МІ. Попович, О.В.Ковальчук
/
М.Г.Попович,О.В.Ковальчук
Допущено Міністерством освіти України
Підручник для студентів вищих технічних закладів освіти
КИЇВ «ЛИБІДЬ» 1997
УД< IIІІ
Розповсюдження та тиражування Ли Офіційного дозволу видавництва заборонено
Рецензенти: чл.-кор. НАН України І. В. Волков, д-р техн. наук, проф. В. М. Ісаков, д-р техн. наук, проф. В. К. Стеклов
Редакція літератури з природничих та технічних наук
Зав. редакцією А. СУМншиенко
Редактор Т. С. Мельник
Попович М. Г., Ковальчук О. В.
П58 Теорія автоматичного керування: Підручник,— К.: Либідь, 1997,- 544 с.
І8ВИ 5-325-00805-6.
Викладено основи теорії лінійних і нелінійних безперервних та дискретних систем автоматичного керування, розглянуто загальні питання автоматизації, методи математичного описання, дослідження стійкості, поліпшення якості, корекції та синтезу систем. Висвітлено сучасні теоретичні питання чутливості, керованості та сностережуваності, оптимальні та адаптивні системи, випадкові процеси в системах. Наведено приклади, запитання для самоконтролю.
Для студентів вищих технічних закладів освіти.
ц	ББК 32 965я73
ЙІММ 1 339 00809-6
© М. Г. Попович, О. В. Ковальчук, 1997
ПЕРЕДМОВА
Дисципліна «Теорія автоматичного керування» (ТАК) є однією з важливих складових навчального плану близько 10 інженерних спеціальностей. Вона викладається на більш як ЗО кафедрах вищих навчальних закладів України з підготовки фахівців з професійним спрямуванням «Електромеханіка».
Найпоширенішою інженерною спеціальністю електромеханічного спрямування, за якою здійснюється підготовка студентів у багатьох вищих технічних навчальних закладах України, є спеціальність «Електропривод і автоматизація промислових установок і технологічних комплексів». Для неї теорія автоматичного керування має особливе значення, оскільки становить теоретичну основу багатьох спеціальних дисциплін. Насамперед це стосується дисциплін «Теорія електропривода», «Системи керування електроприводами», «Автоматизація технологічних процесів», дисциплін з програмного керування електроприводами та ін.
Викладання теорії автоматичного керування в межах навчального плану інженерних дисциплін електромеханічного спрямування має свої особливості. Головною з них є те, що загальнотеоретичні положення ТАК розглядаються при їх використанні в електромеханічних системах автоматичного керування (ЕМ САК), в яких об’єднуються механічні рухомі об’єкти (робочі машини або їхні рухомі органи) з електричними і електромеханічними (електродвигуни) пристроями, завдяки чому забезпечується перетворення електричної енергії на механічну і відбувається рух об’єктів внаслідок їх автоматизації, а це є завданням сучасного автоматизованого електропривода.
Слід наголосити, що єдиний підручник з теорії автоматичного керування, написаний для підготовки студентів з інженерних спеціальностей електромеханічного спрямування (П. В. Куропаткин «Тсория автоматического управлення»), було видано близько 20 років тому і через те він зараз не відповідає повною мірою сучасним вимогам. В Україні немає підручників з ТАК для спеціальностей електромеханічного спрямування українською мовою.
У даному підручнику висвітлено низку важливих питань, яким не приділялось уваги у вищезгаданій книзі (наприклад, метод простору стану, основи теорії чутливості, теорії графів, деякі сучасні методи син-
тезу лінійних і нелінійних систем автоматичного керумини та ш 1 1 тальніше розглянуто цифрові, оптимальні й адаптивні САК. У і ..п
главі наведено запитання для самоконтролю, а також П|'н> > > чі розв’язування різних задач з конкретних електромеханічних СИ( н м • тематичного керування або їхніх окремих елементів.
Крім інженерних спеціальнійгей електромеханічного спрчмутнч- । книга може бути корисною студентам інших спеціальностей, а пни» тим, хто цікавиться питаннями теорії автоматичного керування.
Підручник підготовлено викладачами кафедри електроприводи І автоматизації промислових установок Національного технічного університету «Київський політехнічний інститут». Передмову, вступ, гл. 1—5 і пп. 6.1—6.8 написано М. Г. Поповичем, гл. 7—12 і пп. 6.9—6.13 — О. В. Ковальчуком.
Автори висловлюють щиру подяку рецензентам І. В. Волкову, В. М. Ісакову, В. К. Стеклову за слушні зауваження.
ВСТУП
основні поняття
Під автоматизацією розуміють проведення тих чи інших операцій без участі людини або з обмеженою її участю. У першому випадку процеси називають автоматичними, а в другому — автоматизованими. Корінь наведених термінів «авто» походить від давньогрецького слова «аутос», що означає «сам», «самостійний».
Під автоматикою розуміють сферу науки й техніки, яка займається розробкою теоретичних методів і технічних засобів (елементів і систем), іцо забезпечують розв’язання завдань дослідження, виготовлення та експлуатації окремих установок і технологічних комплексів на основі їх автоматизації.
Автоматизований (автоматичний) процес може бути досить простим (наприклад, забезпечення сталого рівня рідини в деяких посудинах) і досить складним (забезпечення потрібного режиму роботи літака за допомогою автопілота тощо).
При автоматизованому (напівавтоматичному) режимі роботи установки (механізму, машини), яку в загальному випадку називають об'єктом автоматизації, роль людини здебільшого зводиться до вмикання об’єкта або до виконання окремих ручних операцій.
Основні переваги автоматизації полягають у можливостях забезпечити:
—	зростання продуктивності та поліпшення умов праці;
—	виконання робіт у важкодоступних чи взагалі недоступних для людини сферах (радіоактивні зони, космос, окремі види металургійного та гірничого виробництва);
—	підвищення точності, якості технологічних процесів і відповідних виробів;
—	зростання надійності та техніко-економічних показників і загальної культури виробництва та кваліфікації обслуговуючого персоналу.
Автоматизація ефективно застосовується на сучасному етапі розвитку людства з метою досягнення зростання показників ресурсозбереження, поліпшення екології навколишнього середовища, якості та надійності продукції.
Автоматизація виробництва проводиться за допомогою автоматичних пристроїв, які можна класифікувати за різними ознаками (при цьо
му під «пристроєм» розуміють закінчену конструкцію, яка може діяти самостійно).
Однією з найпоширеніших є класифікація за функціональним призначенням пристроїв, згідно з якою виділяють такі автоматичні пристрої: автоматичного контролю та сигналізації, автоматичного захисту, обчислювально-лічильні, блокуючі, автоматичного керування.
Пристрої автоматичного контролю та сигналізації забезпечують контроль за перебігом технологічних процесів, станом приміщень та відповідну сигналізацію. При нормальних умовах процесів використовується оптична сигналізація, а при появі відхилень від цих умов — оптична і акустична сигналізація.
Як приклад таких пристроїв можна навести автоматичні пристрої контролю тиску газу в магістралях, напруги і навантаження в електромережах.
Пристрої автоматичного захисту забезпечують захист об’єктів при появі загрози для обладнання, продукції або обслуговуючого персоналу.
Прикладами можуть бути електричний захист (струмовий, за напругою), захист від перевищення швидкості на підіймальних установках, електричний захист від замикань на грунт, газовий захист масляних електротрансформаторів.
Струмовий захист буває максимальний (захист від різкого перевантаження або короткого замикання) і тепловий (від поступового підвищення температури нагрівання електричних приладів за допустимі межі). Захист за напругою полягав у вимкненні електричних установок при зменшенні напруги до 0,65 від номінального значення (мінімальний захист) або повному її зникненні (нульовий захист).
Обчислювально-лічильні пристрої виконують самостійно (без участі людини) складні розрахунки орбіт супутників, ракет, найвигідніших технологічних режимів роботи, експрес-аналізи та ін.
Блокуючі пристрої мають призначення не допускати виконання хибних команд (наприклад, команд на виконання «зустрічних» маршрутів на одноколійних шляхах залізничного транспорту); реле дугового блокування в електричних мережах та ін.
Пристрої автоматичного керування забезпечують бажані зміни в ході процесів. Це — найскладніші і дуже поширені пристрої автоматики, теорія роботи яких і становить предмет вивчення курсу «Теорія автоматичного керування».
КОРОТКІ ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ ПРО РОЗВИТОК АВТОМАТИКИ
Вважають, що автоматика є порівняно молодий напрямок розвитку науки й техніки. Однак відомо, що ідеї автоматики і нескладні автоматичні пристрої використовувалися ще в стародавні часи в Єгипті, Греції та інших країнах. Так, жерці Єгипту користувалися різними автоматичними пристроями при спорудженні пірамід і храмів.
Рис. В. 1
Рис. В. 2
Із середніх віків є відомості про «залізну людину» феодала Альберта Великого, яка виконувала функції швейцара — відчиняла і зачиняла двері приймальної зали.
Проте автоматичні пристрої того часу ще суттєво не впливали на загальний розвиток людства і його продуктивних сил.
Першим автоматом, який мав помітний вплив на цивілізацію, був годинник. Для підвищення точності ходу годинників було розроблено відповідні «регулятори»: поплавковий — для водяних годинників і маятниковий (1675 р. , юлландський фізик і математик X. Гюйгенс) — для механічних.
Інтенсивний розвиток автоматики почався в XVIII — XIX ст. у зв’язку з промисловим переворотом в Європі, пов’язаним з використанням енергії пари.
Першим промисловим «регулятором» того часу був поплавковий «регулятор», розроблений І. І. Ползуновим для «вогнедіючої машини» (парового котла),- яку він побудував у 1765 р. у м. Барнаулі.
На рис. В. 1 показано принципову спрощену схему машини Ползунова з поплавковим регулятором рівня води у паровому котлі К. При підвищенні витрат пари рівень води Н знижувався, поплавок П опускався і діяв на замикач 3, збільшуючи надходження води в котел. При зменшенні витрат пари надходження води в котел зменшувалось. Це давало змогу різко зменшити коливання рівня води в котлі та рівня тиску пари.
На принципі зміни керованих технологічних параметрів залежно від їх відхилення відносно заданого значення в 1784 р. англійський механік Дж. Уатт побудував відцентровий «регулятор» швидкості парової машини.
Принцип керування за відхиленням величини від заданого значення, відомий як принцип Ползунова—Уатта, дістав поширення в сучасній техніці.
У 1830 р. Шиллінг у розробленому ним телеграфі запропонував перше електромагнітне реле, яке дістало практичне застосування в різних сферах промисловості.
У 1854 р. російський воєнний інженер К. І. Константинов створив
перший електромагнітний регулятор швидкості переміщення гарматних башт військово-морських суден, який мав велике значення для підвищення влучності й швидкодії морської артилерії (рис. В. 2). Коле-со-шків КШ, сполучене з гарматною баштою, при її обертанні приводило в дію систему з’єднаних посудин СІ і С2, заповнених ртуттю. При збільшенні швидкості обертання гарматної башти під дією відцентрової сили ртуть замикала контакт К1, що викликало виникнення електричного кола: батарея Б, контакт К1, обмотка електромагніту ЕЛІ, мінус батареї.
При цьому якір Я1, зв’язаний з гальмом Г1, повертався, що приводило до виникнення гальмівного зусилля на колесі КШ. З підвищенням швидкості замикався контакт К2 і під дією гальма Г2 виникало додатне гальмівне зусилля.
У 1856 — 1871 рр. В. М. Чиколєв розробив регулятори для дугових ламп, у 1887 р. О. Г. Столєтов створив фотоелемент, а в 1871 р. математик П. Л. Чебишев у своїй праці про відцентровий регулятор почав теоретичні дослідження автоматичних регуляторів. Одним із фундаторів теорії автоматичного керування вважається професор Петербурзького практичного технологічного інституту І. О. Вииґнєградський, який опублікував у 1876 і 1878 рр. свої класичні праці «Про загальну теорію регуляторів» та «Регулятори прямої дії». В них регулятор і робоча машина розглядались як єдина динамічна система.
Розробки П. Л. Чебишева дістали подальший розвиток у працях словацького вченого А. Стодола та австрійського математика А. Гурвіца. Приблизно в той час в Англії питанням автоматичного керування приділяли увагу англійські вчені Дж. Максвелл, Раус та ін. Важливий внесок у розвиток теорії автоматичного керування зробили американські вчені Толле і Трінкс.
Велике значення для розвитку теорії автоматичного керування мали дослідження академіка О. М. Ляпунова, який в 1892 р. у своїй праці «Загальна задача про стійкість руху» заклав основи теорії стійкості нелінійних динамічних систем, а також обгрунтував вихідні положення лінійної теорії автоматичного керування.
Важливою подією було опублікування М. Є. Жуковським у 1909 р. першого російського підручника «Теорія регулювання ходу машин», в якому, крім узагальнення відомих положень, було наведено нові дослідження рс-гулятора з сухим тертям, основи теорії переривчастого регулювання.
В XX ст. енергія пари дедалі більше замінювалась електричною енергією, і питанням автоматизації різних електроустановок приділялося більше уваги. У цей період виникають автоматичні електростанції, автоматизуються окремі промислові ділянки, цехи та цілі підприємства (наприклад, цементні заводи та ін.). Ставляться і вирішуються завдання комплексної автоматизації цілих промислових процесів і виробництв.
У подальший розвиток теорії автоматичного керування свій внесок роблять учені різних країн світу.
В 30-ті роки нашого століття з’являються нові — частотні — методи дослідження, які розроблялися в працях американського вчено
го X. Найквіста, російського вченого А. В. Михайлова, німця Леонарда, англійця Принца та ін.
У 1946 р. Г. Боде та Л. Мак-Кол застосували в практичних цілях логарифмічні характеристики. Г. Браун, А. Холл, Д. Кемпбелл, Г. Чест-иад, В. В. Солодовніков та інші вчені розробили зручні для інженерної практики методи та методики дослідження й синтезу систем автоматичного керування на основі частотних характеристик.
Великий внесок у розвиток нелінійної теорії автоматичного керування зробили 0. 0. Андронов, М. М. Крилов, М. М. Боголюбов, А. І. Лур’є, 0. М. Льотов, 1. М. Вознесенський, Л. С. Гольдфарб та ін.
В теорію синтезу нелінійних систем значний внесок зробив румунський вчений В. М. Попов.
Для розвитку теорії інваріантності (незалежності об’єкта від дії збурень) велике значення мали праці Г. В. Щипанова, В. С. Кулебакіна, Б. М. Петрова, 0. І. Кухтенка та ін.
В 60—80-ті роки теорія автоматичного керування вирішує все складніші питання з розробки нових систем, методів їх дослідження та синтезу. Так, у теорію розвитку систем із змінною структурою великий внесок зробив С. В. Ємельянов.
Я. 3. Ципкін є одним з відомих вчених у галузі основ теорії релейних та імпульсних систем.
Важливі роботи для розвитку теорії оптимального керування виконали Л. С. Понтрягін, М. М. Красовський, О. М. Льотов та ін.
Великою подією в розвитку ТАК була поява в 1948 і 1952 рр. праць американського вченого Н. Вінера, які стали основою нового напрямку розвитку ТАК — кібернетики (науки про загальні положення керування і зв’язок у різних системах). Великий внесок в її розвиток зробили українські вчені В. М. Глушков і 0. Г. Івахненко та російські вчені А. І Берг, А. М. Колмогоров.
На основі методів кібернетики було розроблено автоматизовані лю-дино-машинні системи, що дістали назву «Автоматизовані системи керування» (АСК), у тому числі технологічні процеси (АСК-ТП), в яких широко застосовується електронна обчислювальна техніка.
Теорія автоматичного керування продовжує інтенсивно розвиватися, відповідаючи на нагальні потреби виробництва. Серед сучасних напрямків розвитку ТАК — теорія робототехнічних систем, гнучкі виробництва, багатовимірні екстремальні системи, теорія оптимального керування тощо.
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ ПРО КІБЕРНЕТИКУ ЯК НАУКУ ПРО КЕРУВАННЯ
Термін «кібернетика» походить від давньогрецького слова «кібернетос» (рульовий, який керує рухом). У 1843 р. французький фізик А. Ампер, виконуючи класифікацію існуючих і можливих у подальшому наукових напрямків розвитку, запропонував назвати науку про загальні закони керування кібернетикою.
У наш час під керуванням розуміють будь-яку дію, яка вносить ба
жані зміни в процес (цілеспрямована дія) і грунтується на використанні початкової і робочої інформацій.
При цьому під інформацією розуміють різні відомості, які дістають на підставі досвіду в найширшому його розумінні (історичному, технічному, експериментальному та ін.).
Початкова (апріорна) інформація — це інформація, яка вже є до по- 1 чатку роботи об’єкта (системи).
Робоча інформація — це відомості, які дістають у ході роботи системи.
У першій праці Н. Вінера (1948 р.) «Кібернетика або керування і зв’язок в живому та машині» кібернетика розглядалась як наука про керування і зв’язок у технічних і біологічних системах. У подальшому Н. Вінер запропонував поширити сферу її впливу на будь-які системи, включаючи й соціальні.
В наш час під кібернетикою все частіше розуміють науку про керування і зв’язок в організованих системах, у системах, до складу яких входять живі організми та їх об’єднання (людино-машинні системи). При цьому керування розглядається як процес перетворення та використання інформації. Інформація про об’єкт перетворюється згідно з метою керування і у вигляді сигналів (відповідних команд) подається до об’єкта.
Академік А. М. Колмогоров визначив кібернетику як вчення про способи добування, збереження, перетворення і використання інформації в машинах, живих організмах та їх об’єднаннях.
Крім зазначених вище властивостей кібернетики, її основними особливостями є те, що:
—	керування виконується при неповній початковій інформації; наявна початкова інформація не може забезпечити вирішення поставленого завдання в повному обсязі на весь час роботи системи; для його вирішення необхідно діставати та аналізувати робочу інформацію, що надходить, і з її врахуванням формувати відповідні команди керування;
—	для вироблення потрібної команди керування, як правило, вирішується логічне завдання щодо вибору або формування найбільш вигідного в даних умовах, тобто оптимального, рішення;
—	керування може виконуватися в системах з кількома об’єктами (велика система), які часто мають протилежні інтереси, в умовах випадкового характеру зміни властивостей, збурень (характеристик) системи.
За цими особливостями кібернетику можна визначити також як науку про оптимальне керування складними динамічними системами (академік А. І. Берг).
Принципи кібернетики як загальної науки про керування в найрізноманітніших умовах (системах) покладено в основу сучасних термінів і понять теорії автоматичного керування.
Глава 1
ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
1.1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ ТА її ЕЛЕМЕНТИ
Під системою автоматичного керування (САК) розуміють сукупність об’єкта керування (робочої машини, механізму) та з’єднаних певним чином елементів, взаємодією яких забезпечується розв’язання поставленого завдання керування об’єктом.
Основними елементами САК є: об’єкт керування; вимірювальний, або чутливий, елемент; керуючий елемент (орган); виконуючий елемент (орган).
Вимірювальний (чутливий) елемент фіксує зміни вихідної (регульованої) величини об’єкта і в багатьох випадках перетворює її на величини іншого роду. В деяких САК чутливий елемент контролює зовнішні збурення, що діють на об’єкт; вони визначаються функцією /(і).
Як чутливі елементи САК часто використовують датчики, що перетворюють неелектричні величини (швидкість, тиск, зусилля, момент та ін.) на електричні (опір — активний, індуктивний, ємнісний, напругу, струм — постійний, змінний, частоту, фазу та ін.). Існують датчики активного опору, індуктивні, ємнісні, а також датчики напруги, струму, швидкості, тиску, моменту та ін.
Керуючий елемент дістає інформацію від чутливого елемента і формує потрібний сигнал для виконуючого елемента. Часто він виконує і функції підсилювача. Основними видами підсилювачів є напівпровідникові, електромашинні, магнітні, електронні та іонні. Із неелектричних найбільш поширені гідравлічні та пневматичні підсилювачі.
Як приклад розглянемо формування потрібного сигналу за допомогою електромашинних або магнітних підсилювачів, в яких сигнал формується за допомогою обмоток керування. В цьому разі дійсна величина у вигляді напруги (струму) від чутливого елемента надходить до однієї з обмоток керування, яка формує відповідний магнітний потік, пропорційний дійсному значенню регульованої величини х . Друга обмотка (завдання) формує зустрічний магнітний потік, пропорційний заданому значенню регульованої величини хз.
Як результат взаємодії зустрічно включених обмоток керування формується сигнал рбзузгодження
А = ха - хз,	(1. 1)
який після відповідного підсилення надходить до виконуючого елемента системи.
Виконуючий елемент забезпечує потрібний режим роботи керуючих органів об’єкта.
Залежно від технологічних особливостей об’єкта керування виконуючим елементом можуть бути різного роду серводвигуни обертального або поступального руху, що діють на відповідні технологічні регулюючі пристрої — засувки трубопроводів подачі стисненого повітря, пари, води, ручки керування, перемикачі швидкості та ін.
Крім згаданих основних елементів, до САК можуть входити й інші елементи, які виконують функції проміжних перетворювачів, підсилювачів тощо.
Якщо всі елементи САК позначити прямокутниками, розмістивши їх у послідовності, що відповідає їх взаємодії, а напрямок цієї взаємодії вказати стрілками, то дістанемо функціональну схему САК. Якщо на функціональній схемі відобразити характеристики (рівняння, криві залежності вихідних параметрів від часу або деякі інші), що визначають динамічні властивості елементів системи, то дістанемо так звану структурну схему САК. Елементи відповідних схем називають ланками. Треба мати на увазі, що іноді, для зручності математичного описання динамічних процесів, можна об’єднувати частини деяких фізичних елементів в окрему ланку структурної схеми.
Функціональні (структурні) схеми різних САК можуть відрізнятись одна від одної за багатьма ознаками, які детально розглядатимуться далі.
1.2. СИСТЕМА АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЗВОРОТНІ ЗВ'ЯЗКИ
Розглянемо робочу машину, яка є об’єктом автоматичного керування. Навантаження її Р необхідно підтримувати на однаковому рівні, забезпечуючи рівність його заданому навантаженню Рз:
Р = Рз.
Нехай навантаження об’єкта можна змінити за рахунок відповідного зменшення (або збільшення) швидкості руху об’єкта. Якщо поставлене завдання вирішується при ручному керуванні, то машиніст (оператор) повинен виконати такі елементарні операції:
Регулятор	а
Рис. 1.1
—	визначити за допомогою вимірювального приладу дійсне значення навантаження Рд;
—	обчислити відхилення дійсного значення від заданого та його знак (величину розузгодження):
Рис. 1. 2
АР = Р - Р;
д з’
—	залежно від значення і знака АР подіяти на органи керування швидкості робочої машини в напрямку зменшення АР ;
—	визначити нове значення Р' .
Якщо Р ' *Р3, то цикл керування повторюється.
При вирішенні поставленого завдання за допомогою автоматичного керування окремі операції повинні виконуватись окремими елементами системи: вимірювальним (чутливим) — ВЕ, керуючим — КЕ, виконуючим — ВикЕ.
Позначивши робочу машину — об’єкт керування — буквою О, а збурення, що діють на неї, — /,(0, /2^> • • • > побудуємо відповідну функціональну схему САК (рис. 1. 1, а). На рисунку керуючий елемент показано у вигляді двох складових — вузла порівняння і підсилювача П. На рис. 1.1, а—в показано три варіанти визначення вузлів порівняння, що трапляються в технічній та навчальній літературі.
Особливістю наведеної схеми САК є замкнута функціональна схема. САК, які мають замкнуту функціональну (структурну) схему, називають системами автоматичного регулювання (САР), або системами із зворотним зв’язком. Всі елементи замкнутої САК, крім об’єкта, об’єднуються єдиним поняттям — регулятор (Р). У зв’язку з цим спрощену функціональну схему САК можна зобразити у вигляді двох елементів — об’єкта і регулятора (рис. 1. 2). Слід підкреслити, що САР є окремим випадком системи автоматичного керування.
Замикання САК має виконуватися таким чином, щоб вихідна величина об’єкта хвих, що змінюється під впливом збурень /^ґ), .. ., /п(ґ), на вході регулятора була перетворена регулятором так, щоб вхідна величина об’єкта хвх діяла на об’єкт в напрямку, протилежному дії збурень. Даний зворотний зв’язок називають головним від 'ємним зворотним зразком САР.
1.3. ПРИНЦИПИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ. КОМБІНОВАНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Головними принципами автоматичного керування є принцип керування за збуренням (Понселе—Чиколєва) і принцип керування за відхиленням (Ползунова—Уатта).
Рис. 1. З
Принцип керування за збуренням іноді називають компенсаційним. Його було запропоновано французом Ж. Понселе і вперше широко використано в регуляторах дугових ламп освітлення російським електротехніком Чиколєвим у другій половині XIX ст.
Суть принципу керування за збуренням полягає в тому, що залежно від зміни збурення /(І), контрольованого вимірювальним елементом ВЕ, на вхід об’єкта О надходить величина хвх, яка повинна діяти на об’єкт таким чином, щоб викликати зміну режиму його роботи, що компенсує дію збурення відносно вихідної (регульованої) величини об’єкта.
Особливістю принципу керування за збуренням є використання розімкнутих (відносно вихідної величини об’єкта) схем керування (рис. 1. 3). У цих схемах немає автоматичного контролю вихідної величини об’єкта хвих: команда керування формується лише залежно від зміни збурення. Перевагами керування за збуренням є відносна простота та надійність САК при наявності одного (головного) збурення, якщо іншими збуреннями можна знехтувати.
До недоліків цього принципу керування слід віднести труднощі контролю збурень у деяких технологічних об’єктах та дещо меншу точність. Ці недоліки особливо помітні, коли' на об’єкт діє кілька рівноцінних збурень, врахування яких потребує підвищення складності та зменшення надійності САК, а нехтування ними різко знижує точність системи.
Принцип керування за відхиленням дійсного значення вихідної величини об’єкта від його заданого значення було запропоновано І. І. ГІолзуно-вим і вперше реалізовано в 1765 р. в його паровій машині для підтримання сталого рівня води в котлі. В 1784 р. англієць Дж. Уатт вперше використав для стабілізації швидкості обертання парової машини відцентровий регулятор, який також діяв на принципі керування за відхиленням.
Для реалізації принципу керування за відхиленням САК має бути замкнутою. Основною особливістю і перевагою цього принципу є те, що САК реагує на відхилення дійсного значення регульованої величини від заданого незалежно від причин, які зумовили це відхилення. Отже, САК, побудована на даному принципі, враховує кінцевий результат всіх причин появи відхилення і тому може мати вищу точність керування.
САК, побудовані на принципі керування за відхиленням, мають більш складні методи їх розрахунку, дослідження та настроювання. В цілому цей принцип керування використовується при потребі дістати високу точність як в статичних, так і в динамічних режимах.
На практиці використовуються також системи з комбінованим принципом керування. Принципову схему комбінованої САК показано на рис. 1. 4. Вона має два канали керування.
Один з них діє за принципом керування за збуренням (ВЕ2 — КЕ — ВикЕ — О) і має розімкнутий контур, а другий — за принципом керування за відхиленням вихідної величини хвих від заданого значення §(1) і має замкнутий контур (ВЕ1 — ВП — КЕ — ВикЕ — О).
Основною перевагою комбінованого керування є можливість дістати високу точність при кращих динамічних характеристиках, ніж у відповідній САК, побудованій за принципом керування за відхиленням, про що детальніше буде сказано далі.
1.4. ВИДИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Основні принципи класифікації. САК можна класифікувати за різними ознаками: принципом керування; кількістю регульованих параметрів і контурів; виглядом статичних і динамічних характеристик; структурними особливостями системи тощо.
Одним із поширених принципів класифікації є інформативний. В його основі лежать особливості здобуття і використання інформації.
На рис. 1. 5 показано відповідну схему класифікації САК. Коротко розглянемо основні особливості окремих САК.
Рис. 1. 5
Системи з повною початковою інформацією. Такі системи іце називають звичайними. Вони мають початкову інформацію, достатню для розв’язання поставленого завдання на період всього часу роботи системи.
Як видно з рис. 1. 5, звичайні системи бувають із розімкнутою і замкнутою структурною схемами (відповідно розімкну ті і замкнуті системи).
Замкнуті САК називають також системами із зворотним зв'язком (або системами автоматичного регулювання — САР). Вони діють за принципом Ползунова—Уатта, розглянутим вище.
В свою чергу САР бувають трьох видів: стабілізації, програмні і слідкуючі.
С и с т е м и стабілізації повинні забезпечувати стале значення вихідної величини об’єкта
= сопзі.	<1- 2)
Прикладом таких систем можуть бути САР навантаження, напруги, частоти, швидкості, тиску газу, температури, рівня тощо. Це дос и гь поширений вид САК.
Програмні САР повинні забезпечувати зміну регульованої величини за деякою заздалегідь відомою програмою
хвих = Уаг = £ (і).	(1. 3)
Слідкуючі САР також мають завдання забезпечувати
Хвих = уаг = £ (ґ),
але принципова їх відмінність від програмних САР полягає в тому, що потрібний для виконання закон зміни регульованої величини ц (і) заздалегідь не відомий, а формується в ході роботи системи.
Програмні системи широко використовуються у верстатах з програмним керуванням, системах програмного гальмування (наприклад, на шахтних підйомних машинах) та ін.
Характерним прикладом слідкуючих САР можуть бути різні системи наведення на ціль в ракетних військах, зенітній артилерії. В цьому разі потрібна програма заздалегідь не відома. Вона зумовлюється зміною положення об’єкта стеження (літака або ракети) і з великою точністю і швидкістю повинна відтворюватись системою наведення.
Розімкнуті САК бувають двох видів: компенсаційні і програмного керування. Вони діють за принципом керування за збуренням.
Компенсаційні системи забезпечують формування таких сигналів керування на вході об’єкта, які компенсують дію на нього відповідного збурення {(і).
Система програмного керування, на відміну від систем програмного регулювання, крім того, що мають розімкнуту схему, повинні згідно із заданою заздалегідь програмою ще й забезпечувати відповідну зміну режиму роботи об’єкта. При цьому потрібна робоча інформація може існувати у вигляді кулачків, профільних 16
$5^53
дшків, програм на перфокартах (перфострічках) тощо. В такий спосіб програмуються необхідні зміни технологічного процесу. Прикладом можуть бути ліфтові підйомні установки, де кінцеві вимикачі забезпечують необхідні зміни режиму роботи електропривода залежно від положення кабіни ліфта.
Комбіновані системи автоматичного керування було розглянуто в п. 1. 3.
Системи з неповною початковою інформацією. Кібернетичні системи. Системи з неповною початковою інформацією або кібернетичні є системами, які для розв’язання поставлених завдань повинні в процесі роботи діставати додаткову інформацію, аналіз якої дає змогу сформувати потрібні команди керування.
Кібернетичні системи існують двох видів: самонастроювальні та ігрові.
Самонастроювальні системи (СНС). У загальному випадку команда на керування об’єктом формується як результат взаємозалеж-ностей між характеристиками об’єкта, елементів та збурення. Якщо в процесі роботи об’єкта деякі з характеристик змінюються, то це може призвести до небажаної зміни режиму роботи об’єкта (системи), погіршення якості процесів керування. СНС можуть призвичаюватись (адаптуватись) до зміни (часто випадкової) зовнішніх умов, забезпечуючи потрібні показники якості керування.
Функціональна схема СНС наведена на рис. 1. 6. Основною її особливістю є додатковий регулятор ДР, на вхід 1 — 4 якого надходить інформація: про зміни збурення (/), завдання (2), значення вихідної величини об’єкта (5), параметри об’єкта (4).
Додатковий регулятор в результаті аналізу здобутої інформації формує коректуючу дію, яка надходить на вхід основного регулятора ОР і забезпечує самонастроювання (адаптацію) системи. Додатковий регулятор у кібернетичних САК, як правило, це електронно-обчислювальна машина, яка забезпечує виконання логічних операцій і прийняття найвигідніших (оптимальних) у даних умовах рішень. Характерним прикладом СНС є автопілот на сучасних літаках, який залежно від зміни ваги, аеродинамічних характеристик літака, сили і напрямку вітру та інших факторів забезпечує оптимальний режим польоту.
Екстремальні СНС. На практиці досить часто постає завдання забезпечити керування на екстремумі деякої функції у (рис. 1. 7), яка є функцією двох величин.
Нехай
у = / (А, у>),	(1. 4)
де — регулюючий параметр; А — параметр, що характеризує стан об’єкта.
При деякому стані об’єкта А = А, для забезпечення роботи на екстремумі функції у1тах необхідно мати в системі значення регулюючого параметра <р = <рґ Якщо стан об’єкта зміниться і при цьому А = А2, то для роботи на відповідному екстремумі нової-характеристики у = у2піах
Рис. 1. 6
Рис. 1. 7
система повинна забезпечити нове значення регулюючого парамет
ра = <рг.
При ручному керуванні, при великій швидкості зміни параметра Л потрібно було б весь час змінювати настроювання системи, забезпечуючи рівність у = утах, що практично неможливо. Тому розв’язання подібних завдань потребує використання особливих екстремальних, самонастроювальних систем, які забезпечують автоматичне настроювання на екстремум відповідної функції. Екстремальні СНС використовуються для забезпечення максимально можливої продуктивності, мінімального питомого рівня витрат енергії та ін.
Існують два види екстремальних СНС: з автоматичним пошуком екстремуму функції і безпошукові.
Основними методами автоматичного пошуку екстремуму функції є: метод послідовних кроків, метод знаходження похідних, спосіб за
пам’ятовування екстремуму, метод накладання вимушених коливань на вхід об’єкта.
Метод послідовних кроків (рис. 1. 8). В системі встановлюють деяке довільне значення	після чого змінюють
відповідне значення у = у,, дають приріст Д</? та вимірюють у = у2. Якщо у2 > у., то дають
новий приріст величині у в тому самому напрямку (роблять новий «крок»). Якщо при цьому Уз < У2> т0 Роблять зворотний крок, оскільки результат свідчить про проходження екстремуму функції. Внаслідок даної методики пошуку екстремуму в системі виникають коливання навколо точки фактичного екстремуму у = утах і
Рис. 1. 9
забезпечується режим роботи з настроюванням, близьким до максимального значення функції утах.
Метод знаходження похідних. При цьому методі .. (іу г,	,
визначають знак похідної Екстремум функції в даному разі знахо-диться в інтервалі
0<^<0.
а<р
Спосіб запам’ятовування екстремуму. В цьому разі система знаходить екстремум функції у і запам’ятовує його, після чого відповідним чином реагує на відхилення функції у від екстремального значення.
Метод накладання вимушених коливань на вхід о б’ є к т а (рис. 1. 9). Характеристику об’єкта у = /(<р) наведено на рис. 1. 9,а. Якщо при роботі в точці а0 на зростаючій частині характеристики на вхід об’єкта подати гармонічні коливання (рис. 1. 9, в), то на виході об’єкта виникнуть періодичні коливання (крива /, рис. 1. 9, б). Якщо буде пройдено екстремум функції у = /(</>) і гармонічні коливання надходитимуть на вхід об’єкта при роботі його в точці Ьа вихідної характеристики, що відповідає «спадаючій» гілці, то фаза коливань на виході об’єкта зміниться на 180° (крива 2, рис. 1. 9, б ).
Така зміна фази коливань на виході об’єкта є ознакою проходження точки екстремуму. За допомогою фільтрів, що встановлюються на виході об’єкта, можна виділити змінну складову вихідного сигналу і використати її для керування виконавчим двигуном настроювання системи.
Загальним недоліком розглянутих СНС є наявність пошукових коливань, а також їх відносно низька перешкодостійкість. На практиці
трапляються об’єкти з екстремальними характеристиками, для яких за технологічних умов пошукові коливання недопустимі. Для розв’язання завдань екстремального керування в цьому випадку необхідно використовувати безпошукові СНС. Як приклад на рис. 1.10 наведено функціональну схему безпошукової СНС.
На рис. 1. 10 позначено: ЛО, НО — відповідно лінійна та нелінійна частини об’єкта; МІ, М2 — моделі нелінійної частини об’єкта; ПІ, П2, ПЗ — підсилювачі; ВЕ — виконуючий елемент.
До кожної моделі прикладено одночасно збурення Л' і керуючі дії х. На модель також впливають додаткові керуючі дії +Дх та -Дх.
Якщо на вхід НО подіє керуючий сигнал х,, то на першій моделі вихідна величина, що відповідає вхідному сигналу х, + Дх, дорівнюватиме (після підсилення) <р'}, а на виході другої моделі - <р'2. При цьому характеристики моделей зміщуються вліво і вправо відносно характеристики об’єкта. Вихідні величини моделей подаються на пристрій порівняння ПП.
Після підсилення вихідна величина ПП з врахуванням її знака формує сигнал керування, який забезпечує рівність
іР'ї “ Р'г = 0-
Цю рівність можна дістати лише при значеннях х, що відповідають екстремуму характеристики об’єкта.
Отже, при наявності моделей і відповідної системи керування можна забезпечити роботу об’єкта з екстремальним значенням його вихідної величини <р незалежно від значення збурення А.
СНС із самонастроюванням коректуючих ланок. Основною особливістю даних систем є те, що перехідний процес самонастроювання в контурі додаткового регулятора ДР (див. рис. 1. 6) більш тривалий порівняно з процесом у контурі основного регулятора ОР. У зв’язку з цим результат самонастроювання можна використовувати лише на наступних етапах (циклах) роботи об’єкта.
Існують три основних види таких СНС: з екстремальним самонастроюванням, з розімкнутим та замкнутим контуром самонастроювання коректуючих ланок.
Самооптимізуючі СНС. Характерною особливістю таких систем є можливість використання результатів самонастроювання системи в даному циклі її роботи. Це досягається завдяки тому, що тривалість перехідного процесу в контурі додаткового регулятора менша, ніж в контурі основного регулятора.
Ігрові системи, автоматичного керування (ІСАК). Ігрові системи мають такі основні особливості:
—	процес керування виконується в деякій системі з багатьма взаємозв’язаними об’єктами («велика система»);
—	інтереси сторін (об’єктів) є протилежними;
—	дії сторін і збурень в системі можуть відбуватися за відомими правилами (алгоритмами), а також мати випадковий характер.
Як класичний аналог принципів побудови і дії ігрової системи, що визначило назву цього виду САК, можна навести карточні ігри, які об’єднують кількох гравців (або груп) з різними інтересами. Надходження карт до гравців має випадковий характер, гра йде при неповній інформації; кожен гравець хоче виграти тощо.
Формування команд в ІСАК може проводитись за порівнянням багатьох можливих розв’язків (виборів) на окремих етапах — кроках.
Критерієм для порівняння окремих виборів є функція вигоди, яка визначається заздалегідь на основі аналізу керованої операції в даній системі за допомогою методів теорії дослідження операцій.
Розв’язок, що відповідає найбільшому значенню функції вигоди, називається оптимальним. (Тому не мають сенсу досить поширені на практиці вислови «найбільш оптимальний» і т.п.)
Основним елементом ІСАК є керуюча машина КМ (рис. 1. 11), яка має забезпечувати на основі робочої та наявної початкової інформацій формування найбільш вигідного (оптимального) в даних умовах і прийнятих обмеженнях процесу керування.
Початкова інформація про першу сторону повинна мати необхідні відомості про властивості керованого процесу і бути достатньою для находження виборів і функції вигоди.
Інформація про другу сторону, як правило, мінімальна. Робоча Інформація має поточні відомості про стан і дії сторін.
ІСАК бувають двох видів: з набором шаблонних розв’язків; з автоматичним пошуком оптимального розв’язку.
В системі з набором шаблонних розв’язків оптимальні розв’язки для конкретних умов знаходяться заздалегідь і зберігаються в пам’яті КМ. Знаходження оптимального розв’язку забезпечується перебором нідомих розв’язків і вибором такого, який найбільшою мірою відповідає Конкретним умовам.
Особливостями ІСАК даного виду є: відносно тривалий процес знаходження розв’язку; приблизний характер знаходження оптимального розв’язку завдяки тому, що в пам’яті машини зберігається скінченна кількість знайдених раніше розв’язків (при цьому прийнятий за оптимальний розв’язок в окремому випадку може не досить точно відповідати конкретним умовам); необхідність мати велику пам’ять ЕОМ.
Кращими ІСАК з автоматичним
пошуком оптимального розв’язку є такі, які на основі інформації про другу сторону з більшою швидкодією і точністю знаходять оптималь-
ний розв’язок.
На основі принципів дії ІСАК розроблено автоматизовані системи керування (АСК) найрізноманітнішого призначення: автоматизовані системи керування технологічними процесами (АСК ТП); виробництва (АСК В); керування галузями промисловості (АСК Г) та ін.
За допомогою ІСАК розв’язуються складні транспортні завдання оптимального перевезення зустрічних вантажів; завдання пошуку оптимального місцезнаходження електростанцій, окремих виробництв
тощо.
Коротко зупинимося на класифікації САК за іншими критеріями та їх основними особливостями.
Системи прямої і непрямої дії. В системах прямої дії вимірювальний елемент самостійно діє на регулюючий орган. Так, на рис. 1.12 показано систему прямої дії регулювання швидкості. Вимірювальний елемент ВЕ, який контролює швидкість обертів деякого об’єкта О, самостійно діє на керуючий орган, який змінює кількість енергоносія (£, що надходить в об’єкт керування. Якщо швидкість обертання а> збільшується, то кулі К1 і К2 під дією відцентрової сили переміщуються вгору, що призводить до переміщення муфти М та регулюючого органу РО. Завдяки цьому зменшуються надходження енергоносія (2 і швидкість обертання об’єкта ш.
Основною перевагою систем прямої дії є простота і надійність, недоліком — необхідність мати потужний і, внаслідок цього, малочутливий, досить інерційний вимірювальний елемент, який може безпосередньо переміщувати керуючий (регулюючий) орган об’єкта. При цьому низькій чутливості вимірювального елемента відповідає мала точність керування, а значна інерційність негативно впливає на динамічні властивості системи.
В системах непрямої дії вихідний сигнал вимірювального елемента підсилюється за допомогою підсилювача. На рис. 1. 13 показано САК непрямої дії швидкості об’єкта. В цій системі муфта М вимірювального еле-
мснта діє на золотник 3 гідропідсилювача ГП. Золотник, виходячи з нейтрального положення, як показано на рисунку, забезпечує надходження масла у верхню порожнину циліндра гідропідсилювача, що веде до відповідного переміщення поршня П, регулюючого органу РО і швидкості ш. Перевагою систем непрямої дії є більша точність і, часто, кращі динамічні властивості, що зумовлює їх широке застосування на практиці.
Статичні й астатичні САК. Основною із ознак даних систем є вигляд регулювальної характеристики, що показує залежність регульованої величини в статичному положенні від витрат робочого середовища.
Статичною САК називають систему, в якій регульована величина при зміні зовнішніх збурень на об’єкті, змінюючись в деяких допустимих межах, після закінчення перехідного процесу залежно від зовнішнього збурення має різні значення.
Регулювальна характеристика в загальному випадку має вигляд
у = С + А(х),	(1. 5)
де С — середнє значення регульованої величини х; А(х) — функція збурення, яка визначає відхилення регульованої величини від її середнього значення в межах зони регулювання.
Необхідна умова якісного регулювання С » А(х).
Астатичною САК називають систему, в якій регульована величина при зміні зовнішніх збурень після завершення перехідного процесу набуває строго сталого значення при різних величинах зовнішніх збурень.
Як приклад розглянемо астатичну (рис. 1.14, а) і статичну (рис. 1.15, а) ( ЛР рівня Н деякого робочого середовища (рідини) ().
Завданням і статичної, і астатичної систем є підтримання сталого рівня Н (стабілізація) в резервуарі при зміні величини
Якщо при астатичній САР витрати <2г збільшаться, то у зв’язку з початковим зменшенням рівня //поплавок П переміститься вниз, що призведе до відповідного переміщення повзунка потенціометра ПТ відносно його початкового положення 0. При цьому на якірному колі
двигуна Д виникне напруга II відповідної полярності. Завдяки цьому двигун переміщуватиме регулюючий орган системи РО, забезпечуючи зростання надходження кількості рідини ^2 і рівня Н. Регулюючий орган переміщуватиметься доти, доки напруга на якірному колі не буде дорівнювати нулю, що можливо тільки при значенні рівня, який дорівнює заданому: Н = Нз при умові рівності витрат і надходження рідини (& = <22 = &
Згідно з викладеним вище в астатичній системі можливе лише одне положення рівноваги при значенні регульованої величини Н = Яз, яка досягається в статичному стані при різних значеннях витрат робочого середовища £>.
Регулювальна характеристика Н = /(<2) (рис. 1. 14, б) астатичної системи є горизонтальна пряма.
Якщо знехтувати нечутливістю елементів системи, то астатична (АР в принципі може підтримувати регульовану величину після завершення перехідного процесу на заданому рівні без будь-яких відхилень.
У статичній САР (рис. 1. 15, а) при збільшенні витрат ((2, > (22) рівень II і поплавок П будуть переміщуватись вниз. Завдяки цьому регулюючий орган РО забезпечить збільшення надходження робочого середовища (22-
Нового стану рівноваги буде досягнуто при (З, = ()2 = () для нового ріння Н, меншого від початкового.
Таким чином, статичні САР не можуть забезпечувати підтримку регульованої величини на строго сталому рівні. Отже, можливі Відхилення регульованої величини від заданого рівня Нз залежно від Витрат робочого середовища. Регулювальна характеристика статичної (’АР після завершення перехідного процесу (статична характеристика статичної САР) є похила пряма (рис. 1. 15, б).
Точність підтримання заданого значення регульованої величини в Статичних системах визначається коефіцієнтом нерівномірності або етатизмом <3.
У даному випадку
С'Р	(1. 6)
Величину етатизму іноді визначають як відношення відхилення регульованої величини до її максимального значення:
У відносно грубих САР величина етатизму може становити 10—20 %.
В астатичних системах залежно від витрат робочого середовища 'Для завершення перехідного процесу регулюючий орган також може іймати різне положення, але при одному й тому ж значенні регульо-піої величини.
Для технічної реалізації цієї особливості в астатичних САР повинні ми так звані астатичні ланки, рухомий елемент яких при відсутності іурення може займати довільне положення. Такою ланкою системи в і іі.іглянутому прикладі є двигун постійного струму, якір якого може їй мати довільне положення при відсутності напруги на якірній об-іогці двигуна.
Системи неперервної і перервної дії. Неперервною САР є система, її якій структура всіх зв’язків у процесі роботи не змінюється і величина пп виході кожного елемента є неперервною функцією збурення і часу.
В перервних САР при роботі системи можливі зміни структури в'язків, через що сигнал на виході (елемента, об’єкта) є перервною функцією часу (, а також вхідної величини хвх.
Рис. 1. 16
Існує два види перервних систем — релейні та імпульсні.
Релейною {імпульсною) називають систему, в складі якої є хоча б одна релейна (імпульсна) ланка, тобто ланка, яка має релейну (імпульсну) характеристику. Основні види релейних характеристик хвих = /(Х,х) показано на рис. 1. 16, а, б, в.
Як видно з рис. 1. 16, а, при зростанні вхідної величини до певного значення хвх = х вихідна величина стрибком змінюється до значення х . При подальшому зростанні х,х, хвих релейного елемента не зміниться. При зменшенні хвх, коли хвх = хвк, виникає стрибкоподібна зміна вихідної величини до початкового рівня.
Значення вхідної величини при її зростанні, що відповідає стрибкоподібній зміні величини на виході ланки, називають величиною спрацьовування (зрушення) реле, а відповідне значення вхідної величини при її зменшенні — величиною відпускання (повернення). На рис. 1. 16, б показано релейну характеристику, в якій величина спрацьовування Хвх не дорівнює величині відпускання ХВХ2-
Відношення хвх / хвх називають коефіцієнтом повернення. На рис. 1. 16, в показано характеристики реле, які реагують на полярність вхідного сигналу. Релейні елементи можуть базуватись на різних принципах дії, але в найзагальнішому випадку вони застосовуються для фіксації відповідних значень вхідних величин. Вони мають різне функціональне призначення. їх використовують як пристрої захисту, керування, у вигляді технологічних реле та ін.
Імпульсна ланка перетворює неперервний вхідний сигнал (рис. 1. 17, а) в ряд короткодіючих імпульсів з періодом
Існують три види імпульсних ланок (імпульсних характеристик), показаних на рис. 1. 17, б, в, г:
—	з амплітудно-імпульсною модуляцією (АІМ) (рис. 1. 17, б), де амплітуда вихідного сигналу пропорційна значенню вхідної величини у відповідний період часу (ширина імпульсу незмінна);
—	з широтно-імпульсною модуляцією (ІІІІМ) (рис. 1. 17, в); у даному випадку амплітуда вихідних імпульсів залишається незмінною, а ши-26
рина імпульсу пропорційна значенню вхідної величини на відповідному інтервалі часу;
— з частотно-імпульсною моду-і я цією (ЧІМ) (рис. 1. 17, г ); у цьому випадку на виході ланки згідно ізі іміною полярності вхідного сигналу 4 імінюється лише полярність сигналів на виході.
На рис. 1. 18 показано принципову схему імпульсної САР температури деякого середовища (склад, холодильник тощо). Завдання САР — підтримати температуру у відповідному середовищі на певному іаданому (приблизно сталому) рівні іа рахунок зміни кількості охолоджуючого повітря ().
Контроль температури охолоджуваною середовища здійснюється М допомогою датчика температури у вигляді термоопору Датчик використовується як одне із Плечей вимірювального моста, підключеного до батареї Б. У діагональ моста 01—02 ввімкнено вимірювальний прилад, відхилення стрілки якого (’ пропорційне
відхиленню температури охолоджуваного середовища від заданого іначення. Стрілка С приладу періодично (залежно від положення кривошипно-шатунного механізму КШ, що обертається зі сталою Швидкістю ш) під дією падаючої дужки П замикає якірне коло двигуна М і забезпечує подачу відповідної напруги з по-іепціометра ПТ.
Якщо температура охолоджуваного середовища дорівнює заданому значенню, то стрілка С знаходиться проти нульової точки 0 по-кчіціометра і в момент натискання на неї дужкою П напруга на якірному колі двигуна М дорівнюватиме нулю. При цьому регулюючий орган системи РО, а також кількість охолоджуючого повітря, піп надходить, залишаються незмінними.
При відхиленні температури середовища від заданого значення рівновага вимірювального моста порушується (К1 • К2 КЗ• /?() і на його н.іюналі виникає напруга. При цьому стрілка С приладу відхиляється н цію чи вправо щодо нульової точки потенціометра і на якірному колі пшгуна виникає напруга відповідної полярності. За час контакту । ірілки з потевґціометром двигун М повертає регулюючий орган на де-
який кут, пропорційний відхиленню стрілки С від нейтрального положення, і відповідно змінює кількість охолоджуючого повітря (Л Якщо за час тривалості робочого імпульсу температура не наблизиться до заданого значення, а стрілка С не займе нейтральне положення, то за час наступного контакту стрілки з потенціометром на якір двигуна М знову буде подано напругу, пропорційну новому (меншому) відхиленню, і двигун знову поверне регулюючий орган на деякий кут у потрібному напрямку і змінить величину ф.
У результаті ряду послідовних імпульсних сигналів, які діють на регулюючий орган системи, температуру середовища буде приведено до потрібного значення.
Переваги перервних (імпульсних) систем полягають у періодичному характері їх дії, що дає змогу зменшити знос елементів системи і збільшити її надійність, підвищити техніко-економічні показники системи керування, виготувати вимірювальні елементи більшої чутливості, збільшити точність системи.
Системи перервної дії в основному використовуються при малій швидкодії, де їх переваги виявляються найбільшою мірою.
Системи одно- і багатоконтурні, одно- і багатовимірні, зв’язані й незв’язані. Одноконтурною системою називають систему з одним регулюючим органом. При наявності кількох регулюючих органів (РОЇ, РО2) і відповідно кількох контурів дії на об’єкт О систему називають багатоконтурною (рис. 1. 19).
Характерним прикладом багатоконтурних систем можуть бути системи регулювання тиску пари в паровому котлі. У цьому випадку вимірювальний елемент ВЕ контролює тільки один параметр — тиск пари, залежно від якого керуючий елемент КЕ діє на регулюючі елементи надходження води і енергоносія в котел.
Одновимірною називають систему з одним регульованим параметром, а багатовимірною — з кількома одночасно регульованими параметрами, що має відповідну кількість контурів дії на об’єкт.
На рис. 1. 20 показано багатовимірну систему регулювання вихідних величин об’єкта — та х2.
У цій системі канали керування функціонують незалежно один від одного; кожний з них керує лише одним параметром. Таку систему називають системою нез&язаного регулювання.
В багатьох випадках, завдяки тому що об’єкт керування є одним і тим самим, зміна одного з параметрів і дія відповідного контура керування може призвести до небажаної зміни інших вихідних параметрів об’єкта. Щоб уникнути цього, використовують компенсуючі зв’язки між керуючими елементами і регулюючими органами різних контурів (див. пунктирні лінії на рис. 1. 20). Таку систему називають системою зв’язаного регулювання.
Прикладами систем зв’язаного регулювання можуть бути САК тиску і температури парових котлів, автопілоти на літаках, де автомати курсу одночасно діють на різні рулі.
Якщо при регулюванні однієї величини не відбувається зміни інших регульованих параметрів об’єкта, то таке регулювання має назву автономного.
Системи із змінною та незмінною структурою. Системою із змінною < »щ>укгцу|х>ю наливають систему, в якій у процесі роботи може змінюватись вид, кількість, характеристики, спосіб з’єднання ланок одна з однією. В противному разі система є системою з незмінною структурою.
На рис. 1. 21 показано функціональну схему системи із змінною структурою. Вимірювальний елемент ВЕ контролює вихідну величину об’єкта О і видає сигнал на перемикаючий пристрій ПП. Залежно від параметрів сигналу перемикач П вмикає різні керуючі елементи КЕ1 або КЕ2, які діють на регулюючий елемент системи РЕ. При зміні положення П виникає зміна структури системи керування.
Завдяки зміні складу елементів на окремих етапах роботи виникає можливість дістати динамічні характеристики системи, які не можна дістати при тому чи іншому варіанті роботи системи незмінної структури.
Класифікація САК за технологічними ознаками. Електромеханічні САК. Існують САК підйомно-транспортні, металообробки, прокатного виробництва та ін.
За використаною енергією САК (регулятори) поділяють на гідравлічні, електротехнічні, пневматичні тощо. На практиці велике
Рис. 1. 21
поширення набули електромеханічні системи автоматичного керування ЕМ САК, які іноді відносять до різних видів електротехнічних САК.
Електропривод, який розглядається як система (сукупність) елементів, що складається з електродвигунного, перетворювального, передаточного і керуючого пристроїв, які повинні забезпечувати перетворення електричної енергії в механічну для приведення в рух виконавчих органів робочих машин або механізмів і керування цим рухом, своїми основними елементами входить до складу ЕМ САК.
Отже, основними функціями ЕМ САК є перетворення електричної енергії в механічну і автоматичне керування об’єктом, що приводиться в дію за допомогою механічної енергії.
На рис. 1. 22 наведено функціональну схему розімкпутої електромеханічної системи, де позначено: О — об’єкт керування з регульованою величиною х; П — передаточний, ЕД — електродвигунпий. НЕ — перетворювальний, КЕ — керуючий елементи; Ф — силовий потік електричної енергії; М — потік механічної енергії; 3 — завдання.
Як передаточний елемент, призначений для передачі механічної енергії від двигуна до об’єкта, використовують муфти різних видів (механічні, електромагнітні, феромагнітні та ін.). У деяких випадках (без-редукторні приводи) механічна енергія від електродвигунного елемента може безпосередньо надходити до об’єкта керування. Безпосереднє перетворення електричної енергії в механічну в ЕМ САК виконується керованими електродвигунами змінного і постійного струму.
Електротехнічний перетворювальний елемент ПЕ перетворює параметри електричної енергії (напругу, частоту) і здійснює підсилення. Залежно від використаного виду електродвигуна і способу керування ним електротехнічний перетворювальний елемент може бути представлений: тиристорним перетворювачем (у системах електропривода тири-
Рис. і. 22
Рис. 1. 23
сторний перетворювач — двигун постійного струму — ТП—Д), силовим магнітним підсилювачем (в системі електропривода магнітний підсилювач — двигун МП—Д); тиристорним частотним перетворювачем (у системі електропривода — ТПЧ—Д) та ін.
Керуючий елемент КЕ призначений для формування сигналу керування згідно із завданням. Як КЕ можна використовувати регулюючі резистори, формувачі імпульсів при імпульсно-фазовому керуванні тиристорами, проміжні магнітні підсилювачі тощо.
На рис. 1. 23 показано функціональну схему замкнутої ЕМ САК (ЕМ САР). Оскільки перетворення силових потоків енергії і електромеханічні характеристики двигунів детально вивчаються в курсах «Теорія електропривода» і «Системи керування електропривода», то тут основна увага приділяється питанням інформації та керування і на рис. 1. 23 показано напрямок дії тільки сигналів керування.
У схемі с вимірювальний елемент ВЕ, що контролює зміну керованого параметра х. Пропорційна йому величина х, надходить до вузла порівняння ВІІ і порівнюється з величиною завдання х3. При наявності розузгодження Ах = х, - х3, яке надходить на вхід керуючого елемента, в системі формується керуюча дія що надходить на вхід об’єкта і згідно з дією від’ємного зворотного зв’язку має зменшити (або звести до нуля) величину Ах.
1. 5. ОСНОВНІ ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЕЛЕМЕНТИ САК ТА ЇХ ОСОБЛИВОСТІ.
КЛАСИФІКАЦІЯ ЕЛЕМЕНТІВ
Властивості САК багато в чому залежать від особливостей елементів, з яких складається відповідна система. Загальним призначенням елементів САК є якісне і кількісне перетворення сигналів, які надходять від попереднього елемента (ланки) системи, і передача його до наступного елемента.
За допомогою відповідних елементів виконуються вимірні, керуючі, виконавчі та інші функції в САК. За характером цих функцій елементи поділяються на: датчики (давачі), підсилювачі, стабілізатори, реле, двигуни, логічні елементи.
Датчики виконують у САК функції вимірювальних (чутливих) елементів. Вони перетворюють не-електричні величини (швидкість, шлях, прискорення, тиск та ін.) у параметри електричного кола (опір, ємність, індуктивність) або електрорушійну силу ЕРС. Тому датчики є двох видів: параметричні і генераторні.
Підсилювачі мають ту особливість, що їх вхідна і вихідна вели-
чини є величинами одного і того самого типу (підсилювачі струму, напруги, потужності). Зростання вихідної потужності елемента здійснюється за рахунок потужності зовнішнього джерела енергії (часто електричної мережі).
Підсилювачі поділяються за характером струму на підсилювачі змінного і постійного струму; за принципом дії — на електронні, магнітні, електромашинні, тиристорні та ін.
Стабілізатори повинні підтримувати вихідну величину на сталому рівні при зміні вхідної величини або навантаження. Особливістю стабілізаторів як елементів систем автоматики є нелінійність характеристик вхід—вихід — хвих =/Гхвх). Для стабілізаторів ця характеристика має певний нахил щодо горизонтальної осі. В ідеальному стабілізаторі — це пряма, паралельна осі хвх.
Двигун — елемент, що використовується в системах автоматичного керування як силовий привод об’єкта або допоміжний двигун (серво-привод), що приводить у дію виконуючі органи САК.
В автоматиці основна увага приділяється серводвигунам невеликої потужності. Вони повинні відповідати вимогам: плавності регулювання; малої інерційності; легкості реверсування.
При потужності до 100 Вт найбільше поширення мають двофазні двигуни змінного струму з немагнітним, легким ротором, а при більших потужностях — двигуни постійного струму з незалежним збудженням.
Реле — елемент, в якому неперервній, плавній зміні вхідної величини відповідає стрибкоподібна зміна вихідної величини.
Рис.
1. 25
^2
Рис. 1. 26 виконання логічних операцій
І’еле розрізняють за багатьма ознаками:
—	функціональному призначенню (керування, захисту, сигналізації та ін.);
—	технологічним особливостям
(швидкості, тиску);
—	принципу дії (електромагнітні, індукційні, теплові);
наявності контактів (контактні, безконтактні).
Логічні елементи призначені для
(функцій), наприклад, вигляду «І»; «АБО»; «НІ»; «ПАМ’ЯТЬ».
Основні загальні характеристики елементів. Передаточний коефіцієнт визначається із загальної статичної характеристики хвих =  /(хвх). При цьому відношення
х вих _
' *вх С	(1.7)
називають передаточним статичним коефіцієнтом, якщо хіх є усталені значення величин.
Динамічним передаточним коефіцієнтом Ка е похідна:
(1.8)
Для елементів з лінійними характеристиками К = К .
Для датчиків цей коефіцієнт називають коефіцієнтом чутливості, а для підсилювачів — коефіцієнтом підсилення.
Часова характеристика визначається залежністю хвих = /(ґ) при надходженні на вхід елемента постійного сигналу. Вона характеризує динамічні властивості елемента.
Багато елементів з механічною інерцією, індуктивністю мають часові характеристики у вигляді експоненти (рис. 1. 24).
Перехідний процес у них визначається неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язок якого має вигляд
Хвих = ^Ових е	(! 9)
де Т — стала часу елемента. Її можна знайти при умові І = Т. Тоді
хвих = ^Овихі1 “	= хОвих(1 - 0,37) = хОвих 0,63.
Особливості елементів визначаються також запізненням, інерційністю та зонами нечутливості.
Під запізненням розуміють зсув по часу між сигналами на вході і на виході елемента (рис. 1. 25). Кількісна оцінка запізнення визна
чається різницею т = і2 - ґг Прикладами елементін із запізненням можуть бути елементи з люфтами, різні трубопроводи, в яких ннує транспортне запізнення, яке визначається часом проходження робочого тіла (води, газу, нафти і т.д.) по трубопроводу.
Сталу часу Т, що є мірою інерційності елементів, іноді назин.іють інерційним запізненням.
Під зоною нечутливості розуміють діапазон зміни вхідної величини, в межах якого елемент не реагує на неї. Як приклад можна навести реле і двигуни.
На рис. 1. 26 наведено регулювальні характеристики двигуна постійного струму із зонами нечутливості Зр 32, З3 по напрузі якоря двигуна Ня. Величина зони нечутливості одного і того самого двигуна залежить від статичного моменту Мс (моменту навантаження).
1. 6. ЗВОРОТНІ ЗВ'ЯЗКИ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ
Як було зазначено раніше, в замкнутих системах автоматичного керування замикання системи, що дає змогу забезпечити надходження на вхід об’єкта сигналу, пропорційного вихідній величині об’єкта, виконується за допомогою головного зворотного зв’язку. Оскільки цей сигнал повинен подіяти на об’єкт таким чином, щоб відхилення вихідної величини об’єкта, яке з’явилося внаслідок дії збурення, зменшилось, то головний зворотний зв’язок є від’ємним.
Під зворотним зв’язком розуміють таке виконання зв’язків у системі, при якому на вхід елемента Е надходить величина хзвз, пропорційна вихідній величині елемента (рис. 1. 27).
Формування сигналу зворотного зв’язку виконується пристроєм зворотного зв’язку — 33. Його дія визначається коефіцієнтом зворотного зв’язку, який показує відношення вихідної величини пристрою зворотного зв’язку хзвз до вихідної величини елемента хвих:
вих
(1. 10)
Здебільшого /З < 1, проте можливі випадки, коли /З > 1 (наприклад, «глибокі» зворотні зв’язки в підсилювачах для здобуття релейних режимів).
Визначають такі зворотні зв’язки: додатні і від’ємні; жорсткі і гнучкі; головні і місцеві; за технологічним параметром (швидкості, струму, напруги тощо).
Додатні і від’ємні зв’язки та їх вплив на коефіцієнт передачі ланки. Додатним зворотним зв’язком називають зв’язок, дія якого збігається за знаком з дією вхідної величини на даний елемент.
Якщо рівняння ланки до введення зворотного зв’язку має вигляд
хвих =	(!• И)
то при наявності зворотного зв’язку фактичне значення вхідної величини обчислюється за формулою
х' = х + х = х + в х .	<1 іл-і
вх	вх зв . з вх » вих	<1. 14/
У цьому випадку рівняння ланки, охопленої додатним зворотним зв’язком, має вигляд
%вих = ^(Хвх + РХВ^
звідки
(І - Кр) хвих =
і коефіцієнт при додатному зворотному зв’язку:
Введення додатного зворотного зв’язку призводить до зростання коефіцієнта передачі (підсилення) ланки, що визначає широке застосування таких зворотних зв’язків у підсилювачах.
При від'ємному зворотному зв’язку х'ах = хвх — /Зхвих і передаточний коефіцієнт ланки
1 + К0	(1. 14)
буде зменшуватись, що, як показано далі, позитивно впливає на затухання (стабілізацію) перехідних процесів.
Розглянемо процес дії зворотного зв’язку на конкретному прикладі (рис. 1. 28).
На рис. 1. 28, а показано принципову схему системи стабілізації швидкості а» парової машини. Контроль швидкості виконується вимірювальним елементом, що є відцентровим регулятором ВР (термін «відцентровий регулятор» у даному разі є історичним поняттям). При зміні швидкості ш кулі К1 і К2 переміщуються вгору або вниз, діючи на пружину ПР і муфту М, яка через важіль ОА переміщує відповідним чином золотник 3. Золотник відкриває шлях надходженню масла у верхню або нижню порожнину циліндра гідравлічного серводвигуна СД.
Масло під тиском, який створює не показаний на схемі компресор,
надходить у відповідну порожнину циліндра і викликає переміщення поршня циліндра П і регулюючого органу РО. Зміна положення РО зумовлює збільшення (або зменшення) кількості пари, що надходить до парової машини, і відповідну зміну (в напрямку стабілізації) швидкості а>.
Якщо вважати, що на інтервалі часу 0 — і, (рис. 1. 28, б) машина працювала з потрібного швидкістю ш0, то золотник 3 знаходився в нейтральному положенні, показаному на рисунку. Якщо в момент при зменшенні навантаження швидкість зросла на певну величину Дфр то кулі К1, К2 почнуть переміщуватись вгору і через систему муфта—важіль—золотник відкриють шлях надходженню масла у верхню порожнину циліндра, що призведе до зменшення надходження пари і швидкості а». При зменшенні швидкості а», завдяки великим моментам інерції обертових мас парової машини, після досягнення потрібного значення швидкості ш0 швидкість продовжуватиме зменшуватись, і негативне відхилення досягне деякого значення Д<м2. Виникне перерегулювання — відхилення регульованої величини по знаку, — протилежне початковому відхиленню. В результаті зменшення швидкості кулі К1 та К2 будуть рухатися вниз, що призведе до дії системи автоматичного керування, спрямованого на підвищення швидкості. При цьому може виникнути нове відхилення швидкості від потрібного значення <м0, що дорівнює Дш3 > Дш( (характеристика 1). Далі нові відхилення можуть ставати все більшими і, якщо процес не зупинити, це може призвести до аварії. Така САК не роботоздатна.
Щоб уникнути такого розвитку процесу керування, в систему вводять від’ємний зворотний зв’язок, який реалізується у вигляді ме-36
ханічних елементів АВ — ВС, за допомогою яких зв’язується поршень із золотником. При наявності такого зв’язку, показаного на рисунку пунктиром, на золотник 3 будуть діяти два протилежно напрямлені зусилля і /2. Тому відхилення золотника в процесі керування буде меншим, ніж при відсутності вказаного зворотного зв’язку. Це дасть змогу при правильному виборі параметрів зворотного зв’язку звести коливання до затухаючих (характеристика 2), а всю систему зробити роботоздатною.
Функціональна схема такої САР наведена на рис. 1. 28, в, де зворотний зв’язок, що охоплює гідравлічний серводвигун, показано пунктиром.
Жорсткі й гнучкі зворотні зв’язки. Жорсткий зворотний зв’язок — це такий зв’язок, дія якого залежить тільки
від відхилення величини на його вході (відхилення вихідної величини ланки, що охоплюється цим зворотним зв’язком) і не є функцією часу.
Гнучкий зворотний зв’язок — це такий зв’язок, дія якого є функцією часу і проявляється лише в перехідних режимах. У статичних режимах такий зв’язок не діє, тому ці зв’язки іноді називають
«зникаючими».
Перевага гнучких зворотних зв’язків полягає в тому, що вони не впливають (не зменшують) на статичний коефіцієнт передачі, що, як буде показано далі, веде до підвищення якості САК.
Покажемо можливість введення гнучкого зворотного зв’язку в розглянутій раніше системі. Для розв’язання цього завдання в розтин елемента ВС треба ввести ізодромний пристрій І (рис. 1. 29), який є циліндром ЦІ, заповненим маслом. Усередині циліндра знаходиться поршень ПІ, механічно зв’язаний із золотником і пружиною ПР, що виконує допоміжну роль.
Отже, зв’язок між поршнем П серводвигуна СД, який жорстко зв’язаний з регулюючим органом системи РО, і золотником, виконується за рахунок взаємодії масляного середовища і поршня ПІ ізодромного пристрою і діє тільки при переміщенні основного поршня. Величина сил зчеплення між маслом і поршнем ПІ, яка зумовлює дію зворотного зв’язку, залежить від швидкості руху основного поршня ЛхІЛі, а також прискорення а?2х/Л2 і є функцією часу. За допомогою головного від’ємного зворотного зв’язку забезпечується можливість реалізації принципу керування за відхиленням і побудови цілого класу замкнутих систем — систем автоматичного регулювання.
В найбільш спрощеному вигляді функціональну схему САР, як за
значалося раніше, можна представити у вигляді сукупності двох елементів: об’єкта керування О і регулятора Р. Тому сам регулятор по відношенню до об’єкта керування, що забезпечує зв’язок між виходом і входом об’єкта, в деяких випадках можна умовно розглядати як пристрій, подібний до від’ємного зворотного зв’язку.
Після розгляду різних видів і особливостей систем автоматичного керування слід перейти до викладення основних питань теорії їх функціонування.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Чим відрізняється автоматизований процес від автоматичного і які переваги автоматизації?
2.	Назвіть види автоматичних пристроїв, їхні функції і особливості.
3.	Які основні особливості кібернетики як науки про керування?
4.	Перелічіть елементи електромеханічної системи автоматичного керування і назвіть їхні функції.
5.	Чим відрізняються принципи керування за відхиленням і за збуренням?
6.	Що таке зворотний зв’язок, його види і особливості?
7.	Перелічіть види систем автоматичного керування згідно з інформативним принципом класифікації і назвіть їх особливості.
8.	Назвіть основні види і особливості кібернетичних систем автоматичного керування.
9.	Нарисуйте функціональні схеми систем автоматичного керування (САК) прямої і непрямої дії.
10.	Нарисуйте функціональну схему електромеханічної САК і позначте в ній елементи, які належать до електропривода.
11.	Що е спільного і різного в поняттях: «електромеханічна система автоматичного керування», «електропривод», «регулятор»?
12.	Наведіть основні характеристики елементів САК.
13.	Які переваги мають гнучкі зворотні зв'язки?
14.	Нарисуйте функціональну схему комбінованої САК.
Глава 2
ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ І ОСОБЛИВОСТІ ТЕОРІЇ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
2. 1. ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ І РЕГУЛЮВАННЯ
Теорія автоматичного керування в широкому розумінні цього слова є теорія побудови і функціювання систем автоматичного керування.
Згідно з розглянутими раніше системами класифікації САК можна розділити на дві характерні групи, які відрізняються одна від одної як за принципом керування, так і за особливостями функціювання — рсзімкнуті САК, що базуються на принципі керування за збуренням, і замкнуті САК (які діють на основі принципу керування за відхиленням). Останні в цьому випадку називаються системами автоматичного регулювання — САР.
Теорію керування замкнутих систем називають теорією автоматичного регулювання (ТАР), і вона є частиною загальної теорії автоматичного керування (ТАК).
Основну увагу при викладенні ТАК буде приділено теорії більш складних і поширених замкнутих систем автоматичного регулювання.
Кожна САР є неконсервативною системою, запас енергії якої змінюється за рахунок витрат і надходжень через окремі її елементи (підсилювачі, об’єкт та ін.).
При відхиленні від стану рівноваги в надходженні і витратах енергії через дію збурень у системі виникає відхилення регульованої величини від заданого значення. Це призводить до включення в роботу регулятора, який намагається зменшити (а в ідеальному випадку звести до нуля) відхилення регульованої величини від заданого значення, через що в системі автоматичного регулювання виникає перехідний процес. Основним завданням ТАР є оцінка поведінки САР у перехідних режимах. При цьому необхідно встановити, чи будуть перехідні процеси затухаючими, а системи стійкими, і які характеристики матиме САР.
Поведінка систем автоматичного регулювання в перехідних процесах вивчається в розділі динаміки САР, основними завданнями якої є визначення стійкості і якості САР.
Проте для визначення роботоздатності САР недостатньо того, щоб САР була стійкою і мала достатні показники якості в перехідних процесах (тривалість перехідного процесу, його характер тощо).
Важливим є дослідження поведінки САР у стані рівноваги, що розглядається в розділі статики САР. У статиці САР вивчається питання статичної точності — відхилень регульованої величини від заданого
значення після закінчення перехідного процесу, а також статичні характеристики системи.
Основні особливості ТАР такі.
1.	Поведінку САР у перехідних режимах не можна оцінювати за характеристиками окремо взятих ланок, які утворюють дану систему. Можливі випадки, коли САР, побудована на основі ланок зі стійкими характеристиками, може бути нестійкою.
Тому дослідження динамічних властивостей САР має виконуватися не за характеристиками окремо взятих ланок, а з урахуванням їх взаємодії в загальній, замкнутій системі.
2.	Вимоги до САР з позицій статики і динаміки протилежні, тому для їх задоволення потрібно досліджувати питання динаміки і статики в тісному взаємозв’язку, приймаючи при необхідності компромісні рішення.
Наприклад, як буде показано далі, підвищення точності системи після закінчення перехідного процесу потребує збільшення так званого коефіцієнта передачі розімкнутої системи. Водночас зростання цього коефіцієнта негативно впливає на динамічні характеристики САР. При досить великих його значеннях система може стати взагалі нероботоз-датною. Тому вибір цього коефіцієнта треба робити так, щоб задовольнити суперечливі вимоги статики і динаміки на основі компромісного рішення.
3.	Різні за своїми фізичними властивостями елементи і системи часто мають подібні диференціальні рівняння динаміки, що свідчить про схожість їхніх динамічних властивостей і характеристик. Тому ТАР є загальною наукою, єдиною для найрізноманітніших за своїми фізичними властивостями САР.
Отже, ТАР можна визначити як науку, що вивчає статичні та динамічні властивості САР, принципи побудови структурних схем, методи вибору параметрів на основі вимог якості системи.
2. 2. КОРОТКІ ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ ПРО РОЗВИТОК ТЕОРІЇ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Потреба в розвитку ТАК, особливо її частини відносно замкнутих систем ТАР, виникла з появою першої машини-двигуна І. І. Ползунова, а також винаходом Джеймса Уатта відцентрового регулятора швидкості парової машини.
В XIX ст., відомому як «вік пари», відбувалося вдосконалення регуляторів парових машин. У кінці століття з’явились автоматичні регулятори нових технологічних об’єктів — парових і гідравлічних турбін та парових котлів. Виникла потреба регулювання не тільки швидкості, але й тиску, витрат робочого тіла (пари), температури та інших параметрів. У цей період з’являються перші електричні генератори, і з початку XX ст. великими темпами починає розвиватись електроенергетика. Все 40
більша частина робочих машин і механізмів переводяться на живлення електричною енергією, з’являються нові, більш потужні і різноманітні види електроприводів, ускладнюються завдання керування ними, актуальнішим стає питання розвитку і використання різних електричних пристроїв і електромеханічних двигунів. З появою електричних генераторів виникають завдання регулювання напруги і частоти, які потребують розробки відповідних регуляторів.
Розвиток електроприводів і відповідних електромеханічних систем автоматичного регулювання (ЕМ САР) призводить до розробки регуляторів потужності і швидкості, які на початку забезпечували підтримку регульованих параметрів на сталому рівні. З ускладненням технологічних потреб завдання автоматичних систем стають складнішими — виникає потреба забезпечувати автоматичну зміну параметрів за відомими законами (програмне регулювання) або за законами, які формуються залежно від умов роботи об’єктів (слідкуючий електропривод).
Поширення автоматичних регуляторів зумовило необхідність в їх розробці та експлуатації. Одна з перших праць у цьому напрямку належить математику Чебишеву, який вивчав проблему «ізохронного» (астатичного) регулятора. Однак фундатором інженерних методів ТАР вважають професора Санкт-Петербурзького Практичного технологічного інституту І. О. Вишнєградського, який в 1876 р. опублікував працю «Про загальну теорію регуляторів», згодом розвинувши її положення в праці «Про регулятори прямої дії». Розроблені Вишнє-градським методи дослідження стійкості і якості динамічних режимів САР парових машин дали змогу виявити вплив параметрів ланок на характеристики ЕМ САР третього порядку.
Подальший свій розвиток ТАР дістала в працях словацького вченого Стодола і австрійського математика Гурвіца, за результатами яких було розроблено методи, що сприяли дослідженню САР будь-якого порядку.
Приблизно в той самий час питання ТАР почали розвиватися в Англії у працях Максвелла і Рауса.
До класичних праць з теорії керування належать праці з дослідження питань стійкості в сфері небесної механіки О. М. Ляпунова та праця М. Є. Жуковського «Теорія регулювання ходу машин» (1909 р.). Великий внесок у розвиток ТАР зробили І. М. Воз-несенський (автономне регулювання), О. О. Андронов (нелінійні САР), М. М. Крилов, М. М. Боголюбов, а також американець Найквіст(1931 р.) і А. В. Михайлов (1938 р.) (частотні методи досліджень) та інші вчені.
У галузі перервних САР важливе значення мали праці Я. 3. Ципкіна Вагомий внесок у розвиток ТАК зробили і вчені України: В. М. Глушков (методи кібернетики), О. І. Кухтенко (теорія інваріантності), О. Г. Івахненко (комбіноване керування, розпізнавання образів), О. М. Крижанівський (розвиток математичних методів досліджень складних систем) та ін.
В останні роки теорія автоматичного керування продовжує інтенсивно
розвиватися. Її основні напрямки пов’язані з питаннями оптимізації технологічних процесів, робототехнікою, впровадженням у виробництво високоточних, швидкодіючих цифрових систем із дедалі ширшим використанням обчислювальної техніки та мікропроцесорного керування.
Високий рівень розвитку ТАК великою мірою зумовлений потребами розвитку космонавтики, ракетної техніки, а також потребами автоматизації технологічних процесів.
Дальший розвиток науки і техніки потребує розвитку ТАК, яка є базовою дисципліною для фундаментальної підготовки з багатьох технічних спеціальностей.
2. 3. СТАТИКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ.	«
УМОВИ СТАТИЧНОЇ РІВНОВАГИ
І СТАТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАНОК
Згідно з викладеним вище основним завданням статики як розділу ТАК є вивчення САР у статичному стані, що виникає після завершення перехідних процесів.
Для перебування системи в стані рівноваги мають одночасно виконуватись такі умови.	<
1.	Відхилення регульованої величини від заданого значення має дорівнювати нулю або деякій сталій величині.
2.	Надходження регульованої величини (), має дорівнювати її витратам ^2:
Є, = Є2 = Є-	(2. 1)
3.	Положення регулюючого органу системи і виконавчого двигуна * має бути нерухомим.
4.	Положення керуючого елемента (значення його вихідної величини) має відповідати нерухомому стану виконавчого двигуна.
Основною характеристикою статики САР є регулювальна характеристика, яка показує залежність регульованої величини х від витрат робочого середовища О;.
X = /((2),	(2. 2)	•!
а основною характеристикою статики окремої ланки системи є характеристика вхід-вихід:
Х„их = /<Хвх>-	(2. 3)
Важливим показником ланки є статичний коефіцієнт передачі:
X к — вих Х»х ’	(2. 4)
Залежно від того, яким чином підтримується сталою регульована
величина в САР після закінчення перехідного процесу, з позицій статики визначають два основних види САР: статичні і астатичні, які було досить детально розглянуто при класифікації САР.
При дослідженні питань статики дуже часто виникає потреба побудови результуючої статичної характеристики САР по відповідних характеристиках окремих ланок при різних способах їх з’єднання.
Результуюча статична характеристика паралельно з’єднаних ланок. Паралельним з’єднанням ланок у ТАР є таке з’єднання, при якому вхідна величина всіх ланок однакова, а результуюча вихідних величин цих ланок.
Рис. 2. 2
вихідна величина є сумою
Згідно з рис. 2. 1 для трьох ланок можна записати
Хвх Х1вх Х2вх Х3вх>
X = X, + Х„ + X, . вих Івих 2аих Звих
(2. 6)
Якщо статичні характеристики окремих ланок задані у вигляді графіків, показаних на рис. 2.2, а, б, в, то кожну точку результуючої характеристики легко побудувати як суму ординат трьох характеристик а{ + б1 + вр що відповідають деякому значенню вхідної величини х'>х (рис. 2. 2, г\
Результуюча статична характеристика послідовно з’єднаних ланок. І Іослідовне з’єднання ланок — це таке з’єднання, при якому вихідна величина попередньої ланки є вхідною для наступної (рис. 2. 3). Результуюча характеристика групи послідовно з’єднаних ланок визначає залежність вихідної величини останньої ланки від вхідної величини першої ланки.
1Іих 25х 2Ьих 38х
Рис. 2. З
х!^х11т

У загальному випадку для п послідовно з’єднаних ланок маємо
ХпвИх = /ЦвЛ (2- 7>
Якщо рівняння п ланок мають вигляд
Х1вих ^1Х1вх> Х2вих ^2Х2вх’	• • • >
х ~ К х 8ИХ	ВХ,
то, враховуючи, що х, = хо ; хо = х, ; х ,	= х , дістанемо
г	*	Івих , 2вх 2вих	Звх п — І8ИХ	п ВХ
рівняння ланок у вигляді
Х1вих — ^Лвх’
Х2вих ~ ^2Х1вих — ^1^2Х1вх’
Хп — Івих	— 1Хп — 2вих ^\^2 '  • Кп _ ;Х]ах,
Хп вих — Кпхп _ Івих — КК2 . . . Кпхівх.
Останнє рівняння записаної системи і є результуючим рівнянням п послідовно з’єднаних ланок:
х„ вих =	• • • Кпх^	(2. 8)
Передаточний коефіцієнт п послідовно з’єднаних ланок, який часто називають коефіцієнтом підсилення розімкнутої системи,
К = К,К2 ... Кп.	(2. 9)
При двох послідовно з’єднаних ланках, які мають характеристики, показані на рис. 2. 2, а, б, побудову результуючої характеристики проводять таким чином. У першому квадранті будують характеристику першої ланки х1вих = відкладаючи вхідну величину по горизонтальній осі. Характеристика другої ланки будується в другому квадранті, але, оскільки х1вих = х2вх, вхідна величина х2вх відкладається на вертикальній осі. Знайдені на горизонтальній осі другого квадранта значення х2вт переносять на вертикальну вісь четвертого квадранта, в якому і записують залежність х2вих = ](х, ). Відповідні графічні характеристики показано на рис. 2. 4, а. При побудові результуючої характеристики для трьох ланок з врахуванням того, що х2вих = х3вх, характеристику третьої ланки розміщують відповідним чином у третьому квадранті, а результуючу — у четвертому квадранті (рис. 2. 4, б).
При послідовному з’єднанні більше як трьох ланок за викладеною вище методикою можна побудувати результуючу характеристику для трьох ланок, а далі розглядати її як окрему характеристику і будувати
Рис. 2. 4
результуючу характеристику з врахуванням інших ланок. В результаті дістанемо результуючу графічну характеристику вигляду
хл вих = /(х]вх).
Характеристика ланки із зворотним зв’язком. Для ланки із зворотним зв’язком (рис. 2. 5) фактичне значення вхідної величини можна записати у вигляді х' = х ± х вх	вх зв.з
Згідно з цим на рис. 2. 6 наведено характеристику ланки без врахування зворотного зв’язку (крива /) і характеристику самого зворотного зв’язку (крива 2).
Якщо врахувати, що на вхід ланки без зворотного зв’язку надходить величина х1вх, то на виході цієї ланки дістанемо х1вих. Якщо цю величину, згідно з рис. 2. 5, подамо на вхід ланки зворотного зв’язку, то на її виході дістанемо величину хзвз, яка при підключенні ланки зворотного зв’язку буде або додаватися до вхідної величини основної
ланки (при додатному зворотному зв’язку), або відніматися від неї (при від’ємному зворотному зв’язку). Якщо зворотний зв’язок додатний, то, щоб дістати на виході ланки ту саму величину, що і без зворотного зв’язку, на вхід можна подати меншу величину х'вх = х1вх — хзв з. У цьому випадку матимемо точку А характеристики ланки з додатним зворотним зв’язком (крива 4). При від’ємному зворотному зв’язку при тих самих умовах на вхід ланки слід подати більшу величину х'вх = Хівх +х313> щ0 Дасть відповідну точку В характеристики ланки з від’ємним зворотним зв’язком (крива 3).
2. 4. СТАТИЧНА ПОХИБКА І КОЕФІЦІЄНТ ПЕРЕДАЧІ (ПІДСИЛЕННЯ)
Статична похибка — це відхилення регульованої величини від заданого значення після закінчення перехідного процесу. Вона є одним із основних показників якості САР.
Вважатимемо, що головного зворотного зв’язку ГЗЗ в системі нема (САК знаходиться в розімкнутому стані; рис. 2. 7). Тоді при початковому значенні збурення /0(ґ) вихідна величина об’єкта х0 відповідатиме потрібному значенню регульованої величини. Зміна збурення до значення /[(і) призведе до зміни вихідної величини об’єкта до значення х1вихі появи відхилення при розімкнутому стані системи
= *0вих - *1Вих-	<2. 10)
Якщо замкнути систему за допомогою головного зворотного зв’язку, то в замкнутій системі регулятор Р діятиме на зменшення відхилення Ах (в ідеальному випадку до нуля). Проте регулятор не в змозі повністю ліквідувати Ах, а зменшуватиме його на деяку величину, яку позначимо Ахвих. Частина Ах, яка залишається в замкнутій системі, є статичною похибкою замкнутої системи:
А = Ах - Ахвих.	(2. 11)
Величина А надходить знову на вхід об’єкта, тому можна записати
А = Ахвх.	(2. 12)	4;
Розділивши всі члени рівняння (2. 11) на величину А і врахувавши вираз (2. 12), дістанемо
вих
1 А вх
Оскільки Ах /Ах = А — коефіцієнт передачі (підсилення) розімкнутої системи, то статичну похибку замкнутої системи запишемо у вигляді
А -
л ~ 1 + К •
(2. 13)
З цієї формули можна зробити такі висновки.
/(і)
1. Статична похибка замкнутої системи
прямо пропорційна відхиленню регульованої | р "	0
величини при розімкнутому стані системи і І	і
обернено пропорційна коефіцієнту під- |_____________С33__________!
СИЛЄННЯ розімкнутої системи.	рис 2
2. Оскільки величина Ах при
розімкнутій системі є функцією збурення, що діє на об’єкт, то статична похибка замкнутої системи залежить від збурення.
3. Як буде показано далі при дослідженнях САР, зростання коефіцієнта передачі розімкнутої системи погіршує динамічні властивості (зменшує так званий запас стійкості системи). Тому бажання зменшити похибку замкнутої системи за рахунок зростання коефіцієнта передачі може призвести до втрати стійкості САР. Це відображає суперечність між вимогами статики та динаміки і веде до необхідності компромісного узгодження вимог статичної точності і стійкості САР.
Неможливість задоволення вимог статики і динаміки при деякій прийнятій САР веде до необхідності зміни її структури.
Статична похибка САК при комбінованому керуванні. При комбінованому керуванні функціональна схема має дві частини. Одна з них — це замкнутий контур об’єкт (О) + регулятор (Р), який забезпечує регулювання за відхиленням, а друга — розімкнутий (компенсаційний) канал К, який формує компенсаційний сигнал на об’єкті керування (рис. 2. 8). За допомогою компенсаційного сигналу в комбінованій системі реалізується також принцип керування за збуренням.
Якщо розімкнути замкнутий контур на виході об’єкта, то відхилення вихідної величини об’єкта при дії компенсаційного каналу обчислюється за формулою
^Ових Х1»их
(2. 14)
де хОвих — початкове значення регульованої величини, що дорівнює заданому; х[вих — нове значення вихідної величини об’єкта, яке відповідає зміні збурення; х* — компенсаційна дія розімкнутого каналу.
Відхилення Ахвих буде значно меншим від відхилення при відсутності компенсаційного каналу Ахвих < Ахвих. Тому статична похибка комбінованої САК
буде менша за похибку замкнутої САР
Ак < А
Ахвих
\ + К'
Із формули (2. 15) можна також зробити важливий висновок, що одну і ту саму похибку (точність), як і в системі регулювання за відхиленням, в комбінованій САК можна дістати при
Рис 2 8	меншому значенні коефіцієнта пере-
дачі розімкнутої системи К. Це може мати важливе значення в разі необхідності задовольнити умови стійкості САР або збільшення запасу стійкості системи без зменшення її статичної точності.
2. 5. ФОРМИ ЗАПИСУ РІВНЯНЬ СТАТИКИ
Існує три форми запису рівнянь статики: в абсолютних величинах, відхиленнях і відносних величинах.
Запис рівнянь статики в абсолютних величинах. Якщо залежність хвих = /(хвх) задано графічно (рис. 2. 9), де по осях відкладено абсолютні величини, то відповідну аналітичну залежність можна записати у вигляді
Ч„, = а + Ахвх,	(2. 16)
де а — початкове значення вихідної величини; К — коефіцієнт, що характеризує нахил характеристики.
Форма запису рівнянь статики у відхиленнях. Нехай початкові значення вхідної і вихідної величин хОвх і хОвих. Якщо вони зміняться і набудуть значень хах і хвих, то з врахуванням відхилень Дхвх і Ахвнх можна записати
Чх - Чах + А-Чхі
Чих ~ Чвих + ^Чих"
Підставляючи знайдені вирази хвх і хвих в рівняння (2. 16), дістаємо
Чвих + АЧих = а +	+ ^вх^
Виключаючи рівняння початкової рівноваги хОвих = а + Кх^, дістаємо рівняння статики у відхиленнях у вигляді
Ах = ААх .	(2. 17)
ВИЛ	ол
Форма запису рівнянь статики у відносних (безрозмірних) величинах. Введемо базові значення вхідної х6 вх і вихідної х6 вих величин (за базові значення можна прийняти будь-які величини, але здебільшого приймають номінальні значення).
Визначимо
*^б.вих	^б.вх
звідки дістанемо відхилення:
Ах = и  х„ ; Ах = </> х, ВХ г б.ВХ5 6ИХ і блих Підставивши знайдені значення відхилень у рівняння (2. 17), дістанемо
х, <р = Ких, .
О.ВИХҐ	Г б.ВХ
Враховуючи, що хбвих = Кх6зІі, дістанемо рівняння статики у відносних величинах:
<р = р,	(2. 18)
сенс якого полягає в тому, що в статиці відносне значення вихідної величини чисельно дорівнює відносному значенню вхідної величини.
2. 6. ДИНАМІКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ. ЗАВДАННЯ І ОСОБЛИВОСТІ ЗАГАЛЬНОЇ МЕТОДИКИ ДОСЛІДЖЕННЯ
Динаміка САР як розділ ТАК вивчає перехідні процеси в різних системах — лінійних і нелінійних. Враховуючи принципові особливості лінійних і нелінійних САР, ці системи розглядатимемо окремо.
Динамічні властивості лінійної САР, у найзагальнішому випадку, можуть бути детально вивчені на основі диференціального рівняння, яке називають рівнянням замкнутої САР.
Рівняння замкнутої САР дістають на основі рівнянь ланок, з яких складається дана система. При складанні рівняння замкнутої САР виходять з вірогідності принципу детектування, згідно з яким у САР існує на-прямленість дії ланок — від попередньої до наступної. При цьому реакцією наступної ланки на попередню нехтують. Тому рівняння динаміки ланки, взятої окремо, буде таким самим, як і цієї ланки в деякій САР (необхідно лише узгодити вхідні і вихідні величини ланок).
На практиці направленість дії ланок у САР забезпечується наявністю в системі детектуючих ланок, які можуть передавати енергію лише в одному напрямку. Прикладами можуть бути різноманітні підсилювачі та серводвигуни.
Методика знаходження рівнянь САР. При складанні рівняння динаміки дотримуються такої послідовності.
1.	Необхідно детально вивчити суть фізичних явищ у САР, знайти (або розробити) методи їх математичного описання. При цьому насамперед слід встановити узагальнені координати системи, під якими розуміють не-
залежні одна від одної змінні, необхідні і достатні для повного описання системи. Кількість незалежних змінних визначає кількість ступенів свободи даної системи.
2.	Визначають ланки САР і складають її функціональну схему.
3.	Встановлюють початок відліку відхилень узагальнених координат і напрямок їх зміни. Як правило, за початок відліку приймають стан рівноваги системи.
4.	При складанні рівнянь динаміки ланок і системи в цілому враховують вплив всіх діючих факторів.
5.	Якщо рівняння системи буде дуже складним, то на практиці часто його спрощують.
Основними шляхами спрощення рівняння САР є:
—	нехтування деякими факторами, що мало впливають на поведінку і якість системи (наприклад, іноді змінні параметри ланок — коефіцієнти рівнянь — можуть прийматись сталими, якщо час суттєвої зміни параметра в кілька десятків разів перевищує тривалість перехідного процесу, а також якщо коефіцієнти при вищих степенях похідної набагато менші від коефіцієнтів при похідних першого степеня; в цьому випадку можна зменшити порядок рівняння системи);
—	заміна нелінійних залежностей лінійними — здійснення процесу лінеаризації.
При спрощенні рівняння динаміки САР необхідно в кожному конкретному випадку відповісти на питання, чи це спрощення можливе, виходячи із технологічних особливостей об’єкта (процесу).
Після спрощення рівняння і його лінеаризації дістають рівняння, яке називають рівнянням першого наближення. Це рівняння дає змогу в ряді випадків відповісти на деякі важливі питання побудови конкретної системи (по вибору початкового варіанта структури, впливу зміни параметрів, встановленню напрямків у проектуванні і настроюванні системи та ін.).
2. 7. ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.
ПРИКЛАДИ
Існує два основних напрямки лінеаризації — графоаналітичний (лінійно-кускова апроксимація) і аналітичний.
Лінійно-кускові методи лінеаризації. Ці методи базуються на заміні окремих криволінійних частин характеристик відрізками прямої і формування відповідних аналітичних залежностей.
Приклад 2. 1. Характеристику генератора постійного струму О В показано на рис. 2.10. Потрібно лінеаризувати дану характеристику і знайти аналітичні вирази лінеаризованих частин характеристики.
Розв’язання. Характеристику ОВ замінюємо двома лінійними відрізками — О А і АВ. Записуємо рівняння характеристики ОА
и юо
II =	~	= 50; II = 501,
Г 1 З 1 І 2	Г	з’
з
для ділянки характеристики АВ
2
= 150-100
А/ 5-2
~^16,7; II = 16,7/. З	г	з
Приклад 2. 2. Лінеаризувати робочу частину механічної характеристики асинхронного двигуна (рис. 2.11) з параметрами: номінальний момент 10 Н-м; номінальне ковзання 5н = 0,05; число пар полюсів р = 3.
Розв’язання. Продовжимо робочу частину механічної характеристики до перетину її з горизонтальною віссю в точці N. Номінальне значення момента двигуна М -
= ОЛ' — СК 3 трикутника СКІЇ знайдемо
Рис. 2. 10
значення СN = п ----
н 18 а номінальне значення швидкості, що відповідає точці К механічної характеристики двигуна; В — деяка стала величина, що характеризує кут нахилу робочої частини харак- \ теристики.
Обчислимо 60/	60 50
= у = -3-
п В, п Н ’ і
синхронну- швидкість асинхронного двигуна
= ІОООоб/хв, де і — частота, Гц, і номінальну його швидкість
п = л (1 - з-) - 1000 (1 - 0,05) - 950 об/хв. н 0
Номінальне значення моменту можна записати Мл = А — Ви* або 10 =А - В-950. Записуємо рівняння неробочого ходу двигуна
0 - А - Впд,
звідки А = В 1000, або В =	- = 0,2; А - 0,2-1000 = 200.
Лінеаризоване рівняння робочої частини механічної характеристики матиме вигляд
М = 200 - 0,2л.
Аналітичні методи лінеаризації. Найбільш поширеним є розклад нелінійної функції в ряд довкола деякої точки характеристики. На практиці застосовуються ряди Паде, Фур’є та ін.
Найчастіше використовується ряд Тейлора, згідно з яким нелінійну функцію /(г) можна записати у вигляді нескінченного ряду
/(2) = /(а) +	- а) +	- а)2 + ... +	- а)" + ...,
(2. 19)
де /(а) — початкове значення функції; /'(а), . . . , /п(а) — похідні відповідного порядку; г - а — відхилення змінної відносно її початкового значення в точці а.
Згідно з гіпотезою малих відхилень Вишнєградського, яка стверджує, що в процесі регулювання відхилення регульованої величини відносно її початкового значення незначне, відхиленням змінної (2 — а) в другому, третьому і далі степенях можна знехтувати. Тому в ТАК вираз (2. 19) спрощується і формула лінеаризації набуває вигляду
/(2) = /(а) + /'(а) (2 - а).	(2. 20)
Приклад 2.3. Лінеаризувати тягову характеристику соленоїдного електромагніту, ' тягове зусилля Рсл якого можна вважати пропорційним квадрату напруги и. електричної мережі.
Розв’язання. Маємо
Р “ с і?,	(2. 21)
ел ел
де сел — стала тягового електромагніту, яка залежить від його конструктивних особливостей; ид, РОел — початкові значення напруги і сили тяги; Дгт і АРСЛ — відхилення « відповідних величин.
Вираз (2. 21) можна записати у вигляді
Р + ДР - с (и+ Ди)2.	(2. 22)
Оел ел ел 0
Розкладемо нелінійну функцію /(2) - (и0 + Ди)2 в ряд Тейлора згідно з (2. 20). При цьому її початкове значення таке:
2 = <
Л» = ио + 2ио^-
Підставляючи знайдений вираз у праву частину рівняння (2. 22), дістаємо
Рп + Др = с и2 + с  2и Аи. Оел ел ел 0 ел 0
Виключаючи рівняння початкової рівноваги Р^сл = гсл  дістанемо лінеаризоване рівняння тягової характеристики електромагніту у відхиленнях
№ = с -2и Аи - К Дц,	(2. 23)
ел ел 0	ел
де Лґ = 2сел-и0 — передавальний (передаточний) коефіцієнт електромагніту.
Аналогічно можна лінеаризувати рівняння моменту асинхронного двигуна, для якого рушійний момент приблизно пропорційний квадрату напруги мережі. Згідно з цим можна записати лінеаризоване рівняння у відхиленнях
АМ = К \и. ДВ ДВ
(2. 24)
2. 8. ФОРМИ ЗАПИСУ РІВНЯНЬ ДИНАМІКИ. ПРИКЛАДИ СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ ЛАНОК
Рівняння динаміки ланок і САК можуть бути складені так, як і рівняння статики в абсолютних величинах, відхиленнях і відносних величинах.
При складанні рівнянь динаміки також широко використовується операторна форма запису диференціальних рівнянь, згідно з якою вводяться символи похідних і інтегралів, що визначаються за допомогою оператора р. Записуємо похідні в операторній формі
і &	, У
Тоді
(їх	(іпх
= Рх,...,^г = ух.
Записуємо інтеграли в операторній формі
(11 — —; І хсіі = — х; І (їх І х(іі = —хіт. д. р д	р > а а	р2
При операторній формі запису оператор р розглядається як деяка величина, на яку можуть поширюватись усі алгебраїчні дії.
Правомочність відокремлення функції від знака оператора можна показати на основі відомих положень математики.
Наприклад, на основі того, що похідна суми деяких величин х, у, г є сума цих похідних
(1 , ,	, .	(їх , (1у	І2
-ТІХ + у + г) = -лт +	,
(ІГ	'	(11 (ІІ	ді
в операторній формі можна записати
рх + ру + рг - /Хх + у +г).
Множення або ділення обох частин деякого рівняння на оператор р можливе, тому що можливе по-членне диференціювання або інтегрування обох сторін рівностей. „	(їх
іак, наприклад, = рх, а інтег-
.. г (ІХ рал похідної з = х ПРИ опера-торній формі запису має вигляд
1
— р  X = X. р
Приклади складання рівнянь динаміки при використанні різних форм запису. Як приклад розглянемо добре відомий елемент — активно-індуктивний електричний опір г (рис. 2. 12, а). Вхідною величиною є напруга и, вихідною — струм і.
На практиці такими елементами є обмотки збудження електричних машин постійного струму, котушки електромагнітів, елементи соленоїдних електроприводів тощо.
В даному разі необхідно встановити в динаміці залежність вхід — вихід і = /(и), використовуючи відомі положення фізики (електротехніки). Згідно з теорією електричних кіл еквівалентну схему елемента (ланки) г можна представити у вигляді двох послідовно з’єднаних електричних опорів — активного Я і індуктивного хь (рис. 2. 12, б).
Миттєві значення спаду напруги на активному і індуктивному опорах відповідно позначимо ик і иІ; При послідовному з’єднанні опорів їх сума дорівнює миттєвому значенню напруги мережі:
и = ик + иь.
Враховуючи, що ил = іЯ, а м£ = е£ = (де е£ — ЕРС самоіндукції, а £ — коефіцієнт самоіндукції), дістанемо
и = іЯ + £37. аі
Розділивши ліву і праву частини знайденої рівності на Я і перенісши вихідні величини в ліву частину рівняння, дістанемо рівняння динаміки ланки активного — індуктивного опору в абсолютних величинах у вигляді
Т^- + і = ки, аі
(2. 25)
де Т = — — стала часу; к = —— передаточний коефіцієнт ланки. їх
В операторній формі запису це рівняння матиме вигляд
(Тр + 1)г = ки.	(2. 26)
Для складання рівняння у відхиленнях введемо початкові значення
1/0, Іо і відповідні відхилення Аи та Аг.
Підставляючи значення и = 170 + Ам; і: = /0 + Аг у рівняння (2. 25), дістанемо
+ Аг)
т	+ /0 + Аг - к(иа + Дм).
Виключаючи з цієї рівності рівняння початкової рівноваги £/0 = І0К, матимемо
гїАг
Т —р—Ь Аг = кі\и, аі
в операторній формі запису
(2. 27)
(Тр + 1)Аг = кЬи.	(2. 28)
Для складання рівняння у відносних величинах введемо як базові номінальні значення струму /н і напруги (7н, позначивши
Аг	Агг
= Т; = й~-н	н
Підставляючи в рівняння (2. 27) і (2. 28) значення Ам = р(7н, Аг = рІн, запишемо рівняння динаміки у відносних величинах у вигляді
т1ї + Г ~ Л’	(2. 29)
в операторній формі запису
(Тр + 1)р = р.	(2. ЗО)
2. 9. КОЕФІЦІЄНТ САМОВИРІВНЮВАННЯ І ЙОГО ВПЛИВ НА ХАРАКТЕР ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ
Рівняння багатьох об’єктів автоматичного керування в загальному випадку можна записати у вигляді
(їх Т---ці + х - рх
<11	‘	(2. 31)
Розв’язок цього рівняння буде таким:
= *хвх(1 - е"/г).	(2. 32)
Розділивши ліву і праву частини рівняння (2. 31) на передаточний коефіцієнт к і визначивши Т/к = Та, а \/к = кс, дістанемо рівняння у вигляді, запропонованому професором Стодола:
(їх
Т ---»її« Д. Ь V = V
а	с них вх	(2. 33)
Підставивши в розв’язок (2. 32) значення к = 1/кс, Т = Тк = 1\/кс, дістанемо
де к_ — коефіцієнт самовирівнювання.
Проаналізуємо вираз (2. 34) відносно коефіцієнта кс. При кс > 0 і І -»°° хш^х^/к;у залежність хвих = /(/) є експонента (рис. 2. 13, а).
При кс < 0 і ґ-»оо хвих_*°° (рис. 2. 13, б).
б/х
При кс = 0 рівняння динаміки матиме вигляд Та — хвх і Хвих - 1/Га І Хвх^- При хвх = сопзі Хвих = х /Т і.
У даному разі при (-»<» хвих-*<» (рис. 2. 13, в).
Виконаний аналіз показує, що:
1) при кс > 0 об’єкти мають стійкий перехідний процес і в принципі можуть працювати без регулятора (електродвигуни та ін.);
2) об’єкти з < 0 і = 0, маючи нестійкі перехідні процеси, не можуть працювати без регулятора (парові машини, асинхронний двигун на нестійкій частині характеристики (рис. 2. 13, г) та ін.).
При цьому необхідно зазначити, що автоматичні регулятори, обов’язкові при об’єктах з кс = 0 і кс < 0, застосовуються і для об’єктів з кс > 0. Принципова різниця полягає лише в тому, що при к. > 0 авто-56
матичний регулятор (як буде показано далі) використовується не для досягнення стійкості, а для підвищення якості динамічних режимів (швидкодії, точності).
2. 10. РІВНЯННЯ МАШИНИ-ДВИГУНА З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ
У сучасній теорії електропривода досить часто нескладні робочі машини, які є об’єктами в системах автоматичного керування, розглядають разом з приводним двигуном як одне ціле. З цією метою момент інерції (масу) робочої машини приводять до вала двигуна, і далі цей елемент системи робоча машина—двигун вважають по суті об’єктом системи автоматичного керування.
В ряді випадків такий підхід допускається, оскільки при простих робочих машинах кількісне врахування впливу приведеного моменту інерції (маси) може бути достатнім — при цьому не зміниться вигляд математичних залежностей, які відображають динамічні явища в системі керування. Для складних робочих машин, коли необхідно враховувати наявність пружностей в елементах машини, багатомасовість, наявність кількох регульованих параметрів, такий спрощений підхід може виявитися недостатнім.
У даному випадку з врахуванням того, що приведений до вала двигуна момент інерції частин досить простої робочої машини з двигуном позначено У, а швидкість обертання двигуна ш, можна дістати рівняння динаміки елемента робоча машина—двигун у вигляді
/2 « м - м ,
лі а °п	а. 35)
де М — рушійний момент двигуна; М — момент опору.
Рушійний момент, як правило, є функцією підведеної до нього енергії, яку відобразимо через положення х відповідного органу регулювання (наприклад, органу регулювання електричної напруги, що подається до електродвигуна, або органу подання пари в парову турбіну), та швидкості руху ш.
Момент опору залежить від швидкості та має деяку складову, незалежну від неї — /(0-
Згідно з викладеним рівняння (2. 35) матиме вигляд
У = М (ш, х) — М (ш) — /(і).
Лі д 7 огА ; л;	(2
Функції Мд(ш,х) та Л/оп(ш) можуть бути заданими у вигляді графічних залежностей або аналітично. В загальному випадку вони нелінійні. Функцію /(і) на час регулювання можна прийняти за сталу величину /(І) = /0.
Згідно з викладеним вище проведемо лінеаризацію нелінійних залежностей довкола деякої точки, координати якої ш0, х0, на основі ряду Тейлора, відкидаючи нелінійні члени розкладу. При цьому дістанемо
дМ \ (дМ \
М (ш, х) = М п +	\ш + -------1 Ах ;
і - «-П і дХ X =
\	/	0	\	/ о
х = х0	<“ = “о
/дМ\
М(ш) = М аП + Аси •
ОП X /	опО і Лп) 1
\ А = “о
Підставляючи знайдені вирази в рівняння (2. 36), маючи на увазі, що ш = а>0 + \ш, та нехтуючи для спрощення записами ш = а>0 і х = х, матимемо
сІЛш сіі
= ^я0
дМ
___ОП
дш
дМ \ дМ
—Д Ьш + —а Ах - Моп0 дш І	дх	оп0
Виключаючи рівняння статики М = М „ + Л, матимемо г	дО	опО * 0’
г (ІАш	( дМ \
Ах аі	І дх І
дМ
___ОП
дш
дМ\
-Т-Ч \ш дш І
Вважаючи х вхідною величиною об’єкта, а Аси вихідною, дістанемо рівняння машини-двигуна у відхиленнях у вигляді
сІ\ш І дМ дМ ]	дМ'
і-Г^-ТГ-Ч А^> = -т^Ах.
аі дсо дсо у	дх	^2 37)
Для запису у відносних (безрозмірних) величинах, при базових зна-
ченнях х і ш, що дорівнюють номінальним хи,ш*, дістанемо відносне
Аси .	Ах
значення вихідної величини <р = --, а вхідної р. — — , звідки Аси =
н	н
=у>син, Ах = цхн. Підставляючи їх у рівняння (2. 37), дістанемо
га<р (дмоп зм\ вмя
+	= ~дГх^-
Дане рівняння в формі Стодола матиме вигляд
(дМ	дМ \
}шк сІ<р І дш	дш і "
------~дМ----
7а>
де - . , “	- Т — стала часу, а
дМ а
д х
дх н
дМ дМ
ап______д
дш дш
-дМ^ ' дх Х"
(2. 38)
є коефіцієнт самовирівнювання.
Знайдений вираз кс дає змогу, виходячи з особливостей зміни моменту двигуна Мл та моменту опору Моп залежно від швидкості ш, зробити такі висновки.
1. Якщо момент двигуна із збільшенням швидкості зменшується, а дМ
момент опору зростає, то з врахуванням того, що завжди більше нуля, коефіцієнт самовирівнювання буде більшим нуля. Отже, як було зазначено раніше, об’єкт може стійко працювати без автоматичного регулятора.
2. При зменшенні моменту опору із збільшенням швидкості, якщо момент двигуна зменшується, то кг < 0. У цьому випадку об’єкт не може стійко працювати без регулятора.
Більш детально питання фізичних особливостей взаємодії робочої машини з приводними електродвигунами залежно від особливостей їх механічних характеристик вивчаються в теорії електропривода.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Дайте перелік основних особливостей теорії автоматичного регулювання (ТАР).
2.	Назвіть основні умови знаходження системи в статичному стані.
3.	Як побудувати результуючі статичні характеристики групи послідовно і паралельно з’єднаних ланок?
4.	Побудуйте статичну характеристику ланки із зворотними зв’язками.
5.	Яка взаємозалежність точності САК і коефіцієнтів підсилення окремих ланок?
6.	У чому полягає протилежність вимог статики і динаміки?
7.	Наведіть приклади рівнянь статики і динаміки в різних формах запису.
8.	Які є методи лінеаризації? їхні особливості?
9.	Як використовується гіпотеза малих відхилень при лінеаризації?
10.	Що таке коефіцієнт самовирівнювання і який його вплив на характер перехідних процесів?
11.	Який зв’язок коефіцієнта самовирівнювання з характеристиками об’єкта?
12.	Нарисуйте функціональні схеми багатовимірної зв’язаної і незв’язаної систем.
І Глава З
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
3. 1. ТИПОВІ ЕЛЕМЕНТИ (ЛАНКИ) СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
На практиці перехідні процеси різних за своїми фізичними принци пами дії ланок (елементів) визначаються подібними диференціальними рівняннями динаміки, що дає можливість класифікувати їх за виглядом рівнянь динаміки. Наприклад, з цієї точки зору, до одного типу елементів можна віднести такі, на перший погляд, різні елементи, як механічна рухома маса і електричне активно-індуктивне коло.
Так, рівняння динаміки для механічної маси з моментом інерції У, можна записати у вигляді
М = М - М дин	дв	оп
або при М = кш г оп
сіш
~ кш‘
Групуючи вихідні величини в лівій частині рівняння, а вхідні — в правій, дістаємо
, <1ш
}	+ кш = М .
Лі	"	(3. 1)
Рівняння динаміки активно-індуктивного кола з електричним активним опором 7? та індуктивністю Ь матиме вигляд
= и- Ні, або + іЯ = и.
Лі	Лі	(3. 2)
Рівняння (3. 1) і (3. 2) мають аналогічний вигляд, тому характер зміни струму і та швидкості ш в перехідних режимах цих елементів буде аналогічним і за класифікацією, прийнятою в теорії автоматичного керування, ці елементи відносять до одного й того ж типу.
З лівої частини рівняння елемента, в якій представлені вихідна величина та її похідні, видно, як швидко та точно реагує елемент на вхідну величину, що записується в правій частині рівняння.
Наявність похідних у лівій частині рівняння показує, що елемент поступово реагує на вхідну величину, перехідний процес діє певний час, коли є відхилення вихідної величини від заданого рівня.
Якщо похідних у лівій частині рівняння динаміки елемента нема, то це означає, що елемент миттєво реагує на вхідну величину.
Похідні можуть бути не тільки в лівій частині рівняння динаміки елемента, а й у правій.
У загальному випадку права частина рівняння динаміки елемента показує, на що реагує даний елемент і з яким коефіцієнтом передачі (підсилення) вхідна величина з’являється на виході елемента.
Залежно від вигляду правої частини рівняння елемент (ланка) може реагувати: на саму вхідну величину; тільки на похідну від вхідної величини; на інтеграл від вхідної величини; на вхідну величину та її похідну; на вхідну величину та інтеграл від неї; на вхідну величину, похідну та інтеграл від неї. Можливі й інші варіанти вигляду правої частини рівняння.
Основними динамічними характеристиками елементів є:
—	часова характеристика х = /(();
—	перехідна функція Н(ї) = х (і) при х =1, що показує, яким чином елемент реагує на одиничне значення вхідної величини;
—	функція ваги, що є похідною від перехідної функції
= [Л(0]'.
Крім названих характеристик елементів, важливими характеристиками є передаточні функції Ж(р) та різні частотні характеристики елементів, докладніше про які буде сказано далі.
Відповідно до рівнянь динаміки розрізняють типові динамічні ланки.
Безінерційна (підсилювальна) ланка. її називають також ідеальним елементом. Він має як в динаміці, так і статиці однакове рівняння
Це рівняння показує, що вхідна величина миттєво, без будь-яких відхилень, надходить на вихід елемента з передаточним коефіцієнтом к. Прикладом таких елементів можуть бути механічні редуктори, які не мають люфтів, електронні лампи та ін.
Аперіодична ланка першого порядку. її іноді називають інерційним, релаксаційним або одноємнісним елементом.
Така ланка має рівняння динаміки
сіх
Т---+ х =
Л вих вх ’	(3. 3)
або в операторному вигляді
(Тр + 1)х = кх .	(3. 4)
*	ВИХ	ОА
Розв’язок такого лінійного неоднорідного диференціального рівняння1 першого порядку має вигляд
Хвих = ^Хвх(1- Є </Г)-
(3. 5)
Рис. 3. З
Відповідна часова характеристика — це експонента, зображена на рис. 3. 1 (крива 1).
Якщо вхідна величина відсутня (що відповідає, наприклад, відключенню напруги з деякого активно-індуктивного опору), то динамічний процес можна записати у вигляді однорідного рівняння
<Тр + 1)хмх = 0,	(3. 6)
яке називають рівнянням незбуреного. руху. Розв’язок його має вигляд
хвйХ = Ьхвке - 'Т	(3. 7)
Відповідна часова характеристика зображена на рис. 3. 1 (крива 2).
В усіх наведених вище рівняннях Т є стала часу, яка характеризує інерційні властивості відповідної ланки.
При наявності осцилограми вона може бути визначена при І = Т. При цьому розв’язок матиме вигляд
х„их = ^Х»х(! — е "') = 0,632£хвх.	(3. 8)
Відкладаючи по вертикальній осі 0,632 кх^, легко знаходимо відповідне значення Т на осі часу І. Тривалість перехідного процесу І = (3-М )Т.
Якщо ланка має рівняння динаміки вигляду
то її називають нестійкою аперіодичною ланкою.
Розв’язок цього рівняння має вигляд
х ик = кх^'Т - !)•	<3- Ю)
Часова характеристика ланки, зображена на рис. 3. 2, показує, що при ї-»оо х -»о°.
Аперіодичними ланками є різні електротехнічні пристрої з актив
но-індуктивним опором, механічні інерційні пристрої, генератори постійного струму та ін.
Приклад 3.1. Вивести рівняння динаміки генератора постійного струму, принципову схему якого зображено на рис. 3.3, де — обмотка збудження генератора з індуктивністю £ і активним опором К.
Розв’язання. Якщо прийняти, що швидкість обертання якоря генератора стала, то напруга генератора иг може змінюватись лише залежно від напруги на обмотці збудження из; тоді рівняння динаміки має дати залежність
иг = /(и3).
Для обмотки збудження можна записати
Виходячи з лінійності характеристики генератора, записуємо
І/ - сі, г з
и звідки і. — —. 3 с Переносячи вихідні величини в ліву частину, дістаємо
£ К -- —І и = и . с аі с г з
Ввівши позначення Ь/К - 7^,	= Кг, матимемо рівняння генератора у вигляді
	ди Т-~ + и = к и , г <11	г	г 3	(3. 11)
в операторній формі запису	(Тгр + 1)иг - кгиз.	(3. 12)
Ланки другого порядку. До цієї групи відносять ланки, які мають рівняння динаміки вигляду
<*Х„х <І12	сіх + 5—~ + х = кх . (її	вих	вх	(3. 13)
Позначивши Та = Т формі запису у вигляді	Ь = Т, дістанемо рівняння	в операторній
(тТр2 Розв’язок цього рівняння	+ Т2р + 1)хвих = кх„.	(3. 14)
Х.„х = Чх(с.еР1< + С2еР2‘ + !)’	(3. 15)
де Ц, С2 — сталі інтегрування; р2 — корені характеристичного рівняння
теристичного рівняння
т]р2 + Т2р + 1 = 0.	(3. !6)
Залежно від коренів характеристичного рівняння можливі два різновиди ланок другого порядку — аперіодичні та коливальні. Ці ланки мають один і той самий зовнішній вигляд рівняння, але різко відрізняються по вигляду часової характеристики.
Аперіодичні ланки другого порядку. До ланок цього виду відносять ланки при дійсних, від’ємних коренях харак-
Р1.2 =
-т2±	4Т?
2Т2
Це можливо за умови, коли Т2 > 27’1.
При р, < 0, р2 < 0 розв’язок рівняння ланки матиме вигляд
х — кх іС, -Ц + С, -Ц + Ц -» кх . ВИХ ВХ I 1 £>Р\1	2	І ВХ
(3. 17)
Часову характеристику наведено на рис. 3.4. Вона визначається сумою двох експонент, що і зумовлює назву ланки.
Коливальні ланки. Коливальною ланкою є елемент другого порядку при комплексних коренях характеристичного рівняння з від’ємною дійсною частиною. В цьому випадку р{ = - а + уД р2 = - а - уД де
а = Г2/2Д2; р =	
Розв’язок рівняння динаміки елемента можна записати у вигляді
= ^8Х(СіЄ<-“	+ С2е <’ “ -	+ 1) =
= Ахвх[1 + е-и,(С^ + С2е'р')].
Згідно з формулою Ейлера
= сох Д + ухіп Д;
е ~	= сох Д - ухіп Д.
Замінюючи показникові функції на тригонометричні, після нескладних перетворень дістанемо
хБИХ = &хвх{1 + е	[С, (сох Д + у хіп Д) + С2(сох Д - у хіп Д)]} =
= А:хвх{1 + е ”а' [(Ц + С2)сох Д + у(С- С2) хіп Д]} =
= &хвх[1 + е (А сох Д + ]В хіп Д)];
Хвих = кхп [1 + е И хіп фі +	(3. 18)
де + С2 = Л; С,- С2= л
/> /л2 + В2 амплітуда гармо-
„ В пічних коливань; Ф = агсщ — — , •	Л
зсув по фазі.
Часову характеристику, що відображує затухаючий коливальний процес і побудову згідно з рівнянням (3. 18), наведено на рис. 3. 5.
Тривалість перехідного процесу
і ^ЗТ', де Т' — стала часу апроксимуючої експоненти, показаної пунктиром, що залежить від дійсної складової комплексного кореня:
27?	67?
Т’ — —-• І = 37' = —-' 2	1 2
З наведеної формули видно, що коливальні властивості ланки другого порядку визначаються коефіцієнтом Т} при другій похідній, а демп-фуючі — коефіцієнтом Т2 при першій похідній.
При Т2 < 27] елемент другого порядку є коливальним, а при Т2 >2Т} — аперіодичним.
Рівняння ланки другого порядку можна записати також у дещо іншому вигляді
+ КТр + 1) хвих = кх^
де 7 = Тр = 72/27і називають декрементом затухання.
Залежно від величини £ ланка другого порядку різко змінює свої властивості. Згідно з цим, при 0 < £ < 1 ланку називають коливальною. Цей випадок детально роглянуто нами раніше.
Якщо £ = 0, ланку називають консервативною.
Часова характеристика даної ланки визначається розв’язком характеристичного рівняння, який при чисто уявних коренях матиме вигляд
= ^ВХ(С,^ + С2є -	+ 1)
або
хвих = іхДЦСсок (Зі + і кіп (ІЇ) + С2(сок @1 - і кіп /ЗО + 1] = = Ахвх[1 + О кіп фі + <р].
При цьому хвих є коливанням із сталою амплітудою В при куті зсуву відносно початкової точки і = 0, що дорівнює <р.
Прикладом елементів другого порядку можуть бути каскадні магнітні підсилювачі, електромеханічні підсилювачі поперечного поля та двигуни постійного струму.
Приклад 3. 2, Вивести рівняння двигуна постійного струму з незалежним збудженням.
Розв’язання. Вихідною величиною в даному разі буде швидкість ю, яка регулюється зміною напруги и, що подається в якірне коло двигуна. Таким чином, треба встановити в динаміці залежність ю - Ли). Запишемо рівняння електричної рівноваги для якірного кола двигуна, маючи, зокрема, на увазі, що в двигуновому режимі напруга живлення обчислюється за формулою
сіі
де £я, Я* — індуктивність і активний опір кола якоря; е — проти-ЕРС (електрорушійна сила) двигуна.
Для режиму розгону двигуна можна записати рівняння динаміки у вигляді
(3. 19)
м - м — м Дин дв	<
де Л£дин, Л£дв, Мсх — відповідно динамічний, двигуновий і статичний моменти двигуна.
Коли статичний момент невеликий, тобто Мсг—0, то можна записати
сію = СА’
звідки
У сію с, сії ’
де 3 — момент інерції двигуна; сі — стала струму.
Підставляючи знайдене значення г'я в рівняння електричної рівноваги кола якоря двигуна, після деяких перетворень дістанемо
сію
ю

ді
и.
Введемо позначення:
£ З ЯЗ я	__ уД . я
С.С 1 ’ С.С
= Т  — = к . 2С Д
При цьому рівняння динаміки двигуна тиме вигляд
постійного струму в операторній формі ма-
ю = к а.
(3. 20) я
або Л,
Я /
Якщо Т. = —— > 2Т = 2 2 с,£е
співвідношенні параметрів буде аперіодичною ланкою другого порядку, а в противному разі — коливальною ланкою.
то двигун при даному
Інтегруючі (астатичні) ланки. Ланки даного типу мають рівняння динаміки вигляду
Хвих =
(3. 21)
в операторній формі запису
Рис. 3. 7
Хвих к Р х‘х •	(3. 22)
Розв’язок цього рівняння має вигляд
= кхЛ-	<3. 23)
Часову характеристику наведено на рис. 3. 6. Вона показує, що при і-»00 х^-*00 за умови, що на вході ланки існує вхідна величина (хвх*0).
Прикладом інтегруючої (астатичної) ланки може бути гідравлічний серводвигун (рис. 3. 7).
Вхідною величиною елемента х є переміщення золотника 3, а вихідною х — переміщення поршня П. Рух поршня здійснюється за допомогою “масла (), яке надходить залежно від положення золотника у верхню або нижню порожнину циліндра серводвигуна СД. Швидкість переміщення поршня пропорційна кількості масла С), що надходить у відповідну порожнину циліндра.
Отже, можна записати
В свою чергу кількість масла в циліндрі пропорційна величині х — Лсвих
відхиленню золотника. Тому () = с2хвх, звідки —" = с]с2хвх.
Інтегруючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо
х = с.с, | х Л = к \ х сії.
вих	І 2 и вх	З вх
Диференціююча ланка. В ланках цього типу вихідна величина залежить від швидкості зміни вхідної. При сталому значенні вхідної величини вихідної величини не буде.
Рівняння динаміки елемента має вигляд
Рис. 3. 8	Рис. з 9
“* Л ’	(3.24)
або *.их = ^Х»х-	<3. 25)
Прикладом елементів ланок даного типу можуть бути електричні кола Ь—К, К—С.
Приклад 3. 3. Записати рівняння динаміки ланок £—К і К—С (рис. 3. 8, 3. 9). Розв'язання. Для схеми £—К

Продиференціювавши ліву і праву частини рівняння, дістанемо
= Л+Л <Я	'
Позначивши и К • Т, Ь— = е; = и>их, після множення лівої і правої частин рівняння на Ь/К дістанемо
(/ЦцИХ	(/Цвх
(3. 26)
Від класичного вигляду дане рівняння відрізняється наявністю в лівій частині складової ^“вих
Т -	, що є похибкою диференціювання. Наявність похибки показує, що ідеальне ди-
ференціювання неможливе.
Складемо рівняння для елемента виду К—С :
Чвх — ЧС + ЧВИх
О. + иг -с к с
де С — заряд; С — ємність.
В операторній формі можна записати
1 .	/ 1	,)	/Гр + 1
Чвх = —^1+і/г = іК — + 1 = Чвих~----
рС	І Ір І	І 1р
де Т - КС.
Звідси
и =	—7 Гри ,
вих Тр +1	»*
Диференціюючі елементи використовуються в системах автоматичного керування для стабілізації перехідних процесів, поліпшення якісних показників систем керування
Ланки із запізненням. Характерними особливостями таких ланок є тс, що величина, яка надходить на вхід, передається на вихід ланки з деяким запізненням т. У багатьох випадках приймають, що коефіцієнт передачі ланок із запізненням дорівнює одиниці. Прикладом таких елементів можуть бути трубопроводи, транспортери тощо.
Рівняння ланок із запізненням мають вигляд
*вих(0 = Хвх(/ “	(3- 28>
Після перетворень за Лапласом і використання теореми запізнення в операторній формі запису рівняння матиме вигляд
хВИх<Р> = хвхФ>^рг-	(3. 29)
Крім розглянутих типових ланок, що відрізняються виглядом диференціальних рівнянь та значенням коренів характеристичного рівняння, можливі деякі інші підходи до класифікації ланок, які будуть розглядатися пізніше.
3. 2. ПРИКЛАД СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ТИРИСТОРНОГО ПЕРЕТВОРЮВАЧА (ПІДСИЛЮВАЧА) ЯК ЛАНКИ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Неперервний сигнал керування І/ , що надходить до тиристорного перетворювача (ТП), подається насамперед до системи імпульсно-фазового керування (СІФК), яка є частиною ТП. З її допомогою сигнал перетворюється на послідовність керуючих імпульсів, які формуються генератором імпульсів і мають відповідне відхилення по фазі щодо моменту відкриття тиристора. Змінюючи величину відхилення фази керуючих імпульсів, тиристорний перетворювач виконує зворотне перетворення дискретних сигналів в кусково-неперервний сигнал вихідної величини и або 7аих, який подається в якірне коло двигуна Д.
При точному розгляді процесів, що відбуваються в тиристорному перетворювачі, він повинен розглядатись як нелінійний дискретний елемент системи керування. Досить точне математичне описання його можливе на основі теорії систем з широтно-імпульсною модуляцією другого роду (ШІМ). Це складно і тому в практиці ТАК використо
вується, як правило, спрощене уявлення про процеси, які відбуваються в ТП.
Згідно з теоремою Котельникова, тиристорний перетворювач без втрат інформації пропускає сигнали, частоти яких менші за граничну частоту
тш м Ш = А- , гР 2 ’
де т — кількість фаз перетворювача; а> = 2л/ — частота напруги мережі; / — частота в герцах.
Якщо частота проходження дискретних імпульсів ш. = — <	, де
Т — період квантування, то ТП можна лінеаризувати (апроксимувати) лінійною безінерційною ланкою з коефіцієнтом підсилення к .
При такому підході треба мати на увазі, що при значному збільшенні коефіцієнта підсилення системи з ТП в замкнутому колі з метою збільшення швидкодії і статичної точності САК можливе виникнення небажаних автоколивань з частотою граничної гармоніки
Важливою особливістю ТП є також явище неповної керованості. Воно полягає в тому, що при зміні кута керування тиристором а з частотою, більшою за і при	процеси в ТП при збільшенні і
зменшенні кута а відбуваються по-різному.
При зменшенні кута напруга иа на виході ТП повністю залежить (1а
від а(0, а при збільшенні «(/) і при	комутації тиристора не
відбувається. При цьому и не є функцією а(0, а є відрізком синусоїдальної анодної напруги вентиля, який було відкрито в останній момент зміни кута керування.
Отже, при	ТП можна зобразити як неперервну безінерційну
„ йа ,	'	.	.....
ланку. При —г- > ш буде спостерігатися невідповідність між вхідними ш м
і вихідними величинами тиристора, що потребує відповідного математичного відображення.
Невідповідність вхідних і вихідних величин у даному випадку є причиною появи фазових зміщень при гармонічних змінах вхідної величини. Максимальне фазове зміщення на виході ТП відповідає £> зміщенню деякої ланки з чистим запізненням на час т = де £> —
діапазон зміни кута керування.
Завдяки неповній керованості, дискретності та нелінійності ТП у замкнутій системі можуть виникати автоколивання на найнижчих суб-гармоніках з великою амплітудою при порівняно невеликій частоті.
Такі автоколивання можуть призвести до перевантаження окремих елементів ТП і різкого зменшення його надійності.
Щоб зменшити негативний вплив можливих автоколивань, обмежують швидкість зміни вхідного сигналу керування и (і), який визначає швидкість зміни кута керування а(і). Для цього на вході СІФК ТП підключають аперіодичну ланку. Ця ланка в реверсивному електроприводі повинна також обмежувати динамічний зрівняльний струм, що виникає між випрямляючою та інвертуючою групами вентилів і може в багато разів перевищувати статичний зрівняльний струм. Внаслідок цього обмежувальні реактори, які розраховані на статичний зрівняльний струм, можуть бути насичені його динамічною складовою, і зрівняльний струм досягне аварійного значення. Щоб уникнути такої небезпеки, стала аперіодичної обмежувальної ланки на вході СІФК повинна знаходитись в інтервалі 0,006 — 0,01 с при промисловій частоті
= 2-3,14-50 = 314 1/с.
Як видно, процеси, що мають місце при різних варіантах зміни вхідного сигналу ТП, досить складні і не завжди передбачувані. Тому різні автори дискретний процес керування і неповної керованості тиристорів трактують по-різному.
В даному випадку, орієнтуючись на роботу ТП в режимі безперервного струму, розглядатимемо ТП як елемент, що складається з двох послідовно з’єднаних ланок: лінійної безінерційної з коефіцієнтом підсилення к, і ланки чистого запізнення з запізненням т.
Рівняння динаміки згідно з викладеним вище матиме вигляд
Ч.» =	“„є Р-	(3. 30)
Розклавши функцію е гр в степеневий ряд і обмежившись двома першими членами, дістанемо рівняння підсилювача у вигляді
- ь 1
Т.пЧх 1 + Хр >
де т — середньостатичне запізнення.
3. 3. ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Теоретичне визначення передаточної функції виходить з відомого перетворення Лапласа, згідно з яким деяка функція часу /0) — оригінал — може бути перетворена в функцію комплексної величини 5, яка є зображенням відповідного оригіналу. Формула прямого перетворення Лапласа:
00
Д/Щ] = /(«) = / /(0е’ял.
о
Використовуючи розроблені методи перетворення, теореми і формули,
забезпечимо розв’язання інтегро-диференціальних рівнянь, дотримуючись відповідних дій над зображеннями. Потім на основі зворотного перетворення Лапласа перейдемо до дійсної функції-оригіналу. Формула зворотного перетворення Лапласа, яке позначається Ь -1, матиме вигляд
/(0 = Ь [£(5)].
Передаточні функції при використанні перетворень Лапласа представляють як відношення зображень вихідної і вхідної величин:
м// , *в„хО) Иф) = —тд-.
Х»х(5)	(3. 31)
При нульових початкових умовах передаточну функцію можна подати на .основі запису відповідних величин в операторній формі. Тому в теорії автоматичного керування передаточну функцію часто записують так:
=	= = ш
( ' Хвх(Р) Хвх Р(р) '	(3. 32)
При цьому виходять із рівняння елемента в загальному вигляді
р (Р^ = <2 (Р>х^
де (£ (р), Р (р) — відповідні оператори.
Так, для типового елемента — аперіодичної ланки першого порядку — рівняння має вигляд
(Тр + 1)х = кх ,
Р (р) = Тр + V, () (р) = к.
Для інтегруючого елемента Р (р) = 1, <2(р) = к^.
Передаточні функції в ТАК мають значне поширення і використовуються з метою:
—	відображення динамічних властивостей елементів (систем) на основі структурних схем;
—	знаходження вихідних виразів для побудови частотних характеристик, на яких базуються різні методи дослідження елементів і систем автоматичного керування;
—	застосування математичного апарату, зручного для спрощення структурних схем.
3. 4. ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ І ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВИХ ЛАНОК. ПРИКЛАДИ ПОБУДОВИ.
ОСНОВНІ ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Основною частотною характеристикою є амплітудно-фазова характеристика АФЧХ (АФХ). Її можна дістати двома способами: графоаналітичним і експериментальним.
Для побудови АФХ графоаналітичним методом у вираз відповідної передаточної функції роблять підстановку р = ]а>, де І = \г— 1; ш — частота, що може змінюватись від 0 до <» або в деяких випадках від - <» до + <».
У загальному випадку АФХ має вигляд
ИД/ш) =
РЦш) ‘
(3. 33)
Оскільки ТУ(/ш) — комплексна величина, то її можна записати, виділяючи дійсну ІДа>) та уявну У(ш) частини, у вигляді
ТУ(уш) = ІЛш) +
де (/(ш), У(а>) — відповідно дійсна і уявна частотні характеристики.
У комплексній площині, якщо відомі вирази ІДа>) і У(ш'), можна побудувати відповідні характеристики (рис. 3. 10).
— фа-
І/(Ш)
Характеристику Л(ш) = ^[(/(ш)]2 + [Г(ш)]2 називають амплітудно-частотною характеристикою, а залежність у>(ш) = агсі£ зочастотною.
Всі частотні характеристики можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі. У цьому випадку їх називають логарифмічними
частотними характеристиками.
Приклад графоаналітичної побудови частотних характеристик. Побудуємо частотні характеристики для аперіодичної ланки першого
порядку з передаточною функцією ИДр)
к
Тр + 1
і амплітудно-фазо-
вою характеристикою
ЖО'ш) =
к
Т]ш + Г
Ліквідуючи ірраціональність у знаменнику, дістанемо
1 + Т2ш2
______к _ Та>
1 + Т2ш2 11 + Т2ш2'
Дійсна і уявна частотні характеристики мають вигляд
ТГҐ \	к	17/ Ч -
^(Ш) і + Г2Ш2 > И(Ш)	! + Т2Ш2 •
Амплітудно-частотна характеристика записується у вигляді и ч І	, (кТсй)2 к
а фазочастотна — у вигляді
<р(ш) = агсі£
= агсі£
кТа>
1 + Т2ш2 к
1 + Гш2
= агсівГГй»].

