термическое
расширение или усадка, химическая усадка связующего, его
фильтрация через наполнитель, вязкоупругое поведение компо-
нентов и т. п. Чисто механические воздействия на полуфабрикат
изделия (силовая намотка, прессование на оправке, прямое фор-
мование, поэтапное изготовление составной конструкции и т. п.)
играют при этом существенную роль. Они оказывают также влия-
ние на изменение коэффициента армирования и на структуру арми-
рования, на степень пористости связующего, адгезию к наполни-
телю и т. д. Технологические напряжения проявляют свое влия-
ние не только как остаточные напряжения в готовом изделии,
но и в самом процессе изготовления, пока прочностные характе-
ристики композита в целом и связующего еще невысоки. На этой
стадии технологические напряжения ответственны за появление
трещин и нарушение герметичности, что в дальнейшем снижает
эксплуатационные характеристики изделия и его сопротивление
эксплуатационным нагрузкам [26].
Поясним роль технологических факторов более детально на
примере многослойных конструкций, образуемых намоткой. Этот
метод, по-видимому, и в будущем останется основным методом
формования таких конструкций, как трубы, резервуары, камеры
348
оо
s
Режим
отверждения
Термо-
обработ-
ка
Управление
температурным
полем
Поэтапное
отйерждение
Отверждение
связующего
Образование
летучих
продуктов
Химическая
усадка
Термическое
расширение
(усадка)
Эндо- и
экзотермические
эффекты
Теплопередача
Влияние
температуры
на свойства
компонентов
Фильтрация
связующего
Фильтрация
летучих
продуктов
Вязкоупругое
поведение
Взаимодействие
между частями
изделия
Взаимодействие
с оправками
и пресс-формами
Образование
остаточных
напряжений
Образование
остаточных
деформаций
Релаксация
начальных
напряжений
Перераспреде-
ление
связующего
Изменение
пористости
Изменение
структуры
армирования
Прочность
и долговечность
изделия
Герметичность
изделия
Точность
изделия
t
Силовая намотка Прессование Обкатка Прямое
на оправке на оправке формование
t
Силовая обработка
Рис. 9.1
сгорания и т. п. Различают сухую намотку с применением пред-
варительно пропитанной и просушенной нити, ленты или ткани
и мокрую намотку, при которой связующее непосредственно вво-
дится в процессе намотки. Намотку производят как на холодную,
так и на горячую оправку с подогревом изделия до темйературы,
близкой к температуре термообработки. Конструкция оправки,
ее жесткость и характеристики ее теплового расширения также
представляют собой технологические факторы. Намотку можно
производить как с малыми натяжениями, не влияющими на даль-
нейшее распределение напряжений в конструкции, так и с боль-
шими натяжениями. Другую группу технологических факторов
образуют параметры термообработки. Режим термообработки
задают технологи-химики для получения связующего с заданными
механическими свойствами. Однако в рамках заданного режима
возможны отклонения, влияющие на конечные качества конструк-
ции. Например, режим охлаждения после окончания термообра-
ботки практически не отражается на конечных свойствах связую-
щего. Варьируя этот режим, мы изменяем распределение остаточ-
ных (технологических) напряжений в готовой конструкции.
Технологические меры могут изменить относительное содер-
жание наполнителя в различных частях конструкции и в конструк-
ции в целом. Например, при силовой намотке жидкое связующее
мигрирует от внутренних слоев к наружным и от середины изде-
лия к его торцам, поэтому внутренние слои оказываются обеднен-
ными связующим, наружные — обогащенными по сравнению
с расчетными данными. Повышение коэффициента армирования
приводит к увеличению прочности и жесткости в направлении
армирования, уменьшая сопротивление межслойному сдвигу, меж-
слойному отрыву и расслаиванию. Вместе с тем силовая намотка
способствует уменьшению числа дефектов структуры — непро-
клеев, раковин, сгустков связующего и т. п. Силовая намотка
вызывает выпрямление армирующих нитей, прядей и слоев, что
в свою очередь ведет к увеличению прочности и жесткости в на-
правлении армирования.
Технологический режим определяет величину и распределение
остаточных напряжений в конструкции. Различают два типа
остаточных напряжений. Во-первых, это напряжения, характер-
ный масштаб изменения которых h имеет порядок диаметра во-
локна, толщины армирующего слоя и т. п. Эти напряжения,
условно называемые в дальнейшем микроскопическими, возни-
кают главным образом из-за усадки связующего и различия в коэф-
фициентах теплового расширения компонентов. Во-вторых, это
макроскопические напряжения, масштаб которых имеет поря-
док Н и более (до характерного размера конструкции). Эти напря-
жения возникают, например, если температурное поле при термо-
обработке и, следовательно, скорость отверждения связующего
неоднородны. Если же композит обладает существенной анизо-
тропией, а конструкция многосвязна, то макроскопические оста-
350
точные напряжения возникают даже при однородном температур-
ном поле.
Остаточные напряжения обоих типов влияют на прочность
конструкций по отношению к эксплуатационным, транспортным
и климатическим нагрузкам. Однако эти напряжения по-разному
следует учитывать при оценке надежности конструкции. Микро-
скопические остаточные напряжения почти полностью сохра-
няются, если из конструкции вырезают плоский или квазипло-
ский образец. Поэтому механические испытания дают характе-
ристики прочности композита, включающие эффект микроскопи-
ческих остаточных напряжений. Макроскопические напряжения
присущи конструкции в целом; при вырезании из Конструкции
малых образцов эти напряжения полностью или частично сни-
маются. Например, чтобы в образце, вырезаемом из цилиндра,
сохранить окружные остаточные напряжения, нужно его сделать в
форме замкнутого кругового кольца.
Макроскопические остаточные напряжения в слоистых ци-
линдрах из стеклопластиков обычно достигают 10—15% предела
прочности при растяжении в направлении армирования. Таким
образом, снижение несущей способности цилиндров при внутрен-
нем давлении относительно невелико и часто лежит даже в преде-
лах естественного статистического разброса результатов испыта-
ний. Более опасны радиальные остаточные напряжения, которые
обычно оказываются растягивающими. Эти напряжения в доста-
точно толстостенных изделиях имеют порядок предела прочности
стеклопластика при растяжении поперек армирования. Мало
влияя на несущую способность при внутреннем давлении, они
сильно снижают прочность изделия по отношению к локальным
нагрузкам, вызывающим межслойные касательные напряжения
в срединных слоях. Эти напряжения также могут вызвать сниже-
ние критической нагрузки при гидростатическом сжатии. В связи
с этим управление радиальными остаточными напряжениями пред-
ставляет большой практический интерес.
9.2. МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КОМПОЗИТОВ
В ПРОЦЕССЕ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
Постановка и методы решения технологических задач меха-
ники для слоистых композитов осложнены необходимостью учета
физико-химических явлений в процессе изготовления изделия.
При этом необходимо также учитывать, что свойства компонен-
тов, как правило, существенно изменяются во время технологи-
ческого процесса. Так, полимерные смолы переходят из текучего
состояния в высокоэластическое, затем в стеклообразное состоя-
ние. При этом на десятки порядков изменяются вязкоупругие
характеристики и механическая прочность; вместе с тем сущест-
венно изменяется характер взаимодействия компонентов. Все
это заставляет отказаться от попыток единого подхода к описанию
механического поведения полуфабриката.
351
(9.1)
На первой стадии изготовления, пока связующее находится
в текучем состоянии, целесообразно использовать обобщенную
модель теории консолидации, учитывающую вязкоупругое по-
ведение компонентов, химическую и термическую усадку, экзо-
(эндо)термию, кинетику отверждения компонентов. Определяю-
щая система уравнений состоит из уравнения равновесия относи-
тельно тензора полных (структурно-осредненных) напряжений о,
соотношения вязкоупругости для эффективных (в смысле теории
консолидации) напряжения а + pl, закона вязкоупругой фильтра-
ции, связывающего скорость фильтрации v с поровым давлением р,
и уравнения неразрывности:
Va4-X = 0; о 4-pl =Я'(8-0);
v = —К\р', e =—divv-j-ft.
