iTr БАКАЛАВРИАТ
В.Я. Дерр
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Лекции и упражнения
Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности ВПО «Математика» и направлениям подготовки ВПО «Математика»,
«Математика. Прикладная математика»
КНОРУС • МОСКВА * 2013
Knoruslfiedia
электронные версии книг


УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.5я73
Д36
Рецензенты:
А. Г. Ченцов, чл.-кор. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф.,
кафедра математического анализа Пермского государственного университета
Дерр В.Я.
Д36 Функциональный анализ: лекции и упражнения : учебное пособие / В.Я. Дерр. — М.: КНОРУС, 2013. — 464 с. — (Бакалавриат).
ISBN 978-5-406-02728-8
Представляет собой элементарный курс функционального анализа (метрические, линейные нормированные, гильбертовы пространства, теория линейных операторов и функционалов, теория линейных уравнений в банаховых пространствах, дифференцирование нелинейных отображений). Большое внимание уделяется обыкновенным дифференциальным и интегральным операторам и уравнениям. Изложен теоретический материал с подробными доказательствами, упражнения и задачи по основным разделам функционального анализа, приводятся подробные решения практически всех задач. Содержит также ряд индивидуальных домашних заданий.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения.
Для студентов математических факультетов классических и технических университетов, готовящих специалистов по математическим направлениям. Будет полезно и молодым преподавателям.
УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.5я73
Дерр Василий Яковлевич ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: ЛЕКЦИИ И УПРАЖНЕНИЯ
В авторской редакции
Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16208 от 04.06.2012.
Изд. № 5662. Подписано в печать 10.09.2012.
Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 29,0. Уч.-изд. л. 27,0. Тираж 1000 экз. Заказ № 7185.
ООО «КноРус».
127015, Москва, ул. Новодмитровская, д. 5а, стр. 1.
Тел.: (495) 741-46-28.
E-mail: office@knorus.ru http://www.knorus.ru Отпечатано с готовых файлов заказчика в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
©Дерр В.Я., 2013
ISBN 978-5-406-02728-8 © ООО «КноРус», 2013


Предисловие
Предлагаемое пособие является продолжением издания [7]. Оно базируется на изданиях [8], [9] и содержит большую часть двухсеместрового курса «Функциональный анализ», который автор в течение ряда лет читает студентам математического факультета Удмуртского университета. Здесь излагается теория метрических, линейных нормированных и гильбертовых пространств, теория линейных операторов и функционалов в банаховых пространствах, теория сопряженных пространств и связанные с этим понятием вопросы, теория вполне непрерывных операторов, спектр линейного оператора, теория уравнений в банаховых пространствах, дифференцирование нелинейных операторов.
В учебных планах нового поколения предусмотрено увеличение числа часов на самостоятельную работу при одновременном сокращение числа аудиторных часов. В этих условиях возрастает роль учебных пособий, которые помогли бы студенту самостоятельно разобраться в некоторых разделах курса. Именно такой характер носит процитированное выше издание. Точно такой же характер носит и предлагаемое издание. Здесь подробно изложен весь теоретический материал, приведены доказательства основных утверждений, некоторые утверждения предложено доказать студентам в качестве упражнений, приведено большое число упражнений технического характера, а также более сложные «штучные» задачи. К подавляющему большинству упражнений приведены подробные решения. Приведены также 3 индивидуальных домашних задания по темам «Принцип сжимающих отображений», «Обратный оператор» и «Уравнения в банаховых пространствах». Таким образом, предлагаемое вниманию студентов пособие является одновременно учебником, задачником и «решебником».
Часть задач взята из известных задачников [1], [2], [4], [14], [18], [27] и учебников или монографий [5], [6], [12], [13], [15], [18], [19], [22], [23], [24], [25], [26], [30]; приведен также целый ряд новых задач, а решения
известных задач большей частью отличаются от решений, приведенных в других «решебниках».
Курс функционального анализа базируется в основном на теории множеств, линейной алгебре и математическом анализе. Предполагается, что приступая к изучению настоящего учебного пособия, студенты усвоили основные положения перечисленных курсов.
3


1. 	Метрические пространства
1.1. 	Определение и примеры. Пусть Ш — произвольное множество. Функция р : х ШТ —► [0, оо) называется метрикой (метрической функци¬
ей), если она обладает следующими свойствами:
1) р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома тождества);
2) р(у,х) = р(х,у) для любых х,у Е Ш (аксиома симметрии);
3)р(х, у) ^ р(х, z) + p(z, у) для любых х, у, z Е Ш (неравенство треугольника) .
Пара (9DT, р) называется метрическим пространством. Если ясно о какой функции р идет речь, то пишут просто: Ш. Элементы метрического пространства называются точками. Значение р(х, у) называется расстоянием между точками х и у.
Из неравенства треугольника получаем следующее "неравенство четырехугольника": для любых х,х , у, у' Е 971
\р(х,у) -р{х,у)\ < р(х,х) +р(у,у). (1.1)
Упражнение 1.1. Докасисите неравенство (1.1).
Примеры метрических пространств.
1. Множества Ер (CJJ) наборов х = {х\,х2, ...,жп) из п вещественных (комплексных) чисел с метрикой
Рр(х,у) = \Xk ~ 2/fclP^ (1<р<оо).
Выполнение аксиом тождества и симметрии очевидно. Неравенство треугольника следует из неравенства Минковского (см. Дополнение 1).
2. Множество последовательностей вещественных или комплексных чи-
оо
сел х — (х1,Ж2, • • •) таких, что сходится ряд \хь\р
к=1
(1 ^ р < оо); в качестве метрики берется функция р(х,у) = ( X \хк - Ук\р
\к= 1
Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно, неравенство треугольника снова есть следствие неравенства Минковского. Полученное метрическое пространство обозначается 1Р. Под 1^ — т будем понимать множество ограниченных последовательностей вещественных или комплексных
4


чисел с метрикой
р{х,у) = sup|:rfc - ук\. (1.2)
ке N
Убедимся в справедливости для (1.2) неравенства треугольника (выполнение аксиом 1 и 2 очевидно). Для каждого к £ N в силу свойства абсолютной величины числа имеем
| Хк - Ук I = I Хк - Zk+ Zk - Ук I ^ I Хк - Zk\ + I Zk - Ук I ^
^ sup|rrfc - Zk | +sup|2fc - ук|.
к к
Перейдя в левой части к точной верхней грани, получим неравенство треугольника для (1.2).
3. Множество сходящихся последовательностей вещественных или комплексных чисел с метрикой (1.2) обозначается с; множество сходящихся к нулю последовательностей вещественных или комплексных чисел обозначается со, со С с С т.
4. Множество произвольных последовательностей вещественных или комплексных чисел с метрикой
0 3)
обозначим s.
Аксиомы тождества и симметрии для функции (1.3), очевидно, выполнены. Докажем неравенство треугольника. Так как функция возрастающая и IХк - Ук| ^ |Хк - ZkI 4- \zk - Ук|, ТО
\Хк ~ Ук | < \Хк ~ zk | + \Zk ~ Ук\ <
1 + \Хк~Ук\ ^ 1 + | Хк - Zk I + I Zk - Ук I ^
< |Хк - Zk\ + 1 Zk - Ук 1
^ 1 + \хк - Zk\ 1 + \zk - Ук\’
Умножая левую и правую части полученного неравенства на 2_fc, складывая по к от к = 1 до к — N и устремляя N —► оо, получаем неравенство треугольника для (1.3).
5. Множество С [а, b} непрерывных функций х : [а, Ь] —► Ш (С) с метрикой
Р{х,у) = max \x(t) - y{t)\. (1.4)
tG [a,b\
5


Проверим выполнение аксиом метрики для функции (1.4). Остановимся лишь на проверке неравенства треугольника. Для каждого t Е [а, Ь] воспользуемся свойством модуля числа
М*) - y(t)I < М<) - Z(t)I + Iz{t) - y(t) I ^
^ max Ix(t) — z(t)I 4- max \z(t) — y(t)|.
t£.[a,b] t£[a,b]
Переход к максимуму no t Е [a, b] в левой части неравенства завершает проверку.
6. 	Множество М[а, Ь] ограниченных функций х : [a, b] —* Е (С) с метрикой
р(х,у)= sup \x(t) - y(t)\ (1.5)
te[a,b]
Неравенство треугольника проверяется точно так же, как в предыдущем примере.
Рис.1
7. 	На множестве непрерывных на [a, b] функций можно ввести метрику по другому. Полагаем
ь
р(х,у) = J \x(t)-y(t)\dt (1.6)
а
6


На проверке аксиом метрики останавливаться не будем. Полученное метрическое пространство обозначим Сь[а,Ь\. Если две функции существенно различаются лишь в малой окрестности некоторой точки, то они будут близки друг к другу в этой метрике, тогда как в метрике (1.4) они могут существенно различаться (см. рис. 1).
8. 	Пусть 9Л — произвольное множество. Положим р(х,у) = 0, если х = у,р(х,у) = 1, если х ф у. Аксиомы тождества и симметрии и здесь очевидны. Пусть x,y,z — произвольные элементы Ш. Если х = у, то неравенство треугольника принимает вид либо 0^0 + 0, либо 0 ^ 1 + 1; если х ф у, то либо 1 ^ 0 + 1, либо 1 ^ 1 + 1. Во всех случаях получаются верные неравенства.
1.2. 	Основные понятия, связанные с метрикой. Пусть (9Я, р) — метрическое пространство.
1. Открытым шаром радиуса г с центром в точке а Е Ш называется множество В (а, г) = {х Е ЯК : р(х,а) < г}; точка х называется внутренней точкой множества А С 9Л, если существует такое е > 0, что В(х,е) С А, т.е. если х принадлежит множеству А вместе с некоторым шаром с центром в точке х; множество int А внутренних точек назывется внутренностью множества А; множество А называется открытым, если все его точки внутренние, т.е. если A =int А. Любое открытое множество, содержащее точку х Е ЯК, называется окрестностью этой точки.
Упражнение 1.2. Докажите, что открытый шар —открытое множество.
Упражнение 1.3. Докажите, что объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Покажите, что пересечение бесконечного множества открытых множеств может не быть открытым.
2. Закрытым шаром радиуса г с центром в точке а Е Ш называется множество B[a,r\ = {х Е Ш : р(ж, а) ^ г}
3. Скажем, что последовательность {xn}^Li точек пространства DK сходится к точке х Е Ш (пишем: хп —> х или х = limxn), если числовая последовательность {р(хп, ж)}^=1 сходится к нулю, р{хп,х) —► 0. При этом X называется пределом последовательности хп.
Докажем единственность предела.
Действительно, пусть хп —► х и хп —> у. В силу неравенства треугольника р(х,у) ^ р(х,хп) + р(#п,2/). Так как обе последовательности в правой части этого неравенства стремятся к нулю, то р(х, у) = 0, т.е. х = у.
7


4. Точка х' Е Ш называется предельной точкой множества А, если любая окрестность точки х' содержит отличные от х' точки множества А. Пусть гп —> 0. Согласно определению предельной точки в шаре В(хо,гп) имеется точка хп Е А,хп ф х'. Так как р(хп,х') < гп, то —► х'. Таким образом, х' в том и только том случае является предельной точкой множества Л, если существует последовательность элементов этого множества, сходящаяся к х'.
Множество предельных точек множества А обозначается А'. Множество А называется замкнутым, если А! С А. Точки множества А \ А! называются изолированными. Множество cl А — A U А' называется замыканием множества А.
Упражнение 1.4. Докажите, что закрытый шар — замкнутое множество.
Упражнение 1.5. Докажите, что замыкание множества — замкнутое множество. Докажите, что замыкание множества — наименьшее замкнутое множество, содержащее это множество.
Упражнение 1.6. Докажите, что пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Докажите, что объединение бесконечного множества замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством.
Упражнение 1.7. Докажите, что дополнение открытого (замкнутого) множества есть замкнутое (открытое) множество.
5. Множество М метрического пространства (Ш1, р) называется плотным в множестве А С Ш, если для любого £ > 0 и любого х £ А найдётся такой у £ М, что р{х,у) < г. Если А = Ш, то говорят, что М всюду плотно.
Упражнение 1.8. Докажите, что М плотно в А в том и только том случае, если для любого х е А существует такая последовательность {уп}??=1 С М, что уп —> х; докажите, что М плотно в А в том и только том случае, если А С с1М.
6. Множество М метрического пространства (ШТ, р) называется ограниченным, если существует шар, содержащий это множество, т.е. если существуют такие х € Ш и г > 0, что М С В[х,г].
Упражнение 1.9. Докажите, что если М С Ш покрыто конечным


объединением шаров, т.е.
п
м С (J В[хк,Гк\ (п € N),
к=1
шо М — ограниченное множество.
Упражнение 1.10. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.
7. Пусть (9Л, р) — метрическое пространство, УХ С Ш, р — сужение р на 01. Тогда (91, р') тоже является метрическим пространством; оно называется подпространством пространства (9Л,р). Например, отрезок [а, Ь] — подпространство метрического пространства М. Так как с0 С сС loo, а метрика в этих пространствах определяется одним равенством (1.2) то со и с —подпространства /оо, а со — подпространство с. Аналогично, С [а, 6] С М[а, 6], а метрика (1.5) при переходе к пространству непрерывных функций превращается в метрику (1.4), поэтому С [а, Ь] — подпространство М[а, Ь]. Напротив, хотя 1Р С со, но 1Р не является подпространством с0, так как метрика
(1.2) 	не переходит в метрику пространства 1Р при переходе от со к 1Р.
8. Пусть (9Я, р) и (91, d) — метрические пространства. Положив на множестве Ш х 91 h((x, у), (х', у')) = р(х, х') + е/(у, у'), получим новое метрическое пространство.
Упражнение 1.11. Проверьте аксиомы метрики для h. Покажите, что сходимость (хп,Уп) (х, у) в ШТ х 91 означает, что хп —► х в ЭДТ и Уп —► У в 91, а сходимость жп —► £ в Ш и уп —> у в 91 влечет сходимость (хп,Уп) —+ (х,у) в Ш х 91.
9. Пусть (ЭДТ, р) и (91, d) — метрические пространства, / : Ш —► 91. Отображение / называется непрерывным в точке ж, если для любой последовательности Хп —> х в 9Л последовательность f(xn) —* f(x) в 91. Отображение называется непрерывным на множестве М С Ш1, если оно непрерывно в каждой точке множества М.
Упражнение 1.12. Используя неравенство (1.1) докажите, что метрика р непрерывна (как отображение из Ш х Ш в R).
Упражнение 1.13. Пусть х* Е Ш. Докажите, что функция р(-, х*) : Ш —> Ш непрерывна.
Упражнение 1.14. Сформулируйте определение непрерывности отображения на языке е-6. Докажите эквивалентность обоих определений.
9


Отображение / : 9Я —» 91 называется равномерно непрерывным на множестве А С 9Я, если
(Ve > 0) (35 > 0) (Vx',x" G 9Л, р(х\х") < 6) (d(f(x'), f(x")) < e'j.
Упражнение 1.15. Докажите, что метрика р равномерно непрерывна (как отображение из Ш х Ш в R).
Упражнение 1.16. Пусть х* G Ш. Докажите, что функция р(-,х*) : Ш —> R равномерно непрерывна на Ш.
Упражнение 1.17. Пусть А С 9Я, /(х) = р(х,Л) (расстояние от точки х G Ш до множества А). Докажите, что функция / : Ш —► R равномерно непрерывна на Ш.
10. 	Пусть (9Я, р) и (91, с?) — два метрических пространства. Отображение / : —> 91 называется изометрией, если d(f(x),f(y)) = р(х,у) для
любых х, у G 9D1, т.е. если / сохраняет расстояния. Метрические пространства (971, р) и (91, d) называются изометричными друг другу, если существует биективная (т.е. взаимно однозначная) изометрия / : Ш —> 91. Если Ш изометрично 91, то пишем: 9Я = 91. Два изометричных пространства отождествляются, так как их невозможно различить в рамках теории метрических пространств.
Упражнение 1.18. Пусть Lp : R —► (0,+oo),J ip(t)dt = 1, Ш = R,
R
Р(х,у)
; убедитесь, что р — метрика на Ш; пусть, далее
91 = (0,1), d(x, у) = |х — 2/|. Докажите, что 9Я = 91; укажите изометрию f : ЯП -► 91.
1.3. 	Анализ сходимости в конкретных пространствах.
1. Пространства R™ (Ср). В курсе математического анализа показывается, что сходимость в пространстве RJ есть покоординатная сходимость. Точно так же показывается, что при любом р ^ 1 сходимость в пространстве Rp (Ср) есть покоординатная сходимость.
2. Пространства С [а, Ь] и М[а, Ь]. Пусть хп ► х в С [а, 6]. По определению сходимость в пространстве С [а, Ь] означает: для любого £ > 0 найдется такой номер N, что для всех п > N выполняется неравенство
max IXn(t) — x(t)I < e. te[a,b] 1
Но это неравенство означает, что \xn(t) — x(t)| < £ для всех
t G [a, 6] сразу, т.е. что последовательность {xn}^Li сходится равномер-
10


но, xn{t) =4 x(t). Рассуждая точно так же, убеждаемся, что сходимость в пространстве ограниченных функций М[а, Ь] есть равномерная сходимость.
3. 	Пространства последовательностей lp (1 ^ р < +оо). Пусть х^ —► х в 1Р. Это означает, что для любого е > 0 найдется такой номер N, что для всех п > N выполняется неравенство
Из этого неравенства следует, что одновременно для всех к Е N при п > N
равномерную покоординатную сходимость. Таким образом, сходимость в пространствах 1Р влечёт равномерную покоординатную сходимость. Однако обратное неверно: из покоординатной сходимости (пусть даже и равномерной) ещё не следует сходимость в 1Р.
Упражнение 1.19. Продемонстрируйте примером, что из равномерной покоординатной сходимости не следует сходимость в 1Р.
4. Пространства /оо, с, со. Метрика в этих пространствах определяется равенством (1.2), из которого сразу видим, что х^ —> х в том и только том случае, если х^ —► Хк (п —> оо) равномерно относительно к. Таким образом, сходимость в этих пространствах есть равномерная покоординатная сходимость.
5. Пространство последовательностей s. Пусть х^ —► х при п —► оо в s. Это означает,что для любого € > 0 найдется такое N, что для всех п > N выполняется неравенство
s влечет покоординатную сходимость. Обратно, пусть имеет место покоор-
сходится равномерно относительно п (он мажорируется сходящимся число-
оо
вым рядом i), то под его знаком можно совершить предельный переход
к=1
выполняются неравенства |xj^ — Хк\ < £, что в свою очередь означает
(1.7)
Отсюда следует, что при всех п > N
т.е. при каждом к € N х^ Хк при п —► оо, сходимость в пространстве
динатная сходимость: х^ —> Хк при п —* оо, к G N. Так как ряд в (1.7)
11


при n —> оо. Так получим, что х^ —> ж. Таким образом, сходимость в про¬
странстве s есть покоординатная сходимость.
Упражнение 1.20. Покажите, что в примере 8 сходятся лишь стационарные последовательности, т.е. такие последовательности, у которых начиная с некоторого номера хп — х.
1.4. 	Полные метрические пространства. Пусть (9Я,р) — метрическое пространство. Последовательность!^} его элементов называется фундаментальной (сходящейся в себе, последовательностью Коши), если для любого е > 0 найдется такой номер N, что для всех номеров тп,п > N выполняется неравенство р(хп,хт) < s.
Упражнение 1.21. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна.
Упражнение 1.22. Докажите, что фундаментальная последовательность ограничена.
Упражнение 1.23. Докажите, что если подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то сходится и вся последовательность (причем к тому же пределу).
Метрическое пространство называется полным, если любая его фундаментальная последовательность имеет в нём предел, т.е. для любой последовательности {хп} С Ш из
В курсе математического анализа (см. принцип сходимости Коши [31, с. 83], [16, с. 40]) доказывается полнота пространства вещественных чисел R; точно также доказывается полнота пространств , С£ (1 ^ р < +оо, n ^ 1) Докажем полноту пространства М[а,Ь\ ограниченных функций. Пусть {хп}™=1 — фундаментальная последовательность в М[а, 6], т.е. согласно
(Ve > 0) (3N Е N) (Vn,m > N) (р(хп,хт) < е)
(1.8)
следует
(Эх Е ЭД1, хп —► х).
(1.8) 	и (1.5)
Отсюда при каждом t Е [а,6] для п,т > N имеем
|жп(£) Жт(^)| ^ •
12
(1.9)


Это означает, что при каждом t G [а, Ь] числовая последовательность фундаментальна в К, т.е. при каждом t G [а, Ь] существует предел x(t) = lim xn{t). Покажем, что х(-) — ограниченная функция. Перейдем к
п—>оо
пределу в (1.9) при т —* оо : |xn(t) — x(t)\ ^ § при всех t £ [а,Ь\ и п > N; значит,
sup Ix„{t) - x{t)I ^ ^ < £ (1-10)
te[a,b] *
Фиксировав n > TV, найдем такое К, что |хп(£)1 ^ К для всех t G [а, 6]. Считая £ < 1, имеем
|х(£)| ^ |x(t) - xn(t)| + |xn(£)| < 1 + К,
т.е. х(-) G М[а, 6]. Из (1.10) следует, что хп-^хв М[а, 6]. Тем самым полнота пространства М[а,Ь\ доказана.
Для доказательства полноты конкретных метрических пространств будет полезным следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть 91 — подпространство метрического пространства Ш. Тогда
1) если 91 — полное пространство, то 91 замкнуто в 9Я;
2) если Ш — полное пространство, а 91 замкнуто в ШТ, то 91 — полное пространство.
Доказательство. 1. Пусть 91 — полное подпространство ШТ, х* G Ш — его предельная точка. Существует последовательность {хп}^=\ С 91, хп —► х (в Ш). Так как эта последовательность фундаментальна, а 91 полно, то х* G 91. Следовательно, 91 замкнуто.
2. Пусть Ш полно, 91 замкнуто и {xn}??=i С 91 — произвольная фундаментальная последовательность. В силу полноты 9Я существует х* G ШТ, х* = limxn. Значит, х* — предельная точка 91. Так как 91 замкнуто, то х* G 91. Итак, 91 содержит пределы своих фундаментальных последовательностей, т.е. 91 полно.
Докажем с помощью этой теоремы полноту пространства непрерывных функций С[а,Ь]. Так как С[а,Ь] — подпространство М[а, 6], то достаточно доказать замкнутость С [о, Ь] в М[а, Ь]. Пусть х* — предельная точка С[а, Ь]. Существует последовательность {xn}^Li С С[а,Ь], сходящаяся к х*. Это значит, что xn(t) —► x*(t) равномерно на [а, Ь]. В силу известной теоремы из курса математического анализа предельная функция х*(-) непрерывна, т.е. принадлежит С[а,Ь\. Следовательно, С[а,Ь] замкнуто. По теореме 1.1 С [а, Ь] — полное пространство.
13


Упражнение 1.24. Докажите полноту пространств последовательностей s,lp (1 ^ р < оо), /оо, со, с, исходя из определения полноты.
Упражнение 1.25. Докажите полноту пространств со, с помощью теоремы 1.1.
Приведём примеры неполных пространств.
1. Рассмотрим пространство рациональных чисел Q с метрикой р(х, у) = \х — у\. Очевидно, Q — подпространство R. Так как последовательность Хп — (l + п)П СХ°ДИТСЯ в пространстве R, то она фундаментальна в нём, а значит, и в пространстве Q. Однако, предел этой последовательности (число е) есть число иррациональное; значит пространство Q неполное. Это означает также, что Q не замкнуто в пространстве R.
2.Пространство Сь [а, Ь] (см. выше пример 7) не является полным.
Пусть [а, Ь] = [—1,1]. Рассмотрим последовательность
-1 для t <
Xn(t) = < nt для
L 1 для t>±.
He ограничивая общности можно считать, что т > п. Поэтому
1 1т
р(хп,хт) = I \xn(t) — Xm(t)\ dt = 2 j J (mt — nt) dt+
+ J(1 — nt) dt I = i i —► 0 при 771, n —> oo,
n m
т.е. последовательность {xn}^Li фундаментальна. Покажем, что она не сходится ни к какой непрерывной функции.
Предположим противное: пусть хп —s► х в Сь [а, Ь] и y(t) = signt; при каждом t G [а, 6] ггп(£) —► у(£)- Так как х(') непрерывна, а ?/(•) разрывна в нуле с ненулевым скачком, то
ill
О < J \y(t) - x(t)\dt ^ J \y(t) - Xn(t)\dt + J \xn(t) - x(t)\dt —> 0.
-l -l -l
Первый интеграл в правой части стремится к нулю при га —► оо в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, второй — по сделанному выше предположению. Полученное противоречие означает, что хп не сходится в пространстве Сь[а, Ь], т.е. это пространство не является полным.
14


1.5. 	Теорема о пополнении. Пусть (ЯЛ, р) — метрическое пространство. Наименьшее полное метрическое пространство (9Л, р), для которого (9Л, р) является подпространством, называется пополнением метрического пространства (Ш1,р). Например, Е — пополнение Q.
Нижеследующая теорема о пополнении содержательна лишь для неполных пространств.
Теорема 1.2. Всякое метрическое пространство обладает единственным с точностью до изометрии пополнением. При этом исходное метрическое пространство плотно в своём пополнении: с1Ш — Ш (см. упражнение 1.8).
Доказательство. Для сокращения записи будем писать {хп} вместо {£п}п^1. Назовем две фундаментальные последовательности {хп} и {уп} из Ш эквивалентными (пишем {хп} ~ {^м}), если р(хп,Уп) —> О (п —► оо). Отношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности на множестве всех фундаментальных последовательностей из 9Л. Это отношение разбивает Ш1 на непересе- кающиеся классы эквивалентных фундаментальных последовательностей. Обозначим множество этих классов Ш.
Пусть £ и г) — два класса из Ш. Выберем произвольные фундаментальные последовательности {хп} € £ и {уп} £ г/. В силу неравенства четырёхугольника (1.1)
|р(Хт,Ут) ~ р(хп,Уп)\ ^ р(хп,Хт) + р(Уп,Ут) ~► О (п —► ОО),
поэтому числовая последовательность {р(хп, Уп)} фундаментальна в Е. Так как пространство Е полно, то эта последовательность сходится. Полагаем
р(£,7?) = lim р(х„,уп).
п—► ОО
Если {х'п} и {у'п} — другие представители классов £ и г) соответственно, то, применяя снова неравенство (1.1), получаем
|Р{х'п,Уп) - р(Хп,Уп) | < р{х'п,Хп) + р(Уп,Уп) —*■ О (П -* ОО),
т.е. limр(х'п,у'п) = limр(хп,уп)- Это значит, что функция р не зависит от выбора представителей классов £ и rj.
Покажем, что р удовлетворяет аксиомам метрики. Если £ = г] то, очевидно, р(£, rj) = 0. Пусть р(£, rj) = 0. Тогда limp(xn, Уп) = 0, т.е. {хп} ~ {уп}, что означает £ = г/. Симметрия р сразу следует из симметрии р. Пусть
15


f, 77, С G 97t, {in}, {з/n}, {^n} — представители этих классов. В силу неравенства треугольника для Ш р(хп, уп) ^ p(^n, zn) + p(zn,yn). Переходя здесь к пределу при п —> оо, получаем
Ж.»?) < Ж,С) + Ж,*/)>
т.е. справедливость неравенства треугольника для р.
Таким образом, (Ш1, р) — метрическое пространство.
Покажем, что Ш изометрично вкладывается в Ш. Для х G Ш обозначим через G 1 класс, содержащий последовательность
х — (х, х,..., х,...). На самом деле класс £х содержит все последовательности, сходящиеся к х :
(Хп * х) =Ф> (р(Хп,х) ► 0) ({Хп} х) ^{xn} G
Верно и обратное: если {хп} G то {хп} ~ х, т.е. р(хп,х) —► 0. Так как р{£х,£у) = р(х,у), то отождествляя класс G 971 с х G Ш мы изометрично погружаем Ш в ШТ. Таким образом, с точностью до изометрии ЭДТ С 971, т.е. 971 — подпространство 971.
Пусть ^ G и {хп} — произвольный представитель £. Для произвольного е > 0 найдем такое натуральное N, что для всех т,п > N р{хп, Хт) < £• Рассмотрим последовательность классов {£Жп} (каждый член которой мы отождествляем с хп). Пусть п > N. Так как /3(£Хп,£) — = lim p(xn,Xm) ^ £, то 6сп(= хп) —> £ в 971. Итак, 971 плотно в 971.
т—+ оо
Докажем полноту 971. Пусть {£^} — фундаментальная в 971 последовательность. Так как 971 плотно в 971, то для каждого /с найдётся такое х^ G 971, что /d(£a.(fc),f^) < Применим неравенство треугольника:
p(*(fc),*<”*>) = + Ж(А°,£(т))+
+ /3(£(m) >£*<">)) < i + ^ + ,3(£(fe),£(m)) —> 0 (m, к —> oo).
Таким образом, последовательность {xn} фундаментальна в 971. Следовательно, существует класс £ G 971, содержащий её. Так как
Ж(*\!) < + Ж*„.0 - о (fc -> 00),
т. е. —> £ в 971, то полнота 971 доказана.
Пусть 971 — другое полное метрическое пространство, содержащее 971. Пространство Ш должно содержать все пределы фундаментальных последовательностей точек из 971. Отождествляя каждый такой предел х* с классом эквивалентных фундаментальных последовательностей, сходящихся к х*, получаем, что 971 С 971. Таким образом, 971 есть искомое пополнение 971.
16


Теорема доказана.
Заметим, что пополнение единственно с точностью до изометрии. Внешне различные пополнения могут различаться лишь описанием элементов. Часто удается описать пополнение, исходя непосредственно из определения (как, например, в случае с Q и 1). Удобно для применения следующее утверждение.
Упражнение 1.26. Пусть 91 — подпространство полного метрического пространства ffl. Тогда пополнением 91 метрического пространства 91 является его замыкание с/ 91.
1.6. 	Принцип вложенных шаров. Последовательность {Bn}^Li шаров пространства Ш называется вложенной, если Вп+1 С ВПу п = 1,2,...
Теорема 1.3. (принцип вложенных шаров). Следующие утверждения эквивалентны:
1) пространство Ш полно;
2) любая последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.
Доказательство. 1. Пусть пространство Ш полно и {В[хп, rn]}??=i — произвольная последовательность замкнутых вложенных шаров. Последовательность центров {xn}^Li фундаментальна, так как
р(хп,хт) ^ тах{гп,гт} —► 0.
В силу полноты существует х = lim хп Е 9Я. Так как каждый из шаров содержит всю последовательность центров, кроме, может быть, конечного их числа, то х — предельная точка каждого из шаров. В силу замкнутости
оо
шаров х £ В[хп,гп\ для всех п £ N, т.е. Р| В[хп,гп] ф 0.
П — 1
2. 	Пусть имеет место утверждение 2) и {xn}5K=i —произвольная фундаментальная последовательность. Найдем такой номер щ, что р(хП1, хп) < \ для всех п > щ. Пусть уже выбраны номера Пк > rik-i >
> ... > П2 > щ так, что p(xni, хп) < для всех п > щ, i = 1,..., к. Номер Пк+1 > Пк выберем так, чтобы р(хПк+1, хп) < для всех п > Пк+ъ Так получим подпоследовательность {хПк С {£п}^1, обладающую свойством:
р{хпк,хп) < для всех п > Пк. (1-Н)
Рассмотрим замкнутые шары В к = В[хПк, ], к = 1,2,... (Заметим, что радиусы шаров по сравнению с правой частью (1.11) увеличены вдвое.)
17


Покажем, что последовательность шаров — вложенная. Пусть
х G Bk+1. Это значит, что р(хПк+1,х) ^ так что в силу (1.11) и неравенства треугольника
р{хпк->х) ^ р{хпк 1 Xnk + i) 4“ р(Хпк+1) х) ^ = 2^ — 1 ’
т.е. х G Bk- Итак, Bfc+i С Вк, к = 1,2,..., что и утверждалось.
По условию существует точка х G Ш1, принадлежащая всем шарам Вк- Так как p(xnfc,x) ^ ~*> 0, то х = lim хПк. Согласно упражнению 1.23,
к —► оо
х = lim жп. Таким образом, произвольная фундаментальная последовать —► оо
тельность из 9Я имеет предел в 971, т.е. пространство 971 полное.
1.7. 	Принцип сжимающих отображений. Пусть (971, р) — метрическое пространство. Отображение V : 971 —» 971 называется сжимающим или сжатием, если существует такое а, 0 ^ а < 1, что для любых х,у еш p(V(x),V(y)) < ар(х,у).
Покажем, что сжимающее отображение непрерывно.
Действительно, пусть V — сжатие, хп —► х, т.е. р(хп,:г) —► 0.Тогда Р(хп) —► Р(ж), таккакр(Р(жп),^(20) ^ ар(хп,х) —► 0, p(V(xn), V(x)) —►О.
Точка х G 971 называется неподвижной точкой отображения Р : 971 —► 971, если выполняется равенство V(x) — х.
Нижеследующая теорема С.Банаха является мощным средством для доказательства теорем существования решения различных уравнений.
Теорема 1.4. (принцип сжимающих отображений). Пусть отображение V переводит полное метрическое пространство 971 в себя и является сжимающим. Тогда существует единственная неподвижная точка этого отображения. Эта точка является пределом последовательности {хп} приближений, определяемых равенством
Xn — V{xn-1), П — 1,2,..., Хо G 971 — (1-12)
произвольно.
Доказательство. Выберем произвольно хо и построим последовательность {хп} согласно равенству (1.12).
Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Применяя п раз определение сжимающего отображения, получаем
р{Хп+1 > Хп) — р(Т*{Хп) ? ^Р{Хп— 1)) ^ Qp(Xni Хп — 1) ^ ОС р{хп— 1 > Хп—2) ^ • • •
^ апр(х 1,х0). 18


Пусть т > п. Применим т — п раз неравенство треугольника и только что установленное неравенство. В итоге
р(Хп,Хт) ^ р(Хп,Хп+1) + р(Хп+1,Хп+2) + • • • + р(х т — 1» Хт ) ^ ^ (ап + an+1 + ... am_1)p(xi,xo) =
при п —► оо, так как а < 1. Значит, p(xn,xm) —+ 0, т.е. последовательность {xn}£L 1 фундаментальна. В силу полноты Ш существует х = lim xn G 9Я.
Так как отображение V непрерывно, то предельный переход в (1.12) даёт: х = V(x) т.е. х — неподвижная точка V.
Предположим, что у — ещё одна неподвижная точка, Тогда
позволяющую остановить процесс (1.12) при достижении нужной точности. Примеры применения теоремы Банаха
1.7.1. 	Решение скалярных уравнений. Пусть функция ip : [a, b] —► [a, 6] удовлетворяет условию Липшица с константой С < 1. Тогда уравнение
имеет единственное решение х* Е [а, 6], которое может быть получено как предел последовательности приближений
Покажем, что выполнены все условия теоремы 1.4
Полагаем Ш = [а,6], р(х,у) = \х — у|, V(x) = <р(х). Так как [а,Ь] — замкнутое подмножество Е, то по теореме 1 Ш — полное метрическое пространство, причем V переводит Ш в себя. Согласно условию Липшица
р{х, у) = p{V{x),V(y)) s; ар(х, у), (1 - а)р(х, у) < О,
откуда р(х, у) = 0, т.е. х = у.
Этим доказана единственность неподвижной точки.
Устремив в неравенстве p(xn, xm) < j^p{xi,xo) гп к оо, получим полезную оценку
X = <р(х)
(1.14)
xn = ip(x„-1), п = 1,2,..., х0 € [а,6].
(1.15)
p(V{x),V(y)) = |у>(ж) - ¥>(у)| < С\х -у\= ар(х,у) (а = £ < 1),
т.е. Р — сжатие.
19


По теореме 1.4 ж* = lim хп — единственное решение уравнения (1.14).
п—+оо
Напомним, что условие Липшица с константой меньше 1 будет выполнено, если выполнено следущее, легче проверяемое условие: функция </?(•) имеет на [а,Ь] производную, причем \(р'(х)\ < q < 1.
Если скалярное уравнение записано в форме
/(ж) = 0, где / : R —► R, (1-16)
то ему в некоторых случаях (см. ниже) можно придать вид (1.14), причем будут выполнены все требования, которые выше предъявлялись к </?.
Пусть уже установлено, что на интервале (а, Ь) имеется в точности 1 корень уравнения (1.16) и выполнено одно из условий
О < Q ^ f'(x) ^ Q или 0 < -q ^ -f'(x) < -Q. (1-17)
Перепишем уравнение(1.16) последовательно в формах
-А/(ж) = 0, х = х - Af(x) = <р(ж),
т.е. в форме (1.14).
Покажем, что с помощью неравенств (1.17) можно подобрать параметр А так, чтобы выполнялись условия
1) (р переводит [а,Ь] в себя; 2) (х)\ < а < I. (1-18)
Пусть, например, выполнено первое из неравенств (1.17) и А > 0. Тогда
1 — AQ ^ (р'(х) = 1 — Af'(x) ^ 1 — Aq
Возьмём в качестве А точку минимума функции
h(X) = max{|l — Ag|, |1 — А<2|},
т. е. А* — (см. рис. 2); тогда получим, что на [а, Ь] выполняется неравенство
20


Рис.2
И*>1«< 1,
откуда следует второе из условий (1.18). Так как уравнение х единственное решение вместе с уравнением (1.16), то
а < (р(а), b > (р(Ь).
Это означает, что [у>(а), <р(Ь)] С [а, 6], то есть выполняется первое из условий (1.18).
1.7.2. 	Решение системы линейных алгебраических уравнений.
Пусть А = (o>i,k)™k=i ~~ вещественная п х n-матрица, b =
= (bi, &2,..., Ъп)т — вещественный п-мерный вектор (Т — знак транспонирования). Рассмотрим в пространстве э систему
х = Ах + b (1.20)
(Напомним, в RJd р(х>у) — max Iхк — Ук|.) Полагаем
m = m”о, г(х) = Ах + ь.
Как отмечалось, 9Я — полное метрическое пространство, отображение V, очевидно, переводит Ш в себя. Остаётся выяснить, при каких условиях V — сжимающее отображение.
21
(1.19)
= (р(х) имеет


Пусть х,у £ MSo5 через (Ах){ обозначим г-ую компоненту вектора
гг
Ах, {Ax)i = X) «ifeXfc.
fc=l
р(^(а:),^(у)) = max |((Ла:)< + bi) - ((Ay)i + Ь»)| =
= max
1 <г^п
^ ^ O'ik {Хк У к)
^ max V \(цк\ • |xfc - yfc| ^
1 < i <L т. •
1^г<п
fc=l
шах |хк — ук\ - max V' |a»fc| = ар{х,у),
1^г^п '
Таким образом, если
n
^ ^ l^ifc I < 1> i — 1,2,..., n, (1.21)
fc=i
то P —сжимающее отображение. По теореме 1.4 система (1.20) имеет единственное решение, которое может быть найдено как предел последовательности приближений
хп+1 = Ахп + Ь, Ti — 1,2,... хо Е Rn — произвольно (1.22)
Упражнение 1.27. Рассмотрите систему (1.20) в пространстве R?
и покажите, что если
п
^^|ajfc|<l для k = 1,2,...,п, (1-23)
г=1
то V —сжатие, и решение системы можно найти с помощью процесса (1.22).
Упражнение 1.28. Рассмотрите систему (1.20) в пространстве Rp (1 < р < -boo); с помощью неравенства Гёльдера получите условие, при котором V — сжатие.
Упражнение 1.29. Запишите в виде (1.20) систему уравнений Вх = с где с,х Е Rn, В = {bik)^k=\ ~ вещественная п х п-матрица, обладающая одним из свойств
| Ьц | > ^ ^ ^ — 1,2,. ..,72,
k^i
22
(1.24)


или
|Ьк*|>£|Ы *=l,2,...,n (1.25)
1фк
(в этих случаях говорят, что матрица В обладает свойством строгого диагонального преобладания), так, чтобы выполнялось одно из представленных выше условий.
1.7.3. 	Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрим задачу
х = f(t, х), x(t0) = хо, (1-26)
где / : G —► М определена и непрерывна в открытой области G С R2, (£о,жо) £ G и удовлетворяет в ней условию Липшица по второму аргументу:
\f(t,x) - f(t,y)\ L\x — у\.
Покажем, что найдётся такое h > О, что на [to — h, to + h] существует единственное непрерывно дифференцируемое решение x(t) задачи (1.26).
Пусть Go С G, clGo С G, (£о,^о) Е Go. Тогда по теореме Вейерштрасса
найдется такое М, что |/(£,х)| ^ М для всех (t,x) Е clGo. Подберем h > О
так, чтобы выполнялись условия
1) 	Lh < 1; 2) П = {(£,х) : 11 - to| < h, |х - хо| < Mh} С Go.
Рис.З
23


В качестве полного метрического пространства Ш возьмем шар В[хо, Mh\ пространства С [to — h, to + h] непрерывных на отрезке [to — h, to + h\ функций (Ш состоит из непрерывных функций, графики которых целиком лежат в П, см. рис. 3); полнота Ш следует из теоремы 1.1.
Задача (1.26) эквивалентна интегральному уравнению
^ L\t - t0\p(x,y) ^ Lhp(x, у).
Так как Lh < 1, то V — сжатие.
По теореме 1.4 уравнение (1.27), ас ним и задача (1.26) имеет единственное решение, которое можно найти с помощью итерационного процесса
Xn+i(t)=x0+ /(s,Xn(s))ds, 72 = 0,1,2,... x0(t)=x0. (1-28)
Так как подынтегральная функция в (1.27) непрерывна, то х(-) — непрерывно дифференцируемая функция.
1.7.4. 	Линейное интегральное уравнение Фредгольма. Так называется уравнение относительно неизвестной функции х(-)
где ядро К : [а, Ь]2 —* R — непрерывная на [а, Ь]2 функция, у : [а, Ь] —► R — заданная непрерывная функция, А — параметр.
Покажем, что при достаточно малом значении А и любой непрерывной у(-) уравнение (1.29) имеет единственное непрерывное решение.
В силу непрерывности ядра существует такое М > 0, что
\K(t,s)\ ^ М. Полагаем Ш = С[а,Ь], 'Р(х) = А K(t, s)x(s) ds 4- y(t).
24
Полагаем V(x) = хо + /to ds- Пусть X E Ш. Тогда
(1.27)
следовательно, V(x) G Ш, т.е. V переводит Ш в себя. Далее,
to
(1.29)


По теореме о непрерывной зависимости интеграла Римана от параметра V переводит Ш в себя. Далее, для любых х, z G Ш
p(V(x),V(z)) = max |л f K(t, s)x(s) ds + y(t) — t£[a,b] | Ja
nb I pb
—A / K(t, s)z(s) ds — y(t) ^ max |A| / \K(t, s)| • \x(s) — z(s)| ds ^
Ja I te[a,b] Ja
^ |A| • (b - a) • M ■ p(x,z), следовательно, если |A| • M • (b — а) < 1, т.е. если |А| <
М{Ь-аУ
то V — сжатие. По теореме 1.4 уравнение (1.29) имеет единственное решение х G С[а, 6].
1.7.5. 	Линейное интегральное уравнение Вольтерры. Так называется уравнение относительно неизвестной функции х( )
x(t) — A f K(t,s)x(s) ds + y(t), (1.30)
J a
где ядро определено и непрерывно в треугольнике а ^ s < t ^ b,
у : [а, Ь] —► R — заданная непрерывная функция, А — параметр.
Уравнение (1.30) может быть записано в виде уравнения (1.29) с ядром K(t,s) = K(t,s) для a^s^t^b и K(t,s) = 0 для t > s. Однако, как показывает нижеследующее, делать это нецелесообразно.
С помощью следу щей модификации теоремы Банаха мы покажем, что уравнение (1.30) при любом А и любой непрерывной у(-) имеет единственное непрерывное решение.
Теорема 1.5. Пусть отображение V переводит полное метрическое пространство Ш в себя, и найдется такое п Е N, что V71 — сжатие. Тогда V имеет в Ш единственную неподвижную точку, которая является пределом последовательности (1.12) (степень Vй отображения V определяется индуктивно:
Pn(x) = V(Vn-\x)), п = 2,3,...)-
Упражнение 1.30. Докажите теорему 1.5.
Полагаем
Ш
= C[a,b], V(x) — X f K(t, s)x(s) ds + y(t). J a
Таким образом, любое непрерывное решение уравнения (1.30) является неподвижной точкой отображения V.
25


Каждой непрерывной функции х( ) V ставит в соответствие непрерывную функцию (Р(х))(-), следовательно, V переводит Ш в себя. Далее,
|(Р(ж))(*) - ('P(z))(t)| <
^ |Л| f |K(t, 5)| • |x(s) — ^(s)| ds < |Л|M(t - a)p(x, z).
J a
Покажем, что для любого n Е N имеет место оценка
|(7>n(*))(i) - {Vn{z)){t)\ < |ЛГЛ/”(,< ' (1.31)
Для п = 1 оценка (1.31) уже доказана выше. Пусть оценка (1.31) верна для некоторого п. Тогда
\(Vn+1(x))(t) - (Vn+1(z))(t)\ <
< |A|jT \K{t,s)\ • |(Pn(x))(S) - (7>"(г))(в)|л <
^,х1,ЖМп , , /“, , |ЛГ+1Мп+1(<-а)п+1 , ч
п, Р(ж,г) J (s-a) ds= p(z,2),
т.е. неравенство (1.31) верно для n + 1. По индукции оценка (1.31) верна для любого п Е N.
Из (1.31) следует
лпп, Л ^ ^ / тМ(Ъ-а))п , Л p(V (x),V (z)) ^ p(x,z).
сп
Так как при любом с — —> 0 при п —» оо, то для любого а < 1 найдет- (|Л)| М(Ъ — а))п
ся такое п Е N, что j ^ а < 1. При таком п отображение
п!
V71 является сжатием. По теореме 1.5 ? имеет единственную неподвижную точку, а уравнение (1.30) имеет единственное непрерывное решение.
1.8. 	Сепарабельные метрические пространства. Метрическое пространство Ш называется сепарабельным, если в нем есть счетное всюду плотное множество D. Например, пространство R вещественных чисел с р(х,у) = \х — у\ сепарабельно, счетное всюду плотное множество в нем D = Q — множество рациональных чисел. Пространство KJJ сепарабельно, D — Qр — множество векторов с рациональными компонентами.
Пространство С[а,Ь] непрерывных функций сепарабельно, счетное всюду плотное множество D в нем обазуют многочлены с рациональными коэффициентами .
26


Действительно, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса для любого е > 0 и любой непрерывной на [а, Ь] функции #(•) найдется такой многочлен р(-), что р(х,р) < §; далее, найдется такой многочлен q(’) с рациональными коэффициентами, что p(p,q) < §. Таким образом, p(x,q) < p(x,p)+p(q,p) < е.
Упражнение 1.31. Докажите, что пространства последовательностей 1Р (1 ^ р < оо), с, со, s сепарабельны.
Приведем признак несепарабельности метрического пространства.
Теорема 1.6. Если существуют несчетное множество S С Ш и такое число а > 0, что для любых различных элементов х,у Е S
р(х, у) ^ а, то метрическое пространство Ш несепарабельно.
Доказательство.Пусть D — произвольное всюду плотное в Ш множество. Построим отображение / : S —► D следующим образом. Каждому х Е S поставим в соответствие такой элемент f(x) Е .D, что р(х,/(х)) < j. Так как D всюду плотно в 9Я, то такой элемент f(x) найдется. Покажем, что отображение / инъективно. Пусть х ф у. Предположим, что f(x) = f(y). Тогда
а ^ р(х, у) s? р(х, f{x)) + p(f(x), f(y)) + p(f(y), 2/)<f+0+f = |a-
Полученное противоречие доказывает инъективность /.
Таким образом, несчетное множество S эквивалентно части множества D. Значит, D несчетно. Следовательно, пространство 9Л несепарабельно.
С помощью доказанной теоремы покажем, что пространство М[а, 6] ограниченных функций несепарабельно.
Пусть S = (J {хс(-)}> гДе xc(t) = 0 при t ф с, хс(с) = 1. Очевидно,
с€[а,Ь]
S несчетно, S С М[а, 6], и для любых различных х и у р(х,у) = 1. По теореме 1.6 М[а,Ь] несепарабельно.
Упражнение 1.32. С помощью теоремы 1.6 докажите, что пространство loo несепарабельно.
1.9. 	Компактные множества. Пусть (971, р) — метрическое пространство. Множество А С Ш называется компактным, если любое его бесконечное подмножество В С А имеет в А предельную точку. Это определение эквивалентно следующему: множество А компактно, если любая последовательность {хп} С А его элементов содержит сходящуюся в нем подпоследовательность .
27


Так как конечнное множество не может содержать бесконечного подмножества, то по определению полагаем все конечные множества компактными.
Из определения компактности следует, что компактное множество замкнуто.
Действительно, пусть А компактно и хо — его предельная точка. В А найдется последовательность {хп}, сходящаяся к хо. По определению компактности хо € А. Следовательно, А замкнуто.
Множество А С Ш называется относительно компактным, если его замыкание с/ А компактно.
Из теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. курс математического анализа) следует, что ограниченное (ограниченное и замкнутое) множество пространства Шр относительно компактно (компактно).
Пусть А С Ш. Скажем, что множество В С ПЯ — е-сеть для А, если для любого а Е А найдется такое b Е В, что р(а, Ь) < е.
Множество А С Ш называется вполне ограниченным, если для любого е > 0 в Ш существует конечная г-сеть для А.
Покажем, что вполне ограниченное множество ограничено.
В самом деле, пусть множество А С Ш вполне ограничено и В = {&1,62, • • •, Ьп} —1-сеть для А. Для х Е А найдется такое bk, что
п
р(х, bk) < 1, т.е. х Е В [6/е, 1]. Таким образом, А С (J В [bk, 1]. В силу упраж-
к= 1
нения 1.9 А ограниченное множество.
Понятие компактности можно отнести и к самому Ш. Компактное метрическое пространство называется компактом.
Следующая теорема Хаусдорфа представляет собой критерий относительной компактности множества в метрическом пространстве.
Теорема 1.7. Для того, чтобы множество А С Ш было относительно компактным, необходимо, а если пространство DR полно, то и достаточно, чтобы множество А было вполне ограниченным.
Доказательство. Необходимость. Пусть А относительно компактно. Предположим, что А не является вполне ограниченным. Это означает, что для некоторого во не существует конечной £о-сети.
Для любого ai Е А найдется такой элемент аг Е Л, что p(ai,fl2)^£o (ибо в противном случае {ai} — ео-сеть для Л, состоящая из одного элемента, что противоречит предположению). Пусть уже выбраны такие элементы ai, a2,afc, что p(ai,aj) ^ £о при г ф j. Тогда найдется такой
28


элемент a,k+1, что p(a*, a^+i) ^ £o для i = 1,2,..., к (ибо в противном случае {oi, a2,...,a*} — £о-сеть для Л). Таким образом, получаем бесконечную последовательность которая не имеет предельной точки, так как
p(ai,afc) ^ £о при i ф к. Это противоречит относительной компактности множества Л. Значит, множество А вполне ограничено.
Достаточность. Пусть Ш полно, А С Ш вполне ограничено, С — произвольное бесконечное подмножество из Л, С\ — {xi, Х2, • • •, хП1} — конечная 1-сеть для Л. Рассмотрим шары B[xk, 1], к = 1,2, Эти
шары покрывают все Л. Так как их конечное число, то по крайней мере один из них содержит бесконечное множество точек из С. Пусть это будет шар В[уг,1] (у\ — Хк при некотором к). Для В[у\,1\ строим ко¬
нечную |-сеть и около каждого из ее элементов опишем шар радиуса Один из этих шаров содержит бесконечное множество точек из С; обозначим его В[у2, |]. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем на к-м шаге шар В к = В [у к, р-т], содержащий бесконечное множество точек из С (к=1,2,...). Шары В к = В [у к, имеют вдвое больший радиус, так¬
же содержат бесконечное множество точек из С и, кроме того, являются вложенными: если у £ Вк+1, то р(у,ук+1) ^ поэтому
р{У,Ук) ^ p{y,yk+i) +р(Ук+1,Ук) < 2^1 + 2^1 = 2^’
т.е. у £ Вк, Bk+i С Вк В силу принципа вложенных шаров (Ш полно!), существует х £ В к, к = 1,2,... Так как каждый из шаров содержит бесконечное множество точек из С, то х — предельная точка множества С. Итак, произвольное бесконечное подмножество из Л имеет предельную точку. Следовательно, Л относительно компактно.
Теорема доказана.
Следствие 1.1. Компактное пространство сепарабельно.
Доказательство. Пусть Ш — компакт и Сп — ^-сеть для Ш. Тогда
оо
D = (J Сп — счетное всюду плотное множество в Ш.
п—\
Следствие 1.2. Для того, чтобы множество в М™ было относительно компактным (компактным), необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным (ограниченным и замкнутым).
Доказательство. В части достаточности следствие представляет собой процитированную выше теорему Больцано-Вейерштрасса. Необходимость
29


вытекает из теоремы Хаусдорфа, так как вполне ограниченное множество ограничено.
Следствие 1.3. Для того, чтобы множество А С Ш было относительно компактным, необходимо, а если Ш полно, то и достаточно, чтобы для любого £ > 0 в Ш существовала относительно компактная £-сеть для А.
Доказательство. Пусть В — относительно компактная |-сеть для А, С — конечная §-сеть для В.Тогда С — конечная £-сеть для А.
1.10. 	Критерий компактности множества в пространстве непрерывных функций С [а, Ь]. Множество Ф С С [а, Ь] называется равномерно ограниченным, если существует такая константа К, что |х(£)| ^ К для всех t € [а, 6] и для всех х € Ф. Равномерно ограниченное множество лежит в шаре В[0, К], и следовательно, является ограниченным в С[а, Ь].
Множество Ф называется равностепенно непрерывным, если для любого £ > 0 найдется такое S > 0, что для всех t', t" £ [а, 6], таких, что \tf —1”\ < 5, и для всех х Е Ф выполняется неравенство |x(t') — x(t")\ < £. Запишем это определение с помощью логических символов:
(\/£ > 0) (3<5 > 0) Е [а, 6]: \t! - t"\ < S) (Vx £ Ф) (|x(t') — x(t")\ < £).
Отрицание равностепенной непрерывности будет выглядеть так:
(3£о > 0) (V<5 > 0) t” е [а, Ь]: \t' - t”\< S) (Зх0 € Ф)
(|ж0(0 - Жо(*")| > £о)- (1-32)
Рассмотрим пример. Пусть Ф = {sina£}aeR С С[0,7г]. Множество Ф равномерно ограничено (К = 1), однако оно не является равностепенно непрерывным. Пусть £о — 1, S > 0 произвольно, t' = 0, t" — |, xo(t) = sinaot, ао = j. Тогда 11' — t"| = | < 5, \xo(t') — xo(t") \ = |0 — sin J • || =sin \ = 1.
Согласно (1.32) Ф не является равностепенно непрерывным.
Напротив, множество Ф = {sinatf}a€[-ioo,ioo] равностепенно непрерывно: для произвольного £ > 0 полагаем д = Тогда, если \tf — t"\ < S, то с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем
| sinatf' — sina^'l = lacos^f' — tn)\ ^ 100 • = e.
Согласно определению множество Ф равностепенно непрерывно.
Нижеследующая теорема Арцела представляет собой критерий относительной компактности множества в пространстве С [а, Ь].
30


Теорема 1.8. Для того, чтобы множество Ф С С[а,Ь] было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Доказательство. Необходимость. Пусть множество Ф С С [а, Ь] относительно компактно. Тогда согласно теореме Хаусдорфа оно вполне ограничено, а значит и равномерно ограничено. Докажем его равностепенную непрерывность.
Пусть е > 0 произвольно, и A — {oi,аг, • • •, ап} — |-сеть для Ф. Каждая из функций Ofc(-) равномерно непрерывна на [а, 6], поэтому найдутся такие 6k, что если 11' — t"| < 6k, то
|ofc(t') - afc(£")| < |, к = 1,2,... ,n. (1.33)
Полагаем 6 = min 6k- Тогда, если \tf — t"\ < 6, то выполнены неравенства
l^k^n
(1.33).
Пусть x(') — произвольная функция из Ф. По определению £-сети найдется такая а/е0(-) Е А, что р(х,а*;0) < §• Это значит, что для всех t Е [a, b] выполняется неравенство
И<) -ofc0(t)| < |. (1.34)
Учитывая (1.33), (1.34), получаем при условии \t' — t"\ < 6 :
|x(t') - x(t")| ^ |s(t') - Ofc0(t')| + |ofc0(f/) - afco(*”)| + \ak0(t") - x(t") | <
see <3 + 3 + 3~£- Этим равностепенная непрерывность Ф доказана.
Достаточность. Пусть множество Ф равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, £ > 0 произвольно и К и <5 из определения равномерной ограниченности и равностепеннной непрерывности.
Разобьем отрезок [а,Ь] на части [tk,tk+i], длиной меньше <5, а отрезок [—К, К] оси ординат на части, длиной меньше е, и проведем соответствующие вертикальные и горизонтальные прямые. Рассмотрим множество ломаных с узлами в узлах полученной сетки. Этих ломаных — конечное число. Для произвольной функции х(') Е Ф рассмотрим непрерывную кусочно-линейную функцию у(-) (её графиком служит одна из указанных ломаных), отстоящую от ж(-) в узлах сетки менее, чем на е. Из неравенств
\x(tk) - x(tk+i)\ < £, \y{tk) - x(tk)\ < е, |y(tk+i) - x(tk+i)\ < e
31


следует
|y(tk) - y(tk+1)| < Iy(tk) - x(tk)\ + \x(tk) - x(tk+l)\ + \y(tk+l)-x(tk+i)\<3£.
Так как y(-) линейна на отрезке [tk, tk+1], то для всех t £ [tk, tk+i] выполняется неравенство \y(t) — y(tk)\ < 3s.
Пусть t € [a, b\ и tk — ближайший к t слева узел сетки. Тогда
Ix(t) - y(t)\^ \x(t)-x(tk)\ + \x(tk)-y(tk)\ + \y(tk) - y(t)\<£ + £ + 3£ = b£. x
к
-к
Рис.4
Таким образом, множество ломаных с узлами в узлах сетки (точнее, кусочно линейных функций) образует конечную 5^-сеть для Ф. По теореме Хаусдорфа Ф относительно компактно.
Теорема доказана.
Если множество Ф С С [а, Ь] состоит из дифференцируемых функций, то из теоремы Арцела получаем следующее достаточное условие относительной компактности.
Теорема 1.9. Пусть функции из Ф С С[а, 6] дифференцируемы, существуют такие постоянные Мо и М\, что |ж(а)| ^ Mo, \x'(t)\ ^ М\ для всех х G Ф и t € [а, Ь]. Тогда множество Ф относительно компактно.
Упражнение 1.33. Докажите теорему 1.9.
32


Упражнения
Аксиомы метрики. Шары. Сходимость. Замкнутость
1.34. Какой должна быть непрерывная функция / : R —► R (определенная на всем R), чтобы метрику на R можно было определить равенством р(ж, у) = |/(х) — f(y)|? Удовлетворяют ли этому условию функции а) /(ж) = arctg х; б) /(ж) = ех; в) /(ж) = ж3; г) f(x) = tg ж; д) /(ж) = ж2?
1.35. Какой должна быть непрерывная функция / : R+ —► R+, чтобы метрику на R можно было определить равенством р(ж, у) =
= /(|ж — 2/|)? Удовлетворяет ли этому условию функция /(ж) = arctg х?
1.36. Можно ли на множестве непрерывных ограниченных на R функций ввести метрику равенством р(х,у) = sup|a;(£) — у(£)|?
£€К
1.37. Можно ли на множестве непрерывных на R функций, обладающих
свойством lim x(t) = 0, ввести метрику равенством р(х,у) = sup|a;(t) — y(t)\? г~^°° teR
1.38. Можно ли на множестве непрерывных на R функций ввести мет-
рику равенством р{х, у) = -»(])!?
1.39. Можно ли на множестве непрерывных на R функций ввести метрику равенством
°о л тах|ж(£) - y(t)\
v-л 1 \t\^k
р(х,У) = 2^ 2*i
+ maxlx(t) — y(t)| *
1.40. 	Можно ли на множестве бесконечно дифференцируемых на [а, 6] функций ввести метрику равенством
о° , max>(fc)(£) -y(k)(t)\
<*».»> =
2k 1 -f max |x(k)(t) — y^(t) \
1 t£[a,b]
1.41. Можно ли на множестве аналитических в круге \z\ < г
(О < г ^ +оо) функций ввести метрику равенством
°о max \x{z) — у(г)|
/ ч _ 1 \z\^rk
PKX'V>-{^2*1+ mBx\x(z)-y(z)\
\z\^rk
(Гк —► т возрастающая последовательность).
1.42. Является ли метрикой на множестве всех числовых последова- тельностей функция р(х, у) = sup
33


1.43. Являются ли метриками на множестве натуральных чисел N функции
а) р(т,п) = |i - 1|;
б) р(га, п) = 0, если т — п\ р(т, п) = 1 + mj|_n, если тфпЧ
1.44. Можно ли на множестве Z целых чисел ввести метрику равенством p(n,m) = |e*n-eim| (г2 = -1)?
1.45. Пусть (ЯЯ,р) — метрическое пространство. Будет ли метрическим пространством, если
а) d(X’V) = !+$&)-’
б) d(x,y) = 1п(1 + р(х,у));
в) d(x,y) = min{l,p(a:,2/)};
г) d(x,y) = h(p(x,у)), где h : [0, +оо) —*• [0,+оо) — непрерывная строго возрастающая функция такая, что
/i(0) = 0, h(t 4- 5) ^ h(t) + h(s) (£, s ^ 0);
д) d(x,y) = arctg p(x,y)7
1.46. Изобразите на одном рисунке шары В[0.1] в пространствах
R2 тгь 2 тп) 2 2, Mj, IK-oo•
1.47. Что представляет собой шар #[0, г] пространства С[0,1]? а шар В [со, г] пространства С [а, 6], где со € С [а, 6]?
1.48. Что представляют собой открытый и закрытый шары в пространстве примера 8?
1.49. Докажите, что в любом метрическом пространстве имеет место включение с1В(хо,г) С В[хо,г]. Приведите пример, когда это включение строгое.
1.50. Приведите пример такого метрического пространства, в котором шар большего радиуса составлял бы правильную часть шара меньшего радиуса.
1.51. Сходятся ли последовательности a) xn(t) = tn; б) xn(t) = e~tn\
в) 	Xn(t) = te~nt\ г) xn(t) = tn - tn+1; д) x„{t) = e) xn(t) - 1+*а„а;
ж) 	xn(t) = !_|_^2n2; в пространстве C[0,1]? А в пространстве M[0,1]? Если какая-либо из этих последовательностей не сходится в С[0,1], то сходится ли она в пространстве С[8, 1] (С[0, 1 — 5]) при достаточно малом 8 > 0? Если да, то укажите такое 8.
1.52. Сходятся ли последовательности
[ 0 для t £ (i,lj ;
34


6)*<«>-{ г;,"10'-1’
[ 0 ддяt е (1,1] ;
В>*.(0 = 1 ^ даЯ^
\ 0 для t е (i,l] ;
г) «„(*) = { ^(1-п<) для* €[0,1], впространствеС[01]?
I 0 для* € (1,1]?
1.53. 	Сходится ли последовательность
х^
\ V2 у/а )
в пространствах Zi, /2, /3, /с», с, со?
1.54. 	В каких из метрических пространств
1Р (1 ^ р < -boo), /00, со, с, s
сходятся последовательности
а) ж(п) = (1,2,...,п,0,...);
б) x(n) = (1,..., 1,0,...);
= (i,... До,...);
\П /
п2
е) х(п) = (е,е2,...,еп,0,...);
ж) а:^п) = (е-1,е~2,... ,е_",0,...)?
1.55. Пусть {xfcK°=i — произвольная последовательность комплексных чисел. Покажите, что последовательность финитных элементов x(n) = (xi,..., хп, 0,...) сходится в пространстве 5.
1.56. Приведите пример последовательности х^ =
= ^xjn\x2n\ • • •), которая принадлежала бы каждому из рассматриваемой пары пространств и:
а) сходилась в /оо, но не сходилась в /1;
б) сходилась в /оо, но не сходилась в /2;
в) сходилась в /2, но не сходилась в /1;
г) сходилась в со, но не сходилась в /1;
д) сходилась в со, но не сходилась в /2.
35


1.57. 	Докажите, что множество
А = {х G С[а, b] : |х(£)| < 1, t G [0,1]}
открытое.
1.58. Пусть М С М. Положим
Ам — {х G С[а, b] : х(£) G Мдля всех t G [а, 6]}.
Будет ли Лм
а) открытым, если М открыто;
б) замкнутым, если М замкнуто?
1.59. В пространстве С[а,Ь] рассмотрим множества
а) Фг = {х : с < x(t) ^ d, £ G [а, 6]};
б) Ф2 = {х : с < x(t) < d, t G [а, 6]};
в)Ф3 = {х : x(t) < g(t), t G [а, 6]}; ($ G С[а,Ь]);
г) Ф4 = {х : x(t) ^ $(*), t G [а, 6]}; ($ G С [а, 6]).
Есть ли среди этих множеств открытые? замкнутые?
1.60. В пространстве lp (р ^ 1) рассмотрим множества
а) Mi = {х = (xi,x2,...) : х*. > О, Л: = 1,2,...};
б) М2 = {х = (xi,x2,...) : х*: ^ 0, fc = 1, 2,...}.
Открыто ли множество Mi? Замкнуто ли множество М2?
1.61. Является ли замкнутым в пространстве С [а, 6] множество всех многочленов (без ограничения степени)? множество непрерывно дифференцируемых функций? множество кусочно линейных функций? множество функций ограниченной вариации? Являются ли эти множества плотными в С[а, 6]?
1.62. Множество 1\ есть, очевидно, подмножество fa . Замкнуто ли 1\ в Ь? Плотно ли h в /2?
1.63. Множество lp (1 ^ р < +оо) есть, очевидно, подмножество со. Замкнуто ли 1Р в со? Плотно ли 1Р в со?
1.64. Пусть 1° — множество
{х = (xi,x2, ...,хп,0,0...) : (п зависит х)}
финитных последовательностей. Убедитесь,что 1° принадлежит всем пространствам последовательностей: lp (1 < р < +оо), со ,с, s. Покажите, что 1° плотно в пространствах /р(1^р<оо), со, s.
1.65. Замкнуто ли множество рациональных чисел Q в пространстве R? А в пространстве (Q, р), где р(х, у) = |х — у\1
36


1.66. Замкнуто ли множество А = (л/З, л/8) П Q в пространстве (Q, р) (см. 1.65)? А в пространстве R? Открыто ли Л в (Q, р)? А в R?
Полнота. Сепарабельность. Категории
1.67. Покажите, исходя из определения, что последовательность а) xn(t) = tn\ б) хп(t) = e~nt не является фундаментальной в пространстве
С[ 0,1].
1.68. Проверьте с помощью определения являются ли последовательности из 1.52 фундаментальными в пространстве С[0,1]?
1.69. Являются ли полными метрические пространства из 1.34 а), б),
в)? Для неполных пространств укажите пополнение.
1.70. Какой должна быть функция /(•) из 1.34, чтобы метрическое пространство (R, р) было полным?
1.71. Являются ли полными метрические пространства из 1.36-1.42?
1.72. Являются ли полными метрические пространства из 1.43-1.44? Для неполных пространств укажите пополнение.
1.73. Если метрическое пространство (971, р) из 1.45 полное, то будут ли полными метрические пространства (9Я,с£)?
1.74. Докажите, что шар В[а,г] С Ш, (а € 971) есть полное метрическое пространство.
1.75. Докажите, что пространство Со (К) непрерывных на R функций х, обладающих свойством lim x(t) = 0, с метрикой
t—*oo
р(х,у) = sup|a;(t) — y(t)\,
t€R
(см. 1.36) является полным.
1.76. Пусть а ^ 0, Cot — множество непрерывных на [0,+оо) функций, удовлетворяющих условию
sup eat|x(£)| < оо с метрикой р(х,у) = sup eat\x(t) — y(t)\.
tG[0,+oo) te[0,+oo)
Докажите, что Са — полное метрическое пространство.
1.77. Пусть (Ш,р) и (91, d)— два полных метрических пространства. Положив на множестве Ш х 91
h((x,y),(x',y'))= p(x,x') + d(y, у1)
(см. упражнение 1.11), получим полное метрическое пространство. Докажите. Докажите также, что из полноты пространства (971 х 91, К) следует полнота пространств (971, р) и (91, с?).
37


1.78. Покажите, что если на множестве непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций ввести метрику
р(х, у) = max Ix{t) - y(t) |,
t£[a,b\
то получится неполное метрическое пространство.
1.79. На множестве непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций введем метрику р(х,у) = max |x(t) — y(t)I + шах Ix'(t) — y'(t)I; убедитесь,
t£[a,6] t£[a,b]
что p(*, •) удовлетворяет аксиомам метрики. Полученное метрическое пространство обозначается С^[а, Ь]. Докажите полноту этого пространства.
1.80. Покажите, что если на множестве непрерывных на отрезке [а, 6]
ai
г |x(t) — у(£)| dt) 2 , то получится
неполное метрическое пространство.
1.81. Является ли пространство всех числовых последовательностей из 1.42 сепарабельным? (Ср. 1.31.)
1.82. Назовем кусочно линейную непрерывную функцию (см. решение 1.61) конечно рационально-значной, если точки (tk,x(tk)) имеют рациональные координаты и их конечное число на заданном отрезке [а, 6]. Покажите, что множество L[a, b] конечно рационально-значных кусочно линейных функций образует счетное всюду плотное множество в пространстве С[а,Ь\.
1.83. Является ли метрическое пространство Со(М) из 1.75 сепарабельным?
1.84. На множестве Н функций х : [а, Ь] —► R, отличных от нуля на не
более, чем счетном множестве S(x) и таких, что сходится ряд ^ |я(^)|>
tes(x)
положим р(х,у) = |ж(£) — у(£)|,где S = S(x) U S(y). Получим ли мы
tes
в итоге метрическое пространство? Будет ли оно полным? Будет ли оно сепарабельным?
1.85. На множестве Н функций х : [а, 6] —► R, отличных от нуля на не более, чем счетном множестве S(x) и таких, что сходится ряд |ж(£)|2,
t£S(x)
положим р(х,у) = ( \x(t) ~ y(t)\2 } » гДе S = S(x) U S(y). Получим ли
\tes J
мы в итоге метрическое пространство? Будет ли оно полным? Будет ли оно сепарабельным?
1.86. Множество А метрического пространства Ш называется нигде не плотным, если любой шар В С ШТ содержит другой шар В\ С В, (не
38


вырождающийся в точку) такой, что В\ П А — 0. Непосредственно из определения следует, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание не имеет внутренних точек: intclA = 0. Множество нигде не плотно в том и только том случае, если его замыкание нигде не плотно.
Докажите:
а) канторово совершенное множество нигда не плотно;
б) множество точек, лежащее на прямой (в частности вся прямая) нигде не плотно на плоскости;
в) множество точек, лежащих в пространстве Rm, рассматриваемом как подпространство в Rn (га < п), нигде не плотно в Rn;
г) одноточечное множество в метрическом пространстве Ш нигде не плотно;
д) если М открытое всюду плотное множество в метрическом пространстве 9JI, то его дополнение М = Ш \ М — (замкнутое) нигде не плотное в 9Я множество;
е) если М нигде не плотное множество в метрическом пространстве Ш, то его дополнение М всюду плотно в 9Л;
ж) множество М = {х : x(t) = ntp, п = О, ±1, ±2,...} (р > 0) нигде не плотно в пространстве С[0,1];
з) множество М = {х : x(t) = с, cGR} нигде не плотно в пространстве С[а,6];
1.87. 	Множество А С Ш называется множеством первой категории (тощим множеством), если оно представляется в виде не более, чем счетного объединения нигде не плотных множеств. Из определения следует:
1) множество первой категории имеет пустую внутренность;
2) подмножество множества первой категории является множеством первой категории;
3) конечное или счетное объединение множеств первой категории является множеством первой категории.
Множество А СШ называется множеством второй категории (нетощим множеством), если оно не является множеством первой категории.
Докажите:
а) множество рациональных чисел есть множество первой категории в пространстве R;
б) множество точек с рациональными координатами есть множество первой категории в пространстве Rn.
39


Может ли множество первой категории быть всюду плотным в пространстве Ш?
1.88. Докажите теорему Бэра: полное метрическое пространство, не имеющее изолированных точек, есть множество второй категории.
1.89. Докажите: полное метрическое пространство, не имеющее изолированных точек, несчетно.
1.90. Докажите, что в полном метрическом пространстве множество, имеющее непустую внутренность, есть множество второй категории.
1.91. Подмножество А полного метрического пространства 9Л, являющееся дополнением к множеству первой категории, называется вычетом. Докажите: вычет является множеством второй категории.
1.92. Докажите, что множество иррациональных чисел есть множество второй категории
1.93. Докажите, что в полном метрическом пространстве счетное пересечение открытых всюду плотных множеств есть всюду плотное множество.
Принцип сжимающих отображений
1.94. При каком г отображение V: Е —► Е, V(t) = t3 является сжатием в шаре jB[0, г]? Покажите, что V не является сжатием вблизи неподвижных точек t = 1 и t = — 1.
1.95. Пусть /(•) определена и дифференцируема на всей вещественной оси и удовлетворяет условиям:
а)|/'й|а<1; b)\f'(t)\> \>1.
Докажите, что уравнение f(t) = t имеет единственное решение.
1.96. Докажите, что уравнение 2tel = 1 имеет единственное решение на (0,1). Организуйте итерационный процесс и укажите число итераций, которое потребуется для вычисления решения с точностью до 0,01.
1.97. Докажите, что уравнение t5 +t -f 1 = 0 имеет единственный вещественный корень. Укажите промежуток длиной 1, содержащий этот корень. Запишите это уравнение в виде t = </?(£). Организуйте итерационный процесс и укажите число итераций, которое потребуется для вычисления корня с точностью до 0,01. То же задание для уравнения t3 +1 + 1 = 0.
1.98. Докажите, что всякое непрерывное отображение отрезка [а, Ь] С Е в себя имеет неподвижную точку.
1.99. Докажите, что при а £ [0,1] итерации
1 2
tn+i = tn - ~{tn - a), to = 0, п£ N,
40


сходятся к у/а.
1.100. 	Докажите, что последовательность цепных дробей
1 »•••
имеет предел; найдите его.
1.101. 	Покажите, что отображение V(t) = является сжимающим
на отрезке [1,2].
1.102. 	Следующие системы линейных уравнений преобразуйте так, чтобы их можно было решить итерационным методом:
Исследуйте характер приближения итераций к точному решению. 1.103. Докажите, что уравнение
заданная непрерывная на [О, Т] функция, имеет единственное, непрерывное на [О, Т] решение.
1.104. 	Докажите, что уравнение
имеет единственное непрерывное на [0,1] решение; положите е — 0,5, хо = 0 и найдите число итераций, которое потребуется для нахождения x(t) на [0,1] с погрешностью, не превышающей 0,01.
1.105. 	Функция определена и непрерывна вместе с частной про¬
изводной по второму аргументу в полосе
Докажите, что существует единственная непрерывная на [а, 6] функция у = f(t) такая, что = 0, t 6 [а, b] (глобальная теорема о неяв¬
ной функции).
1.106. 	Докажите следующее обобщение теоремы 1.4.
1,
10.
x(t) = esinx(t) + f(t), где 0 < е < 1, /(•) —
x(t) =t + ex(tk), где 0 < е < 1, к > 1, t Е [0,1]
П = {(£, у) € М2 : а < t ^ 6, -оо < у < -fоо}
и удовлетворяет условиям
О < 771 ^ Vy(t,y) ^ М < +00 ((t,y) е П).
41


Пусть (Ш1, р) — полное метрическое пространство, xq Е Ш1, отображение V : В = Вал[хо,г] —► Ш является сжимающим с параметром а (0 < а < 1). Тогда, если ц = p(V(xо),хо) ^ г(1 — а), то существует единственная неподвижная точка х* Е В отображения V; эта точка может быть найдена как предел последовательности, полученной с помощью итерационного процесса (1.12), начинающегося с хо.
1.107. Функция </?(•, •) определена и непрерывна вместе с частной производной по второму аргументу в окрестности точки (0,0),
<р(0,0) = 0, (р'у(0,0) Ф 0. Докажите, что для всех достаточно малых |£| уравнение ip(t,y) = 0 имеет единственное непрерывное решение у = /(t), обращающееся в нуль при t = 0 (локальная теорема о неявной функции).
1.108. Докажите, что следущие линейные интегральные уравнения
Фредгольма имеют единственные непрерывные на [0,1] решения:
1 1
a) x(t) = f tsx(s) ds + 1; 6) x{t) =2 f s2x(s) ds + t2\
о о
l
r) x(t) — | / t2s3x(s) ds + t3.
0
Организуйте итерационный процесс и найдите 3 приближения к решению; найдите точные решения этих уравнений.
1.109. Докажите, что следущие линейные интегральные уравнения Вольтерры:
1 1 в
a) x(t) = 2 f tsx(s) ds + 1; 6) x(t) = f tsx(s) ds + t3 —
о о
t
r) x(t) = J tsx(s) ds о
имеют единственные непрерывные на [0,1] решения. Для каждого уравнения организуйте итерационный процесс. Найдите 3 приближения к решению. Для г) найдите точное решение.
t t
1.110. Найдите Vn, если а) (V(x))(t) = f x(s)ds; б) ((P(x))(t) = 2 f x(s)ds.
о о
1.111. Найдите непрерывные решения интегральных уравнений
1 1
a) x(t) = \ f ts2x(s) ds + 1; б) x(t) = \ f et-sx(s) ds 4-1; о о
г) 	x(t) = f et~sx(s)ds. о
1.112. Докажите, что бесконечная система уравнений
оо
Хг = ^2~{i+k) хк + 1, г = 1,2,...
fc=l
имеет единственное ограниченное решение х = (xi,x2, ■ ■.).
42


1.113. Докажите, что бесконечная система уравнений
оо
Хг = ]T2“(i+fe)Xfc + 2~\ г =1,2,...
к=1
имеет единственное решение х = (xi, х2,...) £ lp (1 ^ р < +оо).
1.114. При каком условии отображение
/ оо оо \
*>(*)= £ aikXk, а,2кХк, ••• I
\fc=l /е=1 /
является сжимающим? Тот же вопрос, если V : 1ос —> 10о; тот же вопрос, если Р : 1Р —► 1Р (1 < р < -foo).
1.115. Пусть
Р • ^ОО ^ ^ОО j ^(*^) (ljQ-lXlj CL2X2 )•••)) (*^ — (*^15 *^2) • • •)) > }’fe = l
фиксированная последовательность такая, что а; = sup|afc| < +00. Докажи-
к
те, что Р является сжатием тогда и только тогда, когда ш < 1.
1.116. Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие
p(V{x),V{y)) ^ ар(х,у) (0 < а < 1)
нельзя заменить условием
p(V{x),V(y)) < р(х,у).
Пусть Р : R —► R, Р(х) = х -f arctgx. Убедитесь, что Р не имеет неподвижной точки, несмотря на то, что p(V(x),V(y)) < р(х,у) для любых х,у £ R.
t
1.117. Покажите, что отображение Р(х) = J* x2(s)ds пространства
о
С[0, а] в себя ни при каком а > 0 не является сжимающим. При каких а > О
t
уравнение x(t) = 1 + / x2(s)ds обладает непрерывным на [0, а] решением? о
Компактность. Непрерывность
1.118. Являются ли относительно компактными в С[0,1] следующие множества:
а) 	Ф = {tn}nef*; б) Ф = {smnt}neN; в) Ф = {sin(n + t)}n£ n;
г)Ф = {arctgat}C.ZR', д)Ф = {e_at}Qe[o,+oo); е)Ф = {et-a}a€[o,+00);
ж)ф = {М}пбМ; з) Ф = {tn — £n+1}n€N?
43


1.119. Пусть О Е [а, 6], М С С[а,Ь] — равномерно ограниченное множество. Докажите, что множество
t
ф = {у: y(t) = Jx(s)ds, х(-) € М} С С[а,6], о
относительно компактно. Является это множество компактным?
1.120. Пусть функция /: [а, 6]2 —> R непрерывна на [а, Ь]2. Докажите, что множество Ф = {xs : xs(t) = f(t, s), s £ [a, 6]} компактно в пространстве С[a, 6].
1.121. Докажите, что равномерно ограниченное множество функций Ф С С[а, 6], удовлетворяющих условию Липшица с общей постоянной, относительно компактно.
1.122. Докажите, что множество функций Ф С С [а, 6], удовлетворяющих условию Липшица с общей постоянной и ограниченных в фиксированной точке to Е [a, 6], относительно компактно.
1.123. Докажите, что множество Ф непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций ж( ) таких,что
ь
|ж(а)| < mi, j\x'(t)\2 dt ^ m2 (mi ^ 0, m2 > 0),
a
относительно компактно в С [a, 6]. Является ли это множество компактным?
1.124. Докажите, что множество Ф непрерывно дифференцируемых на
ъ
[а, Ь] функций ж(-) таких,что f (\x(t)\2 + \xf(t)\2) dt < m(m > 0), относи-
a
тельно компактно в С[а9Ь]. Является ли это множество компактным?
1.125. Пусть Ф — множество непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций, удовлетворяющих следующим условиям:
1) для любого t G [а, Ь] и любой х(-) Е Ф выполняется неравенство |ж'(£)| ^ т, где m > 0;
2) для любой ж( ) G Ф уравнение а;(£) = 0 имеет на [а, 6] хотя бы один корень. Докажите, что Ф — относительно компактное множество в пространстве С [а, 6].
1.126. Будет ли относительно компактным в пространстве С{0,1] множество Ф непрерывных функций, удовлетворяющих условию |ж(*)| ^ <p(t),t Е [0,1], где <р(-) — заданная неотрицательная непрерывная функция?
1.127. Будет ли равномерно ограниченное множество Ф многочленов степени п компактным в пространстве С[а,6]?
44


1.128. Докажите, что равномерно ограниченное множество Ф многочленов степени, не выше п, компактно в пространстве С [а, Ь].
1.129. Докажите, что шар JB[0,1] пространства С^[а, 6] относительно компактен в пространстве С [а, 6]. Будет ли он компактным в С^[а,Ь]7
1.130. Докажите, что всякое множество Ф , относительно компактное в пространстве С^[а, Ь], является относительно компактным в пространстве С [а, 6]. Приведите пример множества непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, относительно компактного в пространстве С[0,1], но не являющегося относительно компактным в пространстве [0,1].
1.131. Пусть функция / непрерывна и ограничена в полосе П =
= {(£, х): t Е [а, 6], х Е М}, Ф — множество решений уравнения х' = f(t, х),
М = {х(а): х Е Ф}. Докажите: для того, чтобы множество Ф было относительно компактным в пространстве С [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы множество М было ограниченным.
1.132. Будут ли относительно компактными в пространстве С[0,1] следующие множества:
1) Ф = {х Е С[0,1]: х" Е С[0,1], |х(£)| <т0, |ж"(£)| <Ш2, t Е [0,1]};
2) Ф = {х Е С[0,1]: х" Е С[0,1], |x'(t)| ^ттц, |x"(£)|^77i2, t Е [0,1]}?
1.133. Будет ли компактным в пространстве С[0,1] множество
Ф = {х Е С[0,1]: х Е С[0,1],х(0) = 0,х(1) = 1, |®(t)| ^ 1, t Е [0,1]}?
1.134. Докажите критерий относительной компактности множества в пространстве С^[а,Ь\: для того, чтобы множество Ф С С^[а,Ь] было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы 1) Ф было ограничено в С^[а,Ь] и 2) множество Ф^ ^ производных функций из Ф было равностепенно непрерывно.
1.135. Пусть (3t,р), (2),d) — компактные метрические пространства. Обозначим через М(Х, 2)) 2))^ пространство отображений (непрерывны*
отображений ) /: X —► 2) с метрикой h(f,g) = supd(f(t),g(t)).
tex
Докажите, что метрическое пространство С(Х, 2)) замкнуто в М(£, 2)).
По аналогии с п. 1.10 назовем множество Ф С С(Х, 2)) равностепенно непрерывным, если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для всех t\tn Е X таких, что p(t',t') < 8 и для всех / Е Ф выполняется неравенство d{f{t’),f(t"))<e.
Докажите следующее обобщение теоремы Арцела 1.8.
45


Для того, чтобы множество Ф С С(Э£,2)) б-ыло относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равностепенно непрерывным.
1.136. Докажите критерий относительной компактности множества в пространстве lp (1 ^ р < оо): для того, чтобы множество М С 1Р было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы 1) оно было ограниченным и 2) для любого £ > 0 существовал такой номер N, что для
оо
всех х £ М одновременно выполняется неравенство ^2 \х^\р < £р-
k=N+1
1.137. Докажите, что параллелепипед
П = {х elp : х = (xi,x2,. • .), \хк\ < 7}
к
является компактным множеством в пространстве 1Р при 1 < р < оо.
1.138. Докажите, что параллелепипед
П = {х £ fa : х = (xi,x2,...)» I®fc| ^ }
является компактным множеством в пространстве fa.
1.139. При каком ограничении на последовательность {An}SJLi, An>0(n€N) является компактным в пространств fa :
1) 	параллелепипед П = {х £ fa : х = (xi,£2, ...)» |xfc| ^
{00 2 'J
х £ fa : x = (xi, X2,...), S fj- ^ 1 f?
fc=i fc J
1.140. Докажите критерий относительной компактности множества в пространстве со : для того, чтобы множество М С со было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы 1) оно было ограниченным и 2) для любого £ > 0 существовал такой номер JV, что для всех х £ М одновременно и для всех к > N выполняется неравенство |х*| <е.
1.141. Докажите критерий относительной компактности множества в пространстве с : для того, чтобы множество М С с было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы 1) оно было ограниченным и 2) для любого е > 0 существовал такой номер N, что для всех х £ М
одновременно и для всех к > N выполняется неравенство |х* — lim х*| < £.
к—юо
1.142. Опишите все компактные множества в примере 8.
1.143. Является ли компактным множество А из 1.66?
1.144. Докажите: всякая последовательность вложенных компактных множеств метрического пространства (9Л, р)имеет непустое пересечение.
1.145. Пусть (Ш,р) и (9t, d) — два метрических пространства. Множество Ш х 91 с метрикой h((x, у), (х7, у')) = р(ж, х') + d(y, у') согласно упраж¬
46


нению 1.11 — метрическое пространство. Пусть АсШТи£с9Т — относительно компактные (компактные) множества. Докажите, что Ах В — относительно компактное (компактное) множество в (ШТ х 91, /г). Докажите также, что из относительной компактности (компактности) множества А х В следует относительная компактность (компактность) множеств А С Ш1 и В С 91.
1.146. Пусть / : ШТ —► 91 — непрерывное отображение метрических пространств и ШТ — компакт. Докажите, что
1) отображение / равномерно непрерывно;
2) /(ШТ) компакт в 91;
3) если / биективно (взаимно однозначно), то обратное отображение непрерывно.
1.147. Пусть функция /: ШТ —► R непрерывна и ШТ — компакт. Докажите, что
1) / ограничена, т.е. существует такое К ^ О, что |/(х)| ^ К для всех х е ШТ;
2) существуют такие х*,х*, что min/(x) = /(х*), тах/(х) = /(х*).
ж 6 ЯЛ
Пусть М С ШТ. Тогда, если М компактно, то согласно вышесказанному существуют такие £ М и ж+ € М, что /(ж+) = тах/(х),
хбМ
/(ж+) = min/(x) (так как М компактное метрическое пространство). Покажем
жите, что ограниченности и замкнутости множества М не достаточно для достижения точных граней.
1.148. Пусть (ШТ, р) — метрическое пространство. Расстоянием от точки х до множества А С ШТ называется число (см. 1.17)
р(х,А) = тЫх,у).
у£А
Докажите, что если А компактно, то существует у* € А такой, что
р(х,А) = р{х,у*)
(ближайшая к х точка множества А). Приведите пример, показывающий, что замкнутости множества А не достаточно для существования такого у*.
1.149. Пусть (ШТ,р) — полное метрическое пространство, А, В, С,... — непустые компактные множества из ШТ. Полагаем как обычно р(х,А) = inf р(ж,а) (х € ШТ). Отклонение d(A,B) множества А от мно-
а£А
жества В определим равенством d(AyB) = sup р{а,В) = тахр(а,В) (это
а<=Л
равенство выполняется согласно 1.148).
47


Покажите, что для любых компактных множеств А, В, С С 971 выполняются неравенства
d(A, В) ^ d(A, С) + d(C, В), d{B, А) ^ d(B, С) + d(C, А). (1.35)
Полагаем h(A,B) = таx{d(A,B)y d(B,A)}.
Покажите, что h — метрика на множестве всех непустых компактных подмножеств из 971.
Полученное метрическое пространство обозначается comp (971). Функция h называется метрикой Хаусдорфа.
Покажите, что comp (971) — полное метрическое пространство.
1.150. Пусть (971, р) — полное метрическое пространство, А, В, С,... — непустые замкнутые множества из 971. Функцию h(A,B) введем, как в предыдущей задаче. Покажите, что h — метрика на множестве всех непустых замкнутых подмножеств из 971 (при этом допускается значение h(A,B) = +00). Полагаем Н(А,В) = arctg h(A,B). Покажите, что Н — метрика на том же множестве. Полученное метрическое пространство обозначим CL (971). Докажите его полноту.
1.151. Расстоянием между множествами А,ВсШ называется число р(А,В) = inf {р(х,у) : х G А,у G В}. Докажите,что если Аи В — непересе- кающиеся компактные множества, то р(А,В) > 0 и найдутся такие х Е А и у G В, что р(А, В) = р(х,у). Докажите, что одной замкнутости множеств А и В для этого не достаточно.
1.152. Пусть 971 — компакт и V : 971 —► 971 — отображение, обладающее свойством p(V(x),V{y)) < р(х,у) при х фу (см. 1.116).Докажите, что minp(x,V(x)) = 0 и, следовательно, V имеет неподвижную точку я*. Дока-
хЕЯЯ
жите единственность неподвижной точки. Докажите, что Vn(x) —► х* при п —► оо при любом х G 971, причем сходимость равномерная.
1.153. Пусть функция /(-,*) равномерно непрерывна на [а, 6] х R. Тогда отображение
V : С[а,Ь] С{а,Ь], V{x)(t) = f(t,x(t))
непрерывно. Это утверждение в частности справедливо, если f(t, х) =
= g(t)x, где g € C{a,b).
1.154. Пусть функция К(■,■,■) равномерно непрерывна на [а, 6]2 х R. Тогда отображение
ъ
V : С[а, Ь] — С\а, Ъ], V(x)(t) = J K(t, s, x(s)) ds
a
48


непрерывно. Это утверждение в частности справедливо, если K(t, s,x) =
= M(t,s)x, где М(-, •) непрерывна на [а,6]2.
1.155. Пусть гп Е N. Докажите, что отображения
Гг: С[а,Ь] -> С[а,Ь], Vi{x)(t) = жт(*),
ь
V2 '■ С\а, 6] — R, P2(x)(t) = J xm(t) dt
a
непрерывны.
Эти утверждения показывают, что равномерная непрерывность в 1.153 и 1.154 не является необходимым условием непрерывности приведенных там отображений.
1.156. Докажите, что отображение
Ti:C[a,b}-+C[a,b], Vi{x) = ^
at
не является непрерывным, а отображение
V2:Cw[a,b] С[а,Ь], V2(x) = %
at
непрерывно.
2. 	Линейные нормированные пространства
2.1. 	Определение и примеры. Пусть Р означает либо поле вещественных чисел R, либо поле комплексных чисел С, X — линейное пространство над полем Р. Функция || • || : X —► R+ = [0, -hoo) называется нормой, если она обладает свойствами:
1) ||ж|| = 0 <*=> ж = 0 (нуль - число и нулевой элемент пространства X обозначаем одинаково);
2) ||Аж|| = |А| • ||ж|| (A G Р, ж G X);
3) ||х + 3/11 ||х|| + II2/II (х,у € X).
Свойства 1) — 3) называются аксиомами нормы, а именно: 1) — аксиома тождества, 2) — аксиома положительной однородности, 3) — неравенство треугольника. Линейное пространство, в котором введена норма называется линейным нормированным пространством (ЛНП). Если нужно подчеркнуть, что речь идет о норме пространства X, то пишем ЦжЦд-.
Упражнение 2.1. Докажите, что для любых ж, у £ X выполняется неравенство |||ж|| — ||у||| < ||ж — у||.
49


Всякое ЛНП является метрическим пространством, так как функция р(х, у) = ||х — у\\ обладает свойствами метрики.
Упражнение 2.2. Докажите это утверждение.
Отсюда следует, что ||х|| = р(х, 0) (норма элемента есть его расстояние до нуля). Это значит, что все понятия и утверждения, которые были введены и доказаны для метрических пространств распространяются на ЛНП.
Упражнение 2.3. Докажите, что норма — непрерывная фуптщия на X.
Полное ЛНП называется банаховым пространством (^-пространством) в честь польского математика С.Банаха, который ввел это понятие.
В качестве примеров банаховых пространств укажем на уже известные нам пространства R£, С£, /р, со, с, га, С[а, 6], М[а, Ь].
Упражнение 2.4. Докажите, что линейные операции в ЛНП непрерывны.
Упражнение 2.5. Исходя из равенства ||х|| = р(х, 0) выпишите выражения для норм перечисленных пространств.
Приведем также и новые примеры.
1. Пусть К — метрический компакт. Через С (К) (М(К)) обозначим множество непрерывных (ограниченных) функций х : К —► F с нормой
11*11 = sup|x(t)|. teK
Упражнение 2.6. Убедитесь, что С (К) (М(К)) — банахово пространство относительно этой нормы.
2. Пусть К — метрический компакт, X — банахово пространство. Через С(К, X) (М(К,Х)) обозначим множество непрерывных (ограниченных)
функций х : К —► X с нормой INI = sup||x(«)IU.
гек
Упражнение 2.7. Убедитесь, что С(К,Х) (М(К,Х)) — банахово пространство относительно этой нормы.
3. Ранее в нашем курсе было показано (см. [7, с. 18]), что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство относительно опера-
циий сложения и умножения на скаляры из поля Р. На этом пространстве
ь
определим норму равенством ||х|| = |х(а)| 4- У(х).
50


Упражнение 2.8. Убедитесь, что пространство BV[a,b] функций ж:[а,Ь]—► Р ограниченной вариации с такой нормой является ЛНП. Докажите полноту этого пространства. Докажите, что -что пространство BV[a, b] несепарабельно.
4. Через [а, 6] обозначим множество п раз (n € N) непрерывно дифференцируемых функций с нормой
11*11 = |a:(fc) (*) | = ||x(fc)||c[o,b].
tfc 0)0
fc=0 1 J fc=0
Упражнение 2.9. Проверьте аксиомы нормы. Докажите, что [а, 6] — банахово пространство.
5. Через Ж7[а, Ь] обозначим линейное пространство абсолютно непре-
ь
рывных функций ж: [а,6] —> Р с нормой ||ж|| = |ж(а)| + /|x'(t)| dt.
а
Упражнение 2.10. Проверьте аксиомы нормы.
2.2. 	Конечномерные ЛНП. Пусть А' — линейное пространство, в котором определены две функции || • ||i и || • Ц2, удовлетворяющие аксиомам нормы. Скажем, что нормы || • ||i и || • Ц2 эквивалентны (пишем || • ||i ~ || • Ц2), если существуют такие положительные числа а и (3 что справедливы неравенства
<*IMl2 < Мх </3|М|2. (2-1)
Упражнение 2.11. Докажите, что отношение ~ на множестве всех норм, определенных на одном и том же линейном пространстве, действительно есть отношение эквивалентности, т. е. является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Упражнение 2.12. Докажите, что если последовательность элементов линейного пространства X сходится относительно одной из двух эквивалентных норм, то она сходится и относительно другой.
Упражнение 2.13. Докажите, что если последовательность элементов пространства X фундаментальна относительно одной из двух эквивалентных норм, то она фундаментальна и относительно другой.
Упражнение 2.14. Докажите, что если пространство X полно относительно одной из двух эквивалентных норм, то оно полно и относительно другой.
51


Пусть X — конечномерное линейное пространство (dimX = n), {дк}%= i — базис в нем, {вк)к=i “ фиксированный базис в Р£. Каждый элемент х £ X
п
может быть единственным образом разложен по базису {gk}k=i: х = ^2 хкдк,
к=1
хк € Р; поставим в соответствие этому х элемент х 6 PJ по правилу
п
х — ^2 Хквк- Это соответствие является изоморфизмом.
к-1
Лемма 2.1. Существуют такие положительные числа а и /3, что справедливо неравенство
^ IWI* ^ /3||ж||р«. (2.2)
Доказательство. Из неравенства треугольника для нормы и неравенства Гельдера (р = 2) получаем
п п / п \ */2
11*11* = II ^ Е мык ^ /? £ i^i2 =
fc=i fc=i \fc=i /
/ n \l/2
где /3 = I llpfcll2 ) 5 этим правое неравенство в (2.2) доказано. Из
\к=1 )
упражнения 1 и уже доказанного следуют неравенства
|№ - ||*"М < \\х-х"\\х < Р\\х — х"\\рп. (2.3)
Рассмотрим функцию f(x) = Ц^Цл' на множестве
S = {x: ||*||рп = 1} С Л';
Множество S можно также считать единичной сферой пространства PJ • Из (2.3) следует непрерывность этой функции. Так как S компактное множество в PJ, то найдется точка на этой сфере, в которой значение / равно
точной нижней грани этой функции. Обозначим эту грань а; так как S не содержит нуль, то а > 0. Таким образом, для любого х Е X
Нйзт-Н*>«.
откуда получаем левое неравенство в (2.2).
Упражнение 2.15. Докажите, что все нормы в Рп эквивалентны.
Упражнение 2.16. Пусть X — конечномерное линейное пространство, в котором введены некоторые нормы. Докажите, что все нормы в X эквивалентны.
52


Теорема 2.1. Все конечномерные ЛНП полны.
Доказательство. Пусть X — ЛНП, п = dimX, {gk}k=i ~ базис в — произвольная фундаментальная последовательность. Построим последовательность С к&к выше. Из левого нера¬
венства (2.2) следует, что
a||x(n)-x(m)||Pn < ||x(n)-x(m)|U;
это значит, что последовательность фундаментальна в ЛНП PJ
и следовательно, сходится в нем, ввиду его полноты. Таким образом, существует такой х€Х, что ||х(п) — ж||р£ —► 0 (п —► оо); из правого неравенства
(2.2) 	следует, что \\х^—х\\х ^ /3\\х^ — ж||рп, т. е. \\х^—х\\х —►О (п —► оо). Это и означает полноту X.
Замкнутое линейное многообразие в X называется подпространством X. Обращаем внимание читателя на отличие понятия подпространство в теории метрических пространств и в теории ЛНП. В теории метрических пространств в понятие подпространство не вкладывалась замкнутость.
Рассмотрим пример. Пусть Р[а, 6] означает линейное пространство алгебраических многочленов с такой же нормой, как и в С[а.Ь\. Очевидно, Р[а, 6] — линейное многообразие в С[а.6], однако Р[а, Ь] не замкнуто в С[а.Ь].
П k
В самом деле, xn{t) = ^2 j, =3 x(t) = еь, т. е., хп сходится к х в С[а.Ь];
к~О
хп € Р[а, b] (n £ N), но х £ Р[а,Ь]. Следовательно, Р[а,6] не является подпространством С [а, Ь].
Упражнение 2.17. Докажите, что все конечномерные линейные многообразия бесконечномерного ЛНП X замкнуты, т. е., являются подпространствами.
Упражнение 2.18. Докажите, что множество Рп[а, 6] многочленов степени не выше п — подпространство ЛНП С[а, 6].
2.3. 	Прямое произведение. Изометрический изоморфизм.Прямым произведением X х У ЛНП X и У называется линейное пространство
Z = {z = (х,у) : х € X, у € У} с нормой ||«|| = ||х||* + ЦуЦу
Упражнение 2.19. Докажите, что пространство X х У банахово тогда и только тогда, когда пространства X и У банаховы.
ЛНП X и У называются изометрически изоморфными (пишем X = У), если существует отображение у? : X —► У (изометрический изоморфизм), обладающее свойствами:
53


1) (р — изоморфизм (напомним, что это означает: биективно и
<р(х 4-у) = <р(х) 4- <р(у), (р(Хх) = Х(р(х)
для всех х, у £ X и Л € Р);
2) ip — изометрия; это означает, что ||у?(х)||у = ||ж||лг.
Упражнение 2.20. Докажите, что изометрический изоморфизм — непрерывное отображение.
Упражнение 2.21. Докажите, что отображение, обратное изометрическому изоморфизму, также является изометрическим изоморфизмом.
Упражнение 2.22. Докажите, что если X = У, то ЛНП X полно тогда и только тогда, когда полно У.
Отношение изометрического изоморфизма между ЛНП является, очевидно, отношением эквивалентности; такие пространства могут отличаться друг от друга только природой своих элементов; в теории ЛНП изометрически изоморфные пространства отождествляются.
Пусть X — ЛНП с нормой || • ||. Наименьшее банахово пространство X, для которого X является подпространством, называется пополнением ЛНП X. Например, R — пополнение Q.
Нижеследующая теорема о пополнении содержательна лишь для неполных пространств.
Теорема 2.2. Всякое ЛНП обладает единственным с точностью до изометрического изоморфизма пополнением. При этом исходное ЛНП плотно в своём пополнении: cl X = X.
Доказательство. В дополнение к доказательству теоремы 1.2 надо лишь убедиться, что построеннные в нем классы эквивалентных фундаментальных последовательностей образуют линейное пространство, что является очевидным.
Как и в случае метрических пространств, пополнение часто удается описать, исходя непосредственно из определения (см., например, замечание в конце главы).
Пусть X — ЛНП, У — его подпространство. Фактор-пространство X/У = {х : х,уЕх<ФФ>х — у £ У}, как известно, является линейным
пространством (его элементы х называются смежными классами по под- пространтсву У, нулевым элементом является само у.) Пусть х G Х/У; ПОЛОЖИМ ||х||дг/у = inf ||x||;t.
х£х
54


Упражнение 2.23. Проверьте аксиомы нормы. Докажите, что если X полное ЛНП, то и X/У также полное ЛНП.
2.4. Ряды в банаховых пространствах. Пусть X — банахово пространство, {хп}п=1 — некоторая последовательность его элементов. Рае-
гг
смотрим последовательность сумм Sn = Y1 х^- Если существует S G X,
k=1
S = lim Sn, то скажем, что ряд
оо
5> (2-4)
fc=l
ОО
сходится, назовем S его суммой и будем писать S = Xk‘, Sn называем
fc=1
n-ой частичной суммой ряда (2.4). Наряду с рядом (2.4) рассмотрим числовой ряд
£|М1- (2-5)
к=1
Теорема 2.3. Если сходится ряд из норм (2.5), то сходится и ряд из элементов (2.4).
(При этом про ряд (2.4) говорят, что он сходится абсолютно.) Доказательство. Пусть Sn — п-ая частичная сумма ряда (2.4);
п п
||5n-5m|| = || £ Xfcll < ^2 ||xfc|| -*• 0 (п,т -юо)
к=т-1-1 fc=m+1
в силу принципа сходимости Коши и сходимости ряда (2.5); следовательно, последовательность частичных сумм фундаментальна, а так как X — полное ЛНП, то существует S = lim Sn.
Упражнение 2.24. Для того, чтобы ЛНП X было полным, необходимо и достаточно, чтобы сходился любой ряд (2.4), для которого сходится числовой ряд (2.5). Докажите.
2.5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Пусть X — ЛНП, А С X. Напомним, что расстоянием р(х,А) от элемента х до множества А называется
р(х, А) = infp(x,y) = inf II а: - j/||.
у£А у£А
Лемма 2.2. Пусть У — подпространство X, У ф X. Для любого е > 0 найдется элемент ze € Х\У, обладающий свойствами:
||«еЦ = 1, р(ге,У) > 1 -£•
55


Доказательство. Возьмем произвольный х Е Х\У и обозначим d = р(х, У)- По свойству точной нижней грани для любого е > 0 найдется у£ £ У такой, что d ^ ||х — Уе|| <
Покажем, что = цд1у*ц — требуемый элемент.
Действительно, z£ £ У так как х £ У, а, у£ е У, \\z£\\ = 1, и для любого У € У
Х-Уе _
II*-Ы1 у
1 1|а; — (г/е+г/-||ж—г/е||)|| ><г-^=i—г.
l|Ze 2/11 II*-», || " ||*-»е|| d
Следствие. Пусть — линейно независимая система в ЛНП
X, Хп = ({xk}k=i)- Тогда существует последовательность {zk}kL\, обладающая свойствами
IM == 1) zn Е Хп {т1 — 1,2,..), pi^Zn, Хп—1) > — {ть — 2,3,...).
Для доказательства положим в лемме 2 е = 1/2, X = Хп, У = Хп-ь
2.6. 	Пространства с мерой. Пространство §(Т,21, ц). Пусть Т — метрическое пространство, 21 — а алгебра его измеримых подмножеств, (Т, 21,/х) — измеримое пространство с счетно-аддитивной конечной или сг-конечной мерой ([7]). Множество классов ц-измеримых ^-эквивалентных функций х : Т —► Р обозначим §(T,2l, /х). Допуская некоторую вольность речи, будем называть элементы §(Т, 21, /х) функциями.
Пусть / : Т —► Ш — непрерывная функция, f(t) > 0, и если /х(Т) = +ос, то f f(t) dfi = 1; если /х(Т) < +оо, то f(t) = 1. Для х, у Е §(Т, 21, /х) полагаем
( \ f И*)-»(*)|
Ф'У) = ] 1 + |x(t) - yit)\
т + |x(t) - 2/(t)|'
Упражнение 2.25. Докажите, что р(«, •) удовлетворяет аксиомам метрики, так что §(Т, 21, /х) — метрическое пространство.
Рассмотрим наиболее важные частные случаи:
1) Т = N, 21 = P(N), /х — считающая мера, f(t) = в этом случае §(Т, 21, /х) — рассмотренное ранее пространство последовательностей s;
2) Т = [a, b], /(£) = 1, или Т = R, или Т = [0, +оо), /х = mes — мера Лебега; в этом случае обозначаем пространство проще: §[а, 6, ], или S(R), или S[0, +оо).
3) Т С R, 21 — а-алгебра измеримых по Лебегу множеств,
fji(A) = f (p(t) dt (A E 21), где <p(t) > 0 суммируемая на T по Лебегу функция А
(называемая обычно весовой функцией или весом); в этом случае обозначение такое: §^(Т).
56


Теорема 2.4. Сходимость в пространстве §(Т, 21, р) есть сходимость по мере р. Это означает: последовательность {xn}55=i С §(Т,21, р) сходится к х £ §(Т, 21,/х) тогда и только тогда, когда xn(t) x(t).
Доказательство. 1. Сходимость в пространстве S(T, 21, р) влечет сходимость по мере. Ограничимся здесь случаем конечной меры. Пусть р(хп,х) —► 0. Для € > 0 введем,как обычно, множества
Ап(е) = {*: |x„(t) - a;(t)| > е}.
Имеем очевидную цепочку неравенств
J 1 + |жп(<) - x{t)\ М " J 1 + |*„(t) - *(t)| Ф ^ 1 + е^Ап{-е))
Т Ап (с)
при s > е). Так как интеграл слева стремится к нулю, то р(Ап(е)) —► 0, что и означает сходимость по мере.
2. 	Сходимость по мере влечет сходимость в пространстве §(Т, 21, р). Это следует из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега; суммируемой мажорантой является функция /.
Теорема 2.5. Пространство §(Т, 21, р) — полное метрическое пространство.
Доказательство. Ограничимся случаем конечной меры. Пусть {xnj^Li С §(Т,21, р) — фундаментальная последовательность. Найдем номер п\ такой, что р(хп1,хп) < \ для всех п > щ; затем найдем номер 712 > П\ такой, ЧТО р(хп2,хп) < ^ ДЛЯ всех п > 722 и т.д. В итоге построим возрастающую последовательность номеров Пк > Пк-i > ... > п\ такую, что р(хпк,хп) < ^ Для всех п > Пк. Рассмотрим подпоследовательность {xnk}kLi С {жп}£°=1 и ряд
\Xnk+l{t) -Xnk(t)\f(t) к=1 j ^ (^) — Хпк (^) |
По построению члены этого ряда меньше членов геометрической прогрессии со знаменателем следовательно, ряд сходится. По теореме Леви р-почти всюду сходится ряд
Vnk+l(t) - Xnk(t)\
оо °о г I
'£р(хпк+1,хПк) = '£ - "7‘~ '
к=1 J
^ 1+ \xnk+1(t) ~Xnk{t)\' при достаточно больших к р-почти всюду выполняется неравенство


оо
поэтому /i-почти всюду сходится ряд |xnk+i(t) ~~ Хпк (01- Это означает,
к=1
что /х-почти всюду абсолютно сходится ряд
оо
ХП\ (t) + ^ ^ (Xnk + 1 (t) — Хпк (£)) 5 к=1
fc-ая частичная сумма которого совпадает с хПк, Следовательно, xnfc /х-почти всюду сходится к некоторой х, причем предельная функция ж /х-измерима. По теореме Лебега (напомним, что мы доказываем теорему только для случая конечной меры) подпоследовательность хПк сходится по мере /х, а значит, по теореме 1 сходится в пространстве §(Т, 21, /х). Так как подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то к той же предельной функции сходится и сама последовательность.
2.7. 	Пространство LP(T, 21, /х). Рассмотрим множество классов /х-эквива- лентных /х-измеримых функций, для которых конечен интеграл
J\x(t)\p dfi (1 ^ р < +оо).
т
На линейном пространстве LP(T, 21, /х) таких классов (которые мы для краткости речи называем функциями) определим норму равенством
INI = ^f\x(t)\Pdvj • (2-6)
Упражнение 2.26. Докажите, что LP(T, 21, /х) — ЛНП.
Рассмотрим частные случаи.
а) Т = {1,2, ...,п}, 21 = 'Р(Т), /х — считающая мера; в этом случае LP(T, 21, /х) — рассмотренное ранее пространство Рр;
б) Т = N, 21 = “P(N), /х — считающая мера; в этом случае Lp(T,2l, /х) — рассмотренное выше пространство последовательностей /р;
в) Т = [а, 6], или Т = R, или Т = [0, -foo), /х = mes — мера Лебега; в этом случае обозначаем пространство проще: Lp[a, 6], или LP(R), или Lp[0, +оо).
г) Т С R, 21 — a-алгебра измеримых по Лебегу множеств, /х(А) =
= / (fi(t)dt {А € Я), где ip(t) > 0 — суммируемая на Т по Лебегу функ- А
ция (как и ранее называемая весовой функцией или весом); в этом случае обозначение такое: LP>V?(T).
д) Т С Rn - открытое или замкнутое, ограниченное или неограниченное множество, 21 — a-алгебра измеримых по Лебегу множеств, /х = mes —
58


мера Лебега в Rn; в этом случае пространство обозначается так: LP(T). Аналогично п. г) можно рассмотреть пространство такого типа с весом LP>V?(T), где <^(£)>0(££Т) — суммируемая на Т функция.
Теорема 2.6. Пространство Lp(T,2l,/х) —банахово.
Доказательство. Сначала докажем полноту пространства
L = L!(T,a,M).
Пусть {хп}п=1 — фундаментальная последовательность элементов L. Как при доказательстве предыдущей теоремы покажем существование такой последовательности номеров п\ < П2 < ..., < Пк <
< ..., пк -> оо, что IIХпк - хПк+1 II < ИЛИ иначе,
J\*nk(t) - xnk+1(t)\d(j, <
т
Отсюда и из теоремы Леви следует, что ряд
ОО
Ki (t) I + £\хПк+1 (t) - Хпк (t) | k=1
сходится /х-п.в., а значит, /х-п.в. абсолютно сходится и ряд
оо
Хщ (*) + £(* Пк+l W Хпк (t)), к=1
к-я частичная сумма которого есть хПк • Обозначим предельную функцию ж, т. е. Xnk(t) —> x(t) /х-п.в.
В силу фундаментальности последовательности для любого е > О
f\xnk{t) Хгц (■t)\dfi < е, если k,l > N при некотором N. Устремим здесь
т
I —► оо. По теореме Фату $\хПк (t) — x(t)| d/л ^ е. Это значит, что хПк — xEL
т
(а значит, и х = хПк — (хПк — x)gL) и хПк —>х в L.
Так как подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то к тому же пределу сходится вся последовательность. Этим полнота L доказана.
Докажем полноту Lp = Lp(T,2l, /л) (1 < р < +оо) сначала при дополнительном предположении, что /х(Т) < -f оо.
Пусть {хп}^=1 — фундаментальная последовательность элементов Lp, т. е.
(Ve > 0) (3N е N) (Vn,m > N) (\\хп - жт|| < е).
59


В силу неравенства Гельдера
||Жтг #ra||]L — / |^п(^) 3?тп(^)| ^
Т
(/
1
v
< j f \xn(t) - Xm(t)\P dfj.\ (м(Т)) « = C||xn - Жт||Ьр,
т. е. последовательность {xn}^Li фундаментальна и в L. Согласно доказанному выше существует ее подпоследовательность {хПк которая сходится к некоторому х /i-п.в. Для этой подпоследовательности существует такое К £ N, что при к,1 > К
Отсюда видим, что хПк — х £ Lp, а значит, и х = a?nfc — (хПк — ж) £ Lp. Кроме того, из этого неравенства следует, что хПк —> х в Lp при к —► оо. Значит и вся последовательность хп -> ж в Lp при п —► оо.
Этим полнота для случая конечной меры Lp доказана .
Пусть /х(Т) = -j-oo и
fc=i
Пусть {xn}n=i — фундаментальная последовательность элементов Lp. Это значит, что для любого е > 0 найдется такое N £ N, что для п, га > N
По теореме Фату при I —* оо
оо
т = (J Tfcea, At(Tfc) < +00, Tfcp|Ti = 0при к /г.
Положим
если t £ Tfc, если t £ Tfc.
60


В силу счетной аддитивности интеграла Лебега
У |Ж„(<) -Xm(t)\V <1ц = £ / |*п >(*) < £Р-
Т fc=1Tfc
Для любого натурального М отсюда следует м
£ /|Л) -x^(t)|PdM < еР- (2-7)
*=ч£
Пространства Lp(Tfc, 2U,/х) (2U состоят из пересечений 21 с Т*) по доказанному полны. Полагаем при каждом к £ N х^ = lim (предел в смысле
71—► ОО
сходимости в Lp(Tfc,2lfc,/x)). Перейдем в (2.7) к пределу при га —► оо. В ито-
м
ге f |xlfc^(£) — x^k\t)\p dp < ep. Это неравенство верно для всех М £ N,
fe=lTfc
поэтому из него следует
£; /Kfc)(t)-x(fc)(t)|pd/i<sp. (2.8)
Положим x(t) = x^k\t), t £ Tfc, к = 1,2,... Неравенство (2.8) можно переписать тогда в виде /|xn(£) — x(t)\p dp < ер. Отсюда снова имеем принад-
т
лежности хп — х £ Lp и х = xn — (хп — х) £ Lp, и сходимость хп —► ж в Lp
при п —* оо. Этим полнота Lp доказана в общем случае.
Упражнение 2.27. Пусть
х £ LP(T, 21,/х), а > 0, А(сг) = {£: |х(£)| ^ а}.
Докажите справедливость следующего неравенства (Чебышева)
(2.9)
Сходимость в пространстве LP(T, 21, р) называется сходимостью в среднем порядка р (при р = 1 — сходимость в среднем, при р = 2 среднеквадратическая сходимость).
Теорема 2.7. Сходимость в среднем любого порядка влечет сходимость по мере р.
Доказательство. Пусть последовательность {xn}5K=i С Lp(T,2l, р) сходится к х £ Lp(T,2l,/х), т. е. \\хп — х\\ьр —> 0 (п —► оо); для произвольного е > 0 обозначим
Ап{е) = {*: |жп(<) - x(t)| > е}- 61