Задаючи а>, обчислимо відповідні значення (7(ш) і У{ш\ які наведено в табл. 3. 1.
Таблиця 3. 1
О)	£/(Ш)	ИШ)
0	к	0
1 / т	к / 2	- к / 2
00	0	0
АФХ типової аперіодичної ланки першого порядку є півколо, яке
лежить у четвертому квадранті комплексної площини (рис. 3. 11).
Частотні характеристики І/ (а>\	ш) побудовано на рис 3.12, а, б, в, г.
Експериментальний метод побудови амплітудно-фазової частотної характеристики ланки (системи). Щоб побудувати амплітудно-фазову характеристику, треба мати елемент (систему) в натуральному вигляді, або його модель. Крім того, потрібні генератор змінної частоти та прилади для вимірювання амплітуди і фази
вихідної величини.
Рис. 3. 11
Для побудови характеристики на вхід елемента подаються коливання / = а зіп ші. При цьому на виході дістають коливання Е - А зіп (ші + /3). При а = 1
Е Ае Лш, + ^
ИД» =	7(0 •
Результати вимірювань при різних частотах можна звести в табл. 3. 2.
Таблиця 3. 2
"1		
Ш2	а2	
Шп	А„	
За даними таблиці неважко побудувати амплітудно-фазову характеристику, на основі якої можна дістати й інші частотні характеристики.
Знаючи методи побудови частотних характеристик, розглянемо передаточні функції та частотні характеристики інших типових елементів.
Безінерційна ланка. Рівняння цієї ланки має вигляд хвих = кх^. передаточна функція ТУ(р) = к; амплітудно-фазова характеристика Ж(уо))= — к, яка є точкою, що лежить на дійсній осі комплексної площини.
Аперіодична ланка першого порядку. Для цієї ланки рівняння, передаточну функцію та амплітудно-фазову частотну характеристику було наведено раніше.
Ланка другого порядку. Передаточна функція має вигляд
и
^(р) = -іл—------------
Т^р2 + Т2р + 1
а амплітудно-фазова характеристика —
. ___________к__________(1 - ту - ру _
{}Ш)	{-Т2 -ш2 +	+1)(1 -ту - ]Т2ш)
= и(а>) + у¥(ш),	>
де
к(1 - Т2ш2)	- кТ2ш
п(ш) = —\ У—4-у;	=------т~У—г-7-
к ’	(1 - ТУ) + Т2ш к 7	(1 - ТУ)2 + Т2й?
Значення /7(ш) і И(ш) при відповідних а> наведено в табл. 3. З, на основі якої на рис. 3. 13 побудована АФХ елемента другого порядку, яка розміщується в третьому і четвертому квадрантах комплексної площини.
Таблиця 3. З
0)	6/(ш)	И(Ш)
0	к	0
\/тх	0	- кт/т2
00	0	0
Інтегруюча ідеальна ланка. Для цієї ланки ИДр) = к —;	=
= кл-У- = — і тобто АФХ є прямою, що збігається з від’ємною ]ш ]ш ' а>
уявною віссю а (рис. 3. 14). При ш-»0 АФХ ТУ(уш)-» —<».
Диференціююча ідеальна ланка. Для неї ИДр) = кр, IV (і еф = к]ш, тобто АФХ збігається з уявною віссю б, але направленою в додатному напрямку (рис. 3. 14).
Крім рівнянь, передаточних функцій і відповідних частотних характеристик ідеальних диференціюючих і інтегруючих ланок, у теорії автоматичного керування виділяють також інерційні диференціюючі та
інтегруючі ланки, які детально будуть розглянуті при побудові відповідних логарифмічних характеристик.
Ланки з чистим запізненням. У загальному вигляді
РГ(р) = ке Л Щ/ш) = ке	(3. 35)
Амплітудно-частотна характеристика має вигляд
А(а>) = к = сопхі, а фазочастотна — вигляд
<ра> = - а>т.
Згідно з (3.35) амплітудно-фазова характеристика ланки із запізненням є колом радіуса к, що періодично повторюється.
Амплітудно-частотна характеристика А(а>) = к є радіусом-вектором, що обертається за годинниковою стрілкою.
3. 5. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ, ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ І АМПЛІТУДНО-ФАЗОВІ ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУП ЛАНОК ПРИ РІЗНОМУ ЇХ З'ЄДНАННІ
Послідовне з’єднання ланок. При послідовному з’єднанні ланок вихідна величина кожної попередньої ланки подається на вхід наступної і, згідно з цим, рівняння динаміки групи послідовно з’єднаних ланок повинно дати залежність вихідної величини останньої ланки від вхідної першої.
Запишемо рівняння динаміки окремих елементів: першого елемента
= Єі<рЦ„ >•
Є.(р)
другого елемента з врахуванням того, що хіаих = р~(ру Х1>х = Х2вх>
Сі(р) Л(Р)х2.„х =
п-го елемента
р , ,	_ п , .Єі(р)62(р)-6„-і(р)
^ДР)ХПЗИХ УДР)р (р)Р2(р)	і(р) *і.Х •	(3_ 36)
Позначивши
Р^рУР^р). . . Р/р) = Ар);
ШрХ&р) • • • бл<Р> = (Ж
дістанемо рівняння п послідовно з’єднаних ланок у вигляді
Р (Р) Хл8их = <2 (р) Х1вх.	(3. 37)
Передаточна функція п послідовно з’єднаних елементів з врахуванням залежності (3. 36) матиме вигляд
ту/ т =	= С(Р) =
{Р)і-п	Р(Р) Р^ІрУ-Р^рУ
або
^.„(р) = ^,(р)^2(р) .. .^п(р).	(3. 38)
Амплітудно-фазова характеристика при послідовному з’єднанні елементів
И'_„(/«) =	. И^ш).	(3. 39)
Якщо відомі АФХ окремих ланок (наприклад, знайдені експериментально), то характеристику послідовно з’єднаних ланок можна побудувати графічно.
Наприклад, для двох ланок, амплітудно-фазові характеристики яких
= Ахе^\
= А2е’^,
Результуюча характеристика при їх послідовному з’єднанні матиме вигляд
= \_2е^ + ^, де А,_2 = ДА2.
АФХ окремих ланок та графічну побудову результуючої АФХ ланок показано на рис. 3. 15, а, б, в.
Паралельне з’єднання ланок. Нагадаємо, що при паралельному
з’єднанні ланок їхні вхідні величини однакові х = х, -	. = х ,
а вихідна величина є сумою вихідних величин ланок, що зєднуються:
х = х, + х, + . . . + х вих Івих 2вих	Л8ИХ
Розглянемо рівняння та передаточні функції при паралельному з’єднанні ланок на прикладі двох паралельно з’єднаних ланок з рівняннями динаміки вигляду
Л<Жих = СШвх-’
Р2<Р>Х2вих = бг^РЧвх-
У цьому випадку
е,(р)	е2(р)
X = X, + X, = ,, X, + ,,	- X,
вих Івих 2вих	\Р) 8Х •* (Р.) ^вх
і рівняння динаміки матиме вигляд
хаих = [^і(р) + ТГ2(р)]х8Х,	(3. 40)
звідки дістанемо передаточну функцію двох паралельно з’єднаних ланок
^_2(Р) =	= ^(Р) + ^2(Р).	а ,п
ВХ	41)
АФХ для цих двох ланок запишеться у вигляді
= И'О’ш) + Ж2(/ш).	(3. 42)
У загальному випадку при п. з’єднаних ланках АФХ визначається як сума відповідних характеристик всіх ланок:
^-„(Р) = И\(р) + ТУ2(р) + . . . + ТУ„(р);
№\_п( І&) =	+ И^2( /ш) + . . . + ТУ„( іш).
Графічно результуюча АФХ будується за правилами складання векторних величин (рис. 3. 16).
Ланка із зворотним зв’язком. На рис. 3.17 показана ланка 7, охоплена зворотним зв’язком 33, а також .відповідні вхідні і вихідні величини.
Рівняння динаміки ланки 1 до охоплення її зворотним зв’язком має вигляд
ЛШівих = С1<Р)Х1вх-
Рівняння самої ланки зворотного зв’язку у загальному вигляді запишеться так:
Лв<РЧа = бзв<Р)ХІ8„х>
Рівняння ланки з врахуванням зворотного зв’язку має вигляд
<2 (р)
Р.(р)х =	± X ) = <2,(р)(х, ± 3‘ . X, ),
IV/ ІВИХ	ІВХ ЗВ/	Івх р (п\ Івих/’
де знак «плюс» відповідає додатному, а знак «мінус» — від’ємному зворотному зв’язку.
Після нескладних перетворень дістанемо
[Л<Р>Л»(Р>+ ШрШ^Ких = Є1(р>Лв(р)х1вх.
Звідси можна дістати передаточну функцію ланки, охопленої зворотним зв’язком
И^а(р) — Л|ви* — 6і(Р)Лв(Р)
Х‘вх Л(Р)Л.(Р) + 6>(р)Єз.(Р)
Поділивши чисельник і знаменник на Р[(р)Рзв(р), матимемо
Ж.(р)
И^-(р) = ----------------
1 + Ж,(р)Жз.(р)
(3. 43)

де И^їр) — передаточна функція самої ланки без врахування зворотного зв’язку; И^Ср) — передаточна функція ланки зворотного зв’язку. Знак «мінус» у даному разі відповідає додатному, а знак «плюс» — від’ємному зворотному зв’язку.
Відповідний вигляд матиме АФХ ланки із зворотним зв’язком:

1 +
(3.44)
3. 6. ЛОГАРИФМІЧНІ ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Всі розглянуті вище частотні характеристики окремих ланок і відповідних груп ланок можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі. В цьому випадку їх називають логарифмічними характеристиками, наприклад, логарифмічною амплітудно-фазовою, логарифмічною амплітудно-частотною тощо.
При побудові логарифмічних характеристик по вертикальній осі відкладають логарифм відповідної величини в децибелах (логарифмічна величина «непер» вважається дуже великою).
Нагадаємо, що для знаходження відповідної величини в децибелах слід її десятковий логарифм помножити на 20.
Так, амплітудно-частотна характеристика в децибелах матиме вигляд
£(а>) = 20 І£ А(а).
По горизонтальній осі частоти відкладають також у логарифмічному масштабі — в октавах або декадах (але записують часто значення самої частоти а). Тому по горизонтальній осі масштаб буде нерівномірним. При цьому в початку координат можна відкласти довільне значення І£а>, але не те, що відповідає а> = 0, оскільки 1&0 ~ — 00.
Одна октава є величиною, що дорівнює різниці логарифмів деякої частоти ш і її подвоєного значення:
1 октава = І£ 2а> — І£ а> = І£ 2 + І£ а> — І£ ш =	2.
Одна декада відповідно дорівнює різниці логарифмів:
1 декада = І£ 10а> — І£ ш - 1.
Із викладеного випливає, що інтервал, який дорівнює одній октаві або декаді, не залежить від абсолютного значення частоти ш.
Перевагами логарифмічних характеристик є більш вдалий масштаб, який дозволяє легко лінеаризувати відповідні характеристики і спростити побудову логарифмічних характеристик групи ланок, а також можливість заміни складніших дій (множення, ділення) простішими (додавання, віднімання).
Так, АФХ групи послідовно з’єднаних ланок
Иф'со) = Ж1(/а>)И'2(/а>)...И'ІІ(/а>) =
<2,(/ш)<22(/ш)...(2п(/ш)
при використанні натурального масштабу потребує перемноження операторів чисельника і знаменника з подальшим діленням здобутих результатів.
Якщо побудову вести за допомогою логарифмічних характеристик, то можна записати
20 1Є |іУ (уш)| = 20 |<2Г( /Н + 20 ‘8 ІЄ/ + • • • +20 Ю, (М -— 20 1& |Р,( /ш)| — 20 1& |Р2( /ш)| — ... — 20	|Р„ (усД
Як видно, розрахунки у цьому разі суттєво спрощуються. У зв’язку з цим при побудові логарифмічних характеристик групи ланок (системи) їх побудова зводиться до алгебраїчного додавання відповідних ха-
рактеристик, що широко використовується при дослідженнях динаміки САК, при синтезі систем керування. Фазочастотні логарифмічні харак-
теристики будуються як залежність у? (<х>) = агсі&
При цьому
С(шу
на вертикальній осі відкладають фазу в радіанах або градусах, а по горизонтальній — ш в логарифмічному масштабі.
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика аперіо-
дичної ланки першого порядку. Передаточна функція цієї ланки

АФХ після позбавлення від ірраціональності в знамен-
нику і виділення дійсної і уявної частин (характеристик) матиме вигляд
И'О) =
= £/(а>)+/У(ю) =
к	кТш
1+Т2а>2 ^1+Т2а>2'

а амплітудно-частотна характеристика — вигляд
лм а М)іг - Ітттауї * (їгтУ 
Ік2(1 + Т2а>2) _ к
У (1+Г2®2) ‘ ^ + Т2й2'
У логарифмічних одиницях (дБ) вона запишеться так:
£(о>) = 201§ А(со) = 20к - 201§ ^\ + Т2а2.
Вираз + т’2О)2 є модулем комплексної величини 1 + іа>Т і тому можна записати
20 А (ш) = 20 12 к - 20 12 |1 + /Гш| .	(3. 45)
Враховуючи, що 20 І2 к є стала величина, проаналізуємо другу складову N = 20 І2 11 + }Га>\ при різних значеннях ш.
При малих частотах Та> «1 А = 20 І2 1 г 0. При великих частотах Та> » 1 складова N = 20 І2 | ]Та> | = 20 І2 Та> є прямою, нахиленою під деяким кутом відносно осі.
Граничною частотою між зоною малих і великих частот є частота, при якій виконується умова шТ = 1, звідки аі = ~.
На рис. 3. 18, а наведено побудову величини N = 20 12 | 1 + ]Та> | . Нахил прямої ВС, що відповідає частотній характеристиці 20 І2 2 ш Т, на одну октаву можна обчислити як різницю 20 І2 2 шТ - 20 І2 ш Т = =20 12 2 = 20 • 0,3 = 6 дБ. На рис. 3. 18, а пунктиром показано дійсний вигляд характеристики, згідно з яким при шТ=1 значення
А = 20І2>/1 + Г2со2 =2012^2 =ЗдБ.
На рис. 3. 18, б за допомогою виразу (3. 45) побудовано загальну логарифмічну амплітудно-частотну характеристику аперіодичної ланки першого порядку. При цьому лінеаризовану характеристику часто називають асимптотичною логарифмічною характеристикою.
Відповідну фазочастотну логарифмічну характеристику будують за допомогою виразу р(<у). При цьому на вертикальній осі відкладають фазу в натуральному масштабі (в радіанах або градусах), а частоту а> по горизонтальній осі в логарифмічному масштабі. Характеристика будується в четвертому квадранті.
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика інтегруючої (ідеальної) ланки. Передаточна функція інтегруючої ланки
И^(р) = к~, а її амплітудно-фазова частотна характеристика к	к
И^/їу) = — = -І- (рис. 3. 19, а).
Амплітудно-частотна характеристика матиме вигляд
Х(®) = >(®)]2+[И(®)]2 =
(7(ш) = О;У(ш) =
Фазочастотна характеристика,
сується так: р (<у) = агсі£
яка в загальному випадку запи-
у даному разі при (/ (а>) = 0 матиме
(7(ш)
вигляд <р (<у) = -90° (рис. 3. 19, б).
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика запишеться у вигляді
Ь (ш) = 201£ А (ш) = 201£ к - 20І£ ш.
При к = 1 20 1§ к = 0,201§ А (ш) = - 201§ ш. В цьому разі вона являє собою лінійну залежність, яка буде проходити другий, перший і четвертий квадранти, перетворюючись у нуль при ш = 1 (рис 3.19, в). Її нахил — 20 дБ/дек.
Логарифмічні характеристики ідеальної диференціюючої ланки. Для цієї ланки передаточна функція має вигляд ИДр) = кр, а АФХ
ІУ (/а>) = к]ш = І] (а>) + /V (а>) = 0 + ]кш; А + (кш^ — кш.
Як було показано раніше, характеристика в даному разі є пряма, яка збігається з уявною віссю в першому квадранті (рис. 3. 20, а). Фазочастотну характеристику наведено на рис. 3. 20, в.
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика в цьому разі має вигляд
Цш) = 20 А(ш) = 20 І£ кш = 20 І£ к + 20 І£ ш.
Ця характеристика є пряма, яка на відміну від інших частотних логарифмічних характеристик має додатний нахил 20 дБ/дек (рис. 3. 20, б).
Логарифмічні частотні характеристики ланки другого порядку. Залежно від коренів характеристичного рівняння ланка може бути аперіодичною ланкою другого порядку, якщо обидва корені квадратного характеристичного рівняння дійсні і від’ємні, або коливальною стійкою ланкою при комплексних з від’ємною дійсною частиною коренях характеристичного рівняння.
Логарифмічні характеристики аперіодичної ланки другого порядку. Передаточна функція має вигляд >
= Т*р + Т,р + Ї
при Тх > 2 (умова дійсних, від’ємних коренів характеристичного » рівняння). 1
Цю передаточну функцію можна записати в дещо іншому вигляді к
,	=	+	+7’.)р + Г
де = Т2.,; Т3+Т4 = 7\. 34	13	42
Розклавши знаменник на множники, дістанемо к
,	ИЛ(Р) = (Т3р + 1)(Т4р + 1)-
Амплітудно-фазова частотна характеристика запишеться так:
_______к	 =	(1~/7>)(1-,/7>) = ._1 '	= (утзш + 1)(ут4й,+1)____________________________________(^ + 1)(^2 + 1)	(1+/7»(1+у7»

(1-УТ3ш)(1-/Г4<0)_______ = Г і . Т3а>
*(1+уТ3ш)(1-уТ3ш)(1+УТ4ш)(1-Д’4ш) к х + т2ш2 Л+7^2
Фазочастотна характеристика матиме вигляд
(р(а>) = -агсі£
Г4<и(1 + Т^ш2)
- агсі£----—і—;  = - агсі£ Т3 а> - агсі£ Г4 <о,
1 +7;<и
а логарифмічна амплітудно-частотна характеристика — вигляд А(со) = 2018 к - 2018	+ 1 - 2018 7^4 ш2 +1-
При к = 1 результуюча логарифмічна амплітудно-частотна характеристика
4 = 2018 Л(ю) = -2018 71 + 42®2 - 20 Vі + 74®2 = Аі + 4
є сума двох амплітудно-частотних логарифмічних характеристик аперіодичних ланок першого порядку з асимптотичними значеннями
1 1
частот відповідно а1 =	а>2 =
З	4
Складові 4 і Ь2 результуючої логарифмічної характеристики показано на рис. 3. 21, а, б, в.
При к * 1 результуюча характеристика розміщуватиметься в першому і другому квадранті з врахуванням 20 к = а і матиме вигляд, показаний на рис. 3. 21, в пунктиром. Фазочастотну характеристику наведено на рис. 3. 21, г.
Логарифмічні характеристики коливальної ланки другого порядку. Амплітудно-фазова частотна характеристика в цьому випадку матиме вигляд к	=	=	/:(1-Г2ш2)
-Т^ш2 +1 + Л\ш	(1 -Г2ш2)2 +Т,2ш2	(1-Г2ш2)2 +Т2ш2
- ]----—у-т- = і/(ю) +
(1 + Т/о2) + 7]2<о2	' ’	' '
а амплітудно-частотна характеристика —вигляд
А((0) = к^[и (®)]2+[г,(®)]2 ’
300
Л(а>) = ,  -	-
7(1 - 42®2)2 + т?®2	<3- 46>
Фазочастотная характеристика запишеться так:
V (ш)
1Р (") = - агс12 7777^ = - агсіе --.
\-Т2ш	(3 47)
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика має вигляд
4 = 201ЄЛ(и) = 201§ к - 2018 ^\-Т22^)2 + Ті2(й2. Знайдемо асимптоти цієї характеристики: при ш -» 0
20 18 А{ш) = 20 18 к - 20 І8 1 = 20 І8 к~, при ш -» оо головне значення матиме член, в який а> входить в четвертому степені, тому можна наближено записати
20 18 А (ш) = 20 18 к - 2  20 І8 Т2ш = 20 І8 к - 40 І8 Т2ш - оо.
При к = 1 амплітудно-частотні логарифмічні характеристики коливальної ланки другого порядку показано на рис 3. 22, а, а фазочастотні — на рис. 3. 22, б. Амплітудно-частотні характеристики = 20 І8 А(а>) побудовано при різних співвідношеннях Т./2Т? яке, як відомо, визначає коливальні і демпфуючі якості ланки.
При значеннях Т І 2Т2, близьких до 0,7 — 0,75, матимемо асимптотичну характеристику, близьку до позначеної цифрою 0 на рис. 3. 22, а, яка складається з двох частин — прямої, що збігається з горизонталь-1 ною віссю до частоти ш2 - —, і
прямої з нахилом - 40 дБ/дек. Г
При 1 >	> 0,5 відхилення
логарифмічних характеристик від асимптотичної незначне, але при Г 0,5 >	> 0 ці відхилення різко
збільшуються, що відображує зростання коливальних і зменшення демпфуючих властивостей ланки.
Знайдемо значення А(а>) в точці з
ш2 = =~- А(ш) = к-~ і відхилення від асимптоти логарифмічної харак-
1 2	•'1
Т2
теристики при к = Ь ДЦ = 20 І£ При відсутності демпфуючих власти-
востей (Т1 = 0) ДЦ -» оо.
Отже, на відміну від аперіодичної ланки другого порядку коливальна ланка має амплітудно-частотну характеристику з резонансним шпилем з коефіцієнтом підсилення амплітуди, який може бути значно більшим статичного коефіцієнта підсилення ланки.
Логарифмічна фазочастотна характеристика $о(а>) побудована на рис. 3. 22, б. Вона, як і показано пунктиром, відповідає зменшенню демпфуючих властивостей ланки.
Логарифмічна характеристика підсилюючої (ідеальної) ланки. Для неї амплітудно-частотна характеристика має суто теоретичне значення, тому що вона не залежить від частоти
= 20 І£ к = сопзі; <р(а>) = 0.
Логарифмічні характеристики інерційних неідеальних диференціюючих та інтегруючих ланок. Логарифмічні характеристики
інерційної диференціюючої ланки. Передаточна функція інерційної диференціюючої ланки має вигляд
И/ (р\ = кр -
Р) Тр + Г	(3. 48)
а амплітудно-фазова характеристика — вигляд
к]ш
Т]ш + 1

= П(ш) + /У(ш) = ^С.1 7^) '	'	1 + Т2 ш2
кТш2 + ]кш 1 + Т2ш2
Дійсна частотна характеристика запишеться так:
П(ш)
кТш2
1 + Гш2 ’
а уявна — у вигляді
=
кш
1 + т2ш2'
Задаючи значення ш від 0 до + оо, можна побудувати ИД/а>), яка є півколом у першому квадранті (рис. 3. 23, а).
Амплітудно-частотна характеристика диференціююча ланки має вигляд
» = ^/(«)]2+[и(«)]2 = ^,7^2]	=
_ ка>
,	71 +Г2со2 ’
а фазочастотна — вигляд
*	= агс1е = агс1е^7 = агс1е^ = 90°" агс18 Тш
(рис. 3. 23, б).
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика запишеться так:
(а>) = 20І£ А (ш) = 20І£ к + 201& ш — 201& VI + Т2ш2 
Отже, вона складається з трьох характеристик, які уже було розглянуто раніше. При к = 1
= 2012 ш -	.
Ці окремі логарифмічні характеристики показано на рис. 3. 23, в, а їх алгебраїчна сума — на рис. 3. 23, г.
Логарифмічну фазочастотну характеристику р (а>) наведено на рис. 3. 23, д.
Л огарифмічні характеристики інерційної інтегруючої ланки. Інерційною інтегруючою ланкою називають ланку, передаточна функція якої
Ж(Р) р(Тр + \у	(3.49)
Її амплітудно-фазова частотна характеристика має вигляд
ил г 'і = к =	~ Лї°) = _ кТа) + ]к
Vа’ ]0) (Тіа> +1)	- а) (1 + Т2ш2) а) (1 + Т2ш2) ’
де дійсна частотна характеристика і уявна відповідно виражаються формулами
иИ = ~	=-----
4 ’	1 + Т2а>2	ш (1 + Т2ш2)
Амплітудно-частотна характеристика має вигляд
а фазочастотна — вигляд
-к
<р(ш) = агсі£^у = агс1£-^—= агс,£^- = -90° -агс^Ли.
(1 + Т^ш2)
інерційність даної ланки
Відповідну амплітудно-фазову частотну характеристику показано на рис. 3. 24, а.
Логарифмічна амплітудно-фазова частотна характеристика цієї ланки
(со) = 20 А (со) = = 201§ £ - 20 1§ со -- 20>/[ + т1 2ш2 при к = 1 складається з двох характеристик, наведених на рис. 3. 24, б. На рис. 3. 24, в побудовано їх результуючу логарифмічну характеристику і на рис. 3. 24, г — відповідну фазочастотну логарифмічну характеристику.
Із графіків на рисунках видно, і
збільшує відставання фази на величину, більшу ніж -90°. При часто-1 < ....
тах, менших ш — —, ця ланка близька до ідеальної інтегруючої ланки.
Логарифмічні характеристики ідеальної безінерційної ланки при введенні похідної. Передаточна функція має вигляд •л/ (р) = к (1 + рк), де к — передаточний статичний коефіцієнт безінерційної ланки; к} — передаточний коефіцієнт у рівнянні похідної.
Запишемо для цієї ланки характеристики: амплітудно-фазова
ІУ (уси) = к (1 + усо^);
амплітудно-частотна
а = £\Т+1^с?;
фазочастотна
= агсі£ Л,со;
логарифмічна амплітудно-частотна
(со) = 20 А (со) = 20 к +
+ 20+ Л|2(о2.
При к = 1 на рис. 3. 25, а показана логарифмічна амплітудно-частотна характеристика, а на рис. 3. 25, б — логарифмічна фазочастотна характеристика.
При низьких частотах (со < у-) ця ланка близька до ідеальної К
1 підсилюючої ланки, а при високих частотах (ш > т~) — до ідеальної
/с
диференціюючої ланки. Випередження по фазі зростає зі збільшенням частоти. Знаючи правила побудови логарифмічних характеристик окремих ланок, а також результуючих логарифмічних характеристик, можна побудувати характеристики для групи ланок.
Побудова логарифмічних характеристик групи ланок. Найчастіше виникає необхідність побудови логарифмічної характеристики розімкнутої системи. (Як буде показано далі, в ТАК є методи, за допомогою яких по вигляду частотних характеристик розімкнутої системи можна оцінювати динамічні властивості замкнутої системи.)
Відомо, що передаточна функція розімкнутої системи з п ланок (як передаточна функція групи послідовно з’єднаних ланок) є добуток передаточних функцій кожної з цих п ланок:
и/(р) = Ж,(р)Ж2(р) ...ЖДр) =
= ГВД.
і = 1
Аналогічний вигляд матиме і амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи
Ж(/<у) = ІІИ'С/щ).
Рис. 3. 26	Як було показано раніше, при
побудові результуючих частотних характеристик для групи послідовно з’єднаних ланок результуючий модуль (амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи) можна дістати як добуток модулів всіх ланок, а результуючу фазочастотну характеристику — як суму фазочастотних характеристик відповідних ланок.
Отже, можна записати
А (а>) = П Д. (а>); <р (а>) =	(а>).
'='	<=і
При побудові логарифмічної амплітудно-фазової характеристики згідно з наведеними вище формулами
£г(ш) = 20 Ат(ш) = 20	Д(а>) + 20	А2(ш) + . . . + 20 Ап(ш).
Загальна методика побудови результуючої характеристики полягає в знаходженні логарифмічної характеристики окремо кожної ланки з наступним додаванням ординат при відповідних частотах.
Як приклад розглянемо побудову логарифмічної амплітудно-частот
ної характеристики розімкнутої системи, що складається з чотирьох ланок з передаточними функціями: безінерційної підсилюючої РИ(р) = Л;
к2
аперіодичної першого порядку (р) =	(об’єкт керування);
2р
аперіодичної другого порядку Ж (р)
кз 1+7\р
; інтегруючої РИ
4
р
(при к4 = 1 \¥4ір) - \/р). Відповідні логарифмічні амплітудно-частотні характеристики Л(ш), Ь2(ш), Р/ш) були побудовані раніше (рис. 3. 26, а, криві 1, 2, 3, 4). На рис. 3. 26, б наведено відповідні логарифмічні фазочастотні характеристики цих ланок />2(оД />3(ш), />4(ш) (для першої ланки ^(ш) = 0). Результуюча логарифмічна амплітудна характеристика всіх чотирьох ланок наведена на рис. 3. 26, в, а результуюча логарифмічна фазочастотна характеристика — на рис. 3. 26, г.
3. 7. МІНІМАЛЬНО- І НЕМІНІМАЛЬНО-ФАЗОВІ ЛАНКИ
Крім розглянутої раніше класифікації, в теорії автоматичного керування ланки класифікують також залежно від вигляду, а точніше, від особливостей передаточних функцій. Ця класифікація базується на поняттях нулів і полюсів передаточних функцій.
Якщо передаточну функцію записати у вигляді
{Р) р (р) ’
то нулями передаточної функції називають корені рівняння <2 (р) = 0, а полюсами — корені рівняння Р (р) = 0, де (2 (р) і Р (р) — поліноми від р відповідно правих і лівих частин рівнянь динаміки.
Інакше, нулі — таке значення коренів чисельника передаточної функції, при яких передаточна функція РИ(р) дорівнює нулю. Полюси — таке значення коренів знаменника передаточної функції, при яких вона перетворюється на нескінченність. Якщо всі нулі і полюси передаточної функції ланки мають від’ємні або рівні нулю дійсні частини, то така ланка називається мінімально-фазовою.
Немінімально-фазовою називають ланку, в якій серед нулів і полюсів є хоча б один, який має додатну дійсну частину. Всі розглянуті раніше типові ланки, крім ланки з чистим запізненням та нестійкої аперіодичної ланки першого порядку, є мінімально-фазовими.
Передаточні функції немінімально-фазових ланок матимуть вигляд к	к
Ж(р) = ^5 И/(р) = к(Тр-іу И/(р) =	+
Ж(р) = кіТ^р2 - Т2р + 1); РГ(р) = ке~Ір .
Амплітудно-фазова характеристика, наприклад, ланки з чистим запізненням згідно з формулою Ейлера матиме вигляд
РИ (	= к (сох шт - ] хіп сит),
що в комплексній площині становить коло з осями = к сох сот, У(ш) = - к хіп сот, які є відповідно дійсною і уявною частотними характеристиками.
Амплітудно-частотна характеристика А(ю) в загальному випадку, при к 1, є
А (си) = к /(сох сит )2 + (хіп сит )2 = к,
а фазочастотна характеристика
/>(со) = агсі£
і/(си)
Амплітудно-фазова характеристика нестійкої аперіодичної ланки
першого порядку матиме вигляд
™	’ (Т]ш - 1) (- ]Тш - 1)	1 + Г2си2
гт /	\	к
дійсна частотна характеристика и (со) = —	2,
уявна
У(со) =
кшТ
1 + Т2ш2 ’
Амплітудно-частотна характеристика немінімально-фазової ланки вигляду нестійкої аперіодичної ланки першого порядку відрізняється від відповідної характеристики стійкої аперіодичної ланки першого порядку лише знаком Тому РИ/си) розміщатиметься в третьому, а не в першому квадранті комплексної площини. Фазова характеристика цієї ланки уЧсо) = агсі£ Тсо - л. Характерною рисою немінімально-фазових ланок є те, що зсув фази у них більше, ніж у відповідних мінімально-фазових ланок. Якщо для мінімально-фазової аперіодичної ланки зсув фази не пере
вищує у то відповідні фазові частотні характеристики немінімально-фазової ланки досягають за абсолютною величиною значення л.
3. 8. РІВНЯННЯ, ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Рівняння, передаточна функція й амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи. Розімкнута система в ТАК здебільшого розглядається як окремий випадок стану замкнутої системи, коли зворотний зв’язок у системі відсутній і вихідна величина об’єкта керування не надходить на вхід наступних ланок системи.
У цьому випадку функціональна схема розімкнутої системи складається з послідовно з’єднаних ланок і не має ніяких принципових відмінностей від відповідної схеми, наведеної раніше.
Водночас рівняння, передаточна функція і відповідно частотні характеристики розімкнутої системи використовуються в ТАК як при розгляді питань теорії, так і самостійно.
Запишемо рівняння послідовно з’єднаних ланок у вигляді:
1-а ланка
„	Р№х*т = 2/р)х1вх;
2-а ланка
Р2(^Х2вих = О/РКихі	О- 50)
(п - 1)-а ланка
Рп-№Хп-1 вих = <2п-№Хп-2 вихі п-а ланка
Р (р) х = () (р)х
п ‘ пвих *-'п ‘	п-1 вих
де Р/р), Р2(р), . . . , Рп(р) і <2(р), <22(р), • . . , (2/р) — поліноми від р, що знаходяться відповідно в лівих і правих частинах рівнянь динаміки ланок. Диференціальне рівняння динаміки розімкнутої системи запишеться у вигляді
Хп вих = Л^1вх>-
Його можна дістати, підставляючи послідовно значення вихідних величин, знайдених з рівнянь попередньої ланки, в рівняння наступної лан-
н •
ки. Наприклад, підставляючи хвих = р“^ух1вх> знайдене з рівняння першої ланки, в праву частину рівняння другої ланки, дістанемо рівняння динаміки другої ланки у вигляді
г* / \	х-к { \ 21 (^)
Р2(Р)Х2вих = Є2(Р)рД^Х1вих’
або
Р/р) Р2(р) ^2вих = 2/р) Є2(р) х1вх. Аналогічно для п-'і ланки рівняння матиме вигляд
Р/р) Р2(р) . . . РДр) х„8их = 2/р) Є2(р). . . <2„(р) х1вх.
Позначивши добуток поліномів лівих частин всіх рівнянь Р/р)Р2(р)
Рис. 3. 27
. . . Р(р) = Р (р), а правих частин <2(р) <22(р)    О^р) = О, (р), дістанемо рівняння динаміки розімкнутої системи у вигляді
Р (Р> Хп ,„х = <2 <Р> *!.х-	(3. 51)
Рівняння незалежних коливань розімкнутої системи матиме вигляд
Р (р) х = 0, п вих ’
(3. 52)
а характеристичне рівняння — вигляд
Р (р) = 0.	(3. 53)
Передаточну функцію розімкнутої системи можна дістати на основі рівняння розімкнутої системи
и<(р) =
Х1вх
<2(р) = <?і(Р)<?2(Р)-Сд(Р)

тобто передаточна функція системи є добуток передаточних функцій
її ланок.
Амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи є добуток амплітудно-фазових характеристик відповідних ланок:
(3. 55)
Рівняння динаміки, передаточна функція і амплітудно-фазова характеристика по збуренню замкнутих систем. Функціональну схему замкнутої системи з п. ланок показано на рис. 3. 27. Об’єктом автоматичного регулювання є ланка п, на яку діє зовнішнє збурення Р(і). Регульований параметр — вихідна величина об’єкта — х
Система рівнянь окремих ланок у складі замкнутої системи дещо відрізняється від системи рівнянь цих самих ланок розглянутої раніше розімкнутої системи.
Ці відмінності полягають у тому, що в даному разі необхідно враховувати:
— дію збурення Р(і) = С на об’єкт регулювання;
— те, що замикання системи регулювання відбувається за допомогою від’ємного зворотного зв’язку. Це враховується введенням знака «мінус» на вході першої ланки, отже, — хп - х .
У зв’язку з цим рівняння ланок замкнутої системи стабілізації можна записати у вигляді:
1-а ланка Р<Р>)х^ = -Щр)хп вих;
2-а ланка Р2(р)х2вйХ = 02(Р>хіВйх;	(3. 56)
п — 1-а ланка Р (р)х , = О (р)х , ; п-і 1 п-іаих ^п-І г л-2ьих’
п-а ланка (об’єкт) Р (р)х = О (р)х + 8(р)Р, п г пвих	г п-івих 1	7
де 5(р) — передаточний поліном об’єкта по збуренню.
Розглядаючи ланки з першої по п - 1 як деяку розімкнуту систему,
записуємо її рівняння хп_1вих = /(х } у вигляді
р№ = - 2/Р) Хг.^
де Р,(р) = Р,(р)Р2(р) . . . Рп і (р) І (Ц.Р) = (^(рХ^р) . . -О^р) — добутки поліномів лівих і правих частин всіх рівнянь, крім рівняння об’єкта.
Отже, систему з п рівнянь можна замінити двома.рівняннями:
Підставивши вираз х
•*	й—івих
Л(Р)*Я-ІВих = ~Оі(Р)ХЯпаі РП(Р)Хп»т = <2п(Р)Хп-Ітх + $(Р)Р-<2,(р) рм
(3. 57)
в рівняння об’єкта, після пвих Г	’
нескладних перетворень дістанемо рівняння динаміки системи стабілізації у вигляді
[Р (р) + <2 <ф)]хп вих = Р, (р) 5(р)Р.	(3. 58)
Слід зазначити, що для того щоб мати можливість скористатись цим рівнянням, складні структурні схеми необхідно спростити і привести до одноконтурного вигляду.
Рівняння незбурених коливань замкнутої системи має вигляд
[Р (р) + 2 (р)] х„ вих = 0,	(3. 59)
а характеристичне рівняння — загальний вигляд
Р(р) + б(р) = 0.	(3.60)
Якщо перемножити співмножники Р^р)Р2(.р) . . . Рп(р) і 2,(р) ()2(.р) . . . О.п(р) і згрупувати їх по однакових показниках, то характеристичне рівняння замкнутої системи можна записати у вигляді
йор я + а^р "-1 + а2р п~2 + ... + а^р + ап = 0,	(3. 61)
де п — степінь характеристичного рівняння; а0, . . . , ап — коефіцієнти рівняння, що залежать від параметрів ланок системи.
Передаточна функція та амплітудно-фазова частотна характеристика замкнутої системи за збуренням. Передаточну функцію можна знайти з рівняння (3. 58) у вигляді
хпВИх р1(Р)5(р)
“<")=/	= Р (р) + Є(р)-
Розділивши чисельник і' знаменник на Р (р) і врахувавши, що р/>(;) =	(р) — передаточна функція розімкнутої си
стеми, а = И1^(р) — передаточна функція об’єкта за збуренням, дістанемо передаточну функцію системи стабілізації за збуренням:
^п(Р)
Р) \+1¥(рУ	(3.62)
Відповідна амплітудно-фазова характеристика системи стабілізації ма
тиме вигляд
(іш)
(3.бз>
Знаходження рівняння замкнутої системи автоматичного керування за допомогою теореми Крамера Згідно з теоремою Крамера це рівняння має вигляд
А\вих = Д4,	(3. 64)
де А — головний визначник (детермінант) системи; А — приєднаний детермінант; хляих — вихідна (регульована) величина об’єкта.
Для знаходження А необхідно записати рівняння ланок системи автоматичного керування у вигляді
(Ж+ Ж +   • Ж Ж = 4 (0;
Ч2 (Р)Х. + Л22 Ж + • • • Ж Ж = Л (0 ' .
Ж + <2 (Ж + • • • + ЖЖ = Л(0 ’	(3. 65)
де х,... ,хл — змінні системи; Д6),..., /л(() — збурення; сі^р),..., сі^ір) — оператори ланок системи.
У загальному випадку
Д^р) = аорп + а/4 + . . . + ап_,р + ап,
СІ	м- 
де р =	а0,...,ал — коефіцієнти, що визначаються параметрами
відповідних ланок.
Розглядаючи наведені вище рівняння ланок системи як алгебраїчні і опускаючи для спрощення запису символ р, маємо
А =
4, а12...а1к...а1п
^21	^22 ' ' ' ^2к  ' ' ^2п
СІ , СІ ,... СІ , ...СІ ПІ Пл пк пп.
(3. 66)
Для знаходження величини А* стовпчик головного визначника, що відповідає регульованому параметру х4, треба замінити відповідними збуреннями (якщо в деяких ланках вони відсутні, то записують нуль).

X, Х-...Х, ...X І 2 к п.
4	б/22---Л(0---^
а , (і,...? (і')...а п - І п2 * п 4 ' пп
(3. 67)
Рівняння незбуджених коливань згідно з теоремою Крамера має вигляд
Ах. = 0,	(3. 68)
а характеристичне рівняння
Д = 0.	(3. 69)
Рівняння замкнутої системи в нормальній формі Коші. Рівняння замкнутої системи
й"х , йп~'х	йх	. йт/	.	<7/
а°йг +	+  + а*-'-ф + а*х = ь°~3г ~ + -" +ь-'йї+
може бути записано у вигляді систем рівнянь ланок першого та другого порядків (в принципі можливий і вищий порядок рівнянь ланок). Рівняння другого порядку завжди може бути замінено двома рівняннями першого порядку.
Наприклад, якщо рівняння другого порядку для деякої змінної х] має вигляд
/72 у	А -у.
а°~а?+а' ~л+а^ = ь'х’"'
(їх
то, позначивши = X. + 1, дістанемо рівняння першого порядку
^,+1 ,
=	- аЛ + 1 - а2\-
Отже, можна дістати рівняння замкнутої системи у вигляді системи рівнянь першого порядку (що називаються рівняннями в нормальній формі Коші) :
йх	1
~л~ = а..х. + а.,х + ... + ах ;
II 1	12 £•	ІЯ п ’
іх2
—р- = а,,х, + а„х, + ... + а,„х„ ;
✓у#	21 1	22 2	2л Я 1
йхг
—р- — и„,х. + а„,х, + ... + а„ х , Я1 І я2 2	ЛЯ Я ’
(3. 70)
де хр х ,. . . , х — координати стану системи. (У правій частині рівнянь деякі коефіцієнти можуть дорівнювати нулю.)
Система рівнянь у нормальній формі Коші в даному разі є матема
тичною моделлю системи. Цю систему рівнянь можна записати в матричній формі у вигляді
де
ап аа... аІГІ
. _	Й21 а22 ‘ ' а2п
а. а„„
ПІ П4 ПП
— матриця коефіцієнтів;
г 1
— вектор-стовпчик.
Характеристичне рівняння замкнутої системи записують у вигляді сієї [А - р£] = 0, де р — змінна в характеристичному рівнянні замкнутої системи вигляду аар п + а{р . + а^р + а„ = 0;
1 0...0'
г 0 1...0
0 0...1
— одинична матриця.
3. 9. ПРИКЛАД ЗНАХОДЖЕННЯ РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ СИСТЕМИ СТАБІЛІЗАЦІЇ НАПРУГИ ГЕНЕРАТОРА
ПОСТІЙНОГО СТРУМУ
Розглянемо систему автоматичного керування, спрощену принципову схему якої зображено на рис 3. 28, де Г — генератор, який є об’єктом автоматичного керування з напругою V, що є регульованим параметром; ЕМ — обмотка електромагніту; Я — якір електромагніту; Я — регулювальний резистор у колі обмотки збудження генератора Г; £> — масляний демпфер, поршень якого П має отвори; ПР — пружина; Я? — еквівалентний опір споживачів, який характеризує навантаження генератора.
При змінному навантаженні генератора і незмінній швидкості його обертання ш первинним двигуном (на схемі не показаний) відповідним чином змінюється струм /г і напруга генератора ІІг = Е ~ І.Кг, де Кг — активний опір якірного кола генератора; Е = ЛФа) — електрорушійна сила генератора (к — стала генератора; Ф = -сзІз — магнітний потік обмотки збудження зі струмом І3 при сталій сз).
При ш = соп 81 Е = кгФ може змінюватись тільки за рахунок зміни напруги збудження Ез.
Для стабілізації напруги генератора при зміні його навантаження
Рис. 3. 28
потрібно відповідним чином
змінювати напругу II, що веде до зміни струму І і електромагнітного потоку генератора Ф. Наприклад, якщо навантаження генератора збільшується, що веде до зменшення напруги II (напруги на обмотці електромагніту II ), то втягуюча сила електромагніту Е зменшується, і під дією пружини ПР якір електромагніту переміщується на рисунку вниз. При цьому опір резистора К зменшується, відповідно зростають напруга збудження £7, струм І, потік Ф, що приводить до збільшення напруги генератора II. При зменшенні навантаження генератора напруга зростає. При цьому завдяки відповідній дії системи автоматичного керування напруга збудження £7 зменшується, що приводить до стабілізації напруги генератора II.
Згідно з викладеним раніше розглянута система автоматичного керування є звичайною замкнутою системою стабілізації, в якій реалізовано принцип керування за відхиленням. Крім того, вона не має підсилювача в ланцюгу керування і тому є системою прямої дії.
Розглянувши принцип роботи окремих елементів і системи в цілому, перейдемо до складання функціональної схеми.
При цьому треба мати на увазі, що принциповим є відповідність розміщення елементів згідно з їх дією один на одного і узгодження вхідних і вихідних величин.
Тому об’єкт керування, з принципової точки зору, може бути розміщений у будь-якому місці функціональної схеми. Але в технічній літературі здебільшого прийнято розміщувати його в правій частині схеми.
Цього будемо дотримуватися і далі. Згідно з наведеними на принциповій схемі зображеннями і функціональним призначенням окремих елементів при виконанні завдань автоматичного керування функціональна схема буде такою, як показано на рис. 3. 29.
У схемі, наведеній на рис. 3. 28, рухому сукупність елементів, до якої
Рис. 3. 29
належить якір електромагніту, поршень демпфера В, пружина ПР та двигу-нок реостата ЯО, можна розглядати як єдиний елемент КЕ (див. рис. 3. 29), який виконує керуючі функції в функціональній схемі. Інші позначення на
рис. 3. 29: Гсм — зусилля тяги електромагніту; х — переміщення двигунка реостата; /(і) — збу-
рення генератора, яке в даному випадку можна розглядати як струм в якірному колі генератора, що залежить від еквівалентного опору всіх споживачів електроенергії, підключених до якоря генератора (електричної мережі, якщо вона живиться тільки від даного генератора).
Спочатку розглянемо систему в розімкнутому стані. Принципово розімкнути систему можна в будь-якому місці схеми, але найчастіше це роблять на виході об’єкта, тому вважатимемо, що вихідна величина розімкнутої системи є вихідна величина об’єкта £7г, а вхідна — напруга на обмотці електромагніту ї/ем. У цьому разі рівняння розімкнутої системи повинно дати залежність у динаміці
Як було показано раніше, для знаходження рівнянь системи необхідно скласти рівняння окремих їх елементів.
Рівняння динаміки генератора Г матиме вигляд
Сг = Ж).
При складанні рівнянь окремих елементів розробник має деяку свободу дій, завдяки якій окремий досить складний елемент можна представити його окремими (складовими) частинами. При цьому важливо узгодити їх вхідні та вихідні величини і відобразити взаємодію окремих частин елемента.
У даному випадку генератор можна розглядати як складний елемент, основними частинами якого є обмотка збудження та якірне коло генератора. Його рівняння було виведено раніше. Згідно з ним рівняння генератора Г можна записати в операторній формі
(7> + 1)Д1/г = <Д(/з,
де Т — стала генератора; Д17, Д(/ — видхилення від початкових значень відповідних величин; к — передаточний коефіцієнт генератора.
Рівняння обмотки електромагніту. У загальному випадку його рівняння має дати залежність у динаміці
= /Чм>-
* Якщо знехтувати коефіцієнтом самоіндукції котушки, то зусилля тяги елемента можна подати у вигляді
Р = с Ц2, ем	ем ем7
де Сем — коефіцієнт пропорційності.
Ввівши початкові значення величин Р та 17 , запишемо смо с“о
Р + АР - с (І/ + А17 }2.
Позначимо нелінійну функцію так: (і/ + Дб^)2 = /(2) • Лінеаризуючи її за допомогою ряду Тейлора, дістанемо рівняння у вигляді
Я2) = /(а) +	- а) = и2Мо + 2і/е„о ДС/см,
або
Р + АР = с І/2 + с IV АР . еМд	ЄМ	ЄМ см0	СМ СМф СМ
Враховуючи, що рівняння рівноваги для початкового положення має вигляд
запишемо рівняння динаміки обмотки електромагніту у відхиленнях у вигляді
(3. 71)
Рівняння рухомої частини елементів Я, О, ПР — РО. Як було показано раніше, рухомі елементи (якір електромагніту, поршень демпфера О, пружина та двигунок реостата) можна розглядати як єдину механічну систему елементів з масою т.
Рівняння динаміки даної системи в загальному вигляді матиме вигляд р = р _ р дин дв оп’
г (І2 х	.	_	_
де Рат -	— динамічне зусилля; Рю~ Рси — рушійне зусилля
електромагніту; Р — зусилля опору переміщенню рухомої частини елементів. Зусилля Р в даному разі визначається жорсткістю пружини с , величиною переміщення рухомої частини елементів х та вагою О0, опором, який дає масло при переміщенні в цьому середовищі пор-103
шня демпфера П, а також опором переміщенню двигунка резистора К, який має бути порівняно невеликим (ним можна знехтувати).
Розглянемо ці складові Роп окремо:
опір пружини
Р = с„„х = с(х + Ах);
опір переміщенню поршня демпфера
„ сіх (х0 + Дх) <7Ах г = С —— С---------1--- = С —,
д д <ІІ д сії	д сії
де с — стала демпфера, яка зумовлюється властивостями масла і особливостями конфігурації поршня П (наприклад, кількістю «активних» отворів у поршні та ін).
Наприклад, поршень з отворами матиме менший опір переміщенню в масляному середовищі, ніж суцільний. При цьому чим більше отворів у площині поршня демпфера, тим менший опір його переміщенню. Ставлячи заглушки в деякі отвори поршня демпфера, можна ступінчасто змінювати його властивості (величину сд).
При нерухомому поршні опір Р, як видно, відсутній.
Нехтуючи порівняно невеликим опором двигунка резистора, запишемо
Л,п0 + Д^оп = СпрХО + С„рДХ + Ся~^~ + С(
Виключивши рівняння статики Рт
спрх0 + С0> дістанемо
Д^оп ~ Спр.
д'Ах
д а ’
Підставивши ці складові в рівняння динаміки, дістанемо
і2(х0 + Ах)
= АР — с Ах — с ——, ем пр д Л ’
або
АР
ем
сРАх Ш—
(ІАх л Ні
СпрДх-
Нехтуючи величиною спрАх, яка значно менша від «динамічних» складових опору, запишемо рівняння елемента КЕ у відхиленнях в операторній формі
ДЕ м =	+ сдр)Дх.
тт	гт, 1	,
Позначивши — = Т ,— = к , дістанемо с д с к д	д
(Тяр + 1)рДх = к^АР'„.
(3. 72)
Рівняння динаміки резистора, який є безінерційним елементом, можна записати у вигляді
ДЇЛ, = кк\х,	(3. 73)
де кК — коефіцієнт пропорційності або передачі даного елемента.
Отже, рівняння елементів, з яких складається дана система, можна записати у вигляді
(Тр + 1)Ді/г = ЛДС/з;
ДЛм =
(Тар + 1)рДх = ЛкеД£м;
Д£/3 - кц\х.
(3. 74)
Користуючись формулою рівняння розімкнутої системи, маючи на увазі, що вихідною величиною є ДС/., а вхідною Ді/ , дістанемо рівняння розімкнутої на виході об’єкта системи у вигляді
(Ттр + 1) (Т р + 1)рДі/г = к^к^М'", де кк^к^к* = кр— коефіцієнт передачі розімкнутої системи.
Розкриваючи дужки, дістанемо рівняння даної розімкнутої системи у вигляді
[ТТдр3 + (Тг + Тд)р2 + р]Д/7 = АрДї/ем.	(3. 75)
Рівняння замкнутої системи. Для знаходження рівняння замкнутої системи необхідно врахувати те, що вихідна величина генератора, точніше її відхилення ДЇ/г, подається на вхід електромагніту, а замикання системи автоматичного регулювання відбувається за допомогою від’ємного зворотного зв’язку, тому можна записати

А£/г = -Д17см.
Треба врахувати також дію збурення на об’єкт керування при передаточному операторі об’єкта за збуренням 5(р).
Тоді система рівнянь елементів для замкнутої системи при врахуванні розглянутого вище матиме вигляд
(тгр + 1)дс/г = ЛДі/з + 5(р)/(0; ~
(Тр + 1)рДх = кксЬРт\ Д173 = АЛДх.
(3. 76)
Розв’язуючи систему (3. 76) відносно Дї/г, дістанемо рівняння замкнутої системи. Але в даному разі скористаємося раніше знайденою формулою рівняння системи стабілізації, згідно з якою
[Р(р) + О(р)]/Шг = Р/р)5(р)/(0, де Р(р) = (Тгр+ 1) (Гр + 1); 0(р) = кксчкккя, Р/р) = (Гр + 1)р.
Враховуючи викладене, рівняння даної замкнутої системи автоматичної стабілізації напруги генератора постійного струму записуємо у вигляді
[<Т р + 1) (Т,,р + 1)р + Ар] Д£/ = (Тдр + І)р8(р ) /(і).	(3. 77)
Рівняння незбурених коливань у даному разі матиме вигляд
[(Тр + 1) (Т р +1)р + Лр] Д(7г = 0,	(3. 78)
а характеристичне рівняння замкнутої системи:
(Тгр + 1) (Тдр + 1)р + кр = 0, або
ТГТЛІ? + (Тг + Тд) р2 + р + кр = 0.	(3. 79)
Дістанемо рівняння (3. 77) — (3. 79) за допомогою теореми Крамера. У системі рівнянь (3. 76) зробимо такі перетворення, щоб у правій частині залишились тільки збурення або нулі:
(Тр + 1)Ді/г - к'М7з =
= 0;
(Тр + 1)рДх -АеДТм = 0;
Д£/3 - кцІ\х = 0.
(3. 80)
Рівняння даної системи автоматичного регулювання за Крамером матиме вигляд
Знайдемо головний визначник (детермінант) Д та приєднаний Дг Згідно з системою рівнянь (3. 80) запишемо стовпчики, які
відповідають змінним Д£/г, Д(/з, ДТем, Дх, в такій послідовності:
	’Тр + 1	— кр	0	0
	£ м	6	1	0
д =	ем 0	0	— к ке	Р(Тлр + 1)
	0	1	0	
Замінивши перший стовпчик, що відповідає регульованій величині системи Д£/г, правими частинами рівнянь ланок системи (3. 80), дістанемо
	5(Р)/(О	- к	0	0
	0	0	1	0
\ =	0	0	— к ке	Р(ТЛР + 1)
	0	1	0	
Обчислимо визн	ачники Д та Д..			
К.
Розклавши визначник Д по елементах першого рядка, дістанемо
О О
1
А  (Т,р + 1)
Застосовуючи
1
— к
КС
о
правило
0
Р(ТЛ Р + 1) - кК
+ к<
ем
о
о
1 о
- Р{ТЛР + 1)
0	~кК
Сюрреля, згідно з яким дописуються два
перших стовпчики до визначника третього порядку і перемножуються члени вгору по діагоналі зі знаком «плюс», а вниз — зі знаком «мінус», дії танемо
д = (Тгр + 1) 0
1
кг.<
0
0
0
Р(ТЛ Р + 1) - кК
0	1
0	-^е +
1 о
1	0	1 к 1
ем
-Лкс р(Тр + 1) о =
- кК - кя 0	0
= (Тгр + 1)р(Тдр + 1) + кгкемкКскя =
= Т’ЛдР3 + V, + +р+кр.
Видно, що рівняння замкнутої системи за Крамером має той самий вигляд, що й знайдене раніше.
3. 10. РІВНЯННЯ І ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ АВТОМАТИЧНИХ СЛІДКУЮЧИХ (ПРОГРАМНИХ) СИСТЕМ
З точки зору методики знаходження рівнянь і відповідних передаточних функцій слідкуюча і програмна системи повністю схожі. Відмінність полягає лише в способі формування задаючого сигналу уіі). (Як відомо, в програмній системі він обчислюється заздалегідь, а в слідкуючій формується в ході роботи системи залежно від стану об’єкта.) У зв’язку з цим функціональна схема і рівняння відповідних ланок обох систем будуть однаковими. Тому далі все, що буде стосуватися слідкуючих систем, має таке саме відношення і до програмних систем автоматичного регулювання.
Спрощену функціональну схему слідкуючої системи показано на рис. 3. ЗО, де 7 — об’єкт регулювання, який повинен змінювати свою
Рис. 3. ЗО
вихідну величину х)вих згідно зі зміною задаючої величини (програми) у(ї); 2 — пристрій зворотного зв’язку (в програмних системах його називають чутливим елементом), який контролює вихідну величину об’єкта; ПР — датчик розбіжності, який порівнює задану величину з величиною, пропорційною вихідній величині об’єкта; х — величина розбіжності між заданою і дійсною величинами (точніше, величиною, пропорційною заданій).
Запишемо рівняння об’єкта та інших ланок системи в загальному вигляді
= <№>*т зих + 5,(р)/(0; (1)
Р2(р>Х2вих = бг^Р^Івих’ ®
X = у (/) — х2вйх; (2')
Р3<Р)хЗвих = Сз(Р>Г’ (3>	<3- 81>
Рт^Хт вих = (2т<Р)Хт-1 де 5,(р) — передаточний коефіцієнт (поліном) об’єкта за збуренням; Р.їр'), . . . , Рт{р) І (2,(р), • • • , Ст(р) — поліноми від р відповідно лівих та правих частин рівнянь ланок системи.
Розв’язуючи систему рівнянь (2) та (2'), з рівняння (2) знаходимо = б2(Р) Хгвих Р-^Р) Х1вих •
Підставивши його в рівняння (2'), дістанемо
Х	Р2(р)*1,и”
або
Р2(р)х = Р2(р)у® — £>2(р)х1ВйХ .	(2 — 2')
Розглядаючи ланки з 3-ї по т-у як деяку розімкнуту систему, згідно
41 знайденим вище рівнянням розімкнутої системи, маючи на увазі, що вихідною величиною цієї системи є хт вих, а вхідною х, дістанемо
   Рт(р)*т в„х = б/РХЗ/Р) • • б т<-Р>х-
Замінивши добутки поліномів від р лівої і правої частин відповідно величинами Рш(р) і <2ш(р\ дістанемо рівняння, що відповідає ланкам з 3-ї по т-у:
Ри№хт них = <2и№х-	<3 — т>
Розв’язуючи систему рівнянь об’єкта (1) та (2 — 2') і (3 — т) відносно Р/рїх, х, матимемо =
Х Ріи(р)Х,”“,х'
Підставляючи це значення х у рівняння (2 — 2'), після деяких перетворень дістанемо
бпі(р)
^(р)^ухтвих = р2(р)у(0-62(р)х„их1
Звідки
_ бш (р) ,, _ 62(р) бш(Р)
" Рш(р)У^ Рг(р) ’ Рт(р)Х'™-
Позначивши Р2(р)Рш(р> = Р/р), а ()2(р)()т(.р) = <2{р), де Р/р) і б/Р> — відповідно добутки поліномів від р лівих і правих частин рівнянь всіх ланок, крім об’єкта, матимемо
= бш(Р) , _ б,(Р) РШ(Р)У^ Р,(Р)Х‘-’
Підставивши це значення хт вих у рівняння об’єкта, дістанемо
~6„,(р) (, _ б.(Р)
/ш(р) Я } Р.(Р) Х’°их
Після деяких перетворень дістанемо рівняння динаміки замкнутої слідкуючої (програмної) системи у вигляді
Р1(Р)*1,их = б,(р)
+ 5(р)/(0-
[Р<р> + О(р)]х1вт = <2п(р)Р2(.р)у<.і) + Р|(р)5(р)/(0,	(3. 82)
де Лр), б^р) — добутки поліномів від р, що стоять відповідно у лівих і правих частинах рівнянь всіх ланок; бв(р) = ()}(р)()т(р) — добуток поліномів від р правих частин рівнянь всіх ланок, крім полінома правої частини рівняння ланки зворотного зв’язку б2(р); Р/р) = Р2(р) • • • Р„ф — поліном без врахування відповідного оператора об’єкта; Р2(р) — поліном лівої частини рівняння ланки зворотного зв’язку.
Порівнюючи рівняння замкнутої системи стабілізації з рівнянням (3. 82), можна зробити висновок, що вони відрізняються лише наявністю в правій частині рівняння (3. 82) члена ()п(р)Р2(р) уіі)-
Передаточні функції слідкуючих (програмних) систем. Розділивши в рівнянні слідкуючої системи праву і ліву частини на величину Р (р) + £> (р), дістанемо
= <2„(р)Л(р) (1. , ^(р)Л(р)
Х'вих Р(Р) + Є(Р) + р(р) + е(р) 'V 
Розділивши чисельник і знаменник обох складових правої частини виразу на Р(р), матимемо
Р„(р)
/’(р)
Рівняння слідкуючої системи через вигляд
р,(р)
77о(рГж-^р(р)
передаточні функції матиме
^и(Р)
~ 1 + Ж(р) +
й/(р)
1 + Ж(р) ’
(3. 83)
передаточна функція за завданням; \¥п(р)
^„(р)
де 1 + Ж(р)
= ^й(.р)/Ра(р) — передаточна функція всіх ланок системи без врахуван-И^(р)
ня ланки зворотного зв язку; +	= ^/р) — передаточна функція
за збуренням; И^(р) — передаточна функція об’єкта за збуренням; Ж(р) — передаточна функція розімкнутої системи.
З врахуванням викладеного рівняння слідкуючої (програмної) системи через передаточні функції за завданням і збуренням можна записати у вигляді
х1вих = ^/Р> УМ + ^(Р)/(О.	(3. 84)
Рівняння, записане у відхиленнях регульованої величини від заданого значення, часто називають рівнянням помилки (похибки). Воно має аналогічний вигляд
Ах1вих = ^<Р> № +	(3. 85)
При безінерційному елементі зворотного зв’язку ()2(р) = Р2(р) = 1 і передаточна функція за завданням матиме вигляд
ИЛ(р) =_ЩРІ_
1 + Ж(р) •	(3. 86)
Передаточна функція за збуренням залишиться, очевидно, без змін.
3. 11. ПРИКЛАД ЗНАХОДЖЕННЯ РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ СЛІДКУЮЧОЇ СИСТЕМИ
Як приклад розглянемо спрощену принципову схему, наведену на рис. 3. 31, де ЗП — задаючий пристрій, який обертається за деяким довільним законом а = а(і). Цей закон повинен відтворюватись у заданому масштабі на об’єкті О у вигляді ка(ї) (ко — коефіцієнт пропорційності об’єкта керування); ДР — датчик розузгодження (у даному разі — механічний диференціал). На його вихідному валу відтворюється сигнал (розузгодження), який є різницею двох сигналів: заданого а і сигналу зворотного зв’язку аг
Механічний вал зворотного зв’язку можна замінити при необхідності на електричний вал за допомогою сельсинів. Сигнал розузгодження за допомогою потенціометричного датчика ДП перетворюється в напругу розузгодження Ц. Елементи /?,, Я2, С представляють диференціюючий пристрій ДФП, який використовується для покращання динамічних характеристик системи керування. Його вихідна напруга С2 після підсилення тиристорним перетворювачем ТП у вигляді напруги 1/д подається до якірного кола двигуна Д, який через редуктор ?! обертає об’єкт О.
Функціональну схему цієї системи показано на рис. 3. 32, де /(і) — збурення, що діє на об’єкт і визначає навантаження двигуна.
Виведемо рівняння всіх ланок системи. Враховуючи те, що об’єкт у даному разі можна розглядати як деяку механічну масу, яка разом з редуктором обертається двигуном, будемо розглядати об’єкт як одне ціле — у вигляді ланки системи з приведеним моментом інерції Т.
Рівняння ланки двигун—редуктор—об’єкт, або умовно «об’єкт», матиме вигляд
зп
дфп	тп
Рис. 3. 31
дрю
Рис. 3. 32
/-£ = М - М - М„
Л2 л р '	(3. 87)
де Л/д — рушійний момент двигуна; Л/тр — момент тертя; М — момент, зумовлений дією зовнішніх сил /(і); /3 —Ркут повороту вала двигуна.
У даному разі при сталій величині потоку в магнітній системі двигуна Ф
Мл = сФ/л = срл, де ї/ — напруга на якорі двигуна; — коефіцієнт пропорційності. Враховуючи, що момент тертя залежить від швидкості обертання, можна записати
А/ = ~ с~, ТР СІЇ 2
де с2 — коефіцієнт пропорційності.
Підставивши значення Мя, М_р у вихідне рівняння, дістанемо
де Л/0) — момент збурення зовнішніх сил.
Після нескладних перетворень в операторній формі маємо
(ТУ + р)/3 = кя1іа - /(І),	(3. 88)
де
Т = —; к = —; /(0 =
1 Со Д Со 4 7 Со 2	2	2
Запишемо рівняння окремих ланок зворотного зв’язку (редуктора Р2)
аі = ~Г@’ ко	(3. 89)
датчика розузгодження (ДР)
у = а(ї) - ар	(3. 90)
потенціометричного датчика порівняння (ДП)
= к2Т, де к2 — коефіцієнт пропорційності.
Рівняння диференціюючого пристрою (ДФП) згідно з рис. 3. 31 має вигляд
Л = Л + А; Л = А = звідки о?(£7. - ил	и. - и2	и2
1	- ~Л	П'	Я~2’
або
аи.	Л}2	у. - іі2	и2
Л	Л Л,	Я/
Після нескладних перетворень дістанемо
АЛ / 1	1 \	У і
Л	2 Л Я/
Розділивши всі члени рівняння на коефіцієнт при 17 2, маємо
(Т2р + 1)172 = (Л3 + Г3р)Ц,	(3. 9і)
де с	1/Я.	Я,	Я.Я2
2	Х + _і_	3	л, + л2	^	+ ^2’	3	+
К2	я{я2
Розглядаючи тиристорний підсилювач як ланку із запізненням, запишемо його рівняння у вигляді = кгпе -тр. д тп
Після розкладу в степеневий ряд функції е~гр = (1 + тр)-1 = 1 =	, дістанемо
1 + тр
V = кІКт-І—, я тп 21 + тр
або
(1 + тр) і/д = ктпІ/2,	(3. 92)
де т — запізнення; к — коефіцієнт передачі.
Отже, рівняння всіх ланок слідкуючої системи можна записати у вигляді системи:
об’єкта
(V + р) /3 = ЛА - /(0;
зворотного зв’язку
а, = 1 / Ло Д
датчика розузгодження
у = а(0 - а-,	(3. 93)
потенціометричного датчика
Ц = диференціюючого пристрою
(Т2р + 1) и2 = (£3+Г3р) і/,;
тиристорного підсилювача
(тр + 1)£7Л = Лтпі/2.
Використовуючи вираз (3. 82), записуємо рівняння слідкуючої системи в загальному вигляді
[Р(р) + О(р)] /3 = Л(р)5(р)/(0 + Оп(р)Р2<р)а(0, де позначено: Лр) - (Т{р2 + р) (Т?р + 1) (тр + 1) — добуток лівих частин всіх рівнянь; <2(р) = к^-к^к^ + ^ 3Р)^ТП — добуток правих частин всіх рівнянь ланок; Р((р) = (Т2р + 1) (тр + 1) — добуток всіх лівих частин рівнянь, крім об’єкта; 5(р) = 1 — коефіцієнт при збуренні; <2и(р) = к. к2(к3 + к' ^))к^ — добуток правих частин всіх рівнянь, крім рівняння зворотного зв’язку; Р2(р) — ліва частина рівняння зворотного зв’язку, в даному разі дорівнює одиниці.
Отже, рівняння динаміки слідкуючої системи можна записати у вигляді
[(Т.р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1) + к^к2(к. +	=
=	«(0 + (Лр + 1) (ТР + 1)/(0 •	(3. 94)
Поклавши р = 0, /(0 < 0, дістанемо рівняння статики системи
кл Т к2 кз кгг Р = кп кг кз ктп а(1) - /(0 • " ло
Визначивши Лд к2 ку к. = к{ при сталих значеннях /(/) = / , а(1) = а0 , дістанемо рівняння статичного стану системи
, Ро к{ а0	/0,
Ло
або
*7°'	(3.95)
Видно, що /30 відстає від потрібного значення сигналу кйай на вели--	ґ П	к0 ^0
чину, що залежить від збурення /0. Величина —т— є статична помилка кі
даної слідкуючої системи.
Як видно, вона обернено пропорційна добутку коефіцієнтів підсилення ланок. Принципово статична помилка може бути як із знаком «мінус», так і зі знаком «плюс».
Передаточна функція за збуренням у даному разі матиме вигляд
1 + и^(р)
1
кя к2 (к1 + к зР) Х0
(Т.р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1)
=	(Т.р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1)
к. '
(Т.р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1) + -р
де И^(р) = 1 — передаточна функція об’єкта за збуренням;
И'Хр) =	— передаточна функція розімкнутої системи.
Амплітудно-фазова характеристика слідкуючої системи за збуренням у даному разі має вигляд
, .	=	(~ Т.ш2 +	( /Т2а> +1) ( утаї +1)
/( ]ш)	+	+ 1) (/таї +!) + £, /к0 ’
Передаточну функцію даної системи за завданням після перетворень запишемо у вигляді
_____________к___________
И'пО’)	+ р) + П (*р +1)
ІГ,(Р) =	---------=
(тУ + р)(Лр + і)(ч> + і)
=__________________________________
(Т1Р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1) + Л, /<
де & (р) — передаточна функція всіх ланок системи без зворотного зв’язку.
Відповідно до цього амплітудно-фазова характеристика даної слідкуючої системи за завданням матиме вигляд
°	(- Т^ш2 + ]ш) (- ]Т2ш + 1) (- та + 1) + /ко
На основі знайдених виразів за викладеними раніше методиками, можна дістати всі необхідні частотні характеристики системи.
Рівняння помилки в даному разі матиме вигляд
Д8 = Жо(р)а(0 + Ж7(р)/(0 =
.Л .	(Г/ +р)(Т2р + 1)(тр + 1)
------------------------а(0 -І----—--------------------------/(0.
(Т}р2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1) (ТіР2 + р) (Т2р + 1) (тр + 1) + Л,/Ло
3. 12. СТРУКТУРНІ СХЕМИ ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Під структурною схемою САК у теорії автоматичного керування розуміють графічне зображення математичної моделі системи у вигляді з’єднаних ланок, які відповідають функціональній схемі даної системи. При цьому кожна ланка структурної схеми зображується прямокутником, в якому відображуються у вигляді передаточних функцій, рівнянь динаміки або часової характеристики динамічні властивості даної ланки.
У деяких випадках ланки можна пронумерувати, а їх динамічні характеристики зобразити окремо. Вхідні і вихідні величини на структурних схемах можуть бути записані у вигляді зображень або їх оригіналів.
Ланки, які забезпечують підсумовування (алгебраїчне) деяких величин, зображують у вигляді кола, поділеного на чотири рівні сектори. Якщо вхідні величини мають різний знак, то це відображується або знаком «мінус», або затушовуванням відповідного сектора (рис. 3. 33, а, б, в).
Структурні схеми широко застосовуються в ТАК при дослідженнях
і проектуванні автоматичних систем. З їх допомогою легко простежити зв’язки між ланками, їх вплив, проходження сигналів у
системі.	рис з 33
Ланки структурної схеми мо-
жуть відображати не тільки окремі елементи, а й їх об’єднання, а також частини системи, як було показано, наприклад, при виведенні
рівняння слідкуючої електромеханічної системи.
За допомогою апарата передаточних функцій можливе також перетворення складних структурних схем на простіші, що в ряді випадків необхідно для знаходження відповідних рівнянь системи на основі відомих формул.
Правила перетворення структурних схем. Найпростіші перетворення структурних схем та їх окремих елементів було розглянуто раніше.
При послідовному з’єднанні ланок результуюча передаточна функція 'Л'(р) ланок у загальному вигляді може бути визначена як добуток передаточних функцій Ж(р) ланок:
.	1Р(р)„с = П ИА(р),
/ = І.
а при паралельному — як їх сума:
гг
^(Р)„ар = 2
І = І
(3. 96)
(3. 96а)
Передаточна функція ланки із зворотним зв’язком (аналогічно група ланок, що охоплені зворотним зв’язком, рис. 3. 34, а) матиме вигляд
И''38'3(р) = --------------
'	1 ± ^пр(Р)^3..3(Р) ’	(3. 97)
де (р) — передаточна функція прямого каналу, що є передаточною функцією окремої ланки або групи послідовно з’єднаних ланок (тоді
(р) = И^р)... И^ір)), що охоплюються зворотним зв’язком (рис. 3. 34, б). пр3нак «плюс» відповідає від’ємному, а знак «мінус» — додатному зворотному зв’язку; (р) — передаточна функція самої ланки зворотного зв’язку; (рї^/р) = И'Хр) — передаточна функція розімкнутої системи, вірніше, контура зворотного зв’язку, що включає ланки з передаточними функціями ^пр(р) та И^звз(р).
Отже, передаточна функція ланки (або групи ланок), охопленої зворотним зв’язком, є передаточна функція прямого каналу, розділена на величину: 1 ± передаточна функція розімкнутого контура зворотного зв’язку. У випадку, коли розглядається головний зворотний зв’язок САР, цей контур є контуром розімкнутої САР. У цьому разі передаточ-
на функція замкнутої системи (системи з головним зворотним зв’язком) записується у вигляді
М 1 ± ІУ(р)	(3. 98)
Якщо передаточна функція зворотного зв’язку ІУзв з(р) дорівнює одиниці, то такий зворотний зв’язок називають одиничним, що зображується так, як на рис. 3. 34, в.
Передаточні функції прямого каналу і розімкнутої системи в цьому разі дорівнюють одна одній ІЦ^Ср) = И/(р), і передаточна функція ланки із зворотним зв’язком має вигляд
И^’(р)
1 ± ЇГ(р) ’	(3. 99)
Знаючи правила перетворення структурних схем, можна досить просто розв’язати завдання перетворення одноконтурних і деяких бага-токонтурних систем. При цьому під одноконтурною замкнутою системою розуміють систему, при розмиканні якої в довільній точці можна дістати ланцюжок ланок, в якому відсутні паралельно з’єднані ланки і ланки, охоплені зворотними зв’язками.
Багатоконтурною називають систему, яка має в своєму складі паралельно з’єднані ланки, а також ланки з місцевими зворотними зв’язками.
Як приклад розглянемо структурну схему, зображену на рис. 3. 35, а. Ця схема є багатоконтурною і має в своєму складі ланки з місцевими зворотними зв’язками IV2(р), з від’ємним інерційним зворотним зв’язком Ил'звз(р); ланки ІУ5(р) з додатним одиничним зворотним зв’язком 1У" (р), а також паралельно з’єднані ланки ІУ4(р) і ІУ5(р) — ^"'333(р)-Об’єктом є ланка ІУ6(р).
Спочатку проведемо перетворення ланок із зворотними зв’язками:
^г.зв.зСР) і + Ил2(р)Ил'звз(р) 5 ^з.зв.зСР) і _	•
Для паралельно з’єднаних ланок дістанемо
^4-5,3..,^ = ^4(Р) + И\3,.3(/».
Розглядаючи далі ланки як послідовно з’єднані, знаходимо їх передаточну функцію
^_5(р) = Щр) И/2зз з(р) №4(р) + М/5>звз(р>] =
=^(р) И/2 зв з(р) УР4_5і3„(р).
р Відповідно спрощену структурну схему системи показано на рис. 3. 35, б.
Розглянемо можливості перетворення структурної схеми, наведеної на рис. 3. 35, в. Ця структурна схема має додатні зворотні зв’язки, кожний з яких охоплює по дві ланки. Одна з них входить також до контура іншого зворотного зв’язку. Такі структурні схеми мають назву схем з перехресними зворотними зв’язками. їх не можна перетворити за допомогою розглянутих вище формул. Тому ці схеми треба перетворити таким чином, щоб ліквідувати зв’язки, що перехрещуються.
Для перетворення структурних схем із перехресними зворотними зв’язками використовуються правила переносу додатних пристроїв (на схемі ДП1, ДП2, ДПЗ) та вузлів (позначених В1, В2).
Рис. 3. 36
д	Рис. 3. 37
Правила переносу додатних пристроїв і вузлів у схемі. Загальний принцип переносу додатного пристрою або вузла в схемі полягає в тому, що при ліквідації явища перехрещування зворотних зв’язків вихідні величини ланок повинні бути незмінними. Цей принцип добре ілюструють схеми переносу додатного пристрою ДП (рис. 3. 36, а, б, в) і вузла В (рис. 3. 37, а, б, в).
Так, на рис. 3. 36, б показано перенос ДП вправо по ходу процесу. При цьому величина х не проходитиме через ланку ІУ2(р), що має місце у вихідній схемі. Для того щоб процес у перетвореній схемі не змінився, необхідно ввести додаткову ланку ІУ2(р) між точкою вводу сигналу х і ДП. 120
ДІЙСНО, ЯКЩО у ВИХІДНІЙ схемі Х2вих = И/2(р)Х2вх = И^2(рХх1вих + х), то в цьому разі х = х' + х', де х' = ИС(р)х, , х' = И'' (р)х, тому х = г 2вих	2вих	2вих	2'ґ 7 Івих	2'ґ 7	2вих
И^ріх + И/2(р)х = И<,(рХх|вих + х) буде таким самим, як і у вихідній схемі.
. Якщо ДП переміщується вліво (проти ходу процесу), то між точкою прикладання величини х і ДП потрібно ввести ланку, передаточна функція якої буде оберненою функцією ланки, через яку ДП переміщується вліво.
При цьому х„ = НСГріх', ; х',	= ІУ,(р)х, 4- / х', звідки
к	2вих	2'~7 Івих’ Івих	Л*7 Івх УКДр)
Х2вих = Ж2(р)[Ж1(р)х1вх + х] = Ж2(р)(х1вих + х) дорівнює вихідній величині вихідної схеми.
На рис. 3. 37 показано вихідну (а) і перетворені (б, в) схеми переміщення вузла В вліво та вправо відносно початкового положення. При цьому при переміщенні вузла також необхідно ввести додаткові ланки, як показано на рис. 3. 37, б, в. Дійсно, якщо вузол В переміщується вправо, то для того, щоб величина х не змінилася, необхідно ввести в ланцюг х ланку з передаточною функцією, оберненою передаточній функції, через яку було переміщено вузол В. Якщо вузол В переміщується вліво, треба ввести додаткову ланку з передаточною функцією, що дорівнює передаточній функції ланки, через яку переміщується вузол В.
Повертаючись до схеми на рис. 3. 35, в, покажемо, що для ліквідації перехресних зворотних зв’язків можна перемістити додатний пристрій ДГІ2 вправо, об’єднавши його з ДПЗ, або вузол В1 вправо, об’єднавши його з вузлом В2. Можливе також перенесення вузла В2 вліво і об’єднання його з вузлом В1.
Перетворена схема з переносом вузла В1 вправо показана на рис. 3. 38, а, а перетворена схема з переносом ДП2 вліво і об’єднанні його з ДПЗ — на рис. 3. 38,6.
Перехрещування зворотних зв’язків можна ліквідувати також переміщенням вузла В2 вліво і об’єднанням його з вузлом В1. В цьому випадку в ланцюг одиничного зворотного зв’язку треба ввести додаткову ланку з передаточною функцією РК (р).
Ліквідувавши перехрещення зворотних зв’язків, неважко провести спрощення одержаних структурних схем за раніше викладеними правилами і наведеними формулами.
3.	13. ГРАФИ ТА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ В ТЕОРІЇ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Загальні відомості про графи. Математичну модель системи автоматичного керування можна дістати також за допомогою орієнтованих графів.
У загальному випадку під графом розуміють деяку множину точок М, які називають вершинами, і множину непересічних кривих — ребер Я, що відповідають умовам:
—	кожне ребро Я має рівно дві точки множини М, які є граничними точками ребра (ребро в цьому разі називають незамкнутим);
—	замкнуте ребро має тільки одну точку з множини М (граничні точки збігаються);
—	ребра Я не мають інших спільних точок, крім тих, які входять у множину М.
Якщо на ребрах вказано напрямок переміщення, то відповідний граф називають орієнтованим, а ребро орієнтованого графа — дугою. Граничні точки ребра є вершинами. Вважають, що саме ребро Я інциденте кожній з вершин, а кожна вершина інцидентна цьому ребру.
У загальному вигляді граф позначається буквою О або (Я, М), де Я — множина ребер; М — множина вершин.
Якщо якийсь граф С, - /(№,, Я), де М та 7? входять до множин М і Я, з яких складається граф О, то граф О, називають підграфом графа О (або підграфом О), який, у свою чергу, називають надграфом графа С1 (або надграфом С).
Граф з скінченною кількістю вершин і ребер називають скінченним. На кожній дузі є початкова і кінцева вершини.
Згідно з викладеним орієнтований граф є сукупність множин вершин та дуг. Дуги називають паралельними, якщо вони мають спільні початкові і кінцеві вершини. З’єднання дуг, при якому кінцева вершина кожної дуги є початковою вершиною для наступної дуги, називають орієнтованим маршрутом. Його називають замкнутим, якщо кінцева вершина останньої дуги збігається з початковою вершиною першої дуги.
Рис. 3. 39
Орієнтований маршрут, в якому всі дуги різні, називають шляхом від початкової до кінцевої вершини (при незамкнутому стані). Якщо цей маршрут замкнутий, то його звуть контуром або орієнтованим циклом.
Основні властивості графів САК і методика їх побудови. Граф системи автоматичного керування є орієнтований граф, що має такі властивості.
1.	Кожна дуга відображає ланку системи з відповідним математичним зображенням.
2.	Якщо до вхідної (початкової) вершини деякої дуги приєднуються (входять в неї) кілька дуг, то відповідна вхідна змінна є сумою вихідних величин цих дуг. При одній приєднуваній дузі змінна, що їй відповідає, є вхідною змінною наступної дуги (її вершини).
3.	Якщо з кінцевої вершини виходять кілька дуг, то вхідна величина всіх дуг є однаковою.
Граф САК легко побудувати, якщо відома структурна схема систе
ми. Якщо відомий граф, то неважко побудувати структурну схему відповідної системи. Вершини графа зображуються колами.
При побудові графа за структурною схемою необхідно виконати такі перетворення.
1.	Зобразити схему таким чином, щоб у суматорах всі вхідні величини мали знак плюс.
2.	Кожний суматор замінити вершиною з вхідною величиною, що дорівнює вихідній вершині цього суматора.
3.	Кожну ланку структурної схеми замінити дугою з оператором (передаточною функцією), який дорівнює оператору цієї ланки.
4.	Кожній змінній, в тому числі і збуренню, поставити у відповідність свою вершину.
5.	Додаткове зображення (якщо це потрібно) вершини однієї з дуг на загальному вході деякої дуги провести з врахуванням одиничної передаточної функції.
На рис 3. 39, а показано деяку вихідну структурну схему слідкуючої САК, а на рис. 3. 39, б — змінену структурну схему згідно з п. 1.
На рис. 3. 39, в наведено кінцевий результат — відповідний граф САК.
При побудові графів можливе їх спрощення, яке досягається за рахунок того, що паралельні дуги можна замінити однією дугою з передаточною функцією, яка дорівнює сумі передаточних функцій цих дуг. Простий шлях (якщо немає не належних до нього дуг, інцидентних його проміжним вершинам) можна замінити дугою з передаточною функцією, що дорівнює добутку передаточних функцій дуг цього шляху.
Знаходження передаточної функції САК за допомогою формули Мейсона. Формула Мейсона використовується для спрощення графа та знаходження передаточної функції замкнутої системи автоматичного керування по відомому графу системи.
Формулу записують у вигляді
А д
^(р),.х =
(3. 100)
де § — вхідна, ах — вихідна величини системи (графа); ІУ.(р) — передаточна функція г-го простого шляху від вершини § до вершини X, що дорівнює добутку передаточних функцій дуг, які належать цьому шляху (контуру); т — кількість таких шляхів (для спрощення запису передаточних функцій далі не писатимемо знак оператора р); А — визначник графа.
Визначник графа записується у вигляді
А = 1 - Ж, +
УЛ	],к,1
де ІУ — передаточна функція у-го простого контуру, яка дорівнює добутку передаточних функцій всіх дуг даного контуру.
Перший член 21^0 є сумою всіх подібних простих контурів.
Другий член	— сума пар контурів і та к, що не доторку-
М
ються до інших контурів (Ж — результуюча передаточна функція контуру к, подібна до
Третя складова формули детермінанта Ж Ж — сума добутків передаточних функцій відповідних контурів; їх додавання проводиться по трійці контурів, що не доторкуються. Аналогічно можна обчислювати й інші члени, якщо вони є в даному складному графі. При цьому треба мати на увазі, що недоторкуючими називають такі два контури, які не мають спільних дуг або вершин. Трійка, четвірка і так далі контурів вважається недоторкуючими, якщо будь-яка пара контурів цієї трійки (четвірки і т. д.) в свою чергу будуть недоторкуючими; А. — детермінант підграфа, який можна дістати з головного (вихідного) графа при виключенні дуг та вершин г-го простого шляху, а також дуг та вершин, інцидентних цим вершинам.
Запишемо передаточну функцію системи автоматичного керування за завданням § згідно з формулою Мейсона відповідно до рис. 3. 39 (при цьому вважатимемо / = 0). З рис. 3. 39, в видно, що від вершини § до вершини х є два (І і II) простих шляхи з такими передаточними функціями:
= Ж0Ж,Ж2_3ІУ4 = Ж,ІУ2_зЖ4;
10' = Ж0ІУ7Ж2_зІГ4 = Ж7Ж2_3Ж4.
Крім цього, у вихідному графі є три контури (позначимо їх 1, 2, 3), передаточні функції яких мають вигляд
Ж2 = - Ж4Ж5;
= -^7Ж2_3Ж4.
Недоторкуючих пар і контурів граф не має, тому його визначник матиме вигляд
А = 1 — (Ж1 + Ж2 + Ж3) = 1 + И^,Ж2_3Ж4 + Ж4ІУ5 + Ж7ІУ2_зІУ4.
Підграфи, які відповідають простим шляхам від вершини § до х, замкнутих контурів не мають, тому
А, = А2 = 1.
Формула Мейсона в цьому разі матиме вигляд
=	+ ^' =	и/,и/2 3и/4 4- и/7и/2 3ж4	;
А 1 + И/,РИ, ,РИЛ + ИЛИА + РИ7Ж, ,1К  1	2-3	4	4	5	7	2-3	4
Якщо потрібно знайти передаточну функцію за збуренням, то враховують, що § = 0. При цьому від вершини / до х маємо лише один простий шлях = Ж. Відповідний підграф у цьому разі не має замкнутих контурів і його визначник дорівнює одиниці: А = 1.
Передаточна функція за Мейсоном матиме вигляд
ж4а,	ри4
ц/ = —і-!- = ---------------------------------------
А 1 + РК,ИЛ,_3РИ4 + РГ4И/5 + Ж7РИ2_3РИ4 ’
3. 14. БАГАТОВИМІРНІ СИСТЕМИ ТА МЕТОД ЗМІННИХ СТАНУ
Багатовимірні системи і загальні відомості про метод змінних стану. В САК у загальному випадку можна одночасно виконувати керування кількома величинами. Як було зазначено раніше, такі системи називають багатовимірними. Системам цьому класу присвячено багато монографій, наприклад [5, 10].
Багатовимірні системи називають також системами багатозв’язного керування. Ці терміни переносять і на відповідні об’єкти (наприклад, багатовимірний об’єкт). Класичним прикладом багатовимірного об’єкта є паровий котел, в якому одночасно автоматичному керуванню може підлягати температура і тиск пари та ін.
Лінійними багатовимірними системами називають системи автоматичного керування, в яких всі елементи мають лінійні характеристики і їх динамічні властивості описуються лінійними диференціальними рівняннями. Якщо коефіцієнти таких рівнянь незмінні, то таку систему називають стаціонарною (в противному разі нестаціонарною).
Рівняння багатовимірної системи в загальному випадку можна записати у вигляді системи рівнянь в операторній формі
+ . . . + Р1п(р)х„ = (2"(р)ц + . . . + йХт(р)ит + Сп(р)/, + . . . + Сл(р)ї» Р21(р)х, + . . . + Р2л(р)х„ = 0.2і(р)ц + ... + <22т(р)ит + С21(р)/, + .. . + С2*(р)Д;
Рп1(р)х, + .. . + Рт(р)хп = 2п1(р)и1 + .. . + О.пт(р)Ут + Сп1(р)/, + .. . + С^р)/к. У більш компактній формі це рівняння можна записати так:
п	т	к
2 рі№х> = X + X СМ-І - 1	І = 1	7 = >
де Р (р), 0,.. (р), С{. (р) — поліноми від р із сталими коефіцієнтами при 126
відповідних регульованих змінних хр . .. , хп; , ит — керуючі сигнали; ......Д — збурення.
Для багатовимірних систем найпоширенішою є матрична форма запису рівнянь, згідно з якою в даному разі введемо такі матриці:
Л(р) =
Р^р)...Р^р)
;С(р)
Сп(р)...Сік(р)
сл1Ір)---сМ
При цьому вихідну систему рівнянь багатовимірної системи можна записати у вигляді
А(р)х = В(р)и + С(р)ї.
Приклад 3. 4. Деяка двовимірна система описується рівняннями вигляду
(У] р + 1) X] + (Т2 р + V) х2 - Ьо р и2,
(Ту р + ар X] + а2 х2 - Ьу и2.
Записати рівняння цієї системи в матричній формі.
Розв’язання. Рівняння цієї системи в матричній формі матиме вигляд
Л(р)х = 5(р)и,
де
Л(р) =
Т^ + І
Т^ + 1
Т1Р + 1 а2
; *(р) =
о ь3
Поведінку багатовимірних систем можна описувати також за допомогою передаточних функцій.
Передаточною функцією по деякому г-му параметру та Л-му виходу називають відношення зображення за Лапласом Хк($) вихідного параметра хк до зображення І/.($) вхідної величини и при нульових початкових умовах. Згідно з цим

*П(з) =
Обчислити цю передаточну функцію можна, якщо знехтувати у вихідній системі рівнянь зображеннями всіх сигналів та параметрів керування, крім [/,(5).
Аналогічно можна знайти також передаточну функцію за збуренням відповідно до цього виходу (параметра хк)


Для повного описання багатовимірних систем потрібно мати п. х т передаточних функцій за керуванням і п х к передаточних функцій за збуренням, які в загальному вигляді можуть бути записані у вигляді матриць:
Ж“(5) =		; РҐ(5) =	
			
де РК“(х) — матриця передаточних функцій за керуванням (або передаточна матриця): Ж^(5) — передаточна матриця за збуренням.
Зображення керованого параметра х через передаточні матриці матиме вигляд
А(5) = Ж“(5)(/(5) +
Розглянемо спосіб визначення передаточних матриць, що базується на відомих співвідношеннях, які наведемо без доведення
ж“(5) = А -1(5)В(5); Рґ(5) = А ~‘($)С($).
При нульових початкових умовах А(р') = А(х); В(р) = В(5); С(р) = С(к).
Згідно з положеннями вищої алгебри обернену матрицю визначаємо так:
А-’(5) =
1
ЇЖ
д, ($)... дп($)
Знак т означає операцію транспонування.
Проілюструємо викладене вище за допомогою простого прикладу.
Приклад 3. 5. Маємо двовимірну систему, поведінка якої визначається двома диференціальними рівняннями, які в операторній формі мають вигляд
р2х{ + рх, + х2 = и{ +
рх, + х, + рх2 = и2 + /2.
Необхідно знайти передаточні матриці за керуванням и і збуренням /.
Розв’язання. Запишемо наведені вище рівняння в формі зображення Лапласа:
Су2 + з-)А'1(з-) + Х2(Х) = Ї//3-) +
(.? +	+ $Х2(з) = ї/2(л-) + Р2<Х).
Ця система в матричній формі матиме вигляд
А(5)ХС$) = В(5)ІІ.(5) + С(5)Р(5),
де
-Ф) =
+ 5-	1
+ І	£
*(*) =
ї	0‘
0	1
С(^) =
1	о'
0	1
Знайдемо складові оберненої матриці
л(^) - (з2 + м — б? +1) = Лз +1) — и +1> - (з2 — об? + о.
Перестайивши по діагоналі складові матриці Л(і'), дістанемо - (£ + -1	+ .у
звідки знайдемо доповнення: Лп = у; Л]2 = — (у + 1); Л21 - - 1; А22 - у2 + у.
Оскільки 2?(у) і СХу) є одиничні матриці, то
И"(у) = И^(у) = А ’(у) =
(у + 1)(у2-1) -1
(у + ОСу2-!) — (у + і)
У 1974 р. Г. Розенбррком було закладено основи методу автоматизованого проектування САК, який потім було вдосконалено і розвинуто іншими вченими. Цей метод дістав назву методу змінних стану.
Метод змінних стану дає можливість визначити залежність вихідних (керованих) параметрів багатовимірної системи х, х2, . . . , хг (в узагальненому вигляді х) від деяких змінних стану ур .. ., уп (в узагальненому вигляді у) з врахуванням дії керуючих впливів ц, . . . , и (в узагальненому вигляді и).
Отже, в узагальненому спрощеному вигляді рівняння стану можна записати так:
у = А у + В и;	(3. 101)
х = С у,
де А, В, С — відповідно матриці стану, керування, виходу (вихідних координат).
Розглянемо принципові загальні положення даного напрямку теорії автоматичного керування.
Для описання динамічних процесів у системі автоматичного керування необхідно в загальному випадку встановити характер зміни в часовому просторі керованої величини х системи з параметрами а,..., ап, Ь,... ,Ь від збурень /...,/ (до складу збурень відносять задаючі і керуючі функції и(0).
Поширення дістав спосіб описання систем, що базується на диференціальних і передаточних функціях, які знаходять застосування в одновимірних системах і досить детально розглянуті раніше.
У багатовимірній системі з п. змінними хр ..х при дії в загальному випадку збурень /р . • /я для описування системі необхідно мати систему п рівнянь вигляду
б?11(р)х1 + б?12(р)х2 + . . . + 4п(р)хп =
6?2і(р)х, + СІ22(р)х2 + . . . + СІ2г(.р')Хп — /2,
Ш + а„2<р)х2 +... + апп(р)хп =
, , .	.	.	(І
де а. Ар) — поліном від оператора р = 3- .
Ік	ш
При застосуванні перетворення Лапласа при ненульових початкових умовах ці поліноми є функцією деякої комплексної величини 5 і повинні були б записуватись у вигляді При нульових початкових умовах, як було зазначено раніше, поліноми можна записувати у вигляді ск^р).
Перехід від рівнянь ланок конкретної системи і визначення системи рівнянь та їх коефіцієнтів вигляду сі.^р) для описання конкретної САК досить детально викладено раніше на конкретному прикладі застосування теореми Крамера для знаходження рівняння замкнутої одновимірної системи автоматичного керування напруги генератора постійного струму.
В разі багатовимірних систем їх описання і дослідження значно утруднюються.
Тому для дослідження багатовимірних систем було розроблено так званий метод змінних стану, який може також застосовуватись і для дослідження одновимірних систем.
Метод базується на тому, що для розв’язання диференціального рівняння п-го порядку, яке характеризує динамічні процеси в деякій системі автоматичного керування (рис. 3. 40), необхідно знати п початкових значень регульованої величини х — її початкового значення х(ї0) = х(0) та п — 1 похідних при ( = і0, а саме:
САК
*Г(Є)
Рис. 3. 40
\а)
х(7о) = х(0); х(ї0) = х(0);. .. ; хп '(70) = хп '(0). Ці початкові умови визначать подальший рух системи.
Для характеристики внутрішнього стану системи вводять деякі абстрактні характеристики системи у(Ґ), у2(і), . . ., у<Х) з початковими умовами ^(0), у2(0), . . ., уп(0), за допомогою яких з врахуванням вхідної дії и(0 можна однозначно визначити динамічні процеси в системі.
Змінні у (0,  • у (і) називають змінними стану системи.
В загальному вигляді деяка змінна стану ук(і) записується таю
у/0 = Л [у,(0) . . . у„(0); гЦО . . . ит(і)}.
Стан системи в довільний момент часу і визначають за допомогою вектора стану у(ї), що є функцією змінних стану ук(і) (к = 1,	п):

у(і) = [^(0, У2(і), • • -,3-'„(Л]Т-	(3. 102)
Множину всіх значень вектора стану у(0 на деякому інтервалі зміни часу і називають простором стану або фазовим простором. Його можна розглядати як деякий п-вимірний абстрактний простір, що відповідає порядку диференціального рівняння системи.
Кінець вектора стану при русі в просторі стану має множину положень, яка називається траєкторією вектора стану або фазовою траєкторією. Кожна фіксована точка цього положення називається зображуючою точкою.
Фазовий простір, який відповідає рівнянню динаміки першого порядку, називають одновимірним. Його можна зобразити як пряму на деякій площині, а фазову траєкторію — як сукупність точок (відрізок) на цій прямій.
11 ри п = 2 вектор стану є функцією двох змінних у .(І) і у2(0. Фазовий простір при цьому називають двовимірним. Він є площиною з координатами у] — у2, а фазова траєкторія — крива на цій площині.
Тривимірний простір відповідає системам при п= 3.
Фазові траєкторії і простори стану одно-, дво- і тривимірних систем зображено на рис. 3. 41, а, б, в.
При п = 4 матимемо чотиривимірний простір і т. д.
При застосуванні методу змінних стану виділяють поняття простору керувань, простору виходів і простору збурень. При цьому під простором керувань розуміють множину можливих значень и,иу и2(і),.. ., ип(ї), під простором виходів — множину х^і), х2(і), . . . ,хг(і), а під простором збурень — множину Ці), /2(0,..., /;(0. Ці множини є координатами векторів: керувань в ш-вимірному просторі и(0 = [іЦО, и2(і\ . . .,«т(?)Г, виходів в г-вимірному просторі х(і) = [х(0, х2(і), . . ., х (0Г і збурень в /-вимірному просторі /(і) = цсо, /2(ґ), . . ., /;(0]т.
Фізична суть змінних стану (які, як було вказано раніше, в загальному випадку можуть бути абстрактними величинами) залежить від вибору базису, при зміні якого можна змінити і змінні стану.
При дослідженні конкретних систем за змінні стану приймають деякі фізичні величини, які характеризують поведінку даної системи.
Рівняння стану. Якщо вважати, що похідна с1у(1)/сіІ = у. залежить тільки від поточного стану системи, то систему автоматичного керування можна описати системою диференціальних рівнянь першого порядку в нормальній формі Коші, згідно з якими похідні змінних стану залежать від значення змінних, часу і керувань — и(й.
Орієнтуючись на рис. 3. 40, можна записати
Уі(0 = ^(Уі(0,У2(0.....Уп(і)> ^Уи2(1),...,ит(іу, ґ];
у2(0 = ^2(Уі(0>У2(ґ)>--->Уп(0; мі(ґ)>«2(0...МО;*];
........................................................... (3. 103) к(0 = лЬ’їСО ’ >2(0 , • • •, л(0; «і(0 > «2(0 , • • • > «т(0; П • Знаючи змінні стану, знаходимо кожний з вихідних сигналів х.(0 як функцію у (0 змінних стану і керувань (входів):
х^ї) = 7}[У^У2^ • • • ’ У№ ихЦ),и2(ї), . . . , ит(і); І ]; х2(0 = у2	. . . ,у„0); и[і),и2(і),и2(і), . . . , (7т(ґ); /];
.............................................. (3. 104)
хг(1) = уг [у1(0,у2(0, . . - ,у„(0; их(і),и2(ї), . . . , ит(ії, і ].
Якщо рівняння (3.103), (3.104) вважати лінійними (лінеаризо-ваними), а систему детермінованою, то ці рівняння однозначно визначають поведінку системи. їх називають рівняннями стану системи. При зазначених вище умовах змінні стану і вихідні величини не залежать від моменту появи вхідного сигналу и.(ї).
При цьому рівняння (3. 103), (3. 104) можна записати у вигляді У(0 = «цУі(О + «)2У2(0 + ••• + а1пУ„(і) + ^„«1(0 + 6і2«2(0 + ••• + Мт(0ї У2(0 = «2^(0 + «2^(0 + ••• + «2пУп(0 + 621«1(0 + М2(0 + ••• + 62тИт(0; к(0 = «„Л(0 + «„2У2(0 + ... + апупп(і) + 6л1и,(0 + ьп2и2(і) + ... + Ьппип(іу, (3. 105) х,(0 = £„>,(0 + с12у2(ї) + . . . + с1пуп(0 +	+ 6^(0 + . . . + 4ітип(і);
Х2(О = ад® + с22у2(() + ... + с2пуп(о +	+ а^и/ї) + .. . +а2тит(ї);
= снУф + сг2у2(І) + ... + сгпуп(1) + ^,«,(0 + ^и/і} + ... + йгтит(1\
(3. 106)
де аиг сір сталі коефіцієнти, знайдені при визначенні і перетворенні відповідних функцій у. в рівняннях (3. 103), (3. 104).
Для складних об’єктів запис рівнянь вигляду (3. 105), (3. 106), їх перетворення при дослідженнях системи становлять великі труднощі, тому значне поширення дістала більш раціональна компактна векторно-матрична форма рівнянь стану. Згідно з цією формою рівняння стану можна записати у вигляді
у = Ду(0 + Ви(0;
(3. 107)
х = Су(ґ) + £>и(ї),
де
А =	^11^12 ‘ ‘ ‘ аіп а2іа22 ‘ ‘ а2п	(3. 108)
	ап\ап2 ’ ’ ’ апп	
Є матриця стану розмірністю п х системи;	п, яка визначає вільні і вимушені рухи	
В =	5ц5і2 • • • ^21^22 • • • ^2п	
	• • • ^пт	(3. 109)
є матриця керування (матриця входу) розмірності пхт, яка визначає		
взаємозалежність входу системи і змінних стану;
С11С12 • ’ ’ С1п
С2ІС22 ’ ' ' С2п
С^г2--‘Сгп	(3. 110)
Є матриця вихідних координат (матриця виходу) розмірності гхп, яка визначає характер взаємозв’язку вихідних величин зі змінними стану;
	ДД12-.	
£ =	^21^22 •	-<І2„
	^г2-	Лгп
є матриця розмірністю гхи, що характеризує прямий зв’язок вихідних координат х(ґ) з керуванням; визначає безпосередній вплив керування на різні складові вихідних координат; для багатьох систем £> = 0.
Структурну схему багатовимірної системи, що відповідає наведеним
(3. 111)
рівнянням стану, показано на рис. 3. 42. Подвійні лінії відображають матрично-векторний характер математичної моделі системи.
Знаходження рівнянь стану і аналогових моделей систем. Як приклад розглянемо одновимірну систему, динаміка якої описана диференціальним рівнянням п-го порядку, яке зведене до нормованого вигляду, при якому коефіцієнт при найвищому порядку похідної від регульованої величини х дорівнює одиниці (ад = 1); и (і) — вхідна величина. Отже, вихідне рівняння має вигляд
<Гх(і)
(Іп 'х(ї)
= Ьои(1).
(3. 112)

+ ••• + ап
Якщо початкові умови відомі, то, як було вказано раніше, змінні стану можна записати у вигляді
У1(О = х(і);
у 2(0 = *(0 = й(0;
УзО) = х(0 = у2(ї);
Уп(/) = ^->(0 =	(3.113)
З рівняння (3. 112) знайдемо значення похідної найвищого порядку:
6? х(і)	(1х(1)	(і х(ї)
----„ = ~	_ а„ -... - а.------------—т2- + Ьпи(І).
" -1 аі	(її
На основі рівнянь (3. 113) і (3. 114) можна дістати систему ренціальних рівнянь першого порядку вигляду
у№ = у2(0;
у2(0 = Уз(0;
(3. 114) дифе-
Ш = - аЛ(0 - ап- Л(0 - • •• -	+ Ьои(Ґ);
О = ^(0-	(3.115)
Звідси знаходимо систему рівнянь стану (3. 115) в матричній формі
УІЇ)
Уг^)
Уп-ІЇ)
х(0 = [іоо...о][у1(Оу2(О....ул(0]т.
(3. 116)
Рис. 3. 43
У векторній формі рівняння стану матимуть вигляд
У(0 = Ау(0 + £и(0;
х(ї) = Су(ї),
а відповідні матриці — вигляд
0 1 0 0 ... 0
0 0 1 о ... о
(3.117)
0 0 0 0 ... 1
Матриця керування В розмірністю ихі має вигляд
0’
0
(3.118)
(3.119)
А =
В =
(3. 120)
(3. 121)
а матриця вихідних координат С розмірністю 1 х п — вигляд
С = [1 0 0 ... ОТ, У<0 = [у,(/)у20) . . . уп(й]т.
Схему аналогового моделювання одновимірної системи автоматичного керування, яка відповідає рівнянням (3.115), наведено на рис. 3. 43. В модель введено початкові умови змінних стану уп(0), . . . , ^(0), а також значення коефіцієнтів а , . . . , а . Змінюючи вхідну величину и(і) за допомогою даної аналогової моделі, можна дістати залежність х(1).
Загальна методика розв'язання рівнянь стану. Однорідні рівняння. Однорідне рівняння стану (яке не враховує дію вхідних величин и(0) є векторно-матричним рівнянням вигляду
У(О = Ау(ї).	(3. 122)
Воно визначає вільні коливання системи. Позначимо початкові умови: ^(0), у2(0),. . . ,Уп(0). Іх вектор має вигляд
у<0) = [у1(0)у2(0) . . . у„(0)]т.
Відповідне скалярне диференціальне однорідне рівняння має вигляд
= ^).
Проінтегрувавши обидві частини, дістанемо
Л <11
у(0)
о
або
Іп^-
У(0)
= й/,
звідки
Розклавши дістанемо
= еа,у(0).
експоненціальну функцію
е в степеневий ряд,
і
Х0 = 6^(0) = 2 |(^у(0).
К'	(3. 123)
Для матричної функції ем згідно з формулами матричного числення маємо