Здесь X — вектор осредненных объемных сил; I — единичный
тензор; 8 — тензор полных (структурно-осредненных) деформаций;
е — его первый инвариант; 6 — соответствующий тензор струк-
турных деформаций, учитывающий свободное термическое расши-
рение и химическую усадку; 0 — его первый инвариант; Н' —
тензор эффективных вызкоупругих операторов для каркаса,
т. е. для наполнителя и закрепленной части связующего; К. —
эффективный тензор вязкоупругой фильтрации (операторный ана-
лог коэффициента фильтрации в законе Дарси).
Уравнения (9.1) дополняют уравнением теплопереноса отно-
сительно температуры Т и уравнением химической кинетики для
меры отверждения связующего со:
f = V(AV7,) + c/; й = /(со, Т). (9.2)
Здесь Л — эффективный тензор теплопроводности; q — величина,
пропорциональная плотности температурных источников, учитываю-
щих экзо-(эндо)термию. Операторы Н' и К, а также другие коэф-
фициенты, входящие в уравнения (9.1) и (9.2), вообще говоря, зави-
сят от температуры Т, меры отверждения со и компонентов тен-
зора 8. Вследствие этого уравнения (9.1) и (9.2) будут нелинейными
даже в том случае, если операторы Н' и Д’ линейны.
После перехода связующего в высокоэластическое состояние
его миграция относительно каркаса прекращается. При этом
полуфабрикат целесообразно рассматривать как квазиоднород-
ную вязкоупругую среду, заменив уравнения (9.1) на уравнения
Va-|-X = 0; a = 77 (8-0). . (9.3)
Здесь Н — тензор эффективных вязкоупругих операторов для
композита. Уравнения (9.2) не меняют форму. В принципе можно
написать определяющие уравнения, которые будут справедливы
для всех трех состояний связующего: текучего, высокоэласти-
ческого и стеклообразного. При этом нужно иметь более сложное
представление для эффективных напряжений на стадии консолида-
352
ции, чтобы после прекращения фильтрации соотношения теории
консолидации переходили в удовлетворительное приближение
для двухкомпонентной вязкоупругой среды. Обычная модель
консолидации, представленная в уравнениях (9.1), приводит к гру-
бым соотношениям вязкоупругости типа «правила смеси» (8.1).
Вышесказанное относилось к моделям полуфабриката, осно-
ванным на рассмотрении эффективных полей напряжений, дефор-
маций, температур, скоростей и т. п. При исследовании процесса
намотки необходимо явное введение слоистой структуры, включая
механизмы передачи усилий и фильтрации связующего от одного
слоя к другому. Это относится также к задачам определения на-
пряжений на уровне h, например, при оценке технологических
напряжений на границе двух слоев в конструкциях, образованных
продольно-поперечной или спиральной намоткой.
Определение коэффициентов и операторов, входящих в урав-
нения типа (9.1)—(9.3), представляет серьезную задачу для экс-
периментаторов. Основная трудность этой задачи в том, что все
характеристики необходимо искать в композите и в процессе от-
верждения. Трудность усугубляется тем, что ряд характеристик,
например, вязкоупругие податливости и коэффициенты фильтра-
ции могут изменяться в процессе отверждения на много порядков.
Кинетику полимеризации изучают при разработке каждого но-
вого полимерного материала. При этом используются как физико-
химические методы (инфракрасная спектроскопия, химический
анализ, анализ растворимости), так и механические методы (ви-
скозиметрия и пластометр и я). Цель этих исследований — выбрать
оптимальный режим полимеризации и оценить время, необходи-
мое для окончания, процесса.
Для решения задач механики, связанных с технологией из-
делий из композитов, этих данных недостаточно. Подробный
анализ вязкоупругих и других механических характеристик по-
лимерных связующих в процессе отверждения был проведен в МЭИ.
В статье [26 ] изложены результаты, относящиеся к отверждению
некоторых типов эпоксидных связующих. Исследовалась кинетика
химической и термической усадок, вязкости, коэффициента филь-
трации, мгновенного модуля, мгновенной податливости, квази-
равновесной податливости и т. п., а также кинетика характеристик
прочности полуфабриката по отношению к межслойному отрыву
и сдвигу.
Постановка эксперимента и обработка его результатов тесно
связаны со способом задания операторных коэффициентов в урав-
нениях (9.1) и (9.3). Задание операторов в интегральной форме
целесообразно только в том случае, если процессы T(t) и соЦ)
заданы. Иначе ядра операторов не только зависят от аргументов t,
т, но и являются функционалами процессов Т (т') и и (т') на от-
резке времени [т, /]. Для технологических задач наибольший
интерес представляет изучение влияния режима термообработки
и силовой обработки, которые развертываются во времени. В этом
353
отношении большей гибкостью обладает представление вязко-
упругих соотношений при помощи оператарных соотношений
с переменными коэффициентами. Эти коэффициенты являются
функциями T(t) и <£»(/), которые в свою очередь определяют
из уравнений (9.2). Вообще говоря, уравнения (9.1) и (9.3) обра-
зуют с уравнениями (9.2) связанную задачу, что служит дополни-
тельным аргументом в пользу дифференциального задания опе-
раторных соотношений.
Рассмотрим одномерное соотношение вязкоупругости
т п
S VkDm-ka= S vftDn-fc(e-0), (9.4)
fe=0 й=0
где и vk — коэффициенты, зависящие от Т и со; D — оператор
частного дифференцирования по t, т < п < т + 1.
Примером соотношения (9.4) может служить модель стандарт-
ного вязкоупругого материала
(1+тоП)а = (£ + тоЯР)(е-0), (9.5)
где Е — квазиравновесный модуль; т0 — время квазирелакса-
ции; Н — мгновенный модуль. Если эти величины являются за-
данными явными функциями времени, то нетрудно построить
соответствующее ядро ползучести
х т) = [Н (т) - Е + то #COJехр
t
f Е (т') dt'
J //(т')То(т')
т
.(9.6)
Таким образом, ядро ползучести является функционалом от
Н (т')> Е (т') и т0 (т') на отрезке [т, f). Поэтому, если режим отверж-
дения и термическая обработка варьируются, то интегральное опи-
сание вязкоупругих свойств нецелесообразно. Естественно за-
дать в дифференциальной форме также и связь между структурной
деформацией 0 с одной стороны, температурой и мерой отвержде-
ния — с другой:
D0 = a,DT + 0£>со. (9.7)
Здесь а и Р — мгновенные коэффициенты термической и химиче-
ской усадки соответственно, которые зависят от температуры и
меры отверждения.
9.3. НАМОТКА ИЗДЕЛИЙ ИЗ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Для определенности рассмотрим секцию изделия, которая
имеет форму, мало отличающуюся от цилиндрической, и находится
в напряженно-деформированном состоянии, мало отличающемся
от плоского. Схема секции показана на рис. 9.2, где г0 — внутрен-
ний радиус оправки; гг — внутренний радиус секции; г2 — на-
ружный радиус секции. Радиальные и окружные напряжения
354
обозначим соответственно of и оф. Изготовление изделия состоит
из следующих стадий: намотки, разогрева до температуры отверж-
дения, отверждения, охлаждения и снятия с оправки. Эти стадии
показаны на рис. 9.3: а — изменение температуры Т во времени;
б—г — варианты изменения давления на оправку р. На каждой
стадии рассмотрим совместную деформацию изделия и оправки.
При этом учитываем изменение физико-механических свойств
компонентов и композита в целом в процессе изготовления.
В работе [99] намотка лентой трактуется как последователь-
ное надевание колец из упругого существенно анизотропного
материала. Таким образом, объясняется падение предваритель-
ного натяга и давления на оправку при намотке толстостенных
цилиндров. Комбинируя эту модель с моделью образования оста-
точных напряжений [23], можно получить разнообразные законы
распределения радиальных и окружных напряжений. Некоторые
результаты вычислений приведены в работе [10]. При этом были
получены, например, двухзначные эпюры с многократным изме-
нением знака. Можно подобрать такой режим намотки, при ко-
тором всюду внутри изделия остаточные радиальные напряжения
по всей толщине изделия будут снижаться. Это, казалось бы,
открывает широкую возможность для регулирования остаточных
напряжений посредством сило-
вой намотки.