Из 2.27 (неравенства Чебышева) получаем
д(А„(е)) ^ ^ ||х„ - х\\1р -»■ 0, т. е. ц{Ап(е)) —► 0 (п —► оо).
Это и означает сходимость по мере.
Упражнение 2.28. Приведите пример, показывающий, что сходимость по мере не влечет, вообще говоря, сходимость в среднем.
Теорема 2.8. Пусть /л(Т) < +оо. Тогда равномерная сходимость влечет сходимость в среднем любого порядка.
Доказательство. Пусть xn{t) =4 x(t); по определению это значит,
(Ve > 0) (3N е N) (Vn > N) (Vi € Т) (|х„(<) - z(t)| < е),
поэтому
11хп-х||^р= J\xn(t) - x(t)\p dfl ^ £Р/л(Т) при n>N.
т
Это значит, что \\хп — x||lp —► 0.
Доказанная теорема в частности означает, что если последовательность сходится в пространстве С [а, 6], то она сходится и в пространстве Lp[a, b] при любом р ^ 1.
Упражнение 2.29. Приведите пример, показывающий, что в случае /х(Т) = +оо равномерная сходимость, вообще говоря, не влечет сходимость в среднем.
Пусть Loo (Т, 21, ц) — множество классов /i-эквивалентных /i-измери мых функций, для которых конечен "существенный супремум"
essup |ж(£)| = inf sup |ж(£)| (2.10)
teT /х(е)=0 teT\e
(инфинум в (2.10) берется по всем множествам е, для которых ц(е) = 0) с
нормой ||ж|| = essup|x(£)|. Отметим без доказательства, что пространство
teT
Loo(T, 21, ц) — банахово . Элементы Loo(T, 21, /х) называются ограниченными в существенном.
2.8. Плотные множества в LP(T, 21, /i). Пусть /х(Т) < -{-оо. Напомним, что функция, принимающая не более, чем счетное множество значений на /х-измеримых множествах называется /i-простой. Точнее, пусть Т =
62


оо
= (J Тл, Tfc E 21, Tk попарно не пересекаются; функция х(£) = с^, при
k=i
t Е Т/ь (к = 1,2,...) называется //-простой (в дальнейшем говорим: простая функция). Обозначим через х^( ) характеристическую функцию множества А £ 21. Тогда простую функцию можно представить в виде суммы ряда
оо
*(0 = £ckXTfc(i)- (2-11)
к=1
Лемма 2.3. Множество простых функций плотно в LP(T, 21, /х).
Доказательство. Ранее, в [7, с. 108] было показано, что для /х-измери- мости функции х(-) необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к я(-). При этом, если х Е Lp(T, 21,/х), то начиная с некоторого номера и члены этой последовательности принадлежат LP(T,21, /х). По теореме 2.8 эта последовательность сходится в Lp(T,2l,/x).
Лемма 2.4. Множество функций, принимающих конечное число значений на измеримых множествах, плотно в LP(T, 21,/х).
Доказательство. Пусть у G LP(T, 21,/х). Согласно лемме 1 для любого г > 0 найдется функция вида (2.11) такая, что ||у — х\\ьр < §. Так как
f \x(t)\p dfi = ^ |cfc|p/x(Tfc) < +oo (потому, что х G LP(T, 21,/х)),
{ k=i
оо
то найдется номер N такой, что 1Zn = \ck\pfJ>(Tk) < (§)р- Положим
k=N+1
г(£) = Ск при £ G Tfc для к = 1,2, ...,АГ, и z(t) = 0 при t € Tk для fc = iV + l,iV + 2,...;B итоге построена конечнозначная функция г(-), такая,
I
что ||х—z||lp = Таким образом, ||у—^||l„ ^ ||2/-^||lp H-||x-z||lp < £.
Теорема 2.9. Множество непрерывных функций плотно в пространстве LP(T, 21,/х).
Доказательство. В силу леммы 2 достаточно доказать, что любую конечнозначную функцию можно сколь угодно точно приблизить непрерывной функцией: если у(-) конечнозначна, то для любого £ > 0 найдется непрерывная функция х(-) такая, что ||у — x||lp < £•
п
Так как y(t) = ^ CkXTk{t) (можно считать, что Ск #0), то достаточно к=1
доказать, что любую характеристическую функцию можно сколь угодно точно приблизить непрерывной функцией.
63


Действительно, пусть £*;(•) — такая непрерывная функция, что
п
Нхт* - Хк\\ьр < Тогда x(t) = Y, ckxk{t) — требуемая, так как
к=1
£cfc(xTfc(t) ~xk(t))
€
£ЫНхтгк -Жк|| <
Пусть М G 21, y(t) = XM(t). Осталось доказать, таким образом, что для любого е > 0 найдется такая непрерывная функция х( ), что \\у — ж|| < е.
Найдутся открытое множество G и замкнутое множество F, такие, что F С М С G и fi(G \F) < ер. Полагаем
*(,)_ -
rtt.T \G) + p(t,F)’
где р — метрика на Т. Заметим, что знаменатель не обращается в нуль, так как по крайней мере одно из двух неотрицательных слагаемых отлично от нуля. Это и непрерывная зависимость расстояния от t означает, что функция х непрерывна на Т. Далее, x(t) = 0 при t G Т \ G, x(t) = 1 при t € F, О ^ x(t) ^ 1 при t G G\F. Из всего сказанного следует, что
\\У — х\\ьр = -x(t)\pdn = j \y{t)-x(t)\pdfj,^ n{G\F) <sp,
T G\F
т. e. ||у - x\\lp < £■
Следствие 2.1. Множество многочленов (тригонометрических многочленов) плотно в пространстве Lp[a, Ь].
Доказательство. В силу аппроксимационных теорем Вейерштрасса для любой непрерывной на [а, Ь\ функцции у(-) найдется последовательность (хп(-)} многочленов (тригонометрических многочленов), равномерно сходящаяся к у(-). По теореме 2.8 эта последовательность сходится к у(-) в Lp[a,6]. Таким образом, для xGLp[a,b] и любого £ > 0 найдется непрерывная функция у(-) такая, что Цх — у\\ьр < §, а для у(-) найдется многочлен (тригонометрический многочлен) z(-) такой, что \\у — г\\ьр < §• Поэтому ||Х - z||lp < £■
Следствие 2.2. Множество функций, имеющих непрерывные производные до порядка п плотно в Lp[a, 6]. Множество бесконечно дифференцируемых функций плотно в Lp[a, Ь].
64


Пусть Xhp [а, b] означает линейное пространство функций, определенных на [а, Ь], и снабженное нормой (2.6). Имеем цепочку включений
Яр[а,6] С Сц,[а,Ь\ С С[^[а,Ь} С CLp[a,b] С Ь„[а,Ь].
Все входящие в эту цепочку линейные многообразия плотны в Lр [о, Ь], следовательно, незамкнуты, следовательно, не являются подпространствами в Lp [cz, 6].
Заметим, также: сказанное означает, что пространство Lp[a, b] является пополнением для всех ЛНП, участвующих в этой цепочке. В частности, для рассмотренного в п. 1. 4 неполного пространства Сь[а,Ь\ пополнением является банахово пространство h[a,b] = Li[a, 6].
Упражнения
2.30. Докажите, что множество последовательностей 1Р — линейное пространство.
2.31. Пусть X — линейное пространство непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций. Можно ли взять в качестве нормы элемента следующие выражения:
а) шах |ж(£)|;
te[a,b] 1
б) шах \x'(t)\;
te[a,b}' 1
в) |x(b) — x(a)| + max [д/ (*)|;
г) |а;(а)| + max \x'(t)\?
11 tG[a,b]
Относительно каких норм X — банахово пространство?
2.32. Пусть X — линейное пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций. Можно ли взять в качестве нормы элемента следующие выражения:
а) |ж(а)| + |яЧа)| + max |ж''(£)|;
/ ь о \ 1/2
б) (/И«)| dtj + ||ж"||С[а,Ь];
в) |х(а)| + |х(Ь)| + max И*)|;
г) |х(а)| + ||х'||с[а,ь] + f\x"(t)\dt?
а
Докажите, что относительно нормы а) X — банахово пространство.
65


2.33. Докажите, что в 2.31 норма г) эквивалентна стандартной норме (см. выше).
2.34. Докажите, что в 2.32 нормы а) и г) эквивалентны стандартной норме (см. выше).
2.35. Пусть Р[а,Ь] означает множество алгебраических многочленов, определенных на отрезке [а, Ь] (см. п. 2. 2) с нормой пространства С[а,Ь].
п
Покажите, что норму в Р[а, Ь] можно ввести и равенством ||х||* = 52 |а*;|,
к=О
где x(t) = aotn 4- aitn_1 + ... + ап. Докажите эквивалентность этой нормы стандартной норме пространства С[а,Ь] (||х|| = max |х(£)|).
t€[o,6]
2.36. Можно ли в пространстве п раз непрерывно дифференцируемых функций взять в качестве нормы выражение max -I ||ж^||с[а,ь] г? Если да, то будет ли полученное ЛНП полным. Эквивалентна ли такая норма стандартной?
2.37. Образуют ли в пространстве С[—1,1] подпространство следующие множества функций:
а) монотонные функции;
б) четные функции;
в) непрерывно дифференцируемые функции;
г) непрерывные кусочно линейные функции;
д) непрерывные функции ограниченной вариации;
е) функции, удовлетворяющие условию ж(0) = 0;
ь
ж) функции, удовлетворяющие условию f x(t)dt = 0 ([а, b] С [—1,1]);
а
з) функции, удовлетворяющие условию Липшица с одной и той же константой;
и) функции, удовлетворяющие условию Липшица с какой-нибудь константой, зависящей от функции?
2.38. Представьте пространство С[—1,1] в виде прямой суммы
а) двух бесконечномерных подпространств;
б) одномерного и бесконечномерного подпространств;
в) n-мерного (n > 1) и бесконечномерного подпространств.
2.39. Пусть X — одно из пространств последовательностей /i, fa или
с»
loo = тп, У = {х G X : ^2 хп = 0}. Докажите, что У — линейное многооб-
71=1
разие; является ли Y подпространством?
оо
2.40. Пусть X — ЛНП, {xn}??=i С X и ряд 52 ll#n+i - хп\\ сходит-
71 = 1
ся. Докажите, что последовательность фундаментальна. Верно ли
66


обратное утверждение?
2.41. Пусть X — ЛНП, {хп}??= ь {Уп}п=i ~ Две его фундаментальные последовательности. Докажите, что последовательность
Otn = IIХп - Уп II СХОДИТСЯ.
2.42. Рассмотрим следующие линейные нормированные пространства числовых последовательностей
оо
1) bv = {х = (Х1,Х2, ■■■)■■ ||*|| = |*i| + J2 \хк+х - Xk\ < +oo};
k=1
oo
2) bv о = {x = (xi,x2,...) : \\x\\ = 52 \xk+i ~ xk\ < -foo, lim xk = 0};
3) 	bs = {x = (x\, X2, • •.) : ||x|| = sup
< +oo};
4) 	cs = {x = (X1,X2, ...) : РЯД S xk сходится, ||x|| = sup
k=1 n
Докажите:
а) 	имеют место (теоретико множественные) включения
£ Хк
к=1
/i С 6г>о С bv С с, h С cs С со, cs С bs С loo]
б) изометрический изоморфизм пространств
Ьг>ои/х; cs и с; bs и loo]
в) имеет место представление bv = Е4-6г>о;
г) пространства bv, bvo, 6s, cs — банаховы.
2.43. 	Пусть — базис банахова пространства X, ^
линейное пространство таких числовых последовательностей у =
оо
= (?/i5 У2,...)? что сходится ряд ^ УкХ{к)\ определим на У норму ||г/||
к=1
: SUp
n£N
£ УкХ
(к)
. Докажите, что У — банахово пространство.
2.44. 	Пусть Са (а ^ 0) — линейное пространство непрерывных функций х : [0, +оо) —► М, удовлетворяющих условию
sup eat|x(t)| < -boo
t€[0,+oo)
с нормой ||х||а = sup еа*|х(£)| (см. 1.76). Докажите:
*€[0,+оо)
а) непрерывная функция х( ) принадлежит Са тогда и только тогда, когда существует константа К > 0 такая, что для любого t € [0, +оо) выполняется неравенство |х(£)| < Ke~°lt\
б) С а — банахово пространство (см. 1.76);
67


в) 	функция x(t) = tae 7* принадлежит Са при 7 > а, а ^ 0. Найдите норму ||х||а.
2.45. Как показано в 1.51 г), последовательность хп = tn — tn+1 сходится в пространстве С[0,1] (к х(£) = 0). Сходится ли она в пространстве С(1)[0,1]?
2.46. Пусть р ^ 2 — натуральное число, xn(t) == n = 1,2,...; покажите, что хп сходится в пространстве С^р-1^[0,1]; сходится ли эта последовательность в пространстве С^[0,1]?
2.47. При каком т сходится последовательность xn(t) = sint — sin £ в пространстве <7^(0,1]?
2.48. Покажите, что сходимость в пространстве С^[а, Ь] есть равномерная на [а, Ь] сходимость производных х^\ к = 0,1,..., т.
2.49. Покажите, что последовательность xn(t) = при t ф 0,
хп(0) = 0 сходится в пространстве 1] при любом га.
9 Г (Л /П(1 ~П1*1)’ ^ ^ п»
2.50. Сходится ли последовательность xn(t) = <
l°> 1*1 > i
в пространстве С[—1,1]?
2.51. При каких значениях а функция х(£) = ta принадлежит пространству Lp[0,1]? пространству Lp[l, +00)?
2.52. Докажите, что если х, у G Ьг[а, 6], то х • г/ G Li [а, 6].
2.53. Докажите, что если х G Lp[a,6],y G Lg[a,b] (p + g=l)> то х • у G Li[a, 6.].
2.54. Докажите, что если
х G lpr[a, Ь], yGLgr[a,6] ( - + - = 1, г > 1 ] ,
\Р Q )
то (х • у) G Lг [а, 6].
2.55. Пусть мера /л конечна, т. е.(/х(Т) < 4-оо) и q < р. Докажите, что тогда
Lp(T,2l,/х) С L9(T,2l,/x) причем ||x||Lg ^ MpJx||Lp,
где Мр<? не зависит от х. Докажите строгость включения.
2.56. Пусть (Т, 21, /х) — измеримое пространство с конечной мерой (см. п. 2.6). Назовем два измеримых множества A G 21 и В G 21 эквивалентными, А ~ В, если ii(AAB) = 0.
Покажите, что это действительно отношение эквивалентности (т. е рефлексивное, симметричное и транзитивное).
Это отношение эквивалентности разбивает сг-алгебру 21 на множество непересекающихся классов эквивалентности. На этом фактор-множестве
68


21/Д определим функцию
р : (Я/Д) х (Я/Л) - [0,+оо), р(А,В) = р(ЛДВ).
Покажите, что р — метрика на 21/Л.
Покажите, что (21/Д,р) — полное метрическое пространство. Покажите, что функция d(A, В) = arctg ц(ААВ) также является метрикой на 21/Л.
Покажите, что метрическое пространство 21(/х) = (21 /A,d) также является полным.
2.57. Докажите, что при q < р lq С 1Р. Докажите, что включение строгое.
2.58. Скажем, что функция х : [а, Ь] —► Р удовлетворяет условию Гель- дера на [а, 6] с показателем а (0 < а ^ 1), если конечна величина
La(x) = sup |/
(при а = 1 говорят об условии Липшица). Докажите:
а) функции, удовлетворяющие условию Гельдера равномерно непрерывны на [а, 6];
б) множество Яа[а,6] функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем а (0 < а ^ 1) — линейное пространство над полем Р относительно поточечного сложения и умножения на скаляр из поля Р [а, 6] =
= Lip[a,b]j;
в) имеет место включение #а[а, Ь] С С[а,Ь];
г) функционал La(x) удовлетворяет аксиоме однородности и неравенству треугольника для нормы;
д) функционал
INU = М С[а,Ь) + La(x) (2.12)
удовлетворяет всем аксиомам нормы;
е) пространство Яа[а, 6] банахово относительно нормы (2.12).
2.59. Докажите полноту пространства АС[а,Ъ\.
2.60. Докажите, что АС[а,Ь] — подпространство пространства BV[a,b].
2.61. Образует ли множество BVo[a,b] функций ограниченной вариации, обращающихся в нуль в точке а, подпространство в BV[a, 6]?
2.62. На множестве функций ограниченной вариации определим нор-
ъ
му ||х|Г = sup |ж(£)| + \/(х). Убедитесь, что это действительно норма.
t€[a,b] а
69


Покажите, что эта норма эквивалентна стандартной норме пространства BV[a,b] (||а;|| = |ж(а)| + VO^))-
а
2.63. Пусть х — функция ограниченной вариации. Как известно (см. [7, с. 193]), имеет место представление Лебега
x(t) = Хаc(t)+xsc(t)+xsd(t) (хас(а) — ж(а), Xsc(a) = 0, Xsd(a) = 0), (2.13)
где хас — абсолютно непрерывная составляющая, xsc — сингулярная непрерывная составляющая (отличная от тождественной константы непрерывная функция, производная которой п. в. равна нулю), xsd — сингулярная дискретная составляющая (функция скачков). При этом (см. [7, с. 195])
ь ь ь ь
У(х) = \J(Xac) + \/(хзс) + Ц(хзс). (2.14)
а а а а
Обозначим через SC[a,b\ С BV[a,b] множество сингулярных непрерывных функций, дополненное тождественным нулем, SD[a, b] С С BV[а, 6] — множество сингулярных дискретных функций (функций скачков). Покажите, что SC[a,b] и SD[a, 6] — подпространства в BV[a,b] и BV[a, 6] = АС[а, b]+SC[a, b\+SD[a, b).
2.64. Фундаментальна ли последовательность xn(t) = e~nt в пространствах L2[0, 1],Li[0, 1], Ж7[0,1]?
2.65. Сходятся ли последовательности из 1.51, 1.52 в пространствах L2[0,1], Li[0,1]?
2.66. Сходится ли последовательность xn(t) = y/ne~nt в пространствах La[0,1], Li[0,1]?
2.67. Сходится ли последовательность
|,к-'
I», 1<1 > i
в пространстве Lp[—1,1] при каком-нибудь р(1^р<-|-оо)?
2.68. Пусть R[а, Ь] означает множество функций / : [о, Ь] —* R, имеющих конечные односторонние пределы /(a-f), /(&—), /(£+)>
f(t—) в каждой точке t € («,&)• Функции из R[a, 6] называются правильными (английский термин regulated, см. [6]; на русском языке встречается также термины прерывистые функции, см. замечание в [7, с. 58], линейчатые функции, см. [30, с. 43]). Очевидно, множество R[a, b] содержит непрерывные функции, С [а, Ь] С R [а, 6]; в силу теоремы 2.6 из [7, с. 21] (см. также [33, с. 83], [20, с. 238],) BV[a,b) С R[a,6].
70


Покажите, что функция
U) = / (« + !)(<- ;&) при^у < t < i, п = 1, 2, ...,
I 0(0) = О,
принадлежит R[0,1] \ BV[0,1] (это означает, что включение BV[a,b] С R[a, Ь] строгое).
Покажите, что R[a, b] — алгебра относительно поточечных операций сложения, умножения на число и умножения функций.
Покажите, что правильная функция ограничена (значит,
R[а,6] С М[а, 6]).
Покажите, что правильная функция может иметь не более, чем счетное множество точек разрыва.
2.69. Покажите, что в R[a, 6] можно ввести норму равенством ||х|| =
= sup |rc(t) I; покажите, что R[a, b] — банахово пространство относитель- t€[a,b]
но этой нормы (банахова алгебра); покажите, что сходимость относительно этой нормы есть равномерная сходимость. Покажите, что R[a, b] подпространство (подалгебра) в М[а, Ь]. Покажите, что пространство R[a, b] несепарабельно.
2.70. Функция х: [а, 6] —► К, принимающая конечное множество значений и имеющая конечное множество точек разрыва, называется ступенчатой функцией. Обозначим множество таких функций Н[а, 6] (ср. с SD[a, b] в 2.63). Покажите, что Н[а,Ъ\ — ЛНП относительно нормы ||х|| = шах |x(t)|;
te[a,b]'
покажите, что Н[а, Ъ] не является банаховым относительно этой нормы. Покажите, что #[а,Ь] плотно в пространстве С[а,Ь].
2.71. Покажите, что множество Н[а,Ь\ С R[a, 6] ступенчатых функций плотно в пространстве R[a, 6]. Укажите пополнение Н[а, 6].
2.72. Будем рассматривать правильные функции, определенные на фиксированном открытом интервале I = (а, 6), случаи а = —оо или (и) Ъ = +оо не исключаются. При этом предполагается и существование пределов rr(a-l-), х{Ь—).
Две правильные функции назовем эквивалентными, если они различаются только своими значениями в точках разрыва; при этом, если x(t+) = = x(t—), то считаем х непрерывной в точке t. Таким образом, множество правильных функций R(/) разбивается на классы эквивалентных функций; совокупность таких классов обозначим R(7). R(/) — алгебра относительно поточечно определенных операций сложения, умножения на число и умно-
71


жения функций. Алгебра R(/) наделяется нормой
||х|| = supmax{|x((+)|, |х(<-)|},
(2.15)
относительно которой является банаховой. Докажите это.
2.73. 	Пусть X — одно из банаховых пространств
С[а,6], М[а,Ь], BV[a,b], АС[а,Ь], R[a,b], Lp[a,b];
через А'71 обозначим линейное пространство n-вектор-функций с компонентами Хк € X (к = 1,2,..., п). На этом пространстве введем одну из следущих норм:
Проверьте аксиомы нормы. Докажите, что Л'п — банахово пространство относительно нормы ||х|| = ||ж||лгпд. Докажите эквивалентность всех приведенных норм.
3.1. 	Определение и простейшие свойства. Пусть Н — линейное пространство над полем Р, в котором определена функция НхН Р такая, что имеют место свойства
2°. (у,х) = (х,у), х,у ЕЛ (черта означает переход к комплексносопряженному числу);
3°. {х\ + Х2,у) = (xi,у) + (х2,у), xi,X2,y € Н;
4°. (Ах, у) = А(х, у), х, у € Н, А € Р.
Функция (•, •) называется скалярным произведением, а "Н - пространством со скалярным произведением.
Упражнение 3.1. Докажите, что
а) (х, А у) = А(х, у), А € Р, х, у € Н;
б) (x,yi + 2/2) = (x,yi) + (х,у2), х,г/i,2/2 е в,) (г, 0) = 0, х &И.
п
3. 	Гильбертовы пространства
1°. (ж,х) ^ 0; (ж,х) = 0
72


Упражнение 3.2. Докажите неравенство (Коши-Буняковского)
1(*,2/)|2 < (х,х)(у,у). (3.1)
Упражнение 3.3. Докажите, что функция
f : И —► К, f(x) = у/(х,х)
удовлетворяет аксиомам нормы.
Согласно упражнению 3.3 7i становится ЛНП, если положить
11*11 = \/(*,*)- (3.2)
ЛНП со скалярным произведением, в котором норма порождается скалярным произведением по формуле (3.2), называется унитарным.
Неравенство Коши-Буняковского (3.1) может быть записано так:
|(z,y)K IMMMI (3.3)
Упражнение 3.4. Докажите непрерывность скалярного произведе¬
ния.
Упражнение 3.5. Докажите следующее тождество параллелограмма
II* + 3/||2 + II* — 2/Ц2 = 2(||а;||2 + ||з/||2)- (3.4)
Полное унитарное пространство называется гильбертовым.
3.2. 	Примеры гильбертовых пространств.
1. 	Пространство Ьг(Т, 21, /х), в котором скалярное произведение вводится равенством
(х,у) = J x(t)y(t) dfx. (3.5)
Т
Упражнение 3.6. Проверьте выполнение аксиом 1° — 4° скалярного произведения. Проверьте, что при р = 2 норма (2.6) порождается скалярным произведением (3.5).
Согласно теореме 3 Ьг(Т, 21,/х) — гильбертово пространство. Рассмотрим снова частные случаи а)-д) измеримых пространств (Т, 21, /х)
а) Т = {1,2,..., п}, 21 = 'Р(Т), /х — считающая мера; в этом случае
п
Ьг(Т, 21, /х) = PJ; скалярное произведение (х,у) = 52 хк •
k—1
б) Т = N, 21 = P(N), ц — считающая мера; в этом случае
оо
1.2(Т,21,//) = W, скалярное произведение (х,у) = 52 хк У*;
к=1
73


в) 	пространство L2 [а, 6]; скалярное произведение
ь
(х,у) = J x(t)y(t)dt\
а
аналогично для случаев Т = R и Т = [0, +оо);
г) 	пространство L2j¥>(T); скалярное произведение
(х,у) = J x(t)y(t)<p(t) dt.
Т
Аналогично для п. д).
2. 	Рассмотрим линейное пространство непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций со значениями в поле Р. В этом пространстве можно ввести норму
Упражнение 3.7. Проверьте выполнение аксиом нормы. Покажите, что полученное ЛНП не является полным.
Пополнение этого пространства по норме (3.6) обозначается W2[a, Ь] и называется пространством Соболева в честь академика С. JI. Соболева, который ввел его. Пространство Соболева W2[a, b] является гильбертовым, если определить скалярное произведение равенством
Упражнение 3.8. Проверьте аксиомы скалярного произведения. Покажите, что норма (3.6) порождается этим скалярным произведением.
Точно так же определяется пространство Соболева W^(T) — как пополнение пространства дифференцируемых до порядка р функций Т —► С, где Т С Кп — открытое или замкнутое множество, со скалярным произведением
1
(3.6)
Ь
(3.7)
a
Т \к\^Р
и О
где к = (fci,..., кп), h > 0, |fc| = fci + ... + кп, Dk — —т- —
dty1 ... dtnn
QfCi+...+кп
1 • • • Is In
74


3. На линейном пространстве функций х: [а, Ь] —► Р, которые отличны от
Упражнение 3.9. Проверьте аксиомы скалярного произведения. Покажите, что это скалярное произведение порождает норму
странства. Докажите, что оно несепарабельно (см. 1.85).
3.3. 	Ортогональность. Пусть Н — гильбертово пространство. Скажем, что элементы х и у из Н ортогональны (пишем х±у), если (х, у) = 0; скажем, что элемент х ортогонален множеству М С Н (пишем х_1_М ), если (х,у) = 0 для любого у Е М; пусть Mi, М2 С Н\ скажем, что Mi±M2, если (х, у) — 0 для любых х Е Mi, у Е М2.
Непосредственно из определения скалярного произведения следует, что если xJ-2/i, x_Ly2„ то xLayi 4- /Зу2 (х, у\, У2 Е Н, а, (3 Е Р); из непрерывности скалярного произведения (см. упражнение 3.4) следует, что если
Х±Ут (ш = 1,2,...), Ут -*у (т-> оо), то х_Ц/ (х, у, Ут ен);
из этих утверждений следует, что если элемент х Е 7i ортогонален множеству М С W,, то он ортогонален и замыканию линейной оболочки этого множества:
Множество М С Н называется порождающим, если замыкание его линейной оболочки совпадает с 7i: Н = cl (М).
Пусть А — некоторое множество (индексов). Система {Хос}аеА элементов гильбертова пространства 7i называется полной, если ее линейная оболочка образует порождающее множество, т. е., если cl ({Ха£}а£.А) —
Упражнение 3.10. Докажите, что если М — порождающее множество и x_LМ, то х = 0.
Упражнение 3.11. Докажите, что система функций полна в пространстве Ьг[а,6].
Множество М1- = {у £ Н : (х, у) = 0 для всех х Е М} назовем ортогональным дополнением множества М С Н •
. Докажите полноту полученного унитарного про-
x_LM => X-Lcl (М).
(3.8)
75


Упражнение 3.12. Докажите, что ортогональное дополнение любого множества из Н есть подпространство.
Упражнение 3.13. Докажите, что если х±.у, то
\\х + у\\2 = Ы2 + Ы2
{теорема Пифагора). Докажите, что если
Xk-Lxj (кф j), то
= £|М12
Теорема 3.1. (О разложении гильбертова пространства.) Пусть Н — гильбертово пространство, Hi С Н — его подпространство, Н2 — Hi. Тогда Н = Hi 0 Н2', это означает что любой х Е Н может быть единственным образом представлен в виде
х — х х", где х Е 'Hi, х" Е Н2; (3.9)
х' называется проекцией х на Hi (х' = ргщх), причем р(х,Н\) =
= ||х-х'|| = ||х"||.
Доказательство. Пусть х — произвольный элемент Н, d = p(x,Hi). По свойству точной нижней грани для каждого п Е N найдется элемент хп Е Hi, удовлетворяющий неравенствам
1
d2 < ||х-х„||2 <d2 +
,2 '
(3.10)
Покажем, что последовательность {xn}%Li фундаментальна. С этой целью применим тождество параллелограмма (см. упражнение 3.5) к элементам
X Хп И X Xтух,
(X - Хп) + (х - Хт)\\2 + ||(х - Хп) -(х- Хт) ||2 = 2(||х - Xn||2 + ||х - Хт||2),
т. е.
|2(х _ g" +Хт)|2 + _ Хт||2 = 2(||Х _ + 1|х _ Хт||2))
откуда в силу (3.10)


Так как Н — полное пространство, то найдется х = lim хп, а так как Hi
п—*оо
замкнуто, то х' eHi. Устремив в (3.10) га —► оо, получим, что ||х — х'|| = d.
Пусть х" = х — х'. Надо доказать, что х"_1_у для любого у € Hi] это и будет означать, что х" Е Н2•
Пусть у G Hi, у ф 0. Тогда для любого A G Р х' 4- Ay Е Tii. Имеем
||x" - Ay||2 = ||x - (x' + Ay)||2 ^ d2 = ||x"||2,
или иначе,
(x" - Ay, x" - Ay) = (x",x") - A(y,x") - A(x",y) 4- |A|2(y,y) ^ (x",x"),
откуда —A(y,x") — A(x",y) 4- |A|2(y,у) ^ 0. Подставив в это неравенство А = (ж", у)/(у, у), получим после очевидных упрощений, что |(ж", у)| < 0, т. е. (х", у) = 0.
Итак, представление (3.9) доказано. Докажем его единственность. Пусть наряду с (3.9) имеется другое представление х = у' + у", где у' G Hi,yn ЕН2- Из равенства х' + х" = у' 4- у/г следует х' — у' =
= у" — х". Так как левая часть принадлежит Hi, а правая — Н2, то х' - у' = о, у" - х" = 0 =* х' = у',х" = у".
Следствие 3.1. Для того, чтобы система {ха}аел была полной, необходимо и достаточно, чтобы вН не существовало ненулевого элемента х, ортогонального всем элементам системы, т. е. x_Lxa (a G А) => х = 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть Hi = с/({ха}аел); предположим, что Tii ф Н. По теореме 1 любой х G H\Hi может быть единственным образом представлен в виде (3.9), причем согласно предположению х" ф 0. Однако x^-Lxa (a G А) и,следовательно, по условию хп = 0. Полученное противоречие доказывает, что Hi — Н, т. е. система {ха}аеА полна. Необходимость доказана в упражнении 3.10
3.4. 	Ортогональные системы элементов. Система {ха}аеА называется ортогональной, если (xa,xa/) = 0 при а ф о!; эта система называется ортонормированной (ОНС), если она ортогональна и ||xa|| = 1 (a Е А).
Теорема 3.2. Всякая ОНС сепарабельного гильбертова пространства не более чем счетна.
Доказательство. Пусть {ха}аел — ОНС сепарабельного гильбертова пространства Н, и V — счетное всюду плотное в Н множество. Для ха найдем у а G V так, чтобы ||ха — У а || <
77


Покажем, что отображение у? : {жа}аел —*► Т>, уа = <р(ха) инъективно. Пусть а ф ol .
IIJ/а - 2/а'II = II (Уа ~ ®а) + (la “ Жа') + ~ Уа')|| =
= IK^a *Еа') ((*Еа Уа) "Ь (Уа' ^а')) I! ^ Ika Ха'1|
- (||Уа - Ха|| + ||жа/ - J/a/||) ^ ||а:а - Ха> || - 1 = л/2 - 1 > 0.
Мы воспользовались равенством
||Же* Жф' || — (Жсс Жд,', Жсх xot,S) — (Жо 5 Xot) “Ь (Ха>, Жql1 ) — 2.
Таким образом, показано, что система {ха}аел эквивалентна части счетного множества V. Следовательно она не более чем счетна.
Теорема 3.3. (Гильберта - Шмидта об ортогонализации.) Пусть
{yk}keN — линейно независимая система элементов гильбертова пространства Н. Тогда существует ОНС {хк}кеп такая, что
п
Ж п — ^ ^ СпкУк 1 Спть > 0. (3.11)
к=1
Доказательство. Полагаем х\ = тогда Си = 1/Ы| >0.
Пусть уже построена ОНС {Хк}к=\, обладающая свойствами
к
Хк — ^ ] Ckjyj ? Скк ^0? к = 1, 2, . . . , 72.
3 = 1
Обозначим Нп = ({yk}k=i^i Лп = ('Нп)±- По теореме 1
/ II I III п
Уп-\-1 Уп+1 + Уп + ll Уп +1 Е ^П)2/п+1 Е Нп ,
" ' причем г/n+i ^ 0 (иначе 2/n+i £ ?^п, что противоречит линейной независимости системы {ук}к=i)- Полагаем жп+1 = 2/n+i/||2/n+ill- Тогда ||жп+1|| = 1, Xn+i±Hn, т. е. Жп+г-Ьж*;, /с = 1,2, ...,тг. Положив Cn+i,n+i = l/||yn-fi|| > 0 и учитывая представление уп+1, получим
Жп-fl ~ CVi-f l,n-f 1Уп+1 == CVl+l,n+l (j/n+1 — 2/n+l) =
п п+1
— Сп+1,п+1Уп+1 ^ ^ Сп-\-1,п+\0'пкУк = ^ ^ Сп+\,кУк
к=1 /с=1
(«пА: — коэффициенты разложения уп+1 по базису Нп,
C'n+i,*; = — Cn+i,n+ianfc). По индукции ОНС, обладающая свойствами (3.11), существует.
78


Теорема 3.4. Во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует полная ОНС, счетная, если пространство бесконечномерно.
Доказательство. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, и V = {zi,z2,...} — счетное всюду плотное в нем множество. Возьмем в качестве у\ первый ненулевой элемент в этом списке, в качестве у2 возьмем первый элемент, линейно независимый с yi, в качестве уз возьмем первый элемент, линейно независимый с yi,y2, и так далее; если уже выбраны линейно независимые элементы yi,уг,..., уп, то в качестве yn+1 возьмем первый элемент линейно независимый с yi, уг, •••,Уп- Если Н конечномерно, то этот процесс закончится через конечное число шагов; в случае бесконечномерного Н этот процесс не может закончиться за конечное число шагов. Так мы получаем линейно независимую систему {yn}^Li такую, что ({yn}£Li) = V. Таким образом, система {уп}??= i полна. По теореме 3 существует ОНС {хп}п=1) которая в силу (3.11) также является полной. В случае конечномерного пространства ОНС будет состоять из конечного числа элементов, равного размерности пространства Н.
Теорема 3.5. Всякую ОНС в сепарабельном гильбертовом пространстве можно дополнить до полной.
Доказательство. Пусть {е*}^ — неполная ОНС в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н, Но = cl ({е^}^!),
Но ф Н. По теореме 1 Н — Но ®Hq . Как подпространство сепарабельного гильбертова пространства Н, Но и само будет сепарабельным гильбертовым пространством. По теореме 4 в Но существует полная ОНС, счетная, если Но бесконечномерно. Объединяя эту систему с исходной, получим полную ОНС в Н.
3.5. 	Ряд Фурье по ОНС. Пусть Н — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство и
ОНС в нем. Для любого х € Н можно определить числовую последовательность а к = (х,е*;), к = 1,2,...; числа а к называются коэффициентами Фурье элемента х по системе (3.12). Не выясняя пока вопроса о сходимости, составим формальный ряд
к= 1
который называется рядом Фурье элемента х по системе (3.12).
Пусть Нп — линейная оболочка первых п элементов системы (3.12),
(3-12)
ОО
(3.13)
79


Tin = {{ek}k=i), Sn — YI ак£к — частичная сумма (отрезок) ряда Фурье
к=1
(3.13).
Теорема 3.6. (Об экстремальном свойстве отрезка ряда Фурье.) Отрезок Sn есть наилучшее приближение к х среди всех элементов Нп, Sn = ртпп
Доказательство. Представим х в форме х = Sn + (х — Sn) и покажем, что х — Snl-Hn• Действительно,
(х - Sn, ек) = (X, efc) - (Sn, ек) = ак - ак = 0, к = 1,2,..., п.
Таким образом, для х получено представление (3.9), т. е. Sn = ргппх, и для любого Z еНп \\z - х\\ > р(х,Нп) = IISn - х\\ .
Следствие 3.2. Для любого х £ Н справедливо неравенство Бесселя:
оо
£ KI2 < И2.
к= 1
Доказательство. Применим теорему 3.6 и упражнение 3.13 (теорему Пифагора) :
INI2 = IlSnll2 + II* - Snf ^ WSnf = II f>efc||2 =
к = 1
= EK|2||efc||2 = £K|2-
fc=l fc=l
Ограниченность частичных сумм ряда с неотрицательными членами озна-
п
чает сходимость этого ряда; переход в неравенстве ^ 1а*|2 ^ IWI2 к пРе'
к=1
делу при п —> оо дает нам неравенство Бесселя.
Если для некоторого х неравенство Бесселя превращается в равенство, то говорят, что для этого элемента выполнено условие замкнутости или
оо
равенство Парсеваля-Стеклова: 5Z \а^\2 = 11х1|2- ОНС (3.12) называется
к=1
замкнутой, если равенство Парсеваля-Стеклова выполняется для всех элементов Н.
Теорема 3.7. (О сходимости ряда Фурье.) 1) Для любого х G Н ряд Фурье по ОНС (3.12) сходится в Н, Sn —► S Е Н\
2) сумма S ряда Фурье есть проекция х на Но — cl ({е*;}^!);
3) для того, чтобы S = х (т. е., для того, чтобы ряд Фурье сходился к породившему его элементу) необходимо и достаточно, чтобы для х выполнялось условие замкнутости.
80


Доказательство. Покажем, что последовательность частичных сумм ряда Фурье фундаментальна. Так как ряд из квадратов модулей коэффициентов Фурье сходится, то в силу принципа сходимости Коши имеем
п+Р
||S„+P-S„||2= l°fcl2 ~* о (реп, п-оо).
к—П+1
оо
В силу полноты Н существует lim Sn = S, S = ^ dkZk- Следовательно,
n-°° k=l
S G Но. Отсюда, из теоремы Пифагора (упражнения 3.13) и непрерывности
ОО
скалярного произведения следует, что ||5||2 = ^ lafc|2- Так как, очевидно,
к=1
для всех к Е N х — S±ek, то представление х = 5 + (х — S) есть представление (3.9). Отсюда, применяя снова упражнение 3.13,
М2 = ||5||2 + ||ж-5||2 (3.14)
Если для х выполнено условие замкнутости, то ||ж||2 = ||£||2 и из (3.14) следует, что ||ж — 5||2 = 0, т. е. S = х. Наоборот, если S = ж, то из (3.14) получаем, что ||5||2 = ||ж||2, т. е. для х выполнено условие замкнутости.
Следствие 3.3. Если ОНС (3.12) полна, то для любого х € Н ряд Фурье сходится к х.
Доказательство. Так как теперь Но = Н, то х — S = 0, х = S.
Следствие 3.4. Для того, чтобы ОНС (3.12) была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы она была полной.
Доказательство. Из следствия 3.3 видим, что полная система замкнута. Наоборот, если система замкнута, то для любого х £ Н х = 5, следовательно, Но = Н, т. е. система полна.
Таким образом, полная ОНС в сепарабельном гильбертовом пространстве образует его базис.
3.6. 	Роль пространства /2
Теорема 3.8. (Рисса-Фишера.) Всякое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство изометрично изоморфно пространству /2.
Доказательство. Пусть Н — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Надо доказать, что существует такое отображение Н на /2, которое является изоморфизмом и изометрией. По теореме 3.4 в Н существует полная ОНС (3.12). По теореме 3.7 каждый элемент Н может
81


быть разложен в ряд Фурье (3.13) по системе (3.12).Определим отображение (р : Н —► h, которое каждому х £ Н ставит в соответствие последовательность его коэффициентов Фурье а = (ai,a2,...). В силу равенства Парсеваля-Стеклова a £ Z2. Очевидно, (р инъективно. Докажем его сюръ- ективность.
о°
Пусть с = (ci,c2,...) 6 /2- Это значит, что ряд ^ \ск\ сходится. Рас-
к=1
смотрим ряд
оо
£cfcefc; (3.15)
fc=l
пусть Сп ЕН — его частичная сумма,
п+р
\\Сп+Р-Сп 11= £ |cfc|2 — 0(p€N, п — оо), fc=n+1
так как с € /2. В силу полноты Н ряд (3.15) сходится в Н. Обозначим его сумму у и найдем коэффициенты Фурье элемента у:ак = (у, ек)—Ск (использована ортонормированность системы (3.12) и непрерывность скалярного произведения). В итоге показано, что ip(y) = с, т. е., что (р сюръективно, а значит, биективно.
Так как, очевидно,
<р(х + у) = ip{x) + <р(у), <р(\х) = \ip(x) (А € Р, х,уен),
то доказано, что <р — изоморфизм. В силу условия замкнутости
m*)ii?2 = Х>*|2 = м«,
к=1
т. е. <р — изометрия. Тем самым доказано, что Н изометрично изоморфно пространству I2.
Следствие 3.5. Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрично изоморфны друг другу.
З.Т. Примеры полных ортогональных систем.
1. Н = /2; полную ОНС образуют последовательности efc = (0,..., 0,1,0,...) (1 на к-м месте) (к = 1,2,...).
2. Н = Ьг[0,27т], Р = С; полная ОНС — }
3 .Н = Ьз [0,2тг], Р = М; полная ОНС - .
82


4. 	Н = Ьг[—1,1], Р = R; полную ортогональную систему образуют многочлены Лежандра Pn(), которые получаются ортогонализацией полной системы степенных функций
1 (3.16)
согласно теореме 3.3. Многочлены Лежандра могут быть также получены с помощью следующей формулы Родрига
р-т=
Полную ОНС получим, если нормируем Рп, т. е. положим Pn{t) = P(t)/\\P\\.
5. Н = L2,v?[— 1,1], Р = R, <p(t) = —7==; полную ортогональную систему образуют многочлены Чебышева первого рода Тп( ), которые также получаются ортогонализацией системы (3.16). Многочлены Tn(t) могут быть вычислены рекуррентно по формуле
Тп+1 = 2tfn(t) - Тп-1, ТЬ = 1, Ti(t) = t;
Кроме того, они могут быть найдены по формуле
Tn{t) = cos (narccos t), n = 0,1,2,...;
полная ОНС многочленов Чебышева первого рода получется нормированием системы Тп(-).
Если в качестве весовой функции взять (p(t) = у/1 — t2, то получится система многочленов Чебышева второго рода.
6. Н = L2,<^[0,-foo), Р = R, ip(t) = е~г\ полную ортогональную систему образуют многочлены Лагерра, которые получаются ортогонализацией системы (3.16). Они также могут быть вычислены по формуле Родрига
711±\ (“1) j- d л 1 о
L(t) — п\ dt71 — 0,1,2,...
Т. Н = L2>v?(—оо, 4-оо), Р = R, ip(t) = е-*2; полную ортогональную си¬
стему образуют многочлены Чебышева-Эрмита, которые получаются ортогонализацией системы (3.16). Формула Родрига для них имеет вид:
Я(<) = (—l)V2^(e-*2), п = 0,1,2,...
Приведенные в 4,6, 7 формулы Родрига представляют собой частные случаи одной обобщенной формулы (см. [25, с. 50]).
83


Упражнения
3.14. Докажите, что норма в ЛНП
со, с, 1Р (р ф 2),Lp[a, b] (р Ф 2), С[а, 6], АС[а, Ь], БК[а,6]
не может порождаться скалярным произведением согласно (3.2).
3.15. Пусть X — вещественное ЛНП (Р = R), для любых двух элементов х и у которого выполняется тождество параллелограмма (3.4). Докажите, что равенство (ж, у) = \ (||ж + у\\2 — ||ж — у||2) задает в X скалярное произведение, порождающее норму X согласно (3.2).
3.16. Докажите ортогональность систем в примерах 1-7. Докажите полноту этих систем.
3.17. Убедитесь, что функции xn(t) = yj^sinnt (п Е N) образуют полную ОНС в вещественном пространстве L2 [0,7г]; будет ли эта система ор- тонормированной в пространстве L2[—7г, 7г]? будет ли она полной в этом пространстве?
3.18. Докажите, что система функций Хаара жоо = 1, £ € [0,1],
Г для(6
хкп = < -2тг1, для t € 2^т) >
^ О, в остальных точках отрезка [0,1].
(к = 1,2,..., 2п~1; п = 1,2,...) образует полную ОНС в вещественном пространстве L2[0,1].
Заметим, что система функций Хаара порождается одной функцией: Хкп = 2 2 xn(2n~1t — к — 1) п, к > 0 (см. [24]). Отметим также, что система функций Хаара находит применение в теории вейвлетов (всплесков, см., например, [10].)
3.19. Образуют ли в вещественном пространстве L2[а, Ь] ортогональную систему функции xn(t) = ((£—а)п(Ь—£)п), п = 0,1,2,...? Найдите норму
Хп •
3.20. Пусть L = ({ега*}а€к); введем в L скалярное произведение равенством
т
(х,у) = J x(t)y(t) dt (х,у € L).
-т
Пусть Н — пополнение L в норме, порожденной этим скалярным произведением. Докажите, что система {eia£}a€R ортогональна в Н. Докажите, что Н не является сепарабельным.
84


3.21. 	Пусть {#n}5?Li — ОНС в комплексном пространстве L2[а, &], {у„}~ ! — ОНС в комплексном пространстве с]; определим
zn : [а, с] —► С равенствами
_ \ сххп( \ РУп(
п\ _ J axn(t) для t е [а, Ь], *nU“S Л-г(«) для «€(6, с],
где а, /? — комплексные числа, |о:|2 4- |/?|2 = 1. Докажите, что {zn}^L\ — ОНС в комплексном пространстве L2[а, с].
3.22. Пусть {хп}^! — ОНС в гильбертовом пространстве ТС. Покажите, что тогда \\хк — хп\\ = у/2 (к ф п).
3.23. Пусть {хп}^=1 — ортогональная система в гильбертовом про-
оо
странстве ТС и ряд хк сходится. Покажите, что тогда
к=1
2
Y,Xk
к=1
= Ё>*||2 (ср. 3.13).
3.24. Пусть М С N С ТС, где ТС — гильбертово пространство. Докажите, что N± С М"1.
3.25. Докажите, что в гильбертовом пространстве ТС М С (M-L)'L;
М = (М±)± тогда и только тогда, когда М — подпространство.
3.26. Пусть М и N — подпространства гильбертова пространства ТС и MLN докажите, что М + N — подпространство.
3.2Т. Пусть х и у — элементы вещественного (Р = R) гильбертова пространства ТС. Докажите, что если ||х 4- у\\2 = ||х||2 4- ||у||2, то x_Lу (ср. с 3.13)
3.28. Пусть ТС — вещественное гильбертово пространство, L — его подпространство. Докажите утверждение
(x±L) •$=► (Vy € L, ||х|| ^ ||х - уII).
3.29. Пусть ТС — гильбертово пространство, L — его подпространство, точка х £ ТС такова, что р(х, L) = d > 0. Докажите, что существует точка у £ L такая, что р(х, у) = d (существует точка, реализующая расстояние от точки до подпространства).
3.30. Пусть хп,Уп (п £ N) принадлежат шару В[0,1] гильбертова пространства ТС и (хп,Уп) —> 1. Докажите, что тогда \\хп — уп\\ —► 0 (п —► оо).
3.31. Ортогональны ли элементы x(t) = 1 и y(t) = t в пространстве L2 [—1,1]? в пространстве W^—1,1]?
85


3.32. Докажите, что в вещественном (Р = R) гильбертовом пространстве Н можно ввести понятие угла между элементами с помощью равенства cos (х^у) = . Найдите угол между x(t) = 1 и y(t) = t в пространстве
Ьг[0,1].
3.33. Найдите углы треугольника, образованного элементами x(t) = 1 ,y(t) = t,z(t) = t2 в пространстве 1.2[0,1]; в пространстве W^fO, 1].
3.34. Найдите углы треугольника, образованного элементами х = (1,0,0,...), у = (0,1,0,.. .)> г = (0,0,1,0,...) в пространстве h.
3.35. Пусть М = (1 ,М2) С 1,2[0,1]; найдите р(£3,М); найдите ргм^3; найдите ргме1, prMsinnt.
3.36. Применяя процесс ортогонализации в пространстве L2[—1,1], найдите три первых многочлена Лежандра. Нормируйте их. Найдите эти многочлены по формуле Родрига.
3.37. Применяя процесс ортогонализации в пространстве L2>v?[0, +оо) ((p(t) = e-t), найдите три первых многочлена Лагерра. Найдите эти многочлены по формуле Родрига.
3.38. В пространстве Ьг[—1,1] найдите наилучшее приближение к функции x(t) = t3 а) среди констант; б) среди линейных функций; в) среди многочленов второй степени (ср. 3.35).Решите эти же задачи для функций ег и simvt. Сформулируйте эти же задачи на языке пространства С[—1,1].
3.39. Покажите, что многочлены Лежандра (см. 3.36) четной (нечетной) степени образуют полную ОНС в пространстве четных (нечетных) функций, суммируемых с квадратом на отрезке [—1,1].
3.40. Покажите, что функции xn(t) — e2*%nty п Е Z образуют полную ОНС в пространстве 1.2 [0,1]. Найдите ряды Фурье по этой ОНС для следующих функций
a) x(t) = sign(2t — 1); б) y(t) = eAt, А £ R, Л ф 0; в) z(t) = t;
г) 	v(t) = sin27rt; д) sh2nt.
3.41. Найдите ряд Фурье элемента х = (1, |, ^,...) по ОНС примера 1.
3.42. Пусть а = (ai,a2,...) — фиксированная последовательность положительных чисел, h,a — множество последовательностей вещественных
оо
чисел, для которых сходится ряд Y1 ак^\. Убедитесь что /2,а со скалярным
к=1
оо
произведением (х,у) = Y1 &кХкУк является сепарабельным гильбертовым
fc=i
пространством.
Укажите полную ОНС (базис) в пространстве /2>а; рассмотрите случаи:
а) 	ак - 1; б) ак = к; в) ак = к2\ г) ак = ек; д) ак = е~к (к = 1,2,...).
3.43. В вещественном линейном пространстве L последовательностей
86


оо
х = (xi,x2,. •.) таких, что сходится ряд хк> полагаем (х,у) =
к=1
оо
= Y1 акХкУк, где otk Е (0,1). Покажите,что L с таким скалярным произве-
к=\
дением, вообще говоря, не является гильбертовым пространством. Опишите
его пополнение Н. Докажите сепарабельность Н.
ь
3.44. Пусть М = {х Е Ьг[а, b] : f x(t)dt = 0}; докажите, что М линей-
а
кое многообразие в Ьг[а,&]; является ли М подпространством? Опишите ортогональное дополнение М; найдите p(t3, М); найдите ргм&.
оо
3.45. Пусть М = {х = (xi,x2,...) : Xk = 0} С fa (см. 2.39). Докажи-
/с=1
те, что линейное многообразие М всюду плотно в fa. Найдите в М линейно независимую систему элементов, ортогонализация которой дает базис пространства fa.
3.46. Докажите, что при фиксированном натуральном п множество
п
М = {х = (#i, #2, • • •) : Y1 хк = 0} С fa является подпространством
fc=i
fa. Опишите его ортогональное дополнение. Найдите проекцию элемента е = (1,0,0,...) на подпространство М. Найдите расстояние от этого элемента до М.
3.47. Разложите пространство fa в ортогональную сумму двух бесконечномерных подпространств.
3.48. В пространстве L2 [—1,1] рассмотрим множество М функций, эквивалентных 0 при t ^ 0. Докажите, что М подпространство. Опишите его ортогональное дополнение. Найдите проекцию y(t) = t3 на М. Найдите расстояние от у до М.
1
3.49. Пусть М = {ж Е W^O, 1] : / x(t) dt = 0}; докажите, что М линей-
о
ное многообразие в W2[a,fe]; является ли М подпространством? Опишите ортогональное дополнение М; найдите p{t3, М); найдите prMt3.
3.50. Определителем Грама системы элементов {xk}k=i С Н называется Гп = Г(х1,х2,.. • ,хп) =det ((xi,xfc))”'fc=1. Докажите, что система {xfc}£=1 тогда и только тогда линейно независима, когда Гп > 0.
3.51. Пусть М — n-мерное подпространство гильбертова пространства Н, {xfe}fc=1 — базис М, х Е Н. Докажите, что
3.52. 	Пусть М — одномерное подпространство гильбертова простран-
87


ства 7i, а € М, а ф 0. Докажите, что для любого х G ТС
3.53. 	Докажите, что единичный шар в бесконечномерном гильбертовом пространстве содержит бесконечное множество непересекающихся шаров радиуса j.
4. 	Линейные операторы и функционалы в линейных нормированных пространствах
4.1. Линейные операторы и функционалы
4.1.1. Пусть X и У — линейные нормированные пространства (ЛНП). Отображение А : X —> У называется оператором. При этом говорят, что оператор А действует из X в У, а если Л' = У, то говорят, что А действует в X. Через Т>(А) обозначим множество (область) определения оператора А, через 71(A) — его множество значений; Т>(А) С X, 71(A) С У. (Заметим, что вместо 7Z(A) употребляются также обозначения JmA и А(Х)). Значение оператора А на элементе х G X обозначаем Ах. Если У = Р, то оператор называется функционалом, в этом случае пишем аргумент в скобках: f(x).
Оператор А называется линейным, если: а) Т>(А) — линейное многообразие в X ; б) он аддитивен: А(хi + х2) = Ах\ + Лх2, xi,x2 G 7Э(А)\ в) он однороден: А(\х) = ХАх х G V(A), Л G Р.
Упражнение 4.1. Докажите, что для линейного оператора А 71(A) — линейное многообразие в У.
В центре нашего внимания будут два случая: 1) Т>(А) = Х\ такой оператор будем называть всюду определенным; 2) V(A) ф X, но clV(A) = Х\ такой оператор будем называть плотно определенным.
4.1.2. Примеры. 1. Всюду определенный оператор А : Р£ —► PJ1; из курса линейной алгебры известно, что существует m х n-матрица А, зависящая от выбора базисов в пространствах Рр,Р^ и такая, что Ах = Ах.
2. 	Оператор умножения на независимую переменную:
(Ax)(t) = tx(t), А : С[—1,1] —► С[—1,1].
Это всюду определенный оператор, однако 7Z(A) ф С[— 1,1].


Упражнение 4.2. Опишите 1Z( А).
3. 	Линейные интегральные операторы Фредгольма: ь
(Ax)(t) = J K(t, s)x{s) ds, A : C[a, b] -► C[o, 6] (4.1)
и Вольтерры
t
(Ax)(t) = J K{t, s)x(s) ds, A : C[a, b] -► C[a, b]; (4.2)
a
функция if(-, •), называемая ядром, в первом случае предполагается непрерывной по совокупности переменных в квадрате [а, Ь]2; во втором случае ядро предполагается непрерывным в треугольнике а ^ s ^ t ^ Ь. Это также всюду определенные операторы, но вообще говоря, 71(A) ф С[а,Ь].
4. Оператор дифференцирования Ах — ~, рассматриваемый как оператор, действующий в С[а,Ь], т. е. А : С [а, Ь] —► С [а, 6]. Это пример плотно определенного оператора: здесь Х>(А) представляет собой всюду плотное в С [а, 6] множество непрерывно дифференцируемых функций. Заметим также, что здесь 11(A) = С[а, 6].
Упражнение 4.3. Докажите последнее утверждение.
5. Интегральные операторы Фредгольма (4.1) и Вольтерры (4.2) можно рассматривать также как действующие в пространстве Lp[a, 6], т. е., когда X = У = hp[a,b]j или когда X = Lp[a, 6], а У = Lq[a, 6].
Упражнение 4.4. Выясните, какими должны быть ядра операторов
(4.1) 	и (4.2), чтобы они так действовали.
6. Нулевой оператор 0; этот оператор ставит в соответствие каждому элементу х Е X элемент 0 Е У, Ох = 0.
7. Тождественный оператор J : X —► Л'; этот оператор ставит в соответствие каждому х Е X сам х : Jx — х.
8. Как уже отмечалось, если оператор действует в Р, т. е., если У = Р, то его называют функционалом. Примерами линейных функционалов на пространстве X = С [а, 6], являются функционалы
г
f(x) = х(а), g(x) = / x(t)dt, h(x) = У^ckx(tk),
a
где a < ti < t2 < ... < tn ^ 6.
89


4.1.3. 	Ограниченность и непрерывность. В п. 1.9 мы уже вводили определение непрерывности отображения, действующего из одного метрического пространства в другое. Сформулируем его здесь снова на языке линейных операторов. Скажем, что линейный оператор А : X —► У непрерывен в точке х G Т>(А), если для любой последовательности {xn}^=i С Т>(А), сходящейся к х в X, Ахп —► Ах в У. Оператор непрерывен на всей Т>(А), если он непрерывен в каждой точке х G 'D(A).
Упражнение 4.5. Докажите: для того, чтобы линейный оператор А был непрерывен на всей 'D(A), необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен в нуле.
Линейный оператор А : X —> У называется ограниченным, если существует константа С > О такая, что
Упражнение 4.6. Докажите: для того, чтобы линейный оператор А был ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил всякое ограниченное в X множество в множество, ограниченное в У.
Теорема 4.1. Оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство. Пусть оператор А непрерывен и М С X ограничено. Согласно упражнению 4.6 достаточно показать, что М переводится оператором А в ограниченное множество.
Предположим, что множество А(М)={у : у = Ах, х G М} неогра¬
ничен©. Тогда для любого натурального п найдется хп G М такой, что ||Лхп|| ^ п; положим хп == ; очевидно, хп ► 0, и значит Ахп —* 0 при
п —► оо. Однако, с другой стороны, ||Arn|| = ^||Arn|| ^ 1. Полученное противоречие доказывает, что непрерывный оператор является ограниченным.
Пусть оператор А ограничен. Согласно упражнению 4.5 достаточно доказать непрерывность А в нуле. Пусть хп —* 0. Тогда в силу (4.3) ||Агп|| ^ С'ЦхпЦ —► 0, и значит, Ахп —> 0.
Упражнение 4.7. Покажите, что образ 11(A) ограниченного линейного оператора может не быть замкнутым (т. е. не быть подпространством в У).
4.1.4. 	Норма оператора. Наименьшее из чисел С в (4.3) называется нормой оператора А и обозначается ||А||. Из этого определения следует:
|| Аг||у ^ СЦжЦдг для всех х G V(A).
(4.3)
||Аг||у ^ 1И11 • 1И*. 90
(4.4)


Теорема 4.2. (О норме линейного оператора.)
1И11 = sup ||Лх|| = sup
11*11=1 м/о Iml
Доказательство. Обозначим а = sup \\Ах\\ = sup 'I J. По свойству
11*11 = 1 Н*11^о 11 11
супремума для любого е найдется х£ ф 0 такой, что > а — е. Отсюда
и из (4.4) следует, что (а — е)||же|| < ||Ахе|| ^ ||Л|| ||хе||, т. е. а — е < ||А||. В силу произвольности е это означает, что а ^ ||л4||. Предположим, что неравенство здесь строгое. Тогда
\\А\\-а = /3>0, а=||Л||-/?<||Л||-|;
отсюда и из определения а получаем для любого х €: Т>(А)
1Иж11 Л . и л и _ £
||х|| ^а<||Л|1 2’
или иначе, ||Аг|| < (\\А\\ — §)||х||; но это противоречит определению нормы как наименьшей константы в (4.3). Следовательно, имеем равенство а = \\А\\.
4.1.5. 	Примеры вычисления нормы оператора. 1. Пусть оператор А : ~* К? задан в некотором базисе матрицей А = (aik)™k=i Обозначим
п
Уг = 22 aikXk- Оценим норму оператора сверху с помощью неравенства
к=1
(4.4). Доказав неравенство типа (4.3) с каким-нибудь С, будем иметь оценку
\\А\\ < С.
||Ac|| = £>| = £
г=1
к=1
\aik\\xk\ =
i=i к=1 п п п
£М£|а<*| s? imaxn£|a<fc| • ||х||.
к = 1 г= 1 ^ ^Пг=1
Следовательно, оператор А ограничен (а значит, и непрерывен) и для нор-
п
мы имеет место оценка ||А|| ^ max ^2 \aik\ = ol.
l^.k^.n i—i
Чтобы доказать противоположное неравенство, воспользуемся теоремой
4.2. 	Пусть ко — номер столбца на котором достигается максимум в правой части последнего неравенства. Положим х = (0,..., 0,1,0,..., 0)т (1 на месте с номером ко, Т - знак транспонирования). Очевидно, ||х|| = 1. Согласно теореме 4.2
п
\\А\\ = sup ||Ас|| ^ ||Аг|| = £ |aifco| = а, ||А|| ^ а.
11*11=1 7^1
91


Вместе с ранее доказанным неравенством, это означает, что
п
||Л||=а= max £|а<*|. (4.5)
^ 'Ч‘П г=1
Упражнение 4.8. Рассмотрите оператор А : М^о ^оо с т°й же
п
матрицей. Покажите, что \\А\\ = max ^ \aik\-
l^i<nk=zl
Упражнение 4.9. Рассмотрите оператор А : R? —► RJ^ с той же матрицей. Найдите оценку сверху для ||А||.
Упражнение 4.10. Рассмотрите оператор А : RJ —► RJ с той же матрицей. Найдите оценку сверху для \\А\\.
п
2. 	Рассмотрим линейный функционал /(ж) = YI ckx(tk) на простран-
к=1
стве С[а, 6] (а < t\ < < ... < tn ^ b). Сначала докажем ограниченность
этого функционала и получим для нормы оценку сверху.
|/(ж)| < £ ЫМ*01 «£ max |ж(()| £ |cfc| = £ |cfc| • ||ж||
k=i t€[a’bl к=1 к=1
П
Значит, функционал / ограничен и ||/|| ^ |с*|.
к = 1
Рис. 5
Определим непрерывную функцию (см. рис.5)
I sign Ск при t = tk, к = 1,2, ...,п,
®(t) = <
[кусочно линейна в остальных точках, так, чтобы |ж(£)| ^ 1
92


Легко видеть, что ||ж|| = 1. По теореме 4.2
11/11 = sup |/(z)| з* |/(х)| = £ С sign ск = £ы =► 11/11 ^ £|cfc|. IMI-1 к=1 fc=l к=1
Значит, ll/ll = J2 Ы-
к=1
3. 	Пусть теперь
ъ
f(x) = j g(t)x(t) dt, (4.6)
a
g G C[a, Ь]. Очевидно, f — линейный функционал на C[a, Ь]. Из простейших свойств интеграла имеем
ъ ь
|Дя)Н J\9(t)\\x(t)\dt^ J\g(t)\dt-\\x\\,
а а
Ь
следовательно, функционал (4.6) ограничен и ||/|| ^ $\g(t)\dt.
а
Выберем произвольное е > 0. По теореме Кантора найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] точками а = to < t\ < t? < ... < tn = Ь, что колебание u>i(g) функции д(-) на г-ом отрезке Дг = [ti-i,U] удовлетворяет неравенствам
ол(д) < £ (г = 1,2, (4.7)
Разобьем все Дг на две группы. В первую группу отнесем те отрезки, на которых д(-) сохраняет знак. Пусть это будут отрезки Д^,..., А'г. Вторую группу Д£,..., А" образуют отрезки, на которых </(•) меняет знак (r+s = п). В каждом из промежутков второго типа существует точка, в которой д(-) обращается в нуль. Ввиду (4.7) во всех точках этих промежутков |д(£)| < е.
На промежутках первого типа положим x(t) = sign g(t). В остальных точках x(t) — линейная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству |x(t)| < 1 (см. рис. 6).
93


Рис. 6
Тогда ||х|| = 1 и
) dt
J 9{t)x(t)(
a
= £ [ + [ 9{t)x(t)dt > £ f \g(t)\dt-^2 [ |g(i)|di =
*=^ ^lk
b s 6
= J\g(t)\dt - 2£ j\g{t)\dt^ J\g(t)\dt - 2e(b - a);
a &
b
ввиду произвольности e это означает, что ||/|| ^ f\g(t)\dt; вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это дает нам равенство
11/11 = JlsWH-
а
Упражнение 4.11. Рассмотрите функционал (4.6) на пространстве Li [а, Ь] при условии, что д — ограниченная измеримая функция. Докажите его ограниченность и оценку сверху для его нормы.
Упражнение 4.12. Рассмотрите функционал (4.6) на пространстве Lp[a, b] (1 < р < +оо) при условии g Е hq[a,b] ^ = 1^. Докажите его
ограниченность и найдите оценку сверху для его нормы.
94


4. Рассмотрим линейный интегральный оператор Фредгольма (4.1).
||Аг|| = шах
t€[a,6]
о о
/K(t, s)x(s) ds ^ шах I \K(t, s)| \x(s)\ds ^ t€[a,b] J
a a
b b
ax J Им) I а =ЧИИ maX] J\K(t,s)\ds±M
< \\x\\ • max t€[<
Так как ядро K(-,-) непрерывно, то непрерывен и интеграл f\K(t, s)| ds,
а
b
поэтому найдется to Е [а, 6] такое, что М = f\K(to, s)| ds. Как было
а
Ь
доказано в предыдущем примере, f(x) = J\K(to, s)|x(s) ds — линейный
a
непрерывный функционал на С [а, 6], причем для любого £ > 0 найдется х Е С[а,Ь], ||х|| = 1 такой, что
ъ
/(*) > 11/11 - е = J\K(t0,s)\ds - е
а
Поэтому
||А|| = sup \\Ах\\ ^ ||Ас|| ^ |(Ar)(io)| = |/(ж)| ^ М - е.
11*11 =1
Ввиду произвольности £ отсюда следует: ||А|| ^ М и,значит,
ь
PII = М= тзх J\K(t,s)\ds. (4.8)
а
Упражнение 4.13. Рассмотрите линейный интегральный оператор Фредгольма (4-1) в пространстве Li[a, Ь] (см. упр.4-11)- Докажите его ограниченность. Покажите, что
ь
||Л|| = max f\K(t,s)\dt
s€[a,oJ J a
(ср. с (4.8)).
Упражнение 4.14. Рассмотрите линейный интегральный оператор Фредгольма (4-1) в пространстве Lp[a,b] (1 < р < +оо) (см. упр.4-12). Докажите его ограниченность. Найдите для нормы этого оператора оценку сверху.
95


4.2. 	Пространство линейных ограниченных операторов
4.2.1. Линейные операции. Пусть X и У — ЛНП. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в У. Пусть А и В — два таких оператора. Их суммой назовем оператор С = А+В, действующий по правилу Сх = (А + В)х = Ах + Вх (поточечное сложение); произведением оператора А на скаляр A G Р назовем оператор D = ХА, действующий по правилу Dx = (ХА)х = X(Ах) (поточечное умножение на скаляр).
Упражнение 4.15. Докажите, что С и D — линейные операторы, действующие из X в У.
Поточечное определение линейных операций превращает рассматриваемое множество операторов в линейное (векторное) пространство. Выполнение аксиом линейного пространства следует из выполнения этих аксиом в пространстве У.
Если А и В линейные ограниченные операторы, то
\\(А + В)х|| = ||Аж + Вх|| ^ \\Ах\\ + ||Вж|| ^
<1И||.|И1 + ||В||-|И1 = (1И|| + ||В||)|И|,
то есть А + В — линейный ограниченный оператор, причем
М + в|К 1ИЦ + ЦВЦ. (4.9)
Оператор ХА также ограничен, причем
||АЛ|| = |А| • ||Л||. (4.10)
Таким образом, множество С(Х, У) линейных ограниченных операторов, действующих из X в У образует линейное (векторное) пространство. Введем в нем норму: = \\А\Ь Положительная однородность сле¬
дует из (4.10), неравенство треугольника — из (4.9); аксиома тождества, очевидно, также выполняется.
Итак, £(Х,У) — ЛНП. Если У = X, то пишем просто: С(Х).
4.2.2. Равномерная сходимость. Сходимость последовательности операторов по норме пространства С(Х,У) называется равномерной сходимостью, и обозначается Ап =4 А. Таким образом, пишем Ап =4 А, если ||л4п — А\\ —> 0 (п —► оо). Основание для такой терминологии дает следующее утверждение.
96


Теорема 4.3. Пусть Ап (п G N),A G С(Х,У). Для того, чтобы Ап =3 А, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {Anx}nLi сходилась в пространстве У к Ах равномерно относительно х в шаре ^[0,11-
Доказательство. Необходимость. Пусть Ап =4 А. Это значит, что (Ve > 0) (3N G N) (Vn > N) (||An — A\\ < s). Следовательно, для x G B[0,1]
\\Anx - Ax|| = ||(An - A)x|| ^ 11An - A|| • ||x|| ^ ||An - A|| < e,
т. e, Anx —► Ax равномерно на B[0,1].
Достаточность. Пусть Апх —> Ах равномерно на В[0,1]. Это значит,
что
(Ve > 0) (3N е N) (Vn > N) (Vr € B[0,1]) (|| Апх - Ах|| < .
Отсюда следует, что sup ||Апх — Ах|| = sup ||(АП — А)х|| ^ §. По теореме 11*11=1 11*11=1 4.2 ||АП - А|| ^ | < е, т. е. Ап =3 А.
4.2.3. 	Полнота пространства операторов.
Теорема 4.4. Если X — ЛНП, У — В-пространство, то и £(Х,У) — В-пространство.
Доказательство. Возьмем произвольную фундаментальную последовательность {An}£Li из С(Х,У). Это значит, что ||АП — Ат|| —> 0 при п, т —> оо. Пусть х G X — произвольный элемент. Покажем, что последовательность {Anx}^=i С У фундаментальна.
||AnX AmX|| —— || (An Ат)х|| ^ II Ап А|| • ||ж|| ► 0 (72, 771 ► Оо),
следовательно, ||Апх — Атх|| —► 0. В силу полноты У найдется у G У такой, что Апх —► г/; таким образом, каждому х G X ставится в соответствие элемент lim Апх G У, т. е. имеем оператор А : X —► У, определяемый
п—► оо
равенством Ах = lim Апх.
п—>оо
Упражнение 4.16. Докажите, что А — линейный оператор, действующий из X в У.
Так как |||АП|| — ||Ат||| ^ ||АП — Ат||, то числовая последовательность {ЦАпЦ}^! также фундаментальна и, следовательно, ограничена: существует С ^ 0 такое, что ||АП|| ^ С для гг G N. В итоге
||Апх|| ^ ||Ап|| • ||х|| ^ С\\х\\ => \\Апх\\ ^ СЦхЦ. 97


Переход к пределу в последнем неравенстве дает ||Ае|| ^ С7||я:||, т. е.
A G £(Х, У).
Полнота С(Х,У) доказана.
4.2.4. 	Кольцо операторов. Алгебра. Пусть А,Ве С(Х). Определим произведение этих операторов как суперпозицию:
(АВ)х = А(Вх).
Заметим, что такое умножение некоммутативно: вообще говоря, В А ф АВ.
Упражнение 4.17. Докажите, что А В — линейный оператор, действующий в X.
Далее,
||(ЛВД = |И(В*)|| < \\А\\ • ЦВхЦ «г \\А\\ • ||£|| • ||х||.
Следовательно, АВ Е С(Х), причем
РВ|К 1И11 ■ ||В|| (4.11)
Упражнение 4.18. Докажите, что С(Х) — кольцо относительно сложения и умножения операторов.
Упражнение 4.19. Докажите, непрерывность линейных операций и умножения.
Таким образом, С(Х) — алгебра; если X — В-пространство, то в силу теоремы 4.4 С(Х) — банахова алгебра.
В алгебре С(Х) можно ввести понятие степени оператора:
Ап = А- А---А, 1,А° = J.
п
При этом,очевидно, Ап • А771 = А171 • Ап = Лп+тп, а в силу (4.11)
\\Ап\\ ^ ИГ- (4-12)
Если X — 5-пространство, то в С(Х) можно рассматривать ряды опе-
оо
раторов. Как было показано в п. 2.4, ряд ^ Ап (Ап G С(Х)) сходится в
п=1
оо
С(Х), если СХОДИТСЯ ЧИСЛОВОЙ ряд ||^4.ггII-
п=1
оо
В банаховой алгебре С(Х) можно рассматривать степенные ряды ^ спАп.
п=О
Например, рассмотрим ряды
оо оо оо
£лп, (*) ^2\\ап\\, (**) ^2\\а\\п. (***)
п=0 п=0 п=0
98


Если ||Л|| < 1, то ряд (***) сходится (это геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим 1); в силу (4.12) сходится числовой ряд (**); следовательно сходится степенной ряд операторов (*).
Упражнение 4.20. Докажите, что для любого A G С(Х) сходятся ряды
го — sin А, сумма третьего — cos А.
Упражнение 4.21. Докажите, что \\еА\\ ^ е^АК
Упражнение 4.22. Определите аналогично (4.13) ряды для sh А, ch А, ln( J ± А) и исследуйте их сходимость.
Пусть X — комплексное В-пространство. Тогда С(Х) — комплексная банахова алгебра. Пусть Q С С — открытое ограниченное множество,
/ : С —► С — голоморфная в Q функция, f(z) = ^2 CkZk, A G С(Х),
к=о
||А|| < sup|z| Согласно сказанному выше о сходимости операторных рядов,
4.2.5. Умножение операторов в общем случае. Пусть X, У, Z - ЛНП, В:Х-*У,А:У—+Е - линейные операторы. Произведением операторов А и В называется оператор АВ : X —► Z определяемый равенством (АВ)х = А(Вх). Очевидно, АВ — линейный оператор (см.4.11), а если В G С(Х,У), A G С(У, Z), то АВ G С(Х, Z). Как и в п.1.2.4 показывается, что имеет место неравенство (4.11).
4.2.6. Сильная сходимость в С(Х,У). Скажем, что Ап —+ А сильно, если для любого х G X Апх —► Ах в У.
Замечание 4-1- Эту сходимость лучше было бы назвать поточечной, так как термин «сильная» не отражает существа дела. Мы вынуждены по традиции применять этот термин. Забегая вперед, скажем, что в случае, когда У = Р (т. е., когда речь идет о линейных ограниченных функционалах), терминология другая.
Теорема 4.5. Равномерная сходимость последовательности операторов влечет ее сильную сходимость (к тому же предельному оператору). Обратная импликация не имеет места.
Сумма первого ряда в (4.13) обозначается ехр А или ел, сумма второ-
оо
оо
можно определить f{A) = CkAk.
k=0
99


Доказательство. Пусть Ап =3 А; это означает ||ЛП — А\\ —► 0; пусть х Е Х\ тогда
\\Апх - Ах\\ = ||(Ап - Л)я|| ^ ||Ап - А\\ • ||ж|| -► 0 =* \\Апх - Ах|| 0.
Покажем, что из сильной сходимости еще не следует ее равномерная сходимость. С этой целью рассмотрим пример.
Пусть X = У = /2, АпХ = (х1,ж2,... ,хп,0,0,...).
Упражнение 4.23. Покажите, что для всех п Е N Ап — ограниченный оператор и ||An|| = 1.
оо
Для любого х Е h \\Апх — х\\2 = х\ —> 0 как остаток сходящегося
fe=n+l
ряда; значит, Ап —> J сильно. Рассмотрим последовательность нормированных элементов
ОО
2k
k=l
По теореме 4.2
|И„ - J|| = sup II(An - J)*|| ^ ||(i4„ - J)£(n)|| = ||A„x(n) - x(n)|| = ll*ll=i
= ||0-*<">|| = 1.
Следовательно, An не сходится равномерно к J.
4.3. 	Принцип равномерной ограниченности
4.3.1 Здесь мы будем рассматривать последовательности операторов из С(Х,У).
Лемма 4.1. Пусть {Лп}^=1 С С(Х,У, существуют с > 0 и шар В = Вх[хо,г] такие, что
||А»®||у ^ С (х е В, п = 1,2,...).
Тогда числовая последовательность
{1И»11}«=1 (4.14)
ограничена.
100


Доказательство. Пусть ж £ X, х Ф 0; тогда ж = жо + -щг € В, так как ||ж — жо|| = г; поэтому
из этого неравенства получаем, что ||Апж|| < “||ж||, или ||АП|| ^
Теорема 4.6. (принцип равномерной ограниченности). Пусть для любого фиксированного х £ X последовательность {Апх}^-\ ограничена. Тогда числовая последовательность (4.14) ограничена.
Доказательство. Предположим противное: последовательность
(4.14) 	не ограничена. Тогда по лемме 4.1 числовая последовательность
также не является ограниченной ни в одном замкнутом шаре пространства X. Фиксируем шар Во = В[хо, г о], в котором последовательность (4.15) не ограничена. Найдутся х\ € Во п ni € N такие, что ||АщЖ1|| ) 1 в шаре Во; далее, найдутся замкнутый шар В\ = В[х\,г\] С Во (п ^ ^) такой, что последовательность (4.15) не ограничена на Вг; следовательно, найдутся Х2 £ В\ и Ti2 > п\ такие, что ||АП2Ж2|| ^ 2 в шаре В\ и т. д. В итоге получаем последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, в каждом из которых выполняется неравенство ||i4nfcXfc|| ^ к (к — 1,2,...) Согласно принципу вложенных шаров существует точка ж, принадлежащая всем шарам такая, что ||Anfcx|| ^ к. Полученные неравенства противоречат ограниченности последовательности {Anx}%Lu и следовательно, доказывают теорему.
Теорема 4.7. (Банаха-Штейнгауза). Для того чтобы
необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность (4.14) была ограничена;
2) Ап —> А сильно на плотном в X линейном многообразии X1. Доказательство. Достаточность. Пусть условия 1) и 2) выполнены. Для
любого ж £ X \ X' и любого е > 0 найдется ж £ Л'' такой, что ||ж — ж'|| < е. Положим с = sup||i4n|| (Ао = А). Тогда
7* Т
С^\\Апх\\= -тт—гт-АпХ + АпХО ^ -77-г \\Апх\\ - с\
m *
II
(4.15)
сильно,
п>0
\\Апх - Ае|| < ||Апх - j4„x'|| + \\Апх - Ах'\\ + ||Ах' - Ах|| ^
< |И„|| • ||х - х'|| + \\Апхг - Ах'\\ + ||Л|| • ||х' - х||; 101


по условию найдется такой номер N, что для всех п > N среднее слагаемое будет меньше е. Для таких п \\Апх — Ах\\ < (2с + 1)£, т. е. Ап —► А сильно на X.
Необходимость. Так как для любого х Е X Апх —► А, то последовательность (4.15) ограничена (как сходящаяся). По теореме 4.6 ограничена и последовательность (4.14); в качестве X' можно взять само X.
4.3.2. Продолжение плотно определенного линейного ограниченного оператора по непрерывности
Теорема 4.8. Пусть X — ЛНП, У — В-пространство, А — плотно определенный оператор, действующий из X вУ. Тогда если А Е £(Т>(А), У), то существует оператор А Е С(Х,У) такой, что 1) Ах = Ах для xeV(A)-, 2) \\А\\ = |И||.
(Плотно определенный линейный ограниченный оператор можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.)
Доказательство.Для х Е 'D(A) полагаем Ах = Ах; для х Е X \V(A) существует последовательность {xn}^Li С Т>(А) такая, что хп —*- х. Рассмотрим последовательность {Axn}??=i С У. Так как
\\AXn ^ ||^|| \\хп Хт|| у О,
то эта последовательность фундаментальна в У. В силу полноты У найдется у Е У такой, что у = lim Ахп•
п—>ос
Упражнение 4.24. Докажите, что у не зависит от выбора последовательности Хп —► х.
Итак, имеем оператор, действующий из X \ Т>(А) в У. Полагаем Ах =
= lim Ахп• Линейность А следует из линейности А и линейности предела.
п—► оо
Из неравенства ||Агп|| ^ |И|| ||жп|| следует, что ||Ас|| ^ ||Л|| ||х||, т. е. \\А\\ ограничен и ||Л|| ^ ||Л||. Так как
sup \\Ах\\ ^ sup \\Ах\\,
\\x\\=i,xex ||х||=1,*е2Э(А)
то ||i|| ^ ||А||. В итоге ||i|| = |И||.
Построенный при доказательстве теоремы оператор А называается продолжением оператора А по непрерывности.
102


4.4. 	Обратный оператор
4.4.1. 	Определение и простейшие свойства . Пусть X и У — ЛНП,
А : X —► У — линейный оператор с областью определения Т>(А) и множеством значений 7Z(A).
Оператор, который ставит в соответствие каждому у Е 7Z(A) элемент ж Е Т>(А) такой, что у = Ах, называется оператором, обратным оператору А. Из этого определения следует, что если оператор В : У —► X обратен оператору А, то
А5 = Jy, 1ЗА =
(«/у («/*) — тождественный оператор пространства ^ (*))•
Упражнение 4.25. Докажите, что линейный оператор может иметь только один обратный оператор.
Оператор, обратный оператору А, обозначается А-1.
Упражнение 4.26. Докажите, что оператор, обратный линейному, линеен.
Если А : Т>(А) —> 71(A) и существует Л-1, то Л-1 : 7Z(A) —+ V(A), и в этом случае соотношения у = Л ж и ж = А~1у эквивалентны. Таким образом,
V(A~l) = 71(A) и ЛЛ-1 = Jy, Л_1Л = J*, где (Jy) -
тождественный оператор пространства У (X).
Назовем нуль-множеством (ядром) оператора А множество
ЛГ(А) = {х Е Т>(А) : Аж = 0}.
(Для ядра оператора А применяется также обозначение kerA.)
Упражнение 4.27. Докажите, что М(А) — линейное многообразие в X.
Упражнение 4.28. Докажите, что если А Е £(Х,У), то ЛГ(А) — подпространство X (т. е. является замкнутым в X).
Теорема 4.9. Пусть А : 70>(А) —> 71(A) — линейный оператор. Тогда для существования оператора А-1 : 71(A) —► £>(А) необходимо и достаточно, чтобы М(А) = {0}.
Доказательство. Достаточность. Как известно, обратное отображение существует в том и только том случае, когда исходное отображение биективно. Из определения образа оператора следует, что как оператор из V(A)
103


в 7Z(A) А сюръективен. Поэтому для существования оператора, обратного оператору А, необходима и достаточна инъективность оператора А. Пусть Af(A) = {0} и xi, Х2 £ Т>(А), Х\ Ф х2. Предположим, что Ах\ — Ах2. Тогда А(х 1 — хг) = 0, т. е.
х\ — Х2 £ Л/*(А) = {0} =» xi = Х2,
что противоречит выбору xi,x2. Следовательно, оператор А инъективен, то есть существует А~г.
Необходимость. Пусть оператор А~1 существует, следовательно оператор А инъективен. Предположим, что ЛГ(А) ф {0}. Пусть z ф 0,z £ ЛГ(А). Возьмем произвольный х £ Т>(А); тогда x+z ф х, но A(x-\-z) = Ax-\-Az = Ах; это противоречит инъективности оператора А. Следовательно, М(А) = {0}.
Теорема 4.10. Пусть А : Т>(А) —► 7Z(A) — линейный оператор. Тогда для существования оператора А~х £ C(7Z(A), Т>(А)) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая константа т > 0, что для всех х £ Т>(А) выполняется неравенство
\\Ах\\у ^ т||х||лг. (4-16)
Доказательство. Необходимость. Пусть А~г £ C(lZ(A), Т>(А)). Значит, существует константа С > 0 такая, что выполняется неравенство
WA-'yWx <: с\\у\\у (уеЩА)). (4.17)
Для произвольного х £ Т>(А) положим у = Ах; тогда х = А~1у, и неравенство (4.17) перепишется в виде \\х\\х ^ СЦЛхЦу, что эквивалентно (4.16) при m = 1/С.
Достаточность. Пусть выполняется неравенство (4.16) и х £ ЛГ(А). Тогда 0 = ||j4x|| ^ ггг||х|| => ||х|| = 0 => х = 0, т. е. Af(A) = {0}. По теореме 4.9 оператор А~1 существует на 1Z(A). Докажем его ограниченность. Возьмем произвольный у £ 1Z(A) и положим х = А~1у. Тогда
\\А-1у\\х = \\х\\х^±\\Ах\\у = ±\\У\\у,
т. е. А~1 ограничен и ||А-1|| ^
Назовем линейный оператор А непрерывно обратимым, если
71(A) = У и Л_1££(У,АГ).
С учетом этого определения теорему 4.10 можно переформулировать:
104


Для того, чтобы линейный оператор А был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы И{А) = У и существовала такая константа т > 0, что выполняется неравенство (4.16).
4.4.2. 	Примеры. 1. Пусть линейный оператор
(р,0 1)
определяется в выбранном базисе матрицей А. Необходимым и достаточным условием непрерывной обратимости оператора А является неравенство det А Ф 0. При этом обратная матрица А~г является матрицей обратного оператора А~г в том же базисе.
2. Рассмотрим задачу Коши х = B(t)x + y(t), х(а) = 0 для системы п дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями, записанную в векторно-матричной форме. Здесь В(-) — п х n-матрица, элементы которой непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, у(-) — непрерывная п-вектор-функция, х(-) — непрерывно дифференцируемая п-вектор-функция. Определим оператор Ах = х — B(t)x с областью определения
Т>(А) = {х = (xi,x2,...,Хп)Т : Xk £ С[а,Ь\,хк(а) = 0 (к = 1,2, ...,га)} С
С Сп[о,Ь] = С[а,Ь] х С[о,Ь] х ... х С[а,Ь] = ДГ, У = Сп[а,Ъ\.
" V '
п раз
Так как уравнение Ах = у при любом у £ У имеет решение, то здесь ЩА) = У.
Пусть Х(-) — фундаментальная матрица однородной системы
х - B(t)x = 0, C(t, s) = X(t)X-\s)-
матрица Коши этой системы. Тогда решение уравнения Ах = г/, как известно, имеет вид
t
x(t) = J C(t, s)y(s) ds. (4.18)
a
t
Таким образом, A~ly = f C(t, s)y(s) ds.
a
Упражнение 4.29. Докажите, исходя из этого представления, что А~г — ограниченный оператор.
(См. пример 4 в п. 1.1.5.)
3. Пусть
г
(Kx)(t) = / IC(t, s)x(s) ds, где K.(t, s) = ^~^ak(t)bk(s), ak,bk € C[a,b]
{ *==i
105


(линейный интегральный оператор Фредгольма с вырожденным ядром). Рассмотрим оператор А = J — ХК, где J — тождественный оператор пространства X = С [а, 6], А Е Р. Очевидно, А — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве X.
Чтобы найти обратный оператор, надо разрешить относительно х уравнение Ах = у, т. е. в данном случае уравнение
}п
х(<) - А / ak(t)bk(s)x(s) ds = y(t),
a
которое удобно переписать в виде
Ьг
x(t) — X'^2ak(t) / bfc(s)a;(s) ds + t/(£). (4.19)
*=i a
b
Обозначим f bk(s)x(s) ds = £k (k = 1,2,..., n). Это неизвестные числа,
a
но если их найти, то искомое решение можно записать в виде
п
x(t) = Л &°*(*) + »(*)• (4-20)
fc = l
Умножим обе части (4.20) на bi(t) и проинтегрируем по [а,6]; обозначив ъ ь
Pi = f bi(t)y(t) dt и Скг = f cik(t)bi(t) dt, придем к линейной системе
а а
п
& = X ^2cki£i+0i, г = 1,2, ...,п или £ = + (4.21)
fc=i
где С = (cfci)fcfi=i, /3 = (/?i,...,/Зп)т, С = (6,...,^п)т. Если
det(E — XС) ф 0 (Е — единичная матрица порядка п), то система (4.21) имеет единственное решение, с помощью которого получаем решение в виде равенства (4.20).
Уравнение det(E — АС) = 0 имеет не более п (если Р = Е), или ровно п (если Р = С) решений A j. Поэтому, если А ф Xj, то £ = (Е — X С)~1 (3
п
или = 22 1%кРк, где 7ik - элементы матрицы (Е — АС)-1. Подставив
к=1
полученное для £ выражение в (4.20), в конце концов получим
« п п
x(t) = X / У У 7kiak(t)bj(s)y(s) ds + y(t),
а *>=li=l
106


т. е. А 1 = J+A/C*, где /С* — линейный интегральный оператор Фредгольма
71 71
(4.1) 	с вырожденным ядром K*(t,s) = X) S 7kiCLk(t)bi(s).
к=1г=1
4.4.3. 	Теоремы Банаха об обратном операторе
Теорема 4.11. Пусть X — В-пространство А € С(Х) и \\А\\ < 1. Тогда существует оператор (J — А)~1 и
оо
(J - Л)-1 =Y^Ak, причем II(J- Л)_1|К ГЗ]Щ- (4-22)
Доказательство. Сходимость ряда (4.22) была нами установлена в п.
4.2.4. 	Пусть S — его сумма, а Sn — его n-ая частичная сумма, Sn =4 S. Перемножая, получим
71 71
Sn(J — А) = (J — A)Sn = (J-A)J2Ak = - Ak+l) = J- An+1.
k=0 fc=0
В силу (4.12) pn+1|| ^ ||A||n4'1 —► 0, поэтому An+1 =4 0. Следовательно, S(J — A) — (J — A)S = J, т. e. S = (J — А)~г. Осталось доказать оценку из (4.22):
71 ОО 1
||5п|к;£1И*11<£1И11* = гз-Ш’
к=0 к—О Ч 11
откуда в пределе и получаем требуемое.
Лемма 4.2. Пусть Х,У,2 — ЛНП, В : X —► У, А : У —► Z — линейные операторы, причем А и В непрерывно обратимы. Тогда оператор АВ : X —► Z непрерывно обратим и (АВ)~1 = Б-1 Л-1.
Упражнение 4.30. Докажите лемму.
Теорема 4.12. Пусть X и У — В-пространства А, АА : X —> У — линейные операторы, А непрерывно обратим, АА £ С(Х, У) и
ЦДЛ-Л-1 II < 1. (4.23)
Тогда оператор A -f- АА непрерывно обратим и
||(-4 + дл>—"^-НдГ'л-г (424)
Менее формально теорема звучит так: оператор, близкий к непрерывно обратимому, непрерывно обратим.
Доказательство. Пусть Jy — тождественный оператор пространства У. Представим А 4- АА в виде А 4- АА = (Jy 4- А А • А~г)А. Оператор в скобках
107


действует в ^-пространстве У и в силу (4.23) для него выполнены условия теоремы 4.11. Согласно этой теореме оператор Jy+AA'A~1=Jy—(—AA-A~1) непрерывно обратим, причем ||(Jy 4- А А • А_1)_1|| ^ i-цал •A~i\\ • лемме существует (А + ДА)-1 Е С(У, X) и
IK^ + AAm < UA-'iJy + AA-A-'r'W < ! _ ц^Г-'л-ЧГ
Упражнение 4.31. Докажите, что неравенство (4.23) будет выполнено, если выполнено легче проверяемое неравенство || АА\\ ^ ][а-тц • Докажите, что тогда правая часть неравенства (4.24) изменится на 1,г||д^|]л-1||-
В заключение этого п. приведем без доказательства следующую замечательную теорему Банаха.
Теорема 4.13. Пусть X и У — В-пространства, A Е С(Х,У) и А — биекция. Тогда А-1 £ С(У, X).
По поводу доказательства этой теоремы см. [15].
4.4.4. 	Правый и левый обратные операторы. Выше было установлено, что непрерывная обратимость линейного оператора
А : X —> У, эквивалентна тому, что 7Z(A) = У, Л/*(А) = {0}, или однозначной разрешимости уравнения
Ах = у (4.25)
при любом у £ У. Не предполагая существования обратного оператора А-1 введем следующие его «заменители».
Линейный ограниченный оператор А^Г1 : У —> X (A: У —► X) называется правым (левым) обратным оператором, если
AA~l = Jy (Af1A = Jy).
Упражнение 4.32. Докажите, что имеют место следующие утверждения:
1) теорема существования: если существует правый обратный А^Г1, то уравнение (4.25) имеет решение х = А~1 у при любом у £ У\
2) теорема единственности: если существует левый обратный Аг-1, то уравнение (4.25) может иметь не более одного решения;
3) если существует А"1, то 'JZ(A) = У; если существует Az_1, то ЩА) = {0}.
Упражнение 4.33. Докажите, что если для А £ С(Х, У) существуют правый обратный А^Г1 и левый обратный Aj-1, то существует и обратный оператор А-1 и А-1 = A~l = Af_1.
108


Упражнения
4.34. 	Рассмотрите оператор интегрирования
t
(Ax)(t) = J x(s)ds (4.26)
о
как оператор, действующий в пространстве С[0,1], А:С[0,1] —► С[0,1]. Покажите, исходя непосредственно из определений, что А — линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
4.35. Покажите, что операторы А, В, С : С[0,1] —► С[0,1]
(Ax)(t) = t2x(t)\ (Bx)(t) = t2x( 0); (Cx)(t) = x(t2)
линейны и ограничены; найдите их нормы.
4.36. Рассмотрите оператор интегрирования (4.26) как действующий в пространстве L[0,1], А : L[0,1] —> L[0,1]. Покажите, исходя непосредственно из определений, что А — линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
4.3Т. Рассмотрите оператор интегрирования (4.26) как действующий в пространстве Lp[0,1], А : Lp[0,1] —► Lp[0,1], 1 < р < +оо. Покажите, исходя непосредственно из определений, что А — линейный ограниченный оператор; оцените сверху его норму; найдите какую- либо оценку снизу для этой нормы.
4.38. Рассмотрите оператор интегрирования (4.26) как действующий в пространстве W^O, 1], А : W^O, 1] —► W^O, 1]. Покажите, исходя непосредственно из определений, что А — линейный ограниченный оператор и оцените сверху его норму.
t
4.39. Рассмотрите оператор интегрирования (Ar)(£) = f x(s) ds как опе-
а
ратор А : С[ауЬ] —► С[а, Ь]\ укажите Т)(А), 7£(Л); найдите его норму.
t
4.40. Рассмотрите оператор интегрирования (Ax)(t) = f x(s) ds как опе-
а
ратор А : С[а,Ь] —>• С^^[а, 6]; укажите Т>(А), 7Z(A)\ докажите, что это линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
4.41. Рассмотрите оператор интегрирования (4.26) как оператор А : Lp[0,1] —► Ж7[0,1] (1 ^ р < +оо); укажите Т>(А)У ЩА); докажите, что это линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
4.42. Найдите норму оператора вложения J, (Jx)(t) = x(t) как действующего
109


а) из С[—1,1] в С[О,1];
б) из С^[а,Ь] в С [а, 6];
в) из W^a, Ь) в 1,2 [а, 6].
4.43. 	Рассмотрите оператор (Аг)(£) = c(t)x(t) (с € С[а,Ъ\). Будет ли он ограниченным как оператор, действующий в пространстве С[а,Ь\1 в пространстве Cl2 [a, 6]?
4.44. Действует ли линейный оператор (Ax)(t) = J* tx(s)ds в простран-
о
стве L2 [0,1] ? Ограничен ли он? В случае положительного ответа найдите норму.
4.45. Действует ли линейный оператор
где 0 < s < 1, в пространстве L2[0,1]? Ограничен ли он? В случае положительного ответа найдите его норму.
4.46. 	Рассмотрите линейный оператор умножения на независимую переменную (Ax)(t) = tx(t) как действующий
Ограничен ли он? В случае положительного ответа найдите или оцените сверху его норму.
4.47. 	В пространстве С[— 1,1] рассмотрите операторы
Докажите, что А, В — линейные ограниченные операторы; укажите 71(A), И(В); найдите нормы этих операторов. Найдите А2, В2.
4.48. 	Рассмотрите оператор дифференцирования А = — как действу-
ai
ющий
а) из С[а,Ь] в С[а,Ь];
б) из С^[а,Ь] в С[а,Ь\;
в) из Wjfa, 6] в 1.2 [а, Ь];
г) из АС[а,Ь] в L[а,Ь\.
Укажите его область определения; укажите его образ. Будет ли этот оператор ограниченным? В случае положительного ответа найдите его нор-
1
а) из С[— 1,1] в С{—1,1];
б) из И<2[—1,1] в Ьг[—1,1];
в) из W^—1,1] в IL2[—1,1].
(Ax)(t) = i(x(t) +х(-*)), (Bx)(t) = 1 (x(t)-x(-t)).
му.
110


4.49. Докажите, что линейный дифференциальный оператор
п
А:&п)[а,Ъ]^С\а,Ь], (Ax)(t) = ^pfc(t)a:(n_fc)(t) (4.27)
к=О
(pfc G С[а, 6], А; = 0,1,...,п) ограничен; оцените сверху его норму.
Пусть рк G 1.2 [а, Ь] (fc = 0,1,..., п); можно ли при этом рассматривать оператор (4.27) как действующий в пространстве Ьг[а, &]? Укажите 2?(А) и 71(A); будет ли этот оператор ограниченным?
4.50. При каких значениях а > 0 оператор (Ax)(t) = x(ta) действует в пространствах а) С [0,1]; б) L2 [0,1]; найдите или оцените норму этого оператора в обоих случаях.
4.51. При каких значениях а ^ 0 и /3 оператор (Ax)(t) = t^x(ta) действует в пространствах а) С[0,1]; б) L2[0,1]; найдите норму этого оператора в обоих случаях.
4.52. Найдите норму оператора А : С[0,1] —► С[0,1], если
1
а) (Ax)(t) = J simr(t — s)x(s) ds;
о
б)(Ax)(t) = f ea^~3^x(s) ds , (a > 0);
0
1
в) (Ax)(t) = f tas^x(s) ds (a > 0, j3 > 0).
0
4.53. Укажите какие-либо достаточные условия, которым должно удовлетворять ядро К : [а, 6]2 —» R (С), чтобы линейный интегральный оператор Фредгольма
ъ
(Ax)(t) = J K(t,s)x(s)ds (4.28)
a
действовал так:
а) А : С [а, Ь] —> С [а, 6];
б) А : L2 [а, Ь] —► L2 [а, &];
в) А : 1.2 [а, Ь] —► С [а, 6];
г) А : С [а, Ь] —► Ьг[а, 6];
д) Л : Lp[a, b] —► Lq[a, 6], ^ ^ = 1 (обобщение п. б))?
4.54. Укажите какие-либо достаточные условия, которым должно удовлетворять ядро к : [a,6]2 —> R (С), чтобы линейный интегральный оператор Фредгольма
ь
(Ax)(t) = J |^*(*) ds (0 < a < 1) (4.29)
a
111


действововал а) в пространстве С [а, Ь] и был ограниченным; б) в пространстве L2 [а, Ь] и был ограниченным; оцените сверху норму оператора А в обоих случаях.
4.55. Оператор А : /2 —► h определяется равенством
A(xi, х2,..., Хк,...) = (А1Ж1, А2Х2, • • •, AfcXfc,...);
укажите Т>(А) и 7Z(A); при каких А* (А; = 1,2,...) А непрерывен? Найдите его норму.
4.56. Операторы А, В : 1Р —► lp (1 < р < +оо) определяются равенствами
Ах — (xi , 2 >• • • ’ ^ ? 2?х (xi, 2x25 • • • j kxk,...),
укажите Т>(А), 71(A), Т*(В), 71(B); ограничены ли операторы А, В? В слу¬
чае положительного ответа найдите нормы операторов. Рассмотрите эти операторы, как действующие из 100 в /оо-
4.57. Оператор Л : Rp —> lp (1 < р < +оо) определяется равенством
i / \ ( Х\ Хп XI Хп \
У1(Х1, ... , Хп j — ^#1 , • • • , Я'П ? “2“ > • • • > “2”, • • • > > • • • > )
укажите £>(^4); докажите, что А — линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
4.58. Оператор А : Ер —► lp (1 < р < Ч-оо) определяется равенством
А(х 1,..., хп) = ^53 2 ^ ^’ ’ /с ^ ^’
укажите 7Z(A); докажите, что А — линейный ограниченный оператор
и найдите его норму.
4.59. Оператор Ап : 1Р —> /Р, 1 < р < +00, п £ N определяется равенством
■/4.П (xi, Х2 — (*£ 1) 3^2 , • • • , Д'П ? 0, . . .),
При каких р он ограничен? Найдите его норму. Рассмотрите этот оператор в пространствах со, с, /оо-
4.60. Оператор Ап : 1Р —* /р, 1 < р < +00, n G N определяется равенством
<An(xi,X2,...,Xfc,...) = (0,-у ,0, Хп+1,Хп+2,-- •)♦
п
При каких р он ограничен? Найдите его норму. Рассмотрите этот оператор в пространствах со, с, /оо-
112


4.61. Пусть ТС — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •), Ах = (а, х)Ь (а,Ь,х € ТС, а ф О, 6 ф 0). Покажите, что А — линейный ограниченный оператор, действующий в ТС; укажите Т>(А) и И(А); найдите норму оператора А.
4.62. Пусть
oi,o2,6i,62 £ ТС, (ai,a2) = (61,62) = 0, Ах = (oi,x)6i -f (a2,x)62
(предполагается, что среди векторов 01,02,61,62 нет нулевых). Покажите, что Л — линейный ограниченный оператор, действующий в ТС; укажите V(A) и 'JZ(A); докажите, что имеет место оценка
4.63. Пусть {en}nLi — полная ортонормированная система (ОНС) в ТС, {сп}^=1 — ограниченная числовая последовательность. Докажите, что равенства
Аеп = сп еп (п = 1,2,...) (4.30)
определяют ограниченный линейный оператор А : ТС —> ТС. Укажите Т>(А). Найдите норму этого оператора.
4.64. Пусть {en}^Li — полная ортонормированная система (ОНС) в ТС, с = (ci, С2,...) G h- Докажите, что равенства (4.30) определяют ограниченный линейный оператор А : ТС —► ТС. Укажите V(A). Найдите норму этого оператора.
4.65. Пусть Р — ортогональный проектор (ортопроектор) на подпространство Но гильбертова пространства ТС (см. теорему 3.1; любой х G ТС может быть единственным образом представлен в виде х = х' + х", где х' G Но, х" G #о"; Рх = х'). Докажите, что Р — линейный ограниченный оператор; укажите 'JZ(P); найдите ||Р|| и Р2; покажите, что J — Р — ортопроектор на подпространство Но .
4.66. Пусть X — В-пространство, С — его подпространство, Ф : X —>
—> X/С — естественный гомоморфизм, ставящий в соответствие элементу х £ X содержащий его смежный класс х = х 4- С (см. упражнение 2.23). Докажите Ф — линейный ограниченный оператор; найдите его норму.
4.67. Докажите, что следующие функционалы в пространстве С[— 1,1] являются линейными непрерывными; найдите их нормы.
а) f{x) = х(0);
б) /(х) = х(-1) - 2х(0) + х(1);
113


,)/(l)i4±M±£M (0 < £ < 1);
г) /(ж) = £ Cfcx(tfc), -1 < ti < tk < . ■ ■ < tn < 1, Ск € К
fc=i
{к = 1,2,...,n);
д)/(*) = Jx(t)dt;
0
1
е) /(x) = f x(t) dt — x(—1);
о
l
ж) /(x) = / x(t)
-l
l
з) f(x) = Jx(t)dt — x(0);
-l
0 1
и) f(x) = f x(t) dt — f x(t) dt;
-1 о
1 m
f(x) = f x(t) dt - 2^pr E ж(^) (m€N);
— 1 k = — m
1
л) f(x) = / dt;
-l
l
m) /(x) = f t2x(t) dt.
-l
4.68. Докажите, что следующие функционалы в пространстве С[0,1] являются линейными непрерывными; найдите их нормы.
а) fix) = / х( Щ dt;
о
б)/(ж) = fx(tm)dt;
О
Рассмотрите эти функционалы в пространстве Lp[0,1]. При каких р они будут ограниченными?
4.69. Пусть функция д имеет конечную вариацию на [а, 6]. Докажите,
ь
что функционал /(х) = J x(t) dg(t) линеен и непрерывен на С[а, Ь]; оцените
а
сверху его норму (см. также теорему 5.4).
4.70. Пусть д — непрерывная функция ограниченной вариации на [а, Ь].
ь
Докажите, что функционал /(х) = f x(t) dg(t) линеен и непрерывен на про-
а
странстве R[а, 6] правильных функций (см. [7, с. 58], см. также упражнения 2.69,2.70); оцените сверху его норму.
4.71. Пусть
« *
f(x) = x(k\t)d9k(t), дк 6 BV[a, b] {к = 0,1,... ,n);
*=of
114


докажите, что / — линейный непрерывный функционал на пространстве С^[а, 6]; оцените сверху его норму.
4.72. Докажите, что функционалы / являются линейными непрерывными на банаховом пространстве X и найдите нормы ||/||;
а) /(х) = f tx(t) dt, X = С^[—1,1];
о
б)f(x)= f tx(t)dt, Af = L[—1,1];
-l
l
в)f(x)= f tx(t)dt, X = L2[—1,1];
-l
r) f(x) = f tax(t) dt (a > -|), X = L2[—1,1]. о
b
4.73. Пусть g G Lq[a,b], f(x) = fx(t)g(t)dt (q e [l,+oo)).
a
Докажите: / — линейный непрерывный функционал на пространстве Lp [а, Ъ\ (р + q = l) ; оцените сверху его норму.
ъ
Выполните те же задания для функционала f(x) = f x(t)g(t) dt (черта
а
означает переход к комплексно сопряженному числу).
т
4.74. Докажите, что функционал f(x) = 22 Хк (m G N — фиксиро-
к=1
ванное) является линейным непрерывным на банаховом пространстве X; найдите ||/||, если
&)X = h; 6)Х = 12; в)Х = 100.
оо
4.75. Докажите, что функционал /(х) = 22 it является линейным
к=1
непрерывным на банаховом пространстве Х\ найдите ||/||, если a )X = h; б)Х = 12.
Будет ли этот функционал непрерывным в банаховых пространствах Со, с, /оо?
оо
4.76. Докажите, что функционал /(х) = 22 fc1-i (т > 1) является
к=1 m
линейным непрерывным на банаховом пространстве Х\ найдите ||/||, если
а) 	А* = со; б) X = с; в) X = loo-
4.77. Докажите, что функционал /(х) = lim Хк является линейным
к—* оо
непрерывным на банаховом пространстве с; найдите ||/||.
оо
4.78. Пусть у = (j/i,j/2,...) G lq (q G [1,+оо)), /(х) = 22 хкУк. Дока-
к=1
жите: / — линейный непрерывный функционал на lp (р + ^ = l) > оцените сверху его норму.
115


Выполните те же задания для функционала /(х) = ХкУк (черта озна-
fc=i
чает переход к комплексно сопряженному числу).
4.79. Рассмотрите линейный функционал /(х) = х'(0) а) на банаховом пространстве С[О,1]; б) на банаховом пространстве С^[0,1]; в) на банаховом пространстве L2[0,1]; в каждом из случаев укажите V(f); непрерывен ли этот функционал? В случае положительного ответа найдите его норму.
4.80. В банаховом пространстве С^[а, Ь] рассмотрим подпространство L функций, обращающихся в нуль в точках а и 6, и пусть функции u, v, w непрерывны. Докажите, что
ь ь
/(х) = J u(t)x(t)dt, д(х) = У (v(t)x(t) + w(t)x'(t)) dt —
а а
линейные непрерывные функционалы на С^[0,1].
Докажите следующие утверждения.
1. Если /(ж) = 0 для любой х £ L, то u(t) = const.
2. Если д(х) = 0 для любой х £ L, то w е С^[0,1] и w' = v. .
4.81. Пусть Л', У — ЛНП, / — линейный непрерывный функционал на ДГ, у ф 0 — фиксированный элемент из У, Ах = f(x)y. Укажите V(A), 1Z(A), ЛГ(А)\ докажите, что А — линейный ограниченный оператор; найдите его норму.
4.82. Пусть {£*;}£=о — разбиение отрезка [а, 6],
п
х € С[а, 6], Ск € С[а, 6] (к = 1,1,..., п), (Ax)(t) = ^ Ck(t)x(tk).
к—О
Докажите, что А — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве С[а, 6]; укажите Х>(Л), Л(А); найдите его норму.
t
4.83. Пусть д £ С[а, 6], (Ar)(£) = J g(s) dx(s) (см. [7, с. 55]). Докажите,
а
что А — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве BVo[a,b] (напомним, BVo[ayb\ — подпространство BV[a,b] функций , обращающихся в нуль в точке а; для х £ В Vo [а, Ь] ь
||х|| = У{х)). Найдите норму оператора А.
а
4.84. Пусть функция Q : [а, Ь]2 —► R обладает свойствами: a) Q(-,s) непрерывна на [а, 6] при всех s £ [а, 6]; б) Q(t, •) имеет на [а, 6] конечную вариацию при всех t £ [а, 6]; Положим
ь
(Ax)(t) = j x(s)d3Q(t,s). (4-31)
а
116


Докажите:
ь
а) 	функция I/(t) = \/(Q(t, •)) непрерывна на [а, 6];
а
б) 	оператор А линеен и действует в пространстве С[а, 6];
в) 	оператор А ограничен; найдите оценку сверху для его нормы.
4.85. Покажите, что если заменить нормы в пространствах X, У эквивалентными, то норма в пространстве С(Х, У) станет эквивалентной старой.
4.86. Докажите, что отображение Ф : £(Х, }>) —► R,
Ф(А) = ||А|| непрерывно.
4.87. Пусть X — ЛНП, А € С(Х) — фиксированный оператор,
В = {В € С(Х) : АВ — 0}, С = {С е С(Х) : АС = С А}.
Образуют ли В и С подпространства в X?
4.88. В пространстве С[—7г, 7г] рассмотрим подпространство М функций х, удовлетворяющих условию х(—7г) = х(7г) и последовательность операторов
(Snx)(t) = ^~ f ?w ((2ft + *) 2 ) n = 1,2,...
27г J sm—5
— 7Г
(интеграл Дирихле , частичная сумма тригонометрического ряда Фурье, [33, с. 428]). Найдите норму 5П. Докажите, что на всюду плотном в С[—7Г, 7г] линейном многообразии функций ограниченной вариации (см. решение упражнения 1.61), пересеченном с Л4, Sn сильно сходится к тождественному оператору J, Snx —► х при п —► оо.
4.89. Пусть {tfc}Je=o — разбиение отрезка [а, Ь], х £ С[а, 6],
"(*-*>) п
<*»*>« " £- интерполяционный многочлен Лагранжа. Докажите, что
Lne£(C[a,b}) (n£ N).
Найдите норму Ьп. Докажите, что на всюду плотном в С[0,1] линейном многообразии многочленов (см. решение упражнения 1.61) Ln сильно сходится к тождественному оператору J, Ьпх —► х при п —► оо.
4.90. Докажите, что последовательность Ап : С[0,1] —► С[0,1],
г як
(.Anx)(t) = Tix(s)ds (n = lj 2’ ‘ ‘ •)’
J fc=o *
117


равномерно сходится. Укажите предельный оператор.
4.91. Докажите, что операторы Вп : С[0,1] —► С[0,1],
(B„*)(0 = X>(-)c*t*(ln € N,
/с—О
ограничены (Впх — многочлены Бернштейна непрерывной функции х); найдите их норму; докажите, что Вп —► J (п —► оо) сильно. Сходится ли последовательность Вп равномерно?
4.92. Пусть (Anx)(t) = х (t21^1 ^ (n G N), Ап \ С[0,1] —► С[0,1]. Докажите, что Ап £ £(С[0,1]); докажите, что Ап при п —> оо сильно сходится к тождественному оператору J. Является ли эта сходимость равномерной?
4.93. Пусть V(A) = {х Е ^[0,1] : х' Е С[0,1]}, (Ax)(t) = x'(t), (.Anx)(t) = п (x(t + £) — х(£)) (п = 1,2,..., x(t) = х(1) при t > 1). Докажите, что Ап —► А сильно. Сходится ли Ап к А равномерно?
4.94. Покажите, что последовательность (Anx)(t) = tn( 1 — t)x(t), Ап : C[0,1] —► C[0,1] (n = 1,2,...) равномерно сходится к нулевому оператору.
t+n
4.95. Покажите, что последовательность (Anx)(t) = п f x(s)ds,
t
Ап : C[0,1] —► C[0,1] (n = 1,2,...) сильно сходится к тождественному оператору. Сходится ли эта последовательность равномерно?
4.96. Пусть
ь ь
(Anx)(t) = J x(s)dsQn{t, s) (п = 1,2,...), (Ае)(£) = J x(s) daQ(t,s),
а а
где ядра Qn, Q удовлетворяют условиям задачи 4.84. Докажите:
а) 	если
ъ
Qn(t, s) —> Q(t, s) (t, s E [a, 6], n —> oo), V(Q« (*.-)) <*(*)
a
(n=l,2,...), где Ф : [a, 6] —► R — ограниченная функция, то An —> А сильно; ь
б) 	если \/(Qn(t, •) — Q(t, •)) —► 0 (n —> оо), to An =£ A
a
4.97. Последовательности операторов An, Bn,Cn : h —>- /2, n E N определяются равенствами (см. 4.59,4.60);
a) 	An (xi, X2 ,...,Xfc5»»*) — (xi, X2 5 • • •; Хп; 0,...), 118


б) 	Вп(Х1,Х2, . . . ,Xfc, . . •) = (0, . ^ ,0, Xn+l,Xn+2, . • •);
п
в) С„(Х1,Х2,...,Хк,-.-) = ( — .
V п п )
Исследуйте эти последовательности на сходимость
оо
4.98. Пусть X — банахово пространство, А £ С(Х), ряд ip(t) = ^
fc=0
n
сходится на М. Докажите, что последовательность Sn = 22 ^кАк при
fc=0
оо
п —► оо равномерно сходится к оператору <р(А) = 22 ^кАк, ip(A) £ С(Х).
4.99. Пусть X, У — ЛНП,
хп, х £ X, Ап,Ае £(Х, У) (п £ N), хп —> х, Ап =4 А (п —► оо).
Докажите, что Апхп —► Лх (п —» оо).
4.100. Пусть Л’, У — банаховы пространства,
хп,х £ X, Ап, А £ С(Х,У) (п £ N), хп —> х, Лп —► А сильно (п —► оо).
Докажите, что Апхп —► Лх (гг —> оо).
4.101. Пусть X, У, Z — банаховы пространства,
Ап,АеС(Х,У), Bn,Be£(y,Z) (гг £ N), Ап А
сильно (равномерно), Вп —> А сильно (равномерно) (п —► оо). Докажите, что ВпАп —► В А сильно (равномерно) (гг —> оо).
4.102. Пусть X — ЛНП, А £ С(Х), В : X —* X — неограниченный оператор с плотной в X областью определения 72(B). Покажите, что произведение АВ может быть как ограниченным, так и неограниченным оператором.
4.103. Докажите, что оператор дифференцирования
А : С(1)[0,1] —<• С[0,1], Ах=^
at
не имеет обратного.
4.104. Докажите, что оператор дифференцирования
А : С^х)[0,1] —► С[0,1], Ах=^, V(A)={x € С(1)[0,1]:*(0)=0},
имеет обратный. Найдите его.
4.105. Докажите, что оператор А : С^[а,Ь] —> С[а, 6],
(Ax)(t)=x'-\-p(t)x, V(A)={x £ С(1)[а, 6]:х(а)=0}, р£С[а,6],
119


