УДК 512.7+519.6
ББК 22.14+22.19
К55
Кокс Д., ЛиттлДж., О'ШиД.
К55 Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычисли-
вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной
алгебры: Пер. с англ. — М.: Мир, 2000. —687с, ил.
ISBN 5-03-003320-3
Монография известных американских математиков посвящена из-
изложению результатов бурно развивающейся области, связанной с алго-
алгоритмами, превращающими базисные понятия коммутативной алгебры
и алгебраической геометрии из абстрактно-теоретических в конкретно
вычислимые. Обсуждение алгоритмов основывается на обобщении ал-
алгоритма деления для полиномов от одной переменной, найденном лишь
в шестидесятых годах. Эти алгоритмы в соединении с мощью быстрых
компьютеров привели к некоторым интересным приложениям — напри-
например, в роботике и в доказательстве геометрических теорем.
Для математиков-теоретиков, специалистов по компьютерной тех-
технике и инженеров, а также для студентов соответствующих специаль-
специальностей.
ВВК 22.14+22.19
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту № 98-01-14096
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-003320-3 (русск.)
ISBN 0-387-94680-2 (англ.)
Original published in English
under the title: Ideals, Varieties,
and Algorithms by David Cox,
John Little, and Donal O'Shea
Copyright © 1997, 1992 Springer-Verlag
New York, Inc. All Rights
Reserved.
© перевод на русский язык,
«Мир», 2000
Предисловие
к русскому изданию
Перед читателем книга, посвященная началам алгебраической гео-
геометрии и коммутативной алгебры. Она предполагает лишь скром-
скромное знание алгебры в объеме базисного университетского курса пер-
первых двух лет обучения (и даже меньше: например, в гл. 7 не пред-
предполагается даже знания основ теории групп). И, тем не менее, книга
наверняка окажется полезной и интересной не только для начинаю-
начинающих, но и для искушенных читателей. Дело в том, что в ней рассма-
рассматриваются естественные вопросы, которые, с одной стороны, сразу
возникают при изучении предмета, а с другой, ранее не освеща-
освещались в литературе на русском языке. Речь идет о способах явного
нахождения объектов, существование которых устанавливается в
ключевых утверждениях теории. Как найти конечный базис идеа-
идеала в кольце полиномов? Как найти конечный базис его радикала?
Как найти уравнения, задающие образ проективного алгебраиче-
алгебраического многообразия при регулярном отображении? Эти и подобные
вопросы являются центральными в книге, определяя и выбор дока-
доказательств фундаментальных фактов теории. Ответы на них удается
получить за счет объединения классических методов, в последние
десятилетия ушедших в тень (теории исключения), и современных
идей, основанных на теории базисов Грёбнера. Наличие в настоя-
настоящее время мощных пакетов компьютерной алгебры делает такое из-
изложение и саму книгу полезной и чисто практически: с их помощью
читатель может получить явные ответы в конкретных интересую-
интересующих его случаях. Для начинающих изучать алгебраическую геоме-
геометрию и коммутативную алгебру последнее является важным мето-
методическим достоинством, опуская абстрактную теорию down to earth
и позволяя все «потрогать» своими руками. Этому же способствуют
и многочисленные упражнения. Среди англоязычных читателей эта
книга, первое издание которой появилось в 1992 г., устойчиво поль-
пользуется хорошей репутацией и стала для многих настольной. Теперь
она станет доступной и для русскоязычных читателей, встав в ряд
с другими замечательными книгами по алгебраической геометрии
и коммутативной алгебре, переведенными на русский язык.
В. Л. Попов

10
Предисловие ко второму изданию
• Бернду Штурмфелсу, чья книга Sturmfels A993) послужила
для нас источником вдохновения при написании гл. 7.
Также надо упомянуть читателей, обнаруживших многочисленные
опечатки и приславших свое мнение о книге. Мы благодарны всем
вам!
Мы (как и в первом издании) будем признательны за замеча-
замечания и предложения. Мы готовы платить $ 1 за каждую найденную
опечатку.
Октябрь 1996 г. Дэвид Кокс,
Джон Литптпл,
Донал О'Ши.
1
Геометрия, алгебра
и алгоритмы
В этой главе вводятся некоторые из основных тем книги. Под гео-
геометрией мы здесь понимаем геометрию аффинных многообразий,
которые являются кривыми и поверхностями (а также объекта-
объектами более высокой размерности), задаваемыми полиномами. Пони-
Понимание теории аффинных многообразий требует знания некоторых
разделов алгебры, в частности теории идеалов в кольцах полиномов
k[xi,..., kn]. Наконец, мы рассмотрим полиномы от одной перемен-
переменной, чтобы проиллюстрировать роль алгоритмов.
§ 1. Полиномы и аффинное пространство
Чтобы установить связь между алгеброй и геометрией, мы будем
изучать полиномы с коэффициентами из некоторого поля. Мы все
знаем, что такое полином, но термин поле может быть незнаком
некоторым читателям. Интуитивно поле —это множество, на кото-
котором заданы операции сложения, вычитания, умножения и деления
с обычными свойствами. Множества вещественных чисел К и ком-
комплексных чисел С — обычные примеры полей, в то время как мно-
множество целых чисел Z полем не является —в нем не определено
деление C и 2 — целые числа, а их частное 3/2 — нет). Формальное
определение поля дано в приложении А.
Одной из причин важности понятия поля является то, что опре-
определения и утверждения линейной алгебры справедливы над любым
полем: если скаляры в вашем курсе линейной алгебры были из К
или из С, то большинство теорем и методов, которые вы изучали,
применимо для произвольного поля к. В этой книге разные поля
будут использоваться в разных целях. Наиболее часто нам будут
встречаться следующие поля:
• поле рациональных чисел Q: большая часть наших примеров
компьютерных вычислений использует это поле;
• поле вещественных чисел К: это поле используется, чтобы рисо-
рисовать кривые и поверхности;

12
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
• поле комплексных чисел С: многие теоремы в книге справедли-
справедливы именно в этом поле.
Иногда мы будем встречать и другие поля, как, например, поле
рациональных функций (оно будет определено позже). Существует
также очень интересная теория конечных полей — один из простей-
простейших примеров этих полей появится в упражнениях.
Теперь мы можем дать определение полинома. Читатель, ко-
конечно, знаком с полиномами от одной или двух переменных, но мы
будем рассматривать полиномы от п переменных х\,..., хп с коэф-
коэффициентами из произвольного поля к. Сначала мы дадим опреде-
определение монома.
Определение 1. Мономом от переменных xi,...,xn называется
произведение вида
Х1 Х2 • • • • 2-п ,
где показатели степеней а\,..., an — неотрицательные целые числа.
Полной степенью монома называется сумма а\ + ... + ап.
Мы будем использовать следующие упрощенные обозначения
для мономов. Пусть а = (а1;... ,а„)—набор п неотрицательных
целых чисел. Положим
Отметим, что если а = @, ¦.., 0), то ха — 1. Через |а| = аН \-ап
мы будем обозначать полную степень монома ха.
Определение 2. Полиномом f от переменных х\,.. .,хп с коэф-
коэффициентами из к называется конечная линейная комбинация мо-
мономов (с коэффициентами из к). Полином / будет записываться
в виде
~^ aa ? к,
где суммирование проводится по конечному множеству наборов а =
(а\,...,ап). Множество всех полиномов от переменных xi,..., хп
с коэффициентами из к обозначается k[xi,... ,хп].
Когда мы будем работать с полиномами от малого количества
переменных, то обычно будем обходиться без индексов. Так, поли-
полиномы от одной, двух или трех переменных принадлежат множе-
множествам к[х], к[х,у] и k[x,y,z] соответственно. Например,
3
/ = 2x3y2z + -y3z3 - 3xyz + у2
является полиномом из Q[x, у, z]. Как правило, мы будем использо-
использовать для обозначения полиномов буквы f,g,h,p,q,r.
§ 1. Полиномы и аффинное пространство
13
При работе с полиномами будут использоваться следующие тер-
термины.
Определение 3. Пусть / = ?^Q aaxa — полином из к[х\,..., ?„].
(i) aa называется коэффициентом мономах".
(ii) Если aa ф 0, то aaxa называется членом полинома /.
(ш) Полной степенью полинома /, обозначаемой deg(/), называ-
называется максимум степеней \а\ по всем мономам с ненулевыми
коэффициентами аа.
Например, полином / = 2x3y2z + |у3г3 — Zxyz + у2, выписан-
выписанный выше, содержит четыре члена и имеет полную степень шесть.
Отметим, что / содержит два члена максимальной степени, что
невозможно в случае полинома от одной переменной. В гл. 2 мы
узнаем, как ввести порядок на множестве членов полинома.
Сумма и произведение двух полиномов являются полиномами.
Мы говорим, что полином / делит полином д, если д = fh для
некоторого полинома h € k[x\, ¦.., хп].
Легко доказать, что операции сложения и умножения на мно-
множестве k[xi,. - -, хп] удовлетворяют всем аксиомам поля, за исклю-
исключением аксиомы существования обратного элемента по умножению
A/xi, например, не является полиномом). Такая структура называ-
называется коммутативным кольцом (в приложении А дано строгое опре-
определение), и по этой причине мы будем называть k[xi,... ,х„] коль-
кольцом полиномов или полиномиальным кольцом.
Определение 4. Пусть дано поле к и натуральное число п; тогда
n-мерным аффинным пространством над к называется множество
кп = {(ai,...,an) :ai,...,an ? к).
Пусть, например, к = Ж. Пространство Мп — объект, знакомый
из курсов математического анализа и линейной алгебры. Отметим
также, что к1 = к называется аффинной прямой, а к2 — аффинной
плоскостью.
Рассмотрим теперь связь между полиномами и аффинными
пространствами. Основным здесь является тот факт, что полином
/ = ?a aaxa ? k[xi,... ,хп] задает функцию
f:kn->k,
определенную следующим образом. Пусть (ai,...,an)?kn. В форму-
формуле, определяющей /, заменим каждое Х{ на а*. Так как коэффици-
коэффициенты принадлежат к, то эта операция дает элемент f(ai,... ,ап) ? к.
Возможность рассматривать полином как функцию и определяет
связь между алгеброй и геометрией.

14
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
I
§ 1. Полиномы и аффинное пространство
15
Двойная природа полинома приводит к некоторым неожидан-
неожиданным следствиям. Например, вопрос «верно ли, что / = 0?» допус-
допускает два истолкования: «является ли / нулевым полиномом?», т.е.
верно ли, что все коэффициенты aa равны нулю, или «является
ли / нулевой функцией?», т.е. верно ли, что /(аь . ¦ - ,ап) = 0 для
всех (ai,... ,an) ? kn. Удивительно, но эти два утверждения в об-
общем случае не эквивалентны! Рассмотрим, например, множество из
двух элементов 0 и 1. В упражнениях мы увидим, что это множе-
множество можно сделать полем, в котором 1 + 1 = 0. Это поле обычно обо-
обозначается F2. Теперь рассмотрим полином х2 - х = х(х - 1) ? F2 [x].
Так как этот полином обращается в нуль в точках 0 и 1, то он дает
пример ненулевого полинома, являющегося нулевой функцией на
аффинном пространстве ?\. Другие примеры будут рассмотрены в
упражнениях1'.
Однако если к бесконечно, то никаких проблем не возникает.
Предложение 5. Пусть к — бесконечное поле u / ? k[x\,... ,хп].
Тогда / = 0 в k[xi,... ,хп] в том и только том случае, когда / :
кп —$¦ к является нулевой функцией.
Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно, так как
нулевой полином определяет нулевую функцию. Рассмотрим обрат-
обратное утверждение. Нам нужно доказать, что если /(ai,... ,ап) = 0
для всех (ах,..., ап) ? кп, то / — нулевой полином. Доказательство
использует индукцию по числу переменных п.
Пусть п=1. Хорошо известно, что ненулевой полином из к[х]
степени т имеет не более т различных корней (этот факт будет
доказан в следствии 3 в § 5). Пусть / ? к[х] и f(a) = 0 для всех
а ? к. Так как к бесконечно, то / имеет бесконечно много корней;
следовательно, / — нулевой полином.
Пусть теперь обратное утверждение справедливо для п — 1, и
пусть / € k[xi,... ,хп] — полином, обращающийся в нуль во всех
точках из кп. Объединяя члены по степеням переменной х„, запи-
запишем / в следующем виде:
N
f =
i=0
где Qi ? к[х\,... ,xn_i]. Мы покажем, что каждый полином <^ —
нулевой полином от п — 1 переменных, откуда будет следовать, что
/ — нулевой полином из к[х\,..., хп] ¦
поле к конечно, то и множество кп конечно. Поэтому в этом случае
множество всех функций / : к" —> к тоже конечно. С другой стороны, множество
к\х\,. ¦ . ,хп] бесконечно. Отсюда следует, что эти утверждения неэквивалентны
ни для какого конечного поля к.— Прим. ред.
Если мы зафиксируем (а,\,..., an-i) € кп х , то получим поли-
полином /(ai,... ,an_i,a;n) ? к[хп] от одной переменной. По предполо-
предположению / обращается в нуль в каждой точке ап ? к. Следовательно,
f(ai,...,an-i,Xn) является нулевым полиномом из fc[xn]. Значит,
его коэффициенты равны нулю, т. е. 5i(ai, • • ¦, ^n-i) = 0 для всех г.
Так как точка (а\,..., an-i) выбрана в кп~1 произвольно, то каж-
каждый дг ? к[х\,... ,xn-i] является нулевой функцией на кп~1. Тогда
по предположению индукции каждый gi является нулевым поли-
полиномом в к[х\,... ,xn_i]. Отсюда следует, что / является нулевым
полиномом в к[х\,.. •, хп]. Предложение доказано. ?
Отметим, что в формулировке предложения 5 утверждение «/ =
0 в к[х\,.. •, х„]» означает, что / является нулевым полиномом, т. е.
все его коэффициенты равны нулю. Таким образом, символ 0 обо-
обозначает и нулевой элемент в А;, и нулевой полином в к[х\,... ,хп].
Из контекста всегда будет ясно, что именно имеется в виду.
В качестве следствия мы получаем, что два полинома равны
в том и только том случае, когда они определяют одну и ту же
функцию на аффинном пространстве.
Следствие 6. Пусть к — бесконечное поле и f,g ? k[x\,... ,хп].
Тогда f = g в k[xi,..., хп] в том и только том случае, когда функ-
функции f : kn -Л к и g : кп —* к равны.
Доказательство. В одну сторону утверждение тривиально. Пусть
теперь /,g ? k[xi,...,xn] задают одну и ту же функцию на кп.
Тогда полином f — g обращается в нуль во всех точках из кп, т. е.
по предложению 5 полином f — g является нулевым. Значит, / = g
в к[х!,...,хп]. п
Наконец, необходимо упомянуть одно специальное свойство по-
полиномов над полем комплексных чисел С.
Теорема 7. Каждый непостоянный полином f ? С[х] имеет ко-
корень в С.
Доказательство. Это утверждение называется основной теоре-
теоремой алгебры, и его доказательство можно найти в любом учебнике
по комплексному анализу (хотя известно и много других доказа-
доказательств) . ?
Поле к называется алгебраически замкнутым, если любой не-
непостоянный полином из к[х] имеет корень в к. Например, поле К
не является алгебраически замкнутым (какие корни имеет полином
х' +1?); в то время как С алгебраически замкнуто (по предыдущей
теореме). В гл. 4 мы докажем теорему Гильберта о нулях, которая
является сильным обобщением теоремы 7.

16
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
Упражнения к § 1
1. Пусть F2 = {0,1}. Определим операции сложения и умножения на
этом множестве следующими равенствами: 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 =
1+0 = 1, 00 = 01 = 10 = 0и1-1 = 1. Докажите, что F2 — по-
поле. (Проверять ассоциативность и дистрибутивность не обязательно,
но надо проверить существование аддитивной и мультипликативной
единиц и ббратных элементов.)
2. Пусть F2 —поле из упр. 1.
(a) Рассмотрим полином д(х, у) = х2у+у2х G F2 [х, у]. Докажите, что1'
д(х, у) = 0 для всех (х, у) ? Щ. Объясните, почему этот факт не
противоречит предложению 5.
(b) Найдите ненулевой полином в ?2[x,y,z], который обращается в
нуль в каждой точке из F^ и который является полиномом именно
от трех переменных2'.
(c) Найдите ненулевой полином в ?2 [х\,..., хп], который обращает-
обращается в нуль в каждой точке из FJ. Можете ли вы отыскать такой
полином, который при этом был бы полиномом именно от п пе-
переменных2'?
3. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры.) Пусть р —
простое число. Кольцо вычетов по модулю р является полем из р
элементов, которое обозначается через Fp.
(a) Выясните, почему Fp — {0} является группой по умножению.
(b) Используя теорему Лагранжа, докажите, что ap~l = 1 для всех
a G Fp - {0}.
(c) Докажите, что ар = а для всех а ??р. Указание: случаи а = 0 и
а ф 0 рассматриваются отдельно.
(d) Найдите ненулевой полином из Fp[x], который обращается в нуль
в каждой точке поля Fp. Указание: используйте результат п. (с)
этого упражнения.
4. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры). Пусть F —
конечное поле из q элементов. Используя рассуждения упр. 3, до-
докажите, что ненулевой полином хч — х G F[x] обращается в нуль в
каждой точке поля F. Этот результат показывает, что ни для какого
конечного поля утверждение предложения 5 не имеет места3'.
5. При доказательстве предложения 5 мы представили полином / G
к[х\,..., хп] как полином от одной переменной хп с коэффициентами
из к[х\,... ,хп-\]. Чтобы посмотреть, как эта процедура выглядит в
х'Точнее, д(а, Ь) — 0 для всех (а, Ь) € Щ ¦— Прим. ред.
2'Используйте примечание редактора на с. 14 для построения примеров та-
такого рода.— Прим. ред.
3'См. примечание редактора на стр. 14.— Прим. ред.
§ 2. Аффинные многообразия
17
конкретном случае, рассмотрите полином
f(x, у, z) = Xsу2z - хЛу3 + у5 + x2z - y3z + xy + 2х - bz + 3.
(a) Запишите / как полином otic коэффициентами из к[у, z].
(b) Запишите / как полином от у с коэффициентами из fc[x,z].
(c) Запишите / как полином от z с коэффициентами из к[х, у].
6. Рассмотрим в С" подмножество Z", которое состоит из всех точек с
целыми координатами.
(a) Докажите, что если / G C[xi,..., хп] обращается в нуль в каждой
точке множества Z", то / — нулевой полином. Указание: исполь-
используйте доказательство предложения 5.
(b) Пусть / 6 С[ц ,.. ¦, хп], а М — наибольшая из степеней входящих
в / переменных. Определим Z^+1 как подмножество в Zn, состо-
состоящее из точек, все координаты которых — целые положительные
числа, не превосходящие М + 1. Пусть / обращается в нуль в
каждой точке из Zj{/+1. Докажите, что / — нулевой полином.
§ 2. Аффинные многообразия
Теперь мы можем определить основной геометрический объект ис-
исследований в данной книге.
Определение 1. Пусть к — некоторое поле, a fi,. ¦ ¦, fs — полино-
полиномы в k[xi,..., хп]. Положим
= {(a1,...,an) ? кп : fifa,... ,а„) = 0 для всех 1 < i < s}.
i, ¦ ¦ ¦, fs) называется аффинным многообразием, определенным
полиномами f\,...,fsl\
Другими словами, аффинное многообразие V(/i,..., fs) С кп —
это множество решений системы уравнений fi(x\,... ,хп) = ...
= fs(xi,..., хп) — 0. Мы будем использовать буквы V, W и др. для
обозначения аффинных многообразий. Главная цель этого пара-
параграфа—познакомить читателя с большим количеством примеров,
среди которых будут знакомые и незнакомые объекты. Мы рассма-
рассматриваем случай к — К, что позволяет нам рисовать картинки.
'Хотя это и не вполне аккуратно, часто используется название «многообра-
«многообразие f\=... = fs= 0». (Эта терминология используется и в настоящей книге.) —
Прим. ред.

18
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 2. Аффинные многообразия
Начнем с многообразия У(х2 + у2 - 1) на плоскости К2, которое,
конечно же, является окружностью радиуса 1 с центром в начале
координат:
Конические сечения, которые изучаются в курсе аналитической
геометрии (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы), являют-
являются аффинными многообразиями. Аналогично, графики полиномов
также являются аффинными многообразиями (график функции
у = /(х) есть аффинное многообразие У (у — f(x))). Хотя это и не
так очевидно, графики рациональных функций — тоже аффинные
многообразия. Рассмотрим, например, график функции у = х ~1:
-20
Легко видеть, что это аффинное многообразие У(ху - х3 + 1).
Перейдем теперь к трехмерному пространству R3. Параболоид
вращения V(z - х2 - у2) представляет собой красивое аффинное
многообразие, которое получается при вращении параболы z = х2
19
вокруг оси z (этот факт легко доказывается с помощью перехода к
полярным координатам). Вот как выглядит это многообразие:
Наверное, вам знаком конус V(z2 - х1 — у2):
Многообразие V(x2 - y2z2 + z3) является более сложной поверх-
поверхностью:
Поверхности из последних двух примеров не везде гладкие: конус
имеет острие в начале координат, а в последнем примере ось у
является линией самопересечения поверхности. Это примеры осо-
особых точек, которые будут изучаться далее.
Интересным примером кривой в К3 является скрученная куби-
кубика — многообразие У (у - x2,z - х3). Для простоты мы рисуем ту

20
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
часть кривой, которая лежит в первом октанте. Сначала изобразим
поверхности у = х2 и z = х3 *' отдельно:
у = х
Их пересечение и есть скрученная кубика:
Скрученная кубика
Отметим, что когда мы имеем одно уравнение в К2, то получа-
получаем кривую — одномерный объект. В К3 ситуация аналогична: одно
уравнение в К3 обычно задает поверхность, которая имеет размер-
размерность два. Опять размерность уменьшается на единицу. Рассмот-
Рассмотрим теперь скрученную кубику: два уравнения в К3 задают кри-
кривую, т. е. размерность уменьшается на два. Так как каждое уравне-
уравнение задает дополнительное условие, то интуиция подсказывает, что
введение каждого дополнительного уравнения должно понижать
размерность на единицу. Значит, в К4 два уравнения должны опре-
определять поверхность. К сожалению, понятие размерности является
более сложным, чем может показаться из рассмотренных примеров.
Рассмотрим, например, многообразие \{xz,yz). Легко проверить,
. примечание редактора на с. 17. — Прим. ред.
§ 2. Аффинные многообразия 21
что уравнения xz = yz = 0 задают объединение плоскости (х,у) и
Таким образом, многообразие состоит из двух частей разной раз-
размерности и одна из частей (плоскость) имеет .неправильную! pS-
мерность (согласно описанным выше интуитивным соображениям)
Приведем несколько многомерных примеров. Хорошо известный
объект возникает в линейной алгебре. Рассмотрим" систему из ш
™Т1ГеИС ™еСТНЬШИ - ^ ФФ
...+ alnxn = bx
'¦ A)
-.. + amnxn -bm.
Решения этой системы образуют аффинное многообразие в кп ко-
сТяТГГ^ ЛТейным многообразием. Так, прямые и плоско-
плоскости являются линейными многообразиями. Существуют линейные
чеЗга^Г ПР°ИЗВ°ЛЬ„Н0 ^™* размерностей. Метод искГ
собой Lrn' ИЗуЧаемЫИ в к^се линейн°й алгебры, представляет
собой алгоритм нахождения всех решений такой системы. В гл 2
ния ДГ™ °б0бщение этого мет°Да> к°™рое применимо для реше-
решения систем полиномиальных уравнений.
Линейные многообразия дают хороший материал для обсужде-
1 мЛ6МЫ ГМеРН0СТИ' А ИМ6НН0' еаШ V С ^ -ляется ли-
лимногообразием, определяемым системой A), то его размер-
иЛ°РйЯЗаТеЛЬН0 РаВНа V т> Х°ТЯ V И опР<»о т уравне-
уравнеи. Действительно, если У непусто, то его размерность равна
ньгеIf YPaH-r матРицы Ю- Таким образом, в случае линей-
ушвнений и™ ра3меРН0СТЬ определяется числом независимых
обшем Л 5М6ННО ЭТ° ИНТУ™ное соображение и применимо в
нош уТ^неГияХ°ТЯ П°НЯТИе *НезависимоСт^ -Ребует существен-
аХРПе МногомеРные химеры дает математиче-
математичеанализ. Пусть, например, мы хотим отыскать минимум и мак-

22
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 2. Аффинные многообразия
23
симум функции f(x,y,z) =x3+2xyz—z2 при условии, что д(х, y,z) =
x2+y2+z2 = 1. Согласно методу множителей Лагранжа, V/ = XV д в
точках локального экстремума (напомним, что градиент функции
/ — это вектор частных производных V/ = (f'x, fy! f'z))- Это дает
нам следующую систему из четырех уравнений с четырьмя неиз-
неизвестными x,y:z,X:
Зх2 + 2yz = 2х\,
Ixz = 2уХ,
2ху -2z = 2zX, [ '
х2 + у2 +z2 = 1.
Эти уравнения определяют аффинное многообразие в К4, и наша
интуиция подсказывает нам, что оно состоит из конечного множе-
множества точек (т.е. имеет размерность 0), потому что оно задано че-
четырьмя уравнениями. Студенты обычно считают метод множите-
множителей Лагранжа сложным, так как получаемые системы уравнений
обычно трудно решать. Алгоритмы, которые будут рассмотрены в
гл. 2, являются мощным инструментом решения подобных задач.
В частности, будет получено и решение системы B).
Необходимо также отметить, что аффинное многообразие мо-
может быть пустым множеством. Пусть, например, к = Ш; тогда
У(х2 + у2 + 1) = 0, так как уравнение х2 + у2 = -1 не имеет веще-
вещественных решений (хотя оно и имеет решения, когда к = С). Дру-
Другой пример —это многообразие У(ху,ху — 1), которое пусто при
любом поле, так как фиксированные х и у не могут одновремен-
одновременно удовлетворять двум равенствам: ху = 0 и ху = 1. В гл. 4 будет
рассмотрен метод, позволяющий определить, когда аффинное мно-
многообразие непусто над С.
Скажем несколько слов о применениях аффинных многообра-
многообразий. Вот пример из роботики. Пусть рука робота, состоящая из
двух соединенных стержней длины 1 и 2 совершает движения в
плоскости. Длинный стержень закреплен в начале координат:
«Состояние» руки полностью определено координатами (х,у) и
(z,w), указанными на рисунке. Таким образом, состояние может
рассматриваться как точка (x,y,z,w) ? К4. Однако не все точки
из Ш4 могут представлять состояния руки. Легко видеть, что мно-
множество состояний есть аффинное многообразие в К4, определенное
уравнениями
х2 + у2 = 4,
(х - zf + (у
= 1.
Отметим, как естественно возникают многомерные задачи: если мы
будем рассматривать ту же самую руку в трехмерном простран-
пространстве, то многообразие состояний определяется двумя уравнениями
в К6. Техника, развитая в этой книге, имеет важные приложения
в роботике.
До сих пор все наши картинки рисовались над К. Далее в этой
книге мы будем рассматривать многообразия над С. В этом слу-
случае труднее (но не невозможно) представить себе геометрию мно-
многообразия.
Перечислим, наконец, основные свойства аффинных многообра-
многообразий.
Лемма 2. Если V, W С кп — аффинные многообразия, mo V U W и
V П W также являются аффинными многообразиями.
Доказательство. Пусть V = V(/i,..., /s) и W = У(дг,... ,gi). Мы
утверждаем, что
g),
V U W = V(fi9j : 1 < i < s, 1 < j < t).
Первое утверждение тривиально: если точка принадлежит V П W,
то как функции /i,..., fs, так и функции д\,..., gt обращаются в
этой точке в нуль. Это то же самое, что обращение в нуль набора
функций fi,...,fs,gi,...,gt-
Доказательство второго утверждения требует больших усилий.
Если (ai,...,an) ? V, то все /; обращаются в нуль в этой точке;
значит, и все функции figj обращаются в нуль в (aj,..., ап). Таким
образом, V С У(figj) и, аналогично, W С V(/ipj). Следовательно,
V U W С W {figj). С другой стороны, пусть (аь ... ,а„) € У (figj).
Если эта точка принадлежит V, то все доказано, если же нет, то
fi0 (aj,..., ап) ф 0 для некоторого г0- Так как функции fiogj обра-
обращаются в нуль в (ах,..., ап) при всех j, то все gj равны нулю в этой
точке. Значит, (ах,..., ап) ? W и V(/jpj) CVUW. ?
Из этой леммы вытекает, что конечные объединения и пересе-
пересечения аффинных многообразий являются аффинными многообра-

24
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
зиями. На самом деле мы уже встречались с объединениями и пе-
пересечениями. Рассмотрим, например, объединение плоскости (х, у)
и оси z в К3. По формуле из доказательства леммы 2
V(z)UV{x,y)=V(xz,yz).
Это, разумеется, один из рассмотренных нами ранее примеров. Что
касается пересечений, отметим, что скрученная кубика была задана
как пересечение двух поверхностей.
Анализ двух примеров из этого параграфа ведет к постановке
интересных задач об аффинных многообразиях. Пусть /i ,-•.,/« ?
к[х\,..., хп]. Тогда можно сформулировать следующие проблемы:
• (Совместность) Можем ли мы выяснить, будет ли V(/i,..., /s),
непустым, т. е. имеют ли уравнения Д = • • • = /5 = 0 общее ре-
решение?
• (Конечность) Можем ли мы выяснить, конечно ли множество
V(/i,..., /s), и если да, то как найти все решения в явном виде?
• (Размерность) Можем ли мы найти «размерность» многообра-
многообразия V(/i,...,/.)?
Ответ на все эти вопросы утвердительный, хотя мы с осторож-
осторожностью должны относиться к выбору поля к, над которым опреде-
определяются многообразия. Самая трудная задача—о размерности, так
как для ее решения нам понадобится весьма непростая теория. Тем
не менее мы дадим полные ответы на все три вопроса.
Упражнения к § 2
1. Нарисуйте следующие аффинные многообразия в R2:
(a) V(i2+4j/2+2i-16j/ + 1);
(b) V(x2-y2);
(c) VBx + y-l,3x-y + 2).
Имеет ли многообразие в каждом из этих примеров интуитивно ожи-
ожидаемую размерность?
2. Нарисуйте многообразие V(j/2 — х(х — 1)(ж — 2)) в R2. Указание: для
каких х равенство у2 = х(х — 1)(х — 2) можно разрешить относи-
относительно у? Сколько значений у отвечают одному значению х1 Какие
симметрии имеет кривая?
3. В плоскости R2 нарисуйте картинку, иллюстрирующую пересечение
V(x2 + у2 - 4) П V(xy - 1) = V(x2 + у2 - 4, ху - 1),
и найдите точки пересечения. Отметим, что этот пример является
частным случаем леммы 2.
4. Нарисуйте следующие аффинные многообразия в 1R3:
(a) V(x2+y2 + z2-l);
§ 2. Аффинные многообразия
25
(b)
(с)
(d) V(xz2 — ху). Указание: разложите xz2 — ху на множители;
(e) V(x4-xz,x3 -ху);
(f) V(x2 + y2 + z2-l,x2 + y2 + (z- IJ - 1).
Имеет ли многообразие в каждом из этих случаев интуитивно
ожидаемую размерность?
5. Используйте доказательство леммы 2 для того, чтобы нарисовать
многообразие V((x-2)(x2-y), y(x2-y), (z+l)(x2-y)) в R3. Указание:
объединением каких двух многообразий является это многообразие?
6. Докажем, что любое конечное подмножество в кп является аффин-
аффинным многообразием.
(a) Докажите, что точка (ai,..., an) G кп является аффинным мно-
многообразием.
(b) Докажите, что каждое конечное подмножество в кп является аф-
аффинным многообразием. Указание: используйте лемму 2.
7. Один из красивейших примеров построения графика кривой в по-
полярных координатах дает четырехлепестковая роза
Эта кривая задана полярным уравнением г = sinB0). Докажем, что
она является аффинным многообразием.
(a) Используя связь между декартовыми и полярными координа-
координатами г2 = х2 + у , х = г cos в, у = г sin 9, докажите, что че-
четырехлепестковая роза содержится в аффинном многообразии
V((z2 + у2K — Ах2у2). Указание: разложите sinB0) в произведе-
произведение.
(b) Докажите, что многообразие V((z2 + у2K — 4x2j/2) содержится
в четырехлепестковой розе. Эта задача сложнее, чем кажется на
первый взгляд, так как г в равенстве г = sin B6) может оказаться
отрицательным.

26
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
2. Аффинные многообразия
27
Объединяя задачи (а) и (Ь), мы и получим доказательство то-
того, что четырехлепестковая роза является аффинным многообрази-
емУ((х2+у2K-4х2г/2)-
8. Доказательство того, что некоторое множество не является аффин-
аффинным многообразием, может потребовать некоторых усилий. Рассмот-
Рассмотрим, например, множество
X = {{х,х) :хеШ,хф1} CR2,
которое представляет собой прямую у = х с удаленной точкой A,1).
Докажем, что X не есть аффинное многообразие. Предположим про-
противное: X = V(/i,..., fs). Каждая функция /i обращается в нуль на
X, и если мы покажем, что /; равна нулю и в точке A,1) тоже, то
тем самым мы придем к нужному нам противоречию. То есть нужно
доказать следующее утверждение: пусть / G К[х, у] равна нулю на
X; тогда /A,1) = 0. Указание: положим g(t) = f{t,t); тогда д G R[t].
Теперь можно применить предложение 5 из § 1.
9. Пусть R = {(х,у) G К2 : у > 0} —верхняя полуплоскость. Докажите,
что R не является аффинным многообразием.
10. Пусть множество Z" С С™ состоит из точек с целыми координатами.
Докажите, что Z" не является аффинным многообразием. Указание:
примените результат упр. 6 из § 1.
11. До сих пор мы рассматривали многообразия над R и С. Можно, од-
однако, изучать многообразия над полем Q. Задачи о многообразиях в
этом случае становятся значительно труднее. Пусть, например, п —
натуральное число. Рассмотрим многообразие К, С Q2, заданное
уравнением
хп+уп = 1.
Это уравнение имеет очевидные решения, когда х или у равно нулю.
Мы назовем их тривиальными решениями. Возникает интересный
вопрос о существовании нетривиальных решений.
(a) Докажите, что Fn имеет два тривиальных решения, если п не-
нечетно, и четыре, если п четно.
(b) Докажите, что Fn имеет нетривиальное решение при п > 3 в том
и только в том случае, когда великая теорема Ферма неверна.
Великая теорема Ферма утверждает, что при п > 3 уравнение
п . п п
X +у - Z
не имеет целых ненулевых решений. В общем случае эта теорема
была доказана Эндрю Вайлсом в 1994 г. с использованием весьма
сложных теоретико-числовых методов. Доказательство является ис-
исключительно трудным.
12. Возьмите какую-нибудь задачу на метод множителей Лагранжа из
учебника по анализу и составьте систему уравнений. Убедитесь сна-
сначала, что это задача о минимуме или максимуме именно полинома с
полиномиальными же условиями. Тогда построенная система урав-
уравнений (иногда довольно сложная) определяет аффинное многообра-
многообразие. Позже мы будем использовать базисы Грёбнера для решения
подобных систем.
13. Рассмотрим руку робота в R2, которая состоит из трех стержней
длины 3, 2 и 1 соответственно. Стержень длины 3 закреплен в начале
координат, стержень длины 2 соединен со свободным концом первого
стержня, а стержень длины 1 соединен со свободным концом второго
стержня. «Кисть» робота прикреплена к концу стержня длины 1.
(a) Нарисуйте картинку руки робота.
(b) Сколько переменных определяют «состояние» руки?
(c) Составьте уравнения многообразия возможных состояний.
(d) Используя интуитивные соображения о размерности, которые
обсуждались в этом параграфе, подумайте, какой может быть
размерность многообразия состояний.
14. В этом упражнении изучаются возможные состояния «кисти» робота
из упр. 13.
(a) Пусть (и, v) — координаты кисти. Объясните, почему u2+v2 < 36.
(b) Предположим, что второй стержень закреплен так, что он обра-
образует прямолинейное продолжение первого, причем в остальных
соединениях свобода движения не ограничена. Изобразите эту
ситуацию и покажите, что в этом случае (и, v) может быть лю-
любой точкой кольца 16 < и2 + v2 < 36.
(c) С помощью рисунка покажите, что (и, v) может быть любой точ-
точкой в круге и2 + v2 < 36. Указание: фиксируйте специальным
образом второе соединение.
15. В лемме 2 мы доказали, что объединение и пересечение двух аффин-
аффинных многообразий V и W являются аффинными многообразиями. В
этом упражнении мы рассмотрим другие теоретико-множественные
операции над аффинными многообразиями.
(a) Докажите, что конечные объединения и пересечения аффинных
многообразий являются аффинными многообразиями. Указание:
индукция.
(b) Приведите пример бесконечного объединения аффинных много-
многообразий, которое не является аффинным многообразием. Ука-
Указание: в упр. 8-10 указаны подмножества в кп, не являющие-
являющиеся аффинными многообразиями. Удивительно, но бесконечное
пересечение аффинных многообразий является-таки аффинным
многообразием. Этот результат — следствие теоремы Гильберта
о базисе, которая будет рассматриваться в гл. 2 и 4.
(c) Покажите, что теоретико-множественная разность V — W двух
аффинных многообразий не обязательно является аффинным
многообразием.
(d) Пусть V С кп и W С кт —два аффинных многообразия, и пусть
V х W ={A1,..., хп, 2/1, • ¦ •, Ут) 6 кп+т :
(хи...,Хп) eV,(yi,...,ym) € W]

28
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 3. Параметризации аффинных многообразий
29
— их декартово произведение. Докажите, что V xW является
аффинным многообразием в кп+ш. Указание: если V задано по-
полиномами /i,... ,/s ? k[x\,... ,xn], то мы можем рассматривать
/i как полиномы из k[xi,..., хп, J/i, •. •, y-m]', аналогично мы мо-
можем рассуждать и в случае W. Покажите, что это рассуждение
позволяет построить определяющие уравнения для произведения
V xW.
§ 3. Параметризации аффинных многообразий
В этом параграфе мы рассмотрим задачу описания точек аффинно-
аффинного многообразия V(/i,..., /s). Эту задачу можно переформулиро-
переформулировать как задачу описания всех решений системы полиномиальных
уравнений /i = •.. = /s = 0. Если решений конечное число, то наша
цель — просто перечислить их. Но что делать, если их бесконечно
много? Здесь мы должны ввести понятие параметризации аффин-
аффинного многообразия.
Рассмотрим сначала пример из линейной алгебры — следующую
систему уравнений над М:
x + y + z = l,
x + 2y-z = 3. U
С геометрической точки зрения эта система определяет прямую в
К3, которая является пересечением плоскости х + у + z = 1 и плос-
плоскости х + 2у — z = 3. Таким образом, система имеет бесконечно
много решений. Для описания решений, используя приемы из ме-
метода Гаусса, преобразуем систему A) к виду
x+3z = -1,
у - 22 = 2.
Пусть z = t, где t — произвольное вещественное число; тогда все
решения системы A) можно записать в виде
х = —1 — 3
у = 2 + 2t,
z = t.
B)
Мы назовем t параметром, а B), таким образом, является параме-
параметризацией множества решений системы A).
Рассмотрим, как метод параметризации решений применяется
к изучению аффинных многообразий. Возьмем в качестве примера
единичную окружность
х2+у2 = 1. C)
Обычный метод параметризации в этом случае — использование
тригонометрических функций
х = cost,
у = sin t.
Существует, однако, и алгебраическая параметризация окружно-
сти: 2
X =
У =
2t
D)
t2'
Читателю надо проверить, что так определенные точки лежат на
окружности C). Следует отметить, что эта параметризация не опи-
сывает точки окружности полностью: так как х = jvfy He может
быть равно —1, то точка (—1,0) не параметризована. В конце пара-
параграфа мы объясним, как была построена эта параметризация.
Отметим, что в уравнениях D) использованы отношения поли-
полиномов — рациональные функции. И прежде чем мы всерьез займем-
займемся задачей параметризации, дадим общее определение рациональ-
рациональной функции.
Определение 1. Пусть А; —некоторое поле. Рациональной функ-
функцией от переменных tx,... ,tm с коэффициентами из к называется
отношение f/g двух полиномов /, д € k[t\,... ,tm], где д не явля-
является нулевым полиномом. Далее, две рациональные функции f/g
и h/k равны, если kf = gh в k[ti,... ,tm]. Множество всех рацио-
рациональных функций от переменных h,...,tm с коэффициентами из
к обозначается k(ti,..., tm).
Легко показать, что сумма и произведение рациональных функ-
функций являются рациональными функциями и что k(ti,...,tm) — по-
поле. Мы не будем давать доказательства этих утверждений.
Рассмотрим многообразие V = V(/i,...,/.,) С кп. Его рацио-
рациональной параметризацией (или рациональным параметрическим
представлением) называется набор из п рациональных функций
ri, • • ¦, гп ? k{t\,..., tm), такой, что точки с координатами
х\ =r\{ti,...,tm),
Х2 = r2{h,... ,tm),
,... ,tm)

30
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
3. Параметризации аффинных многообразий
31
принадлежат1) V. Мы также требуем, чтобы V было «наимень-
«наименьшим» многообразием, содержащим эти точки. Как показывает при-
пример окружности, может случиться, что не все точки многообразия
V будут параметризованы. В гл. 3 мы дадим точное определение
того, что мы имеем в виду под словом «наименьшее».
Часто встречается такая параметризация многообразия V, когда
т\,..., гп — полиномы. В этом случае параметризация называется
полиномиальной.
Отметим, что первоначальный набор уравнений /i = • • • = /s = 0,
определяющих многообразие V, иногда называется его неявным
представлением. В предыдущих примерах A) и C) —неявные
представления, а B) и D) — параметрические представления.
Одним из главных достоинств параметрического представле-
представления кривой или поверхности является то, что оно позволяет лег-
легко нарисовать ее на экране компьютерного монитора. Зная фор-
формулы параметризации, компьютер вычисляет координаты точек
многообразия при различных значениях параметров и рисует их
на экране. В § 2, например, был приведен рисунок поверхности
\{х2 - y2z2 + z3):
При построении этого рисунка не использовалось, разумеется, не-
неявное представление х2 — y2z2 + z3 = 0. Мы использовали параме-
параметрическое представление, заданное формулами
х = t(u2 — t2),
у = и, E)
z = и1 - Г.
Так как мы описываем поверхность, то параметров два—это t и
и. Рисунок изображает часть поверхности, когда — 1 < t,u < 1. В
^Точнее, для любых элементов ai,...,am поля к точка с координатами
n(ai, ¦. ¦ ,am), • • ¦ ,Tn{a-i, ¦ ¦ ¦, о.т) принадлежит многообразию V. Подчеркнем,
что не предполагается, что разным наборам значений параметров t\,...,tm
отвечают разные точки многообразия V.— Прим. ред.
упражнениях будет предложено получить эту параметризацию и
доказать, что она описывает всю поверхность V(x2 - y2z2 + z3).
В то же время для решения некоторых задач более удобным
бывает неявное представление. Пусть, например, мы должны вы-
выяснить, принадлежит или нет точка A,2,-1) нашей поверхности.
Если мы работаем с параметризацией E), то решение этой задачи
сводится к решению системы
1 = t(u2 - t2),
2 = «, (б)
-I = u2-t2
с неизвестными t и и. С другой стороны, если мы работаем с неяв-
неявным представлением x2—y2z2+z3 = 0, то нам достаточно подставить
координаты точки в уравнение. Так как
I2 - 22(-1J + (-1K = 1 - 4 - 1 = -4 ф 0,
то точка A,2, -1) не лежит на поверхности (значит, система F) не
имеет решений).
Удобство работы сразу с двумя представлениями приводит к
постановке двух проблем:
• (Параметризация) Всякое ли аффинное многообразие имеет ра-
рациональную параметризацию?
• (Неявное представление) Пусть аффинное многообразие задано
параметрическим представлением. Можно ли найти уравнения,
которые его определяют (т. е. найти неявное представление)?
Ответ на первый вопрос отрицательный. В действительности
большинство аффинных многообразий не имеют рациональной па-
параметризации. Те многообразия, которые могут быть рациональ-
рационально параметризованы, называются унирационалъными. Как прави-
правило, ответить на вопрос об унирациональности данного многообра-
многообразия довольно трудно. Положение со вторым вопросом значительно
лучше. В гл. 3 мы увидим, что ответ на второй вопрос утверди-
утвердительный: если дано параметрическое представление, то мы всегда
можем найти определяющие уравнения.
Посмотрим на примере, как построить неявное представление.
Рассмотрим параметрически заданную кривую на плоскости
* = 1 + '' G)
y = l + t2. G)
Пока мы не знаем, лежит ли эта кривая на каком-либо аффинном
-многообразии. Для того чтобы построить искомое уравнение, вы-
выразим t из первого уравнения системы:

32
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
Подставляя t во второе уравнение, получим
у = 1 + {х - IJ = х2 - 2х + 2.
Отсюда следует, что параметрическое уравнение G) описывает аф-
аффинное многообразие V(j/ — х2 + 2х — 2).
Таким образом, в предыдущем примере основа стратегии состо-
состояла в исключении переменной t так, чтобы осталось одно уравнение,
содержащее только х и у. Этот пример демонстрирует роль теории
исключения, которая будет подробно рассмотрена в гл. 3.
В следующих двух примерах мы рассмотрим, как геометричес-
геометрические соображения позволяют найти параметризацию многообразий.
Рассмотрим сначала единичную окружность. Ее параметризация
D) уже нам известна:
х —
У -
2t
Откуда же возникла такая параметризация? Отметим, что каждая
невертикальная прямая, проходящая через точку (—1,0), пересека-
пересекает окружность еще в одной точке (х,у):
Кроме того, каждая невертикальная прямая пересекает ось у в
какой-то точке @,t) (см. рисунок).
Все это и дает нам геометрическую параметризацию окруж-
окружности: по заданному t строим прямую линию, соединяющую точ-
точки (—1,0) и @,?); тогда эта прямая пересекает окружность еще в
какой-то точке (х,у). Отметим, что это построение действительно
задает параметризацию: когда t пробегает ось у от — оо до +оо, то
§ 3. Параметризации аффинных многообразий
33
соответствующая точка (х, у) пробегает всю окружность за исклю-
исключением точки (—1,0).
Осталось явно выразить х и у через t. Для этого рассмотрим
наклон прямой. Мы можем вычислить величину1' наклона двумя
способами: или с использованием точек (—1,0) и @,?), или с ис-
использованием точек (-1,0) и (х,у). Получаем уравнение
t-0
y-0
x — (—1
откуда
х + 1
Если мы подставим у = t(x +1) в уравнение окружности х2 +у2 = 1,
то получим
что дает нам квадратное уравнение для определения х:
A + t2)x2 + 2t2x +12 - 1 = 0. (8)
Так как прямая пересекает окружность в двух точках, то это урав-
уравнение имеет два решения, одно из которых равно -1. Поэтому (8)
может быть записано как произведение
(x + l)((l + t2)x-(l-t2)) = O.
Так как искомая х-координата определяется вторым сомножите-
сомножителем, то
_ 1-t2
А так как у - t(x + 1), то
V-
It
и мы получили параметризацию, описанную ранее. Отметим, что
геометрические соображения точно показывают, какая именно
часть окружности параметризована.
В качестве второго примера рассмотрим скрученную кубику из
§ 2. Касательные к этой кривой в трехмерном пространстве образу-
' Точнее, тангенс угла.— Прим. ред.

34
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
ют интересную поверхность. Идея ее построения такова. Для каж-
каждой точки кривой существует касательная (в этой точке):
Теперь представим себе, что проведены касательные ко всем точ-
точкам скрученной кубики. Это дает нам следующую поверхность:
На рисунке показано несколько касательных. А вся поверхность
называется касательной поверхностью скрученной кубики.
Переведем теперь это геометрическое рассуждение на алгебра-
алгебраический язык. Сначала отметим, что, положив х = t в уравнениях
х3 = 0, мы получаем параметризацию
x = t,
у — х2 = z
z = t3
скрученной кубики. Мы запишем ее в виде г(?) = (t,t2,t3). Зафик-
Зафиксируем некоторое t и рассмотрим соответствующую точку на кри-
кривой. Мы знаем из курса анализа, что касательный вектор к кривой
в точке r(t) равен r'(t) = (l,2t,3t2), а параметрическое уравнение
касательной прямой записывается в виде
r(t) + иг'@ = (*, t2, t3) + иA,2t, 3t2) = (t + u,t2 + 2tu, t3 + 3t2u),
где и — параметр на касательной. Пусть теперь t меняется; тогда
мы получаем параметризацию всей касательной поверхности:
X = t + U,
y = t2 + 2tu,
z = t3 + 3t2u.
3. Параметризации аффинных многообразий
35
Параметры tnu имеют следующую интерпретацию: t говорит нам
о положении на кубике, а и — о положении на касательной прямой.
Именно эта параметризация была использована для построения ри-
рисунка касательной поверхности выше.
Последний вопрос относится к неявному заданию касательной
поверхности: как найти ее уравнение? Это частный случай упомя-
упомянутой выше задачи построения неявного представления. В нашем
случае задача решается исключением t и и из параметрических
уравнений. В гл. 2 и 3 мы увидим, что существует алгоритм исклю-
исключения, и докажем, что касательная поверхность скрученной кубики
задается уравнением
-4x3z + Зх2у2 - 4у3 + 6xyz - z2 = 0.
Мы закончим эту главу примером компьютерного геометрического
проектирования (КГП). Если необходимо спроектировать сложную
поверхность, вроде кузова автомобиля или крыла самолета, инже-
инженерам нужен банк кривых и поверхностей разной формы, просто
описываемых и легко строящихся. Рациональные и полиномиаль-
полиномиальные параметрические уравнения удовлетворяют этим требованиям
(существует большая литература на эту тему).
Предположим для простоты, что проектировщик хочет описать
кривую на плоскости. Сложные кривые, как правило, составляются
из нескольких простых кусков, а чтобы части соединялись гладко,
направления касательных двух кусков должны совпадать в точке
соединения. То есть для каждого куска нужно контролировать сле-
следующие геометрические параметры:
(i) начальную и конечную точку куска;
(ii) касательные направления в начальной и конечной точке.
Кубика Безье, открытая конструктором фирмы «Рено» П.Безье,
хорошо подходит для этой цели. Она определена параметрически
следующими уравнениями:
х = A - tKx0 + 3t(l - tfi! + 3i2(l - t)x2 + t3x3,
у = A - tKy0 + 3t(l - tJyx + 3t2(l - t)y2 + t3y3
для 0 < t < 1, где zoiyojZi,j/i, 12,2/2,33,г/з—константы, которые
задает проектировщик. Мы должны выяснить, как связаны между
собой константы и геометрические данные.
Подставляя ( = 0 и t = 1 в (9), получаем
(i@), 1/@)) = (io, Уо),
(хA),уA)) = (х3,у3).
Когда t меняется от 0 до 1, то (9) описывает кривую, начинающуюся
в (хо,2/о) и заканчивающуюся в (х3,у3). Это дает нам половину

36
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 3. Параметризации аффинных многообразий
37
необходимых данных. Найдем теперь касательные направления к
кривой при t = 0 и t = 1. Касательный вектор к кривой (9) при
t = 0 равен (z'@),y'@)). Дифференцируя первое из уравнений (9),
получаем
х = -3A - tfx0
- tJ - 2t(l -
3Bt(l - t) - t2)x2
- x0).
3t2x3-
A0)
Пусть t = 0. Тогда
a;'@) = -3x0 + 3Z!
Аналогично получаем
(a:'@),yl@))=3(a:i-so,yi-Ito),
(х!A),у>A))=3(х3-х2,уз-у2).
Так как (ц -х0, yi-yo) = (zi,yi) - (х0, у0), то вектор (х'@), у'@)) —
это просто утроенный вектор, идущий от (хо,уо) к (?i,yi). To есть,
задав (xi,yi), конструктор задает направление касательной в на-
начале кривой. Аналогично, задав (х2,уг), конструктор задает каса-
касательное направление в конце кривой.
Точки (хо,?/о),(а;ьУ\)ЛХ2,У2) и (х3,уз) называются управляю-
управляющими точками кубики Безье. Обычно они обозначаются Ро, Р\,Р2
и Р3, а определяемый ими выпуклый четырехугольник называется
управляющим многоугольником. Ниже приведен рисунок кривой
Безье и ее управляющего многоугольника:
В упражнениях будет доказано, что кубика Безье всегда лежит вну-
внутри своего управляющего многоугольника.
Параметры, определяющие кубику Безье, имеют отчетливый
геометрический смысл и их легко задать. Единственное, что оста-
осталось неясным, — это геометрический смысл длины касательных век-
векторов (х'@),у'@)) и (х'A),у'A)). Согласно равенствам A0), можно
изменить точки (a;i,yi) и (х2,уг), не меняя касательных направле-
направлений. Так, например, направления могут остаться такими же, как
на предыдущем рисунке, но длины векторов увеличатся. Тогда мы
получим следующую кривую:
То есть увеличение скорости в концевых точках заставляет кривую
дольше оставаться вблизи касательных. Опыт помогает конструк-
конструктору строить разнообразные кривые из кубик Безье. Интересно от-
отметить, что конструктор может даже не догадываться о существо-
существовании уравнений (9), задающих кривую.
Кроме КГП, кубика Безье применяется в языке PostScript. В
команде curveto в PostScript координаты управляющих точек за-
задаются как входные параметры, и тогда на выходе строится кубика
Безье. Именно так и были построены рисунки кубик — каждая кри-
кривая задавалась одной командной строкой curveto в PostScript.
Упражнения к § 3
1. Параметризуйте все решения линейной системы
х + 2у - 2z + w - -1,
х + у + z-w = 2.
2. Используйте тригонометрические тождества для доказательства то-
того, что уравнения
х = cost,
у = cos 2t
параметризуют часть параболы. Какая именно часть параметризо-
параметризована?
3. Пусть / ? к[х]. Найдите параметризацию многообразия V(y — f(x)).

38
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
| 3. Параметризации аффинных многообразий
39
4. Рассмотрим параметрическое представление
t
,-1-1-
(a) Найдите уравнения аффинного многообразия, которое определе-
определено этим параметрическим представлением.
(b) Докажите, что эти уравнения параметризуют все многообразие
из п. (а), кроме точки A,1).
5. В этом упражнении мы будем рассматривать гиперболу х2 — у2 = 1.
(a) Аналогично тому, как тригонометрические функции использу-
используются для параметризации окружности, гиперболические функ-
функции используются для параметризации гиперболы. Докажите,
что точка с координатами
х = ch t,
y = sht
лежит на гиперболе. Какая часть гиперболы параметризована?
(b) Покажите, что прямая может иметь с гиперболой 0, 1 или 2 об-
общие точки, и приведите примеры. Указание: рассмотрите случаи
х = а и у = mx + b отдельно.
(c) Используйте рассуждения из конца параграфа для вывода пара-
параметрического представления гиперболы. Указание: рассмотрите
невертикальные прямые, проходящие через точку (—1,0) на ги-
гиперболе.
(d) Параметризация, построенная в п. (с), не определена для двух
значений t. Объясните связь этого факта с существованием у
гиперболы асимптот.
6. Цель этого упражнения — доказать, что сфера х2 + у2 + z2 = 1 в
трехмерном пространстве может быть параметризована так:
2м
X =
У =
z =
¦ 1'
2v
- v2 + 1'
V-i
v2+ I ¦
Для этого нужно рассуждения из конца параграфа применить к слу-
случаю трехмерного пространства.
(a) Пусть точка с координатами (u, v, 0) принадлежит плоскости ху.
Соединим прямой эту точку с «северным полюсом» сферы, т. е.
точкой @, 0,1). Пусть (х, у, z) — другая точка пересечения сферы
с этой прямой. Сделайте рисунок и докажите геометрически, что
отображение точки (и, v) в (х, у, z) задает параметризацию всей
сферы за исключением северного полюса.
(b) Докажите, что прямая, соединяющая точки (и, v,Q) и @,0,1),
имеет параметризацию (tu, tv, I — t), где t — параметр на прямой.
(c) Подставьте х = tu, у = tv ч z = 1 — t ъ уравнение сферы х2 +
у2 + z2 = 1 и выведите формулы, приведенные в начале этого
упражнения.
7. Используйте рассуждения предыдущего упражнения для параме-
параметризации «сферы» х\ + ¦ ¦ ¦ + х\ = 1 в n-мерном аффинном простран-
пространстве. Указание: количество параметров равно п — 1.
8. Рассмотрим кривую, заданную уравнением у2 = сх2 — х3, где с — не-
некоторая константа. График этой кривой при с > 0 имеет следующий
вид:
\у
Как найти ее параметризацию?
(а) Покажите, что прямая может иметь с этой кривой 0,1,2 или 3
общие точки. Проиллюстрируйте это рисунком. Указание: урав-
уравнение прямой может иметь либо вид х = а, либо вид у = тпх + Ъ.

40
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
3. Параметризации аффинных многообразий
41
(b) Докажите, что невертикальная прямая, проходящая через нача-
начало координат, пересекает эту кривую еще ровно в одной точке в
случае, когда гп2 ф с. Проиллюстрируйте этот факт рисунком и
постарайтесь найти наглядное объяснение, почему так происхо-
происходит.
(c) Рассмотрите вертикальную прямую х = 1. Проведите прямую че-
через точку A, t) (лежащую на этой вертикальной прямой) и нача-
начало координат. Эта прямая пересекает кривую в точке (х, у). Про-
Проиллюстрируйте это рисунком и объясните геометрически, что та-
таким образом мы получаем параметризацию всей кривой.
(d) Докажите, что описанное выше геометрическое построение при-
приводит к параметризации
x-c-t2,
y = t(c-t2).
9. Кривая, называемая строфоидой, изучалась многими математика-
математиками, включая Исаака Барроу A630-1677), Иоганна Бернулли A667-
1748), Марию Аньези A718-1799). Тригонометрическая параметри-
параметризация этой кривой дается формулами
х — asini,
у = atgt{l -fsint),
где а —константа. Пусть t пробегает интервал —4.5 < t < 1.5; тогда
мы получим следующий рисунок кривой:
(a) Найдите неявное уравнение строфоиды в координатах ж и у. Ука-
Указание: если вы не проявите аккуратности, то получите уравнение
(а2 — х2)у2 = х2(а + хJ. Для того чтобы понять, почему это
уравнение не вполне корректно, посмотрите, что происходит при
х = —а.
(b) Найдите алгебраическую параметризацию строфоиды.
10. Около 180 г. н. э., Диокл написал книгу «Об увеличительных стек-
стеклах», в которой рассматривалась кривая, называемая циссоидой.
Диокл использовал эту кривую для решения проблемы удвоения ку-
куба (см. п. (с)). Циссоида задана уравнением у2(а + х) = (а - жK, где
а — константа. Вот график этой кривой:
\
(a) Найдите алгебраическую параметризацию циссоиды.
(b) Диокл описал циссоиду при помощи следующего геометрическо-
геометрического построения. Рассмотрим окружность радиуса в с центром в
начале координат, и пусть —а < х < а. Проведем прямую L, со-
соединяющую точку (о, 0) с точкой Р = (—х, у/а2 — х2) на окруж-
окружности. Теперь мы можем определить точку Q — (х, у) на L:
Докажите, что циссоида является геометрическим местом всех
таких точек Q.
(с) ^'двоение куба — это классическая греческая задача о геометри-
геометрическом построении числа v^2 с помощью циркуля и линейки. Из-
Известно, что, используя только циркуль и линейку, этого сделать
нельзя. Диокл доказал, что если использовать еще и циссоиду,

42
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
то построить \/2 можно. Вот как это делается. Проведите пря-
прямую, соединяющую точки (—а,0) и @, а/2). Эта прямая пересе-
пересекает циссоиду в точке (х,у). Теперь докажите, что
3. Параметризации аффинных многообразий
43
2 =
У
Эта формула и показывает, как построить \/2, используя цир-
циркуль, линейку и циссоиду1^.
11. В этой задаче мы построим параметризацию
x = t(u2-t2),
y = u,
z = u2-t2
поверхности х2 — y2z2 + z3 = 0, рассмотренной выше.
(a) Примените формулы п. (d) упр. 8 и докажите, что кривая х2 =
cz2 — z3 имеет параметризацию
z = c-t2,
x = t(c-t2).
(b) Замените теперь параметр с на у2 и объясните, почему таким
образом мы получаем приведенную выше параметризацию по-
поверхности х2 — у2 z2 + z3 = 0.
(c) Объясните, почему таким образом параметризуется вся поверх-
поверхность V(x2 — y2z2 + z3). Указание: обратите внимание на п. (с)
упр. 8.
12. Пусть дано многообразие V = V(y — x2,z — х4) С К3.
(a) Изобразите его.
(b) Найдите параметризацию многообразия V тем же методом, ка-
каким была построена параметризация скрученной кубики.
(c) Параметризуйте касательную поверхность многообразия V.
13. В общем виде задача нахождения уравнения параметризованной по-
поверхности будет рассмотрена в гл. 2 и 3. Однако если идет речь о
плоскости, то можно применить методы линейной алгебры. Рассмот-
Рассмотрим, например, плоскость в R3, заданную параметрическим пред-
представлением
X = 1 + U — V,
y = u + 2v,
Z = — 1 — U + V.
*' Читатель может найти массу интересных сведений (в том числе и истори-
исторических) о различных кривых в книге Brieskorn, Knorrer A986) (см. список
литературы).— Прим. ред.
Найдите уравнение этой плоскости. Указание: пусть эта плоскость
задана уравнением ax + by + cz — d. Подставьте вместо х, у и z их
параметрические выражения; тогда вы получите систему уравнений,
из которой можно найти a,b,c,d. Второй способ —это записать па-
параметризацию в векторном виде: A, 0, —1) + иA,1, —1) + и(—1, 2,1).
Теперь можно быстро получить решения с помощью векторного про-
произведения.
14. В этой задаче рассматриваются выпуклые множества, а результат
будет использован в следующем упражнении для доказательства
утверждения о том, что кубика Безье лежит внутри своего управ-
управляющего многоугольника. Подмножество С С К2 называется выпук-
выпуклым, если для любой пары точек P,Q G С отрезок, соединяющий Р
и Q, также принадлежит С.
(a) Пусть точки Р — (х, у) и Q — (z, w) лежат в С. Докажите, что
t(x,y) + (l-t)(z,w)e С
при 0 < t < 1.
(b) Пусть точки Pi = (z, w), 1 < г < п, принадлежат выпуклому мно-
множеству С. Докажите, что
если ti —неотрицательные числа, такие, что Х^Г=1 *« = 1- Указа-
Указание: воспользуйтесь индукцией по п.
15. Пусть кубика Безье задана уравнениями
X = A - tKX0 + 3t(l - tJXl + 3t2(l - t)X2 + t3X3,
у = A - tKyo + 3t(l - tfyi + 3t2(l - t)y2 + t3y3-
(a) Покажите, что эти уравнения могут быть записаны в векторном
виде:
(х, у) =A - tK(x0, j/o) + 3*A - 02(и, 2/i)
+ 3t2(l - t)(x2,y2) + t3(x3,y3).
(b) Используйте результат предыдущего упражнения для доказа-
доказательства того, что кубика Безье лежит внутри управляющего
многоугольника. Указание: что можно сказать о сумме коэффи-
коэффициентов уравнения из п. (а)?
16. Кубики Безье не могут, к сожалению, точно аппроксимировать такие
кривые, как окружности и гиперболы. В этом упражнении мы рас-
рассмотрим метод параметризации конических сечений, аналогичный
методу, рассмотренному в примере 4. Наше изложение основано на
работе Ball A987).
Коническим сечением называется плоская кривая, заданная
уравнением второй степени вида ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0.

44
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
45
Окружности, эллипсы, параболы и гиперболы являются конически-
коническими сечениями. Рассмотрим теперь кривую, параметризованную сле-
следующим образом:
_ A - tfxi + 2t(l - t)wx2 + t2x3
X
(е) Докажите, что
У =
A - tfyi + 2t(l - t)wy2 + t2y3
A - tJ + 2t(l - t)w + t2
0 < t < 1. Константы u;, x\, j/i, жг, У2,хз, j/з определяются проектиров-
проектировщиком, и мы будем считать, что w > 0. В гл. 3 мы докажем, что эти
уравнения параметризуют коническое сечение. Цель этого упраж-
упражнения—дать геометрическую интерпретацию значений параметров
Ы,Х1,у1,Х2,У2,ХЗ,УЗ-
(a) Докажите, что если w > 0, то знаменатель в приведенных выше
формулах не обращается в нуль.
(b) Вычислите значения хну при t = 0 и t = 1. Результат этих
вычислений объяснит вам геометрический смысл параметров
xi,yi,x3,y3.
(c) Теперь найдите (х'@), у'@)) и (ж'A), у'A)). Докажите, что точка
{х2,ут) является пересечением касательных к кривой в ее на-
начальной и конечной точках. Объясните, почему (х\,у\), A2,2/2)
и (жз,2/з) называются управляющими точками кривой.
(d) Определите управляющий многоугольник (в нашем случае он бу-
будет треугольником) и докажите, что кривая всегда лежит вну-
внутри своего управляющего многоугольника. Указание: используй-
используйте метод предыдущего упражнения. Таким образом, мы получа-
получаем следующий рисунок:
Нам осталось дать геометрическую интерпретацию константы w,
которая называется фактором формы. Некоторый намек здесь
дает п. (с), где w входит в формулы, задающие касательные век-
векторы при t = 0 и t = 1. Можно сказать, что w управляет «ско-
«скоростью» и чем больше w, тем меньше расстояние от кривой до
точки (х2,2/2). В двух последних пунктах этого упражнения мы
определим точно роль w.
Применяя эту формулу, докажите, что точка (хA/2), 1/A/2))
принадлежит отрезку, соединяющему точку (х2,2/г) с серединой
отрезка [{х\,у1),{хз,уз)\-
A3,2/3)
(f) Пусть точка (хA/2),уA/2)) разбивает отрезок на две части, име-
имеющие длины а и b (см. предыдущий рисунок). Докажите, что
w = а/b, т. е. w указывает, где кривая пересекает отрезок. Ука-
Указание: примените формулу для нахождения расстояния между
двумя точками на плоскости.
17. Примените результаты предыдущего упражнения для параметриза-
параметризации дуги окружности х2 + у2 — 1 с концевыми точками A, 0) и @,1).
Указание: примените п. (f) упр. 16 и докажите, что w = l/\/2.
§ 4. Идеалы
Определим теперь основной алгебраический объект этой книги.
Определение 1. Подмножество / С к[х\,... ,хп] называется идеа-
идеалом, если выполнены следующие условия:
W 0 G /;
(и) если /, g 6 I, то / + g ? /;
(iii) если / € / и h ? к[х\,..., кп], то hf ? /.
Цель этого параграфа — показать читателю, насколько есте-
естественно понятие идеала, как идеалы связаны с аффинными мно-
многообразиями и как на языке идеалов формулировать и решать вы-
вычислительные задачи аффинной геометрии.
Самый простой пример идеала —это идеал, порожденный ко-
конечным множеством полиномов.

46
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
47
Определение 2. Пусть /i,..-,/«— полиномы в A;[xi,..., хп]. По-
Положим
Оказывается, что множество (/i,.-.,/») — идеал.
Лемма 3. Пусть /i,...,/s принадлежат кольцу k[xi,..., хп];
тогда множество (/i, ••-,/«) является идеалом в k[xi,... ,хп].
Оно называется идеалом, порожденным полиномами /i>-¦•>/»» а
полиномы /i,..-,/» — образующими этого идеала или его поро-
порождающими элементами.
Доказательство. Прежде всего, 0 € (/i, ¦••,/«), поскольку 0 =
Ei=i° • /•¦ Пусть теперь / = E*=iPi/«> 5 = ?i=i ft/» и ft ?
fc[a;i,..., in]. Тогда из равенств
+ 9 =
t=i
вытекает, что (/i ,-¦•,/«)— идеал.
П
Идеал (/i,..., fa) имеет изящную интерпретацию на языке по-
полиномиальных уравнений. Пусть /i,-...,/» ? k[xi,..., хп]. Рассмот-
Рассмотрим систему уравнений
/. = 0.
Из этих уравнений мы можем вывести другие, используя обычные
алгебраические преобразования. Так, например, если мы умножим
первое уравнение на fti € k[xi ,...,х„], второе — на ft2 ? к[хх,... ,хп]
и т.д., а затем сложим произведения, то получим уравнение
hifi + h2f2 + ¦¦¦ + hsfs = 0,
которое является следствием уравнений первоначальной системы.
Отметим, что левая часть этого уравнения принадлежит идеалу
(/ь-¦¦)/»), т-е- идеал (/i,.-.,/5) можно рассматривать как мно-
множество всех «полиномиальных следствий» системы f1=f2 = ...
= /. = 0.
Чтобы понять, что это означает практически, рассмотрим при-
пример из § 3 — систему
x = l+t,
y = l + t2.
В § 3 мы исключили t и получили уравнение
у = х2 - 2х + 2
(см. обсуждение уравнения G) в § 3). Теперь решим эту задачу еще
раз, используя новую идеологию. Перепишем уравнения в виде
x-l-t = 0,
Чтобы исключить t, умножим первое уравнение на х - 1 +1, а вто-
второе—на — 1:
(х -1J - е = о,
-у +1 + е = о,
а потом сложим их:
(х - IJ - у + 1 = х2 - 2х + 2 - у = 0.
Если теперь рассмотреть идеал, порожденный левыми частями
уравнений системы A), то полученный результат можно сформу-
сформулировать так:
х2 -2х + 2-у
= {x-l + t)(x-l-t) + (-
- 1 - t2) Е (х - 1 - t, у - 1 - t2).
Аналогичным образом и другие «полиномиальные следствия» си-
системы A) являются элементами этого идеала.
Идеал / называется конечно порожденным, если существуют
полиномы fi,...,f3 € k[xi,...,xn], такие, что / = </i,.-.,/»); при
этом множество полиномов fi, ¦ ¦ ¦, fs называется базисом идеала
I- В гл. 2 мы докажем удивительный факт, что каждый идеал в
к[х\,..., хп] конечно порожден, т. е. имеет конечную систему обра-
образующих (это утверждение называется теоремой Гильберта о бази-
базисе). Отметим, что идеал может иметь много различных базисов. В
гл. 2 мы покажем, что можно определить особенно удобный базис,
называемый базисом Грёбнера.
Следует обратить внимание на аналогию с линейной алгеброй.
Определение идеала похоже на определение подпространства: и то,
и другое множества замкнуты относительно операций сложения и
умножения, только в случае подпространства идет речь об умно-
умножении на скаляры, а в случае идеала мы умножаем на полиномы.

48
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
49
Далее, идеал, порожденный полиномами /ъ •¦-,/»> аналогичен ли-
линейной оболочке векторов vi,...,vs. В обоих случаях мы строим
линейные комбинации — с числовыми коэффициентами для линей-
линейной оболочки и с полиномиальными коэффициентами для идеала.
Связи теории идеалов с линейной алгеброй будут также рассма-
рассматриваться в упр. 5.
О роли идеалов говорит и следующее предложение, в котором
доказывается, что многообразие зависит лишь от идеала, порож-
порожденного определяющими уравнениями.
Предложение 4. Пусть fi, ¦ ¦ ¦, fs и <?ъ • ¦ • > <?t ~ базисы одного и
того же идеала в к[хг,..., хп], так что (Л, ¦ ¦ •, /s) = (<?i, ¦ • •, 9t)¦
Тогда V(f1,...,f.)=V(g1,...,gt).
Доказательство этого утверждения достаточно просто и его мож-
можно оставить читателю в качестве упражнения. ?
Рассмотрим в качестве примера многообразие VBx2 + Зу2 —
11, ж2 - у2 - 3). Легко показать, что Bа;2 + 2>у2 - 11, ж2 - у2 - 3) =
{х2 — 4, у2 — 1) (см. упр. 3), так что в силу предложения 4
VBz2 + Зу2 - 11, х2 - у2 - 3) = V(x2 - 4, у2 - 1) = {(±2, ±1)}.
Таким образом, изменяя базис идеала, мы упрощаем процедуру
описания многообразия.
Возможность изменять базис, не меняя многообразия, очень
важна и полезна. Немного позже мы увидим, что многообразия
определяются идеалами, а не уравнениями. (Соответствие меж-
между идеалами и многообразиями — главный предмет рассмотрения
гл. 4). С точки зрения практики вычислений мы увидим, что пред-
предложение 4 и упомянутые выше базисы Грёбнера представляют со-
собой мощный метод изучения аффинных многообразий.
Теперь мы обсудим, как аффинные многообразия связаны с ин-
интересным классом идеалов. Пусть V = V(/i,...,/s) С кп — аффин-
аффинное многообразие, определенное полиномами fi,...,fs?k[xi,...,kn].
Мы знаем, что /i,-.,/s обращаются в нуль на V, но только ли
они? Есть ли другие полиномы, равные нулю на VI Рассмотрим,
например, скрученную кубику из § 2. Эта кубика определена как
множество, где полиномы у — х2 и z — х3 равны нулю. Однако пара-
параметризация (t, t2,t3) из § 3 показывает нам, что и полиномы z - ху
и у2 — xz, обращаются в нуль на кубике. Есть ли еще полиномы с
тем же свойством? Как найти все такие полиномы?
Чтобы ответить на эти вопросы, надо рассматривать множество
всех полиномов, которые обращаются в нуль на заданном много-
многообразии.
Определение 5. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Поло-
Положим
I(V) = {fek[x1,...,xn]:f(a1,...,an)=O
для всех (аь...,а„) ? V}.
Оказывается, что I(V) — идеал.
Лемма 6. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда I(V) —
идеал, который мы будем называть идеалом многообразия V.
Доказательство. Ясно, что 0 6 1(^0, так как нулевой полином
обращается в нуль на кп и на V в частности. Пусть /, g e I(V)
и h 6 k[xi,... ,хп]. Пусть (ai,... ,an) —произвольная точка из V.
Тогда
/(ai,..., а„) + g(ai,..., ап) = 0 + 0 = О,
/i(ai,...,an)/(a1;...,an) = Л(аь...,а„) -0 = 0.
Отсюда следует, что 1(V) — идеал. ?
В качестве примера рассмотрим многообразие {@,0)}, состоя-
состоящее только из одной точки —начала координат в к2. Элементами
его идеала 1({@,0)}) являются полиномы, равные нулю в точке
@,0). Мы утверждаем, что
В одну сторону доказательство тривиально — любой полином вида
А(х,у)х + В(х,у)у обращается в нуль в начале координат. Пусть
теперь полином / = Y^ijaijxly^ равен нулю в точке @,0). Тогда
йоо = /@,0) = 0 и, следовательно,
/ = аОо
= 0 +
Доказательство окончено.
Пусть теперь V совпадает со всем пространством кп. Тогда I(fcn)
состоит из полиномов, везде равных нулю. Следовательно, по пред-
предложению 5 § 1
I(fcn) = {0}, если к бесконечно.
(Здесь 0 обозначает нулевой полином из к[х\,... ,хп].) Следует от-
отметить, что предложение 5 § 1 эквивалентно приведенному выше

50
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
51
утверждению. В упражнениях мы обсудим случай конечного по-
поля к.
Скрученная кубика V = V(y - х2, z — х3) С К3 представляет
собой более интересный пример. Докажем, что
I(V) = (y-x2,z-x3).
Для этого сначала докажем, что любой полином / € Ш[х, у, z) можно
представить в виде
f = hl(y-x2)+h2(z-x3)+r, B)
где hi, h2 6 Ш[х, y,z], a r зависит только от х. Пусть сначала / явля-
является мономом xay0zy. Тогда по формуле бинома
а: V*7 = zQ(z2 + (у - х2)H(х3 + (z - z3)O
= ха(х2C + члены, содержащие у - а;2)
х (ж37 + члены, содержащиеz - х3),
и, приводя подобные члены, получаем
zV^7 = /ll(i/ - *2) + Ы* - X3) + ха+2?+3-<
для некоторых полиномов hi,h2 € R[x,y,z]. Другими словами, ут-
утверждение B) в этом случае справедливо. Но так как любой поли-
полином / € E[x,y,z] является К-линейной комбинацией мономов, то,
значит, B) верно всегда.
Теперь мы можем доказать, что I(V) = (у — x2,z — x3). Сначала
заметим, что у — х2, z — х3 ? I(V) согласно определению скрученной
кубики V, атак как I(V) идеал, то hi(y — x2) + h2(z-x3) € I(V). По-
Поэтому (у - х2, z — х3) С I(V). Докажем теперь обратное включение.
Пусть / 6 I(V) и
/ = hi(y - х2) + h2(z - х3) + г
— разложение, указанное формулой B). Для доказательства ра-
равенства г = 0 мы используем параметризацию кубики (t, t2, t3). Так
как / равен нулю на V, то
0 = /(M2,i3) = 0 + 0 + r(i)
(напомним, что г зависит только от х). Так как t может быть любым
вещественным числом, то г 6 Щх] —нулевой полином по предложе-
предложению 5 § 1. Но если г — 0, то / имеет требуемое представление и
l(V) = (y-x2,z-x3).
То, что мы делали в B), напоминает деление полиномов, но
только мы делим сразу на два полинома, а не на один. На самом
деле B) есть частный случай обобщенного алгоритма деления, ко-
который будет рассмотрен в гл. 2.
Мы можем сформулировать красивое следствие наших рассуж-
рассуждений: если / € Ш[х, у, z], то / € (у — х2, z — х3) в том и только том
случае, когда полином f(t, t2, t3) тождественно равен нулю. Это да-
дает нам эффективный алгоритм для решения вопроса о принадлеж-
принадлежности полинома идеалу. Но этот метод связан с параметризацией.
Можно ли ответить на этот вопрос, не опираясь на параметриза-
параметризацию (t, t2,t3)? В гл. 2 мы узнаем, как это сделать, используя базисы
Грёбнера и обобщенный алгоритм деления.
Пример скрученной кубики подсказывает нам, как сформули-
сформулировать задачу в общем виде. Сначала мы взяли полиномы у — х2
и : - I3, с их помощью определили аффинное многообразие, за-
затем рассмотрели идеал функций, обращающихся в нуль на этом
многообразии, и в результате получили идеал, порожденный теми
же двумя полиномами. Естественно спросить, всегда ли это верно.
Пусть Л,...,/, 6 k[xi,...,х„]. Имеем
полиномы многообразие идеал
h,...,fs ~^ *
Возникает естественный вопрос: верно ли, что I(V(/i,... ,/s)) =
(/ь--,Л)? К сожалению, ответ здесь не всегда оказывается по-
положительным. Наилучший ответ, который мы можем дать,—это
следующее утверждение.
Лемма 7. Пусть /[,...,/, G %,...,in]. Тогда (/ь.
(j • • • >fs)), но эти два идеала не всегда совпадают.
..,/,) С
Доказательство. Пусть /? (Л, ...,/«)• Тогда / = ?*=1 hji,
h\,...,hs 6 k[xi,... ,хп]. Так как /i,.-.,/s обращаются в нуль
на V(/b...,/g), то и Yli=i hifi также обращается в нуль на
V(f!,...,/.); значит, / € I(V(/i,...,/.)).
Теперь нам нужно привести пример, когда идеал I(V(/i,..., /s))
строго больше идеала (/ь •¦¦,/«). Мы докажем, что включение
(x2,y2)d(V(x2,y2))
не является равенством. Сначала опишем идеал I(V(х2, у2)). Сис-
Система уравнений х2 = у2 = 0 определяет многообразие, состоящее из
одной точки V(x2,y2) = {@,0)}. Но мы видели раньше, что идеал
многообразия {@,0)} есть (х,у), т.е. I(V(x2,y2)) = (x,y). Для то-
того чтобы убедиться, что этот идеал строго больше идеала (х2,у2),
достаточно заметить, что х ? (х2,у2), так как все члены полинома
hi(x,y)x2 + h2(x,y)y2 имеют степень не меньше двух. ?
В случае произвольных полей связь между идеалами (Д,..., /s)
и I(V(/i,... ,/s)) может быть довольно сложной (в упражнениях

52
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
53
рассмотрено несколько примеров на эту тему). Однако если поле
алгебраически замкнуто, как С, то связь между этими идеалами
достаточно проста. Все это будет объяснено в ходе доказательства
теоремы Гильберта о нулях в гл. 4.
Хотя в общем случае I(V(/i,...,/»)) не равен (Д,..., Д.), идеал
многообразия всегда определяет многообразие однозначно.
Предложение 8. Пусть V uW —аффинные многообразия в кп.
Тогда
Упражнения к § 4
1. Рассмотрим уравнения
(i) V С W в том и только том случае, когда I(V) D ()
(ii) V = W в том и только том случае, когда I(V) = I(W).
Доказательство. Мы оставляем читателю в качестве упражнения
доказательство того, что п. (ii) является непосредственным след-
следствием п. (i). Докажем (i). Пусть сначала V С W; тогда любой поли-
полином, равный нулю на W, равен нулю и на V, а значит, I{W) С 1(^)-
Пусть теперь l(W) С I(V). Пусть многообразие W определено по-
полиномами gi,...,gt € k[xi,.. .,хп]. Тогда g\,...,9t € I(W) С I(V);
значит, gi обращаются в нуль на V. Но W есть множество общих
нулей полиномов gi, а следовательно, V С W. ?
Связь между аффинными многообразиями и идеалами сложна
и разнообразна. Здесь мы затронули только верхушку айсберга. Да-
Далее эта связь будет рассмотрена в гл. 4. В частности, мы увидим,
что теоремы об идеалах имеют разнообразные геометрические след-
следствия. А теперь сформулируем три проблемы, касающиеся идеалов
в k[xi,...,xn]\
• (Описание идеала) Каждый ли идеал / С к[х\,..., хп] является
конечно порожденным, т. е. всегда ли I = (Д, ¦ ¦ •, /s) для неко-
некоторых /ь • • •, Л ? k[xi,..., х„]?
• (Принадлежность идеалу) Пусть Д,..., /s € k[xi,..., хп]. Суще-
Существует ли алгоритм, позволяющий решить вопрос о принадлеж-
принадлежности полинома / G к[х\,..., хп] идеалу (/i, • • •, Л)?
• (Теорема о нулях) Пусть Д ,...,/,? k[xi,..., хп]. Какова точная
связь между <Д,...,/,) и 1(У(Д,...,/,))?
В следующих главах эти проблемы будут полностью решены
(мы также объясним происхождение названия теоремы о нулях),
хотя следует быть осторожным в вопросе о выборе основного поля.
+ у2-1=0,
ху-1 = 0,
которые описывают пересечение окружности и гиперболы.
(a) Алгебраическим преобразованием исключите у из этих уравне-
уравнений.
(b) Покажите, что полином, найденный в п. (а), принадлежит (х2 +
у2 — 1,ху — 1). Указание: надо умножить второе уравнение на
ху+1.
2. Пусть/С k[xi,...,xn]— идеал, a /i,...,/s 6 k[xi,... ,хп]. Докажите
эквивалентность следующих условий:
(i) fu...,fsel;
(ii) </i,...,/.) С/.
Этот критерий полезен при доказательстве того, что один идеал при-
принадлежит другому (как множество).
3. Примените критерий из предыдущего упражнения для доказатель-
доказательства следующих утверждений об идеалах в к[х, у]:
(a) (х + у,х-у)- (х,у).
(b) (х + ху,у + ху,х2,у2) = {х,у).
(c) Bх2 + Зу2 - И, х2 - у2 - 3) = (х2 - 4, у2 - 1).
Это упражнение показывает, что идеал может иметь несколько ба-
базисов, и различные базисы могут иметь даже различное число эле-
элементов1'.
4. Докажите предложение 4.
5. Докажите, что V(x + xy,y + xy,x2,y2) = ~V(x,y). Указание: восполь-
воспользуйтесь результатом упр. 3.
6. Термин «базис» используется в математике во многих смыслах. В
этом упражнении мы увидим, что «базис идеала», определенный в
этом параграфе, — это совсем не то же самое, что «базис подпро-
подпространства», определяемый в линейной алгебре.
(а) Рассмотрим идеал / =; (х) С к[х]. Как идеал / обладает базисом,
состоящим из одного элемента х. Но / также является подпро-
подпространством в векторном пространстве к[х]. Докажите, что любой
базис идеала / как векторного пространства содержит бесконеч-
бесконечное количество элементов. Указание: достаточно найти один бес-
бесконечный базис. Таким образом, то, что мы можем умножать х
на элементы из к[х], а не только из к, позволяет идеалу (х) иметь
конечный базис.
. 1)Это> впрочем, видно и из равенства (fi,...,fm) = (/ь- • • ,fm,h), h e
(л,..., /т), которое читатель легко докажет сам.— Прим. ред.

54
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 4. Идеалы
55
(b) В линейной алгебре элементы базиса данного подпространства
должны быть линейно независимыми над к, и, кроме того, их
линейная оболочка и есть это подпространство. В случае идеа-
идеала оболочка его базиса совпадает с идеалом, но о независимости
в определении нет речи. Причина здесь в том, что, как только
коэффициенты становятся полиномиальными, независимость не-
невозможна. В качестве примера рассмотрим идеал (х, у) С к[х, у].
Покажите, что 0 является линейной комбинацией полиномов х и
у с ненулевыми полиномиальными коэффициентами.
(c) Обобщим предыдущую задачу. Пусть /i,..., fs — базис идеала
/ С к[х\,..., хп]. Пусть s > 2 и /i / 0 для всех г. Докажите, что О
является линейной комбинацией с ненулевыми полиномиальны-
полиномиальными коэффициентами полиномов /, и /, для любой пары i,j.
(d) Отсутствие независимости означает, что коэффициенты Л,- раз-
разложения / = 53*=1 hifi элемента / ? (fi,- ¦ ¦, fs) не определены
однозначно. Рассмотрим, например, / = х2 + ху + у2 ? (х,у).
Представьте / как линейную комбинацию х и у двумя разными
способами. (Хотя hi и не определены однозначно, мы можем из-
измерить степень их неоднозначности. Это приводит к интересной
теме сизигий.)
(e) Базис /i,...,/» идеала / называется минимальным, если ника-
никакое собственное подмножество множества /i,..., fs не является
базисом этого идеала /. Например, х,х2 —базис некоторого иде-
идеала, но не минимальный, так как х порождает тот же самый
идеал. К сожалению, идеал может иметь минимальные базисы,
состоящие из различного числа элементов. Докажите, что х и
х + х2, х2 — минимальные базисы одного и того же идеала в к[х].
Объясните, чем отличается этот результат от ситуации в линей-
линейной алгебре.
7. Докажите, что l(V(xn,ym)) = (х,у) для любых положительных п
и тп.
8. Идеал многообразия I(V) обладает особым свойством, которым не
обладает произвольный идеал. А именно, идеал / называется ради-
радикальным, если из условия fm ? / следует, что / € / (показатель степе-
степени тп может быть любым). Точнее, идеал I называется радикальным,
если / ? / тогда и только тогда, когда /т ? / для некоторого нату-
натурального га.
(a) Докажите, что I(V) всегда является радикальным идеалом.
(b) Докажите, что идеал (х2,у2) не является радикальным. Отсюда
следует, что (х2,у2) ф l(V) ни для какого многообразия V С к2.
Радикальные идеалы будут играть важную роль в гл. 4. В част-
частности, теорема о нулях устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между многообразиями в С" и радикальными идеалами в
C[a;i,... ,хп].
9. Обозначим через V скрученную кубику V = V(j/ — х2, z — х3). Ранее
мы доказали, что I(V) = (у — х2, z — х3).
(a) Примените параметризацию скрученной кубики, чтобы дока-
доказать, что у2 — xz € 1(V).
(b) Используя метод, описанный в тексте параграфа, представьте
у2 — xz в виде комбинации у — х2 и z — х3.
10. Метод, использованный в тексте параграфа при рассмотрении скру-
скрученной кубики, примените для доказательства того, что I(V(x —у)) =
(х — у). Аргументы должны быть применимы в случае любого основ-
основного бесконечного поля к.
11. Пусть V С R3 —кривая с параметризацией (t,t3,t4).
(a) Докажите, что V — аффинное многообразие.
(b) Опишите идеал I(V) с помощью метода, использованного в слу-
случае скрученной кубики.
12. Пусть V С R3 — кривая с параметризацией (t2, t3, t4).
(a) Докажите, что V — аффинное многообразие.
(b) Опишите идеал 1(V).
Эта задача немного труднее предыдущей: найти аналог уравнения
B) не очень легко. Алгоритм деления из гл. 2 делает подобные задачи
значительно менее сложными.
13. В упр. 2 § 1 мы доказали, что функция х2у + у2х равна нулю во всех
точках пространства if. Пусть теперь / С F2 [х, у] —идеал полино-
полиномов, равных нулю во всех точках из F2. Цель этого упражнения —
доказать, что I = (х2 — х,у2 — у).
(a) Докажите, что {х2 — х, у2 — у) С /.
(b) Докажите, что любой полином / ? Рг[ж, у] может быть записан в
виде / = A(x2-x)+B(y2-y)+axy+bx+cy+d, где А, В € F2 [x, у] и
а, Ъ, с, d ? F2. Указание: запишите / в виде ?V pi(x)y* и примените
алгоритм деления (предложение 2 § 5), чтобы разделить каждый
Pi на х2 — х. Мы получим, что / = A(x2 — x)+qi(y)x+q2(y)- Теперь
следует разделить q\ и ?2 на у2 — у. Опять-таки все рассуждения
становятся много проще при использовании алгоритма деления
из гл. 2.
(c) Докажите, что аху +bx + cy + d?lB том и только том случае,
когда a = b = c = d = 0.
(d) Завершите доказательство того, что / = (х2 — х, у2 — у).
(e) Представьте х2у + у2х как комбинацию полиномов х2 — х и у2 — у.
Указание: используйте тот факт, что 2 = 1 + 1 = 0вРг.
14. В этом упражнении рассматривается предложение 8.
(а) Докажите, что п. (ii) этого предложения является следствием
п. (i).

56
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 5. Полиномы от одной переменной
57
(Ь) Докажите такое следствие предложения 8: пусть V и W — аф-
аффинные многообразия в кп; тогда V строго содержится в W в
том и только том случае, когда I(W) строго содержится в I(V).
15. Мы дали определение идеала I(V) многообразия V С к". Можно об-
обобщить это определение следующим образом: пусть S С кп — произ-
произвольное подмножество; положим
I(S) = {/ € к[хи. ..,*„]: /(ai,..., о„) = О
для всех (oi,...,on) € 5}.
(a) Докажите, что I(S) —идеал.
(b) Пусть X - {(a,a) € R2 : о / 1}. Из упр. 8 § 2 мы знаем, что X
не является аффинным многообразием. Найдите 1(Х). Указание:
обратите внимание на то, что именно было доказано в упр. 8 § 2.
Используйте также упр. 10 из этого параграфа.
(c) Пусть Z" — подмножество точек в С" с целыми координатами.
Найдите I(Zn). Указание: воспользуйтесь результатами упр. 6 § 1.
§ 5. Полиномы от одной переменной
В этом параграфе мы будем рассматривать алгоритм деления по-
полиномов от одной переменной, который изучается в старших клас-
классах школы. Применение этого простого алгоритма дает неожидан-
неожиданно сильные результаты. Например, с его помощью мы определим
структуру идеалов в к[х] и исследуем понятие наибольшего обще-
общего делителя. Рассматриваемые здесь методы позволяют (в случае
А;[а:]) решить большинство проблем, сформулированных в предыду-
предыдущих параграфах. Мы приблизимся тут также к пониманию важной
роли алгоритмов.
Студент, который читает эту книгу, уже изучал различные ал-
алгоритмы, хотя сам термин «алгоритм» мог и не произноситься. Не-
Неформально говоря, алгоритм — это набор инструкций для работы
с символьными или численными данными. Примерами здесь явля-
являются формулы дифференцирования или метод приведения матриц
к ступенчатому виду. Для каждого алгоритма определено множе-
множество входных данных — т.е. множество объектов, которые обраба-
обрабатываются алгоритмом, и множество выходных данных — результат
работы алгоритма. На каждом шаге работы алгоритм «знает», что
он должен делать на следующем шаге.
Как правило, работая с алгоритмами, мы будем использовать
«псевдокод», что облегчит нам понимание формальных структур.
Описание псевдокода дано в приложении В. Псевдокод похож на
язык программирования Паскаль, и алгоритмы, написанные на
нем, легко компьютеризуются. Следует отметить, что большин-
большинство рассматриваемых здесь алгоритмов реализованы в системах
компьютерной алгебры AXIOM, Macsyma, Maple, Mathematica,
REDUCE и других. В приложении С дано краткое описание этих
систем.
Мы начнем с рассмотрения алгоритма деления в к[х]. Важней-
Важнейшей частью алгоритма является понятие «старшего члена» поли-
полинома от одной переменной. Вот точное определение.
Определение 1. Пусть / € к[х] — ненулевой полином,
/ = aQxm + aixm-1 + ... + am,
где ai 6 к и ао ф 0 (т.е. deg(/) = m). Тогда aoxm называется стар-
старшим членом полинома / и обозначается lt(/) = а$хт («LT» —пер-
—первые буквы английского термина «leading term»).
Например, если / = 2х3 - \х + 3, то lt(/) = 2х3. Следует отме-
отметить, что если fug — ненулевые полиномы, то
deg(/) < deg(g) <=> lt(/) делит ur(g). A)
Теперь мы можем дать описание алгоритма деления.
Предложение 2 (алгоритм деления). Пусть g 6 к[х] — ненулевой
полином. Тогда любой полином / ? к[х] может быть записан в
виде
f = qg + r,
где q,r Е к[х] и либо г = 0, либо deg(r) < deg(g). Более того, q иг
определены однозначно и имеется алгоритм для их вычисления.
Доказательство. Вот алгоритм вычисления q ш г, записанный в
псевдокоде:
Вход: д, /
Выход: q, r
д:=0;г:=/
WHILE г ф 0 AND ur(g) делит иг (г) DO
q:=q + LT(r)/LT{g)
r:=r-{LT(r)/LT(g))g
Операции, подчиненные оператору цикла WHILE ... DO, выполня-
выполняются, пока выполняется условие, записанное между WHILE и DO;
Q ¦=... иг.-...- это операторы определения или переопределе-
переопределения значений q и г. И q и г являются переменными в этом алгорит-
алгоритме — на каждом шаге их значения меняются. Мы должны доказать,
что в некоторый момент алгоритм прекращает работу и что окон-
окончательные значения q и г удовлетворяют условиям предложения 2.

58
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 5. Полиномы от одной переменной
59
Приступим к доказательству корректности алгоритма. Заметим
сначала, что равенство / — qg + г выполняется при начальных зна-
значениях q и г. Далее, на каждом шаге после переопределения q и г
это равенство продолжает выполняться, потому что
/ = qg + г = (q + LT(r)/ LT(g))g + (г - (LT(r)/ LT(g))g).
Отметим, что выполнение циклического оператора WHILE ... DO
прекращается, когда утверждение «г ф 0 и ит(д) делит ит(г)» ста-
становится ложным, т.е. когда или г = 0, или ит(д) не делит LT(r).
По A) последнее условие эквивалентно условию deg(r) < deg(g).
Другими словами, если алгоритм прекращает работу, то он выдает
требуемые q n г.
Осталось доказать, что алгоритм обязательно остановится, т.е.
что утверждение между WHILE и DO в какой-то момент ста-
станет ложным (иначе цикл будет выполняться бесконечно много
раз). Здесь самым важным является тот факт, что полином г —
(ит(г)/ьт(д))д или равен нулю, или имеет степень, меньшую, чем
степень полинома г. Докажем это. Пусть
1- am,
+ Ьк,
LT(r) = aoxm,
LT(g) = boxk,
г = аохт +
д = Ьохк +
и пусть т > к. Тогда
r-(LT(r)/LT(p))p = (c
и степень полинома г обязана уменьшиться (или г обращается в
нуль). Так как эта степень конечна, то алгоритм останавливается
после конечного числа шагов.
Сравним работу этого алгоритма с процедурой деления поли-
полиномов в том виде, как она изучается в школе1). Вот пример неза-
незаконченного деления:
12
2х + 1 \А3 + 2х2 + х + 1
\х2 +1
''Мы сохранили принятую в англоязычной литературе (и непривычную для
российского школьника) форму записи деления полиномов, так как она согла-
согласуется с формой записи деления полиномов от нескольких переменных, которая
будет использоваться в дальнейшем.— Прим. ред.
Здесь / = z3+2z2+z+l, <7 = 2z+l, а текущие (но не окончательные)
значения q и г —это q = \х2 и г = |х2 + х + 1. Теперь заметим, что
операторы
q: = q + LT(r)/LT(g),
r:=r-(LT(r)/LT(g))g
в цикле WHILE ... DO в точности описывают следующий шаг де-
деления.
Теперь нам осталось доказать, что qwr определены однозначно.
Предположим, что / = qg + г = q'g + г' и степени полиномов гиг'
меньше, чем степень полинома g (либо оба или один из них равен
нулю). Если г ф г', то deg(r-r') < deg(g). С другой стороны, так как
(q - q')g = г' - г, B)
то q' - q ф 0 и, следовательно,
deg(r' - г) = deg((q' - q)g) = deg(q' - q) + deg(g) > deg{g).
Значит г = г', и тогда из B) следует, что q = q'. Доказательство
закончено. ?
В большинстве систем компьютерной алгебры реализован этот
алгоритм, может быть, с некоторыми изменениями (см. Daven-
Davenport, SlRET, TOURNIER A993)).
Следствием существования алгоритма деления является такое
утверждение о количестве корней полинома от одной переменной:
Следствие 3. Пусть f € к[х] — ненулевой полином. Тогда он име-
имеет в к не более чем deg(/) корней.
Доказательство. Применим индукцию по т = deg(/). Если т = О,
то / — ненулевая константа, и утверждение справедливо. Пусть ут-
утверждение выполняется для всех полиномов степени т — 1, и пусть
/ имеет степень т. Если / не имеет корней в к, то утверждение
доказано. Пусть теперь а € А; —корень полинома /. Поделим / на
х — а. Тогда по предложению 2 имеем / = q(x — а) + г, где г ? к,
так как х — а имеет степень один. Положив в этом равенстве х — а,
получим 0 = /(а) = q(a)(a - а) + г = г, т. е. / = q(x - а), и, значит,
степень полинома q равна m - 1.
Мы утверждаем, что любой корень полинома /, отличный от
а: является корнем полинома q. Если b ф а —корень полинома /,
то 0 = f(b) = q(b)(b - а), откуда q(b) = 0 (так как к — поле). По
предположению индукции q имеет не более т - 1 корней; значит, /
имеет не более т корней в к. D
Именно следствие 3 и было использовано для доказательства
предложения 5 § 1, где утверждалось, что если к бесконечно, то

60
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
Цкп) = {0}. Это пример того, как геометрический результат уста-
устанавливается с помощью алгоритма.
Предложение 2 позволяет также описать все идеалы в к[х].
Следствие 4. Пусть к — поле. Тогда каждый идеал в к[х] может
быть представлен в виде (/) для некоторого полинома f € k[x].
Более того, f определен однозначно с точностью до умножения
на ненулевую константу из к.
Доказательство. Пусть / С к[х] — некоторый идеал. Если / = {0},
то / = @) и утверждение доказано. Пусть теперь / ф {0}, и пусть
/ ? I — ненулевой полином минимальной степени (в множестве по-
полиномов, содержащихся в /). Мы утверждаем, что / = (/). Вклю-
Включение (/) С / очевидно, так как / — идеал. Рассмотрим теперь по-
полином g ? I. В соответствии с алгоритмом деления (предложение
2) 9 = я/ + г> гДе или г — 0, или deg(r) < deg(/). Так как I — идеал,
то qf G I и, значит r = g-qf € I. Если г ф 0, то deg(r) < deg(/), что
противоречит выбору полинома /. Значит, г = 0, т. е. g = qf 6 (/),
что доказывает равенство / = (/).
Докажем теперь единственность. Пусть (/) = (д). Так как / €
(д), то / = hg для некоторого полинома h. Имеем
deg(/) = deg(ft) + deg(p),
C)
т. е. deg(/) > deg(p). Аналогично получаем, поменяв местами / и д,
что deg(#) > deg(/), т.е. deg(/) = deg(p). Теперь из C) следует, что
deg(/i) = 0. Значит, Л —ненулевая константа. ?
Идеал, порожденный одним элементом, называется главным
идеалом. Таким образом, ввиду следствия 4 мы говорим, что к[х]
является областью главных идеалов или сокращенно ОГИ.
В доказательстве следствия 4 в качестве порождающего элемен-
элемента мы взяли полином минимальной степени из числа содержащихся
в идеале. Этот метод на практике неприменим, так как он требует
проверки степеней всех полиномов (а их бесконечно много) из иде-
идеала. Есть ли более простой способ найти порождающий элемент?
Например, как найти порождающий элемент идеала
Инструментом решения таких задач является наибольший общий
делитель.
§ 5. Полиномы от одной переменной
61
Определение 5. Наибольшим общим делителем полиномов /, g 6
k[x] называется полином h, такой, что
(i) h делит и /, и д;
(ii) если р — некоторый полином, который делит и /, и д, то р де-
делит h.
Наибольший общий делитель будет обозначаться через
GCD(/, g) (GCD — начальные буквы английского термина greatest
common divisor).
Основные свойства наибольших общих делителей сформулиро-
сформулированы в следующем предложении.
Предложение 6. Пусть f,g € к[х]. Тогда
(i) GCD(/, g) существует и единствен с точностью до умноже-
умножения на ненулевую константу из к;
(ii) GCD(/,<7) является образующим идеала (f,g);
(iii) существует алгоритм для вычисления GCD(f,g).
Доказательство. Рассмотрим идеал (f,g). Так как каждый иде-
идеал в к[х] главный (следствие 4), то найдется полином h € к[х], та-
такой, что (f,g) = (h). Мы утверждаем, что h = GCD(f,g). Сначала
отметим, что h делит fug, так как f,g 6 (h). Таким образом,
первый пункт определения 5 выполняется. Пусть теперь р € к[х]
делит fug. Это означает, что / = Ср и g = Dp для некоторых
C.D е к[х]. Так как h G (/,g), то существуют полиномы А и В,
такие, что Af + Bg = h, откуда
h = Af + Bg = ACp + BDp = (AC + BD)p,
т.е. р делит h. Значит, h = GCD(f,g).
Доказательство существования GCD закончено. Перейдем к до-
доказательству единственности. Пусть Л'— другой наибольший об-
общий делитель полиномов / и д. Тогда в силу второго пункта опре-
определения 5 полиномы h и h' делят друг друга. Откуда следует, что h
равен Ы с точностью до умножения на ненулевую константу. Пунк-
Пункты (i) и (ii) предложения 6 доказаны.
Только что полученное нами доказательство существования
GCD бесполезно с практической точки зрения. Рецепт вычисле-
вычисления GCD сводится к определению порождающего элемента идеала
(/,<?). Как отмечалось выше, это требует нахождения степеней бес-
бесконечного количества полиномов. К счастью, есть классический ал-
алгоритм, называемый алгоритмом Евклида, который позволяет вы-
вычислить наибольший общий делитель двух полиномов в к[х]. Опи-
Описание этого алгоритма и завершит доказательство предложения 6.

62
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 5. Полиномы от одной переменной
63
Дадим сначала необходимые определения. Пусть /,g € к[х],
g ф 0. Запишем / в виде / = qg + г, где q и г определены, как
в предложении 2. Тогда г называется остатком от деления / на g
(мы будем писать г = остаток(/,д)). Теперь мы можем дать описа-
описание алгоритма Евклида:
Вход: /, д
Выход: ft
h:=f
s:=g
WHILE s/0 DO
rem := остаток(Л, s)
h:=s
s := rem
Далее, необходимо объяснить, почему этот алгоритм действитель-
действительно вычисляет GCD. Пусть / = qg + г (как в предложении 2). Мы
утверждаем, что
GCD(/,д) = GCD(/ - qg,g) = GCD(r,g). D)
В силу п. (ii) этого предложения достаточно доказать, что идеалы
(/, д) и (/ — qg,g) совпадают. Это доказательство мы оставляем
читателю в качестве упражнения.
Перепишем D) в виде
Отметим, что или deg(g) > deg(r), или г = 0. Если г ф 0, то мы
можем уменьшить степени, повторяя эту процедуру, т. е. мы запи-
записываем д в виде д = q'r + г' и получаем
GCD(<?,r) = GCD(r,r'),
где deg(r) > deg(r') или г' = 0. Таким образом, мы имеем цепочку
равенств
GCD(/, д) = GCD(<?, г) = GCD(r, г') = GCD(r', г") = ..., E)
причем либо степени уменьшаются:
degE) > deg(r) > deg(r') > deg(r") > ...,
либо процесс останавливается, когда один из r,r',r",... становится
равным нулю.
Теперь мы можем объяснить, как работает алгоритм Евклида.
Переменными алгоритма являются ft и s, и эти переменные входят
в состав соотношения E): значением ft является первый полином
в каждом GCD, а значением s — второй. Легко убедиться, что пе-
переход в E) от очередного GCD к следующему происходит так же,
как и соответствующий переход в цикле WHILE ... DO алгоритма.
Таким образом, на каждом шаге алгоритма GCD(ft, s) = GCD(/,g).
Работа алгоритма должна прекратиться, так как степени поли-
полинома s уменьшаются и в некоторый момент s станет равным ну-
нулю. В этот момент мы имеем GCD(ft,0) = GCD(/,g), а так как
(/г, 0) = (h), то GCD(/i, 0) = ft. Таким образом, ft = GCD(/, g), когда
s обращается в нуль, т. е. в момент остановки алгоритма ft равен
наибольшему общему делителю полиномов / и ft. Доказательство
предложения 6 завершено. ?
Следует также отметить, что существует вариант алгоритма Ев-
Евклида, вычисляющий наибольший общий делитель двух целых чи-
чисел. В большинстве систем компьютерной алгебры реализован мо-
модифицированный алгоритм Евклида для вычисления наибольшего
общего делителя двух полиномов или целых чисел (см. Davenport,
SlRET, TOURNIER A993)).
Как пример работы алгоритма Евклида рассмотрим процесс вы-
вычисления GCD(a;4 — 1,х6 — 1). Сначала мы применяем алгоритм
деления:
х4 - 1 = 0(х6 - 1) + х4 - 1,
х6 -1 = z2(z4 -1) + х2 -1,
х4-1 = (z2 + l)(z2-l) + 0.
Теперь по E) мы имеем
GCD(a:4 - 1,х6 - 1) = GCD(x6 - 1,х4 - 1) =
= GCD(x4 - 1,х2 - 1) = GCD(x2 - 1,0) = х2 - 1.
Следует отметить, что вычисление GCD дает ответ и на вопрос
об определении порождающего элемента идеала (а:4 — l,i6 — 1), а
именно из предложения 6 и того факта, что GCD(x4 - 1,х6 - 1) =
х1 - 1, следует, что (ж4 — 1,ж6 — 1) = (х2 — 1).
Однако здесь можно задать естественный вопрос: а как быть,
когда идеал порожден тремя или большим количеством полиномов?
Для этого необходимо определить наибольший общий делитель не-
нескольких полиномов.
Определение 7. Наибольшим общим делителем полиномов
/i ¦ • • •, fs ? к[х] называется полином ft, такой, что
(i) ft делит /i,...,/s;
(ii) если р — некоторый полином, который делит /i,. • •, /s, то р де-
делит ft.
Такой полином ft обозначается через GCD(/b ..., /s)^.
'GCD — аббревиатура английского термина greatest common divisor.—
Прим. nepee.

64
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
Основные свойства наибольшего общего делителя сформулиро-
сформулированы в следующем предложении.
Предложение 8. Пусть /ь...,/« € к[х], s > 2. Тогда
(i) GCD(/i,..., fs) существует и определен однозначно с точно-
точностью до умножения на ненулевую константу из к;
(ii) GCD(/i,..., Л) порождает идеал (/ь ..., /s);
(Hi) если s > 3, то GCD(/i, ...,/.) = GCD(/bGCD(/2,...,/,));
(iv) существует алгоритм для вычисления GCD(/i,..., /s).
Доказательство. Доказательство пп. (i) и (ii) аналогично дока-
доказательству тех же пунктов предложения 6. Докажем (ш). Пусть
h = GCD(/2,...,/s). Тогда
</1,Л) = (Л,••-,/.)•
Доказательство этого факта мы оставляем читателю в качестве
упражнения. Из (ii) следует, что
Теперь равенство GCD(/i, h) = GCD(/i,...,/«) вытекает из второго
утверждения (о единственности) следствия 4.
Наконец, нам нужно доказать существование алгоритма, вычи-
вычисляющего GCD(/i,... ,/s). Для этого нужно объединить п. (ш) и
алгоритм Евклида. Пусть, например, мы хотим найти наибольший
общий делитель четырех полиномов /i, /2, /з, /4 • Имеем
GCD(/i,/2,/3,/4) = GCD(/i,GCD(/2,/3,/4))
= GCD(/bGCD(/2,GCD(/3,/4))). {)
Таким образом, для вычисления наибольшего общего делителя по-
полиномов /ь/2,/з,/4 нам нужно применить алгоритм Евклида три
раза. Одно из упражнений к этому параграфу — написать псевдо-
псевдокод, реализующий алгоритм вычисления GCD для произвольного
количества полиномов. Предложение 8 доказано. ?
Процедура вычисления GCD в большинстве систем компьютер-
компьютерной алгебры может находить наибольший делитель только двух по-
полиномов. Поэтому в случае трех и более полиномов необходимо ис-
использовать метод предложения 8. Рассмотрим, например, идеал
(х3 - Зх + 2, х4 - 1, х6 - 1) С к[х].
Мы знаем, что GCD(x3 - Зх + 2,х4 - 1,х6 - 1) порождает этот
идеал. Далее, легко проверить, что
2,x4-l,x6-l) = GCD(x3-3x + 2,GCD(x4-l,x6-l))
= GCD(x3-3x + 2,x2-l)=x-l,
т.е.
§ 5. Полиномы от одной переменной
(х3 - Зх + 2, х4 - 1, х6 - 1) = (х - 1).
65
Теперь понятно, как должен быть построен алгоритм вычисления
порождающего элемента идеала (/ь ..., /s), /1,...,/« € к[х].
В качестве следующего приложения алгоритмов деления и вы-
вычисления GCD рассмотрим задачу о принадлежности идеалу, упо-
упомянутую в § 4: существует ли алгоритм, позволяющий опреде-
определить для произвольного полинома / € к[х] и заданных полиномов
fi,..., fs ? к[х], лежит / в идеале (/i,..., /s) или нет. Ответ утвер-
утвердительный, и такой алгоритм несложно описать. Первый шаг —это
вычисление GCD(/i,... ,/s), т.е. определение порождающего эле-
элемента h идеала (Л ,-•-,/»)• Так как включение /6 (Л ,•••,/*) экви-
эквивалентно включению / € (h), то нам осталось только поделить / на
h с остатком: / = qh + r, deg(r) < deg(h). Таким образом, / при-
принадлежит идеалу в том и только том случае, когда г = 0. Пусть,
например, мы хотим узнать, верно ли, что
х3 + 4х2 + Зх - 7 е (х3 - Зх + 2, х4 - 1, х6 - 1).
Мы знаем, что х — 1 — порождающий элемент этого идеала, так что
нам нужно ответить на вопрос, верно ли, что
Но
х3+4х2+Зх-7е (х-1)?
х3 + 4х2 + Зх - 7 = (х2 + 5х + 8) (яг - 1) + 1.
Значит, х3 + 4х2 + Зх - 7 не принадлежит идеалу (х3 - Зх + 2, х4 -
1. х6 — 1). В гл. 2 мы научимся решать задачу о принадлежности иде-
идеалу для полиномов из k[xi,..., хп], используя аналогичную страте-
стратегию: сначала мы находим хороший базис идеала (базис Грёбнера),
а затем применяем обобщенный алгоритм деления для решения за-
задачи.
В упражнениях мы увидим, что в случае одной переменной ряд
задач, сформулированных ранее, допускает алгоритмическое реше-
решение с помощью методов этого параграфа.
Упражнения к § 5
1 Над полем С следствие 3 может быть сформулировано в более силь-
сильной форме. А именно, докажите, что если / € С[х] — полином сте-
степени п > 0, то / может быть представлен в виде произведения
/ = с(х — oi)... (ж —On), где с, oi,... ,ап € С и с ф 0. Указание: приме-
примените теорему 7 из § 1. Отметим, что этот результат справедлив для
любого алгебраически замкнутого поля.
2. Хотя следствие 3 кажется простым, из него вытекает несколько ин-
интересных результатов. Например, рассмотрим определитель Вандер-

66
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 5. Полиномы от одной переменной
67
монда порядка п, где oi,..., а„ ? к:
/1
1
det
al
al
Л1
22
\1
4
Докажите, что этот определитель не равен нулю, если (ц попарно
различны. Указание: если определитель равен нулю, то столбцы ли-
линейно зависимы. Тогда коэффициенты линейного соотношения меж-
между столбцами определяют полином степени < п — 1, который имеет
п корней. Теперь примените следствие 3.
3. Утверждение, что каждый идеал в к[х] является главным (т.е. по-
порожден одним элементом), справедливо только для полиномов от од-
одной переменной. В этом упражнении мы увидим почему. А именно,
рассмотрим идеал / = (х,у) С fc[x,y]. Докажите, что / не является
главным идеалом. Указание: пусть х = fg, где /, <? ? к[х, у]. Докажи-
Докажите, что / или g — константа. Отсюда следует, что методы вычисления
и работы с GCD, рассмотренные в этом параграфе, применимы толь-
только в случае одной переменной. Наибольший общий делитель может
быть найден и для полиномов от п > 2 переменных, но теория и ме-
методы здесь значительно сложнее (см. Davenport, Siret, Tournier
A993), §4.12).
4. Пусть ft = GCD(/, <?), f,g ? k[x]. Докажите, что существуют полино-
полиномы А,В ? к[х], такие, что Af + Bg = ft.
5. Пусть /,g ? к[х]; тогда (/ — qg,g) = {f,g) для любого q ? к[х]. Это
докажет равенство D).
6. Пусть /1,...,Л € к[х], и пусть h = GCD(/2,..., /s) (т.е. (ft) =
(h, ¦ ¦ ¦, /*)); тогда (/i, ft) = (/i, /2,..., fs). Это докажет п. (iii) пред-
предложения 8.
7. Предположим, что наша процедура вычисления наибольшего общего
делителя позволяет за один раз находить GCD только двух полино-
полиномов (это справедливо для большинства систем компьютерной алгеб-
алгебры). Напишите псевдокод алгоритма, который находит GCD полино-
полиномов /i,..., fs ? к[х], s > 2. Докажите корректность алгоритма. Ука-
Указание: примените равенства F). Это завершит доказательство п. (iv)
предложения 8.
8. Используйте какую-нибудь систему компьютерной алгебры для вы-
вычисления следующих GCD:
(a) GCD(x4 + х2 + 1, х4 - х2 - 2х - 1, х3 - 1).
(b) GCD(s:3 + 2х2 - х-2,х3 - 2х2 - х + 2, х3 - х2 - Ах + 4).
9. Используйте метод, рассмотренный в тексте параграфа, для решения |
следующей задачи о принадлежности полинома идеалу: верно ли, что ]
х2 - 4 ? {хг + х2 - Ах - 4, х3 - х2 - 4х + 4, х3 - 2х2 - х + 2)?
10. Напишите псевдокод следующего алгоритма: по заданным двум по-
полиномам /,g € к[х] он вычисляет ft, Л,В € к[х], где ft = GCD(/,g),
а Af + Bg = ft. Указанием нужно добавить переменные A, B,C,D в
алгоритм вычисления GCD так, чтобы соотношения Af + Bg = ft
и Сf + Dg = s выполнялись на каждом шаге алгоритма. Началь-
Начальными значениями для A,B,C,D являются 1,0,0,1 соответственно.
Возможно, вам покажется удобным через частное(/, д) обозначить
частное от деления / на д, т. е. если в алгоритме деления f — qg + r,
то q = частное(/, д).
11. В этом упражнении мы рассмотрим задачу совместности из § 2 в
случае одной переменной. Пусть /i ,...,/>€ к[х]. Существует ли алго-
алгоритм, позволяющий определить пустоту или непустоту многообразия
V(/i, ¦ • ¦, /5)? Мы увидим, что ответ утвердительный, если к = С.
(a) Пусть / ? С[х] — ненулевой полином. Примените теорему 6 из
§ 1 и докажите, что V(/) = 0 тогда и только тогда, когда / —
константа.
(b) Пусть /i,..., fs ? С[х}; тогда V(/i, ...,/,) = 0 в том и только
том случае, когда GCD(/i,..., fs) = 1.
(c) Дайте (неформальное) описание алгоритма, решающего задачу
о пустоте или непустоте многообразия V(/i,..., fs).
Если к = R, то задача совместности становится существенно более
трудной. Здесь необходимо знать метод, позволяющий определить
наличие или отсутствие вещественных корней у произвольного по-
полинома / ? Щх\1).
12. В этом упражнении мы рассмотрим теорему о нулях из § 4 в
случае одной переменной. В этой теореме изучается связь между
I(V(/i,... ,fs)) и (/i,... ,fs), когда /i,... ,fs ? C[x]. Использование
GCD позволяет редуцировать задачу к случаю одного порождаю-
порождающего элемента. Так что задача теперь формулируется следующим
образом: явно описать идеал I(V(/)), где / ? С[х] не является кон-
константой. Так как основное поле —это поле С, то, согласно упр. 1, /
'Такой метод дается одной классической теоремой Сильвестра (см. по это-
этому поводу Procesi С. Positive Symmetric Functions, Adv. Math., 29, 1978, 219-
222). Ответ состоит в следующем (мы воспользуемся для его формулировки
материалом § 1 гл. 7). Пусть / = х" - bix" + ... + (-1)ПЛ ? К. Тогда
f = (х-а\) ... (х — ап) Для некоторых а; ? С и bj = 0j{ai,... ,an) (см. § 1 гл. 7).
Положим фа = 53. as и рассмотрим симметрическую матрицу Bez, у которой
на пересечении г-й строки и j-ro столбца стоит элемент ^_|__,_2.
Поскольку ips — симметрическая функция от а\,..., ап, то она является по-
полиномом от 6i,. .. ,bn. Для любого s этот полином, а значит, для любого л и
матрица Bez могут быть явно выписаны с помощью тождеств Ньютона (см. § 1
гл. 7).
J-еорема. Сигнатура матрицы Bez равна числу различных вещественных
Корней полинома /.
~~ Прим. ред.

68
Гл. 1. Геометрия, алгебра и алгоритмы
§ 5. Полиномы от одной переменной
69
полностью разлагается на множители, т. е.
f = c(x~aiyi...(x-a,Y',
где oi,... ,о; € С попарно различны и с 6 С— {0}. Определим теперь
полином
/red = c(x -oi)... (х ~ai).
Корни полиномов / и /red совпадают, но их кратности могут быть
различными. В частности, все корни полинома /red простые (имеют
кратность один). Полином /геа называется редуцированной или сво-
свободной от квадратов частью полинома /. Последний термин означа-
означает, что /red является свободным от квадратов делителем полинома /
максимальной степени.
(a) Докажите, что V(/) = {eu,..., а;}.
(b) Докажите, что I(V(/)) = (/red).
Упражнение (Ь), конечно, описывает I(V(/)), но ответ не является
вполне удовлетворительным, так как, чтобы найти /red, нам нужно
полностью разложить / на множители. В упр. 13, 14 и 15 мы пока-
покажем, как найти /геа, не разлагая / на множители.
13. В этом упражнении мы рассмотрим понятие формальной производ-
производной полинома/ = aoxn+aixn~1-{ \-an-ix+an € С[х]. Формальная
производная определяется обычной формулой из математического
анализа: /' = паохп~1 + (п — l)aixn~2 + • • ¦ + an_i + 0. Докажите
справедливость следующих правил дифференцирования:
(а/)' = а/', когда a € С,
14. В этом упражнении свойства дифференцирования, сформулирован-
сформулированные в предыдущем упражнении, будут применены для вычисления
GCD(/,/'), feC{x].
(a) Пусть / = (х - a)Th е С[х], где h(a) ф 0; тогда /' = [х - a)r~lhi,
где hi € С[х] и /ii(a) / 0. Указание: примените правило диффе-
дифференцирования произведения.
(b) Пусть { — с{х—ai)ri ... (х—сцУ, гдеаь ... ,а/ попарно различны.
Докажите, что /' = (х - сцУ1'1 ...(х- о;)г'~1Я, где Я 6 ОД и j
Н отличен от нуля в точках oi,..., at.
(c) Докажите, что GCD(/, /') = (х - aiI ...(х- о,I"'.
15. В этом упражнении изучается свободная от квадратов часть /red no- |
линома / € С[х], которая была определена в упр. 12.
(а) Примените упр. 14 и докажите, что
(Ь)
Ценность этой формулы состоит в том, что она позволяет нахо-
находить свободную от квадратов часть, не разлагая / на множители.
Это дает возможность значительно упростить вычисления.
Используйте какую-нибудь систему компьютерной алгебры и
найдите свободную от квадратов часть следующего полинома:
- х10 + 2х8 - Ах7 + Зх5 - Зх4 +
х3 +3х2 -х-1.
16. Используйте упр. 12 и 15 и дайте неформальное описание алгорит-
алгоритма, который вычисляет базис идеала I(V(/i,..., /s)) для данных
/i, ¦ ¦ •, fs € С[ж]. Построить подобный алгоритм для случая полино-
полиномов от нескольких переменных значительно труднее.
17. Найдите базис идеала I(V{x5-2x4+2x2-x, хъ -х* -2х3+2х2+х-1)).
/red =
GCD(/,/'

2
II
§ 1. Введение
71
Базисы Грёбнера
§ 1. Введение
В гл. 1 мы увидели, что существует связь между алгебраическими
свойствами полиномиальных колец к[х\,..., хп] и геометрическими
свойствами аффинных многообразий. В этой главе будут изучаться
базисы Грёбнера, которые позволяют решать алгоритмически зада-
задачи о полиномиальных идеалах. Метод базисов Грёбнера реализован
во всех достаточно мощных системах компьютерной алгебры и при-
применяется для изучения полиномиальных идеалов, возникающих в
прикладных задачах. В гл. 1 мы сформулировали ряд проблем, ка-
касающихся алгебраических свойств полиномиальных идеалов и гео-
геометрии аффинных многообразий. В этой главе и в гл. 3 нас особенно
будут интересовать следующие четыре задачи.
Задачи
(a) Задача описания идеала. Является ли произвольный идеал / С
к[х\,... ,хп] конечно порожденным? Другими словами, верно
ли, что / = (Л, • • ¦, Л) для некоторых Д € k[xi,..., хп]1
(b) Задача о принадлежности идеалу. Пусть / 6 к[х\,... ,хп], и
пусть задан идеал / = (Д,..., Д). Принадлежит полином / иде-
идеалу / или нет? На геометрическом языке эта задача может быть
сформулирована так: содержится ли многообразие У(Д,..., Д)
в многообразии V(/)?
(c) Задача решения полиномиальных уравнений. Описать множе-
множество решений в кп системы полиномиальных уравнений
fl(Xi,...,Xn) = ... = fs(xi,...,Xn) = 0.
Конечно, это то же самое, что описать аффинное многообразие
(d) Задача неявного представления. Пусть V — подмножество в А;п,
заданное параметрически:
*^1 — Q\ \^\ ) • • • j ^7П J:
Если Qi — полиномы (или рациональные функции) от перемен-
переменных tj, то V будет аффинным многообразием или его частью.
Задача состоит в том, чтобы задать V полиномиальными урав-
уравнениями от переменных Х{.
Здесь необходимы некоторые пояснения. В задаче (а) спраши-
спрашивается, верно ли, что любой идеал можно задать конечным числом
образующих. Идеалы, с которыми мы встречались ранее, именно
таковы — на самом деле мы и определяли их с помощью конечного
числа образующих. Оказывается, есть и другие способы задать иде-
идеал, и не очевидно, что так заданный идеал конечно порожден. Глав-
Главный пример —это идеал многообразия I(V). Полезно будет узнать,
что такие идеалы также конечно порождены. С другой стороны,
мы увидим в упражнениях, что в случае полиномов от бесконечно-
бесконечного числа переменных ответ на вопрос (а) будет отрицательным.
Отметим, что задачи (с) и (d) в некотором смысле взаимно
обратны. В (с) мы хотим описать множество решений полиноми-
полиномиальной системы. А в (d), наоборот, множество решений дано, а за-
задача состоит в построении полиномиальной системы с такими ре-
решениями.
Прежде чем мы начнем изучать базисы Грёбнера, рассмотрим
частные случаи, когда известная нам техника позволяет эти задачи
решить.
Пример 1. Если п = 1, то задача описания идеала была решена в
§ 5 гл. 1. А именно, если дан идеал / С к[х], то I = (g) для некоторого
д е к[х] (следствие 4 из § 5 гл.1). То есть в этом случае идеалы
имеют совсем простое описание.
В § 5 гл. 1 было также показано, что алгоритм деления решает
задачу о принадлежности идеалу: если / 6 к[х], то, для того чтобы
узнать, принадлежит / идеалу / = (д) или нет, мы делим / на д:
f = qg + r,
где q,r ? к[х] и г = 0 или deg(r) < deg(g). Мы доказали, что / 6 I
в том и только том случае, когда г = 0. Таким образом, в случае
п = 1 у нас есть алгоритмический метод проверки принадлежности
полинома идеалу.
Пример 2. Рассмотрим случай п переменных. Пусть дана система
полиномиальных уравнений первой степени (т. е. линейная система)
+ ... + а\пхп + h = 0,
; A)
атпхп
Ьт-0.