лі Є
И)2 . (Ар3 2! З!
к = 0
де А, І — відповідно динамічна матриця і одинична розмірності гі*п.
Згідно з скалярним рівнянням (3. 123) можна записати
матриця
У(о = гУ(0) = 2 |(А/)‘у(0). к = о
(3. 124)
Продиференціювавши обидві частини цього рівняння, дістанемо
у('> = І	= І г(Л)‘у(О).
* = 1 4	'	к^І	(3. 125)
де к -- І - к{.
Підставляючи в ліву частину виразу (3. 125) відповідне значення з (З, |23), а в праву — з (3. 124), бачимо, що вони тотожні, а це дозволяє стверджувати, що (3. 124) — загальний розв’язок векторно-матричного рівняння.
Функцію ем називають перехідною функцією стану або (часто) фун-<кіментальною матрицею.
Отже, розв’язок однорідного векторно-матричного рівняння (3. 122) матиме вигляд
у(() = еЛ,у(0).
Для лінійних стаціонарних систем розв’язок однорідного рівняння через перехідну матрицю стану можна записати у вигляді
у(ґ) = ел'у(0).	(3. 126)
Основні властивості перехідної матриці стану наведено без відповідних доказів.
1.	Вимірність перехідної матриці стану дорівнює вимірності динамічної квадратної матриці А. Тому вона також є квадратною матрицею розмірності пХп, а її складові є функціями часу.
2.	При і = 0
еА0 = 1.
3.	Перехідна матриця стану ел< є неособливою матрицею, а це можливо при умові, що сієї еЛІ ^0.
4.	Для перехідної матриці стану еАІеГІ‘ = е!А+т тільки в тому випадку, коли А В = В А.
5.	[/']-' = е-м.
6.	= Аем = еЛІА.
аі
7.	/ ємсіт = Л~'(ел' - О =	~ /М'1-
Загальна методика розв’язання неоднорідних рівнянь. Це питання розглянемо на прикладі стаціонарного векторно-матричного рівняння стану, що має вигляд
У(0 =	+ 5и(0.
Початкові умови визначаються вектором початкових умов і рівнянням виходу
х(ї) - Су (І) + .Ои(ґ).
Помноживши на е л‘ обидві частини виразу у (і), дістанемо
<?'Ау(0 = е~А‘Ау(() + е~мВи(і),
або
е~л‘у (і) — Ае~А: у (і) = е~А,Ви(().
Згідно з властивостями матриці маємо
(І -Аі	-А! л	л — Аі
~е — —е А — — Ае , аі
тому можна записати
^[е-Лу(0] = е-АВи(0.
Інтегруючи обидві частини цього виразу від 0 до і, матимемо
<?~л'у(0 “ У(0) = / е~мВи (т)(1т.
0
Врахувавши п’яту властивість матриці, дістанемо
у (і) = емуф) +ем / е~м В и (т)йт,
0
або з врахуванням четвертої властивості матриці:
у (і) = ему^) + / еА^Ви(т)(іт.
0
Перша складова правої частини цього рівняння описує вільні рухи системи, зумовлені початковими умовами, а друга — рух системи, зумовлений вектором керування і реакцією системи з відповідними нульовими початковими умовами.
Якщо підставити у(ї) у вираз х(/), записаний вище, то
х(0 = Сем у(0) + / С?(,’г)Ви(т)Л.
0
Реакція стаціонарної системи не залежить від моменту 10 прикладання дії, тому можна записати розв’язок неоднорідного рівняння стану у вигляді
у(і) = еЛ('~'о)у(їо) + / ел(<“(°}Вц (т)<іт;
х(0 = Се^-'о’у^) + / СеА('”'о)Ви (т)б?т.
10
Ці вирази відповідають розв’язку скалярного рівняння першого порядку у(0 = ау(Ґ) + Вц(0,
яке має вигляд
і у(ґ) = еа(< -у(70) + § е0(' ґ°' В и .
-	о
Знайдені згідно з наведеною методикою рівняння стану та їх розв’язки можуть бути основою для дослідження поведінки САК у динамічних режимах. Цей процес зводиться до визначення перехідної матриці стану ем. У даному разі це має важливе значення тому, що складові перехідної матриці стану відображують перехідну функцію системи і функцію ваги, які є основними динамічними характеристиками САК.
Аналіз виразу ем потребує застосування окремих методів дослідження. При великих розмірностях матриці п єдиними практично можливими методами є методи, що базуються на використанні ЕОМ за допомогою спеціальних алгоритмів і програм, які наводяться в спеціальній літературі.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Назвіть основні типові ланки САК.
2.	Перелічіть динамічні характеристики ланок і запишіть їх рівняння.
3.	Від чого залежать динамічні властивості ланок другого порядку?
4.	Що таке передаточна функція? Напишіть вираз передаточних функцій основних типових ланок.
5.	Викладіть методику побудови амплітудно-фазової частотної характеристики ланки.
6.	Перелічіть основні частотні характеристики ланок і наведіть приклад їх побудови (на аперіодичній ланці першого порядку).
7.	У чому полягає методика побудови результуючих частотних характеристик при послідовному і паралельному з’єднанні ланок?
8.	Як дістати логарифмічні частотні характеристики і які їхні переваги?
9.	Які особливості мінімально- і немінімально-фазових ланок?
10.	Як побудувати рівняння динаміки при послідовному з’єднанні ланок?
11.	Запишіть і поясніть значення складових рівнянь динаміки САК стабілізації.
12.	Напишіть і поясніть значення складових рівняння динаміки САК слідкуючої системи.
13.	Як дістати рівняння динаміки САР за допомогою теореми Крамера?
14.	Запишіть вирази передаточних функцій САР за збуренням і завданням.
15.	Перелічіть основні правила перетворення одноконтурних структурних схем.
16.	Сформулюйте правила переносу вузлів і додатних пристроїв у структурних схемах з перехресними зворотними зв’язками.
17	Що таке граф? Назвіть види, вкажіть особливості їх використання в ТАК.
18.	Запишіть і поясніть формулу Мейсона для деякого найпростішого випадку.
19.	У чому полягає суть методу змінних стану?
20.	Напишіть рівняння стану в загальному вигляді.
Глава 4
СТІЙКІСТЬ НЕПЕРЕРВНИХ ЛІНІЙНИХ САК
4. 1. ПОНЯТТЯ СТІЙКОСТІ САК
Під стійкістю системи в найзагальнішому випадку розуміють її властивість повертатися в початкове (або близьке до того) положення після зникнення дії факторів (збуджень), які вивели систему із стацу початкової рівноваги. Стійкість системи є необхідною умовою можл вості САК вирішувати поставлені перед нею завдання.
Найпростішим прикладом, що характеризує різні сторони понятт стійкості системи, може бути рис. 4. 1.
Розглянемо рух кулі по деякому криволінійному шляху (рис. 4.1, а). Якщо куля переміщуватиметься зовнішніми силами із положення початкової рівноваги О в положення І або II, то після зникнення цих сил вона повернеться в початкове положення (або близьке до нього) залежно від сил тертя. При цьому можливі коливання кулі відносно початкового положення.
У випадку, що відповідає рис. 4.1, б, куля займає нестійке положення рівноваги О. Досить невеликого зміщення кулі відносно цього положення, і вона не зможе самостійно повернутися до початкового стану.
Рис. 4. 1, в об’єднує в собі обидва розглянутих варіанти поведінки кулі. Залежно від початкового положення рівноваги і характеру дії зовнішніх сил при відхиленнях кулі в межах відрізку шляху О — І вона буде повертатися в положення О. При виході за межі цього відрізку повернення в початкове положення стає неможливим.
Для характеристики поведінки кулі в найзагальнішому випадку нелінійних систем використовується поняття стійкості «в малому», «в великому» і «в цілому» (при окремих видах нелінійностей її називають абсолютною стійкістю).
Система є стійкою «у великому», якщо визначено межі області можливих відхилень, в яких система повертається в початкове положення, і відомо, що початкові відхилення системи не виходять за межі цієї області. Система стійка «в малому», якщо межі області стійкості не визначені, а вказано лише факт її наявності. Система стійка «в цілому», якщо вона повертається в початкове положення рівноваги при будь-яких початкових відхиленнях (рис. 4. 1, а).
Рис. 4. 1, в відповідає стійкості «у великому», якщо початкові відхилення є тільки в межах О — І, і стійкості «в малому», якщо початкові відхилення можливі в межах О — II. У цьому випадку система стійка «в малому» (на відрізку О — І) і нестійка «в великому» (на відрізку О — II).
Система, стійка «в цілому», завжди є стійкою «у великому» і «в ма-зму». Система, стійка «в великому», є стійкою «в малому».
В теорії автоматичного керування розрізняють поняття незбуреної рівноваги (положення О на рис. 4. 1, а) і збуреного стану, в яке переходить система при дії збурення і наступного його зникнення (положення II на рис. 4. 1, а).
Крім відносно простого випадку початкового положення рівноваги, при якому об’єкт (куля) нерухомий, можливі і складніші випадки, коли незбурений стан системи є рух по деякій траєкторії (наприклад, в програмних САК). Такий стан системи називають незбуреним рухом. При дії на систему зовнішніх факторів виникають відхилення від початкового руху, і такий стан системи називають збуреним рухом.
Незбурений рух системи називають стійким, якщо після зняття зовнішніх сил збурений рух через деякий час ввійде в задану область є.
При цьому можна записати
Ах (0 < є,	(4. 1)
де Ах(і) — відхилення координат збуреного руху.
4. 2. СТІЙКІСТЬ ЗА ЛЯПУНОВИМ
О. М. Ляпунов у 1892 р. сформулював поняття стійкості, виходячи з того, що незбурений рух є деякий визначний рух системи, шо підлягає дослідженню на стійкість. Він міг бути як усталений, так і не усталений. Згідно з цим визначення стійкості за Ляпуновим формулюється таким чином:
1	незбурений рух Є СТІЙКИМ ВІДНОСНО ЗМІННИХ Хі, якщо при будь-
і , якому довільно заданому додатному числі є, яким би малим воно не було, можна вибрати друге додатне число <5(є), таке, що при
п
будь-яких збуреннях х!0, що задовольняють умову Х?о «а <3, І
1 = 1
при довільних 1 >10 виконуватиметься нерівність
(4. 2)
Практично стійкість незбуреного руху за Ляпуновим означає, що при досить малих початкових збуреннях збурений рух буде як завгодно мало відрізнятись від незбуреного. Якщо незбурений рух нестійкий, то збурений рух буде все більше відходити від нього в разі найменших початкових збурень.
Основні особливості визначення поняття стійкості за Ляпуновим полягали в тому, що стійкість розглядалася на нескінченному інтервалі часу, збурення були малими і діяли лише на початкові умови. В ТАК існує також поняття асимптотичної стійкості, під яким розуміють таку стійкість незбуреного руху, при якому збурений рух при досить малих початкових збуреннях прагне до незбуреного руху.
Теоретично умову асимптотичної стійкості можна записати у вигляді
Ііш [Дх.(ї)] = 0.
• -»	(4.3)
Іноді умову стійкості технічних систем записують так:
Ііш [Дх.(0]^є,	(4 4)
де Дх.(0 — відхилення ординати неусталеного руху відносно відповідної ординати усталеного руху; є — деяка довільно мала величина.
У найзагальнішому випадку відповідь на всі питання динаміки САК, в тому числі стійкості, можна дістати на основі аналізу характеристики перехідного процесу, яку визначають при розв’язанні диференціального рівняння замкнутої системи.
При виведенні рівняння замкнутої САК, як вказувалось раніше, в багатьох випадках використовується лінеаризація нелінійних залежностей за допомогою ряду Тейлора. Виведене таким чином рівняння називають рівнянням першого наближення.
4. 3. ДОСЛІДЖЕННЯ і АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ЗА КОРЕНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ
Розглянемо лінійну САК стабілізації, рівняння динаміки якої в загальному випадку в операторній формі має вигляд
[Р (р) + О (р)] х№ = Р/р) 5(р) /Є),	(4. 5)
де /(/) — функція збурення.
Після нескладних перетворень це рівняння можна записати у вигляді
(Гх сГ'х	сіх
ап —7 + я. —77 + • • • +	- І 777 + а„х =
° СІЇ1 сії '	п ' &
.^/,.^"7,	...
=	+ о. —~Т + ... + 0„ї ,
0 аг 1 аг 1	(4. б)
,ап, Ьо, . . . ,Ьт — коефіцієнти рівняння, що визначаються па-КМетра ми ланок системи (сталими часу, коефіцієнтами передачі та ); д - регульований параметр.
Наведене рівняння замкнутої системи є неоднорідне лінійне диференціальне рівняння и-го порядку (и > т). Його розв’язок згідно з Відомим принципом суперпозиції можна записати у вигляді
<Г~'х
Х = Хпср + Х№	<4- 7>
де х — перехідна складова, яка є загальним розв’язком однорідного диференціального рівняння
(Гх <Г~'х	Л
ап —7 + Ц —77" + • • • +а„х = 0
0 ае ае~' п	(4.8)
(цс рівняння визначає рух системи після зникнення збурення і називається рівнянням незбурених коливань); х0 — частковий розв’язок неоднорідного рівняння, який характеризує усталений стан системи (при і - оо) і є деякою сталою величиною, яка залежить від параметрів системи і збурення / і на стійкість системи не впливає.
Отже, стійкість лінійної системи залежить від розв’язку рівняння незбурених коливань (4. 8), який має вигляд
=	+С^< +...+Сперп< ,	(4.9)
де С, . . . ,Сп — сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов; Рр .. . ,рп — корені характеристичного, алгебраїчного, рівняння, які визначаються параметрами ланок системи.
Характеристичне рівняння має вигляд
а^р " + а^р л"| + ... + а^р + ап = 0.	(4. 10)
Із викладеного вище можна зробити такі висновки.
1. Стійкість лінійних САК не залежить від величини і вигляду збурень.
2. Стійкість лінійних систем визначається за коренями характеристичного рівняння, які залежать від параметрів системи.
Згідно з викладеним найзагальнішим методом аналізу стійкості є аналіз за коренями характеристичного рівняння.
Аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи. Розглянемо розв’язок рівняння незбурених коливань залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.
1. Нехай всі корені дійсні і від’ємні: рх < 0,..., рп < 0. У цьому випадку
п 1
= УсД.
£	(4.11)
Кожна складова розв’язку рівняння незбурених коливань N2,..., /їп є експонентою, яка при і -* °° прямує до нуля (рис. 4. 2, а).
Для к-ї складової можна записати
->0.
* к ЄРк'
І-• ®
Перехідний процес у цьому випадку буде затухаючим, а система — стійкою.
2.	Нехай всі корені дійсні і від’ємні, крім кореня рк > 0. Тоді всі складові розв’язку хпср будуть затухаючими, крім
N. =
яка визначає нестійкість системи в даному випадку (рис. 4. 2, б).
3.	Нехай всі корені характеристичного рівняння дійсні і від’ємні, крім двох:
Рк = а +іР;
Рк + > =<*-№
Сума складових розв’язку х с, що відповідає сумі цих коренів, матиме вигляд
N = 1Ук + 1Ук + 1 = Ске(а + І^ +
+ Ск + ,е(а = еа‘ ( С** + Ск +	).
Переходячи від показникової форми запису до тригонометричної, згідно з формулою Ейлера можна записати
є*8' = созДї + і&іп/Зг, е~$‘ = соз^і - узіп/й;
N = еа< [СДсозДґ + і зіп/Зї) + Ск + І (СОзДґ - і зіпДї) =
= еа‘ [ (С, + С4 + 1)созД/+/(С4 - Сі + 1)зіпДґ] =
= е°'( Асоз/З/+ уВзіп/й);	(4.12)
N = е“ О$іп(/3і + <р),
де А = Ск + С^+1; В = Ск - Ск +	£) = ^А2 + В2; <р = агсі§
Співмножник И зіп (@і + <р) є синусоїдою з амплітудою И, зсунутою відносно початку координат на кут <р. У цьому випадку характер зміни складової N перехідного процесу х визначається знаком величини а у другому співмножнику е складової N.
На рис. 4. 2, в розглянуто три графіки, які відповідають різним значенням а. Так, при а < 0 і і -» « е”® = -^->0^->0і система буде е стійкою.
При а>0іґ-»<» дг-»оо, хс -» оо і система буде нестійкою.
При а = О N - О зіп ($1 + <р)Рє складовою, яка зумовить коливання в системі з сталою амплітудою Б.
4.	Якщо всі корені характеристичного рівняння замкнутої системи дійсні і від’ємні, а один з них р = 0, то N = С буде сталою величиною (рис. 4. 2, б).
Для зображення поведінки САК залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння замкнутої системи часто використовують комплексну площину коренів (рис. 4. 3).
При цьому корені р (дійсний, додатний), р23 (комплексні з додатною дійсною частиною), які лежать у правій частині комплексної площини коренів, розділеній уявною віссю, відповідають нестійкій САК. Ці корені часто називають «правими коренями».
Корені, які знаходяться зліва від уявної вертикальної осі (дійсні, від’ємні р45, комплексні з від’ємною дійсною частиною р67 — «ліві корені»), відповідають стійкій САК.
Отже, перехід коренів з лівої напівплощини в праву при зміні деяких параметрів системи, що зумовлює зміну знака коренів, стійку систему може зробити нестійкою. Згідно з цим вертикальну (уявну) вісь у комплексній площині коренів називають межею стійкості.
4	3/ X -| -3	Р> л
	
р, ь	р,	«
хРг	»	хР,
Рис. 4. З
Відстань до уявної осі найменшого «лівого» кореня (при відсутності «правих» коренів або коренів, які лежать на уявній осі) характеризує запас стійкості системи.
Наявність нульового кореня р8 або пари чисто уявних коренів р зумовлює особливий випадок поведінки системи — знаходження її на межі стійкості.
При дослідженні рівняння першого наближення виникає принципове питання: якою мірою результати, які можна дістати при цьому, відповідатимуть реальним нелінеаризованим системам.
Висновки дослідження цього принципового питання, відомі як теореми Ляпунова, наведено нижче без доведень.
Теорема 1. Якщо всі корені характеристичного рівняння лінеаризованої системи є від’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, то збурений рух вихідної (нелінеаризованої) системи буде стійким незалежно від значення відкинутих при лінеаризації членів ряду Тейлора.
Теорема 2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи є додатні корені або комплексні корені з додатною дійсною частиною, то збурений рух вихідної системи буде нестійким незалежно від значення відкинутих при лінеаризації членів ряду Тейлора.
Теорема 3. При наявності нульових або чисто уявних коренів у характеристичному рівнянні лінеаризованої системи для оцінки стійкості вихідної системи необхідно враховувати нелінійні складові ряду Тейлора, відкинуті при лінеаризації.
Наведені теореми є теоретичною основою можливості оцінки стійкості реальних (вихідних) систем за допомогою лінеаризованих рівнянь.
Недоліком аналізу стійкості за виглядом коренів характеристичного рівняння є відомі складнощі при аналітичних методах розв’язання алгебраїчних рівнянь високого порядку, які при п. > 4 не мають загального розв’язку. Крім того, виникає необхідність багато разів розв’язувати характеристичні рівняння при аналізі впливу параметрів, що змінюються (слід пам’ятати, що кожному новому значенню параметра відповідає п. нових коренів характеристичного рівняння).
Отже, в ТАК було розроблено методи, що дозволяють досліджувати стійкість САК без знаходження коренів характеристичного рівняння, які дістали назву критеріїв стійкості. Існують два основних види критеріїв стійкості: алгебраїчні і частотні.
4. 4. АЛГЕБРАЇЧНІ КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ
До алгебраїчних критеріїв стійкості належать критерії Рауса, Гурвіца, Вишнєградського, Льєнара — Шіпара, до частотних — критерій Михайлова та його наслідок (друге формулювання критерію), критерій Найквіста, метод .О-розбиття, логарифмічні критерії.
Алгебраїчні критерії дозволяють оцінювати стійкість за коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.
Як було показано раніше, характеристичне рівняння одноконтурної замкнутої системи має вигляд
Р (р) + (2 (р) = 0.
Після перемноження співмножників, які входять до складу операторів І' (р) - /’(р)Р2(р)... Р/р); £Хр) = а^рУО^р)    <2п(р), та зведення подібних членів характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд
аор п + ахрп~' + ... + ап_хр + ап = 0.	(4. 13)
Аналіз перехідних характеристик типових ланок першого і другого порядків показує, що для рівняння першого і другого порядків необхідною і достатньою умовами є додатне значення коефіцієнтів, що зумовлюється від’ємними знаками дійсних коренів або дійсних частин комплексних коренів.
Для систем вищого порядку (п > 3), крім додатного знака коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої системи, необхідно, щоб виконувалися також і інші умови згідно з відповідними критеріями.
Критерій Рауса—Гурвіца. Англійський математик Раус (1877 р.) і австрійський вчений Гурвіц (1895 р.) незалежно один від одного запропонували свої критерії, на основі яких стало можливим сформулювати умови стійкості лінійних САР, виходячи із значень коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Раус запропонував критерій у вигляді алгоритму, на основі якого можна скласти таблицю для оцінки стійкості системи. Критерій Гурвіца було представлено визначниками, які формуються за відповідними правилами. Кінцеві результати — умови стійкості — в обох критеріях однакові. Тому в ТАК для них часто використовується одна загальна назва — критерій Рауса—Гурвіца. Проте, враховуючи більшу простоту формування умов стійкості на основі визначників, на практиці частіше користуються критерієм Гурвіца.
Згідно з цим критерієм умови стійкості формулюються таким чином: всі корені характеристичного рівняння а^)п + ... + ап1р + ап = 0 матимуть від’ємні дійсні частини (або будуть дійсними від’ємними), якщо при додатному знаку всіх коефіцієнтів пр, . . . ,ап будуть додатними головний визначник Гурвіца Дя > 0 і його діагональні мінори А > 0, . .. , Д2 > 0.
Наведемо правило знаходження визначника Гурвіца.
1.	По головній діагоналі записують коефіцієнти характеристичного рівняння від до ап.
2.	Місця зверху від діагоналі заповнюють коефіцієнтами з більшим індексом, а знизу від діагоналі — з меншим індексом.
3.	При відсутності відповідного коефіцієнта ставлять нуль.
4.	Діагональні мінори визначають із головного детермінанта Гурвіца викреслюванням відповідних стовпчиків і рядків.
Розглянемо конкретний приклад формулювання умов стійкості для системи п’ятого порядку.
Приклад 4. 1. Знайти головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори для замкнутої системи з характеристичним рівнянням
ЗдР5 + а^рА + а2р3 + а^р2 + а^р + а5 - 0.
Розв'язання. Головний визначник Гурвіца має вигляд
	а[ а3 а5 0 0	
	а0 а2 а4 0 0	
Аз =	0 а) а3 а5 0	
	0 ао а2 а4 0	
	X» чр О О	(4. 14)
Діагональні мінори Гурвіца записуються у вигляді
Д4 =
а[ а3 а5 0
а0 а2 а4 0
0 а а3 а5
0 ао а2 а4
аі а3 а5
аі аз а2 Й4
’ ^з
Умовами стійкості в даному випадку є: а0 > 0, аІ > 0,. . ., а5 > 0 і Д5 > 0; Д4 > О, > 0.
Нагадаємо основні правила розкриття визначників. Загальним правилом є їх розкладання по елементах якого-небудь рядка (і) або стовпчика (.к). Для спрощення розрахунків рекомендується розкладати визначник по рядку або стовпчику, які мають найбільше нулів. У загальному випадку формула розкладу має вигляд
И — а,А+ . . . + а А.,	(4. 15)
її її	іп іп>	4	'
де ал,  •  ,а.п — коефіцієнти і-го рядка; А..,	А.п — відповідні допов-
нення, які" знаходять із вихідного визначника викреслюванням відповідних рядка і стовпчика.
Так, доповнення, що відповідає рядку і і стовпчику к, матиме вигляд номер рядків

	аік-	аіп
		аіп
апХ-	апк	апп
(1)
(6
(и)
номер стовпчиків (1) . . . (к) . . (п) Запишемо визначник 2-го порядку

аи аі2
а21	а22
аііа22 “ а2^2-
Визначник 3-го порядку можна обчислити за загальним правилом розкладу по елементах якого-небудь стовпчика або рядка. Наприклад, при розкладі по елементах першого рядка дістанемо
+ «13(-1)1 + 3
+ «12(-1)1+2
а21 п23
а31 а33
И21 а22
Я31 Я32
Досить зручно при обчисленні визначників 3-го порядку використовувати також відоме правило Сюрреля, згідно з яким визначник 3-го порядку доповнюється двома першими стовпчиками, після чого добутки трьох співмножників по діагоналях згори вниз беруться із знаком «плюс», а по діагоналі знизу вгору — із знаком «мінус»:
Дз
ап	аі2	аіЗ	«11	«12
«21	«22	«23	а21	«22
«31	«32	азЗ	«31	аз2
а\\а22азЗ а\2«23«31
+ п13п21а32	п3,а22п13 а32а23ап а33а21д12
Можливі також спрощення обчислень на основі того факту, що в окремих випадках можна обмежитись розкриттям лише деяких визначників.
Так, в системі при п = 3 характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд
аор3 + а}р2 + а2р + а3 = 0,
а головний визначник Гурвіца — вигляд
Дз
а, а3 0
«о а2 0
0 ах а3
Розкриваючи його по елементах останнього стовпчика, дістаємо-
, , а, а, А3 = а ( — 1) 3 1 3	= п3А2.
з \	/ д0 а2 32
Звідси можна зробити висновок, що оскільки а3 > 0, то А3 може бути більше нуля лише тоді, коли А2 > 0.
Отже, при п - 3 необхідна і достатня умова стійкості системи є А2 > 0 (звичайно, при а0 > 0; а1 > 0; а2 > 0; а3 > 0).
При п = 4 характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд а0р4 + а.р3 + а^р2 +	+ а4 = 0,
а визначники Гурвіца запишуться так:
а а3 О О а0 а2 а4 О
О а, а3 О
О а0 а3 а4
аі аз
^4 ^3 ’ ^2
^1^2 ^(Дз >
Л,
а1 а3 О
а0 а2 а4
О а{ а3
2 а.а^а, — а, а. — 14 3	14
— аоа3 = а3 (а{а2 — аоа3) — с^а4 = а3а2 — ага4.
З цього виразу випливає, що Д3 > 0 можливе лише при умові Д2 > 0. Крім того, якщо Д3 > 0 і а4 > 0, то Дд обов’язково буде більше нуля.
Отже, для системи 4-го порядку необхідною і достатньою умовою стійкості системи є Д3 > 0.
Інакше кажучи, для системи з п = 4 достатньо визначити лише знак визначника \ . Якщо Д> 0, то в цьому разі обов’язково будуть виконуватися необхідні по Гурвіцу умови Д2 > 0 і Д4 > 0.
Критерій Гурвіца здебільшого використовується для систем з л С 4. При п > 4 обчислення стають дуже громіздкими.
Критерій стійкості Льєнара—Шіпара. Цей критерій було розроблено в 1914 р. і розраховано для систем з відносно великим степенем характеристичного рівняння (п > 5). Він по суті є варіацією критерію Гурвіца. Було доведено, що при умові а0 > 0, а > 0, . . . ,ап > 0 при додатному значенні всіх визначників Гурвіца з індексами 3, 5, .. . будуть додатними також всі визначники з індексами 2, 4, 6. Отже, при Д3 > 0, Д5 > 0, . . . визначники Д2, Д , Д6, . . . обов’язково будуть додатними. Тому при п = 5 необхідне виконання умов Д2 > 0, Д4 > 0, а при п = 6 — умов Д > 0, Д3 > 0.
Умовою знаходження системи на межі стійкості є рівність нулю відповідного визначника.
Загальна методика дослідження впливу параметрів системи на її стійкість за допомогою критеріїв Гурвіца та Льєнара—Шіпара. Дослідження впливу деякого параметра Т на стійкість системи можна проводити в такій послідовності.
1.	Згідно з викладеним вище, відповідно до степеня характеристичного рівняння прийняти умови:
при п = З Д> 0, при п = 5 Д > 0, Д > 0, при п = 4 Д > 0, при п = 6 Д5 > 0, Д3 > 0.
2.	Встановити функціональну залежність відповідного визначника, або визначників (згідно з п.1), і параметра Т,
\
Наприклад, при п = 5 такими залежностями мають бути: Д = / (Т ) і д2 = і
3.	З умов А = /(Т) = 0 визначити критичні значення Т (значення Т, при яких система1 знаходиться на межі стійкості), а також зони, в яких Т відповідає стійкому, або нестійкому, стану системи.
4.	У зоні «стійких значень» Т встановити необхідний запас стійкості по параметру Т і виділити зону рекомендованих значень цього параметра.
Знайдені значення параметра Т* за умовами стійкості далі треба узгоджувати з вимогами якості перехідного процесу. Якщо параметр Т * входить до складу коефіцієнта ап характеристичного рівняння і визначає статичну точність системи, то вимоги стійкості і якості мають бути узгоджені з вимогами статичної точності.
Для ілюстрації викладеної вище методики розглянемо рис. 4. 4. На рис. 4. 4, а показано деяку залежність Д3 = /(Т), що відповідає системі 4-го порядку, умовою стійкості якої є Д3 > 0. Критичні значення параметрів Тх1 і Т2 відповідають Д3 = 0, і рекомендоване значення параметра Т має лежати в межах Т , - Т „. г х	хі х2
На рис. 4. 4, б розглянуто випадок, що відповідає системі 5-го порядку (п = 5). У цьому разі умовою стійкості є Д2 > 0, Д4 > 0. Тому аналіз виконується з врахуванням взаємного розміщення кривих Д2 = /(.Т) і Д4 = /(Т). У цьому випадку параметр Тх має знаходитися в межах
-Т^, де і — критичні значення параметра Т.
Критерій Вишнєградського. Критерій було розроблено в 1877 р. для систем автоматичного керування парових машин, які мали 3-й порядок рівнянь динаміки, чим обмежується область його використання. Вишнєградський звів характеристичне рівняння а^р + а,р2 + а^р + а3 = 0, яке має чотири коефіцієнти, до рівняння з двома коефіцієнтами X, ¥, які потім дістали назву параметрів Вишнєградського. З цією метою вихідне характеристичне рівняння спочатку було зведено до вигляду
р3 + С}р2 + С2р + С3 — 0,
а.
де С, = с2 0
а2
—; С, ао 3
= ао’
ср2-с. >0.
і для нього знайдено умови стійкості
(4. 16)
або
Параметри X і У було запропоновано у вигляді
у _ _£і_. у _
Ж’	(4. 17)
звідки знайдено С, = ХЧС3 ; С2 =	.
Після підстановки значень С( і С2 у вираз (4. 16) дістанемо
ХЧС3 УЧЦ - С3 > 0 або
XX - 1 > 0,
XX > 1.	(4. 18)
Останній вираз і є умовою стійкості (критерієм) Вишнєградського. Рівняння межі стійкості в площині параметрів X, У має вигляд гіперболи (рис. 4. 5)
ХУ = 0,	(4. 19)
яку називають гіперболою Вишнєградського.
Праворуч від кривої лежить зона стійкості ХУ > 1, а ліворуч — зона нестійких режимів XX < 1.
На основі наведених вище формул можна дістати залежності між іншими параметрами, що входять до складу коефіцієнтів а0,.. . і, отже, в неявному вигляді в рівняння (4. 18), (4. 19). При цьому залежності між іншими параметрами, як правило, відрізняються від гіперболічного закону.
4. 5. ПРИКЛАД ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ КОНКРЕТНИХ СИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ АЛГЕБРАЇЧНИХ КРИТЕРІЇВ СТІЙКОСТІ
Дослідження проведемо для конкретної системи стабілізації напруги генератора постійного струму, рівняння якої було знайдено в гл. З, а принципову і структурну схеми зображено на рис. 3. 28 і 3. 29.
Характеристичне рівняння системи стабілізації має вигляд
ТгТдР3 + (Тг + Тд)р2 + р + кр = 0.	(4. 20)
Тут кр — коефіцієнт передачі (підсилення) розімкнутої системи:
к = к к к к
де кг, кс*, к^с - 1/сд, кК — коефіцієнти відповідно передачі генератора, електромагніту, демпфера, резистора; сд — стала демпфера, яка залежить від характеристик масла і конфігурації поршня самого демпфера (наприклад, від числа отворів у ньому та їх розмірів); Тг =	— ста-
ла часу генератора постійного струму; £3, К3 — індуктивність і актив-152
ний опір обмотки збудження генератора; Тд - т/сл — стала часу масляного демпфера; т — приведена маса рухомих елементів системи якоря електромагніту, поршня демпфера, пружини, повзунка реостата. Розглянемо методику дослідження основних питань стійкості за допомогою різних критеріїв стійкості для конкретних значень параметрів.
Приклад 4.2. Нехай Тг - 0,01 с; Тл - 0,03 с, кР - 300. Треба дослідити стійкість системи.
Р о з в ’я з а н н я. По рівнянню (4. 20) сформуємо головний детермінант Гурвіца в (Ягельному вигляді
Т +Т к 0 г д р
1 0 •
0 Т +Т к Г Д Р додатного знака коефіцієнтів, як було зазначено
Лз -
Для системи 3-го порядку, крім
іННІїне, умовою стійкості є А 2 > 0. Тому в даному випадку умову стійкості можна записати у вигляді
Т + Т к а2= тт ір =^ + ^-^>0-г д
Підставивши числові значення параметрів, дістанемо
'	А 2 - 0,01 + 0,03 - 0,01 • 0,03 • 300 - 0,04 - 0,09 - - 0,05 < 0,
(4. 21)
до вказує на нестійкість системи.
Аналізуючи умову стійкості Д2 > 0, бачимо, що в теоретичному плані стійкість даної системи може бути досягнута за рахунок:
1)	зменшення сталих часу Т, Т або однієї з них (тут треба мати на увазі, що добуток цих параметрів буде зменшуватись в більшій мірі, ніж їх сума);
2)	зменшення передаточного коефіцієнта розімкнутої системи шляхом зменшення будь-якого коефіцієнта (або коефіцієнтів) передачі, які як співмножники входять до складу к;
3)	одночасної зміни в потрібному напрямку сталих часу і коефіцієнтів передачі.
При виборі варіанта настроювання системи насамперед слід виходити і ефективності і технічної зручності вибору і зміни регулюючого параметра системи. З принципової схеми САК і знайдених раніше рівнянь ланок видно, що з технічної і теоретичної точок зору в даному разі найзручнішим буде зменшення коефіцієнта підсилення (передачі) розімкнутої системи і сталої часу демпфера за рахунок збільшення величини сд. Так, зменшуючи кількість діючих ("активних”) отворів у площині поршня демпфера, можна збільшити величину сд і зменшити і талу демпфера Тд = При збільшенні сд в потрібному напрямку імінюватиметься (зменшуватиметься) також і коефіцієнт підсилення відповідної ланки Лд - 1/са, а також величина коефіцієнта підсилення розімкнутої системи кр.
Нехай параметр с збільшимо втроє Знайдемо нові значення відповідних параметрів системи
Т' = ~ =Т/3 = 0,03/3 = 0,01с; д ОС д
к’ = Л/З = 300/3 = 100; Т = 0,01с; Р Р	Г
при цьому
А = Т +Т' -ТТ' к' = 0,01 + 0,01-0,01 • 0,01 • 100 « 0,02 - 0,01= 2 г	д г д р
= 0,01 > о.
Система в даному разі є стійкою.
Приклад 4. 3. Знайти критичне значення параметра к , якщо покласти Т = Т = = 0,01 с = соїш.	Р	Д
Розв’язання. Критичне значення параметра можна дістати за умови, що система знаходиться на межі стійкості - 0.
При цьому
(к , =	= 0.01 +0.01 = 200
1 р^р Тгта 0,01 0,01
При к > 200 система стає нестійкою.
Цей результат підтверджує раніше висловлене положення про протилежність вимог динаміки і статики.
Дійсно, чим більше коефіцієнт підсилення наближатиметься до свого критичного значення, тим менший запас стійкості з по даному параметру матиме система
з = (к ) — к . ' Р 'М> Р
Так, при Т' =	= СОИ5І і к? = 100 запас стійкості по параметру кр
становить:
з = 200 - 100 = 100.
Водночас статична помилка системи
збільшиться майже втроє.
Приклад аналізу стійкості за допомогою критерію Вишнєградського. Визначимо, виходячи із умов знаходження системи на межі стійкості, критичне значення параметра к для САК напруги генератора, розглянутої раніше.
Для знаходження параметрів Вишнєградського визначимо коефіцієнти Ср С2, Су
Т +Т	і	к
С — —-----*-• с = —• с = —Е-
і ТТ ’ 2 тТ’ ї ТТ ’ г д	г д	г д
Умова знаходження САК на межі стійкості така: Х¥ = 1. Враховуючи, що х = С/ЇС3, а у = С2/>Г^, ця умова матиме вигляд
ІВІдки
т + т
(к) =
' р'кр т т г д Відповідає критичному значенню цього параметра, знайденому раніше ІВ допомогою критерію Гурвіца.
4. 6. ЧАСТОТНІ КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ. КРИТЕРІЙ МИХАЙЛОВА
Критерій Михайлова був запропонований в 1938 р. і є досить зручним для аналізу лінійних систем, особливо високого порядку (п>5).
Оцінка стійкості системи за даним критерієм виконується на основі характеристики (годографа) Михайлова, яка будується таким чином.
1.	В характеристичному рівнянні замкнутої системи
+ ОуҐ1 ~ * + ... + ап _ ,р + ап = Цр)
виконують підстановку р = /<у, де / =	1, після чого вираз годографа
Михайлова дістають у вигляді
Ь (]а>) = а0 + о, (/<у)п ~ 1 + . . . + ап _ ,( ]ш) + ап. (4. 22)
2.	Вираз Ь(іа>) ділять на дві частини — дійсну А(<а) і уявну В(ш). При цьому годограф Михайлова набуває вигляду
£ (уш) = А (<у) + і В(аі),	(4. 23)
де
А (а>) = ап - ап _ 2 ш2 + ап _ 4 <у4 - ап _ 6 ш6;
Рис. 4. 7
В(а>) = а , а> — а Vі + а с со5 — ...	
п—1	п—3	п—5	Щ
3.	Задаючи значення ш в межах від 0 до + оо, на комплексній пл<Л щині в координатах Л(а>), В(ш') будують годограф Михайлова, радіус-вектор Цш) якого при зміні ш від 0 до + оо обертається проти годинникової стрілки (рис. 4. 6).
Оцінка стійкості системи здійснюється за виглядом і розміщенням кривої £(/&>) відносно квадрантів площини А(а>) — В(ш).
Доведення критерію Михайлова. Згідно з теоремою Везу вищої алгебри, характеристичне рівняння замкнутої системи и-го порядку можна записати у вигляді п співмножників
а0(р ~ Р) (р — Р2). - Ар — рп) = О,
де р, р2, . . . , рп — корені характеристичного рівняння.
Після підстановки р - ]а> в характеристичне рівняння дістанемо вираз годографа Михайлова у вигляді
а0(/о> — р№> — Рг) • • 	— рп).	(4. 24)
У комплексній площині величина ]ш знаходиться на уявній осі. Як було показано раніше при дослідженні стійкості системи за виглядом коренів характеристичного рівняння, зона стійкості знаходиться зліва від уявної осі в комплексній площині коренів. При цьому кожний век-тор-співмножник (/їо — рр у випадку стійкої системи знаходитиметься в лівій напівплощині коренів і може бути знайдений як різниця двох векторів ](а і рк. Кінець кожного вектора-співмножника (уш — рк) при зміні ш ковзатиме по уявній осі, збігаючись з кінцем вектора ]а> (рис. 4. 7). На рисунку показано розміщення коренів для стійкої системи 3-го порядку, якій відповідають один дійсний корінь р] та два комплексних корені р23 з від’ємною дійсною частиною.
При зміні ш від — оо до + оо кінці всіх векторів-співмножників переміщуватимуться по уявній осі від — оо до + оо. При цьому кожний з них повернеться на кут я.
Відомо, що аргумент вектора, який дорівнює добутку кількох векторів, є сума її аргументів, тому радіус-вектор годографа Михайлова при п співмножниках повернеться на кут лп. Тому що кожний век-тор-співмножник, що відповідає дійсному кореню, або вектор-співмножник, який відповідає двом комплексним кореням, «симетричний» відносно дійсної осі, то можна обмежитись діапазоном зміни частоти від 0 до + оо. При цьому радіус-вектор годографа Михайлова повернеться на кут
Ф = 2п‘	(4. 25)
Згідно з викладеним вище критерій стійкості Михайлова можна сформулювати таким чином:
для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб радіус-
вектор годографа Михайлова при зміні частоти від 0 до + оо, почавши обертання з точки, яка лежить на дійсній осі праворуч від нуля, обертаючись проти годинникової стрілки і ніде не перетворюючись в нуль, пройшов послідовно п квадрантів комплексної
лг
площини, повернувшись на кут у п.
Приклади годографів Михайлова стійких і нестійких систем пока-Мно відповідно на рис. 4. 8, а і б.
Характеристики на рис 4. 8, а відповідають системам з різними степенями п характеристичного рівняння. На рис. 4. 8, б криві 1,4, 5 є характеристиками нестійких систем. Крива 2 — 2' відповідає нестійкій системі, тому що не витримується принцип послідовності обходу квадрантів комплексної площини, а крива 2 — 2"' — стійкій системі при п = 4.
Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа Михайлова через початок координат комплексної площини.
Запас стійкості системи може характеризувати відстань від точки перетину годографом Михайлова дійсної осі до початку координат у випадку стійкої системи (відстань 0' — 0 на рис. 4. 8, б).
Друге формулювання (наслідок) критерію Михайлова. Цей метод дослідження стійкості має ту перевагу порівняно з основним формулюванням, що дозволяє визначити стійкість системи по взаємному розміщенню дійсної А(ш) і уявної В(а>) складових без побудови самого годографа Михайлова. Крім того, друге формулювання критерію Михайлова дає змогу зручніше знаходити запас стійкості за деяким параметром.
Розглянемо особливості взаємного розміщення дійсної і уявної складових А(а>) і В(а>) для стійкої (рис. 4. 9, а) і двох нестійких (рис. 4. 9, б, в) і истем.
8Щ)	,	। В(ш,)
Рис. 4. 9
Характерною рисою стійкої системи і її відмінність від нестійких систем с переміжний характер розміщення точок перетину ОСІ (У дійсної А(ш) і уявної В(<у) складовими годографа Михайлова. На рис 4. 9, б, в переміжний характер перетину характеристиками А(ш) та В(а>) осі а> відсутній.
Як було зазначено раніше, при знаходженні системи на межі стійкості годограф Михайлова проходить через початок координат. У цьому випадку розміщення Л(<у) та В(ш) відповідає кривим Г і 1" на рш. 4. 9, г, які перетинаються в одній точці а>2 на осі а>.
Якщо система стійка, то вигляд годографа Михайлова відповідає кривій 2 і кривим 1 та 1" на рис. 4. 9, г. При цьому запас стійкості з характеризує відстані між точками <у'2 і а>2 на осі а>.
Критичне значення певного параметра системи можна знайти з умови перетину характеристик А(<у) та В(а>) в одній точці на осі а>.
Частоту, при якій характеристики Л(су) та В(<у) перетинаються на осі ш, називають критичною частотою.
Згідно з викладеним наслідок критерію Михайлова можна сформулювати таким чином:
для стійкості замкнутої системи корені поліномів дійсної Л(су) і уявної В(а>) частотних складових годографа Михайлова повинні бути дійсними (мати точки перетину з віссю су) і переміжними.
4.	7. ПРИКЛАД АНАЛІЗУ СТІІЙКОСТІ ЗА ДОПОМОГОЮ КРИТЕРІЮ МИХАЙЛОВА
Як приклад дослідимо розглянуту раніше САР (стабілізації) напруги генератора постійного струму.
Нехай значення параметрів системи такі: Т = 0,01 с; Т = 0,02 с; к = » 250. Використаємо основне формулювання критерію Михайлова. Р
Після підстановки р = }ш в характеристичне рівняння
77/ + (7Г + 7 )р2 +
дістанемо вираз годографа Михайлова для даної системи:
Щф) = ТТ^а»3 + (7Г + 7д)(#у)2 +	+ А = А(а>) + ;№).
Дійсна і уявна складові після підстановки числових значень параметрів матимуть вигляд
А(<у) = 250 — (0,01 + 0,02)су2 = 250 — 0,03<у2;
В(су) = а> — 0,01 0,02 -су3 = су(1 — 0,0002а;2).
Для скорочення розрахунків при побудові характеристики /\ду) потрібно знайти точки перетину годографом Михайлова осей координат.
Координату точки перетину дійсної осі характеристикою Ц/ш) знаходимо з умови В(.ш) = 0.
Обчислимо частоти відповідних точок
В(а» = су(1 — 0,0002а?) = 0;
<0і = 0; к>2>шз = — і-= +75000 » ±70.
1	2 3 V 0,0002
Розглядаємо лише частоти су > 0. При су = 0 Л(0) = 250, при а»  +70 Д(70) = 250 — 0,03 -702=100.
Знайдемо координати точок перетину годографа Михайлова В Вертикальною віссю з умови Л(су) = 0. При цьому
(О3.4 “
беремо су3 = + 91.	’ ’
Ордината точки перетину 7(су) з вертикальною віссю
В(су)3 = 91(1 — 0,0002 - 912) = 91(1 — 1,66) = — 31.
Результати розрахунків наведено в табл. 4. 1.
Годограф Михайлова, побудований за даними табл. 4. 1, відповідає нестійкій системі (рис. 4. 10, а).
Аналогічні дослідження виконаємо для значень параметрів:
7=7 = 0,01; к = 125.
_	г Д	С р
Зробимо розрахунки
А(<у) = 125 — (0,01 + 0,01)су2 = 125 — 0,02су2;
Таблиця 4. 1
О)	А(ш)	*(<")
0	250	0
10	247	9,8
70	100	0
91	0	- 31
X	— X	— X
В(<у) = ш (1 — 0,010,01ш2) -= су (1 — 0,0001-<у2).
Результати обчислень наведено в табл. 4. 2.
Характеристика, яка відповідає стійкій системі, показана на рис. 4. 10, б. '
Виконаємо дослідження, використовуючи наслідок критерію Михайлова.
Нехай значення параметрів такі: Т = 0,01 с; Тд = 0,02 с; к? = 250.
Побудовані за табл. 4. 1 характеристики А(а>), В(а>) показано на рис. 4. 11, а. Корені виразів Л(<у), є дійсними, але принцип перемежування коренів не виконується, що відповідає нестійкій системі.
На рис. 4. 11, б показано характеристики, знайдені при значеннях параметрів Тг = 0,01 с; Тд = 0,01 с; к? = 125 і побудовані згідно з даними табл. 4. 2, які відповідають стійкій системі.
Знайдемо критичні значення коефіцієнта підсилення розімкнутої системи (к ) і запас стійкості при значеннях параметрів Т = Т = 0,01 с.
Врахувавши вигляд частотних характеристик, запишемо складові годографа Михайлова
А(ш) = к -(Т + Т )аЛ р г д Параметр к входить до виразу Л(<у). Тому його критичне значення можна визначити з умови Л(а)кр) = 0. З врахуванням числових значень сталих часу дістаємо
(к ) - 0,02	= 0.
4 р7кр	Кр
Критичне значення частоти знайдемо з умови В(а>*) = 0, звідки
1 - Т Т ш2 = 0 або Г д кр
®кр ^0,01 0,01	100'
Беремо = + 100.
При даному значенні частоти обидві складові Л(<у), В(<у)
Таблиця 4. 2
(і)		
0	125	0
10	0	28,8
100	- 75	0
00	— 00	— 00
будуть перетинатись в одній точці на осі а> (пунктир на рис. 4. 11, б), тому
(Лр\р = 0,02 1002 = 200.
При к = 125, яке було прийняте у зроблених раніше розрахунках і відповідало стійкому стану системи, знайдемо запас стійкості системи
з = <*р>кр "	= 20° - !25 = 75.
4. 8. ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОБУДОВИ ЗОН СТІЙКОСТІ (МЕТОД О-РОЗБИТТЯ)
При розробці САР важливо встановити вплив окремих параметрів (або параметра) на стійкість системи при фіксованих значеннях інших параметрів. При цьому ставиться завдання встановити зони параметрів, в яких їх зміна не приводить до нестійкої роботи системи.
Дане завдання можна вирішити за допомогою розглянутих вище критеріїв стійкості, але зі зростанням порядку системи рівнянь розрахунки різко ускладнюються.
Соколовим і Неймарком було запропоновано метод, який дозволяє знайти зазначену вище зону в площині одного або двох параметрів. В основі методу лежить дослідження полінома О(р), який відображує характеристичне рівняння замкнутої системи, зведене до вигляду, коли коефіцієнт а0 в характеристичному рівнянні дорівнює одиниці:
£Хр) = р" + а^1 + а2р"-2 + . . . +ап_іР + ап = 0.	(4. 26)
Можна уявити деяке и-мірне середовище, по координатних осях якого розміщуються коефіцієнти характеристичного рівняння (або параметрів ланок системи). У цьому випадку середовище називають середовищем коефіцієнтів (параметрів). Кожній точці такого середовища
відповідає певне значення всіх п коефіцієнтів (параметрів), які визначають п коренів характеристичного рівняння.
При деякому значенні коефіцієнтів система може бути на межі стійкості (при нульових або чисто уявних коренях). Тому відповідна точка в просторі параметрів у цьому випадку повинна задовольняти рівняння
ОЦоА = (/й>)п + ц1(/<л>)"-1 + . . . + ап_^а>) + ап = 0.
При зміні параметрів корені будуть змінюватись і переміщуватись на комплексній площині коренів і при деяких значеннях параметрів (коефіцієнтів характеристичного рівняння) можуть переміститись з лівої частини площини коренів у праву, що приведе до нестійкої роботи системи, або, навпаки, з правої напівплощини коренів у ліву, в результаті чого нестійка система стане стійкою.
Отже, переміщення коренів зумовлено рухом відповідних точок в п-вимірному просторі параметрів (коефіцієнтів).
Для практичних цілей важливо встановити зони значень параметрів, які відповідають положенню коренів на межі стійкості, і зони значень параметрів, що відповідають стійким системам. Поділ простору коефіцієнтів (параметрів) на відповідні зони і є основною метою методу £>-розбиття.
Так, нехай параметри, які нас цікавлять, входять до складу деяких коефіцієнтів рівняння. Якщо змінювати один з параметрів Тх, то змінюватимуться всі коефіцієнти, які є функціями цього параметра. Тоді кожному новому значенню Т відповідатиме п нових коренів полінома £> (р) = 0, положення яких у комплексній площині коренів залежить від числових значень параметра Т і, як результат, — значень відповідних коефіцієнтів.
/)-розбиття по одному параметру. Розглянемо методику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Т .
1.	Вихідне характеристичне рівняння О (р) = 0 представимо у вигляді Х(р) + Т¥(р) = 0.
2.	Знаходимо величину досліджуваного параметра Тх = у(ру
3.	Знаходимо комплексний вираз параметра Тх, використовуючи підстановку р = ]&>, і виділимо його дійсну А(а>) і уявну В(а>) складові:
Тх =
Тх становить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів Т, при яких система знаходиться на межі стійкості. Така характеристика називається межею стійкості в площині параметра О, або кривою £>-розбиття.
4.	В комплексній площині параметра £> за правилом штриховки Неймарка знаходимо зону стійкості.
Правило штриховки формулюють так: якщо рухатись по межі £>-
розбиття від значень ш = — 00 до значень <у = + оо , то зона стійкості буде розташована зліва від межі стійкості (це аналогічно тому, що якщо в комплексній площині коренів характеристичного рівняння рухатись вздовж вертикальної (уявної) осі, яка є межею стійкості в площині коренів від — 00 до + оо, то зона стійкості знаходитиметься зліва від вертикальної осі).
5.	Задаючи запас стійкості в зоні, обмеженій кривою Л-розбиття, виділимо на дійсній (горизонтальній) осі (бо параметр Т є дійсною, фізично реальною величиною) необхідний, робочий діапазон значень параметра Т, який може бути рекомендовано при проектуванні і настроюванні відповідної системи.
Приклад 4. 4. Дослідити стійкість САР генератора постійного струму з характеристичним рівнянням
7’г гд + <Гг + Т^Р2 + Р + к-О за методом О-розбиття відносно коефіцієнта підсилення розімкнутої системи при Т -~тг - 0,01 с.	д
Розв’язання. Для розв’язання поставленої задачі побудуємо межу стійкості в комплексній площині параметра к.
З характеристичного рівняння знаходимо коефіцієнт к\
к-~ [Т'ТУ + (Гг + Тд)р2 + р].
Виконуючи підстановку р - ]а, дістаємо
к - — [ — ТТ^а — (Тг + Тд)а>2 + » - Л(ш) + /5(ш), де
А(а) - (Тг + Т^а2 - 0,02о>2;
В(а) — Т_Тда^ — а — 0,0001а? — о).
Задаючи значення а від +оо до —оо, побудуємо криву О-розбиття. Практично для цього слід знайти характерні точки, які відповідають переходам кривої .О-розбиття через дійсну і уявну осі комплексної площини.
З формули для А (а) видно, що А (а) може дорівнювати нулю лише при ш - 0. Інших точок перетину кривої О-розбиття з вертикальною віссю немає. Із виразу В(а) можна знайти значення <и, при якому 2?(ш) - 0, що відповідає переходу кривої О-розбиття через горизонтальну вісь. Відповідні значення а знайдемо із виразу В (а) - а> (0,0001 а2 — 1) - 0, звідки
Л(а>100) - 0,02 1002 - 200.
Таблиця 4. З
(і)	Л(а>)	В(«>)
0	0	0
100	200	0
- 100	200	0
10	2	- 9,9
- 10	2	9,9
120	288	52,8
- 120	288	- 52,8
+ ОО	+ оо	+ 00
— 00	+ 00	— 00
Знайдемо також відповідні точки при 0 < а < < 100 і | о>| >±100. Результати розрахунків для А (а) і В (а) наведено в табл. 4. 3.
Характеристику О-розбиття, побудовану за даними табл. 4. З, показано на рис. 4. 12.
Визначена за правилом штриховки зона стійкості знаходиться зліва від кривої О-розбиття. Виконані розрахунки дають змогу встановити критичні значення параметра к*р - 200. З врахуванням деякого запасу стійкості з можна виділити зону рекомендованих значень коефіцієнта підсилення розімкнутої системи.
Значення к вибирається по точках, які лежать на дійсній осі Л(о>), тому що всі інші точки відповідають комплексним величинам, а коефіцієнт к є реальною (дійсною) фізичною величиною.
Побудова межі стійкості в площині двох параметрів (£>-розбиття по двох параметрах). В цьому випадку розв’язується задача аналізу впливу на стійкість системи деяких двох параметрів Т і Т . Вважатимемо, що ці параметри входять в характеристичне рівняння лінійно (відсутній добуток ТТ). Особливістю методу розбиття по двох параметрах є те, що простір двох параметрів є дійсна площина Тх — Т.
Вважатимемо, що характеристичне рівняння при необхідності дослідження впливу параметрів Тх і Т у загальному випадку матиме вигляд	х У
о т* 9 = 0.	<4- 27>
Підставляючи р = ]со і виділяючи дійсну і уявну частини, дістанемо
Г> О, Тх, Т) = Л(а>) + ]В(со) = 0.
У цьому виразі А(со) і В(со) залежать не тільки від со, а й від параметрів Тх і Т. При лінійних залежностях маємо
А(со) = Тх Р^со) + Ту <2,(ш) +
В(со) = Тх Р2(со) + Ту <22(ш) + Л2(щ).	(4. 28)
Для деякого значення со = сок із рівняння (4. 28) можна знайти значення Т*к і Тук, при яких А (со) = 0 і В (а>) = 0.
При цьому рок буде коренем рівняння О (р) = 0.
У цьому випадку деяка точка N (Тхк, ТуІ) у площині Тх — Ту лежить
на межі, яка ділить площину Тх — Т на зони стійкості і нестійкості по параметрах Т. Як відомо, зоні стійкості відповідають «ліві» корені в площині коренів характеристичного рівняння £> (р) = 0, а зоні нестійкості — «праві» корені.
Розв’яжемо систему рівнянь (4. 28) відносно Тх і Т. Запишемо головний детермінант системи
Л(“>) Є»
і часткові детермінанти А і А:
_ -я» 6,(^5
*	- я2(^) б2(£У)
= р,(*>)Є2(*>) - р2(*0Є,(*0
= Я2О)0» - Л2(ш)<22(0>);
Л(«0 -Я,(а>)
Р2(а>) -Я2(*>)

А А
ЗВІДКИ Тх = Ту = Величини Р2(<у), б2(<у), Я2(<у) входять до
уявної складової В(ш) і є непарними функціями <у. Детермінанти А, Ах, А є також непарні функції <у, тоді як величини Тх і Т будуть парними функціями <у.
Задаючи значення ш в межах -оо до +оо, будуємо в площині Т — Т деяку криву, яка є межею Р-розбиття в площині параметрів 7^ — ’Ґ (рис. 4.13, а). При побудові кривої Р-ррзбиття і дослідженні стійкості за даним методом можливі три основні випадки.
1.	При частоті <ак всі три детермінанти А, А*, Ау не дорівнюють нулю. І Іри цьому вирази Тх і Ту при частоті шк в площині параметрів Тх — Ту с прямими, що перетинаються (рис. 4. 13, б).
(А \
2.	Якщо при <у = <у , А = 0, А *0, А *0, то вирази Т = / т і
(А \	х 7
Ту ~ Га НЄ мають спільних розв’язків і відповідно спільних точок перетину в площині Тх — Т. В цьому разі вони є паралельними прямими (рис. 4. ТЗ, в).
3.	При а> = а>к всі три детермінанти А, Ау, А* дорівнюють нулю, що відповідає невизначеності функцій Тх і Т . При цьому одне із рівнянь системи (4. 28) випливає з другого, відрізняючись від нього на деякий сталий співмножник. Прямі в площині Тх — Ту зливаються одна з одною (рис. 4. 13, г) і є при <у = а>к деякою особливою прямою з рівнянням вигляду
+ К^) = 0.
Такі прямі дістають при ш = 0 і ш = оо. При цьому хоча б один з параметрів Т і Т входив до складу коефіцієнта при найбільшому степені похідної а0, або до складу вільного члена рівняння ап. Особливу пряму можна дістати при ш = 0, прирівнюючи нулю коефіцієнт а0, або при Ш = 00, прирівнюючи нулю коефіцієнт ап.
Якщо коефіцієнти ап і а0 не залежать від Тх і Т, то особливих прямих не буде. В принципі особливих прямих може бути кілька, і всі їх треба знайти.
Отже, для знаходження особливих прямих потрібно:
1) прирівняти нулю коефіцієнти а0 і ап характеристичного рівняння, якщо вони залежать від параметрів Тх і Т',
2) визначити значення ш, при яких одночасно дорівнюють нулю обидва детермінанти А і А*, або А і А , і знайдені значення ш підставити в рівняння (4. 28). х	У
Якщо після даної підстановки дістанемо вираз, що дорівнює нулю, то цей випадок можна не розглядати, тому що особлива пряма проходить у нескінченності.
Для виділення зон стійкості наведемо без доведення такі правила штриховки.
1.	Якщо переміщуватись ПО кривій р-розбиття ВІД ТОЧОК (У = -00 ДО точок <у = +оо при А > 0, то штриховку слід робити зліва від кривої, а при А < 0 — справа. (Знак А змінюється при переході через особливу пряму в нескінченності, а також через нуль).
2.	Крива £>-розбиття при зміні ш від —оо до +оо штрихується двічі: один раз при зміні ш від -оо до 0, а другий — від 0 до +оо. Оскільки в
Д>0
обох випадках крива штрихується зліва по ходу зміни а, то вона має подвійну штриховку з одного боку — одну при прямому ході, а другу при оберненому, тому що при переході ш через нуль детермінант А змінює свій знак.
3.	Штриховка особливих прямих здійснюється за такими правилами:
—	якщо особлива пряма і крива Л-розбиття зближуються асимптотично, то штриховка особливої прямої одинарна і спрямована до заштрихованого боку кривої 2)-розбиття (рис. 4. 14, а);
—	якщо особлива пряма має спільну точку з кривою И-розбиття, але не перетинає її, то штриховка особливої прямої одинарна і біля спільної точки спрямована до заштрихованого боку кривої £>-розбиття; в точках перетину з кривою £>-розбиття штриховка особливої прямої не змінюється, тому що знак визначника А у цих точках не змінюється (рис. 4. 14, б);
—	якщо особлива пряма відповідає випадку А(й>р = А^аі*) = А^аі^ = 0 і в точці перетину її з кривою £>-розбитгя визначник А змінює знак, то штриховка особливої прямої подвійна і спрямована до заштрихованого боку кривої Л-розбиття (рис 4. 14, в); якщо особлива пряма перетинає криву Л-розбитгя, але знак визначника А в точці перетину не змінюється, то особлива пряма не штрихується і на розподіл коренів не впливає (рис. 4. 14, г).
Кожна з особливих прямих штрихується незалежно від наявності точок її перетину з іншими особливими прямими.
За напрямом штриховки кривої И-розбиття і особливих прямих встановлюється область можливої стійкості системи. Для перевірки цього вибирають довільні значення Т = Т і Тх = Тх{ і підставляють їх у характеристичне рівняння замкнутої системи. Далі одним із відомих
методів аналізують стійкість системи (визначають знаки коренів). Якщо один із коренів буде додатним, то САР є нестійкою і привести її до стану стійкості зміною параметрів Тх і Т неможливо. Якщо всі корені від’ємні, то дана зона дійсно є зоною стійкості.
Розглянемо числовий приклад аналізу стійкості системи за даним методом.
Приклад 4. 5. Нехай характеристичне рівняння замкнутої системи автоматичного керування має вигляд
(7\р + 1) (Т2р + д) 7'3 р + 1 - о.	(4. 29)
Треба дослідити стійкість САР методом О-розбиття в площині параметрів Т2 і б, якщо числові значення параметрів такі: = 1,5 с; Т3 - 8,0 с.
Розв’язання. Підставивши числові значення параметрів, після перетворень дістанемо
12Т2р3 + р2(8Т2 + 126) + 86р + 1 - 0.
Після підстановки р = /ін маємо
ОЦш, Т2,д) = А((и) + /В(ш), де
Л(ш) = — Ш2(8Т2 + 126) + 1 - Рх(ш')Т2 + <2.(ін)6 + Я/іо) - 0;
В(ш) - —12Т2а>2 + 8ш6 - Р2МТ2 + ^(40)6 + Р2(ш) -0;
Р^ш) - — 8ш2; і?/") " —12в>2; ІЦа>) - 1;
Р2(ш)------12ін3; <22(ш) = 8ш; Р2(ю) = 0.
Складемо потрібні детермінанти
А =
Л>(") <22(ін)
- 8ш2 - 12ш2
— 12ін3 8<н
= — 64ін3 — 144ш5 =
= - 16ш3(4 + 9ін2).
А = X \ =	- й1(") <?!<") - /г2(ю) с2(ю) Р/ш) - ^(ін) р2(ін) - /г2(ін)	-	-1 - 12ін2 0 8ш - 8ін2 -1 - 12ін3 0	= — 8іо. = -12т3.
Знайдемо вирази Т2 і 6 : \ _ 	- 8ін 2 д - 16ш3(4 + 9ін2)			-6-^-’ 3 “ "А "	3 4(4 + 9ш2)
Задаючи ін, знайдемо відповідні значення Т2 і 6 (див. табл. 4. 4).
Таблиця 4. 4
О)	Т2	6	(О	?2	6
0		0,19	- 0,6	0,19	0,1
±00	0	0	- 0,4	0,57	0,14
±1	0,04	0,06	- 0,3	1,16	0,16
За даними таблиці на рис. 4. 15 побудовано криву О-розбиття. Оскільки у вирази Т2 і 6 частота входить у квадраті, то крива матиме один і той самий вигляд при значеннях ш > 0 і ш < 0 і має бути згідно з правилами штриховки заштрихована двічі.
Рис. 4. 15
Знайдемо особливі прямі з таких умов.
1.	Вільний член характеристичного рівняння дорівнює нулю. Оскільки Т2 і <5 не входять у вільний член характеристичного рівняння, то даний випадок може не розглядатися.
2.	Коефіцієнт при вищому члені характеристичного рівняння дорівнює нулю. Згідно з цим 12 Т2 = 0. На площині Т2 — 6 це можливо лише для вертикальної осі, яка в даному випадку і буде особливою прямою.
3.	Попарно дорівнюють нулю А і Дх, А і Ду.
З виразів для визначників А , Дх і Ду видно, що це можливо при ш = 0. Підставляючи ш = 0 в характеристичне рівняння, дістанемо 1 = 0, тому даний випадок, як і перший, до уваги не береться.
Отже, у даному разі маємо особливу пряму, яка є вертикальною віссю.
Використовуючи правила штриховки особливих прямих і беручи до уваги зміну знака Д при переході через ш = оо, зробимо штриховку вертикальної осі, яка в її додатній частині буде спрямована в бік І квадранта площини Т2 — 6. При цьому спільно з кривою .О-розбиття може бути виділена зона І. На рис. 4. 15 показано також дві інші зони — II і III.
Оскільки в даному випадку характеристичне рівняння 3-го порядку, то для стійкості системи, тобто для встановлення областей стійкості в площині параметрів Т2 — 6, треба мати три від’ємних корені в цій зоні.
Перевіримо кожну із зон на наявність від’ємних коренів (або комплексних коренів з від’ємною дійсною частиною).
Зоною, яка може претендувати на стійкість і в бік якої направлена штриховка кривої О-розбиття і особливої прямої, є зона І. Для перевірки виконання умов стійкості візьмемо точку А в даній зоні, яка має координати Т2 = 1, 3 = 0,2.
Підставивши ці значення параметрів у характеристичне рівняння, дістанемо
121-р3 + (8-1 + 120,2)р2 + 80,2р + 1 = О
або
12р3 + 10,42 + 1,6р + 1-0.
Використаємо для аналізу критерій Гурвіца. Запишемо необхідну і достатню умову в загальному вигляді
А2
аі аз
а0 а2
аіЛ2“Л0аЗ>0>
ибо
Аг - 10,4 1,6 — 12 1 - 16,64 — 12 - 4,64 > 0 при
а0 - 12; - 10,4;	- 1,6; а3 - 1.
Звідси неважко визначити, що при <5, які лежать вище прямої <5 ~ 0,19, система буде стійкою при будь-яких значеннях Ту.
У зоні III значення <5 повинні відповідати точкам, які лежать нижче кривої Р-роз-биття. Розглянемо точку Ь з координатам Т2 - 1; <5 - ОД. У цьому разі Л2 - 9,2-0, 8- 12-1-- - 4,64 < 0, що визначає нестійкість зони III.
У зоні II параметри Т2 і <5 мають від’ємний знак, що суперечить фізичному значенню цих величин. Виходячи з чисто математичного розуміння питання, можна зробити висновок, що при Т2 < 0, <52 < 0 коефіцієнти характеристичного рівняння матимуть різні знаки (а0 < 0, < 0, а2 < 0, а3 - 1 > 0), що суперечить першій умові стійкості за Гурвіцем. Тому зона II може до уваги не братись.
4.	9. КРИТЕРІЙ СТІЙКОСТІ НАЙКВІСТА
Критерій стійкості Найквіста було розроблено в 1932 р. американським ученим для дослідження електронних підсилювачів із зворотним зв’язком. Пізніше цей критерій було поширено і на інші випадки.
Особливістю критерію Найквіста є те, що він дає змогу:
1) оцінювати динамічні властивості замкнутих систем по частотних характеристиках відповідних розімкнутих систем;
2) досліджувати динамічні властивості замкнутої системи при відсутності рівнянь динаміки системи або її окремих елементів.
У цьому разі достатньо мати експериментальні частотні характеристики системи або відповідних ланок, які можуть бути визначені на реальних елементах системи або на їх моделях.
При відсутності математичного описання ланок (або й системи в цілому) цей критерій є незамінним для дослідження динамічних процесів в системах регулювання. Водночас він дещо складніший за розглянуті раніше.
Розглянемо суть критерію Найквіста.
Нехай є деяка розімкнута система із п ланок. Її передаточна функція має вигляд
х
ТТЛ/ \	пвих
ИЧР) = —
Л1вх
б(р) = Р(р)
л(р)ед----р„(р) <іорп + <і1рп-1 + ... + <іп’ «зо
де Р{(р),..., Р/р), (2,(р),.. ., (2/р) — відповідно оператори лівих і правих частин рівнянь динаміки ланок; хгаих — вихідна величина останньої (и-ї) ланки; х1вх — вхідна величина першої ланки; Ьо, . . .	, й0, . . . , й —
коефіцієнти рівнянь, які визначаються параметрами ланок.
Якщо замкнути розімкнуту систему за допомогою основного від’ємного зворотного зв’язку, то
^ПВИХ
При цьому
ИЧР) =	= -1,
Л1вх
(4. 31)
звідки
Ж(р) + 1 = 0.
Даний вираз є характеристичним рівнянням замкнутої системи, записаним через передаточну функцію розімкнутої системи ИДр). Це видно із таких перетворень:
цл (р) + 1 = 2(р) + і _ 6(Р) + Р(р). _ о Р(р)	Р(р}
або
(2 (р) + Р (р) = 0.
Використавши вираз (4. ЗО), запишемо
Ьорк +	+ ... + Ьк	_ б(р)
4/Р(Р)+1
звідки
Ьйрк + ••• +Ьк + <іорп + ... +4п _ (2(р) + Р(р) _ аорп + аїРп-' +...+ап Р(р)
Записуючи чисельник у загальноприйнятій формі, дістанемо
(2(Р) + ЛР) = «оР^У^' +•+«„.-.Р + а, =	= 0
Р(Р)	б/ор"+с?Ір'г~1+...+<_Ір+ с?„	(4 32)
При цьому треба пам’ятати, що + а,рп'' + ... +ап = Р (р) + ^(р) = 0 — характеристичне рівняння замкнутої системи, а (іор + ^р"-1 + . . ,+с?л = = Р (р) = 0 — характеристичне рівняння розімкнутої системи.
Розглянемо два окремі випадки — стійкої і нестійкої розімкнутої систем — і сформулюємо умови, які повинні задовольняти відповідні замкнуті системи.
Випадок стійкої розімкнутої системи. Нехай замкнута система зазнає гармонічних впливів, тому р = і, виходячи з (4. 32), запишемо
1+Ж(ру) =
= а0О)п +	+ ... +ад =
Щ<»у + Що)?-' + ... +й
Е^ = л’1»-
де \У(]а>) — амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи: РЦсо),	РКісо) — частотні
характеристики. Многочлени чисельника і знаменника, як і при доведенні
критерію Михайлова, можна подати у
вигляді п співмножників (іш - р) або (]а> — р'.), де р., р'. — корені ха-
рактеристичного рівняння відповідно замкнутої системи для чисельника і розімкнутої — для знаменника. Отже, можна записати
1 + ІУ(/со) =
в0О - А) О ~ р2) • • • О ~ Рп) - р'і) (/" - р'2) • • • О - р'л)
7? О»)
Л^О»).
(4. 34)
При стійкій розімкнутій системі всі корені р'{,р’2,..,р'п є від’ємними і розміщуються в лівій напівплощині коренів (рис. 4.16). При цьому кожен із співмножників ВИГЛЯДУ (]Ш — р'.) при ЗМІНІ (О від 0 ДО + ОО повернеться на кут л/2, а загальний кут повороту вектора 7?(/<м) буде
дорівнювати — -^п. л 2
Для стійкості замкнутої системи всі корені рґ р2,..., рп характеристичного рівняння замкнутої системи також мають розміщуватися в лівій напівплощині. Вектор Р(]со) при зміні ш в діапазоні 0 < ш < + оо як добуток л
п СПІВМНОЖНИКІВ ВИГЛЯДУ <]0) - р} повернеться на кут = уИ.
Для результуючого кута повороту вектора Р7Ца>) = 1 + ІУ(/со)
маємо
- 0л = 0.
Для графічної інтерпретації цього висновку розглянемо рис. 4.17, де ИД/<м), як було показано раніше, є амплітудно-фазовою частотною характеристикою розімкнутої системи.
Для того щоб побудувати вектор 1 + ИД/<м) = Му<м), на дійсній осі береться точка С з координатами (-1, /0) і будується відповідний вектор СРІ. Початок цього вектора лежить у точці С, а кінець при зміні час-
ТОТИ ВІД 0 ДО + 00, обходить всі точки АФХ розімкнутої системи И'їдм). Отже, вектор дорівнює + 1.
Вважаючи, що повороту вектора СІЧ, позначеного <рс!Ч, в напрямку обертання проти годинникової стрілки відповідає додатне значення кута обертання, а по годинниковій — від’ємне, дістанемо, що при зміні частоти від 0 до а>х <рсн = -<р,. При зміні частоти від а>г до вектор СN повернеться на той самий кут, але проти годинникової стрілки. Тому результуючий кут обертання вектора СN в діапазоні зміни частоти від 0 до буде дорівнювати нулю:
= °-
Подібним чином переміщується вектор у діапазоні частот <у - а>2 і а>2 -+ со. Тому при обході всіх точок амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи, позначеної на рисунку цифрою 1, результуючий кут обертання буде дорівнювати нулю Це відповідає умові стійкості замкнутої системи, визначеної раніше. Якщо АФХ розімкнутої системи має вигляд характеристик 2 на рис. 4. 17, то умова стійкості замкнутої системи не виконується, оскільки <р * 0. Це показує, що не завжди замкнута система є стійкою при стійкій розімкнутій системі, і дає змогу’ сформулювати умови стійкості замкнутої системи при умові стійкості розімкнутої системи:
якщо розімкнута система автоматичного керування є стійкою, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи не охоплювала точку з координатами (—1, /0) при зміні частоти від 0 до + <».
Випадок нестійкої розімкнутої системи. Серед коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи мають бути корені (або один корінь, наприклад, р4), які лежать у правій напівплощині коренів (див. рис. 4. 16). Нехай таких коренів буде т.
При цьому кожний вектор-співмножник вигляду (у<м — р'к) при зміні ш від 0 до + оо повернеться за годинниковою стрілкою на кут л/2, а загальний кут повороту всіх т векторів-співмножників буде ули.
Отже, із загальної кількості п векторів-співмножників, які відповідають розімкнутій системі і визначають кут обертання вектора ліворуч від вертикальної осі буде знаходитись п - т, а праворуч — т векторів-співмножників.
Обчислимо результуючий кут обертання вектора
= ^(п ~ т) -^-т = ^п- тп,	(4 35)
кут обертання вектора
Л я
~ 2п
і результуючий кут обертання вектора СN =	= И'Х/а; + 1)
7Г 7Г
1 г к 2	2	(4. 36)
Умова стійкості замкнутої системи при цьому може бути сформульована таким чином:
якщо розімкнута система автоматичного керування є нестійкою, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до + оо охоплювала точку з координатами (-1, /0) проти годинникової стрілки і поверталася на кут тп (т — кількість додатних коренів у характеристичному рівнянні розімкнутої системи).
Виходячи із обох розглянутих випадків поведінки розімкнутої системи, сформулюємо загальну умову стійкості замкнутої системи:
для стійкості замкнутої лінійної системи автоматичного керування необхідно і достатньо, щоб при русі точки N по амплітудно-фазовій частотній характеристиці розімкнутої системи при зміні ш від 0 до + оо вектор С/У, початок якого лежить в точці С з координатами (-1, /0), повернувся на кут
<Рс» = (п-^ + Тт)^,	(4 37)
де п, п[ — відповідно степені характеристичних рівнянь замкнутої і розімкнутої систем; т — кількість додатних коренів у характеристичному рівнянні розімкнутої системи.
На практиці, як правило, п - п{, і тому при т = 0 умова стійкості замкнутої системи матиме вигляд
Рис. 4. 18
Ген = 0-
(4. 38)
На рис 4.18, о, б, в показано характеристики, які відповідають стійким розімкну тим системам. Визначивши дійсний кут <рсн на основі обходу точок характеристики при зміні ш від 0 до + ОО і порівнюючи його значення з умовою стійкості замкнутої системи <рсл. = =0, встановимо, що для характеристик розімкнутої системи (о, б) замкнута система буде стійкою, а для характеристик в — нестійкою.
Якщо амплітудно-фазова частот-
на характеристика розімкнутої системи проходить через саму точку С (-1, /0), то замкнута система буде знаходитись на межі стійкості.
При використанні критерію Найквіста необхідно мати на увазі, що АФХ розімкнутих систем можуть бути значно складнішими, ніж ті, які були розглянуті раніше.
Наведені на рис. 4. 17 АФХ 1 і 2 при зміні частоти від - оо до + <» становлять замкнутий контур (рис. 4. 19), показаний суцільною лінією при (о > 0 і пунктирною при (о < 0. Такий вигляд мають характеристи-
ки для статичних систем, у характеристичних рівнянь яких є вільні члени, що визначають дійсні значення АФХ при ш = 0 (точку на дійсній осі при а> = 0).
В астатичних розімкнутих системах з інтегруючими ланками з передаточною функцією вигляду = к. АФХ не є замкнутим конту
ром, тому що характеристичне рівняння розімкнутої системи має
нульові корені.
Нехай, наприклад, система складається із двох аперіодичних ланок
першого порядку із сталими часу Т, Т2 і однієї інтегруючої ланки. Характеристичне рівняння розімкнутої системи в загальному випадку
Р(р) = 0, де Р(р) = Р[(р)Р2(р)Р3(р) є добутком поліномів лівих частин рівнянь ланок. Тому що Р3(р) = р, характеристичне рівняння розімкнутої системи запишеться так:
Лр) = (т,р + іхт2р + і) = т.ту + (Т, + Т^р2 + р = р [Т^р2 + + (Т, + Т2) р + 1] = 0.
Видно, що перший корінь є нульовим: р[ = 0. При двох інтегруючих ланках матимемо два нульових корені, тому що
Лр) = р2 [Т1Т2р2 + (1} + Т2)р + 1] = 0.
Передаточна функція розімкнутої астатичної системи при одній інтегруючій ланці має вигляд
Ж(р) =
О.ір')
рР'ЇрУ
при двох —
Ж(р) =
<2(р)
р2 р’(рУ
при к —
Ж(р) =
б(р) Ркр'(рУ
Аналогічно амплітудно-фазова характеристика розімкнутих систем при одній інтегруючій ланці записується у вигляді
= = _ №)/
при двох —
ш2Р'(а>)
Побудовані АФХ астатичної системи при к - 1 при зміні ш від 0 до + 00 І ВІД О ДО - 00 показано відповідно суцільною і пунктирною лініями на рис. 4. 20, а. При а> = 0 характеристика має розрив, що утруднює оцінку стійкості замкнутої системи. Вектор при зміні частоти від -оо до + оо при переході через 0 змінює стрибком фазовий кут від — л/2 до + л/2, але в якому напрямку змінюється фазовий кут при 178
переході через початок координат, визначити неможливо. Для усунення цієї невизначеності при астатичній системі довільного порядку (з різним к) користуються такими правилами:
1)	будують гілку АФХ розімкнутої системи при зміні частоти в межах 0 < а> < + оо;
2)	побудовану характеристику доповнюють дугою відповідного кута обертання нескінченно великого радіуса-вектора К характеристики, який дорівнює л/2 • к;
3)	використовують критерій стійкості Найквіста у відповідному формулюванні.
На рис. 4. 20, б показано дві АФХ розімкнутих систем (криві 1 і 2). Характеристикою 1 точка С (-1, /0) охоплюється за годинниковою стрілкою, а характеристикою 2 точка С не охоплюється. Тому замкнута система, яка має характеристику 1 в розімкнутому стані, буде нестійкою, а характеристика 2 — стійкою.
Запас стійкості. Як було показано, при проходженні характеристики розімкнутої системи через точку С (-1, /0) замкнута система знаходиться на межі стійкості. Тому запас стійкості замкнутої системи при використанні критерію Найквіста визначається деякою зоною довкола точки С(-1, /)), через яку не повинна проходити АФХ розімкнутої системи.
Розрізняють запас стійкості по модулю (амплітуді) і по фазі. Дійсний запас стійкості замкнутої системи по модулю визначається деяким значенням К, на яке модуль А{ш) характеристики розімкнутої системи менший від одиниці. Його можна визначити по відрізку на осі абсцис між точкою С і точкою перетину горизонтальної осі і характеристикою ;ш) розімкнутої системи (рис. 4. 21).
Рис. 4. 22
Запас стійкості по фазі у3 визначається як різниця між кутом л і максимально допустимим кутом ^>(а»с) обертання вектора, при якому зберігається запас стійкості по модулю. Він визначається положенням вектора в точці перетину характеристики розімкнутої системи з колом одиничного радіуса (К = 1):
у3 = л -
Запас стійкості може бути заданий у вигляді деякої зони навколо точки С (-1, /0) (рис. 4. 22, а, б).
І Іа рис. 4. 22, б при характеристиці 1 дійсний запас стійкості по фазі уд і по модулю А^(а>) = 1 - значно більший, ніж мінімально допустимий. При характеристиці 2 дійсний запас по фазі дорівнює заданому уз. При характеристиці 3 не забезпечується заданий запас стійкості по модулю. На рис. 4.22, а показано більш складну характеристику, в якій заданий запас стійкості знаходиться як праворуч, так і ліворуч від точки С(-1, /)). Таким характеристикам відповідають САК з внутрішніми зворотними зв’язками.
4. 10. АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ЗА АМПЛІТУДНИМИ І ФАЗОВИМИ ЧАСТОТНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РОЗІМКНУТОЇ СИСТЕМИ
Даний метод базується на результатах дослідження стійкості за критерієм Найквіста. Для визначення стійкості або нестійкості замкнутої системи можна співставити взаємне розташування амплітудної і фазової частотних характеристик відповідної розімкнутої системи. При цьому дані характеристики можуть бути побудовані як у натуральному, так і в логарифмічному масштабі.
Для роз’яснення даного методу на рис. 4.23, о, б, в побудовано амплітудні А(ш) і фазові частотні характеристики для АФХ стійких розімкнутих систем, наведених раніше на рис. 4. 17, а, б, в.
При цьому треба мати на увазі, що АФХ, показані на рис. 4. 17, а і б, відповідають стійким, а характеристики рис. 4.18, в — нестійкій замкнутим системам.
При використанні критерію Найквіста при стійкості замкнутої системи АФХ розімкнутої системи або не охоплює точку С(-1, уО) зліва, що означає відсутність точок перетину осі я при А(а>) > 1 (рис. 4. 18, а), або має дві такі точки переходу через вісь я. Проте в цьому випадку (рис. 4. 18, б) в зоні А(а> ) > 1 один перехід (точка І) через лінію я відповідає зростанню аргументу — кута а другий перехід (точка II) на рис. 4. 23, б — його зменшенню.
Перехід І називають додатним, а перехід II — від’ємним; на рисунку їх позначено знаками «плюс» і «мінус».
На рис. 4. 23, в, який відповідає нестійкій замкнутій системі і визначається охопленням точки С(—1, /0) в зоні, де А(а>) > 1, є лише один додатний перехід через вісь я.
На основі аналізу можливих варіантів ходу кривих А(а>) і <р(а>) в зоні, де А(ш) > 1 (лише при цій умові можливе охоплення точки С (-1, /0)), можна сформулювати правило визначення стійкості замкнутої системи:
замкнута система буде стійкою, якщо алгебраїчна сума (з урахуванням знака) числа додатних і від’ємних переходів фазової частотної характеристики <р(а>) через лінії я, Зя в зоні, де амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи А(а>)
проходить вище лінії А(со) = 1, дорівнюватиме т/2, де т — кількість коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи з додатною дійсною частиною.
У розглянутих нами випадках стійкої розімкнутої системи (т = 0) умові стійкості замкнутої системи відповідає рис. 4. 23, а. Тут немає переходів через лінію л в зоні, де А (<у) > 1. На рис. 4. 23, б маємо два переходи через лінію л різних знаків,, алгебраїчна сума яких дорівнює
нулю. У випадку рис. 4. 23, в в зоні А(ш) > 1 Є один додатний перехід, який визначає нестійку замкнуту систему.
Якщо при а> = 0 характеристика 1У(/ш) розімкнутої системи починається на дійсній осі ліворуч від точки С (-1, /0), то вважають, що в цій точці характеристика робить половину переходу через вісь л.
На рис. 4. 24 показано взаємне розміщення логарифмічних характеристик Ь (со) і (ш). Оскільки 1 = 0, то розглядається зона, де ІЛсо) > > 0. Правило оцінки стійкості залишається таким самим.
По взаємному розміщенню характеристик А (со) і <р (ш) для випадку стійких замкнутих систем можна визначити запаси стійкості по модулю і фазі з2 (рис. 4. 23, а і 4. 24).
4. 11. ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Як було показано раніше, в ланках із запізненням вихідна величина з’являється через деякий проміжок часу т після появи величини на вході ланки.
Передаточна функція і АФХ ланки з запізненням мають вигляд
Ж(р) = е’рІ і ИЧ» =
У системі автоматичного керування ланки з запізненням можуть входити в основне (пряме) коло, включаючись послідовно з іншими ланками регулятора, або входити в коло зворотного зв’язку (рис. 4. 25, а, б), де ІУ(р) — передаточна функція розімкнутої системи без врахування ланки з запізненням, а И^р) — передаточна функція ланки з запізненням.
Передаточна функція розімкнутої системи з врахуванням запізнення (рис. 4. 25, а):
Я"(р) = №3(р)\У(р) = трУе-'р.
Якщо в системі є кілька ланок з запізненням (наприклад, і т2), то
іГ(р) = Нг(р)е-р(гі + ^ .
Отже, кілька ланок з різним запізненням можна замінити еквівалентною ланкою з запізненням т = = Ь, + Т2‘
Передаточна функція замкнутої системи за завданням у(ї) в цьому випадку матиме вигляд
^(р) =
К 1 + Ж(р)е'Гр	(4.39)
Якщо ланка із запізненням входить до кола зворотного зв’язку (рис. 4. 25, б), то передаточна функція за завданням матиме вигляд
^(р) =
1 + 1У(р)е~хр	(4.40)
Згідно з виразами (4. 39), (4. 40) незалежно від місця знаходження ланки з запізненням характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд
1 + 1У(р) ехр.	(4. 41)
Це рівняння є трансцендентним і має нескінченну кількість коренів, які для стійкої системи повинні розміщуватись у лівій площині коренів. Знаходження коренів у цьому випадку — трудомістке завдання, тому для аналізу стійкості таких систем найбільш прийнятним є використання частотного критерію Найквіста.
Для зручності усю структурну схему лінійної САК з запізненням приведемо до вигляду двох послідовно з’єднаних ланок: однієї без запізнення з передаточною функцією И^ір), а другої — з запізненням ИЧр) = ехр.
3 Якщо в передаточній функції розімкнутої системи
№(р) = Щр)еХр
покласти, що т-> 0, то можна дістати передаточну функцію так званої граничної системи ИЧр):
Ііт 1И(р) = 1У (р), г-0	Г
де
г(р) =	= Ж/р).
Отже, під граничною ро-зімкнутою системою розуміють систему, в якій запізнення зменшується до нуля і ланка з запізненням перетворюється в деяку безінерційну ланку з коефіцієнтом передачі, що дорівнює одиниці.
Згідно з викладеним вище АФХ розімкнутої системи з запізненням має вигляд
Рис. 4. 25
ИЧ/ш) = ЩІаАе>т,	(4. 42)
а АФХ граничної розімкнутої системи — вигляд
(4. 43)
Запишемо АФХ розімкнутої системи з запізненням у показниковій формі Жг(;ф) = А^™ е~ ™
(4. 44) де А — вектор розімкнутої системи.
Із знайденого виразу Жг(/ф) видно, що для побудови АФХ розімкнутої системи із запізненням слід побудувати характеристику граничної системи, яка в даному разі матиме вигляд ИЧ/ф) = =Л7е;*’ІШ>, після чого треба повернути радіус-вектор граничної системи на один і той самий кут шт за годинниковою стрілкою.
На рис. 4. 26 показана деяка АФХ розімкнутої граничної системи И^/ф) = А)е/*,(и) .
Якщо розімкнути система стійка, то ІУІ/ф) не охоплює точку С ( -1, /0), тому відповідна замкнута система також буде стійкою.
Нехай кут між горизонтальною віссю і вектором А[а>) є <рх і відповідає деякій частоті ш,. Величина зсуву по куту, який характеризує запізнення при даній частоті, є ф^. Оскільки запізнення на кут ш т визначає від’ємний знак цього кута, який відкладається за годинниковою стрілкою відносно початкового положення вектора А^со^, то неважко побудувати точку характеристики з врахуванням запізнення для частоти ф. Аналогічно можна побудувати точку для частоти а>2, при якій вектор граничної характеристики Ах(а>^ дорівнює одиниці, а також й інші точки характеристики ИЧ ]а>) розімкнутої системи.
З наведеного графіка видно, що зростання запізнення зменшує запас
Рис. 4. 26
стійкості системи, Із збільшенням частоти кут запізнення починає швидко зростати, тому що модуль граничної характеристики при цьому зменшується. Це приводить до закручення характеристики 1У‘(у<г>) навколо початку координат. Проте при деяких складних характеристиках ИЛ /а>) можливі випадки, коли запізнення позитивно впливає на роботу системи. Змінюючи величину т, можна знайти його критичне значення, при якому характеристика РИг(<х>> проходитиме через точку С (-1, /О). Відповідну частоту при цьому називають критичною.
4. 12. СТРУКТУРНО НЕСТІЙКІ СИСТЕМИ І КОРЕГУЮЧІ ЛАНКИ
У всіх розглянутих раніше випадках стійкість (або нестійкість) системи залежала від значення параметрів ланок структурної схеми існуючої системи. Системи автоматичного керування, в яких стійкість залежить лише від значення параметрів ланок, називають структурно-стійкими. Але є такі САК, в яких досягти стійкості за рахунок зміни параметрів ланок принципово неможливо. Стійкість цих систем може бути досягнута лише при зміні структурної схеми.
Системи автоматичного керування, в яких стійкість не може бути
досягнута за рахунок лише зміни параметрів, називають структурно-нестійкими.
Для пояснення викладеного вище розглянемо окремий приклад.
Нехай в САК є дві інтегруючі ланки і одна аперіодична ланка першого порядку. Дістанемо характеристичне рівняння замкнутої системи і дослідимо стійкість системи.
Запишемо передаточні функції ланок системи
1	І
^(р) =	= к-р,^р) =
і характеристичне рівняння замкнутої системи в загальному вигляді 1У(р) + 1 = 0,
де РИ(р) = ]¥,(рІЇ¥2(р~№3(р) — передаточна функція розімкнутої системи. Після підстановки відповідних значень дістанемо
(Т3р + 1)р2 +	= 0;
Т3р + р2 +	= 0,
де = к^к2к3 — коефіцієнт підсилення розімкнутої системи.
Якщо розглянути характеристичне рівняння третього порядку в загальному вигляді
аор3 + г^р2 + а2р + а3 = 0, то в даному разі значення коефіцієнтів
ао ~ Т3, а; — 1; а3 = кт.
При цьому член вигляду а2р = 0, що можливо при а2 = 0. У даному випадку не виконується перша умова Гурвіца про те, що всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи повинні бути більше нуля, і система буде нестійкою.
При цьому, яким би чином ми не змінювали значення параметрів а0, а,. ау дістати а2 > 0 неможливо. Тому дана система є структурно-нестійкою.
На основі розглянутого прикладу можна зробити деякі узагальнення.
1.	Зовнішньою ознакою структурно-нестійкої системи є відсутність (рівність нулю) в лінійному характеристичному рівнянні замкнутої системи деяких членів (коефіцієнтів).
2.	Системи, які мають дві і більше інтегруючих ланок, при інших аперіодичних або безінерційних ланках є структурно-нестійкими.
3.	Для досягнення стійкості необхідна зміна структурної схеми структурно-нестійкої системи.
Зміна структурної схеми, як правило, виконується за допомогою введення окремих корегуючих ланок, які бувають двох типів — паралельні і послідовні.
Паралельні корегуючі ланки. Як паралельні корегуючі ланки використовуються місцеві жорсткі від’ємні зворотні зв’язки.
Охопимо одну із інтегруючих ланок розглянутої системи жорстким від’ємним зворотним зв’язком (рис. 4. 27) і складемо рівняння (передаточну функцію) даної ланки з урахуванням введеного зворотного зв’язку.
Рівняння ланки до введення зворотного зв’язку має вигляд
*!вих ^1 р -*1вх •
Знайдемо фактичне значення вхідної величини при введенні паралельної корегуючої ланки з коефіцієнтом зворотного зв’язку Д = хзвз/х1вих
Х вх ~ *1вх ~ Хзв.з = Х1вх ~ РХІвт ’
Рівняння ланки з урахуванням зворотного зв’язку матиме вигляд
*!вих = ^Х'вх = ^|(^вх -^.их) або
^.их(Р+^) = ^івх-
Позначивши 1/Л; Д = Т , 1/Д = Л' , після ділення всіх членів на дістанемо рівняння інтегруючої ланки, охопленої від’ємним зворотним зв’язком, у вигляді	‘
(т,р +1) х1вях = лхх.
З цього виразу видно, що інтегруюча ланка, охоплена від’ємним зворотним зв’язком, еквівалентна стійкій аперіодичній ланці першого порядку. Зміну вигляду часової характеристики в цьому разі ілюструє рис. 4. 28, де позначено: 1 — часова характеристика ланки до введення корегуючої ланки; 2 — після охоплення інтегруючої ланки від’ємним зворотним зв’язком.
Передаточна функція інтегруючої ланки, охопленої зворотним від’ємним зв’язком, матиме вигляд
к'
Характеристичне рівняння замкнутої системи, яка розглядалася на початку параграфа, з врахуванням охоплення першої інтегруючої ланки зворотним від’ємним зв’язком запишеться у вигляді
+1 = о
ЧИ
*'1
Т,р + 1
^2 Р
^3
7> + 1
+ 1 = 0 ,
або після перетворень
Т,^3 + (Т, + Т3)р2 + р + кт = 0.
У цьому рівнянні всі коефіцієнти а0 = Т}Ту + Ту а2 = 1, а3 = більші нуля, тому скорегована система є структурно-стійкою.
Підкреслимо, що структурна стійкість системи не зумовлює П обов’язкову стійкість при всіх значеннях параметрів. Для визначення стійкості слід перевірити виконання необхідної другої умови за Гурвіцем, яка в даному разі має вигляд Д2 > 0 (можна скористатися й іншими методами дослідження стійкості).
Послідовні корегуючі ланки. Послідовною корегуючою ланкою називають ланку, за допомогою якої на вхід наступної ланки подається величина, пропорційна швидкості зміни вихідної величини попередньої
ланки.
Структурна схема системи, що розглядалася раніше, при введенні послідовної корегуючої ланки матиме вигляд, показаний на рис. 4. 29.
Розглянемо, як зміниться передаточна функція інтегруючої ланки
Ж2(р) = к2 і з врахуванням підключення на її вході послідовної коре-
гуючої ланки ПК.
Рівняння ланки ІУ2(р) у даному випадку матиме вигляд
*2вих = *2|(*1вих + аРХІВИХ = *2|(1 + «РК„х-
Тут Хівих ~ Х2вх’ ТОМУ передаточну функцію ланки Ж2(р) після введення корегуючої ланки можна записати у вигляді
^'2(р) =	а + «р) = ^2(р) (і + «р).
«	2вх	г
Характеристичне рівняння замкнутої САР з врахуванням ланки ПК має вигляд
Рис. 4. 29
^(р)^'2(р)^3(р) + 1 = 0
чи
11	Л,
Л,-Л2т(1 + аР) т—ТТ + 1 = 0, Р 2Р Т^р + 1
або
Л(Л2Л3(1 +ар) + (Т# + Ор2 = 0, Т’зР3 + Р2 + ^к2кіар + кхк2к3 = 0.
Видно, що дана система завдяки введенню послідовної корегуючої ланки перетворилась у структурно-стійку систему.
Передаточна функція розімкнутої системи до введення послідовної корегуючої ланки мала вигляд
РИ(р) = И'Ср^рІЖ/р).
Після введення послідовної корегуючої ланки передаточна функція розімкнутої системи матиме вигляд
жчр) = ^(р)^’2(р)^3(р) =
= ^,(р)^2(р) (1 + «р)И'з(р) = ИЧр) (1 + «р) -	(4. 45)
де \¥'2(р) — передаточна функція ланки 2 з урахуванням корегування. Відповідний вираз АФХ запишеться так:
И^( }а>) = ИТ ;со)(1 + }аш) « ІУ(/оО +
Тоді В^Осо) вектор АФХ скорегованої системи можна представити як суму двох векторів відповідної розімкнутої системи: до корегування ІУ (]ш) і вектора	повернутого на кут л/2 проти годинникової
стрілки (а — параметр послідовної корегуючої ланки). При цьому слід
пам’ятати, що множенню вектора на ; в комплексній площині відповідає поворот його на кут л/2 проти годинникової стрілки.
На рис. 4. ЗО показано вихідну АФХ розімкнутої системи яка охоплює точку С(—1, ;0). Якщо розімкнута система є стійкою, то з врахуванням критерію Найквіста можна стверджувати, що замкнута система в цьому випадку буде нестійкою.
Розглянемо поведінку тієї ж системи після введення послідовної корегуючої ланки. На рисунку показано дві точки характеристики скорегованої розімкнутої системи ЖЧ )а>), що відповідають частотам а>і і а>2, знайдені на основі побудови векторів ИАсу) та М^(а)2), які відповідають даним частотам.
Встановивши відповідну величину а, дістанемо характеристику ІУХ (показану на рисунку пунктиром), яка не охоплюватиме точку С (-1, /0) і відповідатиме стійкій замкнутій системі.
За допомогою корегуючих ланок можна не тільки перетворити структурно-нестійку систему в структурно-стійку, але й зробити її стійкою, а також змінювати величину запасу стійкості та інші динамічні характеристики САР, що буде показано далі.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Сформулюйте поняття стійкості САР: взагалі, «в великому» і «в малому».
2.	Викладіть суть теореми Ляпунова і методу аналізу стійкості по рівняннях першого наближення.
3.	Наведіть формули для доведення впливу вигляду коренів на стійкість САР.
4.	Визначіть поняття запасу і межі стійкості.
5.	Сформулюйте критерій стійкості Рауса—Гурвіца.
6.	Що таке параметри Вишнєградського і який їх вплив на стійкість системи?
7.	Викладіть методику побудови годографа Михайлова.
8.	Як визначити запас стійкості за допомогою критерію Михайлова?
9.	Сформулюйте особливості методу Р-розбиття і викладіть методику аналізу стійкості за його допомогою.
10.	Сформулюйте загальну умову стійкості за методом Михайлова—Найквіста.
11.	При якій умові буде стійка замкнута система при нестійкій розімкнутій системі?
12.	За якими ознаками можна визначити структурно-нестійку систему?
13.	Що таке корегуючі ланки, їх основні види?
14.	Нарисуйте схему введення послідовних і паралельних ланок у систему.
15.	Нарисуйте часову характеристику інтегруючої ланки при використанні паралельних корегуючих ланок.
Глава 5
ЯКІСТЬ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ САК І МЕТОДИ ЇХ ОЦІНКИ
5. 1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЯКІСТЬ САК
Розв’язання завдання автоматичного керування об’єктом залежить не тільки від стійкості САК, але й від інших показників, які в загальному випадку часто об’єднують єдиним поняттям — «якість системи керування», що характерно лише для стійких систем. Якість системи оцінюється багатьма показниками, серед яких основними є: характер (вигляд) перехідного процесу, тривалість перехідного процесу, перере-гулювання, точність (похибка) системи та інші, специфічні для окремих видів перехідних процесів.
За характером перехідні процеси поділяють на монотонні, коливальні й аперіодичні з перерегулюванням.
Монотонними є перехідні процеси, при яких відхилення регульованої величини х від усталеного значення х0 плавно змен-с/х
шується, без зміни знака похідної (рис. 5. 1, о, криві 1 і 2).
Коливальними називають перехідні процеси, при яких в системі існують гармонічні коливання з деяким періодом Т і амплітудою, що поступово зменшується (рис. 5. 1, б).
Аперіодичними процесами з перерегулюванням називають перехідні процеси, при яких керована величина набуває усталеного значення після одного, двох або більше коливань з різними періодами (неперіодичні процеси) при наявності перерегулю-вання (рис. 5. 1, в, криві 1 і 2).
Під перерегулюванням (рис. 5.1, в) розуміють максимальне відхилення керованої величини в бік, протилежний початковому відхиленню від усталеного значення.
На рис. 5. 1, в при початковому відхиленні <50 величина перерегулю-- х0	д	,
вання визначається як--- = — = о (для кривої І) і о/х0 (для кривої
*о	хо
2). При цьому слід мати на увазі, що кривій 2 відповідають два екстремуми відхилень д і д від заданого значення (<3 > <5 ). Якщо в процесі регулювання значення регульованої величини знаходиться лише в одній зоні (зверху або знизу від усталеного значення), то перерегулювання відсутнє (крива 3) і перехідний процес такого вигляду вважають монотонним.
Тривалість (швидкодія) практично визначається часом іп, за який відхилення Ах від заданого значення (рис. 5. 1, б) стане меншим за де-
яку достатньо малу величину є (теоретично тривалість перехідного процесу /п = оо). Величина є визначається вимогами точності конкретної системи (процесу) і може дорівнювати від частки процента до 2—5 % і більше (для «грубих» систем).
Відхилення (похибку) Ах, яке виникає після закінчення перехідного процесу, називають статичною помилкою (похибкою), а відхилення Дх (/), яке з’являється в перехідному процесі і відображає відхилення деякого значення регульованої величини у відповідний момент часу від величини х0 — динамічною похибкою.
Ступінь затухання перехідного процесу є показником, що характеризує коливальні процеси. Її визначають за формулою
іН%) = Ю0(1-^).
Лі
Чим більше значення у», тим швидше затухає перехідний процес.
Іноді для оцінки коливальних процесів використовують показник якості, який називають логарифмічним декрементом затухання. Він визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд одного знака двох послідовних періодів (рис. 5. 1, б):
а = їй—.
Чим більшою є величина сі, тим швидше затухає перехідний процес.
Оскільки межею стійкості в площині коренів є уявна вісь, на якій лежать нульові й суто уявні корені, то чим ближче до уявної осі знаходяться корені, тим менший запас стійкості має система. Для оцінки величини запасу стійкості використовують показник — ступінь стійкості, який визначається відстанню найближчого до уявної осі дійсного кореня або абсолютним значенням дійсної складової комплексного кореня.
Ступінь коливальноспй — показник, який визначається частотою власних коливань системи, що залежить від конструктивних особливостей об’єкта і системи керування в цілому. Як зазначалося раніше, наявність комплексних коренів у характеристичному рівнянні замкнутої системи зумовлює наявність складової коливального характеру в розв’язку рівняння вигляду
8ІП (/З/ + <р),
де а, /3 — відповідно дійсна і уявна складові пари комплексних коренів Рс Рк+> вигляду рк,м =
Період коливань Т = число коливань за секунду V = Д/2я.
Відношення уявної частини комплексного кореня до його дійсної частини р називають коливальністю перехідного процесу. Чим більша величина р, тим більше коливань в одиницю часу матиме да
на система.
Ширина смуги пропускання — це показник якості САК при використанні частотних характеристик, який визначається інтервалом частот, при яких амплітуда синусоїдального вхідного сигналу розімкнутої системи становить менше ЗО %.
На логарифмічних амплітудно-частотних характеристиках смуга пропускання частот визначається частотами, для яких амплітуда більша за 3 дБ. Ширина смуги пропускання частот характеризує швидкодію системи і її фільтруючі властивості.
Якість системи автоматичного керування насамперед визначається технологічними особливостями об’єкта. Так, в різних підйомних машинах, прокатних станах та інших установках значної потужності, які мають великі моменти інерції, ставиться умова забезпечення перехідного процесу, близького до аперіодичного з перерегулюванням не більше 2—3 %; виконання цієї вимоги спричиняє затягування тривалості перехідного процесу іП.
Водночас у малоінерційних системах (обчислювальних, слідкуючих), де пріоритетним є вимога швидкодії системи (при заданій точності), бажано дістати швидкозатухаючий коливальний процес.
5. 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ЯКОСТІ НА ОСНОВІ РІВНЯННЯ НЕЗБУРЕНИХ КОЛИВАНЬ
Дослідження якості САК може виконуватись на основі розв’язання рівнянь замкнутої системи, а також за допомогою наближених методів оцінки якості.
Найзагальнішим методом є дослідження якості на основі розв’язання рівняння замкнутої системи. Як приклад розглянемо рівняння системи стабілізації
[Р (р) + <3 (р)]х = Р^р) 8(р) Р(р).
Після відповідних перетворень це рівняння можна записати у вигляді
ЛтГ (Р^'-Р	(ІР
=	^ + ЬтР.
Дане рівняння є диференціальним лінійним, неоднорідним рівнянням и-го порядку. Згідно з принципом суперпозиції його розв’язок можна подати як алгебраїчну суму загального хпер і часткового х0 розв’язків:
* = х„=р +
Загальний розв’язок можна дістати на основі рівняння незбуре-них коливань
а
*№р і
» Рис. 5. 2
іГ'х , ап~'х ,	, (їх , п
(/г +«, ^ + -+«л-< + = °>
звідки
Х„ер = С1ЄР1' + С2Є^ + ••• +СпЄР*'> де ('ґ С'а..Сн — сталі інтегрування, які визначаються з початкових
умов, р, , . . , рл — корені характеристичного рівняння вигляду
а0Ря + а#’1 + . . . + ап_,р + ап = 0.
Дослідження виразу хпер залежно від коренів р( , . . ., рп було виконано раніше при вивченні стійкості системи.
Частковий розв’язок х0 знаходять при умові І -* оо, коли вихідне рівняння набуває вигляду
«Л = ЬтР,
ЗВІДКИ
Побудована, як приклад, характеристика х = /(/) (рис. 5. 2) є кривою процесу регулювання в замкнутій системі, яка визначається з рівності
Ь
X = X + X = С<?і + СЛ + ... + с + — Р.
пер 0	12	п	£
п
З викладеного вище можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу і.. та інші показники якості визначаються загальним розв’язком вихідного рівняння хпер і залежать тільки від коренів характеристичного рівняння. Частковий розв’язок впливає лише на загальне значення регульованої величини і на величину помилок (похибок) системи. Тому при дослідженні якості САК на основі розв’язку рівняння замкнутої системи часто обмежуються тільки аналізом величини хпср — вивчають поведінку системи залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.
Аналіз якості САР на основі розв’язання рівняння незбурених коливань. Як приклад розглянемо систему другого порядку, рівняння незбурених коливань якої має вигляд
02хпгп <іх„,„
а° аі2 + а' аі + Й2Х"'р = 0 •	(5. і)
В операторній формі воно записується так:
(«оР2 + й,р + й2)х„ер = 0.
Розв’язок цього рівняння має вигляд
х = СеЧ + Сл"*', пер 1	2
(5.2) де р < 0; р2 < 0 — корені характеристичного рівняння
йоР2 + й[Р + й2 = 0;	(5. 3)
С, С2 — сталі інтегрування, які визначаються початковими умовами.
Нехай початкові умови (при І - 0) задані:
Хпер(0) = Х0І *'„ер(0) = Хо„ер-
Знайдемо їх значення з рівняння (5. 2)
х (0) = С, + С1
<=Р(°) = Р& +Р2С2-\	(5.4)
З системи рівнянь (5. 4) знайдемо
^"1 “ Х0 пер ~ ^2-
Підставляючи дане значення у вираз х'о пер, дістанемо
х пер(®) = (хопеР ~ Ог)Д С2Р2’ звідки
Х'пер(°) - Х0„ерД = С2(Р2 - РІЇ’ або
с = х'пер(°) ~ хПер(°)А = хпер(°)А - <Р(°)
2 Р2 ~ Д	Рі ~ Р2
с = *пер(0)(Р2 - Д.) - *'пер(°) + ХрперД = *'пеР(°) - *пеР(0)Р2
1	р2 - Рі	р-р2 ‘
Підставляючи знайдені значення С, і С2 в рівняння незбурених коливань, дістанемо
х = Х'пСр(°) ~ Х^(У)Р2	+ 5пср(9)Р.-.Х,пеР(2) еР2,
пер	Д - р2	Р~ Р2	(5. 5)
Аналіз цього виразу дає змогу зробити принциповий висновок про те, що якість лінійних САР залежить не тільки від вигляду коренів характеристичного рівняння, а й від початкових умов. (При цьому треба пам’ятати, що стійкість лінійних САР залежить лише від коренів характеристичного рівняння, які в свою чергу залежать від значень параметрів ланок системи.)
Позначимо першу складову хпер в рівнянні (5. 5) А, а другу — В. Проаналізуємо вирази А і В при різних коренях р? р2 та початкових умовах, побудувавши відповідні характеристики А(ґ), В(ґ). При цьому слід мати на увазі, що корені характеристичного рівняння матимуть вигляд
- р +	- 4апа, _ _	- 4апа7
Р1 "	2а0	;	“	2а0
звідки видно, що при умові а* > 4а0а2 корені р(, р2 дійсні й різні, а при а^ < 4аоа2 корені комплексні.
Розглянемо окремі можливі випадки при дійсних від’ємних коренях р, < 0; р2 < 0.
Нехай початкові умови будуть додатними: хпер(0) > 0; х'пср(0) > 0. Тому що |р2| >|д|, то чисельник і знаменник у виразі А більше нуля, а у виразі В чисельник менше нуля, а знаменник більше нуля. Початкові значення | А(0) | > | ДО) |.
Відповідні залежності А(0 і В(ї) показано на рис. 5. З, а, а результуюча величина хпер(0 = А(і) + В(і) — на рис. 5. З, б. Із побудованого графіка видно, що хпср тах = (а - 6) > х(0). Отже, у цьому випадку в системі виникає перерегулювання.
Знайдемо екстремум функції хпср(0 із умови
сіх х' (0) — х (0)р,	х (0)р, — х' (0)	?
__= ______пеР______ПСРК р еР\< -І___,ІеРК /И___ПЄ£У_/	_ д
&	Р, - Р2 1	Р, - Р2 2
звідки
(х'пер(0) - хпср(0)Р21 Р^'	+ [хпер(0)р, - х'пер(0)] р2е^‘ = 0.
Розділивши обидві частини рівняння на (хрср(0) — х'пер(0)] р2ері’ , дістанемо
Ке„(°) - М°)^ Р. (Р1-Р? + ! _ 0
Кр(°)Л - <ер(0)1 Р2
Є(Р1-р2)( = Кр(0)р, -
або
1\ср(иМ - Х перОШ
Прологарифмувавши це рівняння, дістанемо значення часу іт, яке відповідає екстремуму функції хпср(ґ)
= 1п^ Кр(°)Л - <„(0)1 1 р, адр2 - х'пер(0)] р,-р/
Підставивши відповідні числові значення і у вихідний вираз хпр (/), знайдемо його екстремальне значення хпе тах(М.
Нехай хпер (0) > 0, а х'пі;р(0) = 0. Аналізуючи величини А(ґ) і В(1), бачимо, що в цьому разі А(ґ) > 0; В(ї) < 0. Оскільки |р2| > Ір^, то зникнення
складової х'пср(0) більше вплине на величину В(ґ), ніж на А(ґ). Тому перехідний процес може не мати перерегулювання (рис 5. З, в, крива А
Нехай хпср (0) > 0 і х'пер(0) < 0. Похідна від початкових умов з від’ємним знаком різною мірою впливає на вирази А(ґ) і В(і). У цьому разі можливе перерегулювання і зміщення перехідного процесу в зону від’ємних значень хпср(і) (рис. 5. З, в, крива 2).
Розглянемо випадок комплексних коренів з від’ємними дійсними частинами р{ = - а + і р2 = -а - ]р. При цьому
= е~а1 Є&1 = Є~ а1 (СО8 рі + і 8ІП рї)',
= Є~ а1 (СО8 рі - і 8ІП рі) .
Підставивши знайдені значення у вираз хпср(ґ>, дістанемо
*„,(') “	—-—— (соя /іі + і 5іп $) +
І	’	]
або
х„ср(0 = х(0)е-а'8Іп (рі + <р0).	(5. 6)
Перехідний процес є коливанням із затухаючою амплітудою, за-л.	0
лежною від початкових умов: початкова фаза <р0 = агсі§ —— амплітуда х(0)е~“.
Проведений вище аналіз і знайдені вирази хпер(0 показують, що за виглядом коренів і початковими умовами можна відповісти на всі основні питання про якість САР. Водночас викладена методика навіть для простого випадку — системи регулювання другого порядку — потребує аналізу досить складних виразів. Ці труднощі зростають в багато разів при високих степенях рівняння, особливо у випадку дослідження якості в умовах зміни параметрів ланок системи (зміна лише одного параметра системи приводить до зміни всіх п коренів характеристичного рівняння). У зв’язку з цим у ТАК велике поширення дістали різні наближені методи, які дають змогу мати відповіді на окремі питання про якість без розв’язання рівняння системи.
5. 3. НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ОЦІНКИ ЯКОСТІ
Існують три основні види наближених методів оцінки якості: кореневі, інтегральні й частотні.
Кореневі методи оцінки якості. Крім розглянутого раніше методу
аналізу якості за кривою незбурених коливань, який можна віднести до даного виду методів, до кореневих належать методи: оцінки якості по розміщенню коренів на комплексній площині; аналіз за допомогою діаграм (у тому числі нормованих), які визначають межі зон параметрів, що зумовлюють вид коренів характеристичного рівняння; кореневих годографів та ін.
Розглянемо, як приклади, окремі найбільш характерні методи.
Оцінка якості за розміщенням коренів на комплексній площині може
Рис. 5. 4
проводитись також за різними ознаками. Одним із методів цієї групи є метод оцінки якості за найменшим коренем — коренем, який лежить найближче до вертикальної осі комплексної площини коренів.
Якщо найменший дійсний .корінь системи рх = а1 (рис. 5. 4), то аперіодична ступінь стійкості системи дорівнює
Якщо найближче до вертикальної осі розміщуватиметься пара комплексних коренів
Р2.з ~ ± І0,
то ступінь стійкості називають коливальним і позначають Н- а. Коли-0 п
вальність системи в цьому разі р = <р = Як було зазначено
раніше, при наявності комплексних коренів у розв’язку рівняння незбурених коливань системи з’являється складова вигляду
С2е'а1 8ІП (01 + у).
Період коливань у цьому разі Т = 2л/р. Амплітуда синусових коливань С2е~а> має зсув по фазі відносно початку координат на кут у.
За час, що відповідає одному періоду коливань Т, нове значення амплітуди обчислюється за формулою
С2е~а<, + Т} = С2е'°'е-2л|.
Звідси випливає, що чим більша величина коливальності р = 0/а, тим довше загасатиме перехідний процес. При цьому ступінь стійкості (Л = а) буде зменшуватись.
Так, при аперіодичній стійкості складова перехідного процесу, яка відповідає найменшому дійсному кореню рр дорівнює С,е . Тривалість затухання перехідного процесу до величини, що становить 5 % від початкового значення ха = Ср яке умовно вважаємо таким, що відповідає закінченню перехідного процесу в даній системі, можна знайти з виразу
0,05хо = хое ,
звідки 1п 0,05 = ік, або ?п = —= 3/Л.
Отже, тривалість перехідного процесу обернено пропорційна ступеню стійкості. Звідси можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу прямо пропорційна ступеню затухання коливального перехідного процесу, для якого ц = /3/Л.
Якщо ставляться обмеження по тривалості ((п) або коливальності (ц), то це приведе до необхідності розміщення всіх інших коренів у деякій зоні, обмеженій величиною 4 і кутом = агсіе При цьому всі інші складові (рис. 5. 5, а) кривої перехідного процесу вигляду хДї) = СкеРк< ( або хк(1) = Ск12е(а ±	), що визначаються коренями, які
лежать в межах даної зони, будуть затухати швидше. Показані на рисунку криві перехідних процесів відповідають від’ємним дійсним кореням
ір,-і = N < ір2і < |р31 < ІРдІ •
Отже, чим менший корінь, тим довше затухає перехідний процес. Тому в деяких випадках можна задовольнитись дослідженнями по мінімальному кореню якому відповідає найбільш тривалий процес, що визначає тривалість перехідного процесу в усій системі (ґ. = / ).
У зв’язку з викладеним виникає задача знаходження мінімального кореня. Для її розв’язання Вознесенським у 1941 р. було запропоновано метод приблизного знаходження мінімального кореня, який полягає
1.	Знаходять мінімальне значення кореня за умови, що за час іп величина відхилення регульованої величини х від її початкового значення х0 буде дорівнювати пі %.
Цю вимогу можна виконати, якщо найменша дійсна частина кореня характеристичного рівняння замкнутої системи не буде меншою за деяку величину <{,.
Оскільки всі інші складові перехідного процесу вигляду будуть затухати швидше, то рівняння системи зведеться до рівняння першого порядку
X = хо
Згідно з поставленою умовою х = х0 • 0,01т, тому можна записати
х0 • 0,01т = х0 еа‘.
Звідси, прологарифмувавши, дістанемо формулу мінімального кореня у вигляді
1п 0,01т
а‘ “ Т •	(5. 7)
2.	Виконують перевірку «мінімальності» знайденого за формулою (5. 7) кореня аІ в умовах даної системи.
З цією метою вертикальну вісь у комплексній площині коренів переміщують вліво на відстань а. (рис. 5. 5, б). В новій системі координат (після переміщення вертикальної осі) характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд
а0(р -а)п + а/р -а.)"-1 + . . . + ап1(р -а.) + ап = 0.
(В дане рівняння підставляють абсолютне значення величини мінімального кореня а.) Після розкриття дужок і зведення подібних членів дістанемо нове характеристичне рівняння того самого порядку, але при іншому значенні коефіцієнтів
а'^ +а'^-' +... +а'п_1р + ап = 0.	(5. 8)
3.	Якщо нова система з характеристичним рівнянням (5. 8) буде нестійкою, то це означає, що визначений за заданими умовами якості системи мінімальний корінь в дійсності не є мінімальним. Тому в даній системі неможливо виконати поставлену умову (т, т, %). В цьому випадку можливі такі варіанти наступних дій: або згодитись з тим, що поставлену умову виконати неможливо, або змінити її відносно т і т і знайти відповідне нове значення мінімального кореня ам і перевірити його мінімальність. На основі даного методу можна також визначити значення настроювальних параметрів системи для знаходження погрібних показників якості.
Приклад 5. 1. Дослідити якість замкнутої системи, характеристичне рівняння якої мщ ниі ляд
р4 + 2р3 + 11р2 + 15р + 5 (1 + к) = 0,
за методом мінімального кореня знайти коефіцієнт підсилення розімкнутої системи к, при якому відхилення регульованої величини від заданого значення за час т - 3,5 с не перевищувало б 5 % (т - 5 %).
Розв’язання. Для виконання поставленої умови знайдемо необхідне значення мінімального кореня
іп 0,01т іп 0,05 1п 5 — 21п 10	1,6 — 4,6 о_
а. = ---;---- =	, 1. = -----5-7---- = —5-7— = -0,85.
' т	3,5	3,5	3,5
Нове характеристичне рівняння після переміщення вертикальної осі вліво на величину | а, | = 0,85 матиме вигляд
(р - 0,85)4 + 2 (р - 0,85)3 + Шр - 0,85)2 + 15(р - 0,85) + 5 (1 + к) = 0.
Після перетворень дане рівняння має вигляд
р4 - 1,56 р3 + 10,2 р2 - 1,84 р - 0,26 + 5 к = 0.
Наявність від’ємних коефіцієнтів згідно з критерієм Гурвіца означає нестійкість системи, що в свою чергу зумовлює неможливість виконання поставленої умови при будь-якому значенні к.
Дослідимо дану систему при інших умовах стосовно якості САР. Нехай допустима тривалість перехідного процесу т дорівнює 20 с при т = 5 %.
Обчислимо значення мінімального кореня
Іп 0,05	3,0
“+і	20	20	0,15'
Характеристичне рівняння відповідної системи, яка враховує перенос вертикальної осі вліво на відстань Л = 0,15, матиме вигляд
(р - 0,15)4 + 2(р - 0,15)3 + 11(р - 0,15)2 + 15(р - 0,15) + 5(1 + к) = 0.
Після перетворень воно запишеться так:
р4 + 1,4р3 + 10,24 р2 + 11,8 р + 3 + 5к = 0.
Для перевірки стійкості системи використаємо критерій Гурвіца. При п. = 4 необхідна і достатня умова (крім додатного знака коефіцієнтів, що витримується в даному разі) Д 3 > 0.
Знайдемо головний детермінант системи
Д4
звідки дістанемо умову стійкості 1,4 11,8
1,4 1
0 0
11,8	0
10,24 3 + 5*
1,4
1,0
11,8 10,24
0
0
0
3 + 5*
= 1,4 • 10,24 • 11,8 -1,42(3 + 5к) > 0
/V = 1,0 10,24 3 + 5* 0 1,4	11,8
або 24,2 - 9,7 * > 0, або * < 2,5. Цей результат означає, що при * регульованої величини в САК, яке дорівнює 5 % від початкового значення.
< 2,5 можна дістати за час т = 20 с відхилення
0
Аналіз якості за допомогою діаграм зон параметрів. Характерним прикладом цієї групи методів може бути розширена діаграма Вишнєградського (рис. 5.6), яка будується на основі розглянутої раніше діаграми (див. рис. 4.5) при вивченні критерію стійкості Вишнєградського.
На розширеній діаграмі виділяються чотири зони: І; II; III; IV, які відповідають різним виглядам коренів і їх розміщенню відносно вертикальної осі в комплексній площині коренів.
Зона IV, як відомо, задовольняє умову ХУ < 1. Її межею є рівнобічна
гіпербола С2>, рівняння якої ХУ= 1, де Х,У — параметри Вишнє-градського. Цій зоні, яка є зоною нестійкого стану системи, відповідає наявність коренів з додатною дійсною частиною (або дійсних додатних) в характеристичному рівнянні замкнутої системи.
Зони І, II, III в площині X — У є зонами стійкого стану системи, але їм відповідають різні види і розміщення коренів і, як результат, різний вигляд перехідних процесів.
Особливості розміщення коренів і
Рис. 5. 6
вигляд перехідного процесу, що
відповідає кожній зоні, показано на рис 5. 7. На рис. 5. 7, а, б, в наведено
розміщення в комплексній площині коренів, а на рис. 5. 7, <2,, б,, в, — характеристики відповідних перехідних процесів.
На рис. 5. 7, г, д, е, є показано можливі варіанти розміщення коренів, що відповідають IV (нестійкій) зоні.
Зона І, межа якої КМВ, є зоною аперіодичних процесів. їй відповідають від’ємні дійсні корені характеристичного рівняння системи третього порядку рр р2, р3 ( рис. 5. 7, а, а). Умова знаходження коренів у даній зоні має вигляд
4 (X3 + У3) - 18 ХУ - Х2У2 + 27 < 0,
де X =	; У = С( і С2 — коефіцієнти перетвореного характе-
ристичного рівняння ПдР + ахр + а2р + а3 = 0 після ділення всіх членів на а0 і зображення його у вигляді
р3 + Цр2 + С2р + С3 = 0, де С = а/а0.
Зона II, межа якої КМХ, відокремлює зону монотонних процесів (рис. 5. 7, б, б). Ближчим до вертикальної осі є дійсний корінь рґ
Рівняння межі зони має вигляд
2Х3 - 9ХУ + 27 = 0.
Розміщення коренів і вигляд перехідного процесу в зоні III, межа якої ММВ, показано на рис. 5. 7, в, в,. Тому що дійсний корінь р3 розміщується далі від вертикальної осі, характер перехідного процесу коливальний.
Умова знаходження коренів у зоні III має вигляд
4(Х3 + У3) - 18ХУ - ХгУ2 + 27 > 0.
Ступінь затухання перехідного процесу
^(%) = 100(1 -
ЛІ
Розширена діаграма Вишнєградського в зоні III може бути доповнена кривими однакового ступеня затухання перехідного процесу (7 — 5); при цьому > ^2 > Уу
Для задовільної якості перехідного процесу вважають, що значення тр має бути не менше 80 %. Це відповідає умові х2/х{ < 0,2.
Вишнєградського до параметрів
Для переходу від параметрів відповідних ланок системи потрібні досить громіздкі розрахунки, для спрощення яких було побудовано спеціальні номограми.
Деякими дослідниками діаграму Вишнєградського було доповнено кривими однакових ступенів стійкості Л (рис. 5. 8) і однакового ступеня коливальності р (рис. 5. 9); р = 0 відповідає межі «аперіодичної» області, а р = оо — межі стійкості.
Як видно із діаграми, найбільший ступінь стійкості забезпечується в районі точки М, для якої Л = 1 Проте за кратності кореня швидкодія системи може бути значно меншою, ніж при трохи менших ступенях стійкості.
З точки зору швидкодії системи рекомендовано ступінь стійкості обмежувати зверху і знизу лініями Н = 0,5.
В технічній літературі існують також нормовані діаграми для систем вищих порядків.
Якщо систему вищого порядку з достатньою точністю можна звести до системи з п = 3, то можна дістати наближені результати на основі діаграм Вишнєградського.
Метод оцінки якості за полюсами і нулями передаточної функ ції. Даний метод також належить до кореневих.
Розглянемо передаточну функцію замкнутої системи за збуренням
ф(п) = Жїр) = — =
(Р)	” ІР) д/ ! + ж(р) >
де Ах, А/ — відповідно відхилення регульованої величини і збурення; Ж(р) — передаточна функція розімкнутої системи.
Звідси дістанемо
- =
Маючи на увазі, що відхилення Ах = х - х0 визначає перехідну складову загального розв’язку, запишемо
х (0 = «'(р) м V' 1 + ІУ(р) 7 •
Як відомо, характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд 1 + Ж(р) = 0, тому знаменник передаточної функції можна подати як п співмножників:
а0(Р ~ Р)(Р ~ Р2> • • • (Р - РД де рґ . . . , рл — корені характеристичного рівняння замкнутої системи, які називають полюсами передаточної функції.
Чисельник передаточної функції аналогічно можна подати у вигляді т співмножників (т < п) виразу Ж(р) = КК(р\ де А — коефіцієнт підсилення розімкнутої системи, а А(р> — многочлен вигляду
ад = ь^ + ь^-' + ...+ьт_{Р + ьт =
= 60(р-р'1)(р-р'2)...(р-р'Іп),
де рДр^р'з — корені чисельника передаточної функції, які називають нулями передаточної функції.
Згідно з викладеним можна записати
, . Ч(р - р\) (Р - Р'2) • • • (Р - Р'т) лг пчЛ } а0(р - р,) (р р2)... (р - р„)
Звідси видно, що амплітуда перехідного процесу залежить від розміщення полюсів і нулів передаточної функції. Так, в ідеальному випадку при р1 = р\,р2 = р’2,...,рп = р’т (при п = т)
кЬ0 А
М0 =
ио
При А/ = сопзі система еквівалентна безінерційній (підсилювальній) ланці.
На основі викладеного можна стверджувати, що для швидшого затухання перехідного процесу потрібно, щоб полюси і нулі передаточної функції розміщувалися ближче один до одного.
Методи кореневих годографів. Кореневим годографом називають характеристики в комплексній площині коренів характеристичного рівняння замкнутої системи, які дістають при поступовій зміні деяких параметрів від 0 до + оо.
За допомогою кореневих годографів можна визначити взаємну залежність параметрів і коренів системи. При цьому встановлюється, як впливає зміна параметра в той чи інший бік на величину і вигляд кореня, а отже, і на відповідні показники якості.
Існують різні методи побудови кореневих годографів. Відомі праці в цьому напрямку були опубліковані К. Ф. Тодорчиком, Р. І. Івенсом (США) та ін. Крім кореневих годографів, у ТАК використовуються також так звані обернені методи, суть яких полягає в порівнянні ког ефіцієнтів дійсного рівняння системи з коефіцієнтами деякого еталонного рівняння. В результаті такого порівняння за розходженням значень коефіцієнтів рівнянь визначають якість реальної системи.
У загальному випадку рівняння лінійної замкнутої системи п-го порядку має вигляд
Ц/ +	+ ...+ ап1 р + а)х =	+ ... + Ьт_{ р + Ьт)/.
Дане рівняння замінюють деяким стандартним рівнянням на основі введення оператора О = р/ш0 (ш0 = 1/Т; Т — стала часу об’єкта) і ділення всіх коефіцієнтів рівняння на а0; змінні х і / будуть функціями безрозмірного часу т = шоі (/ — реальний час).
Стандартне рівняння матиме вигляд
(Р"+А Бп~1 + ... + АО + 1)х = (В От + В рт~‘+ ... + В\/, х	п-1	1	' К т	т-1	О-'*'’
де а ,	а.
А , =	А = -----^-7;
л“ апшо 1 «X
/>	Ь а
В = ------2—:... В = ——:,шп = т2.
т а а>п~т 0 а шп 0 Ь “о	по	п
Оскільки стандартна форма рівняння безрозмірна, дослідження багатьох систем з однаковими показниками якості, за винятком тривалості процесу, можна проводити по одному і тому самому рівнянню.
Методи стандартних діаграм, процесів і коефіцієнтів. Типові збурення. Характерним прикладом методу нормованих діаграм для систем третього порядку є розширена діаграма Вишнєградського, розглянута раніше.
Стандартні процеси дістають у системі при дії деяких типових (сган-
дартних) збурень. Рівняння системи при цьому записують у стандартній формі. Типові збурення використовують у теоретичних і експериментальних дослідженнях як деякі еталонні збурення, по яких визначається реакція системи і робляться відповідні висновки про ЇЇ ЯКІСТЬ.
Існують такі основні типові збурення.
Одиничний кидок навантаження (одиничне збурення) — це різке збільшення прийнятого за одиницю навантаження, що діє тривалий час. Його умовне позначення 1(0 (рис. 5. 10, а). Різкий скид одиничного навантаження відповідає графіку на рис. 5. 10, б.
Одиничний імпульс — типове збурення вигляду короткочасної дії одиничного навантаження, яке визначається як Г (0 (рис. 5. 11, а).
Гармонічні одиничні коливання є синусоїдальними коливаннями з амплітудою, прийнятою за одиницю (період коливань Т — стала величина) (рис. 5. 11, б). Такі типові збурення використовуються також при знаходженні частотних характеристик ланок.
Прикладом використання методів стандартних процесів може бути формула оптимального процесу, яку дістав Солодовніков:
1 ,	т , т
Ці) ~а (і- -^)2 1[/ -	+
+ У (і- \пг)2 И/ - топт],
де а = ЛсДй2 — прискорення; т — безрозмірний час оптимального процесу. ОГ^т
Усталене значення регульованої величини хопт(°°) = Для оптимального процесу можна вважати, що відхилення після його завершення дорівнюватиме нулю, тому
X пт(о°) = и (0),
де и (і) — керуюча дія; и(0) — початкове значення керуючої дії. Звідси
"^опт
У даному випадку дослідження проводилося при умові дії на систему деякого стандартного, одиничного збурення (одиничного кидка навантаження).
Метод стандартних коефіцієнтів дає змогу вибрати параметри проектованої системи таким чином, щоб дістати перехідний процес, що відповідає стандартній системі.
Процес у реальній системі буде тим ближче до процесу в стандартній системі, чим ближче реальні коефіцієнти до відповідних коефіцієнтів стандартної системи. Для практичного використання даного методу потрібні таблиці, розраховані для типових передаточних функцій, і перетворення передаточних функцій реальної системи до вигляду, найбільш близькому (в ідеальному випадку — такому, що повністю збігається) до вигляду типової передаточної функції.
Так, при передаточній стандартній функції замкнутої системи вигляду
лп + Ап_іІУ-і + ... + ДГ> + 1 найкращими за величиною перерегулювання (сг «£ 10 %) є коефіцієнти, які було знайдено з умови розподілу коренів за арифметичною прогресією (табл. 5.1).
Таблиця 5. 1
Перший член прогресії коренів	Різннця прогресії	Характеристичне рівняння замкнутої системи ІГ + Ля4Л71-1 +...+А1Л + Ао « 0	Примітки
0,5	2	Р2 + 2,5Р + 1-0	О- < 10 % , процес у безрозмірному часі
0,183	1,517	Р3 + 5,ІР2 + 6,ЗР + 1-0	—
0,098	1,138	Р4 + 7.2Р3 + 16Р2 + 12Р + 1 - 0	—
0,063	0,867	Р5 + 9Р4 + 29Р3 + 38Р2 + 18Р + 1 - 0	—
0,039	0,717	Р6 + 11Р5 + 43Р4 + 83Р3 + 73Р2 + +25Р + 1-0	—
Для передаточних функцій вигляду
ВЛУ + Вр + Ва
“ ІУ + Ап_р”~і + ... +	+ 1’
ІУ + Ап_р*-1 + ... + Ар + 1 аналогічні таблиці наведено в праці [14].
Для об’єктивності оцінки розглянутих методів слід зазначити, що деякі з них, крім їх наближеності, потребують досить трудомістких розрахунків.
Інтегральні методи оцінки якості. Інтегральними називають методи, при яких показники якості оцінюються по інтегралу, що є функцією перехідного процесу відхилення регульованої величини від заданого значення (похибки) або незбуреної складової хпср(0 в розв’язку рівняння процесу регулювання
о	х($ =	+ х<у
За допомогою інтегральних критеріїв оцінюють відхилення регульованої величини і швидкодію системи.
Для оцінки перехідних процесів без перерегулювання (рис. 5. 12, а) використовують інтегральний критерій вигляду 00
1 = І ^ерСОЛ-
0	(5. 9)
Він визначає площу, обмежену кривою \ср(0 за час перехідного процесу. Чим менша ця площа 5 = / х (1)^.1 , тим більша швидкодія сис-0
теми (при однакових початкових умовах хп (0)). Тому параметри системи в даному випадку слід вибирати з умови
Рис. 5. 12
а . (ІН А
5 == тіп; -у-г = 0, аА
де А — настроювальний параметр системи.
Для розрахунку інтеграла (5. 9) академіком Кулебакіним було запропоновано таку методику.
З рівняння незбурених коливань системи
сіпх ,	,	сіх , п
Ог,—+ <2,-77—Г + ... + а.	77 + <2„Х = 0
а СІЇ1 і(Ип~1	71-1 <11	*
знаходять величину
1 , сіпх
X = Х„г„ ----------/<2л~7Г
р	ап \ 0
яку підставляють у формулу (5. 9):
, с 1 7 / и.
І = 5 = - —	4-
(їх
(їх
“і" \ —•	--/
1 І (Іп~1Х ,	, І
=------ао7к»-7 + • • • + а ,х .
ап 1 °(1іп 1	л 1 1
Оскільки значення похідних і самого х = хпер після закінчення перехідного процесу при і = оо дорівнюють нулю, можна дістати
5 = І[ао%^ + -+а—Х<0)]-
_	<Г'х(О)	.	. .
Позначивши-----—Vх = хг (0) і так далі, дістанемо
аг ~1
5 = —ГаЛ" '(0) + ... + а х(0)"| .
ап\_ 0 к '	п-і V ']	(5 10)
Із останньої формули випливає, що інтегральний критерій залежить від параметрів ланок системи, початкових умов і (п - 1) похідних від початкових умов.
Для перехідних процесів з перерегулюванням знайдений критерій не можна використати, тому що мінімум інтеграла (площі) згідно з (5. 10) відповідатиме гармонічним коливанням. Тому для оцінки якості коливальних процесів користуються квадратичним інтегралом, який враховує абсолютне значення «додатних» і «від’ємних» площин:
00
А = = / ІМОГ*
о	(и. 11)
Існують різні методи обчислення квадратичного інтеграла. Розглянемо формулу, запропоновану А. А. Красовським, “	1
І = Г х2 (ЛЛ = -4-х
2	„ п'р 2а А
0	п
ЬЬ.
X (ДА, + А + ВЛ, + В-Д-) -	,
\ т т т -1 т ~ і	І і оо/ ^2	7	12)
де А — детермінант и-го порядку, розрахований по коефіцієнтах а ,..., аІ лівої частини рівняння процесу регулювання — характеристичного рівняння замкнутої системи (або знаменника передаточної функції). Детермінанти Ар, . . . , Аи, або в загальному випадку детермінант Аа, можна дістати з основного детермінанта А заміною стовпчика т — к +1 стовпчиком
а , п - 1
а п о
о
ал-а„_2 а„_4...О
0 а . — а ,... 0
V	-1	^п-3
0 а» — а„ _, • • • 0
0	0	0	...а.
Наприклад, для знаходження визначника Ат у визначнику А слід замінити перший стовпчик (т — т + 1 = 1 ), після чого дістанемо
а , — а , а л... 0
а а — а ,... 0
п	п — І	п — 3
0	— а а ,...0
А =	л	п~2
«	0	0-а ,... 0 •
п -1
о о о ... - ^
Коефіцієнти Во, . . . , Вт знаходять так:
н = & ; В, = Л2_, - 2ЬЬ  и	т7 і	ті	п т 2’
В. = 2Ь . , + ... + 2( — Г)кЬЬ2к, Вм = Й,
де Ьо,... ,Ьт — коефіцієнти правої частини рівняння замкнутої системи (або чисельника відповідної передаточної функції).
На основі розглянутих формул було побудовано таблиці розрахунку квадратичного інтеграла як функції коефіцієнтів Ь№ . . . , Ьт і а0, . . .,ап при різних значеннях п (до п = 10). Для значення п = 1-ї-5 такі дані наведено в табл. 5. 2.
Таблиця 5. 2
Значення п	Значення квадратичного інтеграла
1	
2	Чо + Ь0а2 Чаіа2
3	ФзЯ2 + (61 ~ 2Ь2ЬоУаЗаО + 623130 2Уз<аіа2 - У 3>
4	Ьо(~	+ а4аЗа2> +	~ 2Ь2Ь0>а4аза0 + (62 ~ 2Ь3Ь1> 2а4ао(~ а4а1 — аЗа0 + аіа2аз)
5	2Д	(^1 ”	^2 ~	(^3 ~	^4^4^’ 5
де /По = —	- а4т2);	т2 = -а5а0 + аАа;,
0
т= — (а_т - атУ т= ~ (сип - атУ А = а, (агп. - а.т. + ат).
З п 32	11	4	/7	3	12'5	544	23	02^
5	5
Крім розглянутих, відомі й інші види інтегральних оцінок (критеріїв).
Приклад 5. 2. Визначити коефіцієнт підсилення системи, який забезпечить мінімум квадратичної інтегральної оцінки, якщо передаточна функція замкнутої системи при одиничному вхідному сигналі після перетворень має вигляд
р2ТТ +р(Т + Т) + 1
Ф(р) = ----’-Ц--!--------,
р^^ + р^ + Г^+р + к
де - 0,01 с ; Т2 — 0,03 с.
Розв'язання. В даному разі п. = 3. Знайдемо значення коефіцієнтів а0, а„ а^, а2 і *о> Ьх, Ь?
Ь - а - ТТ - 0,01 0,03 - 3-Ю , Ь - а - Т+ Т= 0,01 + 0,03 - 4-Ю’2;
К = а2 ~ 1; аз ~ к'
На основі табл. 5. 2 обчислимо
2 ЧА^-Уз)
= аоагЧ^-^ = аі-^~ао) - к21а2 + к2аоа{ 2(ка{ - к2ао) '
Знайдемо частинну похідну дУ2/ дк і прирівняємо її до нуля:
дІ2 1	~ Ц “ Ч> “ [к^ ~ а0> + аі] ^1 ~ 2а0*>
дк ~ 2	”	’	~ °
Ла( - као)2 або к2а0(а2 - а0) + Іа^к - а* = 0.
Підставивши числові значення коефіцієнтів, дістанемо квадратне рівняння к2 — 65,5 к — 41 102 - 0,
звідки знайдемо оптимальне значення коефіцієнта підсилення розімкнутої системи: А:оггг=37.
Частотні методи оцінки якості САР. Частотні методи дослідження, які дістали найбільше поширення на практиці, базуються на математичній залежності характеристики перехідного процесу х(/) від дійсної (суттєвої) частотної характеристики замкнутої системи за збуренням г/(о>) (або за заданим сигналом). В основі доведення цієї залежності лежить відоме положення, що будь-яку періодичну обмежену дійсну функцію, яка має скінченну кількість розривів і екстремумів, можна розкласти в нескінченний ряд синусоїдальних функцій — ряд Фур’є.
При доведенні функціональної залежності
х(0 = / [ІР (о>)] виходять з того, що в системі діє збурення у вигляді одиничного кидка збурення 1 [Д яке розкладається в ряд Фур’є.
В результаті цього доведення і досить складних перетворень було знайдено відому залежність
х(ї) = — (	ЗІП ШІСІСО .
Л0 "	(5.13)
Дійсну частотну характеристику замкнутої системи за збуренням IIі\ш) знаходять з виразу відповідної передаточної функції замкнутої системи
= їтИр)’
де И-^(р) — передаточна функція об’єкта за збуренням; ИЧр) — передаточна функція розімкнутої системи.
Після підстановки р = у вираз (р) дістанемо амплітудно-фазову частотну характеристику замкнутої системи за збуренням:
Ж7 (]ш) =	+ і/(ш),
де	— відповідно уявна і дійсна частотні характеристики
замкнутої системи за збуренням. Останню з них і використовують у формулі (5. 13).
Практично розгляд характеристики	обмежується зоною
суттєвих частот <ус.
Під зоною суттєвих частот розуміють зону зміни частоти <у від 0 до а»с, в якій виконується умова
ЩО) Щ<*с)
(при а) > ш ця умова не порушується).
В зоні суттєвих частот виконується апроксимація характеристики ї/(<у), яку замінюють рівнозначними фігурами Н(а) — трапеціями і трикутниками.
При заміні в зоні суттєвих частот мають виконуватись такі правила.
1.	Прямолінійні частини фігур Н(ш} мають по можливості точно збігатися з кривою 1/(ш).
2.	Всі п фігур (трапеції і трикутники) повинні мати однією з своїх сторін вертикальну вісь.
3.	Алгебраїчна сума площ всіх п фігур, якими замінюють характеристику ї/(о>), має дорівнювати площі, обмеженій характеристикою іЛш).
4.	Кількість фігур п має бути по можливості менша.
Після заміни і/(ш) рівнозначними фігурами
п
= Е
обмежуючись розглядом інтеграла в зоні суттєвих частот, записуємо
2 А
х(1) =	-----ЗІпаДйш.
л £ о "	(5.14)
Із формули (5. 14) робимо висновок, що ординату перехідного про-
цесу х(1) можна дістати як величину, пропорційну сумі площ (інтегралів) еквівалентних фігур.
На рис. 5. 13, а, б, в, г показано деякі види характеристик і фігури, які їх замінюють.
Характеристику на рис. 5.13, а замінено двома трапеціями Л7 і N2 (рис. 5. 13, б). Загальна алгебраїчна площа обох фігур 25 = 5М — 5^ дорівнює площі, обмеженій характеристикою ї/(ш) і горизонтальною віссю.
Характеристика 1}!(о)\ показана на рис. 5. 13, в, г, апроксимується трьома фігурами: трикутником (Л7) і двома трапеціями (N2 і N3).
Загальну площу всіх трьох фігур обчислюємо за формулою
25 = 5М + 5^	8т.
Площа 25 дорівнює площі, обмеженій характеристикою ІҐ(о)\ тому що частина додатної площі трапеції N2 компенсується відповідною частиною від’ємної площі трапеції N3.
Метод одиничних трапецій і трикутників. Для зручності обчислення інтегралів різних фігур, якими можна замінити характеристики ІЗ^оА різних реальних систем в ТАК, було введено поняття одиничних (типових) трапецій і трикутників, а також побудовано спеціальні таблиці, які дістали назву таблиць к-функщй (табл. 5. З, 5. 4). У цих таблицях наведено результати розрахунків інтегралів вигляду
У 5ІП 0)1(10) різних одиничних фігур. (Для одиничних фігур їх о
початкова висота /і0 і діапазон пропускання частот а)і дорівнюють одиниці).
Розглянемо деяку трапецію (рис. 5. 14). Трапеція характеризується початковим значенням Н(о)) = Но, коефіцієнтом нахилу її сторони г = =а)0 / <ур а також інтервалом пропускання частоти а>,.
Розрахуємо перехідний процес відповідної трапеції при Н(0) = Но = 1: при 0 < а) < а)0 при	а) > а>1
при	а)п < о) < а).
0	1	", - "о'
де (о — поточне значення частоти. (Останній вираз Н дістали з врахуванням подібності трикутників АВС і АОК, на основі чого можна за-
0) — о)а писати х/1 = Ь/с =------. )
щ - о)о
Позначимо перехідну функцію одиничної трапеції Л/ґ).
Н = 0,
Підставляючи відповідні значення Н{со) в формулу (5.14) і інтегруючи у певних межах, дістанемо
а) - <у0
„	,	.	"1(1---------------) 8ІП 0)1
,	2 г 1  51П оЯ 2 г «і - "о
/1,(0 = —	--------(ІО) + — І ---------------------------(ІО) =
4у 7 Л •>	0)	Л •>	0)
0	"о
"1 "1
51П 0)1 ,	2 Г 51П 0)1 ,	2 г ш ~ 8ІП 0)1 ,
--------ао) + — І ---------ао)----------------------------(1а>.
0)	Л •>	0)	Л •> 0), — 0).	0)
"о	"о 1	0
о
о
8ІПШІ ,	„
———аоо = Зіші є інтегральним синусом. Величини 81
Величина § о інтегральних синусів, обчислені при відповідних значеннях оЯ, наво--	Г •	СО8ШІ
дяться в таблицях. Маючи на увазі, що 8іп оЯсіо)  ----—, записуємо
і,	2 _ .	, 2 _	2 с 2	/•
Л,(0 = — 8о).і + —8 оо,І-------5а).і----
^7	Л '	0 Л ‘	1 Л ‘	0 Л	•>
"0
8ІП 0)1 , --------------(ІО) + О). — й)л
і
2 "о І
ТІШ, ~ 0)п-І
1 *ч
8ШйЛ ,	2О. , , 2	1
------(іо) = — 8і о),1 + —--------- 71	1 ЛІ 0)і - 0)0
2аі0
8іп&0---------------сЗійіл,
1 п ("і ~ "о)	0
0)
0)„ о
[ СО8 О).І — СО8 о)й1 ] +
або
2 Лі(0 =
<у0
. (СО5 0),І - СО8<У„0 + -----------(8І О),І - 8Ій>пО] .
і(0)і ~ <У0) 4	1	0 ’	0)^ - 0)д У 1	Г)!
2
71	~ "о
1
Для одиничної трапеції Но = 1, о)і = 1, V = <у0; тоді
,	2	1(СО81 — СО8 VI) V г„.	_. ,,
Й1(О = — І8і / + -1—л--г—-----------[ 811 - 8і Уї]1.
14 ' лі	(1 - V)!	1-У	і
Цей вираз визначає характер залежності перехідної функції одиничної трапеції від двох величин:
= / (V,/).
Для типового (одиничного) трикутника при МО) = 1 і <у, = 1 значення перехідної функції /![(() дістанемо з виразу для одиничної трапеції, поклавши о)о = 0, V = 0. Тоді матимемо
/1,(0 = ^(8ії-^^).
Видно, що перехідна функція для одиничного трикутника Є функцією лише однієї величини — часу ї.
Ції = /(/).
Знамення /г-функції одиничних трапецій при різних V і і наведено в табл. 5. З, а для одиничних трикутників при різних І — в табл. 5. 4. При цьому замість реального часу І в таблицях взято так званий табличний час т = ші.
При користуванні таблицями для одиничних фігур з метою обчислення ординат перехідного процесу, що відповідають деякому реальному моменту часу і. і реальним фігурам, які апроксимують характеристику слід дотримуватися такої методики.
1.	Задаємо значення реального часу іх, для якого знаходимо відповідне значення табличного часу:
де — частота пропускання реальної фігури Я(<у).
2.	Для реальних трапецій визначаємо нахил сторони реальної трасо.
пеції V — і по таблицях /г-функцій типових трапецій з нахилом рт = рр р ^ір
знаходимо відповідне значення
3.	Знайдені з таблиць значення множимо на Яр відповідної реальної фігури і, як результат, дістаємо складову ординати реального перехідного процесу, що відповідає даній фігурі. Подібним чином проводимо розрахунки і для інших фігур:
х/їД = /і/їДЯр! (для фігури А7),
Хп(1} = К^1)НР <ДЛЯ фігури И).
4.	Результуючу ординату перехідного процесу знаходимо як алгебраїчну суму ординат всіх фігур для даного моменту часу:
(^ + • • • + *„
5.	Аналогічно знаходимо ординати перехідного процесу і для інших моментів часу, після чого по точках будуємо характеристику х(ї).
Розглянемо конкретний приклад побудови характеристики перехідного процесу.
Приклад 5. 3. Побудувати перехідну характеристику для системи з передаточною функцією за збуренням вигляду -------------------------------------------------
р3 + 4,5р2 +14,5р + 20
Розв’язання. Амплітудно-фазова частотна характеристика за збуренням має вигляд
И") = ——2^13 .................=
—]аг — 4,5а>2 + 14,5/® + 20
—	+ 3)[(20 - 4,5а>2) -/(14,5 — <и3)]
(20 - 4,5а>2)2 + (14,5а> - а?)2
а дійсна частотна характеристика — вигляд
								Л-функції для трапеції	
	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45
-- 0.0	0.000....	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
_ 0.5	0.165	0.176	0.184	0.192	0.199	0.207	0,215	0.223	0.231
1.0	0.325	0.340	0.356	0.371	0.386	0.402	0 417	0.432	0.447
	0.469	0.494	,..0.516	0.538	0.560	0.594	0.603	0.617	0.646
_ 2.0	0.560	0.628	0.655	0.682	0.709	0.732	0,761	0.785	0.810
2.5	0.707	0.739	0.771	0.802	0.833	0.862	0.891	0.917	0.943
3.0	0.792	0.828	0.863	0.895	0.928	0.958	0.986	1.013	1.038
_А5		0.853	0.892	0.928	0.963	0.994	1.024	0.050	1.074	1.095
_ 4.0		0.898	_О£37_	0.974	1.008	1.039	1.06	1,090	1.110	1.127
4.5	0.923		0.960	0.998	1.029	1.057	1.084	1.104	1.120	1.129
__ЗД_		0.939	0,977	1.012		1.042	1.067	1.087	1.102	1.112	1.117
_ 5,5		0.940	0.986	1.015	1.042	1.063	1.079	1.088	1.092	1.096
__62Ь_	0,945.	0.981	1.013	1.037	1.054	1.065	1.070	1.068	1.062
6.5	0.943	0,980	1.009	1.029	1.043	1.050	1.049	1.043	1.033
7,0	0.945	0.978	1.006	1,024	1.034	1.037	1.033	1.023	1.009
_ 7.5	0.945	0.980	1.005	1.021	1.027	1.027	1.020	1.005	0.989
8.0	0.951	0.983	1.007	1.020	1.024	1.021	1.011	0.998	0.982
_ 8.5	0.956	0,989	1.010	1.021	1.024	1.018	1,007	0.993	0.978
9.0	0.966	0.996	1.016	1.025	1.025	1.017	1.006	0.992	0.978
._ 9.5 ...	0.972	1,004	1.020	1.028	1.026	1.018	1.006	0.993	0.982
10.0	0.980	1.009	1.025	1.030	1.027	1.018	1.005	0.994	0.985
10.5	0.985_	1.013	1.028	1.031	1.026	1.016	1.004	0.994	0.989
11.0		1.015	1.028	.1.030	1.024	1.013	1.002	0.993	0.990
11.5	0.988	1.016	г 1.027	1.028	1.021	1.010	0.998	0.991	0.991
12.0	0.990	1.015	1.025	1.024	1.015	1.004	0.994	0.998	0.990
12.5	0.989	ШЗ—	1.022	1.019	1.010	0.998	0.990	0.986	0.989
13.0	0.980	1.012	1.019	1.015	1.004	0.993	0.986	0.984	0.989
_ 13,5	0.990	1.011		1-016	1.011	1.000	0.990	0.983	0.984	0.989
_,и.о.	0.990	1,010	1.015	1.008	0.997	0.987	0.983	0.985	0.991
-14Л-	0.990	1.011	1.014	1.008	0.996	0.986	0.984	0.987	0.994
-15,0	0.993	1.012	1.014	1.006	0.995	0.987	0.986	0.991	0.998
_ 15.5 ..	0,995	1.013	1.014	1.006	0.995	0.989	0.889	0.995	1.002
16.0 . ..	0.998	1.015	1.014	1.006	0.995	0.990	0.992	0.999	1.007
16.5	0,999	1.016	1.015	1.005	0.996	0.992	0.995	1.002	1.009
17.0	1.001	1.016	1.014	1.005	0.996	0.993	0.998	1.005	1.011
17.5	1.002	1.016	-1.013	1.003	0.995	0.994	0.999	1.007	1.011
- 18.0	1.002	1.015	1.012	1.002	0.994	0.994	1.000	1.007	1.010
18,5	1.001	1.014	1.010	1.000	0.993	0.994	1.001	1.007	1.009
19.0.. .	1.002	1.013	1.008	0.998	0.992	0.994	1.001	1.006	1.006
19.5	1.001	1.012	1.006	0.996	0.991	0.994	1.001	1.005	1.004
20.0	1.001	1.011	1.004	0,995	0.991	0.994	1.001	1.004	1.001
20.5	1.002	1.010	1.003	0.994	0.991	0.995	1.001	1.003	0.000
21.0	1.002	1.010	1.003	0.994	0.991	0.996	1.002	1.003	0.999
21.5	1,003	1.010	1.002	0.994	0.992	0.999	1.004	1.003	0.998
	22.0	1.004	1.011	1.002	0.994	0.994	1.000	1.005	1.004	0.998
22,5	1,005	1.011	1.002	0.995	0.995	1.002	1.006	1.004	0.998
23,0	1.006	1.011	1.002	0.995	0.997	1.003	1.006	1.004	0.998
23.5	1.006	1.011	1.002	0.995	0.998	1.004	1.006	1.003	0.998
24,0	1.006	1.010	1-001	0.995	0.998	1.005	1.006	1.002	0.998
. 24.5	1.006	1.009	1.000	0.995	0.999	1.005	1.005	1.000	0.997
25.0	1.006	1.008	0.999	0.995	0.999	1.004	1.004	0.999	0.996
25.5	1.006	1.007		0.998	0.994	0.999	1.004	1.002	0.997	0.996
26.0	1.006	1.006	0.997	0,994	0,999	1.003	1,001	- 0.996	0.996
з коефіцієнтом нахилу V
0,50	0,55	0,60	0,65	0,70	0,75	0,80	0,85 ]	0,90	0,95	1,00
0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
0.240	0.248	0.255	0.259	0.267	0.275	0.282	0.290	0.297	0.304	0.314
0.461	0.476	0.490	0.505	0.519	0,534	0.547	0.561	0.575	0.590	0.602
0.665	0.685	0.706	0.722	0.740	0.758	0.776	0.794	0.813	0.832	0.844
0.831	0.856	0.878	0.899	0.919	0.938	0.957	0.974	0.991	1.008	1.022
0.967	0.985	1.010	1.030	1.050	1.067	1.084	1.090	1.051	1.120	1.133
1.061	1.081	1.100	1.116	1.131	1.143	1.154	1.162	1.169	1.175	1.177
1.115	1.132	1.145	1.158	1.165	1.170	1.174	1.174	1.175	1.176	1.175
1.141	1.151	1.158	1.162	1.163	1.161	1.156	1.150	1.141	1.132	1.119
1.138	1.141	1.141	1.138	1.132	1.127	1.111	1.099	1.085	1.071	1.053
1.117	1.114	1.107	1.097	1.084	1.069	1.053	1.036	1.119	1.003	0.987
1.090	1.076	1.064	1.050	1.032	1.016	0.994	0.979	0.962	0.951	0.932
1.051	1.036	1.020	1.001	0.984	0.956	0.949	0.934	0.922	0.914	0.907
1.018	1.001	0.982	0.965	0.948	0.936	0.920	0.910	0.906	0.904	0.905
0.992	0.975	0.957	0.941	0.927	0.917	0.911	0.909	0.911	0.917	0.926
0.974	0.956	0.944	0.931	0.922	0.919	0.920	0.927	0.934	0.946	0.962
0.966	0.952	0.941	0.934	0.932	0.936	0.944	0.955	0.970	0.986	1.002
0.964	0.954	0.948	0.948	0.951	0.958	0.974	0.900	1.006	1.023	1.041
0.968	0.962	0.961	0.967	0.976	0.990	1.006	1.023	1.038	1.051	1,060
0.975	0.972	0.977	0.987	1.000	1.015	1.033	1.048	1.059	1.065	1.066
0.982	0.984	0.993	1.О06	1.020	1.036	1.049	1.059	1.063	1.062	1.056
0.988	0.994	1.005	1.019	1.033	1.046	1.054	1.058	1.055	1.048	1.033
0.993	1.001	1.014	1.027	1.039	2.047	1.048	1.044	1.034	1.021	1.005
0.996	1.006	1.017	1.029	1.037	1.039	1.034	1.024	1.010	0.994	0.977
0.997	1.007	1.018	1.026	1.029	1.025	1.015	1.000	0.984	0.970	0.958
0.997	1.007	1.015	1.019	1.017	1.010	0.995	0.980	0.965	0.955	0.950
0.997	1.006	1.012	1.012	1.005	0.993	0.980	0.965	0.955	0.952	0.955
0.998	1.005	1.008	1.004	0.995	0.982	0.968	0.958	0.954	0.958	0.975
0.999	1.005	1.005	0.998	0.987	0.975'	0.965	0.961	0.965	0.976	0.991
1.002	1.005	1.003	0.994	0.983	0.970	0.969	0.971	0.981	0.997	1.010
1.005	1.006	1.002	0.994	0.983	0.977	0.978	0.987	1.001	1.018	1.032
1.008	1.007	1.001	0.992	0.985	0.984	0.991	1.003	0.008	1.032	1.048
1.010	1.008	1.001	0.994	0.990	0.993	1.003	1.018	1.031	1.040	1.039
1.011	1.008	1.001	0.995	0.995	1.001	1.014	1.027	1.035	1.037	1.028
1.012	1.007	1.000	0.996	0.999	1.008	1.020	1.030	1.032	1.026	1.012
1.009	1.005	0.998	0.997	1.002	1.012	1.023	1.027	1.023	1.013	0.994
1.008	1.001	0.997	0.997	1.004	1.014	1.020	1.018	1.008	0.993	0.978
1.005	0.999	0.995	0.997	1.005	1.012	1.014	1.007	0.993	0.978	0.969
1.001	0.995	0.993	0.997	1.004	1.009	1.006	0.995	0.981	0.970	0.967
0.998	0.992	0.992	0.997	1.003	1.005	0.998	0.985	0.973	0.967	0.973
0.995	0.991	0.992	0.998	1.003	1.001	0.991	0.980	0.972	0.975	0.986
0.994	0.991	0.994	0.999	1.002	0.998	0.987	0.978	0.977	0.990	1.001
0.993	0.992	0.996	1.001	1.002	0.996	0.987	0.982	0.989	1.001	1.015
0.994	0.995	0.999	0.995	1.002	0.995	0.988	0.988	0.988	1.013	1.025
0.995	0.997	1.000	1.004	1.002	0.995	0.991	0.997	1.010	1.024	1.029
0.996	1.000	1.005	1.005	1.002	0.996	0.996	1.006	1.018	1.028	1.028
0.997	1.002	1.007	1.007	1.002	0.997	1.001	1.011	1.022	1.025	1.016
0.998	1.003	1.008	1.006	1.001	0.998	1.004	1.015	1.021	1.016	1.002
0.999	1.004	1.007	1.004	0.999	0.999	1.007	1.015	1.016	-1006.	0.990
1.000	1.004	1.006	1.002	0.998	0.999	1.007	1.012	1.007	.0,995	0,979
1,000	1.004	1.004	0.999	0.996	1.000	1.007	1.008	0.998	. 0,984._	0,975
1.000	1.003	1.002	0.997	0.995	1.000	1.005	1.001	0983..	. 0,978..	-0,972..
.1000-	_1002_	0-999	_А395_	_М35_	 1.000	-1002-	1 0.997-	1 0.98.4-	0.978	3X981
Л-функції для трикутників					
г	Л	г	н	г	Л
0.00	0.00000	0.62	0.195	4.2	0.868
0.01	0.00318	0.65	0204	4.5	0.882
0.02	0.0063	0.67	0.211	4.7	0.898
0.03	0.0095	0.70	0.220	5.0	0.895
0.04	0.0127	0.72	0226	5.4	0.901
0.05	0.0159	0.75	0.2.35	5.8	0903
0.06	0.0191	0.80	0.25	6.0	0.903
0.07	0.022	0.82	0.256	7.0	0.904
0.08	0.0254	0.85	0.265	7.6	0.907
0.09	0.0286	0.87	0.271	8.0	0.911
0.10	0.0318	090	0.28	8.8	0.922
0.12	0.038	092	0.286	9.0	0.925
0.15	0.0477	0.95	0.295	10.0	0.939
0.17	0.054	0.97	0.301	11.0	0.947
0.20	0.064	1.00	0.310	12.0	0.950
0.22	0.07	1.2	0.367	14.0	0.951
0.30	0.095	1.5	0.449	15.0	0 956
0.32	0.10	1.7	0.50	16.0	0.961
0.35	0.11	2.0	0.571	17.0	0.965
0.37	0.12	2.2	0.615	18.0	0.966
040	0.127	2.5	0.674	19.0	0.966
042	0.1.33	2.7	0.709	200	0 967
0.45	0.142	3.0	0.755	30.0	0.980
0.47	0.149	32	0.811	40.0	0.984
0.50	0.158	3.5	0.815	100.0	0.994
0.52	0.164	3.7	0.830	120.0	0.995
	(Ш)		0.189			40		0-856		
-	60 + а>2-а>4
V(ш) = --------5-----5------
(20 - 4,5а>2) + а>2 (14,5 — ш2)2
Знайдемо значення ^(ш) при зміні частоти ш. Результати розрахунків наведено в табл. 5. 5.
Таблиця 5. 5
ш	0	1	2	3	4	5	7	9	10
Ц’їаА	015	014	011	-0,02	-0.07		-о.оз	-0,013	-0.01
За даними табл. 5. 5 побудуємо характеристику І/Чш) (рис. 5. 15, а).
Дійсною частотою вважаємо а>с - 9, для якої
= ОД5/ОД13 = 11,5 >10. и’(ю )
На рис. 5.15, б показано три еквівалентні фігури, якими апроксимується характеристика Гг(а>). Параметри фігур:
фігура N1 — трапеція ОАСО*
Н - 0,11 + 0,07 - 0,18;	-2,75;
Р	275 Р
-3,2; г, = 0,85;
Ир	ір 3,2
фігура N2 — трапеція ОНЕР,
Н. - 0,07; <о - 4,0;	- 9; V = ^ = 0,4;
2р	02р	12р	9,0
н. = 0,04; а> = 2,75. Зр	ІЗр
Побудуємо ординату перехідного процесу для реального моменту часу І - 1 с. Знайдемо табличний час для відповідних фігур	р •
ТЛ/, “ Ч, і ~ 3,2 ’1 = 3,2;
N1	Ир р
т	= а>	І	-	9,0;
N2 12р р	*
т	= ш	І = 2,75.
_	-	лЗ ІЗр р
За даними таблиць л-функціи по відповідних значеннях V і т (для трапецій) 1 вели-чині тЛ,5 (для трикутника) знайдемо значення Л-функцій для фігур N1, N2, N3:
Рис. 5. 16
Мі)и, = 1,16; Мі)и, - 0,99;
N1	N2
Л(/)м-0,71.
Помноживши знайдені табличні значення Мі) на ординати відповідних реальних фігур /7р, дістанемо ординати х/Гр) відповідних фігур
хр) - Мі)н]Н - 1,16 0,18 - 0,21;
хЛІ ) - Мі) Н. - 0,99 0,07 - 0,07;
2 р	N2 2р
х(1 ) -	- 0,71 0,04 - 0,03.
З р	N3 Зр
Врахувавши знак х2 (Гр), знайдемо результуючу ординату перехідної характеристики при І =1 с
Р х. (і ) х<і ) - х({ ) + х (І ) - 0,21 - 0,07 + 0,03 - 0,17.
2, р 1 р 2 р 3 р
Аналогічно можна дістати й інші ординати перехідного процесу при різних значеннях реального часу і і побудувати відповідну характеристику.
Наведена методика дає можливість побудувати перехідну характеристику за умови дії одиничного кидка навантаження Ш) і дістати відповіді на основні питання якості про характер перехідного процесу, його тривалість, величину перерегулювання.
Проведені дослідження дають можливість робити деякі оцінки якості САР безпосередньо за виглядом дійсної частотної характеристики замкнутої системи за збуренням
Основні висновки таких оцінок наведемо без доведень.
Е Якщо характеристика і/(со) при деякому значенні шк має розрив неперервності ([/(а)) = о»), то це означає наявність уявного кореня р. = в характеристичному рівнянні замкнутої системи і знаходження САР на межі стійкості (рис. 5. 16, а).
2.	Наявність високого і гострого шпилю характеристики і/7(ш), а також зміна її знака (рис. 5. 16, б) свідчать про мляве затухання коливального процесу.
Рис 5.17
3.	Для того щоб перерегулювання а не перевищувало 18 %, функція
1/(щ) має бути незростаючою, тобто Vі'(&) > 0 при < 0 (рис. 5.16, в).
4.	Максимальне значення перерегулювання (%) можна дістати за формулою
= 1»18^)Мх ~ ^(0) °тах
де ІҐ(а)) а, (/(0) — відповідно максимальне і початкове значення функції.
5.	Умова монотонності перехідного процесу має вигляд
> 0 при < 0.
6.	Якщо іЛа>) є приблизно трапецієподібна характеристика, то тривалість перехідного процесу знаходитиметься в межах
л 4л — <1 <—. а)1 пср а».
Якщо Vі(со) має максимум, то —/пер< Для характеристик які мають максимум, в технічній літературі наводяться криві, за якими ^(«>)тах залежно від величини	можна знайти перерегулювання а і час
регулювання т = а)^ (рис. 5. 17, а, б).
Відомі також номограми, які встановлюють взаємозалежність ординат дійсної та уявної частотних характеристик замкнутої системи по логарифмічних частотних характеристиках розімкнутої системи, а також діаграми, які дають залежність між перерегулюванням а, коли-вальністю ц, показниками ступеня затухання і запасу стійкості.
5. 4. ЧУТЛИВІСТЬ САК
Під чутливістю САК розуміють її властивість реагувати на зміну параметрів, що зумовлюється зміною умов зовнішнього середовища, їх характеристик, старінням елементів системи та ін.
Зміна параметрів ланок веде до зміни коефіцієнтів характеристичного рівняння і, як наслідок, — величини знака і вигляду коренів і показників якості системи. Це може також привести до втрати стійкості і роботоздатності системи.
Кількісна оцінка чутливості САК виконується за допомогою функції чутливості, яка є частинною похідною координати системи, або окремого показника якості по параметру системи, який змінюється (варіюється). Кількість функцій чутливості дорівнює кількості параметрів, які змінюються при роботі САК.
У загальному випадку функцію чутливості можна записати у вигляді
І дхЦ аг. ’ \ /о
де х — координата системи; Т. — змінний параметр.
Індекс 0 відповідає визначенню функції чутливості при початковому (номінальному) значенні параметрів системи.
Якщо = 0 (варіації параметрів відсутні і їх значення дорівнюють номінальному значенню), то систему називають вихідною. Рух такої системи (характер перехідних процесів) має назву основного руху.
Якщо II кі 0, то систему називають варіаційною, а її рух — варіаційним рухом.
Різниця між варіаційним і основним рухом системи є додатковий рух. При цьому мають на увазі різницю ординат відповідного руху в одні й ті самі моменти часу.
Нехай рівняння вихідної нелінійної системи має вигляд
сіх,
& ~ іі(Х1 ’ Х2 ’ • • • ’ Хп > ^11 ’ • • > ^т) >
де . . . , хп — координати; Т]5. . . , Тт — параметри системи.
При варіаційній зміні параметрів нове рівняння системи можна записати у вигляді п рівнянь першого порядку
-77 = /,(х.,...,х  Т, + АТ.,...,Т + АГ ).
(У даному випадку вважаємо, що зміна параметрів системи не веде до зміни порядку системи п.)
Додатковий рух системи у загальному випадку матиме вигляд
Якщо х. варіаційна і хк вихідної систем диференційовані по параметру Т (і - 1, . . . , т), то розкладаючи додатковий рух у ряд Тейлора за прирощенням параметра при умові малих відхилень, дістанемо
Дхі(ЛДТ1,...,ДТи) = 2	дт,.,
к = 1 \	'/ 0
де і = 1 , .. . , т.
Оскільки дхк І дТ. = II кі, то останній вираз можна записати у вигляді суми добутків функцій чутливості її і прирощень параметрів:
т
\хк(1,\Тх,...ЛТт) =
І = 1
Маючи значення функцій чутливості за величиною варіацій параметрів, можна знайти перше наближення виразу додаткового руху.
Дослідження властивостей чутливості системи в цілому може виконуватися на основі рівнянь чутливості системи, для знаходження яких необхідно продиференціювати всі п рівнянь першого порядку. При цьому лінійні рівняння чутливості системи в загальному випадку матимуть вигляд
д рхЛ _ (І ( дхк дТ. І <іі І (1і І дТі
ЛУкі _	(к = 1... п\
<И 2а дхі ік дТі = 1... т ’
На основі розв’язання рівнянь чутливості можна дістати функції чутливості 11 кі по відповідних параметрах Т,..
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Визначіть основні показники якості САК.
2.	Які показники характеризують коливальні перехідні процеси?
3.	Від яких факторів залежить якість САК?
4.	Чим і як визначаються статичні помилки в САК?
5.	Яким чином впливає розміщення коренів на комплексній площині коренів на характер перехідних процесів?
6.	Яким чином можна приблизно визначити тривалість перехідного процесу?
7.	Який вплив має розміщення нулів і полюсів передаточної функції на якість САР?
8.	Назвіть основні види типових збурень.
9.	Чим відрізняються інтегральні критерії оцінки аперіодичних і коливальних процесів?
10.	Як залежить перехідний процес від частотних характеристик системи?
11.	Яким чином використовують одиничні трапеції і трикутники для оцінки якості?
12.	Викладіть методику заміни дійсної частотної характеристики замкнутої системи за збуренням еквівалентними фігурами.
13.	Які особливості якості САК можна визначити за зовнішнім виглядом дійсної частотної характеристики замкнутої системи за збуренням?
14.	Дайте визначення чутливості САК і напишіть рівняння чутливості системи.
~	~ І
Глава 6 |
ПІДВИЩЕННЯ ЯКОСТІ І СИНТЕЗ ЛІНІЙНИХ САК
6. 1. ПОМИЛКИ В САР
Точність САР є одним із найважливіших показників якості систем, що має особливе значення для електромеханічних систем.
Залежно від виду технологічного процесу і особливостей об’єкта точність САР у багатьох випадках визначає якість продукції, експлуатаційну надійність, довговічність обладнання, безпеку обслуговування, техніко-економічні показники промислових установок (процесів).
Точність САР визначається величиною помилок (похибок). Залежно від режиму роботи системи існують два основних види помилок — статичні і динамічні.
Статична помилка системи Ах є відхилення усталеного значення регульованої величини х (ї), яке виникає після закінчення перехідного процесу х(0, від заданого значення х , коли всі параметри в системі збурення є сталими величинами:
Ахст = х°(ї) — хз.	(6.1)
Відхилення дійсного значення регульованої величини &х(і) від заданого під час перехідного процесу називають перехідною динамічною помилкою:
АхЦ) = х(г) — х3.	(6. 2)
Вона змінюється під час перехідного процесу. Статичні і перехідні динамічні помилки системи стабілізації показано на рис. 6.1, а, а слідкуючих (або програмних) систем — на рис. 6. 1, б. Позначивши програму зміни регульованої величини у(і), дістанемо перехідну динамічну помилку:
Ах (0 = х (і) — у (і).	(6. 3)
Відхилення регульованої величини від заданого значення після закінчення перехідного процесу Ах (і) в процесі слідкування називають усталеною помилкою в режимі слідкування із сталою швидкістю (на рис. 6. 1 Ах° — початкове розузгодження). Завдання замкнутих САР (стабілізації, слідкуючих, програмних) у загальному випадку полягає в забезпеченні такої зміни регульованої величини х(і), при якій відхилення від потрібного значення не перевищувало б допустимих 228