имеет обратный. Найдите его.
4.106. Докажите, что оператор А : Ci2)[a,b] -> С[а,Ь],
(Ax)(t)=x" +p(t)x'+q(t)x, V(A)={x € C^[a, 6]:x(a)=0, a/(a)=0},
p, q G С [a, b], имеет обратный.
4.107. Найдите оператор, обратный к оператору А : С^[а, b] —> С[а, 6], (Ax)(t)=x" + Qx,
V{A)={x € С(2)[а, 6] : х(а)=0,х'(а)=0} (Q € R).
4.108. Докажите, что непрерывно обратим оператор А : С(2)[а, Ь] -► С[а,6], (Ax)(t)=x"+Qx, Q £ R, Q^O,
X>(A)={xGC(2)[M] : x(a)=0, х(6)=0}.
4.109. Обратим ли оператор А : С^[0,7г] —► С[0,7г],
(Ax)(£)=x" + 4х, Р(Л)={х G С(2)[а, Ь]:х(0)=х(7г), х/(0)=х/(7г)}?
4.110. Обратим ли оператор А : С^[0,7г] —> С[0,7г],
(Аг)(£)=х"+х, Х>(Л)={х G С(2)[а,6] : х(0)=х(7г), х/(0)=х'(7г)}?
4.111. Найдите оператор А-1 , обратный к оператору Л : С<2>[0, f ] - С[0, f ],
(Ax){t)=x”+х, Р(Л)={жбС(2)[0, |]:х(0)=х(^), х'(0)=х'(^)};
докажите, что А~г ограничен.
4.112. Обратим ли оператор А : С(2^[0,1] —► С[0,1],
(Ах)(£)=х"-Иг2х, Т>(А)={хеС^[0,1] : х(0)=х(1)=0}?
4.113. Пусть А : С[0,1] С[0,1],
(Ах)(£)=х"+х, V(A)={x£C[0,1] : x"gC[0, 1], x(0)=x'(0)=0};
Докажите, что А — неограниченный линейный оператор; докажите, что он непрерывно обратим; найдите оператор А-1.
4.114. Пусть
t
А : С[0,1] —► С[0,1], (Ax)(t) = j(t — s) x(s) ds.
о
120


Докажите: А — ограниченный линейный оператор; найдите \\А\\. Опишите образ 1Z(A). Найдите оператор А~х. Докажите, что он неограниченный (продифференцируйте интеграл дважды).
4.115. Пусть
t
А : С[0,1] —► С[0,1], (Ax)(t) = j sin(t — s) x(s) ds.
о
Докажите: A — ограниченный линейный оператор; найдите ||А||. Опишите образ 1Z(A). Найдите оператор А~г. Докажите, что он неограниченный (продифференцируйте интеграл дважды).
4.116. Пусть
t
А : С[0,1] —► С[0,1], (Аж)(£) = J et~sx(s)ds.
о
Докажите, что А — ограниченный линейный оператор; найдите его норму. Опишите образ 1Z(A). Найдите обратный оператор А~1. Докажите, что он неограниченный (продифференцируйте интеграл).
4.117. Пусть
( (s-a)(b
G(t,s) = < (t-o)(b-e)
L b—a
—- для a ^ s ^ t ^ 6, для a ^ t < s ^ 6,
A :
: Ьг[а, b] —► Ьг[а, b], (Ax)(t) = J G(t, s) x(s) ds.
a
Докажите, что A — ограниченный линейный оператор. Опишите образ 71(A). Найдите обратный оператор А”1. Докажите, что он неограниченный (продифференцируйте интеграл дважды).
4.118. Обратим ли оператор интегрирования (4.26) на своем образе? Ограничен ли обратный оператор?
4.119. Докажите, что оператор
t
А : С[0,1] —► С[0,1], (Ax)(t) = J x(s) ds + x(t)
о
непрерывно обратим; найдите А~1.
4.120. Найдите обратные операторы к следующим линейным операторам, действующим в пространстве С[0,1] :
121


а) (Ax)(t) = x(t) — f tsx(s) ds;
0
1
б) (Bx)(t) = x(£) + f et_sx(s) ds;
0
1
в) (Cx)(t) = x(£) — / simr(t — s)x(s) ds.
о
4.121. При каких значениях Л непрерывно обратимы следующие линейные операторы, действующие в пространстве С[0,1] :
1
а) (Ax)(t) = x(t) + A f (3t2s — 5ts2)x(s) ds;
0
1
б) (Ax)(t) = x(t) — X f(5t2s — 3ts2)x(s) ds;
0
1
в) (Ax)(t) = x(t) — A f(t-h s)x(s) ds;
0
1
r) (Ax)(£) = x(t) — A f(3t — s)x(s) ds; о
l
д) 	(Ax)(t) = x(t) — A / COS 7t(£ 4- s)x(s) ds?
0
4.122. При каких значениях А существует оператор (J — АА)-1, если 1
(Ax)(t) = J t2s3 ds, A : C[0,1] —> C[0,1]? Найдите (J — AA)-1. о
4.123. Пусть 7i — гильбертово пространство, a, 6 G Ti,
Ax = x — X(a, x)6. При каких значениях А оператор А непрерывно обратим? Найдите А-1.
4.124. Какие из следующих операторов, действующих в пространстве 1Р (1 ^ р < +оо), обратимы на всем lp (х = (xi,x2,...)) :
а) Ах = (х2,хз,.
б) Ах = (0, xi, а?2, • • •);
в) Ах = (xi,2x2 4- х3,5x2 4- Зх3,х4,х5,. •.);
п
г)Ах = у, у = (У1,У2,...), Ук= akjXj, к=1,2,...,п, ук = хк,
3 = 1
к = п 4-1, п -I- 2,..., п е N;
д)Ах = у, у = (j/1,3/2, • • .)> 2/fc = ^кХк, к = 1,2,...,0<\к^К, к = 1,2,..., где К > 0 — заданное число?
Найдите обратные операторы там, где они существуют.
4.125. Обратимы ли операторы Ап,Вп,Сп из 4.97? Найдите обратные операторы там, где они существуют.
4.126. Обратимы ли операторы А, В из 4.56? Найдите обратные операторы в случае, если они существуют.
122


4.127. Существует ли на образе 7Z(A) оператор, обратный к оператору А из 4.61 (4.62)?
4.128. Пусть Р — ортопроектор из 4.65. При каких значениях Л оператор Р — XJ обратим? Найдите обратный оператор.
4.129. Пусть X — ЛНП, А, В : X —> X — всюду определенные линейные операторы и существуют операторы (АВ)~г, (ВА)~г. Докажите, что тогда существуют и операторы А-1, В~х.
4.130. Пусть X — ЛНП, А, В : X —► X — всюду определенные линейные операторы, и оператор С = (J — АВ)~1 существует. Докажите: существует оператор D = (J — ВА)~1\ выразите его через С.
4.131. Пусть X — ЛНП, А, В : X —> X — всюду определенные линейные операторы, причем
АВ А ~Ь J — О, В А ~Ь А J — 0.
Докажите, что тогда существует оператор А~1.
4.132. Пусть X — ЛНП, А, В : X —► X — всюду определенные линейные операторы, и существует А~г. Тогда если АВ = В А, то и А~1 В = ВА~г.
4.133. Пусть X — ЛНП, У — банахово пространство. Докажите, что непрерывно обратимые операторы A G С(Х,У) образуют открытое множество в пространстве £(Х,У).
4.134. Докажите, что оператор дифференцирования из 4.103 имеет правый обратный, но не имеет левого обратного. Найдите правый обратный оператор.
4.135. Докажите, что оператор интегрирования из 4.118 (см. (4.26)) на всем пространстве не имеет правого обратного, но имеет левый обратный. Найдите его.
4.136. Докажите, что оператор А из 4.124, а) имеет правый обратный, а оператор А из 4.124, б) — левый обратный. Найдите эти операторы.
4.137. Пусть Р — ортопроектор из 4.65. Докажите, что если Но Ф 7i, Но ф {0}, то Р не имеет ни правого, ни левого обратных операторов.
4.138. Рассмотрим оператор А из 4.61 (4.62) как оператор из Ti в Y = (b) (Z = (fti, 62))- Докажите, что существуют операторы А~1 и найдите их. Докажите, что операторы Af1 не существуют.
123


5. 	Сопряженное пространство
5.1. 	Продолжение линейного ограниченного функционала. Доказательство нижеследующей теоремы Банаха-Хана опирается на вспомогательное утверждение.
Лемма 5.1. Пусть f — линейный ограниченный функционал на ЛНП
Х,Ш = £>(/) ф X, хо € ДГ \ ал,
SDTi = 9Л + Хо = {у:у = х + tx о, х £ Ш, t £ R}.
Тогда существует линейный ограниченный функционал /, определенный на Ш\, совпадающий с f на Ш, «ll/ll = H/II-
Доказательство. Рассмотрим только вещественный случай. Доказательство разобьем на этапы.
1. Сначала докажем, что у £ однозначно представляется в виде у = х + txо,х £ 9Л,£ £ R. Предположим, что у = хг4* Vxo,x' £ £ R - другое представление. Тогда х — х' = (tf — t)xо. Если £' — t ф 0, то левая часть этого равенства принадлежит 9Я, а правая не принадлежит 971, что невозможно. Значит, t' — t = 0, t! = t, х' = х.
2. Докажем справедливость неравенства
а = sup (/(ж) - У/ll • ||х + жо||) < inf (/(ж) + ||/|| • ||ж + ж0||) = Ъ. (5.1)
хеш
Пусть х', хи £ Ш* Тогда
fix') - fix") = fix' - х") ^ 11/11 • II*' - *"|| < 11/11(11*' + хо|| + II*" + хо||). Отсюда
fix') - 11/11 • ||х' + хо|| ^ fix") + ll/ll • II*" + хо||.
Фиксировав х", перейдем к супремуму по х £ ЯЛ:
sup (/(*) - 11/11 • II* + soil) < fix") + ll/ll • ||x" + xoll, хеш
затем, перейдя к инфинуму по х" £ Ш1, получим (5.1).
3. Пусть а ^ с < 6. Для у £ Ш i, у = х 4- tx о полагаем
/(у) = /(*) - ct. (5.2)
Упражнение 5.1. Докажите, что равенство (5.2) определяет линейный функционал наШ\, причем на Ш / совпадает с /.
124


4. 	Докажем ограниченность /. Пусть t > 0; в силу (5.1)
Ну) = f(x) -ct = t (/ф - с) < t (/ф - а) <
^t\\f\\-\\^+x0\\ = \\f\\-\\x + tx0\\ = Wf\\-\\y\\. Для t < 0 с помощью неравенства (5.1) получаем
f(y) = /(*) -ct=-t(c- fф) < -t(b - /ф) <
< -*ii/ii • nf+xoii = п/и • ik+teoii = ii/ii • iivii.
Таким образом, во всех случаях выполнено неравенство /(у) ^ [|/|| • ||у|| (при t = 0 оно очевидно); значит функционал (5.2) ограничен и ||/|| < ||/||. Так как ffli шире ОТ, то выполнено протйвоположное неравенство, т. е. на самом деле ||/|| = ||/||. Лемма доказана.
Теорема 5.1. Пусть X — ЛНП, f — линейный ограниченный функционал, определенный на подпространстве £>(/). Существует линейный ограниченный функционал f с £>(/) = X такой, что
fix) = fix) дляхе V(f), ll/ll = ||/||.
(Линейный непрерывный функционал можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.)
Доказательство. Проведем его при дополнительном предположении, что пространство X сепарабельно. Если T>(f) плотно в Л', то утверждение настоящей теоремы следует из теоремы 4.8. Пусть Шо = V(f) не является плотным и D — счетное всюду плотное в X множество. Множество D \ Шо = {xo,£i,...} также не более, чем счетное. По лемме 5.1 продолжим / на Шг = Шо + хо с сохранением нормы, затем на = Ш\ + х\ и так далее, в итоге / окажется определенным на всюду
оо
плотном в X множестве (J Шк (Шк = Шк-\ +Xk-\, fc=i,2,...) с сохранением к-о
нормы. По теореме 4.8 продолжим его на все X с сохранением нормы. Доказательство теоремы в несепарабельном случае см. [15].
5.2. 	Следствия теоремы Банаха - Хана.
Теорема 5.2. Пусть X — ЛНП, хо е X. Существует / £ £(<Y,P) такой, что 1) ||/|| = 1; 2) f(xо) = ||х0||.
(Теорема о достаточном числе функционалов.)
Доказательство. Рассмотрим Ш = {х : х = txо, t Е Р}; Ш - подпространство X. Определим на Ш функционал f(x) = £||#о||- Линейность его
125


очевидна; |/(х)| = \t\ • ||хо|| = ||^о|| = ||ж||, следовательно, ||/|| = 1; если х = хо, то t = 1, так что /(хо) = ||яо||- Итак, / — линейный ограниченный функционал на 9Я, обладающий нужными свойствами. По теореме 5.1 Банаха-Хана продолжим его на все пространство с сохранением нормы.
Следствие 5.1. Пусть X - ЛНП, Х\,Х2 £ X, х\ ф Х2, Существует / £ C(X,F) такой, что f(xi) ф /(хг).
(Теорема о существовании линейного ограниченного функционала, различающего любые два различных элемента.)
Доказательство. Положим хо == По теореме 5.2 существует
/ £ С(Х, Р) такой, что /(хо) = 1, следовательно, /(хi) ф /(хг),
Теорема 5.3. Пусть X — ЛНП, Ш — его подпространство, WI Ф X, у о £ Х\Ш. Тогда существует / £ £(ЛГ,Р) такой, что
1) 	/О) = 0 на Ж; 2) f(yo) = 1; 3) ||/|| = где d = р(у0,Ш).
(Теорема об аннуляторе.)
Доказательство. Рассмотрим =Ш + уо. При доказательстве леммы 5.1 было показано, что каждый у £ имеет единственное представление в форме у = х + tyo, х £ 9Л, t £ R; если t = 0, то у £ Ш, а если у = уо, то х = 0, t = 1.
Полагаем f(y) = t. Этим / определен на 9Jti; линейность его очевидна; /(х) = 0 для х £ 9Л, /(2/0) = 1. Докажем ограниченность / и найдем его норму.
\\x + tyo\\ Ilf + Уо || II2/0 — (—f >
что доказывает ограниченность / и оценку ||/|| ^
Пусть последовательность {xn}^Li С 9Я такова, что lim ||хп — 2/о|| =
п—юо
= d. Тогда 1 = |0—11 = \f(xn)-f(yo)\ ^ ||/IHI*n-yo|| II/IM, откуда следует, что 1 ^ ||/||с/, то есть II/H > 2' Вместе с ранее доказанным это означает, что II/H = 2‘ Итак, построен функционал на 97ti, обладающий нужными свойствами. По теореме Банаха-Хана продолжим его на все пространство с сохранением нормы.
5.3. 	Общий вид линейных непрерывных функционаловЗдесь
приводятся представления линейных непрерывных функционалов в конкретных банаховых пространствах.
5.3.1. 	Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве С [а, 6]. Представление такого функционала дается следу щей теоремой Рисса.
126


Теорема 5.4. Пусть / G £(С[а, 6], R). Существует д £ BV^a, 6] та- тсал, что для любой х Е С [а, 6]
ь ь
f(x) = f x(t)dg(t), примем 11/11 =\/Ы- (5.3)
а
Доказательство. Интеграл Стилтьеса в (5.3) действительно представляет собой линейный функционал. По теореме об оценке для этого интеграла
fx(t)dg{t)
1/(*)1 =
функционал (см. также 4.69), причем
ъ
ъ ь
^ 1Н1с[а,ь] V(<7)> то есть / x(t)dg(t) — ограниченный
У(9)- (5-4)
Осталось доказать, что любой линейный ограниченный функционал на С [а, Ь] имеет такой вид.
Будем считать, что [а, Ь] = [0,1], Это не умаляет общности, так как этого можно добиться линейной заменой независимой переменной. Пусть / 6 £(С[0,1],R). Как известно, (7[0,1] — подпространство М[0,1]. По теореме Банаха-Хана / можно продолжить на М[0,1] с сохранением нормы. Пусть / — это продолжение:
/ е £(М[0,1],K), f(x) = f(x) на С[0,1], ||/|| = ||/||.
0 ^ t < s,
Полагаем us(t) = < при каждом s us(') Е М[0,1]. Определим
‘ в < f < 1;
функцию g : [0,1] —► R равенством g(s) = f(us). Пусть г = {sk}k=o, 0 = so < < s\ < ... < sn = 1 — разбиение отрезка [0,1] и ак = sign (g(sk) — g(sk-i)) • Тогда
n n
Ms) = ^2 19(Sk) - g{Sk-1)| = VkigiSk) - 9(Sk-1)) = k=1 k=l
n / n \
= (/KJ -/(u»it-i)) = / -ч-iW) I <
fc=l \/e=1 /
l|M
где у = £ <rt(uSJfc(t) - «**_!(<)), |M| = 1 (см. рис. 7).
k = 1
127


Рис. 7
Таким образом, д Е BV[0,1] и
V(s) < н/ll-
(5.5)
Пусть х G С [О,1]; рассмотрим последовательность (см. рис. 8)
жп(£)
gX(n) (“*(*)-“4=1 (*))
Так как ^ (uk(t) —Uk-i(t)\ = 1, и при каждом t в этой сумме fc=l ' п п J
одно слагаемое отлично от нуля, то
IXn(t) - x(t)I = |]ц (а; (^) - x(i)) (u±(t) - Uk-i{t)) <
к (t) — гг,fc-1 (t)^ ^ ^cjfc(x) (£) — иfc-i (f)^ ,
128


Рис. 8
где Uk(x) — колебание х( ) на отрезке £]. В силу равномерной непрерывности х(-) для любого е > 0 найдется такое N G N, что для всех
п > N и>к(х) < е. Это означает, что для всех t Е [0,1]
|xn{t) — x(t)| < e, т. e. xn(t) =4 x(t) или, что то же самое, хп х в М[0,1].
Так как / непрерывен, то f(xn) —► f(x) = f(x). Но
Дх„) = Y^x (/(«*) - /(«*=1)) =
к=1 \ / n
= ]СХ(^) (зС^)-5(«fc-i))У x{t)dg(t). к=1 о
Числовая последовательность может иметь только один предел, поэтому 1
/(*) = f x(t)dg(t). Неравенства (5.4) и (5.5) завершают доказательство, о
5.3.2. 	Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах LP(T, 21,/i)
Теорема 5.5. Пусть / Е £(LP(T, 21,//), R). Существует элемент д Е Lg(T,21,/х) ^ + ^ = 1,1<р< +оо^ такой, что для любой
х Е Lp(T,2l,/i)
/(ж) = У x(t)g(t) dfj,, причем ||/|| = ||g||L,. (5.6)
Т
Доказательство. Интеграл Лебега в (5.6) действительно определяет линейный функционал на Lp(T,2l, /л). При р > 1 из неравенства Гельдера
129


получаем 1/0*01 =
J x{t)g(t) dn ^ ( J \x(t)\p dnj (f\g(t)\4dnj = |Wk
..... .. JLJISIIIU-
T \t / \t /
При p — 1 ,q — +00 это неравенство получается непосредственно из оценки интеграла. Следовательно, / Е £(LP(T, 21,/х), R) и
11/11 < 1Ык- (5.7)
Осталось показать, что любой / Е £(Lp(T,2l,/х), R) имеет вид (5.6) и доказать неравенство, противоположное неравенству (5.7). Здесь мы ограничимся лишь несколькими частными случаями.
1. 	Lp(T,2l, /л) = /р, р > 1. Пусть / Е £(/p,R). Надо доказать, что найдется такое д = (<7i,<?2, • • •) Е /<?, что
оо
f(x) = Ylxk9k (5-8)
к — 1
для любого ж Е 1Р и выполняется неравенство, противоположное неравенству (5.7).
Обозначим ек = (0,..., 0,1,0,...). Любой элемент х £ 1р имеет пред-
к-1
оо
ставление а: = 22 хк&к- Рассмотрим последовательность
к = 1
Xfce/c, п = 1,2,х в , к=1
так как
оо / оо \ р
У Хквк ^ \хк\Р ] —* о при П > ОО
fc=n+l \fc=n+l /
как остаток сходящегося ряда. Следовательно, в силу непрерывности функционала,
п оо
f(x) = lim f(x(n)) = lim У'xkf{ek) = V'zfcgjt,
n—ЮО n—>00 ' ■* z
fc=l fc=l
где обозначено = /(е&) (сходимость ряда обеспечивается существованием
предела lim /(x^n))).
n—► 00
Покажем, что <7 = (<7i, <72, • • •) Е lq. Рассмотрим финитную (и, значит, принадлежащую Zg) последовательность
x(N) = (|5i|,_1 • signgi,..., • signgN, 0,0,...) .
130


На этой последовательности
N
N
f(x{N)) = ^ ■ iia;(7V)iUp
k= 1
k=1
I
I
P
ii/ii (zo^ryY = 11/11 (£ы
\k=l / \fc=i
<?
Отсюда
JV
E 1^ I*
oo
Последнее неравенство означает, что ряд J2 \9к\ч сходится и справедливо
к=1
неравенство \\g\\iq ^ ||/||, противоположное неравенству (5.7)
2. 	(LiT, 21, //) = /1. Пусть / £ £(Zi, R). Надо доказать, что найдется такое 9 — (#ь#2, ••.) Е loo, что имеет место представление (5.8) для любого х Eh и выполняется неравенство, противоположное неравенству (5.7).
Как и выше, докажем представление (5.8): f(x) = Y2 ХкЯк, где дк = /(еь).
fc=i
Теперь нужно доказать ограниченность последовательности {дк}- Предположим противное: эта последовательность не является ограниченной. Это означает, что существует подпоследовательность {е*^.} такая, что \f(ekj )| > j. Положим х^ = ~зекз 0 в Zi. В силу непрерывности функционала / /(%•) —^ однако f(ekj) = )f{ekj) ^ 1. Полученное противоречие
доказывает ограниченность последовательности {дк}-
Рассмотрим максимизирующую подпоследовательность {gkj}jlLi, т. е.
^ Z) Яьдк = 9kj —► \\д\\, Т. е. ll/ll ^ IIpIIioo- Вместе с неравенством (5.7) это
к=1
доказывает требуемое равенство.
3. 	LP(T,21, fi) = Lp[a,6], р > 1. Как и при доказательстве теоремы 5.4 будем считать, что [а, Ь] = [0,1]. Итак, будем доказывать, что любой функционал / Е £(LP[0,1],R) имеет представление
оо
gkj -> supjpjtl = HfflUo,, и ;Ц. = (0, ■••,0,1,0,0, По теореме 4.2 ||/|| >
kj-l
ОО


где д £ Lg[0,1], и справедливо неравенство
ll/ll ^ |Ыкд[0,1]*
Полагаем, как в теореме 5.4 , us(t) =
!1, 0 ^ t < s, О, s < t ^ 1;
(5.10) (при каждом
s иа(-) € Lp[0,1]) и G(s) = f{us).
Докажем, что теперь функция G(-) абсолютно непрерывна. Пусть е > 0 произвольно, 5 = -щ и {(ak,bk)}k=i — произвольная система непересека-
п /
ющихся интервалов такая, что 22 (bk — ak) < S. Тогда (обозначив, как в
к=1 '
теореме 5.4, а к = sign (G(sk) — G(sfc-i))^
fc—i
fc=i
IG(bk) - G(ofc)| = 5>fc(G(bfc) - G(afc)) =
Tl
W)
fc=l
= /{X)fffc(ub*(s)-Uo*(s))J ^ ii/ii
n
5^afc(ubfc(s) -1tafc(s))
fc = l
fc=l
P \ P
ds I ^
bfc \ p
ds |
(использовано очевидное неравенство
«я E /■
П
= ll/ll -<**)* < £ <1).
fc = l
£ **(«<>*(*) -Uefc(s))
fe=1
Из абсолютной непрерывности G(*), учитывая, что G(0) = /(гхо) = 0,
s
G(s) = $ д(т) dr, где g(s) = G'(s) — суммируемая функция. Таким обра- о
S 1
зом, f(us) = G(s) = f g(t)dt = J us(t)g(t)dt, т. e. представление (5.9) для о о
функций ws(‘) имеет место.
Упражнение 5.2. Докажите, что представление (5.9) справедливо для характеристической функции любого измеримого подмножества А С [0,1].
Упражнение 5.3. Докажите, что представление (5.9) справедливо для любой простой конечнозначной функции.
Упражнение 5.4. Докажите, что представление (5.9) справедливо для любой измеримой ограниченной функции.
132


Покажем, что д е Lg[0,1]. Для этого рассмотрим функцию xn(-), определенную равенствами
imr1*
1 . Signg(t), если p(t) < N,
xN(t) = {
signg(t), если |p(t)| > N,
где ~ ~ = 1. Функция xn(-) ограничена и измерима, поэтому согласно
1
упражнению 5.4 /(xn) = f xjv(t)g(t) dt и
о
\f(xN)\ < ll/ll • ||я?лг|| = ll/ll lxN(t)lPdtj . С другой стороны
l l
I/(®jv)| > /(xn) = JxN{t)g(t)dt = J |x/v(t)| • \g(t)\dt ^
о о
l l l
^ J |5CJv(t)| • dt = J \xN(t)\*^dt = J \xN(t)\p dt.
о
Следовательно, J \xN{t)\p dt ^ ||/|| (J |хлг(£)|р dA , т. e.
Vo /
\xN(t)\p dt^j ^ ||/||. Так как |зд(£)| —> \9(t)\q'~1 почти всюду на [0,1], то переходя в последнем неравенстве к пределу при N —► оо, получим
^}т\(?-1)pd*j = т\я ^ ll/п. (5.И)
Значит, д Е L9[0,1].
Пусть х € Lp[0,1]. Так как множество простых конечнозначных функций плотно в Lp[0,1] (см. лемму 2.4), то найдется последовательность
{жп(*)}^=1 простых конечнозначных функций такая, что 1
f |x(f) — xn(t)\р dt —> 0 при п —> оо. В силу неравенства Гельдера о
ill
J xn(t)g(t)dt- J x(t)g(t)dt = J(xn(t) - x(t))g(t) dt


1 1
Значит, f(xn) = f xn(t)g(t) dt —» f x(t)g(t) dt. Но в силу непрерывности
о о
функционала / f(xn) —* /(х), следовательно, представление (5.9). имеет место для любого х G Lp. Неравенство (5.11) означает справедливость (5.10).
Замечание 5.1. В случае комплексного пространства Lp(T,2l,/х) линейный непрерывный функционал имеет представление:
f(x) = J x{t)g(t) dn, причем ||/|| = Цс/Цц.
Т
5.3.3. 	Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Представление такого функционала дает сле- дущая теорема Рисса.
Теорема 5.6. Пусть Н — гильбертово пространство и / — линейный непрерывный фугнкционал на нем. Существует g G Н такой, что для любого х € Н
f{x) = {x,g), причем II/II = 1Ы|н- (5.12)
Доказательство. Линейность скалярного произведения следует из его аксиом, ограниченность — из неравенства Коши-Буняковского: \(х,д)\ ^
< 1ЫЫ|я||н.
Покажем, что любой ограниченный функционал имеет вид (5.12). Пусть / G £(tf,R), / ф 0, Лf(f) = {х е Н : /(х) = 0} — ядро функционала /. Согласно упражнению 4.28 Л/Х/) — подпространство Н, причем Л/Х/) ф П. Фиксируем произвольный хо G H\J\f(f). По теореме 3.1 о разложении гильбертова пространства в ортогональную сумму подпространств хо = х'о + Xq, где Xq G Л/Х/), Xq JJV(/); следовательно, f(x'o) ф 0. Положим У° ^ f(x")' Тогда f(yo) = 1. Пусть х пробегает все Я, z = х — /(х) • уо. Так как f(z) = /(х) - /(х) • 1 = 0, то г G Л/Х/), т. е. х = г + /(х)у0 — представление х согласно упомянутой выше теореме о разложении гильбертова пространства в ортогональную сумму подпространств. Полагаем д = ц Д 2 • Тогда
(х'а)‘(*'&)'(г + Пх^’Шё)-
= (*’ 1ыр) + /(г) (*' Hi5) “ /(1)'
134


причем
|Ы| = й = ы = ^кГ’ т'е' /(х°} = |Ы|'||ж°11’
Это значит, что 11/11 = |Ы|н. Итак, равенства (5.12) доказаны.
5.4. 	Сопряженное пространство. Слабая сходимость
Линейные непрерывные функционалы и полученные выше их представления играют в дальнейшем одну из центральных ролей.
5.4.1. Сопряженное пространство. Пусть X — ЛНП. Пространство С(Х, Р) линейных непрерывных функционалов на X называется пространством, сопряженным пространству X и обозначается X*. Таким образом, X* = С(Х,¥). В силу теоремы 4.4 сопряженное пространство всегда полно (так как здесь У — Р, а Р полно).
Рассмотрим примеры сопряженных пространств.
1. Пусть X = С[а,Ь]. В представлении (5.3) функция д(-) определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если договориться всегда брать в качестве д(-) функцию, обращающуюся в точке а в нуль, то равенства
(5.3) 	устанавливают изометрический изоморфизм между пространствами С*[а, Ь] и BVo[a, 6], где BVo[a,b] — банахово пространство функций ограниченной вариации, обращающихся в нуль в точке а. Таким образом, линейный непрерывный функционал мы отождествляем с функцией р, определяемой представлением (5.3). В дальнейшем обозначаем функцию ограниченной вариации, порождающую линейный непрерывный функционал
на С [а, 6] по формуле (5.3) и сам функционал одной буквой, т. е. пишем ь л ь
f(x) = f x(t) df(t), или даже f(x) = f x(t) df(t), и С* [a, b] = BVo[a, b] вместо
С* [a, b] a= BVo [a, b].
2. Пусть X = LP(T, 21,/х), 1 ^ p < +00. Теорема 5.5 устанавливает изометрический изоморфизм между L*(T,2l,/х) и Lq(T,2l, /х), 1 < q ^ +оо, ~ ^ = 1, т. е. L*(T,2l,/х) = Lq(T,2l,/х). В частности, Lp[a, b] = Lq[a, 6], lp = lq, (Rp)* — R™. Вместо знака = пишем в дальнейшем знак равенства.
3. Согласно теореме 5.6 можно отождествить Н* с самим if, пишем просто Н* = Н.
4. Так как AC[a,b] = R х Li[a, 6], то АС* [а, 6] = R х Loo [а, Ь] (пишем равенство вместо знака =).
5.4.2. Второе сопряженное пространство. Так как X* — банахово
135


пространство, то можно говорить о линейных непрерывных функционалах на нем, то есть о пространстве (X*)* = X** — о втором сопряженном пространстве.
Пусть х £ X — фиксированный элемент, а / £ X* — произвольный линейный непрерывный функционал на X. Ранее мы говорили, что f(x) — число, поставленное в соответствие элементу х £ X. Но можно об }(х) сказать также, что это число, поставленное в соответствие элементу / £ X*, т. е. функционал на X*. Обозначим Fx(f) = }{х). Отметим следующие факты. 1) Fx — линейный функционал:
Fx(af + fig) = (af + /Зд)(х) = af(x) + 0g(x) = a Fx(f) + /3Fx(g);
2) 	Fx — ограниченный функционал:
l^(/)l = l/(s)l ^ ll/ll • 11*11 = INI • ll/ll,
при этом ||FX|| ^ ||ж||; итак, Fx £ X**; 3) на самом деле ||FX|| = ||х|| : по
теореме о достаточном числе функционалов для любого х £ X существует
функционал / £ X* такой, что ||/|| = 1 ,f(x) = ||ж||; отсюда
F*(f) = № = \\x\\ = \\x\\-\\f\\, т. е. IIFxIl = ||*||.
Таким образом, каждый х £ X порождает функционал Fx £ X**. Покажем, что соответствие Ф : X —> X**, Ф(х) = Fx есть изометрический изоморфизм X на часть X**.
Отображение Ф — изоморфизм:
Fax+/3y(f) = f(ax + 0у) = af(x) + 0f(y) = aFx(f) + 0Fy(f)-,
отображение Ф — изометрия: Ц^Н*** = ||х||*.
Тот факт, что X изоморфно изометрично вкладывается в X** будем записывать просто: X С X**.
Если X = X** (пишем просто X = X** ), то X называется рефлексивным пространством. Например, при 1 < р < +оо пространство LP(T, 21, /i) рефлексивно: L** = L* = Lp; в частности рефлексивны (при таких р) LР[а, 6], Zp, Rp. Гильбертово пространство Н также рефлексивно:
#** = (н*у = н* = н.
А вот пространство непрерывных функций С [а, Ь] нерефлексивно! Следующим образом определим линейный непрерывный функционал на BVo[a,b\: (Tt0(g) =g(to+) — g(to—), to £ [a,b]\ линейность <Tt0 очевидна, а
136


b
ограниченность следует из неравенства: |сг*0(д)| < У(д) = 1Ы1ву0[а,ь]- Итак,
а
(JtQ Е BVo[a, Ь]. Предположим, что существует функция хо Е С[а, 6], хо ф О такая, что для любой
ь
g€BV0[a,b] Fxo(g) = Jx0(t) dg(t) = <rto(g). (5.13)
a
t
Положим go(t) = J xo(s)ds; go непрерывно дифференцируема, следова-
a
тельно имеет конечную вариацию, а так как до(а) = 0, то до Е BVo[a, Ь]. Из (5.13) следует
ь ь
^о(Ро) = J x0(t)dg0{t) = J xo(t) dt > О,
а а
в то время, как сг*0 (ро) = 0. Это противоречие с (5.13) означает, что В\о* [а, Ъ] состоит не только из функционалов вида Fx, порожденных элементами х Е С[а, 6], т. е. BVo[a,b] шире, чем С[а, 6], что и означает нерефлексивность С[а.Ь].
Сформулируем в виде одной теоремы следующие свойства рефлексивных пространств.
Теорема 5.7. 1. Конечномерные В-пространства рефлексивны.
2. Подпространство рефлексивного В-пространства рефлексивно.
3. В-пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно его сопряженное пространство X*.
Утверждения 1 и 2 очевидны. Доказательство утверждения 3 можно посмотреть в [5, с. 79], [12, с. 203].
5.4.3. 	Слабая сходимость элементов. Пусть X — ЛНП. Сходимость в X теперь будем называть сильной сходимостью. Скажем, что последовательность {xn}n=i С X сходится слабо к х Е X, если для любого / Е X* числовая последовательность f(xn) сходится к f(x) (пишем: хп —► х слабо, или хп х, или х = w-limxn)•
Отметим следующие свойства слабой сходимости.
1. 	Слабый предел единствен.
Пусть хп х и хп у. Это значит, что для любого / Е X* /(хп) —> /(х) и /(хп) —► /(?/)• Так как числовая последовательность может иметь лишь один предел, то /(х) = /(у), /(х — у) = 0 для любого / Е X*, т. е. х - у = 0, х = у.
137


2. Сильная сходимость влечет слабую: \\хп — х\\ —► 0 => хп х. Обратная импликация не имеет места.
Пусть ||хп — х\\ —*0 и / £ АТ* произволен. Тогда
l/(Sn) - /(ж)| ^ 11/11 • ll^n — аг|| —»• О ==Ф- /(ж„) -*• /(ж).
Пусть W — гильбертово пространство, {en}S?Li С Я — ортонорми- рованная система. Коэффициенты Фурье сп = (еп,/) = /(еп) элемента f € Н стремятся к нулю при п —> оо, следовательно, еп 0; однако, ||еп — ет|| = л/2, т. е. последовательность {en}^Li, не сходится сильно, так как не является фундаментальной.
3. Слабо сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть хп х; это значит, что для любого / £ X* числовая последовательность {/(xn)}S?Li ограничена. Рассмотрим FXn £ X**, F,n(/) = /(хп). Так как числовая последовательность {^х„(/)}^=1 ограничена, то в силу принципа равномерной ограниченности (теорема 4.6) ограничена и последовательность норм {||F*n|| = ||xn||}J£=i-
4. В конечномерном пространстве слабая сходимость эквивалентна сильной сходимости.
В силу свойства 2 достаточно показать, что слабая сходимость влечет сильную. Пусть X конечномерно, {е*;}£=1 — базис в нем и хк — координаты вектора х £ X в этом базисе. Пусть хп х. Рассмотрим функционалы fk(x) = Хк (1 ^ к ^ га). Так как
fk(x{n)) = X-> л (ж) = ж*,
то имеем покоординатную сходимость. Как известно, в конечномерном пространстве сходимость по норме эквивалентна покоординатной сходимости; значит, х(п) —► х сильно.
Упражнение 5.5. Докажите, что в пространстве h сильная и слабая сходимости совпадают.
Слабая сходимость элементов порождает следующие понятия.
1. Последовательность {xn}^Li называется слабо фундаментальной, если для любого / £ X* числовая последовательность {/(xn)}^Li фундаментальна. Очевидно, фундаментальная последовательность слабо фундаментальна.
2. ЛНП X называется слабо полным, если любая его слабо фундаментальная последовательность имеет в нем слабый предел.
138


3. 	Множество М С X называется слабо замкнутым, если из того, что хп Е М (п Е N), хп х следует х £ М.
4 Множество М С X называется слабо ограниченным, если для любого f Е X* существует число С/ > 0 такое, что для любого х Е М |/(ж)| ^ Cf.
5 Множество М С X называется слабо компактным, если любая бесконечная последовательность элементов из М содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 5.8. 1) Слабая ограниченность множества эквивалентна его (сильной) ограниченности;
2) слабая замкнутость множества влечет его (сильную) замкнутость; обратная импликация не имеет места;
3) слабая полнота пространства влечет его (сильную) полноту; обратная импликация не имеет места;
4) компактность множества влечет его слабую компактность; обратная импликация не имеет места.
Упражнение 5.6. Докажите, теорему 5.8.
Теорема 5.9. Рефлексивное пространство слабо полно.
Упражнение 5.7. Докажите, теорему 5.9.
Теорема 5.10. Для того, чтобы последовательность {xn}^Li слабо сходилась к х в пространстве С [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была ограничена и сходилась к x(t) в каждой точке отрезка [а, 6].
Упражнение 5.8. Докажите, теорему 5.10.
Следующее утверждение дополняет теорему 5.7.
Теорема 5.11. Для того, чтобы В-пространство X было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякая ограниченная последовательность его элементов содержала подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу из X.
По поводу доказательства см. замечание к теореме 5.7.
5.4.4. Слабая сходимость функционалов и операторов. Пусть X — ЛНП. Сходимость последовательности функционалов как элементов сопряженного пространства X* будем теперь называть сильной сходимостью. В банаховом пространстве X* можно ввести понятие слабой сходимости, так как мы это сделали выше. А именно, скажем, что {fn}n=i С X*
139


сходится слабо к функционалу / Е X* (пишем /п /), если для любого F Е X** F(fn) —► F(/). Кроме того, в пространстве X* вводится еще один вид слабой сходимости — *-слабая сходимость. Будем говорить, что последовательность {fn}%L 1 С X* сходится *-слабо к функционалу / Е X* (пишем /п /), если для любого х Е X fn(x) —> /(х).
Как отмечалось выше, сильная сходимость последовательности функционалов влечет слабую ее сходимость. Покажем теперь, что слабая сходимость последовательности функционалов влечет ее *-слабую сходимость.
Действительно, пусть /п —> /; это означает, что для любого функционала F € X**, а значит, и для функционала F®, порожденного элементом х Е X, имеет место сходимость fn(x) = Fx(fn) —► Fx(f) = /(х).
Из этого рассуждения видно, что в рефлексивном пространстве оба вида слабой сходимости совпадают. В нерефлексивном пространстве из *-слабой сходимости последовательности функционалов, вообще говоря, не следует ее слабая сходимость.
Упражнение 5.9. Приведите пример последовательности, которая сходится *-слабо, но не сходится слабо.
Для последовательности линейных операторов Ап : X —> У (n Е N) ранее уже было введено два вида сходимости: равномерная сходимость (обозначение Ап =3 А), когда \\Ап — А\\ —> 0 (п —*- оо) и сильная сходимость (обозначение Ап —> А сильно), когда для любого х Е X Апх —> Ах. Скажем теперь, что последовательность линейных операторов Ап : X —► У сходится слабо к линейному оператору А : X —► У (пишем Ап А), если для любого х £ X и любого / Е У* f(Anx) —► f(Ax).
Упражнение 5.10. Докажите, что сильная сходимость последовательности линейных операторов влечет ее слабую сходимость. Приведите пример последовательности линейных операторов, которая сходится слабо, но не сходится сильно.
5.5. 	Сопряженный оператор
5.5.1. 	Определение и свойства. Пусть Х,У — ЛНП, А : X —► У — линейный всюду определенный (Т>(А) = X) оператор, / Е У*,х Е X. Тогда Ах Е У и можно говорить о числе /(Лх), поставленном в соответствие элементу х: g(x) = f(Ax); очевидно, д — линейный функционал на X. Если А — ограниченный оператор, то д — ограниченный линейный функционал:
|<,(ж)| = \f(Ax)\ < II/H • ||Ас|| < Ц/ll • \\А\\ • ||*||, (5.14)
140


т. е. д Е X*. Таким образом, каждому / £ У* ставится в соответствие д Е X*, то есть имеем оператор А* : У* —> X*, определяемый равенством
(А*/)(х) = д(х) = /(Ах). (5.15)
Оператор А* называется сопряженным (оператору А).
Упражнение 5.11. Докажите, что А* — линейный оператор.
Из (5.14) следует, что если А Е £(Х,У), то А* Е £(У*,Х*), причем
Р*II ^ ||Л||. (5.16)
На самом деле здесь имеет место равенство. Из теоремы 4.2 о норме оператора и свойства супремума следует, что для любого е > 0 найдется х£ Е X такой, что ||хе|| = 1, ||Ах£|| > \\А\\ — е. По теореме 5.2 о достаточном числе функционалов найдется / Е У* такой, что ||/|| = 1, f(Axe) = ||Аа?е||. Учитывая эти соотношения, получим
И*II = Р1 • 11/11 > \\A*f\\ = 1И7Н • ||х,|| 5* ||(А*/)ЫН =
= \f(Axe)\ = ||Аве|| > ЦАЦ
Отсюда следует, что \\А*\\ ^ ||А||, а с учетом (5.16) \\А*\\ = \\А\\.
Упражнение 5.12. Докажите, что 1) (А + В)* = А* + В*\
2) 	(АЛ)* = ХА*.
Упражнение 5.13. Докажите, что если у = X, то (АВ)* = В* А*.
5.5.2. 	Примеры нахождения сопряженного оператора. В рассмотренных ниже примерах имеются в виду вещественные пространства.
1. 	Пусть X = У = C[a,b];(Ax)(t) = tx(t). Тогда X* = У* = BV0[a,b], функионал / (д) определяется функцией ограниченной вариации / (д),
ь ь
(A*f)(x) = f(Ax) = J(Ax)(t)df(t) = J tx(t) df(t) =
a a
b b
= J x{t) -tdf(t) = J x(t) dg(t),
a a
t t
где g(t) = f sdf(s). Следовательно, (A*f)(t) = f sdf(s).
a a
141


2. Пусть X = У = L2[-l, 1]; (Ax){t) = tx(t). Тогда X* = У* =
= L2[—1,1], функионал / (д) определяется функцией / € L2[— 1,1]
(д € L2[—1,1]), и
1 1
(A*f)(x) = f(Ax) = J(Ax)(t)f(t) dt = J tx(t)f(t) dt =
-1 -1
1 1
= J x(t)'tf(t) dt = J x(t)g(t) dt,
-1 -1
где g(£) = tf(t). Следовательно, (A*f)(t) = tf(t). Так как здесь А* и A действуют в одном и том же пространстве, то А* = А (т. е. оператор А — самосопряженный).
ь
3. Пусть X = У = Ьг[а, 6]; (Ar)(£) = f К(t, s)x(s) ds. Тогда X* =
а
= У* = Ьг[а, 6], функионал / (д) определяется функцией / Е Ьг[а, 6]
(з G L2[a,b]), и
ъ
(A*f)(x) = /(Ап) = J(Ax)(t)f(t)dt:
K(t, s)x(s) ds\ f(t) dt = J x(s)dslj K(t,s)f(t)dt j =
О
= J x{s)g{
s) ds.
где #(£) = f K(s,t)f(s)ds; следовательно, (A* f)(t) = f K(s,t)f(s) ds. (Пе-
a a
ремена порядка интегрирования допустима в силу теоремы Фубини; мы вернулись к "внешней"переменной £.)
5.5.3. 	Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Пусть Н — произвольное гильбертово пространство. В силу теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала, определение оператора, сопряженного ограниченному оператору А, может быть переформулировано так:
(A* f)(x) = (x,A*f) = {Ax,f) = f(Ax).
Таким образом, самосопряженный оператор А Е С{Н) определяется равенством {Ах, у) — (х,Ау).
142


Упражнение 5.14. Рассуждая как выше в примере 3, покажите, что оператор, сопряженный линейному интегральному оператору Фредгольма с ядром K(t, s) в комплексном пространстве L2 [а, Ь] есть линейный оператор Фредгольма с ядром K*(t,s) — K(s,t) и значит, самосопряженный оператор обладает свойством K(t,s) = K(s,t).
Упражнение 5.15. Пусть А £ £(СП) в некотором базисе описывается матрицей А. Докажите, что тогда сопряженный оператор имеет в этом базисе матрицу А* — АТ, следовательно такой оператор будет самосопряженным, если его матрица эрмитово сопряженная: А = АТ. Пусть S(H) — множество самосопряженных операторов.
Упражнение 5.16. Покажите, что S(H) — линейное пространство над полем Ш. Покажите, что S(7i) замкнуто в C(Ti).
Упражнение 5.17. Покажите, что если А,Ве S(H), то АВ £
£ S(H) тогда и только тогда, когда А и В перестановочны: АВ = В А.
Упражнение 5.18. Покажите, что если А £ S(H), то квадратичная форма (Ах, х) принимает вещественные значения.
Теорема 5.12. (о норме самосопряженного оператора). Пусть А £ S(Tt)
Тогда ||А|| = sup \(Ах,х)\.
11*11=1
Доказательство. Обозначим (3 = sup \(Ах,х)\. Непосредственно из
11*11=1
определения следует
|(Ах,х)| 5? 0\\х\\2 (х € Я). (5.17)
Если ||а;|| = 1, то с помощью неравенства Коши-Буняковского получим, что \(Ах,х)\ ^ ||Ах|| • ||х|| ^ \\А\\ • ||*||2 = \\А\\. Отсюда следует, что (3 < ||Л||. Осталось доказать противоположное неравенство.
Пусть ||х|| = \\у\\ = 1. Так как
(Ах, у) + (Ау, х) = (Ах, у) + (у, Ах) = (Ах, у) + (Ах, у) = 2Ш(Ах, у),
то
(А(х + у),х + у) = (Ах,х) + (Ау, у) + 2Ш(Ах,у),
(А(х -у),х -у) - (Ах, х) + (Ау, у) - 2 Ше(Ах, у). Вычтем из первого равенства второе, в итоге получим
А\Ш(Ах,у)\ = \(А(х + у),х + у) - (А(х - г/),ж - у)| ^
< |(A(x + j/),x+2/)| + \(А(х - у),х - у)\;
143


из оценки (5.17) и тождества параллелограмма следует:
Ще(Ах,у)\ < /9(||* + yf + ||* - j/||2) < 2/3(||*||2 + ||у||2) = 4/?.
Отсюда |3£е(Ах, у)| < /?, а подставив в это неравенство ?/ = Ах/||Ах||, придем к неравенству || Ах|| < (3. Перейдя в последнем неравенстве к супремуму при ||х|| = 1, получим требуемое противоположное неравенство ||А|| ^ /3. Вместе с ранее доказанным неравенством это означает, что \\А\\ = /3.
У пражнения
5.19. Пусть X = Ш = {х G Rl : 2xi — хг}; на подпространстве 9Л задан линейный непрерывный функционал /(х) — xi; найдите его норму; найдите продолжение / по схеме леммы 5.1 на все №% с сохранением нормы; докажите единственность этого продолжения.
5.20. Запишите линейные непрерывные функционалы из 4.67 согласно теореме Рисса 5.4 в виде интеграла Стилтьеса и найдите нормы функционалов с помощью этой теоремы.
5.21. Запишите линейные непрерывные функционалы из 4.68 согласно теореме Рисса 5.4 в виде интеграла Стилтьеса и найдите нормы функционалов с помощью этой теоремы.
5.22. Нижеследущие линейные непрерывные функционалы на пространстве С [а, Ь] представьте в виде интеграла Стилтьеса и найдите их нормы.
i 1
а) f(x) = ^х(О) + §я(^) - \х(1) - J x(t) dt + f tx(t) dt, [a, b] = [0,1];
0 i
1 2
б) /(x) = f tx{t) dt — f t2x(t) dt — x(2), [a, b] = [0,2];
о 1
в)/(x) = 2x(|) + f f et_sx(s) dsdt, [a, b] = [0,1].
о о
5.23. Пусть
L = jx G C[—1,1] : J x(t) dt = J x(t) ;
Докажите, что L — подпространство C[—1,1] и найдите такой функционал / G С*[ 1,1], что L =J\f(f).
5.24. Исследуйте линейные функционалы
144


а) f(x) = f х( Vi) dt;
о
б)/0*0 = J x(tm)dt;
0
на пространстве Lp[0,1] на непрерывность с помощью теоремы 5.5; найдите их нормы с помощью этой теоремы.
5.25. С помощью теоремы 5.5 докажите, что нижеследующие функционалы на банаховом пространстве X линейны и непрерывны; найдите их нормы.
1
а) f(x) = f tx(t)dt, X = h[—1,1];
-l
l
б)/(x)= f tx(t)dt, A' = L2[—1,1];
-l
1
в) f(x) = J tax(t) dt (a > —^), X = h2[—1,1].
о
5.26. С помощью теоремы 5.6 проверьте, являются ли нижеследующие функционалы на гильбертовом пространстве W^a, b] непрерывными; в случае положительного ответа представьте их в виде скалярного произведения и найдите их нормы.
7Г
а) f(x) = f (x(t) cos t — xf(t) sin t) dt, [a, b] = [0,7r];
о
7Г
б) f(x) = J (x(t) cos t + x'(t) sin t) dt, [a, 6] = [0,7r];
о
7Г
"2
в) /(x) = f (x(t) cos t + x'(t) sin t) dt, [a, 6] = [0, f] ;
о
ь
г)f(x) = f (x(t)p(t) + x'(t)q(t)t) dt, peC[a,b], q G C(1)[a, b].
a
5.27. С помощью теоремы 5.5 докажите, что функционалы из 4.75 линейны и непрерывны; найдите их нормы.
5.28. С помощью теоремы 5.5 докажите, что f(x) = —=== —
fc=i 4-1)
линейный непрерывный функционал на пространстве а) h; б) h в) 1Р (2 < р < +оо);
5.29. С помощью теоремы 5.6 убедитесь, что
X
fn(x) = J x(t) cos nntdt (n £ !
линейные непрерывные функционалы на пространстве Ьг[—1,1]; найдите их нормы.
145


5.30. Пусть Л\У — ЛНП, Z = X4-У — их прямая сумма, в которой норма определяется так: \\z\\z == Ц^Цлг + ЦуЦу. Покажите, что всякий линейный ограниченный функционал h на Z имеет представление
h(z) = f(x) + д(у), f еХ*,д€ У*, ||/t|| = max{||/||, |Ы|}. (5.18)
Таким образом, пространство, сопряженное к Z может быть отождествлено с прямым произведением X* х У*, причем норма в Z* = = X* х У* имеет вид \\h\\ = max{||/||, \\д\\}.
5.31. Докажите, что 1\ = /оо (= тп)
5.32. Найдите общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве со сходящихся к нулю последовательностей. Укажите сопряженное к со пространство.
5.33. Докажите, что
ОО ОО
a) 	f(x) = Y 2~k*lXk\ б) f(x) — Y tit—77 — линейные непрерывные к=1 к= 1 к(к + 1)
функционалы на пространстве со сходящихся к нулю последовательностей.
Найдите нормы этих функционалов.
°° Хк
Является ли линейный функционал f(x) = ^ — непрерывным
fc=i л/к(к + 1)
на со? Укажите его область определения.
5.34. Найдите общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве с сходящихся последовательностей. Укажите сопряженное к с пространство.
5.35. Найдите второе сопряженное к пространству со сходящихся к нулю последовательностей.
5.36. Опишите пространство, сопряженное к пространству АС [а, 6] абсолютно непрерывных функций.
5.37. Докажите, что если пространство X*, сопряженное к банахову пространству X, сепарабельно, то и само X сепарабельно; докажите, что из сепарабельности X не следует сепарабельность сопряженного пространства X*.
5.38. Докажите, что пространство последовательностей h нерефлексивно.
5.39. Докажите, что последовательность из 5.29 *-слабо сходится к нулю. Верно ли, что эта последователльность сходится сильно?
5.40. Пусть X — ЛНП. Докажите следующий критерий слабой сходимости в пространстве X. Для того, чтобы последовательность хп £ X слабо сходилась к х £ X необходимо и достаточно, чтобы
146


а) 1Ы| ^ К(п £ N) при некотором К > 0; б) д(хп) —► д(х) (п —> оо) для любого функционала д из некоторого всюду плотного в X* множества Q.
5.41. Пусть X — ЛНП, М С X — относительно компактное множество. Докажите, что для последовательностей из М слабая и сильная сходимости совпадают (это означает, что всякая слабо сходящаяся последовательность элементов множества М сходится сильно).
5.42. Пусть X — В-пространство, х, хп £ X, /, /п £ X*. Какие из условий а)-г)
а) хп —► х, fn —► / (п -* оо);
б) хп х, /п —► / (п —► оо);
в) хп —> х, /п / (п —► оо);
г) хп х, /п ^ / (п оо)
гарантируют сходимость /п(хп) —> /(х)?
5.43. Пусть 7^ — гильбертово пространство, en £ (п £ N) — ортонормированная система элементов. Докажите, что еп 0. Верно ли, что
еп -> 0?
5.44. Изменится ли ситуация с 5.42 г), если В-пространство X заменить гильбертовым пространством
5.45. Приведите пример слабо сходящейся последовательности непрерывных функций, которая не сходится (сильно) в пространстве непрерывных функций С[0,1].
5.46. Докажите следующее утверждение. Для того, чтобы хп —> х в пространстве LP(T, 21, /х), (1 ^ р < +оо, /х(Т) < +оо), достаточно, чтобы
a) 	xn{t) ► x(t) (п —► оо); б) существовала суммируемая со степенью р мажоранта Ф : \xn(t)\ ^ Ф(£) /х-п. в. на Т (п £ N).
5.47. Докажите следующий критерий слабой сходимости в пространстве Lp[a, b] (1 < р < +оо). Для того, чтобы хп —> х в пространстве L р[о, 6] (1 < р < +оо), необходимо и достаточно, чтобы
а) 	11хп || ^ К (п £ N) при некотором К > 0; б) для любого t £ [a, b]
t t
J xn(s)ds—> J x(s) ds (n —> oo).
a a
5.48. Приведите пример слабо сходящейся последовательности из Lр[а, 6] (1 < р < +оо), которая не сходится в этом пространстве.
5.49. Докажите следующий критерий слабой сходимости в пространстве /р (1 < р < +оо). Для того, чтобы х(п) х в пространстве
1Р (1 < р < +оо), необходимо и достаточно, чтобы а) ||х^|| ^ К (п £ N)
147


при некотором К > 0; б) для любого к £ N х^ хк (п —► оо; при этом
сходимость необязательно равномерная).
5.50. Приведите пример слабо сходящейся последовательности из 1Р (1 < р < +оо), которая не сходится (сильно) в этом пространстве.
5.51. Докажите: если множество Mch слабо компактно (слабо относительно компактно), то М компактно (относительно компактно).
5.52. Пусть X — ЛНП, хп £ X (п £ N). Докажите, что хп сходится в X тогда и только тогда, когда хп —> х (га —► оо) равномерно в шаре Вх* [0,1].
5.53. Пусть X — ЛНП, /, fn £ X* (га £ N), /п / (га —► оо). Верно ли, что fed ^{/n}£°=1^ = L?
5.54. Для х = (xi,x2, ■ ■.) € lP (1 < р < оо) fn(x) = хп (п = 1,2,...); докажите, что /п 0 (п —► оо). Верно ли, что /п —► О?
5.55. Пусть Н — гильбертово пространство, х,хп £ Н (га £ N), хп —> х, ||хп|| —► ||х||; докажите, что тогда хп —► х (га —> оо).
5.56. Пусть Н — гильбертово пространство, еп £ Н (га £ N) — ортогональная система элементов. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
оо
а) ряд еп сходится;
п=1
ОО
б) ряд Y1 еп слабо сходится;
п~ 1
ОО
в) числовой ряд YI ||еп||2 сходится.
п— 1
5.57. Для х £ С^[0,1] определим функционалы f(x)=x{ 0), /„(ж) = п (ж (i) - ж(0)) , п = 1,2,...;
Докажите, что это линейные непрерывные функционалы на С^[0,1]; найдите их нормы; докажите, что /п / (п —► оо). Верно ли, что /п —► /?
{2nt для 0 ^
2 - 2nt для ^ < t ^ (см. рис. 7), О для £ < * < 1
1
/п(х) = Jkn(s)x(s)ds (х £ С[0,1], n £ N). Докажите, что /п ^ 0 о
(га —► оо). Верно ли, что /п /? Имеет ли место сильная сходимость?
5.59. 	Пусть {fn}n=i С £Vb[a,&], fn(t) —► /(£) при каждом £ £ [a, 6],
ь
V(/n) < -ЙГ (га £ N) при некотором jRT > 0. Докажите, что тогда fn —+ /.
a
148


5.60. Пусть (Anx)(t) = f kn(t)x(s) ds (n = 1,2,...), где kn определены в
о
5.58; покажите, что Ап 0, но А -/+ 0 сильно.
5.61. Докажите, что в рефлексивном В-пространстве единичный шар слабо относительно компактен.
5.62. Докажите, что в гильбертовом пространстве единичный шар слабо относительно компактен.
5.63. Рассмотрите оператор интегрирования
t
= f x(s) ds как действующий
a
а) в пространстве С [a, 6];
б) в пространстве Li[a, Ь];
в) в пространстве L2 [а, Ь];
г) из пространства А : Lp[a, 6] в пространство L9[а, 6], 1 < р < + оо,
~ 4" ~ = 1 (все пространства вещественные).
Найдите сопряженный оператор А* во всех случаях.
5.64. Рассмотрите линейный интегральный оператор Фредгольма
ь
(Ax)(t) = f K(t,s)x(s)ds как действующий
а
а) в пространстве С[а,Ь] ^ядро К непрерывно в квадрате [а, Ь]2;^
б) в пространстве Li[a, 6] ( sup J |K(t, s)| ds < -foo j ;
ytE[a,b] a J
в) в пространстве Ьг[а, 6] (выполнено условие (6.3);
г) из пространства Lр[а, 6] в пространство Lq[a, 6], 1 < р < +оо,
ь ь
^ 4- ^ = 1 (сходится интеграл f f \K(t,s)\q dsdt\ все пространства веще-
а а
ственные).
Найдите сопряженный оператор А* во всех случаях.
5.65. Рассмотрите линейный интегральный оператор Вольтерры (Ax)(t)
t
= f K(t, s)x(s) ds при условиях, указанных в 5.64, как действующий
а
а) в пространстве С [а, Ь];
б) в пространстве Li [a, 6];
в) в пространстве Ьг[а, 6];
г) из пространства Lp[a, 6] в пространство L<?[a, 6], 1 < р < +оо,
^ 4- ^ = 1 (все пространства вещественные).
Найдите сопряженный оператор А* во всех случаях.
5.66. Рассмотрите линейный интегральный оператор Фредгольма-
149


b
Стилтьеса (Ax)(t) = f x(s) dsQ(t, s) как действующий в пространстве С[а, b]
а
(см. 4.84). Найдите сопряженный оператор А*.
5.67. Рассмотрите линейный интегральный оператор Вольтерры-
t
Стилтьеса (Ax)(t) = f x(s ds)Q(t, 5) как действующий в пространстве С[а, Ь].
а
Найдите сопряженный оператор А*.
5.68. Найдите операторы, сопряженные к операторам Ах = (х 1,... ,жп,0,...), га Е N;
Бж = (aisci, агжг, • • •)> гДе Е Е, |ап| ^ 1, п = 1,2,...
Сж = (о,..., о,Ж1,Ж2,...)> п £
п—1
jDx = (жп,жп+1,...)» если они действуют
а) в пространстве /1;
б) в пространстве /2;
в) в пространстве со;
г) из пространства 1\ в пространство со;
д) из пространства 1Р в пространство 1Я, 1<р<+оо,^ + ^ = 1.
5.69. В пространстве h рассмотрим последовательность
Апх = (жп+1, жп+2,.. •) (ср. оператор D из 5.68). Докажите, что Ап —► О (га —► оо) сильно. Найдите Л*; верно ли, что Л* —» 0 (га —► оо) сильно?
5.70. Найдите сопряженные операторы к операторам из 4.61,
4.62 в предположении, что Н — вещественное пространство.
5.71. Найдите сопряженные операторы к операторам из 4.64, 4.65.
5.72. Пусть X - ЛНП, {хк}%=1, {ук}пк=1 С X, ШГ=ь Ы?=1 С **
(га Е N) — две биортогональные системы элементов и функционалов, т. е. fi{yk) = Sik, gi(xk) = Sik, i,k = 1,... ,ra. Определим операторы A : X X
и В : X* —> X* равенствами
п п
Ах = ^2дг(х)у{, В/= £/(*)*.
i= 1 i= 1
Покажите, что А* = В.
5.73. Пусть Н — гильбертово пространство, А Е C(7i), существует плотно определенный оператор А~1. Докажите, что тогда существует оператор (А*)-1, причем (Л*)-1 = (Л-1)*.
150


6. 	Вполне непрерывные операторы
6.1. Свойства линейного непрерывного оператора. Пусть Х,У — ЛНП, А £ С(Х,У). Вспомним некоторые свойства оператора А.
1. Оператор А переводит ограниченное множество в ограниченное (см. упражнение 4.6): если М С X — ограниченное множество, то и А(М) С У — ограниченное множество.
2. Оператор А переводит (сильно) сходящуюся последовательность в (сильно) сходящуюся последовательность:
(хп —> х) => (Ахп —> Ах)
(это определение непрерывного оператора).
3. Оператор А переводит слабо сходящуюся последовательность в слабо
W л W А
сходящуюся последовательность: хп —► х =4> Ахп —► Ах.
Упражнение 6.1. Докажите свойство 3.
4. Оператор А переводит относительно компактное множество в относительно компактное: если М С X относительно компактно в X, то А(М) относительно компактно в У.
Упражнение 6.2. Докажите свойство 4.
6.2. Вполне непрерывные операторы. Таким образом, линейный непрерывный оператор сохраняет "хорошие"свойства, однако, вообще говоря, не улучшает их. Рассмотрим класс операторов, которые улучшают свойства множеств.
Пусть Ф : X —► У — некоторый (вообще говоря, нелинейный) оператор. Оператор Ф называется компактным, если он переводит ограниченное множество в относительно компактное: если М С X — ограниченное множество, то Ф(М) С У — относительно компактное множество. Если компактный оператор непрерывен, то он называется вполне непрерывным. Для линейного оператора термины "компактный" и "вполне непрерывный" эквивалентны.
Упражнение 6.3. Докажите: для того, чтобы оператор
А £ С(Х,У) был вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил единичный шар пространства X в относительно компактное множество в У.
Теорема 6.1. Если одно из пространств X или У конечномерно, то оператор А £ С(Х,У) вполне непрерывен.
151


Доказательство. Пусть dim Л! < оо и В = Вх[0,1] — единичный шар. Согласно свойству 4 множество А (В) относительно компактно, т. е. в силу упр. 6.3 оператор А вполне непрерывен.
Если dimy < оо, то в силу свойства 1 А(В) — ограниченное множество; по теореме Больцано-Вейерштрасса А(В) — относительно компактное множество. Остается сослаться на упражнение 6.3.
Следствие 6.1. Пусть А 6 С(Х,У). Тогда, если образ 71(A) конечномерен, то оператор А вполне непрерывен.
Доказательство. Введем новое банахово пространство Y = 71(A). Тогда утверждение следует непосредственно из теоремы.
Пусть X — У, J — тождественный оператор пространства X.
Теорема 6.2. Оператор J вполне непрерывен тогда и только тогда, когда пространство X конечномерно.
Доказательство. Если пространство X конечномерно, то полная непрерывность оператора J следует из теоремы 6.1.
Пусть тождественный оператор вполне непрерывен. Предположим, что вопреки тому, что нужно доказать, пространство X бесконечномерно. Тогда существует бесконечная система {xn}S=i линейно независимых элементов. По лемме Рисса о почти перпендикуляре существует система {^n}^= i такая, что ||*„|| = 1, p(zn,zn-i) > Это неравенство означает, что последовательность {zn)^= 1 не содержит никакой сходящейся подпоследовательности. Если В — единичный шар, то J(B) = В с одной стороны относительно компактен (так как J вполне непрерывен), а с другой — бесконечная последовательность {zn}^=i С В не содержит сходящихся подпоследовательностей. Это противоречие опровергает предположение о бесконечномерности пространства X и доказывает теорему.
Теорема 6.3. Вполне непрерывный оператор переводит слабо сходящуюся в X последовательность в сильно сходящуюся в У.
Доказательство. Пусть оператор А : X —► У вполне непрерывен, и Хп —> х. Тогда согласно свойству 3 уп = Ахп Ах = у. Предположим,
что уп не сходится к у сильно. Это значит, что
(Зе0) (\fk) (Зпк > к) \\уПк - у\\ ^ ео- (6.1)
Найдутся хПк такие, что уПк = АхПк. Последовательность {xnfc}JL1 ограничена (в силу ее слабой сходимости), следовательно, последовательность
152


{уПк } относительно компактна. По этой причине существует подпоследовательность {упк.}^ 1, сходящаяся сильно к некоторому z £ У. Это означает, что уПк. —* z. В силу единственности слабого предела z = у, значит, уПк —► у сильно, что противоречит (6.1). Это противоречие означает, что Ахп —> Ах сильно.
Заметим, что можно было доказать теорему с помощью упражнения
5.41. 	Так как множество М = А(В), В = Вх[0,1] относительно компактно, то всякая слабо сходящаяся в нем последовательность сходится и сильно.
6.3. 	Важные примеры
Пример 1. Пусть
линейный интегральный оператор Фредгольма, где ядро непрерыв¬
но в квадрате [а, 6]2. Ранее было показано, что А £ £(С[а, Ь]) и ||А|| = max J \K(t, s)| ds. Покажем, что А вполне непрерывен.
t£[a,b)
Пусть В — единичный шар в пространстве С[а,Ь]. Согласно теореме Арцела надо показать, что множество А(В) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Пусть у £ А(В). Тогда
т. е. множество А (В) равномерно ограничено.
По теореме Кантора ядро К(-,) равномерно непрерывно в квадрате
ь
(6.2)
а
Ь
Ь
|з/(£)| = JK(t,s)x(s)ds < /|^,.)|*.|М1<1|А|| (х е В),
а
а
[а, Ь]2. Это означает, что
(Ve > 0) (38 > 0) (Vt', \tf - t"| < (5, |*' - s"| < S)
Пусть у £ A(B) и e > 0 произвольно; возьмем <5 > 0 из условия равномерной
153


непрерывности ядра if(-, •) и 11' — t"\ < 6. Тогда
J(K(t', s) — K(t", s)):r(s) ds
о 0
^ J \K(t', s) — if (t^, s)| ds • ||z|| < ^— J ds = e (x £ £).
a a
Этим доказана равностепенная непрерывность множества А (В). По теореме Арцела это множество относительно компактно. Согласно упражнению 6.3 оператор А вполне непрерывен.
Пример 2. Рассмотрим теперь оператор (6.2), как оператор, действующий в пространстве Ьг[а, Ь] (ядро по-прежнему предполагаем непрерывным). Как мы знаем, условием такого действия является конечность интеграла
ь ъ //
|K(t, s)|2 dsdt;
(6.3)
здесь это условие выполняется в силу непрерывности ядра. Покажем, что и в этом случае оператор А вполне непрерывен.
Пусть В — единичный шар в пространстве L,2[a, Ь].
Упражнение 6.4. Докажите: что множество А{В) С Ьг[а, 6] состоит из непрерывных функций.
Применив неравенство Гельдера, получим с учетом того, что х £ В,
т\ =
о о
J K(t,s)x(s)ds ^ J \K(t,s)\ • \x(s)\ds ^
|К(М)|2сИ II *КМ,
где М = шах ( f \К(t, s)|2 ds ) . Следовательно, множество непрерывных
tE[a,b] \a /
функций А (В) равномерно ограничено.
Пусть у £ А(В) и е > 0 произвольно; возьмем S > 0 из условия равномерной непрерывности ядра К{-, •), чтобы при \t' — t"\ < 6 выполнялось неравенство \К(£', s) — К(t" -*)1 <vts- Тогда, применив снова неравенство
154


Гельдера, получим для х £ В,
о
J(K(tf, s) — K(t", s))x(s) ds
^ J\K(t\s) - K(t",s)\-\x(s)\ds ^
a
s; (j\K(t',s)-K(t",s)\2d^\ ■ ||x|| < e,
т. e. множество A(B) равностепенно непрерывно.
По теореме Арцела последовательность {yn}(^LiCA(B) содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность. По теореме 2.8 эта подпоследовательность сходится и в пространстве Ьг[а, Ь]. Таким образом, множество А(В) относительно компактно в пространстве L2 [а, 6]. В силу упражнения 6.3 оператор А вполне непрерывен.
6.4. 	Подпространство вполне непрерывных операторов
Теорема 6.4. Пусть X — ЛНП, У — В-пространство. Множество ТС(Х,У) вполне непрерывных операторов, действующих из X в У, образует подпространство в £(Х,У).
Доказательство. Сначала докажем, что ТС(Х,У) — линейное многообразие в С(Х, У).
Пусть А £ ТС(Х,У), А Е Р, В С X — единичный шар. По условию множество А (В) относительно компактно в У. Так как множество А В ограничено, то множество А(ХВ) = АА(В) относительно компактно. Значит, А АеТС(Х,У).
Пусть А\,А2 Е Т£(Х,У), {xn}S°= 1 С X — ограниченная последовательность. Так как последовательность {A\xn} относительно компактна, то она содержит сходящуюся подпоследовательность {Aixnk}- Последовательность А2ХПк также относительно компактна, поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность {А2ХПк. }• В итоге, последовательность (Ai + А2)хпк. сходится, а это означает относительную компактность последовательности {(Ai +А2)хп}. Таким образом, А\ + А2 Е ТС(Х,У). Значит, Td(X,y) — линейное многообразие в С(Х,У).
Докажем замкнутость ТС(Х,У).
155


Пусть A Е С(Х,У) — предельная точка ТС(Х,У). Это значит, что существует последовательность {Ап} С ТС(Х,У), равномерно сходящаяся к А (т. е. || Ап — А|| —► 0). Надо доказать, что оператор А вполне непрерывен.
Возьмем произвольную последовательность {жп} С В. Последовательность {А\хп} относительно компактна, поэтому существует подпоследовательность {хп С {хп} такая, что последовательность А\Хп^ сходится. Последовательность А2Хп * относительно компактна, поэтому существует подпоследовательность {xi2^} С {хп^} такая, что последовательность сходится. Пусть последовательность
{жп*^} С {х£~^} такова, что последовательность Акх^ сходится. Тогда последовательность Ак+гх^ относительно компактна, значит существует подпоследовательность {xifc+1^} С {xl^}, такая, что последовательность Ак+ixl?+1^ сходится. По индукции получаем бесконечную совокупность подпоследовательностей, {ж^} С поочередно извлеченных из ис¬
ходной последовательности. Эти последовательности таковы, что последовательности AiX^n \ i = 1,2,..., к сходятся при п —► оо.
Рассмотрим диагональную последовательность {х|^}. Она обладает свойством: последовательности AiX^\ i = 1,2, ...,п сходятся при п —> оо. Покажем, что и последовательность {Ах™} тоже сходится. Для этого достаточно показать, что эта последовательность фундаментальна (по условию пространство У полно).
Пусть е > 0 произвольно. Найдется такое ко Е N, что ||Afc0 —А\\ < | (так как Лп =1 А). В силу фундаментальности последовательности {Акох^} при п > ко найдутся такие п, т > ко, что
1Ик0х{,п) - < §; ДЛЯ таких пит ||Ла4п) - Ах^Ц <
< ||МП) - л*Дп)Н + \\Акох^ - + |Hfcox^> - Аг£Г>|| <
^ \\А - А*01| • ||х<Г> + х^ || + \\Акох™ - Акох|| < £ . 2 + | = е.
Итак, последовательность {Axnl)} фундаментальна; значит, она сходится, а последовательность {Ахп} относительно компактна. Таким образом, оператор А вполне непрерывен.
Следствие 6.2. Предел равномерно сходящейся последовательности вполне непрерывных операторов есть вполне непрерывный оператор.
Пример 3. Рассмотрим снова оператор (6.2), не предполагая непрерывности ядра К{-, •). Потребуем, чтобы интеграл (6.3) был конечен. При этом
156


условии оператор А действует в пространстве h2[a, Ь]. Покажем, что и в этом случае оператор (6.2) вполне непрерывен.
Рассмотрим пространство L2 = h2([a, Ь]2). Так как множество непрерывных функций двух переменных плотно в пространстве L2, то найдется такая последовательность {Кп : [а, Ь]2 —> P}^Li непрерывных функций, что ъ ъ
\\кп-к\\2и = и \Kn(t,s) — K(t,s)\2 dsdt —► 0 при п—у оо. (6.4)
а а
Ь
Рассмотрим операторы (Anx)(t) = f Kn(t, s)x(s) ds, n = 1,2,...; в примере
a
2 показано: An вполне непрерывны. Покажем, что Ап =3 А.
Пусть ||х|| ^ 1. Применив неравенство Гельдера, получим, что
|(Anx)(t) - (Ax)(t)|2 =
2
J(Kn(t, s) — K(t, s))x(s) ds
a
b b b
^ j IKn(t,s)-K(t,s)\2ds- J \x(s)\2ds^ J \Kn(t,s)-K(t,s)\2ds.
a a a
Следовательно,
b
||(An - A)x||2 = IIAnx - AxII2 = J I(Anx)(t) - (Ax)(*)|2 dt <
a
b b
J J \Kn(t,s) — K(t,s)\2 dsdt —► 0 при n —► 00.
a a
Итак, последовательность {Anx}^=i сходится равномерно на единичном шаре В С h2[a, Ь]. Согласно теореме 6.4 Ап =3 А. В силу следствия 6.2 оператор А вполне непрерывен.
6.5. 	Другие свойства вполне непрерывных операторов
Теорема 6.5. Пусть X,y,Z - ЛНП, Аг е С(Х,У),А2 G С(У,2). Тогда, если один из операторов Ai или А2 вполне непрерывен, то и оператор А2А\ вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть А2 € РС(У, Z) и В С X — единичный шар; множество А\(В) С У ограничено, следовательно, множество A2(Ai(В)) относительно компактно; это значит, что оператор A2Ai вполне непрерывен.
157


Если А\ Е ТС(Х, У), множество А\{В) относительно компактно; согласно свойству 4 линейного ограниченного оператора множество А2^А\{В)) также относительно компактно, т. е. снова получаем, что оператор А2А1 вполне непрерывен.
Следствие 6.3. Пусть X = У = Z. Тогда ТС(Х) — идеал в алгебре С{Х).
Следствие 6.4. Пусть X = У — бесконечномерное ЛНП, А Е ТС(Х) и существует обратный оператор А~1. Тогда оператор А~1 — неограниченный.
Доказательство. Если бы оператор А-1 был ограниченным, то по теореме 6.5 тождественный оператор J = А~хА был бы вполне непрерывным, что противоречит теореме 6.1.
Теорема 6.6. Пусть А Е С(Х, У). Тогда А Е !FC{X, У) в том и только том случае, если А* Е ТС(У*, X*).
Упражнение 6.5. Докажите теорему 6.6.
Теорема 6.7. Пусть А Е ТС{Х,У). Тогда образ 1Z{A) = А(Х) сепарабелен.
Упражнение 6.6. Докажите теорему 6.7.
Теорема 6.8. Пусть А Е ТС(Х). Тогда множества 7Z(A — J) и 7Z(A* — J) замкнуты.
Упражнение 6.7. Докажите теорему 6.8.
У пражнения
Ниже X, У — В-пространства, если не оговорено иное.
6.8. 	Выясните с помощью определения, какие из следующих операторов А : С[0,1] —► С[0,1] вполне непрерывны:
а) (Ax)(t) = tx(t)\
б) (Ax)(t) = fx(s)ds;
в) (Ax)(t) = x(t2);
г) (Ax)(t) = fx(s2)ds;
0
Д) (Ax)(=x(\/i);
158


t
е)(Ax)(t) = f x(y/s) ds;
о
ж) (Ax)(t) = x(0) + tx(l);
з) (Ar)(£) = f etsx(s)ds;
0
1
и) (Ax)(t) = f К(t, s)x(s) ds, где функция К : [О, l]2 —► Е непрерывна на
[ОД]2;
t
к) (Ax)(t) = f K(t,s)x(s) ds, где функция К : [О, I]2 —► Е непрерывна на
[О, I]2.
л) (Ar)(£) = ip(t)x(t)\
6.9. 	Являются ли операторы А : С[О,1] —> С[0,1]
а) 	(Ax)(t) = f (0 < а ^ 1, : [О, I]2 —► Е непрерывна);
о I* “ 5Г
бХАОЯ)-/ —^
о ^/| sin t — sin s| ’
\ / A \/j.\ • Г *^(^)
r)(At)«) = /£!^!(«,/j>o)
вполне непрерывными?
6.10. При каких значениях параметров а,/?,7 оператор
1
А : С[0,1] —► С[0,1], (Ax)(t) = J tOLs(3x(s1)ds
о
является вполне непрерывным? Тот же вопрос, если оператор, определенный тем же равенством действует в пространстве Ьг[0,1].
6.11. Является ли вполне непрерывным операторы
А, В : С[-1,1] -> С[—1,1], (Ax)(t) = ^(ж(£) +x(-t)),
(Bx)(t) = l(x(t) -x(-t))?
6.12. Является ли вполне непрерывным оператор дифференцирования (Ax)(t) = *£1, если
а) А : С[0,1] —> С[0,1];
б)А:С(1)[0,1] — С[0,1];
в) А: С(2)[0,1] -> С(1)[0,1];
г) А: С(2)[0,1] -► С[ 0,1]?
159


6.13. Докажите, что оператор интегрирования
(Ar)(£) = J x(s) ds, А : Lp[0,1] —► Lp[0,1] о
(1 < р < -foo) вполне непрерывен.
6.14. Какие из следующих операторов, действующих в пространстве 1Р (1 < р < -foo),
а) Ах = (0, xi,x2, • •.);
б) Сх = (xu?f,?f
в) Dx =
вполне непрерывны?
6.15. Выясните, какие из следующих операторов вложения (Jx = х)
a) J '■ С[—1,1] —*• С[0,1];
б) 	J : [—1,1] —► С[—1,1];
b)J: Wa(1)[-l,l]->C[-l,l];
г )J:h^l2
вполне непрерывны?
6.16. Пусть А : Ьг[0,1] —* L.2[0,1], Т>(А) = {х £ L2[0,1] : хп непрерывна, х(0) = х(1) = 0}, (Ax)(t) = d"dt^ • Докажите, что А — неограниченный линейный обратимый оператор; найдите А~х и докажите, что он вполне непрерывен.
6.17. Пусть {en}£L! — полная ОНС в гильбертовом пространстве Н, А.'Н^'Н — вполне непрерывный оператор. Докажите, что Аеп —► 0.
6.18. Пусть Л — гильбертово пространство, А Е С(Н). Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) оператор А вполне непрерывен;
2) если хп, х Е Л (п = 1, 2,...), хп х, то Ахп —► Ах (п —> оо);
3) если Хп, х, 2/п,У € Н(п = 1,2,...), хп х, уп 2/, то
(Ахп,Уп) —► [Ах,у) (п —► оо).
6.19. Пусть А £ £(^, У)- Тогда для того, чтобы оператор А был вполне непрерывен, необходимо, а если пространство X рефлексивно, то и достаточно, чтобы он переводил любую слабо сходящуюся в X последовательность в сильно сходящуюся в У.
6.20. Пусть ядро К обладает свойствами: функции К, непре-
160


рывны в квадрате [а,6]2,
ь
V(A) = {х G C[a,b] : х" G
С[а,6]}, (Аг)(£) = J K(t,s)x"{s)ds
а
Докажите, что А можно продолжить до вполне непрерывного оператора, действующего в пространстве С [а, 6].
6.21. Пусть А : 1Р —► lp (1 ^ р < +оо), у = Ах, yi = 0 для нечетных г, yi = Xi-i для четных г. Убедитесь, что оператор А не является вполне непрерывным. А оператор А2? Рассмотрите оператор, определенный указанными выше равенствами в пространствах со, с.
6.22. Пусть X — ЛНП. Может ли вполне непрерывный оператор А : X —► X быть изометрическим отображением X в себя?
6.23. Пусть Х,У — ЛНП, Ап (га = 1,2,...) вполне непрерывны и Ап —*► А сильно (гг —> оо). Следует ли от сюда, что оператор А вполне непрерывен?
6.24. Докажите, что линейный непрерывный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве, является сильным пределом последовательности вполне непрерывных операторов.
6.25. Докажите, что для любого е > 0 любой вполне непрерывный оператор А, действующий в пространстве lp (1 ^ р < +оо), представим в виде А = Aite + A2,e, где оператор Ait£ имеет конечномерный образ, a ||^2,£|| < е.
6.26. Пусть {en}??=i — полная ОНС в гильбертовом пространстве Н, Хп € R, Ап —*- 0 (га —> оо) и
71= 1
Докажите, что оператор А определен на всем Н, переводит его в себя и является вполне непрерывным.
6.27. 	Пусть A G С{1Р) (1 ^ р < +оо), Ах — (Aixi, Л2Х2,. • .)> гДе Ап G М, sup|Ап| < +оо. Докажите, что оператор А тогда и только тогда
вполне непрерывен, когда Ап —► 0 (га —► оо).
6.28. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. Докажите, что если A G С(Х, /1) (в частности, если A G C(lp, h) (1 < р < +оо)), то А вполне непрерывен.
6.29. Пусть Н — гильбертово пространство и A G C(?i, h). Тогда А вполне непрерывен. Докажите.
оо
n€N
161


6.30. Пусть {en}^Li — полная ОНС в гильбертовом пространстве И, У —
оо
В-пространство, A G C(7i, У) и ряд ||Леп||2 сходится. Докажите, что опе-
п= 1
ратор А вполне непрерывен.
6.31. Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, оператор А* А вполне непрерывен. Докажите, что тогда и оператор А вполне непрерывен.
6.32. Может ли линейный интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром (см. 4.1) иметь ограниченный обратный?
6.33. Пусть A G С(Х) и существует с > 0 такое, что для всех х G X выполняется неравенство \\Ах\\ ^ с||ж||. Может ли оператор А быть вполне непрерывным?
6.34. Рассмотрим линейный интегральный оператор Фредгольма ъ
(Ax)(t) = f K(t, s)x(s) ds при следующем предположении о ядре К: функ-
а
ция K(t, •) суммируема на [а, Ь] при каждом t G [а, Ь].
Скажем, что для ядра К выполнено условие иас (равномерная относительно почти всех s G [а, Ь] абсолютная непрерывность на [а, 6] по £), если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любой конечной системы {(dk,bk)}k=1 попарно неперекрывающихся интервалов, сумма длин кото-
п
рых 22 (bk — ськ) < S, почти для всех s € [а, Ь] выполняется неравенство
к=1
£ |K{bk,s) - J£T(о*, s)| < s.
k=1
Скажем, что для ядра К выполнено условие iac (интегральная абсолютная непрерывность), если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любой конечной системы {(а^, Ь*0}£=1 попарно неперекрывающихся ин-
п
тервалов, сумма длин которых 22 (Ьк — а>к) < выполняется неравенство
к — 1
f 12 \K{bk,s) - K(ak,s)\ds < s.
а к=1
Докажите:
а) условие uac влечет условие iac;
б) при выполнении условия iac оператор А действует в пространстве АС[а,Ъ]\
в) при выполнении условия uac A G С(АС[а, 6]);
г) при выполнении условия uac A G Т£(АС[а,Ь\).
6.35. Пусть X — В-пространство с нормой || • \\х, Хп = X х ... х X;
4
п
это значит, х = (xi,... ,хп) G Хп, если хк G X (к = 1 ,...,п); Хп —
162


В-пространство относительно нормы ||ж||*п = шах Цж^Цдг (см. упражне- ние 2.73). Пусть далее, Aik : X —» X — линейные операторы,
п
А*х = ^Агкхк, А* : Хп X, Ах = (Л1*,.. ,,Апх), А : Хп —* Хп.
к = 1
Докажите, что если операторы Aik (i,k = 1,..., п) вполне непрерывны, то и операторы А, Аг (г = 1,..., п) вполне непрерывны. Докажите, что верно таже обратное утверждение: если оператор А вполне непрерывен, то вполне непрерывны таже операторы Аг, Aik (h к =
= 1
7. 	Спектр линейного оператора
7.1. 	Спектр линейного ограниченного оператора
Пусть X — комплексное В-пространство, А : X —* X — линейный оператор. Число A G С называется собственным значением оператора А, если существует х € Х,х ф 0 такой, что Ах = \х; при этом х называется собственным элементом (собственным вектором) оператора А, отвечающим собственному значению А; собственный элемент определяется с точностью до скалярного множителя: для любого а £ С ах также является собственным элементом.
Следующие утверждения известны из курса линейной алгебры.
Теорема 7.1. Если А — собственное значение линейного оператора А, то соответстующая ему совокупность собственных элементов Х\ образует линейное многообразие в X; если при этом A G С(Х), то Х\ — подпространство.
Доказательство. Следует из упражнения 4.28, так как Х\ = M(A-XJ).
Теорема 7.2. Собственные элементы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Упражнение 7.1. Докажите теорему 7.2.
Число А € С называется регулярным (правильным) значением линейного оператора А, если оператор А — AJ непрерывно обратим; напомним: это означает, что 7Z(A — A J) = X, существует оператор (А — AJ)-1, и
163


(A — AJ)-1 £ С(Х). Множество регулярных значений линейного оператора А называется резольвентным множеством и обозначается р(А). Линейный ограниченный оператор R\(A) = (А — AJ)~l называется резольвентным оператором оператора А (резольвентой). Множество с (А) = С \ р(А), дополнительное к р(А), называется спектром линейного оператора .
Из каких точек состоит спектр? Во-первых, в спектр входят собственные значения оператора, так как уравнение (А — A J)x = 0 имеет ненулевые решения, поэтому М(А — AJ) ф {0}, и значит, оператор (А — AJ)-1 не существует. Собственные значения образуют дискретный (точечный) спектр &р(А).
Во-вторых, в спектр входят точки А £ С, при которых (A — AJ)-1 хотя и существует на всюду плотном в X множестве, но является неограниченным; множество таких точек обозначим ас(А) и назовем непрерывным спектром.
В-третьих, в спектр входят точки, в которых резольвентный оператор определен не на всюду плотном в X множестве. Такие точки образуют остаточный спектр; множество таких точек обозначим аг(А).
Таким образом, а(А) = <JP(A) (J о’с(А) (J сгг(А).
Пример 4• Рассмотрим оператор А : L2 [—1,1] —► 1,1] умножения
на независимую переменную: (Ax)(t) = tx(t). Здесь
((А — AJ)x)(t) = (t — A)x(t); при всех А £ С \ [—1,1] существует ограниченный обратный оператор ((А — XJ)~1y)(t) = следовательно,
все такие А регулярны; если А £ [—1,1], то обратный оператор определен лишь на множестве функций, представимых в виде y(t) = (t — A)z(t), где z £ ЗЬг [—1,1], которое является плотным в Ьг[—1,1]; спектр состоит из отрезка сгс(А) = [—1,1], дискретный и остаточные спектры отсутствуют.
Заметим, что если бы оператор умножения рассматривался в пространстве С[—1,1], то множество у, на которых непрерывен резольвентный оператор, было бы подпространством в С{— 1,1], и следовательно, спектр был бы остаточным (а(А) = аг(А) = [—1,1]).
Теорема 7.3. Резольвентное множество р(А) открыто в С, а спектр сг(А) — замкнут.
Доказательство. Пусть Ао £ р(А); это значит, (А — АоJ)-1 £ С(Х). Для произвольного А
А - XJ = А - АоJ - (А - Ао)J - (А - А0J)(J - (А - Ao)Rx0(A)).
По условию первый сомножитель непрерывно обратим. По теореме 4.11 второй сомножитель непрерывно обратим, если ||(А — Ао)#а0(^)|| <
164


< 1; это неравенство будет выполнено, если |Л — Ло| < ]|д~^д)1[- Итак, Ао входит в р(А) вместе с открытым кругом радиуса ||дл "(А)[| * значит> Р(А) ~ открытое множество, а <т(А) = С \ р(А) — замкнутое.
Теорема 7.4. Если A Е £(Х), то {А : |А| > ||Л||} С р(А) и, значит, а(А) С {А : |А| ^ \\А\\}.
Доказательство. Пусть |А| > \\А\\. Тогда А — XJ = —А(J — у); так как ||у || < 1, то А — AJ непрерывно обратим, т. е. А Е р(А).
Теорема 7.5. Если А Е С(Х), то существует конечный предел
r(A)± lim VPnll- (7-1)
П-+00
который называется спектральным радиусом оператора А. При этом
inf ^И = г(Х)<||А||. (7.2)
1
Доказательство. Полагаем г = inf ij/||.An||. По свойству точной нижней
п^г 1
грани для любого £ > 0 найдется такое натуральное га, что ||Ат||™ < г + е. Произволное натуральное п можно представить в виде n = pm + q, где О ^ q < т. С учетом этого
\\An\\i = |\Арт ■ А41|« < \\Ат\\п ■ \\А\\п < (г + е)^ ■ \\А\\» -» г + е
при п —► оо так как ^ ♦ 0, —► 1. При достаточно большом п будет
выполняться неравенство ||АП|| * ^ г+2е, а так как при всех п ||ЛП|| « ^ г,
то г = lim ?/||Лп||. Согласно неравенству ||ЛП|| ^ ||Л||П справедливо и
п—* оо
неравенство (7.2).
Теорема 7.6. Если A £ £(Х), г (А) < 1, то оператор J—A непрерывно обратим и
оо
{J-A)-l = Y,An, (7.3)
п=0
где рлд в (7.3) сходится абсолютно; если г (А) > 1, то ряд в (7.3) расходится.
оо
Доказательство. Числовой ряд || Ап|| сходится по признаку Коши,
п=О
если lim V||An|| = r(A) < 1 (и расходится, если r(A) > 1), следовательно,
п—►оо
сходится абсолютно и операторный ряд в (7.3). А равенство (7.3) доказано ранее (см. доказательство теоремы 4.11).
Теорема 7.7. Если А Е С(Х), то {А : |А| > г(А)} С р(А) и, значит, <г(А) С {А : |А| < г(А)}.
165


Доказательство. Пусть |Л| > г (А). Рассмотрим операторный ряд
Ап
-£*ДТ- (7-4)
п=О
Соответствующий ему числовой ряд сходится по признаку Ко-
п=1
ши, так как lim ^jj^+i = < 1. Следовательно, ряд (7.4) сходится
абсолютно. Обозначим его сумму S\, n-ую частичную сумму — S\п. Тогда легко видеть, что (А — \J)S\n = S\n(A — AJ) — J — "з^г+г* Отсюда при п —*> оо получаем равенство (А — \J)S\ = S\(A — AJ) = J. Следовательно, R\(A) = то есть A £ р(А). Второе утверждение следует из первого.
Замечание 7.1. Можно показать (см. упражнение 7.33), что на окружности радиуса г (А) существует точка спектра. Таким образом, спектральный радиус есть точная характеристика расположения спектра.
Пример 5. Рассмотрим линейный интегральный оператор Вольтерры
t
(Ax)(t) = J K(t, s)x(s) ds, A : C[a, b] —> C[a, b] (7.5)
a
в предположении непрерывности ядра К(-,’) в треугольнике А = {(t,s) : а ^ s ^ t ^ Ь}. Введем в рассмотрение итерированные яд-
t
pa Kn(t,s) = J K(t,r)Kn-i(r,s) dr, п = 2,3,..., K\(t,s) = K(t,s).
s
t
Упражнение 7.2. Докажите, что (Anx)(t) = f Kn(t, s)x(s) ds; uc-
a
ходя из этого представления докажите, что ||АП|| ^ М ,
М = max IK(t, 5)1.
(м)е Д
Так как lim у/п\ = оо, то из упражнения 7.2 и формулы (7.1) следует,
п—юо
что г (А) = 0и сг(А) — {0} = аг (А), так как А = 0 не является собственным значением, а резольвентый оператор определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль при t = 0, которое не является всюду плотным в С[а, Ь] (0 £ [а, 6]).
7.2. 	Спектр вполне непрерывного оператора
Теорема 7.8. Если А £ ТС(Х), то собственное подпространство Х\, отвечающее его собственному значению А ф 0, конечномерно.
166


Доказательство. Пусть В — единичный шар в и {xn}??=i С В. Тогда последовательность {Лхп}^=1 относительно компактна; так как хп = jAxn, то и последовательность {хп}^= i относительно компактна. В силу следствия 2 теоремы Хаусдорфа Лд конечномерно.
Теорема 7.9. Если А Е ТС(Х), то для любого е > 0 вне круга {z : |z| < e} может быть только конечное число собственных значений оператора А.
Доказательство. Пусть А Е ТС{Х). Предположим, что найдется такое £о и существует бесконечная последовательность попарно различных собственных значений Ап таких, что |An| > £о. Пусть {жп}^°=1 — соответствующая им система линейно независимых элементов. Обозначим Хп = ({xk}k=i) Тогда Х\ С Х2 С ... С Хп С ..., причем все включения строгие. По лемме Рисса о почти перпендикуляре существует такая последовательность
для всех х из Xn-i. В силу полной непрерывности оператора А и ограниченности уп последовательность {Ayn}%Li относительно компактна.
Пусть m > п; обозначим А\ = А — XJ.
|| Л.2/т Ауп || = || ^-Ат Ут + XmJym А\пуп An J уп || = | Ат | \\Угп %тп || ■>
Действительно, 1) уп Е Хп С Хт-1; 2) Ут = CkmXk, значит, АХгпУт =
к=1
m тп m
У! CkmA\mXk — У] Ckm^AXk XmXk = Cfcm(Afc Атп)Хк —
Cfcm,(Afc Arn)Xk Е Хт—15 3) А\пУп Е Хп—1 С! .XVn—1* Следовательно,
/с=1
||Лут - Ауп|| = |Ат| • ||ут - Zmn|| ^ |Ат| • \ ^. Но это противоречит дока¬
занной ранее относительной компактности последовательности {Ayn}%Li- Это противоречие означает справедливость утверждения теоремы.
Следствие 7.1. Множество собственных значений вполне непрерывного оператора А не более, чем счетно; единственной предельной точкой этого множества может быть только нуль; все собственные значения лежат в круге радиуса г (А).
Теорема 7.10. Если Ао ф 0 не является собственным значением вполне непрерывного оператора А, то оно регулярно.
Покажем, что zmn Е Хш-ь
т
к=1 т— 1
167


Это значит: спектр вполне непрерывного оператора дискретен.
Доказательство. Надо доказать, что оператор Т = А — Ао J непрерывно обратим. Так как Ао не является собственным значением оператора А, то уравнение Тх = (А — Хо)х = 0 имеет только нулевое решение, т. е. ЛГ(Т) = {0}. Это значит, что обратный оператор Т-1 существует на Т(Л'), при этом по теореме 6.8 Т(Х) — подпространство. Если мы докажем, что Т(Х) = X, то по теореме Банаха 4.13 оператор Т~1 £ С(Х).
Предположим противное: Т(Х) ф X. Полагаем последовательно Т(Х) —
= Х\,Т(Хi) = Х2,...,T(Xk) — Xk+i. Так как Т обратим, то получаем цепочку строгих включений X D Х\ D Х2 D ... Э Хп D ... По лемме Рисса о почти перпендикуляре существует такая последовательность {Уп}%=и Уп е Хп, ||j/n|| = 1, ЧТО р(уп, Xn+i) > Точно так же, как в доказательстве предыдущей теоремы, показывается, что \\Aym — Ауп\\ > , что
противоречит относительной компактности последовательности {Аг/п}^i- Этим доказано, что Т(X) = X и остается сослаться на упомянутую выше теорему Банаха.
7.3. 	Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора. Всюду ниже в этом п. предполагается, что А £ S(7i) П ТС(Н), где Н — сепарабельное гильбертово пространство. Это значит, что речь всюду будет идти о точечном спектре.
Упражнение 7.3. Докажите, что спектр оператора А веществен.
Упражнение 7.4. Докажите, что собственные элементы оператора А, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Теорема 7.11. Пусть А £ S(Tt) Г\Т£(Н), А ф 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение А ф 0 этого оператора, причем
|А| = ||А||.
Доказательство. По теореме 5.12 ||А|| = sup |(Лх,х)|. Согласно свой-
11*11=1
ству супремума существует нормированная последовательность {xn}^Li С Н такая, что |(Ахп, хп)| —► \\А\\ и существует ее подпоследовательность {хПк }fcLi такая, что (Axnk,xnk) —* А, где А = \\А\\ или А = — \\А\\. Из этого предельного соотношения, учитывая, что ||xn|| = 1 с помощью неравенства Коши-Буняковского получим, что
\\Ахпк - Axnfc||2 = (АхПк - АХпк,АхПк - Axnfc) =
= (Ах„к,хПк) - 2\{АхПк,хПк) + Х2(хПк,х„к)
^ ll^ll ll^fcll ~ 2Л(АхПк, хПк) + A ||x„J| = 2Л(А — (АхПк, хПк)) у 0;
168


это значит, что
Упк = АхПк - АХпк -* 0. (7.6)
Оператор А вполне непрерывен и хПк — ^(АхПк — Упк), поэтому последовательность {xnfc}^i относительно компактна. Значит, существует ее подпоследовательность, {xnkj сходящаяся к некоторому х ф 0 (так как
\\хк3;|| = 1). Из (7.6) получаем, что Ах = Хх. Этим доказано, что А = \\А\\ или А = —1| А|| собственное значение оператора А.
Теорема 7.12. Пусть
А G S(H) П ТС(Н), т= inf (Ах, ж), М = sup (Ах,х).
IMI=i 11*11=1
Тогда сг(А) С [га, М]. Если М ф 0, то М — наибольшее собственное значение оператора А; если га ф 0, то т — наименьшее собственное значение этого оператора.
Доказательство.Пусть А — собственное значение, ах — соответствующий этому значению нормированный собственный элемент оператора А. Тогда (Ах,х) = АЦхЦ2 = А, и так как га ^ (Ах,х) < М, то га ^ А ^ М. Осталось доказать, что га и М, если они отличны от нуля, являются собственными значениями оператора А.
По теореме 5.12 ЦАЦ = max{|га|, \М\}. Если М ф 0 и ЦАЦ = |М|, то ЦАЦ = М, так как в этом случае М > 0.
Точно так же, как в доказательстве теоремы 7.11 показывается существование такого х ф 0, что Ах — Мх, т. е. М — собственное значение оператора А. В случае, если ЦАЦ = |га|, т. е. ЦАЦ = —га, га < 0, рассуждая аналогично, придем к выводу, что существует х ф 0 такой, что Ах — тх.
Случаи, когда М или —га не являются нормой оператора А оставляем без доказательства.
Приведем также без доказательства следующую теорему.
Теорема 7.13. Пусть А € S(H) ПТС(Н). Тогда существует полная ОНС {en}£Li собственных элементов, отвечающих собственным значениям Ап, Ап —► 0 при п —► оо; произвольный элемент х Е Н имеет представ-
оо
ление х = Y1 Сггвп + я, где х 6 А/*(А), Ах =
п=0
оо
= Хпспеп.
71= 1
Заметим, что отличных от нуля собственных значений может оказаться лишь конечное число: А ь, к = 1,2, ...,п; пусть {е/с }fcL=i (га ^ гг) — соответствующие ненулевым собственным значениям ортонормированные соб¬
169


ственные векторы; тогда ортонормированная система {ек}?= т+1 соответствует собственному значению An+i = Ап+2 = ... = 0.
У пражнения
Ниже Л\ У — В-пространства, если не оговорено иное.
7.5. Пусть А : X —> X, х Е X — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению А; докажите, что х является собственным вектором и для оператора Ап (га Е N); какому собственному значению он соответствует?
7.6. Пусть А : X —> X, х Е X — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению А ф 0 и существует обратный оператор Л-1; докажите, что х является собственным вектором и для оператора Л-1; какому собственному значению он соответствует?
7.7. Пусть линейный оператор А : X —► X имеет ограниченный обратный Л-1. Докажите, что тогда 0 не является точкой спектра оператора А. Распространите утверждение 7.5 на все целые га.
7.8. Пусть А Е £(Х) и А2 = 0. Докажите, что А не может иметь ненулевых собственных значений. Докажите, что если А2 имеет собственный вектор, то и Л имеет собственный вектор.
7.9. Найдите собственные значения и собственные векторы следующих операторов, действующих в пространстве С[0,1]
(см. 4.120, 4.121):
1
а) (Ax)(t) = ftsx(s)ds;
о
б) (Ax)(t) = f е1~3х(в) ds;
0
1
в) (Ax)(t) = f sin 7Г(t — s)x(s) ds;
0
1
г) (Ax)(t) = f (3t2s — 5ts2)x(s) ds;
о
l
д) (Ax)(t) = f(5t2s — 3ts2)x(s) ds;
0
1
е) (Ax)(t) = f(t + s)x(s) ds;
о
l
ж) (Ax)(t) = f(3t — s)x(s) ds;
0
1
з) (Ax)(t) = f COS 7Г(t -f s)x(s) ds.
0
170


7.10. Найдите собственные значения и собственные векторы следующих операторов, действующих в пространстве С[—7Г, 7г] :
а) (Ax)(t) = х(—£);
б) {Ax){t) = -x(-t);
7Г
в) (Ax)(t) = f cos (t + s)x(s) ds.
— 7Г
7.11. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора (Ax)(t) = x"(t), действующего в вещественном пространстве С[0,7г], если
а) Т>(А) = {х : х" G С[0,7г], х(0) = 0, х'(0) = 0};
б) Х>(А) = {х : х" G С[0,7г], х(0) = 0, х(7г) = 0};
в) Р(А) = {х : х" G С[0,7г], х'(0) = 0, х'(7г) = 0};
г) V(A) = {х : х" G С[0,7г], х(0) = х(7г), х'(0) = х'(7г)};
д) 2?(А) = {х : х" G С[0,7г], };х(0) = х'(7г), х'(0) = х(7г);
е) Х>(А) = {х : х" G С[0,7г], х(0) + х(7г) — 0, х'(0) + х/(7г) = 0}.
7.12. Найдите резольвентный оператор R\(A) для каждого из операторов в 7.9.
7.13. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора (.Ax)(t) = х"(£), действующего в вещественном пространстве 1.2 [0,7г], если
а)D(A) = {xG L2[0,tt] : х" G L2[0,tt], x(0) = 0, ,x'(0) = 0};
б) D(A) = {xG L2[0,7r] : x" G [0,7r], x(0) = 0, x(7r) = 0};
в) D(A) = {xe L2[0,tr] : x" G L2[0,tt], x'(0) = 0, х'(тг) = 0};
г) D(A) = {xG L2[0,7r] : x" G L2[0,7r], x(0) = x(7r), x'(0) = x'(7r)};
д) D(A) = {xG L2[0, 7t] : x" G L2[0,7r], x(0) = x'(7r), x'(0) = x(7r)};
е) .D(A) = {xG L2[0,7r] : x" G L2[0,7г], x(0) + х(тг) = 0,
x'(0) + x'(7r) = 0}.
7.14. Пусть Л — регулярное значение линейного оператора А. Докажите, что ARx(A) = R\(A)A.
7.15. Пусть Ли/i — регулярные значения линейного оператора А : X —► X. Докажите, что
Rx(A) - Rfx(A) = (А - М)ДЛ(А)#м(А) = (Л - fi)R^(A)Rx(A).
7.16. Пусть Rx = Rx(A) — резольвента оператора А, A G р(А). Покажите, что Ял удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ж = <*»>’•
7.17. Пусть А,В € £( А') и А — регулярное значение для обоих операторов. Докажите, что тогда
Да (А) - ЯА(В) = Да(Л)(В - А)ДЛ(В). 171


7.18. Пусть А е £(Х), A G р(А), \х G С таково, что |/х| < . - .
\\Ях(А)\\
Докажите, что тогда А — // Е р(Л).
7.19. Пусть A G С(Н). Докажите, что если |А| > г (А), то выполняется неравенство ||#а(А)|| ^ (|А| — ЦАЦ)”1.
7.20. Пусть пространство X бесконечномерно, A G С{Х). Докажите, что тогда резольвентный оператор R\(A) не может быть вполне непрерывным.
t
7.21. Пусть оператор интегрирования (Ax)(t) = f x(s)ds действует в
о
пространстве С[0,1]. Найдите оператор Ап; найдите спектральный радиус г (А); найдите резольвентный оператор R\(A)\ найдите спектр ст(А).
7.22. Пусть оператор (Ax)(t) = х(0) + tx( 1) действует в пространстве С[ 0,1]. Найдите оператор Ап\ найдите спектральный радиус г (А); найдите резольвентный оператор R\(A); найдите спектр а(А); исследуйте характер спектра а (А).
7.23. Пусть a G X, h G X*, Ах = h(x)a. Докажите: а) А — линейный ограниченный оператор; б) А — вполне непрерывный оператор. Найдите R\(A), <т(А), г(А).
7.24. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, a, b G ТС,
Ах = (а, х)Ъ. Докажите, что А вполне непрерывен. Найдите оператор, сопряженный к оператору А. При каких условиях А самосопряженный? Найдите Да(-А), <т(Л), г (А). Найдите собственные векторы оператора А.
7.25. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, ai,a2,6i,
62 G Н,{а\,Ъ2) = 0, (ci2,bi) = 0, ai и аг и соответственно 61 и 62 линейно независимы. Ах = (ai,x)6i + (a2,x)b2- Докажите, что А вполне непрерывен. Найдите оператор, сопряженный к оператору А. При каких условиях А самосопряженный? Найдите R\(A), а(А), г (А). Найдите собственные векторы оператора А.
7.26. Пусть Н — гильбертово пространство, Н — его подпространство, Р — ортопроектор на Н. Найдите R\(P), <j(P), г(Р). Найдите собственные подпространства оператора Р.
7.27. В комплексном пространстве /2 задан оператор Ах =
== (я2,#з,...) (см. 4.124,5.68). Найдите его норму. Найдите сопряженный оператор А*; найдите спектры cf {А), а (А*) и исследуйте их структуру.
7.28. В комплексном пространстве I2 заданы операторы
(Х2 Хз \
Xlt ~2’ Т’ ’ ’ 7
(см. 6.14), D = С A, F = С А*. Докажите, что операторы D и F вполне непрерывны; найдите спектры a(D), a(F) и исследуйте их структуру.
172


7.29. Пусть Н — гильбертово пространство, {en}%Li — полная орто- нормированная система в нем. Полагаем Ае\ — 0, Аеп = en-i, п = 2,3,... Докажите, что A £ C(7i); найдите сопряженный оператор А*; найдите ст(А) и а(А*)’> исследуйте их структуру (это обобщение 7.27 на произвольное сепарабельное гильбертово пространство).
7.30. Пусть Н — гильбертово пространство, {en}^Li — полная ОНС в нем, с = (ci,c2,...) € /2- Ограниченный линейный оператор А : 7i —> Н определяется равенствами 4.30: Аеп = спеп {п = 1,2,...) (см. 4.64). Найдите сопряженный оператор А*. Найдите спектры операторов А и А* и их собственные векторы.
7.31. Оператор А : I2 —э► /2 определяется равенством
А(х 1, Х2) • • • )®fc, • • •) — ( Ai Ж]., Х2Х2) • • • ) XfaXk j • • ♦)
(4.55), где Лп £ С, (n = 1,2,...), sup|An| < +00. Найдите спектр оператора
nEN
А и его собственные векторы.
7.32. Докажите, что любое компактное множество комплексной плоскости является спектром некоторого линейного ограниченного оператора, действующего а пространстве /2*
7.33. Пусть А £ С(Х). Докажите, а) что sup |А| = шах |А| = г(А)\ б)
Л е<т(А) \€<т(А)
что на окружности |А| = г(А) имеется по крайней мере одна точка спектра оператора А (см. замечание 7.1).
7.34. Пусть оператор (Ax)(t) = х(0) Н- t2x{ 1) действует в пространстве С[0,1]. Найдите его резольвентный оператор. Найдите спектр оператора А. Укажите спектральный радиус оператора А.
7.35. В комплексном пространстве С[0,1] рассмотрим оператор
(Ax)(t) = с областью определения
at
а) Т>(А) = {х : х' £ С[0,1]};
б) V(A) = {х : х' £ С[0,1], х(0) = 0};
в) V{A) = {х : х' £ С[0,1], ж(0) = х(1)}.
Найдите спектр сг(А) оператора А.
7.36. Пусть А £ С(Х) непрерывно обратим. Докажите (ср. 4.7)
А € сг(Л-1) \ € а{А)
А
7.37. Пусть А £ С(Х), А £ а(А); докажите, что Ап £ сг(Ап) при любом n £ N, а если А непрерывно обратим, то при любом п £ Z (ср. 7.5, 7.7).
7.38. Пусть X — комплексное Б-пространство, А £ С(Х), 6(A) — со¬
вокупность функций /:€—>€, голоморфных на спектре <т(А) (точнее на
173


некотором открытом множестве Q с кусочно-гладкой границей Г, содержащем спектр а (А) оператора А, см. п. 1.2.4).
Докажите: 1) /(A) = ^ f f(z)Rz(A) dz;
2) для / 6 6(A) /(A)* = /(А*);
3) если /i, /2 € 6(A), / = /1 • /2, то / € 6(A) и /(А) = /i(A)/2(A);
4) сг(/(А)) = /(сг(А)) (обобщение 7.36,7.37).
7.39. Пусть Л’ — Б-пространство, 6 С С(Х) — некоторое подмножество. Назовем централизатором [22, с. 315] этого подмножества множество
Г(б) = {Ае £(Х) :AS = SA для всех S £ 6}
операторов, перестановочных со всеми операторами из в. Докажите:
а) Г(6) — замкнутая подалгебра С(Х)\
б)всг(г(в)) =0(6)
в) если множество 6 коммутативно, то £/(©) — коммутативная банахова алгебра;
г) для каждого А £ £/(в) ^(Л) = (Тд(@)(Л), где выражение в правой
части равенства означает спектр оператора А в алгебре Q(6).
7.40. Пусть Л, В £ £(^0; докажите: а) г(АЛ) = |А|г(Л), А — скаляр; б) если В А — АВ, то r(AB) ^ r(A)r(B), г(Л + В) ^ г(Л) + г(£). Останется ли верным второе неравенство, если В А ф АВ?
7.41. Пусть Л, .В £ С(Х); докажите, что ненулевые точки спектра операторов АВ и В А совпадают.
7.42. Пусть Н — гильбертово пространство, А £ С(Ti). Докажите: ненулевые собственные значения операторов ЛЛ* и А* А совпадают.
7.43. Пусть ТС — гильбертово пространство, А £ C(Tt). Докажите, что если А £ сг(Л), то А £ сг(Л*).
7.44. Докажите, что спектр самосопряженного оператора веществен (ср. 7.3).
7.45. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н и А не является его собственным значением. Докажите, что 1Z(A—XJ) всюду плотно в 7i.
7.46. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н и 'JZ(A-XJ) = Л. Докажите, что А — регулярное значение оператора А.
7.47. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н и А £ р(А) — вещественное число. Докажите, что тогда резольвентный оператор R\(A) является самосопряженным.
174


7.48. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н и Л € р(А), JmX ф 0. Докажите, что тогда ||Дл(А)|| ^ т—-—г-
JmX
7.49. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве 7i. А Е сг(А) тогда и только тогда, когда существует нормированная последовательность {xn}^Li, ||#n|| = п = 1,2,... такая, что
||(А — XJ)xn\\ —> 0 (тх > оо). (*)
7.50. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н, m = inf (Ах,х), М = sup (Ах,х). Докажите, что тогда
11*11=1 lkll=i
<т(А) С [га, М].
7.51. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н. Докажите, что тогда га, М Е сг(А).
7.52. Пусть 7~С — гильбертово пространство, A Е C(7i). Докажите, что если оператор А самосопряженный, то г (А) = ||А[|.
7.53. Пусть Н — гильбертово пространство, А Е С(Н). Докажите, что если оператор А самосопряженный и г (А) = 0, то А = 0.
7.54. Докажите, что операторы из 7.9 вполне непрерывны и найдите их спектр.
7.55. Пусть Н = IL2[—1, +1],
1 I
= j sin 7г (t + s)x(s) ds, (Bx)(t) = J cos тг (t + s)x(s) ds,
-1 -1
1
(Cx)(t) = J cos 7Г (t — s)x(s) ds;
-1
Докажите, что операторы А, В, С вполне непрерывны. Найдите сопряженные операторы. Какие из операторов А, В, С являются самосопряженными? Найдите А2, В2, С2. Найдите спектры операторов А, В, С.
7.56. 	В комплексном пространстве Ьг[0, тг] задан оператор
7Г
(Ax)(t) = J K(t, s)x(s) ds, где
( S(t-7T
ж I ПРИ
tu-Kj при 0^t<s^n.
Докажите, что А вполне непрерывный самосопряженный оператор; найдите его спектр и собственные функции (обоснуйте возможность двукратного дифференцирования интеграла и проделайте эту операцию; см. 7.13 п. б)).
175


7.57. 	Пусть (Ax)(t) = f t2sx(s)ds, A : C[0,1] —► C[0,1]. Является ли
оператор А вполне непрерывным? Чему равен спектральный радиус оператора А? Верно ли, что уравнение x(t) = (Ах) (t) + t3 имеет единственное непрерывное на [0,1] решение?
8. 	Линейные уравнения в банаховых пространствах
8.1. 	Постановка задачи. Примеры. Пусть X — банахово пространство, A Е ТС(Х). Уравнение
называется уравнением второго рода, в отличие от уравнения первого рода, имеющего вид
где В — линейный оператор, действующий в пространстве X. Разумеется, от записи уравнения в виде (8.2) можно перейти к записи в виде (8.1), если прибавить к обеим частям уравнения (8.2) ж, перенести Вх в правую часть и положить А — J — В. Однако, в этом случае оператор А вряд ли будет вполне непрерывным.
Заметим также, что уравнение первого рода (8.2) с вполне непрерывным оператором В представляет собой некорректную задачу, так как согласно следствию 6.4 оператор В~1 является неограниченным, поэтому малым изменениям у G X могут соответствовать большие изменения х — В~1у.
Вполне непрерывный оператор А называется ядром уравнения (8.1). Рассмотрим примеры уравнений второго рода с вполне непрерывным ядром.
1. 	Линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
о
х = Ах f у, у G X
(8.1)
Вх = у, уех,
(8.2)
ъ
(8.3)
а
а) 	с непрерывным в квадрате [а, Ь]2 ядром и непрерывной на [а, 6]
176