Однако экспериментальные
данные указывают, что факти-
ческое распределение остаточ-
ных напряжений при силовой
намотке может существенно от-
личаться от расчетного. Глав-
ной причиной расхождений, по-
видимому, является процесс
Рис. 9.3
Рис. 9.2
355
фильтрации и вытеснения жидкого связующего во время намотки
и на ранних этапах термообработки. Ниже Предпринята попытка
рассчитать этот процесс и оценить его влияние на распределение
технологических напряжений от силовой намотки.
Рассмотрим процесс поперечной намотки мокрой ленты на
круговую цилиндрическую оправку (см. рис. 9.2). Считаем,
что намотка происходит при постоянной температуре, одинаковой
во всех точках полуфабриката, и что процесс отверждения свя-
зующего еще не начат. Ленту полагаем упругой, связующее —
несжимаемой вязкой жидкостью. Считаем, что фильтрация свя-
зующего через поры ленты следует закону Дарси. Прене-
брегаем объемной деформацией, полагая, что радиальная дефор-
мация полуфабриката целиком обусловлена фильтрацией связую-
щего. Оправку считаем непроницаемой, а фильтрацией в осевом
направлении пренебрегаем. Намотка происходит при постоянном
натяжении; при этом натяжное устройство таково, что вплоть до
окончания намотки натяжение в крайнем слое поддерживается
постоянным (в результате сдвига этого слоя относительно нижеле-
жащего слоя). В остальных слоях проскальзывание отсутствует,
так что падение натяжения в этих слоях происходит только в ре-
зультате радиальных деформаций полуфабриката.
Для расчета процесса намотки применим дискретный аналог
теории упругой консолидации. Рассмотрим процесс консолидации
на малом отрезке времени AL Из условия равновесия получим со-
отношение между окружным напряжением а</> в /-й ленте и пол-
ным радиальным напряжением oj'1
«"’-М'*11-„и» (9.8)
Здесь hj — толщина j-ro слоя; — его радиус кривизны.
Приращение напряжения в ленте выражается через окружной
модулу упругости ленты изменение As* толщин s* нижеле-
жащих прослоек связующего (k — 1, 2, ..., j — 1), давление на
оправку рх и коэффициент жесткости оправки с0
(9-9)
' \ k—l /
Полное радиальное напряжение в j-й прослойке
<4/] = -p/-f(s7), (9.10)
где р/ — давление в прослойке (поровое давление); f(s;) — не-
которая функция толщины прослойки.
' ^та функция имеет смысл эффективного напряжения в теории
j. консолидации, т. е. той части напряжения, которая передается .
'от одного слоя к другому не через жидкость, а через налегающие
друг на друга волокна наполнителя. Функцию fisj), например,
можно взять в виде
/(«/) =
(9.Н)
где s* — предельная толщина жидкого слоя, начиная с которой
происходит поперечное обжатие ленты; Ег — модуль упругости
для этого обжатия. Функция f(s;) определяется опытным путем
по компрессионным кривым поперечного обжатия сухой ленты.
Замкнем систему уравнений при помощи условия сохранения
жидкой фазы
Asy = — {Vj — UpJ А/ (9.12)
и закона фильтрации
Vj = —Kj
Pl+1 — Pi
hi
(9.13)
Здесь Vj — радиальная составляющая скорости связующего через
j-й слои ленты; ху — соответствующий коэффициент фильтрации.
Для внутреннего слоя связующего следует взять условие не-
проницаемости оправки = 0; для наружного слоя следует
положить рт — 0; = N/h, где N — натяжение ленты. Си-
стему уравнений (9.8)—(9.13) можно трактовать как дискретный
аналог системы (9.1) применительно к данной задаче.
Разобьем весь процесс намотки на циклы таким образом, чтобы
в течение каждого цикла число слоев на рассматриваемом участке
полуфабриката оставалось неизменным. При поперечной намотке
ткани на всю ширину цилиндра продолжительность цикла 2л/Й,
где й — угловая скорость вращения оправки. Уравнения (9.8)—
(9.13) позволяют найти законы изменения напряжений в ленте,
порового давления и толщины жидких прослоек на протяжении
всего цикла. Пусть, например, все параметры ленты и связующего
постоянны, а фильтрация происходит без обжатия наполнителя.
Тогда, переходя в уравнениях к пределу при А/ —»0, при-
ходим к дифференциальному уравнению относительно танген-
циального напряжения
аФ+^о'Ф = О,- (9.14)
Здесь и далее индексы опущены. Решение уравнения (9.14),
удовлетворяющее начальному условию при t = t0, имеет вид
(0 = <МА>)>
где Тф — постоянная, имеющая смысл характерного времени
фильтрации
’♦=£• (916>
Для толщины жидких слоев аналогично получаем
s (0 = s(U - * [ 1 - ехр (--] • (9.17)
Теперь рассмотрим цикл намотки, при котором число слоев
увеличивается от т — 1 до т. Для этого цикла tm_y < t < tm,
где tm = тт,,; тн — продолжительность одного цикла. Из формул
(9.15) и (9.17) вытекают следующие рекуррентные соотношения,
позволяющие рассчитать весь процесс намотки:
’ От) = d* (U-i) е’тн/тФ;
S/ (U = sf (tM) - °ф> (1 - е-тн/гФ) (9.18)
^ф
/=1, 2, ..., т; т=1, 2, ..., п.
При этом o<,m>(/m) = Nlh- sm(tm) = s.
Для кусочно-линейной модели с законом обжатия (9.11) ана-
логичное решение весьма громоздко. Расчет целесообразно про-
водить численным методом, трактуя на каждом цикле намотки
уравнения (9.8)—(9.13) как разностную схему и повторяя этот
расчет многократно, постепенно увеличивая число слоев вплоть
до конечного числа п. Такой расчет, некоторые результаты ко-
торого приведены ниже, был выполнен Р. X. Мурзахановым.
В этом расчете нетрудно учесть более общие соотношения для
358
эффективных напряжений, чем (9.11),
переменность параметров во време-
ни, неоднородность по толщине и
т. п., а также термическое расшире-
ние компонентов и химическую усад-
ку связующего.
Выписанные соотношения приме-
нимы также для описания процесса
консолидации в полуфабрикате после
окончания намотки. При этом число
слоев остается неизменным. Метод
расчета нетрудно распространить на
продольно-поперечную и спиральную
намотку. Например, для спиральной
намотки радиус Rj в формулах (9.8)
надо заменить на локсодромический радиус Rf sec2 q>, где <р—угол
намотки. Продолжительность цикла определяется как время
между двумя последующими проходами лентой или нитью над
одним и тем же местом полуфабриката.
Пример. Рассмотрим процесс намотки цилиндра из стеклотекстолита. Пусть
толщина стеклоткани h = 0,025 см; начальная толщина прослойки жидкого свя-
зующего s = 0,0125 см; максимальная толщина слоя связующего, при котором
возникает упругий отпор, s* = 0,0115 см. Модуль упругости стеклоткани в окруж-
ном направлении Е® = 2-1OВ * 10 Н/м2; трансверсальный модуль для стеклоткани,
соответствующий начальному участку компрессионной кривой,Ег = 170-106 Н/м2.
Оправку считаем абсолютно жесткой с наружным радиусом г1 = 50 см. Коэф-
фициент фильтрации связующего постоянен и составляет х = 2-10-м м4/(Н-с).
Постоянная времени (9.16) при этом оказывается равной Тф = 625 с. При
продолжительности одного цикла тн = 30 с характерное время фильтрации
связующего и продолжительность намотки имеют одинаковый порядок при общем
числе слоев порядка ста.