х(ії
Рис. 6. 1
відхилень за технологічними умовами. З цією метою параметри і вид регулятора мають бути узгоджені з параметрами і динамічними характеристиками об’єкта.
Основними причинами виникнення помилок в САР є: включення САР в роботу (при появі початкового розузгодження); переналагодження системи; зміни величини і виду збурення (збурень).
Відхилення в системі при включенні її в роботу або при переналагодженні виникають внаслідок інерційності об’єкта (системи). Наявність початкового розузгодження, як правило, веде до появи перерегулювання в системі.
Крім вказаних вище основних причин, помилки в САР можуть виникати також як результат зміни параметрів (про це детальніше сказано в п. 5. 4).
Статичну помилку лінійної САР, на об’єкт якої діють збурення /2 , . . . , /я , з врахуванням принципу суперпозиції можна визначити як суму помилок:
Ахст = Ахве + Ахзс + А/, + . . . + Д/я,	(6. 4)
де Ах , Ах — статичні помилки вимірювального і задаючого елементів.
Якщо Дх ^0, то система є статичною, при Ахст = 0 — астатичною.
Для слідкуючої (програмної) системи рівняння процесу регулювання (записане згідно з (3. 82) у відхиленнях) має вигляд
[Р(р) + 0(р)]Ах(0 = 8(р)Р1(р)А/(1) + <2я(р)Р2(р)Ау(ї) .	(6. 5)
Помилку програмної системи за збуренням А/(Ї,І знаходять при умові Ау(ї) = 0- При тій самій умові знаходять помилку і в системах стабілізації.
Помилку по задаючому сигналу Ау(ї) визначають при умові Д/(0 = 0.
Помилки слідкуючої системи, записані через передаточні функції за збуренням і завданням, матимуть вигляд
Ах(0 = Мр)А/(0 + ЇРу(р)Ау (і)	(6. 6)
або
ІУ'(р)	И^р)
^) =	ДХО, (67)
де И^(р),И^(р) — передаточні функції відповідно об’єкта за збуренням і системи за завданням; \¥(р) — передаточна функція розімкнутої системи.
Статичну помилку в цьому разі можна знайти при (-»<» (р-»0)
Дх(г) = Дх(
^(Р)
1 + И^р)
д/(0 + р=.О
^(Р)
і + и^р)
Ду(0.
р“0
(6. 8)
У слідкуючих (програмних) системах (рис. 6.2) дослідження здебільшого ведуть стосовно величини розузгодження є(Й на виході вузла порівняння, яку в цьому випадку називають помилкою слідкування (або просто помилкою)
є(0 = у (0 — х (І).	(6. 9)
Оскільки вузол порівняння ВП є безінерційною ланкою з коефіцієнтом передачі, що дорівнює одиниці, то передаточна функція слідкуючої системи по помилці матиме вигляд
УїҐґр) =	= --------
у(і) 1 + ИЧр)-.	(6.10)
Рівняння помилки в цьому випадку запишеться так:
‘(0 - "40X0 -	Х0-	,6.щ
6. 2. ТИПОВІ РЕЖИМИ РОБОТИ І ЗНАХОДЖЕННЯ ПОМИЛОК САР
Як видно з наведених вище виразів для помилок, і статична Дх , і динамічна Дх(ї) помилки залежать від відповідних передаточних функцій, зовнішних збурень і задаючих сигналів.
Типові режими роботи САР. За характером зовнішніх збурень розрізняють такі типові режими роботи САР.
1. Статичний режим — режим, при якому всі зовнішні дії на систему і всі координати системи не змінюються, тобто
/(/) = сопзі; у (0 = сопзі.	(6. 12)
2. Усталений динамімний режим — режим, при якому зовнішні дії на
систему змінюються за деяким законом. Такі режими характерні для слідкуючих і програмних САК.
Залежно від характеру дії збурення існують відповідні закони зміни збурення:
1)	дія (збурення) змінюється із сталою швидкістю-.
(і//сії = р/ = V = сопзі або ЛуІФ. = ру = V *= сопзі; (6. 13) у цьому випадку / = т/р = сопзі; у - у/р;
2)	дія на систему змінюється із сталим прискоренням.
(Ру 2
—у = р у = а = сопзі;
(її2	(6.14)
при цьому у = а/р2-,
3)	задаюча дія змінюється за гармонічним законом
У(І) = Л,ах5ІП	(6. 15)
де угаах — амплітудне значення задаючого сигналу; шк — частота сигналу.
В усталеному динамічному режимі помилка слідкуючої (програмної) системи змінюватиметься з тією самою частотою, але із зсувом по фазі <р~.
ікхіії = Дхтах5Іп (а>^ + <р).
Знаходження помилок САР. Для знаходження помилок САР (особливо в слідкуючих і програмних САР), які діють в умовах зміни зовнішніх збурень і сигналів завдань, значне поширення дістав метод коефіцієнтів помилок. Цей метод базується на тому положенні, що функції зовнішніх збурень диференційовані і похідні збурень з часом зменшуються, а процес є затухаючим.
Нехай зображення відхилення регульованої величини від заданого (початкового) значення, яке є по суті помилкою системи стабілізації, має вигляд
М(р)
Ах(Р) = ^(р)А/(р) = гт^А/(р).	((.16)
Розкладемо передаточну функцію в показниковий ряд Маклорена:
И^(р) = Со + С,р + ^р2 + ... + ^р" ;
помилка при цьому запишеться у вигляді
Дх(р) = (Со +С,р + ^р2+ ...+ ^рп) А/(р).
Переходячи до оригіналу помилки, дістаємо
Дх(0 = СоА/(0 +	+
Рис. 6. 2	3 цієї залежності видно, що помилка
системи має кілька складових, які, крім першої С0Д/^Л існують лише при зміні збурення. Коефіцієнти С , С., . . . , Сп називають коефіцієнтами помилок-, Со, С,, С2, С — коефіцієнтами" відповідно статичної і швидкісної помилок, помилок за прискоренням і ривком.
Для слідкуючої (програмної) системи величина розузгодження матиме вигляд
С2^д/(0 СЯ<ГУ(Г)
+ 2!^Г“ + - + ^'Тґ •
(6. 17)
Е(1) - ЧМО + Ч " + С2~
с„ ^Ау(ї) п! (№
(6. 18)
Коефіцієнти помилок можна обчислити за допомогою передаточної функції замкнутої системи діленням многочлена чисельника передаточної функції на многочлен знаменника.
Для системи стабілізації матимемо
7	_ ^(Р)	= V" + У~‘ +••• +Ьт_.р + Ьт
1 + ИДр)	+ а/1-1 + ... + ап_хр + ап '
Розглянемо методику визначення коефіцієнтів помилок на конкретному прикладі. Нехай на рис. 6. 2 об’єкт И^р), регулятор ИЛ/р) є аперіодичними ланками першого порядку:
кг	к
™ = т>ТГ
Знайдемо передаточну функцію слідкуючої системи за розузгоджен-ням (помилкою)
= 1 + Ж,(р)Ж2(р) =
(Т,р + 1) (Т# + 1)	= ТхТ2р> + (Т, + Тг)р 4-1
(Т,р+1)(Т2р + 1)+^2 ТхТ.у + (7’1+Т2)р + 1 +кхк2-
Розділимо многочлен чисельника на многочлен знаменника
, 7]+Т2	1\Т	2 і+Лм?+і+*.*/	(і + ^ + СТІ + ТІ^ + ТЛр2
	
	
1	ТТ	1
Згідно з викладеним знайдемо коефіцієнти помилок у даній системі: коефіцієнт статичної помилки
С = і °	1 + Кк2
(система статична);
коефіцієнт швидкісної помилки
С. = т-^7 , (Т, + Т2) (1 - тт;-);
1	1 + к,к2 1	2/ 4 к,к/
коефіцієнт помилки за прискоренням
с=-г^^-п^>-
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів помилок в рівняння помилки і продиференціювавши функцію завдання у(1), дістанемо відповідні складові помилки, за якими можна знайти її результуючу величину є (і).	3
6.	3. ОСНОВНІ ШЛЯХИ ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ КЕРУВАННЯ. ЗАМИКАННЯ СИСТЕМИ
Розглянемо найбільш відомі напрямки вирішення проблеми підвищення точності САК:
1)	використання замкнутих САК і збільшення коефіцієнта підсилення регулятора (системи);
2)	формування потрібних законів регулювання (введення астатизму, регулювання по похідних та ін.);
3)	використання спеціальних структур САР, які реалізують принципи керування, що забезпечують підвищення точності (комбіноване керування, системи із змінною структурою та ін.);
4)	реалізація принципів інваріантності;
5)	використання різного виду корегуючих пристроїв.
Замикання САК і можливості підвищення точності. Як приклад розглянемо спрощену функціональну схему САР стабілізації (рис. 6. 3), яка складається з об’єкта 1 і регулятора 2.
Рівняння замкнутої системи у відхиленнях має вигляд
[Р (р) + <2 (р)]Ах = 8(р)РІ(р) А/-
Нехай об’єкт — аперіодична ланка першого порядку, а регулятор — проста підсилювальна ланка. Рівняння об’єкта і регулятора відповідно матимуть вигляд
(Л\р + 1)х = к,
р = к2х.
При цьому Р(р) = (Т.р + 1); () (р) = к,к2; Р/р) = 1; 8(р) = к0 — передаточний коефіцієнт об’єкта за збуренням.
Знайдемо помилки, які з’являються в розімкнутій і замкнутих системах. Запишемо рівняння розімкнутої системи в загальному вигляді
Р,(р)кх = <2І(р)А/.
Для наведеної на рис. 6. З системи воно матиме вигляд
(Т,р + 1)Ах = Л0А/,
звідки
Т,р + Г
І—"“1 X 4 1 р
Рис. 6. З
Статична помилка цієї системи ї-» оо запишеться у вигляді
Дх = Ахст = £А/, а розв’язок рівняння — у вигляді
Ах = Л0А/(1 -
При замиканні системи її рівняння матиме вигляд
(Тір + 1 + Л^рДх = Л0А/, звідки
м/
Т\р + 1 + к,к2 ‘
Визначимо статичну помилку замкнутої системи (ї-*оо, р-*0 )
Л0А/
Ах — Ах = - -, .
"	1 + Л.Л2
і розв’язок рівняння замкнутої системи
£0А/	_<(1 + №
= 1 + к,к2 (1 ~ е Л >•
Порівняння знайдених значень статичних помилок і розв’язків рівнянь динаміки розімкнутої й замкнутої систем дозволяє зробити такі висновки.
1.	Замикання САК дає можливість зменшити статичну помилку і сталу часу в 1 + к{к2 разів.
2.	Графіки часових характеристик, наведених на рис. 6. 4 (/ —
розімкнути; 2 — замкнута система) показують, що замикання системи дає змогу зменшити також тривалість перехідного процесу в 1 + кк разів*
3.	Зі збільшенням коефіцієнта підсиленню регулятора к при замиканні системи можна зменшити статичну помилку сИі ісми.
Замикання системи дозволяє також кардинально змінити динамічні властивості деяких об’єктів. Як було показано раніше, об’єкти з від’ємним коефіцієнтом самовирівнювання, які мають нестійкі часові характеристики, без регулятора с роботопездатни-ми,
Рівняння такого об’єкта можна записати у вигляді
(?;/> - 1)Дхвих = £,Д/.
Розв'язок його
Ллі.„. = '/Гі --!)-►<» І • *
визначає неї гійку роботу об'єкта без регулятора (при розімкнутому стані системи).
При введенні цього об’єкта в замкнуту систему з регулятором 2 (рис. 6. 3), рівняння якого
(Т2р + І)д = £2Дх1вих, рівняння замкнутої системи матиме вигляд
[(Т’іР — ІХ^гР + 1) + Мг]Д*іЇИх = ^(рїР.СрїД/,
де 5(р) = к& Р<.р) = Т2р + 1.
Позначивши к^к = кг, дістанемо характеристичне рівняння замкнутої системи у вигляді
'/'і’Г,// + ( / , - Т^р + к>	І " 0.
Умови стійкості і и< іеми гак і: Т( > Т* і к* > 1. З викладеного вище видно, що нестійкий об'єкт при певному настроюванні замкнутої системи може забезпечити с гійку роботу системи.
4 4 ТИПОВІ ЗАКОНИ КЕРУВАННЯ І РЕГУЛЯТОРИ. МІДІННЯ АСТАТИЗМУ І КЕРУВАННЯ ЗА ПОХІДНИМИ
Розглянуті вище приклади показують, що об’єкти в замкнутій системі дістають нові динамічні й статичні властивості і характеристики. Нластииосгі замкнутих систем залежать не тільки від характеристик об'єкта і діючих збурень, а й від особливостей і характеристик регуляторів.
Регулятори поділяють за різними ознаками:
—	за видом енергії, що використовується, — пневматичні, механічні, гідравлічні, електричні;
—	за принципом керування — керування за відхиленням (помилкою), за збуренням, комбіновані;
за характером передачі сигналів — неперервні, дискретні;
за характером зв’язків між елементами системи — із сталою і їм ціною структурами.
Н ТЛК однією з основних особливостей регулятора є можливість вплину на статичні і динамічні помилки САР, що залежить від характеристик регулятора, які визначаються його законом керування (регулювання).
Під законом регулювання розуміють залежність вихідної величини регулятора /л від його вхідної величини х при нехтуванні інерцією самого регулятора (рис. 6. 3):
/л = Дх).
Залежно від вигляду функції /(х) існують три основних принципових закони (відповідні типи регуляторів): пропорційний, який реалізується за допомогою пропорційного регулятора (П-регулялпора)', інтегральний (І-регулятора)г, диференціальний (Д-регуляторф. В практиці здебільшого використовують комбіновані закони регулювання, які об’єднують позитивні властивості вказаних вище принципів керування і відповідних регуляторів.
Розглянемо основні властивості і особливості названих регуляторів.
Пропорційний закон регулювання (П-регулятор). Це найпростіший закон керування. Він описується залежністю
Дц = АДх.	(6. 19)
Властивості П-регулятора і характер дії було розглянуто раніше при дослідженні впливу замикання системи на її статичну помилку і часові характеристики. До переваг П-регуляторів належать: простота і надійність, безінерційність, можливість зменшення статичної помилки і тривалості перехідного процесу. Основні недоліки регулятора: принципова неможливість впливу на динамічні похибки і неможливість повної ліквідації статичної помилки. Останнє визначається тим, що при різкому збільшенні коефіцієнта передачі розімкнутої системи, яке необхідно для відповідного зменшення статичної помилки, система може стати нестійкою (для зменшення статичної помилки до нуля коефіцієнт передачі має дорівнювати нескінченності).
Інтегральний закон регулювання (І-регулятор). Інтегральний регулятор виконує регулювання за інтегральним законом
Дц = к / йхйі.
о	(6. 20)
В операторній формі він має вигляд
Рис. б. 5
***РА*'	<6. 21>
Інтегрування вихідної величини об’єкта Ах в інтегральному регуляторі виконується за допомогою серводвигуна, що відповідає введенню в структурну схему САР інтегруючої ланки (рис. 6. 5) з передаточною функцією
И^.(Р) = ‘ Ах ‘ р
Нехай передаточна функція замкнутої системи за збуренням до введення інтегруючої ланки має вигляд .
(р) = — = .....
А/ 1 + ІУ(р) ’
де Ж(р) « Ж,(р) Ж2(р) — передаточна функція розімкнутої системи;
В^(р) — передаточна функція об’єкта за збуренням.
При цьому статична помилка визначається за,формулою
И<(р) т^р) ^5*°
і система буде статичною. Після введення інтегруючої ланки передаточна функція розімкнутої системи запишеться у вигляді
Ж'(р) » ^(р)Ж2(р)1У4(р) - Ф(р)і±, а статична помилка — у вигляді
Ах =	^(р)	А/ = р-0	И<(Р)	А/ = 0 р-0
	1 + 1У(р)^		р + и<(р)	
Останнє показує, що система після введення інтегруючої ланки із статичної перетворилася в астатичну.
Рис. б. б
При цьому треба мати на увазі, що інтегруючу ланку (ланки) слід нін щити в структурну схему так, як показано на рис. 6. 5, — на вхід >6 скта, точніше, до точки прикладання збурення, яке діє на об’єкт. Якщо інтегруючу ланку ввести в САР після точки прикладання збурення ірис. 6. 6), то розглядаючи систему стабілізації [у (і) - 0], дістанемо передаточну функцію за збуренням з урахуванням введення інтегруючої іанки з передаточною функцією Ж.(р) = кр яка матиме вигляд
,	^(р) Ж(р)
= гЛ(р)^ =
=	= кУ,(р)
1 + ІУ/р) ІУ2(р)^ Р +	^(Р)к
< гатичну помилку знайдемо за формулою
Дхст = И^(р) А/ =
___ ^,(р)
Р + И<(р) Ж2(р)Л
_ Ж,(О)Д/ - ^(0)^(0) *
тому що ^(0)^0; ІУ2(0) #0.
Нерівність нулю Ах показує неможливість ліквідувати статичну помилку при неправильному введенні інтегруючої ланки між точкою прикладання збурення і об’єктом.
Введення інтегруючої ланки з метою ліквідації статичної помилки і перетворення статичної системи в астатичну називають введенням астатизму в систему.
При одній інтегруючій ланці кажуть про введення астатизму першого порядку, при двох — астатизму другого порядку і т. д. Введення астатизму другого і вищих порядків дає змогу ліквідувати динамічні — швидкісні — помилки, які виникають у системі при зміні ювнішніх збурень.
Проте слід пам’ятати, що введення в систему з аперіодичними і


Щр)

підсилювальними ланками двох і більше інтегруючих ланок веде до структурної не-х> стійкості системи.
Для усунення структурної нестійкості системи інтегруючу ланку охоплюють прямим ис' '	зв’язком (рис. 6. 7). Таку нову ланку називають
ізодромною інтегруючою ланкою.
Рівняння ізодромної ланки матиме вигляд
X вих == Хвх + Хвих.
п . .... .. ,1
Оскільки рівняння вихідної інтегруючої ланки х = к — х , то вих	р вх
,	, , 1	/і . к. р + к
Х ,нх = *,х + ЛрХех = М1 +	= ~7~ХВх-
Передаточна функція ізодромної інтегруючої ланки має вигляд
^'(Р) =
рівняння замкнутої системи при = к2 і об’єкті у вигляді аперіодичної лан-к, і Т\ = Т має вигляд
Якщо характеристичне безінерційному регуляторі з к ки першого порядку з к = 1 '
— Т,р + 1 + кх = О,
1 + ИДр) = 1 +	+ {
то при введенні в систему двох інтегруючих ланок з коефіцієнтами передачі к3 і к4 характеристичне рівняння замкнутої системи запишеться так:
1 + ИТр)И'3(р)И'4(р) =
1 1
= 1 + Т^Г1^-^- = ^+^ + /с2 = О.
Відсутність складової а2р в цьому рівнянні показує, що САР є структурно-нестійкою. Замінимо інтегруючу ланку з к — к4 ізодромною. У цьому випадку характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд, якйй відповідає структурно-стійкій системі:
1 + ІУ(р)ІУ3(р)И<'4(р) =
Л.Л, к, р + к.
= 1 + т^ТЇ'І'Е~Г =	+	+ = 0.
Отже, заміна інтегруючої ланки ізодромною дає можливість структурно-нестійку систему перетворити в структурно-стійку.
Проаналізуємо вплив введення астатизму першого і другого порядків у САР за допомогою методу коефіцієнтів помилок.
Розглянемо слідкуючу систему з об’єктом у вигляді аперіодичної к
ланки першого порядку з передаточною функцією И^Ср) =	—р при
безінерційному регуляторі з передаточною функцією Ж2(р) = к2.
Передаточна функція замкнутої системи по помилці в цьому випадку має вигляд
ц/ о) =____1---=-------1_________________
' 1 + 1И(р) , к\кг Т^р + 1 + к^'
і ,
ТіР + \
Знайдемо коефіцієнти помилок. Розкладаючи передаточну функцію в ряд, розділимо чисельник на знаменник:
У цьому випадку запишемо:
= ї±Тг
о - гтг'^
1 + _______1
1 +	(1 + Л£)2
= с0+с1Р,
деСо =	=
При введенні в систему астатизму першого порядку за рахунок вве-
Т — система є статичною.
1
дення інтегруючої ланки з передаточною функцією Ж. (р) = - передаточна функція матиме вигляд
1Г(р) = ----—г = ----------гт--- = —~~- Р—; кк = к
1 + ИЧр)- ! +	Т^Р + Р + ¥г
Р 1 + Т.р + 1 р
Знайдемо коефіцієнти помилок
Р + тіР2 1 2 7] , Р + Т^Р +^р~
к^ + р + Т^р2
а також передаточну функцію після розкладання в ряд у загальному вигляді
И^(р) = Со + С,р + С2р2 + . .. ,
де
Со = 0; С, = 1ДХ; С2 = (1/^ХТ, - \/кт).
Отже, як уже було показано раніше, після введення в систему однієї інтегруючої ланки (астатизму першого порядку) статична система перетворилася в астатичну (Со = 0). При цьому в системі залишились помилки по швидкості (6^*0) і прискоренню (С2#0). Для усунення швидкісної помилки необхідно в систему ввести астатизм другого порядку. Тоді при двох інтегруючих ланках передаточна функція матиме вигляд
1	Т.р3 + Т.
^(р) =----------пг = —з~—у ---
Т о 4- о 4- к.
1 + и^(р)~ іР р х
р
С2
звідки Со = 0; С( = 0; -у = у.
Отже, статична і швидкісна помилки в системі відсутні. Але, як було показано раніше, при двох інтегруючих ланках система є структурно-нестійкою, тому наведені вище результати мають чисто теоретичне значення.
Знайдемо значення коефіцієнтів помилок у структурно-стійкій схемі з двома інтегруючими ланками, одна з яких є ізодромною.
Згідно з раніше викладеним маємо
1_______
к р + к
= т'рі + р
Т/ + Р2 + кк2кзр + кг ’
И^(р) =
1
де кт = к^к^,
Р1 + Т\р3
С2 1 С3
Оскільки С = 0; С , = 0; -х- = у-; ~г о і 2 к^ о
стемі немає швидкісної помилки. Для усунення помилки по прискорен-
кї+кїкік2р+ рг + 7^

= -Г-(Т - Т-), то ВИДНО, ЩО в си-
ню (С2 - 0) слід ввести в систему астатизм третього порядку, що можна зробити, якщо ввести ще одну ізодромну ланку.
І Іанедені результати досліджень показують основні переваги інтегральних регуляторів, які полягають у можливості усунення різних помилок і в підвищенні статичної та динамічної точності системи.
Проте інтегральні регулятори мають також суттєві недоліки. Так, з порівняння пропорційного та інтегрального законів регулювання видно, що при інтегральному законі регулювання дія регулятора проявляється лише через деякий час. Тому помилка, яка виникла, усувається не одночасно з її появою. Це може привести до небажаних коливань у системі, погіршення характеру перехідного процесу і навіть втрати стійкості системи. Крім того, усунення кількох динамічних складових помилки потребує введення відповідної кількості інтегруючих ізодромних ланок, що підвищує складність системи.
Диференціальний закон регулювання (Д-регулятор). За допомогою Д-регулятора забезпечується подання на вхід об’єкта величини, пропорційної швидкості зміни вихідної величини (помилки):
або в операторній формі запису
Д и = кр&х.	(6. 23)
Диференціальний закон керування реалізується за допомогою диференціюючих ланок.
При появі в системі внаслідок відповідної дії збурень помилок по швидкості, прискоренню, ривку для їх усунення на вхід об’єкта потрібно подати вхідні величини, які пропорційні відповідному степеню похідних вихідної величини об’єкта (відхилення). Таке регулювання називають регулюванням за похідними.
Практично регулювання по похідних від помилки полягає в тому, що система має реагувати, крім самої помилки, також на тенденції їх зміни (швидкість і знак зміни відхилення).
Розглянемо вплив введення похідних у схему, показану на рис. 6. 5. Передаточні функції ланок мають вигляд
к	к	к
™	= І-
Запишемо передаточну функцію розімкнутої системи
кт
~ (7> + 1) (Т2р + 1)р ’
де кх = кк2к^, і передаточну функцію замкнутої системи за помилкою до введення похідної
^(р) =	__________Р^.Р + 1) (7> + 1) _
1 + Я'СР) Р(ТіР +1) (Т# +1) +	-
т^р3 + (Г, + Т2)р2 + р Т{Т/ Л-^ + Т^р2 + р+кт'
Знайдемо коефіцієнти помилок у результаті ділення многочлена чисельника на многочлен знаменника
р + (Г1+Г2)Р2 + ^р3
р+тр2+т^ + т^р3+тт^р4
кі + р^Ті+Т2)рг + ТіТ2р3
(.ті+т2)-^-
рг +

т\тг 2Т1 + Т2
*х2
С Т + Т 1 с тт звідки Со = 0, С( = 1Д£,	=	^ = -^-
Т + Т і
О		1
к2 ~ к3'
Передаточну функцію вузла введення похідної Ж"<р) можна розглядати як результуючу передаточну функцію двох паралельно з’єднаних елементів — прямого зв’язку ТУпз(р) = 1 і самого диференціюючого елемента (ланки) — ИЧр) = Тр.^Отже, можна записати
Шр) = Жпз(р) + Жя(р) = 1 + Тр.
Запишемо передаточну функцію розімкнутої системи з врахуванням регулювання по похідній
^(1 + Тр) жп(р) = ^(Р)ІГ(Р) =
і передаточну функцію замкнутої системи по помилці з врахуванням вузла введення похідної
^(Р) = І+І-(р) =
= (Г.Р + о (ТгР + 0	= ТЛР2 + (Т, + Т2)р + 1
(Т,р + 1) (2"гР + 1) + к%(Тр + О Т^Г^р* + (^і + ^2 "* 1%Г)р + 1 + Л£
Після ділення многочлена чисельника на многочлен знаменника знайдемо значення коефіцієнтів помилок
1	Т. + Ту 1 Т
— П • Л* _ 1 • __ _	1	2 _ * _ п ,
о “ ’ 1 " V 2 “ Л£ к* V
С, Т.Т, Т.+Ту-Т 1 Т (Т, + Ту - Т)
6 Лх	Л£
Порівнюючи знайдені значення коефіцієнтів помилок з відповідними значеннями цих коефіцієнтів до введення в закон керування похідної, маємо:
1)	значення коефіцієнтів Со і С, не змінилось;
2)	коефіцієнти С2 і С3 зменшились;
3)	зміною параметра Та можна дістати С2 = 0.
Якщо ввести в систему ще один вузол введення похідної, то, змінюючи відповідним чином сталі часу диференціюючих ланок ТП1 і Гп2, можна дістати С]= С2 = 0.
Слід підкреслити, що у всіх наведених прикладах розглядалися ідеальні диференціюючі ланки.
Реальна диференціююча ланка має передаточну функцію вигляду
Характеристики реальної диференціюючої ланки із сталою часу Т будуть тим ближче до характеристик ідеальної ланки з сталою часу, чим більша нерівність Т>Т0.
Перевагою регулювання по похідних є швидкодія і можливість зменшення швидкісних помилок.
Недоліками диференціальних законів керування і відповідних Д-ре-гуляторів є:
1) не можна усунути вплив сталих складових помилки;
2) в системах не забезпечується повна компенсація швидкісних помилок (тому що ідеальне диференціювання принципово неможливе).
Беручи до уваги, що основні відносно прості закони регулювання в більшості випадків не можуть забезпечити потрібну статичну і динамічну точність, в практиці мають поширення складніші закони керування (регулювання) і відповідні регулятори.
Пропорційно-інтегральний закон регулювання (ПІ-регулятори).
Цей закон записується у вигляді
І
Ар = к С Ах Л + к,Ах,
о	(6. 24)
в операторній формі
Ар = к — Ах + кДх.	,,
р 1	(6. 25)
Інтегральна складова в системах з ПІ-регулятором забезпечує введення астатизму, а пропорційна — визначає швидкодію системи.
Якщо продиференціювати обидві частини виразу (6. 25), то з рівності
рДц = £Ах + к.рАх
можна зробити висновок, що ПІ-регулятор забезпечує швидкість зміни вхідної величини об’єкта, яка пропорційна швидкості зміни величини на виході об’єкта, що веде до поліпшення динамічних властивостей САР.
Недолік регуляторів даного типу — неможливість оперативно компенсувати швидкісні помилки.
Пропорційно-диференціальний закон регулювання (ПД-регулято-ри). Рівняння даного закону має вигляд
Дц = ЛАх + к.рАх .
(6. 26)
Регулятор оперативно реагує не тільки на саму помилку, але й на швидкість її зміни. Якщо рАх > 0, дія регулятора зростає, при рАх <0 — спадає, що допомагає стабілізувати коливання, які виникають у системі через інерційність об’єкта.
Особливість ПД-регулятора полягає в можливості мати значний сиг-
нал на виході при незначній помилці, оскільки при досить малих величинах помилки Ах швидкість її зміни рх може бути значною. Недоліком ПД-регуляторів є неможливість повного усунення статичної помилки.
Пропорційно-інтегрально-диференціальний закон регулювання (ПІД-регулятори). Математичний вираз цього закону має три складові: Дц = £Ах + к{ — Ах + £2рАх.	27)
ПІД-регулятори найскладніші, проте вони об’єднують у собі переваги всіх трьох розглянутих вище простих законів керування, забезпечу-
ючи астатизм системи, оперативне реагування на появу відхилень на їх похідні. Крім розглянутих простих і складних законів керування, можливі й інші ще складніші закони керування, які можуть враховувати нелінійності, регулювання за збуренням та ін.
6. 5. ТОЧНІСТЬ САР В УСТАЛЕНИХ ДИНАМІЧНИХ РЕЖИМАХ
Режим зміни збурення з сталою швидкістю (похідною). В цьому випадку похідна збурення (Ц/сІЇ = V = сопзі або р/ = V, звідки / = р/р.
Усталена статична помилка за збуренням матиме вигляд И"(р) V ^ = ^(р)-/= г?^)рр=о-
При статичній системі И^(0) = к0; ІК(0) = кт і тоді
помилка системи неперервно
збільшується. Для стабілізації	Рис 6 8
помилки необхідно введення астатизму в дану систему за допомогою інтегруючої ланки.
Розглянемо введення астатизму першого порядку. Нова передаточна функція розімкнутої системи матиме вигляд
Ж'(р) = ^(р).
При підключенні інтегруючої ланки до точки прикладання збурення до об’єкта дістанемо передаточну функцію об’єкта за збуренням И^(р) при р = 0. В цьому разі Ж((р) = к0. Тоді
=
^0
О + ~рК)Р
р = 0
тт	У
Відношення —г----
Дх
уст
к0У
Р + кс
к0У
= СОП8І.
= к називають добротністю системи по швидкості.
В розглянутому випадку ку = к^/к^.
Фізичний сенс добротності системи полягає в тому, що вона дорівнює швидкості зміни збурення при усталеному відхиленні вхідної величини, яке дорівнює одиниці. Отже,
к„ = V (при Дхуст = 1).
Для слідкуючих (програмних) систем (рис. 6. 8), де — передаточна функція основного зворотного зв’язку, значення помилки обчислюється за формулою
£(/) = % ї) — X (І)Жза(р).
(6. 28)
Передаточна функція по поми; має вигляд
Ж£(р) =
4 ' У(Р)
а усталене значення помилки швидкістю — вигляд
1	V
є = ----------г _
1 + Ж(0)^ Р де Ж(0)Л = к?
;і при наявності інтегруючої ланки
1
1 + Ж(р)*|’
при зміні збурення із сталою
1	= у_
р + кУ к-/ р-0	2-
У даному випадку добротність системи за швидкістю ку дорівнює к^. Режим зміни збурення із сталим прискоренням. При такому режимі

а = сопзі або р2/ = а, звідки / = о/р2. В статичній системі дістанемо
л	а
= пх? = "
р = 0
В астатичній системі з астатизмом другого порядку при підключенні інтегруючих ланок до місця прикладення зовнішнього збурення передаточна функція розімкнутої системи матиме вигляд ^'(р) = ^(р)
і тоді
ВД а
1 + ^(Р)
ко
= га
^0
Р2* V
к?
= -т- = ка — добротність системи за прискоренням, під якою %
а
ДЄ ДГ“ уст розуміють прискорення, при якому Дх ст = 1. При цьому ка = кг Якщо система має скінченне значення добротності по прискоренню, то добротність цієї системи по швидкості дорівнює нескінченності, а усталене відхилення вихідної величини при збуренні, що змінюється із сталою швидкістю, дорівнює нулю.
Отже,
ко_V
•і*/ р2-ї
'уст
= 0.
р = 0
6. 6. ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ САР НА ОСНОВІ ПРИНЦИПУ ІНВАРІАНТНОСТІ
Поняття інваріантності визначається так. САК є інваріантною відносно збурюючої дії, якщо після завершення перехідного процесу, зумовленого початковими умовами, регульована величина і помилка системи не залежать від цієї дії.
Оскільки
Дх(р) = И"(р)Д/(р), то система може бути інваріантною при умові
И^(р)ДґГр> = 0.
Виконати цю умову можна різними способами, в зв’язку з чим розрізняють чотири форми інваріантності; деякі з них є чисто теоретичними і практичної реалізації не мають.
1-а форма інваріантності. Умова її виконання: &./(р) = 0. Це означає відсутність дії збурення на об’єкт, і ясно, що ця форма інваріантності практичного значення не має.
2-а форма забезпечує інваріантність за рахунок виконання умови
Рис. 6. 9
И"(р) =
^{(р)
1 + РИ(р)
У цьому випадку інваріантність досягається при будь-якому значенні (формі) збурення
Таку інваріантність визначають як абсолютну. Досягнення абсолютної інваріантності в принципі можливе двома способами. Перший з них полягає в тому, що, побудувавши окремий паралельний канал (або канали) передачі збурення (рис. 6. 9), можна забезпечити рівність нулю чисельника передаточної функції замкнутої системи за збуренням, яку можна записати у вигляді
1 + ИДр) ’
де ЕИ^(р) — сума передаточних функцій всіх каналів передачі збурення; Ж(р) — передаточна функція розімкнутої системи.
При врахуванні лише одного (основного) каналу передачі збурення, згідно з рис. 6. 9, можна записати
ЦЛ/Г ї =	=	^.(Р)
1 + ^(р)	1 + ИА (р) Ж38(р) Ж2(р) •
, При передачі збурення по двох каналах маємо
У ^(р)
= £ в ^,(р) + Жк(р)Ж2(р)Ж,(р)
1 + Ж(р)	1 + Ж(р)
Умовою інваріантності в даному разі є вираз
Ж,(р) + ТУк(р)ИЛ2(р)Ж1(р) = 0, звідки знаходимо значення передаточної функції паралельного каналу
Ж‘(Р) = " Ж2(р)’
Ця форма інваріантності реалізується в класі комбінованих САК, в яких використовуються обидва принципи автоматичного керування — за відхиленням (основний замкнутий контур з Жзвз(р)) і за збуренням (компенсуючий канал з Жк(р)).
Другий спосіб забезпечення абсолютної інваріантності полягає у виконанні умови Ж(р) + 1 = оо.
Для практичної реалізації цієї умови необхідно, щоб коефіцієнт підсилення розімкнутої системи ку дорівнював нескінченності, а це випливає з того, що 1¥(р) + 1, як відомо, є лівою частиною характеристичного рівняння замкнутої системи. Тому можна записати
№(р) + 1 = Р(р) + 0(р) = а^р" + ^р"'1 + . . . + ап~‘р + ап при і-»оо, р-»0 і ИДО) + 1-*ал = ґ(к^).
В той же час відомо, що різке збільшення коефіцієнта підсилення системи веде до нестійкої роботи системи. Тому досягнення інваріантності за рахунок забезпечення умови кх =<» має чисто теоретичне значення.
3-я форма інваріантності має назву часткової інваріантності. Запишемо
В(р) ’
{Р)	£>(р) ’
де 0(р), О(р), А(р\ В(р) — деякі поліноми.
Згідно з умовою інваріантності можна записати
МР) = И"(Р)Л/(Р) =	_ 0.	й М)
При Ж7(р)*0 та А/<р>*0 виконання умови інваріантності можливе лише в окремому випадку при певних збуреннях (відповідних коренях).
Це можна пояснити так. Розкладемо поліноми 0(р) та В(р) на співмножники вигляду відповідно (р -р,.) та (р — Р',), де р, і р'( — корені рівнянь 0(р) = 0 і В(р) = 0. Нехай кожний многочлен має по два корені: відповідно рл, р^] і р'х, р'х + г
Згідно з (6. 29) можна записати
Л . , = 6(рМ(р) = (Р-Рх) (Р -Рх+.)АР) ™ О(р) В(р) В(р) (р - Р'х) (Р - Р’х +,) •
Якщо можна забезпечити рівність коренів рх = р'х поліномів чисельника і знаменника, то скорочуються відповідні співмножники і тоді помилка матиме вигляд
Л , . _ (Р~Рх + 1)А<Р) {р)	Щ>)(р-р'х+1У
Якщо вважати, що корінь рх зумовлює вплив основного збурення на вимушену складову хв (0 в розв’язку рівняння замкнутої системи
х(і) = хуст + хв(2),	(6. ЗО)
де хуст — усталена складова, то при умові р* = р'х вплив кореня рх «компенсується» наявністю кореня р' . При цьому, якщо знехтувати впливом другого кореня р , можна вважати, що буде забезпечена на-250
ближена рівність нулю вимушеної складової х(Ґ)~0 і, отже, наявність самого перехідного процесу х (і)~х . Система" в цьому разі буде частково інваріантною (стосовно основного збурення). Якщо вплив інших факторів (збурень), які можуть діяти в системі, є відчутним, то система, інваріантна відносно основного збурення, яке умовно в розглянутому прикладі визначалося коренем р*, не буде інваріантною стосовно інших збурень. У цьому випадку може з’явитися вимушена складова в рівнянні (6. ЗО), але вплив її буде відповідно меншим.
4-а форма інваріантності забезпечується тим, що в систему вводиться додаткова компенсуюча дія, величина якої А(р) і відповідна передаточна функція Жк(р) мають бути підібрані так, щоб виконувалася умова
Ах(р) = Ж'(р)А/(р) + И*(р)А/к(р) = 0.
Для виконання цієї умови передаточна функція компенсаційного каналу повинна мати вигляд
АР) ЬЦр) •
6. 7. ПІДВИЩЕННЯ ЯКОСТІ В КОМБІНОВАНИХ САК І СИСТЕМАХ ІЗ ЗМІННОЮ СТРУКТУРОЮ
Використання спеціальних структур і відповідних принципів керування є одним із важливих шляхів підвищення якості САК. Прикладом цього
є розглянута раніше комбінована САК, яка дає можливість при одному і тому самому значенні коефіцієнта підсилення розімкнутої системи, що й
у відповідній системі з керуванням за відхиленням, дістати значно меншу статичну помилку за рахунок дії розімкнутого компенсаційного каналу.
При використанні принципів інваріантності в комбінованих САК можуть бути зменшені також динамічні помилки системи.
У системах із змінною структурою (див. рис. 1. 23) можна забезпечити перехід від однієї структури САК до іншої із зовсім відмінними, якіснішими динамічними характеристиками.
Не вдаючись у досить складні питання теорії систем із змінною структурою, які викладено в окремих монографіях, для висвітлення їх особливостей і можливостей розглянемо рис. 6. 10, а, б, де 1 — часова характеристика, що відповідає початковому положенню перемикача П (див. рис. 1. 23); 2 — часова характеристика, що відповідає новій структурі, перехід на яку відбувається в
Рис. 6. 10
момент ґ,.
Якби САР працювала при одній і тій самій структурі з характеристикою 1, то тривалість перехідного процесу дорівнювала б і,, а процес був би коливальним із значними динамічними помилками. При роботі з характеристикою 2 процес був би аперіодичним тривалістю /п2, яка не дуже відрізнялась би від /п1.
При переході САР в момент з характеристики 1 на характеристику 2 завдяки зміні структури (рис. 6. 10, б) усуваються динамічні помилки і різко зменшується тривалість перехідного процесу (до величини Іп3« /п2< у.
6. 8. ВИКОРИСТАННЯ НЕОДИНИЧНИХ ЗВОРОТНИХ ЗВ'ЯЗКІВ І МАСШТАБУВАННЯ
У найпростішому випадку (рис. 6. 11) при одиничному зворотному зв’язку помилку системи за завданням можна записати у вигляді
система працюватиме без помилки при умові Ах<р) = Ау (р). Для виконання цієї умови в коло зворотного зв’язку слід ввести ланку з передаточною функцією Жзвз(р)*1 . Тоді
= і + жвз^)ж(р)Лу(р)-
Для виконання умови Ах<р) = АуГр) треба мати
і +	- 1 аб° "'М = 1 + и'-Л’і’Ир),
звідки
(р) = ТО - і ^зв.з(Р) ИДр) •
Оскільки р) — передаточна функція розімкнутої системи, то 1У(р)/г0=‘
= Ж(0) = і коефіцієнт зворотного зв’язку можна записати у вигляді
<в.з = 1 -
За цій умови при безінерційній ланці зворотного зв’язку в системі можна усунути статичну помилку в статичній системі автоматичного регулю-
Рис. 6. 12
Рис. 6. 11
Рис. 6. 13
И/(р)

вання. Технічна реалізація умови мо-же бути виконана на основі рис. 6. 12, де крім одиничного від’ємного зворотного зв’язку введено неодиничний додатний зворотний зв’язок з коефіцієнтом передачі & = 1АГ При
сталому значенні така система буде працювати без статичної помилки. Масштабування. В статичній системі при одиничному зворотному
зв’язку маємо Ах.:т = (^/1 + Лг)Ауст. Якщо змінити масштаб вхідної дії у к^
так, щоб виконувалась рівність т\у р = Ах і забезпечувалися умови роботи системи без статичної помилки Ах = Ау, то з рівності к2
+ & = 1 можна дістати необхідну величину «масштабу» т:
1 + т = ~к^-Якщо ввести таку ланку з передаточним коефіцієнтом т на вході в систему (рис. 6.13), то при к^ = сопзї можна усунути статичну помилку.
6. 9. ТЕХНІЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ КОРЕГУЮЧИХ ПРИСТРОЇВ У СХЕМАХ АВТОМАТИЗОВАНОГО ЕЛЕКТРОПРИВОДА
Найпростішими і досить поширеними корегуючими пристроями у схемах автоматизованого електропривода є пасивні чотириполюсники, побудовані на /?С-елементах (резисторах та конденсаторах). У багатьох книгах з теорії автоматичного керування є спеціальні таблиці, які містять схеми пасивних корегуючих пристроїв, передаточні функції, логарифмічні характеристики й формули для розрахунків параметрів, що відповідають цим пристроям. Найбільш повну таблицю пасивних корегуючих пристроїв наведено в праці [15]. Схеми і характеристики деяких найвживаніших корегуючих пристроїв подано в табл. 6. 1.
Передаточні функції пасивних чотириполюсників, схеми яких подібні до наведених у табл. 6. 1, найпростіше визначити таким чином. Опори ділянок кола слід записати в операторній формі, тобто прийняти: для ємності 2с(р) = МСр, для активного опору 2К(р) = Я. Після цього електричне коло слід перетворити в еквівалентний Г-подібний чотириполюсник, схему якого показано на рис. 6. 14.
Якщо припустити, що навантаження відсутнє, тобто знехтувати струмом вихідного кола корегуючої ланки порівняно із струмом вхідного кола, то передаточну функцію можна визначити як відношення:
ц(Р) ад + ад-
Таблиця 6. 1
Номер ланки	Схема кола		ЛАХ			Передаточна функція, формули для розрахунків параметрів
1	-ч£-Т	 а, Гг “г		0	чут 1ои> +20д5/дек г		Ир) = ^тТ^ = 7’ = яс
2			£. 0		№	Одр + і) - т2Р + х • К2 К,К2С т* = = к\+\
	і £ П и иг 1 Ягі| *				~~*+?Д?4^ел	
3	Ч=й-1 „ЧН. ч с,	..^2 $	С 0			
					і і ~№№!дек.	(Г^+ІХГ^+І)’ /г — ^2^2 ’ Л = ^2^2’
4			і , 0		Ф/Т -годб/дм^	^-тр^т=кс
5	“ '' $ ” 	£х_		д 0		ці/т -а7й5/^^-	т2р + \ ^-тіР + ^ Т} =(/?, + Л,)С; Г, = Л2С
Приклад 6. 1. Визначити передаточну функцію чотириполюсника, схему якого показано на рис. 6. 15.
Розв’язання. Параметри еквівалентного Г-подібного чотириполюсника такі:
1 КіС,Р + 1 =
І
СіР
Передаточна функція має вигляд
^2(Р)	_ С,	К2СіР + Х	_ к(Т-Р + ^
2^+2^)-	+	~ 7^ + 1'
~^ГР+1
де
г( = к2с2, Т2
С^С2
Пасивні чотириполюсники дешеві, надійні, мають досить велику різноманітність схем, у кожній з яких можна змінювати її параметри в широких межах. Проте пасивні чотириполюсники послабляють сигнал внаслідок втрат енергії в резисторах, крім того, на їх характеристики істотно впливає опір навантаження. Тому в схемах
іг(р)
Рис. 6.15
Ц,(р) и,(р)
иг(Р)
Рис. 6. 16