функцией у(-). В этом случае X = С [а, 6],
ъ
(Ax)(t) = J K(t, s)x(s) ds. (8.4)
а
б) 	с ядром, удовлетворяющим условию ъ ъ
J J\K(t,s)\2dtds<+oo (8.5)
а а
и суммируемой с квадратом на [а, 6] у( ). Здесь X = L2 [а,Ь], а линейный оператор Л определяется равенством (8.4).
Как было установлено ранее (см. примеры 1, 3), в обоих случаях оператор А вполне непрерывен.
Система линейных скалярных уравнений вида (8.3) также может быть записана в виде (8.3). В этом случае х,у — п-вектор-столбцы, #(•,*) — п х n-матрица, состоящая из непрерывных (суммируемых с квадратом) функций, X = Cn[a,b] (L2[a, b]) — пространства п-вектор- функций, в котором норму можно определить, например, так:
||х||с" = max IMIc (|М|ц? = max |M|l2).
Упражнение 8.1. Докажите, что Cn[a,b] (L2[a, b]) — банахово пространство относительно этой нормы.
Упражнение 8.2. Покажите, что и в этих случаях интегральный оператор в (8.4) является вполне непрерывным.
2. Линейное интегральное уравнение Вольтерры
t
x(t) = J K(t,s)x(s) ds + y(t) (£€[a, &]). (8.6)
a
Здесь могут быть рассмотрены те же случаи.
3. Бесконечная система линейных уравнений
оо
Xi — YlaikXk + 2/г, г = 1.2,..., (8.7)
k=1
оо
рассматриваемая при условии, что двойной ряд 22 \агк\2 сходится.
i=l,k
177


"Упражнение 8.3. Покажите, что линейный оператор
/ оо оо \
Ах ^ aikXk> a2kXk> • • •) (8*8) \fc=l fc=l /
действует в пространстве 12 и является вполне непрерывным.
Система (8.7) имеет вид (8.1) (X — 12, А определен (8.8)).
4. Рассмотрим краевую задачу для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
х = M(t)x + g(t), t Е [а, 6], hx = 0, г = 1,2,..., п, (8.9)
где М( ) — п х n-матрица, а #(•) — n-вектор-функция с суммируемыми
элементами, U — линейные функционалы, определенные на пространстве АСп[а, Ь] абсолютно непрерывных n-вектор-функций, U : ACn[a,b] t—► R, i = 1,2, ...,п (норма в пространстве ЛСп[а, Ь] может быть определена, например, так: ||я||лсп = max ЦхЦлс).
Упражнение 8.4. Покажите, что пространство АСп[а,Ь] — банахово относительно такой нормы.
Пусть G(t, s) — матрица Грина краевой задачи
х = g(t), t £ [а, 6], hx = 0, г = 1,2, ...,п. (8.10)
Тогда краевая задача (8.9) эквивалентна системе линейных интегральных
уравнений Фредгольма вида (8.3)
ъ ь
x(t) = J G(t, s)M(s)x(s) ds + J G(t, s)g(s)ds (£ € [a, 6]) (8.11)
(tf(t,«) = G(M)M(e),y(t) — / G(t, s)g(s) ds).
a
Упражнение 8.5. Покажите, что оператор Фредгольма (8.4) с ядром K(t,s) = G(t, s)M(s) вполне непрерывен в пространстве X = АСп[а,Ъ\, ауе АСп[а,Ъ\.
Заметим: если Ux = а^г-1^(а), г = 1,2,..., п, то получаем задачу Коши, которая сводится к системе интегральных уравнений Вольтерры вида (8.6).
178


8.2. 	Первая теорема Фредгольма. Наряду с уравнением (8.1) рассмотрим соответствующие ему однородное уравнение, сопряженное уравнение и однородное сопряженное уравнение
х-Аж = 0, (1') f-A*f = g(ge **), (Г) / - A*f = 0. (1*')
Для сокращения записи обозначим Т = J — А, Т* = J — А* (в первом случае J означает тождественный оператор пространства X, во втором — тождественный оператор пространства X*).
Упражнение 8.6. Покажите, что если 1 не является точкой спектра оператора А (1 ^ о-(А)), то операторы Т и Т* непрерывно обратимы и, следовательно, уравнения (8.1), (1'), (1*), (1* ) однозначно разрешимы. Решения уравнений (8.1) и (1* ) соответственно имеют вид ж = Т~1у и f = (Т*)~гд, а уравнения (1') и (1* ) имеют только нулевое решение.
Приведенные ниже в этом параграфе теоремы не используют сведений о спектре оператора А.
Теорема 8.1. Пусть X — банахово пространство, А Е ТС(Х). Следующие утверждения эквивалентны:
1° уравнение (8.1) имеет решение при любой правой части у £ X (это означает, что 7Z(T) — X);
2° уравнение (1') имеет только нулевое решение ( это означает, что *Г(Т) = {0});
3° уравнение (1*) имеет решение при любой правой части g € X* (это означает, что 7Z(T*) = X*);
4° уравнение (1* ) имеет только нулевое решение ( это означает, что ЛА(Т*) = {0}).
Если справедливо хотя бы одно из утверждений 1° -4° (а значит справедливы все), то операторы Т и Т* непрерывно обратимы (и, следовательно, уравнения (8.1) и (1*) однозначно разрешимы). При этом решения уравнений (8.1) и (1*) соответственно представляются в форме х = Т~гу и } — (Т*)~1д.
Доказательство проведем по схеме 1° => 2° => 3° => 4° => 1°.
1.1° =>• 2°. Пусть 7Z(T) = X, докажем, что М(Т) = {0}. Предположим противное: Л/*(Т) ф {0}. Выберем х\ Е N{T),x\ ф 0 и рассмотрим урав¬
нение Тх = х\. По условию оно имеет решение, которое мы обозначим Ж2. Так как Т(Тж2) = Тх\ = 0, то Х2 Е М(Т2)\ при этом Х2 £ А/"(Т), иначе х\ был бы нулем. Далее, находим жз как решение уравнения Тхз = Ж2; при
179


этом жз G Л/"(Т3), но жз £ ЛГ(Т2) и так далее, на к-м шаге выбираем ж к как решение уравнения Тхк = Xk-i, причем ж к € ЛГ(Тк), но ж*, ^ A/"(Tfc_1). В итоге получаем последовательность строгих включений
Л/*(Т) С М(Т2) С Л^(Г3) С ... С ЛГ(Тк) с...
Так как Tfc — линейные ограниченные операторы, то ЛГ(Тк) — подпространства. По лемме Рисса о почти перпендикуляре (см. [8, с. 63]) для каждого натурального п найдется уп G Л/*(ТП) такой, что ||yn|| = 1 и pfyn^fr-1)) > Так как последовательность {yn}%Li ограничена, а оператор А вполне непрерывен, то последовательность {Ау-п}5S=i относительно компактна.
С другой стороны, при гп > п, учитывая, что А = J — Т, получаем
|| At/m || — \\утп ^mn||) (8.12)
где Хтп = Тут - уп + Туп. Так как Тут € Л/ХТ™-1), уп € N{Tn) С С ЛГ{Тт-х), Туп е Я(Тп-1) с Л/ХГ”1-1), то Хтп € ЛГСТ"1-1) и, значит, из (8.12) следует, что ||Лут — Лг/П| > ^; но это противоречит установленной ранее относительной компактности последовательности {Ayn}^Li- Полученное противоречие означает, что J\f(T) = {0}.
2. 2° => 3°. По теореме 6.8 1Z(T) замкнуто, следовательно, можно рассматривать У = 7Z(T) как банахово пространство. Так как ЛГ(Т) = {0}, то оператор Т биективно отображает X на у. По теореме 4.13 Т непрерывно обратим; Т>(Т~г) = У.
Пусть д G X* произволен; для у G У полагаем /о(у) = д(Т~1у); очевидно, /о — непрерывный линейный функционал, определенный на У (||/о|| ^ |Ы| * ЦТ-11|). По теореме Банаха-Хана 5.1 его можно продолжить на все X с сохранением нормы. Пусть / — это продолжение, / G X*, а ж пробегает все X. Тогда Тх G У и
(Г/Х*) = /(Тж) = /о(Гж) = д{Т~\Тх)) = 0(ж) =► TV = р.
Таким образом, / — решение уравнения (1*), то есть уравнение (1*) разрешимо при любом д € X*.
3. Импликация 3° => 4° доказывается так же, как и импликация 1° => 2° (во всех рассуждениях Т заменяется на Т*, X — на X*).
4. 4° => 1°. Пусть Af(T*) = {0}, докажем, что 7Z(T) = X. Предположим противное: 1Z(T) ф X. Так как 1Z(T) — подпространство в X (см. теорему 6.8), то по теореме 5.3 для уо G X \ 1Z(T) найдется функционал
180


/о £ X* такой, что /0(2/0) = 1, /о (у) = 0 для всех у G ЩТ). Для любого я е X Тх е ЩТ), поэтому fo(Tx) = 0, т. е. (T*fo)(x) = 0 для всех х £ X. Это означает, что Т*/о = 0, а так как ЛГ(Т*) = {0}, то /о = 0. Это противоречие с равенством /о(уо) = 1 означает, что 7Z(T) = X.
Если выполнено одно из утверждений 1° - 4°, то по доказанному выполнены все, т. е.
П(Т) = Х, Л/*(Т) = {0}, ЩТ*) = Х*, Jsf(T*) = {0}.
По теореме Банаха 4.13 операторы Т и Т* непрерывно обратимы. Значит, уравнения (8.1) и (1*) однозначно разрешимы, х = Т-1у, / = (Т*)~1д.
8.3. Биортогональные системы
Лемма 8.1. Пусть X — банахово пространство. Дая любой линейно независимой системы элементов {Хк}кек, xk € X (К — конечное или счетное множество) существует линейно независимая система функционалов {дк}кек, такая, что
gi(xk) = Sik (8.13)
{Sik — символ Кронекера, 6ik = 0 при i ф /с, Sik = 1 туш i = к).
Упражнение 8.7. Докажите лемму 8.1.
Системы {xfc}fce/r, xk е X и {дк}кек, gk £ X* , удовлетворяющие условию (8.13), называются биортогональными.
Лемма 8.2. Пусть X — банахово пространство. Для любой линейно независимой системы функционалов {fk}keK> fk G X* существует линейно независимая система элементов {Хк}кек, Хк € X такая, что
fi(xk)=6ik. (8.14)
Упражнение 8.8. Докажите лемму 8.2.
8.4. Вторая теорема Фредгольма
Теорема 8.2. Пусть X — банахово пространство, А £ ТС(Х). Однородные уравнения (l)tz(l*) имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений. Другими словами,
dim Л/*(Т) = dim ЛГ(Т*) < +оо. 181


Доказательство. Если М(Т) = {0}, то по теореме 8.1 и АГ(Т*) = {0}. Этот случай может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Пусть В — единичный шар в банаховом пространстве Л/*(Т). По определению М(Т) Т(В) = {0}, т. е. В = А(В). Так как А вполне непрерывен, то множесто В = А(В) относительно компактно. Это означает, что J\f(T) конечномерно. Такие же рассуждения показывают, что и подпространство J\f(T*) конечномерно.
Предположим, что
Пусть {хк)к=1 и {fi}7Li — базисы соответственно J\f(T) и Af(T*). Согласно леммам 8.1 и 8.2 существуют система функционалов {<7i}?=i, биорто- гональная системе {xk}k=i и система элементов {ук}Т= i, биортогональная системе {fi}?Li-
Рассмотрим вспомогательный оператор
dim ЛГ(Т) = п < m = dim J\f(T*).
(8.15)
П
П
А = л + ^5г(-)2/*, f = j-A = T-J2gi(-)yi- (8-16)
г=1
Оператор А вполне непрерывен как сумма вполне непрерывного и конечномерного операторов.
Упражнение 8.9. Найдите оператор, сопряженный оператору А. Покажите, что
п
(8.17)
см. также упражнение 5.72.
п
Пусть X G Af(T). Это значит, ЧТО Тх — 22 9i{X)yi = 0, ИЛИ
i=1
п
(8.18)
i=1
Применим к обеим частям этого равенства функционалы Д, k = 1,2,..., п (< гп) :
п
fk(Tx) = (T*fk){x) = £>(*)/*(») = 9к(х) = 0,
1= 1
182


так как Д Е ЛГ(Т*) (к = 1,2,... ,п). Из (8.18) видим, что х Е Л/*(Т), т. е.
п
х = ^ СгХ*. Применим к обеим частям этого представления функционалы
i= 1
St для fc = 1,2,...,п :
гг
О = pfc(x) = ^CiPfc(xi) = Ск ==> ск — 0, к = 1,2, ...,71 =* х = О,
г=1
т. е. Л/"(Т) = {0}. По теореме 8.1 A/"(f *) = {0}.
Пусть к > п. Учитывая представление (8.17) имеем
П
т*д =т*д-£а(у094 = о
г = 1
(уменьшаемое равно нулю, так как Д Е Л/"(Т*), вычитаемое равно нулю в силу (8.15), так как к > п). Следовательно, Д Е J\f(T*), т. е. Д = 0 для к > п. Это противоречие с линейной независимостью системы {fi}iL\ опровергает предположение (8.14). Аналогично опровергается предположение, что п > тп. Значит, п = тп.
8.5. 	Третья теорема Фредгольма
Теорема 8.3. Пусть X — банахово пространство, А 6 ТС(Х). Для того, чтобы уравнение (8.1) имело решение (при данном у G X), необходимо и достаточно, чтобы f(y) = 0 для любого решения / сопряженного однородного уравнения (1* ).
Доказательство. Если Af(T) = {0}, то по теореме 8.1 и J\f(T*) = {0}, и утверждение настоящей теоремы тривиально, так как уравнение (8.1) однозначно разрешимо, а уравнение (1* ) имеет лишь нулевое решение. Пусть ЛГ{Т) Ф {0} (значит и И(Т*) ф {0}).
Необходимость. Пусть уравнение (8.1) имеет решение хо- Для любого / € ЛГ(Т*)
f(y) = /(Тхо) = (Т*/)(хо) = 0 (так как Т* f = 0).
Достаточность. Пусть f(y) = 0 для любого / Е J\f(T*). Предположим, что уравнение (8.1) не имеет решения. Это значит, что у £ 1Z(T). По теореме 5.3 существует функционал /о G Л'* такой, что
/о{у) = 1, fo(z) = 0 для всех z е ЩТ).
Пусть х пробегает все пространство X. Тогда z — Тх Е 7Z(T) и (Т*/о)(х) = = /о(Тх) = 0. Это значит, что Т* fо = 0. По условию /о(у) = 0, что противоречит равенству fo{y) = 1. Значит, уравнение (8.1) имеет решение.
183


Теорема 8.3 допускает следующую переформулировку.
Для М С X и L С X* обозначим
М± = {/ Е X* : f(x) = 0 для всех х € М},
±L = {х Е X : f(x) = 0 для всех / € L}
("ортогональные дополнения "множеств М и L соответственно).
Упражнение 8.10. Докажите что М1' и ±L — подпространства в X* и X соответственно.
Теорема 8.4. ЩТ) =х ЛГ(Т*), ЩТ*) = ЩТ)1-.
8.6. 	Альтернатива Фредгольма. Подведем итоги сказанному. Для уравнения (8.1) имеются следующие возможности:
1) 7l(J — А) = X, J\f(J — А) = {0}; в этом случае уравнение однозначно разрешимо и х = (J — А)~гу;
2) Af(J-A) ф {0} (оператор J — Ане является обратимым) и существует решение уравнения f — A* f = 0 , для которого f(y) ф 0; в этом случае уравнение (8.1) не имеет решения;
3) AT(J — А) ф {0} (оператор J — А не является обратимым) и f(y) = 0 для любого решения уравнения / — A* f = 0; в этом случае уравнение (8.1) разрешимо;
Упражнение 8.11. Докажите, что в третьем случае уравнение
(8.1) 	имеет бесконечное множество решений; покажите, что любое решение уравнения (8.1) имеет вид:
п
х = х* + ^2 ckXk, где п = dim Af(J — А), хь, к = 1,2,..., п
к=1
составляют базис J\f(J — А), х* — какое-нибудь решение уравнения (8.1), Ck — произвольные константы.
Следующее утверждение, вытекающее из теорем 8.1 и 8.3, принято называть альтернативой Фредгольма;
либо уравнение (8.1) однозначно разрешимо, либо однородное уравнение
/
(1 ) имеет ненулевые решения.
184


Упражнения
8.12. Докажите, что уравнение
t
х — Ах = у, (Ах)(£) = J x(s) ds, А : С[О,1] —> С[0,1]
о
имеет единственное решение при любом у G С[0,1]; найдите его.
8.13. Пусть p(t) > 0 — непрерывная функция,
t
(Ax)(t) = Jp(s)x(s) ds, A : С[0,1] —* C[0,1]. о
Докажите, что уравнение x — Ax = у имеет единственное решение при любом у G С[0,1]; найдите это решение.
8.14. Запишите задачу Коши
х" + p{t)x + q{t)x = y(t), х(0) = ж'(0) = 0, t G [0,1], p,q £ С[0,1],
в виде линейного уравнения второго рода с вполне непрерывным ядром в пространстве С[0,1].
8.15. Запишите краевую задачу
хп +p(t)x 4- q(t)x = y(t), х(0) = х(1) = 0, t G [0,1], p,q G C[0,1],
в виде линейного уравнения второго рода с вполне непрерывным ядром в пространстве С[0,1].
дК
8.16. Пусть К : [а,6]2 —> Е непрерывна на [а, Ь]2 вместе с и
t
K(t,t) > 0, (Ax)(t) = J K(t, s)x(s) ds, A : C[a,b]C^[a,b].
a
Запишите уравнение первого рода Ах — у (у G С^[а, 6]) в виде уравнения второго рода с вполне непрерывным ядром в пространстве непрерывных функций С [а, Ь].
8.17. Пусть G — область в Еп, функция К : G х G —+ Е такова, что
f $\K(t, s)|2 dtds < +oo. Докажите, что интегральное уравнение
G G
X(t)~ J K(t,s)x(s) ds = y(t) G
185


разрешимо в пространстве L2(G) при у £ L2(G) тогда и только тогда, когда J y(t)f(t)dt = 0 для всех / Е IL2 (G), удовлетворяющих уравнению
fit) - J K(s,t)f{s)ds = 0.
G
8.18. 	Пусть D — замкнутая ограниченная область в Rn, функция К : D х D Е непрерывна Докажите, что интегральное уравнение
c(t)- / K(t, s)x(s) ds = y(t)
имеет непрерывное решение при данной непрерывной у тогда и только тогда, когда f y(t)f(t) dt = 0 для всех непрерывных функций /, удовлетворя- D
ющих уравнению f(t) — f K(s,t)f(s) ds = 0.
D
8.19. 	Найдите все решения интегрального уравнения
2
/М - ~ Jsin2 sf(s)ds =
разрешимо ли уравнение x(t) — £ f sin2 tx(s) ds = y(t) при y(t) = 2t — 7Г?
n 0
а при y(t) = At — 7Г? В случае разрешимости уравнения найдите все его решения.
8.20. 	При каких значениях параметра А интегральное уравнение
i
c(t) = A J(ts + t2s2)x(s) ds -\-t2 — t4
неразрешимо? однозначно разрешимо? имеет бесконечное множество решений? Найдите все решения этого уравнения.
8.21. 	При каких значениях параметра А интегральное уравнение
7Г
x(t) = A J sin (21 -I- s)x(s) ds + 7Г —
21
а) 	неразрешимо? б) однозначно разрешимо? в) имеет бесконечное множество решений? Найдите все решения этого уравнения.
8.22. 	При каких значениях параметра А интегральное уравнение
I
K(t, s)x(s) ds = y(t),
186


где a) K(t,s) = min{£, s}; б) K(t,s) =
t{s- 1), 0 ^ s ^ t s$ 1;
s(t — 1), 0 5? t < S < 1
’ (cm. 4.117);
разрешимо для любой непрерывной
функции у?
9. 	Дифференцирование нелинейных отображений
9.1. 	Функции со значениями в банаховых пространствах. Пусть X — банахово пространство. Отображение х : J —► X, где J С 1- промежуток, называется функцией со значениями в банаховом пространстве X. Например, ж(£) = {xi(t), X2(t),..., xn(t)) — вектор-функция скалярного аргумента, есть функция со значениями в банаховом пространстве . Еще один пример. Пусть 9) — линейное пространство классов эквивалентных скалярных комплексных случайных величин на вероятностном пространстве (£2,21, Р), имеющих конечную дисперсию. Если определить в 9) в качестве скалярного произведения ковариацию: (£,77) = cov(£,r)), £,77 Е 9), то 9) будет гильбертовым пространством (на самом деле 9) изометрично изоморфно пространству Ьг(П,21, Р)). Случайным процессом на вероятностном пространстве (Г2,21, Р) называется функция из [0,+оо) со значениями в гильбертовом пространстве 9).
Для функций со значениями в банаховом пространстве можно ввести основные понятия математического анализа.
Элемент а Е X называется пределом функции х : J —► X в точке to, где to — предельная точка J, если для любой последовательности
tn ► to У CL В X.
Упражнение 9.1. Сформулируйте е-6-определение предела.
Функция х : J —> X называется непрерывной в точке to Е J, если для любой последовательности tn —*► to x(tn) х(to) в X.
Упражнение 9.2. Дайте гS-определение непрерывности.
Упражнение 9.3. Сформулируйте определение равномерной непрерывности. Докажите справедливость для функций х : J —> X утверждения теоремы Кантора.
187


Производной функции х : J —► X в точке to £ J называется предел в X, xf(to) = hm^(x(to + At) - х(£о)) £ X.
Интегралом функции х : J —> X по отрезку [а, 6] называется предел в X сумм
п
6т(ж) = 5Zx(&)&tk £ X (т = {tfc}fc=0) а = to < ti < ... < tn = b — k=i
разбиение отрезка [а, 6], £ [tfc-i, £*]) при стремлении диаметра разбиения
ъ
т к нулю. Интеграл обозначается J x(t) dt и является элементом X.
а
Большинство фактов дифференциального и интегрального исчисления функции одной скалярной переменной (но не теоремы о среднем!) переносятся на функции х : J —► X. В частности, ниже нам понадобится формула Ньютона-Лейбница
ь
J х (t) dt = x(b) — х(а), (9.1)
а
которая для функций х : J —> X имеет место.
Упражнение 9.4. Покажите, что формула конечных приращений для функций х : J —► X, вообще говоря, не выполняется.
9.2. 	Дифференцирование по Фреше. Пусть X и У — банаховы пространства, Q : X —► У — оператор (вообще говоря, нелинейный), T>(Q) = Cl, где Cl С X — область, возможно совпадающая с X.
Напомним: оператор Q называется непрерывным в точке хо £ С1, если для любой последовательности {хп}^! из сходимости хп —» хо (п —► оо) в X следует сходимость Q(xn) —► Q(xо) в У. Оператор называется непрерывным в С1 если он непрерывен в каждой точке С1. Оператор Q : X —► У называется ограниченным, если он переводит любой шар из Cl в ограниченное множество в У. Скажем, что оператор Q удовлетворяет в Cl условию Липшица с константой L, если неравенство
||Q(*VQ(z")b^ll*'-*"ll* (9-2)
выполняется для всех х',х" £ Cl.
Оператор Q называется дифференцируемым по Фреше (сильно дифференцируемым) в точке хо G П, если существует такой линейный непрерывный оператор А(хо) : X —► У, что для любого h £ С1 такого, что хо + h £ Cl имеет место представление
AQ(xo, h) = Q(xо + h) - Q(xo) = A(xo)h + u>(xo, h), (9.3)
188


где оператор и : X х X —► У таков, что ||u>(xo,h)\\y = o(||h||) при h —► О в X. Линейный оператор А(жо) £ С(Х,У) называется производной Фреше (сильной производной) оператора Q в точке хо и обозначается Q'(xо); главная часть приращения AQ(xo,h) в (9.3), линейная относительно h, называется дифференциалом Фреше (сильным дифференциалом) и обозначается dQ(xo,h) = Q'(xo)h; дифференциал Фреше представляет собой значение линейного непрерывного оператора А(хо) = Q'(xо) на элементе h. Таким образом, при /г- —► О
Q(xo + h) - Q(xo) = Q'(xo)h + ш{хо,К) (||w(a;o, Л)||у = o(||/j.||). (9.4)
Теорема 9.1. Если оператор Q дифференцируем по Фреше в точке хо € П, то он и непрерывен в этой точке.
Доказательство сразу следует из определения (9.3).
9.3. 	Примеры нахождения производной Фреше. 1. Пусть
А € С(Х,У), Q(x) = Ах; тогда AQ(xo,h) = А(х + h) — Ах = Ah, сле¬
довательно, (АхУ = А при любом х Е X.
2. 	Рассмотрим нелинейный функционал (га G N, га > 1)
1
Q : С{0,1] -» Ж, Q{x) = J xm{t) dt.
О
Непосредственно применяя определение (9.3), получаем 1
Д<Э(хо, h) = J((х(£) 4- h(t))m - хm(t)) dt = о
i
= J(xm(t) + mxm-\t)h{t) + Clxm~2(t)h2{t) + ... + hm(t) - xm(t)) dt =
0
1
= m J xm-1(£)/i(i) dt 4- u(x, /i), гдео;(х,/i) =
о
l
= J /i2(*)(C^xw-2 4-...4- hm~2)dt.
о
Так как, очевидно, |cj(x,/i)| ^ K||/i||2, где константа К не зависит от h, то |а>(х,/i)| = 0(||/г||2) = o(||/i||) при \\h\\ —► 0. Следовательно, Q'(x)/i =
= mf xm~l (t)h(t) dt. о
189


3. 	Пусть Ti — вещественное гильбертово пространство, A Е S(7i) — линейный ограниченный самосопряженный оператор. Рассмотрим квадратичный функционал Q : Н —► Е, Q(x) = (Ах,х). Из свойств скалярного произведения в вещественном случае и самосопряженности оператора А следует
Д<2(жо, h) = (А(х + h),x + h) — (Ах, х) = (2Ах, h) -h (Ah, h);
из неравенства Коши-Буняковского и определения нормы оператора получаем \(Ah,h)\ < \\А\\ ■ \\h\\2, то есть \(Ah,h)\ = o(||/i||) при \\h\\ —► 0. Значит, Q'(x)h = (2Ах, h).
В частности, при А = J (J — тождественный оператор в ТС)
(х, x)'h = 2(х, К).
Упражнение 9.5. Пусть Q : Щ —> Ш, Q(x) = Q(x\,х2,... ,хп), причем частные производные д(г = 1,2,...,п) непрерывны в Q С EJ. Докажите, что Q'(x)h = (grad Q(x), h).
Упражнение 9.6. Пусть
Q:R5 -»Ra\ <?(*) = (Qi(x),Q2(a:),...,Qm(a;))T,
причем частные производные (г = 1,2,... ,т; к = 1,2,... ,п) непре-
рывны в Q С Е2• Докажите, что Q'(x)h — J(x)h, где
J(x) = (f^j-)j * = 1, 2,..., ш; /с = 1,2,..., n — матрица Якоби.
Упражнение 9.7. Пусть Q : С[а,Ь] —> С [а, Ь], Q(x) = f(t,x), причем f и непрерывны на [а, Ь] х Г2, где — интервал в Е. Докажите, что Q’(x)h = ^Л.
Упражнение 9.8. Пусть
ь
Q : С[а,Ъ] -> C[a,b), Q(x) = J K{(t,s,x{s))ds,
а
причем К и ^ непрерывны на [а, Ь] х [а, Ь] х Г2, где Q — интервал в Е.
ь
Докажите, что Q'(x)h = J -K-^—h(s) ds.
а
Упражнение 9.9. Пусть Q : С^[а, Ь] —► С[а,Ь],
Q(x) = х" - f(t,x,x),
причем f и непрерывны на [а,Ь] х П2, где - интервал в Е. Докажите, что Q'(x)h = /г" — ^ h — ^ h'.
190


9.4. 	Свойства производной Фреше. 1. Производная постоянного оператора равна нулевому оператору.
2. (Qi (х) + Q2 (х)) ' = Q[ (х) + Q'2 (х) .
3. Пусть А е С{Х,У). Тогда (AQ(x))' = AQ'{x).
Упражнение 9.10. Докажите свойства 1-3.
Теорема 9.2. Пусть X,y,Z — В-пространства,
Q '■ X -* У, у = Q(x),T :У^2, z = Т(у), (TQ)(x) = T(Q{x)).
Если Q дифференцируем no Фреше в точке хо Е T>(Q), Т дифференцируем по Фреше в точке у о = Q(x о), то TQ дифференцируем по Фреше в точке Хо, причем (TQ)'(xo) = Т'(y0)Q'(х0).
Доказательство. Пусть
Хо € V(Q), х = хо + h,yo = Q(x0),y = Уо + 9 € V{T),y = Q{x).
По условию
Q(x) - Q{xо) = Q'(xo)h + Wi(x0, h), где ||cc>i(ж0, h)\\ = o(||/i||) (\\h\\ -> 0),
T(y)-T{y0) =T'(yo)g + w2{yo,g), где Цс^2(г/о,£f)|| =о(1Ы1) (1Ы1 — 0). Подставим первое равенство во второе:
T(Q{x))-T(Q(xo))=T,(y0)(Q(x)-Q(x0))+uj2(yo,Q(x)-Q(xo)) =
= T'(yo)(Q'(xo)h + u)i(xo,h)) + w2(yo,Q'(xo)h + u>i(x0,/i)) = = T’(y0)Q'{x0)h + w(x0, h), где ||w(xo,fe)|| = \\T'(yo)uJi(xo,h)+w2(yo,Q'(xo)h + u>i(xo,h))\\ <
^ ||Т'(з/о)|| • ||wi(x0,/i)|| + \\w2(y0,Q'(x0)h + wi(x0,ft))|| = o(IWI)
при \\h\\ —» 0. Следовательно, (TQ)'(xo) = T'(yo)Q'(xo).
Как показано в упражнении 9.4, формула конечных приращений Лагранжа может в общем случае не выполняться. Нижеследующая теорема представляет собой ее "заменитель".
Теорема 9.3. (Формула конечных приращений). Пусть оператор Q дифференцируем по Фреше в £1 <Z X,х\ + t(x2 — х\) Е Q при t € [0,1]. Тогда


Под знаком интеграла — функция из [0,1] со значениями в банаховом пространстве С(Х, У)\ об интегрировании таких функций говорилось выше. Сам интеграл представляет собой элемент этого пространства, т. е. линейный ограниченный оператор, который действует на элемент х2 — х\ € П.
Доказательство. Пусть G(t) = xi + t(x2 — xi) (G : [0,1] —► X — функция со значениями в банаховом пространстве X), T(t) = Q(G(t)),
Т : [0,1] —► У — функция со значениями в банаховом пространстве У. По
теореме 9.2 T'(t) = Q'(xi+t(x2—xi)) (х2—х\). По формуле Ньютона-Лейбница 1
(9.1) 	f T'(t) dt — T(l) — Т(0); так как Т( 1) = Q(x2), Т(0) = Q(xi), то равен- о
ство (9.5) доказано.
Следствие 9.1. Если оператор Q дифференцируем по Фреше в П, и для всех х € Q выполняется неравенство HQ^aOH ^ L, то Q удовлетворяет в Q условию Липшица с константой L; если при этом L < 1, то Q — сжимающее отображение.
Доказательство. Непосредственно из формулы (9.5) получаем неравенство ||<?(ж2) - Q(a?i)|| ^ Ь\\х2 ~ xi\\] далее,
p(Q(x2),Q(xi)) = \\Q(x2) - Q(xi)|| ^ L\\x2 - xi|| = Lp(x2,m);
значит, Q сжимающее отображение.
9.5. 	Формула линеаризации. Метод Ньютона. Запишем определение производной Фреше в форме
Q(x) = Q(xо) 4- Q'(xo)(x - ж0) 4- а;(ж, х - хо)
и отбросим остаточный член си(х,х — Жо). В итоге получим приближенное равенство
Q(ж) « Q(x0) 4- Q'(х0)(х - ж0), (9.6)
которое называется формулой линеаризации: вблизи жо с точностью до аддитивного слагаемого Q(xo) — Q'(xo)xo оператор Q линеен. Следующая теорема указывает порядок точности этого приближенного равенства.
Теорема 9.4. Пусть оператор Q дифференцируем по Фреше в Cl <Z X и Q'(x) удовлетворяет в условию Липшица с константой Ь\. Тогда
||Q(x)-g(xo)-Q'(*o)(x-xo)|K \lx\\x-xo\\2. (9.7)
192


Доказательство. Применим формулу конечных приращений (9.5);
||Q(x) - Q(xo) - Q'(x0)(х - х0)|| =
1
J Q'((xо) + t(x - Хо)) dt(x - х0) - Q'(xo)(x - хо)
1
J(Q'((xо) + t(x - Хо)) - Q'(*o)) dt(x - Хо)
i
J ||Q'((x0) + t(x - x0)) - <?'(xo)|| dt\\x - x0|| <
0
1
^ Li||x — x01| Jtdt\\x-x0\\ = ^Li||x — x0||2.
Формула линеаризации приводит к следующему итерационному процессу для решения уравнения Q(x) = 0. Пусть х* — решение этого уравнения, хо — некоторая точка из П; Из равенства (9.6) получаем <2(хо) + Q'(xо)(х* — хо) ~ 0, откуда в преположении обратимости оператора Q'(xo) следует, что х* « хо — (ФЧ^о)) 1Q{xo). Итерационный процесс Хп+1 = хп — (Q'(xn))~1Q(xn), п = 0,1,2, ...,хо Е П называется методом Ньютона. Для скалярного уравнения /(х) = 0 этот метод известен как метод касательных. Приведем без доказательства следующую теорему о сходимости метода Ньютона.
Теорема 9.5. Пусть В = В[хо,г\ — шар в банаховом пространстве X, оператор Q : X —► X дифференцируем по Фреше в некотором Q, содержащем В, и его производная Q'(x) удовлетворяет в В условию Липшица с константой L. Пусть Q'(x) в В непрерывно обратим и || (Q'(x)) 11| ^ М для любого х £ В. Пусть, далее, ||Q(xo)|| ^ N. Тогда если q = \M2LN и
+оо fc
П = MN Y1 Я < г, то уравнение Q(x) = 0 имеет решение х* ЕВ, к к=о
которому сходится итерационный процесс Ньютона, начатый с хо- При этом
2п-1
\\хп — х* || ^ MN-^— 1 — <
193


9.6. 	Производная и дифференциал Гато. Оператор Q : X —► У
называется дифференцируемым в смысле Гато в точке жо € если существует предел
DQ(xо, h) = }ijnQ(Xo + tk)t ~ д(жо), he X. (9.8)
Этот предел называется дифференциалом Гато (слабым дифференциалом). Если существует линейный ограниченный оператор Q'w(жо) такой, что DQ(xo,h) = <5™(жо)/1, то <Э1у(жо) называется производной Гато.
Теорема 9.6. Если оператор Q дифференцируем по Фреше в точке жо € П, гпо он дифференцируем в этой точке и по Гато, при этом производные Фреше и Гато совпадают.
Доказательство. Дифференцируемость по Фреше означает, что
Q(xo + th) — Q(xo) = Q'(xo)th + u>(x,th), lly(xo^)ll q при $ q.
Разделив обе части на t и устремив t —* 0, получаем, что DQ(ж, К) = dQ(ж, /i) = Q'(xo)h, так что и <Х,(жо) = (З'(жо).
Как показывают нижеследующие примеры, утверждение обратное теореме 9.6, вообще говоря, неверно. Вместе с доказанной теоремой этот факт оправдывает термин «слабая дифференцируемость».
Все примеры таковы, что Q : R2 —> R.
1. Q(ж) = 1 при Ж2 = xl х Ф 0, Q(x) = 0 в остальных точках; так как Q разрывен в нуле, то по теореме 9.1 Q не может быть дифференцируемым по Фреше в нуле. Однако, QC*hi>*fr.2)-.9(0>P) _ q ПрИ достаточно малом h = (hi, h2), значит, DQ(О, К) = 0.
2. Q(ж) = Ж1 + Ж2 + при ж ф 0, <2(0) = 0. В этом случае
<2(0 + th) - <2(0) _ , и > th\h2 , , П iVb h \Т
- _ hi + h2 + -2^4 ” —► hi + h2 = (1, l)(hi,h2) .
Здесь существует производная Гато Q'w(0) = (1,1), однако Q(0 + h) - Q(0) = hi + /12 + ,
причем | I : лАГь^1 0, так как это отношение имеет частичный
предел при h2 = h\. Это означает, что Q недифференцируем по Фреше
в нуле.
3. <2(ж) = ПрИ х ф 0, Q(0) = 0. Здесь J9<2(0, h) = Q(h), произ-
х1+х2
водная Гато не существует, так как из f(hi,h2) = Q(h) невозможно выделить линейную часть ввиду недифференцируемости функции /(*,•) в нуле.
194


9.7. 	Производные и дифференциалы Фреше высших порядков. «Операторная функция» п переменных
F : Хп —>У (Хп — X х X х ... х X)
4,1 ■ ■ "" V " *
п раз
называется п-линейным оператором, если
F{xi,...,ax'k + 0хк,... ,хп) =
= aF(xi,..,x'k,... ,х„) + 0F(x 1,. ..,хк,...,хп),
т. е. если оператор F линеен относительно всех аргументов по отдельности. Например, F(x) = Ах, где А — линейный оператор, — "однолинейный оператор" (говорят просто: линейный); F(x 1,^2) = (Ах 1,0:2),
A G C(7i, R), (TL — гильбертово пространство) — билинейный (функционал); F(x,y, z) = (Ax,y)z, F : H3 —>?{ — «трехлинейный» оператор; если
X = мгп,у = ШР, у = F(xi,...,xn), у = (г/1,...,Ур), Xj =
( (1) (гп)\
= (х) X} '), то
т т т
» = Ё II • • • Ё ani2-inX XJ1> • Х<22) ■■■■ *»п)» * = 1. 2, . . . ,р,
=1J2 = 1 in = l
F — n-линейный оператор.
гг-линейный оператор F : Хп —► У называется ограниченным, если существует такая константа С > О, что для любых Xi G X
||F(X1,X2, . . . ,Хп)\\у < СЦххЦл’ • 11*211* • . • • • 11 Xfx 11X •
Наименьшая из констант С называется нормой оператора F и обозначается ||F||. Как и в случае линейного оператора имеет место утверждение
||F|| = sup \\F{xi,x2,...,xn)\\.
11*1 ll = i. 11*2 ll = i Il*nll = l
n-линейный оператор F : Xn —► У называется симметричным, если
F(xUl, Xjy2,..., Хип) — F(x 1, Х2, • • •, Хп),
где v\, i/2 ... • Vn — произвольная перестановка чисел 1,2,..., п.
Пусть F : Д^71 —► У — п-линейный симметричный оператор. Положим xi = Х2 = ... = хп = х. Нелинейный оператор Q(x) = F(x, х,..., х) называется n-степенным и обозначается Fnxn. Очевидно,
||F„xn|| <£ ||F|| • 11*11».
195


Дифференциалом Фреше второго порядка называется дифференциал Фреше от дифференциала Фреше:
d2Q(x,h) = d(Q'(x)h,g)\g=h-
Согласно определению
Q'(x + g)h-Q'(x)h = Q"(x)hg + uj(x1g)h, где ||w(x,y)|| = о(||р||)
при ||<7|| —► 0. Здесь вторая производная Фреше Q,f(x) £ С(Х2,У) — билинейный оператор, а второй дифференциал d2Q(x,h) = Q"(x)h2 — квадра¬
тичный (бистепенной) оператор.
Примеры. 1. Q : Rn —► R; как было установлено,
глЧ ^ _ агл( \ - (dQ dQ \Т
Q (*) - gradQ{ x) - ’ gX2> ■ ■ ■ ’ dxJ 5
так как производная вектор-функции — матрица Якоби, то
матрица Гессе, d2Q(x,h) = Q"(x)h2 = hTHh.
2. Q : Rn —► Rm; как было установлено,
Q’(x) = ,г = l,2,...,m,fc= 1,2,...,)
матрица Якоби; если обозначить 2 = Q"(x)h2, то
d2Q
k,j=1
3. Q(x) = хп —/(£, ж, ж'), где /(•, •, •) — достаточно гладкая функция; рассматриваем Q как оператор из С^[а,Ь] в С7[а, 6]; как было установлено ранее, Q'(x)h = h" — ^ h — )■ /г7. Поэтому, повторяя рассуждения,
проведенные при нахождении первого дифференциала Фреше, получим
<?'(* + g)h - Q\x)h = h" - m,x + 9,(* + 9Y)h_
ox
df(t, x + g,(x + g)'
-(
У) h> _ Л// _ df(t,x,x’)h _ d/(<, ж, x')
дж' \ дж dx' J
d2f(t,x,x') d2f{t,x,x')u j d2f{t,x,x')  h9 + —SZSZi—h9 + —о„/я„ h 9+
dx2 дждж' дж'дж
t, Ж, Ж ) , / /\ f у. _ ч ,


где ||и>(а;,h)\\ = o(||/i||) при \\h\\ —► 0. Следовательно,
D"(r\h2 - - (9-lh2 4- о 92f hh' 4-
Q ^ \дх2 dxdx' d(x')2 ) '
Вообще, дифференциалом Фреше п-го порядка называется дифференциал Фреше от дифференциала Фреше порядка п — 1 :
dnQ(x, К) = d{dr~xQ{x,hj).
Этот дифференциал имеет вид: dnQ(x,ft) = Q^(x)hn, где Q^(x) —
п-линейный оператор, n-ая производная Фреше.
Рассмотрим пример. Пусть Q(x) = х" — tx3 + е*(я')2. Согласно только что найденному,
Q"(x)h2 = 6txh2 — 2е1(Ъ!)2. По определению имеем
Q"(x + g)h2 - Q"(x)h2 = 6t(x + g)h2 - 2e\h')2 - 6txh2 + 2e\h')2 = 6tgh2.
Следовательно, Q"'(x)h3 = 6th3. Так как третий дифференциал от а; не зависит, то все старшие дифференциалы равны нулю.
Для достаточно гладкой / : R —*> R формула Тейлора может быть записана в "дифференциальной"форме следующим образом:
Д/(х) = df(x) + ±d2f(x) + ... + 1dnf(x) + о((Дх)п)
при Ах —► 0. Если оператор Q : X —> У п раз дифференцируем по Фреше, то формула Тейлора для него имеет буквально такой же вид:
Q(x + h) = Q(x) + dQ(x, h) -f ^rd2<5(x, h) + ... + —dnQ(x, h) + u(x, /1),
2! n!
где ||u;(x, /i)|| = o(||h||n) при \\h\\ —► 0. Можно придать формуле Тейлора и традиционную форму:
Q(x + h)= Q(x) + Q’(x)h + iQ"(x)h2 + ... + ±Q(n)(x)hn + w(x, h).
J! n!
Упражнения
9.11. 	Пусть функция Q : R —* R дифференцируема в обычном смысле в окрестности точки to. Докажите, что ее производная Фреше совпадает с
обычной производной ^ = lim —Qfc)
t—*to t — to
197


9.12. Найдите производную Фреше следующих отображений А) в произвольной точке ж G T>(Q) (1 < р < +оо) :
a) Q : R —► RJJ, Q(x) = (ж1(ж), ж2(ж),... ,жп(ж));
б) Q : Rp —» R, Q(x)= £х£;
к = 1
b)Q : Кр -*• R®, Q(x) = (Qi,Q2,Qs)T, Qi(x) = xi +Х2, Q2{x) =
= XlX2, <5з(ж) =Xi+X2‘,
r) Q : Rp —► Rp, Q(x) = (Qi,Q2)T, Qi(x) = Xi + x2 + X3, Qi(x) =
= Xi + x| + Ж3;
д) Q : Rp -*■ R™, Q = (Qi,Q2, • • •, Qm)T, Qi ■ Rp -» К — дифференцируемые функции;
е)<2 : Rp —* R£\ Q = (Qi,<32,.. • ,Qm)T, Q<(x) = £ x{,
k= 1
г = 1,2, . ,.,m;
Б) соответственно в точке a)x = 1; б)х = (1,1,..., 1); в)х = (1,2); г) х = (1,2,3); д) ж = х(0); е) х = (1,1,..., 1).
9.13. Пусть Q : С —» С, w = Q(z), z = x + iy, w = u + iv\ Докажите, что отображение Q тогда и только тогда дифференцируемо по Фреше, когда существует обычная производная
9.14. Пусть 7~С — гильбертово пространство, xGH; докажите, что отображение Q(x) = Ц ж Ц, Q : 7i —► R дифференцируемо по Фреше всюду, кроме х = 0, и найдите его производную Фреше.
9.15. Найдите производные Фреше следующих отображений Q : С[О, Ь] —► С[О, Ь] в точке хо :
а) Q(x) = sin Зж, xo(t) = cos2t;
б) (Q(x))(t) = x(t) - etl2(t), Zo(t) = 0;
в) (Q(x)) = t2x(t) — tx2(t), xo(t) = 1;
b
г) (<2(ж))(£) = ж(£) -f J* ts2x3(s) ds, жо(^) = £2;
0
b
д) (Q(®))(<) = x(t) — J /(t, s, x(s)) ds, жо G C[0,6] — произвольная функ-
0
ция (функции / и — предполагаются непрерывными). ox
9.16. В С[0,7г] найдите все решения уравнения Q'(0)h = cost, где
7Г
(<2(ж))(£) = x(t) — A J cos (t + x(s)) ds. о
9.17. Найдите производные Фреше следующих отображений Q : С^1\а, 6] —► R в произвольной точке ж G X>(Q) :
198


а) Q(x) = f(x2(s) + x'2(s)) ds;
a
б) Q(x) = f(x(s) + a/(s))2 ds;
a
b Qf
в)Q(x) = f f((s,x(s)x'(s)) ds (функции / и — предполагаются непре-
а
рывными).
9.18. Найдите производную Фреше оператора Q : С[О,1] —> С[0,1],
1
(<3(x))(t) = x(t) f K(t,s)x(s) ds в произвольной точке (ядро К предполага- о
ется непрерывным на квадрате [а,6]2).
9.19. Пусть /п : R —► R, п 6 N, fn,fh равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на каждом [а, Ь\; для каждого х Е loo полагаем Q(x) = (/i(xi), /2(^2), • • •, )• Докажите, что оператор Q действует в пространстве loo и дифференцируем по Фреше. Найдите его производную Фреше.
9.20. Пусть Q(x) = х" -f sinx, Q : С(2)[0,1] —► С[0,1]. Найдите Q'(x0), где я:о(^) = t.
9.21. Является ли оператор Q : R —► R, Q(x 1, Х2,..., хп) =
= xix2.• • х™ п-линейным?
п
9.22. Покажите, что Q : Rn —► R, Q(xi, Х2,..., хп) = хк ~ п-линейный
к=1
ограниченный оператор. Укажите соответствующий ему n-степенной. То же задание для оператора Р : R71 —► R,
Р(х 1,Х2, . . . 5 Xjx) = Х1Х2 • . .Хп.
9.23. Для дифференциального оператора Q из 9.20 найдите производные и дифференциалы Фреше всех порядков.
9.24. Пусть Q : С[0,1] —► С[0,1], Q(x) = ех; найдите <5^(0). Разложите Q по формуле Тейлора в окрестности точки хо (t) = 0.
9.25. Для оператора Q из 9.15 а) найдите Q^n\cos2t).
ъ
9.26. Пусть Q : С[а,Ь] —► С[а,Ъ], (Q(x))(t) = x(t) 4- / K(t,s)ex(^s) ds (яд-
a
po К предполагается непрерывным на [а, 6]2). Найдите Q^n^(0); напишите разложение Q в ряд Тейлора.
10. 	Решение упражнений. 1.
1.1. 	Пусть х,у,х',у' € Ш. Применяя неравенство треугольника, после-
199


довательно получаем
р(х, у) < р(х, у') + р{у, у) 5? р(х, у) + р(у',х) + р(х',у), р(х',у') «S р(х, у) + р{у, у') ^ р{х, у) + р(у, х) + р(х, у’),
откуда
р(х, у) - р{х,у) < р{х, у) + р(х, у), р(х',у’) - р(х, у) < р(х, у') + р{х , у)\
полученные неравенства эквивалентны требуемому неравенству.
1.2. Пусть В = B(xo,r) (хо £ 9Л,г > 0), х £ В — произвольная точка. Это значит, что р(х,хо) < г. Возьмем е < г — р(х,хо). Пусть у £ В(х,£)\ тогда р[хо, у) ^ р(хо, х)+р(х, у) < р(хо, х)+£ < г, т. е. у € В. Этим доказано, что В(х,е) С В, т. е. по определению В — открытое множество.
1.3. Пусть Got (a £ А, А — бесконечное множество) — открытые множества, G = (J Ga и х € G. Тогда х £ Ga/ при некотором а' £ А; так как (7а/
ск£ А
открыто, то найдется такое £ > 0, что В(х,е) С Ga/. Значит, Б(х,е) С G, т. е. G — открытое множество.
п
Пусть G = П гДе Gk — открытые множества и х £ G. Тогда х £ Gk
к=1
для к = 1,2,..., п. Найдутся е* > 0, к = 1,2,..., п такие, что В(х, £к) С Gk для к = 1,2,..., п. Пусть £ = min £*;. Тогда В(х, е) С Gfe для к = 1,2,..., п,
1^/с^п
т. е. В(х, е) С G; это и означает, что (2 — открытое множество.
Бесконечное пересечение открытых множеств может не быть открытым.
оо
Это видно уже на примере Ш = М. : р) 1 + ^) = [0,1].
к=1
1.4. Пусть Б = В[хо,г] (хо £ ШТ,г > 0), х £ В — произвольная точка. Это значит, что р(х,хо) < г. Пусть х* — предельная точка В. Найдется последовательность {xn}^=i С В такая, что хп —* х*. При этом последнее включение означает, что р(хп, х) < г, п — 1,2,... Устремив в этом неравенстве п —* оо, получим, что р(х*, х) ^ г, т. е. х* £ В; значит, В — замкнутое множество.
1.5. По определению замыкания с/ А = AU А' (А С 9Я); окрестность каждой предельной точки множества А! содержит точки этого множества, а значит, и точки множества А. Следовательно, предельные точки множества А' являются также предельными точками множества А, т. е. принадлежат А'. Итак, (cl А)' С А' С cl А; это означает замкнутость замыкания.
Пусть замкнутое множество F D A. F содержит все свои предельные точки, а значит и предельные точки множества А. Это значит, что F D cl А.
200


1.6. Пусть Fa (а G А, А — бесконечное множество) — замкнутые множества, F = П Fa и х* — предельная точка множества F. Найдется последо-
а£А
вательность {xn}^Li С F такая, что хп —*- х*. По определению пересечения {хп}~ 1 С Fa при всех а е А. Следовательно, х* — предельная точка всех множеств и в силу их замкнутости х* G Fa при всех a Е А. Это значит, что х* G F, т. е. F замкнуто.
71
Пусть F = (J Ffc, где Fk — замкнутые множества их* — предельная
к=1
точка F Найдется последовательность {xn}^Li С F такая, что хп —► х*. Это значит, что {xn}5?Li С Fk0 при каком-нибудь ко (1 < ко ^ п). Следовательно, х* — предельная точка Ffc0. Так как Fk0 — замкнутое множество, то х* Е Ffc0. Значит, х* G F, т. е. F замкнуто.
Бесконечное объединение замкнутых множеств может быть незамкну-
оо
тым. Это видно уже на примере Ш = Ж : (J [^,2 — ^] = (0,2).
к=1
1.7. Пусть G С Ш — открытое множество, их* — предельная точка дополнения G = 9Jt \G Предположим, что х* ф G. Значит, х* Е G. Так как G — открытое множество, то найдется такое е > 0, что шар В(х* ,е) С G. Следовательно, шар В{х* ,е) не содержит точек множества (5, что противоречит определению предельной точки. Значит, х* G (5, т. е. G — замкнуто.
Пусть F С 971 — замкнутое множество и х £ F. Предположим, что множество F не является открытым. Это значит, что при любом п € N В(х, ~) \ F Ф 0. Пусть хп 6 #(*> ^) \ F для п = 1,2,... Очевидно, что {хп}£°=1 С F и хп —► х. Это значит, что х — предельная точка F и х £ F, что противоречит тому, что х Е F. Значит, множество F открытое.
1.8. Пусть М плотно в А и х € Л — произвольная точка. По определению плотности для каждого п G N найдется точка уп £ М такая, что р(х, j/п) < £ -> 0, т. е. уп —* х при п —► ос.
Пусть для любого х G А существует такая последовательность {l/n}^=i С М, что 2/п —► х и е > 0 произвольно. Найдется п G N такое, что р(х,уп) < е. Очевидно, уп — требуемая точка.
Пусть М плотно в А. Из только что доказанного следует, что каждая точка множества А является предельной точкой множества М, т. е. принадлежит cl М. Значит, А С cl М. Обратно, пусть А С d М, е > 0 и х Е А. Тогда x£Acc/M = MU М'. Если х G М, то полагаем у = х, если х G М' (т. е. х — предельная точка М), то найдется точка у G М такая, что р(х, у) < е. Следовательно, М плотно в А.
201


1.9. Пусть
п
М С I I В[хк, Гк] (п Е N), т — max p(xi,xfc), r= max Гк
^ 2^к<п 1<к<п
к=1
п
и х £ М С (J В[хк,гк]- Тогда х Е В[хк,гк] при некотором к. Значит,
к=1
р(хi,x) ^ p(xi,xfc) + р(х*;,х) ^ га + г => х Е B[xi,m 4- г].
Таким образом, доказано: М С B[xi, т + г], что и требовалось.
1.10. Пусть Хп —* х. Для е = 1 найдется такое натуральное JVi, что для всех п > Ni р(хп,х) < 1. Обозначим г = max{l, max р(х,хп)}. Тогда для
Ni
всех п Е N выполняется неравенство р(х,хп) < г, т. е. {xn}J£Li С В[х,г].
1.11. Пусть /i((x,y), (x',t/)) = 0. Тогда и р(х,х') = 0, d(y,yf) = 0. Значит, х = х',у = ?/> т* е- (#>2/) — Выполнение аксиомы симметрии
очевидно. Проверим неравенство треугольника.
Л((х, у), (х', у')) = р(ж, я') + d(y, у') ^ р(х, х") + р(ж", ж') + d(yy у")+
+ rf(y,,»y/) = МО*» у)» ОЛу")) + М(®">у")> 0*Лу'))-
Пусть (хп,Уп) —► (ж, у) в 971 х 91. Это значит, что
Ц(хп,Уп), (X, у)) -* 0 =» р(хп, ж) + d{yn,y) —► о <*=>
4=Ф- р(хп, ж) ► 0, d(yn, у) ► 0,
что и требовалось доказать.
1.12. Пусть хп —* х, уп —*► у. Из 1.1 получаем
|р(хп,Уп) ~ р{х,у)\ ^ р(хп,х) +р(уп,у) “► 0 =» р{хп,Уп) “*• р(ж,у),
что и означает непрерывность функции р(*, •).
1.13. Положив в 1.12 уп = у = х*, приходим к импликации (хп —> ж) ==> ==> (р(хп,ж*) —► р(х,х*)) (гг —► оо), которая и означает требуемое.
1.14. Пусть (Ш,р) и (9Т,с£) — два метрических пространства, / : Ш —► 91. Непрерывность / в точке хо G 9Я на языке £ — 6 выглядит так:
(Ve > 0) (36 > 0) (Vx Е Ш : р(х,хо) < 6) (d(/(x),/(xо)) < е).
Доказательство эквивалентности обоих определений с точностью до обозначений повторяет доказательство для скалярной функции одной вещественной переменной (см. [31, с. 147]).
202


1.15. Пусть е > 0 произвольно, х',у'х",у" Е Ш таковы, что р(х\х”) < 6 = |, р(у\у") < 6; тогда в силу неравенства (1.1)
\р(х',у') -р(х",у")\ < р(х',х") +р(у',у") < £■
1.16. Положив в 1.15 у' = у" = х*, получим, что |р(х',х*) — р(х",х*)| < е, если р(х',х") < 6 = е.
1.17. Пусть е > 0 произвольно. В силу 1.15 найдется такое 8 > О, что если р(х\х") < <$, то \р(х',у) — р(х",у)\ < £ для любого у Е Ш (х',х" Е Ш). Согласно свойству точной нижней грани найдутся такие у', у" Е ЯП, что f(x') > р(х',у') + §, /(х") > р{х",у") + §; при этом
р{х,у) + | < /(*') ^ р{х,у"), р{х",у') ^ f(x") > р(х",у") +
Вычтем из второго неравенства первое. В итоге
р(х",у) ~ р(х,у) - | < /(*") - /(*') < Р(х'\у") - р{х,у") +
откуда в конечном счете получаем, что |f{x") — /(х')| < £. Согласно определению функция / равномерно непрерывна.
X
1.18. Полагаем /(х) = / <p(t) dt. Ввиду строгой положительности зна-
— оо
чений функции ср(-) f биективно отображает Ш на (0,1). Так как d(f(x), f(y)) = \f(x) - f(y)| = | / ip(t) dt\ = p(x, у), то / — изометрия.
X
1.19. Пусть p — 2, x(n) = (-,...,-,0,...,); здесь x[n) = £ для
n n
v v '
n2
/с = 1,2, ...,n2, xj^ = 0 для к > n2\ x^ ^ ^ для всех к, следовательно, х*.7^ —► 0 равномерно относительно fcEN, однако p(x^,0) =
= (^2 * ^2)^ — т- е- 0.
1.20. Действительно, р(хп,х) может стремиться к нулю в том и только том случае, если начиная с некоторого номера п хп — х.
1.21. Пусть Хп —* х. Это значит, что для любого е > 0 найдется такое натуральное JV, что для всех п > N р(хп,х) < §. Пусть т > N. Тогда р(хп,хт) ^ р(хп,х) + р(х,хт) <§ + §=£, что и означает фундаментальность последовательности {xn}^Li .
1.22. Пусть последовательность {хп}^! фундаментальна. Найдется натуральное число N такое, что p(xm,x;v) < 1 при т > N. Обозначим М = шах р(хп,х^). Тогда {xn}J£Li С B[xn, М + 11, что согласно опре- делению и означает ограниченность.
203


1.23. Пусть последовательность {жп}^=1 фундаментальна, {xnk}T=i С {xn}S°= 1, хПк —► х при к -+ оо. Тогда /о(жп,ж) < p(:rn,Xnfc)+ H-p(xnfc, х) —* 0; первое слагаемое стремится к нулю при п —► оо и к —► оо. в силу фундаментальности последовательности {жп}5£=ь второе — в силу сходимости Хпк —► х при к —► оо.
1.24. 1. Полнота пространств lp (1 ^ р < -Ьоо). Пусть {x^}£Li — фундаментальная последовательность элементов пространства 1Р:
Из (10.2) следует, что при любом к £ N числовая последовательность
пределов последовательность х = (жьжг, • • • )• Теперь надо установить два факта: а) х € 1Р и б) р(а^п), я) —* 0.
Перейдем в (10.3) к пределу при га —► оо (при этом ЬМ - произвольны, n > iV). В итоге получим
оо
(10.1)
fc=l
Из последнего неравенства следует, что при всех к € N
(10.2)
и для любого М £ N
м
(10.3)
фундаментальна в R. В силу полноты метрического пространства R при каждом к £ N существует предел lim Составим из этих
м
к=1
, V
Ввиду произвольности М это означает, что ряд — хЦр сходится
fc=i
и
204


Далее, с помощью неравенства Минковского и соотношений (10.1) и
(10.4) 	при любом М G N получаем
/ м \р/м \р
(5Z iXfc |рJ = [J2 \Хк - xfcn)+*fcn) П ^
(м \p / м \p /00 \ 1
X) Iх* - 4n) ip J + (Xj i** ipJ ^e+ (51 ixfc ipJ
< +00.
/00 \ p
Таким образом, ряд I 22 \xk\pJ сходится, т. e. ж G /p, a (10.4) означает,
что р(ж^п\ж) < £, если n > iV, т. e. p(x^n\x) —► 0 при n —► 00.
2. Полнота пространства ТП — Zqc • Пусть {x(n)}£Li - фундаментальная последовательность элементов из /оо, т. е.
|4П)|<К„, п,ке N, (10.5)
(Ve > 0) (ЭЛТ € N) (Vn,m > ЛГ) (p(x(n),z(m)) < |), откуда при всех к G N
i4n)-4m)i<f- (10.6)
Это неравенство означает, что при каждом к G N числовая последовательность фундаментальна в R, т.е. существует Хк = Итж*.п\ Соста¬
вим из этих пределов последовательность х = (ж1,жг, • • • )•
Надо доказать утверждения: а) ж G /оо, и б) ж^ —► ж в /оо при п —► оо. Устремим в (10.6) га —► оо. В итоге придем к неравенству
|4П) -я*К | < е. (Ю-7)
которое справедливо при п > N и всех fc G N.
Зафиксируем п > N. Не ограничивая общности, можем считать, что £ < 1. Из (10.5) и (10.7) получаем (п фиксировано!)
|Zfc| < IХк -а4П)| + |4П)| ^ Кп + 1,
т.е. ж G /оо*, следовательно, а) доказано.
Из (10.7) видим, что sup (ж^^ — ждс | ^ § <£ при n > N, т. е. р(х^п\х) < £
к
при таких п. Этим доказано утверждение б).
3. Полнота пространства со. Пусть {ж^}£^1 - фундаментальная последовательность элементов из со, т. е. для всех п G N
х0 ПРИ к —* оо (10.8)
205


(Ve > 0) (ЭЛГбК) (Vn, m > N) (р(ж(п),z(m)) < |).
Это значит, что sup | < §, т. е. при всех к € N
к
i4n)-4m)i<f- (ю.9)
Неравенство (10.9) означает, что при каждом к G N числовая последовательность фундаментальна в R. Так как R — полное пространство,
то при каждом fc € N существует предел
lim xln).
n—► оо
Составим из этих пределов последовательность а; = (xi,T2,.. •)• Теперь осталось доказать два утверждения: а) х € со, и б) —► х в со при п —► оо.
Переходя в (10.9) к пределу при га —> оо получим, что при всех /с G N и п> N
|х^п)-ж^к|<е (10.10)
Зафиксировав п > JV, найдем такое if G N, что при fc>tf |х'П>| <£,
ni < |xfc -4n)i + i4n)i <2е
Значит, Хк —► 0 при к —► оо, т. е. ж G со; этим доказано утверждение а).
Из (10.10) следует, что sup|:r*.n) — ж*.| ^ § < е, т. е. р(а^п\ х) < е при
к
п > N. Этим доказано утверждение б).
4. 	Полнота пространства с. Пусть {ж^}5£=1 фундаментальная последовательность элементов из с, т. е. при всех n Е N
4П) - С(п) (к - оо) (10.11)
(Ve > 0) (3N G N) (Vn,m > ЛГ) (р(х(п),ж(тп)) < |).
r(n) ~(™)
Это значит, что sup — х^п)\ < §, т. е. при всех к G N
к
\х[п)-х^Ке/2. (10.12)
Неравенство (10.12) означает, что при каждом k G N числовая последовательность {ж*.7^ }^Li фундаментальна в R. Так как R — полное пространство, то при каждом к G N существует предел
Xk== Ит ж[п).
71—►ОО 206


Составим из этих пределов последовательность х = (х\, ж2,.. .)• Теперь осталось доказать два утверждения: а) х Е с, и б) ->хвс при п —► оо, Перейдем в (10.12) к пределу при m —* оо. В итоге при всех к Е N и п> N
|а4п) - а:*.| ^ | < е. (10.13)
Так как неравенство (10.12) справедливо при всех натуральных к, то устремив в нем к —► оо, получим ^ | < £. Следовательно, числовая последовательность фундаментальна в К, т. е. существует
предел
lim £(п). (10.14)
п—юо
Таким образом, найдется такое iVi Е N, что при всех п > N\
|£(п) _ £| < £. Зафиксировав п > таx{7V, TVi}, найдем такое X Е N, что
при всех к > К |xj^ — < е. Тогда
I** - Ж I** - 4П)1 + l4n) - ?(П)1 + 1^(П) - €1 < Зе,
т. е. Хк —► £ при к —► оо. Значит, ж £ с, и утверждение а) доказано.
Из (3) видим, что sup |ж^ — a?fc| < е, т. е. р(х^п\х) < е при п > N. Этим
к
доказано утверждение б).
5. 	Полнота пространства s. Пусть {ж^}£^1 С s — фундаментальная последовательность; найдем номер п\ такой, что
р(х^П1\х^) < \ для всех п > п\\ затем найдем номер п2 > п\ такой, что р(х^П2\х^) < ^ Для всех п > п2 и т.д. В итоге построим возрастающую последовательность номеров Пк > пк-1 > • • • > п\ такую, что р(х^Пк\х^) < для всех п > Пк. Рассмотрим подпоследовательность }£°=1 С {*<п)}~ ! И ряд
ОО оо сю I (nfc+i) (rife) I
J2p(x^ >,*<»*>) = 53531 J**
fc=1^2'l + i*jnfc+l)-*'-nfc)|
По построению члены этого ряда меньше членов геометрической прогрессии со знаменателем следовательно, ряд сходится (равномерно относительно всех параметров). Следовательно, при каждом j е N сходятся ряды
оо | (nfc+l) _ (nfc)i оо
Е'Хз хз I A Vlr(nfc+l) -r(nfc)l
1 _L \r(nk+l) T(rik) I 2^-' j j
k=1 J- -1- Fj — Xj I k=l
(второй в силу выполнения неравенства \t ^ при достаточно малых £). Сходимость второго ряда влечет абсолютную сходимость при каждом
207


j £ N ряда x(ni) -1- (xjnk+1^ — > последовательность частичных
k=1 '
сумм последнего ряда есть последовательность j-ых координат выделенной нами подпоследовательности. Следовательно, при каждом j £ N существует предел Xj = lim х\Пк^; составим последовательность х = (xi,x2,...) £ 5 из
к—►оо J
этих пределов. В силу равномерной относительно к сходимости ряда
Лпк)
^ 1
р(х(Пк\х) = ^2 27 -
л —1 А
,-=1 - * + \х(рк) -х,\
ОО
(он мажорируется прогрессией ^2 можно устремить к —► оо; в итоге
з=1
получим, что р(х^Пк\х) —► 0. Так как сходимость подпоследовательности фундаментальной последовательности влечет сходимость всей последовательности, то р(х^п\х) —► 0. Значит, 5 — полное пространство.
1.25. 	Докажем полноту пространства с как подпространства /оо- Пусть х* е 1<х> — предельная точка с и е > 0 произвольно. Найдется последовательность С с, х^ —► ж* в пространстве /оо- По определению
пространства с существуют = lim Так как сходящаяся последо-
к—+ оо
вательность фундаментальна, то найдется натуральное N такое, что для всех п,т > N и к € N выполняется неравенство |xj^ — х^\ < §. Перейдя в этом неравенстве к пределу при к —► оо, получим неравенство |£(п) _ £(™)| ^ | < £ в силу принципа сходимости существует £ = lim
п—► оо
Так как сходимость в пространстве /оо есть равномерная покоординатная сходимость, то найдется натуральное JVi такое, что для п ^ N\ и всех к £ N выполняется неравенство \х^ — хЦ < §; найдется также такое натуральное ЛГ2, что для N2 выполняется неравенство — £| < |. Пусть М = max{iVi, N2}. Найдем такое К £ N, что для к > К |ж£ — х[м^\ < |. Тогда при к > К
1*г \xi - х[м)\ + \х[М) - ^(м)| + -?| < £ + £ +1 = е
Значит, £ = lim х%, т. е. х* £ с; это означает замкнутость с в loo- По теореме
к—*ос
1.1 с — полное пространство.
Полнота со как подпространства /оо получается как и выше (теперь £(") =| = 0.)
Докажем полноту со, считая его подпространством с. Пусть х* £ с — предельная точка со и е > 0 произвольно. Найдется последовательность с со, х(п) —► х* в пространстве с. По определению пространства со *<"> —► 0 при к —► оо и всех п £ N. Пусть £* = lim ж£; надо доказать,
к—*оо
208


что £* = 0. Найдутся натуральные N и К такие, что — хЦ < § для
всех к £ N и \х*К — £*| < §. Таким образом,
|£*| ^ |£* ~ х*к\ + |хк - х^\ < - + - = е.
Ввиду произвольности е это означает, что £* = 0, т. е. х* £ со, со замкнуто и остается сослаться на теорему 1.1.
1.26. Так как замыкание 91 есть наименьшее замкнутое множество, содержащее 91, то утверждение немедленно следует из теоремы 1.1 и определения пополнения.
1.27. В обозначениях примера 2 получаем
p{V{x),V{y)) = 53|(Аг)< - (АуЦ = 53
Ук)
^ ia<fci ■ X)ixfc ~ук\= а'р(х'У)’
к-1 г= 1 ^ i=l k=1
n
где a = max 22 \aik\- Таким образом, V — сжатие, если а < 1, т. е. если выполняются неравенства
53|aifc|<l для к = 1,2,... ,п.
г=1
1.28. 	В обозначениях примера 2 получаем
^ ^ Q>ik(%k Ук)
р(я*>. рш=fsi(Ac). - (л»),|м ’=
s(§((g'““r)! (£'—*r)!)T
fc=l
1
У
-(t(t
\i=l U=1
p(x,y)-
Таким образом, V сжатие, если
“"(sC?,1-1*)5)
< 1.
1.29. 	Пусть выполняется условие (1.24). Не ограничивая общности, можно считать, что Ьц > 0, i = 1,2,... ,п (ибо в случае выполнения при
209


каком=л ибо г противоположного неравенства, соответсвующее уравнение можно умножить на —1).
Перепишем систему Вх = с последовательно в виде
О = — Вх + с, 0 = —ХВх -f- Ас А > О х = х — ХВх + Ас, х — Ах + 6, где Ь = Ac, A = J — ХВ. Условия (1.21) сведутся к условиям
Параметр А нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие
h(X) = max Ы(Х) < 1;
при этом надо взять A =argmin h(X).
График функции у = hi(X) представляет собой "сумму’’двух ломаных (ср. с рис. 2)
Таким образом, при таком выборе параметра А будет выполнено условие сжатия (1.21).
Если выполняется условие (1.25), то рассуждая аналогично, добьемся выполнения условия (1.23).
1.30. 	Отметим сначала, что все неподвижные точки отображения V являются также неподвижными точками любой степени этого отображения:
Пусть п > 1 и Q = Vй — сжимающее отображение. По теореме Банаха Q имеет в Ш единственную неподвижную точку х : Qx = х. Так как
QP = ,рп+1 — то QV(x) = VQ(x) = V(x), т. е. V(x) — неподвижная точка отображения Q. В силу единственности неподвижной точки этого отображения V(x) = х. Значит, х — неподвижная точка отображения V.
Предположим, что V имеет другую неподвижную точку у. Тогда, как было отмечено выше, у является также неподвижной точкой Q = Vй и ,
hi(А) = |1 - А&гг| + А^ \bik\ <1, г = 1,2,... ,п.
Пусть
Искомая точка минимума найдется из уравнения
1 — Ad = \D — 1, А-»^, « = ЦЛ-) = г^<1.
Vmx = Vm~1'Px - Vm~1x = ... =Vx = x.
210


значит, у = х. Этим доказана единственность неподвижной точки отображения V.
1.31. 	Указание. Убедитесь, что счетным всюду плотным в каждом из этих пространств множеством является множество финитных (т. е. имеющих лишь конечное число отличных от нуля компонент) последовательностей с рациональными компонентами:
(п зависит от х).
1.32. Согласно теореме 1.6 надо указать несчетное множество М С /оо, между любыми двумя точками которого расстояние не меньше некоторого положительного числа. Таким множеством является множество М последовательностей, компоненты которых — нули и единицы. Каждой последовательности х G М можно поставить в соответствие подмножество X С N, элементы которого — номера компонент ж, равных 1; и наоборот, каждому подмножеству X С N можно поставить в соответсвие последовательность х G М такую, что Xi = 1 для i G I, ж* = 0 для г £ X. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством М и множеством всех подмножеств натурального ряда, которое, как известно, несчетно. Для любых двух элементов ж, у G М, х фу р(х, у) = 1.
1.33. Функции из Ф имеют представление
t'
Взяв для произвольного £>06= -щ, получаем: если \t' — t"\ < 6, то \x(tf) — x(t")\ < £. Значает, множество Ф равностепенно непрерывно.
По теореме Арцела множество Ф относительно компактно.
Аксиомы метрики. Шары. Сходимость. Замкнутость
D = {х = (я1,...,жп,0,0...) : Xi G Q}
t
а
Из этого представления следует
t
|х(<)| = х(а) + / x'(s) ds ^ Mo + Mi (6 a), te[a,b].
а
Этим доказана равномерная ограниченность Ф. Далее,
t"
\x(t') — x(t")\ = \x'(s)\ds <Mi|t' — t"\, t\t" G [a,6].
211


1.34. Для того, чтобы выполнялась аксиома тождества надо, чтобы функция /(•) была строго монотонной на R. Функции а)-в) этому условию удовлетворяют, функции г), д) — нет.
1.35. Функция /(•) должна удовлетворять условиям
/(0) = 0, /(ж) > 0 при х > 0, f(x + у) ^ f(x) + f{y) (ж, у ^ 0).
Функция /(ж) = arctgx этим условиям удовлетворяет.
Действительно, рассмотрим функцию
д(х, у) = arctg х + arctg у — arctg (х 4- у) при ж, у ^ 0.
Так как д(0,у) = 0 {у > 0), 8я^у) = ^ 0 при х,у ^ 0, то
<7(*> 2/) ^ что и означает выполнение требуемого неравенства.
1.36. Да. Выполнение аксиом метрики проверяется так же, как в примере 5.
1.37. Да, согласно 1.36, так как такие функции ограничены на R.
1.38. Да (см. примеры 4 и 5).
1.39. Да. Аксиомы тождества и симметрии очевидны. Для доказательства неравенства треугольника сначала, как в примере 4, получим неравенства
М*) ~ У(*)1 < И*) ~ *(*)! , !*(<) -2/(*)1 <
1 + \x(t) - y(t)| " 1 + |z(t) - z(t)| + 1 4-1z(t) - y(t)\ "
max|z(t) - z(t)| ~ »(01
< \t\^k |t|<fc ^
1 + ~ 1 + '
затем в левой части перейдем к максимуму по £ £ [—к, к], умножим обе части на и далее завершим, как в примере 4.
1.40. Да. Рассуждения близки к рассуждениям в 1.39.
1.41. Да. Рассуждения аналогичны приведенным в 1.39.
1.42. Да (см. примеры 4 и 5).
1.43. а) Да, выполнение аксиом метрики очевидно; Ь) да. Выполнение аксиом тождества и симметрии очевидно. Докажем справедливость неравенства треугольника. Если два из чисел га, п,р совпадают, то проверка этого неравенства тривиальна. Пусть все три числа различны. Тогда
р(п,р) + р(р,т) = 1+ ( —+ 1 + ) > 1 + * ■
\п + р р + т) т -+■ п
212


1.44. Да; равенство р(п, га) = 0 выполняется только при n = ra-f +2pik (к € Z), что возможно только при к = 0, т. е. при га = п. Проверка аксиомы симметрии и неравенства треугольника тривиальна.
1.45. Да. Выполнение аксиом тождества и симметрии легко усмотреть прямо из определений. Остановимся подробнее на проверке неравенства треугольника.
а) 	Воспользуемся возрастанием функции (см. пример 4).
Mr - р(д’У) < P(X’Z)+P(Z>V) <
d(X’У) 1 + р(х, у) " 1 + р(х, Z) + p(z, у) "
р(х,*)
)-) + TTl&)=d^z) + d(z-v)''
1 + р(х
б) d(x, z) + d(z, у) = ln(l+ р{х, z)) + In (1+ p(z, у)) =
= In (1 + p(x, z) + p(z, y) + p(x, z)p(z, y)) Js
^ In (1 + p(x, z) + p(z, y)) ^ ln{ 1+ p(x, y)) = d(x, y);
в) 	здесь надо рассмотреть различные случаи:
1) Р(х,у) ^ 1, p(x,z) < 1, p(z,y) ^ 1; тогда
d(x, у) = р(х, у) < р(х, г) + p{z, у) = d(x, z) + d(z, у);
2) р(х, у) ^ 1 и при этом р(х, z) < 1, p(z, у) > 1 или р(х, z) > 1, p(z, у) ^ 1; в этом случае
d(x, z) + d(z, у) = р(х, z) + 1 > р(х, у) = d(x, у) или
d(x, z) + d(z, у) = 1+ p{z, у) 3* р(х, у) = d(x, у);
3) р(х,у) < 1, p(x,z) > 1, p(z,y) > 1; тогда
d(x, у) = р(х, у) < 1 < 2 = d{x, z) + d(z, у);
4) р(х,у) > 1, p(x,z) < 1, p(z,y) < 1; теперь
d(x, 2) + d(2, у) = /э(х, г) + p(z, у) ^ р(х, у) > 1 = d(x, у);
5) р(х, у) > 1 и при этом р(х, г) < 1, />(г, у) > 1 или р(х, г) > 1, p(z, у)<1; в этом случае
d(x, z) 4- d(z, у) = р(х, z) + 1 > d(x, у) или
d(x, г) + d(z, у) - 1 + p(z, у) 3* d(x, у); 213


6) 	р(х,у) > 1, p(x,z) > 1, p(z,y) > 1; тогда
d(x, у) = 1 < 2 = d(x, z) + d(2, y).
г) это обобщение примеров а) и б). Так как h(0) = 0, h(t) > 0 при t > 0, то d(x,y) = h(p(x, у)) = 0 в том и только том случае, если р(х,у) = 0, т. е. если х = у. Далее
d(y, х) = h(p(y, х)) = h(p(x, у)) = d(x, у), d(x, у) = h(p(x, у)) <
«£ h(p(x, z) + p(z, у)) < h(p(x, z)) + h(p(z, y)) = d(x, z) + d(z, y).
д) в силу 1.35 функция h(t) = arctg t удовлетворяет условиям предыдущей задачи.
1.46.Согласно определению этих пространств (см. рис.9)
В\ = SR|[0,1] = {(xi,x2) : X? + xl ^ 1};
В2 = BR2[0,1] = {(xi,x2) : |xi| + |x21 ^ 1};
Вз = 5^(0,1] = {(xi,x2) : max{|xi|, |x2|}^ l}.
1.47.Шар B[0, г] пространства C[0,1] — множество непрерывных функций, графики которых целиком лежат в прямоугольнике [0,1] х [—г, г]. Шар Б [со, г] пространства С[а,Ь] — множество непрерывных функций, графики которых целиком расположены между кривыми х = co(t) — г, х = co(t) 4- г
Рис.9 214


1.48.Если г < 1, то В(х,г) = В[х,г\ = {ж}; если г = 1, то В(х, 1) = {ж}, В[х, 1] = Ш1; если г > 1, то В(х, г) = 2?[ж, г] = 9Я.
1.49. Пусть х Е с1В(хо,г)\ если х 6 £(жо,г), то ж € В[хо,г\; если ж — предельная точка В(хо, г), то существует последовательность точек этого шара, сходящаяся к ж, р(жп,г) < г (n Е N), жп —► ж. Переходя в этом неравенстве к пределу, получим, что р(ж,г) ^ г, т. е. ж Е Б[жо,г]. Таким образом, доказано, что с1В(хо,г) С В[хо,г].
Второй случай предыдущего упражнения показывает, что это включение может быть строгим, так как в этом случае
d В(жо, 1) = В(жо, 1) = {ж0} ф В[жо, 1].
1.50. Пусть Wt — круг радиуса 2, с центром в начале координат (с метрикой пространства №%), В — круг радиуса 3 с центром в точке (2,0). Тогда В П Ш шар пространства Ш радиуса 3, целиком лежащий в шаре радиуса 2, который совпадает с этим пространством (сделайте рисунок).
1.51.В разделе 1.2 было показано, что сходимость в пространствах С[0,1] и М[0,1] есть равномерная сходимость; а) нет; последовательность поточечно сходится к разрывной функции x(t) = 0 при 0 ^ t < 1, ж(1) = 1; следовательно, сходимость неравномерная; б) нет; поточечный предел — разрывная функция x(t) = 0 при 0 < t < 1, ж(0) = 1; в) да; max |жп(£)| =
e-i
— xn{h) = > 0, т. е. жn(t) =4 x(t) = 0; г) да; жn(t) =3 ж(£) = 0, так как
п
max \tn—tn+1|= max (tn—tn+1)=xn(—~~r)=(——:* —“T “ • 0=0;
te[o,iy 1 te[ o,i] n + 1J \n + lj n +1 e
д) 	да; £ =4 x(t) = 0; e) нет; жn(t) —► 0 при каждом t Е [0,1] однако, max жn(t) = | 0; сходимость неравномерная; ж) да; max xn(t) =
*e[o,i] z tG[0,l]
= ^-*0, Xn(t) =t x(t) - 0.
В пространстве M[0,1] ответы те же.
Последовательность из упражнения а) сходится равномерно в пространстве С[0, 1 — <5], а последовательности из б) и е) — в пространстве C[S, 1] при любом сколь угодно малом S > 0.
1.52. а) нет; последовательность поточечно сходится к разрывной функции, следовательно сходимость не может быть равномерной; б) нет, по
той же причине; в) да; max.\zn(t)\ = г —► 0, zn(t) =4 0; г) нет;
te [о,1] п + 1
max |itn(£)| = \/n —► +оо.
£€[0,1]
215


1.53. В разделе 1.2 было показано, что сходимость в пространствах 1Р (1 < р < -f-oo) влечет покоординатную сходимость. Покоординатный предел х = ^1,...-^=,-^==,.. не принадлежит пространствам Zi и
/ос \*
h\ х Е /3, р(х^п\х) = I ]Г 1 ^ (как остаток сходящегося
ряда); следовательно, в пространстве /з последовательность сходится; такой же ответ для пространств /оо, с, со так как в этих пространствах
р{х(п),х) = sup|z£n) -Xk\ = -7=f -> о (п -► 0).
к
1.54. а) Только в пространстве s. Покоординатный предел
х = (1,2, . к + 1,...)
не принадлежит остальным пространствам. В пространстве s
оо , (п) |
= Е h ,^(.Т Г°
к=п+1 2 1 + К -**1
при п —> оо (как остаток сходящегося ряда);
б) 	покоординатный предел х = (1,1,...,1,...) принадлежит только пространствам с, /оо, 5; в пространствах с, /оо
р(ж(п),а;) =sup|4n) -хк \ = 1, значит, в этих пространствах сходимости нет. В пространстве s
(п)
Г4 7
при 72 —► оо (как остаток сходящегося ряда). В пространстве s последовательность сходится;
в) покоординатный предел х = (0,0,...) принадлежит всем пространствам; в пространствах 1Р
/ \ 1
р(х(п\х) = (n~J = -^х - 0 (п - оо)
только при р > 1; в пространстве h последовательность не сходится, при р > 1 — сходится. В остальных пространствах последовательность сходится (покажите это!);
г) покоординатный предел тот же. В пространствах /р
р{х(п\х) = (п2 ~) Р = -* О (п -» оо)
216


только при р > 2; при р ^ 2 сходимости нет, при р > 2 последовательность сходится. В остальных пространствах последовательность сходится;
д) покоординатный предел тот же. В пространствах 1Р
/ \ 1
р{х{п\х) = (п • -L) Р = —Ц- - О (п оо),
так как а > 1, ^ ^ 1; последовательность сходится во всех пространтсвах 1Р. В остальных пространствах последовательность сходится;
е) покоординатный предел х = (е, е2,..., efc, ek+1,...) принадлежит только пространству s. В этом пространстве
р{х{п\х)= о
к=п+1
при п —► оо (как остаток сходящегося ряда);
ж) покоординатный предел х — (е-1, е-2,..., е~к, е~^к+1\ ...) принадлежит всем пространствам и сходится во всех пространствах; в пространствах 1Р
р{х^\х) = ( f; е~рп
\fc=n-|-l
при всех р\ в пространствах со, с, /оо
p{xSn\x) = sup|xj^ — Хк\ = е~(п+1) —► 0 (п —► оо);
1
сходимость в пространстве s показывается как в предыдущем случае.
1.55. Пусть х = (xi,x2,...). р(х(п),х) = £ 0 при
к=п+\
п —► оо (как остаток сходящегося ряда).
1.56. Для а), б), г), д) см. пример из 1.53; для в)
*<"> = (.,о,о,...).
1.57. Пусть х G А; тогда max |х(£)| < 1 (если бы этот максимум равнялся 1, то по теореме Вейерштрасса существовала бы точка t* Е [ОД]? x(t*) — 1? что противоречило бы условию). Возьмем
е < 1 — max |ж(£)| и пусть у € В(х,£). Тогда для всех
t € [0,1] |y(i)| ^ |y(t) - x(t)| + |х(*)| < е + ^max |ж(£)| < 1.
Значит, у £ А, В(х, е) С А, т. е. А — открытое множество.
217
О (ть —► оо)


1.58. Если М открыто в R, то Ам открыто в С[а,Ь]. Пусть х Е Ам• По теореме Больцано - Коши все значения x(t) попадут в некоторый открытый промежуток. Не ограничивая общности, можно считать, что с < x(t) < d (t Е [а, b]). Возьмем г < min{d— maxx(t), min x(t)—с}. Рассуж-
£G[a,b] £G[a,b]
дая как в 1.57, видим, что В(х,е) С Ам•
Если М замкнуто в R, то Ам замкнуто в С[а, Ь]. Пусть х предельная точка Ам • Найдется последовательность {xn}J?Li С Ам, хп —»х. Это значит, что xn(t) =3 x(t). Так как xn(t) Е М при каждом t Е [а,6], то в силу замкнутости М x(t) Е М при каждом t Е [а, 6]. Следовательно, а; Е Ам, т. е. Ам замкнуто.
1.59. В обозначениях 1.58 Фх = Амц где М\ = [с, d] замкнуто в R; Ф2 = Ам2> где М.2 — (с, с?) открыто в R; согласно 1.58 множество Ф1 открыто в С[а,6], а множество Ф2 — замкнуто.
Пусть х* Е Фз, т. е. x*(t) < д(£) для всех t Е [а, 6]. По теореме Вейерштрасса о достижении точных граней найдется а > 0 такое, что g(t) — x*(t) ^ а > 0 для всех t Е [а,Ь]. Это неравенство означает, что шар J3(x*, j) целиком лежит в Фз, т. е. Фз — открытое множество.
Пусть х* — предельная точка множества Ф4 и хп Е Ф4 (п = 1,2,...), хп —► х* (п —► оо). Предельный переход в неравенстве xn ^ g(t) приводит к неравенству х*(£) ^ g(t), т. е. ж* Е Ф4; значит, множество Ф4 замкнуто.
1.60.Множество М\ не является открытым. Пусть
= ^>0
произвольно мало; найдется натуральное п£ такое что ^ £ < 2™е-Т > положим Хк = ^ {к ф пе), Хпе = “2^7, X = (xi,x2,...) (£ Ml); тогда р(х*,х) = gnP-i > 65 таким образом, шар сколь угодно малого радиуса с центром в точке х* Е Mi содержит точки, не принадлежащие Mi; значит точка х* не является внутренней точкой множества Mi, и значит, Mi, не является открытым.
Так как сходимость в пространстве /2 влечет равномерную покоординатную сходимость (см. п. 2. 3.), то доказательство замкнутости множества М2 осуществляется аналогично доказательству замкнутости множества Ф4 в 1.59.
п п
1.61. Так как последовательность xn(t) = 22 7ГГ равномерно на [а, 6]
fc=1
сходится к непрерывной функции x(t) = е*, не являющейся многочленом (х — предельная точка множества многочленов, не принадлежащая этому
218


множеству), то множество многочленов не является замкнутым в пространстве С [а, Ь].
Функции xn(t) = yjt2 + ^ при всех (п Е N) непрерывно дифференцируемы на [—1,1]. Так как
то xn(t) =4 x(t) = |£|. Значит, х — предельная точка множества непрерывно дифференцируемых на [—1,1] функций, при этом х сама не является таковой. Следовательно, множество непрерывно дифференцируемых функций не является замкнутым в пространстве непрерывных функций.
Согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса для каждой х Е С[а,Ь] найдется последовательность многочленов, равномерно на [а, Ь] сходящаяся к х. Следовательно, множество многочленов плотно в пространстве С [а, 6].
Так как многочлены — непрерывно дифференцируемые функции, то и множество непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций плотно в пространстве С [а, Ь].
Заметим, что если А С 9Л, А ф Ш плотно в Ш1, то А незамкнуто в Ш1, так как в этом случае с/ А ф А. Согласно этому замечанию мы снова видим, что рассматриваемые выше множества не являются замкнутыми в пространстве непрерывных функций.
Пусть х Е С [а, Ь] не является кусочно линейной функцией. В силу равномерной непрерывности этой функции для произвольного е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любого разбиения {£/е}/с=о отрезка [а, 6], диаметр которого меньше S, выполняется неравенство usk(x) < е, где ajk(x) — колебание функции х на отрезке [£fc_i,tfc]. Построим последовательность кусочно линейных функций
t Е [tk-1, tk), к = 1,2,... п — 1, t Е [£п-1, tn] при к = п, п — 1,2,... Так как начиная с некоторого п будет выполняться неравенство |х(£) — £n(t)| ^ £, то xn(t) x(t) на [а, Ь] или хп —5► х в С [а, 6]. Это означает, что х — предельная точка множества кусочно линейных функций, которая не принадлежит этому множеству. Значит, множество кусочно линейных функций незамкнуто. Кроме того, мы показали, что любая непрерывная функция может быть с любой точностью приближена кусочно линейной
X n(t) = x(tk-1) +
x(tk) x(tk-\) ^ ^ ^
219


функцией; это означает плотность множества кусочно линейных функций в пространстве С [а, Ь].
ТУ . п\ ■ I дляО< |t| s£ 1,
Рассмотрим функцию у(t) = < Как известно
[ 0 для t = 0.
(см., напр. [7, с. 16)), у — непрерывная функция, имеющая бесконечную полную вариацию. Рассмотрим последовательность
*.«>-{ f дл” Т,5*1'
t 0 для \t\
При каждом п = 1,2,... хп — непрерывная функция ограниченной ва- риации; так как |a:„(t) - y(t)| < 5^1 °> 10 ^ т> е- хп У
в С[—1,1]. Таким образом снова имеем предельную точку (у) множества непрерывных функций ограниченной вариации, не принадлежащую этому множеству. Множество непрерывных функций ограниченной вариации незамкнуто в пространстве С [о, 6].
Так как непрерывная кусочно линейная функция является кусочно монотонной, т. е. имеет конечную вариацию, то из сказанного выше получаем, что множество непрерывных функций ограниченной вариации плотно в пространстве непрерывных функций.
1.62. Пусть х Е /2, £ > 0 произвольно и натуральное N таково, что £ \хк\2 < е2. Тогда
k=N+1
/ / 00 X = (Ж1,Ж2, ... ,XN,0,0, ...) Е h и pi2(x,x')=( ^2 \Хк\2
\k=N+1
Следовательно, 1\ плотно в /2. Согласно замечанию к 1.61 1\ незамкнуто в /2- Это можно показать и непосредственно: х = (1, ..., |,...) — пре¬
дельная точка множества 1\ в пространстве fe, но х £ h.
1.63. Множество 1Р плотно в пространстве со (и, следовательно, незамкнуто). В самом деле, для любого х € со и е > 0 найдем такое N £ М,что \хп| < £ для п> N. Тогда х' = (xi,х2,...,хлг, 0,...) Е1Р и рСо(х,х') < е, что по определению означает плотность множества 1Р в пространстве cq.
Докажите незамкнутость 1Р в пространстве со непосредственно .
1.64. Указание. Проведите рассуждение как в 1.62 и 1.63.
1.65. Множество Q плотно в пространстве R и, следовательно, незамкнуто; в пространстве (Q, р) множество Q замкнуто (так как содержит все рациональные предельные точки).
220


1.66. Множество А замкнуто в пространстве (Q, р) (так как содержит все рациональные предельные точки); в пространстве К. множество А незамкнуто; множество А открыто в пространстве (Q, р); в пространстве R множество А не является открытым, так как не содержит внутренних точек.
Полнота. Сепарабельность. Категории
1.67.а) Пусть 771 > тг, g(t) = tn — tm; функция g(t) достигает максимума
1
на отрезке [0,1] в точке t* = ( — ) ттг — тг . Поэтому
\7П/
71
(72 \ ТП, — 77,
J m п * о,
771/ 71
так как ап,2п =
б) 	пусть тп > тг, #(£) = e~nt — e_mt; функция р(£) достигает максимума на отрезке [0,1] в точке t* — In —.
771 — 71
71
p(Xn,Xm) = ^тах^|р(£)| = р(£*) = 6п,т = 771 - 72 . ——- О,
так как 6п,2п =
1.68. 	а) Пусть тп > 7г; тогда
p(xn,xm) - max |xn(£) - xm(t)| = max (xn(£) - Xm(t)) =
*€[0,1] *€[0,^]
= Хп (-) = 1 - - ^ О,
\т) т
так как эта последовательность имеет частичный предел \ (при тп = 2тг); последовательность не фундаментальна (и, следовательно, не сходится);
б) 	пусть тп > тг; тогда
р(Хп,Хт) = ^max |xn(£) - Xm(t)\ =
= maxfm — тг, Хп ( — | = m 0П} = тп — п -*• 0;
\7П/ 771
последовательность не фундаментальна (и, значит, не сходится);
в) 	пусть тп > тг; тогда
771 — п 1 1 тг
p(xn,xm)= max \xn(t) — Xm(t)\ =
te[од] тгг(п-f 1) тг + 1 rn n + 1
221


при n,ra —► оо; последовательность фундаментальна (т.е. сходится);
г) 	пусть т > п; тогда
р(Хп,Хт) = max IXn(t) - Xm(t) I = y/n (1 - —) 0;
te[o,i] \ mJ
последовательность не фундаментальна (т.е. не сходится).
1.69. 	В примерах а), б) — нет, в примере в) — да. а) Рассмотрим последовательность Хп = Щ пусть п > га;;
/ \ , п — т
Р\Хп,Хт) = arctg п — arctg га = arctg <
1 + ran
п — т , 1 ^ 1 _
< arctg = arctg arctg ► 0,
тп т п
значит, последовательность хп = п фундаментальна. Предположим, что
хп —► a Е Е. Однако,
р(хп,а) = | arctg п — arctg а\
п — а
arctq
У 1 + ап
arctg т~т ф- 0. а
Итак, фундаментальная последовательность не имеет предела, значит пространство не является полным. Пополнением является расширенная числовая прямая Е U {—оо, Н-оо}.
Для этого пополнения удобнее другое описание. Метрическое пространство (Е, р) изометрично пространству ((— f, j) , d) с метрикой d(x, у) = \х—у\\ изометрия ip(x) = arctg х; пополнение — пространство ([— ^, d) ;
б) покажите, что последовательность хп = —п фундаментальна, но не имеет предела. Пополнением является расширенная числовая прямая Е U {—оо, -foo};
в) пусть {xn}S°= 1 — произвольная фундаментальная в метрике р последовательность. Это значит, что
0 ^ р{Хп j Хуух) — \хп | — |Хп Хт \ ’ \хп “Ь ХпХщ | )' |Хп Хщ | ^ 0*
Таким образом, последовательность {xn}5S=i фундаментальна в естественной метрике d(x, у) = \х—у\. Значит, существует a Е Е такое, что \хп—а\ —» 0. Но тогда и \х„ — а3 | —► 0. Следовательно, рассматриваемое пространство полное.
1.70.Обозначим через d(x,y) = \х — у\ «естественную» метрику на Е. Пространство (Е, d) — полное. Пусть /(•) — строго возрастающая непрерывная функция, р(х,у) = | f(x) — f (у) |. Докажем следующее утверждение: для того, чтобы пространство (Е, р) было полным, необходимо и достаточно. чтобы образ /(R) был замкнутым в пространстве (Е, d).
222


Достаточность. Пусть /(R) замкнуто в (R, d) и {xn}5JL i — фундаментальная в пространстве (R, р) последовательность. Это означает, что
р{Хп, Хт) = \f(xn) ~ f(Xm)\ = d(f(xn), /(xm)) ~> 0 (п, ГП —► ОО),
т. e. последовательность {/(xn)}5£=\ фундаментальна в (R, d). Так как это пространство полное, то существует у Е R такое, что d(f(xn),y) =
= |/(хп) — г/| —► 0; в силу замкнутости /(R) у 6 /(R). Поэтому найдется такое число х, что у = /(х). Таким образом,
0 «- d(f(xn),y) = If(xn) -у\ = |f{xn - /0*0)1 = р(хп,х), xn —► х
в (R, р), т. е. (R, р) — полное пространство.
Необходимость. Пусть пространство (R, р) полное, и у — предельная точка множества /(R) в пространстве (R, d). Существует последовательность
{Уп}п=г С /(R), уп -> у в (R, d), |уп - у\ -► 0.
По определению образа /(R) для каждого п Е N найдется хп такой, что Уп = /(хп), значит, |/(хп) — 2/| —► 0, т. е. последовательность {/(xn)}£Li — фундаментальна в (R, d) (как сходящаяся), а последовательность {xn}5£=i — фундаментальна в (R, р). Так как по условию пространство (R, р) полное, то найдется такое число х, что хп —► х в пространстве (R, р), т. е. |/(хп) — /(х)| —► 0. В силу единственности предела у = /(х), следовательно, у Е /(R). Значит, /(R) замкнуто.
Заметим, что образ строго возрастающей непрерывной функции есть промежуток; поэтому замкнутость /(R) эквивалентна равенству /(R) = R.
1.71.Да. Доказательство проводится по той же схеме, что и в 1.24 с использованием полноты пространства R (С) с естественной метрикой. Остановимся подробнее на доказательстве полноты пространства C(R) непрерывных ограниченных на R функций с метрикой р(х,у) = sup|x(£) — y(t)\
te r
(см. 1.36). Пусть {xn}n=i — фундаментальная последовательность из C(R). Это значит, что
(Уб > 0) (3N Е N) (Vn, т > N) fsup|xn(£) - xm(£)| < ~
\teR 2
Отсюда получаем, что при каждом t G R
|*»(t) - *m(*)| < (Ю.15)
т. е. при каждом t G R числовая последовательность {xn(£)}^Li фундаментальна в R и, значит, при каждом t Е R существует предел x(t) = lim xn(t).
п—юо
223


Переходя к пределу в (10.15) при m —► оо, получаем
(10.16)
Найдется М > 0 и п > N такие, что |жп(£)| ^ М для всех £ 6 R. Значит,
т. е. функция ж(-) ограничена на R. Перейдем к супремуму в (10.16):
Итак, xn(t) равномерно на R сходится к ж(£); по известной теореме анализа x(t) непрерывна. Это означает полноту пространства С(R).
В 1.39 непрерывность предельной функции следует из равномерной сходимости хп =4 ж(£) на отрезках [—к, к].
В 1.40 бесконечная дифференцируемость предельной функции следует
из равномерной сходимости х^ =3 ж^(£), к = 1,2,
Пусть в 1.41 {жгг}п=1. — фундаментальная последовательность. Такие же как в 1.24, 5 рассуждения приводят нас к равномерной в каждом круге \z\ ^ Гк сходимости xn(z) =4 x(z), откуда следует аналитичность х в каждом круге \z\ < Гк, и значит, в круге \z\ < г. Возможность предельного перехода при п —► оо под знаком ряда
ввиду его равномерной сходимости относительно п, приводит к сходимости р(жп,ж) —► 0 (п —» оо).
1.72. 	В пространстве из 1.43 а) последовательность хп = п (п = 1,2,...) фундаментальна так как
Однако для любого натурального х р(тг, ж) = | ^ — ^ | *>^7^0; простран¬
ство не является полным. Пополнение в этом случае есть N U {оо}, т. е. натуральный ряд, дополненный бесконечно удаленной точкой.
Пространство из 1.43 б) полное. В этом пространстве фундаментальными являются только стационарные последовательности, т. е. последовательности, у которых начиная с некоторого номера все члены повторяются: Хп = {ni,..., 71 гп,ж,ж,...}. Такая последовательность сходится: хп —> ж.
|ж(<)| < |х(<) - я„(£)| + |х„(£)| < | + м,
sup|x„(i) - x(t)| ^ ^ < е.
t£ R ^
р{Хп, Хт) — —► 0 (772,71 ОО).
71 771
224


Пространство из 1.44 полное, так как и здесь фундаментальными являются только стационарные последовательности, а они сходятся.
1.73. Да. Остановимся на примере а). Пусть {xn}S=i — фундаментальная в пространстве (9Jl,d) последовательность. Это значит, что d(xn, Хт) = = * О ПРИ п>т —► оо. Тогда и р(хп, Хт) —> 0 при гг, т —► оо, т.е.
последовательность фундаментальна и в пространстве (ffl,p). В силу полноты этого пространства существует х Е Ш такой, что р(хп,х) —► 0. Тогда и d(xn, х) —» 0. Этим полнота пространства (Ш, d) доказана. В примерах б),
в), г) и д) рассуждения аналогичны.
1.74. Шар — замкнутое подмножество полного метрического пространства, следовательно, по теореме 1.1 он сам является полным метрическим пространством.
1.75. Так 'как Co(R) С С(М), тб согласно теореме 1.1 достаточно доказать замкнутость Со (R) в С(М).
Пусть х предельная точка Со (К), хп —► х, хп Е Со(М) (n Е N), е > 0 — произвольно. В силу равномерной на R сходимости в пространстве С(Ш) найдется натуральное п такое, что |яп(£) — #(£)| < | Для всех t Е М. Зафиксировав такое гг, найдем М > 0, обеспечивающее неравенство \xn(t)\ < § при \t\ > М. Пусть |£| > М. Тогда
\x(t)\ ^ |x(t) - xn(t)| + |жп(*)| С | | = £ => x(t) —>• 0 при t -> оо.
Значит, х Е Со(М), т. е. Со(М) замкнуто в C(R).
1.76.Тот факт, что р{хуу) = sup eat|:r(£) — y(t)\ удовлетворяет акси-
te[0,+oo)
омам метрики, проверяется так же, как для пространства С[а,Ь] в п. 1.1. Полнота Са доказывается как в 1.71. (Проведите все рассуждения самостоятельно) .
1.77. Пусть {(хп,2/п)}^=1 С Ш х 91 — фундаментальная последовательность, т. е.
(Ve > 0) (3N Е N) (Vn, т > N)
^/г((хп? Уп)> {Хтч Ут)) := piXrtt Хщ) "Ь <^(Уп> Ут) < j
так как отсюда следует, что р(хп1хт) < £ и d(yn, ym) < £, то последовательности {a?n }5£=i С Ш и {уп}п=1 С фундаментальны. Следовательно, существуют х Е 9Я, у Е 91 такие, что р(хп,х) —> 0, d(yn,y) —► 0. Значит, М(жп,Уп), (х>2/)) 0? т- е- (ЯЙ х 91 ,h) — полное пространство.
Точно так же доказывается и обратное утверждение.
225


1.78. Последовательность xn(t) = yjt2 + ^ при всех (n G N) (cm. 1.61) сходится в пространстве С[—1,1], следовательно, является фундаментальной относительно предлагаемой метрики. Однако она не сходится в этой метрике к непрерывно дифференцируемой функции (xn(t) =3 \t\). Значит, пространство не является полным.
1.79. Аксиома симметрии и неравенство треугольника здесь очевидны. Проверим аксиому тождества. Пусть
р(х,у) = max \x(t) - y(t)I + max>'(£) - у (t)\ = 0.
te[a,b] te[a,b]
Тогда отсюда следует, что x(t) — y(t) = 0, x'(t) — yf(t) = 0; это означает, что x(t) = y(t).
Пусть {xn}^=i — фундаментальная в пространстве С^[а,Ь] последовательность. Это значит, что
(Ve > 0) (3N G N) (Vn, т > N)
( max|xn(t) - xm(t)| + max|xn(t) - xm(t)\ < e ) .
V t£R t£R J
Отсюда следует, что
m&x.\xn(t) — Xm(t)\ < £ и max\xn(t) — Xm(t)\ < £, t£R t£R
что в свою очередь означает, что последовательности {жп}^!, {xfn}^=i фундаментальны в пространстве С [а, 6]. В силу полноты этого пространства существуют ж, у G С[а,Ь] такие, что
£
Xn(t) =3 x(t), Xn(t) =4 y(t). Так как xn(t) = хп(а) + J xn(s) ds,
a
то перейдя в этом представлении к пределу (равномерная сходимость последовательности {x'n}^=i это позволяет), получим представление x(t) = ж(а)+
t
+/ y(s) ds; отсюда следует, что функция ж(-) непрерывно дифференцируема
а
и y(t) = x'(t). Таким образом, доказано, что
тах|жп(£) — x(t)\ —> 0 и тах|хп(£) — х (t)\ —► 0, te r te R
p(xn,x) = тах|жп(£) - xm(t)| + тах|япС0 - xm(t)\ —► 0.
Полнота пространства C^[a, b] доказана.
226


1.80. Указание. См. пример пространства Сь [а, Ь] в п. 1.4. Здесь рассуждения аналогичны. Проведите их.
1.81. Нет. Несчетным множеством, между любыми двумя точками которого расстояние не меньше некоторого положительного числа, является множество М последовательностей, компоненты которых — нули и единицы (см. решение 1.32). В данном случае р(х, у) = \ для всех ж, у £ М, х фу. По теореме 1.6 пространство несепарабельно.
1.82. В решении 1.61 было показано, что любую непрерывную функцию х можно с любой точностью приблизить непрерывной кусочно линейной функцией у (график непрерывной функции приблизить ломаной с конечным числом звеньев). Очевидно, можно выбрать точки tk рациональными и сделать значение y{tk) рациональным и сколь угодно близким к x(tk). Так как число ломаных с конечным числом звеньев и вершинами в рациональных точках счетное множество (оно эквивалентно конечному объединению счетных множеств), то L[a,b] — счетное всюду плотное множество в пространстве С [а, Ь].
1.83. Да. Пусть Ь[—к,к\ — счетное всюду плотное в С[—к,к] множество конечно рационально-значных кусочно линейных функций. Тогда
оо
L = (J L[—/с, к] р| Со(М) — счетное всюду плотное в Co(R) множество.
fc=i
1.84. Да, (Н,р) — полное метрическое пространство (см. 3.9). Рассмотрим множество М = {gs}se[a,b]> 9s(s) = 9s(t) = 0 при t ф s. Очевидно, множество М С Я, М несчетное и p(gs',gs) — 2 при s' Ф s. По теореме 1.6 пространство (Н,р) несепарабельно.
1.85. (Н, р) - полное несепарабельное метрическое пространство (см. предыдущее упражнение).
1.86. а) Пусть /С С [0,1] — канторово совершенное множество, (а, Ь) С [0, 1] — произвольный интервал. Найдется такое N, что ^ < b — а при к > N (N = [log3 £^]); так что при таких к в (а, Ь) найдется удаляемый интервал, т. е. интервал, не принадлежащий /С. Таким образом, /С нигде не плотно;
б) любой круг на плоскости содержит меньший круг, не имеющий с прямой общих точек;
в) любой шар в Rn содержит другой шар, не имеющий с Rm общих точек; Действительно, будем записывать точки множеств в Rm так: х = = (ал,...,жт, 0,..., 0). Тогда найдется шар с центром, например, в точке


а = (0,..., 0,1,..., 1), который вовсе не содержит точек из Rm;
ТП 71 — 771
г) это очевидно;
д) пусть М — открытое всюду плотное в Ш множество и В С Ш — произвольный шар. По определению всюду плотного множества
(Vx G В) (We > 0) (3у G М : р(ж, у) < е),
или х Е В(у,е) и у € В(х,е). Найдется ео < е такое, что
В(у,е0) С В, В(у,ео) С М
(так как М — открытое множество); значит, В(у,ео) П М = 0; по определению множество М нигде не плотно. Замкнутость М следует из 1.7;
е) пусть М — нигде не плотное множество. Предположим, что множество М не является всюду плотных. Это означает
(Зх0 е Ш) (Зе0 > 0) (Vy G М) (р(з0, у) ^ ео); следовательно,
В[хо, £о] С М, В(хо, £о) ПМ = 0.
По определению нигде не плотного множества найдется шар В С В(хо, £о), не содержащий точек множества М, т. е. В С М; но это противоречит отсутствию общих точек у М и В(жо, во). Значит М всюду плотно в 9Я.
ж) любой шар В (у, г), у G С[0,1], г > 0 либо не содержит ни одной функции вида x(t) = ntp (п Е Z), либо содержит другой шар В(у\,г\), yi € B(y,r), п < г, не содержащий функций такого типа (см. 1.47);
з) рассуждения аналогичны.
1.87. а) Множество рациональных чисел есть счетное объединение одноточечных множеств;
б) 	это множество есть счетное объединение одноточечных множеств.
Множество первой категории может быть всюду плотным (см. выше а) и б).
1.88. Пусть Ш — полное метрическое пространство. Предположим противное тому, что нужно доказать:
оо
an=|jMn, где Мп (п = 1,2,...)- (10.17)
71=1
228


нигде не плотные множества. Рассмотрим произвольный шар В[а, 1]
(а е Ш)\ Так как М\ нигде не плотно, то найдется шар В[а\,г\] С С В[а, 1], гг < не содержащий точек множества Mi; так как М2 нигде не плотно, то найдется шар В[02,7*2] С £[01,7*2], Г2 < ^г, не содержащий точек множества М2; продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых гп < стремятся к нулю, причем шар В[ап,гп\ не содержит точек множеств
М2,..., Мп (тг = 1,2,...), а объдинение всех шаров не содержит ни одной точки из множеств Мп, тг = 1,2, По теореме 1.3 существует точка
х еШ, принадлежащая всем шарам, а значит, в силу представления (10.17), не принадлежащая Ш. Полученное противоречие доказывает теорему.
1.89. Если бы оно было счетным, то оно было бы множеством первой категории (счетным объединением одноточечных множеств), что противоречило бы теореме Бэра 1.88.
1.90. Пусть Ш — полное метрическое пространство, А С Ш, intA ф 0. Так как внутренность множества А не пуста, то при некотором £ > 0 найдется шар В{а,£) С А. Предположив, что А имеет первую категорию, т. е.
оо
Л=ум„, где Мп (п = 1,2,...)- (Ю.18)
П = 1
нигде не плотные множества, получим, как в доказательстве 1.88, последовательность вложенных замкнутых шаров {£[оп, Гп]}^!, гп < ф, радиусы которых стремятся к нулю, причем шар В[ап,гп] не содержит точек множеств М\, М2,..., Мп (тг = 1,2,...), а объдинение всех шаров не содержит
ни одной точки из множеств Мп, тг = 1,2, По теореме 1.3 существует
точка хеШ, принадлежащая всем шарам, а значит, множеству А. Снова получено противоречие с представлением (10.18), которое доказывает наше утверждение.
1.91. Пусть А С Ш — вычет. Если предположить, что А множество первой категории, то Ш = A U А так же является множеством первой категории, что противоречит теореме Бэра 1.88.
1.92. Множество иррациональных чисел есть вычет, так как его дополнение — множество рациональных чисел — имеет первую категорию.
оо
1.93. Пусть А = Р| Мп, где Мп — открытые всюду плотные множества.
71=1
ОО
Тогда А = (J Мп, как счетное объединение нигде не плотных множеств
71=1
(см. 1.86, д)), есть множество первой категории (а значит, А — вычет).
229


Предположим, что А не является всюду плотным. Тогда
(Зж0 € Ш) (Зе0 > 0) (Vy е А) (р(ж0, у) ^ £о);
следовательно, А П В(хо,£о) = 0, или В(жо,ео) С А\ однако, это противоречит тому, что А — множество первой категории.
Принцип сжимающих отображений
1.94. При г < пусть Ш = В[0,г] —шар в R;
p(V(t),V(s)) = \t3 -s3\ = 11- s\(t2 +£s + s2) ^ 3r2\t — s\ = 3r2p(t,s).
Следовательно, V — сжатие, если г < ^=.
В шарах В[1,г] и В[—1,г] множитель t2 + ts + s2 может быть больше 1 при сколь угодно малых г, следовательно, V не может быть сжатием.
1.95. В случае а) рассуждаем как в п. 1.7.1 (здесь Ш = М.) В случае б) функция /(•) строго монотонна на R, поэтому она имеет обратную /_1( ), которая также является дифференцируемой на R и обладает свойством: KrW| ^ * < 1; так как уравнение f(t) = t эквивалентно уравнению t = /-1(£), то приходим к случаю а).
1.96. В качестве полного метрического пространства возьмем отрезок Ш = [0,1] и запишем уравнение в виде t = /(£), где f(t) = |e-t; тогда \f(t)\ = | — ^ | = а. Согласно п. 1.7.1 уравнение имеет единственное решение в указанном промежутке. Итерационный процесс имеет вид: tn = |e“tn_1; в качестве начального приближения возьмем to = 0, тогда ti = Пусть t* — точное решение. Тогда согласно (1.13)
\tn -1* I ^ • | = < 0,01 при п = 7.
2
1.97.0бозначим f(t) = t5 +1 + 1; тогда /'(£) = 5£4 + 1 > 0, следовательно функция /(•) строго возрастает на R и поэтому может иметь не более одного вещественного корня. Так как /(—1) = —1, /(0) = 1, то этот корень находится на интервале (—1,0). Полагаем Ш = [—1,0]. Исходное уравнение можно записать в виде t = ip(t) с <p(t) = —(t5 + 1) или (p(t) = — \/t + 1.
Однако, в обоих случаях max I<pf(t)\ > 1. Поэтому поступим как в п. 1.7.1,
*€[-1,0]
подробно повторив все рассуждения. Запишем уравнение f(t) = 0 последовательно в виде
0= -\(t5 + t+l), t = t-X(t5+t + l) (А > 0,ip(t) = t — \(t5 + t + 1)); Так как min (514 + 1) = 1, max (5£4 + 1) = 6, to
t€[—1,0) (£[-1,0]
1 - 6A < <p'(t) = 1 - A(5i4 + 1) < 1 — A.
230


Выберем в качестве значения параметра Л точку минимума функции h(X) = тах{\1 — 6А|, |1 — А|} (см. рис. 2).
Это означает, что А найдется из уравнения 1 — А = 6А—1. Таким образом,
Итерационный процесс имеет вид tn = ~ 5tn-i + 2); в качестве
начального приближения возьмем to = —1; тогда ti = — |, |ti — £о| = §; если t* — точное решение уравнения, то
Для f(t) = t3 + t + 1
ял = [—1,0], А = 0,4, а = 0,6,
<p(t) = -0,2(2t3 - 31 + 2), 0]) = [-0,6; -0,2];
итерационный процесс
tn = -0,2(2t3n_1 - 3tn-1 + 2), to = 0, п = 10.
. 1.98.Пусть функция / : [а, Ь] —> [а, Ь] непрерывна. Тогда /([а, 6]) =
= [с, d] С [а, Ь], где а ^ с = min /(£) < d = max /(£) ^ 6 (если с = d, то
t£[a,b] ££[а,6]
/(•) есть тождественная константа и с — неподвижная точка /). Рассмотрим непрерывную на [а, 6] функцию #(£) = /(£) —1\ из определения экстремумов следует, что д(с) = /(с) — с ^ 0, g(d) = f(d) — d ^ 0; отсюда видим, что либо одна из точек с или d (или обе) являются неподвижной точкой /, либо д(с) > 0, g(d) < 0; в этом случае по теореме Больцано - Коши существует точка £ (Е (с, d) такая, что р(£) = /(£) — £ = 0, т. е. £ неподвижная точка /.
1.99.Заданный в задаче итерационный процесс для нахождения квадратного корня из а соответствует уравнению t = /(£), где f(t) = t — \{t2—a); f'(t) = 1 — t ^ 0, /'(0) = 1, поэтому непосредственно применить к отрезку утверждение из п. 1.7.1 нельзя. Сузим этот отрезок; так как /(•) возрастает и /(0) = §, то положим Ш = [§, 1]; на этом отрезке 0 ^ f'(t) < 1 — | < 1. Так как при этом
то можно воспользоваться процитированным выше утверждением из п. 1.7.1, согласно которому уравнение t = f(t) имеет единственное решение на
А =|, а = Л(|) = |, v(t) = -j(2t6-5t + 2), *>([-1,0]) = [-*;.
при п = 14.
231