На рис. 9.4 показано распределение тангенциального напряжения Оф по
толщине полуфабриката при различных уровнях начального натяжения jV =
= 12,5; 25; 37,5; 50 кН/м от безразмерной радиальной координаты
г —Г1
Гг — ri '
(9.19)
Общее число слоев п = 120. Штриховые линии соответствуют распределе-
нию напряжений в момент окончания процесса намотки. Сплошные линии пока-
зывают изменение по толщине напряжения через 0,54; 0,75; 1,8 и 4,0 ч после
окончания намотки (температура принята постоянной). К этому времени процесс
консолидации практически закончился. На рис. 9.5 и 9.6 приведены графики
для порового давления р и полного радиального напряжения ог — р к моменту
окончания намотки. При этом принято N = 50-103 Н/м.
9.4. РАСЧЕТ РАЗВИТИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
НАПРЯЖЕНИЙ НА СТАДИИ ТЕРМООБРАБОТКИ
В ранних работах по теории остаточных напряжений в намо-
точных изделиях из слоистых композитов полагалось, что эти
напряжения равны напряжениям, созданным в процессе силовой
359
намотки. Несколько позднее [23] было высказано предположе-
ние, подтвержденное численным анализом и экспериментом [10,
33], что существенная роль в образовании остаточных напряжений
принадлежит температурным напряжениям, которые возникают
при охлаждении готового изделия от температуры термообработки
до комнатной температуры. Этот вывод проиллюстрирован на
рис. 9.7, где показано изменение в процессе термообработки окруж-
ной деформации ее, измеренной при помощи вклеенных тензо-
датчиков [33]. Кривые 1, 2, 3 относятся соответственно к наруж-
ным, средним и внутренним слоям, причем штриховые кривые
показывают измеренное при помощи термопар изменение тем-
пературы Т в этих слоях. Кривая 4 показывает изменение тем-
пературы Т в термокамере.
Следуя в основном статье [27], рассмотрим взаимодействие
кругового цилиндра из композиционного материала с цилиндри-
ческой упругой оправкой на стадии термообработки. При этом
поле напряжений, возникающее в результате силовой намотки,
играет роль начальных условий. Материал изделия считаем ли-
нейным вязкоупругим, макроскопически однородным, обладаю-
щим цилиндрической анизотропией. Материал оправки полагаем
изотропным. Температурное поле примем изменяющимся во вре-
мени, но однородным во всей области, занятой изделием н оправ-
360
кой. Ограничимся рассмотрением плоской осесимметричной за-
дачи (плоской деформации или плоского напряженного состояния).
Примем, что на поверхности контакта изделия с оправкой г =
имеет место непрерывность радиальных напряжений аг и переме-
щений w. При отлипании изделия от оправки на соответствующих
поверхностях обращается в нуль напряжение аг. Внешняя по-
верхность изделия г = г2 свободна от напряжений. Задача со-
стоит в отыскании полей напряжений и перемещений в изделиях
при термической обработке, которая сопровождается изменением
вязкоупругих свойств связующего, его термической и химиче-
ской усадкой и т. п.
Соотношение между деформациями ег, еф и напряжениями аг,
о?ф возьмем в виде
ег = ~Ь ^гфСТф ~Ь еф = *ф^ ~Ь ^ффСТф 4“ (9.20)
где Krr, KVr = Кг<р — линейные вязкоупругие операторы
(элементы матричного оператора К); 0,, 0ф — радиальная и окруж-
ная составляющие структурной деформации.
Радиальные напряжения ог и окружные напряжения стф свя-
заны уравнением равновесия
= 0 (9.21)
Вводя функцию напряжений Ф(г, t) посредством соотношений
аг = Ф/r; оф = дФ/дг, получим из (9.20) и (9.21) уравнение сов-
местности деформаций
к = (9.22)
\ дг2 г дг / гг г2 г ' 7
Это уравнение является операторным (например, интегро-диффе-
ренциальным). Его решение ищём при начальных условиях, соот-
ветствующих началу режима термообработки, и при следующих
граничных условиях: на внешней поверхности ог = 0, на внутрен-
ней поверхности при г = t\
^ффстф Ч- ^фгстг ~Ь 9ф — со°г Ч- “о (Т Тс). (9.23)
Здесь с0 — постоянная, характеризующая податливость оправки;
а0 — линейный коэффициент теплового расширения материала оп-
равки; Тс—температура, соответствующая началу термообработки.
Условие (9.23) применимо, если' давление Р =—or (ri,0 > 0.
Если это неравенство нарушается, то при г = должно выпол-
няться условие ог = 0.
Способ дальнейших вычислений существенно зависит от ана-
литической природы оператора К- Рассмотрим две модели вязко-
упругого армированного материала, аналогичные упругим моде-
лям, рассмотренным в пп. 8.2 и 8.3. Возьмем модель слоистого ма-
361
териала, состоящего из чередующихся армирующих и связующих
слоев. Считаем армирующий материал упругим, а матрицу —
твердеющим линейным вязкоупругим изотропным материалом.
Чтобы получить формулы для элементов оператора К, необходимо
повторить все выкладки, заменив упругие постоянные соответ-
ствующими операторами. Но при этом необходимо иметь в виду,
что операторы теории вязкоупругости нестабильных сред, вообще
говоря, некоммутативны. Выпишем простейшие формулы для
случая, когда операторы деформации сдвига и деформации растя-
жения подобны, а жесткость армирующего материала существенно
превышает жесткость связующего на всех этапах отверждения.
Для модели слоистого материала с ортотропными армирующими
слоями, главные оси упругости которых коллинеарны и совпа-
дают с осями координатного базиса г, <р, г, находим, что при
плоском напряженном состоянии
1\ГГ 1 __v" А , Афф
КфГ -- К,ф ^фгКгг
v"(l —гр) (1 +v'„)
л<р<р*
(9.24)
Здесь ф — объемный коэффициент армирования; Кфф, К'Гг —
упругие податливости армирующего материала при растяжении
(величины, обратные модулям упругости £фф’ и Е'гг); К" — соот-
ветствующий вязкоупругий оператор для связующего материала;
^фг, — коэффициенты Пуассона армирующего и v"— свя-
зующего материалов.
Как видно из формул (9.24), все элементы матрицы К, кроме
Кгг, оказываются операторами умножения на число. Это обсто-
ятельство существенно упрощает дальнейшие вычисления. Для
структурной деформации композита 0Г имеем выражение
в, ~ фо; + (1 - ф) 0" + 2vi2.^^ 0" - +0*)’ <9-25)
где 0), 0" — структурные деформации армирующего и связую-
щего материалов соответственно; 0Ф 0ф.
При плоской деформации матричный оператор К переходит
в оператор К* с элементами
Кгг = Кгг — KrzK:zK;n Kw = Kw — KtfzKzzKz^',
К*г = Кгч = КфГ - KyzK'zzKzr-
Структурные деформации
о; = о, _ Krz KzzQz-, Оф = 0Ф - KvzK^z-
362
Для модели слоистого материала лишь элемент К*г оказы-
вается вязкоупругим оператором, а все остальные элементы яв-
ляются операторами умножения на число. Поэтому решение за-
дачи плоской деформации для слоистого композита аналогично
решению задачи о плоском напряженном состоянии с формальной
заменой соответствующих параметров.
Для расчета используем дифференциальные модели твердею-
щих сред, принимая К" = А-1М, где Л, М — линейные дифференци-
альные операторы типа (9.4) с коэффициентами, зависящими от
времени и температуры. В дальнейшем рассмотрим две модели твер-
деющей среды: модель 5 стандартной нестабильной среды с опе-
раторами
Л = £(0 + то(0Я(0^; М=1+то(О£>
и модель HS — гиповязкоупругой стандартной среды с операто-
рами
Л = £(/)£> + то(/)Д(О£>2; М = £> + то(0£>2.
Здесь H(i) — мгновенный (гиповязкоупругий) модуль; E(i) —
квазидлительный модуль; т0 (0 — время квазирелаксации; D =
= d/dt. Выбор между этими моделями для каждого конкретного
связующего может быть сделан лишь на основании специальных
экспериментов по неизотермическому отверждению и выходит за
рамки настоящей работы.
Экспериментальные зависимости H(t), E(t), т0(/) для одного
из типов эпоксидных связующих возьмем из статьи [26 ]. В этой же
статье содержатся данные об изменении плотности р эпоксидного
связующего в процессе отверждения. На основании этих данных
для изотермической стадии при Т = Тс — const примем зависи-
мость
9" (Т, 0 = 4 (— — Л (1 - е‘с<)»
® \ Poo J
где ро, ре» — начальная и равновесная плотности связующего
при Т = Тс\ с — параметр, зависящий от Тс.