Рис. 6. 17
автоматизованого електропривода останнім часом дедалі частіше застосовуються корегуючі пристрої на базі операційних підсилювачів.
При визначенні передаточної функції кола з операційним підсилювачем припустимо, що коефіцієнт підсилення к і вхідний опір 7?вх приблизно дорівнюють нескінченності; підсилювач вважається безінерційним. Операційний підсилювач, як правило, має інвертуючий та неінвертуючий входи. При збільшенні напруги на інвертуючому вході вихідна напруга зменшується. Інвертуючий вхід дає можливість створювати від’ємний зворотний зв’язок.
Схему корегуючого кола з операційним підсилювачем показано на рис. 6. 16.
З прийнятого припущення про те, що Лвх=о°, випливає, що вхідний струм 7вх дорівнює нулю, тому струм зворотного зв’язку І2 дорівнює вхідному струму Іг Напруга на інвертуючому вході операційного підсилювача І7ВХ дорівнює нулю. Це пояснюється тим, що при к = оо будь-яке відхилення І7ВХ від нульового значення було б нескінченно підсилене, передане через коло зворотного зв’язку на вхід підсилювача і, будучи інвертоване відносно напруги ї/вх, скомпенсувало б її. За цих умов досить просто визначити передаточну функцію кола з операційним підсилювачем. Для схеми на рис. 6. 16
г/вх(р) = ї/,(р) - АСр^Ср); свх(р) - г/вих(р) = /2(р)22(р),
але, якщо врахувати, що Пвх = 0, І, = І2, то 2,(р) ^(Р)=
Звідси передаточна функція матиме вигляд
Ж(р) = ад='_ЗД (р) и^Р) г^ру де ^(р), 22(р) — повні опори в операторній формі.
З виразу (6. 31) випливає, що вибір відповідних значень Х[р) і 22(р)
(6. 31)
Рис. 6. 18
дає можливість на базі операційного підсилювача створити різноманітні типи регуляторів (корегуючих пристроїв).
Пропорційний регулятор (П-регулятор). Схему регулятора показано на рис. 6. 17, а. Його передаточна функція має вигляд
^(Р) =	= _
Ц(р) Я, Інтегральний регулятор (І-регулятор). Схему регулятора показано
на рис. 6. 17, б. Вважаючи,  що 2,(р) = Я, £2(р) = 1/Ср, передаточну функцію дістанемо з (6.31)
С,(р) п ЯСр Тр’
де Т = ЯС — стала інтегрування.
Пропорційно-інтегральний регулятор (ПІ-регулятор). Схему регулятора показано на рис. 6. 17, в. Для цієї схеми
Я,Ср + 1
2,(р) = Я,; 22(р) = Я2 + 1/Ср =	---.
Тому передаточна функція має вигляд
И2(р) Я2Ср + 1	(Я2 і \	, і
~ ІІ&) ~ ~ СЯр ~ ~ [я, + СЯ,р] ~ ~ (*" + 7>) ’ де кп = Я^Я^ — коефіцієнт передачі пропорційної складової; Т. =
= СЯ( — стала інтегрування.
Диференціальний регулятор (Д-регулятор). Схему регулятора показано на рис. 6. 17, г. Для цієї схеми г,(р) = і/ср,- г2(р) = я, тому
с2(р)
= "Аср=
де Т = ЯС.
Розглянута схема не забезпечує якісне диференціювання через те, що вона має властивість підсилювати високочастотні перешкоди, які є у вхідному сигналі. Дещо обмежити струм перешкоди можна, якщо послідовно з конденсатором С ввімкнути резистор з невеликим опором (на рис. 6. 17, г цей резистор зображено штриховою лінією).
Високоякісний Д-регулятор можна дістати, якщо в коло зворотного зв’язку ввімкнути інтегратор. Схему такого регулятора зображено на рис. 6. 18. Підсилювач ИА2, який працює в режимі інвентора, призначений для збереження від’ємного знака зворотного зв’язку.
Передаточна функція регулятора має вигляд
ї/2(р)
Поклавши 7?! = Т?2 = 7?3 = Т?4, дістанемо ™(Р) = -Я5Ср = -Т р,
де Т = К.С.
Д 5
Пропорційно-диференціальний регулятор (ПД-регулятор). Схему такого регулятора показано на рис. 6. 17, д. Для неї
2і(Р) = і Р = ^Ср + ! і 2г(Р) = л2>
тому і” '
= ед
ед едср + і)	,
им----------я,---= “ V ! р ° ‘ (' 'р)’
де
К = к2/я- Та = ^С.
Пропорційно-інтегрально-диференціальний регулятор (ПІД-регулятор). Схему регулятора показано на рис. 6. 17, е. Для неї
Д	К2С~п + 1
= ДСф + 1 ’ ^(Р) = Л2 +1/СгР = С^р ’ *
а передаточна функція має вигляд
. = ^(Р) =	(^2Р + !) ТОР + 1)
(Р)	<Л(Р)
(К2С2 + ДС.
-	 ДС2 + ^р +
ДСд>
” -(4. + Г.Р + 1Л»,
де
4. = (К2С2 + Я,С,уя,С2; Т2 » ВД; Т, = К,СГ
Корегуючі пристрої на базі операційних підсилювачів мають такі позитивні властивості, як незалежність коефіцієнта передачі від розкиду параметрів внаслідок стабілізуючої дії від’ємного зворотного зв’язку, малий вхідний струм схеми, що забезпечує близький до холостого ходу режим роботи пристрою, ввімкненого до входу операційного підсилювача.
На закінчення додамо, що комбіновані регулятори (ПІ, ПД ПІД) звичайно дістають за рахунок паралельного з’єднання відповідних простих регуляторів (П, І, Д. Для підсилювання вихідних сигналів цих регуляторів використовується додатковий операційний підсилювач. Схема в такому разі
дещо ускладнюється, але в ній забезпечується можливість незалежного регулювання складових вихідного сигналу комбінованого регулятора.
6. 10. СПОСОБИ ПІДВИЩЕННЯ ЗАПАСУ СТІЙКОСТІ
Способи підвищення запасу стійкості, або демпфування, досить різноманітні. В деяких випадках для цього достатньо, не змінюючи структуру системи, змінити коефіцієнт передачі прямого кола, коефіцієнти зворотних зв’язків або, якщо це можливо, сталі часу елементів САК. Більш поширеним способом демпфування є введення в САК додаткових корегуючих ланок. їх можна вмикати послідовно в пряме коло системи, паралельно окремим ланкам або охоплювати зворотним зв’язком одну або кілька ланок САК. При цьому динамічні властивості лінійних систем можна зробити однаковими, тобто для корегуючого пристрою одного виду можна підібрати еквівалентний корегуючий пристрій іншого виду. Найпростіше простежити вплив на частотні характеристики і, отже, на динамічні властивості САК послідовних корегуючих ланок, тому саме для них розглядатимуться способи підвищення запасу стійкості
Додаткові ланки змінюють частотні характеристики САК, тому їх вплив на зміну запасу стійкості можна простежити за допомогою будь-якого частотного критерію стійкості. Найзручнішим для цієї мети є критерій стійкості Найквіста в логарифмічній формі.
Існують чотири основні способи змінювання частотних характеристик. Розглянемо кожний з них.
Демпфування з придушенням високих частот. Якщо передаточна функція розімкнутої статичної системи становить добуток передаточних функцій мінімально-фазових ланок (безінерційних, аперіодичних, коливальних, форсуючих), то достатній запас стійкості можна забезпечити, ввімкнувши послідовно в коло регулювання аперіодичну ланку з великою сталою часу То і коефіцієнтом передачі к = 1 (див., наприклад, ланку № З в табл. 6. 1). Передаточна функція такої ланки записується так:
“ Т^р + Г	(6. 32)
Розглянемо дію цієї ланки на прикладі статичної системи, передаточна функція якої в розімкнутому стані має вигляд
ч =	К(т1Р+1)...(ттР + 1)
(ТіР + 1) (Тзр + 1)...(Тр + 1) ’	(6.33)
де п > т.
Логарифмічну амплітудну характеристику Ь^со) і логарифмічну фазову характеристику />/&>) показано на рис. 6. 19. Система нестійка, бо на частоті зрізу <ид1 зсув по фазі <р№я) менше — я.
Початкова частина ЛАХ статичної системи має нахил 0 дБ/дек і проходить на рівні 201£ К. Тому при будь-яких значеннях сталих часу передаточної функції (6.33) завжди можна вказати таку частоту <ип, що для всіх частот ш < соп значення Д(<и) буде дуже мало відрізнятися від 20 К, а зна-
Рис. 6. 19
чення <рісо) — від нуля. Якщо тепер вибрати сталу часу То передаточної функції (6. 32) такою, щоб частота зрізу шз2 нової ЛАХ Ь2(ш) була меншою за а)п, то в результаті дістанемо стійку систему з достатнім запасом стійкості Це пояснюється тим, що передаточну функцію розімкнутої системи з корегуючою ланкою наближено, але з досить великою точністю можна подати у вигляді
оскільки частоти сполучення, які відповідають решті сталих часу передаточної функції (6. 33), знаходяться значно правіше від частоти зрізу шз2, визначають тільки високочастотні частини ЛАХ і ЛФХ і практично не впливають на стійкість системи.
Отже, ефект демпфування досягається за рахунок того, що введення великої сталої часу То робить решту сталих часу відносно малими.
Запас стійкості не зміниться й при збільшенні К, якщо одночасно збільшувати То і залишати незмінним співвідношення
К/То = С0з2 = СОП5І.
Для демпфування астатичних систем першого порядку, що складаються з мінімально-фазових ланок, можна використати інтегро-диференціюючу ланку з передаточною функцією
^(Р) =
У + І
ТоР + Г
де Т>т (див. ланку № 5 в табл. 6. 1).
При досить великих То і т0 передаточна функція розімкнутої системи матиме вигляд
п// ч к + Ц (Р)~Р (ТоР + 1)’ тому що і в цьому випадку рештою сталих часу можна знехтувати.
Логарифмічні характеристики, що ілюструють розглянутий випадок, зображено на рис. 6. 19, б.
Перевагою наведеного способу демпфування є те, що додаткова ланка з великою сталою часу То є фільтром низьких частот і послаблює вплив на систему високочастотних перешкод, недоліком — істотне зменшення швидкодії системи. Тому демпфування з придушенням високих частот використовується лише в тому разі, коли з врахуванням умов роботи системи можна допустити зниження швидкодії.
Демпфування з підняттям високих частот. Стійкість і потрібний запас стійкості забезпечуються за рахунок розширення смуги пропускання розімкнутої системи при введенні послідовно в коло регулювання форсуючої ланки з передаточною функцією И\(р) - 1\р + 1. Ця ланка створює додатний зсув по фазі у?к(со) = агсів а>7\, який у зоні ви
соких частот наближається до 90 °. Крім того, ланка збільшує здатність системи пропускати високочастотний сигнал, бо модуль частотної передаточної функції ланки А(а>) = VI + ш2т2 зростає при збільшенні частоти.
Вплив форсуючої ланки на запас* стійкості системи пояснюється логарифмічними частотними характеристиками розімкнутої системи, показаними на рис. 6.20. Тут і <р^а>) — логарифмічні характеристики вихідної системи. Якщо вибрати сталу часу корегуючої форсуючої ланки Т = Т2, то ЛАХ і ЛФХ зміняться і матимуть вигляд А2(<у) і Смуга пропускання системи розшириться і одночасно відбудеться підняття фазової характеристики, що призведе до збільшення запасу стійкості.
Якщо вплив однієї форсуючої ланки на підвищення запасу стійкості буде недостатнім, то можна ввести ще одну ланку. Наприклад, якщо в розглянутому випадку ввести дві корегуючі ланки із загальною передаточною функцією ИЧр) = (Тк]р + 1) (Тк2р + 1), де Тк1 = Т2 і 7\ = Т3, то ЛАХ матиме вигляд Ь3(со) і перетне вісь частот з нахилом —20 дБ/дек. Це, звичайно, забезпечить прийнятний запас стійкості.
При розгляді цього способу демпфування було зроблено припущення, що використання ідеальних форсуючих ланок, які насправді не можна фізично реалізувати, можливе. Практично використовуються реальні форсуючі ланки, наприклад, ланка № 2 з табл. 6.1. Передаточна функція такої ланки має вигляд
к (т р + 1)
^(р) =
К
причому к < 1 і т »Т
Фазова характеристика цієї ланки запишеться у вигляді
<рк(ш) = агсІ§ тк - агсї§ Гксо,
тому стала часу Т обмежує діапазон частот, на яких зберігається додатний зсув по фазі. Проте, якщо вибрати т »Т., то вплив Т на частотах, близьких до частоти зрізу, буде незначним.
Оскільки коефіцієнт передачі корегуючої ланки менше одиниці, слід вживати заходів для збільшення коефіцієнта передачі розімкнутої системи в \/к разів. Можна також використати ПД-регулятор на базі операційного підсилювача (див. рис. 6. 17, д).
Замість послідовних форсуючих ланок можна використати еквівалентні за впливом місцеві від’ємні зворотні зв’язки, які містять аперіодичні ланки.
Розглянутий спосіб підвищення запасу стійкості теоретично є універсальним і дає бажаний результат практично при будь-якій передаточній функції вихідної системи, включаючи системи з немінімально-фазовими ланками. Крім того, одночасно із збільшенням запасу стійкості підвищується швидкодія системи. Проте практичне застосування цього способу значно обмежується, через те
що при розширенні смуги пропускання системи зростає вплив високочастотних перешкод.
Демпфування з придушенням середніх частот. Ефект демпфуван-ня досягається за рахунок послідовного ввімкнення інтегро-диференціюючої ланки з передаточною функцією
+ !) (Т2кР + !)
+ !)	+ і) ‘	(6. 34)
Схему такої ланки подано в табл. 6. 1 (ланка № 6).
Вплив ланки № 6 на запас стійкості можна пояснити, розглянувши логарифмічні характеристики на рис. 6. 21. ЛАХ розімкнутої вихідної системи позначено Ь.(ф). Сталі часу ланок, що зумовлюють зміни нахилів ЛАХ, позначено Т] Т, Т? Якщо вибрати сталі часу інтегро-диференціюючої ланки з умов т]к = т2к = Т2, Т2к = Т3,	= Т2/Т3, то
після її введення у коло регулювання логарифмічні характеристики матимуть вигляд Ь2(а>) і <р2(а>). Нахил ЛАХ на частоті зрізу становить —20 дБ/дек, що забезпечує прийнятний запас стійкості.
При демпфуванні з придушенням середніх частот швидкодія системи зменшується, але не істотна Цей вид демпфування є найбільш поширеним.
Демпфування з введенням від’ємних зсувів по фазі. Цей вид демпфування дає добрі результати при наявності в системі консервативної ланки або коливальної ланки з малим затуханням. Для демпфування у пряме коло системи вводиться немінімально-фазова ланка, наприклад, з передаточною функцією
и'.ю =
(ланка № 7 з табл. 6.1). Ланка № 7 не впливає на амплітудно-частотну характеристику, бо Ак(а>) = 1, але створює від’ємний зсув по фазі
4
1
<рк(ш) = агсі£ (~шТ) - агсі§ шТ = -2 агсї£ шТ.
Виходячи з того, що корегуюча ланка є немінімально-фазовою, її вплив на властивості системи зручніше розглянути, користуючись не логарифмічними, а звичайними амплітудно-фазовими характеристиками розімкнутої системи. Припустимо, що передаточна функцій розімкнутої системи має вигляд
Ж(р) = —	------
1 р (Т2р2 + 1)<20(р)
де К(р), (20(р) — поліноми, корені яких мають від’ємні дійсні частини, тобто до складу системи входять консервативна та інтегруюча ланки.
Амплітудно-фазову характеристику розімкнутої системи IV(( )ш) показано на рис. 6. 22, а . При а> - 0 і а> = ±\/Т модуль И^(усм) прямує до нескінченності, а аргумент на частоті ±1/Т стрибком діє гає приріст -180 °, тому розриви АФХ доповнюються напівколами нескінченного радіуса у напрямку ходу стрілки годинника.
АФХ розімкнутої системи охоплює точку з координатами (-1, /0>, отже, замкнута система нестійка. Додавання від’ємного зсуву по фазі (див. фазову характеристику ланки № 7 табл. 6.1) приводить до «закручування» АФХ за ходом стрілки годинника (рис. 6. 22, б). У результаті АФХ розімкнутої системи не охоплюватиме точку (-1, /0) і замкнута система буде стійкою.
Розглянуті способи демпфування є основними, але вони лише якісно ілюструють ідеї, які можна застосовувати для підвищення запа-264
1
я
су стійкості. Ці способи можуть поєднуватися залежно від частотних характеристик вихідної системи. Наприклад, може виникнути потреба поєднати пригнічення середніх частот і підняття високих, підсилення високих частот і придушення окремої їх зони тощо.
6. 11. СИНТЕЗ КОРЕГУЮЧИХ ПРИСТРОЇВ МЕТОДОМ ЛАХ
Одним з найефективніших інженерних методів синтезу систем автоматичного керування є метод, в основу якого покладено використання ЛАХ розімкнутої системи. Ідея методу грунтується на тому, що для стійких мінімально-фазових систем існує однозначний зв’язок між перехідною характеристикою замкнутої системи і виглядом ЛАХ відповідної розімкнутої системи. Виходячи з бажаного вигляду перехідного процесу, будують ЛАХ, яка відповідає такому процесу (бажану ЛАХ). Далі, знаючи вигляд бажаної ЛАХ, до неї наближують ЛАХ вихідної системи, запроваджуючи різні корегуючі пристрої.
Будь-яка САК з електроприводом складається з незмінної частини, до якої належить об’єкт регулювання, електродвигун, силовий керований перетворювач, а також елементи головного зворотного зв’язку та порівняння. Об’єкт регулювання вважається відомим при проектуванні САК, двигун і перетворювач вибирають, виходячи з технологічних характеристик об’єкта. Природно, що ці елементи не підлягають зміні при корекції динамічних властивостей САК. Незмінними звичайно також вважаються елементи, що забезпечують потрібну точність роботи системи в усталеному режимі — підсилювач, а в астатичній системі — інтегруючий елемент. Елементи САК, що не змінюються, визначають ЛАХ вихідної (нескорегованої) системи.
Бажану ЛАХ, яка визначає потрібну якість САК, умовно поділяють на три частини: низькочастотну Ь (со), середньочастотну Ь (со) і високочастотну Ь (со). Можливий вигляд бажаної ЛАХ показано на рис. 6. 23.
До низькочастотної частини ЛАХ належить ділянка характеристики, нахил якої не змінюється при со-»0. Вона проходить через точку з коор-
Рис. 6. 23
динатами £(со) - 20К, со = 0, де К— коефіцієнт передачі розімкнутої системи, і має нахил 0 дБ/дек для статичних систем, -20 дБ/дек — для астатичних систем першого порядку і -40 дБ/дек — для астатичних систем другого порядку. ЛАХ на рис. 6. 23 відповідає статичній системі.
Низькочастотна частина ЛАХ визначається коефіцієнтом передачі розімкнутої системи К і порядком астатизму, отже, вона характеризує точність роботи системи в усталених режимах. Якщо до незмінюваної частини системи належать елементи, що забезпечують потрібну точність роботи САК в усталеному режимі, то низькочастотні частини бажаної ЛАХ і ЛАХ вихідної системи збігаються.
До середньочастотної частини належить ділянка ЛАХ з однаковим нахилом, що проходить через частоту зрізу ш . Ця частина ЛАХ є найважливішою, бо вона визначає переважно якість перехідних процесів. Основними параметрами, які характеризують середньочастотну частину, є її нахил і частота зрізу. Для задовільної якості перехідних процесів замкнутої системи необхідно, щоб нахил ЛАХ на частоті зрізу дорівнював -20 дБ/дек. Якщо нахил ЛАХ на частоті зрізу становить -40 дБ/дек, то перехідний процес має велике перерегулювання, а при нахилі -бОдБ/дек система, як правило, буде нестійкою. Частота зрізу а>з визначає швидкодію САК. Швидкодія зростає при збільшенні а>з.
Високочастотна частина ЛАХ Авч(аі) знаходиться в зоні від’ємних децибелів, тому майже не позначається на якості перехідного процесу і впливає лише на його початок. Власне кажучи, краще мати якомога більший нахил асимптот високочастотної частини, бо це зменшує вплив високочастотних перешкод. У деяких випадках високочастотну частину ЛАХ взагалі не беруть до уваги.
Для побудови бажаної ЛАХ, виходячи із заданих вимог до якості перехідних процесів, використовуються різні методи. Розглянемо найпоширеніші з них.
Метод В. В. Солодовнікова. Розглянемо цей метод стосовно астатичної системи першого порядку, в якої низькочастотні асимптоти з нахилом -20 дБ/дек вихідної ІЛш) і бажаної ЛАХ £6(ш) збігаються і проходять через точку з координатами ІХш) = 20 К, ш = 0 (рис 6. 24).
Вихідними даними для побудови бажаної ЛАХ є час регулювання і і перерегулювання а. Можуть бути заданими також максимальне прискорення <2тах та початкове розузгодження вихідної координати х0.
Бажану ЛАХ А6(ш) будують у такій послідовності.
1.	Вибирають частоту зрізу, виходячи з умови
шз1«ш3«шз2,
де шз1 — мінімальне значення частоти зрізу, при якому час регулювання не перевищує заданий; шз2 — максимальне значення частоти зрізу, яке визначають, виходячи із заданого максимального прискорення <2тах регульованої координати та її початкового розузгодження х0.
Значення из1 визначають за номограмою (рис 6. 25) у такому порядку.
Виходячи із заданого значення а за графіком о<^тах) визначають відповідне значення У . Потім за цим значенням Г^тах) за графіком ґ (І/ ) знаходять сл/со*. Цю величину порівнюють із заданим значенням ґр і із знайденого рівняння визначають
Чі = сл/ґР-
Частоту соз2 обчислюють за формулою
Якщо 4і><0з2’ то сл*д вибирати соз <соз2. Якщо значення <2тзх і х0 не задані, то соз>а)л.
2.	Після3 визначення частоти зрізу будують середньочастотну асимптоту бажаної ЛАХ, яка проходить через частоту зрізу з нахилом -20 дБ/дек.
3.	За графіком на рис. 6. 26, виходячи із знайденого значення Утзх, визначають Ь. і Ао? .
Д^ • тіл
Після цього сполучають середньочастотну асимптоту з низькочастотною так, щоб в інтервалі частот, для якого
о^6(“>)*4’	<6-35>
надлишок фази був більшим або дорівнював мінімальному надлишку:
Д^$=Д^т.п.	(6.36)
Сполучення здійснюють асимптотою з нахилом -40 дБ/дек або -60 дБ/дек для астатичних систем першого порядку і -60 дБ/дек — для систем другого порядку. Надлишок фази при частоті ша можна визначити за такою наближеною формулою:
де V — порядок астатизму; а>. — частоти сполуки бажаної ЛАХ, які містяться ліворуч від а>а; т і І — кількість частот сполуки, на яких нахил бажаної ЛАХ змінюється на -20 дБ/дек або +20 дБ/дек відповідно.
Надлишок фази А^> = я + <р(аі), де перевіряють лише для тієї частоти ш (див. рис. 6. 24), для якої ЬАа>) = Г . Частоті а> може відповідати точка сполуки асимптот або точка на одній з цих асимптот.
Задоволення умов (6.35) і (6.36) означає, що бажаній ЛАХ відповідає типова частотна характеристика 1/(ш\ у якої 1І/ | = £/ - 1 і для якої складено використані раніше залежності ) і наведені на рис. 6. 25.
Якщо на частоті ша надлишок фази Дро<Ар то асимптоту сполуки необхідно зсунути вліво або зменшити її нахил; якщо Дра>Ау? , то асимптоту слід зсунути вправо або збільшити її нахил. Отже, потрібне положення асимптоти сполуки відшукується методом спроб. При цьому різниця А^>а — Д<ртіп не повинна перевищувати кількох градусів.
4.	Середньочастотну асимптоту сполучають з високочастотною так, щоб в інтервалі частот, для якого
надлишок фази становив Ар > А<Ртіп-
Надлишок фази досить перевірити при частоті а>6 (див. рис. 6. 24) за такою наближеною формулою:
Я	V	%
А».	=	я —-а	—	>	—,
г 6	4	^сер	СО.
і = 1	‘
де — відносний нахил середньочастотної асимптоти (при нахилі -20 дБ/дек = 2); г — кількість частот сполуки бажаної ЛАХ, що перевищують частоту зрізу со; ш. — частоти сполуки бажаної ЛАХ, що перевищують шз.
Якщо Ау? < А <р то асимптоту сполуки треба зсунути вправо або зменшити її нахил, якщо Д<р >Ау? — то зсунути вліво або збільшити нахил. Різниця Ау? - Діртіп не повинна перевищувати кількох градусів.
При сполученні середньочастотної частини ЛАХ з низькочастотною
та високочастотною слід прагнути до того, щоб бажана ЛАХ якомога менше відрізнялась від ЛАХ вихідної системи. Це спрощує корекцію.
Метод Санковського—Сігалова. В основу цього методу покладено дев’ять типів бажаних ЛАХ розімкнутої системи (табл. 6. 2).
Таблиця 6. 2
Тип ЛАХ	Передаточна функція	Асимптотична ЛАХ		Частота зрізу
1	к (Тір + і^р + і)	1 0	0дБ/дек 	  -20дБІдек 1	„ ^Ч -	Аф!
			-40дб/дек'	
2	к р(Т1р + 1)2(Т2р + 1)	Г 0	-20 дБ/дек 1—	к
			-60 дБ/дек	
3	к(т2Р +1) (Т1р + 1)(53р + 1)	4 0	ОдБ/дек 	—^МдБ/дек \*',г~-^20дбІдек ^и>3	к(й} <в2
			1уи>г	Цш -40 дБ/дек	
4	фгР + і) р(Г1р + 1)(Т3р +1)	і 0	-20д5/дек	к(йх <в2
			-40№/Зек	
5	+1) Р2(7зР + 1)	4 0	-40дБ/дек	к “2
			-40№/д&^	
Тип ЛАХ	Передаточна функція	Асимптотична ЛАХ		Частота зрізу
6		І 0	0№/івк кпяеІ. —' кРОдБ/дек І Т-~^203Б/дек	
			-40дБ/де^	
7	Л(т2д +1)2	Д 0	-2066/дек —^-бОдб/Век \г~'-~-^Одб/деі<	<в2
	р(т1р + і)2(т3р + і)		№ №	19и> -«Одб/йл"	
8	+1)2	і 0	-ЧОЗБ/дек ^-ВОББ/дек. \>—~^~20йБІЗк іцш3 	 #4			 -«Одб/де'к	И2
	Р2(ТіР + Шр + 1)			
9	*(т2р +1)2 р3(Г3р + 1)	і 0	-60дб/дек 1дшг	'"***-£ -КМБ/ЗеІЇ	к <в2
Той чи інший тип ЛАХ вибирається залежно від вимог до САК, що синтезується. Ці вимоги є вихідними даними для синтезу. До них належать:	, (й^/сй2) — максимальне значення швидкості та приско-
рення зміни завдання; і — час регулювання; а — перерегулювання.
При виборі типу ЛАк рекомендується керуватися такими положеннями:
1)	якщо завдання змінюється з великим прискоренням, а рівень перешкод незначний, то слід вибирати ЛАХ типу 1 для статичних систем і типу 2 — для астатичних.
2)	якщо прискорення, з яким змінюється завдання, невелике, але рівень перешкод досить значний, то слід вибирати ЛАХ типів 3, 4 або 5;
3)	при великих прискореннях зміни завдання і значному рівні перешкод треба вибирати ЛАХ типів 6, 7, 8 або 9.
У всіх випадках при виборі бажаної ЛАХ слід прагнути до того, щоб бажана ЛАХ якомога менше відрізнялася від ЛАХ вихідної системи.
Після того як тип бажаної ЛАХ вибрано і, виходячи з вимог до
Рис. 6. 27
якості САК в усталеному режимі,'визначено її низькочастотну частину, для побудови решти частин бажаної ЛАХ використовують дані табл. 6. 2 і такі співвідношення:
частота зрізу
соз = с/Г,	(6. 37)
запас стійкості по фазі
Ду>" = 73 - а ,	(6. 38)
де с = 9 при Ду> = ЗО с = 8 при = 45 ° і с = 7 при Д$р = 60
Формули (6. 37) і (6. 38) дають похибку, що не перевищує 0,05 ... 0,1 при 60 ° > Ду? > 30 °.
При розрахунках можна користуватися й такими співвідношеннями:
сс> /а>	—тг!
2	3 2(1-1)	<6. 39)
1	_ а
2	’	(6. 40)
де І = 2 або 3 при нахилі асимптоти, що сполучає середньо- та низькочастотні частини ЛАХ, -40 дБ/дек або -60 дБ/дек;
а = л/2 - Д$р.	(6. 41)
Значення а (у радіанах) визначають, виходячи з припущення, що /а><< 1 при і = 3, 4, . .. та /ш » 1.
п
Приклад 6. 2. Передаточна функція розімкнутої незмінюваної частини системи, що складається з об’єкта регулювання, двигуна та перетворювача з підсумовуючим підсилювачем, має вигляд
р(0,005р +1) (0,2/? +1)'	(6. 42)
таких показників якості:
Вибрати та побудувати бажану ЛАХ, виходячи з о<20 %; ?р<0,3 с. Врахувати, що завдання змінюється повільно, а рівень перешкод значний.
Розв’язання. ЛАХ незмінюваної (вихідної) частини системи побудовано на рис. 6. 27. Низькочастотна частина ЛАХ проходить через точку з координатами £(«?) - 20 50“ = 34 дБ, а) = 1 і має нахил -20 дБ/дек.
Відповідно до викладених раніше рекомендацій вибираємо бажану ЛАХ типу 4 з табл. 6. 2. За формулою (6. 38) визначаємо необхідне значення запасу стійкості по фазі
Д<р - 73 — а - 73 - 20 - 53 0
і, прийнявши с = 7,5, за формулою (6. 37) знаходимо частоту зрізу
<аз - с/Тр - 7,5/0,3 “ 25 с~*.
Приймемо, що частота сполуки ш. створюється сталою часу 0,2 с незмінюваної частини системи, тобто = 1/0,2 = 5 с-1. Тоді за формулою з табл. 6. 2 визначимо частоту со?
а>2 - кіох/а>з = 50 -5/25 - 10 с-1.
Знаходимо сталу я.
а = л/2 - Л<р = 3,14/2 - 53/57,3 = 0,65 рад.
Приймемо, що стала часу 0,005с незмінюваної частини системи створює частоту сполуки со4 = 1/0,005 - 200 с’1, і за формулою (6. 40) визначимо частоту сполуки <а3:
11а	1
<о---і- <о — = —; ш- = ------—
3 а>з за>А 2	3 а________1_
2<аз
Для перевірки розрахунків обчислимо ліву і праву частини наближеної рівності (6. 39):
ат2/шз = 10/25 = 0,4;	= 0-325.
Можна вважати, що наближена рівність (6. 39) задовольняється.
Останню асимптоту високочастотної частини бажаної ЛАХ проводимо паралельно високочастотній частині ЛАХ вихідної системи, тобто з нахилом -60 дБ/дек.
Побудовану бажану ЛАХ £6(й>) показано на рис. 6. 27.
0,65	1	125 С
2-25 200
Спрощена побудова бажаної ЛАХ. Вихідними даними для побудови є час регулювання / та перерегулювання а. Частота зрізу бажаної ЛАХ обчислюється за формулою
ш~кол/ір, де — коефіцієнт, що визначається за графіком на рис. 6. 28, в залежно від перерегулювання.
Через частоту зрізу проводиться середньочастотна асимптота бажаної ЛАХ з нахилом -20 дБ/дек. Частоти а>2 і а>у, що обмежують се-редньочастотну асимптоту ліворуч і праворуч, вибирають, виходячи з таких наближених рівностей:
еи, ~	а>„ ~ (2 . .. 4)а>.
2	3	3	3	з
Для наближеної, але досить точної оцінки показників якості перехідного процесу можна використати графіки на рис. 6. 28. Перерегу-лювання а визначається за графіками на рис. 6.28, а залежно від коефіцієнтів а2 і а,, що визначають довжину середньочастотної частини ЛАХ: а2 = а = %/%• Запас стійкості по фазі Ау> визначається за графіком на рис. 6. 28, б залежно від перерегулювання.
Синтез послідовної корегуючої ланки. Послідовна корегуюча ланка вводиться в основний контур регулювання системи (рис. 6. 29) і звичайно є пасивним чотириполюсником або регулятором на базі операційного підсилювача. По можливості ланку слід вводити ближче до входу системи, де сигнали мають найменшу потужність.
Передаточна функція вихідної розімкнутої системи
И\(о) = Ж,(р)У72(р) . . . Жл(р)£звз після введення корегуючої ланки матиме вигляд
Ж6(р) = ^к(р)^(р)^2(р) . . .^„(р)к333 = Жк(р)Ж8(р).
Після переходу до логарифмічних характеристик дістанемо
звідки
= Ь6(ш) - Ь(ш).	(6. 43)
Цей вираз визначає такий порядок синтезу послідовної корегуючої ланки: 1) виходячи із заданої структури системи і параметрів її ланок, будують ЛАХ вихідної розімкнутої системи 7Д<и);
2)	за заданими показниками якості будують бажану ЛАХ
3)	визначають ЛАХ корегуючої ланки ІДсо) як різницю £6(й>) - £в(<у);
4)	за ЛАХ корегуючої ланки ІЛш) визначають її передаточну функцію, схему і її параметри.
Приклад 6. 3. ЛАХ вихідної системи Лв(ш) і бажану ЛАХ побудовано на рис. 6. 27 (див. приклад 6. 2). Побудувати ЛАХ послідовної корегуючої ланки Лк(<а), вибрати її схему і знайти параметри.
Рис. 6. ЗО
Розв’язання. ЛАХ корегуючої ланки на рис. 6.27 визначено як різницю Л6(<а) - І (ш). За виглядом 2.к(ш) з табл. 6.1 вибираємо схему корегуючої ланки (ланка № 2) і записуємо її передаточну
5 10'4 Ом - 50 кОм.
ОДр + 1)
^к(Р) =
Т2Р +1	(6. 44)
Порівнюючи ЛАХ корегуючої ланки з табл. 6.1 і побудовану на рис. 6. 27, визначимо
Т, - 1/<а2 - 1/10 - 0,1 с; Т2 - 1/ю} - 1/125 - 0,008 с.
Обчислюємо параметри К2, С схеми корегу-
ючої ланки за допомогою формул з табл. 6.1. Незалежних співвідношень для розрахунку параметрів — два, невідомих параметрів — три, тому якщо задати один з них, можна знайти решту.
Приймаємо С - 2 мкФ - 2 10-6Ф. Тоді
7?, - Т./С - 0,1/2 ІО"6
Далі, через те що к = Т211\ - 0,08 і к =
К2
+ К2 7
то
кЯ 0,08-5-Ю4 К2-—к- -ї^одГ = 4348 Ом
Вибираємо номінали резисторів = 51 кОм; Т?2 - 4,3 кОм.
Вибрана корегуюча ланка є пасивним чотириполюсником з коефіцієнтом передачі, меншим за одиницю (А - 0,08). Для збереження незмінним коефіцієнта передачі розімкнутої системи необхідно застосувати додатковий підсилювач, коефіцієнт підсилення якого к задовольняє умову ккп “ 1.
кп - 1/к » 1/0,08 - 12,5.
Якщо є можливість збільшити в 12,5 раза коефіцієнт підсилення підсилювача вихідної системи, то додатковий підсилювач не потрібен.
Корегуючу ланку, синтез якої виконано, можна також реалізувати на базі операційного підсилювача, використавши схему на рис. 6. ЗО.
Дійсно, згідно з виразом (6. 31) передаточна функція цієї схеми
К'Ср + 1 тіР + 1 к,к, = к'т2р + \ ^Р + І
ЗВІДКИ
Я __ зв.з ^1 + ^2
^(Р) = —-------------
. । К \/Ср + Н, 2 збігається з передаточною функцією (6. 44). Різниця полягає тільки в тому, що коефіцієнт передачі к має різні значення. Відповідно до Лк(<») на рис. 6. 27 коефіцієнт передачі корегуючої ланки має дорівнювати одиниці, тому в схемі на рис. 6. ЗО слід прийняти Я з -=Л, + К2. Решта параметрів схеми такі самі, як і параметри розглянутого раніше пасивного чотириполюсника.
Синтез паралельної корегуючої ланки. Паралельні корегуючі ланки вводяться у вигляді зворотних зв’язків, які охоплюють одну або кілька ланок вихідної системи (рис. 6. 31). Термін «паралельна корегуюча ланка» тут не зовсім точний, через те що корегуюча ланка вмикається не паралельно ланкам системи, а створює від’ємний зворотний зв’язок. Проте цей термін використовується в багатьох книгах з теорії автоматичного керування, тому він вживається й тут.
Рис. 6. 31
Передаточна функція вихідної розімкнутої системи має вигляд
Ж,(р) = ТУ,(р)Ж2(р)ІУ3(р)Лзв.3 = ІУ0Х(р)ІУНС0Х(р),
де ІУ (р) — передаточна функція частини системи, що охоплюється паралельною корегуючою ланкою; И/'неох(р) — передаточна функція решти частин розімкнутої системи.
Для структурної схеми на рис. 6. 31
ІУ0Х(р) = ІУ/р); Жнеох(р) = Ж2(р)ІУ3(р)*зв.3 .
Після введення корегуючої ланки передаточна функція розімкнутої системи має вигляд
. = ^.(рЖСрЖСр)^ = ІУ,(Р)
1+Жк(р)Ж_(р)	1+ІУХ(РЖХ(Р) •	(6.45)
Після переходу до логарифмічних характеристик дістанемо
£6(о>) = £>) - 20	11 + ІУк(/й>)ЇУох(/й>) |.	(6. 46)
Основна складність синтезу паралельної корегуючої ланки зумовлена наявністю одиниці у знаменнику передаточної функції (6. 45). Для подолання цього іноді розглядається тільки інтервал частот, у якому
І	І »1,	<6. 47)
тобто одиницю в знаменнику передаточної функції (6. 45) взагалі не враховують. Проте нерівність (6. 47) звичайно виконується тільки для високих частот і не зберігається на низьких частотах.
Досить точний метод синтезу, який дозволяє враховувати одиницю в знаменнику передаточної функції (6. 45), викладено в праці [21]. Розглянемо суть цього методу. Введемо такі позначення:
іи12(р) = и'/р^/р);	<6. 48)
Ж„(р) = 1 + ^х(р)ІУох(р) = 1 + ил12<р)	<6- 49>
і відповідно
Л12(а>) = 20 18 | ТУх(7й>)ІУох(7Ь) | =	+ £0>);
Лп(а>) = 20 їв ] 1 + ТКк(/й»)И<.х(/й>> |.
За формулою (6. 46) побудуємо ЛАХ віднявши Ь6(а>) від Залишається перейти від Ап(<у) до £)2(<у). Цей перехід можна здійснити так. Виходячи з вигляду визначаємо і відповідно до виразу (6.49) знаходимо передаточну функцію
Таблиця 6.3
Перетворення ЛАХ (ш) до багляду (ао)
Перетборення ЛАХ І. ,, (ао) до вигляду С,? (ао)
~10 Г
У^р} = Ж„(р) - 1, за якою будуємо ЛАХ А12(<у).
ЛАХ £п(<у), які здебільшого трапляються при синтезі корегуючих ланок, та ЛАХ £)2(<у), що їм відповідають, зображено в табл. 6. 3.
Після цих попередніх зауважень можна запропонувати такий порядок синтезу паралельної корегуючої ланки.
1.	За заданою структурною схемою і параметрами її ланок будується ЛАХ вихідної розімкнутої системи Ь(ш).
2.	За заданими показниками якості будується бажана ЛАХ
3.	Відніманням бажаної ЛАХ А6(л>) від ЛАХ вихідної системи Ь (со) визначається ЛАХ
Д/о>) = Ьл(ш) -
яка відповідає знаменнику передаточної функції (6. 45).
4.	За виглядом ЛАХ АДсо) будується ЛАХ А!2(<у) знаменника передаточної функції (6. 45) без одиниці. У діапазоні частот, де виконується умова	дБ, ЛАХ Д,(о>) і Д2(<у) збігаються з точністю до 3 дБ. Якщо
вважати цю точність достатньою, то перехід від Ап(<у) до А!2(<у) при ) > >11 дБ не потребує НІЯКИХ перетворень. Для переходу ВІД Аи(<у) ДО А!2(<у) у діапазоні частот, де Д/со) < П дБ, слід користуватися даними табл. 6. 3.
Після побудови А!2(<о) необхідно перевірити стійкість внутрішнього контуру системи, який створюється ланками з передаточною функцією Жох(р) і корегуючою ланкою. Висновок про стійкість внутрішнього контуру можна зробити лише за виглядом А12(<у).
5.	Вибирається місце введення корегуючої ланки і будується Ь (<у). Звичайно, корегуючою ланкою доцільно охоплювати частину системи, яка має великий коефіцієнт підсилення.
6.	Визначається ЛАХ корегуючої ланки А/со) як різниця характеристик А2(<у) і Аох(<у):
= £12(о>) - Аок(<у).
7.	За виглядом ЛАХ корегуючої ланки визначається її передаточна функція, вибирається схема і обчислюються її параметри.
Приклад 6. 4. ЛАХ вихідної системи Лв(ш) і бажану ЛАХ Л6(ш) показано на рис.
6. 32. Побудувати ЛАХ паралельної корегуючої ланки, вибрати її схему та розраху-
вати параметри при умові, що корегуюча ланка охоплює ланку, ЛАХ якої має вигляд Лох(<а).
Розв’язання. Всі характеристики, пов’язані з побудовою Лк(<а), зображено на рис. 6. 32. Спочатку будуємо характеристику Лй(<а) - Лв(<а) - £6(<о) (суцільна лінія), потім за виглядом і даними табл. 6. З — характеристику Л12(ш) (штрихова лінія). ЛАХ корегуючої ланки Лк(ш) визначаємо як різницю £]2(<а) - Лох(<а). Характеристиці Лк(<а) відповідає ланка з передаточною функцією
тр +1'	(6. 50)
Параметри передаточної функції т - 1/5 - 0,2 с : 20 І£ к - 6; к - 2 визначено за характеристикою £к(ш) на рис. 6. 32.
Передаточну функцію (6. 50) має корегуюча ланка, схему якої наведено на рис. 6. 33.
Дійсно, відповідно до виразу (6. 31) передаточна функція цієї ланки має вигляд
іу („т = - 7?зв з = КСР = кхР
' \/Ср + К К КСр + \ тр + Г	(6.51)
де Т - КС; к =
Прийнявши С - 10 мкФ - 10~5 Ф, визначаємо
К - т/С = 0,2/Ю"5 - 2 -Ю4 Ом - 20 кОм; К - кК - 2-2 -104 - 4 -Ю4 Ом - 40 кОм. зв.з
Синтез кількох корегуючих ланок для однієї САК. За допомогою ЛАХ можна синтезувати не тільки одну, а й кілька корегуючих ланок для однієї схеми. Нехай, наприклад, ЛАХ вихідної системи £а(<«) та бажана ЛАХ Л6(<у) мають вигляд, зображений на рис. 6. 34.
Для переходу від Ь(а>) до А6(а>) застосуємо дві корегуючі ланки. Введемо деяку проміжну ЛАХ Ь (ш) і вважатимемо, що перша корегуюча ланка забезпечує перехід від М<у) до Ьп(а>), а друга — від Ап(о>) до Ь6(а>). Виходячи з того, що вигляд проміжної ЛАХ Ь (<и) визначає складність корегуючих ланок, при її побудові слід максимально використовувати частоти сполуки вихідної та бажаної ЛАХ, тобто Ь (о>) побудувати так, щоб вона якомога менше відрізнялась від Ь (ш) і Іха>).
ЛАХ Ап(й>) на рис. 6. 34 для частот &><&>, збігається з ІЛш), в інтервалі частот від о. до &>т має нахил -40 дБ/дек і на вищих частотах збігається з А6(й>).
Перехід від Ь (о>) до Ь (а) здійснюється за рахунок введення паралельної корегуючої ланки. Вважаємо, що корегуюча ланка охоплює ланку вихідної системи з сталою часу 1/со . ЛАХ цієї ланки має вигляд Аох(й>). Віднімаючи Ь (<и) від Ь (а>\ дістанемо Д.(<у) і за її виглядом побудуємо А)2(<у). Віднімаючи ^ох(л>) від побудованої А)2(са), визначимо ЛАХ паралельної корегуючої ланки Ак1(л>).
Характеристиці Ак1(<у) відповідає передаточна функція
к,р СІ\р + 1)
(7>+1)(Т2р + 1)’	(6.52)
Де
Т, = Т2 = 1/о>т; Т3 = 1/<и3.
Для реалізації паралельної корегуючої ланки можна використати пасивний чотириполюсник (ланка № 3 з табл. 6. 1).
Для переходу від Ь (<у) до £6(<у) використаємо послідовну корегуючу ланку. ЛАХ Ь (а) цієї ланки визначимо як різницю бажаної А6(л>) і проміжної Ь(.ог) ЛАХ. Характеристиці Ах2(<у) відповідає передаточна функція
^2(Р)
к2(Ч> + 0 т2р + 1 ’
(6. 53)
де т1 = 1/а»2; т2 = 1/й>т. Для реалізації цієї ланки можна також використати пасивний чотириполюсник (ланка № 2 з табл. 6. 1).
При синтезі корегуючих ланок можна вибрати й іншу черговість їх введення, тобто перехід від Ав(й>) до Ап(о>) здійснити за рахунок введення послідовної корегуючої ланки, а перехід від £,(<«) до А6(а») — паралельної.
Ідею використання проміжної ЛАХ можна застосувати також для синтезу двох паралельних корегуючих ланок.
6. 12. ПОСЛІДОВНА КОРЕКЦІЯ З ПІДПОРЯДКОВАНИМ РЕГУЛЮВАННЯМ КООРДИНАТ
Послідовна корекція з підпорядкованим регулюванням координат за нашого часу є найпоширенішим видом корекції тиристорних електроприводів постійного і змінного струму.
САК з послідовною корекцією становить багатоконтурну систему, кількість контурів якої дорівнює кількості регульованих параметрів. У електроприводах постійного струму такими параметрами можуть бути напруга перетворювача, струм якірного кола, швидкість обертання вала електродвигуна, кутове або лінійне переміщення органів робочої машини тощо. Головним регульованим параметром є параметр, який визначає ціль автоматичного регулювання. В системі стабілізації швидкості таким параметром є швидкість, в системах позиціювання — кутові або лінійні переміщення тощо. Решта параметрів підпорядковані головному параметру, крім того, вони підпорядковані також один одному. Наприклад, у системі тиристорний перетворювач—двигун постійного струму параметр напруги перетворювача підпорядкований параметру струму головного кола, струм — параметру швидкості електродвигуна, параметр швидкості — параметру кутового переміщення. Тому системи з послідовною корекцією називають також системами підпорядкованого регулювання (СПР).
Структурну схему триконтурної СПР показано на рис. 6. 35. Об’єкт регулювання поділено на три частини Жо1(р), Жо2(р), V? /р). Вихідною величиною кожної з них є один з регульованих параметрів х, х2, х3. Кожна частина об’єкта регулювання має одну (іноді дві) «велику» сталу часу, яка компенсується дією відповідного регулятора. Тому кількість регуляторів дорівнює кількості «великих» сталих часу об’єкта регулювання. Регулятори вмикаються послідовно (каскадно). Кожний регулятор контролює один з регульованих параметрів, тому вони називаються регуляторами струму, швидкості, положення тощо.
Внутрішній (перший) контур- складається з відповідної частини об’єкта регулювання У7оі(р) і регулятора И''' (р), на вхід якого, крім сигналу зворотного зв’язку х, подається сигнал завдання х1з, що виробляється регулятором И^їр) другого контура. Цей контур є зовнішнім відносно першого. Об’єктом регулювання другого контура є перший (внутрішній) контур та частина об’єкта регулювання Йло2(р). Другий контур є складовою частиною об’єкта регулювання третього контура.
У загальному випадку багатоконтурної системи будь-який з г-х контурів, крім першого і останнього, є зовнішнім (керуючим) відносно (і - 1)-го контура і внутрішнім (підпорядкованим) відносно (і + 1)-го контура. Такий контур укладається з двох ланок — регулятора з передаточною функцією Жрі(р) і об’єкта регулювання з передаточною функцією
-,(?),	(6.54)
де Жз. _ ,(р) — передаточна функція замкнутого (і - 1)-го контуру. 280
Рис. 6. 35
Передаточна функція розімкнутого 1-го контуру має вигляд
^(Р) - ^р,(р)ІУ'о;(р),
(6. 55)
замкнутого — вигляд
ІУ.(р)
“ 1 + ^.(р) ‘	(6. 56)
Регулятори багатоконтурної СПР розраховуються при умові послідовної оптимізації контурів системи, починаючи з внутрішнього (першого) і закінчуючи зовнішнім (останнім).
Передаточну функцію об’єкта регулювання будь-якого контуру можна подати у вигляді
в» (р)
ТІЛ /	\	О.КЧГ'
° Р	(6. 57)
де ІУ (р) — частина передаточної функції об’єкта, до якої входить «велика» стала часу, що компенсується регулятором; Т — сума «малих» сталих часу, що не компенсується регулятором.
Великі сталі часу визначають швидкодію контуру, малі — високочастотну частину ЛАХ і майже не впливають на якість перехідних процесів. Наприклад, якщо складовою частиною об’єкта регулювання є тиристорний перетворювач, передаточна функція якого к е'хр
ІУ (р) = т'"	,
т п . V +1	(6. 58)
де Атп — коефіцієнт підсилення тиристорного перетворювача за напругою; т" — середньостатистичне чисте запізнення системи керування тиристорами; тф — стала часу фільтра на вході перетворювача, то вираз для (р) можна подати у вигляді
іу (г>\ = -------1:0----- — ----------1:2-------
т.п(Р) (Тфр + і) (Тр + і) ТфТр2 +	+ т)р + 1 ’	(6 59)
де враховано, що
е~гр~—ТТ-тр + 1
Оскільки тф і т є малими сталими, то добуток тфт == 0 і дві
аперіодичні ланки можна наближено замінити однією сталою часу, що дорівнює сумі двох малих сталих часу, тобто
РИ (р) = ----—----- = ———-
гЛР) (тф + т)р + 1 т^р + 1’	(6>60)
де Т = т + т.
ф
Величина Т для реальних систем електропривода становить від 0,005 до 0,01 с. "
При настроюванні контуру на технічний (модульний) оптимум передаточна функція регулятора вибирається так, щоб передаточна функція замкнутого контуру становила передаточну функцію коливальної ланки:
Ж (р) = —гз— --------,
+ аТ^р + 1	(6 61)
де а = 2. При цьому коефіцієнт затухання | = а/2^а=^2/2 = = 0,707 і перерегулювання а = 4,3 %, що відповідає оптимальному за швидкодією перехідному процесу (час регулювання становить 4,1 Т ).
Настроювання на технічний оптимум не є оптимальним у повному розумінні ні за швидкодією, яку можна збільшити, зменшуючи значення о, ні за перерегулюванням, яке можна зменшити, збільшуючи значення а, тобто знижуючи швидкодію. Проте таке настроювання в більшості випадків одночасно задовольняє вимоги щодо швидкодії та перерегулювання, тобто в певному розумінні його можна вважати оптимальним.
Передаточна функція замкнутого контуру має вигляд (6. 61), якщо передаточна функція розімкнутого контуру визначається так:
= аТ^р + іу	(6. 62)
З іншого боку, передаточна функція розімкнутого контуру має вигляд
ИС(р)Ж (р) - -4^,	(6 63)
де №р(р), №о(р) — передаточні функції регулятора та об’єкта.
Для визначення передаточної функції регулятора прирівнюємо вирази (6. 62) та (6. 63) і знаходимо
~ К^аТ^р	(6. 64)
або при а = 2
ЛАХ розімкнутого контуру при настроюванні на технічний оптимум зображено на рис. 6. 36, а. Вона побудована за передаточною функцією (6. 62) при а = 2. Низько- і середньочастотні частини ЛАХ мають нахил -20 дБ/дек, при частотах вище ш0 нахил характеристики становить -40 дБ/дек. Частота зрізу цієї характеристики становить
Ч = 1/2 Т„,
а частота сполуки
= і/т>
Приклад 6. 5. Структурну схему тиристорного електропривода постійного струму наведено на рис. 6. 37, де Й'щїр), — передаточні функції регуляторів швидкості і струму; £тп — коефіцієнт підсилення тиристорного перетворювача за напругою; Т — еквівалентна стала часу тиристорного перетворювача; — активний опір силового кола; с — стала двигуна (добуток конструктивної сталої на номінальний магнітний потік); Т* — електромагнітна стала силового кола; Т — електромеханічна стала електропривода; к_, кш — коефіцієнти зворотних зв’язків за струмом і швидкістю. Визначити передаточні функції регуляторів при настроюванні системи на технічний оптимум. Стала часу
— мала (некомпенсована). Компенсації підлягають великі сталі часу Тя і Т .
Розв’язання. Почнемо з внутрішнього контуру (контуру струму). Запишемо передаточну функцію об’єкта контуру струму
*Л. А
и'о.еСР) - {ТілР + іхг^ + і)	(6 66)
і передаточну функцію частини об’єкта, що компенсується регулятором струму.
И'о.к.еИ = ^(7^ + 1)-	(6 67)
Тоді згідно з виразом (6. 65)
, = ЗДр + 1) = 7^ + 1
р-с^	т? '	(6.68)
де Т’, - 2Г / кя.
Рис. 6. 37
Передаточна функція розімкнутого оптимізованого контуру струму матиме вигляд
= гг^гр + і)’	(6 69)
а замкнутого контуру струму — вигляд
\/кс
^з.сСр) і + іус„'1	, .•
і-	27^р + 27^ +!	(б 7())
Член 27’^р2 можна відкинути, оскільки він містить добуток малих сталих часу, близький до нуля. Тоді
1/*с ^(Р) = 2тТ+Т'
27 ^Р + 1	(6.71)
Знаходимо передаточну функцію об’єкта контуру швидкості
1/*с К*/с
И'о.шСр) - 2Т^р + 1 Тмрк^
і передаточну функцію частини об’єкта, що компенсується регулятором швидкості
К к 
Передаточна функція регулятора швидкості згідно з виразом (6.65) і з врахуванням того, що мала стала часу контуру швидкості становить 2 Т, матиме вигляд
к сТ	ксТ
тгл у \	С М	С М	/
Р-ш^) ~ К к 2(2Т )р - 4Т К к “ р.ш-я ш д'	д я ш	(О. 72)
Отже, при настроюванні контурів на технічний оптимум дістаємо пропорційно-інтегральний регулятор струму (6. 68) і пропорційний регулятор швидкості (6. 72).
При настроюванні на технічний оптимум забезпечується добра якість перехідних процесів, проте статична точність системи при наявності зовнішніх збурень у багатьох випадках виявляється недостатньою. Розглянемо, наприклад, структурну схему, наведену на рис. 6. 37. Для цієї схеми
^ах.ш “з.ш ^за.з.ш'
Якщо врахувати, що
и	=
°ХШ И'р.и.О’) Ч-
і
Из..з.ш =
ТО
и = к а> + иі к .
З.Ш ін	з.с * р.ш
Регулятор струму є пропорційно-інтегральним, тому в усталеному режимі
“з.= = «зв.з.с = Ікс> тоді
«З.ш = кш“> + Ікс І ‘Ч.Ш-
ЗВІДКИ
„ _ “з.ш Ік.
ш к к к '
іп Лр.Ш%
Враховуючи вираз (6. 72) для к ш, це рівняння можна записати у вигляді
а> =	- 1^^-.
кш с тм	(6.73)
Звідси випливає, що відхилення швидкості в статичному режимі, зумовлене змінюванням струму І (навантаження на валі двигуна), визначається другою складовою цього рівняння, тобто
Статичне падіння швидкості в розімкнутій системі обчислюється за формулою
Асу = ІК /с, ш.р.	я
тому
47
Ай? — Асу ~=г'.
Ш	ш.р
м
Отже, падіння швидкості в системі підпорядкованого регулювання з пропорційним регулятором швидкості буде меншим, ніж у розімкнутій системі тільки за умови Т > 4 Т . Для більшості електроприводів ця умова виконується, тобто точність роботи замкнутої системи в усталеному режимі вища, ніж розімкнутої. Проте для багатьох електроприводів точність роботи СПР з пропорційним регулятором швидкості
виявляється недостатньою. Для усунення цього недоліку використовується настроювання на симетричний оптимум.
По суті, настроювання на симетричний оптимум можна здійснити, якщо в контур, що настроєно на технічний оптимум, ввести послідовно пропорційно-інтегральну ланку, передаточна функція якої (47 р + 1) І 4 Т р. Тоді передаточна функція розімкнутого контуру матиме вигляд
47, р + 1	1
-	47 р ІТ'РЇТ.р + іу	(6.74)
Відповідну ЛАХ показано на рис. 6. 36, б. Ця характеристика симетрична відносно частоти зрізу а> =1/2 7, звідси і назва «симетричний оптимум».
При настроюванні на симетричний оптимум статична похибка відсутня, але якість перехідних процесів при відпрацюванні ступінчастої вхідної дії значно гірша порівняно з настроюванням на технічний оптимум. Передаточній функції (6. 74) відповідає відносно невеликий запас по фазі Ду> = 37 °. Перерегулювання збільшується до 43 %, тобто якість перехідного процесу незадовільна. Проте перерегулювання досить просто знизити до 8 %, якщо застосувати в каналі «завдання» фільтр з передаточною функцією
И<ф(р) = 1/(47, р + 1).
Добрі результати дає також застосування задатчика інтенсивності, який перетворює ступінчастий вхідний сигнал у сигнал, що змінюється лінійно залежно від часу.
На закінчення відзначимо переваги СПР, які забезпечують їм широке застосовування в електроприводах постійного і змінного струму.
1.	Незмінність структури для об’єктів керування з різними параметрами регулювання.
2.	Простота визначення передаточних функцій регуляторів.
3.	Простота і зручність налагоджування.
4.	Прості й зручні для практики способи розрахунку і настроювання контурів СПР, що дає змогу навіть при значних похибках визначення динамічних параметрів об’єкта дістати цілком роботоздатну систему керування електроприводом.
5.	Можливість і простота обмеження будь-якого з регульованих параметрів на потрібному рівні. Кожний з контурів СПР виконує завдання стабілізації одного з параметрів. Вхідним сигналом кожного внутрішнього контуру є вихідний сигнал регулятора відповідного зовнішнього контуру. Тому для обмеження параметра, регульованого даним контуром, достатньо обмежити вихідний сигнал регулятора зовнішнього контуру.
6.	13. КЕРОВАНІСТЬ І СПОСТЕРЕЖУВАНІСТЬ
Керованість — одне з основних понять теорії керування, що характеризує можливість переведення керованої системи в заданий стан за допомогою керуючих дій. Система вважається керованою, якщо існує така керуюча дія и(ґ>, що забезпечує переведення системи з довільного початкового стану х0 в довільний стан протягом скінченного часу.
Точніше визначення керованості сформулював Р. Калман на прикладі лінійної стаціонарної системи, що описується рівнянням
х(ї) = Лх(0+ Ви(0,	(6.75)
де А — матриця системи вимірності п х щ в — матриця входу вимірності п х пг, х(Й — вектор змінних стану; и(/) — вектор зовнішніх дій.
Рівняння (6.75) доповнюють рівнянням зв’язку між вектором змінних стану х(г) й вектором вихідних вимірюваних параметрів системи у(ї):
у(й = Сх(ї).	(6. 76)
У цьому рівнянні С — матриця виходу вимірності г х п, де г — кількість вимірювальних змінних.
Система називається цілком або повністю керованою, якщо для будь-яких моментів часу і0 і і{, де і > і0, і будь-яких заданих станів х0 і х1 існує керуюча дія и(ї) (ї0 «£ і «£ і), що переводить початковий стан х (Ій) = х0 в кінцевий х @) - хґ
Умову повної керованості дає теорема Калмана: лінійна и-вимірна система, що описується рівнянням (6. 75), повністю керована тоді й тільки тоді, коли блочна матриця
К = [В:АВ:А2В:...:А”~'В]	(6.77)
вимірності п х пт має ранг, що дорівнює п, тобто
гапк К = п.	(6. 78)
Нагадаємо, що ранг матриці дорівнює найвищому порядку мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, а мінором матриці називається визначник, що утворюється викреслюванням з матриці однакової кількості стовпців та рядків.
Матриця К називається матрицею керованості. Вона складається з стовпців матриці В та добутків матриць АВ, А2 В, . . . , Ап~ 'В.
Виконаємо дослідження керованості об’єкта на такому простому прикладі. Розглянемо об’єкт другого порядку, що описується рівняннями
= аих{ + <з12х2 + Ьпц + Ьї2и^
С?Х2/ Л ~ #22^2	^22^2*
Матриці, що відповідають рівнянню (6. 75), мають вигляд
ап
0
А =
^12 . п _	^11	^12
а22 ’	0	Ь22
а їх добуток
АВ =
Матриця керованості записується так:
аЛ + ^12° 0 - + а22  0
аі1^12 "* а\2^22
^22^22
ац^12 + а\2^22
0’^12 + а22^22
К = [В:АВ] =
^12 ац^ц
о ь22 о
^11^12 + ^12^22 а2^22
При Ь22 * 0 ранг матриці К дорівнює 2, тому об’єкт повністю керований. Якщо Ь22 = 0, то ранг матриці К дорівнює одиниці й об’єкт не повністю керований: керований тільки за однією координатою.
Розглянемо тепер поняття спостережуваності і відновлюваності. Система називається цілком або повністю спостережуваною, якщо існує таке (і < < оо), що за відомою інформацією про вихід у(т) і вхід и(т) системи для інтервалу ґ < г « і можна визначити всі координати вектора змінних стану системи х(г).
Проблема спостережуваності виникає в зв’язку з тим, що при синтезі систем із зворотними зв’язками керування визначається як функція змінних стану. В загальному випадку ці змінні є абстрактними величинами і їх не можна вимірювати. Піддається вимірюванню (спостереженню) вектор у(і), координатами якого є вихідні величини, і вектор керуючої дії и(/). Вихідні величини функціонально пов’язані із змінними стану, тому для реалізації керування із зворотним зв’язком виникає завдання визначення змінних стану за значеннями у(й, що вимірюються.
З поняттям спостережуваності безпосередньо пов’язане поняття відновлюваності. Система називається цілком або повністю відновлюваною, якщо існує таке і0 (- °° < і0< 0, що за відомою інформацією про вихід у(ї) та вхід и(0 системи для інтервалу і0 «£ т < і можна визначити всі координати вектора змінних стану системи х(/).
Для стаціонарних систем з повної спостережуваності випливає повна відновлюваність і навпаки, тому ці поняття можна не розрізняти.
Для лінійної стаціонарної системи, що описується рівняннями (6. 75) і (6. 76), критерій повної спостережуваності (відновлюваності) формулюється так: система повністю спостережувана (відновлювана) тоді й тільки тоді, коли ранг матриці спостережуваності вимірності п X тп
Н = [С:А1С:...:(АУ~ЇС}
(6. 79)
дорівнює п.
У цьому виразі С", Лт — транспоновані матриці, тобто матриці, які знаходять з вихідних заміною рядків стовпцями.
Транспонована матриця
С
СА
САп~'
(6. 80)
має такий самий ранг, як і матриця (6. 79), тому замість вихідної матриці спостережуваності можна користуватися транспонованою.
Якщо ранг матриці Н менше п, то система не повністю спостережувана: якщо ранг дорівнює нулю — повністю неспостережувана.
Відновлене значення вектора змінних стану називається його оцінкою. Пристрій, що забезпечує знаходження оцінки за вимірюваними векторами керування и(т) і вихідних параметрів у(т) для інтервалу і < т < і, називається спостерігачем.
Для спостерігача вектори керування и(ґ) і вихідної змінної у(0 є вихідними змінними.
Спостерігачем повного порядку для системи, що описується рівняннями (6. 75) і (6. 76), називається пристрій, рівняння якого
х = Гх + Су + Ни, якщо при х(їо) = х(?о) справедлива рівність
(6. 81)
х(ї) = х(0, і > ї0
для всіх и(0, і > і0-
У рівнянні (6. 81) Р,О, Н — матриці, а знаком «'» позначено оцінку вектора змінних стану.
Пристрій, що описується рівнянням (6. 81), є спостерігачем повного порядку, тому що його порядок збігається з порядком вихідної системи. Якщо спостерігач описується рівнянням, порядок якого нижче за порядок вихідної системи, то він називається спостерігачем зниженого порядку.
Визначимо матриці Р, О і Н. Для цього з рівняння (6. 75) віднімемо рівняння (6.81) й після підстановки у(ї) згідно з рівнянням (6.76) дістанемо
х - х = (А — ОС)х - Рх + (В - Н)и.
З цього рівняння випливає, що якщо х(ї) = х(7) для всіх і > і0 і и(/), І > Іо, то
Р = А - ОС; Н = В.
Матриця О дорівнює Ь, де Ь — довільна матриця, яка називається матрицею коефіцієнтів підсилення.
Після підстановки знайдених значень матриць у рівняння (6. 81) рівняння спостерігача матиме вигляд
х = (А - ЛС) х + Ьу + Ви
(6. 82) або
х = Ах + Ви + £(у - Сх).
(6. 83)
Рис. 6. 38	3 останнього рівняння випливає,
що математична модель спостерігача складається з моделі вихідної системи Ах + Ви і додаткового доданка, пропорційного різниці між вихідною змінною у та її оцінкою у = Сх. Структурну схему спостерігача, що відповідає рівнянню (6. 83), наведено на рис. 6. 38.
Спостерігач відновлює повну інформацію про вектор стану об’єкта керування, що дає можливість при проектуванні систем автоматичного керування використовувати метод модального керування. Суть методу полягає в забезпеченні бажаного розміщення полюсів замкнутої системи, яка складається з лінійного об’єкта і регулятора, причому регулятор виконано у вигляді набору пропорційних зворотних зв’язків за кожною із змінних стану об’єкта. Походження назви «модальне керування» пояснюється тим, що полюсам замкнутої системи відповідають складові вільного руху системи, які іноді називаються модами.
Коефіцієнти зворотних зв’язків вибираються так, щоб полюси замкнутої системи займали заздалегідь вибране положення, при якому характеристичне рівняння замкнутої системи відповідає певній стандартній формі порядку п
В(Р) = ай[А + а,ш^~' + ... + ап^шп0-'р + а^,	(6.84)
де а>й — параметр, що визначає реальний час перехідних процесів при переведенні системи з одного стану в інший. Чим більше значення а>0, тим менший за інших однакових умов час перехідних процесів.
Застосовуються різні способи бажаного розміщення коренів характеристичного рівняння. Один з них полягає в тому, що всі корені вважаються однаковими, дійсними і від’ємними. Приймається, що модуль коренів дорівнює а>0. У цьому випадку характеристичне рівняння и-го порядку має вигляд бінома Ньютона
О(р) = (р + ш0)п.
<6. 85)
Стандартні форми, що відповідають рівнянню (6. 85), дістали назву біномінальних. Значення коефіцієнтів біномінальної форми до восьмого порядку включно подано в табл. 6. 4.
Таблиця 6. 4
Порядок характе-ристичного рівняння	Коефіцієнти біномінальної форми								
	“о	а1	а2	5	°4	“5	аб	“7	а&
1	1	1	—	—	—	—	—	—	—
2	1	2	1	—	—	—	—	—	—
3	1	3	3	1	—	—	—	—	—
4	1	4	6	4	1	—	—	—	—
5	1	5	10	10	5	1	—	—	—
6	1	6	15	20	15	6	1	—	—
7	1	7	21	35	35	21	7	1	—
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
Перехідні процеси в системі, характеристичне рівняння якої має вигляд (6. 84), зумовлені ступінчастою зміною вхідної (задаючої) дії, є аперіодичними і не мають перерегулювання.
Інший бажаний розподіл коренів характеристичного рівняння замкнутої системи на комплексній площині р запропоновано Баттервор-том. Корені розміщуються на півколі з радіусом а>0 у лівій напівплощині комплексної площини коренів. Кут між уявною віссю й лінією, проведеною через найближчий до неї корінь і точку перетину уявної та дійсної осей, дорівнює половині кута між сусідніми коренями. Значення коефіцієнтів характеристичного рівняння для цього випадку подано в табл. 6. 5.
Таблиця 6. 5
Порядок характе-ристичного рівняння	Коефіцієнти форми Баттерворта								
	“о	“1	а2	аз	а4	“5	аб	“7	
1	1	1	—	—	—	—	—	—	—
2	1	1,4	1	—	—	—	—	—	—
3	1	2	2	1	—	—	—	—	—
4	1	2,6	3,4	2,6	1	—	—	—	—
5	1	3,24	5,24	5,24	3,24	1	—	—	—
6	1	3,86	7,46	9,13	7,46	3,86	1	—	—
7	1	4,5	10,1	14,6	14,6	10,1	4,5	1	—
8	1	5,18	13,14	21,24	25,69	21,24	13,14	5,8	1
Час перехідних процесів, що відповідають характеристичному рівнянню у формі Баттерворта, при ступінчастій вхідній дії менший порівняно з попереднім випадком, але виникає невелике перерегулювання, яке зростає при збільшенні порядку характеристичного рівняння.
Принципи модального керування можна використати для визначення параметрів матриці Ь коефіцієнтів спостерігача, що описується
рівнянням (6. 83). З рівняння (6. 82) випливає, що стійкість і якість перехідних процесів спостерігача визначається матрицею А - 1_С, де матриці А і С відомі. Характеристичне рівняння матриці А - ЬС є характеристичним рівнянням спостерігача, а її власні значення — коренями характеристичного рівняння. Тому, визначивши характеристичне рівняння матриці А - ЬС і прирівнявши його до стандартної форми (6. 84), коефіцієнти якої вибираються, виходячи з бажаного розміщення коренів на комплексній площині р, знаходимо параметри матриці Ь.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Назвіть основні причини появи помилок в САР.
2.	Наведіть рівняння помилок у слідкуючих системах і системах стабілізації.
3.	Як знайти коефіцієнти помилок у лінійних САР?
4.	Яким чином впливає замикання системи на її якість?
5.	Перелічіть основні шляхи підвищення точності САР.
6.	Нарисуйте і порівняйте часові характеристики розімкнутої і замкнутої систем.
7.	Що розуміють під законом керування?
8.	Які особливості і який вигляд має пропорційний закон керування?
9.	Які недоліки має інтегральний регулятор?
10.	Які переваги має ПІ-регулятор?
11.	Напишіть формулу пропорційно-інтегрально-диференціального закону керування і визначіть роль кожної складової.
12.	Що означає «добротність» системи?
13.	Сформулюйте принцип інваріантності.
14.	Які існують форми інваріантності?
15.	Як забезпечити абсолютну інваріантність у системі?
16.	Яким чином можна підвищити якість у системах із змінною структурою?
17.	Як підвищується якість у комбінованих САК?
18.	Яким чином впливають неодиночні зворотні зв’язки на якість?
19.	Як визначити передаточну функцію пасивного чотириполюсника?
20.	Як визначити передаточну функцію кола з операційним підсилювачем?
21.	Наведіть схеми П-, І-, ПІ-, Д-, ПД- і ПІД-регуляторів, побудованих на операційних підсилювачах.
22.	Охарактеризуйте суть таких методів підвищення запасу стійкості: демпфування з придушенням високих частот, демпфування з підняттям високих частот, демпфування з придушенням середніх частот, демпфування з введенням від’ємних зсувів по фазі.
23.	На чому грунтується ідея методу синтезу корегуючих пристроїв за допомогою ЛАХ?
24.	Як побудувати бажану ЛАХ за методом Солодовнікова?
25.	Наведіть спрощену методику побудови бажаної ЛАХ.
26.	Як виконується синтез послідовної корегуючої ланки?
27.	Наведіть порядок синтезу паралельної корегуючої ланки.
28.	Як можна виконати синтез кількох корегуючих ланок для однієї САК?
29.	Наведіть структурну схему системи підпорядкованого регулювання і поясніть принцип її побудови.
ЗО.	Як визначити передаточну функцію регулятора при настроюванні контуру на технічний і симетричний оптимуми?
31.	Дайте визначення поняттям «керованість» і «спостережуваність».
32.	Сформулюйте умову повної керованості.
33.	Що таке спостерігач? Яким рівнянням описується спостерігач повного порядку? 34. У чому полягає суть методу модального керування?
Глава 7
ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ В САК
7. 1. УЯВЛЕННЯ ПРО ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ
При викладенні матеріалу попередніх глав припускалося, що всі дії, прикладені до САК, е детермінованими, тобто становлять цілком визначені функції часу. Практично ж САУ часто працюють в умовах, коли зовнішні дії мають випадковий характер. Як приклади таких дій можна навести опір руху електромеханічних об’єктів, коливання напруги живлення джерел енергопостачання електроприводів, випадкові перешкоди в регуляторах та вимірювальних пристроях тощо. В слідкуючих системах дуже часто є випадковою також задаюча дія.
САК, що працюють в умовах випадкових збурень, можна проектувати, виходячи тільки з максимально можливих значень цих збурень. Проте, якщо ймовірність появи максимального значення збурення незначна, то до САК ставитимуться явно жорсткіші вимоги порівняно з тими, які випливають з реальних умов експлуатації. Значно кращі результати дає використання спеціальних методів, які враховують випадковий характер збурень і дають можливість визначити деяку усереднену поведінку системи.
Перед тим як розглядати поведінку САК, яка перебуває під дією випадкових збурень, дамо деякі необхідні відомості про випадкові величини, випадкові процеси та їх ймовірнісні характеристики.
Випадковою називається величина, значення якої визначається неконтрольованими причинами і тому не може бути точно передбаченою. Якщо випадкова величина може набувати окремих значень лише із скінченної множини її можливих значень, то вона називається дискретною випадковою величиною. Якщо ж випадкова величина може набувати усі значення в певному заданому інтервалі, то вона називається безперервною випадковою величиною. Ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде конкретного, заздалегідь визначеного значення, нескінченно мала, тобто ймовірність цієї події р = 0.
Найважливішими ймовірнісними характеристиками безперервних випадкових величин є функщя розподілу, щільність розподілу, математичне очікування, дисперсія.
Функцією розподілу ймовірностей випадкової величини X називається функція
Нх) = р (. X < х), яка дорівнює ймовірності того, що випадкова величина X має значення,
Рис. 7. І
менше за х. Ймовірність того, що безперервна випадкова величина потрапить у деякий проміжок х1 < X < х2, визначається різницею функцій розподілу, тобто
р (х, =$ X < Х2) = Нх2) - ГЦ).
Похідна від функції розподілу
^(х)
П. 1) називається цільністю розподілу, або диференціальною функцію розподілу. Математичне очікування, або середнє значення безперервної випадкової величини, яке визначається за множиною її можливих значень, виражається через щільність розподілу за формулою
т = Л/|х| = Гхи'(х)^х, х	-	(7. 2)
а середнє значення квадрата безперервної випадкової величини — за формулою
ао
А/їх21 = І" х2ю (х)(іх.
- »	(7.3)
У формулах (7. 2) і (7. 3) М {•} — символ усереднення.
Дисперсія Ох, яка характеризує розкид випадкових значень безперервної випадкової величини навколо її середнього значення, визначається як різниця середнього значення квадрата і квадрата середнього значення:
Ч =	~	(7. 4)
а середньоквадратичне відхилення — як квадратний корінь з дисперсії: о- = <6;.	(7. 5)
Випадкова величина X, що змінюється в часі І, становить випадковий процес. Інакше кажучи, випадковий процес — це функція часу, значення якої в кожний момент часу є випадковою величиною. Отже, 294
випадковий процес ХД) — це сукупність множини можливих кривих х(і), кожна з яких становить лише окремі реалізації випадкового процесу Х(.ї). Можливі графіки випадкових процесів зображено на рис. 7.1.
Ймовірність того, що процес буде відбуватися за якою-небудь певною заздалегідь заданою кривою, нескінченно мала. Можливий характер перебігу випадкового процесу оцінюється ймовірнісними характеристиками, подібними до характеристик безперервної випадкової величини.
У кожний окремий момент часу ї2, і3,... (рис 7.1, а) можна розглядати випадкові величини ХЦ), ХДр,..., кожна з яких має свою функцію розподілу. Для випадкової величини ХЦ) функція розподілу має вигляд
Г/Хр і) = р {Х(г\) < х}.
Функція Р(х, І) називається одновимірною функцією розподілу ймовірностей випадкового процесу Х{1). Частинна похідна від неї
^(хД)
= -1Г~ називається одновимірною щільністю розподілу.
Функції Рух, і) і н’^х, і) є найпростішими характеристиками випадкового процесу. Більш повну характеристику випадкового процесу дає двовимірна функція розподілу
Р2(.хх, х2;	ї2) = р {А'іїД < х1 ; Х(ї2) < х2},
яка дорівнює ймовірності того, що при ґ значення випадкового процесу менше за хр а при і2 — менше за х2.
Частинна похідна
д2Г(х ,х Д Д ) И'Дх X ДД ) = -------д—-------
24 1	2’1’2/	^х^х2
називається двовимірною щільністю розподілу.
Аналогічно можна визначити також багатовимірні функцію й щільність розподілу.
Випадкові процеси можуть бути стаціонарними або нестаціонарними. Якщо ймовірнісні характеристики випадкового процесу не залежать від вибору моменту часу і, тобто інваріантні відносно початку відліку, то випадковий процес називається стацюнарним. Графік випадкового стаціонарного процесу зображено на рис. 7. 1, б.
Ймовірнісні характеристики стаціонарного процесу не змінюються протягом часу, тобто
Р (х, і) » Р(х);
IV (х, 0 = м<х).
Стаціонарні випадкові процеси мають дуже важливу властивість, яка називається ергодичною властивістю. Її суть така: будь-яке середнє за множиною з ймовірністю «одиниця» (практично достовірно) дорівнює відповідному середньому за часом, тобто
*сер = * (Дер = х2
і т. д., де рискою позначено усереднення за часом. Далі користуватимемося загальним символом усереднення М {•}, яким позначатимемо усереднення за множиною або за часом, тобто
М{х] ~ *с=р = *	= <Х)сер = X2-
При викладенні наступного матеріалу матимемо справу лише з стаціонарними випадковими процесами.
Замість терміну «випадковий» вживають також терміни стохастич-ний або ймовірнісний.
7.	2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
До основних характеристик стаціонарних випадкових процесів належать математичне очікування, дисперсія, кореляційні функції.
Математичне очікування визначає середнє значення випадкового процесу за множиною:
00
тх = М |х(ґ)| = У хи'/х^х. — 00	(7. 6)
Якщо врахувати ергодичну властивість, то 1 Т тх ~ Ііш У х(ґ)Л. Т- „ £1 _ т	(7. 7)
Дисперсія
00
Дх = Л/{[х(0 - тх]2] = У (х - тх)2н'1(х)йх = — оо
1 Т
= Пш ]"[х(7) - т^сіі = м{х2} - (М{х})2
(7. 8)
характеризує міру розкиду значень випадкового процесу стосовно його середнього значення і дорівнює різниці середнього значення квадрата процесу і квадрата середнього значення процесу. Квадратний корінь з дисперсії визначає середньоквадратичне відхилення а:
= /о;.	•	(7. 9)
Кореляційна функція (або, що те саме, автокореляційна) характеризує ступінь залежності (кореляції) між значеннями процесу, віддаленими один від одного на час т, тобто оцінює швидкість змінювання випадкового процесу протягом часу. Вона становить се-296
реднє значення добутку випадкових процесів х(/) і х{1 + т) і визначається за формулою
ЯМ) = М{х(і)х(і + т)}.	(7. 10)
Для стаціонарного випадкового процесу на підставі ергодичної властивості кореляційну функцію можна визначити як середнє за часом:
1 т
7?х(т) = Ііш 2^/ х(Ґ)х(і + т)Л.
(7. 11)
Кореляційна функція стаціонарного процесу має такі властивості.
1.	Кореляційна функція є парною функцією зсуву т. Замінивши у виразі (7. 10) і на І — т, дістанемо
Лх(т) = М {х(/ - т)х(0} = Л(-т).
2.	При т = 0
ЛХ(О) = М {№(/)},	(7. 12)
тобто початкове значення кореляційної функції дорівнює середньому значенню квадрата випадкового процесу. Крім того, з виразів (7. 12) і (7. 8) випливає
\(0) = £,х + тг	(7.13)
Випадковий процес, середнє значення якого дорівнює нулю, називається центрованим. Для такого процесу
Дх(0) = Бх.
3.	Значення кореляційної функції при т = 0 є найбільшим:
Яхф) > Я/т).	(7. 14)
Щоб довести цю нерівність, розглянемо очевидну нерівність [х(г) — х(ї + т)]2 > 0,
з якої випливає
Х2(І) + х\і 4- т) > 2х(ї)х(/. 4- т).
Візьмемо середнє за часом від правої і лівої частин останньої нерівності. Тоді з урахуванням виразів (7. 12) і (7. 10) дістанемо
М{х\ї) 4- х2(і + т)} = 2М{х2(і)} = 2ЯД0);
2М {хфх<1 4- т)} = 2Ях(т),
звідки
Яф) > ЯМ
4.	При т со кореляційна функція дорівнює квадрату середнього значення випадкового процесу
^(°°) =	(7. 15)
Для центрованого випадкового процесу
ЯМ) = 0.
5.	Значення кореляційної функції звичайно зменшується при збільшенні т через те, що зв’язок між віддаленими значеннями х, як правило, слабкішає.
Для стаціонарного випадкового процесу кореляційна функція ста-новить універсальну характеристику. Її можна досить просто обчислити, якщо мати експериментально зняті криві, тобто окремі реалізації випадкового процесу. Одну з таких реалізацій зображено на рис. 7. 2. Для неї згідно з виразом (7. 11)
лх(т) ~т~^ х(0х(і + т) аі~ 0
“ Х(Ґ,М + т)Д/.
Чим більше час Т і чим більше експериментально знятих кривих, тим точніше можна визначити кореляційну функцію.
За відомою кореляційною функцією можна знайти такі ймовірнісні । характеристики:
середнє значення випадкового процесу	]
тх = 7т?^( оо) ;
середнє значення квадрата випадкового процесу
М{х2^} = Лх(0);
дисперсію
7)х = Я/0) - Лх(оо);
середньоквадратичне відхилення ах =
Кореляційна функція має певний сенс також для детермінованих обмежених процесів. Як приклад визначимо кореляційну функцію для постійної та гармонічної дій.
Приклад 7. 1. Визначити кореляційну функцію постійної дії хїґ) - а.
Розв’язання. За формулою (7. 11) дістанемо
1 Т К (ї) = Ііпі :г= Гаасії = а2, т- _г
Приклад 7. 2. Визначити кореляційну функцію гармонічної дії х(0 - а $іп(шґ + <р).
Розв’язання. За формулою (7. 11)
1 т )?л(т) = Ііт — / а2зіп (фі + у>)зіп [ф(і + т) + <р\д:. т~°° -т	(7. 16)
В підінтегральному виразі добуток синусів замінимо різницею косинусів . . ч . , , ч , соз фг - соз (2фі + фт + 2<р) 8іп (фі т у>)зіп [ф(і + т) + <р\ = -------------------
і зробимо деякі перетворення першої частини виразу (7. 16)
, т	2
1г 2^08 ФТ	а СОЗ ФТ ,т
?ш тті а	Н-т =
Т -» 00 —2 _ т	т • “ 42
= С^'СОЗ ФТ.
Вираз
1	Т
Ііт —/а2[ - соз(2«Ц + фт + 2ір)}дІ
Т - оо22 _ т
обчислимо таким чином. Оскільки підінтегральний вираз є періодичним з періодом повторення ліф, то інтеграл можна подати у вигляді суми інтегралів з періодами від (к — \)л/ф до кл/ф, де к — ±1; ±2; . . .
При к - 1 маємо
2	л/<л)
З (О г
-	] соз (2фГ + фт + 2/>)<й = 0.
о
Для будь-якого к дістанемо інтеграл косинуса за цілий період, який дорівнює нулю. Отже,
1 Т
Ііт — § а2[ - соз (2фі + фт + 2ір)](ії = 0 Т -* оо
і остаточно
а2
К (т) = —соз фі.
х 2.
Кореляційні функції більшості стаціонарних випадкових процесів можна подати у вигляді лінійних комбінацій кореляційних функцій трьох типів:
\(т) =	“1‘1;	(7.17)
\(т) = ^е’^соз %т;	(7 18)
\(т) =	(С08 "от + У«іп "о7)-	(7. 19)
Графіки цих кореляційних функцій зображено на рис. 7. 3.
Для оцінки статистичного зв’язку між двома випадковими процесами Х(.і) і У(0 застосовується поняття взаємної кореляційної функції К яка визначається за формулою
Рис. 7. З
Лху(т) = М{х(і)у(і + т)}.	(7. 20)
Замінивши І на І - т, дістанемо
Яху(т) = М {х(і - т)у(7)} = М (у(0х( і - т)} = Аух(-т), тобто взаємна кореляційна функція при зміні знака зсуву т змінює порядок своїх індексів.
При т = 0
ТуО) = М {хіОуіі)}, тобто початкове значення взаємної кореляційної функції дорівнює середньому значенню добутку випадкових процесів.
Якщо середні значення процесів т. і ту відрізняються від нуля, то
Яху(°°) = тхту.
Для не зв’язаних один з одним випадкових процесів
Яху(т) = 0.
Цим пояснюється вираз: процеси корелюють або не корелюють, що означає, чи є між ними статистичний (ймовірнісний) зв’язок, чи немає.
7. 3. СПЕКТРАЛЬНА ЩІЛЬНІСТЬ СТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
Поняття про спектральну щільність пов’язано з розкладом кривої стаціонарного випадкового процесу на гармонічні складові. Спектральна щільність 5(ш) — це частотна функція, яка характеризує спектральний (частотний) склад процесу. Вона є частотною характеристикою для середніх значень квадратів амплітуд гармонік, на які може бути розкладено випадковий процес.
Спектральна щільність дає можливість використовувати частотні характеристики САК для дослідження якості процесу регулювання при випадкових діях.
Формально спектральну щільність можна визначити як зображення Фур’є кореляційної функції
(7. 21)
= І ВД е-ішгат. — оо
Згідно із зворотним перетворенням Фур’є 1 " = 2^1 -	(7. 22)
Замінивши в (7. 21) т на -т, ш на -а> і врахувавши парність кореляційної функції 7?(т), дістанемо
5(ф) =
тобто спектральна щільність є парною функцією частоти.
Оскільки спектральна щільність і кореляційна функція є парними дійсними функціями, формули (7. 21) і (7. 22) іноді можна подати у простішому вигляді 00
5» = 2 § /?х(т)со5 шт (іт; о 1 г
Я (т) = — І 5 (ф)соз ол <1ш. х л 0 х	(7. 24)
Зв’язок між 5 ,(ф) і К(т) такий, що чим ширше графік кореляційної функції Ях(т\ тим вужчий графік спектральної щільності і навпаки.
Взаємна спектральна щільність двох статистично зв’язаних випадкових стаціонарних процесів визначається за формулою
(7. 23)

(7. 25)
при цьому

(7. 26)
Спектральні щільності випадкових процесів, кореляційні функції яких мають вигляд (7. 17), (7. 18), (7. 19), визначаються за формулами
5х(ф) = Д—---і	а + ш
5* (ф) = Ох----+2й>)2--------5-;
2	+ 2(а2 — ф2)ф2 + ф4
с / ч _ (а +	~
Дх д4 , П/ 2	2\ 2 ,	4
“	р + 2(« — Ф0)Ф + Ф
де « а2 +ф2.
Графіки спектральних щільностей X (<у) і X (са) зображено на рис.
*1	Х2
7.	4. Крива 2 на рис. 7. 4, б відповідає меншим значенням /З і більшим значенням а порівняно з кривою 1.
Випадковий процес, який має однакові значення спектральної щільності для будь-яких частот від -оо до +оо, називається білим шумом. Для білого шуму всі частоти однаково ймовірні, спектральна щільність і кореляційна функція матимуть вигляд
8х(ш) = N — сопзі,
— 00
де <3(т) — дельта-функція. Отже, кореляційна функція білого шуму К(т) дорівнює нулю для всіх г # 0, тобто становить імпульсну функцію.
Випадковий процес із сталою спектральною щільністю фізично нереальний через те, що йому відповідають нескінченно великі дисперсія та середній квадрат (£> = (х2) = Я (0 -* ) і, отже, нескінченно велика потужність.
Щоб дістати фізично реальний процес, розглянемо поняття білого шуму з обмеженою спектральною ЩІЛЬНІСТЮ
= N при | ш | < <лс;
5^ = 0 при | а> | >
де а> — смуга частот для спектральної щільності. Кореляційна функція такого процесу
Я (т) = —81П Ш г. ' лт с
При розрахунку слідкуючих систем з випадковим вхідним сигналом часто вважають, що вхідний сигнал (кутова
швидкість задаючої осі) змінюється згідно з графіком на рис. 7. 5, який розглядається як типовий. Швидкість зберігає стале значення протягом деяких інтервалів часу та стрибком переходить від одного значення швидкості до іншого.
Для такого сигналу математичне очікування дорівнює нулю:
а середній квадрат швидкості — дисперсії:
«Пер =£>0*0,
де
= м + г)}.
Кореляційна функція визначається за формулою
Лй(т) =
де м — середня кількість змін швидкості протягом однієї секунди. Спектральна щільність має вигляд
Формулу спектральної щільності записано для кутової швидкості. Це дає можливість застосовувати цей вираз під час обчислення динамічної похибки слідкуючої системи.
7. 4. ПРОХОДЖЕННЯ СТАЦІОНАРНОГО ВИПАДКОВОГО СИГНАЛУ ЧЕРЕЗ ЛІНІЙНУ САК
Якість системи, до якої прикладено випадкові дії, не можна повністю охарактеризувати показниками, за якими оцінюють якість систем при детермінованих діях. Зокрема, такі показники, як похибка відпрацювання завдання, тривалість перехідного процесу втрачають сенс.
Розглянемо лінійну систему з вихідним сигналом х (/), до якої прикладено вхідну дію § (і). Якщо § (і) є випадковою функцією, то й вихідний сигнал х(ґ) і похибка є (і) - § (0 - х (і) також будуть випадковими функціями. Якість роботи динамічної системи при випадкових діях звичайно оцінюється середньоквадратичним відхиленням
1 т
М к2(ї)! = Ііт Г є2(ї) аі,
(7.27) тобто середнім значенням квадрата похибки.
Згідно з виразами (7. 12) і (7. 22)
М {£2(()[ = Я (о) =
(7. 28) тобто середньоквадратичне відхилення визначається кореляційною функцією або спектральною щільністю похибки е(і). Проте звичайно відомими є статистичні характеристики (кореляційна функція і спектральна щільність) вхідного сигналу, а не самої похибки. Тому виникає задача визначення статистичних характеристик вихідного сигналу за відомими характеристиками вхідного сигналу.
Нехай вхідний сигнал § (і) з відомими кореляційною функцією Я(т) та спектральною щільністю 5?(й>) подається на вхід лінійної системи з частотною характеристикою ЙДку). У цьому разі взаємна спектральна щільність вихідної та вхідної величин дорівнює добутку спектральної щільності вхідної величини й частотної характеристики системи:
5^) = 5/а>)ІУ(/а>),	(7. 29)
а спектральна щільність вихідної величини дорівнює добутку квадрата модуля частотної характеристики системи та спектральної щільності вхідної дії:
$>) = |ИДщ>)| \(а>).	(7. ЗО)
Доведення виразів (7.29) і (7. ЗО) можна знайти, наприклад, у працях [5,261
Знаючи спектральні щільності й використовуючи формули (7. 22) або (7. 24), визначаємо кореляційні функції Я (т) і Я (т).
Як приклад розглянемо реакцію динамічної системи на вхідну дію § (0 типу білого шуму, спектральна щільність якого 5 (&>) = 1. Згідно з виразом (7. 29) дістаємо	‘
5х/су) = ЇЇЦсо)
і, використовуючи (7. 26), знаходимо
=	= и-(т).
Отже, при дії на лінійну систему сигналу типу білого шуму взаємна спектральна щільність вихідної і вхідної величин дорівнює частотній характеристиці системи, а взаємна кореляційна функція — імпульсній перехідній характеристиці.
Часто розглядається випадковий процес, який не має постійної складової (центрований). Для такого процесу тх = 0 і
І)х = м[х2(1)] = Ях(0) =	/ 5»аГа>
або з урахуванням (7. ЗО)
(7. 31)
Ця формула є основою для дослідження випадкових процесів у САК. При її використанні, звичайно, доводиться мати справу з підінтегральним виразом, який має вигляд
|Ср)Г
|Вр)|2’	(7.32)
де Ср), Вр) — поліноми від комплексної змінної уа>.
Вважатимемо, що найвищий ступінь знаменника дорівнює п. Тоді в реальній системі найвищий ступінь чисельника буде не вищий за п - 1. Для зручності інтегрування вираз (7. 32) звичайно подають у вигляді
І Ср) |2 = С Цш) С (-/а>) | Вр) |2	В(»В(-;су)’
де
В ( іо) = Ьо( ]шУ + 6,(	+ . . .+ 6л;
С ( 7Щ) = с0( уЩ)"-1 + с/ ]ш )"'2 + . . .+ сп_г
Отже, обчислення дисперсії за формулою (7. 31) можна звести до визначення інтеграла
Т = _к г Ср)С(-7Щ) 2л \В р) В ( -	’
Інтеграли такого вигляду обчислено і подано в літературі з теорії автоматичного керування. Наприклад, інтеграли І для п від 1 до 10 можна знайти в праці [22].
7. 5. РОЗРАХУНОК ТОЧНОСТІ САК ЗА СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОЮ ПОХИБКОЮ
Якщо на вхід САК (рис. 7.6, а) надходить випадковий стаціонарний вхідний сигнал, то середньоквадратичне значення похибки згідно з (7. 28) і (7. ЗО) визначається за формулою
М НО = 2^ /	=
— 00 00
- 00	(/. 00)
де (]ш) = —ТІ/. . . — комплексна частотна функція системи
£	1 Уу (/(У)
відносно похибки.
Вираз (7. 33) дає можливість визначити середній квадрат похибки системи за відомою спектральною щільністю вхідного сигналу.
а	5
Рис. 7. 6 .
Приклад 7. 3. Передаточна функція розімкнутої слідкуючої системи має вигляд
= Я^ї)-
На вхід системи надходить стаціонарний випадковий сигнал яіі), спектральна щільність якого
в	* /Г + о/
Визначити середньоквадратичну похибку.
Розв'язання. Записуємо передаточну функцію системи відносно похибки
Тр2+р
1 + ІУ(р) Тр2 + р + К
Середньоквадратична похибка обчислюється за формулою
м 1.2/мІ _ Г |Ц/г.„л|2 °г2|Ц ди) = р2 + ш2
2
дії).
2л
1
= 2^/
Т( /ш)2 + /ш + К
Подамо підінтегральний вираз у вигляді . ____________________________________________________
| [7(»2+> + 7С ](>+^) |2
= __________________|	|2___________ = С( » С(~»
| Т ( »3 + (7> + 1) О)2 + (р + К) + Кр |2	’
де
С( ]ш) = с0( /<и)2 +	/а») + с2;
В( - Ьо( ]а>)3 + Ь, ( /<и)2 + &2 /ш + &3;
с0 = Т, <?! - 1; с2 = 0; Ьо = Г, Ьу = Тр + 1; Ь2 = р + К\ Ьу = Кр.
Запишемо вираз для середньоквадратичної похибки у вигляді
М Іе2(Г)І = 2рОе /	=
Інтеграл /3 є табличним:
_ С2 60 ^1 + (сі ~ 2С0 С2І^0 63 + С0 ^2 63
3	2^0 *з(- *0 *3 + ^1 ^з)
Підставивши значення коефіцієнтів, дістанемо
7 = 1+^ + 0
3	2 (Т /л2+р. +К)
І
м рр)1 =
11 Тц2+ц + К
Розглянемо тепер випадок, коли на вхід слідкуючої системи надходять задаюча дія § 0) і перешкода МО, причому $ (І) і N (/) — випадкові стаціонарні функції, спектральні щільності яких 5 (&>) і (о>) відомі. Структурну схему САК для цього випадку показано на рис. 7. 6, б.
Середньоквадратична похибка у цьому разі
М {е2(0} = ™ {£2(ї)| + М [є2.(/)}	(7. 34)
є сумою двох складових. Перша з них зумовлена неточним відтворенням вхідного сигналу, а друга — перешкодою.
Призначенням слідкуючої системи є відтворення вхідного (корисного) сигналу § (і). В ідеальному випадку бажана величина х0 (0 на виході системи дорівнює корисному сигналу § {і). Похибка системи є (?) становить відхилення дійсного значення вихідної величини від бажаного
е(0 = хо(О — х (0.
Структурну схему, з якої видно, як створюється відхилення, показано на рис. 7. 7, а, де
Структурну схему на рис. 7. 7, а перетворимо до вигляду, зображеному на рис. 7. 7, б, в. За структурною схемою на рис. 7. 7, в запишемо передаточну функцію відносно похибки, що створюється перешкодою,
ІУМ =	- 1-^5
і відносно корисного сигналу
- 1 -
Якщо вхідний сигнал і перешкода некорельовані, то середньоквадратична похибка згідно з (7. 31) і (7. 34) обчислюється за формулою
м Н>) = ї і и;о) +
+ 2^ І І І2 5^{ш)с1а>.
(7. 35)
При корельованих корисному сигналі та перешкоді середньоквадра-тична похибка визначається за складнішою формулою
М РН = Л । ІЧ(о>) + ж/ - х — 00
X ЖД » + Ж (	/а,) + І ІУ„( ]Ш)
(7. 36)
де 5к(.а>) — взаємні спектральні щільності корисного сигналу та перешкоди.'
7. 6. СИНТЕЗ ЛІНІЙНИХ САК ЗА МІНІМУМОМ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОЇ ПОХИБКИ
Задача синтезу систем, що працюють при випадкових діях, звичайно розв’язується за критерієм мінімуму середньоквадратичної похибки.
У найпростішому випадку структурна схема та частина її параметрів вважаються заданими, а характеристики зовнішніх дій — відомими. Задача полягає у визначенні невідомих параметрів, які забезпечують мінімум середньоквадратичної похибки.
Для розв’язання задачі знаходимо передусім аналітичний вираз середньоквадратичної похибки М {е2(/)}, використовуючи, наприклад, табличні інтеграли У . В результаті дістаємо середній квадрат похибки як функцію невідомих параметрів
М{є2(1)} = /(а, у, .. . ).
Цю функцію необхідно дослідити на мінімум у просторі невідомих параметрів та визначити параметри	, які забезпечують мінімум
функції /.
Складніша постановка задачі полягає у визначенні передаточної функції замкнутої системи Жт(р), яка забезпечує мінімум середньоквад-ратичної похибки. Цю задачу було розв’язано Н. Вінером за таких умов:
1)	на вхід системи надходять два сигнали — корисний § (і) і перешкода N(1);
2)	обидва сигнали є випадковими процесами з відомими ймовірнісними характеристиками;
3)	шукана оптимальна система є лінійною;
4)	критерій якості — мінімум середньоквадратичної похибки.
Розв’язок цієї задачі дає такий вираз комплексної передаточної функції замкнутої системи:
і "	"X (сч)
Ж (» = 6.......77- \	Іа‘^-
3	2дарО) •>	_<¥’(-/")	(7.37)
У цьому виразі (/ш)	(-уш) = | (/ш)| 2 = 5 (&>) — спектральна щільність
вхідного сигналу т (ґ) = £ (ї) + N (0; 5 т(ш) — взаємна спектральна щільність бажаного значення вихідного х0(ґ) і вхідного т(ї) сигналів.
В окремому випадку, коли х0(/) - §(1),
V*) =	= 5» + 5гЦш).
У цьому разі передаточну функцію IV ()а>) можна подати в простішому вигляді
де/ (іаі) = }	. (7. 38)
де
в (» = ґ е г *°т . ч е
Функцію ВЦш) можна визначити й без інтегрування. Запишемо розклад виразу 5* т(й>)/у>(- уси) на прості дроби:
хьт
5 „.	)	У /у	Я /у	И р
х0т 7 = у аі + у + у е‘........................
(— уса) (у —	а> + а1 а> — уі ’
У цьому виразі 7 — полюси 5 (а>), що розміщуються у верхній хот
напівплощині комплексної площини коренів, тобто мають додатну уявну частину; (-«.) — полюси 5* що лежать у нижній напівплощині;
у. — нулі функції Vі (-/а>); вони знаходяться у нижній напівплощині, оскільки нулі, які розміщуються у верхній напівплощині, належать функції ( ;а>).
Із записаного розкладу візьмемо тільки ту суму, яка містить полюси, що розміщуються у верхній напівплощині. Це й буде В ( ;'&>), тобто
Л <2, - 2
со - 1	,1
Знаменник функції ІУзт(/а>) можна знайти за спектральною щільністю 5 (а>).
Теоретичний мінімум середньоквадратичної похибки при реалізації бажаної передаточної функції замкнутої системи становить
м НЕ = ЕІ {5^ _
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Назвіть основні характеристики безперервних випадкових величин.
2.	Що таке випадковий процес? Який випадковий процес називається стаціонарним?
3.	Назвіть ймовірнісні характеристики стаціонарного випадкового процесу і наведіть формули для їх визначення.
4.	Які властивості має кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу?
5.	Що таке ергодична властивість?
6.	Що таке спектральна щільність? Який зв’язок існує між спектральною щільністю і кореляційною функцією?
7.	Як визначити статистичні характеристики вихідного сигналу лінійної САК за відомими характеристиками вхідного сигналу?
8.	Як визначити середньоквадратичну похибку слідкуючої системи, на вхід якої надходить стаціонарний випадковий сигнал з відомою спектральною щільністю?
9.	Як визначити середньоквадратичну похибку при умові, що на вхід системи надходить задаюча дія і перешкода?
10.	Наведіть формулу для знаходження комплексної частотної функції замкнутої системи, що забезпечує мінімум середньоквадратичної похибки, і дайте пояснення щодо її застосування.
і Глава 8 і
НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
8. 1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ
І Нелінійними САК називаються системи, математичне описання яких не Задовольняє умови лінійності. Ці умови полягають у тому, ідо при зміні зовнішньої дії на ланку або систему в а разів характер перехідного процесу не змінюється, а змінюється лише масштаб вихідної величини в а разів. Крім того, реакція ланки або системи на кілька одночасно прикладених дій дорівнює сумі реакцій на кожну з цих дій, що прикладені окремо. Якщо САК містить хоча б одну нелінійну ланку, то у цілому вона є нелінійною.
Нелінійні ланки описуються нелінійними рівняннями. Ознакою нелінійних рівнянь є залежність коефіцієнтів рівнянь від координат системи або їх похідних, а також наявність у рівняннях добутків деяких координат чи їх похідних. |
Усі реальні системи автоматичного керування електроприводами нелінійні. Це пояснюється тим, що основним елементом електропривода є електрична машина, яка містить кола з феромагнітними матеріалами. Рівняння, що описують динамічні процеси в електричній машині, нелінійні, бо індуктивність є функцією струму, ЕРС внаслідок насичення магнітної системи нелінійно залежить від струму збудження тощо. Крім того, в електроприводах використовуються підсилювачі з насиченням, елементи механічних передач з люфтами і сухим тертям та інші нелінійні елементи.
Теорію лінійних САК можна застосовувати для аналізу і синтезу реальних систем електропривода лише при досить малих відхиленнях від режиму, що досліджується. В цьому разі реальна нелінійна система лінеаризується методами, викладеними в гл. 2. Проте існує велика кількість САК, у яких нелінійні ланки застосовуються спеціально з метою забезпечення таких властивостей систем, що принципово не можуть бути досягнуті в лінійних системах. До таких ланок належать релейні елементи і логічні перемикаючі пристрої, які дозволяють змінювати структуру САК залежно від деяких її координат, ланки із зоною нечутливості, підсилювачі з насиченням, що забезпечують обмеження координат, тощо.
Задачі аналізу і синтезу нелінійних САК набагато складніші за аналогічні задачі для лінійних систем. Це пояснюється великою різноманітністю та складністю динамічних процесів у нелінійних сис
темах. Стійкість нелінійних систем на відміну від лінійних залежить від величини і місця прикладання зовнішньої дії, характер перехідного процесу змінюється при зміні величини зовнішньої дії, в нелінійних системах спостерігаються режими, які неможливі в лінійних системах, зокрема режим автоколивань тощо. | Усе це потребує застосування спеціальних точних і наближених методів аналізу і синтезу нелінійних систем. Основні з цих методів, найбільш вживані для аналізу і синтезу автоматизованого електропривода, розглядатимуться в гл. 8, 9.
8. 2. ТИПОВІ НЕЛІНІЙНОСТІ
^Нелінійні ланки САК дуже різноманітні. Нелінійні характеристики деяких з них при обмеженому діапазоні зміни вхідного сигналу мало відрізняються від лінійних. Такі нелінійності називають слабкими або несуттєвими. Після лінеаризації цих нелінійностей САК зводять до лінійних і для їх дослідження використовують методи теорії лінійних САК. Іншу групу становлять нелінійні елементи, характеристики яких не можна замінити лінійними. Вони надають САК якісно нових властивостей і, як правило, описуються розривними або близькими до них функціями. Такі нелінійності називають суттєвими, у
Характеристики суттєво нелінійних елементів часто ідеалізують, тобто реальну нелінійну характеристику замінюють кількома лінійними ділянками, кожна з яких описується своїм рівнянням. У точках переходу від однієї ділянки до іншої спостерігається розрив похідної, тобто похідна має різні значення при підході до точки розриву зліва і справа. Якщо ідеалізувати суттєво нелінійні характеристики, то їх можна звести до обмеженої кількості типових. Розглянемо найбільш поширені з них. При цьому вважатимемо, що нелінійності безінерційні, тобто не створюють суттєвого запізнення. Такі нелінійності описуються звичайними функціональними залежностями між вхідною і вихідною змінними, які називаються статичними характеристиками безінерційних нелінійних ланок. У загальному випадку вони мають вигляд
и = ’Р'е),
де и, є — вихідна і вхідна змінні; <р - нелінійна функція.
Характеристика із зоною нечутливості. Такі характеристики (рис. 8. 1, а) мають елементи, в яких вихідний сигнал відсутній при змінюванні вхідного сигналу в деякому інтервалі, звичайно справа і зліва від нуля. Цей інтервал називається зоною нечутливості
Характеристика на рис. 8. 1, а кусково-лінійна. Математично кожна лінійна ділянка описується окремо і має вигляд
к(є + с)
О
к(г — с)
и
при є < — с;
при - с «в є < с; при є > с,
(8.1)
де к = а.
Зона нечутливості для цієї характеристики становить 2с.
За допомогою характеристики із зоною нечутливості можна подати залежність швидкості ш двигуна постійного струму з незалежним збудженням від напруги на якорі ї/я при умові, що до вала двигуна прикладено реактивний момент статичного навантаження Мс. Зона нечутливості зумовлена тим, що швидкість двигуна дорівнює нулю, як
що його момент М менший за момент статичного навантаження. Момент двигуна пропорційний струму якоря: М = кІя. Струм якоря при швидкості, що дорівнює нулю, обчислюється за формулою
І = V /К , я я ' я.д’
де — опір якірного кола двигуна.
Двигун починає обертатися при М = Мс, тобто при кІя = Мс, тому для характеристики ш = / (£/,) половина зони нечутливості с дорівнює Ї7я:
М с = ^ =
Пропорційна частина характеристики описується рівнянням
1 Мс ш =	±	),
к4 я к
де знак «мінус» відповідає додатній напрузі на якорі, «плюс» — від’ємній.
Наявність зони нечутливості знижує чутливість системи, тому що система не реагує на сигнали, модуль яких менше с, і часто є небажаною. Але іноді зону нечутливості вводять навмисно, коли необхідно усунути підвищену чутливість системи до перешкод.
Характеристика із зоною насичення. Вигляд цієї характеристики зображено на рис. 8. 1, б. При малих вхідних сигналах вихідний сигнал пропорційний вхідному, при великих — настає насичення, тобто вихідний сигнал сягає максимального рівня і далі не змінюється.
Математично характеристика описується так:
— Ь при кє при Ь при
и =
є < — с;
— с «а є «а с;
є > с.
(8. 2)
Такою характеристикою можна подати залежності вихідної величини від вхідної для більшості типів підсилювачів, тиристорних перетворювачів та інших елементів електропривода.
Релейна характеристика. Ця характеристика (рис. 8.1, в) відрізняється стрибкоподібним змінюванням вихідного сигналу при переході вхідного сигналу через деякий рівень. Для ідеального реле цей рівень приймається нульовим, тобто для стрибкоподібного змінювання вихідного сигналу достатньо зміни знака вхідного сигналу.
Математично характеристика ідеального реле описується так:
и
— Ь при
Ь при
є < 0;
є > 0
(8. 3)
або
и = Ь 8І§п с.
Неоднозначні характеристики (характеристики з люфтом або мертвим ходом). Особливістю цих характеристик є залежність вихідної величини не тільки від вхідної величини в даний момент часу, але й від напрямку її змінювання (зростає вона чи зменшується). Тому при математичному описуванні таких характеристик використовуються не тільки самі вхідні сигнали, але й їх похідні, знак яких відповідає напрямку змінювання вхідного сигналу.
Неоднозначну характеристику зображено на рис. 8. 1, г. Математично вона описується рівністю
	и = 	к(г — с) к(є + с) С0П5І	при при при	іе/сіі > 0; < 0; < с	(8. 4)
або					
и = к(є — сзі§п б/є(Л));
С0П51 при | кє— и | < с.
Комбіновані нелінійні характеристики. Ці характеристики поєднують властивості кількох типових нелінійностей. Характеристика на рис. 8. 1, д поєднує властивості характеристики із зоною нечутливості і релейної характеристики і математично описується так:
и
— Ь при є < — с;
0 при — с < є < с;
Ь при є > с.
(8. 5)
Характеристика на рис. 8. 1, е має властивості неоднозначної характеристики і характеристики із зоною насичення. Математично вона описується у вигляді
-Ь ~ с2) 5	при при при	є < — с,; — С] «£ £ < с3; £ > с3		б/є - л>0;	
Ь к(е + с2)	при при	£ > С, сз < £	С,;		<І£ _ 3<0'	
-Ь	при	є < — с3.			(8. 6)
На рис. 8. 1, є зображено характеристику реального релейного елемента. Вона поєднує властивості ідеальної релейної та неоднозначної характеристик і математично описується так:
- Ь	при	£ < с;1 г/е _
Ь	при	£>с;| Л> ’	(8.7)
Ь при £ > - с; 1 ^£<0
— Ь при £ < — с | Л
Є й інші комбіновані нелінійні характеристики, які складаються з лінійних ділянок.
8. 3. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
При математичному описуванні нелінійних систем несуттєві нелінійності лінеаризують, а суттєві звичайно спрощують, зводячи їх до типових. У цьому разі математична модель нелінійної САК становить структурну схему, що складається з лінійних (лінеаризованих) ланок і ланок з типовими суттєво нелінійними ха
рактеристиками.
Більшість методів дослідження нелінійних САК орієнтовано на структурні схеми, що складаються з однієї безінерційної нелінійної ланки і лінійної частини з передаточною функцією У/л(р). Зовнішні дії переносяться на вхід нелінійної ланки. Нелінійна ланка зображується функцією и = <р (£) або и = (є, рє) для неоднозначних характеристик. Структурна схема в цьому разі називається найпростішою. Її вигляд показано на рис. 8. 27^
До найпростішої структурної схеми можна звести структурну схему будь-якої замкнутої нелінійної САК з однією нелінійною ланкою. Нехай, наприклад, структурна схема нелінійної САК має вигляд, зображений на рис. 8. З, а. Для зведення її до найпростішої переносимо
суматор 1 через ланку ІУ/р), вузол 2 — через ланку ІУ4(р), а ланки їР^р), ІУ4(р), \Р5(р) замінюємо однією ланкою 4. Тоді дістанемо структурну схему на рис. 8. З, б. Подальші перетворення полягають у заміні послідовно з’єднаних ланок 3 і 4 однією ланкою 7 і паралельно з’єднаних ланок 5 і 6 однією ланкою 8 (рис. 8. З, в). На останньому етапі перетворення переносимо вузол 9 через ланку 8. В результаті дістанемо структурну схему на рис. 8. З, г.
На вході і виході найпростішої структурної схеми (на рис. 8. З, г її обведено штриховою лінією) є лінійні ланки 10 і 11. Проте вони не ма-
ють впливу на стійкість і вільні динамічні режими замкнутого контуру, до складу якого входить нелінійна ланка.
Рис. 8. 2
До найпростішої можна звести й структурні схеми, що містять кілька безінерційних нелінійних ланок, з’єднаних послідовно, паралельно або у вигляді ланки, охопленої зворотним зв’язком. Для цього треба замінити ці ланки однією (див. п. 2. 3).
£ 8 зиа
Рівняння динаміки найпростішої нелінійної САК можна дістати за структурною схемою, наведеною на рис. 8. 2. Рівняння нелінійної ланки з врахуванням неоднозначних нелінійностей запишемо у вигляді
и (І) = <р [е(0].	(8. 8)
Переходячи до зображень Лапласа при нульових початкових умовах, дістанемо зображення рівняння лінійної частини
Х(з) = Жл(х) С<5)	(8. 9)
і нелінійної ланки
1/(5) = £{ у>[£(0)} = / у>[£(0]Є-ЯЛ.
0	(8. 10)
Умова замикання системи мас вигляд
є(ґ) = / (0 - х(ї)	(8. 11)
або
Е(х) = Л>) - А(х).	(8.12)
Замінивши е(0 в (8. 10) його значенням за формулою (8. 11) і підставивши знайдене значення С(5) в (8. 9), дістанемо зображення рівняння відносно вихідної величини
Х(5) •=	[ /(/) - х (0 ] } .	(8. 13)
Зображення рівняння відносно похибки можна дістати з (8. 12), якщо А(х) визначити за формулою (8. 9), замінивши /7(5) відповідно до виразу (8. 10). Тоді
Е(5) = Г(ї) - РУл(5)Л{ <р [ £(г) ]}.	(8. 14)
Використовуючи теорему лінійності і теорему згортання перетворення Лапласа, перейдемо від зображень (8. 13) і (8. 14) до оригіналів
*(0 = /	“ х(г)]ат,
о	(8. 15)
є(0 = /(0 ~	~ т)(р[£(т)]<іт.
о	(8. 16)
Інтегральні рівняння (8. 15) і (8. 16) є нелінійними. Загальних методів розв’язування таких рівнянь не існує. Розроблюються і широко застосовуються різні методи дослідження нелінійних САК, які мають не загальний характер, а орієнтовані на певний клас
Рис. 8. 4
нелінійностей або на певні структури САК. Значно розширює можливості аналізу і синтезу нелінійних САК застосування ЦОМ, які дають можливість розв’язувати нелінійні рівняння методами чисельного інтегрування.
Приклад 8. 1. Дати математичне описання слідкуючого електропривода постійного струму, функціональну схему якого зображено на рис. 8. 4. Вхідним сигналом є кут повороту керуючої осі КВ. Цей сигнал задається ззовні і може змінюватися за довільним законом 0 (О. Вихідним сигналом є кут повороту (?вих виконавчої осі ВВ об'єкта керування ОК. Кут розбіжності керуючої і виконавчої осей вимірюється парою сельсинів ВС і ВЕ, перетворюється фазочутливий випрямлячем І/В у пропорційну йому напругу, підсилюється підсилювачем А і подається на вхід безінерційного тиристорного перетворювача ЕМ, від якого живиться якірне коло двигуна М з незалежним збудженням (ЬМ — обмотка збудження двигуна). Двигун з’єднується з об’єктом керування за допомогою редуктора д.
Розв’язання. Вважаємо, що всі елементи електропривода є лінійними, крім редуктора, який має люфт. Запишемо рівняння лінійних елементів електропривода: вимірювальний пристрій
в — в - 3;
ВХ вих
фазочутливий підсилювач ЕВ
ок - и ;
ф.п ф.п
підсилювач напруги А
к = и \ ф.п п п’ тиристорний перетворювач ЕМ
и к ~ и, п т.п а
У цих рівняннях Афп, кп, к^п — коефіцієнти передачі фазочутливого випрямляча, підсилювача і тиристорного перетворювача; и,, ип, — їх вихідні напруги.
Двигун постійного струму з незалежним збудженням описується рівняннями
Ь ді їді + г і + сш =• и-	(8. 17)
Я Я	я я	сг
М — М = ддш/ді',	(8. 18)
сш = е;	(8. 19)
сі - М,	(8. 20)
Я
де гя — індуктивність і активний опір якірного кола; ї, ед, и> — струм якоря, ЕРС і швидкість двигуна; с — коефіцієнт пропорційності між ЕРС і швидкістю, а також між моментом і струмом якоря при незмінному потоці збудження; Мс — момент статичного навантаження, приведений до вала двигуна; } — сумарний момент інерції електропривода, приведений до вала двигуна.
Рівняння (8. 17) складено за другим законом Кірхгофа для кола якоря, а рівняння (8. 18) становить закон рівноваги моментів на валу двигуна.
Рівняння (8. 17), враховуючи (8. 19), запишемо у такому вигляді:
Рис. 8. 5
а рівняння (8. 18) з врахуванням (8. 20) — у вигляді
•/гя бш _ г, 2 гр с	*
Г “ СЯ.	(8 22)
де іс - М_ /с.
Вводячи електромагнітну ~ Т.л/г.л і електромеханічну Т -Тг* /с2 сталі часу і використовуючи оператор р - б/бі, запишемо рівняння (8. 21) і (8. 22) у вигляді
(Т р + 1)і =— (и -е);
4 я 'я /- 4 с? д7 Я
(8. 23)
г Т рш = — (і. —і }. " с »	(8. 24)
Редуктор з люфтом описується рівнянням 0	= — ґ шбі
=“«	Я >	(8. 2о)
або
0	“ <о!яр,	(8. 26)
ВИХ
де я — передаточне число редуктора, і рівняннями (8. 4) неоднозначної нелінійної характеристики на рис. 8. 1, г. У цих рівняннях и - 0 і є - 0вих, — кути повороту вихідної і вхідної осей редуктора, 2с ~ 2сл — величина люфта. З врахуванням таких позначень рівняння (8. 4) матимуть вигляд
,-с	при	рв	>0;
вих! л	вих!
0	=	)(? , + с	при	рв	< 0;
ВИХ	ВИХІ Л	ВИХІ
СОП81	при	|0	- 6 І <	С /о	з-,,
к 1 ВИХІ вих1 л	їй. //)
Отже, при наявності люфта швидкість вихідного вала об’єкта керування під час зміни напрямку обертання дорівнює нулю, тобто при коливаннях об'єкт періодично зупиняється на час, необхідний для вибирання люфта у редукторі.
Рівнянням, що описують елементи слідкуючого електропривода, відповідає структурна схема на рис. 8. 5, а. Цю схему можна звести до найпростішої. Порядок зведення ілюструється рис. 8. 5, б, в, г, д. При перетвореннях структурної схеми вважається, що Мс - 0. У цьому випадку ланки, що описують двигун, замінюються однією ланкою з передаточною функцією к
V/ (р) = --------г-2--------,
д ТТ р +Т р + \ ям	м
де к^ - 1/с — коефіцієнт передачі двигуна, і структурна схема матиме вигляд, показаний на рис. 8. 5, б.
Визначивши передаточну функцію лінійної частини системи
^Т,ГУ+Т^+ІУ
дістанемо структурну схему, наведену на рис. 8. 5, в. Після перенесення суматора через ланку И^їр) матимемо структурну схему на рис. 8. 5, г, а після перенесення вузла через ланку ЇУл(р) — схему на рис. 8. 5, д.
Виконане математичне описання можна вважати задовільним, якщо момент інерції об’єкта керування Т$, приведений до вала двигуна, становить незначну частину загального моменту інерції електропривода. Якщо ця умова не виконується, то слід врахову-
вати, що електромеханічні сталі часу Тм0 (при вибиранні зазору) і Тм1 (при вибраному зазорі) неоднакові. Значення Ти0 менше за Тя[ на величину /0 г\ІС-
8. 4. СТІЙКІСТЬ І ОСОБЛИВОСТІ ДИНАМІКИ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
На відміну від лінійних систем стійкість нелінійних систем залежить не тільки від власних параметрів системи, але й від величини зовнішніх дій та місця їх прикладання. Тому не можна говорити про стійкість або нестійкість нелінійної системи взагалі, а можна розглядати стійкість або нестійкість різних режимів роботи системи при різних за величиною діях.
Специфічним динамічним режимом нелінійних систем, який не може бути в лінійних системах, є режим автоколивань. Автоколивання — це стійкі незгасаючі періодичні коливання, що виникають у нелінійних системах за умов відсутності зовнішніх періодичних дій. Амплітуда і частота автоколивань визначаються тільки власними параметрами системи.
Багато особливостей динаміки нелінійних систем можна розглянути на прикладі системи другого порядку, використавши найпростіший варіант простору станів, а саме двовимірний простір або площину станів (фазову площину). За координати фазової площини приймають відхилення х вихідної величини від її значення, що відповідає усталеному режиму системи, і похідну у = їх/<11 цього відхилення. Усталеному режиму системи другого порядку відповідає початок координат. Якщо будь-яка дія виводить систему з усталеного режиму, то зображуюча точка опиняється у довільному місці фазової площини. Під час перехідного процесу змінюється вихідна величина х та її похідна у, тому зображуюча точка рухається у фазовій площині по фазовій траєкторії. Початкове положення зображуючої точки відповідає початковим умовам вільного руху системи. Сукупність фазових траєкторій, що відповідають різним початковим станам системи, називається фазовим портретом. Фазовий портрет дає повне уявлення про динаміку системи.
Динаміка системи другого порядку описується рівнянням
<Рх/ Ф2 — /{х, сіх! сії),	(8. 28)
де / — нелінійна функція.
Враховуючи, що іїхііїі - у, рівняння (8. 28) записуємо у вигляді двох рівнянь:
іїх/Ф = у,	(8. 29)
(іуІФ. = /(х, у).	(8. ЗО)
Виключимо з цих рівнянь час, розділивши рівняння (8. ЗО) на (8. 29). Тоді дістанемо рівняння першого порядку
сіуііїх = /(х, у)/у,	(8. 31)
розв’язок якого у(х) дає рівняння фазової траєкторії.
Зв’язок між перехідним процесом х (0 і фазовою траєкторією у (х) 322
ілюструється на рис. 8. 6 на прикладі затухаючого коливального процесу. Однаковими літерами а, Ь,/ позначено точки на графіку перехідного процесу (рис. 8. 6, а) і фазовій траєкторії (рис. 8. 6, б), що відповідають однаковим станам системи. Напрямок руху зображуючої точки при зростанні часу показано стрілкою.
Фазові траєкторії мають такі властивості. У верхній напівплощині фазової площини у = (Іх/сії. > 0, тому зображуюча точка рухається у бік зростання х (зліва направо), у нижній напівплощині, де у < 0 — у бік зменшення х (справа наліво). У точці перетину фазової траєкторії з віссю х у = 0, тому згідно з (8. 31) (іу/(1х = оо. Звідси випливає, що дотична до фазової траєкторії у точці її перетину з віссю х перпендикулярна до щєї осі.
Рівняння (8. 31) однозначно визначає дотичну до фазової траєкторії в усіх точках, крім тих, для яких одночасно виконуються умови
/(х, у) = (Іу/ді = 0 і у = (1х/(11 = 0.
У цих точках ду/Лх = 0/0, тобто не існує певного напрямку дотичної до фазової траєкторії, і, отже, з них можуть виходити багато фазових траєкторій. Таю точки називають особливими. В них похідні фазових координат дорівнюють нулю, тому особливі точки є точками рівноваги системи.
Метод фазової площини розроблено для дослідження нелінійних систем, проте багато особливостей поведінки систем і відповідні фазові портрети зручно спочатку розглянути на прикладі лінійної системи другого порядку.
Вільний рух лінійної системи другого порядку описується рівнянням
<12х Л (ІХ <	„
= °.
Розв’язки цього рівняння для різних видів коренів характеристичного рівняння
р2 + а,р + а2 = 0, функції у = (ІхІЛ і фазові траєкторії у (х), а також найменування особливих точок подано в табл. 8. 1.
Фазові портрети, подібні наведеним у табл. 8. 1, властиві й нелінійним системам з несуттєвими нелінійностями. Суттєві нелінійності зумовлюють те, що фазові портрети можуть стати якісно іншими. Приклади фазових портретів, властивих тільки нелінійним системам, подано на рис 8. 7.
Фазовий портрет на рис 8.7, а характеризує динаміку системи, нестійкої у малому (особлива точка — нестійкий фокус). Усталеним режимом цієї системи є автоколивання. Прикладом такої системи може бути система, лінійний аналог якої при малих відхиленнях нестійкий. У системі спо-
Корені характеристичного рівняння	Розв’язок х(І>
УЯВНІ рі 2 - ±/8	х - Лзіпф/ + <р), Р -
Комплексні з від’ємною дійсною частиною р, 2 - -а±іР	х - Ае~а'зіпфг + <р), а - а/2; /3	_ ц/2)2
Комплексні з додатною дійсною частиною рі 2 - а±іР	х - Аеа,зт<$1 +
Дійсні від’ємні Р) - -а', р2 — ~а2	х = С{е~ аі‘ + С2е~
Дійсні додатні р, - а(; р2 - а2	х = С]Єаі' + С2еа2'
Дійсні різних знаків р( “ а}; р2 - -а2	X = с(еаі' + С2еа2(
стерігається розбіжний коливальний процес, проте внаслідок насичення окремих елементів системи амплітуда коливань не зростає нескінченно, а встановлюється на деякому незмінному рівні, тобто в системі виникає режим автоколивань. Такому режиму відповідає замкнута траєкторія на фазовій площині. Ця траєкторія називається стійким граншлим циклом. Стійкий граничний цикл становить найважливіший для ТАК тип особливих лілій на фазовій площині Фазові траєкторії, що починаються всередині й зовні стійкого граничного циклу, з часом асимптотично наближаються до нього.
Таблиця 8. 1
Похідна у - (іх/сіі	Фазовий портрет		Особлива точка
у - ДЛ соз (Д? + <р)	У	)х	Центр
у = уАе~а{ соз (Д? + <р + <5) у = Уа2 \ <5 = агс($ д	Уі	7 *	Стійкий, фокус
у = у Ас'1 соз (Дг + + <5),	У4	✓ у / х	Нестійкий фокус
7=-а,С]Є-‘Т-— «2^2^	\\ у XV'о		Стійкий вузол
у = а1С1еаі + + а2С2еа2(	і /А		Нестійкий вузол
у =	а\г — - а2С2еа2г	У		Сідло
Якщо фазові траєкторії, близькі до граничного циклу, з часом віддаляються від нього, то граничний цикл буде нестійким. Приклад фазового портрета з нестійким граничним циклом наведено на рис. 8. 7, б. Він відповідає системі, що стійка у малому і нестійка у великому. Нестійкий граничний цикл визначає межу початкових умов, до якої система зберігає стійкість. Він також становить особливу лінію на фазовій площині.
Нестійкий граничний цикл може розділяти якісно різні перехідні процеси, наприклад затухаючий коливальний і розбіжний аперіодичний. Відповідний фазовий портрет зображено на рис. 8. 7, в.
сіх.
Рис. 8. 7
Є
Система може мати кілька граничних циклів, що відповідають одній і тій самій особливій точці. У цьому разі стійкі і нестійкі цикли чергуються (рис. 8. 7, г).
Фазовий портрет на рис. 8.7, д відповідає випадку, коли при малих відхиленнях нелінійна система поводиться як лінійна, що перебуває на межі стійкості (характеристичне рівняння має уявні корені). При великих відхиленнях стійкість системи порушується і перехідний процес, а також фазові траєкторії, що йому відповідають, стають зовсім іншими. Крім особливої точки О типу центра з’являються два сідла С, і С2. Лінія, що проходить через особливі точки типу сідла і розділяє фазову площину на зони, які відповідають якісно різним перехідним процесам, називається сепа-ратрисою. Сепаратриси становлять третій тип особливих ліній.
У системах із зоною нечутливості або з сухим тертям з’являється зона застою, а на фазовій площині замість особливої точки — особлива лінія. Фазовий портрет, що відповідає неасимптотично стійкій системі, зображено на рис. 8. 7, е.
Отже, динамічні процеси у нелінійних системах суттєво відрізняються від процесів у лінійних: значно ширше трактується поняття про стійкість, в тій самій системі залежно від початкових відхилень можуть спостерігатися якісно різні перехідні процеси тощо. В цілому за своїми властивостями нелінійні системи значно багатші за лінійні.
8. 5. ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ФАЗОВОЇ ПЛОЩИНИ
Метод фазової площини належить до точних методів дослідження нелінійних систем. Найповніше цей метод розроблено для систем другого порядку. Сукупність фазових траєкторій (фазовий портрет), що відповідають різним початковим положенням зображуючої точки, як було показано раніше, дає повне уявлення про динаміку нелінійної системи. Тому дослідження нелінійних систем методом фазової площини по суті зводиться до побудови фазового портрета і аналізу за його допомогою динамічних режимів системи.
Як зазначалося раніше, рівняння фазової траєкторії у - /(х) є розв’язком рівняння (8. 31) першого порядку. Спосіб розв’язування цього рівняння залежить від типу характеристики нелінійної ланки. Загальним методом розв’язування є чисельне інтегрування за допомогою ЕОМ. Для кусково-лінійних нелінійних характеристик у деяких випадках розв’язок рівняння (8. 31) може бути знайдено аналітично для окремих лінійних ділянок нелінійної характеристики. Кожна лінійна ділянка нелінійної характеристики описується своїм рівнянням вигляду (8. 31) і, отже, буде багато різних рівнянь фазових траєкторій. При цьому на фазовому портреті з’являться так звані лінії перемикання, що розділять фазову плошину на зони з різними фазовими траєкторіями.
Якщо нелінійну систему зведено до найпростішої (рис. 8. 2, а) і розглядається вільний рух системи ( / (0 = 0), то є (ї) = -х ( І), б/є/бй = -д.хІЛ і
У
Рис. 8. 8
рівняння ліній перемикання визначаються безпосередньо за математичним описанням нелінійної ланки. Так, для нелінійних характеристик на рис. 8.1, а, б, д рівняння ліній перемикання мають вигляд х. = с; х2 = =-с; для характеристики на рис. 8. 1, в — х = 0; для характеристики на рис. 8. 1, г — у = 0; для характеристики на рис. 8.1 , е є чотири лінії перемикання: х, = -Єр х2 = с3 при у > 0 і х3 = ср х4 = -с3 при у < 0; для характеристики на рис. 8.1, є — дві лінії перемикання: х, = с при у > 0 і х2 = -с при у < 0.
Якщо на фазовій площині є лінії перемикання, то при розрахунку фазових траєкторій початкові значення х і у для кожної ділянки визначаються через їх кінцеві значення на попередній ділянці.
Фазові траєкторії можна побудувати й не розв’язуючи рівняння (8. 31), якщо скористатися методом ізоклін. Ізокліни (лінії однакового нахилу) — це лінії, вздовж яких похідна сіу/сіх має стале значення. Через те що сіу/сіх -~С = сопйі, ізокліна становить геометричне місце точок з однаковим кутом нахилу дотичних до фазових траєкторій, що проходять через ці точки. Кут а нахилу дотичних до осі абсцис визначається із співвідношення а = С.
Рівняння ізокліни знаходять з рівняння (8.31), якщо прийняти д.у!д.х = С, тобто
/(х, у)/у = С.	(8. 32)
Це рівняння є алгебраїчним. Надаючи С різних значень від -оо до
+о°, побудуємо сім’ю ізоклін, використавши яку, легко дістати фазові траєкторії при будь-як^их початкових умовах (будь-якому початковому положенні зображуючої точки).
Сім’ю ізоклін наведено на рис. 8. 8. Стрілками на кожній ізокліні показано кути нахилу дотичних до фазових траєкторій. Очевидно, що вісь абсцис (у = 0) відповідає ізокліні С = ± оо і куту а = ±л/2. Для побудови фазової траєкторії слід задати початкові умови (вихідні координати зображуючої точки). Потім через точку Мо провести дві лінії. Нахил першої має збігатися з нахилом стрілки на ізокліні Ср другої — з нахилом, що відповідає суміжній ізокліні С2. Вважаємо, що точка Мх лежить майже на середині відрізка, що відтинається на ізокліні С2 лініями, проведеними з точки Мо. Аналогічно відшукуються точки М2, Му ... і будується фазова траєкторія.
За фазовим портретом нелінійної системи можна зробити не тільки якісну оцінку її динаміки (стійка система чи ні, коливальний або аперіодичний перехідний процес, чи є автоколивання тощо), але й визначити кількісні показники якості перехідних процесів. На фазовій площині час у явному вигляді відсутній, але наближену оцінку швидкодії системи можна дати, виходячи з величини у = (іхіді, яка становить швидкість зміни вихідної змінної. Час переміщення зображуючої точки з одного положення Мх в інше, досить близьке М? можна наближено знайти за формулою
Ді = Ах/у„р,
де Ах і у визначаються для окремих ділянок фазової траєкторії так, як показано на рис. 8. 9.
За фазовим портретом на рис. 8. 9 можна знайти також величину перерегулювання о (%):
О В тп ° ~ ОА100’
де ОА — початкове (максимальне) відхилення вихідної величини від усталеного значення; ОВ — відхилення через половину періоду коливань.
За граничним циклом на фазовому портреті можна визначити амплітуду і частоту автоколивань. Якщо реальний граничний цикл на
ближено замінити еквівалентним еліпсом з напівосями х і >тах (рис 8.10), то параметри автоколивань можна визначити за такими формулами:
амплітуда
А = хтах ;
частота
період
Т - 2л/ша.
Приклад 8. 2. Методом фазової площини виконати дослідження слідкуючого електропривода, функціональну схему якого показано на рис. 8.4. Вважати, що вимірювальний, перетворювальний і підсилюючий елементи описуються однією нелінійною функцією Ця (е), де е ™ $вх $вих; Ия — напруга на якорі двигуна, і, крім того, електромагнітна стала двигуна дорівнює нулю і люфта в редукторі немає.
Розв'язання. Якщо прийняти, що 7'я - 0, то передаточна функція двигуна має вигляд
Аш (р) к
ІУ (р) = —3  - ----2—
Дия(р)	Т^р + 1 ’
де кл — коефіцієнт передачі двигуна; Ти — електромеханічна стала часу електропривода.
Редуктор, вхідною величиною якого є швидкість а> , а вихідною — кут повороту описується передаточною функцією
ЧИх^)
^(Р) = -тЛ!7-т-р Аш (р)
= 3. р'
де д — передаточне число редуктора.
Структурну схему електропривода показано на рис. 8. 11. її зображено у вигляді, зручному для математичного описання — системою рівнянь у нормальній формі Коші:
Лс(/Л = -^-х( + м
т
(8. 33)
£/х/Л=дх).	(8 34)
Ці рівняння складені при умові, що Д0 - 0, оскільки досліджується вільний рух системи. Суть змінних стану х( і х2 зрозуміла з рис. 8. 11.
Для побудови фазової траєкторії у = Ах) необхідно розв'язати систему рівнянь (8. 33), (8. 34) і визначити х - х, і у - <Ух2/Л Розрахунки для двох типів нелінійних характеристик (г) виконуємо на ЕОМ.
Перший випадок. Характеристика <р (е) має вигляд характеристики із зоною насичення (див. рис. & 1, б). Стандартну програму розв'язування системи рівнянь слід доповнити умовами.
1)	якщо | х2 | < о, то ?>(е) - - к^х2, де кп — коефіцієнт передачі перетворювально-підсилюючого пристрою на лінійній частині характеристики;
2)	якщо х2 > с, то рівняння (8. 33) має вигляд
<Ух, , к к с
___1 _ __к. х П Д
<11 Т 1 Т ’ м	м
3)	якщо х2 < -с, то рівняння (8. 33) має вигляд
<1х
____
<11
м
к к с п Д
Т м
(8. 35)
(8. 36)
Розрахунок фазової траєкторії виконано для таких параметрів електропривода: ТК --ОД с, кл - 1,5 1/В-с, кп - 400; с - 0,5 рад; д - ОД з початковими умовами і - О, х^ - -1 рад
Рис. 8. 12
Результат розрахунку подано у вигляді фазової траєкторії на рис. 8. 12. Фазова траєкторія становить спіраль, що стягується до початку координат. Отже, система стійка і перехідний процес має вигляд затухаючих коливань, перерегулювання а дорівнює 43 %.
Другий випадок. Характеристика </>(.'.) має вигляд характеристики реального релейного елемента (рис. 8. 1, є). У цьому випадку стандартну програму розв’язування системи рівнянь слід доповнити умовами:
1) якщо х, < 0 і х2 > —с або х, > 0 і х2 > с, то
сіх	, Ьк
—1 = _А_Х _—«
аі	т і т ’
м	м
2) якщо х1 < 0 і х2 < -с або х, > 0 і х2 < с, то
ііх, ,	Ьк
—! = _2_ + _^.
Л	Т	Т '
м м
Ці умови записано з врахуванням рівнянь (8. 7), якщо сігісіі — і е - - х2. Розрахунок виконано для тих самих умов, що й у попередньому випадку, крім того, прийнято Ь = 100 В, с - 0,25 рад.
Розраховану фазову траєкторію наведено на рис. 8.13. Фазовий портрет має стійкий граничний цикл, отже, усталеним режимом системи є режим автоколивань з амплітудою А = 0,39 рад, частотою ша == 21 с"1, періодом Т = 0,3 с.
8. 6. МЕТОД О. М. ЛЯПУНОВА
Теореми першого методу Ляпунова сформульовані в п. 4. І Вони дають можливість використовувати методи лінійної теорії для дослідження реальних нелінійних систем. Природно, що цей висновок справедливий тільки для систем, що містять несуттєві нелінійності. Для систем з суттєвими нелінійностями перший метод Ляпунова застосовувати не можна.
Перш ніж сформулювати теореми другого (прямого) методу Ляпунова введемо такі поняття.
Функція У(хр х2,. . ., хл) називається знакосталою в деякій зоні, якщо вона зберігає один і той самий знак в усіх точках цієї зони навколо початку координат за винятком деяких точок, в яких вона дорівнює нулю. Знакостала функція, що дорівнює нулю тільки в початку координат, називається знаковизнаненою (безумовно-додатною або безумовно-від’ємною). Функція називається знакозмінною, якщо вона в деякій зоні навколо початку координат може мати різні знаки.
Рівняння вільного руху системи подаються в нормальній формі Коші
Фхк/Фі = Д(хр х2, . . . , хл) (к. = 1, 2, . . . , п),	(8. 37)
де хк — змінні стану (координати) системи.
Будь-яку функцію Ихр х2, . . . , хл), що тотожно перетворюється в нуль при х1 = х2 = . . . = х„ = 0, називаємо функцією Ляпунова . Повна похідна за часом від цієї функції має вигляд
ФУ _ А дУ йхк
Фі дх. Фі
к~'‘	(8.38)
Після цих попередніх зауважень сформулюємо теорему Ляпунова про стійкість нелінійних систем: система, що описується рівняннями (8. 37), стійка, якщо можна знайти таку знаковизначену функцію Ляпунова У, повна похідна якої ФУ/Фі відповідно до рівнянь системи знакостала і має знак, протилежний знаку функції V, або тотожно дорівнює нулю. Якщо похідна ФУ/Фі знаковизначена, то система асимптотично стійка.
Теоремі Ляпунова можна дати досить наочну геометричну інтерпретацію. Візьмемо, наприклад, знаковизначену додатну функцію У(Хр х2, . . . , хл) і надаватимемо їй сталі значення V = 0, Ср С2, . . . , що збільшуються. Кожному рівнянню У(Хр х2, . . . , хл) = С. відповідає зам-
кнута поверхня у «-вимірному просторі станів даної системи. Поверхня, що відповідає значенню Ср цілком знаходиться всередині поверхні См, якщо См > Сг Ці поверхні зображено на рис. 8. 14. Для наочності простір прийнято тримірним. Якщо зображуюча точка в просторі станів рухається так, що переходить з поверхні, яка відповідає більшому Сі, на поверхню з меншим Сі, тобто наближується до початку координат, то система стійка. Але якщо зображуюча точка рухається таким чином, то визначено-додатна функція V зменшується з часом, тобто її повна похідна сіУісіі буде від’ємною. Отже, для стійкої системи функція V і її повна похідна мають протилежні знаки.
Дослідження стійкості методом Ляпунова проводять у такому порядку. 1. Записують рівняння вільного руху системи в нормальній формі Коші. 2. Вибирають функцію Ляпунова.
3. Визначають похідну IVЦі за формулою (8.38), в якій похідні сіх.Ці замінюють функціями Д(Х], х2, . . . , хл), тобто дістають похідну (IVЦі як функцію координат системи і її параметрів.
4. Визначають межі зміни координат системи і її параметрів, у яких похідна сіУісіі залишається знаковизначеною, тобто знаходять умови стійкості.
Складність застосування прямого методу Ляпунова полягає в тому, що немає загальних рекомендацій щодо визначення функції Ляпунова. Для заданих у формі (8. 37) нелінійних рівнянь системи можна вибрати кілька різних варіантів функції V, тому що необхідною умовою є тільки знаковизначеність функції V і її похідної. При різних варіантах функції V дістають різні умови стійкості тієї самої системи. А теорема Ляпунова дає достатні умови стійкості, тобто при її виконанні система обов’язково буде стійкою, але ці умови можуть не охоплювати всю зону
стійкості системи. Невиконання умов теореми Ляпунова для вибраної функції V ще не доводить нестійкість системи, тому що, власне кажучи, невідомо, чи є інші функції V, для яких умови теореми виконуються.
Ляпунов для попередньо лінеаризованої нелінійної системи запропонував знаходити функцію V у вигляді квадратичної форми з невиз-наченими коефіцієнтами:
п
У(Хі,х2,...,хп) = 2
к,1 = 1
(8. 39) Коефіцієнти аи визначають з умови
ґП/ А аі/ <іх. А
-г = У ---------= - ЛУ х2,
(11	дх . (Н	г
7 = 1 1	' = 1	(8.40)
де Л — будь-яка стала величина. Для цього з виразу (8. 39) знаходять частинні похідні сіУ/сіх,, а похідні сіхсії беруть з лінеаризованих рівнянь руху вигляду (8. 37). Ці похідні підставляють у формулу (8. 40), прирівнюють коефіцієнти при однакових членах х^х; у лівій і правій частинах і дістають систему алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів а^.
Для нелінійних систем, що містять одну безінерційну нелінійність <р(є), А. І. Лур’є запропонував вибирати функцію V у вигляді
V = Б + А Г <р(є)(ІЕ, (8. 41)
де В — квадратична форма координат системи; А — стале число.
Приклад 8. 3. Визначити умови стійкості системи, структурну схему якої наведено на рис. 8.11 (див. приклад 8. 2), при умові, що нелінійиість є непарною однозначною.
Розв’язання. Враховуючи, що є - -х? , запишемо рівняння (8. 33), (8. 34) у вигляді
_	1	^2 _
аі т т ’ аі м	м
Функцію Ляпунова візьмемо знаковизначеною додатною у формі Лур’є
.	2
Ц*г*2) = 2^ + л/ 'Р(А2Уіх2-0
Знайдемо повну похідну функції :
ОУ = дУ дУ =	[ 1
аі вх, аі + дх, аі хі т 1	2	їм
+ А<р(х2)дхі =
т м
і
уГ\ - уГ <р(х2) X] + А<]<р(х2) х,. м	м
Прийнявши А - каІТмд, дістанемо
Знак похідної <ЇУ/<11 протилежний знаку функції И, отже, система асимптотично стійка при таких обмеженнях на вигляд нелінійної характеристики <р(х2), які було прийнято при дослідженні стійкості: 1) характеристика має бути непарною, тобто при є - -х2 <р(.г) - -р(х2) ; 2) характеристика повинна розміщуватися в першому та третьому квад-х2
рантах, щоб інтеграл § р(х2)</х2 був додатним, о
Крім теореми про стійкість, Ляпуновим сформульована теорема, що дає достатні умови нестійкості нелінійної системи. Якщо при заданих у вигляді (8. 37) рівняннях системи похідна від якої-небудь функції Ляпунова Й(хр х2, . . . , хл) буде знаковизнаненою, причому сама функція V в якій-небудь зоні, що примикає до початку координат, матиме знак, однаковий із знаком похідної, то система нестійка.
8. 7. КРИТЕРІЙ В.-М. ПОПОВА
Критерій Пбпова встановлює умови абсолютної стійкості. Абсолютна стійкість означає асимптотичну стійкість нелінійної системи у цілому (тобто відносно всього простору станів системи) при умові, ЩО задано не конкретну нелінійність, а деякий клас нелінійностей М. Критерій Пбпова можна застосувати до класу стаціонарних нелінійностей, яким є множина М &2] усіх кусково-безперервних функцій, графіки яких знаходяться в секторі 5 Цр &2] між лініями и = к.е і и = к2є (рис. 8. 15). Ці нелінійності повинні задовольняти такі умови:
<р(.є) — безперервна функція; р(0) = 0
и Рис. 8. 15	£^(є) > 0	при є & 0; * кг < —< к2 при є * 0; «•*•*	* 00 / р(є)<*є = ±°°. 0 & Абсолютна стійкість означає стійкість у цілому для всіх нелінійностей заданого класу. У практичних задачах дуже часто доводиться мати справу з однозначними нелінійностями, характеристики яких містяться в секторі 5 [0, к]. У цьому випадку для абсолютної стійкості
нелінійної системи, зведеної до найпростішої, тобто для такої, що складається з нелінійної ланки <р(є) і лінійної частини з передаточною функцією ИЦр), достатньо, щоб для деякого дійсного числа д (-оо < д < > оо) і всіх дійсних ш, у тому числі ш = ± оо, виконувалась така нерівність:
Ке [(1 + д)ш) 1УЛ ( іш)] + | > 0	(8 42)
і щоб лінійна система, в якої нелінійну ланку замінено лінійною и - се, де с =£ к, була стійкою.
Частотну характеристику лінійної частини системи подамо у вигляді
Жл( » = £/>) + ;У>),
підставимо це значення ІУл( ;а>) у перший доданок нерівності (8. 42) і виділимо дійсну частину
К.е { (1 + д]ш\ІІл(ш) + ]У,(ш) ]} = й.е [ІУ,(ш) + ]доМ_(ш) + ]Ул(ш) - дшУл(&>)] = = V (.ш) - дшУл(<у).
З урахуванням цього виразу нерівність (8. 42) запишемо у вигляді
1/л(ш) - дшУ)ш) + \/к > О
або
X - дУ + 1/к> 0,	(8. 43)
де
X = 1/л(ш) = ке [Жл( )ш)];
У = шУл(ш) = ш Іт [ІУЛ() ш)].
Рівняння (8. 43) є рівнянням прямої, що проходить у площині X, У через точку з абсцисою — \/к на дійсній осі X і має кутовий коефіцієнт \/д. Ця лінія називається прямою Попова.
Введемо тепер поняття видозміненої (модифікованої) частотної характеристики лінійної частини системи або кривої Попова. Вираз цієї характеристики
И'Ц )ш) = £/» + ішУл(ш)
відрізняється від звичайної амплітудно-фазової характеристики ІУ ( )ш) тільки тим, що уявна частина множиться на ш. Якщо прийняти, що п — порядок полінома знаменника передаточної функції ИЧр), а т — порядок полінома чисельника, то при п - т > 1 видозмінена характеристика И^( ]ш) має такий самий вигляд, що й характеристика УУлЦш), тільки масштаб уявної частини змінюється у ш разів, а при п - т = 1 характеристика И^( }ш) при ш = » закінчується на від’ємній частині уявної осі.
Рис. 8. 19
Після введення поняття про пряму і криву Попова сформулюємо умови виконання нерівності (8.42) або умови абсолютної стійкості: нелінійна система абсолютно стійка, якщо в площині йИ( = X + ]У можна провести пряму Пбпова так, щоб крива Попова була праворуч від неї.
Для однозначних нелінійних характеристик -» < д < +«, тобто пряму Попова можна проводити з будь-яким кутовим коефіцієнтом — як додатним, так і від’ємним. Для неоднозначних характеристик з від’ємним гістерезисом (рис. 8. 16, а) 0 =£ а < « і кутовий коефіцієнт прямої Попова має бути додатним, а для неоднозначних характеристик з додатним гістерезисом (рис. 8. 16, б) -<® < а =£ 0 і кутовий коефіцієнт прямої Попова має бути від’ємним.
Для визначення абсолютної стійкості нелінійної системи необхідно побудувати видозмінену частотну характеристику лінійної частини системи, визначити к з умови 0	(є)/є к і через точку з координа-
тами (-!/£, /0) провести пряму з кутовим коефіцієнтом, що визначається типом нелінійності, так, щоб характеристика знаходилась праворуч від неї (рис. 8.17). Якщо таку пряму провести не можна, то абсолютна стійкість у досліджуваній системі неможлива (рис 8. 18).
Таке формулювання критерію абсолютної стійкості є справедливим для систем із стійкою лінійною частиною. Проте цей критерій можна використовувати також і тоді, коли лінійна частина системи нестійка. У цьому випадку лінеаризована система, яку дістають при заміні нелінійного елемента (є) лінійним кє, при досить малих к буде нестійкою. Якщо існують такі значення к , для яких при <р (є)/є > кф лінеаризована система стійка, то для використання критерію Попова належність характеристики нелінійного елемента сектору 5[0, А] треба замінити належністю сектору Л], тобто прийняти
ф £
Крім того, слід виконати еквівалентні перетворення вихідної нелінійної системи (рис. 8.19, а) так, як зображено на рис. 8.19, б. Ланка з коефіцієнтом передачі —1 показує, що зворотний зв’язок у системі є від’ємним. У схему введено дві фіктивні ланки з коефіцієнтами передачі к . Схема залишається еквівалентною вихідній, тому що вихідні сигнали фіктивних ланок взаємно компенсуються на вході лінійної частини системи. Перевіримо, чи існує таке значення кф < к, при якому лінійна частина системи, охоплена жорстким від’ємним зворотним зв’язком, буде стійкою. Якщо таке значення кф не існує, то відповідь на запитання про абсолютну стійкість однозначна — абсолютна стійкість системи неможлива.
Вважаємо, що значення кф, при якому забезпечується стійкість лінійної частини системи, існує. Тоді після перетворення структурної схеми дістанемо лінійну частину системи з передаточною функцією
_ ж.Хр)
^л.ф(р) ~ ! + к^л(р)	(8. 44)
і нелінійну ланку з характеристикою
У’ф<£) = <р(є) — кфє.
Оскільки п(£) = р(£) к £	£ Ф’
то з нерівності
0	<р{£)/є «г к
випливає нерівність
0 « <р.(е)/є « к - к, ф	ф
тобто характеристика перетворюваної нелінійної ланки належить сектору 5[0, к - кф]. У цьому разі нерівність (8. 42) має вигляд
й.е [(1 + д](о) Ж . ( ](о)} + -5—Ц— > 0
IV	) л.ф^	к_к^	(8> 45)
і критерій абсолютної стійкості формулюється так: система абсолютно стійка, якщо через точку з координатами (-!/(& - Лф), /0) можна провести пряму Попова так, щоб видозмінена характеристика перетворюваної лінійної частини йИф( уа>) знаходилась праворуч від неї.
Аналогічно можна розглянути випадок, коли характеристика нелінійної ланки належить довільному сектору 5	к2\ (див. рис. 8. 15).
Цей варіант також можна звести до нелінійної характеристики, що належить сектору 5 [0, к\ якщо прийняти кф = кг Тоді характеристика перетворюваної нелінійної ланки
^еР<£) = Р<£) ~ Кє знаходитиметься в секторі 5 [0, к2 - к, ], а лінійна частина матиме передаточну функцію
Ж (р)
1 + ^Ц/Др) ’
(8. 46)
Критерій Попова можна поширити також на системи, в яких передаточна функція лінійної частини )К.(р) має кілька чисто уявних або нульових полюсів, причому решта полюсів — ліві. У цьому разі формулювання критерію стійкості збігається з формулюванням критерію
для системи з стійкою лінійною частиною, але доповнюється такими двома умовами: 1) має забезпечуватися гранична стійкість, тобто стійкість лінійної системи з передаточною функцією кУ/ір) при к -» 0; 2) характеристика нелінійної ланки не повинна дотикатися до осі абсцис, тобто має розташовуватися в секторі 5 [д, к ], де д — нескінченно мала величина.
Критерій Попова можна поширити також і на випадок нестаціонарної нелінійної характеристики <р (є, і). Якщо прийняти, що ця характеристика знаходиться в секторі 5 [£,, к2 ] при будь-якому і (рис. 8. 20), тобто
Рис. 8.20
</>(0,0 = 0,
то цей випадок можна звести до варіанта із стаціонарною лінійною характеристикою, що лежить у секторі 5 [£, к21 Відмінність полягає в тому, що умова абсолютної стійкості для нестаціонарної нелінійної характеристики має вигляд нерівності (8. 45), в якій слід прийняти д = 0, тобто
Ке [Ж О)] + У > 0.
л.перМ Р	(8. 47)
Для перевірки цієї нерівності треба побудувати звичайну, а не видозмінену характеристику ИЛл пср(/'<у). Крім того, пряму Попова слід проводити через точку з координатами (~\/(к2 - 4(), /0) паралельно уявній осі, тому що при д = 0 і к = к2 - кх рівняння прямої Пбпова має вигляд
X = - , 1 , .
к2 ~ К
Все раніше розглянуте має відношення до абсолютної стійкості стану рівноваги системи в точці х = 0. Проте критерій Попова можна застосувати також для дослідження абсолютної стійкості будь-яких динамічних процесів. Якщо характеристика нелінійної ланки знаходиться в секторі 5 [&Ц к21 то похідна нелінійної характеристики повинна належати тому самому сектору 5 [£р &2], тобто
1 де 2
Перевірка стійкості динамічних процесів виконується так само, як і в разі нестаціонарної нелінійності.
На закінчення слід зазначити, що критерій Попова дає достатні, але не необхідні умови стійкості. Тому визначена за цим критерієм зона стійкості може виявитися більш «вузькою», ніж дійсна, і, як наслідок цього, до регулятора будуть поставлені необгрунтовано жорсткі вимоги.
8. 8. МЕТОД ТОЧКОВОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ
Для оцінки динаміки нелінійних систем, зокрема для виявлення факту існування автоколивань і визначення їх параметрів, можна застосувати метод точкових перетворень, розвинутий в теорії автоматичного керування О. О. Андроновим. Ідея цього методу досить проста. Нехай, наприклад, фазовий портрет деякої нелінійної системи має вигляд, зображений на рис. 8. 21. Припустимо, що в деякий момент часу зображуюча точка займає положення х® на додатній півосі Ох. Після обходу навколо початку координат зображуюча точка займе нове положення х®. Якщо точка займала положення Хд2), то після обходу початку координат дістанемо нову точку х{2) і т. д. Оскільки через кожну точку півосі Ох можна провести одну й тільки одну фазову траєкторію, то обходу зображуючої точки навколо початку координат відповідає перехід кожної точки півосі Ох у деяку іншу точку тієї самої півосі. Інакше кажучи, відбувається точкове перетворення півосі Ох саму в себе. Це перетворення описується функціею-послідовником х, = /(х0), графік якої називається діаграмою точкового перетворення .
Діаграма точкового перетворення дає змогу досліджувати характер можливих динамічних режимів у системі. Нехай, наприклад, графік
відповідає функції х, = х0. Очевидно, що точки перетину функцій х, = /(х0) і х, = х0 відповідають замкнутим фазовим траєкторіям (граничним циклам) на фазовій площині, тому що початкові і кінцеві положення зображуючої точки після обходу початку координат збігаються. Частинам кривої х, = /(х0), які знаходяться нижче бісектриси, відповідають спіральні фазові траєкторії, що наближуються до початку координат, тому що наступна координата зображуючої точки менша за попередню. Аналогічно частинам кривої X! = /(х0), які містяться вище бісектриси, відповідають спіральні фазові траєкторії, що віддаляються від початку координат.
На рис. 8. 22 є дві точки А і В перетину кривої х{ = /(х0) і бісектриси, тобто фазовий портрет має два граничних цикли. Наявності автоколивань у системі відповідає стійкий граничний цикл. Аналізуючи діаграму точкового перетворення, можна виявити, що стійкому граничному циклу відповідає така точка перетину кривої х, = /(х0) з бісектрисою, в якій крива х1 = /(х0) має менший нахил до осі абсцис, ніж пряма х, = х0, а нестійкому — більший нахил. Отже, точка А відповідає стійкому граничному циклу, тобто наявності автоколивань у системі, а точка В — нестійкому. Якщо крива х, = /(х0) і пряма х, = х0 не мають точки перетину, то граничного циклу не існує і автоколивання в системі неможливі.
Точкові перетворення не обов’язково здійснювати відносно додатної півосі осі абсцис. Якщо на фазовій площині є лінії перемикання, то доцільніше виконувати перетворення точок якої-небудь лінії перемикання. Якщо фазовий портрет симетричний відносно якої-небудь осі координат, то достатньо виконати точкове перетворення для половини оберту зображуючої точки навколо початку координат, тобто перетворити точки півосей або ліній перемикання на додатній напівплощині у відповідні точки ліній перемикання або півосей на від’ємній напівплощині.
Метод точкових перетворень можна використовувати для визначення впливу зміни параметрів системи на характер перехідних процесів. Нехай, наприклад, при різних значеннях якого-небудь параметра системи х< і дістанемо діаграми точкових перетворень, що зображені на рис. 8. 23. Діаграма 7 відповідає системі, стійкої у цілому, діаграма 3 — системі, стійкої у малому, в якій при достатньо великих відхиленнях (х0 > х'о) виникають автоколивання (точка А відповідає нестійкому граничному циклу, точка В — стійкому). Діаграма 2 дотикається до бісектриси в точці С. Вона 0	*
відповідає значенням параметрів, при	0
яких система перебуває на межі між	РИС & 23
якісно різними динамічними властивостями. Такі значення параметрів називаються біфуркаифіними.
Аналітичний вираз функції х, = /(х0) може бути визначеним тільки для обмеженого кола систем другого порядку з кусково-лінійними нелінійностями. Великий ефект при розрахунку діаграми точкового перетворення дає використання ЕОМ. Алгоритм визначення стійкості, ав-токоливань, їх параметрів і програмну реалізацію алгоритму можна знайти в праці [4].
Стосовно суттєво нелінійних систем вище другого порядку ідея методу точкових перетворень розвинута в [2]. Запропоновано поведінку системи в багатовимірному фазовому просторі (просторі станів) досліджувати за допомогою проекцій просторової фазової траєкторії на фазові площини, координатами яких є реальні координати системи. Кількість таких фазових площин дорівнює кількості фазових координат багатовимірного фазового простору. Точкові перетворення поверхонь виконуються в формі точкових перетворень променів на фазових площинах, які здійснюються за допомогою проекцій просторової фазової траєкторії на ці площини.
8. 9. МЕТОД ГАРМОНІЧНОЇ ЛІНЕАРИЗАЦІЇ
На відміну від розглянутих раніше точних методів дослідження нелінійних систем метод гармонічної лінеаризації (гармонічного балансу) є принципово наближеним. Ідею цього методу було запропоновано М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим у 1934 р. До дослідження систем автоматичного керування цей метод у своїх працях застосували Л. С. Гольдфарб і Є. П. Попов.
Метод гармонічної лінеаризації використовується для дослідження автоколивань у нелінійних системах високого порядку, а також для оцінки якості перехідних процесів.
Для пояснення суті гармонічної лінеаризації розглянемо проходження гармонічного сигналу
є = а кіп а>1	(8. 48)
через нелінійну ланку (рис. 8. 24). На виході нелінійної ланки в загальному випадку створюється періодичний сигнал
и = <р(а кіп сої),
який можна розкласти в ряд Фур’є
п
и == Ап + (А.зігі коЛ + В4СО8 кші),
(8. 49)
Вк = — / <р (а зіп а>ґ) соз ксої сі(сої)
1
4 =	\ ‘р(а 8ІП
о	(о. 50)
। 2л
А = — Г <р(а зіп сої) зіп ксої сі(сої) •, ‘	71 о	. (8. 51)
, 2л
(8. 52)
Прийнявши Ао = 0, що справедливо для нелінійних характеристик, симетричних відносно початку координат, вираз (8. 49) запишемо у вигляді
и = А{ зіп сої + В, соз сої + вищі гармоніки.	(8. 53)
Якщо врахувати, що з (8. 48) випливає
зіп сої = є/о; соз сої = рг/асо,
то вираз (8. 53) можна записати у вигляді
А А рє
и =	+	+ виш1 гармоніки
або
к'
и - кгє 4----рє + вищі гармоніки,
ф	(о. 54)
де кг = А^а і к'г = В /а — коефіцієнти гармонічної лінеаризації. Ці коефіцієнти згідно з виразами (8. 51) і (8. 52) є функціями амплітуди а. Отже, нелінійна функція и = <р(є) при є = а зіп а>1 замінюється виразом (8. 54), який з точністю до вищих гармонік є лінійним. Ця операція і називається гармонічною лінеаризацією.
Гармонічна лінеаризація по суті є наближеною. Вона грунтується на таких припущеннях:
1) у системі існують автоколивання;
2) коливання на вході нелінійної ланки є синусоїдальними, тобто лінійна частина системи виконує функції фільтра основної гармоніки; це припущення прийнято називати гіпотезою фільтра.
Виходячи з цих припущень, розглянемо нелінійну систему, що складається з лінійної частини Ж/р) і нелінійної ланки (є) (рис. 8. 25). При дослідженні автоколивань приймається /(/) - 0. Тоді, якщо прийняті припущення є справедливими, сигнал на виході лінійної частини системи буде гармонічним
х = х0 + А зіп а)а І,
де А і а>а — амплітуда і частота автоколивань; х0 — постійна складова, що з’являється в тому випадку, коли характеристика нелінійної ланки несиметрична відносно початку координат, тобто спостерігається ефект випрямлення вхідного гармонічного сигналу. Для симетричних характеристик нелінійної ланки х0 = 0. Такий самий сигнал, але з протилежним знаком або з фазовим зсувом л надходить на вхід нелінійної ланки. На її виході, а отже, на вході лінійної частини системи згідно з виразом (8. 49) будуть сигнали не тільки основної гармоніки (к = 1), але й решти кратних гармонік. Для лінійних систем справедливим є принцип накладення, тому можна
розглядати дію кожної гармоніки на лінійну частину незалежно від інших. Внаслідок на виході системи утворюються періодичні коливан-
Рис. 8.25
ня, які містять той самий спектр частот, що й сигнал на вході лінійної частини. Проте амплітуди кожної і гармонік будуть різними згідно і амплітудно-частотною хар;і» к ристикою лінійної частини іш теми.
Розглянемо амплітудно-частотну характеристику на рис. 8. 26. З характеристики видно, що амплітуда першої гармоніки значно перевищує амплітуди інших гармонік, тобто лінійна частина системи виконує роль фільтра нижніх частот (гіпотеза фільтра підтверджується). У цьому разі вищими гармоніками можна знехтувати і вважати, що коливання на виході лінійної частини, а отже, і на вході нелінійної ланки є гармонічними. Тоді рівняння (8. 54) нелінійної ланки буде лінійним:
Л'г
„ = *гЄ+-„.	Л55)
Цьому рівнянню відповідає передаточна функція
=	<8. 56>
Передаточна функція (р) є передаточною функцією еквівалентної лінійної ланки або гармонічною передаточною функцію нелінійної ланки.
Для непарних однозначних нелінійних характеристик розклад в ряд Фур’є не має косинусів, тобто В, = 0 і к'г = 0, тому передаточна функція гранично спрощується:
ТУнл(р) = Лг.	(8. 57)
Коефіцієнт кТ визначає гармонічну складову вихідного сигналу, яка збігається по фазі з вхідним сигналом, а коефіцієнт к'г — складову, що зсунута по фазі на л/2.
Коефіцієнт к'т не дорівнює нулю, якщо характеристика нелінійної ланки є неоднозначною. Для неоднозначних характеристик з від’ємним гістерезисом (рис. 8.1, г, е, е) коефіцієнт к'Г від’ємний, тобто він визначає складову вихідного сигналу, що запізнюється за фазою на кут л/2. Це пояснюється тим, що при зміні знака вхідного сигналу вихідний сигнал переходить з однієї вітки нелінійної характеристики на іншу і тим самим створює запізнювання вихідного сигналу відносно вхідного.
Розглянемо тепер випадок, коли гармонічний сигнал на вході нелінійної ланки містить постійну складову, тобто
є = є0 + а зіп а>1.	(8. 58)
Це можливо, якщо до системи прикладена постійна зовнішня дія або
5
Рис. 8. 27
якщо характеристика нелінійної ланки несиметрична відносно початку координат.
З виразу (8.58) випливає
а зіп сої = є - є0; зіп сої = (є - є0)/а;
соз сої =
Р(£ ~ £о) аа>
тому вираз (8.49) для першої гармоніки можна подати у вигляді
и
= Мо + (*г + *'го£) (£ - £о)-
Вираз (8. 59), крім коефіцієнтів к? і , містить коефіцієнт кл = Аа/е0, який є коефіцієнтом передачі постійної складової.
Рівняння (8. 59) лінійне. Йому відповідає структурна схема на рис. 8. 27, а. Схема має дві паралельні ланки. Ланка з передаточною функцією кл передає постійну складову, а ланка з передаточною функцією кг + к' тр/а> пропускає тільки синусоїдальну складову вхідного сигналу. Вихідний сигнал и становить суму постійної складової є0£г0 і синусоїдального сигналу:
(кг + к'гр/а))а зіп сої = (кг + £'гр/со)(є - є0).
Якщо причиною виникнення постійної складової є не зовнішня дія, а несиметричність характеристики нелінійної ланки відносно початку координат (ефект випрямлення), то нелінійну ланку не можна подавати у вигляді структурної схеми на рис. 8. 27, а, тому що в цьому випадку постійна складова Ло на виході нелінійної ланки не дорівнює нулю навіть при є0 = 0, тобто коефіцієнт £г0 не має сенсу. У цьому разі нелінійну ланку слід подавати у вигляді структурної схеми на рис. 8. 27, б, де постійна складова Ао розглядається як деяка зовнішня дія.
Постійну складову і коефіцієнти гармонічної лінеаризації можна визначити за формулами (8. 50), (8. 51) і (8. 52).
Приклад 8. 4. Визначити коефіцієнти гармонічної лінеаризації для нелінійної ланки, яка має характеристику із зоною насичення (див. рис. 8. 24).
Розв’язання. Сигнал на виході ланки <р(а зіп ші) є непарною періодичною функцією, тому ряд Фур’є не має косинусів і вільного члена, тобто Ао - 0 і В. “ 0 і, отже, к _ “ 0 і к' =0.
гО	г
Визначимо коефіцієнт кг - А,/а. При обчисленні коефіцієнта А, за формулою (8. 51) скористаємося тим, що інтеграл від 0 до 2л можна дістати як чотири інтеграли від 0 до л/2, тобто
4 г
к = —ір(а зіп шг)віп о
(8. 60)
Нелінійна функція <р(а зіп ші) згідно з рис. 8. 24 в інтервалі від 0 до має вигляд <р(а зіп шґ> - ка зіп ші, а в інтервалі від до л/2 — вигляд
<р(а зіп <оІ) - Ь.
Тому інтеграл (8. 60) можна подати у вигляді суми двох інтегралів:
4	4
кг = —} ка зіп ші зіп	-----£ Ь зіп а>Г<7(а)Г) =
0	а)/,
Ш'1	л/2
=	— /	віп 2<иІ с/(шІ)-і------£	зіп шТ</(аЛ) -
0	шґ,
4/г /1	1	~	іл/2
= — хшГ-7 зіп 2ог)І і--------сов а>г[ .
л 12	4	о ла
При обчисленні інтегралів враховуємо, іцо згідно з графіком функції <р(а зіп ші) на
рис. 8. 24
,	. Ь
ші = агсзіп —.
і	ак
Крім того, виконаємо такі заміни:
зіп 2шІ = 2 зіп ші 71 - зіп2шї,
сов м = 71 — зіп юі .
Тоді дістанемо
Цей вираз справедливий при а > Ь/к. При а < Ь/к, коли зона насичення не досягається, кг - к.
Графік залежності коефіцієнта к~ від амплітуди а подано на рис. 8. 28, а.
При виконанні гармонічної лінеаризації, звичайно, немає необхідності визначати коефіцієнти кг і к'г, тому що для типових нелінійностей їх значення можна знайти у більшості підручників з теорії автоматичного керування. Формули для визначення коефіцієнтів гармонічної лінеаризації типових нелінійних ланок подано також у табл. 8. 2.
Таблиця 8. 2
Рисунок, на якому наведено ха-рактернстику нелінійної ланки	Коефіцієнти гармонічної лінеаризації		
	<7		
8. 1, а	.	. с с Г гП /с	агсзіп — + —. 1 -	при а > с пі	а а у а‘ \		0
8. 1, б	2к (	. Ь Ь 1 і2 'і	... — агсБіп —+ —.1—тт	при а > о/к пі	ак ак V а к~)		0
8. 1, в	41>/яа		0
8. 1, г	к [п	.	ґ	Іс с> — — + агскіп 1	+ 2 1	. — і — п 2	\ а }	\ а }\а\ а)	при а > с	па 1 а) при а > с
8. 1, д	4Ь 1. с2 —. 1 —=-	при а > с па V а		0
8. 1, е	к\	.	Сд 1 с]	. с є, .	є,2 | — аГС8!П — + —		у + аГС8!П — + — Лі	у п (	а а х а	а а у а \ при а > с3		~ с?) па2 при а > с3
8. 1, е	46 1, с2 — .11 —у	при а > с па V а"		4Ьс па2 при а > с
Отже, гармонічна лінеаризація дає можливість описувати суттєво нелінійні ланки лінійними рівняннями. Проте слід мати на увазі, що гармонічна лінеаризація нелінійних залежностей принципово відрізняється від звичайної лінеаризації, яку було розглянуто раніше (див. п. 2. 7). Коли виконується звичайна лінеаризація, то нелінійна характеристика поблизу точки лінеаризації замінюється прямою лінією, яка має сталий коефіцієнт нахилу к, що не залежить від вхідної і вихідної величин ланки. Якщо виконується гармонічна лінеаризація, то
нелінійна характеристика замінюється прямою лінією з коефіцієнтом нахилу кг, величина якого залежить від амплітуди вхідного сигналу. Так, наприклад, з графіка залежності кг(.а) (рис. 8. 28, а) видно, що при а < с коефіцієнт кг = к і лінеаризована характеристика збігається з лінійною частиною характеристики ланки з насиченням (характеристика 1 на рис. 8. 28, б). При зростанні амплітуди коефіцієнт кг зменшується і лінеаризована характеристика набуває вигляду характеристик 2, 3 і т. д. При а -» оо коефіцієнт кг прямує до нуля. Це пояснюється тим, що при зростанні амплітуди вхідного сигналу амплітуда вихідного сигналу внаслідок насичення залишається незмінною, тобто коефіцієнт передачі ланки безперервно зменшується.
Отже, гармонічна лінеаризація замінює нелінійну ланку не на звичайну лінійну ланку, а на ланку, коефіцієнт передачі якої є функцією амплітуди (а в загальному випадку й частоти) вхідного сигналу. Тільки для режиму автоколивань, коли а = А = сопзі і ш = ша = сопзі (А і ша — амплітуда і частота автоколивань), коефіцієнти гармонічної лінеаризації є сталими величинами. Ця істотна особливість лінеаризованих ланок з коефіцієнтами кг і к'г є тією важливою обставиною, яка дає можливість використовувати методи лінійної теорії для дослідження суттєво нелінійних систем автоматичного керування.
8. 10. ДОСЛІДЖЕННЯ АВТОКОЛИВАНЬ МЕТОДОМ ГАРМОНІЧНОЇ ЛІНЕАРИЗАЦІЇ
Розглянемо спочатку випадок, коли зовнішня дія /(/) = 0 і характеристика нелінійної ланки симетрична відносно початку координат. Постійна складова в цьому разі відсутня і автоколивання мають вигляд
х = А зіп а>а і.
Рис. 8. 29
Після гармонічної лінеаризації структурна схема системи буде мати вигляд, зображений на рис. 8. 29. Прийнявши
гл(р) =
К(р). ^(р) ’
І
к'
РИМ) = к+—р, нл\ / г (1) г 1 запишемо диференціальне рівняння системи у вигляді
к' р
+ (86ц
Коефіцієнти кг і к'г у загальному випадку залежать від амплітуди і частоти а>а автоколивань. Для режиму автоколивань, коли А = сопзі і ша = сопзі, рівняння (8. 61) є лінійним із сталими коефіцієнтами.
Розв’язок рівняння (8. 61) у вигляді X = А зіп можливий лише тоді, коли характеристичне рівняння замкнутої системи
к' р
<£(р) + П(р) (к + —\ = о
7 V % )	(8. 62)
має пару суто уявних коренів рі2= ±іа> при умові, що решта коренів мають від’ємні дійсні частини. При цьому лінійна частина системи повинна бути стійкою або нейтральною, тобто поліном 0, (р) може мати корені з від’ємними дійсними частинами або нульові корені і не повинен мати коренів з додатними дійсними частинами або чисто уявних коренів. Перелічені умови відповідають знаходженню гармонічно лінеаризованої системи на межі стійкості. Тому при визначенні періодичного розв’язку, тобто частоти ша і амплітуди А автоколивань, можна користуватися відомими критеріями стійкості лінійних систем, прийнявши, що в режимі автоколивань система знаходиться на межі стійкості, яка відповідає незатухаючим коливанням.
Так, наприклад, умова знаходження системи на межі стійкості за критерієм Гурвіца має вигляд
Ап_, = 0,	(8. 63)
де Д — передостанній мінор визначника Гурвіца.
За критерієм Найквіста, ця умова має вигляд
Жнл( іаї) = -1.	(8. 64)
Рис. 8. ЗО
За критерієм Михайлова, межа коливальної стійкості відповідає проходженню годографа вектора Михайлова через початок координат комплексної площини, тобто визначається рівнянням
И ( іа>) = 0.	(8. 65)
У рівняння (8. 63), (8. 64) і (8. 65) входять коефіцієнти кг і к'г, які є функціями амплітуди або амплітуди і частоти. Тому використання цих рівнянь дає змогу знайти значення
амплітуди і частоти.
Вибір критерію стійкості для визначення А і а>а залежить від типу нелінійності та конкретної схеми системи. Наприклад, якщо лінеаризована передаточна функція нелінійної ланки Жнл(р) дорівнює кг, причому кг є функцією тільки амплітуди, то для визначення параметрів автоколивань зручно скористуватися критерієм Найквіста в логарифмічній формі. У цьому разі ЛАХ залежить від кг і, отже, від амплітуди А, а ЛФХ визначається лише передаточною функцією лінійної частини системи Жл(р) і не залежить від Жн,(р).
Для визначення амплітуди автоколивань достатньо побудувати серію характеристик £(<и) для різних значень А. Ці характеристики будуть паралельними одна одній (рис. 8. ЗО). Шуканим значенням амплітуди А буде таке, при якому на частоті зрізу <р (а) = - тс. Для характеристик на рис. 8. ЗО А - А3, ша = ш_..
Найповніше розроблено методи визначення частоти і амплітуди автоколивань, в основу яких покладено критерії Найквіста (метод Голь-дфарба) і Михайлова (метод Є. П. Попова).
Метод Л. С. Гольдфарба. За цим методом можна визначити пара-
метри автоколивань для систем з одним нелінійним елементом, коефіцієнти гармонічної лінеаризації якого є функціями лише амплітуди. У цьому випадку рівняння (8. 64) набуває вигляду
Жнл(А)ЖлО) = -1.	(8. 66)
Це рівняння розв’язується графічно. Якщо його подати у вигляді
ЖЛО) = -1/ЖНЛ(А),	(8. 67)
то очевидно, що для його розв’язування необхідно побудувати дві характеристики: АФХ лінійної частини системи Жл(/а>) і від’ємну обернену характеристику нелінійної ланки -1/Жнл(А). Характеристики необхідно будувати в тій самій системі координат, і масштаби на осях координат повинні бути однаковими. Якщо побудовані криві не перетинаються, то розв’язку рівняння (8. 66) не існує і автоколивання у си-
стемі відсутні. Якщо ж ці криві перетинаються (рис. 8. 31, а), то рівняння (8. 66) має розв’язок і автоколивання можливі.
Стійкість або нестійкість автоколивань можна досліджувати, аналізуючи точки перетину М і N. Цим точкам відповідають граничні цикли на фазовій площині (рис. 8. 31, б). Цикл М має меншу амплітуду, цикл N — більшу.
Для перевірки стійкості граничних циклів можна скористатися критерієм Найквіста. Лінійна система знаходиться на межі стійкості, якщо АФХ розімкнутої системи проходить через критичну точку з координатами (-1, /О), тобто рівняння, що відповідає незатухаючим коливанням, має вигляд
1 + Ж( = 0.
Для нелінійної системи це рівняння має вигляд
1 + Жл( »ЇУнл(Л) = 0, тому критичними точками для АФХ будуть точки -1/Жнл(А), які належать від’ємній зворотній характеристиці нелінійної ланки. Охоплення чи неохоплення цих точок амплітудно-фазовою характеристикою буде свідчити про стійкість або нестійкість руху, що відповідає граничному циклу.
Розглянемо граничний цикл, що відповідає точці перетину М. Припустимо, що амплітуда трохи більша, ніж у точці М, і значення функції -1/ЖНЛ(А) визначається точкою М{. АФХ лінійної частини охоплює цю точку, отже, рух нестійкий і амплітуда зростатиме. Якщо амплітуда стане трохи меншою, ніж у точці М (точка М2), то АФХ не охоплюватиме цю точку, рух буде стійким, амплітуда зменшувати
меться. Це означає, що граничний цикл М нестійкий, оскільки в обох випадках фазові траєкторії віддаляються від нього. Якщо так само розглянути точку ТУ, то можна дійти висновку, що ця точка відповідає стійкому граничному циклу. Отже, можна сформулювати таке правило визначення стійкості коливань: якщо точка на кривій -1/Жн1(А), що відповідає зростаючій амплітуді, не охоплюється АФХ лінійної частини системи, то коливання стійкі, а якщо охоплюється, то нестійкі. За цим правилом точка М відповідає нестійким коливанням, а точка N — стійким. Знайшовши точку М, визначимо параметри автоколивань: амплітуду А (за характеристикою нелінійного елемента) і частоту (за АФХ лінійної частини системи). Після знаходження параметрів автоколивань слід перевірити гіпотезу фільтра (див. п. 8. 9).
Якщо характеристики Жл( }а>) і -1/Жнл(А) не перетинаються, то ав-токоливання неможливі, а система може бути стійкою або нестійкою. Якщо АФХ лінійної частини не охоплює характеристику нелінійного елемента, то система стійка, якщо охоплює — нестійка.
Використовуючи графіки Жл(	і - 1/ЖНЛ(А), досліджуємо вплив на
частоту і амплітуду можливих автоколивань нелінійної ланки і лінійної частини системи. Змінювання параметрів лінійної частини деформує частотну характеристику Жл( ]а>), а нелінійної ланки — характеристику -1/ЖІ1Л(А).
Приклад 8. 5. Визначити методом Гольдфарба амплітуду і частоту автоколивань вихідної координати слідкуючого електропривода, розглянутого в прикладі 8. 2. Структурну схему системи зображено на рис. 8. 11. Параметри електропривода: Лд - 1,5 1/Вс; Т - 0,1 с; д - 0,1. Характеристика у’(с) є характеристикою реального релейного елемента (див. рис. 8.1, с) з такими параметрами: Ь - 100 В; с - 0,25 рад.
Розв’язання. Передаточна функція лінійно? частини системи мас вигляд
. = = °'15
р(7> + 1)	р(0,1р + 1)’
а передаточна функція гармонічно лінеаризованого нелінійного елемента — вигляд
І? (А) = к + к' Е-,
де відповідно до табл. 8. 2
Підставивши р - дістанемо
___=
И'няЙ) " “ 44» с2
к а	к (ҐГ	к а
IV ґ/лй 5= ___д = д м / Д _
У > ЩиТ +У) Л/ і 'т2^ + а}
м	м	м
= І7і(й>)+/И(й>).
Графіки функцій -1/И^СД) і И'л( /а>) зображено на рис. 8. 32. Уявна частина характеристики	не залежить від амплітуди, тому
характеристика проходить паралельно осі абсцис. При А - с — 0,25
-І/И' (Л) = и/Л '	> ЦЬ
У точці перетину характеристик — 1/И^к (А) і ІУл( /ш) їх уявні частини однакові, тобто
або
кад =
І2 <і? + и> 46 м а а
ЗВІДКИ
Т2 а>3 + а> = 4Ькс/лс.	,о <о,
м а а	д	(о. Оо)
Після підстановки значень параметрів дістанемо рівняння
0,01<и3 + ш — 76,4 = 0,
а а
розв’язавши яке визначимо частоту автоколивань. Це рівняння мас один дійсний додатний корінь 18,01, отже, а>а — 18,01 с-1.
Амплітуду автоколивань А визначимо з умови, що при аі - <і>а дійсні частини характеристик - 1/1Унл(А) і	/а>) однакові, тобто
_лс	і = -	.
46 V С2 т;;щ2 + 1
Після підстановки значень параметрів дістанемо рівняння
0,00196\/16Л2 -1 - 0,00353,
звідки А - 0,51 рад.
Коливання в системі стійкі, оскільки при зростанні амплітуди точки на характеристиці -1/1¥н1(А) не охоплюються кривою
Для перевірки умови фільтра не обов’язково будувати амплітудно-частотну характеристику лінійної частини. Достатньо визначити модуль характеристики
1^0)1 =	+ И(ш)
при ш “ <оа - 18,01 с-1 і при а> - 3<оа - 54,03 с'1.
Найближчою вищою гармонікою є третя, оскільки характеристика нелінійного елемента симетрична відносно початку координат і, отже, парні гармоніки відсутні.
При а> - а>а - 18,01 с’1 |ІК (/ш) | ~ 0,00404, а при ш - За>а | ІГ/ }3а>а) | - 0,000505.
Амплітуда третьої гармоніки становить 12,5 % від амплітуди першої гармоніки, тому
результат розрахунку с наближеним. Його точність можна оцінити, порівнявши з результатами розв’язання прикладу 8. 2.
Знайдені значення А і аіа — це амплітуда і частота коливань на вході нелінійної ланки. Частота автоколивань однакова для всіх координат системи, включаючи 0вих (див. рис. 8.12). Амплітуда коливань вихідної координати згідно з структурною схемою також дорівнює амплітуді сигналу на вході нелінійної ланки, тому що Д0вих(Г) “ -е(0. Отже, частота і амплітуда коливань вихідної координати дорівнюють відповідно 18,01 с-1 і 0,51 рад.
Метод Гольдфарба можна поширити й на випадок, коли система має кілька нелінійних ланок. Нехай, наприклад, структурна схема системи має вигляд, зображений на рис. 8. 33, де передаточні функції Ж^Ц) *	нелінійних ланок залежать лише від амплітуд Л1 і А2
сигналів на їх входах.
Відповідно до структурної схеми
А = Д І ^(Д) І |.
Звідси випливає, що амплітуда А2 залежить від амплітуди Д і частоти ш, тобто А2 = Л2(Д, ш). У цьому разі рівняння (8. 66) набуває вигляду
^л1( /ср) Жнл1(Д) Жл2( /ср) Жнл2(Д , ср) = - 1.	(8. 69)
Позначивши
Жл1( »ІУл2(/ср) = Жл( іаз) і
И'л1(Д)И<нл2(Д, ср) = ЖНЛ(Д, ср) з рівняння (8. 69) дістанемо рівняння
Жл( /ср) = —1/ЖНЛ(Д, ср),	(8. 70)
яке відрізняється від (8. 67) тим, що Жнл є функцією двох параметрів Д і СР.
Рівняння (8.70), як і рівняння (8. 67), можна розв’язати графічно. Проте розв’язування ускладнюється, наскільки ср) залежить від двох параметрів. Тому крім характеристики Жл(/ср) слід побудувати сім’ю характеристик -1/ЖНЛ(Л) для різних частот (рис. 8. 34, а) або сім’ю характеристик -1/И<НЛ( /ср) для різних значень амплітуди Аі (рис. 8. 34, б). Параметри можливих автоколивань визначаються точками перетину тих кривих, в яких збігаються точки з однаковими частотами.
Рис. 8. зз
Таким самим методом можна дослідити систему з одним нелінійним елементом, лінеаризована передаточна функція №ил(А, а) якого залежить від амплітуди і частоти.
Метод Є. П. Попова. Цей метод, в основу якого покладено критерій Михайлова, дає змогу досліджувати системи з нелінійними ланками, лінеаризовані передаточні функції яких ^кл(]а>, А) залежать не тільки від амплітуди, але й частоти. Крім того, цим методом можна досліджувати нелінійні системи з кількома нелінійними ланками, що розділяються лінійними інерційними ланками (див. рис. 8. 33).
Розглянемо структурну схему, наведену на рис. 8. 29. Прийнявши, що Жл(р) = Жр)/£)(р) і Жнл = ^НЛ(А, р), визначимо передаточну функцію замкнутої системи
Я(р)
ил = 6(Р) м( ’Р) =	*(рЖ.,И,р)
! + *<£)ж (А Я(Р) + ад^нл(Л,р)
6(Р) "л( ’Р)	(8.71)
і запишемо характеристичний поліном
О (р) = <2 (Р) + Я (р)^(А р).	(8. 72)
Межа коливальної стійкості визначається умовою (8. 65), тобто
в ( № + Я ( 7ш)Жнл(Д /а») = 0.	(8. 73)
Виділивши у виразі (8. 73) дійсну і уявну частини, дістанемо
Х(А, <о) + 7У(Д а) = 0.	(8. 74)
Ця рівність можлива, якщо дійсна і уявна частини дорівнюють нулю, 358
тому рівняння (8. 74) можна записати у вигляді двох рівнянь з двома невідомими:
Х(А,а>) = 0;1
У(А,сц)=0.|	(8.75)
Розв’язавши ці рівняння, знайдемо параметри автоколивань А і а>а. Амплітуда і частота є додатні дійсні числа. Тому якщо в результаті розв’язування рівнянь (8. 75) обидва невідомих будуть додатними дійсними числами, то автоколивання можливі. Якщо ж будь-яке невідоме буде від’ємним або уявним, то автоколивань у системі немає.
Якщо вирази для коефіцієнтів гармонічної лінеаризації кг і к'г нескладні і лінійна частина системи має невисокий порядок, то систему рівнянь можна розв’язати аналітично і визначити А і а>а в явному вигляді.
Після визначення параметрів автоколивань необхідно перевірити їх стійкість. Стійкість автоколивань перевіряється за допомогою нерівності
/&ХЛ /дУЛ _ /ах\ /дУ\ >о кИЛН/ ’	(8.7Ф
у якої частинні похідні обчислюються для режиму автоколивань, тобто після взяття частинних похідних від дійсної і уявної частин О ( /<и) за амплітудою і частотою замість А і <уд треба підставити їх знайдені значення. Якщо при цьому нерівність (8. 76) виконується, то автоколивання стійкі, в противному разі — нестійкі.
Приклад 8. 6. Визначити методом Є. П. Попова частоту і амплітуду автоколивань вихідної осі слідкуючого електропривода, розглянутого в прикладі 8. 5.
Розв’язання. Передаточна функція лінійної частини системи мас вигляд
^(р) = V..... = ЯЯ
р(Рр + 1) <2(П
і гармонічно лінеаризованої нелінійної ланки — вигляд