отрезке [f, 1], итерационный процесс сходится к некоторой точке t* £ [§, 1]. Поэтому из равенства t* = t* — \(t*2^ — а) получаем t* = у/а.
1.100. Последовательность цепных дробей (начиная со второй дроби) может быть задана рекуррентной формулой
£n+1 = 2 + , п = 0,1,2,, to = О,
Л Т Ьп
которую можно рассматривать как итерационный процесс принципа сжимающих отображений для уравнения t = /(£), где f(t) = 2 + . Полагаем
ОТ = [2,3]; тогда /([2,3]) = [2,20;2,25] С [2,3]; так как |/'(t)| = <
^ Тё ПРИ ^ ^ [2,3]. Согласно утверждению из п. 1.7.1 уравнение
t = 2+ имеет единственное решение на [2,3] (а последовательность цепных дробей предел). Решая это уравнение, находим t* = у/Ъ.
1.101. С помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем
p(V(t),P{s)) =
t2 + 2
s2 + 2
1
1
21
2s
2
а2
■[* — »!< — в|
(так как 1 < £ < 2, то \ < ^ < 1, -1 < -§ < \ - ^
1.102. 	а) Умножим второе уравнение на-1 для того, чтобы выполнялось неравенство 622 >0; согласно 1.29 А = J — ХВ; X > 0. Матрица А имеет вид
/ 1 - 2А - А \ У А 1 — ЗА J
Будем исходить из условия (1.21). Согласно этому условию должно выполняться неравенство
h(А) = max{|1 — 2А| + А, А + |1 — ЗА|} < 1.
Как и при решении 1.97 выберем в качестве значения параметра А точку минимума функции h(А)
В итоге получим А = 0,4, h(0,4) = 0,6 = а. Окончательно система примет вид
,2
0,2 0,4 \ /1,1
0,4 -0,2 У \ 0,{
Пусть х° = ^ J, тогда х1 = ^ q" g у ’ Р(х1>х°) ^ ^ ' (0>6)п; системы
б),в),г) исследуйте самостоятельно; можно воспользоваться готовыми формулами из 1.29.
232


1.103. 	Так как требуется доказать существование непрерывного на [О, Т] решения, то надо положить Ш = С [О, Г]; далее следует положить V(x)(t) = esinx(£) + /(£); так как / G С[0,Т] и при х G С[0,Т] sinx G С[0,Т], то Р(С[0,Т]) С С[0,Т]. Покажем, что V — сжимающее отображение.
2e
. x(t) - y(t)
sm ■ ■ ■ ■
cosx(t) + yft)
«S e|x(i) -y(t)| < ep(x,y).
Перейдя в полученном неравенстве к максимуму при t G [0,Т], получим, что p(V(x),V(y)) < ер(х,у); так как 0 < е < 1, то по теореме 1.4 уравнение x(t) = esinx(t) + f(t) имеет единственное в С[0,Т\ решение.
1.104. Полагаем WI = С[0,1], V(x)(t) == t + £x(tk)\ V, очевидно, переводит С[0,1] в С[0,1].
\P(x){t) -V{y)(t)\ = £ \x(tk) - y(tk)\ ^ep(x,y),
так как вместе с неравенством 0 ^ t ^ 1 выполняется также и неравенство 0 < tk ^ 1. Перейдя в полученном неравенстве к максимуму при t G [0,1], получим, что p(V{x),V(y)) ^ £р(х,у)\ по теореме 1.4 уравнение x(t) = t + ex(tk) имеет единственное в С[0,1] решение.
Пусть х* — точное решение уравнения xn(t) = t + £x(tk_i), xo{t) = 0; тогда при е = 0,5 согласно 1.13
р(хп,х*) < 1°’5” • р(х 1,хо) = 0,5n_1 < 0,01.
I — и, О
при п = 8 (xi(t) = t, p(xi,xo) = 1).
1.105. Исходя из требуемого, здесь надо взять Ш = С [а, 6]. Уравнение <р(£, у) = 0 запишем в виде у = у — X(p(t, у) (Л > 0). Тогда естественно положить V(y)(t) = у(£) — А<р(£, y(t)); если у G С [о, 6], то и 'Р(у) G С[а,Ь]. Параметр Л выберем так, чтобы отображение V было сжимающим. Пусть у, г G С[а, 6]. Тогда, применяя по второму аргументу формулу конечных приращений (£ находится строго между y(t) и з(£)),
Иу)(<) -Р(*)(*)| = |v(*)-z(*)-A(v>(f,j/(*)) -р(<,г(*))| =
= | (з/W - *(*)) - Vy (t, £(<)) (y(i) - z(t)) | =
= | y(t) ~ z(t) | • |l - A<^(t,£(£))| < max{|l - AM|, |1 - Am|} • p(y, z),
233


так как, исходя из условия, 1 — ХМ < 1 — X(p'y(t, £(£)) < 1 — А т.
Выбрав, как и выше, в качестве Л точку минимума функции h(X) = тах{|1 — ХМ|, |1 — Лт|}, получим
ч 2 . /XN М - т .
h(X) = TTTZZ = « < 1-
М + т’ М -f т
Из полученного выше неравенства следует p(V(y),V(z)) ^ ap(y,z). По теореме 1.4 ? имеет в С[а,Ъ\ единственную неподвижную точку /, так что
<£(*,/(*)) = 0, t е [а,Ь].
1.106. Пусть {жп}£°-1 — указанная последовательность. Существование и единственность неподвижной точки х* G Ш следует из теоремы 1.4. Остается доказать принадлежность х* G В.
Применим неравенство треугольника и полученные при доказательстве теоремы 1.4 оценки:
р(хп,Хо) ^ p(Xn,Xn-l) + р(Хп-1,Хп-2) + . . . + р(х 1,Ж0) ^
^ (ап~1 + ап~2 -f ... 4- 1)771 = ————777 ^ r( 1 — ап),
1 — а
откуда при 77 —► оо получаем р(х*,хо) ^ г, т. е. х* G -В.
1.107. Из непрерывности ip'y(t,y) в окрестности точки О = (0,0) следует, что для любого е (0 < г < 1 найдутся а > 0, 6 (0 < 6 < 1) такие, что (p'y(t,y) ф 0 и \<p(t,y)| < £ в прямоугольнике П = [—а, а] х [—6, 6]. Не ограничивая общности, можно считать, что (p'y(t,y) > 0 в этом прямоугольнике. Тогда найдутся положительные числа т < 1 и М такие, что 0 < тп ^ <Ру(£, у) ^ М для (t,y) G П. Если выполняется неравенство £ >6- то уменьшив, если это потребуется, число а при неизменном числе 6, можно добиться, чтобы выполнялось неравенство </?(£, 0)| < у, где I таково, что ^ ^ 6. По этой причине можно считать, что уже с самого начала выполняется неравенство ~ ^ Ъ.
Пусть г удовлетворяет неравенству ^ ^ г ^ Ь. Возьмем в качестве Ш = С[—а, а], в качестве отображения — V(y) = у — у). Тогда
V — сжимающее с а — м+т < ^ (см* 1-Ю5). Отображение V, очевидно, переводит шар В = J5[0, г] в пространство 9Я, причем (жо(£) = 0)
/^/Лч ^ 2г777 / М — т\
ц - р(Г(0), 0) - м + т ^ м + т - г ( М + т) '
Таким образом, выполнены все условия 1.106, откуда следует существование единственной неподвижной точки / G В, такой что
¥>(*>/(*)) = 0, t € [-а,а].
234


1.108. 	Ограничимся подробным рассмотрением уравнения а). Здесь 1
Ш = С[0,1], V(x)(t) = f tsx(s) ds + 1; если x G C[0,1], to V(x)(t) =
о
= /3t + 1 e. C[0,1], где /3 G R. Пусть x, у G C[0,1]; тогда
\r(xm-vm)\ =
i
/
ts(x(s) — y(s)) ds
i
^ t J s|x(s) - 2/(s)| ds ^
I
/I I
sds = -p{x,y) => P{V(x),V(y)) < -p(x,y).
По теореме 1.4 в C[0,1] существует единственная неподвижная точка отображения V, т. е. данное уравнение имеет единственное непрерывное на [0,1] решение.
1
Итерационный процесс имеет вид xn(t) = f tsxn-i{s)ds + 1; пусть
о
xo(t) = 1, тогда xi(t) = \t +1, X2(t) = §£ +1, хз(£) = y§£ + \ - Так как правая часть уравнения имеет вид fit -1-1, то и решение имеет вид x(t) = (3t -h 1. Подставив эту функцию в уравнение:
1
(3t -h 1 = J ts((3s + 1) ds + 1,
о
найдем /3 = f, т. e. точное решение x = ft -h 1.
б) 	a = |; точное решение x = £2 + 1,2; в) a = |; точное решение x = + *3.
1.109. 	Ограничимся подробным рассмотрением уравнения а). Здесь
t
Ш = С[0,1], V(x)(t) = 2 f tsx(s)ds-hi; если x 6 C7[0,1], то V{x) G C[0,1]. о
Пусть x,j/GC[0,1]; тогда
t l
\V(x)(t) -V(y)(t)\=2
/«м.) -j/(s))ds <2t J s\x{s)-y{s)\ds4:p(x,y).
Таким образом, не удалось доказать, что V — сжимающее отображение. Найдем V2.
t
V2(x)(t) =V{V{x))(t) =2 Jts(V{x)(s)) ds + 1 =
235


1 f 3 \ 1 3 3
= 2 J ts (2 J srx(r)dr-\- lj ds+l = 4t J т ж(т) dr+£3 + l.
0 \ 0 / 0
Покажем, что V2 — сжатие.
t
\V2{x){t) -V2{y){t)\ <41 f T(j$ ~ y) |*(r) -y(r)|dr sj 0,4p(x,y).
0
По теореме 1.5 уравнение имеет единственное непрерывное на [0,1] решение. Точное решение уравнения г) x(t) = 0.
1.110. a) Vn(x)(t) = f
0
Ь) Vn(x)(t) = 2nf^^x(s).
О
1.111. a) x(t) = Tfit + 1; b) x(t) = + 1; с) x(t) = el.
1.112. Здесь
/ 00
ОТ = lж, v(x) = I Yi 2~(1+k)Xk + 2~\ Y 2~(2+k)xk + 2-2,...
\fe=l
fc=l
Пусть x € loo, тогда
^2_(<+fc)xfc + l
< sup|a:fc| • 2 (l+fc) + 1 = 2sup|xfc| + 1;
ie n
i€N
т. e. V отображает loo в /<х>. Покажем, что V — сжимающее отображение.
p{V(x),V(x)) ^ supY^2 (l+fc)|xfc -ук\ <
00 1 < sup|xfc - Ук\ ■ sup^2_(t+fc) = p(x,y)sup2_(t+2) = -p(x,y).
fee n
ie n
Остается сослаться на теорему 1.4.
1.113. 	Здесь
) СХ) \
ОТ = ip, V(x) = I £ 2-(1+fc)xfc + 1, £ 2-(2+k)xfc + 1,...
V)t=i *;=i /
236


Для х Е 1Р применим неравенства Минковского и Гёльдера:
/ ОО \ р / оо
-(г+к)
Хк+ 2
к=1 -(»+*) I
'ПЧМ
f оо / / оо \р /оо \«\Р\Р
М(£ы’) (£2"*“+и)))
41>г)
4(1 -2-9)?
+ 1 < +оо.
Таким образом, отображение V переводит 1Р в 1Р. Покажем, что оно сжимающее.
оо
(.p(v(x),p(y))Y = £кт>(*) -т>(у))<
) — (i+k)
| Хк
= (р(х,у)У
)р ОО ОО / ОО \ q
^££|**-ыр- E2_,(<+fc) =
t=l fc=l \fc=l /
Л-2 p -(
p • (p(*,J/))P
(l-2-P)(l-2-e)? ((2p - 1)(2« - 1))*
Так как a = (2p-i)1(2<?-i) < 1, то ? сжимающее отображение. По теореме 1.4 система имеет единственное решение в 1Р.
1.114. 	Ограничимся подробным ответом на первый вопрос. Пусть V : h —> Zi, х,у Е 1\. (Заметим, что достаточным условием такого дей-
оо
ствия отображения V является сходимость двойного ряда ^ |а»*|, что и
г,к—1
оо оо
предполагается; в этом случае сходятся и повторные ряды и ^ ^ \агк\ =
г=1к=1
оо оо
= S laifc|)- Элементарные выкладки дают:
к=1i=l
р(7>(*),Р(у)) = Ё
fc=l
< EElaifcl ' lXfc ”^1 =
г=1 fe=l oo oo
= ElXfc ^ аР(х’У)>
237


где а = sup 22 \агк\ (отметим, что перестановка порядка суммирования воз-
fc€N i= 1
оо
можна в силу сходимости двойного ряда 22 laifc|)- Таким образом, если
г,к= 1
оо
SUP 22 laifc| < 1? то V — сжатие, fee n»=i
оо
Если V
• /оо ^ /оо? то V будет сжимающим, если sup 22 la^l < 1-
ieN fc=1
Если Р : /р —► /р (1 < р < +'Х)), то ? будет сжимающим, если < 1.
1.115. 	Пусть 22 \ак\ > О-
(ШИ')
к=1
p(V(x),V(y)) - sup|afc(xfe - ук)| = sup(|afe| • |zfc - ук\) «5
^ sup|xfc — j/fc|sup|afc| =ир(х,у)\ feen feen
если и < 1, то V — сжимающее отображение.
Пусть V — сжимающее отображение. Предположим, что и ^ 1. Найдется подпоследовательность такая, что \cLkj | —> и. Возьмем х € /оо, ж*:.,- = 1,
Xfc = 0 при /с ф kj, у = 0. Тогда р(х,у) = 1 и p(V(x),V(y)) = sup|afc . | =
ie n
ир(х,у), что противоречит тому, что Р — сжатие. Следовательно, a; < 1.
1.116. 	Действительно, с помощью формулы конечных приращений получаем, что
p(V(x),V(y)) = | (х-у) - (arctg х - arctg у) | =
1
= \х~у\
1 -
i+e
<\х-у\ = р(х, у)
(х < £ < у или у < £ < ж); уравнение ж = V(x) эквивалентно уравнению arctg ж — т|г, которое на R решений не имеет, следовательно, V не имеет на R неподвижной точки.
1.117. 	При a ^ 1 возьмем ж(t) = 1, г/(£) = 0; тогда р(х,у)=1 и
t
p(V(x),V{y)) = max i f (l2 - О2) ds\ = а = а ■ р(х,у) ^ р(х,у).
te[o,a] J о
238


При 0 < а < 1 возьмем x(t) = 1 4- y(t) = 4j-; тогда р(х,у)=1 и
p(V(x),V(y)) = max
te[o,a]
= max |t+—|=a + l = (a + l)p(x, y) > p(x, y).
t€[0,a]
Таким образом, ни при каком а > 0 отображение 'Р(х) не является сжатием для пространства С[0,а].
t
Правая часть уравнения x(t) = 1 + J* x2(s)ds непрерывно дифферен-
о
цируема, значит, предполагаемое решение тоже должно быть непрерывно дифференцируемым. Следовательно, уравнение эквивалентно задаче х' = х2, х(0) = 1. Решение этой задачи x(t) = непрерывно на [0, а] при а < 1.
Компактность. Непрерывность
1.118. 	а) нет; б) нет; в) да; г) нет д) нет; е) да; ж) да;
з) да. Рассмотрим некоторые из множеств подробно, а) Запишем в логиче¬
ских символах отрицание равностепенной непрерывности.
(Зе > 0) (V<5 > 0) (3t',t" : 11' - t"| < <5) (Зп € N) (|t,n - t"n| > е).
Покажем, что наше множество Ф не является равностепенно непрерывным. Положим £ = t' = 1 — |, t" = 1; так как (1 — |)п —► 0 (тг —► оо), то найдется
ио (1 - § Г
2 ’ такое,
<
Тогда
\t' — t"\ = | < <5, но |(1 — |)n — l| = 1 — (1 — |)п > По теореме Арцела множество Ф не является относительно компактным. По поводу б) см. пример в п. 1.10. г) Множество Ф не является равностепенно непрерывным. Убедитесь в этом, взяв е = -, t' = 0, t" = |, а = е) Множество Ф равномерно ограничено (константой е); пусть £ > 0 произвольно; по формуле конечных
приращений (t < £ < t" или t,f < £ < tf) \е
t' — at
e* a\t' - t"| < £,
если \t' — t"\ < 6 = Следовательно, Ф равностепенно непрерывно. По теореме Арцела оно относительно компактно.
1.119. 	Пусть т — константа, ограничивающая множество М и у £ Ф. Тогда
о о
У x(s)ds < J\x(s)\ds ^ т(Ь — а) (£ € [а,6]),
239


т. е. множество Ф равномерно ограничено; пусть далее е > 0 произвольно,
t"
t"
\y(t’) - y(t")\ =
J x(s) ds
t'
J|x(s)| ds
t'
<0
V
1
1"
V/
если|£' — t"\ < 6 = это означает, что Ф равностепенно непрерывно. По теореме Арцела Ф относительно компактно.
Пусть М = БС[_1,1][0,1], xn{t) = ^t2+x (п е очевидно, хп G М,
следовательно, yn(t) = f xn(s) ds = у/t2 + - — ^ принадлежит Ф; однако, о v
yn(t) =4 y(t) = \t\ (cm. 1.61). Значит, множество Ф не является замкнутым (несмотря на воможную замкнутость М), т. е. не является компактным.
1.120. Так как / ограничена на [а, 6]2, то существует константа М такая, что |жв(£)| = |/(£,s)| < М, t, s е [а, 6], т. е. множество Ф ограничено.
По теореме Кантора / равномерно непрерывна на [а, 6]2, значит, для произвольного £ > 0 найдется такое 6, что
|я»(0 -x,(t")| = If(t',s) - f(t",s)I < £,
если 11' — t" | < 6; значит, множество Ф равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множество Ф относительно компактно.
Пусть х* — предельная точка множества Ф, х8п —► х* (sn £ [а, 6], п —► оо). Не ограничивая общности, можно считать, что уже сама последовательность Sn —► s* (в противном случае мы выделили бы сходящуюся подпоследовательность). Так как х3п = f(t,sn) —► f(t,s*) =
= хто в силу единственности предела x*(t) = xs*(t), т. е. х* £ Ф, поэтому множество Ф замкнуто и, следовательно, компактно.
1.121. Покажем, что это множество равностепенно непрерывно. Пусть L — общая для всех функций множества Ф константа, у £ Ф, £ > 0 — произвольно. Тогда \y(t') — y(tn)| ^ L\t' — tn\ < е, если \t' — t”\ < S = По теореме Арцела Ф относительно компактно.
1.122. Пусть |ж(£о)| ^ К Для всех ж G Ф, L — постоянная Липшица. Тогда
\x(t)\ ^ |ж(£) - ж(£0)| + |s(£0)| ^ L\t - £о| 4- К ^ L(b - а) + К,
т. е. множество Ф равномерно ограничено. Дальнейшие рассуждения как в предыдущем упражнении.
240


1.123. Пусть х G Ф, £ > 0 произвольно и t G [а, Ь]. Из представления
x(t) = х(а) + J x'(s)ds
а
и неравенства Гёльдера следует
t ь
J x'(s) ds| ^ mi + J |a/(s)| ds ^ mi +
(10.19)
+ I / |z'(s)|2ds
4} \4
I / ds I ^ mi + y/rri2(b — a);
это означает, что множество Ф равномерно ограничено. Покажем его равностепенную непрерывность, снова применив представление (10.19) и неравенство Гёльдера.
t"
t"
1
2
t"
ИО-х(ОК
f |x'(s)|ds
( |a/(s)|2ds
f ds J
J
t'
J
< у/т,2\Ь' — £"| <£,
если |t' — £"| < 6 = т. е. множество Ф равностепенно непрерывно. По теореме Арцела Ф относительно компактно.
Множество Ф не является компактным, так как оно незамкнуто (см. пример из 1.119; см. также 1.61).
1.124. 	Множество Ф относительно компактно, но некомпактно. Проинтегрируем представление (10.19) в пределах от а до Ъ и поменяем порядок интегрирования во втором интеграле:
ь ь
Jx(s) ds = x(a)(b — a) + j(Ъ — s)x'(s) ds =>
a a
iff } \
==> x(a) = I / x(s) ds — I (b — s)x'(s) ds 1 ,
b-a\i j. /
откуда с помощью неравенства Гёльдера получим
Иа)| < \x(s)\ds + J(b- s)|®'(s)|<is^ < —s/m.
241


Таким образом, выполнены условия предыдущего упражнения с
1.125. 	Пусть х Е Ф и х(to) = 0 (to Е [а, Ь]). Тогда в силу представ-
ограниченность множества Ф. Дальше рассуждаем как в 91 (L = га).
1.126. Нет (см., например, 1.118 б).
1.127. Нет; это множество не является равностепенно непрерывным (см.
1.118 	а).
1.128. Очевидно, множество производных множества Ф также равномерно ограничено. По теореме 1.9 множество Ф относительно компактно.
1.129. Это равномерно ограниченное множество и, так как множество его производных удовлетворяет неравенству |ж'(£)| ^ 1, то по теореме 1.9 оно относительно компактно.
1.130. Такое множество, ограниченное в С^[а,Ь], является ограниченным и в С [а, Ь] и имеет равномерно ограниченное множество производных. По теореме 1.9 оно относительно компактно.
1.131. Достаточность следует из теоремы 1.9, так как множество производных функций из Ф ограничено. Необходимость следует из ограниченности относительно компактного множества.
1.132. 1) Да; 2) нет. 1) Сначала покажем, что найдется га > 0 такое, что |ж'(0)| ^ га для всех х Е Ф. Предположим противное: найдется последовательность {xn}n=i С Ф такая, что |хп(0)| > п. Из представления (10.19) для первых производных получаем, что
в силу непрерывности производных для всех t Е [0,1], п Е N выполняется одно из неравенств xn(t) > п — гаг или xn(t) ^ — (п — гаг). В силу представления (10.19) оба неравенства противоречат ограниченности последовательности {®Л}п=1. Значит, |ж'(0| ^ га для всех х Е Ф, а из представления (10.19) для производных следует, что
max -Г 1 ,Ь—а} /—
772-2 = —у/ъ-а— vm> откуда и следует доказываемое утверждение.
max
t
ления (10.19) |ж(£)| ^ J|:c'(s)|cZs ^ т(Ь — а). Этим доказана равномерная
а
t
|хЦ*)| ^ |х'(0)| - У x”(s)ds
^ П-ТП2 (t е [0,1], п 6 N);
о
t
о
Ссылка на теорему 1.9 завершает доказательство
242


2) Множество Ф может не быть равномерно ограниченным; например, множество Ф = {t2 + п}пеN удовлетворяет всем условиям, но не является равномерно ограниченным.
1.133. Нет, так как оно может не быть равностепенно непрерывным (см.
1.118 	а)).
1.134. Достаточность. Пусть г > 0 произвольно, £\ = ь-а+2* Ограниченность множества Ф в С[а,Ь] влечет его равномерную ограниченность (с константой Мо), а также равномерную ограниченность множества Ф^ ^ производных функций из Ф. Из условия 2) и теоремы Арцела следует, что множество Ф^ ^ относительно компактно в пространстве С[а,Ь]. По теореме Хаусдорфа 1.7 в С [а, 6] существует конечная £х-сеть {/i, /2,..., fne} для Ф( \ а также конечная ei-сеть {ai,аг,...,о,т£} для [—Мо, Мо] в R. Положим
t
gik{t) = ак + J fi(s)ds, i = 1,2, ...,пе; к = 1,2, (10.20)
a
Покажем, что система непрерывно дифференцируемых функций, определяемых равенствами (10.20), образует конечную £-сеть для множества Ф вС(1)[а,Ь].
Пусть х € Ф; найдем для х(а) ак такое, что i(a) — а*,| < ei, а также /» для х' такую, что Рс[а,ь)(х', /,) < £\. Тогда
Рс(1)[а,ы= max |х(<) -gifc(t)| + max |x'(t) - g'ik(t)\ <
t€[a,oj £E[a,oJ
t
^ |x(a) - afc|+ I |x'(s) - fi(s)\ds+ max |x {t) - fi(t)\<£i+£i(b - a)+£i =£
а
Итак, система (10.20) образует конечную е-сеть для множества Ф в С^[а, 6]. По теореме Хаусдорфа 1.7 множество Ф относительно компактно в пространстве С^[а,Ь].
Необходимость. Пусть множество Ф относительно компактно в пространстве С^[а,Ь]. По теореме Хаусдорфа 1.7 для любого е > 0 в С^[а,Ь] существует конечная £-сеть Ае = {/i, /2, • • •, /п} для множества Ф. Так как РсЩаМ^У) = Рс[а,ъ){х,у) + Рс[а,ь\ (х\ у'), то Ае есть также е-сеть для Ф в С [а, 6], а Ае'* = {/{, /2, •. •, fh} ~ е-сеть для Ф^ ^ в С[а, Ь]. Следовательно, выполняются условия 1) и 2).
Замечание. Очевидно (см., например, 1.122), условие 1) может быть заменено легче проверяемым условием: множество значений функций из Ф в какой-либо фиксированной точке ограничено.
243


1.135. Замкнутость С(Х,%)) в М(£, 2)) доказывается так же, как замкнутость С[а, Ь] в М[а, 6] в п. 1.4.
Доказательство необходимости буквально следует доказательству теоремы 1.8, где надо заменить \t' — t"\ на p(t',t'f), \f(tf) — f(t")| — на <*(/(*')>/(*")) и т. д.
Докажем достаточность. Пусть £ > 0 произвольно, а 6 > 0 возьмем из определения равностепенной непрерывности. Пусть далее, Е = {t\, £2, • • •, tn} - I-сеть для X, F = {yi, у2,..., Ут} — £-сеть для 2),
-Ei = Bx[ti,6], Ei = \ [J (г = 2,... ,п).
j<i
п
Тогда Ei попарно не пересекаются, X = (J Ei, причем если tf,t" G Ei, то
p(t'X)<6.
Обозначим
Ф = {р Е М(£, 2)) : #(*) = ^ при £ € Ei, i = 1,..., п, j = 1,..., m}.
Покажем, что конечное множество Ф образует Зе-сеть для Ф в М(Х, 2)). Пусть / € Ф. Для любого U € Е найдется точка yj Е F такая, что d(f(ti),yj) < £. Выберем <7 € Ф так, чтобы g(ti) = у,. Тогда при t £ Ei
d(f(t),g(t)) ^ d(f(t),f(ti)) + d(f(ti),g(U)) + d((/(ti),s(t)) < 2e
(первое слагаемое < £ в силу равностепенной непрерывности Ф, так как t,t' Е Ei, второе слагаемое < е согласно выбору д, третье слагаемое равно О по определению множества Ф). Так как полученное неравенство имеет место при любом г, то можно перейти к супремуму при t € X, что приводит к неравенству h(f,g) ^ 2е < Зе. Итак, Ф — конечная Зб-сеть для Ф в М(Х, 2)). По теореме Хаусдорфа 1.7 множество Ф относительно компактно в пространстве М(Х, 2)). В силу замкнутости С(Х, 2)) Ф относительно компактно и в С(Х, 2)).
1.136. Достаточность. Пусть выполнены условия 1) , 2), £ > 0 произвольно и N Е N соответствует | согласно условию 2). Обозначим через Zp0,jV^ множество финитных последовательностей, у которых Хк = О при к = N + 1,N + 2,... Рассмотрим биективное отображение F : Zp0’^ —► R р , которое последовательности х = (х\,..., хдг, 0,...) 6
Е /р0,Л^ ставит в соответствие вектор (хг,... ,xn) Е R^. Через F обозначим продолжение F на 1Р (это продолжение уже не будет инъективным). Так
244


как множество М = F(M) С Шр ограничено, то оно относительно компактно, поэтому для него в существует конечная |-сеть А =
Пусть = F~1(a^) (г = 1,2,,т). Покажем, что А = {а^}^ — е-сеть для М.
Пусть х € М; тогда х = F(x) € Шр . Найдется го (1 < го < га) такое, что pRN(x,a(tQ^) < §. С учетом этого
(„(*,«<«))'-£ |И-„<»Г+ £ |1,Г<(|)'+(|)'.^Г<£.,
к=1 k=N+1
т. е. p(x,a^0^) < е. Следовательно, А = {а^}^ — £-сеть для М.
По теореме Хаусдорфа М относительно компактно в 1Р.
Необходимость. Пусть множество М относительно компактно в 1Р и е > 0 произвольно. Тогда М ограничено (условие 1)) и в 1Р найдется конечная |-сеть А = {a(t)}£i для М. Для каждого г (г = 1,2,..., га) найдется
оо .
натуральное Ni такое, что \р < (§)р . Пусть N = шах {Ni,..., iVm}.
k=Ni
oo ...
Тогда неравенство ^ la*. i < (f)P выполняется для всех г = 1,2,
k=N
С учетом этого неравенства для любого х £ М имеем
оо оо оо
£ £ 1**-4°г+ £ 1«£0г <
k=N+l k=N+1 k=N+l
< + (§)' < (|)P + (J)' <
т. e. выполнено условие 2).
1.137. Пусть X e П, О = (0,0,...); тогда р{х,0)< (^ =7Е> т- е-
множество П ограничено. Для произвольного е > 0 выберем натуральное N
/ос \*
так, чтобы выполнялось неравенство ( J2 тъ I < £• Тогда выполнены
\k=N+1 J
условия 1) и 2) критерия 1.136, согласно которому множество П относительно компактно в пространстве 1Р. Пусть х* — предельная точка множества П. Существует последовательность {х^} элементов множества П, сходящаяся к х*. Так как сходимость в пространстве 1Р влечет равномерную покоординатную сходимость (см. п. 1.3), то при всех к Е N х—► xl (п —► оо); следовательно, при всех к € N выполняется неравенство х£ ^ Это значит, что х* Е П, т. е. параллелепипед П замкнут, и следовательно, компактен.
1.138. Повторите рассуждения,проведенные в 1.137.
245


оо
1.139. 1) Из критерия 1.136 следует, что ряд ^ А2 должен сходиться.
к=1
оо
2) 	Ряд должен сходиться. Из определеения эллипсоида следует,
к=1
2
для всех к G N выполняется неравенство ^ 1 или |ж*.| ^ А^.
Лк
1.140. Достаточность. Используем обозначения 1.136 при р = оо. Пусть выполнены условия 1) , 2), е > 0 произвольно и N G N соответствует £ согласно условию 2). Так как множество М = F(M) С ограничено, то оно относительно компактно, поэтому для него в существует конечная £-сеть А = Пусть = F-1(a^)(i = 1,2, ...,ш). Покажем, что
А = {а^}^! — £-сеть для М.
Пусть xGM; тогда ж = F(ж) G Найдется го (1 ^ го ^ ш) такое, что Prw (ж, а^) < £. С учетом этого
рС0(х,а(го)) = шах{ шах |ж/ь -ailo)|, 8ир|ж*|} < £,
l^k^N k>N
т. е. А = {a^}iLг— е-сеть для М.
По теореме Хаусдорфа М относительно компактно в со- Необходимость. Пусть множество М относительно компактно в со и £ > 0 произвольно. Тогда М ограничено (условие 1)) и в со найдется конечная |-сеть А = {адля М. Для каждого г(г = 1,2,..., га) найдется натуральное Ni такое, что sup |aj^| < |. Пусть N = max{7Vi,..., iVm}.
k>Ni
Тогда неравенство sup|aj^| < § выполняется для всех г = 1,2, ...,га. С
k>N
учетом этого неравенства для любого ж G М и к > N имеем
откуда следует выполнение условия 2).
1.141. Пусть е = (1,1,...) (G с). Для ж G с определим
х = х — е • lim ж*, Ф : с —► со, Ф(ж) = ж', М' = Ф(М).
fc—‘■ОО
При условиях 1) и 2) настоящего упражнения выполнены условия 1) и 2) упражнения 1.140.
Очевидно множество М тогда и только тогда относительно компактно в пространстве с, когда множество Mf относительно компактно в пространстве со-
1.142. В метрическом пространстве Ш ограничены и замкнуты все подмножества (Ш С В$гп [ж, 1], где ж G Ш — произвольная точка; см. упражнения 1.20, 1.48).
246


Для любого е > 0, £ < 1 £-сетью для М С Ш может быть только само М. Поэтому в WI компактными являются все конечные подмножества и только они.
1.143. Множество А = (\/3, л/8) П Q ограничено и замкнуто в неполном метрическом пространстве (Q,p) (см. 1.66), однако оно не является
оо
компактным, так как бесконечное его подмножество s=U{(i + *n*
п=1
имеет в нем предельной точки.
1.144. Пусть {Кп}™=\ С 9Л, К\ D К2 D Кз D ... — вложенная последовательность компактных множеств. Выберем xn £ Кп \ Кп+\, п = 1,2,... В силу компактности существует сходящаяся подпоследовательность {хПк}S*Li С {хп}пLi, хПк —► х* (к —► оо). Так как каждое из Кп содержит всю подпоследовательность, кроме конечного числа ее членов, то х* — предельная точка Кп, п = 1,2, В силу замкнутости
оо
х* £ Кп, п = 1,2,..., т. е. х* £ П Кп •
п=1
1.145.Пусть А С и В С 91 относительно компактные множества, — конечная |-сеть для Л в 9Л, Ев — конечная |-сеть для В в 91. Рассмотрим Е = Еа у. Ев- Пусть (х,у) еА х В С Ш; это значит, х £ А, у € В\ найдутся а £ .Ед и 6 £ такие, что р(х,а) < |, d(y,b) < согласно определению
h((x, у), (а, Ь)) = р(х, а) + d(y, Ь) < | | = е.
Этим доказано, что Е конечная s-сеть для А х В в Ш х 91.
Если А С 9Л и В С 91 замкнуты в и 91 соответственно, то из 1.11 следует, что множество Ах В замкнуто в (Ш х 91, К).
Обратное утверждение доказывается аналогично.
1.146. 1) Вспомним определение равномерной непрерывности:
(Ve > 0) (35 > 0) <Ух,х" € : р{х ,х") < 5) (d(f{x'),f{ х")) < е),
где р (d) — метрика в 371 (91).
Предположим противное: / не является равномерно непрерывной. Согласно приведенному выше определению найдется £о > 0 такое, что для всех натуральных п найдутся такие х„,х" £ Ш1, что несмотря на неравенство
Р(а4,я'п) < (10.21)
выполняется неравенство
/(z'n)) ^ £о (> 0)
247
(10.22)


В силу компактности Ш найдется подпоследовательность {xnfc}S£U С {х'п}^=1, сходящаяся к х'; хПк —► х' (к —► оо); согласно (10.21) и х'пк —> х' (к —► оо). В силу непрерывности функций / и d из (10.22) следует, что 0 ^ £о > 0. Это противоречие означает, что / равномерно непрерывна.
2) Заметим, что в силу непрерывности / /(9Л) замкнуто в 91 и, значит,
по теореме 1.1 является полным метрическим пространством.
Пусть е > 0 произвольно, 6 > 0 соответствует этому е согласно определению равномерной непрерывности и А = {xi}£L i — (5-сеть для 9Я. Покажем, что тогда f(A) = {yi}iLi — £-сеть для /(9Я).
Пусть у Е /(9Л); найдутся х Е Ш и го (1 ^ го ^ тп) такие, что у = /(х), р(х, Хг0) < 6. В силу равномерной непрерывности / d(y, yi0) < s, т. e.f(A) — е-сеть для /(Ш).
По теореме Хаусдорфа и в силу замкнутости /(Ш1) компактно в 91.
3) Пусть отображение / биективно. Это значит, что /(Ш) = 91 и существует обратное отображение /-1 : 91 —* 9Л, которое также биективно, т. е. Г1(<П)=Я1.
Пусть уп ► у {ть ► оо) в 91, Хп = f~1(yn),x = /-1(г/) (это значит также, что уп = /(хп),у = /0*0)-
Предположим, что хп-^х. Это означает, что найдется такое £о > 0, что для любого N Е N существует такое натуральное n > JV, что
р(хп> х) ^ £о (> 0) (10.23)
В силу компактности ШТ найдется подпоследовательность {хп*. }fc=i С {жп}“=1, такая, что хпк —> х' (А; —► оо). Так как / и d непрерывны, то
Упк = f{xnk) -+ f(xf) =у (к —> оо),
а так как / инъективно, то х' = х. Таким образом, хПк —>х (к—► оо), что противоречит неравенству (10.23). Значит, хп —> х; это означает непрерывность
Г1.
1.147. 	1) Предположим, что функция / неограниченная. Это означает, что для каждого натурального п существует точка xn Е 9R такая, что |/(хп)| > п, т. е. |/(хп)| —* оо (п —► оо). В силу компактности 9Л найдется подпоследовательность{хп*.}^1 С {xn}5?Li, такая, что хп& —> х' (/с —> оо), а так как функция / непрерывна на 9Л, то /(xnfc) —► f(xf); это противоречит тому, что |/(хп| —> оо (п —► оо). Следовательно, функция / ограничена.
2) 	Ограничимся доказательством существования точки ж*, такой, что тах/(х) = f(x*). Так как согласно доказанному в 1) функция / ограниче-
248


на, то существует sup f(x) = М. Согласно свойству супремума для каждого
хЕШ
натурального п существует точка хп G 9Я такая, что f(xn) > М — В силу компактности Ш найдется подпоследователь-
HOCTb{xnfc}^:1 С {жп}^=1, такая, что хпк —► х* (к —► оо), а так как функция / непрерывна на 9Я, то f(xUk) —> f(%*) ^ М. Так как для всех х G 971 выполняется противоположное неравенство, то имеет место равенство sup f(x) = М = f(x*). Таким образом, существуют тах/(х) = М хеш х^ш
и точка х* G 971 та^сая, что f(x*) = М. Существование ж* доказывается
аналогично.
Если М С 971 компактно, то согласно доказанному существуют точки х*+ G М и ж*+ G М такие, что
/(®*+) = ma^/(a:), /{«.+) Ц min/(x)
хем хем
'■К
(так как М компактное метрическое пространство).
Покажем, что ограниченности и замкнутости множества М недостаточно для достижения точных граней.
Рассмотрим в связи с,этим пример (см. 1.133)
м = {хе С[0,1] : ж' € С[0,1], ж(0) = 0, х(1) = 1, |ж(«)| < 1, t € [0,1]}.
Это множество, очевидно, ограничено и замкнуто, но согласно 1.133 не
является компактным. Рассмотрим на этом множестве функцию /(ж) =
1
= f x2(t)dt. Для xn(t) = tn f(xn) = 2n1, i, следовательно, inf /(ж) = 0,
Q ' XizM
однако, для всех G M f{x) > 0.
1.148. Из 1.12 следует непрерывность функции f(y) = р(ж,у) при фиксированном х G 971, поэтому подлежащее доказательству утверждение следует из 1.147, 2).
Рассмотрим множества А = (\/3, л/8) П Q в неполном метрическом пространстве (Q, р) (см. 1.66, 1.143); выше было выяснено, что оно ограничено и замкнуто, но не является компактным. Пусть х G Q, х < л/3; тогда р(ж, А) = inf р(ж, у) = у/3 — ж, но для любого у £ А
уел
р(х,у) > V3-X.
1.149.Достаточно доказать первое неравенство в (1.35). Пусть А, В, С G G camp (971), a G A, b G В, с G С. Неравенство треугольника для р дает нам
min р(а, 6) ^ р(а,&) ^ р(а,с) + р(с,6); так как неравенство выполняется для
ье в
всех а € А, с € С, хо в правой части можно перейти к минимуму в первом
249


слагаемом по с G С, во втором — по a Е А. В итоге получаем
р(а, В) < р(а, С) + р(с, А) < maxр(а, С) + maxр(с, Б) = с£(Л, С) + d(C, Б).
а£ A cGC
Переход к максимуму в левой части полученного неравенства дает нам первое неравенство в (1.35).
Если А = В, то очевидно, что h(A,B) = 0. Пусть h(A,B) = 0. Это значит, что d(A,B) = 0, d(B,A) = 0; из равенств max р(а, Б) = 0,
а£А
maxp(A, b) = 0 следует, что р(а, В) = 0 (а € А), р(А,Ь) = 0 (6 € Б); из перьев
вого равенства получаем включение Л С Б, из второго — В С А, В итоге А = В. Аксиома тождества для h доказана.
Аксиома симметрии h(B, А) = h(A,B) непосредственно видна из определения. Докажем неравенство треугольника.
С этой целью воспользуемся неравенствами (1.35).
h(A,B) = max {d(A, В), d(B,A)} ^
< max {d(A, С) + d(C, В), d(B, С) 4- d(C, A)} ^ max{d(A, C), d(C, A)}+
+ тах{<*(Б, C), d(C, Б)} = Л(А С) + /i(C, Б).
Таким образом, доказано, что h — метрика.
Докажем полноту пространства сотр(Ш).
Пусть {An}^Li — фундаментальная последовательность в сотр(Ш). Это означает, что для любого £ > 0 найдется такой номер N, что для всех п, т > N выполняется неравенство h(An,Am) < е, что согласно определению в свою очередь означает, что Ат входит в ^-окрестность множества Ап и наоборот, Ап входит в ^-окрестность множества Ат- Обозначим
^ оо оо ^ оо
А= п и Ак, А = с1А. Из сказанного выше следует, что Бт = U Ак
т=1 к—т к=т
^ 00 ^
И А = П Вт входят в ^-окрестность множества Ап\ значит, h(An, А) < е,
т—\
если п > N, т. е. Ап —► А и Ап —► А (п —> оо) в метрике h.
Пусть п > N, Sn,e — конечная £-сеть для Ап и а Е А; найдутся такие точки b Е Ап, s Е 5п,с, что р(а, Ь) < £, p(b,s) < £ и значит р(а, s) ^ р(а, 6)+р(6,5) < 2£. Таким образом, 5п,е — конечная 2б-сеть для А. По теореме Хаусдорфа А относительно компактно, а значит, А компактно. Так как {cl Bn}?^=i — вложенная последовательность компактных мно-
оо
жеств и, очевидно, А = р| cl Вп, то в силу 1.144 А ф 0.
п=1
1.150. 	Аксиомы метрики для h доказываются, как в предыдущей задаче (надо заменить min и max соответственно на inf и sup). Выполнение аксиом
250


для Н следует из упражнения 1.35. Полнота СЬ(Ш) относительно h получается упрощением доказательства полноты в предыдущей задача (не надо строить £-сеть). Полнота СЬ(Ш) относительно Н следует из упражнения
1.73.
1.151. В пространстве ШТ х ШТ введем метрику h согласно упражнению 1.11. Функция р : ШТ х ШТ —► [0,+оо) непрерывна в этой метрике (см. упражнения 1.11, 1.12), а множество Ах В компактно в пространстве ШТ х ШТ (см. 1.142 б). Согласно 1.147 2) найдется точка (х, у) е Ах В такая, что р(х, у) = р(А, В) ^ 0; если бы выполнялось равенство р(А, В) = 0, то это значило бы, что р(х,у) = 0, т. е. х = у, что противоречит тому, что АП В = 0. Следовательно, р(А,В) > 0.
Одной замкнутости для справедливости утверждения настоящего упражнения недостаточно, о чем свидетельствует следующий пример. Пусть
Ш = I&2, А = {х = (хг,х2) : х\ • Х2 = 1}, В = {у = (xi,х2) : х\ • х2 = 0}.
Здесь А и В замкнуты (но не являются компактными), р(А,В) = 0, и не существует точки, в которой это расстояние бы достигалось.
1.152. Пусть Хп —► х; тогда p(V{xn), V(x)) < р(хп,х) —► 0. Следовательно, V, а с ним и /(х) = p(x,V{x)) непрерывны на компакте ШТ. Согласно 1.147 2) существует точка х* £ Ш, в которой достигается минимум функции
/, f{x») = min fix).
хеш
Предположим, что /(ж*) > 0. Тогда
/(7>(z.)) = p(pix,),V(Vix.))) < pix.,Vix.)) = fix.),
что противоречит определению минимума. Значит,
/(х*) = p{x*,V(x*)) = 0, х* — Р(х.), неподвижная точка Р.
Предположим, что хо ф х* и хо = 'Р(хо). Тогда
р(х*,хо) = р(Р(х*),7:>(хо)) < р(х*,х0).
Это противоречие означает, что хо = х*, т. е. доказана единственность неподвижной точки.
Определим последовательность непрерывных функций дп: [0, -foo):
gnix)=p{'Pnix),x,)=piVnix),Vix»))<p(Vn~1ix),x,)=gn~iix), х€Щ
так как эта последовательность строго убывающая и ограниченная снизу (нулем), то при каждом х Е ШТ существует
д(х)= lim gn(x)=iniдп(х) ^0; при этом дп(х)>д(х) (хЕШТ, ra£N).
п—*• оо n6N
251


С помощью неравенства (1.1) убеждаемся в том, что при каждом n G N и х, у Е Ш
\дп(х) - дп(у)\ = \p{Vn{x),x,) -Vn(y),x.\ < p(Vn(x),Vn(y)) < р(х,у),
откуда |д(х) — д(у)| ^ р(х, у). Значит, функция д(-) непрерывна на 971. По теореме Дини дп(х) =$ д(х) на 971.
Зафиксировав х G 971, положим хп = ^п(х); в силу компактности Ш найдется подпоследовательность хПк —> х (к —► оо, х G 9Л), а непрерывность Р означает, что xnfc+i = P(xnfe) —► ^(х). Итак,
р{хпк,хПк+1) -► р(х,Р(х)). (10.24)
Предположим, что х ф V(x). На множестве G = Ш1х971\А (А = {(у, z) :
^ и/ \ • P('P{y),V(z))
у = z}) определим непрерывную функцию h{y,z) = ——-т1— ; по
Р\У-> z)
условию h(y,z) < 1 на G. Так как по предположению (x,V(x)) G G, то найдется положительное г < 1 и окрестность U точки (х, V(x)) такие, что h(y,z) < г для (у, z) G £/; найдется также такое АГ, что для всех к > К (xnk,V{xnk)) G £/; зафиксируем такое fc; для него
h(xnk,V(xnk)) <r p(xnk+i,xnk+2) <г- р(хпк,х„к+0;
отсюда полагая т = Пк 4-1, Пк 4- 2,... придем к неравенству
Р{.Хпк+т', Xnfc+ra+l) ^ Т р(Хп^ , Хпк + 1)•
Устремив в этом неравенстве т —► оо получим, что p(xn, xn+i) —> 0 (п —► оо); сравнивая это предельное соотношение с (10.24), получим, что х = V(x). Это противоречие означает, что х — неподвижная точка V\ в силу единственности х = х*.
Ранее было доказано, что
р(хп,х*) = р(7^п(х),х*) = дп(х) =3 д(х) (п-> оо) и р(хП|е,х*) -► 0;
сравнивая эти два предельных соотношения, приходим к выводу, что д(х) = 0. Таким образом, последовательность Vn(x) сходится к неподвижной точке х* равномерно на 971.
1.153. 	В силу равномерной непрерывности /
(Ve) (35 > 0) (Vt 6 [о,6]) (Vx,у : |х - у\ < 5) (|/(t,x) - f(t,y)\ < е);
Пусть хп —* х в С[а, £>], т. е. xn(t) =5 x(t); это значит, что
(3N € N) (Уп > N) (V* € [а,6]) (|x„(t) - x(t)| < <5);
252


следовательно, < е. А это в свою очередь означает,
что
f(t,xn(t)) =3 f(t,x(t)), или V(xn) —► V(x) в С[а, 6].
Функция /(£,х) = g(t)x равномерно непрерывна на [а, 6] х R, значит справедливо доказанное утверждение.
1.154. Как и в 1.153 доказывается, что К(t, s, xn(s)) —► К(t, s, x(s)) равномерно относительно (£, s) G [a, 6]2. Это означает возможность совершить предельный переход под знаком интеграла, т. е.
ь ъ
J K(t, s,xn(s)) ds —у J К(t, s,x(s)) ds
a a
равномерно относительно t € [a, 6], или V(xn) —► ^(x) в C[a, 6].
Функция jFC(t, 5, x) = M(£, s)x равномерно непрерывна на [a, 6]2 x R, значит справедливо доказанное утверждение.
1.155. Пусть х £ С[а, Ь] и xn(£) =4 x(t). Так как равномерно сходящаяся последовательность ограничена, то существует константа М такая, что |х(£)| ^ М, |жп(£)| ^ М (t € [a, 6], п = 1,2,...). Далее,
(Ve) (3JV 6 N) (Vn > JV) (Vt € [a, 6]) (|xn(t) - *(t)| < тДД._г) ; отсюда следует, что
IXn(t) - xm(t)| = |x„(t) - x(£)| • IxJT1 + x£~2x + ... + xm-1| <
£ • тГ'1 = e.
mMm_1
Следовательно, x™(t) =3 xm(£), или Pi(xn) —► V\(x) в C[a,6]. Равномерная сходимость позволяет совершить предельный переход под знаком интеграла, т. е. доказать, что V2(xn) —* V^ix) в С[а,Ь].
1.156. 	Рассмотрим последовательность xn{t) = 8гп*пЬ ? п = 1,2,... в пространстве С[0,1]. Так как |xn(t)| < ^ ► 0 (п —> оо), то хп(£) =4 0, т. е.
хп —* 0 в С[0,1]. Однако, Vi(xn)(t) = irsiriTrnt не имеет предела.
Пусть хп —*► х (п —► оо) в С^[а, 6], т. е.
pC(i)(xn,x)= тах|хп(£) — ж(£)| + max|xn(£) — х'(£)| —► 0, п —> оо. Тогда
pc(V2(xn),V2(x)) = max Ixn(t) -x(t)| ^
t€[a,b]
^ max|xn(£) — x(£)| + max|xn(£) — x'(t)\ = pC(i) (xn, x) —j► 0, n —► oo,
следовательно, отображение “Рг непрерывно.
253


2.
2.1. Применим неравенство треугольника и воспользуемся положительной однородностью нормы:
INI = IK* - у) + 3/11 ^ ||* - 2/11 + ||у|| =>• ||х|| - ||у|| ^ ||х - у||; 112/11 = ||(У - *) + *11 < IIУ - *11 + 11*11 => llvll -11*11 ^ Из/ - *11;
Вместе оба эти неравенства и означают требуемое.
2.2. Пусть р(х, у) = ||ж — у\\. Аксиома тождества для метрики следует из аксиомы тождества для нормы, аксиома симметрии — из положительной однородности нормы; неравенство треугольника для метрики получается из неравенства треугольника для нормы следующим образом:
р{х,у) = II*-2/11 = ||(*-г) + (* -2/)И < II*-«II + Ik-1/11 = p(x,z) + p(z,y).
2.3. Этот факт является следствием непрерывности метрики. Впрочем, можно это показать и непосредственно с помощью 2.1. Пусть хп —*- х (п —► оо); это значит, что \\хп — х\\ —> 0. Из 2.1 видим, что |||хп|| — ||х||| ^ \\хп — ж|| —> 0 (п —► оо); следовательно, ||хп|| —► ||х||, т. е. норма — непрерывная функция.
2.4. Пусть ж,у,жп,2/п (n Е N) — элементы ЛНП, а,(3 — числа из Р и Хп —> X, уп > у {п > оо). Тогда ||(ажп + /Зуп) - (\\ах + (Зу)|| =
= \\а(хп -х) + Р(уп -2/)|| < |а|||хп -х|| + \/3\\\уп-у\\ -► 0; это означает, что ахп + /Зуп —> ах + /Зу п оо, т. е. алгебраические операции непрерывны.
2.5. В пространствах Мр,Ср ||х|| = ( J2
\к=1
1Р (1 ^ р < оо) ||х|| = (j2 \ХЛР
\к=1
||х|| = sup|xfc|; в пространстве С[а,Ь] ||х|| = max \x(t)\; в пространстве ке N te[a,b]
M[a,b\ ||ж|| = sup |х(£)|;
te[a,b]
2.6. Доказывается точно так же как для пространств С [а, 6], М[а, Ъ] (см. п.1.4).
2.7. Доказывается точно так же как для пространств С [а, 6], М[а, Ь] (см. п. 1.4). В указанном доказательстве надо заменить |х(£)| на ||ж(£)||*.
2.8.Пусть BV[Uyb] — линейное нормированное пространство функций
ъ
х : [а, 6] —► R ограниченной вариации с нормой ||х|| = \х(а)\ +\J{x) и
254
в пространствах со, с, т =
|Р)
Мр ; в пространствах


{xn(*)}?Li — фундаментальная последовательность функций ограниченной вариации, т.е.
(Ve > 0) (3N € N) (Vn,m > N)(\\xn - xm|| < s).
Обозначим для краткости ynm(t) = xn(t) — Xm(t). Тогда
|xn(£) #rn(£)| = |Упт(^)| ^ |У nm (*)- Упт (fl) | ~h |2/nm(&)| ^
b
^ |Упт (CL) | -|- ^(j/nm) — 11Упт | | — | \Xn Xrn 11 E.
a
Это значит: числовая последовательность {хп(£)}^1 при каждом t G [а, Ь] фундаментальна, т. е. существует поточечный предел x(t) = lim xn(t).
п—юс
Надо установить два факта: а) х( ) G и б) жп —► ж в ВУ[а,ь\ •
Пусть т = {Ьк}к-о ” произвольное разбиение отрезка [а, Ь] : cl = to < t\ < • • • < tp = b.
v
|ynm(a-)| + nm (**)- Упт (tk—1)| ||Xn Xm|| ^ £•
k=l
Устремив m —► оо, получим
p
|ж„(а) - ж(а)| + ^|(x„(tfc) - x(tk)) - (x„(tfc_1) - x(£fc_i))| < e. k= 1
Отсюда следует, что xn( ) — x(-) — функция ограниченной вариации и
ъ
|ж„(а) - х(а)| + \/(хт - х) = ||х„ - х|| ^ е. (10.25)
а
Так как x(t) = xn(t) — (xn(t) — x(t)), то x(-) G BVja>b], а в силу (10.25) xn —> x в BVja,b].
Пусть
M = {xs : [a, b] —► R : xs(t) = 0, t ^ s, xs(t) = 1, £ > s, 5 G [a,6)}.
Множество M С BV[ayb] несчетно и ||xs — av|| = 2 при s Ф s'. По теореме 1.6 пространство BV[aib] несепарабельно.
n
2.9. 	Так как можно записать ||х||С(П) = 22 IIх lies то выполнение ак-
к=0
сиомы положительной однородности и неравенства треугольника очевидно. Пусть ||х||С(п) = 0. Тогда ||ж^||с = 0 для к = 0,1,...,п, что возможно
255


лишь для функции, тождественно равной нулю. Следовательно, импликация ||я||С(п) = 0 ==> х = 0 имеет место. Обратная импликация очевидна. Итак, показано, что С^ [а, Ь] — ЛНП.
Пусть Хт —* х в С^[а, Ь], т. е. \\хт — х||С(П) ► 0. Это значит, что
||#m^ — х^\\с —* 0 или Xm\t) =* x^k\t) (к = 0,1,..., п). Таким образом, сходимость последовательности функций в пространстве С^ [а, 6] есть равномерная сходимость всех производных до порядка п включительно.
Полноту пространства будем доказывать индукцией по п. При п = 0 С^ [а, Ь] = С [а, Ь] — полное пространство. Предположим, что пространство С^п_1^[а, Ь] — полное. Пусть {хт}т=\ С С^[а, Ь] — произвольная фундаментальная последовательность. Это значит, что \\хш — Хр\\С(п) —► 0 при т, р —► оо, откуда
п— 1
£||x«-xf||c-0, Цх^-х^Ц-0, (т,р —> оо). (10.26)
/с=0
Первое предельное соотношение в (10.26) означает, что исходная последовательность фундаментальна в полном по предположению пространстве С(п-1)
[о, б]■ Следовательно, существует х € ^ [й^ 6], такая, что Хщ * х
в [а, 6]. Второе предельное соотношение в (10.26) означает, что суще¬
ствует такая непрерывная функция у, что Xm\t) =3 y(t) (га —> оо).
Запишем известное представление непрерывно дифференцируемой функции через ее производную
t
x%-l\t) = х^-г\а) + J x£Hs) ds. (10.27)
а
Ввиду равномерной сходимости (t) y(t) в этом представлении можно перейти к пределу при т —> оо так, что
t
x^n_1^(t) = х('п~1\а) + J y(s)ds.
а
Отсюда следует, что х ^ = у Е С [а, 6], или х Е С^[а, 6] и так как Xm\t) =4 (fc = 0,1,... ,п, га —► oo), то xm —► x в C^n^[a,Ь]. По индукции пространство
с(»)
[а, Ь] полно при любом п Е N.
2.10. 	Положительная однородность и неравенство треугольника следуют из того, что модуль числа обладает этими свойствами. Пусть |х(а)| + ъ
+ f\x'(t)\dt = 0. Тогда одновременно выполняются равенства |х(а)| = 0
а
256


b
и f\x'(t)\dt = 0. Из второго равенства следует, что x'(t) ~ 0, что ввиду
а
абсолютной непрерывности х(-) означает, что x(t) = const. Тогда первое равенство означает, что х(£) = 0.
2.11. 	Рефлексивность: для любой нормы ||х|| ^ ||х|| ^ ||х||; симметрия: если а||х||2 ^ ||x||i ^ (3||х||2, где а > 0,(3 > 0, то
транзитивность: если
<*IM|2 ^ \\x\\i < /3\\х\\2 и 7||х||з ^ \\х\\2 ^ 6\\х\\з
(a, f3,j,5 > 0), то а7||х||3 ^ ||®||i ^ &Р\\х\\з-
2.12. Пусть а||х||2 < \\х\\г < Р\\х\\2 (« > 0,(3 > 0) и ||хп - ®||2 0 (п —* оо). Из правого неравенства следует, что \\хп — x\\i —► 0; если \\хп — х|| 1 —► 0, то из левого неравенства следует, что \\хп — х\\2 —> 0.
2.13. Пусть а||х||2 ^ ||x||i < /3||ж||2 (а > 0,(3 > 0) и последовательность {xn}£°=i фундаментальна относительно нормы || • ||2 : \\хп —Хт||2 —► 0 (п,т —► оо). Тогда из правого неравенства следует, что \\хп — xm||i —► 0 (п, т —► оо), т. е. последовательность фундаментальна относительно нормы || • ||и если последовательность фундаментальна относительно нормы || • ||i, то с помощью левого неравенства доказывается ее фундаментальность относительно нормы || • ||2.
2.14. Пусть а||х||2 ^ ||x||i ^ /3|М|2 (а > 0, (3 > 0), пространство X полно относительно нормы || • ||i и последовательность {xn}??=i фундаментальна относительно нормы || • ||2 : ||хп — жт||2 —> 0(п,т —> оо). Согласно 2.14 она фундаментальна и относительно нормы || • ||ь Следовательно существует х Е X такой, что ||xn — x\\i —► 0 (п —» оо); в силу левого неравенства ||жп — х\\2 —► 0 (п —► оо), что означает полноту пространства X относительно нормы || • ||2. Точно так же рассуждаем, если пространство X полно относительно нормы || • ||2.
2.15. В неравенстве (2.2) надо взять в качестве пространства X пространство Рп с любой нормой.
2.16. Пусть || • ||i, || • ||2 — две произвольные нормы в конечномерном пространстве X. Согласно неравенству (2.2) запишем два неравенства
арНи*? =% IN|i ^ /?||£||рп, 7||z||Pn < ||х||2 ^ (5||x||j«,
из которых получаем: f ||x||2 < ||ar||i ^ 11|lb-
257


2.17. Пусть У С X — конечномерное линейное многообразие. По теореме 1 оно замкнуто, следовательно по теореме 1.1 оно полно.
2.18. Каждый многочлен p(t) = aotn -\-a\tn~l Н \-an-it+an определяется п+1-мерным вектором (ао, ai,..., ап) коэффициентов. Следовательно, Pn[a, b] — п+1-мерное линейное многообразие в С[а, Ь]. В силу 2.17 Рп[а, 6] — подпространство С [а, 6].
2.19. Пусть пространство Z = X х У банахово, последовательности {жп}^=1 и {уп}п=г фундаментальны соответственно в X и У. Положим гп = (хп,Уп)] тогда
|\zn - ZmWz — WXn - хт\\х + \\уп ~ Ут\\у-+0(п,т —> ОО).
Значит, последовательность{гп}$й=1 фундаментальна в Z. В силу полноты этого пространства существует 2 = (ж, у) G Z, zn —► 2; так как О <— \\zn - z\\z = ||xn - ж||* -f ||уП - y\\y, TO ||xn - х\\х —► о, lls/n — У||у —► 0; это означает полноту пространств X и У.
В таком же духе доказывается и обратная импликация: полнота X и У влечет полноту Z.
2.20. Пусть <р : X —► У (X, ^ — ЛНП) — изометрический изоморфизм и Хп —> х в X. Так как <p(xn) — <р(х) = ср(хп — ж), то ||<р(хп) — ip(x)\\y = = II<р(хп ~ ж)||у = ||жп - х\\х —► 0 (п -» оо), т. е. <р(хп) —► 4>{х) в У. Это и означает непрерывность (р.
2.21. Пусть <р : X —> У (X, У — ЛНП) — изометрический изоморфизм. Так как <р биективно, то существует обратное также биективное отображение цГ1 : У —> X.
Покажем, что (р~г изоморфизм. Пусть у* Е У, Xi == (p~1(yi); это значит, Уг = <р(хг) (г = 1,2). Тогда
ay 1 + /Зу2 = anp(xi) + /3(р(х2) = ip(axi -f f3x2) =>
=» <p_1(ayi + f3y2) = axi + (3x2 = a</?-1(yi) + /3<р-1(2/2).
Осталось показать, что </?_1 — изометрия. Пусть у € У, ж = v?_1(y); это значит, что у = (р(ж). Имеем
11^_1Ы1к = ||х||д- = ||^(ж)||у = ||у||у.
2.22. Пусть Х = Уи<р:Х—+У — изометрический изоморфизм. Так как (см. 2.20) \\<р(х) — <р(у)\\у = ||ж — у\\х, т. е. изометрический изоморфизм сохраняет расстояния между элементами, то фундаментальной последовательности в пространстве X (У) соответствует фундаментальная
258


последовательность в пространстве У (X), сходящейся последовательности в пространстве X (^) соответствует сходящаяся последовательность в пространстве У (А'). Из сказанного и вытекает утверждение, которое нужно было доказать.
2.23. 	Пусть х — нулевой элемент факторпространства Х/У, т. е. х = У\
ЦхЦд’/у = inf ||х||лг = 0. Обратно, если ||ж||луу = 0, то существует ПОСЛе- жбУ
довательность {хп} С х такая, что хп —* 0. Так как в силу замкнутости У смежный класс х = х + У также является замкнутым, то он содержит предел этой последовательности, т. е. 0 £ х. Это значит х = 0. Аксиома тождества доказана.
Так как Ах = {у : у = Ах, х £ х}, то
И*х||д7у = rnf 11*11* = inf ||Ах||* = |А( inf ||х||д- = |А| • \\х\\х/у.
х£\х х£х х£х
Осталось проверить выполнение неравенства треугольника. Так как х 4- у = х 4- у, где х £ х, у £ у, то из определения нормы следует
II* + Шх/у = \\х + у\\х/у < ||х + у\\х < \\х\\х + IMU-
Перейдем теперь в правой части к точным нижним граням; в итоге придем к требуемому неравенству.
Таким образом, аксиомы нормы выполняются.
Докажем полноту факторпространства. Пусть ф : X —► X/У естественный гомоморфизм пространства X на факторпространство X/У, т. е. ^(х) = х = х + У. Для любого х £ Х/У найдется х £ X такой, что ф(х) = х, причем по свойству точной нижней грани
Щ\х/у>\\\х\\х. (10.28)
Пусть X — полное ЛНП и {xn}^Li С Х/У — фундаментальная последовательность. Это значит, что ||хп — Хт\\х/у —* 0 (га,п —> оо). Так как Хп — Хщ = Хп — Хщ, ТО НаЙДуТСЯ
Хп £ Хп) Хт £ Хтп.) Хп Хщ £ Хп Хт
такие, что ввиду (10.28) 0 <— ||хп — хт\\х/у ^ \\\хп — хт\\х- Итак, последовательность {xn}^=i фундаментальна в полном пространстве X, значит, существует х£ X такой, что ||хп — х\\х —► 0
(п —► оо). Полагаем х = ф(х). Из определения нормы в X/У имеем


т. е. хп —► х G X/У. Полнота факторпространства доказана.
2.24. Необходимость см. в теореме 2.3. Докажем достаточность.
Пусть сходится любой ряд (2.4), для которого сходится числовой ряд
(2.5) и {уп}п=ioo С X — произвольная фундаментальная последовательность. Выделим подпоследовательность {уПк}к=ioo так, чтобы ||уПк+1 ~Ук|| < < при этом rik+i > пк, к = 1,2,... (см. решение 1.24,5). Так как ряд
оо
22 \\Упк+1 — Ук|| сходится (он мажорируется сходящейся прогрессией), то
к=1
оо
по условию сходится и ряд уП1+ 22 (Упк+i — У к) •> частичная сумма которо-
к=1
го равна уПк+1> Итак, подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится. В силу 1.23 сходится и вся последовательность. Значит, пространство X полное.
2.25. См. пример 4 из п. 1.1.
2.26.Пусть х,у G LP(T,21,/х), а, /? Е Р. Применим неравенство Минков- ского:
\ax(t) + 0y(t)\p d/j, j s? |а| I J \x(t)\p dfi I +
\T / \T /
+ \P\ Mt)\Pdpj <+oo, (10.29)
так как x,y G Lp(T,2l,/x). Следовательно, ax + /Зу € LP(T, 21,/х). Это озна¬
чает, что LP(T, 21,/х) — линейное пространство. Если / |x(£)|pd)u =
т
= 0, то x(t) ~ 0 (см. [7, с. 128]), т. е. аксиома тождества выполняется. Положительная однородность выражения \x(t)\p ~ очевидна; неравенство треугольника получается из (10.29) при а = (3 = 1. Таким образом,
доказано, что Lp(T,2l, //) — ЛНП.
2.27.Пусть х G Lp(T,2l, /х), а > 0, А(сг) = {£ : \x(t)\ ^ а}. Тогда
1МГ = [\x(t)\pdfx^ f \x(t)\p dfj, ^ ар f dn = apfj,(A(<r));
Т А(а) А(а)
отсюда получаем требуемое неравенство: /л(А(а)) ^ ^И|ж||р-
2.28.Пусть Т = [0,1], /i = mes — мера Лебега,
/1Ч Г п при и ^ г < л
xn(t) = < л \ 0<е<1, р=1.
п при 0 ^ t <
0 при £ ^ t ^ 1, 260


Тогда mes An(e) = mes[0, £] = ^ —► 0, т. e. xn(t) сходится по мере к x(t) ~ 0.
l
Однако ||xn — 0|| = / xn(t) dt = 1, т. e. xn не сходится к x в среднем.
о
2.29. 	Рассмотрим последовательность
( Для |*| < п,
непрерывных функций; так как xn(t) ^ 0, supx„(£) = х„(0) = £ —> 0, то
teR
xn(t) =3 0 на R (п —> оо). Однако, f xn(t) dt = 1 (n = 1,2,...) Значит, эта
R
последовательность не сходится в пространстве Li (R) (хотя и сходится в пространствах LP(R) при р > 1 так как f xp(t) dt = ;^\2np-i )• Для каждо-
R
го конечного р > 1 можно привести пример равномерно на R сходящейся последовательности, но не сходящейся в пространстве LP(R). Приведите такой пример!
2.30.Пусть ж, у € /р, а,/3 £ Р. Для любого натурального N ввиду неравенства Минковского имеем
/ N \р / N \р / N \р
(£|ax + ft,|M <Н £|х|М + |/?| £>П ^
\fe = l / \fc = l / \fc = l /
/оо \ Р /оо \р
<НПГ>|Ч +|/3|(£ыр) .
Так как частичные суммы ряда \ах + 0У\Р с неотрицательными члена-
к=1
I \ Р
( ( 00 \р /°°
ми ограничены сверху (числом I |а| ( ^ |х|р 1 +|/?|( ]С МР ) 1 )> то РЯД
сходится; следовательно, аж + (Зу 6 /р, т. е. — линейное пространство.
2.31.а) Да; б) нет, не выполняется аксиома тождества; отличные от нуля константы, имеют равные нулю производные; в) нет, по той же причине;
г) 	да. Положительная однородность и неравенство треугольника очевидны. Докажем аксиому тождества.
Пусть |ж(а)|+ max |ж'(£)| = 0. Это значит, что < ’ Из второго
te[a,b] \х (£)| = 0.
равенства следует, что x(t) = С, а из первого — что С = 0;
д) 	да. Рассуждения аналогичны приведенным в п. г).
Относительно нормы п. а) пространство X не является полным.
261


Пусть xn(t) = yjt2 + i на [—1,1], n = 1,2, Так кале
*2 + i-W
to xn —► x, x(t) = \t\ в C[—1,1] и следовательно, эта последовательность фундаментальна, относительно нормы а). Однако х £ X.
Докажем полноту пространства X относительно нормы г).
Пусть последовательность {хп}^°=1 С X фундаментальна относительно нормы ||х|| = |х(а)|+ max |х'(£)|. Тогда сходимость ||хп — хт|| —► О
tE[a,b]
Г IХп(а) - Хт(а)I —► О,
||хп Хт||(7[а55] ► 0 (fl, 1
(п, га —► оо) означает, что < т. е. после-
■ , га —* оо),
довательности {хп(а)} и {х^} фундаментальны в полных пространствах R
и С[ауЬ] соответственно. Следовательно, существуют а 6 R и у € С[о,6]
t
такие, что хп(а) —► се, хЦ^) =4 у(£)(™ —► оо). Обозначим x(t) = а + f y(s) ds;
а
t
очевидно, что х G А’; из представления xn(£) = xn(a) + f x'n(s)ds в силу
а
равномерной сходимости x'n(t) =4 у(£) получаем, что хп -+ х относительно нормы г).
2.32.Да, во всех четырех случаях. Положительная однородность и неравенство треугольника очевидны. Аксиома тождества проверяется так же, как в 2.31. Рассмотрим,например, выражение б). Из равенства
/Ь \1/2 ( x”(t) = 0,
yS \x(t)\2 dtj + ||ж"||с[а,ь] = 0 следует, что ^ j df = 0 Из пер_
вого равенства следует, что x(t) = Ci + C2t, где С\ и С2 — произвольные константы; из второго — С\ + C2t = 0; значит, х = 0 в пространстве X. Докажем полноту пространства X относительно нормы а).
Пусть {Хт}%=1 — фундаментальная относительно нормы
IMIi = k(a)l + |z»l + max |х"(<)|
t£[a,b\
последовательность функций из X. Это значит, что ||xn — xm||i —► 0 при п, га —► оо, т.е. одновременно
I Хп(о) - Хт(а) I —► 0,
|xn(a) хт(й)| ► 0,
max |хп(*) - х" (£)| = ||х" - х" ||С[а,ь] ~+ 0
tG[a,oJ
262


при n,77i —► оо. В силу полноты пространства R относительно естественной нормы из первых двух равенств следует что существуют такие вещественные числа а и /3, что хт(а) —► а, х'гп(а) —* /3 при га —> оо, а из полноты пространства С[а,Ь] и третьего равенства получаем, что Xm(t) =3 y(t) на [а, 6], где у е С[а,Ь].
Подставив представление (10.27) при n = 1 в это представление при п = 2, придем к представлению
|(t-s)x" (<)-(< -s)y(t)| «S (Ь-о)|х" (<) — 3/(*)l. To(t-s)x"(i) =t (i-s)y(s)
на [а, 6], поэтому в правой части (10.30) можно перейти к пределу при 771 —► оо. В итоге получаем
Таким образом, х G X и \\хт — x||i —► оо; этим полнота X относительно нормы а) доказана.
как значение функции в любой точке не превосходит ее максимума, то ||ж||* ^ max |ж(£)| + max \x'(t)\ = ||ж||. В силу представления (10.27) при
t€[a,b] t€[a,b]
гг = 1 при всех t € [a, 6] выполняется неравенство
переходя в этом неравенстве к максимуму по t 6 [a, b] и прибавляя к обеим частям max |a/(t)|, получим
t
(10.30)
а
Так как
t
(10.31)
а
Из представления (10.31) видим, что
t
х(а) = а, х'(а) = /3, х (t) = х (а) + J y(s) ds, х"(t) = y(t)
а
2.33. 	Пусть ||х|| = |х(а)|+ max|x'(*)| = ||х||„, ||х|| = ||x||c(i)[ ь]. Так
t€[a,o] 1 ’ 1
t
|x(t)| ^ |rr(a)| 4- I |x'(s)| ds < |ж(а)| + max |x'(£)|(6 — a); J t€[a,b]
a
t€[a,6]
||ж|| ^ |®(o)| + max \x'(t)\(b - a + l)^(6-a+ 1)INI*
te[a,b]
263


Окончательно имеем ||х||* ^ ||х|| ^ (Ь — а 4- 1)||х||*.
2.34. 	а). Обозначим ||х||* = |х(а)| 4- \х'(а)\ 4- max|x"(t)|; стандартную
££[а,Ь]
норму пространства С^[а, Ь] обозначим ||х||. Из определения ||х||* < max |x(t)I + max |x;(t)| 4- max |x,r(£)| = ||x||
te[a,b) te[a,b] t€[a,b]
Из представления (10.31) имеем
t
|*(i)| ^ |*(o)| + |*'(e)l(* - a) + J(t- s)|x"(s)|
ds <
(b — a)2
sj |x(a)| + |*'(a)|(b - a) + max >"(<)|
t€[a,b\ L
Перейдем в левой и крайней правой части этого неравенства к максимуму по t £ [а, 6] и прибавим к обеим частям max |x'(t)| + max |х/;(£)|. В резуль-
t€[a,b] tG[a,b]
тате получим
11*11 < l*(«)l + I*'(«)!(*> - а) 4- max + max |ж"(<)| ( ^ + Л ;
t€[a,b] t6[a,b] \ Z J
Из представления (10.27) при п — 2 получаем оценку
max |х;(£)| ^ |х;(а)| + (b — a) max \x"(t)\]
te[a,b] te[a,b]
таким образом,
11х11 ^ |x(a)| 4- |х'(а)|(6 - а 4- 1) 4- max |х"(£)| ( ^ 4- b - а 4- Л ^
te[a,6] \ 2 J
^ 2°^ +b~a+l) 11*11*-
Окончательно получаем требуемое двойное неравенство
11*11* < 11*1К (^Ц^+6-a + l) ||*||*.
г). Рассуждения близки к проведенным выше для случая а). Окончательное неравенство
1
тах{1, b — а}
где ||х||» = |ж(а)| + ||х'||С[а,ь] + / |*"(f)| dt.
а
264


2.35. 	Выполнение аксиом нормы для || • ||* очевидно. Докажем эквивалентность норм. Обозначим А = ^ax |(max{M, |^|})fej> (> 0); тогда
1И1с[а,ь] = max
lo,oj
k=0
k=0
Пусть a ^ to < ti < ... < tn ^ b, x G Р[а,Ь]. Система линейных уравнений
n
У" dkti = x(ti), i = 0,1,... n
fc=0
относительно неизвестных ao, oi,..., an однозначно разрешима, так как ее определитель есть определитель Вандермонда detTn, Гп = (tf)™fc=0, det Гп >0. Из этой системы найдем
п
ак = ckix(ti), к = 0,1,... п,
г=0
где сы — элементы обратной матрицы Г”1. Отсюда следует
INI* = £ Ы < В ■ ||х||с[а,ь] [в= £ 1С«1) !
к=0 \ fc,i=0 J
таким образом,
^INIc[a,b] ^ INI* ^ В||х||С[а,ь]-
2.36. Да. В проверке нуждается только неравенство треугольника. Пусть М* = max л ||х^||с[а,ь] г • Так как при увеличении функции макси- мум может разве лишь увеличитьсяч и максимум суммы неотрицательных функций не превышает суммы их максимумов, то
||Х + ^ = оЖ I11*'4 + ^ oS О^11} +
+ 0“^„{ll2/<,:)|lc(a,b1} = М* + Ы*. Пусть || я; || — стандартная норма в С(п} [а, Ь]. Тогда, очевидно, М^||х|К(п + 1)||а:|Г.
Ввиду доказанной эквивалентности норм и полноты пространства С^ [а, Ь] (см. 2.9 и 2.14) данное ЛНП полно.
2.37. а) Нет. Они не образуют даже линейного многообразия, так как разность возрастающих функций может не быть монотонной функцией (в
265


таком виде, как известно, см. [7, с. 21], может быть представлена любая функция ограниченной вариации );
б) да. Множество четных функций, очевидно, образует замкнутое линейное многообразие, т.е. подпространство в С[— 1,1]. Таким же свойством обладает и множество нечетных функций. Замкнутость следует из возможности перейти к пределу в равенствах хп(—t) = xn(t) и xn(—t) = — xn(t)\
в) нет. Непрерывно дифференцируемые функции образуют незамкнутое линейное многообразие в С[— 1,1] (см. 1.61);
г) нет. Непрерывные функции ограниченной вариации образуют незамкнутое линейное многообразие в С{—1,1] (см. 1.61);
д) нет. Непрерывные кусочно линейные функции образуют незамкнутое линейное многообразие в С[—1,1] (см. 1.61);
е) да. Пусть М С С[—1,1] — множество функций, удовлетворяющих условию ж(0) = 0, х* — предельная точка этого множества, хп —*► х*, т.е. хп(0) = 0 (п G N); тогда ж*(0) = 0, т.е. х* G М; следовательно, М замкнуто. Тот факт, что М образует линейное многообразие в С[— 1,1] очевиден;
ж) да. Из линейности интеграла следует, что множество
образует линейное многообразие в С[—1,1]. Пусть х* — предельная точ¬
ка этого множества, хп —> ж*, хп G М, т. е./xn(t)dt = 0 (n G N).
Так как сходимость в пространстве С[—1,1] равномерная (см. п. 1. 3.), то ь ь
0 = /xn(t)dt —► f x*(t)dt, х* G M\ замкнутость М доказана;
з) нет. Пусть Ml — множество функций, удовлетворяющих условию Липшица с константой L, х,у G Ml; тогда х + у, 2х удовлетворяют условию Липшица с константами 2L. Множество Ml не является линейным многообразием. Однако это множество замкнуто.
Для доказательства замкнутости достаточно перехода к пределу в неравенстве xn(t) — xn(s) ^ L\t — s|;
и) нет. Пусть М — множество таких функций. Очевидно, М — линейное многообразие в С[— 1,1].
Покажем, что оно не замкнуто. Рассмотрим последовательность xn(t) = + ^, п = 1,2,... (ср. 2.31,1.61). При каждом n G N хп удовлетворяет условию Липшица (с константой ), значит, {xn}$K=i С М. Однако
ь
а
а
а
266


Хп -«■ X, X(t) = л/Щ (см. 2.31,1.61); при любом L найдется такое t Е [—1,1], что следовательно, х — предельная точка множества
М и х £ М.
2.38. 	а) Пусть C7_f. [— 1,1] (С_[—1,1]) — множество четных (нечетных функций). Так как
= x(t)+x(-t) + x(t) - x(-t)
(10.32)
2 2
представление любой функции из С[—1,1] в виде суммы четной и нечетной функций, и это представление единственно, то
С[-1,1] = С+[-1,1]+С_[-1,1]-
требуемое представление;
б) пусть Со[—1,1] С С\—1,1] — подпространство функций, обращающихся в нуль в какой-либо точке to Е [—1,1] (см.2.37 е)); Тогда ввиду того, что x(t) = x(to) + (x(t) — x(to)) имеем представление
C[-l,l] =R+Co[-l,l];
в) пусть теперь Со[—1,1] С С[—1,1] — подпространство функций, обращающихся в нуль в заданных точках t\, t2, • • •, £п(Е [—1,1]). Тогда
С[-1,1] =Мп+С0[-1,1].
2.39. 	Из линейности суммы и предела следует, что У — линейное многообразие во всех трех случаях.
Пусть X = Zi, х* — предельная точка У, х€ У (га Е N)
х* в 1\. Так как 22 х= 0, то
к=1
оо
=
fc=l
£**-£
(тп) г* '
к=1
откуда следует, что 22 хк = 0, т.е. х* Е У. Таким образом, У — подпрела 1
странство в /1.
Покажем, что Y не является подпространством в 12. Рассмотрим последовательность x(n) = (1, ,..., , 0,...) и х = (1,0,0,...). Легко видеть,
71 П
что x(n) Е Y (п = 1,2,...); так как ||х^ — х\\2 = 22 = п ~* 0, т° х ~
к=1 n п
предельная точка У, при этом х £ У.
267


Точно так же доказывается незамкнутость Y в loo-
2.40. В силу принципа сходимости Коши из сходимости ряда следует, что для любого е > 0 найдется такое натуральное п, что для всех
т— 1
п, т > AT, т > п \\хк — Хк+1|| < £; с помощью неравенства треуголь-
к—п
т — 1
ника получаем \\хп — Хт\\ ^ Y2 \\хк ~ Xfc+i|| < £> что означает фундамен-
к=п
тальность последовательности {xn}S£=i.
Обратное утверждение не имеет места: из фундаментальности последовательности не следует, вообще говоря, сходимость указанного ряда. Рассмотрим пример. Последовательность х^ = (1, О,...) сходится в
пространстве 12 к элементу х = (1, ..., ...), так как ||ж^ — х\\ =
/ \ 1 / оо у
= ( S I —^ 0 (как остаток сходящегося ряда). Значит, последова- yfc=n+l J
оо
тельность фундаментальна. Однако ряд 5^ ||ж^ — ж^п+1^|| =
П=1
оо
= £ расходится.
П=1
2.41. В силу неравенства 2.1
\ot-n Otm | — |||ЖП Уп || ||Хт Ут || | ^ ||(Хп Хт) (Уп Ут) || ^
^ ||Хп - Хш|| + ||Уп ~ Ут || О (ТП, 71 —► ОО).
В полном пространстве R фундаментальная последовательность {ап} сходится.
2.42.а) Включение bv С с следует из 2.40 и полноты пространства R; остальные включения очевидны;
б) 	определим отображение <р : bvo —► h следующим образом: для х = (a?i, Ж2,.. •) полагаем у == <р(х) = (х2 — xi, хз — х2,...); из определения
bv о следует, что у?(х) £ Zi; так как обратное отображение дается равенством
оо
х = <р—1 (у), Хк — — Y2 Узч к = 1,2,..., то Хк —*• 0 (к —> оо) (как остаток
j—k
сходящегося ряда); итак, отображение у? биективно; линейность <р очевид-
оо
на; значит, (р — изоморфизм; так как ||^(х)||^ = YI |х*+1 — ХЛ = ||х||ь«0> то
к=1
<р — изометрия.
Определим отображение <р : cs —► с следующим образом: для
п
х = (xi,x2,...) £ cs полагаем у = Ц>(х), уп = хк, п £ N; ввиду
к=1
оо
сходимости ряда У] Хк существует предел S = lim уп, т. е. ip(x) £ с;
fc=i п^°°
обратное отображение определяется равенством х = <^-1(г/), х\ = у\,
268


оо
Хк = Ук — Ук-1, к = 2,3,... (у £ с); n-ая частичная сумма ряда 22 Хк равна
k=i
уп; таким образом, биективно и в силу очевидной линейности является изоморфизмом. Так как ||<р(х)|| = sup|yn| = ||х||Ся, то ср — изометрия.
n€N
Отображение ip : bs —► Zoo определим так: для х = (xi,x2,...) € bs
п
полагаем у = <р(х), уп = ^ х*;, n £ N; обратное отображение определяется
fc=i
как в предыдущем случае. Таким образом, как и выше, получаем, что ip — изоморфизм; а так как
п
||х||ь8 = sup У^Хк
то ip — изометрия;
в) пусть х = (a?i, Х2,...) £ £wo; из 2.40 и полноты пространства R следует существование предела а = lim Хк, и следовательно, можно представить
к—> оо
х = ае + у, где
е = (1,1,...) Е bv, у = (х 1 - а, х2 - а,...) е bv0;
единственность этого представления следует из единственности предела; отсюда следует требуемое представление;
г) полнота пространств bvo, bs, cs следует из б) и 2.22; полнота пространства bv — из в).
2.43. 	Введем в рассмотрение линейное пространство последовательностей элементов из X :
± _а_ (Si,S2, ...) : Sn сходится в X}
с нормой ||5||j(*) == sup||5n||Ar- Полнота пространства доказывается точ-
n€N
но так же, как полнота пространства с в 1.24, 4 (роль банахова пространства R в этом доказательстве будет играть банахово пространство X, роль модуля I • I — норма || • Неопределим отображение (р : Y —► 1^ так: для у Е У полагаем
п
'p{y) = S = (SuS2,...), sn = Y,y^k).
к=1
По условию S € 1^. В силу единственности разложения вектора по базису и линейности суммы <р, очевидно, изоморфизм, а так как
1Иу)Н«*> =sup||S’„||* = ||у||;у,
n€N
269
= sup|j/n| =
n€N


то (р — изометрия. Таким образом, пространства У и изометрически
изоморфны,т. е согласно 2.22 У — банахово пространство.
2.44. 	а) Неравенство |я(£)| ^ Ke~at эквивалентно неравенству еа 1 |x(t)| ^ К т. е. существованию нужного супремума;
б) 	легко непосредственно убедиться, что Са — ЛНП. Докажем его полноту. Пусть {xn}S°= 1 С Сех — фундаментальная последовательность. Это значит,
(Ve > 0) (BN € N) (Vn,m > N) eat\xn(t) - xm(t)\ < | (t 6 [0,+oo));
так как eat ^ 1, to |xn(t) — Xm(t)\ < § (t € [0, +00)). Как в 1.71 докажем, что xn(t) =3 x(t) на [0, -hoc),где функция х непрерывна на [0, +оо) причем
Обозначим через по номер, соответствующий в этом неравенстве 6 = 2. Тогда из этого неравенства следует
где КП0 — константа ограничивающая функцию eat\xno(t)\. Таким образом, х € Col- Из неравенства (10.33) следует, что хп->хв пространстве Са;
в) 	пусть 7 > а, сг^О, x(t) = taе-7*; тогда
Следовательно, найдется такая константа К, что eat\x(t)\ ^ К на [0, +оо), т.е. х £ Са- Найдем норму ж.
максимум функции 4>(t) = е ^7 ^ на [0, +оо) достигается в точке
eat\xn(t) - ж(£)| ^ | < е (t e [0, +00)).
(10.33)
eat Ix(t) I < eat |s(*) - Xn0 (t) I + eat\xno (t) | ^ 1 -h Kn0,
eat|x(*)l = e"(7"a)t Г -> 0 (f +00).
||®||a= sup eat|z(t)|= sup e"(7"a)tr;
t€[0,+oo)
t€[0,+oo)
n —► 00. Так как
270


2.46. Последовательность поточечно сходится к функции x(t) = 0. Так
как
McO-u = £ Ilxllc = ± + £ (, - i) ..... (l - . -ij ^ о
к=0 к=1 4 7 4 7
при п —► оо, то Хп —<► 0 в пространстве С^р-1^[0,1]; так как
►««С = (i-i).....(i-E^I)-i,
и значит, ||ж||С(р) —► 1 при п —► оо, то последовательность не сходится в пространстве С^[0,1].
2.47. При любом целом га ^ 0 хп —► х, где x(t) = sint в пространстве С(т)[0,1].
2.48. Сходимость в пространстве С^'"' [а, Ь] означает, что
т
Ikn - z||c(m) = Y IIх" ) “ х(к) IIе 0 (П °°)> к=О
что эквивалентно тому, что
||x{,fc) - x(fc) ||с -» о (n -» оо, А; = 0,1,..., то);
это согласно сказанному в п. 1.3 в свою очередь эквивалентно равномерной сходимости xH°\t) =1 x^k\t) на [а, Ь] (п —> оо, к = 0,1,..., га).
2.49. Функции xn(t) бесконечно дифференцируемы; ж^(0) = 0,
х^ = Vkn(j)e~^, где Vkn — многочлены; так как показательная функция растет быстрее любой степенной функции, то нетрудно убедиться в том, что Хп^ =4 0 на [0,1] (п —► оо, к = 0,1,..., га) при любом натуральном га. В силу 2.48 xn(t) —► 0 в пространстве С^[0,1] при любом га.
2.50. Последовательность поточечно сходится к разрывной функции, следовательно, не может сходиться равномерно; последовательность не сходится в пространстве С[—1,1].
2.51. При а > — 1 х е Lp[0,1], при а < — ^ х G Lp[l, -boo).
2.52. См. 2.53 при р = q = 2.
2.53. Согласно неравенству Гельдера
ь / ь \^/ь \ *
J \x(t)y(t)\dt < | |x(i)|p dt J • Ifmr*) <+°°;
это означает, что xy G Li [a, b].
271


2.54. Согласно неравенству Гельдера
ь / ь \*/ь \ ?
J \x(t)y(t)\T dt ^ IJ |x(i)|pr<ftj • I J \y(t)\4Tdt j <+00;
это означает, что xy G Lr[a, b}.
2.55. 	Пусть x e Lp(T,a,M), p' = 2, q’ = (i + ^ = 1); тогда в силу неравенства Гельдера
/
p — q
(/i(T)) » < +00;
следовательно, x G L9(T,2l, /х), т.е. LP(T, 21, /х) С Lg(T, 21, /х), причем
p — q
NIl, < (М(Т)) - ||x||lp- (10.34)
Пусть x(t) = ta; при —^ < a ^ ^ x G L9[0,1], но x £ Lp[0,1]
(cm. 2.51).
2.56. 	Рефлексивность этого отношения следует из того, что ААА = 0 (упражнение 6.16. [7, с. 65]), симметричность — из симметричности операции Л, транзитивность — из включения
ААВ с AAC U САВ (10.35)
(упражнение 6.1с. [7, с. 66]).
В одну сторону аксиома тождества следует из упомянутого выше равенства ААА = 0. Пусть /л(ААВ) = 0. Это значит, что классы содержащие множества А и В совпадают. Аксиома симметрии следует из симметричности операции Л. Неравенство треугольника следует из включения (10.35) и монотонности меры. Таким образом, доказано, что р — метрика.
Пусть {An}^L 1 С (21/Л) — фундаментальная в метрике р последовательность. Это значит, что fi(AnAAm) —> 0 при п, т —> оо. Пусть \а — характеристическая функция множества А £ 21. Очевидно, если А ~ В, то Ха(Ь) nsj Xe{t)• По этой причине приведенное только что предельное соотношение может быть записано в виде
J\XAn(t)-XAm(t)\dt->0 при n,m —► оо.
Т
272


Это означает, что функциональная последовательность {хап}п=1 Фундаментальна в полном пространстве Li(T,2l,/х). Следовательно, существует / G Li(T,2l, /х) такая, что \\\ап ~ /\\ьг —» 0 при п —> оо. Так как все хлп принимают лишь значения 0 и 1 то и предельная функция принимает лишь эти значения. Обозначим А = {t : f(t) = 1} (G 21) измеримое множество А и содержащий его класс мы обозначаем одной и той же буквой). Тогда f(t) = XA(t), Хап —► XA(t) в Li при п —► оо. Это эквивалентно тому, что Ап —► А в пространстве (21/Л, р) при п —> оо. Полнота этого пространства доказана.
Функция d — метрика в силу упражнения 1.45 г), так как функция h(t) = arctg t согласно упражнению 1.35 удовлетворяет всем условиям, приведенным в п. г).
Полнота пространства 21(/х) доказывается как в упражнении 1.73.
Легко показывается также, что пространство 21(д) будет полным и в случае сг-конечной меры.
2.57. Включение lq С 1Р очевидно; х = (1, ... < рг,...) при р < а ^ q принадлежит 1Р, но не принадлежит lq.
2.58. а) Пусть х удовлетворяет условию Гельдера с показателем а, е > 0 -
произвольно, t, s G [а, 6], \t — s| < <5 = ( bflx) ) • Тогда из определения сле¬
дует
|x(t) - £c(s)| ^ La(x)\t - s|a < La(x)<P* = е;
б) пусть х,у G Яа[а, 6], A G Р; тогда
La( Ах) = |Л| La(x), Ьа(х + у) =
|х(£) 4- y(t) - x(s) - j/(s)| ^ |x(t) - x(s)|
= sup ^^ sup —^rr +
a^t,s^b, Ьфз S|a a^.t,s^b, t^s S|a
+ SUP = La(x) + L°(y)’ (10.36)
т. e. Ax, x 4- у G #a[a, 6];
в) следует из а);
г) положительная однородность и неравенство треугольника следуют из (10.36); аксиома тождества не выполняется: для x{t) = с Ф 0 Ьа{х) = 0;
д) если ||х||а = 0, то и ||х||с[а,ь] = 0 и значит x(t) = 0; положительная однородность и неравенство треугольника следуют из г) и выполнения этих аксиом для \\х\\С[а,Ъ]\
е) пусть {хп}п=1 С На[а,Ъ\ — фундаментальная последовательность;
это значит, что ||xn — xm||a —► 0 при п, га —► оо; в силу определения (2.12)
273


IIхп — Хщ\\с[а,ь\ —* 0 при п, га —► оо, т. е. последовательность фундаментальна и в банаховом пространстве С [а, &]; следовательно, существует непрерывная функция х такая, что xn{t) =3 x(t) на [а, Ь]. Из фундаментальности последовательности в На [а, 6] следует, что для любого е > 0 найдется такое натуральное N, что при п,т > N выполняется неравенство
г / ч \xn(t) ~Xm(t) -Xn(s) + Xm(s)\ ^
La(xn - xm) = sup J r~ — < e;
a^.t,s^b,t^s \t
отсюда для всех n > N при m —► оо получаем, что
Ьа(хп - х) ^ е; (10.37)
значит, хп — х £ На[а, 6]; так как хп £ На [а, &] и х = хп — (хп — х), то в силу б) х £ Яа[а, Ь]. И наконец, из (10.37) и ранее доказанной сходимости последовательности в норме || • ||с[а,б] следует, что хп —► х в пространстве [а, 6]. Полнота пространства На [а, 6] доказана.
2.59. Как известно (см. [7, с. 190]; см. также [20, с. 266]), производная абсолютно непрерывной функции суммируема; поставим в соответствие абсолютно непрерывной функции х £ АС[а,Ь] пару (р(х) = (х(а), х') £ RxLi[a,6]. Отображение (р : АС[а, b] —> R х Li [a, 6], очевидно, линейно и инъективно; с другой стороны, каждая пара (а, у) £ R х Li[a, b] определяет единственную
t
абсолютно непрерывную на [а, 6] функцию x(t) = а + f y(s) ds, т. е. ip биек-
а
Ъ
тивно. Таким образом, <р — изоморфизм, а так как ||х|| ас = |х(а)|+/ |х'(£)| dt=
а
= ||<p(x)||rxLi, то и изометрия. Следовательно, АС[а,Ь] изометрично изоморфно пространству R х Li [a, 6], AC [a, b] = R x Li [a, 6]. В силу 2.19 и 2.22 AC [a, 6] — полное пространство.
2.60. Так как АС[а, 6] С BV[a, 6] ([7, с. 184]; см. также [20, с. 265]), и для
ь
х £ АС [а у Ь] ||х||ас = |x(a)| -1- f\x'(t)\dt = ||x||bv ([7, с. 195]; см. также [20,
a
с. 279])), то в силу 2.59 и теоремы 1.1 АС[а,Ь] — подпространство BV[a, Ь].
2.61. Да; см. 2.37,е).
2.62. Оба слагаемых обладают свойствами нормы (см. п. 1. 1, пример 5, ||х|| = р(х,0); см. (2.8)), а значит, и сумма обладает этими свойствами. Покажем эквивалентность норм.
Так как значение функции в точке не может превышать ее супремума на всем отрезке, то ||х|| ^ ||х||*. С другой стороны,
ъ ъ
|x(t)| - |x(a)| < |x(t) - а:(а)| s? \Дх) =Ф- |z(t)| ^ |x(a)| + \/(x),
a a
274


а значит,
ь ь
sup |ж(*)| < |х(а)| + \/(х) =» \\х\\* ^ |ж(а)| + 2\J(x) ^ 2||ж||; *€[а,ь] ; ;
таким образом, |||жЦ* ^ ||х|| ^ \\х\\*.
2.63. Пусть хп —> х в BV[a, 6]; тогда хп(а) —► х(а) (п —► оо); в [7, с. 365] показано, что если хп (п Е N) — сингулярные непрерывные функции (функции скачков), то и х — сингулярная непрерывная функция (функция скачков); это значит, что SC[a, 6] и SD[a, b] — подпространства в BV[a, 6]. С учетом 2.60, (2.13) и (2.14) получаем, что BV[a, b] = AC [a, b]+SC[a, b]-\-SD[ay b\.
2.64. Проверим фундаментальность этой последовательности в пространстве L2 [0,1].
1
\\ХП-Хт\\2 = J(e~nt - e~mtf dt
2 n n + m 2m
при n,m —> оо. Последовательность фундаментальна. В силу неравенства
(10.34) 	последовательность фундаментальна также в пространстве Li[0,1]. В пространстве АС[0,1] последовательность не является фундаментальной:
In &
1 гп — п
—nt
||хп — хш\\ас — J |ne nt — те m*| dt = J (те — ne о о
1 / —nln ™
-f J (ne~nt — me“m<) dt = 2
e m — n _ e m — n | — i
m — n
при m = 2n.
2.65. 	В 1.51 в п.п. в), г), д), ж) последовательности сходятся равномерно; по теореме 2.8 эти последовательности сходятся во всех пространствах
LP [0,1].
а) 	||х„ - хт\Ц2 = f(tn - tmfdt = -♦ 0; no-
0
следовательность фундаментальна, следовательно, сходится в полном пространстве 1,2 [0,1]; в силу неравенства (10.34) она сходится и в пространстве Li [0,1];
275


б) в силу 2.64 последовательность сходится в пространствах L.2[0,1],
Li[0,1];
е) 	проверка фундаментальности этой последовательности — достаточно трудоемкая задача. Поступим иначе. Если последовательность сходится в пространстве L2[0,1], то по теореме 2.7 она сходится по мере, и значит, содержит по теореме Рисса подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Так как данная последовательность в каждой точке сходится к функции x(t) = 0, то х — единственно возможная предельная функция. Остается проверить, сходится ли последовательность к х на самом деле.
и_ ПИ2 _ } n2t2dt 1 fSJ 1
II*" °Hl2 J (l + n2f2)2 2 J 1+ fl2t2
0 0
= -\{ih?-iarct9n^Q
при n —► oo; значит, действительно xn —► ж = 0 в пространствах Ьг[0,1], Li [0,1] В 1.52 надо рассмотреть случаи а), б) и г), так как в случае в) имеет место равномерная сходимость.
а) Убедитесь, что \\хп — 0||£2 = ^ —► О при п —► оо; следовательно имеет место сходимость к x(t) ~0 в пространствах Ьг[0,1],Li[0,1];
б) рассуждая, как в выше в случае е), видим, что единственно возможной предельной функцией является y(t) ~ 0 (уп —> 0 п. в. в [0,1]).
i
||Уп - 0||ы = J yn(t) dt = J n(1 “ nt) dt =
о о
Следовательно, yn не сходится в пространстве Li [0,1]. В силу неравенства
(10.34) 	эта последовательность не сходится и в пространстве 1.2 [0,1];
г) 	здесь ||tin — 01|Li = 27^ —* 0, ||гхп — 0||£2 = §; последовательность сходится в пространстве Li[0,1] и не сходится в пространстве Ьг [0,1].
2.66. Сходится в пространстве Li [0,1] и не сходится в пространстве L2[0,1].
2.67. Так как xn(t) —► 0 п.в., то единственно возможной предельной функцией является x(t) ~ 0 (см. 2.65 е)). Однако
1
||!Еп - 0||ы = J Хп(t) dt - 1;
о
276


следовательно, последовательность не сходится в пространстве Li[—1,1], а значит, в силу неравенства (10.34) не сходится и в пространстве Lp[—1,1] при любом р > 1.
2.68. 	Функция д (см. рис. 10) непрерывна слева, а в точках множества
ты = Ф !•••■}
(ее точек разрыва) существует конечный предел справа
(tihL+9'(<) = П (П = 2’ 3> ' ' О^ •
Осталось показать, что полная вариация д бесконечна.
Рассмотрим разбиение т = {0, ..., |, 1} отрезка [0,1];
Mff) = i+2(^ + ... + i)+i = f;i + £i-+oo
тп V тп — 1 2 1 ' к к
4 7 fc=1 к=2
(тп —> оо). Следовательно, д £ BV[0,1].
Рис. 10
Так как сложение функций, умножение на скаляр и умножение функций выполняются поточечно (т. е. выполняются над числами), то в силу свойств предела R[a, b] замкнуто относительно этих операций и выполнение аксиом линейного пространства и алгебры.
277


Пусть х G R[a, 6]. Предположим, что х неограничена. Тогда найдется такая последовательность {£n}S?Li С [а, 6], что x(tn) ^ гг, и такая ее подпоследовательность {tnfc}JL1, что tnk —► t* + 0 или tnfc —► t* — О (t* G [a,6]). Отсюда x(£*+) = оо или x(t*—) = оо. Это противоречие с определением правильной функции доказывает ограниченность х.
Обозначим через Те(х) множество точек разрыва х G R[a, b] на [а, 6], в которых |at(x)| = |x(t+) — x(t—)| ^ е. Предположим, что Т±(х) — беско-
п
нечное множество — его предельная точка. Пусть для определенности £* > а. Не ограничивая общности, можно считать, что существует возрастающая последовательность {£fc}StLi точек разрыва из Tjl(x), tk —► t* — О
п
при к —► оо. Переходя в неравенстве |х(£*+) — x(tk~)| ^ ^ к пределу при к —► оо, получим неверное неравенство О ^ Следовательно, Ti (х) — конечное множество. Доказываемое утверждение следует из представления
оо
Т(х) = U Тг{х).
п= 1 п
2.69. 	Аксиомы нормы легко проверяются непосредственно (по поводу неравенства треугольника см. пример 5 гл 1). Равномерная сходимость последовательности, сходящейся в этой норме показывается так же, как для пространства С[а,Ь] (см. §1. 3, п. 2).
Пусть {хп}п=1 С R[а, Ь] — фундаментальная последовательность. Точно так же, как при доказательстве полноты пространства М[о, Ь] (см. §1. 4) доказывается, что при каждом t G [a, b] существует предел x(t) = lim xn(t),
n—>infty
причем xn(t) =4 x(t) на [a, Ь]. Это означает, что
(Ve > 0) (BN 6 N (Vn > N) (V< 6 [a, b]) (xn(t) - x(<)| < .
По условию для каждого п G N предел lim xn(s) существует для каждого
s—*t+
t G [a, 6). Значит, для t G [a, b)
(3(5 > 0) (Vs, s-t <6) (|xno(s) - xno(*+)l < j) *
где no > N фиксировано. Пусть s', s" > t, s' — t < 6, s" — t < S (значит, и |s'-s"| <6).
|x(s') - x(s")| ^ |x(s') - Xn0(s')| 4- |Xn0(s') - Xn0(*+)|+
+ |xno(^+) - Xno^Ol + 1хпо(57/) - x(s")| + +
В силу принципа сходимости Коши существует х(£+). Аналогично доказывается существование предела слева для любого t G (a, b]. Следовательно,
278


х — правильная функция. Так как сходимость в R[a, b] есть равномерная сходимость, то этим полнота пространства R[a, 6] доказана.
Заметим, что можно было бы непосредственно воспользоваться леммой Шатуновского-Мура о перемене порядка предельных переходов [5, с. 40], согласно которой существует предел
Непрерывность операций в R[a, b] очевидна. Так что R[a, b] — банахова алгебра.
В силу теоремы 1.1 R[a, 6] — подпространство (подалгебра) в М[а,Ь].
Рассмотрим снова множество М из 2.8. Теперь ||xs — av|| = 1. Несепа- рабельность пространства R[a,6] следует из теоремы 1.6.
2.70. 	Замкнутость Н[а, Ь] относительно сложения и умножения на скаляр очевидна; так как линейные операции над функциями совершаются поточечно, то очевидно также выполнение аксиом линейного пространства. Аксиомы нормы проверяются как обычно. Точно так же, как и выше показывается, что сходимость относительно этой нормы есть равномерная сходимость.
Покажем, что пространство Н[а, 6] не является полным.
Пусть х — отличная от тождественной константы непрерывная, а значит и равномерно непрерывная на отрезке [а, 6], функция (обратим внимание: х £ Я [а, 6]) Для любого е > 0 найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] на промежутки Afc,
что x(t') — x(t") < е для любых t',t" £ Afc, к = 1,2, ...,п. Полагаем
Xn(t) = шах x(t) для t G Afc, к = 1,2,..., п. Тогда t€Afc
||Хп - ХтII = max IXn(t) - Xm(t)\ ^ шах IXn(t) - х(£)1 +
значит, последовательность {жп}?£=1 фундаментальна в пространстве #[а, Ь]. Однако xn{t) =4 x(t) на [a, b] и в силу единственности равномерного предела последовательность {жп}5£=1 не может сходиться ни к какой функции из
x{t+) = lim lim xn(s) = lim limans).
s—►i+n—► oo n—>oos—►£+
n—>oos—►£+
t€[a,b]
279


Мы показали также, что любую непрерывную функцию можно с любой точностью приблизить (в метрике равномерной сходимости) функцией из Н[а, Ь]. Значит, множество Н[а,Ь\ плотно в пространстве С[а,Ъ\.
2.71. 	Докажем, что для правильности функции х, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящаяся к х.
Необходимость. Пусть х : [а, Ь] —► R — правильная функция. Для любого п £ N существует лишь конечное множество Ti (х) точек разрыва, в
п
которых абсолютная величина скачка больше или равна ^ (см. 2.68). Покроем каждую точку множества Ti (х) открытым интервалом с центром в этой точке так, чтобы суммарная длина этих интервалов была сколь угодно мала (во всяком случае, чтобы каждый такой интервал содержал только одну точку из множества Т\(х)). Обозначим объединение полученных ин-
п
тервалов через G.
Каждую точку множества [а, Ь] \ Тх {х) покроем открытым интервалом
п
таким образом, чтобы
\x(t') -x(t")\ < - (10.38)
п
для любых двух точек этого интервала. Заметим, что ни один из интервалов не содержит ни одной точки из Т±(х). В сочетании с интервалами из объединения G получаем покрытие отрезка [а, Ь]. По лемме Бореля-Лебега [31, с. 180] извлекаем из этого покрытия конечное подпокрытие, которое содержит все интервалы из объединения G. После удаления последних останется конечное покрытие {(tk-i, tk)}pk=1 множества [а, Ь] \Ti (х), обладающее свойством (10.38); можно считать при этом, что интервалы занумерованы в порядке возрастания.
Для концов интервалов (£fc-i,<fc), совпадающих с точками t е Ti (х), полагаем xn(t) = x(t). Пусть (tk-i,tk) П (£*,£*+1) ф 0. Тогда бе-
п
рем в качестве Ск произвольную точку из (tk-i, tk) П (tk, tk+i) и полагаем на полуинтервале (tk-i,Ck] ([ск, tk+i)), если tk-i (tk+i) конец интервала первого типа, xn(t) равным любому значению функции х на этом полуинтервале. Если tk-i,tk+i £ Т1 (х), то снова полагаем на (ск-г,ск] ((cfc,Cfc+i]) xn{t)
тг
равным любому значению функции х на этом полуинтервале. В итоге получаем, что xn(t) — ступенчатая функция и в силу (10.38) \xn(t)—x(t)\ < - —^► 0 при п —► оо, т. е. xn(t) =4 x(t).
Достаточность. Пусть хп( ), п = 1,2,... — ступенчатые функции и xn(t) =4 x(t) при п —» оо. Для произвольного е > 0 найдется номер п такой, что для всех t £ [а,6] будет выполняться неравенство \xn{t) — x(t)\ < |.
280


Пусть to G (а, Ь]. Найдется с < to такое, что для любых точек t', t" G (с, to)
|ж(*') - x(t") I ^ |x(t') - Xn(t') I + |xn(0 - Xn{t") I + |Хп(^) - ж(£")| < £.
В силу принципа сходимости Коши существует x(to~)- Аналогично доказывается существование предела справа для любого t\ G [а, Ь). Следовательно, х — правильная функция.
Из доказанного утверждения следует: 1) множество Н[а,Ъ\ плотно в пространстве R[a,6]; 2)пространство R[а, Ъ] представляет собой пополнение Н[а, Ь].
2.72. Полнота пространства R(I) доказывается, как в 2.69. Непосредственно из определения следует, что сходимость в пространстве R(/) есть равномерная на I сходимость односторонних пределов. Из сказанного следует, что подмножество R +(/) С R(/) функций, непрерывных справа, замкнуто, т. е. является подпространством. Определим отображение / : R(/) —► R + (/) равенством /(ж) = x{t+). Очевидно, / изоморфизм R(I) на R + (/), а так как ||/(x)||r_|_(/) = IMIr.(/)> то этот изоморфизм изометрический. Согласно 2.22 пространство R(I) полное.
2.73. Убедитесь в справедливости аксиом нормы. Полнота Xй относительно указанной нормы следует из представления
Хп = X х X х ... х X 4 '
та раз
и упражнения 2.19 (утверждение которого индукцией распространяется на любое конечное число составляющих). Эквивалентность норм следует из легко проверяемых неравенств
||ж || Хп ,оо ^ ||ж||*",1 ^ п \\х\\хп,оо, \\х\\х*,р ^ Цж||лГ^,ооПР,
|MI*",1 ^ ПР ||х||лгп,р.
3.
3.1. 	Непосредственно из аксиом следует
а) (х, Ху) = (Ху, х) = X(у, х) = Х(х, у);
б) (ж,2/i +у2) = (yi +У2,х) = (г/i,х) + (у2,х) = (x,yi) + (х,у2)\
в) (х, 0) = (х, у - у) = (х, у) - (х, у) = 0, у 6 Н-,
281


3.2. .Пусть ж, у £ Ti, Л £ Р. Если х = 0 или у = О, то неравенство очевидно; пусть у ф 0 и Л £ Р произвольно. Согласно свойствам скалярного произведения
О <(х- Ху, х - Ху) = (ж, х) - Х(у, ж) - А(ж, у) + АА(у, у)
Положим в этом неравенстве Л = . Тогда
и \(*>У)\2 К*’?/)!2 . 1 (ж>у)12 _ / х)_Км)1!>0
{ ' ] (у, у) (у, у) + (у, у) ~кх'х) {у,у) ~
Отсюда получаем доказываемое неравенство.
3.3. Аксиома тождества для нормы следует из аксиомы тождества для скалярного произведения: /(ж) = О *Ф==> у/(х,х) = 0 ж = 0. Положительная однородность нормы:
/(Аж) = \/ (Аж, Аж) = \jxx(x,x) = |А|/(ж).
Для доказательства неравенства треугольника применим неравенство Коши-Буняковского (3.1):
/(х + у) = у/(х + У>х + У) = у/(ж,х) + (у,х) + (х, у) + (у, у) <
< \j{x,x) + 2y/(х, х)(у, у) + {у, у) = \J(у/(х,х) + \/(у,у))2 =
= V (х,х) + у/(у,у) = /(*) + /Ы-
Таким образом, (ж, ж) есть норма.
3.4. Пусть жп —►ж, уп —> у, ж, у, ж„, уп € Н, п = 1,2,... Применяя неравенство треугольника для модуля, линейность скалярного произведения и неравенство Коши-Буняковского (3.1), получим
|(sn,2/n) - (х,у)\ < |(жп,Уп) - (жп,у)| + |(®п,у) - (я,у)| = |(жп, Уп - у)|4- + |(жп - Ж,2/)| < |М| • IIУп -у\\ + ||Хп -х|| • 112/11 -> 0,
так как последовательность {||жп||}^1 ограничена, а ||жп — х\\ —► 0, 1|Уп-у|| -*0(п->оо).
3.5. Представим норму по формуле (3.2) и воспользуемся свойствами скалярного произведения:
II® + у\\2 + IIх - УII2 = (х + У’ ж 4- у) 4- (ж - у, ж - у) =
= (ж, ж) 4- (у, ж) + (ж, у) 4- (у, у) + (ж, ж) - (у, ж) - (ж, у) 4- (у, у) =
= 2((х, х) + (у,у)) = 2(||х||2 + ||г/||2). 282


3.6. 	1°. Равенство (ж, ж) = f \x(t)\2 d{i = 0 означает: x(t) ~ 0 (см. [7, с.
т
128]; см. также [20, с. 135]).
2°. (у, ж) = f y(t)x(t) dfjL = f y(t)x(t) dfi = f x(t)y(t) dfi = (ж, у).
т т т
3° и 4° следуют из линейности интеграла.
3.7. Выполнение аксиом нормы следует из того, что эта норма порождается скалярным произведением (3.7).
Для доказательства неполноты рассмотрите последовательность уп (t) =
t
= f xn(s)ds, где жn — последовательность, из п. 1.4 (см. доказатель-
-1
ство неполноты пространства Cl[—1,1].) Покажите, что последовательность {уп}™= 1 фундаментальна, но не сходится ни к какой непрерывно дифференцируемой функции.
3.8. Точно так же, как в 3.6.
3.9. С помощью неравенства Минковского доказывается, что данное множество (обозначим его Н) образует линейное пространство. Проверка аксиом скалярного произведения и унитарность проверяются точно так же, как в 3.6.
Докажем полноту Н (см. также 1.84,1.85) Пусть {xn}5JLi — произвольная фундаментальная последовательность. Обозначим
оо
Ап = {t € [а, 6] : x„(t) Ф 0}, А = (J Ап;
П= 1
А — не более, чем счетное множество; пусть В — совокупность всех конечных подмножеств А. Для любого е > 0 найдется такое натуральное N, что для всех п,т> N выполняется неравенство
у t£A
Xm(t) |2 < |,
а следовательно и неравенства
4/53 lXnW ~ xm{t) |2 < ^ для любого В € В, (10.39)
у teB
\xn(t) — жт(£)|2 < | для всех t G А. (10.40)
Из (10.40) следует, что числовая последовательность {жп(£)}^=1 при каждом t G А фундаментальна в Р, и значит, сходится. Пусть ж(t) =
lim жn(t) (t G А). Устремив в (10.39) га —► оо, получим
|жn(t) — x(t)\2 ^ ^ для любого В G #; гев
283


следовательно,
^Р ^ \ < е (10.41)
Из (10.41) видим, что Хп — х € Н, а так как Н — линейное пространство, то и х = (ж — хп) + хп G Я. Кроме того, из (10.41) вытекает, что хп —i► х в if. Этим полнота if доказана.
Докажем несепарабельность Н. Рассмотрим множество
S = {xs е Н : xs{s) = 1 xs(t) = 0 при t ф s, s G [а, 6]};
множество S С Н имеет мощность континуума и ||xs — х^И = у/2 при s ф s'. По теореме 1.6 Я несепарабельно.
ЗЛО. Так как х±М, то xLcl (М) = Л, значит, xJ_x; т.е. х = 0.
3.11. Из следствия 2.1 вытекает, что cl ({£n_1}5?Li) = L2 [а, 6].
3.12. Пусть М С 7i — произвольное множество, М± — его ортогональное дополнение. В начале п. 3.3 было показано что, если два элемента ортогональны М, то и их линейная комбинация также ортогональна М, следовательно, М± — линейное многообразие в Ti. Пусть х* — предельная точка М± и хп Е М1- (n Е N), хп —► х* (п —► оо); так как xn-LM, то и х*_1_М. (см. начало п. 3.3 ). это означает, что х* Е М-1, т. е. что М-1" замкнуто.
3.13. Докажем сразу второе утверждение:
J2Xk
к=1
/ п п \ п п
\fc=l j=1 / fc=l j=l
= £(xfe,xfe) = £||xt||2,
fc=l fc=l
так как (x*;, Xj) = 0 при j ф к.
3.14. В каждом из рассматриваемых пространств надо указать два элемента, для которых не выполняется тождество параллелограмма (3.4). Например, функции x(t) = 1, y(t) = t для пространств С[0,1] и Lp[0,1] (р Ф 2).
3.15. Пусть в вещественном ЛНП X для любых двух элементов х и у выполняется тождество параллелограмма (3.4). Покажем, что функция X2 —>R
(х, у) = | (||х + у\\2 - ||х - у||2) (10.42)
обладает всеми свойствами скалярного произведения.
284