72
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 1. Введение
73
Например, рассмотрим систему
2х\ + 3i2 - 13= О,
ii + i2 - 1 = 0, B
ii + 1з-3 =0.
После приведения матрицы системы к ступенчатому виду мы пс
лучаем
/10 1 3\
0 1 -1 -2 .
\0 0 0 О/
Мы видим, что 1з — свободная переменная, и, полагая Хз—t (прот|
извольный элемент из к), можем записать решение в виде
ii = —t + 3,
X2 = t-2,
Хз = t.
Эти параметрические уравнения задают прямую L в fc3, а исходная]
система определяет L как аффинное многообразие.
В общем случае мы, используя элементарные преобразования!
строк, приводим матрицу системы A)
... а1п -I
к главному ступенчатому виду (где главный, т. е. первый нену-
ненулевой, элемент в каждой строке равен 1, а все другие элементы
столбца, содержащего эту 1, равны нулю). Теперь мы находим все
решения системы A), задавая значения свободных переменных в
ступенчатой матрице. Система может иметь единственное реше-
решение, а может и не иметь решений вообще. Последнее возможно в
том случае, когда ступенчатая матрица системы содержит строку
@ ... 0 1), которой отвечает уравнение 0 = 1, не имеющее решений.
Пример 3. Пусть снова п произвольно, и рассмотрим подмноже-
подмножество V С кп со следующей параметризацией:
II = «11*1 + •• -+C4mtm +
хп = anih + ¦ ¦ ¦+anmtrn + bn.
C)
задаваемого формулой
F(h, ¦ ¦ ¦ ,tm) = (anii + ... + alrntm + bi,...,anih + ... + anmtm + bn).
F есть композиция линейного отображения и сдвига. Рассмотрим
задачу неявного представления в этом случае. Другими словами,
мы должны найти линейную систему типа A), решениями которой
будут точки из V¦
Рассмотрим, например, аффинное линейное подпространство
V С к4, заданное следующей параметрической системой:
11 = h+t2 + l,
12 = t\ — <2 + 3,
хз = 2*i - 2,
i4 = h+ 2i2 - 3.
Перепишем уравнения, перенося ij в правую часть. Теперь матрица
системы имеет следующий вид:
1
1
2
1
1
-1
0
2
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
-1
2
3
(порядок переменных в новой системе таков: ?i,?2,ii,i2,
Приводя матрицу к главному ступенчатому виду, получим
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
-1/2
1/4
-1/4
-3/4
0
-1/2
-1/2
1/2
1
1
3
3
Мы видим, что V является аффинным линейным подпростран-
подпространством в кп, потому что оно есть образ отображения F : кт —> кп,
Последние две строчки ступенчатой матрицы соответствуют урав-
уравнениям, не содержащим tj\
ц - A/4Iз - (l/2)i4 -3 = 0,
12 - C/4)i3 + (l/2)i4 -3 = 0.
(Отметим, что матрица этой системы также главная ступенчатая.)
Два этих уравнения и определяют V ъ кА.
Этот метод применим для нахождения неявного представле-
представления любого аффинного линейного подпространства V , заданно-
заданного параметрически системой типа C): приводим матрицу системы
к главному ступенчатому виду. Тогда строки, содержащие только
Х\.... ,хп, и дают уравнения, определяющие V. Таким образом, в
этом случае у нас есть алгоритмический метод решения задачи на-
нахождения неявного представления.

74
Гл. 2. Базисы Грёбнера
i 2. Упорядочение мономов в к[х\,..., хп]
75
Цель этой главы — обобщить методы, рассмотренные в приме-
примерах, и перенести их на произвольные полиномиальные системы лю-
любой степени и с любым количеством переменных. Мы увидим, что
некоторая «комбинация» приведения к ступенчатому виду и деле-
деления полиномов — упомянутый в начале главы метод базисов Грёб-
Грёбнера—и позволяет решить эти задачи.
Упражнения к § 1
1. Используя метод примера 1, определите, принадлежит ли данный
полином данному идеалу / С Щх].
(a) f(x) = x2-3x + 2, I=(x-2).
(b) f{x) = х5 - Ах + 1, / = (х3 - х2 + х).
(c) fix) = х2-4х + 4, 1=(хл- 6х2 + 12х - 8, 2х3 ~ 10ж2 + 16ж - 8).
(d) f(x) = x3-l, I={x9-l,x5+x3-x2-l).
2. Параметризуйте аффинное многообразие, заданное следующей си-
системой:
(а) В
или в
С3:
(Ъ) В R4 или в С4 :
(с) В R3 или в С3:
2х+3у- z = 9,
х - у = 1,
3x + 7y-2z = 17.
Х\ + Х2 — Хз — Х4 = О,
Х\ — Х2 + Хз = 0.
у-х3 = 0,
z - х5 = 0.
3. Найдите неявное представление аффинного многообразия, заданного
параметрически,
(а) В R3 или в С3:
(Ъ) В R4 или в С4:
(с) В R3 или в С3:
xi = t -5,
х2 = 2t + 1,
х3 = -t +6.
х\ = 2t - 5u,
x2=t + 2u,
Хз = — t + U,
Xi=t +3u.
X = t,
4. Пусть x\,x?,xz,... —бесконечная последовательность независимых
переменных. Полиномом от переменных Х{ с коэффициентами в по-
поле к называется конечная линейная комбинация (конечных) мономов
х\\ . •. х\". Обозначим через R множество всех полиномов от Xi. Мы
можем складывать и умножать элементы из R обычным способом,
т. е. R является кольцом полиномов к[х\, х2, ¦ ¦ ¦ ] от бесконечного чи-
числа переменных.
(a) Пусть / = (xi,X2,X3,- ¦ ¦) обозначает множество полиномов вида
xt-i /i + • • • + xtm fm, где fi € R. Докажите, что / является идеалом
в Д.
(b) Рассуждая от противного, докажите, что / не является конечно
порожденным идеалом. Указание: нельзя ограничиться только
рассмотрением подмножеств множества {xt : i > 1}.
5. В этом упражнении мы докажем, что каждая полиномиальная пара-
параметрическая кривая в к2 содержится в некотором аффинном много-
многообразии.
(a) Докажите, что количество различных мономов хеу? степени < тп
(т. е. е + f < тп) в к[х, у] равно (тп + 1)(тп 4- 2)/2. Указание: это
биномиальный коэффициент (т^2)-
(b) Пусть f(t) и g(t) — полиномы степени < п от переменной t; тогда
если тп достаточно велико, то «мономы»
[/(*)Г tff (*)]',
где е + f < тп, образуют линейно зависимое множество в k[t].
(c) Выведите из п. (Ь), что если С : х = /(<), у = g(t) — произвольная
полиномиальная параметрическая кривая в к2, то С содержится
в некотором аффинном многообразии V(F), где F € к[х,у\.
(d) Обобщите пп. (а), (Ь) и (с) и докажите, что произвольная поли-
полиномиальная параметрическая поверхность
х = f{t,и), у = дЦ,и), z = h{t,u)
содержится в некоторой алгебраической поверхности V(F), F G
k[x,y,z].
§ 2. Упорядочение мономов в к[х\,..., хп]
Тщательное рассмотрение алгоритма деления в к[х] и алгоритма
приведения системы (или матрицы) к ступенчатому виду методом
исключения Гаусса показывает, что понятие упорядочения членов
полинома является ключевым в обоих алгоритмах (хотя это, как

76
Гл. 2. Базисы Грёбнера
правило, не подчеркивается). При делении, например, полинома
f(x) = х5 - За;2 + 1 на полином д(х) = х2 - Ах + 7 мы должны
• записать члены полиномов в порядке убывания степеней;
• на первом шаге поделим старший член х° (т. е. член наибольшей
степени) полинома / на х2 — старший член полинома д: х° =
х3 ¦ х2. Затем мы вычитаем а;3 ¦ д{х) из f(x), уничтожая тем
самым старший член полинома /, и получаем 4а;4 — 7х3 — За;2 +1.
• Повторяем эту процедуру с f(x) - х3 ¦ д(х) вместо f(x) и т. д. до
тех пор, пока не получим полином степени, меньшей двух.
Алгоритм деления полиномов от одной переменной имеет дело,
таким образом, со следующим упорядочением мономов:
...>хт+1 >хт > ... >а;2 >х> 1. A)
Результативность алгоритма связана именно с тем, что мы рабо-
работаем последовательно со старшими членами полиномов / и д, а не
«случайным образом» убираем члены из /, используя произволь-
произвольные члены из д.
Аналогично, при приведении матрицы к ступенчатому виду мы
систематически обращаем в нуль главные элементы, т. е. первые
слева ненулевые элементы в строках. На языке линейных систем
это означает следующий порядок переменных:
хг > х2 > ... > хп. B)
Каждое уравнение системы записывается в порядке убывания чле-
членов. Более того, в ступенчатом виде уравнения системы записаны в
порядке убывания старших (главных) членов. (Следует отметить,
что определение ступенчатого вида системы может быть сформу-
сформулировано в терминах этого упорядочения —см. упр. 8.)
Рассмотрение этих примеров заставляет предположить, что об-
обобщение алгоритмов деления и приведения к ступенчатому ви-
виду на случай произвольных полиномов от нескольких перемен-
переменных должно базироваться на упорядочении членов полиномов из
к[х\,... ,хп]. В этом параграфе мы обсудим, какими свойствами
должно обладать такое упорядочение, и определим несколько упо-
упорядочений, обладающих этими свойствами. Каждое из этих упоря-
упорядочений имеет свою область применения.
Отметим сначала, что существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между мономами ха = х ... х"п и п-наборами (п-векторами)
показателей степеней а = (ai,... ,ап) ? Z"o. Упорядочение, кото-
которое мы определим на Z"o, определит и упорядочение на множестве
мономов: если а > C в Z"o, то мы будем говорить, что ха > х®.
§ 2. Упорядочение мономов в к[х\,..., хп]
77
Упорядочение на Z>0 можно задать многими способами. Одна-
Однако большинство из них нам не подходит, так как желательно, чтобы
наше упорядочение было «совместимо» с алгебраической структу-
структурой полиномиального кольца.
Так как полином есть сумма мономов, то мы должны уметь рас-
расположить его члены в порядке убывания (или возрастания). Для
этого мы должны уметь сравнивать любую пару мономов и опре-
определять, какой из них больше, т. е. наше упорядочение должно быть
линейным. Это означает, что для любой пары мономов ха и х@
должно выполняться ровно одно из следующих соотношений:
ха>х0, ха=х0, ха<х9.
Далее мы должны учесть связь упорядочения с операциями сло-
сложения и умножения полиномов. Когда мы складываем полиномы,
то после приведения подобных мы просто можем переписать чле-
члены суммы в требуемом порядке. Ситуация с произведением более
сложная. Дистрибутивность умножения по отношения к сложению
позволяет свести задачу к случаю умножения монома на полином.
Если такое умножение нарушает порядок членов, то трудности мо-
могут возникнуть в любом процессе, аналогичном алгоритму деления
в к[х], где мы должны находить «старший» член полинома. При-
Причина в том, что произведение старшего члена полинома на моном
может не быть старшим членом произведения.
Поэтому мы потребуем, чтобы упорядочение мономов обладало
следующим дополнительным свойством. Если ха > /, а а;7 — про-
произвольный моном, то хаху > х^х7. В терминах векторов — показа-
показателей степеней это означает, что если а > /3 в Z"o, то для любого
7 G 1%, а + 7>? + 7-
Теперь мы можем дать следующее определение.
Определение 1. Мономиальным упорядочением на k[xi,... ,хп]
называется любое бинарное отношение > на Z"o, обладающее сле-
следующими свойствами:
(i) > является линейным упорядочением на Z"o.
(ii) если a > /3 и 7 6 <^>о> то а + 7 > Р + 7!
(iii) > вполне упорядочивает Z"o, т.е. любое непустое подмноже-
подмножество в Z"o имеет минимальный (наименьший) элемент (по от-
отношению к упорядочению >).
Следующая лемма помогает понять, что означает условие впол-
вполне упорядоченности (iii).
Лемма 2. Упорядочение > на Z"o вполне упорядочивает это мно-
множество тогда и только тогда, когда каждая строго убывающая

78
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 2. Упорядочение мономов в к[х\,..., хп]
79
последовательность элементов из Z"o
аA) >аB) >аC) > ...
обрывается.
Доказательство. Мы докажем эквивалентное утверждение: > не
является вполне упорядочением тогда и только тогда, когда суще-
существует бесконечная строго убывающая последовательность элемен-
элементов из Z™0.
Если > не есть вполне упорядочение, то существует непустое
подмножество 5 С Z™0, которое не имеет минимального элемента.
Возьмем в качестве аA) произвольный элемент из 5. Так как он не
минимален, то в 5 найдется элемент аB) < аA). Так как аB) не
минимален, то в 5 найдется элемент аC) < аB). Продолжая этот
процесс, мы получим бесконечную строго убывающую последова-
последовательность
аA) > аB) > аC) > ....
Обратно, если существует такая бесконечная строго убывающая по-
последовательность, то множество {аA), аB), аC),... } является не-
непустым подмножеством в Z™0, которое не имеет минимального эле-
элемента, т. е. > не является вполне упорядочением. ?
Полезность и важность этой леммы станут очевидными в следу-
следующих параграфах. Доказательства корректности алгоритмов (т. е.
остановки работы и получения требуемого результата) будут бази-
базироваться на том, что старший член выражения (с которым работает
алгоритм) строго убывает относительно некоторого фиксированно-
фиксированного упорядочения на каждом шаге работы.
В § 4 будет доказано, что условие вполне упорядоченности
(п. (ш) определения 1) вытекает из условий (i) и (ii) и требования
а > 0 для всех а € Z"o.
В качестве примера мономиального упорядочения рассмотрим
обычное упорядочение натуральных чисел Z>o:
...>т + 1>т>...>3>2>1>0.
Все три условия определения 1 здесь выполнены. Следовательно,
упорядочение мономов из к[х] по степени A) является мономиаль-
ным упорядочением.
Нашим первым примером упорядочения n-векторов бу-
будет лексикографическое упорядочение (или сокращенно 1ех-
упорядочение).
Определение 3 (лексикографическое упорядочение). Пусть а —
(аь...,а„), p = (J3i,...,/3n)e Що. Мы говорим, что a >\ехC, если
самая левая ненулевая координата вектора а — C € Z™ положитель-
положительна. Мы будем писать ха >iex х@, если а >\ех C.
Вот несколько примеров:
(a) A,2,0) >1еХ @,3,4), так как а - /3 = A, -1, -4).
(b) C,2,4) >1ех C,2,1), так как а-/3= @,0,3).
(c) Обычный порядок B) переменных х\,... ,хп является lex-
упорядочением. Так как
A,0,..., 0) >,ех @, 1, 0, . . . , 0) >1ех • • • >1ех @, . . . , 0, 1),
ТО Х\ >iex X-i >]ех • ¦ • >1ех %п-
Работая с полиномами от двух или трех переменных, мы обо-
обозначаем переменные через x,y,z, а не xi,X2,x3- В дальнейшем мы
будем также, как правило, предполагать, что алфавитный порядок
х > у > z переменных и определяет лексикографическое упорядо-
упорядочение мономов.
Лексикографическое упорядочение аналогично упорядочению
слов в словарях (откуда и происходит термин). Мы можем рассмат-
рассматривать координаты n-вектора а € Z"o как аналоги букв в слове.
Буквы упорядочены по алфавиту
откуда
стрела >1ех строка,
так как четвертая буква слова «строка» в алфавите идет после че-
четвертой буквы слова «стрела», в то время как первые три буквы в
обоих словах одинаковы. Так как векторы а ? Z?o имеют фикси-
фиксированную длину п, то аналогия распространяется~только на слова
с одинаковым числом букв.
Нам осталось проверить, что лексикографическое упорядочение
удовлетворяет трем условиям определения 1.
Предложение 4. Лексикографическое упорядочение на Z"o явля-
является мономиальным упорядочением.
Доказательство, (i) Тот факт, что >iex — линейное упорядочение,
прямо следует из определения и из того, что обычное упорядочение
на Z>0 линейно.
(ii) Пусть a >iex /3- Тогда самая левая ненулевая координата
вектора а — /3 положительна. Пусть это, например, ак - /3*. Но
ха ¦ х~< = ха+7 и х0 ¦ х'1 = х$+~1. Тогда (а + -у) - {C + i) = а - C, и
самой левой ненулевой координатой опять является ак — (Зк> 0.

80
Гл. 2. Базисы Грёбнера
(ш) Предположим, что >iex не является вполне упорядочением.
Тогда по лемме 2 должна существовать строго убывающая беско-
бесконечная последовательность
аA) >ieXaB) >1ехаC) >iex •••
элементов из Z>0. Докажем, что это невозможно.
Рассмотрим первые координаты векторов a(i) € Z"o. По опреде-
определению лексикографического упорядочения они образуют невозра-
стающую последовательность неотрицательных целых чисел. Так
как Z>0 вполне упорядочено, то эта последовательность «стабили-
«стабилизируется», т. е. существует такое к, что первые координаты векто-
векторов a(i) одинаковы при i > к.
Начиная с а(к), будем рассматривать вторые (а затем третьи
и т.д.) координаты. Последовательность вторых координат векто-
векторов а(к), а(к +1),... не возрастает; значит, она «стабилизируется».
Продолжая это рассуждение, мы можем найти такое I, что у век-
векторов аA), аA + 1),... равны все координаты. Значит, это одинако-
одинаковые векторы, что противоречит строгому убыванию последователь-
последовательности. ?
Необходимо отметить, что существует много лексикографиче-
лексикографических упорядочений: каждому упорядочению переменных отвечает
свое. До сих пор мы рассматривали лексикографическое упорядо-
упорядочение, порожденное упорядочением Х\ > х% > ... > хп. Но, задав
произвольный порядок переменных х\,... ,хп, мы получим соот-
соответствующее ему лексикографическое упорядочение. Пусть, напри-
например, переменных две, скажем, х и у. Тогда мы можем определить
два лексикографических упорядочения: одно порождается поряд-
порядком х > у, а другое — порядком у > х. В общем случае п перемен-
переменных имеется п\ лексикографических упорядочений. В дальнейшем
термин «лексикографическое упорядочение» будет означать, что
имеется в виду порядок х\ > х2 > .. ¦ > хп.
В случае лексикографического упорядочения переменная боль-
больше любого монома, который содержит только меньшие переменные,
вне зависимости от его степени. Так, при упорядочении х >у> z мы
имеем х >iex y5z3. В ряде случаев нам будет необходимо учитывать
также степени мономов и сравнивать сначала именно степени. Это
можно сделать с помощью градуированного лексикографического ;
упорядочения (сокращенно grlex-упорядочения).
Определение 5 (градуированное лексикографическое упорядоче-
упорядочение). Пусть а,@ ? Z?o. Мы говорим, что a >gT\ex P, если
N =
§ 2. Упорядочение мономов в к[х\,..., хп]
81
Таким образом, grlex сначала упорядочивает по степени, а если
степени равны, то используется лексикографическое упорядочение.
Вот несколько примеров:
(a) A,2,3) >6г1ех C,2,0), так как |A,2,3)| = 6 > |C,2,0)| = 5.
(b) A,2,4) >grlex A,1,5), так как |A,2,4)| = |A,1,5)|, но A,2,4) >|ех
A,1,5).
(c) Переменные упорядочиваются в соответствии с лексикографи-
лексикографическим порядком, т. е. х\ >griex • • • >griex xn.
Доказательство того, что grlex-упорядочение удовлетворяет
трем условиям определения 1, мы оставляем читателю в качестве
упражнения. Как и в лексикографическом случае, имеется n! grlex-
упорядочений для п переменных.
Следующее (интуитивно несколько менее естественное) упоря-
упорядочение, как было недавно доказано, является для некоторых опе-
операций наиболее эффективным при вычислениях.
Определение 6 (градуированное обратное лексикографическое
упорядочение grevlex). Пусть а,C € Z"o. Тогда мы говорим, что
a >grevieX P, если
N =
* > 1/?1 =
или \а\ — \/3\ и самая правая ненулевая координата вектора а — E 6
Z" отрицательна.
Как и grlex, grevlex сначала сравнивает степени мономов, но
упорядочивает мономы по-другому в случае равенства их степеней.
Например:
(a) D,7,1) >greviex D,2,3), так как |D,7,1)| = 12 > |D,2,3)| = 9.
(b) A,5,2) >grevlex D,1,3), так как |A,5,2)| = |D,1,3)| и а - E =
(-3,4,-1).
В упражнениях будет доказано, что grevlex-упорядочение явля-
является мономиальным.
Отметим, что grlex и grevlex одинаково упорядочивают пере-
переменные:
A,0,.. . ,0) >grevlex @,1,0,. . .,0) >grevlex ••• >grevlex @, ...,0,1),
ИЛИ
Х\ >grevleX X2 >grevlex ¦ • • ^grevlest 2-n-
Значит, grevlex-упорядочение не есть grlex-упорядочение с обра-
обращением порядка переменных (как может показаться на первый
взгляд).

82
Гл. 2. Базисы Грёбнера
2. Упорядочение мономов в к[х\,...,хп]
83
Для того чтобы объяснить связь между grlex и grevlex, отме-
отметим сначала, что оба эти упорядочения одинаково оценивают сте-
степень монома. В случае равенства степеней grlex использует lex-
упорядочение, т. е. обращает внимание на самую левую (большую)
переменную и «предпочитает» большую степень. Напротив, grevlex
в случае равенства степеней обращает внимание на самую пра-
правую (меньшую) переменную и «предпочитает» меньшую степень.
В упражнениях мы увидим, что это эквивалентно «двойному обра-
обращению» lex-упорядочения. Например,
X51JZ >grlex X^yz2,
так как оба монома имеют степень 7 и x5yz >iex x*yz2. В этом же
случае
X5yz >grevlex X4yz2,
но по другой причине: x5yz больше, так как меньшая переменная
z имеет меньшую степень.
Как и в lex- и grlex-случаях, существует п\ различных grevlex-
упорядочений, зависящих от порядка переменных.
Существуют и другие мономиальные упорядочения. Некоторые
из них будут рассмотрены в упражнениях к § 4. Большинство си-
систем компьютерной алгебры работают с lex-упорядочением, но так-
также могут поддерживать и другие упорядочения, grlex и grevlex,
например. Как только тип упорядочения задан, система позволя-
позволяет пользователю выбрать любое из п\ упорядочений переменных.
Как мы увидим в § 8 этой главы (а также в дальнейших главах),
подобные возможности системы весьма полезны при решении раз-
разнообразных задач.
Мы закончим этот параграф обсуждением того, как мономиаль-
мономиальные упорядочения могут помочь при работе с полиномами. Пусть
/ = ^2aaaXa € k[xi,... ,хп], и пусть выбрано мономиальное упо-
упорядочение >. Тогда мы можем однозначно упорядочить члены по-
полинома / в соответствии с >. Пусть, например, / = 4xy2z + 4z2 -
5х3 + 7x2z2 6 k[x,y,z]. Тогда:
(a) при lex-упорядочении мы записываем полином / в порядке убы-
убывания членов так:
/ = -5а:3 + 7x2z2 + 4xy2z + 4z2;
(b) при grlex-упорядочении запись / такова:
/ = 7x2z2 + 4xy2z - 5х3 + 4z2;
(c) при grevlex-упорядочении запись / такова:
/ = 4xy2z + 7x2z2 - 5а:3 + 4z2.
Далее мы будем пользоваться следующими понятиями.
Определение 7. Пусть / = J3Q aaxa — ненулевой полином в
k[xi,..., хп], и пусть > — мономиальное упорядочение.
(i) Мультистепень полинома / определяется так:
multideg(/) = max(a 6 Z"o : aa ф 0)
(максимум берется по отношению к >).
(ii) Старший коэффициент полинома / — это
LC(/) = Omuitideg(/) € k.
(iii) Старший моном полинома / — это
LM(/) = xmultid
(с коэффициентом 1).
(iv) Старший член полинома / — это
LT(/) =
Пусть, например, / = 4xy2z + 4z2 - 5х3 + 7x2z2, как и выше, и
пусть > обозначает lex-упорядочение. Тогда
multideg(/) = C,0,0),
lc(/) = -5,
LM(/)=X3,
LT(/) = -5a:3.
В упражнениях будет доказано, что мультистепень имеет следую-
следующие полезные свойства.
Лемма 8. Пусть /, g € k[xi,... ,xn] — ненулевые полиномы. Тогда
(i) multideg(/<7) = multideg(/) + multideg(p).
(ii) Если f + g ф 0, mo multideg(/ + g) < max(multideg(/),
multideg(p)). Если, кроме того, multideg(/) ф multideg(p),
то указанное неравенство становится равенством.
Начиная с этого места, мы будем считать, что выбрано некото-
некоторое мономиальное упорядочение и старшие члены, мультистепени
и пр. определяются относительно этого упорядочения.
Упражнения к § 2
1. Запишите следующие полиномы с использованием lex-, grlex- и
grevlex-упорядочений. Найдите lm(/),lt(/) и multideg(/) в каждом
случае.
(a) f(x, у, z) = 2х + Зу + z + х2 - z2 + х3.
(b) f{x, у, z) = 2x2ys - 3x5yz* + xyz3 - xy4.

84
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 3. Алгоритм деления в k[xi,..., хп]
85
+ xy2z2+x2z3.
2. Каждый из следующих полиномов записан в соответствии с одним из
упорядочений: lex, grlex или grevlex. Определите, какое упорядочение
использовалось в каждом случае.
(a) /(х,у,г) =
(b) f(x,y,z) =
(c) f(x, у, z) = x4y5z + 2x3y2z - Axy2z\
3. Выполните упр. 1 с использованием порядка переменных z > у > х.
4. Докажите, что grlex является мономиальным упорядочением, т.е.
удовлетворяет условиям определения 1.
5. Докажите, что grevlex является мономиальным упорядочением, т.е.
удовлетворяет условиям определения 1.
6. Определим противоположное (inverse) лексикографическое упорядо-
упорядочение (сокращенно invlex-упорядочение) следующим образом: если
а, Р € Z>0, то a >inviex Р в том и только том случае, когда самая пра-
правая ненулевая координата вектора а — Р положительна. Докажите,
что invlex — это lex-упорядочение с другим порядком переменных.
(Каким?)
7. Пусть > — некоторое мономиальное упорядочение.
(a) Докажите, что а > 0 для всех а € Z>0.
(b) Докажите, что если ха делит х0, то а < р. Верно ли обратное?
(c) Пусть а € Z>0. Тогда а является минимальным элементом мно-
множества а + Й>0.
8. Используя упорядочение B), дайте точное определение линейной си-
системы ступенчатого вида.
9. В этом упражнении мы подробнее изучим grevlex-упорядочение.
Пусть >inviex —упорядочение, определенное в упр. 6, и пусть
>rinviex — упорядочение, обратное к нему, т.е. для а,Р € Z>0
О >rinvlex Р <=>¦ Р >invlex О-
Отметим, что rinvlex является «двойным обращением» упорядочения
lex в следующем смысле: мы сначала обращаем порядок переменных,
а потом само упорядочение.
(a) Докажите, что a >greviex P в том и только том случае, когда \а\ >
\Р\ или \а\ = \Р\иа >rinvieX Р-
(b) Является ли rinvlex мономиальным упорядочением? Если да, то
докажите, если нет, то укажите, какое свойство определения 1
нарушается.
10. При обычном упорядочении Z>o между двумя целыми числами нахо-
находится только конечное число других целых чисел. Верно ли это для
Z>0 в случае произвольного мономиального упорядочения? Верно ли
это в случае grlex-упорядочения?
11. Пусть > — некоторое мономиальное упорядочение в k[xi,..., хп].
(а) Пусть / 6 k[xi,... ,хп] и т — моном. Докажите, что LT(m ¦ /) =
т ¦ LT(/).
(b) Пусть f,g? k[xi,..., хп]. Верно ли, что lt(/ • g) = LT(/) • w(g)?
(c) Пусть fi,gi— полиномы из k[xi,..., хп], 1 <г < s. Верно ли, что
LM(Si=i fi9i) — LM(/i) • LM(pi) для некоторого г?
12. В лемме 8 сформулированы два свойства мультистепени.
(a) Докажите лемму 8. Указание: примените рассуждения, исполь-
использованные при решении упр. 11.
(b) Пусть multideg(/) = multideg(p) и f + g / 0. Покажите на приме-
примерах, что multideg(/ + g) может быть как равна, так и отлична от
max(multideg(/), multideg(p)).
§ 3. Алгоритм деления в к[хг,..., хп]
В § 1 было объяснено, как алгоритм деления для полиномов от од-
одной переменной может быть применен для решения задачи о при-
принадлежности идеалу. Для решения этой же задачи в случае не-
нескольких переменных необходимо обобщить алгоритм деления в
к[х] на общий случай полиномиального кольца к[х\,... ,хп]. На-
Наша цель — научиться делить полином / ? k[xi,..., хп] на полиномы
/ь ¦¦•)/« ? к[х\,.. .,хп]. Как мы увидим, это означает научиться
представлять / в виде
/ = aifi + ¦ • • + asfs + r,
где «частные» а±,..., as и остаток г принадлежат k[xi,..., хп]. Са-
Самое трудное в этом вопросе —это корректно определить остаток.
Именно здесь будут использованы мономиальные упорядочения из
§ 2. После этого мы применим этот алгоритм для решения задачи
о принадлежности идеалу.
Основная идея алгоритма та же, что и в случае одной пере-
переменной: мы должны уничтожать старший член полинома / (опре-
(определенный заданным мономиальным упорядочением), умножая не-
некоторый fi на подходящий моном и вычитая. Этот моном будет
членом соответствующего щ. Прежде чем давать общее описание
алгоритма, проанализируем его работу на нескольких примерах.
Пример 1. Поделим / = ху2 + 1 на /i = ху + 1 и /г = у + 1 при
lex-упорядочении с х > у. Будет использоваться та же схема, что
и в случае одной переменной, но теперь у нас несколько делителей
и частных. Будем записывать делители /ъ/г и частные ai,a2 в
столбец слева, т. е. мы имеем следующую схему:
ai :
а2 :
ху + 1

86
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 3. Алгоритм деления в к[ц,... ,х„
87
Старшие члены lt(/i) = ху и lt(/2) = у оба делят старший член
lt(/) = ху2. Так как /i является первым в списке делителей, то на
первом шаге мы будем работать с ним, т. е. мы делим ху2 на ху,
записывая у как член полинома ai и вычитая у ¦ fi из /:
oi : у
Теперь на следующем шаге мы работаем с /2, так как LT(fi) = ху
не делит lt(—у + 1) = —у. Имеем
ху
У
«1 :
а2 :
+ 1
+ 1
У
-1
ху2
V ху2
+
+
-
-
1
У
У +
у-
1
1
Так как ьт(Д) и lt(/2) не делят 2, то г = 2 и процесс деления
окончен, т. е. мы можем записать / = ху2 + 1 в виде
х2у + 1 = у ¦ (ху + 1) + (-1) • (у + 1) + 2.
Пример 2. В этом примере мы столкнемся с неожиданной трудно-
трудностью, которая не возникает в случае одной переменной. Мы будем
делить / = х2у+ху2+у2 на/i =ху-1 и /2 =у2 — 1. Как и в предыду-
предыдущем примере, мы используем lex-упорядочение с х > у. Первые два
шага алгоритма деления выполняются, как выше. Вот их результат
(напомним, что если оба старших члена являются делителями, то
мы работаем с первым):
х + у
х2у + ху2 + у2
х2у - х
ху2 + х + у2
ху2 -у
Теперь обратим внимание на то, что ни lt(/i) = ху, ни LT(/2) = у2 не
делят иг(х + у2 + у) = х. Но х + у2 + у — не остаток, так как lt(/2)
делит у2, т.е. если мы отправим х в остаток, то деление можно
продолжить. (Эта трудность не может встретиться в случае одной
переменной: если старший член делителя не делит старшего чле-
члена делимого, то остатком является последняя разность и процесс
деления прекращается.)
Чтобы реализовать эту идею, мы создадим новый столбец в за-
записи процесса деления, справа от радикала, куда будем записы-
записывать члены, принадлежащие остатку. Полином, расположенный ни-
ниже радикала, который мы делим, будем называть промежуточным
делимым. Процесс деления продолжается до тех пор, пока проме-
промежуточное делимое не обратится в нуль. На следующем шаге на-
нашего примера мы перемещаем х в колонку остатка (это показано
стрелкой):
oi : х + у
1 ху
а2 :
-1
\х2у
\х2у
+ ху2
— X
ху2
ху2
+
+
у2
X +
У
X +
У2
У2
У2
+ У
+ у -
г
->• х
Теперь мы продолжаем деление. Если мы можем поделить старший
член промежуточного делимого на ьт(Д) или на lt(/2), to делаем
обычный шаг деления, если нет, то мы перемещаем старший член в
колонку остатки! и т. д. Вот полная запись решения этого примера:
ху - у
х + у2 + у
У2 + У
х + у1 +у
у + 1
1
О
х + у
х + у + 1

88
Гл. 2. Базисы Грёбнера
Таким образом, остаток равен х + у + 1, и мы имеем
х2у + ху2 + у2 = (х + у) ¦ {ху - 1) + 1 • {у2 - 1) + х + у + 1. A)
Следует отметить, что остаток есть сумма мономов, ни один из
которых не делится ни на lt(/i), ни на ьт(/2).
Этот пример дает довольно полное представление о работе ал-
алгоритма деления. Он также показывает, каким свойством должен
обладать остаток: ни один член остатка нельзя поделить на стар-
старший член хотя бы одного делителя. Теперь мы можем дать полное
описание алгоритма деления.
Теорема 3 (алгоритм деления в k[xi,... ,?„]). Зафиксируем не-
некоторое мономиальное упорядочение > на Z"o, и пусть F =
(Л) • ¦ ¦) /s) — упорядоченный s-набор полиномов из к[х\,..., хп].
Тогда любой полином / € к[х\,..., хп] может быть записан в виде
f = ai/i + ... + asfs + г,
где ui, r € к[х\,... ,х3] и или г = 0, или г есть линейная комбинация
мономов (с коэффициентами из к), ни один из которых не делится
ни на один из старших членов ьт(Д),..., lt(/s). Мы называем г
остатком от деления полинома f на F. Более того, если atfi ф
О, то
multideg(/) > multideg(ai/i).
Доказательство. Доказательство существования полиномов
а\,..., as и г будет состоять в предъявлении алгоритма, вычисляю-
вычисляющего oi,..., as, r, и в доказательстве корректности его работы. Мы
рекомендуем читателю еще раз изучить работу алгоритма деления
в к[х] (предложение 2 § 5 гл. 1), прежде чем рассматривать его
обобщение. Вот формальное описание алгоритма:
Вход: Л,...,/,,/
Выход: ai,...,as,r
oi := 0; ...;os := 0;r := О
р:=/
WHILE р ф О DO
i-.= 1
есть деление ~ false
WHILE i < s AND есть деление = false DO
IF ьт(Л) делит ьт(р) THEN
Oj := Oi + LT(p)/ LT(/i)
p:=p-(LT(p)/LT(/O)/i
естьделение := true
§ 3. Алгоритм деления в k[xi,..., xn] 89
ELSE
i :=i + l
IF естьделение = false THEN
r :-r + LT(p)
p:=p- LT(p)
В этом алгоритме переменная р на каждом шаге выполняет роль
промежуточного делимого, переменная г выполняет ту же роль, что
и колонка справа в предыдущем примере, а переменные oi,..., os
выполняют роль частных из того же примера. Наконец, логическая
переменная «естьделение» говорит нам, делится ли старший член
промежуточного переменного на какой-либо из lt(/j). Вы должны
проверить, что каждый раз, когда мы находимся в главном цикле
WHILE ... DO, может произойти ровно одно из двух событий:
• (Шаг деления) Если некоторый член LT(/i) делит ьт(р), то ал-
алгоритм продолжает работу, как в случае одной переменной.
• (Шаг вычисления остатка) Если никакой из LT(/i) не делит
ьт(р), то алгоритм прибавляет ьт(р) к остатку.
Эти шаги в точности соответствуют нашим действиям в при-
примере 2.
Чтобы проверить корректность алгоритма, мы сначала дока-
докажем, что равенство
f = a1f1 + ... + asfs+p + r B)
выполняется на каждом шаге. Очевидно, что B) выполнено для на-
начальных значений oi,..., as,p и г. Пусть на некотором шаге имеет
место B). Если следующим является шаг деления, то некоторый
LT(/i) делит LT(p) и равенство
uifi+p = (ui + LT(p)/ LT(/i))/i + (p - (LT(p)/ LT(/i))/i)
показывает, что сумма aifi+p не изменилась. Так как все остальные
переменные остались теми же, то B) выполняется и на этом шаге
тоже. Если же следующим является шаг вычисления остатка, то
меняются и р, и г, но их сумма остается неизменной, так как
р + г = (р - LT(p)) + {r + LT(p)).
И опять B) выполняется на следующем шаге.
Далее, обратим внимание, что алгоритм прекращает работу,
когда р = 0. В этом случае B) выглядит так:
/ = Oi/i + ... + asfs + r.
Так как к г добавлялись только такие члены, которые не делятся ни
на один из LT(/i), то это означает, что а,\,..., as и г удовлетворяют
условиям теоремы 3 в случае остановки работы алгоритма.

90
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 3. Алгоритм деления в к[х\,... ,хп]
91
Наконец, нам осталось доказать, что алгоритм в какой-то мо-
момент останавливается. Для этого нужно заметить, что каждый раз,
когда мы заново вычисляем переменную р, или ее мультистепень
уменьшается (относительно заданного упорядочения), или р обра-
обращается в нуль. Чтобы доказать это, предположим сначала, что р
изменилась в ходе шага деления:
„¦ = „-"«»<
По лемме 8 из § 2 мы имеем
( LT(p) \ _ LT(p)
lt 1л;
так что р и (ьт(р)/ LT(/j))/i имеют одинаковые старшие члены. Сле-
Следовательно, их разность р' имеет строго меньшую мультистепень
(если р' ^ 0). Пусть теперь р меняется в ходе шага вычисления
остатка:
p'=p-LT(p).
Очевидно, что здесь multideg(p') < multideg(p), если р' ф 0, т.е. в
обоих случаях мультистепень уменьшается. Если алгоритм не оста-
останавливается, то мы получаем бесконечную строго убывающую по-
последовательность мультистепеней. Но так как > является вполне
упорядочением, то это противоречит лемме 2 § 2. Таким образом, в
какой-то момент р обратится в нуль, и алгоритм остановится после
конечного числа шагов.
Осталось установить связь между multideg(J) и multideg(oi/i).
Каждый член полинома о; равен LT(p)/ lt(/j) для некоторого зна-
значения переменной р. Начальное значение р есть /, и мы толь-
только что доказали, что мультистепень р строго убывает; значит,
LT(p) < lt(/). Таким образом (см. условие (ii) в определении 1 § 2),
multideg(oi/i) < multideg(/), если о,/» Ф 0 (см. упр. 4). Доказатель-
Доказательство теоремы закончено. ?
Алгебраическая техника, использованная в алгоритме, очень
проста и не выходит за рамки первого года обучения. Тем более
удивительно, что этот алгоритм был разработан и применен толь-
только 30 лет назад.
В заключение параграфа мы обсудим, имеет ли в общем случае
алгоритм деления те хорошие свойства, которыми он обладает в
случае одной переменной. К сожалению, ответ отрицательный —
примеры ниже показывают, что алгоритм весьма несовершенен. На
самом деле он работает в полную силу только при использовании
базисов Грёбнера (они будут рассмотрены в §§ 5 и 6).
Первым важным свойством алгоритма деления в к[х] является
то, что остаток определен однозначно. Покажем на примере, что в
случае нескольких переменных это свойство не выполняется.
Пример 4. Поделим f = х2у+ху2+у2 наД =у2-1 и на/2 = ху-1.
Мы используем lex-упорядочение с х > у. Этот пример отличается
от примера 2 только переменой порядка делителей. Если читатель
проведет деление сам, то он получит следующую схему:
х + 1
х г
х2 + ху2 + у2
х2у - х
ху2 + х + у2
X
ху2 -
2х + у2
У2
У2-1
1
О
2х
2х
Это дает нам
х2у + ху2 + у2 = (х + 1) • (у2 - 1) + х ¦ (ху - 1) + 2х + 1. C)
Если мы сравним C) с A), то увидим, что полученный нами остаток
не равен остатку в примере 2.
Этот пример показывает, что остаток г не определен однознач-
однозначно требованием, чтобы ни один его член не делился ни на один
из ьт(/х),..., lt(/s). Положение, однако, не является совсем некон-
неконтролируемым: аккуратное выполнение алгоритма (самое главное,
проверка делимости ьт(р) на lt(/i),lt(/2), ..., соблюдая порядок
полиномов fi) гарантирует однозначность вычисления oi,...,os и
т. (См. упр. 11, где обсуждается, как охарактеризовать результат
работы алгоритма.) Примеры 2 и 4 показывают, однако, что упо-
упорядочение полиномов в s-наборе (/i,..., fs) влияет и на количество
шагов алгоритма, и на результат. Полиномы а,иг могут изменить-
измениться при изменении порядка делителей /г. (Они могут измениться
при переходе к другому мономиальному упорядочению, но это уже
совсем другая история.)
Важным достоинством алгоритма деления в к[х] является воз-
возможность с его помощью решать задачу о принадлежности идеалу
(см. упр. 1 из § 1). Обладает ли подобным свойством обобщенный

92
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 3. Алгоритм деления в к[х\,..., хп\
93
алгоритм деления? Вот простое следствие теоремы 3: если остаток
от деления / на F = (Д,..., /s) равен нулю, г = 0, т. е.
то / ? (Д,..., Д). Другими словами, г = 0 — это достаточное усло-
условие принадлежности идеалу. Следующий пример показывает, одна-
однако, что г = 0 не является необходимым условием.
Пример 5. Пусть Д = ху + 1, Д = у2 — 1 ? к[х, у] с lex-упорядоче-
lex-упорядочением. Если мы разделим / = ху2 - х на F = (Д, /г), то в результате
получим
ху2 - х = у ¦ (ху + 1) + 0 • (у2 - 1) + (-х - у).
С другой стороны, деля / на F = (Д>, Д), получаем
ху2 - х = х • (у2 - 1) + 0 • (ху + 1) + 0.
Из второго равенства следует, что / ? (Д, /г)- Но тогда первое ра-
равенство демонстрирует, что, хотя / и принадлежит идеалу (Д,/2),
остаток от деления / на F не равен нулю.
Таким образом, алгоритм деления, определенный теоремой 3,
является несовершенным обобщением алгоритма деления в к[х].
Чтобы исправить ситуацию, следует вспомнить об одном правиле,
сформулированном в гл. 1: если мы работаем с набором полиномов
Д, •••,/« ? k[xi,...,xn], то следует рассматривать идеал /, ими
порожденный. Другими словами, следует рассматривать и другие
наборы полиномов, порождающие тот же идеал. Можно сформули-
сформулировать естественную задачу: существует ли для произвольного иде-
идеала / «хорошее» порождающее множество, т. е. такое, что остаток
г от деления на множество «хороших» образующих элементов был
бы однозначно определен и условие г = 0 было бы необходимым и
достаточным условием принадлежности идеалу. В § 6 мы увидим,
что базисы Грёбнера обладают этими «хорошими» свойствами.
Решая упражнения к этому параграфу, вы с помощью системы
компьютерной алгебры должны самостоятельно определить свой-
свойства «хороших» порождающих множеств. Точное определение «хо-
«хорошего» множества будет дано в § 5 этой главы.
Упражнения к § 3
1. Найдите (вручную) остаток от деления данного полинома / на упо-
упорядоченный набор F, используя grlex- и lex-упорядочения.
(a) / - х V + *У -y + l,F = (ху2 - х, х - у3).
(b) Проделайте задачу (а) еще раз, изменив порядок делителей в F.
1. Вычислите остаток от деления:
(a) / = xy2z2 +xy-yz,F = (x- у2, у - z\ z2 - 1).
(b) Проделайте задачу (а) еще раз, циклически изменив порядок де-
делителей в F.
3. Используя систему компьютерной алгебры, проверьте ваши решения
упр. 1 и 2. (Возможно, вам придется разобраться в командах вашей
системы и понять, может ли она выполнять деление автоматически
или для этого понадобится создать группу команд.)
4. Пусть / = ai/i -f-... + asfs + г —результат деления. Завершите до-
доказательство (начатое в тексте параграфа) того, что multideg(/) >
multideg(ai/i), если a*/; / 0.
В следующих задачах рассматривается зависимость остатка от по-
порядка делителей в s-наборе F = (fi,..., fs) и от мономиального упоря-
упорядочения. Для вычислений вы можете использовать какую-либо систему
компьютерной алгебры.
5. В этой задаче мы подробно рассмотрим деление полинома / = х3 -
2 2 2 / 1
х2у — x2z + х на /i = х2у
р
= х2у —
z и
= ху — 1.
у + /i у /
(a) Используя grlex-упорядочение, найдите:
Гх = остаток от деления / на (/i, /2).
г2 = остаток от деления / на (/2,/i).
Вы получите два разных ответа. На каком именно шаге алго-
алгоритма деления возникает это различие? (Здесь вам придется не-
несколько шагов вычислить вручную.)
(b) Верно ли, что г = п — Г2 G (/ь/г)? Если да, то найдите явное
представление г = Af\ + В/2, если нет, то объясните почему.
(c) Найдите остаток от деления г на (/1,/г)- Можете ли вы дать
ответ, не решая задачу?
(d) Найдите другой полином g G (/1, /2), такой, что остаток от деле-
деления g на (Д, /г) не равен нулю. Указание: (ху +1) ¦ /г = х2у2 — 1,
в то время как у ¦ Д = х2у2 — yz.
(e) Решает ли алгоритм деления задачу о принадлежности идеалу
(Д1/2)? Объясните ваш ответ.
6. Используя grlex-упорядочение, найдите элемент g е (Д, /г) = Bху2 —
х, Зх2у — у — 1) С Щх, у], остаток от деления которого на (Д, /г) не
равен нулю. Указание: вы можете найти такой элемент д, что остаток
равен самому д.
7. Решите упр. 6 для (Д, /2, /3) = (x4y2-z, x3y3-l, x2y4-2z) С Щх, у, г].
Найдите два различных полинома д (отличающиеся не только на
ненулевой постоянный множитель) с этим свойством.
8. Попытайтесь найти общую схему построения примеров в упр. 5 (с),
(d), 6 и 7. Какое свойство старшего члена полинома д = А\ Д 4- • • • +
As fs гарантирует, что остаток от деления д на (Д,..., Д) отличен от

94
Гл. 2. Базисы Грёбнера
4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона
95
нуля? Может ли это свойство помочь при решении задачи о принад-
принадлежности идеалу?
9. Обсуждение уравнения B) § 4 гл. 1 показало, что любой полином
/ е Щх, у, z] может быть записан в виде
/ = hi(y - х1) + h2(z - х3) + г,
где г зависит только от х (V(y-x2, z-x3) — скрученная кубика в R3).
(a) Докажите это, используя алгоритм деления. Указание: для этого
необходимо правильно выбрать мономиальное упорядочение.
(b) Используя параметризацию скрученной кубики, докажите, что
функция г2 - х4у обращается в нуль во всех точках кубики.
(c) Используя алгоритм деления, найдите явное представление
z2-x4y = h1(y-x2)+h2(z-x3).
10. Пусть VcR3- кривая с параметризацией (t, tm,tn), n,m>2.
(a) Докажите, что V — аффинное многообразие.
(b) Примените метод упр. 9 для определения I(V).
11. В этом упражнении мы полностью охарактеризуем выражение
/ = oi/i + ... +asfs +r,
которое является результатом работы алгоритма деления (среди
других подобных представлений полинома / в таком виде). Пусть
LM(fi) = xa(i). Положим
(Обратите внимание, что Z>0 является несвязным объединением Д;
и Д.)
(a) Докажите, что /3 е Д; в том и только том случае, когда ха(г'
делит х3, но xq(j) не делит хв при j < i.
(b) Докажите, что )бАв том и только том случае, когда никакой
моном ха^'' не делит х1.
(c) Пусть / = ai/i + ... + asfs + r — результат применения алгорит-
алгоритма деления. Докажите, что для любого i справедлив следующий
факт: если моном х*3 участвует в записи aj, то /3 + a(i) G Дг-
Кроме того, если моном х7 участвует в записи г, то 7 € Д-
(d) Докажите, что только одно выражение / = ai/i + ... + asfs + r
удовлетворяет условиям п. (с).
12. Докажите, что оператор вычисления остатка от деления на F =
(/ь •¦¦>/«) линеен над к. Таким образом, если остаток от деления
gi на F равен тч, t = 1, 2, то остаток от деления cigi -\-c2g2 на F равен
+С2Г2, ci,C2 6 к. Указание: используйте результат упр. 11.
§ 4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона
В этом параграфе мы рассмотрим задачу описания идеала из § 1
для частного случая мономиальных идеалов. Для этого нам будет
нужно подробно изучить свойства таких идеалов. Полученные ре-
результаты найдут неожиданное применение в теории мономиальных
упорядочений.
Сначала мы дадим определение мономиального идеала в
&[xi,...,zn].
Определение 1. Идеал I С k[xi,...,xn] называется мономиалъ-
ным, если существует подмножество А С Z"o (которое может быть
бесконечным), такое, что I состоит из всех конечных сумм вида
Иа?А haXa, где ha S k\xi,..., х„]. Такой идеал I будет обозначать-
обозначаться через (ха : a G А).
Вот пример мономиального идеала: I = {х4у2,х3у4,х2у5) С
к[х,у]. Более интересные примеры мономиальных идеалов будут
рассматриваться в § 5.
Сначала мы охарактеризуем все мономы, принадлежащие за-
заданному мономиальному идеалу.
Лемма 2. Пусть I = (ха : а Е А) — мономиалъный идеал. Тогда
моном х@ принадлежит I в том и только том случае, когда х@
делится на некоторый моном ха,а Е А.
Доказательство. Если х0 делится на некоторый i", a ? А, то
по определению мономиального идеала х0 ? /. Докажем обрат-
обратное. Пусть х0 е Г, тогда х0 = ?*=1/iiZa(i), где h{ e k[xu... ,хп],
а a(i) G А. Если мы рассмотрим каждый hi как линейную комби-
комбинацию мономов, то получим, что каждый член в равенстве справа
делится на некоторый ха^. Значит, и левая часть равенства, т. е.
х , обладает тем же свойством, потому что моном х0 содержится
как член хотя бы в одном слагаемом hiXa^. ?
Напомним, что х0 делится на ха, если х0 — ха -х1 для некоторого
7 G Z5.o. Значит, Р = а + j, т.е. множество

96
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона
97
состоит из показателей степеней всех мономов, которые делятся на
ха. Это наблюдение и лемма 2 позволяют графически представить
множество всех мономов, принадлежащих данному мономиальному
идеалу. Например, если I = (xiy2,x3yi, x2y5), то показатели степени
мономов, принадлежащих 7, образуют множество
(D,2) + Z|o) U (C,4) + Z|o) U (B,5) + Z|o).
Мы можем изобразить это множество как объединение целочислен-
целочисленных точек в трех сдвинутых экземплярах первого квадранта на
плоскости:
п
B,5)
C,4)
D,2)
{т,п) «-)¦ хтуп
Теперь мы докажем, что принадлежность полинома / мономи-
мономиальному идеалу определяется мономами, линейной комбинацией
которых является /.
Лемма 3. Пусть I — некоторый мономиальный идеал, a f Е
fc[xi,... ,х„]. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) / € J;
(и) каждый член полинома / принадлежит I;
(ш) / является k-линейной комбинацией мономов из I.
Доказательство. Цепочка импликаций (iii)=>(ii)=>(i) очевидна.
Доказательство импликации (i)=>-(iii) аналогично доказательству
леммы 2, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения. ?
Следствием п. (ш) леммы 3 является тот факт, что мономи-
мономиальный идеал однозначно определен своими мономами. То есть мы
имеем следующее утверждение.
Следствие 4. Два мономиальных идеала совпадают в том и
только том случае, когда совпадают множества мономов, содер-
содержащихся в них.
Главный результат этого параграфа состоит в том, что все мо-
номиальные идеалы в к[х\,..., хп] конечно порождены.
Теорема 5 (лемма Диксона). Любой мономиальный идеал I =
(za : а Е А) С k[xi,... ,хп] может быть представлен в виде
I = {ха^,. ¦ ¦ ,xa(s)), где аA),... ,a(s) ? А. В частности, I имеет
конечный базис.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по п —
числу переменных. Если п = 1, то I порожден мономами х", где
a ? А С Z>o- Пусть /3 — наименьший элемент в А. Тогда для всех
а 6 А имеем /3 < а. Таким образом, xf делит все образующие xf,
т.е. /=<*?>.
Пусть п > 1 и теорема справедлива для п — 1. Обозначим пе-
переменные через xi,..., xn_i, у, так что мономы в к[ц,..., xn_i, у]
будут записываться в виде хаут, где а Е Z"^1, а m E Z>o-
Пусть I С к[х\,..., xn_i, у] — мономиальный идеал. Рассмотрим
идеал J С k[xi,... ,хп-х], порожденный такими мономами ха, что
хаут ? I для некоторого m > 0. Так как J — мономиальный идеал
в к[х\,... ,xn_i], то по предположению индукции он конечно по-
порожден, J = (ха^,..., xQ(s)). Идеал J может рассматриваться, как
«проекция» идеала I в к[х\,..., xn_i].
По определению J для каждого г, 1 < i < s, существует m^ > 0,
такое, что ха^ут< Е /. Пусть т — наибольшее из гп{. Для каждо-
каждого I, 0 < I < m — 1, рассмотрим идеал Ji С к[х\,... ,xn_i], порож-
порожденный такими мономами х@, что x@yl E I. Неформально можно
сказать, что J/ —это «срез» идеала I, порожденный мономами, ко-
которые содержат у точно в степени /. По предположению индукции
Ji конечно порожден, J; = (х'1),... ,xQ''s'').
Мы утверждаем, что I порожден мономами, перечисленными в
следующем списке:
xaA)J/m,---,:ra(sJ/"\
из
из
из
J
Jo
Jl
aoA)
Sl)y,
„_ т . am_i(l) m-1 am_i(sm_i) m-1
ИЗ Jm-1 ¦ X у , . . . , X у
Сначала докажем, что каждый моном в I делится хотя бы на один
моном из списка. Пусть хаур Е /. Если р > т, то по определению J
моном хаур делится на некоторый моном ха^ут. С другой сторо-
стороны, если р < т -1, то по определению идеала Jp моном хаур делит-
делится на некоторый моном хат^ур'. Из леммы 2 следует, что мономы

98
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 4. Мономиалъные идеалы и лемма Диксона
99
из списка порождают идеал, содержащий те же мономы, которые
содержит I. Тогда по следствию 4 эти идеалы совпадают, и наше
утверждение доказано.
Чтобы закончить доказательство теоремы, нам нужно доказать,
что конечное множество образующих можно выбрать из заданного
множества образующих идеала I. Будем обозначать переменные,
как и раньше, xi,..., х„. Тогда / = (ха : а ? А) С k[xi,..., хп]. Нам
нужно доказать, что / порожден конечным набором ха, а ? А.
Выше мы уже доказали, что / = (х^1',... ,x^s)), где х^ ? I.
Так как х^г' ? I = {ха : а ? А), то по лемме 2 каждый мо-
моном х&№ делится на некоторый моном ха^, где а(г) ? А. Те-
Теперь очевидно, что I = (ха^\ ... ,xQW) (пропущенные детали до-
доказательства разобраны в упр. 6). Доказательство теоремы закон-
закончено. ?
Чтобы лучше понять структуру доказательства теоремы 5, раз-
разберем пример идеала I — (х4г/2, х3у4, х2у5), с которым мы уже име-
имели дело в этом параграфе. Из рисунка видно, что «проекция» есть
J — (х2) С А;[х]. Так как х2у5 ? I, то т — 5. Выпишем теперь
«срезы» Ji,0<l<4 = m— 1, порожденные мономами, содержа-
содержащими у1:
Jo =Ji = {0},
J2 =J3 = (x4),
J4 = <z3).
Эти «срезы» легко увидеть на рисунке. Теперь из доказательства
теоремы 5 следует, что I = (х2г/5,х4у2,х4г/3,х3г/4).
Теорема 5 решает задачу описания идеала в мономиальном слу-
случае, так как доказывает существование у него конечного базиса.
Этот факт, в свою очередь, позволяет решить задачу о принадлеж-
принадлежности мономиальному идеалу. А именно, пусть I = (ха^,..., ха^).
Тогда легко доказать, что данный полином / принадлежит I в том
и только том случае, когда остаток от деления / на х0^1',..., xa's)
равен нулю. В упр. 9 уточняются детали этого рассуждения.
Лемма Диксона применяется для доказательства следующе-
следующего важного утверждения о мономиальных упорядочениях на
Следствие 6. Пусть > — некоторое отношение на Z>0, удовле-
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) > — линейное упорядочение на Z"o;
(ii) если а > j3 uj 6 Z"o, то а + j > Р + j.
Тогда > является вполне упорядочением в том и только том слу-
случае, когда а > 0 для всех а ? Z"o.
Доказательство. =>• . Пусть > является вполне упорядочением,
и пусть а0 —наименьший элемент в Z?o. Достаточно доказать, что
а0 > 0. Это просто: если 0 > а0, то по (ii) мы можем прибавить а0 к
обеим частям неравенства и получить «о > 2с*о, а это противоречит
тому, что ао — наименьший элемент в Z"o.
<^ . Пусть а > 0 для всех а Е Z"o, и пусть А С Z"o —некото-
—некоторое непустое множество. Нам нужно доказать, что в А существует
наименьший элемент. Рассмотрим мономиальный идеал / = (ха :
а Е А). Но лемме Диксона существуют мономы аA),..., a(s) € A,
такие, что I- (xa^l\... ,xa(s)). Пусть a(l) <aB) < ... <a(s) (в про-
противном случае перенумеруем мономы). Мы утверждаем, что аA) —
наименьший элемент множества А. Докажем это. Рассмотрим про-
произвольный элемент а ? А. Тогда ха ? (х01^,... ,ха^). По лем-
лемме 2 моном ха делится на некоторый моном ха^, т. е. а = a(i) + 7,
7 ? Z>0. Тогда 7 > 0 и по (ii) мы имеем
а = a(i) + 7 > a(i) + 0 = а(г) > a(l).
Значит, a(l) —наименьший элемент в А.
?
Теперь мы можем упростить определение мономиального упо-
упорядочения (определение 1 § 2). Условия (i) и (ii) определения со-
сохраняются, а условие (ш) заменяется на более простое: а > 0 для
всех а ? Z"o. Новое условие значительно упрощает проверку то-
того, что данное упорядочение является мономиальным. В упр. 10-12
рассмотрены соответствующие примеры.
Упражнения к § 4
1. Рассмотрим идеал / С k[xi,... ,хп], который обладает следующим
свойством: если / = Yla саХа е /, то любой моном ха из / принад-
принадлежит /. Докажите, что / — мономиальный идеал.
2. Завершите доказательство леммы 3.
3. Пусть I = (z6, *У, ху7) С к[х, у].
(a) На плоскости G71, п) изобразите точки (т, п), такие, что мономы
хтуп встречаются в элементах из I.
(b) Если мы поделим с помощью алгоритма деления полином / €
к[х, у] на набор образующих идеала /, то какие мономы могут
появиться в остатке?

100
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона
101
4. Пусть / С к[х, у] — мономиальный идеал, базис которого над к обра- j
зуют мономы х^, такие, что /3 принадлежит выделенной области на]
рисунке:
п\
C,6)'
(т, п) «4 хтуп
(a) Используя метод, примененный в доказательстве теоремы 5, най-
найдите базис идеала /.
(b) Является ли найденный базис наименьшим или при удалении
какого-нибудь C оставшееся множество по-прежнему порожда-
порождает 7?
5. Пусть / = (х° : а е А) — мономиальный идеал, а множество S С Z>0
определено так: C € S в том и только том случае, когда моном х*
встречается в /. Пусть > — некоторое мономиальное упорядочение.
Докажите, что наименьший элемент в S (по отношению к >) при-
принадлежит А.
6. Пусть / = (xa : a G А) — некоторый мономиальный идеал, и пусть I
имеет конечный базис, I = (х*' ,..., x"^s>). Из доказательства лем-
леммы Диксона следует, что каждый моном х^'1' делится на некоторый
моном ха(>), где а(г') € А. Докажите, что / = (хаA),..., ха(я)).
7. Докажите, что лемма Диксона эквивалентна следующему утвержде-
утверждению: пусть А С Z>0 — некоторое подмножество; тогда существует ко-
конечный набор элементов аA),...,а(а) € А, таких, что для любого
a G А существуют число t и вектор ~/ € Z>0) такие, что a = a(i) +7-
8. Базис
мономиального идеала I называется мини-
минимальным, если г"'1' не делит х™"' ни для каких i ф j.
(a) Докажите, что любой мономиальный идеал имеет минимальный
базис.
(b) Докажите, что любой мономиальный идеал имеет единственный
минимальный базис.
9. Пусть I = (хаA\ ... ,хаC'} — мономиальный идеал. Докажите, что
/ € / в том и только том случае, когда остаток от деления / на
ха'х\ • • •, ха^ равен нулю. Указание: воспользуйтесь леммами 2 и 3.
10. Рассмотрим кольцо полиномов k[xi,... ,xn,yi,..., ут]. Зададим мо-
мономиальное упорядочение >mixed в этом кольце, которое сочетает lex-
упорядочение для xi,..., х„ и grlex-упорядочение для yi,... ,ут. Мо-
Моном от п+т переменных мы будем записывать как хау13, где а е Z?o,
/3 е Z5V Тогда
11.
Хау0 >mixed
>1е
И у0 >grlex
Докажите, используя следствие 6, что >mixed является мономиаль-
ным упорядочением. Это пример того, что называется произведением
упорядочений. Очевидно, что таким способом можно получить много
новых мономиальных упорядочений.
В этом упражнении мы рассмотрим частный случай взвешенного
упорядочения. Пусть и = (щ,..., ип) G R", причем и\,... ,ип поло-
положительны и линейно независимы над Q. Мы назовем и независи-
независимым весовым вектором. Определим упорядочение >и следующим
образом: пусть а,/3 G Z>0; тогда
а >и ,
иа> и- 0,
где • обозначает скалярное произведение. Оно называется взвешен-
взвешенным упорядочением, определенным вектором и.
(a) Используя следствие 6, докажите, что >„ является мономиаль-
ным упорядочением. Указание: почему существенно требование,
чтобы иг, ¦ ¦ ¦, ип были линейно независимы?
(b) Докажите, что и = A,^2)—независимый весовой вектор, так
что >ц —взвешенное упорядочение на Z>0.
(c) Докажите, что и = A, %/2, \/3) — независимый весовой вектор, так
что >и —взвешенное упорядочение на Z>0.
12. Другое важное взвешенное упорядочение может быть построено сле-
следующим образом. Пусть и = (щ,..., ип) 6 Z>0. Зафиксируем неко-
некоторое мономиальное упорядочение >& (такое, как >iex или >greviex,
например) на Z>0. Теперь для а,/3 е Z>0 положим а >ц,ст $ в том и
только том случае, когда
и ¦ а > и ¦ C или и- а — и,/3 и а >а /3-
Мы назовем >и,<т взвешенным упорядочением, определенным векто-
вектором и и упорядочением а.
(a) Используя следствие 6, докажите, что >u,<r —мономиальное упо-
упорядочение.
(b) Найдите и € Z>0, такой, что взвешенное упорядочение >u,iex
является grlex-упорядочением.

102
Гл. 2. Базисы Грёбнера
5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера
103
(c) В определение взвешенного упорядочения >и,<т упорядочение >„
начинает работать только в случае равенства скалярных произ- ]
ведений. Такие равенства, однако, всегда встречаются. А имен- \
но, докажите, что для данного u G Z>0 всегда найдутся а ф j3 j
в Z>0, такие, что и ¦ а = и • /3. Указание: рассмотрите линейное !
уравнение uia\ + ... + unan = 0 над Q. Докажите, что существу-
существует ненулевое целочисленное решение (oi,...,on) этого уравне-
уравнения и затем докажите, что существуют а,/3 G Z>0, такие, что j
а-/3= (oi,...,on).
(d) Полезным примером взвешенного упорядочения является uc- I
ключающее упорядочение, определенное в работе Bayer, Still-
man A987b). Пусть г —целое число, 1 < г < п. Пусть и =;
A,..., 1,0,... ,0) (г единиц и п — г нулей). Тогда г-е ис-\
ключающее упорядочение >; — это взвешенное упорядочение j
>u,greviex- Докажите, что >; обладает следующим свойством:
пусть ха — моном, который содержит хотя бы одну из пе-
переменных Xi,...,Xi; тогда ха >i х^ для любого монома х^,
который не содержит ни одной из переменных xi,...,X{.
Исключающие упорядочения играют важную роль в тео-
теории исключения, которой мы будем заниматься в следующей
главе.
Упорядочения, рассмотренные в упр. 11 и 12, являются лишь част-
частными случаями взвешенных упорядочений. Конструкция общего случая
такова: рассмотрим вектор ui 6 R", координаты которого не обязатель-
обязательно линейно независимы над Q. Положим а > /3, если щ • а > щ ¦ /3. Од-
Однако может случиться так, что скалярные произведения равны. В слу-
случае равенства мы используем другой вектор иг 6R". Будем считать,
что а > Р, если щ ¦ а = ui • C и иг • а > иг • /3. Если ui • а = ui • /3 и
иг ¦ а = иг ¦ /3, то используется третий вектор из и т. д. Можно доказать,
что любое мономиальное упорядочение на Z?o может быть построено та-
таким образом. Подробное изложение теории взвешенных упорядочений и
ее связи с теорией мономиальных упорядочений можно найти в работе
Robbiano A986).
§ 5. Теорема Гильберта о базисе
и базисы Грёбнера
В этом параграфе мы дадим полное решение задачи описания идеа-
идеала из § 1. Для этого нам будет необходимо определить базисы с «хо-
«хорошими» (по отношению к алгоритму деления из § 3) свойствами.
Ключевая идея состоит в том, что как только задано мономиаль-
мономиальное упорядочение, то однозначно определен старший член каждого ,
полинома / ? A;[xi,..., х„]. Тогда для каждого идеала 7 мы можем
определить его идеал старших членов следующим образом.
Определение 1. Пусть I С k[xi,...,xn] — ненулевой идеал.
(i) Обозначим через ltG) множество старших членов элементов
из 7, т.е.
LTG) = {сха : существует f el я lt(/) = сха}.
(ii) Обозначим через (ьтG)) идеал, порожденный элементами
из ltG).
Мы уже видели важную роль старших членов в алгоритме деле-
деления. Следует отметить один тонкий, но важный момент в опреде-
определении (ьтG)). А именно, пусть 7 конечно порожден, I = (Д,..., fs).
Тогда (lt^/j),. .. ,lt(/s)) и (lt(/)) могут быть разными идеала-
идеалами. Конечно, lt(/j) e LT(J) С (lt(/)>; поэтому (ьт(/г),..., LT(/,)) С
(ltG)). Однако (lt(/)) может быть строго больше. Рассмотрим сле-
следующий пример.
Пример 2. Пусть I = (Д, /2), где Д = х3 - 2ху, Д> = х2у - 2у2 + х,
и на мономах из к[х, у] задано grlex-упорядочение. Тогда
х • (х2у - 2у2 + х) - у ¦ (х3 - 2ху) = х2,
так что х2 ? I, т. е. х2 = ьт(х2) € (lt(/)). С другой стороны, х2 не де-
делится на ЬТ(Д) = х3 и на LT(/2) = х2у. Поэтому х2 $ (ьт(Д), ьт(/2))
по лемме 2 из § 4.
В упражнениях к § 3 рассматривались другие примеры идеалов
1 = (Л, • • •, fs), где <lt(J)> строго больше, чем (ьт(Д),..., LT(/,)>. В
упражнениях к этому параграфу мы обсудим, как этот факт влияет
на решение задачи о принадлежности идеалу.
Мы докажем, что (ltG)) — мономиальный идеал. Это позво-
позволит нам применять результаты § 4. В частности, это означает, что
(ltG)) порожден конечным множеством старших членов.
Предложение 3. Пусть IС k[xi,..., хп] — некоторый идеал. Тог-
Тогда
(i) (ltG)) — мономиальный идеал;
(ii) существуют полиномы gi,-.-,gs 6 7, такие, что (ьтG)) =
(игЫ,...,ьтЫ).
Доказательство, (i) Старшие мономы ыл(д) элементов д ? 7— {0}
порождают мономиальный идеал (ьм(д) :д ? I- {0}). Так как ьм(<?)
отличается от ит(д) на ненулевой множитель из поля к, то этот
идеал совпадает с идеалом (ьт(д): д G 7- {0}) = (ьтG)) (см. упр. 4).
Таким образом, (ьтG))— мономиальный идеал.

104
Гл. 2. Базисы Грёбнера
5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера
105
(ii) Так как (ltG)) порожден мономами LM(g), g G 7 — {0}, то
по лемме Диксона из § 4 (ltG)) = (lmCi), . •., LM(gt)) для конеч-
конечного набора 3i> • • • i3t G I. Так как LMCi) отличается от LT(pj) на
ненулевой множитель из поля А;, то (ltG)) = (vr(gi),... ,vr(gt)).
Доказательство окончено. П
Теперь, используя предложение 3 и алгоритм деления, мы мо-
можем доказать конечную порожденность любого полиномиального
идеала. Это дает утвердительный ответ на вопрос об описании
идеала из § 1. Пусть 7 с к[xi,... ,х„] — некоторый идеал, и пусть
(lt(/)) — его идеал старших членов. Как всегда, мы считаем, что
задано некоторое мономиальное упорядочение, используемое в ал-
алгоритме деления.
Теорема 4 (теорема Гильберта о базисе). Каждый идеал I С
A;[xi, • •., х„] является конечно порожденным, т. е. I = (gi,...,gs),
где gi,-..,gs G I.
Доказательство. Если I = {0}, то наше порождающее множество
состоит из одного элемента — нулевого полинома. Если I — ненуле-
ненулевой идеал, то порождающее множество Зь • • • ,3« мы будем строить
следующим образом. Из предложения 3 вытекает, что существуют
полиномы gi,...,gsel, такие, что (ltG)) = (ltCi), .. .,vr(gs)). Мы
утверждаем, что I = {gi,... ,gs).
Так как каждый gt принадлежит 7, то (<?i,. ..,<?«) С I. Пусть
теперь / G / — некоторый элемент. Применим алгоритм деления из
§ 3 и поделим / на gi,--.,gs. В результате / будет представлен
в виде
/ = ai3i + • • • + asgs + r,
где ни один член полинома г нельзя поделить ни на один из
lt(<?i), ..., lt(<75). Мы утверждаем, что г = 0. Имеем
г = / - oi5i - ... - asgs G I.
Если г ф 0, то LT(r) e (ltG)) = (vr(gi),..., vr(gs)). Тогда по лем-
лемме 2 из § 4 ьт(г) должен делиться хотя бы на один ьт(р^). Но это
противоречит определению остатка. Значит, г = 0, т. е.
/ = oi3i + ¦¦¦ + asgs +0 в Ci,.-.,3s),
откуда 7 С (зь • • ¦, 3s) • Теорема доказана1'. ?
Базис {зь •••, 3s} из теоремы 4 не только дает описание идеала,
он обладает еще и специальным свойством (ltG)) = (lt(<7i), ...,
^Доказательство Гильберта было иным. Оно не давало алгоритма нахожде-
нахождения базиса идеала I. (См. Гильберт Д. Избранные труды. Том 1. — М.: Факто-
Факториал, 1998, с. 26.) - Прим. ред.
lt(<7s))- Как мы видели в примере 2, не все базисы идеала обладают
этим свойством. Таким базисам мы дадим специальное название.
Определение 5. Пусть задано мономиальное упорядочение. Ко-
Конечное подмножество G = {<?i,... ,gs) элементов идеала I называ-
называется его базисом Грёбнера (или стандартным базисом), если
(LTEl),...,LTEs)) =
Чуть менее формально это определение можно переформулиро-
переформулировать так: множество {gi,... ,gs} С I называется базисом Грёбнера
идеала / в том и только том случае, когда старший член любого
элемента из I делится на хотя бы один старший член vr(gi) (экви-
(эквивалентность этих определений следует из леммы 2 § 4 — см. упр. 5).
Из доказательства теоремы 4 также вытекает следующий результат.
Следствие 6. Пусть задано некоторое мономиальное упорядоче-
упорядочение. Тогда любой ненулевой идеал I С к[х\,... ,хп] обладает бази-
базисом Грёбнера. Более того, базис Грёбнера идеала I является его
базисом.
Доказательство. Пусть I — ненулевой идеал и G = {gi,..., gs} —
множество, построенное в теореме 4. Это множество является бази-
базисом Грёбнера по определению. Что касается второго утверждения,
то, как доказано в теореме 4, если (lt(J)) = (vr(gi),... ,vr(gs)), то
I = (gi,..., gs), т. e. G является базисом в I. (Другое доказательство
приведено в упр. 6.) ?
В § 6 мы подробно рассмотрим свойства базисов Грёбнера, в
частности, мы увидим, что с их помощью можно решить задачу
о принадлежности идеалу. Базисы Грёбнера и являются теми «хо-
«хорошими» порождающими множествами, о которых мы говорили в
конце § 3.
В качестве примера рассмотрим идеал / из примера 2. Он имеет
базис {/ь/2} = {х3 - 2ху,х2у - 2у2 + х}. Этот базис не является
базисом Грёбнера по отношению к grlex-упорядочению, так как х2 G
(ьтG))) но х2 $. (lt(/i),lt(/2)). В § 7 мы научимся строить базисы
Грёбнера.
Рассмотрим идеал J = (<?i,<?2) = (х + z,y — z). Мы утверждаем,
что 3i) 92 образуют базис Грёбнера идеала J по отношению к 1ех-
Упорядочению в Е[х, у, z]. Для этого мы должны доказать, что стар-
старший член каждого ненулевого элемента из J принадлежит идеалу
(LT(ffi),LT(<72)) = (х,у). По лемме 2 § 4 это означает, что старший
член любого ненулевого элемента из J делится на х или на у.
Докажем это. Пусть / = Agi + Bg2 G /. Пусть / ф 0 и lt(/) не
Делится ни на х, ни на у. Тогда по определению lex-упорядочения /

106
Гл. 2. Базисы Грёбнера
| 5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера
107
является полиномом от z. С другой стороны, / обращается в нуль]
на линейном подпространстве L = V(x + z, у - z) С Е3 (так как!
/ G J). Легко проверить, что (—t, t,t) € L для любого вещественного]
t. Но единственным полиномом от z, обращающимся в нуль на La
является нулевой полином. Противоречие. Значит, C1,52) ~ базис]
Грёбнера идеала J. В § 6 мы рассмотрим метод, который позволяет]
определять, когда базис идеала является базисом Грёбнера.
Обратите внимание, что образующие идеала J связаны со сту-]
пенчатой формой матрицы коэффициентов
1 0 1
0 1 -1
Это не случайно: если идеал порожден линейными полиномами,]
то базис Грёбнера для lex-упорядочения определяется ступенча-
ступенчатой формой матрицы коэффициентов порождающих элементов]
(см. упр. 9).
Базисы Грёбнера идеалов в полиномиальных кольцах были от-!
крыты Б.Бухбергером в 1965 г. и названы им в честь В. Грёбнера]
A899-1980)— научного руководителя Бухбергера. Родственное по-[
нятие «стандартного базиса» идеала в кольце степенных рядов бы-'
ло независимо введено X. Хиронакой в 1964 г. Как мы увидим далее i
в этой главе, Бухбергер также разработал основные алгоритмы для 1
работы с базисами Грёбнера. Термин «базис Грёбнера» использу-Г
ется в английском написании «Groebner base» в качестве команды]
в некоторых системах компьютерной алгебры.
В конце этого параграфа мы рассмотрим два приложения тео- j
ремы Гильберта о базисе. Первое из них — это чисто алгебраическое]
утверждение об идеалах в fcfxi, ... ,х„]. Возрастающей цепью иде-j
алов называется последовательность:
h С h С h С ... .
Например, последовательность
(xi) С (ibi2) С ... С (xi,...,xn) A).
образует конечную возрастающую цепь идеалов. Если мы попыта-
попытаемся продолжить эту цепь идеалом с большим числом образую-1
щих, то мы столкнемся с одной из двух возможностей. Рассмотрим ]
идеал (xi,...,xn,/), /е к[хг,... ,х„]. Если / е (хь ... ,х„), то наш |
идеал совпадает с идеалом (х\,..., х„). Если же / ? (xi,..., хп),:
то (xi,..., х„, /) = fe[xi,..., х„]. Мы оставляем доказательство это-:
го утверждения читателю (упр. 11). Другими словами, возрастаю- '¦
щая цепь A) может быть продолжена двумя способами: или ny-j
тем повторения последнего идеала ad infinitum, или добавлением!
к[х\,..., хп], а потом повторением его ad infinitum. В любом случае!
возрастающая цепь «стабилизируется» после конечного числа ша-
шагов в том смысле, что, начиная с некоторого момента, все идеалы в
цепи одинаковы. Нашим следующим результатом будет теорема о
том- что «стабилизация» происходит в каждой возрастающей цепи
идеалов в fc[xi,... ,х„].
Теорема 7 (условие обрыва возрастающих цепей). Пусть
— возрастающая цепь идеалов в к[х\,... ,х„]. Тогда существует
N > 1, такое, что
In = -Глг+l = In+2 = ¦¦¦
Доказательство. Пусть h С h С h С ...—возрастающая цепь.
Рассмотрим множество / = USi ^- Докажем, что I является идеа-
идеалом в fc[xi,..., х„]. Имеем 0 ? I, так как 0 G U для любого г. Далее,
если f,g € I, то по определению / € h, a g € Ij для некоторых г
и j. Пусть, например, г < j. Так как идеалы образуют возрастаю-
возрастающую цепь, то /,g G Ij (потому что h С Ij). Так как Ij —идеал, то
f+g € Ij\ значит, f+g GI. Аналогично, пусть / е / и г Е fe[xj,..., х„].
Тогда f ? It для некоторого г и г ¦ f G J; С I. Следовательно, / —
идеал.
По теореме Гильберта о базисе / имеет конечный базис / =
(/ь-ч/s)- Но каждый из образующих элементов /; содержится
в некотором идеале из цепи, т.е. fi € /,,, г = 1,...,з. Пусть N —
максимум ji] тогда fi G In для всех г. Следовательно,
I =(fi,..-Js) ClN С IN+i С... С I.
Таким образом, возрастающая цепь стабилизируется, начиная с In-
Все следующие идеалы в цепи равны друг другу. ?
Утверждение о том, что возрастающая цепь идеалов в
k[xi.... ,х„] стабилизируется, часто называется условием обрыва
возрастающих цепей или, сокращенно, УОВЦ. В упр. 4 надо бу-
будет доказать, что из справедливости УОВЦ следует конечная по-
рожденность идеалов, так что УОВЦ эквивалентно заключению те-
теоремы Гильберта о базисе. УОВЦ будет играть ключевую роль в
§ 7. где мы будем рассматривать алгоритм Бухбергера для постро-
построения базисов Грёбнера. Также УОВЦ будет использоваться в гл. 4
при изучении структуры аффинных многообразий.
Второе приложение теоремы Гильберта о базисе — геометриче-
геометрическое. До сих пор мы рассматривали аффинные многообразия как
множества решений конечных полиномиальных систем:
b ¦•-,/«) = {(оь...,оп) ? kn : /i(oi,...,os) =0 для всех г}.

108
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера
109
Теорема Гильберта о базисе показывает, что имеет смысл го-
говорить об аффинном многообразии, определенном идеалом I С
k[]
Определение 8. Пусть / С к[х\,..., хп] —некоторый идеал. По-
ложим
V(J) = {(оь...,оп) Gfcn:/(oi,...,an)=0 для всех / €/}.
Хотя ненулевой идеал содержит бесконечно много различных
полиномов, множество V(J) определено конечным числом полино-
полиномиальных уравнений.
Предложение 9. V(J) является аффинным многообразием. В
частности, если I = (Д, ...,/„), то V(J) = V(/i,...,/«).
Доказательство. По теореме Гильберта о базисе идеал I ко-
конечно порожден, / = (/i,...,/*)• Мы утверждаем, что V(/) =
V(/i, • • -,/*)• Если /(oi,...,on) = 0 для всех полиномов f € I,
то fi(ai,... ,о„) = 0 (так как Д G /). Следовательно, V(/) С
V(/i,..., /,). С другой стороны, пусть (аь ..., о„) е V(/i,..., /„),
и пусть / е I. Так как I = (Д,..., Д.), то
для некоторых hi € fe[xi,..., хп]. Но тогда
s
ь... ,о„) = ^/ij(oi,... ,an)fi(ai,... ,о„)
Следовательно, V(/i,..., Д) С V(J), а значит, эти два идеала рав-
равны. ?
Наиболее важным следствием этого предложения является то,
что многообразия определены идеалами. Например, в гл. 1 мы дока-
доказали, что V(/i,. ..,/,)= V(pb ..., gt), если (Д,..., Д) = ($ъ • • • ,9t)
(предложение 4 § 4 гл. 1). Это предложение является непосред-
непосредственным следствием предложения 9. Связь между идеалами и
многообразиями будет подробно рассмотрена в гл. 4.
В упражнениях, используя предложение 9, мы покажем, как,
выбирая подходящее порождающее множество идеала I, можно
лучше понять структуру многообразия V(/).
Упражнения к § 5
1. Пусть I = (pi, рг, дз) С R[i, у, г], где pi = xy2-xz+y, g2 = xy-z2 пдз =
х — yz*. Используя lex-упорядочение, приведите пример полинома
д е /, такого, что LT(g) ? {bT(gi),vr(g2),bT(g3)).
2. Для идеалов и их образующих из упр. 5, 6 и 7 к § 3 докажите, что
идеал (lt(/)) строго больше, чем идеал (lt(/i), ..., lt(/s)). Указание:
внимательно посмотрите, что именно вы сделали в каждом упраж-
упражнении.
3. Здесь ситуация упр. 1 и 2 будет обобщена. Пусть / = (/i,..., fs) —
идеал, такой, что (ьт(/)) строго больше, чем (lt(/i), ... ,l/r(/s)).
(a) Докажите, что существует элемент /6/, такой, что остаток от
деления / на Д,..., fs не равен нулю. Указание: сначала найдите
/ € 7, такой, что lt(/) ? (lt(/i), ... ,lt(/s)), потом примените
лемму 2 из § 4.
(b) Что упр. (а) говорит о задаче принадлежности идеалу?
(c) Существует ли связь между упр. (а) и гипотезой, которую вы
должны были сформулировать в упр. 8 § 3?
4. Пусть 7 С k[xi,..., хп] — некоторый идеал. Докажите, что (ьт(д): д е
1-{0}) = (ьм(д):де1-{0}).
5. Пусть 7 — произвольный идеал в к[х\,... ,хп]- Докажите, что мно-
множество G — {gi,... ,gs} С 7 является базисом Грёбнера идеала 7 в
том и только том случае, когда старший член любого элемента из 7
делится хотя бы на один старший член ur(gi).
6. Следствие 6 утверждает, что базис Грёбнера G = {д\,..., gs} являет-
является базисом, т.е. если (ltG)) = (ur(gi),... ,ьт(д,)), то 7 = (gi,...,gs).
Доказательство этого утверждения приведено в теореме 4. Приве-
Приведем набросок другого доказательства. Пусть / € 7. Поделим / на
(Зь ¦ ¦ ¦, <?s). На каждом шаге алгоритма деления старший член де-
делимого принадлежит (ltG)) и, следовательно, делится на один из
LT(pi)- Значит, ни один член не прибавляется к остатку, так что
/ = 5Di=i <чд< в момент остановки алгоритма. Превратите этот на-
набросок в подробное доказательство.
7. Здесь мы используем grlex-упорядочение с х > у > г. Верно ли, что
множество {х4у2 — z5,x3y3 — 1,х2у4 — 2г} является базисом Грёбне-
Грёбнера идеала, порожденного этими тремя полиномами? Объясните ваш
ответ.
8. Здесь мы используем lex-упорядочение с х > у > z. Верно ли, что
множество {х — г2,у — г3} является базисом Грёбнера идеала, по-
порожденного этими двумя полиномами? Объясните ваш ответ. Указа-
Указание: трудная часть упражнения — определить, какие именно полино-
полиномы принадлежат (ьтG)).
9. Пусть А — (a,ij) — вещественная ступенчатая m x n-матрица, и пусть
J С R[xi,...,xn] — идеал, порожденный линейными полиномами

110
Гл. 2. Базисы Грёбнера
6. Свойства базисов Грёбнера
111
Yln~i aijxj> 1 — * — m- Докажите, что множество этих образующих со-
составляет базис Грёбнера идеала J по отношению к подходящему lex-
упорядочению. Указание: главные переменные должны быть старше
свободных.
10. Пусть I С k[xi, ¦ ¦ ¦, хп] — главный идеал, т. е. / порожден одним по-
полиномом / е I (см. § 5 гл. 1). Докажите, что любое конечное подмно-
подмножество элементов из /, содержащее /, является базисом Грёбнера
для I.
11. Пусть / е k[xi,...,xn] и / ? (ц,...,х„). Докажите, что (ц,...,
in,/) = k[xi,...,xn].
12. Докажите, что из справедливости условия обрыва возрастающих це-
цепей идеалов в к[х\,..., х„] следует теорема Гильберта о базисе. Ука-
Указание: рассуждайте от противного, предположив, что существует
идеал I С к[х\,..., хп], не являющийся конечно порожденным. Ваши
рассуждения не должны использовать каких-то специальных свойств
полиномов. В самом деле, в любом коммутативном кольце R два сле-
следующих условия:
(i) каждый идеал I С R конечно порожден,
(ii) любая возрастающая цепь идеалов в R стабилизируется,
эквивалентны.
13. Пусть
ViDV2DVsD ...
— убывающая цепь аффинных многообразий. Докажите, что суще- .
ствует такое JV > 1, что Vn = V)v+i = Vn+2 = ¦ ¦ •• Указание: исполь-
используйте упр. 14 § 4 гл. 1.
14. Пусть /i, /2,... G к[ц,..., хп] — бесконечная последовательность по-
полиномов, и пусть / = (/i, /2,...) — идеал, ими порожденный. Дока-
Докажите, что существует N, такое, что / = (/i,..., /n). Указание: ис- >
пользуйте полиномы /i, /г, ¦ ¦ ¦ для того, чтобы построить возраста- :
ющую цепь идеалов.
15. Пусть /i, /2,... G к[х\,..., хп], ипусть V(/i, /2,...) С кп — множество |
решений бесконечной системы уравнений /i = /2 = ... = 0. Докажите, ]
что существует N, такое, что V(/i, /2, ¦ • •) = V(/i,..., fs).
16. В § 4 гл. 1 мы определили идеал l(V) многообразия V С кп. А в]
этом параграфе было определено многообразие, определенное произ- J
вольным идеалом (определение 8^). В частности, это означает, что!
V(I(V)) является многообразием. Докажите, что V(I(V)) = V. У ка-]
зание: воспользуйтесь доказательством леммы 7 из § 4 гл. 1.
17. Рассмотрим многообразие V = V(x2 — у, у + х2 — 4) С С2. Отметим, j
что V = VG). где I = (х2 - у, у + х2 - 4).
(а) Докажите, что / = (х2 — у, х2 — 2).
(b) Используя базис идеала I, найденный в п. (а), докажите, что
предложение 9. — Прим. ред.
Одна из причин, почему второй базис удобнее для описания мно-
многообразия V, состоит в том, что х2 — 2 разлагается на множители.
Это означает, что V «распадается» на две части. В упр. 18 мы сфор-
сформулируем утверждение, которое обобщает это наблюдение.
18. Если какие-то элементы базиса идеала разлагаются на множители,
то мы можем использовать этот факт для описания многообразия.
(a) Пусть полином g € к[х\,... ,хп] приводим: g = д\дъ. Докажите,
что V(f,g) = V(/,0i) U V(/,02) для любого /.
(b) Докажите, что V(y - x2,xz - у2) = V(y - x2,xz - х4) в R3.
(c) Используйте п. (а) для того, чтобы описать (или нарисовать)
многообразие из п. (Ь).
§ 6. Свойства базисов Грёбнера
В § 5 мы показали, что каждый ненулевой идеал I С k[xi,... ,хп]
имеет базис Грёбнера. В этом параграфе мы рассмотрим свой-
свойства базисов Грёбнера и узнаем, как выяснить, является ли дан-
данный базис базисом Грёбнера или нет. Мы начнем с доказатель-
доказательства того факта, что нежелательные свойства алгоритма деления в
к[х\,..., хп], указанные в § 3, не проявляются, если делители обра-
образуют базис Грёбнера.
Предложение 1. Пусть G = {<?ь ...,<?«} —базис Грёбнера идеа-
идеала I С k[xi,... ,хп], и пусть f G k[xi,... ,х„]. Тогда существует
единственный полином г Е k[xi,... ,хп], который обладает следу-
следующими двумя свойствами:
(i) ни один член полинома г не делится ни на один из старших
членов LTCi),...,LT(ps);
(ii) существует g G I, такой, что f = g + г.
To есть г является остатком от деления f на G, не зависящим
от порядка делителей в G.
Доказательство. Алгоритм деления позволяет записать / в виде
f — ai9i + ¦ ¦ ¦ + ds9s+i', где г удовлетворяет условию (i). Условие (ii)
также выполняется, так как g = aigi +.. . + asgs 6 I. Существование
полинома г доказано.
Докажем единственность. Пусть f = g + r = g' + r', где д, г, д', г'
Удовлетворяют условиям (i) и (ii). Тогда r — r'=g — g'?l. Поэтому
если г ф г1, то LT(r - г1) G (lt(J)> = (ltEi), .. .,ьт(д.)). Тогда по
лемме 2 из § 4 LT(r—г') делится на какой-то старший член LT(pi). Но
это невозможно в силу условия (i). Значит, г = г', и единственность
Доказана. D

112
Гл. 2. Базисы Грёбнера.
§ 6. Свойства базисов Грёбнера
113
Остаток г называется нормальной формой полинома /, и его
единственность будет рассмотрена в упр. 1 и 4. Фактически бази-
базисы Грёбнера могут быть охарактеризованы требованием единствен-
единственности остатка —см. теорему 5.35 в книге Becker, Weispfenning
A993), где доказано это утверждение и найдены другие условия,
эквивалентные тому, что множество G является базисом Грёбнера
идеала /.
Хотя единственность остатка и имеет место, но «частные» Oj,
вычисляемые алгоритмом деления / = а\д\ + ... + asgs + г, зависят
от порядка делителей даже в том случае, когда G — базис Грёбнера.
См. пример в упр. 2.
Как следствие мы получаем такое условие принадлежности иде-
идеалу.
Следствие 2. Пусть G = {<?ь ...,gs} — базис Грёбнера идеала I С
A;[xi,... , х„], и пусть f G к[х\,... ,хп]. Тогда f Е I в том и только
том случае, когда остаток от деления полинома f на G равен
нулю.
Доказательство. Если остаток равен нулю, то, как уже отмеча-
отмечалось, / Е I. Обратно, пусть / Е I. Тогда равенство / = / + 0 удов-
удовлетворяет обоим условиям предложения 1. Из единственности пред-
представления полинома / в таком виде следует, что 0 является остатком
от деления / на G. О'
Свойство, сформулированное в следствии 2, иногда использует-
используется как определение базиса Грёбнера: можно доказать, что G обла- j
дает этим свойством в том и только том случае, когда является j
базисом Грёбнера (см. упр. 3). См. также предложение 5.38 в книге]
Becker, Weispfenning A993).
Следствие 2 позволяет построить алгоритм, решающий задачу о]
принадлежности идеалу из § 1 (однако только в том случае, когда!
мы знаем базис Грёбнера G идеала): нам нужно только найти оста- f
ток от деления на G. В § 7 мы узнаем, как строить базисы Грёбнера, ]
и дадим полное решение задачи о принадлежности идеалу в § 8.
Введем следующее обозначение.
Определение 3. Остаток от деления полинома / на упорядочен-]
ный s-набор F = (/i, ...,/„) будет обозначаться fF. Если F явля-1
ется базисом Грёбнера идеала (Д,..., /s), то по предложению 1 его]
можно рассматривать как (неупорядоченное) множество.
Пусть, например, F = (х2у — у2,х4у2 —у2) С к[х,у] и используется]
lex-упорядочение. Тогда
-X-F з
хьу =ху.
потому что применение алгоритма деления дает
х5у = (х3 + ху){х2у - у2) + 0 • (хУ - у2) + ху3.
Теперь мы обсудим, как определить, является данный базис
идеала его базисом Грёбнера или нет. Как мы уже отмечали,
«препятствием» к тому, чтобы набор {/i,...,/s} был базисом
Грёбнера, является существование такой полиномиальной комби-
комбинации полиномов /j, что ее старший член не принадлежит идеалу
(lt(/i), .. ¦, lt(/s)). Это может произойти, например, в том случае,
когда в некоторой комбинации axafi — bx@ fj старшие члены поли-
полиномов аха fi и bx@fj сокращаются. Но axafi — Ъх® fj ? J, так что
старший член этой комбинации принадлежит (ьтG)). Проверьте,
что именно это и происходит в примере 2 § 5. Для изучения сокра-
сокращений мы определим специальные комбинации.
Определение 4. Пусть /, g E k[x\,..., хп] — ненулевые полиномы.
(i) Пусть multideg(/) = а и multideg(g) = C. Положим 7 =
Gi>--->7n), Ъ = max(ai,/?i) для любого г. Тогда х7 называ-
называется наименьшим общим кратным мономов lm(/) и lm(^).
Используется обозначение х7 = ЬСМ(ьм(/),ьм(р))х'.
(И) S-полиномом от / и g называется комбинация
S(f,g) =
ur(g)
¦9-
(Заметим, что в знаменателе стоят не мономы, а старшие члены.)
Пусть, например, / = х3у2-х2у3 + х, g - Зх4г/ + г/2, /,д€Щх,у],
и используется grlex-упорядочение. Тогда 7 = D,2) и
= х • / - A/3) • у ¦ д
S-полином S(f,g) специально «сконструирован» для сокраще-
сокращения старших членов. Фактически следующая лемма утверждает,
что любое сокращение старших членов в комбинациях полиномов
одинаковой мультистепени связано с сокращениями в S-полиномах.
Лемма 5. Рассмотрим сумму Yli=i °ifi> г^е multideg(/i) = S ?
^>о> a Ci ? к для всех г. Если multideg(^*=1 Cifi) < S, то
'ЬСЫ — аббревиатура английского термина least common multiple.—
"рим. перев.

114
Гл. 2. Базисы Грёбнера
6. Свойства базисов Грёбнера
115
Hi=i cifi ¦является линейной комбинацией с коэффициентами в
к S-полиномов S(fj,fi), 1 < j,l < s. Более того, мулътистепень
каждого S(fj,fi) меньше 5.
Доказательство. Пусть d{ = LC(/i), так что C{d{ является старшим
коэффициентом полинома Cifi. Так как afc имеет мультистепень S
и мультистепень суммы полиномов с,/, меньше S, то J2i=i с^ — О-
Пусть pi = fi/di; тогда старший коэффициент полинома р; ра-
равен 1. Преобразуем рассматриваемую сумму:
C2d2)(p2 ~
г=1
... + cs_ids_i)(p4_i -ps) + {cidi + ... + csds)ps.
Так как lt(/j) = dtxs, то LCM(lm(/j),lm(/j)) = x5. Значит,
Используя это равенство и равенство J2t=i с^ = О, мы можем пе-
переписать сумму в виде
s
]Г afi =cidi5(/i, /2) + (cidi + c2d2)S{f2,f3) + ¦¦¦
+ (cidi + ... + cs-ids-i)S(fs-i, fs),
а это тот вид, который нам и нужен. Так как р, и р/ имеют оди-
одинаковую мультистепень 6 и одинаковые старшие коэффициенты —
единицы, то разность pj — pi имеет мультистепень < 6. В силу A)
то же самое верно и относительно S(fj, fi). Лемма доказана. ?
Если Д,..., /8 удовлетворяют условиям леммы 5, то
Посмотрим, где именно происходит сокращение. В сумме слева
каждое слагаемое с;/, имеет мультистепень 6, т.е. сокращение полу-
получается в результате суммирования. С другой стороны, в сумме спра-
справа каждое слагаемое CjiS(fj, /;) имеет мультистепень < S, т. е. сокра-
сокращение уже произошло. Интуитивно это означает, что S-полиномы
как бы «ответственны» за все сокращения.
Используя S-полиномы и лемму 5 мы можем теперь доказать
следующий критерий (принадлежащий Бухбергеру) того, что базис
идеала является базисом Грёбнера.
Теорема 6. Пусть I — некоторый полиномиальный идеал. Тогда
базис G = {<?i, • • • ,gs} идеала I является базисом Грёбнера в том
и только том случае, когда для всех пар г ф j остаток от деления
S{gi,9j) на G (е любом порядке) равен нулю.
Доказательство. =>. Пусть G является базисом Грёбнера. Тогда
так как S(gi,9j) G /, то остаток от деления S(gi,gj) на G равен
нулю в силу следствия 2.
«=. Пусть / € J — ненулевой полином. Мы должны доказать, что
если остатки от деления всех S-полиномов на G равны нулю, то
lt(/) € (lt(<7i), ..., lt(<7s)). Сначала наметим общую стратегию до-
доказательства.
Так как / G I = (gi,---,gs), то существуют полиномы hi S
k[xi,...,xn], такие, что
№• B)
C)
Из леммы 8 § 2 следует, что
multideg(/) < max(multideg(/iipi))-
Если здесь нет равенства, то, следовательно, произошло сокраще-
сокращение старших членов в B). Лемма 5 позволяет выразить это в тер-
терминах S-полиномов. Тогда наше условие, что S-полиномы имеют
нулевые остатки от деления, позволяет заменить S-полиномы на
выражения с меньшим числом сокращений, т. е. мы получим вы-
выражение для / с меньшим числом сокращаемых старших членов.
Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим выражение
типа B) для /, причем в C) будет иметь место равенство. Тогда
multideg(/) = multideg(/iigi) для некоторого г, т. е. lt(/) делится на
некоторый LT(gi). Значит, lt(/) G (ur(gi),... ,vr(gs)), что и требу-
требуется доказать.
Приступим к подробному изложению доказательства. Рассмот-
Рассмотрим B). Пусть m(i) = multideg(/ii(?j), и положим 6 = max(m(l),...,
m(s)). Теперь неравенство C) имеет вид multideg(/) < 6. Рассмот-
Рассмотрим все способы, какими / может быть записано в виде B). Для
каждого такого способа мы будем иметь свое 8. Так как мономи-
альное упорядочение является вполне упорядочением, то мы можем
выбрать такое выражение B), для которого S минимально.
Мы покажем, что если 6 минимально, то multideg(/) = S. Тогда
в C) равенство имеет место и, как мы видели выше, отсюда следует,
что lt(/) e (lt((?i), ..., vr(gs)). Это и докажет теорему.
Осталось доказать, что multideg(/) = 5. Мы докажем это от про-
противного. Если равенство места не имеет, то multideg(/) < 5. Пере-

116
Гл. 2. Базисы Грёбнера
пишем B) в следующем виде:
hi9i + 5Z hi9i
m(i)=S
D)
m(i)=6 m(i)—S
Мономы во второй и третьей суммах в самой правой части равенст-
равенства имеют мультистепени < S. Поэтому предположение multideg(/) <
S означает, что первая сумма также имеет мультистепень < S.
Если ur(hi) — CiXa(l\ то сумма
hT(hi)gi =
m(i)=6 m(i)=S
имеет в точности тот вид, который описан в условии леммы 5 с
/i = ха(г>д1. Теперь из леммы 5 следует, что эта сумма есть линейная
комбинация S-полиномов S(xa^gj,xa^gi). Но
где х"*'1 = LCM(lm(^), hu(gi)). Значит, существуют константы Cji ?
к, такие, что
J2 J25gl). E)
Теперь вспомним, что, согласно нашему предположению, остаток от
деления S(gj,gt) на gi,...,gs равен нулю, т.е. каждый S-полином
может быть записан в виде
S(9j,9i) =
F)
где а^г € fe[ii,..., хп]. Из алгоритма деления также следует, что
p/)) G)
для всех i,j,l (см. теорему 3 из §3). Значит, можно сказать,
что если остаток равен нулю, то существует такое представление
S{9j>9i) в виде комбинации д{, что старшие члены слагаемых этой
комбинации не сокращаются.
Умножим теперь F) на х6''1 и получим
§ 6. Свойства базисов Грёбнера 117
где biji = xs~y>'aiji. Теперь из G) и леммы 5 следует, что
'~7"S(fc,ft))<*. (8)
мы подставим полученное нами выражение для х6 ъ' S(gj, gi)
в E), то получим равенство
ipi) < 6.
m(t)=<5 j,l
Но по (8) для всех %
Теперь, чтобы завершить доказательство, осталось подставить
равенство J2m(i)=6 h^ihi)9i — St hi9i B D) и получить выражение
для / в виде полиномиальной комбинации полиномов gi, где все
члены имеют мультистепень < S. Этот факт противоречит мини-
минимальности S. Доказательство теоремы закончено. ?
Теорема б называется также критерием Бухбергера S-пар и
является одним из основных результатов в теории базисов Грёб-
Грёбнера. Мы знаем, что базисы Грёбнера обладают многими хороши-
хорошими свойствами, однако до сих пор нам было трудно определить,
является ли базис идеала его базисом Грёбнера (примеры, рассмо-
рассмотренные в § 5, достаточно тривиальны). Применение же критерия
S-nap позволяет легко доказать, что данный базис является или не
является базисом Грёбнера. Как мы увидим в § 7, этот критерий
позволяет сконструировать естественный алгоритм построения ба-
базисов Грёбнера.
Рассмотрим в качестве примера идеал I = (y-x2, z-x3) скручен-
скрученной кубики в Е3. Мы утверждаем, что G = {у - х2, z — х3} является
базисом Грёбнера для lex-упорядочения у > z > x. Чтобы доказать
это, рассмотрим S-полином
Алгоритм деления дает
-zx2 + ух3 = х3 ¦ (у - х2) + (-х2) ¦ (z - х3) + О,
т.е. S(y — x2,z — х3) = 0. Отсюда, согласно теореме 6, следует,
что G является базисом Грёбнера для I. Можно проверить, что
G не является базисом Грёбнера для lex-упорядочения х > у > z
(см. упр. 8).

118
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 7. Алгоритм Бухбергера
119
Упражнения к § 6
1. Докажите, что предложение 1 может быть несколько усилено сле-
следующим образом. Зафиксируем мономиальное упорядочение. Пусть
I С k[xi,..., х„] — некоторый идеал и / е к[х\,..., х„].
(a) Докажите, что / может быть записан в виде f = д + r, где д G I и
ни один член полинома г не делится ни на один элемент из lt(/).
(b) Пусть f = g + r — g'+r1— два представления /, удовлетворя-
удовлетворяющие условиям п. (а). Докажите, что г = г', т.е. г определено
однозначно.
Этот результат показывает, что, как только мономиальное упоря-
упорядочение зафиксировано, мы можем однозначно определить «остаток
от деления / на 7». Это наблюдение будет использовано нами в гл. 5.
2. В § 5 мы доказали, что G = {х + z, у — г} является базисом Грёбнера :
для lex-упорядочения. Рассмотрим на примере этого базиса задачу
об однозначности алгоритма деления.
(a) Разделите ху на х 4- г, у — г.
(b) Измените порядок и разделите ху на у — г, х 4- z.
В обоих случаях вы получите один и тот же остаток (как и утвер- ]
ждает предложение 1), но «частные» будут разными. Это доказыва- ',
ет, что однозначная определенность остатка — это самое большее, на ]
что можно рассчитывать.
3. В следствии 2 мы доказали, что если I = (gi,- ¦ ¦ ,дз) и G ='
{01, •¦•)&>} —базис Грёбнера, то /G = 0 для всех / 6 I. Докажите |
обратное утверждение. А именно, докажите, что если G является |
базисом идеала I и ]° = 0 для всех / 6 I, то G — базис Грёбнера.
4. Пусть G и G' — базисы Грёбнера идеала I по отношению к одному '
и тому же мономиальному упорядочению в k[xi,... ,хп]. Докажите,
что }G = fG для всех / € k[xi,..., хп]- Это означает, что остаток от ,
деления не зависит от того, какой именно базис Грёбнера мы исполь-
использовали в качестве делителя (при условии, что мономиальное упоря-
упорядочение не меняется). Указание: воспользуйтесь упр. 1.
5. Вычислите S(f,g), используя lex-упорядочение.
д = xyz2 4- Зхг4
2, g = 3xz2-y.
2ixyz, g = 2x7y2z +
(a) / = 4x2z - 7у2,
(b) / = х4у-2
(c) / = x7y2z + 2ixyz, g = 2x7y2z + 4.
(d) f = xy + z
6. Зависит ли S(f, g) от используемого мономиального упорядочения?
Приведите примеры.
7. Докажите, что multidegE(/,p)) < 7, где х1 = LCM(lm(/), (
Объясните, почему это неравенство является точной формулиров-
формулировкой утверждения, что S-полиномы сконструированы для того, чтобы
осуществлять сокращение.
8. Докажите, что {у — x2,z — х3} не является базисом Грёбнера для :
lex-упорядочения с х > у > z.
LCM(x°lm(/),x/3lm(c/))
д. Применяя результат теоремы 6, определите, являются ли следующие
множества G базисами Грёбнера для идеалов, которые они порожда-
порождают. Вы можете использовать компьютерную систему для вычисления
S-полиномов и остатков.
(a) G = {х2 — у,х3 — г}, grlex-упорядочение.
(b) G = {х2 — у,х3 — г}, invlex-упорядочение (см. упр. 6 § 2).
(c) G — {ху2 - xz + y,xy - г2, х - уг4}, lex-упорядочение.
10. Пусть /,jg к[х\,... ,х„] —полиномы, такие, что lm(/) и ш(д) вза-
взаимно просты и lc(/) = ьс(р) = 1.
(a) Докажите, что S(f, д) = -(д - ur(g))f + (f - w(f))g.
(b) Докажите, что в этом случае старший моном полинома S(f,g)
делится или на lm(/), или на ьм(д).
11. Пусть /, д е к[х\,..., in], а ха,х0 —мономы. Проверьте, что
где
Не забудьте доказать, что х7 — моном.
12. Пусть I С к[х\,..., in] — некоторый идеал, a G — его базис Грёбнера.
(a) Докажите, что fG = gG в том и только том случае, когда f — g€l.
Указание: воспользуйтесь упр. 1.
(b) Докажите, что
G
Указание: примените п. (а).
(с) Докажите, что
Интересные следствия этих утверждений будут обсуждаться на-
нами в гл. 5.
§ 7. Алгоритм Бухбергера
В следствии 6 § 5 доказано, что каждый ненулевой идеал в
к[хх,...,хп] имеет базис Грёбнера. К сожалению, доказательство
неконструктивно в том смысле, что оно не дает никаких указаний,
как можно построить базис Грёбнера. В этом параграфе будет ре-
решаться следующая задача: как построить базис Грёбнера заданно-
заданного идеала I С к[х\,..., х„]? Сначала проиллюстрируем на примере
основные идеи рассматриваемого здесь метода. Возьмем идеал из
примера 2 § 5.
Пример 1. Рассмотрим кольцо к[х, у] с grlex-упорядочением и иде-
идеал / = (/i,/2) — (х3 - 2ху,х2у-2у2 + х). Напомним, что множество

120
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 7. Алгоритм Бухбергера
121
{/ь/г} не образует базиса Грёбнера для I, так как ьтE(/ь/г)) =|
Как же построить базис Грёбнера? Первая мысль, которая при-]
ходит в голову, — это расширить имеющийся базис идеала до бази-1
са Грёбнера, добавляя полиномы из I. Может показаться, что эта!
процедура не вносит ничего нового и только создает избыточность, f
Однако информация, которую мы получим, зная базис Грёбнера, ]
вполне компенсирует избыточность.
Какие же новые порождающие элементы надо добавить? Если!
мы вспомним, что говорилось об S-полиномах в предыдущем пара-]
графе, то станет понятно, что надо добавлять S-полиномы от эле-]
ментов базиса. Имеем 5(/ь/2) = -х2 е I, и остаток от деления]
-х2 на F = {/ь/2} равен -х2 ф 0. Добавим остаток /3 = -х2 в|
порождающее множество. Теперь F = {/ь /2, /з}, и мы можем при-!
менить теорему 6 и проверить, является ли F базисом Грёбнера|
для I. Имеем S(/i,/2) = /3; значит,
Г = о,
1, /з) = {х3 ~ 2ху) - (-х)(-х2) = -2x2/, но
0^ = -2x2/ Ф 0.
Следовательно, мы должны добавить /4 = —2ху к порождающему]
множеству, т.е. F = (/i,/2,/з,/4)- Имеем
/2) =S{fuh) =0,
,/4) = У(х3 - 2ху) - (-1/2)х2(-2ху) = -2ху2 =
так что
S(fi,h) =0,
5(/2,/3) = (х2у -
¦х)-{-у)(-х2) = -2у2 + х,
5(/2,/з) =-22
так что мы должны добавить /5 = -2у2 + х к порождающему мно-|
жеству, т. е. F - {h,h,h,fa,h)- Легко убедиться, что
S(fi,fj) = 0 для всех 1 < i < j < 5.
Теперь из теоремы 6 § 6 следует, что базис Грёбнера идеала / для ]
grlex-упорядочения выглядит следующим образом:
{/ь /г, /з, /4, /5} = {х3 - 2ху, х2у - 2у2 + х, -х2, -2x2/, ~V +
Пример 1 подсказывает, что и в общем случае можно построить]
базис Грёбнера, расширяя какой-нибудь базис F путем последова-1
р я
тельного добавления ненулевых остатков S(fi,fj) к F. Эта иде
естественно вытекает из критерия S-nap из § б, и алгоритм Бух-
Бухбергера, который мы сейчас начнем изучать, является реализацией
этой идеи.
Теорема 2. Пусть дан некоторый ненулевой полиномиальный
идеал I = (/i, ••-,/»). Тогда базис Грёбнера для I может быть
построен за конечное число шагов с помощью следующего алго-
алгоритма:
Вход: F =(/!,...,/.)
Выход: базис Грёбнера G = (glt... ,gt) идеала I, где F С G
G:=F
REPEAT
G' = G
FOR каждой пары {р, q},p ф q в G' DO
S:=S(p,qf
IF 5 ф 0 THEN G:=GU {5}
UNTIL G = G'
Доказательство. Сначала введем удобные обозначения. Если G =
{9i,---,9s}, то через (G) и (lt(G)> будем обозначать следующие
идеалы:
Теперь займемся доказательством. Докажем сначала, что условие
Gel выполняется на каждом шаге алгоритма. Это верно в начале
работы алгоритма. Далее, при каждом расширении множества G
мы добавляем остаток 5 = 5(р,q) , где p,q?G. Если G С /, то р,q
и S(p, q) принадлежат I. А так как мы делим на G' С /, то и остаток
5 принадлежит I; значит, G U {S} С I. Кроме того, G содержит
исходный базис F, а следовательно, является базисом идеала I.
Алгоритм заканчивает работу, когда G = G', т.е. когда
S(p:q) = 0 для всех p,q E G. Следовательно, G является бази-
базисом Грёбнера для I = (G) по теореме 6, § 6.
Осталось доказать, что алгоритм в какой-то момент останавли-
останавливается. Посмотрим, что происходит во время каждого выполнения
основного цикла. Множество G состоит из G' (старое G) и ненуле-
ненулевых остатков от деления S-полиномов от элементов из G' на G', т. е.
(LT(G")> С (LT(G)), A)
так как G' С G. Мы утверждаем, что если G' ф G, то (lt(G')) стро-
строго меньше, чем (ьт((?)). Докажем это. Пусть ненулевой остаток г

122
Гл. 2. Базисы Грёбнера
7. Алгоритм Бухбергера
123
от деления S-полинома на С был добавлен к G. Тогда, так
г — остаток, ьт(г) не делится ни на один старший член элемент
из G1, т.е. ьт(г) $ (lt(G')). Однако ьт(г) ? (lt(G)). Утверждение!
доказано.
По A) идеалы (lt(G')), получающиеся в результате последо-1
вательных выполнений основного цикла, образуют возрастающую!
цепь в к[х\,..., х„]. Тогда условие обрыва возрастающих цепей (те-1
орема 7 из § 5) утверждает, что эта цепь стабилизируется, т. е. услсм
вие (lt(Cj')) = (lt(G)) станет выполняться после конечного числа]
итераций основного цикла. Это означает в силу доказанного в пре-1
дыдущем параграфе, что условие G' = G станет выполняться и ал-1
горитм остановится через конечное число шагов. ?]
Критерий S-nap (теорема 6 из § 6) и алгоритм Бухбергера (тео- 9
рема 2) составляют основу алгоритмической теории базисов Грёб-|
нера и являются ключевыми в этой области алгебры. В § 8 мы по-|
знакомимся с приложениями этих методов, а большая часть книги]
посвящена их развитию и применению.
Необходимо отметить, что алгоритм, описанный в теореме 2,1
является лишь упрощенной версией оригинального алгоритма Бух- j
бергера. Мы рассмотрели именно эту версию, чтобы сделать основ-1
ные идеи ясными для читателя, хотя она и мало пригодна в прак-
практических вычислениях. Обратите внимание (вот первое усовершен- ]
ствование), что если остаток S(p,q) равен нулю, то он будет ну-1
лем и при расширении множества G'. Поэтому нет смысла снова]
и снова вычислять этот остаток при итерациях цикла. На самом j
деле, так как мы добавляем новые порождающие элементы fj по]
одному, то нам нужно только вычислять остатки S(fi,fj) при;
г < j. Хорошим упражнением было бы усовершенствовать алгоритм
так, чтобы учесть это замечание. Другие усовершенствования, бо-
более глубокие и важные, будут обсуждаться в § 9.
Базисы Грёбнера, построенные с помощью алгоритма теоре-
теоремы 2, часто оказывается избыточными — большими, чем необходи-'
мо. Мы можем исключить лишние образующие, используя следу-
следующий факт.
Лемма 3. Пусть G — базис Грёбнера полиномиального идеала I, и
пусть ре G, ьт(р) ? (lt(G - {р})). Тогда G - {р} также является \
базисом Грёбнера для I.
Доказательство. Мы знаем, что (lt(G)) = (lt(/)). Если ьт(р) ?
(lt(G - {р})), то <lt(G - {р})) = <lt(G)>. Следовательно, G - {р}
является базисом Грёбнера по определению. П
Подберем константы и сделаем все старшие коэффициенты еди-
единицами, а также исключим из G все р, такие, что ьт(р) ? (lt(G -
{р})). В результате мы получим минимальный базис Грёбнера.
Определение 4. Минимальным базисом Грёбнера полиномиаль-
полиномиального идеала I называется его базис Грёбнера G, такой, что
(i) LC(p) = 1 для всех р ? G;
(и) ьт(р) i (lt(G - {р})> для всех peG.
Минимальный базис Грёбнера для данного ненулевого идеала
можно построить с помощью алгоритма из теоремы 2 с последую-
последующим применением леммы 3 для исключения лишних образующих.
В качестве примера рассмотрим идеал I из примера 1. Ранее мы
нашли базис Грёбнера этого идеала для grlex-упорядочения:
Д = х3 - 2ху,
/2 = х2у -2у2 + х
/з = -х2,
/4 = -2ху,
h = ~2у2 + х.
Так как некоторые старшие коэффициенты не равны 1, то на пер-
первом шаге мы делаем их единицами, умножая на подходящие кон-
константы. Теперь заметим, что ьт(Д) = х3 = -х • ьт(/3). По лемме 3
полином Д нужно исключить. Аналогично, так как ьт(/г) = х2у =
-A/2)х • lt(/4), то /2 также исключается. Старшие члены /3, U, }ь
не образуют делящихся пар. Следовательно, полиномы
/3=х2, h = xy, /5 = у2 - A/2)х
образуют минимальный базис Грёбнера для I.
К сожалению, идеал может иметь несколько минимальных бази-
базисов Грёбнера. Легко проверить, что для только что рассмотренного
идеала I полиномы
f3=x2+axy, h=xy, f~5 = y2-(l/2)x B)
образуют минимальный базис Грёбнера при любом а ? к. Значит,
мы нашли бесконечно много (если к бесконечно) минимальных ба-
базисов Грёбнера для I. К счастью, мы можем определить единствен-
единственным образом наилучший минимальный базис Грёбнера.
Определение 5. Редуцированным базисом Грёбнера полиноми-
полиномиального идеала / называется его базис Грёбнера G, такой, что
(i) LC(p) = 1 для всех р е G;
(и) никакой моном никакого р ? G не принадлежит (lt(G - {р})>-

124
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 7. Алгоритм Бухбергера
125
Отметим, что среди базисов Грёбнера, заданных формулой B),]
только один (при о = 0) является редуцированным. Редуцирован-
Редуцированные базисы обладают следующим полезным свойством.
Предложение 6. Пусть I ф {0} — полиномиальный идеал, и:
пусть задано некоторое мономиальное упорядочение. Тогда суще-
существует единственный редуцированный базис Грёбнера идеала I.
Доказательство. Пусть G — некоторый минимальный базис Грёб-
Грёбнера для I. Элемент g E G называется редуцированным для G, если
никакой моном из g не принадлежит (lt(G — {<?}))• Мы будем пре-
преобразовывать G до тех пор, пока все его элементы не станут реду-
редуцированными.
Отметим сначала, что если g редуцирован для G, то g редуциро-
редуцирован для любого другого минимального базиса Грёбнера (идеала I),
содержащего g и имеющего то же множество старших членов. Это
утверждение справедливо, так как определение редуцированности
оперирует только старшими членами.
Пусть g EG. Положим g' - gG~^ и G' = (G - {g}) U {g1}. Мы
утверждаем, что G' также является минимальным базисом Грёбне-
Грёбнера для I. Чтобы доказать это, отметим сначала, что ьт(р') = Vf(g)
(если мы поделим g на G — {<?}, то w(g) попадет в остаток, так
как этот моном не делится ни на один элемент из lt(C? — {<?}))• По-
Поэтому (lt(G')) = (lt(G)). Так как G" С /, то G'— базис Грёбнера
для I (минимальность очевидна). Наконец, д' редуцирован для G'
по построению.
Преобразуем таким способом каждый элемент из G. Отметим
теперь, что базис Грёбнера может измениться при каждом пре-
преобразовании, но как только элемент стал редуцированным, то он
и останется таковым при дальнейших преобразованиях элементов
из G (так как старший член не меняется). В конце концов мы по-
получим редуцированный базис Грёбнера.
Теперь докажем единственность. Пусть G и G — редуцирован-
редуцированные (а значит, и минимальные) базисы Грёбнера для /. В упраж-
упражнении 7 будет доказано, что минимальные базисы идеала I имеют
одно и то же множество старших членов:
ur{G) = lt(G).
Таким образом, для данного д ? G найдется д ? G, такой, что ьт(д) =
ьт(д). Если мы докажем, что из этого следует равенство д — д, то
тем самым и равенство G = G, и единственность редуцированного
базиса будут доказаны.
Рассмотрим разность д - д. Эта разность принадлежит I, а так
как G —базис Грёбнера, то д - д = 0. Но мы знаем также, что
п(д) = ьт(д); значит, старшие члены в д - д сократились, а остав-
оставшиеся члены не делятся ни на один элемент из lt((?) = lt(E), так
как G и G редуцированные. Поэтому д - д = д - д = 0. Доказа-
Доказательство завершено. ?
Во многих системах компьютерной алгебры реализован алго-
алгоритм Бухбергера для вычисления базисов Грёбнера. Эти систе-
системы, как правило, находят базис, элементы которого отличаются от
элементов редуцированного базиса постоянным множителем. Это
означает, что базисы, вычисляемые разными системами, по суще-
существу совпадают. Таким образом, полученные результаты легко про-
проверить, переходя от одной системы к другой.
Другим следствием единственности, доказанной в предложении
6, является то, что теперь у нас есть алгоритм проверки равенства
идеалов. Пусть нам даны два множества {/i,..., /s} и {gi,..., gt}.
Как выяснить, порождают они разные идеалы или один и тот же?
Ответ: задайте мономиальное упорядочение и вычислите редуци-
редуцированные базисы Грёбнера для (fi, ¦ ¦ ¦, fs) и (gi,. ¦ ¦ ,gt)- Идеалы
совпадают в том и только в том случае, когда совпадают редуци-
редуцированные базисы.
В заключение кратко рассмотрим связь между алгоритмом Бух-
Бухбергера и алгоритмом приведения матрицы к главному ступенчато-
ступенчатому виду (по Гауссу). Интересно, что алгоритм приведения на самом
деле является лишь частным случаем алгоритма, рассмотренного в
этом параграфе. В качестве примера рассмотрим линейную систему
3x-6y-2z = О,
2х - 4у + 4w = О,
х — 2у — z — w = 0.
Элементарными преобразованиями строк мы приводим матрицу си-
системы к ступенчатому виду
C)
D)
а затем к главному ступенчатому виду
/1 -2 0 2\
0 0 13
V0 0 0 0У
Теперь опишем эти преобразования на алгебраическом языке.
Рассмотрим идеал
I = (Зх — 6у — 2z,2x - Ay + Aw,x — 2у - z - w) C k[x,y,z,w],

126
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 7. Алгоритм Бухбергера
127
который соответствует исходной системе. Будем использовать 1ех-|
упорядочение cx>y>z>w.B упражнениях будет доказано, что!
линейные формы, определенные матрицей C), задают минималь-|
ный базис Грёбнера:
I = (х - 2у - z - w, z + Зги),
а матрица D) определяет редуцированный базис:
J= (x-2y + 2w,z
В курсе линейной алгебры доказывается, что главный ступенчатый]
вид матрицы определен однозначно. Этот факт можно рассматри-j
вать как частный случай утверждения о единственности редуциро-]
ванного базиса Грёбнера.
В упражнениях мы также проанализируем связь между алго-|
ритмом Бухбергера и алгоритмом Евклида вычисления образукй|
щего элемента идеала (/,д) С к[х].
Упражнения к § 7
Р
1. В примере 1 проверьте, что S(fi, fj) = 0 для всех пар 1 < i < j < i
2. Примените алгоритм теоремы 2 для вычисления базисов Грёбнер
следующих идеалов. Если хотите, воспользуйтесь компьютерной <
стемой для вычисления S-полиномов и остатков. Сначала использу*
те lex-, а затем grlex-упорядочение и сравните результаты. дЗ
(a) 1={х2у-1,ху2-х).
(b) I — (x2+2/,z4+2z22/+2/2+3). (Что можно сказать о многообра
(с) I = {x-z\y-z&).
3. Найдите редуцированные базисы Грёбнера идеалов из упр. 2 по
ношению к lex- и grlex-упорядочениям.
4. Примените результат упр. 7 из § 4 и дайте другое доказательство ¦
го, что алгоритм Вухбергера останавливается после конечного чис
шагов.
5. Пусть G — базис Грёбнера идеала I и ьс(<?) = 1 для всех д € G. Док
жите, что G является минимальным базисом в том и только то»
случае, когда никакое собственное подмножество множества G
является базисом Грёбнера.
6. В упр. 8 § 4 было введено понятие минимального базиса мономиа
ного идеала. Докажите, что базис Грёбнера G идеала I минима
в том и только том случае, когда ьс(<?) = 1 для всех дбСи ит(С
является минимальным базисом мономиального идеала (ьтG)).
7. Пусть задано некоторое мономиальное упорядочение, и пусть G
G — минимальные базисы Грёбнера идеала I.
(a) Докажите, что lt(G) = lt(G).
(b) Выведите отсюда, что G и G имеют одинаковое количество эле-
элементов.
8. Придумайте алгоритм, который вычисляет редуцированный базис
Грёбнера (определение 5) идеала I по заданному базису Грёбнера.
Докажите корректность алгоритма.
9. В тексте параграфа рассматривался идеал
I =
- 2г, 2х -4у + 4го, х - 2у - г - го) С к[х, у, г, го].
Пусть задано lex-упорядочение х > у > г > го.
(a) Докажите, что линейные полиномы, определенные ступенчатой
матрицей C), образуют минимальный базис Грёбнера: I = (х —
1у — z — го, г + Зго). Указание: примените результат теоремы 6 § 6.
(b) Докажите, что линейные полиномы, определенные главной сту-
ступенчатой матрицей D), образуют редуцированный базис Грёбне-
Грёбнера, I = (x-2y + 2w,z + Зги).
10. Рассмотрим п х m-матрицу А = (а^-) с элементами из к, и пусть
/; = ацх\ + ... + aimXm — линейные полиномы из к[х\,..., Хт), опре-
определенные строками матрицы А. Рассмотрим идеал I = (/i, ¦.., /п)-
Мы будем использовать lex-упорядочение с х\ > ... > хт. Пусть
В = (к})—главная ступенчатая матрица для A, a gi,...,gs—ли-
gi,...,gs—линейные полиномы, определенные ненулевыми строками матрицы В
(s < п). Наша цель — доказать, что полиномы gi,..., gs образуют ре-
редуцированный базис Грёбнера для I.
(a) Докажите, что I = (gi,... ,gs). Указание: докажите, что любое
элементарное преобразование строк матрицы А даст нам матри-
матрицу, строки которой порождают тот же идеал.
(b) Используя теорему 6 § 6, докажите, что д\,-..,д* образуют базис
Грёбнера I. Указание: если главная единица в г'-й строке матрицы
В находится на t-м месте, то gi = xt + C, где линейный полином С
не содержит переменных, соответствующих главным столбцам.
Аналогично, пусть gj = ц + D. Нам нужно поделить S(gi,gj) =
xiC — xtD на pi,... ,gs. Теперь заметьте, что процесс деления
использует только gi и gj.
(c) Объясните, почему gi,...,gs образуют редуцированный базис
Грёбнера.
П. Докажите, что применение алгоритма Евклида к полиномам f,g &
к[х] дает в результате редуцированный базис Грёбнера идеала (/, д)
(после деления на константу, чтобы сделать старший коэффициент
равным 1). Покажите, что шаги алгоритма Евклида могут рассма-
рассматриваться как частные случаи процедур, используемых в алгоритме
Бухбергера.