4Ьс р
-А2 со
Характеристичний поліном згідно з формулою (8. 72) запишеться так:
Г 4Л 1
= Тмр2 + р + кл<А —-Л1 - -у
І лЛ V А
4Ьс р
пА2 ш
Підставивши р — ]а>, визначимо дійсну і уявну частини полінома Р (/о») і складемо систему рівнянь вигляду (8. 75):
\	'у* 2 і І 46 і, с • 4Ьс І
Я/") =	+	;
4к дЬс У(А,ш) = <и-------- = 0.
яА2	(8. 78)
З виразу (8. 78) визначимо
4к аЬс
А2 = —Л
(8. 79)
і підставимо в (8. 77). Після перетворень дістанемо рівняння
Т2 а? + а> — 4к аЬ/лс = 0, м	д
яке збігається з рівнянням (8. 68), знайденим в прикладі 8. 5 при розв’язуванні задачі методом Гольдфарба. Розв'язок цього рівняння дає частоту автоколивань о»а “ 18,01 с-1. Амплітуду автоколивань визначимо з виразу (8. 79) при а> - 18,01 с-1:
І4клс/1>е І4-1,5 0,1 100 0,25
А =	= V	= 015'•
Стійкість знайденого періодичного розв’язку перевіримо за допомогою нерівності (8. 76). Знайдемо частинні похідні
=	2с2-А2	_
дА я х3\^2 _ с2	м 1
дУ _ %кАЬс дУ _ дА ~ лА3 ' да> ~
При А = 0,51 і а» “ 18,01
т =_43,73; Ш = —3,602; т = 72,02;	- 1.
йА	І оа> І	йА	йш І
\	/ а	\	/ а	\	/ а	\	/ а
Умова (8. 76)
(-43,73) 1 - (-3,602)-72,02 - 215,7 > 0 виконується, отже, автоколивання в системі існують.
Визначення параметрів коливань вихідної осі і перевірка умов фільтра виконуються так само, як і в прикладі 8. 5.
Якщо вирази для коефіцієнтів гармонічної лінеаризації досить складні, а лінійна частина системи має високий порядок, то розв’язок системи рівнянь (8, 85) можна знайти графоаналітичним способом. При цьому X і У розглядають як прямокутні координати і будують годографи вектора Михайлова £> (у<и) при змінюванні частоти у межах 0 < ш < оо для різних значень амплітуди А. Годограф вектора Михайлова, що проходить через початок координат комплексної площини, задовольняє рівності (8. 85), Значення частоти, при якому годограф проходить через початок координат, дорівнює частоті автоколивань, а амплітуда А, для якої побудовано цей годограф, — амплітуді автоколивань,
Практично для визначення А і а>а немає потреби будувати сім’ю годографів для великої кількості амплітуд. Звичайно достатньо побудувати два годографи для таких амплітуд А} і Аг щоб один з годографів охоплював, а інший не охоплював початок координат (рис. 8.35). Значення А і а>а визначаються з криволінійного чотирикутника (при умові, що Д > Л2) за формулами
А = А2+^<А~А2)’
Рис. 8. 35
.	СМ /	,
О) =	й),	ї-;(&),	—	О),).
“	1	С(Г' 2	М
Стійкість автоколивань перевіряється так. Якщо при додатному прирості амплітуди годограф вектора Михайлова відповідає стійкій системі, то й автоколивання стійкі.
Системи з нелінійними елементами, що мають несиметричні характеристики. Структурна схема системи у цьому випадку має вигляд, зображений на рис. 8.36 (структуру нелінійної ланки подано відповідно до рис. 8. 27, б). У спектрі вихідного сигналу нелінійного елемента навіть при відсутності зовнішньої дії </(0 = 0) буде постійна складова Ао, яку зображено на структурній схемі у вигляді зовнішньої дії. Величина Ло визначається за формулою (8. 50).
Рівняння для постійної складової має вигляд
Хо = Д,Жл(0) = -£0
або
є0 = -ЛоИД,(0).	(8. 80)
Для гармонічної складової залишається справедливою передаточна функція (8. 71) і умова (8. 73). Різниця полягає у тому, що в зв’язку з наявністю постійної складової значення Ло, кг і к'_ будуть функціями трьох параметрів: є0 = -х0, А і ш, тобто рівняння (8. 75) матимуть вигляд
Х(А, а, є0) = 0;	(8. 81)
У(Л, а, є0) = 0,	(8. 82)
а рівняння (8. 75) — вигляд
£0 = -Л0(Д О), £о)Жл(0).	(8. 83)
Отже, для визначення трьох невідомих А, а, є0 є система трьох рівнянь (8. 81), (8. 82), (8. 83).
Системи з постійною зовнішньою дією. Якщо у довільній точці нелінійної системи прикладено постійну зовнішню дію Го, то на вході нелінійної ланки з’явиться постійна складова. Якщо характеристика нелінійного елемента симетрична відносно початку координат (непарна характеристика), то внаслідок гармонічної лінеаризації нелінійний елемент можна описати рівнянням (8. 59), у якому коефіцієнти кл, кг і к'г є функціями трьох параметрів А, а>, £0.
Для постійної складової є справедливе рівняння
£0 = ^Зо<0)^о>	<8- 84)
де
(0)
Ж~(0) “ 1+*гО(Л,а^о)И<л(0):
ЖЛ(0) — передаточна функція частини системи між точками прикладання сигналів є0 і Ро.
Для гармонічної складової система рівнянь повністю збігається з (8. 81), (8.82). Отже, і в цьому разі для визначення трьох невідомих А, а, е0 є три рівняння (8. 81), (8. 82) і (8. 84).
Якщо характеристика нелінійної ланки несиметрична, то рівняння (8. 84) слід замінити рівнянням
е0 = -Жл(О)Ло(Д а;, £о) + ІУл(0)Го.	(8. 85)
Вимушені рухи при гармонічних вхідних сигналах. При гармонічних вхідних сигналах можливі два варіанти поведінки системи. У першому з них припускається, що автоколивання в системі відсутні, тобто вони або принципово неможливі, або зовнішні дії такі, що режим автоколивань не виникає. У цьому разі для аналізу динаміки системи можна користуватися гармонічно лінеаризованими передаточними функціями нелінійних ланок. Якщо ж у системі існують автоколивання і до неї прикладена зовнішня гармонічна дія, то або відбудеться «захоплювання», тобто автоколивання будуть придушені і в системі встановлюється рух з частотою зовнішньої дії, або одночасно існуватимуть два види рухів: автоколивання і вимушені коливання.
Розглянемо спочатку вимушені рухи |ь( при відсутності автоколивань. Нехай структурна схема системи має вигляд, зображений на рис. 8. 29, причому гармонічно лінеаризована передаточна функція ^Н„(А) нелінійної ланки є функцією тільки амплітуди А. Вхідний сигнал /(/) = Ао кіп а»0/, де Ао, а>0 — амплітуда і частота зовнішньої гармонічної дії.
Сигнал на вході нелінійної ланки має вигляд
£(0	1 + иилж,(р)/(о'	(8.86)
Складність визначення вимушеного руху є(/) за рівнянням (8. 86) полягає у _трму, що для визначення є(ґ) треба знати передаточну функцію а вона, в свою чергу, залежить від А, де А ~ [ є |.
Розглянемо один з можливих графічних способів розв'язування рівняння (8. 86). Задаючи різні значення амплітуди А і використовуючи формулу гармонічної лінеаризації конкретного нелінійного елемента, за формулою (8. 86) при р = }ш0 розраховується залежність | є | = /,(А) (рис. 8. 37). Точка перетину графіка цієї залежності з бісектрисою | є ] = = А визначає амплітуду вимушених коливань Ав.
Фазу сигналу є можна знайти так само, як і для лінійних систем, попередньо визначивши Илнл(А) при А = Аз. Тоді
і + иаджоч) =	+ уУ(%)
і
Отже, сигнал є визначається повністю:
£(/) = Ав зіп (шоі + <р).
Розглянемо тепер вимушені рухи в системі з автоколиваннями. Нехай, як і раніше, структурна схема системи має вигляд, зображений на рис. 8. 29, причому
Жл(р) = Я,(р)/й(р);
Р> =	Р>/Є2(Д> Р>.
де Ас — амплітуда вимушених коливань, яку треба визначити.
Зовнішня дія має вигляд /(і) = Д,8іп^0Л Знаходимо розв’язок для е(0 у формі
е(0 = Ас 8іп {шоі — <рс).	(8. 87)
Подамо зовнішню дію /(і) у такому вигляді:
/(() = Л08ІПШ0Ґ = Л08Іп[(ш0Ґ — <РС) + р£] = Ло8ІП(а»0г — <ре)С05<рс + + Дсоз (ш01 — <р,)5т<ре	(8. 88)
З рівняння (8. 87) дістанемо
8ІП(^ОЇ — <ре) = е(і)/Ае.	(8.89)
Продиференціювавши (8. 89), визначимо
со8(ш0/ — <ре) = рє/Дш0.	(8. 90)
Підставивши значення 8іп(ш0ґ — <рс) і со8(ш01 — рс) В (8. 88), дістанемо
/(0 = (Дсо8у>£)Е(0/Д + (Д8Іпр£)р£/Дш0.	(8. 91)
Згідно із структурною схемою на рис. 8. 29
£(/) = _________1________ = ________0г\^Р')0г2^.Ас^ Р^)__
/(і)	1 + Жл(р) 1ДЛ(Д, р) (21(р)Є2(Д, р) + Д(р)Я2(Д, р) ’
звідки
£(0[Є,(р)Є2(Д, Р) + Д(р)Я2(Д, р)] - /(Об/р^Д, Р) = 0.	(8. 92)
Після підстановки в це рівняння значення /0) за формулою (8. 91) дістанемо
,	Дсоз р	рДзіпу’, ,
еюедед.р) + є1(р)Є2(Д,р)[і -	- “4-г22] = о
і	а£	л£ш0 і	93)
Рівняння (8. 93) є однорідним диференціальним рівнянням, коефіцієнти якого залежать від невідомих величин Д і у>£, а також відомих величин Д, а>0 і параметрів системи.
Характеристичне рівняння має вигляд
Д(Д,Р) = д(р)Л2(Д,р) + е1(р)б2(д,р)х
ДСО8Р£ рДзІПр _
А	Л 1 — V •
Ас А"о
У системі встановлюються коливання з частотою а>0, якщо це рівняння справедливе при р = ]а>а, тобто якщо виконується умова
Л10Ч)Л2(А’/"о) +	Х
Я0СО8(Ре . Яо 8ІП <рЕ
А "7 А
(8- 94)
Рівність (8.94) можлива, якщо дорівнюють нулю його дійсна і уявна частини. Тому, подавши цю рівність у вигляді
Х(А0, ш0, Ае, <рс) + /У(А0, ш0, Ае, <рс) = 0, дістанемо два рівняння з двома невідомими Ас і <р-.
Х(Д„ ш0, Д, у>£) = 0;	(8. 95)
У(Л0, ш0, Ас, <ре) = 0.
(8. 96)
Якщо система рівнянь (8. 95) і (8. 96) має дійсні додатні розв’язки, то умови захоплювання виконуються і автоколивання у системі будуть придушені.
З рівнянь (8. 95) і (8. 96) можна знайти залежності Ае і <рс від амплітуди Ад і частоти ш0 вхідного сигналу, а також від параметрів системи. Найбільший інтерес становить залежність мінімального значення амплітуди Атіп’ ПРИ якому те виконується умова захоплювання, від частоти ш0. Ця залежність = /(%) називається пороговою частотною характеристикою.
Умови захоплювання дають можливість визначити, якими зовнішніми діями можна придушити небажані автоколивання, і вибрати з них такі, при яких у системі встановлюються вимушені коливання з допустимими амплітудою і частотою.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Що розуміють під нелінійною системою? У чому полягає принципова різниця між лінійними і нелінійними системами?
2.	Перелічіть основні типові нелінійні характеристики і дайте їх математичне описання.
3.	Яка структурна схема нелінійної системи називається найпростішою? Як привести до найпростішої структурну схему будь-якої замкнутої нелінійної САК, що містить одну нелінійну ланку?
4.	Дайте визначення таким поняттям: фазовий простір, зображуюча точка, фазова траєкторія.
5.	Що таке автоколивання?
6.	Як побудувати фазовий портрет нелінійної системи другого порядку?
7.	Вкажіть типи особливих ліній на фазовій площині.
8.	Як за фазовим портретом нелінійної системи можна визначити показники якості перехідних процесів?
9.	Сформулюйте теорему Ляпунова про стійкість нелінійних систем і дайте її геометричну інтерпретацію.
10.	Як виконати дослідження стійкості методом Ляпунова?
11.	Дайте визначення поняттю абсолютна стійкість.
12.	Сформулюйте умови абсолютної стійкості і поясніть, як визначити абсолютну стійкість за методом Попова.
13-У чому полягає суть точкового перетворення Андронова?
14.	Що означає гармонічна лінеаризація нелінійних характерисик і як вона виконується? У чому полягає принципова різниця між гармонічною і звичайною лінеариза-ціями несуттєвих нелінійностей?
15.	Який вигляд мають гармонічно лінеаризовані передаточні функції нелінійних ланок з однозначними непарними характеристиками, з неоднозначними непарними характеристиками, з характеристиками, несиметричними відносно початку координат?
16.	Як визначити параметри автоколивань методом Гольдфарба?
17.	Яким чином можна поширити метод Гольдфарба на випадок, коли в системі є дві нелінійні ланки, розділені інерційними лінійними ланками?
18.	Як виконати дослідження стійкості і автоколивань нелінійної системи методом Є. П. Попова?
19.	Як визначити параметри вимушених коливань у нелінійних системах?
Глава 9
ОЦІНКА ЯКОСТІ, КОРЕКЦІЯ І СИНТЕЗ НЕЛІНІЙНИХ САК
9. 1. ОЦІНКА ЯКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ САК
(_Для оцінки якості перехідних процесів у нелінійних САК можна використовувати показники, аналогічні показникам якості лінійних систем, а саме тривалість перехідного процесу (тривалість регулювання), перерегулювання або максимальне відхилення в перехідний період, ко-ливальність перехідного процесу. Особливість нелінійних систем виявляється в тому, що показники якості залежать від величини зовнішньої дії. Тому для повної оцінки якості необхідно виконати розрахунки перехідних процесів для всіх можливих реальних значень вхідних сигналів і збурюючих дій. Крім того, важливим є визначення умов виникнення автоколивань і обчислення їх параметрів^
Наближену, але досить точну оцінку якості нелінійної системи можна дістати без розрахунків перехідних процесів. Для цього, зокрема, використовується показник коливальності.
Розглянемо нелінійну систему, структурна схема якої зведена до найпростішої (див. рис. 8. 2, а). Вона складається з лінійної частини, що має частотну передаточну функцію Жл(/ш), і нелінійної ланки з нелінійною статичною характеристикою Застосувавши гармонічну лінеаризацію, запишемо передаточну функцію нелінійної ланки у вигляді
У.М = кг(а)+,*'г(а).
Подібно до лінійних систем показником коливальності для гармонічно лінеаризованої системи називається максимальне значення ординати амплітудної характеристики замкнутої системи Л/тах при початковій ординаті, що дорівнює одиниці, тобто
М = |Жз(Л0,а)|тах,
де V? ш, а) — частотна передаточна функція замкнутої системи.
При гармонічній лінеаризації використовуються так звані нормовані коефіцієнти кг{а) і £'г(а), де а = а/с — відносна амплітуда; с — характерне значення є на статичній характеристиці нелінійної ланки (див. рис. 8. 1).
Значення нормованих коефіцієнтів гармонічної лінеаризації для типових нелінійних ланок, статичні характеристики яких зображено на рис. 8.1, визначаються за такими формулами:
характеристика із зоною нечутливості (див. рис. 8. 1, а) кг(а) = 0 при а < 1;
, , .	, Г, 2 /	. 1
*,(«) =	1 ~ я агс81п а +
при а ? 1; >
а2
кк = іе а;
характеристика із зоною насичення (див. рис. 8. 1, б) Аг(а) = кн при а • , , .	, 2 (	. 1 х'а2 - 1
*,(«) = Ан- агсзіп - + --2......-
при а> 1; V
к„ = а:
релейна характеристика (див. рис. 8. 1, в)
*г(«) = Vа П
кн = 4Ь/л; | характеристика з люфтом (див. рис. 8. 1, г)
, , . к я . Л 2\ ,	2\ Уа-Т
к (а) = — [-= + агсзш 1---+21---------------];
гЧ 7 л 2	І аі І аі а
,,, . Ч а - 1
кя = іеа;
релейна характеристика із зоною нечутливості (див. рис. 8. 1, б)
Лг(а) = 0 при а < 1;
2х/с? — 1
к(а) = к-------;--- при а > 1; •
а
кк = 2Ь/лс\
характеристика реального релейного елемента (див. рис. 8.1, є)
, , . , - 1
*,(«) = к« а2....
*'г(«) = - кя/а2-, к = 4Ь/лс. н	і
(9. 1)
(9. 2)
(9. 3)
(9. 4)
(9. 5)
(9.6)
Передаточна функція нелінійної ланки при використанні нормованих коефіцієнтів гармонічної лінеаризації має вигляд
^иЛ(«) = *г(«) +Ік'Г(а).	(9. 7)
Відповідно до структурної схеми, наведеної на рис. 8. 2, а, запишемо
Ж3 (до, а)
1 + Жл( Ло)Жнл(а) •
Якщо ввести поняття оберненої передаточної функції нелінійної
ланки 2(«) = І/И^їа),	(9. 8)
; то вираз для Ж (]ш, а) можна записати так:
5 3 ^„( /") Л	г(а) + ЇУ„( ]ш)
Передаточні функції И^Сдо) і 2(а) подано у вигляді суми дійсної та уявної частин:
ИЛ,( ]ш) = І/(ш) + і У(ш);
2,(а) = г + ]г\а).	(9. 9)
Тоді показник коливальності М записуємо у вигляді
,	.	7^2 + и2
м = К(>,а)| =	+(г.+к)2 •
Піднесемо в квадрат ліву і праву частини цієї рівності;
М2(г + Ц)2 + М2(г + V)2 = І/2 + V2',
(М2 - 1)£72 + (М2 - 1)У2 + М2Р + 2М2тУ + М2г2 + 1М2гУ = 0.
Поділимо всі члени останньої рівності на М2 - 1, а також додамо і віднімемо член М4/(М2 - І)2. Тоді після деяких математичних перетворень дістанемо
(ц + _тМ2_х2 + (у + -г-2^-л2 = .«+ Г'Г)М2
' М2 -V '	М2 -V (М2 - І)2	(9. 10)
або
а/ - п0)2 + (У + т0)2 = я2.	(9. її)
Звідси випливає, що для заданих сталих значень М і а рівнянню (9. 11) у комплексній площині відповідає коло з радіусом К і координатами центра (£/0, ;Т0). Координати центра і радіуса дістають безпосередньо з порівняння виразів (9. 10) і (9. 11). їх також можна знайти як функції нормованих коефіцієнтів гармонічної лінеаризації, визначивши г і г' через к і Л'г за допомогою виразів (9. 7), (9. 8) і (9. 9). В результаті дістанемо
.. гМ2 = _ К М2
0 М2 - 1 к2 + к'2 М2 - Г
г'М2 = _ к'г щг
М2 - 1 к2 + к'2 М2 - 1 ’
М	1 М
К = ^ + гі-—— = 7лт+Т?м2_1-
Якщо прийняти показник коливальності незмінним (М “ сопзі), то
Рис. 9. 1
для різних значень відносної амплітуди дістанемо сім’ю кіл. Заборонена зона, що відповідає бажаному показнику коливальності, створюється лініями, дотичними до цих кіл (рис. 9. 1, а).
У найпростішому випадку, коли нелінійна характеристика однозначна і симетрична відносно початку координат (непарна), коефіцієнт к'г дорівнює нулю, отже, г'~ 0 і Уо = 0. Тоді радіус кола, що відповідає М = СОП8І, обчислюється за формулою .
кгМ2 - г
а координатами центра є (П, /), де и = _
0	кгМ2-\'
Для визначення показника коливальності необхідно на площині ІЛш), ]У(ш) побудувати АФХ лінійної частини IV (]ш) і заборонені зони для різних М = соті. Показник коливальності визначається величиною М тієї забороненої зони, до якої дотикається характеристика И'Ч ]'ш), не заходячи всередину зони. Нелінійні властивості системи виявляються в розширенні та зміщенні заборонених зон для М = соті порівняно з лінійними системами за рахунок змінювання коефіцієнтів гармонічної лінеаризації при зміні амплітуди коливань на вході нелінійної ланки.
При використанні логарифмічних характеристик будуються заборонені зони для ЛФХ лінійної частини системи. Для цього спочатку будується ЛАХ лінійної частини системи і заборонена зона для бажаного показника коливальності М в площині ІДш), Потім задають яке-небудь значення амплітуди А(ш) і, користуючись межею забороненої зони в площині	визначають запас по фазі Ау>, що
відповідає амплітуді А{ш). За амплітудою А(ш) визначають логарифмічну амплітуду ЦоА = 201^ А(ш) і для неї на графіку <р(ш) відкладають значення запасу по фазі Ду>. Послідовність побудови однієї точки забороненої зони для ЛФХ, що відповідає амплітуді Д, показано на рис. 9.1, а і б. Для забезпечення заданого показника коливальності ЛФХ не повинна заходити у заборонену зону.
Якщо нелінійна характеристика однозначна і непарно-симетрична, то побудова забороненої зони в комплексній і логарифмічній площинах істотно спрощується. Нехай при змінюванні амплітуди коефіцієнт кг(а) може змінюватися в межах від £гіпіл(а) до &гтах(а). Тоді для того, щоб дістати заборонену зону, достатньо побудувати кола з радіусами
р 1 М - р 1 м *гт,пм2-і’ *2 ДтахМ2-1
і центрами в точках (Пр /0) і (П2, /)), де
V = _ -1_____у = _ _1__
Диіпм2-г 1/2 &ггпахм2-Г
а потім провести загальні дотичні до цих кіл (рис. 9. 1, в).
Якщо коефіцієнт гармонічної лінеаризації змінюється в межах 0 =? к(а) кг „,„(«), то заборонена зона буде незамкнутою, тому що при /с.(а) = 0 V— а> і А = ж. Вона обмежується дугою кола, що відповідає ктах, і проведеними до неї дотичними через початок координат (рис. 9. 1, д).
Заборонені зони для ЛФХ, що відповідають розглянутим випадкам, наведено на рис. 9. 1, г і е. У праці [18] доведено, що для розглядуваних
Рис. 9. 2
нелінійностей максимальний запас по фазі Ау’тах не залежить від значення відносної амплітуди а і становить
Д1’- - агат X, (9 ю тобто визначається лише показником коливальності.
Для побудови заборонених зон на логарифмічній площині для однозначних непарно-симетричних нелінійностей зруч-
но користуватися кривими, наведеними на рис. 9.2 , що зображують залежність запасу по фазі Ау> від модуля в децибелах для різних значень показника коливальності.
Розглянута методика оцінки якості дає можливість визначити показник коливальності нелінійної системи. Її зручно використовувати при синтезі лінійних корегуючих пристроїв у нелінійних системах (див. п. 9.3). Більш повне уявлення про динаміку нелінійної системи дає діаграма якості Є. П. Попова. Для пояснення її суті розглянемо коливальний перехідний процес, який у першому наближенні можна описати збіжною або розбіжною синусоїдами.
У лінійних системах збіжний коливальний перехідний процес описується рівнянням х = Аае~і1$тш1, де -£ ± ]'ш — пара комплексно-спря-жених коренів, що визначають основну частину перехідного процесу. Для нелінійної системи, яка задовольняє умову фільтра, можна вважати, що сигнал на вході нелінійної ланки становить
є = А зіп ші = А зіп <р,	(9. 13)
причому показник затухання £ і частота ш повільно змінюються з часом так, що
сі А/сії =	сІ<р/сІІ = ш.
Оскільки змінними є А і <р, то з (9. 13) дістанемо
С?£ л	„ .
— — Аш соз ші + —т- зіп ші, аі	аі
або з врахуванням (9. 14)
сіе/сіі = рс = Аш соз <р + зіп <р.
З (9. 15) визначимо
ре £ зіп <р
соз <р = --------------
Т Аш ш
але оскільки з (9. 13) маємо
зіп <р = е/А,
(9. 14)
(9. 15)
(9. 16)
то
рє £«	/ ЇЛ Є
со8 Аа Аа> (р Аси •	(9. 17)
Згідно з виразом (8. 53) сигнал на виході нелінійної ланки обчислюється за формулою
и = АІ зіп <р + В1 сов <р, або, якщо ввести коефіцієнти гармонічної лінеаризації кг і к',
и = кгА зіп <р + к' гА сов <р
і з врахуванням (9. 16) і (9. 17)
и = Р(є,рє) = (кг +
де
1
кт = д Р( зіп <р, Аа> сов <р + аі; зіп <р) зіп <р<і<р;
о
1
к’г = Р(А зіп <р, А а> соз<р + Азіп у>) сов <р сі<р.
о
З останніх виразів видно, що коефіцієнти гармонічної лінеаризації і передаточна функція нелінійної ланки
(9. 18)
Ж (А,а),£) = к + к'~—-
залежать від трьох невідомих параметрів А, а>, £.
Розглянемо нелінійну систему, структурну схему якої наведено на рис. 8. 29, прийнявши Жл(р) = К(р)/О{р) і И^/А, ш, |) відповідно до виразу (9.18).
Характеристичне рівняння має вигляд
Я(р) = б(р) + Л(Р) (Лг +	= 0.
Оскільки припускається, що процес збіжний або розбіжний коливальний, то справедливою буде підстановка р = £ + /<у, причому | і о) — не сталі величини, а функції, які повільно змінюються. В цьому випадку комплексне характеристичне рівняння матиме вигляд
РХ]си, £, А) =	» + Я(£ + /шХА:г + /А:'г) = 0.	(9. де)
В рівняння (9. 19) входять три невідомі величний £, а> і А (від А залежать коефіцієнти кг і £'г). Прирівнюючи нулю дійсну і уявну частини рівняння (9.19), дістанемо два рівняння, з яких можна знайти £ = £(А) і
(9. 20)
а> = ш(А). Знаючи ці залежності й використовуючи рівняння (9. 14) при початкових умовах і = 0, А = Ао, = у>0, можна знайти Л(ґ) і </>(/):
г = г
А) ( = / а>(А)<іі + <р0. о	(9. 21)
З виразу (9. 20) визначаємо А(1\ а з виразу (9. 21) після підстановки А (?) в <у (Л) — <р (ї). Отже, можна знайти змінну є = Л(ї) зіп у>(ґ), яка визначає якість перехідного процесу.
Якість перехідних процесів можна оцінити без аналітичного розв’язування, якщо скористатися діаграмою якості Є. П. Попова. Припустимо, що серед параметрів системи є один, що змінюється. Звичайно — це коефіцієнт підсилення розімкнутої системи К. Тоді рівняння (9. 19) можна подати у вигляді
О (іа>, І, А, К) = Х(а), £, Д X) + /У(ш, £, Д X ) або, якщо прирівняти до нуля дійсну і уявну частини, — у вигляді
Х(ш,£,Л,Х) = 0;1
У(а>,$,А,К) = 0./	(9.22)
Розв’язавши систему рівнянь (9. 22) відносно а> і £, дістанемо
$ = /,(Х, Ау ш = /2(Х, А).
Прийнявши £ = сопзі і а> = сопзі, на площині параметрів X, А побудуємо лінії однакових значень £ і а> (рис. 9. З, а і б), які називаються діаграмами якості.
При £ = 0 затухання відсутнє. Це відповідає автоколиванням. Тому 374
лінія 1 = 0 розділяє діаграму якості на дві зони — із затухаючими (зона | < 0) та розбіжними (зона | > 0) коливаннями.
За діаграмою якості можна визначити умови виникнення автоколивань у системі та знайти їх параметри. Наприклад, якщо змінюється параметр К =	< Км, то при будь-яких початкових умовах за
амплітудою (А = Ао) автоколивання неможливі і перехідний процес затухає до А = 0. Дійсно, при початкових умовах А = А'О або А = А"0 стан системи визначається точками А' або А" (рис. 9. З, а), які відповідають характеристикам з £ < 0. Якщо коливання затухають, то точка, що визначає стан системи, переміщується в зоні характеристик | < 0 і амплітуда зменшується до А = 0. Частота при цьому відповідно до рис. 9. З, б змінюється від початкової а>0 до а>2 < а> < щ3. Якщо ж змінюється параметр К = К2 > Км, то при початковому значенні амплітуди А’о коливання затухають, а при А"о — стають розбіжними, тобто в обох випадках точка, що визначає стан системи, потрапляє в точку Ь на характеристиці | = 0 і в системі встановлюються автоколивання з амплітудою Ап. Частота автоколивань визначається за діаграмою на рис. 9. З, б і становить а>4.
Точно визначити показники якості можна розрахунками перехідних процесів для різних вхідних і збурюючих дій. Ці розрахунки виконуються на ЕОМ, причому істотне значення має спосіб введення в ЕОМ інформації про нелінійності.
Нелінійні характеристики можна задавати трьома способами: аналітичним, графічним і табличним. Якщо нелінійність задано аналітично, то в робочу частину програми безпосередньо вводиться аналітична залежність, що апроксимує нелінійність. При графічному або табличному способах в ЕОМ вводиться таблиця дискретних значень нелінійної залежності, а проміжні значення обчислюються за допомогою різних методів інтерполяції [11, 16].
9. 2. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО МЕТОДИ СИНТЕЗУ КОРЕГУЮЧИХ ПРИСТРОЇВ У НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ
В загальному розумінні синтез — це процес розробки САК, у ході якого за заданими показниками якості визначають оптимальний варіант структури системи та параметри її ланок. Синтез у такій загальній постановці є досить складною задачею і може мати багато розв’язків.
Синтез нелінійних систем автоматичного керування електроприводами здебільшого не має такого загального характеру. Звичайно, частина елементів електропривода (електродвигун, перетворювач та інші елементи силового кола) визначається вимогами до виробничого механізму (потрібна потужність, момент, швидкість тощо) і становить незмінювану частину системи. Синтез у цьому випадку зводиться до розрахунку параметрів корегуючих пристроїв (змінюваної частини си-
стеми), які додатково вводяться в систему з метою забезпечення потрібних показників якості.
Корекція нелінійних систем має свої особливості порівняно з корекцією лінійних систем. Зокрема, характер перехідних процесів нелінійних систем визначається не тільки їх структурою і параметрами, але й початковими умовами, а також місцем прикладання, величиною і формою зовнішніх дій. Прийнятними для роботи в реальних умовах є два стани нелінійних систем: статичний усталений режим і автоколивання.
При корекції нелінійних систем може стояти задача підвищення частоти і зниження амплітуди автоколивань або повного їх усунення. Цю задачу в деяких випадках можна розв’язати за допомогою зміни параметрів лінійної частини (див. п. 8. 10), а також за рахунок введення лінійних корегуючих пристроїв, що змінюють у бажаному напрямку передаточну функцію лінійної частини системи.
Корегуючі пристрої в нелінійних системах можуть бути лінійними або нелінійними. Визначення виду, місця введення в систему і параметрів корегуючого пристрою становить задачу синтезу.
Можливості нелінійної корекції набагато більші, ніж лінійної, тому що самі лінійні системи є окремим випадком нелінійних. Одним з найбільш очевидних випадків, коли доцільно застосовувати нелінійні корегуючі ланки, є компенсація небажаних нелінійностей. Дійсно, в багатьох нелінійних системах можуть бути такі нелінійності, як зони нечутливості, обмеження, сухе тертя тощо. Ці нелінійності часто роблять неможливим забезпечення потрібних показників якості системи, тому виникає необхідність компенсувати їх спеціально підібраними нелінійностями.
Іншим способом усунення негативного впливу нелінійностей є так звана вібраційна лінеаризація. Її суть полягає у згладжуванні нелінійностей за допомогою високочастотного сигналу.
Можливості нелінійної корекції далеко не вичерпуються компенсацією небажаних нелінійностей. У багатьох випадках нелінійну корекцію застосовують для того, щоб дістати потрібні нелінійні закони регулювання, що значно розширює її вплив на динаміку системи.
У працях Є. П. Попова [5] дається така класифікація нелінійних законів регулювання: функціональні, логічні, оптимізуючі, параметричні.
Функціональним нелінійним законом регулювання називається такий закон регулювання, при якому регулююча дія на об’єкт має вигляд нелінійної функції від відхилення регульованої величини. Нелінійне формування функціонального закону регулювання може бути пов’язаним не тільки із зміною параметрів системи, але й із змінюванням її структури.
Логічні нелінійні закони реалізуються не функціональними пристроями, а більш або менш складними логічними пристроями, які функціонують згідно з закладеним у них критерієм.
Оптимізуючі нелінійні закони пов’язані з тим, щоб дістати оптимальні процеси регулювання. Методи оптимізації систем, що широко розвиваються останнім часом, передбачають, як правило, застосування нелінійних законів керування.
Параметричні нелінійні закони регулювання є нелінійними функціями деяких координат, в яких задається параметрична програма.
Зараз розробляються і досить широко застосовуються в інженерній практиці різні методи синтезу, з допомогою яких розв’язуються окремі, хоч і досить поширені задачі синтезу корегуючих пристроїв нелінійних систем. Це — методи компенсації нелінійностей, лінеаризація нелінійних систем високочастотним сигналом, застосування лінійних і нелінійних корегуючих пристроїв для забезпечення потрібних показників якості та ін. У даній главі розглядатимуться методи синтезу, що найчастіше застосовуються при розробці систем керування електроприводами.
9. 3. СИНТЕЗ ЛІНІЙНИХ КОРЕГУЮЧИХ ПРИСТРОЇВ У НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ МЕТОДОМ ЛАХ
Найдоцільніше використовувати ЛАХ при синтезі лінійних корегуючих пристроїв у нелінійних системах, якщо внаслідок корекції необхідно забезпечити затухаючий перехідний процес із заданим показником коливальності. Найпростіше задача синтезу розв’язується в системах з мінімально-фазовими лінійними ланками і однозначними статичними нелінійностями. При цьому слід мати на увазі, що при використанні лінійних корегуючих пристроїв забезпечення певного значення показника коливальності М або потрібного запасу по фазі буде можливим тільки для нелінійностей, в яких нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації змінюється в межах 0 кГ(а) £г тіп(а). До таких нелінійностей належать нелінійності, що мають характеристики із зоною нечутливості (див рис. 8. 1, а), зоною насичення (див. рис. 8. 1, б), релейну характеристику із зоною нечутливості (див. рис. 8. 1, д) і деякі інші. Якщо нелінійність у системі така, що нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації змінюється в межах &гтіп(а) < Лг(а) < оо або 0 < < /сг(а) < оо, то за рахунок лінійної корекції не можна дістати затухаючий перехідний процес. Так, якщо в замкнутому контурі нелінійної системи є ланка з ідеальною релейною характеристикою, для якої 0 < ч £(а) < оо, то в системі вище другого порядку завжди встановлюються нвтрколивання.
Порядок синтезу лінійних корегуючих ланок у нелінійних системах зберігається таким самим, як і в лінійних, хоч нелінійні ланки зумовлюють деякі особливості побудови логарифмічних характеристик.
Перш ніж будувати характеристики, виконується гармонічна лінеаризація нелінійної ланки. При цьому слід скористатися приведе
ними нормованими коефіцієнтами гармонічної лінеаризації, тобто коефіцієнти гармонічної лінеаризації слід подати у вигляді
*/«> = ккг/а),
де йн = сопзі — коефіцієнт передачі нелінійної ланки, що визначається за формулами, наведеними в п. 9.1 для різних видів нелінійних характеристик; к (а) — приведений нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації.
Коефіцієнт кк при побудові ЛАХ відносять до лінійної частини системи і передаточну функцію розімкнутої системи записують у вигляді
ІУф, а) = к^аЩр) = кт .(а)!/ п(р),
де №\п(р) — передаточна функція приведеної лінійної частини.
Приведення коефіцієнта гармонічної лінеаризації здійснюється при умові кгп тзх(а) = 1. В цьому разі значно спрощується побудова забороненої зони для ЛФХ при синтезі корегуючої ланки.
Синтез лінійної корегуючої ланки виконується в такій послідовності.
1.	Будується асимптотична ЛАХ приведеної лінійної частини вихідної системи за передаточною функцією ІУ^Ср) = к^Уп(р).
2.	Будується бажана ЛАХ приведеної лінійної частини згідно з рекомендаціями теорії лінійних систем. За бажані можна вибрати типові ЛАХ З або 4 з табл. 6. 2 ЛАХ 5 і 8, що відповідають системам з астатизмом другого порядку, вибирати не рекомендується. Дійсно, якщо нелінійна характеристика така, що 0 < кт(а) < то заборонена зона для ЛФХ має вигляд, зображений на рис. 9. 1, е. В той же час фазова характеристика астатичних систем другого порядку при зменшуванні частоти наближується до ір = -я, тому не можна забезпечити потрібний запас по фазі при будь-яких значеннях показника коливальності М < оо.
З теорії лінійних систем відомо, що достатній запас по фазі забезпечується в тому разі, якщо нахил бажаної ЛАХ на частоті зрізу становитиме -20 дБ/дек і довжина середньочастотної частини ЛАХ к
дорівнюватиме <У3/а>2 ~ 10. Збільшення довжини к{ = й>2/л>1 частини ЛАХ з нахилом -40 дБ/дек, що знаходиться ліворуч від частоти зрізу, зменшує запас по фазі. Тому на величину й1 накладаються обмеження.
При виборі значень к і к рекомендується користуватися к, й/ЛІЇ-криви-ми, які показують залежність к і й, від показника коливальності. Для типових ЛАХ 3 і 4 (див. табл. 6. 2) ці криві подано на рис. 9. 4.
Низькочастотна частина бажаної
ЛАХ визначається згідно з вимогами до точності роботи системи в усталених режимах. Вона повинна проходити через точку з координатами Ца>) = 20 І£ К, а> = 0, де К — коефіцієнт передачі розімкнутої системи. Для нелінійних систем К = кгкк.
3.	Виходячи з бажаної ЛАХ і ЛАХ вихідної системи, визначається ЛАХ корегуючої ланки, вибирається її схема і обчислюються параметри методами, викладеними в теорії лінійних систем (див. п. 6. 11).
4.	Перевіряються результати синтезу. Для цього будується ЛФХ скорегованої системи і заборонена зона, що відповідає бажаному показнику коливальності М. ЛФХ скорегованої системи не повинна заходити в заборонену зону.
Приклад 9. 1. Виконати синтез послідовної корегуючої ланки і визначити коефіцієнт підсилення підсилювача слідкуючої системи, структурну схему якої подано на рис. 9. 5, а. У системі є інерційний підсилювач із сталою часу Тп = 0,01 с і нелінійною статичною характеристикою з насиченням. Параметри характеристики: с - 0,5 рад; Ь -- 100 В. Підсилювач на структурній схемі подано у вигляді безінерційної нелінійної ланки />(г) і аперіодичної ланки з передаточною функцією кп/(Тпр + 1). Двигун з редуктором подано передаточною функцією
к
= Х77И)
з такими параметрами: - 0,15 1/В с; 7”м - 0,1 с.
Вимоги до скорегованої системи: усталена похибка при відсутності моменту навантаження не повинна перевищувати гтак = 0,002 рад при максимальній швидкості змінювання задаючої дії М^/сіІ - 0,2 1/с і прискоренні (А? /Л2 - 0, 1 1 / с2 показник коливальності не повинен перевищувати 1,5.
Розв'язання. Спочатку визначимо коефіцієнт передачі розімкнутої системи, що забезпечує потрібну точність роботи в усталеному режимі сів / сії	п
К = -7^" = 0^2 = 100 1/с-тах	*
1 ому що
К - кикпк ,
де кк — коефіцієнт передачі нелінійної ланки на лінійній частині характеристики
,	Ь	100	___	_.
к	=	-	=	тт	=	200	В/рад,
н	с	0,5
потрібний коефіцієнт підсилення підсилювача
, = к = 100 п кк 200 0,15	’
н Д
Побудуємо тепер ЛАХ приведеної лінійної частини вихідної системи. Попередньо запишемо передаточну функцію розімкнутої системи, яка після гармонічної лінеаризації матиме вигляд
\¥(р, а) - \¥п(р)кг(а\ де •♦'„</’) — передаточна функція приведеної лінійної частини системи
*н* *	К
= р(Тп р + ЩР Р+0 = Р(ГП р + 1)(Ти р + І);	(9.23)
>гв(а) — приведений нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації.
Рис. 9. 5
Для нелінійної ланки з насиченням згідно з (9. 2)
. , ч 2Ґ .1 7а2-Й кгп(а) = — агсзіп-----=— .
л а а )
ЛАХ вихідної системи £вих(<о) будуємо за передаточною функцією (9. 23). Низькочастотна частина ЛАХ проходить з нахилом -20 дБ/дек через точку з координатами £(ш) - 20 І£ К = 2 їв 100 - 40 дБ; 1® ш - 0. Знаходимо частоти сполуки асимптот
"з "	~ 1/0>1 " 10 С'І; 18 "з " 1;
а>5 - 1/Г - 1/0,01 - 100 с-1; 18 а>5 - 1.
На кожній частоті сполуки нахил ЛАХ змінюється на -20 дБ/дек. Побудована за наведеними даними ЛАХ вихідної системи Авих(ш) зображено на рис. 9. 5, б.
Бажану ЛАХ ів(ш) будуємо так. Вибираємо Тв(ш) за типом 4 (див. табл. 6. 2) з нахилами —20 дБ/дек, —40 дБ/дек. Для спрощення корегуючої ланки будемо прагнути суміщати £б(со) і і.іих(ш) там, де це можливо. Високочастотну частину £б(ш) закінчимо ділянкою з нахилом —60 дБ/дек, сумістивши її з високочастотною частиною £іих(<о). Ця частина ЛАХ знаходиться в зоні від’ємних децибелів (Цш;) = —20 дБ) і практично не впливає на якість перехідного процесу. Для вибору довжини Л середньочастотної частини ЛАХ з нахилом —20 дБ/дек і Н, з нахилом —40 дБ/дек використаємо криві Н, Л, (див. рис. 9. 4). Для одного з можливих варіантів корекції можна прийняти Н — ш4/й>2 = 10 і НІ = ш2/й>| = 5 при частотах сполуки а>4 — 50 с~’, = шуіО — 5 с_|, ш, = <о2/5 = 1 с_|. Згідно з кривими Л, 6, при Н = 10 показник коливальності М дорівнює 1,2, а при Л, = 5 за кривою 4—1,5. Отже, бажаній ЛАХ £б(ш) відповідає показник коливальності 1,2 < М < 1,5, тобто вимоги до скорегованої системи задовольняються.
ЛАХ корегуючої ланки £х(<о) визначається як різниця £в(й>) — Ьт(в>). За ЛАХ Тк(га) з таблиці пасивних корегуючих ланок (табл. 6. 1) визначаємо передаточну функцію корегуючої ланки
_	+ Ж р+о
(Г.р + ІЦ^р + І)’	(9 24)
де Т\ - Мої' - 1 с; Т2 - 1/ш2 - 0,2 с; Г3 - 1/ш3 - 0,1 с; Г4 - 1/ш4 - 0,02 с.
Передаточну функцію (9. 24) можна реалізувати на операційному підсилювачі РАЇ (рис. 9. 5, в).
Згідно з (6. 31) передаточна функція операційного підсилювача матиме вигляд
Операційний підсилювач ОА2 має коефіцієнт підсилення одиницю - >?6) і призначений тільки для зміни полярності вхідної напруги. Тому передаточна функція корегуючої ланки записується у вигляді
уг(Р) - г±р)іг{.р\ але оскільки
2№	(Я( + Я^р + 1;
2№	{Я^Я^^р + Г
то
Р3(Р4с2Р + і)[(Р1+/г2)СіР + і]
р, ця + я^ +1] (я2с{Р +1) •	{9
Порівнявши вирази (9. 24) і (9. 25), дістанемо такі співвідношення для обчислення параметрів схеми:
Г - (/?, + Я УС Т - Я С; Т, - {Я + Я УС- Т - Я С. 1	3	422	423	1	214	21
Крім того, через те що при <о - 0 і ш - оо коефіцієнт передачі корегуючої ланки має дорівнювати одиниці, що випливає з вигляду £к(ш), слід прийняти - Я3.
Вибираємо - 1 мкФ; тоді
Я2 ~ Т4/Сі “ °'02/1° б “ 2 Ю40м - 20 кОм;
Я - тус? - Я2 - 0,1/Ю-6 - 2-Ю4 - 8Ю4Ом - 80 кОм;
Я3 - Я, - 80 кОм;
С = -Г‘ - =	= 10“5Ф = ЮмкФ;
2	8-Ю4
Я, - Т/С, - 0,2/10~5 - 2 Ю40м - 20 кОм. 4	2	2
Для перевірки результатів синтезу побудуємо ЛФХ приведеної лінійної частини у>п6(ш) скорегованої системи і заборонену зону для неї, що відповідає показнику коливальності М > 1,5.
Передаточна функція приведеної лінійної частини скорегованої системи при умові, що Ту - Т№, матиме вигляд
/ф-2р+1) ^.6^) * р(гпР +1)(/; Р +1)(т4 Р +1) 
Фазова характеристика рп6(ш) (рис. 9. 5, б) визначається за формулою
6(ш) - -90° - агсів Тш - аг сів " агсі£ + агсів Т2ш.
Для побудови забороненої зони знаходимо Ау,тах за формулою (9. 12)
Д^>	= агсзіп -77 = агсзіп т— = 42°,
г тах	м	1,4
а криволінійну ділянку межі забороненої зони будуємо за допомогою графіків, наведених на рис. 9. 2.
Взаємне розташування характеристики р 6(ш) і забороненої зони (лінія з штрихов-кою) свідчить, що корекцією в системі забезпечується збіжний перехідний процес, якість якого відповідає показнику коливальності М - 1,5.
9. 4. КОРЕКЦІЯ РЕЛЕЙНИХ СИСТЕМ ЗА РАХУНОК УТВОРЕННЯ КОВЗНИХ РЕЖИМІВ
У системах з двопозиційними реальними релейними елементами єдино можливим усталеним незбуреним режимом є режим автоколивань. Точність таких систем в усталеному режимі визначається відхиленням середнього значення вихідної величини при змінюванні збурення і амплітудою автоколивань відносно цього середнього значення.
Залежність амплітуди автоколивань від їх частоти визначається амплітудною частотною характеристикою безперервної частини системи, яка звичайно має обмежену смугу пропускання, тобто є фільтром нижніх частот. Тому за рахунок підвищення частоти автоколивань
а
о
в
----1"6
6
Рис. 9. 6
можна істотно зменшити їх амплітуду і, отже, підвищити точність роботи релейної системи.
Одним із способів підвищення частоти автоколивань є створення так званого ковзного режиму. Для пояснення його суті розглянемо систему, структурну схему якої наведено на рис. 9. 6, а. Спочатку розглянемо систему без урахування гнучкого зворотного зв’язку Лзв ^р. Вільний рух системи при § (і) = 0 описується рівняннями є(і!) = - х(і); "(0 = ір(є);
Т Л + сіі к
Виключивши проміжні змінні, дістанемо рівняння ~ сРх , (ІХ . .
(9. 26)
(9. 27)
Побудуємо фазовий портрет системи, використовуючи методику, викладену в п. 8. 4. Прийнявши у = іх!<1і, рівняння (9. 27) подамо у вигляді двох рівнянь:
у = (іх/сІЇ', т^ + у = ~ Мх)>
а потім у вигляді траєкторій
(9. 28) одного диференціального рівняння фазових
= _1 (і
сіх Т І	у ) ’
(9. 29)
Розв'язок цього рівняння, тобто вигляд фазових траєкторій, залежить від типу нелінійності уХє). Спочатку вважатимемо, що характеристика нелінійного елемента має вигляд, зображений на рис. 9.6, б, тобто функція <р(є) може набувати тільки двох значень: уХє) = Ь при е > 0 і у’(є) = -Ь при є < 0. На фазовій площині буде лінія перемикання, рівняння якої х = 0. Через те що х = -є, то ліворуч від лінії перемикання розв’язок рівняння фазових траєкторій буде розв’язком рівняння
<іу 1 Л . кЬ сіх = ~ т + 7
• праворуч — розв’язком рівняння
(9. ЗО)
Розв’язавши ці рівняння, дістанемо рівняння фазових траєкторій: ліворуч від лінії перемикання
х = —кЬТ 1п | у - кЬ | - Ту + Ц,	(9. 32)
праворуч
х = кЬТ 1п | у + кі\ - Ту + С2,	(9. 33)
де Ср С2 — сталі інтегрування, що визначаються початковими умовами. Задавши початкові умови х0, у0, дістанемо
С, = хй + кЬТ 1п | уа - кЬ | + Ту0;
С2 = х0 —кЬТ 1п | у0 + кЬ | + Ту0.
Фазові траєкторії, побудовані за рівняннями (9. 32) і (9. 33), зображено на рис. 9. 7, а . Лінію перемикання позначено штриховкою.
Фазовий портрет на рис. 9. 7, а відповідає затухаючому перехідному процесу і стійкій у цілому системі. Теоретично в такій системі в стані, що відповідає початку координат фазової площини, повинні існувати автоколивання нескінченно малої амплітуди з нескінченно великою частотою.
Розглянемо тепер, як зміниться фазовий портрет системи, якщо охопити її гнучким від’ємним зворотним зв’язком з передаточною функцією &зв (рис. 9. 6, а). У цьому разі перше рівняння системи (9. 26) матиме вигляд
£(0 = -х(0
а диференціальне рівняння фазових траєкторій — вигляд
Ф = _ 1 + к^х +
<іх Т\ У )	(9. 34)
Оскільки <р (є) = -<р (х + кМ2у), як і в попередньому випадку, може набувати тільки двох значень +Ь і -Ь, то рівняння фазових траєкторій (9. 32) і (9. 33) зберігаються. Змінюється тільки лінія перемикання. Дійсно, перемикання відбувається при є = -х -кЗВ2у - 0, тому рівняння лінії перемикання матиме вигляд
х =	<9- 35)
Розглянемо тепер рух зображуючої точки по фазовій траєкторії з початкового стану, що визначається точкою Мо (рис. 9. 7, б), тобто при початкових умовах х0 0, у0 = 0. Початкова точка Мо знаходиться ліворуч від лінії перемикання, тому вона буде рухатися по траєкторії, що визначається рівнянням (9. 32), до перетину з лінією перемикання в точці М\. Тут відбувається перемикання реле, причому координата х зберігає попередній знак, а знак сигналу на вході релейного елемента змінюється за рахунок дії гнучкого зворотного зв’язку кзазр. Від точки Мх до точки М2 фазова траєкторія визначається рівнянням (9. 33), а від точки М2 до Л/3 — рівнянням (9. 32).
Нахил лінії перемикання залежить від величини к2аз. При досить великому значенні Лмз може виявитися, що лінія перемикання буде близькою до ділянки фазової траєкторії між точками Л/3 і М4. У точці М4 відбувається перемикання реле, після чого зображуюча точка повинна переміщуватися по траєкторії, що визначається рівнянням (9. 32), але це призводить до збільшення результуючого сигналу на вході релейного елемента та його новому перемиканню і т. д. Отже, зображуюча точка, досягнувши точки М4, безперервно переходить з траєкторії, що визначається рівнянням (9. 32), на траєкторію, що визначається рівнянням (9. 33), і назад, неначе ковзаючи вздовж лінії перемикання та асимптотично наближуючись до точки рівноваги, що є початком координат фазової площини. Тому режим, що спостерігається після точки М4, називається ковзним.
Ковзний режим можливий на ділянці, де фазові траєкторії, що визначаються рівнянням (9. 33), проходять нижче лінії перемикання. Початок цієї ділянки — це точка, в якій дотична до фазової траєкторії (9. 33) ібі гається з лінією перемикання. Аналогічна ділянка має місце при х > 0 н четвертому квадранті. Її початок — точка, в якій дотична до фазової траєкторії (9. 32) збігається з лінією перемикання.
Знайдемо координати точок, що визначають кінці ділянки, на якій виникає ковзний режим. Для цього з (9. 35) обчислимо похідну:
і підставимо П в (9. 34), прийнявши <р{х + к у) = -Ь для фазової траєкторії праворуч від лінії перемикання і <р(х + к у) - Ь — ліворуч. Тоді дістанемо
__к=
звідки знайдемо шукані координати
= ± кк^ЬТ 
У к3..,~т'	(9.36)
кк^3ЬТ
х Т к -Т •
38.3
У цих рівняннях верхній знак визначає координати лівого кінця ділянки ковзного режиму, нижній — координати правого кінця. Через те що для лівого кінця у > 0, ковзний режим можливий тільки при > т-
З порівняння фазових траєкторій на рис. 9. 7, а і б випливає, що введення гнучкого корегуючого зворотного зв’язку істотно впливає на характер перехідного процесу. Коливальність перехідного процесу зменшується, причому кількість коливань стає скінченною, через те що на лінії перемикання з’являється ділянка ковзного режиму. Зображуюча точка, потрапивши на цю ділянку, рухається до початку координат по траєкторії у = — 1/Лзвз х, якій відповідає аперіодичний перехідний процес
х = ^оче"^вз-	(9.37)
Отже, спочатку коливальний перехідний процес закінчується аперіодичною ділянкою. Можливий перехідний процес і зовсім без коливань, якщо початкові умови такі, що при першому ж перетинанні з лінією перемикання фазова траєкторія потрапляє на ділянку ковзного режиму.
З рівняння (9. 37) видно, що на ділянці ковзного режиму в системі з ідеальним релейним елементом координати змінюються за лінійними законами і нелінійну систему можна наближено вважати лінійною системою першого порядку.
Розглянемо тепер систему з реальним релейним елементом, характеристику якого зображено на рис. 9. 6, в. Через те що функція <р(є) і в цьому випадку може набувати тільки двох значень +Ь і -Ь, рівняння фазових траєкторій залишаються попередніми — (9.32) і (9.33), а змінюються лише рівняння ліній перемикання. Вони матимуть вигляд: х = с при у > 0; х = —с при у < 0.
Фазовий портрет системи без корегуючого зворотного зв’язку зображено на рис. 9. 8, а. На цьому портреті є стійкий граничний цикл, тобто усталеним режимом системи є режим автоколивань.
При введенні корегуючого зворотного зв’язку з передаточною функцією к333р рівняння фазових траєкторій не змінюються, а рівняння ліній перемикання матимуть вигляд
х = с - к33 Зу при у > 0;	(9. 38)
х = —с - &язу при у < 0.	(9. 39)
Фазовий портрет системи із зворотним зв’язком зображено на рис. 9. 8, б. При досить сильному зворотному зв’язку тут також виникає ковзний режим. Зображуюча точка рухається по траєкторіях (9. 32) і (9. 33) між лінією перемикання (9. 38) і продовженням лінії перемикання (9. 39). Перехідний процес закінчується встановленням автоколивань.
Фізично ковзний режим полягає в перемиканні реле з великою частотою, що зумовлює зменшення амплітуди автоколивань, тобто покращує динамічні властивості системи. При збільшенні кззз амплітуда автоколивань зменшується аж до величини, що визначається шириною петлі характеристики релейного елемента.
9. 5. НЕЛІНІЙНІ КОРЕГУЮЧІ ЛАНКИ
Раніше (див. п. 9. 2) було відзначено, що можливості нелінійних корегуючих ланок значно перевищують можливості лінійних. Нелінійну корекцію можна здійснювати нелінійним змінюванням коефіцієнтів
передачі ланок системи, використанням псевдолінійних ланок, ланок з додатним гістерезисом та іншими способами. За допомогою нелінійних корегуючих пристроїв можна розв’язувати також задачу компенсації негативного впливу небажаних нелінійностей.
Недоліком нелінійної корекції є її «вужча спеціалізація» відносно зовнішніх дій. Нелінійна корекція, що є ефективною для певного класу зовнішніх дій, може стати некорисною або навіть шкідливою при інших діях або режимах роботи системи.
Нелінійне змінювання коефіцієнта передачі системи. Коефіцієнт передачі розімкнутої системи визначають, виходячи з потрібної точності роботи системи в усталених режимах. Проте його величина істотно впливає і на якість перехідного процесу. В лінійних системах при збільшенні коефіцієнта передачі звичайно погіршується якість перехідних процесів — зростає коливальність, збільшується перерегулювання, зменшується запас стійкості. Зберегти потрібну точність роботи системи в усталеному режимі й водночас забезпечити прийнятну якість перехідного процесу можна за рахунок нелінійного змінювання коефіцієнта передачі. Для цього слід зберегти потрібну для забезпечення заданої точності величину коефіцієнта передачі при розузгоджен-нях, які не перевищують допустиму похибку в усталеному режимі. При більших розузгодженнях коефіцієнт передачі можна змінювати нелінійно, якщо це забезпечує підвищення якості перехідного процесу.
Розглянемо можливість підвищення швидкодії системи при збереженні прийнятної якості перехідного процесу за рахунок нелінійного змінювання коефіцієнта передачі. В лінійних системах час перехідного процесу іп = куГс/ш^ залежить від частоти зрізу ЛАХ розімкнутої систе-388
ми. Таке саме співвідношення можна прийняти і для гармонічно лінеаризованих нелінійних систем.
Структурну схему системи після гармонічної лінеаризації можна подати у вигляді, зображеному на рис. 9. 9, а, де кт(а) — приведений нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації; Жлп(р) — передаточна функція приведеної лінійної частини.
Припустимо, що статична характеристика нелінійної ланки має вигляд, поданий на рис. 9. 9, б. Для цієї ланки коефіцієнти гармонічної лінеаризації визначаються такими залежностями:
к.г{а) = кикг „(а); к„ = к;, а = а/Ахао;,
кга( а) = 1 при а < 1;	(9. 40)
2	/1	V»2 - Г\
*гп(«) =	~ ~(*А - 1) агсзіп - +	— при а > 1.
Для збереження точності роботи системи в усталеному режимі статичну характеристику нелінійної ланки при відхиленнях вихідної величини, що не перевищує Дхдап, зберігаємо лінійною з коефіцієнтом передачі
Лг(а) = ЛЛЛ(«> = = 1-
При відхиленнях вихідної величини, що перевищують Ах , коефіцієнт передачі нелінійної ланки зростає згідно з виразом (9. 40) і прямує до к2/кґ
ЛАХ гармонічно лінеаризованої розімкнутої системи Паї, а) » Ап(а>) + Ьп(а),
де Ь (ш) — ЛАХ приведеної лінійної частини; Ь (а) — ЛАХ приведеної корегуючої нелінійної ланки.
ЛАХ ІДа») = 201§ | Жлп(/а>)| залишається незмінною при будь-яких розузгодженнях, що не перевищують | хдоп |, оскільки £г(а) = 1 = СОП8І. ЛАХ Ьп(а) змінюється залежно від змінювання відносної амплітуди а = = Ах/Ахдоп під час перехідного процесу, тобто може розміщуватися у заштрихованій зоні на рис. 9. 9, в, яка зверху обмежується ЛАХ, що відповідає максимально можливому значенню а. Частота зрізу при цьому може змінюватися в межах < а> < а>'*.
Збільшення частоти зрізу спричинює підвищення швидкодії. Водночас через те, що £(а) для однозначних нелінійностей є дійсною вели-, чиною, нелінійна корегуюча ланка не впливає на ЛФХ системи. Тому під час перехідного процесу при збільшенні а>з буде зменшуватися запас стійкості по фазі і зростати коливальність. Це обмежує допустиме нелінійне зростання коефіцієнта передачі.
Методику розрахунку максимального значення коефіцієнта &2, при якому показник коливальності не перевищує допустимого значення, викладено в праці [18].
Рис. 9. 10
Очевидно, що підвищення швидкодії можливе тільки при використанні нелінійностей, для яких кгп(а) > 1 при відхиленнях вихідної величини, що перевищують допустиму усталену похибку.
Крім розглянутої нелінійної ланки з коефіцієнтами к, = 1 і к2 > можна використовувати ланки з степеневими статичними характеристиками и = кє2, и = кє3 та ін.
Псевдолінійні корегуючі пристрої. Нелінійні корегуючі пристрої, еквівалентні АФХ яких не залежать від амплітуди вхідного сигналу, а є функціями тільки частоти, називаються псевдолінійними. Особливістю цих пристроїв є відсутність жорсткого зв’язку між амплітудною і фазовою характеристиками, що дає змогу формувати ці характеристики незалежно. Це в свою чергу відкриває широкі можливості корекції САК за рахунок змінювання її частотних характеристик у бажаному напрямку.
Одну з можливих структурних схем псевдолінійного корегуючого пристрою зображено на рис. 9. 10. Вона складається з двох каналів. Верхній (амплітудний) канал призначений для формування амплітудної характеристики. Він включає лінійний елемент 7 з передаточною функцією Жл(р), ланку 2, що виділяє модуль сигналу (в електричних схемах це звичайно двопівперіодний випрямляч), і фільтр 3. Амплітуда сигналу на виході ланки Жл(р) визначається її амплітудною частотною характеристикою. Цей сигнал випрямляється та фільтрується і таким чином виключається інформація про фазу сигналу. Отже, на вході блока перемножування 6 формується випрямлений сигнал Хр величина якого визначається амплітудною частотною характеристикою ланки Жл(р).
Нижній (фазовий) канал формує фазову характеристику. Він складається з лінійної ланки 4 з передаточною функцією Жф(р) та ідеального релейного елемента 5. Фаза сигналу на виході ланки 4 визначається її фазовою частотною характеристикою. Релейний елемент 5 перемикається при переході сигналу через нуль, тобто він реагує на фазу сигналу. Амплітуда сигналу на виході релейного елемента не залежить від амплітуди вхідного сигналу, тому що може мати лише два фіксованих рівні.
Вихідний сигнал корегуючого пристрою хвнх утворюється в резуль
таті перемножування вихідних сигналів амплітудного і фазового каналів. Якщо вибрати лінійні ланки з відповідними передаточними функціями ЖА(р) і Жф(р), то можна реалізувати корегуючий пристрій з бажаними амплітудною і фазовою характеристиками, які можна змінювати незалежно одну від одної. Наприклад, якщо необхідно знизити амплітуду на високих частотах і одночасно створити випередження за фазою, то в амплітудний канал слід ввести ланку, що ослаблює високі частоти, наприклад аперіодичну з передаточною функцією
а у фазовий канал — елемент, що створює випередження по фазі, наприклад, інтегро-диференціюючу ланку з передаточною функцією
Т. р + 1
= т^ТТЇ’
де > Т2.
Нелінійні корегуючі пристрої з додатним гістерезисом (з двозначними випереджуючими статичними характеристиками). Цікаві можливості корекції динамічних властивостей САК відкриває застосування штучно створених нелінійних ланок з додатним гістерезисом. На відміну від нелінійностей з від’ємним гістерезисом у гармонічній передаточній функції
+
коефіцієнт гармонічної лінеаризації к!г завжди додатний, тобто він визначає складову, що випереджує по фазі вхідний сигнал на кут л/2. Це пояснюється тим, що при зростанні вхідної величини (б/е/бй > 0) вихідна величина змінюється відповідно до лівої вітки статичної характеристики нелінійної ланки, а при зменшенні (йєЛй < 0) — відповідно до правої вітки (рис. 9. 11). Запишемо коефіцієнти гармонічної лінеаризації такої ланки (при а > с)
к’т = 4^/ла2
І гармонічну передаточну функцію
або
^нд(р) = —^3 па у
с2 4Ьс р —+— — а па «в