Из определения (10.42) видим, что (ж, ж) = ||ж|| = 0 <=> х = 0 и (у, ж) = (ж, у). Введем отображение F : X3 —► X равенством
F{x, у, z) = 4((ж + y,z)~ (ж, z) - (у, z)) =
= ||ж + у + z\\2 -IIх + у- z||2 - ||ж + z||2 + ||ж - г||2 - \\у + z||2 + ||у - г||2.
(10.43)
С помощью тождество параллелограмма (3.4) получаем тождество II* + У ± z||2 = 2(||ж ± г||2 + Из/И2) - ||ж ± z - j/||2, после подстановки которого в (10.43) придем к представлению
F(x,y,z) = ||if + 2||2 - \\y-z\\2 - ||ж + г||2 + ||ж-г||2-
- ||ж-з/-г||2 + ||ж-у + 2||2, (10.44)
а сложив (10.43) и (10.44),
2F(x,y,z) = (||ж + у + z\\2 + ||ж - y + z\\2 - 2\\х + г||2) —
- (||* + у - z\\2 + ||* - у - 2||2 - 2||ж - z||2) = 2\\у\\2 - 2\\у\\2 = 0.
Таким образом, F(x,y,z) = 0, т.е. (ж + y,z) = (ж, 2) + (у, z). Свойство 3° скалярного произведения доказано.
Для доказательства свойства 4° рассмотрим функцию
f(t) = (tx, у) - t(x, у) (ж, у в X).
Непосредственно из определения (10.42) и тождества (3.4) следует, что /(0) = /(1) = /(—1) = 0. Из доказанного свойства 3° с помощью индукции выводим, что (гаж,у) = (х + ... + ж, у) = п(ж,у), т.е. /(п) = 0 (n G N). Аналогично рассуждаем и для отрицательных целых п. Итак, для целых t f(t) = 0. Пусть t = р е Z, q е N.
(н*,„) =pQ*,3/) =5 (**,») = |(*,»)•
Следовательно, f(^) = 0. В силу непрерывности / (которая следует из непрерывности нормы и тождества (3.4)) /(£) = 0 для всех вещественных t. Этим свойство 4° доказано.
3.16. 	1. Ортогональность очевидна. 2-3. Ортогональность доказывается непосредственным вычислением интегралов. 4-7. Системы ортогональны
285


по построению. Если определять эти системы по формулам Родрига (4, 6, 7) или с помощью рекуррентного соотношения (5), то ортогональность доказывается в [25].
Полнота. 1. Система полна, так как, если (х,вк) = 0 для всех к £ N, то х = 0. 2-5. Полнота вытекает из следствия 2.1. 6-7. Полнота также может быть доказана на основе теоремы 2.9 и аппроксимационных теорем Вейерштрасса.
3.17. 	Ортогональность и нормированность системы (xn(t)} в пространстве L2[0,7г] проверяется непосредственным вычислением интегралов.
Докажем ее полноту. В силу плотности множества непрерывных функций в пространстве IL2 [0,7г] (см. теорему 2.9) достаточно доказать, что если (ж,жп) = 0 (п = 1,2,...) для непрерывной функции ж, то x(t) = 0.
00
Пусть ^2 CnSinnt — ряд Фурье непрерывной функции х по нашей системе.
п= 1
Согласно [33, с. 575] его можно почленно проинтегрировать, причем, полученный в результате этого ряд сходится (по крайней мере поточечно) к
t
функции f x(s) ds, т.е.
о
t
J x(s) ds = — (1 — cosnt) (t £ [0, 7r]).
0
Пусть (ж,жп) = 0 (n = 1,2,...); это значит, что cn = 0 (n = 1,2,...), т. e.
t
f x(s) ds = 0 (t £ [0,7г]) и значит, x{t) = 0 на [0,7г]. о
В пространстве L2[—7г,7г] система {жп(£)} ортогональна, но не нормирована: ||жп|| = л/2; не является эта система и полной в L2[—7Г, 7г], так как, например, функции y(t) = cosnt при п = 0,1,2,... ортогональны всем хп•
3.18. 	Обозначим
к- 1 2к-1\ дг Г 2/с — 1 к \ Ai г
2n-i ’ 2n J ’ п ~~ 2n ’ 2n_1) ’ ~ 71
2п
Очевидно, ||хоо|| = 1; далее,
11^»1Г
А кг,
(А: = 1,2,,2"-1; п = 1,2,...).
1
Так как J Xkn(t) dt = 0, то о
(жоо, Хкп) = о (к = 1,2,... ,2П-1, п = 1,2,...);
286


так как Aкп П Ajn = 0 при к ф j, то (хкп, Xjn) — 0 при к ф j; пусть га > га; тогда либо Afcn П Ajm = 0, либо Ajm С Акп\ в первом случае (xfcn, Xjm) = 0, во втором — могут представиться возможности а) A jm С А кп И б) A jm С А кп, в случае а)
/п—1 гп — 1 Г п — 1 / гп—1 \
2 — 2 —dt+ I 2—(-2—Jdt = 0;
в случае б)
дг.
jm
(xkm Xj
= J (-2Vj2m^dt + J (-2^) (-2^)сг* = 0;
д<
jm
таким образом доказано, что система функций Хаара ортонормированная.
Докажем ее полноту. Так как множество непрерывно дифференцируемых функций плотно в пространстве Ьг[0,1] (см. следствие 2.2), то в силу следствия 3.1 достаточно доказать импликацию
(ж, хоо) = о, (х, Хкп) = 0 (fe = 1,2,..., 2n_1; n = 1,2,...) => x(t) = О
(10.45)
для непрерывно дифференцируемой функции х.
Пусть сначала х — возрастающая (хотя бы и в нестрогом смысле) непрерывно дифференцируемая функция и
(ж, **„) = 0 (fc = 1,2,..., 2n_1; п = 1,2,...).
Это значит, что f x(t)dt — f x(t) dt = 0. Выполнив в первом интеграле
А1 А Г
jm Эт
линейную замену переменной t— ^_\ = s, во втором — t— 2^~1 = s, придем
1
2ТГ
к равенству f (x(s + ~ x(s + dt = 0, которое ввиду возрастания
о
х и произвольности кип означает, что x(t) = С =const.
В общем случае представим х в виде разности возрастающих непрерывно дифференцируемых функций (х(<) = x\(t) — хг(£), где x\(t) = х(0) +
+ / x+(s) ds, X2(t) = f x'_(s) ds, y+ = , y_ = Цр£); согласно доказан-
0 о
ному Xi = Ci (г = 1,2). В итоге снова получаем, что x(t) = С. Из первого
равенства в (10.45) следует, что С — 0. Таким образом, импликация (10.45),
а с ней и полнота системы доказана.
3.19. 	Да, образуют. Обозначим уп = (t — a)n(b — t)n; тогда хп = У^ •
Легко видеть, что
У(пк)(а) = уЬк)(Ь) = 0, к = 0,1,... ,п - 1; y£n\t) = (-l)n(2n)!, (10.46)
287


ь
(хо, хп) = f y£\t) dt = y^~X\t) |a = 0. Пусть n ^ 1, m > n; интегрируя
a
по частям, с учетом равенств (10.46) последовательно получаем ь
(хп,Хт)= J yin)(t)y£l)(t)dt = yf)(t)y£-l\t)\ba-
а
Ь Ь
- j y{n+1){t)y£-l\t)dt = ... = (-!)" у y^n\t)y^-n\t)dt =
a a
b
= (2n)! Ji№~n\t)dt = ySr-n-x)(0 |‘ = 0.
a
Ортогональность системы доказана. Далее, рассуждая как и выше,
ь
||ж„||2 = (*„, Хп) = (-1 )"У у£п)(t)yn(t) dt =
а
Ъ 1
= (2п)! J(t- а)п(Ь - *)п = (2п)!(Ь - a)2n+1 t)n dt =
a 0
= (2n)!(i> - o)2n+1S(n + 1, n + 1) = (2n)\(b - a)2n+1 ^ =
_ (n\)2(b — a)2n+1
2n + 1
3.20. 	Пусть Xot(t) = егос1.
(В, Г—эйлеровы интегралы, см. [32, с. 750])
{х&, xa/) = ^lim J егос1е lOL 1 dt = ^lim < -т
= <5a,«' = { Q
1 если а = а',
1 _ sh i(oL — oc')T
i(a —а') Т
если аф ос
если а = а , , , Л .
так как sh г/ЗТ ^ 2.
если а ф а
Этим доказано, что система {егс**}аек ортонормирована в Н.
Так как ||ха — ха'\\2 = 2 при а ф а', а множество {xa, a Е R} С Н несчетное, то по теореме 1.6 пространство Л несепарабельно.
3.21. 	Надо доказать, что (zn, Zm)h2[a,c} = <5nm, где ёПт — символ Кро-
288


некера (см. 3.20).
(zn, Zrn)L2[a,c] = J Zn(t)Zm(t)dt = а
Ъ с
= J axn(t)axm{t) dt 4- J /3yn(t)/3ym(t) dt =
a b
b с
= a a J xn(t)xm(t) dt + {3(3 J yn(t)ym(t) dt =
a b
— \Oi\ (xn, Xm)h2[a,b} 4* |/3| (Уп, Ут)ь2[с,Ь\ = l^j SnTn 4" \@\ == Snm•
3.22.
IIXk - Xn||2 = (Xk - Xn, Xfc - Xn) =
= (Xk,Xk) - (xn,Xk) - (xk,xn) + (Xn,Xn) = 2.
oo 71
3.23. Пусть x = xк\ по определению Sn = YI xk- В силу непрерыв-
k=1 fc=l
ности скалярного произведения (см. 3.4)
||Sn||2 = (Sn, Sn) -> (x, x) = ||x||2 (n —► oo).
n
Согласно 3.13 ||5n||2 = Y2 ll^fcll2; отсюда получаем, что ||x||2 =
fc=i
oo
— ^ llxfc||2? что и требовалось.
k=1
3.24. Пусть x £ AT-1; значит, x ортогонален всем элементам множества N, т.е. и элементам множества М, х £ следовательно, AT"1 С М±.
3.25. Легко видеть, что всегда М С (М-1)-1; если в этом включении имеет место равенство, то М — подпространство, так как правая часть — подпространство в силу 3.12.
Пусть М — подпространство; тогда по теореме 3.1 Н = МфМ1; это равенство означает, что М есть ортогональное дополнение М±, т. е. М = (М±)±.
3.26. Из курса линейной алгебры известно, что У = М 4- N — линейное многообразие. Надо доказать замкнутость У
Пусть г — предельная точка Y. Существует последовательность {zn}n=i С У, zn —> z (п —► оо). Так как сходящаяся последовательность
289


фундаментальна и zn = хп 4- Уп, осп Е М, уп € N (п € N), то в силу 3.13 имеет место импликация
О < \\%п -2m || ~ || (Жп 4 Уп) (^ш 4 2/т) || = ||жп Жт 4 Уп 2/т|| ~
= \\хп %т || 4- 112/гг. Ут\\ г> ||жп Жт|| ► 0, \\Уп Ут\\ * О
(га, п —> оо). Итак, последовательности {xn}^Li С М, {yn}%L 1 С N фундаментальны. Значит, существуют такие ж, у Е 7^, что хп —*> х, Уп —> У (п —> оо). В силу замкнутости М и N х Е М, г/ Е iV, т. е. г = ж 4 2/ Е У.
3.27. Так как
(ж + 3/, X + у) = (ж, х) + (ж, у) + (у, ж) + (у, у) = (X, х) + (у, у)
И (з/> ж) = (ж, у), то 2(ж,у) = 0, т. е. ж±у.
3.28. Пусть ж_LL; тогда для любого у Е I/ ж_1_у, значит, в силу 3.13
Пусть для любого у Е L выполняется неравенство ||ж||2 ^ ||ж — у||2; так как ||ж — у||2 = ||ж||2 — 2(ж,у) 4- ||у||2, то из этого неравенства следует, что 2(ж,у) < ||у||2; так как это верно и для -у (-у Е L), то 2|(ж,у)| < ||у||2; для произвольного а > О ay Е L, поэтому 2(ж,у) ^ с*1М|2; так как а можно взять сколь угодно малым, то отсюда следует, что (ж, у) = 0, т. е. ж_]_L.
3.29. Существование такой точки доказано в теореме 3.1, у = х' (см. доказательство теоремы 3.1).
3.30. Из условия задачи следует, что
Для произвольного е > 0 найдется натуральное N такое, что
Re (жп, уп) > 1 — §, при п > N. При таких п
т. е. ||жп - Уп\\ 0.
3.31. Непосредственным вычислением интегралов убеждаемся, что эти функции ортогональны в обоих пространствах.
3.32.Возможность такого определения угла обеспечивается неравенством Коши-Буняковского (3.2).
1|ж - у\\2 = ||ж||2 + IMI2, откуда ||ж||2 < ||х - yf.
Re(yn, Хп) = Re (жп, уп) —► 1.
||®п Уп || — (хп Уп) Хп Уп) — (жп, Хп)~\~(Ут Уп) (Хп, Уп) (Хп,Уп) —
£
= (х„, Жп) + {уп, Уп) - 2Re(xn,yn) <2-2(1 --)=£,
290


cos{x,y) = &, (x,y) = f.
3.33. 	Обозначим
a = (y - x, z - x), 0 = (x jry^z- y), 7 - (y - z,x - z);
тогда в пространстве Ьг[0,1] cos а = {§§, cos р = — cos 7 = |; в
пространстве Wj[0,1] cosa = ^/у|§§, cos S3 = cos 7 =
3.34. 	Обозначим
a = (у -"х^Т- ж), /3 = (x -'yT*'- y), 7 = 1
■ 2,x - z);
тогда cos a = cos (3 = cos7 = |, a — /3 = j —
3.35. 	Пусть x(£) = t3. Решим задачу двумя способами.
1. 	По теореме 3.1 Ьг[0,1] = М 0 М±; это означает, что х единственным образом представляется в виде х = х' + х", где
х (t) = a -f (3t + 7t2, x' £ M, x" = t3 — a — (3t — 712, x" G M-1;
коэффициенты найдем из условия ортогональности х" базису М :
1
f(t3 — а — (3t — 7^2) dt = О,
0
1
f (t4 — at — f3t2 — 7^3) dt = О, о
f (t5 — at2 — fit3 — 7£4) dt = 0;
0
после вычисления интегралов получаем линейную систему относительно неизвестных коэффициентов
а+ 5^+ З'*' _ 4>
+ |/3 + |7 = j,
|а+1/3+|7=|.
решив которую находим а = /3 = — |, 7 = |. Следовательно,
prMt3 = ^ — |t + |t2; согласно теореме 3.1
р(ЛМ) = ||х"||
Hr-k+b-W
dt ■
А
140'
2. 	Ортогонализуем базис в М. Полагаем po(t) = 1, pi(t) согласно теореме 3.3 ищем в виде pi(t) = t + а, т. е. в виде многочлена с единичным
291


старшим коэффициентом; коэффициент а найдем из условия (pb> Pi) = 0, т. 1
е. f 1 • (£ + а) dt = 0; это уравнение дает нам а = — т. е. pi(t) = t — \ \ р2(£) о
ищем в виде p2(t) = t2 + а + /3t\ коэффициенты находим из условий (ро, р2) = 0, (pi, р2) = 0; вычислив соответствующие интегралы и решив систему, найдем p2{t) = t2 + | — t\ нормировав найденные многочлены, получим ортонормированный базис М : po(t) = 1, pi(t) = y/3(2t — 1), p2(t) = = \/5(612 — 6t + 1); этот базис является частью полной ортонормирован- ной системы, которая получается ортогонализацией системы {£n}J?Lo в ПР°“ странстве L2[0,1] согласно теореме 3.3. По теореме 3.6 х' = ргм£3 есть отрезок ряда Фурье по уже имеющейся у нас ортонормированной системе. Найдем коэффициенты Фурье функции х = t3; со = (х,ро) = ci — (x,pi) = с2 = таким образом,
x'(t) = copo(t) + cipi(£) + c2p2(t) =
Приближения для et; наилучший квадратный трехчлен:
рГмег = (е - 1) + 3(3 - e)(2t - 1) + 5(7е - 19)(6*2 - 6t + 1). Приближения для sinirt; наи лучший квадратный трехчлен:
prMsinnt = 2 + —(2£ — 1) — ( 1 — Щ) (612 — 6t -f 1).
7Г 7Г у 7Г у
3.36. Рассуждая как в 3.35, получим
p0(t) - 1, Pi(t) = t, p2{t) = i2 - i; после нормировки имеем
po(t) = -L, Pl(t) = p2(i) = y|(3t2 -1).
По формуле Родрига находим
312 — 1
po(t) = 1, pi(t) = t, P2(t) = —-—;
после нормировки получаем ту же систему многочленов.
3.37. Рассуждая как в 3.35, получим
L0(t) = 1, Li{t) = t - 1, L2(t) = t2 - 4t + 2.
292


По формуле Родрига
— ~ — /2 _ 4/ о
L0(t) = 1, Ьг(Ь) = t - 1, L2(t) = -
3.38. 	а) В соответствии с теоремой 3.1 представим t3 = с 4- (£3 — с)
(так как Ьг[—1,1] = (1) 0 (l)"1), потребуем, чтобы выполнялось равенство 1
(t3 — с, 1) = О, f (t3 — с) dt = 0, откуда получаем, что с = 0.
-1
б) Используем решение 3.36 и найдем коэффициенты Фурье, чтобы воспользоваться теоремой 3.6, которая утверждает, что наилучшим приближением является частичная сумма ряда Фурье. Согласно определению cq = (t3, ^=) = 0, ci = (t3, tyj§) = Наилучшее приближение имеет
ВИД = !*•
в) Дополнительно найдем, что с2 = 0, следовательно наилучший квадратный трехчлен снова есть линейная функция 11.
Приближения для е*; наилучший квадратный трехчлен:
ргме1 = sh 1 + + ^(е ~ 7e_1)(3t2 — 1);
первое слагаемое в этой сумме есть наилучшая константа; сумма двух первых слагаемых — наи лучшая линейная функция.
Приближения для simtt; наи лучший квадратный трехчлен:
prMsimrt = —t]
7Г
наилучшая константа здесь равна нулю; наилучшая линейная функция —
В пространстве С[—1,1] решение этой задачи для функции x(t) = t3 выглядит следующим образом. Наи лучшая константа есть решение экстремальной задачи
min max It3 — а\ = minmax{|l — a|, |1 + a|}; a *€[—1,1] a
минимум достигается при a = 0.
Наилучшая линейная функция есть решение задачи
min max 113 — а — 0t\;
можно показать, что здесь минимум достигается при а = 0, /3 = 1. Наилучший квадратный трехчлен есть решение задачи
min max 1t3 — а — j3t — yt2\:
293


Решение этой задачи в пространстве С[—1,1] значительно сложнее, чем в пространстве L2 [—1,1].
3.39. 	Доказательство замкнутости множества четных L2+ (нечетных L2_) функций в пространстве L2[—1,1] близко к доказательству замкнутости аналогичных множеств в пространстве непрерывных функций (см. 2.37). Таким образом, L2+ (L2_) — подпространство в L2[—1,1] Представим произвольную х € L2[—1,1] согласно 10.32; так как произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция, и интеграл от нечетной функии по симметричному относительно нуля промежутку равен нулю (т. е. L2+_LL2_ ) , то это представление означает, что
Если бы система {p2n}^= o> ({p2n+i}5?Lo) (см* обозначения в 3.36) была неполной в L2+ (L2_), то неполной была бы и система всех многочленов Лежандра. Но это противоречит установленной ранее (см.3.16) полноте этой системы в пространстве L2[—1,1].
3.40. 	Ортогональность и нормированность системы проверяется непосредственным вычислением интегралов:
L2[—1,1] = L2+ 0 L 2_.
i
i
(х„, Хт) = J е2жгпЬ ■ е
dt = J е2ж* dt = 6,
о
о
где бпт — символ Кронекера. Полнота обсуждается в 3.16.
а) 	Пусть x(t) = sign (21 — 1); коэффициенты Фурье:
1
со = (я, хо) = / sign (21 — 1) dt = 0,
о
_ / ^ \ f 2nint j, - f 2nint j, 1(1)
Cn = (x, xn) = — / e at + I e at = ;——
J J nm
^ 27гг nt.
r) co = 0, c± = cn = 0 n > 1; sin2nt = e^%t 2e{
,2-nit _e — 2-rrit
2i
294


! +2° (ch 2п — nsh 2тг — 1)е‘
2ni nt
д) sh 2irt = ± E -2
n= —OO
7l2 + 1
3-41-ж=Ё2^ек-
oo
3.42. 	Отметим, что ряд ^2 ак%кУк сходится абсолютно, так как
к=1
lafcXfcyfcl ^ f (|xfc |2 + \ук |2)- Проверка аксиом скалярного произведения осуществляется без труда. Скалярное произведение порождает норму
Ха =
ал
J2<xkxl
Покажем, что относительно это нормы fa,а — полное пространство.
Пусть — фундаментальная последовательность в /2,»; поло¬
жим y(n) = (y/oTxi71^, ..., у/акХ^\ ...). тогда
О - \\ХМ _ я(т)цв = ||y(n) _ y(m)||ia (m>n ^
т. е. последовательность {y^j-^Li фундаментальна в полном пространстве Z2; значит, существует у £ fa такой, что у^ —► у (п —> оо). Положим теперь Xfc = х = (xi,...,xfc,...)- Тогда
b(n)-x||a = ||y(n)-y||i2-0,
т. е. х(п) —► х (п —> оо). Этим полнота fa,a доказана.
Множество ^’а финитных последовательностей с рациональными компонентами — счетное всюду плотное множество в fatа (см. 1.31).
Полную ОНС образуют последовательности ек = (0,..., 0, -у==, 0...)
к-1
(к = 1,2,...); полнота доказывается как в 3.16, пример 1;
а) см. 3.16, пример 1;
б) efc = (01_^I0,^.,0...) (*=1,2,...);
fc-i
в) ек = (О,..., О, £,0...) (к = 1,2,...);
fc’
fc-1
г) 	е* = (0,..., 0, е $, 0...) (к = 1,2,...);
fc-1
д) 	ек = (0,..., 0, е$, 0...) (к = 1,2,...).
3.43. 	Пусть Lot — указанное пространство. На проверке аксиом скалярного произведения как и выше в 3.42 не останавливаемся. Покажем, что
оо
если сходится ряд ак, то пространство La не является полным.
fc=i
295


Рассмотрим последовательность финитных элементов из Ьа
ж(п) =
П
так как (га > п)
т
_^(-)||2 = ак0 (га, п —> 0)
/с = П + 1
то эта последовательность фундаментальна в пространстве La. Предположим, что она сходится к некоторому элементу х £ La; так же как в п. 1. 3 показывается, что тогда х = (xi,£2, .. •) есть покоординатный предел, х^ —► Хк (п —► оо, к = 1,2,...), т. е. а; = (1,1,...). Однако х ^ La. Следовательно, пространство La не является полным.
оо оо
Пусть ряд ^2 ак сходится. Так как из сходимости ряда 22 Х1 следует
к=1 fc=l
оо
сходимость ряда 22 ак%к, то La С /2,а- Покажем, что La плотно в /2,а-
к=1
Пусть х G 12,а; для произвольного £ > 0 найдем такое натуральное iV,
00
что 22 ак%к < £<2 (остаток сходящегося ряда можно сделать сколь угодно
k=N+1
00
малым). Пусть у = (zi,... ,xN,0...); тогдау € La, ||ж—j/||f2 = £ акх\ <
k=N+\
По определению La плотно в /2,а- Согласно 1.2 гильбертово пространство Л = 12,а — пополнение La. Сепарабельность Л доказана в 3.42.
3.44. 	В силу линейности интеграла М — линейное многообразие в h2[a, Ь]; покажем, что
М = { 1)х; (10.47)
в силу 3.12 это и будет означать замкнутость М, т. е. то, что М — подпространство.
Из определения видим, что функции, эквивалентные константам, ортогональны М. Пусть y-LM', предположим, что у не эквивалентен никакой константе. Найдем константу с и множества А, В С [а, 6] такие, что mesA = mesB > 0, y(t) > с + е при t Е A, y(t) < с — е при
t Е В для некоторого £ > 0. Пусть x(t) = 1 при t Е A, x(t) = — 1 при
t G В, x(t) = 0, если t не принадлежит объединению A U В. Очевидно,
х (Е М, но (ж, у) = J y(t) dt — f y(t) dt > с -f e — с + e = 2s, что противоречит
а в
ортогональности у множеству М. Этим равенство (10.47) доказано.
Из равенства (10.47) следует, что М± = (1).
296


В силу теоремы 3.1 Ьг[а, Ъ] = (1) 0 М. Это значит, t3 = с + (t3 — с), где
ъ
константу с надо выбрать так, чтобы t3 — с £ М, т. е. f (t3 — c)dt = 0; отсюда
С=(°±^!±Д prM<3 = ta_h±^!±H) р(Лм) =
.. \а + Ь\(а2+Ь2)
= И = J 4 -•
(Заметим, что если а = —6, то t3 £ М, и расстояние равно нулю.)
3.45. Положим gi = (1, —1,0,...), рп = (1,0,..., 0, —1,0,...), п = 2,3,...
71 — 1
Очевидно, G = {gn}%Lг С М; покажем, что система G линейно независима.
тп
Действительно, пусть при некотором m £ N д = Y2 сп9п = 0; тогда
п—1
0 = д = (rnci,-c2,-c3,...,-cm,0,...), т. е. сп = 0, п = 1,2,..., гп.
Докажем полноту системы G в пространстве fa. Пусть х £ fa, xl-G; тогда уравнения (х, дп) = 0 дают нам хп = хг (п = 2,3,...), т. е. х = xi(1,1,...); так как х G fa, то xi =0, х = 0. В силу следствия 3.1 система G полна в fa. Ортогонализация этой системы согласно теореме 3.3 приведет к полной ортонормированной системе, т. е. к базису fa. Кроме того, равенства cl (G) = cl М = fa означают плотность М в fa.
3.46. Очевидно, множество М — линейное многообразие. Пусть х* — его предельная точка, х^ £ М (rn £ N), х^ —► х* (га —► оо). Тогда
71 П
0 = 53 хГ; ~> 53 Т- е- € ^5 значит, М замкнуто, т. е. является
к=1 fc=l
подпространством в fa.
Пусть
pi = (1, -1,0,...), дк = (1,О^^О,-1,0,...) (к = 2,3,...,п - 1),
к-2
дк = (0,..., 0,1,0,...) (А; = n, п + 1,...)
к
Очевидно, G = {pfc}^=i С М, а так как каждый х G М, х = (xi,x2,...) может быть представлен в виде
п — 1
X :
fc = l
: = — ^ *fc+lSfc + ^ Xk+l9k,
то М С (G).
297


Пусть h = (1,..., 1,0,...); легко видеть, что /i_LG, а значит, /г_1_М. На¬
оборот, пусть ж_1_G. Это означает, что (х,дк) = 0 (к G N); отсюда следует, что Хк = xi, к = 2,..., гг, = 0, к = n 4 1, гг 4- 2,..., ж = xi/i. Таким образом, G-1 = М-1 = (Gf)J_ = (/г).
По теореме 3.1 = (/г) 0 М. Следовательно, е = ah + (е — а/г), где а
надо выбрать из условия (е — ah, h) = 0. Отсюда
3.47. Обозначим через /2,1 (Ь,2) множество последовательностей х = = (Я1,ж2,...) € /2, У которых = о (x2fc-i =0) (к = 1,2,...). Тогда
l2 — h, 1 0 12,2*
3.48. Очевидно, множество М — линейное многообразие. Пусть х* — его предельная точка, жт G М (т G N), жт —► х*. По теореме 2.7 хт) сходится к х* по мере, а по теореме Рисса существует подпоследовательность {a?mfc}fcLi, сходящаяся к х* п. в. Так как Хтк при всех к G N эквивалентны нулю на [0,1], то и х* эквивалентна нулю на этом промежутке. Это значит, что М замкнуто, т. е. является подпространством. Точно так же, является подпространством и множество фунукций N С L2[—1,1], эквивалентных нулю на [—1,0]. Функцию х G L2 [— 1,1] можно представить в виде х = xi + ж2, где
п
1
а = — и рг м е =
е
п
1
п ’ п
1
п ’
п
ч
п— 1
p(e,M) = ||ifc|| = -£=.
П у/ п
поэтому L2[—1,1] = N ф М] это означает, что М± = N.
1
(*£[-1,0)) (te[ о, 1]),
t6dt=-^=
'Jl
(„ m / 0 (* е [-1,0)), \
3.49. 	Так же как в 3.44 показывается, что


3.50. 	Пусть система G = {хь}£=1 линейно зависима. Не ограничивая
п — 1
общности, можно считать, что тогда хп = 53 СкХк, Ск — некоторые числа.
fc—1
п—1
Тогда {xi,Хп) = Y2 ck{xi,Xk), г = это означает, что последний
к=1
столбец Гп линейно выражается через остальные столбцы, т. е. Гп = 0. Пусть Гп = 0. Найдутся такие с*, что
п п
|с*| > 0, ^~^Ck(xi,xk) =0, г = 1,... ,п;
fc=l fc = l
эти равенства можно переписать в форме (ж*,у) = 0, г = 1,...,п, где
п
у = 53 скХк\ так как у Е (G) и у_1_Хг, г = 1,...,п, то в силу следствия
к=1
п
3.1 	у = 0; так как 53 |cfc| > 0, то это означает линейную зависимость систе-
к=1
мы G.
Из доказанного следует, что система G тогда и только тогда линейно независима, когда Гп ф 0.
п
Пусть х = 53 СкХк\ тогда
/ п п \ п
(х, х) :=:: I Ci, Хг, ^ ^ CfcXfc I — CjCA;(Xi, Xfc).
\г=1 Аг=1 / г,/е=1
Итак, имеем положительно определенную квадратичную форму относительно с = (ci,..., сп) с определителем Гп. Согласно критерию Сильвестра Гп > 0.
3.51. 	По теореме 3.1 Н — М 0 Мх, значит, х = х' + х",
п п
х' = ^ СкХк G М, хп — х — ^ CfcXfc € М*1;
fc=i fc=i
с* найдем из уравнений (хг,х") = 0, которые приводят нас к системе
п
53 Ck(xi, Хк) = (ж*, х), г = 1,..., гг с определителем А = Гп > 0. Пусть Ак —
к=1
определитель, который получится, если в А заменить к-ый столбец столбцом свободных членов. Тогда по формулам Крамера Ск = ^ (к = 1,..., п), и
X Xl ... Хп
(xi,x) (xi,xi) ... (xi,xn)
А • х - 53 Дья* *
// *=1 1
х = —
А А
(хп) х) (хп,х i) ... (хп,хп) 299


Ilx^y2 = (x",x") = (x — x\x') = (x,x'f) =
1_
A
(x,x) (x,xi) ... (x,xn)
(xi,x) (xi,xi) ... (xi,xn)
r(x,xi,...,xn)
r'(xi , . . . 5 Xn)
(xn,x) (xn,Xi) ... (xn,xn)
3.52. 	По теореме 3.1 7i = M 0 M±, значит, x = aa + (x — aa), где a
найдется из уравнения (x — aa, a) = 0, a =
(x, a)
(a, a) ’
p(x,M±) = ||aa|| = H||a|| = i^l.
3.53. 	Пусть Bn[0,1], {en}^Li — ОНС в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н, Bn[^-, |] (n = 1,2,...) Покажем, что Вп С В для всех п. Пусть х £ Вп; тогда
т. е. х € В, Ьп С В (п € N).
Покажем, что различные шары не пересекаются. Пусть п ф га, х Е Вп, 2/ Е £т — произвольные точки этих шаров. В силу 3.22 расстояние между центрами шаров
^ = IIY - у II ^ Ну - *11 + II* - г/11 + Ну - у IK \ + II* - VII +
откуда ||х — у\\ ^ — \ >0- Итак, шар В содержит бесконечное множество
непересекающихся шаров Вп •
4.
4.1. 	Пусть 2/i,2/2 Е Т£(^.) С У; по определению образа найдутся xi,Х2 Е £>(А) С X такие, что yi — Axi, г = 1,2, причем
х = axi -|- (3x2 Е Т>(А), а, (3 Е Р.
В силу линейности оператора А и определения образа И(А)
ЩА) Э Ах = Л(ах1 + /?хг) = aAxi + /ЗАхг = aj/i + (Зу2-
300


Таким образом, 71(A) содержит линейные комбинации своих элементов, что и требуется.
4.2. Образ 11(A) состоит из функций вида tx(t), где х — произвольная непрерывная функция.
t
4.3. Уравнение х' = у имеет решение x(t) = f y(s) ds при любой
а
у е С[а,Ь], поэтому 11(A) = С[а,6].
4.4. Пусть х £ Lp[a, 6] Тогда
ь ь
я Ь
J J K(t,s)x(s) ds dt ^ J if s)l9^s J * J \x(s)\Pdsdt =
\K(t,s)\q ds J dt. Итак, для действия A : Lp[a, 6] —► Lp[a, 6] достаточно, чтобы
|K(M)|qd5 dt<+oo
(- + - = 1, 1 < p, q, < +00^) ; (10.48)
\P Я J
в частности, при p = 2 достаточно чтобы
ь ь
dsdt < +oo.
(10.49)
Установим достаточные условия действия А : Lp[a, b] —► Lq[a,b] (p + , = 1> 1 ^ • Пусть ж 6 Lp[a,6]. Тогда
ь ь
J J K(t,s)x(s) ds
|if(£, s)|9 ds
|x(s)|pds| dt =
о 0
■ J J \K(t,s)\4 dsdt;
для требуемого действия должен сходиться последний интеграл.
Что касается действия оператора Вольтерры, то при близких к проведенным рассуждениям получаются те же результаты.
301


4.5. В доказательстве нуждается лишь достаточность. Пусть оператор А непрерывен в нуле, х € V(A), хп —► х (п —► оо). Тогда хп — х —► 0 и следовательно, А(хп — х) —► 0; отсюда в силу линейности оператора получаем, что Ахп —> Ах, что по определению означает непрерывность А в точке х.
4.6. Пусть линейный оператор А ограничен и М С X — ограниченное множество. Покажем, что множество А(М) С У также ограничено. По условию существует константа К > 0 такая, что ||х|| < К для любого х £ М. Пусть у £ А(М), т. е у = Ах для некоторого х £ М. Тогда в силу оценки (4.3) ||у || = || Ах || < С||х|| < С К что и означает ограниченность множества А(М).
Пусть линейный оператор А переводит всякое ограниченное множество из А' в ограниченное множество из У. Предположим, что А является неограниченным. Согласно определению для всякого п £ N найдется нормированный элемент xn £ X такой, что ||Ахп|| > п; так как Ахп принадлежит образу единичного шара, то ввиду призвольности п последнее неравенство противоречит ограниченности этого образа. Значит, оператор А ограничен.
4.7. Линейный оператор
t
А : С[а, 6] —> С[а, 6], (Ax)(t) = х(а) + J x(s) ds
является ограниченным, так как
||Ах|| = max
t€[a,b]
t
с (а) + J x(s)
ds
^ (6 — a + 1)||х||,
однако переводит все пространство С [а, 6] в множество И(А) непрерывно дифференцируемых функций, которое согласно упражнению 1.61 не является замкнутым в С [а, Ь].
4.8. 	Норма в Ш^о ||х|| = max |xfc|; сохраняя прежние обозначения, те-
1 < п
перь имеем (Р — max 22 1аг/е|) V i«<nfc==1 J
||Ах|| = max \уЛ = max
1 <i<n l<i<n
k=l
% n
max MM < max |asfc| • max V k*l = /3|И,
1<к<п 1 <г<п
k=1 k=1
Следовательно, оператор А ограничен (а значит, и непрерывен) и для нормы имеет место оценка ЦАЦ ^ 0.
302


Чтобы доказать противоположное неравенство, воспользуемся теоремой
4.2. 	Пусть го — номер строки, на которой достигается максимум в правой
части последнего неравенства. Положим х = (signai0i,... ,signсцоП)Т• Tori
гда ||А|| = sup \\Ах\\ ^ \\Ах\\ = max \&\ = 53 \са0к\ = /3(у = Ах). Вместе с
|| х || = 1 1^*<п к = 1
ранее доказанным неравенством, это означает, что
п
||Л|| — /3 — max У" \dik\- (10.50)
1<г<п *• ^ к=1
4.9. В этом случае
п п
||Лх|| = max |j/i| ^ max У' |а^||х*;| ^ max • max |aifc|^|xfe| =
k=l к=1
= max |aifc|-||x||.
1^г,k^n
Следовательно, \\A\\ < max |а**|.
4.10. В тех же обозначениях, применяя неравенство Гельдера (при р = q = 2), получаем
р*н2 = 1>12 = Ё
г=1 г=1
^ ^ Q>ikXk fc=1
2
Е(Ем2) (i>i2) =
г=1 \fc=l / \fc=l /
= Е£ы2-м2, =* 1ик (££ы2У-
г= 1 к-1 \г= 1 к=1 /
4.11. Линейность / следует из линейности интеграла Лебега.
ь 6
1/0*01 < [ IpOOIW*)!* < sup \a(t)\- f |x(s)| dt = sup |g(t)| • ||x||;
J tG[a,6] J *G[a,6]
a a
следовательно, ||/|| ^ sup |y(t)|.
t€[a,b]
4.12. Существование интеграла следует из упражнения 2.53. Линейность функционала следует из линейности интеграла Лебега. Применим неравенство Гельдера.
ь
1/0*01 < J ls(t)IM<)|<tt <
Ь \ 1 / А Ч 1
О \ q / О \ р
^ у \g(t)\'dtj ■ \x(t)\*dtj = IIsIIl, • ||*||lp 303


следовательно, ||/|| < Ц^Цц.
4.13. 	Как и выше
\\Лх\\ = / \(Ax)(t)\ dt = II K(t, s)x(s) ds
a a a
b b b b
^ J J \K(t,s)\\x(s)\dsdt = J |x(s)|ds J \K{t, s)| dt <
a a a a
b
iax f \K(t,s)\dt ■ ||x||,
^ max
s€[t
следовательно, \\A\\ ^ max f \K(t, s)| dt (перемена порядка интегрирования
s€[a,b] a
допустима по теореме Фубини).
4.14. 	Как и выше, применяя неравенство Гельдера
ь ь ь 2
||Аг||2 = / \(Ax)(t)\2 dt = II K(t, s)x(s) ds
dt sC
\K(t,s)\2ds
|x(s)|2 ds I dt =
s)\2dsdt • ||x||2,
/66 \ 2
следовательно, \\A\\ < If J \K(t,s)\2dsdt) .
\a a /
4.15. Пусть x,y E A', ot,(3 E P; тогда в силу линейности Л и Б
С(ая 4- 0у) = Л(ая -f /%/) 4- Н(ах 4- /%/) =
= а(Ах 4- Вх) /3(Ау 4- By) = аСх 4- (ЗСу\
аналогично доказывается линейность оператора D. При этом Сх, Dx Е У для любого х Е А
4.16. Линейность оператора Л следует из линейности операторов Ап и линейности предела.
4.17. В обозначениях 4.15
(АВ)(ах 4- /Зу) = А(В(ах 4- /Зу)) = А(аВх 4- /ЗВу) =
= а(ЛВ)х + 0(AB)j/ Е А.
304


4.18. Как известно, линейное пространство С(Х) — аддитивнаая группа; так как умножение отображений вообще ассоциативно, то X — полугруппа относительно умножения. Сложение и умножений линейных операторов связано между собой дистрибутивным законом:
А(В + С) = АВ + АС, (В + С) А = ВА + СА;
это проверяется непосредственно, как в 4.15 и 4.17.
4.19. Пусть Ап =* А, Вп =3 В, Хп —► Л (Ап, Вп, А, В £ С(Х),
Ап, A £ Р); тогда
||(Аг + Вп) - (А + В)|| = ||(Лп - Л) + (Яп - 5)11 <
< \\Ап ~ А\\ + IIВп - в\\ -> 0;
\\XnAn ~ АА|| = ||(АпАп - ААп) + (ААп - ХА)\\ ^
< |Ап-А|.Рп|| + |А|.|Ип-Л||-^0;
\\АпВп - АВ\\ = ||(АпВп - АпВ) + (АпВ - АВ)|| ^
^нлпн-нвп-вн + нлп-лн-нвн-о,
так как последовательность {||ЛП||} ограничена (как сходящаяся). Таким образом, Ап + Вп =3 А + В, ХпАп =3 А А, АпВп =4 АВ, что и требовалось.
4.20. 	Ряды (4.13) сходятся, так как на всей числовой оси сходятся числовые ряды
v* ИГ. v" Pll2n+1. v' 1И||2п
(2п + 1)!’
(2п)! '
(10.51)
71 — 0 n=0 V 71=0
4.21. 	В силу неравенства треугольника, непрерывности нормы и неравенства (4.12)
1|еА|| =
4.22. 	По аналогии с соответствующими степенными рядами
shA — У*
А2п+1
~ Л2п
chA = y^7^-TJ;
их сходимость для любого линейного ограниченного оператора А следует из сходимости на всей числовой оси второго и третьего рядов (10.51);
Zn(J +Л) = £(-!)■
п ’ 305
лп
ln{J-A) = J2^ri
71.


их сходимость при условии 11А |! < 1 следует из сходимости степенного ряда у* М112
п=1
4.23. 	Для любого х G 12
/ П \ 2 / оо \ 2
МпЖЦ = ( ]^|£fc| J ^ l^fel J =
i
М*Н;
отсюда следует, что операторы Ап ограничены и ||АП|| ^ 1. Положим х = (1,0,...), ||х|| = 1; по теореме 4.2
\\Ап\\ = sup ||Апя|| ^ ||Ап®|| = 1;
11*11=1
следовательно, ||An|| ^ 1, и окончательно, ||An|| = 1.
4.24. Пусть х'п —► х {х'п G Т>(А), п —► оо); тогда хп — х'п —► 0, и значит, А(хп —х'п) —►О; следовательно, lim Ах'п = lim Ахп — у.
п—►оо п—‘•оо
4.25. Пусть В и С — два оператора, обратных оператору А. Тогда с одной стороны
ВАС = В(АС) = BJy = В, с другой - ЯЛС = (ВА)С = = С.
Это означает, что В = С.
4.26. Пусть 2/г € 7£(А),о:,/3 G Р; найдутся Xi G Х>(А) такие, что у* = Ат* (г = 1,2); учитывая это, получаем линейность оператора А~1 :
Л_1(аух + /Зу2) — A~x(aAxi + (ЗАх2) = А_1(А(аж i -Ь/Зжг)) =
= axi 4- 0х2 = аА~ху\ -I- (ЗА~1у2,
4.27. Пусть ж, у G Л/Х А), а, /3 G Р; тогда А(скг 4- /Зу) = а Ах -1- /ЗАу = 0, т.е. N (А) — линейное многообразие в X.
4.28. В связи с 4.27 осталось доказать замкнутость М{А). Пусть х* —
предельная точка ЛГ(А). Найдется последовательность {xn}^Li С
С М(А) такая, что lim хп —*► х*. В силу непрерывности оператора А из pari—*-оо
венств Ахп = 0 (n = 1,2,...) следует равенство Ах* = 0, которое означает, что х* G М(Л). Это и означает замкнутость N{A).
4.29. Запишем представление обратного оператора в координатной форме, обозначив (By)i — г-ый элемент столбца By, dk(t, s) — элемент матрицы Коши C(t, s) :


Далее мы используем обозначения из упражнения 2.73.
п Г
|(^-1г/)<(*)| < £ / |cifc(*,s)||»fc(e)|ds <
*
s? / max |cifc(<,s)|£|yfc(s)|de <
/ 1 <к<П *
i k=i
t
^ ||у||с"[а,ь] / max |cjk((, s)| ds;
а
отсюда, перейдя к максимуму по t и сложив по i все оценки:
- п г
I\А 1S/Цоп[а,ь] < У2 max / ш |c<fc(t, s)| ds • Ц3/Ц0"[а,ь],
tE[a,oj J г а
получим ограниченность оператора А-1.
4.30. Утверждение леммы следует из цепочки равенств
(.АВ)(В~1А~1) = А(ВВ-г)А-1 = AJyA-1 = АА-1 = Jz.
4.31. Пусть ||ДЛ|| < p^qf; тогда ||ДА ■ Л-1|| < ||ДЛ|| • ||Л_1|| < 1; соответственно изменится и правая часть неравенства (4.24).
4.32. 1) Пусть существует А"1; непосредственная подстановка в уравнение (4.25) вектора х = А^1у показывает, что х — решение;
2) пусть существует Aj-1; предположим, что уравнение (4.25) имеет два решения х' и х" : Ах' = у и Ах" = у; умножив оба эти равенства слева на Aj"1, видим, что х' = х"\
3) существование решения уравнения (4.25) при любом у 6 У означает, что 11(A) = У; единственность решения уравнения (4.25) при у — 0 означает, что Af(A) = {0}.
4.33. Существование операторов А~1 и А~[1 означает, что уравнение (4.25) однозначно разрешимо при любом у £ У. Согласно третьему утверждению 4.32 ЛГ(А) = {0}, 11(A) = У\ это означает, что А биективно отображает X на У. По теореме 4.13 существует ограниченный обратный оператор А-1;
Предположим, что U — произвольный левый обратный к оператору А. Тогда из равенств UА = Jx, Aj-1 А = Jx следует, что (U — А^г)А = 0; подействовав справа на обе части этого равенства оператором А-1, получаем, что U = Аг-1. Точно так же доказывается единственность (при
307


условиях настоящего упражнения ) правого обратного оператора. Поэтому
А-1 = Af1 = А'1.
4.34. 	Линейность оператора А следует из линейности интеграла Рима- на. Докажем его ограниченность.
II Aril = max *€[0,1]
/x(s)ds < max I \x(s)\ds^
*€[0,1] у
*
lax \x(s)\ • max I ds ^ ||x||. [од]1 t€[o,i] У 11 11
^ max I
s€[<
Таким образом, оператор А ограничен и \\А\\ < 1. Докажем противоположное неравенство.
Пусть х(£) = 1; Очевидно, ||х|| = 1. По теореме 4.2
*
\\А\\ = sup ||Ас|| > ||Аг|| = max [ Ids = 1.
||x|| = l *€[0,1] J
о
Значит, ЦЛЦ ^ 1, ас учетом ранее доказанного, \\А\\ = 1.
4.35. Линейность операторов А, В, С очевидна. Так же, как в предыдущем упражнении
1И*|| = max |г2ж(г)| < max |x(t)| = ||х||, ||Вх|| = max |t2z(0)| <
^ тах|х(0)| ^ ||х||, ЦСхЦ = max |x(t2)| = тах|х(£)| = ||х||.
*€[0,1]' " 11 *€[0,1]' 4 л *€[0,1]' 4 л 11 11
Итак, доказана ограниченность всех трех операторов, причем \\А\\ ^ 1,
Н*|| < 1, \\С\\ = 1.
Противоположные неравенства (для \\А\\ и \\В\\) доказываются, как в 4.34 с использованием той же функции х.
4.36. Линейность оператора интегрирования следует из линейности интеграла Лебега. Докажем его ограниченность.
1 1 * 1 *
|И*|| = / \(Ax)(t)\dt = j \j x(s) ds \dt ^ J J \x(s)\dsdt =
о oo oo
ill l
= J |x(s)|ds J dt = J(1 — s)\x(s)\ds ^ J |x(s)| ds = ||x||;
о s о о
308


отсюда следует, что оператор А ограничен и ||А|| < 1. Докажем противоположное неравенство.
Пусть е > 0 произвольно мало,
а
= рЬ; ри = / ^ = 1. (л&т = tе.
По теореме 4.2
I
1И11 = sup ||Ar|| ^ \\Ах\\ = [ tedt= ;
ll*j|=i J 1 + е
ввиду произвольности £ ||А|| ^ 1, и значит, || Л|| = 1.
4.37. 	Линейность оператора интегрирования следует из линейности интеграла Лебега. Докажем его ограниченность
x(s) ds
dt
к внутреннему интегралу применим неравенство Гельдера: р t
J x(s)ds < J |x(s)|pds | J Iя ds\ = t ? J |x(s)|pds;
о 0 \o / 0
таким образом,
l t
£
\\Ax\\ < / * Vo 0
/ l*wi-
pdsdtJ ^ ||x|| tv dt
Итак, ограниченность доказана и установлено, что \\А\\ < (l) ? .
Для получения какой-либо оценки снизу для нормы оператора А возь- мем x(t) = 1, тогда ||х|| = 1, ||Ае|| = согласно теореме 4.2
11-^11 ^ • Итак, окончательно имеем
309


4.38. 	С учетом оценки, полученной в 4.37
+ \x(t)\2 1 dt ^
1 1 = J (2 — s)|x(s)|2 ds ^ 2 J |x(s)|2 ds ^ 2||x||.
Отсюда следует ограниченность оператора и оценка \\А\\ ^ 2.
4.39. 	Здесь Т>(А) = С[а,Ь], 71(A) — множество непрерывно дифференцируемых функций х Е С[а, Ь], обладающих свойством х(а) = 0. Ограниченность оператора и оценка его нормы сверху:
\\Ах\\ = шах
t£[a,b]
г г
/,x(s)ds < max / |x(s)| ds ^ (6 — а)||х||,
*€[а,Ь] J
|| Л|| < b — а. Положив x(t) = 1, найдем согласно теореме 4.2, что
t
\\А\\ = sup ЦАхЦ ^ \\Ах\\ = max / 1 ds = b — а.
||*||=i te[a,b]J
а
Таким образом, окончательно получаем, что \\А\\ = 6 — а.
4.40. 	Здесь V(A) = С [а, Ь], 7£(А) — множество функций х € С^[а, Ь], обладающих свойством х(а) = 0. Ограниченность оператора и оценка его нормы сверху:
У x(s)ds
а
^ (Ь a) Hxllc'fa^b] ~Ь ||X||<27[а,Ь] == (Р O' 1) ||х||(7[а>ь],
+ max |х(£)| ^
t€[a,b]'
||А|| ^ (6 — а + 1). Докажем противоположное неравенство.
Пусть е > 0 произвольно мало, x(t) = 5 тогда ||х|| = 1,
(Ax)(t) = (ь^^+х) ■ По теореме 4.2
PII = sup Px||c(i)[a>()) ^ 1Иж|1с(1)[о,Ь] =
11*11=1
310
+ 1;


ввиду произвольной малости г это значит, что ||А|| ^ Ъ — а + 1; с учетом доказанного выше ||А|| = 6 — а + 1.
4.41. 	Линейность следует из линейности интеграла Лебега. V(A) = Lp[0,1], 'JZ(A) представляет собой множество абсолютно непрерывных функций с сумируемой со степенью р производной, обладающих свойством ж(0) = 0. Ограниченность оператора и оценку его нормы сверху докажем с помощью неравенства Гельдера :
откуда || А || ^ 1. Для доказательства противоположного неравенства положим x(t) = 1 и воспользуемся снова теоремой 4.2:
окончательно получаем, что \\А\\ = 1.
4.42. 	а) Пусть J : С[— 1,1] —> С[0,1], Jx = х;
||Л:||с[-1,1] = ||х||с[од] < INIc[-Mi =► 1И1 =* 1- Полагая x(t) = 1, t € [—1,1], получаем в силу теоремы 4.2
IHI = sup ||^||с[о,1] 5* ||^||с[о,1] = 1 => 11-Л1 ^ 1,
Н*11с[-1,1]=1
и следовательно, || J|| = 1;
б) 	пусть J : С(1)[а,6] — C[a,b\, Jx = х;
||</я||с[а,Ь] = 1М1с[а,Ь] =% |M|c[a,bJ + 11С7[а,Ь] = 11®lied){а,Ь] =► 11^11 ^
Положим x(t) = 1; тогда ||жЦс(1)[а,ь] = 1 и по теореме 4.2
||J|| = sup IIJx||C[a,b] S* ||</*||с[а,Ь] = 1 =► 1И1 5* 1.
||ж||с(1)[а,|,] = 1
и значит, окончательно, || J|| = 1;
\\Ах\\лс = | (Ах) (0)| + / КАг)7^)! dt = I
о
о
1
||Л|| = sup \\Ах\\ас > ||Ах||лс = 1 => ||А|| ^ 1;
311


в) 	наконец, пусть J : W2[a, b] —► L2[a, b], Jx = х;
ь
2
\\Jx\\h2 = ||x||l2 = / \x(t)\ dt <
< (l*(t)l2 + W(t)\2) dtj = ||x||wi => IIJ|| < 1.
Положив на этот раз x(t) = ^_а, так, что ||x||wi = 1, по теореме 4.2 снова получим
|| J\\ > || Jx||L2 = 1 => Ц J|| ^ 1 =» Ц J|| = 1.
4.43. Да, оператор ограничен в обоих пространствах. В пространстве С[а,Ь] \\Ах\\с = \\сх\\с ^ Цс||с • ЦяЦс => ЦАЦ ^ Цс||с; с помощью
теоремы 4.2, выбрав x(t) = 1, показывается, что на самом деле ЦАЦ = ЦсЦс-
В пространстве Сь2 [о, Ь]
\\Ах\\сь2 = \c(t)\2\x(t)\2 dtj < (max|c(t)|2) ||х||с,.2-
4.44. Да, действует и ограничен. В самом деле, пусть х £ L2[0,1];
1 11 f \(Ax(t))\2 dt = j t2 J \x(s)\2dsdt = ^||x||2;
0 0 0
это и означает действие оператора А в пространстве L2[0,1], его ограниченность и, кроме того, согласно определению нормы оператора, равенство
И1 =
4.45. Да, действует и ограничен. Пусть х £ L2[0,1];
\\Asx\\ = \xs(t)\2 d^J = (j \x(t)\2 d^j ^
^ \x(t)\2 d^j = ||x|| ^p,||^l;
положим x(t) = < 'S* ДЛ ^ ^ 5’ тогда ||x|| = 1 и согласно теореме 4.2
^ 0 для t > s;
ЦAsЦ ^ ||Asx|| = 1. Следовательно, ||AS|| = 1.
312


4.46. 	а) Да; ||Л|| = 1, см. 4.43;
б) 	да; ||Л|| = 1;
J^\x(t)\2dtj =||х|| =Н|А.|К1;
Для доказательства противоположного неравенства рассмотрим xn(t) = yj*n£lt2n (n G N); непосредственным вычислением убеждаемся
в том, что ||хп|| = 1, (Ax)(t) = t2n+1; по теореме 4.2
||А|| ^ \\Ах\\ =
4п + 3’
так как п можно взять сколь угодно большим, то получаем неравенство ||А|| ^ 1, что вместе с ранее доказанным означает: ||А|| = 1;
в) 	да; ||А|| ^ 1;
||Ax||l2 = / t2\x(t)\2 dt J ^ I / \x(t)\2 dt
IW|l2 ^ IWIw* ==:^ \\A\\ ^ 1-
4.47. Линейность и ограниченность операторов очевидна. Образ ЩА), ('ЩВ)) представляет собой множество четных ^нечетных^ функций; ||А|| - ||Б|| = 1; А2 — А, В2 — В.
4.48. а) Здесь Т>(А) — всюду плотное в С[а,Ь] множество непрерывно дифференцируемых функций (см. п.4.1.2, пример 4), И(А) = С[а,Ь], так как уравнение х' = у имеет решения при любом у £ С[а, Ь]. Оператор А в этом случае неограниченный, так как переводит ограниченную последовательность xn(t) = (ll^nll = 1, п = 1,2,...) в неограниченную (\\Ахп\\ = Ш = ^ оо (п -> оо));
б) 	здесь V(A) = С{1) [а, Ь], ЩА) = С[а, Ь] (см. а)); оператор ограничен:
||Ax||c=max |x'(t)|<max|x(t)|+max |x'(t)|=||x||c(i) =НИ| < 1.
£G[a,b] te[a,bJ te[a,b]
313


Для доказательства противоположного неравенства нормируем последовательность
так как п можно взять сколь угодно большим, то отсюда следует, что ||Л|| ^ 1, и значит, \\А\\ = 1.
в) 	здесь Т>(А) — множество функций из W2[a, 6], имеющих суммируемые с квадратом производные, 7£(Л) = L2 [a, Ь], так как уравнение х' = у имеет решения при любом у € L2[a, &]; оператор ограниченный:
Докажем противоположное неравенство. Пусть е > 0 произвольно мало,
так как последнее выражение стремится к 1 при е —► 0, то при достаточно малом е это выражение можно сделать сколь угодно близким к 1. Это
тогда \\хп\\ = 1, (Axn)(t) = jt-
(b — a)n(t — а)п 1 (Ь — а 4-1)(6 — а)п
, ||Ас„||с = 53^; по теоре-
ме 4.2
||А|| 3* \\Ахп\\с =
Ь — cl Ti b — а 4 ть
\\Ax\\i* = \x'(t)\2 dt
(\x(t)\2 + \x'(t)\2)dt
— IMIwJ ==*' 1ИН ^ 1-
IMIw' —
(\ I ^
) 2 , to ||£||wi = 1. Согласно теореме 4.2
Pll > P*I|l2 = II* lk2
2ce(6 - a) 2+e
1 + 2 £
(t-a)2e~l dt
1
314


значит, что || А || ^ 1. С учетом доказанного выше противоположного неравенства р|| = 1;
г) 	теперь Т>(А) = АС[а, 6], 7Z(A) = L[o, b] (по той же причине, что и в п. в)); оператор ограниченный:
ъ ь
IIAtIIl = IMIl = J \x'(t)\dt^\x(a)\ + J \x’(t)\dt = \\x\\AC;
a a
следовательно, \\A\\ ^ 1. Пусть x(t) = тогда ||£|Цс = 1- Согласно теореме 4.2
Р|| ^ \\Ax\\l = ||*'||L = 1 =► р|| ^ 1 =► ||Л|| = 1.
4.49. 	Ограниченность оператора А : С^п\а, 6] —► С[а,Ь] следует из цепочки неравенств
\\Ах\\с < £ 1Ы|с • ||x("-fc)||c < max ||Pfc||0 £ \\x
w||c =
O^k^n
k=0
= max ||pfc||c • INIC(»)-
Пусть pk G 1*2 [a, b] (k = 0,1,..., n); полагаем V(A) — множество функций, имеющих абсолютно непрерывную производную порядка п — 1 и ограниченную в существенном производную порядка п. Тогда, если х Е 'D(A), то
о о
J\(Ax){t)\ dt = J
2
dt s£
fc=0
< / dt^
* ££ f IPfcWlV""0**)!2 a < +oo,
I П A — r> J
так как интегралы f \pk(t)\2 dt no условию конечны, а функции
a
|x(n“*)|2 — ограничены (при i=0 лишь в существенном). ^Выше было применено неравенство Коши-Буняковского
п п
fe=0 г=0
315


Образ оператора 7Z(A) — множество ограниченных в существенном функций из 1,2 [а, 6].
В данном случае оператор неограниченный. Чтобы в этом убедиться, достаточна рассмотреть случай (Ax)(t) = х^п\ Пусть xm(t) =
= (m € N); легко видеть, что
ЦХгггЦьг — Ц-ЛХт ||l2 (0 —
= {
2т +1 т(т — 1)... (m — n + 1) 2ш-2п + 1 (6^ >+°°
Таким образом, оператор переводит ограниченную последовательность в неограниченную, т. е. является неограниченным.
4.50. а) В пространстве С[0,1] оператор А действует при любых а > О, ЦАЦ = 1 (см. 4.35, оператор С);
б) пусть х G L.2 [0,1]; тогда
ill
y*|(Ar)(£)| dt = J \x(ta)\2 dt = — J |x(s)|2s«-1 ds < +00, 000
если 0 < a ^ 1; если a > 1, то функция |cc(s)|2sa-1 может не быть суммируемой. Действительно, пусть
a = 1 + S, где 5 > 0, е = (> °)> хОО =
тогда х € Ьг[0,1], а функция \x(t)\2t«-1 = t~l не суммируема. Итак, установлено, что только при 0 < а ^ 1 оператор А действует в пространстве L2[0,1], является ограниченным и \\А\\ ^
Пусть x(t) = у/2п -f 1 tn\ тогда \\х\\ = 1, (Ax)(t) = у/2п -h 1 tan и по теореме 4.2 \\А\\ ^ \\Ах\\ = yj^ (п —► оо); так как п можно взять сколь угодно большим, то ||Л|| ^ следовательно, ЦАЦ =
4.51. а) В пространстве С[0,1] оператор А действует при любых а ^ О, /3^0 ЦАЦ = 1 (см. 4.35, оператор С);
б) 	при a = О, (3 > — \ А действует в пространстве Ьг[0,1], но является неограниченным:
1 1 f\(Ax){t)fdt = y,t^|x(l)|adt = M^L (x€L2[0,1]); о о
316


если xn(t) = y/2n+litn, то ||хп||ь2 = 1, но
||j4*n|!l2 = ^/?+ 1 +°° (п °°)-
При а > 0, /3 > —А действует в пространстве L2 [0,1] и является ограниченным:
11 1 J\(Ax)(t)\2 dt = J t20\x(ta)\2dt = ^ J dt illzllk
О О о
(x G Ьг[0,1]); отсюда также видим, что ||А|| ^ с другой стороны, в
силу теоремы 4.2, ||Л|| > ||Аг„|| = у/-*■ 75 (п —► оо); это значит, что при достаточно больших п || Агп|| может быть сделано сколь угодно близким к ^=, так что, ||А|| ^ т. е. на самом деле имеет место равенство
1ИИ = 75-
4.52. Воспользуемся результатом примера 4 из п. 4.1.5. Согласно (4.8)
1
\\А\\ — max f\K(t, s)| ds. Поэтому
tG [0,1] о
1
а) Pll = /|аттг(*-в)|Ж = f;
б) \\A\\ = max f ea^_s) ds = e°t~1;
t€[0,l]5 a
в) ЦЛЦ = max f tas^ ds — .
t€[0,l]5
4.53. а) Если ядро К непрерывно в квадрате [а, 6]2, то по теореме о непрерывной зависимости интеграла Римана от параметра А : С[а, 6] —► С[а, 6]
б) 	если ядро К суммируемо с квадратом на [а, 6]2, т. е. если
/С
ь ь
2
= J J \K(t, s)|2 dsdt < -foo, (10.52)
то A : Ьг[а, b] —► Ьг[а, 6]. Действительно, пусть х Е 1.2 [а, 6]; в силу неравенства Гельдера
ь ь
J\(Ax)(t)\3dt = J JK(t , s)x(s) ds
a a a
b b
J J\K(t,s)\2ds -J \x{s)\2dsdt = IC
< J J \K(t,s)\‘ds ■ I \x(s)\‘ dsdt = K,2\\x\\2 < +oo.
a a
317


отсюда следует также, что оператор А ограничен и \\А\\ < /С.
в) 	если ядро К удовлетворяет условию:
(Ve > 0) (36 > 0) (VO" : |f' - t"| < J)
i
6 \ 2 |AT(t',s)- K(t",s)\2ds J < e
(назовем это условие равномерной среднеквадратической непрерывностью по первому аргументу), то А : 1.2[а, 6] —* С[а,6]. Докажем это.
Пусть ядро удовлетворяет этому условию, £ > 0 произвольно
ь
х 6 1г[а, 6], y(t) = J K(t,s)x(s) ds, \t! — t"\<6;
a
в силу неравенства Гельдера
<^J\K(t',s)-K(t",s)\2ds^ ^/ws)i2j <£M;
это означает, что образ х G Ьг[а, 6] равномерно непрерывен, т. е. у G С [о, 6].
г) так же, как в б) показывается, что условие (10.52) достаточно для действия А : С[а, Ь] —► L.2[a, 6];
д) так же, как в б) показывается, что условие
ь ь
к? = J J\K{t,s)\4dsdt < +00, (10.53)
а а
достаточно для действия А : hp[a,b] —► Lg[a,b], причем ЦАЦ ^ /С.
4.54. 	а) Если ядро к непрерывно в квадрате [а,Ь]2, то оператор (4.29) действует в пространстве С [а, Ь] и является ограниченным. Действительно, пусть М = max \k(t, s)| и х G С[а, 6], у(£) = (Ах)(£); так как подын-
t,s€[a,b]
тегральная функция мажорируется функцией , интеграл от которой
сходится (и является непрерывной функцией t), то и у G С[а, 6]. Далее,
ь
\\Ах\\ ^ М\\х\\ max [
t£[a,b) J
ds 2aM(b — a)1-a
< llxll
11 — e|° 1 — a
318


/(<)-/|t-S|“ / (t-s)“+ /
2«(b-a)1-°t\
1 -a У ;
(*-a)1-a + (6-*)1-°£ ^ 2a(b-'-'1“a> 1 -a
максимум /(£) достигается в точке t = 9i~ и равен правой части последнего неравенства. Из сказанного следует ограниченность оператора А и оценка
м < у-;
Ъ ь \fcU 5\|2
б) 	если С2 = f f г" dsdt < -foo, то оператор (4.29) действует в
а а Г — Sl “
пространстве L2[a, b] и является ограниченным, причем \\А\\ ^ £; это показывается точно так же, как в 4.53 б).
4.55. Область определения V(A) состоит из последовательностей х G /2,
оо
для которых сходится ряд 22 » образ
к-1
7£(А) = {у G /2 : У к = 0 для тех А;, для которых А* =0}; если ф 0 (А; = 1,2,...), то 11(A) = /2;
оо оо
1и*и2 = J2 ia***i2 < л2 5Z i^i2 = л211х112>
к=1 fc=l
Л = sup|Ajfc|; таким образом, оператор А непрерывен, если последователь- к€ N
ность {Xk}kLi ограничена; при этом \\А\\ ^ А; докажем противоположное неравенство. Если А = sup|Afc| = |А*;0| при некотором Л:о, то положим
fc€N
х = (xi,х2,...),х^0 = 1, Хк = 0 (к ф ко); в противном случае существует последовательность |А*-1 —> Л; тогда положим Xj = Аj = 1,2,...; в обоих случаях с помощью теоремы 4.2 получаем, что ЦАЦ ^ Л, а в итоге ||А||=Л.
°° I 1р
4.56. Здесь Т>(А) = /р, так как ряд 22 Д сходится для любого
к=1
х G lp\ 71(A) состоит из последовательностей у G для которых сходится ряд £ I*v*lp; ъ(в) = тг(А), П(В) = 2>(в) = /2.
fc=1
Оператор А ограничен, так как
00 и ip 00
1И*1Г = £^М£ыр =
кР
откуда ЦАЦ ^ 1. Положив х = (1,0,0,...), получим согласно теореме 4.2, что ЦАЦ ^ ЦАхЦ = 1; следовательно, ЦАЦ = 1.
319


Покажем, что оператор В — неограниченный. Пусть
**(££)*■ • У
тогда х(п) е Т>(В), ||х(п)|| = 1, но \\Вх^\\р = -Цг = — —► +оо при
Сп £>
п —► оо по теореме Штольца (см. [31, с. 67]).
В пространстве Iо© Т>(А) = /оо, ЩА) состоит из последовательностей У € loo, для которых ограничена последовательность {hyk}kLi,
V(B) = ЩА), ЩВ) = Х>(А).
Оператор А ограничен и в пространстве /оо, причем ||А|| = 1; оператор В неограниченный и в этом случае; теперь удобно взять х^ = (1,...,1,0,...);
тогда x(n) Е Т>(В), ||x^n)|| = 1, но ||£х(п)|| = п —► оо.
4.57. 	Здесь, очевидно, 2Э(А) = RJJ, так как при любом х Е Ах Е 1Р. Линейность оператора А очевидна. Докажем его ограниченность.
/
\\Лх\\ь
р\ р
3=1
к=1
кР
v'i.V ^ л1р _ £fcp] v§v
(С(р) = ]С *^)* Таким образом, доказана ограниченность оператора А и
к=1
найдена его норма: ||А|| = (С(р))^-
оо
4.58. 	Пусть д = (1, так как ряд \\д\\\ = Е ^ (= С(?))
/с — 1
сходится и Ах имеет вид Сд, то £>(А) = RJJ, 7£(А) = (д). Линейность оператора А очевидна. Докажем его ограниченность.
1|Аг||«Р =
fc=l
fc=i
(1+M
\P я J
Итак, оператор А ограничен и ||A|| ^ n4l0l|jp- Для того, чтобы доказать противоположное неравенство, воспользуемся теоремой 4.2 и положим х = -х(1,..., 1) (6 Ер); тогда
||ж||«п = 1, \\А\\ > \\Ax\\h = 4-1Ы1«р ="*1Ы||Р;
ПР
320


отсюда \\А\\ = пя ||p||ip.
4.59. Оператор Ап ограничен при любых указанных р и ||An|| = 1 (покажите это).
Оператор Ап ограничен и в пространствах со, с, /оо, причем || Ап || = 1 для всех этих пространств.
4.60. Оператор Ап ограничен при любых указанных р; ограничен он также и в пространствах со, с, /оо, причем ||An|| = 1 для всех этих пространств.
4.61. Линейность оператора А следует из линейности скалярного произведения; V(A) = Tt, 71(A) = (6); с помощью неравенства Коши-Буняковского получаем
\\Лх\\ = 1(0>ж)1 • Н6Н < IMI • INI • IWI =* А ограничен, ||Л|| < ||а|| • ||Ь||;
полагая х = и ссылаясь на теорему 4.2, получим противоположное неравенство ||А ^ \\Ах\\ = ЦсгЦ • ||Ь||, а с ним и равенство ЦАЦ = ||а|| • \\Ь\\.
4.62. Линейность оператора А следует из линейности скалярного произведения; V(A) = 7~С, 71(A) = (bi, 62); с помощью неравенства Коши-Буняковского получаем
\\Ах\\ < |(01,х)|||Ьх|| + |(а2,х)|||62|| < (||а1|| • HbiH + ||а2|| • ||62||)||х||;
значит, А ограничен и ЦАЦ < ||ai|| • ||6i|| + ЦагЦЦ&гЦ; положив х =
~ ~7ъ (]|aiT liafll) ’ так’ что = получим с помощью теоремы 4.2 и теоремы Пифагора (упражнение 3.13) требуемую оценку снизу для ЦАЦ.
4.63. По условию с = (ci, С2,...) Е /оо; обозначим
оо
V(A) = {х : \ап\ < +°°’ = (х>еп)}
п=1
(ап — коэффициенты Фурье элемента х по заданной ОНС, см. п. 3.5. Наряду с указанным рядом из модулей коэффициентов Фурье сходится ряд Фурье
оо оо
22 апеп, абсолютно сходится числовой ряд Y2 cnfln, а значит, сходится и
п=1 п=1
оо
ряд 22 cnCLnen = Ах (см. п. 2. 4. Этим А определен на Т>(А) как линейный
п= 1
непрерывный оператор.
Если sup|cn| (= ||с|Ю достигается на некотором по, то имеем ||АеП0|| =
n6N
|сПо | = ||сЦ^; в противном случае найдется подпоследовательность {cnj 1
такая, что \cnj\ —> ЦсЦ^ и значит,
I\Aenj || = \\cnjenj || = \cnj | -> \\c\\l(x, (j -► oo).
321


Следовательно, ||А|| = НсЦ^ = sup|cn|.
n6N
4.64. 	Пусть как н в 4.63 оп — коэффициенты Фурье элемента х £ 1~С
оо
по заданной ОНС. Теперь абсолютная сходимость ряда 53 спап следует из
п= 1
неравенства Гельдера:
ОО / ОО \ i ( ОО \ i
£|CnanK Elc-I2 ' £МЧ =М«2-М«-
71—1 \п=1 / \п= 1 /
ОО
Значит, снова можно положить Лх = 53 cnanen; при этом приведенное
п= 1
выше неравенство означает: ||Аж||?* ^ НСН*2 ' llxllw> т. е. ограниченность оператора А и справедливость оценки \\А\\ ^ ||с||/2.
Противоположное неравенство получим с помощью теоремы 4.2, если возьмем х = ц-|| с; тогда \\х\\ = 1 и согласно теореме Пифагора (упражнение 3.13).
^ ^СпСпСп
Таким образом, \\А\\ = ||c||j2.
4.65. 	Линейность ортопроектора Р очевидна; взяв х £ Но, получим, что Рх = х, ||Ра:|| = ||х||; этим доказана ограниченность ортопроектора и тот факт, что ||Р|| = 1. Образ 1Z(P) = Но; поскольку (J — Р)х = х", то J — Р — ортопроектор на подпространство Hq .
4.66 Из определения гомоморфизма следует, что Ф — линейный оператор. Пусть х £ X — фиксированный элемент; тогда для любого z £ С справедливы неравенства
inf ||х + у\\х «S ||х + z\\x ||ж||дг + \\z\\x, уес
и значит,
\\*х\\х/с = inf ||ar + у\\х ^ inf (||х||* + ||z||*) = ||ж||дг;
уес z££y
следовательно Ф — ограниченный оператор и ||Ф|| ^ 1.
Докажем противоположное неравенство. Пусть £ > 0 произвольно. По лемме Рисса о почти перпендикуляре (см. п.2. 5) найдется нормированный элемент z£ £ Х\С такой, что


По теореме о норме 4.2
||Ф|| = sup ||Фх||дг/£ > ||Фze\\X/c\\ = mf\\ze+y\\x > 1 -е.
Nll=i уес
Ввиду произвольности е это означает, что ||Ф|| ^ 1, и следовательно, 11ФИ = 1.
4.67. 	а) Линейность функционала следует из линейности значения функции в точке:
/(ах + (Зу) = {ах + (Зу)( 0) = ах( 0) + 0у( 0) = af(x) + (3f(y).
Докажем ограниченность функционала, которая эквивалентна его непрерывности (см. теорему 4.1)
1/0*01 = 1*(0)1 < max |x(t)| = ||х|| => / ограничен, ||/|| ^ 1;
t£G [—1, 1J
пусть x(t) = 1, так, что ||х|| = 1; по теореме 4.2 ||/|| ^ |/(х)1 = х(0) = 1; отсюда Ц/Ц ^ 1, и значит, ||/|| = 1;
б) линейность функционала столь же тривиальна, как ива);
1/0*01 = |ж(-1) - 2х(0) + х(1)| < |х(—1)1 + 2|х(0)| + |х(1)| ^
^ 4 max |х(£)| = 4||х||;
t6C[—1,1] v 71 " 11
этим доказана ограниченность функционала / и оценка ||/|| < 4. Для доказательства противоположного неравенства рассмотрим кусочно линейную функцию x(t) = 2\t\ — 1 (знак функции в точках —1,0,1 совпадает со знаком коэффициента); тогда ||х|| = 1, /(х) = 4; по теореме 4.2 ||/|| ^ 4, и значит, 11/11=4;
в) рассуждения аналогичны, приведенным выше в п. б), ||/|| =
*(*)= 2i (2If I ~1) Для 11*11 ^ £'< *(*) = 1 Для 1*1 > £;
п
г) 11/11 = £ Ы; см. п.1.1.5, пример 2;
к=1
д) линейность функционала следует из линейности интеграла;
1/0*01
11 1 Jx(t)ds ^ J |x(£)|ds^ max |х(£)| = ||х|| • J ds = ||x||,
т. e. / ограничен и ||/|| ^ 1. Противоположное неравенство доказываем, как в б), положив x(t) = 1; следовательно, ||/|| = 1;
323


е) линейность функционала следует из линейности обоих слагаемых; ограниченность — из нижеследующего:
1 1 |/(ж)| = Jx(t)ds-x(-1) ^ J \x(t)\ds + |ж(—1)1 < 2||х||;
о о
отсюда также следует, что ||/|| ^ 2. Для доказательства противоположного неравенства рассмотрим кусочно линейную функцию x(t) = 2t + 1 для — 1 < t < 0, x(t) = 1 для 0 < t ^ 1; очевидно, х Е С[—1,1], ||х|| = 1, f(x) = 1 — (—1) = 2; по теореме 4.2 ||/|| ^ 2, и значит, ||/|| = 2;
ж) линейность функционала следует из линейности интеграла; его ограниченность — из следущей цепочки соотношений
11 1
i/(*)i = \Jx(t)ds ^ J |x(t)|<is^ max ^|х(£)| == ||х|| • J ds = 2||х||;
-1 -1 -1 отсюда также следует, что ||/|| ^ 2. Противоположное неравенство доказываем, как в б), положив x(t) = 1; следовательно, ||/|| = 2;
з) y/Ц = 3; рассуждаем, как в е) и ж); остановимся на доказательстве
неравенства ||/|| ^ 3; полагаем xn{t) = 1 для |£| > x(t) = n\t\ — 1 для
|£| < п Е N; очевидно,
х € С[—1,1], ||ж|| = 1, f{x) = 2^j(nt-l)dt + J dt j - (-1) = 3 -
что ввиду произвольности n Е N означает согласно теореме 4.2, что ||/|| ^ 3;
и) Ц/y = 2; рассуждаем, как в е), ж) и з); здесь
{1 ДЛЯ t < —1,
-nt для |t|^ A, /(in) = 2--;
— 1 для < > £;
к) линейность функционала следует из линейности интеграла и линейности суммы; докажем его ограниченность:
1 т 1
|/(х)|= J x(t) dt - 2m1+ х J2 х(^) < У |*(<)|dt+
+
к= — т 1
-—- V' х(—) < ( [ dt+-—-—- V' l] max |x(t)| = 2m +1 m I J 2m+1
k——m
3||x|| =► / ограничен, ||/|| sj 3;
324


для доказательства противоположного неравенства используем последовательность непрерывных функций(п > т) xn(t) =
1 для t е [£ + ^ - £] , к = -т, -т+ 1,.. .,0, 1;
—1 для t = к = —гп, —га + 1, ... ,0, ... ,771;
/ гп — 1
линейнана [—1, —1 + ±) U (1 — l] U U (£ - £ + £)
—т+1
(см. рис. 11).
Рис. 11
Как легко видеть, ||xn|| = 1 и
т т р п т
/<*.)-2 £ / !*-_ £<-« =
fc=l j к— — т
= 2mfl_I — 1 + |П±1)= 3-2;
\ 771 72 7г 2771 4-1 / 72
в с силу теоремы 4.2 ||/|| ^ /(хп) = 3 — \ \ так как п может быть произвольно большим, то отсюда следует, что ||/|| ^ 3; согласно доказанному выше 11/11 = 3;
л) Ц/Ц = 1; рассуждаем как в п. 1.1.5., пример 3 (см. также и) и к)); здесь надо взять
-1 для* < xn{t) = Tit для \t\ ^
1 для t >
325


тогда f(xn) =
м) ll/ll = | (см., например ж)); здесь можно взять x(t) = 1.
4.68. 	Линейность всех функционалов следует из линейности интеграла.
а) /(х) = f х( ry/i)dt — т f srn~1x(s) ds, ||/|| = 1 (см. 4.67, м)); x(t) = 1;
о о
б) f(x) = / x(tm)dt - i f s^~1x(s)ds, ll/ll = 1 (cm. 4.67, m)); x(t) = 1.
0 0
Рассмотрим эти функционалы в пространстве Lp[0,1] при га > 1.
а) 	Пусть сначала р = 1;
1
|/(х)| ^ га У sm_1|x(s)| ds ^ о
1
^ га J |x(s)| ds = га||х|| ==> / ограничен, ||/|| ^ га; о
положив xn(t) = (n + 1 )sn (||х|| = 1), имеем согласно теореме 4.2 ||/|| ^ ^ |/(жп)| = my'-^1' = га — , что ввиду произвольности п означает, что
Ц/ll ^ га, т. е. 11/Ц = га; пусть р = +оо;
1
|/(х)| ^ essup\x(s)\m / srn~1 ds = ||х|| =>> / ограничен, ||/|| ^ 1; sG[0,l] J
о
взяв x(t) = 1, придем к неравенству ||/|| ^ |/(£)1 = 1, и в конце концов, к равенству ||/|| = 1;
пусть, наконец, 1 < р < +оо; с помощью неравенства Гельдера (i + i = 1 или q = получаем
1
га
о
J sm lx(s)ds ^ га I J |x(s)|pds
i v i
1 \ P / 1 \ 9
I =
0
m т IWI =* / ограничен, ||/|| ^
(q(m - 1) + l) q (q(m - 1) + l) q
б) 	пусть 1 ^ p ^ га; в этом случае область определения
£>(/) = {я : x(s) = О fi4) (s -» 0+), а < —},
\ос / т
326


функционал является неограниченным, так как, если xa(t) = —
s°
i
j 1 Т)СУ.) Р
то ха € v(f), Iball = 1, НО f(xa) = - ► +оо при а —> ; если
1 — am
m < р < -boo, то с помощью неравенства Гельдера (q = ^у) имеем
m
откуда следует ограниченность / и оценка ||/|| < —; на-
конец, пусть р = +оо; в этом случае функционал ограничен и ||/|| = 1, так как
i/(*)i ^ /-^ini,
m J 5i о
что означает ограниченность / и оценку ||/|| < 1; противоположное неравенство доказывается с помощью теоремы 4.2 и функции x(t) = 1.
4.69. 	Линейность функционала следует из линейности интеграла Сти- лтьеса относительно интегрируемой функции. Докажем непосредственно непрерывность функционала /.
Пусть хп х в пространстве С [а, 6]; как известно (см. п.1. 3), это означает, что xn(t) =3 x(t) на [a, Ь]. По теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса [7, с. 51] (см. также, [20, с. 254], [33, с. 114])
ъ ъ
f(xn) = jxn(t)dg(t) -> J x(t)dg(t) = f(x).
a a
Разумеется, можно и непосредственно доказать ограниченность этого функционала. По теореме об оценке [7, с. 50]
о
J x(t)dg(t)
INI • Vte)>
что означает ограниченность / и оценку ||/|| ^ VG?)- Можно было бы дока-
а
зать и противоположное неравенство, однако это удобнее сделать позднее (см. теорему 5.4).
327


4.70. Существование интеграла Римана-Стилтьеса для х Е R[a, Ь],
д Е С2?У[а, 6] показано в [7, с. 61]; по поводу его ограниченности и оценки сверху его нормы см. последний абзац 4.69.
4.71. Существование интегралов следует из теоремы об интегрируемости непрерывных функций по функциям ограниченной вариации [7, с. 37]. Линейность функционала / следует из линейности суммы и интеграла Римана-Стилтьеса. Докажем его ограниченность, применив теорему об оценке интеграла Римана-Стилтьеса [7, с. 50].
|/(*)|
У' /
к=0~
(t)dgk(t)
ElkW||c[a,4\/(^)
к=о
Ограниченность / доказана и получена оценка ||/|| ^ шах VGb')*
O^j^n а
4.72. 	Линейность функционала во всех случаях следует из линейности интеграла. Будем доказывать его ограниченность и находить норму по схеме, отработанной в п. 1.1.5 см. также (4.67).
а) 	11/11 = §;
|/(*)| =
1 I
J t\x{t)\dt < |||ж||с[а,Ь]
< I (1|*11с(-1Д] + |И|с[-1,1]) = ^!|ж|1с7(1)1_1,1];
следовательно, функционал / ограничен и ||/|| ^ противоположное неравенство доказывается согласно теореме 4.2 с помощью функции x(t) = 1;
б) 	ll/ll = 1;
J tx{t)dt ^ J |£||ж(£)|сЙ^ J \x(t)\dt =
-i -i -i
= ||х|| => / ограничен, ||/|| ^ 1;
противоположное неравенство докажем с = (n+ l)*2**1; ||ж„|| = 1, /(:Е„) = взять сколь угодно большим, то согласно теореме 4.2
328
ПОМОЩЬЮ Хп (t) =
1
1 — 2п+3 ’ так как п МОЖНО
II > 1;


в) 	ll/ll =
1
J tx(t)
1 \ 1 / 1 |2
dt ^ ^
f
противоположное неравенство доказывается с помощью теоремы 4.2 и функ-
Ции x(t) = yj\t, для которой ||х|| = 1, f(x) = У§;
1
г)
x(t)\2 dtj =
*ll => / ограничен, ||/|| ^
V2a + 1 ’
1/(*)1 =
I
J tax(t)
dt
< / *2“<й
dt
V2a + 1
11*11 ==> / ограничен, ||/|| <
V2 a + 1 ’
полагаем x(i) = \/2a + lia; тогда
1
11*11 = 1- /(*) = v/2a+IJ
t2a dt = 1
V2 a + 1 ’
по теореме 4.2 ||/|| > /(x) = ^a+i; вместе с ранее доказанным, это означает требуемое равенство.
4.73. 	Линейность следует из линейности интеграла. Применяя неравенство Гельдера, получаем
о о
Jx(t)g(t)dt ^ J |ж(*)||р(<)| dt ^
a a
Оь \*/b
f\x(t)rdt\ f\g(t)\<
dt
= llfllk • ||*||lp ==> f ограничен, ||/|| ^ ||р||ч;
противоположное неравенство будет доказано позднее (см. 5.9).
В случае комплексных пространств рассуждения те же.
4.74. 	Линейность функционалов следует из линейности суммы:
m т т
f(ax + (Зу) = ^(a*)t + (Зук) = Q^Xfc+^^j/fc = af(x) + 0f(y);
к=1 fc= 1 fc=l
329


докажем ограниченность функционалов во всех пространствах и найдем их нормы.
а) 11/11 = 1; |/(*)| =
£ хк
к=1
< Y1 \хк\ < 22 1®*1 = IWb следовательно,
к=1 fc=i
функционал / ограничен и ||/|| ^ 1; противоположное неравенство получается с помощью теоремы 4.2 и х = (1,0,0,...);
б) 	||/|| = у/гп. Применяя неравенство Гельдера, получаем
J2Xk
к—1
fc=l
(g1^
у/m ^ ||х||
значит, / ограничен и ||/|| ^ у/т; для доказательства противоположного неравенства возьмем х = ^=(1,1,..., 1,0,...); тогда ||х|| = 1,
т
f(x) = -2= = у/т, откуда согласно теореме 4.2 ||/|| ^ д/m, а в итоге
ll/ll = \/™;
в) 	ll/ll = т> Так как
1/(*)1 =
k=i
т
< у: i**i < sup|xfc| V] 1=
*,яш ^ L\1
к=1
= m||x||
/ ограничен, ||/|| < т;
противоположное неравенство получается с помощью теоремы 4.2 и элемента х = (1,1,..., 1,0,...).
т
4.75. 	Линейность функционала во всех пространствах следует из того, что линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов есть абсолютно сходящийся ряд. Докажем ограниченность функционалов и найдем их норму,
а) 	Ц/Ц = 1, так как
!/(*)! =
к=1
1
«Et«Ew
/ ограничен, ||/|| ^ т;
противоположное неравенство получается с помощью теоремы 4.2 и элемента х = (1,0,0,...);
б) 	11/11 = так как
!/(*)! =
1 Xfc
~к
1**1
к=1
330
££)* (ем-)*-.и.


к=1
00 / 2 \
где а2 = 5^1? (= ) ; это означает, что функционал / ограничен
fc=i ' '
и y/Ц ^ а; для доказательства противоположного неравенства возьмем
оо
* = а (Х> 5> • • • > & ■ ■ ■ >) ; тогДа 11*11 = !> /(*) = ; Е Г f = «; согласно
теореме 4.2 ||/|| )о,ав итоге ||/|| = а (= -щ)
В случае пространства X = со, функционал хотя и определен на всем пространстве, однако не является ограниченным; действительно, х^ =
п
= (1,1,..., 1,0,...); имеет норму 1, a /(аг7^) = 5^ i * +°° ПРИ п ~5* °°-
4 "'V " * к= 1
п
В пространствах X — с или X = loo этот функционал определен на линейном многообразии всех последовательностей, для которых сходится
оо
ряд 53 > °Днако он также не является непрерывным; это показывается с
к=1
помощью того же примера.
4.76. 	О линейности функционалов такого типа шла речь выше (см., например, 4.75). Остальные вопросы решаются одинаково во всех трех пространствах.
ЕХк ТПк~1
ОО | | ОО 1
< Ё -нгт < suPlXfclЁ -гг = Sm txm
||х|| =► / ограничен, ||/|| <
|| О/ || 7 J Vi yCiXlxX ЛЧ/Х1 5 11 ^ || ^ j
m — 1 rn — 1
для доказательства противоположного неравенства возьмем а:1-"-1 =
= (1,1,..., 1,0,...) (n € N); тогда p(n) || = 1, Дж(п)) = £ =
Ч| V- 1 у к—1
п
оо
= -—zi ~ 53 " к-1» так как остаток сходящегося ряда может быть сделан
к=п-\-1
сколь угодно малым при достаточно большом п, то отсюда согласно теореме
4.2 	получаем, что ||/|| ^ а в итоге ||/|| =
(В пространствах с и loo (но не в пространстве со!) можно было бы взять
х = (1,1,...); в итоге рассуждения упростились бы.)
4.77. 	Пусть х, у Е с, а, /3 Е Р; тогда из свойств предела числовой последовательности имеем линейность данного функционала:
f(ax + f3y) = lim (ахк + (Зук) = a lim хк + /3 lim ук = af(x) + (3f(y).
к—* оо к—юо к—* оо
Далее,
|/(ж)| = lim |x*| ^ sup|a:*| = ||ж||, к~*°° 1
331


что означает ограниченность / и справедливость оценки ||/|| ^ 1. Положим х = (1,1,...), так что х Е с, ||£|| = 1, f(x) = 1; согласно теореме 4.2 получаем, что ||/|| ^ 1, ав итоге ||/|| = 1.
4.78. 	По поводу линейности функционала см. 4.75. Докажем его ограниченность.
У^ХкУк
°° {°° \* (00 \ *
£i**r =
*;=i \fe=i / \*=1 /
= Ill/Ik ' IMk =* / ограничен, ||/|| sS
IUc
Противоположное неравенство будет доказано позднее (см. 5.8).
В случае комплексных пространств рассуждения буквально те же.
4.79. 	а) Здесь V(f) — всюду плотное в С[0,1] множество непрерывно дифференцируемых функций; функционал / не является непрерывгным, так как он неограниченный: пусть xn(t) = sin nt\ тогда ||жп|| = 1, однако f(xn) = Хп(0) = п —► оо;
б) 	в этом случае T>(f) = С^[0,1];
\f(x)\ = la/(0)1 ^ maxla/fa)! ^ max|x(*)| + maxlx'fa)! =
41 te[ o,i te[o,i *€[0,1 WI
= INIC(D[o,i] =► / ограничен, ||/|| ^ 1;
положив x(t) = t, получим согласно теореме 4.2 ||/|| ^ f(x) = x'(0) = 1, откуда в конечном итоге ||/|| = 1;
в) 	и здесь V(f) — всюду плотное в 1*2(0,1] множество непрерывно дифференцируемых функций (см. следствие 2.2); функционал / не является непрерывным, так как он неограниченный; это показывается с помощью того же примера, что и в п. а).
4.80. 	Линейность функционалов следует из линейности интеграла и производной. Докажем их ограниченность.
ъ ъ
|/(х)| < [ Щ£)| • |a/(i)| dt max \x'(t)\ f |u(£)|d£<
J te[a,b] J
a a
b b
< J W*)Mi|M|C(U[0i(,] =►/ограничен, ||/|| sj J \u(t)\dt;
a a
332


и и
ls(*)l < f(\v(t)\ ■ |я(г)| + |u>(t)| • |x'(t)|) dt ^ max |x(*)| J |v(t)| dt+
a a
b f b Ь Л
+ maX]|x'(t)| J < max | У |v(i)|<tt, J \w(t)\dt I |M|c<i)[a,6i
a ^ a a J
* g ограничен, ||p|| ^ max
| J \v{t)\dt, J
1. 	Пусть f(x) = 0 для любой функции x £ L. Преобразуем интеграл, с учетом краевых условий.
ь ь
f(x) = J u(t)x\t)dt — J u(t)dx(t) =
a a
b b
= u(b)x(b) — u(a)x(a) — J x(t) du(t) = — J x(t) du(t)
a a
Предположим, что u(t) ф const; тогда найдутся а и (3, a < a < /3 < b такие, что u(a) Ф u((3); не ограничивая общности можно считать, что u(a) < и(/3). Следующим образом определим функцию х Е L : положим x(t) = 1 для t 6 [а, 0], x(t) = 0 для t < а — 6 и t > /3 + 6, где 6 > 0 настолько мало, чтобы
а Р+\
/+Пц,)Ы.I) <2Й^2)
*-<5 /3 /
(непрерывность и и ограниченность вариации х позволяют найти такое 6). С учетом сказанного
ъ /з
О = —f(x) — J x(t)du(t) — J x(t) du(t)+
Goc
f + J J x(t) du(t) > U^ 2 > 0.
Полученное противоречие означает, что u(t) = const.
2. 	Сначала преобразуем интеграл с учетом краевых условий, положив
333


V(t) = / v(s) ds.
a
b b
g(x) = J (y(t)x(t) 4- w(t)x (t)) dt = J x(t)dV{t)+
a a
b b
+ w(b)x(b) — w(a)x(a) — J x(t)dw(t) = J x(t) d(V(t) — w(t));
a a
Пусть теперь g(x) = 0 для любой функции iGL. Тогда ь
J x(t) d(V(t) — w(t)) = 0
a
для любой функции x E L. Согласно доказанному в п. 1
t
V(t) — w(t) = C = const => w(t) = —C + J v(s) ds;
a
из этого представления получаем, то что требовалось доказать: функция w непрерывно дифференцируема и w'(t) = v(t).
4.81. Линейность оператора следует из линейности функционала /; Т>(А) = Л', 7£(А) = (у), ЛГ(А) = Л/*(/). Докажем ограниченность оператора А:
\\Ах\\ = УШ\ = 1/(*)1 • llvll < 11/11 • 11*11 • llvll.
следовательно, А ограничен и \\А\\ ^ ||/|| • ||у||.
Докажем противоположное неравенство. По теореме о норме 4.2 в силу свойства супремума для произвольного е > 0 найдется х такой, что ||х]| = 1, f(x) > ||/|| — ; согласно той же теореме
PII = sup \\Ах\\ > ||Ас|| = ||/(*)2/Н = 1/(*)1 • IMI >
11*11=1
> (||/||_м)1Ы1 = 11/11 '|Ы|-£’
откуда, ввиду произвольности е, следует оценка \\А\\ ^ ||/|| • ||у||; в итоге
1ИН = II/II • llvll-
4.82. Действие оператора в пространстве С[а,Ь] очевидно, при этом V(A) = С[о,6]. 'JZ(A) = (со, ci,..., сп); Линейность оператора следует из
334


линейности суммы. Докажем его ограниченность (см. также п. 1.1.5., пример 2).
II Ах II = шах
te[a,b]
J2ck(t)x(tk)
Nl£MOI.
fc=0
где t* G [a, b] — точка, в которой достигается максимум. Ограниченность оператора доказана и получена оценка сверху для нормы.
п
Рассмотрим функционал /(х) = ck(t*)x(tk) на пространстве С[а,6].
к=0
п
Согласно процитированному выше примеру ||/|| = 1С*;(^*)Ь по теореме
к=0
4.2 	в силу свойства супремума для любого £ > 0 найдется функция хе такая, что ||хе|| = 1, \f(xe)\ > 11/11 - е; по теореме 4.2
||А|| = sup ||Ах|| ^ ||Ахе|| = шах
||*|| = 1 te[a,b]
У^ck(t)x(tk)
к=0
> 11/11 -е = ||х||£МП1-е;
к=О
ввиду произвольности £ это означает, что ||А|| ^ шах J2 |с*.(£)|, а на самом
*€[а,6] к-0
деле, в силу доказанного выше, здесь имеет место равенство.
t
4.83. 	Согласно [7, с. 37] интеграл y(t) = f g(s)dx(s) существует для
а
любой х G BV[a, b] и линеен относительно х, причем у(а) = 0. Пусть т — {tk}™= о — произвольное разбиение отрезка [а,6], х G BVo[a,b],
t
xx(i) = V(x)- Тогда с помощью теоремы об оценке интеграла Стилтьеса имеем a
к=1
fc=l
tk
J g(s)dx(s)
m tk
< 1Ы1с[а,6]£ V (x) = V^ ||р||с[о,Ь)||х||вЦ)[о,Ь]
k=l tfc_i a
(см. также [7, с. 55]); следовательно, у G BVo[a,b], оператор А действует в пространстве BVo[a, b] и ограничен, причем ||А|| ^ |Ы|с[а,ь]-
335


Докажем противоположное неравенство. Пусть t* =arg max \g(t)\ (т. e.
te[a,b]
llsllc[o,b] = Is(t.)l). £(t) = Pt.it)- Тогда
tk
Pll £ V / 9(s)dx(s) >
I
g(s) dpu (s)
Следовательно, \\A\\ = \\д\\с[а,ь]-
4.84. 	а) Пусть t' G [a, 6], e > 0 — произвольно. Согласно свойству супремума найдется разбиение т = {sfc}fcLi отрезка [а, Ь] такое, что
т
Vr(Q(t',-)) = -Q(<',sfc_i)| > v{t')-s.
В силу непрерывности конечной суммы vr в точке ^'найдется такое 6 > О, что |г>т(<Э(*/, •)) — Vt(Q(£/;, .))| < е: если |tf — t"| < 6. Вычтя из неравенства vr(Q(t', •)) > u(tf) — е неравенство vT(Q(t", •)) ^ получим
vT (Q{t\ •) - vT (Q(t'\ •) > I/(£') - */(*") - e,
откуда — v(t") < vT(Q(t•) — •) + e < 2e; так как t' и t" можно
поменять ролями, то \v(t') — v{t")\ < 2s, что означает непрерывность и;
б) линейность оператора А следует из линейности интеграла Стилтьеса
относительно интегрируемой функции; пусть х G С[а, 6],
tn —► (тг —► оо); тогда при всех 5 G [а, Ь] Q(£n,s) —► Q(tf,s) (п —► оо); ъ
\/(Q(tn, •)) = ^(*n) ^ М (п G N) в силу доказанной в п. а) непрерывности
a
I/ (М = max v(t)). По теореме Хелли [7, с. 52]
t€[a,b]
Ь Ь
y(tn) = У x(s) dsQ(tn, s) —* J x(s)dsQ(t',s) =y(t') (n-*oo);
a a
следовательно, у G C[a, Ь], т. e. А действует в пространстве C[a, b]\
в) докажем ограниченность оператора А. По теореме об оценке интеграла Стилтьеса [7, с. 50]
II Aril = max
te[a,b)
о
J x(s)d3Q{t,s)
1М|с[а,6] \/(Q{t> *)) ^ -^||х||с[а,Ь] j
следовательно, оператор А ограничен и ||А|| ^ М.
336


4.85 Пусть || • ||*, || • ||у, || • ||£(*,у) — исходные нормы, а
II • IIдг. II • Ну, II • Н!с(*,у) - новые, и
«ilWI* £ INI* £ PiMx, a2\\y\\y < ||tf||J < 02\\y\\y где ai > 0, Pi > 0. Тогда
4.86. 	Пусть Ап =3 А; это значит, что ||АП — А\\ —> 0; так как
т. е. В — линейное многообразие. Пусть В0 — предельная точка В; существует последовательность Вп =3 В0 (п —► оо), Вп G В (п G АГ).
так как АВп = 0 для всех п G N, то и АБ° = 0; значит, /3 замкнуто.
Точно так же доказывается и тот факт, что С — подпространство.
4.88. 	Очевидно, Sn — линейный оператор, действующий в пространстве С[—7г, 7г]. Согласно п.1.1.5, пример 4
Согласно признаку Дирихле-Жордана (см. [33, с. 490]) (Snx)(t) (частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции х) для указанного класса функций равномерно (относительно t G [—7Г, тг]) сходится к x(t); это означает, что Sn —► J (п —► оо) сильно.
4.89 4.89. Очевидно, Ln — линейный оператор, действующий в пространстве С [а, Ь]. Согласно 4.82 Ln G £(С[а, &]) и
02 ||АгЦу < 1Иж||у < ||Ас||у < а 1|Лз;||у < jh\\Axjjy
А ||*||* " 2 ||*HSr " llarllj. " Р2 \\х\\% " а! ||®||аг ’
откуда
Согласно теореме о норме отсюда следует искомое неравенство
~j^\\A\\c(x,y) < ЦА||Ь(*,у) < @^-\\А\\с(х,у)-
\\\Ап\\ - Р||| ^ ||Ап - А\\ -> 0, то и ||Лп|| \\А\\ (п -> оо).
4.87. 	Да, образуют. Пусть В\, В2 G В, а, (3 G Р; тогда
А(аВ\ -j- (ЗВ2) — аАВ\ -I- (ЗАВ2 — 0,
||АВп - АВ°|| = \\А(Вп - В°)|| ^ ||А||||Вп - В°|| -> 0 (п -> оо;
337


Интерполяционная формула Лагранжа имеет вид (см. [31, с. 265]) x(t) = (Lnx)(t) + + un{t) ^ € (a,b), U)n(t) = П(* - • (10.54)
Так как |wn(t)| ^ (6—а)", то из интерполяционной формулы (10.54) следует
||х - Lnx|| = max|x(t) - (£-na:)(t)| < (п + 1)!
(Ь - а)п,
откуда видим, что если х многочлен степени га, то x(t) = (Lmx)(t), т. е. формула (10.54) точна для многочленов. Это означает, что на всюду плотном в пространстве С [а, 6] множестве многочленов Ln —► J сильно.
п gk
4.90. Так как Sn{s) = 22 тт ~ частичная сумма ряда Тейлора для экс-
к=о
поненты es, (который сходится равномерно на любом отрезке вещественной оси, а значит и на [0,1]), то предельный оператор должен иметь вид
t
(Ax)(t) = / esx(s) ds. Покажем, что An =3 A (n —► оо). о
Пусть х е Вс[од][0,1]; тогда
Г °° <гк Г °° <гк °° 1
* «/.S.=М,,|Л ‘ *d’ * ^ ■*0
при п —у оо, как остаток сходящегося числового ряда. Таким образом, в силу теоремы 4.3 Ап =3 А (п —► оо).
4.91. Пусть x(t) = 1; тогда
II (Ап — А)ж|| = max *6(0,1]
||(Вп*|| = max
f>(£)c$tfc(i-*)n-fc
max \YC*tk(l-t)n-k
= 1 = ||4|| (n = 1,2,...),
следовательно Bn ограничены и ||2?n|| = 1.
По теореме Бернштейна [20, с. 121] для любой непрерывной функции х (Bnx)(t) x(t) на [0,1]; это означает, что Впх —► х (п —> оо) для любой х € С[0,1], т. е. Вп —► J сильно.
338


Для того, чтобы убедиться, что равномерной сходимости здесь нет, рассмотрим непрерывную кусочно-линейную функцию х такую, что * (n) = (_1)fc> А: = 0,1,... ,n = 2m, ||х|| = 1; тогда
П
{Bnx)(t) = £(-l)fcC*tfc(l - t)n~k = (-t+ 1 - tfm = (1 - 2t)2m;
\\Bn - J|| > ||(B„ - J)x|| = max |(1 - 2t)2m - x(t)| > 1,
так как значение функции, стоящей под знаком максимума в точке t = | равно 1. Таким образом, \\Вп — J\\ -/+ 0.
4.92. 	Пусть х £ С[0,1]; в силу непрерывности найдется t* £ (0,1) такое,
что
где t*n — точка, в которой достигается максимум. Не ограничивая общности, можно считать, что £*п сходится к некоторой точке £ [0,1] (ибо в противном случае мы перешли бы к сходящейся подпоследовательности), поэтому \\Апх — х\\ —► 0 при п —► оо. Из сказанного следует, что (Anx)(t) сходится к x(t) равномерно относительно t € [0,1], т. е. Апх —► х = Jx (п —► оо) в пространстве С[0,1], следовательно, Ап —► J сильно.
Покажем, что равномерной сходимости здесь нет. Пусть xn(t) = = е*П-1; тогда ||жп|| = 1, и согласно теореме 4.2
(максимум не может быть меньше значения функции в точке 1). Следовательно, Апф> J
4.93. 	Пусть х € С[0,1] непрерывно дифференцируема. Тогда по формуле Лагранжа (Anx)(t) = пх'(£п) ^ = x'(£n) (t < £n < 4™), а в силу равномерной непрерывности х' х'(£п) =4 x'(t). Это означает, что при любой функции х £ Т>(А) Апх —► Ах в пространстве С[0,1], т. е. Ап —► А сильно.
Покажем, что эта сходимость не является равномерной. Пусть
IIАпх — х\\ = max \х te[од] I
IIАп - J|| ^ ||(Ап - J)xn || = ^шах п ^ - е±п 1 =
= шах е 1(е — 1) ^ е — 1 > 0
t€[0,l]
339


£ N); тогда
i-inp'icisi,
P4 = i, (Arf.)(.)-{ #<‘+“)"p“°1<‘S"'
I 3S=T "P® ^
I 2^3T ПРИ £ < t ^ 1,
II(A„ - Л)®„|| = max | ((Л, - A)z„)(t)| = > \ ^ НЛп ~ >
t€[ 0,1]
т. e. An jX A.
4.94. 	Оценим сверху норму оператора ||АП|| :
||Л„х|| < тахГ(1 -1) ■ ||х|| = (^у)" ‘ => 1И«Н <
^ (пТг) •^1-0=М|Ап||-0=»Лп={0
((*)’—)•
4.95. 	Пусть х Е С[0,1]; по теореме о среднем
t+i
/1 1
x(s) ds — п ' x(£n) • - = x(fn), t < fn < t +
n n
t
в силу равномерной непрерывности x(£n) x(t). Следовательно,
Anx —► x в пространстве C[0,1], т. e. An —* J сильно.
Покажем, что равномерной сходимости здесь нет. Пусть xn(t) = = tn_1; тогда р„|| = 1, и
II (-^П — J)*»ll —
Г / 1\“
/ an~1da-tn-1 = (*+^J -tn-tn~l
tn + n-e-1 + n(\ ^Л<"~2 + ... + — -tn-tn~x
2 n2
> l => 1И - Л1»
следовательно, jj.4 — J\\ /+ 0, т. e. A„ 7Й J.
4.96. 	Утверждение а) немедленно следует из теоремы Хелли [7, с. 52] (см. 4.84);
340


б) 	пусть ||ж|| ^ 1; по теореме об оценке для интеграла Стилтьеса [7, с.50] имеем
||(АП — А)ж|| = || Апх — Ar|| = max
te[a,6]
о
У x(s)ds(Qn{t,s) -Q(t,s))
С
< \/(Qn(t, ■) - Q(t, ■)) -> о (п-юо),
откуда в силу теоремы 4.3 получаем, что Ап =3 А.
4.97. а) Так как для любого х Е fa
||А„х — х|| = | |х*|2| -> 0 (п-юо)
\к=п+1 /
(как остаток сходящегося ряда), то Ап —► J (п —► оо) сильно. Покажем, что равномерной сходимости здесь нет.
Пусть х(п) = 75, 7;, Tf, • • • j ; тогда ||х(п)||2 = ^ = 1 Со-
гласно теореме 4.2
I|A„-J||>||(A»-J)i{n)|| = ||*(n)|| = i,
т. е. Ап iX J;
б) для любого х е fa Впх —> 0 (п —► оо), следовательно, Вп —► 0 сильно. Равномерной сходимости и здесь нет, так как согласно теореме 4.2 ||ЯЛ|| ^ ||Впж(п)|| = ||ж(п)|| = 1 (последовательность — та же, что и в п.
а)); значит, Вп # 0;
в) здесь Сп =4 0, так как ||Спж|| = ^||ж||; это означает, что HCnll = - —► 0.
4.98. В силу абсолютной сходимости исходного степенного ряда операторный ряд, определяющий оператор у>(А) сходится в пространстве С(Х),
оо
причем ||v>(A)|| < X) 1^*111-^11*, поэтому <р(А) € С{Х). Далее,
\\Sn-V{A)\\:
Е ХкАк
fe = n+1
< Е I^IIHI*-0 (п -> оо),
к=п+1
как остаток сходящегося числового ряда. Таким образом, Sn =t <р(А).
4.99. 	Так как при п —* оо || Ап — A|j —> 0, ||х„ — х|| —► 0, а последовательность {||х„||} ограничена (как сходящаяся), то
||А„х„ - Ах|| < ||А„х„ - Ахп|| + ||Ах„ - Ах|| = ||(А„ - А)х„||+
+ ||А(х„ - ж)|| < ||А„ - А|| • ||х„|| + ||А|| • ||х„ - х|| ->• 0 (п -» оо).
341


4.100. Так как при п —► оо ||жп — х|| —> 0, последовательность {||АП||} ограничена и при любом х € А' ||Апх — Аг|| —► 0, то
\\АпХп - Ах\\ < ||АпХп - Апх\\ 4- \\Апх - Ах|| = ||АП|| ||хп - х||-Ь + \\Апх — Ах)|| —► 0 (п —► оо).
4.101. \\АпХп - Ах\\ < \\АпХп - Апх\\+\\Апх - Ах||=|Ип(хп - х)|| +
4- ||Апх - Ах\\ ^ ||ЛП|| • \\хп - х|| 4 \\Апх - Ах\\ —> 0 (п —► оо).
4.102. Пусть * = C[0,1],
t
(Ax)(t) = J x(s)ds, (Bix)(t) = x'(t), (B2x)(t) = x"{t)\
о
тогда оператор А всюду определен и ограничен (см. 4.34), V(B\) — всюду плотное в С[0,1] множество непрерывно дифференцируемых функций, Т>(В2) — всюду плотное в С[О,1] множество дважды непрерывно дифференцируемых функций; при этом операторы В\ и В2 неограниченные (см., например, 4.48); тогда оператор АВ\ — ограниченный, а оператор АВ2 — неограниченный. Действительно,
t t
(ABi)(t = J x (s) ds = x(t) — x(a), (AB2)(t = J x"(s) ds = x (t) — x (a). о 0
4.103. Данный оператор не имеет обратного, так как имеет нетривиальное ядро: N (А) состоит из функций x(t) = const.
4.104. В данном случае М(А) = {0}, 11(A) = С[0,1]; поэтому обратный оператор существует на всем пространстве С[0,1] и
(A-'ym = fy(s)ds.
а
4.105. Как известно, задача Коши х' 4- p(t)x = y(t), х(а) = 0 однозначно разрешима при любой функции у Е С [а, 6], а соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение x(t) = 0. Поэтому М(А) = {0}, И(А) = С[а, 6]; это значит, что обратный оператор существует; чтобы его найти, надо найти решение указанной задачи Коши:
t
1 « — S р(т) dr
x(t) = (Л-1у)(£) = / е • y(s)ds.
а
4.106. Задача Коши
(Ax)(t) = хп 4- p(t)x 4- q{t)x = y(t), x(a) = 0, x (a) = 0
342


однозначно разрешима при любой функции у Е С[а, 6], а соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение x(t) = 0. Поэтому М(А) = {0}, 'JZ(A) = С [а, 6]; это значит, что обратный оператор существует; чтобы его найти, надо найти решение указанной задачи Коши. Пусть U\, U2 — фундаментальная система решений однородного уравнения х" + p(t)xr + q(t)x = 0; тогда функция Коши этого уравнения имеет вид
(10.55)
Ul(s)
U2(s)
ui(s)
U2(s)
Ui(t)
U2(t)
«10*
u’2(s)
С(М) =
Решение задачи Коши записывается по формуле Коши
t
x(t) = {A~ly){t) = J C(t, s)y(s) ds,
(10.56)
которая дает представлените обратного оператора.
4.107.
t
-jq f sin y/Q (t - s) y(s) ds, если Q > 0,
a
t
(A~1y)(t) = f(t - s)y(s)ds, если Q = 0,
a
t
/ sh \J—Q (t — s) y(s) ds, если Q < 0.
a
4.108. Мы решим задачу, «предъявив» обратный оператор и убедимся в его непрерывности. Общее решение уравнения х" + Qx = y(t) имеет вид
t
u(t) = Cietv/”^ -f C2e~ty/r~^ + f C(t, s)y(s) ds где C\,C2 — произвольные
a
константы, C(t, s) — функция Коши (10.55); в этой формуле следует положить ui(t) = , U2(t) = . Подставив общее решение в краевые
условия, придем к системе линейных уравнений относительно неизвестных Ci,C2:
CieaV^ +
= 0,
определитель которой
pay/—Q
А =
Cie6^ + C2e-bV^ + f C(t, s)y(s) ds = 0,
a
= _ ('e(b-a)V^S _ e-(b-a)V=<< д.
-a^-Q
gb\/—Q g—by/—Q
Следовательно, система однозначно разрешима, а с ней однозначно разрешима и исходная краевая задача. Подставив найденные из этой системы
343


значения неизвестных С\, С2 в общее решение, получим представление решения краевой задачи (которое является представлением обратного оператора) в виде
ь
x(t) = (A~1y)(t) = j G(t,s)y(s)ds, (10.57)
где
C(s,a)C(b, t)
G(t, s) '
C(b, a) ’ C(t,a)C(b, s)
C(b, a)
(10.58)
Из приведенных представлений видим, что А~г — линейный интегральный оператор Фредгольма, ядро которого G(t,s) — непрерывная функция. В п. 1.1.5, пример 4, мы показали ограниченность такого оператора.
4.109. Нет. Фундаментальная система решений однородного уравнения Ui(t) = cos 21, U2{t) = sin 21\ при этом обе функции удовлетворяют краевым условиям, т. е. принадлежат Т>(А). Поэтому ЛГ(А) = (ui,u2) ф {0}. По теореме 4.9 А~х не существует.
4.110. Да, обратный оператор существует на всем С[0,7г], так как здесь М{А) = {0}, 7Z(A) = С[0,7г]. Найдите его и покажите, что он ограничен (см. 4.111).
4.111. Обратный оператор существует на всем С[0, f ], так как здесь N{A) = {0}, 7Z(A) = С[0, “]. Чтобы найти его, надо решить краевую задачу
х"+х = y(t) (у € С [о, |]) , ж(0) = * (|) > х'(0) = х (§);
Согласно (10.55) С(£, s) = sin (t — s), а в силу (10.58)


Согласно (10.57) обратный оператор имеет представление
2
{A-'y){t) = У G(t, s)y{s) ds =
О
i t J sin s y(s) ds — sin t J cos s y(s) ds.
t
= — cos
0
Таким образом, обратный оператор представляет собой линейный интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром G(£,s); согласно п.
4.1.5. 	(пример 4) он непрерывен.
4.112. Нет, так как J\f(A) = (sin irt) ф {0} (см. также 4.109).
4.113. Пусть xn(t) = tn (п > 3); тогда
||хп|| = 1, (Axn)(t) = п(п - 1 )tn~2 + tn, \\Ахп\\ = п(п - 1) + 1 —► оо
при п —у оо; этим доказана неограниченность оператора А. Непрерывную его обратимость докажем, «предъявив» обратный оператор.
Здесь C(t, s) = sin (t — s), поэтому согласно (10.56)
t
(А~гу)Ц) = J sin (t - s)y(s) ds; о
A~l непрерывен, как линейный интегральный оператор Вольтерры с непрерывным ядром.
4.114. Оператор А ограничен, как линейный интегральный оператор Вольтерры с непрерывным ядром.
t
Пусть y(t) = f(t — s) x(s) ds. По теореме Лейбница (см. [32, с. 666])
y'(t) = J x(s) ds + (t — t)x(t) = J x(s)ds\ y"(t)=x(t)\ о о
отсюда видим, что образ 11(A) — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что у(0) — yf(0) = 0; на этом образе существует обратный оператор, который дается равенством (A~1y)(t) = y"(t)\ неограниченность обратного оператора показывается так же, как в 4.113.
4.115. 	Повторяем все рассуждения 4.114. В частности
345


t
(y(t) = J sin(t — s) x(s) ds) о
y'(t) = j cos(t — s)x(s) ds); о
t
y"(t) = — J cos(t — s) x(s) ds + x(£) = — y(t) 4- x(t),
о
(A~1y)(t) = y"(t) + y(t), T>(A~l) = 11(A)] все остальное как в 4.114.
4.116. Повторяем все как в 4.114, 4.115. Здесь 1Z(A) — множество непрерывно дифференгцируемых функций, удовлетворяющих условию у(0) = 0, (A-'vHt) = y'(t) - y(t), Т>(А~1) = 11(A).
4.117. Оператор А — линейный интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром, поэтому он ограничен. Пусть
о
y(t) = J G(t,s)x(s)ds =
а
= f (s-a)(t-b)s(,)ds- f {t-°){b- s)x{s)ds;
J o — a J b — a
a t
тогда, очевидно, y(a) = 0, y(b) = 0и
y'(<) = J ds + ^ b^-a ^ X^~
a
J о — a о — a
t
t ь
— f I—“ x(5) ds — f \—- x(s) ds;
J b — a J о — a
a t
y"(t) = т—^ x(t) + ^—Ь- x(t) = x(t). b — a b — a
Из этих равенств видим, что 1Z(A) — всюду плотное в Ьг[а, Ь] множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих уело- ВИЯМ у(а) = 0, 2/(6) = 0; (Л-1г/)(£) = у", ЩА"1) = ЩА);
346