128
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера
В § 1 мы сформулировали четыре задачи об идеалах и многообрази-
многообразиях. Первая из этих задач — задача описания идеала, была решена в
§ 5 с помощью теоремы Гильберта о базисе. Здесь мы рассмотрим,
как базисы Грёбнера могут помочь нам при решении трех остав-
оставшихся задач.
Задача о принадлежности идеалу
Одновременное использование базисов Грёбнера и алгоритма деле-
деления дает следующий алгоритм решения задачи о принадлежности
идеалу: пусть даны идеал / = (/i,. ¦ ¦, /s) и полином /; надо выяс-
выяснить, принадлежит / идеалу / или нет. Сначала, применяя алго-
алгоритм теоремы 2 § 7 (или аналогичный), находим базис Грёбнера
G = {gi,... ,gt} для /. Тогда по следствию 2 § 6
/ S / в том и только том случае, когда fG = 0.
Пример 1. Пусть / = (/i,/2) = (xz - у2,х3 - z1) С C[x,y,z], и
пусть используется grlex-упорядочение. Рассмотрим полином / =
-4x2y2z2 + у6 + 3z5. Верно ли, что / G I?
Множество образующих не является базисом Грёбнера, потому
что lt(J) содержит, например, полином vr(S(fi,f2)) = ит(-х2у2 +
z3) = х2у2, который не принадлежит идеалу (lt(/i),lt(/2)) =
(xz,x3). Следовательно, на первом шаге необходимо найти базис
Грёбнера G для /. Используя компьютерную систему, получаем
G = {f1J2,f3,f4J5} = {xz-y2,x3-z2,x2y2-z3,xy*-Z\y6-z5}.
Отметим, что это редуцированный базис.
Теперь вопрос о принадлежности идеалу сводится к делению /
на G:
/ = 0 • Л + 0 ¦ /2 - 4г2/з + 0 ¦ U + 1 ¦ /б + 0.
Так как остаток от деления равен нулю, то / S /.
В качестве другого примера возьмем / = ху — bz2 + x. Здесь
можно даже не проводить процесс деления — очевидно, что / ^ /.
Причина состоит в том, что lt(/) = ху не принадлежит идеалу
(LT(G)> = (хг,х3,х2у2,ху\у6), т.е. fG ф 0, так что f $ I.
Последнее наблюдение иллюстрирует, как форма элементов ба-
базиса Грёбнера отражает свойства идеала.
Решение полиномиальных уравнений
Техника базисов Грёбнера может быть применена для решения си-
систем полиномиальных уравнений. Сначала рассмотрим несколько
примеров.
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера
Пример 2. Рассмотрим систему уравнений
х2 + z2 = у,
X = Z
129
A)
в С3. Эти уравнения задают идеал I = {х2 +у2 + z2 - l,x2 + z2 -
у.х — z) С С[а;,?/, z]. Наша задача —найти все точки многообразия
V(/). Из предложения 9 § 5 следует, что мы можем сделать это,
используя любой базис идеала I. Посмотрим, что получится, если
мы будем работать с базисом Грёбнера.
Хотя это и не обязательно, мы будем использовать lex-упорядо-
lex-упорядочение. Базис Грёбнера по отношению к этому упорядочению состо-
состоит из следующих элементов:
gi=x-z,
g2 = -y + 2z2,
9з = г* + (l/2)z2 - 1/4.
Если мы внимательно посмотрим на эти полиномы, то увидим неч-
нечто замечательное. Во-первых, д3 зависит только от z и его корни
легко вычисляются (они являются корнями биквадратного уравне-
уравнения):
¦ = ±У±>/5-1,
что дает нам четыре возможных значения z. Далее, подставляя
каждое из этих значений в уравнения д\ = 0 и в д2 = 0, мы одно-
однозначно определяем хну. Таким образом, система gi = д2 — дг — 0
имеет четыре решения, два вещественных и два комплексных. Так
как V(/) = V(Gj,#2, <?з) (предложение 9 § 5), то тем самым мы на-
нашли все решения системы A).
Пример 3. Рассмотрим теперь полиномиальную систему B) из § 2
гл. 1
За;2 + 2yz - 2\х = 0,
2xz - 2Ху = 0,
2ху -2z- 2\z = 0,
х2 + у2 + z2 - 1 = 0.
Эта система была получена при применении метода множителей
Лагранжа для нахождения экстремума функции х3 + 2xyz — z2 при
условии х2 + у2 + z2 = 1. Мы используем уже испытанную выше
технику и сначала находим базис Грёбнера идеала, порожденного
левыми частями четырех уравнений системы. Этот идеал принад-
принадлежит Ш[х, у, z, А]. Используется lex-упорядочение с \> х > у > z.

130
Гл. 2. Базисы Грёбнера
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера
131
Базис Грёбнера состоит из следующих элементов:
167616 6 36717 4 134419 ,
3835
590
7670
у2
z2 -1,
19584
3835 ;
1999 з 6403
-z -
295
3835
xz
yz2 —
1152 5 108 з 2556
:Z — rrrZ +
3835
295
3835
з 2 9216 5 906 з 2562
T + yz - v z -i z z
У у 3835 295 3835 '
У z-
6912
3835"
827
3839
3835
з 576 6 1605
yz3 -yz- —z6
z,
453
59
z7_lZ6b
655
11
1152
На первый взгляд этот набор полиномов выглядит чудовищно. (Ко*1
эффициенты элементов базиса Грёбнера могут быть гораздо слож-»
нее, чем коэффициенты элементов исходного базиса.) Однако мь||
видим, что последний полином зависит только от z. Мы «исклю-1
чили» другие переменные в процессе вычисления базиса Грёбнера.|
Волшебным образом этот последний полином имеет совсем проста
корни
z = 0, ±1, ±2/3,
Последовательно подставляя эти значения в оставшиеся уравнения,!
мы можем решить их относительно х и z (и относительно А также,!
хотя значения А нам не нужны). Итак, мы получаем следующий!
список решений: А
z = 0' у = 0' х = ±1
2 = 0; у = ±1; х = 0.
z = ±1- у = 0' х = 0
z = 2/3; у = 1/3; х = -2/3.
z = -2/3; у = -1/3; х = -2/3.
z = л/1Т/8л/2; у = -Зч/П/8л/2; х = -3/8.
z = —/ГГ/8\/2; у = ЗУП/8\/2; z = -3/8.
Теперь легко найти минимальное и максимальное значение функ>»
ции.
Примеры 2 и 3 показывают, что вычисление базиса Грёбнера
по отношению к lex-упорядочению существенно упрощает форму
уравнений. В частности, мы получаем уравнения с последователь-
последовательно исключенными переменными. Следует отметить, что порядок ис-
исключения соответствует порядку переменных. В примере 3, напри-
например, переменные упорядочены так: А > х > у > z, и, если взглянуть
на базис Грёбнера B), то можно увидеть, что переменная А исклю-
исключается первой, х — второй и т. д.
Системы такого вида легко решаются, особенно если последнее
уравнение зависит только от одной переменной. Мы можем исполь-
использовать технику вычисления корней полиномов от одной перемен-
переменной, а затем подставлять найденные корни в другие уравнения си-
системы и решать их относительно других переменных (как в приме-
примерах 2 и 3). Читателю следует обратить внимание на сходство меж-
между этой процедурой решения полиномиальных систем и методом
«обратной подстановки» для решения линейных систем с треуголь-
треугольной матрицей.
Исключение переменных при решении полиномиальных систем
будет подробно изучаться в гл. 3. В частности, мы увидим, почему
lex-упорядочение приводит к базису Грёбнера с последовательно
исключенными переменными.
Задача нахождения неявного представления
Пусть параметрические уравнения
C)
Хп = fn(tl, ¦ ¦ ¦ ,tm)
определяют подмножество аффинного многообразия V С kn. ^ Как
будет показано в гл. 3, это именно так и происходит, если /; явля-
являются рациональными функциями от t\,..., tm. Как найти полино-
полиномиальные уравнения от Х{, которые задают VI Эта задача также
может быть решена с использованием базисов Грёбнера, хотя пол-
полное доказательство будет дано только в гл. 3.
Для простоты мы ограничимся случаем, когда fi являются по-
полиномами. Рассмотрим аффинное многообразие в кт+п, опреде-
1' Поскольку само пространство кп тоже является аффинным многообразием,
смысл этого предложения нуждается в уточнении (ср. определение 1 в § 3 гл. 1).
Читатель найдет его в гл. 3.— Прим. ред.

132
Гл. 2. Базисы Грёбнера
ленное уравнениями C), или
xi-fi(h,...,tm) = 0,
Хп ~ fn(tl,-.-,tm) =0.
Теперь мы должны исключить t\,..., tm из этих уравнений, что и
даст нам уравнения для V.
Примеры 2 и 3 подсказывают нам, что разумно использовать ба-
базис Грёбнера для исключения переменных. Мы будем использовать
lex-упорядочение в k[t\,..., tm, Х\,..., хп], заданное следующим по-
порядком переменных:
Теперь предположим, что мы знаем базис Грёбнера идеала / =
(a;i — /i,..., хп — /п). Так как мы используем lex-упорядочение, то
можно ожидать, что базис Грёбнера содержит полиномы с исклю-
исключенными переменными, причем t\,...,tm исключаются первыми,
так как они являются наибольшими переменными в нашем моно-
миальном упорядочении. Таким образом, базис Грёбнера для / дол-
должен содержать полиномы, зависящие только от х\,. ..,хп. Эти по-
полиномы и будут определять V.
Описанная выше схема будет детально проанализирована в
гл. 3, посвященной теории исключения. А теперь рассмотрим на
примерах, как работает этот метод.
Пример 4. Рассмотрим параметрическую кривую V, заданную
уравнениями
в С3. Вычислим базис Грёбнера G идеала I = (t4 - х, t3 - y,t2 — z)
по отношению к lex-упорядочению в C[t,x,y,z]. Имеем
G = {-t2 + z,ty- z2,tz -y,x- z2,y2 - z3}.
Последние два полинома зависят только от x,y,z; следовательно,
они определяют аффинное многообразие в С3, содержащее нашу
кривую V. Размерностная интуиция, о которой говорилось в гл. 1,
позволяет предположить, что эти два уравнения определяют кри-
кривую в С3 (одномерное многообразие). Теперь осталось ответить на
вопрос, совпадает ли V с пересечением двух поверхностей
х - z2 = 0, у2 - z3 = 0.
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера
133
Не может ли это пересечение содержать и другие кривые (или даже
поверхности)? Общие результаты гл. 3 позволяют утверждать, что
ответ отрицательный.
Пример 5. Рассмотрим теперь касательную поверхность скручен-
скрученной кубики в Ш.3, определенную в гл. 1. Эта поверхность задана
следующими параметрическими уравнениями:
X = t + U,
y = t2 + 2tu,
z = t3 + 3t2u.
Базис Грёбнера соответствующего идеала по отношению к lex-
упорядочению t>u>x>y>z содержит б полиномов. Только
один из них не зависит от t и и:
-D/3)x3z + х2у2 + 2xyz -
= 0.
D)
Аффинное многообразие, определенное этим уравнением, содержит
касательную поверхность скрученной кубики. Возможно, однако,
что поверхность, заданная уравнением D), строго больше, чем эта
касательная поверхность, т. е. могут существовать решения урав-
уравнения D), не принадлежащие этой касательной поверхности. Мы
вернемся к этому примеру в гл. 3.
Подведем итоги. Мы выяснили, что применение базисов Грёб-
Грёбнера и алгоритма деления полностью решает задачу принадлеж-
принадлежности идеалу. Более того, мы увидели, как можно решать системы
полиномиальных уравнений и как находить уравнения параметри-
параметрически заданных подмножеств аффинного пространства. Наш успех
в рассмотренных примерах зависел от того, что базисы Грёбнера
в случае lex-упорядочения, похоже, очень удачно исключают пе-
переменные. В гл. 3 мы докажем, что это действительно всегда так,
а также рассмотрим другие аспекты того, что называется теорией
исключения.
Упражнения к § 8
Во всех следующих упражнениях необходимо использовать систему ком-
компьютерной алгебры для вычислений (вручную большинство вычислений
проделать весьма трудно).
1- Определите, принадлежит ли полином / = ху3 — z2 + у5 — z3 идеалу
1= (-x3 + y,x2y-z).
2. Сделайте то же самое для / = x3z — 2у2 и/= (xz — y,xy + 2z2, y — z).

134
Гл. 2. Базисы Грёбнера
3. Используя методы примеров 2 и 3, найдите точки в С3, принадлежа-
принадлежащие многообразию
V(x2 + у2 + z2 - 1, х2 + у2 + z2 - 2х, 2x-3y-z).
4. Сделайте то же самое для многообразия V(x2y — z , 2xy — 4г — 1, z —
y2,x3-4zy).
5. Напомним, что в математическом анализе особой точкой диффе-
дифференцируемой функции /(х, у) называется точка, в которой обе част-
частные производные ff и |^ обращаются в нуль одновременно. Если
/ ? Щх, у], то особые точки можно найти, используя нашу технику
для решения полиномиальной системы
дх ду
В качестве примера рассмотрим функцию
f(x,у) = (х2 +У2- 4)(х2 + у2 - 1) + (х - 3/2J + (у - 3/2J.
(a) Найдите все особые точки функции f(x,y).
(b) Определите, какие из них являются локальными максимумами,
какие — минимумами, а какие — седлами. Указание: используйте
вторую производную.
6. Восстановите детали рассуждения, пропущенные в примере 5. В
частности, найдите базис Грёбнера и проверьте, что он дает (с точно-
точностью до постоянного множителя) полином из левой части равенства
D).
7. Рассмотрим поверхность S в R3, которая является объединением пря-
прямых линий, соединяющих пары точек на прямых
с одним и тем же значением параметра (т.е. t). (S относится к
классу поверхностей, называемых линейчатыми.)
(a) Докажите, что S имеет следующее параметрическое представле-
представление:
х = ut,
у = 1 — и.
z = u + t — ut.
(b) Применяя методы примеров 4 и 5, найдите (неявное) уравнение
поверхности V, содержащей 5.
(c) Докажите, что V = S (т. е. докажите, что любая точка из V опи-
описывается формулами п. (а) при подходящих значения (ии). Ука-
Указание: попытайтесь разрешить уравнение, задающее V, относи-
относительно одной из переменных.
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера
135
Иногда параметрические кривые и поверхности являются алгебраи-
алгебраическими многообразиями, хотя их параметрическое задание исполь-
использует трансцендентные функции, такие, как sin или cos. В этой за-
задаче надо доказать, что параметрическая поверхность Т, заданная
уравнениями
х = B + cos t) cos и,
у = B + cost) sin и,
z = sin t
принадлежит некоторому аффинному многообразию в R3.
(a) Нарисуйте Г. Указание: используйте цилиндрические координа-
координаты.
(b) Положите а = cos t, Ъ = sin t, с = cos u, d = sin и и перепишите урав-
уравнения поверхности в переменных а, Ь, с, d, х, у, z.
(c) Пары переменных а, Ь и с, d не являются независимыми, так как
выполняются полиномиальные тождества (основные тригономе-
тригонометрические тождества)
„2
- 1 = 0,
- 1 = 0.
Составьте систему из пяти уравнений, присоединяя уравне-
уравнения-тождества к трем уравнениям, полученным в п. (Ь). Най-
Найдите базис Грёбнера соответствующего идеала, используя lex-
упорядочение с
а>Ъ> с> d> x> y> z.
В найденном базисе должен быть один полином, который зависит
только от х, у, z. Он и задает многообразие, содержащее Т.
9. Рассмотрим параметрическую кривую К С R3, заданную следующи-
следующими уравнениями:
х = B + cos 2s) cos 3s,
у = B + cos 2s) sin 3s,
z = sin 2s.
(a) Перепишите уравнения кривой К как полиномиальные уравне-
уравнения в переменных x,y,z,a = cos s, b = sin s. Указание: используйте
тригонометрические тождества.
(b) Найдите базис Грёбнера идеала, порожденного уравнениями
п. (а) и полиномом а2 + Ь2 — 1 (как в упр. 8), и докажите, что
К является подмножеством аффинной алгебраической кривой.
Найдите неявные уравнения кривой, содержащей К.
(c) Докажите, что уравнение поверхности из упр. 8 принадлежит
идеалу, определенному в п. (Ь). Какова геометрическая интер-
интерпретация этого факта? (На самом деле можно понять это сразу,
сравнив параметрические уравнения для Т и К.)
10. Примените метод множителей Лагранжа и найдите точку s на по-
поверхности х4 + у2 + z1 — 1 = 0, ближайшую к точке A,1,1) в R3.

136
Гл. 2. Базисы Грёбнера
I 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 137
Указание: надо действовать, как в примере 3. (Возможно, вам при-
придется численно решать полученные уравнения.)
11. Пусть числа а, Ь, с удовлетворяют следующим уравнениям:
= 3
а2 + Ь2 + с2 = 5
а3 + Ъ3 + с3 = 7.
(a) Докажите, что а4 + Ь4 + с4 = 9. Указание: рассматривая о, Ь, с как
переменные, докажите, что а4 + Ь4 + с4 — 9 G (а + Ь + с — 3, а2 +
Ь2+с2-5,а3 + Ь3+с3-7).
(b) Докажите, что а5 + Ь5 4- с5 # 11.
(c) Чему равны суммы а5+Ь5+с5 и а6+Ьб+с6? Указание: вычислите
остатки1^.
§ 9. Дополнение.
Усовершенствования алгоритма Бухбергера
При разработке математического обеспечения следует обращать
внимание не только на корректность используемых алгоритмов, но
и на их эффективность. В этом параграфе мы обсудим усовершен-
усовершенствования алгоритма Бухбергера. Эти усовершенствования позво-
позволяют значительно ускорить процесс вычисления базисов Грёбнера.
Некоторые из них "реализованы в системах компьютерной алгебры.
В конце параграфа мы вкратце рассмотрим задачу о сложности
алгоритма Бухбергера. Хотя эта задача активно исследуется, окон-
окончательных результатов пока не получено.
Первая группа изменений алгоритма имеет отношение к теоре-
теореме 6 § 6 о том, что базис идеала G является базисом Грёбнера, если
S{f, д) =0 для всех f,g ? G. В § 7 показано, что именно этот
результат является «ядром» алгоритма Бухбергера. Следователь-
Следовательно, один из способов улучшить алгоритм — это уменьшить количе-
количество рассматриваемых S-полиномов S(f,g). Выполненные вручную
примеры показали нам, что деление — необходимая процедура при
анализе S-полинома — это наиболее трудоемкая в вычислительном
отношении часть алгоритма. Поэтому желательно уменьшить ко-
количество делений.
Чтобы понять, какие S-полиномы могут не рассматриваться,
нам сначала нужно понять, что это значит —иметь нулевой оста-
остаток от деления.
Определение 1. Пусть задано мономиальное упорядочение и мно-
множество G = {gi,..., 9s} С k[xi,...,xn]. Функция / € k[xi,..., хп]
называется редуцируемой к нулю по модулю G (запись / -*а 0),
если / может быть представлена в виде
/ = ai9i -) \-asgs,
причем multideg(/) > multideg(сцдг), если (цд, ф 0.
Следующая лемма проясняет связь между определением 1 и ал-
алгоритмом деления.
Лемма 2. Пусть G = (gi,. ¦¦ ,gs) -упорядоченное множество
элементов из к[хх,... ,хп], и пусть дана функция f e k[xi,... ,хп].
Тогда если fG = 0, то f -*g 0, хотя обратное, как правило, не-
неверно:
Доказательство. Если fG — 0, то из алгоритма деления следу-
следует, что
/ = aiffi + • • ¦ + asgs + 0,
и по теореме 3 § 3
multideg(/) >
^Читателю стоит вернуться к этому упражнению после прочтения гл. 7,
заметив, что ап + Ьп + сп является симметрическим полиномом от а,Ь,с для
любого п.— Прим. ред.
если aigi ф 0, т. е. / ->g 0. Чтобы показать, что обратное утвержде-
утверждение не всегда выполняется, снова рассмотрим пример 5 из § 3. Если
мы поделим / = ху2 - х на G = (ху + 1,у2 - 1), то получим
ху2 - х = у ¦ {ху + 1) + 0 ¦ (у2 - 1) + {-х - у),
так что fG = -х - у ф 0. С другой стороны,
ху2 - х = 0 • (ху + 1) + х ¦ (у2 - 1),
а так как
multideg(z?/2 - х) > multideg(:r • (у2 - 1))
(на самом деле эти мультистепени равны), то / ->о 0. П
Теперь, используя определение 1, дадим более общую формули-
формулировку критерия из теоремы б § 6.
Теорема 3. Базис G = {gi,-.,gs} идеала I является базисом
Грёбнера в том и только том случае, когда S(gi,gj) —*g 0 для
всех i ф j.
Доказательство. Напомним, что в теореме б § 6 условие форму-
Q
лировалось так: S(gi,gj) = 0 для всех г ф j. Но если мы внима-
внимательно проанализируем ее доказательство, то увидим, что мы ис-
использовали только следующее свойство S-полиномов:
S(9j,9l) =
х=1

138
Гл. 2. Базисы Грёбнера
9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 139
где
< multideg(S(gj,
т.е.
(см. формулы F) и G) из § 6). Но это в точности означает, что
S(gj,gi) ->g 0. Теорема доказана. ?
Из леммы 2 следует, что теорема б из § 6 является частным слу-
случаем теоремы 3. Чтобы использовать теорему 3 для усовершенство-
усовершенствования алгоритма, нам надо убедиться, что некоторые S-полиномы
«автоматически» редуцируемы к нулю.
Предложение 4. Пусть дано конечное множество G С к[х\,...,
xn], u пусть f,g € G таковы, что
LCM(lm(/),lm($)) = lm(/) • ш(р),
т. е. старшие мономы полиномов fug взаимно просты. Тогда
S(f,g) ->g 0.
Доказательство. Предположим для простоты, что lc(/) =
Lc(g) = 1. Тогда / = lm(/) + р, g = hu(g) + q. Из условия пред-
предложения следует, что
p-9
A)
B)
= g- f -q- f - f -g
= p-g-q-f.
Мы утверждаем, что
multidegE(/,5)) = max(multideg(p •p),multideg(g •
Из A) и B) следует, что S(f,g) ->g 0. Докажем B). Для этого за-
заметим, что в полиноме р ¦ g - q ¦ f из A) старшие мономы полиномов
р ¦ g и q ¦ / различны и, следовательно, не могут сократиться. Дей-
Действительно, если бы они были одинаковыми, то выполнялось бы
равенство
ьм(р) • LM(p) = ьм(д) • lm(/).
Ho lm(/) и lm(#) взаимно просты, а следовательно, Lu(g) делит
lm(q). Но это невозможно, так как ьм(#) > ш(д). О
Рассмотрим пример. Пусть G = {yz + z, х3 +y, z4) и используется
grlex-упорядочение в k[x,y,z]. Тогда
S(x3+y,z4)->G0
по предложению 4. Однако применение алгоритма деления дает
S{x3 + у,zl) = yzl = {z3 -z2 +z- \){yz + y) + y,
= у ф 0.
Этот пример объясняет, почему полезно определение 1: предложе-
предложение 4 становится ошибочным, если мы потребуем равенства нулю
остатка от деления.
Отметим также, что предложение 4 позволяет усовершенство-
усовершенствовать теорему 3: нам достаточно проверять условие S{gi,gj) ->g 0,
i<j, только в тех случаях, когда LM(pj) и Ш(<?_,¦) не взаимно просты.
Прежде чем применять предложение 4 для повышения эффектив-
эффективности алгоритма Бухбергера, обсудим еще один способ улучшить
теорему 3.
Постараемся лучше понять, какую роль играют S-полиномы в
доказательстве теоремы б § б. Назначение S-полиномов — реали-
реализация сокращения старших членов. Это означает, что нам нуж-
нужно изучить процесс сокращения в большей общности. Для это-
этого мы вводим понятие сизигии старших членов множества F =
{/ь •••,/«}• Это понятие использовалось в астрономии, чтобы обо-
обозначить расположение на одной прямой трех планет или других
небесных тел. Корнем термина является греческое слово, означа-
означающее «упряжь». Астрономическая сизигия означает, что планеты
«запряжены вместе», математическая сизигия — что вместе «запря-
«запряжены» полиномы.
Определение 5. Пусть F = (/i,..., /s). Сизигией старших членов
LT(/i)j • • • > lt(/s) называется s-набор полиномов 5 = {h\,..., hs) ?
{k[xi,...,xn])s, такой, что
Мы будем обозначать через S(F) подмножество в (k[xi,... ,хп])$,
состоящее изо всех сизигий старших членов набора F.
В качестве примера рассмотрим F = (х,х2 + z,y + z) с lex-
упорядочением. Тогда 5 = (-х + у, 1, -х) € (k[x,y, z]K является
сизигией из S(F), так как
(-х + у) ¦ lt(z) + 1 ¦ LT(x2 + z) + (-х) ¦ VT(y + z) = 0.
Обозначим через et набор @,... ,0,1,0,... ,0) € (k[xi,... ,xn})s,
где единица стоит на г'-м месте. Тогда сизигия 5 ? S(F) может быть
записана в виде 5 = ?)i=i /це;. Как пример использования этих
обозначений рассмотрим сизигии, порожденные S-полиномами. А
именно, рассмотрим пару {/;,/j} С F, где г < j, и пусть х~! — наи-

140 Гл. 2. Базисы Грёбнера
меньшее общее кратное старших мономов ft и /,. Тогда
C)
является сизигией старших членов набора F. На самом деле термин
S-полином — это аббревиатура термина «полином сизигии» (syzygy ;
polynomial).
Легко проверить, что множество сизигий замкнуто относитель-
относительно покоординатного сложения и покоординатного умножения на!
полиномы (упр. 1). Особенно хорошим свойством множества S(F)
является то, что оно имеет конечный базис, т. е. существует конеч-
конечный набор сизигий, такой, что любая сизигия является линейной jj
комбинацией базисных сизигий с полиномиальными коэффициен-]
там и.
Прежде чем доказывать это утверждение, нам нужно больше |
узнать о структуре множества S(F). Сначала дадим определение]
однородной сизигии.
Определение 6. Элемент 5 € S(F) называется однородным мулъ- \
тистепени а, где а €
>0,
если
5 =
, с.х"
где а ? к и a(i) + multideg(/i) = а при с* ф 0.
Легко видеть, что сизигия Бц из формулы C) однородна муль-
тистепени 7 (упр. 4). Мы можем представить любую сизигию как|
сумму однородных.
Лемма 7. Каждый элемент из S(F) единственным образом
жет быть разложен в сумму однородных сизигий из S(F).
Доказательство. Пусть 5 = (hi,..., hs) € S(F). Зафиксируем век-j
тор а € Z"o, и пусть hia —член полинома hi (если он существует),!
такой, что hiafi имеет мультистепень а. Тогда 53*=1 ^«a LT(/«) = 0>|
так как /i{aLT(/j),l < i < s,— это все члены мультистепени а
Yfi=i hi LT(/i) = 0. Тогда Sa = (hia,..., hsa) является однородным]
элементом в S(F) мультистепени а и 5 = ^а^а-
Доказательство единственности мы оставляем читателю|
(упр. 5).
Теперь мы можем доказать, что 5^- образуют базис всех сизигий!
старших членов.
§ 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 141
Предложение 8. Если F = (fi,...,fa), mo каждая сизигия 5 €
S(F) может быть представлена как сумма,
5 =
где Uij ? k[xi,... ,хп], а сизигии 5у определены в C).
Доказательство. По лемме 7 мы можем считать 5 однород-
однородной сизигией мультистепени а. Тогда 5 имеет по меньшей мере
две ненулевых компоненты, например CiXa^ и CjXa^\ i < j, и
a(i) + multideg(/j) = a(j) + multideg(/j) = а. Из этого следует, что
х1 = LCM(LM(/i),LM(/j)) делит ха. Так как
то г-я компонента сизигии
равна нулю и все другие компоненты, кроме j-я, не изменились. Та-
Таким образом мы построили новую однородную сизигию, у которой
количество ненулевых компонент меньше, чем у 5. Продолжая этот
процесс, мы разложим 5 в линейную комбинацию сизигий 5^-. D
Это предложение объясняет наше замечание в § 6 о том, что
S-полиномы описывают все возможные сокращения старших чле-
членов.
Интересно отметить, что иногда базис пространства сизигий
образуют и не все Sy. Пусть, например, F = (х2у2 + z, ху2 - у, х2у +
У г), и мы используем lex-упорядочение в k[x,y,z]. Тогда
512 = A,-1,0),
513 = (l,0,-y),
S23 = @,х,-у).
Однако 5гз = 5i3 — >Si2, т.е. 5гз — лишний элемент в том смысле,
что он является линейной комбинацией 5i2 и S\3- (Здесь коэффици-
коэффициенты линейной комбинации — константы; в более общем случае эти
коэффициенты могут быть полиномами.) Пара {5x2,513} образу-
образует базис пространства сизигий. Далее в этом параграфе мы дадим
общий метод построения малых базисов множества S(F).
Теперь мы готовы дать уточненную формулировку алгоритми-
алгоритмического критерия для базисов Грёбнера.
Аеорема 9. Базис G = {gi,... ,gs} идеала I является его базисом
1 рёбнера в том и только том случае, когда для каокдого элемента

142
Гл. 2. Базисы Грёбнера
; 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 143
S = (hi,..., hs) из однородного базиса пространства сизигий S(C
выполнено следующее условие
Доказательство. Мы будем использовать схему доказательс
(и обозначения) теоремы 6 из § 6. Начинаем с представления /
5Z*=i higi, где / 6 /. Пусть т(г) = multideg(/ii#i) и S - max(m(i))
Мы выбираем такое представление / в виде линейной комбина
gi, чтобы мультистепень S была минимальной. Как и прежде,
должны привести к противоречию предположение multideg(/) < i
В силу равенства D) из § б из неравенства multideg(/) < 5 еле
дует, что полином Ylm(i)=s ьтС1»)/?» имеет строго меньшую мульти
степень. Это означает, что J2m(i)=s LT(hi) lt(^) = 0; поэтому
S=
m(i)=6
является сизигией из S(G). Отметим, что 5 —однородная сизиг
мультистепени S. Пусть Si,..., Sm — однородный базис сизигий,
условия теоремы следует, что Sj ¦ G -><з 0 для всех j. Запишем
в виде
Тогда разложение каждого Uj в сумму членов позволит нам пре
ставить 5 как сумму однородных сизигий. Но 5 — однородная си
зигия мультистепени 6; значит, из единственности представлен*
(лемма 7) следует, что мы можем игнорировать все сизигии другой
мультистепени, т. е. в D) мы можем считать, что для каждого j
или Uj = 0, или UjSj однородна мультистепени S.
Пусть Sj имеет мультистепень 7j- Если Uj ф 0, то Uj может бы
S для некоторого Cj e к. Перепишем D):'
записан в виде
= CjXS~yj
где сумма берется по тем j, для которых Uj ф 0. Скалярно умножив
это равенство на G и получим
m(i)=S
Л4)Л = 5 ¦ G = ]Г Cjxs-"Sj ¦ G.
По условию Sj ¦ G -><з 0, т. е.
Sj G =
F)
где
aij^t) < multidegEj ¦ G) G)
для всех i,j. Теперь надо заметить, что соотношения E), (б) и G)
аналогичны соотношениям E), F) и G) теоремы 6 из § 6. Далее до-
доказательство повторяет доказательство теоремы 6. Единственное,
что надо проверить, это что xs~y>Sj ¦ G имеет мультистепень < 6
(см. упр. 6). Теорема доказана. ?
Следует отметить, что теорема 6 § б является частным случаем
теоремы 9. А именно, если мы возьмем {Sij} в качестве базиса про-
пространства сизигий S(G), то анализ полиномов Sij ¦ G будет проис-
происходить точно так же, как происходил анализ S-полиномов S(gi,gj).
Чтобы использовать все возможности теоремы 9, нам надо на-
научиться строить маленькие базисы пространства S(G). Мы пока-
покажем, как, начиная с базиса {Sij : г < j}, можно систематически
исключать «лишние» элементы.
Предложение 10. Пусть G = (gi,...,gs), u пусть подмноже-
подмножество S С {Sij : 1 < i < j < s} является базисом в S(G). Кро-
Кроме того, предположим, что существуют три разных полинома
9i:9j>gi € G, такие, что
vr(gi) делит ЬСМ(ьт(ф),ьт(ф)).
Если Su,Sji € S, то S — {Sij} также является базисом в S(G).
(Если i > j, то мы полагаем Sij = Бц.)
Доказательство. Пусть для простоты г < j < I. Положим :r7ij =
LCM(lm(<7j),lm(<7j)) (x~<il и х~*>1 определены аналогично). Тогда по
условию хУи и х'1 оба делят а;7*». Мы оставляем читателю прове-
проверить, что
Предложение доказано. ?
Использование этого предложения в алгоритме построения ба-
базисов Грёбнера предполагает работу с упорядоченными парами
(м) 1 * < h и отбор нужных сизигий. Так как при работе с парами
{i, j} нам не будет заранее известно, какой из индексов больше, то
мы введем следующее обозначение:
ил
если г < j,
если i > j.

144
Гл. 2. Базисы Грёбнера
Теперь мы можем дать усовершенствованную версию алгоритма
Бухбергера.
Теорема 11. Пусть I = (Д,..., Д) — полиномиальный идеал. Его
базис Грёбнера может быть построен за конечное число шагов с
использованием следующего алгоритма:
Вход: F = (Д,...,Д)
Выход: G, базис Грёбнера идеала I = (Д,..., Д)
{инициализация}
G:=F
t := s
{итерация}
WHILE Вф% DO
Выбрать (i,j) € В
IF LCM(lt(/,-), ьт(Д)) ф LT(fi) VT(fj) AND
Kpumepuu(fi, fj, В) не выполняется THEN
f
IF S^O THEN
t := t + 1; ft := 5
G:=GU{/(}
В :=BU{(i,t)\l<i<t-l}
Здесь «критерий(Д, fj,B) выполняется», если существует неко-
некоторое I $. {i,j}, для которого пары [г,/] и [j,l] не принадлежат В и
lt(/j) делит LCM(vr(fi),vr(fj)). (Основа этого критерия — пред-
предложение 10.)
Доказательство. Основная идея алгоритма состоит в том, что В
есть список пар, которые нужно проверить. Кроме того, мы вы-
вычисляем остаток от деления только для тех S-полиномов 5(Д, fj),
которые не удовлетворяют условиям предложения 4 или предло-
предложения 10.
Докажем корректность алгоритма. Отметим сначала, что на
каждом шаге В удовлетворяет следующему условию: если 1 < г <
j < t и (i,j) g В, то
S(fiifj) ~~>G 0 или критерий (fi,fj,B) выполняется. (8)
На первом шаге условие выполнено, так как В есть множество всех
пар. Нам нужно доказать, что если (8) выполняется для некоторого
В, то оно продолжает выполняться, когда В изменяется и превра-
превращается в В'.
§ 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 145
Пусть (i,j) $. В1. Если (i,j) e В, то из описания алгорит-
алгоритма следует, что В1 = В — {(i,j)}- Теперь поймем, что происхо-
происходит на шаге, предшествующем исключению пары (i,j) из В. Если
ЬСМ(ьт(Д),ьт(Д)) = ьт(Д)ьт(Д), то S(fi,fj) -?G 0 по предло-
предложению 4, и (8) выполнено. Точно также, если критерий(Д, Д,В)
выполнен, то (8) имеет место. Предположим теперь, что оба эти
условия не выполняются. Тогда алгоритм вычисляет остаток 5 =
S(/i,/j)G. Если 5 = 0, то S(fi, fj) ->G 0 по лемме 2. Если же 5 ф 0,
то мы увеличиваем G: G' = Gli{S} и 5(Д, fj) ->g; 0 (докажите это).
Осталось рассмотреть случай, когда (i,j) $ В. Так как (8) вы-
выполняется для В, то (8) выполняется и для В' (докажите самосто-
самостоятельно) .
Теперь мы должны доказать, что G является базисом Грёбнера,
когда В становится пустым множеством. Пусть t — количество эле-
элементов в G. Обозначим через С множество, состоящее из всех пар
(г, j),l < i < j < t, таких, что критерий(Д,Д,-,.В) не выполняется,
если пара (i,j) выбрана алгоритмом. Мы утверждаем, что множе-
множество S = {Sij : (i,j) € С) является базисом пространства S{G) со
следующим свойством: 5у • G = 5(Д, fj) -><з 0 для всех S^ € S. Это
утверждение и теорема 9 докажут, что G есть базис Грёбнера.
Чтобы доказать наше утверждение, заметим, что из В = 0 сле-
следует, что (8) выполняется для всех пар (i,j), 1 < г < j < t. Значит,
S{fi, fj) -*g 0 для всех (г, j) € С. Осталось доказать, что <S является
базисом пространства S(G). Заметим сначала, что мы можем упо-
упорядочить все пары в том порядке, в каком они исключаются из В
при работе алгоритма (в упр. 10 это упорядочение подробно рассма-
рассматривается). Начнем рассматривать пары в обратном порядке, начи-
начиная с последней исключенной, и теперь будем исключать те пары
(г. j), для которых критерий(Д, fj,B) выполнялся именно на этом
шаге алгоритма. Когда эта работа будет закончена, то оставшиеся
пары — это в точности элементы из С. Покажем, что на каждом ша-
шаге этого процесса сизигии, соответствующие пока не исключенным
парам (г, j), образуют базис пространства S(G). На первом шаге это
верно, так как вначале у нас были все Sij, которые, конечно, обра-
образуют базис. Если на каком-то шаге мы исключаем (i,j), то в силу
определения условия «критерий(Д, fj,B)> существует /, такое, что
lt(/;) удовлетворяет условию LCM и [г,/], [j,l] ? В. Таким образом,
[г.1] и [j,l] были исключены из В ранее, и, значит, Su и Sji при-
принадлежат множеству, которое мы строим, так как мы двигаемся в
обратном направлении. Теперь из предложения 10 следует, что мы
по-прежнему имеем базис и после удаления S^.
Наконец, необходимо доказать, что алгоритм в некоторый мо-

146
Гл. 2. Базисы Грёбнера
мент останавливается. Как и в доказательстве теоремы 2 из § 7|
G всегда является базисом идеала, и каждый раз, когда мы уъ
личиваем G, мономиальный идеал (lt(G)) строго увеличиваете
По условию обрыва возрастающих цепей в некоторый момент (
стабилизируется, т. е. мы прекращаем добавлять новые элементы в
множество В. Начиная с этого момента, каждый цикл WHILE ...
DO исключает один элемент из В, и в конце концов мы получим
В = 0. d
Построенный нами алгоритм по-прежнему не оптимален, и су-
существует несколько способов увеличить его эффективность. Напри-
Например, при рассмотрении алгоритма деления в k[xi,..., хп] (теорема
3 из § 3) мы допускали любой порядок делителей Д ,...,/«• Однако,
расположение fi в порядке возрастания старших членов дает не-
некоторую экономию вычислительных ресурсов. Так как небольшие
vr(fi) чаще используются в алгоритме деления, то расположение:
их в начале списка делителей означает, что количество сравнений,
уменьшится. Второе замечание относится к тому шагу алгорит-
алгоритма (теорема 11), на котором мы выбираем пару (i,j) е В. Бух-
бергер в работе Buchberger A985) предположил, что выгоднее
выбирать такую пару (i,j), для которой моном LCM(LT(/i),LT(/;))
минимален. Соответствующий S-полином будет чаще выдавать не-
ненулевые остатки (т. е. новые элементы базиса Грёбнера) в начале
работы алгоритма; следовательно, повышается вероятность того,
что затем остатки S(fi,fj) будут нулевыми. Эта так называемая
стратегия нормального выбора подробно рассмотрена в работах
Becker, Weispfenning A993), Buchberger A985) и Gebauer,
Moller A988). Наконец, еще есть сахарная стратегия, которая
является усовершенствованием стратегии нормального выбора. Са-
Сахарная и ее вариант двойная сахарная стратегии рассмотрены в
работе Giovini, Mora, Niesi, Robbiano, Traverso A991).
Другая идея состоит в том, чтобы сразу получать редуцирован-
редуцированный базис Грёбнера, определенный в § 7. Для этого мы редуциру-
редуцируем G каждый раз, когда G увеличивается. Этот метод позволяет
уменьшить число S-полиномов, с которыми мы работаем. Он обсу-
обсуждается в работе Buchberger A985).
Мы закончим параграф кратким обсуждением вопроса о слож-
сложности алгоритма Бухбергера. Нетрудно придумать примеры идеа-
идеалов, когда даже наилучшие современные версии алгоритма затра-
затрачивают колоссальное время и ресурсы памяти для вычисления ба-
базисов Грёбнера. Этому есть причины:
• Степени промежуточных полиномов, генерируемых в процессе
вычисления, могут быть очень велики.
§ 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 147
• Коэффициенты элементов базиса Грёбнера могут быть очень
сложными рациональными числами, даже если исходные коэф-
коэффициенты — небольшие целые числа.
По этим причинам большое количество усилий было затрачено,
чтобы теоретически оценить верхнюю границу степеней промежу-
промежуточных полиномов в зависимости от степеней начальных элементов
базиса. С результатами этих исследований можно ознакомиться в
работах Dube A990) и Moller, Mora A984). Идея состоит в том,
чтобы понять, до каких пор сложность вычисления базиса Грёбнера
остается разумной при возрастании сложности исходного базиса.
Оценки степеней элементов базиса Грёбнера весьма велики, и
было показано, что это — неизбежное явление. Например, в работе
Mayr, Meyer A982) приведены примеры идеалов, порожденных
полиномами степени < d, когда вычисление базиса Грёбнера приво-
приводит к полиномам степени порядка 22 . При d -> со число 22 растет
очень быстро. Даже если применяется grevlex-упорядочение (ко-
(которое, как мы увидим, дает наименьший базис Грёбнера), степени
остаются очень большими. Рассмотрим, например, полиномы
xn+l - yzn~lw, xyn'1-zn, xnz-ynw.
Если используется grevlex-упорядочение с i > ^ > z > и. то Мора
(см. Lazard A983)) доказал, что редуцированный базис Грёбнера
идеала, порожденного этими полиномами, содержит полином
zn2+1x-yn2w.
Эти результаты вызвали чувство пессимизма относительно прак-
практичности метода базисов Грёбнера в целом. Дальнейшие работы
показали, однако, что в случае двух или трех переменных справед-
справедливы гораздо более разумные верхние оценки степеней (см., напри-
например, работы Lazard A983) и Winkler A984)). Более того, вре-
время работы и требуемая память гораздо меньше «в среднем» (это в
том числе относится к задачам геометрического содержания), чем в
наихудших случаях. Растет также понимание того, что вычисление
чисто «алгебраических» данных (например, примарного разложе-
разложения идеала, см. гл. 4) гораздо сложнее, чем вычисление «геометри-
«геометрических» (например, размерности многообразия, см. гл. 9). Эти во-
вопросы обсуждаются в работе Guisti, Heintz A993), а обсуждение
многообразных вопросов, связанных со сложностью вычисления ба-
базисов Грёбнера, содержится в работе Bayer, Mumford A993).
Наконец, следует отметить, что замена переменных или изме-
изменение их порядка могут радикально упростить вычисления. В ста-
статье Bayer, Stillman A987a) доказано, что в большинстве случа-
случаев grevlex-упорядочение дает базис Грёбнера с наименьшей полной

148
Гл. 2. Базисы Грёбнера
j 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера 149
степенью. С другой стороны, некоторые версии алгоритма меняв
упорядочение в ходе работы с целью получить более компактно
базис Грёбнера. Эти вопросы обсуждаются в работе Gritzmanh
Sturmfels A993).
Упражнения к § 9
1. Пусть 5= (ci,...,c) и Т = (di,...,ds) ? (к[х1,...,хп]У-сиз
старших членов набора F = (/i,..., /,).
(a) Докажите, что S + Т = (ci + di,..., cs + ds) — также сизигия.
(b) Пусть д е к[х\,..., Хп]- Докажите, что д ¦ S = (gci,..., gcs) —
же сизигия.
2. Пусть G = (<7i,..., <7s) ? (k[xi,..., xn])s. Тогда мы можем определ:
сизигию для G как s-набор S = (hi,..., h3) G (k[xi,... ,xn])s, так
что J2i h'9< = 0- (Заметим, что сизигии определялись нами ранее
набора старших членов lt(C?) = (lt(<7i), ..., ьт(д3)).)
(a) Пусть G — (х2 — у, ху — z,y2 — xz); тогда (г, —у, х) есть сиз
для G.
(b) Найдите какую-нибудь другую сизигию для G.
(c) Докажите, что если S и Т — сизигии для G, то S + Т и gS так:
являются сизигиями для G.
3. Пусть М есть п х (п-\- 1)-матрица полиномов из к[х\,..., хп\, и пус
/ — идеал, порожденный определителями всех ее n x п-подматр
(такие идеалы являются примерами так называемых детпермина
ных идеалов).
(a) Найдите 2 х 3-матрицу М, такую, что ее детерминантный иде.
2 х 2-подматриц совпадает с идеалом, заданным образующими Q§
из упр. 2.
(b) Объясните происхождение сизигии в п. (а) упр. 2 в терминах
построенной выше матрицы.
(c) Найдите общий способ построения сизигий образующих детер-
минантного идеала. Указание: найдите способ построения выро-
вырожденных (п + 1) х (п + 1)-матриц, содержащих М в качестве
подматрицы.
4. Докажите, что сизигии Sij, определенные в C), являются однород-
однородными сизигиями мулътистепени -у.
5. Завершите доказательство леммы 7, т. е. докажите, что разложение
на однородные компоненты единственно. Указание: докажите снача-
сначала, что если S = J2a S<*> гДе $'<* имеет мультистепень а, то г'-е ком-
компоненты слагаемых S'a для фиксированного г или равны нулю, или
имеют мулътистепень a —multideg(/i), и, следовательно, они различ-
различны для различных а.
6. Пусть 5,- —однородная сизигия мультистепени -)j в S(G). Докажите,
что Sj ¦ G имеет мультистепень < л. Из этого следует, что Xs '¦> Sj ¦ G
имеет мультистепень < 8 — результат, необходимый нам для доказа-
доказательства теоремы 9.
7. Завершите доказательство предложения 10, доказав формулу, выра-
выражающую Sij через Su и Sji.
8. Пусть G — конечное подмножество в к[х\,... ,хп] и / ? (G). Пусть
/° = г yt 0. Докажите, что / —>G/ 0, где G' = G U {г}. Этот факт
использовался в доказательстве теоремы 11.
9. В доказательстве теоремы 11 мы использовали следующий факт: для
любого значения В, если 1 < i < j <t и (i,j) ? В, то условие (8) вы-
выполняется. Чтобы доказать это, мы рассуждали следующим образом:
мы предполагали справедливость утверждения для некоторого В и
доказывали, что справедливость сохраняется, когда В превращается
в В'. Случай, когда (i,j) ? В', но (г, j) G В, был подробно разобран в
тексте. Осталось рассмотреть случай, когда (г, j) ? BUB'. Докажите,
что и в этом случае (8) выполняется для В'. Указание: (8) выполня-
выполняется для В. Нужно рассмотреть два случая: когда В1 больше В и
когда В' меньше В. В последнем случае В' = В — {(fc,Z)}, причем
{k,l)*(i,j).
10. В этом упражнении мы рассмотрим упорядочение на множестве
{(i,j) ¦ 1 < г < j < t}, описанное в доказательстве теоремы 11. Пусть
В = 0; напомним, что t — это размер базиса G в момент остановки
алгоритма.
(a) Докажите, что любая пара (г, j), 1 < г < j < t, принадлежала В
на каком-то шаге.
(b) Используйте п. (а) и условие В = 0 для объяснения, как упо-
упорядочиваются все пары в соответствии с порядком их удаления
из В.
П. Пусть /i = х3 — 2ху, /г = х2у — 2у2 + х и используется grlex-
упорядочение. Эти полиномы рассматривались в упр. 1 из § 7, где
алгоритм Бухбергера использовался для построения базиса Грёбне-
Грёбнера. Решите эту задачу с использованием алгоритма теоремы 11, в
частности, укажите, сколько раз вам пришлось применять алгоритм
деления.
12 Рассматриваются полиномы
х»+1-„гп-1«,, xy"-l-zn, xnz-ynw,
и используется grevlex-упорядочение ci>y>z>w. Мора
(см. Lazard A983)) доказал, что редуцированный базис Грёбнера
содержит полином
z^-y"\.
Докажите, что это так, когда п = 3,4, 5. Сколько элементов содержат
базисы Грёбнера в этих случаях?

150
Гл. 2. Базисы Грёбнера
13. В этом упражнении на примерах мы рассмотрим, как порядок членовJ
влияет на размер базиса Грёбнера и сложность его вычисления. ;
(a) Найдите базис Грёбнера идеала. I = (x5+y4+z3-l,x3+y2+z2-l),
используя lex- и grevlex-упорядочения с х > у > z. Возможно, вам
трудно будет заметить различие во времени вычисления, но вы
заметите, что базис Грёбнера заметно проще в grevlex-случае.
(b) Найдите базис Грёбнера идеала /= (xb+yA+z3 — 1, x3+y3+z2 —1),
используя lex- и grevlex-упорядочения с х > у > z. Этот пример
отличается от предыдущего в одном члене, но базис Грёбнера
в lex-случае оказывается много хуже (один из полиномов имеет
282 члена, полная степень равна 25, а наибольший коэффициент
равен 170255391). Это, конечно, зависит от компьютера и версии
алгоритма, но вычисление в lex-случае может быть очень долгим.
(c) Пусть / = (х4 — yz2w,xy2 — z3,x3z — y3w) — идеал из упр. 12,
где п = 3. Используя lex- и grevlex-упорядочения с х > у >
z > w, покажите, что базисы Грёбнера в обоих случаях совпа-
совпадают. Так что grevlex-упорядочение не всегда лучше, чем lex-
упорядочение, но на практике рекомендуется использовать имен-
именно grevlex-упорядочение, когда это возможно.
3
Теория исключения
В этой главе мы рассмотрим методы, позволяющие исключать пере-
переменные в системах полиномиальных уравнений. Основы стратегии
исключения будут сформулированы в двух теоремах: теореме об
исключении и теореме о продолжении. Мы докажем их, используя
базисы Грёбнера и классическую теорию результантов. Геометри-
Геометрический смысл исключения будет описан в теореме о замыкании.
Из многих приложений теории исключения два мы рассмотрим по-
подробно: задачу неявного представления и задачу об огибающей се-
семейства кривых.
§ 1. Теоремы об исключении и продолжении
Чтобы понять, как работает процедура исключения, рассмотрим
пример, аналогичный тому, который рассматривался в конце гл. 2.
Мы будем решать систему уравнений
у + z = 1,
A)
Пусть
х + у2 + z = 1,
x + y + z2 - 1.
/= (х2 + у + z - 1,х + у2 + z - 1,х + у + z2 -1). B)
Тогда базис Грёбнера этого идеала по отношению к lex-упорядоче-
lex-упорядочению состоит из четырех полиномов
gi = x + y + z2 -I,
92= У2 -у-
z,
-z2
C)
Системы A) и C) имеют одинаковое множество решений. Но так
как
д4 = ze - 4z4 + 4z3 - z2 = z2(z - \J{z2 +2z-l)

152
Гл. 3. Теория исключения
§ 1. Теоремы об исключении и продолжении
153
зависит только от z, то возможными значениями z могут быть
только корни полинома #4, т.е. 0,1 и -1 ± у/2. Подставляя их в
й=!/2-!/-г2 + 2 = 0ивй = 2yz2 + z4 - z2 = 0, мы можем
определить возможные значения у. А затем д\ = х + у + z2 — 1 = 0
позволит определить х. Таким образом, мы получаем, что система
A) имеет в точности 5 решений:
A,0,0), @,1,0), @,0,1),
(-1 + 72,-1 + 72,-1 + 72),
(-1-72,-1-72,-1-72).
Как же нам удалось решить систему? Наш успех стал возмож-
возможным по двум причинам:
• (Шаг исключения) Мы смогли найти следствие д$ = z6 - iz4 +
4z3 - z2 = 0 исходных уравнений системы, которое зависит толь-
только от z, т.е. мы исключили х и у из системы уравнений.
• (Шаг продолжения) Как только мы нашли решения простого
уравнения д4 = 0, т. е. нашли значения z, то смогли продолжить
эти решения до решений исходных уравнений.
Основная идея теории исключения состоит в том, что и шаг ис-
исключения, и шаг продолжения должны рассматриваться в боль-
большей общности.
Посмотрим, как работает шаг исключения. Тот факт, что #4 за-
зависит только от z, означает, что
где идеал / задан равенством B). На самом деле множество / П
C[z] состоит из всех тех следствий исходных уравнений, которые не
зависят от х и у. Обобщая это наблюдение, приходим к следующему
определению.
Определение 1. Пусть дан идеал / = (fi,...,fs) С к[хг,.. .,х„].
Тогда 1-м исключающим идеалом Ii называется идеал в
k[xi+i,...,xn], равный
Другими словами, /; состоит из всех следствий системы /j =
¦ • ¦ = fs = 0, которые не зависят от переменных х\,..., zj. В упраж-
упражнениях мы проверим, что ij в самом деле является идеалом в
k[xi+i,... ,хп]. Отметим, что / = 10 является нулевым (по номеру)
исключающим идеалом. Также отметим, что изменение порядка пе-
переменных приводит к другим исключающим идеалам.
На этом языке исключение переменных х\,... ,xi означает нахо-
нахождение ненулевых полиномов в 1-м исключающем идеале /j. Таким
образом, решение шага исключения означает предъявление проце-
процедуры построения элементов из //. При правильном упорядочении
базисы Грёбнера сразу решают эту задачу.
Теорема 2 (теорема об исключении). Пусть I С k[xi,.. .,xs] —
идеал и G — его базис Грёбнера по отношению к \ех-упорядочению
с х\ > Х2 > ¦ ¦ ¦ > хп. Тогда для любого 0 < I < n множество
d =GDfc[a;/+i,...,a;n]
является базисом Грёбнера 1-го исключающего идеала 1\.
Доказательство. Зафиксируем I в интервале между 0 и п. Так
как Gi С /; по построению, то достаточно доказать, что
(LT(J«)> = (LT(Gj))
(по определению базиса Грёбнера). Включение в одну сторону оче-
очевидно. Для доказательства другого включения (lt(/j)} С (lt(G;))
нам достаточно доказать, что старший член lt(/), где / — произ-
произвольный полином из //, делится на некоторый старший член Lt(^),
»е G,.
Докажем это. Отметим сначала, что / принадлежит также и /,
т. е. lt(/) делится на lt((?) для некоторого g € G (так как G является
базисом Грёбнера идеала /). Так как / € /;, то lt((?) содержит толь-
только переменные a;;+i,. ¦ ¦ ,хп. Теперь решающее замечание: так как
используется lex-упорядочение с Xi > ... > хп, то любой моном, со-
содержащий хотя бы одну из переменных xi,..., xi, больше всех моно-
мономов из k[xi+i,... ,хп]. Поэтому из включения ьт((?) € k[xi+\,... ,хп]
следует, что g € k[xi+i,..., хп]. Значит, g?Gi. Теорема доказана. ?
В качестве примера использования этой теоремы вернемся к сис-
системе A) из начала параграфа. Здесь I = (х2 + у + z - 1, х + у2 +
z -l,x + y + z2 — 1), а базис Грёбнера для lex-упорядочения указан
в C). Из теоремы об исключении следует, что
h =lnC[y,z) = (y2-y-z2 + z,2yz2 + z*- z2,z6 - Az*+Az3 - z2),
h=ln C[z] = (z6 - 4z4 + 4z3 - z2).
To есть использование полинома g4 = z6-iz4+Az3-z2 — это наилуч-
наилучший (а не какой-то случайный) способ исключить х и у из системы
(все другие полиномы, исключающие х и у, кратны 54)-
Теорема об исключении показывает, что базис Грёбнера в
случае lex-упорядочения исключает не только первую перемен-
переменную, но первые две переменные, первые три переменные и т.д.

154
Гл. 3. Теория исключения
В некоторых случаях (как в случае задачи неявного представ-
представления, которая будет рассмотрена в § 3) нам нужно исклю-
исключить не все, а только некоторые переменные. Здесь примене-
применение базиса Грёбнера для lex-упорядочения переусложняет ре-
решение. В частности, это связано с тем, что вычисление ба-
базиса в lex-случае может привести к очень неприятным по-
полиномам (см., например, упр. 13 § 9 гл. 2). В упражнени-
упражнениях мы рассмотрим другие формулировки теоремы об исклю-
исключении, которые используют более эффективные упорядочения,
чем lex.
Теперь рассмотрим шаг продолжения. Пусть дан идеал / С
k[xi,... ,хп]. Аналогично тому, как это делалось в гл. 2, мы будем
рассматривать аффинное многообразие
V(I) = {(ai,...,an) е к" : f(a1,...,an) =0 для всех f € I}.
Как найти все его точки? Основная идея — строить решения, опре-
определяя одну координату за другой. Пусть 1 < I < п. Рассмот-
Рассмотрим исключающий идеал /;. Точка (щ+i,. ¦ ¦ ,щ) ? V(/j) называ-
называется частичным решением исходной системы. Чтобы продолжить
(a;_|_i,..., ап) до полного решения системы, нам сначала нужно до-
добавить одну координату. Это означает, что надо найти щ такое, что
(а,,... ,ап) € V(/,_i). Точнее, пусть /,_i = (glt.. .,дг) С k[xh... ,хп].
Нам нужно найти решения xi = а; системы уравнений
§ 1. Теоремы об исключении и продолжении
155
,... ,а„) = ... =
,... ,а„) = 0.
Так как здесь мы работаем с полиномами от одной переменной xi,
то а; является корнем наибольшего общего делителя этих г поли-
полиномов.
Это рассуждение позволяет сформулировать основную пробле-
проблему: приведенные выше полиномы могут не иметь общего корня, т. е.
может существовать частичное решение, не имеющее продолжения
до полного. В качестве примера рассмотрим систему
ху = 1,
xz = 1.
D)
Здесь / = (ху — l,xz — 1), и из теоремы об исключении следует,
что у — z порождает первый исключающий идеал 1\. Частичные
решения описываются формулой (а, а) и все они продолжаются до
полного решения A/а, а, а), кроме частичного решения @,0). Рас-
Рассмотрим геометрию этого явления. Уравнение у = z задает плос-
плоскость в трехмерном пространстве. Многообразие D) — гипербола,
лежащая в этой плоскости:
14—плоскость у — z
Z
<—решения
<—частичные
I решения
I
I
Очевидно, что многообразие, определенное уравнениями D), не
имеет точек, лежащих над частичным решением @,0). Подобные
рисунки будут подробно рассматриваться в § 2, где будет излагать-
излагаться геометрическая интерпретация исключения. Теперь наша цель —
понять, как определить заранее, какие частичные решения могут
быть продолжены до полного.
Ограничимся случаем исключения первой переменной xi, т. е.
мы хотим узнать, может ли частичное решение (аг,..., ап) € V(ii)
быть продолжено до решения (ai,a2,... ,а„) € V(J)? Следующая
теорема отвечает на этот вопрос.
Теорема 3 (теорема о продолжении). Пусть I = (/i, ••-,/«) С
C[xi,... ,xn], u пусть 1\ — первый исключающий идеал для I. Для
каждого 1 < г < s запишем fi в виде
/г = 9i{x2, ¦ ¦ ¦ ,хп)х^{ + члены, содержащиех\ в степени < Ni,
где Ni>0, a gi € С[а;г,. ¦., хп] — ненулевые полиномы. Рассмотрим
частичное решение (а,2,...,ап) € V(/i). Тогда если (а,2,...,ап) $.
i,.. -,gs), то существует ai € С, такое, что (ai,a2).. .,an) €
Доказательство этой теоремы использует теорию результантов и
будет дано в § 6. В оставшейся части параграфа мы объясним смысл
теоремы о продолжении и обсудим некоторые следствия из нее. Гео-
Геометрическая интерпретация теоремы будет рассмотрена в § 2.

156
Гл. 3. Теория исключения
§ 1. Теоремы об исключении и продолжении
157
Отметим сначала, что теорема формулируется для поля к = С.
Чтобы понять почему, положим к = Ш. и рассмотрим систему
х2 = у,
x2=z.
E)
Исключая х, получаем у = z, т.е. (а,а) является частичным ре-
решением для всех aGi Так как старшие коэффициенты по а; в
х2 - у и х2 - z не обращаются в нуль, то теорема о продолжении
гарантирует продолжаемость решений (а, а) при условии, что мы
работаем над С. Над Ж ситуация иная. Уравнение х2 = а не имеет
вещественных решений, если а отрицательно, т. е. только частичные
решения с a > 0 продолжаются до вещественных решений системы
E). Этот пример показывает, что теорема о продолжении не имеет
места над R.
Теперь рассмотрим условие (а2,... ,ап) ? V{gi,.. ¦ ,gs). Напом1-
ним, что gi — это старшие коэффициенты полиномов U по отноше-
отношению к переменной хх, т. е. условие (а2,..., а„) ^ V(#i ,...,gs) озна-
означает, что старшие коэффициенты не обращаются одновременно в
нуль на частичном решении. Чтобы понять необходимость этого
условия, вернемся к системе D). Эта система
ху = 1,
имеет частичные решения (у, z) = (а, а). Единственное непродолжа-
емое решение @,0) — как раз то, которое обращает в нуль старшие
коэффициенты при х (т. е.уиг). Теорема о продолжении утвержда-
утверждает, что шаг продолжения может не выполниться, если старшие
коэффициенты одновременно равны нулю.
Наконец, следует отметить, что многообразие V((?i,... ,gs), где
старшие коэффициенты gi,...,gs обращаются в нуль, зависит от
базиса {/i,..., }s] идеала /: изменяя базис идеала, мы можем изме-»!
нить V((?i,..., gs). В гл. 8 мы узнаем, как выбрать базис {/i, • • •, /«}]
так, чтобы многообразие V((?i,..., gs) стало как можно меньше. От-
Отметим также, что переход к проективному пространству (опред
ленному в гл. 8) упрощает формулировку теоремы о продолжении:
в проективном пространстве все частичные решения продолжаемы
Хотя теорема о продолжении сформулирована для случая ис-
исключения первой переменной Х\, она может применяться
исключения любого набора переменных. Рассмотрим, например,
уравнения
xyz =1.
F)
Базис Грёбнера идеала I = (х2 +у2 + z2 - l,xyz - 1) по отношению
к lex-упорядочению состоит из двух элементов
si^V + yV-yV + i,
<?2 = х + yzz + yz3 - yz.
По теореме об исключении
h =InC[y,z] = {9l),
I2 = lDC[z} ={0}.
Так как 12 = {0}, то V(/2) = С и, значит, любое с € С является
частичным решением. Теперь требуется решить следующий вопрос:
Какие частичные решения с € С = V(/2)
продолжаются до (а, Ь, с) б V(/)?
Идея состоит в пошаговом продолжении с: сначала до (Ь,с), по-
потом до (а, Ь, с). На каждом шаге теорема указывает, какие решения
продолжаются. Ключевым здесь является факт, что 12 есть первый
исключающий идеал для Д. Это очевидно для нашего примера, а
общий случай разобран в упражнениях. Применим теорему о про-
продолжении, чтобы перейти от с € V(/2) к F, с) ? V(/i), а затем к
(a,b,c) ? V(J). Тогда мы и узнаем, какие с продолжаются.
Сначала применим теорему о продолжении для перехода от 12
к ii = (pi). Старший коэффициент в #i (при у4) равен z2; поэто-
поэтому с ? С = V(I) продолжается до (Ь,с), если с ф 0. Следует отме-
отметить, что уравнение gi = 0 вообще не имеет решений при с = 0.
Следующий шаг — это переход от Д к /, т. е. поиск такого а, что
(a,b,c) e V(J). Если мы подставим (у,z) = (b,c) в F), то получим
два уравнения относительно х, причем совсем не очевидно, что они
имеют общее решение х — а. Здесь теорема о продолжении показы-
показывает свою силу. Старшие коэффициенты при х в х2 + у2 + z1 — 1
и xyz - 1 — это 1 и yz соответственно. Так как 1 не обращается в
нуль, то теорема о продолжении гарантирует существование об-
общего решения а. Мы доказали, что все частичные решения с ф 0
продолжаются до элемента из VG).
Особенно удобно применять теорему о продолжении, когда один
из старших коэффициентов — константа. Зафиксируем этот полез-
полезный случай как отдельное утверждение.
Следствие 4. Пусть I = (/i,...,/s) С С[хг,... ,хп], и пусть ft
для некоторого i имеет следующий вид:
fi = схх + члены, которые содержатху в степени < N,
где с ? С — ненулевая константа и N > 0. Пусть 1\ — первый ис-
исключающий идеал и (а2,..., ап) ? V(/i). Тогда существует ау ? С,
такое, что (аьа2,... ,а„) ? V(I).

158
Гл. 3. Теория исключения
Доказательство. Это утверждение прямо следует из теоремы о
продолжении: так как д{ = с ф 0, то многообразие V(#i,..., gs) пусто
и (а2,..., ап) ? V((?i,... ,gs) для всех частичных решений. ?
В заключение мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую
хороших решений. Пусть даны уравнения
ху=4,
Базис Грёбнера для lex-упорядочения имеет вид
gi = 16х-у2 ~у\
Полином у5 + у3 - 64, однако, не имеет рациональных корней (на
самом деле он неприводим над Q — понятие, которое будет рассма-
рассматриваться в § 4). Нам остается найти приближенные значения кор-
корней. Это можно сделать многими способами (с использованием ме-
метода Ньютона-Рафсона, например). Получаем
у = 2.21363, -1.78719 ±1.3984г или 0.680372 ± 2.26969г.
Эти значения можно подставить в <?i = 16а; — у2 — у* = 0 и найти
х. Здесь, в отличие от предыдущих примеров, мы можем найти
только приближенные решения.
Существует много интересных задач, связанных с численным
решением полиномиальных уравнений. Мы можем рекомендовать
работы Lazard A993) и Manocha A994). Читатель также может
ознакомиться с работами Сох, Little, O'Shea A998), Mignotte
A992) и Mishra A993).
Упражнения к § 1
1. Рассмотрим идеал I С k[x\,... ,хп].
(a) Докажите, что /j = I Г\ k[xi+i,... ,хп] — идеал в k[xi+i,... ,хп].
(b) Докажите, что идеал /j-|-i С fc[x;+2, • • • ,хп] является первым ис-
исключающим идеалом идеала /; С k[xi+i,... ,хп]. Это утвержде-
утверждение позволяет применять теорему о продолжении пошагово, ког-
когда исключается несколько переменных.
2. Рассмотрим систему уравнений
(a) Пусть I — соответствующий идеал. Найдите базисы идеалов I С\
к[х] и 1Пк[у].
(b) Найдите все решения системы.
(c) Какие из этих решений рациональны, т.е. принадлежат Q2?
1. Теоремы об исключении и продолжении
159
(d) Найдите наименьшее поле к, такое, что все решения принадле-
принадлежат к2.
3. Найдите все решения (х, у) G Q2 системы уравнений
х2+ху + у2=2.
Найдите все решения (х, у) G С2.
4. Найдите базисы исключающих идеалов 1\ и h идеала /, определен-
определенного уравнениями
х2+у2+г2=4,
х2+2у2=5,
xz=\.
Сколько рациональных (т. е. принадлежащих Q3) решений имеет эта
система?
5. В этом упражнении мы докажем теорему об исключении в бо-
более общей формулировке. Зафиксируем /, 1 < / < п. Мономиаль-
ное упорядочение > на к[х\,..., хп] называется упорядочением {-ис-
{-исключающего типа, если любой моном, содержащий хотя бы одну
из переменных х\,... ,xi, больше любого монома из A;[x(_|_i,...,хп\.
Докажите следующую обобщенную теорему об исключении. Пусть
I — идеал в k[xi,...,xn] и G — его базис Грёбнера по отношению
к мономиальному упорядочению /-исключающего типа. Тогда G П
к[ц+1,..., Хп] является базисом Грёбнера /-го исключающего идеала
6. Чтобы применять обобщенную теорему об исключении из упр. 5, нам
нужно знать, какие существуют упорядочения /-исключающего типа
(кроме lex). Рассмотрим два примера.
(a) Зафиксируем число 1 < / < п и определим упорядочение >; сле-
следующим образом: если a,f) G Z>0, то а >; /3, когда
Q1 + . . . + Q1 > @1+ ...+ ft ИЛИ
ац+ ...+Щ= 01+ ...+01 И Q >grevlex 0-
Это упорядочение называется 1-м исключающим упорядочением
Байера и Стиллмана (Bayer, Stillman A987b)). Докажите, что
>( является мономиальным упорядочением и упорядочением /-го
исключающего типа. Указание: если вы сделали упр. 12 § 4 из
гл. 2, то эта задача вами уже решена.
(b) В упр. 10 § 4 из гл. 2 рассматривалось произведение упорядо-
упорядочений, «смешивающее» lex- и grlex-упорядочения на различных
множествах переменных. Объясните, как определить произве-
произведение, индуцирующее grevlex-упорядочение на k[xi,..., х{\ и на
k[xi+\,...,Хп]. Докажите, что это упорядочение есть упорядоче-
упорядочение /-исключающего типа.

160
Гл. 3. Теория исключения
(с) Пусть G — базис Грёбнера идеала I С к[х\,..., хп] как для упоря-
упорядочения из п. (а), так и для упорядочения из п. (Ь). Докажите,
что G П k[xi+i,... ,х„] является базисом Грёбнера идеала /( по
отношению к grevlex-упорядочению.
7. Рассмотрим систему
t2 + x2 + y2 + z2=0,
t2 + 2х2 -ху - z2 =0,
t + y3 -z3 =0.
Мы хотим исключить t. Пусть I = (t2 + х2 + у2 + z2, t2 + 2x2 - ху -
z2,t + у3 — z3) — соответствующий идеал.
(a) Используя lex-упорядочение ct>x>y>z, найдите базис Грёб-
Грёбнера для /, а затем базис для IП к[х, у, z]. Вы должны получить
четыре полинома, один из которых имеет степень 12.
(b) Используя grevlex-упорядочение, найдите базис Грёбнера идеала
/П к[х, y,z]. Вы должны получить более простое множество из
двух элементов.
(c) Объедините базис, полученный в п. (Ь), с полиномом t + y3 — z3 и
докажите, что это объединение является базисом Грёбнера для
/ по отношению к упорядочению >i из упр. 6. Этот базис много
проще базиса, найденного в п. (а). Проверьте вычисления, если
ваша система компьютерной алгебры умеет работать с исключа-
исключающими упорядочениями.
8. При решении системы F) мы показали, что z ф 0 может быть задано
произвольно. Следовательно, z является «параметром». Определите
х и у как функции от z. Указание: решите д\ относительно у. Затем
используйте уравнение xyz = 1, чтобы найти х. Полученные вами
формулы, «параметризующие» V(/), не похожи на параметризации
из § 3 гл. 1. А именно, в гл. 1 мы рассматривали рациональные пара-
параметризации (т.е. параметризации рациональными функциями), в то
время как здесь мы получили алгебраическую параметризацию (т. е.
параметризацию алгебраическими функциями). Заметим, что х и у
неоднозначно выражаются через г.
9. Рассмотрим систему уравнений
x+Uz.
X
Пусть / С С[х, у, г] — идеал, определенный этими уравнениями.
(a) Найдите базис идеала 1\ С С[у, z] и докажите, что h = {0}.
(b) Используя теорему о продолжении, докажите, что любое частич-
частичное решение с 6 V(/2) = С продолжается до решения из много-
многообразия VG) С С3.
§ 2. Геометрия исключения
161
(c) Какие частичные решения (у, г) 6 V(/i) С R2 продолжаются до
решений из V(/) С R3? Объясните, почему ваш ответ не проти-
противоречит теореме о продолжении.
(d) Рассмотрим г как параметр (см. предыдущее упражнение). Най-
Найдите алгебраические формулы, выражающие х и у через z, т. е.
найдите «параметризацию» многообразия VG).
§ 2. Геометрия исключения
В этом параграфе мы рассмотрим геометрическую интерпретацию
теорем, доказанных в § 1. Основная идея состоит в том, что про-
процессу исключения соответствует проектирование многообразия на
подпространство меньшей размерности. Будет рассмотрена также
теорема о замыкании, которая описывает связь между частичными
решениями и исключающими идеалами. Чтобы избежать излишних
трудностей, в качестве основного поля мы выберем к = С.
Начнем с определения проекции. Пусть дано аффинное много-
многообразие V = V(/i,..., /s) С С". Для исключения первых I перемен-
переменных х\,..., Х[ мы рассмотрим отображение проекции
щ :С" -КС""',
которое вектор [а,\,..., ап) переводит в вектор (а,[+\,..., ап). При-
Применяя отображение тг* к многообразию V С С", мы получим мно-
множество ni(V) С С""'. Свяжем щ(У) с 1-м исключающим идеалом
следующим образом.
Лемма 1. Пусть // = (Д,... ,/s) П C[a;/+i,... ,хп] есть 1-й исклю-
исключающий идеал. Тогда
ir,(V)CV(I,)C
С""'.
Доказательство. Рассмотрим полином / € /;. Если (ai,... ,ап)
принадлежит V, то его значение в точке (а\,...,ап) равно нулю,
так как / € (Д,...,/,). Но / зависит только от xi+i,... ,хп; значит,
f(ai+i,...,an) = f(TTi(ai,...,an)) = 0-
Следовательно, / равен нулю во всех точках из тг;(У). ?
Как и в § 1, точки многообразия VGj) будут называться ча-
частичными решениями. Теперь мы можем описать тг;(У) следую-
следующим образом:
щ{У) = {(а/+ь • • • >ап) € V(Jj) : 3 элементы а\,... ,а; € С,
такие, что(п1, ... ,ai,ai+i,... ,ап) € V}.
Другими словами, tti(V) состоит в точности из тех частичных ре-
решений, которые могут быть продолжены до полных. Рассмотрим,

162 Гл. 3. Теория исключения
например, многообразие V, заданное системой D) из § 1:
§ 2. Геометрия исключения
163
<*>
На следующем рисунке показаны и полные, и частичные решения:
!<—плоскость у = z
«-решения
<—частичные
I решения
I
I
I стрелки f, 4-
х I означают
v vj проекцию 7Г1
Отметим, что V(/i) —это прямая у = z в yz-плоскости и что
В частности, tt\{V) не является аффинным многообразием — не-
недостает точки @,0).
Теорема о продолжении из § 1 является основным инструмен-
инструментом анализа «недостающих» точек. Теорема сформулирована толь-
только для отображения проекции тгх (т.е. для исключения х\) и дает
хорошее описание того, что происходит в этом случае. Переведем
формулировку теоремы о продолжении на геометрический язык.
Теорема 2. Пусть дано многообразие V — V(/i,...,/s) С С", и;
пусть gi определены так оке, как в формулировке теоремы о про-
продолжении из § 1. Если 1\ — первый исключающий идеал для идеала
(/ъ • • ¦ > fs), wo e C"-1 имеет место следующее равенство:
V(h) = MV) U (У(Л). ..,gs)n V(/!)),
где тт\ : С" -> С" — отображение проекции на последние п — 1
компонент.
Доказательство. Это утверждение является следствием теоремы ,
о продолжении и леммы 1. Детали доказательства мы оставляем
читателю. D
Эта теорема утверждает, что tti(V) покрывает все аффин-
аффинное многообразие V(/i), кроме, разве что, части, лежащей в
VEi,-•-,<?»)• К сожалению, остается неясным, насколько велика
может быть эта часть. Иногда V((?i,... ,gs) может быть весьма ве-
велико. Легко доказать, например, что система
{y-z)x2+xy = l,
(у — z)x2 + xz = 1
порождает тот же идеал, что и система A). Так как полиномы #i =
gi = у — z порождают исключающий идеал 1\, то геометрическая
теорема о продолжении ничего не может сказать нам о размере
7Ti(V) в этом случае.
Тем не менее мы можем сформулировать довольно сильные
утверждения о связи между щ(У) и V(/j).
Теорема 3 (теорема о замыкании). Пусть V = V(/b ..., fs) с С",
и пусть Ii есть 1-й исключающий идеал идеала (Д,..., /s). Тогда
(i) V(/;) является наименьшим аффинным многообразием, со-
содержащим ni(V) С С"~';
(ii) Если V ф 0, то существует аффинное многообразие W С
V(//), такое, что V(/j) - W С щ(у).
Доказательство. Термин «наименьшее многообразие» в п. (i)
означает «наименьшее по отношению к теоретико-множественному
включению», т. е. утверждение о том, что V(/;) — наименьшее мно-
многообразие, означает две вещи:
• 7r,(K)CV(J«);
• если Z — любое другое аффинное многообразие в Сп~', содержа-
содержащее щ (V), то V(/() С Z.
В гл. 4 мы сможем сформулировать эти два свойства так: V(/;)
является замыканием Зарисского множества тгДУ). Именно это и
дало теореме ее название. Здесь мы не сможем доказать п. (i), так
как доказательство использует теорему Гильберта о нулях. Оно бу-
будет дано в гл. 4.
Вторая часть теоремы утверждает, что, хотя тг;(У) может отли-
отличаться от V(/j), проекция заполняет «большую часть» многообра-
многообразия V(/;) в том смысле, что разность принадлежит строго мень-
меньшему аффинному многообразию. Мы докажем это утверждение в
случае 1 = 1. Доказательство в случае / > 1 будет дано в § б гл. 5.
Нашим главным инструментом будет разложение
= 7r1U(VG;b...,<;,)nV(J1))

164
Гл. 3. Теория исключения
из геометрической теоремы о продолжении. Пусть W = V(gi,...,
5s)nV(/1). Отметим, что W является аффинным многообразием по
лемме 2 из § 2 гл. 1. Из указанного разложения следует, что V(/i) —
W С it\{V), так что если W ф V(/i), то утверждение доказано. Но
система B) показывает, что равенство W = V(/i) возможно.
В этом случае нам надо так изменить уравнения, определяю-
определяющие V, чтобы W уменьшилось. Ключевым моментом здесь явля-
является следующий факт:
если W = V(/i), то V = V(f1,...,ft,g1,...,gt). C)
Это утверждение доказывается следующим образом. Прежде все-
всего, так как мы добавили уравнения, то V(/b ... ,fs,gi, ¦.. ,gs) С
V(/i,...,/s) = V. Докажем обратное включение. Пусть точка
(а\,...,ап) лежит в V. Каждый полином /» обращается в нуль ¦
в этой точке, а так как (а2,...,ап) € Ki{V) С V(h) = W, то
и полиномы gi в этой точке также равны нулю. Следовательно,
(ai,...,an) ? V(/i,... ,/s,<h,... ,<7S). Доказательство утверждения
C) закончено.
Пусть / = (Л,..., /s) - исходный идеал и 7 = (Д ,...,/„
<?i, ¦ • •, gs) ¦ Отметим, что идеалы I и I могут не совпадать, хотя мно-
многообразия, ими определяемые, совпадают (утверждение C)). По-
Поэтому и исключающие идеалы 1Х и /: также могут различаться. Но
так как У(/:) и У(Д) оба являются наименьшими многообразиями,
содержащими 7Ti(V) (п. (i) теоремы), то V(/i) = VGi).
На следующем шаге мы улучшим базис идеала /. Напомним,
что gi определены следующим образом:
Л = gi{x2, ¦ ¦ • ,a;n)^i' + члены, содержащие хх в степени < Ni,
где N{ > 0 и gi € С[х2,..., хп] — ненулевые полиномы. Положим
Для каждого г или Д = 0, или Д имеет строго меньшую степень
по Х\, чем Д. Имеем
¦^ = (Л,---, Д,0ъ- ¦• ,#«)•
Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю.
Теперь применим геометрическую теорему о продолжении к
многообразию V = V(/b..., fs,gx,... ,gs). Старшие коэффициенты
образующих теперь другие, и поэтому мы получаем другое разло-
разложение
V(I1)=V(T1)=tt1(V)UW,
§ 2. Геометрия исключения
165
где точки из W — это те частичные решения, которые обращают в
нуль старшие члены полиномов f\,..., /s, g\,..., gs.
Прежде чем продолжать доказательство, рассмотрим пример,
показывающий, что W может быть меньше, чем W. Как ив B),
пусть I = ((у — z)x2 + ху - 1, (у — z)x2 + xz - 1). Мы знаем, что
Jx = (у — z) и gi = ^2 — у - z. Поэтому W = V(/i). Теперь легко
проверить, что
7= ((у - z)x2 + ху - l,{y-z)x2 +xz- 1,у - z) =
= (ху- l,xz- 1,2/ - z).
Применяя теперь геометрическую теорему о продолжении к /, мы
видим, что W состоит из тех частичных решений, на которых у и
z обращаются в нуль, т. е. W = {@,0)}; значит, W строго меньше,
чем W = V(/i).
К сожалению, в общем случае мы не можем гарантировать, что
W окажется меньше, чем W = V(/i). Равенство W = V(h) не ис-
исключено. В этом случае мы повторяем описанную выше процеду-
процедуру. Если на каком-то шаге мы получим нечто, строго меньшее, чем
V(/j), то утверждение доказано.
Осталось рассмотреть, что происходит, когда мы всегда полу-
получаем V(/i). На каждом шаге описанной выше процедуры степень
образующих по хх уменьшается (или остается равной нулю), так
что в конце концов все образующие будут иметь степень 0 по хх. Это
означает, что V определяется полиномами из C[i2, ¦ ¦ •, хп]. Таким
образом, если (аг,.. ¦, ап) — частичное решение, то (ах, а2,.. ¦, ап) €
V для любого сц € С. Поэтому любое частичное решение продол-
продолжается, а следовательно, ni(V) = V(Ji). Но тогда п. (ii) теоремы
выполняется для W = 0 (именно здесь используется предположе-
предположение, что V ф 0). Теорема доказана. ?
Теорема о замыкании дает частичное описание множества тг; (V):
эта проекция заполняет многообразие V(/j), кроме некоторых то-
точек, лежащих в строго меньшем, чем V(//), многообразии. К со-
сожалению, эти точки не обязательно заполняют все меньшее мно-
многообразие. Точную структуру множества iti(V) можно описать сле-
следующим образом: существуют аффинные многообразия Z» С Wi С
Сп~', 1 < г < т, такие, что
Множества подобного вида называются конструктивными. Это ут-
утверждение будет доказано в гл. 5.

166
Гл. 3. Теория исключения
§ 3. Неявное представление
167
В § 1 мы рассмотрели простейший случай теоремы о продола
нии, когда один из старших коэффициентов gi является ненулеЕ
константой. В этом случае gi не могут одновременно обращатьс
в нуль в точке (а2,...,ап), и, следовательно, частичные решешщ|
всегда продолжаются до полных. Сформулируем геометрическун)|
версию следствия 4 из § 1.
Следствие 4. Пусть V = V(/i,...,/«) С С", и пусть ft для не*\
которого г имеет вид
fi = cxi + члены, содержащие х\ в степени < N,
где с € С — ненулевая константа и N > 0. Если 7\ — первый ис*
ключающий идеал, то в С" имеет место равенство
7T1(V)=V(J1),
где 7Ti — отображение проекции на последние п — 1 компонент.
Наконец, сделаем несколько замечаний об основном поле. Тео-1
рема о продолжении и теорема о замыкании (и их следствия) сфор-: \
мулированы для поля комплексных чисел С. В § 6 мы увидим, чтоз
теорема продолжения справедлива для любого алгебраически зам-1
кнутого поля А;, а в гл. 4 мы докажем то же утверждение для те- ;
оремы о замыкании.
Упражнения к § 2
1. Используя теорему о продолжении и лемму 1, докажите геометриче-
геометрическую теорему о продолжении.
2. Для системы B) проверьте, что {(у — z)x2 + xy — 1, (у — z)x2 + xz — 1) = ,
(ху — 1, xz — 1). Докажите, что у — z обращается в нуль на всех ча- \
стичных решениях из V(/i).
3. В этой задаче мы проанализируем ход рассуждений в доказательстве
теоремы 3 на примере идеала / = (/i, /2, /з), где
/i =yx3 + x2,
/2=yV+y2,
h = yx4 + x2 +y2.
(a) Найдите базис Грёбнера для I и докажите, что 1\ = (у2)-
(b) Докажите, что V(/i) = V(/i) П V{gi,92,g3), где g{ — коэффици-
коэффициенты при старших степенях переменной х в fi. В обозначениях
теоремы 3 этот результат означает, что W = V(/i).
(c) Пусть I = (/1,/2,/з,51.52,5з>- Докажите, что I ф Т, хотя VG) =
V(J). Также докажите, что V(/i) = V(/i).
(d) Используя метод теоремы 3, постройте новый базис идеала /. С
помощью этого базиса докажите, что W ф V(/i).
4. Пусть fi,gi,hi ? k[xi,..., хп], где 1 < i < s. Положим fi = /j -f gihi.
Докажите, что
Объясните, как в доказательстве теоремы 3 используется частный
случай этого результата.
5. Покажите на примере, что теорема о замыкании не справедлива для
поля R. Рассмотрите идеал
/ = {х2 + у2 + z2 + 2, Зх2 + V + 4г2 + 5).
Пусть V — V(/) и 7Ti — отображение проекции, отображающее (х, у, z)
в (У. г).
(a) В случае поля С докажите, что V(/i) = ni(V).
(b) В случае поля R докажите, что V = 0, но V(/i) —бесконечное
множество. Таким образом, если основное поле не является ал-
алгебраически замкнутым, то V(/i) может быть значительно боль-
больше, чем наименьшее многообразие, содержащее ni(V).
§ 3. Неявное представление
В гл. 1 мы показали, что многообразие V иногда может быть описа-
описано параметрическими уравнениями. Смысл задачи неявного пред-
представления состоит в преобразовании параметрических уравнений
в неявные уравнения, определяющие V. Термин «неявное представ-
представление» появился в гл. 1, где уравнения, определяющие V, были на-
названы «неявным представлением» многообразия V. Однако к точ-
точному определению того, что такое неявное представление, надо под-
подходить с известной осторожностью. Проблема состоит в том, что
параметризованной может быть только часть многообразия У —
см., например, уравнение D) из § 3 гл. 1. Поэтому в задаче не-
неявного представления требуется найти уравнения, определяющие
наименьшее многообразие V, содержащее параметризованное мно-
множество. В этом параграфе, используя теорию исключения, разви-
развитую в §§ 1 и 2, мы дадим полное решение этой задачи.
Предположим теперь, что наименьшее многообразие V найде-
найдено. Здесь сразу возникают два существенных вопроса. Первый: со-
совпадает ли параметризованное множество с У? Второй: если в V
есть незапараметризованные точки, то как найти их? Мы увидим,
что базисы Грёбнера и теорема о продолжении представляют собой
мощные инструменты для решения подобных задач.
В качестве примера рассмотрим касательную поверхность скру-
скрученной кубики в R3, определенную в § 3 гл. 1. Напомним параме-

168
Гл. 3. Теория исключения
§ 3. Неявное представление
169
трическое представление этой поверхности:
х = t + и,
y = t2 + 2tu, A)
z = t3 + 3t2u.
В § 8 гл. 2 мы доказали, что множество, параметризованное эти-
этими уравнениями, принадлежит многообразию У С Ж3, заданному
уравнением
x3z - {3/4)х2у2 - C/2)xyz + у3 + A/4)г2 = 0.
Но мы не знаем, является ли V наименьшим многообразием, содер-
содержащим касательную поверхность, т. е. в данном случае мы не мо-
можем считать решенной задачу неявного представления. Более того,
даже если У —наименьшее многообразие, мы не знаем, совпадает
V с касательной поверхностью или нет. Таким образом, даже здесь
остается еще много работы.
Рассмотрение задачи неявного представления мы начнем со слу-
случая полиномиальной параметризации
Х1 = /l (*!,-• -,tm),
Хп == /nV'l; ¦ ¦ • > *m)i
B)
где /i,...,/n являются полиномами из k[ti,...,tm]. Эта система
описывает функцию
F:km -* кп,
определенную формулой
..., *m) = (/i(ti,..., tm),..., /п(«ь..., tm)).
Тогда F(km) С kn — подмножество в fcn, параметризованное урав-
уравнениями B). Множество F(km) может не быть аффинным мно-
многообразием (примеры будут рассмотрены в упражнениях); поэто-
поэтому решить задачу неявного представления — это найти наименьшее
аффинное многообразие, содержащее F(km).
Существует следующая связь между задачей неявного представ-
представления и теорией исключения. Уравнения B) определяют аффинное
многообразие V = V(xx - /i,..., х„ - /„) С кп+т. Его точки имеют
координаты
(h,---,tm,fi(ti,. ..,tm),... ,/n(*i,.--,tm)),
т. е. V может рассматриваться как график функции F. Рассмотрим
две функции
г : кт -* кп+т,
¦кт : кп+т -* кп,
определенные следующим образом:
i(ti,... ,tm) = (t\,... ,tm,fi(ti,... ,tm),... ,/п(*1, ¦ • ¦ ,*m)
¦Km{ti,.. . ,tm,Xi,. ..,!„) = (xi,...,Xn).
Это дает следующую диаграмму множеств и отображений:
ип+гп
V _ V™
кт -A fcn
C)
Отметим, что F является композицией, F = жт о г. Легко видеть,
что г(кт) = V. Таким образом,
F(km) = 7rm(z(fcm)) = 7rm(V). D)
Можно сказать, что параметризованное множество — это проекция
графика параметризации. Теперь мы можем использовать теорию
исключения для поиска наименьшего многообразия, содержаще-
содержащего F(km).
Теорема 1 (полиномиальное неявное представление). Пусть к —
бесконечное поле и F : кт -* кп — функция, определенная поли-
полиномиальной параметризацией B). Рассмотрим идеал I = (х\ —
fi,...,xn - /„) С k[ti,...,tm,xi,...,xn], и пусть 1т = I П
к[х\,..., 2;п] есть т-й исключающий идеал. Тогда V(Jm) является
наименьшим многообразием в кп, содержащим F(km).
Доказательство. Рассмотрим многообразие V = V(J) С fcn+m.
Мы уже знаем, что V является графиком функции F : кт -* кп.
Пусть jfc = С. Так как F(Cm) = irm(V) в силу D), то по теореме
о замыкании из § 2 многообразие VGm) — это наименьшее много-
многообразие, содержащее 7rm(V). В случае к = С теорема доказана.
Пусть теперь к является подполем в С, т. е. к С С и операции
в к такие же, как в С. Такие поля всегда содержат кольцо целых
чисел Z (а также поле Q — почему?) и, значит, являются бесконеч-
бесконечными. Так как к строго меньше, чем С, то мы не можем прямо
применять теорему о замыкании. Идея состоит в замене к на С, а
потом в возвращении к к. Индекс к или С будет указывать, с каким
полем мы работаем. Таким образом, Vi(Jm)— это многообразие в
кп, a Vc(/m) — это большее множество решений в С". (Следует от-
отметить, что переход к большему полю не меняет исключающего
идеала 1т, потому что на алгоритм, вычисляющий 1т, не влияет
переход от А; к С.) Нам нужно доказать, что Vt(/m) — это наимень-
наименьшее многообразие в fcn, содержащее F(km).
Из равенства D) и леммы 1 из § 2 следует, что F(km) =
Km(Vk) С Vfc(/m). Рассмотрим произвольное многообразие Z* =
vfc(ffii--->0«) С кп, содержащее F(km). Требуется доказать, что

170
Гл. 3. Теория исключения
§ 3. Неявное представление
171
Vfc(/m) С Zk- По определению Zk полиномы gi обращаются в ну,
на Zk] значит, они равны нулю и на меньшем множестве F{km).
Это показывает, что д% о F обращаются в нуль на всем km. Но д^ —
полиномы из k[xx,..., xn], aF = (/i,,.., /n) — вектор полиномов из
k[ti,..., ?m]. Следовательно, gt о F € fc[ti,..., im].
Таким образом, gtoF — это полиномы, тождественно равные ну-
нулю на km. Но так как поле к бесконечно, то по предложению 5 из
§ 1 гл. 1 полиномы gi о F нулевые. В частности, это означает, что
<7г о F обращаются в нуль на С, а значит, gi равны нулю на F(Cm).
Следовательно, Zq = Vc(<7i,.. ¦ ,gs) С С" —многообразие, содер
щее F(Cm). Так как теорема справедлива над С, то Vc(/m) С Zq.
Отсюда следует, что Vc(/m) П кп С Zc П кп. Но это включение в
точности означает, что Vfc(/m) С Zk- Это доказывает, что Vjt(/m) —»
наименьшее среди всех многообразий в кп, содержащих F{km).
Пусть теперь к не содержится в С; тогда существует алгебра-1
ически замкнутое поле К, содержащее к, к С К (см., например,,
учебник Lang A965)). Как мы отмечали в конце § 2, теорема о за-
замыкании справедлива над любым алгебраически замкнутым полем.
Теперь осталось заменить в наших рассуждениях С на К. ?
Теорема 1 позволяет сконструировать следующий алгоритм
построения неявного представления для полиномиальной па-
параметризации: пусть даны параметрические уравнения Х{ =
fi(h,...,tm), где /i,...,/„ ? k[ti,...,tm]. Рассмотрим идеал I =
(xi — /i,..., хп — /„) и найдем его базис Грёбнера по отношению к
lex-упорядочению, где каждое U больше любого Xj. По теореме об
исключении элементы базиса, не зависящие от tj,..., tm, образуют
базис Грёбнера идеала 1т, и по теореме 1 они определяют наимень-
наименьшее многообразие в к11, содержащее параметризованное множество.
В качестве примера рассмотрим касательную поверхность скру-
скрученной кубики в К3, которая параметрически задана уравнения-
уравнениями A). Рассмотрим идеал
I - (х - t - и,у - t2 - 2tu, z-t3 - Ы2и) С M[t, и, х, у, z].
Его базис Грёбнера для lex-упорядочения с t> и> х > у > z име-
имеет вид
gx =t + u-x,
д2-и2-х2+ у,
д3 = их2 -иу-х3 + {Ъ/2)ху -
д^ = иху — uz — х2у — xz — 2у2,
дь = uxz - иу2 + x2z - A/2)ху2 - (l/2)yz,
9б = иу3 - uz2 - 2x2yz + A/2)ху3 - xz2 + E/2)y2z,
д7 = x3z - C/4)х2у2 - C/2)xyz + y3 + A/4)г2.
Теорема об исключении утверждает, что 12 = 1Г\Ш[х, у, z) = (д7), т. е.
по теореме 1 многообразие V^) решает задачу неявного представ-
представления для касательной поверхности скрученной кубики. Уравнение
д7 = 0 уже рассматривалось в начале этого параграфа, но теперь
мы знаем, что оно определяет наименьшее многообразие в К3, со-
содержащее эту касательную поверхность.
Но мы по-прежнему не знаем, совпадает ли касательная по-
поверхность с V(G7)- Чтобы понять это, мы должны проверить, ка-
какие частичные решения (x,y,z) e V(^7) = V(/2) продолжаются до
решений (t,u,x,y,z) ? V(J). Сначала мы будем работать над С,
чтобы можно было использовать теорему о продолжении. Мы сде-
сделаем два шага продолжения — на каждом шаге решение, как обыч-
обычно, продолжается на одну координату.
Пусть (x,y,z) € V(/2) = V(G7)- В §1 отмечалось, что 12
можно рассматривать как первый исключающий идеал для 1\ =
(д-2,. ¦ ¦ ,д7)- Теперь теорема о продолжении (в форме следствия 4
§2) утверждает, что (x,y,z) всегда может быть продолжено до
(и. х, у, z) e V(/i), так как 1\ имеет образующий элемент с постоян-
постоянным старшим коэффициентом при и (найдите его). На следующем
шаге мы переходим от (u,x,y,z) e V(/i) к (t,u,x,y,z) ? V(J); здесь
опять-таки следствие 4 § 2 обеспечивает продолжаемость частично-
частичного решения (gi =t + u — x имеет постоянный старший коэффициент
по t). Таким образом, мы доказали, что касательная поверхность
скрученной кубики совпадает с многообразием V{gi) в С3.
Осталось понять, что происходит над К. Если мы возьмем ве-
вещественное частичное решение (х, у, z) ? К3 уравнения д7 = 0, то,
как мы знаем, оно продолжается до полного решения (t, и, х, у, z) G
V(/) с С5. Но являются ли параметры t и и вещественными? Это
не очевидно. Однако рассмотрение базиса Грёбнера показывает, что
t а и вещественны, если (х,у,z) ? К3 (упр. 4), т.е. касательная
поверхность скрученной кубики в К3 совпадает с многообразием,
определенным уравнением
x3z - C/4):гУ - {Z/2)xyz + у3 + A/4)г2 = 0.
В общем случае на вопрос о том, совпадает ли параметризованное
множество с минимальным многообразием, ответить трудно. Каж-
Каждый случай приходится рассматривать отдельно. Но разобранный
выше пример показывает, что совместное применение базиса Грёб-
Грёбнера и теоремы о продолжении позволяет значительно прояснить
суть вопроса в каждом отдельном случае.
До сих пор мы рассматривали только полиномиальную пара-
параметризацию. Теперь будем рассматривать параметризацию, задан-
заданную рациональными функциями. Следующий пример демонстри-

172
Гл. 3. Теория исключения
рует возникающие здесь трудности:
,2
х =
w
V2
y = —,
и
z = и.
Легко проверить, что точка (х, у, z) всегда лежит на поверхнс
х2у = z3. Посмотрим, что происходит, если мы избавимся от :
нателей в системе E) и попытаемся применить теорему о
миальном неявном представлении. Мы должны рассмотреть иде
/ = (vx - и2, иу - v2, z - и) С к[и, v, х, у, z].
Легко показать (сделайте это как упражнение), что /г = /
k[x,y,z] = (z(x2y - г3)). Отсюда следует, что
V(/2)=V(^-z3)uV(z),
т.е. У(/г) не является наименьшим многообразием, содержащим
параметризованное множество. Значит, идеал / — это не то, что нам
нужно: «избавиться от знаменателей» —это слишком наивно. Что»
бы построить идеал, с которым можно работать, надо действовать
тоньше.
В общем случае рациональная параметризация задается систе-|
мой
х„ =
,- ¦ ¦ ,tm)'
fn(h, ¦ ¦ ¦ ,tm)
gn{ti,- --itm)
где fi,9i,.--,fn,9n € k[ti,...,tm]. Отображение F : кт -> к", за-,
данное системой F), не обязательно определено на всем кт, по-'
тому что знаменатели могут обращаться в нуль. Пусть W —
V(pip2---Pn) С кт; тогда
р/. i \ - //l(<b-- -,tm) fn(h,-- ¦ ,tm)
г \llt ¦ ¦ ¦ j lm) — I 77 1 T> • ¦ • > 77 7 Г
\gi{ti,...,tm) gn{ti,---,tm)
задает отображение
F : km - W -* kn.
Решить задачу неявного представления — это значит найти наи-
наименьшее многообразие в кп, содержащее F(km - W).
§ 3. Неявное представление
Диаграмма C) в нашем случае имеет вид
km - W
fcn
173
G)
Легко проверить включение i{km — W) С V(J), где J = {д\Х\ —/1(...,
дпхп — /„)—идеал, построенный «избавлением от знаменателей».
Проблема состоит в том, что V(J) не обязательно является наи-
наименьшим многообразием, содержащим i(km - W) (как, например,
в случае параметризации E), подробно рассмотренной в упражне-
упражнениях).
Чтобы избежать этой неприятности, мы изменим J с помощью
добавления лишней размерности для контроля знаменателей. Рас-
Рассмотрим полиномиальное кольцо k[y,ti,... ,tm,xi,... ,хп], соответ-
соответствующее аффинному пространству fcn+m+1. Пусть д = 9\-д2 ¦ ¦ -9п\
тогда W = V(p). Теперь рассмотрим идеал
J = (gixi -h,---,gnxn ~/n,l -gy) с k[y,ti,...,tm,xi,...,xn].
Уравнение 1 — gy = 0 означает, что знаменатели д\,- ¦ ¦ ,дп не равны
нулю на V(J). Диаграмма G) в этой новой ситуации должна быть
преобразована. Для этого рассмотрим отображения
j ; km - W -* kn+m+1,
тгт+1 : kn+m+l
заданные формулами
fc",
Mh,...,tm
g\(ti,..-,tm) ffn(
Тогда диаграмма имеет вид
f.n+m+1
V v™+1
km-W -A fcn
Как и выше, F = 7rm+i о j. Но удивительно, что j(km — W) =
V(J) в jfcn+m+1. Легко видеть, что j{km - W) С V(J)-3to
сразу следует из определений j и J. С другой стороны, если
(y,h,---,tm,xi,...,xn) e V(J), то из уравнения g(h,... ,tm)y = 1
следует, что ни один полином gi не обращается в нуль в точке
(*i,..., tm)\ значит, равенства g{(ti,..., tm)xi = fi(h,... ,tm) могут
быть разрешены относительно х<: Xi = fi(h,..., ?m)/<?i(ti, -.., tm).

174
Гл. 3. Теория исключения
Так как у = l/g(ti,... ,tm), то эта точка принадлежит множеству :
j(km - W), т.е. V(J) с j(km - W).
Теперь из равенств F = 7rm+i о j и j(km — W) — V(J) получаем
F(km -W) = 7rm+1(j(km - W)) = jrm+1(V(J)). (8) •
To есть параметризованное множество равно проекции многообра-
многообразия V(J). Как и в полиномиальном случае, теперь мы можем при-
применить теорию исключения для решения задачи неявного представ-
представления.
Теорема 2 (рациональное неявное представление). Пусть к — бес-
бесконечное поле, a F : кт - W -+ кп — функция, заданная раци-
рациональной параметризацией F). Рассмотрим идеал J — (giXi —
/i,..., gnxn - fnA-gy) Ck[y,ti,... ,tm,xi,... ,xn], где g = gi-.. .-gn,
и пусть Jm+i — JC\k[xi,..., :rn] есть (m+l)-u исключающий идеал.
Тогда V(Jm+i) —это наименьшее многообразие в кп, содержащее
F(km - W).
Доказательство. Доказательство этой теоремы повторяет дока-
доказательство теоремы 1, только нужно использовать уравнение (8)
вместо уравнения D). Единственный нетривиальный момент —это
утверждение, что полином, равный нулю на km-W, является нуле-
нулевым полиномом. Доказательство этого утверждения подробно ра-
разобрано в упражнениях. ?
Суть теоремы 2 состоит в следующем: рассмотрим рациональ-
рациональную параметризацию F), избавимся от знаменателей и добавим
уравнение (и новую переменную у), чтобы не дать знаменателям
обратиться в нуль:
Тогда исключение переменных y,ti,...,tm решает задачу неявного
представления.
Более точно можно сказать так: теорема 2 определяет алго-
алгоритм построения неявного представления в случае рациональной
параметризации. А именно, пусть ц = /</&, где /ь ди ..., /n, gn e
k[t\, ¦ ¦ ¦ ,tm]. Введем новую переменную у и рассмотрим идеал J =
(gixi-fi,..., gnxn - /„, 1 - ду), где д = д\ ... дп. Найдем базис Грёб-
нера идеала J по отношению к lex-упорядочению, где у и каждое
t{ больше любого Xj. Элементы базиса Грёбнера, не зависящие от
§ 3. Неявное представление
175
у, t\, ¦ ¦ ¦, tmi определяют в к" наименьшее многообразие, содержа-
содержащее параметризованное множество.
Посмотрим, как работает этот алгоритм, на примере параметри-
параметризации E). Обозначим через w новую переменную. Тогда
J = (vx — u2,uy - v2,z - u, 1 - uvw) С k[w,u,v,x,y,z].
Легко проверить, что J$ = JC\ k[x, y, z] = {x2y - z3), т. e. V(x2y - z3)
и есть многообразие, определенное параметризацией E). В упраж-
упражнениях мы увидим какую часть этого многообразия составляет па-
параметризованное множество.
Следует упомянуть, что на практике задачи неявного представ-
представления часто решаются с помощью результантов. Задача неявного
представления для кривых и поверхностей рассматривается в рабо-
работах Anderson, Goldman, Sederberg A984a, 1984b). В недавней
работе Canny, Manocha A993) показано, как задачи неявного
представления параметрических поверхностей могут быть решены
с использованием мультиполиномиальных результантов.
Упражнения к § 3
1. Докажите аккуратно, что в диаграмме C) F = nmoi и г(кт) — V.
2. Если к = С, то теорема 1 может быть усилена. А именно, используя
теорему о замыкании, докажите, что существует многообразие W С
V(/m), W ф V(/m), такое, что V(/m) - W С F(C").
3. Приведите пример, показывающий, что результат упр. 2 не верен над
R. Указание: t2 в вещественном случае всегда положительно.
4. В этом параграфе было доказано, что над С касательная поверхность
скрученной кубики задается уравнением
р7 = x3z - C/4)жУ - C/2)xyz + у3 + A/4J2 = 0.
Мы хотим доказать, что то же самое верно над R. Пусть (х, у, z) — ве-
вещественное решение этого уравнения. Тогда мы доказали (используя
теорему о продолжении), что существуют t,u € С, такие, что
х = t + u,
y = t2 + 2tu,
z = t3 + 3t2u.
С использованием базиса Грёбнера (приведенного в тексте), докажи-
докажите, что t и и вещественны. Это докажет, что точка (х, у, z) лежит на
рассматриваемой касательной поверхности в R3. Указание: докажите
сначала вещественность и.

176
Гл. 3. Теория исключения
5. В задаче о касательной поверхности скрученной кубики докажите,
что параметры t и и однозначно определены параметрами х, у, z. Ука-
Указание: используйте метод упр. 4.
6. Пусть S — параметрическая поверхность, заданная системой
х = uv,
У = чД
z = v2.
(a) Найдите уравнение наименьшего многообразия V, содержаще-,
го S.
(b) В случае поля С, используя теорему о продолжении, докажите,
что S = V. Указание: это делается так же, как и в случае каса-
касательной поверхности скрученной кубики.
(c) В случае поля R покажите, что 5 есть только «половина» много-
многообразия V. Какая параметризация описывает другую «полови-
«половину»?
7. Пусть S — параметрическая поверхность, заданная системой
х = uv,
У = uv2,
z = u2.
(a) Найдите уравнение наименьшего многообразия V, содержаще-
содержащего S.
(b) В случае поля С покажите, что V содержит точки, не принад-
принадлежащие S. Определите, какие именно точки из V не принад-
принадлежат S. Указание: используйте lex-упорядочение cti>»>i>
у> z.
8. Поверхность Эннепера задается следующей параметрической систе-
системой:
x = 3u + 3uv2 -и3,
у — 3v + Зи v — v ,
z = 3u2 - 3v2.
(a) Найдите уравнение наименьшего многообразия V, содержащего
поверхность Эннепера. Это будет очень сложное уравнение!
(b) Используя теорему о продолжении (над С), докажите, что ука-
указанные параметрические уравнения параметризуют всю поверх-
поверхность V. Указание: в базисе Грёбнера много элементов, среди них
найдутся нужные.
9. Зонтик Уитни задан следующей параметрической системой:
х — uv,
§ 3. Неявное представление
Вот рисунок этой поверхности:
177
(a) Найдите уравнение наименьшего многообразия, содержащего
зонтик Уитни.
(b) Докажите, что параметризованное множество совпадает с этим
многообразием над С и не совпадает над R. Какие именно точки
многообразия не параметризованы над R?
(c) Докажите, что параметры и и г; не всегда определены однозначно
значениями х,у и z. Найдите точки, в которых нет однозначно-
однозначности; укажите положение этих точек на рисунке.
10. Рассмотрим кривую в С", параметризованную уравнениями Xi =
fi(t), где /i, ...,/„ € C[t], и идеал
7= (xi -fi(t),...,xn-fn{t)) CC[t,xu...,xn].
(a) Докажите, что параметризованное множество совпадает с мно-
многообразием V(/i) С С".
(b) Покажите, что утверждение п. (а) может быть неверным, если
/; —рациональные функции. Указание: см. § 3 гл. 1.
(c) Покажите, что утверждение п. (а) может быть неверным, если
мы работаем над R (даже если /* —полиномы).
П. В этом упражнении рассматривается доказательство теоремы 2.
(a) Пусть к — бесконечное поле и /, g 6 k[ti,... ,tm]. Предположим,
что g ф 0, а / обращается в нуль на km — V(p). Докажите, что
/—нулевой полином. Указание: рассмотрите произведение fg.
(b) Докажите теорему 2, используя схему доказательства, рассмот-
рассмотренную в тексте параграфа.
12. Рассмотрим параметризацию E). Пусть к = С, и пусть / = (vx —
u2,uy — v2,z — u) —идеал, полученный «избавлением от знаменате-
знаменателей».
(a) Докажите, что 7г = (z(x2y — z3)).
(b) Докажите, что наименьшим многообразием в С5, содержащим
г(С2 — W) (см. диаграмму G)) является V(vx — u2,yu — v2,z —
u, x2y—z3, vz—xy). Указание: докажите, что i(C2 —W) = ъ\ (V(J)),
а затем примените теорему о замыкании.

178
Гл. 3. Теория исключения
§ 4. Особые точки и огибающие
179
(c) Докажите, что {@, 0, ж, у, 0) : х,у любые} С V(J), и выведите от-|
сюда, что VG) не является наименьшим многообразием, содер-j
жащим г(С2 — W).
(d) Определите, какая именно часть многообразия V(x2y — z3) пара-]
метризована системой E).
13. Рассмотрим рациональную параметризацию вида F). Существует!
один случай, когда «наивный» идеал I — (gi?i — /i, ¦ • ¦ ,9пХп — /п),|
полученный «избавлением от знаменателей», дает правильный от*|
вет в задаче неявного представления. Пусть t — единственный па
раметр, Xi = fi(t)/gi(t). Предположим, что /, и gi взаимно прс
в k[t] для каждого г (в частности, не имеют общих корней). Пус
I С k[t, х\,..., х„] определен, как выше. Докажите, что V(/i) являет-!
ся наименьшим многообразием, содержащим F(k — W). Как обычно,|
9 = 31 • ¦ ¦ Рп € k[t] и W = V(g) С к. Указание: докажите, что в ,
грамме G) i{km - W) = VG), а затем используйте доказательс
теоремы 1.
14. Декартов лист задан следующей параметрической системой:
3t
У =
1 + t3'
3t2
1+t3'
(a) Найдите уравнение декартова листа. Указание: использу*
упр. 13.
(b) Докажите, что и над С, и над R параметризованное множес
совпадает со всей кривой.
15. В упр. 16 к § 3 гл. 1 мы рассматривали параметрические уравне*
над R
A - tJxi + 2t(l - t)wx2 +t2xj
- tJyi
- t)wy2
2y3
где w,x\, y\,X2, У2Х3, уз — константы и w > 0. Исключая t, покайся
что эти уравнения описывают часть некоторого конического сечен
Напомним, что коническое сечение задается уравнением вида
ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0.
Указание: в большинстве систем компьютерной алгебры базис Гр
нера можно вычислять, когда коэффициенты полиномов зависят i
параметров, таких, как w,xi, 1/1,2:2, У2,хз,уз- Так как мы рабе
над R и, следовательно, знаменатели не обращаются в нуль, то мо
но использовать результат упр. 13.
§ 4. Особые точки и огибающие
В этом параграфе будут рассмотрены две темы геометрии:
• особые точки на кривой,
• огибающая семейства кривых.
Мы хотим показать, как геометрические задачи приводят к инте-
интересным уравнениям, которые могут быть решены с использованием
техники, развитой в §§1 и 2.
Мы изложим основы теории особых точек и огибающих, но да-
далеко не в полном объеме. На эти темы можно написать целую книгу
(см., например, Bruce, Giblin A992)). Кроме того, теория огиба-
огибающих будет излагаться не вполне строго. Чтобы обосновать наши
рассмотрения, мы будем опираться на некоторые идеи из матема-
математического анализа, чтобы сделать наши рассуждения полностью
корректными.
Особые точки
Пусть дана кривая на плоскости fc2, определенная уравнением
f{x,y) = 0, где / € к[х,у]. Мы ожидаем, что многообразие V(/)
будет иметь корректно определенную касательную в большинстве
точек, но касательной может не быть в точках самопересечения
или излома. Вот два примера:
Если мы потребуем, чтобы касательная была единственной и «при-
«примыкала» к кривой по обе стороны от точки касания, то каждая
из кривых на рисунке содержит точку, в которой касательной нет.
Интуитивно особая точка многообразия V(/) —это такая точка, в
которой касательная отсутствует.
Прежде чем давать строгое определение, дадим алгебраическое
определение касательной. Поступим следующим образом. Рассмот-
Рассмотрим точку (а, Ъ) е V(/) и прямую L, проходящую через эту точку

180
Гл. 3. Теория исключения
A)
и заданную параметрически:
х = а + ct,
у — b + dt.
Эта прямая проходит через (а, Ь) при t = 0. Отметим, что (с, d) ф
@,0) — это вектор, параллельный указанной прямой. Меняя (c,d),
мы можем получить все прямые, проходящие через (а, Ь). Но как
выделить среди них касательную к V(/)? Можем ли мы сделать
это, не используя аналитических соображений?
Рассмотрим пример. Пусть дана прямая L, заданная параме-
параметрическими уравнениями
у = 1 + dt
и проходящая через точку A,1) на параболе у = х2:
B)
касательная
Из анализа мы знаем, что касательная имеет тангенс наклона 2, т. е.
d = 2с. Чтобы найти эту прямую из алгебраических соображений,
мы будем исследовать полином, описывающий пересечение прямой
и параболы. Подставим B) в уравнение у — х2 = 0. Получаем
g(t) = 1 + dt - A + ctJ = -c2t2 + (d- 2c) t = t(-c2t + d-2c). C)
Его корни описывают точки пересечения прямой и параболы (уяс-
(уясните себе этот важный момент). Если d ф 2с, то д имеет два раз-
различных корня при с ф 0 и один корень при с = 0. Но если d = 2с,
то д имеет один корень кратности 2. Другими словами, прямая B)
является касательной к параболе, если д имеет кратный корень.
Теперь можно дать определение.
Определение 1. Пусть / — натуральное число. Рассмотрим точку
(a, b) ? V(/) и прямую L, проходящую через эту точку. Мы гово-
говорим, что L пересекает V(/) с кратностью I в (а, Ь), если L допус-
допускает параметризацию вида A), такую, что t — 0 является корнем
кратности I полинома g(t) = f(a + ct,b + dt).
§ 4. Особые точки и огибающие
181
Отметим, что #@) = f(a,b) = 0, т.е. t — 0 —корень полинома д.
Напомним, что t = 0 называется корнем кратности /, если д — tlh,
где h@) ф 0. Это определение, однако, содержит одну неясность:
прямая имеет много разных параметризаций, т. е. надо проверить,
что кратность не зависит от параметризации. Этот вопрос будет
рассмотрен в упражнениях.
Вернемся к прямой B). Из C) следует, что она пересекает пара-
параболу у = х2 в точке A,1) с кратностью 1, если dф2c,иc кратностью
2, если d = 2с. Другие примеры будут рассмотрены в упражнениях.
Мы будем применять понятие кратности для того, чтобы стро-
строить касательные. Для этого нам потребуется градиент полинома /,
т. е. вектор, определенный следующим равенством:
V/=(-*-/-*¦
v J \ л^ J ) о «
Теперь мы можем сформулировать утверждение.
Предложение 2. Пусть f ? k[x,y] и (a,b) ? V(/).
(i) Если Vf(a,b) Ф @,0), то существует единственная прямая,
проходящая через (а,Ь), которая пересекает V(/) с кратно-
кратностью, большей или равной 2.
(ii) Если Vf(a,b) = @,0), то любая прямая, проходящая через
(а,Ь), пересекает V(/) с кратностью > 2.
Доказательство. Пусть прямая L, проходящая через (о, Ь), пара-
параметризована уравнениями A), и пусть g(t) = f(a + ct,b + dt). Так
как (a, b) e V(/), то t = 0 является корнем полинома д. Следующее
утверждение будет доказано в упражнениях:
t = 0 является корнем полиномад кратности > 2 <=> д'@) = 0.
D)
Имеем по правилу дифференцирования
Я Я
g'(t) = ^-/(a + ct,b + dt)-c+ —/(а + ct,b + dt) ¦ d,
ox ay
т.е.
Отсюда следует, что если V/(a, 6) = @,0), то и д'@) = 0. По D) из
этого следует, что L пересекает V(/) с кратностью > 2. Это дока-
доказывает вторую часть предложения. Докажем первую часть. Пусть
V/(a, b) ф @,0). Мы знаем, что д'@) = 0 в том и только том случае,

182
когда
Гл. 3. Теория исключения
E)
Это линейное уравнение с неизвестными end. Так как коэффициен-
коэффициенты ^/(а, Ь) и j-f(a, b) не обращаются одновременно в нуль, то про-
пространство решений одномерно, т.е. существует решение (co,do) ф
@,0), такое, что (с, d) является решением в том и только том случае,
когда (c,d) = \(co,do) для некоторого А ? к. Значит, решения (c,d)
параметризуют одну и ту же прямую. Это доказывает единствен-
единственность прямой, пересекающей V(/) с кратностью > 2. Предложение
2 доказано. ?
Предложение 2 позволяет дать строгое определение касатель-
касательной. Вторая часть предложения объясняет, что такое особая точка.
Определение 3. Пусть / е к[х,у] и (a, b) e V(/).
(i) Если V/(a, b) ф @,0), то касательной к V(/) в точке (а, Ь) на-
называется единственная прямая, проходящая через (а, 6) и пе-
пересекающая V(/) с кратностью > 2. В этом случае мы скажем,
что точка (a, b) является неособой точкой многообразия V(/).
(ii) Если V/(a,b) — @,0), то (a,b) называется особой точкой мно-
многообразия V(/).
Над Е касательная и градиент имеют следующую геометриче-
геометрическую интерпретацию. Если касательная к V(/) в точке (а, 6) па-
параметризована уравнениями A), то вектор (с, d) параллелен ка-
касательной. Уравнение E) означает, что скалярное произведение
(V/(a, 6), (с,d)) равно нулю, т.е. градиент перпендикулярен векто-
вектору (c,d). Таким образом, мы получили алгебраическое доказатель-
доказательство теоремы из анализа, утверждающей, что градиент V/(a, b)
перпендикулярен касательной к V(/) в точке (а,Ь).
Если задана кривая V(/), то ее особые точки можно найти сле-
следующим образом. Равенство нулю градиента V/ означает, что обе
частные производные J--/ и щ-f равны нулю одновременно. Так
как особая точка принадлежит кривой V(/), то равенство / = 0
также выполняется. Отсюда следует, что особые точки многообра-
многообразия V(/) — это решения системы уравнений
ох
ду
Рассмотрим, например, кривую у2 = х2A + х) (представленную
на рисунке выше). Чтобы найти ее особые точки, нужно решить
§ 4. Особые точки и огибающие
183
систему
4-f = -2x - Зх2 = О,
Легко видеть, что эта система имеет единственное решение @,0),
т. е. @,0) — единственная особая точка многообразия V(y2 —х2— х3),
что согласуется с графиком кривой на рисунке.
Используя методы, развитые в §§ 1 и 2, мы можем решать и
более сложные задачи. Например, немного позже в этом параграфе
мы найдем особые точки кривой, заданной уравнениями шестого
порядка
0 = - 1156 + 688а;2 - 191а;4 + 16а;6 + 544у + 30х2у - 40х4у
+ 225у2 - 96а;V + 16а;V - 136у3 - 32х2у3 + 16у4.
В упражнениях будут рассмотрены другие задачи, связанные с осо-
особыми точками. В гл. 9 мы будем изучать особые и неособые точки
на произвольном аффинном многообразии.
Огибающие
Огибающие мы будем рассматривать над основным полем К, что-
чтобы геометрический аспект этой теории был наглядным. Лучший
способ объяснить, что такое огибающая, — это рассмотреть пример.
Пусть t G К. Рассмотрим окружность в К2, заданную уравнением
F)
(х - tf + (у - t2J = 4.
Так как формула (t,t2) параметризует параболу, мы можем счи-
считать, что уравнение F) описывает семейство окружностей радиуса
4, центры которых лежат на параболе у = х2. Выглядит это так:
Семейство окружностей на плоскости

184
Гл. 3. Теория исключения
§ 4. Особые точки и огибающие
185
Заметим, что «граничная» кривая одновременно касается вс
окружностей семейства. Это пример огибающей семейства кривых. |
Основная идея состоит в том, что огибающая — это кривая, кото-|
рая касается всех кривых некоторого семейства. Мы хотим изучить |
свойства огибающих и научиться находить их уравнения, в част- J
ности, найти уравнение огибающей только что рассмотренного се- j
мейства.
Прежде чем дать определение огибающей, нам нужно разо-J
браться с понятием семейства кривых в К2.
Определение 4. Рассмотрим полином F ? Ш[х, у, t] и зафиксируем!
t € К. Тогда многообразие в К2, заданное уравнением F(x,y,t) = 0,|
будет обозначаться через V(F4). Семейство кривых, определенное!
полиномом F, состоит из многообразий V(Ft), где t пробегает ве^|
щественную ось.
В этом определении t играет роль параметра, который указыва- j
ет, какая именно кривая в семействе рассматривается в данный мо- !
мент. Строго говоря, нам следовало бы говорить о«семействе мно-'
гообразий», а не о «семействе кривых», но мы будем использовать
второй термин, чтобы подчеркнуть геометрический аспект.
Рассмотрим еще один пример семейства и его огибающей. Пусть
множество кривых задано уравнением
Перепишем это уравнение в виде у — t = (х — tJ. Теперь видно
(см. следующий рисунок), что G) задает семейство *V(Ft) парабол,
которые получены из стандартной параболы у — х2 сдвигом вдоль
прямой у = х. Здесь очевидно, что огибающая — это прямая, касаю-
касающаяся каждой параболы семейства. Эта прямая задается уравнени-
уравнением у = х - 1/4 (подробности мы оставляем в качестве упражнения).
Семейство парабол на плоскости
Как правило, найти огибающую довольно трудно, и тем более
замечательным является тот факт, что мы можем охарактеризо-
охарактеризовать огибающую следующим чисто алгебраическим образом.
Определение 5. Пусть дано семейство У (Ft) кривых в К2. Тогда
огибающая семейства состоит из тех точек (х,у) Е Ж2, где имеют
место равенства
F(x,y,t)=0,
F(tH
для некоторого t.
Сначала объясним, почему это определение соответствует ин-
интуитивному понятию огибающей. Наша аргументация не являет-
является строгой, но по крайней мере мы объясним, откуда возникает
условие -§iF — 0. Строгое рассмотрение теории огибающих требует
применения серьезной техники. Заинтересованный читатель может
обратиться к гл. 5 книги Bruce, Giblin A992).
Пусть дано семейство V(Ft). Под огибающей мы понимаем кри-
кривую С, которая в каждой своей точке касается одной из кривых
семейства. Пусть С задана параметрически:
х = /(*),
у = g{t),
причем для каждого t точка (f(t),g(t)) принадлежит кривой V(Ft).
Таким образом, С пересекается со всеми кривыми семейства. Ал-
Алгебраически это условие означает, что
F(f(t),g(t),t)=O для всех t € Ш. (8)
Но С должна касаться многообразия V(Ft) в точке (f(t),g(t)). Мы
знаем из анализа, что (f'(t),g'(t)) является касательным вектором
к С; кроме того, градиент VF = (-§^F, J^F) перпендикулярен ка-
касательной к V(Ft). Так как С касается V(Ft), то градиент VF пер-
перпендикулярен вектору (f'(t),g'(t)), т.е. (VF, (/'(*),$'(*))) = 0 или,
что эквивалентно,
±F(f(t),g(t),t) ¦ f'(t) + l-F(f(t),g(t),t)-g'(t) = 0. (9)
Мы показали, что огибающая определяется условиями (8) и (9).
Продифференцируем (8) по t. Имеем

186 Гл. 3. Теория исключения
Если мы вычтем (9) из этого уравнения, то получим равенство
:)=0. A0)
Таким образом, равенства (8) и A0) показывают, что (х,у) ~
(f(t),g(t)) удовлетворяет условиям определения 5.
Позже в этом параграфе мы увидим, что наш подход является
слишком наивным. Однако для нас главным следствием определе-
определения 5 является то, что огибающая задается системой
д
F(x,y,t)=Q,
jtF(x,y,t)=0.
Переменные х и у определяют точку на огибающей, a t говорит нам,
какой кривой семейства огибающая касается в этой точке. Так как
уравнения зависят от х, у и t, то нам нужно исключить t, чтобы
найти уравнение огибающей. Для этого мы применим результаты,
полученные в §§1 и 2.
Рассмотрим семейство, заданное уравнением F). Здесь F = (х —
tJ + (у — t2J — 4; поэтому огибающая задается системой
г\
F = (х - tJ + (у - t2J -4 = 0,
g-fF = -2(х - t) - Щу - t2) = 0.
(И)
Найдем базис Грёбнера по отношению к lex-упорядочению с t >
х > у.
0! = -1156 + 688х2 - 191а;4 + 16а;6 + 544у + 30х2у - 40а;4 у
+ 225у2 - 96х2у2 + 16х4у2 - 136у3 - 32х2у3 + 16у4,
д2 = G327 - 1928у - 768у2 - 896у3 + 256у4)< + 6929а; - 2946а;3
+ 224а;5 + 2922zy - 1480z3y + 128a;5y - 792a;y2 - 224zV
- 544:ry3 + 128a;3y3 - 384xy4,
g3 = D31x - 12xy - 48a;y2 - 64xy3)t + 952 - 159a;2 - 16a;4
- 214x2y + 32x4y - 366y2 - 32а:У - 80y3 + 32a:2y3 +
g4 = F97 - 288a;2 + 108y - 336y2 + 64y3)t + 23a; - 174x3
+ 32a;5 + 322a;y - U2x3y + 32xy2 + 32x3y2 - 96xy3,
g5 = 135t2 + B6a; + 40xy + 32a;y2)t - 128 + lllx2
- 16a;4 + 64y + 8a;2y + 32y2 - 16a;2y2 - I6y3.
Элементы базиса Грёбнера представлены как полиномы от t с ко-
коэффициентами в М[а;,у]. По теореме об исключении д± порождает
+ 320y
32y4,
§ 4. Особые точки и огибающие
187
первый исключающий идеал, т. е. огибающая принадлежит кривой
дх = 0. Вот рисунок этой кривой вместе с параболой у = х2:
Некоторым сюрпризом является «треугольная» часть графика оги-
огибающей. Эта часть не была ясно видна на рисунке семейства выше.
Но рассмотрение окружностей с центрами вблизи вершины пара-
параболы показывает, что треугольник действительно является частью
огибающей.
Мы доказали, что огибающая принадлежит многообразию
V(#i), но совпадает ли она с этим многообразием? На самом де-
деле здесь можно задать два вопроса:
• Каждая ли точка многообразия V((?i) принадлежит огибаю-
огибающей? Это то же самое, что спросить, каждое ли частичное ре-
решение (а;, у) системы A1) продолжается до полного решения
(x,y,t)?
• Пусть дана точка на огибающей. Сколько кривых семейства ка-
касаются огибающей в этой точке? Это все равно, что спросить,
сколько существует полных решений (x,y,t) для данного ча-
частичного решения (х,у).
Так как старший коэффициент по t в д$ является константой 135,
то теорема о продолжении (в форме следствия 4 из § 1) гарантиру-
гарантирует, что каждое частное решение продолжается, если мы работаем
над полем С. Значит, t существует, но может оказаться комплекс-
комплексным. Этот факт демонстрирует и силу, и слабость теоремы о про-
продолжении: она гарантирует существование решения, но оно может
принадлежать «неправильному» полю.
Однако уравнение д$ дает нам кое-какую полезную информа-
информацию: дь квадратично по t, т.е. данное частичное решение {х,у) не
более, чем двумя способами может быть продолжено до полного.
Таким образом, точка на огибающей семейства F) может ка-
касаться не более чем двух окружностей семейства. Можете ли вы

188
Гл. 3. Теория исключения
§ 4. Особые точки и огибающие
189
указать точки, в которых есть две касательные окружности к оги-;
бающей? .:
Рассмотрим теперь другие элементы базиса Грёбнера. Отметим,';
что <72,<?з и <?4 содержат t только в первой степени. Запишем их;
в виде
gi = Ai(x,y)t + Bi(x,y), г = 2,3,4.
Если Ai не обращается в нуль в точке (х,у) для какого-нибудь i =
2,3,4, то уравнение Ait + В{ = 0 можно разрешить относительно t:
t= Bj(x,y)
Мх>у)'
Таким образом, t вещественно, если вещественны х и у. Более то-
того, эта формула показывает, что t определено однозначно, если
А{(х, у) ф 0. Другими словами, точка на огибающей семейства F),
не принадлежащая многообразию V(^2, А^,А^), касается в точно-
точности одной окружности семейства.
Осталось понять, когда А%, Аз и А± одновременно обращаются в
нуль. Эти полиномы выглядят довольно сложными, но методы § 1
позволяют справиться с этой задачей: вещественными решениями
системы Аъ = А3 — Л4 = 0 являются
(ж, у) = @,17/4) и (±0.936845,1.63999). A2)
На рисунке, изображающем многообразие V^), показаны особые
точки этого многообразия. Постарайтесь увидеть две окружности,
которые касаются огибающей в этих точках.
Мы уже знаем, что особые точки многообразия ~V(gi) опреде-
определяются уравнениями д\ = -§^дх = -§-д\ — 0. Если все особые точки
перечислены в списке A2), то
V(A2, A3, A4) = V(gu ^-gu —gi).
Для того чтобы доказать это, достаточно проверить, что
д д .. .
9^d~xgu?y9ie{A^A
A3)
A4)
Прямое применение алгоритма принадлежности идеалу (гл. 2) поз-
позволяет сделать это. Сначала мы находим базис Грёбнера идеала
(Лг, Аз, А4) и затем проверяем принадлежность идеалу каждого из
полиномов gi, -§^gi, -jkgi (см. § 7 гл. 2). Аналогично проверяется и
обратное включение. Детали будут рассмотрены в упражнениях.
Так как равенство A3) следует из включений A4), то мы доказа-
доказали, что неособые точки многообразия ~V(gi) принадлежат огибаю-
огибающей семейства F), ив каждой такой точке огибающая касается
ровно одной окружности семейства. Особые точки многообразия
V(<?i) —это самые интересные точки огибающей: здесь огибающая
касается двух окружностей. Это показывает, что наличие особых
точек может быть полезным указанием на то, что происходит что-
то необычное. Изучению особых точек посвящен важный раздел
алгебраической геометрии.
В только что разобранном примере уравнения огибающей A1)
легко выписать. Но анализ этих уравнений требует использования
базисов Грёбнера, теоремы об исключении и теоремы о продолже-
продолжении. Хотя базис Грёбнера и является довольно сложным, с его помо-
помощью удается точно установить, в каких точках огибающая касается
более чем одной окружности. Все это демонстрирует возможности
развитой нами теории.
Как уже упоминалось выше, наше рассмотрение огибающих
проводилось на нестрогом уровне. Это видно и из предыдущего
примера, где оказалось, что огибающая имеет особенности. Как
огибающая может «касаться» кривой семейства в особой точке?
В упражнениях мы отметим еще одну причину, по которой на-
наше рассмотрение огибающих является слишком упрощенным. Мы
также не обратили внимание на связь между семейством кривых
У(Ft) С Ж2 и поверхностью V(F) С Ж3, определенной уравнением
F(x,y,t) = 0. Мы отсылаем читателя к гл. 5 книги Bruce, Giblin
A992), где теория огибающих рассмотрена более полно.
Упражнения к § 4
1. Пусть кривая С в к2 задана уравнением х3—ху+у2 = 1. Отметим, что
A,1) € С. Рассмотрим прямую, параметризованную уравнениями
у = 1 + dt.
Найдите кратность пересечения этой прямой и кривой С в точке
A,1). Что вы можете сказать о касательной в этой точке? Указание:
нужно рассмотреть два случая.
2. Чтобы сделать определение 1 корректным, необходимо доказать, что
кратность не зависит от параметризации,
(а) Докажите, что две параметризации
х = а + ct, х = о + c't,
у = b + dt, у = b + d't,

190 Гл. 3. Теория исключения
описывают одну и ту же прямую в том и только том случае, когда!
существует ненулевое вещественное Л, такое, что (с, d) = Л(с',
Указание: если x = a + ct,y = b + dt является параметризацией!
прямой L, то вектор (с, d) параллелен L.
(Ь) Пусть две параметризации п. (а) описывают одну и ту же прямум 1
L, которая пересекает многообразие V(/) в точке (о, 6). Докажи*!
те, что t = 0 является для полиномов g(t) = /(о + ct,b + dt)
h(t) = f(a + c't,b + d't) корнем одинаковой кратности. Указание*!
используйте п. (а) и найдите связь между д и h. Это утверждений
докажет, что кратность пересечения прямой L и многообразия!
V(/) в точке (о, Ь) корректно определена.
3. Рассмотрим семейство прямых
х — с,
y = b + t.
Все эти прямые имеют тангенс наклона 1. Для какого b прямая из
семейства касается окружности х2 + у2 — 2? Постройте график. Ука-
Указание: рассмотрите полином g(t) = t2 + (b + tJ — 2. Его корни опре- ,
деляют значения t, при которых прямая пересекает окружность.
4. Пусть (a,b) € V(/) и V/(o, b) ф @,0). Докажите, что касательная к
V(/) в точке (о, Ь) определена уравнением
§ 4. Особые точки и огибающие
191
^/(а, Ъ) ¦ (х - а) + А
(а, Ъ) ¦ (у - Ь) = 0.
5. Пусть д € k[t] и д@) = 0.
(a) Докажите, что t = 0 является корнем полинома д кратности > 2
в том и только том случае, когда д'@) = 0. Указание: представьте
д как g(t) = th(t) и продифференцируйте.
(b) Докажите более общее утверждение: t = 0 является корнем крат-
кратности > I в том и только том случае, когда </@) = д"@) =
6. Пусть прямая L параметризована уравнениями A), где (а, 6) 6 V(/),
и пусть g(t) = /(о + ct,b + dt). Докажите, что L пересекает V(/)
с кратностью I в том и только том случае, когда д'@) = р"@) =
¦ ¦ = 5 @) = 0, но р(/'@) ф 0. Указание: используйте предыдущее
упражнение.
7. В этом упражнении мы рассмотрим, когда касательная пересекает
кривую с кратностью, большей двух. Пусть С — кривая, определен-
определенная уравнением у = /(х), где / 6 к[х], т. е. С — это график полинома /.
(a) Дайте алгебраическое доказательство того, что касательная к С
в точке (о, Ь) имеет следующую параметризацию:
х = а-И,
y = f(a) + f'(a)t.
Указание: рассмотрите функцию g(t) = /(о) + f'(a)t — f(a + t).
(b) Докажите, что касательная в точке (а,/(а)) пересекает кривую
с кратностью > 3 в том и только том случае, когда /"(о) = 0.
Указание: примените предыдущее упражнение.
(c) Докажите, что кратность пересечения равна 3 в том и только
том случае, когда {"{а) = 0, но /'"(о) ф 0.
(d) Точкой перегиба (над R) называется точка, в которой f"(x) ме-
меняет знак. Докажите, что если кратность пересечения равна 3,
то (a,f(a)) является точкой перегиба.
8. В этом упражнении мы будем искать особые точки.
(a) Докажите, что @, 0) является единственной особой точкой кри-
кривой у2 = х3-.
(b) В упр. 8 к § 3 гл. 1 мы изучали кривую у2 = сх2 — х3, где с —
некоторая константа. Найдите все особые точки этой кривой и
объясните, как ваш ответ связан с изображением этой кривой,
приведенным в гл. 1.
(c) Докажите, что окружность х2 + у2 = а2 не имеет особых точек.
9. Кратности могут использоваться в доказательстве того, что одна осо-
особенность «хуже» другой.
(a) Докажите, что большинство прямых, проходящих через начало
координат, пересекает кривую у2 = х3 с кратностью 2.
(b) Докажите, что все прямые, проходящие через начало координат,
пересекают кривую х4 + 1ху2 + у3 = 0 с кратностью > 3.
Отсюда следует, что особенность в нуле у второй кривой «хуже»,
чем у первой. Идея, заложенная в этом упражнении, показывает, как
можно определить кратность особой точки.
10. В тексте параграфа было доказано, что @,0) является особой точ-
точкой кривой С, заданной уравнением у2 = х2A + х). Но график этой
кривой заставляет думать, что С имеет в нуле две «касательные».
Можно ли использовать кратности, чтобы найти их?
(a) Докажите, что все прямые, проходящие через начало координат,
кроме двух, пересекают С с кратностью 2. Какие прямые имеют
кратность пересечения 3?
(b) Объясните, как ваш ответ связан с графиком кривой С, приве-
приведенным в тексте. Почему «касательные» должны иметь большую
кратность пересечения?