. 45с
+ } — па
Амплітудна характеристика цієї ланки
Рис. 9. 11
І № І = ЬЬІтса не залежить від частоти вхідного сигналу, а є функцією тільки його амплітуди.
Фазова характеристика
/ , І с?
Фнл(а) = агсі^-у—г, тобто релейний елемент з додатним гістерезисом створює випередження по фазі на всіх частотах, яке зменшується при зростанні амплітуди а. Якщо вибрати ширину петлі гістерезису 2с, яка дорівнює двом амплітудам 2а, то ланка буде створювати випередження по фазі л/2 при будь-яких частотах.
Отже, нелінійні ланки з додатним
гістерезисом є еквівалентними диференціюючим лінійним ланкам. їх
можна застосовувати для корекції динамічних властивостей систем за
рахунок введення похідної.
Перемикальні корегуючі пристрої. Підвищення якості динамічних властивостей САК можна забезпечити за рахунок дискретного змінювання її параметрів або структури у функції координат системи і зовнішніх дій під час процесу керування.
Для здійснення корекції за рахунок змінювання параметрів системи вихідний сигнал ланки множимо на спеціально сформований корегуючий сигнал [/’ІЧ у результаті для гармонічної вхідної дії = х11пзіп ші
на виході ланки дістаємо скорегований сигнал
Х2 =1^'1]*2т8Іп(С0/ + Ч’)>
де І А,'11— символ нелінійного динамічного перемикального сигналу.
Цей символ означає, що корегуючий сигнал з амплітудою Р під час перехідного процесу множиться на вихідну величину ланки в інтервалі часу А/ = /2 - В іншій частині періоду коливань 2л/а> - А/ корегуючий сигнал відсутній. Звичайно цей сигнал формується дискретно. Часто буває достатньо, щоб він мав два значення: 0 і -1.
Найпростішими прикладами нелінійної корекції за рахунок змінювання структури в системах керування електроприводами є схеми з відсічками або з затриманими зворотними зв’язками. Ці зворотні зв’язки починають діяти тільки при значеннях координат системи (струму, напруги, швидкості), що перевищують певні значення, і таким чином змінюють структуру системи.
Перемикальні корегуючі ланки застосовуються також для змінювання алгоритму роботи керуючого пристрою при значному змінюванні зовнішніх дій або параметрів самої системи. Системи з такою корекцією належать до найпростіших самоорганізуючих САК.
9. 6. КОМПЕНСАЦІЯ ВПЛИВУ НЕЛІНІЙНОСТЕЙ
Нелінійні ланки можуть погіршувати якість систем, зокрема спричинювати низькочастотні коливання з великою амплітудою. Корекція систем у таких випадках може бути здійснена за рахунок компенсації небажаних нелінійностей.
Застосування компенсуючих нелінійностей. Одним із способів компенсації нелінійних статичних характеристик є вмикання нелінійної ланки, яка має спеціально підібрану характеристику, послідовно (рис. 9. 12, а) або паралельно з нелінійністю, що компенсується (рис. 9. 12, б), а також у вигляді зворотного зв’язку (рис. 9. 12, в).
Ціль компенсації полягає у визначенні такої статичної характеристики нелінійної корегуючої ланки у>к, щоб сукупна статична характеристика вихідної ланки і корегуючої у>к була лінійною <рл.
Розглянемо спочатку послідовне з’єднання компенсуючої нслінійності, яка має статичну характеристику
х3 = />к(х2),	(9. 41)
і нелінійної ланки, статична характеристика якої
х2 = <р^х)	(9. 42)
відома.
Сукупна статична характеристика двох ланок повинна бути лінійною:
“ V, >	<9- 43>
де к0 = СОПЗІ.
Якщо нелінійність <р{х) задано аналітично, то для визначення <рк(х2) необхідно розв’язати нелінійне рівняння (9. 42) відносно хр тобто знайти іиоротну нелінійну функцію = />~’(х2) і підставити її значення в  мову лінійності (9. 43):
хі	(хг) •	(9. 44)
В	Рис. 9. 12
З порівняння виразів (9. 41) і (9.44) видно, що статичну характеристику компенсуючої нелінійної ланки можна записати в аналітичному вигляді
Рк(*2) =
Якщо статичну характеристику <р[х) не задано аналітично, то характеристику дек(х2) можна визначити графічно. Припустимо, що характеристика х2 = де/Х]) має вигляд, зображений на рис. 9. 13, а. Тут же наведено бажану лінійну характеристику х3 = <р„(х). Масштаби величин х„ х2, х3 повинні бути однаковими.
Характеристика дек(х2) компенсуючої нелінійності будується таким чином. Беруть довільне значення х'{ і за характеристиками де (х) і дел(Х]) знаходять відповідні значення х'2 і х'3. Ці значення визначають точку статичної характеристики х3 = дек(х2) в системі координат (х2, х3) на рис. 9. 13, б. Якщо вибрати невеликий крок змінювання хр можна досить точно побудувати шукану характеристику дек(х2).
При виборі способу компенсації слід мати на увазі, що не всяку нелінійність можна скомпенсувати за рахунок послідовного включення корегуючої ланки. Компенсація можлива лише в тому разі, коли компенсована нелінійність має взаємно однозначну відповідність значень вхідної і вихідної величин. Наприклад, для статичної характеристики з насиченням (рис. 9. 14) немає однозначної відповідності зворотної функції X] = де”'(х2) при х2 = х2тах і вона взагалі не існує при х2 > х2тах. Не мають однозначної відповідності зворотні функції також для характеристик із зоною нечутливості, всіх релейних і будь-яких неодно
значних характеристик. Нелінійності з такими статичними характеристиками не можна скомпенсувати за рахунок послідовного включення компенсуючих нелінійностей.
Ширші можливості дає паралельне включення компенсуючих нелінійностей (рис. 9. 12, б). Умова лінійності сукупної характеристики має вигляд
Х4 = Х2 + хз =	+ <Р^Х) =	= кЛ
звідки
<ру(х) = <рл(х) - (р^х).	(9. 45)
Отже, для визначення характеристики <ру(х) досить відняти характеристику нелінійності, що компенсується, від бажаної характеристики лінійної ланки ^„(х^. Це можна зробити аналітично або графічно. На рис. 9. 15, а показано побудову характеристики /^Ц), що компенсує нелінійність р^х) із зоною нечутливості. Для будь-яких х, виконується умова х2 + х3 = х4.
Компенсацію небажаної нелінійності можна також здійснити за рахунок нелінійних жорстких додатних або від’ємних зворотних зв’язків (рис. 9. 12, в).
Статичну характеристику х^ = <рк(х3) можна визначити таким чином. Відповідно до структурної схеми, наведеній на рис. 9. 12, в, маємо
Х3 =	= <ІЇХ1 ±Хзв.з>>	<9- 46>
але
*,..з = ММ	<9- 47>
тому
х3 = р,[х, ± ^к(х3)].	(9.48)
Розв’язавши нелінійну функцію (9. 48) відносно аргументу, визначимо зворотну функцію
± <рЛхз) = У’ГЧ^з)»	(9.49)
звідки
(9.50)
Прийнявши рівняння бажаної лінійної характеристики у вигляді
хз =	= Мі	<9- 5,9
і підставивши значення = х3/Л0 в (9. 50), дістанемо
хз/ко = ^Г(хз) * ^к(х3), звідки знайдемо статичну характеристику компенсуючої нелінійності
^(хз) = ± РГ‘(*з) + хз/к0-	(9. 52)
Тут верхні знаки відповідають додатному зворотному зв’язку, нижні — від’ємному.
Компенсація за рахунок зворотного зв’язку можлива при таких самих вимогах до статичної характеристики нелінійності, що компенсується, відносно взаємно однозначної відповідності значень вхідної і вихідної величин, як і при компенсації послідовною корегуючою ланкою.
Статичну характеристику />к(х3) можна визначити аналітично за формулою (9. 52) або побудувати графічно.
Методика графічної побудови характеристики />к(х3) нелінійної ланки, що використовується у вигляді від’ємного зворотного зв’язку, ілюструється рис. 9.15, б. Послідовність побудови однієї точки шуканої характеристики подано цифрами у дужках і стрілками. Для вибраного значення Хд за характеристиками фДхр і <рл(х1) знаходимо значення х2 і х[, потім визначаємо хава = х^ — х2 і знаходимо точку характеристики хава = />к(х3). Приймаючи ряд значень х3, визначаємо інші точки характеристики />к(х3) і будуємо її.
Якщо нелінійність зумовлена характеристикою об’єкта керування, то включати компенсуючу нелінійність розглянутими способами, як правило, неможливо. У цьому разі використовується модель об’єкта. Лінеаризація системи здійснюється за рахунок включення паралельно об’єкту компенсуючої нелінійності і ланки Жо6м(р), що є моделлю лінійної частини об’єкта (рис. 9. 16, а). Нелінійність об’єкта можна також скомпенсувати за допомогою від’ємного зворотного зв’язку, що охоплює попередні лінійні елементи Ж](р) і становить модель компенсуючої нелінійності і об’єкта Жг6м(р) (рис. 9. 16, б) .
Вібраційна компенсація не лінійностей. Ефективним способом при-
Нелінійний об'єкт
душення низькочастотних автоколивань є вібраційна лінеаризація. Ідея вібраційної лінеаризації полягає у створенні високочастотних коливань на вході нелінійної ланки. Вібраційна лінеаризація є найбільш поширеним способом лінеаризації релейних систем.
Суть вібраційної лінеаризації можна пояснити так. Нехай на вхід нелінійної ланки (рис. 9. 17, а) подається сигнал х0(і), що повільно змінюється, і високочастотний сигнал х_(/)з нульовим середнім значенням. Частота сигналу х_(0 повинна бути досить високою, щоб функцію х0(і) вважати сталою протягом періоду 7\ = 1//ґ
Сигнал на вході нелінійної ланки обчислюється за формулою
Рис. 9. 17
Вихідний сигнал х(1) нелінійної ланки можна подати у вигляді суми середньої складової хсер(х0), що повільно змінюється, і високочастотної коливальної функції ^(х_), тобто
х(/) = <р [хо(О +х_(01 = хсср(х0) + <р{(хХ	(9. 53)
Процес вібраційної лінеаризації ілюструється графіками на рис. 9. 17, б. Тут показано побудову вихідного сигналу х (і) нелінійного елемента, що має характеристику ідеального реле х(0 = <р (є), при подаванні на його вхід високочастотного сигналу х.(ї) і суми двох сигналів х_(0 і х0(1) при умові, що протягом кількох періодів коливань х_(?) сигнал х0(Й сталий.
При х0 = сопзі середнє значення х вихідного сигналу нелінійного елемента за період Т\ високочастотного корегуючого сигналу обчислюється так:
хсЄр=^г |<р[х0(/) + х-(/)]Л.
>-т1/:
Підінтегральна функція становить прямокутні коливання, симетричні при х0 = 0 і несиметричні при х0 * 0. При х0 = 0 середнє значення вихідного сигналу хсер дорівнює нулю.
Визначимо хсер при умові, що корегуючий сигнал синусоїдальний: х_(/) = А зіп а>і і х0 = сопзі (рис. 9. 18, а). Реле перемикається при х_(0 + +х0 = 0, тобто при
= — агсзіп А/х0;
= л + агсзіп А/х0;
а>3і = 2л - агсзіп А/х0.
Знайдемо середнє значення за період
(со21 - а\і)Ь -	- <о21)Ь =
х“р	2л
2/>агс8іп А/хп
4	= -------Л------
Розглянемо тепер випадок, коли корегуючий сигнал має вигляд трикутних імпульсів з такою самою амплітудою А і частотою &>, що й розглянутий синусоїдальний сигнал (рис. 9. 18, б). Тоді при зростанні сигналу
х.(0
2А = —сої
і при його спаданні
7 А х~(ї) = ——соІ+2А.
Визначимо моменти перемикання реле з умови х_(і)+ х0 “ 0
= -хол/2Л;
со21 = хол/2А + я;
-	а>31 = -х0я/2А + 2л.
Середнє значення за період становить
\ер = Ьхо/А = кр*0-
Графіки залежностей хсср(х0) для синусоїдального (крива І) і трикутного (крива 2) корегуючих сигналів зображено на рис. 9. 17, в. З цих графіків видно, що для трикутного корегуючого сигналу хсер є лінійною функцією х0 при [ х0 | « А Для синусоїдального сигналу функцію хсср(х,) з певним наближенням також можна вважати лінійною при |х0 | < А.
Лінійність зберігається в межах амплітуди А компенсуючого сигналу. Отже, при збільшенні амплітуди А розширюється зона лінійності релейного елемента, однак при цьому зменшується коефіцієнт підсилення лінеаризованого елемента.
Вихідний сигнал нелінійного елемента, як видно з формули (9. 53), має дві складові і подається на вхід лінійної частини системи. При досить великій частоті компенсуючого сигналу лінійна частина системи внаслідок своєї інерційності практично не пропускає сигнал ^(ж), тобто в результаті вібраційної лінеаризації релейний елемент можна розглядати як лінійну ланку з коефіцієнтом передачі £ .
Для того щоб дістати високочастотні коливання, що здійснюють вібраційну лінеаризацію, можна використовувати зовнішній генератор періодичних коливань. Крім того, можливе використання і власних коливань (автоколивання) системи. У цьому разі необхідно вжити
спеціальних заходів для підвищення частоти автоколивань, зокрема перейти до ковзного режиму.
Перевагами використання зовнішнього генератора є можливість досить простими засобами змінювати частоту і амплітуду коливань у широких межах, недоліком — ускладнення за рахунок додаткового вузла.
Вібраційну лінеаризацію можна також розглядати як процес широтно-імпульсної модуляції, причому релейний елемент є модулятором, х_(/) — сигналом несучої частоти, х0(ї) — модулюючим сигналом. Отже, для процесу вібраційної лінеаризації буде справедливою відома умова неспотвореної передачі низькочастотного сигналу релейним елементом
/-//о > З, де /- і /0 — частоти корегуючого і вхідного сигналів відповідно.
9.	7. СИНТЕЗ НЕЛІНІЙНИХ САК ЗА ДОПОМОГОЮ ЕОМ
Синтез нелінійної САК полягає в знаходженні П оптимальної структури, характеристик і законів керування. Задача синтезу системи є загальнішою порівняно із задачею синтезу корегуючого пристрою і складнішою за неї. Досить повно і детально питання синтезу нелінійних систем на базі широкого використання ЕОМ викладено в праці [4] , де узагальнений алгоритм синтезу САК передбачає розв’язання трьох основних задач:
1)	функціональний синтез, при якому допускається, що відомі цільова функція на виході, структура і параметри системи керування; потрібно визначити функцію керування на вході системи;
2)	параметричний синтез, при якому вважаються відомими цільова функція на виході, керуюча дія на вході і структура системи; потрібно визначити параметри системи (багатопараметричний синтез);
3)	структурно-параметричний синтез, під час виконання якого при заданих цільовій функції, керуючій дії і структурі основної частини системи (об’єкта) необхідно знайти кількість, вид і місця введення керуючих зв’язків, загальну структуру керуючого пристрою, характеристики і числові значення параметрів.
Для виконання цих трьох задач синтезу використовується інверсія рівнянь узагальненого алгоритму числового методу послідовного типу, запропонованого А. В. Башаріним (метод АВБ) [4].
Розглянемо суть методу АВБ. Математичне описання САК подається в нормальній формі Коші
к4
Рис. 9. 19
йх/іі = /1(/,х1,х2,...,хп);
і/х/Л = /2(1,хх,х2,...,ху,
ахл/(ії = /п((,х1,х2,...,хп)
(9. 54)
з початковими умовами х,(/) = х, х,(л) = х, ; х (О = х ..
і	і, V х о А “	п м пУ и
Вибирається достатньо малий крок А/ і будується система рівновіддалених точок і{ = і0 + іАі, де і = 0, 1, 2, ... . Алгоритм методу зводиться до обчислень у кожній точці за такою формулою:
х» +/М)м+1 +	+
+	- 4?+1 + - • • • > 7/* + хі,і > • • • >	+
+ х^,]А(/2,	(9.55)
де І — номер рівняння в системі (9. 54); і — номер точки, для якої виконується обчислення (порядковий номер кроку інтегрування); к — номер ітерації.
Кількість ітерацій не слід брати більше двох, тому що, виходячи з витрат машинного часу, для підвищення точності обчислень доцільніше зменшувати крок інтегрування, а не збільшувати кількість ітерацій. Якщо функція /. не залежить в явному вигляді від часу, то функції <р(і) у формулі (9. 55) відсутні.
Головною перевагою числового методу послідовного типу є його інверсність, що дозволяє з успіхом використовувати його для розв’язування задач синтезу нелінійних САК на ЕОМ.
Для ілюстрації процедури інверсії узагальненого алгоритму числового методу послідовного типу і знаходження розрахункових рівнянь для синтезу розглянемо структурну схему на рис. 9. 19. Динаміка системи описується такими рівняннями:
(Іх^/сИ = &3х2;	(9. 56)
Т2сІх2/си + х2 = Л2Хр	(9. 57)
	ТДх^/сІі + х, = Л,х0 - к(Г3<іх2І<1і - к{к4х3,	(9. 58)
ЯКІ можна подати в нормальній формі Коші
Лс/Л = [А;х0 - <к,к2Т/Г2 + 1)х, + (ЛТ3/Л)х2 - кхк4х3}/Т^ (9. 59)
<іх2/сіі = (к2хі - х2)/Т2,	(9. 60)
(іх3!<іі = к3х2.	(9. 61)
рівняння (9. 59) знайдено з рівняння (9. 58) після підстановки Нх2/(іі з ^няння (9. 60).
розрахункові рівняння без ітерацій згідно з (9. 55) матимуть вигляд
Хц = Х1,і-1 + [*1<ХО,І-1 + Хо? “ аі<Х1,і-1 +	+ а2<Х2,і-7 + Х2р ’
- а/х,^] + х^-ЙД//^;	(9. 62)
х2,і = Х2>-1 + ^2(Х!>-1 + Х1? ~ (Х2,<-1 + х2і)]Д//27’2;	(9. 63)
Х3,і = Х3,<-1 + <Х2.,-! + Х2,)к3^2-	<9' 64)
р цих рівняннях прийнято такі позначення:
кхк2Т/Г2 + 1 = а- кхТ/Г2 = а2, к,к4 = а,.
процесі синтезу аналізується стан системи від її виходу до входу, томУ розрахункові рівняння доцільно записати у зворотному порядку. З рівняння (9. 64) визначається величина х2:
х,, = (х,, - х,, ,)2/Л,Д/ - х,,.,	(9. 65)
„ „ дівняння (9. 63) — величина х,: а 3 у	1
Х1/ = ^х2,і - Х2 ,_Л)ІТ2ІМк2 + (х2<_, + х2р/Л2 - Хм_ь (9. 66) ііерез те що при синтезі бажаний закон змінювання вихідної величин^ хз(г> відомий (заданий безпосередньо або посередньо), відомі також початкові умови, послідовні значення функцій х2(і) і х,(0 можна обчуіслювати за формулами (9. 65) і (9. 66), виходячи з початкових р (для першого кроку) і результатів обчислень на попередніх кро-Уах інтегрування.
Перетворення рівняння (9. 62) залежать від задачі синтезу, що розв’язується.
функціональний синтез. Треба визначити закон змінювання вхідної ве^чини хо(0, що забезпечує бажаний закон змінювання вихідної величин)1’ ПРИ УМ0В1> Щ° структура і параметри системи відомі.
формула для обчислення х0(?) визначається з рівняння (9. 62)
х0,і = <хі,/ ~ Хц-^гТ/Д)^ + а^к^х^ хц) — а2ІЦх2 Ь1 + х2.) +
+ С^/Цх^ + х3 /) - Хо ,._,.	(9. 67)
Значення х2(ї) і х,(Й обчислюються за рівняннями (9. 65) і (9. 66).
Параметричний синтез. Завдання параметричного синтезу полягає у визначенні параметрів кіл зворотних зв’язків і регуляторів при умові, що параметри основної частини системи, а також закони змінювання вхідної і вихідної величин відомі. Наприклад, для структурної схеми на рис. 9. 19 відомими є параметри основної частини системи к2, ку Тр Т2, а також функції х0(1) і хЛ(й. В результаті синтезу мають бути визначені параметри Т3 і к4.
Рівняння (9. 62) подамо у вигляді
Фц+п + Х'І.і+л-і) ~ а2(Х2,І+п	х?.,1+п-і)
+ <2з(хз.,+п “|" Х3,і + п і) Ц*(1,Н« “* -^О.І+п- і)
(9. 68)
(хц+п + ’сі,і+л-і)22/Д/,
де п залежить від кількості шуканих параметрів. Якщо таких параметрів 2, то п - 0 і І. Вирази в дужках обчислюються за допомогою трьох послідовних точок функцій х0(і), х,(ї), х2(г) і х3(ї), визначених у процесі попередніх розрахунків (рис, 9. 20). Таким чином формується система двох алгебраїчних рівнянь вигляду (9. 68), розв’язком яких будуть шукані параметри.
Структурно-параметричний синтез. Завданням синтезу є визначення кількості, виду, місця включення і параметрів корегуючих зв’язків при умові, що структура і параметри основної частини системи є заданими, а також відомі закони змінювання вхідної і вихідної величин.
Розглянемо структурну схему на рис 9. 21. Вважатимемо, що доступними для зняття інформації є лише координати х2 і х3. Шуканою є функція хш, яка має реалізуватися за допомогою керуючих зворотних зв’язків.
Для визначення функції хш розрахункові рівняння другої і третьої ланок, як і раніше, мають вигляд (9. 63) і (9. 64). Запишемо рівняння динаміки першої ланки
Розрахункове рівняння для аналізу має вигляд
= Х1,і-1 +	+ Х0,) ~	+ ХШ~ (\/-1 + Х^ЯАґ/ІТ,
(9. 70)
Звідси дістаємо розрахункове інверсне рівняння для синтезу
хш,і = *о,-і + Х0,/ - (х'„, - ЇТ,/Мк{ - (х,+ х^/к, -
(9. 71)
Рівнянням (9. 71) можна скористатися, якщо на першому кроці величина хш._1 має нульове значення або відома. Якщо значення хшї_, на першому кроці не відомо, то хш/_, слід визначати за середніми значеннями величин на кожному кроці обчислень (використати друге наближення). Тоді формула (9. 71) матиме вигляд
+ *Ш,Х2 = <хо.і-і + хо,Х2 - х..і-і>т^кі ~ <хм-і + хіЖ-
(9. 72)
Процедура синтезу полягає в послідовних пошуках кількості і виду зворотних зв’язків за координатами, доступними для зняття інформації.
Пошуки починаються з найпростіших видів зворотних зв’язків (звичайно, жорстких безінерційних) і мінімальної їх кількості. Потім можна переходити до більш складних видів зворотних зв’язків і максимально можливої їх кількості.
Синтез доцільно вести на ЕОМ у діалоговому режимі, виводячи на дисплей графіки залежностей шуканих параметрів зворотних зв’язків від значень координати, за якою здійснюється зворотний зв’язок. Ці графіки дають можливість зробити висновок про складність і можливість фізичної реалізації потрібних залежностей. При неприйнятному результаті треба переходити до іншого виду зворотного зв’язку або іншого місця зняття інформації, тобто до наступного кроку пошуків. Наприклад, якщо внаслідок синтезу знайдено залежності коефіцієнта передачі к; зворотного зв’язку за координатою х;, зображені на рис. 9. 22, то можна зробити такі висновки. Характеристика 1 відповідає найпростішому зворотному зв’язку при к} = сопзі і легко реалізується, характеристика 2 виражає фізично реалізований нелінійний зворотний зв’язок, що визначається
залежністю кі = /(х.). характеристику 3 важко реалізувати фізично.
Розглянемо процедуру пошуків параметрів на таких прикладах.
І. Зворотні зв’язки за координатами х2 і х3 подано схемою, наведеною на рис. 9. 23, а.
Розрахункові рівняння мають вигляд
Хш,1 ” к„лІХ3,1 + ^ч>.з2Х2.і’	О'
хш,ж ” кмліхІ І+1 + Лзвз2х2і+1.	(9. 74)
Шуканих параметрів два: Лзвз2 і £звз3. Вони визначаються як розв’язок системи двох алгебраїчних рівнянь (9. 73) і (9. 74), коефіцієнти яких становлять дна послідовно обчислених значення хш за формулою (9. 71) або (9. 72): — за формулою (9. 63) і х3 — за формулою (9. 64).
2. Зворотні зв’язки за координатами х2 і х3 подано схемою, наведеною на рис. 9. 23, б.
Вихідне рівняння має вигляд
Хш ~ ^зв.зЗХ3 + ^зв.зг^У^-
Розрахункові рівняння для синтезу такі:
<хш.,-ї + хш,?/2 - (х2|. — х2і_)Тзіз2/61 + (х3/1 + хі^)кза з3/2;
<ХШ> + ХшЗ+?/2 — (^2,і+І ~ Х2р^зз.з2^+ ^Х3,і + Х3,ї+1^зв.зз/2-
Шуканих параметрів два: Тзвз2 і к у Тому для їх визначення тут також розв’язується система двох алгебраїчних рівнянь.
Інші варіанти зворотних зв’язків, у тому числі із значно більшою кількістю шуканих параметрів, розглянуто в праці [4].
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Якими показниками оцінюється якість нелінійник систем?
2.	Як визначити показник коливальності нелінійної системи? Чому при цьому слід користуватися нормованими коефіцієнтами гармонічної лінеаризації?
3.	Як оцінити якість перехідних процесів за допомогою діаграми якості Є. П. Попова?
4.	Які засоби використовуються для корекції нелінійних САК?
5.	Викладіть порядок синтезу лінійного корегуючого пристрою в нелінійній системі методом логарифмічних частотних характеристик.
6	Що таке ковзний режим у релейних системах і за яких умов він виникає?
7.	Дайте характеристики нелінійних корегуючих ланок. У чому їх переваги і недоліки порівняно з лінійними?
8	Як впливає нелінійне змінювання коефіцієнта передачі на динаміку системи?
9.	У чому полягає основна особливість псевдолінійних корегуючих ланок?
10	Які можливості корекції динаміки САК дає застосування нелінійних корегуючих пристроїв ,1 додппіим гістерезисом?
II.	ІІож нІц. призначення, способи включення і розрахунок характеристик компенсуючих нелінійне* гей
12.	Никлвдіп. Ідею вібраційної лінеаризації. Якими способами вона може бути реалізована?
13.	Що розумінні, під синтезом нелінійних САК?
14.	У чому туп. функціонального, параметричного і структурно-параметричного синтезу нслінійпик САК'’
15.	Поясніть < уіь у.тгпльненого алгоритму синтезу нелінійних систем за інверсними рівняннями стену
Глава 10 і і______:
ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
10. 1. УЯВЛЕННЯ ПРО ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ. КЛАСИФІКАЦІЯ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
Система автоматичного керування називається дискретною, якщо до її складу входить хоча б одна ланка дискретної дії. Ланка дискретної дії (дискретний елемент) — це ланка, вихідна величина якої змінюється дискретно, тобто стрибками, навіть при плавному змінюванні вхідної величини.
Дискретний елемент перетворює безперервні сигнали на дискретні. Це перетворення здійснюється за рахунок квантування сигналів за рівнем, часом або рівнем і часом.
Квантування за рівнем полягає в перетворенні безперервного сигналу хвхна ступінчастий хат з фіксованими рівнями ступенів — дискретними рівнями х0, х,, х2, . . ., хг (рис. 10. 1, а). У найпростішому випадку квантування за рівнем здійснюється релейним елементом, вихідна величина якого може набувати скінченну кількість фіксованих рівнів — звичайно два {+Ь і -Ь) або три (+/>, 0, -І).
Квантування за часом є перетворенням безперервного вхідного сигналу хв на ступінчастий хвта за рахунок фіксації рівнів вхідного сигналу в дискретні моменти часу ї0, і, І? ... ,1п (рис. 10. 1, б) або в послідовність імпульсів, параметри яких (амплітуда, ширина та ін.) визначаються величиною вхідного сигналу в дискретні моменти часу. Період дискретності Го може бути сталим або змінним.
Внаслідок одночасного квантування за рівнем і часом вихідний сигнал змінюється дискретно у фіксовані моменти часу і, і, . . . , і і може набувати тільки значень, що визначаються дискретними рівняннями, хц, Хр х2, . . . , хп (рис. 10. 1, в).
Залежно від виду квантування дискретні системи бувають трьох типів: релейні (квантування за рівнем), імпульсні (квантування за часом), цифрові (квантування за рівнем і часом).
Релейні системи можна не виділяти в окремий тип дискретних систем, а розглядати їх як нелінійні безперервні САК з нелінійністю релейного типу. Дослідження таких систем виконується методами, викладеними в гл. 8 та 9, тому в даній главі розглядатимуться тільки імпульсні та цифрові САК.
10. 2. КЛАСИФІКАЦІЯ ІМПУЛЬСНИХ САК ЗА ВИДАМИ МОДУЛЯЦІЇ
І Внаслідок квантування за часом в імпульсних САК інформація між двома або більше елементами передається послідовністю імпульсів. Така послідовність містить корисну інформацію лише в тому разі, якщо вона промодульована яким-небудь сигналом. Функцію модуляції в імпульсних САК виконують імпульсні елементи (модулятори), які перетворюють безперервні сигнали у послідовність імпульсів, один з параметрів яких (модульований параметр) змінюється за законом змінювання вхідного безперервного сигналу (модулюючого сигналу).
Основними параметрами послідовності імпульсів є амплітуда (висота) Д тривалість (ширина) ТІ = уТ0, період повторення То і положення імпульсу
аТ0 всередині періоду То (часовий зсув або фаза імпульсу). Залежно від того, який з параметрів послідовності імпульсів змінюється при змінюванні модулюючого (вхідного) сигналу, розрізняють такі види імпульсної модуляції:
д
Рис,. 10. 2
амплітудно-імпульсну (АІМ), широтно-імпульсну (ПІІМ) і часово-імпульсну (ЧАШ). Часово-імпульсна модуляція, в свою чергу, поділяється на два види: фа-зоімпульсну (ФІМ) і частотно-імпульсну (ЧІМ). Крім того, розрізняють два роди модуляції залежно від того, чи змінюється модульований параметр протягом часу існування імпульсу. Якщо модульований параметр не змінюється, то імпульсна модуляція належить до першого роду (Ш І>, якщо ж модульований параметр змінюється відповідно до поточного значення модулюючого сигналу, — до другого роду (Ш II). Залежно від виду і роду імпульсної модуляції імпульсні елементи підрозділяються на амплітудні, широтні і часові першого або другого РОДУ-
Суть різних видів модуляції ілюструє рис. 10. 2.
Під час амплітудно-імпульсної модуляції першого роду (АІМ І) вхідний безперервний сигнал хвх (рис. 10.2, а) перетворюється в послідовність імпульсів х (рис. 10. 2, б) з періодом повторення
Тривалість імпульсів уТ0 стала, а амплітуда А пропорційна значенню вхідного сигналу в моменти виникнення імпульсів (моменти квантування).
Під час амплітудно-імпульсної модуляції другого роду (АІМ II) амплітуда імпульсів змінюється протягом часу їх існування відповідно до змінювання вхідного сигналу (рис. 10. 2, в).
Під час широтно-імпульсної модуляції першого роду (ШШ І) амплітуда А і період повторення Го залишаються незмінними, а ширина імпульсів уТ0 змінюється пропорційно значенням вхідного сигналу в моменти квантування (рис. 10. 2, г).
Під час фазоімпульсної модуляції (ФІМ І) амплітуда і ширина вихідних
імпульсів залишаються сталими, а змінюється зсув за часом (фаза) аТ0 відносно моментів квантування 0,	2Т0, . . . відповідно до значення
вхідного сигналу в ці моменти (рис. 10. 2, д).
/ Залежно від виду і роду модуляції імпульсні САК бувають трьох типів: амплітудно-імпульсні (ЛІС), широтно-імпульсні (ШІС) і часово-імпульсні (ЧАІС).
Імпульсні САК різних типів, особливо амплітудно-імпульсні та широтно-імпульсні, набули досить значного поширення в автоматизованих електроприводах?]
Інформація про вхідний сигнал з виходу імпульсного елемента надходить лише в дискретні моменти часу, тому в імпульсних САК відбувається деяка втрата інформації і їх точність у загальному випадку нижча порівняно з точністю безперервних систем. Проте перервний характер передачі сигналів між деякими елементами системи зумовлює і низку переваг імпульсних САК.
1.	Можливість багатоточкового керування, тобто використання однієї імпульсної САК для керування процесами в кількох однотипних об’єктах за рахунок того, що ці об’єкти по черзі підключаються до одного керуючого пристрою. Це зумовлено тим, що система керування одним з об’єктів замкнута лише незначну частину періоду квантування, і тому решту часу можна використати для керування іншими об’єктами.
2.	Можливість використання одного каналу зв’язку для різних САК з об’єктами, віддаленими від імпульсних керуючих пристроїв. Це реалізується за рахунок почергового з’єднання об’єктів та керуючих пристроїв за час періоду квантування.
3.	Підвищена захищеність від перешкод. Вона зумовлена тим, що інформація передається у вигляді коротких імпульсів, більшу частину періоду квантування САК залишається розімкнутою і не сприймає перешкод
Імпульсну систему можна вважати безперервною, в якій з частотою квантування відбувається розмикання контуру регулювання. Якщо частота квантування значно перевищує смугу пропускання безперервної частини системи, то САК у цілому практично не реагує на кожний окремий імпульс і поводиться як безперервна система, що сприймає тільки низькочастотний модулюючий сигнал. Для дослідження таких імпульсних САК можна користуватися всіма методами аналізу і синтезу безперервних систем. Наприклад, у системах керування електроприводами широко застосовуються напівпровідникові перетворювачі для живлення силових кіл електродвигунів. За принципом дії ці перетворювачі є імпульсними (використовуються фазоімпульсна і широтно-імпульсна модуляції), однак частота квантування настільки висока, що у цілому такі системи електропривода розглядаються як безперервні.
Якщо частота квантування не досить висока порівняно із смугою пропускання безперервної частини системи, то система встигає реагувати на кожний окремий імпульс, і наявність квантування істотно иплинм ни динаміку системи. Для дослідження таких систем вже не можна користуватися методами, розробленими для безперервних сис
тем, тому що виникає потреба враховувати дискретний характер сигналів. Для цього застосовується спеціальний математичний апарат, що оперує з поняттями решітчастих функцій, різницевих рівнянь, дискретного перетворення Лапласа та ін.
На закінчення відзначимо, що імпульсні системи бувають лінійними і нелінійними. Імпульсна система є лінійною, якщо безперервна частина системи та імпульсний елемент описуються лінійними рівняннями. Імпульсний елемент, що здійснює амплітудно-імпульсну модуляцію звичайно описується лінійними різницевими рівняннями, тому системи з АІМ можуть бути лінійними. Процес широтно-імпульсної та часово-імпульсної модуляцій описується нелінійними рівняннями, що зумовлено незалежністю амплітуди вихідних імпульсів від величини вхідного сигналу, тому системи з ШІМ та ЧАІМ є принципово нелінійними^
Основну увагу в даній главі буде приділено лінійним системам з АІМ.
10. 3. МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ІМПУЛЬСНОГО ЕЛЕМЕНТА СИСТЕМ З АІМ
Імпульсний елемент у системах з АІМ перетворює безперервний вхідний сигнал у послідовність імпульсів, ширина і частота повторення яких сталі, а амплітуда пропорційна величині вхідного сигналу в моменти квантування.
Імпульсний елемент характеризується такими параметрами: коефіцієнт передачі
кі = А/х^
де А — висота (амплітуда) вихідного імпульсу в черговому періоді повторення імпульсів; х — величина сигналу на вході імпульсного елемента на початку того самого періоду повторення імпульсів;
період повторення імпульсів Т, або частота
ШП ~
тривалість імпульсів г = уТ або відносна тривалість у = г/Т0;
форма імпульсу — прямокутна, трикутна, експоненціальна, синусоїдальна тощо;
статична характеристика — залежність модульованого парамет-
Рис. 10. З
ра А від вхідного модулюючого сигналу для лінійних систем к. = сопзі і
А “ кх .
Під час математичного описання реальний імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з’єднання найпростішого імпульсного елемента І і формуючого кола (формувача) 2 (рис. 10. 3).
Найпростіший імпульсний елемент перетворює безперервний вхідний сигнал в імпульси з нескінченно малою тривалістю і нескінченно великою амплітудою, площі яких пропорційні вхідному сигналу в моменти квантування, тобто вихідними сигналами цього елемента будуть д-імпульси, площі яких не дорівнюють одиниці, а є мірою вхідного сигналу в моменти квантування. На рис. 10.3 «Ммпульси умовно зображені стрілками, довжина яких відповідає площі
Рис. 10. 4
імпульсів. Найпростіший імпульсний елемент називається також ідеальним імпульсним елементом або (^-імпульсним елементом, а його
вихідний сигнал — ідеальною імпульсною функірєю.
Формувач перетворює 5-імпульси на вході на реальні імпульси. Реакція ланки на одиничну 3-імпульси становить імпульсну перехідну, або вагову функцію >г(і). ^Зображенням Лапласа вагової функції є переда-точна функція и
1Уф(5) = Ь {и>ф(0}.	(10. 1)
Оскільки на вхід формувача подаються д-імпульси, його вихідні імпульси є ваговими функціями. Тому для визначення передаточної функції формувача достатньо знайти зображення Лапласа функції, що описує форму реального вихідного імпульстл^
Нехай, наприклад, вихідний сигнал реального імпульсного елемента є послідовністю одиничних прямокутних імпульсів, ширина яких
 уТ0. Вагова функція формувача іу (0 становить прямокутний імпульс, який можна подати у вигляді різниці додатної і від’ємної ступінчастих функцій, зсунутих на час уТ0 (рис. 10. 4), тобто
И'ф(і) = 1(0 - Ш - уТ0).
Звідси згідно з (10. 1)
1Уф(х) = £{!(() - 1(ї - уТп)\ «
Рис. 10. 5
ми, тобто
= 1 _ = 1 - е^°3
X 5	5	(10. 2)
При у = 1 сигнал на виході імпульсного елемента зберігається протягом усього періоду повторення імпульсів. Такий імпульсний елемент називається екстраполятором з фіксацією на період, або екстраполятором нульового порядку.
Передаточна функція формувача при у = 1 має вигляд
1 — е~То’
^ф(^) -	~	•	(10. 3)
Якщо тривалість імпульсу значно менша, ніж період повторення (у « 1), то передаточну функцію формувача можна подати у вигляді
1Уф(х) = УТО-	(Ю- 4>
Дійсно, розклавши чисельник виразу (10. 2) в ряд Маклорена поблизу точки у = 0, дістанемо
,	Гі	т ±
— 1	1	УТО$ “*	2!
Якщо у « 1, то ряд швидко збігається і можна обмежитися першими двома члена-
1 - е~^5~уТ^,
звідки безпосередньо дістаємо вираз (10. 4).
Для прямокутного імпульсу, що має амплітуду к?
1 _ е- гг0’
^фС5) = к‘ 5		(10.5)
Якщо у « 1, то
1Уф(х) = к,уТ0.
(10. 6)
Приклад 10. 1. Імпульси на виході реального імпульсного елемента мають трикутну форму(рис. 10. 5, а).Визначити передаточну функцію формувача.
Розв'язання. Вихідний сигнал формувача можна подати у вигляді суми трьох сигналів, графіки яких зображено на рис. 10. 5, б, в, г. Отже,
Звідси
1к. । Ьк. ।
»,<«> - ‘ +
>”о’
= к^'^.
^0°	(10.7)
Під час аналізу імпульсних систем часто замість реального часу і використовується відносний час 7 = і/Т0. У цьому разі час вимірюється кількістю періодів повторення імпульсів Т . Відносний період повторення імпульсів То дорівнює ОДИНИЦІ (Т = 1).
Введемо позначення
£к(/)} =	= Мґ(д),
о
де <7 = Тох — комплексна змінна перетворення Лапласа у відносному часі. Визначимо співвідношення між ЇУ0) і И/(.у).
За теоремою про зміну масштабу
але оскільки 7Т0 = ї, то
£.{я,(7г0)} = £{м<0} = Ви-
тому щоб дістати зображення М'(д') функції и'(і) у відносному масштабі часу, необхідно в зображенні 1У(х) функції аргумент 5 замінити на д/Т0, а саме зображення поділити на То.
Приклад 10. 2. Визначити передаточну функцію 1Рф(д) формувача, передаточну функцію якого И'ф(л-) знайдено в прикладі 10. 1.
Розв’язання. Замінивши у формулі (10. 7) аргумент 5 на д/Т0 і поділивши ИфСг) на Тр, дістанемо
10. 4. МАТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ІМПУЛЬСНИХ САК
Решітчасті функції. Вихідний сигнал імпульсного елемента визначається величиною вхідного сигналу тільки в дискретні моменти часу на початку кожного періоду повторення імпульсів і надалі не залежить від змінювання вхідного сигналу до початку наступного періоду повторення. Тому достатньо знати значення вхідного сигналу лише в дискретні моменти часу, тобто в моменти пТ0, де п — ціле число. На підставі цього безперервну функцію на вході імпульсного елемента можна замінити так званою решітчастою функцією. Решітчастою функцією називається функція дискретного аргументу, значення якої визначені в дискретні моменти часу і = пТ0. Між цими моментами функція дорівнює нулю.
Решітчасту функцію звичайно позначають / [пТ0] або, якщо перейти до відносного часу, / [и]. Операцію заміни безперервної функції решітчастою
/[пт0] = /(0|ґ = яГо
або
/їп] = /(7)^,
зображено на рис. 10. 6.
Використовується також поняття зміщеної решітчастої функції. Аргумент цієї функції і - пТ0 + А/, тобто дискретні значення функції вибираються для моментів часу, зміщених на А/ відносно пТц. Зміщення А/ = соті може бути додатним або від’ємним ліри умові, що | А/ [ < Т . Зміщена решітчаста функція позначається / |пТ0, Аі] або, при використанні відносного часу, — / [п, є], де є » Аі/7^ — відносне зміщення. Надалі вважатимемо, що у решітчастої функції / [п, є] аргумент п > 0 і параметр є > 0. Якщо необхідно розглянути функцію / [п, е0] з від’ємним параметром є < 0, то дискретний час можна подати у вигляді 1(п - 1) + (1 + ЕдЦТ’р = [(п - 1) + є]^. Тоді решітчасту функцію можна записати у вигляді / [(п - 1), є], де є = 1 + є0.
Різниці решітчастих функцій та різницеві рівняння. Різниці решітчастих функцій є аналогами похідних безперервних функцій.
Різниця першого порядку (перша різниця) решітчастої функції /[п]
А/ [и] = / (п + 1] - / [л].	(Ю. 8)
Аналогію між першою різницею і першою похідною видно з того, що перша різниця, як і перша похідна, по суті дорівнює відношенню прирісту функції до приросту аргументу А/ [п]/Ап, але через те що Ап = (п + 1) - п - 1, перша різниця дорівнює А/[п].
Різниця другого порядку (друга різниця) обчислюється за формулою
Рис. 10. 6
(10. 9)
(10. 10)
А2/ [п] = А/ [п + 1] — А/ [и] або, якщо розкрити перші різниці за формулою (10. 8), А2/ И = / [п + 2] - 2/ [п + 1] + / [и]. Різниця Л-го порядку має вигляд
А4/ [и] = А*"'/ \п + 1] - А*”'/ [и] = У (- І/С. / [п + к - ї], (= о	(10. 11)
к ’
де Ск — гу — коефіцієнти бінома Ньютона.
Різниці, що визначаються виразами (10. 8)—(10. 11), називаються прямими. Є також зворотні різниці:
перша
V/ [и] = / [и] - / [и - 1Ь
(10. 12)
друга
V2/ [и] = V/ [и] - V/ [и - 1] = / [и] - 2/ [ п- 1] + / [и - 2} (10. 13) к-го порядку
Vі/ [п] = V*-’/ [п] - V*-'/ [п - 1] = У (- 1)'С/ [п - г].
/-о	(10. 14)
Аналогами інтеграла безперервної функції в межах від 0 до І для решітчастої функції / [п] є неповна сума
а [п] = У / [т] = У / [п - і]
” = о ' -1	(10.15)
і повна сума
О0 [п] = а [п] + / [и] = У / [т] = У / [п - і].
т = 0	і = 0	(Ю. 16)
У повній сумі, на відміну від неповної, значення/[л| в момеиі ЧМ У 1= пТ0 також бере участь у формуванні результату.
Аналогами диференціальних рівнянь є різницеві рівняння (рівняння я кінцевих різницях). Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами при використанні прямих різниць мають вигляд
й0Ату [п\ + йІДт"1у [«] + ... + Ьту [и] = / [п],	(10. 17)
де / [л], у [л] — відповідно задана і шукана решітчасті функції/^ Якщо / [л] = 0, то рівняння (10. 17) називається однорідним. Враховуючи вираз (10. 11), рівняння (10. 17) можна записати у вигляді рекурентного рівняння через повні значення решітчастих функцій:
а^у [п + т] + а,у [п + т - 1| + ... 4 V (л| - / |/і|,	(10. 18)
де
а. = У (- 1/ 'АС*''; А	' і т - І
і = О
= (т ~ 0!
(А — /)!(т — А)! ’
Для розв’язування різницевих рівнянь повинні задаватися початкові умови у вигляді значень шуканої функції у |л| та її різниць під першої до різниці (т - 1)-го порядку, якщо рівняння подано у вигляді (10. 17), або у вигляді ординат цієї функції в точках у |01, у 111,	. . У [лі - 1|
для рівняння типу (10. 18).
Різницеві рівняння вигляду (10. 17) можна розгляди ні як рекурентні співвідношення, які дають змогу обчислювати значення у |/і| при 4*1, 2, 3, . . . для заданих початкових умов, а рівняння вигляду (10. 18) — значення у [п + т] при п = 0, 1, 2, ...
Наприклад, якщо задано різницеве рівняння 3-го порядку
[п + 3] + а.у [п + 2] + а2у [л + 11 ♦ а^у |л|  / |л|
і відомі функції / [л] та початкові умови у |()|, у ||| І у |2|, то дискретні значення функції обчислюються так:
при п = 0
[3] + ау [2] + а^у [1| + ауу |0| - / |0| і
У [3] = (/ [0] - ау [2] - ар> |1) - й, у |0|)/чв;
при п = 1
ОдУ [4] + а{у [3] + ар> [2] + а}у |1| - / |І| і
У [4] = (/ [1] - аіУ [3] - а2 у [2] - а, у |1|)/й0 і т. д.
Різницеві рівняння можна розв’язувати також класичним і опера-торним методами, аналогічними методам розв'язування дифе-416
ренціальних рівнянь. З операторних методів найбільшого поширення набув метод, що грунтується на використанні ^-перетворення.
Основи х-перетворення. Дискретну функцію / [лг7’0], якщо вважати, що / = 0 при і < 0, можна аналітично записати так:
/	= X - пТ^’
п - о	<10. 19)
де /(ґ) — породжуюча безперервна функція; д(і - пТ0) — зміщена на час пТ0 дельта-функція.
Перетворення Лапласа від функції (10. 19) має вигляд
00	00 00
Г(5) = / /(ит0)Є-ял = / £ /(ї)д(і - пт0)]е-яаі =
0	0 п = 0
X 00	00
= 2 І - пТ^е-^і = £ /[пТ0]е-"т0\
о	п-о	(10.20)
Це перетворення називається дискретним перетворенням Лапласа. У символічній формі воно записується так:
Л*) = д{/Н])-
Якщо аргументом безперервної функції є відносний час 7 = і/г, то формула дискретного перетворення матиме вигляд
Г(9) =	= У / [п,є ]е~дп,
п = о	(10. 21)
де д = 8Т0 — комплексне число, що називається параметром дискретного перетворення Лапласа.
Дискретне перетворення для зміщених решітчастих функцій має вигляд
Г(9,е) = И {/ [п,е]1 = У / [пК?л.
л-о	(10. 22)
Зображення Р\$) і Р\д) є трансцендентними функціями від $ і ц, що робить неможливим застосування звичайних методів аналізу в площині 5 або д для дослідження імпульсних систем. Більш прийнятним є так зване г-перетворення. Формули х-перетворення випливають з формул (10. 21) і (10. 22), якщо виконати підстановку ед = г. Вони мають вигляд
Г(х) = 2{/ [«]} =	/ [п]^
л = о	(10.23)
і
Г(г,е) = 2£{/ [п,є]} = У / [п,є]г~я.
п-о	(10.24)
Формули ^-перетворення можна записати також дл* 0нмре*МО( породжуючої функції у вигляді
Г(2) =	= пто;
Е(г,Є) = 2^1)},і = (п + е)Т0,
(10. 23)
де п = 0, 1, 2, . . .
Приклад 10. 3. Визначити ^-перетворення одиничної решітчастої функції А |л| - І |л], Розв’язання. За формулою (10. 23)
Р(?) = 2 (1 [л]} = І[л]х-Л =	1 •	=
п - 0	п = 0
Сума цієї геометричної прогресії обчислюється так:
2Г|ЦлП =	= —-
1	’	1 -- а 1	2 1	(Ю. 26)
х-Перетворення деяких функцій подано в табл. 10. 1. Повніші таблиці х-перетворень можна знайти в працях |5, 6, 14].
Таблиця 10. 1
Безперервна породжуюча функція /«)	Решітчаста функція /[«] •	Перетворення Лапласа Г($)	2-Перетзорення Г(2)	Модифіковане х-леретворення Л'(і, 4)
10)	1[л]		2 2 - 1	2 2 - 1
і	лТ0	1 ?	(х - і)2	тог ЕТог (2-і)2 г - 1
і'2	|(пГ0)2	1 ?	ТоМг +1) 2(г-1)3	Т02г +(1 + 2е)Т02г (ЕТ0)гг (г-1)3	2(2-1)2 +2(г-1)
3!	(^0)3 3!	1 /	То’г^г2 + 4т. і і) 3!(г-1)4	То’гГ є5	Зє2 ЗІ г 1+(г-ї)1 + , 3«(в + 1) г.’ + 4 » 1 ' (ж-і)* + і/ ІҐ
є-”	е-“лГо	1 х + а	= е-“го 2-а	я-4
1-е-0'	1-е-алГо	а .?(.? + а)	</ = е-^о (х-1)(х-О’	"1* III
5ІП	5ІП (ЗлТ’о	Р	X 5ІП г2 — 2х соз )ЇГ0 +1	я1 ііп «ДУд 41 кін >/</(, (’-ІВ ИІ Йї ‘в * * 	У 1 а д
Розглянемо основні властивості ^-перетворення стосовно незмі-щених решітчастих функцій. Ці ж властивості є справедливими також для зміщених функцій / [и, є], крім випадків, для яких буде зроблено застереження.
1.	Властивість лінійності Зображення лінійної комбінації решітчастих функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації їх зображень. Отже, якщо решітчаста функція має вигляд
/ н = і С />],
V = 1	(10. 27)
то її зображення запишеться так:
= і №)
Лі	(10. 28)
2.	Запізнювання і випередження (зсув за часом на ціле число періодів). Для решітчастої функції, зсунутої вправо (запізнюючої) на т періодів, маємо
2{/ [п — щ]} = 2-тГ(2),	(10. 29)
де Р(г) — зображення функції / [п].
Для решітчастої функції, зсунутої вліво (випереджуючої) на т періодів, маємо
2{/ [п + т]} = -У / №'*].
* - О	(10. ЗО)
Якщо / [п] = 0 при п = 0, 1, 2, . . . , т - 1, то
/ [п + т]} = 2тР(2).	(10. 31)
3.	Множення оригіналу на експоненту ^пГо. Зображення незміщеної решітчастої функції записуємо у вигляді
, <10 И)
де (і = еЛ2о, а зміщену — у вигляді
(ю.зз>
4.	Зображення різниць (аналог зображення похідної). Для різниці Л-го порядку маємо
2{ду и) = (2 - 1)*Г(2) - 2У (2 - І)*"1 -”67 [0],
у = о	(10.34)
звідки для першої різниці (к = 1, V = 0)
2{Д / [«]} = (г - ОНз) - г / [0],
для другої
2{Д2/ [/і]} = (2 - 1)2Г(2) - 2(2 - 1) / [0] - 2&/ [ 0].
Якщо початкові умови нульові, тобто п » 0, функція / [п] та її різниці до (к - 1)-ї включно дорівнюють нулю, то
2{д7 [п]} = (2 - \)кР(2).	(10. 35)
5.	Зображення суми (аналог зображення інтеграла). Зображення суми має вигляд
х / Н = 2{° и} = т ~ 0
6.	Початкове значення решітчастої функції. При п  0
/ [0] = Ііт / [п] = Ііт -—- Р(г).
П*О	2	»	2
7.	Кінцеве значення решітчастої функції. При п » решітчастої функції обчислюється за формулою
/ [оо] = Ііт / [п] = Ііт -—-Р(г').
П-* ®	2 -* 1 %
8.	Згортка решітчастих функцій. Якщо
2{ Ц [«]} = р{(2) І /2 [«]} = Р2(2),
ТО
п
Р^Р2(2) = Х{ % /, М/2[п-р] =
V = 0
=	£ /, [п-р]/2М}.
V = 0
9.	Зображення функції Р(у) = РЦГ<>) Р2(р) • Маємо
2{Г(5)} = Рг(2) 2{Р2(ф}.
10.	Розв’язування різницевих рівнянь. Послідовність різницевих рівнянь методом ^-перетворення аналогічна
розв’язування диференціальних рівнянь при використанні перетворення Лапласа безперервних функцій. Спочатку треба перейти від різницевих рівнянь відносно оригіналів до алгебраїчних рівнянь відносно їх г-зображень, потім визначити ^-зображення шуканої функції, розв’язавши знайдене алгебраїчне рівняння, і нарешті перейти від ^-зображення до оригіналу — шуканої решітчастої функції. Нехай, наприклад, різницеве рівняння має вигляд (10. 18)
а^у [п + т] + ау [п + т - 1] + . . . + ату [ п] = / [и].
Розв’яжемо це рівняння при початкових умовах у [0] = уо, у [1] = =у_, . . . , у [т - 1] = Ут_ґ 420
(10. 36)
(10. 37)
<» значення
(10. 38)
(10. 39)
(10. 40) розв’язування послідовності
За функцією-оригіналом / [п] визначимо Г(г) = %{/ [п]}. Позначимо У(г) = 2{у [п]}, потім з врахуванням виразу (10. 30) визначимо г-перетво-рення лівої частини рівняння (9. 18) і подамо його у вигляді
А(г)У(2) = Г(г) + Міг),	(10. 41)
де А(г) = а02т +	. + ат — характеристичний поліном; М (г) =
+ Ь,гт~1 + . . . + Ьт — поліном, коефіцієнти якого залежать від початкових умов. Для нульових початкових умов у0 = у( = . . . - ут_[ = 0 Мл(г) = 0.
З виразу (10. 41) знаходимо зображення шуканої функції у(г\ =	+
А(2) + А(г)
і переходимо до оригіналу
Л'-) , чх*)
АО) А(г)
у [п] = 2~'
Для переходу до оригіналу зображення доцільно подати у вигляді суми простих дробів, для яких оригінали можна знайти в таблицях ^-перетворень функцій часу (див. табл. 10. 1, а також відповідні таблиці в працях [5, 6, 14]), і знайти оригінал у [п] як суму оригіналів, що відповідають простим дробам.
Значення функції у [п] в дискретних точках можна обчислити без знаходження аналітичного виразу для неї, якщо розкласти зображення У(г) в ряд Лорана
У(г) = с0 +	+ с2г~2 + с3г-3 + . . .
Дійсно, з формули (10.23) дістаємо
у(*) = Е у 1п12’л = у101 + у + у [21г’2 п — О
(10. 42)
(10. 43)
З порівняння рядів (10. 42) і (10. 43) випливає, що у [0] = с0, у [1] - ср у [2] = =с2 і т. д.
Найзручнішим способом розкладання в ряд Лорана дрібно-раціональних функцій є ділення чисельника на знаменник.
Приклад 10. 4. За відомим ^-перетворенням
У(2) = —----------
г2 - 0,7г + 0,1 визначити оригінал у [л].
Розв’язання. Розкладемо У(г) на суму простих дробів. Для цього визначимо корені рівняння г2 - 0,7г + 0,1 “ 0. Маємо г1 - 0,5 і г2 - 0,2; тоді
у, , __ ____Зг_______ _ .0 (	2_______2	)
(	~ (г- 0,5) (г - 0,2) |г - 0,5 г - 0,2) '
З табл. 10. 1 знаходимо, що доданку 2/(2 - 0,5) відповідає оригінал е~ апТо, де е-аго, (/ = = 0,5, тобто оригінал має вигляд 0,5л. Аналогічно доданку 2К2 - 0,2) відповідає оригінал 0,2л. Отже, шукана решітчаста функція має вигляд
у [л] = 10 (0,5" - 0,2"),
звідси знайдемо дискретні значення функції у [«]: у [0] - 0; у (1] ~ 3; у [2) - 2Д; у [3] --Ц7 і т. д.
Визначимо тепер дискретні значення функції у [л], розклавши зображення ¥(г) в ряд Лорана діленням чисельника ча знаменник:
Зг	г2 - 0,7г + 0,1
~ Зг - 2,1 + 0,3г'1 рг:1 + 2,1г'2 + 1,17г'3+...
2,1- 0,3г’1
2,1 - 1,47г1 + 0,21г'2
1,17г1-0,21г'2
1,17г1-0,819г'2+0,117г'3
Отже,
Г(г) - 0 + Зг’1 + 2,1г'2 + 1,17г’3 + . .. , тобто у [О] - 0; у [і] - 3; у [2] - 2,1; у [3] - 1,17.
10. 5. ПЕРЕДАТОЧНА ФУНКЦІЯ РОЗІМКНУТОЇ ІМПУЛЬСНОЇ СИСТЕМИ
Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилом перенесення суматорів у безперервних системах, реальний імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з’єднання ідеального імпульсного елемента і формувача (див. п. 10. 3). Отже, структурна схема приводиться до вигляду, зображеному на рис. 10. 7, а, де ІУф(р), Ил6п(р) — передаточні функції формувача і безперервної частини системи.
Формувач об’єднується з безперервною частиною системи ь одну приведену безперервну частину з передаточною функцією
и^п(р) = И^ф(р)Ж6п(р).
Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи має вигляд, зображений на рис. 10. 7, б. Зірочка в індексі означає, що сигнал дискретний, тобто становить послідовність миттєвих імпульсів.
Щоб визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої системи, що складається з послідовно з’єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, треба знайти передаточну функцію приведеної безперервної частини, а потім її х-зображення
Ж(х) = 2{Щ,(р)}.	(10.44)
При нульових початкових умовах передаточні функції Ж(р) і Ж(х) формально збігаються і 2 {Ж(«)} = 2 {ІУ(р)}, тому надалі при виконанні 422
Рис. 10. 7
2-перетворень будемо використовувати співвідношення 7 = рТ І 2 =
<1 0 =е — є о.
Передаточна функція Ж (р) залежить від форми імпульсів на виході імпульсного елемента через те, що ИЧр) = ІУ (ріІУ^Ір), а Жф(р) визначається формою імпульсів. Найчастіше використовуються імпульсні елементи, що генерують короткі прямокутні імпульси, висота яких дорівнює значенню х [м], а тривалість становить уГ0 (див. рис. 10. 4), де у < 1. У цьому разі передаточна функція формувача визначається формулою (10. 2), а передаточна функція приведеної безперервної частини — формулою
1 - е-уГор
^(Р) = -------Р----^п(Р)-
Тоді згідно з (10. 44) і (10. 40)
)У(2) = X |------------1У6п(р)|
(10. 45)
.... ЧГУ| Л _± Р^Др) = (1 - ?)Х	= ±—_-2
[ Р ]	2у [ р
Вираз (10. 45) можна подати також у вигляді
[И'(р)!	,	[Ж (р)1
1У(2) = X	- 2~'Х
І р 1 Ч Р 1 де £ = 1 - у.
При у = 1, коли імпульсний елемент є екстраполятором нульового порядку, вираз (10. 45) матиме вигляд
^(2) = ~^Х
При умові, що у « 1, вираз (10.45) спрощується
Р
(10. 46)
Ж(2) = X {уТ^^р}} = уТ0Х { ИЛ6п(р)}.	(10. 47)
Для зміщеної решітчастої функції маємо
ІУ(2, £) = уТ0Хс {ІУ6п(р)}.	(10. 48)
Під час визначення дискретної передаточної функції розімкнутої системи слід мати на увазі відмінність у визначенні дискретних і безперервних передаточних функцій послідовно з’єднаних ланок. Для безперервних систем передаточна функція послідовно з’єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок. Для імпульсних систем з одним імпульсним елементом на вході це правило не є справедливим, тобто
к
ІУ(г) * П И'(х).
(10.49)
Для визначення дискретної передаточної функції Ж(х) необхідно спочатку знайти
Ж(р) = П \м((р),
І - 1 а потім здійснити 2-перетворсння
Ж(2) = 2 І П (/>)}.
1 1-1 '	1	(10. 50)
Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з’єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, загальну передаточну функцію можна знайти як добуток дискретних передаточних функцій, визначених для кожної ланки з власним імпульсним елементом, тобто
к.
Ж(2) = П 2 і , к < = ! 1 р	(10.51)
де И^/р) — передаточна функція дискретного фільтра, тобто добуток передаточних функцій ланки і формувача імпульсного елемента цієї ланки. При паралельному з’єднанні ланок дискретна передаточна функція ИЧг) може бути визначена як сума дискретних передаточних функцій, що знайдені для кожної ланки окремо:
Ж(2) = У Ж,(2).
(10. 52)
Приклад 10.5. Визначити дискретну передаточну функцію 1У(г) розімкнутої імпульсної системи, якщо передаточна функція безперервної частини має вигляд
^„(Р) р(Ггр + 1)(Т2р + 1)-
а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси ( у « 1) з періодом повторення Тй. При розрахунку прийняти: То = 1 с; Т. - 1 с; Т2 - 0,5 с; кг - 100 с ; у - 0,01.
Розв’язання. Згідно з виразом (10. 47)
,	к
“’И -	+
Передаточну функцію И'6п (р) подамо у вигляді суми простих дробі*. РІмімніМ р(7]р+1)СГ2 р + В “ 0 має один нульовий корінь ру - 0 і два дійсних р2 " -1/^; />, “ І/Г* тому
кхЯ(р) ҐА, А2 Л, \ р (Г,р +1)^ + 1) “ р<Хр) ~ +р + 1/Ті+р + \/Ті}1
де
4=^ = 1-0(0)	*’
2~ рф®-\ гір Р~ Рі
Г.-Г,
Отже,
(а, «X*) =
п^І
р ар ’р=р2
...__?2_ + _Лз } = ^±__2_ + _!_1 р + 1/Г] р + 1/Г2] |р р + 1 р + 2]
За даними табл. 10. 1 і з врахуванням властивості лінійності дістаємо ІУ(г) =	+ —Ч-'і,
їх — 1	2 — <У] 2 — д2 І
де
<7, = е~то/ті = е-1 = 0,368;
а2 = е~ то/т2 = е~2 = 0,135.
Після виконання необхідних перетворень остаточно маємо
0,399г2 + 0,147г
*У(г) =—---------;-------------------.
2і - 1,503г2 + 0,553г - 0,05
10.	6. ПЕРЕДАТОЧНА ФУНКЦІЯ ЗАМКНУТОЇ ІМПУЛЬСНОЇ СИСТЕМИ
Розглянемо імпульсну систему, структурну схему якої наведено на рис. 10. 7, а. Вважатимемо, що передаточну функцію розімкнутої системи визначено і в загальному випадку (є 0) вона становить ІИСг, є). Тоді ^-зображення вихідної величини має вигляд
У(г, £) = Х(г, 0) Ж(2, £).	(10. 53)
Зображення похибки прийнято у вигляді Х(г, 0), тому що імпульсний елемент реагує на похибку тільки в дискретні моменти часу і = пТ0, тобто при £ = 0.
Зображення похибки можна подати як різницю зображень задаючої дії Р(г, 0) і вихідної величини У(2, 0):
Х(2, 0) = Р(2, 0) - У(2, 0).
Через те що У(г, 0) = Х(г, 0)^(2, 0), маємо
X (2, 0) = Р (2, 0) - X (2, 0)ІУ(2, 0) і
У(7 пт =	Л^.0)
1+Ж(2,0)-	(10.54)
Підставивши (10. 54) у (10. 53), дістанемо
Рис. 10. 8
У(г £} = «УМ
М ’	1 + 17(2,0) ’
звідки знайдемо передаточну функцію замкнутої системи
/'(г.О)	1 + 17(2,0)’
(10. 55)
Для незміщених дискретних функцій
IV (г) = ——
Л 7	1 + Ж(г)-	(10. 56)
Передаточна функція замкнутої системи за похибкою записується так:
_ «а , . _!______
Г(г~)	1+ «'(!)	(10.571
Передаточні функції Ж(г), ИЧ2), 17/2) можуть використовуватися для оцінки стійкості і якості імпульсних систем.
Формулами (10. 55), (10. 56), (10. 57) можна користуватися лише у тому разі, коли вагова функція дорівнює нулю в момент 1 = 0. Для цього в системах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді <5-функцій потрібно, щоб степінь полінома чисельника передаточної функції безперервної частини ИЛ6п(р) був меншим степеня полінома знаменника принаймні на два. Якщо степінь полінома знаменника дорівнює степеню полінома чисельника або більший від нього лише на одиницю, то передаточна функція УУ(г, є) має розрив при є = 0, тобто 17(2, +0) ^17(2, -0). В таких випадках у дискретних передаточних функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію 17(2, -0) або функцію 2~’і7(г, 1), що їй дорівнює.
У всіх інших випадках ИДг, -0) = г''М(г, 1) = \¥(г, +0).
Отже, для замкнутої системи з одиничним зворотним зв’язком (див. рис. 10. 7, а) за будь-яких умов справедливими є формули
1 + Г 47(2,1)
(10.58)
і
ж(г>£) =
3	7	1+ 2’17(2,1)
Якщо зворотний зв’язок не одиничний (рис. 10. 8), ТО
Ж,(2)
~ 1 + 17(172(2)
(10.59)
і
- ! + ^Ж2(г)’
Де
?	Ж,(г) = 2{Ж,(р)};
іі	1У,Ж2(г) = Х^р^ір)}.
10.	7. ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
Частотні характеристики імпульсних систем можна дістати за дискретними передаточними функціями за допомогою підстановки 2 = є-""70, яка аналогічна підстановці р = ]а> для частотних характеристик безперервних систем, тому ЩО 2 = еч = е^0. Дуже часто при побудові частотних характеристик користуються відносною частотою
аі = аіГ0, тобто підстановкою 2 = е)Ш.
За аналогією з безперервними системами амплітудно-фазові частотні характеристики імпульсних розімкнутої і замкнутої систем визначаються за формулами
РГ( /а7) =	(10. 60)
*И( /«) = А'3(аі)е^м,	(10 61)
де А"(&>), Л*(ш) — амплітудні частотні характеристики розімкнутої і замкнутої систем; , <р'з(аі) — фазові.
Через те що г ~ еіш = соза> + /зіп аі, частотні характеристики імпульсних систем на відміну від безперервних є періодичними функціями частоти. При а) = 2л/Т0 відносна частота а> дорівнює 2л, тому частотні характеристики імпульсних систем повторюються з частотою аі0, тобто частотні функції та їхні характеристики повністю визначаються змінюванням відносної частоти аі в інтервалі — л аі < л або 0 < аі < л.
Частотні характеристики імпульсних систем, як і безперервних, дають інформацію про реакції на гармонічні дії і застосовуються для дослідження стійкості і якості систем.
Розглянемо, як приклад, побудову амплітудної частотної характеристики розімкнутої імпульсної системи, що складається з імпульсного елемента і безперервної частини з передаточною функцією К/(Тр + 1)
Рис. 10. 9
(рис. 10. 9). Імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси тривалістю уТ0, де у « 1.
Дискретна передаточна функція згідно з (10. 47) має вигляд
( к 1 Ток (	1
Згідно з табл. 10. 1
де б/ = е то/т .
Виконаємо підстановку г = е1Ш = соз ш + і зіп ш Т* ЗВІЛЬНИМОСЯ від уявного числа в знаменнику; тоді дістанемо
= уТ°К со^ + уаі^Ц' ш ' Т СО56У + / ЗІП Ш — І
_ УТйК - (І СО5 й) - і (І зіп ш
Т 1 - 2а? соз <й + сР
Виділивши дійсну і уявну частини
Ж(е '5) =	+ ;У(Й7) -
_ уТ*к 1 ~ СО5^ _ уток 4 »>пц Т 1 — 2б/ созсй + б/2 1 Т 1 — й совш + сР ’
визначимо амплітудну частотну характеристику
= 'Іір-ф') + У2^) *	(10. 62)
= 1
Т V) — 2с?со5аї + сР '
Амплітудні частотні характеристики, побудовані за формулою (10. 62), зображено на рис. 10. 10. Під час розрахунку характеристик прийнято такі значення параметрів: К = 400; Т ~ 1 с; у = 0,05, причому для характеристики на рис. 10. 10, а прийнято То - 0,05 с, а на рис. 10. 10, б — То = 1,5 с, тобто в першому випадку частота квантування перевищує смугу пропускання безперервної частини системи, а в другому — знаходиться в цій смузі.
У граничному випадку, коли частота квантування нескінченно ве-
лика — а>0 -* со (То -+ 0), вхідний гармонічний сигнал сприймається системою як безперервний і частотні характеристики імпульсної системи збігаються з частотними характеристиками безперервної частини системи. Таке саме явище спостерігається і тоді, коли частота квантування досить висока, але не нескінченно велика, тобто характеристики імпульсної системи є характеристиками безперервної частини системи, що періодично повторюються з частотою со — 2л (рис. 10. 10, а). Отже, при досить великій частоті квантування імпульсна система еквівалентна безперервній. Кількісно умови еквівалентності визначаються такими' нерівностями:
"о
(10. 63)
де <у6п — смуга пропускання безперервної частини системи; (о — найбільша частота вхідної дії.
Якщо умови (10. 63) виконуються, то ефект квантування за часом можна не враховувати і розглядати імпульсну систему як безперервну. Ці умови становлять відому теорему Котельникова—Шеннона про умови неспотвореної передачі безперервного сигналу скінченною
кількістю його дискретних значень стосовно систем з амплітудноімпульсною модуляцією. Якщо умови (10. 63) не виконуються, то частотна характеристика імпульсної системи істотно відрізняється від характеристики безперервної частини системи (рис. 10. 10, б). У цьому разі властивості безперервної системи будуть відрізнятися від властивостей імпульсної системи, що має таку саму безперервну частину. Під час дослідження таких систем не можна не враховувати ефект квантування, зокрема для математичного описання систем слід користуватися дискретними передаточними функціями.
Частотні характеристики імпульсної системи можна визначати не тільки за передаточною функцією, а й побудувати графічно за відомою АФХ безперервної частини. Методику побудови викладено, наприклад, у працях [14, 26]. Вона базується на зв’язку АФХ імпульсної і безперервної систем, що визначається виразом
+ 00
РГ( 7Щ) = кГ£ Ж6п[ у( щ + 2яг)],
г -1 - “	(10. 64)
справедливим для систем з амплітудно-імпульсною модуляцією при у -* 0.
Для переходу від характеристики Ж6п(/а>) до характеристики Ж&](уа>) достатньо визначити відносну частоту а>і = шІТ0 і замість абсолютної частоти а>і на криву Ж&і(Ао) нанести значення ші (рис. 10.11, а). Щоб мати можливість врахувати від’ємні значення г у виразі (10. 64), криву ^Лбп(/<и) сл'д доповнити частиною, що відповідає від’ємним частотам. Цю частину характеристики, симетричну відносно дійсної осі, зображе-. но на рис. 10. 11, а штриховою лінією.
Для побудови АФХ дискретної системи вибирають ряд значень л і позначають на частотній характеристиці Ж(/<Д) точки, що відповідають частотам соісо{ — 2л,	— 4л,..., со. + 2л,а>{ + 4л,.... Су-
ма векторів, проведених з початку координат до цих точок, визначає вектор характеристики Ж* (/&>) без врахування коефіцієнта передачі імпульсного елемента Для врахування к. достатньо змінити масштаб на осях координат для Ж*(/<й) у к. разів порівняно з масштабом для Ж(/а>).	_
При досить великих частотах а> модуль частотної характеристики |Ж* ( /а>)| -* 0, тому в сумі рівності (10. 64) можна обмежуватися невеликою кількістю доданків, наприклад двома, тобто вважати, що
+ ^п[/-(й-2я)]}.	(Ю б5)
Згідно з виразом (10. 65) характеристику Ж*(	побудувати_досить
просто. З кожної точки < л частотної характеристики Ж6п( /ш) як з початку координат проводять вектори Ж6п[ і (&> — 2л)]. Кінці цих век-
Рис. 10. 11
торів визначають частотну характеристику Ж* (/со). Масштаб цієї характеристики повинен враховувати коефіцієнт к.. Порядок побудови характеристики Ил*( ]ш) наведено на рис. 10. 11, б.
Під час побудови частотних характеристик імпульсних систем відносну частоту достатньо змінювати в межах від 0 до л, а при побудові характеристик безперервних систем частоту змінюють від 0 до оо. Це створює певні незручності при застосуванні методів, розроблених для безперервних систем (зокрема методів, що базуються на використанні АФХ), для дослідження дискретних систем. Тому при побудові частотних характеристик часто використовують так зване білінійне -м-перетворення дискретних передаточних функцій. Під час м'-перетво-рення в дискретних передаточних функціях аргумент г замінюється аргументом ю за допомогою підстановки
1 " ”	(10. 66)
Аргумент ю через частоту а можна виразити так. З (10. 66) випливає
але через те що г = є о, маємо
_ ЄіаТй — 1
- е'^о + 1 • со ~
__	.	.	7 2 ГО
Поділивши чисельник і знаменник цього виразу на е , дістанемо
Згідно з формулою Ейлера для комплексних чисел маємо
соТ.
-Я-	аа67)
Величина
А Є 2	2	(10.68)
називається відносною псевдочастотою. Зв’язок між частотою со і відносною псевдочастотою Я визначається виразами
2	- —
со = — агсік Я; а> = 2агсік Я, то •	(10. 69)
з яких випливає, що змінюванню частоти со від 0 до л відповідає змінювання псевдочастоти від 0 до <».
Під час побудови частотних характеристик зручніше користуватися абсолютною псевдочастотою
Я =	= 2Я
л <т»	7	Т *
1 о	х	1 о
соТ0 <^Т0
При малих частотах і£—== —і Я == со. Тому при умові соТ0 < 2 в розрахунках псевдочастоту можна замінити дійсною коловою частотою со.
Під час побудови частотних характеристик відносно псевдочастоти за дискретною передаточною функцією спочатку від аргументу 2 переходять до аргументу здійснивши ичаеретворення за формулою (10.66), а потім виконують підстановку = /Я або = /ГдЯ / 2 і дістають комплексну частотну функцію
іу(/Я) = лай** = па) + і ка), за якою будують АФХ або логарифмічні амплітудну і фазову характеристики.
Логарифмічні характеристики визначаються за формулами, подібними до формул для безперервних систем, тобто
ЯХЯ) = 20 А (Я) і
^>(Я) = агсіг
Так само, як і для безперервних систем, Ь (Я) вимірюється в децибелах, <р (Я) — в градусах або радіанах, 1г Я — в декадах.
Логарифмічні частотні характеристики імпульсних систем будувати складніше порівняно з безперервними. Це зумовлено тим, що при послідовному з’єднанні безперервних ланок без імпульсних елементів дискретна передаточна функція не дорівнює добутку дискретних передаточних функцій окремих ланок і вираз Иїї/А) звичайно є сумою дробів. Тому перед побудовою характеристик комплексну функцію спочатку треба привести до вигляду, зручному для логарифмування, тобто подати її у вигляді дробу, що містить у чисельнику і знаменнику елементарні співмножники вигляду К, р., 7/2 + 1 і Т2^!)2 +	+ 1.
Після цього будувати асимптотичну ЛАХ дискретної системи таким самим способом, як і для безперервних систем. ЛФХ визначається як сума фазових характеристик, що відповідають елементарним співмножникам чисельника і знаменника передаточної функції.
Оскільки частотна характеристика розімкнутої системи має скінченне значення при ш = л, що відповідає 1 = оо, при 1 -» оо ЛАХ прямує до сталої величини, а ЛФХ — до значення (А) = 0 або <р (А) = -180°.
Застосування псевдочастоти і логарифмічних характеристик дає змогу досліджувати стійкість і якість перехідних процесів імпульсних систем, а також виконувати синтез корегуючих пристроїв методами, розробленими для безперервних систем.
10. 8. СТІЙКІСТЬ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
І Подібно до безперервних систем лінійна імпульсна система буде стійкою, якщо всі полюси передаточної функції замкнутої системи И^(р) (корені характеристичного рівняння) знаходитимуться в лівій напівплощині комплексної площини р. Межею стійкості є уявна вісь (рис. 10.12, а). Оскільки під час дослідження імпульсних систем звичайно застосовується г-перетворення, необхідно визначити межу стійкості на площині г. Виходячи з того, ЩО 2 = і рівняння р = }Ш відповідає уявній осі на площині р, тобто межі стійкості на цій площині, межу стійкості в площині г можна визначити так. Підставивши р = знаходимо вираз
2 = е-'шТо ~ соз а>Т0 + І 8ІП а>70,
який становить рівняння кола одиничного радіуса. Це коло і є межею стійкості (рис. 10. 12, б). Зона стійкості лежатиме в середині цього кола. Дійсно, якщо р = -а ± то
г = е(-а±Ж =
крім того, | г | < 1, бо |з| = е-аТо.
Отже,(стійкість імпульсної системи можна досліджувати, визначивши корені характеристичного рівняння замкнутої системи О (г) = 0.
Імпульсна система стійка, якщо модулі всіх коренів характеристичного рівняння замкнутої системи менші за одиницю. Якщо модуль хоча б одного кореня перевищує одиницю, то система нестійка; при | г | = 1 система знаходиться на межі стійкості.
Для дослідження стійкості імпульсних систем використовуються критерії, з допомогою яких можна оцінювати стійкість за коефіцієнтами характеристичного рівняння або за частотними характеристиками.
Алгебраїчні критерії стійкості. Ці критерії було розроблено стосовно безперервних систем. Вони дозволяють визначити, чи всі корені характеристичного рівняння знаходяться в лівій напівплощині комплексної площини коренів. Застосувати ці критерії безпосередньо для дослідження імпульсних систем неможливо. Дійсно, характеристичне рівняння імпульсної системи можна подати у вигляді
ТХг) =	+ . . . + а^г + а1 = 0
(10. 70)
або
(10. 71) коренів
£>*(р) = ао^рТо + а1е‘~1рТо + ... + а1__іерТо + а1 — 0.
Для рівняння (10. 70) умовою стійкості є розміщення всіх всередині кола одиничного радіуса в площині коренів г, а не в лівій напівплощині. Для рівняння (10. 71) умовою стійкості залишається розміщення всіх коренів рі в лівій напівплощині коренів р. Проте критерії стійкості застосовуються лише до характеристичних рівнянь у вигляді поліномів, а рівняння (10. 71) є трансцендентним. Щоб застосувати відомі алгебраїчні критерії стійкості безперервних систем для дослідження імпульсних систем, необхідно виконати и'-перетворення, яке полягає в заміні комплексної змінної г в рівнянні (10. 70) на комп-434
лексну змінну уу за допомогою формули г = (1 + уу)/(1 - уу). Внаслідок цього перетворення утворюється поліноміальне рівняння
£Куу) = 0.	(10. 72)
Зоною стійкості для його коренів буде ліва напівплощина коренів уу (рис. 10. 12, в). До цього рівняння можна застосувати всі алгебраїчні критерії стійкості — Вишнєградського, Гурвіца і Рауса, тому що умова стійкості для рівняння (10. 72) збігається з умовами стійкості безперервних систем.
Наприклад, для використання критерію Гурвіца необхідно визначити передаточну функцію замкнутої системи ІГ/з) = ОігУ/ГХг) і записати характеристичне рівняння О (з) = 0. Потім у цьому рівнянні треба виконати підстановку г = (1 + уу)/(1 - уу)
_ . .	(1 + УУ У (1 + УУ)' -1	_
- а0 0 _ „у + р _ „у-і + ••• + <4 - °-
Після приведення цього виразу до загального знаменника дістанемо нове характеристичне рівняння того самого порядку
£)'(н’) =	+ ... + а\ = 0,	(ДО. 73)
де а'. — коефіцієнти, що є комбінаціями доданків і сум коефіцієнтів а.
Згідно з критерієм Гурвіца для стійкості імпульсної системи необхідно і достатньо, щоб при а'о>0 визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори були додатними:
Д, > 0; Д/_1 > 0; .. .; Д, > 0.
Приклад 10. 6. Визначити за критерієм Гурвіца стійкість системи, характеристичне рівняння якої має вигляд
25г3 - 5г2 - 10г - 1 - 0.
Розв’язання. Виконаємо к-перетворення
\ 3	/.	\ 2
-5 М -10^-1 =
25
_ 20У + 90к2 + 80к +10 _ 0
(1-к)3
Перетворене характеристичне рівняння має вигляд
Од»3 + а{п2 +	+ Яз =
= 20К3 + 90н>2 + 80к +10 = 0.
Згідно з критерієм Гурвіца система стійка, тому що > 0; а[ > 0;	> 0;	> 0 і
= а{ а? - Дд Яз = 7000 > 0.
А ґ’ д, = рб 02
Стійкість системи можна визначити також безпосередньо за ко
ефіцієнтами рівняння (10. 70), не виконуючи ^-перетворення, якщо скористатися критерієм Шур-Кона.
Формулювання критерію:
для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб у послідовності / визначників А*, що утворюються з коефіцієнтів рівняння (10. 70) за певним законом, чергувалися знаки, причому, якщо к непарне, то Ал < 0; якщо к парне, то А* > 0.
Визначник А* складається з 2к рядків і стовпців і має такий вигляд:
	4	0	0	0	4	Я; ..	4-і	
	4-і	4	0	0	0	я0 ..	4-2	
	4-2	4-і	Я/	0	0	0	..	4-з	
А* =	+ ’ Д • о	4-к +2 0	4-к + З 0	4 0	0 4	0	.. 4-і ••	4 4- к + 1	
	4	4	0	0	0	я; ..	4-к + 2	
	4	4	я;	0	0	0	..	4-к + з	
	4-і	4-2	4-з	••	4	0	0	..	4	(10. 74)
де к = 1, 2, 3, . . . , /; я*, я*,..., я* — коефіцієнти, комплексно-спряжені
коефіцієнтам рівняння (10. 70).
Наприклад, рівняння аог3 + ляд:
А. =
при І = 3 і дійсних коефіцієнтах характеристичного а{г2 + а2г + я3 = 0 визначники А4 матимуть такий виг-
я3	0	а0
4 .	*	_	а2	4	0	4
ай Яз ’	2	<20	0 я3 я2
Яі	а0	0	а3
Аз =
«з 0
4 4 я, я2 ао 0
<21 <20 4 4
0 <20 0 0
Яз 0 0 я3 0 0 я0 0
а, 4
4 4 0	<20
4 аі я3 я2 0 я3
Для стійкості системи третього порядку необхідно і достатньо, щоб виконувались умови: А1 < 0; А2 > 0; А3 < 0.
Частотні критерії стійкості. Оцінка стійкості імпульсних систем можлива також за частотними критеріями, подібними до критеріїв Михайлова і Найквіста для безперервних систем.
Аналог критерію Михайлова. Під час дослідження стійкості за критерієм Михайлова використовується характеристичне рівняння зам-
кнутої системи £Хг) - 0 і виконується підстановка т. = е ’ш. Через те що е ,ш — соз ш + зіп ш, після цієї підстановки рівняння (10. 70) матиме вигляд
П(еіа) = а0 соз їш + ]'а0 зіп Іш + ах соз (/ — 1)ш +
+ /а, зіп (І — 1)й + ... + а[ _! соз ш + іа{ _ 1 зіп ш + а1 = цо 75)
= Х(ш) + /У(ш),
де
Х(ш) = а0 соз Іш + а, соз (/ — 1)&> + ... + а[_[ соз ш + а(;
У(й) = а0 зіп Іш + ах зіп (/ - 1)й + ... + а1_1 зіп ш.
Змінюючи частоту ш від 0 до я, за формулою (10. 75) на комплексній площині будуємо криву — аналог годографа вектора Михайлова. За виглядом цього годографа робимо висновок про стійкість системи.
Формулювання критерію:
імпульсна система автоматичного керування стійка, якщо годограф вектора О(е/Ш) при змінюванні частоти ш від 0 до я починається при ш = 0 на додатній дійсній півосі і обходить у додатному напрямку (проти ходу стрілки годинника) послідовно 21 квадрантів, ніде не перетворюючись в нуль; тут / — порядок характеристичного рівняння.
Годограф вектора П(еі<0') стійкої системи третього порядку зображено на рис. 10. 13. На відміну від безперервних систем годограф не прямує до нескінченності, а закінчується на дійсній осі. Крім того, годограф проходить вдвоє більше квадрантів.
Якщо годограф О(еіш') проходить через початок координат, то система перебуває на межі стійкості.
Враховуючи, що при ш = = 0	= £>(1) , а при ш = л
= О(-1), можна сформулювати такі необхідні умови стійкості:
1) для системи непарного порядку О (1) > 0 і О (-1) < 0;
2) для системи парного порядку П (1) > 0 і О (-1) > 0.
Перш ніж будувати годограф век-
тора	при дослідженні
стійкості, доцільно перевірити, чи виконуються ці досить прості умови. Якщо вони не виконуються, то система нестійка і будувати годограф немає потреби.
Аналог критерію Найквіста. Подібно до безперервних систем для дослідження стійкості замкнутих імпульсних систем можна використовувати АФХ розімкнутих систем.
Аналог критерію Найквіста стосовно імпульсних систем формулюється так:
1) якщо система стійка в розімкнутому стані або нейтральна, тобто має нульові полюси рі, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб_АФХ розімкнутої системи при змінюванні відносної частоти ш від 0 до л не охоплювала точку з координатами (-1, /0) і не проходила через неї;
2) якщо система нестійка в розімкнутому стані, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при змінюванні частоти ш від 0 до я охоплювала точку з координатами (-1, /0) к/2 разів, де к — кількість коренів характеристичного рівняння безперервної частини розімкнутої системи, що мають додатну дійсну частину, або, що те саме, кількість коренів гі характеристичного рівняння розімкнутої імпульсної системи, модулі яких більші за одиницю.
Отже, під час дослідження стійкості за критерієм Найквіста передусім треба перевірити стійкість розімкнутої системи і, якщо вона нестійка, визначити кількість коренів р. з додатною дійсною частиною. Це зробити неважко, якщо мати на увазі, що основні полюси передаточних функцій безперервної Шр) та імпульсної И^р) розімкнутих систем збігаються, тобто робити висновок про стійкість розімкнутої імпульсної системи можна на підставі перевірки стійкості її безперервної частини.
АФХ розімкнутої стійкої імпульсної системи, що відповідають стійкій (крива 1) і нестійкій (крива 2) замкнутим імпульсним системам,
зображено на рис. 10.14, а. На рис. 10.14, б наведено АФХ розімкнутих систем, стійкої (крива 1) і нестійкої (крива 2 ) в замкнутому стані при к = 2.
Як бачимо, формулювання критерію Найквіста для імпульсних систем залишається таким самим, як і для безперервних. Відмінність полягає в тому, що АФХ імпульсних систем при ш = л закінчуються на дійсній осі, а не стягуються в початок координат.
Другою особливістю є залежність АФХ імпульсної системи від періоду квантування То імпульсного елемента. Це неважко виявити, якщо проаналізувати побудову АФХ імпульсної системи за АФХ безперервної системи (див. рис. 10. П, б).
Введення імпульсного елемента в деяких випадках може бути засобом стабілізації нестійких замкнутих безперервних систем. У праці [26] рекомендується період квантування вибирати з умови
То >
де ш — частота, при якій АФХ безперервної частини розімкнутої системи перетинає додатну уявну піввісь.
Відповідно до критерію Найквіста стійкість замкнутої системи можна визначати не тільки за АФХ розімкнутої системи, але й за логарифмічними характеристиками — амплітудною Ь (к) і фазовою <р (А). Для цього попередньо треба виконати ^-перетворення і перейти до
Т псевдочастоти А, застосувавши підстановку ю -^-к = ]к.
Стосовно логарифмічних характеристик критерій Найквіста формулюється так:
1) якщо система стійка або нейтральна в розімкнутому стані, то для
стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб на частоті зрізу Лз, що відповідає £(А) = 0, фаза за модулем була менша л;
2) якщо система нестійка в розімкнутому стані і характеристичне рівняння має к коренів г., модулі яких перевищують одиницю, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб при £(А) > 0 кількість перетинів фазовою характеристикою рівня -л знизу вгору була в к/2 разів більшою кількості перетинів у протилежному напрямку.
Приклад 10. 7. Виконати дослідження стійкості замкнутої імпульсної САК за допомогою логарифмічних характеристик і визначити запаси стійкості по фазі й амплітуді, якщо передаточна функція системи в розімкнутому стані має вигляд
= 10г^2 + !’2г + °-П)
1 ’	0-1)0-0,135)0-0,5)'
Розв’язання. Полюси передаточної функції розімкнутої системи - 1; г2 --0,135;	- 0,5, тому розімкнула система нейтральна і для дослідження стійкості замк -
Рис. 10. 15
нутої системи застосовується перше формулювання критерію Найквіста в логарифмічній формі.
Для побудови логарифмічних характеристик спочатку подамо чисельник передаточної функції Иїг) у вигляді добутку елементарних співмножників
1 > (г - 1) (г - 0,135) (г - 0,5) ’
а потім виконаємо ж-перетворення, зробивши підстановку г - (1 + ж)/(1 - ж). Після спрощень дістанемо
= 10(1 + ж) (2,1 - 0,1ж) (0,9ж + 1,1) 1 >	2ж(1,135ж + 0,865) (1,5ж + 0,5) '
Подамо передаточну функцію И4ж) у вигляді, зручному для побудови логарифмічних характеристик:
= 26,7(ж + 1) (1 — 0,0475ж) (0,82ж + 1)
1 ’	ж(1,312ж + 1)(3и' + 1)
Виконаємо підстановку ж = /X
і •-) 26-7(а+ОС ~ °’0457АХ0’82-^+о
И''/Л7~	Д(1,312Д+ 1)(з.Д+ 1)
і побудуємо ЛАХ А(/.) і ЛФХ ^(А).
Методика побудови £(І) така сама, як і методика побудови асимптотичних ЛАХ безперервних систем^ Низькочастотна (початкова) частина ЛАХ проходить через точку з координатами 201826,7 = 28,5дБ, і® А = 0 з нахилом -20 дБ/дек, тому що передаточна функція має співмножник к)А. Логарифми частот сполуки:
18	= І8(И>,0475) = 1,32;	18 ї2 = І8(И>,82) = 0,09;
18 І, = 18 1 = 0; 18	= І8(И,зі2) = -0,12;
18 Х5 = 18(16) = -0,48.
Фазова характеристика розраховується за формулою
<р(к) = — л/г + агсі8 А — агс І8 0,04752 + агсіа 0,822 -
- агсіа 1,3122-агсі8 ЗА.
Побудовані ЛАХ і ЛФХ зображено на рис. 10. 15.
Система регулювання на псевдочастоті зрізу 2з = 5(18 2з = 0,7) має запас стійкості по фазі Ар - 64 °. Запас стійкості по амплітуді А£ - 11 дБ.
10. 9. ЯКІСТЬ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
| Якість імпульсних систем оцінюється точністю роботи в усталеному режимі і характером перехідних процесів при типових вхідних і збурюючих діях.
Усталену похибку в загальному випадку можна визначити таким самим способом, як і в безперервних системах, тобто знайти зображення похибки і перейти до її усталеного значення^ Зображення похибки визначається з виразу передаточної функції (10. 57) замкнутої системи відносно похибки
X (з) = ]¥(г)Р(г).	(10. 76)
Усталене значення похибки згідно з формулою (10. 38) для кінцевого значення оригіналу (решітчастої функції) запишеться у вигляді г — 1 х[оо] = Ііт—-—
«і
(10. 77)
За цією формулою можна знайти усталену похибку при будь-якій формі вхідного сигналу / [и]. Проте її можна застосовувати тільки в тому разі, коли межа в правій частині існує. Межа не існує, якщо, наприклад, усталена похибка є гармонічною функцією.
Імпульсна система, у якої усталена похибка при будь-якому зовнішньому сигналі дорівнює нулю, називається астатичною по відношенню до цього сигналу. В противному разі система називається статичною. Системи, астатичні щодо ступінчастого сигналу, називаються системами з астатизмом першого порядку, астатичні щодо сигналу, що змінюється із сталою швидкістю, — системами з астатизмом дру-
гого порядку і т. д.
Точність імпульсної системи в усталеному режимі можна
оцінювати за коефіцієнтами похибок, які становлять коефіцієнти Со, С(, С2 , . . . розкладання передаточної функції за похибкою Жх(з) в ряд Маклорена за степенями р. Ці коефіцієнти визначаються за формулою
ск
1 ^х(р)
(10. 78)
де
= ^(4=;ор.
Величини, обернені коефіцієнтам похибок, так само як і для безперервних систем, називаються відповідними добротностями. Наприклад, добротність за швидкістю
ку = 1/С,,	(10. 79)
добротність за прискоренням
= !/С2
і т. д.
Приклад 10. 8. Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи мас вигляд ч 0,25г2 - 0,275г Ж(г) = —------------------------------------.
г2 - 1,9г + 0,9
Визначити перші два коефіцієнти похибок Со і СІ при То - 0,1 с.
Розв’язання. Запишемо передаточну функцію замкнутої системи відносно похибки	,
’	1 + Ж(г) 1,25г2 - 2,175г + 0,9
Для визначення коефіцієнта похибки Со в цей вираз підставимо г - 1, що відповідає р - 0. Тоді
со “ жх(1) “ 0
Для визначення коефіцієнта С} продиференціюємо передаточну функцію ї¥х(ерТо') :
^(/Г°) _ а е2Тор - 1,9еГор + 0,9 'і
&Р &Р ^1,гбе27^ - 2,175/ор + 0,9
О,2ТоеЗГор - О,45Гое2Тор + О,24757’оеГор
(\,25е2Гор - 2,175еГор + 0,9)2
0,2Т0г3 - 0,457^ + О,245Гог (1,25г2 - 2,175г + 0,9)2
Підставивши в цей вираз г - 1 і То - 0,1 є, дістанемо
С, - 0,4 с.
Якість перехідних процесів імпульсних систем оцінюється такими самими показниками, як і безперервних. Найважливішими з них є тривалість перехідного процесу і максимальне відхилення регульованої величини від усталеного значення. Ці показники можна визначити розв’язуванням різницевого рівняння, що описує динаміку системи.
Методи розв’язування різницевих рівнянь розглянуто в п. 10. 4. Зокрема для розрахунку перехідної характеристики, тобто реакції системи на одиничну ступінчасту дію при нульових початкових умовах, зручно застосовувати г-перетворення. В цьому разі зображення вхідної величини має вигляд
2 - Г	(10. 80)
а зображення вихідної — вигляд
7^) = ^)^)=^^).	(Ю81)
Переходячи від зображення (10. 81) до оригіналу, знаходимо шукану решітчасту функцію у[л]. Якість перехідного процесу визначається за графіком безперервної функції у (0, що відповідає решітчастій функції у [и].
Якість перехідного процесу можна оцінювати також за полюсами і нулями передаточної функції, не розв’язуючи різницеве рівняння. Як-
Рис. 10. 16
що нулі відсутні, то полюси повністю визначають перехідний процес у системі. Кожному кореню характеристичного рівняння відповідає складова перехідного процесу вигляду СУ. Характер перехідного процесу кожної складової залежить від кореня г,. Відомо, що для стійкої системи модулі всіх коренів мають бути меншими за одиницю. При цьому додатному дійсному кореню відповідає експоненціально зату- < хаюча послідовність <5-імпульсів, від’ємному дійсному — знакозмінна затухаюча послідовність, комплексним — коливальна затухаюча послідовність (рис. 10. 16).
Коло одиничного радіуса на площині г є відображенням уявної осі на площині р. Якщо корінь р є дійсним від’ємним (р = -а), то корінь 2 = Уго = е~ 07 о буде дійсним додатним, тобто від’ємна дійсна піввісь площини р відображується у відрізок додатної півосі площини г всере- ’ дині кола одиничного радіуса. Парі комплексно-спряжених коренів у лівій напівплощині площини р відповідає пара комплексно-спряжених коренів усередині кола одиничного радіуса або два дійсних корені на від’ємній дійсній півосі площини г. Справді, якщо р = -а ± то г = е~г7ое±;/їго, тобто в загальному випадку дістаємо комплексні корені на площині 2. Проте, якщо @Т0 = я або @Т0 = (2л + 1)я, то е^о = — 1, тобто корені потрапляють на від’ємну дійсну піввісь.
Найбільш істотно на перехідний процес впливають корені, розміщені найближче до уявної осі площини р. Це саме можна сказати про корені, розміщені ближче, ніж інші, до кола одиничного радіуса площини г. Такі корені називаються домінуючими.
Якщо система має пару домінуючих комплексно-спряжених коренів г 2 = а ±і@, а решта коренів знаходяться поблизу від початку координат, то час досягнення першого максимуму і пере регулювання визначаються такими формулами [25]:
« То - (М + 1) + ^ + 5];	(Ю 82)
» к ЦІ ’ + " +	<Ю. 83)
де в = агс{£ рТд, М — кількість нулів передаточної функції; У — кількість полюсів; Ь — додатне число (Ь < 1), при якому вираз у квадратних дужках у формулі (10. 82) дорівнює цілому числу; к = соз Ьв + +(СО8ЄС в/\ 2^ — Сї£ в) ЗІП Ь&,	= д/а2 + р2 — модуль домінуючого кореня.
Якість імпульсних систем можна характеризувати також непрямими оцінками, подібними до критеріїв якості безперервних систем. Цими оцінками є ступені стійкості >; і коливальності ц, а також інтегральні оцінки якості.
Ступінь стійкості г) визначається абсолютною величиною дійсної частини найближчого до уявної осі комплексної площини р кореня р. = =а.±@. характеристичного рівняння замкнутої системи
£>*(р) = аоеІТ°р + а1е(;~,)Г°р + ... + а;_1е7°р 4-а, = 0, тобто
Ч = I а іт-
Якщо перейти до відносного часу, тобто ввести змінну д “ Т^р (комплексну змінну перетворення Лапласа у відносному часі), то характеристичне рівняння матиме вигляд
Д’(<7) = аое ’ + а1е<(-1>’ + . . . + а^е9 + а, - 0 і ступінь стійкості обчислюється за формулою
Ч = І то«І иі„-
Тривалість перехідного процесу, вимірювана кількістю періодів квантування, і абсолютна тривалість визначається через ступінь стійкості:
« 3/5?,
іп^ЗТ0/д = 3/д.
Цікаво відзначити, що в імпульсних системах теоретично можлива реалізація нескінченно великого ступеня стійкості. Ступінь стійкості т] дорівнює нескінченності тільки в тому разі, коли всі корені характеристичного рівняння £>’ (р) = 0 мають нескінченно велику від’ємну дійсну частину, а це означає, що всі корені характеристичного рівняння ГХ.г) - 0 мають дорівнювати нулю. Якщо характеристичне рівняння має вигляд (10. 70), то всі корені дорівнюють нулю тільки при умові, що
а, = а2 = . . . = а;_1 = а, = 0.	(10. 84)
У системах з нескінченно великим ступенем стійкості перехідний процес при одиничній ступінчастій дії має скінченну тривалість
(закінчується протягом скінченної кількості періодів квантування). Умова (10.84) називається умовою скінченної тривалості перехідного процесу.
Дійсно, якщо для передаточної функції замкнутої системи
Ь02т + Ь.2т 1 + ... + Ь . 2 + Ь іІГ / \	0	1	т 1	т
=	----і------------------------
аог + ар1 1 + ... + а^р + а1
виконується умова (10. 84), то
ІУ(2) =	+
а0 *0
... + а°
Імпульсна перехідна характеристика,
Ж и), визначається за формулою
у [п] = — д [п — (І — пї)] Н—- <5 [п - (/ — т + 1)] + ... ао	ае
Ь , т —і --2 .
ао
що є оригіналом зображення
Ь ,	Ь
... + -^ <5 [п - (І -1)] + — <5 [п -/], «о	«0
де <5 [л] — дельта-функція.
З цього виразу видно, що імпульсна перехідна характеристика складається із скінченної кількості імпульсів, яка не перевищує степеня знаменника передаточної функції. Однак практична реалізація умов скінченної тривалості перехідних процесів у багатьох випадках ускладнена.
Ступінь коливальності ,и є непрямою оцінкою коливальності системи. Для стійких імпульсних систем він визначається як абсолютна величина максимального відношення уявної і дійсної частин коренів характеристичного рівняння £)* (р) = 0 або £>’ (д) = 0, тобто
£ а
=
Непрямими оцінками, що враховують не тільки тривалість процесу, а і його відхилення від усталеного значення протягом перехідного процесу, є інтегральні оцінки якості.
Найпростішою є лінійна інтегральна оцінка
Ц = У (У [°°1 - У М) = У є («І, п = 0	я = 0
(10. 85)
де у [оо] — усталене значення вихідної величини.
Ця оцінка придатна тільки для оцінки неколивальних процесів.
Ширше застосування знайшла квадратична інтегральна оцінка
ес	ес
Л = У (у [°°] - У [л])2 = У е2 [л].
я = 0	л = 0	(10. 86)
Найкращою є та імпульсна система, для якої інтегральні оцінки мінімальні. Значення параметрів системи, що відповідають мінімальним оцінкам, називаються оптимальними за якістю перехідного процесу.
10. 10. КОРЕКЦІЯ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
Загальна мета корекції імпульсних систем полягає у забезпеченні стійкості, заданої точності роботи в усталеному режимі, задовільної якості перехідних процесів.
Корекцію можна здійснювати за рахунок змінювання параметрів системи без зміни її структури або за рахунок введення додаткових корегуючих кіл. В свою чергу, корегуючі кола можуть бути безперервними або дискретними.
Найпростішим способом корекції є змінювання коефіцієнта підсилення розімкнутої системи, який впливає практично на всі властивості системи.
Значення коефіцієнта підсилення К, при яких система зберігає стійкість, можна визначити за будь-яким критерієм стійкості, якщо використати умови, при яких система знаходиться на межі стійкості.
Приклад 10. 9. Передаточна функція розімкнутої системи
0,5 Ха г2 - 1,2г + 0,25
Визначити, при яких значеннях коефіцієнта К імпульсна система стійка у замкнутому стані.
Розв’язання. Характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд
Аг) - а2 - 1,2г + 0,25 + 0,5Кг - г2 + (0,5К - 1,2)г + 0,25 - 0.
Виконаємо и'-перетворення
/ 1 -1. IV \	} +• IV
+ (0,5/С- 1,2) т2— + 0,25 = 0
і визначимо характеристичне рівняння
(2,45 - 0,5Л>2 + 1,5»у + 0,5К + 0,05 - 0.
Згідно з критерієм Гурвіца система другого порядку стійка, якщо всі коефіцієнти характеристичного рівняння будуть додатними, тобто
2,45 - 0,5 X > 0;
1,5 > 0;
0,5 X + 0,05 > 0.
Останні дві умови виконуються при будь-яких додатних значеннях К. З першої умови дістанемо К < 4,9, тобто імпульсна система стійка лише при < 4,9.
Коефіцієнт підсилення К розімкнутої системи, що забезпечує бажаний показник коливальності М, можна визначити так [25] . Записується передаточна функція розімкнутої системи у вигляді
1У(2) =
і на комплексній площині будується амплітудно-фазова характеристика	за допомогою
підстановки г = є1'11 для діапазону частот 0 < ш «£ л (рис. 10.17). Після
цього з початку координат проводиться пряма ОА під кутом <р = агсзіп (1/М) до від’ємної дійсної півосі і будується коло з центром на від’ємній дійсній півосі так, щоб воно було дотичним одночасно до амплітудно-фазової характеристики і прямої О А.
Дістанемо потрібне значення коефіцієнта підсилення м2цм2 -1) к ос оо'
Корекція імпульсної системи за рахунок введення корегуючих пристроїв полягає в змінюванні частотних характеристик системи з метою максимального їх наближення до бажаних. Корегуючі пристрої можуть бути безперервними або дискретними.
Безперервний корегуючий пристрій можна вводити послідовно з ланками незмінюваної частини системи, паралельно деяким з них, а також у вигляді зворотного зв’язку, що охоплює всю систему або частину її ланок.
Визначення параметрів послідовного корегуючого пристрою стано-
вить у загальному випадку досить складну задачу, тому що передаточна функція корегуючого пристрою під час розрахунку включається в передаточну функцію приведеної безперервної частини. У найпростіших випадках при досить високій частоті квантування і великій інерційності безперервної частини системи, коли виконується умова (10. 63), імпульсну систему можна замінити безперервною, динаміка якої близька до імпульсної. У цьому разі згідно з виразом (10. 64) при г = 0 і у -» 0 можна записати
(10. 87)
Рис. 10.18
ІЕ
Рис. 10. 19
або
_	_ ІГб(9) =
де ІУ6(;а>), ІУк(;а>), У¥6п(іт) — частотні характеристики: бажана, корегуючого пристрою, безперервної частини вихідної системи; к — коефіцієнт передачі імпульсного елемента.
З врахуванням тривалості імпульсів (у * 0) вираз (10. 87) матиме вигляд
ІУ6( 7«) = к]¥к( ;«)ІУ6п(	(10
або
ИДО = к^ч№^е~пІг.
Структурну схему еквівалентної безперервної системи з послідовним корегуючим пристроєм зображено на рис. 10. 18.
Після заміни імпульсної системи безперервною синтез послідовного корегуючого пристрою можна виконати методами, розробленими для безперервних систем, зокрема методом логарифмічних частотних характеристик.
Розглянемо тепер корегуючий пристрій, що вмикається паралельно безперервній частині системи (рис. 10. 19, а). Якщо перенести вузол через ланку то дістанемо структурну схему на рис. 10. 19, б, де И^О?) — передаточна функція приведеної безперервної частини; — передаточна функція приведеного паралельного корегуючого кола. Тоді передаточна функція розімкнутої імпульсної системи матиме вигляд
^6(<7) = И^)+іГ „(<?), а бажана частотна функція — вигляд
И^(;а>) = іГ(;а>) + И^п(уа7).	(10 89)
З виразу (10. 89) можна визначити частотну характеристику паралельного корегуючого кола, якщо відома бажана частотна характеристика И^( ]ш):
= ^6(/ф)-іГ(7«7).
Після цього за виглядом знайденої частотної характеристики визначається передаточна функція У/^(д), схема корегуючої ланки та її параметри. При цьому рекомендується користуватися таблицями, які можна знайти, наприклад, у праці [27].
Корегуючі ланки імпульсної дії вводяться після імпульсного елемента Найчастіше корегуючі ланки — це цифрові корегуючі пристрої (цифрові регулятори). Синтез цифрових регуляторів розглядатиметься в п. 10. 2.
10. 11. ЦИФРОВІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Цифровою системою автоматичного керування називається система, у замкнутому контурі якої є хоча б один пристрій, що перетворює безперервні сигнали в цифрові коди і виконує математичні операції над цими кодами. У контурі цифрової системи цифровий регулятор виконує властиві йому математичні операції і видає результат у дискретні моменти часу / = Т№ 2Т^ ЗТ0, ... В інтервалах між цими моментами на виході регулятора зберігається те значення, яке було на початку розглядуваного інтервалу. Тому на виході регулятора існує не безперервна функція х(1), а відповідна ступінчаста х(пТ0), тобто здійснюється квантування за часом (рис. 10.20). Крім того, відбувається квантування за рівнем, тому що внаслідок цифрової подачі інформації вихідний сигнал може набувати тільки певних фіксованих рівнів, що відрізняються один від одного на величину д. Величина д відповідає одиниці молодшого розряду цифрового регулятора, тобто безперервний сигнал х (0 подається у вигляді
х (0 = х*(лТ0) + а, де | а | < д, а х*(лТ0) містить ціле число рівнів д.
Отже, в цифрових системах відбувається квантування сигналу за часом і рівнем. Квантування за часом робить цифрову систему дискретною, а квантування за рівнем — нелінійною. Однак при малому д впливом квантування за рівнем на динаміку системи можна знехтувати, тобто покласти д = 0. У цьому разі для дослідження цифрових систем можна застосувати математичний апарат дослідження
Рис. 10. 21
лінійних імпульсних систем з амплітудно-імпульсною модуляцією: дискретне ^-перетворення і різницеві рівняння.
Спрощену структурну схему цифрової системи подано на рис. 10. 21. Безперервний сигнал похибки е(/) імпульсним елементом ІЕ1 перетворюється в решітчасту цифрову функцію є [л] і надходить на вхід ЦОМ, яку подано у вигляді передаточної функції £> (г). Вихідний сигнал ЦОМ імпульсним елементом ІЕ2 і формувачем )Уф(р) перетворюється в ступінчастий сигнал. Безперервну частину системи подано ланкою з передаточною функцією И^р).
На виході формувача імпульсів протягом усього періоду квантування То зберігається попереднє значення сигналу, тому формувач є фіксатором нульового порядку. Його передаточна функція має вигляд 1 - е~ т0р ( ) = --------------------------------5---
Фч	р
або, через те що етор = г,
~ гр 	(10. 90)
Передаточна функція приведеної безперервної частини системи визначається за формулою
2 _ 1	(р)
Ж (р) = Жф(р)Ж6п(р) =
а її дискретна передаточна функція — за формулою 7-І (Ж (р)1
ЖД1!) - г (ж.®] - —г	(10 92)
Якщо в каналі керування є затримка часу т, то вираз (10. 92) запишеться у вигляді
я. (р) І
р Є ] 	(10. 93)
Розглянемо як приклад структурну схему на рис. 10. 22 . До такої схеми приводиться двоконтурна система стабілізації швидкості ш двигуна
іу (г) = £— Пч 7 х
постійного струму, яка складається з аналогового контуру струму і цифрового контуру швидкості. Контур струму настроєно на технічний оптимум і в структурній схемі подано наближено аперіодичною ланкою з передаточною функцією \/крТ р + 1). У цифровий контур входить дискретний регулятор на базі мікро-ЕОМ. Операції, що виконуються регулятором, описуються передаточною функцією ТУ (г). Цифроаналоговий перетворювач подано у вигляде ідеального імпульсного елемента з періодом квантування То і фіксатора нульового порядку з передаточною функцією (1 - е~ т°р)/р.
Дискретна передаточна функція приведеної безперервної частини системи відповідно до виразу (10. 92) має вигляд

К ____я.к_ ксТ^^р + 1)
№ - о ?
2
1 р2(Тр + 1)
де = Я /ксТ;Т = 2Т.
1 я.к с м’	Ц
Подамо вираз у дужках у вигляді суми простих дробів і використаємо дані таблиці г-перетворень (табл. 10. 1); тоді дістанемо
1	= ± _ І + т2
р2(Тр + 1) ~ р2 Р Тр + \
А ’	2	[(2-І)2	2 - 1	2 - (І
к\(Т0 — Т — ОГ)2 - тоа + 7(1 - </)] (2-1)(2-гі) де а = е~то/т.
Прийнявши, що дискретна передаточна функція регулятора має вигляд
запишемо дискретну передаточну функцію розімкнутої системи 452
Рис. 10. 22
Ж(2) = ^(2)^(2)^ =
+ С,)[(ГО - г + ат)г - тоа + г(і - е/)]
(2 - 1)2(г - а)	'	(10 94)
Передаточна функція замкнутої системи матиме вигляд
Ж(2)
1 + Ж(2)
+ с.ЩТо - т + ^)2 - Тод + Т(1 - </)]
(2 - і)2(2 - ау + (с02 + с^кш[(т0 — т + ат)г - тоа + г(і - </)] ’
а в загальному випадку
Ж (2) = Р (2), де Р(ї), О, (2) — ПОЛІНОМИ ВІД 2.
Визначивши передаточні функції Ж(2) і ИЧг), дослідимо стійкість цифрової системи і визначимо якість перехідних процесів. При цьому застосовуються всі методи дослідження імпульсних систем.
10. 12. СИНТЕЗ ЦИФРОВИХ КОРЕГУЮЧИХ ПРИСТРОЇВ МЕТОДОМ ЛАХ
При розробці цифрових систем автоматизованого електропривода зручно використовувати метод синтезу, що базується на логарифмічних частотних характеристиках. Передаточна функція розімкнутої цифрової системи становить добуток дискретних передаточних функції приведеної безперервної частини Ж (г) і цифрового регулятора В (г). Якщо перейти до логарифмічних характеристик, які найзручніше будувати як функції абсолютної псевдочастоти 2 л =	то
Ь (Я) = £П(Л) + £па),	(10. 95)
де £(Л), ід(Л), Ьп(Л) — амплітудні логарифмічні характеристики
розімкнутої системи, цифрового регулятора і приведеної безперервної частини системи.
Якщо бажану ЛАХ і (А), побудовану за заданими показниками якості, і ЛАХ 7>п(А) вважати відомими, то ЛАХ цифрового регулятора запишеться у вигляді
Ьва> = ь (А) - ІЛІЇ.	(10. 96)
Розглянемо детальніше методику побудови логарифмічних характеристик приведеної безперервної частини з фіксатором нульового порядку. Раніше було виявлено (див. п. 10. 7), що при умові шТа < 2 абсолютна псевдочастотна А практично збігається з частотою ш, тому для низьких частот (ш < 2/Т0) побудова ЛАХ і ЛФХ дискретної системи зводиться по суті до побудови відповідних характеристик вихідної безперервної частини системи з передаточною функцією Ж6п(р).
Проілюструємо це положення таким прикладом. Нехай передаточна функція безперервної частини системи має вигляд
Жбп<Р) = Тр + Г	(Ю. 97)
причому період квантування Та вибрано таким, що частота сполуки 1/7 менша 2/70. Це припущення зводиться до того, що злам асимптотичної ЛАХ, який відповідає передаточній функції (10. 97), міститься в низькочастотній зоні, де справедлива нерівність <у < 2/70.
Відповідно до виразу (10. 92) запишемо дискретну передаточну функцію приведеної безперервної частини
ж (г) =
або, якщо використати дані табл. 10. 1,
=	^(1-^	= К(1-сІ)
2 (2 - 1) (2 - <ї)	2 - (І ’	(10. 98)
де <7 = е~то/т.
Виконаємо ^-перетворення, підставивши 2 = (1 + и0/(1 - и»),
= (і -	= о - »>-—
1 + “Т22
7
і перейдемо до абсолютної псевдочастоти, замінивши на і -у Л. Тоді дістанемо
^п(/А) = (1 -/у-А)-----
1 + ;А^сФ^
При виконанні останнього перетворення використано формули Ейлера:
] А 1
\р(Тр + 1) Г
, .	.	! . -ТУТ Т/2Т-ТУ2Т . -ТУ2Т-ТУ2Т
1	+ а	1 + е	о	е о	е	о	+ е	о	е	о
1 _ Л ~ ї - ТУТ ~ ~ТУ2Т- ТУ2Т „-ТУ2Г-ТУ2Г
1	“	1 — е	о	е о	е	о	— е	о	е	о
Л/2Т + е -То/2Т еГ0^Т _ е-Г0/2Т
Тому що було прийнято 1/Т < Т
сій 2^ =
Т
сЬ 2Г Тп =	= сій 2^;.
зН 2Г
2Г0, тобто Т > 0,5Та, маємо
1 2Г
Г Г ’
«й 0 0
їй 2Т
У цьому разі
<10.99)
Якщо порівняти цей вираз із звичайною частотною функцією безперервної частини системи
Ж, (/су) = і 6пУ 7	1 + }фТ
то стане очевидним, що в низькочастотній зоні характеристики Ж (уА) і Ж, (}ш) повністю збігаються. Вплив додаткового співмножника " Го
(1 — ;А-у) при побудові ЛАХ у низькочастотній зоні можна не враховувати, тому що 2 і Г > О,5То.
Розглянемо інший приклад. Нехай
_ КЇТ^ + 1)
р (Т'Р +1)	(10 100)
і Т{ > Т2 > О,5То, тобто злами ЛАХ містяться в низькочастотній зоні.
Дискретна передаточна функція приведеної безперервної частини
має вигляд
И^(г) =
ПЧ '
№ + і)1 =	7	. к(т2 - г,)
г ' р2(ТіР + 1) г |р2 р(ТіР + 1)
г Г . (^2 ~ Т) (1 - і/)-
2—1	2 — (І
Виконаємо іу-перетворення
Ж(иО = А(1 - в,)
4 2)У
Т2-^
14.	1 +С?
і перейдемо до частотної функції
-	Г^І	Г^І —
«-.(я =	=
_	, т. кд +ІХТ2)
* 2 >Д(1+ЙТ,)-	<10.10»
І в цьому разі, якщо порівняти вирази (10. 100) і (10.101), можна зробити висновок, що в низькочастотній зоні частотні характеристики Ж6п(/<у) і ВЧуА) збігаються.
" ЛАХ, побудовані за формулами (10. 99) і (10. 101), зображено на рис. 10. 23. Штриховою лінією для порівняння подано ЛАХ Цш), побудовані відповідно до передаточних функцій безперервної частини системи (10. 97) і (10. 100).
Розглянемо тепер більш загальний випадок. Припустимо, що передаточна функція безперервної частини системи має вигляд
А(тр + 1)(у + 1)...(у> + 1)
р(т1р + і)(т2р + і)...(тпР + і)’ (Ю Ю2) причому, як і раніше, всі злами асимптотичної ЛАХ містяться в низькочастотній зоні, для якої шТ0 < 2.
Розкладемо (10. 102) на суму простих дробів: К А N = 7 +	
де N. — коефіцієнти розкладу.
Дискретна передаточна функція з врахуванням фіксатора нульового порядку матиме вигляд
(10. 103)
М(1 - 4)‘

т 1 о
2—1
+2
= к
р
Виконаємо IV-перетворення і перейдемо до
2	(10. 104)
частотної функції

/*) = (!- Й Т'

__і	Т Т
1 = 1 1 + /А -^с(Ь 2Т~'
або, через те що Т{ > 0,5 Та,
7\ Гк А N.
(10. 105)
Порівнявши цей вираз з (10. 103), можна зробити висновок, що частотні передаточні функції Ж6п(/<у) і 1Рп(Д) у низькочастотній зоні збігаються. Висновок залишається справедливим і в тому разі, якщо
безперервна частина системи містить коливальні ланки з передаточною функцією 1/(7^р2 + 2$Т1р + 1) при умові, що » 0,5То.
Розглянемо тепер побудову логарифмічних характеристик у зоні високих частот <при ш > 2/Т0). Якщо сталі часу передаточної функції Ж6п(р) такі, що всі злами асимптотичної ЛАХ лежать ліворуч від частоти <у = 2/Т0 і ЛАХ при частоті 2/Т0 має нахил ~20р дБ/дек, то високочастотна частина ЛАХ апроксимується інтегруючою ланкою Жв(р) = =щ /р1', де ф — базова частота високочастотної частини ЛАХ, яка визначається як частота перетину її першої асимптоти з віссю нуля децибел (рис. 10. 24). Нехай, наприклад, низькочастотна частина ЛАХ на частоті Я = 2/Т0 має нахил -60 дБ/дек. Тоді
Ч(р)
(10.106)
ТО =
(10.107)
або за даними табл. 10. 1

™,,№2 + 4^ + 1) 6(2 - І)3
Виконавши ^перетворення, дістанемо
(ітоа-т)
Перейдемо до частотної функції
т т
- * т/^ 0 -	О +
(/Я)’	‘	(10. 108)
Високочастотну частину ЛАХ, побудовану за виразом (10. 108), зображено на рис. 10. 24 праворуч від лінії Я = 2/Т0.
Фазова характеристика, що відповідає ЛАХ на рис. 10. 24, обчислюється за формулою
Т
<р(л) = - л/2 — агсі£ Т^. — агсі£ Т^. + агсі£ -у Я.
Збіг ЛАХ для дискретної передаточної функції і передаточної функції безперервної частини системи в зоні низьких частот дає можливість виконувати синтез корегуючих пристроїв (цифрових регуляторів) відомими методами синтезу корегуючих пристроїв безперервних систем і використовувати розроблені для них номограми, графіки і таблиці.
Внаслідок синтезу методом ЛАХ знаходиться ЛАХ корегуючого пристрою Ак(Я) і за її виглядом визначається комплексна частотна функція Ж.(Д). Після цього виконується підстановка
визначається дискретна передаточна функція ИЧД а потім різницеве рівняння корекції, що реалізується цифровим регулятором.
Приклад 10. 10. Виконати синтез цифрового регулятора системи автоматичного регулювання, структурну схему якої подано на рис. 10. 22. Параметри системи: Л.к = 0,1 Ом; с = 2 Вс/рад; Тх = 1 с; Тц = 0,01 с; кс = 0,1 Ом; кш = 0,1 Вс/рад. Вимоги до показників якості системи: добротність за швидкістю кч = 50 с—*, час регулювання Гр = 0,5 с, перерегулювання а< 25 %.
Розв’язання. Передаточна функція безперервної частини системи має вигляд ( К^и/кссГ,< = К =	0,5
6"^ р (ІТ^р + Х) р(Т\р + \)	р(0,02р + 1)-
Вибираємо період квантування так, щоб злам асимптотичної ЛАХ знаходився ліворуч від частоти а> = 2/Та. Частота зламу ЛАХ безперервної частини системи становить а>1 = -1/7; = 1/0,02 = 50 с-1. Приймаємо 7^ - 0,01 с (умова Т > 0,57'о виконується). У низькочастотній зоні а> = 2. Знаходимо абсолютну псевдочастоту зламу асимптотичної ЛАХ
.	2 ші7о 2	50 - 0,01	-і
2 = _І8	= —18 ___ = 51,06 с ,
тобто похибка становить всього = 2 %.
Через те що високочастотна частина ЛАХ практично не впливає на якість перехідних процесів, під час синтезу корегуючої ланки можна обмежитися спрощеною побудовою ЛАХ приведеної безперервної частини системи:
(1-Л ^) 0,5
= /2 (0,02/2 +1) '
Побудовану характеристику £п(2) зображено на рис. 10. 25.
Бажану ЛАХ побудуємо за методикою, що застосовується для безперервних систем (див. п. 6.11). Виходячи із заданої добротності системи за швидкістю, низькочастотну частину ЛАХ £6(2) проводимо через точку з координатами І£ 2 = 0,	(2) - 20 і? кІГ =
= 34 дБ з нахилом -20 дБ/дек. Частоту зрізу А, визначимо, виходячи з заданого часу регулювання ір = 0,5 с і перерегулювання а <25%,
Яз " І - 0,5 - 12,5 с ’ р
де к0 - 2 — коефіцієнт, що визначається за графіком ка — Ла) на рис. 6. 28.
Середньочастотну частину І6(Я) проводимо через точку з координатами /.(Я) - 0,18 Я^ з нахилом -20 дБ/дек і сполучаємо її з низькочастотною частиною і6 (Я) лінією з нахилом -40 дБ/дек.
Виходячи з типу бажаної ЛАХ, частоти сполучення середньочастотної частини з низькочастотною і високочастотною частинами визначаємо з умов
Я / Я = 10; 2 < Я, /Я <4. з 2	2 з
Високочастотну частину характеристики і6 (Я) проводимо паралельно характеристиці £п (Я).
ЛАХ цифрового регулятора £р(Я) визначається як різниця і6 (Я) -	(Я). За виглядом
ЛАХ ір (Я) визначаємо комплексно-частотну функцію
ил/ п _ 100 0' « Я 4- 1) _ 100 ( уО,25Я + 1) /ті Я +1	/0,91Я +1
Тут = 0,04; Я, = 1,1 с”1; т. - 0,91 с; 1вЛ2 - 0,6; Я2 “ 4 є"1; т2 - 0,25 с знайдено за характеристикою ір (Я) на рис. 10. 25.
Виконавши підстановку
_ 2 г-1
7 То г + 1 ’
дістанемо
1100г-900
^р^ - 37,4г —35,4’
' Цей вираз зведемо до вигляду, зручному для складання різницевого рівняння
Ур(*) = 29,4г - 24,1 _ 29,4 - 24,1г"1
Р(г) е(х) х —0,95	1-0,95г"1
Введемо співмножник г"1, що забезпечує виконання програми корекції на мікро-ЕОМ у реальному масштабі часу
&„(*) _ 29,4г"1 - 24,1г"2
£О)	1 - 0,95г"1
і запишемо різницеве рівняння корекції
и, [лту - 0,95ир [(л - 1)Т0] + 29,4є [(л - 1)7^] -24,1т [От - 2)Т01
У цьому рівнянні и [л7\] — число, що подається на ЦАП, ввімкнений на виході цифрового регулятора; е [л/у — число на виході ЦАП, що перетворює різницю сигналів завдання і зворотного зв’язку за швидкістю в цифровий код.
Під час обчислення ир [п7’0] приймається, що ир [л7’0] - 0 при п < 0 і функція т [лТу прикладається в момент п - 0. Тоді обчислення иДлТцІ виконується у такій послідовності: в кінці першого такту (л - 1) и [іту = 29,4т [0], потім при п = 2 и [27"О] -- 0,95ир [1Г0] + 29,4т [1Т0] - 24,1т [0] і т. д.	Р
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	У чому полягають основні відмінності дискретних систем від безперервних?
2.	Наведіть класифікацію імпульсних САК за видами модуляції.
3.	Вкажіть основні переваги імпульсних систем порівняно з безперервними.
4.	Що таке імпульсний елемент і якими параметрами він характеризується?
5.	Як подається реальний імпульсний елемент при математичному описанні імпульсних систем?
6.	Що таке екстраполятор нульового порядку?
7.	Наведіть визначення решітчастої функції. Чим вона відрізняється від безперервної?
8.	Поясніть поняття «зміщена решітчаста функція».
9.	Наведіть форми запису і методи розв’язування лінійних різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
10.	Наведіть основні формули дискретного перетворення Лапласа.
11.	Що таке х-перетворення? Чому воно більш придатне для дослідження імпульсних систем порівняно з дискретним перетворенням Лапласа?
12.	Вкажіть основні властивості х-перетворення.
13.	Наведіть послідовність розв’язування різницевих рівнянь на основі х-перетворення.
14.	Як визначається передаточна функція розімкнутої і замкнутої імпульсних систем?
15.	Як побудувати АФХ розімкнутої імпульсної системи і за нею визначити стійкість замкнутої системи?
16.	За яких умов імпульсна і безперервна системи будуть еквівалентними?
17.	Як побудувати АФХ імпульсної системи за відомою АФХ безперервної частини?
18.	У чому суть «"-перетворення і як воно застосовується для розрахунку імпульсних систем?
19.	Як побудувати логарифмічні характеристики імпульсних систем? Що таке псев-дочастота?
20.	Як визначити стійкість імпульсної системи за коренями характеристичного рівняння, що дістають внаслідок застосування х-перетворення?
21.	Яким чином виконується дослідження стійкості імпульсної системи за критерієм Гурвіца?
22.	Сформулюйте критерій Шур-Кона і запишіть визначники для системи третього порядку.
23.	Сформулюйте критерій Михайлова для імпульсних систем. Який вигляд має годограф вектора Михайлова для стійкої і нестійкої імпульсних систем третього порядку?
24.	Сформулюйте критерій Найквіста для імпульсних систем. Наведіть відповідні характеристики.
25.	Яким чином оцінюється точність роботи імпульсної системи в усталеному режимі?
26.	Якими показниками характеризується якість перехідних процесів імпульсних систем?
27.	У чому суть корекції імпульсних систем? Якими способами вона виконується?
28.	Які типи корегуючих пристроїв застосовуються в імпульсних системах?
29.	Дайте визначення цифрової системи автоматичного керування?
ЗО.	Як здійснюється математичне описання цифрових систем?
31.	У чому полягає особливість побудови логарифмічних характеристик цифрових систем у низькочастотній і високочастотній зонах?
32.	Поясніть методику синтезу корегуючого пристрою в цифрових системах за допомогою ЛАХ.
Глава 11
ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
11. 1. ЗАВДАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Слово «оптимальний» у широкому розумінні означає «найкращий» відповідно до деякого критерію ефективності. Система автоматичного керування називається оптимальною, якщо в ній тим чи іншим способом забезпечується найкраще значення основного показника якості роботи. Цей показник називається критерієм оптимальності.
Використання методів теорії оптимального керування є одним з найперспективніших способів підвищення якості САК, що проектуються. Теорія оптимального керування — це розділ теорії автоматичного керування, де досліджуються властивості траєкторій динамічних систем, що є оптимальними за певним критерієм (мінімум часу переходу з одного стану в інший, максимально можлива точність виконання завдання керування, мінімум витрат енергії тощо) при дотриманні численних обмежень.
Вимоги, що ставляться до системи, можна пов’язати з досягненням екстремуму (звичайно мінімуму) деякої величини І — показника якості роботи системи або критерію оптимальності. Наприклад, критерієм оптимальності при досягненні максимальної точності системи може бути мінімум середньої квадратичної похибки регулювання, що виражається інтегралом
'і
7 = У х2(()ій,
о	(11. 1)
де х(І) — відхилення регульованої величини від бажаного значення. Величина І є функціоналом, тобто числом, що залежить від вигляду функції х(1). Детальніше поняття про функціонал буде подано в п. 11. 2.
Здебільшого критерій оптимальності приймається у вигляді квадратичного функціонала від кількох функцій
І = } 1 «/-(0^,
‘о	(11. 2)
де а — задані вагові коефіцієнти; Іа, І — час початку і закінчення роботи об’єкта.
У загальному випадку критерій оптимальності залежить від стану системи, що визначається векторами регульованих координат х = (х, 462
х2, . . ., х), керуючих дій (керувань) и = (и, и2, . . . , ит\ задаючих дій Я = (Яр Яг> • • •, Ч;), збурень ї = (/р /2, . . . , /) і часу І, тому його можна записати у вигляді
'і
І = / у>0(х,и,§,1,/)Л = тій.
'о	(11.3)
У теорії оптимального керування розглядаються методи, які дають змогу визначити оптимальне керування и, за допомогою якого об’єкт керування переводиться з одного стану в інші так, що при цьому мінімізується функціонал І, дотримуються обмеження на координати і керування, а рівняння динаміки об’єкта і характеристики зовнішніх дій у процесі керування не змінюються.
Обмеження, що накладаються на регульовані координати (змінні стану) і керування, здебільшого подаються у вигляді нерівностей
І І< Х,тах> і = 1, 2, ... , и;	(11. 4)
І І< н*тах> к = 2> •   , т,	(11.5)
де х — максимально допустимі значення змінних стану; — максимально допустимі значення керувань, що відображають обмежені ресурси керування.
Розглянемо постановку задачі оптимального керування. Нехай динамічні властивості об’єкта керування описуються рівняннями
сії^ІсІЇ = р.(х(, х2, . . . , хп, и„ и2, . . . , ит, /2, . . . , Д, /) (11. 6) або у векторній формі
х = ^(х, и, ї, 0,	(11. 7)
якість системи оцінюється функціоналом
'і
І = І
'о	(11 .8)
а обмеження в найбільш загальній формі подано у вигляді системи нерівностей
р/х, и) Ртах,	(11. 9)
де — задані функціонали змінних стану і керувань.
Початкові та кінцеві стани об’єкта характеризуються точками в просторі станів, тобто векторами х«0) = х° і х^) = х1, або деякими зонами простору станів д0(х) і ці.х').
У цьому разі задача оптимального керування формулюється так: для об’єкта керування, що описується рівнянням (11. 7), необхідно знайти таке керування и, яке при дотриманні обмежень (11. 9) переводить
об’єкт з початкового стану у кінцевий так, що при цьому функціонал (11. 8) набуває мінімуму. Керування, що задовольняє ці вимоги, називається оптимальним.
Початкові та кінцеві точки фазової траєкторії об’єкта можуть бути фіксованими у и-вимірному просторі координат або залишатися вільними у певному розумінні. Час процесу також може бути фіксованим (за винятком задач про максимальну швидкодію) або вільним.
Оптимальне керування може визначатися в параметричній формі
= и/0, / = 1, 2, . . . , т,	(11. 10)
або в непараметричній
иі = иу(х), і = 1, 2, . . . , т.	(11. 11)
Розв’язок у вигляді (11. 10) відповідає програмному керуванню залежно від часу, а у вигляді (11. 11) — керуванню залежно від змінних стану, що реалізується за допомогою зворотних зв’язків за цими змінними.
Найпростішу форму оптимізуючий функціонал набуває в задачах оптимізації систем за критерієм максимальної швидкодії. Цьому випадку відповідає <р0 = 1 і функціонал (11. 3) / - ґ - /0, а критерієм оптимальності стає умова - і = шіп.
Визначення функції, для якої функціонал набуває мінімуму, це задача варіаційного числення. Методи варіаційного числення можна умовно розділити на класичні і сучасні. До класичних належать методи, що базуються на рівняннях Ейлера, Якобі, Вейєрштрасса, до сучасних — принцип максимуму Понтрягіна і метод динамічного програмування Беллмана.
Класичні методи доцільно застосовувати в задачах, що не мають обмежень. Це буває у випадках, коли розглядаються малі відхилення змінних стану і керувань від усталених значень.
Сучасні методи розроблено саме для розв’язування задач оптимального керування. Вони дають можливість враховувати обмеження керувань і змінних стану, оперують з широким класом функцій керування, пристосовані для використання обчислювальної техніки.
11.	2. МЕТОДИ КЛАСИЧНОГО ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ
Первинним поняттям варіаційного числення є поняття функціонала. Функціоналом називається змінна величина, значення якої визначається вибором однієї або кількох функцій. У класичному варіаційному численні основним об’єктом дослідження є функціонал стандартного вигляду
'1
/ = І ^(О,і(О,/кй,
'о
(11. 12) причому припускається, що функція <р0(х, х, І) безперервна і має безперервні частинні похідні по всіх змінних до другого порядку ВКЛЮЧНО.
Визначення екстремалі, тобто функції х(1), що мінімізує функціонал (11. 12), зводиться до розв’язування рівняння
_ (і др0\ = 0
сЦ 5х ]	(Ц. 13)
при заданих граничних умовах
х(ґ0) = х0 ; х^) = Х|.	(11. 14)
Рівняння (11. 13) називається рівнянням Ейлера і становить першу необхідну умову екстремуму.
Якщо хр і х, є заданими числами, то розглядувана задача називається варіаційною задачею із закріпленими граничними точками. Безперервно диференційовані функції х(0, які визначені на інтервалі [ґ0, ґ] і задовольняють умови (11. 14), називаються допустимими функціями.
Беручи до уваги, що
й рРо(х,х»0'1 _ д2<Р0 (їх й2х
<11 \ дх ] дх дх (її дх дх
аУо Л _ д2<Р0 	дУр 	д2Ч>0
ді дх (11 дх дх Х	дх дх Х	ді дх ’
рівняння Ейлера (11. 13) можна записати у розгорнутому вигляді
д2<Ро .. з2П  д2<Ро , Уо
— ------- х - ---- X — --— _|---у
дх дх дх дх ді дх дх '	(Ц 15)
Розв’язки цього рівняння х(і, С, С2) називаються екстремалями. Вони містять дві сталі С( і С2, які визначаються граничними умовами (11. 14).
З рівняння Ейлера випливає необхідна умова екстремуму, але вона не дає можливості визначити, чи максимуму, чи мінімуму набуває функціонал. Відповідь на це запитання дає теорема Лежандра (друга необхідна умова екстремуму): функціонал (11. 12) набуває мінімуму, якщо виконується умова
і максимуму при
Розглядувану задачу можна узагальнити також на випадок, коли підінтегральна функція функціонала (11. 12) залежить від кількох функцій однієї змінної і, тобто функціонал має вигляд
1 = І Ро(*і>• • • >,X,......
'о	(11. 18)
У цьому випадку, змінюючи одну з функцій х.(ї) і залишаючи всі інші незмінними, дістаємо функціонал вигляду (її. 12), що залежить тільки від однієї функції х(і). Ця функція х(0, яка дає екстремум функціоналу, має задовольняти рівняння Ейлера (11. 13). Такі рівняння можна скласти для кожної функції х.(0 і дістати систему диференціальних рівнянь Ейлера, що визначають сім’ю екстремалів даної варіаційної задачі:
дро _ ±	= 0.
дх, ґіі І а*! І ’
дрр _ ± ї^о' дх„	(11 І дхп
п	\ п
(11.19)
Підінтегральна функція функціонала може мати не тільки першу, але й другу похідну. В цьому випадку функціонал має вигляд
'і
/ = / <р0 [х(і),х(/),х(г),0Л,
'о	(11. 20)
причому передбачається, що функція <р0 є. диференційованою необхідну кількість разів.
Граничні умови записуються у вигляді
*(О = *о»*(ґо) = х<°, х(і,) = х,,х(ґ,) = х'1’.	(П. 21)
Екстремаллю функціонала (11. 20) є розв’язок рівняння
дфр _ <ЦДфр 'ї _ (Р_(аср0 'і = 0 дх ЛІ сіх ) сіі21 дх )	’
(11. 22)
яке називається рівнянням Ейлера—Пуассонр. Це рівняння є рівнянням четвертого порядку. Його розв’язок х (і, С, С2, С3, С4) має чотири сталих, які визначаються граничними умовами (11. 21).
Варіаційна задача узагальнюється також на випадок, коли
підінтегральна функція містить похідні вищих порядків, тобто функціонал має вигляд
‘і
І - / <р0(х,х,х,...,х^,ґ)Л
‘о	(11.23)
при заданих граничних умовах х(і0) = х0>х(/0) ~	>  • • >х</" 'ЧО =
- і? “.«(<,) =	= х<;>....х'1 -»«,) =
У цьому разі екстремаль є розв’язком рівняння
дф0 а ґа2 (,( хі а! 1 п дх	аі І дх) аі2 І дх} аі'\ дх^)
(11. 24)
Якщо функціонал (11. 23) містить кілька функцій х.(1), то дістаємо систему рівнянь вигляду (11. 24).
Можуть бути й складніші задачі, в яких граничні точки (1& х^, (ґр х() не фіксовані, а можуть рухатися по траєкторіях
X, = р/гх
х0 = Р<№-
Дві довільні сталі С і С2, що входять у загальний розв’язок рівняння Ейлера, визначаються не з граничних умов, а з так званих умов транс-версальності, які мають вигляд
(11. 25)
(11. 26)
Положення кінців екстремалі (точки ґ і ґ() можна знайти як точки перетину екстремалі з кривими х0 = ро(О і х = р{(.ї).
На практиці трапляються задачі про знаходження екстремуму функціонала при додаткових умовах, що накладаються на функції, у класі яких відшукується екстремум. Такі задачі називаються задачами про умовний екстремум (зв’язаний екстремум). Нехай задано функціонал
'і
І = І Р0(х,х,ОЛ,
‘о	(11. 27)
де х — п-вимірний вектор змінних стану об’єкта, і додаткові рівняння, що називаються рівняннями зв’язку:
г/х, х, І) = О, І = 1, 2, ... , пг, т «= п.	(Ц. 28)
Необхідно знайти функцію х(0, що мінімізує функціонал (11. 27) при умові (11. 28).
Подібні задачі характерні для систем автоматичного керування, тому що звичайно задаються функціонал і рівняння динаміки керованого об’єкта, які і є рівняннями зв’язку. Такі задачі розв’язують зведенням їх до задач на безумовний екстремум.
Існує таке правило: для того щоб знайти екстремум функціонала (11. 27) при умові (11. 28), необхідно ввести допоміжну функцію
ф =
/ = 1	(11.29)
де Л (І) — поки що невідомі функції (невизначені множники Лагранжа), і шукати звичайними методами екстремум функціонала
'і
А = І фл-
'о	(11. ЗО)
Для функції Ф. складаються п рівнянь Ейлера, аналогічних рівнянням (11.19), аФ _ /аФ\
лі І аіі І ’
аФ _ /аФ\ дх л аі п	\ п /
(11. 31) Ця система доповнюється заданими рівняннями зв’язку (11. 28). Отже, маємо п рівнянь Ейлера і т рівнянь зв’язку. Цих рівнянь достатньо для визначення п + т невідомих функцій х2, ... , хп і А, Л2, . . . , Лт, якщо відомі граничні умови.
Якщо функціонал (11. 27) має також вищі похідні, то система рівнянь Ейлера (11. 31) замінюється системою рівнянь Ейлера—Пуас-сона вигляду (11. 24).
Під час проектування оптимальних систем керування електроприводами часто трапляються випадки, коли необхідно визначити екстремум функціонала
І
А = І ^,(х,х,и)сй о	(11. 32)
при умові, що інші функціонали, які є рівняннями зв’язків, повинні мати задані значення
І' = / р,.(х,х,и)<Й = Л, і = 2,3,...,к. о	(11.33)
Подібні задачі називаються ізопериметричними. Вони зводяться до задач на умовний екстремум. У цьому разі відшукується екстремум функціонала
1 = І (Рі + £	= І ФЛ ,
0 Гґ,	0	(11. 34)
де А. — довільні сталі множники Лагранжа, що визначаються з умов І. = Ь,. Екстремаль функціонала І є розв’язком рівняння Ейлера.
Приклад 11. 1. Розв’язати задачу оптимального керування електродвигуном постійного струму з незалежним збудженням, який відпрацьовує кутове переміщення в за мінімальний час Т при обмеженні нагрівання двигуна, що визначається струмом якоря.
Розв’язання. Кількість теплоти, що виділяється в якорі двигуна, обчислюється за формулою
т
<2 = / Ні2сії, о	(11. 35)
де К — опір якірного кола; і — струм якоря. Кутове переміщення визначається так:
т
= Г ахії, о	(11. 36)
де а> — кутова швидкість двигуна.
Розглядувану задачу можна сформулювати як ізопериметричну задачу: знайти екстремаль функціонала
т
/ Л = тій
о	(11. 37)
при наявності рівнянь зв’язку
т і, = X х	доп ’ 0	(11. 38)
Т /3 = X = «0. 0	(11. 39)
Для розв’язування цієї задачі необхідно знайти екстремаль функціонала (11. 34), який має вигляд	
т	т
І = X ФЛ = X (*’і+А2*,2+А3*’з)</Ґ' о	о	(11. 40)
Оскільки <р{ - 1, що випливає із порівняння функціоналів (11. 32) і (11. 37), <р2 - Ні і
<р^ - а>, то
т	т
і = X фл = X (і+ігяі2+;ізв»)л. о	о	(11. 41)
Прийнявши,	що	момент	статичного навантаження	Мс	дорівнює	нулю	і	магнітний
потік збудження	незмінний,	визначимо	струм	якоря	і	через	швидкість а>	за	рівнянням
руху електропривода
(їй)
1-— = М	(11. 42)
і залежністю між моментом і струмом якоря двигуна
М - сі.	(11. 43)
У цих рівняннях ] — приведений до вала двигуна момент інерції електропривода; с — сталий коефіцієнт.
З рівнянь (11. 42) і (11. 43) дістанемо . _ ] <іи> 1 " с'л	(II. 44)
і запишемо функціонал (11. 41) у вигляді
т
І = X (1 +	+ Л2к<и2)Л,
о	(11. 45)
де
с2 ’
Рівняння Ейлера (11. 13) для функціонала (11. 45) має вигляд
ЗФ а /дФ\ 2	п
-----т. Т7" = 'х- 0 да> <11 І да> > з 2
або
1 - 2А0Лаі = О, де 20 - 22/23. Звідси
а> - 1/2А0Л.	(11 46)
Розв’язавши рівняння 01. 46), дістанемо рівняння екстремалі
а» = ., / Т2 +С.Г + С2, 4Ао* 1	01.47)
де С, С2 — сталі інтегрування. Використавши рівняння (11. 44), визначимо струм якоря
 = 7 1 кг с21/ + с	(ц.48)
Отже, оптимальне за швидкодією керування двигуном, що відпрацьовує задане переміщення, повинно здійснюватися при параболічному законі змінювання швидкості та лінійному законі змінювання струму.
Сталі інтегрування С< і С^ а також сталі множники А2 і або їх співвідношення -= Лт/Лз визначаються з граничних умов аХО) - 0, ш(7) - 0 і рівнянь зв’язку (11 38), (11. 39).
З умови ш(0) - 0 і рівняння (11. 47) дістаємо С2 - 0, а з умови оХТ) - 0 і того самого рівняння визначаємо
•V*» ЛфЛ 0	*тОС ЛфА
Звідси
12 = В^Т3
0	^доп^2*2
х доп
З рівняння зв’язку (11. 39) після підстановки в нього аХг) за формулою дістанемо
(11.51)
<11. 49)
звідки
4А А /	24Аок во 
0 о	0
^о
І3 24^0
(11. 52)
А2 = ло
І6
242А202 ’
(11. 53)
Порівнявши вирази (11. 51) і (11. 53), визначимо мінімальний час переміщення Т, -к6к> значення функціонала (11. 37)