На стадии охлаждения примем, что процесс химической усадки
закончен, так что полная усадка — функция только температуры.
При этом
где р (Т) — экспериментальная зависимость плотности от темпе-
ратуры на заключительном этапе.
Пример. Краевая задача, описываемая уравнением (9.22) с нулевыми началь-
ными условиями и граничными условиями при г = rj и г = гг, была решена
численно путем сведения к двухмерной разностной схеме с последующим при-
менением метода прогонки по радиусу. Рассмотрены режимы охлаждения при
t> t0 по закону
т = Тг + (Тс — тг) е~Ь
363
где Tr — комнатная температура; Ь — скорость охлаждения, которая в рас-
смотренных численных примерах принята равной 0,1; 0,2 и 0,3 ч-*. Вычисле-
ния механических и теплофизических характеристик произведены по формулам
(9.24) и (9.25) для наполнителя из стеклоткани и для стекловолокна с характери-
стиками Е' = 6-10*° Н/м2; v' = 0,2; а' — 5-10~6 СС-1. Была взята оправка из
алюминиевого сплава с характеристиками Ео = 7,5-1010 Н/м2; v0 = 0,33; а0 =
= 25,6- 10"e°C-1. Коэффициент Пуассона связующего был взят v" = 0,35.
На рис. 9.8 приведены кривые, построенные по результатам вычислений
процесса развития технологических напряжений для случая плоского напряжен-
ного состояния. Показаны принятые при расчете режимы термообработки, за-
коны изменения во времени максимальных радиальных напряжений в изделии
и давления на оправку. Сплошные линии соответствуют модели S, штриховые —
модели HS.
Анализ результатов показывает, что вклад химической усадки в величину
технологических напряжений не превышает нескольких процентов от их макси-
мального значения. Существенный рост напряжений ог начинается лишь на
Стадии охлаждения, причем наибольшие напряжения развиваются к концу
этого этапа. Вследствие сложного взаимодействии механических и теплофизиче-
ских свойств композитов скорость увеличения напряжений сильно меняется на
протяжении процесса охлаждения. Вначале, несмотря на малую трансверсаль-
ную жесткость изделия, напряжения в слоистом композите увеличиваются до-
статочно интенсивно. Подобное явление можно объяснить влиянием сильной ани-
зотропии, пря которой радиальное направление, в котором жесткость мала,
является вместе с тем направлением наибольшего теплового расширения. С уве-
личением скорости охлаждения быстрее нарастают напряжения ог. При этом
модель S при сопоставимых исходных данных предсказывает большие напряже-
ния, модель HS — меньшие напряжения. В конце процесса охлаждения техно-
логические напряжения незначительно релаксируют.
Давление на оправку практически равно нулю, пока не началось охлажде-
ние (напомним, что расчет производился для изделий, образованных без началь-
ного натяга). Максимальное давление достигается в окрестности температуры
60° С, что примерно соответствует переходу отвержденного связующего из вы-
сокоэластического в стеклообразное состояние. С уменьшением скорости охлаж-
дения продолжительность контакта и максимальное давление увеличиваются.
Контакт между изделием и оправкой прекращается до достижения комнатной
температуры:
364
Теория образования технологических напряжений неодно-
кратно была подвергнута экспериментальной проверке. Остаточ-
ные напряжения были определены различными методами: Закса
и Давиденкова [10], вклеенных датчиков [33]. Испытаны кольца
малых диаметров (порядка 100 мм), кольца и цилиндры больших
диаметров (до 960 мм). Отношение наружного радиуса к внут-
реннему доведено до 1,50. На рис. 9.9 приведены данные для
колец из стеклопластика на тканевой основе [26]. Радиальные
напряжения аг были аппроксимированы при помощи суммы
ортогональных полиномов, после чего окружные напряжения
стф определялись из уравнения равновесия. Результаты расчета
показаны сплошными линиями. Некоторые результаты приве-
дены на рис. 9.10, где показаны зависимости максимальных ради-
альных и экстремальных окружных напряжений от отношения
г2/гг наружного радиуса к внутреннему. Радиальные растягиваю-
щие напряжения растут примерно пропорционально относитель-
ной толщине. При г2/гг = 1,50 они достигают 4 МН/м2. В цилинд-
Рис. 9.9
Рис. 9.10
365
В„-1(Г5,Н/м*
Рис. 9.11
pax с наружным диаметром 960 мм и с отношением г21гг = 1,50
наблюдались остаточные радиальные напряжения около 8 МН/м2,
что согласуется с результатами расчета.
В заключение приведем некоторые данные из статьи [10].
Изложенным выше методом был проведен расчет остаточных на-
пряжений в цилиндрах из гибридного композиционного материала
на основе углеродных и стеклянных волокон. На рис. 9.11 пока-
зано распределение остаточных радиальных напряжений в трех-
слойных цилиндрах с комбинацией материала по схеме углепла-
стик—стеклопластик—углепластик (кривая 1 — расчетные ре-
зультаты, черные кружки — эксперимент), и по схеме стеклопла-
Рис. 9.12
366
стик—углепластик—стеклопластик (кривая 2 и светлые кружки—
соответственно). Значительный разброс экспериментальных то-
чек и расхождение расчета с экспериментом можно объяснить
как отступлением поля напряжений от осесимметричного и од-
нородного вдоль оси цилиндра, так и вычислительной неустой-
чивостью метода Закса. Более существенное расхождение видно
на рис. 9.12, где показано распределение остаточных напряжений
в двухслойных цилиндрах, образованных силовой намоткой
(программа намотки указана внизу диаграммы). Расчет был про-
изведен в предположении, что начальные напряжения, созданные
намоткой, не релаксируют в процессе термообработки. В дей-
ствительности же наблюдается существенная релаксация, основ-
ную ответственность за которую несет фильтрация связующего
на ранних стадиях термообработки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аболиньш Д. С. Тензор податливости армированного в двух направле-
ниях упругого материала. — Механика полимеров, 1966, № 3, с. 372—379.
2. Александров А. Я., КуршннЛ. М. Трехслойные пластинки и оболочки.—
В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968, т. 2,
с. 243—308.
3. Александров А. Я., Куршин Л. М. Многослойные пластинки и обо-
лочки. — Тр. VII Всесоюзн. конф, по теории оболочек и пластинок. М.: Наука,
1970, с. 714—721.
4. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Физматгиз, 1968.
266 с.
5. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука,
1974. 448 с.
6. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. К теории упругих многослойных
анизотропных оболочек. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977, № 5,
с. 87—96.
7. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными
производными с быстро осциллирующими коэффициентами. —Докл. АН СССР,
1975, т. 221, № 3, с. 516—519.
8. Бидерман В. Л. Упругость и прочность анизотропных стеклопластиков.—
В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1965, вып. 11, с. 12—28.
9. Бидерман В. Л. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. В кн.: Проч-
ность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968, т. 2, с. 211—242.
10. Благонадежнн В. Л., Перевозчиков В. Г. Остаточные напряжения в коль-
цах из стеклопластиков, полученных методом послойного отверждения. — Меха-
ника полимеров, 1972, № 1, с. 174—176.
11. Болотин В. В. К теории слоистых плит. — Изв. АН СССР. ОТН.
Механика и машиностроение, 1963, № 3, с. 65—72.
12. Болотин В. В. О изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. —
Изв. АН. СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 1, с. 61—66.
13. Болотин В. В. Колебания многослойных криволинейных стержней. —
Инженерный журнал, 1964, т. 4, вып. 4, с. 705—712.
14. Болотин В. В. О теории армированных тел. — Изв. АН СССР. Меха-
ника и машиностроение, 1965, № 1, с. 74—80.
15. Болотин В. В. Основные уравнения теории армированных сред. — Ме-
ханика полимеров, 1965, № 2, с. 27—37.
16. Болотин В. В. Прочность, устойчивость н колебания многослойных
пластин. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1965, вып. 11,
с. 31—63.