Для доказательства неограниченности обратного оператора рассмотрим последовательность yn(t) = sin 7гn(t — а) (тг = 1,2,...); легко видеть, что
У„еТ>{А~Х), ||у„|| = 1, \\А~хуп\\ = 7Г2П2 -♦ 00 (п-> оо).
t
4.118. Да. Из равенства J x(s)ds = 0 при всех t € [0,1] следует, что
о
x(t) = 0; это означает, чтоЛГ(Л) = {0} Так как (A~1y)(t) = y'(t), то согласно 4.48 А~г — неограниченный оператор.
4.119. Как и в 4.108 и 4.113 сначала найдем обратный оператор, затем убедимся в его ограниченности. Для нахождения обратного оператора надо решить относительно х уравнение Ах = у, где у Е С[0,1] про-
t
извольна; в нашем случае это уравнение f x(s) ds + x(t) = y(t). Заметим,
о
что этого нельзя добиться дифференцированием последнего уравнения, так как х и у не предполагаются дифференцируемыми. Введем обозначение
t
f x(s)ds = z(t); z — непрерывно дифференцируема, z(0) = 0, z'(t) = x(t). о
Таким образом наше уравнение запишется как задача Коши z+z1 — у, г(0) = О
t
Решение этой задачи z(t) = fe ^ S^y(s)ds; отсюда дифференцированием
о
t
(см. ссылку в 4.114) получаем x(t) = z'(t) = — f e~^~3^y(s) ds + y(t); итак,
о
t
показано, что (A~ly)(t) = y(t) — f e~^~s^y(s) ds; А~г есть разность тож-
0
дественного оператора и линейного интегрального оператора Вольтерры, значит, является непрерывным.
4.120. См. п. 4.3.2., пример 3. Во всех случаях надо разрешить относительно х уравнение Ах = у.
1
а) 	В данном случае это уравнение x(t) — f tsx(s) ds = y(t). Обозначим
о
l
£ = f sx(s) ds; тогда исходное уравнение запишется о
x(t) = y(t)+t£, (10.59)
и задача состоит в нахождении неизвестного числа £. Для этого умножим обе части (10.59) на £, проинтегрируем полученное равенство в пределах от О до 1 и переобозначим переменную интегрирования:
1 1
tx(t) = ty(t) + t2t => С = J sy(s) ds + ==> 4 | J sy(s) ds;
о 0
347


подставив найденное значение £ в (10.59), окончательно получим
1
x(t) = (^_1j/)(t) = y(t) + | J tsy{s)ds;
0
б) 	здесь уравнение, которое надо решить имеет вид
1
x(t) -I- J е • e~ax(s) ds = y(t)\
полагаем £ = / е Sx(s) ds\ тогда о
x(t) = y(t) - е*£; (10.60)
умножим обе части (10.60) на е~г, проинтегрируем полученное равенство в пределах от 0 до 1 и переобозначим переменную:
(:t) = е ‘у(<) -£=>£ = J е ay(s) d8-Z=>S=^Je Sy(s) ds =►
О о
1
(t) = (Л_1у)(<) = y(t) - i у et~3y{s)ds;
ii
0
в) 	рассуждаем так же; уравнение, которое надо решить, имеет вид 1 1 x(t) = sin nt J cos nsx(s) ds — cos nt J sin nsx(s) ds -f y(t), о о
l l
а после обозначений £ = J cos 7rsx(s) ds, rj = f sin nsx(s) — о 0
x(t) = y(t) + £sinirt — rjcos nt] (10.61)
поочередно умножим обе части (10.61) на cos nt и проинтегрируем, затем на sin nt и снова проинтегрируем. В итоге придем к системе уравнений относительно £ и rj :
1 11
£ = J sin nsy(s) ds + £ f sin2 nt dt — 77 J sin n cos 7r£ dt,
0 00
111
77 = / cos 7rsy(s) ds + £ f sin 7Г cos ntdt — rj f cos2 nt dt, 000 348


из которой после вычисления интегралов
1 1 £ = 2 J sin 7rsy(s) ds, 77 = ~ J cos 7rsy(s) ds; о 0
подставив эти значения в (10.61), окончательно получим
x(t) = (л-гУт =
1 1 = y(t) + 2 J sin nt sin 7rst/(s) ds — ^ J cos 7r£cos nsy(s) ds. о 0
4.121. 	Рассуждаем как в 4.120. а) Уравнение Ax — у, которое надо решить, запишем сначала в виде
312 J sx(s)ds + 5t J s2x(s)ds^ + y(i),
1 1
x(t) = A ^-3 затем введя обозначения
i
£ = J sx(s) ds, 77 = J s2x(s) ds,
о 0
в виде
x(t) = A(-312£ + 6*77) -f y(t).
После соответствующего домножения и интегрирования (см. 4.120) придем к системе линейных уравнения относительно £ и 77, однозначная разрешимость которой эквивалентна существованию обратного оператора. Вот эта система:
£ = Л(-|С+ I7?) +/s2/(s)d«,
О
»7 = А (-|£ + |v) + S s2y(s) ds,
О
Система однозначно разрешима в том и только том случае, если ее опреде¬
литель
. _ з 1 _5
А =
1 + |А —|А =_
16
Отсюда получаем условие: для обратимости оператора необходимо и достаточно, чтобы А ф 4. Непрерывность обратного оператора можно установить из явного его представления в виде суммы тождественного оператора и интегрального оператора Фредгольма с непрерывным (причем также вырожденным) ядром.
349


Пусть А ф 4. Тогда, найдя из системы 1
с =
3(А - 4)2
/((12 — 5A)s + 20As2^y(s) ds,
О
J ((20 + 15A)s2 - 12A^j/(s) ds
' 5(A - 4)2
0
и подставив их в указанное выше представление решения, получим: =у®-
1
4А
J(*2((12 - 5A)s + 20As2) - t((20 + 15A)s2 - 12As))y(s) ds.
(A — 4)2
0
б) 	Л ф 4; найдите представление обратного оператора в виде суммы тождественного и интегрального;
в) 	А ф -6 ± 4л/3;
г) 	А ф 1;
д) А ^ ±2 (см. п. а)); уравнение записываем в виде
x(t) = А(£ cos 7г£ — rj sin 7г£) + y(t),
где
i i
£ = J cos 7rsx(s)ds, rj = J sin nsx(s)ds;
о 0
алгебраическая система относительно £ и rj имеет единственное решение при А ф ±2; это решение
1 1 i — У cos 7TS y(s) ds, ц = J sin tts j/(s) ds;
0 0
обратный оператор
l
(.A~ly)(t) = y(£) + J(2 cos 7r(t + s) + A cos 7t(£ - s))y(s)ds.
о
4.122. 	При А ф 6. Найдем оператор (J — АА)-1. С этой целью разрешим относительно ж уравнение (J — АА)ж = у, где у Е С7[0,1]. Согласно определению оператора А это уравнение имеет вид


Умножив, как обычно, уравнение на t3 и проинтегрировав, получим относи-
1
тельно £ уравнение £ = ^ J s3y(s) ds, откуда при А Ф 6
о
1 1
£ = ёзд / s3y(s) ds, х(£) = у(£) + / t2s3y(s) ds; окончательно
о о
(J- АЛ)"1 = J+
4.123. Если (а, 6) = 0, то при любом А А~гу = у 4- А(а, у)6; если (а, 6) ^ 0, то при А ф А~1у = у + (<*> ?/)Ь* Для получения
этих результатов надо обозначить £ = (а, х), умножить обе части уравнения х = \£Ь + у слева скалярно на а, и решить полученное уравнение относительно £.
4.124. а) Обратный оператор не существует, так как
ЛГ(А) = ((1,0,0,...)) /{0};
б) на всем 1Р обратный оператор не существует, так как ЩА) = {у = (о, j/г, уз, ■ • •)} Ф ip;
в) здесь М{А) = {0}, 71(A) = 1Р, поэтому оператор обратим; здесь из- меняются только вторая и третья координаты; это изменение определяется
й (2 1 ^ (2 1V1
матрицей второго порядка I ^ 3 ) ’ TSLK КаК I 5 3 / =
то х = А~гу, хг = у\,х2 = 3у2 - уз, х3 = -5у2 + 2у3,
(1,Г>
- Уп (п=4,5,...).
г) здесь преобразуются с матрицей 21 = (а^)^ только первые п координат; оператор будет обратимым в том, и только том случае, если det а Ф 0; пусть 2Г1 = (а^“1))^=1; тогда
П
х = А-1у, Xfc = ^ = Хк=Ук, А; = n + 1,п + 2,...;
1
д) здесь Л/*(Л) = {0}, 7£(^4) = /Р, поэтому оператор обратим;
х = хк = (fc = 1,2,...).
4.125. 	Операторы Ап, Вп необратимы, так как
Jsf(An) = {х= (0, .^. ,0,Хп+1,Хп+2,..-)},
п
М(Вп) = {ж = (Ж1,а:2,...,а;п,о,...)};
оператор С„ обратим и х = С^1у = (пу\,пу2, ■■■)■
351


4.126. На своих образах обратные операторы существуют, причем А~г=В, В~1=А.
4.127. Так как М(А) — (а)х ф {0}, то оператор Ах = (а,х)Ь из 4.61 не имеет обратного даже на своем образе 'TZ(A) = (6). Точно так же, для оператора Ах = {а\,х)Ь\ 4- (а>2,х)Ъ2 из 4.62
ЛГ(А) = (ai)-1 П(а2)1' Ф {0} (предполагается, что dirriH > 2).
4.128. При Л ф 0, Л ф 1. Пусть сначала |А| > 1; так как Р — XJ =
= —A(J — jP), то в силу теоремы 4.11 этот оператор непрерывно обратим, потому что ||^Р|| = щ < 1; согласно этой же теореме, учитывая также, что Рк = Р
(P-AJ)-‘ = -igip‘ =
=-Kj+pG+i+-))--К''+л^гр)
Пусть теперь Л ф 0, Л ф 1; непосредственным умножением убеждаемся в том, что и в этом случае найденное выражение представляет собой искомый обратный оператор :
<р - (4 (J+iV))=4(J+4тр)(р - AJ> -J
4.129. По условию согласно теореме 4.9 ЛГ(АВ) = Л/*(ВА) = {0}; пусть х € М(А)\ тогда Ах = 0, В Ах = 0; значит, х = 0; итак, М(А) = {0}. Точно также доказывается, что М(В) = {0}. По теореме 4.9 существуют А~\ В~\
4.130. По условию (J — АВ)С = J; умножим обе части этого равенства слева на В справа на А : B(J — АВ)СА = ВА\ далее следует цепочка
очевидных равенств:
ВС А - BA(J 4- ВС А) = 0 => J + ВС А - BA(J + ВС А) = J =>
==> (J - BA)(J 4- ВС А) = J;
непосредственно проверяется также равенство (J 4- BCA)(J — В А) = J. Таким образом, оператор D = (J — ВА)~1 существует и D — J 4- ВС А.
4.131. Из заданных равенств сразу видим, что
А(В 4- J) = - J, (В 4- J)A = -J.
Отсюда следует, что оператор А~1 существует и А~г = —(B + J).
352


4.132. Умножим обе части заданного рпвенства слева и справа на А~г. В итоге придем к требуемому равенству.
4.133. Из теоремы Банаха 4.12 следует, что если оператор А £ С(Х,У) непрерывно обратим, то и все операторы из шара Вс(х,у) (А, цд?-1||) также непрерывно обратимы.
4.134. Так как согласно 4.103 ЛГ(А) Ф {0}, 71(A) = С[0,1], то оператор дифференцирования не имеет левого обратного, но имеет правый обратный:
(^r 12/)(<) =fy{s)ds.
О
4.135. Так как согласно 4.118 ЛГ(А) = {0}, 11(A) ф С[0,1], то оператор интегрирования не имеет правого обратного, но имеет левый обратный: А^У = У'-
4.136. а) Согласно 4.124 N(A) ф {0}, 71(A) = поэтому существует А"1, х = А~1у, Хк = Ук-1, к = 2,3,... (xi — произволен);
б) 	здесь ЛС (А) = {0}, 71(A) ф 1Р; поэтому существует А^1,
х = Af'y, хк = ук+1, к = 1,2,...
4.137. Так как Af(P) = Но" ф {0}, 7?.(Р) = Но ф 'Н, то ортопроектор не имеет ни правого, ни левого обратных операторов.
4.138. Операторы AZ-1 не существуют, так как ЛГ(А) ф {0}. Напротив, операторы А~1 теперь существуют, так как теперь 71(A) — все пространство У (Z).
Пусть Ах = (а,х)6; легко видеть, что х = ~ решение уравнения
Ах = у (у = аЪ); значит, А~гу = (у = ab).
Если Ах = (ai,x)b\ 4- (а2,ж)Ь2, то х — а ц^ца + 0~ц~ решение уравнения Ах — у, у = abi 4- /ЗЬ2, значит,
^l2/ = aRF + /3^F (v = abl+^- 5.
5.1. 	Пусть yi, ?/2 £ 9^1; выше было показано, что yi однозначно представляются в виде yi = Xi 4- Uxо, Xi £ 9Jt, U £ R (г = 1,2).
Пусть ai, а2 £ R; тогда
ai2/i 4- ос2у2 = (aixi 4- а2ж2) 4- (ai*i 4- ck2£2)x0, и
/(ai2/i 4- a22/2) = f(a\X\ 4- a2x2) - c(a\t\ 4- a2t2) =
= OLi(f(xi) - Cti) 4- Oi2(f(x2) - ct2) = aif(yi) 4- a2f(y2). 353


5.2. 	Пусть / — линейный непрерывный функционал на Lp[0,1], А= — U(afc>frfc)c[0,1] — произвольное открытое множество, x(t) = XA(t) — его
к
характеристическая функция. Легко видеть, что ха (t) = ^2 ('иьк (t)—uak (t. Так как / — линейный непрерывный функционал, то
ьк
f(XA) = 53(/(«О “ = ]C(G(ftfc) ~ G(a*0) = Ц [9(t) dt =
к к I
1
= J 9{t) dt = J XA(t)g(t) dt.
A 0
Пусть теперь А С [0,1] — произвольное измеримое множество, е > 0 произвольно. По теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега найдется такое 6 > 0, что f \g(t)\dt < §, если mese < (5; покроем А открытым
е
множеством Q так, чтобы mesC/ \ А < Si = min |<S, ^ * ^ак как для
открытого множества Q требуемое представление уже доказано, то
А =
/М-/ g(t)dt = /(ха) - fixe) + У g{t)dt- J g(t)dt
A Q А
< 11/11 • Ихе - хл|1ыо,1] + [ 19(t)\dt =
б\А
= 11/11 • (mes^\A)p + J \g{t)\dt<^ + ^ =
£.
Q\A
Ввиду произвольности е А = 0, т. е. /(ха) = f g(t) dt = f XA(t)g(t) dt.
A 0
5.3. 	Пусть x — простая конечнозначная функция, т. е. x(t) — Ск для
т
t € Ак (к = 1,2, ...,т), [0,1] = (J Ак (Ак попарно не пересекаются).
fc=i
Тогда
xit)=YCkXA^' /(*) = Ecfc/(XAfc) =
к=1 fc=l
_ 1 1 _ 1
т * « т л
= YCk XAk(t)g(t)dt= / = / x(t)g(t)
к — 1 J J L. — 1 J
dt.
354


5.4. 	Пусть х — измеримая ограниченная функция. Существует последовательность {#n}n=i простых конечнозначных функций, равномерно сходящаяся к х [7, с. 108]. Это означает, что для произвольного е > 0 найдется такое натуральное N, что для всех п > N, t Е [0, b] будут выполняться неравенства
|Xn(t) ~ X(t) | < —у-
211/11
(равномерная сходимость влечет сходимость в Lp[0,1], см. теорему 2.8. С учетом этих неравенств имеем
Д =
1
f(x) - J x(t)g(t) dt
f(x) - f(xn) + J xn(t)g(t) dt~J dt
о о
l
I/(*) - /(*n)| + J |x(t) - a;„(t)| \g(t)\
dt «S
cn a?||Lp[o,i] + x
dt < e\
ввиду произвольности г A = 0, т. e f(x) = f x(t)g(t) dt.
0
5.5. 	Cm. [27, c. 218]. Так как от сходимости х^ —► х можно перейти к сходимости к нулю х^ — х —► 0, и так как сильная сходимость влечет слабую (см свойство 2 п. 2.4.3), то достаточно доказать импликацию
о) => —► 0^ (xi —► оо). (*)
Пусть х^ —> 0. Взяв / = (0,. , 0,1,0,...) Е II = /оо, получим: сходи-
к-1
мость —> 0 означает, что
М)
■ 0 (га —> оо, к = 1,2,...). (**)
Предположим, что х^ 0 (п —> оо). Это означает, что
(Эе0) (Vm е N) (Эпт > гп) (||а:(п)|| ^ е0). (***) 355


Положим mi = 1 и выберем номер щ так, чтобы выполнялись неравенства
Е
к=i^i+l
(Птп1)
<0,1е0,
к=1
(птп i)
^ 0, 8 £0
(остаток сходящегося ряда можно сделать сколь угодно малым; второе
неравенство следует из первого и (***)). Так как в силу (**) ^
к—1
при п —► оо и фиксированном ь>\, то найдется такое т2 > гп\
,(п)
о
”1
£
fe=l
(nm2)
< 0,1 £о и следовательно, в силу (***),
fc=i/i+i
(nm2)
= 1), ЧТО
^ 0,9его;
найдется также такое и2 > v\, что
^ 0, 8£о.
Продолжая этот процесс неограниченно, придем к последовательностям
ОО
Е
(nm2 )
Хк
< 0, 1 £0у
и2
Е
(nm2 )
Хк
к=и2 + 1
k=vi + l
v2 < . . .
таким, что для любого j = 1,2,... выполняются неравенства
Uj_ i £
r(n^)
хк
< 0, l£o,
иэ
Е
(nmj)
Хк
^ 0,8 его
fc=i
k=Vj_i + l
Е
k=Uj + l
< 0, 1 £q (ц> = 0). С)
Для каждого к = 1,2,... найдем такое j, что rrij-i < к ^ rrij (mo = 0) (j определяется по к однозначно; одно и то же j может соответствовать различным к). Полагаем
fk = sign X^nmi ^, /= (/i, /2, ...)(<= loo)-
Тогда из (*) получаем
Х>Н =
II
ЛПттгз )
хк
из
+ Е
+
fc = l
fc=l
T(nmj)
хк
Л\
хк
4-1
-Е
хк
оо
- Е
я*
i
fc=i/j+i
> 0,8ео — 0, leo — 0, leo = 0, бео-
356


Это означает: >)¥> О при j —► оо, что противоречит слабой сходи¬
мости последовательности {a/n^}JJLi. Полученное противоречие доказывает импликацию (*).
5.6. 	1. Пусть М С X ограничено и / G X*. Это значит, что существует константа С > О такая, что для любого х G М ||х|| ^ С. Тогда l/(x)l ^ ll/ll * IMI ^ ^11/11 = С/» т- е* множество М слабо ограничено.
Пусть М слабо ограничено. Предположим, что М не является (сильно) ограниченным. Это значит, что для любого п найдется хп € М такой, что Цхп || > п2; положим уп = Пусть / G X*. Тогда
1/(гм)| = i|/(*»)| < ^sup|/(x)| sg 1-Cf ->0;
п ПхЕМ п
значит, уп 0. В то же время ||уп|| = > п, что противоречит ограни¬
ченности слабо сходящейся последовательности. Следовательно, М (сильно) ограничено.
2. Пусть М слабо замкнуто их- (сильно) предельная точка М. Существует последовательность {xn}^Li С М, (сильно) сходящаяся к х. Но тогда эта последовательность сходится к х и слабо. В силу слабой замкнутости М х € М. Значит М (сильно) замкнуто.
3. Пусть пространство X слабо полно (то есть всякая слабо фундаментальная последовательность его элементов имеет в нем слабый предел) и пусть {xn}S£=i - (сильно) фундаментальная последовательность: \\хп — хш\\ —> 0 при п,т —* оо. Так как
|/(*п) - /(xm)| S? 11/11 • ||х„ - хт|| -» 0,
то последовательность {х„ }jf=1 и слабо фундаментальна. А так как про- странство X слабо полно, то существует х G X такой, что хп х Осталось доказать, что жп —► х и сильно.
Пусть X - пополнение X. Тогда существует у G X такой, что хп У сильно, а значит, и слабо. В силу единственности слабого предела у = х; следовательно, хп —> х сильно. Это означает, что пространство X полно.
4. Пусть М компактно и {xn}^i - произвольная бесконечная последовательность его элементов. Существует подпоследовательность этой последовательности. которая сходится сильно, а значит, и слабо. Следовательно, М слабо компактно.
5.Т. Пусть пространство X рефлексивно, {xn}5£=i С X - слабо фундаментальная последовательность и / G X*. Тогда числовая последовательность {/(xn)}n=i фундаментальна, следовательно, существует предел
357


lim /(in) = а. Таким образом, имеем соответствие: каждому / 6 X* со-
п—*• оо
ответствует число а = lim /(жп). Это соответствие является, очевидно,
п—► оо
линейным функционалом F(f) = lim Frx\(f) на X*. Ограниченность это-
гг—юо
го функционала следует из того факта, что \\FXn || = ||жп|| и ограниченности слабо фундаментальной последовательности. Следовательно, F 6 X**. Из рефлексивности пространства X следует существование такого х £ X, что F(f) = Fx(f) для любого / £ X*. Для завершения доказательства достаточно заметить, что предельное соотношение FXn{f) —> Fx(f) означает, что f(xn) —► /(ж), то есть последовательность {/(жп)}г£=1 слабо сходится к
хех.
5.8. Необходимость. Пусть хп —► х. Ограниченность слабо сходящейся последовательности была установлена ранее. Рассмотрим линейный непрерывный функционал 6t (t € [а, Ь]), который каждой непрерывной функции ставит в соответствие ее значение в точке t : 6t(x) = x(t). Тогда предельное соотношение St(xn) —► <^(ж), вытекающее из слабой сходимости, означает, что xn{t) —> x(t).
Достаточность. Пусть последовательность {xn}^Li ограничена и сходится к ж в каждой точке отрезка [а, 6], / £ BVo[a,b]. Тогда, обозначая одной и той же буквой линейный непрерывный функционал на С [а, Ь\ и порождающую его функцию ограниченной вариации, имеем
ь ъ
f(xn) = JX„(t)df(t) -+ J x(t)df(t) = f(x)
a a
(мы воспользовались теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Полученное предельное соотношение означает, что хп —► ж.
5.9. Пусть X = С[—1,1]; тогда X* = В\о[—1,1]. Пусть, далее fn{t) =
{О для - 1 < t < i,
nt -Ь 1 для |t| ^ i, очевидно, fn(t) -> f(t) = sign t + 1 2 для i < t < 1;
1
(n —► oo) при всех t 6 [—1,1], V (fn) = 2 (n = 1,2,...); по теореме Хелли [7,
-l
с. 52] для любой непрерывной функции ж 1 1 /»(х) = I x(t)dfn(t) —> j x(t)df(t) (= 2ж(0)), n —► оо.
-i -i
Это означает, что /п —f (мы по-прежнему отождествляем линейные непрерывные функционалы на С[—1,1] с порождающими их функциями
358


из jBVo[-1, 1]).
Пусть теперь F — линейный непрерывный функционал на В\о[— 1,1], который определяется равенством F(g) = <7(0+) — д(0—) (скачек функции д Е В\о[—1,1] в точке t = 0); тогда F(fn) = 0 для всех п = 1,2,...,
w
a F(f) = 2; значит, /п /-+ /
5.10. Пусть Ап, А : X —*У, Ап —► Л сильно и / Е У*, xG А'; тогда
|/(j4na?) - /(Аг)| = |/(i4n® - Аг)| ^ ||/|| ||Апх - Ах|| —► 0 =*
=Ф f(Anx) —► f(Ax) => Ап Л (га —> оо).
1
Рассмотрим пример. Пусть А' = У = С[0,1], (Anx)(t) = f tnx(s)ds;
о
i
Апх 7^ 0 в С[0,1] при всех х таких, что f x(s) ds ф 0. Это значит, что Ап
о
не сходится сильно к нулевому оператору. Однако, для любой / £ В\о[0,1]
f(Anx) = J I J tnx(s) ds j df(t) = J x(s) ds J tn df(t) —► 0 (n —> oo)
о Vo / о о
по теореме Лебега. Следовательно, An 0 (n —► oo).
5.11. Пусть f,g e у*, a,/3 e P; тогда
(A* (af + (3g)) (x) = (af + 0g)(Ax) = af(Ax) + /Зд(Ах) =
= a(A-f)(x)+/3(A-g)(x).
5.12. 1) В силу линейности A,B тл f имеем
((A + В)Ч) (яг) = f((A + В)х) = f(Ax + Вх) = f(Ax) + f(Bx) =
= (A-f)(x) + (B*f)(x) = ((A* + B*)f)(x) => (A + В)* = A* + B*;
2) 	пусть пространства X, У — комплексные; тогда
((A A)*f)(x) = f(XAx) = If (Ах) = \(А* f)(x) =► (АЛ)* = А А\ 5.13. ((AB)*f)(x) = f(ABx) = f(A(Bx)) = (A*f)(Bx) =
= (в*(Л7))(:г) = (B*A*f)(x) => (АВ)* = В*A*.
5.14. Как было отмечено в п. 5.5.3, в гильбертовом пространстве оператор, сопряженный к ограниченному оператору, определяется равенством
359


(Ах,у) — (х,А*у). Поэтому
ъ ь / ь \
{Ах, у) = J(Ax)(t)y(t) dt = J I J K(t,s)x(s)ds j y{t)dt =
a a \a /
b f~~b \ b Г~Ь
= J I J K(t, s)y(t) dt J x(s)ds = J x(t) I K(s, t)y(s) ds I dt
где (A*y)(t) = f K(s,t)y(s) ds (по ходу мы переобозначили переменные).
а
Таким образом, ядро сопряженного оператора определяется равенством K*(t,s) = K(s,t). Линейный интегральный оператор Фредгольма будет самосопряженным, если его ядро обладает свойством K(s,t) = K(t,s).
5.15. 	Рассуждая как выше в 5.14,
П ( П \ п п пи
(Ах,у) = I ^2aikXk I yl = '^Xk'^aikyl = ^ХкУ^^ОгкУг =
г=1 \к = 1 ) к = 1 г—1 к = 1 г= 1
= (х, А*у),
п п
где А*у = X) Okiyk = 2 а*кУк, а*к = аь, или А* = Ат; оператор будет
/с—1 fc = l
самосопряженным, если Ат = А.
5.16. 	Пусть А,В £ S(H), а,0 £ R, х,у £Н] тогда
((аА 4- /3£)ж, г/) = а( Аг, у) 4- Р(Вх, у) = а(х, Ау) + /?(ж, Бу) =
= (ж, (аА 4- /ЗВу') = (х, (аА 4- РВ)у^;
следовательно, а А 4- РВ 6 S(H).
Пусть А — предельная точка S(П.); значит существует последовательность Ап =3 А, Ап £ «S('ft) (n Е N). С помощью свойств нормы оператора и неравенства Коши-Буняковского получаем
Д = |{Ах, у) - {х, Ay) | = | {Ах, у) - {Апх, у) + (ж, Апу) - {х, Ау) \ ^
< | ((Л - Ап)х, у) | + | (ж, (Ап - А)у) | < 2|| Ап - А\\ ||ж|| ||у|| —» 0 (п —► оо).
Отсюда следует, что Д = 0, т. е. (Ах, у) = (х,Ау), А € «S('ft). Значит, <S0ft) замкнуто.
360


5.17. Пусть А,В G S(7i), х,у G Н и АВ = В А; тогда (АВх,у) = = (Вх, Ау) = (х,ВАу) = (х,АВу), т. е. АВ G S{7i).
Пусть наоборот, известно, что АВ G «S('H), ж, у G 7i; тогда из равенств (АВх, у) = (ж, ВАу) = (ж, АВу) следует, что (ж, (ВА — АВ)у) = 0; из того, что это равенство верно для всех ж G следует, что (ВА — АВ)у = 0; отсюда, ввиду произвольности у Е Н, получаем, что В А — АВ = 0, т. е. перестановочность А и В.
5.18. С одной стороны, из определения скалярного произведения (Ах, х) = (х, Ах), с другой стороны, из определения самосопряженного оператора, (Ах,х) = (х, Ах); в итоге, (х,Аж) = (х,Ах), что и означает вещественность этой квадратичной формы.
5.19. Для хеШ ||х|| = у/х\ + х\ — \Jx\ + 4х2 = \/5|xi|, поэтому
|/(х)| = |х + 1| = ^|*х| = -1=11*11 =► 11/11 =
Согласно лемме 5.1, выбрав х° = ei = (1,0), полагаем
а = sup (f(x) - ll/Ц • ||х + х°||) = sup (xi - -t=v/(xi +l)2+x|) =
хеш4 ' xi ek v5 v 7
= sup</?(x), где <p(x) = (x — \/x2 4- ^x + sup<^(x) = lim <p(x) = xeR ' V 5 5/ a:eR ®->+oo
= - I =* a = /3 = jrf (/(x) + Ц/ll • ||x + x°||) =
= inf (xi + —j=.yj(xi -|-1)2 4- x|) = inf ^(x), где 116RV y5 7
^(x) = (x 4- \/x2 -f %x 4- i), inf ф(х) = lim ф(х) = — ^ => f3 =
\ у 5 5/ igk x —►—00 5 5
(см. рис. 12); таким образом, с = a — (3 = —| и продолжение по схеме леммы 5.1 будет единственным.
Пусть у = (2/1,2/2) G Ш 4- ei, у = х 4 fei, где х G ШТ, £ G R; возьмем в
качестве базиса в пространстве SDT Ч- ei (= М2) векторы ei, е2 = (1,2) G Ш1;
тогда у = (2/1 — ei 4- ^е2; значит
. У2 У2 _ (У2 \
t-yi 2 , X - 2 ез - ( 2 ’ Уу '
в итоге
361


Рис. 12
f(y) = fix) - ct = f(x) + | = у
. 1 t У2 \ 1 .2
+ 5 V1 ~ J) = 5yi + ЪУ2~
продолжение функционала / на все R2; ПРИ этом (применим неравенство Гельдера)
I/MI =
5Ш + 5У2
V(l)2+(!) ■>/■*+*=75
VS
IMI
JL_
Таким образом, получено единственное продолжение функционала / по схеме леммы 5.1 с сохранением нормы.
^ t < с,
<t^b
рь(Ь) = 1, в остальных точках рс(с) можно не определять, так как эти значения не влияют на величину интеграла Стилтьеса); тогда
5.20. Пусть pc(t)
м нормы.
J 0 при а 1 1 при с -
(с 6 [а, 6], ра(а) = О,
О 0 0
j x(t)dpc(t) = х(с) (х € С[а, 6], J x(t)dg(t) = J x(t)g(t)dt
(если д имеет интегрируемую по Риману производную [7, с. 43,44]); по возможности стараемся, чтобы д(а) = 0 хотя это и необязательно, так как на величину интеграла не влияет. Ниже всюду исходим из сказанного.
362


а)f(x) = х(0) = J x(t) dg(t), g(t) = p0(t); ||/|| = V(po) = 1;
-1 -1
б) f(x) = x(—1) - 2x(0) + x(l) = / x(t) dg(t), g(t) =
-1
= p-i(t) - 2p0(t) + pi{t); Ц/ll = УЫ = 4;
-1
/(i) = .(-«)-MO)+ = j ,m 9(().
” i(e-<4 - 2и!‘) + л(0) ll/ll = V(s) = §;
г)/(*) = Ё Cfcx(tfc) = / x(t)dg(t), g(t) = £ ckpCk(t); ||/|| =
k=1 -1 fc=l
= V(s) = E Ы [7, C. 228];
-l fc=i
A)f(x) = fx(t)dt = / x(t)dg{t), g(t) = j °ПрИ 1 < * <
o-i 1 t при 0 < £ ^ 1;
■{
■{
= V(s) = i;
-1
е) f(x) = / x(<) di - x(-l) = f x(t) dg(t), g(t) =
0 -1
О при - 1 ^ t < 0, , . ... * x
, n^^-1 11/11 = V(ff) = 2;
t при 0 < t < 1 -i
ж) /(*) = / x(*) dt = / x(() ds(f), g(t) = t + 1; ||/|| = V (s) = 2;
-1 -1 -1 1 1
з) f(x) = f x(t) dt - x(0) = / x(t) dg(t), g(t) = t + 1 - po(t)\
-1 -1
= VG0 = 3;
-1
И)f(x) = / x{t) dt - j x{t) dt - f x(t)dg(t), g(t) =
-1 0 -1
,Т!Г~Л7<<,0’ n/п=vw=*
—t + 1 при 0 ^ t < 1; -i
1 1 m 1
K) f(x) = / x(t) dt - E x(£)= f x(t) dg(t), 9(t) =
— 1 Z771 ~r 1 k= — m —1
1m 1
= * + 1-2^ГГ S piW; ll/ll = V(ff) = 3;
2m + 1 k=—m m -l
л)/(х) = / ta(t)dt = / x(<)ds(t), g(t) = |(t2 - 1); ||/|| = V(fl) = 1;
-1 -1 -1
m)/(x) = f t2x(t)dt = / x(t)dg(t), g(t) = ±(t3 - 1); ||/||
-l -l
363


= VCff) = I-
-1
5.21. a) f{x) = J x(t) dg{t), g(t) = tm; ||/|| = V(s) = 1;
0 0
б)/0е) = fx(t)dg(t), 9{t) = \/t; ll/ll = V(g) = l.
0 0
1
5.22. Рассуждаем, как в 5.20. a) f(x) = f x(t) dg(t), 9(t) = hpo(t) + |/9i (t) - \pi(t) + G(t), где G{t) =
—t при 0 ^ t <
Y при i < t < 1;
ll/ll = V(s) = П*
в итоге g(t) = <
О при t = 0,
\ - t при 0 < t < |, £ + | при 5 < t < 1,
при t = 1;
6) 	f(x) = fx(t) dg(t), g(t) = pi(t) - p2(2) + G(<), где G(t) =
■{
_ i V при о ^
— при 1 < t ^ 2;
в итоге g(t) = <
Y при 0 < t < 1, -j+1 при 1 < t < 2, — | при t = 2;
||/|| = V(<7) = 4. о
B) 	/(*) = / *(<) dg{t), g(t) = 2pi (t) - e-t - t; ||/|| = \J(g)
0 2 o
= 2 - 2e~i + e~1.
5.23. Пусть </(£)
‘{i-
t для £ E [-1,0], t для t E [0,1];
тогда равенство, определя¬
ющее L запишется в виде f(x) = f x(t)dg(t) = 0. Так как д Е BVо[—1,1],
-1
то по теореме 5.4 / — линейный непрерывный функционал на С[—1,1]; а
так как L = Л/Х/), то в силу 4.28 L — подпространство.
1
5.24. 	Согласно теореме 5.5 f(x) = J x(t)g(t)dt, где д Е Lq[0,1], q =
= 5?Т, 11/11 = \\9\К- 1
а)/(ж) = /x(£)ra£m_1 dt] здесь g(t) = rn£m_1, д Е L9[0,1]; зна- о
чит, / — линейный непрерывный функционал на Lp[0,1]; ||/|| = \\д\\ьд = - ТП г J " (при р = 1 q = +оо, ll/ll = гп).
364


6)f(x) = /x(tm) dt - /x(s)i«» 1ds, g{t) = \ j e L,[0,1] при
0 0
q (~ — l) > —1, q < —zr, или при p > га; значит, при таких p f — линейный непрерывный функционал на Lp[0,1]; при этом ||/|| = ||^||ц =
kzJL
5.25. 	Рассуждаем как в 5.24.
1
а) /(ж) = f x(t)g(t) eft, где <?(£) = t, g E Lqo[—1,1], значит, / — линейный
-l
непрерывный функционал на L[—1,1]; ||/|| = ||<7||loo =
1
б) /(ж) = f x(t)g(t)dt, где g(t) = t, д £ 1.2 [—1,1], значит, / — линейный
-i
непрерывный функционал на 1гг[—1,1]; ||/|| = ||<7||l2 =
в) f(x) = S x(t)g(t)dt, где g(t) = I ° ПрИ 9 6 М~1,1];
_1 [ £ при 0 < £ < 1,
значит, / — линейный непрерывный функционал на Ьг[—1,1];
11/11 = №’ = Жтт
5.26. 	а) Да, так как /(ж) = (ж, у), где у(£) = cos t\
7Г 7Г 7Г
б) так как f xf(t) sin tdt = J* sin tdx(t) = — / ж(£) cos tdt, то /(ж) = 0 для
ООО
всех ж £ Wj[0, тг]; значит, / = О, или /(ж) = (ж, 0);
в) рассуждая как в п. б), придем к тому, что /(ж) = ж(^) для всех
ж € W2 [0, ; Будем искать такую дважды непрерывно дифференцируе¬
мую функцию, чтобы
7Г 7Г
2 2
/(ж)=ж(|) = (ж,у) = У ж(%(*) dt + J x(t)y\t)dt =
= j x(t)y(t) dt + у' ж (|) - y'(0)z(0) - j x{t)y"{t) dt 0 0 (во втором интеграле мы применили формулу интегрирования по частям); в итоге приходим к равенству для всех ж Е [0, :
2
x{t)(y(t) - y”(t)) dt + (у' (I) - 1) ж (I) - у'(0)ж(0) = 0;
о
потребуем, чтобы
у" -у = О, у'{0) = 0, у (!) = 1;
365


ch t
решая эту краевую задачу, находим y(t) = п ; таким образом, f(x) = (х, у),
sh ^
где у — найденная нами функция ;
г) 	рассуждая как в п. в), приходим к краевой задаче
у" - у = q'(t) - p(t), y'(a) = q(a), y'(b)=q(b),
решение которой
yft) = f«(t')-y'ch(t-s)(g'(s)-p(s))rfsj -
-,(a);hhn,2a)+/-M-.)w.)-.(.))^
a
представление / в виде скалярного произведения — f(x) = (х,у).
оо
5.27. 	Согласно теореме 5.5 в обоих случаях f(x) = 22 хкЯк, д =
fc=i
а) 	5 € Zoo, ll/ll = IM|i„
6) 	g € h, ll/ll = |M|{3 = 4/1Z pr -
V fc=i
5.28. а) Согласно общему виду линейного непрерывного функционала в пространстве 1\ (см. теорему 5.5)
9 = (т!’ 7П’"‘ V*(* + i)’"') € г°°’ 11/11 = ы‘°°=
б) согласно той же теореме 5.5
оо
»€!„ ш = и* = Е*(ГП)=1‘
в) согласно теореме 5.5
gel4,q=-^r, ll/ll = IMIi, = (Е- V"?-) Р •
1
5.29. Согласно теореме 5.5 fn(x) = f x(t)gn(t)dt, gn(t) = cos nnt,
-l
g G JLa[—1,1]. Следовательно, fn (n G N) — линейные непрерывные функционалы на пространстве Ьг[—1,1] и


5.30. 	Сначала заметим, что представление (5.18) действительно задает линейный непрерывный функционал на Z :
|А(*)| = \f(x) + g(y)\ < |/(*)| + |<Нз/)| < ll/ll ||х||* + ||</|| \\у\\у <
< max{||/||, IMIHIWI* + Ыу) = тах{||/||, \\g\\}\\z\\z =>
=> ||Л|| < тах{||/||, |Ы|}.
Пусть h — произвольный линейный непрерывный функционал на Z. Элемент z £ Z можно отождествить с парой (х, у), х G X, у G У, а пары (х,0), (0, у) — соответственно с элементами х G X, у G У. С учетом сказанного z = (х, у) = (х, 0) + (0, у), /i(z) = h(x, 0) + h(0, у) = /(x) + p(y). Осталось доказать неравенство ||/i|| ^ max{ll/ll, ||fli||}.
Пусть e > 0 произвольно, и 11/11 ^ ||р||; по теореме о норме 4.2 найдется нормированный элемент х£ G X такой, что \f(x£)\ > ||/|| — е; полагаем = (хе,0); тогда \\z£\\ = 1 и \\h\\ ^ \h(ze)\ = |/(же)| > 11/11 - е; ввиду произвольности е \\h\\ ^ ||/||. Если ||/|| < ||р||, то найдется нормированный элемент у£ G У такой, что \д(у£)\ > 1Ы1 — в, и мы придем к неравенству \\h\\ > \\д\\. Таким образом, неравенство \\h\\ ^ тах{||/||, ||р||}, а с ним и требуемое утверждение доказано.
Так как h = (/, д), то окончательно имеем: [х + = X* х У*, причем
||Л||=тах{||/||, \\д\\}.
5.31. См. п. 5.4.1., а также доказательство теоремы 5.5, случай 2.
5.32. Сначала покажем, что равенство
оо
f(x) =ТхкУк (х = (xi,x2,...) € Со),
к= 1
где у = (yi, уг,...) G h, определяет линейный непрерывный функционал на со, причем II/H ^ \\y\\ii- Действительно, пусть х G со; тогда
оо оо
|/(х)| ^ £>к|Ы < «ф1**1Х>*1 = INUMk => ll/ll < llvlk-
k=l k>1 k=1
Пусть теперь / — произвольный линейный непрерывный функционал на В-пространстве со, е^ = (0,..., 0,1,0,...) (G со) (к = 1,2,...). Полагаем
fc-i
Ук = /(e(fc)), у = (У1,У2,...); для х = (а?1,х2,...) G со определим последовательность x(n) = (xi,... ,хп,0,...) (G со при каждом п G N); так как ||х(п) —х|| = sup |xfc| —► 0, то х(п) —► х в со при п —► оо. В силу непрерывности
fc^n+l
367


функционала / f(x^) —+ /(х). С другой стороны,
х(п) -
= '*Гхке(к\ /(x(n)) = ^xfc/(e(fc)) = Y^xkVk\
следовательно, ряд 22 хкУк сходится и f(x) = 22 хкУк>
к=1 к=1
Покажем, что у £ 1\. С этой целью для произвольного натурального N рассмотрим х^ = (signyi,..., signyN, 0,...) (£ со), ||х^|| = 1; с помощью этой последовательности получаем
к=1
оо
итак, частичные суммы ряда 22 \уЛ ограничены сверху числом ||/||; зна-
к=1
чит, этот ряд сходится, т. е. у € h, причем J2 Ы = (lls/lhi) ^ 11/11- Вместе с доказанным выше противоположным неравенством это означает, что
11/11 ЧМк-
Таким образом, найден общий вид линейного непрерывного функциона-
оо
ла в пространстве с0 : /(х) = 22 хкУк, где у £ Zi, причем ||/|| = ||у||^. Это
к-1
означает, что с точностью до изометрического изоморфизма пространство, сопряженное с со есть пространство /ь
5.33. 	Оба функционала имеют представление, установленное в 5.32.
оо
При этом в а) у = (1, |,...,р1гг,...) 6 h, ||/|| = £ 2~k+1 = 2; в б)
к = 1
/ \ оо
/11 1 \ _ 1 II ОН ж—ч 1
У
(\ оо
I’ 2^3’ • • ' ’ к(к+1) » ' • •) ^ 11/11 = Цк+ту = 1-
к=1 °° Хк
Линейный функционал f(x) = 22 - непрерывным на со не яв-
fc=1 у/к(к 4-1)
ляется, так как у = (^, ^±-,..., ущ=у> • • •) & h; V(f) представляет
собой множество сходящися к нулю последовательностей х = (xi, Х2,...) £ со,
°° Хк
для которых СХОДИТСЯ ряд 22 / —•
fc=i -f 1)
5.34. 	Найдем общий вид линейного непрерывного функционала / на пространстве с. Для х £ с будем обозначать ах = lim х*,; так как х £ с мож-
к—*оо
но представить в виде х = ахе + х', где е = (1,1,...) (£ с), х' = (Xi — ах,Х2 — л ж,...), то с = R 4- со. Согласно 5.30 / = (й,#), где /i (р) — линейный непрерывный функционал на R (со). Пусть h(e) = ho; в
368


силу 5.32 g(xf) = х'кУк (см. обозначения 5.32). Таким образом,
f(x) = ах ho + ^2 х'кУк = a*ho + ^(хк - ах)ук
к=1 к=1
/ оо \ оо оо
= ах I ho - ^ Ук ) + ^2 ХкУк ~ °х У° +
\ к=1 / к=1 к-1
ХкУк,
где уо = ho— Y2 Ук- Найдем норму этого функционала. Так как \ах\ ^ sup|xfc|, к=1 ке N
то
оо / оо \
|/(z)| < |ах| М + ^2 lXfel 1^1 ^ sup|xfc| I I2/0I + 52 \Ук\ ) =
/ 00 \ оо
= м+Е ы ||*ц =* 11/и < м+YI ы-
V к=1 / к=1
Докажем противоположное неравенство. С этой целью для произвольного натурального N положим
x(N) = (sign yi,... ,sign ум,sign yo.sign y0,...) (€ c); ||x(N)|| = 1, axiN) = lim x[N) = sign y0; ||/|| = ||/|| • ||х(Л°|||| > |/(ж(ЛГ)||)| =
К—► OO
N oo
yo sign yo + ^2 Уk sign ук+ ^ ук sign y0
к-1 k=N+1
N oo
>м+£ы- E i»i;
k=1 k=N+l
так как остаток сходящегося ряда может быть сделан сколь угодно малым,
оо оо
то отсюда следует, что ||/|| ^ |г/о| + Y, Ы> а значит ||/|| = |j/0| + £ Ы-
к=1 к=1
Итак,
оо оо
fix) = аху0 + ^2хкук, Ц/ll = 1з/о| 4- ^2 l^fcl'
к=1 /с—1
Согласно сказанному выше с* = (ш х 1\^ (см. 5.32).
Пространство, сопряженное к пространству с сходящихся последовательностей можно также отождествить с пространством Zi, так как между пространствами R х 1\ и 1\ имеет место изометрический изоморфизм <р : R х li —► Zi, (xi,x2,.. .)^ = (a,a;i,X2,...), обратный к которому
<£>-1 : 1\ —► R х Zi, ^”1(.xi,a;2,®3,. • •) = (#2,#3, •. .)^ также является
369


изометрическим изоморфизмом. Таким образом, можно считать также, что с* = 11.
5.35. Так как Cq = Zi, то Cq* = li = loo (см. 5.31, 5.32).
5.36. См. п. 5.4.1., пример 4, а также 5.30.
5.37. Пусть пространство X* сепарабельно, D = {/ь/2,*..} — всюду плотное в X* множество. В силу теоремы 4.2 и свойства супремума для fk £ D найдется нормированный элемент Хк £ X такой, что
|Л(**)1> ^(* = 1.2,...).
Пусть Kq — счетное множество всевозможных линейных комбинаций Хк с рациональными коэффициентами. Покажем, что Kq всюду плотно в X.
Предположим противное: Y = d Kq ф Х\ Y — подпространство в X; пусть у Е X \ Y. По теореме 5.3 найдется функционал / Е X* такой, что f(y) = l? f(x) = 0 для всех х Е Y. Для произвольного е > 0 найдется функционал До £ D такой, что ||/ — Д0|| < £• Из наших построений и теоремы 4.2 имеем
е > II/ - ДоII < К/ - fko)xko\ = |Ло**о1 > ^ => НЛо11 < 2е =*
=* 11/11 = II/ - До + Ло11 < IIAoll + II/ - До II < 3£;
ввиду произвольности е это означает, что / = 0; но это противоречит равенству f(y) = 1. Следовательно, Y — X, Kq — счетное всюду плотное в X множество. Этим сепарабельность X доказана.
Сепарабельность пространства X еще не влечет сепарабельность сопряженного пространства X*. Это подтверждается примерами. Пространство С[а, 6] сепарабельно (см. п. 1. 8), а пространство С* [а, Ь] =
BVo[a, b] — нет (см. упражнение 2.8; пространство h сепарабельно (упражнение 1.31), а пространство I* = loo — нет (упражнение 1.32).
5.38. Так как II* = Ф h (см- 5.37), то пространство 1\ нерефлексивно.
5.39. Для любого ж € Ьг[—1,1] /п(ж) с точностью до постоянного мно¬
жителя представляют собой коэффициенты Фурье элемента ж по тригонометрической системе (п. 3. 7), поэтому стремятся к нулю, что и означает *-слабую сходимость этой последовательности. Так как согласно 5.29 II/»II = 1 (п = 1,2,...),то /„ 0.
5.40. В доказательстве нуждается только достаточность. (См. доказательство теоремы 4.7.) Не ограничивая общности, можно считать, что и 11*11 < К. Пусть s > 0, / е X* — произвольны; найдется функционал д € Q
370


такой, что ||/ — <71| < з^ и такое натуральное N, что |д(хп) — #(х)| < § для всех п > N. Поэтому
1/(*») - /0*01 ^ I/O»») - »0®«)1 + |д(х„) - д(х)\ + |з(ж) - f(x)\ <
^ II/ - sll lk« || + !*(*„) - д(х) | +1|/ - ff|| ||*|| <к~ + \ + к^=е. Таким образом, при п > N |/(xn) — /(х)| < е, т. е. f(xn) —► /(я); это и
W
означает, что хп —► х.
5.41. В доказательстве нуждается только импликация
Хп х (п —► оо), Xn, X € М (п = 1,2,...) => Хп —► х {тъ —> оо).
Пусть хп х (п —► оо), хп, х G М (п = 1,2,...). Предположим, что хп не сходится к х сильно. Это значит, что
(Eteo) (VA;) (Зпк > к) \\хПк ~ х|| > е0. О
В силу относительной компактности множества М найдется подпоследовательность {хпк.}^\ С {xn/b}S=i, Xnkj —* У Е X {j оо). так как сильная сходимость влечет слабую, то хПк. ► у (j —► оо); а так как слабый предел
последовательности единствен, то у = х. Итак, хПк. —► х (j —► оо). Но это
противоречит утверждению (*), и значит, доказывает сильную сходимость
Хп —► х (п —► оо).
5.42.Условия а) — в) гарантируют сходимость /п(хп) —► /(х).
а) Пусть хп —► х, /п —*► / (п —► оо); тогда
|/п(х„) - /(*)| ^ |/»(Жп) - /(Жп)| + |f(xn) - /(х)| = |(/„ - f)xn| +
+ \f(Xn ~ Ж)| ** ll/n - /|| • ||®п|| + 11/11 ‘ И*» — х|| -+ 0 (п —* ОО),
так как последовательность ||хп|| ограничена (как сходящаяся), а II/» - /II 0. II®» - *|| -+ 0 (п -> оо);
б) если хп —* х, fn —* f (п —> оо), то ||/„ — /|| —> 0, и для любого
/ £ X* |/(х») — /(*)| —+ 0 при п —* оо; поэтому
!/»(*») - f(x)| ^ |/»(х») - /(*»)! + !/(*») - f(x)| <
^ II/» - /II • II*»II + 1/(*«) “ /0*01 -♦ 0 (п -> оо),
так как слабо сходящаяся последовательность также ограничена;
371


в) 	наконец, если хп —► х, fn ——* f (п —> оо), то ||хп — #|| —► 0, и для
любого х G X | fn{x) — f(x)| —► 0 (n —► оо); поэтому
|/п(х„) - /(х)| ^ |/п(хп) - /п(х)| + |/„(х) - /(х)| «S
< ИДИ • Н*П - *11 + |/п(ж) - f{x)\ —► 0 (п -» оо),
ввиду ограниченности последовательности ||/п||.
Выполнение условий г) не гарантирует сходимость fn(xn) —> f(x). Рассмотрим в связи с этим пример. Пусть
2nt для 0 < t ^ ^, жп(£) = ^ 2 - 2п£
О для i
я 0 < г s£ 2 , J nt - 1 для О t < i,
9.W = | ai<
i < * < 1, »■ n
(см. рис. 13), g(t) = 0 при 0 < t ^ 1, <7(0) = —1,
Рис. 13
1 I
fn{x) = J x(t) dgn(t), /(*)== J x(t)dg(t)=x{0).
о о
Так как a?n(£) —► 0 при всех t G [0,1], 0 ^ xn(t) ^ 1, то согласно теореме
l
5.10 	Xn 0 в C[0,1]; так как gn(t) —► g(t) при всех t G [0,1], \J(gn) = 1, to
о
по теореме Хелли [7, с. 52] для любой х G С[0,1]
1 1
}п{х) = У ж(<) <&„(() -* У x(t)dg(t) = х(0) = /(х), о о
372


Т. е. fn —" / (n -► оо). Однако (см. рис. 13),
1 п.
fn(Xn) = У Xn(£)rfpn(£) = J xn(t)ndt = i • i • 1 - n = о 0
T. e. /n(xn) /> /0*0 = я(0).
5.43. Для любого x (x, en) —► 0 (n —► oo) (как последовательность
коэффициентов Фурье, см. следствие 3.2, следовательно, еп —► 0.
Так как ||en|| = 1, то еп -fr 0.
5.44. Нет, не изменится. Пусть {en}??=i — ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н. Положим
Хп — вп (Т1 — 1,2,.. .), 2/2m—1 • в2т—1, 2/2т = б2т— 1 (ТМ = 1,2,.. .);
тогда хп 0, уп —> 0 (тг —► оо, см. 5.43), однако (хп,Уп) = 1 при п
нечетном и (хп,уп) = 0 при п четном; это означает, что (хп,уп) не имеет предела.
5.45. Любая ограниченная последовательность непрерывных функций, которая неравномерно сходится к непрерывной функции. Рассмотрим, например, последовательность {xn}??=i из 5.42 г) (см. рис. 13). При каждом t € [0,1] xn(t) —► 0 (тг —> оо), ||хп|| = 1 (n £ N), следовательно, по теореме
5.10 	хп —> 0. Однако, ||хп — 0|| = 1, т. е. хп 0 в пространстве С[0,1].
5.46. Пусть выполнены условия а) и б). Согласно теореме 5.5 линейный непрерывный функционал в пространстве LP(T, 21,/х) имеет вид:
f(x) = fx(t)g(t)d^i, где д е Lq(T,2t, д) (С Lp(T,2l,/х) в силу конеч- т '
ности меры; q = При р > 1, q = +оо при р = 1^. При этом
xn(t)g(t) x(t)g(t) (п —> оо); Так как выполнены условия теоремы Ле¬
бега о предельном переходе под знаком интеграла (сходимость по мере и наличие суммируемой мажоранты Ф(£)|р(£)|), то
f(xn) = J xn{t)g(t)dn^> J x(t)g(t) dfi = f{x) (п—юо), (10.62)
T T
т. e. имеет место слабая сходимость.
Заметим, что наличие суммируемой со степенью р мажоранты у последовательности {xn}n=i влечет равномерную ограниченность последовательности {!|хп ||}n=i • Однако, обратная импликация не имеет места. Об этом свидетельствует следующий пример (см. [7, с. 159]).
373


Пусть Т = [0,1], /х = mes, xn{t) = 2nte~nt2. Тогда ||xn|| = 1 — е~п <
< 2, но как показано в цитированной работе, суммируемая мажоранта отсутствует.
5.47. Достаточность. Условие б) можно записать и так:
ь ь
j Xn{s)x[a,t\(s) ds -> J x(s)x[a,t)(s)ds (n-»oo)
a a
(X[a,t] — характеристическая функция отрезка [a, t]). Так как конечнозначная функция представляет собой линейную комбинацию характеристических функций (см. доказательство теоремы 2.9), то ъ ь
I xn(s)g(s) ds —> J x(s)g(s)ds (n —► oo)
a a
для любой конечнозначной функции д. А так как множество конечнозначных функций всюду плотно в пространстве Lq[a, b] (= L*[a, 6]), то слабая сходимость хп х следует из 5.40.
Необходимость. Пусть хп —> х. Тогда в силу свойства 3 из п. 5.4.3. выполнено условие а) и
ъ ъ
J Xn(s)x{a,t](s) ds-> J x(s)x{a,t](s) ds (п -+ oo, p € L,[a, 6]);
a a
положив g(t) = X[a,t](t), придем к требуемому предельному соотношению, т. е. к выполнению условия б).
5.48. См. 5.39. Покажем, что этот пример годится и для произвольного р, 1 < р < +оо. Пусть xn(t) = cos nirt (n G N); тогда для любой непрерыв-
i
ной функции д f cos nirtg(t) dt —► 0 (n —► oo cm. 5.39). Далее,
||*n ||lp[0,1] = ij I COS n7Tt\p dt j = | i J I cos nt\p
\lp
dt
-1
1 \i ( \ \
^ J | cos 7rt\p dt J = I 2 J | cos nt\p dt П-1 ' \-i /
= К (> 0);
так как множество непрерывных функций плотно в пространстве L*[0,1] = Lq[0,1], то в силу 5.40 последние два соотношения означают, что хп —> 0. Так как \\хп — 0||=||xn||=i^>0, то хп ~h 0 сильно.
374


Заметим, что слабую сходимость можно было доказать и с помощью
5.47. 	Действительно,
t t
J xn(s) ds = J cos rnrsds = S*n П* —► 0
-l -l
при n —► oo (даже равномерно на [—1,1]).
5.49. Достаточность. Согласно 5.8 произвольный линейный непрерывный функционал на 1Р определяется последовательностью / =
оо
= (Л, • •.) £ lq п° формуле /(х) = YI xbfк- Рассмотрим всюду плотное в
к=1
lq множество 1° финитных последовательностей. Пусть функционал определяется элементом / = (Д,..., /т, 0,...) (га зависит только от /). Так как под знаком конечной суммы можно перейти к пределу при п —► оо, то
т т
Дх(п)) = ^4п)Л -> £**/* = f(x) (п оо).
к—1 fc=l
Этим доказана слабая сходимость для функционалов из всюду плотного в lq множестве. В силу 5.40 х^ —* х на 1Р (п —► оо).
Необходимость. Условие а) выполнено в силу свойства 3 из п. 2.4.3. Взяв функционал, порожденный вектором / = (0,..., 0,1,0,...), получим
п—1
выполнение условия б).
5.50. Рассмотрим последовательность е^ = (0,... ,0,1,0,.. .)(€ 1Р)
п—1
(п Е N). Согласно 5.8 произвольный линейный непрерывный функционал
оо
на 1Р определяется элементом / = (/i, /2,...) Е lq по формуле /(х) = Xkfк,
к=1
поэтому /(e(n)) = fn - о (« —► оо); итак, е^ 0 в 1Р. Так как
||е^ — 0|| = ||e^n)|| = 1, то е(п) 0 сильно.
5.51. Пусть М С h слабо компактно и {x^J-JJLx С М. Существует подпоследовательность с {a^n*}S?Li такая, что х^Пк^ х (к —+ оо).
Так как (см. 5.5) в h слабая и сильная сходимости совпадают, то и х^Пк^ —► х (/с —► оо). Значит, М компактно.
5.52. Пусть ||хп — х|| —► 0 (п —► 00), ||/|| < 1. тогда
I f(Xn) - f(x) I = |/(xn - x)| ^ ll/ll || Xn - x|| ^ 11 Xn - x\\ 0 (n -> 00),
т. e. xn x (n —► 00) равномерно в шаре Б** [0,1].
Пусть теперь хп —> х (п —> оо) равномерно в шаре В** [0,1]. В обозначениях п. 2.4.2 это означает, что FXn(f) —► Fx(f) (n —► 00) равномерно
375


относительно / в шаре Вх*[0,1]; в силу теоремы 4.3 ||FXn — Fx\\ —> 0, или, что то же самое ||-РЖп_я|| = \\хп — х\\ —► 0 (п —> оо), т. е. хп —► х в X.
5.53. Вообще говоря, неверно. Рассмотрим пример. Пусть X = 1\\ тогда X* = /оо (следовательно, L — замыкание в норме /оо). Положим /п = (1,..., 1,0,...); тогда L С со С /оо- Предположим, что / £ L.
п
Сходимость /п —+ / означает, что для любого х £ h /п(х) —► /(х);
п оо
/«(*) = 12 хк -* 12 Хк = f(x) (п -> оо), где / = (1,1,...) 0 Со. Полу-
к=1 к=1
ченное противоречие означает, что f & L.
5.54. Для любого х Е 1Р в силу необходимого условия сходимости ряда хп —► 0; это и означает, что /п ^ 0 (п —► оо).
Пусть хп = (0,..., 0,1,0,...); тогда ||хп|| = 1 и по теореме 4.2 ||/п|| =
СХ,Х), X, Хп — х) =
= sup |/п(х)| ^ |/п(хп)| = 1; значит, /п/>0в /р.
11*11=1
5.55. Так как по условию (хп,хп) —► (х,х), (хп,х)
(х, Хп) —► (х, х) (п -> оо), ТО ||Хп - х||2 = (хп
= (Хп,Хп) — (ХП,Х) — (х, Хп) + (Х,Х) —► 0 (П —► ОО).
оо п
5.56. Импликация а) => б); пусть S = 22 е*>, 2 е*^ по условию
fe=i fc=i
Sn —► S (n —> oo) сильно; так как сильная сходимость последовательности влечет ее слабую сходимость, то Sn —> 5.
п
Импликация б) =>• в); пусть для у Е Н }п(у) = 22iek^y)\ так как
к=1
по условию числовая последовательность {/n(y)}^= i сходится, и следовательно, ограничена, то по теореме 4.6 ограничена и последовательность {||/п||}~=1. Согласно теореме 5.6
п
Eefe
\
к=1
£|Ы12;
ограниченность частичных сумм числового ряда с неотрицательными членами означает его сходимость.
Импликация в) =>а); покажем, что последовательность частичных сумм ряда а) фундаментальна. По теореме Пифагора (упражнение 3.13) (га > п)
||Sm - Sn\\2 =
Е ек
k=n+l
= Е iM2-° (».
fc=n+1
m
оо)
в силу принципа сходимости Коши для числовых рядов. В силу полноты пространства Л Sn, а значит, ряд а) сходится.
376


5.57. Линейность всех функционалов очевидна. Докажем их ограниченность и найдем нормы. Пусть х Е С^[0,1].
1/0*01 = 1*'(0)1 < Ik'llcio.i] < IMIc(o,i] + ||я'||с[0,1] = lulled)[0,1];
следовательно, функционал / ограничен и ||/|| ^ 1. Чтобы доказать противоположное неравенство, рассмотрим последовательность
- п\ ■ 1 / nt ДЛя0 ^ 1< п’ 1 о
z„(*) = ^±T -< п±1 1 п 1 п = 1,2,...;
п п +1 п n tn -П + 1 ДЛЯ £ ^ ^ 1,
легко непосредственно убедиться в том, что х„ 6 С*1 *•'[0,1], ||жп|| = 1. Со- гласно теореме о норме 4.2
11/11 > |/(*»)| = |*n(0)| = I1 -» 1 (п — оо);
Пп + п
так как, взяв достаточно большое натуральное п, можно сделать дробь в правой части сколь угодно боизкой к 1, то отсюда следует, что ||/|| ^ 1 и значит, II/H = 1.
Аналогично, для х £ С^[0,1] с помощью формулы конечных приращений получаем
|/n0*0| = |П (х - *(0)) | = |ж'(£„)| ^ lulled) [ОД] (° < £« < ;
это означает ограниченоость функционалов /п и оценку ||/n|| ^ 1 (n £ N). Противоположное неравенство доказывается с помощью той же последовательности хп, что и выше.
С помощью формулы конечных приращений для любого х £ С^[0,1] fn(x) = п (х (£) — ж(0)) = #'(£п) —► ПРИ п —+ оо. Следовательно,
/п ^ / (п -► оо).
Покажем, что /п -fr /. С этой целью рассмотрим последовательность xn(t) = -у- ; хп £ С(1)[0,1], ||хп|| = 1;
1 +71
II/п - /|| ^ |(/п - /)(Хп)| = |/п(®п) - /(®п)| =
=^ттh((*~«)
Следовательно, ||/п — /|| 74 0.
5.58. Согласно п. 4.1.5 (пример 3) /п — линейные ограниченные функ-
1
ционалы на С[0,1], причем ||/n|| = f kn(s) ds = ^ —> 0 (п —> оо). Поэтому
о п
fn —► 0 сильно, а значит имеют место и оба вида слабой сходимости.
377


5.59. По теореме Хелли [7, с. 52] для любой непрерывной функции
о о
/*»(*)= У x(t)dfn{t)-> Jx(t) df(t) (n —► oo),
a a
что и означает *-слабую сходимость этой последовательности.
5.60. Пусть / € ВVo[0,1], х £ С[0,1]. Тогда
1 1 f(Anx) = J kn{t)df(t) Jx(s)ds-^ 0 (n —► oo) о о
по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
(О < kn(t) ^ 1, kn(t) —► 0 при каждом t G [0,1]). Следовательно, Ап 0.
А так как сходимость кп неравномерная, то для любой непрерывной функ- 1
ции такой, что f x(s) ds = £ ф 0 (Anx)(t) = £kn(t) не сходится к нулю в о
пространстве С[0,1].
5.61. Утверждение следует из теоремы 5.11.
5.62. Так как гильбертово пространство рефлексивно, то утверждение следует из 5.61.
5.63. а) По определению сопряженоого оператора в силу теоремы 5.4 (как и ранее, обозначаем функционал и порождающую его функцию из BVo[a,b] одной и той же буквой)
b t
(A'f)(x) = (f(Ax)) = J (Ax)(t)d/(t) = JJ x(s)dsdf(t) =
a a a
b b b
= J x(s) J df(t)ds = J x(s)dg(s),
as a
b s b
где dg(s) = f df(t) ds, или, g(s) = J f df(t) da. Переобозначив переменные, окончательно получаем а а
t ь / t \
(A* f)(t) = (g(t)) = J J df(r) ds I = J(/(6) - f(s)) ds j
as \ a /
(Л* : BV0[a,b] -> BVo[a,fc]);
378


б) применяем определение сопряженного оператора и теорему 5.5 (те¬
перь / £ Loo [а, 6]); в итоге
и и ь
(A* f)(x) = (f(Ax)) = J(Ax)(t)f(t) dt = j J x(s) ds f{t) dt =
a a a
b b b
= J x(s) J f(t)dtds = J x(s)g(s)ds,
as a
b
где g(s) = f f(t) dt. Окончательно
s
b
(A* f)(t) = (g(t)) = J f(s) ds (A* : Loo fa, 6] -*• Loo [a, 6]);
t
в) рассуждаем точно так же; теперь / £ Ьг[а, 6] и
ь
{A* f)(t) = (g(t)) = J f(s) ds (a* : L2[a,6] -► L2[a,6]);
t
г) аналогично, / £ Lp[a, 6] (так как Ax £ Lg[a, 6]) и
ь
(A*f)(t) = (ff(*)) = J f(s)ds (л* : Lp[o,6] -» L,[a,6]);
t
5.64. 	Рассуждаем как в 5.63. а) По определению ъ ь ь
(A* f)(x) = (/(Ах)) = J(Ax)(t)df(t) = J J K(t,s)x(s)dsdf(t) =
a a a
b b b
= J x(s) J K(t, s) df(t) ds = J x(s)dg(s),
a a a
b
где g(s) = f K(t,s) df(t)\ Окончательно, переобозначив переменные, полу-
a
b
чаем (A*f)(t) = / K(s,t) df(s), A* : BV0[a,b] BVb[a,6];
379


б) по определению (теперь / G Loo [а, 6])
ь ь к
(А*/)(х) = (f(Ax)) = J(Ax)(t)f(t)dt — J J(t, s)x(s) ds f(t) dt =
а а а
b b b
= J x(s) J K(t1s)f(t)dtds = J x(s)g(s) ds,
a a a
b
где <j(s) = J* K(t,s)f(t)dt\ Окончательно, переобозначив переменные, получаем а
ъ
(Amf)(t) = J K(s, t)f(s) ds, A* : LooM] - LcM;
a
в) рассуждаем точно так же; теперь / 6 Ьг[а, 6] и
ь
(A* f)(t) = (g(t)) = J K(s,t)f(s)ds (A*:L2[o,6]-La[e,b]);
a
г) аналогично, / G Lp[a, 6] (так как Ax G Lg[a, b]) и
b
(A* f)(t) = (g(t)) = J K(s, t)f(s) ds (A* : Lp[a, 6] - L,[a, 6]).
a
5.65. Рассуждения аналогичны, проведенным в 5.63, 5.64.
а) (A*/)(t) = J K(s,t)df(s), A* : BV&M] -► BV0[o,b];
t
б) (Amf)(t) = fK(s,t)f(s)ds, A* : Loo [a, 6] -.Loo [a, 6];
t
в) (j4*/)W = fK(8,t)f(8)da, A* : L2[a,6] L2[a,6];
t
r) (A*/)W = f K(s, t)/(e) de, A* : Lp[a, 6] -> L,[a, 6].
t
5.66. Рассуждаем как в 5.63 а).
Ь Ь b
(A* f)(x) = (f(Ax)) = J(Ax)(t)df(t) = J J x(s)daQ(t, s)df(t) =
a a a
b b b
= J Ф) / df(t)daQ(t, s) — J* x(s) dy(5),
380


b s b
где dg(s) = f df(t)daQ(t,s), откуда g(s) = J f df(t)daQ(t,a); окончательно,
а а
после традиционного переобозначения переменных, получаем t ь
(A* f)(t) = JJ df(s)daQ(s,<r), А* : BV0[a,b] - BV0[a,b}.
a a
5.67. (A*f)(t) = f f df(s)daQ(s,a), A" : BV0[a,b] -* BV0[a,b}.
a a
5.68. а) В пространстве l\. Сопряженный оператор действует в пространстве /оо- Линейный непрерывный функционал на 1\ отождествляем с последовательностью / = (/i,/2, • ) € /оо- По определению сопряженного оператора
(А*/)(х) = f(Ax) = ^2(Ax)kfk - = J2xkgk,
k=1 fc=l fc=l
где gk — fk при к = 1,..., n, pfc = 0 при к = ti -j- 1, n 4- 2,...; значит
oo oo oo
(£*/)(*) = /(£*) = 5>«)*Л = '52,°‘kxkfk = ^2fXk9k,
k= 1 k=l fc=l
где 3* = afc/fc, Лт = 1,2,...; следовательно, В*/ = (ai/i,<22/2, • • •)•
OO OO OO
(■C*}){x) = f(Cx) = ^2(Cx)kfk - = yisfcgfc.
fc=l fc=n /c=l
где gk = fk +7i - 1, A: = 1,2,; теперь С*/ = (/n,/n+1, - - -)-
OO OO OO
(IT/)(*) = /(D*) = £(Pz)fc Д = **/* —n+1 ^ ^ XkQk,
k=l k—n k=1
где gk = 0, fc = 1,..., п — 1, <?*: = Д — тг + 1, к = тг, тг + 1,...; поэтому D* f = (O^^O, /i,/2, • • -);
n—1
б) рассмотрим эти операторы в пространстве /2. Теперь сопряженный оператор также действует в этом пространстве. Выражения для сопряженных операторов формально будут точно такими же, как в п. а), с той только разницей, что теперь / Е /г- Теперь А* = А, В* = В, С* = D, D* = С;
в) если эти операторы действуют в пространстве со, то сопряженные операторы будут действовать в пространстве с5 = /1 (см. 5.32). Выражения
381


для сопряженных операторов формально будут точно такими же, как в п.
а), только теперь / Е /г,
г) пусть теперь операторы А — D действуют из пространства h в пространство со; тогда сопряженные операторы будут действовать из пространства 1\ в пространство Iоо- Выражения для сопряженных операторов опять формально будут совпадать с операторами из п. а), однако, теперь / Е со;
д) если операторы A — D действуют из пространства 1Р в пространство lq, то сопряженные операторы будут действовать точно так же; Поэтому снова можно говорить о самосопряженных операторах и А* = А, В* = В, С* = D, D* = С.
оо
5.69. Так как для любого х Е h ||Апх||2 = 22 |х*:|2 —► О при п —► оо
к=п-1-1
(как остаток сходящегося ряда), то Ап —► 0 сильно (п —► оо). Согласно 5.68 А„х = (0,... ,0,xi,x2,...); так как для любого х Е h ||А£х|| = ||х||, то
п
Ап •/+ 0 сильно (п —► оо).
5.70. В гильбертовом пространстве оператор А*, сопряженный к всюду определенному непрерывному оператору А определяется равенством (Ах,у) = (х, А* у), х,у Е Н. Пусть Ах = (а,х)Ь (см. 4.61); тогда (Ах,у) = ((а,х)Ь,у) = (а,х)(Ь,у) = ((Ь,у)а,х) = (х,(Ъ,у)а); значит, А*у = (Ь,у)а. Аналогично, для Ах = (ец, x)6i+(a2, х)62 (см. 4.62) А*у = (6i, y)ai+(&2, y)a2-
оо
5.71. Пусть Ах = cn(x,en)en (см. 4.64); в силу непрерывности ска-
П—1
лярного произведения (Ах,у)= ^22 cn(x, еп)(еп, у)^ = ^х, 22 Сп(у,еп)еп^;
оо
следовательно, А*у = 22 cn(y, еп)еп.
п— 1
Пусть хЕ^ имеет представление х = х' + х", где х' Е Но, х" Е #о", Рх = х' (см. 4.65). Тогда (Рх, у) = (х', у' + у") = (х', у') = (х' + х", у') =
= (х,Ру) =>Р*=Р.
5.72. По определению сопряженного оператора
(A* f)(x) = f{Ax) = / | ^Гдг(х)у1j = ^2gi(x)f(yi) = (Bf)(x),
\г=1 / г=1
следовательно, А* = В.
5.73. Заметим, что по условию оператор (А-1)* существует. Пусть J — тождественный оператор в Н и хЕН. (х,х) = (Jx,x) = (АА_1х,х) =
= (А_1х, А*х) = ^х, (А-1)*А*х^ => (А-1)*А* = J; точно так же покажем, что А*(А-1)* = «7. Это означает, что оператор А* является обратным к оператору (А-1)*, т. е. оператор (А*)-1 существует и (А*)-1 = (А-1)*.
382


6.
6.1. 	Пусть хп х (п —► оо) и / G У*; тогда A*f Е X* и по условию f(Axn)=(A*f)(xn)-+(A*f)(x)=f(Ax), т. е. Ахп-^Ах (п—►оо).
6.2. Пусть М С X — относительно компактное множество и {yn}^=i С С А(М) С У — произвольная последовательность. По определению А(М) найдутся in 6 М такие, что уп = Ахп (п = 1,2,...) и подпоследовательность {хпк}fcLi С {хп}^=1, хПк —* х € X (к —+ оо). В силу непрерывности оператора А уПк = АхПк —► Ах = у Е У. Итак, произвольная последовательность из А(М) содержит сходящуюся подпоследовательность. Значит, А(М) относительно компактно.
6.3. В доказательстве нуждается только достаточность. Пусть В = Вх[0,1], МСХ — произвольное ограниченное множество, т. е. М С Вх[0, г] при некотором г > 0. По условию множество А(В) относительно компактно и надо доказать, что и множество А(М) также относительно компактно. Пусть {уп}£°=1 С А(М), {хп}п=1 С М, Уп — Ахп (п = 1,2,...); положим Хп = тогда хп Е В, поэтому последовательность {Axn}%Li содержит сходящуюся подпоследовательность {ynfc }fcLi- Значит, подпоследовательность {2/nfc}SkLi С {2/n}SLi,2/nfc = гуПк (к = 1,2,...) также сходится. Следовательно, множество А(М) относительно компактно, т. е. оператор А вполне непрерывен.
6.4. Пусть у Е А(В), to Е [а, 6], £ > 0 произвольно. В силу непрерывности ядра К найдется такое 6 > 0, что \K(t,s) — К (to, s)\ < ’ если \t — £о| < S. Для таких t неравенство Гельдера дает:
ь
ъ
\y(t) - y(to)\ = J K(t,s)x(s)ds - J K(t0,s)x(s)ds <
a
a
b
a
|K(t,s)~ K(t0,s)\2ds
383


так как ||х|| = ^/|x(5)|2ds^ ^ 1. Следовательно, А(В) С 1.2[а,Ь] состоит
из непрерывных функций.
6.5. 	1. Пусть оператор А вполне непрерывен. Обозначим
B = B*[0,1], Б* = Ву[0,1].
По условию множество А (В) относительно компактно в пространстве У и значит, множество К = cl А(В) компактно в этом пространстве. Рассмотрим банахово пространство С (К) непрерывных функций <р : К —► R с нормой ||^|| = тах\(р(у)\ (см. упражнение 2.6). Пусть Ф = C(K)f)y*\ таким
уек
образом, Ф состоит из линейных непрерывных функций (функционалов), область определения которых сужена до К. Покажем, что Ф относительно компактно в пространстве С (К).
Пусть (р £ Ф, у € К\ это значит, что существует последовательность {я?п}п=1 С В такая, что у = lim Ахп• Последовательно получаем
п—»оо
1^(2/)! ^ IMI IMI ^ 11^11 IIх™ II ^ 1И1Ь этим доказана равномерная ограниченность Ф и оценка ||<р|| < \\А\\.
Пусть <р е Ф, у', у" € К, е > 0, <5 = |Щ, II г/' - у" II < <5. Тогда Иу') - viv”) < llvll II»' - у"II ^ 1И|| ijifl- = е; это значит, что множество Ф равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множество Ф относительно компактно в пространстве С (К).
Покажем, что множество Ф* = А*(В*) С X* изометрично множеству Ф С С (К). Пусть <7i, #2 € В*; тогда по теореме о норме
\\A*gi - А*д2||лг* = sup|(A*pi - Д*д2)(а;)| = supl(pi -р2)(Лх)| =
хевI < хев
= sup |(3i-92)у\ = sup|gi(2/) — £?з(у)| = llsi-32||с(К)-
у€А(В) у€К
Изометричность множеств Ф и Ф* означает, что всякой сходящейся последовательности из Ф соответствует сходящаяся последовательность из Ф* и наоборот. Следовательно, множество Ф* = А*(В*) относительно компактно вместе с множеством Ф. Этим полная непрерывность оператора А* доказана.
2. Пусть теперь вполне непрерывен оператор А*. Тогда по доказанному в первой части вполне непрерывен и оператор (А*)* = А**, т. е. множество А** (Вх** [0,1]) относительно компактно в пространстве У**. Так как А(В) изометрично вкладывается в А** (Вх**[0,1]), то А(В) относительно компактно в пространстве У\ значит оператор А вполне непрерывен.
384


6.6. Обозначим Вп = Bx[0> п] (п Е N). В силу полной непрерывности оператора А множества А(Вп) относительно компактны, и значит, сепарабельны (следствие 1.1). Пусть Dn — счетное всюду плотное в А(Вп) мно-
оо оо
жество. Так как 1Z(A) = А(Х) — (J А(Вп), то |J Dn — счетное всюду
71=1 71=1
плотное в И(А) множество.
6.7. Достаточно доказать замкнутость 7l(A — J). Обозначим для краткости Т = A — J. Пусть у* — предельная точка 7Z(T). Найдутся последова¬
тельности {2/n}SS=i С ЩТ), уп -*• у* (п -> оо) и {xn}S°= 1, Уп = Тхп (п е N). Рассмотрим последовательность ап = p(xn,N(T)) = inf^j\xn — z\\ (с R).
По свойству точной нижней грани для каждого натурального п найдется zn£M(T) такой, что
Otn ^ \\ХП Zn\\ ^ ^1 ~b Oin. ( )
Предположим, что последовательность ап не является ограниченной. Не ограничивая общности, можно считать, что ап —► оо (п —► оо) Определим ип = тг——“пт; тогда: 1) ||u„|| = 1 и
2) ТЫП ~ }&п-гп]\ТХП ~ \\xJ-ZnW 0
Так как Аип — ип —5► 0, то ввиду полной непрерывности оператора А найдется подпоследовательность п* —► оо такая, что последовательность АиПк сходится; следовательно, сходится последовательность иПк к некоторому ио, причем ио Е М(Т) в силу замкнутости последнего. Рассмотрим выражение хп — zn — ио\\хп — zn\\ = ||хп — zn\\(un — ио); второе и третье слагаемые в левой части из ЛГ(Т), поэтому в силу (*)
аПк < ||жп* - (гПк +«о|к„* -*nj)|| ^ ||w„fc -ио|| (l + ^-) ank.
Отсюда получаем неравенство, 1 ^ ||unfc — г^о|| (l + , которое проти¬
воречит сходимости иПк —► uq (к —> оо). Это противоречие означает, что последовательность {an}^=i ограничена.
Ввиду ограниченности этой последовательности и полной непрерывности оператора А найдется подпоследовательность Пк —► оо такая, что последовательность А(хПк — Znk) сходится; следовательно, сходится и последовательность хПк — Znk — А(хПк — Znk) — Упк. Пусть х* = lim (хПк — znk)-
к—* оо
Тогда Тх* = у*, т. е у* € 1Z(T); это означает замкнутость 1Z(T).
385


6.8. 	а) Рассмотрим ограниченную в С[О,1] последовательность xn(t) = = £n_1 (n = 1,2,...), не содержащую сходящихся подпоследовательностей и значит, не являющуюся относительно компактной (см. упражнение 1.118). Так как (Axn)(t) = tn (п = 1,2,...) — подпоследовательность исходной последовательности, то она также не является относительно компактной. Следовательно, оператор А не является вполне непрерывным;
б) 	покажем, что А переводит единичный шар В = i?c[o,i][0>1] в относительно компактное множество А(В). Пусть у 6 А(В),
г г
J x(s)ds ^ J |x(s)|ds
< \\х\\ ^ 1;
значит, множество А(В) равномерно ограничено; далее, пусть е > 0 произвольно, \tf — t"\ < S = е. Тогда
t' t"
t"
1
II
I x(s) ds — 1 x(s) ds J J
/ |x(s)|ds
0 0
J
t'
Таким образом, множество А(В) равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множество А (В) относительно компактно. Следовательно оператор А вполне непрерывен;
в) оператор А не является вполне непрерывным, так как переводит ограниченную последовательность xn(t) = tn~l (n = 1,2,...) в ее подпоследовательность £2(n_1) (п = 1,2,...), не являющуюся относительно компактной (см. а));
г) с помощью замены переменной запишем оператор в виде (Ax)(t) =
_ j x(s)ds равномерИая ограниченность образа А(В) единичного шара В о s
доказывается как в б). Пусть £ > 0 произвольно, \t' — t"\ < 6 = f. Тогда
2 Vs
x(s) ds
2 y/s
J |x(s)| ds
2y/s
< ||ж|| 11'2 - t"21 sj 11' - t"I • 11' + t"I < 2|t' - t"I < £.
По теореме Арцела множество А (В) относительно компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен;
386


Заметим, что замену переменной можно было и не производить, а рассуждать так (при доказательстве равностепенной непрерывности):
t'2 t"2
t" 2
II
1
1 x(s2)ds — I x(s2)ds J J
f \x(s2)\ds
0 0
J
t' 2
<||*||
д) с помощью последовательности xn(t) = t2n (п = 1,2,...) как в а) и
в) 	показывается, что оператор не является вполне непрерывным;
е) оператор вполне непрерывен; рассуждаем, как в задаче г);
ж) пусть у Е А(В),
1з/(<)1 = |я(0) + <х(1)| ^ 1М|(1 +1) < 2,
так как ||х|| ^ 1. Этим доказана равномерная ограниченность А(В). Далее, пусть е > 0 произвольно, 11' — t" | < 5 = £. Тогда
\y(t') - y(t”)I = |t' - t"I |ж(1)| < 11' - t"I ||x|| < 11' - t"I < £.
По теореме Арцела множество А(В) относительно компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен;
з) пусть у е А(В),
II 1
У etsx(s)ds ^ J ets|a;(s)| ds < ||ж|| J ets ds ^ 1,
что означает равномерную ограниченность А (В). Пусть е > 0 произвольно; найдем такое S > 0, что \е*'а — ег"а\ < е для всех s G [0,1], если \tf — t"\ < 6 (это обеспечивается равномерной непрерывностью функции ets); пусть 11' — t"\ < S. тогда
J etsx(s)ds — J e* Sx(s)ds t
о 0
1 1
J|ets — e("s| |x(s)| ds ^ ||ж|| - e*"s| ds < e.
0 0
По теореме Арцела множество А(В) относительно компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен;
и) 	см. пример 1;
387


к) равномерная ограниченность образа А (В) единичного шара В доказывается как в примере 1; докажем его равностепенную непрерывность. Пусть е > 0 произвольно, таково, что \K(t',s) — K(t",s)\ < при всех s Е [0,1], если 11' — t"\ < Si (М = max \K(t, s)|); пусть, далее,
11' -t"| < min |<5i, • Тогда
J K(t', s)x(s) ds — J К(t", s)x(s) ds о 0
t'
J(K(t',s) — K(t",s))x(s) ds + J K(t'\s)x(s)
0 t"
t"
JI K(t',s) - K(t",s) | |x(s)|ds + J\K(t",s)\ |x(s)|ds
0 t'
<I'1» (mTT
+ M
M +
l)*e-
Этим доказана равностепенная непрерывность А(В,) а с ней и полная непрерывность оператора А.
л) здесь А(В) равномерно ограничено (константой ||<р||), однако равностепенно непрерывным это множество будет только в случае, если у?(£) = 0. Действительно, предположим, что </?(£) ^ 0; тогда найдутся а, 6, 0 < а < 6 < 1 такие, что ip(t) ф 0 на [а, Ь]. Рассмотрим, начиная с некоторого натурального
для t € [а,Ъ],
0 для t еСп= [О, а - £) и (6 + £, 1] , линейна для t Е Dn == [а — ~, а) U (6 -I- £, 1] (хп Е С[0,1]); эта последовательность ограничена (например, константой
{1 для t Е [а, 6],
0 для t Е Сп, не явля-
линейна для t Е Dn ется равностепенно непрерывной. Покажем это. Пусть S > 0 произвольно мало, п > \,tr = а — t" = а; тогда 11' — t"\ = £ < S, но \(Axn)(t') — (Axn)(t")\ = |0 — 11 = 1. Следовательно данный оператор является вполне непрерывным только при </?(£) = 0;
6.9. 	Используем обозначения из 6.8. а) Пусть сначала 0 < а < 1. Рассмотрим вспомогательную функцию ip(t) = t1~ct -f (1 — t)1~oc; эта функция непрерывна на отрезке [0,1] и (|)2 а ^ <p(t) ^ 1. Кроме того, лег-
388


^ I ds p ds I ds
ко убедиться, что / = J + f (—^
M = max \K(t, 5)| и пусть у € A(B). Тогда
t,s€[0,l]
<p(t) 1 — a
. Положим
K(t, s)x(s) ds
f ds _
J i^TF-
M
4
0
ds
\K(t, s)| |x(s)| ds \t-s\a
(t - s)°
Этим доказана равномерная ограниченность А(В).
Докажем равностепенную непрерывность множества А(В), а с ней и полную непрерывность оператора А.
Пусть е > 0 произвольно; так как по теореме Кантора <р равномерно непрерывна на [0,1], то найдется такое £1 > 0, что \(p(t') — <p(t")\ < -, если \t' — t"\ < S\. В силу равномерной непрерывности ядра К найдется та- кое 62, что \K(t', s)—K(t", s)| < ^ для всех s G [0,1], если \t'—t"\ < <b-
Пусть 11' — t"I < min{£i,<b}. Тогда
[ K{t',s)x{s)ds f K(t",s)x(s)ds
\y(t)-y(t )l- J -J ]t;r_^a—
0
J \\t‘'-a|“ \t"-s\aJ v ’
0
^ llxll M
1
IV — s|a 11" — s|“
ds +
\K{t\s)-K{t",s)\ \t" — s\a
Я I 1 \ £(1 — а) Г ds _
IV - s|“ “ 11" - s|“ ) S + M + l J 11" - s|“ _
0 0
M . . /ч /,//\I . £ Me e
-|(p(t) - (p(t )| + — -<p(t ) < TT-r^r +
= £.
l-airr/ y| ’ М + Гv ' M + l M + l Пусть теперь a = 1. Если можно представить K(t, s) = \t — s|^Ki(s), где /3 > 0, Ki(t, s) непрерывна, то дело сведется к уже рассмотренному случаю. В противном случае оператор А неограниченный, так как для x(t) = 1 ||л?|| = 1,1 а ||Аж|| = +оо;
389


б) 	так как lim-:—-— = —Ц-, то ядро интегрального оператора
} s—+t sin t-sm s cost
можно представить в виде
у/\ sin t — sin s\ \t — s|i
k,<m)
з/l
V I sin t — si
v/cos~t
при s Ф t, sin s I
при s = t]
ядро Кi непрерывно в квадрате [О, I]2 и а = |, поэтому можно воспользоваться результатами задачи а); следовательно, оператор А вполне непрерывен;
1 1 t — s
в) здесь ——т г = K(t, s) , где K(t, s) = ——7 г; хотя К непре-
sm (t — s) t — s sin (t — s)
рывно в квадрате [0, l]2, но а = 1; поэтому в силу задачи а) оператор не является вполне непрерывным;
г) после замены переменной интегрирования получим представление
1 х ds
(Ax)(t) = U nFrr, -, поэтому А действует в С[0,1] лишь при /3 < 1. При
О s а
этом условии образ 'П(А) = (1) (с С[О,1]). В силу следствия 6.1 оператор А вполне непрерывен.
6.10. После замены переменной интегрирования оператор принима- 1 §. 1
ет вид ^ J tas^+^~1x(s) ds. Поэтому оператор действует в пространстве о
С[0,1], если а ^ О, >0, 7 Ф 0; в силу следствия 6.1 оператор
вполне непрерывен, так как имеет конечномерный (одномерный) образ ЩА) = (О-
Для пространства Ьг[0,1] эти условия принимают вид а ^
^ > 0, 7 / 0.
6.11. Нет. Для оператора А рассмотрим последовательность xn(t) = t2n, для В — xn(t) = t2n~1 (n £ N) (см. 6.8,a)).
6.12. а) Нет, это неограниченный оператор (см. 4.48 а) );
б) это ограниченный линейный оператор (см. 4.48 б) ), не являющийся
вполне непрерывным, так как переводит ограниченную последовательность tn
xn(t) = —, ||xn||C(i)[0)i] = n + 1 ^ 2 (n = 1,2,...)) в последовательность (Axn)(t) = x'n(t) = tn, которая не является относительно компактной (см. 1.118), см. также 6.8, а), в), д) );
в) это ограниченный линейный оператор с нормой ||А|| = 1 (покажите
tn
это!). Однако он не является вполне непрерывным. Пусть xn(t) = ^
(п=2,3, ...)• Тогда ||х„||С(2)(01]=1, Ф = {(Ax„)(t) = ;^r+T<n_\ n = 2,3,...};
) = {”^%~^tn~2 (n = 2,3,...)}. Согласно критерию относительной ком-
390


пактности множества в пространстве С'(1)[0,1] (см. 1.132) множество
ф(')
должно быть равностепенно непрерывным. Однако это не так. Ввиду того, что lim = 1? это множество не является равностепенно непрерыв-
п—юс п +1
ным вместе с множеством {tn~2} (см. 1.118);
г) 	покажем, что этот оператор вполне непрерывен. Пусть у — произвольная функция из образа А(В) (с С[0,1]) единичного шара В(С С^[0,1]). Тогда \y(t)\ = |х;(£)| ^ IMIc(2)[o,i] ^ Этим доказана равномерная ограниченность А(В). Пусть е > 0 — произвольно, 6 = е, \ti —t2\ < S. Тогда по формуле Лагранжа (которую можно применить ввиду непрерывности х", £ ле- жит строго между ti и t2),\y(ti)-y(t2)\ = \x'(ti)-x'(t2) = |х"(0| 1*1 —< е, так как |ж"(£)| ^ llxllc(2>[o,i] ^ 1- Таким образом, множество А(В) равно- степенно непрерывно. По теореме Арцела множество А(В) относительно компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен.
6.13. 	Задача может быть решена с использованием критерия компактности множества в пространстве Lp[0,1] (см., например, [19, с.с. 70,72]). Однако, как и при рассмотрении примера 2, обойдемся теоремой Арцела.
Пусть В — единичный шар пространства Lp[0,1], А(В) С Lp[0,1] — его образ. Образ А (В) состоит из непрерывных (даже абсолютно непрерывных) функций. К этому множеству мы и применим теорему Арцела. Пусть у Е А(В). Тогда с помощью неравенства Гельдера ^ ^ = 1^ получаем
/ \x(s)\ ds ^ о
|x(s)|p ds
l’del < ||x||lp[o,i] < 1,
т. e. равномерную ограниченность множества A(B). Далее, пусть £ > 0 произвольно, 6 = £ч, 11' — t" < <5|. Тогда
t" /»
t"
/>
i
p
t"
V/
"Чо
1
/ |x(s)|ds J
<
/ |x(s)|pds J
/ Iя ds J
t'
t>
■t'\* < е.
Таким образом, множество А (В) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. По теореме Арцела в нем существует равномерно сходящаяся последовательность. По теореме 2.8 эта последовательность сходится и в пространстве Lp[0,1]. Следовательно, множество А(В) относительно компактно в этом пространстве, что и означает полную непрерывность оператора интегрирования А.
391


6.14. а) Оператор А — линейный ограниченный, \\А\\ = 1 (убедитесь в этом). Однако, он не является вполне непрерывным. Рассмотрим последовательность {en}5£=i, еп — (0,... ,0,1,0,...); ||en|| = 1, Аеп — en+i; так как
п
||еп — ет|| = 2р > 0, то последовательность {Aen}£Li является относительно компактной;
б) воспользуемся следующим критерием относительной компактности множества в пространстве 1Р (см. упражнение 1.136): для того, чтобы множество М С 1Р было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы 1) оно было ограниченным и 2) для любого е > 0 существовал такой номер N, что для всех х £ М одновременно выполняется неравен-
оо
ство 22 \хк\р < ер..
k=N+1
Пусть В С 1Р — единичный шар, С (В) — его образ, у € С (В), £ > 0 произвольно. Тогда
Этим доказана ограниченность множества С (В). Далее, выберем N так,
оо
чтобы выполнялось неравенство 22 < &v (остаток сходящегося ряда
k=N+1
можно сделать сколь угодно малым, если номер остатка достаточно большой). Тогда
ОО ОО , ,р ОО 1
Е 1»г= Е Е h<e-
k=N+l k=N+1 k=N+l
Согласно приведенному выше критерию множество С (В) относительно компактно, значит, оператор С вполне непрерывен;
в) так как D = АС, то по теореме 9.2 D вполне непрерывен.
6.15. а) В данном случае оператор вложения не является вполне непрерывным, так переводит ограниченное множество
xn(t) = t2n, п = 1,2,..., t € [-1,1]
в множество (Jx„)(t) = f2r\ n = 1,2,..., t G [0,1], не являющееся относи- тельно компактным (см. упражнение 1.118; см. также 6.8, а)).
б) пусть В = 1], у G J{B) (С С[-1,1]). Для t € [0,1]
\y(t)\ sS ||Jx||C[-i,i] = IMIc[-i,i] < IMIcU>[-i,i] < 1, 392


а для ti, t2 £ [0,1] по формуле конечных приращений Лагранжа (£ лежит строго между £1,^2)
|y(*i) - у{Ъ)| = |»'(£)| 1*1 - < |<1 -12\
(так как |t/(£)| ^ Il2/llc(1)[-i,i] ^ 1)’ т- е* в определении равностепенной непрерывности можно положить 8 = е. Итак, J(B) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. По теореме Арцела J(B) относительно компактно в пространстве С[— 1,1], а оператор вложения вполне непрерывен;
в) 	оператор вложения не является вполне непрерывным. Рассмотрим
-1 для t < -А,
■ п
последовательность xn{t) =
Ап — 1
nt для |*| < i, 1 для t > ±,
п = 1,2,...; очевидно, хп € 1,1], ||*n|| = 1 (n = 1,2,...). Однако,
для любого 6 > О при t! = 0, t" = £, п > у имеем
О-
4 п -
п 1
>
4п — 1 4
Это означает, что последовательность Jxn (п = 1,2,...) не является относительно компактной;
г) 	и в этом случае оператор вложения не является вполне непрерывным. Рассмотрим последовательность
Ж<п) = 71+Т (н^Зт1’7г78’"') ; 'lx(n>l,ii = 1(п = 1>2’---)-
Воспользуемся критерием относительной компактности множества в пространстве fa (см. 6.14). Согласно этому критерию, последовательность {Jx(n)}%Li не является относительно компактной, если существует такое £о, что для любого натурального N найдется такое натуральное по что X! |4По)|2 ^ £0- Возьмем £0 = ( ) = 3 - 2л/2, п = N - 1. Тогда
k=N+1
согласно сказанному, последовательность {Jx^}^=1 не является относительно компактной, т. е. оператор вложения J не является вполне непрерывным.
6.16. 	Линейность оператора А следует из линейности операции дифференцирования. Для доказательства его неограниченности рассмотримм
393


последовательность xn(t) = \/2sin 7гnt (n = 1,2,...); легко видеть, что хп € V(A), ||xn|| = 1 (n = 1,2,...), однако (Axn)(t) =
= —n2n2 y/2 sin nnt, ||Arn|| = 27T4n4sin2irntdt'j = тг2п2 —► oo при
n —> oo.
Обратноый оператор задается равенством
i
(Л_12/)(<) = У G(t,s)y(s)ds,
О
где <2 — функция Грина задачи ж" = у, ж(0) = ж(1) = 0 (см. 4.117). В силу примера 2 оператор А-1 вполне непрерывен.
6.17. Как показано в п.2.4.3, еп —> 0 (гг —► оо); по теореме 6.3 Аеп —► 0 (гг —► оо).
6.18. Импликация 1) ==>• 2) доказана в теореме 6.3.
Пусть имеет выполнено утверждение 2) и хп х, Уп У- Тогда
|(А®п,Уп) - (-Аж,у)| = \(Ахп,Уп) ~ (Ахп,у) + (Ахп,у) ~ (Ах, у)| ^
^ |(Ахп,Уп ~ у)| + \(Ахп - Ах,у)| —♦ 0 (гг ► оо);
второе слагаемое стремится к нулю в силу непрерывности скалярного произведения, так как Ахп — Ах —► 0 согласно 2); первое слагаемое стремится к нулю в силу 5.42, так как уп — у —► 0, Ахп —+ Ах сильно (гг —► оо). Таким образом, импликация 2) => 3) доказана.
Докажем импликацию 3) => 1). Пусть верно утверждение 3,
{хп}п=i С В = Вп[0,1]. Так как в силу 5.62 шар В слабо относительно компактен, то существует подпоследовательность {xnfc}^=i С {xn}5?Li такая, что хПк —> х € Н (к —► оо). В силу ограниченности оператора А Ахпк Ах. Отсюда и из утверждения 3 следует, что
(АхПк, АхПк) —>► (Ах, Ах), (АхПк, Ах) —► (Ах, Ах),
(Ах,АхПк) —► (Ах, Ах), к —► оо
(в первом случае у к = АхПк, во втором — у к = Ах, в третьем вместо Хк — Ах, вместо у к — АхПк). Приведенные выше предельные соотношения позволяют доказать, что
||Arnfc — Ах\\2 = (АхПк — Ах, Ахпк — Ах) =
= (АхПк, АхПк) — (Ахпк, Ах) — (Ах, АхПк) + (Ах, Ах) —► 0 (к -+ оо).
394


Таким образом, последовательность {Ахп}??= i содержит (сильно) сходящуюся подпоследовательность {АхПк }SK=i • Это значит, что множество А(В) относительно компактно, что в свою очередь означает, что оператор А вполне непрерывен.
6.19. 	Необходимость доказана в теореме 6.3. Докажем достаточность. Пусть пространство X рефлексивно и имеет место импликация
Рассмотрим последовательность {xn}^=i С В = Вх[0,1]. Так как в силу 5.61 шар В слабо относительно компактен, то существует подпоследова-
(к —► оо). По условию настоящего утверждения АхПк —► Ах (к —► оо). Как и в 6.18 снова получили относительную компактность образа А(В), и вместе с этим полную непрерывность оператора А.
6.20. 	Дважды проинтегрируем выражение для А по частям:
плотно определенные на С[а,Ь] линейные операторы K(t,b)x'(b),
K(t, а)х'(а) по теореме 9.2 можно продолжить по непрерывности до линейных ограниченных операторов, определенных на всем С [а, Ь]. Тогда внеин- тегральные слагаемые будут представлять собой ограниченный линейный оператор, имеющий конечномерный (не более, чем четырехмерный) образ, который согласно следствию 6.1 является вполне непрерывным. Так как интегральный оператор в (*) имеет непрерывное ядро, то он также является вполне непрерывным. Таким образом, имеем продолжение исходного оператора А до вполне непрерывного, определенного на всем пространстве
Снова воспользуемся критерием относительной компактности множества в пространстве 1Р (см. 6.14, см. также 6.15 г)). Теперь возьмем £0 = |, no = AT—1
(хп х) => (Ахп —► Ах (п —► оо, хп, х G X)).
тельность {xnjb}fcii С {xn}?Li такая, что хПк х G X
(Ax)(t) = K(t,b)x'(b) - K(t, а)х'(а) - x(b) + Q-x(a)H-
os os
ь
О
a
C[a,b].
6.21. Рассмотрим последовательность
395


у — Ах\ тогда в зависимости от четности п
оо оо
1_
2к
1 2 - или -
Е i^no)ip = Е
3’
fc=N+l fc=l, к четные или нечетные
Согласно указанному выше критерию, последовательность {Ах^}^! не
является относительно компактной, т. е. оператор А не является вполне непрерывным.
Те же ответы и для пространств со и с. Надо рассмотреть последовательность
и воспользоваться критерием относительной компактности в пространствах со и с (см. 1.140, 1.141; следует положить £о = по = N, ко = N 4- 1 или N 4- 2 в зависимости от четности N).
6.22. Только если пространство X конечномерно. Пусть X — бесконечномерное ЛНП, А : X —► X — изометрическое отображение пространства X в себя, В = Д*[0,1], {хп}^! С В — последовательность, не содержащая сходящихся подпоследовательностей. В силу леммы Рисса о почти перпендикуляре (лемма 2.2) такая последовательность существует во всяком бесконечномерном ЛНП. Предположим, что оператор А вполне непрерывен. Тогда образ А(В) шара В относительно компактен. Это значит, что существует подпоследовательность {Axnk}kLi такая, что АхПк —► у, у G X, к —► оо. Пусть х G X — прообраз у. Так как А — изометрическое отображение, то ||xnfc — ж|| = ||Axnfc — у|| —► 0 (/с —► оо), что противоречит выбору последовательности {xn}SxLi. Следовательно, оператор А не является вполне непрерывным
6.23. Нет, не следует. См. 4.91; операторы Вп : С[0,1] —► С[0,1] вполне непрерывны (в силу следствия 6.1, как имеющие конечномерный образ), Вп —> J сильно, однако тождественный оператор J не является вполне непрерывным в силу теоремы 6.2; см. 4.95; операторы Ап : С[0,1] —► С[0,1] вполне непрерывны (с точностью до числового множителя это разности операторов интегрирования, см. 6.8, б)), Ап —► J сильно; см. ниже 6.24.
6.24. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, A G С(Н), {еп}??= 1 — полная ортонормированная система в Н, х G Н. Определим
Так как Ах = (0,х1,0,хз,0,...), то А2х = (0,0,0,...) для любого х G /р; значит, А2 — 0 и поэтому является вполне непрерывным.
396


линейные вполне непрерывные в силу следствия 6.1 операторы
п
Апх = , ек)ек, п — 1,2,...
к=1
В силу теоремы 3.7 о сходимости ряда Фурье элемента Ах Ап —> А сильно (п —► оо).
6.25. 	Пусть оператор А вполне непрерывен, е > 0 произвольно, В = = Bip[ 0,1]. Тогда образ А (В) относительно компактен. Согласно критерию относительной компактности множества в пространстве 1Р (см. 6.14), найдется такое натуральное N (зависящее только от оператора А иг), что для
оо
любого у £ А(В), у = (j/i, 2/2, • • •) имеет место оценка 22 \Ук\р < £Р* Для
fc=N+l
любого х elp полагаем
Al.eX = ((Ar)i, (Ах)2, • • •, (At)n, 0,0,...),
-Аг.еХ = (о,...,О, (Лж)л?+1, (Ax)n+2, • • •),
где (Ax)jt — fc-ый член последовательности Ах. Тогда оператор А\,е имеет
X
N-мерный образ. Так как для любого х € 1ртг—й € В, то
|И2,ех|| < е||х||, =*• ||Л2,е||<£.
6.26. Оператор А определен на всем 7так как в силу теоремы 3.7 о сходимости ряда Фурье и ограниченности последовательности {Ап} ряд в этом определении сходится для любого х £ Н, причем Ах 6 Ti.
Из 5.43 следует, что еп 0, а непосредственно из определения опе-
ОО
ратора А видим, что Аеп = Y2 ^k(en,ek)ek = Апеп —* 0 (п —► оо) сильно.
к=1
Отсюда также следует, что оператор А переводит всякую слабо сходящуюся на всюду плотном в Н множестве S = ({en}^Li) в сильно сходящуюся. Пусть хп х на Н. Тогда хп —> х и на S. Согласно сказанному выше \\Ахп — Ах|| —► 0 (п —► оо) Таким образом, оператор А переводит всякую слабо сходяуюся в 7i последовательность в сильно сходящуюся. В силу 6.18 оператор А вполне непрерывен.
6.27. Пусть 1 < р < -foo. Тогда пространство 1Р рефлексивно и мы можем при доказательстве достаточности (т. е. импликации Ап —► 0 => А вполне непрерывен) повторить рассуждения из 6.26, заменив ссылку на
6.18, 	ссылкой на 6.19 (и положив еп = (0,..., 0,1,0,...)).
п
397


Пусть А вполне непрерывен, покажем, что Ап —► 0 (п —* оо). Предположим противное. Тогда найдется такое £о, что для любого натурального к существует такой номер по > к, что |ЛПо| ^ £о- Образ А (В) единичного шара В = Bip [0,1] относительно компактен. Согласно критерию компактности множества в 1Р (см. 6.14, см. также 6.15 г)) для £о, найдем такое на-
оо
туральное N, что |Afc|p|xfc|p < £q. Однако взяв х = еПо, получим, что
k=N+1
So ^ |An0| = (
\k=N+1
Рассмотрим случай р = 1. Приведенное в предыдущем абзаце доказательство необходимости без изменений проходит и в этом случае. Докажем достаточность.
Положим А = (Ai, Аг, •..) (С со)). Так как множество Zi плотно в пространстве со (см. 1.63), то для любого е > 0 найдется A' G Zi, ||А — А'Нсо < 2»
оо
а также натуральное т такое, что ^ |А*| < §. Пусть х € В = В^ [0,1].
к=т+1
Тогда
оо оо оо
53 Е Е I^INI^
k=m+1 к=т-\-1 fc=m+l
oo oo
<I|A-A'||C0 Y, 1**1+ E |A^| <|l + |l=e.
k=m-fl k—m+l
Согласно критерию из упражнения 1.136 (см. также 6.14) множество А(В) относительно компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен и в этом случае.
6.28. Пусть В — единичный шар в X. Согласно 5.61 В слабо относительно компактен. В силу 6.2 образ А (В) слабо относительно компактен в пространстве Zi, а в силу 5.51 А(В) относительно компактен. Итак, оператор А переводит единичный шар в относительно компактное множество. Согласно 6.3 он вполне непрерывен.
6.29. Следует из 6.28 так как пространство Н рефлексивно.
оо
6.30. Пусть х € Н, х = (х,ек)ек- В силу непрерывности оператора
fc=i
оо п
А Ах = ^2 (xi ек)Авк. Полагаем Апх = ^2 (х? ек)Аек, п = 1,2,... Так как
к=1 к-1
образ 'JZ(An) = ({efc}Jc=i) конечномерен (не более, чем n-мерен), то в силу следствия 6.1 операторы Ап (п — 1,2,...) вполне непрерывны. Так как в
398
|Afc|p|xfc|p } < £о. Значит, Ап —’► 0 (га —► оо).