192
Гл. 3. Теория исключения
11. Четырехлепестковая роза определена в полярных координатах урав-
уравнением г = sinB#):
Эта же кривая имеет в декартовых координатах уравнение (х2 +
У2-K = W ¦
(a) Докажите, что большинство прямых, проходящих через начало
координат, пересекают розу с кратностью 4 в этой точке. Можете
ли вы дать этому геометрическое объяснение?
(b) Найдите прямые, проходящие через начало координат и пересе-
пересекающие в этой точке розу с кратностью > 4. Дайте геометриче-
геометрическое объяснение полученным числам.
12. Рассмотрим поверхность V(/) С к3, где / 6 k[x,y,z].
(a) Попытайтесь дать определение особой точки (a,b,c) € V(/).
(b) Найдите все особые точки на сфере х2 + у2 + z2 = 1. Имеет ли
ответ смысл?
(c) Найдите все особые точки на поверхности V(x2 — y2z2 + z3). Как
ответ связан с изображением поверхности, приведенным в § 2
гл. 1?
13. Рассмотрим семейство кривых F = ху — t 6 Щх, y,t]. Нарисуйте гра-
графики различных кривых V(Ft) семейства и обязательно график кри-
кривой V(F0).
14. В этом упражнении мы будем изучать огибающую семейства F =
{x-tJ~y + t (см. G)).
(a) Очевидно, что огибающей является прямая с тангенсом наклона
1. Докажите аналитически, что эта прямая задается уравнением
у = х - 1/4.
(b) Найдите огибающую алгебраически, используя определение 5.
(c) Найдите такую параметризацию огибающей, чтобы точка
(/Mi <?(*)) принадлежала параболе V(F(). Отметим, что именно о
такой параметризации шла речь при обсуждении определения 5.
§ 4. Особые точки и огибающие
193
15. В этом упражнении рассматривается огибающая семейства F).
(a) На изображении семейства найдите пары окружностей, каса-
касательных к огибающей в точках, перечисленных в A2).
(b) Для точки @,4.25) = @,17/4) найдите точные значения парамет-
параметра t, которые определяют две касательные окружности.
(c) Докажите, что точные координаты точек A2) могут быть заданы
формулами
Указание: большинство систем компьютерной алгебры могут
разлагать полиномы на множители и решать кубические урав-
уравнения.
16. Рассмотрим семейство кривых F = (х — iJ + у2 — (l/2)t2.
(a) Найдите его огибающую.
(b) Поясните свой ответ рисунком.
17. Рассмотрим семейство окружностей (ж — tJ + (у — t2J = t2 в R2.
(a) Найдите уравнение огибающей и докажите, что огибающая пред-
представляет собой объединение двух многообразий.
(b) Используйте базис Грёбнера и теорему о продолжении, чтобы
определить, сколько окружностей семейства касаются огибаю-
огибающей в данной точке. Поясните свой ответ рисунком. Указание:
для каждой компоненты огибающей придется проводить свои
рассуждения.
18. Докажите A4), используя указания, данные в тексте параграфа. До-
Докажите также, что Аг ^ (pi, ^9ь jf~5i)- Это показывает, что идеалы
щ9г) и {А2, A3,Ai) не совпадают, хотя и определяют одно
и то же многообразие.
19. В этом упражнении мы покажем, что наше определение огибающей
слишком упрощено.
(a) Рассмотрим семейство окружностей радиуса 1 с центрами на
оси х. Используйте рисунок, чтобы показать что огибающая со-
состоит из двух прямых у = ±1.
(b) Используя определение 5, вычислите уравнение огибающей для
семейства F =¦ (х — tJ + у2 — 1. Результат не должен вас удивить.
(c) Используя определение 5, найдите огибающую семейства F =
(х — t3J + у2 — 1. Отметьте, что одна из кривых семейства явля-
является компонентой огибающей. Причина состоит в том, что t поз-
позволяет окружностям «скапливаться» при t = 0, что и заставляет
окружность V(Fo) быть частью огибающей.
В нашем неформальном обсуждении огибающей мы предполага-
предполагали, что можем параметризовать ее так, чтобы точка (f(t),g(t)) при-

194
Гл. 3. Теория исключения
надлежала многообразию V(i7i) в момент t. Это предполагает, чтш|
огибающая касается разных кривых семейства. Однако в примере!
п. (с) компонента огибающей совпадает с одной из кривых семей-1
ства, т. е. мы трактовали огибающую слишком упрощенно.
20. Рассмотрим семейство кривых в R2, заданное полиномом F(x,y,i) tj
Щх, y,t]. Некоторые из кривых этого семейства могут иметь особен-3
ности, а другие — нет. Как определить, какие из кривых имеют осо-j
бые точки?
(a) Рассмотрим систему уравнений F = -^F = ?^F — 0. Используйте
теорию исключения и опишите процедуру, позволяющую найти
значения параметра t, соответствующие кривым с особенностя-
особенностями.
(b) Примените метод п. (а) к семейству из упр. 13.
§ 5. Единственность разложения
на множители и результанты
Нашей главной (и пока не выполненной) задачей в гл. 3 было до- I
казать теорему о продолжении. Для этого нам придется изучить j
новые разделы алгебры, относящиеся к единственности разложе-
разложения на множители и к результантам. Оба эти понятия будут
использованы в § б для доказательства теоремы о продолжении.
Единственностью разложения на множители мы будем часто поль-
пользоваться и в последующих главах.
Неприводимые полиномы и единственность разложения
на множители
Начнем с определения.
Определение 1. Полином / Е к[х\,.. .,хп], где к — некоторое
поле, называется неприводимым над к, если он не постоянен
и не является произведением двух непостоянных полиномов из
k[xi,...,xn].
Это определение говорит, что если непостоянный полином / не-
неприводим, то, с точностью до постоянного множителя, его делите-
делителем может быть только он сам. Сразу отметим, что неприводи-
неприводимость зависит от поля определения. Полином х2 + 1, например,
неприводим над Q и Е, но над С он разлагается на множители:
х2 + 1 = (х + г)(х - г).
Справедливо следующее предложение.
Предложение 2. Каждый непостоянный полином f ? k[xi,.. .,хп]
является произведением неприводимых над к полиномов.
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 195
Доказательство. Если / неприводим, то утверждение справедли-
справедливо, если нет, то / можно представить в виде / = gh, где g и ft —
непостоянные полиномы из к[х\,..., хп]. Однако и полная степень
д, и полная степень ft меньше, чем полная степень полинома /. К
д и ft применимо то же рассуждение, что и к /: если они приво-
приводимы, то они могут быть разложены в произведение непостоянных
множителей с меньшими степенями. Полная степень уменьшается
каждый раз, когда мы переходим к множителям. Но этот процесс
не может продолжаться бесконечно, т. е. / является произведением
неприводимых полиномов. ?
В теореме 5 будет доказано, что это разложение на неприво-
неприводимые множители по существу единственно. Однако сначала мы
докажем следующее важное свойство неприводимых полиномов.
Теорема 3. Пусть f G k[xi,... ,хп] неприводим над к. Предполо-
Предположим, что произведение gh, где g,h ? к[х\,... ,хп], делится на /;
тогда f делит g или ft.
Доказательство. Мы будем использовать индукцию по числу пе-
переменных. Если п = 1, то можно использовать понятие наибольше-
наибольшего общего делителя (см. § 5 гл. 1). Пусть / делит gh. Рассмотрим
р = GCD(/,g). Если степень полинома р больше нуля, то, с точ-
точностью до постоянного множителя, / = р (так как / неприводим).
Но тогда / делит д. Если же р — константа, то, положив р = 1, мы
можем найти полиномы А, В ? k[xi], такие, что Af + Вд = 1 (пред-
(предложение 6 из § 5 гл. 1). Умножая это равенство на ft, получим
ft = h(Af + Вд) = Ahf + Bgh.
Так как / делит gh, то gh = fs и, следовательно, ft = f(Ah + Bs),
т.е. f делит ft. Утверждение доказано при п = 1.
Пусть теорема справедлива для п — 1. Сначала мы рассмотрим
случай, когда неприводимый полином не зависит от х\:
( и ? к[х2, ¦ ¦ ¦, хп] неприводим и]
< > =$> и делит о или ft. A)
[ делит ghek[xi,...,xn] )
Имеем д = ?'i=0 a^xj и ft = ?™0 Ьгх[, где а{, bj € к[х2, ¦¦-, хп]. Если
и делит каждый полином сц, то и делит и д. Аналогично, если и
делит каждый полином bi, то и делит и ft. Пусть ни одно, ни другое
условие не выполнено. Тогда существуют такие i,j > 0, что и не де-
делит а, и не делит bj. Мы будем считать, что г и j — это наименьшие
числа с этими свойствами (т. е. и делит аг, если г < г, и и делит bs,
если s < j). Рассмотрим полином
ci+j =(aobi+j + a\bi+j-i + ... + a,i-ibj+i) +
+ aibj + (a,i+ibj-i + .. ¦ + ai+jb0).

196
Гл. 3. Теория исключения
Мы выбрали i так, что и делит каждое слагаемое в первой скобк
и j так, что и делит каждое слагаемое во второй скобке. Но и не!
делит пг и не делит Ьу, следовательно, по предположению индук*|
ции, и не делит aibj. Так как и делит все слагаемые, кроме одногод
то и не делит Ci+j. Легко показать, что Cj+j является коэффициейИ
том при х1^3 в gh. Значит, и не может делить gh. Противоречие?!
Утверждение A) доказано.
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть / делит д. Если /!
не зависит от Xi, то все доказано. Если / зависит от х\, тб]
рассмотрим кольцо k{i2, ¦ ¦ ¦ , :rn)[:ri] — это кольцо полиномов от|
одной переменной над полем k(i2, ¦ ¦ ¦ ,хп). Напомним, что эле-
элементами поля к(х2, ¦ ¦ ¦ ,хп) являются отношения полиномов иэ|
к[х2, ¦ ¦ ¦, хп]. Кольцо k[xi,..., хп] будет рассматриваться как под-ч
кольцо в к(х2, ¦ ¦ • ,xn)[xi]. Основная идея состоит в том, чтобы ра-1
ботать в большем кольце, где теорема справедлива, а затем вер-»
нуться в меньшее.
Мы утверждаем, что / неприводим и в к(х2, ¦ ¦ ¦, xn)[xi]. Пусть /
приводим: / = АВ, где А, В — полиномы от Xi с коэффициентами в ,
к(х2, ..., хп). Нам нужно показать, что или А, или В имеет степень
О по xi. Пусть d ? к[х2, ¦ ¦ ¦, хп] — это произведение всех знаменате-
знаменателей в А и В. Тогда А = dA иВ = dB — полиномы из k[xi,..., хп] и
d2f = АВ B)
в k[xi,.. -, хп]. Запишем d2 как произведение неприводимых множи-
множителей из к[х2, ¦ ¦ ¦ ,хп], что возможно в силу предложения 2; тогда
по A) каждый из них делит А или В. Поделим обе части равенства
на эти множители и получим, что
f = A1B1
в k[xi,... ,хп]. Так как / неприводим в k[xi,...,хп], то А\ или Bi —
константа. Но эти полиномы были получены из А и В при помощи
умножения и деления на полиномы из к[х2,..., хп]. Это показывает,
что или А, или В не зависит от х\. Это и требовалось доказать.
Таким образом, / неприводим в к(х2,..., :rn)[:ri] и, следователь-
следовательно, делит д или h в к(х2,..., xn)[:ri]. Пусть, например, д = Af, где
А ? к(х2,... ,:rn)[:ri]. Избавляясь от знаменателей, получаем
dg = Af C)
в к[х\,..., х„], где d € к[х2,..., хп]. По A) каждый неприводимый
делитель полинома d делит А или /. Но / он делить не может,
так как / неприводим и имеет положительную степень по Xi. Зна-
Значит, каждый неприводимый делитель полинома d делит А. Проводя
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 197
сокращения в C), получаем, что / делит g в k[xi,... ,хп]. Это за-
завершает доказательство теоремы. ?
В § 6 нам понадобится такое следствие теоремы 3.
Следствие 4. Пусть полиномы f,g? к[х\,...,хп] имеют поло-
положительные степени по xi. Тогда fug имеют общий делитель в
к[х\, ¦ ¦ ¦, хп] положительной степени по Xi в том и только том
случае, когда они имеют общий делитель в к(х2,... ,xn)[xi].
Доказательство. Если / и g имеют общий делитель в к[х± ,¦¦¦, хп]
положительной степени по xi, то они, конечно, имеют его и в боль-
большем кольце к(х2,... ,хп)[х\\. Пусть теперь / и g имеют общий де-
делитель h е к(х2,... ,xn)[xi]. Имеем
f = hfi, /i € к(х2,...,хп)[х1],
g = hgu giek(x2,.-.,xn)[xi].
Разумеется, h, f\ и g\ могут иметь знаменатели — полиномы из
к[хо...., х„\- Пусть d G к[х2,..., хп] — общий знаменатель полино-
полиномов h, fi,gi- Положим h = dh, /i = df\ и g± = dgi. Тогда h, fi,gi ?
k[xi,... ,xn]. Имеем
d2g = hgi
в k[xi,... ,xn]. Пусть hi —неприводимый делитель полинома h по-
положительной степени по х\. Так как h = h/d имеет положительную
степень по Xi, то такой делитель должен существовать. Тогда hi
делит d2 или / (по теореме 3). Но h\ не может делить d2, так как
d2 ? к[х2,..., хп]; следовательно, hi делит / в к[х\,..., хп]. Рассу-
Рассуждая аналогично, получаем, что hi делит д, т. е. hi — требуемый
общий делитель. Доказательство закончено ?
Теорема 3 утверждает, что неприводимые полиномы ведут себя
подобно простым числам в том смысле, что если простое число де-
делит произведение двух чисел, то оно делит один из сомножителей.
Это свойство простых чисел и лежит в основе однозначного раз-
разложения на простые множители. То же самое справедливо и для
неприводимых полиномов.
Теорема 5. Каждый непостоянный полином f ? к[ц,..., хп) мо-
может быть записан как произведение неприводимых над к полино-
полиномов / = /i • /г ¦ ¦ • /г • Более того, если f = gi ¦ g2 ¦ - - gs — другое раз-
разложение в произведение неприводимых над к полиномов, то г = s
и, с точностью до перестановки и до постоянных множителей,
fi = 9г-

198
Гл. 3. Теория исключения
Доказательство будет разобрано в упражнениях.
Для полиномов из Qfxj,..., хп] существуют алгоритмы раз-
разложения в произведение неприводимых полиномов. Классический
алгоритм, восходящий к Кронекеру, рассмотрен в книге Mines,
Richman, RuiTENBURG A993, Theorem 4.8). Существенно бо-
более эффективный метод изложен в работах Davenport, Siret,
Tournier A993) и MlGNOTTE A992). Большинство систем ком-
компьютерной алгебры умеют разлагать на множители полиномы из
Qfxi,..., хп]. Разложение на множители полиномов из Щрсц,..., х„]
или С[х\,..., хп] — это существенно более трудная задача.
Результанты
Хотя методы теории результантов заметно отличаются от всего, что
мы рассматривали до сих пор, результанты играют важную роль в
теории исключения. Понятие результанта возникает, когда мы за-
задаем вопрос: при каких условиях два полинома из к[х] имеют общий
множитель? Эта задача кажется очень далекой от теории исключе-
исключения, но в конце параграфа мы увидим, что здесь есть связь. В § 6
мы рассмотрим результант двух полиномов из k[xi,..., хп] и при-
применим результанты для доказательства теоремы о продолжении.
Предположим, что мы хотим выяснить, имеют ли два полинома
/, д Е к[х] общий делитель (т. е. полином h ? к[х] положительной сте-
степени, который делит и / и д). Можно, конечно, разложить / и д на
неприводимые множители. К сожалению, разложение на множите-
множители—это весьма трудоемкий процесс. Более эффективный метод —
это найти наибольший общий делитель полиномов /ид, используя
алгоритм Евклида из гл. 1. К сожалению, алгоритм Евклида тре-
требует выполнения делений в поле к. Как мы увидим позже, в ходе
процедуры исключения этого желательно избегать. Есть ли способ
определить, существует ли общий делитель, не производя делений
в к? Вот первый ответ.
Лемма 6. Пусть f,g ? к[х] —полиномы степеней I > 0 и т > О
соответственно. Тогда fug имеют общий делитель в том и
только том случае, когда существуют полиномы А, В ? к[х], та-
такие, что
(i) А и В не равны нулю одновременно;
(ii) степень полинома А не больше т — 1 и степень полинома В
не больше 1 — 1;
(iii) Af + Bg = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что fug имеют общий
делитель h ? k[x]. Тогда / = hfi,g = hg\, где f\,g\ ? k[x]. Отметим,
§ 5. Единственность разложения на. множители и результанты 199
что степень полинома f\ не больше / — 1 и степень полинома д\ не
больше m — 1. Тогда
91 ¦ f + (-/i) ¦9 = gi-hfi-f1- hgi = О,
т.е. А — gi и В = -fi обладают требуемыми свойствами.
Обратно, пусть А и В обладают указанными тремя свойствами.
По (i) мы можем считать В не равным нулю. Если / и д не имеют
общего делителя, то их наибольший общий делитель равен 1 и, сле-
следовательно, найдутся полиномы А, В ? к[х], такие, что Af + Вд = 1
(предложение 6 из § 5 гл. 1). Тогда, умножив это равенство на В,
получаем, используя равенство Вд = —Af,
B = (Af + Bg)B = ABf + ВВд = ABf - BAf = (АВ - BA)f.
Так как В ф 0, то это равенство показывает, что степень В не мень-
меньше /, что противоречит (И). Отсюда следует, что / и д имеют общий
делитель положительной степени. ?
Процедура, описанная в лемме 6, не выглядит удовлетворитель-
удовлетворительной: как найти (или доказать существование) требуемых А и В?
Как это ни удивительно, линейная алгебра может дать ответ на
этот вопрос. Для этого нужно превратить равенство Af + Вд = О
в систему линейных уравнений. Пусть
В = doxl~1 +... + d,_b
где коэффициенты Со,..., cm_!, do,..., d;_x (их I + m) считаются
неизвестными. Мы должны найти ct,dj ? к, не все равные нулю,
такие, что справедливо равенство
Af + Вд = 0. D)
Тогда условия леммы б будут выполнены.
Пусть
= аох'
а0
где a,i,bj ? к. Подставим эти формулы для A,B,f,g в уравнение
D) и, сравнив коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
следующую систему:
+ bodo =0 (коэффициент при а;'"™),
+ bxdo + bodi =0 (коэффициент при xl+m~2),
: W
a;cm_i + bmd[-i=O (коэффициент при а;0).

200
Гл. 3. Теория исключения
I
Мы построили однородную систему из I + т уравнений с I + m
неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение в том и
только том случае, когда определитель матрицы коэффициентов
равен нулю. Таким образом, мы пришли к следующему определе-
определению.
Определение 7. Рассмотрим полиномы /, д € к[х] положительной
степени
/ = аох' + ... + щ, а0 Ф 0,
Матрицей Сильвестра Syl(/, д, х) полиномов / и д по отношению к
х называется матрица коэффициентов системы E). Таким образом,
Syl(/, д, х) — это (I + т) х (I + т)-матрица
Syl( f,g,x) =
/а-о
а2
сц
а0
bo
bi b0
b2 h
а0
bo
сц
ai bm/
Здесь т первых столбцов отведено а,-, оставшиеся I столбцов отве-
отведены bj, а пустые места в матрице заняты нулями. Результантом
Res(f,g,x) полиномов / и д по отношению к х называется опреде-
определитель матрицы Сильвестра:
Res(f,g,x) =det(Sy\( f,g,x)).
Сформулируем основные свойства результантов. Напомним сна-
сначала, что полином называется целочисленным, если его коэффици-
коэффициенты—целые числа.
Предложение 8. Пусть f,g ? k[x] —полиномы положительной
степени. Тогда Res(/, g, x) является целочисленным полиномом
от коэффициентов полиномов fug. Кроме того, fug име-
имеют общий делитель в к[х] в том и только том случае, когда
Res(f,g,x) = 0.
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 201
Доказательство. Напомним, что определитель det(^4) матрицы
А = (oij)i<ij<s размера s x s определяется формулой
det(A) = ]Г} sgn(CT)ai<7(i) ¦ a2<rB) ¦ • ¦ as<7E),
где a пробегает все перестановки множества {1,... , s}, а sgn(cr) =
+ 1, если а — четная перестановка, и sgn(<r) = — 1, если нечетная
(см. приложение А). Эта формула показывает, что определитель —
целочисленный полином (на самом деле его коэффициенты равны
±1).
Далее, результант равен нулю -О- матрица коэффициентов си-
системы E) вырожденна Ф> система E) имеет ненулевое решение.
Мы отмечали раньше, что последнее эквивалентно существованию
полиномов А и В со свойствами, перечисленными в лемме 6. Теперь
лемма 6 заканчивает доказательство предложения. ?
В качестве примера рассмотрим следующую задачу: имеют ли
полиномы / = 2х2 + Зх + 1 и g = 7х2 + х + 3 общий множитель?
Вычисляем результант
/2 0 7 0\
Res(/, g, x) = det К \ \ \ = 153 ф 0
\0 1 0 3/
и получаем, что общего множителя нет.
Неудобство работы с результантами состоит в том, что прихо-
приходится вычислять большие определители. В упражнениях мы рас-
рассмотрим другой метод вычисления результантов, аналогичный ал-
алгоритму Евклида. Большинство систем компьютерной алгебры уме-
умеет работать с результантами.
Теперь покажем, что существует связь между результантами и
теорией исключения. Найдем результант полиномов / = ху — 1 и
g = х2 + у2 — 4. Мы рассматриваем / и g как полиномы от х, коэф-
коэффициенты которых являются полиномами от у. Имеем
Res(/,<7,:r) =
0 1
у 0 = у4 - 4у2 + 1.
-1 у2 -4/
Более общим образом, если / и д —любые полиномы из к[х, у] по-
положительной степени по х, то мы можем вычислить результант та-
таким способом. Так как коэффициенты полиномов fag являются
полиномами от у, то, согласно предложению 8, Res(/, g, х) является
полиномом от у. Таким образом, результант исключает х. Является

202
Гл. 3. Теория исключения
ли это исключением того же вида, что рассматривалось нами в §§ 1
и 2? В частности, принадлежит ли Res(/, д,х) первому исключаю-
исключающему идеалу (f,g) П к[у}?
Предложение 9. Пусть f,gG k[x] — полиномы положительной
степени. Тогда существуют полиномы А,ВЕ к[х], такие, что
Af + Bg = Res(f,g,x).
Более того, коэффициенты полиномов А и В являются целочис-
целочисленными полиномами от коэффициентов полиномов fug.
Доказательство. Определение результанта использует уравнение
Af + Bg = 0. Теперь те же самые методы мы применим для решения
уравнения _ _
Af + Bg = 1. F)
Причина, почему мы работаем с А, а не с А, сейчас станет ясна.
Предложение очевидным образом справедливо, если выполня-
выполняется равенство Res(/, g,x) = 0 (положим А = В = 0). Пусть теперь
Res(f,g,x) ф 0 и
/ = aox + .
A = cox™'1
В = dox ~ H
a0 ф 0,
n, b0 ф 0,
¦ cm_x,
+
где коэффициенты со, ¦ ¦ ¦, cm_i, do,..., d(_i считаются неизвестны-
неизвестными из поля к. Если мы подставим эти соотношения в F) и сравним
коэффициенты при одинаковых степенях х, то получим следующую
систему с неизвестными Ci,dj и коэффициентами пг,Ьу.
=0 (коэффициент при ж'™),
=0 (коэффициент при xl+m~2),
щст-1 + bm.di-i — 1 (коэффициент при х°).
Эта система есть система E) за исключением того, что в правой
части последнего уравнения стоит 1 (вместо 0). Значит, матрицей
системы G) является матрица Сильвестра, а условие Res(/, g, х) ф 0
гарантирует, что G) имеет единственное решение в к.
В этом случае мы можем использовать правило Крамера для
вычисления единственного решения. По этому правилу г'-я неиз-
неизвестная равна отношению двух определителей: в знаменателе сто-
стоит определитель матрицы системы, а в числителе — определитель
матрицы, полученной из матрицы системы при замене г'-ro столб-
столбца столбцом свободных членов из правой части системы. Точную
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 203
формулировку правила Крамера читатель может найти в прило-
приложении А. В нашем случае правило Крамера позволяет найти С{ и
dj. Например,
/0 6п \
со =
Res(/, g, x)
det
0 а0
0 сц
bo
а0 Ь„
\1 щ bm)
Так как определитель является целочисленным полиномом от своих
элементов, то
целочисленный полином ото,, bj
°° Res(f,g,x)
Аналогичные формулы определяют остальные ci; а также dj. Те-
Теперь А = Со ж + ... + cm_i может быть записано в виде
1
А =
Res(f,g,x)
А,
где А ? к[х], а его коэффициенты являются целочисленными поли-
полиномами от ui,bj. Аналогично
В = I В
Res(f,g,x) '
где В € к[х] обладает теми же свойствами, что и А. Так как Af +
Bg = 1, то, умножая на Res(f,g,x), получаем
Af + Bg = Res(f,g,x).
Предложение доказано. ?
В большинстве курсов линейной алгебры правило Крамера не
рассматривается, так как исключение по Гауссу —это гораздо бо-
более эффективная процедура (с вычислительной точки зрения). Но
для нужд теории часто необходимо знать форму решения. И здесь
правило Крамера оказывается весьма полезным.
Теперь мы можем объяснить связь между результантом и наи-
наибольшим общим делителем. Пусть /, g G к[х] и Res(/, g, x) ф 0; тогда
/ и g не имеют общих делителей, следовательно GCD(/, g) = 1. Но
тогда по предложению 6 из § 5 гл. 1 существуют полиномы .4 и
В. такие, что Af + Bg = 1. Выражения для А и В, приведенные

204
Гл. 3. Теория исключения
выше, показывают, что коэффициенты полиномов А и В имеют об-
общий знаменатель, равный результанту (хотя результант может и не
быть наименьшим знаменателем). Теперь, умножая на результант,
получаем Af + Вд = Res(/, g,x).
Вернемся к полиномам / = ху — 1 и д = х2 + у2 — 4. Рассматривая
их как полиномы от х, вычислим результант Res(/, д, х) = у4 — 4у2 +
1^0, т.е. GCD(f,g) = 1. Читатель может проверить, что
У
1
у4-4у2
у4 - 4у2
У
у4 - \у2 + 1
9=1-
Это равенство выполняется в кольце к(у)[х], т. е. коэффициенты по-
полиномов являются рациональными функциями от у. Причина со-
состоит в том, что теория, лежащая в основе понятия наибольшего
общего делителя, требует, чтобы коэффициенты полинома принад-
принадлежали полю. Если мы хотим работать в /с[а;, у], то необходимо из-
избавиться от знаменателей, и тогда мы получим следующее выра-
выражение:
То есть мы можем рассматривать результант как «свободный от
знаменателей» аналог наибольшего общего делителя.
Мы также получили ответ на вопрос, сформулированный перед
предложением 9, так как (8) показывает, что результант у4 - \у2 +1
принадлежит первому исключающему идеалу. Это утверждение но-
носит общий характер: пусть /, д ? к[х, у] — полиномы положительной
степени по х; тогда их результант Res(/, g, х) принадлежит перво-'
му исключающему идеалу идеала (/, д). В § 6 мы увидим, как эти
идеи можно обобщить на случай полиномов из к[х\,...,хп].
Можно определить результанты трех и более полиномов. Одно
из возможных определений будет рассмотрено в § 6. Читатель, ин-
интересующийся мультиполиномиалъными результантами, может
ознакомиться с работами Macaulay A902) и van der Waerden
A931). Современное введение в эту теорию можно найти в книге
Bajaj, Garrity, Warren A988) и в работе Canny, Manocha
A993). В последней работе имеется обширная библиография. Рас-
Рассмотрение теории результантов с теоретических позиций имеется в
работе JOUANOLOU A991), а глубокое обобщение этой теории рас-
рассматривается в работе Gelfand, Kapranov, Zelevinsky A994).
Упражнения к § 5
1. Рассмотрим несколько примеров неприводимых полиномов.
(а) Докажите, что любой полином / 6 к[х] степени 1 неприводим
над к.
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 205
(b) Пусть / 6 к[х] имеет степень 2 или 3. Докажите, что / неприво-
неприводим в том и только том случае, когда он не имеет корней в к.
(c) Используя п. (Ь), докажите, что ж2 — 2 и х3 — 2 неприводимы над
Q (но не над R).
(d) Докажите неприводимость полинома х4 + 1 над Q (но не над R).
Эта задача труднее предыдущей.
(e) Используя п. (d), докажите, что утверждение (Ь) не выполняется
для полиномов степени > 4.
2. Докажите, что поле к алгебраически замкнуто в том и только том
случае, когда любой неприводимый полином из к[х] имеет степень 1.
3. В этом упражнении рассматривается доказательство теоремы 3.
Пусть / = Y^iaix\ и 9 = Ziib'xb гДе a'>b' e к[х2,- ¦ ¦ ,хп]-
(a) Пусть и 6 к[х2, ¦ ¦ ¦, хп]- Докажите, что и делит / в том и только
том случае, когда и делит каждый а;.
(b) Пусть fg = Y^i Cix\. Проверьте, что Cj+j задается формулой, при-
приведенной в доказательстве теоремы 3.
4. Это упражнение посвящено доказательству теоремы 5.
(a) Пусть / неприводим и делит произведение hi ,. .hs. Докажите,
что / делит некоторый полином hi.
(b) Существование разложения на неприводимые множители дока-
доказано в предложении 1. Докажите единственность (одно из утвер-
утверждений теоремы 5). Указание: если / = /i ... /r = gi ¦ ¦ ¦ gs, где /i
и pj неприводимы, то из п. (а) следует, что /i делит некоторый
полином gj. Тогда gj совпадает сДс точностью до постоянного
множителя, и мы можем сократить обе части равенства на }\.
Теперь можно применить индукцию по полной степени полино-
полинома /.
5. Найдите результант полиномов х5—Зх4 —2х3+3х2+7х+6 и х4+х2 + 1.
Имеют ли эти полиномы общий множитель в Q[x]? Объясните ваш
ответ.
6. В упр. 14 к § 5 гл. 1 мы доказали, что если / = с(х—oi)ri ... (х— oj)r' 6
С[х], то
Над произвольным полем к данный полином / 6 к[х] положитель-
положительной степени не обязательно разлагается в произведение линейных
множителей. Но по теореме о единственности разложения в произ-
произведение неприводимых полиномов имеем
J — Ji ¦ ¦ ¦ h i
где /i ,.,// 6 k[x] неприводимы, и ни один из fi не совпадает с /,
даже с точностью до постоянного множителя при i ф j. Пусть Q С к.
Докажите, что

206
Гл. 3. Теория исключения
Указание: Доказательство аналогично доказательству упр. 14 к § 5•¦'
гл. 1. В доказательстве надо использовать единственность разложе--,|
ния. Условие Q С к гарантирует, что /' Ф 0.
7. Пусть /, д € С[х] — полиномы положительной степени. Докажите, что \
fug имеют общий корень в С в том и только том случае, когда:. 1
Res(/, g, х) = 0. Указание: используйте предложение 8 и тот факт,
что С алгебраически замкнуто.
8. Пусть / = аох1 + ... + о; 6 к[х], где оо ф 0 и / > 0. Определим его
10
И
дискриминант следующим образом:
(-1)'
disc(/) =
ОО
¦Res(/,/',x).
Докажите, что / имеет кратный множитель (т. е. / делится на h2, где j
h 6 к[х] —некоторый полином положительной степени) в том и толь-*
ко том случае, когда disc(/) = 0. Указание: используйте предыдущее
упражнение. Если к — С, то из упр. 7 мы получаем, что полином
имеет кратный корень в том и только том случае, когда его дискри-
дискриминант равен нулю.
9. Используя предыдущее упражнение, определите, имеет ли полином
6х4 — 23х3 + 32х2 — 19х + 4 кратный корень в С? Если да, то чему он
равен?
Найдите дискриминант полинома второй степени / = ах2 + Ъх + с.
Объясните связь полученной формулы и стандартной формулы кор-
корней квадратного уравнения. Не используя упр. 8, докажите, что /
имеет кратный корень в том и только том случае, когда дискрими-
дискриминант равен нулю.
Рассмотрим полиномы / = 2х2 + Зх + 1 и д = 7х2 + х + 3.
(a) Используя алгоритм Евклида, найдите (вручную) GCD(/, g).
(b) Найдите полиномы А, В 6 Q(x], такие, что Af+Bg = 1. Указание:
используйте вычисления из п. (а).
(c) В уравнении, найденном в п. (Ь), избавьтесь от знаменателей.
Объясните связь вашего ответа с результантом.
12. Объясните, почему если /, д 6 Z[x], то Res(/, g,x) 6 Z.
13. Пусть / = ху — 1 и д = х2 + у2 — 4. Эти полиномы будут рассматри-
рассматриваться как полиномы от х с коэффициентами в поле к(у).
(a) Составьте систему уравнений типа G) для равенства Af + Bg = 1
с этими fug. Указание: А линеен, а. В — константа, так что
у вас должна получиться система из трех уравнений с тремя
неизвестными.
(b) Используйте правило Крамера и найдите решение системы, по-
построенной в п. (а). Указание: результант является знаменателем.
(c) Какое уравнение вы получите после избавления от знаменателей
в уравнении из п. (Ь)? Указание: см. уравнение (8).
§ 5. Единственность разложения на множители и результанты 207
14. Результант Res(/, g, x) был определен для случая, когда оба полино-
полинома имеют положительную степень. В этом упражнении мы рассмот-
рассмотрим случай, когда один или оба полинома являются константами.
(a) Пусть степень / равна I > 0, a g = bo — константа (возможно,
нуль). Докажите, что матрица Сильвестра полиномов fug — это
диагональная I x ^-матрица с Ьо на главной диагонали. Выведите
отсюда, что Res(/, р,х) = Ьо.
(b) Докажите, что предложения 8 и 9 справедливы, если /ид такие,
как в п. (а).
(c) Чему равен Res(/, g,x), если / = оо—константа (возможно,
нуль), a g — полином степени тп > 0? Объясните ход ваших рас-
рассуждений.
(d) Осталось разобрать последний случай, когда и / = по, и g — Ьо —
константы. Здесь результант можно определить так:
_ , , , 10, если ао = 0 или Ьо = 0,
Res(ao,bo) = < , , „ , , п
II, если ао ф 0 и 005=0.
Пусть / = g = 2 в О[х]. Покажите на этом примере, что пред-
предложения 8 и 9 оказываются неверными, если fug — константы.
Указание: вспомните, что некоторые объекты должны быть це-
целочисленными полиномами от коэффициентов полиномов fug.
15. Пусть степень полинома / равна I, а степень полинома g равна т.
Докажите, что
Res(/,5,x) = (-l)'mRes(p,/,x).
Указание: определитель меняет знак при перестановке двух столб-
столбцов.
16. Пусть / = оох' + ... + о/ и g = box7" + ... + bm — полиномы из А;[х], и
пусть I > т.
(a) Рассмотрим полином / = / — (ao/bo)x'~Tng. Тогда deg(/) < / — 1.
Пусть deg(/) = 1 — 1. Докажите, что
Res(/,9,x) = (-l)mboRes(/,5,x).
Указание: используйте элементарные преобразования столбцов
матрицы Сильвестра. Нужно вычесть первые т столбцов из
р-части матрицы, умноженных на ao/бо, из соответствующих
столбцов /-части, а затем разложить определитель по первой
строке. (В связи с этим см. теорему 5.7 из работы Finkbeiner
A978).)
(b) Пусть / такой же, как в п. (а), и пусть его степень может быть
строго меньше 1 — 1. Докажите, что
Res(/,P,x) = (-ir('-de^»b{,-de«(/)Res(/,fl)i).
Указание: показатель степени I — deg(/) указывает, сколько раз
нужно производить разложение по строке.

208 Гл. 3. Теория исключения
(с) Примените алгоритм деления и представьте / в виде / = qg + r,
где deg(r) < deg(g). Теперь, используя п. (Ь), докажите, что
Res(f,g,x) = (~ir^l-de^%-dee(r)Res(r,g,x).
17. В этом упражнении на основе алгоритма Евклида будет построен
алгоритм для вычисления результанта. Основная идея такова: для
вычисления GCD(/, g) использовался алгоритм деления. Мы пред-
представляли / в виде / = qg + г, затем д в виде д = q'r + г' и т.д.
Формула E) из § 5 гл. 1
GCD(/, g) = GCD(g, г) = GCD(r, r') = ...
позволяет найти наибольший общий делитель, так так степени поли-
полиномов уменьшаются. Теперь, используя упр. 15 и 16, мы можем дать
«результантную» версию этих равенств:
Res(f,g,x) = (-l
?, z)
— К *¦) °0
x&|)deg(9)-deg(r')ReS(r',r,z)
eg(9)+deg(9) deg(rNdeg(/)-deg(r)
где Ьо (соответственно &d)—это старший коэффициент полинома д
(соответственно г). Продолжая этот процесс, мы можем свести вы-
вычисление результанта к случаю, когда второй полином является кон-
константой, а затем применить упр. 14.
Запишем этот алгоритм в псевдокоде. Для этого нам понадобятся
две переменные: г = остаток(/,д), т.е. остаток от деления / на д, и
ст.коэфф.(/), т.е. старший коэффициент /. Вот этот алгоритм:
Вход: /, д
Выход: res
h:=f
s:= g
res := 1
WHILE deg(s) > 0 DO
r := остаток(/г, s)
res := (-1)йе*(л)ае8(8)ст.коэфф.E)ае<!('1)-<1е<!(г)ге5
h:=s
s :— r
IF h = 0 OR s = 0 THEN res := 0 ELSE
IF deg(/i) > 0 THEN res := sde&wres
Докажите, что этот алгоритм вычисляет Res(/, g,x). Указание: ис-
используйте упр. 14, 15 и 16 и следуйте доказательству предложения 6
из § 5 гл. 1.
§ 6. Результанты и теорема о продолжении
209
§ 6. Результанты и теорема о продолжении
В этом параграфе мы докажем теорему продолжения, используя
результаты § 5. Наша первая задача — это обобщить теорию резуль-
результантов на случай полиномов от нескольких переменных. Пусть нам
даны полиномы /,g G k[xi,... ,хп] положительной степени по х^:
f = aox[
g = box?
A)
где <ii,bj ? k[i2, ¦ ¦ ¦ ,xn]. Результантом полиномов / и g по отно-
отношению к х\ называется определитель
= det
bo
по
bo
\
at
\
bo
fti
bmj
порядка I + т. Здесь первые т столбцов заняты элементами а*,
а следующие I столбцов — элементами bj, причем в пустых местах
матрицы стоят нули.
Для полиномов от нескольких переменных результаты § 5 могут
быть переформулированы следующим образом.
Предложение 1. Пусть f,g? k[xi,.. .,xn] — полиномы положи-
положительной степени по х\. Тогда
(i) Res(/,g,x\) принадлежит первому исключающему идеалу
(f,g)nk[x2,..-,xn].
(ii) Res(/,5,xi) = 0 в том и только том случае, когда fug име-
имеют общий множитель в k[xi,..., хп] положительной степе-
степени по х\.
Доказательство. Так как результант является целочисленным
полиномом от коэффициентов полиномов fug (предложение 8 из
§ 5), то Hjes(f,g,xi) G к[х2, ¦ ¦ ¦ ,хп]. Мы также знаем, что

210
Гл. 3. Теория исключения
где А и В —полиномы от х\, коэффициенты которых являются
целочисленными полиномами от a,i,bj (предложение 9 из § 5), т.е.
А,В е fc[z2,---,Zn][-ci] = k[xi,...,xn]. Значит, Res(/,5,zi) e (f,g).
Это доказывает (i).
Докажем (ii). Предложение 8 из § 5 поможет нам интерпретиро-
интерпретировать равенство результанта нулю в терминах общих делителей. В
§ 5 мы работали с полиномами от одной переменной с коэффици-
коэффициентами в некотором поле. Так как fug — полиномы от xi с коэф-
коэффициентами в k[x2, ¦ • ¦, хп], то полем здесь является к(х2, ¦ ¦ ¦, хп).
Предложение 8 из § о утверждает: если f,g € к{х2, ¦ ¦ ¦ ,хп)[х\], то
Res(/,д,х\) = 0 в том и только том случае, когда fag имеют об-
общий делитель в к(х2,...,хп)[х\] положительной степени по х\. Но
по следствию 4 из § 5 это эквивалентно тому, что f ид имеют общий
делитель в к[х\,... ,хп] положительной степени по х\. Предложе-
Предложение доказано. ?
Легко доказать, что два полинома из С[х] имеют общий дели-
делитель в том и только том случае, когда они имеют общий корень.
Таким образом, мы имеем следующее утверждение.
Следствие 2. Если /,5 € C[x], то Res(f,g,x) = 0 в том и только
том случае, когда fug имеют общий корень в С.
Теперь мы покажем, как результанты применяются для про-
продолжения частичных решений. Следующее предложение является
ключевым в доказательстве теоремы о продолжении.
Предложение 3. Пусть f,g ? С[х\,... ,хп], и пусть a,i,bj ?
С[х2). ..,?„], как в A). Если Res(f,g,xi) ? С[х2,-.. ,хп] равен нулю
в точке (с2,...,с„) ? С", то или
(i) по или bo равно нулю в этой точке, или
(ii) существует с\ € С, такое, что fug равны нулю в точке
(с1,...,сп)?Сп.
Доказательство. Для упрощения доказательства мы введем не-
некоторые обозначения. Пусть с = (с2,...,с„) и /(zi,c) = /(zi,C2,
..., с„). Нам нужно доказать, что полиномы от одной переменной
/(xi,c) и д{х\,с) имеют общий корень, если ао(с) и 6о(с) оба не
равны нулю. Запишем
f{xuc) =ao(c)x[
д{хис) = Ь0(фТ
а,(с), ао(с) /0,
Ьт(с), Ьо(с) ф 0.
B)
§ 6. Результанты и теорема, о продолжении
211
По условию h = Res(/, 5,11) равен нулю в с. Таким образом,
/оо(с) Ьо(с)
0 = /i(c) = det
а/(с)
\
ао(с)
а/(с)
Ьо(с)
bm(c)J
C)
Здесь т столбцов заняты элементами аДс), а / столбцов — элемен-
элементами bj(c). По B) результант полиномов f(x\,c) и 5(^1,с)—это в
точности определитель C), т.е.
0 = h(c) = Res{f{xi,c),g(xi,c),Xl).
Тогда по следствию 2 полиномы f(xi,c) и д(х\,с) имеют общий
корень. Предложение доказано. D
Теперь у нас есть все необходимое для доказательства теоремы
0 продолжении. Но сначала мы рассмотрим частный случай, когда
идеал порожден двумя полиномами.
Теорема 4 (теорема о продолжении для двух полиномов). Пусть
1 = (/, д) С C[a;i,..., xn], u пусть 1\ — первый исключающий иде-
идеал идеала I, a ao,bo такие же, как в A). Предположим, что
(сг, •.., с„) ? V(Ji) — частичное решение. Тогда если (сг, •. ¦, сп) ?
V(ao,6o), то существует ci € С, такое, что (с\,...,сп) ? VG).
Доказательство. Как и в предложении 3, мы будем использо-
использовать обозначение с = (сг,..., с„). Из предложения 1 мы знаем, что
Res(/, 5,^1) € Д; поэтому в точке с результант обращается в нуль.
Если ао (с) и 6о(с) оба не равны нулю, то требуемое с\ существует
по предложению 3.
К сожалению, условие теоремы требует, чтобы лишь одно (а
не оба сразу) из чисел ао(с) и 6о(с) было отлично от нуля. Пусть
ао(с) ф 0, а &о(с) = 0. Тогда степень полинома 51(^1, с) по х\ строго
меньше т, т. е. определитель C) порядка (l + m) x A + т) слишком
велик, чтобы быть результантом полиномов f(xi,c) и g(xi,c). Хо-
Хотя между C) и Res(/(zi,c), <7(:ei,c),zi) имеется связь (этот факт
будет рассмотрен в упражнениях), мы применим другой подход.
Идея состоит в том, что V(/, g) зависит лишь от идеала (/, д)
и не зависит от выбора его базиса. Поэтому в случае ао(с) ф 0,
bo (с) = 0 мы перейдем к другому базису. Пусть N — натуральное

212
Гл. 3. Теория исключения
число. Доказательство утверждения
D)
мы оставляем читателю в качестве упражнения. Выберем N так,
чтобы степень полинома х^f по х\ была больше, чем степень по-
полинома д по х\. Тогда старший коэффициент полинома д + х± f
по х\ равен а0 ф 0. Значит, существует с\ G С, такое, что (ci,c) G
V(/,5 + x?f), т.е., согласно D), (сьс) G V{f,g). Теорема доказа-
доказана. ?
Обратите внимание, что доказательство не проходит, если
ао(с) = 6о(с) = 0 для частичного решения с. Главная причина здесь,
разумеется, в том, что в этом случае частичное решение с может
не продолжаться. Пример D) из § 1 показывает, что это действи-
действительно может происходить.
Рассмотрим теперь, как процесс исключения связан с базисами
Грёбнера и результантами. Если /, g G C[zi,..., хп], то базис Грёб-
нера и результант сообщают нам разные вещи о первом исключа-
исключающем идеале 1\ идеала (f,g). Базис Грёбнера быстро описывает
1\, но не исключает возможности того, что 1\ — {0}. Наоборот,
результант предъявляет элемент из 1\, который сразу позволяет
делать выводы о существовании частичного решения. Так как тео-
теорема о продолжении по существу есть теорема существования, то
нам нужно нечто большее, чем просто описание идеала Д. Именно
поэтому роль результантов в доказательстве так велика.
Теперь, наконец, нам нужно доказать теорему о продолжении
для произвольного идеала (Д,..., /s) С C[xi,..., хп]. Однако мы
определяли результант только двух полиномов. Что такое «резуль-
«результант» полиномов Д,..., Д, если s > 3? Идея состоит в том, чтобы
ввести новые переменные и2,..., us и превратить набор Д> ••-,/?»
в один полином
U2f2
C[u2,...,Us,Xi,...,Xn].
Мы будем рассматривать полином / как элемент того же коль-
кольца. По предложению 1 результант полиномов / и u2f2 + • • • + usfs
принадлежит С[и2,..., us, х2, ¦ ¦ ¦, хп]. Чтобы получить полиномы от
х2,.. .,хп, разложим результант по степеням и2,..., us:
Res(/i,u2/2+ ••• + "«/», zi) = ^ha(x2,...,xn)ua, E)
a
где иа обозначает моном и ¦ ¦ ¦ и (см. обозначение в гл. 1), а ha ?
С[х2,..., хп] для всех а. Полиномы ha называются обобщенными
результантами полиномов Д,..., Д.
I
§ 6. Результанты и теорема о продолжении 213
В качестве примера найдем обобщенные результанты полиномов
(см. пример A) из § 1). Имеем
Res(/i,u2/2 + u3f3,x) =(y4 + 2y2z - 2у2 + z2 + у - z)u\
2{y2z
2z2
y3+z3-y2-z2 + yz)u2u3
+ (z4 + 2yz2 + y2-2z2-y
Таким образом, обобщенные результанты равны
z)u2
= У4
2y2z -
/in = 2(y2z2 + у3 + z3 - у2 - z2 + yz),
h02 = z4 + 2yz2 + y2 - 2z2 - у + z.
Обратите внимание, что обобщенные результанты зависят от то-
того, какой полином мы считаем первым. Обобщенные результанты
набора Д,Д,/з будут другими.
На практике обобщенные результанты используются редко. Но
они совершенно необходимы для доказательства теоремы о продол-
продолжении. Напомним ее формулировку.
Теорема 5 (теорема о продолжении). Пусть I = (Д,...,Д) С
С[х\,.. .,xn], a I\ —первый исключающий идеал. Для каждого
г, 1 < г < s, запишем fi в виде
fi = gi(x2,... ,xn)xl { + члены, содержащие х\ в степени < Niy
где N{ > 0, a gi ? С[х2,... ,хп] — ненулевые полиномы. Пусть
(с2,..., cn) G V(/i) — частичное решение. Тогда если (с2,..., с„) 0
V(i,---,5*)> то существует^ G С, такое, что (ci,c2,... ,с„) G
)
Доказательство. Пусть с = (с2,... ,сп). Мы будем искать общий
корень ci полиномов Д (ц, с),..., Д(ц, с). Случай s = 2 рассмотрен
в теореме 4; случай s — 1 сводится к случаю s — 2, так как У(Д) =
V(/i, Д). Осталось доказать теорему при s > 3.
Так как с $ V(g\,... ,gs), то мы можем считать, что gi(c) ф 0.
Пусть ha e С[х2,.. .,!„] — обобщенные результанты полиномов
Д,...,Д, т.е.
Res(/i,u2/2
usfs,x1) =
F)

214
Гл. 3. Теория исключения
Мы докажем, что ha принадлежат первому исключающему
идеалу Д. Так как все вычисления мы проводим в кольце
C[u2,...,ua,x\,...,хп], то из предложения 1 следует, что
B(u2f2 + ¦¦¦ + u./,) = Res(/i, u2f2 + ¦-. + usfs,
G)
для некоторых полиномов А, В 6 C[u2,..., us, ц,..., хп]. Пусть
А = Ha Aaua иВ = ^ B0u&, где Аа, В0 € С[х!,..., хп]. Мы дока-
докажем, что ha G (/i, ¦.. ,/s) == Л сравнивая коэффициенты при иа в
G). Так как нам известно, что ha е С[х2,..., хп], то из этого будет
следовать, что /ia G I\.
Для сравнения коэффициентов мы будем использовать обозна-
обозначения из гл. 1. Положим е2 = A,0,... ,0),... ,es = @,... ,0,1), так
что u2f2 + ¦ ¦ ¦ + usfs = J^i>2 uti fi- Теперь G) может быть записано
в виде
и .
Приравнивая коэффициенты при иа, получаем
ha = Aafi +
что и доказывает принадлежность ha € /. Как мы видели выше, из
этого следует, что ha g Д для всех а.
Так как с € V(/i), то ha(c) — 0 для всех а. Теперь из F) следует,
что результант h = Res(/i, u2 f2 +... + us fs, xi) обращается в нуль в
с. Обозначим через /i(c,u2,..., us) полином в С[хх,и2,..., us], полу-
полученный при подстановке с = (с2,..., с„) вместо (х2, ...,хп). Имеем
/i(c,u2,...,un) = 0.
(8)
§ 6. Результанты и теорема о продолжении
Предположим теперь, что
д2 (с) ф 0 и степень полиномов f2 по х\
больше степеней полиномов /з, ¦ • •, Л •
Мы утверждаем, что из этого следует равенство
h(c,u2,... ,us) = Res(/i(xi,c),u2/2(a:i,c) + ... + us.
215
A0)
Его доказательство аналогично доказательству равенства C).
А именно, если мы вычислим определитель, задающий h =
Res(/i, u2/2 +.. . + usfa, х\), в с, то увидим, что /i(c, u2,...,us) зада-
задано некоторым определителем. Более того, этот определитель есть
результант из A0), но при условии, что старшие коэффициенты по-
полиномов /i и U2/2 + ¦.. + usfs не равны нулю в с. Это справедливо
для /i, так как gi(c) ф 0. Но по условию (9) старший коэффициент
по xi в u2j2 + ... + u$fs равен и2д2, а д2(с) ф 0. Равенство A0)
доказано.
Объединяя (8) и A0), получаем
Res(/i(xi, с), u2f2{xi, с) + ... + us/s(xi, с),ц) = 0.
Полиномы /i(xi,c) и u2f2{xi,с) + ... + us/s(xi,c) принадлежат
кольцу C[xi,..., и2,..., us]. По предложению 1 из равенства нулю
их результанта следует, что эти два полинома имеют общий мно-
множитель F положительной степени по х\. Так как F делит fi(xi, с),
то F € C[xi]. Мы утверждаем, что F делит каждый из полиномов
/2 (xi, с),..., fs (xi, с). В самом деле,
F{Xi)A{X! ,U2,...,US)= U2f2(xi, С) + . . . + Usfs{xi, С) A1)
для некоторого полинома A G C[xi, и2,..., us]. Из сравнения коэф-
коэффициентов при u2,...,us следует, что полином F делит /2(a;i,c),
..., /s (xi, с). Детали доказательства мы оставляем читателю в ка-
качестве упражнения.
Так как F делит также и /i(xi, с), то мы видим, что F является
общим делителем положительной степени всех fi{x\, с). Пусть с\ —
корень полинома F (корень существует, так как мы работаем над
С). Тогда с\ автоматически является общим корнем всех fi{x\,c).
Таким образом, теорема о продолжении доказана, если (9) имеет
место.
Если (9) не выполняется для Д,..., /s, то нетрудно найти новый
базис, для которого (9) имеет место. Нужно заменить f2 на /2 +
xf/i, где N — натуральное число. Читатель должен проверить, что

216
Гл. 3. Теория исключения
Если N достаточно велико, то старшим коэффициентом поли-
полинома /2 + х^/i будет 5ь который не равен нулю в с. Ана-
Аналогично, при достаточно большом N мы можем предполагать,
что /2 + xf/i имеет большую степень по ц, чем /3, ...,/s. Те-
Теперь существует общий корень ci полиномов /i(zi,c),/2(a;i,c) +
х?fi(xi,c), f3(xi,c),..., fs(xi,c). Отсюда следует, что а является
общим корнем всех /j(xi,c). Доказательство теоремы о продолже-
продолжении закончено. ?
Отметим, наконец, что теорема о продолжении справедлива над
любым алгебраически замкнутым полем. Мы формулировали тео-
теорему только над С, но анализ доказательства показывает, что тре-
требуемое с\ существует именно потому, что любой непостоянный по-
полином из C[ii ] имеет корень в С. Так как это имеет место для лю-
любого алгебраически замкнутого поля, то, следовательно, и теорема
о продолжении выполняется над такими полями (см. упр. 14).
Упражнения к § 6
1. Рассмотрим в к[х, у] два полинома
f = х2у - Згу2 + х2 - Згу,
(a) Найдите Res(f,g,г).
(b) Найдите Res(/, <?, у).
(c) Что говорит результат п. (Ь) о / и <??
2. Пусть /, д 6 С[г, у]. В этом упражнении мы докажем, что
V(/, g) бесконечно -ФФ-/ и <? имеют непостоянный
общий делитель вС[г, у].
(a) Докажите, что V(/) бесконечно, если / — непостоянный поли-
полином. Указание: если / имеет положительную степень по г, то его
старший коэффициент по г может обращаться в нуль только в
конечном числе значений у. Теперь воспользуйтесь алгебраиче-
алгебраической замкнутостью поля С.
(b) Пусть / и д имеют непостоянный общий делитель h € С[х, у].
Используя п. (а), докажите, что в этом случае V(/, g) бесконечно.
(c) Пусть / и д не имеют общих делителей положительной степени.
Докажите, что Res(/, g, х) и Res(/, g, у) не равны нулю. Докажи-
Докажите, что из этого следует конечность многообразия V(/, g).
3. Пусть /, д е к[х, у]. Тогда по предложению 1 Res(/, д, х) е h = (/, д) П
А;[у]. Оказывается, результант не всегда порождает 1\.
(а) Докажите, что Res(f,g,x) порождает h, если f = xy-lng =
х2 + у2 -4.
§ 6. Результанты и теорема о продолжении
217
(Ь) Докажите, что Res(f,g,x) не порождает h, если / = гу - 1, а
д = ух2+у2 -4.
Существует ли связь между п. (Ь) и теоремой о продолжении?
4. Пусть /, <? G C[x] — полиномы положительной степени. В этом упраж-
упражнении мы сконструируем полином, корни которого суть все суммы
корня полинома / и корня полинома д.
(a) Докажите, что число -у 6 С имеет вид у = a + C, где /(а) =
д(/3) = 0, в том и только том случае, когда уравнения /(г) —
д(у — г) = 0 имеют общее решение при у = 7-
(b) Используя теорему 3, докажите, что 7 является корнем полинома
Res(f(x), д(у — г), г) в том и только том случае, когда 7 = а + Р,
где /(а) =g(J3) = 0.
(c) Постройте полином с рациональными коэффициентами, имею-
имеющий корень у/2 + у/3. Указание: чему равны / и д в этом случае?
(d) Модифицируйте вашу конструкцию и постройте полином, корни
которого являются разностями: корень полинома / минус корень
полинома д.
5. Пусть f,g& C[x] —полиномы положительной степени, и пусть все
корни полинома / отличны от нуля. Используя конструкцию упр. 4,
постройте полином, корни которого являются произведениями корня
полинома / и корня полинома д.
6. Пусть /, д € О(г] — полиномы положительной степени.
(a) Большинство систем компьютерной алгебры умеет разлагать по-
полиномы над Q на неприводимые (над Q) множители. В частно-
частности, можно определить, имеет ли данный полином целый корень.
Используя п. (d) упр. 4, постройте алгоритм, проверяющий, име-
имеют ли полиномы /ид корни аи/? соответственно, такие, что
разность a — Р есть целое число?
(b) Докажите, что полиномы / = г5 - 2г3 - 2г2 + 4 и д = г5 + 5х4 +
8г3 + 2г2 — Ьх + 1 имеют корни аи/? соответственно, такие, что
разность а — /3 — целое число. Чему оно равно?
7. В § 3 было упомянуто, что результанты бывают полезны при реше-
решении задач неявного описания. Рассмотрим параметрическую кривую
"" 1 + <2'
Сначала избавимся от знаменателей:
«A + t2) - t2 = 0, t;(l-И2) - <3 = О,
а потом исключим t с помощью результанта. Сравните ваш ответ с
ответом, полученным в § 3 другими методами. (Обратите внимание
на упр. 13 к § 3.)

218
Гл. 3. Теория исключения
8. В доказательстве теоремы 3 мы вычислили в точке с результант
h = Res(/,g,x\) и использовали тот факт, что полученное выражение
также является результантом. Но так бывает не всегда.
(a) Пусть / = х2у + Зх — 1 vl д — 6х2 + у2 — 4. Вычислите результант
h = Res(/, д,х) и покажите, что /г@) = —180. Теперь положим
у — 0 в / и д, т.е. получим полиномы Зх — 1 и 6х2 — 4. Имеем
ResCx — 1,6х2 — 4, х) = —30. Таким образом, h@) не является
результантом — ошибка в 6 раз. Обратите внимание на причину:
h — это определитель 4-го порядка, a ResCx — 1,6х2 — 4, х) — это
определитель 3-го порядка.
(b) Пусть/ = х2у+3ху— 1 и <? = 6х2+у2—4. Вычислите h = Res(/, <?,x)
и проверьте, что h@) = 36. Подставив у = 0 в / и д, получим
полиномы —1 и х2 — 4. Используя упр. 14 к § 5, докажите, что '
результант этих полиномов равен 1 —ошибка в 36 раз.
Когда степень / уменьшается на 1 (как в п. (а)), то возникает
множитель 6, когда эта степень уменьшается на 2 (как в п. (Ь)), то
возникает множитель 36 = б2. Но старший коэффициент по х в д
равен 6. В упр. 11 мы увидим, что это не случайность.
9. Пусть / = х2у+х —1 и д = х2у+х + у2 — 4. Вычислите h = Res(/, g, x) €
С[у] и докажите, что h@) = 0. Но если мы подставим у = 0 в / и д,
то получим полиномы х — 1 и х — 4. Результант этих двух полиномов
не равен нулю, т. е. h@) не результант.
10. В упр. 8 и 9 мы показали, что подстановка в результант может при-
привести к ошибке. Во всех рассмотренных примерах степень одного
из полиномов уменьшалась после подстановки. В этом упражнении
мы докажем, что подстановка работает, если степени не уменьшают-
уменьшаются. Дадим строгую формулировку этого утверждения. Пусть /,р 6
k[xi,... ,хп], а с = (с,+1,... ,сп) е kn~\i > 2. Через /(xi,... ,х,, с)
будет обозначаться результат подстановки. Запишем / и д в виде
A), т. е. ао, Ьо G к[х2, ¦ ¦ ¦, хп] — старшие коэффициенты по xi в / и д
соответственно. Пусть h = Kes(f,g,xi) 6 k[x2, ¦ ¦ ¦, хп].
(a) Пусть ао(х2, ¦ ¦ ¦ ,Х{, с) ф 0 и Ьо(хг, ¦ ¦ •, Х{, с) ф 0. Докажите, что
h(x2,... ,Xi,c) = Res(/(xi,... ,xi,c),g(xi,... ,Xi,c),xi)
в k[x2, ¦ ¦ ¦ ,Xi]. Указание: используйте доказательство теоремы 3,
равенство C) особенно важно.
(b) Обратите внимание, что в доказательстве теоремы 3 использу-
используется частный случай (г = 1) утверждения, доказанного в п. (а).
Объясните, какую роль этот результат играет в доказательстве
теоремы о продолжении в общем случае. Указание: обратите вни-
внимание на уравнение A0).
11. В этом упражнении мы рассмотрим, что происходит с результан-
результантом, если при подстановке степень одного из полиномов умень-
уменьшается. Пусть /, д е к[х\,... ,хп] и h — Res(/, g,x\). Пусть с =
§ 6. Результанты и теорема, о продолжении
219
(c-2, ¦ • •, с„) € kn l и f(x\, с) 6 fc[xi] — результат подстановки с в по-
полином /. Пусть, как в A), ao,bo G к[х2, ¦ ¦ ¦ ,хп]—старшие коэффи-
коэффициенты по xi полиномов /ид соответственно. Предположим, что
оо(с) ф 0, а Ьо(с) = 0. Наша цель — установить зависимость между
Л(с) и Res(/(xi,c),g(zi,c),xi).
(а) Предположим сначала, что степень полинома д по xi уменьши-
уменьшилась ровно на 1, т.е. 6i(c) ф 0. Докажите, что
Л(с) =ао(с) Res(/(xi,c),p(xi,c),xi).
Указание: h(c) задается следующим определителем:
о(с) 0 \
/г(с) = det
ai(c)
ao(c)
ai(c)
6i(c)
¦• ao(c) :
ai(c)
0
6i(c
ai{c)
а,(с)
bm(c)
\ ai(c) bm(c)J
Здесь m столбцов заняты элементами a,i и I столбцов — элемен-
элементами bj. Этот определитель не равен результанту полиномов
/(xi, с) и д(х\, с) — у него неправильный размер. Но если мы раз-
разложим его по первой строке, то получим требуемый результат
(см. теорему 5.7 работы Finkbeiner A978)).
(b) Вернемся к общему случаю. Пусть степень полинома д(х\, с) рав-
равна m — р, где р > 1. Докажите, что
h(c) = ао(с)р -Res(/(xi,c),p(xi,c),xi).
Указание: разложите определитель р раз. Обратите внимание,
что это утверждение объясняет результаты упр. 8.
12. Пусть I = (/1,/2,/з> С k[w,x,y,z], где
/i = х — 2ху + zw,
/г = wx2 — w2z + у,
/з =х3+3ш.
(a) Вычислите обобщенные результанты полиномов /1,/г,/з по от-
отношению к w. Вы должны получить два полинома hio.hoi ?
k[x.y,z].
(b) Покажите, что обобщенные результанты не порождают идеал
/i = I П к[х, у, z]. Указание: используйте lex-упорядочение с w >
z > у > х.

220
Гл. 3. Теория исключения
13. Пусть f,gi,...,gs 6 k[x]. Докажите, что / является общим
лем gi,... ,gs в том и только том случае, когда / делит по
uigi + ... + usgs в k[x,ui,... ,us]. Указание: обратите внта
рассуждения, следующие за формулой A1) в тексте парагра
14. Докажите справедливость теоремы о продолжении над ли
гебраически замкнутым полем. Указание: вы должны понять!
именно доказательства следствия 2, предложения 3 и теорем 4i
используют свойства поля С.
4
Алгебро-геометрический
«словарь»
В этой главе мы рассмотрим соответствие между идеалами и мно-
многообразиями. В §§ 1 и 2 мы докажем знаменитую теорему Гиль-
Гильберта о нулях, которая устанавливает, какие именно идеалы со-
соответствуют многообразиям. Это позволит нам составить алгебро-
геометрический «словарь» для перевода утверждений о многообра-
многообразиях на язык идеалов (и обратно). Эти же вопросы будут рассма-
рассматриваться в §§ 3 и 4, где мы определим ряд естественных алгебраи-
алгебраических операций на множестве идеалов и будем изучать их геомет-
геометрические аналоги. Поддерживая вычислительную направленность
книги, мы опишем алгоритмы, реализующие эти алгебраические
операции. В §§ 5 и 6 мы рассмотрим более важные алгебраические
и геометрические идеи и понятия, возникающие в связи с теоремой
Гильберта о базисе, а именно возможность разложения многообра-
многообразия в объединение более простых многообразий и отвечающее ему
в алгебре представление идеала в виде пересечения более простых
идеалов.
§ 1. Теорема Гильберта о нулях
В гл. 1 было показано, что свойства многообразия V G kn связаны
со свойствами идеала
1(V) = {fe k[xu. ..,!„]: f(x) = 0 для всех х G V}
всех полиномов, обращающихся в нуль на V. Таким образом, мы
имеем отображение
аффинные многообразия идеалы
v -> i(i/).
Обратно, по данному идеалу / С k[xi,..., хп] мы можем определить
множество
V(J) = {х ? кп : f{x) = 0 для всех / G /}.
Теорема Гильберта о базисе утверждает, что VG) является аффин-
аффинным многообразием, так как существует конечный набор полиномов

222
Гл. 4. Алгебро-теометрический «словарь»
A, ¦ • •, fs € I, такой, что J = (Ai • • •. fs), а в предложении 9 из :
гл. 2 доказано, что VG) = V(A, ¦ • •, fs)- Таким образом, мы име
отображение
идеалы аффинные многообразия
Эти два отображения описывают соответствие между идеалами!
многообразиями, природа которого и будет изучаться в этой гла
Отметим сначала, что указанное соответствие (точнее, отобр
жение V) не является взаимно однозначным: одному и тому
многообразию могут соответствовать различные идеалы. На
мер, (х) и (х2) —это различные идеалы в к[х], но они опреде
одно и то же многообразие V(x) = V(z2) = {0}. Еще более труд:
проблемы возникают в случае, когда основное поле к не являе
алгебраически замкнутым. Рассмотрим, например, три полинои
1 + х2 и 1 + х2 + х4 в Щх]. Эти полиномы порождают разли*
идеалы
но ни один из этих полиномов не имеет вещественных корней;
этому соответствующие многообразия пусты:
Полиномы от двух переменных 1 + х2 + у2 и 1 + х2 + у4 также j
имеют вещественных корней. Они порождают различные идеа
Е[х,г/], но соответствующие многообразия пусты.
Возникает вопрос, могут ли какие-либо идеалы определить
стое многообразие, если поле А: алгебраически замкнуто. В
одной переменной каждый идеал кольца к[х] порождается о,п
полиномом, так как А:[х] — это область главных идеалов-(см.
гл. 1). Таким образом, I = (/} для некоторого полинома / G к[
Тогда VG) — это множество корней полинома /. Но так как к i
раически замкнуто, то каждый непостоянный полином в к[х] име
корень. Поэтому VG) = 0 в том и только том случае, когда
ненулевая константа. Но тогда 1// ? к; значит, 1 = A//) ¦ f ? I,'
д = д ¦ 1 ? I для любого д. Таким образом, только в случае I = Щ
многообразие VG) пусто.
Удивительным образом это же справедливо и в случае неси
ких переменных: если к алгебраически замкнуто, то V(J) = 0в:
и только том случае, когда / = k[xi,..., хп]. Это утверждение i
вается слабой теоремой о нулях. Слабая теорема о нулях являе
основой (на самом деле она ему эквивалентна) одного из са
значительных математических результатов конца девятнадцат
1. Теорема Гильберта о нулях
223
века — теоремы Гильберта о нулях. Влияние этого результата тако-
таково, что и сегодня немецкое название этой теоремы Nullstellensatz
является общеупотребительным. Этот термин образован способом,
обычным для немецкого языка, из трех слов: Null (=нуль), Stellen
(=точки), Satz (^теорема).
Теорема 1 (слабая теорема о нулях). Пусть к алгебраически зам-
замкнуто, и пусть I С k[xi,...,xn] —идеал, такой, что VG) = 0.
Тогда I = к[хг,... ,х„].
Доказательство. Обычная стратегия доказательства того, что
идеал I совпадает с полиномиальным кольцом к[хх,... ,хп], состо-
состоит в том, чтобы убедиться, что 1 € /. В самом деле, если 1 € /, то
/ = / • 1 Е / для любого полинома / ? к[х\,..., хп].
Мы будем проводить индукцию по п —числу переменных. Если
п = 1, то IС к [х], и мы уже доказали выше справедливость теоремы
в этом случае.
Пусть теорема справедлива для полиномиального кольца
к[х2; ¦ ¦ ¦, хп] от п - 1 переменных. Рассмотрим произвольный идеал
1~ (/ь- • • i/s) С к[х\,... ,хп], и пусть VG) = 0. Мы можем считать,
что А не константа — иначе нечего и доказывать. Пусть полная сте-
степень полинома А равна N > 1. Мы произведем замену координат,
чтобы преобразовать А к удобному виду. А именно, рассмотрим
линейную замену
Х\ = Х\,
A)
хп = хп-
где Qj — это константы из к, которые мы определим позже. В новых
координатах А имеет вид
i,... ,хп) =
— с(п2, ..., an)x^ + члены, где i\ имеет степень < N.
Мы оставляем читателю как упражнение доказательство то-
того факта, что с(а,2,... ,ап) —ненулевой полином от переменных
а2; ¦.., ап. В упражнениях мы докажем, что алгебраически замкну-
замкнутое поле бесконечно, т.е. мы можем найти такие а,2,...,ап, что
с(а2, •.. ,а„) ф 0 (см. предложение 5 из § 1 гл. 1).
Выбрав а,2, ...,ап, мы преобразуем теперь с помощью замены
A) каждый полином / € к[х\,..., хп] в полином / G k[ii,..., хп]. В
Упражнениях мы докажем, что множество /={/:/€/} является

224
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
идеалом в k[ii,..., х„]. Отметим, что VG) = 0, так как если
образованные уравнения имеют решение, то и исходные уравне
тоже. Более того, если мы докажем, что 1 G /, то 1 6 /, потому
константы не меняются при замене переменных.
Таким образом, нужно доказать, что 1 ? I. Мы знаем, что
имеет вид
= c(a2,..., an)x^ + члены, где i\ имеет степень < N,
причем с(а2,... ,ап) ф 0. Теперь мы можем применить следе
геометрической теоремы о продолжении (следствие 4 из § 2 гл.
чтобы связать многообразие V(J) и его проекцию на подпрос
ство с координатами х2,..., хп. Как указывалось в гл. 3, теорема
продолжении и ее следствие справедливы над любым алгебра
ки замкнутым полем. Пусть
— проекция на последние п — \ координат. Положим, как обь
но, h — I П к[х2,... ,in]. Тогда указанное следствие утверг
что все частичные решения в А:™ продолжаются до полных,
VGi) = tti(VG)). Значит, VGi)_= tti(VG)) = тп@) = 0.
да по предположению индукции 1\ = к[х2,..., хп]. Следователь
1 G h С /. Доказательство закончено.
В случае А; = С слабую теорему о нулях можно назвать «осно
ной теоремой алгебры для полиномов от нескольких переменнь
каждая система полиномов, которая порождает идеал, мены
чем С[х\,..., хп], имеет общий нуль в С1.
Слабая теорема о нулях позволяет решить задачу совмести
сти из § 2 гл. 1. Напомним, что эта задача состоит в том,
определить, имеет ли система полиномиальных уравнений
Л=0,
/2 = 0,
/. = 0
решение в С". Система не имеет решения в том и только том
чае, когда У(Д,..., Д) = 0. По слабой теореме о нулях после
выполняется в том и только том случае, когда 1 € (Д,..., Д). Та
образом, для решения задачи совместности мы должны уметь or
делять, принадлежит ли единица данному идеалу. Это неслоз
§ 1. Теорема Гильберта о нулях
225
если заметить, что для любого мономиального упорядочения {1} —
это единственный редуцированный базис Грёбнера идеала A).
Докажем это. Пусть {gi,... ,gt) —базис Грёбнера идеала/ = A).
Таким образом, 1 е (lt(J)) = (irr(gi),... ,ur(gt)). Согласно лем-
лемме 2 из § 4 гл. 2, 1 делится на какой-то isv(gi), например на LT(gi).
Значит, VT(gi) —константа. Но тогда LT(g2),...,irr(gt) делятся на
lt(<7i) и по лемме 3 из § 7 гл. 2 д2, ¦. ¦ ,gt могут быть удалены из
базиса. Наконец, так как lt(#i) — константа, то д\ —константа, по-
потому что любой непостоянный моном > 1 (следствие 6 из § 4 гл. 2).
Умножив на подходящую константу, мы можем сделать так, чтобы
01 = 1; таким образом, редуцированный базис Грёбнера идеала A)
состоит из одного элемента, т.е. это {1}.
Подведем итоги. Мы построили следующий алгоритм проверки
совместности: пусть нам даны полиномы Д,..., Д Е C[xi,..., хп].
Мы находим редуцированный базис Грёбнера идеала, порожден-
порожденного этими полиномами, по отношению к любому упорядочению.
Если этот базис есть {1}, то система Д = ... = Д = 0 не имеет ре-
решения; в противном случае эта система имеет решение в С™. Этот
алгоритм работает над любым алгебраически замкнутым полем.
Если поле А: не является алгебраически замкнутым, то алго-
алгоритм работает в одну сторону: если {1} —редуцированный базис
Грёбнера идеала (Д,..., Д), то система Д = ... = Д = 0 не имеет
решений. Примеры, рассмотренные в начале параграфа, показыва-
показывают, что обратное не имеет места.
Слабая теорема о нулях позволяет надеяться, что если поле к
алгебраически замкнуто, то существует взаимно однозначное со-
соответствие между аффинными многообразиями и идеалами. К со-
сожалению, пример V(x) = V(i2) = {0}) работает над любым по-
полем. Аналогично, идеалы (х2,у) и (х,у) (и вообще (хт,уп) при
т > 1,п > 1) различны, но определяют одно и то же много-
многообразие: точку {@,0)} С к2. Эти примеры демонстрируют основ-
основную причину, почему различные идеалы определяют одно и то
же многообразие: степень полинома равна нулю на том же мно-
множестве, на котором равен нулю исходный полином. Теорема Гиль-
Гильберта о нулях утверждает, что над алгебраически замкнутым по-
полем это единственная причина того, что разные идеалы опре-
определяют одно многообразие: если полином / равен нулю во всех
точках многообразия VG), то некоторая его степень принадле-
принадлежит I.
Теорема 2 (теорема Гильберта о нулях). Пусть к —алгебраичес-
—алгебраически замкнутое поле. Если /, Д,...,Д € к[х\,... ,хп] таковы, что
f G 1(У(Д,..., Д)), то существует натуральное число т > 1,

226 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
такое, что
Г е (Л,.-.,Л)
(и обратно).
Доказательство. Пусть полином / обращается в нуль на мное
образии V(/i,..., /s). Мы должны доказать, что существует нат
ральное т > 1 и полиномы Ai,...,As, такие, что я
Самое простое доказательство использует следующий неожщ
ный прием1). Рассмотрим идеал
I = (fi,---,fs,l-yf) С k[xi,...,xn,y],
где у — новая переменная. Мы утверждаем, что
VGj = 0.
Докажем это. Пусть (а\,... ,an,an+i) € A:n+1; тогда или
• (аь...,а„) eV(/i,...,/,), или
В первом случае f{a,\, ...,ап) = 0, так как / обращается в нуд
на V(/i,... ,/s). Значит, полином 1 — yf равен 1 в точке (ai,..i
ап, on+i), т. е. (ai,..., an, an+i) 0 V(J). Во втором случае для нек.
торого г, 1 < г < s, имеем fi{a\,... ,ап) ф 0. Мы будем рассматрв
вать fi как функцию от п + 1 переменных, которая не зависит с
an+i, т.е. /i(ai,... ,an,an+i) / 0. В частности, отсюда следует, 41
(ab...,an,an+i) ? VG).
Так как точка (ai,... ,an,an+i) 6 /cn+1 была выбрана произвс
но, то получаем, что V(J) = 0.
Теперь применение слабой теоремы о нулях показывает, что 1
/. Значит,
S
^2pi(xu ... ,xn,y)fi + q(xi,... ,хп,у)A -yf) E
для некоторых полиномов pi, q € k[xi,..., хп, у]. Положим в раве
стве B) у - l/f(xi,...,xn). Тогда
C)
t=i
1'Принадлежащий Рабиновичу (см. Rabinovisch S. Zum Hilbertsche
Nullstellensatz, Math. Ann., 102, 1929, 520). — Прим. ред.
1. Теорема Гильберта о нулях
227
Умножим теперь C) на подходящую степень полинома fm так, что-
чтобы освободиться от знаменателей в правой части. Это даст нам
равенство
г=1
для некоторых полиномов At G k[x\,... ,хп], что и требовалось до-
доказать. ?
Упражнения к § 1
1. Напомним, что многообразие V(y — х2, z — х3) —это скрученная ку-
кубика в R3.
(a) Докажите, что V((y—x2J+(z—х3J) — также скрученная кубика.
(b) Докажите, что любое многообразие VG) С Rn, / С R[zi,..., х„],
может быть задано одним уравнением (и, следовательно, глав-
главным идеалом).
2. Пусть J = (х2 + у2 - 1, у - 1). Найдите / € I(V( J)), такой, что / ? J.
3. При замене переменных A) полином /(xi,... ,хп) полной степени N
преобразуется в полином вида
/ = с(п2, ..., an)xi + члены, содержащие х\ в степени < N.
Мы хотим доказать, что с(а,2, ¦. ¦, ап) — ненулевой полином от пере-
переменных Oj.
(a) Пусть / = /ijv+/ijv-i + - • -+ho, где hi, 0 < i < N, однородны степени
i (т.е. каждый моном в hi имеет полную степень г). Докажите,
что с(п2, ¦.. ,а„) = hN{l,a2,... ,а„).
(b) Пусть /i(xi,... ,х„) — однородный полином. Докажите, что h ра-
равен нулю в k[xi,..., хп] в том и только том случае, когда полином
/гA,Х2, ¦ ¦ • ,хп) равен нулю в к[х2, ¦ ¦ ¦ ,хп].
(c) Используя пп. (а) и (Ь), докажите, что с(а,2,..., ап) не является
нулевым полиномом от переменных аг,..., а„.
4. Докажите, что алгебраически замкнутое поле к бесконечно. Указа-
Указание: если ai,... ,ап 6 к, можете ли вы построить полином / 6 к[х],
такой, что /(а;) = 1 для всех г?
5. Докажите, что множество I, определенное в доказательстве слабой
теоремы о нулях, является идеалом в к[х\,..., хп\.
6. При выводе теоремы Гильберта о нулях из слабой теоремы о ну-
нулях мы использовали подстановку у = 1/f(x\,..., хп). Докажите кор-
корректность этой процедуры. Указание: в каком множестве содержится
1//?
7. В этом упражнении мы докажем следующий факт: если поле к не
является алгебраически замкнутым, то любое многообразие V С кп
может быть задано одним уравнением.

228 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
(a) Пусть / = aoxn + a\xn~l + ... + an-ix + an —полином степе
п от переменной х. Определим по / его гомогенизацию1^—(
нородный полином /Л, построенный с помощью дополнительв
переменной у: fh = aoxn + a1xn~1y + ... + an-ixyn'1 + anyn.,
кажите, что / имеет корень в к в том и только том случае, когд
найдется точка (а,6) 6 k2,(a,b) ф @,0), такая, что fh(a,b) =1
Указание: докажите, что fh(a, b) = bnfh(a/b, 1), если 6^
(b) Пусть поле к не является алгебраически замкнутым. До*
те, что существует полином / 6 к[х,у], такой, что многообра
V(/) состоит только из одной точки @,0) 6 к2. Указание: на
дите полином в к[х], не имеющий корней в к, и рассмотрите i
гомогенизацию.
(c) Пусть поле к не является алгебраически замкнутым. Докажи
что для каждого натурального s > 0, существует / € k[xi ,...,;
такой, что уравнение / = 0 имеет ровно одно решение @,..., (
ks. Указание: используйте результат п. (Ь) и проведите индукг
по s. См. также упр. 1.
(d) Пусть W = V(<?i,..., gs) —некоторое многообразие в кп и поле J
не является алгебраически замкнутым. Докажите, что W мс
быть задано одним уравнением. Указание: рассмотрите полино
/(9ь • • ¦ ,9s), где / — полином, найденный в п. (с).
8. Пусть к — произвольное поле. Рассмотрим множество 5 всех по
номов из k[xi,...,xn], не равных нулю ни в одной точке из
Пусть I С k[xi,...,xn]— идеал, такой, что IЛ S = 0. Докажите,
V(/) ф 0. Указание: если к не является алгебраически замкнуть
то используйте результат предыдущего упражнения.
9. (Обобщение упр. 5.) Пусть А есть п х n-матрица с элементами
к. Пусть х и х — векторы-столбцы, такие, что х — Ах. Определ
отображение
оа ¦ k[xi,. ..,!„]-> k[xi,...,xn]
следующим образом: полином / € k[xi,..., хп] отображается в поли-|
ном /е к[х!,...,?„], где /(г) = }{Ах).
(a) Докажите, что отображение a a fc-линейно, т.е. па(г/ + sg)
гоа} + saAg для всех г, s e к и всех f,gek[xi,...,xn]-
(b) Докажите, что aA(fg) = aA(f)-aA(g) для всех /, д 6 k[xi,..., ж„].|
(fc-линейное отображение, обладающее этим свойством, а такжв|
переводящее постоянный полином 1 в постоянный полином 1,:
зывается кольцевым гомоморфизмом. Так как ал A) = 1, то ад •
кольцевой гомоморфизм.)
(c) Какими свойствами должна обладать матрица А, чтобы отобр
жение ал было взаимно однозначным?
английского «homogeneous» —однородный. — Прим.ред.
§ 2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—многообразие 229
(d) Является ли образ {ал (/):/€ I} идеала I Ck[xi,... ,хп] идеалом
в k[?i,..., гп]? Докажите этот факт или приведите контрпример.
(e) Является ли прообраз {/ € k[xi,... ,хп] ¦ ola{J) € /} идеала I С
к[х\,...,хп\ идеалом в к[х\,... ,?„]? Докажите или приведите
контрпример.
(f) Изменятся ли заключения упражнений (а)-(е), если мы позволим
элементам матрицы А быть полиномами из к[х\,..., хп]?
10. В упр. 1 мы рассматривали два идеала из R[x, у], которые опреде-
определяют одно и то же непустое многообразие. Докажите, что один из
этих идеалов содержится в другом. Можете ли вы найти два идеала
в Щх, у], из которых ни один не содержится в другом, но много-
многообразия, определяемые ими, непусты и совпадают? Можете ли вы
выполнить ту же задачу в Щх]?
§ 2. Радикальные идеалы и соответствие
идеал—многообразие
Чтобы дальше изучать соответствие между идеалами и многообра-
многообразиями, мы переформулируем теорему Гильберта о нулях в терми-
терминах идеалов. Как охарактеризовать идеал, который является идеа-
идеалом некоторого многообразия? Другими словами, как описать иде-
идеалы, состоящие из всех полиномов обращающихся в нуль на неко-
некотором многообразии VI Ключевым утверждением является следу-
следующая лемма.
Лемма 1. Пусть V — многообразие. Если fm G I(V), то f € I(V).
Доказательство. Пусть х 6 V. Если /m € I(V), to (/(z))m = 0.
Следовательно, f(x) = 0. Так как точка х ? V была выбрана про-
произвольно, то / €
Таким образом идеал всех полиномов, равных нулю на некото-
некотором многообразии V, обладает следующим свойством: если степень
полинома принадлежит идеалу, то и сам полином должен ему при-
принадлежать. Дадим определение.
Определение 2. Идеал / называется радикальным, если из вклю-
включения /т € / для некоторого т > 1 следует, что / ? /.
Переформулируем лемму 1.
Следствие 3. I(V) является радикальным идеалом.
С другой стороны, теорема Гильберта о нулях утверждает, что
идеал I не является идеалом всех полиномов, равных нулю на VG),

230
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
только в том случае, когда он содержит некоторую степень fm по-
полинома /, причем / 0 /, другими словами, когда он не радикален.
Это замечание наводит на мысль, что существует взаимно одно-
однозначное соответствие между аффинными многообразиями и ради-
радикальными идеалами. Чтобы прояснить ситуацию и четко сформу-
сформулировать результат, мы введем операцию взятия радикала произ-
произвольного идеала.
Определение 4. Пусть / С k[xi,... ,хп] —некоторый идеал. Ради-
Радикалом VI идеала / называется множество
{/ : fm ? / для некоторого целого m > 1}.
Отметим, что / С VI, поскольку если f Е I, то f1 ? I, a сле-
следовательно, / ? VI- Очевидно, что идеал / радикален в том и
только том случае, когда / = VI- Менее очевиден тот факт, что
радикал идеала —тоже идеал. Чтобы убедиться в нетривиальности
этого утверждения, рассмотрим, например, J = (х2,у3) С /с[х,г/].
Хотя ни х, ни у не принадлежат J, они принадлежат VJ- Кроме
того, (х ¦ уJ = х2у2 ? J, так как х2 ? J, т. е. х ¦ у ? VJ- Сложнее
показать, что х + у ? VJ- Для этого заметим, что
(х + уL = х4 + 4х3у + 6х2у2 + 4ху3 + у4 ? J,
поскольку полиномы х4,*1х3у,6х2у2 делятся на х2, а полиномы
ixy3, у4 делятся на у3. Таким образом, х + у ? VJ- При этом ху ? J
и х + у g J.
Лемма 5. Если I является идеалом в к[ц,... ,хп], то VI D I —
также идеал. Более того, \fl — радикальный идеал.
Доказательство. Мы уже доказали, что I С Vl- Докажем теперь,
что Vl — идеал. Пусть /, g € Vl', тогда существуют натуральные чи-
числа т и I, такие, что fm, gl G /. Рассмотрим биномиальное разложе-
разложение (/ + з)т+'~1. Каждый член этого разложения содержит произ-
произведение flgj, i+j = rn+1-1. Так как или i > т, или j > I, то или /*,
или gi принадлежит /, а следовательно, flgi € /; значит, каждый
член этого разложения принадлежит / и потому (/ + g)m+l~1 ? / и
f + g Е Vl- Пусть теперь / G \Д и h G k[xi,..., хп\- Тогда fmel для
некоторого целого т > 1. Так как / — идеал, то (h-f)m = hmfm G I.
Следовательно, hf € Vl- Мы доказали, что \fl~ идеал. В упр. 4
будет доказано, что \Д — радикальный идеал. D
2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—многообразие 231
Теперь мы можем доказать теорему о нулях в терминах иде-
идеалов.
Теорема 6 (сильная теорема о нулях). Пусть к — алгебраически
замкнутое поле и I — идеал в к[х\,..., хп]. Тогда
i(V(/)) = VI.
Доказательство. Очевидно, что VIС I(V(/)), потому что / G VI
означает, что fm ? I для некоторого т. Значит, /т обращается
в нуль на VG), а следовательно, / обращается в нуль на V(J).
Таким образом, / € I(V(/)).
С другой стороны, предположим, что / ? I(V(/)), т.е. / обра-
обращается в нуль на V(J). По теореме Гильберта о нулях существует
целое т > 1, такое, что fm ? /. Но это означает, что / ? VI- По-
Поскольку полином / был выбран произвольно, I(V(/)) С Vl- Теорема
доказана. ?
Именно теорему 6 обычно называют теоремой о нулях, и мы
также будем следовать этой традиции. Самым важным следстви-
следствием теоремы о нулях является возможность построить алгебро-
геометрический «словарь». Основные правила пользования им фор-
формулируются в следующей теореме.
Теорема 7 (соответствие идеал—многообразие). Пусть к — произ-
произвольное поле.
(\) Отображения
идеалы
инные многообразия
v
идеалы
Ьинные многообразия
обращают включение, т. е. если 1\ С h —идеалы, то V(/i) D
У(/г), и аналогично, если Vj С V% —многообразия, то I(Vi) D
1(Уг)- Кроме того, равенство
V(I(V)) = V
справедливо для любого многообразия V, т.е. отображение I
взаимно однозначно.
(И) Если к алгебраически замкнуто и мы ограничиваемся ради-
радикальными идеалами, то отображения
аффинные многообразия > радикальные идеалы
радикальные идеалы
<инные многообразия

232 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
являются взаимно обратными биекциями, которые обращают
включение.
Доказательство, (i) Тот факт, что I и V обращают включение,
будет доказан в упражнениях. Докажем, что V(I(V)) = V, где V =
V(/i,... ,fs)— некоторое подмногообразие в кп. Так как любой по-
полином / € 1A0 обращается в нуль на V, то V С V(I(V)) по опреде-
определению многообразия V. С другой стороны, заметим, что Д,..., Д €
1(V) по определению идеала I(V); значит, (Д,...,Д>) С I{V). Так
как V обращает включение, то V(I(F)) С У((Д, ...,fs) = V. Равен-
Равенство V(I(y)) = V доказано. Кроме того, доказано, что I —взаимно
однозначное отображение, так как оно имеет левое обратное.
(ii) По следствию 3 идеал I(V) радикален; следовательно, мы
можем рассматривать I как отображение множества многообра-
многообразий в множество радикальных идеалов. Мы знаем, что равенство
V(I(V)) = V справедливо над любым полем. Нам осталось дока-
доказать, что I(V(/)) = /, если / — радикальный идеал. По теореме о
нулях I(V(/)) = у/1, но если I радикален, то I = у/1 (см. упр. 4).
Следовательно, отображения V и I взаимно обратны и определяют
биекции между множеством радикальных идеалов и множеством
аффинных многообразий. Теорема доказана. ?
Эта теорема позволяет переформулировать любое утверждение
о многообразиях как утверждение об идеалах (и обратно) (если
основное поле алгебраически замкнуто). Возможность перехода от
алгебры к геометрии весьма полезна. .
В свете теоремы о нулях и важности того, что в соответствие
ставятся радикальные идеалы, возникает естественный вопрос, как \
найти множество образующих радикала у/1, если мы знаем множе- ]
ство образующих самого идеала /. На самом деле возникают три ]
вопроса об идеале / = (Д,..., Д.):
• (Образующие радикала) Существует ли алгоритм, вычисляю-'
щий набор полиномов gi,...,gm, такой, что у/1 = (gi,. ¦., <7m)? ,
• (Радикальный идеал) Существует ли алгоритм, позволяющий-
выяснить, радикален ли данный идеал II
• (Принадлежность радикальному идеалу) Для заданной функ-;
ции / ? к[х\,..., хп] существует ли алгоритм, позволяющий выН
яснить, верно ли, что / G у/1?
Существование подобных алгоритмов обосновано в рабе
Hermann A926) (современное рассмотрение этих вопросов см.
работах Mines, Richman, Ruitenburg A988) и Seidenberc
§ 2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—многообразие 233
A974, 1984)). К сожалению, алгоритмы, решающие первые два во-
вопроса, малоэффективны и трудно реализуемы на компьютере. Од-
Однако недавняя работа Gianni, Trager, Zacharias A988) привела
к созданию алгоритма нахождения радикала. Этот алгоритм реа-
реализован в системах AXIOM и REDUCE и детально описан в рабо-
работе Becker, Weispfenning A993), Theorem 8.99. Другой алгоритм
нахождения радикала предложен в работе ElSENBUD, Huneke,
VASCONCELOS A992) и реализован в системе Macaulay.
Сейчас мы займемся более простой третьей задачей — задачей о
принадлежности радикальному идеалу. Для проверки принадлеж-
принадлежности / G у/1 мы могли бы использовать алгоритм принадлежности
идеалу, чтобы выяснить, принадлежит ли fm идеалу I для произ-
произвольного натурального т. Это малоэффективный способ, потому
что мы можем дойти до очень больших чисел, не приобретя уверен-
уверенности, что / $ у/1. К счастью, доказательство теоремы Гильберта
0 нулях позволяет сконструировать алгоритм, решающий задачу о
принадлежности идеалу \/(Д, ¦ ¦ ¦, Д).
Предложение 8 (принадлежность радикальному идеалу). Пусть
к - произвольное поле и I = (Д,..., Д) с к[ц,..., хп] - некото-
некоторый идеал. Тогда f G у/1 в том и только том случае, когда посто-
постоянный полином 1 принадлежит идеалу I = (Д,...,Д,1 - yf) С
k[xi,...,xn,y] (и, значит, I = к[хх,... ,хп,у\).
Доказательство. Пусть 1 € 7; тогда из равенств B)-D) из § 1 сле-
следует, что fm е I для некоторого т, т.е. f e у/1. С другой стороны,
пусть / €_у/1. Тогда /™ € / С 7 для некоторого т. Кроме того,
1 ~ yf 6 I: и! следовательно
1 = у™f™ + A _ у™/"*) =
= ут ¦ Г + A - yf) ¦ A + yf +... + г/-1/-1) € Т.
Предложение доказано. ?
Предложение 8 и замечания выше о том, как определить при-
принадлежность 1 идеалу (см. обсуждение вопроса о совместности в
§ 1), дают возможность построить алгоритм принадлежности ра-
дикальному идеалу. А именно, чтобы определить, принадлежит ли
/ идеалу \/(Д,-.., Д) С k[xi,...,xn], мы находим редуцирован-
редуцированный базис Грёбнера идеала (Д,..., Д, 1 - yf) С k[xi,. ..,xn, у] по
отношению к любому упорядочению. Если этот базис есть {1}, то
/ € у/1. В противном случае / ^ у/1.
В качестве примера рассмотрим идеал / = (ху2 + 2у2, х4 - 2х2 +
1) С к[х, у]. Мы хотим узнать, принадлежит ли полином / = у-х2+1

234
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
идеалу у/Т. Используя lex-упорядочение на k[x,y, z], мы получ
что редуцированный базис Грёбнера идеала
7= (ху2 + 2у\х4 - 2х2 + 1,1 - z(y -х2 + 1)) С к[х,у,z]
есть {1}. Значит, у - х2 + 1 G у/Т.
В самом деле, используя алгоритм деления, мы можем уб
ся, что
у - х2 + 1 = у - х2 + 1,
(y-x2 + lJ =-2x2y
7 2 \3G
где G = {x4 — 2x2 + 1, y2} — базис Грёбнера идеала / относительв
lex-упорядочения, a pG — остаток от деления р на G. Таким обр
зом, (у — х2 + IK ? /, но меньшие степени полинома / идеалу;
не принадлежат.
Какова же геометрия этого примера? Как множество V(J)
{(±1,0)}, но (нестрого говоря) каждый полином из / имеет
порядка не менее двух в каждой из двух его точек. Это станов»
очевидным, если разложить образующие идеала /:
2у2 = у2(х + 2)
х4-2х2
ху2 + 2у2 = у2{х + 2) и х4-2х2 + 1 = (х2-IJ.
Хотя f = у — 12+1и равен нулю в (±1,0), но имеет нуль поря
один в этих точках. Следовательно, нужно возвести / в степе
большую единицы, чтобы получить элемент из I.
Мы завершим этот параграф обсуждением случая, когда
сать радикал идеала довольно просто, а именно когда мы име
дело с главным идеалом / = (/). Напомним, что полином / на
вается неприводимым, если он не может быть разложен в прок
дение двух полиномов положительной степени. В § 5 гл. 3 мы
казали, что любой полином является произведением неприводим!
полиномов. Собирая вместе неприводимые полиномы, отличг
еся на постоянный множитель, мы можем записать / в виде
J — J\ 12 ¦ ¦ ¦ Jr )
где fi,l<i<r, — различные неприводимые полиномы, т. е. fi не
получить из fj при г ф j умножением на ненулевую константу. Бс
того, это представление полинома / единственно с точностью до ]
рестановки сомножителей и до постоянных множителей. (Здесь ]
просто повторили формулировку теоремы 5 из § 5 гл. 3.) Если
знаем представление полинома / в виде произведения непривс
мых полиномов, то легко дать явное описание радикала главно
идеала /.
§ 2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—многообразие 235
Предложение 9. Пусть f G k[x\,... ,хп], и пусть /=(/)— глав-
главный идеал, порожденный полиномом f. Если f = /f1 /?2... /"г —
представление f в виде произведения неприводимых полиномов,
Доказательство. Легко показать, что
max(ai,... ,аг). Тогда
... /г ? у/Т. Пусть N >
(/l/2 ¦¦¦Jr) -Д /2 ¦¦¦Jr /
j
/2
Так как (/г/2 ... fr)N ? /, то hh ... /P € V7, т. е. (/1/2 ...fr)Cy/T.
Пусть теперь g G у/Т. Тогда существует натуральное число М,
такое, что дм ? I, т. е. дм = h ¦ f для некоторого полинома h. Пусть
д = д^д^2.. .gbs' —разложение полинома д в произведение различ-
различных неприводимых полиномов. Тогда дм = д\г д22 ¦ ¦ ¦ gbs°M — раз-
разложение полинома дм в произведение различных неприводимых
полиномов. Таким образом,
Ь2М пЬ,
92 ¦¦ -9s
— n
raj ta.2 far
Ji /2 • • • Jr ¦
Но разложение на неприводимые множители единственно; значит,
каждый полином fi равен (с точностью до постоянного множителя)
некоторому полиному д^. Поэтому д делится на f\/2 .../г; следова-
следовательно, д ? (/i/г ¦ • • /г)- Предложение доказано. ?
Предложение 9 приводит нас к следующему определению.
Определение 10. Пусть / G k[x\,.. .,хп]. Редукцией полинома f
называется такой полином /red, что (/red) = y/ifl- Полином называ-
называется редуцированным (или свободным от квадратов), если / = /red-
Другими словами, /red получается из / «удалением» повторя-
повторяющихся неприводимых множителей. Пусть, например, / = (х +
У2)ЧХ - у); тогда /red = {х + у2)(х - у). Отметим, что /red опре-
определен однозначно с точностью до постоянного множителя.
Однако алгоритм, реализующий утверждение предложения 9,
неэффективен, так как предложение 9 требует разложения полино-
полинома / в произведение неприводимых множителей. Возникает вопрос,
существует ли алгоритм, позволяющий вычислять /red> не произво-
производя разложения полинома /. Оказывается, что такой алгоритм есть.
Прежде чем дать его описание, определим наибольший общий
делитель двух полиномов.
Определение 11. Пусть f,g € k[xi, ...,хп]; тогда h e k[x\, ...,хп]
называется наибольшим общим делителем полиномов f и g и обо-
обозначается h = GCD(f,g), если

236 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
(i) h делит и / и д;
(и) если полином р делит и /, и д, то р делит h.
Легко показать, что GCD(/, g) существует и определен однос»
значно с точностью до постоянного множителя (упр. 9). К сожа-1
лению, алгоритм вычисления GCD для случая одной переменной \
(алгоритм Евклида) не работает в случае нескольких переменных.
Рассмотрим, например, полиномы xy,xz ? k[x,y,z]. Очевидно, что
GCD(xy,xz) = х. Однако при любом упорядочении деление ху на'
xz дает 0 и ху в остатке, а деление xz на ху дает 0 и xz в остатке. В
результате ни один полином «не уменьшается», и следующий шаг
аналога алгоритма Евклида невозможен.
Тем не менее алгоритм, вычисляющий GCD двух полиномов от '
нескольких переменных, существует. Его рассмотрение будет отло-
отложено до следующего параграфа — сначала мы должны изучить п
ресечение идеалов. Предположим, однако, что такой алгоритм у наё
есть. Тогда мы можем определить GCD(/b ..., /,), где /i,...,/,e
k[xi,..., хп] так же, как в случае одной переменной. Существует и:
алгоритм для вычисления GCD(/i, /2,..., fs).
Теперь, используя понятие наибольшего общего делителя, м
можем дать формулу для вычисления радикала главного идеала. '
Предложение 12. Пусть поле к содержит поле рациональных'
чисел Q, и пусть I = (/) —главный идеал в k[xi,... ,хп]. Тогдё,
Л = (/red), где
/
/red =
GCD
Доказательство. Запишем / в таком же виде, как в предложения
9. Тогда у/1 = (Д/2-../r)- Таким образом, нам достаточно дока*
зать, что
f К EL
~Ч%2 1---frr 1-
A)
Имеем
_ fai-l fa.2 — 1
far-l
Это доказывает, что /f1 lf%2 *... /°г х делит GCD. Осталось до- |
казать, что для каждого i найдется Ш-, не делящийся на /f\
OXj г
Запишем / = /f'/ij, где Ы не делится на /{. Так как /{ имеет
положительную степень, то некоторая переменная Xj встречается
2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—многообразие 237
в /f. Тогда
я~ ~№ l {aidx]hi + fidx]}-
Если ^- делится на /tai, то §?:Ы делится на fi. Так как /, неприво-
неприводим и hi не делится на /{, то /{ делит ¦?. В упр. 13 будет доказано,
что |^ — ненулевой полином, потому что Q С к и Xj встречается
в fi. Но полная степень полинома -д^ меньше, чем полная степень
полинома ft; поэтому fi не может делить |?-, а значит, /f не может
делить дЦ-, что и доказывает A). Предложение доказано. ?
Следует отметить, что для полей, не содержащих Q, приведен-
приведенная выше формула для /red может быть ошибочной (см. упр. 13).
Упражнения к § 2
1. Докажите, что д/(х2,у2) = (х,у) для произвольного поля к и что,
более общим образом, у/{хп,ут) = (х,у) для натуральных т, п.
1. Пусть / и д — различные непостоянные полиномы в к[х,у], и пусть
I = (/2,д3). Верно ли, что л/7 = (/, <?)? Объясните ваш ответ.
3. Докажите, что (х2 + 1) С R[x] —радикальный идеал, но что много-
многообразие V(x2 + 1) пусто.
4. Пусть I — идеал в k[xi,..., хп], а к — произвольное поле.
(a) Докажите, что у/7 — радикальный идеал.
(b) Докажите, что I радикален в том и только том случае, когда
(c) Докажите, что у/у/1 = т/Т.
о. Докажите, что отображения I и V обращают включения.
6. Пусть I — идеал в k[xi,..., хп].
(a) Докажите, что в частном случае, когда у/1 — (/i, /2), где /,mi € /,
ymi+m2-l g I ддя всех j e JI
(b) Теперь докажите, что для любого I найдется то, такое, что }т° €
I для всех / 6 у/1. Указание: у/1 — (/i, • • •, А).
7. Определите, принадлежат ли указанные полиномы указанным ради-
радикалам. Если да, то найдите наименьшую степень полинома, принад-
принадлежащую исходному идеалу.
(a) Верно ли, что х + у € л/(х3, у3, ху(х + у))?
(b) Верно ли, что х2 + 3xz 6 у/(х + z, х2у, х — z2)?
8. Пусть /т и /m+i —однородные полиномы, степеней т и т + 1 соот-
соответственно без общих делителей (т. е. GCD(/m, /m+i) = 1)- Докажите,
что полином h = }т + /m+i неприводим.

238
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
9. Пусть /, д € k[xi,..., хп]. Используя теорему о единственности р,
жения на множители, докажите существование GCD(/,g). До:
те, что GCD(/, д) определен однозначно с точностью до умнож<
на ненулевую константу.
10. В этом упражнении мы охарактеризуем GCD(/, g) с точки зре:
теории идеалов. Пусть f,g,h 6 k[x\,... , хп]; тогда h = GCD(/,
том и только том случае, когда h является образующей наименыт
главного идеала, содержащего (/,д) (т.е.(h) С J, где J — глав]
идеал, такой, что (f,g) С J).
Найдите базис идеала.
9).
11
- 2х4
2х2 - х, хъ - х4 - 2х3 + 2х2 + х - 1).
См. упр. 17 к § 5 гл. 1.
12. Пусть / = хъ + Зх4у + Зх3у2 - 2х4у2 + х V - 6х3у3 - 6х2у* + х3у4 •
2ху5 + Зх2у5 + Зху6 + у7 € Q[x, у]. Найдите у/Ц).
13. Поле А; имеет характеристику нуль, если оно содержит поле Q,
положительную характеристику в противном случае.
(a) Пусть к есть поле F2 из упр. 1 к § 1 гл. 1, и пусть / — х\ + .
+ х\ 6 F2 [xi,..., х„]. Докажите, что §^- = 0 для всех i. Выве,д
отсюда, что формула из предложения 12 может не выполня
в случае поля Гг.
(b) Пусть к — поле характеристики нуль и / € к[х\,..., хп] — ненул
вой полином. Докажите, что ¦§?- ф О, если переменная xj ветре
ется в /. Объясните, почему полная степень полинома ¦§?- мен
ше, чем полная степень полинома /.
14. Пусть J = {ху, (х — у)х). Найдите V(J) и докажите, что \/1 = (ж).
15. Докажите, что I = (ху, xz, yz) — радикальный идеал. Указание:
из себя представляет остаток от деления полинома / 6 к[х, у, z]
xy,xz,yz1 Как выглядит полином /т?
§ 3. Суммы, произведения
и пересечения идеалов
Идеалы являются алгебраическими объектами. Следовательно,
них можно определить естественные алгебраические операции,
этом параграфе мы рассмотрим три операции: сумму, пересечек
и произведение. Это бинарные операции: каждой паре идеалов он
ставят в соответствие новый идеал. В связи с каждой из этих опера
ций нас будут интересовать два вопроса. Первый: как найти множв
ство образующих идеала, являющегося результатом операции на
некоторыми двумя идеалами, если их образующие нам известны!
Второй: какова геометрическая интерпретация этой операции?
ким образом, первый вопрос отвечает вычислительному направлв
; 3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
239
нню в этой книге, а второй — общему направлению этой главы. Мы
рассмотрим операции по очереди.
Суммы идеалов
Определение 1. Пусть I и J —идеалы кольца к[х\,... ,хп]. Сум-
Сумма I + J идеалов I и J — это множество
I + J={f + g: fel и geJ}.
Предложение 2. Если I и J — идеалы в к[хх,... ,хп], то I + J
также идеал в к[х\,..., хп], причем I + J — это наименьший иде-
идеал, содержащий I и J. Кроме того, если I = (Д,... ,/г) и J =
(gi....,gs), то I + J = (Д,...,Л,5i,...,5s)-
Доказательство. Прежде всего, 0 = 0 + 0 € I + J. Далее, пусть
h\,h2 e I + J- Тогда h\ = Pi+qi,h2 =p2 + q2, где pi,p2 e I и qi,q2 ? J.
Имеем hi + h2 = (px + qi) + (p2 + q2) = (pi + p2) + (qi +q2) e I + J,
так как pi + p2 e I и qi + q2 6 J по определению идеала. Пусть
теперь he I + J, a I e k[x\,...,xn] — произвольный полином. Тогда
h = f + g,где fel,geJ. Имеем I ¦ h = I ¦ (f + g) = I ¦ f + 1 ¦ g e I + J,
так как ifelnl-geJ no определению идеала. Таким образом,
I + J — идеал.
Если Н — некоторый идеал, содержащий / и J, то Н содержит
все элементы f е I я все элементы g e J. Так как Н — идеал, то он
содержит все суммы f+g, где / ? / и g e J. Значит, I+J С Н. Таким
образом, каждый идеал, содержащий I и J, обязан содержать и
I+J. т. е. I+J — наименьший из идеалов с этим свойством. Наконец,
если/= (Д,.--,/г) и J= (gi,.. .,gs), то идеал (Д,... ,/г,5ь ¦ ¦ • ,9s)
содержит I я J. Поэтому / + J С (Д,..., /г, 5i, ¦ ¦ ¦, gs)- Обратное
включение очевидно. Значит, / + J = (Д,..., fr, </i,..., gs). ?
Следующее утверждение является прямым следствием предло-
предложения 2.
Следствие 3. Пусть Д,..., /г € к[хх,..., хп). Тогда
Чтобы понять геометрический смысл суммы идеалов, рассмот-
рассмотрим в качестве примера идеалы / = (х2 + у) и J = (z) в Щх,у,г].
Многообразия VG) и V( J) приведены на следующем рисунке. Иде-
Идеал I + J = (х2 + у, z) содержит полиномы х2 + у и z. Значит, мно-
многообразие V(/ + J) состоит из тех точек, где оба полинома х2 + у

240
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
и z обращаются в нуль, т.е. это пересечение многообразий VG)
и V(J).
V(x2+y)
Приведенные рассуждения нетрудно обобщить, чтобы показать,
что сложение идеалов соответствует в геометрии пересечению мно-
многообразий.
Теорема 4. Пусть I u J — идеалы в k[xi,... ,хп]. Тогда V(/ + J) =
Доказательство. Если х Е V(/ +J), то а; € VG), так как / С I + J.
Аналогично, х Е V(J); значит, х Е VG) П V(J), т.е. V(J + J) С
V(J) П V(J).
С другой стороны, пусть х Е VG) П V(J). Пусть /i — произволь-
произвольный полином из / + J. Тогда h = f + g, где / Е / и g Е J. Далее,
/(x) = 0, так как x E VG), и g(x) = 0, так как x E V(J). Значит,
/i(x) = f(x) + ^(x) =0 + 0 = 0. Так как h — произвольный полином
из / + J, то х е VG + J), т. е. V(J + J) Э V(I) П V( J).
Аналог теоремы 4, сформулированный в терминах образующих,
содержится в лемме 2 из § 2 гл. 1.
Произведение идеалов
В лемме 2 из § 2 гл. 1 мы обнаружили, что идеал, порожденный
произведениями образующих двух других идеалов, соответствует
объединению многообразий:
V(/b ... ,/г) U VEl,. ..,</.)= y(fi9i ¦¦ 1 < i < г, 1 < j < s).
Так, например, многообразие V(xz,yz), отвечающее идеалу, по-
порожденному произведениями образующих идеалов (х, у) и (z) в
§ 3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
241
k[x,y,z], является объединением многообразия У(а;,г/) (ось z) и
V(z) (плоскость ху). Это наблюдение приводит к следующему опре-
определению.
Определение 5. Пусть I и J —идеалы в k[xi,... ,хп]. Тогда их
произведение I ¦ J — это идеал, порожденный всеми полиномами
вида / • д, где / G / и д G J.
Таким образом, произведение идеалов / и J — это множество
I ¦ J = {fi9i + ¦ ¦ ¦ + fm9m ¦ fi,---,fme I,gi,...,gmeJ,m>l}.
Докажем, что это множество является идеалом. В самом деле, 0 =
0 • 0 G / • J. Очевидно, что если hi, h2 € / • J, то и hi + h2 G / • J.
Наконец, если h = figi + ... + fmgm € / • J и р — произвольный по-
полином, то
ph = {ph)gi + ... + (pfm)gm el-J,
так как pfi E / для всех i, 1 < г < т. Отметим, что множество про-
произведений не является идеалом — оно не замкнуто относительно
сложения. Следующее предложение показывает, что определение
множества образующих идеала / • J, когда известны образующие
идеалов / и J, не вызывает трудностей.
Предложение 6. Пусть I = (/i,..., /г) и J = (gi,..., gs). Тогда
1 ¦ J порождается множеством всех произведений образующих
идеалов I и J:
Доказательство. Очевидно, что идеал, порожденный произведе-
произведениями figj, содержится в I-J. Докажем обратное включение. Любой
полином из I ¦ J является суммой полиномов вида fg, где / Е / и
g G J. Но / и g могут быть выражены через образующие:
/ = ai/i + ¦ ¦ ¦ + arfr, g = bigi + ... + bsgs,
где ai, bj —некоторые полиномы. Тогда fg и любая сумма полино-
полиномов этого вида есть сумма ^ Cijfi9j> гДе си 6 Мхь • • • i хп\- П
Следующее утверждение показывает, что произведение идеалов
соответствует в геометрии операции взятия объединения много-
многообразий.
Теорема 7. Пусть I и J — идеалы в k[xi,..., хп]. Тогда V(/ • J) =
VG)UV(J).
Доказательство. Пусть х G V(J • J). Тогда f(x)g(x) = 0 для всех
/ € I и всех g E J. Если f(x) = 0 для всех / Е I, то х Е VG). Если

242
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
f(x) ф 0 для некоторого / G /, то д(х) = О для всех д ? J. Значит,
х G V(J). В обоих случаях х G V(/) U V(J).
Пусть теперь х G V(/) U V( J). Тогда или f(x) = 0 для всех / G /,
или д(х) = 0 для всех д G J. Таким образом, равенство f(x)g(x) = О
выполняется для всех f ? I я д е J. Значит, h{x) = 0 для всех
heI-J,T.e.xeV(I-J). ?
В дальнейшем мы часто будем обозначать произведение / • J
просто через IJ.
Пересечение идеалов
В некотором смысле пересечение идеалов — это более простая опе-
операция, чем сложение или умножение идеалов.
Определение 8. Пересечение I П J двух идеалов I,J G
k[xi,..., хп] — это множество полиномов, принадлежащих и /, и J.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 9. Пусть I и J-идеалы в к[хг,... ,хт]. Тогда
I П J — тоже идеал.
Доказательство. Прежде всего, О G / П J, так как О G / и О G J.
Далее, пусть /, g G IDJ. Тогда f+gel, так как /, g G I. Аналогично,
f + g e J, откуда / + g е I n J. Пусть теперь f ? I Г) J я h —
произвольный полином из к[х!,..., хп]. Тогда h¦ f G /, так как / е /
и / — идеал. Аналогично, h- f ? J. Значит, h-felnJ. О
Отметим, что IJ с /П J, потому что элементы из IJ — это суммы
произведений вида fg, где / G / и g G J. Но fg принадлежит / (так
как / G /) и принадлежит J (так как g G J), т. е. fg G / П J. Идеал
IJ, однако, может строго содержаться в / П J. Пусть, например
I = J = (х,у). Тогда IJ = (х2,ху,у2) строго содержится в / П J =
I = (х,у) (х G /П J, но х <? IJ).
Если мы знаем множество образующих идеала / и множество
образующих идеала J, то как найти множество образующих пересе-
пересечения /П J? Это существенно более тонкая задача, чем аналогичные
задачи для суммы и произведения. Пусть, например, / с к[х, у] —
идеал, порожденный полиномом / = (х + уL{х2 + уJ(х - 5у), a J —
идеал, порожденный полиномом g = (х + у)(х2 + уK(х + Зу). Мы
оставляем читателю в качестве нетрудного упражнения проверку
того, что
IП J = ((х + у)\х2 + уK(х - 5у)(х + Зу)).
! 3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
243
Это легко проделать лишь потому, что разложения полиномов /
и g в произведение неприводимых нам известны. В общем случае
мы можем не располагать подобными разложениями. Поэтому ал-
алгоритм, вычисляющий пересечения, должен быть достаточно мощ-
мощным, чтобы преодолеть эту трудность.
Тем не менее существует удобный прием, позволяющий свести
вычисление пересечения к вычислению пересечения идеала с под-
кольцом (т. е. к исключению переменных) — к задаче, уже решен-
решенной нами.
Прежде чем привести описание алгоритма, мы введем некото-
некоторые обозначения. Пусть / — идеал в k[xi,... ,хп], а /(?) G k[t] —
полином от одной переменной t. Тогда fl обозначает идеал в
k[xi,... ,xn,t], порожденный множеством полиномов {/ • h: h e /}¦
Это определение отличается от обычного определения произведе-
произведения, так как / и f(t) лежат в разных кольцах и на самом деле
идеал / С k[xi,... ,хп] не является идеалом в k[xi,...,xn,t], так
как он не замкнут относительно умножения на t. Когда мы хотим
подчеркнуть, что / является полиномом только от t, мы пишем
/ = /(?). Аналогично, подчеркивая, что полином h G к[х\, ...,?„]
зависит только от переменных х\,... ,хп, мы пишем h — h(x). В
том же духе, рассматривая полином g G A:[xi,... ,xn,t], зависящий
как от хь... ,хп, так и от ?, мы будем писать g = g(x,t). В этих
обозначениях fl = f(t)I = (f(t)h(x): h(x) G I). Пусть, например,
f(t) = t2 -t, a / = (x,y). Тогда идеал f(t)I С к[х,у, t] содержит по-
полиномы (t2 - t)x и (t2 - t)y. На самом деле несложно доказать, что
// = ((t2 — t)x, (t2 — t)y). Этот пример является частным случаем
следующего утверждения.
Лемма 10.
(i) Если I порожден как идеал кольца к[х\,... ,хп] полинома-
полиномами pi(x),...,рг(х), то f(t)I порожден как идеал кольца
k[xi,. ..,xn,t] полиномами f(t) ¦ pi(x),... ,f(t) ¦ pr(x).
(ii) Если g(x, t) G f{t)I и а — произвольный элемент из поля к, то
g(x,a) G /.
Доказательство. Отметим сначала, что любой полином g{x,t) G
f(i)I может быть представлен как сумма полиномов вида h(x,t) ¦
f(t) ¦ р(х), где h G k[xi,... ,xn,t], a p G /. Но так как / порожден
полиномами pi,- ¦ ¦ ,рг, то р(х) может быть представлен как сумма
полиномов вида qi(x)pi(x), 1 < г < г, т.е.
р{х) =
г=1

244 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Следовательно,
г
h{x,t) ¦ f{t)-p{x) = Y,Hx,t)qi{x)f{t)Pi{x).
i=l
Так как для любого г, 1 < i < г, h{x,t) ¦ qi{x) G k[xi,... ,xn,t],
то полином h{x,t) ¦ f{t) ¦ p{x) принадлежит идеалу, порожденному
fit) -Pi{x),...,f{t) -pr{x). Поэтому
9(x,t)e(f{t)-Pl{x),...J{t)-Pr{x)).
Пункт (i) доказан. Второе утверждение следует из первого при под-
подстановке a ? к вместо t. ?
Теорема 11. Пусть I,J — идеалы из k[xi,...,хп]. Тогда
ir\J = (ti + (i-
Доказательство. Напомним, что tl + A - t)J — это идеал в
k[xi,... ,xn,t]. Как обычно, чтобы доказать совпадение двух мно-
множеств, докажем, что каждое из них содержится в другом.
Пусть / G If)J. Тогда / G / и, значит, *•/ G tl. Аналогично, / G J
и, следовательно, (l-i)-/e (l-i)J. Тогда / = t-f+(l-t)-f G i/+(l-
t)J. Так как /, J с к[хи... ,хп], то / G (tI+(l-t)J)nk[xu... ,х„].
Значит, / П J С {tl + A - t)J) П к[хи..., хп].
С другой стороны, пусть / G {tl + A - t)J) П к[ц,. ¦., хп]. Тогда
f{x) = g{x,t) + h{x,t), где g{x,t) G tl и /i(i,t) G A - t)J. Положим
t = 0. Так как каждый полином в tl делится на t, то д{х, 0) = 0.
Поэтому f{x) = h(x, 0); следовательно, f{x) G J по лемме 10. Теперь
положим t = 1. Так как каждый полином в A -t) J делится на 1 — t,
то h{x, 1) = 0. Следовательно, f{x) = д(х, 1) и }{х) G / по лемме 10.
Отсюда вытекает, что / G /П J и /DJ D (*/+ A —<) J)nA:[a:i,... ,х„].
Доказательство закончено. П
Этот результат и теорема об исключении (теорема 2 из § 1 гл. 3)
позволяют построить следующий алгоритм для вычисления пере-
пересечения идеалов: если / = (/i,..., /г) и J = E1,..., gs) — идеалы из
A;[a;i,..., хп], то мы рассматриваем идеал
i,.. .,tfr, (I -
- t)gs) С к[х1з.. .,xn,t]
и находим его базис Грёбнера по отношению к lex-упорядочению,
в котором t больше любого xt. Тогда элементы этого базиса, не
зависящие от t, образуют базис (на самом деле базис Грёбнера)
идеала I Г) J. Вычисления можно сделать более эффективными,
если использовать упорядочения, определенные в упр. 5 и 6 к § 1
3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
245
гл. 3. Алгоритм, вычисляющий пересечение трех и более идеалов,
описан в книге Becker, Weispfenning A993), Proposition 6.19.
Рассмотрим пример. Мы хотим вычислить пересечение идеалов
/ = (х2у) та J — (ху2) кольца А;[а;,у]. Рассмотрим идеал
tl + A - t)J = (tx2y, A - t)xy2) = (tx2y, txy2 - xy2)
в k[t,x,y]. Вычисляя S-полином от образующих, мы получаем
tx2y2 - {tx2y2 — х2у2) = х2у2. Легко проверить, что {tx2y,txy2 —
ху2,х2у2}—базяс Грёбнера идеала tl + A - t)J по отношению к
lex-упорядочению с t > х > у. По теореме об исключении {х2у2}
есть базис Грёбнера идеала {tl + A - t) J) П к[х, у]. Таким образом,
/nj=(x2y2)-
В следующем примере мы предлагаем читателю убедиться в том,
что алгоритм для вычисления пересечения идеалов дает другое до-
доказательство того, что пересечение I П J идеалов
1=({х + уL{х2+уJ{х-5у)) и J=({x 2 3
в к[х, у] равно
{{х + у)\х2+уK{х-5у){х
Эти примеры достаточно просты — мы рассматривали пересечения
только главных идеалов, хотя алгоритм может работать и в общем
случае. Более трудные примеры будут рассмотрены в упражнени-
упражнениях.
Следующее определение обобщает сделанные нами наблюдения.
Определение 12. Полином h G A:[a;i,... ,хп] называется наимень-
наименьшим общим кратным полиномов f,g & k[xi,... ,хп] (обозначение:
h = LCM{f,g)), если
(i) / делит h и g делит h\
(ii) h делит любой полином, который делится и на /, и на д.
Например,
LCM((x
LCM{x2y,xy2)=x2y2
) V + уJ{х - 5у), {х + у){х2 + уK{х
= {х + уL{х2+уK{х-5у){х
Обобщим эти примеры. Пусть /,д G k[x\,... ,хп], и пусть / =
Л ¦ • • /гг и 9 = 9Ъ\ ¦ ¦ ¦ 9bs' — разложения полиномов /hjb про-
произведения различных неприводимых полиномов. Может случиться

246
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
так, что некоторые неприводимые сомножители полинома / явля-
являются также сомножителями полинома д. В этом случае упорядо-
упорядочим сомножители полиномов / и д так, чтобы ft был равен #; (с
точностью до постоянного множителя) при г < / для некоторого /,
1 < / < min(r, s), а при i,j>l полиномы fi и gj не были равны даже
с точностью до постоянного множителя. Тогда из единственности
разложения следует, что
тлм/1 _\ _ /¦max(a1,bi) ,тах(а,,6,) fat + 1 ,a b, + i hs /i\
Отметим, что если / и д не имеют общих делителей, то LCM(/, g) =
f ¦ д. Все это приводит к следующему утверждению.
Предложение 13.
(i) Пересечение IC\J двух главных идеалов I, J С k[xi,..., хп] явля-
является главным идеалом.
(и) Если I = (/) и J = {g), то inJ = {h), где
h = LCM(f,g).
Доказательство. Доказательство этого утверждения будет рас-
рассмотрено в упражнениях. ?
Этот результат и алгоритм для вычисления пересечения двух
идеалов немедленно дают нам алгоритм для вычисления наимень-
наименьшего общего кратного двух полиномов. А именно, пусть даны по-
полиномы /,g G k[xi,... ,хп]. Мы находим пересечение (/) П (д). По
предложению 13 пересечение является главным идеалом и его обра-
образующий элемент и есть наименьшее общее кратное полиномов / и д.
Теперь мы можем решить задачу, не завершенную в § 2, —вы-
—вычислить наибольший общий делитель двух полиномов / и д.
Предложение 14. Пусть f,g? k[xi,... ,хп]. Тогда
LCM(f,g)-GCDV,g) = fg.
Доказательство. Доказательство мы оставляем читателю в каче-
качестве упражнения. Нужно представить / и g в виде произведений
неприводимых сомножителей и использовать равенство A). ?
Из предложения 14 следует, что
f9
' LCM(/,5)-
Это дает нам алгоритм для вычисления наибольшего общего дели-
делителя двух полиномов / и д. А именно, мы вычисляем LCM(/, 5), ис-
используя алгоритм для вычисления наименьшего общего кратного, а
§ 3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
247
затем делим произведение fg на LCM(/, g), используя алгоритм де-
деления. Следует отметить, что только что описанный GCD-алгоритм
мало эффективен. На практике применяются более эффективные
алгоритмы (см. DAVENPORT, SlRET, TOURNIER A993)).
Теперь пришло время выяснить, какова геометрическая интер-
интерпретация операции пересечения идеалов.
Теорема 15. Пусть I uJ — идеалы в k[xi,..., хп]. Тогда V(/nJ) =
V(J) U V(J).
Доказательство. Пусть х G V(J) U V(J). Тогда х G V(J) или х G
V(J). Это означает, что или f(x) = 0 для всех / G /, или f(x) = О
для всех / G J. Но тогда f(x) = 0 для всех / G / П J. Значит,
х е V(/ П J) и V(J) U V(J) С V(J П J).
С другой стороны, так как / J С IП J, то V(/ П J) С V(/J). Но
V(JJ) = V(J) U V(J) по теореме 7. Отсюда следует, что V(lnJ) С
VG) U V(J). Теорема доказана. ?
Другими словами, пересечению двух идеалов соответствует то
же многообразие, что и их произведению. Так как пересечение нахо-
находить гораздо труднее, чем произведение, то возникает естественный
вопрос, стоит ли вообще изучать пересечение идеалов. Причина ин-
интереса к пересечениям состоит в том, что пересечение обладает хо-
хорошими свойствами по отношению к операции взятия радикала:
произведение радикальных идеалов может не быть радикальным
идеалом (например, когда / = J), но пересечение радикальных иде-
идеалов—всегда радикальный идеал. Этот факт вытекает из следую-
следующего предложения.
Предложение 16. Пусть I,J —произвольные идеалы. Тогда
Доказательство. Если / G Vl П J, то fm G / П J для некоторого
натурального т. Тогда fm G / и, значит, / G \/1. Аналогично, fm G J
и / G y/~J. Таким образом, у/1 Г\ J С у/1 П у/1.
С другой стороны, пусть / G у/1 П у/1. Тогда существуют на-
натуральные тир, такие, что fm G / и /р G J. Таким образом,
fmfp = fm+p G / П J, т. е. / G y/TfU. ?
Упражнения к § 3
1. Докажите, что
((х + у) V + У)
~ 5у)> П <(х + у)(х2 + у)\х + Зу))
= ((х + у) V + у)\х - Ъу){х + Зу)).