с2Є ^доп
Підставивши це значення Т в (11. 52), дістанемо
«1. 54)
°	2<?до/*	(11. 55)
Значення Ло і Т підставимо у вирази (11. 49) і (11. 50) і остаточно визначимо рівняння швидкості і струму якоря електродвигуна при оптимальному керуванні.
Керування двигуном здійснюється змінюванням напруги якірного кола. Закон оптимального програмного керування и.г(ї) можна знайти з виразу
и2- ІК + са>,	(11. 56)
якщо знехтувати індуктивністю якірного кола. У цьому разі для визначення ия(і) достатньо в рівняння (11. 56) підставити знайдені функції ЦІ) і ш(Г). Оскільки Ці) є лінійною функцією часу, а а>(1) — параболічною, то ия(і) також буде змінюватися за параболічним законом. Графіки змінювання швидкості, струму і напруги на якорі двигуна подано на рис. 11. 1.
Для визначення закону оптимального керування як функції змінних стану в і а>, що реалізується за допомогою зворотних зв’язків, необхідно з рівнянь Ці) і аЖі) вилучити час і знайдене значення Ці) підставити в рівняння (11. 56). Остаточно залежність ия(а>, в) має такий вигляд [7]:
«„(<0,6) =
« - 2(0
490Л
;І8п(90 - 20) + С(О.
бо ’
11. 3. ПРИНЦИП МАКСИМУМУ
Подальшим розвитком класичного варіаційного числення і його узагальненням на випадки, коли оптимальні керування обмежені і становлять кусково-безперервні функції з точками розриву першого роду, кількість яких невідома, є метод, який називається принципом максимуму. Цей метод розроблено Л. С. Понтрягіним та його школою в 1956 р.
Принцип максимуму є необхідною і достатньою ознакою оптималь-ності процесу лише для лінійних об’єктів. У загальному випадку для нелінійних об’єктів він є тільки необхідним. Це означає, що принцип максимуму дає можливість визначити не оптимальне керування, а деяку звужену групу допустимих керувань. Оптимальне керування, якщо воно взагалі існує, буде належати саме до цієї групи.
Розглянемо суть методу. Нехай динаміка об’єкта керування описується рівняннями
йхіІді = ^.(Хр х2, ... , хп, «р и2 , . . . , ит), і = 1, 2, . . . , п (11. 57) або у векторній формі
х = ^х, ц),	(Ц. 58)
де х — и-вимірний вектор змінних стану (координат системи); ц — т-вимірний вектор керувань. Крім того, вважатимемо, що керування и належить до деякої замкнутої множини О
и(/)Є£2,
тобто керування и^ї),..., ит(() для кожного І набувають значень з множини £2.
Керування, що становлять кусково-безперервні функції і набувають значень з множини £2, називаються допустимими керуваннями.
Крім рівнянь динаміки об’єкта задається функціонал
1 = / 1РО(Х >“)<*
'о	(11. 59)
Задача полягає в тому, щоб серед допустимих керувань, що переводять об’єкт, описуваний рівнянням (11. 58), з початкового стану х(/0) = = х<0> в кінцевий х(/() = хф, знайти таке, для якого функціонал (11. 59) набуває екстремуму.
Для зручності розв’язування задачі вводиться додаткова штучна змінна стану х0, для якої справедливе рівняння
Лхй/ді = <р0(х, и),	(11. 60)
а також допоміжні функції ^0,	. . ., що визначаються лінійними
однорідними рівняннями
Л	дх‘	(11. 61)
Приєднавши рівняння (11. 60) до системи (11. 57), дістанемо систему з (п + 1) рівнянь
сіх сії = ір^Хр .. . , хя, и,,. .. , ит), і = 0, 1, . . . , п, (11. 62) права частина яких не залежить від х0.
Рівняння (11. 62) у векторній формі має вигляд
сіх/сії = £>(х, и).	(П. 63)
Тут на відміну від рівняння (11. 58) вектор х та його похідна £>(х,и) є (и + 1)-вимірними. Ця різниця позначається значком ~.
Якщо тепер ввести допоміжну функцію Я (функцію Гамільтона) у вигляді
Я(^о>	=
= Е	•••><)>	<11. 64)
; = 0
то рівняння (11. 62) і (11. 61) можна об’єднати в одну систему, що відома в механіці як система Гамільтона:
сіх/іїї = дН/дір^ і = 0,1, ...,и;	ці. 65)
йу/СІЇ = — дН/дх^ і = 0,1, ...,П.	(Ц 66)
Рівняння (11. 65) — це рівняння об’єкта, а рівняння (11. 66) — спряжені рівняння.
Після цих попередніх зауважень сформулюємо принцип максимуму:
для того щоб керування и(0 і траєкторія х(0, що йому відповідає,
були оптимальними, необхідно існування такої ненульової безперервної (п + 1)-вимірної вектор-функції ^(0, складові якої задовольняють рівняння (11.65), (11. 66), щоб при будь-якому ї у заданому інтервалі ґ0 с ґ с ґ] величина Н як функція керувань и(/) у заданій зоні їх допустимих значень досягала максимуму:
Н = М(у0,...,уя,х0,...,хя),
(11. 67) причому = сопзі і М = сопзі (^0 « 0 і М = 0).
Оскільки функція Н становить скалярний добуток вектора швидкості зображуючої точки х = уХх, и) і вектора гд то принципу максимуму можна дати таке геометричне пояснення. Нехай вихідному і кінцевому станам системи відповідають зображуючі точки х(/0) та хЦ) у просторі станів (рис. 11. 2). Кожній точці простору станів відповідає певна оптимальна траєкторія і мінімальний час переходу в кінцеву точку х(/]). Навколо цієї точки можна побудувати поверхню, що є геометричним місцем точок з однаковим мінімальним часом переходу І у цю точку. Такі поверхні називаються ізохронами. Очевидно, що оптимальна за швидкодією траєкторія з початкової у кінцеву точку повинна бути настільки максимально близькою до нормалей до ізохрон, наскільки це дозволяють обмеження, що накладаються на змінні стану і керування. Математично ця умова саме і вимагає максимуму скалярного добутку вектора швидкості х на вектор зворотний градієнту часу переходу в кінцеву точку.
В найпростішому випадку оптимальності (оптимальності за швидкодією), коли час і] не фіксований, а підінтегральна функція в (11. 59) (х, и) тотожно дорівнює одиниці, функціонал має вигляд
‘і
1 = / д.1 =	- І = тій.
_ 'о	(11. 68)
Функція Гамільтона Н у цьому разі визначається за формулою
Н =	+ Н,
де Л
И = X ^Д,...,хл,и1,...,ит).
І = 1
Штучні величини з нульовими індексами не потрібні, і система рівнянь Гамільтона матиме вигляд
(іх^сії = дН/д , /	= 1, 2, . . . , «;	(11. 69)
(1іріІЛі = —дН/дхі,	і = 1, 2, . . . , п.	(11. 70)
Оскільки	=	сопзі, то максимум	Н реалізується одночасно	з максимумом функції	Я, а з вимоги у>0 «ї	0 відповідно до принципу	макси-
муму випливає, що максимум Н не менше нуля:
М > 0.
Отже, принцип максимуму для систем, оптимальних за швидкодією, можна сформулювати так:
необхідно існування такої ненульової безперервної «-вимірної вектор-функції ції), складові якої задовольняють рівняння (11. 69), (11. 70), щоб для всіх і у заданому інтервалі ґ0 с ґ с ґ, величина Я як функція керувань и(0 у заданій зоні їх допустимих значень досягала максимуму
Я =• 1И(^„ . . . , ^я,	. . . , х^,
причому величина М стала у часі і М > 0.
Розглянемо застосування принципу максимуму для окремого випадку оптимального за швидкодією керування лінійними об’єктами, що описуються рівнянням
х = Ах + Ви,	(11. 71)
де х(0 — «-вимірний вектор змінних стану об’єкта; и(0 — «г-вимірний вектор керувань; А, В — матриці сталих коефіцієнтів вимірності «х« і «х«г.
У розгорнутому вигляді рівняння (11. 71) можна записати так:
п	т
Лх/йі =	аікхк +	Ь^и,, і = 1,2,...,«.
*=і	(=і
Тоді функція Гамільтона має вигляд
п	п	т
н =	+ X
і = 1	[* = 1	( = 1
(11. 72)
(11. 73)
або у векторній формі
Я = (ір, Ах) + (ір, Ви).
(П. 74)
За принципом максимуму оптимальне керування надає максимум функції Я при обмеженнях и. Але щоб функція Я набула максимуму
за зміною и, достатньо, щоб другий доданок у виразі (11. 73) або (11. 74) був максимальним, тобто
(11. 75)
т п
= 12 ь^иі
1 = 1 і=1
шах.
При т « 1 і обмеженні | и(1) | итах умова (11. 75) має вигляд
а.(ї) и(1) = тах сг^и,
Іи(ґ)| < и 1 4 п тах
де
л сті(0 = Е Мт і = І
Умовою екстремуму будь-якої гладкої функції, яку задано у відкритій зоні змінювання її аргументу, є рівність нулю її похідної. Якщо функцію задано в замкнутій зоні, то вона може набувати екстремуму всередині зони або на її межі. В розглядуваному випадку функція а(и є лінійною відносно и, тобто її похідна не залежить від и. Тому якщо и не має обмеження, то не існує значення и, при якому досягається екстремум. Якщо функція Н розглядається у замкнутому інтервалі [-итах, +итах] змінювання и, то вона набуває максимуму на межах інтервалу (рис. 11. 3). Отже, функція Н досягає максимуму при
дН
и = Чпах81^ ^7 = «тах818П
Цей вираз є справедливим для будь-якого моменту часу, тому оптимальне керування має вигляд
"(0 = Ш-
У загальному випадку при т > 1 кожна складова вектора керування иЦО), «2(0, . . . , ит(і)) змінюється в межах зони керування незалежно від решти складових і повинна набувати максимального значення. Очевидно, що умова (11. 75) виконуватиметься при керуванні
иі = ^тах8‘2п Е Ь^< ’ 1 = 1>2
(11. 76)
Цей вираз показує, що керування в лінійних системах, оптимальних за швидкодією, має бути релейним.
Розв’язування задачі максимальної швидкодії за принципом максимуму виконується в такому порядку.
1.	Записуються рівняння динаміки об’єкта у вигляді (11. 57).
2.	Складається функція Гамільтона, що дорівнює скалярному добутку векторів <р і г/Л тобто
Я =	+ <р2^2 + ... + <рлуп.
3.	Відшукуються частинні похідні функції Я за и, які визначають екстремум функції Я. Якщо Я лінійно залежить від и., то частинна похідна дН/ди. є функцією однієї або кількох складових вектора При цьому для досягнення додатного максимуму Я необхідно, щоб и. = +и. ах при у>.(ґ) > 0 і и. = -и.тах при ^(ґ) < 0, тобто
Щ = н,тах5івп ^.(ґ).
Отже, керуюча дія повинна стрибком набувати значення +и або
Якщо залежність Я від и. нелінійна, то частинна похідна дН/ди. прирівнюється нулю і із знайденого виразу визначається и. , при якому Я набуває екстремуму.
4.	Визначаються допоміжні функції , для чого складається і розв’язується система рівнянь вигляду (11. 70).
5.	Для замкнутих систем визначається керування як функція змінних стану об’єкта и = /(х).
Складність аналітичного розв’язування задачі оптимального керування полягає в тому, що загальна кількість невідомих параметрів становить (2п + 1): п змінних стану х. , п функцій і загальний час керування Т =» ґ - і0. Для їх визначення необхідно мати 2п граничних ; умов, а також умову для визначення Т. Проте звичайно початкові та кінцеві значення задаються для змінних х., а для функцій вони не
задаються. Прямих способів розв’язування таких задач немає — більшість із них можна розв’язувати числовими методами.
Один з можливих підходів до розв’язування задачі такий. Беруть ДОВІЛЬНІ початкові значення тобто ДОВІЛЬНИЙ вектор розв’язують рівняння (11. 69), (11. 70) і визначають функції х(ґ), у>(/). Потім при І = ( перевіряють, чи виконується умова х(ґ) = х*1’. Я'кщо ‘вона не виконується, тобто система в кінці керування не набуває потрібного стану, то беруть нове значення ір(ї0) і для нього визначають хЦ) і т. д. Отже, шукане оптимальне керування визначають методом послідовних наближень. Процедура триває доти, доки не буде знайдено такий вектор для якого умова х(Г) = х*' виконуватиметься з прийнятною точністю.
Аналітичний розв’язок можна знайти тільки для відносно простих задач.
Приклад 11. 2. Визначити закон змінювання струму якоря двигуна постійного струму з незалежним збудженням, що забезпечує відпрацювання кутового переміщення во протягом мінімального часу Т при обмеженні струму якоря І І І < Ітах і статичному моменті Мс - 0.
Розв'язання. Рівняння, що описують динаміку двигуна, мають вигляд
д<о!дІ - сі/1,
<Ю/<11 - ш,
де <о — кутова швидкість двигуна; с — сталий коефіцієнт, 1 — момент інерції електропривода.
Приймемо такі позначення змінних стану і керування: <о - хр в - х2, і - и. Тоді рівняння двигуна матимуть вигляд
Лс, /Л -	— си /1;
<іх2 /<11 = <р2 = х
(11. 77)
при початкових умовах х.(0) - 0, х,(0) - 0 і кінцевих значеннях змінних стану х.(77 -- 0, х2(Т) - 0О.
Введемо дві допоміжні функції часу і ’/'г * складемо функцію Гамільтона для системи рівнянь (11. 77):
н = РМ + ЛЛ = 7^і“ + ^2хі-
З умови максимуму цієї функції по а визначаємо оптимальне керування
“ “ ‘тах8І8п Ур	<П- 78)
тому що функція Н лінійно залежить від и.
Складемо спряжену систему рівнянь для допоміжних функцій І 1І>2 вигляду (11.70)
<7^ /<ІІ — — дН /дх1 = — ір2;
<і<1>2 /Л = — дН /дх2 = 0.
(11. 79)
Позначимо поки що невідомі початкові умови для допоміжних функцій так: ^(0) - Сг і/>2(0) - С2. Тоді розв’язок системи рівнянь (11. 79) матиме вигляд
’Л “ С1 ~ С2 ^2 “ С2 і відповідно до (11. 78)
“ - ‘тах «вп (С1 - СА
Функція ^(0 на інтервалі (0, Т) змінює знак не більше одного разу. Позначимо момент змінювання знака тоді
ц(Г) =
і	при	І < і.;
тах	г	1
- і	при	і > /.
тах	1
Визначимо момент перемикання Для цього використаємо перше рівняння системи (11. 77). На першій ділянці при І < ітах, тому
дх,/дІ - сі // 1	тах
Розв’язок цього рівняння при початкових умовах Х|(0) - 0 запишеться так:
х = ~.і і. 1 у тах
При і - швидкість у кінці першої ділянки обчислюється за формулою
= }‘тах'г
На другій ділянці при і > -ітлх, тому
<7х, І ді - -сі І З. 1	тах
Розв’язок цього рівняння знаходимо за формулою
х, = —	? + С, -
1	тах З
Сталу інтегрування С3 визначимо з умови, що функція х^Г) при і - 11 не зазнає розриву і на другій ділянці х^Г,) - сі^^Л; тоді
1	~тах т тах і
При і - Т х^Т) - 0, тобто
® = ~ у1тах^' + ’у1тах,|>
ЗВІДКИ
- 772.
Час Т визначимо з умови, що за цей час кутове переміщення дорівнює в0. Тоді з другого рівняння системи (11. 77) маємо
т
х2 = /	= в0
0 або
772	Т/2 ,	л	ч
/С	І* І	С	£.С	і
7 ‘т.х 1 111 + I " 7 ‘тах 1 + у" ‘тах '1 Л = ®0>
О	0 '	'
звідки
Прийнявши позначення струму якоря і і швидкості ш, запишемо закони змінювання струму і швидкості при відпрацюванні двигуном заданого переміщення
+ ‘тах ПРИ
~‘тах ПрИ Т/2<ІЧТ-,
-]	при, <772;
7 ‘.пахСТ’-О при тп<і^т.
=
Закон змінювання напруги на якорі визначимо з рівняння ия - іЛ + сш. Він має вигляд
с2
‘т»х^ + Т	ПРИ
тах 7 тах	г	’
С2
^ + 7 (Т’-О при 772</<Т.
Графіки змінювання струму, швидкості і напруги на якорі двигуна подано на рис 11. 4.
11. 4. ТЕОРЕМА ПРО п ІНТЕРВАЛІВ
Одна з окремих, але досить важливих задач оптимальної швидкодії розв’язана в 1953 р. у працях Фельдбаума незалежно від праць Понт-рягіна. Фельдбаум довів таку теорему: для об’єктів, що описуються лінійним диференціальним рівнянням із сталими коефіцієнтами
сГх йГ-1х	...
ап —7 + «з, —7~Г + • • • + ах = и(і),
корені характеристичного рівняння якого є дійсними від’ємними або нульовими, а | и(і) | < и , оптимальне керування має не більше, ніж п інтервалів максимального значення ±и і п - 1 моментів перемикан-ня. Ця теорема дістала назву теореми про п інтервалів.
Згідно з теоремою про п інтервалів оптимальне керування при наявності обмеження керуючого сигналу складається з п інтервалів, у кожному з яких керуючий сигнал досягає свого максимального значення, тобто час перебігу оптимального процесу х(1) поділяється на п інтервалів, у кожному з яких процес описується рівнянням
апх 1 сГ~'х ±
а„ —7 + а, ——г + ... + ах = сги,
0 аг «й" 1
V
(11. 80)
де <7 = ± 1, і не змінюється протягом кожного інтервалу. В КІНЦІ кожного інтервалу відбувається змінювання знака керуючого сигналу. Цей висновок повністю збігається з результатом, який дістали для лінійних систем за принципом максимуму Понтрягіна.
Теорема про п інтервалів може бути поширена також на випадок, коли обмеження накладаються не тільки на керування и, але й на змінні стану системи. У цьому разі кількість інтервалів оптимального керування збільшується, тому що крім інтервалів, у яких максимального значення набуває керування, додаються ще й інтервали, коли обмежені змінні стану системи мають свої граничні значення.
Сама по собі теорема про п інтервалів не дає правила вибору знака керування на першому інтервалі та способів визначення тривалості інтервалів або моментів перемикання.
У багатьох випадках знак керуючого сигналу на початку процесу визначається потрібним напрямком змінювання вихідного сигналу х. Одним з способів знаходження моментів перемикання є метод стикування розв’язків диференціальних рівнянь із знакозмінною правою частиною.
Розглянемо суть цього методу. Нехай корені характеристичного рівняння об’єкта а,, а2, . . . , є дійсними, від’ємними і різними. Тоді розв’язок рівняння (11. 80) має вигляд
х(7) = С.еаі' + С2еа^ + ... + С/л' + и /а або
х(і) = С.е“>' + С2еа^ + ... + Спе“л' - и/а.
Приймемо для визначеності, що на першому інтервалі знак керування додатний. Тоді для першого інтервалу
х(0 = Сие^' +	+ ... + С,/л' + «та/ал,
для другого інтервалу
х(ґ) = С2£а* + С22е* + ... + С2еа-' - и /а , для и-го інтервалу
х(І) = С/•' + С ,е“2' + ... + Ся/л' + ( - 1)л + 1ита х/ап.
У цих виразах перший індекс сталих інтегрування означає номер інтервалу керування.
Для визначення оптимального програмного керування и(ї) необхідно знайти п2 сталих інтегрування (тому що розв’язок рівняння для одного інтервалу містить п. сталих інтегрування, а таких рівнянь гі), знайти п - 1 момент перемикання і загальний час керування /п (час закінчення останнього інтервалу керування). Отже, загальна кількість невідомих становить п + п. Для їх визначення мають бути заданими 2п
початкових і кінцевих умов х(0)=хо, х(О) = хо, х*"' ‘>(0) = х0("_ *>, = \> х(і„) =	х<-"(/,) = хк<"- ».
Крім того, складаються рівняння, які грунтуються на тому, що під час перемикання знака керування в кінці інтервалу стан об’єкта миттєво не змінюється. Ці рівняння мають вигляд
х(ґ(-0) = х(ґ(+ 0);
Х^ -0) = х(ґ, +0);
х0”1^ - 0) = х0”1^ + 0);
х(ґ2 - 0) = х{і2 + 0);
х(/2 - 0) = х(12 + 0);
хІЛ’1)(/2 - 0) = хІЯ-1)(/2 +0);
= хС + 0);
-0) = і^-, + 0);
= х^-.+О).
(11. 81)
Кількість таких рівнянь п. (п - 1). Отже, загальна кількість рівнянь 2п + п (п. - 1) = п2 + п дорівнює загальній кількості невідомих, тобто задачу знаходження невідомих сталих інтегрування і моментів перемикання можна розв’язати.
Задача розв’язується в такому порядку. Складається система п рівнянь, що є розв’язками для вихідної координати х та її п - 1 похідних для кінця останнього інтервалу керування (при І = /п):
хг = С„,е“і'п + С^е“2'„ + ... + С^п'п + (- 1)"+ /ал;
і = а.С.е“і'л + а	+ ... + а С яе“п'п;
К	1 ПІ	2 Л2	П ПП	'
................................................ (11.82)
Х(л -!) = «[ - іС^'п +	- ‘Сл2е“2'п + .. • + а: - ‘С п^п'„.
З цієї системи рівнянь визначаються сталі інтегрування Сл1, С^, . . . , Спп як функції загального часу керування.
Аналогічна система рівнянь записується для кінця передостаннього інтервалу і початку останнього при і = І і складаються рівняння вигляду (11. 81):
с^а'‘п-' + СяХ2'"-1 + ••• + С еа,,'п-1 + ( - 1)" + 1и /а„ =
= С, +С, ..Х2'""1 +••• +С пеа"'"-> + {п ~ 1)1	\П — 1)4	[п і)п
+ ( - 1)"и /а ; х / тах п ’
а.С .еа'і'п -1 + а,С X2'" -1 + ... + а С еа™ -1 = 1 ЛІ	2 П2	п пп
= а.С, _ .X1'" -1 + аС _ П2е“2'" -1 + ... + а С. _ ...еа™ -1;
1 {П ~ 1)1	4 (Л — 1)4	П \П — 1)П	’
л — !/*» о.і . । п — 1/п 0’-^ • ।	। п ~ І/"-» о ( ,  
а. С.е 1" -1 + а, С.е 2" -1 + ... + а Се "п -1 = 1 ПІ	4 П4	п ПП
л — і/*1» о.і . > п — !/*» ол , > = «1 С(В-!)!*'В-' +а2 С(П-»2Є2П’1+---
... + ап ~ ’С, еа,,Іп -1. п (п - 1)п
Підставивши в ці рівняння значення Сп1, С^, . . . , Спп, знайдені на попередньому етапі, визначимо сталі інтегрування С(л , С 1)2, • • • , С, як функції і і і
Продовжуючи таку процедуру стикування розв’язків, приходимо до першого інтервалу. Рівняння для початку першого інтервалу при і = О
хо = Сп + С12 + ... + С,„ + итах /ап;
*о =	"* а2^\2 + • •  + «ПС,П >
(л —• 1)	п “• !/*» > п “ !/*» >	> п — їх"?	,
Х0 = «> Сп+а2 С>2 +•••+«„ С>„>
становлять п рівнянь, у яких сталі інтегрування є функціями інтервалів часу іх, ї2,. . . , іп. Замінивши сталі інтегрування їх виразами через інтервали часу, дістанемо п рівнянь для визначення п інтервалів часу і, нарешті, керування и(ї). Розв’язуються ці рівняння числовими методами.
Якщо б з функції керування и(.ї) вдалося вилучити час, то дістали б керування залежно від змінних стану системи (фазових координат). Але ця задача розв’язується простіше методом фазового простору.
Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли об’єкт описується рівняннями
Рис. 11. 6
(іх{/сІІ = х2;
(Іх2/(1і = и.
(11. 83)
Необхідно визначити оптимальне керування м, що переводить об’єкт з довільного початкового стану х^О), х(О) в стан спокою хЩ = 0, хД) = =0 протягом мінімального часу при обмеженні | и | < 1. Рівняння (11. 83) лінійні, тому оптимальне за швидкодією керування и може набувати тільки двох значень: и = +1 і и = -1. Розглядувана система є системою другого порядку, тому згідно з теоремою про п інтервалів у ній має відбуватися одне перемикання.
Для розв’язування задачі синтезу оптимального керування побудуємо фазові траєкторії об’єкта. Для цього з рівнянь (11. 83) вилучимо час, поділивши перше рівняння на друге
д.х,Ід.х2 = х2/и.
Керування и може набувати лише рівняння (11. 84) подамо у вигляді
двох значень +1 і -1, тому
йх1 /сіх2 = х2 при и = + 1;
с?Х] /йх2 = — х2 при и = — 1.
(11. 84)
(11. 85)
Інтегруючи ці рівняння, дістанемо рівняння фазових траєкторій
х, = 2 Х2 + С при и = + 1;
(11. 86)
х. = — -х х? + С при и = — 1.
12 2	(11.87)
Фазові траєкторії становлять дві сім’ї парабол (рис. 11. 5). При С = 0 параболи описуються рівняннями
1	2		1	2
х, = 2 х2	1	хі = “ 2 х2
(11. 88)
і проходять через початок координат, який відповідає кінцевому стану об’єкта х1 = 0, х2 = 0. Частини цих парабол, по яких зображуюча точка приходить у початок координат, утворюють лінію перемикання Ь. Позначимо частину цієї лінії при и = +1 через Ц, а при и = -1 — через Ь~. Отже, на останньому інтервалі оптимального процесу зображуюча точка потрапляє у початок координат по лінії Ь* або Ь~ (рис. 11.6).
Лінія Ь, розділяє фазову площину на дві зони £>1 і ї>2. Якщо в початковий момент часу зображуюча точка знаходиться в зоні £> (наприклад, точка М^, то на першому інтервалі слід прийняти и — -1. Тоді зображуюча точка рухатиметься по параболі, що описується рівнянням (11. 87) і проходить через точку М.. У момент часу, коли зображуюча точка потрапляє в положення /V,, необхідно змінити керування на и = +1. Після цього зображуюча точка рухатиметься в початок координат по параболі N<3. Крива ММО є оптимальною траєкторією, що відповідає початковому стану х^О), х2(0).
Якщо в початковий момент часу зображуюча точка знаходиться у зоні О2 і має положення М2, то необхідно прийняти и = +1. У цьому разі оптимальна траєкторія має вигляд М^^р. В точці 1У2 відбувається перемикання керування на и = -1.
Рівняння лінії перемикання згідно з (11. 88) можна подати у вигляді
х, + | х2|х2| = 0.
(11. 89)
Відповідно до цього рівняння оптимальне керування визначається за формулою
и = -1 8і£п <7р	(11. 90)
де = х[ + | х2| х2| .
Функціональну схему, що реалізує оптимальний закон керування, подано на рис. 11. 7. Нелінійний елемент НЕ формує функцію Р (х ) =
1
= 2 х21 х21. Перемикання здійснюється релейним елементом РЕ, сигнал на виході якого и = -1 5І£п ст.
Розглянемо тепер випадок, коли об’єкт керування описується лінійним диференціальним рівнянням п-го порядку із сталими коефіцієнтами, яке можна подати у вигляді п рівнянь першого порядку
п
сіх, /сіл. = > а,х. + Ьц, і — 1,2,...,п;
І	І] ) Iі	’	’	’
/ + І
(11. 91)
Вважатимемо, що керуючий орган один, тобто керування скалярне, і обмеження керування дорівнює одиниці: | и | < 1. Тоді рівняння (11. 91) можна записати у вигляді двох рівнянь
сіхі /сії = аі]хі + Ь. при и — + 1
' = '	(11.92)
і
п
Лс, /сіі = аі]хі — Ьі при и = - 1.
> = і	(11.93)
Крім того, приймаємо, що шукане оптимальне керування має протягом мінімального часу переводити зображуючу точку з довільного початкового стану в кінцевий, яким вважається початок координат простору станів. Ця задача про повернення зображуючої точки в початок координат простору станів протягом мінімального часу відповідає поверненню об’єкта у вихідний усталений стан, відносно якого змінні стану об’єкта набули деякого відхилення хр х2, . . . , хп під дією збурень, прикладених до об’єкта. Змінні хр х2, . . . , хп можна також розглядати як відхилення (або похибки) відносно нового усталеного стану. Отже, якщо об’єкт перебуває в заданому стані, то завжди х[ = х2 = . . . = хп = 0.
Рівнянню (11. 92) відповідає одна сім’я траєкторій у просторі станів, а рівнянню (11. 93) — друга. Позначимо їх відповідно £,+ і Ь~. У сім’ях траєкторій Ь+ і Ь~ існує по одній траєкторії, яка проходить через початок координат. Вітки цих траєкторій, що закінчуються в початку координат, становлять напівтраєкторії Ь* і Ь~. Об’єднаємо їх в одну траєкторію Ь. Очевидно, що зображуюча точка може потрапити в початок координат обов’язково по лінії Ь, що відповідає останньому інтервалу оптимального процесу.
Протягом оптимального процесу знаки керуючої дії на сусідніх інтервалах чергуються, тому кінці множини напівтраєкторій пере-486
достаннього інтервалу Ь~ належать напівтраєкторії Ь*, а кінці Ь+2 — напівтраєкторії Ь~. Сукупності напівтраєкторій Ь* і £2 утворюють дві поверхні, кожна з яких за межу має криву Ц. Обидві поверхні стикуються по лінії £ і створюють поверхню Ь2, рухаючись по якій зображуюча точка потрапляє на лінію Ьг і по ній — в початок координат. Продовжуючи цю побудову, дістанемо поверхні £3, Ь4, . . . , Ьп.
Для об’єктів з дійсними від’ємними коренями характеристичного рівняння процес синтезу полягає в знаходженні поверхні £ , яка розділяє простір станів на дві зони, в одній з яких зображуюча точка рухається по траєкторіях, що відповідають рівнянню (11.92), а в другій — рівнянню (11. 93). При цьому, якщо початкова точка знаходиться в зоні Ь* простору станів, то в кінці першого інтервалу зображуюча точка потрапляє в зону £”_,, де відбувається перемикання керування. Надалі зображуюча точка, рухаючись по поверхні потрапляє на поверхню £+_2, де знову відбувається перемикання керування. Врешті-решт зображуюча точка потрапляє на поверхню Ь2 і після останнього перемикання по лінії £[ приходить у початок координат.
Поверхні, що розглядаються, описуються трансцендентними рівняннями [17], тому задача синтезу (визначення поверхні перемикання Ьп_) розв’язується в замкнутому вигляді лише для систем другого і третього порядку. Для систем вищого порядку можна знайти частинний розв’язок або обмежитися керуванням, близьким до оптимального.
11. 5. ДИНАМІЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ
Метод динамічного програмування розроблено американським математиком Беллманом на початку 50-х років. Цей метод дає можливість розв’язувати задачі оптимального керування, тобто він є одним із способів розв’язування варіаційних задач, рівноцінний принципу максимуму Понтрягіна. Крім того, за допомогою динамічного програмування можна розв’язувати задачі, що є дискретними за своєю природою (не перетворені з відповідних безперервних задач). Це має велике значення для найрізноманітніших галузей техніки та економіки, пов’язаних з дискретними процесами виробництва.
Метод динамічного програмування базується на принципі оптималь-ностг. будь-яка кінцева ділянка оптимальної траєкторії є також оптимальною траєкторією, тобто оптимальна стратегія не залежить від попереднього стану системи, а визначається лише її станом у розглядуваний момент часу. Нехай, наприклад, відома оптимальна траєкторія, що переводить систему, описувану рівняннями
Рис. 11. 8
Лс/іЙ = />](х1,х2,«,/);
йх2/бй = у>2(х[, х2, и ,і),
(11. 94)
з стану х^), х2(ґ0) в стан х^), х/^). Цю траєкторію зображено на рис. 11. 8. їй відповідає мінімум функціонала
І
1
1 = / ^0(^>х2,и)Л,
'о
де и(х]; х2, /) — відоме оптимальне керування.
(11. 95)
Поділимо оптимальну траєкторію на дві ділянки 1 і 2. Принцип оптимальності встановлює: якщо вся траєкторія оптимальна, то й ділянка 2 також оптимальна.
Обгрунтування принципу оптимальності досить очевидне. Припустимо, що ділянка 2 не оптимальна. Тоді має існувати інша ділянка 2’, що починається в точці х<ІЇ), х2(і), на якій функціонал (11. 95) набуває меншого значення, ніж на ділянці 2. В цьому разі значення функціонала на траєкторії 1—2 буде меншим, ніж на траєкторії 1—2, тобто траєкторія 1—2 не оптимальна, що суперечить вихідному припущенню про те, що траєкторія 1—2 оптимальна.
Принцип оптимальності дає можливість покрокової організації процесу відшукування оптимального керування, починаючи, наприклад, з останнього кроку. Це істотно спрощує задачу оптимізації, тому що можна оптимізувати керування на кожному кроці окремо.
Формальним записом принципу оптимальності є функщональне рівняння Беллмана. Зокрема для системи другого порядку (11. 94) воно
має вигляд
'о**
5Ц(О’х2^о)’= тіп { /	[х(1),х2(і),и(і)]Ф +
“ 'о	(11.96)
+ $[хД + ДГ),х2(ґ0 + Д/),ґ0 + А/]}.
У цьому рівнянні використано такі позначення для функціонала на оптимальних траєкторіях:
'і
= тіп/ ^оЦ(0>х2(0’и(0і^;
и і
5 [х,(ґ0 + Дї), х2(/0 + А*), і0 + Дґ ] = шіп / <р0 [х,((), х2(0, и(0] Л.
“<о + д/
Граничне значення 5 при і = ґ дорівнює нулю.
Функціональне рівняння Беллмана дає по суті рекурентні співвідношення для розв’язування задач оптимізації числовим методом.
Розглянемо процедуру застосування рівняння Беллмана для відшукування оптимального керування на такому простому прикладі. Нехай динаміка об’єкта описується рівнянням першого порядку
(їх/(11 = //х, и),	(11. 97)
де х — єдина координата об’єкта; и — єдина керуюча дія, яка має обмеження | и | < итах. Відомі початкові умови х(і0) = х0 і функціонал, що мінімізується,
'1
1- = / У>0(х,и)Л.
'о	(11. 98)
Поділимо інтервал часу іх - 10 на т рівних частин тривалістю Дґ = (^ - і0)/гп. Тоді рівняння (11. 97) можна записати в скінченних різницях
х[(Л 4-1) Дґ ] - х(ЛДґ)] , г/, лч „
= /Дх(ЛД/),и(ЛД/)]
або
хм ~ хк= Кхк' ик>'	(11-
де
М- = и№ а інтеграл (11. 98) замінити сумою:
т — 1	т - 1
1 = У <р0[х(к&),и(кМ)]& = У <р(хк,ик).
к-0	к“в	(11. 100)
Задача тепер полягає у визначенні послідовності дискретних значень керуючої дії и0, их,..., и х для кожного Д/, що мінімізують суму (11.100) при умові (П. 99) і обмеженні | и | < итах. Сформульована задача є задачею знаходження мінімуму складної функції багатьох змінних. Метод динамічного програмування дає можливість звести цю задачу до простішої — до послідовної мінімізації деяких функцій лише однієї змінної.
Розв’язування задачі зручно починати з кінця процесу, тобто з моменту часу і = і просуватися до його початку І = і0, тому що при І = і функціонал дорівнює нулю.
На початку останнього етапу процес характеризується значеннями координати хт_1 і керуючої дії и . Згідно з принципом оптимальності керування и/п_1 не залежить від попереднього стану системи, а визначається лише значенням хт_1 і ціллю керування. На останньому кроці траєкторії від Гт і до іт = іх вибір керуючої дії и впливає лише на останній доданок суми (11. 100)
Л.-> = ит-Л	(П- 101)
Оптимальне керування ит на т-1-му кроці повинно мінімізувати величину Іт_ґ Позначимо мінімальну величину функціонала І через 5т_ґ 3 виразу (11. 101) видно, що 8т_х залежить від х , тобто від стану системи в момент і Тому можна записати
5т_1(хи_1) = тіп/т_, = тіп[у>(хи_1, “т-1	“т-1
Для визначення 5т1 потрібно мінімізувати І лише за однією змінною ит1. Виконавши цей процес, знайдемо значення 5 і відповідні їм оптимальні керування итяк функції змінної х . Значення 5 і ит Х для різних хтХ необхідно занести до пам’яті ЕОМ перед тим, як переходити до наступних етапів розв’язування.
Переходимо тепер до передостанньої ділянки часу від і_2 до І . Для неї матимемо
5 ,(*_,) = шіп/ = тіп[р(х и ,)]+5т ,(* ,)• т — л ' тп 2.'	т 2	х т 2 т - 2х	тп — 1 4 т — 1х
“т-2	“т-2
ит-Х	(11.102)
З врахуванням (11. 99) запишемо
х , = х + /(х ,, и .); т-1	т-2	*	т-2’	т-2
тоді з (11. 102) дістанемо
5 , (х ,) = ™іп [<р(х .,и ,) + 5 Дх ,+ т-2' т-27	1 ~ ' т - 2 ’ т-27	т-11 т-2
& т-2
+ Л*.-2	
Мінімізація тут виконується також за однією змінною и 2 і при цьому визначається оптимальне значення керування и і мінімум функції Іт_2, що дорівнює 5т 2. Для кожного фіксованого х знайдене оптимальне значення ит 2 мінімізує всю величину 5 2, а не тільки її перший доданок. При цьому для кожного и 2 за формулою (11. 99) обчислюється координата х , знайдена на попередньому кроці. Внаслідок мінімізації Іт_2 дістанемо залежності бт_2(хт_2) і ц„_2(хт_2), які записуються до пам’яті ЕОМ.
Аналогічно виконуючи переходи до чергових кроків, записуємо рекурентну формулу
Зт-к(Хт-к) = тІП {р(*и-*>Ит-*) + ит - к	(11. 103)
- (к - 1)	- * + / (Хт - к > ит -	•
За цією формулою можна визначити оптимальне значення функціонала на будь-якому кроці.
Обчислюючи за формулою (11. 103) $ послідовно для к = 1, 2, . . . , т, визначаємо, нарешті, и (0), тобто керуючу дію, яка необхідна в початковий момент часу. Одночасно з визначенням и (0) дістаємо також 5 (0), тобто мінімальне значення функціонала при оптимальному керуванні.
Розглянуту процедуру можна застосувати також у загальному випадку, коли об’єкт керування описується рівнянням
х = <р (х, н, ґ), а функціонал, що мінімізується, має вигляд 'і
7 = / п<х>и) 'о
Розв’язування починаємо з кінцевого моменту і = І.. Визначаємо і запам’ятовуємо оптимальне значення керування и (т—1) на початку останнього інтервалу для кожного можливого дискретного значення х (т—1) в границях обмежень на змінні стану системи. Одночасно запам’ятовуємо відповідний приріст 5 (т—1) функціонала, що мінімізується. Потім переходимо до передостаннього (т—2)-го кроку і визначаємо мінімум функціонала 5 (т—2) за два останніх кроки і відповідне оптимальне значення и (т—2) як функцію х (т—2). Мінімальне значення 5 (т—2) для конкретного значення х (пг—2) знаходимо варіюванням н (т—2). При цьому для кожного и (т—2) спочатку визначаємо приріст функціонала за другий крок і значення х (т—1) в кінці другого кроку. Після цього, використовуючи раніше знайдену залежність 5 (т—1) від х (т—1), визначаємо повний приріст функціонала 5 (т—2) за два кроки. Переходячи далі до початку (т—3)-го кроку і т. д., нарешті потрапляємо в початкову точку х (ґ0), визначивши при цьому оптимальне керування и (0, сам оптимальний процес х (ґ) і сумарну величину критерію оптимальності.
Описана процедура лише в найпростіших випадках дає можливість знайти розв’язок в аналітичній формі. У загальному випадку метод динамічного програмування слід розглядати як метод складання програми для числового розв’язування задач за допомогою ЕОМ.
Метод динамічного програмування можна використовувати також без подання задачі оптимального керування в дискретній формі. Для цього застосовувається диференціальне рівняння Беллмана
35(х,ї)	. ,	А 35(х,ї) ,	.
-----зГ“ = т1п Ро(х,“) +2 —> и	, = і	і
де х — п-вимірний вектор змінних стану об’єкта; и — т-вимірний вектор керування.
Якщо система стаціонарна, то 5 не залежить від і, тобто 35/ ді = 0, і рівняння (11. 104) матиме вигляд
п
тіп {р0(х,и) + ]Р
35(х) Зх,.
(11. 105)
Якщо прийняти = 1, то від загальної задачі можна перейти до задачі про максимальну швидкодію. Рівняння (11. 104) матиме вигляд
35(х,0	. .А 35(х,0 .
- -V = т + 2
и І і = 1	'
Для стаціонарної системи
тіп2 ^^^.(х’и) = -1-
“ і = і 1
Якщо ввести функцію У(х) = -5(х), яку називають утворюючою, то
хч ЗУ(х)
тах2,	= Е
11 і! = 1	‘
Це рівняння є рівнянням Беллмана в задачі про максимальну швидкодію.
Якщо відомо, що оптимальне керування належить множині V або подібні обмеження взагалі відсутні, то рівняння (11. 105) можна подати як сукупність рівнянь у частинних похідних
<Ро(х,и) +	X	=	°;
і = 1	і
д<Ро(*, и)	А	35(х)	ду>,(х, и)	_
дик	дхі	дик
(11. 106)
де і = 1, 2, . . . , п; к = 1, 2,. . . , т.
Отже, щоб розв’язати задачу оптимального керування, необхідно розв’язати систему (11. 106) з т+1 рівнянням у частинних похідних. У найпростішому випадку для системи першого порядку, що має одну керуючу дію, рівняння Беллмана мають вигляд
ро(л>м) +	= °;
ду>0(х,ц)	д5(х) д<р(х,й) _
ди + дх ди и'
(11. 107)
Приклад 11. 3. Для об'єкта, що описується рівнянням дх/ді — ах + Ьи - <ріх, и) знайти оптимальне керування и, при якому мінімізується функціонал
і = / (с,*2 4-с2и2)Л = / (Ро(х,и>/Ґ. о	о
Розв’язання. Рівняння (11. 107) мають вигляд с,х2 + Сгі? + (ах +	_ 0;
2с,и. + й— = 0. 2 дх
Вилучивши з цих рівнянь дЗЇдх, дістанемо с2Ли2 4- Іас^іх - Ьс^х2 - 0, звідки визначимо керування и як функцію х
и = -х
а а2 с, ї. + ^тт+ ' =-** о у У с, |
Розв'язок з мінусом перед коренем відкидаємо як такий, що ие відповідає вимогам стійкості.
Отже, шуканий оптимальний закон керування є лінійним.
11. 6. АНАЛІТИЧНЕ КОНСТРУЮВАННЯ ОПТИМАЛЬНИХ РЕГУЛЯТОРІВ
Аналітичним конструюванням регуляторів називається методика синтезу оптимального керування и(х) для відомого об’єкта при заданих критерії оптимальності та обмеженнях.
Одним з методів аналітичного конструювання регуляторів, що базується на застосуванні методу динамічного програмування для певного класу систем, є метод О. М. Льотова.
Розглянемо об’єкт керування, що описується лінійними диференціальними рівняннями із сталими коефіцієнтами
<іх. /<Й = У, а.. х. + Ьи, і = 1,2,...,п,
7 = 1 і має одну керуючу дію и.
Треба визначити оптимальне керування и (хґ хг, . . . , х^, що мінімізує функціонал
* / п	\
/ = /	+ сои2 кй,
о \- = >	/	(11.108)
де с. > 0; с0 > 0, і = 1, 2, . . . , п, при переведенні системи з початкового стану х(0) = х0 в кінцевий х(») = 0.
У розглядуваному випадку рівняння (11. 104) має вигляд
35
а = т'п
р0(х>и) + 2,	»
і = 1	*
де
У’о = Е + со“2ї
аііхі + ь-и-
і = 1
Введемо утворюючу функцію V = —5. Для стаціонарного об’єкта функція 5 не залежить від і, а залежить лише від початкового положення зображуючої точки в просторі станів, тому
-^ = ^ = 0 ді ді
і
тіп и
= 0.
(11. 109)
Якщо прийняти, що керування и не має обмежень, то вираз (11. 109) набуває мінімуму в точці, де похідна дорівнює нулю, тобто
т	V	а	дУ
2спи — /	о,
0	‘	дх.
і = і	
= 0
и ~ 2с Ь‘дх ’
°< = і ‘	(11.110)
Підставивши знайдене значення и у вираз (11. 109), дістанемо рівняння для визначення утворюючої функції
або
V V х А? а
дх. 2 а-Л + 2с0 2 Ь» дх.
‘‘і	‘ V-1	°« = ‘
Ь, А . аН
1
4с,
= 0.
(11. 111)
2 сл + 4
і = 1	0
1 ь< Т-] ' дх.
і - 1	1
2
= 0
Рівняння (11. 111) є нелінійним рівнянням у частинних похідних відносно функції V. Розв’язок цього рівняння знаходиться у вигляді квадратичної форми від змінних стану системи, тобто
^ = 22 (~ткгхкх,у к = 1 г = 1
Якщо прийняти, що ткг = тгк, то частинні похідні V матимуть вигляд
дУ дхі
“ 2 2 т-кхк-к = 1
(11. 112)
Підставивши ці похідні в (11. 111), дістанемо рівняння
(11 113)
І	+ ±с^-
і = 1 к = І і = І	і = 1
= 0.
2
Цей вираз становить квадратичну форму змінних х2,. . . , хп. Він буде тотожно дорівнювати нулю при умові, що всі його коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому, прирівнявши нулю сукупність коефіцієнтів при добутках хкх. і врахувавши, що ххк = хкхе дістанемо систему з п(п+1)/2 алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів т.к
п	| п	п
2	+ т 2 ь‘тіі = 0 0' * *)•
;=і	о і=і	і=і
П	/ п	\ 2
2Е + с* - 7 ^ ь‘т*\ =оу = к).
со (. = >	У
Ці рівняння є алгебраїчними рівняннями Ріхкаий.
Визначивши коефіцієнти т.к і використавши вирази (11. ПО) і (11.112), знайдемо оптимальне керування
(11.115)
де
п
і = 1
або
и = - 2 а‘х>-
і = і
В останньому виразі а є коефіцієнтами зворотних зв’язків за змінними стану системи.
Отже, регулятор лінійний і для здійснення оптимального керування необхідно мати зворотні зв’язки за всіма змінними стану системи, тому що всі коефіцієнти а. не дорівнюють нулю.
Приклад 11. 4. Передаточна функція об’єкта має вигляд
Мр) = ---------*-------- =
р (ГУ + 2^р + 1)	“(Р)
Скласти рівняння Ріккаті для визначення коефіцієнтів квадратичної форми утворюючої функції.
Розв’язання. Рівняння динаміки об’єкта
п	СІХ
77 ~Г +	—т + ^7 =
1 Л3 1 Л2 Л
запишемо у формі Коші, прийнявши х( - х; х2 - сіх/сіі, х$ - сі2 х/сії2.
Повна форма рівнянь така:
ЛС]/Л = а11х1 + а12.х2 + а13х3 + Лс2 /сіі = 02^ + 0^X2 + п23х3 + іьіг, іх3/сіі = а31.х1 + а32.х2 + а33х3 +
У розглядуваному прикладі ці рівняння мають вигляд
СІХ\ /сіі - х2;
сіх2 І сіі - х^,
1	2£	К
^*з /6і = ~ у *2 — у хз + 3 “ > 21 і	г,
тобто
4ц = а13 = А - °21 - °22 =	= °31 ~ 0;	°12 = °23 =
Оз2=-1/Г,2; азз=-2§/7;; А = ^/?і2.
Візьмемо оптимізуючий функціонал у формі
/ = / (С1Х] + С2Х2 + С3*3 С0и )	’
о
тоді рівняння <11. 111) набуде вигляду
аи дУ дУ,	ч
7ТГ Х2 + Х3 + ТТ” (а32Х2 + аззхз) -
ЗХ] дх2	ах3	аі 11б)
2	2
2	2	2	63 ( дУ\
СЛ С2Х2 С3Х3 +4С() [ ах^ 0-
Запишемо функцію У при ткг - тгк в квадратичній формі
И(Х], Х2, Х^ = — (ліцХ]2 + т21хІх2 + ОТ31Х1Х3 + ті2хіх2 +
+ т22х2 + от32х2х3 + т^х^х^ + т2}х2хі + т33х3) =
= — 1,П1ГХТ + т22х2 + 'Л33Х3 + 1(т12Х1Х2 + (П13'Х1Х3 + т23Х2ХзЛ-
Частинні похідні функції У мають вигляд
дУ/дхІ - —2(т1[х1 + /п]2х2 + т]3х3);
дУ/дх2 - — 2(/п)2х1 + т22х2 + т23х^\
ВУ/дХу - —2(771]3Х] + /п23х2 + т^х^.
Підставивши ці похідні у вираз (11. 116) і прирівнявши нулю суми коефіцієнтів при однакових хкхе дістанемо систему з шести рівнянь Ріккаті для визначення параметрів т. квадратичної форми функції:
2 для X]
сі— 6зтіз/со = 01 2 для Х2
с2 + 2от12 + 2/п23 а32 - 63/п23/с0 = 0;
для
с3 + 2т2} + 2т33а3з - 6>33/с0 = 0;
ДЛЯ Х]Х2
Отц +/Лі3а32 — Ь^^п^^2^/с^ = 0;	ч
для х1х3
/П]2 + Ш]3а33 — />37П]3т33/с0 — 0;
для х2х^
тіЗ + т22 + т33а32 + т23а33 — ^Зт23тЗЗ/'С0 = ®'
Вагові константи ск і с0 функціонала (11. 108) визначаємо, виходячи з максимально допустимих значень змінних стану системи і.керуючих дій під час перехідного процесу:
У цьому разі функціонал матиме вигляд
Розроблено й інші методи аналітичного конструювання регуляторів. Зокрема, метод 0. А. Красовського відрізняється складнішими обмеженнями керування і змінних стану системи, а також і тим, що оп-тимізуючий функціонал не містить керування. Такий підхід дає можливість визначати оптимальне керування в замкнутій аналітичній формі для задач високої розмірності [12].
11. 7. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ДИНАМІЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ДЛЯ СИНТЕЗУ ДИСКРЕТНИХ (ЦИФРОВИХ) РЕГУЛЯТОРІВ
Розглянемо об’єкт керування, збурений рух якого описується системою різницевих рівнянь
к
Дх,. [л] = <Р,(х , и) = а1;хі [п] + Ьги [п], і = 1,2,..., к.
(11.117)
Якість перехідних процесів оцінюється функціоналом
п = О
/ *
у, с,х2 [п] + с0и2 [п] у = і
Ш. 118)
де с,, с0 — вагові коефіцієнти.
Потрібно знайти рівняння регулятора и [п] = у^іп], х2[п], . . . , хДп] ), при якому функціонал (11. 118) набуває мінімального значення і забезпечується повернення об’єкта в стан, що відповідає початку координат простору станів ( х [»] = 0 ).
За аналогією з безперервними системами рівняння Беллмана для дискретних систем також можна дістати за допомогою принципу оптимальності. Це рівняння матиме вигляд [13]
тіп |Ж(х [п],и [п]) +	^(х) до +
“	'=>*'	(11.119)
^5(х)
2 дх.дх.
і,і = і 1 '
Іххі [п]Аху [п]} = 0,
00
де Ж(х [н], и [ п ]) — функція під знаком
суми функціонала (11. 118);
5 — мінімум функціонала (11. 118) за керуванням и.
Використовуючи функціонал у вигляді (11. 118) і рівняння об’єкта (11. 117) , рівняння (11. 119) можна подати у вигляді
тіп и
2+ со“2 + Е	+
/ = 1	і -1	1
(11. 120)
1 V» д28(х) , +	=0.
і.) = І ’	!
Знайшовши похідну по и від цього виразу, дістанемо співвідношення для визначення рівняння цифрового регулятора
2со“ + 2 . і = 1
д8(х) д<Рі(х,и) дхі ди
(11. 121)
1Л д25(х) д [<рі(х,и)<рі (х,и)]
+ 2	дхідхі	ди
і, І - 1	' >
Розглянемо застосування цих виразів на прикладі систем першого і другого порядків.
Нехай об’єкт описується рівнянням
Ах [н] = ах [н] + Ьи [ні а функціонал — формулою
І = (схх2 [н] + сои [н]) .
Тоді рівняння Беллмана згідно з (11. 120) матиме вигляд
•	2	2 дЗ(х) , .
тіп [С;Х + сои Ч—(ах Ч- Ьи) Ч-и	°х
(11. 122)
1 д28(х) , г ч21	„
+ у \2 (ах + Ьи) ] = 0.
дх
Визначивши похідну по и, дістанемо
0 дх	дх2	дх2
звідки
и
,д5(х) , , д28(х)
Ь—^-2- + аЬх-----\г-
дх__________дх_
2со + ^ 0 дх2
Підставивши це значення и у формулу (11. 122), дістанемо
с7+ахад + 1 22^5(ХІ_
СгХ	иХ •.	л а X ч
1 дх	2 дх2
( д8(х)	525(х)'|2
І дх_________ах2
/ ь2 а25(х)'|	"
(11.123)
Функцію 5(х) відшукаємо у вигляді квадратичної форми 5(х) = тх2. Для визначення коефіцієнта т складаємо рівняння Ріккаті. Для цього підставляємо значення д8(х)/дх = 2тх і д28(.х)/дх2 = 2т у вираз (11. 123), а потім прирівнюємо нулю суму всіх коефіцієнтів при х2.
Після знаходження коефіцієнта т керування и записуємо у вигляді
. , Ьт + акт г , и [п]  ---------з—х [п].
с0 + Ь т
Для об’єкта другого порядку, що описується рівняннями
х, [п+1] = х2 [п] + Ь{и [п];
х2 [н+1] = ах1 [п] + й2и [п],
і функціонала
00
І = У, (С]Х2 [п] + С2х2 [п] + Сои2 [п])
п = 0
рівняння Беллмана має вигляд
2	2	2	д5(х.,х2)
тіп [с.х,	+ с,х,	+ спи	4----------(х, + Ь.и —	х.)	+
11	£ £	І?	Н ¥	' £	І	1'
д8(х.,х2)	і д25(х.,х2)	,
----——- (ах^ + Ь2и - х2) + у-------------~ (*2 +	~ Лі) +
0Л2	х С*ЛСі
д25(х.,х2)
дхдх~ (*2 +	~	+ Й2“ ~	+
1 д 8(х,,х2) ,	,
+ 7	^~2	(^1 "* ^2и ~ Хг) = 0'
2 дх2
Дістанемо вираз для визначення рівняння цифрового регулятора
д8(х,,х2)	д8(х,, х,)
2сои + Ь,---------+ Ь2------------+ Ь. (х2 + Ь.и —
0	1 дХ] 2 дх2 і V 2 і
д25(х.,х2) і
—	-.2	+ У 0^2Х2 + <ІЇ\Х1 ~ \х2 ~ ^2Х\
<	(11. 124)
д25(х., х,)	д25(х,, х,)
+ 2Ь.Ь2й)——-------+ Ь2(ах. - х, + Ь2и)---------2--- = 0.
1 2 7 дх,дх2 2	1	2	2 ' дх2
Функцію 5 відшукуємо в квадратичній формі
5(х.,х2) = лпих2 + 2/п12Х|Х2 + т22х2.
Коефіцієнти тп, т12, т22 визначаємо з системи трьох рівнянь Ріккаті, після чого з виразу (11. 124) знаходимо керування и як функцію х1 і х2.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Сформулюйте задачу оптимального керування і поясніть, що таке критерій оптимальності.
2.	Поясніть суть методів класичного варіаційного числення.
3.	Що таке функціонал?
4.	Наведіть рівняння Ейлера і рівняння Ейлера—Пуассона. Поясніть їх суть.
5.	Які задачі називаються ізопериметричними?
6.	У чому полягає суть методу синтезу оптимальної системи із застосуванням принципу максимуму Понтрягіна?
7.	Сформулюйте принцип максимуму Понтрягіна для систем, що є оптимальними за швидкодією.
8.	Яка послідовність розв’язування задачі максимальної швидкодії із застосуванням принципу максимуму Понтрягіна?
9.	Сформулюйте теорему про п. інтервалів. Поясніть методику визначення моментів перемикання керуючої дії.
10.	Поясніть суть методу динамічного програмування.
11.	Як визначити закон оптимального керування за методом динамічного програмування?
12.	Що таке аналітичне конструювання регуляторів?
13.	Поясніть суть методу аналітичного конструювання регуляторів, запропонованого О. М. Льотовим.
14.	Як скласти рівняння Ріккаті, якщо відома передаточна функція об’єкта?
15.	У чому полягає особливість застосування методу динамічного програмування для синтезу дискретних (цифрових) регуляторів?
Глава 12
АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
12. 1. УЯВЛЕННЯ ПРО АДАПТИВНІ САК
Системи автоматичного керування, розроблені згідно з припущенням, що властивості об’єкта та зовнішні збурення відомі і не змінюються протягом експлуатації, забезпечують потрібні показники якості лише в тому разі, якщо відхилення параметрів об’єкта і збурень від розрахункових значень неістотні. Проте в багатьох випадках параметри об’єкта та зовнішні збурення змінюються в досить значних межах, крім того, взагалі інформація про властивості об’єкта та зовнішні збурення може бути неповною. Тому САК, які розробляються за заданими характеристиками об’єкта і збурень і мають незмінну структуру й параметри, у більшості випадків не забезпечують оптимальних режимів функціонування. Ще більші складності виникають під час проектування систем, що працюють при неповній інформації про властивості об’єкта та зовнішні збурення.
Вихід з цих ускладнень полягає в розробці регуляторів, властивості яких змінюються так, щоб при змінюванні параметрів об’єкта і зовнішніх дій якість системи зберігалася, тобто властивості регуляторів мають пристосовуватися (адаптуватися) до цих змінювань. Системи з такими регуляторами називаються адаптивними (самонастроювальни-ми). Отже, адаптивна САК — це система, яка здатна в процесі виконання основної задачі керування за рахунок змінювання параметрів і структури регулятора поповнювати нестачу інформації про об’єкт керування і, діючи на його зовнішні збурення, поліпшувати якість свого функціонування.
Розглянемо одномірний об’єкт, що описується рівнянням у векторно-метричній формі
х = А(Ґ)Х + В(ґ)и + у<(0/,	(12. 1)
де и — керуюча дія; ї — збурення; А(ї) — матриця системи розмірністю п X п\ В(ї), У’ЇО — матриці-стовпці 1 X п, причому всі або окремі компоненти матриць задані не точно або змінюються протягом часу, тобто є так званими невизначеними параметрами. Причина невизначеності параметрів може бути різною: наближені відомості про математичну модель об’єкта, розкид параметрів у межах технологічних допусків, змінювання параметрів внаслідок «старіння» тощо.
Звичайно параметри об’єкта змінюються повільніше, ніж змінні ста-
ну, тому інтервал роботи об’єкта [/0, /(] можна розділити на підінтервали, протягом яких параметри об’єкта можна вважати незмінними. Тоді, позначивши а.(0 невизначений параметр, для підінтервалу дістанемо _	_	_
а.(ґ) = сопзі = а,.(ЯТ); КГ < і «= (П + 1)Т; П = 1,2,...,ЛГ,
(12. 2) де Т = (і - і0) І N — інтервал квазістаціонарності параметрів.
Гіпотеза квазістаціонарності передбачає, що час затухання перехідних процесів по кожній із змінних стану і. значно менший, ніж інтервал квазістаціонарності. Згідно з цією гіпотезою процеси в об’єкті керування поділяються на «швидкі» (змінювання змінних стану) і «повільні» (змінювання параметрів).
Для синтезу квазістаціонарних систем можна користуватися будь-якою з відомих процедур, у тому числі процедурою синтезу оптимальних регуляторів. Але виходячи з того, що параметри об’єкта насправді змінюються і вважаються сталими тільки протягом інтервалу квазістаціонарності, задачу синтезу необхідно розв’язувати в процесі та темпі роботи об’єкта автоматично. Отже, алгоритм регулятора повинен змінюватися під час роботи системи, пристосовуючись (адаптуючись, самонастроюючись) протягом часу Т до параметрів об’єкта, що змінюються, так, щоб якість роботи системи залишалася незмінною.
При такому підході до побудови адаптивної системи передусім необхідно розв’язати задачу ідентифікації (визначення) параметрів об’єкта керування. Методи ідентифікації буде розглянуто в п. 12. 4.
Системи з ідентифікаційним алгоритмом називаються параметрично адаптивними системами.
Недоліком алгоритму ідентифікації є те, що він недостатньо пов’язаний з ціллю керування, хоч і призначений для Гі досягнення. Раціональнішим є пошук законів змінювання параметрів регулятора, виходячи безпосередньо з цілей керування. При цьому параметри регулятора повинні змінюватися залежно від значення критерію якості роботи системи. Такі алгоритми називаються прямими алгоритмами адаптивного керування. Системи, в яких використовуються ці алгорит-
ми, називаються функщонально адаптивними системами керування.
Пристрій, що реалізує алгоритм адаптації, називається адаптером. Особливість структури адаптив-
них систем полягає в тому, що порівняно із звичайними неадаптив-ними системами вони мають додатковий контур — контур адаптації (самонастроювання), призначений для переробки інформації про умови роботи, що змінюються, і наступної дії на регулятор основного
Рис. 12. 1
контуру керування.
Функціональну схему адаптивної системи наведено на рис. 12. 1. Контур, що складається з керуючого пристрою і об’єкта керування, є основним контуром системи і становить звичайну неадаптивну САК. Адаптер у загальному випадку дістає інформацію про вхідну дію 5, збурення /, вихідну величину х і діє на керуючий пристрій основного контуру. Отже, адаптивна САК, крім основного контуру, має контур адаптації. Для цього контуру об’єктом керування є вся основна САК.
Адаптивні системи звичайно поділяють на два класи: параметричні і непараметричні. У параметричних системах структура керуючого пристрою залишається незмінною, а адаптація здійснюється за рахунок змінювання (підстроювання) значень параметрів з ціллю наближення їх до оптимальної настройки. Такі системи називаються також самона-строювальними.
У непараметричних системах адаптація здійснюється за рахунок змінювання структури (алгоритму функціонування) керуючого пристрою. Такі системи називаються також самоорганізуючими.
12. 2. СИСТЕМИ ЕКСТРЕМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Історично першими адаптивними системами були системи екстремального керування.
Системою екстремального керування називається система, в якій автоматично відшукується та підтримується режим роботи, що характеризується максимально (мінімально) можливим значенням показника якості. Цей показник називається також показником екстремуму або цільовою функцію. В загальному випадку в процесі екстремального керування визначається екстремум статичної характеристики нелінійного нестаціонарного інерційного об’єкта, на який діють збурення, що змінюють положення екстремуму в просторі керуючих дій.
Якщо статична характеристика об’єкта має екстремум
І = /(ц, и2,	, ит\	(12 3)
де І — показник екстремуму; и. — керуючі параметри, то система екстремального керування має виводити й утримувати робочу точку в глобальному екстремумі.
Об’єкти екстремального керування можна класифікувати за такими ознаками: 1) кількість керуючих (оптимізуючих) параметрів; 2) кількість екстремумів характеристики об’єкта; 3) обсяг апріорної інформації про об’єкт; 4) інерційність об’єкта.
Якщо в об’єкті всього один керуючий параметр (т = 1), то об’єкт називається однопараметричним; якщо т > 1, то об’єкт багатопараметричний.
У найпростішому випадку об’єкт екстремального керування є одно-параметричним, одноекстремальним, а його статична характеристика (12.3) — безперервною і безперервно диференційованою функцією.
Інерційність об’єкта часто не враховують, оскільки головним у системах екстремального керування є відслідковування дрейфу екстремуму статичної характеристики об’єкта. Тому екстремальні системи
часто називають статичними самонастроювальними системами.
Розглянемо однопараметричний об’єкт, характеристика якого І = /(м) має екстремум, причому координати екстремуму змінюються (дрейфують) у часі. Якщо значення керуючого параметра и = и*, при якому досягається екстремум, є фіксованим, тобто відбувається лише вертикальний дрейф статичної характеристики (рис. 12.2, а ), або змінюється за заздалегідь відомим законом, то можна застосувати систему стабілізації або систему програмного керування. Якщо крім вертикального дрейфу відбувається й горизонтальний (рис. 12.2, б), причому закон цього дрейфу заздалегідь не відомий, то системи стабілізації або програмного керування не можуть забезпечити автоматичне утримання екстремуму. В цьому випадку слід застосовувати систему екстремального керування, що забезпечує такі змінювання керуючих параметрів, при яких відбувається рух системи
до екстремуму й утримання її в точці екстремуму.
Прикладом однопараметричного об’єкта системи екстремального керування може бути коливальний £С-контур. Завдання системи по-
лягає в автоматичному настроюванні цього контуру в резонанс з час-
тотою / напруги, прикладеної до контуру. Настроювання відбувається за рахунок змінювання ємності конденсатора С. Ознакою
такого настроювання є максимум напруги V на резонансному контурі (рис. 12. 3).
Іншим прикладом екстремаль- 0 ного об’єкта може бути котел теплових електричних станцій. В топку котла подається повітря,
І/,
Рис. 12. З
кількість якого дещо перевищує ту кількість, яка теоретично необхідна для повного згоряння палива. Відношення цих кількостей називається коефіцієнтом надлишку повітря а. Правильність вибору цього коефіцієнта визначає економічність використання палива. Основним збуренням для котла є змінювання споживання пари. Залежності ККД котла т] від коефіцієнта надлишку повітря а мають екстремуми для різних витрат пари И (рис. 12. 3). Завданням системи екстремального керування є змінювання подачі повітря в топку таким чином, щоб ККД котла мав би максимально можливе в даних умовах значення.
Розглянемо тепер методи (принципи) пошуків екстремуму в одно- і багатопараметричних екстремальних системах.
Метод вимірювання похідної. Цей метод грунтується на тому, що похідна сіі/сіи змінює свій знак під час проходження через екстремум. Напрямок руху до екстремуму визначається знаком похідної, а ознакою наявності екстремуму є те, що похідна дорівнює нулю.
Для визначення похідної сіі/сіи можна вимірювати похідні і сіи/сіі, а потім ділити першу похідну на другу, тобто
аі/<1и ~ іи/сІГ
(12. 4)
Функціональну схему системи, в якій реалізується цей метод пошуків екстремуму, наведено на рис. 12. 4, а. Вона складається з двох диференціаторів ДФ, блока ділення БД, що визначає похідну сіі/сіи, і релейного елемента РЕ, що дає знак похідної. Залежно від знака похідної виконавчий механізм ВМ забезпечує рух об’єкта керування ОК в бік екстремуму. Під час проходження через екстремум знак похідної змінюється, релейний елемент перемикається і виконавчий механізм реверсується, що забезпечує повернення системи до точки екстремуму.
Часові діаграми, що відповідають цьому методу пошуків екстремуму, подано на рис. 12. 4, б. Вважатимемо, що початковий стан об’єкта характеризується точкою 1И, що знаходиться ліворуч від екстремуму. В цьому разі сіі/сіи > 0, на вхід виконавчого механізму подається сигнал +Л і сигнал и змінюватиметься з сталою швидкістю. Показник якості І буде спочатку збільшуватися, а потім після точки екстремуму — зменшуватися. Похідна сіі/сіи перед точкою екстремуму додатна, в точці екстремуму дорівнює нулю, а після точки екстремуму стає від’ємною. Внаслідок наявності зони нечутливості в релейному елементі похідна сИ/сІІ залишається від’ємною до точки М2. При = = —кс, де ї/к = йи/сіі, релейний елемент перемикається і змінює знак сигналу на вході виконавчого механізму. Після цього змінна и зменшуватиметься із сталою швидкістю, а показник якості І знову збільшуватиметься, доки не перейде точку екстремуму, і т. д. В системі встановлюються автоколивання з періодом повторення Т. Рух системи поблизу точки екстремуму називається рисканням.
Метод запам’ятовування екстремуму. Цей метод полягає у викори-
а
Рис. 12. 4
сганні різниці між поточним і екстремальним значеннями показника якості для знаходження моменту реверсу системи. Екстремальне значення показника якості визначається запам’ятовуючим пристроєм, який ввімкнено так, що на його вхід надходять тільки додатні (при пошуках максимуму) або тільки від’ємні (при пошуках мінімуму) прирости показника якості.
Функціональну схему системи, в якій реалізується метод запам’ятовування екстремуму (максимуму), зображено на рис. 12. 5. Вихідна величина І об’єкта керування ОК подається на вхід запам’ятовуючого пристрою ЗП, який фіксує лише додатні прирости І. Для формування
Рис. 12.5
Рис. 12. 6
керуючої дії використовується різниця 1-І , що визначається елементом порівняння ЕП. Статичну характеристику об’єкта й часові діаграми, що відповідають пошукам максимуму, подано на рис. 12. 6.
Припустимо, що в момент часу стан об’єкта характеризується параметрами /, (рис. 12 6, а), які відповідають точці М, на рис. 12 6, б, і екстремальний регулятор ввімкнено так, що значення керуючої дії збільшується, тобто система віддаляється від точки екстремуму. Оскільки значення І зменшується, сигнал на виході запам’ятовуючого пристрою не змінюється, тому абсолютна величина різниці сигналів 1-І на вході релейного елемента РЕ збільшується (рис. 12 6, в). У момент часу і2 ця різниця набуває значення | с ], релейний елемент перемикається, виконавчий механізм ВМ реверсується, керуюча дія и починає зменшуватися, тобто після точки М2 на рис 12 6, б система починає рух у бік максимуму. При цьому значення /, запам’ятоване в ЗП в момент скидається і ЗП запам’ятовує значення І2.
Під час руху системи в бік максимуму ЗП запам’ятовує значення І, тому І — / = 0. Після досягнення максимуму (точка М3) керуюча дія и продовжує зменшуватися, внаслідок чого І також зменшується, а Ізл 508
Рис. 12. 7
не змінюється. Тому абсолютна величина різниці І — І збільшується і в момент І релейний елемент спрацьовує, виконавчий механізм ре-версується і знову починається рух системи в бік максимуму. Цей процес триває безперервно, і в системі встановлюються автоколивання поблизу екстремуму регульованої величини. Амплітуда автоколивань визначається зоною нечутливості релейного елемента.
Метод періодичного пошукового сигналу. Для визначення похідної використовуються вимушені гармонічні коливання, що подаються на об’єкт керування від спеціального генератора. На підставі аналізу реакції об’єкта на ці коливання визначаються абсолютна величина і знак похідної сІї/Ли. Нехай, наприклад, стан об’єкта з екстремальною характеристикою визначається параметрами І? и, (рис. 12. 7, а). Змінюватимемо и поблизу за синусоїдальним законом. Якщо амплітуда коливань мала, то вихідна величина об’єкта також змінюватиметься за синусоїдальним законом, при цьому фази вхідних і вихідних коливань будуть збігатися для всіх значень < и*. Якщо ж стан об’єкта визначається параметрами /, и2, то на виході об’єкта встановлюються коливання, зсунуті на 180° відносно вхідних. Отже, за зсувом фаз можна визначити напрямок руху системи до екстремуму.
Функціональну схему системи, в якій реалізується описаний метод пошуків екстремуму, зображено на рис. 12. 7, б. Вона складається з об’єкта керування ОК, виконавчого механізму ВМ, синхронного детектора (фазового дискримінатора) СД і генератора пошукових сигналів ГПС. Синхронний детектор містить помножуючий пристрій та фільтр. Після перемножування сигналів І і / та виділення постійної складової утворюється сигнал, абсолютна величина якого пропорційна похідній сіі/сіи, а знак показує напрямок необхідного змінювання керуючої дії.
Пошуковий сигнал є модулюючим по відношенню до основного сиг-
Об'єкт
Рис. 12. 8
налу и, тому системи такого типу називаються екстремальними системами з модулюючою дією.
В автоколивальних нелінійних системах можна замість зовнішнього пошукового сигналу використовувати автоколивання.
Розглянуті методи пошуків екстремуму стосуються однопарамет-ричних об’єктів. Якщо показник екстремуму є функцією кількох керуючих параметрів Ди, и2, . . . , ит\ то необхідною умовою досягнення екстремуму є рівність нулю частинних похідних показника якості по всіх керуючих параметрах:
дІ/дих = 0, дІ/ди2 = 0; . . . ; дІ/дит = 0.	(12. 5)
Методи пошуків екстремуму поділяються на два види: детерміновані та випадкові.
Детерміновані методи пошуків екстремуму. До детермінованих методів належать методи градієнта, найбільш швидкого спуску, Гаусса— Зейделя.
Метод градієнта. Градієнтом скалярної функції І(и, и , . . . , ит) називається вектор з координатами (П/сІи^, йі/сіи. , аі/аи^, тобто
£гад І = к, ді/ди^ + к2 ді/ди2 + . . . + ктдІ/дит, (12. 6) де V • • • *, — одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками осей м , м ,. . . , м .
Цей вектор спрямований у бік найбільшого зростання функції І. В точці екстремуму
£гад І — 0.
Метод градієнта реалізується на основі дискретного або безперервного принципу роботи контуру адаптації. В першому випадку визнача-510
ються всі компоненти градієнта ді/ди., а приріст параметрів Дм. на кожному кроці вибирається пропорційним цим компонентам.
Аналітично метод градієнта можна подати у вигляді
ді
~ С ди{'’
Ди = с&гайї,
(12. 7)
де к — номер кроку; с — деякий сталий або змінний параметр, що визначає величину кроку.
При безперервному принципі роботи метод градієнта полягає в тому, що швидкості змінювання параметрів и. приймаються пропорційними відповідним компонентам миттєвого значення градієнта, тобто
оЦ. ! Лі — с ді/диґ	(12. 8)
Залежності (12. 7) і (12. 8) використовуються для формування робочих сигналів екстремальної системи, що забезпечують рух до екстремуму вихідної величини І.
Розглянемо, наприклад, систему екстремального керування, структурну схему якої наведено на рис. 12. 8. Показник екстремуму є функцією двох керуючих параметрів і и2.
Рівняння об’єкта і виконавчого механізму мають такий вигляд:
То іхііі + х - к\Г,	(12. 9)
7 =	+ г£);	(12.10)
бЦ/гЙ	=	к3іс,	(12. 11)
йм2/бй	=	к4и,	(12. 12)
а проекції градієнта функції І на напрямки осей и, и2 — вигляд ді/дщ = 2Л2ц; дІ/ди2 = 2к2и2.
Використовуючи вираз (12 8) з врахуванням (12 11) і (12.12), дістанемо сіи.Л Лі = -2й2^зИр	(12. 13)
<1и2/і11 = -2к2к4и2.	(12. 14)
У цих виразах знак мінус береться тому, що рух відбувається в бік зменшення градієнта.
Для визначення процесу наближення координати х до екстремуму спочатку знайдемо закони змінювання керуючих параметрів и{ і и2. Для 511
цього розв’яжемо рівняння (12 13) і (12 14) при початкових умовах І = 0, = иЮ’ и2 = М20:
Підставивши ці вирази в рівняння об’єкта (12 9) і (12.10), дістанемо диференціальне рівняння
Т^сІх/сІЇ + х =
= ^2(иІ0е 23+м20е	2 4)
(12 15)
розв’язком якого при початкових умовах /=0, х=х^=к,к.2(и2^ + м20) є шуканий закон змінювання координати х в процесі наближення системи
до екстремуму.
Перевагою методу градієнта є відносно швидкий вихід системи в зону екстремуму та мала амплітуда рискання, недоліком — необхідність безперервного визначення компонентів градієнта.
Метод найбільш швидкого спуску. За методом найбільш швидкого спуску напрямок градієнта визначається в початковій точці, а потім здійснюється рух у цьому напрямку доти, доки похідна вздовж цього напрямку сШсІІ не дорівнюватиме нулю. Потім знов визначається напрямок градієнта й здійснюється рух за новим напрямком до наступного нульового значення похідної і т. д.
Метод найбільш швидкого спуску характеризується відносно малим
часом досягнення екстремуму при великих кроках на початковому
етапі пошуків.
Приклад 111. Задано показник екстремуму
Визначити мінімум функції и2) методом найбільш швидкого спуску з початкової точки и10 - 4; и20 - 6.
Розв’язання, функції 7(ир и2) відповідає сім’я еліпсів (рис. 12. 9) для різних І - сопзі. Початковий стан визначається точкою ЛГ].
Знайдемо напрямок градієнта в початковій точці. Частинні похідні для цієї точки мають вигляд
37/аи = 2и10 + И20 = 14;
= 2и20 + ию = 16.
(12.17)
Через те що відшукується мінімум функції І, то будемо рухатися в напрямку, зворотному до градієнта, і визначимо координати ип, и21 наступної точки:
ип = ию - ЦдІ/ди^ = 4-ї -14;
“21 = “20 “	= 6-/16.	02 18)
Тут / — поки що невідомий крок переходу з точки (ию, и20) в точку (і^р и21).
Для визначення кроку / підставимо знайдені значення н1( і и21 у вираз Ц2. 16)
І - (4 - 14/)2 + (6 - 1602 + (4 - 14/Х6 - 160 - 676/2 - 452/ + 76
і прирівняємо до нуля покідну 6//й/. Тоді дістанемо о// й/ - 1352/ - 452 - 0, звідки / = 0,33.
Підставивши знайдене значення / у вираз (12. 18), визначимо координати ип і и12: = -0,68, и[2 - 0,65 (точка Л/]2 на рис. 12. 9).
Виконавши аналогічні обчислення для наступного кроку при умові, що вихідним станом системи є стан, в який вона прийшла в кінці першого кроку, дістанемо ц(2 = 0,0229; и22 ~ 0,0362.
Отже, практично за два кроки система опиняється в точці, досить близькій до точки мінімуму.
Метод Гаусса—Зейделя. За цим методом рух вздовж кожної координати відбувається по черзі. Спочатку здійснюється рух вздовж координати и, а решта координат и2, и3,... залишаються незмінними. Цей рух триває доти, доки похідна функції І по координаті не дорівнюватиме нулю, тобто д!/ди{ = 0. З останньої умови визначається и. Після цього значення і решта координат, крім и2, залишаються незмінними, а координата и2 змінюється доти, доки не буде виконана умова дІ/ди2 = 0. З цієї умови визначається и? Потім и2 і решта координат, крім и3, залишаються незмінними, а змінюється координата и3 і т. д. В такий спосіб визначаються частинні екстремуми по всіх координатах. Після цього виконується повторний цикл змінювання координат по черзі, починаючи з м. Процес пошуків триває доти, доки всі частинні похідні не дорівнюватимуть нулю (практично доти, доки всі похідні не будуть меншими за поріг чутливості системи).
Приклад 12. 2. Показник екстремуму
/ = а2 + а2 + а и 1	2	12
є функцією координат і и2. Описати процес пошуків екстремуму методом Гаусса— Зейделя, якщо початковому стану об’єкта відповідають значення щ - 4,	- 6.
Розв’язання. Початковий стан об’єкта визначається точкою М\ на рис. 12. 9. Починаємо пошуки, змінюючи координату при и2 - 6. Тоді
/(^ 6) = а2 + 36 + 6и[.
Визначимо частинну похідну функції /(ц(, 6) по и., та прирівняємо її до нуля бЛир 6)/ди^ - 2и} + 6 - 0,
звідки для першого частинного екстремуму - -3. Йому відповідає точка М2 з координатами - -3, и2 - 6 на рис. 12. 9.
Вважаючи параметр и., - -3 незмінним, змінюватимемо координату и2. Функція /(-З, и2) запишеться у вигляді
/ (-3,и2) = 9 + и2~Зи2,
а її частинна похідна по и2 — у вигляді
6/ (-3, и2)/ди2 - 2и2 -3-0,
звідки и2 - 1,5.
Цьому значенню координати и2 відповідає точка М} на рис. 12. 9.
Повторюємо обчислення для координати ц(, прийнявши и2 - 1,5:
/(о,; 1,5) = ^ + 2,25 + 1,5^;
д/(а,; 1,5)/- 2и, + 1,5;
- -0,75.
Дістаємо точку Л/4 на рис. 12. 9.
Наступний цикл:
І (- 0,75; и2) = 0,5625 + и* - 0,75и2;
6/ (-0,75; и.2)/ди2 - 2и2 - 0,75 - 0;
и2 - 0,375.
Цьому циклу відповідає точка М5.
Отже, пошукові рухи становлять ламану лінію, що складається з взаємно перпендикулярних відрізків. Точки зламу є точками дотику цих відрізків до кривих /(а,, «2) - сопзі.
Метод змінювання параметрів по черзі зручний тим, що для його реалізації можна застосовувати відомі типи однопараметричних екстремальних систем, якщо додати пристрій, що перемикає канали параметрів Цр и2, . . . , ит. Проте, як це видно з рис. 12. 9, рух системи до екстремуму відбувається далеко не найкоротшим шляхом.
Методи випадкових пошуків екстремуму. До цих методів належать методи випадкових сліпих пошуків, статистичного градієнта та статистичного найбільш швидкого спуску.
Метод випадкових сліпих пошуків. Суть методу полягає в пошуках екстремуму за рахунок випадкового змінювання параметрів и.. У початковому стані системи дається випадковий приріст координат и. і визначається приріст функції І. Якщо приріст від’ємний (при пошуках максимуму), то система повертається у вихідний стан і робиться наступний пробний крок. Так повторюється доти, доки не дістанемо додатний приріст. Тоді система переводиться в цей новий стан, з якого робляться нові випадкові кроки.
Метод статистичного градієнта. Цей метод полягає в тому, що з вихідного стану системи робиться кілька пробних випадкових кроків і для кожного з них знаходиться приріст функції І. За цими приростами, як за складовими вектора, визначається напрямок найбільш інтенсивного змінювання функції І. В цьому напрямку виконується робочий крок, а потім цикл пошуків повторюється.
Метод статистичного найбільш швидкого спуску. Початок пошуків такий самий, як у попередньому методі, але після визначення 514
напрямку робиться не один крок, а рух відбувається доти, доки не зміниться знак приросту І.
Під час випадкових пошуків немає потреби визначати залежності І від кожної координати и. окремо. Це особливо важливо при великій кількості координат, тому що при збільшенні їх кількості на відміну від розглянутих детермінованих методів пошуків процедура пошуків не ускладнюється. В праці [9] доведено, що при и. > 3 випадкові пошуки перевершують детерміновані за швидкістю досягнення екстремуму.
Іншою перевагою методу випадкових пошуків є можливість відшукати глобальний екстремум (мінімум мініморум або максимум максиморум при пошуках мінімуму або максимуму відповідно) при наявності кількох екстремумів, а також при наявності особливих точок, для яких £га<1 1 = 0. Детерміновані методи, що базуються на пошуках точки з нульовим градієнтом, у цих випадках непридатні, тому що система може припинити пошуки на будь-якому локальному екстремумі або в особливій точці.
У деяких випадках найефективніше об’єднувати різні методи пошуків. Зокрема, на початку пошуків далеко від точки екстремуму можна застосувати метод найбільш швидкого спуску, а поблизу екстремуму перейти до градієнтного методу. При наявності кількох екстремумів методом градієнта визначається і запам’ятовується локальний екстремум. Потім здійснюється крок у випадковому напрямку, методом градієнта відшукується новий локальний екстремум і порівнюється з раніше знайденим. Коли визначені всі локальні екстремуми, знаходять глобальний. Кількість циклів пошуків вибирається заздалегідь, виходячи з даних про кількість екстремумів та їх взаємне розміщення.
12. 3. ДИНАМІКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ СИСТЕМ
До екстремальних систем ставляться вимоги стійкості (збіжності процесу пошуків у зоні екстремуму), точності (забезпечення заданого відхилення показника якості від екстремального значення в усталеному режимі) і швидкодії (мінімального часу пошуків екстремуму). Крім того, динаміка екстремальних систем характеризується ще й такими специфічними показниками: витрати на рискання, період рискання, зона пошуків на вході й виході об’єкта, час виходу в точку екстремуму.
Визначимо ці показники для екстремальної системи, що діє за принципом вимірювання похідної ЛІ /Ли (див. рис. 12. 4, а). Вважатимемо, що всі елементи системи безінерційні. Релейний елемент розглядатимемо як ідеальне трипозиційне реле із зоною нечутливості 2с.
Якщо прийняти, що статична характеристика об’єкта І = /(«) має вигляд параболи, і умовно перенести початок координат у точку екстремуму (див. рис. 12. 4, б), то нелінійна частина об’єкта описуватиметься рівнянням
І = -к,и1 2 З.	(12. 19)
Припустимо, що вихідний сигнал виконавчого механізму змінюється лінійно при постійному вхідному сигналі, тобто
и= ±к£	(12.20)
де знак «+» відповідає інтервалу часу, коли сіи/сіі > 0, а знак «—» — інтервалу часу, коли сіи/сіі < 0. У цьому разі
/ = - Л, к22 і2.	Ц2. 21)
В режимі усталених коливань максимальне відхилення (амплітуда рискання) показника якості від екстремального значення визначається з виразу (12. 21) при і = Т/2
М=~кік2Т2/4.	(12.22)
Визначимо тепер похідну (ІІ/сІи.
Запишемо похідну показника якості за часом
(ІІ/ІЇ = — 2кхк22і
і похідну вихідного сигналу виконавчого механізму
(Іи/Лі = ± Л2.
Тоді
(11/(11	,
(II/(їй = ,	= ± 2кк.І.
(їй/(11	1 г
Перемикання релейного елемента відбувається при (IIЦи = ± с і і = =772, якщо вести відлік часу від початку координат, умовно перенесеного в точку екстремуму. Тому
2кхк2Т/2 = с,
звідки
Т = сІк}к2, тобто період рискання залежить від зони нечутливості релейного елемента, а також визначається параметрами виконавчого механізму та екстремальної характеристики об’єкта.
Середнє за період рискання значення відхилення показника якості називається втратою на рискання О і визначається інтегралом:
1 г	2Г?	2 , к, к2 Т2
0-^5 /(,)Л -
о	о	(12. 24)
З порівняння виразів (12. 22) і (12. 23) випливає, що амплітуда рискання в три рази перевищує втрату на рискання, тобто
м = зо.
’ Системи з періодичним пошуковим сигналом (див. рис. 12. 7) в усталеному режимі працюють поблизу екстремуму. Якщо вважати всі ланки схеми на рис. 12. 7, б безінерційними, то сигнал на вході ланки з екстремальною характеристикою обчислюється за формулою
и = 1} + ап зіп шпі,	(12. 24)
де 11 — основний (керуючий) сигнал; ап, а>п — амплітуда і частота пошукового сигналу.
Підставивши значення и у вираз (12. 19), дістанемо
І = - ЦІЇ + а,8Іп шпї)2 = -кр2 -
- 2кр азіп	- Л,^8іп 2шр	(12. 25)
Якщо система перебуває поблизу екстремуму, то 11 ~ 0 і
7 = - Л,^8іп 2шпї = - к}а2(1 - соз 2шпґ)/2,	26)
тобто амплітуда рискання на виході системи, що визначається додатковим пошуковим сигналом, буде такою:
А/ = - ка2.
1 п
З виразу (12. 26) видно, що коливання показника якості відбуваються з подвійною частотою, при цьому втрата на рискання знаходиться за формулою
1г	1г	1	г
О	= ~ Г Мі	=	тї	(--т-)	+ ¥ І	“т-сс®	2а>пі(1і.
Т 0	Т 0	2	Т 0	2	(12.	27)
Другий	інтеграл	у	цьому	виразі є визначеним інтегралом	косинуса
протягом цілого числа періодів і, отже, дорівнює нулю, тому
£> = - к,а2 /2.	(12. 28)
Отже, в системах з періодичним пошуковим сигналом втрата на рискання в два рази менша амплітуди рискання
£> = А7/2.
Для зменшення втрат на рискання слід знижувати амплітуду пошукового сигналу. Можливість зменшення амплітуди визначається рівнем перешкод, тому що пошуковий сигнал повинен ЧІТКО ВИДІЛЯТИСЯ на їхньому фоні. Якщо проаналізувати спектр перешкод на виході системи, можна визначити ділянку спектра з найменшими амплітудами перешкод. Це дає можливість вибрати частоту і амплітуду пошукового сигналу так, щоб забезпечити мінімальну втрату на рискання при досить надійній роботі системи.
Розглянуті показники динаміки відповідають ідеальному випадку,
Об'єкт керування
Рис. 12.10
коли всі елементи системи вважаються безінерційними, а статична характеристика об’єкта — стаціонарною, тобто такою, що не змінюється протягом часу.
Розглянемо тепер вплив інерційності об’єкта на процес пошуків екстремуму на прикладі системи, функціональну схему якої
наведено на рис. 12. 4, а. Припустимо, що об’єкт можна подати у виг-
ляді двох ланок — безінерційної нелінійної з екстремальною характеристикою та інерційної лінійної. Функціональну схему системи в цьому разі подано на рис. 12. 10, де ЛЧ — лінійна частина об’єкта, ЕР — екстремальний регулятор, подібний до регулятора в схемі на рис.
12. 4, а.
Рівняння окремих ланок системи мають такий вигляд: для лінійної частини об’єкта
Таїсії + У =	(12. 29)
де Т — стала часу інерційної частини об’єкта;
для нелінійної частини об’єкта
/ = -Л2м2;	(12. ЗО)
для виконавчого механізму
сій/сії = к^г,	(12. 31)
для екстремального регулятора
{ + Ьо	при	сії/сій > с;
- Ьо	при	сіі/сій < - с' (12. 32)
де с — зона нечутливості екстремального регулятора.
Підставивши значення 1 за формулою (12. ЗО) в рівняння (12. 29), дістанемо
або
Рис. 12. 11
похідну (їй/сії п значенням за формулою (12. 31), дістанемо
кД\Ь^ + / = -к.к,и. 3 1 аи	12
Враховуючи, що Ь = ± 50, подамо це рівняння у вигляді (11/(їй ±а! = ±@и,
(12. 34)
де
1	М,
° = =
Розв’язок рівняння (12. 34) / = /(и) становить фазову траєкторію об’єкта у площині координат и, І. Для безінерційного об’єкта / = кі, тому фазова траєкторія при к} = 1 збігається із статичною характеристикою об’єкта (12. ЗО). Для інерційного об’єкта
а а2 а3	(12. 35)
де стала інтегрування С визначається з початкових умов: при І = 0 7 = 7о * и = мо>
с =
-	2-2£ и.
о + а М0 а2 и0 +
(12 36)
Фазову траєкторію, побудовану за рівнянням (12. 35), зображено на рис. 12. 11. На початку руху сМ/сіи > 0, змінна и зменшується, похідна Місій стає від’ємною і при (11/Ни < —с відбувається перемикання (реверсування) виконавчого механізму. Рівняння фазової траєкторії (12. 35) залишається незмінним, але через те що після перемикання Ь = -Ь, то коефіцієнти а і /3 змінюють знак. Крім того, при визначенні сталої інтегрування С за формулою (12. 36) приймаються нові початкові умови моі’ Лс ®а30ва траєкторія прямує до граничного циклу, зображеного на рис. 12.11 безперервною лінією. Цей цикл називається граничним циклом рискання. Отже, система набуває усталеного режиму, коли рискання біЛя екстремуму відбувається за петлеподібною характеристикою, але самого екстремуму система ніколи не досягає.
12. 4. ІДЕНТИФІКАЦІЯ ОБ'ЄКТІВ КЕРУВАННЯ
Розглянемо одновимірний стаціонарний об’єкт з невідомими параметрами, що описується рівнянням
<1хп , (Г 'х ,	, (їх
а.—— + а.—-—- + ... + а	—— + х
°(ІІп 'сіГ~'
, (Ги , ,сГ 'и
—2" "г —2—7
. (іи
+ ... +5	+ Ь и,
т 1 Лі т
(12. 37)
де х (і) — вихідна координата системи; и (0 — відома (вимірювана) керуюча дія; а. (і = ОД,..., п—1) і і (/' = 0,1,..., пі) — невідомі параметри, причому п > т.
Ціллю ідентифікації є визначення невідомих параметрів а. й Ь..
Відомі різні методи ідентифікації, зокрема частотний метод і метод моделі, що настроюється.
При частотному методі дія и(ї) становить випробувальну гармонічну дію
п
и(і) = Вк зіп шк1,
к = і	(12. 38)
де Вк і — відомі амплітуда і частота гармонічних складових випробувальної дії, необхідні для визначення значень частотних характеристик об’єкта при частотах а>(, а>2, ... , шп.
Якщо на вхід лінійного об’єкта подається гармонічна дія, виражена формулою (12. 38), то вихідний сигнал х(0 також можна подати у вигляді суми:
*(0 = 2 ВкА(юк) 8ІП + РСОЬ
к = і	(12.39)
де А(а>к), />(а>к) — значення амплітудної й фазової частотних характеристик при частоті а>к.
Згідно з рівнянням (12. 37) передаточна функція об’єкта має вигляд
и/ г х =	_ К(Р) = і>оР'П + Ь'рт +	+ ^-іР +
0 Р «(<) б(р) а^>п + ау"'+...+ ап_{р + \
Виконавши підстановку р = ]ш, перейдемо до комплексної частотної передаточної функції
£7.(а>) + ;УЛ(а>)
Ж0(/а>) = гЛ ( ЛЛ X = Щ") + Л»,
0 7	к 7	4 ’	(12.40)
з якої дістанемо
Уя(ш) + ]Уя(ш) = Ц(со)£7е(а>) + ІЩшУУ^ш) + ]У(а>)ив(ш) - У(а})Ув(ш).
Порівнявши дійсні та уявні частини цього виразу, дістанемо два рівняння
= £7(а>)£7е(а>) - /(«)/е(а>); Уя(ш) = Щш)Уй{Ш) + /(а>)£7е(а>).
(12. 41)
Якщо для п. частот від а>[ до а>п експериментально визначити значення ІДа>к) і У(а>4), то з рівнянь (12. 41) дістанемо 2п лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду
?	- Ща>к) Ув^к) ;1
• У^к) = Щч)Ув(ч) + ?(ч)ив(«>я)
(12. 42)
для визначення невідомих параметрів а (і = ОД,..., к) і Ь. (/’ = ОД,..., т).
Експериментально ІДа>к) і /(&>*) визначаємо так. На вхід об’єкта подаємо пробну дію и(і) = 1 зіп Після закінчення перехідного процесу на виході об’єкта дістаємо усталений сигнал х(0 = А(а> ^іп [а>(6 + <р<м)\. Амплітуда і фаза цього сигналу пов’язані з дійсною та уявною частотними характеристиками об’єкта співвідношеннями
1)(ш) = А(шІ) соз
У(а>}) = зіп
Сигнал з виходу об’єкта подаємо на фільтр Фур’є, який здійснює множення х(ї) на зіп а>1 і соз ші та усереднення за ціле число періодів. Отже, на виході фільтра дістаємо
2 Т
= — / х(6) зіп о
2 т
/(а^) = — / х(6) соз а>/Л. о
Аналогічно визначаємо £Ла>) і У(<у) для всіх п частот.
Приклад 12. 3. Об’єкт другого порядку описується передаточною функцією
аор 2+О|/>+1
параметри />р а0, аі якої невідомі. Для частот пробного сигналу «4- 1 с-1 і о>2 - 10 с-1 експериментально визначено значення дійсної та уявної частотних характеристик
6/(1) - 21,2; 6/(10) - -2,12; И(1) - -4,7; И(10) - -0,47.
За цими даними знайти параметри передаточної функції об’єкта.
Р о з в.’я^з а н н я. Для заданої передаточної функції об’єкта 6/я(о>) - Лр Кл(о>) - Д, б/^їш) - - аош* + 1; у^ш) - а 1оо, тому система рівнянь (12. 42) для частот <и( і о>2 матиме вигляд
1\ г	- И(со,)«,&),; 0 = (/(со,)о,со, + И(со,)(1 -
і>і = £/(со2)(1 —	— И(со2)а2со2; 0 = (/(со2)а,со2 + И(со2)(1 - д^со2)-
або після підстановки числових значень
ї>! = 21,2(1 -а0) + 4,7а,;	(12.43)
0 = 21,24-4,7(1-4));	(12.44)
= -2,12(1 - 1 ООа0) + 4,74;	(12. 45)
0 = -2,124 - 0,47 (1 - 1004,).	(12. 46)
Рівняння (12. 44) і (12. 46) не залежать від Ь{. Розв’язавши їх, знайдемо а0 - 0,1; аІ -“0,2. Підставивши ці значення в будь-яке рівняння (12. 43) або (12. 45), визначимо ЬІ - 20.
Розглянемо тепер суть ідентифікації за допомогою моделі, що настроюється. Розглянемо об’єкт, передаточна функція якого має вигляд
И'оСр) =
+ Ь{р + Ь2
+ а2р + 1'
Динаміка об’єкта при вхідній дії и(і) описується рівнянням
аор?х + а^х + а2рх + х = Ь^и + Ьхри + Ь2и. (12 47)
Подамо вихідний сигнал об’єкта х(і) на вхід ланки з передаточною функцією Ж^р) = ^др3 + /Зр2 + /32р + 1, а вхідний сигнал и(І) — на вхід ланки з передаточною функцією Ж2(р) = /З^р2 + /34р + @5. Пристрої з передаточними функціями И^р) і Ж2(р) утворюють модель об’єкта, параметри якої /3. можна змінювати (настроювати). Структурну схему з моделлю, що настроюється, зображено на рис. 12 12.
Якщо б параметри передаточної функції И^р) дорівнювали параметрам знаменника передаточної функції Ж0(р), тобто /30 = а0, /3[ = а{, /32 = а2, а параметри передаточної функції Ж2(р) — параметрам чисельника Ж0(р), тобто /З3 = Ьо, /З* = 5,	= Ь2, то згідно з рівнянням (12 47)
різниця вихідних сигналів є(ї) ланок И'їр) і И/2(р) дорівнювала б нулю. Якщо коефіцієнти не однакові, то різниця цих сигналів утворює сигнал похибки
є(0 = (Заііх3/(113 + До? 2х!(1і 2 + /Зу/хЛй + х -/З3с? 2и/(11 2 - (З^сіи/сіі - (35и,
який залежить від параметрів моделі {3. і невідомих параметрів об’єкта. Критерій якості ідентифікації візьмемо у вигляді функції
І = є2®,	(12. 48)
яка набуває екстремум-мінімум (дорівнює нулю) при рівності параметрів моделі й об’єкта. Використовуючи для пошуків екстремуму функції (12 48) метод градієнта, згідно з виразом (12 8) дістанемо рівняння
(Н
=
<11
Рис. 12.12.
ді „ де	(Рх
с -Тд- = 2се -Гд- = 2сє —т;
Фо	Фо	с??
ді _ „	дє _	(Рх
С д0} ~ 2СЄ ~	Л2 ’
ді _ де
сій сії'
^5	ді	д£	т
-7- =	С	-Тд-	= 2сє	-Тд-	=	2сєи,
сії	др5	д?5
де с — стале від’ємне число при пошуках мінімуму.
Розв’язком цих рівнянь є шукані змінювання параметрів Д., що настроюються.
Цей метод досить простий за своєю суттю, але його технічна реалізація дуже складна, тому що потрібно обчислювати похідні вхідних і вихідних сигналів об’єкта (передаточні функції IV (р) та Ж2(р) фізично не реалізовані). Тому доцільнішим є інший підхід до ідентифікації за допомогою моделі, що настроюється. При такому підході отримання вихідного сигналу моделі не пов’язане з ланками, що фізично не реалізуються.
Запишемо передаточну функцію об’єкта у вигляді
х(ї)	,Рт~' +  + Ь.р + Ьп
ЦЛ (р\ =	= ---------------------!_---2—.
0	и(1)	' + ...+ахр + а0 (12.49)
Поділимо чисельник і знаменник передаточної функції на поліном (п — 1)-го степеня вигляду (р + А2)(р + Л}) . . . ( р + А), всі корені якого відомі від’ємні числа - А2, -А3 , . . . , -Лл. Потім розкладемо чисельник і знаменник на суми простих дробів і подамо передаточну функцію об’єкта у вигляді
^(р)
. Л. т і ,	, £,п — 1
а + -	, + ... -І----------—5—
х(і) =	” Р +	Р + \
р а° р + к  р+ь г 2	г п
звідки безпосередньо випливає
(12. 50)
Додамо і віднімемо з лівої частини (12. 51) датне число. Дістанемо
(12. 51)
вираз А^х (р), де Л1 — до-
(р+Л,)х= а0+Л,+^^ + ...+х +
х = ^^+^х + ^^ + --- + -^ТТх + +^+йли+-+тм;и1-Подібно до (12. 52) приймемо рівняння моделі у вигляді
х“ = 7+^^°+я')х + 7?і;х + --- +Дтх +
, о , Аі+1	. Ап -1 д
+&м + ^п;м + --- + 7тти1’
Позначивши
(12. 54)
(12. 55)
(12. 56)
1 21 = —-------- х
‘ Р + Лі + 1
і
1 V,- = —Г-;— и, Р+Лі + і
вираз (12. 53) подамо у вигляді
,	= П + 1 ^0 А)Х	"* Рп - І2 а - 1 "*
К ’ Лі
+ 0пи+0п + К + ••• + Ргп-Уп-іУ
Віднявши (12. 52) від (12. 56), дістанемо похибку ідентифікації
£ = х - х = —т-г [(& - а )х + Р+А 0	0	(12.57)
+ 2	“ “) г‘ + <0* “ ап) и + 2 ^п + , ~ ап + і) ^].
І = 1	І = 1
Прийнявши, як і в попередньому випадку, критерій якості ідентифікації І = е2(і) і використавши метод градієнта, запишемо рівняння, що визначають алгоритм настроювання параметрів моделі,
Л ~ 1сє2і'	(12. 58)
де і = 0, 1, ..., п—1; г0 = х,
де і = 0, 1 , . . . , п—1; г0 = и.
Структурну схему, що відповідає розглянутому методу ідентифікації, зображено на рис. 12. 13. Її побудовано за виразами (12. 53), (12. 54), (12. 55), (12. 58), (12. 59). Для спрощення подано схему настроювання тільки одного параметра — Д.
12. 5. ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ БЕЗПОШУКОВИХ АДАПТИВНИХ СИСТЕМ
Адаптивні системи, що забезпечують стабілізацію або слідкування, у більшості випадків можна будувати як безпошукові. Безпошукові системи можуть мати розімкнутий або замкнутий контури адаптації. В системах з розімкнутим контуром адаптація здійснюється за зазда
легідь розробленими програмами на підставі апріорної інформації. Вони також називаються системами з жорсткою адаптацією або програмними адаптивними системами.
У безпошукових адаптивних системах із замкнутим контуром адаптації самонастроювання здійснюється за принципом підтримання на оптимальному рівні передаточних функцій, часових або частотних характеристик.
Загальну функціональну схему безпошукової адаптивної системи наведено на рис. 12. 14. На вхід системи подається задаюча дія §, до об’єкта керування прикладено зовнішню дію (збурення) / і недоступне для вимірювання параметричне збурення р (відхилення параметрів об’єкта від їхніх номінальних значень). Об’єкт керування і регулятор утворюють основний контур системи. На вхід блока датчиків надходить уся доступна для вимірювання інформація. Еталонна модель задає бажаний вектор х змінних стану об’єкта. В аналізаторах 1 і 2 обчислюється поточне та задане значення цільової функції І і Л Блок порівняння визначає різницю цих функцій А/ = Із — /.В блоці настроювання за величиною А7 та іншою необхідною інформацією виробля-
Рис. 12. 14
ються закони змінювання вектора г, який у свою чергу повинен змінювати параметри регулятора так, щоб звести А7 до нуля або до достатньо малої величини.
У більшості випадків мірою якості І є деякі величини або функції, що характеризують динамічні властивості системи. За виглядом динамічних характеристик, що використовуються при формуванні І, без-пошукові адаптивні системи поділяються на три класи: 1) системи з інформацією про частотні характеристики; 2) системи з інформацією про часові характеристики; 3) системи з моделлю.
В системах з інформацією про частотні характеристики вимірюється амплітудно-частотна А(а>) або фазочастотна <р(.со) характеристики системи або одного об’єкта в достатній кількості точок ал. Можуть використовуватися також дійсна 1/(со) або уявна V (со) частотні характеристики. Застосовуючи інформацію про А(а>), уХа>) або (7(а>), У(а>), настроюють параметри регулятора так, щоб частотні характеристики і, отже, перехідні процеси, відповідали бажаним. Звичайно, необхідно, щоб частотні характеристики основного контуру системи залишалися незмінними при змінюванні параметрів об’єкта.
Необхідність контролювати одночасно дві частотні характеристики А(со) і уХа>) або І7(а>) і У(а>) виникає тільки в немінімально-фазових системах. У мінімально-фазових системах досить стабілізувати одну з них.
Одну з можливих функціональних схем системи, де для самонастро-ювання використовується амплітудно-частотна характеристика Л(а>), наведено на рис. 12 15. Розглянемо, як відбувається стабілізація однієї точки амплітудно-частотної характеристики. Генератор пробних сигналів виробляє частоту со , яка подається на вхід фільтра 1. Амплітудно-частотна характеристика А6(со) цього фільтра відповідає бажаній характеристиці замкнутої системи, що настроюється. Вузькосмуговий фільтр 2 настроєний на частоту со і виділяє амплітуду коливальної складової вихідної величини х на частоті со . Блок порівняння визначає відхилення амплітуди пр
Рис. 12. 16
від бажаного значення ДА(а) ) = А (а) ) — А(а ). Блок настроювання пр	Ь лр	. лр	г
змінює параметри регулятора так, щоб усунути відхилення амплітуди або звести його до допустимого мінімуму.
Для нестаціонарних об’єктів класична частотна характеристика, точно кажучи, втрачає сенс. Тому розглянутий принцип побудови систем є справедливим тільки при досить повільному змінюванні параметрів об’єкта, тобто для квазістаціонарних режимів.
Самонастроювальну систему з інформацією про часові характеристики можна побудувати так. В аналізаторі 2 (див. рис. 12. 14) обчислюється оптимальна імпульсна перехідна функція системи, а в аналізаторі 1 — дійсна імпульсна перехідна функція. Блок порівняння визначає різницю цих функцій, яка використовується для настроювання параметрів регулятора При побудові таких систем застосовуються цифрові обчислювальні пристрої.
Практичне застосування набули простіші аналогові системи, незважаючи на те, що вони мають порівняно обмежені можливості адаптації. Розглянемо одну з них.
Функціональну схему самонастроювальної системи з інформацією про процеси на межі стійкості подано на рис. 12. 16. Подібну систему можна застосовувати для керування нестаціонарними об’єктами, коли необхідно підтримувати коефіцієнт підсилення на максимальному рівні, допустимому за умов стійкості лінеаризованої системи.
Розглянемо роботу схеми. Нехай у початковий момент часу система перебуває в зоні стійкості й автоколивання відсутні. Тоді напруги иф на виході фільтра, що настроєний на частоту автоколивань, і на виході випрямляча В дорівнюють нулю. Опорна напруга иоп надходить на вхід блока алгоритму адаптації БАА, що керує блоком перестроювального коефіцієнта БПК. Блок БАА має інтегруючу ланку, тому коефіцієнт К буде збільшуватися доти, доки система не вийде на межу стійкості і в ній виникнуть автоколивання. Збільшення коефіцієнта К припиниться, коли сигнал на вході блока БАА £а = иоп - дорівнюватиме нулю. Допустима амплітуда автоколивань задається величиною опорної напруги иоп.
Алгоритм адаптації, що реалізується в блоці БАА, звичайно має вигляд
К = їЛі + а2єа + Ко,
де Ко -- СОП5І.
12. 6. АДАПТИВНІ СПОСТЕРІГАЧІ
Розглянемо об’єкт, передаточна функція якого має вигляд (12. 49) або (12. 50). Позначимо вимірювану вихідну величину об’єкта через у ; тоді рівняння (12. 51) матиме вигляд
рХр) = «Лй +	+ - +	+	(12 60)
а
+ а и(р) + —~т~ М(Р) + • • • 4-т-у- М(Р) •
л р + Л 4 7	р + Л к7
2	п
Приймемо, що
у(р) = Х](р);	(12. 61)
= АХР) +	<12. 62,
х,(р) = —тт~у{р} —7_ги(р);
р+к/^ р	+ ^	(12.63)
а _.	.
X (р) ~ —Т~Ї~У(Р) 4----Т~і~и(Р)-
р +	р + Лп
Тоді рівняння (12. 60) можна подати у формі Коші
а (і (і л	х, / Лі = аохі	+ X, + X, + ... + х„ + л	5	П ~Л2Х2	+ ^3Х3 +	+ 2^ ’ Л —	4- а. .и 11	П П	2П — 1			(12. 65)		
	Х2 / Лі = «[X;						
	х3 / Лі = а2Х[						
	х / Лі = а п	п —						
або в матричні?	формі Ч	: 1 аі	: — Л2	1	...	1 0	...	0		й й' а а +			
х =	' й ' й а	к> І ® о	1 о 1 о	X +	«п + а2п-	1	и.	(12. 66) 529
Це рівняння можна записати у компактнішій формі, якщо застосувати блочну матрицю:
(12. 67)
де х — п-вимірний вектор змінних стану об’єкта, причому х = у — вимірювана змінна, решта змінних невимірювані; а(1) =	 >
ап + і]\ «(2) = [а ,а +1,.. ,а2п_,]т; Ьт = [1,1,. ..,1]; Л = <1іаЄ [ЛД,... Ад]-діагональна матриця, тобто матриця, всі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю; Л2, Л ,.. ., Лд — задані додатні числа. Знаком «т» позначено транспоновану матрицю.
Якщо врахувати, що змінна у = х] вимірювана, то рівняння (12. 67) можна подати у вигляді
и,
(12. 68)
де х — (и — 1)-вимірний вектор, компонентами якого є невимірювані змінні х,, х„ . . . , х ;
2’	3’	’ п1
X = [х2,х3,...,хп]т;
ас,) = [аІ,а2,...,ал_1]т;
«С2) = [ап + 1,ап + 2,...,а2п_,]Т.
Рівняння (12. 68) можна подати у вигляді двох рівнянь:
у = аоу + Ьтх + аи;	(12. 69)
х = а(1)у - Лх + ати.	(12. 70)
З рівняння (12. 70) випливають такі зображення Лапласа:
$Х2($) = а,У($) — Л2.¥2($) + ап+1(/(х);
$Х3($) = а2У($) — Л3Х,(5) + ап+,(7(х);
їХя($) = «„_/(«) — ^Л„(5) + «гп-4^»
ЗВІДКИ
= АУ(5)+^(а):
ВД = ^У(5)+^(5);
х^ = Ти-^ + 7Т^^-
(12 71)
Оскільки
Итх = х2 + х3 + ... + хп, то зображення рівняння (12. 69) матиме вигляд
у&) = І {««то +	+ 2 [гА~ у(ї) +
51	5+Л- + >	(12 72)
1 Структурну схему об’єкта, побудовану за виразом (12. 72), наведено на рис. 12. 17.
Враховуючи, що зображення рівняння (12. 70) можна подати у вигляді (12. 71), і використовуючи теорему згортання (теорему Бореля), запишемо розв’язок рівняння при початкових умовах х(0)
х(ґ) = е-л,х(0) + Г а те~ " Т)у(т)<іт + о	(12. 73)
+ £ ате~ ~ Т^и(т)<іт. о
Підставивши цей вираз у (12. 69), дістанемо
у = а^у + йте~л'х(0) + / Ьта(1)е“ Л('- г,у(т)б(т +
о	(12.74)
+ / Ьта(2)е" ~ ^и(т)<іт + аи. о
Структурну схему на рис. 12.17 можна подати у вигляді, зображеному на рис. 12 18, якщо ввести вектори г і V з компонентами г? г2,. . . , гп ( і р, ..., р . Беручи початкові умови г(0) = у(0) = 0 і використовуючи теорему згортання, дістанемо
у (І) = Г Ьте~	;
о	02 75)
Рис. 12. 17
Рис. 12. 18
2(0 = / ьт^Л(,’г)Хт)л. о	(12.76)
Тоді
У = аоУ + ї йта(1)е-Л("г)Яг’)^(т) + о	(12. 77)
+ / Ьта(2)е” Л(' ~ г)м(т)гіт.
Вирази (12.74) і (12.77) відрізи нюті.сн лише членом р(і) = йте-Л5с(О), тому якщо в схемі на рис. 12. 18 додати зображення р(х), то схеми на рис. 12. 17 і 12. 18 будуть повністю еквівалентними.
Рівняння, що описують структурну схему на рис. 12. 18, мають вигляд
<іу / Л = «оУ +	+ а222 + ... + ая_1ля_1 +
+ «П + Л + «„ + 2^ +••• +«2»-!^-! +«„« +Р;	И
(І2{ / Л = У - Х22.х\ (1г2 / сіі = у - Л322;
, Лй = у - 1г .; д ~ 1	*	п П 1 1
(іл>{ / і.1 = и — А2у, ;
с?у2 /сії = и — Л3у2 ;
с?у„ _, / Л = и - Агп _.. /11	П П 1
(12. 78)
Ці рівняння точно описують невідомий об’єкт, поданий рівняннями (12. 65). Проте цих рівнянь на п—1 більше, тому рівняння (12. 78) називають немшімальною реалізацією невідомого об’єкта.
Рівняння (12. 78) можна подати в матричній формі
У і
V
ао и о
(12. 79)
де г = Ц1,2:2,...,2:іі_1]т; V = [у, , у2 ,..., V* _ ,]т; Ь = [1,1,...,1]т;
«(|) =	«<2) = і«л+1’«л+1”-’«2Л-іі;
А = сііав [А2,Л3,...,Лл].
Для визначення векторів ат ,ат невідомих параметрів об’єкта і вектора х(ґ) змінних стану використаємо модель, що настроюється. Структурну схему моделі наведено на рис. 12. 19.
де/Зо(0,/Зл(0,/3(1) = ТО^2(0,-.^_М ^) = ^+1(0^л+2(0.-^2л_1Ю — параметри, що настроюються.
Рис. 12. 19
Алгоритм настроювання параметрів моделі описується рівняннями (12. 58), (12. 59).
Збіжність процесу настроювання
Ііт /?(1) = а(1); Ііт 5<2) = а(2)
<-»	(12.81)
і
Ііт е(ґ) = 0 і -ь 00
можна довести, використовуючи другий (прямий) метод Ляпунова. Це доведення розглянуто, наприклад, у праці [1]. Протягом збіжності процесу настроювання стають відомими вектори ат і а(2) об’єкта.
Спостерігач, ^гобто пристрій, що забезпечує відновлення значення вектора х(0, який складається з невимірюваних компонент вектора х(ґ), за вимірюваннями керування и (0 й вихідної величини об’єкта у ((), можна реалізувати таким чином. Рівняння (12. 71) подамо у вигляді
= ГГГ у($) + 7ТТі о Т	о і
або з врахуванням (12. 80)
Тоді, беручи до уваги (12 75) і (12. 76), записуємо
*,(0 = X & - іг< - і(0 + X 0- * ‘ - іу/ - •
1-2	1-2
(12. 82)
З цього виразу випливає, що компоненти шуканого вектора х(ґ) можна визначити, вимірюючи змінні стану настроюваної моделі гґ г2, . . . , г , Ур. . . , уп_г і таким чином реалізувати адаптивний спостерігач.
Розглянута система є системою адаптивного керування ідентифікацією за допомогою моделі, що настроюється.
12. 7. АДАПТИВНІ СИСТЕМИ З ЕТАЛОННОЮ МОДЕЛЛЮ
В адаптивних системах з еталонною моделлю бажаний рух об’єкта (ціль керування) задається моделлю, що є зразком або еталоном для об’єкта і тому називається еталонною моделлю. Модель становить стаціонарну динамічну ланку з відомими параметрами, на вхід якої подаються такі самі дії, що й на вхід об’єкта керування. Модель вибирається заздалегідь згідно з апріорною інформацією про вхідні дії. Завданням системи є настроювання параметрів основного контура під параметри еталонної моделі.
Функціональну схему одновимірної адаптивної системи з еталонною моделлю наведено на рис. 12. 20. Різниця вихідних сигналів об’єкта й моделі використовується для змінювання параметрів адаптивного регулятора так, щоб передаточна функція об’єкта з регулятором
збігалася з передаточною функцією моделі. У цьому разі вихідні сигнали моделі й об’єкта збігаються і є = 0.
Розглянемо випадок, коли об’єкт має передаточну функцію
і охоплений жорстким зворотним зв’язком (рис. 12. 21).
Параметр об’єкта а(() є функцією часу. Завдання контура самонаст-роювання полягає в такій зміні коефіцієнта к у колі зворотного зв’язку, щоб запезпечити мінімальне розузгодження між вихідними сигналами об’єкта у (і) і моделі у (і) при змінюванні параметра об’єкта а (і).
Вважатимемо, що змінний параметр об’єкта має вигляд
а (/) = а0 + Аа (/),
де а0 = соплі, а настроюваний коефіцієнт зворотного зв’язку — вигляд
к (і) = к0 + АЛ (І).
У цьому разі передаточна функція основного контура (об’єкта, охопленого зворотним зв’язком) записується так:
р + а0 + к0 + Аа(0 + АЛ(7) ’
Передаточну функцію моделі візьмемо у вигляді
= УТЇ-
де Ь • а0 + к0 = соплі.
Диференціальні рівняння, що описують рух основного контура системи й моделі, мають вигляд
сіу/сіі + [і + Аа(і) + АЛ (і)]у = ^<0;	(12. 83)
йу^Иі + Ьум = в (і).	(12. 84)
Віднявши (12 84) від (12. 83) та беручи до уваги, що є = у — ум та іє/сіі = сіу/ сіі — <іу Ці, дістанемо рівняння відносно похибки розузгодження є(і)
сіе/сіі + Ьє = ~[Аа (0 + АЛ (г)]у.	(12. 85)
Якщо є розглядати як координатне розузгодження рухів системи та еталонної моделі, то величину
у = Аа (/) + АЛ (/)	(12. 86)
можна вважати параметричним розузгодженням. При у = 0 і Ь > 0 розузгодження є асимптотично прямує до нуля.
Вважатимемо, що самонастроювання здійснюється виконавчим при
строєм, який змінює коефіцієнт к. Якщо припустити, що виконавчий пристрій становить інтегруючу ланку, то
б/Д к (0/Л = у (0,	(12. 87)
де — шуканий закон керування в контурі самонастроювання. Рівняння (12. 85) запишемо у вигляді
Ле/Лі = -Ье - уу.	(12. 88)
Тоді, продиференціювавши (12. 86), з врахуванням (12. 87) дістанемо
Лу/Лі =* Л& а (ії/Лі + (0.	(12. 89)
Невідомий закон керування гр (і) можна визначити з умов здійснення бажаного руху зображуючої точки по площині є, у за рівняннями (12. 88) і (12. 89).
Скористуємося для цього прямим методом Ляпунова. Візьмемо виз-начено-додатну функцію у вигляді
V - се2 + у2,
де О 0. Крім того, вважатимемо об’єкт квазістаціонарним, тобто приймемо умову, що параметри об’єкта за час перестроювання коефіцієнта к не змінюються і, отже, б/Д а (/)/бй - 0. Тоді повну похідну функції Ляпунова знайдемо у вигляді
(IV	дУ Лс	дУ Лу	„ б/є	. б/у
Лі	де бй	ду Лі Лі ' Лі	(12. 90)
або, якщо врахувати рівняння (12. 88) і (12. 89), — у вигляді
ЛУ/Лі = -2се2Ь - 2свуу + 2ут^(0.	(12. 91)
Якщо взяти
У(І) = ссу,
де — алгоритм самонастроювання, то похідна функції Ляпунова
ЛУ/Лі = —2се2Ь
є нсдодатною функцією для визначено-додатної функції V. Тому нульовий розв’язок е = 0, у = 0 системи рівнянь (12. 88), (12. 89) є стійким.
Отже, закон змінювання коефіцієнта зворотного зв’язку в основному контурі набути такого вигляду.
£(є) = к0 + ДЛ(0,
ЛИ±к(.і)/Лі = СЕу.
Рис. 12. 22
Структурну схему цієї адаптивної системи з еталонною моделлю зображено на рис. 12. 22.
У загальному випадку (див. рис. 12. 20), коли об’єкт керування описується рівнянням
х = Ах + Я§ + и,
де х(0 — п-вимірний вектор змінних стану об’єкта; А, Н — невідомі матриці чисел вимірності пХп і пХи відповідно; §(ґ) — вимірюваний т-вимірний вектор задаючих дій; и(ґ) — т-вимірний вектор регулюючих дій (вихідних сигналів адаптивного регулятора), а модель — рівнянням
хм = АЛм + ям8>
де хм(0 — п-вимірний вектор змінних стану моделі; А*, Н* — відомі матриці чисел розмірністю пХп і пХт відповідно, І при умові, що всі змінні стану об’єкта доступні для вимірювання, а вектор н має розмірність т = п, рівняння регулятора має вигляд
ц = с(1)(7)х + с(2)(0§,
де сп>(/), с<2>(0 — матриці настроюваних параметрів регулятора вимірності п X п і п X т відповідно.
Алгоритм настроювання параметрів регулятора, що забезпечує виконання умови
1іт(х - хм) =0, Ґ-* оо
має вигляд
(іст/(іі = - [Г0’]-1 р ЄХТ;
(1ст/(іі = - [Г(2)г,р евт,
де е = х - х ; І40, Г<2) — довільні визначено-додатні матриці розмірністю п х п; Р — визначено-додатна матриця чисел, що задовольняє матричне рівняння Ляпунова
АтмР + РА„ = - <2,
де (2 — довільна визначено-додатна матриця.
Детальніше алгоритми адаптивного керування з еталонною моделлю розглянуто в праці [1].
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
1.	Дайте визначення адаптивної системи автоматичного керування. Чим вона відрізняється від звичайної?
2.	У чому полягає гіпотеза квазістаціонарності?
3.	Дайте визначення екстремальної системи.
4.	Назвіть методи (принципи) пошуків екстремуму в одно- і багатопараметричних екстремальних системах.
5.	Якими показниками характеризується динаміка екстремальних систем?
6.	Що таке втрата на рискання?
7.	Як впливає інерційність об’єкта на процес пошуків екстремуму?
8.	Назвіть мету ідентифікації об’єктів керування.
9.	У чому полягає частотний метод ідентифікації?
10.	Поясніть суть ідентифікації за допомогою моделі, що настроюється.
11.	Поясніть принципи побудови безпошукових адаптивних систем.
12.	Наведіть структурну схему системи з адаптивним спостерігачем і поясніть принцип її дії.
13.	Яким чином задається бажаний рух в адаптивних системах з еталонною моделлю?
14.	Наведіть функціональну схему одновимірної адаптивної системи з еталонною моделлю і поясніть принцип її дії.
15.	Який вигляд має алгоритм настроювання параметрів регулятора в системах з еталонною моделлю?
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1.	Александров А Г. Оптимальньїе и адаптивньїе системні. М.: Вьісш. шк, 1989. — 263 с.
2.	Башарин А. В., Башарин И. А. Динамика нелинейньїх автоматических систем управлення. Л.: Знергия, 1974. — 200 с.
3.	Башарин. А. В., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Управление злектропривода-ми. — Л.: Знергоиздат, 1982. — 392 с.
4.	Башарин А. В., Постников Ю. В. Примерьі расчета автоматизированного злек-тропривода на ЗВМ. Л.: Знергоатомиздат, 1990. — 512 с.
5.	Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. 3-є изд., испр. М.. Физматгиз, 1975. — 768 с.
6.	Бесекерский В. А. Цифровьіе автоматические системні. М.: Наука, 1976. — 576 с.
7.	Власов К. П. Специалннній курс по теории автоматического управлення. X.: Харнк. политехн. ин-т, 1974. — 198 с.
8.	Гарнов В. К. и др. Унифицированнніе системні авторегулирования злектропри-водов в металлургии. М.: Металлургия, 1977. — 190 с.
9.	Грубов В. И., Ивахненко А. Г.. Мандровский Б. Ю. Промнішленная кибернети-ка. К.: Наук, думка, 1966. — 447 с.
10.	Зайщев Г. Ф., Костюк В. И., Чинаев П. И. Основні автоматического управлення и регулирования. К.: Техніка, 1975. — 496 с.
11.	Иванов В. В. Методи, вичислений на ЗВМ. К.: Наук, думка, 1986. — 581 с.
12.	Красовский А. А. Системні автоматического управлення полетом и их аналити-ческое конструирование. М.: Наука, 1973. — 358 с.
13.	Крутько П. Д. Вариационньїе методні синтеза систем с цифровніми регуляторами. М.: Сов. радно, 1967. — 438 с.
14.	Куропаткин П. В. Теория автоматического управлення. М.: Внісш. шк., 1973. — 528 с.
15.	Макаров И. М„ Менский Б. М. Линейньїе автоматические системні. М.: Маши-ностроение, 1977. — 464 с.
16.	Марчук Г. И. Методьі внічислителнной математики. М.: Наука, 1980. — 534 с.
17.	Павлов А. А. Синтез релейних систем, оптималннніх по бнстродействию. М.: Наука, 1966. — 390 с.
18.	Пальтов И. П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нели-нейннх автоматических системах. М.: Наука, 1975. — 368 с.
19.	Попов Е. П. Теория нелинейнніх систем автоматического регулирования и управлення. М.: Наука, 1988. — 256 с.
20.	Сборник задач по теории автоматического регулирования и управлення / Под ред. В. А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. — 512 с.
21.	Скворцов Г. В. Синтез корректирующих устройств судових следящих систем. Л.: Судостроение, 1968. — 252 с.
22.	Суевалов Л. Ф. Справочник по расчетам судових автоматических систем. Л.: Судостроение, 1977. — 376 с.
23.	Теория автоматического управлення. Ч. 1. Теория линейннх систем автоматического управлення / Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд. М.: Внісш. шк., 1986. — 367 с.
24.	Теория автоматического управлення. Ч. 2. Теория нелинейньїх и специальних систем автоматического управлення / Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд. М.: Внісш. шк., 1986. — 5^4 с.
25.	Ту Ю. Т. Цифровие и импульсние системи автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. — 703 с.
26.	Цьіпкин Я. 3. Основні теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. — 560 с.
27.	Цьспкин Я. 3. Теория импульсньїх систем. М.: Физматгиз, 1958. — 724 с.
28.	Юревич Е. И. Теория автоматического управления. 2-е изд. Л.: Знергия, 1975. — 416 с.
ЗМІСТ
Передмова ....................................................................З
Вступ ........................................................................5
Глава 1. Загальні відомості про системи автоматичного керування.............11
1.1.	Система автоматичного керування	та її елементи ..........................11
1.2.	Система автоматичного регулювання. Загальні відомості про зворотні зв’язки . 12
1.3.	Принципи автоматичного керування. Комбіновані системи автоматичного керування ....................................................................13
1.4.	Види систем автоматичного	керування .....................................15
1.5.	Основні загальні відомості про елементи САК та їх особливості. Класифікація елементів ....................................................................31
1.6.	Зворотні зв’язки	в	системах	автоматичного регулювання. Загальні відомості . 33
Глава 2. Основні завдання і особливості теорії автоматичного керування ... 39
2.1.	Теорія автоматичного керування і регулювання...........................39
2.2.	Короткі історичні відомості про розвиток теорії автоматичного керування . . 40
2.3.	Статика систем автоматичного регулювання. Умови статичної рівноваги і статичні характеристики ланок.............................................42
2.4.	Статична похибка і коефіцієнт передачі (підсилення) ...................4б
2.5.	Форми запису рівнянь статики ..........................................48
2.6.	Динаміка систем автоматичного регулювання. Завдання і особливості загальної методики дослідження..............................................49
2.7.	Лінеаризація нелінійних рівнянь. Приклади .............................50
2.8.	Форми запису рівнянь динаміки. Приклади складання рівнянь ланок .... 53
2.9.	Коефіцієнт самовирівнювання і його вплив на характер перехідних процесів 55
2.10.	Рівняння машини-двигуна з одним ступенем свободи .....................57
Глава 3. Математичне описання лінійних неперервних систем автоматичного керування.....................................................................60
3.1.	Типові елементи (ланки) систем	автоматичного керування ..................60
3.2.	Приклад складання рівняння тиристорного перетворювача (підсилювача) як ланки із запізненням	69
3.3.	Передаточні функції і частотні	характеристики.......................71
3.4.	Передаточні функції і частотні характеристики типових ланок. Приклади побудови. Основні загальні відомості про частотні характеристики ...........73
3.5.	Рівняння динаміки, передаточні функції і амплітудно-фазові частотні характеристики груп ланок при різному їх з’єднанні .........................77
3.6.	Логарифмічні частотні характеристики ..................................81
3.7.	Мінімально- і немінімально-фазові ланки ...............................93
3.8.	Рівняння, передаточні функції та частотні характеристики систем автоматичного керування.....................................................95
3.9.	Приклад знаходження рівняння динаміки системи стабілізації напруги генератора постійного струму ...............................................100
3.10.	Рівняння і передаточні функції автоматичних слідкуючих (програмних) систем .....................................................................107
3.11.	Приклад знаходження рівняння динаміки слідкуючої системи .............111
3.12.	Структурні схеми та їх перетворення ..................................116
3.13.	Графи та їх використання в теорії автоматичного керування.............122
3.14.	Багатовимірні системи та метод змінних стану..........................126
Глава 4. Стійкість неперервних лінійних САК ................................140
4.1.	Поняття стійкості САК...............................................140
4.2.	Стійкість за Ляпуновим ......................................................141
4.3.	Дослідження і аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння	.	.	142
4.4.	Алгебраїчні критерії стійкості......................................146
4.5.	Приклад дослідження стійкості конкретних систем за допомогою алгебраїчних критеріїв стійкості	152
4.6.	Частотні критерії стійкості. Критерій Михайлова .............................155
4.7.	Приклад аналізу стійкості за допомогою критерію Михайлова...........159
4.8.	Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод Р-розбиття)	162
4.9.	Критерій стійкості Найквіста ................................................171
4.10.	Аналіз стійкості за амплітудними і фазовими частотними характеристиками розімкнутої системи.........................................................181
4.11.	Дослідження стійкості систем із запізненням...........................183
4.12.	Структурно-нестійкі системи і корегуючі ланки ........................187
Глава 5. Якість лінійних неперервних САК і методи їх оцінки ................193
5.1.	Загальні відомості про якість САК ...........................................193
5.2.	Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань ...................196
5.3.	Наближені методи оцінки якості...............................................200
5.4.	Чутливість САК ..............................................................225
Глава 6. Підвищення якості і синтез лінійних САК ...........................228
6.1.	Помилки в САР................................................................228
6.2.	Типові режими роботи і знаходження помилок САР...............................230
6.3.	Основні шляхи підвищення точності керування. Замикання системи .... 234
6.4.	Типові закони керування і регулятори. Введення астатизму і керування за похідними ...............................................................236
6.5.	Точність САР в усталених динамічних режимах ...........................246
6.6.	Підвищення точності САР на основі принципу інваріантності .............248
6.7.	Підвищення’ якості в комбінованих САК і системах із змінною структурою 251
6.8.	Використання неодиничних зворотних зв’язків і масштабування ...........252
6.9.	Технічна реалізація корегуючих пристроїв у схемах автоматизованого електропривода .............................................................. 253
6.10.	Способи підвищення запасу стійкості.........................................258
6.11.	Синтез корегуючих пристроїв методом	ЛАХ.....................................265
6.12.	Послідовна корекція з підпорядкованим	регулюванням координат................280
6.13.	Керованість і спостережуваність.......................................287
Глава 7. Випадкові процеси в САК ...........................................293
7.1.	Уявлення про випадкові процеси.........................................293
7.2.	Характеристики стаціонарних випадкових процесів .......................296
7.3.	Спектральна щільність стаціонарних випадкових процесів ................300
7.4.	Проходження стаціонарного випадкового сигналу через лінійну САК .... 303
7.5.	Розрахунок точності САК за середньоквадратичною похибкою ..............305
7.6.	Синтез лінійних САК за мінімумом середньоквадратичної похибки..........308
"Т!ЧІГ
Глава 8. Нелінійні системи автоматичного керування .........................311
8.1.	Загальні відомості......................................................311
8.2.	Типові нелінійності ....................................................312
8.3.	Математичні моделі нелінійних	систем ...................................316
8.4.	Стійкість і особливості динаміки	нелінійних	систем .....................322
8.5.	Дослідження нелінійних систем	методом	фазової площини..............327
8.6.	Метод О. М. Ляпунова ...................................................333
8.7.	Критерій В. М. Попова...................................................336
8.8.	Метод точкового перетворення............................................342
8.9.	Метод гармонічної лінеаризації	..................................344
8.10.	Дослідження автоколивань	методом	гармонічної лінеаризації..............351
Глава 9. Оцінка якості, корекція і синтез нелінійних САК ...................367
9.1.	Оцінка якості нелінійних САК...........................................367
9.2.	Загальні відомості про методи синтезу корегуючих пристроїв у нелінійних системах ...................................................................375
9.3.	Синтез лінійних корегуючих пристроїв у нелінійних системах методом ЛАХ 377
9.4.	Корекція релейних систем за рахунок утворення ковзних режимів..........382
9.5.	Нелінійні корегуючі ланки ............................................387
9.6.	Компенсація впливу нелінійностей.......................................393
9.7.	Синтез нелінійних САК за допомогою ЕОМ ................................400
Глава 10. Дискретні системи автоматичного керування.........................406
10.1.	Уявлення про дискретні системи. Класифікація дискретних систем .... 406
10.2.	Класифікація імпульсних САК за видами модуляції ......................407
10.3.	Математичне описання імпульсного елемента систем з АІМ ...............410
10.4.	Математичний апарат для дослідження імпульсних САК	414
10.5.	Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи....................422
10.6.	Передаточна функція замкнутої імпульсної системи .....................425
10.7.	Частотні характеристики імпульсних систем.............................427
10.8.	Стійкість імпульсних систем ...........................................433
10.9.	Якість імпульсних систем ..............................................442
10.10.	Корекція імпульсних систем............................................447
10.11.	Цифрові системи автоматичного	керування.............................450
10.12.	Синтез цифрових корегуючих пристроїв	методом ЛАХ......................453
Глава 11. Оптимальні системи автоматичного керування .......................462
11.1.	Завдання оптимального керування .......................................462
11.2.	Методи класичного варіаційного числення................................464
11.3.	Принцип максимуму . . •................................................472
11.4.	Теорема про /г-інтервалів..............................................480
11.5.	Динамічне програмування ..............................................  487
11.6.	Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів ......................493
11.7.	Застосування методу динамічного програмування для синтезу дискретних (цифрових) регуляторів ................................................л	. . 498
•
Глава 12. Адаптивні системи автоматичного керування.........................502
12.1.	Уявлення про адаптивні САК.............................................502
12.2.	Системи екстремального керування ......................................504
12.3.	Динаміка екстремальних систем..........................................515
12.4.	Ідентифікація об’єктів керування ......................................519
12.5.	Принципи побудови безпошукових адаптивних систем ......................525
12.6.	Адаптивні спостерігачі.................................................529
12.7.	Адаптивні системи з еталонною моделлю..................................535
Навчальне видання
ПОПОВИЧ Микола Гаврилович КОВАЛЬЧУК Олександр Васильович
ТЕОРІЯ • АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Художник обкладинки І. Я. Щур Художній редактор Т. О. Щур Технічний редактор І. М. Лукашенко Коректор Н. М. Цуркан
Підписано до друку 15.09.97. Формат 60x84/16.
Папір офсетний. Гари. Тайме. Офсетний друк.
Ум. друк. арк. 31,62. Ум. фарбовідб. 32,08. Обл.-внд. арк. 34,8.
Вид. №3747. Зам. № 2977.
Видавництво «Либідь» прн Київському університеті 252001 Київ, Хрещатик, 10
Свідоцтво про державну реєстрацію №05591690 від 23.04.94
ВПК “Глобус”, 290035, м. Львів, вул. Зелена, 101/5