силу неравенства Коши-Буняковского |(х,еп)| ^ ||х||, то
\\(Ап - А)х\\2 =
У" (х,ек)Аек
к=п+1
оо
< 22 |(*,е*)|2|Ие*||2
к=п+1
ОО / ОС \ 2
< 22 ||Ле,||2М2=^рп-Л||^ 22 1Ие*П (»-»).
fc=n+l \fc=n+1 /
как остаток сходящегося ряда. Следовательно, Ап =4 Л. Согласно следствию 6.2 оператор А вполне непрерывен.
6.31. Пусть {жп}п=1 С В = Б^[0,1]. Так как оператор А*А вполне непрерывен, то найдется сходящаяся последовательность {А*АхПк }a*Li • Покажем, что последовательность {Axnk}kLi фундаментальна
||>lXnfc AXnj || (^-(Xrik А(Хпк —
—- ^(%пк А(хпк Xnj)^ ^ 2||^4 Axnk A Axnj || 0
(&» j * °°)> так как сходящаяся последовательность фундаментальна. В силу полноты Н последовательность {АхПк сходится, значит, образ А(В) относительно компактен, т. е А вполне непрерывен.
6.32. Нет, в силу следствия 6.4.
6.33. Нет. По теореме 4.10 существует ограниченный обратный оператор А~1. Согласно следствию 6.4 оператор А не может быть вполне непрерывным.
6.34. Сначала убедимся в том. что ||ж||с[а,ь] ^ 1М|дс[а,б]- Действительно, пусть х € АС[а,Ь](С С[а,6]). Тогда имеет место представление
t t
x(t) = х(а) + fx'(s)ds, откуда |aj(t)| |ж(а)| + J|x'(s)|ds ^ ||x|Uc[a,b];
а а
переход к максимуму в крайних членах этого неравенства, приводит к доказываемому неравенству.
а) Пусть выполнено условие uac, где в последнем неравенстве е заменено
п
на ь^> 52 (Ь<= - ак) < <5. Тогда
fc=i
J 22\K(bk,s)-K(ak,s)\ds<-^-(b-a)=s,
а к ^
т. е. выполнено условие iac;
б) пусть выполнено условие iac; докажем действие оператора А в пространстве А С [а, Ь]. Пусть х £ АС[а,Ь], у = Ах. Для произвольного е > 0
399


найдем такое 6 > 0, чтобы неравенство в определении условия iac; Выполем
п . Пусть £ (Ьк - <*к) < <5; тогда
||Х|| C7[a,b] к=1
нялось с заменой е на
~У(ак)\ = Е
к=1
J(K(bk,s) - K(ak,s))x(s)ds <
a
f |K(bk, s) - K(ak, e)| |x(e)| ds <
fc=1a
< IM|c[a,b] • J\K(bk,s)-K(ak,s)\ds<£.
Таким образом, доказано, что у £ АС[а,Ь], т. е. А : АС[а,Ь] —► АС[а,Ь].
в) 	пусть выполнено условие uac; докажем, что при всех достаточно малых h имеет место неравенство
K(t + /i, s) - K(t, s)
где функции Ф(-,«) и Ф(£, •) суммируемы на [а, 6].
По условию почти для всех t £ [а, 6] равномерно относительно почти всех s £ [а, 6] существует предел
+ /1,5) - KYt, з) dK(t,s)
lim - = ——.
/i—о h dt
Поэтому почти для всех t £ [а, b] имеет место равенство
K(t + A, а) - K(t, s) _ dK(t, s) , _ ^
h ~ dt +aV’s'n>’
где a(£, s, /i) —► 0 при h —► 0 почти для всех t £ [a, Ь] равномерно относительно почти всех 5 £ [а, 6]. Это значит, что при /г —► 0 существует суммируемая функция (3 такая, что почти для всех s £ [a, b] 0(t) ^
^|a(t, s, /i)|. Неравенство (*) выполняется при Ф(£, s)= | д*ЛЬ-3-^ | +/3(t).
Пусть х £ АС[а, 6], у = Ах; по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (Ф|ж| — суммируемая мажоранта)
= lim f
h^oj
Ь K(t + h,s)-K(t,s) } 3K(t,s)
-x(s) ds = J
dt
x(s) ds.
400


Теперь можно доказать ограниченность оператора А
о
\\Ах\\ = |(Аг)(а)| + J\((Ax){t))'\
ds С
? О О
IК(а, s)| ds + J J
I dK{t, s) dt
dsdt I ||x||дс[а,б]•
Этим ограниченность доказана, причем
b b b
I гЖ( +
ds dt.
1И1К f\K(a,s)\ds + J J
I dK(t,s)
dt
г) 	здесь мы будем следовать ходу доказательства в примере 2. Пусть В = Влс[а,ь] [0,1]. Так как А(В) состоит из непрерывных функций, то мы докажем сначала, что это множество равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Пусть х G В; тогда у = Ах G А(В). Выше было доказано, что \x(t)\ ^ ^ ||*||лс[а,ь] ^ 1; это значит, что множество А(В) равномерно ограничено.
Для произвольного £ > 0 найдем такое 6 > 0, чтобы выполнялось ь £
неравенство f\K(t',s) — K(t",s)\ds < , если только 11' — t"\ < 6
{t',t" G [a, 6], в определении условия iac; взято п = 1). Тогда
\y(t') -y{t")\ JI K(t',s) - K{t",s) | |:r(s)| ds <
a
b
< INIc[a,b] J|#(0) - K(t”,s)\ds < e;
a
значит, множество A(B) равностепенно непрерывно.
По теореме Арцела любая последовательность {г/n}^=i С А(В) содержит равномерно сходящую на [а, Ь] подпоследовательность {l/nfc}fcLi С {yn}£Li- Обозначим через у равномерный предел этой подпоследовательности: уПк =3 у. Надо доказать, что у G АС[а,Ь] и уПк —* у в пространстве АС [а, Ь].
Для каждого к G N найдется Хк G В такой, что
о
Vnk{t) = J K(t,s)xk{s)ds(=$ y(t)).
401


Так как уПк (к € N) абсолютно непрерывны, то для произвольного е > О найдется такое 6 > 0, что выполняется неравенство
— Упк(аз) | —
j=1 з=1
о
J(K(bj,s) — K(dj,s))xk(s) ds
<
так как равномерная сходимость влечет поточечную, то можно перейти к пределу при к —► оо; этот предельный переход приводит к неравенству
-у(аз)\ ^2<£
3 = 1
Таким образом предельная функция у £ АС[а, Ь]. Пусть h таково, что t + h £ [а, 6]. Тогда
K(t + h,s) - K(t,s)
Xk(s) ds
y(t + h)~ y(t) h
(к —> oo)^.
При h —> 0 п. в. на [а,6] УпЛ*) = limAfc(£,/i); далее, равномерно отно-
h—►о
сительно t и Л, lim Лk(t,h) = ^ ^и п. в. на [а, 6] существует
fc—юо Л1
предел lim limAfc(£,/i) = з/(£). По лемме Шатуновского-Мура (см. [5, с.
h—*Ok—>oo
40]) существует предел lim limAfc(£, /1), который также равен у'. Таким об-
fc—» ooh—►()
разом, Упк{1) —► y'(t) п. в. на [а,Ь] (к —> оо).
Заметим, что до сих пор в этом п. мы использовали лишь условие iac. Теперь нам понадобится условие uac. В силу доказанного в п. в)
\Vnk{t)\ < У dKQt’^ \xk{s)ds^ J
a*
ds ||Xfc || AC[a,b]
о
I
I dK(t, s)
dt
ds.
Теперь легко убедиться в том, что уПк у в пространстве АС [а, Ь] :
ъ
\\Упк - у\\ = \уПк(а) - у(а)| + J\ynk(t) - y{t)\dt 0 (к -*• оо);
402


первое слагаемое стремится к нулю, так как равномерная сходимость влечет поточечную, второе — по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла ^согласно предпоследнему неравенству суммируемая мажоранта —/
а ' '
6.35. 	Пусть М С Хп — ограниченное множество, {хт}^=1 С М. Очевидно, последовательности «координат» (& = 1,...,п) так¬
же являются ограниченными. По условию последовательности {AikX™}m=1 (i,k = 1,..., п) относительно компактны, следовательно они содержат сходящиеся подпоследовательности
С{АгкхТ}~=1 (г, & = 1,...,п).
Но тогда сходятся и последовательности Al{xrnj}jt,i (г = 1, ...,п) (как
п ^
конечные суммы сходящихся последовательностей: Atxrnj = ^ AikXk j).
fc=i
Этим доказана полная непрерывность операторов Аъ (г = 1,..., гг). Обозначим уi = lim Лг{хт^, у = (yi,..., уп) € #п. Тогда
ji—►оо
||Ахт^ - 3/|| д,п = max ||А*1т* - УгЦд, -> 0 (j -♦ оо).
Значит, последовательность {Ажт}^=1 содержит сходящуюся подпоследовательность т. е. {Ахтп}т=i относительно компактна; это дока¬
зывает полную непрерывность оператора А.
Аналогичные рассуждения, основанные на эквивалентности сходимости последовательности векторов и последовательностей координат этих векторов доказывают и обратное утверждение.
7.
7.1. Достаточно доказать утверждение для двух собственных векторов. Пусть хфОиуфО— собственные векторы линейного оператора А, отвечающие собственным значениям Ли ц соответственно, причем Л ф (х. Предположим, что у = ах. Подействуем на обе части этого представления оператором А : fxy = аХх. Не ограничивая общности, можно считать, что fi ф 0, поэтому у = а^х\ это противоречит первоначальному представлению у и доказывает линейную независимость х и у.
403


7.2. Докажем сначала требуемое представление для п = 2.
t
(A2x){t) = (A(Ax))(t) = /*(. , s)(Ar)(s) ds =
a
t s t t
= J K(t,s) J K(s,t)x(t) drds = J x(r)dr J K(t,s)K(s1r) ds—
а а а т
t t
= J K2(t,r)x(r) dr = J K2(t,s)x(s)ds
a a
(мы переменили порядок интегрирования, воспользовались определением K2l и переобозначили переменную интегрирования).
Предположим, что для некоторого п ^ 2 уже доказано представление
t
(Anx)(t) = f Kn(t, s)x(s) ds. Тогда
a
t
(An+1x)(t) = (A(Anx))(t) = J K(t, s)(Anx)(s) ds =
a
t s t t
Kn(s,r)x(r) dr ds = J x(t) dr J K(ty s)Kn(s,T) ds =
a a or
t t
= J Kn+i(t,r)x(r) dr = J Kn+i(t, s)x(s) ds.
a a
По индукции представление верно для всех натуральных п.
Докажем оценку
|K„(t, s)| < — ^— (а < s s$ t < 6). (*)
Для п = 1 она очевидна. Пусть эта оценка верна для некоторого натурального п. Из представления итерированных ядер имеем
t
|tf„+i(i,*)|< J |A-(t,T)| |*„(т, з)| dr <
3
^ .. f Mn(r - s)n~1 , Mn+1(t - s)n
iMJ i-iiй -*—n<—■
s
404


По индукции оценка (*) справедлива для всех натуральных п.
Согласно (4.8) с учетом оценки (*) имеем
t t
||Лп|| = max f \Kn(t,s)\ds ^ max 7 ^ f (t — s)n-1 ds = te[a,b)J te[a,b](n- 1)! J v '
о a
_ Mn(b-a)n n\
7.3. Пусть Л G сг(Л) = о-р(Л) и x ф 0 — соответствующий этому Л собственный вектор. Тогда
А(х,х) = (Ах, х) = (Ах,х) = (х, Ах) = (х,Ах) = А(х,х);
так как (х, х) > 0, то это означает, что А = А, т. е A G М.
7.4. Пусть А ф ц — собственные значения оператора А, х и у — соответствующие им собственные элементы. Тогда
А (х,у) = (Аж, у) = {Ах, у) = (х, Ау) = (х,цу) = ц{х,у) =Ф
=► (А - »){х, у) = 0 =*• (х, у) = 0.
7.5. По условию Ах = Ах; покажем, что х — собственный вектор оператора А71, соответствующий собственному значению А71: Апх = Апх. Это равенство верно при п = 1. Предположим, что оно верно при некотором натуральном n ^ 1. Тогда
Ап+1х = А(Апх) = А(А”х) = А” Ах = Ап+1ж.
По индукции равенство Апх = Апх верно для любого натурального п.
7.6. Собственному значению j. Подействуем оператором А~х на обе части равенства Ах = Ах : х — АЛ-1х или А~1х = ^х.
7.7. Регулярность значения А = 0 эквивалентна существованию ограниченного резольвентного оператора Ro(A) = (А — 0 • J)-1 = А~1.
Пусть х — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению А; тогда А^Ои согласно 7.6 А~1х = у ж. Поэтому при при целых отрицательных п в силу 7.5
Апх= (A-1)_nx = (i) х = А”х.
7.8. Предположим, что А ф 0 — собственное значение оператора А их — соответствующий ему собственный вектор: Ах = Ах; тогда А2х = А2х ф 0,
405


что противоречит условию. Пусть х € X — собственный вектор оператора А2, А2х = 0, следовательно, А(Ах) = 0, т. е. Ах — собственный вектор оператора А.
7.9. 	а) Сначала найдем ненулевые собственные значения и соответствующие им собственные векторы (в данном случае это функции). Так как 71(A) = {t), то и собственной функцией может быть только x(t) = t (с точностью до скалярного множителя). Подставляем эту функцию в уравнение
1
Ах = Аж; в данном случая получаем; f ts • sds = Xt, откуда A = |.
о
Пусть теперь Ax = 0. Решениями этого уравнения являются функции
1
из множества Af(A) = Хо = {х Е С[0,1] : / sx(s) ds = 0}.
о
Таким образом, окончательно получаем: собственному значению А = | отвечает собственная функция x(t) = t; собственному значению А = 0 отвечает бесконечномерное собственное подпространство Хо;
б) здесь 71(A) = (е*); рассуждая аналогично, получаем: собственному значению А = |(е2 — 1) отвечает собственная функция x(t) = ег, собственному значению А = 0 отвечает бесконечномерное собственное подпростран-
1
ство {х € С[0,1] : f esx(s) ds = 0}. о
в) раскладывая синус разности, видим, что 71(A) = (sin nt, cos nt), поэтому собственные функции ищем в виде x(t) = a sin nt + /3 cos nt; подставляя эти х в уравнение Ах = Ах, А ф 0 и учитывая, что
1 xi
J cos ns sin ns ds = 0, J cos2 nsds = J sin2 nsds = ~, 0 0 0
приходим к уравнению sin nt (f — Xa) — cos nt (f + X0) = 0; ввиду линейной независимости функций sin nt, cos nt приходим к системе линейных
уравнений относительно неизвестных a./J : { 2 ~ Л^°' Эта система
\ f+ А£ = 0.
имеет ненулевые решения в том и только том случае, когда ее определи¬
тель А
= — (А2 + ^) =0; вещественных корней уравнение
А = 0 не имеет, поэтому указанная выше система имеет только нулевое решение; вещественных собственных функций, отвечающих ненулевым вещественным собственным значениям оператор А не имеет.
Если бы пространство С[0,1] было комплексным, оператор А имел бы два ненулевых собственных значения ±|, которым отвечали бы две собственные функции cos nt ± г sin nt = e±l7rf.
406


Собственному значению А = О отвечает собственное подпространство
Хо — множество решений системы <
1
f COS 7rsx(s) ds = О,
°г непосредствен-
f sin 7rsx(s) ds = 0;
ное вычисление интегралов дает:
Хо = ({sin 7г(2п + 1 )£, cos 7г(2п + l)£}^=i;
г) 	здесь И(А) = (t,t2); собственному значению А = — \ отвечает собственная функция x(t) = t2 — t; собственному значению Л = 0 отвечает бесконечномерное собственное подпространство
1 1 Хо = {х £ С[0,1] : J sx(s) ds = 0, J s2x(s) ds = 0}; о 0
д) и здесь 11(A) = (tyt2)\ собственному значению А = \ отвечает собственная функция x(t) = Ы2 — 3собственному значению Л = 0 отвечает бесконечномерное собственное подпространство Хо из п. г);
3 + 2\/3
е) 	здесь И(А) = (1 ,£); собственному значению Л = отве-
6
чает собственная функция x(t) = 2\/3 — 3 + 6£, собственному значению 2 2^/3
Л = — собственная функция x(t) = 3 + 2у/3 — 6£, собствен-
6
ному значению Л = 0 — бесконечномерное собственное подпространство 1 1
Хо = {х е С[0,1] : / x(s) ds = 0, / sx(s) ds = 0}; о о
ж) 	и здесь 11(A) = (1 ,£); собственному значению А = | отвечает собственная функция x(t) = 1 — 3£, собственному значению Л = 0 — бесконечномерное собственное подпространство Хо из п. е);
з) И(А) = (sin 7r£,cos тг£), собственному значению А = | отвечает собственная функция x(t) = cos 7г£, собственному значению Л = — | — собственная функция x(t) = sin 7rt, собственному значению Л = 0 — бесконечномерное собственное подпространство Хо из п. в).
7.10. 	а) Так как для четных функций x(—t) = x(t), а для нечетных — x(—t) = — x(t), то оператор А имеет собственные значения Л = 1 и Л = —1; первому отвечает бесконечномерное собственное подпространство С+ [—7г, 7г] четных функций, второму — бесконечномерное собственное подпространство С- [—7Г, 7г] нечетных функций; так как С[—7Г, 7г] = С+[—7г, тт]+С- [—7Г, 7г] (см. упражнение 2.36), то у оператора А нет других собственных значений;
б) 	здесь наоборот, Л = 1 соответствует С-\—7г,7г], Л = — 1 — С+[—7г,7г];
407


в) 	см. 7.9, в) и з); Ai = 7г, х\(t) = cos t, А2 = —тг, хг(£) = sin t,
A = 0 — собственное подпространство ({l,cos nt, sin n£}£L2)-
7.11. 	а) Так как задача Коши х" — Хх = 0, х(0) = х'(0) = 0 при любом А имеет только тривиальное решение x(t) = 0, то оператор А не имеет собственных значений;
б) 	при А = а + (3i, (3 ф 0 краевая задача х" — Ах = 0, х(0) = О, х(7г) = 0 не может иметь вещественных решений, поэтому будем искать только вещественные собственные значения.
Пусть сначала А = а2 > 0; общее решение уравнения х" — Хх = 0 имеет вид x(t) = c\eat + c2e~at. Подставив это решение в краевые условия
(г\\ С\ ( \ ^
х(0) = 0, хук) = 0, придем к системе < ^ определитель
I с I С26 — 0,
которой А =
1 1
е™ —па
— _ ^епос _ е < q. это означает, что система
имеет только нулевое решение с\ = с2 = 0, положительных собственный значений у оператора А нет.
Пусть А = 0; общее решение уравнения хп — Хх — 0 имеет вид x(t) = ci + c2t, где ci, С2 — произвольные постоянные. Подстановка в краевые условия также приводит к результату: с\ — с2 =0, значит, 0 не является собственным значением оператора А.
Наконец, пусть А = —а2 < 0; теперь общее решение уравнения х"—Хх = 0 x(t) = ci cos at + C2sin at и система для нахождения ci,c2 принимает вид
| Cl = О,
ненулевое решение ci = 0, С2 = 1 эта система имеет при С2 sin 7га = 0;
а = k, X = —к2 (к = 1, 2,...); итак, собственные значения оператора А — числа А к = —к2, собственные функции — Xk(t) = sin kt (к = 1,2,...);
в) 	рассуждая точно так же, придем к такому же точно результату: А к = —к2, Xk(t) = sin kt (к = 1,2,...);
г) 	рассуждая как в п. б), убеждаемся в том, что положительных собственных значений оператор А не имеет; пусть А = 0; подставляя общее решение x(t) = ci + c2t уравнения х" = 0 в краевые условия, получаем, что x(t) = 1 — собственная функция оператора А, соответствующая собственному значению А = 0. Пусть А = —а2 < 0; теперь общее решение уравнения хп — Хх = 0 — x(t) = ci cos at + C2 sin at. Подстановка его в краевые усло-
I ci = ci cos тга + C2 sin 7га, вия приводит к системе < определитель кото-
I его; = с2а cos 7га,
рой А =
1 — cos 7га sin 7га 0 а(1 — cos тга
408
а(1 — cos тга)2 = 0 при а = 2/с,


Л = —4/с2. При этом собственными являются функции х\k(t) = cos 2ттЫ, к = sin 2nkt (к = 1,2,...). Таким образом, собственные значения Ао = О, А к = —4 к2 (к = 1,2,...); собственные функции xo(t) = 1, х\к, Х2 к]
д) Ао = —к2, Xkit) — cos kt + (—l)fc sin kt, к = 1,2,...,
/ifc = ^ _ COS kt, fc = 1,2,...
е) Afc = — (2fc + l)2, xifc(£) = cos (2/c 4- 1)£, a?2fc(£) = sin (2к + 1 )£, fc = 1,2,...
7.12. 	а) Чтобы найти резольвентный оператор R\(A) = (А — AJ)-1,
надо разрешить относительно х уравнение (А — AJ)x = у (ср. 4.120, а)).
1
Запишем это уравнение в виде x(t) = jtf sx(s) ds — jy(t) = jt£ — jy(t), где
о
l
£ = f sx(s) ds; умножив это представление на t и проинтегрировав в преде- о
£ 1
лах от 0 до 1, придем к уравнению относительно £ : £ = — j f sy(s) ds,
ЗА о
i
из которого получаем: £ = f sy(s) ds; окончательно, подставляя £ в
о
указанное выше представление для х :
1
x(t) = ((Л - AJ)-13/)(<) = (Rx(A)y)(t) = * зл^ J tsy(s) ds -
О
Заметим, что из полученного представления резольвентного оператора сразу видим, что все комплексные числа , кроме А = 0 и А = | являются правильными; это значит, что спектр оператора А состоит из двух чисел А = 0 и А = | (см. 7.9, а));
б) (Rx(A)y)(t) = jj^—^Jet-ay(s)ds-j:y{ty, <т(А) = {0,1}
(см. 7.9, б));
в) см. 4.120, в); (Rx(A)y)(t) =
-4 1
= 4Л2 + 1 ( (Shl ^ ~ ^ + ^ C°S ^ + ^ У^ dS ~
г) см. 4.121, a); (R\(A)y)(t) =
= (4ЛТ1)а / (3<2 ((Х + &) s _ “ 5t ((Х “ s2 + SCs)) ds ~
~ jV(t) (см. также 7.9, г), а{А) = {0, -±});
д) см. 4.121, б); (R\(A)y)(t) =
* (4ГПр I (“2 + п) * - i*3) - (I1 - А)»’ + j»)) »М* -
- jV(t) (см. также 7.9, д), <т(А) = {0, £});
409


е) см. 4.121, в); (Rx(A)y){t) =
= 12А2 - 12А - 1 / _ ^ + Xs) + (юс + (х - Jx) 3)) Vi3)ds ~
— \y{t) (см. также 7.9, е), сг(А) = {0, | ± |\/3});
ж) см. 4.121, г); (Rx(A)y)(t) =
= (2Л~-1)2 { (3< (Х + 5Х “ Xs) ~ (х + С1 “ я) *)) »(»)ds ~
— jy(t) (см. также 7.9, ж), сг(А) = {О, ^});
з) см. 4.121, д); (R\{A)y){t) =
—2 1
= ( f (2Acos 7г(t + s) + cos 7Г(t — s)) y(s) ds — jy(t) (см. также 7.9,
A(4A — 1) 0
3),<r(A) = {0,±i}).
7.13. Cm. 7.11. Собственные числа и собственные функции те же.
7.14. Так как обратный оператор А~1 перестановочен с А и с тождественным оператором J, то
ARx(A) = А(А - AJ)-1 = ((А - AJ)A-1)-1 = (А_1(А - AJ))-1 = = (A-XJ)~1A = Rx(A)A.
Отсюда следует также, что резольвентный оператор R\(A) перестановочен с любым оператором, перестановочным с А.
7.15. Рассмотрим произведение
(Rx(A) - R„(A))(A - AJ)(A - (J.J) = Rx(A)(A - AJ)(A - fij)-
- R„(A)(A - nJ){A — A J) — A — nJ — (A — A J) = A — д.
Отсюда согласно замечанию в конце 7.14 следует, что
Rx{A) - Л„(Л) = (А - М)Ял(А)Ям(А) = (А - м)/^(Л)Ял(Л).
^
7.16. Из 7.15 следует равенство — — = RxR^. Устремляя здесь
(JL А
д —> А, получаем требуемое соотношение.
7.17. Сначала докажем вспомогательные равенства:
BRx(B) = J + АДл(Я), Ял (А) А = J + АЯЛ(А).
Действительно, BR\(B) = (Б — A J -f A J)R\(B) — J + XJR\(B)\ точно так же доказывается и второе равенство.
Требуемое равенство будем доказывать «справа налево»: с помощью указанных вспомогательных равенств получаем:
Rx(A)(B - A)Rx(B) = R\(A)BR\(B) - RX(A)ARX(B) = = Rx(A)((J + XRx(B)) - (J + ARx(A))Rx{B) = Rx(A) - RX(B). 410


7.18. Пусть выполнены все условия. Тогда
В = А — (X- /j,)J — А — XJ + fj,J = (А — AJ)(J + fiRx(A)).
Оператор в первой скобке непрерывно обратим по определению правильного значения, оператор во второй скобке непрерывно обратим по теореме
4.11, 	так как || — fj,R\(A)|| = \/л\ ||#а(А)|| < 1. Следовательно, оператор В непрерывно обратим, т. е. Л — /х — регулярное значение оператора А.
ОО п
7.19. 	Согласно теореме 7.7 R\(A) = — ргрт* Отсюда
п—О
II . *n+1 "Ч Wn+1 ^ |A|n+1
| п=0 И п=0 1 1 п=О 1 1
1
_ 1Л1 _
1 _ш |л| - цл|Г
7.20. Предположим, что резольвентный оператор Rx(A) вполне непрерывен. Тогда в силу следствия 6.4 оператор А — A J, а значит, и оператор А — неограниченный. Но это противоречит условию.
7.21. Покажем, что
(Anx)(t) = J
t
п—1
(t-sy
(n- 1)!
о
-x(s)ds, п Е N. (*).
При n = 1 это представление верно по определению оператора А. Пусть представление (*) имеет место для некоторого п. Тогда
t
(An+1x)(t) = (л(Апх))(<) = J (Anx)(s)ds =
о
= / / (<(~I*!)!:1 ф) dr ds = f х(т) dr j {s-2\y ds =
0 0 Or
=f {-ЧР~х(т)ёт- 0
По индукции представление (*) верно для всех натуральных п.
Согласно примеру 4 из п. 4.1.5. ||АП|| = -гг. Спектральный радиус
(п - 1)!
r(A) = lim у/\\Ап\\ = lim 1 = О
п-юо п—оо у{п — 1)!
411


(так как у/(п — 1)! —» оо при п —► оо [32, с. 370]).
t
Поскольку уравнение / x(s) ds = 0 (для всех t Е [0,1]) имеет только о
нулевое решение, Л = 0 не является собственным значением.
Чтобы найти резольвентный оператор R\(A), надо разрешить относительно х уравнение
t
Ах — Хх = у, или J x(s) ds — Xx(t) = y(t), или о
t
x(t)-^Jx(s)ds = -jy(t) (te[o,i]).
0
t
Положив в последнем уравнениии z(t) = f x(s) ds, получим задачу Коши
о
z' — jz = — jy, z(0) = 0. По формуле Коши
t x
z(t) = — j f e^^~s^y(s) ds; продифференцировав это представление, полу-
о
чим
t
x(t) = -jy(t) -^2 Jei(t~s)y(s)ds = (Rx(A)y)(t).
0
Отсюда видим, что Л = 0 — точка спектра. Таким образом,
<т(А) = <тс(А) = {0}.
7.22. 	Последовательно находим
(A2x)(t) = (^A(Ax)^(t) = (Ae)(0) + £(Аж)(1) =
= х(0) + £(х(0) 4- х(1)) = (1 + t)x(0) -I- tx( 1); (A3x)(t) =
= (а(А2х)) (t) = ... = (1 + 2t)x(0) + tx{ 1); На основании полученного выдвигаем гипотезу
(Anx)(t) = (l 4- (n - l)t)x(O) 4* fo(l). (*)
Она проверена нами при п = 1,2,3. Предположим справедливость равенства (*) для некоторого натурального п. Тогда
(An+1x)(t) = (л(Апх))(*) = (Апх)(0) +*(Апх)(1) =
= х(0) 4- t(nx(0) -|- х(1)) = (1 4- nt)x(0) 4 tx( 1).
По индукции представление (*) верно для всех натуральных п.
412


Найдем оценку сверху для ||-Ап||; пусть х £ С[О,1].
||An|| = sup ||Апх|| ^ ||^пх|| = max (l + (n — l)t -1-1) — n -f 1. ||*|| = 1 t€[o,i]
Таким образом, ||л4п|| = n + 1, г (A) = lim y/n 4-1 = 1.
Чтобы найти резольвентный оператор R\(A), надо разрешить относительно х уравнение
Ах — Хх = у, или ж(0) + tx( 1) — Xx(t) = y(t), или
в последнем уравнении положим последовательно t = 0 и t = 1; в итоге
х(0) = хГл2/(0)» ж(1) = 13л2/(1) — (1~_1Л)2у(0). Подставим эти значения в последнее уравнение (**) :
Из представления резольвентного оператора видим, что а (А) = {0,1}.
Непосредственной подстановкой значений Л = 1 и Л = 0 в уравнение Ах — Хх = 0, убеждаемся, что Л = 1 — собственное значение оператора А, соответствующее собственной функции x(t) = t, а Л = 0 — собственное значение этого оператора, соответствующее собственному подпространству {х Е С[О,1] : х(0) = х(1) = 0}. Таким образом, <т(А) = сгр(А).
Заметим, что спектральный радиус мы могли бы найти проще, не находя степень Ап. Из представления резольвентного оператора видно, что все комплексные числа, кроме 0 и 1 являются регулярными; следовательно, спектр сг(А) = {0,1}. Так как оператор вполне непрерывен (как оператор, имеющий конечномерный образ, см. следствие 6.1), то спектр его чисто точечный, т. е. сг(А) = <jp(A). Согласно теореме 7.7 г (А) = 1.
7.23. 	Пусть х € X. Тогда ||Аг|| = ||Л(ж)а|| = |/i(rc)| ||а|| < ||/i|| ||а|| ||ж||. Значит, А ограничен и \\А\\ ^ ||/i||||a||. Так как 7Z(A) = (а), то в силу следствия 6.1 оператор А вполне непрерывен.
из которой находим
1 — А — t А(1 - А)2
413


Как и выше, решаем уравнение Ах —Хх = у (у £ Л'), которое принимает вид х = jh(x) — ^у. К обеим частям этого уравнения применим функционал h : h(x) = jh(x)h(a) — jh(y). Отсюда находим h(x) = и
окончательно х = R\(A)y =
Из представления резольвентного оператора видим, что все комплексные числа, кроме Л = О, Л = h(a) являются регулярными. Учитывая полную непрерывность оператора А, сг(А) = сгр(А) = {0, /г(а)}, откуда согласно теореме 7.7 также следует, что г (А) = |/i(a)|.
7.24. Так как 71(A) = (Ь), то в силу следствия 6.1 оператор А вполне непрерывен. Найдем сопряженный оператор. Пусть х, у € ft.
{Ах, у) = ((а,х)Ь, у) = (а,х)(Ь,у) = (х, (Ь,у)а) = (х,А*у),
где А*у = (Ь, у)а. Оператор А самосопряженный в том и только том случае, если Ъ — а.
Снова решаем уравнение Ах — Хх = у (у Е Н), которое теперь принимает вид х = j(a,x)b — jy. Умножим обе части этого уравнения скалярно на
(а, У)
(а, Ь) - Г
(а,у)Ъ А((о,Ь)-1) г (А) = | (а, 6)| (см. 7.23).
7.25. Так как 7Z(A) = (bi, b2), то в силу следствия 6.1 оператор А вполне непрерывен. Найдем сопряженный оператор. Пусть x,j/EH.
(Ах, у) = ((ai,x)6i + {a2,x)b2, у) = {ai,x)(bi,y) + (a2,x)(b2,y) =
= (х, (bi,y)ai + {b2,y)a2) = (x,A*y),
где А*у = (61, у)а\ + (62, у)а2. Оператор А самосопряженный в том и только том случае, если bi = а*, г = 1,2.
Резольвентный оператор, как и выше, найдем решив уравнение
х = j(ai,x)6i + j(a2,x)b2 — у у (у £ ft); умножив последовательно обе ча¬
сти этого уравнения скалярно сначала на а\, затем на а2 с учетом равенств (ai,62) = 0, (a2,6i) = 0, найдем (ai,x), (а2,х) и
X = Дл(Л)у = + л((12'г»1) - А) " Ау-
Отсюда (см. 7.23) а(А) = <тР(А) = {0, (ai,6i), (02,62)}, г(А) =
= max ||(ai,6i)|, |(a2,62)|}.
414
а : (а, х) = j (а, х) (а, 6) — j (а, у). Отсюда находим (a, х) = ^ ^ i" » и окон_ чательнох = R\(A)y = -у° х2/- Отсюдаст(А) = сгр(А) = {0, (а,6)},


Подстановкой в равенство Ах — Хх = 0 убеждаемся, что
а) собственному значению Л = 0 отвечает собственное подпространство (а^аг)-1-;
б) если (ai,6i) ф (аг,&г) (одно из них может и равняться нулю), то собственному значению Ai = (ai, bi) отвечает собственный вектор bi (г = 1,2);
в) если А = (ai,6i) = (аг, 6г) ф 0, то собственному значению Л отвечает собственное подпространство (61,62);
г) случай (ai, 61) = (аг, 6г) = 0 невозможен ввиду линейной независимости ai,a2 и выполнения условий (ai,&2) = (аг,6х) = 0.
7.26. 	Согласно теореме 3.1 о разложении гильбертова пространства любой вектор х Е Н может быть единственным образом представлен в виде х = х' + х", где х' £ Я, а х" Е Я-1, при этом Рх = х' (см. 4.65). Так как для х £ Я Рх = х, а для х £ Н± Рх = 0, то Я — собственное подпространство, отвечающее собственному значению 1, а Я-1 — собственное подпространство, отвечающее значению 0.
Для нахождения резольвентного оператора R\(P) воспользуемся теоремой 7.6 и свойством Рк = Р при к > 1 (см. 4.65). Пусть |А| > 1. Тогда
Пусть теперь выполняются только условия Л ф 0, Л ф 1. Непосредственным умножением убеждаемся, что
\\А\\ < 1. Так как ||Л|| ^ ||Ar|| = 1, где х = (1,0,0,...), то ||Л|| = 1.
Согласно 5.68 (оператор D, п = 2, случай б)) А*х = (0, xi, Х2,.. .)• Заметим также, что как показано в п. 5.5.1 ||А*|| = ||Л|| = 1.
Так как Af(A) = ((1,0,0,...)), то собственному значению Л = 0 отвечает собственный вектор (1,0,0,...); пусть X ф 0. Запишем уравнение Ах = Лх
Rx(P) = (Р - XJ)-1
1
Л
(P-AJ)(
) (Р - A J) = J,
что а(Р) = сгр(Р) = {0,1}, г(А) = 1.
оо оо
7.27. 	Пусть х в h- Тогда ||Ах||2 = \хк\2 ^ ^ |xfc|2 = ||х||2, значит,
оо
оо
к=2
к=1
415


в координатах:
Х2 = Axi, хз = Хх2 = A2xi, ... хк = Хк 1х\ (к = 4,5,...); =>
** х\ — xi(l, A, A j•..)
собственный вектор, отвечающий собственному значению А (можно взять Xi = 1); так как х\ £ h в том и только том случае, когда |А| < 1, то круг J5<c(0,1) образует точечный спектр сгР(А) оператора А. Так как 1) спектр оператора — замкнутое множество, а наименьшим замкнутым множеством, содержащим круг Дс(0,1), является его замыкание, т. е. круг Вс [0,1]; 2) сг(А) С {А : |А| ^ ||А|| = 1}, то сг(А) = Дс[0,1]. При этом точки окружности {А : А = 1} образуют спектр ас(А). Заметим также, что г (А) = 1.
Уравнение А*х — (0,xi,х2,...) = 0 имеет только нулевое решение, поэтому А = 0 не является собственным значением оператора А*. А так как на образе 1Z(A*) — {х : х\ = 0} (заметим: это подпространство, и значит, не является всюду плотным в I2) оператор А* имеет обратный, (А*)~1у = Ау, то А = 0 является точкой остаточного спектра аг(А). Значения А £ С\Дс[0,1] регулярны согласно теореме 7.4. Пусть теперь |А| < 1. Тогда уравнение А*х — Ах = 0 имеет только нулевое решение, поэтому собственных значений оператор А* не имеет. Уравнение же А*х — Хх = у имеет решение
Уз
2
< -foo.
3 = 1
только для тех у, для которых х(А) £ /2, т. е. для тех у, для которых
оо к у.
выполняется неравенство 22 J2 \Т-=+i
к=1 j=l А
Множество таких у, очевидно, не совпадает со всем пространством I2; однако это множество содержит всюду плотное в пространстве I2 множество 1% финитных последовательностей. Поэтому точки круга Дс(0,1) представляют собой точки спектра ас(А*). Ввиду замкнутости спектра и сказанного выше сг(А*) — Дс[0,1] = &г(А*) (J ас(А*).
7.28. 	Полная непрерывность оператора С доказана в 6.14. Полная непрерывность операторов D и F следует из теоремы 6.5.
Запишем уравнение Dx = Ах в координатах:
Х2 = Axi, Щ- — Ахг, хз = 2A2xi, ...,
Хк — (к — l)!Afc_1xi (к = 4,5,...); ==> х\ = xi(l, А, А2,...) — 416


решение этой системы; однако ряд ((к — 1)!) |А| ^ ^ сходится только
к=1
при Л = 0. Этому собственному значению соответствует собственный вектор (1,0,0,...) Так как оператор D вполне непрерывен, то a(D) = (TP(D) = {0}.
Записав уравнение Fx = (0, ^.,...) = Хх = A(xi,x2,...) в коорди¬
натах, убеждаемся в том, что оно при любых А 6 С имеет только решение х = 0. Следовательно, собственных значений оператор F не имеет.
Уравнение Fx = у имеет решение в том и только том случае, если правая часть у принадлежит подпространству {у = (yi,2/2, • • •) ♦ Уг =0}. Следовательно, резольвентный оператор Ro(F) непрерывен на этом подпространстве, поэтому Л = 0 есть точка спектра crr(F).
Так как ||F|| ^ ЦСЦ \\А*\\ ^ 1, то согласно теореме 7.4 значения А : |А| > 1 регулярны. Пусть |А| < 1, ц = тогда |/х| ^ 1. Рассмотрим уравнение Fx — Хх = у\ записав его в координатах, находим:
Х1= - -у 1, Х2 = - 2Д2*/1- д2/2, . .
Рассмотрим вспомогательные ряды
И2+ 77
и4
+ 7-
ы6
и +I)2 0' + 1)а0' + 2)2
+ ..., j = 1,2,... Г)
С помощью признака Даламбера убеждаемся в их сходимости при любых /г и j. Обозначим их сумму через s2((i); очевидно, что при любом фиксированном ц Sj(n) убывает по переменной следовательно, Sj(fx) < с(д), где с от j не зависит. Покажем теперь, что х = (xi, хг,...) € h при любом /х.
к=1
^дУ-'+1Ц
fc!
fc=i i=i
(fc!)2
£ы2£
J=1 k=j
(fc!)2
(мы применили неравенство Гельдера, использовали сходимость степенных рядов (*) для перемены порядка суммирования). Таким образом, значения А : |А| ^ 1 также регулярны. Следовательно, a(F) = ar{F) = {0}.
7.29. 	См. решение 7.27. Заданием оператор А определен лишь на всюду плотном в Н множестве ({en}5?Li). Укажем его продолжение на все 1~С.
417


Пусть х £ Н, х = 22 (х,ек)ек — его разложение в ряд Фурье; полагала 1
п п п
ем хп = ^(x,efc)efc; тогда Ахп = 22(х>ек)Аек = £ (х, efc)efc-i. Так как
к=1 fc=l к-2
оо п
ряд 5^ (х,вк)ек-1 сходится, то полагая Ах = (х, efc)efc-i ввиду того, что
к-2 к-2
хп —у х (xi —► оо), получим непрерывное продолжение оператора А на все
Н. 	При этом ||Л|| = 1 (покажите это!)
Так как М(А) = (ei), то А = 0 — собственное значение оператора А,
соответствующее собственному вектору е\. Пусть 0 < |А| < 1. Рассмотрим
оо оо
вектор (ср. 7.27) х\ = 22 А е*. (ряд сходится вместе с рядом 22 W )•
fc=i к=1
В силу непрерывности оператора А
оо оо оо
Ахх = Ахл,
к-1 к=2 к=1
т. е. х\ — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению А. При |А| > 1 ряд для ха расходится. Следовательно, сгр(А) = Вс(0,1) а в силу замкнутости сг(А) = Вс[0,1] (напомним: значения |А| > ||А|| = 1 — регулярные). Точки окружности {А : |А| = 1} — спектр ас(А).
Пусть х, у £ Н. В силу непрерывности скалярного произведения
п
(Ах,у)= lim (Ахп,у) = lim УЧх, ек)(вк-1, у) =
п—+оо п—*оо * ^
к=2
= lim У^(х,(efc-i,j/)efc) = I х, lim Y(ek-i,y)ek I = (x,Amy), n_>°° k=2 V n-*°° k=2 /
OO OO
где A*y = £ (ek-i,y)ek = J2 (e*,y)e*.+i-
k=2 k=l
Рассуждая как при решении 7.27, убеждаемся в том, что уравнение А*у = 0 имеет только решение у = 0. Поэтому А = 0 не является собственным значением оператора А*. А так как И(А*) = с1({еп}^=2) = У и резольвентный оператор Ro(A*) определен и непрерывен на У, то А = 0 — точка спектра <тс(А*).
Аналогично тому, как это сделано в 7.27, показывается, что ас(А) = Вс(0,1), а(А) = Вс[0,1].
оо
7.30. 	Пусть х, у £ 7i. Согласно решению 4.64 Ах = 22 Ск{х,ек)ек\ рэс-
к=1
суждая так же, как в 7.29, получаем
(Ах,у) = ^Ecfc(x>e*)e*> ^ = (Х’А*У)<
418


оо
где А*у = ^2 Ck(ek,y)ek. При этом, очевидно, что ||Л|| = \\А*\\ ^ sup|cfc| (на
к=1 кеN
самом деле здесь имеет место равенство, покажите это).
Обозначим S = {к : Ск = 0}. Если S^0 то Х = 0 — собственное значение операторов А и А*; отвечающее ему собственное подпространство — ({efcHes).
Пусть 5 = 0. В этом случае в силу полноты системы {en}£Li уравнение Ах = О (А* у = 0) имеет лишь решение х = 0 (у = 0). Поэтому А = 0 не является собственным значением оператора А (А*). Так как Аек = с*, A*ek = cjt, то Ск (ск) — собственные значения оператора А (^4*), которым соответствуют собственные векторы ек (к — 1,2,...). Таким образом, в случае 5 = 0 стр(А) = {ck}kLi, аР(А*) = {ck}kLi- Так как единственной предельной точкой этих последовательностей является точка А = 0, и значения А : |А| > ||Л|| регулярны, то сг(А) = {0}(J°rp(^)»
7.31. Числа Afc, очевидно, являются собственными числами оператора А; соответствующие им собственные векторы ек == (0,..., 0,1,0,...)
к
(к = 1,2,...) (см. 7.30). Поэтому crp(A) = {Аь}^. Так как а) спектр оператора — замкнутое множество; б) значения А, большие, чем sup|An|, регу-
n€N
лярны, то сг(Л) = cllAfe}^! (см. 7.30).
7.32. Пусть К С С — произвольное компактное множество. Обозначим через Qk — множество комплексных чисел из К, имеющих рациональную действительную и мнимую части. Так как Qk — счетное множество, то его элементы можно перенумеровать: Qk = {Ai, Аг,...}. Оператор А определим, как в 7.31. Тогда <тР(А) = Qk,&(A) = К.
7.33. Спектр ограниченного линейного оператора есть ограниченное замкнутое (т. е. компактное) в С множество. Следовательно, множество М = (т(А) р|{А |А| = г(А)} компактно в С; так как функция (р : М —► R+, (р(А) = |А| непрерывна, то по теореме Вейерштрасса существует А* £ М такое, что |А*| = maxlAI = г(Л). Точка А* — требуемая.
хем
7.34. Разрешив уравнение х(0) + t2x( 1) — Ax(t) = y(t) относительно х, получаем
x(t) = (R\(A)y)(t) = a^'2/(Q) + x(i- \)y^'
Из представления резольвентного оператора видим, что <т(А) = {0,1}, и следовательно, в силу 7.33 r(A) = 1.
7.35. а) Уравнение Ах = Хх имеет вид х' = Ах; при любом A G С это
419


уравнение имеет решение x\(t) = ext. это означает, что х\ — собственная функция оператора А, соответствующая собственному значению Л. Таким образом, а(А) = <тР(А) = С;
б) уравнение Ах — Хх = у, т. е. задача Коши х' — Хх = у (у Е С[0,1]), ж(0) = 0 при любом Л € € имеет единственное решение
t
x(t) = J ex(t~s)y(s)ds = (R\{A)y){t). о
Так как резольвентный оператор представляет собой линейный интегральный оператор Вольтерры, который всюду на С[0,1] определен и непрерывен (даже вполне непрерывен), то все А Е С регулярны, т. е. сг(А) = 0;
в) уравнение Ах = Хх теперь имеет вид периодической краевой задачи х' — Хх = 0, х(0) = я(1); общее решение дифференциального уравнения ж'—Хх = 0 x(t) = ceAt, где с — произвольная константа. Подставив в общее решение краевые условия, получим, что с(1 — еЛ) = 0; так как множитель при с обращается в нуль при Лп = 2шп (n G Z), то можно положить с = 1; итак, xn(t) = e2nint — собственные функции оператора А, соответствующие собственным значениям Лп = 2nin (п £ Z), <тр(А) = {2тп)п^ъ.
Пусть Л ф 2шп, т. е. ел ф 1. Подставив в общее решение x(t) =
t
= cext + / ex^~s^y(s) ds уравнения x' — Хх = у (у E C[0,1]) краевые условия о
I l
x(0) = ж(1), найдем с = ^ f ex^~s)y(s) ds и
1 — е о
1 t
гс(4) = —JeA(t+1-s)3/(s)ds + Jex(t~3)y(s)ds = (R\(A)y)(t);
0 0 из этого представления для резольвентного оператора снова видим, что все Л ф 2шп являются регулярными. Таким образом, сг{А) = = *р{А) = {2*-m}n6Z.
7.36. 	Заметим сначала, что по условию Л = 0 не является точкой спектра обоих операторов. Пусть Л Е р(А~г), X ф 0. Тогда А — \3 — — — — XJ); Так как операторы А и А~1 — XJ непрерывно обрати¬
мы, то по лемме 4.2 непрерывно обратимо и их произведение, т. е. оператор A-jJ; значит, j Е р{А). При этом Ri(A) = -АЯд^-1)^-1.
Наоборот, пусть Л Е р{А)\ тогда А~1 — — ЛJ). Сссылка
на ту же лемму дает нам непрерывную обратимость оператора А~1 — jJ. что означает - Е р(Л-1), причем R i (А-1) = —XR\(A)A.
420


Так как спектр является дополнением р(А), то доказанное эквивалентно, тому, что требовалось доказать.
7.37. 	Для собственных значений утверждение доказано в 7.5, 7.7. Пусть Л G ac(A)\Jar(A). Это означает, что либо а) оператор R\(A) определен на всюду плотном в X множестве и является неограниченным, либо б) этот оператор определен на множестве, не являющимся всюду плотным в X. Так как Л G crc(A)|Jcrr(A), то
А" - A” J = (А -\J)C, где С = А”-1 + АА”-2 + А2Ап~3 + • • • + A"-1 J.
В зависимости от того, является ли оператор С непрерывно обратимым или
нет. В обоих случаях Лп G crc(A) (J оу(А).
7.38. 	Утверждение 1) представляет собой обобщение известной формулы Коши (как следует из представления 2.4 резольвенты RZ(A) в виде равномерно сходящегося ряда, эту формулу можно здесь применить); утверждение 2) следует непосредственно из определения f(A) в п. 4.2.4 и свойств сопряженного оператора; утверждение 3) следует из 7.17 и формулы Коши; докажем утверждение 4).
Пусть Л G сг(А). Тогда f(z) - /(А) = (z - X)g(z), где д € 6(A); это означает, что f(A) — f(X)J = (А — XJ) • д(А). Предположим, что /(А) — регулярное значение оператора f(A). Тогда существует и ограничен опера-
условию Л — точка спектра сг(А). Следовательно, /(A) G cr(f(A)).
Пусть Л G a(f(A)). Предположим, что f(z) ф X при всех z G <т(А). Тогда g(z) = € &(А), и значит, в силу утверждения 3) оператор
А — XJ обратим и (А — XJ)-1 = д{А)\ это снова противоречит выбору Л. Поэтому имеет место равенство сг(/(Л)) = /(сг(Л)).
7.39. 	а) Легко непосредственно убедиться в том, что аА + /ЗВ (а,/3 G Р) и АВ, В А принадлежат Г(б) вместе с А, В G С(Х), так что Г(6) — подалгебра алгебры С(Х). Пусть А — предельная точка Г(6),
{An}£Li С Г(6), Ап =t А. Тогда для любого S G 6
\\SA-AS\\ < ||5А — 5АпН + ||Ап5 — AS\\ < < ||5|| ||А - Ап|| + ||Ап - А|| ||5|| —► 0 (га —► оо) => SA-AS = 0 =>
является всюду плотным в X или
что противоречит тому, что по
=> SA = AS Ае Г(б);
этим доказана замкнутость Г(6);
421


б) так как каждый оператор А Е © перестановочен со всеми операторами В Е Г(б), то имеет место требуемое включение;
в) если множество 0 коммутативно, то коммутативна и алгебра Г(6), а так как Q(<5) С Г(0), то и алгебра £7(0); замкнутость ее доказана в п. а); очевидно также, что J Е (/(&);
г) для обоснования этого утверждения достаточно доказать, что обратимость оператора А Е Q(6) в алгебре С(Х) эквивалентна его обратимости в алгебре £(0). Пусть А Е Г(0) и А~г Е С(Х). Так как АВ = ВА для каждого В Е Г(0), то В = А~1ВА, ВА~Х = А~1В1 т. е. А~г Е 6(0).
7.40. 	Первое соотношение следует из того, что ||ЛПЛП|| = |А|П||АП||; Далее, из перестановочности операторов А и В следует
||(лв)"|| = ||Л"В"|| < ||>ПРП =► II(ЛЯГII* <
Отсюда при п —► оо получаем r(AB) ^ г(А)г(В).
Как показано в [22, с. 301]. в коммутативной алгебре спектр суммы двух элементов есть подмножество суммы спектров этих элементов. Положим в 7.39 0 = {А, В}. Тогда (в обозначениях 7.39) (/(<S) — коммутативная банахова алгебра и в силу 7.39 сг(А) = = сгд($)(В), + В) —
= <jg(s)(A+B). Следовательно, согласно сказанному выше, а(А+В) С а(А)+ +сг(В). Из этого включения, 7.33 и свойств супремума следует требуемое неравенство.
Если В А ф АВ, то последнее неравенство, вообще говоря, неверно. Рассмотрим пример. Пусть
г 1
X = С[0,1], (Ax)(t) = J x(s)ds, (Bx)(t) = J x(s)ds;
о t
l
тогда С = A + В = f x(s) ds (легко непосредственно убедиться, что опе- о
раторы А и В не являются перестановочными). Согласно примеру 5 (см. (7.2))
t
(Anx)(t) = J ^^Ф) ds, PI = r(A) = 0;
0
точно так же
l
(B”x)(t) = J{s-l)ni~1x(s)ds, \\Bn\\ = r(B) = 0.
422


Однако, Сп = С, и следовательно, ||Cn|| = 1, г(С) = г(А + В) = 1.
7.41. Пусть Л — ненулевое собственное значение оператора В А, а х G X — соответствующий собственный вектор этого оператора: В Ах = Ах; Подействуем на это равенство слева оператором А : АВАх = А Ах. Отсюда следует, что вектор Ах является собственным вектором оператора АВ, отвечающим собственному значению А. Точно так же доказывается, что если д — собственное значение оператора АВ, соответствующее собственному вектору у G X, то это же число является собственным значением оператора В А, соотвествующим собственному вектору Вх.
Пусть А G сгс(ВА) \J(Tr(BA) или fi G ас(АВ) |Jcrr(AB). Так как
{ВА - AJ)B = В(АВ - AJ), (АВ - AJ)A = А(ВА - AJ),
то рассуждения, аналогичные проведенным в 7.37, доказывают утверждение настоящего упражнения.
7.42. Утверждение следует из 7.41, так как можно положить Х±Н, В = А*.
7.43. Пусть сначала А G сгр(А), х £ Н — соответствующий этому А собственный вектор оператора А. Тогда, с одной стороны,
А(х, х) = (Ах, х) = (Ах, х) = (х, А*х), с другой — А(х, х) = (х, Ах).
Отсюда следует, что А*х = Ах, т. е. A G сгр(А*).
Если A G сгс(А) (J°v(A), то оператор (А — XJ)~l либо а) существует (и не является ограниченным) на всюду плотном в Н множестве, либо б) этот оператор определен на множестве, не являющимся всюду плотным в п. Так как ((А - AJ)-1)* = (А* - AJ)-1 (см. 5.12 , 5.13, 5.73), то скат занное выше можно отнести к оператору {А* — AJ) 1; это означает, что
Аеас(Л*)|>г(Л‘).
7.44. Вещественность собственных чисел самосопряженного оператора доказывается в 7.3. Пусть А самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 71, А = а + г /3, /3 ф О,
С = А — a J, где J — тождественный оператор в 'Н\ очевидно, оператор С — самосопряженный, V(C) = 'D(A); при х G Н
||(А — AJ)x||2 = ||Сх — i/3x\\2 = (Сх — i(3x, Сх — i/Зх) =
= (Сх,Сх) + г0((Сх,х) - (х,Сх)) + 02(х,х) = \\Cxf + /32\\х\\2 > /?2||х||2.
В силу теоремы 4.10 это означает, что А — регулярное число оператора А, что, в свою очередь, означает, что спектр оператора А находится на вещественной оси.
423


7.45. Если Л невещественно, то согласно 7.44 оно регулярно и И(А — A J) = ТС. Пусть Л £ сгс(А) (Jcrr(A) — вещественное число. Тогда оператор А — AJ является самосопряженным. Пусть, далее, xoUZ(A — AJ), х пробегает все ТС, у = (A — \ J)x. Тогда
О = (хо, у) = (хо, (А - ЛJ)x) = ((А - A J)xо, х) =>
=> (А — AJ)xo = 0 => хо = О,
так как А не является собственным значением оператора А. В силу следствия 3.1 7£(А — AJ) всюду плотно в Ti.
7.46. Если А невещественно, то согласно 7.44 оно регулярно. Пусть А — вещественное число; тогда оператор А — A J является самосопряженным. Пусть, далее, z Е ЛГ(А — AJ), х пробегает все ТС, у = (A — AJ)x (по условию у также пробегает все ТС). Тогда
(уt z) = ((А — A J)x, z) = (х, (А — A J)z) = (х, 0) = 0.
Следовательно, z = 0, Af(A-XJ) = {0}. По теореме Банаха 4.13 резольвентный оператор R\(A) — (A — AJ)-1 существует и непрерывен, т. е. А £ р(А).
7.47. Согласно 5.73 (Да(А))* = ((А - AJ)-1)* = ((А - AJ)*)-1 =
= (А* - AJ)"1 = (А - A J)-1 = Да (А).
7.48. Пусть А = а + (3i, /3 / 0. Тогда оператор С = А — aJ самосопряженный. В 7.44 было доказано неравенство ||(А — AJ)x|| ^ \f3\ ||х||, хТС. В силу регулярности А можно считаь, что у = (А — AJ)x произвольный элемент W. Тогда ||у|| ^ |/3| ||(А - AJ)-1y||, откуда ||Да(А)|| < i 1 1 ■
Jm А
7.49. Согласно теореме 4.10 для того, чтобы А £ р(А) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое С > 0, что для любого х Е ТС имеет место неравенство ||(А — AJ)x|| ^ С||х||. Отрицание этого (т. е. принадлежность А Е сг(А)) есть сформулированное в упражнении утверждение.
7.50. Согласно 7.44 а(А) С М. Покажем, что все А > М регулярны.
Пусть А = М -I- 6, 6 > 0. Тогда
((А — A J)x, х) = (Ах, х) — А(х, х) < М(х, х) — А(х, х) = —6(х, х), =>
=> |((А - AJ)x, х) | ^ <5||х||2.
С другой стороны, |((А — AJ)x,x)| ^ ||(^ — ^)х)| Н^Н* Следовательно,
А — AJ)x) || ^ £||х||. Согласно теореме 4.10 А Е р(А).
Точно так же доказывается, что все А < тп регулярны.
424


7.51. Не ограничивая общности, можно считать, что 0 ^ га ^ М. (В противном случае можно вместо оператора А рассмотреть оператор В = A—nJ, спектр которого сдвинется влево на величину /х, а числа га и М заменяются соответственно на га — fi и М — д.) По теореме 5.12 М — ||Л||.
Пусть 6п ^ 0, Sn —*► 0 (п —► оо). В силу свойства супремума найдется последовательность {xn}^Li, ||®п|| = 1 такая, что (Ахп,хп) = М — 6п. Так как ||Агп|| ^ ||i4|| \\хп\\ — \\А\\ = М, то
\\Ахп ~ Мхп\\2 = (Ахп - Мхп, Ахп - Мхп) =
= \\Ахп\\2 ~ 2М(Ахп,хп) + М2\\хп\\2 ^ М2 - 2М(М - Sn) + М2 = 2М6п
Следовательно, ||Лжп — Мхп|| —► 0 (п —> оо). Согласно 7.49 М Е <т(А).
Точно так же доказывается, что га Е <т(А).
7.52. Утверждение непосредственно следует из 7.33, 7.51 и теоремы 5.12.
7.53. Следует из 7.52, так как ||А|| = 0 ==> А — 0.
7.54. Все операторы из 7.9 вполне непрерывны, так как имеют конечномерные образы (см. следствие 6.1), поэтому от (А) = сгр(А); все собственные значения найдены в 7.9.
7.55. Все три оператора вполне непрерывны, как операторы, имеющие конечномерный образ (см. следствие 6.1; см. также пример 2). Все три оператора являются самосопряженными, так как их ядра допускают перестановку аргументов (см. п. 5.5.2, пример 3).
(A2x)(t) = (A(Ax))(t) = J sin 7Г (t + s)(Ax)(s) ds =
-l
l l
= J sin 7Г (t + s) J sin 7Г (s + t)x(t) dr ds =
-l -l
l l l
j x(t) dr ) ds = I cos 7Г (t — t)x(t) dr,
-l
l
-l
l
= ^ (cos n(t — r) — COSTT (2s + t + r))
1
(.B2x)(t) = (B(Bx))(t) = j cos 7Г (t + s)(Bx)(s) ds =
-1
1 1
= J cos 7Г (t + s) J cos 7Г (s + t)x{t) dr ds =
-1
-1
425


= J х(т) dr J COS 7Г (t + S)C0S 7Г (s + r) ds = J cos n(t — t)x(t) dr,
= 5 (COS 7r(t —r) + COS7T (2s+t+r))
1
(C2x)(t) = (C'(C,x))(<) = J cos 7r(t — s)(Cx)(s) ds =
i i
= J cos тг (t — s) J cos 7Г (s — t)x(t) dr ds =
-1 -1 1 1
= f x(t) dr f COS 7Г (t — s)c0s 7Г (s — r) ds = J cos ir(t — t)x(t) dr.
-I -1 / ч -1
= 2 (cos 7Г(t — T)-j-COS 7Г (2s — t — r) I
Таким образом, A2 = В2 = С2 = С.
Рассуждая как в 7.9 найдем, что
<т(А) = ар(А) = <г(В) = ар(В) = {-1,0,1}, а(С) = стр(С) = {0,1}.
7.56. 	Оператор А представляет собой линейный интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром. Как было установлено ранее (см. пример 6.4), такой оператор вполне непрерывен. Так как K(s,t) = K(t,s), то согласно показанному в п.п. 2.5.2, 2.5.3 А — самосопряженный оператор. Положим у = Ах. Легко непосредственно убедиться, что у(0) =
7Г t 7Г
= у(7г) = 0. Разобив интеграл f = f + f, видим, что у дифференцируемая
о о t
функция. По теореме Лейбница
yl{t) = j ^sjt^x(s)ds+t{t^)x{t)+j |fc£)x(s)ds_
о t
t 7Г
— ———x(t) = f —x(s)ds+ [-——x(s)ds.
7Г J 7Г J 7Г
0 t
Снова видим, что yf дифференцируемая функция. Дифференцируя, получаем
y”(t) = -x(t) - -—-x(t) = x(t).
7Г 7Г
Таким образом, оператор А является обратным оператору из 7.13 п. б). Это значит, в силу 7.6, что сг(А) = сгр(А) = {—собственные функции оператора А — Xk(t) = sin kt (к = 1,2,...).
426


7.57. 	Да, так как это линейный интегральный оператор Вольтерры (см.
6.8, 	к). Согласно примеру 5 спектральный радиус этого оператора равен нулю. Указанное уравнение имеет единственное непрерывное на [0,1] решение по теореме Банаха, так как А переводит полное метрическое пространство С[0,1] в себя и является сжимающим (см. п. 1.7.5)
8.
8.1. См. упражнение 2.73.
8.2. Следует из 6.35, если положить там X = С[а,Ь] (L2[a, Ь]).
8.3. Применим неравенство Гельдера:
^ ^ Q>ik%k к=1
<EEi^i2-E^i2 = m2M'2>
г=1 к= 1
к=1
где М2 = 22 laifc|2- Этим доказано, что оператор А действует в простран-
г,к=1
стве /2, ограничен и ||А|| ^ М.
Для доказательства полной непрерывности этого оператора понадобится критерий относительной компактности множества в пространствах 1Р (см. упражнение 6.14, б)).
Зафиксируем произвольное е > 0. Ввиду сходимости двойного ряда
оо оо оо
22 \o>ik\2 СХОДИТСЯ ТаКЖв повторный ряд 22 laifc|2 (= М2). Поэтому
i=l,k i=1 к=1
оо оо
найдется такое натуральное N, что 22 22 \агк\2 < £2- Пусть х пробегает
i=N+1 fc=l
единичный шар В = Bi2[0,1], у = Ах. Тогда, еще раз применив неравенм- тво Гельдера, получим
Е ы2 = Е
i=N+l i=N+1
агкхк
г=1,/е
оо оо
< Е El“ifcl2 • ENI2 < е2
i=N +1 fe=l к=1
так как ^ |х*-| = ||ж|| ^ 1. Согласно упомянутому критерию, А (В) отно-
к=1
сительно компактно. Значит, А вполне непрерывен.
8.4. См. упражнение 2.73.
8.5. Матрица Грина G краевой задачи 8.10 непрерывна по совокупности переменных (t,s) € [a, b]2 (а значит и равномерно непрерывна на этом
427


квадрате), абсолютно непрерывна по t при t Е [a, s) U (з, 6] (как решение краевой задачи
^~dt~ = °’ 3) = 0' * = 1( 2’ • n; s€ t°’
аналогичными свойствами обладает Сипо второму аргументу (как решение сопряженной краевой задачи). Это значит, что элементы
п
kik = S 9ij(t,s)mjk(s) матрицы К (gij, rrijk — элементы матриц G и М
3 = 1
соответственно) удовлетворяют условиям иск.
Согласно 6.35 достаточно доказать полную непрерывность скалярных
ь
операторов Фредгольма (Cikx)(t) = f kik(t,s)x(s)ds. Это доказательство
а
приведено в 6.34. В силу 6.35 оператор А € J*£(ACn[a,6]).
8.6. Пусть 1 — регулярное значение оператора А. Тогда по определению существует и ограничен резольвентный оператор Ri(A) = —Т-1. Аналогично рассуждаем для оператора Т*. Все остальное — простое следствие сказанного.
8.7. Зафиксируем произвольный индекс г Е К. Пусть
Y = с1({хк}кек \ {ж})-
Так как Y — подпространство, то по теореме 5.3 существует функционал gi € X* такой, что gi(xi) = 1, gi(x) = 0 для любого аг € У, в частности gi(xk) = 0 при к ф г. Ввиду произвольности г Е К это означает справедливость утверждения леммы.
8.8. При п — 1 для fi £ X* найдется у\ £ X такой, что fi(yi) Ф О (ибо в противном случае fi = 0, что противоречит линейной независимости системы {yi}). Полагаем х\ = ; так как fi(xi) = 1, то при п = 1 лемма
доказана.
Пусть n > 1. Предположим, что для любой системы, состоящей из п — 1 функционалов лемма верна и пусть {/i}JLi - линейно независимая система функционалов. По индуктивному допущению существует система {xfc}fc=2 элементов, биортогональная системе {/г}?= 2- Для произвольного х £ X определим
п
У = X ~^2fk(x) -хк
к—2
Если бы fi(y) = 0 для всех х £ X, то выполнялось бы равенство
п
Mx) = ^2fk(x)-fl(x'k), к—2 428


которое противоречило бы линейной независимости системы {/<}2=i. Следовательно, найдется х £ X, для которого fi(y) ф 0. Полагаем х\ == тогда fi(x\) = 0 и
Ч fi(x) - £ h(x) ■ fi(x'k) - / (-г \ - _ Л (Ж) ~ /<(х) _ „
М 0 Л (у) Му) Му)
так как /г(х*) = Таким образом, построен х\ такой, что fi(xi) = 1, /i(xi) = 0 для г = 2,3,..., п. Точно так же, удалив из системы {/г}™=1 функционал /г, построим элемент хг такой, что /2(^2) = 1, /г(х2) при г ф к. Удаляя поочередно из системы {/*}?=! функционалы /з,./п, получим систему элементов {х*}£=1, удовлетворяющую условиям леммы. Это означает, что лемма верна для системы, содержащей п функционалов. По индукции она верна для любой системы функционалов.
8.9. Рассуждаем как в §2 (см. 5.72). Пусть / G X*, х G X. Тогда
(A*/) (х) = f(Ax) = /(Ах) + 22gi(x)/(yi) =
i=l
= (А*/)(х) + 21 f(yi)9i(x) => А*/ = А*/ + 22 /(Vi)9i■
г-1 г=1
8.10. Тот факт, что М± и J-L — линейные многоообразия в соответствующих пространствах, следует из линейности функционалов /; замкнутость этих линейных многообразий следует из их непрерывности. Докажем, например, замкнутость М±. Пусть /* — предельная точка М±. Тогда существует последовательность {/n}^Li С М± такая, что ||/п—/*|| —► 0 (п —> оо). Для любого х G М
|/*(х)| = |Мх) - /п(х)I ^ II/* - /п|| ||х|| —► 0 {ть ► оо),
откуда следует, что /*(х) = 0, т. е. /* G М±. Аналогично доказывается замкнутость ±L.
8.11. Пусть Af(J — А) ф {0} и Хк, к = 1,2, ...,п составляют базис Лf{J — А), х* — какое-нибудь решение уравнения (8.1), Ск — произвольные константы. Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что вектор
п
х = х* + 22 скХк является решением уравнения (8.1).
к=\
Пусть теперь х — произвольное решение уравнения (8.1). Тогда х —х* G ЛГ( J — А), и значит, найдутся константы с*, к = 1,..., п такие, что
п
х — х* = 22 скХк, т. е. х имеет нужное представление.
к=1
429


8.12. Оператор интегрирования А вполне непрерывен (см. 6.8, б)), поэтому можем применить теорию Рисса-Шаудера. Однородное уравнение Тх = 0 имеет только нулевое решение х(£) = О, ЛГ(Т) = {0}. По теореие 8.1 исследуемое уравнение имеет единственное решение. Для его нахождения обозначим г = Ах. Тогда z'(t) = x(t), z(0) = 0. Интегри-
t
руя задачу Коши z' — z = у, г(0), находим z(t) = f et_sy(s) ds, откуда
о
x(t) = z'(t) = y(t) + f el~ay(s) ds.
о
8.13. Оператор А вполне непрерывен, как линейный интегральный оператор Вольтерры с непрерывным ядром, поэтому можем применить теорию Рисса-Шаудера.
t
Обозначим z(t) = f p(s)x(s) ds. Тогда 2 есть решение задачи Коши о
zf — p(t)z = 0, г(0) = 0; единственным решением этой задачи является
t
z(t) = 0. Из тождества f p(s)x(s) ds = 0 (t G [0,1]) находим, что p(t)x(t) = 0, о
т. е. x(t) = 0; значит Лf(J — А) = {0}. По теореме 8.1 исследуемое уравнение имеет единственное решение при любом у G С[0,1].
Сохраним обозначение для г и умножим обе части исходного уравнения на p(t) > 0. В итоге приходим к задаче Коши z' — p(t)z = p(t)y(t),
t
j, I p(t)
z(0) = 0. По формуле Коши z(t) = J es p(s)y(s) ds. После дифферен-
o
цирования и деления обеих частей на p(t) > 0 получаем окончательный
t
« / P(r) dr
результат: x(t) = y(t) + J es p(s)y(s) ds. о
8.14. Перенесем слагаемое q(t)x в правую часть уравнения и рассмотрим однородное уравнение х" + p(t)xf = 0; это уравнение имеет фундамен-
S
t — / р(м)
тальную систему решений ui(t) = 1, U2(t) = f е 0 ds; функция Коши
о
Р — / р(/х) dfi
этого уравнения имеет в силу (10.55) вид C(t, s) = J е 8 dr. Согласно
s
формуле Коши (10.56) исходная краевая задача эквивалентна интегральному уравнению


Обозначим
t
/-fp(n)dn Г -Jp(fx)dfi
e • drq{s), Y(t)= e • dry(s) ds.
s s
Тогда исходная задача эквивалентна уравнению х — Ах = У, где
t
(Ax)(t) = J K(t, s)x(s) ds — о
линейный интегральный оператор Вольтерры с непрерывным ядром, вполне непрерывный согласно примеру 6.2.
8.15. Рассуждаем как в 8.14. Функция Грина G(t, s) краевой задачи х" + p(t)x' = z(t), х(0) = х'(0) = 0 выражается через найденную в 8.14 функцию Коши C(t,s) по формуле (10.58). Исходная краевая задача эквивалентна уравнению х — Ах = У, где
1 1 (Ax)(t) = — J G(t, s)q(s)x(s) ds, Y(t) = J G(t, s)y(s) ds; о о
Оператор А представляет собой линейный интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром, вполне непрерывный согласно примеру 6.2.
8.16. В предположении, что х — решение уравнения Ах = у, продиф-
t
ференцируем тождество / K(t,s)x(s) ds = y(t) (t € [a, b]). Возможность
a
этого обеспечивается свойствами ядра К и функции у. В итоге придем к тождеству
t
K(t,t)x(t) + J ®KQt'S^ x(s) ds = y(t).
a
Это означает, что исходное уравнение первого рода эквивалентно интегральному уравнению
i dK(t,s)
y'(t)
x{t)^ll^T)x{s)ds = WJy
a
которое представляет собой уравнение второго рода с вполне непрерывным оператором в пространстве С[а,Ь].
8.17. 	Пространство Ьг(С) — гильбертово. Так же как в примере 3 доказывается полная непрерывность интегрального оператора Фредгольма
431


(Ax)(t =) f K(t,s)x(s) ds. Так как (A*f)(t) = f K(s,t)f(s)ds (это показы-
G G
вается как в п. 5.5.2, пример 3), то утверждение настоящего упражнения
следует из теоремы 8.3.
8.18. Так как для ядра К, в силу его непрерывности и компактности D, выполняется условие f f\K(t, s)|2 dtds < +oo, то можно рассматривать
D D
наше уравнение в пространстве L2 (D). При этом любое его решение при непрерывной у будет непрерывной функцией. Дальнейшее следует из 8.17.
8.19. Рассматриваем все уравнения в пространстве Ьг[0, f ]. Обозначим
7Г
2
f sin2 sx(s) ds = £; тогда f(t) = Умножив обе части на sin2 t и проинте-
о
грировав, получим £ = , т. е. £ можно выбрать произвольно. Таким об¬
разом, f(t) = С, где С — произвольная константа. Рассмотренное уравнение
1L 2
является сопряженным к уравнению x(t) — £ /sin2 tx(s)ds = y(t), Поэто-
o
7Г
2
му можно воспользоваться теоремой 8.3. Так как (/,2/1) = С f (2t — 7г) dt =
о
= — ф 0 при С Ф 0, то при у = у\ уравнение не разрешимо. А при
7Г
2
у = у2 (/,1/2) = С f (4t — 7г) dt = 0, т. е. уравнение разрешимо. Все его
о
решения: x(t) = С sin2 t + 4£ — 7г.
8.20.Удобнее всего рассмотреть уравнение в пространстве IL2 [— 1,1]. Тогда интегральный оператор Фредгольма
1
(Ax)(t) = Л J(ts + t2s2)x(s) ds
является самосопряженным. Однородное уравнение (оно же является и однородным сопряженным уравнением) имеет вид
1
c(t) — Л J (ts + t2 s2)x(s) ds = 0.
Его можно записать в виде x(t) = Л£t -I- Xrjt , где положено 1 1
£ = f sx(s) ds, 77 = f s2x(s) ds. Умножив поочередно обе части этого -1 -1
представления на t и t2 и проинтегрировав, получим систему уравнений
относительно £ и 77 : (1 — |Л) £ = 0, (1 — |Л) г/ = 0. При Л = § этой
системе удовлетворяет любое £, а т) = 0; решение однородного уравнения
432


x(t) = C\t (C\ произвольно); свободный член y(t) = t2 — t4 ортогонален этому решению, поэтому исходное уравнение разрешимо по теореме 8.3 и все его решения даются равенством x(t) — Cit 4- t2 — t4. При Л — | системе удовлетворяет любое 77, а £ = 0; решение однородного уравнения x[t) = C2t2 (С2 произвольно); свободный член y(t) = t2 — t4 этому решению не ортогонален. По теореме 8.3 исходное уравнение решений не имеет. Наконец, при А ф §, Л ф § однородное уравнение имеет только нулевое решение и, значит, исходное уравнение однозначно разрешимо. Рассуждая как при решениии однородного уравнения, придем к представлению x(t) = \£t-\-\rjt2+t2 — t4, которое дает нам систему систему уравнений отно- сителыю £ и г/ : (1 - §А) £ = 0, (1 - f А) г) = откуда £ = 0, г? = 7(5*2А) ■ Значит, x(i) = +12 - t4 = ~ t4.
8.21.а) При Л = | уравнение не имеет решений; б) при Л ф |,Л ф —|
12Л
уравнение однозначно разрешимо; решение x(t) = —sin21 4- п — 2£;
о — 4Л
в) 	при Л = — | уравнение имеет бесконечное множество решений; все они имеют вид: x(t) = С cos 21 — 2 sin2£ 4- тг — 2£, С — произвольная константа.
8.22. Все три ядра симметричны, поэтому рассматривая уравнение в вещественном гильбертовом пространстве L2 [0,1], будем иметь уравнение с самосопряженным вполне непрерывным интегральным оператором. При этом ввиду непрерывности ядер и правой части все решения будут непрерывными функциями. Согласно теореме 8.1 для разрешимости уравнения при любой правой части необходимо и достаточно, чтобы однородное сопряженное уравнение (которое в данном случае совпадает с самим однородным уравнением
1
x(t) — X J K(t,s)x(s) ds — 0, о
имело только нулевое решение, а) Однородное уравнение в данном случае имеет вид
t 1
x(t) = Л J sx(s) ds 4 Л J tx(s) ds.
0 t
Так как при непрерывной х оба слагаемых в правой части непрерывно
дифференцируемы, то х и сам является непрерывно дифференцируемой
функцией. Пусть х — решение этого уравнения. Тогда ж(0) = 0. Продиф-
1
ференцировав полученное тождество, найдем, что x'(t) = A f x(s)ds, при-
t
чем х'(1) = 0. Повторив приведенные выше рассуждения, видим, что х' —
433


непрерывно дифференцируемая функция. Продифференцировав последнее тождество, придем к тому, что х есть решение краевой задачи
х" + Хх = 0, х(0) = 0, х (1) = 0.
Легко убедиться в том, что эта задача имеет ненулевые решения только при Л = + 7гп)2 , n Е Z. Следовательно, исходное уравнение разрешимо при
любой правой части, если Л ф + 7гп)2 , п Е Z;
б) в этом случае однородное уравнение сводится к краевой задаче хп — Хх = 0, х(0) = х(1) = 0 (см. 4.117), которая имеет ненулевые решения только при А = — (7га)2 , nZ. Значит, исходное уравнение разрешимо при любой правой части, если Л ф — (7m)2 , п Е Z.
в) здесь однородное уравнение сводится к краевой задаче
хп — Хх = 0, х(0) = х'(0), х(1) = х'(1),
откуда получаем, что разрешимость исходного уравнения при любой правой части будет иметь место, если Л ф 1, Л ф — (7гп)2, п Е Z.
9.
9.1. Элемент а Е X называется пределом функции х : J —► X в точке to, если
(Ve > 0) (36 > 0) (Wt : \t - to\ < 8) (||sc(t) - a\\ < e).
9.2. Функция x : J —► X называется непрерывной в точке to Е J, если (Ve > 0) (3£ > 0) (Vt : 11 - to| < 8) (||a:(t) - x(to)\\ < e).
9.3. Функция x : J —> X называется равномерно непрерывной на множестве J CR, если
(Ve > 0) (Э* > 0) (V*\ t" Е J : \'t - t"\ < 8) (||x(0 - x(t")|| < e).
Теорема Кантора звучит так: если J — компакт, и функция х непрерывна на J, то она и равномерно непрерывна на J.
Пусть для определенности J = [а, Ь]. Доказательство в основном с точностью до обозначений следует [31, с. 184].
434


Пусть е > 0 произвольно. Для каждого t € [а, 6] найдется такое 6 > О,
что
\\x(t') - x(t")II < | для всех t G cr(t) = (t — 6,t + 6).
Для любых двух точек t\ t" € &(i)
IIx(t') - x(t") II ^ \\x(t') - x(t) II + ||x(t) - x(t") II < e. (10.63)
Сузим интервалы вдвое, положив a (t) = (t— |, t + |). На суженных интервалах неравенство (10.63) тем более выполняется.
Система интервалов {<т (£)}fe[a,b] образует покрытие отрезка [а, 6]. По лемме Бореля - Лебега [31, с. 181] существует конечное покрытие {а (£г)}Г=1 отрезка [а, 5], обладающее свойством
||х(г') — x(t") || < £ для любых г', t" £ <7 (ti) (1 ^ г < п).
Пусть д = min{^, и 11' - t"| < 6. Пусть, далее, t' € cr(U0).
Тогда t" попадет в этот же промежуток, или в один из соседних. Это означает, что обе точки t\t" попадут в первоначальный промежуток a (U0) — = (ti0 — 6i0,ti0 4- SiQ). Это значит, в силу (10.63), что ||x(t') — x(t")\ < £. Равномерная непрерывность х на [а, Ь] доказана.
9.4. Формула Лагранжа не выполняется, вообще говоря, уже для функ-
( t2 \
ций х : J —► М2. Пусть x(t) = I ^ I , J = [0,1]; если бы формула Лагранжа имела место, то выполнялось бы равенство
*0’ ^€(0Д)’
которое невозможно, так как из первого уравнения следует £ = а из второго — £ = ^=.
9.5. Пусть h = (hi, h2, • • •, hn)T € RJ• Задача в том, чтобы выделить из полного приращения Q главную часть, линейную относительно h.
Q(x + К) - Q(x) = Q(x 1 4- hi,x2 4- /12, •. • ,xn + hn) - Q(xi,x2,... ,xn) —
— Q(xi “I- hi, x2 -j- h2,..., Xn 4* hn) Q(^i, x2 4 h2,..., 4~ hn)4"
4- Q(xi,x2 4- h2,... ,xn + hn) - Q(xi,x2,x3 4- /13, • •.,xn 4- hn)+
4" Q(x 1, x2 5... 5 Xn—1, Xn 4" hn) Q(x 15 x2,..., Xn) 5 435
x(l) — x(0)
■ OH


в каждой из п строк изменяется лишь одна переменная, поэтому к каждой строке по отдельности можно применить формулу конечных приращений Лагранжа. В результате придем к представлению
Q(x + ft) - Q(x) = a^1’X2 + ft2,--.,xra + ftn)/ti +
OX i
. dQ(xi,&,x3 + /13,.. • ,Xn 4- hn), ,
H ~ n 2+
ax2
, (Xl, x2 j • • • ) Xn— 1, ^
+ hn’
где £* находятся строго между Xi и Xi + hi (i — 1,..., n). Так как по условию частные производные непрерывны, то отсюда следует, что
Q{x + ft) - Q(x) = ". ■ + ai(x, ft)fti+
OX I
+ dQ(Xl.’f’ ■ ■ -'.Xn).h2 + Q2(x, h)h2+
OX 2
, dQ{x\, X2j • • • jxn) ^ л ъ\ъ
H о /in ~h Q!n(x, tljfln,
OXn
где сц(х,Н) —► 0 при /1 —► 0. В итоге приходим к представлению
П О/Л
Q(x -f h) - Q(x) = У2 я—hk + u;(x,h) = (grad Q(x),h) + ш(х, /г),
ОХк
к=1
где a)(x,h) = ^ а*;(ж, /i)/ifc. Так как , очевидно,
к=1
,,, .ч, Е К(х,Л)||Л*|
|o;(x,/i)| ^ fc=i n
114 ' j±i
У /с=1
при h —► 0, то Q'(x)h = (grad Q(x), /1).
9.6. 	Согласно 9.5 для каждой координаты имеет место представление
Qi(x + /1) - <2г(ж) = (grad Qi(x), h) + ал(х, /г), где |а;<(я:, h)\ = о(||Л||)
при h —► 0 (i = 1,..., m). Поэтому
(grad Qi(x) ^
/i + u;(x,/i),
grad Qm(x) /
436


где ш(х, h) = (u>i(x, h),... ,u>m(x, h))T. Полагая grad Qi(x) \
JWii - = (£)
grad Qm(x) J V Ji=1 m’fc=1 n
(как известно, матрица J называется матрицей Якоби), получаем <Э'(ж) = J(x), так как, очевидно, —-■ —*- 0 при /г —► 0.
\\Щ
9.7. Пусть x,/i G С[ауЬ]. Применяя формулу конечных приращений по второму аргументу получаем
Q(x + h)~ Q{x) = f(t, x(t) + h(t)) - f(t, x(t)) =
где £(t) при всех t G [a, b] находится строго между x(t) и x(t) 4- h(t). В силу непрерывности имеет место представление
dx ~ dx +a(t,x(t),h(t)), где a —► 0 в C[a,b] при h —► 0 в C[a,b}. Таким образом,
Q(x + Л) - Q(x) = 9f{QxX)h + w(x, h), где w =■ ah, |^| —► 0 при h —+ 0 в C[a,6]. Следовательно,
9.8. Пусть x, /iGC[a, 6]. Можно применить формулу конечных приращений по третьему аргументу. В силу линейности интеграла
ъ
Q(x + /г) - Q(x) = J ((£, 5, x(s) 4- /1(5)) - К((t, s, x(s))) ds =
где £(£) при всех t G [a, Ь] находится строго между х(£) и ж(£) -f /г(<). Рассуждая как в 9.7, получаем представление
Q(x 4- /1) — Q(x) = J ^-^-/i(s) ds-h си(ж, Zi),
437


где uj(x,h) = f a(t, s, x(s), h(s))h(s) ds, a —► 0 в C[a,b] при h —► 0 в
a
C[a,b], ||u;|| = o(||/i||) при h, —> Ов C[a, Ь]. Следовательно,
_ CdK(^S>X(S))u^\^,
Q (x)h — J ^ h(s) ds.
9.9. Предполагаем теперь, что x,h € C^[a, Ь]. Применяем формулу конечных приращений поочередно ко второму и третьему аргументу (см. 9.5):
Q(x + h) — Q(x) =
= (x(£) -I- h(t))" - f(t,x(t) + h(t),x'(t) 4- Ы(t)) - x"(t) 4- f(t,x(t),x(t)) = = ti'(t) - f(t, x(t) 4- h(t), x(t) 4- h'(t)) - f(t, x(t), x'(£) 4- Ы(t)))-
- (/(t.zM.tf'W + ft'W) x'(*))) =
_ _ #/(*>£(*)> ж'(*)+ft(t) _ d/(*> z(t),rj(t))
dx dx
где £(t),r;(t) при всех t G [a, 6] находятся строго между x(£), x'(£) и x(£) 4- МО, + ^(0 соответственно. Рассуждая как и выше в 9.5-9.8, приходим к тому, что
Г.Ч ли и" df(t,x,x’) df(t,x,x') ,
Q{x)h = h —h -h.
9.10. 1. Если Q — постоянный оператор, то Q(x 4- h) — Q(x) = 0, следовательно, Q' = 0.
2. Пусть Q = Qi + Q2. Тогда
Q(x + h) — Q(x) = (Qi(x 4-h) - Q\(x)) 4- (<3г(х 4- h) - <5г(х)) =
= Q[(x)h 4- u>i(x, h) + Q2(x)h + uj2(x,h),
где ||а;»(ж,/i)|| = o(||/i||) при h —► 0 (г = 1,2). Следовательно,
Q(x 4- h) - Q(x) = (Q[(x) 4- Q2(x))/i 4- a;(x, h),
где a; = ел 4-a;2, ||a;|| < ||a;i|| 4- Цс^гЦ = o(||/i||) ПРИ h —* 0. Таким образом, окончательно, Qf(x) = Q[(x) 4- Q^x)-
3. (AQ(x 4- h) — AQ(x)) = A(Q(x 4- h) — Q(x)) = AQ'(x)h 4- Auj(x,K), причем ||Aj|| = o(||/i||) в силу того, что ||a;|| = o(||/i||) при h —* 0. Значит, (AQ(x))'= AQ'(x).
9.11.По определению дифференцируемости функции Q ее приращение Q(t) — Q(to) в точке to имеет представление Q(t) — Q(to) = Q'(to)(t — to) 4-
438


-f o(t — to) при t to. Отсюда следует, что ее обычная производная находится как ^ = ^lim . Наоборот, из обычного определениия
производной следует, что ее приращение имеет указанный выше вид.
9.12. 	A) a) Q'(x) = (x'(x)i, х^х),... , хЦх)) (ж € К);
б) 	Q(ж) = (1,2x2, ...,пх£-1) (см. 9.5);
( 1 1
Х2 xi | (см. 9.6);
^ 2xi 2x2
в) Q'(x) =
г) Q
2X2 Зх§
2X2
1
(см. 9.6);
e)Q'(x) =
1
2xi
\ тхх
(см. 9.6);
= 1 к=1,.
. ,71
1
1 ^
2X2
2хп
mxj1-1 •
• тХп )
(см. 9.6);
Б) a) Q'( 1) = (х'(1)ь^(1),... ,хЦ1));
б) 	Q(l, 1, • • •, 1) = (1,2,... ,п);
f1 1
b)Q'(1,2)=[ 2 1
\ / г=1,...,т; fc=l,...,n
( 1 1 2 2
1 \ 2
\ 771 ГП • • • 771 /
9.13. Рассуждаем как в 9.11. Напомним, что критерием существования обычной производной, а значит и производной Фреше, являются условия Коши-Римана (см. [21, с. 72]).
9.14. Пусть х ф 0. В теореме 9.2 полагаем X = ft, У = Z = R,
Рх = (х,х), Р : ft —*• R, Ту = у/у, Т : R —► R, у = (х,х) > 0, Q = ТР. По теореме 9.2 с учетом примера 3 получаем Q'(x)h = T'(y)P'(x)h =
= r^=2(x,/i) =
2 %/У 11*11
При х = 0 ||0 + /г|| — ||0|| = ||/i||; не существует линейного ограниченного
439


оператора <2'(0) : Н —► R такого, что ||/i|| = Q'(0)h + о(||/г||); отображение Q недифференцируемо по Фреше в точке х = 0.
9.15. 	а) Пусть х, h G С[0,6]; sin 3(х + h) — sin Зх =
= 2sin |/icos = (2 • |/i + o(||/i||)) (cos3x -f a(x, h)) =
= 3cos 3x • h + u;(x, h) (a(x, /i) =4 0 при h —> 0 в [0,6], u(x, h) =
= a(x, /г)о( || /i||) = o(||/i||) при h —> Ob [0,6]). Следовательно, Q'(x)h =
= 3cos 3x • h.
б) сначала найдем производную Фреше в произвольной точке. Пусть x,h е С[0,6].
(Q(* + h))(t) - (Q(*))(t) = x(t) + h(t) - е‘Й‘)+Л(‘>)2 - *(*) + etx2(t) =
— _ gt;r2(£) ^е*(2:г(*)М*) + Ь2(*)) _ _
— h(t) — etx ^ (t(2x(t)h(t) + h2(t)) + o(||/i||)^ = (J — 2x(£)etx ^)/i(t)+ +o(||/i||) (\\h\\ —> 0, J — тождественный оператор в (7[0, b]).
Следовательно, [Q' (x)h)(t) = (J — 2x(t)etx ^)h(t); (Q'(0)h) (t) = h(t).
в) Пусть x, h G C[0, b].
(Q(x + h))(t) - (Q(x))(t) =
= t2(x(t) -f h(t)) — t(x{t) + h(t))2 — t2x(t) + tx2(t) = (t2 — 2tx(t))h(t) — th2(t) => (Q'(x)/i)(t) = (£2 - 2fcr(£))/i(£), (Q'(l)/i)(£) = (t2 - 2t)h{t).
г) Пусть x, h G C[0, 6].
ь
(Q(x + h))(t) — (Q(x))(t) = x(t) + h(t) + J ts2(x(s) + h(s))3 ds - x(t)+
o
ь b
+ J ts2x3(s) ds = h(t) + J ts2 ^(x(s) + Ms))3 — x3(s)^ ds =
о
= /i(£) + 3 J ts2x2(s)h(s) ds + x, /i),
где cj(£,x,/i) = f ts2(3x(s)h2(s) + h3(s)) ds; так как, очевидно, ||cj|| о
= 0(\\h\\2), то (Q'(x)/i)(t) = /i(t) + 3/ ts2x2(s)h(s) ds, (Q'(t2)h)(t)
о
b
= /i(t) + 3 / ts6h(s) ds. о
440


д) 	(Q'(xo)h)(t) = h(t) - f d/(M,xo(s)) CM 9 g
о dx
7Г
9.16. 	Согласно 9.15д) Qf(0)h = h(t) -f Л/sinth(s)ds и уравнение при-
o
нимает вид
7Г
/i(t) -Ь A J sin th(s) ds = cost (t G C[0,7r]).
Обозначив f h(s)ds = С, получим из этого уравнения представление о
h(t) = —XCsint + cost, откуда, проинтегрировав обе части от 0 до 7г, С(1 + 2А) = 0. При А = — | С может быть любым, при X Ф — \ — С = 0. Таким образом, при А = — \ h(t) = Сsint + cost, где С — произвольная постоянная; при А ф — \ h(t) = cost.
9.17. 	а) Пусть х, Zi G С^[а, 6].
о
Q(x + Zi) - Q(x) = J((x(s) + M5))2 + (x'(s) + ti(s))2>) ds-
a
b b
— J(x2(s) + x/2(s)) ds = 2 J(x(s)h(s) + x/(s)/i/(5)) ds+
а а
b
+ J(h2(s) -f h'2(s)) ds.
Так как остаточный член имеет вид О (\\h\\^{1)) при h —► 0 в пространстве ь
С^[а, 6], то Q'(x)h — 2 f (x(s)h(s) 4- x'(s)h'(s)) ds;
a
б) рассуждения аналогичны;
ь
Q'(x)h = 2 J(x(s) 4- x'(s)) (h(s) -I- h!(s)) ds;
a
в) рассуждения аналогичны; см. также 9.9;
в,(1)Л=j ^/(«,»М,»'(»)) + 9Д.,,М,»'М)>,М^ Л
441


9.18. Пусть \K(t,s)\ < М, x,/i, € С[0,1]. Легко видеть, что
(Q(x + h))(t)-(Q(x))(t) =
1 1 = h(t) J K(t,s)x(s) ds + x(t) J K(t, s)h(s) ds + cj(x, /i), о о
где (u>(x, h))(t) = h(t) f K(t, s)h(s) ds; \\u(x, h)|| ^ M||/i2||, т. e. о
HI = 0(\\h\\2) при h —► 0 в C[0,1]. Следовательно,
l l
(Q\x)h)(t) = fc(t) J K(t,s)x(s) ds + x(t) J K(t, s)h(s) ds. о 0
9.19. Пусть x,h E loo; найдутся константы С, M такие, что
1**1, |л*|, \хк + hk\ ^ с, |д(*)|, \fk(t)\ ^м(кеп, |*| < с).
Так как sup|/fc(x*;)| ^ М, то оператор Q действует в пространстве /оо, fceN
Q(x), Q(x-|-/i) 6 /оо- С помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем
<2(х 4- h) - Q(x) = (/i(xi + hi) - /i(xi), /2(0:2 + M - /2(2:2), ...) =
= (/{«i)^i,/i(6)h2,...),
где находятся строго между Xfc и Xfc + /ifc (fc € N). Ввиду равностепенной непрерывности f'k /£(£*) —► fk(xk) равномерно относительно к G N при h —* 0 в пространстве /оо- Таким образом,
Q(x + /i) -Q(x) = (/i'(xi)/ii), /2(^2)/12, - + u;(x,/i), где u;(x, /1) =
= (ai/ii, «2/12, - • •), > 0 ПРИ h —+ Ов пространстве Zoo-
IlMUoo
Следовательно, Q'(x)/i = (/{(xi)/ii, /Цхг)/^, - - •)•
9.20. Пусть x, /1 G C(2)[0,1]. Согласно 9.9
Q\x)h = /1" + cos x • h, (ф;(хо)/1(£) = + C05* * M*))-
9.21. Нет, он линеен только по первому аргументу.
442


9.22. Операторы Q и Р, очевидно, линейны по каждому аргументу в отдельности и симметричны. Не ограничивая общности, можно считать, что |х*| ^ 1 (к = 1,2,... ,п). Тогда
п
|C^(Xi, #2 5 • • • j Хп) | ^ ^ ^ |Xfc | ^ n|xi| • |Х21 | Хп |,
/с=1
далее, |Р(ж1,Х2,... ,хп)| = |xi| • |хг| • • • |хп|. Следовательно, операторы Q и Р ограниченные, n-степенные операторы Qnxn — пх, Рпхп = хп.
9.23. Пусть х, h,g G С(2)[0,1]; из 9.20 Q'(x + р)Л - Q\x)h =
= /i" + cos (х 4 p)/i — h" — cosxh= (cos (x + h) — cosx)h = (—sin£ • <?)/i =
= (—sinx + a)gh, где £ находится строго между x и x 4- а—>0 при д —► 0 в пространстве С^[0,1]. Следовательно, при д = h получаем Q"(x)h2 = —sinxh2. Рассуждая аналогично и далее, приходим к равенству Q(n\x)hn = sin (х 4- n^)hn.
9.24. Пусть х, h G С[0,1]; последовательно находим Q(x 4- /i) — Q(x) = _ ex+h _ ex _ _ i) _ + 0(||/i||2)); => Q'(x)h = еж/г; аналогич¬
но, далее Q"(x)h2 = ex/i2,... Q(n)(x)/in = ex/in, Q(n)(0)hn = /гп; формула Тейлора в окрестности точки хо (t) = 0 имеет вид
Q(h) + + + + 0(НЛ1Г+1)-
9.25. Рассуждая как в 9.24 (см. также 9.23) получаем Q^n\x)hn =
= 3nsm(3x + nf)/in, (Q{n)(cos2t))hn(t) = 3nsin(3cos2t + n%)hn(t).
b
9.26. Согласно 9.7 (Q'(x)h)(t) = /i(£) 4- f K(t, s)ex^h(s) ds. Так же.как
a
b
в 9.24 показываем, что (Q^n\x)hn)(t) = f K(t, s)ex^hn(s) ds,
a
b
(Q^n\0)hn)(t) = J K(t,s)hn(s) ds (n G N). Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид а
ь ъ ъ
Q(h) = J K(t, s) ds +
a a a
• • • + j s)~~~^~ ds + ...
f K(t, s)h(s) ds + J K(t, s)
h2(s)
2!


11. Дополнения. 1. Доказательство неравенств
Неравенство Гельдера
Пусть Т — метрическое пространство, (Т, 21, /х) — измеримое пространство с счетно-аддитивной конечной или и-конечной мерой, р и q — числа, удовлетворяющие соотношениям
Рассмотрим множество LP(T, 21,/х) классов /х-измеримых /х-эквивалентных
функций х : Т — С, обладающих свойством / \x(t)\p dfi < 4-оо. Для таких
т
ж, у справедливо следующее неравенство Гельдера
где р и q, удовлетворяют соотношениям (11.1).
Доказательство. 1. Сначала докажем вспомогательное числовое нера-
так как производная f'(t) = 0 при t = 1 и при переходе через эту точку меняет знак с 4- на —, то / имеет в этой точке максимум, равный 1 — а; следовательно,
ta - at^ 1 - a (t ^ 0, 0 < а < 1).
Пусть а > 0, 6 > 0; положим t = |, /3 = 1 — а (0 < /? < 1, а + (3 = 1).
Тогда из доказанного неравенства последовательно получаем
1 1 ,
1 < р < Н-оо, 1 < q < -hoo, - 4- - = 1
Р Я
(ил)
(11.2)
венство
ар • Ья ^ - 4- - (а > О, b > 0). Р Я
Пусть 0 < а < 1. Рассмотрим функцию
(11.3)
/ : [0, 4-оо) —► R, f(t) = ta - at;
?--а^/3, аа -Ь? ^ аа 4- /ЗЬ; оа о
подставив сюда а = /3 = приходим к (11.3).
444


2. Пусть сначала х Е LP(T,21,/х), у Е L9(T,2t, д) таковы, что
J \x(t)\pdfx= 1, J \y(t)\qdfj,= 1. (11.4)
т т
Из упражнения 2.53 следует, что х • у Е Li[a, 6.]. При выполнении условий (11.4) неравенство (11.2) примет вид
J |ж(£)у(£)| dfi < 1. (11-5)
т
Его и будем доказывать.
Подставим в неравенство (11.3) вместо а и 6 соответственно \x(t)\p и |y(£)|9 (при каждом t Е Т); тогда
l*(*)y(t)l = (|х(*)Г)* • (|з/(<)П* < + М! (t € Т).
Проинтегрировав крайние части полученного неравенства с учетом равенств (11.4) и (11.1), получим (11.5).
Пусть теперь х Е Lp(T,2l, д), у Е Lg(T, 21,/х) произвольны. Полагаем
т ^ —т—г, 5(1, ^ —ш.
(/|ж(в)|рф)Р ^/|у(«)|«сгм)
тогда, очевидно х и у удовлетворяют условиям (11.4) и по доказанному Г \x{t)y{t)\dfj,
/ I I ^ >
Т ^ Р ’ ^ ^ ^
откуда сразу следует (11.2).
Рассмотрим частные случаи.
1.Т = {1,2, ...,п}, 21 = 'Р(Т), д — считающая мера; в этом случае неравенство Гельдера принимает вид
Х:1х^к(Еыр)Р(Еы’)в; т.е)
к=1 \к=1 / \к=1 /
2. Т = N, 21 = P(N), /х — считающая мера; в этом случае
оо /оо \ Р / СХ) \ ?
EiXfc»*i^ Емр • Еы1 ; (п-7)
к=1 \к=1 ) \к=1 /
445


3. 	Т = [а, 6], или Т = R, или Т = [0, +оо), /х = mes - мера Лебега; в этом случае ( при Т = [а, &])
1
■ ь
4. 	Т С R, 21 — сг-алгебра измеримых по Лебегу множеств, /х(А) =
= f (p(t)dt (А € 21), где <p(t) > 0 — суммируемая на Т по Лебегу функция
А
(как и ранее называемая весовой функцией или весом); в этом случае ь / ь \р / ь \?
J \x(t)y(t)\(p(t)dt < I J \x(t)\p<p(t) dt\ • I J \y(t)\4<p(t)dt j . (11.9)
Заметим, что неравенства (11.2), (11.6)—(11.9), очевидно, остаются справедливыми и при р = 1, q = +оо (р = +оо, q = 1).
Неравенство Минковского
Пусть х, у е Lp(T,2l, /х) (1 ^ р < +оо). Тогда справедливо следующее неравенство
yj \x{t) + y(t)\p dfj. J ^ yj \x(t)\p dfi J + yj \y{t)\p dn J , (11.10)
которое называется неравенством Минковского.
Доказательство. Пусть q удовлетворяет (11.1). Применим неравенство
(11.2)
J \x(t) + y(t)\p dn < J(\x(t)\ + \y(t)\)p d/л =
T T
= J W*)l(M*)l + l2/(<)l)P-1c^ + J 1з/(*)1(И*)1 + 1г/(*)1)Р-1с!м<


так как (р — l)q = р, то разделив обе части полученного неравенства на общий множитель правой части, получим
1-1 / ч 1 , V I
Я / п \ р / А \ р
М<) +y(t)\pdn\ < / |a;(t)|pc^ + / |y(t)|pdp ,
что ввиду равенства 1 — i = ^ означает справедливость (11.10). Рассмотрим снова те же частные случаи.
1. 	Т = {1,2, ...,п}, 21 = 'Р(Т), // — считающая мера; в этом случае неравенство Минковского принимает вид
/п \р/п \р/п \р
(5> + *П ^ (X>feip) + (Х>П ; (11П)
2. Т = N, 21 = 'P(N), /i — считающая мера; в этом случае
/оо \р /оо \р /оо \р
Ч1>*П + (1>П ; (11Л2)
3. Т = [а, Ь], или Т = R, или Т = [0, +оо), /л — mes - мера Лебега; в этом случае ( при Т = [а, 6])
/ ь \р / ь \ р / ь \р
( / |x(t)+ y(t)|pdt I < I f |x(t)|p dt j + I f |y(*)|poft) ; (11.13)
4. 	T С 1, 21 — cr-алгебра измеримых по Лебегу множеств, ^i(A) =
= / ip(t) dt (А Е 21), где <p(t) > 0 — суммируемая на Т по Лебегу функция л
(весовая функция); в этом случае
Оь \ * /6 \ * /6 \ *
f \x(t) + y(t)\p ip(t) dt\ < | У \x(t)\p<p(t)dt\ + f J \y(t)\p(p{t) dtj .
(11.14)
2. Индивидуальные домашние задания
I. 	Принцип сжимающих отображений
447


Задание 1. Докажите, что уравнение /(£) = 0 имеет единственный вещественный корень. Укажите промежуток длиной 1, содержащий этот корень. Запишите это уравнение в виде t = <p(t). Организуйте итерационный процесс и укажите число итераций, которое потребуется для вычисления корня с точностью до 0,01. Найдите указанное приближение.
1. /(t) = 2t3+3t2+6t + l;
2. f(t) = t3 + 3t2 + 12f + 2;
3- f{t) — t3 ■+■ 3t + 3;
4. f(t) = 43 + 12t + 4;
5. /(<) = 3t5 + 5t3 + 15t + 1; fit) = 3t^ 10t3 H—h60t Ч- 4; 7. /(t) = t5 + 5t + 3; /№ = "b 20t + 2; 9. /(t) = 2t3 — 3t2 + 6t + 1;
10. f(t) = 3t5 - 10t3 + 60t + 2;
11. f(t) = 2t3 + 3t2 + 6t — 1;
12. /(f) = t3 + 312 + 12f - 2;
13. f(t) = t3 + 3t - 3;
14. f(t) = 43 + 12* - 4;
15. /(f) = 3t5 + 513 + 15f - 1;
16. /(f) = 3f5 + 10t3 + +60f - 4;
17. /(f) = f5 + 5f - 3;
18. /(f) = f5 + 201 - 2;
19. /(f) = 2t3 - 3f2 + 6f - 1;
20. /(f) = 3f5 - 10t3 + 60t - 2.
Задание 2. Систему линейных уравнений преобразуйте так, чтобы ее можно было решить итерационным методом. Исследуйте характер приближения итераций к точному решению.
3xi + Х2 = 7,
XI + 2х2 = 4;
Г 2xi + х2 = 3, 2 Г
\ xi - Зх2 = -2; \
[ lOxi +х2 = 11, 4 f
^ xi + 5x2 = 6; |
Г 3xi + х2 = 4, Г
^ 2xi — 3x2 = —1; |
Xi -h 10X2 = 1,
10xi -f 2x2 = 10.
2xi + 3x2 = 7,
4xi 4- 1x2 = 9;
448


Г 2а
I -2
f 3xi 4- ‘
\ 2X1 -;
11.
13.
15.
17.
19.
2xi — 3x2 = —1,
-3xi -h Х2 = 4;
2x2 = 5, 3x2 = —1;
—4xi 4- Х2 = 3,
-2xi 4- 3x2 = 1;
5xi — Х2 2xi — 3x2
3xi + Х2 2xi — 3x2
2xi — 3x2 —3xi 4- Х2
3xi + 2x2 2xi — 3x2
3,
8;
5,
-4;
1,
2;
7,
-4;
14
18
{
, / 4Ж1 \ 2ц
2{
{
Ч
Г 2Х!
\ 4X1
{
2xi — Зх2 = 7,
4xi — Х2 = 9.
4xi 4- Х2 = 3, 3x2 = 5;
2xi — 3x2 = 1,
4xi — х2 = 3.
—2xi 4 3x2 = 1,
5xi 4~ Х2 == 6.
2xi 4- 3x2 = 8,
4xi 4- 1x2 = 6;
- 3x2 = 3,
4xi — Х2 = 11.
4xi 4- Х2 = 5,
2xi — 3x2 = —1;
Задание 3. Нечетные номера. Укажите значения параметра Л, при которых уравнение
ь
K(t, s)x(s) ds 4- z(t)
имеет единственное непрерывное на [а, Ь] решение. Найдите точное решение. Четные номера. Докажите, что уравнение
о
c(t) = / K(t, s)x(s) ds 4- z(t)
имеет единственное непрерывное на [а, Ь] решение. Найдите точное решение.
1. а = 0, 6 = 2
2. а = 0, 6 = 1
3. а = 0, 6 = 2
4. а = 0, 6=1
5. а = 0, 6 = 2
6. а = 0, 6=1
7. а = 0, 6 = 2
8. а = 0, 6=1
9. а = 0, 6 = 2
K(ty s) = t2 4- s3, z(t) = t2 4-1; K(t, s) = 3t2s3, z(t) = t]
K(t,s) = t3 4- s2, z(t) = t3 4- 2t] K(t,s) = 2 t3s2, z(t) = 1;
K(t, s) = t 4- s3, z(t) = t2 4-1 4-1; K(t1s) = 3ts3, z(t) = t 4-1;
K(t, s) = t3 4- s, z(t) = t2 +t;
K(t, s) = t3s, z(£) = £3;
K(t, s) = t2 4- s2, z(t) = t3;
449


K(ty s) = 2t2s2, z(t) = t;
K(t,s) = t2 + s3, z(t) = t3 4- 2t\ K(t,s) = 3 t2s3, z(t) = 1;
K(t, 5) — t3 -|- s2, z(t) = t2 -J-1 -|-1;
K(t, s) = 2£3s2, t -h 1;
K(t, s) = t2 4- s3, z(£) = t2 4- £;
K(t, 5) = 3ts3, z(£) = £3;
if(£, s) = t3 4- 5, z(t) = t2 4-1; if(£, s) = t3s, z(t) = t;
K(t, s) = £2 4- s3, г(£) = £3 4- 2£;
K(t,s) = 2£2s2, z(£) = 1;
10. a = 0, 6 = 1
11. a = 0, 6 = 3
12. a = 0, 6=1
13. a = 0, 6 = 4
14. a = 0, 6 = 1
15. a = 1, 6 = 2
16. a = 0, 6 = 1
17. a = 1, 6 = 3
18. a = 0, 6 = 1
19. a = 1, 6 = 4
20. 0 = 0, 6=1 Задание 4. Докажите, что уравнение
t
c(t) = J К(t, s)x(s) ds + z(t)
имеет единственное непрерывное на [0,1] решение.
1. 	K(t, s) = 2ts, z(t) = t + 1;
2. K(t, s) = 3t2s2,
3. K(t, s) = 2t2s,
4. K(t, s) = 3ts2,
5. K(t, s) = 4t2s3,
6. K(t,s) — 2t3s,
7. K(t, s) = 3t3s2,
8. K{t,s) =4t3s3,
9. K(t, s) = 5tV,
10. AT(t,s) =4ts3,
11. K(t,s) = 5fs4,
12. /f(t, s) = 6t2s5,
13. K(t,s) = 5t2s4,
14. K{t, s) = 2t4s,
15. (t, s) = 3t4s2,
16. K(t, s) = 4t4s3,
17. K(t, s) = 5t4s4,
18. K(t, s) = 2t5s,
19. K(t,s) = 3tV,
20. AT(t,s) = 4t5s3,
*(*) = e‘; z(t) = t2 + 1; z(t) = e_t; z(t) = t + 1;
*(<) = e‘; z(t) = t2 + 1; z(t) = e~* z(t) = f + 1; z(t) - e‘; z{t) = t2 + 1;
*(t) = e-‘; z{t) = t2 + 1; z(t) = t2 +1 + 1; z(t) = ie*; z(t) = te_t; z(t) = t2 + t ■+• 1; z(t) = t + 1; z(t) = t2 + 1; z(t) = t.
II. 	Обратный оператор
450


Задание 1. А : Cf»b} - С(в,ц, D(A) = {х € С,™, : *(в) = 0},
(Ax)(t) = xf(t) +p(tjx(t).
а) докажите, что А — линейный ограниченный оператор;
б) найдите оценку сверху для ||А||;
в) обратим ли А? Если да, то найдите А"1)
г) ограничен ли А~г? если ограничен, то укажите оценку сверху для его нормы.
Задание 2. А : С[аМ -+ С[а,ъ]- Варианты 1-8.
D(A) = {x(-) eC[atb]:x"(-) €С[а,ь], х{а) = 0, х(Ь) = 0}.
Варианты 9-16.
D(A) = {x(-)€Cla>bj:x"(-)€C[aib], х'(а) = 0, х'(Ь) = 0}.
Варианты 17-24.
£>(Л) = {ж(-) € С[аМ : ж"(-) G С[в,ь], ж(а) = ж(Ь), ж'(а) = ж'(6)}.
(Ar)(£) = x"(t) +рх (t) + qx(t).
а) докажите, что А — линейный неограниченный оператор;
б) докажите, что А — обратимый оператор и найдите А~1\
в) ограничен ли А~х1 если ограничен, то укажите оценку сверху для его нормы.
Задание 3. А : С[ол] -► С[од],
(.Ax)(t) = x(t) - A J* (a(t)0(s) + 7(t)<5(s))x(s) ds.
При каких значениях Л оператор А имеет обратный? Найдите его.
451


Вариант
p(t)
a
b
1
—2/ft + 1)
0
1
2
tgf
0
1
3
2/(2 -t)
0
1
4
2t/(l + t2)
0
1
5
—2 cos t
0
7Г
6
2 sin t
0
2n
7
2t/VA -12
0
1
8
-2t/y/l +t2
0
1
9
ctgt
1
2
10
-1/V4 -12
0
1
11
1/V4 +12
0
2
12
2/(t + 2)
-1
1
13
-tg t
-1
1
14
2/ft-2)
-1
1
15
—2t/(l +12)
-1
1
16
2 cos t
0
2n
17
—2 sin t
0
7Г
18
-2t/s/4 -12
-1
1
19
2t/Vl +12
-1
1
20
-ctgt
-2
-1
21
l/V4-t2
-1
1
22
-1/V4 +12
-2
2
23
1/(1-t2)
-1/2
1/2
24
2t/(l - t2)
-1/2
1/2
Данные для задания 1.
452


Вариант
а
ь
P
q
1
0
7г/4
2
5
2
0
7г/2
4
5
3
0
7г/4
4
8
4
0
7г/6
2
10
5
0
7г/4
-2
5
6
0
7г/2
-4
5
7
0
7Г/6
-2
10
8
0
7г/4
-4
8
9
0
In 2
2
1
10
0
1пЗ
4
4
11
0
In 3/2
-1
-2
12
0
In 5
-1
-6
13
0
In 5
-2
1
14
0
In 3/2
-4
4
15
0
1пЗ
1
-2
16
0
In 2
1
-6
17
0
1
-4
3
18
0
2
-5
6
19
0
1
-3
2
20
0
In 2
-2
-8
21
0
1
4
3
22
0
2
5
6
23
0
1
3
2
24
0
ln3
2
-8
Данные для задания 2.
453


Вариант
a(t)
m
7(0
m
1
COS 7
COS 7Г£
sin 7t£
— sin nt
2
t
t
t2
t2
3
t
1
1
t
4
t
1
t2
t
5
1
t
t
t2
6
e*
e2t
e2t
e*
7
e3t
1
-1
e2t
8
COS7Tt
2cos 27rt
sin nt
3sin 2wt
9
Sin 7T<
sin 7rt
COS 7r£
COS 7rt
10
212
t
2t
t2
11
2t
1
3
i
12
el
e~2t
e2t
e~‘
13
3t
t
-5t
t2
14
t
3
-2
t
15
21
t
-3t3
t3
16
e*
e2t
-e2t
e-‘
17
cos 7t£
sin 27rt
2 sin nt
cos 2?rf
18
t2
1 +1
1
t
19
e3t
1
et
-e*
20
5e‘
e2t
e2*
-3e~‘
21
t2
t3
t3
*4
22
£ + 1
t - 1
2t + 3
2£ — 1
23
2sin 7rt
COS 7Г*
-3sin 27rt
COS 27Tt
24
2 + 3£
1 4" 5£
t-7
2 4 3£
Данные для задания 3.
III. 	Спектр. Уравнения в банаховых пространствах Задание 1. Найдите спектр оператора (варианты 1-6)
7Г
(Ax)(t) = J sin (at -f /3s)x(s)ds, о
(варианты 7-12)
7Г
(Ax)(t) = J cos (at 4- /3s)x(s)ds, о
454


(варианты 13-18)
(Ax)(t) = J (itas0 + f ss)x{s)ds,
-1
(варианты 19-24)
2
(Ar)(«) = f((t- 1)“/ + ty{s - 1 )s)x(s)ds.
Найдите собственные функции. Найдите спектральный радиус оператора. Найдите резольвентный оператор.
Задание 2. Исследуйте на разрешимость интегральное уравнение (варианты 1-6)
x(t) = A J sin (at + /3s)x(s)ds + cos7^ -f sin St, о
(варианты 7-12)
7Г
x(t) = A J cos (at + /3s)x(s)ds + cos 71 + sin St, 0
(варианты 13-18)
l
x(t) = A J(ta+ t1 s6)x(s)ds + tp,
-1
(варианты 19-24)
2
x(t) = 1 ) V + t7(s - 1 )s)x(s)ds + tp.
В случае существования решений найдите их.
455


Вариант
о;
0
7
5
V
1,7
1
1
1
0
-
2,8
2
1
0
1
-
3, 9
1
2
0
2
-
4, 10
1
-1
2
0
-
5, 11
2
-1
2
1
-
6, 12
1
-2
1
2
-
13, 19
1
1
2
2
2
14, 20
2
1
3
2
1
15, 21
3
2
2
1
2
16, 22
2
3
1
2
1
17, 23
1
2
3
4
2
18, 24
3
3
2
2
1


Список литературы
1. Абросимов А. В., Калягин В. А, Рябинин А. А, Филиппов В. Н. Упражнения по функциональному анализу. - Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1992. - 76 с.
2. Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: КомКнига, 2006 - 208 с.
3. Арсеньев А. А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. - Москва - Ижевск: РХД, 2009 - 500 с.
4. Городецкий В. ВНагнибида Н. И, Настасиев П. Л. Методы решения задач по функциональному анализу. - Киев: Высш. шк., 1990. - 479 с.
5. Данфорд Н, Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М. : И. Л., 1962. - 895 с.
6. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. - М.: Мир, 1964. - 430 с.
7. Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения. — М. Высшая школа, 2008, 384 с.
8. Дерр В. Я. Функциональный анализ. I, Пространства. Лекции и упражнения. — Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 2009. - 220 с.
9. Дерр В. Я. Функциональный анализ. И, Линейные операторы. Лекции и упражнения. — Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 2009. - 300 с.
10. Добеши И. 10 лекций по вейвлетам. — Москва- Ижевск: РХД, 2004. - 464 с.
11. Дороговцев А. Я. Математический анализ: сборник задач. - Киев: Высш. шк., 1987. - 407 с.
12. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. - 624 с.
13. Канторович Л, В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. - 742 с.
14. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1979. - 381 с.
15. Колмогоров А. М., Фомин О. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 544 с.
16. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. Высшая школа, 1973, т.
1 - 614 с.
17. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. - М. Высшая школа, 1973, т.
2 - 470 с.
18. Леонтьева Т. А., Панферов В. С, Серов В. С. Задачи по теории функций действительного переменного. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. - 207 с.
19. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функцонального анализа . - М.: Наука, 1951. - 360 с.
20. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Лань, 1997. - 552 с.
21. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1967. - 444 с.
22. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. - 443 с.
457


23. Садовничий В. А. Теория операторов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 368 с.
24. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. — М.: Наука, 1969. - 288 с.
25. Суетин П. К. Классичекие ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1976. - 327 с.
26. Треногий В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. - 495 с.
27. Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984 - 256 с.
28. Ульянов П. J1., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. И., Казарян К. ССифу- энтес П. Действительный анализ в задачах. - М.: Физматлит, 2005. - 416 с.
29. Федоров В. М. Теория функций и функциональный анализ. Часть первая. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. - 184 с.
30. Федоров В. М. Теория функций и функциональный анализ. Часть вторая. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. - 191 с.
31. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Лань, 1996. Т. 1. — 607 с.
32. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Лань, 1996. Т. 2. — 800 с.
33. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Лань, 1996. Т. 3. — 656 с.


Оглавление
Предисловие 3
1. Метрические пространства 4
1.1. Определение и примеры 4
1.2. Основные понятия, связанные с метрикой 7
1.3. Анализ сходимости в конкретных пространствах .... 10
1.4. Полные метрические пространства 12
1.5. Теорема о пополнении 15
1.6. Принцип вложенных шаров 17
1.7. Принцип сжимающих отображений 18
1.8. Сепарабельные метрические пространства 26
1.9. Компактные множества 27
1.10. Критерий компактности множества в пространстве непрерывных функций 30
Упражнения 33
2. Линейные нормированные пространства 49
2.1. Определение и примеры 49
2.2. Конечномерные ЛНП 51
2.3. Прямое произведение. Изометрический изоморфизм. . . 53
2.4. Ряды в банаховых пространствах 55
2.5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре 55
2.6. Пространства с мерой. Пространство §(Т, 21, ц) 56
2.7. Пространство LP(T, 21, /х) 58
2.8. Плотные множества в LP(T, 21,/х) 62
Упражнения 65
3. Гильбертовы пространства 72
3.1. Определение и простейшие свойства 72
3.2. Примеры гильбертовых пространств 73
3.3. Ортогональность 75
459


3.4. Ортогональные системы элементов 77
3.5. Ряд Фурье по ОНС 79
3.6. Роль пространства 12 81
3.7. Примеры полных ортогональных систем 82
Упражнения 84
4. Линейные операторы и функционалы 88
4.1. Линейные операторы и функционалы 88
4.2. Пространство линейных ограниченных операторов ... 96
4.3. Принцип равномерной ограниченности 100
4.4. Обратный оператор 103
Упражнения 109
5. Сопряженное пространство 124
5.1. Продолжение линейного ограниченного функционала. . 124
5.2. Следствия теоремы Банаха - Хана 125
5.3. Общий вид линейных непрерывных функционалов ... 126
5.4. Сопряженное пространство. Слабая сходимость 135
5.5. Сопряженный оператор 140
Упражнения 144
6. Вполне непрерывные операторы 151
6.1. Свойства линейного непрерывного оператора 151
6.2. Вполне непрерывные операторы 151
6.3. Важные примеры 153
6.4. Подпространство вполне непрерывных операторов . . . 155
6.5. Другие свойства вполне непрерывных операторов .... 157
Упражнения 158
7. Спектр линейного оператора 163
7.1. Спектр линейного ограниченного оператора 163
7.2. Спектр вполне непрерывного оператора 166
7.3. Спектр самосопряженного вполне непрерывного опера-
тора 168
Упражнения 170
8. Линейные уравнения в банаховых пространствах 176
8.1. Постановка задачи. Примеры 176
8.2. Первая теорема Фредгольма 179
8.3. Биортогональные системы 181
8.4. Вторая теорема Фредгольма 181
8.5. Третья теорема Фредгольма 183
460


8.6. Альтернатива Фредгольма 184
Упражнения 185
9. Дифференцирование нелинейных отображений 187
9.1. Функции со значениями в банаховых пространствах. . . 187
9.2. Дифференцирование по Фреше 188
9.3. Примеры нахождения производной Фреше 189
9.4. Свойства производной Фреше 191
9.5. Формула линеаризации. Метод Ньютона 192
9.6. Производная и дифференциал Гато 194
9.7. Производные и дифференциалы Фреше высших поряд¬
ков 195
Упражнения 197
10. Решение упражнений. 1 199
 2 254
 3 281
 4 300
 5 353
 6 383
 7 403
 8 427
 9 434
11. Дополнения. 1. Доказательство неравенств 444
2. 	Индивидуальные домашние задания 447
Список литературы 457


Для заметок


УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ПРАВУ
КОДЕКСЫ
СБО
СБОРНИКИ
КОММ
ФИЛОСОФИЯ ПС!
ФИНАНСЫ
ОТЧЕТНОСТЬ
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ПРАВУ
АРИИ
ность
КОММЕНТАРИИ •*
СБ
ФИЛОСОФИЯс
ПСИХОЛОГИ^
И УЧЕТ
КОММЕНТАРИИ Гр^ЗАКОНЫ
КОДЕКСЫ ЗАКбШ“
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ПРАВУ о
.nroClMFMTEPCy¥J
ИСТОРИЯ*0^™ 1
ЭКОНОМИКА ФИНАНСЫ # ПРОСПЕКТ •
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ПРАВУ
КОММЕНТАРИИ
ФИЛОСОФИЯ
ПСИХОЛОГИЯ
П ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСПЕКТ»
111020, Москва, ул. Боровая, д.7, стр.4 (495) 967-1572 e-mall: mailOprospekt.org
• ПРОСПЕКТ • www.prospekt.org


КНОРУС
компания
КНИГИ ПО ВСЕМ ОТРАСЛЯМ ЗНАНИЙ
•ЛИДЕР В ИЗДАНИИ И РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕЛОВОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
• АССОРТИМЕНТ — 100 ООО НАИМЕНОВАНИЙ КНИГ 2000 РОССИЙСКИХ ИЗДАТЕЛЬСТВ
• БОЛЕЕ 1000 НАИМЕНОВАНИЙ СОБСТВЕННЫХ ИЗДАНИЙ
• ГИБКАЯ ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА
•ДОСТАВКА ВО ВСЕ РЕГИОНЫ РОССИИ И СТРАН СНГ
• ИНФОРМАЦИОННАЯ И ТЕХНИЧЕСКАЯ ПОДДЕРЖКА ПАРТНЕРОВ
• ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИН: WWW.COLIBRI.RU
• ЭЛЕКТРОННО-БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА: WWW.BOOK.RU
Адрес: 129085, Москва, проспект Мира, д. 105, стр. 1. Тел./факс: (495) 741-46-28.
E-mail: office@knorus.ru http://www.knorus.ru