248
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
2. Докажите формулу A) для наименьшего общего кратного двух по-
полиномов fug.
3. Докажите утверждение (i) предложения 13, т. е. докажите, что пере-
пересечение двух главных идеалов является главным идеалом.
4. Докажите утверждение (ii) предложения 13, т. е. докажите, что наи-
наименьшее общее кратное двух полиномов f,g& k[xi,...,х„] является
образующим идеала (/} П (д).
5. Докажите предложение 14, т. е. докажите, что наименьшее общее
кратное двух полиномов, умноженное на их наибольший общий дели-
делитель, равно произведению этих полиномов. Указание: воспользуйтесь
замечаниями в тексте после предложения 14.
6. Пусть h,..., Ir, J — идеалы кольца k[x\,..., х„]. Докажите, что
(a) (h + I2)J = hJ + I2J;
(b) (Л... Jr)m =/{"... Jrra.
7. Пусть / и J —идеалы в k[xi,... ,х„], где к — произвольное поле. Тог-
Тогда
(a) если I С J для некоторого натурального га, то л/7 С VJ;
(b) л/7Т7 =
8. Пусть
= х4 + хУ
x2yz2
ху
¦xy2z2-y3z2
д = х4 + 2xV - х2у2 + xV
(a) Найдите, используя какую-нибудь систему компьютерной алгеб-
алгебры, образующие идеалов (/) П (д) и y/{f)(g).
(b) Найдите, используя какую-нибудь систему компьютерной алгеб-
алгебры, GCD(/,5).
(c) Пусть р = х2 + ху + xz + yz и q = х2 — ху — xz + yz. Найдите,
используя систему компьютерной алгебры, (/, д) П (p,q).
9. Докажите, что \/Yj = у/1 П J (этот результат верен над произволь-
произвольным полем). Приведите пример, показывающий, что произведение
радикальных идеалов может не быть радикальным идеалом. Приве-
Приведите пример, показывающий, что равенство \flJ = \fl\fj может не
выполняться.
10. Пусть / — идеал в к\х\,..., xn], a (/(?)) — идеал в k[t]. Докажите, что '¦
идеал f(t)I, определенный в тексте параграфа, является произведе-
произведением идеала /, порожденного всеми элементами из / в к[х\,... ,xn,t],
и идеала (/(*)), порожденного /(?) в к[х\,... ,х„,(].
11. Два идеала /, J С к[х\,..., хп] называются комаксималъными, если
(а) Пусть к = С. Докажите, что I и J комаксимальны в том и только
том случае, когда V(/)nV(J) = 0. Приведите пример, показыва-
показывающий, что это утверждение не выполняется над произвольным
полем.
3. Суммы, произведения и пересечения идеалов
249
(b) Докажите, что если I и J комаксимальны, то IJ = I Г\ J.
(c) Верно ли утверждение, обратное утверждению п. (Ь)? То есть
вытекает ли из равенства IJ = I П J комаксимальность идеалов
/и Л Докажите это или приведите контрпример.
(d) Пусть I и J комаксимальны. Докажите, что I и J2 тоже ко-
комаксимальны. Докажите, что 1Т и Js комаксимальны для всех
натуральных гиб.
(e) Пусть h,...,Ir— идеалы в к[ц,..., хп], и пусть /; и J, = f^ Ij
комаксимальны для всех целых г. Докажите, что для всех целых
га > 0
I? П • ¦ ¦ П /rm = (Ji ... Ir)m = (Ji П • • • П IT)m.
12. Пусть/ — идеал ък[х\,... ,xn], и пусть/С \fj. Докажите, что Im С J
для некоторого натурального га. Указание: воспользуйтесь теоремой
Гильберта о базисе.
13. Пусть А есть га х n-матрица с элементами из к, а х 6 к™ и у 6 к71 —
векторы-столбцы, такие, что х = Ау. В упр. 9 к § 1 было определено
отображение
ал ¦ k[xi,... ,xm] —> k[yi,... ,yn],
которое переводит полином / 6 к[ц,... ,xm] в полином ал/ 6 к[у\,
... ,у„], определяемое формулой ал/(у) = f{Ay).
(a) Докажите, что множество {/ 6 к[ц,..., хт] : ал/ = 0} является
идеалом в к[х\,... ,хт] (это множество называется ядром ото-
отображения а а и обозначается кег(ал))-
(b) Пусть / — идеал в k[xi,... ,xm]. Докажите, что множество
ал {I) = {ал/ : / 6 /} может не быть идеалом в k[yi,..., уп] (через
(аАA)) мы будем обозначать идеал в k[yi,..., уп], порожденный
множеством алA), и будем называть его расширением идеала I в
кольцо к[у\,...,уп\). Пусть Г — идеал в k[yi,... ,уп]. Докажите,
что множество 0.^A') = {/ 6 k[xi,... ,xm] : ал/ 6 /'} является
идеалом в k[xi,... ,хт\ (этот идеал называется сжатием I').
14. Пусть Аи ал такие же, как в упр. 13, и К = кег(ал). Пусть / и J —
идеалы в к[х\,..., хт]. Докажите, что
(a) если / С J, то (ал(-О) С {aA{J))\
(b) (aA(I + J)> = {aA(I)) + (aA(J));
(c) {aA(IJ)) = {aA(I)){aA(J));
(d) (ал(/П J)) С (ал (/))П (ал (./)), причем включение превращается
в равенство, если К С I или К С J;
(e) (ал(л//)} С \/(аАA)), причем включение превращается в равен-
равенство, если К С I.
15. Пусть А,аА и К такие же, как выше. Пусть /' и J'—идеалы в
k[yi,..., уп]- Докажите, что
(a) если Г С J', то а^(Г) С a^(J'y,
(b) a-A1(r + J')=a^(I')+a-1(J');

250 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
(c) a~^(I' J') Э (Q^1(/'))(a^1(J'))) причем включение превращается
в равенство, если правая часть содержит К;
(d) a^1U'nJ') = a^COna^1(J');
(e) ад1(у/Г) = у/а11A>).
§ 4. Замыкание Зарисского и частные идеалов
Нам уже встречались множества, которые не являлись многообра-
многообразиями. Они очень естественно возникли в гл. 3, где мы обнаружили,
что такие обычные множества, как проекции многообразий, могут
не быть многообразиями. А в упражнениях в гл. 1 мы видели, что
теоретико-множественная разность многообразий также может не
быть многообразием.
Пусть S с кп — произвольное множество (не обязательно мно-
многообразие). Тогда множество
1E) = {/ е к[хх,..., хп] : f(a) = 0 для всех а € 5}
является идеалом (проверьте это!). Более того, этот идеал радика-
радикален. Согласно установленному выше соответствию между идеалами
и многообразиями, V(I(S)) —многообразие.
Предложение 1. Пусть S с кп. Тогда V(IE)) — наименьшее
многообразие, содержащее S (в том смысле, что если W С кп —
некоторое многообразие, содержащее S, то V(I(S)) С W).
Доказательство. Если W D S, то Ц\?) С 1E) (потому что I
обращает включение). Но тогда ~V(I(W)) Э V(I(S)) (потому что
V обращает включение). Так как W — аффинное многообразие, то
V(I(W)) = W по теореме 7 из § 2, и предложение доказано. ?
Теперь можно дать следующее определение.
Определение 2. Замыканием Зарисского подмножества аффин-
аффинного пространства называется наименьшее аффинное алгебраиче-
алгебраическое многообразие, содержащее это подмножество. Если S с кп, то
замыкание Зарисского множества 5 обозначается через S, и оно
равно V(IE)).
Многообразия, определенные исключающими идеалами, явля-
являются естественным примером замыкания Зарисского. Теперь мы
можем доказать первое утверждение теоремы о замыкании (теоре-
(теорема 3 из § 2 гл. 3).
4. Замыкание Зарисского и частные идеалов
251
Теорема 3. Пусть поле к алгебраически замкнуто, V = V(/i,...,
/s) С kn, а 7Г/ : кп -> кп~1 —проекция на последние п - I ком-
компонент. Если Ii есть 1-й исключающий идеал, Д = (fi, ¦ ¦ ¦, fs) П
k[xi+i,..., хп], то VG() является замыканием Зарисского множе-
множества 7Г;(У).
Доказательство. Согласно предложению 1, мы должны доказать,
что VG,) = УA(тг,(У))). По лемме 1 из § 2 гл. 3 тг,(У) С VGt).
Так как V(I(tt((V))) — это наименьшее многообразие, содержащее
n{V), то V(IGr,(V))) С VG;).
С другой стороны, пусть / е 1(тг;(У)), т. е. /(ai+i,..., а„) = 0 для
всех (a;+i,..., ап) ? тг;(У). Мы будем рассматривать / как элемент
кольца к[х\,... ,хп]. Тогда /(ai,... ,а„) = 0 для всех (ai, -.. ,ап) G
V. По теореме Гильберта о нулях fN G (Д,..., fs) для некоторого
натурального iV. Так как / не зависит от переменных х\,..., xL, то
и fN также от них не зависит, т.е. fN G (Д,... ,/s)nfc[x;+i,... ,хп] =
7/. Значит, / е \/77, откуда 1(тгг (У)) с \/77. Но тогда VGj) = У(-^/?7) С
V(IGT/ (V))). Теорема доказана. ?
Вторая ситуация, когда мы обнаружили множества, не являю-
являющиеся многообразиями — это взятие теоретико-множественной раз-
разности многообразий. Пусть, например, W — ~V(K), где К =
(xz,yz) С k[x,y,z], и V = VG), где 7 = (z). Мы знаем, что W —
это объединение плоскости ху и оси z. Так как У —плоскость ху,
то W — V — это ось 2 без начала координат (потому что начало
координат принадлежит плоскости ху). В гл. 1 было доказано, что
это множество не является многообразием. Ось z (= V(x,y)) —это
наименьшее многообразие, содержащее W — V.
Существует ли общий способ находить идеал, отвечающий за-
замыканию Зарисского W — V разности двух многообразий W и У?
Ответ здесь утвердительный, но нам потребуется новая алгебраи-
алгебраическая конструкция.
Сначала докажем следующий факт.
Предложение 4. Пусть V uW —многообразия и V С W. Тогда
W = V U (W -V).
Доказательство. Так как W — V С W и W — многообразие, то
W — V С W. А так как V С W по предположению, то V U
(W-V) С W.
С другой стороны, из включения V С W следует, что 1У = V U
(W - V). Так как W - V С W - У, то W с У U {W - V). П
Наша задача — определить аналог замыкания W — V в теории
идеалов.

252
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Определение 5. Пусть 1,3 — идеалы в k[xi,...,xn]. Тогда через
I : 3 обозначается множество
{/ € k[xi, ...,xn]:fg?l для всех д е J}.
Это множество называется частным идеала I no 3.
Например, в k[x,y,z] имеем
(xz, yz) : (z) - {/ е k[x, y,z}: f -z ? (xz, yz)}
- {/ ? fc[z, y, z] : f ¦ z = Axz + Byz]
= {f?k[x,y,z]:f = Ax
Предложение 6. Пусть 1,3 — идеалы в k[xi,. ..,xn]. Тогда I : J
также идеал в k[xi,..., xn] и I : J содержит I.
Доказательство. Пусть f e I. Тогда fg б 7 для всех g е
k[xi,...,хп] и, значит, для всех g е 3, т.е. / е 7 : 3. Теперь до-
докажем, что / : 3 является идеалом. Прежде всего, 0 € 7 : J, так как
О € 7. Пусть Д, /2 € 7 : 3. Тогда fig и f2g принадлежат 7 для всех
g 6 3. Значит, (Д + }2)g = fig + f2g € /, так как I — идеал. Поэтому
Л + h ? I ¦ J- Если / el: J и he k[xi,..., хп], то fg e I и hfg e I
для всех д е J; значит, hf e I: J. О
Следующая теорема показывает, что частное идеалов является
алгебраическим аналогом замыкания Зарисского разности много-
многообразий.
Теорема 7. Пусть 1,3 — идеалы в k[xi,... ,хп]. Тогда
: 3) D VG) - V(J).
Если к алгебраически замкнуто, а I — радикальный идеал, то
: J)=VG)-V(J).
Доказательство. Мы утверждаем, что I : 3 С I(VG) - V(J)).
Пусть feI-.Зихе VG) - V( J). Тогда /# e I для всех у <= 3. Так как
а; е VG), то f{x)g{x) = 0 для всех g е 3. Поскольку х ? V(J), най-
найдется деЗ, такой, что д(х) ф 0. Следовательно, f{x) = 0 для любого
х е VG) - V(J). Значит, / е I(VG)-V(J)). Утверждение доказано.
Так как V обращает включения, то VG : 3) D V(I(VG) - V(J))),
что и доказывает первую часть теоремы.
Пусть теперь к алгебраически замкнуто и 7 = \/7. Пусть х е
VG : J). Это означает, что
если hg е I для всех д е 3, то h(x) - 0. A)
§ 4. Замыкание Зарисского и частные идеалов
253
Пусть теперь Л € I(VG) - V(J)). Если у € J, то % обращается в
нуль на VG), потому что h обращается в нуль на VG) - V(J), a g
обращается в нуль на VC). По теореме Гильберта о нулях hg e уД,
но по предположению v7 = 7; следовательно, hg e I для всех д.
Тогда по A) h{x) = 0, т.е. х € V(I(VG) - V(J))). Значит,
VG:J)CV(I(VG)-V(J))),
что и завершает доказательство. ?
Следующее утверждение справедливо над любым полем.
Следствие 8. Пусть V и W являются многообразиями в кп.
Тогда
Доказательство. В теореме 7 было доказано, что 1: 3 С I(VG) -
V(J)). Пусть 7 = I(V) и J = I(W); тогда I(V) : I(W) С I(V - W).
П
V(J)) ус () (); д () () ( )
Противоположное включение следует из определения частного иде-
i—i
алов.
П
В следующем предложении перечислены основные свойства
частных идеалов. Мы рекомендуем читателю переформулировать
их в терминах многообразий (тогда они становятся очевидными).
Предложение 9. Пусть 1,3 и К — идеалы в к[х\,... ,хп]. Тогда
(i) 7 : k[xi,...,xn] - 7;
(ii) 13 С К в том и только том случае, когда I С К : 3;
(ш) 3 С I в том и только том случае, когда 1:3 — k[xi,..., хп].
Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю в ка-
качестве упражнения. ?
В следующем предложении мы изучаем связи операции взятия
частного с ранее введенными операциями на множестве идеалов.
Предложение 10. Пусть I, Ц, 3,3{ и К — идеалы в k[xi,..., хп],
где 1 < i < г. Тогда
i) : 3 = []A{ : 3),
G : J) : К = I : 3K.
B)
C)
D)

254
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Доказательство мы снова оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения. ?
Если / — полином, а I — идеал, то мы будем писать I: f вместо
I : (/). Следующее равенство является частным случаем равенст-
равенства C):
г
t=l
Теперь мы ответим на вопрос, как найти образующие идеала I: J,
если образующие идеалов I и J нам известны. Основной шаг в ре-
решении этой задачи делается в следующей теореме.
Теорема 11. Пусть I —идеал, a g — некоторый полином из
k[xi,... ,хп]. Если множество {hi,..., hp} образует базис идеала
1Г\(д), то множество {hi/g,..., hp/g} образует базис идеала I: д.
Доказательство. Пусть а ? (д). Тогда а — Ъд для некоторого по-
полинома Ъ. Поэтому если / ? (hi/g,..., hp/g), то
af = bgfe (hi,...,hp)=ln(g)cl.
Таким образом, / ? I: д. Обратно, пусть / ? / : д. Тогда fg ? I. Так
как fg € (д), то fg ? 1Г\{д). Если Ш(д) = (hx,..., hp), то fg = Y, пЫ,
где Ti — некоторые полиномы. Так как каждый полином hi лежит
в (д), то частное hi/g является полиномом; значит, / = Y,ri(hi/9)i
т.е. / ? (hi/g,...,hp/g).
?
Эта теорема, процедура вычисления пересечения идеалов и ра-
равенство E) позволяют построить алгоритм для вычисления ба-
базиса частного идеалов. А именно, пусть / = (/i>--->/r) и J =
(gi,...,gs) = (<7i) + ¦ ¦ ¦ + (gs)- Для того чтобы найти базис идеала
I: J, мы сначала строим базис каждого идеала I. gt- В силу теоре-
теоремы 11 нужно сначала найти базис пересечения (fi,--.,fr) П (gi).
Напоминаем, что для этого надо найти базис Грёбнера идеала
(tfi,... ,tfr,(l — t)gi) по отношению к lex-упорядочению, где t боль-
больше всех Xj, и исключить все элементы базиса, зависящие от t. Те-
Теперь с помощью алгоритма деления делим каждый элемент постро-
построенного базиса пересечения на уг и получаем базис идеала I: gt- На-
Наконец, мы находим базис идеала I : J, применяя алгоритм пересе-
пересечения s — 1 раз, т. е. вычисляя сначала базис идеала I: C1,32) = {I '¦
ffi)nG:32), затем базис идеала I:(gi, g2, дз) = Ц: 3i)n(^: 92)Г\A: д3)
и т.д.
¦ 4. Замыкание Зарисского и частные идеалов
255
Упражнения к § 4
1. Найдите замыкание Зарисского следующих множеств:
(a) проекции гиперболы V(xy — 1) в R2 на ось х;
(b) границы первого квадранта в R2;
8
(с) множества {(х,у) 6 R2 : х2 + у2 < 4}.
2. Пусть f = {х +уJ(у-x){x + z2) и g = {x + z2K{х-y)(z +у). Найдите
базис идеала (/) : (д).
3. Рассмотрим идеалы / и J и предположим, что / радикален. Дока-
Докажите, что I : J — радикальный идеал и I: J = I : VJ.
4. Покажите на примере, что требование радикальности идеала / необ-
необходимо для справедливости теоремы 7. Указание: проанализируйте
доказательство теоремы и найдите то место, где используется ради-
радикальность идеала /.
5. Докажите предложение 9 и найдите геометрическую интерпретацию
каждого его утверждения.
6. Докажите предложение 10 и найдите геометрическую интерпрета-
интерпретацию каждого из его утверждений.
7. Пусть А есть тп х n-матрица с элементами из к, а х € к™ и у 6 к71 —
векторы-столбцы, причем х = Ау. В упр. 9 из § 1 и 13 из § 3 мы
определили отображение
а а ¦¦ к[х\,..., хт] —> к[у\ ,...,уп],
полагая aAf{y) = f{Ay) для / 6 к[х1}.. .,хт].
(a) Докажите, что ал{1 ¦ J) С ал{1) ¦ Qa{J), причем равенство до-
достигается, когда К С I, где К = кег(ал).
(b) Докажите, что а^{Г : J') = a^(l') : a^{J').
Пусть / С k[xi,... ,хп] —идеал и / 6 k[xi,... ,х„]. Тогда насыщением
идеала I по отношению к / называется множество
/ : /°° = {д 6 k[xi,. .., хп] : fmg € / для некоторого т > 0}.
(a) Докажите, что / : /°° является идеалом.
(b) Докажите, что мы имеем возрастающую цепь идеалов I : f С
/ : /2 С J : /3 С ....
(c) Из п. (Ь) и теоремы об обрыве возрастающих цепей (теорема 7
из § 5 гл. 2) мы знаем, что, начиная с некоторого N, I : fN =
/ : fN+x = .... Докажите, что / : /°° = / : fN.
(d) Докажите, что / : /°° = / : /т в том и только том случае, когда
I: fm =I : fm+\
(e) Используя п. (d), постройте алгоритм, вычисляющий насыщение
9. Пусть / = (/i,..., Л)— идеал в к[хи...,х„] и / е к[хг,... ,х„] —не-
—некоторый полином. Введем новую переменную у и положим
I = (fi,...,fs,l-fy)C к[хи.. .,хп,у].

256 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
(a) Докажите, что / : /°° = I (I k[x\,..., х„]. Указание: см. доказа-
доказательство предложения 8 из § 2.
(b) Используя п. (а), постройте еще один алгоритм, вычисляющий
10. Докажите, что / : f°° = k[xi,..., хп\ в том и только том случае, когда
/ € \fl. Отметим, что предложение 8 является прямым следствием
упр. 9 и 10.
§ 5. Неприводимые многообразия
и простые идеалы
Мы знаем, что объединение двух многообразий является много-
многообразием. Например, в гл. 1 и в предыдущем параграфе мы рас-
рассматривали многообразие ~V(xz,yz), которое представляет собой
объединение прямой и плоскости. На неформальном уровне мож-
можно считать, что прямая и плоскость «более фундаментальны», чем
V{xz,yz). Интуиция подсказывает нам, что прямая и плоскость
«неприводимы» или «неразложимы» в том смысле, что они не мо-
могут быть представлены в виде конечных объединений более про-
простых многообразий. Дадим строгое определение.
Определение 1. Аффинное многообразие V С кп называется не-
неприводимым, если оно может быть представлено в виде V = VIU V2,
где Vi и V2 — аффинные многообразия, в том и только том случае,
когда или V\ = V, или V2 = V.
Таким образом, многообразие Y(xz,yz) не является приводи-
приводимым. Однако не совсем ясно, какие именно многообразия явля-
являются неприводимыми. Если это определение соответствует нашей
геометрической интуиции, то кажется очевидным, что точка, пря-
прямая и плоскость должны быть неприводимыми. Скрученная кубика
V (у — х2, z — х3) в!3 тоже кажется неприводимой. Но как доказать
это? Для этого нужно переформулировать определение алгебраи-
алгебраически: охарактеризовать идеалы, соответствующие неприводимым
многообразиям. Тогда, возможно, нам удастся доказать неприво-
неприводимость некоторых многообразий.
Введем следующее определение.
Определение 2. Идеал / С k[xi,... ,хп] называется простым,
если для любых /, g G к[хх,..., хп] из fg € / следует, что или / € /,
или g € I.
Теперь нужно убедиться в том, что неприводимым многообрази-
многообразиям соответствуют простые идеалы и обратно. Следующая теорема
утверждает, что это действительно так.
§ 5. Неприводимые многообразия и простые идеалы
257
Предложение 3. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда
оно неприводимо в том и только том случае, когда идеал I(V)
прост.
Доказательство. Пусть V неприводимо и fg € I(V). Положим
\\ = VnV(/) и V2 = VnV(g). И Vi, и V2 —это пересечения аффин-
аффинных многообразий; значит, сами они также являются аффинными
многообразиями. Так как fg ? I(V), то V = V\ UV2• Но V неприводи-
неприводимо; следовательно, или V\ = V, или V2 = V. Пусть V = V\= VTlV(/).
Но тогда / равен нулю на V, т.е. f e I(V) и идеал I(V) прост.
Пусть теперь идеал I(V) прост, и пусть V — V\ U V^. Предполо-
Предположим, что V\ Ф V. Мы утверждаем, что тогда I(V) = 1(У2). Докажем
это. Так как V2 С V, то I(V) С I(V2). Однако I(V) <= Цу^, так как
V'i С у. Значит, существует полином / е I(Vi) — I(V). Пусть теперь
g — произвольный полином из I(V2). Так как V — V\ UV2, то fg равен
нулю на V; следовательно, fg € I(V"). Но идеал I(V) простой, т.е.
или /, или g принадлежит I(V). Однако мы знаем, что / ^ 1(V).
Следовательно, g E I(V). Отсюда вытекает, что I(V) = 1(^2) и, зна-
значит, V = V2, потому что отображение I инъективно. Таким образом,
V неприводимо. ?
Легко показать, что каждый простой идеал радикален. Тогда,
используя соответствие идеал—многообразие между радикальны-
радикальными идеалами и аффинными многообразиями, получаем такое след-
следствие предложения 3:
Следствие 4. Пусть поле к алгебраически замкнуто. Тогда ото-
отображения I и V задают взаимно однозначное соответствие меж-
между неприводимыми многообразиями в кп и простыми идеалами в
В качестве примера применения предложения 3 докажем, что
скрученная кубика неприводима, т. е. что идеал I(V) скрученной
кубики V прост. Предположим, что fg € I(V). Так как параметри-
параметризация (t,t2,t3) кубики нам известна, то для всех t
f(t,t2,t3)g(t,t2,t3)=0.
Отсюда вытекает, что либо f(t, t2,t3), либо g(t, t2,t3) является нуле-
нулевым полиномом, т. е. или /, или g равен нулю на V. Следовательно,
или /, или g принадлежит I(V), что и доказывает простоту идеа-
идеала I(V). Значит, V — неприводимое многообразие в R3. Неприводи-
Неприводимость прямой доказывается аналогично: сначала она параметризу-
параметризуется, а затем используется примененное выше рассуждение.
Этот пример легко может быть обобщен.

258
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Предложение 5. Пусть поле к бесконечно, а многообразие V Ckn
задано параметрически уравнениями
хп =
где /i,..., /„ G A;[*i,..., tm]. Тогда V неприводимо.
Доказательство. Как и в § 3 гл. 3, пусть F : кт —? кп — отобра-
отображение, заданное формулой
F(ti,... ,tm) = (fi(ti,... ,tm),..., fn(h, ¦ ¦ ¦ ,tm)).
Так как V задано параметрически указанными выше уравнениями,
то оно есть замыкание Зарисского множества F(km). В частности,
Для любого полинома д G к\х\,..., хп] функция д о F является
полиномом из k\t\,...,tm], т.е. д о F — полином, полученный «под-
«подстановкой» полиномов Д, ...,/„ в д,
Так как к бесконечно, то I(V) = I(F(km)) — это множество поли-
полиномов в к[х\,... ,хп], композиция которых с F является нулевым
полиномом в k\t\,... ,tm]:
l(V) = {gek[x1,...,xn] :goF = 0}.
Пусть теперь gh G 1(V). Тогда (gh) о F = (g о F)(h о F) = 0. (Убе-
(Убедитесь, что поняли это рассуждение.) Но если произведение двух
полиномов из k[ti,..., tm] является нулевым полиномом, то один из
них нулевой. Следовательно, либо д о F = 0, либо h о F = 0. Это
означает, что или д G 1{V), или h G I(V). Таким образом, 1(V) —
простой идеал и У неприводимо. ?
С небольшими изменениями приведенные рассуждения могут
быть применены для доказательства того, что многообразие, за-
заданное рациональной параметризацией, неприводимо.
Предложение 6. Пусть поле к бесконечно, а многообразие V за-
задано рациональной параметризацией
fi(h, ¦ ¦ ¦ ,tm)
Хп =
fn{t\t ¦ ¦ ¦ ,tm)
где fi,...,fn,gi,...,gn e k[tlt. ..,tm]. Тогда V неприводимо.
§ 5. Неприводимые многообразия и простые идеалы
259
Доказательство. Пусть W = V(gi . ..gn), a F : km - W -> kn
отображение, определенное формулой
(*1 > - - • ,tm) fn(tl,---,t
,... ,tm)J ' gn{h,... ,tm) /
Тогда У—замыкание Зарисского множества F(km - W), и, следо-
следовательно, l(V) —это множество полиномов h € k[xi,..., хп], таких,
что функция hoF равна нулю для всех (t\,..., tm) E km — W. Здесь
мы сталкиваемся с трудностью: h о F может не быть полиномом,
поэтому схема доказательства предложения 5 не проходит.
Мы справимся с этой трудностью следующим образом. Пусть
h € k[xi,... ,хп]. Так как
9i(*i, ¦ ¦ ¦, tm)g2(h,.. ¦, tm)... gn(ti,..., tm) ф О
для любой точки (ti,..., tm) € km — W, то функция (gi ... gn)N(hoF)
обращается в нуль в точности в тех точках из km - W, в которых
обращается в нуль функция h о F. Более того, пусть N — полная
степень полинома h € k[x\,... ,хп]; тогда (gi.. .gn)N(h oF)e k[ti,
... ,tm] (докажите это самостоятельно). Таким образом, h G I(V) в
том и только том случае, когда (<?i... gn)N(h о F) равен нулю для
всех точек t € km — W. В упр. 11 к § 3 гл. 3 было доказано, что
это возможно в том и только том случае, когда (gi.. .gn)N(h о F)
является нулевым полиномом в k[t\,... ,tm]. Таким образом, мы
доказали, что
h € l(V) в том и только том случае, когда
(g1...gn)N(hoF)=Oek[t1,...,tm].
Теперь докажем, что I(V) прост. Пусть р, q G k[xi,..., хп] и pq G
I(l/). Если полная степень полинома р равна М, а полная степень
полинома q равна N, то полная степень полинома pq равна М + N.
Таким образом, (gi.. -gn)M+N(p ° F)(q ° F) = 0. Но этот полином
есть произведение полиномов (gi.. .gn)M(p°F) и (#1.. .gn)N(qoF)
из k[ti,..., tm]. Следовательно, один из них должен быть нулевым
полиномом. В частности, или р G I(V), или q G I{V). Значит, идеал
I(V) прост и многообразие V неприводимо. П
Простейшее многообразие в kn, задаваемое с помощью пара-
параметризации, — это точка {(ai,. • •, an)}. Это многообразие задается
параметрически полиномами fi{t\,..., tm) = a,-, 1 < i < п. Ясно, что
оно неприводимо; легко проверить, что идеал 1({(а\,... ,ап)}) =
{xl~a1,...,xn-an) (см. упр. 7) прост. Идеал (xx-ai,.. .,хп-ап)
обладает еще одним замечательным свойством: он максимален в
том смысле, что любой другой идеал, строго содержащий его, совпа-
совпадает со всем кольцом к[х\,..., хп]. Такие идеалы достаточно важны
и требуют отдельного рассмотрения.

260
Гл. 4. Алгебро-геометряческий «словарь»
Определение 7. Идеал / С k[xi,... ,хп] называется максималь-
максимальным, если I ф Цх\,... ,хп] и любой идеал J, содержащий /, равен
либо /, либо k[xi,... ,хп].
Чтобы упростить формулировки, мы дадим еще одно полезное
определение.
Определение 8. Идеал / С k[xi,..., хп] называется собственным,
если он не совпадает с к[х\,..., хп].
Таким образом, идеал I максимален, если он собственный и не
может строго содержаться в другом собственном идеале. Теперь мы
докажем, что идеал / вида (xi — а\,... ,хп — ап) максимален.
Предложение 9. Пусть к — произвольное поле, а аь ... ,ап Е к.
Тогда идеал I вида (xi — а\,..., хп — ап) максимален.
Доказательство. Предположим, что идеал J строго содержит /.
Тогда существует полином / Е J, такой, что f $ I. Используя алго-
алгоритм деления, запишем / в виде А\ (xi - ах) + ... + Ап(хп - ап) + Ь,
где Ъ Е к. Так как A±(xi - ai) + ... + Ап(хп - ап) Е I и / ? /, то
Ъ ф 0. Но / Е J и I С J; значит,
Ь= f -{Ai{xi -ai) + ... + An(xn -а„)) е J.
Так как Ъ ф 0, то 1/Ь ¦ b = 1 Е J; следовательно, J = k[xi,..., хп]. П
Поскольку
-аь...,а;„ - ап) = {(аь ... ,а„)},
любая точка (ai,..., ап) € кп соответствует максимальному идеалу
в k[xi, ...,хп], а именно идеалу (ц-ах,... ,х„-ап). Если/сне явля-
является алгебраически замкнутым, то обратное утверждение неверно.
В упражнениях мы докажем, что идеал (х2 + 1) максимален в Щх].
Этому идеалу не отвечает никакая точка в R. Однако следующее
утверждение справедливо в любом полиномиальном кольце.
Предложение 10. Пусть к — произвольное поле. Тогда любой
максимальный идеал в k[xi,..., хп] прост.
Доказательство. Пусть / — собственный идеал, не являющийся
простым. Тогда найдутся полиномы f,g ? I, такие, что fg G /. Рас-
Рассмотрим идеал (/) + /. Этот идеал строго содержит I, потому что
f $ I. Более того, если (/) + / = k[xi,..., хп], то 1 = с/ + h для
некоторого полинома с и некоторого h E I. Умножая это равенство
на д, получим д = cfg + hg E I, что противоречит выбору д. Зна-
Значит, (/) + / — это собственный идеал, строго содержащий /, т.е. /
не максимален. ?
§ 5. Неприводимые многообразия и простые идеалы
261
Отметим, что в силу предложений 9 и 10 идеал (х\ —a\,...,xn —
о„) прост в k[xi,..., хп], даже если к конечно. Над алгебраически
замкнутым полем любой максимальный идеал соответствует точке
из кп.
Теорема 11. Пусть к алгебраически замкнуто. Тогда любой мак-
максимальный идеал в k[xi, ...,xn] имеет вид (х\ - а\,..., хп - ап),
где ах,... ,an € k.
Доказательство. Пусть / С к[х\,... ,хп] —максимальный идеал.
Так как / ф к[х\,... ,хп], то по слабой теореме о нулях (теорема
1 из § 1) V(/) ф 0. Значит, некоторая точка (ai,...,an) лежит в
V(/). Переходя к идеалам, получаем
Но I(V(/)) = л/1 по сильной теореме о нулях (теорема 6 из § 1).
Так как / максимален, то он прост (по предложению 10) и, сле-
следовательно, радикален, \Д — I (см. замечание после предложения
3). Поэтому
Мы уже упоминали, что I({(ai,.. - ,ап)}) = (хх - а\,... ,хп - ап)
(см. упр. 7); поэтому
/ С (i] -ai,...,xn -а„) С k[xi,... ,хп].
Так как / максимален, то / = (xi — а\,..., хп — ап). П
Обратите внимание, что доказательство теоремы 11 существен-
существенно опирается на теорему о нулях. Нетрудно доказать, что она на
самом деле равносильна теореме о нулях.
Вот простое следствие теоремы 11.
Следствие 12. Пусть поле к алгебраически замкнуто. Тогда су-
существует взаимно однозначное соответствие между точками в
кп и максимальными идеалами кольца k[xi,..., хп].
Наш алгебро-геометрический словарь значительно расширен.
Мы узнали, что над алгебраически замкнутым полем непустое
неприводимое многообразие соответствует собственному простому
идеалу, и обратно. Каждая точка соответствует максимальному
идеалу, и обратно.
Упражнения к § 5
1. Пусть полином h e k[xi,... ,х„] имеет полную степень N, а F опре-
определено, как в предложении 6. Докажите, что (gi ... gn)N(h о F) 6
k[tu...,tm].

262
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
2. Докажите, что простой идеал радикален.
3. Докажите, что идеал / прост в том и только том случае, когда для
любых двух идеалов J и К, таких, что JK С /, либо J С I, либо
Kcl.
4. Пусть h,...,/„ — конечное множество идеалов, идеал Р прост и
П™=1 к С. Р. Докажите, что U С Р для некоторого i и, более того,
если Р = ПГ=1 Ii, то Р = Ii для некоторого г.
5. Представьте полином f = x2z—6y4+2xy3z в виде / = fi(x,y,z)(x+3)+
f2{x,y,z){y-l) + h{x,y,z)(z-2), где /ь/2,/3 6 ф,у,г].
6. Пусть/: — бесконечное поле.
(a) Докажите, что прямая в кп является неприводимым многообра-
многообразием.
(b) Докажите, что любое линейное подпространство в кп является
неприводимым многообразием. Указание: параметризуйте его и
примените предложение 5.
7. Докажите, что
I({(ai,... ,an)}) = (xi - ai,... ,xn — an).
8. Докажите следующие утверждения.
(a) Идеал (х2 + 1) максимален в Щх].
(b) Если идеал / С Щх\,..., хп] максимален, то или V(J) = 0, или
V(J) — это точка из Rn. Указание: проанализируйте доказатель-
доказательство теоремы 11.
(c) Приведите пример максимального идеала / С R[xi,..., хп], та-
такого, что V(J) = 0. Указание: рассмотрите идеал (х\ + 1, хг,...,
Хп).
9. Предположим, что поле к не является алгебраически замкнутым.
(a) Докажите, что если / С к[х\,..., хп] — максимальный идеал, то
или V(J) = 0, или V(J) — это точка в кп. Указание: проанализи-
проанализируйте доказательство теоремы 11.
(b) Докажите, что существует максимальный идеал / С k[xi,..., х„],
такой, что V(J) = 0. Указание: см. предыдущее упражнение.
(c) Покажите, что всегда существует максимальный идеал в
k[xi,...,xn], не равный ни одному из идеалов вида (xi —
a\,... ,хп — а„).
10. Докажите, что слабая теорема о нулях является следствием теоре-
теоремы 11.
11. Пусть полином / € C[zi,..., х„] неприводим. Докажите, что много-
многообразие V(/) неприводимо.
12. Пусть / С C[xi,..., хп] — собственный идеал. Тогда \/l является пе-
пересечением всех максимальных идеалов, содержащих /. Указание:
используйте теорему 11.
§ 6. Разложение многообразия в объединение неприводимых 263
§ 6. Разложение многообразия
в объединение неприводимых
В предыдущем параграфе мы видели, что неприводимые много-
многообразия естественно возникают во многих задачах. Встает вопрос:
верно ли, что произвольное многообразие может быть построено
из неприводимых? В этом параграфе мы изучим эту проблему и
близкие вопросы.
Мы начнем с перевода условия обрыва возрастающих цепей для
идеалов (см. § 5 из гл. 2) на язык многообразий.
Предложение 1 (условие обрыва убывающих цепей). Любая убы-
убывающая цепь многообразий
ViDV2DV3D ...
в кп стабилизируется, т. е. существует натуральное N, такое,
что Vn = Vn+i = V/v+2 = • • ••
Доказательство. Переходя к идеалам, получаем возрастающую
цепь
По условию обрыва возрастающих цепей (теорема 7 из § 5 гл. 2)
существует N, такое, что I(V/v) = I(V/v+i) = Так как V(I(V)) = V
для любого многообразия V, то Vn = V/v+i = ¦ • ¦• О
Теперь мы можем доказать следующее основное структурное
свойство аффинных многообразий.
Теорема 2. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда V мо-
может быть представлено в виде конечного объединения неприводи-
неприводимых многообразий V*:
Доказательство. Пусть V — аффинное многообразие, которое
нельзя представить в виде конечного объединения неприводимых
многообразий. Тогда V не является неприводимым, а значит, V =
V'i U V{, где V Ф V\ и V ф V[. Хотя бы одно из многообразий V\ и V{
не является объединением конечного числа неприводимых, иначе
V можно было бы представить в этом виде. Пусть, например, V\
не есть конечное объединение неприводимых многообразий. Ана-
Аналогичное рассуждение показывает, что V\ = V2 U У2', где Vi ф V2,
V\ ф V2' и Уг не есть объединение конечного числа неприводимых
многообразий. Продолжая построение, мы получим бесконечную
последовательность многообразий
V D Vi D V2 D ¦ ¦ ¦,

264 Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
причем
Это противоречит предложению 1.
?
В качестве простого примера рассмотрим многообразие
\(xz,yz), которое является объединением прямой (ось z) и плоско-
плоскости (плоскость ху). Оба эти многообразия неприводимы (см. упр. 6
к § 5). В качестве более сложного примера рассмотрим многообра-
многообразие
V = V(xz-y2,x3 -yz).
Изобразим это многообразие:
Рисунок подсказывает, что V не является неприводимым: оно есть
объединение двух кривых. В самом деле, так как функции xz — у2
и х3 — yz равны нулю на оси z, то ось z, т. е. многообразие V(x, у),
содержится в V. Что можно сказать о другой кривой V — V(x,y)?
Теорема 7 из § 4 наводит на мысль рассмотреть частное идеалов
(xz-y2,x3 -yz) : (х,у).
(В конце параграфа мы докажем, что идеал (xz - у2, х3 - yz) ради-
радикален.) Воспользуемся алгоритмом для вычисления частного двух
идеалов (восстановите его в памяти). В соответствии с равенством
E) из § 4 это частное равно
(I :х) Л (I : у),
где I = (xz - у2,х3 - yz). Для нахождения I : x сначала вычислим
пересечение идеалов 7 П (х), используя алгоритм для вычисления
I 6. Разложение многообразия в объединение неприводимых 265
пересечений и lex-упорядочение с z > у > х. Имеем
1Г\(х) = (x2z-xy2,x4 -xyz,x3y-xz2,x5 ~xy3).
Полином х5 — ху3 есть комбинация первого и второго элементов
базиса; следовательно, его можно исключить. Получаем
:х =
x2z — ху2 х4 — xyz х3у — xz2
ххх
= (xz - у2, х3 - yz, x2y - z2)
= I+(x2y-z2).
Теперь, чтобы найти I : у, вычислим
1П(у) = (xyz - у3,х3у - y2z,x2y2 - yz2).
Следовательно,
I ¦ - Ixyz ~ у3 х3у ~ y2z %2y2 ~ yz2
'у ~\ у ' у ' у
- (xz -у2, х3 - yz, x2y - z2)
= J + (х2у - z2)
A)
(Проделайте эти вычисления, используя систему компьютерной ал-
алгебры.) Так как I : х = I : у, то
I : (х, у) = (xz - у2, х3 - yz, х2у - z2).
Многообразие W = ~V(xz — у2,х3— yz, х2у — z2) — это неприводимая
кривая, потому что оно имеет параметризацию (t3,t4,t5) (очевид-
(очевидно, что (t3,?4,t5) € W для любого t, а доказательство того факта,
что таким образом параметризованное множество совпадает с W,
мы оставляем читателю в качестве упражнения). Следовательно,
W неприводимо (по предложению 5 из предыдущего параграфа).
Значит,
(см. упр. 8), что и дает нам требуемое разложение многообразия V.
В предыдущем примере и в случае ~V(xz, yz) разложение много-
многообразия на неприводимые многообразия было единственным. Есте-
Естественно спросить, всегда ли это верно? Очевидно, что мы должны
исключить из рассмотрения такие тривиальные случаи, как появле-
появление одной и той же неприводимой компоненты несколько раз или
включение одной неприводимой компоненты в другую как подмно-
подмножества. Это и является целью следующего определения.

266
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Определение 3. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Разло-
Разложение
V = V1U...UVm,
где многообразия Vi неприводимы, называется минимальным раз- Ц
ложением (или неизбыточным объединением), если Vi не принад-
принадлежит Vj при i ф j.
Теперь мы можем сформулировать теорему единственности.
Теорема 4. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда суще-
существует минимальное разложение
V = V1U...UVm
(т. е. каждое Vi — неприводимое многообразие uVitfi Vj при i ф j).
Более того, это разложение единственно с точностью до поряд-
порядка, в котором записаны многообразия V\,..., Vm.
Доказательство. По теореме 2 V может быть представлено в виде
V = V\ U.. .UVm, где Vi неприводимы. Предположим, что некоторое
Vi лежит в каком-то Vj,i Ф j. Тогда мы можем исключить Vi из
разложения, и тогда V будет объединением V) при / ф i. Продолжая
этот процесс, мы придем к минимальному разложению.
Докажем единственность. Пусть V = V{ U ... U V{ —другое ми-
минимальное разложение многообразия V. Тогда
Vi = Vi П V = Vi П {Vl U ... U У/) = {Vi П V{) U... U (V; П V{).
Так как У, неприводимо, то Vi = VifWj для некоторого j, т. е. ViCVj.
Проводя аналогичные рассуждения для Vj, получаем, что Vj С Vs
для некоторого s. Значит,
V С Vj С Vs.
Но из минимальности разложения следует, что г = s, т.е. Vi = Vj.
Значит, каждое У< содержится в разложении V = V{U-. -UV/, откуда
следует, что т < I. Но точно так же можно доказать, что I < т.
Таким образом, I = т и набор Vj — это просто перестановка набора
Vi. U
Отметим, что утверждение о единственности неверно, если отка-
отказаться от требования конечности разложения (плоскость есть объ-
объединение всех ее точек и одновременно объединение прямой и то-
точек вне этой прямой, а таких прямых на ней бесконечно много).
Это должно показать читателю, что хотя теорема 4 имеет простое
доказательство, но она вовсе не тривиальна: свойство конечности
используется существенно (а конечность есть следствие теоремы
Гильберта о базисе).
§ 6. Разложение многообразия в объединение неприводимых 267
Взаимно однозначное соответствие между многообразиями и ра-
радикальными идеалами позволяет получить алгебраическую пере-
переформулировку теорем 2 и 4.
Теорема 5. Пусть поле к алгебраически замкнуто. Тогда каждый
радикальный идеал I С к[х\,..., хп] может быть однозначно запи-
записан в виде пересечения простых идеалов, I = Р\Г\.. .Г\РГ, где Pi <? Pj
при i Ф j. {Как и в случае многообразий, такое представление ра-
радикального идеала мы называем минимальным разложением или
неизбыточным пересечением.)
Доказательство. Теорема 5 является прямым следствием теорем
2 и 4 и соответствия идеал—многообразие. ?
Частные идеалов помогают описать простые идеалы, участвую-
участвующие в минимальном разложении радикального идеала.
Теорема 6. Пусть поле к алгебраически замкнуто, I — собствен-
собственный радикальный идеал и
г=1
— его минимальное разложение. Тогда Pi — это в точности те
простые собственные идеалы, которые имеют вид I : /, где f €
Доказательство. Отметим сначала, что если идеал I собствен-
собственный, то и идеалы Pi собственные (это следует из минимальности).
Для любого / G k[x\,... ,хп] имеем
(формула B) из § 4). Отметим также, что для любого простого иде-
идеала Р или / Е Р и тогда Р : f — A), или / $ Р и тогда Р : f = Р
(см. упр. 3).
Пусть теперь I : f — собственный простой идеал. Из упр. 4 к
§ 5 и приведенной выше формулы следует, что I ¦ f = Р{ ¦ f для
некоторого г. Так как Pi : / равен Pi или A), то I : / = Р{.
Чтобы убедиться, что любой Р, получается таким образом, за-
зафиксируем i и возьмем полином

268
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Такой полином существует, потому что разложение Dj=i Pj мини-
минимально. Тогда Pi : f = Pi и Pj : f = A) при j ф г. Отсюда вытекает
с учетом приведенной выше формулы для I : /, что Р,- = 7 : /. ?
Следует упомянуть, что теоремы 5 и 6 справедливы над лю-
любым полем к, хотя метод доказательства в общем случае другой
(см. следствие 10 из § 7).
Рассмотрим в качестве примера идеал 7 = (xz — у2,х3 — yz).
С многообразием V = VG) мы уже встречались в этом параграфе.
Предположим, что 7 радикален (мы скоро увидим, что это так).
Как найти его представление в виде пересечения простых идеалов?
Начнем с геометрического разложения
V = V(x,y)UW,
найденного ранее, где W = V(xz — у2,х3 - yz,x2y - z2). Это раз-
разложение приводит к формуле
I = (х,у) Л (xz - у2,х3 - yz,x2y - z2),
доказать которую сравнительно нетрудно (см. упр. 4). Кроме того,
в силу формулы A) I: х = (xz — y2,x3—yz,x2y — z2). Таким образом, 1
Идеал (х, у) также можно представить, как частное идеала /.
Геометрические соображения подсказывают, что для этого надо
вычесть W из V. Из трех уравнений, определяющих W, пер-
первые два определяют V. Поэтому кажется разумным использовать
третье уравнение х2у — z2. В самом деле, легко проверить, что
(х2у — z2) = (х, у) (см. упр. 4). Таким образом,
1={1: (х2у - z2)) П (I : х).
B)
Осталось доказать, что / : (х2у - z2) и I : х — простые идеа-
идеалы. Доказать первое утверждение совсем не сложно, так как идеал
/ : (х2у — z2) — (х, у), очевидно, прост. Что касается второго, то мы
уже знаем, что W = V(xz — у2,х3— yz, x2y — z2) неприводимо, а в
упражнениях мы докажем, что 1{W) = (xz — у2,х3 — yz, х2у — х2) =
I : х. Теперь из предложения 3 § 5 следует, что идеал / : х прост.
Это и завершает доказательство того факта, что B) является ми-
минимальным разложением идеала /. Наконец, так как / является
пересечением простых идеалов, он радикален (см. упр. 1).
Все эти рассуждения связаны со спецификой идеала I — (xz -
у2,хг — yz). Желательно, однако, построить методы, применимые
в общем случае для разложения любого идеала. В теоремах 2, 4, 5
и 6 утверждается, что разложение есть, но не даются указания на
§ 6. Разложение многообразия в объединение неприводимых 269
то, как его найти. Дело здесь в том, что доказательства опираются
на теорему Гильберта о базисе, которая неконструктивна. Поэтому
совершенно естественно возникают также вопросы:
• (Простота) Существует ли алгоритм, позволяющий узнать,
прост ли данный идеал?
• (Неприводимость) Существует ли алгоритм, позволяющий
узнать, неприводимо ли данное многообразие?
• (Разложение) Существует ли алгоритм, позволяющий построить
минимальное разложение данного многообразия или радикаль-
радикального идеала?
Ответ на все эти три вопроса положительный. Описания алго-
алгоритмов можно найти в работах Hermann A926), Mines, Richman,
Ruitenburg A988) и Seidenberg A974, 1984). Как и алго-
алгоритм в § 2, алгоритмы, предложенные в этих работах, мало эф-
эффективны. Однако недавняя работа Gianni, Trager, Zacharias
A988) привела к созданию алгоритмов, реализованных в системах
AXIOM и REDUCE, которые позволяют решить сформулирован-
сформулированные выше вопросы. См. также гл. 8 книги Becker, Weispfenning
A993). Еще один алгоритм простоты описан в § 4.4 книги Adams,
Loustaunau A994). Наконец, алгоритм, основанный на идеях из
работы Eisenbud, Huneke, Vasconcelos A992), был реализован
в системе Macaulay.
Упражнения к § 6
1. Докажите, что пересечение любого множества простых идеалов
является радикальным идеалом.
2. Докажите, что неизбыточное пересечение даже двух простых идеа-
идеалов не может быть простым.
3. Пусть Р С к[х\,..., хп] —простой идеал. Докажите, что Р : / = Р,
если / g Р, и Р : f = A), если / 6 Р.
4. Пусть / = (xz - у2, х3 - yz).
(a) Докажите, что / : (х2у — z2) = (х,у).
(b) Докажите, что идеал / : (х2у — z2) прост.
(c) Докажите, что / = (х,у) П (xz — у2,х3 — yz,z2 — х2у).
5. Пусть J = (xz — у2,х3 — yz,z2 — х2у).
(a) Докажите, что каждая точка в W = V(J) имеет вид (<3,t4,t5)
для некоторого t ё к.
(b) Докажите, что J = l(W). Указание: найдите базис Грёбнера иде-
идеала J для lex-упорядочения с z > у > х и докажите, что любой
полином / € к[х\,..., хп] может быть представлен в виде
f = g + a + bz + A(x) + уВ(х) + у2С(х),
где g 6 J,a,b 6 к и А, В, С б к[х\.

270
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
6. Переведите теорему 6 и ее доказательство на язык геометрии.
7. Пусть I = (xz - у2, z3 - хъ).
(a) Найдите представление многообразия V(J) в виде конечного объ-
объединения неприводимых многообразий. Указание: используйте
параметризации (t3,f4,t5) и (t3,-t4,ts).
(b) Представьте / в виде пересечения простых идеалов — частных
идеала / — и докажите, что / радикален.
8. Пусть V,W — многообразия в кп и V С W. Докажите, что каждая
неприводимая компонента многообразия V содержится в некоторой
неприводимой компоненте многообразия W.
9. Пусть / € C[xi,..., хп], и пусть / = /f1 • • • /°* — разложение полино-
полинома / на неприводимые множители. Докажите, что V(/) = V(/i) U
... U V(/s) является разложением многообразия V(/) на неприво-
неприводимые компоненты и что I(V(/)) = (f\ ... fs). Указание: см. упр. 11
к §5.
§ 7. Дополнение.
Примарное разложение идеалов
В свете теоремы о разложении радикальных идеалов, которая бы-
была доказана в § 6, естественно спросить, верно ли, что произволь-
произвольный идеал (не обязательно радикальный) может быть представлен
в виде пересечения более простых идеалов. В этом параграфе будет
доказана теорема о разложении Л аскера—Нётер, которая детально
описывает структуру произвольного идеала.
Представить произвольный идеал в виде пересечения простых
нельзя, так как пересечение простых идеалов всегда радикаль-
радикально. Возникает мысль, что можно его представить как пересечение
степеней простых идеалов. Она тоже неверна: рассмотрим идеал
I = (х,у2) С С[х,у]. Любой простой идеал, содержащий I, должен
содержать хиу; значит, он равен (х, у) (так как (а;, у) — максималь-
максимальный идеал). Таким образом, если бы / был пересечением степеней
простых идеалов, то он совпадал бы с некоторой степенью идеала
<*,!/). Но (а;,уJ С/С foу) (см. упр. 1).
Поэтому нам необходимо более тонкое понятие.
Определение 1. Идеал I С к[х\,... ,хп] называется примарным,
если из fg € I следует, что или / G /, или дт € / для некоторого
целого т > 0.
Очевидно, что простой идеал примарен. Нетрудно доказать при-
примарность рассматривавшегося выше идеала / = (х,у2) (см. упр. 1).
Лемма 2. Если идеал I примарен, то идеал у/1 прост и является
наименьшим простым идеалом, содержащим I.
7. Дополнение. Примарное разложение идеалов
271
Доказательство. См. упр. 2. ?
Благодаря этой лемме мы можем дать следующее определение.
Определение 3. Пусть I примарен и л/1 = Р. Тогда I называется
Р -примарным.
Теперь мы докажем, что каждый идеал является пересечением
примарных.
Теорема 4. Любой идеал I С к[х\,..., хп] может быть предста-
представлен в виде конечного пересечения примарных идеалов.
Доказательство. Мы назовем идеал / неприводимым, если из ра-
равенства I = 1\ П/г следует, что или I = 1\, или I = 1ч- Мы утвержда-
утверждаем, что каждый идеал является пересечением конечного числа не-
неприводимых. Доказательство этого утверждения — это перевод на
язык идеалов доказательства теоремы 2 из § 6 (используется усло-
условие обрыва возрастающих цепей). Мы оставляем его читателю в
качестве упражнения.
Теперь мы докажем, что неприводимый идеал примарен. Это и
докажет теорему. Пусть / неприводим и fg е I, причем / ^ /. Нам
нужно доказать, что некоторая степень идеала g принадлежит /.
Рассмотрим идеалы I : gn при п > 1. В упражнениях мы докажем,
что I: дп С I: gn+1 для всех п. Значит, мы получаем возрастающую
цепь идеалов
1:дС1:д2С...
По условию обрыва возрастающих цепей существует N > 1, такое,
что / : gN = I : gN+1. Мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения доказательство того, что (I + (gN)) П (I + (/)) = /. Так как
/ неприводим, то или I — I + (gN), или I — I + (/). Но последнее
невозможно, так как / ^ / по условию. Значит, 1 = 1+ (gN), т.е.
gN el. a
Как и в случае многообразий, мы можем определить минималь-
минимальное разложение.
Определение 5. Примарным разложением идеала I называется
его представление в виде конечного пересечения примарных идеа-
идеалов: I = p|[=1 Qj. Разложение называется минимальным или неиз-
неизбыточным, если идеалы ^/Щ различны и П^г Qj не лежит в Qt
ни для какого г.
Для доказательства существования минимального разложения
нам понадобится следующая лемма. Ее доказательство мы оставля-
оставляем читателю в качестве упражнения.

272
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Лемма 6. Пусть I, J — примарные идеалы и yl = yJ. Тогда идеал
I П J примирен.
Теперь мы докажем первую часть теоремы о разложении Лас-
кера—Нётер.
Теорема 7 (Ласкер—Нётер). Для каждого идеала I С k[xi,. ..,xn]
существует минимальное примарное разложение.
Доказательство. По теореме 4 существует примарное разложение
I = f|[=1 Q{. Предположим, что лДЛ = y/Q] при i ф j. Тогда по
лемме 6 идеал Q = Qif] Qj примарен и в разложении идеала / мы
можем заменить два идеала Qi и Qj одним идеалом Q. Продолжая
этот процесс, мы добьемся того, чтобы все примарные идеалы в
разложении идеала I имели различные радикалы.
Пусть теперь Oj^aQj c Qi- Тогда мы можем исключить Qi из
разложения. Продолжая этот процесс, мы добьемся того, чтобы
условие Qi ~fi Dj^i Qi было выполнено для всех г. ?
В отличие от случая многообразий (или радикальных идеалов)
минимальное примарное разложение не единственно. В упражнени-
упражнениях мы проверим, что идеал (х2,ху) С к[х,у] имеет два различных
минимальных разложения:
(х2, ху) = (х) П (х2, ху, у2) = (х) П {х2, у).
Хотя идеалы (х2,ху,у2) и (х2,у) различны, но их радикалы сов-
совпадают. Чтобы доказать, что это имеет место и в общем случае,
нам понадобятся частные идеалов из § 4. Мы начнем с вычисления
частных примарного идеала.
Лемма 8. Пусть идеал I примарен, у/7 = Р и f € к[х\,... ,хп]-
Тогда
если f € I, то I : f = A),
если f $ I, тпо I: f Р-примарен,
если f $ Р, mo I: f = I.
?
Доказательство. См. упр. 7.
Вторая часть теоремы Ласкера—Нётер утверждает, что радика-
радикалы примарных компонент минимального разложения определены
однозначно.
Теорема 9 (Ласкер—Нётер). Пусть I = f\ri==1 Qi — минимальное
примарное разложение собственного идеала I С к\х\,... ,хп], «
§ 7. Дополнение. Примарное разложение идеалов
273
пусть Pi = y/Q~i. Тогда Pi — это в точности те собственные
простые идеалы, которые содержатся в множестве идеалов
{yTTJ : / ? к[хи...,хп}}.
Замечание. В частности, идеалы Pf не зависят от примарного раз-
разложения идеала I. Мы будем говорить, что Pt принадлежат I.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству те-
теоремы 6 из § 6. Детали будут рассмотрены в упр. 8-10. ?
В § 6 мы доказали теорему разложения для радикальных иде-
идеалов над алгебраически замкнутым полем. Теперь, используя тео-
теорему Ласкера—Нётер, мы можем доказать ее справедливость для
любого поля к.
Следствие 10. Пусть I — П1=1 Qi ~~ минимальное примарное раз-
разложение собственного радикального идеала I С к[х\,..., хп]. Тогда
идеалы Qi просты и являются в точности простыми собствен-
собственными идеалами, которые имеют вид I: /, где f € k[xi,..., хп].
Доказательство. См. упр. 12.
?
Теория минимальных примарных разложений не исчерпывает-
исчерпывается теоремами Ласкера—Нётер. Пусть, например, идеал Р» минима-
минимален в том смысле, что никакой идеал Pj не содержится строго в Р;.
Тогда Qi однозначно определен. Таким образом, имеет место теоре-
теорема единственности для некоторых Qi (см. гл. 4 из книги Atiyah,
MacDonald A969)). Следует упомянуть, что теорема 9 может
быть усилена: можно доказать, что Pi —это в точности те простые
собственные идеалы, которые имеют вид I: /, где / € к[х\,..., хп]
(см. гл. 7 книги Atiyah, MacDonald A969)).
Наконец, естественно задать вопрос, можно ли описать при-
примарное разложение конструктивно. Точнее, пусть задан идеал I =
(Л, ••-,/.>¦
• (Примарное разложение) Существует ли алгоритм, позволяю-
позволяющий найти базисы примарных идеалов Qi, участвующих в раз-
разложении идеала 7?
• (Ассоциированные простые идеалы) Можем ли мы найти базисы
ассоциированных простых идеалов Р; = у/0~{!
Если вы еще раз прочтете библиографические комментарии в
конце § 6, то увидите, что ответ положителен. Алгоритмы примар-
примарного разложения реализованы в системах AXIOM и REDUCE.

274
Гл. 4. Алгебро-геометрический «словарь»
Упражнения к § 7
1. Рассмотрим идеал / = (х,у2) С С[х, у].
(a) Докажите, что (х,уJ %1 % (*,у)- Выведите отсюда, что / не
является степенью простого идеала.
(b) Докажите, что I примарен.
2. Докажите лемму 2.
3. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство теоремы 4. Пусть
/ С k[xi,...,xn] — идеал.
(a) Используя указания, данные в тексте параграфа, докажите, что
/ является конечным пересечением неприводимых идеалов.
(b) Пусть д 6 k[xu..., хп]. Докажите, что I : дп С / : дп+1 для всех
п > 1- лг
(c) Пусть fg е / и / : gN - I : gN+1. Докажите, что (I + (д » П
(/ + (/)) = I. Указание: элементы идеала (/ + {gN)) П (I + (/))
могут быть записаны в виде а + bgN = с + df, где а, с 6 /, %
Ь, d 6 Jtfxi,..., х„]. Теперь умножьте это равенство на д.
4. В ходе доказательства теоремы 4 мы показали, что каждый непри-
неприводимый идеал примарен. Удивительно, но обратное неверно. Пусть
1={х2,ху,у2)ск[х,у].
(a) Докажите, что / примарен.
(b) Докажите, что / = (х2, у) П (х,у2) и убедитесь, что / не является
неприводимым.
5. Докажите лемму 6. Указание: воспользуйтесь предложением 16
из§3.
6. nycTb/ = (:r2,zj/)cQ[z-2/]-
(a) Докажите, что
I = (х) П (х2, ху, у2) = (х) П (х2, у)
— два различных минимальных примарных разложения идеа-,
ла /.
(b) Докажите, что для любого а е Q
1 = (х)П(х2,у~ах)
является минимальным примарным разложением идеала /, т. е.
/ имеет бесконечно много различных минимальных примарных
разложений.
7. Докажите лемму 8.
8. Докажите, что идеал является собственным тогда и только тогда,.|
когда собствен его радикал.
9. Пусть / — собственный идеал. Докажите, что простые идеалы, при-1
надлежащие /, также являются собственными. Указание: используй-'!
те упр. 8.
§ 8. Сводка результатов
275
10. Докажите теорему 9. Указание: используйте доказательство теоре-
теоремы 6 из § 6. Вам также придется переходить к радикалам. Здесь
будет полезным предложение 16 из § 3. Также используйте упр. 9 и
лемму 8.
11. Пусть Pi,..., Рг —простые идеалы, принадлежащие /.
(a) Докажите, что vJ = fl[=i ^>- Указание: используйте предложе-
предложение 16 из § 3.
(b) Рассмотрите идеал из упр. 4 и покажите, что \/1 = П|=1 -^ не
обязательно является минимальным разложением идеала s/l.
12. Докажите следствие 10. Указание: докажите, что идеал I : f всегда
радикален.
§ 8. Сводка результатов
В следующей таблице сведены воедино результаты этой главы. Мы
считаем все идеалы радикальными, а поле алгебраически замкну-
замкнутым.
АЛГЕБРА
радикальные идеалы
I
I(V) *¦
суммы идеалов
I + J
y/l{V) + 1(W) *¦
произведения идеалов
и
yJl{V)l{W) «-
пересечения идеалов
inj
I(V) П l(W) «¦
частные идеалов
I: J
I(V) : I{W) <r
исключение переменных
___ y/lnk[x[+i,...,xn] <r-
простой идеал
максимальный идеал
обрыв возрастающих цепей
ГЕОМЕТРИЯ
многообразия
-> V(J)
— V
пересечения многообразий
-» V(J) П V(J)
— VHW
объединение многообразий
-> V(/)UV(J)
— VUW
объединение многообразий
-^ VG)UV(J)
— VUW
разность многообразий
_> у(/) - у(J)
проекция многообразий
-> 7r;(V(/))
неприводимое многообразие
точка аффинного пространства
обрыв убывающих цепей

5
Полиномиальные и рациональные
функции на многообразии
Одна из идей, проходящих через всю современную математику, со- Ц
стоит в следующем: чтобы понять некоторый класс математических
объектов, необходимо также изучить отображения между этими i
объектами и в особенности те из них, которые сохраняют некотсь 1
рое исследуемое свойство объектов. Например, линейная алгебра I
изучает векторные пространства, но также и свойства линейных
отображений векторных пространств, т. е. таких отображений, ко- |
торые сохраняют операции сложения векторов и умножения век-
вектора на скаляр.
В этой главе мы будем рассматривать отображения много-
многообразий, в результате чего получим следующий раздел алгебро- |
геометрического «словаря», который мы начали создавать в гл. 4.
Алгебраические свойства полиномиальных и рациональных функ-
функций на многообразии помогают понять геометрические свойства са-
самого многообразия. Эта глава также является введением в теорию
факторколец (и объяснением ее важности).
§ 1. Полиномиальные отображения
Изучение отображений многообразий мы начнем с рассмотрения
двух примеров, с которыми уже встречались раньше. Напомним,
что касательная поверхность скрученной кубики в!3 (§3 гл. 3)
задается параметрически следующим образом:
х = t + и,
y = t2 + 2tu, A)
z = t3 + 3t2u.
На языке функций параметризация A) задает отображение
ф . Ш. 1 1K
формулой
ф(г,и) = (t + u,t2 + 2tu,t3 + 3t2u).
B)
§ 1. Полиномиальные отображения
277
Область определения этого отображения — аффинное многообра-
многообразие V = Е2, а образ — касательная поверхность S.
В § 3 гл. 3 было доказано, что S является аффинным много-
многообразием W = V(x3z - C/4):гУ - C/2)xyz + y3 + A/4)г2). Таким
образом, наша параметризация определяет то, что мы будем назы-
называть полиномиальным отображением многообразия V в W. Слово
«полиномиальный» здесь указывает на то, что компоненты отобра-
отображения ф являются полиномами от t и и.
Далее, когда мы изучали (§ 2 гл. 3) исключение переменных из
систем уравнений, то рассматривали отображение проекции
определенное формулой
та (ai, ¦ • • >an) = (oi+i)- ¦ • ,ап).
Если мы работаем с многообразием V = VG) С С1, то можем огра-
ограничить тг; на V. Тогда, как мы знаем, тг;(У) содержится в аффинном
многообразии W = VGj), где k = 7ПС[ж(+1,. ..,хп] есть 1-й исклю-
исключающий идеал идеала I. Таким образом, мы можем рассматривать
тг{ как отображение многообразий. В этом случае мы также можем
в силу определения отображения щ рассматривать его компоненты
как полиномы от координат области определения.
Определение 1. Пусть V С кт и W С кп — многообразия. Функ-
Функция ф : V —? W называется полиномиальным или регулярным ото-
отображением, если существуют полиномы Д,..., /„ € к[х\,..., хт],
такие, что
ф(а\,..., ат) = (Д (a,i,..., ат),..., /n(ai, • ¦ ¦, Ящ))
для всех {ах,... ,ат) € V. Мы будем говорить, что n-набор поли-
полиномов
представляет ф.
Утверждение, что ф — полиномиальное отображение многообра-
многообразия V С кт в многообразие W С кп, представленное набором
(/ь • • ¦! fn), означает, что полиномы, определяющие W, равны нулю
в точках (/i(ai,... ,ат),.. .,/n(ai,.. .,ат)) для всех (аь... ,ат) е
V. Рассмотрим, например, многообразия V = V(y - х2, z - х3) С к3
(скрученная кубика) и W = V(y3 - z2) С к2. Проекция tti : к3 ->
к2,Tti(x,y,z) = (y,z), задает полиномиальное отображение -к\ : V —>
W. В самом деле, каждая точка в tti(V) = {(х2,х3) : х е к} удов-
удовлетворяет уравнению, определяющему W.

278
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Случай W = к особенно интересен. Здесь ф является скалярной
полиномиальной функцией, заданной на многообразии V. Полино-
Полиномиальные функции из V в к следует изучать, в частности, и потому,
что общее полиномиальное отображение ф :V -> кп построено из п
полиномиальных функций ф{ : V -> к — компонент отображения ф.
Другими словами, если мы изучим функции ф : V —> к, то поймем,
как строить отображения ф : V ~? кп.
Рассмотрение полиномиальных функций мы начнем со следу-
следующего замечания: если V С кт, то ф : V —> к по определению 1
является полиномиальной функцией, когда существует полином
/ € к[х\,... ,хт], представляющий ф. Обычно мы задаем полино-
полиномиальную функцию, явно указав полиномиальное представление.
Таким образом, поиск представителя не вызывает трудностей. Но
только в редких случаях полиномиальное представление определе-
определено однозначно. Рассмотрим, например, многообразие V = (у — х2) С
R2. Полином f = х3 + у3 представляет полиномиальную функцию
из7в! Но д = х3 + у3 + (у - x2),h = х3 + у3 + (х4у - х6)
и F = х3 + у3 + А(х,у)(у - х2) для любого А(х,у) определяют
ту же самую полиномиальную функцию на У. В самом деле,
если мы прибавим к / любой полином из I(V), то это не изме-
изменит значения / в точках из V. То же самое происходит и в общем
случае.
Предложение 2. Пусть V С кт — аффинное многообразие. Тогда
(i) / и g € k[xi,... ,хт] представляют одну и ту же полино-
полиномиальную функцию на V в том и только том случае когда
fi(V)
(ii) (/i,..., fn) и (gi,... ,gn) представляют одно и то же полино-
полиномиальное отображение изУ в кп в том и только том случае,
когда fi - gi ? I(V) для всех i, I < г < п.
Доказательство, (i) Если f-g = he I(V), то f(p)-g(p) = h(p) = О
для любой точки р = (ai,..., ат) ? V. Следовательно, / и g пред-
представляют одну и ту же функцию на V. Обратно, если / и g предста-
представляют одну и ту же функцию на V, то f(p)-g{p) = 0 в каждой точке
р € V. Таким образом, / - g e I(V). Пункт (ii) является прямым
следствием п. (i). ?
Другими словами, соответствие между полиномами из
k[xi,..., хт] и полиномиальными функциями является взаимно од-
однозначным только в случае I(V) = {0}. В упр. 7 будет доказано,
что если к бесконечно, то I(V) = {0} в том и только том случае,
когда V = кт.
1. Полиномиальные отображения
279
Есть два способа справляться с неоднозначностью представле-
представления полиномиальных функций на многообразии:
• Грубо говоря, мы можем «собрать вместе» все полиномы / G
k[xi,..., xm], представляющие одну и ту же функцию на V, и
объявить это множество «новым объектом». Тогда мы можем
рассматривать такое множество полиномов как описание функ-
функции на V.
• С другой стороны, мы можем выбрать полином самого простого
вида среди тех, которые представляют некоторую функцию на
V, и работать только с этими «стандартными представителями».
Оба подхода имеют свои преимущества, и мы рассмотрим их
подробно в следующих параграфах. А сейчас мы рассмотрим еще
два примера, которые демонстрируют, какого типа свойства много-
многообразий отражены в полиномиальных функциях.
Определение 3. Через k[V] мы будем обозначать множество по-
полиномиальных функций ф : V —? к.
Так как к — поле, то можно определить сумму и произведение
любых двух функций ф,ф € k[V], складывая и умножая их значе-
значения. Для любого р € V
(ф
= ф(р)+Ф(р),
-ф)(р)=ф(р)-ф(р).
Более того, если мы выберем представители /, g € k[xi,..., xm] для
ф, тр соответственно, то сумма f + g представляет ф + ф и произ-
произведение / • g представляет ф ¦ ф. Значит, ф + ф и ф ¦ ф являются
полиномиальными функциями на V.
Таким образом, в k[V] можно определить операции сложения и
умножения, используя соответствующие операции в k[xi,... ,xm\.
Все обычные свойства этих операций имеют место в k[V]. Следова-
Следовательно, к\у) является коммутативным кольцом (см. приложение
А, где дано точное определение). Мы вернемся к этому вопросу
в §2.
Теперь мы готовы к выяснению того, что k[V] может сказать
нам о геометрии многообразия V. Напомним, что в § 5 гл. 4 много-
многообразие V С кт было названо приводимым, если оно может быть
представлено в виде объединения двух непустых собственных под-
подмногообразий: V = Vi U У2, где Vi ф V и V2 ф V. Например, мно-
многообразие V = V(x3 + ху2 - xz,yx2 + у3 - yz) С к3 приводимо,
потому что, разлагая на множители определяющие уравнения, мы
получаем разложение V = V(x2 + у2 - z) U У(х, у). Мы хотим пока-
показать, что такие геометрические свойства, как приводимость, могут

280
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
быть «вычитаны» из достаточно хорошего алгебраического описа-
описания кольца k[V]. Пусть, например,
/ = х2 + у2 - z, д = 2х2 - 3y4z e k[x, у, z], C)
и пусть ф и ^ — соответствующие элементы из k[V].
Заметим, что ни ф, ни ф не обращаются тождественно в нуль
на V: @,0,5) <Е V, а 0@,0,5) = /@,0,5) = -5^0. Аналогично,
A,1,2) е V, а ^A, 1,2) = 5A,1,2) = -4 ^ 0. Но произведение ф ¦ ф
этих функций равно нулю в каждой точке из V. Причина состоит
в том, что
f-g=(x2 + y2-z)Bx2-3y4z)
= 2х(х3 + ху2 - xz) - 3y3z{x2y + у3 - yz)
е (х3 + ху2 - xz, х2у + у3 - yz).
Следовательно fgE I(V); поэтому соответствующая полиномиаль-
полиномиальная функция ф ¦ ф тождественно равна нулю на V.
Произведение двух ненулевых элементов поля или двух ненуле-
ненулевых полиномов из к[х\,..., хп] не может равняться нулю. В общем
случае коммутативное кольцо R называется областью целостно-
целостности, если из а ¦ Ъ = 0 в R следует, что или а — 0, или 6 = 0. Та-
Таким образом, для нашего многообразия V кольцо k[V] не является
областью целостности. Более того, существование функций ф ф 0
и ф ф 0 в k[V], таких, что ф ¦ ф = 0, является прямым следстви-
следствием приводимости многообразия V: полином / в C) равен нулю на
Vi = V(x2 + у2 - z), но не на V2 = V(x,y); аналогично, 5 равен
нулю на V2, но не на Vi. Именно поэтому / • д — 0 в каждой точке
V = Vi U V~2 - Мы продемонстрировали наличие связи между геоме-
геометрическими свойствами многообразия V и алгебраическими свой-
свойствами кольца k[V].
В общем случае справедливо следующее утверждение.
Предложение 4. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Сле-
Следующие утверждения эквивалентны:
(i) V неприводимо;
(ii) идеал I(V) прост;
(iii) k[V] является областью целостности.
Доказательство. (i)<j=>(ii) —это предложение 3 из § 5 гл. 5.
Докажем, что (iii)=»(i). Предположим, что k[V] является обла-
областью целостности, но V приводимо. Это означает, согласно опре-
определению 1 § 5 гл. 5, что V = Vi U V2, где V\ и V2 —непустые соб-
собственные подмногообразия многообразия V. Рассмотрим полиномы
/i, /2 € k[x\ ,...,!„], такие, что /i равен нулю на V\, но не обраща-
обращается тождественно в нуль на V2., а /2 равен нулю на V2, но не обра-
обращается тождественно в нуль на Vi. (Такие полиномы существуют,
§ 1. Полиномиальные отображения
281
потому что Vi не содержит V2,a,V2 не содержит Vi.) Таким образом,
ни /i, ни /2 не представляет нуль в k[V]. Однако Д • /2 обращается
в нуль во всех точках из Vi U V2 = V. Следовательно, это произ-
произведение равно нулю в k[V], что противоречит целостности кольца
k[V]. Значит, V неприводимо.
Докажем, наконец, что (i)=»(iii). Предположим, что k[V] не
является областью целостности. Тогда найдутся два полинома /, g 6
k[xi,. ¦ ¦ ,хп], такие, что ни /, ни g не равен нулю тождественно на
V, но их произведение равно нулю в каждой точке из V. В упр. 9
будет доказано, что тогда существует разложение многообразия V
в объединение подмногообразий:
V = (VnV(f))U(VnV(g)).
В упр. 9 также будет показано, что при этих предположениях
у п V(/) ф V и V П V(g) Ф V. Это противоречит неприводимости
многообразия V. О
Рассмотрим еще один пример, показывающий, какого рода ин-
информацию о многообразиях можно обнаружить, изучая полиноми-
полиномиальные отображения. Пусть многообразие V С С3 определено как
пересечение трех квадрик:
х2 + 2xz + 2у2 + Зу = 0,
ху + 2х + z = 0, D)
xz + у2 + 2у - 0.
Чтобы изучить многообразия V, мы находим базис Грёбнера
идеала, порожденного полиномами D), по отношению к lex-
упорядочению с у > z > х. Этот базис состоит из двух полиномов
9i=y-z ,
2х.
E)
Геометрически это означает, что проекция многообразия V на ось
х является отображением «на», так как полиномы E) имеют посто-
постоянные старшие коэффициенты (§ 2 гл. 3). Более того, для каждого
значения ieC найдется ровно одно у и ровно одно z, такие, что
(x,y,z)EV.
Другими словами, существуют отображения
тг:У—>-С, {х, у, z) t-4 х,
ф:С—>V, xt-4 [х,х2,-х3 -2х).
Отметим, что в силу E) образ отображения ф принадлежит V. Оче-
Очевидно, что и 7г, и ф являются полиномиальными отображениями.

282
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Мы утверждаем, что эти отображения определяют взаимно одно-
однозначное соответствие между точками многообразия V и точками
многообразия С.
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что тг и ф вза-
взаимно обратны. Докажем сначала, что тг о ф = idc. Это очевидно,
так как
(поф)(х) = к(х,х2,-х3 -2х) =х.
С другой стороны, пусть (ж, у, z) € У; тогда
{фок){х,у,г) = (х,х2,-х3 -2х).
Согласно E), у - х2, z + х3 + 2х е I(V). Значит, ф о тг определяет то
же самое отображение на V, что и idv{x,y,z) = (x,y,z).
Из этих рассмотрений мы сделаем вывод, что У С С3 и С явля-
являются «изоморфными» многообразиями в том смысле, что существу-
существует полиномиальная биекция многообразия V на С, причем обрат-
обратное отображение также полиномиально. Хотя эти два многообразия
определены разными уравнениями и лежат в различных объемлю-
объемлющих пространствах, они в некотором смысле «одинаковы». Кроме
того, вычисление базиса Грёбнера E) показывает, что C[V] — С[х]
в том смысле, что любой элемент ф € С[У] может быть однозначно
преобразован подстановкой выражений для у и z из E) в полином
от х. Разумеется, если х используется как координата на много-
многообразии W = С, то, кроме того, C[W] — С[х]. Следовательно, мно-
множества полиномиальных функций на изоморфных многообразиях
совпадают.
Итак, мы установили, что изучение множества полиномиальных
функций на аффинном многообразии позволяет обнаружить его
приводимость или неприводимость. Кроме того, структура кольца
k[V] содержит информацию, позволяющую приступить к класси-
классификации многообразий. Этой темы мы до сих пор не касались. Мы
вернемся к этим вопросам позже, после того как рассмотрим раз-
различные методы анализа алгебраических свойств кольца k[V].
Упражнения к § 1
1. Пусть V — скрученная кубика в R3, a W = V(u - и - и2) С К2. До-
Докажите, что отображение ф(х,у,г) = (xy,z + х2у2) является полино-
полиномиальным отображением из V в W. Указание: воспользуйтесь пара-
параметризацией многообразия V.
2. Пусть V = V(y — х) С К2, а ф : R2 —> R3 — полиномиальное отображе-
отображение, определяемое формулой ф(х, у) = (х2 — у,у2,х — Зу2). Докажите,
что образ многообразия V является аффинным многообразием в R3.
Найдите систему уравнений, определяющую это многообразие.
§ 1. Полиномиальные отображения
283
3. Пусть ф : V —> к — полиномиальная функция. Ее множеством уровня
называется множество
ф-\с) = {{сп,.. . ,ат) € V : ф{аи ...,ат) = с},
где с € к фиксировано. В этом упражнении мы рассмотрим, как мно-
множества уровня можно использовать в анализе и реконструкции мно-
многообразия. Пусть к = R и мы работаем с поверхностью
(а) Пусть /(х, y,z) = z представляет полиномиальную функцию ф.
Тогда образом функции ф является R. Объясните, почему мно-
множество уровня ф (с) для любого с € R является аффинным мно-
многообразием, которое задается уравнениями
z -c = 0.
(b) Исключите z из этих уравнений и найдите уравнение пересече-
пересечения многообразия V с плоскостью z = с. Объясните, почему ваше
уравнение определяет гиперболу на плоскости z — с при с / 0 и
ось у при с = 0. (Обратитесь к изображению многообразия V в
§ 3 гл. 1 и постарайтесь понять, как гиперболы лежат на V.)
(c) Пусть полиномиальное отображение тт : V —> R задано формулой
тг(х, у, z) = х. Геометрически опишите множества уровня тг (с) С
V для с = -1,0,1.
(d) Решите ту же задачу для отображения а : V —> R, где
cr{x,y,z) = у.
(e) Постройте полиномиальное отображение ф : R —> V и опишите
его образ как подмногообразие в V.
4. Пусть V = V(z2 - (х2 + у2 - 1)D - х2 - у2)) С R3, а тг : V -> R2 -
вертикальная проекция iv(x,y,z) = {х,у).
(a) Каково максимальное количество точек в множестве тг~1(а,6),
где (а, 6) GR2.
(b) Каковы те множества R С R2, для которых множество п~1(а, Ь),
(а, 6) 6 R, состоит из двух точек, из одной точки, пусто?
(c) Используя п. (Ь), нарисуйте V.
5. Докажите, что ф1(х,у,г) = Bх2 + y2,z3 - у3 + 3xz) и ф2{х,у,г) =
Bу + xz, Зу2) представляют одно и то же полиномиальное отображе-
отображение скрученной кубики из R3 в R2.
6. Рассмотрим отображение ф : R2 —> R5, где ф{и,у) = (u,v,u2,uv,v2).
(а) Его образом является многообразие S, называемое поверхностью
Веронезе. Найдите неявное представление для 5.

284 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(Ь) Докажите, что проекция тг : S->R2, 7r(zi, хг,хз, ?4, хъ) = (х1,хг),
обратна отображению ф: R2 —> S. Что этот факт говорит об S
hR2?
7. В этой задаче мы опишем многообразия, для которых I(V) = {0}.
(a) Пусть поле к бесконечно и V С кп —многообразие. Тогда I(V) —
{0} в том и только том случае, когда V — кп.
(b) Пусть теперь к конечно. Докажите, что в этом случае I(V) не
может быть равно {0}. Указание: см. упр. 4 к § 1 гл. 1.
8. Пусть V = V{xy,xz) С К3.
(a) Докажите, что ни одна из двух функций f = у2 + z3,g = х2 — х
не обращается тождественно в нуль на V, но их произведение
является тождественным нулем на V.
(b) Найдите Vi = VnV(f) и V2 = VnY(g) и докажите, что V = ViUVi.
9. Пусть V — неприводимое многообразие и ф, ф— функции из k[V],
представленные полиномами /, д соответственно. Пусть ф ¦ ф = 0 в
k[V], но ни ф, ни ф не являются нулевыми функциями на V.
(a) Докажите, что V = (V П V(/)) U(Vfl VE)).
(b) Докажите, что V Ф (V П V(/)) п V ф (V П V(g)), и выведите
отсюда противоречие.
10. В этой задаче мы покажем, что не существует непостоянных полино-
полиномиальных отображений из V = R в W = V(y2 — х3 + х) С R2. Таким
образом, эти многообразия не изоморфны (т. е. они не «одинаковы»
в том смысле, который обсуждался в тексте параграфа).
(a) Пусть ф : R —> W — полиномиальное отображение с представ-
представлением ф(€) = (a(t),b(t)), где a(t),b(t) e K[i]. Докажите, что
b(tJ = a(t)(a(tJ-l).
(b) Объясните, почему два множителя в правой части равенства в
п. (а) должны быть взаимно просты в R[(].
(c) Используя однозначность разложения полиномов а и 6 на не-
неприводимые множители, докажите, что Ь2 = ас2 для некоторого
полинома c(t) e R[t], причем с взаимно прост с а.
(d) Из п. (с) вытекает, что с2 = а2 — 1. Докажите, что в этом случае
с, а и, следовательно, 6 — константы.
§ 2. Факторкольца полиномиальных колец
Кольцо k[V], построенное в § 1, является частным случаем так на-
называемого факторкольца кольца к[х\,..., хп] по идеалу /. Переход
к факторкольцу — это то «собирание» полиномов в один элемент,
которое упоминалось в § 1, когда описывались элементы ф € k[V].
Переход к фактормножеству — это одна из основополагающих кон-
конструкций в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
2. Факторколъца, полиномиальных колец
285
Поэтому прежде чем двигаться дальше, мы ознакомимся с теорией
факторколец.
Сначала дадим необходимые определения.
Определение 1. Пусть I С к[х\,...,хп\ — некоторый идеал. По-
Полиномы f,g(z k[xi,...,хп] называются сравнимыми по модулю I,
f = gmodl, если / - g € I.
Пусть, например, I — (х2-у2,х+у3 + 1) Ск[х,у]. Тогда полиномы
f = x4— у4 + хид = х + х5+ ?4у3 + х4 сравнимы по модулю I,
потому что
jg yy
= (х2 + у2)(х2 - у2) - (х4)(х + у3 + 1)е1.
Самое важное свойство отношения сравнимости описано в следу-
следующем предложении.
Предложение 2. Пусть I С k[xi,...,xn] —идеал. Тогда сравни-
сравнимость по модулю I является отношением эквивалентности на
множестве к[х\,..., хп].
Доказательство. Сравнимость по модулю I рефлексивна, так как
/ — / = 0 € / для всех / € k[xi,..., хп]. Докажем симметричность.
Пусть / = gmod/. Тогда / — g G /, а значит, g- f = (—1)(/ -g) € I,
т. e. g = f mod I. Теперь докажем транзитивность. Пусть / = g mod I
и g = h mod I. Тогда f-gQ.Iv.g-hQ. I. Но так как / замкнут
относительно сложения, f—g + g — h = f — h€l; следовательно,
/ = h mod I. ?
Отношение эквивалентности на множестве S разбивает это мно-
множество на непересекающиеся подмножества, которые называются
классами эквивалентности. Для любого / € k[xi,... ,хп] его класс
эквивалентности — это множество
[/] = {#€ k[xi,...,xn] : 5 ее/mod/}.
Определение сравнимости по модулю / и предложение 2 спра-
справедливы для любого идеала / С к[х\,..., хп]. В том частном случае,
когда / = I(V), выражение / = gmodl(V) в силу предложения 2
§ 1 означает, что / и g определяют одну и ту же функцию на мно-
многообразии V. Другими словами, «собирание» полиномов, которые
определяют одну и ту же функцию на V, осуществляется с помо-
помощью перехода к классам эквивалентности по отношению сравни-
сравнимости по модулю 1(V). Придадим этому замечанию строгую фор-
формулировку.

286
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Предложение 3. Множество попарно различных полиномиальЩ
ных функций ф :V -> к находится во взаимно однозначном соотЛ
ветпствии с множеством классов эквивалентности полиномов
отношению сравнимости по модулю I(V).
Доказательство. Это утверждение есть следствие предложения!
2 из § 1, и его (простое) доказательство мы оставляем читателю в[
качестве упражнения. Щ
Теперь мы готовы определить факторкольцо — предмет рассмо- j
трения этого параграфа.
Определение 4. Факторкольцом k[x\,... ,хп]/1 кольца k[xi,... ,1
х„] по идеалу I называется множество классов эквивалентности по |
отношению сравнимости по модулю Г.
Пусть, например, к = Ж, а 7 = (х2 - 2). Существует ли спо«]
соб описать все классы эквивалентности по модулю 7? Используя,
алгоритм деления, любой полином / € Ш[х] можно записать в виде
f = q-(x2-2) + r, где г = ax + b, a, b ? Е. По определению / = rmod/,
так как f - г = q ¦ (х2 - 2) € I. Таким образом, любой полином из ,
Ш[х] принадлежит единственному из классов эквивалентности ви-
вида [ах + Ь], и Ш[х]/1 = {[ах + Ъ] : а, Ъ € К}. В § 3 мы обобщим ис-
использованную в этом примере идею на случай k[xi,... ,хп]/1 для
произвольного идеала I.
Так как k[xi,..., х„] — это кольцо, можно попытаться опре-
определить операции сложения и умножения для классов [/], [д] €
k[xi,..., хп]/1, используя соответствующие операции для полино-
полиномов. Другими словами, мы хотим, чтобы операции на классах вы-
выглядели так:
[/] + Ы = [/ + д] (сумма в k[x1,...,xn]/I),
[/] • Ы = [/ • д] (произведение в к[хи . ..,хп]/1).
Мы должны проверить корректность этих формул, т. е. должны до-
доказать, что если мы выберем другие полиномы из этих же классов,
/' € [/] и 91 ? [д], то класс [/' + д'] совпадет с классом [f + д]. Ана-
Аналогично, мы должны доказать, что [/' • д'\ = [f • д].
Предложение 5. Операции сложения и умножения классов кор-
корректно определены равенствами A), т. е. класс [/' + д'] и класс
[/' • д'] не зависят от выбора полиномов /' G [/] и д' ? [д].
Доказательство. Пусть /' е [/] и д' е [д]. Тогда /' = / + а и д' -
д + Ь, где а,Ь ? I. Имеем
/' + д' = U + а) + (д + Ъ) = (/ + д) + (а + Ъ).
§ 2. Факторкольца, полиномиальных колец
287
Так как a + Ь е I, то /' + д' = f + g mod 7; значит, [/' + д'] = [/ + д].
Аналогично,
f ¦ д' = if + a) ¦ {д + b) = fg + ag + fb + ab.
Так как ag+fb+ab € 7, то fg' = fg mod 7, а значит, [f'-g1] = [f-g]. D
В качестве примера рассмотрим операции сложения и умноже-
умножения в факторкольце Щх]/(х2 - 2). Мы знаем, что классы [ах + Ь],
а.Ь € Е, составляют полное множество элементов из Щх]/{х2 - 2).
Сумма классов определяется формулой [ах + Ь] + [сх + d\ = [(а +
с)х + (b + d)}. Отметим, что это обычная векторная (покомпонент-
(покомпонентная) сумма упорядоченных пар вещественных чисел. Произведение
классов также несложно определить:
[ах + Ъ] ¦ [сх + d] = [асх2 + (ad + bc)x + bd]
= [(ad + Ьс)х + (bd + 2ac)].
Для этого нужно полином второй степени в первой строчке равенст-
равенства справа поделить на х2 - 2 и найти остаток от деления.
Так как операции A) определены корректно, то аксиомы ком-
коммутативного кольца выполнены в k[xi,... ,xn]/I, потому что опе-
операции на классах определены в терминах соответствующих опера-
операций в кольце к[х\,..., хп], где эти аксиомы выполнены. Например,
чтобы доказать ассоциативность сложения в k[xi,..., xn]/I, можно
рассуждать следующим образом:
([f] + [g}) + [h} = [f + g} + [h]
= [(f+ g) + h] (по A))
= [f + (д + h)} (в силу ассоциативности кольца к[х\,... ,х„])
Аналогично доказывается коммутативность сложения и умноже-
умножения, ассоциативность умножения и законы дистрибутивности. Ад-
Аддитивной единицей в к[х\,..., х„]/1 является [0], а мультипликатив-
мультипликативной служит [1]. Таким образом, мы дали набросок доказательства
следующей теоремы.
Теорема 6. Пусть I — идеал в к[хг ,...,х„]. Тогда факторкольцо
k[xi,..., xn]/I является коммутативным кольцом, операции в ко-
котором заданы равенствами A).
Пусть теперь дано многообразие V. Что можно сказать о связи
между факторкольцом k[xi,... ,xn]/I(V) и кольцом k[V] полино-
полиномиальных функций на VI Оказывается эти кольца «одинаковы» в
следующем смысле.

288
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Теорема 7. Взаимно однозначное соответствие между элеменЛ
тами кольца k[V] и элементами кольца к[х\,... ,xn]/I(V), onpe-J
деленное в предложении 3, сохраняет суммы и произведения.
Доказательство. Определим отображение Ф :k[xi,...,xn]/l(V)-
k[V] следующим образом: Ф([/]) = 0, где ф — полиномиальная функ-
функция, представленная полиномом /. Так как каждый элемент из
k[V] представлен некоторым полиномом, то Ф—это отображен j
ние «на». Докажем его инъективность. Пусть Ф([/]) = Ф([р]). По,!
предложению 3 тогда / = gmodI(V); следовательно, [/] = [д] в5
[]/l(V)
Рассмотрим теперь суммы и произведения. Пусть [/],[#] ?>\
k[xi,..., xn]/I(V). Тогда Ф([/] + [#]) = Ф{[/+д}) по определению сумг ]
мы в факторкольце. Если / представляет полиномиальную функ-
функцию ф, а д представляет ф, то f + д представляет ф + ф. Следо-
Следовательно,
Таким образом, Ф сохраняет суммы. Аналогично,
ад • [»]) = *([/ -9]) = ф-ф = ф([/])
т. е. Ф сохраняет также произведения. Аналогичные рассуждения)
показывают, что обратное соответствие Ф также сохраняет суммы
и произведения. Теорема доказана. ?
Теорема 7 иллюстрирует одно из основных понятий общей ал-
алгебры. Следующее определение объясняет, что значит, что два
кольца в сущности одинаковы.
Определение 8. Пусть R, S — коммутативные кольца.
(i) Отображение ф: R-> S называется кольцевым изоморфизмом,
если
(a) ф сохраняет суммы, т.е. ф(г + г') = ф{г) + ф(г') для всех
г,г1 G Л;
(b) ф сохраняет произведения, т. е. ф(г ¦ г') = ф(г) ¦ ф(г') для
всех г, г' € R;
(c) ф является инъективным отображением «на».
(ii) Кольца R, S называются изоморфными, если существует изо-
изоморфизм ф: R-> S. Если R изоморфно 5, то мы будем писать
RSiS.
(iii) Отображение ф : R -> S называется кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом1^, если ф удовлетворяет условиям (а) и (Ь) п. (i), но не
') Читатель легко проверит, что кольцевой изоморфизм является кольцевым
гомоморфизмом (см. упр. 8). — Прим. ред.
§ 2. Факторкольца полиномиальных колец
289
обязательно условию (с) и, кроме того, переводит мультипли-
мультипликативную единицу 1 € R в мультипликативную единицу 1 € S.
Вообще, «гомоморфизм» — это отображение, сохраняющее алге-
алгебраическую структуру. Кольцевой гомоморфизм ф : R -> S сохра-
сохраняет операции сложения и умножения в кольце R.
Таким образом, теорема 7 определяет кольцевой изоморфизм
k[V] = k[xi,... ,xn]/I(V). Можно спросить, а что получится, если
мы заменим идеал I(V) каким-либо другим идеалом, определяю-
определяющим VI (Из гл. 4 мы знаем, что существует много идеалов /, та-
таких, что V(J) = V.) Верно ли, что все факторкольца к[х\,..., хп}/1
изоморфны k\V]l Следующий пример показывает, что ответ отри-
отрицательный. Пусть V = {@,0)}. В § 4 гл. 1 было показано, что I(V) =
1({@,0)}) = (х,у). Из теоремы 7 следует, что k[x,y]/I(V) = k[V].
Прежде всего, отметим, что k[x,y]/I(V) = к, потому что по-
полиномиальная функция на множестве, состоящем из одной точки
{@,0)}, может быть представлена константой, так как ее множе-
множество значений состоит из одного числа. Мы можем также доказать
это утверждение алгебраически, построив отображение
Ф : k[x,y]/I(V)-4 к,
где Ф([/]) = /@,0) (постоянный член полинома). Доказательство
того, что Ф является кольцевым изоморфизмом, мы оставляем чи-
читателю.
Пусть теперь I = (х3 + у2,3у4) С к[х,у]. Легко проверить, что
VG) = {@,0)} = V. Верно ли, что к[х,у}/1 = к? Чтобы убедиться,
что неверно, рассмотрим класс [у] € к[х,у]/1. Отметим, что у $. I
(это легко проверить, построив базис Грёбнера идеала /, исполь-
используя упорядочение, и вычислив остаток). Значит, [у] ф [0] в коль-
кольце к[х,у]/1. Но [у]4 = [уА] = [0], так как у4 G /. Таким образом, в
к[х, у]/1 существует ненулевой элемент, четвертая степень которого
равна нулю. Но в поле такой элемент существовать не может. Сле-
Следовательно, к[х,у]/1 не является полем. Значит, кольца k[x,y]/I(V)
и к[х,у]/1 не изоморфны, потому что одно из них является полем,
а другое —нет. (См. также упр. 8.)
Элемент а в коммутативном кольце R называется нильпо-
тпентным элементом, если а™ = 0 для некоторого п > 1. Только
что разобранный пример достаточно точно показывает, что про-
происходит, когда мы сравниваем факторкольца к[х\,... ,xn]/I(V) и
к[х\,..., хп}/1, где / — некоторый другой идеал, такой, что VG) =
V. Если / не радикален, то существует полином / € \/7, такой, что
f$I. Тогда [/] ф [0] в k[xlt.. .,хп]/1, но [/]" = [0], так как /» € /
для некоторого п > 1. Факторкольцо к[х\,... ,хп]/1 будет иметь

290
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
ненулевые нильпотентные элементы, в то время как факторкольцо
к[х\,... ,xn]/I(V) их иметь не может: I(V) является радикальным
идеалом и потому [/]" = 0 в том и только том случае, когда [/] = 0.
Так как факторкольцо k[xi,... ,хп]/1 само является коммута-
коммутативным кольцом, мы можем изучать также другие грани его коль-
кольцевой структуры, в частности, изучать идеалы в k[xi,...,xn]/I.
Идеал в коммутативном кольце определяется так же, как в кольце
полиномов.
Определение 9. Подмножество / коммутативного кольца R на-
называется идеалом, если
(i) 0 € /, где 0 — нулевой элемент кольца R;
(ii) если а, Ъ € I, то а + Ъ € I;
(ш) если о € /, a r e R, то г ¦ а ? /.
Между идеалами в факторкольце к[хх,..., хп}/1 и идеалами в
кольце к[х\,... ,хп] существует тесная связь.
Предложение 10. Пусть I — идеал в k[xi,... ,хп]. Тогда идеалы
в факторкольце k[xi,... ,хп]/1 находятся во взаимно однозначном
соответствии с идеалами в k[xi,..., хп], содержащими I (т. е. с
идеалами J, такими, что I С J С к[х\,... ,хп]).
Доказательство. Сначала покажем, как построить идеал в
k[xi,... ,хп]/1, соответствующий идеалу J, / С J С k[xi,... ,хп]-
Если идеал J содержит /, то через J/I будет обозначаться множе-
множество {[j] 6 k[xi,..., xn]/I :j € J}. Мы утверждаем, что J/I является
идеалом в к[х\,..., хп]/1. Докажем это. Прежде всего, [0] ? J/I, так
как 0 € J. Далее, пусть [j], [h] € J/I; тогда \j] + [h] = \j + h] по опре-
определению суммы в факторкольце. Так как j + h € J, то [j] + [h] € J/I-
Наконец, если [j] € J/I и [г] € k[xi,... ,xn]/I, то [г] • [j] = [г ¦ j] по
определению умножения в факторкольце. Так как г • j € J в силу
того, что J —идеал, то [г] ¦ [j] e J/I. Таким образом, J/I — идеал
в k[xi,...,xn]/I.
Пусть теперь J С k[xi,... ,хп}/1 — некоторый идеал. Мы сейчас
покажем, как построить по J идеал J в k[xi,... ,хп], содержащий
/. Пусть J = {j € k[xi,... ,хп] : [j] € J}- Имеем I С J, так как
[г] = [0] € J для любого г G I. Осталось показать, что J —идеал.
Во-первых, 0 € / С J. Далее, если j,h € J, то [j],[h] G J. Тогда
[j] + [h] = [j + h] e j. Следовательно, j + h ? J. Наконец, пусть
j e J и r e k[xi,...,xn]. Тогда [j] € J и потому [r][j] = [rj] € J-
Следовательно, rj € J, т.е. J — идеал в к[х\,...,xn].
§ 2. Факторкольца полиномиальных колец
291
Мы доказали, таким образом, что существует соответствие меж-
между двумя множествами идеалов:
{J : I С J С k[xi,... ,хп]} {J С k[xi,... ,хп}/1}
J) B)
J.
Доказательство того факта, что отображения, показанные стрелка-
стрелками, взаимно обратны, мы оставляем читателю в качестве упражне-
упражнения. Это показывает, что установленное соответствие взаимно од-
однозначно. ?
Рассмотрим, например, идеал / = {х2 - 4х + 3) С R = Щх]. Мы
знаем, что R является областью главных идеалов (см. гл. 1), т.е.
каждый идеал в R порожден одним полиномом. Идеалы, содер-
содержащие /, — это в точности те идеалы, образующие которых делят
х2 — 4х + 3. Следовательно, факторкольцо R/I содержит в точно-
точности четыре идеала:
идеалы в R/I идеалы в R, содержащие I
(Ж I
([х-3]), (х-3),
R/I, R.
Как в уже разобранном ранее примере, мы можем описать операции
в R/I, вычисляя остатки от деления на х2 — 4х + 3.
Следствием предложения 10 является утверждение об идеалах
в факторкольцах, аналогичное теореме Гильберта о базисе (гл. 2).
Следствие 11. Каждый идеал в факторкольце к[х\,... ,хп]/1 ко-
конечно порожден.
Доказательство. Пусть J — некоторый идеал в к[х\,..., хп]/1. По
предложению 10 существует идеал J С k[xi,..., хп], такой, что I C.J
и J = {[j] ¦. j ? J}. По теореме Гильберта о базисе идеал J конечно
порожден, J = (/i,..., fs). Значит, любой элемент j € J может быть
представлен в виде j = hxfi + . .. + hsfs, где /i» € k[xi,... ,xn]. Тогда
[j] = [hh + ... + hsfs] = [/цЦД] + . . . + [h.][ft].
Таким образом, классы [/i]>-¦-,[/«] порождают идеал J в
k[xlt...,xn]/I. ?
В следующем параграфе мы обсудим более конструктивный
метод изучения факторколец к[хх,... ,хп]/1 и их алгебраических
свойств.

292
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Упражнения к § 2
1. Пусть I = (/i,..., fs) С k[xi,... ,хп]- Используя методы гл. 2, опиши-
опишите алгоритм, позволяющий выяснить, справедливо ли соотношение
/ = g mod/.
2. Докажите предложение 3.
3. Докажите теорему б, т. е. докажите, что в к[х\,..., хп]/1 выполнены
аксиомы коммутативного кольца.
4. В этом упражнении мы приведем алгебраическое построение поля,
содержащего Q, в котором число 2 является полным квадратом. На-
ше построение не использует предельного перехода, необходимого для
придания смысла бесконечному десятичному представлению типа
v2 = 1.414.... Вместо этого мы будем работать с полиномом х2 — 2.
(a) Докажите, что любой полином / g Q[x] сравним по модулю иде-
идеала I = {х2 — 2) С Qfx] с единственным полиномом вида ах + Ь,
где a, b € Q.
(b) Докажите, что класс [х] в Q{x]/7 является квадратным корнем
из 2 в том смысле, что [х]2 = [2].
(c) Докажите, что F = Qfz]// является полем. Указание: по теоре-
теореме б F является коммутативным кольцом; следовательно, оста-
осталось доказать, что каждый ненулевой элемент из F имеет муль-
мультипликативный обратный по умножению в F.
(d) Найдите подполе в F, изоморфное Q.
5. В этом упражнении мы рассмотрим операции сложения и умножения
в факторкольце К/(х2 + 1).
(a) Докажите, что каждый полином / 6 Щх] сравним по модулю
I = (х2 + 1) с единственным полиномом вида ах + 6, где a, b € R.
(b) Найдите формулы для сложения и умножения в Щх]/{х2 +1), ис-
используя полиномы ах+b как стандартные представители классов.
(c) Есть ли другой способ описать кольцо К[х]/(х2 + 1) (т. е. суще-
существует ли хорошо известное кольцо, изоморфное ему)? Указание:
чему равен [х]2?
6. Докажите, что факторкольцо Щх]/{х2 -4х+3> не является областью
целостности.
7. Для любого коммутативного кольца R и любого идеала / в нем мож-
можно определить факторкольцо R/I. Факторкольцо строится точно так
же, как и факторкольцо k[xi,..., хп]/1. Вот простой пример.
(а) Пусть / = (р) С R = Z, где р — простое число. Докажите, что
сравнимость по модулю р, задаваемая правилом
m = nmodp <=$¦ р делит т — п,
является отношением эквивалентности на Z, и опишите его клас-
классы эквивалентности. Множество этих классов эквивалентности
мы будем обозначать Z/{p).
§ 2. Факторкольца, полиномиальных колец
293
(b) Постройте операции сложения и умножения в Z/(p) по аналогии
с равенствами A) и, используя технику предложения 5, докажи-
докажите, что они корректно определены.
(c) Докажите, что Z/(p) является коммутативным кольцом относи-
относительно операций из п. (Ь).
(d) Докажите, что конечное поле Fp, определенное в гл. 1, изоморф-
изоморфно (как кольцо) Z/(p).
8. В этом упражнении мы рассмотрим образы мультипликативных
обратных при гомоморфизмах колец.
(a) Докажите, что любой кольцевой изоморфизм ф-.R—tS переводит
мультипликативную единицу в R в мультипликативную единицу
в 5, т.е. 0A) = 1.
(b) Пусть элемент г € R имеет мультипликативный обратный. До-
Докажите, что ф(г-1) является мультипликативным обратным для
элемента ф(г), где ф : R—t S — кольцевой гомоморфизм.
(c) Пусть R и 5 — изоморфные кольца и, кроме того, R является
полем. Докажите, что S также является полем.
9. Докажите, что отображение / ь-> /@,0) задает кольцевой изомор-
изоморфизм к[х,у]/{х, у) = к. Указание: воспользуйтесь упр. 16.
10. В этом упражнении мы рассмотрим одно важное свойство нильпо-
тентных элементов в кольцах. Пусть R = к[х] и I = {х ).
(a) Докажите, что [х] является нильпотентным элементом в R/I, и
найдите наименьшую степень элемента [х], равную нулю.
(b) Докажите, что каждый класс в R/I имеет единственный пред-
представитель вида b + ae, где a, b € к, а через t мы обозначили [х].
(c) Зафиксировав b + ae € R/I, мы можем определить отображение
R —> R/I, заменяя х на b + ae в каждом полиноме }{х) € R.
Например, если b + ae = 2 + еи f(x) = х2, то х2 -* B + еJ =
4 + 4е + е2 = 4 + 4е. Докажите, что
= f(b)+a-f'(b)e,
C)
где /' — формальная производная полинома / (т. е. производная,
построенная чисто алгебраическим путем).
(d) Пусть е — [х] е к[х]/(х3). Найдите формулу для f(b + ae), анало-
аналогичную формуле C).
П. Пусть R — коммутативное кольцо. Докажите, что множество всех
нильпотентных элементов в R образует идеал. Указание: чтобы дока-
доказать, что сумма двух нильпотентных элементов также нильпотентна,
нужно рассмотреть подходящую степень (a + b)k и воспользоваться
формулой бинома.
12. В этом упражнении мы докажем, что отображения в B) обратны
друг другу.

294 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(a) Пусть J — идеал в k[xi,..., х„] и / С J. Докажите, что J = {/ g
k[xu. ..,хп}: [/] G J/I}, где J/I = {[j] : j € J}. Объясните, где
доказательство использует включение I С J. ^
(b) Пусть J — идеал в fc[zi,..., хп]/1. Докажите, что J = {[/] g
k[xlt..., хп}/1 :feJ}, где J = {j: [j] e J}.
13. Пусть Я и 5 — коммутативные кольца и ф : Я -> 5 — кольцевой гомо-
гомоморфизм.
(a) Докажите, что ф~1 (J) является идеалом в Я, если J — идеал в 5.
(b) Пусть ф — изоморфизм колец. Докажите, что существует взаг
имно однозначное сохраняющее включение соответствие между
множеством идеалов в 5 и множеством идеалов в Я.
14. В этом упражнении мы рассмотрим идеалы в некоторых фактор-
кольцах.
(a) Пусть / = (х3 - х) С Я = Щх]. Найдите все идеалы факторколь-
ца Я//, используя предложение 10. Нарисуйте диаграмму, иллю-
иллюстрирующую включения идеалов.
(b) Как изменится ваш ответ, если I — (х3 + х)?
15. В этом упражнении мы рассмотрим некоторые факторкольца
Щх, у}/1.
(a) Пусть / = (х2, у2) С Щх, у]. Опишите идеалы в Щх, у]/1. Указа-
Указание: воспользуйтесь предложением 10.
(b) Верно ли, что Щх, у]/(х3,у) изоморфно Щх, у]/(х2,у2)?
16. Пусть ф : k[xi,... ,хп] -> 5 —гомоморфизм колец. Множество {г €
Jk[xi,... ,хп] ¦ ф(г) — 0 € 5} называется ядром гомоморфизма ф и
обозначается ker(<^>).
(a) Докажите, что ker(t^) является идеалом в k[xi,... ,хп].
(b) Докажите, что отображение v из к[х\,...,хп]/кет(ф) в 5, опре-
определенное формулой v([r]) = ф{г), корректно определено в том
смысле, что v([r]) = v([r']), если г = г' modker(^).
(c) Докажите, что v является качьцевым гомоморфизмом.
(d) (Теорема об изоморфизме) Предположим, что ф является ото-
отображением «на». Докажите, что v является взаимно однознач-
однозначным отображением кольца k[xi,..., хп]/ кет(ф) на S, т.е. S —
k[xi,..., хп]/ кет(ф), если ф является отображением «на».
17. Используя упр. 16, дайте краткое доказательство теоремы 7. Рассмо-
Рассмотрите отображение ф : k[xi,.... хп] —> k[V], которое переводит поли-
полином в элемент из k[V], который этот полином представляет. Указа-
Указание: что является его ядром?
§ 3. Алгоритмические вычисления в k[xi,..., х„]/1
295
§ 3. Алгоритмические вычисления
в k[xi,...,xn]/I
В этом параграфе, используя алгоритм деления, мы найдем про-
простые представители классов эквивалентности по модулю идеала
/ С k[xi,... ,хп]. Знание этих представителей позволит нам раз-
разработать явный метод вычисления сумм и произведений в фактор-
кольце k[xi,... ,хп]/1. Кроме того, мы получим простой критерий
конечности числа решений полиномиальной системы над С.
Основная идея состоит в том, что остаток от деления полинома /
на базис Грёбнера G идеала / определен однозначно (предложение
1 из § 6 гл. 2). Следующие важные утверждения интерпретируют
результаты деления и вид остатка в терминах факторколец.
Предложение 1. Зафиксируем мономиальное упорядочение в
k[xi,...,xn]- Пусть I — идеал в к[хг,..., хп]. Через (ьт(/)) мы бу-
будем обозначать (как и в § 5 гл. 2) идеал, порожденный старшими
членами полиномов из I.
(i) Каждый полином f € k[xi,..., хп] сравним по модулю I с един-
единственным полиномом г, который является k-линейной комби-
комбинацией мономов из дополнения к (ьт(/)).
(и) Элементы {ха : ха ^ (ьт(/))} «линейно независимы по модулю
I», т. е. если
^2саха = 0mod/,
где ха принадлежат дополнению (ьт(/)), то са = 0 для всех а.
Доказательство, (i) Пусть G — базис Грёбнера идеала I и / е
к[хх,..., хп]. Тогда / = q+r, где q e I, a r = fG — остаток от деления.
Таким образом, / — г = q € /, т. е. / = г modi. Алгоритм деления
вычисляет остаток так, что г есть /с-линейная комбинация мономов
ха fi (lt(/)). Единственность остатка г доказана в предложении 1
из § 6 гл. 2.
(и) Доказательство этого пункта аналогично доказательству
единственности остатка в предложении 1 из § 6 гл. 2. Детали мы
оставляем читателю. ?
Исторически именно это и было первым применением базисов
Грёбнера. Диссертация Бухбергера была посвящена нахождению
«стандартного множества представителей» классов в факторколь-
це. Заметим также, что если / = 1A^) для некоторого многообразия
V. то в предложении 1 определены и стандартные представители
полиномиальных функций ф G k[V].

296
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Пример 2. Пусть / = (ху3 - х2,х3у2 -у) С Щх,у] и используется
grlex-упорядочение. Тогда
G = {х3у2 - у, х4 - у2, ху3 -х2,у4- ху}
является базисом Грёбнера идеала /. Следовательно, (ьт(/)) =
(х3у2,х4,ху3,у4). Как в § 4 гл. 2, построим диаграмму в Z>0, на
которой представлены векторы — показатели степеней мономов из
(lt(/)) и дополнения к (ьт(/)). А именно, векторы
аA) = C,2),
оB) = D,0),
аC) = A,3),
аD) = @,4)
являются векторами — показателями степеней порождающих эле-
элементов идеала (ьт(/)). Таким образом, множество
(C,2) + Z|o) U (D,0) + Z|o) U (A,3) + Z|o) U (@,4) + Z|o)
и есть множество показателей степеней мономов из (ьт(/)). Это
множество состоит из точек целочисленной решетки, лежащих в
выделенной области на рисунке:
@,4)
11.3i
ОС*
[¦Л. 2)
осе
D,0)
Мы видим, что для заданного / ? K[i,y] остаток / являе
Е-линейной комбинацией 12 мономов 1,х,х2,х3,у,ху,х2у,х3у,у^Л
ху2,х2у2,у3, которые не содержатся в вьщеленной области в силу|
предложения 1. Отметим, что в этом случае все остатки прина
жат конечномерному векторному подпространству в Е[х,2/].
Можно спросить, а что же случится, если используется друг
мономиальное упорядочение. Если мы используем lex- вместо grle
упорядочения с у > х, то базис Грёбнера G в этом случае сост
§ 3. Алгоритмические вычисления в к[х\,..., хп]/1
297
из двух полиномов:
G = {y-x\xl2-x2}.
Следовательно, (ьт(/)> = (у,х12) и (ьт(/)) содержит все мономы,
показатели степеней которых принадлежат выделенной области на
рисунке ниже. Таким образом, fG является линейной комбинацией
мономов {1,х,х2,... ,хп} для любого / е М[х,у].
@,1)'
A2,0) m
(т,п)ох"У
Обратите внимание, что (ьт(/)) и остатки меняются при переходе
к другому упорядочению. В обоих случаях, однако, остатки при-
принадлежат 12-мерному пространству. Как мы вскоре увидим, эти
пространства имеют одну размерность не случайно. Для данного
идеала I число мономов в дополнении к (ьт(/)) не зависит от ис-
используемого упорядочения (в том случае, если это число конечно).
Пример 3. В примере 2 в дополнении к (lt(J)) содержится толь-
только конечное число мономов. На самом деле это особый случай. Рас-
Рассмотрим, например, идеал / = (x-z2, y-z3) С к[х, y,z].B случае lex-
упорядочения указанные порождающие элементы образуют также
и базис Грёбнера, т.е. (ьт(/)) = (х,у). Множество остатков по мо-
модулю I — это множество к-линейных комбинаций степеней z. Идеал
I в этом случае является идеалом скрученной кубики в к3. Отсюда
следует по предложению 1, что каждая полиномиальная функция
на скрученной кубике может быть однозначно представлена поли-
полиномом из k[z]. Значит, пространство остатков бесконечномерно и
VG) — это кривая. Что можно сказать о V(I) для / из примера 2?
В любом случае мы можем использовать предложение 1 для
частичного описания алгебраической структуры факторкольца
Ц]/1
Предложение 4. Пусть I — идеал в k[xt,.. .,хп]. Тогда фактор-
кольцо k[xi,..., хп]/1 как векторное пространство изоморфно про-
пространству S = Span(xQ : ха <? (ьт(/))) (где Span обозначает ли-
линейную оболочку).