17. Болотин В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными
неправильностями.—Механика полимеров, 1966, № 1, с. 11—19.
18. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из арми-
рованных материалов. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение,
вып. 12, 1966, с. 3—31.
368
19. Болотин В. В. Слоистые упругие и вязкоупругие среды с малыми на-
чальными неправильностями. —Механика твердого тела, 1966, № 3, с. 59—65.
20. Болотин В. В., Синицын Е. Н. Влияние случайных начальных непра-
вильностей иа ползучесть армированных слоистых пластиков. — Механика по-
лимеров, 1966, № 5, с. 755—762.
21. Болотин В. В. О рассеянии энергии при колебаииях’коиструкций нз
армированных полимеров. — В кн.: Динамика н прочность машин. М., МЭИ,
1967, с. 9—25. (Докл. науч.-техн. коиф. МЭИ).
22. Болотин В. В., Москаленко В. Н. Пластины и оболочки из армиро-
ванных материалов — основные уравнения, количественные результаты. —
В ки.: Динамика и прочность машин. М., МЭИ, 1967, с. 26—45. (Докл. иауч.-
техн. конф. МЭИ).
23. Болотин В. В., Болотина К. С. Температурная задача для кругового
цилиндра из армированного слоистого материала.—Механика - полимеров,
1967, № 1, с. 137—141.
24. Болотин В. В., Парцевскнй В. В. Напряжения в слоистой среде при
действии сосредоточеииой силы. —Механика твердого тела, 1968, № 2, с. 52—57.
25. Болотин В. В., Синицын Е. Н. Локальное выпучивание сжатых элемен-
тов из слоистого вязкоупругого материала. — Механика полимеров, 1968, Xs 5,
с. 816—821.
26. Болотин В. В. Влияние технологических факторов иа механическую
надежность конструкций из композитов. — Механика полимеров, 1972, № 3,
с. 529—540.
27. Болотин В. В., Воронцов А. Н. Образование остаточных напряжений
в изделиях из слоистых и волокнистых композитов в процессе отверждения. —
Механика полимеров, 1976, № 5, с. 790—795.
28. Болотин В. В., Литвинов А. Н. К теории вибродемпфирующих поли-
мерных покрытий. — Механика полимеров, 1978, № 2, с. 269—276.
29. Болотина К- С. Механические и теплофизические характеристики слои-
стого материала. — Изв. вузов. Машиностроение, 1966, № 12, с. 23—28.
30. Болотина К. С. О термоупругой задаче для толстостенной сферической
оболочки из слоистого композита. — Изв. вузов. Машиностроение, 1970, № 10,
с. 5—8.
31. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
32. Ван Фо Фы Г. А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев:
Техника, 1971. 220 с.
33. Варушкин Е. М. Исследование температурных остаточных напряжений
и деформаций в толстостенных намоточных изделиях из армированных пласти-
ков. — Механика полимеров, 1971, № 6, с. 1040—1046.
34. Герштейн М. С. Упругие волны в многослойной цилиндрической обо-
лочке с анизотропными слоями. — Тр. X Всесоюзн. конф, по теории оболочек
и пластин, Тбилиси: Мецниерба, 1975, т. 2, с. 63—69.
35. Грнголюк Э. И., Чулков П. П. Нелинейные уравнения пологих много-
слойных оболочек регулярного строения. — Механика твердого тела, 1967,
№ 1, с. 163—169.
36. Грнголюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослой-
ных оболочек. — Прикладная механика, 1972, т. 8, вып. 6, с. 5—17.
37. Григоренко Я. М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вра-
щения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973. 228 с.
38.. Дубенец В. Г. Рассеяние энергии при колебаиях_миогослойиых пла-
стин. — Проблемы прочности, 1970, № 2, с. 58—62.
39. Елпатьевский А. Н., Васильев В. В. Прочность'цилиидрических обо-
лочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. 168 с.
40. Композиционные материалы /Под ред. Л. Браутмаиа и Р. Крока. —
М.: Мир, 1978; т. 2, 564 с.; т. 5, 484 с.; Машиностроение: 1978; т. 7, 300 с.;
т. 8, 264 с.
41. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из арми-
рованных пластмасс. М., Машиностроение, 1965. 272 с.
42. Королев В. И. Упругопластические деформации оболочек. М.: Машино-
строение, 1971. 303 с,.
369
43. Кураиов Б. А., Макаров Б. П. Устойчивость многослойных упругих
колец при действии равномерного внешнего давления. — Изв. вузов. Машино-
строение. 1964, № 8, с. 49—57.
44. Кураиов Б. А. О колебаниях многослойных упругих колец. — Изв.
вузов. Машиностроение, 1966, № 6, с. 20—25.
45. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е. М.: Физматгиз,
1967. 463 с.
46. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких
полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1972. 498 с.
47. Москаленко В. Н., Новичков Ю. Н. Изгиб толстых многослойных
оболочек. — Механика твердого тела, 1968, № 3, с. 149—153.
48. Москаленко В. Н., Парцевский В. В. О передаче усилий в слоистых
материалах. — Механика полимеров, 1968, № 2, с. 322—327.
49. Никишин В. С., Шапиро Г. С. Задачи теории упругости для много-
слойных сред. М.: Наука, 1973. 131 с.
50. Николаев В. П., Парцевский В. В.Об изгибе стержней из однонаправ-
ленных стеклопластиков. — В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1965,
с. 92—102. (Докл. науч.-техн. конф. МЭИ).
51. Николаеве; П. Краевые эффекты в пластинах из слоистых материалов.—
В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1967, с. 96—ПО. (Докл. науч.-техн,
конф. МЭИ).
52. Новичков Ю. Н. Распространение плоских волн в слоистых упругих
средах регулярной структуры. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1971, № 6, с. 65—73.
53. Новичков Ю. Н., Федосеев Г, Н. Исследование термоупругих краевых
эффектов в толстых многослойных оболочках. — Изв. АН СССР. Механика
твердого тела, 1972, № 4, с. 145—152.
54. Новичков Ю. Н. О краевых эффектах в слоистых плитах и оболочках. —
В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1972, вып. 101, с. 55—60. (Тр. МЭИ).
55. Новичков Ю. Н. Поверхностные полны н слоистой упругой среде. —
В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1972, вып. 101, (Тр. МЭИ).
56. Новичков Ю. Н. Распространение воли в слоистых цилиндрических
оболочках. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, № 2, с. 51—60.
57. Новичков Ю. Н. Нелинейная теория и устойчивость толстых многослой-
ных оболочек. — Прикладная математика и механика, 1973, т. 37, вып. 3,
с. 532—543.
58. Новичков Ю. Н. Арутюияи Г. В. Исследование собственных колебаний -
многослойных плит. — В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1973, вып. 164,
с. 30—37. (Тр. МЭИ).
59. Новичков Ю. Н., Синицын Е. Н. Поверхностное выпучивание слоистой
среды. — Механика полимеров, 1973, № 4, с. 648—654.
60. Новичков Ю. Н. Изгиб слоистых стержней с проскальзыванием между
слоями. — Изв. АН АрмССР. Механика, 1974, № 4, с. 67—73.
61. Новичков Ю. Н. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных обо-
лочек. — В кн.: Теория оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975, с. 142—
145 (Тр. Всесоюзн. конф, по теории оболочек и пластин).
62. Новичков Ю. Н. Распространение волн в многослойных конструкциях. —
В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1975, вып. 16, с. 217 —
231.
63. Новичков Ю. Н. Осесимметричная деформация многослойных цилиндри-
ческих оболочек с учетом проскальзывания между слоями. — В кн.: Механика
деформируемого твердого тела и теория надежности. М., 1975, вып. 227, с. 109—
118 (Тр. МЭИ).
64. Новичков Ю. Н., Бутко А. М. Термоупругие краевые эффекты в много-
слойных цилиндрических оболочках.—В кн.: Расчеты на прочность. М.:
Машиностроение, 1976, вып. 17, с. 76—85.