298
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Доказательство. По предложению 1 отображение Ф : к[х\,...,
хп]/1 -> 5, определенное формулой Ф[/] = /G, устанавливает вза-
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности
в к[х\,... ,хп]/1 и элементами из 5. Осталось доказать, что Ф ли-
линейно. Рассмотрим операцию сложения в к[х\,..., хп]/1, определен-
определенную в § 2. Пусть [/], [д] € k[xit... ,хп]/1. По предложению 1 опреде-
определены «стандартные» представители — остатки от деления на базис
Грёбнера G. Так как f + д = fG+gG (см. упр. 12 к § 6 гл. 2), то если'
(где суммирование происходит по таким а, что ха $ (ьтA))), то
A)
Таким образом, для стандартных представителей операция сложе-
сложения в [х\,..., хп]/1 совпадает с операцией сложения в fc-векторном
пространстве S = Span(xQ : ха ^ (ьт(/))). Далее, мы оставляем чи-
читателю в качестве упражнения доказательство того, что если с G к,
то с • / = с • fG (это следствие единственности, доказанной в пред-
предложении 1). Тогда
Значит, умножение на с в к[хг,... ,хп}/1 совпадает со скалярным
умножением в S. Поэтому отображение Ф линейно и является изо-
изоморфизмом векторных пространств. D
С произведением в к[х\,... ,хп]/1 справиться не так легко. Мы
рассмотрим пример, который демонстрирует возникающие здесь
трудности. Рассмотрим идеал
/ = (у + х2 - 1,ху - 2у2 + 2у) с Щх, у].
Его базис Грёбнера для lex-упорядочения с х > у имеет вид
G = {х2 + у - 1, ху - 2у2 + 2у, у3 - G/4J/2 + C/4J/}. B)
Таким образом, {LT(I)) = (х2,ху,у3); следовательно, {1,х,у,у2}
является базисом пространства остатков по модулю /. Рассмот-
Рассмотрим классы эквивалентности полиномов / = Ъу2 + хид = х—у
в Щх,у]/1. Произведение классов [/] и [д] представлено полиномом
/• д = Зху2 + х'2 — Зу3 -ху. Но этот полином не является стандарт-
стандартным представителем, потому что он содержит мономы, лежащие
3. Алгоритмические вычисления в к[х\,..., хп\/1
299
в (lt(/)}. Однако мы можем поделить этот полином на G, и тогда
остаток f ¦ g и будет стандартным представителем произведения.
Имеем
3xj/2 + х2 - Зу3 -ху = (-П/4J/2 - E/4)у + 1,
и этот полином принадлежит Span(l,z,j/, у2), как мы и ожидали.
Этот пример показывает, как алгоритмически проводить вычис-
вычисления в к[х\,... ,хп}/1. Другими словами, мы доказали следующее
утверждение.
Предложение 5. Пусть I — идеал в к[х\,..., хп], и пусть G — его
базис Грёбнера по отношению к некоторому мономиалъному упо-
упорядочению. Для каждого [/] ? к[х\,..., хп]/1 найдем стандартный
представитель /=/GeS = Span(xa : xa $ (LT(I))). Тогда
(i) f + g представляет [f] + [g\;
(ii) / • g представляет [/] • [g].
Рассмотренные выше методы дают возможность построить ал-
алгоритм, позволяющий определить, состоит многообразие в С" из
конечного числа точек или нет, или, что эквивалентно, определить,
конечно или бесконечно число решений полиномиальной системы
над С. (Как и в гл. 3, необходимо работать над алгебраически зам-
замкнутым полем, чтобы быть уверенным, что «не пропущены» реше-
решения с координатами, принадлежащими большему полю К D к.)
Теорема 6. Пусть V = VG) —аффинное многообразие в С". За-
Зафиксируем мономиалъное упорядочение в C[xi,..., хп]. Следующие
условия эквивалентны:
(i) V — конечное множество;
(ii) для каждого i, 1 < г < п, найдется rrii > 0, такое, что х™{ €
(Hi) если G — базис Грёбнера идеала I, то для каждого i, 1 < г < п,
найдется т,{ > 0, такое, что х™' = LM(<?) для некоторого g €
G;
(iv) С-векторное пространство S = Span(xQ : ха ^ (ьт(/))) конеч-
конечномерно;
(v) С-векторное пространство C[xi,..., хп]/1 конечномерно.
Доказательство. (i)=>(ii). Если V = 0, то 1 ? / по слабой теореме
о нулях. В этом случае положим т, — 0 для всех г. Если V непусто,
то зафиксируем г, и пусть a,j,j = 1,...,/, — различные комплексные
числа, являющиеся г-ми координатами точек из V. Рассмотрим по-

300 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
лином от одной переменной
По построению / равен нулю в каждой точке из V; значит, / € I(F).
По- теореме о нулях найдется т > 1, такое, что fm ? /. Но это :
значит, что старший член полинома fm принадлежит (ьт(/)), т.е.
г'."» G (lt(/)).
(ii)o(iii). Пусть х™' € (ьт(/)). Так как G — это базис Грёбнера,
то (ьт(/)) = (ьт(р) : д € G). Но это значит (см. лемму 2 из § 4 гл. 2),
что найдется д &G, такой, что ьт(д) делит х™'. Значит, ьт(д) явля-
является степенью Xi. Обратное утверждение очевидно.
(ii)=>(iv). Предположим, что некоторая степень х™' принадле-
принадлежит (ьт(/)) для каждого г. Тогда мономы xf1 .. -х%", где оц > rrii
хотя бы для одного г, принадлежат (ьт(/)). У мономов, принадле-
принадлежащих дополнению к (ьт(/)), а, < тп, для всех г. Следовательно,
число мономов в дополнении к (ьт(/)) не превышает гп\ ¦... ¦ тп.
(iv)o(v) следует из предложения 4.
(v)=>(i). Для доказательства конечности многообразия V до-
достаточно доказать, что для каждого г множество г-х координат
точек из V конечно. Зафиксируем г и рассмотрим классы [xj] 6
С[х%,..., xn]/I, j = 0,1,2, — Так как C[xi,..., хп]/1 конечномер-
конечномерно, то элементы множества [х\\ линейно зависимы в С[х\,..., хп]/1,
т. е. существуют константы Cj (не все равные нулю) и натуральное
т, такие, что
771
Е<
j=0
Е<
j=0
А
= [0].
Значит, Y^=o cjxl e -^• Этот полином обращается в нуль в точках
из V, но так как ненулевой полином имеет лишь конечное число
корней в С, то г-я координата точек из V имеет лишь конечное
число значений.
Отметим, что условие к = С понадобилось нам только для до-
доказательства импликации (i)=>(ii). Все другие справедливы, даже
когда поле не является алгебраически замкнутым. D
Правильный выбор мономиального упорядочения иногда зна-
значительно облегчает доказательство конечности многообразия. Рас-
Рассмотрим, например, идеал
I = {х5 + у3 + z2 - 1, х2 + у3 + z - 1, х4 + у5 + z6 - 1).
§ 3. Алгоритмические вычисления в k[xi,..., хп]/1
301
Используя grlex-упорядочение, мы получаем, что xb,y3,z6 принад-
принадлежат (ltG)), так как это старшие мономы образующих. Тогда
(теорема б, п. (И)) VG) конечно (нам даже не понадобилось вы-
вычислять базис Грёбнера). Но если мы хотим найти точки много-
многообразия VG), то нам придется исключать переменные с помощью
базиса Грёбнера для lex-упорядочения. Это трудное вычисление да-
даже для системы компьютерной алгебры.
Анализ доказательства этой теоремы приводит к следующей
оценке числа решений системы, если нам известно, что множество
решений конечно.
Следствие 7. Пусть I — идеал в С[х\,..., хп], такой, что неко-
некоторая степень х™{ лежит в (lt(/)) для каждого i. Тогда число
точек многообразия V(J) не превышает mi • ... • тп.
Доказательство. Доказательство этого утверждения мы оставля-
оставляем читателю. ?
Вот несколько примеров, иллюстрирующих следствие 7. Рас-
Рассмотрим многообразие V = V(y — х7, х12 - х) С С2. Базис Грёбнера
для lex-упорядочения с у > х имеет вид G = {у — х7,х12-х}. Сле-
Следовательно, в обозначениях теоремы 6 mi = 12, тг = 1 — наимень-
наименьшие степени переменных, принадлежащие (ьт(/)). Решая уравне-
уравнения у — х7 = х — х12 = 0, мы получаем, что V действительно состоит
из 12 = mi ¦ гп2 точек:
(Напомним, что в С существует 11 различных корней одиннадцатой
степени из 1.)
Теперь рассмотрим многообразие V = V(x2 + у - 1,ху - 2у2 +
2у) С С2. Базис Грёбнера для этого идеала по отношению к lex-
упорядочению приведен в B). Мы видим, что mi = 2,тг = 3 —
наименьшие степени х и у, содержащиеся в (ьт(/)). Однако V со-
содержит только 4 < 2 • 3 точки из С2:
V= {(±1,0), @,1), (-1/2,3/4)}.
Можете ли вы объяснить причину этого явления?
Мы можем улучшить оценку из следствия 7 следующим обра-
образом.
Предложение 8. Пусть I — идеал C[xi,..., хп], такой, что мно-
многообразие V = VG) конечно.
(i) Число точек многообразия V не превышает размерности
dim(C[xi,... ,xn]/I) («dim» обозначает размерность как век-
векторного пространства над С).

302
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(ii) Если I — радикальный идеал, то число точек многообразия V!
равно dim(C[xi,...,xn]/I).
Доказательство. Докажем сначала, что для данных различных^
точек pi,...,pm ? С" существует полином Д е C[zi ,...,хп], такой,
что /i(pi) =1и/1(р2) = ... = /i(pm) = 0. Если о ф Ь ? С", то
хотя бы одной координатой, например j-й, а и 6 различаются. Тогда
полином g = (xj — bj)/(uj — bj) обладает тем свойством, что д(а) =
1,р(Ь) = 0. Применяя это соображение к каждой паре pi ф pi, i > 2,
мы получаем полиномы gt,i > 2, такие, что gi{p\) = 1 и giipi) = 0
для г > 2. Тогда полином /г = д2 ¦ д3 ¦ ... ¦ дт обладает требуемым
свойством.
Поскольку в точке pi нет ничего специфического, мы можем
построить полиномы /2, /з, • • •, /ш, такие, что Д(р<) = 1 и fi(Pj) - 0,
если г ф j.
Теперь перейдем к доказательству предложения 8. Пусть V =
0>i> ¦ ¦ ¦ ,Рт}, где точки ft различны. Построим полиномы Д,..., /т,
как выше. Если мы докажем, что [Л],..., [fm] € С[хх,..., хп]/1 ли-
линейно независимы, то неравенство
m<dim(C[xu...,xn]/I) C)
будет доказано, что завершит доказательство п. (i).
Предположим, что классы [Д],..., [/т] линейно зависимы. Тог-
Тогда YXLi aAfi] = [0] для некоторых at е С. Это означает, что д =
Sili aifi € I- Поэтому д обращается в нуль во всех точках много-
многообразия V = {р1,...,Рт}.Яо тогда для всех j, 1 < j < m, имеем
т
= У]
0 = 9(Рз)
] Oi/ifo) = 0 + ajfjipj) = ah
откуда и следует линейная независимость.
Пусть теперь / радикален. Если мы докажем, что [Д],..., [/т]
образуют базис в С[х:,... ,хп]/1, то тем самым докажем, что C)
становится равенством. Линейная независимость уже доказана,
осталось доказать, что линейная оболочка классов [Д] содержит
все факторкольцо. Пусть [д] G C[xi,..., хп]/1 - произвольный эле-
элемент и о; = g(pi). Рассмотрим полином h = д - YT=i aif%- Тогда
h(Pj) = 0 для всех j; следовательно, h e I(V). По теореме о нулях
I(V) = I(V(/)) = уД в силу алгебраической замкнутости поля С
Но / радикален; следовательно, h G /, т. е. [h] = [0] в C[xi,..., хп]/1.
Значит, [д] = Y^Li ai[fi}- Предложение доказано. П
Покажем на примере, что предложение 8 улучшает оценку
следствия 7. Рассмотрим идеал из примера 2. Используя grlex-
упорядочение, мы показали, что х4,у4 € (ьт(/)); поэтому по след-
3. Алгоритмические вычисления в k[xi,..., хп]/1
303
ствию 7 VG) содержит < 4 • 4 = 16 точек. Но в том же примере 2
показано, что dim(C[2;,y]//) = 12. Таким образом, предложение 8
дает лучшую оценку, а именно 12.
Для любого идеала / имеем VG) = V(\/7). Поэтому если V(I)
конечно, то предложение 8 показывает, как можно точно найти чис-
число точек VG) над С, если нам известен радикал л/7. Хотя нахожде-
нахождение радикала в общем случае — трудная задача, при выполнении
условий из теоремы 6 это сравнительно легко сделать. Описание
алгоритма дано в книге Becker, Weispfenning A993), Theorem
8.20. Этот же вопрос (и его связи с решением уравнений) рассма-
рассматривается в работе Сох, Little, О'Shea A998).
Теорема 6 показывает, как можно охарактеризовать «нульмер-
«нульмерные» многообразия (т. е. многообразия, содержащие лишь конеч-
конечное множество точек), используя свойства кольца C[xi,... ,хп]/1.
В гл. 9, когда мы будем рассматривать весьма общий вопрос о раз-
размерности многообразия, идеи и методы этого параграфа будут нам
полезны.
Упражнения к § 3
1. Завершите доказательство п. (ii) предложения 1.
2. В предложении 5 был описан метод вычисления произведений [/] • [д]
в fc[xi,..., хп]/1. Могли бы мы просто вычислить f ¦ д , не находя
сначала остатки полиномов /ид?
3. Рассмотрим идеал / = (х4у - г6, х1 - у3г, x3z2 - у3) С к[х, у, г].
(a) Используя lex-упорядочение, найдите базис Грёбнера G для /
и множество мономов, линейной оболочкой которого является
пространство остатков от деления на G.
(b) Сделайте то же самое для grlex-упорядочения. Сравните множе-
множества мономов.
4. Используя алгоритм деления и утверждение о единственности из
предложения 1, докажите, что с • / = с • fG, если / € fc[xi,..., х„] и
с€ А:.
5. Пусть I = (у + х2 - 1, ху - 2у2 + 2у) С Щх, у]. (Этот идеал рассма-
рассматривался в примере после предложения 4.)
(a) Постройте изоморфизм векторных пространств Щх, у]/1 = К .
(b) Используя базис Грёбнера по отношению к lex-упорядочению,
приведенный в B), постройте «таблицу умножения» для элемен-
элементов {[1], [х], [у], [у2]} в Щх, у}/1. (Представьте каждое произведе-
произведение как линейную комбинацию этих четырех классов.)
(c) Верно ли, что Щх, у]/1 является полем? Почему да или почему
нет?

304
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
6. ПуСТЬ V = V(x3 - xj,X4 — XlX2,X2X4 - XlXi,X4 -X3X5) С С5.
(a) Используя любое удобное мономиальное упорядочение, найди-
найдите множество мономов, линейная оболочка которого совпадает
с пространством остатков от деления на базис Грёбнера идеала,
порожденного определяющими уравнениями многообразия V.
(b) Для каких г найдется т, > 0, такое, что ?™; € (lt(/))?
(c) Верно ли, что V конечно? Почему да или почему нет?
7. Пусть / — некоторый идеал в k[xi,..., хп].
(a) Предположим, что 5 = Span(xa : xa ? (ltG))) является fc-век-
торным пространством размерности d (для некоторого мономи-
ального упорядочения). Докажите, что к[х\,... ,хп}/1 является
fe-векторным пространством размерности d.
(b) Используя (а), докажите, что количество мономов в дополнении
к (ltG)) не зависит от выбора мономиального упорядочения,
если их конечное число.
8. Докажите следствие 7. Указание: используйте предложение 4 и п. (iii)
теоремы 6.
9. Пусть I С к[х\,..., 1П] — идеал, и пусть для каждого i найдется mi,
такое, что х™{ 6 (иг(/)). Сформулируйте и докажите критерий того,
что V(I) содержит ровно тп\-.. .¦ тпп точек из С. Учитывает ли ваш
критерий кратности корней?
10. Большинство систем компьютерной алгебры может упрощать выра-
выражения, содержащие радикалы. Например, вместо того чтобы рабо-
работать с выражением
- 1
Г~ х + ч/2 + ч/з'
система позволит вам избавиться от иррациональностей в знаменате-
знаменателе и записать г как частное полиномов от х, где \/2 и \/3 встречаются
в коэффициентах только в числителе. Один из методов, позволяю-
позволяющих делать такие преобразования, использует следующую идею.
(a) Объясните, почему г можно рассматривать, как рациональ-
рациональную функцию от х с коэффициентами в факторкольце Я = Q
[У1.У2]/(г/1 - 2, у\ - 3). Указание: см. упр. 4 к § 2.
(b) Найдите базис Грёбнера G идеала I = {у\ — 2, у2 — 3) и постройте
таблицу умножения классов мономов, порождающих простран-
пространство остатков от деления на G (это будут {[1], [yi], [7/2], [yiyz]})-
(c) Для того чтобы избавиться от иррациональностей в знаменателе
функции г, можно попробовать решить следующее уравнение:
(*[1] + Ы + Ы) ' МЧ + ai[»i] + а2[У2] + asfoiift»]) = [1], C)
где ao,ai,a2,аз —рациональные функции от х с коэффициента-
коэффициентами из Q. Для этого надо раскрыть скобки в C), воспользовав-
воспользовавшись таблицей умножения из п. (Ь), и решить полученную ли-
§ 3. Алгоритмические вычисления в к[х%,..., хп]/1
305
нейную систему относительно ао,а,1,а2,а,з. Тогда
ао[1] + ax[yi] + а2[у2] + аз[у1У2]
и является тем представлением для г, которое мы ищем.
11. В этой задаче мы найдем число различных мономов полной степени
< d в k[xi,...,xn] и установим связь этого числа с размерностью
(понимаемой интуитивно) многообразия V = кп.
(a) Объясните, почему каждый моном из к[х\,..., хп] принадлежит
дополнению к (ьтA(^))), если V = кп,
(b) Докажите, что для всех d, n > 0, число различных мономов пол-
полной степени < d в k[xi,...,xn] равно биномиальному коэффи-
коэффициенту (n^d). (Это утверждение обобщает п. (а) из упр. 5 к § 1
гл. 2.)
(c) Пусть п фиксировано. Докажите, что число мономов степени < d
растет как dn при d —> 00. Обратите внимание, что показатель
степени п совпадает с интуитивной размерностью многообразия
V — кп, для которого k[V] = k[xi,..., хп].
12. В этом упражнении мы сравним, что происходит с мономами, при-
принадлежащими дополнению к (ьт(/)), в двух примерах, когда V(I)
бесконечно, и в одном, когда V(J) конечно.
(a) Рассмотрим многообразие V(J) С С3, где I = (х2 + у, х - у2 +
z2,xy — z). Найдите базис Грёбнера для / по отношению к lex-
упорядочению и для 1 < d < 10 найдите число мономов степени
< d, не принадлежащих (ьт(/)). Отметим, что, согласно теоре-
теореме б, VG) конечно в С3. Указание: попытайтесь нарисовать для
этого идеала трехмерный аналог диаграмм из примера 2.
(b) Повторите вычисления п. (а) для идеала J = (х2 + у, х — у2 + z2).
Здесь V(J) бесконечно. Как отличается поведение числа моно-
мономов степени < d (как функции от d), не принадлежащих (lt(J)),
от поведения аналогичной функции из п. (а)?
(c) Обозначим через Hj{d) число мономов степени < d, не принадле-
принадлежащих (lt(J)). Можете ли вы приблизительно определить число
/, такое, что Hj(d) растет как dl.
(d) Повторите вычисления пп. (Ь) и (с) для идеала К = (х2 + у).
(e) Можете ли вы усмотреть здесь некоторую зависимость, исполь-
используя интуитивное понятие размерности, о котором шла речь в
гл. 1? Мы вернемся к этим вопросам в гл. 9.
13. Пусть к — произвольное поле, / — идеал в кольце k[xi,...,xn] и
di(k[]/I)
(а) Докажите, что dim(fc[xi,... ,х„]/\/7) < dim(fc[:n,... ,хп]/1). Ука-
Указание: докажите, что включение I С \fl индуцирует отображение
факторколец k[xi,... ,xn]/I -> k[xi,... ,х„]/\/1, которое являет-
является отображением «на».

306 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(Ь) Докажите, что число точек многообразия VG) не превосходит
([,,}/)
(с) Приведите пример, показывающий, что неравенство в п. (Ь) мо-
может быть строгим, если к не является алгебраически замкнутым.
§ 4. Координатное кольцо
аффинного многообразия
В этом параграфе мы используем алгебраические методы, раз-
разработанные в §§ 2 и 3, для изучения кольца k[V] полиномиаль-
полиномиальных функций на аффинном многообразии V С кп. Изоморфизм
k[V] = k[xi,...,xn]/l(v) из § 2 позволяет нам отождествить k[V]
с факторкольцом к[х\,... ,xn]/I(V). Поэтому мы будем обозна-
обозначать полиномиальную функцию из k[V], представленную полино-
полиномом / е k[xi,...,xn], через [/].
В частности, каждая переменная Х{ определяет полиномиаль-
полиномиальную функцию [xi] :V -> к, значение которой в точке р ?V есть г-я
координата этой точки. Мы будем [х^ называть г-й координатной
функцией на V. Так как k[V] = k[x\,..., xn]/I(V), то координатные
функции порождают k[V] в том смысле, что любая функция из k[V]
является /г-линейной комбинацией произведений полиномиальных
функций [xi]. Это объясняет происхождение следующего термина.
Определение 1. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда
кольцо k[V] называется координатным кольцом многообразия V.
Многие результаты из предыдущих параграфов могут быть пе-
переформулированы в терминах координатного кольца. Например:
• Предложение 4 из § 1: многообразие неприводимо в том и только
том случае, когда его координатное кольцо является областью
целостности.
• Теорема 6 из § 3: многообразие над С конечно в том и только
том случае, когда его координатное кольцо конечномерно как
векторное пространство над С.
В алгебро-геометрическом «словаре» из гл. 4 мы связали мно-
многообразия из кп с идеалами из к[х\,..., хп]. В этой главе мы хотим
показать, что этот словарь сохраняет свое значение, если заменить
кп и k[xi,..., х„] на некоторое многообразие V и его координатное
кольцо k[V]. Но сначала дадим определения.
Определение 2. Рассмотрим аффинное многообразие V С кп.
(i) Для произвольного идеала J = {ф\,...,ф8) в k[V] определим
множество
Vv(J) = {(oi,...,an)€ V :ф(а,1,...,ап) = 0 для всех 0eJ},
которое называется подмногообразием многообразия V.
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия 307
(ii) Для каждого подмножества W С V положим
\V(W) = {ф€ k[V] : ф(п1,...,а„) = 0 для всех (сц,...,а„) е W).
Пусть, например, У = V(z - х2 - у2) с I3 и J = ([х]) с Ж[У].
Тогда
= {@,y,y2):yei}cF
является подмногообразием в V. Отметим, что W = V(z - х2 -
у2,х) С Е3. Аналогично, если W - {A,1,2)} с V, то
(мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство
этого равенства). Если аффинное многообразие V зафиксировано,
то отображения Vy и 1у задают связи между подмногообразиями в
V и идеалами в k[V]. Следующее предложение описывает характер
этих связей.
Предложение 3. Пусть V С кп — аффинное многообразие.
(i) Пусть J —идеал в k[V]. Тогда W = Vy(J) является аффин-
аффинным многообразием в кп, которое лежит в V.
(ii) Пусть W С V — некоторое подмножество. Тогда Iv(W) явля-
является идеалом в k[V].
(Hi) Если J С k[V] — некоторый идеал, то J С VJ С Iv(Vv(J)).
(iv) Если W С V — некоторое подмногообразие, то W совпадает с
VV(IV(W)).
Доказательство. Для доказательства п. (i) мы воспользуемся вза-
взаимно однозначным соответствием между идеалами в k[V] и идеа-
идеалами Bjc[xi,...,xn], содержащими I(V) (предложение 10 из §2).
Пусть J = {/ е k[x! ,...,xn]:[f]eJ} Cjcfci,..., хп] - идеал, соот-
соответствующий идеалу J С k[V]. Тогда V( J) С V, потому что I(V) С J.
Но вместе с тем V(J) = Vv (J), так как элементы из /представляют
полиномиальные функции из J. Таким образом, W (рассматривае-
(рассматриваемое как подмножество в кп) само является аффинным многообра-
многообразием.
Доказательство утверждений (ii), (iii) и (iv) не вызывает труд-
трудностей, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения. От-
Отметим только, что определение радикала идеала одинаково в k[V]
и в к[хи...,хп]. ?
Можно доказать, что радикальные идеалы в k[V] соответствуют
радикальным идеалам в /с[хь .. .,хп], содержащим I(V).

308
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Предложение 4. Идеал J С k[V] радикален в том и только
случае, когда радикальным является идеал J = {/ ? k[xi,..., хп]
[/] е J}-
Доказательство. Пусть J радикален и полином / €
таков, что /т € /для некоторого m > 1. Тогда [/т] = [/]т ? J. Щ
J радикален. Значит, [/] ? J. Следовательно, / ? J по определен»
т. е. J тоже радикален. Пусть теперь J радикален и [/]т ? J. Тотд
fm € J, а значит, / ? J. Поэтому [/] € J, т. е. J радикален.
Вместо того чтобы детально обсуждать соответствие «идеал-
многообразие» (что мы делали в гл. 4), мы ограничимся доказги|
тельством следующего результата, который определяет ряд ва
ных черт этого соответствия.
Теорема 5. Пусть к алгебраически замкнуто и V С кп — аффин-ш
ное многообразие.
(i) (Теорема о нулях в k[V]) Если J — некоторый идеал в k[V],
Iv(Vv(J)) = V7 = {[/] ? k[V] : [/p e J}.
(ii) Отображения
Ы
Ьинные подмногообразия
WcV
(радикальные идеалы} \
I JCk[V] If
являются биекциями, обращающими включение, и взаимно-,
обратны.
(ш) При отображениях, определенных в п. (ii), точки многообра-
многообразия V соответствуют максимальным идеалам в k[V].
Доказательство. ;
(i) Пусть J — идеал в k[V]. Тогда идеалу J соответствует (пред-
(предложение 10 из § 2) идеал J С k[xi,..., хп]. Кроме того, V( J) = :
VV(J) (доказательство предложения 3). Тогда, если [/] €
Iv(Vv(J)), то / ? I(V(J)). Согласно теореме о нулях для кп,',
I(V(J)) = V J; поэтому fm ? J для некоторого т > 1. Но тог-;
да [fm] = [f]m ? J, так что [/] ? \/j в k[V]. Таким образом, i
Iv(Vy(J)) С y/J. Противоположное включение имеет место |
для любого идеала. Теорема о нулях для k[V] доказана,
(ii) следует из (i), как в гл. 4.
(iii) доказывается так же, как теорема 11 из § 5 гл. 4. Ра
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия
309
Теперь мы возвращаемся к вопросу о классификации много-
многообразий, сформулированному в § 1. Что означает, что два аффин-
аффинных многообразия «изоморфны»? Разумный ответ дает следующее
определение.
Определение 6. Пусть V С к™ и W С кп — аффинные многообра-
многообразия. Они называются изоморфными, если существуют полиноми-
полиномиальные отображения a:V —> W и 0 :W —? V, такие, что ао/3 = idw
и C о а = idy. (Для любого многообразия V через idy обозначает-
обозначается тождественное отображение V на себя. Это отображение всегда
полиномиально.)
На интуитивном уровне очевидно, что если многообразия изо-
изоморфны, то они одновременно приводимы или неприводимы, имеют
одинаковую размерность и т. д. Кроме того, должно существовать
соответствие между подмногообразиями вКи подмногообразиями
в W. Например, если W Скп изоморфно V — кт, то существует вза-
взаимно однозначное полиномиальное отображение а : кт -> W, у ко-
которого есть полиномиальное обратное, т. е. в этом случае существу-
существует полиномиальная параметризация многообразия W с хорошими
свойствами! Вот пример, подсказанный методами геометрического
моделирования, который иллюстрирует пользу этого понятия.
Пример 7. Рассмотрим две поверхности
в М3. (Эти поверхности могут, например, ограничивать тело, фор-
форму которого мы проектируем.) Как описать кривую пересечения
С = V(/i,/2) этих поверхностей? Непосредственно сделать это за-
затруднительно. Но, как обычно, не обязательно использовать имен-
именно полиномы /х и /2 для описания кривой. Легко видеть, что
С = V(fi,fi + с/2), где с € Е — ненулевая константа. Следователь-
Следовательно, поверхности Fc = V(/i,/i + c/2) также содержат С. Это мно-
множество поверхностей вместе с Q2 называется пучком поверхностей,
определенным поверхностями Qi и Q2. (Пучок многообразий — это
однопараметрическое семейство многообразий, параметризованное
элементами поля к. В нашем случае параметр —это с ? Е.)
Теперь надо найти значение с, такое, при котором поверхность
Fc особенно проста. Тогда задача описания кривой С также упро-
упростится. Если с = — 1, то поверхность F-i определена уравнениями
0 = /i - /2 = z - ху.
Поверхность Q = F-\ легко себе представить, потому что она изо-
изоморфна Ж2 как многообразие (это верно для любого графика по-
полиномиальной функции f(x,y)). Чтобы доказать это, отметим, что

310
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
существуют полиномиальные отображения
а : Е2 —•» Q,
(х,у) н-> (х,у,ху),
ir:Q—+R2,
{x,y,z) и- (х,у),
удовлетворяющие соотношениям а о п = idg и тг о a = idR2.
Следовательно, изучение кривой на Q, в частности С, можно
свести к изучению плоской кривой. А именно, мы рассматриваем
вместо С ее проекцию тг(С) С Е2 ¦ Уравнение проекции
х2у2 + х2 - ху - у2 = 0
может быть получено из Д или /2 с помощью подстановки z = ху.
Отметим, что тг и а (ограниченные на С и тг(С) соответственно)
задают изоморфизм между С и тг(С), так что мы ничего не теряем,
переходя к проекции.
В частности, каждой точке (а, Ъ) е тг(С) соответствует ровно одна
точка (a, b, ab) G С. В упражнениях будет доказано, что тг(С) имеет
следующую параметризацию:
-t2 + t + l
У =
-t2 + t + l
t + 2) ¦
A)
Эти формулы позволяют построить параметризацию кривой С, ис-
используя изоморфизм а.
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия
311
Имея в виду предыдущий пример, естественно спросить, как
можно доказать изоморфность двух многообразий? Один из спосо-
способов — это сравнить их координатные кольца
Основу здесь составляет тот факт, что если задано полиномиальное
отображение a : V —> W, то каждой полиномиальной функции ф :
W -> к из k[W] сопоставляется другая полиномиальная функция
ф о a : V -> к из k[V]. Таким образом, мы получаем отображение из
k[W] в k[V] со следующими свойствами.
Предложение 8. Пусть V uW —многообразия {возможно, при-
принадлежащие различным аффинным пространствам).
(i) Пусть а : V —> W — полиномиальное отображение. Тогда для
каждой полиномиальной функции ф-.W-tk композиция фоа:
V —> к также является полиномиальной функцией. Более то-
того, отображение а* : k[W] -? k[V], определенное формулой
а*(Ф) ~ Ф ° а> является кольцевым гомоморфизмом, тож-
тождественным на постоянных функциях. (Отметим, что а*
«действует в противоположном направлении» по сравнению
с а, так как отображает функции на W в функции на V. По
этой причине а* называется отображением обратного образа
на функциях.)
(и) Обратно, пусть f : k[W] —> k[V] — кольцевой гомоморфизм,
тождественный на постоянных функциях. Тогда существу-
существует единственное полиномиальное отображение а : V —> W,
такое, что f = а* .
Доказательство, (i) Пусть х\,..., хт — координаты в кт Э V, а
Ух, ¦ ¦ ¦, Уп — координаты в кп э W. Тогда полиномиальная функция
ф : W —> к может быть представлена полиномом f(yi,.. ¦ ,уп), а по-
полиномиальное отображение а : V —> W может быть представлено
n-набором полиномов:
,... ,хт),... ,an(xi,... ,
Найдем фоа, подставляя a(xi,..., хт) в ф:
(фоа)(х1,..., хт) = f(ai (xi,...,xm),...,an(xi,..., xm)).
Очевидно, что фоа является полиномом от х\,...,хп. Таким обра-
образом, ф о а ? k[V].
Значит, мы можем определить а* : k[W] —> k[V] формулой
а*(ф) = ф о а. Покажем, что а* —кольцевой гомоморфизм. Пусть
^ — другая полиномиальная функция из &[W], представленная по-

312
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
линомом g(yi,-- ¦ ,уп)- Тогда
(а* (ф + ф))(хх,..., хт) = /(oi (xi,..., xm), ...,an(xi,..., xm))
g(ai,{xlt..., хт),..., an(xi,..., хт))
= а" (ф)(хг,..., хт) + а* (ф)(xi,..., хт).
Следовательно, а*(ф + ф) = о*(ф) + а*{ф). Равенство а*(ф ¦ ф) =
а*(ф) ¦ а*(ф) доказывается аналогично. Значит, а* —это кольцевой
гомоморфизм.
Рассмотрим теперь постоянную функцию [а] € k[W], а € к, на W
со значением а. Тогда а*([а]) = [а] о а является постоянной функ-
функцией на V с тем же значением а. Таким образом, отображение а*
тождественно на константах.
(ii) Пусть теперь / : k[W] -> к[V] — кольцевой гомоморфизм,
тождественный на константах. Нам нужно доказать, что существу-
существует полиномиальное отображение а : V -? W, такое, что / = а*. Рас-
Рассмотрим координатные функции [ух],..., [уп] ? k[W]. Тогда f{[yi\) €
k[V], а так как xi,...,xm— это координаты на кт Э V, то f([yi\) =
[di(xi,...,хт)] € k[V] для некоторых полиномов а* е k[xi,..., хт].
Теперь рассмотрим полиномиальное отображение
а = @1A1,.. .,хт),. ..,an(xi,. ..,xm)).
Мы докажем, что а отображает V в W и что / = а*.
Пусть F e k[yi,...,yn]. Тогда
B)
в k[V]. Чтобы это доказать, отметим, что
[Foa} = [F(oi, •.., on)] = F([ul],..., M)
где второе равенство следует из определения операций в k[V], a
третье —из равенств [a*] = /([j/i])- Но [F] — это к-линейная комби-
комбинация произведений [j^]; поэтому
F(f([yi}),..., ПШ)) = /(№, • ¦ ¦, Уп)}) = f([F}),
так как / является кольцевым гомоморфизмом, тождественным на
постоянных функциях (см. упр. 10). Отсюда следует B).
Теперь мы докажем, что а отображает V в W. Пусть
(ci,..., Cm) € V. Нам нужно доказать, что а(с1;..., ст) € W. Если
F e l(W), то [F] = 0 в k[W]. Тогда f([F}) = 0 в k[V], потому что
/ — кольцевой гомоморфизм. По B) отсюда следует, что [F о а] —
нулевая функция на V. В частности,
[F о а](а,.. • .Cm) = F(a(cu ... ,Cm)) = 0.
В силу произвольности выбора F из I(W) получаем, что
Ofd,..., Cm) G W.
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия
313
Теперь мы знаем, что а отображает V в W. Поэтому из ра-
равенства B) следует, что [F] о a = f([F]) для любой полиномиальной
функции [F] e k[W]. Так как a*([F}) = [F] о а, то / = а*. Оста-
Осталось показать, что отображение а определено однозначно. Пусть
существует отображение /3 : V -> W, такое, что / = /3*, и пусть
P(xi,.. .,xm) = (bi(xi,...,xm),.. .,bn(xi,... ,xm)).
Тогда p*([yi]) = [yi] о p = [b4(a:i,...,a:m)]. Однако a*([yi}) =
[ai{xi,...,xm)], а так как а* = / = /3*, то [at] = [Ь{] для всех г.
Таким образом, а,{ и fej определяют одну и ту же функцию на V и,
следовательно, а = (а\,..., ап) и /3 = {Ъ\,..., Ъп) определяют одно
и то же отображение из V в W. Значит, а = /3 и единственность
доказана. ?
Пусть теперь a:V-»WH/3:W-»V — взаимно обратные поли-
полиномиальные отображения. Тогда а о /3 = idw. Но это означает, что
(а о р)*(ф) = 1д*ХУ(ф) = (ф) oidw = ф для всех ф € k[W]. С другой
стороны,
Следовательно, (а о/З)* = /3* о a* = idfc[w] как отображение из k[W]
в себя. Аналогично, (/3 о а)* = а* о /3* = idfcjy]. Это доказывает
первую часть следующего утверждения.
Теорема 9. Два аффинных многообразия V С km и W С кп изо-
изоморфны в том и только том случае, когда существует изомор-
изоморфизм k[V] = k[W] их координатных колец, тождественный на
константах.
Доказательство. Мы уже доказали, что если V и W изоморфны,
то k[V] = k[W] как кольца. По предложению 8 этот изоморфизм
тождествен на константах.
Пусть теперь существует кольцевой изоморфизм /: k[W] —> k[V],
тождественный на константах. Тогда / и /~г «задаются» полино-
полиномиальными отображениями изУвРКиизМ^вУ соответственно,
т.е. / = а* для некоторого а : V -> W и f = C* для некоторо-
некоторого C : W -> V в силу п. (ii) предложения 8. Нам нужно показать,
что отображения а и /3 взаимно обратны. Рассмотрим композицию
а о р : W —> W. Очевидно, что это полиномиальное отображение,
и по C)
(а о ру (ф) = р* (а* (ф)) = /-'(/(ф)) = ф D)
для любой полиномиальной функции ф € k[W]. Но id^ :W->W —
это полиномиальное отображение, и 1<11у(ф) = ф для всех ф ?

314
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Согласно D), (а о/?)* = idj^, a значит, a op = idw no утверждению;
о единственности из п. (и) предложения 8. Аналогично получаем,
что C о a = idy; следовательно, а и C взаимно обратны. Теорема
доказана. Q
В заключение мы рассмотрим несколько примеров изоморфиз-
изоморфизмов многообразий и соответствующих изоморфизмов их коорди-
координатных колец.
Пусть А — невырожденная n xn-матрица с элементами из к. Рас-
Рассмотрим линейное отображение La '¦ кп —> кп, определенное форму-
формулой La(x) = Ах, где Ах — произведение матрицы на вектор-столбец.
Из упр. 9 к § 1 гл. 4 мы знаем, что L*A— кольцевой изоморфизм
из к[х\,... ,хп] на себя. Следовательно, La — это изоморфизм мно-
многообразия кп на себя. (Такие изоморфизмы называются автомор-
автоморфизмами многообразий.) В упр. 9 будет доказано, что если V —
многообразие в кп, то La(V) — также многообразие в кп, причем
La(V) изоморфно V (ограничение La на У и является изоморфиз-
изоморфизмом этого многообразия V на La(V)). Например, кривая, которую
мы рассматривали в последнем примере в § 1, получена из «стан-
«стандартной» скрученной кубики в С3 с помощью обратимого линейно-
линейного преобразования. Проанализируйте уравнение E) из § 1 и поста-
постарайтесь определить отображение La-
Пусть теперь f(x,y) € к[х, у]. Рассмотрим график полиномиаль-
полиномиальной функции /, т. е. многообразие V = V(z- f(x,у)) С к3. Обобщая
то, что мы говорили о многообразии V(z — ху) в примере 7, мы
можем сказать, что V изоморфно к2 как многообразие. Дело в том,
что проекция тг : V -> к2 и параметризация V, заданная форму-
формулой а : к2 -> V, а(х,у) = (х,у, f(x,y)), являются взаимно обрат-
обратными отображениями. Изоморфизм координатных колец а* состо-
состоит в подстановке z = f(x,y) в любую полиномиальную функцию
F{x,y,z) на V.
Рассмотрим, наконец, кривую V = V(y5 — х2) С Ж2.
\ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия
315
Мы утверждаем, что V не изоморфно Ж. как многообразие, хотя
существует взаимно однозначное полиномиальное отображение из
Г на К — проекция многообразия V на ось х. Причина в структуре
координатного кольца K[V] = Щх, у}/(у5 -х2). Если бы существовал
изоморфизм a : К -> V, то а* : M[V] ->• Щи] было бы кольцевым
изоморфизмом. Пусть
а'(М)=с(«),
a*([y])=d(u),
где c(u),d(u) G K[u]. Так как у5 - х2 представляет нуль в M[V], то
а*(у5 - х2) = (d(u)M - (с(и)J = 0 ъ Ш[и].
Мы можем считать, что с@) = d@) = 0, — в противном случае
сделаем замену переменной и так, чтобы а@) = @,0) € V. Рассмот-
Рассмотрим полиномиальное уравнение (с(и)J = (d(u)M, и пусть
с(и) = с\и + с2и2 + ..., d(u) = d\u + d2u2 + ...
^его решение. Разложение полинома (d(u)M по степеням и не со-
содержит степеней, меньших и5; поэтому то же самое справедливо
относительно (с(ы)J. Но
(с(и)J = с\и2 + 2cic2u3 + D + 2с!С3)и4 + ....
Следовательно, с\ = 0. Но коэффициент при и4 также должен быть
равен нулю; значит, и с2 = 0. Если с\ = с2 = 0, то коэффициент
при и5 в (с(ы)J равен нулю. Значит, разложение полинома (с(ы)J
начинается со степени 6. Но тогда d\ = 0.
Из этого следует, что полином и не может принадлежать образу
отображения а*, так как последний состоит из полиномов от с(и)
и d(u). Но если а* —изоморфизм, то его образ должен совпадать
со всем кольцом Щи]. Значит, мы получили противоречие и эти
два многообразия не изоморфны. Из упражнений с помощью ме-
методов § 3 можно получить дополнительные сведения о структуре
H[V]. Это и позволит дать другое доказательство того, что M[V] не
изоморфно кольцу полиномов от одной переменной.
Упражнения к § 4
1. Пусть С — скрученная кубика в к .
(a) Докажите, что С является подмногообразием поверхности S =
V(xz-y2).
(b) Найдите идеал J С k[S], такой, что С — Vs(J).
2. Пусть У С С" —непустое аффинное многообразие.
(а) Пусть ф € C[V]. Докажите, что W(t^) = 0 в том и только том
случае, когда ф обратима в C[V] (т. е. когда существует функция
ф е C[V], такая, что фф - [1] 6 C[V]).

316
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(Ь) Останется ли утверждение п. (а) верным при замене С на R?
Если да, то докажите это, если нет, то приведите контрпример.
3. Докажите пп. (ii), (iii) и (iv) предложения 3.
4. Пусть V = V(y—xn, z—xm), где т,п — натуральные числа. Докажите,
что V изоморфно к как многообразие, построив взаимно обратные
полиномиальные отображения a : к —> V vi E :V —> к.
5. Докажите, что любая поверхность в к3, определенная уравнением
вида х — /(у, z) = 0 или у—д(х, z) = 0, изоморфна к2 как многообразие.
6. Пусть V — многообразие в fcn, заданное уравнением вида хп —
/(xi,... ,xn_i) = 0. Докажите, что V изоморфно кп~1 как много-
многообразие.
7. В этом упражнении мы выведем параметризацию A) проекции тг(С)
из примера 7.
(a) Докажите, что любая гипербола в К2 с горизонтальной и вер-
вертикальной асимптотами, которая проходит через точки @,0) и
A,1), определена уравнением вида
ху + tx - (t + 1)у = 0
для некоторого t.
(b) Используя систему компьютерной алгебры, найдите базис
Грёбнера идеала, порожденного уравнениями кривой тт(С) и
уравнением гиперболы. Используйте lex-упорядочение с х > у > t.
(c) Базис Грёбнера будет содержать только один полином, не за-
зависящий от х. Рассматривая его как полином от у, покажите,
что у = 0 является его двойным корнем, у = 1 — простым кор-
корнем и что у него имеется еще один корень, зависящий от t,
У — t(t+2) •
(d) Теперь, рассмотрев другие элементы базиса Грёбнера, докажите,
что «непостоянному» корню, найденному в п. (с), отвечает един-
единственное значение х, которое можно найти по первой формуле
из A).
Создается впечатление, что метод, рассмотренный в этом упражне-
упражнении, приспособлен для решения исключительно этой конкретной за-
задачи. Но на самом деле это пример техники, нацеленной на реше-
решение задач об алгебраических кривых. С использованием комплекс-
комплексной проективной плоскости в гл. 8 будет показано, что 7г(С) со-
содержится в проективной алгебраической кривой с тремя особыми
точками (аналогичными точке @,0) на рисунке). С помощью се-
семейства коник, проходящих через эти три точки и еще одну точ-
точку, мы можем построить рациональную параметризацию любой не-
неприводимой квартики (т. е. кривой четвертого порядка) с тремя осо-
особенностями. Неособые квартики не имеют рациональной параметри-
параметризации.
8. Пусть Qi = V(x2 + у2 + z2 - 1) и Q2 = V((x - 1/2J - Зу2 - 2z2)
bR3.
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия
317
(a) Используя метод примера 7 и упр. 5, в пучке, определенном мно-
многообразиями Qi и Q2, найдите поверхность, изоморфную К2 (как
многообразие).
(b) Опишите и/или нарисуйте кривую Qi П Q?-
9. Пусть a : V —> W vl f3 : W -+ У —взаимно обратные полиномиаль-
полиномиальные отображения двух изоморфных многообразий V и W. Пусть
U = Vv(/), где 7 —некоторый идеал в k[V]. Докажите, что a(U)
является подмногообразием в W, и объясните, как найти идеал
J С k[W], такой, что a(U) = VW(J).
10. Пусть / : k[V] —> k[W] —изоморфизм координатных колец, тождест-
тождественный на константах. Пусть V С km и х\,..., хт — координаты в km.
Докажите, что f([F]) = F(/([xi]),..., f([xm])), где F € k[xu..., xm].
Указание: представьте F как к-линейную комбинацию произведений
[Xi].
11. В этом упражнении мы займемся поверхностью V, рассмотренной
после определения 2, V = V(z - х2 - у ) С К3.
(а) Докажите, что подмногообразие W = {A,1,2)} С V равно
Vv([x — 1],[у — 1])- Объясните, почему из этого следует, что
(
[]\y]
(b) Докажите, что {[х — 1], [у — 1]) = Iv(W). Указание: докажите, что
V изоморфно К2 и примените упр. 9.
12. Пусть V = V(y2 — Zx2z + 2) С R3, и пусть La — линейное преобразо-
преобразование на R3, заданное матрицей
/2 0 1\
А= 1 1 0 .
\0 1 l)
(a) Проверьте, что La является изоморфизмом из R3 на R3.
(b) Найдите уравнение образа многообразия V при La ¦
13. В этом упражнении мы изучим вращения скрученной кубики.
(a) Найдите матрицу вращения в R3 против часовой стрелки на угол
7г/6 вокруг оси z.
(b) Найдите уравнение образа стандартной скрученной кубики при
этом вращении.
14. В этом упражнении мы рассмотрим другое доказательство того фак-
факта, что кривая V = V(y5 — х2) С R2 не изоморфна R. В этом доказа-
доказательстве будет использована алгебраическая структура кольца ЩУ].
Мы докажем, что не существует изоморфизма между кольцами M[V]
и R[t] (R[t] — это координатное кольцо многообразия R).
(a) Используя методы § 3, докажите, что каждый элемент из M[V]
представлен единственным полиномом вида а(у) + Ь(у)х, где
а,ЬбК[у].
(b) Найдите такое же представление для произведения (а + bx)(a +
Ъ'х) € ЩУ].

318 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(с) Предположим, что, напротив, существует кольцевой изоморфизм
q : R[t] -> R[V]. Так как а —это отображение «на», то х = a(f(t))
и У — o(g{t)) для некоторых полиномов /, д. Используя однознач-
однозначность разложения / и д на множители и формулу для произве-
произведения из п. (Ь), получите противоречие.
15. Пусть l^CR3 —касательная поверхность скрученной кубики.
(a) Докажите, что обычная параметризация многообразия V явля-
является взаимно однозначным соответствием между точками этого
многообразия и точками из R2. Указание: вернитесь к рассмо-
рассмотрению поверхности в § 3 гл. 3. Естественно спросить, верно ли,
что V изоморфно R2. Мы покажем, что нет.
(b) Используя метод упр. 12 к § 4 гл. 3, докажите, что каждая точ-
точка скрученной кубики является особой точкой многообразия V.
(Касательная поверхность имеет так называемое «каспидальное
ребро» вдоль кубики.)
(c) Пусть q : R2 —> V — произвольная полиномиальная параметриза-
параметризация многообразия V и точка а(а,Ь) принадлежит кубике. Тогда
матрица производных отображения а имеет ранг меньше 2 в
точке (а, Ь) (другими словами, столбцы матрицы производных
линейно зависимы). (Обратите внимание, что а не обязательно
является стандартной параметризацией, хотя утверждение верно
и в стандартном случае тоже.)
(d) Предположим теперь, что полиномиальное отображение а имеет
полиномиальное обратное C : V —> R2. Докажите, что мы придем
к противоречию с п. (с), если вычислим матрицу производных в
точке (а, 6), такой, что а(а,Ь) принадлежит кубике.
§ 5. Рациональные функции на многообразии
Многие поля содержат кольцо целых чисел. Наименьшим из таких
полей является поле рациональных чисел Q, потому что Q стро-
строится из дробей ^,m,n G Z. Для построения Q используются толь-
только целые числа. Аналогично, полиномиальное кольцо k[xi,... ,хп]
является подкольцом поля рациональных функций
g{xi,...,xn) ' '
Обобщим эти примеры. Пусть R — некоторая область целостности.
Тогда мы можем построить ее поле частных, которое обозначает-
обозначается QF(R). Его элементами являются «дроби» r/s, где г,s € R и
s ^О1'. Мы складываем и умножаем элементы из QF(R) как чи-
^Точнее говоря, элементами поля QF(R) являются классы равных дробей;
равенство определено двумя фразами ниже. — Прим. ред.
§ 5. Рациональные функции на многообразии
319
еловые дроби или рациональные функции:
r/s + t/u = (ru + ts)/su и r/s ¦ t/u = rt/su.
Обратите внимание, что так как R — область целостности, то знаме-
знаменатели и суммы, и произведения не равны нулю. Далее, две дроби
r/s и r'/s' равны в QF(R), если rs' = r's. Легко проверить, что все
аксиомы поля в QF(R) выполнены (см. упр. 1). Более того, QF(R)
содержит подмножество {г/1 : г G R}, которое является подколь-
подкольцом, изоморфным R. Это и объясняет смысл термина «поле част-
частных кольца Л».
Пусть V С кп — неприводимое многообразие. Тогда (см. § 1) ко-
координатное кольцо к [V] является областью целостности. Поле част-
частных QF(k[V}) имеет особое название.
Определение 1. Пусть V — неприводимое аффинное многообра-
многообразие в кп. Тогда поле QF(k[V]) называется полем функций или по-
полем рациональных функций на V и обозначается k(V).
Обратите внимание на соблюдение стиля обозначений:
k[xi,... ,хп] обозначает кольцо полиномов, а к[V] — координатное
кольцо многообразия V; аналогично, к{хх,..., хп) обозначает поле
рациональных функций, a k(V) —поле функций на V.
Явно поле функций k(V),V С кп, можно задать так:
Как и при работе с рациональными функциями, мы должны сле-
следить за необращением в нуль знаменателя. Таким образом, элемент
ф/ф ? k(V) определяет функцию только на дополнении к Vy(V').
Многообразие V — кп дает основной пример поля функций.
Здесь k[V] = k[xi,..., хп] и, следовательно,
к(у) = к(хи...,хп).
Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 2. В § 4 мы доказали, что кривая
V = V(y5 - х2) С I2
не изоморфна К, потому что координатные кольца многообразий Е
и V не изоморфны. Что можно сказать о поле функций? Отметим
сначала, что метод § 2 предлагает представлять элементы из M[V]
остатками по модулю G = {у5 - х2} (G является базисом Грёбнера
идеала I(V) по отношению к lex-упорядочению с х > у в Щх,у}).
Тогда ЩУ] = {а(у) + b(y)x: a,b€ Щу}} как векторное пространство

320
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
над К, а умножение задано следующей формулой:
(а + Ьх) ¦ (с + dx) = (ас + у5 ¦ bd) + x(ad + be).
A)
В упр. 2 будет доказана неприводимость многообразия V; следова-
следовательно, Ш[У] является областью целостности.
Теперь, используя описание Ж[У], мы можем описать и поле
функций R(V) следующим образом. Если с + dx ф 0 в K[V], то
элемент из Ж(У)
a + bx _ a + bx с — dx
с + dx c + dx с — dx
_ (ас - y5bd) +x(bc- ad)
~ c2 - ybd?
ac — y5bd be — ad
— + x
r-2 _
r-2 _
принадлежит Ш(у) + гЕB/). Обратно, каждый элемент из Щу) +
хЖ(у) определяет элемент из Е(У). Таким образом, поле Ж(У) мо-
может быть отождествлено с множеством функций Ш.(у) +хШ(у), где
сложение и умножение определены, как в ЩУ], только вместо по-
полиномов используются рациональные функции от у.
Рассмотрим отображения
/3:1—>V, uH-(u5,u2).
Обратите внимание, что а определено всюду, кроме точки @,0) на
У, в то время как C является полиномиальной параметризацией
многообразия V. Как и в § 4, по а и /3 мы определим отображения
функций, «действующие в противоположном направлении». Но так
как а определено как рациональная функция, то его композиция с
функцией из Щи] не будет элементом из ЩУ]. Рассмотрим отобра-
отображения
а* : Щи) —у ЩУ), f(u) и- f(x/y2),
/3* : ЩУ) —> Щи), а(у) + хЪ(у) н. а(и2) + u5b(u2).
Мы утверждаем, что а* и C* — взаимно обратные кольцевые
изоморфизмы. Тот факт, что а* и C* сохраняют суммы и произведе-
произведения, доказывается так же, как аналогичный факт в предложении 8
из § 4. Проверим, что а* и /3* взаимно обратны. Если f(u) ? Ш(и),
то a*(f) = f(x/y2). Следовательно, /?*(<*•(/)) = f(ub/(u2J) = /(«).
Поэтому /3* о а* тождественно на Ш(и). Пусть теперь а(у) + xb(y) ?
§ 5. Рациональные функции на многообразии
321
Ш(У). Тогда /3*(а + xb) = а(и2) + иьЬ(и2), так что
а*(C*(а + xb)) = а((х/у2J) + (х/у2MЬ((х/у2J)
= а(х2/у*) + (хъ /у10)Ъ(х2 /у4).
Но х2 = у5 в ЩУ); поэтому х2/у1 =уи хь/у10 = ху10/у10 = х. Таким
образом, отображение а* о/З* тождественно на Е(У). Поэтому а*, /3*
являются кольцевыми изоморфизмами полей функций ЩУ) и Ш(и).
Этот пример показывает, что неизоморфные многообразия мо-
могут иметь изоморфные поля функций. Здесь же приведен при-
пример рационального отображения многообразий. Прежде чем да-
давать точное определение рационального отображения, разберем
еще один пример.
Пример 3. Рассмотрим однополостный гиперболоид Q = ~V(x2 +
у2 - z2 -1) в Е3, и пусть W = V(x +1) — плоскость х = —1. Рассмот-
Рассмотрим точку р = A,0,0) G Q. Для любой точки q ? Q - {р} построим
прямую Lq, соединяющую р и q, и определим отображение ф по-
поверхности Q в W, положив
4>{q) = LqnW,
если Lq пересекает W. (Если прямая не пересекает W, то ф(д) не
определено.) Найдем алгебраическое выражение для ф. Если q =
(zo,yo>zo) е Q> T0 Lg параметризована уравнениями
y = tyo, B)
z = tz0.
В точке ф^) - Lgf)W мы имеем 1 + t(x0 - 1) = -1 - Q * - ^~
Тогда из B) вытекает, что
-2у0 -2z0
-1, т.е. t = ^
Ф(я) = -1,
C)
Это показывает, что ф определено всюду на Q, кроме точек на
двух прямых
QnV(i-l)=
U {(l,t, -*):*€
Мы будем называть ф : Q - Vq(z - 1) -> W рациональным ото-
отображением, потому что его компоненты являются рациональными
функциями. (Мы можем считать их также элементами из R(Q)-)

322
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
С другой стороны, если (-1, а, Ъ) е W, то прямая L, проходяща
через р = A,0,0) и (—1,о, Ь), параметризуется уравнениями
y = ta,
z = tb.
Тогда пересечение прямой L с Q состоит из двух точек
'а2 - Ъ2 - 4 4а 46
LnQ= A,0,0,),
а2 - Ь2 + 4' а2 - Ь2 + 4' а2 - Ь2 + 4
Если мы обозначим через Я гиперболу V\v(a2 - Ь2 + 4), то можем!
определить другое рациональное отображение
формулой
ф-.W-H
а2-Ъ2-А
-+Q,
4а
46
а2 - Ъ2 + 4' а2 - Ь2 + 4' а2 - Ь2 + 4
D)
Из описания отображений ф и ф следует, что фоф — тождествен-J
ное отображение множества W - Н на, себя. Аналогично, фоф — ]
это тождественное отображение Q - VQ(x - 1) на себя. С помощью
формул C) и D) можно показать, что ф*оф* и ф*оф* — тождестве»-!
ные отображения полей функций. (Следует упомянуть, что, как Щ
во втором примере, QnW не изоморфны как многообразия. Одна-]
ко доказать это с использованием знакомой нам техники непросто.):
Сейчас мы дадим строгое определение тех понятий, которыми,
мы пользовались в предыдущих примерах.
Определение 4. Пусть V С кт и W С кп - неприводимые аф-|
финные многообразия. Рациональным отображением многообра-:
зия Vna,W называется функция ф, представленная следующим
образом:
9i
) fn(xx,. ..,Xm)
)"' "' 9п(хх,---,хт)
E)
где fi/gi G k(xi,..., xm), и удовлетворяющая следующим условиям:
(i) ф определена хотя бы в одной точке из V;
(И) для любой точки (ах,...,От) е V, в которой ф определена,
Ф(аи...,ат) GW.
Обратите внимание, что рациональное отображение ф : V ->¦ W
может не быть функцией из V в W в обычном смысле, потому что,
§ 5. Рациональные функции на многообразии
323
как мы уже видели в примерах выше, она не обязательно опреде-
определена всюду на V. По этой причине некоторые авторы используют
специальное обозначение для рационального отображения:
ф-.V > W,
которого мы также будем придерживаться. По условию (i) множе-
множество точек, где рациональное отображение ф, заданное формулой
E), не определено, есть Vy (<?i > • • • > <7n) ~ собственное подмногообра-
подмногообразие многообразия V.
Так как рациональные отображения определены не всюду, то
работа с ними требует некоторой осторожности. В частности, нам
понадобится строгое определение того, что значит, что два рацио-
рациональных отображения равны.
Определение 5. Пусть ф,ф :V >W — рациональные отобра-
отображения, представленные формулами
, (h fn
Ф= —,..., —
\9i 9n
Л„
Тогда ф и ф называются равными, если для любого i, 1 < i < п,
fiU - hi9i e
Рассмотрим геометрический критерий равенства рациональных
отображений.
Предложение 6. Два рациональных отображения ф,ф :V >
W равны в том и только том случае, когда существует собствен-
собственное подмногообразие V С V, такое, что фиф определены наУ — V
и ф(р) = ф(р) для всех точек р € V - V.
Доказательство. Пусть ф = (fx/gx, ¦ ¦ ¦, fn/9n) и ф = (hx/lx, ¦ ¦ ¦,
hn/ln). Предположим, что ф и ф равны в смысле определения 5,
и пусть Vx = Vv(9i,- ¦ ¦ ,9п) и V2 = Vv(h, ¦ ¦ -Л)- По условию Vx
и Уг —собственные подмногообразия многообразия V, а так как V
неприводимо, то и V — Vx U V2 также собственное подмногообразие
в V. Тогда ф иф определены на V - V, а так как fiU — higi € I(V),
то Jil9i и hi/U представляют одну и ту же функцию на V - V¦
Значит, то же самое верно для фиф.
С другой стороны, пусть фя ф определены и равны (как функ-
функции) на V - V. Это означает, что fi/gi = hi/k на V — V для
каждого г. Но тогда fiU - lngi равны нулю на V — V; значит,
V = Vvifih - htgi) U V. Так как V неприводимо, а У—соб-
У—собственное подмногообразие, то V — Vv(fih - Ыд*)- Таким образом,
hk ~ hi9i G l(V). ?

324
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
В примере 3 мы определили рациональные отображения ф : Q -»|
у W и ф: W > Q, такие, что фоф тождественно на W-H С W.%
По предложению 6 это доказывает, что фоф равно i&w в смысле]
определения 5.
Надо также соблюдать осторожность при определении компо-
композиции рациональных отображений.
Определение 7. Пусть даны отображения ф : V > W и if>'i\
W > Z. Мы говорим, что композиция фоф определена, если \
существует точка р ? V, такая, что ф определено ври ф определено j
в ф(р).
Если композиция фоф определена, то она является рациональ-у
ным отображением, как показывает следующее утверждение:
Предложение 8. Пусть ф :V >W и ф :W > Z —раци-1
опальные отображения, такие, что композиция фоф определена. 1
Тогда существует собственное подмногообразие V С V, такое, 1
что
(i) ф определено на V — V и ф определено на ф(У — V);
(ii) ф о ф -. V > Z — рациональное отображение, определенное
на V -V.
Доказательство. Пусть ф и ф имеют следующие представления: 1
9i(xi,...,xm)' ' gn(xi,. ..,xm)J '
., ч _ (hi(yi,...,yn) hs(yu...,yn)\
fWi'-i Уп) — I Yl Г > • • • > Tl Г I •
Тогда j-я координата отображения фоф равна
hi(fi/gi,...,fn/9n)
b(fi/9i,---,fn/9n)
и, очевидно, является рациональной функцией от х\,..., хт. Чтобы
представить ее в виде частного полиномов, мы должны записать ее |
в виде
Pj _(9i---9n)Mhj(f1/g1,...,fn/gn)
где М достаточно велико.
Положим
Очевидно, что ф определена на V - V и ф определена на ф(У - V).
Осталось доказать, что V Ф V. По условию существует точка р € V,
§ 5. Рациональные функции на. многообразии
325
такая, что ф определено в р, а ф определено в ф(р). Это означает,
что gi(p) ф 0 при 1 < i < n и
для всех 1 < j < s. Но тогда Qj(p) фОя, следовательно, р € V — V. ?
В упражнениях мы рассмотрим пример, когда композиция фоф
не определена. Это происходит в тех случаях, когда область опре-
определения отображения ф не пересекается с образом отображения ф.
Примеры 2 и 3 продемонстрировали нам, что есть альтернатива
понятию изоморфизма многообразий.
Определение 9.
(i) Два неприводимых многообразия V С кт и W С кп называются
бирационально эквивалентными, если существуют рациональ-
рациональные отображения ф : V > W и ф : W > V, такие, что
композиции фоф и фоф определены (в смысле определения 7) и
равны (в смысле определения 5) тождественным отображениям
idy и idw соответственно.
(ii) Многообразие называется рациональным многообразием, если
оно бирационально эквивалентно пространству кп для некото-
некоторого п.
Рассмотрение координатных колец может помочь при доказа-
доказательстве изоморфности многообразий. Точно так же рассмотрение
полей функций может помочь при доказательстве их бирациональ-
ной эквивалентности.
Теорема 10. Два неприводимых многообразия V и W бирацио-
бирационально эквивалентны в том и только том случае, когда суще-
существует изоморфизм k(V) = k{W) их полей функций, тождест-
тождественный на константах. {По определению два поля изоморфны, если
они изоморфны как коммутативные кольца.)
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично дока-
доказательству теоремы 8 из § 4. Предположим, что V я W бирацио-
бирационально эквивалентны и ф :V >\?яф:\? > V — соответ-
соответствующие отображения. Определим отображение ф* : k(W) -? k(V)
формулой ф* (/) = / о ф и докажем, что это изоморфизм. В отличие
от полиномиального случая здесь не очевидно, что ф*(/) = f ° Ф
существует для всех / € k[W) — нам нужно доказать, что функция
/ о ф определена в некоторой точке многообразия V.

326
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Сначала мы докажем, что из условия ф о ф = \dw вытекает су-
существование собственного подмногообразия W С W, такого, что
ф определено на W — W',
ф определено на ф(Ш - W),
ф о ф тождественно наИ^- W'.
F)
Для этого мы найдем собственное подмногообразие W\ С W, та-
такое, что ф определено на W — W\, а ф определено на ф(ЪУ - Wi)
(предложение 8). По предложению 6 существует собственное под-
подмногообразие W2 С W, такое, что ф о ф тождественно на W - Wi-
Так как W неприводимо, то W = W\ U W2 — собственное подмно-'
гообразие, которое и удовлетворяет условиям F).
Пусть / € k{W). Теперь мы можем доказать, что композиция
/ о ф определена. Если / определена на^- W" С W, то W U
W" ф W, потому что W неприводимо. Пусть q ? W - (W' U W").
Тогда по F) отображение ф определено в точке р = ф{с[) ? V, а так
как ф{р) = q ? W", то / определена в ф(р). Значит, по определению
5 функция </>*(/) = f о ф существует как элемент из k(V).
Это рассуждение доказывает существование отображения ф* :
k(W) —> k(V). Кроме того, из доказательства предложения 8 из § 4
вытекает, что ф* является кольцевым гомоморфизмом. Аналогич-
Аналогично может быть построен и кольцевой гомоморфизм ф* : k(V) ->
k(W). Покажем, что эти отображения взаимно обратны. Рассмот-
Рассмотрим функцию
где / € k(W). В наших обозначениях функция / о ф о ф равна /
как функция на множестве W - (W U W"); поэтому / о фоф = f в
^(И^) по предложению 6. Это показывает, что ф* оф* = idk(Wy Ана-
Аналогично доказывается равенство ф* о ф* = id^(v). Таким образом,
ф* : k(W) -> k(V) является изоморфизмом полей. Мы оставляем
читателю в качестве упражнения доказательство того, что ф* тож-
тождественно на постоянных функциях к С /с(И').
Доказательство обратного утверждения мы оставляем читателю
в качестве упражнения. Отметим только, что это доказательство
аналогично доказательству теоремы 9 из § 4. D
В упражнениях мы докажем, что два неприводимых многообра-
многообразия бирационально эквивалентны, если существуют «большие» под-
подмножества (дополнения до собственных подмногообразий), меж-
между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие
с помощью рациональных отображений. Например, кривая V =
У (у5 - х2) из примера 2 бирационально эквивалентна многообра-
§ 5. Рациональные функции на многообразии
327
зию W = Ш. Следует проверить, что рациональные отображения /
и д из A) устанавливают взаимно однозначное соответствие между
множествами V - {@,0)} и W - {0}. Аналогично устанавливается
бирациональная эквивалентность между гиперболоидом и плоско-
плоскостью из примера 3. Эти примеры показывают, что вне указанных
«больших» подмножеств бирационально эквивалентные многообра-
многообразия могут быть совсем непохожи (см. упр. 14).
Как видно из примеров, бирациональная эквивалентность не-
неприводимых многообразий — это более слабое отношение эквива-
эквивалентности, чем изоморфизм. Под этим мы понимаем следующее:
класс бирационально эквивалентных многообразий может содер-
содержать много неизоморфных многообразий. Тем не менее в истории
алгебраической геометрии именно классификация многообразий с
точностью до бирациональной эквивалентности привлекала боль-
большее внимание, возможно, потому, что строить рациональные функ-
функции на многообразии проще, чем полиномиальные1). Существует
почти полная классификация многообразий в размерностях 1 и 2 с
точностью до бирациональной эквивалентности. И недавно значи-
значительный прогресс был достигнут в размерности 3. Однако класси-
классификация неприводимых многообразий размерности > 4 с точностью
до бирациональной эквивалентности неполна и является областью
активных исследований.
Упражнения к § 5
1. Пусть Я —область целостности, a QF{R) — ее поле частных.
(a) Докажите, что сложение корректно определено в QF(R). Это
означает, что если r/s = r'/s' и t/u = t'/v!, то (ru+ts)/su = (r'u' +
t's')/s'u'. Указание: вспомните, как определяется равенство двух
элементов из QF(R).
(b) Докажите, что умножение в QF(R) определено корректно.
(c) Докажите, что в QF(R) выполнены аксиомы поля.
2. Пусть V - V(y5 - х2) С К2, как в примере 2.
(а) Докажите, что полином у5 — х2 неприводим в R[x, у] и что
(Ь) Выведите из этого, что К[^] является областью целостности.
1)Исторические истоки можно усмотреть в том, что алгебраическая геоме-
геометрия возникла как теория алгебраических кривых, мощным стимулом для раз-
развития которой послужила та ветвь анализа, в которой изучались интегралы от
рациональных функций (на эллиптических кривых). См. Клейн Ф. Лекции о
развитии математики в XIX столетии, т. I — М.: Наука, 1989, и исторический
очерк в книге: Shafarevich A974) (см. список литературы). — Прим. ред.

328
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
3. Используя рассуждения из примера 2, докажите, что особая кубиче»;
екая кривая V(t/2 — х3) является рациональным многообразием (би*-
рационально эквивалентным к).
4. Рассмотрим особую кубическую кривую Vc — V(t/2 — ex2 + х3)
(см. упр. 8 к § 3 гл. 1). Используя параметризацию, приведенную
в этом упражнении, докажите, что Vc — рациональное многообразие,
и найдите подмногообразия Vc' С Vc и W С к, такие, что найденные
вами рациональные отображения определяют взаимно однозначное
соответствие между Vc — Vc' и к — W. Указания: напомним, что t в
параметризации кривой Vc является коэффициентом наклона неко-
некоторой прямой, проходящей через точку @, 0).
5. Докажите, что кривая тг(С) из упр. 7 к § 4 — рациональное много-
многообразие. Указание: для того чтобы найти рациональное отображение,
обратное параметризации, полученной в этом выражении, нужно вы-
выразить t как функцию от координат х и у на кривой. Здесь следует
использовать уравнение гиперболы.
6. В примере 3 проверьте непосредственно, что C) и D) являются вза-
взаимно обратными рациональными отображениями однополостного ги-
гиперболоида и плоскости друг в друга.
7. Пусть 5 = V(x2 + у2 + z2 - 1) С R3 и W = V(z) — плоскость ху. В
этом упражнении мы докажем, что S и W бирационально эквива-
эквивалентны, явно построив отображение, называемое стереографической
проекцией. См. также упр. 6 к § 3 гл. 1.
(a) Найдите параметрические уравнения (как в B)) прямой Lq в R3,
соединяющей северный полюс сферы — точку @,0,1) — и произ-
произвольную точку д - (хо, 2/о, z0) G 5, д # @, 0,1).
(b) Теперь определите рациональное отображение ф: S > W, по-
положив ф(д) = LqtlW. Это и есть отображение стереографической
проекции.
(c) Докажите, что рациональная параметризация многообразия 5,
приведенная в упр. 6 к § 3 гл. 1, представляет собой отображение
ф, обратное к ф.
(d) Докажите, что S и W бирационально эквивалентны, и найдите
подмногообразия S1 С 5 и W С W, такие, что отображения ф и
ф определяют взаимно однозначное соответствие между S — S" и
W -W.
8. В упр. 10 к § 1 мы доказали, что не существует непостоянных поли-
полиномиальных отображений из R в V = V(y2 — х3 +х). Существуют ли
непостоянные рациональные отображения? Является ли V бирацио-
бирационально эквивалентным R?
9. Пусть V — неприводимое многообразие и / 6 k(V). Если / = ф/ф, где
ф,ф 6 k[V], то / определена на V — W(i/<). Интересно отметить, что
иногда / можно определить и на большем множестве. В этом упраж-
упражнении мы рассмотрим, как это может происходить на многообразии
V = V(xz-yw) С С.
§ 5. Рациональные функции на многообразии
329
(a) Докажите, что полином xz — yw 6 С[х, у, z, w] неприводим. Ука-
Указание: обратите внимание на полные степени возможных дели-
делителей.
(b) Используя единственность разложения на множители в
С[х, у, z, w], докажите, что (xz — yw) является простым идеалом.
(c) Докажите, что V неприводимо и I(V) = {xz — yw).
(d) Пусть / = [z]/[j/] 6 C[V], так что функция / определена на
V—Vv([j/]). Докажите, что Vv([j/]) является объединением плос-
плоскостей {@,0, z, w) : z, w 6 С} U {(х, 0, 0, го) : х, w G С}.
(e) Докажите, что / = [го]/[х] и покажите, что тем самым / опреде-
определена везде в дополнении к плоскости {(х, 0,0, го) : х, го 6 С}.
Отметим, что это оказалось возможным, потому что существуют два
совершенно различных представления рациональной функции /. Это
также объясняет, почему работа с рациональными функциями тре-
требует осторожности.
10. Рассмотрим рациональные отображения <?:R >R3 и ф :
R3 > R, определенные формулами
= (t,l/M2) и ф{х,у,г) =
x + yz
x-yz'
Докажите, что композиция ф о ф не определена.
11. Завершите доказательство теоремы 10, показав, что если V и W — не-
неприводимые многообразия и существует изоморфизм k(V) ^ k(W) их
полей функций, тождественный на константах, то также существу-
существуют взаимно обратные рациональные отображения ф : V > W и
ф : W > V. Указание: следуйте доказательству теоремы 9 из § 4.
12. Пусть ф : V > W — рациональное отображение, определенное на
V — V'. Рассмотрим подмногообразие W' С W. Докажите, что
V" = V U {p G V - V : ф(р) G W'}
является подмногообразием в V. Указание: найдите уравнения, опре-
определяющие V", следующим образом: подставьте рациональные функ-
функции, представляющие ф, в уравнения, определяющие W', и прирав-
приравняйте нулю числители получившихся функций.
13. Пусть рациональные отображения ф : V *W тя. ф :W >V
определяют бирациональную эквивалентность многообразий V и W.
Как отмечалось в тексте параграфа после доказательства теоремы
10, это означает, что существуют «большие» подмножества в У и
W, которые «одинаковы». Точнее, существуют собственные подмно-
подмногообразия VI С V и W\ С W, такие, что фиф определяют взаимно
обратные биекции между подмногообразиями V — Vi и W — W\ друг
на друга. Отметим, что в упр. 4 и 7 рассматривались частные случаи
этого утверждения.
(а) Пусть V' С V — подмногообразие, удовлетворяющее условиям F)
для отображения фоф. Аналогично, пусть W' С W удовлетворяет

330 Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
условиям F) для ф о ф. Пусть
V = {р е V - V : ф(р) 6 W - W'},
W = {д 6 W - W : i/)(q) eV- V}.
Докажите, что ф :V —> W и г/) : W —> V являются взаимно обрат-
обратными биекциями.
(Ь) Используя упр. 12, докажите, что V = V — Vi nW = W — Wi, где
Vi и W\ — собственные подмногообразия.
Пункты (а) и (Ь) и определяют требуемую биекцию между «больши-
«большими» подмножествами многообразий V и W.
14. В примере 3 мы рассматривали рациональные отображения ф : Q —
-->W иф-.W >Q.
(a) Докажите, что фиф определяют взаимно обратные биекции ф :
Q - VQ(x -1)-*\?-Ниф:ЦГ-Н-*С}- VQ{x - 1), где
Я = Vw(a2-62+4).
(b) Докажите, что многообразия Н и Vq(x — 1) совершенно различ-
различны: они не изоморфны и не бирационально эквивалентны.
§ 6. Дополнение.
Доказательство теоремы о замыкании
В этом параграфе мы завершим доказательство теоремы о замы-
замыкании, которое было начато в § 2 гл. 3. Мы будем использовать по-
понятия и методы, введенные в гл. 4 и 5, в том числе неприводимые
многообразия, простые идеалы, факторкольца и поля частных.
Напомним, о чем, собственно, идет речь. Пусть поле к ал-
алгебраически замкнуто, а щ : kn -t кп~1 — проекция на последние
п — I компонент. Пусть V — VG) — аффинное многообразие в кп и
It = IП k[xi+i ,...,!„]— его 1-й исключающий идеал. В § 4 гл.4 мы
доказали первую часть теоремы о замыкании, которая утверждает,
что VGj) является наименьшим многообразием в кп~', содержащим
7tj(V). На языке гл. 4 это означает, что V(Jj) является замыканием
Зарисского множества щ(У).
Последняя часть теоремы о замыкании утверждает, что 7rj(V)
составляет «большую часть» многообразия V(Ij) в следующем
смысле.
Теорема 1 (теорема о замыкании, вторая часть). Пусть к алгеб-
алгебраически замкнуто, а V = VG) с kn. Если V Ф&, то существует
аффинное многообразие W, строго содержащееся в VGj), такое,
¦что
VG,) -We n{V).
; 6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании
331
Доказательство. В гл. 3 мы доказали это утверждение в случае
/ = 1 с помощью результантов. Прежде чем приступать к доказа-
доказательству общего утверждения, отметим, что V(/j) зависит только
от V, так как является замыканием Зарисского множества щ(У).
Это означает, что для любого идеала, определяющего V, многообра-
многообразие VGj) одно и то же. В частности, так как V = V(I(V)), то мы
можем взять I(V) вместо 7. Следовательно, если V неприводимо,
то мы можем считать идеал 7 простым.
Мы начнем доказательство с рассмотрения неприводимого слу-
случая. Следующие факты нам будут полезны:
7 прост =?> 7; прост,
V неприводимо
VGj) неприводимо.
Доказательство первого утверждения несложно, и мы оставляем
его читателю. Докажем второе. Мы можем считать, что 7 = I(V),
а следовательно, считать 7 простым. Тогда 7; также прост. Значит
(см. алгебро-геометрический словарь в следствии 4 из § 5 гл. 4),
VGj) неприводимо.
Пусть V неприводимо. Индукцией по I мы докажем более силь-
сильное утверждение, чем утверждение теоремы. Если Wo S V — соб-
собственное подмногообразие, то существует собственное подмного-
подмногообразие Wi ^ VGj), такое, что
y(Ii)-WiCiri(V-WQ). B)
(Утверждение теоремы соответствует случаю Wo = 0.) Начнем со
случая / = 1. Так как Wo ф V, то найдется точка (ai,...,an) €
V - Wo. Тогда существует полином / е I(W0), такой, что
/(oi,... ,an) ф 0. Полином / будет играть решающую роль в даль-
дальнейшем доказательстве. Теперь надо рассмотреть два случая.
Случай I. Предположим, что для всех (Ь2, • • • ,bn) ? V(Ji) имеет
место включение (bi, Ьг> ¦ ¦ • > Ьп) € V для всех bi e к. Запишем / как
ПОЛИНОМ ОТ Х\\
f = Yl9i(x2,...,xn)x\.
t=0
Пусть W\ = VGi) Л V(</o, • • ¦, 9m)- Это многообразие строго меньше,
чем VGi), потому что из условия /(ai,...,an) ф 0 следует, что
9i{a2,. ¦ ¦,an) Ф 0 для некоторого %. Тогда (а2,..., а„) € VGj) - W\,
так что Wi Ф VGi).
Теперь покажем, что B) выполнено. Если (с2,... ,cn) ? VGi) -
Wi, то некоторый полином gt не равен нулю в точке (с2,..., с„); по-
поэтому /(ii,с2,..., с„) — ненулевой полином. Так как к бесконечно

332
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(упр. 4 к § 1 гл. 4), то найдется с\ ? к, такое, что f(c\,c2,..., сп) ф 0.
Но по условию (ci,..., Сп) ? V. Однако эта точка не принадлежит
Wo, так как / ? I(W0). Значит, (с2,... ,с„) € -K\{V — Wo), что и до-
доказывает B) в случае I.
Случай И. Предположим, что существует точка (Ь2,...,Ьп) €
V(Ji) и существует Ь\ ? к, такие, что F1,62, • • •, Ьп) $ V. Тогда мы
можем найти полином h ? I, такой, что h(bi,..., bn) ф 0 (h суще-
существует, потому что I = I(V)). Запишем h как полином от ii:
h ^
i,... ,хп)х\.
C)
i=0
Так как h(bi,...,bn) ф 0, то щ(Ь2,- ¦ ¦ ,Ьп) ф О для некоторого i.
Тогда щ $ 1\. Более того, если иг ? h, то полином h - urx[ не равен
нулю в точке (Ь2,..., Ьп). Поэтому мы можем заменить h на h—urx[.
Повторяя эту процедуру, мы можем добиться того, что иг $ 1\ в C).
Теперь мы хотим доказать следующее утверждение:
г
существуют Vi ? к[х2,..., хп], такие, что ^Р ы}1 ? / и vo $ h ¦
«=о
D)
Для этого, рассматривая / и h как полиномы от х\, поделим / на
К. Но вместо того чтобы прямо использовать алгоритм деления из
§ 5 гл. 1, мы сначала заменим / на u^f, где N\ — натуральное чис-
число. Мы утверждаем, что если Ni достаточно велико, то мы можем
поделить и^?1 f на h, не прибегая к дробям. Другими словами,
где q ? к[х\,..., хп) и уц ? к[х2,..., хп]. Доказательство этого фак- я
та мы оставляем читателю (упр. 2). Читатель может также озна- |
комиться с результатами § 5 гл. 6, где этот процесс псевдоделения
изучается подробнее. Теперь проведем этот процесс «деления» не
только для /, но и для всех степеней 1, /, /2,..., /г. Тогда мы по-
получим уравнения вида
ur' j = qjti + Vjo + Vj\Xx + ... + Vj.r-iX^ (o) 1
для всех 0 < j < г.
Перейдем к факторкольцам и полям частных. Так как Д =
I(V(Ii)), то (см. § 2) факторкольцо к[х2,... ,xn]/Ii естественно изо-
изоморфно координатному кольцу A;[VGi)]. Это кольцо является обла-
областью целостности, так как многообразие VGi) неприводимо. Сле-
Следовательно, мы можем построить его поле частных, которое обо-
обозначим через К. Факторкольцо к[х2,... ,xn]/Ii мы будем считать
§ 6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании
333
вложенным в К, так что полиному v ? к[х2,..., хп] отвечает эле-
элемент [v] ? к[х2,... ,xn]/Ii С К. В частности, нулевой элемент в К
есть [0], где 0 ? к[х2,..., хп] — нулевой полином.
Полиномы Vij из E) задают элементы (г + 1) х г-матрицы
• • • [vo.r-i
с элементами из К. Строки этой матрицы (их г + 1) можно рас-
рассматривать как векторы в г-мерном пространстве Кг. Следова-
Следовательно, строки линейно зависимы над К. Таким образом, суще-
существуют элементы ф0, ¦. ¦ ,фг ? К, не все равные нулю, такие, что
Zw=o ^ЛЧ)»] = Щ в К для всех 0 < * < г — 1. Запишем каждое
ф] как частное элементов из к[х2,... ,xn]/Ii, умножим на общий
знаменатель и будем считать, что ф^ = [wj], где Wj ? к[х2,..., хп].
Так как не все ф] равны нулю в к[х2,... ,xn]/Ii С К, то найдется
Wj $ 1\. Имеем
а это означает, что
з=о
F)
Наконец, если мы умножим каждое из уравнений E) на соот-
соответствующий элемент Wj и сложим их, то, учитывая F) и принад-
принадлежность h ? /, получим, что
Положим vj = WjUr' ¦ Так как ur $ h и Wj ^ Д для некоторых j,
то Vj $ 1\ для некоторых j, потому что по A) идеал Д прост.
Осталось добиться того, чтобы vo ^ 1\. Предполоясим, что
vQ,.. .,vt-i ? h, но vt i h- Тогда
Так как идеал I прост и / $ I, то Y?j=t vifi~i e ^- Теперь мы можем
считать, что индекс меняется от 0 до г — t и vt играет роль vo, и
тем самым получаем формулу D).

334
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Важным следствием условия D) является такой решающий'
факт:
1
Докажем это. Так как J2l=o viP е Л т0 Для любой точки 1
(ci,...,cn) € V имеем
г
vo(c2, ...,сп)+ / (ci,. ..,сп)^2 ы(с2,..., cn)f{d,..., cn)l~l - 0.
i=i
Если vo(c2,.. .,сп) ф 0, то f(ci,...,Cn) ф 0, а следовательно, 1
(ci,...,Cn) $ Wo (так как / обращается в нуль на Wo). Отсюда |
вытекает G).
Теперь мы можем доказать B) в случае II. Так как ur,vo ? 1\ и
h прост, то д = urv0 i h. Тогда Wx = У(д)ПУ{11) С V(/i). Пусть j
(с2,...,с„) € V(/i) - W\. Это означает, что и иг, и v0 не равны
нулю в этой точке.
Пусть I = (fi,...Js) и he I. Тогда I = (hju..., fs). Так как |
ur(c2,... ,сп) т^ 0, то по теореме о замыкании, доказанной в гл. 3
для случая / = 1, существует точка (ci, с2,..., с„) е V. Тогда в силу
G) и того, что г>о(с2,... ,сп) ф 0, имеет место включение (сг,...,
с«) € 7ri(V - Wo). Таким образом, утверждение B) доказано для
случая I = 1. В упражнениях будет прояснен геометрический смысл
случаев I и П.
Пусть теперь B) выполнено для I - 1. Докажем, что это ут-
утверждение выполняется для I. Рассмотрим многообразие Wo, стро-
строго содержащееся в У, и найдем Wi, строго содержащееся в V(/i),
такое, что
V(/1)-W1C7T1(y-W0).
Но 7; является (/ - 1)-м исключающим идеалом идеала 1\. Кроме
того, многообразие VGX) неприводимо по A). Следовательно, по
предположению индукции, примененному к Wi С VGi), существует
W; С VGj), такое, что
гдетгг_1 : А;" -» kn~l — проекция на последние (n-l)-(l-l) = n-l
компонент. Но так как тг; = тг;_1 о tti (cm. упр. 4), то
V(J,) - W, с u-iCVfr) - Wi) С m-ifaiV - Wo)) = тг;(У - Wo),
что и завершает доказательство утверждения B) для неприводи-
неприводимых многообразий.
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть V С kn — произвольное
многообразие. Представим V в виде объединения неприводимых
; 6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании
335
компонент (теорема 2 из § 6 гл. 4):
V = Vili...UVm.
Обозначим через V[ замыкание Зарисского множества щ (К) С kn~l.
Мы утверждаем, что
V(I,) = V{U...UVjn. (8)
Для доказательства заметим, что V{ U ... U V'm — многообразие, со-
содержащее множество щ{У\) U ... U m{Vm) = тг,(У). Так как V(/j) —
это замыкание Зарисского множества щ(У), то V(//) С Vi'U.. .UV^.
С другой стороны, заметим, что 7rj(Vi) С n(V) С V(/j) для каждого
i. Следовательно, V- С V(/j), так как V- — замыкание Зарисского
множества 7rj(Vi). Таким образом, (8) доказано.
Из A) мы знаем, что многообразия V( неприводимы; значит,
(8)—это разложение многообразия V(/;) в объединение неприво-
неприводимых. Это разложение не обязательно является минимальным, но
все-таки мы можем найти одно из этих многообразий, не принад-
принадлежащее никакому другому. Мы можем считать, что V{ не принад-
принадлежит никакому V- при 2 < г < т.
Тогда по формуле B), примененной к неприводимому много-
многообразию Vi (здесь Wo = 0), существует неприводимое многообра-
многообразие
V{, такое, что
(так как V{ является замыканием Зарисского множества 7Г; (VI)).
Пусть W = Wi U V2' U ... U V^. Тогда W С V(J,) и
VG,) - W = V/ U ... U V'm - (Wj U Vi U ... U О
Стг,(У).
Осталось показать, что W ф V(Ii). Но если W = V(Jt), то V{ С
Wi U Vi U ... U V^. Так как V/ неприводимо, то V/ принадлежит
одному из многообразий W1} Vi,..., V^ (см. упр. 5). Но это проти-
противоречит выбору V{ и W\. Мы пришли к противоречию, и теорема
доказана. ^
Теорема о замыкании позволяет дать точное описание проекции
щ(У).
Следствие 2. Пусть поле к алгебраически замкнуто uV С кп —
аффинное многообразие. Тогда существуют аффинные многообра-
многообразия Zi С Wi С кп~1,1 < г < р, такие, что
t=i

336
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
Доказательство. Положим W\ = V(/j). По теореме о замыкании
существует подмногообразие Z\^W\, такое, что W\ — Z\ С 7Г/(У).
Теперь в кп определим множество
Vi = V П {(щ,. ..,оп)екп: (щ+1,...,«„)? Zi}.
Легко проверить, что V\ — аффинное многообразие (см. упр. 7), бо-
более того, Vi С у, потому что иначе 7rj(V) С Zx, откуда W\ С Z\, так
как VFi — это замыкание Зарисского. Кроме того, имеем
(см. упр. 7).
Если V\ — 0, то утверждение доказано. Если V\ непусто, то пусть
W2 — замыкание Зарисского множества тг;(У!). По теореме о замы-
замыкании существует Zi С W2, такое, что W2 — Zi С Trj(Vi). Рассуждая,
как выше, мы получаем многообразие
V2 = Vi П {(ai,... ,an) e Л" : (ai+1,... ,an)
Имеем V2
- Zx) U (W2 -
ir,(V2).
Если Уг = 0, то утверждение доказано. В противном случае мы
строим многообразия W3, Z3 и У3 9 ^2 • Продолжая этот процесс, мы
в конце концов получим Удг = 0 для некоторого JV —в противном
случае будет построена бесконечная убывающая цепь многообразий
V Э уЛ D Vo Э
v ^ vi ^ v2 ^ ••••
Однако существование такой цепи противоречит предложению 1 из
§ 6 гл. 4. Следовательно, V^ = 0 для некоторого N, и структурная
формула для 7Г/ (У) доказана. ?
Множества типа, описанного в следствии 2, называются кон-
конструктивными.
Упражнения к § 6
1. В этом упражнении рассматриваются утверждения A) из доказа-
доказательства теоремы 1.
(a) Пусть идеал / прост. Докажите, что 7/ также прост. Ваше дока-
доказательство должно быть справедливым для любого поля.
(b) В ходе доказательства теоремы 1 было показано, что если к ал-
алгебраически замкнуто и V неприводимо, то VG;) также непри-
водимо. Дайте доказательство этого утверждения, которое го-
годится для любого поля.
§ 6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании
337
2. Пусть g,h 6 k[xi,...,xn] и h имеет степень г > 0 по xi, т.е. h =
Y^ri=0Ui(x2, ¦ ¦ ¦ ,хп)х\. Индукцией по степени полинома д по отно-
отношению к переменной xi докажите, что существует N, такое, что
и?д = qh + д', где q,g' € fc[xi,... ,хп] и д' имеет степень < г по х\.
3. В этом упражнении мы рассмотрим геометрический смысл случаев
I и II в доказательстве теоремы 1. Мы будем считать, что к = С. На-
Напомним, что мы рассматриваем неприводимое многообразие У С С"
и его проекцию тц : С" —> С". Пусть у 6 С". Определим множе-
множество
Vv = {x€V :*!(*) = у},
которое называется слоем над у проекции ж\.
(a) Докажите, что Vy С С х {у}, так что Vv Ф 0 в том и только том
случае, когда у G Ki(V).
(b) Докажите, что в случае I ж\{V) = VGi) и Vv = Cx {t/} для всех
у G 7Ti(V), т. е. в этом случае все непустые слои — наибольшие из
возможных.
(c) Докажите, что в случае II существует многообразие W С С,
такое, что m{V) не принадлежит W и каждый непустой слой
над точкой у ? W конечен, т. е. в этом случае «большинство»
непустых слоев конечно. Указание: если h такое, как в C), и
ит $ h, то можно положить W — V(uT)-
(d) Пусть V = V(x2 — X1I3) С С3. Докажите, что «большинство»
слоев Vy состоят из единственной точки. Существует ли беско-
бесконечный слой?
4. Пусть тп : fc" -»¦ kn-\m : кп -»¦ кп~1 и тп_1 : Jfc" -)• Jfcn~' такие же,
как в доказательстве теоремы 1. Докажите, что тп = ttj-i о тп.
5. Пусть V С кп —неприводимое многообразие. Докажите следующие
утверждения.
(a) Если Vi, V2 С кп — многообразия, такие, что V С V\ U V2, то или
V С Vi, или V С V2.
(b) Более общее утверждение формулируется так: если V\,...,
Vm С кп — многообразия и V С Vi U ... U Vm, то V С Vi для неко-
некоторого г.
6. Многообразие W, построенное в доказательстве теоремы 1, довольно
велико —оно содержит все, кроме одной, неприводимые компоненты
многообразия VGi)- Докажите, что существует многообразие W С
V(/j), которое не содержит неприводимых компонент многообразия
VGj) и удовлетворяет условию VG;) — W С ti(V). Указание: сначала
объясните, почему каждая неприводимая компонента многообразия
VGi) есть Vj для некоторого j. Затем построение, проведенное для
V/, проведите для каждого Vj.
7. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство следствия 2.

338
Гл. 5. Полиномиальные и рациональные функции
(a) Проверьте, что Vi = V П {(oi,... ,an) G k" : (o/+i,..., о„) G Z\}
является аффинным многообразием.
(b) Проверьте, что m{V) = {Wx - Z{) U 7n(Vi).
8. Пусть V = V(t/ — хг) С С3. Следствие 2 утверждает, что ni(V) С С2
является конструктивным множеством. Постройте явное разложение
wi(V) в форме, приведенной в следствии 2. Указание: в разложении
будут участвовать W\, Z\ и Wi.
9. При работе с аффинными многообразиями иногда бывает полезен
принцип минимума, который утверждает, что в любом множестве
многообразий из кп есть минимальное по отношению включения.
Точнее, пусть даны многообразия Va, а 6 Л, где Л — произвольное
множество индексов. Тогда существует C g Л, такой, что из Va С Vp
следует, что Va =Vp.
(a) Докажите принцип минимума. Указание: используйте предложе-
предложение 1 из § 6 гл. 4.
(b) Сформулируйте и докажите аналогичный принцип максимума
для идеалов из к[х\,... ,хп].
10. Как пример применения принципа минимума из упр. 9, мы дадим
другое доказательство следствия 2. А именно, рассмотрим множе-
множество всех многообразий V С кп, для которых тп (V) не конструктивно.
По принципу минимума найдется многообразие V, такое, что тг; (V)
не конструктивно, но ki(W) конструктивно для любого W С V. По-
Покажите, как доказательство следствия 2 до равенства (9) дает воз-
возможность получить противоречие и тем самым доказать следствие.
11. В этом упражнении мы обобщим следствие 2 и докажем, что если
к алгебраически замкнуто, то тг((С) конструктивно для любого кон-
конструктивного подмножества С С к71.
(a) Сведите доказательство к случаю тг; (V — W), где V — неприводи-
неприводимое многообразие, a W — его собственное подмногообразие.
(b) Если V неприводимо, a Wi — замыкание Зарисского множества
тп(У), то из B) следует, что существует Z\ ^ Wi, такое, что W\ —
Z\ С 7Г|(У - W). Положим Vi = {х е V : щ(х) е Zi}. Докажите,
что Vi / V и что 7г,(У - W) = (Wi - Zx) U tt,(Vi - W).
(c) Примените принцип минимума и завершите доказательство (как
в упр. 10).
6
Роботика и автоматическое
доказательство геометрических
теорем
В этой главе мы рассмотрим два недавно возникших приложения
понятий и методов алгебраической геометрии. Прежде всего, в про-
продолжение нескольких примеров, приведенных в гл.1, мы разовьем
систематический подход, который позволяет использовать алгебра-
алгебраические многообразия для описания пространства возможных кон-
конфигураций механических соединений, таких, как «рука» робота.
Мы также применим этот подход для решения прямой и обратной
кинематических задач роботики для некоторых типов роботов.
Далее, алгоритмы, разработанные в предыдущих главах, мы
применим к изучению автоматического доказательства геометри-
геометрических теорем — тема, важная для специалистов в области искус-
искусственного интеллекта. Если предположения геометрической теоре-
теоремы могут быть представлены в виде полиномиальных уравнений от
декартовых координат точек евклидовой плоскости, то геометри-
геометрические утверждения, выводимые из этих предположений, предста-
представляются полиномами из идеала, порожденного предположениями.
§ 1. Геометрическое описание роботов
Прежде чем дать геометрическое описание пространства конфигу-
конфигураций робота, необходимо дать формальное (упрощенное) описание
компонент робота и их механических свойств. Нас не будет интере-
интересовать техническая сторона конструкции реальных роботов (напри-
(например, какие типы двигателей и механических соединений использу-
используются для реализации движения и управления движением). Други-
Другими словами, мы ограничимся рассмотрением идеальных «формаль-
«формальных» роботов. Однако и при таких ограничениях можно указать
типы задач, реально возникающих при описании и планировании
движения роботов.
Под роботом мы будем понимать конструкцию из жестких сег-
сегментов и сочленений разного типа. Для простоты мы будем рас-
рассматривать только те роботы, где сегменты соединены последова-
последовательно, как в человеческой руке. Один конец «руки» робота будет

340
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
обычно жестко закреплен. Другой конец, который мы будем назы-
называть кистью или эффектором, будет рассматриваться как конеч-
конечный сегмент робота. В реальных роботах «кисть» снабжается ме-
механизмами захвата или инструментами для выполнения некоторой ,
работы. Наша главная цель — описать пространство положений и
ориентации «кисти».
Так как сегменты робота жесткие, то возможные движения всей
конструкции определяются движениями в сочленениях. Мы будем
рассматривать сочленения двух типов (многие реальные роботы
именно из таких сочленений и сконструированы):
• плоские шарнирные соединения (шарниры) и
• призматические соединения.
Плоские шарниры позволяют «поворачивать» один сегмент от-
относительно другого. Мы будем предполагать, что оба сегмента ле-
лежат в одной плоскости и движения в шарнирном соединении не:
выводят их из этой плоскости. (Другими словами, ось вращения
перпендикулярна плоскости сегментов.)
шарнирное соединение
Призматическое соединение позволяет сегменту робота переме-
перемещаться (выдвигаться или вдвигаться) вдоль оси. На рисунке нижв,|
представлена схема призматического соединения двух сегментов,
находящихся в одной плоскости. Такое сочленение осуществляв
скользящее движение вдоль прямой на плоскости.
убранное
частично
выдвинутое
призматическое соединение
§ 1. Геометрическое описание роботов
341
Если робот содержит несколько сочленений, то мы будем пред-
предполагать (для простоты), что все они лежат в одной плоскости, оси
вращения перпендикулярны этой плоскости, а оси сдвига призмати-
призматических соединений лежат в плоскости сочленений. Таким образом,
все движения происходят в одной плоскости. Конечно, мы рассма-
рассматриваем весьма ограниченный класс роботов. Реальные роботы спо-
способны двигаться в трехмерном пространстве. Для этого использу-
используются другие типы и комбинации сочленений. Это шаровые шарни-
шарниры, позволяющие производить вращения относительно любой оси в
М3 и спиральные или винтовые соединения, позволяющие комбини-
комбинировать вращение и перемещение вдоль оси вращения в Е3. Можно
также связывать сегменты плоскими шарнирами с непараллельны-
непараллельными осями вращения. Пространство конфигураций в этих случаях
может быть описано теми же методами, которые мы здесь будем
рассматривать, но мы этим заниматься не будем. Наша цель —по-
—показать, как аффинные многообразия могут помочь при описании
движения робота, а не создать учебник практической роботики.
Плоские роботы представляют собой класс относительно простых,
но достаточно показательных примеров.
Пример 1. Рассмотрим руку плоского робота с тремя шарнирны-
шарнирными соединениями и одним призматическим соединением. Все дви-
движения происходят в плоскости листа бумаги.
сочленение 2
4-
сегмент 2
4-
сочленение 1 —И
сегмент 5
(кисть)
сочленение 4
(полностью
выдвинутое)
сегмент 4
Пронумеруем сегменты и сочленения робота, начиная с закреплен-
закрепленного конца и до кисти. Таким образом, сегмент 2 соединяет сочле-
сочленения 1 и 2 и т. д. Сочленение 4 является призматическим соедине-
соединением, и мы будем считать, что сегмент 4 имеет переменную длину,
которая зависит от состояния призматического соединения. Кисть
этого робота является пятым сегментом.
В общем случае состояние шарнирного соединения между сег-
сегментами j и г + 1 может быть описано величиной 9 угла поворота
(против часовой стрелки) от сегмента г к сегменту i + 1, т. е. мно-
множество состояний сочленения параметризуется окружностью S1

342
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
или интервалом [0,2тг] с отождествленными концами. (В некоторых
случаях шарнирное соединение может не допускать всех поворо-
поворотов; тогда множество состояний параметризуется подмножеством
окружности S1.)
Аналогично, состояние призматического соединения описывает-
описывается величиной выдвинутого сегмента или, как в примере 1, длиной
сегмента (т. е. расстоянием между концом соединения и предыду-
предыдущим сочленением). В любом случае пространство состояний приз-
призматического соединения параметризуется конечным интервалом ве-
вещественной оси.
Если состояния сочленений робота независимы, то полное про-
пространство состояний плоского робота с г шарнирными соединения-
соединениями и р призматическими соединение параметризуется декартовым
произведением
J = S1 х ... х 51 х h х •.. х Ip,
куда входит по одному сомножителю S1 на каждое шарнирное со-
соединение, a Ij задает состояние j-ro призматического соединения.
Мы будем называть J пространством сочленений робота.
Пространство возможных конфигураций кисти плоского робо- |
та может быть описано следующим образом. Зададим декартову I
систему координат на плоскости. Тогда положение кисти задается
точками (а, Ь) из некоторой области U С К2. Аналогично, ориента-
ориентация кисти задается единичным вектором, связанным с какой-либо
специфической ее частью. Другими словами, пространство ориен-
ориентации параметризуется векторами и из V = S1. Если, например,
кисть присоединена шарнирным соединением, то мы имеем следу-
следующую картину ее конфигурации:
точка (а, Ь)
определяет
положение
кисти
§ 1. Геометрическое описание роботов
343
единичный вектор и
определяет
ориентацию кисти
Множество С = U xV мы будем называть конфигурационным про* I
странством или операционным пространством кисти робота, лз
Так как сегменты робота жесткие, то, задав состояния сочленвя-|
ний, мы однозначно определим состояние кисти как в смысле по~|
ложения, так и в смысле ориентации. Таким образом, задано otQjJ!
бражение j
/: J—*C,
которое указывает, как по заданному набору состояний сочленений
определить конфигурацию кисти.
Две основные задачи, которые мы будем рассматривать, описы-
описываются в терминах отображения / : J —> С:
• (Прямая кинематическая задача) Можно ли дать явное описа-
описание или формулу для / в терминах состояний сочленений (ко-
(координат на J) и длин сегментов «руки» робота?
• (Обратная кинематическая задача) Для данного с 6 С можем ли
мы найти одно или все j ? J, такие, что f(j) = с?
В § 2 мы увидим, что прямая задача решается сравнительно
легко. Определение положения и ориентации кисти по состояни-
состояниям сочленений руки сводится к систематическому описанию от-
относительных положений сегментов по обе стороны от сочленения.
Таким образом, прямая задача представляет интерес только как
первый шаг к обратной задаче. Мы покажем, что отображение
/ : J —) С, задающее конфигурацию «кисти» как функцию состоя-
состояний сочленений, может быть записано как полиномиальное отобра-
отображение (см. § 1 гл. 5).
Обратная задача более трудна, так как наши явные формулы
будут нелинейными, если имеются шарнирные соединения. Таким
образом, чтобы решить уравнение
/О") = с, A)
нам понадобятся общие результаты о системах полиномиальных
уравнений.
Одним из свойств нелинейных систем уравнений является то,
что решений может быть несколько, даже если общее пространство
решений конечно. Мы увидим в § 3, что это так для руки плоско-
плоского робота с тремя и более шарнирными соединениями. На прак-
практике потенциальная неоднозначность решения системы A) иногда
весьма желательна. Пусть, например, робот работает в простран-
пространстве с преградами для движения в некоторых направлениях. Тогда
некоторые решения системы A) могут соответствовать физически
невозможным состояниям:

344
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Чтобы понять, можно ли получить определенное положение кисти,
возможно, будет необходимо найти все решения системы A) и вы-
выбрать из них то (или те), которое удовлетворяет имеющимся огра-
ограничениям.
Упражнения к § 1
1. Опишите пространство сочленений J и конфигурационное простран-
пространство С для плоского робота, изображенного на рисунке к примеру 1.
Для описания пространства С определите ограниченную область
[/ cR2, содержащую все возможные положения кисти. Указание:
описание области U должно учитывать длины сегментов.
2. Рассмотрим отображение / : J —> С для примера 1. Является ли /
иньектпивным отображением с геометрической точки зрения? Мо-
Можете ли вы найти два способа поместить кисть в заданное место с
заданной ориентацией? Можно ли это сделать более чем двумя спо-
способами?
В тексте параграфа рассматривались пространство сочленений J и
конфигурационное пространство С плоского робота. В следующих зада-
задачах мы рассмотрим, что можно сказать о J и С для роботов, способных
двигаться в трехмерном пространстве.
3. Как можно описать конфигурационное пространство трехмерного
робота? В частности, как описать возможные ориентации кисти?
4. Шаровой шарнир в точке В позволяет сегменту 2 на приведенном
ниже рисунке поворачиваться на любой угол вокруг любой оси в
R3, проходящей через В. (Замечание: движения в этом сочленении
аналогичны движениям джойстика в компьютерных играх.)
этот сегмент 2
свободно вращается
в трех измерениях
шаровой шарнир
(a) Математически опишите пространство возможных состояний со-
сочленения в этом случае. Указание: состояние сочленения опреде-
определяется вектором, направленным вдоль сегмента 2.
(b) Постройте взаимно однозначное соответствие между простран-
пространством состояний сочленения из п. (а) и единичной сферой
S2 С R3. Указание: это можно сделать с помощью сферических
координат ф,8 на сфере S2.
§ 2. Прямая кинематическая задача
345
5. Спиральное, или винтовое соединение в точке Н позволяет сегмен-
сегменту 2 на рисунке ниже выдвигаться из Н вдоль прямой L в направле-
направлении сегмента 1, вращаясь в то же время вокруг оси L.
сегмент 2
\
сегмент 1
спиральное, или винтовое соединение
Угол вращения в (измеренный от начального, «убранного» положе-
положения сегмента 2) равен I • а, где I G [0, тп] —длина выдвинутой части
сегмента 2, а а —заданная угловая константа. Дайте математическое
описание пространства состояний сочленения в этом случае.
6. Дайте математическое описание пространства сочленений J для
трехмерного робота с двумя шаровыми шарнирами и одним спираль-
спиральным соединением.
§ 2. Прямая кинематическая задача
В этом параграфе мы рассмотрим стандартный метод решения пря-
прямой кинематической задачи для руки данного робота. Как и в § 1,
мы будем иметь дело только с роботами в Е2, т. е. «кисть» не вы-
выходит за пределы плоскости. Другие случаи будут рассмотрены в
упражнениях.
У всех рассматриваемых роботов первый сегмент руки считает-
считается закрепленным. Другими словами, в начале сегмента 1 нет под-
подвижного сочленения. Учитывая это условие, мы будем использо-
использовать обычную прямоугольную систему координат на плоскости для
описания положения и ориентации «кисти». Начало системы коор-
координат будет помещено в сочленение 1, которое не меняет своего
положения (как и весь сегмент 1). Например:
у\
сочленение 1
сегмент 1
опора
Глобальная система координат (xi,

346
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Кроме глобальной системы координат (x\,yi) мы определим
локальные прямоугольные системы координат в каждом шарнир-
шарнирном соединении для описания относительного положения сегмен-
сегментов, сходящихся в этом сочленении. Естественно, эти системы ко-
координат меняются при изменении состояния руки.
В г-м шарнирном соединении мы зададим систему координат
(xi-\-i,yi+i) следующим образом. Начало системы помещаем в со-
сочленение г. За положительное направление оси Xj+i выбираем на-
направление (г + 1)-го сегмента (в текущем состоянии руки робота).
Положительное направление оси yi+\ выбираем так, чтобы система
координат была обычной правой прямоугольной системой. Обрати-
Обратите внимание, что для каждого г > 2 пара (li,0) — это (xi,yi)-коор-
(xi,yi)-координаты сочленения г, где ^ — длина г-го сегмента.
Наша первая задача — связать (zj+i, ?/г+1)-координаты некото-
некоторой точки с ее же (х^у^-координатами. Пусть 0* — это угол, от-
отсчитанный против часовой стрелки, между осью Xj и осью xi+i.
'+1
сочленение г — 1
Локальная система координат в г-м шарнирном соединении
Этот угол равен углу, определяющему состояние сочленения г, из
§ 1. Пусть точка q имеет в системе координат (xj+i , j/j+i) (см. рису-
рисунок выше) координаты (а»+1, &i+i); тогда для вычисления ее (zi,j/i)-
координат (a,i, bi) мы должны осуществить поворот на угол 9i (сов-
(совместить оси Xi и Xi+i), а потом параллельный перенос на вектор
(U,0) (совместить начала систем координат). В упражнениях мы
докажем, что поворот на угол 0* —это умножение на матрицу по-
поворота
i J
Легко проверить, что параллельный перенос —это сложение с век-
вектором (li,0). Таким образом, мы имеем следующее соотношение:
/cos 6i
\ sin 6i
- sin вЛ
COS 6i )
§ 2. Прямая кинематическая задача
347
Это преобразование координат удобно представлять с помощью
3 х 3-матрицы и трехкомпонентного вектора:
/аЛ /cos0; -sin#i /Л /аг+Л /а^+Л
[bi = sinfc cosfli 0 • bi+1 \=Ai-[ bi+1 . A)
\1/ V 0 0 1/ V 1 / V 1 /
Эта запись позволяет объединить поворот и параллельный перенос
в одну 3 х 3-матрицу Aj.
Пример 1. Рассмотрим руку плоского робота с тремя шарнирны-
шарнирными соединениями:
02 у
Кисть мы будем рассматривать как четвертый сегмент, соеди-
соединенный шарниром 3 с сегментом 3. Как и выше, через h обознача-
обозначается длина сегмента г. Имеем
(cos #i - sin вi 0\
sin 9\ cos #i 0 I ,
О 0 1/
так как начало системы координат (х2,уг) также находится в со-
сочленении 1. Мы можем найти матрицы А?, и Аз, как в формуле
A). Основное наблюдение состоит в том, что глобальные коорди-
координаты любой точки мы можем найти, зная ее координаты в сис-
системе A4,2/4) и последовательно вычисляя координаты в системах
(^3,2/3), B:2,2/2) и, наконец, (zi,j/i):
= Ai_A2Az
Тригонометрические формулы для суммы углов позволяют запи-
записать это уравнение в следующем виде:
/хЛ /cos@i+02+03) -sin@i+02+03) J3cos@i+02)+/2cos0i\ /хЛ
yi = sin^+fo+fo) cos@i+^2+03) bsin(^i+02)+bsin0i I t/4
V1/ V о о i /W

348 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Так как (а;4,2/4)-координаты кисти равны @,0) (кисть непосред-
непосредственно закреплена в сочленении 3), то (zi, ^-координаты кисти
могут быть получены при подстановке х4 = у4 = 0 в матричное
произведение:
'xi\ /l3 cos@i + 02) + h cos 0Л
= /3sin@i +02) + '2sin0i . B)
1/ V 1 /
Ориентация кисти определена, если мы знаем угол между осью
х4 и направлением кисти. Например, мы можем просто использо-
использовать направление оси х4 как ориентацию. Но мы знаем, что угол
между осью х\ и осью х4 равен 01+02+03, так что найти ориен-
ориентацию несложно.
Объединяя эти замечания об ориентации кисти и формулу B),
мы получаем явное описание отображения / : J -»С, определенного
в § 1. Конфигурация кисти как функция углов 0j равна
(l3 cos@i + 02) + h cos0A
*3Sin@1+02)+Z2Sin01 . C)
01+02+03 /
Аналогично может быть найдена функция / для любого количества
плоских шарнирных соединений. Детали см. в упр. 7.
Пример 2. В рамках этого подхода могут быть описаны и призма-
призматические соединения. Рассмотрим, например, руку плоского робота,
первые три сегмента и сочленения которой такие же, как у робота в
примере 1, но у которого есть дополнительное призматическое со-
соединение между сегментом 4 и кистью. Другими словами, сегмент
4 имеет переменную длину, а кисть будет сегментом 5.
длина I
длина Ц
Ось перемещения призматического соединения совпадает с наг
правлением сегмента 4. Этот робот может быть описан следующим1
образом. Три шарнирных соединения действуют так же, как в при-
примере 1, но призматическое соединение позволяет менять длину Ц
сегмента 4 от mi, когда сегмент вдвинут, до тпг, когда он полностью
§ 2. Прямая кинематическая задача
349
выдвинут. Рассуждая, как в примере 1, получаем, что положение
кисти можно найти, умножая матрицу А\А2А3 на координатный
вектор кисти в системе (а;4,2/4), т.е. на вектор (h,0). Таким обра-
образом, конфигурация кисти задается формулой
/Z4cos@i +02 +0з) + Z3cos@i +02) +/2cos0A
3@i,02,03,U)= M4sin@1+02 + 03) + Z3sin@1+02) + Z2sin0i . D)
\ 01+02+03 /
Как и выше, 12 и 13 — константы, но U € [mi,ro2]—это новая пе-
переменная. Ориентация кисти определяется углом 0i + 02 + 0з, как
в примере 1, потому что призматическое соединение не влияет на
ее направление.
Теперь мы рассмотрим, как формулы, подобные C) и D), могут
быть преобразованы в полиномиальные или рациональные пред-
представления для / и g (в соответствующих переменных). Шарнирные
соединения и призматические соединения требуют различного под-
подхода. Как преобразовать тригонометрические выражения в полино-
полиномиальные, мы знаем (см., например, упр. 8 к § 8 гл. 2). Хотя cos0
и sin 0 — трансцендентные функции, но они дают параметризацию
х — cos 0,
у = sin 0
единичной окружности — многообразия Y(x2 + у2 — 1). Таким обра-
образом, компоненты правой части равенства C), т.е. элементы матри-
матрицы АхА2А3 в последней формуле на с. 347, мы можем считать функ-
функциями от переменных Cj = cos0i,Sj = sin0j, на которые наложены
условия
с2 + s2 - 1 = 0, E)
г = 1,2,3. Обратите внимание, что многообразие в Е6, определен-
определенное этими тремя уравнениями, и есть реализация пространства со-
сочленений J для этого робота. С геометрической точки зрения это
многообразие — просто декартово произведение трех окружностей.
Из C) мы можем получить явное полиномиальное выражение
для положения кисти в переменных Ci,si,c2,S2,C3,s3. Имеем
COS@1 + в2) — COS 0i COS 02 - Sin 01 Sin 02 = CiC2 — S1S2.
Аналогично,
Sin@i + 02) = Sin 01 COS 02 + Sin 02 COS 01 = S1C2 + S2Ci.
Таким образом, (х1,?/1)-координаты кисти равны
(CiC2 -SiS2) +l2
+ s2c1)+Z2si/

350
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
В терминологии гл. 5 мы определили полиномиальное отображение
многообразия J = \(x\ +у2 -1, х\+у\ -1, х\ +у| -1) в М2. Обратите
внимание, что положение кисти не зависит от 63. Этот угол влияет
только на ее ориентацию.
Так как ориентация кисти зависит непосредственно от углов #j,
то невозможно представить ориентацию как полином от Cj = cos 9{
и Si = sin#i- Однако есть способ и ориентацию представить в поли-
полиномиальном виде. См. упр. 3.
Аналогично может быть получена полиномиальная форма в
(х1,2/1)-координатах отображения g из примера 2. Это
- s2s3) - si(c2s3 + C3S2)) + h(cic2 - S1S2) + hc
\ - S2S3) + Ci(c2S3 + C3S2)) + /з(в1С2 + S2Ci) + I2S1
Здесь J является подмножеством V x [mi,m2] многообразия I'xi,
где V = V{x\ + y2-l,x22 + yj- 1,xl + yj-1). Длина Ц в G) рас-
рассматривается как переменная; поэтому компоненты отображения
являются полиномами от U и Cj,Sj.
Второй способ преобразования формул C) и D) использует ра-
рациональную параметризацию окружности
l-t2
. .
X =
У =
t2'
2t
(8)
t2
(см. § 3 гл. 1). Следует отметить, что в терминах тригонометриче-
тригонометрической параметризации t = tg@/2). Эта параметризация позволяет
выразить отображение C) как рациональную функцию от трех пе-
переменных U = tg(#i/2). Мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения вывод явной формы отображения / : J —» С для примера 1
в этих переменных. В терминологии гл. 5 многообразие J для ро-
робота из примера 1 бирационально эквивалентно Е3. Рациональная
параметризация р : К3 -» J конструируется с помощью трех экзем-
экземпляров параметризации (8). Таким образом, мы получили рацио-
рациональное отображение К3 ->12, которое представляет координаты
кисти робота как функции от ti,t2,t3 и которое является компо-
композицией р с отображением / в форме F). Оба эти представления
имеютсвои преимущества и недостатки. Для робота из примера 1
явное преимущество рационального представления с помощью (8)
состоит в том, что используются только три переменные *i,<2,*з
вместо шести ci}Si,i = 1,2,3 (см. упр. 3). Кроме того, нам не нуж-^
ны условия E). Однако если 0,- близко к 7г, то соответствующее
ti очень велико, и, кроме того, значение 9i = 7r не параметризова-
параметризовано. Другими словами, описываются не все возможные положения
§ 2. Прямая кинематическая задача
351
кисти в образе /. Разумеется, если робот сконструирован так, что
сегмент г + 1 не может совмещаться с сегментом г, то этой пробле-
проблемы не возникает (в этом случае 0, не может принимать значение
тг). Полиномиальная форма F) не столь удобна в работе, но так
как она основана на тригонометрической параметризации единич-
единичной окружности, то недостатки рационального представления здесь
не возникают. Эта форма более удобна при работе с шарнирными
соединениями, допускающими свободные повороты на любой угол.
Упражнения к § 2
1. Рассмотрим плоскость К2 с обычной ортогональной системой коорди-
координат (xi,yi). Пусть система координат (х2,2/г) является результатом
поворота системы {х\, t/i) на угол в против часовой стрелки относи-
относительно начала координат. Предположим, что точка q имеет коорди-
координаты (oi,bi) в системе (xi, t/i) и координаты @2,62) в системе (хг, t/г).
Докажите, что
/оЛ _ fcos9 -sinfl^
\bi) ~ ^sinfl cos 6» J ' \b2
Для доказательства перейдите от (xi,2/1)-координат точки q к по-
полярным:
q = @1,61) = (г cos а, г sin a).
(a) Докажите, что
q = @2,62) = ()-cos(a-i-0),rsin(a + 0)).
(b) Теперь используйте тригонометрические тождества для вывода
доказываемой формулы.
2. В примерах 1 и 2 мы использовали 3 х 3-матрицу А для представ-
представления преобразования координат при переходе от одной локальной
системы к другой. Эти преобразования включали повороты и парал-
параллельные переносы. Такие преобразования называются аффинными
преобразованиями.
(а) Докажите, что любое аффинное преобразование плоскости
х' = ох + by + e,
у' = cx + dy + f
может быть представлено в том же виде:
(Ь) Найдите аналогичное представление для аффинных преобразо-
преобразований в R3 с использованием 4 х 4-матриц.
3. В этом упражнении мы снова рассмотрим задачу об ориентации ки-
кисти робота из примеров 1 и 2. А именно, пусть a = в\ + 02 + #з — угол,
задающий ориентацию кисти в системе (xi,yi).

352
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
(a) Используя тригонометрические формулы, докажите, что пере-
переменные
с = cos a, s = sin а
являются полиномами от с,- = cos ft и s; = sin ft. Таким образом,
мы можем представить отображение / в полиномиальной форме
за счет введения еще одной координатной функции в С.
(b) Найдите рациональное представление для сиз, используя фор-
формулы (8).
4. Пусть плоский робот имеет шарнирное соединение 1, сегмент 2 дли-
длины /г, призматическое соединение 2 с состоянием /з € [0, тпз] и шар-
шарнирное соединение 3 с сегментом 4 — кистью робота.
(a) Что представляют собой пространство сочленений J и конфигу-
конфигурационное пространство С в этом случае?
(b) Используя методы примеров 1 и 2, постройте явную формулу
для отображения /: J —> С в тригонометрической форме.
(c) Преобразуйте / к полиномиальному виду, используя удобные но-
новые координаты.
5. Преобразуйте формулы отображений / и g в примерах 1 и 2 соответ-
соответственно к рациональному виду, используя параметризацию (8) для
каждого шарнирного соединения. Покажите, что в обоих случаях и
положение кисти, и ее ориентация задаются рациональными функ-
функциями на К" (значение п в этих двух примерах различно).
6. Формулу для отображения / из упр. 4 преобразуйте к рациональ-
рациональному виду, используя параметризацию (8) для каждого шарнирного
соединения.
7. Пусть дан плоский робот с закрепленным сегментом 1 (как и во всех
примерах этого параграфа) исп шарнирными соединениями, свя-
связывающими сегменты с длинами h, ¦ ¦ ¦, In ¦ Кисть — сегмент п + 1 —
связана с сегментом п шарнирным соединением п.
(a) Что представляют собой пространство сочленений и конфигура-
конфигурационное пространство в этом случае?
(b) Докажите, что отображение / : J —> С в этом случае имеет вид
/(ft,..., ft,) =
У1"
2
=1 '«+1;
ft
Указание: индукция по п.
Еще одним типом трехмерного соединения является «круг» или i
плоское шарнирное соединение, которое дает возможность сегменту *
вращаться в плоскости, перпендикулярной предыдущему сегменту.
В этом упражнении мы рассмотрим прямую кинематическую задачу!
для трехмерного робота, содержащего два «круговых» сочленения.|
Как обычно, первый сегмент считается закрепленным. Глобальнее|
система координат (xi,yi,zi) выбрана так, что ее начало нахо,п
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 353
в первом сочленении, а сегмент 1 лежит на оси z\. Вращение в сочле-
сочленении 1 — это вращение вокруг оси z\ в плоскости (xi,yi). Сегмент
2 имеет длину 1%, а сочленение 2 — это второй «круг», соединяющий
сегмент 2 с сегментом 3. Ось вращения сочленения 2 направлена по
сегменту 2, так что сегмент 3 вращается в плоскости, перпендику-
перпендикулярной сегменту 2.
(a) Постройте локальную прямоугольную правую систему коорди-
координат (хг, J/2,2г) с началом в сочленении 1, ось хг которой направ-
направлена вдоль сегмента 2, а ось уг лежит в плоскости {х\,у\). Най-
Найдите явные формулы, выражающие (х\, у\, z\)-координаты неко-
некоторой точки через ее (х2,?/2, ^-координаты и угол поворота ft.
(b) Представьте ваши формулы в матричном виде, используя 4x4-
матрицы аффинных преобразований из п. (Ь) упр. 2.
(c) Теперь постройте локальную прямоугольную систему координат
(яз, Уз, ^з) с началом в сочленении 2, ось хз которой направлена
вдоль сегмента 3, а ось 2з — вдоль сегмента 2. Найдите явные
формулы, выражающие (я2,2/2,22)-координаты некоторой точки
через ее (хз, уз, гз)-координаты и угол поворота ft>.
(d) Представьте формулы из п. (с) в матричном виде.
(e) Найдите матрицу преобразования от (хз, уз, гз)-координат точки
к ее (xi,2/1,2х)-координатам. Указание: для этого надо перемно-
перемножить матрицы из пп. (Ь) и (d).
9. Рассмотрим робот из упражнения 8.
(a) Используя формулы из п. (с) упр. 8, найдите явную формулу
отображения / : J —> С.
(b) Опишите положение кисти полиномиальной функцией от пере-
переменных с, = cos ft и Si = sin ft.
(c) Ориентация кисти (т. е. конца сегмента 3) задается единич-
единичным вектором, направленным вдоль сегмента 3 в координатах
(xi,yi, 2i). Опишите этот вектор.
§ 3. Обратная кинематическая задача
и планирование движения
В этом параграфе мы продолжим рассмотрение кинематических
задач, сформулированных в § 1. Сначала мы рассмотрим обрат-
обратную кинематическую задачу для плоского робота из примера 1 § 2.
Для заданной точки [х\, у\) = (а, Ь) 6 Е2 и некоторой ориентации
мы хотим определить, можно ли поместить кисть робота в эту точ-
точку с заданной ориентацией. Если да, то мы хотим определить все
состояния сочленений, при которых это осуществляется. Другими
словами, мы хотим найти образ отображения / : J —» С и для каж-
каждой точки с из этого образа найти ее прообраз f~1(c).
Легко видеть, что если 1$ = h = I, то кисть робота может быть
помещена в любую точку замкнутого круга радиуса 21 с центром в
сочленении 1 —начале координат системы (xi,y\). Если же h Ф h,

354 Гл. 6. Роботика. и доказательство геометрических теорем
то возможные положения кисти принадлежат замкнутому кольцу
с центром в сочленении 1 (см. упр. 14 к § 2 гл. 1). Мы докажем это,
используя решение прямой кинематической задачи в форме F) из
§ 2. Кроме того, мы выведем явные формулы для состояний со-
сочленений, которые обеспечивают заданное положение кисти. Такие
формулы можно использовать в управляющих программах робота.
В нашем случае задача управления ориентацией кисти решается
легко. Так как состояния сочленений независимы друг от друга, то
ориентацию кисти a = в\ + в2 + в3 мы можем получить, положив
0з = a - @1 + 02).
Чтобы упростить проблему, в дальнейшем рассмотрении обрат-
обратной задачи ориентацию кисти мы будем игнорировать. Мы будем
изучать только ее положение, которое является функцией лишь
углов 0! и 02. Из формулы F) § 2 получаем, что все возможные
способы поместить кисть в заданную точку (ii,j/i) = (a,b) описы-
описываются следующей полиномиальной системой:
a =
+c2si)
s2-l,
(i)
Чтобы решить эту систему, найдем базис Грёбнера, используя lex-
упорядочение с
с2 > s2 > Ci > si.
Получаем
а2 + Ь2 - I2- I2
21
: +
al3
-si -
b a +
Cl + _Sl ^
a 2al2
2 a2b + b3 + b{l\ - I2)
Sl "• 1 ,¦> ,ox Sl
a2b + b3 + b(l2-l2)
2al2l3
B)
1 ' ; I 1
«2 (О ¦+• О")
{а2 + Ь2J + (I2 - I2J - 2а\12 + I2) + 2Ъ2{12 - I2)
4lj(a2 + Ъ2)
В алгебраических терминах это редуцированный базис
Грёбнера идеала I, порожденного полиномами A) в кольце
№(a,b,l2,l3)[si,Ci,s2,c2], где знаменатели содержат только пара-
параметры а, Ь,/2,'з-
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 355
Здесь мы впервые вычислили базис Грёбнера над полем раци-
рациональных функций, и интерпретировать формулы B) надо с осто-
осторожностью. Работа над R(a, b, l2, /3) означает, что a, b, 12,13 рассма-
рассматриваются как абстрактные переменные над R, в частности, они
считаются алгебраически независимыми (т.е. если p(a,b,l2,h) = О,
где р — полином с вещественными коэффициентами, то р — нулевой
полином). Но в нашей задаче a, b, l2, h ~~заданные вещественные
числа. Когда мы делаем подстановку в A), заменяя параметры их
конкретными значениями, то получаем идеал / с №[ci,si,c2,s2],
соответствующий данному положению кисти руки робота с данны-
данными длинами сегментов. Теперь возникает вопрос, остается ли B)
базисом Грёбнера 7? В общем случае замена переменных их кон-
конкретными значениями из поля называется специализацией, так что
вопрос можно сформулировать так: как ведет себя базис Грёбнера
при специализации?
Отметим, во-первых, что трудности могут возникать, если при
специализации знаменатели в B) обращаются в нуль. При специа-
специализации обычно никаких трудностей не возникает для большинства
(но не для всех!) значений переменных. В упражнениях будет дока-
доказано, что существует собственное подмногообразие W С М4, такое,
что B) остается базисом Грёбнера идеала / при специализации,
если (а,Ь,12,13) ? М4 — W. Мы также покажем, что существует ал-
алгоритм определения W. Следует отметить, что в общем случае не
только обращение знаменателей в нуль может вызвать трудности
(примеры будут разобраны в упражнениях). К счастью, в нашей
задаче W определяется только обращением в нуль знаменателей.
Это означает, что если 12 ф 0,/3 ф 0, а ф 0 и а2 + Ь2 ф 0, то B)
является базисом Грёбнера идеала A). Подробнее этот факт будет
доказан в упр. 9.
Пусть задана некоторая «хорошая» специализация. Старшие
члены элементов базиса Грёбнера B) таковы, что, во-первых, любой
корень Si последнего полинома однозначно продолжается до полно-
полного решения системы. Во-вторых, множество решений системы A)
конечно при таком выборе а,Ь,12,13. В самом деле, последний по-
полином в B) имеет вторую степень по s\; следовательно, он может
иметь не более двух различных корней. Осталось понять, при каких
значениях параметров соответствующие решения s\ вещественны
(только вещественные решения имеют смысл при описании геоме-
геометрии робота).
Чтобы упростить формулы, рассмотрим специализацию 12 —
13 = 1. В упр. 1 будет показано, что и подстановка 12 — 13 = 1 в
B), и подстановка 12 — 13 = 1 в A) с последующим вычислением ба-

356 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
зиса Грёбнера в Ш(а,b)[si,ci,s2,c2] дают один и тот же результат:
а2 + Ъ2 - 2
С2
-si -
2а
C)
6
+ -Si
а
2а
Ь2J - 4а2
01 т а2 + b2 L ' 4(а2 + Ъ2) '
Другие выборы значений для 12 и /з будут рассмотрены в упр. 4. j
(Хотя B) остается базисом Грёбнера для всех ненулевых значений
12 и /з> геометрия робота меняется радикально, если Z2 т^ 'з-)
Как уже упоминалось выше, C) является базисом Грёбнера для ¦]
всех значений а и Ь, если а ^ 0 и о2 + i2 ^ 0. Другими словами,
положение кисти в @, Ь) или в @,0) обладает какими-то особыми
свойствами. Рассмотрим сначала общий случай а ф 0. Тогда и а2 +
Ь2 ф 0 (так как а, Ъ ? М). Решая последнее уравнение в C), получаем
2s/о2 + Ь2
Корни вещественны в том и только том случае, когда 0 < а2 +
Ь2 < 4, причем, когда а2 + Ь2 =4, мы имеем двойной корень. С
геометрической точки зрения этот результат очевиден. Расстояние
от сочленения 1 до сочленения 3 не превышает 12 + 13 = 2, причем
это расстояние равно 2, только когда 92 = 0, т. е. когда сегменты 2
и 3 направлены в одну сторону.
По данному s\ остальные переменные с\, s2, c2 определяются од-
однозначно с помощью других элементов базиса Грёбнера (при а ф 0).
(В действительности значение с2 не зависит от si —см. упр. 2.) Так
как полиномы с\ + s\ - 1 и с\ + s\ — 1 принадлежат идеалу, порож-
порожденному полиномами C), то полученное нами решение si,ci,s2,C2
однозначно определяет углы в\ и 62. Таким образом, случай а ф 0
сравнительно прост.
Перейдем к случаю а = b = 0. Геометрически это означает, что
сочленение 3 расположено в начале координат системы {xi,y\) —
в той же точке, где сочленение 1. Это тот случай, когда специа-
специализация B) некорректна — последний полином в B) не определен.
Причину этого нетрудно понять с геометрической точки зрения. В
действительности существует бесконечно много способов поместить
сочленение 3 в начало координат, когда h = l2: угол 6\ может быть
выбран произвольно, а положив в2 = ж, мы совмещаем сегмент 3
с сегментом 2, помещая сочленение 3 в @,0). Только так можно
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 357
поместить кисть в точку (а, Ъ) = @,0). В упр. 3 тот же результат
будет получен другими методами.
Наконец, выясним, что происходит, когда а = 0, Ъ ф 0. Геомет-
Геометрические соображения не позволяют увидеть что-либо особенное в
этом положении кисти. В самом деле, этот случай сводится к об-
общему поворотом, который делает первую координату отличной от
нуля. Тем не менее алгебраическая проблема остается, так как зна-
знаменатели в B) обращаются в нуль при а = 0. Специализация B) в
этом случае некорректна. Нам ничего не остается, как подставить
а = 0(и/2 = /з = 1)вA)и вычислить базис Грёбнера заново. Имеем
Ь2-2
С2 7Г-,
s2 -
2
с, +
Ь2-А
D)
«1-2-
Обратите внимание, что форма базиса Грёбнера изменилась при
этой специализации: уравнение, определяющее si, теперь имеет сте-
степень 1, а уравнение для ci—степень 2. Таким образом, есть два
вещественных значения сь если |Ь| < 2, и одно, если |Ь| = 2. Как и
в случае а ф 0, мы имеем не более двух различных решений систе-
системы, причем решения совпадают, если точка находится на границе
круга радиуса 2. В упр. 2 будет проанализирован геометрический
смысл условия а = 0 и будет объяснено, почему si имеет только
одно значение.
Это завершает анализ поведения руки робота. Подведем итоги.
Пусть задана точка (а, Ь) в системе координат (ii,j/i). Тогда поме-
поместить сочленение 3 в эту точку
• можно бесконечным количеством способов, если а2 + Ь2 = 0,
• можно двумя способами, если 0 < а2 + Ь2 < 4,
• можно одним способом, если а2 + Ь2 = 4,
• нельзя, если а2 + Ь2 > 4.
Случаи а2 + Ь2 = 0,4 (но не специальный случай а — О,ЬфО) явля-
являются примерами того, что называется кинематическими особен-
особенностями робота. Мы дадим точное определение этого понятия и
обсудим его смысл ниже.
В упражнениях мы рассмотрим робот с тремя шарнирными
соединениями и одним призматическим соединением (см. пример
2 из § 2). В этом случае на ориентацию кисти наложено больше
ограничений. Например, если Ц 6 [0,1], то кисть может быть по-
помещена в любую точку замкнутого круга радиуса 3 с центром в

358
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
(zi,2/i) = @,0). Но на границе этого круга ориентация кисти опре-
определена однозначно.
Прежде чем продолжить изучение роботики, сделаем несколь-
несколько замечаний о специализации. В примере, рассмотренном выше,
мы предполагали, что можем вычислять базис Грёбнера над полем
функций. Однако не все компьютерные системы могут проводить
такие вычисления — некоторые из них не работают с коэффициен-
коэффициентами из поля функций. Стандартный метод справиться с этой труд-
трудностью рассмотрен в упр. 10. Другой вопрос — как найти «плохие»
специализации. Этот вопрос рассмотрен в упр. 8. Наконец, следует
упомянуть, что существует особый класс базисов Грёбнера, назы-
называемых исчерпывающими базисами Грёбнера. Эти базисы остаются
базисами Грёбнера при любой специализации. Этот класс базисов
рассмотрен в приложении в книге Becker, Weispfenning A993).
Мы закончим обсуждение геометрии роботов рассмотрением ки-
кинематических особенностей и тех проблем, которые они создают
при планировании движения. При этом мы будем использовать ап-
аппарат математического анализа функций нескольких переменных.
Пусть / : i/ —>• С — отображение, описывающее конфигурацию
кисти как функцию состояния сочленений. В той явной параме-
параметризации пространства J, которая использовалась ранее, каждая
компонента отображения / является дифференцируемой функцией
переменных 0,. Например, для робота с тремя шарнирными сочле-
сочленениями это очевидно:
(h cos @i + 02) + /2 cos 0i \
/3sin@1+02)+/2sin01 . E)
01+02+03 /
Следовательно, мы можем найти матрицу Якоби (т. е. матрицу
частных производных) отображения / по отношению к перемен-
переменным 01,02,0з- Пусть fi есть г-я компонента отображения /. Тогда
матрица Якоби — это
дв\ д&2 д@з
ш ш ш
Э/з Э/з Э/з
дв\ дв2 д'
Например, для отображения / из E) имеем
/-Z3sin@1+02)-/2sin01 -Z3sin@1+02) 0\
.7/@1,02,0з)= Z3COS@1 +02) + /2COS0X Z3COS@!+02) 0 1. F)
Из функциональной матрицы J/ мы можем получить числовую,
подставляя значения переменных j = @Ь 02,03). Через Jf(j) мы бу-
3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 359
дем обозначать полученную таким образом числовую матрицу. Она
играет важную роль в анализе. Самым важным свойством матрицы
Jf(j) является то, что она задает линейное отображение, которое
является наилучшим линейным приближением отображения / в
точке j ? 3 ¦ Это означает, что в малой окрестности значения j
отображение / и линейное отображение Jf(j) ведут себя примерно
одинаково. Другими словами, Jf(j) представляет собой производ-
производную отображения / в точке j € J.
Прежде чем рассматривать кинематические особенности, опре-
определим (на интуитивном уровне) размерности пространства сочле-
сочленений J и конфигурационного пространства С. Они будут обозна-
обозначаться dim(J) и dim(C) соответственно. Под размерностью про-
пространства J, например, мы будем понимать количество независи-
независимых «степеней свободы» при задании состояния сочленений. Каж-
Каждое плоское соединение (шарнирное или призматическое) добавля-
добавляет одну размерность в dim(l7). Таким образом, пространство сочле-
сочленений плоского робота с тремя шарнирными соединениями имеет
размерность 3. Аналогично, dim(C) — это количество независимых
степеней свободы при определении конфигурации (положения и
ориентации) кисти. Для нашего плоского робота эта размерность
также равна 3.
Пусть дан робот, у которого dim(J') = т и dim(C) = п. Тогда
якобиан отображения / является п х m-функциональной матри-
матрицей. Если мы рассмотрим значение этой матрицы в точке j e J, то
получим линейное отображение Jf(j) : Mm -* К™, которое наилуч-
наилучшим образом приближает / в окрестности точки j. Важным инва-
инвариантом матрицы является ее ранг, который равен максимальному
числу ее линейно независимых строк (или столбцов). В упражнени-
упражнениях будут рассмотрены некоторые свойства ранга. Так как Jf(j) —
это п х m-матрица, то ее ранг не больше, чем min(m, n). Рассмот-
Рассмотрим плоский робот с тремя шарнирными соединениями, у которого
U = 13 = 1. Пусть j = @,7г/2,7г/3); тогда из F) следует, что
Эта матрица имеет ранг 3 (максимально возможный в этом случае).
Мы говорим, что Jf{j) имеет максимальный ранг, если ее ранг
равен min(m,n) (максимальное возможное значение). В противном
случае Jf(j) называется матрицей неполного ранга. Если матри-
матрица имеет неполный ранг, то ее ядро больше, а образ меньше, чем
можно было бы ожидать (см. упр. 14). Так как Jf(j) является при-
приближением для /, то неполнота ранга матрицы Jf{j) указывает на

360
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
особое, или «сингулярное», поведение отображения / в окрестности
точки j. Теперь дадим определение.
Определение 1. Точка j б J называется кинематической осо-
особенностью робота, если ранг матрицы Jf(j) строго меньше, чем
min(dim(J),dim(C)).
Например, кинематические особенности робота с тремя шарнир-
шарнирными соединениями — это те точки, в которых матрица F) имеет
ранг < 2. Для квадратной п х n-матрицы неполнота ранга означает,
что ее определитель равен нулю. Имеем
0 = det(Jf) = sin@i
= sin 02
02) cos 0i - cos@i + 02)
в том и только том случае, когда 02 = 0, тт. Случай 02 = 0 — это со-
состояние, когда сегмент 3 направлен в ту же сторону, что и сегмент 2.
Случай 02 = 7г —это состояние, когда сегмент 3 накладывается на
сегмент 2. Это как раз те два случая, рассмотренные ранее, когда
количество состояний пространства сочленений, отвечающих дан-
данной конфигурации для кисти, не равно двум.
Робот с тремя и более шарнирными соединениями обязательно'
имеет кинематические особенности.
Предложение 2. Пусть f : J -ь С —конфигурационное отобра-
отображение для плоского робота с п > 3 шарнирными соединениями.
Тогда робот имеет кинематические особенности j б J.
Доказательство. В упр. 7 к § 2 отображение / было явно опре-
определено формулой
!,... А) =
cos
Следовательно, его матрица Якоби — это 3 х n-матрица вида
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 361
Так как п > 3, то кинематической особенностью является точка, в
которой ранг якобиана Jf не превосходит 2. Пусть в точке j 6 J
все Qi — это 0 или ж. Тогда каждый элемент первой строки матрицы
Jf(j) равен нулю. Следовательно, в этой точке ранг матрицы Jf не
превышает двух.
Описание возможных движений робота, подобное тому, что мы
дали выше, используется для планирования его движений, необхо-
необходимых для выполнения поставленных перед ним задач. Методы,
использованные нами, применимы (хотя бы теоретически) для соз-
создания программ автоматического управления роботом. Назначение
таких программ — «проинструктировать» робота, какие изменения
нужно сделать в состоянии сочленений, чтобы переместить кисть
из одного положения в другое. Здесь возникают две основные про-
проблемы: первая —найти параметризованный путь c(t) 6 С от на-
начальной точки в конфигурационном пространстве до требуемого
положения, вторая —найти соответствующий путь j(t) ? J, такой,
что f(j(t)) = c(t) для всех t. Кроме того, мы можем вводить допол-
дополнительные условия типа указанных ниже.
(i) Если путь c(t) в конфигурационном пространстве замкнут (т. е.
начальная и конечная конфигурации совпадают), то можно по-
потребовать, чтобы путь j(t) тоже был замкнут. Это требование
важно для роботов, выполняющих повторяющиеся операции
(например, сварку деталей автомобиля). Если путь в простран-
пространстве сочленений замкнут, то состояние сочленений возобновля-
возобновляется, и робот может просто повторить выполнение задания.
(п) Для реального робота необходимо ограничить скорости дви-
движения сочленений. Слишком быстрые (или резкие) движения
могут испортить механизм.
(iii) Суммарное движение желательно минимизировать.
Кинематические особенности играют важную роль в планирова-
планировании движения. Посмотрим, где могут возникать осложнения. Пусть
путь c(t) в конфигурационном пространстве таков, что соответству-
соответствующий путь j(t) в пространстве сочленений проходит вблизи или
через особенность. Имеем
c'(t) = Jf(j(t))-j'(t). G)
Мы можем интерпретировать c'(t) как скорость движения по пути
е конфигурационном пространстве, &j'(t) —как соответствующую
скорость движения в пространстве сочленений. Если в момент
*о путь в пространстве сочленений проходит через особенность, то
уравнение G) может не иметь решения j'(to) (потому что матрица
Jf(j{to)) имеет неполный ранг). Это означает, что может не суще-
существовать гладкого пути j(t), который соответствовал бы пути c(t) в

362
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
конфигурационном пространстве. Рассмотрим, например, кинема-
кинематическую особенность с #2 = т плоского робота с тремя шарнир-
шарнирными соединениями. Если в\ = О, то сегменты 2 и 3 направлены
ВДОЛЬ ОСИ Х\\
0i = cN
сегмент 3 р—"Ч Возможно ли
щ 1г..1-№....п...ш|.я;;.-..1.у../^- i -2-~-- движение кисти
сегмент 2
сегмент 1
в направлении оси х\'.
Кинематическая особенность
/°
= 0
VI
0
-1
1
0
0
1
Если направления сегментов 2 и 3 противоположны, как на рисунке, 1
то кисть не может двигаться в направлении оси х\. Точнее, пусть!
путь в конфигурационном пространстве таков, что с1 {to) — вектор в|
направлении оси х\. Используя формулу F), преобразуем G) к виду!
¦j'(t0).
Так как первая строка матрицы Jf{j(t0)) состоит из одних нулей,!
то это уравнение не может быть разрешено относительно !
если zi-компонента вектора c'(to) не равна нулю. Другими словами,!
в пространстве сочленений нет гладкого пути, соответствующего!
пути c(t). Это типичный пример того, какие трудности здесь могут|
возникать.
Если ,? (to) находится вблизи особенности, трудности все равно!
остаются, потому что Jf(j(to)) мало отличается от матрицы непол-|
ного ранга. Численная техника линейной алгебры показывает, 41
если матрица Jf{j{to)) близка к матрице неполного ранга, то очев
большая скорость в пространстве сочленений соответствует мало
скорости в конфигурационном пространстве. В качестве пример
опять рассмотрим плоский робот с тремя шарнирными соединен
ями и с #2 = тт. Как показывает рисунок, перемещение из положек
А в положение В (обе эти точки находятся вблизи начала коорд»*|
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 363
нат) требует большого изменения угла в\, хотя кисть перемещается
на короткое расстояние.
Вблизи кинематической особенности
Чтобы избежать этих нежелательных ситуаций, мы должны ак-
аккуратно задавать путь c(t) в конфигурационном пространстве. Ме-
Методы определения таких «правильных» путей активно изучаются
в настоящее время. К сожалению, эта область исследований на-
находится за пределами нашей книги. Если читатель хочет ознако-
ознакомиться с этой областью подробнее, он может обратиться к кни-
книге Paul A981)— стандартному введению в роботику. В обзоре
Buchberger A985) рассматриваются возможности применения
базисов Грёбнера для решения обратной кинематической задачи.
Несложное введение в недавние исследования обратной кинемати-
кинематической задачи и управления движением, содержащее ссылки на
оригинальные работы, имеется в книге Baillieul et al. A990).
Упражнения к § 3
1. Рассмотрим специализацию базиса Грёбнера B) к случаю Ь = h — 1-
(a) Подставьте 2г = 2з = 1 непосредственно в B) и упростите.
(b) Положите Ь = Ь = 1 в A) и вычислите базис Грёбнера «специали-
«специализированного» идеала, порожденного полиномами из A), опять-
таки используя lex-упорядочение с сг > зг > ci > si. Сравните
результаты пп. (а) и (Ь). Они должны совпасть.
2. В этом упражнении будет рассмотрена геометрия плоского робота с
тремя шарнирными соединениями и длинами сегментов Ь = h = 1-
(а) Постройте рисунок, демонстрирующий два решения обратной
кинематической задачи при о ф 0, о2 + Ь2 ф 4. Почему в этом
случае сг не зависит от si? Указание: какой четырехугольник
образуют сегменты робота для двух возможных состояний с по-
положением кисти в точке (о,Ь)? Как связаны два соответствую-
соответствующих значения #2?

364
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
(Ь) С помощью рисунка или другим способом объясните геометри-
геометрический смысл двух решений системы D) в случае о = 0. В част-
частности, объясните, почему si должно иметь только одно значение.
Указание: как связаны два значения 9i на вашем рисунке?
3. Рассмотрим робот с h = h = 1- Положим о = Ь = 0 в A) и вычислим
базис Грёбнера соответствующего идеала. Отличается ли этот базис
от базисов C) и D)? Как это отличие объясняет свойства кинемати-
кинематической особенности в @,0)?
4. В этом упражнении будет рассмотрена геометрия того же робота при
h ф h.
(a) Положим h = 1, /3 = 2. Решите систему B) относительно а\, с\, si,
С2- Объясните геометрический смысл решения, выявите и интер-
интерпретируйте все специальные случаи. Чем этот случай отличается
от случая Ь = h = 1, разобранного в тексте параграфа?
(b) Проведите аналогичное исследование случая h = 2, /3 = 1-
Мы уже убедились на примерах, что вид базиса Грёбнера некоторого
идеала может измениться при специализации параметров. В упр. 5-9
мы рассмотрим еще ряд примеров и докажем некоторые утверждения о
специализации базисов Грёбнера.
5. Рассмотрим на примере, как знаменатели элементов базиса Грёбнера
могут создавать трудности при специализации. Пусть I = (/,<?), где
/ = х2 -у,д = (у - tx)(y - t) = -txy + t2x + y2 -ty, a t — параметр.
Мы будем использовать lex-упорядочение с х > у.
(a) Найдите редуцированный базис Грёбнера для I в R(t)[x, у]. Что
из себя представляют знаменатели элементов базиса?
(b) Положим ? = 0в/ири вычислим базис Грёбнера заново. Чем
это базис отличается от базиса из п. (а)? Что получится, если мы
освободимся от знаменателей в базисе из (а) и положим t — 0?
(c) Как многообразие VG) С R2 зависит от выбора t б R? Является
ли случай t = 0 особым с геометрической точки зрения?
(d) Первый шаг алгоритма Бухбергера для нахождения базиса Грёб-
Грёбнера состоит в вычислении S-полинома S(f,g). Вычислите этот
полином вручную в R(t)[x, у]. Обратите внимание, что отличия
случая t = 0 проявляются уже на этом шаге.
6. В этом упражнении мы рассмотрим более тонкий пример того, какие
неприятности могут происходить при специализации. Пусть I = {х +
ty,x +y) С Щг)[х,у], где t — параметр. Мы будем использовать lex-
упорядочение с х > у.
(a) Докажите, что {х,у} является редуцированным базисом Грёб-
Грёбнера идеала /. Обратите внимание, что ни исходный базис, ни
базис Грёбнера не имеют знаменателей.
(b) Положим t — \. Докажите, что {х+у} является базисом Грёбнера
специализированного идеала / С Щх, у].
(c) Чтобы увидеть, почему значение t = 1 является особым, выра-
выразите элементы базиса Грёбнера {х, у} через элементы исходного
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 365
базиса {х + ty,x + у}. Какие знаменатели появились? В следу-
следующем упражнении мы объясним в общем случае, что при этом
происходит.
7. В этом упражнении мы выведем условия, при которых вид базиса
Грёбнера не меняется при специализации. Рассмотрим идеал
в k(ti,...,tm)[xi,...,xn] и зафиксируем некоторое мономиальное
упорядочение. Мы будем считать ti,...,tm параметрами из коэф-
коэффициентов полиномов /i,...,/». Поделим каждый ft на его стар-
старший коэффициент (принадлежащий полю k(ti,... ,tm)) и будем счи-
считать все старшие коэффициенты полиномов /i равными 1. Пусть
теперь {(?i,..., gt) — редуцированный базис Грёбнера идеала I, т. е.
старшие коэффициенты полиномов р< также равны 1. Пусть, нако-
наконец, (<i,..., tm) 1-4 (ai,..., am) ? km — такая специализация парамет-
параметров, что ни один из знаменателей в /; и gi не обращается в нуль в
(oi,...,am).
(а) Используя алгоритм деления, мы можем найти такие Aij 6
k(ti,...,tm)[xi,...,xn], что
t
Докажите, что ни один из знаменателей в
нуль в точке (oi,..., om).
(b) Мы можем представить ?, в виде
у не обращается в
для некоторых Вц ? k(ti,... ,tm)[xU-¦ ¦, хп]. Упражнение 6 пока-
показывает, что в Вц могут появиться «новые» знаменатели. Предпо-
Предположим теперь, что ни один из знаменателей в Вц не обращается
в нуль при специализации (t\,..., tm) •-»• @1,..., om). Обозначим
через I идеал в Jfc[xi,... ,хп], порожденный специализированны-
специализированными полиномами /i. Докажите в этих предположениях, что спе-
специализированные полиномы gj образуют базис идеала /.
(c) Докажите, что специализированные полиномы gj образуют ба-
базис Грёбнера для I. Указание: мономиальное упорядочение, ис-
использованное для вычисления базиса, учитывает только перемен-
переменные Xi. Параметры tj этим упорядочением рассматриваются как
«константы».
(d) Пусть di,...,dM 6 k[h,...,tm]— все знаменатели, которые
встречаются в /;,&,- и Bji, и пусть W = V(di,...,dM) С km.
Докажите, что {gi,-..,9t} остается базисом Грёбнера идеа-
идеала (/i,. •-,/*) при специализации (ti,...,tm) •-»• (oi,...,om) 6
km -W.

366
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
8. Опишем алгоритм для нахождения всех специализаций, сохраняю-
сохраняющих базис Грёбнера. Мы будем использовать обозначения преды-
предыдущего упражнения. Другими словами, алгоритм должен найти все
знаменатели di,..., <1м, появляющиеся в fi, gj и Вц. Это легко сде-
сделать для ft и gj, но для Вц —это более трудная задача. Проблема
состоит в том, что fi не образуют базис Грёбнера и потому мы не мо-
можем использовать алгоритм деления для вычисления Вц. К счастью,
нас интересуют только знаменатели. Мы будем работать в кольце
k[ti,... ,tm,xi,..., xn]. Умножая /; и gj на подходящие полиномы из
k[ti,... ,tm], мы получим полиномы
fi,9j € k[t1,...,tm,xu...,Xn}-
Пусть I С k[ti,..., tm, xi,..., хп] — идеал, порожденный всеми /,.
(a) Пусть gj = Yfi=\Bidi B k(t\,... ,tm)[x\,. ¦ ¦ ,хп], и пусть поли-
полином d € k[ti,..., tm] делится на все знаменатели коэффициентов
полиномов fi,gj и Вц. Докажите, что
de (l:gj)nk[ti,...,tm],
где / : gj —частное идеалов, определенное в § 4 гл. 4.
(b) Постройте алгоритм, вычисляющий (/ : gj) П k[ti,..., tm], и с его
помощью постройте алгоритм, описывающий подмножество W С
km, определенное в п. (d) упр. 7.
9. Вычисления, требуемые описанным выше алгоритмом, могут ока-
оказаться слишком сложными для некоторых систем компьютерной ал-
алгебры. К счастью, есть более быстрые методы, применимые в неко-
некоторых случаях. Пусть fi,gj 6 k(ti,... ,tm)[xi,... ,х„] такие же, как в
упр. 7 и 8. Как быстро проверить, что полиномы gj образуют базис
Грёбнера при всех специализациях, при которых знаменатели в /; и
gj не обращаются в нуль?
(a) Пусть d G k[ti,... ,tm] —наименьшее общее кратное всех зна-
знаменателей коэффициентов полиномов /; и gj, и пусть fi = dfi,
9з =_d9j- Тогда f{,gj 6 k[ti,... ,tm,xi,... ,xn]. Рассмотрим иде-
идеал/С k[ti,...,tm,xi,...,xn], порожденный всеми ft. Предпо-
Предположим, что dgj 6 / для всех j. Докажите, что специализа-
специализация (*i,.. .,?т) •-»• (oi,... ,от) корректна для всех (oi,... ,om) e
km - V(d).
(b) Опишите алгоритм, реализующий критерий из п. (а). Какое мо-
номиальное упорядочение будет здесь наиболее эффективно?
(c) Примените алгоритм п. (Ь) для анализа системы A) в тексте
параграфа. Этим вы докажете, что B) остается базисом Грёбнера
для A) при всех специализациях h ф 0, ^з ф 0, о ф 0 и о2 + Ь2 ф 0.
10. В этом упражнении мы научимся вычислять базис Грёбнера идеала
в кольце k(ti,..., tm)[xi,..., xn], работая в полиномиальном кольце
3. Обратная кинематическая задача и планирование движения 367
k[t\, ...,tm,xi,... ,х„]. Это важно уметь, потому что система ком-
компьютерной алгебры может отказаться вычислять базис Грёбнера,
если коэффициенты принадлежат полю функций. Сначала зададим
мономиальное упорядочение так, чтобы моном, содержащий хотя бы
один х^, был больше всех мономов, содержащих только t,. Например,
мы можем взять lex-упорядочение с х\ > ... > х„ > t\ > ... > tm.
(а) Пусть / — идеал в k(ti,..., tm)[x\,... ,х„]. Докажите, что / мо-
может быть представлен в виде
где fi 6 Дг[*1, - - - ,tm,xi,. ..,х„].
(b) Пусть I — идеал в k[t\,..., tm,x\,... ,хп], порожденный
/i,..._, /а, и пусть gi,...,gt— редуцированный базис Грёбнера
для I по отношению к определенному выше мономиально-
му упорядочению. Докажите, что если некоторый gj лежит в
k[ti,...,tm], то I - k(ti,... ,tm)[xi,... ,хп].^
(c) Пусть pi,..., gt —базис Грёбнера идеала I из п. (Ь), и предпо-
предположим, что ни один pj не принадлежит k[t\,... ,tm]. Докажите,
что pi,..., gt составляют базис Грёбнера идеала / (по отношению
к мономиальному упорядочению, определенному на мономах из
fc[xi,...,xn]).
11. Рассмотрим плоский робот с двумя шарнирными соединениями и
одним призматическим соединением, описанный в упр. 4 к § 2.
(a) Пусть положение кисти и ее ориентация заданы. Составьте систе-
систему уравнений, подобную системе A), решениями которой явля-
являются те состояния пространства сочленений, которые соответ-
соответствуют заданной конфигурации кисти. Рассмотрите случай, ког-
когда h = 1.
(b) Используя систему компьютерной алгебры, найдите решение
этих уравнений, т. е. найдите базис Грёбнера соответствующего
идеала для некоторого lex-упорядочения. Указание: возможно,
вам потребуется несколько попыток, чтобы выбрать подходящее
упорядочение.
(c) Что является решением обратной кинематической задачи для
этого робота? Другими словами, какие положения и ориента-
ориентация кисти возможны? Сколько различных состояний простран-
пространства сочленений соответствуют одной конфигурации? (Напом-
(Напомним, что пространство состояний призматического соединения
является интервалом [0, тпз] С R.)
(d) Имеет ли этот робот кинематические особенности? Если да, то
опишите их.
12. Рассмотрим плоский робот с тремя шарнирными соединениями и од-
одним призматическим соединением, рассмотренный в примере 2 из § 2.
(а) Пусть положение кисти и ее ориентация заданы. Составьте систе-
систему уравнений, подобную системе A), решениями которой явля-

368 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
ются те состояния пространства сочленений, которые соответ-
соответствуют заданной конфигурации. Пусть fa = fa = 1, а. Ц € [1,2].
Указание: ваша система должна учитывать ориентацию кисти.
(b) Решите вашу систему, вычислив базис Грёбнера соответствую-
соответствующего идеала при подходящем lex-упорядочении. Указание: воз-
возможно, вам потребуется несколько попыток, чтобы выбрать под-
подходящее упорядочение. «Плохой» порядок переменных приводит
к чрезмерно сложным вычислениям.
(c) Что является решением обратной кинематической задачи для
этого робота? Другими словами, какие положения и ориента-
ция кисти возможны? Изменяется ли множество возможных
ориентации при изменении положения кисти? (Не забудьте, что
/4 6 [1,2] С R.)
(d) Сколько различных состояний пространства сочленений соответ-
соответствуют одной конфигурации кисти в общем случае? Есть ли осо-
особые случаи?
(e) Есть ли у этого робота кинематические особенности? Если да, то
опишите соответствующие конфигурации кисти и свяжите их с
особыми случаями из п. (d).
13. Рассмотрим трехмерный робот с двумя трехмерными «круговыми»
соединениями из упр. 8 к § 2.
(a) Пусть заданы положение кисти и ее ориентация. Составьте сие- '
тему уравнений, подобную системе A), решениями которой явля-
являются все состояния пространства сочленений, соответствующие
заданной конфигурации. Рассмотрите, например, случай, когда;
fa = 4,13 = 2.
(b) Решите эту систему, вычислив базис Грёбнера соответствующе- :
го идеала для подходящего lex-упорядочения. Указание: один из •
элементов базиса Грёбнера будет зависеть только от координат j
положения кисти. Что это значит с геометрической точки зре- ;
ния? Является ли ответ осмысленным с точки зрения геометрии j
робота?
(c) Что является решением обратной кинематической задачи для |
этого робота? Другими словами, какие положения и ориентация ]
кисти возможны?
(d) Сколько различных состояний пространства сочленений соответ- <
ствует одной конфигурации кисти в общем случае? Есть ли осо- j
бые случаи?
(e) Есть ли у этого робота кинематические особенности?
14. Рассмотрим вещественную m х n-матрицу А. Нас будет интересовать j
ее ранг, т. е. максимальное количество линейно независимых столб-J
цов (или строк) в ней. Эта матрица определяет линейное отобра
ние La : Кп -» К, причем ее ранг равен размерности образа отобра-|
жения La- Напомним, что А называется матрицей максимальног
ранга, если ее ранг равен min(m, п). Для того чтобы понять,
означает максимальность ранга, рассмотрим три случая.
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 369
(a) Пусть тп = п. Докажите, что А является матрицей максимально-
максимального ранга тогда и только тогда, когда det(j4) ф 0, а это эквивалент-
эквивалентно тому, что La является изоморфизмом векторных пространств.
(b) Пусть m < п. Докажите, что А является матрицей максималь-
максимального ранга тогда и только тогда, когда уравнение А ¦ х = Ь имеет
решение для всех Ь 6 Кт, а это эквивалентно тому, что La —
сюръективное (т.е. «на») отображение.
(c) Пусть тп> п. Докажите, что А является матрицей максимально-
максимального ранга тогда и только тогда, когда уравнение А ¦ х = Ь имеет не
более одного решения для всех Ь 6 Rm, а это эквивалентно тому,
что La является инъективным отображением.
15. Робот называется кинематически избыточным, если размерность
пространства сочленений J больше, чем размерность конфигураци-
конфигурационного пространства С.
(a) Какие роботы из числа рассмотренных в тексте параграфа и в
упражнениях являются кинематически избыточными?
(b) (Это часть требует знания теоремы о неявной функции.) Пусть
дан кинематически избыточный робот и j 6 J не является ки-
кинематической особенностью. Что можно сказать о прообразе
f~1(f{j))'? В частности, сколько различных состояний простран-
пространства сочленений соответствует конфигурации f(j)?
16. Докажите формулу G) для плоского робота с тремя шарнирными
соединениями. Указание: сделайте подстановку & = 6i(t) и найди-
найдите производную пути f(9i(t),92(t),93(t)) в конфигурационном про-
пространстве по t.
§ 4. Автоматическое доказательство
геометрических теорем
Геометрическое описание робота и его движения (рассмотренное на-
нами в первых трех параграфах этой главы) используется управляю-
управляющей программой для планирования его движений с целью выпол-
выполнить требуемую задачу. Управляющая программа «размышляет» о
геометрических ограничениях, связанных как с конструкцией робо-
робота, так и с условиями его работы, и «находит» подходящее решение
задачи движения. В этом параграфе и в следующем мы рассмот-
рассмотрим близкую задачу — автоматизацию геометрических рассужде-
рассуждений. Мы обсудим два алгоритмических метода проверки справед-
справедливости утверждений общего характера в евклидовой геометрии.
Эти методы полезны в области искусственного интеллекта (ИИ)
и геометрического моделирования, так как используются при со-
создании программ проверки существования гипотетических связей
между геометрическими объектами на плоскости или теорем о них.

370
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Существует мнение, что такие программы демонстрируют пони-
понимание смысла геометрических утверждений, сравнимое с понима-
пониманием ученого-геометра. На самом деле вопрос о способности ком-
компьютера к интеллектуальному поведению совершенно неясен. Тем
не менее интересно отметить, что несколько новых (т. е. до тех пор
неизвестных) теорем было доказано этими методами. В некотором
ограниченном смысле, эти «доказыватели теорем» способны «раз-
«размышлять» о геометрических конфигурациях, т. е. делать то, что
раньше считали уделом исключительно человеческого разума.
Основа этих методов состоит в том, что, как только заданы де-
декартовы координаты на евклидовой плоскости, условия, а также
заключения некоторых геометрических теорем могут быть заданы
полиномиальными уравнениями от координат тех точек, о которых
говорится в формулировках соответствующих утверждений1'. Вот
простой пример.
Пример 1. Пусть A,B,C,D — вершины параллелограмма на плос-
плоскости, представленного на рисунке:
С D
А В
Общеизвестная теорема утверждает, что диагонали AD и ВС в точ-
точке пересечения N делятся пополам. Другими словами, AN = ND
и BN = NC, где через XY мы обозначаем длину сегмента XY, со-
соединяющего точки X nY. Стандартное доказательство использует
равенство треугольников A AN С и ABND (см. упр. 1).
Чтобы установить связь этой теоремы с алгебраической геоме-
геометрией, мы покажем, как конфигурация параллелограмма и его диа-
диагоналей (условия теоремы), а также утверждение, что точка N де-
*'В действительности этот круг идей восходит к «Эрлангенской программе»
Феликса Клейна (Klein F. Vergleichende Betrachtungen iiber neue geometrische
Forschungen. — Erlangen, 1872 [имеется перевод: Клейн Ф. Сравнительное обо-
обозрение новейших геометрических исследований. — Изв. физ.-мат. о-ва при
Казанском унив., 1896, т. 5] и Klein F. Elementarmathematik von hoheren
standpunkte aus. B. 2. Geometrie. — Berlin: Springer-Verlag, 1925 [имеется пере-
перевод: Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геоме-
Геометрия. — М.: Наука, 1987]). Современные исследования по «автоматическому до-
доказательству геометрических теорем» можно рассматривать как техническую
разработку алгебраического аспекта Эрлангенской программы. — Прим. ред.
> 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 371
лит диагонали пополам (заключение теоремы), могут быть записа-
записаны в полиномиальной форме.
Свойства параллелограмма не зависят от сдвигов и поворотов
плоскости. Значит, мы можем сдвигами и поворотами придать па-
параллелограмму желательное положение, или, что эквивалентно,
выбрать систему координат удобным нам образом. Проще всего сде-
сделать это так: точку А мы помещаем в начало координат, а сторону
ЛВ совмещаем с горизонтальной осью. Другими словами, А — (О,0),
а В = (ui, 0) для некоторого и\ Ф 0 ? Ж. Мы рассматриваем и\ как
неизвестную или переменную, значения которой могут быть выбра-
выбраны произвольно в множестве Ж - {0}. Точка С имеет координаты
(«г, из), где U2,i*3 — новые переменные, не зависящие от ui, и из фО.
Координаты точки D полностью определены координатами точек
А, В,С.
При построении геометрической конфигурации, описываемой
теоремой, координаты некоторых точек будут произвольными, тог-
тогда как координаты остальных точек будут определены (с точностью
до конечного числа возможностей) значениями «произвольных» ко-
координат. Произвольные координаты будут обозначаться через щ, а
другие координаты — через xj. Следует отметить, что разделение
координат на два подмножества не задается однозначно условиями
задачи. Различные способы описания одной и той же конфигура-
конфигурации приводят к различным множествам произвольных переменных
и к различным полиномиальным формулировкам условий теоремы.
Так как D определяется точками А, В, С, то запишем D =
(xi, хг). Одним из условий теоремы является то, что четырехуголь-
четырехугольник ABDC — параллелограмм, т.е. его противоположные стороны
параллельны, а следовательно, имеют одинаковые углы с осью аб-
абсцисс. Имеем:
AB\\CD: 0=Х2~Щ
AC\\BD: — =
- U2 '
-Ui
Освобождаясь от знаменателей, переходим к полиномиальным
уравнениям
hi — Х2 - и3 = 0, . .
/l2 = (^1 ~ Ml)u3 ~ X2U2 = 0.
(Ниже мы рассмотрим другой способ вывода уравнений для х\
и х2.)
Теперь мы должны построить точку пересечения диагоналей.
Так как координаты этой точки iV определены координатами вер-
вершин, то N = (?3,0:4). Утверждение, что iV является пересечением

372
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
диагоналей, означает, что N принадлежит и прямой AD, и прямой
ВС. Другими словами, тройки точек A,N,D и B,N,C коллинеар-
коллинеарны. Это дает следующие соотношения:
A,N,D коллинеарны : — = —,
х3 xi
B,N,C коллинеарны : = .
^з — u\ и2 — и\
Освобождаясь от знаменателей, переходим к полиномиальным
уравнениям
B)
Система уравнений, составленная из уравнений A) и B), и является
переводом условий теоремы на язык полиномов.
Заключения теоремы могут быть также записаны в полиноми-
полиномиальном виде (с помощью теоремы Пифагора):
- х3и3 — О,
/г4 = х4(и2 - их) - {х3 - ui)u3 = 0.
xl+xl = (х3 - ххJ + (х4 - х2J,
: (х3 - щJ + х\ = (х3 - и2J + (х4 - и3J.
Упрощая эти выражения, перепишем эти утверждения в следую-
следующем виде:
= х\
= х\ - 2XiX3 - 2х2Х4 + ^2 = 0,
д2 = 2х3щ - 2х3и2 - 2х4и3 - и\ + и\ + и\ = 0.
C)
Алгебраическая формулировка теоремы такова: если выполнены
условия A) и B), то C) также имеет место.
Мы уже отмечали, что можно различными способами переве-
перевести условия и заключения теоремы на язык полиномов. В упр. 2,
например, даны различные алгебраические формулировки теоре-
теоремы о диагоналях, использующие различные конструкции парал-
параллелограмма (т.е. различные множества произвольных координат).
Кроме того, имеются различные способы перевода геометрических
условий на алгебраический язык. Например, способ, которым мы
описали, что ABDC — параллелограмм, в виде уравнений A), есть
демонстрация того, как компьютерная программа могла бы фор-
формализовать тот факт, что AB\\CD. Другой метод перевода может
использовать то, что D есть просто сумма векторов В = (и\, 0)
и С — (и2,и3). Тогда в этой формализации (напомним, что D =
(xi,x2))
h[ =x1-u1-u2 = 0,
h'2 = х2 - и3 = 0.
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 373
Уравнения D) значительно проще уравнений A). Если мы хотим
создать доказыватель геометрических теорем, который умел бы да-
давать алгебраическую формулировку условия «ABDC — параллело-
параллелограмм» непосредственно (т. е. не делая дополнительной редукции к
виду «AB\\CD и AC\\BD»), то D), конечно, предпочтительнее A).
Далее, h'2 можно использовать для исключения переменной х2 из
условий и заключений, что даст нам более простую систему уравне-
уравнений. В реальных задачах, связанных со сложными геометрически-
геометрическими конструкциями, такие предварительные упрощения могут быть
просто необходимы.
Следующее предложение представляет собой список наиболее
часто встречающихся геометрических утверждений и методов их
перевода на язык полиномов.
Предложение 2. Пусть A,B,C,D,E,F —точки плоскости.
Каждое из следующих утверждений может быть записано в ви-
виде одного или нескольких полиномиальных уравнений:
(i) AB параллелен CD;
(ii) AB перпендикулярен CD;
(iii) А, В, С коллинеарны;
(iv) расстояние от А до В равно расстоянию от С до D : АВ =
CD;
(v) С лежит на окружности с центром в А радиуса АВ;
(vi) С — середина отрезка АВ;
(vii) острый угол /LABC равен острому углу /LDEF;
(viii) BD делит пополам угол /.ABC.
Доказательство. Метод перевода утверждений (i), (iii) и (iv) на
язык полиномов рассмотрен в примере 1. Утверждение (v) эквива-
эквивалентно утверждению АС = АВ. Утверждение (vi) есть конъюнкция
двух утверждений: А, В, С коллинеарны и АС = СВ. Утверждения
(ii), (vii) и (viii) будут рассмотрены в упр. 4.
В упр. 3 предлагаются другие типы геометрических утвержде-
утверждений, которые также могут быть переформулированы с помощью
полиномиальных уравнений. Геометрическую теорему мы назовем
допустимой, если и ее условия, и ее заключения могут быть сфор-
сформулированы на языке полиномов. Каждая допустимая теорема име-
имеет много эквивалентных алгебраических формулировок: перевод
всегда неоднозначен.
Адекватное преобразование условий теоремы в систему поли-
полиномиальных уравнений легче всего осуществить, если конструиро-
конструировать чертеж, иллюстрирующий рассматриваемую конфигурацию,

374 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
шаг за шагом. Это как раз то самое, что мы делали в примере 1 и
что будем делать в следующем примере.
Пример 3. Предложение 2 будет применено для преобразования
следующего красивого результата в систему уравнений.
Теорема (теорема Аполлония об окружности). Рассмотрим на
плоскости прямоугольный треугольник ААВС с прямым углом
в вершине А. Тогда середины сторон и основание высоты, опущен-
опущенной из А на ВС, лежат на одной окружности.
Упражнение 1 посвящено стандартному геометрическому доказа-
доказательству этой теоремы. А здесь мы преобразуем теорему в полино-
полиномиальную форму, доказав тем самым, что эта теорема допустима.
Начнем с построения треугольника. Поместим точку А в @,0), а
точку В в (ui, 0); тогда так как угол /.CAB прямой, то С = @, иг)-
(Разумеется, мы пропускаем некоторые этапы рассуждения: точ-
точку С можно было бы выбрать произвольно и добавить условие
СА±АВ, что привело бы к большему числу переменных и урав-
уравнений.)
Теперь мы построим середины сторон. Эти точки имеют сле-
следующие координаты: М\ — (xi,0),M2 = @,х2),М3 = {х^,х4). Как
и в примере 1, переменные ui,U2 произвольны, а переменные до-
доопределены значениями переменных ui,U2. Используя п. (vi) пред-
предложения 2, получаем уравнения
h\ = 2xi — щ = 0,
h2 = 2х2 - u2 = 0, . .
h3 = 2х3 - ui = 0, *• '
hi — 2x4 — г*г = 0.
На следующем шаге мы построим точку Я = (х5,х6) —основание
высоты, опущенной из А. Построение использует два условия:
AEl.BC : hb = х5щ - х6и2 = 0,
В, Я, С коллинеарны : /i6 = х5и2 + х6щ - щи2 — 0.
F)
4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 375
Наконец, нужно записать алгебраически условие, что точки
Mi, Мг, Мз, Я лежат на одной окружности. В общем случае на-
набор из четырех точек не лежит на окружности (поэтому утвержде-
утверждение этой теоремы и является интересным). Но три неколлинеарные
точки всегда лежат на окружности (на описанной окружности тре-
треугольника, образованного этими точками). Следовательно, заклю-
заключение теоремы может быть сформулировано так: если мы построим
окружность, на которой лежат неколлинеарные точки М\,М2, М3,
то и точка Я лежит на этой окружности. Для того чтобы при-
применить п. (v) предложения 2, мы должны знать координаты цент-
центра окружности; поэтому нам нужно будет ввести дополнительную
точку О = (i7,^8) и дополнительные условия
Mx0 = M20: h7 = (x1-x7J+x28-x27-(x8-x2J=0,
М10 = М30: hs = (x1-x7J+x28-(x3-x7J-(x4-x8J=0. [ '
Теперь заключение теоремы —это НО =
ет вид
g={xs- х7J + {х6 - xsJ - (х! - х7J -х2=0.
, и оно принима-
принима(8)
Отметим, что и здесь, и в примере 1, количество условий равно
количеству зависимых переменных. Так и должно быть для пра-
правильно поставленной геометрической задачи. Мы ожидаем, что при
заданных щ существует не более конечного числа различных ком-
комбинаций Xj, удовлетворяющих полученным уравнениям.
Рассмотрим типичную алгебраическую форму допустимой гео-
геометрической теоремы. Имеется некоторое число произвольных ко-
координат или независимых переменных, обозначаемых ui,...,um.
Кроме того, имеется некоторое множество зависимых переменных
Xi,..., хп. Условия теоремы представлены в виде системы полино-
полиномиальных уравнений от переменных щ, Xj. Как мы отметили в при-
примере 2, для правильно поставленной теоремы число условий равно
числу зависимых переменных, т. е. мы запишем условия в следую-
следующем виде:
hi(ui,...,um,xi,...,xn) = 0,
Заключения теоремы также представлены полиномами от U{,Xj.
Достаточно рассмотреть случай одного заключения, потому что в
противном случае мы можем просто рассматривать их по очереди.
Запишем заключение в следующем виде:
g(ui,...,um,xi,...,xn) = 0.

376
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
I
Теперь вопрос может быть сформулирован так: как тот факт,
что g следует из hi,...,hn, может быть доказан алгебраически?
Основная идея состоит в том, что g должен обращаться в нуль
там, где равны нулю полиномы h\,... ,hn. Обратим внимание, что
уравнения (9) определяют многообразие
Это наблюдение приводит к следующему определению.
Определение 4. Утверждение g называется строго следующим из
условий hi,...,hn, eaingeI(V) С R[ui,... ,um,xi, ... ,х„], где V -
Это определение кажется разумным, хотя мы увидим ниже,
что оно слишком «жесткое». В большинстве геометрических тео-
теорем встречаются «вырожденные» случаи, которые определением 4
не учитываются. Но пока мы будем использовать введенное выше
понятие «строгого следования».
Одним из недостатков определения 4 является то, что у нас нет
эффективного метода для нахождения I(V), поскольку мы работа-
работаем над Ш. Однако мы располагаем следующими критериями:
Предложение 5. Если g ? y/(hi,... ,hn), то g строго следует из
Доказательство. Условие g ? у/(hi,... ,hn) означает, что <;s ?
(hi,...,hn) для некоторого s. Тогда gs = Ya=i Aihi, где Л» ?
Ш[щ,... ,ит,х\,... ,хп], т.е. gs, а значит, и g равны нулю в тех
точках, где все hi равны нулю. ?
Обратите внимание, что обратное утверждение неверно, если
идеал \/{h\,... ,hn) строго содержится в идеале I(V), что впол-
вполне возможно над М. Тем не менее предложение 5 полезно, по-
потому что условие g ? у/(hi,... ,hn) может быть проверено с по-
помощью алгоритма принадлежности радикалу из § 2 гл. 4. Пусть
/ = (hi,..., hn, I - gy) С Щи.1 ,...,ит,х\,...,хп,у]. Тогда по пред-
предложению 8 из § 2 гл. 4
9 ? y/(h\, ¦ ¦ ¦ ,hn) -S=^ {1} является
редуцированным базисом Грёбнера для /.
Если это условие выполнено, то g строго следует из hi,..., hn.
Если мы работаем над С, то смысл условия g ? \/(hi,... ,hn) бо-
более прозрачен. Здесь условия hi, ¦ ¦ ¦, hn определяют многообразие
Vfc С Сп+п. В упр. 9 с использованием сильной теоремы о нулях
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 377
будет доказано, что
9 ? \/(hi,...,hn) С E[ui,...,um,xi...,xn]
g eI(Vc) С C[uu... ,um,xu... ,хп].
Таким образом, условие g ? y/{hi,...,hn) означает, что g «строго
следует над С» из hi,..., hn.
Рассмотрим пример, который в числе прочего объяснит, почему
определение 4 слишком жесткое.
Пример 1 (продолжение). Чтобы увидеть, какие трудности могут
возникать, вернемся к теореме о диагоналях параллелограмма из
примера 1. Условиями здесь являются полиномы из A) и B):
hi = х2 - и3,
h.2 = (zi - щ)и3 - u2x2,
/l3 = X4X1 — X3U3,
h4 = x4(u2 - ui) - (x3 - ui)u3.
Рассмотрим в качестве заключения первый полином из C):
g = х\ - 2х:хз - 2х4х2 + х\.
Для того чтобы применить предложение 5, найдем базис Грёбнера
идеала_
I = (hi,h2,h3,h4,l -yg) С M[ui,u2,u3,xi,x2,x3,x4,y].
Удивительно, но мы не обнаруживаем, что {1} является базисом. (В
упр. 10 мы проверим это с использованием системы компьютерной
алгебры.) Так как рассматриваемое утверждение является верной
геометрической теоремой, то необходимо понять, почему предло-
предложенный нами метод не сработал.
Найдем базис Грёбнера идеала
I = (hi,h2,h3,hi) С Щи1,и2,и3,Х1,х2,х3,х4],
используя lex-упорядочение с xi > х2 > х3 > х4 > щ > и2 > и3.
Имеем
/i = X1X4 + Х4Щ - X4U2 - U1U3,
/2 = X1U3 - UiU3 - U2U3,
/з = х2 -и3,
/4 = X3U3 + XiUi - XAU2 -
2 1 2
2
- -щи3 + -щи2и3,
, 1 2
/б = x4uiu3 - -щи3.

378
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Мы видим, что многообразие V — У (hi, h2,h3,hi) = V(/i,..., /в) С
К7 приводимо. В самом деле, f2 = (xi — щ —112I*3, а следовательно,
V = V(/i, ц - ui - u2, /з, h, U, /б) U V(/i,из, /з, /4, /5, /в).
Так как /5 и /б также приводимы, то процесс разложения много-
многообразия на компоненты может быть продолжен. Однако ситуация
резко упрощается, если на каждом шаге мы будем вычислять ба-
базис Грёбнера заново. В упражнениях мы проверим, что этот подход
дает следующее разложение многообразия V в объединение непри-
неприводимых:
где
т/'
V =
U\ =
U2 =
U3 =
ui+u2
-щ -u2:x2 -и3,х3
,X2,Ui -U2,U3),
-U2,X2 -U3,X3U3 -XAU2,Ui).
Мы также докажем, что ни одно из этих многообразий не содер-
содержится в другом и что они являются неприводимыми компонентами
многообразия V.
Ситуация проясняется, если мы постараемся понять геометриче-
геометрический смысл компонент Ui,U2,U3 С V в терминах параллелограмма
ABDC. На Ui и U2 координата и3 равна 0. Это неприятно, так как
переменная и3 произвольна. Более того, если из = 0, то вершина С
лежит на АВ, а следовательно, здесь вообще нет параллелограмма.
Это вырожденный случай нашей конфигурации, который должен
быть исключен условием, что ABDC — настоящий параллелограмм
на плоскости. Аналогично, равенство ui = 0 на U3 также приводит
к вырожденной конфигурации.
Кроме того, на f/j = У(х2,Х4,из) заключение g записывается в
виде g = Xj -2xix3, что не равно нулю, так как xi и х3 произвольны
на Ui. Все это объясняет неудачу нашей первой попытки доказать
теорему. Если мы исключим вырожденные случаи Ui,U2,U3, то лег-
легко показать, что g обращается в нуль на V. Детали мы оставляем
читателю.
Наша цель — создание общего метода, который бы позволял де-
делать вывод о справедливости геометрических утверждений, учиты-
учитывая и вырожденные случаи. Начнем с того, что представим много-
многообразие V = У (hi,..., hn) С Km+n в виде объединения неприводи-
неприводимых компонент (теорема 2 из § 6 гл. 4):
V -Vi\J...UVk. A0)
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 379
Как мы видели выше (в продолжении примера 1), не исключено,
что существуют полиномы, зависящие только от щ, которые обра-
обращаются в нуль на некоторых компонентах. Так как переменные и,
могут принимать любые значения и независимы, то эти компонен-
компоненты мы исключим из рассмотрения. Дадим определение.
Определение 6. Рассмотрим неприводимое многообразие W в
аффинном пространстве Шт+п с координатами щ,..., ит, xi,..., хп.
Функции щ,..., ит называются алгебраически независимыми на
W, если не существует полинома от переменных щ, который обра-
обращался бы тождественно в нуль на W.
Согласно определению 6, их,... ,ит алгебраически независимы
на W, если I(W) П R[ui,..., um] = {0}.
Таким образом, в разложении A0) мы можем перегруппировать
компоненты многообразия V следующим образом:
V = WiU...UWpUUiU...DUq, A1)
где щ алгебраически независимы на компонентах Wj и алгебраи-
алгебраически зависимы на компонентах Uj. Таким образом, Uj представля-
представляют «вырожденные» случаи условий теоремы. Чтобы быть уверен-
уверенными, что щ в нашей геометрической конструкции произвольны,
мы должны рассматривать только подмногообразие
V = Wi U ... U Wp С V.
Мы не интересуемся поведением заключения g ? Щщ,... ,ит,
xi,..., хп] в вырожденных случаях. Это приводит нас к следующе-
следующему определению.
Определение 7. Заключение g обобщенно следует из условий
hi,...,hn, если g e I(V) С Щщ,... ,ит,хх,... ,хп], где, как выше,
V С Km+n является объединением тех компонент многообразия
V = У (hi,..., hn), на которых щ алгебраически независимы.
Обычное высказывание, что геометрическая теорема «верна»,
означает в точности, что заключения этой теоремы обобщенно сле-
следует из условий. Теперь задача может быть сформулирована сле-
следующим образом: как выяснить, когда g ? I(V')? To есть можем
ли мы указать критерий, который выяснял бы, обращается ли g в
нуль на тех компонентах многообразия V, где щ алгебраически не-
независимы, игнорируя в то же время «вырожденные» компоненты?
Задача разложения многообразия в объединение неприводимых
достаточно сложна; поэтому нам бы хотелось найти метод, позво-
позволяющий доказать (или опровергнуть) обобщенное следование и не
требующий знания разложения A1). Кроме того, даже если V нам
известно, то как найти I(V')?
К счастью, найти такой метод возможно.

380
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Предложение 8. В ситуации, описанной выше, g обобщенно сле-
следует из hi,...,hn, если существует ненулевой полином с(и\,
..., ит) ? R[m ,..., ит], такой, что
где Н = (hi,...,hn) С K[ui,.. .,ит,хх,... ,х„].
Доказательство. Пусть Vj — неприводимая компонента много
образия V. Так как с • g ? VH, то с • g обращается в нуль на V
и, следовательно, на Vj. Таким образом, с-g ? I(Vj). Но Vj неприво-
димо; следовательно, I(Vj) — простой идеал (предложение 3 из § 5
гл. 4). Значит, либо с, либо д принадлежит I(Vy). Но с $¦ I(V}), так
как полином, зависящий только от щ, не может обращаться в нуль
на компоненте Vj. Следовательно, д ? I(V}). А так как это верно
для каждой компоненты многообразия V', то д ? I(V). D
Для того чтобы предложение 8 можно было применять в ре-
реальных задачах, надо найти метод, позволяющий установить су-
существование ненулевого полинома с, такого, что с • д ? у/Н. Это
несложно. По определению радикала с • д ? \[Н в том и только том
случае, когда
J
3=1
для некоторых Aj ? R[ui,... ,um,xi,... ,xn]. Поделим обе части
уравнения на cs и получим равенство
п .
3 = 1
из которого следует, что д принадлежит радикалу идеала Н, порож-
порожденного полиномами hi,...,hn в кольце R(ui,...,um)[xi,...,xn].
Обратно, если д ? уЯ, то
где Bj ? R(ui,..., ит) [xi,..., х„]. Если с — наименьшее общее крат-
кратное всех знаменателей во всех членах полиномов Bj, то, умножая
обе части равенства на cs, получим
3 = 1
где B'j ? K[ui,..., um, xi,..., xn], а с зависит только от щ. Таким
образом, с • д ? \/Я. Эти вычисления и алгоритм принадлежности
радикалу (§ 2 гл. 4) дают нам следующее предложение.
4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 381
Следствие 9. В условиях предложения 8 следующие утвержде-
утверждения эквивалентны:
(i) существует ненулевой полином с € Ж[щ,..., ит], такой, что
еде \/я";
(п) д ? V Н, где Н — это идеал, порожденный в Ж(и\,..., um)[xi,
..., хп] полиномами hj;
(iii) {1} является редуцированным базисом Грёбнера идеала
(hi,...,hn,l- yg) С R(ui,..., um)[xi,..., хп, у].
Объединяя п. (iii) с предложением 8, мы получаем алгоритмиче-
алгоритмический метод доказательства того, что заключение теоремы обобщен-
обобщенно следует из ее условий. Мы назовем этот подход методом базисов
Грёбнера в доказательстве геометрических теорем.
Рассмотрим снова теорему о параллелограмме из примера 1.
Вычисляя базис Грёбнера идеала {h\,h,2,hz,hi,\ — уд) С R(ui,U2,
из)[х1,Х2,хз,Х4,у], убеждаемся, что {1} действительно образует
редуцированный базис (как и ожидалось). Переход к Ж(и1,и2,щ),
обеспечивающий обратимость переменных ui,U2,U3, исключает
вырожденные случаи, рассмотренные выше, и, следовательно, за-
заключение обобщенно следует из условий. Более того, в упр. 12 будет
доказано, что на самом деле g (а не его степень) принадлежит иде-
идеалу </li,/l2,/l3,/l4> С R(u1,U2,U3)[xi,X2,X3,X4}.
Обратите внимание, что метод базисов Грёбнера не указывает,
какие случаи являются вырожденными. Информация о них содер-
содержится в полиноме с ? Ж[их,..., ит], потому что условие с • g ? л/Н
означает, что g следует из hi,..., hn там, где с не равен нулю (так
как с • g является тождественным нулем на У). В упр. 14 будет
описан алгоритм вычисления с.
Над С следствие 9 можно представить в терминах многообразия
Vc = V(Ai,..., hn) С 0"+". Разложим Vc = V(Ai,..., Л„) С С"+п
на компоненты, как в A1). Пусть Vq С Vc — объединение тех ком-
компонент, на которых щ алгебраически независимы. В упражнении
15 с использованием теоремы о нулях будет доказано, что
Зс ф 0 в K[ui,..., ит], с ¦ g ? VH С B[m,..., ит,ц,..., хп]
«=>> 9 G I(Vc) С С[щ ,...,ит,хи..., хп].
Другими словами, условия следствия 9 означают, что g «обобщенно
следует над С» из условий hi,..., hn.
Комплексная интерпретация указывает на, пожалуй, главный
недостаток метода базисов Грёбнера: этот метод может доказывать
только те теоремы, где утверждение обобщенно следует из условий
над С, в то время как мы интересуемся только тем, что происходит
над К. В частности, есть теоремы, справедливые над Ш, но не над

382
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
С (см., например, работу Sturmfels A989)). Подобные теоремы
нельзя доказать этим методом.
Применение следствия 9 не всегда требует вычисления ради-
радикала идеала Я. Во многих случаях достаточно проверить просто
принадлежность идеалу Я. Поэтому большинство программ авто-
автоматического доказательства теорем сначала используют алгоритм
принадлежности д идеалу Н, и только если не получено утверди-
утвердительного ответа, начинают проверять принадлежность радикалу.
Проиллюстрируем эти соображения на примере теоремы Апол-
Аполлония из примера 3. Условия теоремы были представлены восемью
полиномами E)-G). Вычисление базиса Грёбнера идеала Я для
lex-упорядочения дает
Л =Ц -иг/2,
f2 = x2- u2/2,
/з = х3 -ui/2,
/4 = х4 - и2/2,
г. A2)
ui + uz2
_ и\и2
J 6 " *^*б О 9 7
/7 = Ху — Ui/4,
/в = х8 - и2/4.
Мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что оста-
остаток от деления заключения (8) на базис Грёбнера равен нулю. Та-
Таким образом, g ? Я, и, значит, g обобщенно следует из полиномов
hi,..., h%. Обратите внимание, что если иг=и2 — 0, то мы не можем
определить переменные х$ и xq. Уравнения щ = 0 и и2 = 0 задают
вырожденные прямоугольные «треугольники», у которых две вер-
вершины совпадают, и мы, конечно, не должны эти случаи рассматри-
рассматривать. Интересно отметить, что если щ ф 0 или и2 фО,то заключение
теоремы имеет место. Пусть, например, щ ф 0, но и2 = 0. Тогда вер-
вершины С и А совпадают. При этом точки Mj и Мз совпадают, М2
совпадает с А и Н также совпадает с А. В результате получаем,
что существует окружность (на самом деле таких окружностей
бесконечно много), содержащая Mi,M2,M3 и Я. В упр. 16 будет
рассмотрен случай щ = и2 = 0.
Отметим, наконец, еще один тонкий момент в использовании
этого метода. А именно, в ряде случаев формулировка теоремы под-
подразумевает наличие дополнительных, не сформулированных явно
условий. Эти дополнительные условия не будут записаны в полино-
полиномиальной форме при прямом переводе условий теоремы на алгебра-
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 383
ический язык. Часто это приводит к ситуации, когда многообразие
V оказывается приводимым, т. е. р > 1 в A1). Тогда полином g
может быть равным нулю только на некоторых компонентах мно-
многообразия V, и никакой метод, использующий следствие 9, не при-
приведет к успеху. В упр. 17 будет рассмотрен такой пример. В этом
случае мы должны переформулировать условия теоремы, чтобы ис-
исключить лишние, ненужные компоненты многообразия V.
Упражнения к § 4
1. В этом упражнении мы предлагаем читателю дать геометрическое
доказательство теорем из примеров 1 и 3.
(a) Дайте стандартное геометрическое доказательство теоремы из
примера 1. Указание: докажите, что AANC = ABND.
(b) Дайте стандартное геометрическое доказательство теоремы
Аполлония об окружности из примера 3. Указание: сначала до-
докажите, что ЛВЦМ2М3.
2. В этом упражнении мы рассмотрим другой перевод теоремы о парал-
параллелограмме из примера 1 на алгебраический язык с использованием
других координат в качестве произвольных переменных. Пусть вер-
вершина А параллелограмма ABDC помещена в начало координат.
(a) Объясните, почему обе координаты вершины D можно рассмат-
рассматривать как произвольные переменные, D = (ui,U2).
(b) Имея в виду п. (а), объясните, почему координаты вершины В
можно задать как (u3,zi). Другими словами, х-координата точ-
точки В произвольна, а у-координата определена выбором значений
Ul,U2,W3-
(c) Завершите перевод теоремы на алгебраический язык, используя
этот выбор переменных.
3. Пусть А, В, С, D, E, F,G,H — точки на плоскости.
(a) Докажите, что утверждение о том, что отрезок АВ касателен к
окружности, проходящей через точки А, С, D, может быть сфор-
сформулирован в виде полиномиальных уравнений. Указание: снача-
сначала постройте центр окружности. Что можно сказать о касатель-
касательной и радиусе окружности в той же точке?
(b) Докажите, что утверждение АВ ¦ CD = EF ¦ GH может быть
выражено с помощью одного или нескольких полиномиальных
уравнений.
(c) Докажите, что утверждение AB/CD = EF/GH может быть
выражено с помощью одного или нескольких полиномиальных
уравнений.
(d) Двойным отношением упорядоченной четверки различных кол-
линеарных точек (А, В, С, D) называется число
ACBD
AD-BC

384 Гл.6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Докажите, что утверждение «двойное отношение четверки
(А, В, С, D) равно р 6 R» может быть выражено с помощью од-
одного или нескольких полиномиальных уравнений.
4. В этом упражнении будет завершено доказательство предложения 2.
(a) Докажите п. (ii).
(b) Пусть a, /3 — острые углы. Докажите, что a — Р в том и только
том случае, когда tg(a) = tg(/?). Используя этот факт и п. (с)
упр. 3, докажите п. (vii) предложения 2. Указание: чтобы вы-
вычислить тангенс угла, нужно построить соответствующий пря-
прямоугольный треугольник и найти отношение катетов.
(c) Докажите п. (viii).
5. Рассмотрим треугольник ААВС на плоскости. Напомним, что вы-
высотой, проведенной из вершины А, называется отрезок перпендику-
перпендикуляра, опущенного из А на сторону ВС. (Основание перпендикуляра
может принадлежать продолжению отрезка ВС.) Классическая гео-
геометрическая теорема утверждает, что высоты пересекаются в одной
точке Н, которая называется ортоцентром треугольника. Запишите
условия теоремы и ее заключение в полиномиальном виде.
6. Рассмотрим треугольник ААВС на плоскости. Пусть Mi — середина
стороны ВС, Mi — середина стороны АС, а Мз — середина сторо-
стороны АВ. Классическая теорема утверждает, что отрезки АМ\,ВМг
и С Mi пересекаются в одной точке М, которая называется центро-
центроидом треугольника. Запишите условия теоремы и ее заключение в
полиномиальном виде.
7. Рассмотрим треугольник ААВС на плоскости. Знаменитая теорема
Эйлера утверждает, что центр описанной окружности, ортоцентр
и центроид коллинеарны. Запишите условия теоремы и ее заклю-
заключение в полиномиальном виде. (Прямая, на которой лежат эти три
«центра» треугольника, называется его прямой Эйлера.)
8. Красивая теорема, принадлежащая Паппу, рассматривает две трой-
тройки коллинеарных точек А, В,С я А',В',С'. Пусть
Р = АВ' П А'В,
Q = AC7nAFC,
= BCT\ B'C
(см. рисунок).
А'
В'
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 385
Тогда Р, Q, R коллинеарны. Запишите условия теоремы и ее заклю-
заключение в полиномиальном виде.
9. Пусть hi,...,hn 6 R[«i,...,«m,xi,...,xn] и Vc = V(hi,...,hn) С
Сп+п. Рассмотрим полином g 6 R[«i,... ,um,xi,...,хп]. Мы хотим
доказать следующее утверждение:
9 6 y/(hi,...,hn) С R[«i,...,«m,xi,...,xn]
<=>? 6 I(Vc) С C[«i,... ,wm,xi,...,zn].
(a) Докажите справедливость импликации =>.
(b) Используя сильную теорему о нулях, докажите, что если g €
I(Vc), то найдутся полиномы А, 6 C[«i,..., um,xi,..., х„], такие,
что gs — 53"=1 Ajhj для некоторого s > 1.
(c) Объясните, почему каждый А,- может быть представлен в виде
Aj = A'j + iA'J, где A'j, А'- — полиномы с вещественными коэффи-
коэффициентами. Используя это, докажите, что gs = X)"=i A'jhj, а это за-
завершает доказательство импликации <=. Указание: g, hi,..., hn —
полиномы с вещественными коэффициентами.
10. Докажите, что в условиях примера 1 {1} не является единственным
редуцированным базисом Грёбнера идеала / = (hi, Л-2, Лз, 1 — уд}-
11. В этом упражнении мы рассмотрим разложение на неприводимые
компоненты многообразия, определенного условиями теоремы из
примера 1.
(a) Докажите, что (см. продолжение примера 1)
V = V(/i,xi - ui - ti2, /з,.. ¦, /е) U V(/i,ti3, /з,. ¦ ¦, /е) = Vi U V,.
(b) Найдите базисы Грёбнера идеалов, порожденных определяющи-
определяющими уравнениями многообразий V\ и Vi- Некоторые из базисных
элементов будут приводимыми, что даст возможность разложить
Vi и V2.
(c) Продолжая этот процесс, покажите, что V является объединени-
объединением многообразий V, U\, С/г, С/з, определенных в тексте парагра-
параграфа.
(d) Докажите, что V', С/i, С/г, С/з неприводимы и что ни одно из
них не содержится в объединении остальных. Это доказывает,
что V', U\, Ui, Uz являются неприводимыми компонентами мно-
многообразия V.
(e) На какой неприводимой компоненте многообразия V заключение
теоремы справедливо?
(f) Пусть в качестве условий рассматриваются четыре полинома
из D) и B). Является ли приводимым многообразие W =
V(fc'i,fc2,ft3,ft4)? Сколько компонент оно имеет?
12. Докажите, что в примере 1 само заключение д (а не его сте-
степень) принадлежит идеалу, порожденному hi,h2,h3,ht в кольце

386
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
13. Используя п. (iii) следствия 9, докажите, что g обобщенно следует из
hj в каждой из следующих теорем. Также найдите в каждом случае
наименьшую степень полинома д, принадлежащую идеалу Я.
(a) Теорема об ортоцентре (упр. 5).
(b) Теорема о центроиде (упр. 6).
(c) Теорема о прямой Эйлера (упр. 7).
(d) Теорема Паппа (упр. 8).
14. В этом упражнении мы рассмотрим алгоритм вычисления ненулево-
ненулевого с 6 Щи\, ¦ ¦. ,um], такого, что с • д S vH (в предположении, что
такое с существует). Мы будем работать с идеалом
Н = {hi,...,hn,l-yg) С R[ui,...,um,xu...,xn,y].
(a) Докажите, что условия следствия 9 эквивалентны условию Н Л
R[ui,. •., um] ф {0}. Указание: используйте п. (iii) следствия 9.
(b) Пусть с 6 Я П R[t*i,..., Um]. Докажите, что с ¦ д 6 \/Н. Указа-
Указание: используйте рассуждения, связанные с уравнениями B)-D)
в доказательстве теоремы Гильберта о нулях (§1 гл. 4).
(c) Опишите алгоритм вычисления идеала Я П Щи\,..., um]. Какое
мономиальное упорядочение обеспечивает максимальную эф-
эффективность?
Пункты (а)-(с) описывают алгоритм, определяющий суще-
существование ненулевого с, такого, что с ¦ д 6 у/Н, и одновременно
находящий требуемое с. В пп. (d) и (е) ниже будут рассмотрены
некоторые интересные свойства идеала Я ПШ[и\,... ,um].
(d) Предположим, что заключение g не имеет места для некото-
некоторых tti,..., ит. Докажите, что тогда (ui,..., um) 6 W = V(H П
R[wi,... ,um]) С Rm. Таким образом, в W содержатся все выро-
вырожденные случаи, при которых g не имеет места.
(e) Докажите, что условие с ¦ g 6 у/Н эквивалентно условию с €
у/Й П Ш[щ,..., um]. Указание: в одну сторону это утверждение
следует из п. (а); если же eg 6 у/Н, то Я содержит (c-g)s nl—gy;
далее, используя рассуждения из доказательства предложения 8
из § 2 гл. 4, докажите, что с3 6 Я.
15. Пусть hi,... ,hn 6 R[t*i,... ,um,xi,... ,xn] (как в упр. 9). Тогда Vfc =
V(/ii,... ,hn) С Сп+п, и пусть Vc — объединение тех неприводимых
компонент многообразия Vc, на которых переменные tti,... ,um ал-
алгебраически независимы. Пусть g e R[tti,... ,um, xi,... ,х„]. Мы хо-
хотим доказать, что
Зс / 0 в R[wi,...,um], такое, что с • g 6 \J{h\,... ,hn) С
[
С C[ui,... ,um,xi,.. . ,xn].
(а) Докажите импликацию =>. Указание: см. доказательство предло-
предложения 8.
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем 387
(b) Докажите, что если g 6 I(VC), то существует ненулевой поли-
полином с в С[щ,... ,um], такой, что с • g 6 I(Vfc). Указание: пусть
Vc = Vc U и{ U ... U U'q, где ui,..., um алгебраически зависимы
на каждом Щ. Это означает, что существует ненулевой полином
с, 6 C[«i,..., u-m], равный нулю на Щ.
(c) Докажите, что можно выбрать полином с из п. (Ь) так, что-
чтобы он имел вещественные коэффициенты. Указание: пусть
с — полином, коэффициенты которого являются комплексно-
сопряженными к коэффициентам полинома с. Докажите, что по-
полином ее веществен.
(d) Пусть мы нашли полином с G R[i*i,..., um], такой, что eg 6 I(Vc).
Используйте упр. 9 для доказательства импликации ¦$=.
16. В этом упражнении мы рассмотрим теорему Аполлония об окруж-
окружности из примера 3.
(a) Докажите, что остаток от деления заключения (8) на базис
Грёбнера A2) равен нулю.
(b) Рассмотрите случай ui = ui = 0. Справедливо ли утверждение
теоремы в этом вырожденном случае?
(c) Обратите внимание, что на рисунке, иллюстрирующем теорему
Аполлония, интересующая нас окружность проходит также че-
через вершину А. Следует ли это заключение из условий теоремы?
17. В этом упражнении мы рассмотрим случай, когда прямой перевод
условий «верной» теоремы на алгебраический язык приводит к по-
появлению лишних компонент, на которых теорема просто неверна.
Пусть ААВС — треугольник на плоскости. Построим три новые точ-
точки А', В', С так, чтобы треугольники АА'ВС, ААВ'С, ААВС' были
бы равносторонними. См. рисунок ниже.
Утверждение теоремы состоит в том, что три отрезка АА',ВВ',СС
пересекаются в одной точке 5, которая называется точкой Штей-
нера треугольника. (Если углы исходного треугольника не превыша-
превышают 2тг/3, то можно доказать, что три отрезка AS, BS, CS образуют

388 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
граф минимальной длины в множестве графов, соединяющих вер-
вершины А, В, С.)
(a) Дайте геометрическое доказательство этой теоремы для случая,
изображенного на предыдущем рисунке.
(b) Найдите прямой перевод условий и заключения этой теоремы на
полиномиальный язык.
(c) Примените следствие 9, чтобы выяснить, будет ли заключение
обобщенно следовать из условий. Вы должны получить отрица-
отрицательный ответ. Замечание: вы должны проявить -значительную
ловкость при проведении этого вычисления, иначе не всякая сис-
система компьютерной алгебры справится с ним: приходится рабо-
работать с весьма сложной полиномиальной системой.
(d) (Основной этап) Покажите, что есть другие способы постро-
построить геометрическую конфигурацию, удовлетворяющую услови-
условиям в том виде, как они сформулированы выше, но совершенно
не похожую на конфигурацию на рисунке. Указание: однозначно
ли определены положения точек А', В', С' условиями теоремы?
Справедлива ли теорема для других конфигураций? Используй-
Используйте эти соображения для объяснения отрицательного результата
п. (с). (Эти разные конфигурации соответствуют разным компо-
компонентам многообразия, определенного условиями.)
(e) Как нужно сформулировать теорему, чтобы исключить лишние
компоненты?
§ 5. Метод By
В этом параграфе мы рассмотрим другой широко используемый
метод алгоритмического доказательства теорем евклидовой геоме-
геометрии, основанный на использовании систем полиномиальных урав-
уравнений. Он был разработан китайским математиком By Вень-Цунем
до появления метода базисов Грёбнера из § 4. Этот метод эффек-
эффективнее метода базисов Грёбнера и чаще применяется.
Как элементарная версия метода By (которую мы и будем рас-
рассматривать), так и и его усовершенствованные версии, используют
интересный вариант алгоритма деления полиномов от нескольких
переменных (§ 3 гл. 2). Идея этого варианта (он называется алго-
алгоритмом псевдоделения) состоит в том, что надо как можно точнее
следовать алгоритму деления полиномов от одной переменной. Что-
Чтобы описать его первый шаг, рассмотрим два полинома из кольца
k[xi,..., хп, у], которые записаны в виде
f = срур + ... + с1у + с0,
d
где коэффициенты й, dj являются полиномами от х\,..., хп. Пусть
т < р. Действуя, как в случае полиномов от одной переменной (от
§ 5. Метод By
389
у), мы ликвидируем старший член срур полинома /, вычитая подхо-
подходящее кратное полинома д. Однако этого нельзя сделать, если dm не
делит ср в k[xi,..., хп]. При псевдоделении мы сначала умножаем
/ на dm, чтобы быть уверенными, что его старший коэффициент
делится на dm, и первый шаг мы можем проделать, как и в случае
одной переменной. Дадим описание алгоритма.
Предложение 1. Пусть f,g G k[xi ,...,х„,у] такие оке, как в A),
т < р и д ф 0.
(i) Справедливо равенство
dsmf = qg + r,
где q,r ? k[xi,... ,хп, у], s > 0 и или полином г равен 0, или его
степень по у меньше т.
(ii) г ? (f,g) Ck[xu...,xn,y].
Доказательство, (i) Полиномы q, r, удовлетворяющие утвержде-
утверждению (i), могут быть построены с помощью следующего алгорит-
алгоритма, называемого алгоритмом псевдоделения по переменной у. Че-
Через deg(/i, у) будет обозначаться степень полинома Л по у, а через
ьс(Л, у) будет обозначаться его старший коэффициент по у, т. е. ко-
коэффициент при ydes(h<y).
Вход: /, g
Выход: q,r
г :=/;?:= 0
WHILE г ф 0 AND deg(r,y) > m DO
г := dmr - LC(
Обратите внимание, что при работе алгоритма цикл WHILE вы-
выполнится, самое большее, р — т+1 раз. Таким образом, степень s в
dsmj = qg + r можно выбрать так, чтобы s < р — тп+1. Остальные де-
детали доказательства, включая вопрос о единственности полиномов
рг, мы оставляем читателю (упр. 1).
(И) Из равенстваdsmf = qg+r следует, что г = dsmf-qg e (/,д). О
Полиномы q, r называются псевдочастным и псевдоостатком
при псевдоделении полинома / на g по переменной у. Мы будем ис-
использовать обозначение Rem(/, g, у) для псевдоостатка, вычислен-
вычисленного с использованием алгоритма из предложения 1. Например,
псевдоделение полинома / = х2у3 - у на g = х3у - 2 дает нам ра-
равенство
(я3K/ = (х8у2 + 2х5у + Ах2 - х6)д + 8х2 - 2z6.
В частности, Rem(/, д,у) = 8х2 - 2х6.

390
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
Отметим, что есть другой способ объяснить, как работает алго-
алгоритм: он использует ту же идею перехода к частным, которую мы
использовали в § 4. А именно,
• это обычное деление полиномов от одной переменной у с коэф-
коэффициентами в поле рациональных функций К = k(xi,... ,хп),
но с
• последующей ликвидацией знаменателей. В упр. 2 это будет до-
доказано с помощью того факта, что при делении в кольце К[у]
(К — любое поле) нам нужно находить обратный элемент толь-
только для старшего коэффициента dm делителя д. Таким образом,
все знаменатели, полученные в процессе деления, ликвидируют-
ликвидируются при умножении на некоторую степень dsm. Именно так мы и
получаем равенство d^f = qg + г.
В этой второй (прямой) форме псевдоделение легко может быть ре-
реализовано в системах компьютерной алгебры (и на самом деле этот
алгоритм в ряде систем реализован как стандартная процедура).
Напомним, что в § 4 мы рассматривали вопрос о переводе усло-
условий и заключений геометрических теорем на язык полиномиальных
уравнений. Полиномы hi,...,hn ? Щщ,... ,ит,х\,... ,хп] пред-
представляли условия некоторой теоремы, а полином д от тех же пе-
переменных—ее заключение. В уравнении A1) из § 4 неприводимые
компоненты многообразия V = V(/ii,..., hn) ? Wl+n мы объединя-
объединяли в два класса,
V = V' U U,
где V —это объединение тех компонент многообразия V, на кото-
которых переменные щ алгебраически независимы. Доказать теорему —
это доказать, что д обращается в нуль на V.
Элементарная версия метода By, которую мы и будем рассмат-
рассматривать, работает только в том случае, когда V неприводимо. Сле-
Следует отметить, что усовершенствованный метод позволяет рассмат-
рассматривать и приводимый случай, однако необходимая алгебраическая
техника (алгоритм разложения Ритта, использующий характери-
характеристические множества простых идеалов) слишком сложна, чтобы
ее здесь рассматривать. Решая реальную задачу, мы заранее не
знаем, приводимо V или нет. Поэтому надежные «доказыватели
теорем», использующие метод By, должны уметь использовать эту
более сложную технику.
Упрощенная версия алгоритма By использует алгоритм псевдо-
псевдоделения двумя способами в процессе выяснения, следует ли равен-
равенство g = 0 из равенств hj = 0.
• Шаг 1 метода By использует псевдоделение для приведения си-
системы условий к системе полиномов /,• треугольного вида по
5. Метод By
391
переменным х\,..., хп. Другими словами, мы хотим найти сис-
систему полиномов
h =h{ui,...,um,xi),
h =f2(ui,...,Urn,X1,X2),
: B)
fn =fn(ui, . . . ,Um,Xi, . . . ,Xn),
такую, что V(/i,... ,/„) снова содержит неприводимое много-
многообразие V, на котором щ алгебраически независимы.
• Шаг 2 метода By использует последовательное псевдоделение
заключения g по каждой переменной Xj с целью узнать, при-
принадлежит g идеалу I(V) или нет. Мы вычисляем
й„_1 = Rem(g,fn,xn),
Д„_2 =Rem(i?n_1,/n_bin_i),
Й! =Rem(R2,f2,x2),
До =Rem(i?i,/i,a;i).
• Теперь, если Rq — 0, то g следует из условий hj при одном допол-
дополнительном условии, которое будет сформулировано в теореме 4.
Объяснение принципов работы метода By требует последова-
последовательного объяснения всех трех шагов. Мы начнем с первого, с при-
приведения к треугольному виду.
Шаг 1. Приведение к треугольному виду
На практике это приведение почти всегда может быть реализовано
с помощью процедуры, похожей на метод исключения Гаусса для
решения линейных систем. Мы не будем формулировать никаких
общих теорем об этой процедуре, потому что есть случаи, в кото-
которых она не дает требуемого результата (см. замечания 3 и 4 ниже).
Общий алгоритм такой редукции описан в книге Снои A988).
Элементарная версия работает следующим образом. Перемен-
Переменные Xj рассматриваются по очереди, начиная с хп.
1. Находим все полиномы hj, содержащие хп. Обозначим это мно-
множество полиномов через 5. (Если таких полиномов нет, то это,
скорее всего, означает, что наш перевод теоремы на алгебра-
алгебраический язык некорректен, так как хп оказывается свободной
переменной.)
2. Если 5 содержит только один полином, то мы переобозна-
переобозначим полиномы hj символами f[ так, чтобы наша система при-

392 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
обрела вид
Л' =/l(ul>---iUm,Zl, •¦-,?„_!),
/n-1 -/n-1 ("I ,--.,Um,Xi,..., Zn-i),
f'n =/n(ub--- ,«milli" -,Xn)-
3. Если 5 содержит несколько полиномов, но один из них имеет
степень 1 по х„, то мы обозначим его через /п и заменим все
остальные полиномы из 5 их псевдоостатками от деления на f'n
по хп. (Может случиться так, что один из этих псевдоостатков
окажется равным нулю. Но это означает, что /п делит dsh, где
h — одно из других условий, a d = Lc(fn, xn), что маловероятно,
так как V предполагается неприводимым.) Таким образом, мы
опять получаем систему вида D). Из п. (И) предложения 1 сле-
следует, что все полиномы f- принадлежат идеалу, порожденному
полиномами hj.
4. Если S содержит несколько полиномов и все они имеют степень
по хп, большую 1, то мы поступаем следующим образом:
(a) находим a,b e S, такие, что 0 < degF,хп) < deg(a,xn);
(b) вычисляем псевдоостаток г = Rem(a, b, xn);
(c) заменяем 5 на E - {a}) U {г} (полиномы, не входящие в 5,
не меняются).
Шаги (а), (Ь), (с) повторяются до тех пор, пока мы не
приведем систему полиномов к виду D). Так как степень по
хп уменьшается при переходе к псевдоостатку, то в конце
концов мы исключим хп изо всех полиномов, кроме одного.
Кроме того (п. (ii) предложения 1), все полученные нами по-
полиномы содержатся в идеале, порожденном hj. Опять-таки
мы можем получить нулевой полином на каком-то шаге на-
наших вычислений, но из этого, как правило (но не всегда!),
следует приводимость многообразия V, так что это мало-
маловероятно. Теперь аналогичную процедуру мы применяем к
полиномам f[,..., fn-i в D), исключая ?„_! изо всех поли-
полиномов, кроме одного. Продолжая этот процесс, мы в конце
концов получим систему уравнений треугольного вида B).
Связь между треугольной системой и исходными полиномами —
условиями теоремы, объясняется в следующем предложении.
Предложение 2. Пусть Д = ... = /„ = 0 — треугольная систе-
система, полученная из исходной системы h\ — ... = hn с помощью
описанного выше алгоритма. Тогда
Vcvcv(h,...,fn).
§ 5. Метод By
393
Доказательство. Как отмечалось выше, все fj содержатся в иде-
идеале, порожденном hj. Поэтому (/i,...,/n) С (hi,...,hn). Следо-
Следовательно, V = V(/ii,...,/in) С V(/i,...,/n). Так как V С V, то
предложение доказано. ?
Пример 3. Проиллюстрируем процедуру приведения к треуголь-
треугольному виду на примере теоремы Аполлония об окружности из § 4
(см. уравнения E)-G) из § 4). Имеем
hi - 2xi — uii
/i2 = 2x2 - ,
h3 = 2х3 - "l,
hi - 2x4 - иг,
h5 = U2X5 + ^6 — ^2,
h6 = U1X5 - u2x6,
tn = x\-x\- 2x!X7 + 2x2x8,
h8=x\- 2xix7 - X3 + 2x3x7 - X4 + 2x4x8.
Обратите внимание, что эта система очень близка к треугольной по
Xj. На самом деле это обычное явление, если мы строим геометри-
геометрическую конфигурацию, добавляя на каждом шаге одну точку.
На первом шаге процедуры приведения к треугольному виду
мы должны работать с h7 и hg — только эти два полинома содер-
содержат х8. Кроме того, h8 имеет степень 1 по х8. Таким образом, мы
поступаем, как в шаге 3 треугольной процедуры, полагая /8 = h8
и заменяя hj на
/7 = Rem{h7,h8,x8)
- Bxix2 - 2х2х3 - 2xix4)x7 -
(Мы, как правило, игнорируем числовые множители при вычисле-
вычислении остатков.) Теперь только /7 содержит х7, поэтому мы сразу же
переходим к х6. Два полинома h6 и h5 содержат х6, но оба имеют
степень 1 по Хб, так что мы опять находимся в ситуации шага 3.
Положим /б = Ы и заменим /i5 на
/5 =Rem(h5,h6,x6) = {и\ + и\)хъ -ищ^.
Оставшиеся четыре полинома уже образуют треугольную систему;
поэтому можно положить /,¦ = hi для г = 1,2,3,4.
Шаг 2. Последовательное псевдоделение
Основной шаг метода By состоит в выполнении последовательного
псевдоделения, описанного в C), и в вычислении последнего остат-
х2х\

394
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
ка До. Результативность этой процедуры описывается в следующей
теореме.
Теорема 4. Рассмотрим, множество условий и заключение гео-
геометрической теоремы. Пусть До — последний остаток, найден-
найденный при последовательном псевдоделении полинома g {как в C)) с
использованием системы полиномов f\,..., /„ треугольного вида
B). Пусть dj — старший коэффициент полинома fj как полинома
от Xj {т. е. dj — полином от щ,..., ит, xi,..., Xj-i). Тогда
(i) существуют неотрицательные целые числа s\,..., sn и поли-
полиномы Ах,..., Ап в кольце M[ui,...,ит, xi,..., хп], такие, что
dj1 ...dsn"g = A1f1 + ... + Anfn + До;
(ii) если До = 0, то g обращается в нуль в каждой точке множе-
множества V - V(did2 • • • 4) С Шт+п.
Доказательство. Пункт (i) доказывается последовательным при-
применением предложения 1. Проводя псевдоделение полинома g на
/„ по in, получаем
Дп_! =dsn"g-qnfn.
На следующем шаге мы снова проводим псевдоделение, но по xn_i:
Rn-2 = d^SiW^g - qnfn) - qn-ifn~i
= dn"-ldSn9 - Qn-lfn-1 - <C-~il9n/n-
Продолжая этот процесс, мы в конце концов придем к выражению
вида
До = dj1 • • ¦ dsn-g - (Л1/1 + ... + Anfn),
которое и требовалось получить.
(ii) Из п. (i) следует, что если До = 0, то в каждой точке мно-
многообразия W = V(/j,..., /„) или g обращается в нуль, или один из
d^' обращается в нуль. Так как V С W (предложение 2), то это же
справедливо и для V. Теорема доказана. D
Хотя dj зависят не только от щ, уравнения dj = 0, где dj —
старший коэффициент полинома fj, могут быть интерпретированы
как уравнения, определяющие вырожденные специальные случаи
нашей геометрической конфигурации.
Пример 3 (продолжение). Закончим доказательство теоремы
Аполлония с помощью метода By. Мы должны показать, что ра-
равенство
д = {х5- х7J + {х6 - х8J - (xi - х7J - х\ = О
§ 5. Метод By
395
является следствием условий hi = ... = hs = 0 (см. (8) из § 4). По-
Полиномы /i,...,/s были найдены нами выше. Положим Д8 = g и
начнем последовательно вычислять остатки
при г, меняющемся от 8 до 1. При вычислении мы всегда будем
брать минимально возможную степень s (см. предложение 1) и ино-
иногда игнорировать постоянные множители. Имеем
Д7 =Х^Х
2X4X1X7
+ 2х6Х3Х7 - Х6Х
Д6 =X4XiXg - Х4Х1Х5 -
— Х2Х4Х5 + Х2Х4Х1 - X2X1X4X5 -
+ Х2Х3Х4Х5 + X2X3X4Xg — Х2Х3Х4Х1 + Х^х\ХбХз + Х4Х2Х6Х1
- X4X2X6X3 + X2X1X4X5 - X2X3X4X5 -I- X2X3X4X1,
Д5 —и\х\х\х\ - и\х\х\хъ + и\х\х\хъ - и\х\х\х\ - и\х2х\х$
+ U2X2X4X1 - Xiulx2Xixl + Xiulx2X3xl - X4U2X2X3X1
\\ - X4U2X2X3X5 + Хф\х2х\х1 - UxXs^X^Xi
X3 - X4U1X5U2X2X3
+ X4U1X5U2X1X3 + Ui15X4X1 - X4U1X5X2X1 + X4U1X5X2X3,
Д4 = — U2X4X2X3XJ - и\х\х\х\ + U2X4X2X3X1 + 14X4X2X1
UX4UX2X3X - u\x\u\x\x\ + и\х^и\х2х\хх
- U2X4U1X2 - U2X4U1X1+ U2X4U1X2
i4UXXi Ui4Ua;ia; — U2X4U1X2X3
XU
Д3 =
1*2X41^X2X3
- 4U2U1X2X3 +
Au\u\x\xz -
- 2^X3X1 -
- U72UiX2,
+ 2U2U1X2 +
2i
+ u72x2xi
R2 =
2u\u\x\x\ —
u\x2x\
U2U1X2X1
4 4
-U2U1Xi,
U
До =0.
2u\u\x\,

396
Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
По теореме 4 это означает, что, если ни один из старших коэф-
коэффициентов полиномов fi не равен нулю, то теорема об окружности
доказана методом By. Нетривиальные условия здесь таковы:
йъ=и\+и\ф О,
(k =  Ф О,
d7 = 2xix2 - 2х2х3 -
d8 = -2х4 Ф 0.
Ф О,
Второе условие и2 ^ 0 означает, что вершины Аи С прямоугольного
треугольника ААВС различны. Напомним, что система координат
выбрана так, что А = @,0) и С = @,и2) (см. пример 3 из § 4). Из
этого также следует справедливость первого условия, так как ui и
и2 вещественны. Условие —2х4 Ф 0 эквивалентно условию и2 ф 0
(так как /14 = 2x4 — и2 = 0). Наконец, условие d7 Ф 0 означает, что
вершины треугольника различны (см. упр. 5). Отсюда получаем,
что заключение теоремы об окружности обобщенно следует из ее
условий.
Элементарная версия метода By доказывает заключение g = 0
только при дополнительных условиях dj ф 0. В частности, в случае
неприводимого многообразия V не исключено, что некоторый сп-
справен нулю на всем V (так как V состоит из одной компоненты).
Если такой факт имеет место, то нельзя говорить о справедливости
теоремы для конфигураций, соответствующих точкам из V.
Но в случае, когда для заданного множества условий h мно-
многообразие V' неприводимо, существует гораздо более сильная вер-
версия теоремы 4. Достаточно сложная алгебраическая техника (ал-
(алгоритм разложения Ритта) позволяет построить специальную тре-
треугольную систему полиномов fj (которая называется характеристи-
характеристическим множеством), обладающую тем свойством, что До = 0 тогда
и только тогда, когда g G I(V'). В частности, старшие коэффициен-
коэффициенты полинома fj не могут обращаться в нуль на всем V; поэтому из
До = 0 следует, что g должен обращаться в нуль на всем V. Заинте-
Заинтересованный читатель может обратиться к книге Снои A988). Дру-
Другое изложение теории характеристических множеств и алгоритма
By—Ритта имеется в книгах Mishra A993) и Wang A994b). Сис-
Система Maple содержит пакет, называемый «charsets», в котором реа-
реализован метод характеристических множеств (см. Wang A994a)).
Наконец, сделаем несколько сравнительных замечаний о мето-
методе базисов Грёбнера и методе By. Эти два метода имеют дело с
одним и тем же классом геометрических теорем, и обычно резуль-
результаты их применения одинаковы. Оба метода используют алгоритм
деления, чтобы выяснить, принадлежит полином данному идеалу
§ 5. Метод By
397
или нет. Однако, как мы могли видеть из примера процедуры при-
приведения к треугольному виду, метод By значительно эффективнее
(в этой задаче). Причина состоит в том, что приводить к треуголь-
треугольному виду множество полиномов гораздо проще, чем найти базис
Грёбнера идеала, который они порождают, или базис Грёбнера иде-
идеала Я = (hi,..., hn, I — уд)- Это особенно хорошо заметно, если ис-
исходная система полиномов уже имеет почти треугольную форму (а
это часто бывает при переводе геометрических теорем на язык по-
полиномов). В каком-то смысле превосходство метода By совершенно
естественно, так как базис Грёбнера содержит гораздо больше ин-
информации об идеале, чем треугольная система. Обратите внимание,
что мы даже не утверждаем, что треугольная система порождает
тот же идеал, что и условия, как в Щщ,..., um, ii,..., хп], так и в
K(ui,..., um)[x\,. •., хп]. На самом деле это неверно (упр. 4). Метод
By является примером техники, нацеленной на решение одной кон-
конкретной задачи. Такая техника часто эффективнее общих методов
(таких, как вычисление базиса Грёбнера), которые применимы для
решения широкого круга задач.
Заинтересованный читатель может обратиться к книге Снои
A988), во второй части которой приведен список из 512 геометри-
геометрических теорем, доказанных программой, реализующей метод By.
Работа Wu A983) является репринтом оригинальной работы, в
которой и был изложен этот метод.
Упражнения к § 5
1. В этом упражнении рассматривается предложение 1.
(a) Завершите доказательство п. (i).
(b) Покажите, что q и г в равенстве dsmf = qg + r не являются одно-
однозначно определенными, если на степень s не налагается никаких
условий.
2. Докажите утверждение (сформулированное после предложения 1),
что псевдоделение эквивалентно обычному делению полиномов в
кольце К[у], где К = k(xi,...,х„).
3. Покажите, что существует единственное минимальное s < р — m + 1
в предложении 1, для которого равенство dsmf = qg + г имеет ме-
место. Докажите, что q и г определены для этого s однозначно. Ука-
Указание: используйте единственность частного и остатка для деления
при k(xi,... ,Хп)[у].
4. Приведите пример, показывающий, что применение процедуры при-
приведения к треугольному виду к двум полиномам /ii, /12 6 А:[х1,хг]
может дать полиномы /i, /2, которые порождают идеал, строго мень-
меньший, чем (hi, /12)- То же самое справедливо и в случае большего числа
переменных.

398 Гл. 6. Роботика и доказательство геометрических теорем
5. Докажите, что условие di ф 0 в теореме об окружности выполнено
автоматически, если п\ Ф О и иг ф 0.
6. Примените метод By для проверки справедливости следующих те-
теорем. В каждом случае рассмотрите условия dj /0, при которых
теорема 4 гарантирует, что заключение д обобщенно следует из усло-
условий hj. Если вы проделали соответствующие упражнения к § 4, то
сравните эффективность (затраченное время и/или усилия, напри-
например) двух методов.
(a) Теорема о диагоналях параллелограмма (упр. 1 к § 4).
(b) Теорема об ортоцентре треугольника (упр. 5 к § 4).
(c) Теорема о центроиде треугольника (упр. 6 к § 4).
(d) Теорема о прямой Эйлера в треугольнике (упр. 7 к § 4).
(e) Теорема Паппа (упр. 8 к § 4).
7. Рассмотрим теорему из упр. 17 к § 4 (где V' оказывается приводимый!
при прямом переводе условий теоремы на алгебраический язык).
(a) Примените к ней метод By. (Последний остаток должен быИ||
отличным от нуля.)
(b) Приведет ли применение метода By к успеху для переформули™]
рованной теоремы из п. (е) упр. 17 к § 4.
7
Теория инвариантов конечных
групп
Теория инвариантов оказала глубокое влияние на развитие алгебра-
алгебраической геометрии. Достаточно упомянуть, что теорема Гильберта
о базисе и теорема Гильберта о нулях, которые играют централь-
центральную роль в первых главах этой книги, были доказаны Гильбертом
в ходе его исследований в области теории инвариантов.
В этой главе мы будем изучать инварианты конечных групп.
Основной целью является описание всех полиномов, не меняющих-
меняющихся при заменах переменных, определенных матрицами из некото-
некоторой конечной группы матриц. Наше рассмотрение этих вопросов
будет вполне элементарным и, конечно, неполным. В частности, мы
не предполагаем предварительного знакомства читателя с теорией
групп.
§ 1. Симметрические полиномы
Симметрические полиномы естественно возникают при изучении
корней полиномов. Рассмотрим, например, кубический полином / =
х3 + Ьх2 + сх + d. Пусть его корнями являются числа a.\, а2, аз. Тогда
х3 + Ъх2 + сх + d = (х - ai){x - а2)(х - а3).
Если мы раскроем скобки в правой части этого равенства, то по-
получим, что
х3 + Ьх2 + сх + d
= х3 - (а\ +
Таким образом,
+ &з)х2 + {ct\a.2 + счсхъ +
Ь= -
с =
d = —
+a2a3,
A)
видим, что коэффициенты полинома / являются полиномами
°т его корней. Кроме того, так как изменение порядка корней не

400
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
меняет /, то полиномы, выражающие Ъ,c,d через a.i,a.2,a$, не ме-
меняются, если мы переставляем а\,а2,а^. Такие полиномы называ-
называются симметрическими. Дадим общее определение.
Определение 1. Полином / ? k[xi,..., хп] называется симметри-
симметрическим, если
f{xh,...,xin) ~ f(xi,...,xn)
для любой перестановки х^,..., Xin переменных х\,..., хп.
Пусть, например, переменными являются х, у и z. Тогда х2+у2 +
z2 и xyz — симметрические полиномы. Следующие симметрические
полиномы играют важную роль в наших обсуждениях.
Определение 2. Пусть ц,..., х„ — переменные. Определим поли-
полиномы о\,..., ап ? k[xi,..., хп], называемые элементарными сим-
симметрическими функциями, следующим образом:
о\ = xi + h хп,
_
O~r —
. . . Xi
an = xix2 ¦¦¦xn.
Другими словами, оу — это сумма всех произведений г различ-
различных переменных. В частности, каждый член в оу имеет полную
степень г. Чтобы доказать, что эти полиномы симметрические, мы
обобщим формулу A). Введем новую переменную X и рассмотрим
полином
= (X-x1)(X-x2)...(X-xn), B)
корнями которого являются xi,... ,хп. Раскроем скобки в правой
части и получим
f(X) = Хп - о-хХп-1 + о2Хп~2 + ... + {-l)n-lan^X + (-1)пап
(детали доказательства мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения). Предположим теперь, что произведена перестановка пере-
переменных xi,... ,хп. Эта перестановка меняет порядок множителей
в правой части формулы B), но / при этом не меняется. Это и
означает, что коэффициенты (—1)гоу полинома / являются симме-
симметрическими.
В качестве следствия получаем, что если старший коэффици-
коэффициент полинома равен 1, то остальные его коэффициенты являют-
являются элементарными симметрическими функциями от его корней (с
§ 1. Симметрические полиномы
401
точностью до умножения на ±1). В упражнениях мы рассмотрим
интересные следствия этого факта.
Из элементарных симметрических функций мы можем строить
другие симметрические функции как полиномы от о\,... ,ап. На-
Например,
а2 -
= х2у2 + x2yz + x2z2 + xy2z + xyz2 + y2z2
является симметрическим полиномом. Удивительно, что все сим-
симметрические полиномы могут быть построены таким образом.
Теорема 3 (основное свойство симметрических полиномов). Каж-
Каждый симметрический полином из k[xi,... ,хп] может быть од-
однозначно представлен в виде полинома от элементарных симме-
симметрических функций о\,...,ап.
Доказательство. Мы будем использовать lex-упорядочение с х\ >
х-2 > ¦¦¦ > хп. Пусть / ? k[x\,... ,хп] — ненулевой симметриче-
симметрический полином и lt(/) = аха, где а = (а\,...,ап). Мы утвержда-
утверждаем, что c*i > а2 > ... > ап. Предположим, что это не так. Тогда
а; < а;+1 для некоторого г. Рассмотрим вектор степеней /3, полу-
полученный из а перестановкой а, и a,+i: /3 = (..., a»+i,aj,...). Так
как аха является членом полинома /, то ах® является членом по-
полинома /(..., Xi+i, Xi,...). Но / — симметрический полином. Зна-
Значит, f(...,Xi+x,Xi,...) = /; поэтому ах® также является членом
полинома /, что невозможно, потому что /3 > а.
Рассмотрим полином
и _ посх-ос2 ai-az an_i-an «„
п — а1 а2 ...ап_1 ап .
Для того чтобы найти его старший член, отметим, что ьт(оу) =
!... хг, 1 < г < п. Следовательно,
LT{h) = LT{a?-a>a?-a»...a?)
= VT(ai)ai~a2 ЬТ{о2)а*-аз . . -LT(ffn)a"
_ ai-a2
— Х1
37i Хп
(х1х2)а*-аз...(х1...хп)
C)
^
• • •*'«
Значит, старшие члены полиномов f л ah совпадают; поэтому
multideg(/ - ah) < multideg(/),
если / - ah Ф 0.
Положим теперь /i = / — ah. Тогда f\ — симметрический по-
полином, потому что f и ah симметрические. Если Д ф 0, то мы
можем повторить описанную выше процедуру и получить полином
/г = /i - a\hi, где a! — константа, а h\ — произведение функций
<у\,..., <хп в некоторых степенях. Кроме того, нам известно, что

402
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
< lt(/i), если f2 ф 0. Продолжая этот процесс, мы построим )
последовательность полиномов /, /i, /г, ¦ • •, таких, что
multideg(/)
multideg(/2
Так как lex-упорядочение является вполне упорядочением, то эта
последовательность конечна. Но это может быть только в том слу-.
чае, когда ft+i — 0 для некоторого t. Тогда
= ah
atht,
и, следовательно, / является полиномом от элементарных симме^]
трических функций.
Теперь докажем единственность. Предположим, что / имеет два-
разных представления,
>--->CTn) = g2(ai,...,an).
Здесь <;i и д2 ~~ полиномы от п переменных, например, от j/i,... ,уп.
Мы хотим доказать, что д\ = д2 в fc[j/i,..., уп].
Положим д = д1 - д2. Тогда д(аг,... ,ст„) = 0 в к[ц,... ,хп].
Единственность будет доказана, если мы докажем, что д = 0 в
k[yi,...,yn}- Предположим, что д ф 0,д = ^0аРУ0- Тогда g{au
..., о~п) является суммой полиномов вида др = аро^о^ ¦ ¦ ¦ ^", где
/3 = (/3i,..., /3„). Как и при выводе соотношения C), получаем, что
Легко показать, что отображение
является инъективным. Другими словами, полиномы др имеют раз- I
личные старшие члены. В частности, если ит(др) > lt(<;7) для
всех 7 Ф /3, то ит(др) больше всех членов полиномов <?7. Следо J
вательно, ит(др) не может сократиться и потому д{ег\,..., етп) ф 0
к\у\,..., уп]. Теорема доказана. О •
Только что изложенное доказательство принадлежит Гауссу, ко Ш
торый использовал свойства симметрических полиномов в своем
втором доказательстве A816 г.) основной теоремы алгебры. Вот как
Гаусс определял lex-упорядочение: «Тогда из двух членов
старшим считается первый, а не второй, если
или а > а', или а = а и /3 > /3', или а — а',/3 = /3' и 7 > 1,
или ... и т.д.»
1. Симметрические полиномы
403
xy2z - xyz2.
(см. Gauss A876, р. 36)). Это первое из известных явных опреде-
определений lex-упорядочения.
Обратите внимание, что доказательство теоремы 3 дает алго-
алгоритм для преобразования симметрического полинома в полином от
<Т!,..., 0>i- Пусть, например,
f = x3y + x3z + ху3 + xz3 + y3z + yz3 e k[x,у,z].
Старшим членом полинома / является х3у = LT^ofo^)- Переходим
к полиному
/i = / - а\а2 = -2zV - 5z2yz - 2x2z2 - 5xy2z - bxyz2 - 2y2z2.
Теперь lt(/i) = —2x2y2 = — 2lt(<72); следовательно, переходим к
полиному
h = / -
Тогда легко получить, что
/3 = / - ^1^2 + 2G2 + 0-1*3 = 0,
т.е.
является единственным представлением полинома / через элемен-
элементарные симметрические функции.
Удивительно, но нам на самом деле не нужен особый алгоритм
для представления симметрического полинома в виде полинома
от аг,..., ап — мы можем воспользоваться алгоритмом деления из
гл. 2. Мы даже можем использовать алгоритм деления для провер-
проверки симметричности.
Предложение 4. Зафиксируем в кольце к[х\,..., хп, у\,..., уп]
мономиальное упорядочение, такое, что любой моном, содержа-
содержащий хотя бы один из Xi больше всех мономов из k[yi, ...,yn].
Пусть G — базис Грёбнера идеала (<ti - у\,..:, ап — уп) С
Ма;1,...,а;„,У1,...,Уп]- Пусть f ek[xu.. .,хп] и g = fG -остаток
от деления полинома f на G. Тогда
(i) / симметричен в том и только том случае, когда g ?
k[yi > • ¦ ¦, Уп};
(ii) если f симметричен, то f = g(a\:... ,ап) — единственное
представление f в виде полинома от элементарных симме-
симметрических функций <У\,..., <7„.
Доказательство. Пусть / ? к[х\,..., хп], a g € k[xi,...,xn,
iJi- ¦ ¦ ¦ ;Уп) — остаток от деления / на G = {<?i,..., <?t}. Это означа-
означает, что
/ = Aigi + ... + Atgt + g,

404
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
где Ai,..., At ? k[xi ,...,xn,yi,...,yn]. Мы можем считать, что д{ ^
0 для всех г.
Докажем (i). Пусть сначала д ? &[уъ..., уп]. Подставим в фор-1
мулу для / вместо каждого j/j соответствующее <Т{. При этой под»]
становке / не изменится, так как он не зависит от yi, но кажды§1
полином из идеала (a\ —yi,...,crn — Уп) станет равным нулю. Так'
как полиномы gi,..., gt принадлежат этому идеалу, то
f = g(ai,...,an).
Следовательно, / симметричен.
Пусть теперь / € k[x\,... ,хп}— симметрический полином. Тогда j
/ = g(ai,. ..,crn) для некоторого д е к[у\,..., уп]. Мы хотим пока-fi
зать, что д является остатком от деления / на G. Отметим сначала, J
что в k[xi,..., xn, t/i,..., уп] моном от полиномов в\,..., ап может}
быть представлен в следующем виде:
а ••• О = (У1 + («Л - yi))ai ¦ ¦ ¦ (Уп - {(Уп - Уп))°"
= УГ ...у%п +В1-(а1-у1) + ... + Вп- {ап - у„),
где Bi,...,Bn е к[х1,...,хп,У1,..-,уп]- Умножая на подходящие]
константы и суммируя эти равенства по всем мономам из д, по-
получаем
¦,уп) + Ci • (en -yi) + ... + Cn(crn -уп),
,хп,у1,...,у„]. Так как / = g(cri,. ¦ ¦, ^п), то 1
+ • • • + С„ • (ог„ - у„) + з(уь ..., у„). D) |
Мы хотим показать, что д является остатком от деления / на G.
Докажем сначала, что ни один член полинома д не делится ни |
на один элемент из lt(G). Если это не так, то найдется gi 6 G\
такой, что vr(gi) делит некоторый член полинома д. Следователь»
но, LT(<;i) зависит только от yi,...,yn, так как д ? k[yi,... ,у„].
Но наше упорядочение выбрано так, что из этого следует, что
9i ^ k[yi,... ,уп]- Теперь заменим каждое yi соответствующим ctj.
Так как gi G (<ti — Уъ • • •,о~п—уп), то д^ становится равным нулю при
такой замене. Но д{ ? к[у\,..., у„]; следовательно, gi(ai, •.., сгп) = 0.
По утверждению о единственности из теоремы 3 из этого следует,
что gi = 0, но по предположению gi ф 0. Мы пришли к противоре-
противоречию, и утверждение доказано. Теперь в равенстве D) ни один член
полинома д не делится на элементы из lt(G). Так как G — базис
Грёбнера, то по предложению 1 из § 6 гл. 2 д является остатком от
деления полинома / на G. Это доказывает, что остаток принадле-
принадлежит к[у\,..., уп], если / — симметрический полином.
Пункт (ii) является прямым следствием приведенных выше рас-
рассуждений. D
д(ах,...,ап) = g(yi
где Ci,..., С„ ? к[хх,
/ = С1! ¦ (o-i -
§ 1. Симметрические полиномы
405
Кажущимся неудобством этого предложения является необхо-
необходимость вычислять базис Грёбнера идеала (а\ - у\,... ,an ~ Уп)-
Однако в случае использования lex-упорядочения базис Грёбнера
найти очень легко. Сначала введем обозначения. Если щ,... ,us —
переменные, то через
мы будем обозначать сумму всех мономов от щ,..., us полной сте-
степени г. Тогда базис Грёбнера определяется следующим образом.
Предложение 5. Зафиксируем lex-упорядочение на k[xi,...,xn,
2/i 1 ¦ • •, Уп] с xi > ... > хп > yi > • • • > уп- Тогда полиномы
9m =hm(xm,...,xn)
,... ,хп)у{, m = 1,...,п,
г=1
образуют базис Грёбнера идеала (ах — yi,... ,сгп — уп)-
Доказательство. Мы дадим набросок доказательства, детали бу-
будут рассмотрены в упражнениях. Будем использовать следующее
полиномиальное тождество:
m
О = hm(xm,..., хп) + ^2(-l)xhm-i(xm,..., xn)o-i. E)
Это тождество будет доказано в упр. 10 и 11.
Докажем, что gi, ¦ ¦ ¦ ,дп образуют базис идеала (&i —yi,...,crn —
уп)- Используя тождество E), получаем
m
5m = V{-iyhm-i(xm, . . . ,Xn)(yi ~ (Ti), F)
t=l
что доказывает включение (gi, ¦ ¦ ¦, gn) С (cr-i - yi,..., an - yn). Что-
Чтобы доказать обратное включение, заметим, что так как ho = 1, то
равенство F) может быть записано в виде
m-l
9т = (-1ГB/т - <Тт) + YI (-l)^m-i(zm, ¦ ¦ • , *п)(Уг - <П). G)
Теперь индукцией по т доказываем, что (а\ - у\,..., <тп - у„) С
(gi,...,gn) (см. упр. 12).
Нам осталось доказать, что gi,...,gn образуют базис Грёбнера.
В упр. 12 будет доказано, что
LT(Sm) = I™.
Именно в этом месте используется lex-упорядочение, определенное
в условии предложения 5. Мы видим, что старшие члены полиномов

406
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
gi,...,gn взаимно просты. Теперь из результатов § 9 гл. 2 следуй|
ет, что <?i,..., дп образуют базис Грёбнера (детали доказательства
рассматриваются в упр. 12).
При работе с симметрическими полиномами часто бывает удоб-<;|
ным работать с однородными полиномами.
Определеннее. Полином / ? k[xi,...,xn] называется однород-
однородным полной степени т, если каждый член из / имеет полную
степень т.
Обратите внимание, что г'-я элементарная симметрическая
функция однородна полной степени г. Важным фактом является |
то, что каждый полином имеет единственное представление в виде
суммы однородных полиномов. А именно, пусть / ? k[xi,..., хп].
Через /т обозначим сумму всех членов полинома / полной степе-
степени т. Тогда fm однородны и / = ?)т fm. Мы будем называть /т
однородными компонентами полинома /.
Предложение 7. Полином f ? к[х\,... ,хп] является симметри-
симметрическим в том и только том случае, когда симметрическими явля-
являются все его однородные компоненты.
Доказательство. Пусть / — симметрический полином, а х^,...,
Xin — некоторая перестановка переменных xi,... ,хп. Такая пере-
перестановка преобразует члены полной степени т в члены полной |
степени т. Так как /(z;,> • • • >xin) = f(xi,---,xn)> T0 однородная'*
компонента полной степени т также симметрическая. Обратное ут- ;|
верждение тривиально. ?:
Предложение 7 показывает, что при работе с симметрическим-|
полиномом мы можем считать его однородным. В упражнениях мы '
рассмотрим, как однородность полинома / влияет на форму его ,
представления в виде полинома от а\,... ,ап.
В заключение рассмотрим другие способы представления сим-1 Я
метрических полиномов. Рассмотрим, в частности, суммы степе',
ней
sk = х\ + xl + ... + хкп.
Обратите внимание, что полиномы sk симметрические. Оказывает-
Оказывается, что произвольный симметрический полином может быть выра-
выражен через Si,..., s-n следующим образом.
Теорема 8. Пусть поле к содержит поле рациональных чисел}
Q. Тогда любой симметрический полином из к[х\,..., хп) может \
быть представлен как полином от Si,..., sn.
Доказательство. Так как каждый симметрический полином
является полиномом от элементарных симметрических функций,
1. Симметрические полиномы
407
то достаточно доказать, что а\,...,ап являются полиномами от
si,..., sn. Для этого мы используем тождества Ньютона:
sm ~ ffism-i + ¦ ¦ • + (-IOn-Vm_isi + {-\)ттат = 0,
1 < т < п,
Sm - CTiSm-i + ... + (-l)"~Vn_iSm_n+1 + (-l)"ornSm_n = 0,
m > п.
Доказательство этих тождеств будет дано в упражнениях.
Теперь индукцией по т докажем, что ат является полиномом
от s\, ¦ ¦. ,sn. Это верно при т = 1, так как О\ = s\. Предположим,
что это верно для 1,2,..., m — 1. Тогда из тождеств Ньютона сле-
следует, что
ат = (-l)m-1-(sm - orlSm_1 + ... + (-l)m-Vm_lSl).
ТТЬ
Мы имеем право делить на т, так как Q С к (в упр. 16 рассмотрен
пример того, что получается, если Q не принадлежит к). Теперь из
нашего предположения индукции следует, что ат является полино-
полиномом от si,..., sn. О
Таким образом, элементарные симметрические функции выра-
выражаются через суммы степеней и наоборот. Например,
S2 = а\ - 2а2
S3 = Crf -
= ~(Si - S2),
= -(s?-3sis2+2s3)-
D
Суммы степеней неожиданно окажутся полезными в § 3, когда мы
будем рассматривать алгоритм вычисления инвариантных полино-
полиномов для конечной группы.
Упражнения к § 1
1. Докажите, что полином / G к[х, у, z] симметрический в том и только
том случае, когда f(x,y,z) = f(y,x,z) = f(y,z,x).
2. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры.) Докажите,
что полином / € k[xi,. .., хп] является симметрическим в том и толь-
только том случае, когда
f(xi,X2, ХЗ, • • ¦ , Х„) = /(Х2, XI, Хз, . . . , Хп)
= /(Х2,Х3). ¦ ¦ ,Xn,Xi).
Указание: докажите, что циклические перестановки A,2) и
A,2,...,п) порождают симметрическую группу Sn (см. упр. 11 в
§ 2.10 книги Herstein A975)).

408
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
3. Обозначим г-ю элементарную симметрическую функцию от перемен-
переменных xi,..., хп через ст". Верхний индекс здесь обозначает количество
переменных и не является степенью. Положим ст? = 1 и ст™ = 0, если
г < 0 или г > п. Докажите, что ст" = ст,71 + xncr"Zi для всех п > 1
и всех »". Это тождество полезно при проведении индуктивных рас-
рассуждений, связанных с симметрическими функциями.
4. Пусть f(X) = (X - xi)... (X - х„) (как в B)). Докажите, что / =
Хп - aiXn~l + a2Xn'2 + ... + (-ly-Vn-iX + (-1)"ст„. Указание:
используйте индукцию и тождества из упр. 3.
5. Рассмотрим полином
[
(a) Используя метод теоремы 3, представьте / в виде полинома от
01, С2, СТЗ •
(b) Используя метод предложения 4, представьте / в виде полинома
ОТ СТ1,СТ2,СТЗ-
Для решения этого упражнения воспользуйтесь системой компьютер-
компьютерной алгебры. Обратите внимание на то, что, раскрывая скобки в произ-
произведении (X — х)(Х — у)(Х — г), можно ввести в компьютер элементарные
симметрические функции.
6. Пусть xi,... ,хп — переменные. Докажите, что Ji2i&x%xi = <Tl'T2 ~
Зстз. Указание: если у вас возникнут трудности, то обратитесь к
упр. 13. Обратите внимание, что система компьютерной алгебры
здесь не поможет.
7. Пусть полином / = xn+aixn~1 + .. .+an € k[x] имеет корни «i,... ,an,
принадлежащие полю К D k.
(a) Докажите, что симметрический полином g(ai,..., ап) от корней
полинома / может быть представлен в виде полинома от коэф-
коэффициентов ai,... ,а„ полинома /.
(b) Пусть коэффициенты симметрического полинома д принадлежат
полю к. Тогда g(ai,. ¦ ¦, ап) ? к.
8. Пусть корни ai,..., а„ полинома / = х" + aix™ + ... + а„ € к[х]
принадлежат полю К D к (как в упр. 7). Дискриминантом полинома
/ называется следующее выражение:
(a) Используя упр. 7, покажите, что D(f) является полиномом от
ai,... ,о„.
(b) Найдите явное выражение для D(f) в виде полинома от коэффи-
коэффициентов полинома /, если п — 2. Не знакома ли вам эта формула?
(c) Найдите явное выражение для D(f) в виде полинома от коэф-
коэффициентов полинома /, если п = 3.
I
§ 1. Симметрические полиномы
409
(d) Докажите, что кубический полином х3 + а\х2 + а-^х + аз имеет
кратный корень в том и только том случае, когда 4afаз + а\а\ +
18aia2a3 - 4а? - 27а§ = 0.
9. Рассмотрим кубический полином / = х3 + а\х2 + аъх + аз- Какому
условию должны удовлетворять его коэффициенты, чтобы один его
корень был равен среднему арифметическому двух других? Указа-
Указание: если корень an равен среднему арифметическому корней аг и
аз, то 2qi — с*2 — аз = 0, но, может быть, аг (или аз) равен сред-
среднему арифметическому двух других корней; таким образом, условие
упражнения эквивалентно тому, что произведение трех сомножите-
сомножителей типа 2ai — аг — аз равно нулю. Остается применить упр. 7.
10. Как и в предложении 5, пусть ftj(xi,... ,хп) — сумма всех мономов
полной степени г от переменных xi,..., х„. Положим сто = 1 и ai = 0
при г > п. В этом упражнении мы хотим доказать, что
0 =
i, . . . ,Хп)-
В упр. 11 это тождество будет использовано для доказательства то-
тождества E) из текста параграфа. Чтобы доказать его, мы найдем
коэффициент при мономе ха в произведении hm-iOi. Так как каж-
каждый член в hm-iOi имеет полную степень т, то мы будем считать,
что моном ха имеет полную степень т. Через а мы обозначим число
переменных, входящих в ха.
(a) Пусть ха входит в hm-iOi- Докажите, что i < а. Указание: сколь-
сколько переменных содержит каждый член полинома ст;?
(b) Докажите, что если г < а, то в точности (°) членов полинома ст;
содержат только те переменные, которые входят в ха. Обратите
внимание, что все члены полинома оч имеют полную степень г.
(c) Докажите, что если г < а, то ха входит в /im-iCT; с коэффициен-
коэффициентом ("). Указание: это следует из п. (Ь), потому что /im-j явля-
является суммой всех мономов полной степени т — г и каждый моном
входит в эту сумму с коэффициентом 1.
(d) Докажите, что коэффициент при ха в ^2™-.0(—l)'hm-iai равен
]С"=о(~1)*(°)- Но из формулы бинома следует, что этот коэффи-
коэффициент равен нулю, что и завершает доказательство тождества.
11. В этом упражнении мы докажем тождество
0 = hm(xm,... ,х„)
,... ,х„)оч(х1,. ..,!„),
которое использовалось при доказательстве предложения 5. Как и в
упр. 10, положим сто = 1. Тогда это тождество примет более компакт-
компактный вид:
0 =
:m,... ,х„)ст,(х1,... ,х„
i=0

410 Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Идея состоит в том, чтобы отделить переменные xi,... ,xm-i. Если
S С {1,... ,т — 1}, то через xs мы обозначим произведение соответ-
соответствующих переменных, а через |S| —число элементов в S.
(а) Докажите, что
ffi(xi,...,Xn) =
{Xm,- ¦ ¦ ,ХП),
где мы считаем, что oj = 0, если j < 0.
(b) Докажите, что
(-1)г/1т_г(хт, . . . ,Xn)ffi(xi, . . . ,Х„)
si \
= ^2 XS I ^2 (-l)'hm-i(xm,.. . ,Xn)(Tj_|S|(xm,... ,Xn) I .
SC{1 ra-1} \i=|S| /
(с) Используя упр. 10, докажите, что сумма внутри скобок равна
нулю для каждого S. Это и докажет тождество. Указание: поло-
положите j = i — \S\.
12. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство предложения 5.
Пусть дт такие же, как в формулировке предложения.
(a) Используя равенство G), докажите, что (<xi — j/i,... ,an — Уп) С
{9u---,9n)-
(b) Докажите, что ьт(дт) = хт.
(c) Используя п. (Ь) и результаты § 9 гл. 2 (особенно теорему 3
и предложение 4), докажите, что <?i,..,<?m образуют базис
Грёбнера.
13. Пусть / — однородный симметрический полином полной степени т.
(a) Докажите, что / может быть представлен в виде линейной
комбинации (с коэффициентами в поле к) полиномов вида
ст}1 <х22 ¦ ¦ ¦ о\?, таких, что т = п + 2гг + ... + nin.
(b) Пусть / — максимальная степень переменной х\ в /. Из симме-
симметричности следует, что I — это максимальная степень любой пе-
переменной в /. Пусть полином (T^ffj2 •. Стп" содержится в пред-
представлении полинома /, описанном в п. (а). Докажите, что ti +
12 + ¦ ¦ ¦ + in < I-
(c) Докажите, что симметрический полином ^2i3t xtxj может быть
представлен в виде ао\ог + Ъоъ для некоторых констант а и Ь.
Найдите а и 6. Сравните ваш результат с результатом упр. 6.
14. В этом упражнении мы докажем тождества Ньютона, использо-
использованные в доказательстве теоремы 8. Пусть переменными будут
XI, . . . ,ХП.
§ 1. Симметрические полиномы
411
(а) Как и в упр. 3, положим сто = 1 и <т; = 0, если или г < 0 или г > п.
Докажите эквивалентность тождеств Ньютона тождествам
(TiSm_l
= 0,
для всех m > 1.
(b) Докажите тождество п. (а) индукцией по п. Указание: обозначьте
Ох через <т" и sm через s?,, где верхний индекс — число перемен-
переменных, учтите, что s?, = sj^ + х™, и используйте упр. 3.
15. В этом упражнении тождество E) будет использовано для доказа-
доказательства следующих несимметрических тождеств Ньютона
(-l)m<rm = (-l
1 < m < n,
+ ... + (-l
rn+1
+ (-l
'1 = 0,
m > n,
где aln = crm{xi,... ,Xi-i,Xi+i,... ,xn) есть т-я элементарная симме-
симметрическая функция от всех переменных, кроме х;. Затем мы дадим
второе доказательство тождеств Ньютона.
(a) Докажите, что несимметрическое тождество Ньютона при т = п
следует из E). Затем докажите, что несимметрические тожде-
тождества Ньютона при т > п следуют из случая т = п. Указание:
сначала рассмотрите случай i — п.
(b) Докажите, что несимметрическое тождество Ньютона для т =
п — 1 следует из соответствующего тождества для т = п. Указа-
Указание: <Х„ = Xidr'n_i.
(c) Докажите несимметрические тождества Ньютона для т < п
индукцией по убыванию т. Указание: из упр. 3 следует, что
Cm = cr'm + XiCrm-i-
(d) Докажите, что Xl"=i &т = (п ~ т)&т- Указание: в скольких сла-
слагаемых Ь1т содержится член Xi1 ... x;m, где 1 < ii < ... < im < п?
(e) Докажите тождества Ньютона.
16. Рассмотрим поле F2 = {0,1} из двух элементов. Докажите, что сим-
симметрический полином ху € F2 [х, у] невозможно представить в виде
полинома от s\ и S2 с коэффициентами из F2. Указание: докажите,
ЧТО S2 = S?.
17. Представьте S4 в виде полинома от <п,..., стч и оч в виде полинома
ОТ S].,... ,84-
18. Алгоритм деления можно использовать для автоматизации процесса
представления полинома <?(<ti, • • •, сгп) в виде полинома от si,..., sn.
А именно, рассмотрим о\,..., <т„, s\,..., sn как новые переменные, и
пусть
gm = sm -
(-l)mkam, 1 <m<n.