65. Новичков Ю. Н., Бутко А. М. Исследование случайных температурных
полей в двухслойных пластинах с применением метода Монте-Карло. — При-
кладная механика, 1978, т. 14, вып. 12, с. 103—ПО.
370
66. Новожилов В. В. Теория тонких упругих оболочек. Л.: Судпромгиз.
1962. 431 с.
67. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Буиаков В. А. Оптимальное арми-
рование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машинострое-
ние, 1977. 144 с.
68. Огибалов П. М. Колтунов М. А. Оболочки и пластинки. М.: Изд-во
МГУ, 1969. 695 с.
69. Парцевский В. В. О действии сосредоточенной силы на слоистое полу-
пространство в случае плоской деформации. — Изв. вузов. Машиностроение,
1968, № 4, с. 20—24.
70. Парцевский В. В. Распределение напряжений в слоистых композитах. —
Механика полимеров, 1970, № 2, с. 319—325.
71. Парцевский В. В. О растяжении слоистого пространства с вырезами,
нормальными к слоям. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 4,
с. 195—198.
72. Парцевский В. В. Распределение напряжений в дискретной модели слои-
стой среды вблизи разреза. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977,
№ 3, с. 103—108.
73. Парцевский В. В. Плоская деформация слоистого композита с попереч-
ной трещиной. — Механика полимеров, 1978, № 4, с. 632—636.
74. Парцевский В. В. Растрескивание слоистого композита, армированного
в двух направлениях. — Проблемы прочности, 1978, № 10, с. 76—77.
75. Парцевский В. В., Стрельникова Н. Л. О механизмах разрушения орто-
гонально-армированного композита при плоском напряженном состоянии. —
В кн.: Механика деформируемого твердого тела и теория надежности. М.,
1978, вып. 353, с. 30—33 (Тр. МЭИ).
76. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев:
Наукова думка, 1973. 248 с.
77. Петровский А. В. Локальная устойчивость многослойных цилиндриче-
ских оболочек. — В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1973, вып. 164,
с. 53—58 (Тр. МЭИ).
78. Петровский А. В. Нелинейная задача устойчивости тонкой многослойной
цилиндрической оболочки. — В кн.: Механика деформируемого твердого тела
и теория надежности. М., 1975, вып. 227, с. 138—144 (Тр. МЭИ).
79. Петровский А. В. Об устойчивости сферической оболочки из слоистого
композиционного материала. — Механика полимеров, 1976, № 3, с. 459—464.
80. Поляков В. А. Анализ напряженно-деформированного состояния в круг-
лых пластинах из ориентированных пластиков. — Механика полимеров, 1969,
№ 5, с. 899—908.
81. Помази Л. П. Об устойчивости многослойных пластин. — Изв. вузов.
Машиностроение, 1966, № 2, с. 29—34.
82. Прочность и надежность цилиндрических оболочек, полученных методом
непрерывной нитяной намотки/В. Д. Протасов. А. Ф. Ермоленко, А. А. Фили-
пенко, И. П. Дмитраченко. — Механика полимеров, 1978, № 3, с. 443—451.
83. Прусаков А. П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных
оболочек.—Прикладная механика, 1971, т. 7, вып. 3, с. 3—8.
84. Работнов Ю. Н. Упругопластическое состояние композитной струк-
туры. — В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. М.:
Наука, 1969, с. 411—415.
85. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.:
Наука, 1977. 384 с.
86. Розе А. В. К изгибу пластин из ориентированных стеклопластиков. —
Механика полимеров, 1965, № 3, с. 129—136.
87. Розе А. В. Продольно-поперечный изгиб круглых цилиндрически-орто-
тропных пластин, слабо сопротивляющихся сдвигу. — Механика полимеров,
1968, № 1, с. 116—123.
88. Рябов А. Ф., Рассказов А. О. К теории многослойных пластин несим-
метричной структуры с ортотропными слоями. — Прикладная механика, 1974,
т. 10, вып. 2, с. 62—68
371
89. Синицыи Е. Н. Выпучивание пластины из слоистого стеклопластика
под действием продольных сил.— Изв. вузов. Машиностроение, 1966, № 10,
с. 20—24.
90. Сииицын Е. Н. Устойчивость упругих и вязкоупругих цилиндрических
оболочек из армированного материала.—М.: Наука, 1970, с. 557—561 (Тр.
VII Всесоюзн. конф, по теории оболочек и пластинок).
91. Сииицыи Е. Н., Мишулин И. Б. Температурные поля в слоистых цилин-
дрических оболочках и пластинах с учетом термического разложения связую-
щего. — В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1975, вып. 227, с. 84—88
(Тр. МЭИ).
92. Скудра А, М., Булаве Ф. Я., Роцеис К. А. Ползучесть и статическая
усталость армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1971. 238 с.
93. Теория складкообразования в земной коре/Ж. С. Ержанов, А. К- Егоров,
И. А. Гарагаш и др. М.: Наука, 1975, 239 с.
94. Терегулов А. Г. К теории многослойных анизотропных оболочек. —
В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд. КГУ, 1970,
вып. 6—7, с. 762—767.
95. Тариопольский Ю. М., Розе А. В., Поляков В. А. Приложение теории
многослойных сред к изучению ориентированных стеклопластиков. — Изв.
АН СССР. Механика, 1965, № 2, с. 131—134.
96. Тарнопольский Ю. М., Розе А. В., Поляков В. А. Учет сдвигов при
изгибе ориентированных стеклопластиков. — Механика полимеров, 1965, № 2,
с. 38—46.
97. Тарнопольский Ю. М., Скудра А. М. Конструкционная прочность и
деформативность стеклопластиков. Рига: Зинатне, 1966, 260 с.
98. Тарнопольский Ю. М., Портнов Г. Г., Жигуи И. Г. Влияние искривле-
ния волокон на упругие характеристики ориентированных стеклопластиков. —
Механика полимеров, 1967, № 1, с. 243—249.
99. Тарнопольский Ю. М., Розе А. В. Особенности расчета деталей из арми-
рованных пластиков. Рига: Зинатне, 1969. 274 с.
100. Федосеев Г. Н. Температурные перемещения и напряжения в слоистой
упругой плите. — Изв. вузов. Машиностроение, 1969, № 9, с. 53—57.
101. Федосеев Г. Н. О задаче термоупругости для многослойных колец. —
Изв. вузов. Машиностроение, 1970, № 8, с. 13—17.
102. Фильштинский Л. А. К теории упругих неоднородных сред с регуляр-
ной структурой. — Прикладная математика и механика, 1973, т. 37, вып. 2,
с. 262—273.
103. Фокин А. Г., Шермергор Т. Д. Эффективные модули упругости компо- '
зита, составленного из анизотропных слоев. — Механика полимеров, 1975,
№ 3, с. 408—413.
104. Хорошун Л. П. О методе определения упругих модулей армированных
тел.—Механика полимеров, 1968, № 1, с. 78—85.
105. Черных К- Ф. Линейная теория оболочек. — Л.: Изд. ЛГУ, ч. I,
1962. 274 с; ч. II, 1964, 395 с.
106. Юременко В. П. Плоская деформация композита с продольными тре-
щинами. — Механика полимеров, 1977, № 8, с. 538—540.
107. Achenbach J. D., Sun С. Т., Herrmann G. On vibrations of a lami-
nated body — Journ. of Appl. Meeh., 1968, vol. 35, N 4, p. 689—696.
108. Azar J. J. Elastic constants for multilayered sandwich cylinders. —
AIAA Journ., 1970, vol. 8, N 1, p. 157—158.
109. Bert C. W., Francis P. H. Composite material mechanics: thermoelastic
micromechanics. — Trans. New York Acad. Sci., 1974, vol. 36, N 7, p. 663—674.
110. Bert C. W., Francis P. H. Composite material mechanics: structural
mechanics. — AIAA Journ., 1974, vol. 12, N 9, p. 1173—1186.
111. Biot M. A. Edge buckling of laminated medium. — Internet. Journ.
Solids Struct., 1968, vol. 4, N 1, p. 125—137.
112. Biot M. A. A new approach to the mechanics of orthotropic multi-
layered plates. — Internal. Journ. Solids Struct., 1972, vol. 8, N 4, p. 475—490.
113. Biot M. A. Simplified dynamics of multilayered orthotropic viscoelastic
plates. — Internet. Journ. Solids Struct., 1972, vol. 8, N 4, p. 491—509.
372
114. Bolotin V. V. Vibration of layered elastic plates. — Proceeding Vibra-
tion Problems, 1963, vol. 4, N 4, p. 331—346.
115. Chamis С. C., Sendeckyj G. P. Critique on theories predicting thermoela-
stic properties of fibrous composites. — Journ. Composite Materials, 1968, vol. 2,
N 3, p. 332—358.
116. Halpin J. C., Nicolais L. Material! composite relazioni tra propriety
e struttura. — Quaderni dell’ ingegnere chimico, 1970, col. 7, N 12, p. 173—186.
117. Halpin J. C., Jerine K-, Whitney J. M. The laminate analogy for
two-and three-dimensional composite materials.— Journ. Composite Materials,
1971, vol. 5, N 1, p. 36—49.
118. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the
elastic behaviour of multiphase materials. — Journ. Meeh. Phys. Solids, 1963,
vol. 11, N 2, p. 127—140.
119. Hill R. Theory of mechanical properties of fibrestrengthened mate-
rials.— Journ. Meeh. Phys. Solids, 1964, vol. 12, N 4, p. 199—218.
120. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials.—Journ.
Meeh. Phys. Solids, 1965, vol. 13, N 4, p. 213—222.
121. Hsu T.-M., Wang T.-S. A theory of laminated cylindrical shells con-
sisting of layers of orthotropic laminae. — AIAA Journ., 1970, vol. 8, N 12,
p. 2141—2146.
122. Mead D. J., Markus S. Loss factors and resonant frequencies of enca-
stre damped sandwich beams. — Journ. Sound Vibr., 1970, vol. 12, N 1, p. 99—
112.
123. Nelson R. B. Natural vibrations of laminated orthotropic spheres. —
Internet. Journ. Solids Struct., 1973, vol. 9, N 3, p. 305—311.
124. Nemirovsky Yu. V. On the elastic-plastic behaviour of a reinforced
layer. — Internal. Journ. Meeh. Sci., 1970, vol. 12, N 10, p. 893—903.
125. Pagano N. J. Influence of shear coupling in cylindrical bending of ani-
sotropic laminates. — Journ. Composite Materials, 1970, vol. 4, N 3, p. 330—343-
126т Schmidt R. Large deflections of multisandwich shells of arbitrary
shape. — Journ. Franklin Inst., 1969, vol. 287, N 5, p. 423—437.
127. Scott R. A. Wave propagation in a layered elastic plate. — Internal.
Journ. Solids Struct., 1972, vol. 8, N 6, p. 833—845.
128. Sun С. T. On the equations for composite beams under initial stress. —
Internal. Journ. Solids Struct., 1972, vol. 8, 3, p. 385—399.
129. Swift D. G. Elastic moduli of fibrous composites containing misaligned
fibres. — Journ. Physics: ser. D, Appl. Physics, 1975, vol. 8, N 3, p. 223—240.
130. Tauchert T. R. A review: quasistatic thermal stress in anisotropic ela-
stic bodies with applications to composite materials. — Acta Mechanica, 197*
vol. 23, N 1—2, p. 113—135.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Введение............................................................ 5
Глава 1. Основы теории многослойных конструкций..................... 9
1.1. Исходные допущения ...................................... 9
1.2. Вывод основных уравнений.......................... . 17
1.3. Предельные и частные случаи............................. 26
1.4. Некоторые обобщения ................................ 31
1.5. Двухслойные и трехслойные пластины как частный случай
многослойных конструкций .................................... 42
1.6. Уравнения динамики ..................................... 52
1.7. Уравнения нейтрального равновесия....................... 57
Глава 2. Методы теории многослойных конструкций.................... 61
2.1. Конструкции регулярной структуры........................ 61
2.2. Слоистое полупространство под действием сосредоточенной
силы ....................................................... 68
2.3. Полупространство со слоями, ортогональными его поверхности 78
2.4. Приближенные методы расчета............................. 86
2.5. Краевые эффекты в многослойных конструкциях............ 100
2.6. Учет неупругого деформирования......................... 106
Глава 3. Теория многослойных конструкций с криволинейными слоями 114
3.1. Исходные допущения. Сведения из теории тензоров...... 114
3.2. Перемещения, деформации и напряжения................... 121
3.3. Основные уравнения теории многослойных упругих оболочек 126
3.4. Вариационные принципы ................................. 136
3.5. Постановка задач и методы расчета многослойных оболочек 143
Глава 4. Расчет многослойных оболочек иа статические нагрузки 147
4.1. Некоторые точные решения............................... 147
4.2. Краевые эффекты в многослойных оболочках............... 152
4.3. Расчет многослойных цилиндрических и сферических оболочек 158
4.4. Упругопластическое деформирование многослойных оболочек 169
Глава 5. Температурные задачи для многослойных конструкций . . . 174
5.1. Температурные поля в многослойных конструкциях .... 174
5.2. Уравнения термоупругости для многослойных конструкций
и методы их решения ........................................ 180
5.3. Некоторые задачи термоупругости для многослойных цилин-
дрических оболочек.......................................... 186
Глава 6. Нелинейная теория и задачи устойчивости.................. 193
6.1. Уравнения нелинейной теории............................ 193
6.2. Линеаризация уравнений ............ 198
6.3. Устойчивость многослойных конструкций с плоскими слоями 203
6.4. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек при
осевом сжатии............................................... 214
374
6.5. Устойчивость многослойных Цилиндрических оболочек при рав-
номерном внешнем давлении.................................... 222
6.6. Устойчивость многослойных сферических оболочек.......... 227
6.7. Послекритические деформации многослойных оболочек .... 232
Глава 7. Расчет многослойных конструкций на динамические нагрузки 239
7.1. Методы решения динамических задач....................... 239
7.2. Собственные колебания многослойных конструкций.......... 246
7.3. Распространение волн в многослойных упругих средах . . . 253
7.4. Поверхностные волны в многослойной упругой плите .... 263
7.5. Вынужденные колебания .................................. 268
7.6. Расчет слоистых вибродемпфирующнх покрытий.............. 274
Глава 8. Основы механики слоистых композитов....................... 285
8.1. Роль композитов в современной технике......._........... 285
8.2. Методы вычисления эффективных характеристик' слоистых
композитов .................................................. 288
8.3. Композиты, армированные волокнами....................... 296
8.4. Принцип энергетической континуализацнн в механике компо-
зитов ....................................................... 300
8.5. Уравнения механики слоистых композитов. Сравнение с тео-
рией многослойных конструкций................................ 307
8.6. Теория слоистых композитов со случайными начальными не-
правильностями ............................................. 314
8.7. Расчет рассеяния энергии при колебаниях................. 326
8.8. Методы расчета оболочек из слоистых композитов........ 330
8.9. Некоторые локальные задачи.............................. 343
Глава 9. Технологические задачи механики слоястых композитов 348
9.1. Влияние технологических факторов на надежность конструк-
ций из композитов ........................................... 348
9.2. Модели механического поведения композитов в процессе изго-
товления ............................................... 351
9.3. Намотка изделий из слоистых композитов.................. 354
9.4. Расчет развития технологических напряжений на стадии тер-
мообработки .................................................. 359
Список литературы.................................................. 368
ИБ № 2247
Владимир Васильевич БОЛОТИН,
Юрий Николаевич НОВИЧКОВ
механика МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Редактор О. Ф. Корсун Художественный редактор И. К. Капралова
Технический редактор Т. И. Андреева Корректоры А. П. Озерова и Н. И. Шарунина
Переплет художника И. Богачева
СДано в набор 03.10.79. Подписано в печать 14.04.80. Т-08315.
Формат бОхЭО1/!®- Бумага типографская Na 2
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 23,5.
Уч.-изд. л. 26,8. Тираж 5100 экз. Заказ 1532. Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., 4
Ленинградская типография № 6 Ленинградского производственного объединения
«Техническая книга» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10.