412 Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Докажите, что при «правильном» lex-упорядочении остаток от
деления полинома g(ai,... ,an) на gi,...,gn будет полиномом
ft(si,... ,sn), таким, что g{ai,.. -,an) = h(si,... ,sn)- Указание: нуж-
нужное lex-упорядочение не является упорядочением о\ > ... > on > si >
§ 2. Конечные матричные группы
и кольца инвариантов
В этом параграфе мы дадим определение инварианта конечной мат-
матричной группы и рассмотрим примеры тех задач, которыми зани-
занимается теория инвариантов. До конца этого параграфа под полем к
мы понимаем поле, содержащее поле рациональных чисел Q. Такие
поля называются полями характеристики нуль.
Определение 1. Через GL(n,A;) мы будем обозначать множество
всех обратимых n x n-матриц с элементами из к.
Если А и В — обратимые n x n-матрицы, то из курса линейной
алгебры известно, что их произведение АВ обратимо и обратная
матрица А также обратима (упр. 1). Напомним, что единичная
nxn-матрица 1П обладает следующими свойствами: А-1П = 1ПА = А
и А ¦ А = 1П для любой матрицы А € GL(n,A;). В терминологии
приложения А это означает, что GL(n, к) является группой.
Отметим, что матрица А € GL(n, к) задает обратимое линейное
отображение А: кп —> кп (умножением слева на эту матрицу вектор-
столбцов). Так как каждое линейное отображение пространства кп
на себя может быть задано таким образом, то GL(n,A;) обычно на-
называют общей линейной группой.
Нас будут в основном интересовать следующие подмножества
из GL(n,A;).
Определение 2. Конечное подмножество G С GL(n, к) называется
конечной матричной группой, если оно непусто и замкнуто отно-
относительно матричного умножения. Количество элементов в G назы-
называется порядком этой группы и обозначается \G\.
Рассмотрим примеры конечных матричных групп.
Пример 3. Пусть матрица А € GL(n,k) такова, что Ат = 1п для
некоторого положительного т. Если т — наименьшее положитель-
положительное число с таким свойством, то легко доказать, что множество
Cm = {In,A,A2J...,Am-1}cGL(n,k)
замкнуто относительно умножения (упр. 2) и, следовательно, явля-
является конечной матричной группой. Мы будем называть Ст цикли-
§ 2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов
413
ческой группой порядка т. Пусть, например,
'О -1
А =
1
CGLB,*).
Тогда А4 = 12, а следовательно, С± = {h,A, А2, А3} — это цикличе-
циклическая группа порядка 4 в GLB,A;).
Пример 4. Важный пример конечной матричной группы связан
с перестановками переменных, обсуждавшимися в § 1. Обозначим
через г перестановку xix,..., Xjn переменных xi,...,xn. Так как
г полностью определяется тем, как она действует на индексы, то
положим i\ = тA), г2 = тB),...,in = т(п). Теперь соответствующую
перестановку переменных можно записать в виде a;T(i)> • • • :хт{п)-
Построим по г матрицу следующим образом. Рассмот-
Рассмотрим линейное отображение, которое переводит (xi,...,xn) в
(жтA), • • • ,а;т(п))- Матрица, соответствующая этому линейному ото-
отображению, обозначается через Мт и называется матрицей пере-
перестановки. Это означает, что
МТ
Мы оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения
доказательство того факта, что Мт может быть получена из еди-
единичной матрицы 1п перестановкой столбцов в соответствии с т. Точ-
Точнее, т(г)-й столбец матрицы Мт равен г-му столбцу матрицы 1п.
Рассмотрим, например, перестановку г, которая (x,y,z) переводит
в (y,z,x), т.е. тA) = 2,тB) = 3и тC) = 1. Тогда
Так как количество перестановок п переменных равно п!, то име-
имеется п! матриц перестановок. Более того, множество матриц пере-
перестановок замкнуто относительно умножения: легко доказать, что
Мт ¦ М„ = М„т,
где vt — это перестановка, переводящая i в v(r(i)) (см. упр. 4). Та-
Таким образом, множество матриц перестановок является конечной
матричной группой в GL(n,A;). Эту матричную группу мы будем
обозначать через Sn. (Строго говоря, группа матриц перестановок
только изоморфна 5„ в смысле теории групп. Мы это различие бу-
будем игнорировать.)

414
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Пример 5. Другой важный класс конечных матричных групп свя-
связан с симметриями правильных многогранников. Рассмотрим, на- i
пример, куб в К3 с центром в начале координат. Множество враще-
вращений пространства К3, переводящих куб в себя, конечно и замкнуто
относительно умножения, т. е. оно является конечной матричной \
группой в GLC, К). Все конечные матричные группы в GLC,1
описаны, и с этими группами связаны глубокие геометрические \
результаты (некоторые примеры см. в упр. 5-9). Заинтересован-
Заинтересованный читатель может обратиться к книгам Benson, Grove A985), J
Klein A884) или Coxeter A973).
Конечные матричные группы обладают целым рядом полезных 1
свойств.
Предложение 6. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная \
группа. Тогда
(i) In G G;
(ii) если А ? G, mo Am = In для некоторого положительного т\ j
(iii) если A?G, mo A ? G.
Доказательство. Если А ? G, то {A, A2, A3,... } С G, так как G
замкнута относительно умножения. Из конечности группы G сле-
следует, что А1 = А> для некоторых i > j, а так как А обратима, то,
умножая обе части равенства на A~i, получим, что Ат = 1п, где
т = г - j > 0. Это доказывает (ii).
Докажем (iii). Из (ii) следует, что 1п = Ат = А- Ат~1 = А А. .
Отсюда следует, что А~х = Ат~1 ? G, поскольку G замкнута от- |
носитель но умножения. Теперь докажем (i). Так как G Ф 0, то мы
можем взять некоторую матрицу А ? G. Тогда 1п = Ат ? G по (ii). D
Рассмотрим теперь действие элементов из GL(n, k) на полиномы I
из k[xi,... ,хп]. Пусть А = (aij) e GL(n,k) и / ? к[хг,... ,хп]. Тогда j
g(xi,...,xn) = f(anxi +... + ainxn,..-,aniXi + ... + annxn)) A)
также является полиномом из к[х\,..., хп]. Представим это равен-
равенство в более компактном виде. Для этого обозначим через х вектор-
столбец переменных х\,..., хп, т. е.
х =
Тогда равенство A) может быть записано в матричном виде:
2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов
415
Если рассматривать А как матрицу перехода к новому базису, то
д — это / в новых координатах.
Пусть, например, /(х, у) = х2 + ху + у2 ? Щх, у], а
Тогда
х-у
х-у х+у
л/2
С геометрической точки зрения этим преобразованием мы исклю-
исключили член ху в /, повернув систему координат на 45°.
Замечательным фактом является то, что иногда такое преобра-
преобразование не меняет полином. Если, например, h(x,y) = х2 +у2 и А —
матрица, о которой шла речь выше, то
Мы будем говорить, что полином h инвариантен относительно А.
Эти наблюдения приводят нас к фундаментальному определению.
Определение 7. Пусть G С GL(n, k) — конечная матричная груп-
группа. Полином /(х) ? k[xi,... ,хп] называется инвариантным отно-
относительно группы G (или ее инвариантом), если
для всех А ? G. Множество всех инвариантных относительно G
полиномов обозначается к\х\,..., xn]G¦
Основной пример инвариантов дают симметрические полиномы.
Пример 8. Рассмотрим группу Sn С GL(n, к) всех матриц пере-
перестановок. Очевидно, что
к[х\,..., xn]s" = {все симметрические полиномы в k[xi,..., х„]}.
По теореме 3 из § 1 симметрические полиномы —это полиномы от
элементарных симметрических функций с коэффициентами в к.
Мы можем записать это следующим образом:
,...,CTnJ.
Таким образом, каждый инвариант является полиномом от конеч-
конечного числа инвариантов (элементарных симметрических функций).

416
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Кроме того, мы знаем, что такое представление единственно. Все
это дает нам явное описание инвариантов группы Sn.
Одна из основных задач теории инвариантов —выяснить, мож-
можно ли множество инвариантов k[xi,..., xn]G описать так же хорошо,
как множество k[xi,... ,xn]Sn в примере 8. Докажем сначала, что
множество k[xi,... ,xn]G имеет следующую алгебраическую струк-
структуру-
Предложение 9. Пусть G С GL(n, k) — конечная матричная
группа. Тогда множество k[xi,... ,xn]G замкнуто относительно
сложения и умножения, а также содержит все константы.
Доказательство. (Легкое) доказательство этого предложения мы
оставляем читателю. D
Сложение и умножение в к[х\,... ,xn]G автоматически комму-.;
тативны, ассоциативны, дистрибутивны и т. п., потому что этими
свойствами обладают операции в k[xi,... ,хп]. В соответствии с
терминологией гл. 5 k[xi,... ,xn]G является кольцом. Более того,
k[xi,..., xn]G является подколъцом кольца к[х\,..., хп].
Теперь мы знаем три способа строить новые кольца. В гл. 5
мы научились строить факторкольцо к[х\,... ,хп]/1 по идеалу I С
к[х\,..., хп] и координатное кольцо k[V] аффинного многообразия
V С кп. А только что мы узнали, как строить кольцо инвариантов
k[xi,..., xn]G конечной матричной группы G С GL(n, к). В § 4 мы
увидим, что эти три конструкции тесно связаны.
В § 1 было доказано, что однородные компоненты симметриче-
симметрических полиномов также симметрические. То же самое справедливо
для инвариантов любой матричной группы.
Предложение 10. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная
группа. Тогда полином f ? k[xi,... ,хп] инвариантен относитель-
относительно G в том и только том случае, когда инвариантны его одно-
однородные компоненты.
Доказательство. См. упр. 11. D
Во многих ситуациях предложение 10 позволяет сводить рас-
рассмотрения к случаю однородных инвариантов. Это будет особенно
полезно в доказательствах ряда утверждений в § 3.
В следующей лемме формулируется полезный критерий инва-
инвариантности.
Лемма 11. Пусть G С GL(n,k) —конечная матричная группа и
матрицы А\,..., Ат ? G таковы, что любая матрица А ? G мо-
может быть представлена в виде
A = B1B2...Bt,
j 2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов 417
где Bt ? {Ai,... ,Am} для любого г (другими словами, А\,... ,Ат
порождают G). Тогда полином f ? k[xi,...,xn] инвариантен от-
относительно G в том и только том случае, когда
Доказательство. Докажем сначала, что если / инвариантен от-
относительно матриц Bi,..., Bt, то он инвариантен относительно их
произведения. Это очевидно, если t = 1. Предположим, что это вер-
верно для t — 1. Тогда
/((Si... Bt) ¦ х) = /((Вх... Bt-{) ¦ ЗД
= f(Bt ¦ х) (по предположению индукции)
= /(х) (в силу инвариантности относительно Bt).
Пусть теперь / инвариантен относительно А\,..., Ат. Так как
каждый элемент А ? G может быть записан в виде произведе-
произведения Bi...Bt, где каждое Bt является одним из Ai,...,Am, то
/ ? к[х\,..., xn]G. Обратное утверждение очевидно. D
Теперь мы можем найти некоторые интересные примеры колец
инвариантов.
Пример 12. Рассмотрим конечную матричную группу
которая иногда называется четверной группой Клейна. Мы исполь-
используем обозначение V^, потому что «четыре» по немецки — это «vier».
Легко проверить, что две матрицы
-1
0
1 0
О -1
порождают Vi. По лемме 11 полином / ? к[х,у] является инвари-
инвариантом группы Vi в том и только том случае, когда
f(x,y) = f(-x,y) = f{x,-y).
Пусть / = ^ijdijx'y3. Тогда
f(x,y) = f{~x,y)
a,ij = {-l)la.ij для всех i,j
a.ij — 0, если г нечетно.

418
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Из этого следует, что / содержит переменную х только в четной
степени. Аналогично, из условия f(x,y) = f(x,—y) следует, что /
содержит переменную у только в четной степени. Таким образом,
f(x,y)=g(x2,y2),
для некоторого однозначно определенного полинома д Е к[х,у].
С другой стороны, полином / такого вида, очевидно, инвариантен
относительно V^. Значит,
k[x,y}v*=k[x2,y2).
Таким образом, каждый инвариант группы Vi может быть одно-
однозначно представлен в виде полинома от двух однородных инвари-
инвариантов х2 и у2. Таким образом, инварианты группы Клейна похожи
на симметрические полиномы.
Пример 13. Рассмотрим теперь пример, когда инварианты описы-
описываются не столь просто, а именно циклическую группу С2 = {±/2} С
GLB, к) второго порядка. В этом случае инвариантами являются
полиномы / € к[х,у], такие, что f(x,y) = f(-x, -у). Мы оставляем
читателю в качестве упражнения доказательство того, что инвари-
инвариантность / эквивалентна условию
f(x, у) =
3> гДе aij = 0, если i + j нечетно.
ij
Г т
XlV3 = <
" I ~2m-f 1
Это означает, что / — инвариант группы C<i, если в каждом его
члене степени переменных х и у имеют одинаковую четность (т.е.
или обе четные, или обе нечетные). Таким образом, каждый моном
хгу3, входящий в /, имеет вид
¦2rny21 =(x2)m(y2I, если г, j четны,
'+1 = (х2)т(у2I ху, если г, j нечетны.
Следовательно, каждый моном в /, а значит, и сам / является по-
полиномом от трех однородных инвариантов х2,у2 и ху. Другими
словами,
к[х,у]с*=к[х2,у2,ху].
Обратите внимание, что все три эти инварианта необходимы для
того, чтобы породить кольцо к[х,у]°2.
Кольцо к[х2, у2, ху] резко отличается от колец инвариантов, рас-
рассмотренных ранее, потому что здесь отсутствует единственность:
инвариант может иметь несколько представлений в виде полинома
от х2,у2,ху. Например, полином х4у2, очевидно, является инвари-
инвариантом группы Сг, но
§ 2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов
419
В § 4 мы увидим, что это связано с существованием алгебраиче-
алгебраического соотношения х2 -у2 — (хуJ между основными инвариантами.
Вообще говоря, основная задача1) теории и состоит в определении
всех алгебраических соотношений между инвариантами. Если та-
такая информация имеется, то нетрудно понять, где и как наруша-
нарушается единственность.
Эти примеры позволяют сформулировать две основные задачи в
теории инвариантов конечных групп. Пусть G — конечная матрич-
матричная группа и k[xi,..., xn]G — ее кольцо инвариантов.
• (Конечная порожденность) Верно ли, что существует конечный
набор однородных инвариантов /i,-..,/m, таких, что каждый
инвариант является полиномом от Д,..., /т?
• (Единственность) Сколькими способами инвариант / может
быть представлен как полином от /ь ... ,/т? В § 4 мы увидим,
что эта задача сводится к задаче описания алгебраических со-
соотношений между инвариантами /i, • • •, /т •
В §§ 3 и 4 мы дадим полные ответы на эти вопросы. Мы так-
также рассмотрим алгоритмы нахождения инвариантов и соотноше-
соотношений между ними.
Упражнения к § 2
1. Пусть А, В € GL(n, k) — обратимые матрицы. Докажите обратимость
матриц АВ и А~х.
2. Пусть А € GL(n, к) и Ат = 1П для некоторого положительного т.
Докажите, что если т — наименьшее из таких чисел, то множество
{In, А, А2,... ,Ат~1} содержит в точности т элементов и замкнуто
относительно умножения.
3. Выпишите все шесть матриц перестановок из группы GLC,A;).
4. Пусть Мг —матрица линейного преобразования, которое переводит
х\,... ,хп в xT(i),... ,хт(п). Это означает, что если е\,... ,е„ — стан-
стандартный базис в кп, то МТ ¦ (J2j XjZj) — J2j xt(j)Zj-
(а) Докажите, что Mr ¦ eT(i) — ei- Указание: обратите внимание, что
(b) Докажите, что г(г)-й столбец матрицы МТ равняется i-му столб-
столбцу матрицы 1П.
(c) Докажите, что Мт ¦ М„ = М„т, где перестановка vt переводит t
в «/(г(О).
5. Рассмотрим куб в R3 с центром в начале координат, ребра которого
параллельны координатным осям и имеют длину 2.
^Точнее, одна из основных задач. — Прим. ред.

420 Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
(a) Докажите, что существует только конечное число вращений про-
пространства К3 с центром в начале координат, переводящих куб в
себя, и что множество таких вращений замкнуто относительно
композиции. Рассматривая матрицы этих вращений, мы полу-
получим конечную матричную группу G С GLC,R).
(b) Докажите, что \G\ = 24. Указание: каждое вращение является
вращением относительно некоторой прямой, проходящей через
начало координат, так что сначала нужно найти эти «линии сим-
симметрии» куба.
(c) Найдите в G матрицу вращения на угол 120° против часо-
часовой стрелки относительно диагонали, соединяющей вершины
(-1,-1,-1) и A,1,1).
(d) Найдите в G матрицу вращения на угол 90° против часовой
стрелки вокруг оси z.
(e) Докажите геометрически, что G порождается двумя матрицами,
из п. (с) и из п. (d).
6. В этом упражнении мы геометрическими методами найдем некото-
некоторые инварианты группы вращений куба G из упр. 5.
(a) Объясните, почему x2+y2+z2 € Щх, у, z]G. Указание: рассуждай-
рассуждайте геометрически в терминах расстояния от начала координат.
(b) Докажите геометрически, что объединение трех координатных
плоскостей ~V(xyz) сохраняется под действием вращений из груп-
группы G.
(c) Докажите, что I(V(xyz)) = (xyz), и убедитесь, что если / = xyz
и А 6 G, то f(A ¦ х) = axyz для некоторого вещественного а.
(d) Докажите, что если / = xyz, то f(A ¦ х) = ±xyz для всех А € G и
что x2y2z2 € k[x,y,z]G. Указание: используйте п. (с) и тот факт,
что Am — h для некоторого натурального т.
(e) Используя аналогичные методы, докажите, что полиномы
((х + у + z)(x + у- z)(x -у + z)(x -у- z)J ,
((x2-y2)(x2-z2)(y2-z2)J
принадлежат k[x, у, z]G. Указание: плоскость х + у + z = 0 пер-
перпендикулярна диагонали куба.
7. В этом упражнении мы продолжим изучение инвариантов группы
вращений куба, начатое в упр. 6.
(a) Докажите, что / € k[x,y,z]G в том и только том случае, когда
f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(-y,x,z). Указание: примените пп. (с),
(d) и (е) упр. 5.
(b) Пусть
/ = xyz,
д = (х + у + z)(x + y- z)(x -y + z){x -y-z),
h = (x2-y2)(x2-z2)(y2-z2).
j 2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов
421
В упр. 6 было доказано, что f2,g2,h2 € k[x, у, z] . Докажите, что
/, h ^ k[x,y,z]G, но g,fh € k[x,y,z]G. Таким образом, учитывая
результаты упр. 6, мы получаем инварианты х2+ y2 + z2,g,f2, fh
и h2 группы G степеней 2,4, 6,9 и 12 соответственно. В § 3 будет
доказано, что h2 может быть выражен через другие инварианты.
8. В этом упражнении будет рассмотрена интересная «двойственность»
правильных многогранников.
(a) Рассмотрим куб и октаэдр в R3 с центрами в начале координат.
Пусть ребра куба параллельны координатным осям, а вершины
октаэдра лежат на этих осях. Докажите, что группы вращений
этих многогранников совпадают. Указание: поместите вершины
октаэдра в центры граней куба.
(b) Докажите аналогичное утверждение для додекаэдра и икоса-
икосаэдра. Указание: что получится, если соединить центры 12 граней
додекаэдра?
(c) Пункты (а) и (Ь) показывают, что в некотором смысле октаэдр
является «двойственным» кубу, а икосаэдр — додекаэдру. Какой
многогранник «двойствен» тетраэдру?
9. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры.) В этом уп-
упражнении мы рассмотрим тетраэдр с центром в начале координат.
(a) Докажите, что вращения пространства R3 с центром в начале ко-
координат, переводящие тетраэдр в себя, образуют конечную мат-
матричную группу G порядка 12 в GLC,R).
(b) Так как каждое вращение тетраэдра индуцирует перестановку
четырех его вершин, то докажите существование группового го-
гомоморфизма р : G —ь Si.
(c) Докажите, что р инъективен и что его образом является зна-
знакопеременная группа А$. Это показывает, что группа вращений
тетраэдра изоморфна А$.
10. Докажите предложение 9.
П. Докажите предложение 10. Указание: пусть А = (flij) 6 GL(n, k), и
пусть х*!1 ... xj," — моном полной степени m — i\ + ... + г„ в /. Тогда
полином
+ ... + ainXn)'1 ¦ ¦ ¦ (anlxi + ... + annxn)ln
однороден полной степени m.
12. В примере 13 мы рассматривали полиномы / 6 A[x,j/], такие, что
/(х, у) = f(-x, -у). Докажите, что если / = JV a,ijx'yj, то это усло-
условие эквивалентно условию, что а^ = 0, если i + j нечетно.
13. В примере 13 мы нашли алгебраическое соотношение х2 ¦ у2 = {хуJ
между инвариантами ж2, у2 и ху. Мы хотим доказать, что это соотно-
соотношение является в некотором смысле единственным. Точнее, рассмот-
рассмотрим полином g(u, v, w) € k[u, v, w], такой, что д(х2, у2,ху) = 0. Мы хо-
хотим доказать, что g(u, v, w) делится (в k[u, v, w]) на полином uv — w2
(этот полином соответствует приведенному выше соотношению).

422
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
(a) Разделите д кг. uv — w2, используя lex-упорядочение с и > v > w,
и докажите, что остаток от деления может быть записан в виде
иА(и, w) + vB(v, w) + C(w).
(b) Докажите, что полином г = иА(и, w) + vB(v,w) + C(w) удов-
удовлетворяет равенству r(x2, у2, ху) = 0 в том и только том случае,
когда г = 0.
14. Рассмотрим конечную матричную группу С* С GLB,C), порожден-
порожденную матрицей
Л=(о _°)еСЬB,С).
(a) Докажите, что Сч —циклическая группа порядка 4.
(b) Используя метод упр. 13, найдите С[х, у]с*.
(c) Существуют ли алгебраические соотношения между инвариан-
инвариантами, найденными в п. (Ь)? Можете ли вы привести пример на-
нарушения единственности?
(d) Используя метод упр. 13, докажите, что соотношение, найденное
в п. (с), является единственным соотношением между инвариан-
инвариантами.
15. Пусть
(a) Докажите, что V* является конечной матричной группой поряд-
порядка 4.
(b) Найдите k[x,y]Vi.
(c) Докажите, что каждый инвариант имеет единственное представ-
представление через образующие инварианты, найденные в п. (Ь).
16. В примере 3 мы рассмотрели конечную матричную группу С\ в
GLB,A;), порожденную матрицей j
А =
j
° -j)eGLB,A).
Попытайтесь применить методы упр. 12 и 13 и найти к[х, у]С/>. Если
вы и не сможете найти все инварианты, то постарайтесь найти ин-
инварианты небольшой полной степени. В § 3 кольцо к[х, у]с* будет
описано полностью.
§ 3. Образующие кольца инвариантов
В этом параграфе мы алгоритмически определим кольцо инвари-
инвариантов к[х\,..., xn]G конечной матричной группы G С GL(n, к). Как
и в § 2, будем считать, что поле к имеет характеристику нуль. Мы
начнем со строгого определения некоторых понятий, которыми не-
неявно пользовались в § 2.
Определение 1. Пусть /b...,/m € k[xi,...,xn]. Через fc[/i,...,
/т] будет обозначаться подмножество в k[xi,... ,хп], состоящее из
§ 3. Образующие кольца инвариантов
423
всех полиномиальных выражений от /i,..., /m с коэффициентами
из к.
Другими словами, / € fc[/i,..., fm], если / может быть предста-
представлен в виде
где д — полином от m переменных с коэффициентами из к.
Так как множество k[fi,..., fm] замкнуто относительно сложе-
сложения и умножения и содержит все константы, то оно является под-
кольцом в A;[a;i,..., хп]. Мы будем говорить, что fc[/i,..., fm] поро-
порождено полиномами fi,...,fm над к. Здесь следует быть вниматель-
внимательным: подкольцо fc[/i,..., /m] и идеал (Д,..., fm) оба «порождены»
полиномами /i,..., /m, но в выражение «порождены» мы вклады-
вкладываем разный смысл. В упражнениях мы рассмотрим примеры, ко-
которые помогут понять это различие.
Важным инструментом изучения колец к[х\,... ,хп}° является
оператор Рейнольдса, который определяется следующим образом.
Определение 2. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная груп-
группа. Ее оператором Рейнолъдса называется отображение Rg :
k[xi,...,xn] ->• к[х\,...,хп], заданное формулой
\G\
to
где /(х) € k[xi,...,xn].
Rg(J) является усреднением полинома / под действием группы
G. Отметим, что деление на \G\ корректно, так как характеристика
поля к равна нулю. Оператор Рейнольдса обладает следующими
важными свойствами.
Предложение 3. Пусть Rq — оператор Рейнолъдса конечной
матричной группы G. Тогда
(i) Rg является k-линейным по /;
(И) если f 6 k[xi,...,xn], то RG(f) € к[хг,. ..,xn]G;
(iii) если f € k[xi,..., xn]G, mo RgU) = f ¦
Доказательство. Доказательство п. (i) мы оставляем читателю в
качестве упражнения. Докажем п. (ii). Если В € G, то
= -^ ? f(A ¦ Вх) = ^ X
Пусть G = {AU...,A\G\}- Тогда А{В ф А,-В при г ф j (в про-
противном случае достаточно умножить это равенство на В~1 спра-
справа и получить, что А{ — Aj). Таким образом, подмножество

424
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
{А\В,..., A\g\B) С G состоит из \G\ различных элементов и, сле-
следовательно, совпадает с G, т. е.
G={AB: Ae G}.
Значит, в последней сумме в A) полиномы f(AB-x) — это полиномы
f(A ¦ х), но взятые в другом порядке. Тогда
ПАВ ¦ х) =
A?G
f(A ¦ х) =
Отсюда следует, что RG(f)(B ¦ х) = Дс(/)(х) для всех В е G, т.е.
Д(/)€ k[x1,...,xnf.
Докажем п. (iii). Отметим, что если / е k[xi,..., xn]G, то
¦*) = 4т Е
1 ' A€G
так как / — инвариант. Доказательство закончено. ?
Полезным следствием этого предложения является простой ме- j
тод построения инвариантов. Приведем пример.
Пример 4. Рассмотрим циклическую матричную группу С4 С
GLB, к) порядка 4, порожденную матрицей
(О -1
А =
1 О
По предложению 11 из § 2
к[х,у}с< = {/ g k[x,y] : f(x,y) = f(-y,x)}.
Легко проверить, что оператор Рейнольдса группы С4 задается сле-
следующей формулой:
f(-y,x) + f(-x, -у) + /(y> -х))
y) = -^(f(x,
(см. упр. 3). Применяя предложение 3, легко построить следующие
инварианты:
RcA*2) = \(х2 + (-уJ + (-хJ + у2) = 1(х2 + у%
(ху + (-у)х+(-х)(-у)+у(-х)) = О,
(х3у + (-уKх+(-хK(-у) + у3(-х)) = 1-{х3у - ху3),
§ 3. Образующие кольца инвариантов
425
Таким образом, х2 + у2,х3у — ху3,х2у2 € k[x,y}Ci. Мы увидим, что
эти инварианты порождают кольцо к[х,у]с*.
Легко доказать, что образ любого монома ха при действии опе-
оператора Рейнольдса является однородным инвариантом Ra{xa) пол-
полной степени \а\ (если он не равен нулю). Следующая замечательная
теорема, принадлежащая Эмми Нётер, утверждает, что с помощью
оператора Рейнольдса мы всегда можем построить конечное число
инвариантов, порождающих кольцо к[х\,..., xn]G.
Теорема 5. Пусть G С GL(n,к) —конечная матричная группа.
Тогда
G ^
В частности, кольцо k[xi,... ,xn]G порождено конечным числом
однородных инвариантов.
Доказательство. Пусть / = ^асаха € к[хх,... ,xn]G. Тогда из
предложения 3 вытекает, что
/ = Ro(f) = Rg
Следовательно, любой инвариант является линейной комбинацией
(над к) инвариантов вида Ro(xa). Таким образом, достаточно до-
доказать, что инвариант Ло(ха) для любого а является полиномом
от инвариантов Rq{xi3),\j3\ < \G\.
Замечательная идея Нётер состоит в том, что нужно зафиксиро-
зафиксировать целое т и объединить все инварианты Ro(xa) полной степени
т в сумму степеней (как в § 1). Затем, используя теорию симме-
симметрических функций, эту сумму можно представить как полином от
конечного числа сумм степеней.
На первом шаге выражение (xi + ... + хп)т мы записываем
(раскрывая скобки) в виде суммы мономов ха, \а\ = т:
\а\=т
В упр. 4 будет доказано, что коэффициенты аа являются положи-
положительными целыми числами.
Введем некоторые обозначения. Если А — (а^) € G, то через
Ai мы будем обозначать г-ую строку матрицы А. Таким образом,
Аг ¦ х = ацХх + ... + ainxn. Пусть а = (аг,...,а„) € Z>0. Положим
В этих обозначениях

426
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Введем новые переменные и\,..., un и подставим выражения
UiAi • х вместо Xj в B). В результате получим тождество
aa(A-x)aua.
Суммируя по всем А ? G, получаем
\а\=т
baRG(xa)ua,
C)
где ba = \G\aa. Заметим, что в сумме в правой части равенства
содержатся все R.G(xa), \a\ = т. Именно поэтому мы и используем
переменные щ,... ,un: они не дают сократиться подобным членам.
Левая часть равенства C) — это сумма т-х степеней выражений
Uа =
• х + ... + unAn ¦ х,
индексированных элементами А € G. Запишем это так: Sm = 1
Sm(Uа '¦ А ? G). Но теореме 8 из § 1 каждая симметрическая функ-
функция от \G\ выражений Ua является полиномом от S\,...,S\q\. Так
как Sm — симметрическая функция от Ua , то
Sm = F(Si, . . -,5|G|)
для некоторого полинома F с коэффициентами из к. Подставляя
это в C), получаем
\0\=\g\
Раскрывая скобки в правой части и приравнивая коэффициенты
при иа, получаем
baRG(xa) = полином от RG(xp), Щ < \G\.
Так как характеристика поля равна нулю, то коэффициент Ьа =
\G\aa не равен нулю в к; следовательно, Ra(xa) имеет требуемое
представление. ?
Эта теорема решает задачу о конечной порожденности, которая
была сформулирована в конце § 2. В упражнениях будет рассмотре-
рассмотрено другое доказательство этой теоремы, опирающееся на теорему
Гильберта о базисе.
Силу этой теоремы легко увидеть на примерах.
§ 3. Образующие кольца инвариантов
427
Пример 6. Вернемся к рассмотрению циклической группы С± С
GLB, k) порядка 4 из примера 4. Чтобы найти кольцо инвариантов,
нам нужно найти все полиномы Rc^x^y^)^ + j < 4. Результаты
вычислений сведены в следующей таблице:
xV
X
У
X2
ху
У2
X3
х2у
Re
(X2
(X2
\(хг!
0
0
+ У2
0
+ У2
0
0
Jj)
)/2
)/2
^У
ху2
У3
X4
х3у
х2у2
ху3
У4
I
(а
(х3
-(х
(а
1с4
у-
X
3У
¦4ч
(хУ
0
0
-у4)
-ху3
У
-ху
-у4)
)
/2
)/2
3)/2
/2
Из теоремы 5 следует, что кольцо к[х,у]°4 порождено четырьмя
инвариантами х2 + у2,х4 + у4,х3у - ху3 и х2у2. Легко видеть, что
инвариант ж4 + у4 «лишний», он выражается через остальные:
у ( у)у
Таким образом,
к[х,у}с<=к{х2 + у2,х3у-ху3,х2у2}.
Главный недостаток теоремы 5 состоит в том, что если |G| вели-
велико, то необходимо вычислить оператор Рейнольдса от очень боль-
большого числа мономов. Рассмотрим, например, циклическую группу
С$ С GLB,K) порядка 8, порожденную вращением на угол 45°
Тогда в теореме 5 утверждается, что кольцо к[х, y]Ci порождено
44 инвариантами Rcg(xly:'),i + j < 8. В действительности только 3
инварианта порождают все кольцо. Для больших матричных групп
в многомерных пространствах ситуация может быть еще хуже. В
упр. 10 рассмотрены некоторые примеры.
К счастью, существуют более эффективные методы вычисле-
вычисления порождающих инвариантов. Основой этих методов является
теорема Молина, позволяющая предсказывать количество линей-
линейно независимых однородных инвариантов данной полной степени.
Эта теорема изложена в гл. 7 книги Benson, Grove A985) и в
гл. 2 книги Sturmfels A993). В последней книге рассмотрен так-
также эффективный алгоритм вычисления порождающих инвариан-
инвариантов в кольце k[xi,..., xn]G, основанный на теореме Молина.

428
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Если нам известно, что k[xi,... ,xn}G = k[fi,... ,fm], то воз-
возникает вопрос, существует ли алгоритм, позволяющий для дан-
данного инварианта / € k[xi,... ,xn]G найти его представление через
/ь ¦ ¦ •, /т- Легко проверить, например, что полином
f(x, у)=х8 + 2х6у2 - х5у3 + 2х4у4 + zЗу5 + 2х2у6 + у8 D)
удовлетворяет условию f(x, у) = f(—y, x) и, следовательно, являет-
является инвариантом группы С4 из примера 4. Из примера 6 следует, что Ц
f € k[x, y]°4 = k[x2 + y2,x3y - ху3,х2у2]. Но как выразить / через
эти три образующие? Для этого можно использовать метод, анало-
аналогичный тому, который мы использовали в предложении 4 из § 1.
Мы докажем даже более общий результат: Д,..., fm будут про-
произвольными полиномами из к[х\,... ,хп]. В следующем предло-
предложении описан алгоритм, позволяющий проверить принадлежность
данного полинома кольцу k[f\,... ,/m] и позволяющий найти его
представление через Д, • • •, /т, если принадлежность доказана.
Предложение 7. Пусть даны полиномы Д,..., /т б k[xi,..., хп\.
Рассмотрим мономиальное упорядочение в k[xi,..., хп, у\,..., ут],
такое, что любой моном, содержащий хотя бы одну из перемен-
переменных Xi, больше всех мономов из k[yi,... ,ут]. Пусть G— базис
Грёбнера идеала
(Д -yi,---,fm -Ут) С k[xi,...,Xn,yi,...,ym].
Рассмотрим полином f ? к[хх,..., хп], и пусть g = fG — его оста-
остаток от деления на G. Тогда
(i) / ? k[fi,...,fm] в том и только том случае, когда g ? k[yi, !j
¦¦¦,Ут]\
(ii) если f e k[fu...,fm], то f = g(fu... ,fm).
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству
предложения 4 из § 1 (с одним интересным отличием). Разделив
/ на G = {gi,... ,gt}, мы получим равенство вида
где Ai,...,At,g ? k[xi,...,xn,yi,...,ym].
Докажем п. (i). Пусть g ? k[yi,... ,ут]. В предыдущем равен-
равенстве заменим каждую переменную yi на Д. Эта подстановка не ме-
меняет /, так как / не зависит от уь ..., ут, но каждый полином из
(/i - 2/1, • ¦ ¦, Дп - Ут) она превращает в нуль. Так как g\,...,gt
принадлежат этому идеалу, то / = з(Д,...,/т); следовательно,
§ 3. Образующие кольца инвариантов
429
Пусть теперь / = д(Д,...,fm) для некоторого g E k[yi,...,ym].
Рассуждая, как в § 1, мы видим, что
f = Ci-(fi-yi) + ... + Cn-{fm- Ут) + g{vi,- ..,ут) E)
(см. равенство D) из § 1). В отличие от случая симметрических по-
полиномов g не обязательно является остатком от деления полинома
/ на G, и нам потребуется еще кое-какая работа с д.
Рассмотрим множество G' = G П к{у\,... ,ут], состоящее из
тех элементов базиса G, которые зависят только от переменных
2/1> • • • iVm- Изменяя порядок элементов в G, если это необходимо,
мы можем считать, что G' = {fli,-..,fls}>s ^ *• Поделив д на G',
мы получим равенство
... + Bsgs+g', F)
где Bi,...,Ba, д1 ? к[у1:... ,ут]. Объединяя равенства E) и F),
запишем / в виде (напомним, что каждый полином gi в F) принад-
принадлежит идеалу (Д - j/i,..., fm - ут))
f = C'1-{f1-yi) + ... + C'm-{fm- Ут) + 9'(УЪ ¦ ¦ • ,1/т).
Мы утверждаем, что д' является остатком от деления полинома /
на G (что и докажет, что остаток принадлежит k[yi,... ,ут]).
Так как G является базисом Грёбнера, то, согласно предложе-
предложению 1 из § 6 гл. 2, д' является остатком от деления полинома / на G
в том случае, если ни один член полинома д' не делится ни на один
старший член из lt(G). Предположим противное, и пусть существу-
существует элемент gi ? G, такой, что его старший член LT(gj) делит неко-
некоторый член полинома д'. Тогда ьт(д;) содержит только переменные
2/1,... ,2/т, так как д' ? k[yi,... ,ут]- Но наше мономиальное упо-
упорядочение выбрано так, что тогда gi ? к[у\,... ,ут}\ следовательно,
gi € G'. Но так как д' является остатком от деления полинома д
на G', то lt(<7j) не может делить ни один из членов полинома д'.
Противоречие. Значит, д' и является искомым остатком.
Пункт (ii) непосредственно следует из доказательства п. (i).
В упражнениях мы, используя это предложение, найдем выра-
выражение полинома
f(x, у)=х8+ 2х6у2 - х5у3 + 2хУ + х V + 2хУ + у8
из D) в виде полинома от образующих х2+у2, х3у — ху3,х2у2 кольца
к[х,у]с*.
Задача построения порождающих элементов кольца инвариан-
инвариантов (и связанная с ней задача построения соотношений между ни-
ними — см. § 4) сыграла огромную роль в развитии теории инвари-
инвариантов. Первоначально изучались инварианты группы всех обрати-

430
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
мых матриц над некоторым полем. Введение в классическую тео-
теорию инвариантов имеется в книгах Hilbert A993) и Sturmfels
A993). Читателю, желающему подробнее ознакомиться с теори-
теорией инвариантов конечных групп, мы можем рекомендовать кни-
книги Benson A993), Benson, Grove A985), Smith A995) и
Sturmfels A993I).
Упражнения к § 3
1. С помощью полиномов /i, ¦ ¦, /т 6 k[xi,... ,хп] можно «породить»
два объекта:
• Идеал (/i,..., fm) С k[xi,..., хп], порожденный полиномами
/ii---)/m- Этот идеал состоит из всех полиномов вида X^Iii ^>/>i
где hi,... ,hm € k[xi,... ,xn].
• Под кольцо k[fi,...,fm] С k[xi,..., xn], порожденное поли-
полиномами /i,...,/m над к. Оно состоит из всех полиномов вида
fl(/ii • • • i/m), где д — полином от m переменных с коэффициентами
из к.
Чтобы продемонстрировать различие между этими двумя объек-
объектами, рассмотрим простой пример, где /i = х2 G к[х].
(a) Объясните, почему 1 6 к[х2], но 1 ^ (х2).
(b) Объясните, почему х3 ? к[х2], но х3 G (х2).
2. Пусть G — конечная матричная группа в GL(ra, к). Докажите, что
оператор Рейнольдса Rg обладает следующими свойствами:
(a) если a,be к я f,gek[xi,... ,хп], то RG(af+bg) = aRG(f)+bRG(g);
(b) Rg отображает к[х\,... ,хп] на все к[х\,... ,хп]°;
(c) RgoRg = Rg;
(d) если / € k[xi,... ,xn]G и д е к[х1}.. .,хп], то Rc(fg) = f ¦ Rc(g)-
3. В этом упражнении мы рассмотрим циклическую группу С а С
GLB, к) из примера 4.
(a) Докажите, что оператор Рейнольдса для С\ задается следующей
формулой:
Rc4 (/)(*, у) = \ (f(x, у) + f(-y, х) + /(-*, -у) + f(y, -*)).
(b) Найдите Rci(xlyJ) для i + j < 4. Некоторые из необходимых
вычислений проделаны в примере 4. Сравните ваши результаты
с таблицей из примера 6.
См. также: Гильберт Д. Избранные труды, т.1.— М.: Факториал, 1998, с. 13-
114; Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления.— М.: ИЛ,
1947; Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инва-
инвариантов.—М.: Мир, 1974; Спрингер Т. Теория инвариантов.—М.: Мир, 1981;
Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов.— М.: Мир, 1987; Вин-
берг Э.Б., Попов В. Л. Теория инвариантов.—Итоги науки и техники. Совре-
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 55, М.: ВИ-
ВИНИТИ, 1989, с. 137-314.— Прим. ред.
§ 3. Образующие кольца инвариантов
431
4. В этом упражнении мы рассмотрим тождество B) из доказательства
теоремы 5. Мы будем работать с мультиномиальными коэффициен-
коэффициентами, которые сейчас определим. Пусть а = (ori,... ,а„) € Z>0 и
|а| = I- Положим
V.
ai!a2!.. .ап)'
(a) Докажите, что (Q) — целое число. Указание: используйте индук-
индукцию по п и обратите внимание на то, что если п = 2, то (^) —
биномиальный коэффициент.
(b) Докажите, что
(*! + ...+*„)'= ]Г
|а|=1
В частности, коэффициенты аа в B) являются положительными
целыми числами (Q). Указание: используйте индукцию по п и
обратите внимание на то, что при п = 2 это утверждение является
обычной формулой бинома.
5. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная группа. В этом уп-
упражнении мы рассмотрим принадлежащее Гильберту доказатель-
доказательство конечной порожденности кольца к[х\,... ,хп]°. Пусть I С
k[xi, ¦ .. ,хп] — идеал, порожденный однородными инвариантами по-
положительной полной степени.
(a) Докажите, что существует конечное множество однородных ин-
инвариантов /i,..., fm, таких, что I = (/i,..., fm) ¦ Стратегия Гиль-
Гильберта состоит в доказательстве равенства k[xi,... ,xm]G = k[fi,
¦ ¦ ¦, fm]- Включение k[fi,..., fm] С k[xi,..., xn]G очевидно. По-
Поэтому нам нужно привести к противоречию предположение о
том, что k[xi,...,xn]G ? k[fi,.. .,/m].
(b) Докажите, что если к[х\,..., xn]G <?. k[f\,..., fm], то существует
однородный инвариант / положительной степени, не принадле-
принадлежащий k[fl,. . . ,/m].
(c) Выберем инвариант /, как в п. (Ь), но минимальной полной сте-
степени Г По определению / G /; следовательно, / = $^™_! h;/;, где
hi,..., hm G k[xi,..., xn]. Докажите, что мы можем считать каж-
каждое слагаемое h,/; либо равным нулю, либо однородным полной
степени /.
(d) Докажите, что / = X^i^Li RG{hi)fi- Указание: используйте пред-
предложение 3 и упр. 2. Докажите также, что для каждого i полином
Ro{hi)fi шли равен нулю, или однороден полной степени I.
(e) Так как полиномы fi имеют положительную полную степень,
то, следовательно, Rdhi) являются однородными инвариантами
полной степени < / (докажите это). Из минимальности I следует,

432
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
что ite(fti) € k[fi,...,fm] для всех г. Докажите, что это проти-
противоречит предположению / ^ k[fi,..., /m].
Это доказательство является изящным следствием теоремы Гиль-
Гильберта о базисе. К сожалению, оно ничего не говорит нам о том, как
искать образующие — оно совершенно неконструктивно. В этом от-
отношении гораздо полезнее теорема Нётер.
6. Рассмотрим две конечные матричные группы G и Н, такие, что G С •]
Н С GL(n,A;). Докажите, что k[xi,.. .,хп]н С k[xt,... ,xn]G- J
7. Пусть дана матрица
A={l _i)eGLB,A).
(a) Докажите, что А порождает циклическую группу С% порядка 3.
(b) Используя теорему 5, найдите конечное множество однородных
инвариантов, порождающих к[х,у]Сз.
(c) Можно ли уменьшить множество образующих? Указание: если
/i, ¦ • •, fm —инварианты, то, воспользовавшись предложением 7,
можно определить, принадлежит ли /i кольцу k[fz,... ,fm].
8. Пусть А — матрица из упр. 7.
(a) Докажите, что —А порождает циклическую матричную группу
Се порядка 6.
(b) Докажите, что —7г € Се- Теперь, используя упр. 6 и результа-
результаты § 2, докажите, что к[х,у]Сб С к[х2, у2,ху]. Выведите отсюда,
что ненулевые однородные инварианты группы Се имеют четную
полную степень.
(c) Используя п. (Ь) и теорему 5, найдите кольцо к[х,у]Сб. Указа-
Указание: для этого надо вычислить очень много значений оператора
Рейнольдса; воспользуйтесь системой компьютерной алгебры и
напишите процедуру, вычисляющую Rceix'y3) по заданной паре
*. 3-
9. Рассмотрим матрицу
(a) Докажите, что А порождает циклическую матричную группу
С8 С GLB, к) порядка 8.
(b) Докажите геометрически, что х2 + у2 € к[х,у]°ь. Указание: А —
это матрица оператора вращения.
(c) Как и в упр. 8, докажите, что однородные инварианты Се имеют
четную полную степень.
(d) Найдите к[х, у] 8. Указание: не приступайте к этой задаче, пока
не напишете процедуру, аналогичную процедуре из п. (с) упр. 8.
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 433
10. Рассмотрим конечную матричную группу
( (±l ° °\1
G= {{ 0 ±1 0 V cGLC,fc).
К 0 ° ±1)\
Легко видеть, что \G\ =8.
(a) Если воспользоваться теоремой 5 для вычисления k[x,y,z] ,
то для скольких мономов надо будет вычислить оператор Рей-
Рейнольдса?
(b) Используйте метод примера 12 из § 2 для вычисления к[х, у, z]G.
11. Пусть / — полином из равенства D).
(a) Докажите, что / € к[х, y)Ci = к[х2 + у2, х3у - ху3, х2у2].
(b) Используйте предложение 7 и найдите представление / в виде
полинома от х2 + у2, х3у — ху3, х2у2.
12. В упр. 5, 6 и 7 к § 2 мы изучали группу G С GLC,R) вращений
куба в R3 и обнаружили, что кольцо к[х, у, z]G содержит следующие
полиномы:
/i =x2 + y2 + z2,
h - {х + у + z){x + y- z)(x -y + z)(x -у - z),
h=x2y2z2,
f4=xyz(x2-y2)(x2-Z2)(y2-z2).
(a) Придумайте элементарное рассуждение, оперирующее степеня-
степенями и доказывающее, что f\ ^ k[fi, /2, /з].
(b) Используя предложение 7, докажите, что /з ^ k[fi, /2].
(c) В упр. 6 к § 2 мы доказали, что
{{x*-y2)(x*-za)(y>-z*)Jek[x,y,z]a.
Докажите, что этот полином принадлежит кольцу k[fi, /2, /з]- Поче-
Почему мы здесь можем проигнорировать /4? Используя теорему Молина
и методы книги Sturmfels A993), можно доказать, что к[х, у, z]G =
§ 4. Соотношения между образующими
и геометрия орбит
Пусть дана конечная матричная группа G С GL(n, к). Тогда по те-
теореме 5 из § 3 существует конечное число однородных инвариантов
fi,...,fm, таких, что
В этом параграфе мы научимся находить алгебраические соотно-
соотношения между /ь • • •, /т и увидим, что эти соотношения обладают
рядом удивительных алгебраических и геометрических свойств.

434
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
A)
Это
Напомним сначала задачу единственности, сформулированную
в конце § 2. Если / ? к[х\,..., xn]Sn = к[о~\,..., о~п] является сим-
симметрическим полиномом, то он имеет единственное представление
в виде полинома от о~\,..., ап. Если G С GL(n, к) — произвольная |
конечная матричная группа и к[х\,... ,хп]° = &[Д,..., fm], то мы
можем спросить, единственно ли представление произвольного ин-
инварианта / С k[xi,..., xn]G в виде полинома от Д,..., /т.
Если зь32 € k{yi,...,ym], то
9l (fit ¦¦ -tfm) = 52 (/li •• -,fm) <=> Hfl,-- -tfm) = О,
где h = gi — 32 • Поэтому единственность нарушается в том и только
том случае, когда существует ненулевой полином h ? к[у\,..., ут],
для которого Л(Д,..., }т) = 0. Такой полином называется нетри-
нетривиальным алгебраическим соотношениель между Д,..., }т
Положим F = (Д,..., fm). Тогда множество
IF — ("с Ли/1> • • • 1 Ут] • 'HjIj • • ¦ > Jmj — U В Л [XI,..., -ьп\)
содержит все алгебраические соотношения между Д,..., Д,
множество обладает следующими свойствами.
Предложение 1. Пусть k[xly... ,xn]G = А[Д,... ,/m] u
ство 1р С k[yi,... ,ут] определено, как в A). Тогда
(i) Ip является простым идеалом в k[yi,..., ут\;
(ii) если f e k[x\,..., xn]G и / = g(Д,..., /m) — одно из предста-
представлений f в виде полинома от Д,..., fm, то все такие пред-
представления имеют вид
где h — произвольный полином из 1р.
Доказательство. Доказать, что If является идеалом, нетрудно.
Докажем его простоту. Пусть fg ? If- Мы должны доказать, что
f ? If или g ? If (см. определение 2 из § 5 гл. 4). Но если fg ? If, I
то /(Д, • • •, fm)g(fi,- ¦ ¦, fm) = 0. Произведение двух полиномов в '!
k[xi,..., хп] равно нулю только в том случае, когда один из них
нулевой. Следовательно, /(Д,..., fm) = 0 или д(Д,..., /т) = 0, т. е:
f ? If или з € If-
Доказательство п. (ii) мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения.
Мы будем называть 1р идеалом соотношений для F —
(fit ¦¦¦tfm)- Этот идеал также называется иногда идеалом сизи-
сизигий. Рассмотрим в качестве примера группу С2 = {±h} С GLB, k).
сизигией. — Прим. ред.
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 435
Мы знаем из § 2, что к[х,у]С2 = к[х'2,у2,ху]. В примере 4 будет
доказано, что If = {uv — w2) С k[u,v,w]. Рассмотрим полином
jS _j_ x3y3 € к[х,у\°2. Из предложения 1 следует, что все способы
представить хв + х3у3 в виде полинома от х2,у2,ху даются следу-
следующей формулой:
(х2K + (хуK + (х2-У2-(хуJ).Ъ(х2,у2,ху),
так как элементы идеала (uv - w2) имеют вид (uv — w2) ¦ b{u,v,w).
Идеал соотношений Ip может быть использован для описания
кольца инвариантов.
Предложение 2. Пусть к[х\,... ,xn]G = k[fi,... ,fm], u пусть
Ip С k[yi,..., ут] — идеал соотношений. Тогда имеет место коль-
кольцевой изоморфизм
Hvi,---,ym]/lF- k[xx,...,xn]G,
т. е. кольцо инвариантов изоморфно факторкольцу кольца поли-
полиномов по идеалу 1р.
Доказательство. Напомним (см. § 2 гл. 5), что элементы фактор-
кольца k[yi,...,ym]/IF обозначаются [д], где д ? k[yi,..., ут], при-
причем [gi] = [д2] в том и только том случае, когда gi - gi ? If-
Определим отображение ф: k[yi,..., ym]/lF -> k[xi,..., xn]G сле-
следующим образом:
Доказательство корректности определения отображения ф и дока-
доказательство того, что ф — гомоморфизм колец, мы оставляем читате-
читателю в качестве упражнения. Докажем, что ф — биективное отобра-
отображение.
Так как к[х\,..., xn]G = fc[/i,..., /m], то сюръективность ф оче-
очевидна. Докажем его инъективность. Предположим, что </>([gi]) =
<?([з2])- Тогда gi(Д, - - -, fm) = 32(Д, • • •, fm), а следовательно, дг -
д-2 ? If, откуда [31] = [32], т.е. ф инъективно.
Мы знаем, что ф — биективное отображение и гомоморфизм ко-
колец; значит, обратное отображение существует и также является
гомоморфизмом колец, т.е. ф — кольцевой изоморфизм.
Более короткое доказательство этого утверждения использует
теорему об изоморфизме (упр. 16 к § 2 гл. 5).
Для нас особенно важным является то, что идеал If может быть
явно описан с помощью теории исключения. А именно, рассмотрим

436
систему
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
2/1 = fi(xu...,xn),
Ут = fm(Xl, ¦ ¦ ¦ ,Xn). I
Тогда определение Ip сводится к исключению х\,..., хп из этой
системы. Точнее, имеет место
Предложение 3. Пусть k[xi,... ,xn]G = k[fi,... ,fm]. Рассмот-
Рассмотрим идеал , ,
JF = (fl ~ У1, ¦ ¦ ¦ , fm ~ Ут) С k[xi,...,Xn,yi,...,ym]. .
(i) Ip является п-м исключающим идеалом идеала Jp, т. е. 1р = |
,i, j
i %!,, ут]
(ii) Зафиксируем мономиальное упорядочение в кольце к[х\,..., ,
2/1) ••• J/т], такое, что моном, содержащий хотя бы одну из >
переменных х\,... ,хп, больше любого монома из k[yi,... ,ут],
и пусть G — базис Грёбнера идеала Jp. Тогда G Г) k[yi,..., ут]
является базисом Грёбнера идеала 1р относительно индуци-
индуцированного мономиального упорядочения в k[yi,... ,ут].
Доказательство. Обратите внимание, что с идеалом Jp мы уже
встречались в предложении 7 из § 3. Докажем сначала следующее
свойство идеала JF: если р ? к[х\,..., хп, ух,..., ут], то
р? JF <=3> р(хи... ,хп, fi,..., fm) =0вк[х1,...,хп]. B)
Импликация в одну сторону очевидна, так как подстановка yt t-t fa
переводит каждый элемент из идеала Jp = (Д - ух,..., fm - ут)
в нуль. Пусть теперь р ? k[xi,..., хп, у\,..., ут}. Заменим каждую
переменную yi в р на /{ - (/j - yt) и раскроем скобки. Тогда
р(хх ,...,хп,у1,...,ут)= р(х1 ,...,xn,fu...,fm)
+ Bi-(fi-y1) + ... + Bm- (fm - Ут)
для некоторых полиномов Ви...,Вт е к[хи ... ,хп,Уи ¦ ¦ -,ут]
(см. упр. 4). В частности, если р(х1,... ,zn,/i,... ,fm) = 0, то
р(х1,...,хп,у1,...,ут) = ВХ -(/i -yi) + ... + Bm-(fm-ym) е JF,
что и завершает доказательство утверждения B).
Теперь рассмотрим правую и левую части утверждения B) на
пересечении с k[yi ,...,ут]. Если р € k[yi,..., ут], то это дает
рЕ JFnfc[yb...,ym] -t=>p(/b...,/m) = 0в fc[xb...,xn],
т.е. р ? 1р, а значит, Jp П k[yi,...,ут] = 1р по определению идеа-
идеала 1р и (i) доказано, a (ii) является непосредственным следствием
теоремы 2 из § 3 гл. 3 (см. также упр. 5 к § 1 гл. 3). D
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 437
Предложение 3 дает возможность описывать соотношения меж-
между образующими.
Пример 4. В § 2 мы показали, что инварианты группы Ci =
{±/2} С GLB, к) образуют кольцо к[х,у]°2 = к[х2,у2,ху]. Пусть
F = (х2,у2,ху), и пусть u,v,w — новые переменные. Идеал соот-
соотношений определяется исключением х, у из системы
и = х2,
w = ху.
Зададим lex-упорядочение cx>y>u>v>w; тогда базис Грёбнера
идеала Jp = {и — х2, v — у2, w — ху) состоит из полиномов
х2 — и,ху — w, xv — yw, xw — уи, у2 — v,uv — w .
Таким образом, согласно предложению 3,
If = (uv-w2),
т. е. все соотношения между образующими х2, у2 и ху порождаются
очевидным соотношением х2 ¦ у2 = {хуJ. Теперь из предложения 2
следует, что кольцо инвариантов является факторкольцом кольца
всех полиномов:
к[х,у]С2 =k[u,v,w]/{uv-w2).
Пример 5. В § 3 мы рассматривали циклическую матричную
группу С4, порожденную матрицей
О -1
ч1 °
и доказали, что
k[x,yf4 =k[x2 + у2,х3у-ху3,х2у2].
Положим F = (х2 + у2,х3у - ху3,х2у2). Мы оставляем читателю
в качестве упражнения доказательство того, что If = (u2w — v —
Aw2) C k[u,v,w], т.е. существует одно нетривиальное соотношение
между образующими,
(х2 + у2J ¦ х2у2 = (х3у - ху3J + А(х2у2J.
Поэтому по предложению 2
k[x,y]Ci = k[u,v,w]/(u2w-v2 -Aw2).
Предложения 1, 2, 3 и теория, развитая в § 3 гл. 5, позволяют
решить задачу единственности, сформулированную в конце § 2.

438
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Пусть A;[xi,...,xn]G = k[fu ..., fm], и пусть IF С k[yi,...,ym] —
идеал соотношений. Если Ip Ф {0}, то, как мы знаем, элемент
/ € k[xi,... ,xn}G может быть многими способами представлен в 1
виде полинома от Д,..., /т. Существует ли стандартное представ- |
ление полинома /?
Для решения этой задачи зафиксируем мономиальное упорядо-
упорядочение на k[yi,..., Ут) и найдем базис Грёбнера G идеала If с помо-
помощью предложения 3. Если д € к[уг,..., ут], то через д° мы будем
обозначать остаток от деления полинома д на G. В гл. 5 мы показа- j
ли, что остатки gG являются однозначно определенными предста-
представителями элементов факторкольца k[yi,..., ут]/1р (предложение 1
из § 3 гл. 5). Этот факт и изоморфизм
k[yi,-..,ym]/lF = k[xi,...,xn]G
из предложения 2 позволяют определить стандартное представле-
представление элементов из k[xi,..., xn]G в виде полиномов от Д,..., /т. Так
базисы Грёбнера помогают восстановить единственность представ-
представления, нарушенную при 1р ф {0}.
До сих пор мы рассматривали алгебраические свойства идеала
1р. Теперь перейдем к геометрии. Геометрический объект, ассоци- |
ированный с идеалом, — это многообразие.
Определение 6. Пусть k[xi,..., xn]G = ?[Д,..., /m], и пусть 1р С
к[у\, • • •, ут] — идеал соотношений для F = (Д,..., /т). Тогда мож-
можно определить аффинное многообразие
VF=V(IF)ckm.
Многообразие Vp обладает следующими свойствами.
Предложение 7. Пусть 1р и Vp такие же, как в определении 6.
(i) VF —это наименьшее многообразие в кт, содержащее пара-
параметризованное множество
Ух - fi(xi,---,xn),
Ут = fm(Xl, • • • , Хп).
(ii) If = I(VF), так что Ip —идеал полиномов, обращающихся в
нуль на Vp.
(iii) VF — неприводимое многообразие.
(iv) Пусть k\VF\ — координатное кольцо многообразия Vp (см. § 4
гл. 5). Тогда
= фь...,1п]с.
4. Соотношения между образующими и геометрия орбит
439
Доказательство. По предложению 3 If является п-м исключаю-
исключающим идеалом идеала Jp = (Д - У\, • • •, fm — Ут) ¦ Пункт (i) является
прямым следствием теоремы о полиномиальном неявном представ-
представлении (теорема 1 из § 3 гл. 3).
Докажем (ii). Включение If С I(VGf)) = I(Vp) всегда име-
имеет место. Докажем обратное включение. Пусть h E I(Vp). Если
(d,... ,an) € kn, то из (i) следует, что
(/i(ai,...,an),...,/m(ab...,an)) € VF.
Так как h обращается в нуль на V>, то
h(ji(ai> • ¦ • :an), ¦ • • ,/m(oi,... ,an)) = 0
для всех (ai,... ,an) € kn. Ho k имеет характеристику нуль и, сле-
следовательно, бесконечно; поэтому (см. предложение 5 из § 1 гл. 1)
Kfi,-..Jm) = 0,T.e.h? IF.
Из (ii) и предложения 1 следует, что I(V>) = If —простой иде-
идеал. Значит, многообразие Vp неприводимо (предложение 4 из § 1
гл. 5). (Мы также можем использовать наличие параметризации и
предложение 5 из § 5 гл. 5, чтобы получить второе доказательство
неприводимости многообразия V>.)
Наконец, в гл. 5 было показано, что координатное кольцо k[Vp]
изоморфно факторкольцу кольца k[yi,..., ут]
(теорема 7 из § 2 гл. 5). Так как I(Vf) = If по п. (ii), то (см. пред-
предложение 2)
k[Vp] S %Ь . . .,Ут]/1р = Фъ • ¦ ¦ ,ХП}°. C)
Предложение доказано. ?
Обратите внимание, как изоморфизмы в C) объединяют три ме-
метода образования новых колец: построение координатного кольца,
переход к факторкольцу и построение кольца инвариантов.
В равенстве k[xi,..., xn\G = А[Д,..., fm] полиномы Д,..., /m
однозначно не определены. Возникает естественный вопрос: как ме-
меняется многообразие VF при переходе к другому множеству обра-
образующих?
Следствие 8. Пусть k[xu ... ,xn]G = fc[/b...,/m] = k[f[,... ,fm,}.
Положим F — (Д,..., fm) и F1 = (]'[,..., f'm,) ¦ Тогда многообразия
Vp С km и VFi С km изоморфны (в смысле определения из § 4 гл. 5).
Доказательство. Из предложения 7 следует, что k[Vp] = k[x\,...,
xn]G = fc[Vp<]. Легко видеть, что эти изоморфизмы тождественны
на константах. Но тогда по теореме 9 из § 4 гл. 5 многообразия Vp
и Vp' также изоморфны. ?

440
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Из гл. 4 мы вынесли важный опыт: алгебро-геометрическое со-
соответствие лучше всего работает над алгебраически замкнутыми
полями. Поэтому до конца этого параграфа мы будем предпола-
предполагать поле к алгебраически замкнутым.
Чтобы понять геометрию многообразия Vf , нам нужно рассмо-
рассмотреть группу G С GL(n, к) с геометрической точки зрения. По-
Пока что мы изучали только ее действие на полиномы: если /(х) €
k[xi,..., хп], то с помощью матрицы А ? G мы строили новый по-
полином д(х) = f(A ¦ х). Но G также действует и на векторы из про-
пространства кп. Точку (ai,..., an) € кп мы будем записывать в виде Ш
вектора-столбца
а =
Тогда умножение на матрицу А ? G вектор-столбца а дает нам
новую точку А ¦ а в кп.
Группа G определяет на кп следующее отношение эквивалент-
эквивалентности: векторы а и b из кп эквивалентны, а ~g b, если b = А ¦ а
для некоторой матрицы А ? G. Проверку того, что ~g в самом де-
деле является отношением эквивалентности, мы оставляем читателю
в качестве упражнения. Также легко доказать, что класс эквива-
эквивалентности вектора а € кп — это множество
{Ь € кп : b ~G а} = {А ¦ а : А € G}.
Подобные классы эквивалентности имеют специальное название.
Определение 9. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная груп-
группа и а € кп. Тогда G-орбитой вектора а называется множество
Ga. = {A-a:A?G}.
Множество всех G-орбит в кп обозначается через kn/G и называ-
называется пространством орбит.
Отметим, что орбита Ga содержит не более |G| точек. В упраж-
упражнениях мы докажем, что число точек в орбите всегда является де-
делителем числа \G\.
Так как орбиты — это классы эквивалентности, то пространство
орбит — это множество классов эквивалентности по отношению ~g-
Мы определили кп/G как множество, но нас интересуют главным
образом аффинные многообразия. Поэтому естественно спросить:
можно ли задать на kn/G структуру аффинного многообразия?
Теорема 10. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная груп-
группа и поле к алгебраически замкнуто. Пусть A;[ari,... xn]G =
[]
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 441
(i) Полиномиальное отображение F : kn -+ Vp, F(a) — (Д(а),...,
/m(a)) сюръективно. Геометрически это означает, что при
параметризации у* = }i{x\,..., хп) каждая точка из Vp явля-
является параметризованной.
(ii) Отображение, сопоставляющее G-орбите G ¦ а точку F(a) E
Vf, индуцирует взаимно однозначное соответствие
kn/G =* Vf.
Доказательство. Пункт (i) мы докажем с помощью теории ис-
исключения. Рассмотрим идеал Jp — (fi - yi, ¦ ¦ ¦, /m - Ут): опреде-
определенный в предложении 3. Так как Ip = Jf П k[yi,..., ут] является
исключающим идеалом для Jp, то точка Fi,..., Ьт) ? Vp — V(/f) —
это частичное решение системы уравнений
2/1 = fi(xi,...,xn),
Ут = /mi^l) • ¦ • 1 Xn)-
Если мы докажем, что решение (bi,...,bm) ? VGf) продол-
продолжается до полного решения (а\,... ,ап,Ъ\,... ,bm) ? \(Jf), to
F(ai,..., ап) = (bi,..., Ът) и сюръективность отображения F : кп -+
Vp будет доказана.
Мы утверждаем, что для каждого г существует полином р* ?
JF Пк[х{,...,хп,у1,...,ут], такой, что
р{ = х^ + члены, содержащие xt в степенях < N, D)
где N = \G\. Доказательство этого утверждения мы дадим чуть
позже, а пока будем считать его доказанным.
Предположим, что существует продолжение частичного реше-
решения (bi,...,bm) до частичного решения
(ai+1,..., an, 6i,..., bm) ? V( Jp) П k[xi+1,... ,xn,yu... ,ym].
Так как к алгебраически замкнуто, то по теореме о продолже-
продолжении из § 1 гл. 3 мы можем продолжить это частичное решение до
(оь ai+i, ...,an,bi,..., bm), если старший коэффициент при Xi у од-
одного из порождающих элементов идеала Jpf)k[xi,..., хп, у\,..., ут]
не обращается в нуль на этом частичном решении. По нашему
предположению идеал содержит элемент pi с таким свойством (его
старший коэффициент—1), и мы можем считать рг образующим
(просто добавим его к множеству порождающих элементов). Та-
Таким образом, требуемое продолжение существует (см. следствие 4
из § 1 гл. 3).
Теперь нужно доказать существование таких р*. Нам понадо-
понадобится следующая лемма.

442
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
Лемма 11. Пусть G С GL(n,к) —конечная матричная р
\G\ = N и f € k[xi,... ,хп]. Тогда найдутся инварианты дх,.. .,
k[xi,... ,xn]G, такие, что
Доказательство леммы. Рассмотрим полином
}{А ¦ х)). Раскрывая скобки, получим
(X - f(A ¦ х)) = Xм + 91
+ ... +
лев
A-
где коэффициенты gi,.-.,gN принадлежат k[xi,... ,хп]. Мы уг-'
верждаем, что gi,- ¦ ¦ ,9n являются инвариантами группы G. Чтоад
доказать это, предположим, что В € G. В доказательстве преджь
жения 3 из § 3 мы показали, что множество полиномов f(AB ¦ х)
совпадает с множеством полиномов f(A ¦ х). Таким образом,
Ц(Х-НАВ-х))= Ц(Х-/(Л-х)).
AeG AeG
Раскрывая скобки в этом равенстве, получим, что
для любого В € G. Это и доказывает инвариантность полиномов
9i,-¦¦ ,9n-
Одним из сомножителей в этом произведении является X-/(/„•
х) = X — /(х). Значит, при X = /(х) произведение равно нулю и
fN + 9ifN-1 + --. + 9N = 0. О
Теперь мы можем доказать утверждение о полиноме pi. Поло-
Положим в лемме 11 / = ?;. Тогда
х? +g1x?-1 + ...+gN = 0, E)
где N = \G\ и gi,...,gN <E k[xu ... ,xn]G. Так как к[хг,... ,xnf =
fc[/i,¦••»/«], то д, = hj{fi,...,fm),j = 1,...N. Пусть
••• + hN(y1,...,ym) e k[xi,yi,...,ym].
Из E) следует, что Pi(xi,fi,...,fm) = 0; следовательно, по B)
Pi e Jf- Осталось заметить, что рг е Jf П к[хг,... ,xn,yi,... ,ут].
Докажем (ii). Отображение
F : kn/G -^VF, G ¦ а ^ F(a) = (Л(а),..., /га(а)),
корректно определено, так как каждый полином ft инвариантен и,
следовательно, принимает одно и то же значение в каждой точке
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 443
орбиты G ¦ а. По (i) отображение F сюръективно; значит, F также
сюръективно.
Осталось доказать, что F инъективно. Пусть G ¦ а и G ¦ Ъ-~
различные орбиты. Так как ~g — отношение эквивалентности, то
эти две орбиты не имеют общих точек. Построим инвариант g €
k[xi, ¦ ¦ ¦ ,xn]G, такой, что g(a) ф д(Ъ). Чтобы сделать это, сначала
отметим, что S = G Ъи G ¦ а. - {а} — конечное множество точек
в кп и, следовательно, S является аффинным многообразием. Так
как а ^ S, то найдется полином /, равный нулю на S, но отличный
от нуля в точке а. Поэтому
НА-Ъ) = 0 и f{A -а)
= 1°'
если А ¦ а ф а,
а) ф О, если А ¦ a = a.
Пусть теперь д = Rg(D- Мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения доказательство того, что
д(Ъ) = 0 и
Ф 0,
где М — это число элементов А ? G, таких, что А ¦ а = а. Таким
образом, мы нашли инвариант д € k[xi,..., xn]G, такой, что д(а) ф
д(Ъ).
Но д может быть записан в виде полинома от /i,..., fm. Значит,
из условия д(а) ф д(Ъ) следует, что /Да) Ф /,(Ь) для некоторого i,
т. е. F имеет разные значения на орбитах G ¦ а и G ¦ Ъ. Теорема
доказана. D
Теорема 10 показывает, что существует биекция множества
кп/G на многообразие Vp- Именно это мы и подразумеваем, ког-
когда говорим, что пространство орбит имеет структуру аффинно-
аффинного многообразия. Хотя 1р зависит от выбора образующих кольца
к[х\,..., xn]G, но многообразие Vp определено однозначно с точно-
точностью до изоморфизма (следствие 8). Это означает, что структура
многообразия на пространстве орбит определена однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
Из теоремы 10 и предложения 7 вытекает такой приятный
результат: «полиномиальные функции» на пространстве орбит
kn/G — это функции из координатного кольца
Отметим естественность этого утверждения: инвариантный поли-
полином принимает одно и то же значение в точках G-орбиты; следо-
следовательно, он определяет функцию на пространстве орбит. Таким

444
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
образом, естественно ожидать, что к[х\,... ,xn]G является «коор-
«координатным кольцом» вне зависимости от структуры многообразия
на kn/G.
Однако существование биекции kn/G = Vp— это удивитель-
удивительный факт, если взглянуть с несколько иной позиции. Предполо-
Предположим, что мы начали с геометрического действия группы G на кп:
а к-» А • а, А ? G. Затем мы строим пространство орбит kn/G (как
множество). Чтобы задать на нем структуру аффинного много-
многообразия, мы сделали следующие вещи:
• придали этому действию алгебраическую форму, определив дей-
действие группы G на полиномах;
• определили инвариантные полиномы и доказали конечную по-
рожденность кольца инвариантов;
• построили идеал соотношений между образующими.
Уравнения, получающиеся из этого идеала, и задают требуемую
структуру Vf на kn/G.
В общем случае задание структуры аффинного (или проектив-
проективного — см. гл. 8) многообразия на каком-либо множестве интересу-
интересующих нас объектов (G-орбит, касательных и пр.) является важной
задачей алгебраической геометрии. Некоторые примеры будут рас-
рассмотрены в упражнениях.
Упражнения к § 4
1. Пусть fi,...,fm € k[xi,...,xn] и I = {д € k[y1,...,ym] : g(fi,...,
U) = 0}.
(a) Докажите, что I является идеалом в k[yi,..., ут].
(b) Пусть / = k[fi,..., fm] и / = g(fi,..., /m) —представление / в i
виде полинома от f\,..., fm. Докажите, что все такие представ-
представления задаются формулой / = g(fi,..., /m) + ft(/i,..., /m), где i
he I.
2. Пусть /i,..., fm € k[xi,..., х„] и I С k[yi,..., ym] — идеал соотноше-
соотношений, определенный в упр. 1.
(а) Докажите, что отображение, переводящее [д] в <?(/i, ¦., /m), кор-
корректно определено и является гомоморфизмом колец
(b) Докажите, что ф — взаимно однозначное отображение «на», т.е.
ф — изоморфизм колец.
(c) Используя упр. 13 к § 2 гл. 5, дайте другое доказатель-
доказательство изоморфности колец k[yi,..., ут]/1 и k[fi,..., /m]. Указа-
Указание: рассмотрите гомоморфизм Ф : k[yi,..., ут] -+ k[fi,..., /m],
) - Л-
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит АЛЬ
3. Хотя в предложениях 1 и 2 речь идет о кольце k[xi,... ,xn]G, из упр. 1
и 2 следует, что эти результаты справедливы для любого подколь-
ца вида k[fi, . •, /m] С k[xi,... ,хп]. Обобщите аналогичным образом
предложение 3. Нужны ли для этого изменения в его доказательстве?
4. Пусть р € k[xi,..., хп, 2/i, • • ¦, Ут.]- Докажите, что
=p(xi,..., х„,/!,..., /т
- (fm - ут),
где-Bi,. ..,Вт ek[xi,... ,xn,yi,- ¦ ¦, j/m]. Указание: в р замените каж-
каждую переменную j/; на /i — (fi — yt). Доказательство аналогично до-
доказательству равенства D) в § 1.
5. Завершите рассмотрение примера 5, доказав, что идеал If С k[u, v, w]
задается формулой If = (u2w — v2 — 4w2) (здесь F = (x2 + y2,x3y —
6. В упр. 7 к § 3 мы искали инварианты циклической группы Сз С
GLB, к) порядка 3. Укажите соотношения между найденными вами
образующими кольца к[х,у]Сз.
7. Сделайте то же самое для циклической группы Се С GLB, к) порядка
6, рассмотренной в упр. 8 к § 3.
8. В упр. 12 к § 3 мы нашли четыре инварианта /1,/2,/з,/4 группы
вращений куба в R3.
(a) С помощью полинома (ft/xyzJ и п. (с) упр. 12 к § 3 найдите
алгебраическое соотношение между /i, /2, /3, /4 ¦
(b) Докажите, что между /1,/2,/з нет нетривиальных алгебраиче-
алгебраических соотношений.
(c) Докажите, что соотношение из п. (а) порождает идеал всех соот-
соотношений между /1,/2,/з,/4- Указание: это большая задача, ва-
вашему компьютеру может не хватить памяти, а вам — времени.
9. Пусть G С GL(n, к) — конечная матричная группа. Мы определили
отношение ~g на кп, положив a ~g b, если b = А ¦ а для некоторой
матрицы А € G.
(a) Докажите, что ~g является отношением эквивалентности.
(b) Докажите, что классом эквивалентности вектора а является мно-
множество G ¦ а, определенное в тексте параграфа.
10. Рассмотрим группу вращений куба в R3. Мы изучали эту группу в
упр. 5 к § 2 и знаем, что она состоит из 24 элементов.
(a) Нарисуйте куб и укажите на нем орбиты, состоящие из 1, 6, 8,
12 и 24 точек.
(b) Докажите геометрически, что орбит из четырех точек нет.
11. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры.) Пусть G С
GL(n, к) — конечная матричная группа. В этом упражнении мы до-
докажем, что число точек орбиты G ¦ а делит \G\.

446
Гл. 7. Теория инвариантов конечных групп
(a) Зафиксируем а € kn, и пусть Я = {А е G : А ¦ а = а}. Докажите,
что Я —подгруппа в G. Она называется подгруппой изотропии
или стабилизатором вектора а.
(b) Пусть А € G. Тогда его левым смежным классом называется
подмножество АН = {АВ : В € Н) С (?. Через G/H обознача-
обозначается множество всех левых смежных классов (обратите внима-
внимание, что G/H является группой только в том случае, когда Н —
нормальный делитель). Докажите, что отображение АН i-> A ¦ а
индуцирует биекцию G/H = G ¦ а. Указание: сначала необходи-
необходимо доказать, что это отображение корректно определено. Напом-
Напомним, что два смежных класса АН и ВН равны в том и только
том случае, когда B~l A G Н.
(c) Используя п. (Ь), докажите, что число точек орбиты G ¦ а де-
делит \G\.
12. Рассмотрим две непересекающиеся орбиты G ¦ а и G ¦ b (как в доказа-
доказательстве теоремы 10). Пусть S = G bVG ¦ а — {а}. Найдем полином
/ ? k[xi,... ,хп], такой, что / равен нулю во всех точках множества
S, но /(а) ф 0. Пусть g = Rc(f), где Rg —оператор Рейнольдса груп-
группы G.
(a) Докажите, что д(Ъ) = 0.
(b) Объясните, почему д(а) = Mrf(a) ф 0, где М — число элементов
А € G, таких, что А ¦ а = а.
13. В этом упражнении мы покажем, что теорема 10 может оказаться
неверной, если основное поле не является алгебраически замкнутым.
Рассмотрим группу матриц перестановки 5г С GLB,R).
(a) Мы знаем, что Щх, y]S2 = R[<xi , стг]. Докажите, что If = {0} для
F = {а\, <тг), т. е. V> = R2. Таким образом, в теореме 10 в данном
случае рассматривается отображение F : R2/S2 -> К2. 5г • (я, у) >-»•
(уиУ2) = {х + у,ху).
(b) Докажите, что образом отображения F является множество
{(j/i> Уг) € К2 : у2 > 4у2} С R2 (т. е. область, лежащая ниже пара-
параболы у2 = 4г/г)- Указание: рассмотрите yi и г/г как коэффициенты
полинома X2 —у\Х+у2- Когда этот полином имеет вещественные
корни?
14. Во многих случаях в математике рассматриваются классы эквива-
эквивалентности по некоторому отношению и на них задается алгебраиче-
алгебраическая структура. Покажите, что конструкция факторкольца является
таким примером. Указание: см. § 2 из гл. 5.
15. В этом упражнении мы рассмотрим примеры множеств, которые
при внимательном изучении оказываются многообразиями. Снача-
Сначала обратим внимание на то, что множество невертикальных пря-
прямых на плоскости к2 имеет естественную геометрическую структуру.
А именно, каждая такая прямая L единственным образом задается
уравнением вида у = тх + 6, так что прямой L может быть сопоста-
4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 447
влена точка (т, Ь) в другом двумерном аффинном пространстве A2V.
(Включение в рассмотрение вертикальных прямых требует перехода
к проективному пространству, которым мы и займемся в следующей
главе.)
Рассмотрим теперь кривую С на плоскости и множество прямых,
касательных к С. Этому множеству сопоставляется подмножество
Cv С k2v. Мы найдем это множество в некоторых простых случаях
и покажем, что оно является аффинным многообразием.
(a) Пусть С — парабола у = х2. Покажите, что касательная в точке
(хо,уо) ? С имеет уравнение у = 2хох — х%. Покажите, что Cv
задается уравнением т2 + 46 = 0 в k2w.
(b) Докажите, что Cv является аффинным многообразием, если С —
кубическая кривая у = х .
В общем случае изучение множества Cv требует некоторых усилий.
В частности, метод, рассмотренный в пп. (а) и (Ь), не работает, если
у кривой есть вертикальные касательные или особые точки. Тем не
менее удается построить удовлетворительную теорию двойственных
кривых Cv к кривым
. Для данного неприводимого многообра-
многообразия V Скп также можно определить двойственное многообразие Vv

8
Проективная алгебраическая
геометрия
Все многообразия, которые мы до сих пор рассматривали, бы-
были подмножествами аффинного пространства кп. В этой главе
мы расширим кп, добавляя «точки на бесконечности», и постро-
построим проективное пространство Pn(fc). Мы определим проективные
многообразия в Pn(fc) и рассмотрим проективную версию алгебро-
геометрического соответствия. Связи между аффинными и проек-
проективными многообразиями будут рассмотрены в § 4, а в § 5 мы будем
изучать теорию исключения с проективной точки зрения. Проек-
Проективная точка зрения помогает лучше понять смысл теоремы о про-
продолжении из гл. 3. В конце главы мы обсудим геометрию квадрик
и теорему Везу.
§ 1. Проективная плоскость
В этом параграфе мы рассмотрим проективную плоскость Р2(К)
над полем вещественных чисел Е. Мы увидим, что, в некотором
смысле, на обычной аффинной плоскости Е2 «недостает точек на
бесконечности» и что, добавляя эти точки, мы и получаем проек-
проективную плоскость Р2(Е). Мы также введем однородные координа-
координаты, которые помогут нам провести систематическое исследование
проективной плоскости Р2(К).
Мы начнем с замечания, что две прямые на Е2 пересекают-
пересекаются в точке, если только они не параллельны. Однако мы мо-
можем включить это исключение в общую схему, если будем счи-
считать, что параллельные прямые пересекаются в некой точке на
оо. Рисунок ниже подсказывает, что точка пересечения на бес-
бесконечности двух параллельных прямых зависит от их направ-
направления.
§ 1. Проективная плоскость
449
пересекаются в точке на оо
4 4
У\
t t
пересекаются в другой точке на оо
Чтобы формализовать эти соображения, определим отношение
эквивалентности на множестве прямых, полагая L\ ~ Li, если L\ и
Li параллельны. Тогда класс эквивалентности [L] состоит из всех
прямых, параллельных L. Предыдущие рассуждения подсказыва-
подсказывают, как нам следует определить точку на бесконечности, соответ-
соответствующую классу [L]. Дадим строгое определение.
Определение 1. Проективной плоскостью
жество
называется мно-
= Е2 U {одна точка на оо
для каждого класса параллельных прямых}.
Обозначим через [L]oo общую точку на оо для всех прямых, па-
параллельных прямой L. Множество L = L U [L]oo С Р2(Е) называ-
называется проективной прямой, соответствующей прямой L. Обратите
внимание, что две проективные прямые всегда пересекаются в од-
одной точке: если они не параллельны (как аффинные прямые), то
пересекаются в какой-то точке из Е2, а если параллельны, то они
пересекаются в их общей точке на бесконечности.
На первый взгляд, следует ожидать, что прямая на плоско-
плоскости должна иметь две точки на оо, соответствующие двум напра-
направлениям движения на этой прямой. Но тогда в силу изложенно-
изложенного в предыдущем абзаце две параллельные прямые пересекались
бы в двух точках, а не в одной, так что если мы параметризу-
параметризуем прямую х = у с помощью формулы (х,у) = (t,t), то к точке
на бесконечности мы можем приближаться как при t -? оо, так и
при t -? -оо.

450
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Обычный способ визуализации точек на оо — использовать пер-
перспективу. Пусть на рисунке изображена плоская равнина и две до-
дороги, идущие в разных направлениях:
точка схода
точка схода
горизонт
Два края каждой дороги (они параллельны) кажутся сходящими-
сходящимися в некоторой точке горизонта, которую теория перспективы на-
называет точкой схода. Более того, каждая прямая, параллельная
одной из дорог, приходит в ту же точку схода, т. е. точка схода со-) 5
ответствует точке на оо для этих прямых. Точки горизонта на этом <*
рисунке представляют точки на оо. (Обратите внимание, что гори-*;
зонт содержит не все точки на оо, в нем отсутствует точка на оо.
для прямых, параллельных горизонту.)
Этот рисунок демонстрирует еще одно интересное свойство про-
проективной плоскости: точки на оо (мы часто будем называть их бес-j
конечно удаленными точками) образуют особую проективную пря-
прямую, которая называется бесконечно удаленной прямой или прямой
на оо. Таким образом, прямые на Р2(М) —это проективные прямые^
L = LU[L]oo, где L — это обычная прямая на М2, плюс прямая на ooi
В упражнениях мы докажем, что две различные проективные пря-*
мые в Р2(М) определяют единственную точку (их точку пересече-!|
ния) и две различные точки в Р2(М) определяют единственную про-1
ективную прямую. Обратите внимание на симметрию этих утвер-5|
ждений: заменяя друг на друга «точки» и «проективные прямые»1'!
в одном утверждении, мы получаем другое. Это пример принципа!
двойственности, одного из оснований проективной геометрии. '!
Точки на оо появляются и в других задачах. Рассмотрим, напри-'!
мер, параметризацию гиперболы х2 — у2 = 1, заданную уравнениями!
t2
х =
У =
l-f2'
It
1-t2'
§ 1. Проективная плоскость
451
При t ф ±1 на гиперболе параметризованы все точки, кроме (—1,0).
Но что происходит при t — ±1? Посмотрим на рисунок.
\ 2
\
\\
\ Ч ч 1
\ ч 0.5
\ \
1 1 ' 4i
2 -1.5 -Jl -0.5/
/ /
/ /—0.5
/ /
/ / -1
/ /' ~lt5
/
/ -2
- /
/ /
' /
// /
/ /
- / /
/ /
/ \ 1 i i
\ 0.5 ll 1.5 2
\ \
— \ \
\ \
Чч\
\
_ \
Пусть t —t I ; тогда соответствующая точка (х, у) движется по вет-
ветви гиперболы в первой четверти, все больше приближаясь к асимп-
асимптоте х = у. Аналогично, при t -> 1+ точка приближается к асимптоте
х = у, но двигаясь по ветви гиперболы в третьей четверти. Таким
образом, t — 1 соответствует точке на оо прямой х = у. Аналогич-
Аналогично, t = — 1 соответствует точке на оо другой асимптоты, х = —у. (В
упражнениях мы рассмотрим ту же задачу с другой точки зрения.)
Хотя наше рассмотрение проективной плоскости и обогатило нас
новыми идеями, но оно не является вполне удовлетворительным.
Например, неясно, почему прямая на оо должна называться про-
проективной прямой. Более серьезный недостаток состоит в том, что у
нас нет единого подхода к точкам проективной плоскости: мы опре-
определили точки двух типов — обычные, заданные координатами в К2,
и бесконечно удаленные, заданные прямыми. Чтобы исправить эту
асимметрию, мы введем однородные координаты на Р2(К).
Введение однородных координат требует нового определения
проективного пространства. Сначала мы определим отношение
эквивалентности на точках из М3, отличных от начала координат,
следующим образом:
если существует ненулевое вещественное Л, такое, что {xi,yi,zi) =
Чхо,У2,22)- Легко проверить, что ~ в самом деле является отно-
отношением эквивалентности на М3 - {0} (здесь 0 обозначает точку
@,0,0) е К3). Теперь мы можем дать новое определение проектив-
проективной плоскости.

452
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Определение 2. Проективная плоскость
классов эквивалентности по отношению ~ на
— это множество
-{0}, т.е.
Если тройка чисел (х, у, г) 6 Е3 - {0} соответствует точке р G Р2(К),
то (х, у, z) называются однородными координатами этой точки.
Не очевидно, что определения 1 и 2 описывают один и тот же
объект, но мы вскоре увидим, что это так.
Однородные координаты отличаются от обычных коор-
координат тем, что они не единственны. Например, тройки
A,1,1), B,2,2), (тг, 7Г, 7г) и (\/2, \/2, \/2) — это координаты одной и
..той же точки проективной плоскости. Но неединственность коор-
координат не является большой помехой, так как эти тройки пропор-
пропорциональны друг другу.
Примером использования однородных координат является опре-
определение прямой.
Определение 3. Пусть А, В, С G Е и А2 + В2 + С2 > 0. Тогда
множество
{р € Р2(Е) : Ах + By + Cz = 0,
где (x,y,z) —однородные координаты точки р}
называется проективной прямой в Р2(Е).
Здесь необходимо отметить, что если равенство Ax+By + Cz = 0
выполнено для какого-то одного набора однородных координат точ-
точки р € Р2(Е), то оно выполнено для всех однородных координат
этой точки. В самом деле, другой набор однородных координат
имеет вид Х(х, у, z) = (Хх, Ху, Xz); поэтому А ¦ Хх + В ¦ Ху + С ¦ Xz =
Х(Ах + Ву + Cz) — 0. Далее мы увидим, что аналогичные соображе-
соображения позволяют определить многообразия в проективном простран-
пространстве.
Для установления связи между двумя определениями проектив-
проективной плоскости рассмотрим отображение
I2 -» Р2(Е), A)
переводящее точку (х,у) Е Е2 в точку р Е Р2(Е2) с однородны-
однородными координатами (х,у,1). Это отображение обладает следующими
свойствами.
Предложение 4. Отображение A) инъективно, и дополнением
до его образа является проективная прямая Н^ с уравнением
z = 0.
§ 1. Проективная плоскость
453
Доказательство. Предположим, что образы в Р (Е) двух точек
(х,у) и {х',у') совпадают. Тогда (х,у,\) и (х',у',1) являются одно-
однородными координатами одной и той же точки р; поэтому (х,у, 1) =
Х(х',у',1) для некоторого А. Но из этого равенства следует, что
А = 1, а значит, (х,у) = (х',у').
Пусть точка р € Р2(Е) имеет однородные координаты (x,y,z).
Если z = 0, то р € #оо. С другой стороны, если z ф 0, то тройка
{x/z, y/z, 1) также является однородными координатами точки р.
Значит, р принадлежит образу отображения A). Доказательство
того, что образ не пересекается с Я,», мы оставляем читателю. ?
зо бесконечно удаленной прямой. Хотя это
К2 можно отождествить с его образом в
°2(Е) =E2Utfoo.
Мы будем называть Ъ.
и не совсем аккуратно,
Р2(Е); поэтому
Теперь вторая конструкция Р (К) начинает напоминать первую.
Осталось показать, что #оо состоит из точек на оо (в смысле опре-
определения 1). Для этого надо рассмотреть связь между прямыми в
Ж2 (которые мы будем называть аффинными прямыми) и проек-
проективными прямыми. Эта связь описывается следующей таблицей:
аффинная прямая проективная прямая точка на оо
L:y = mx + b -> L:y = mx + bz -> (l,m,0)
L:x = c -»• L:x = cz -4 @,1,0)
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала невертикальную аф-
аффинную прямую L с уравнением у = тпх + Ъ. Отображение A) пере-
переводит точку (х,у) € L в точку (х,у, 1), которая принадлежит про-
проективной прямой L с уравнением у = mx + bz, т. е. L можно рассмат-
рассматривать как подмножество в L. По предложению 4 оставшиеся точки
из L принадлежат проективной прямой z — 0. Но если z = 0, то мы
получаем у = гпх; поэтому оставшиеся точки имеют координаты
(х,тпх,0). Обратите внимание, что х ф 0, иначе все три координа-
координаты были бы равны нулю, чего быть не может; поэтому оставшаяся
точка единственна и имеет координаты A, т, 0). Она принадлежит
пересечению двух прямых L П #оо. Случай вертикальной прямой
мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Таблица показывает, что две прямые в Е2 имеют общую точку
на оо только в том случае, когда они параллельны. Для неверти-
невертикальных прямых точка на оо соответствует наклону прямой, а все
вертикальные прямые имеют одну (но отличную от невертикаль-
невертикальных) общую точку на оо. Постарайтесь разобраться во всем этом.
В упражнениях мы проверим, что точки, перечисленные в таблице,

454
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
исчерпывают всю прямую Н^. Следовательно, Н^ состоит из то-
точек на оо, соответствующих всем классам параллельных прямых,
по одной на класс. Таким образом, представление Р2(К) = К2 иЯ^
доказывает эквивалентность определений 1 и 2.
Теперь мы дадим геометрическую интерпретацию точек проек-
проективной плоскости. Пусть (х,у,z) —однородные координаты точки
р Е Р2(К). Другие координаты той же точки имеют вид X(x,y,z),
А € Ш- {0}. Ключевым фактом является то, что точки с такими ко-
координатами лежат на одной прямой в К3, проходящей через начало
координат:
X(x,y,z)
прямая, проходящая
через начало координат
Требование определения 2, что (x,y,z) ф @,0,0), гарантирует, что
получается прямая в R3. С другой стороны, если L — произволь-
произвольная прямая в Ж3, проходящая через начало координат, то точки
(х,у, z) 6 L- {0} задают однородные координаты однозначно опре-
определенной точки в Р2(К) (координаты ненулевых точек на L про-
пропорциональны друг другу). Таким образом, мы имеем взаимно од-
однозначное соответствие
Р2(К) = {прямые в К3, проходящие через начало координат}. B)
Хотя может показаться, что трудно думать о точках из Р2(Е)
как о прямых в Ж3, но есть и интуитивные основания для такой
идентификации. Попытаемся изобразить, например, трехмерный
объект на плоскости. Рассмотрим множество лучей, соединяющих
наш глаз с точками объекта. Изображением является пересечение
этого множества лучей с плоскостью:
плоскость изображения
¦ -О
§ 1. Проективная плоскость
455
Учение о перспективе в эпоху Возрождения оперировало с поняти-
понятием «пирамиды лучей», соединяющей глаз художника с изображае-
изображаемым объектом. Для нас основным является тот факт, что каждый
луч пересекает плоскость изображения ровно в одной точке, что и
задает взаимно однозначное соответствие между лучами и точка-
точками плоскости.
Для того чтобы формализовать это рассуждение, поместим
«глаз» в начало координат, а плоскость зададим уравнением z = 1.
ПЛОСКОСТЬ 2 = 1
прямая
Вместо того чтобы работать с лучами (полупрямыми), мы будем ра-
работать с прямыми, проходящими через начало координат. Как по-
показывает рисунок, каждой точке на плоскости z — 1 соответствует
ровно одна такая прямая. Это позволяет говорить о точке на плос-
плоскости как о прямой, проходящей через начало координат в К3 (т. е.
по B) как о точке в Р2(К)). Следует сделать два важных замечания:
• Точке (х, у) на аффинной плоскости соответствует точка (х,у,1)
на плоскости z = 1. Соответствующая прямая задает точку
р & Р2(М) с однородными координатами (х,у,1). Это е точно-
точности то отображение М2 -» Р2(М), которое было определено в
предложении 4.
• Это отображение не сюръективно, так как прямые, параллель-
параллельные плоскости (х,у), не могут быть получены таким образом.
Можно ли эти прямые рассматривать как точки на оо?
Во многих ситуациях полезно одновременно воспринимать
Р2(М) алгебраически (в терминах однородных координат) и геоме-
геометрически (в терминах прямых, проходящих через начало коорди-
координат).
Наконец, с помощью однородных координат мы рассмотрим бес-
бесконечно удаленную прямую. Начнем с того, что хотя декартовы
координаты (х, у) и являются основой наших построений, но в сис-
системе однородных координат координата z ничем не отличается от
координат х и у. В частности, мы можем рассматривать х и z как
исходные координаты, а у как дополнительную.

456 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Рассмотрим, например, параллельные прямые L\ : у = х + 1/2
и L2 : у = х — 1/2 на плоскости (х,у):
Плоскость (i, у)
Так как эти прямые параллельны, то они пересекаются на оо. Но
рисунок не показывает их точки пересечения. Чтобы увидеть ее,
рассмотрим соответствующие проективные прямые
L2:y=x-
Будем считать х и z исходными переменными. Тогда мы отобража-
отображаем плоскость (х, z) в проективную плоскость Р2(Е): (х, z) ь> (x, 1, z).
Это отображение инъективно (по предложению 4), и образ этой
плоскости в Р2(Е) задается уравнением у = 1. Тогда проективные
прямые L\ и L2 определяют прямые L[ : z = —2х + 2 и L2 : z — 2х — 2
на плоскости xz:
Плоскость (х, z)
§ 1. Проективная плоскость
457
На этом рисунке ось х задана уравнением z = 0, т. е. она являет-
является бесконечно удаленной прямой (в смысле исходного построения
и предложения 4). Заметим, что L[ и L'2 пересекаются на оси х,
где z = 0, что соответствует тому факту, что прямые L\ и L2 пе-
пересекаются на оо. Этот рисунок показывает, что происходит при
приближении к бесконечно удаленной прямой. В упражнениях мы
увидим, как некоторые стандартные кривые ведут себя на бесконеч-
бесконечности.
Интересно сравнить этот рисунок с перспективным изображе-
изображением двух дорог. Не случайно, что горизонт в перспективном изо-
изображении представляет собой бесконечно удаленную прямую. В
упражнениях мы подробнее обсудим эту аналогию.
Следует также отметить, что евклидово понятие расстояния не
играет большой роли в проективной геометрии. Например, прямые
Li и L2 находятся на постоянном расстоянии друг от друга на плос-
плоскости ху, но прямые L\ и L'2 приближаются друг к другу на плос-
плоскости xz. Это также объясняет различие между евклидовой и про-
проективной геометриями.
Упражнения к § 1
1. В этом упражнении мы будем работать в рамках определения 1, т. е.
проективными прямыми в P2(R) являются L = LU[L]oo и бесконечно
удаленная прямая.
(a) Докажите, что любые две различные точки на P2(R) определяют
единственную проективную прямую. Указание: нужно рассмо-
рассмотреть три случая в зависимости от того, сколько из этих точек
лежит на оо.
(b) Докажите, что любые две различные проективные прямые пе-
пересекаются в единственной точке. Указание: здесь надо рассмо-
рассмотреть два случая.
2. Большое количество теорем об объектах на евклидовой плоскости
на самом деле являются (замаскированными) теоремами на проек-
проективной плоскости. Классическим примером является теорема Паппа,
которая формулируется так. Пусть даны две тройки коллинеарных
точек А, В, С и А', В', С". Пусть
Р = АВ7 П ЖВ,
Q = AC7nAFC,
= BC'r\B'C.

458 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Теорема Паппа утверждает, что точки P,Q,R коллинеарны. В упр. 8
§ 4 гл. 6 мы рисовали для иллюстрации этой теоремы такой рисунок: I
В'
(а) Однако если расположить точки на одной из прямых в обратном
порядке, то может возникнуть такая конфигурация:
Обратите внимание, что точка Р теперь лежит на оо. Является
ли теорема Паппа справедливой (в P2(R)) в этом случае?
(Ь) Перемещая точку С на втором рисунке, можно добиться того,
что точка Q будет лежать на оо. Останется ли теорема Паппа
справедливой? На какой прямой будут лежать P,Q,R? Проил-
Проиллюстрируйте это рисунком.
Если бы вы формулировали чисто аффинный вариант тео-
теоремы Паппа, учитывающий случаи (а) и (Ь), то утверждение
получилось бы довольно громоздким. Работая в P2(R), мы ав-
автоматически учитываем все возможные случаи.
3. Продолжим рассмотрение параметризации (х,у) = (A + <2)/A —
t2), 2</A — t2)) гиперболы х2 — у2 = 1, начатое в тексте,
(а) Пусть t фиксировано. Докажите, что точка (х,у) на гиперболе,
отвечающая значению t, является точкой пересечения гипербо-
гиперболы с прямой, проходящей через (—1,0) и имеющей коэффициент
наклона t. Сделайте рисунок. Указание: используя параметриза-
параметризацию, покажите, что t = у/(х + 1).
§ 1. Проективная плоскость
459
(b) Используя п. (а), объясните, почему значения t = ±1 соответ-
соответствуют асимптотам. Сделайте рисунок.
(c) Используя однородные координаты, покажите, что рассматрива-
рассматриваемая параметризация может быть записана в виде
(A + <2)/A - t2), 2t/(l - t2), 1) = A + t2,2t, \-t2).
Используя эту формулу, объясните, что происходит при t — ±1.
Получите ли вы тот же ответ, что и в п. (Ь)?
(d) Ту же технику мы можем использовать, чтобы понять, что про-
происходит при t —> оо. А именно, в параметризации (х,у,г) =
A +t2, 2t, I — t2) мы положим t = 1/u, потом избавимся от знаме-
знаменателей (это разрешенное преобразование для однородных коор-
координат) и перейдем к пределу при и —> 0. Какую точку гиперболы
вы получите?
4. В этом упражнении мы изучим поведение гиперболы х2 — у2 — 1 на
бесконечности.
(a) Объясните, почему уравнение х2 — у2 = z2 корректно определяет
кривую в P2(R). Указание: см. обсуждение аналогичного вопроса
после определения 3.
(b) Какие точки кривой С лежат на оо? Как ваш ответ связать с
результатами упр. 3?
(c) Перейдите в систему координат (i, z) (положив у = 1) и покажи-
покажите, что С остается гиперболой.
(d) Перейдите в систему координат (у, z) (положив х = 1) и покажи-
покажите, что С становится окружностью.
(e) Используя параметризацию из упр. 3, найдите параметризацию
окружности из п. (d).
5. Рассмотрим параболу у = х2.
(a) Какое преобразование уравнения превращает параболу в кривую
в P2(R)?
(b) Сколько точек на бесконечности имеет парабола?
(c) Используя подходящие координаты (как в упр. 4), покажите, что
парабола касается бесконечно удаленной прямой.
(d) Докажите, что парабола становится гиперболой в (у, ^-коорди-
^-координатах.
6. Использование системы координат (х,у) в P2(R) позволяет увидеть
только часть проективной плоскости. В частности, мы теряем беско-
бесконечно удаленную прямую. Чтобы ее увидеть, мы, как в тексте пара-
параграфа, можем использовать (х, г)-координаты. Докажите, что есть
только одна точка в P2(R), которая невидима в системах координат
(х,у) и (x,z). Как увидеть, что происходит в этой точке?
7. Докажите, что образ плоскости при отображении B) из предложения
4 не пересекается с Нос-

460
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
8. Пусть прямая Нх задана уравнением z = 0. Таким образом, точки
на Ноо имеют однородные координаты (а, 6,0), где (a,b) ф @,0).
(a) Вертикальная аффинная прямая х = с соответствует проектив-
проективной прямой х = cz. Докажите, что эта проективная прямая пе-
пересекает Ноо в точке @,1, 0).
(b) Докажите, что точка на Ноо, отличная от @,1,0), может быть
однозначно записана в виде A,т,0), где тп — некоторое веще-
вещественное число.
9. В тексте параграфа мы рассматривали части плоскости P2(R), опи-
описываемые системами (х, у)- и (i, г)-координат. В (х, г)-картине есте-
естественно спрашивать, что происходит с у. Для ответа на этот вопрос
мы посмотрим, что происходит с (х, у)-координатами, когда мы рас-
рассматриваем их на (z, г)-шюскости.
(a) Покажите, что точка (о, Ь) на (х, т/)-плоскости дает точку
(a/b, 1/b) на (х, г)-плоскости.
(b) Используя эту формулу, рассмотрите, как выглядят параболы
(х,у) = (t,t2) и (х,у) = (t2,t) на (х,г)-плоскости. Сделайте ри-
рисунки в (ж, у)- и (х, г)-плоскостях.
10. В этом упражнении мы обсудим математические основы теории пер-
перспективы. Предположим, что мы хотим изобразить ландшафт, пред-
представляющий собой горизонтальную плоскость. Изображение будет
располагаться в вертикальной плоскости. Глаз расположен в некото-
некоторой точке выше плоскости ландшафта. Для изображения какой-либо
точки ландшафта мы соединяем ее прямой с глазом. Точка пересе-
пересечения этой прямой с плоскостью «картины» и будет изображением:
начало координат
картина у = 1
ландшафт z — 1
Поместим глаз в начало координат. Пусть плоскость у = 1 — плос-
плоскость изображения, а плоскость z = 1—плоскость ландшафта (т.е.
положительное направление оси z указывает вниз).
(a) Найдите изображение точки (а, Ь, 1).
(b) Объясните связь между п. (а) и упр. 9. Кратко опишите связь
между перспективным изображением и проективной плоско-
плоскостью.
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 461
11. Пусть проективная прямая в P2(R) задана уравнением Ах + By +
Cz = 0, где (А, В, С) ф @,0, 0) (как в определении 3).
(a) Почему мы требуем, чтобы (А, В, С) ф @, 0, 0)?
(b) Докажите, что тройки (А, В, С) и (А1, В', С1) задают одну и
ту же проективную прямую в том и только том случае, когда
(А, В, С) = Х(А',В',С') для некоторого ненулевого веществен-
вещественного А. Указание: в одну сторону это утверждение тривиально.
Для доказательства обратного утверждения возьмем две раз-
различные точки (а,Ь,с) и (а',Ь',с') на прямой Ах + By + Cz — 0.
Докажите, что (a,b,c) и (о',Ь',с') линейно независимы, а следо-
следовательно, система Xa + Yb + Zc = Xa + Yb' + Zc = 0 имеет
одномерное пространство решений в переменных X, Y, Z.
(c) Докажите, что множество проективных прямых в P2(R) может
быть отождествлено с множеством {(А, В, С) 6 R3 : (Л., В, С) ф
@,0, 0)}/~. Это множество называется двойственной проектив-
проективной плоскостью и обозначается P2(R)V.
(d) Опишите подмножество в P2(R)V, соответствующее аффинным
прямым.
(e) Пусть р € P2(R). Обозначим через р множество всех проектив-
проективных прямых, содержащих р. Мы можем рассматривать множе-
множество р как подмножество в P2(R)V. Докажите, что р является
проективной прямой в P2(R)V. Множество р называется пучком
прямых в точке р.
(f) В декартовом произведении P2(R) x P2(R)V есть естественное
подмножество
7 = {(p,L)eP2(lR)xP2(R)v:peL}.
Докажите, что I задается уравнением Ах + By + Cz = 0, где
(x,y,z) — однородные координаты на P2(R), а (А, В, С)—одно-
С)—однородные координаты на двойственной плоскости. Многообразия
этого типа мы будем рассматривать в § 5.
Пункты (d), (e) и (f) этого упражнения показывают, что мно-
множества естественно определенных геометрических объектов могут
иметь алгебраическую структуру.
§ 2. Проективное пространство и проективные
многообразия
Конструкция вещественной проективной плоскости (определение 2
из § 1) может быть обобщена на любое количество измерений и на
случай любого поля. Рассмотрим отношение эквивалентности ~ на
множестве ненулевых точек аффинного пространства kn+1, полагая

462
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
если существует ненулевой элемент Хек, такой, что (х'о,... ,х'п) =
Х(хо,..., хп). Обозначим через 0 нулевой вектор @,..., 0) € кп+1.
Определение 1. п-мерным проективным пространством Fn(ifc)
над полем к называется множество классов эквивалентности в
kn+l — {0} по отношению ~, т. е.
Pn(fc) = (kn+1 - {0})/ ~ .
Каждый ненулевой (п + 1)-мерный вектор (х0,..., хп) е кп+1 опре-
определяет точку р е Pn(fc), причем (х0,..., хп) называются однородны-
однородными координатами точки р.
Как и в случае проективной плоскости, однородные коорди-
координаты точки р е Pn(fc) не определены однозначно. Например, в
Р3(С) однородные координаты @, у/2,0,г) и @,2г,0, -у/2) опреде-
определяют одну точку: @,2г, 0, -уД) — %/2г'@, у/2,0, г). Мы будем писать
р = (х0,... ,хп) для указания того, что (х0, ¦ ¦ ¦ ,хп) являются одно-
однородными координатами точки р ? ?n(k) ^.
Как и в § 1, Pn(fc) можно представлять геометрически как мно-
множество прямых в kn+l, проходящих через начало координат. Точнее
(см. упр. 1), существует взаимно однозначное соответствие
Pn(fc) = {прямые в кп+1, проходящие через начало координат}.
A)
Подобно тому, как проективная плоскость содержит аффинную
в качестве подмножества, пространство ?п(к) содержит аффинное
пространство кп.
Предложение 2. Пусть
Тогда отображение ф, переводящее точку (а\,..., ап) е кп в точку
A,а,1,... ,ап) € Fn(k), устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между кп и Uo С Fn(k).
Доказательство. Так как первая компонента точки ф{а\,..., ап) =
A,ах,..., а„) не равна нулю, то образ отображения ф принадле-
принадлежит Uo- Определим обратное отображение ф : Uo —> кп следующим
образом. Пусть р = (х0,..., хп) € Uo. Тогда х0 ф 0 и, следовательно,
Р- (l,xi/xo,...,xn/xo). Положим ф(р) = (xi/xo,...,xn/xo) € кп.
ред.
литературе часто используется обозначение р = (iq : ¦¦¦ : хп). — Прим.
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 463
Доказательство корректности определения отображения ф и дока-
доказательство взаимной обратности отображений фиф мы оставляем
читателю в качестве упражнения. ?
По определению множества Uq имеем Fn(k) = [/0 U Я, где
H = {peVn(k):p=@,Xl,...,xn)}. B)
Отождествляя Uo с kn, мы можем считать Н бесконечно удаленной
гиперплоскостью. Из B) следует, что ее точки определяются п-
наборами (xi,... ,хп), причем два набора определяют одну и ту
же точку из Н в том и только том случае, когда каждый из них
является скалярным кратным другого (просто нужно игнорировать
первую, нулевую координату точек из Н). Другими словами, Н
является «копией» проективного пространства Fn-1(fc) на единицу
меньшей размерности. Отождествляя Uo с кп и Я с Pn~1(fc), мы
можем записать
Гп{к) = кпиГп~1(к). C)
Что же означает равенство Н = Pn~1(fc) геометрически? По A)
точка р € Р" (к) определяет прямую Lckn, проходящую через на-
начало координат. Следовательно, в C) мы можем интерпретировать
р € Н как направление всех прямых в кп, параллельных L. Это
позволяет нам рассматривать р как точку на сю в смысле § 1 и да-
дает возможность связать определение проективного пространства с
интуитивным определением проективной плоскости. В упражнени-
упражнениях эта интерпретация будет рассмотрена на более алгебраическом
уровне.
Следует особо отметить случай проективной прямой Рг(к). Так
как P°(fc) состоит из одной точки (это следует из определения 1),
то из C) получаем
где со обозначает единственную точку пространства Р°(А;). Если в
соответствии с определением 1 мы будем воспринимать точки из
Р1^) как прямые в к2, проходящие через начало координат, то вы-
выписанная формула отражает тот факт, что каждая прямая харак-
характеризуется своим наклоном, кроме вертикальной прямой, наклон
которой бесконечен. Если к = С, то
называют сферой Римана. Причину этого наименования мы рас-
рассмотрим в упражнениях.

464
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Следует отметить, что Pn(fc) содержит и другие копии кп по-
помимо Uo-
Следствие 3. Для каждого г = 0,..., п определим подмножество
Щ = {(хО,...,Хп)е1?П(к):Хгф0}.
¦да
(i) Точки каждого множества Ui находятся во взаимно одно- |
значном соответствии с точками пространства кп.
(ii) Дополнение Pn(fc) — Ui может быть отождествлено с Щ
(Hi)
= иГ=о
Доказательство. См. упр. 5.
Наша следующая задача — дать определение проективного мно-
многообразия по аналогии с определением аффинного многообразия.
Как, например, можно определить многообразие V(/), где / €
к[х0,... ,хп\1 Следующий простой пример показывает, что здесь
необходима осторожность. Рассмотрим V(zi - x\) в Р2(К). Точка
р — A,4,2) на первый взгляд принадлежит многообразию, потому
что 4 - 22 = 0. Но р также имеет координаты 2A,4,2) = B,8,4),
для которых 8 — 42 = — 8 ф 0. Таким образом, принадлежность
точки многообразию зависит от конкретного выбора однородных
координат.
Чтобы избежать этой неприятности, мы будем работать толь-
только с однородными полиномами. Напомним (см. определение 6 из
§ 1 гл. 7), что полином / называется однородным полной степени d,
если каждый его член имеет полную степень d. Полином / = х\ — х\
не однороден. Именно это и является причиной того, что равенство
/ = 0 зависит от конкретного выбора однородных координат неко-
некоторой точки. С однородными полиномами этого не происходит.
Предложение 4. Пусть / € к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп] — однородный полином.
Тогда если / обращается в нуль в точке р для какого-то конкрет-
конкретного набора ее однородных координат, то / обращается в нуль при
любом выборе ее координат. В частности, V(/) = {р ? Pn(fc) :
f(p) = 0} —это корректно определенное подмножество в Pn(fc).
Доказательство. Пусть (ао,...,ап) и (Лао,..., Лап)—два набо-
набора однородных координат точки р € Pn(fc). Предположим, что
f(ao,...,an) = 0 и что / — однородный полином полной степени d.
Тогда каждый член в / имеет вид
СХг,
... хг
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 465
где с*о + •.. + an = d. Подставляя Аа* вместо Xi, получаем
Суммируя по всем членам полинома /, мы можем вынести общий
множитель Ad:
/(Ла0, • • •, Ла„) = Ad/(a0,..., а„) = 0.
Предложение доказано. ?
Обратите внимание, что, даже если / однороден, уравнение
/ = а не имеет смысла в Pn(fc), если 0 ф a € к. Уравнение / = 0
является здесь особым, поскольку оно корректно определяет под-
подмножество в Pn(fc). Мы будем изучать подмножества пространства
Pn(fc), определяемые системами однородных полиномов (возмож-
(возможно, различных полных степеней).
Определение 5. Пусть /i,...,/, € к[хо,...,хп]— однородные по-
полиномы. Положим
V(/b . ..,/.) = {(a0, • • •, an) E Fn(k) : Л(а0,..., an) = 0,1 < » < в}.
V(/i,.. ¦, /s) называется проективным многообразием, определен-
определенным полиномами /i,...,/».
Например, любой однородный полином степени 1
1(ХО,...,ХП) = СоХо + ... + СпХп
определяет в Pn(fc) проективное многообразие V(/), называемое ги-
гиперплоскостью. Один пример гиперплоскости нам известен — это
бесконечно удаленная гиперплоскость Н = V(xo). Если п = 2, то
гиперплоскости называются проективными прямыми или просто
прямыми в P2(fc). Аналогично, при п = 3 гиперплоскости назы-
называются плоскостями в P3(fc). Многообразия, определенные одним
или несколькими линейными полиномами (т.е. однородными по-
полиномами степени 1), называются линейными многообразиями в
fn(k). Например, V(a;i,X2) С Р3(/с) является линейным многообра-
многообразием — проективной прямой в Р3 (к).
Многообразие V(/), определенное одним однородным полино-
полиномом, называется гиперповерхностью. Гиперповерхности классифи-
классифицируются в соответствии с полной степенью определяющего по-
полинома /. Если / имеет полную степень 2, то V(/) называет-
называется квадратичной гиперповерхностью или квадрикой. Например,
V(-Xg + х\ + х\) С Р2(М) — квадрика. Аналогично гиперповерхно-
гиперповерхности, определяемые полиномами степеней 3, 4 и 5 называются соот-
соответственно кубиками, квартиками и квинтиками.

466
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Для того чтобы лучше разбираться в проективных многообра-
многообразиях, нам необходимо определить соответствующие алгебраические
объекты. Этими объектами являются однородные идеалы, которые
будут изучаться в § 3. Мы увидим, что алгебро-геометрическое со-
ответствие из гл. 4 полностью переносится на проективный случай.
Теперь мы рассмотрим соотношение между аффинными и про-
проективными многообразиями. Как мы видели в следствии 3, подмно-
подмножества Ui С Fn(fc) являются копиями пространства кп, так что мы
можем поинтересоваться, как аффинные многообразия в Ui S jfcn
соотносятся с проективными многообразиями в Fn(fc). Возьмем, на-
например, некоторое проективное многообразие V и рассмотрим его
пересечение с одним из Ui. Является ли это пересечение аффин-
аффинным многообразием? Ответ на этот вопрос положительный, при-
причем определяющие уравнения многообразия Vnt/j могут быть полу-
получены с помощью процедуры, называемой дегомогенизацией *'. Рас-
Рассмотрим, например, пересечение V f)Uo- Мы знаем, что если точкар
лежит в Uo, то ее однородные координаты имеют вид A, х\,..., хп).
Пусть / € к[х0, ...,?„]— один из полиномов, определяющих V. Тог-
Тогда полином g(xi,...,xn) = f(l,xu...,xn) e k[xi,...,xn] обраща-
обращается в нуль в каждой точке множества V П U0- Замена х0 = 1 в
/ преобразует / в «дегомогенизированный» полином д, который,
как правило, не является однородным. Мы утверждаем, что VПЩ
является аффинным многообразием, которое задано с помощью
процедуры дегомогенизации полиномов, определяющих V.
Предложение 6. Рассмотрим проективное многообразие V =
V(/i,... ,fs). Тогда W = V П Uo может быть отождествлено с
аффинным многообразием V(gx,... ,gs) С kn, где gi(yi, ¦ ¦ ¦ ,уп) =
Ш,Ух,---,Уп)Л <i<s.
Доказательство. Очевидно, что при отображении ф : Uo -t kn
(см. предложение 2) ф(]?) С V(gx, ¦ ¦ .,ga). С другой стороны, если
(ах,..., ап) е V(<?i,... ,gs), то точка с однородными координатами
A,ах,..., ап) лежит в Uo и имеет место равенство
i,...,an) =0j(ai,...,an) =0.
Поэтому <j>(V(gx ,...,j,))cf. Так как отображения фиф взаимно
обратны, то точки из W находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с точками из V(#i,..., gs). ?
Рассмотрим, например, проективное многообразие
V = V(x\ - х0х2} xf - x20xz) С
D)
английского «homogeneous» — однородный.— Прим. ред.
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 467
Чтобы найти пересечение V П Uo, нам нужно дегомогенизировать
определяющие уравнения. В результате мы получим аффинное
многообразие
V(xl-x2,xl-x3) С!3,
которое является уже известной нам скрученной кубикой.
Процедуру дегомогенизации мы можем проводить относительно
любой переменной. Например, если дано проективное многообра-
многообразие V С Р3A), то V П Ux может быть отождествлено с аффинным
многообразием в I3, определенным уравнениями д{(хо,х2,х3) =
fi{xo,l,X2,x3). В случае многообразия D) V П Ux —это аффинное
многообразие V(l - х0х2,1 - ^о^з)- В упр. 9 рассматривается об-
общая формулировка этой задачи.
С другой стороны, мы можем задать следующий вопрос: верно
ли. что любое аффинное многообразие в Ui является пересечени-
пересечением V П Ui для некоторого проективного многообразия V7. Ответ
положительный, но оказывается, что такое V определено неодно-
неоднозначно, и результаты могут быть неожиданными.
Естественно попытаться, обратив предыдущую операцию дего-
дегомогенизации, «гомогенизировать» уравнения, определяющие аф-
аффинное многообразие W, т.е. сделать их однородными. Пусть, на-
например, W = V(x2 - х\ + х\) С Uo - М2. Определяющее уравнение
неоднородно; поэтому оно не определяет проективное многообразие
в Р2A). Но мы легко можем превратить его в однородное, добавив
переменную х0- Так как полная степень полинома / = х2 - х\ + х\
равна трем, то мы преобразуем / так, чтобы каждый член имел
полную степень 3, в результате получается однородный полином
полной степени 3
fh = х20х2 -х\ +хох\.
Отметим, что процедура дегомогенизации полинома fh даст нам
снова /.
Опишем общую схему.
Предложение 7. Пусть д G fc[zi,... ,хп] — полином полной сте-
степени d.
(i) Запишем д в виде g = Yli=o9i> г^е 9i —однородный полином
полной степени i. Тогда
d
i=0
=gd(xx,- ¦ ¦ ,хп) + gd-i(xx,- ¦ ¦ ,хп)х0
+ ... +до(хх,.-.,хп)х*

468
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
является однородным полиномом в к[хо,... ,хп] полной сте-
степени d, который называется гомогенизацией полинома д.
(и) Имеет место формула
h d (i п
\X X
(iii) Дегомогенизация полинома gh дает снова д, т. е. gh(l, zi,...,
хп) =g(xi,...,xn).
(iv) Пусть F(xo,..., хп) — однородный полином, и пусть х$ — наи-
наивысшая степень переменной xq, которая делит F. Пусть
f = F(l,xi,..., хп) — дегомогенизация полинома F; тогда F =
хо J ¦
Доказательство. Доказательство рассмотрено в упр. 10. D
По предложению 7, если нам дано аффинное многообразие W =
V(</i, •.., gs) С kn, то гомогенизация уравнений, определяющих W,
дает нам проективное многообразие V = V(^, • • ¦, </,) С Pn(fc). Со-
Согласно п. (iii) и предложению 6,VDUo = W. Таким образом, исход-
исходное аффинное многообразие W является аффинной частью проек-
проективного многообразия V.
Как мы уже упоминали, здесь есть некоторые неожиданные воз-
возможности.
Пример 8. В этом примере однородными координатами точек в
P2(fc) будут переменные x,y,z (отвечающие номерам 0, 1, 2 соот-
соответственно) . Тогда f/г — это множество точек с однородными коор-
координатами вида (х,у,1), и х,у являются координатами на ?/г — к2.
Рассмотрим аффинное многообразие W — V(g) = ~V(y — x3 +x) С ?7г-
Оно является аффинной частью V П Ua проективного многообра-
многообразия V = V(gh) = V{yz2 - х3 + xz2).
Многообразие V состоит из W и точек на бесконечности V П
V(z). Его аффинная часть W представляет собой график кубиче-
кубического полинома — неособую плоскую кривую. Точки на бесконечно-
бесконечности, т. е. дополнение к W в V, являются решениями системы
0 = yz2 -х3 +xz2,
0 = z.
Легко видеть, что эти решения даются формулой z = х = 0, а так как
мы работаем в P2(fc), то решением является единственная точка р =
@,1,0). Таким образом, V — WU{p}. Неожиданным здесь является
природа этой точки р.
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 469
Чтобы увидеть, как V выглядит в окрестности р, дегомогенизи-
руем определяющее уравнение многообразия V по отношению к у,
т. е. рассмотрим пересечение V П U\. Получаем
W' = VnU!= V(gh(x, I, z)) = V(z2 - x3 + xz2).
Легко видеть (см. § 4 гл. 3), что точка р, которая имеет координаты
@,0) в U\, является особой точкой в W:
Другими словами, если нам дано неособое (т. е. без особых точек)
аффинное многообразие, то гомогенизация его уравнений может
привести к более сложному геометрическому объекту. Это означа-
означает, что исходная аффинная часть многообразия «не дает полной
картины». Для того чтобы ее увидеть, мы должны рассмотреть все
аффинные части VDUi проективного многообразия V С Fn(fc) (по-
скольку P»(fc) =иГ=о^)-
Наш следующий пример показывает, что простая гомогениза-
гомогенизация определяющих уравнений может привести к «неправильному»
проективному многообразию.
Пример 9. Рассмотрим скрученную кубику W = V(X2 - x\,xz -
х\) С Ш3. По предложению 7 W = V П Uo, где V — проективное
многообразие V(x0X2— x\,x2)xi-x\) С Р3(К). Как и в примере 8, мы
хотим узнать, какие точки из V отсутствуют в его аффинной части
W. Дополнением к W ь V является пересечение V П Н, где Н =
V(xo) —бесконечно удаленная плоскость. Таким образом, VПН =
V(z0z2 ~xl> ^о^з -х3, х0). Легко видеть, что эта система сводится к
равенствам Хо = х\ — х\, т. е. х^—Х\— 0. Координаты Х2 и хз здесь
произвольные. Поэтому V П Н — проективная прямая \{xq,x\) С
Р3(М). Значит, V = W U V(xo,xi).
Так как скрученная кубика — это кривая в Е3, то наша инту-
интуиция подсказывает, что она должна иметь лишь конечное число

470
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
точек на бесконечности (в упражнениях мы увидим, что это так
и есть). Это означает, что V слишком велико и есть меньшее про-
проективное многообразие V, содержащее W. Чтобы найти такое V,
можно попробовать гомогенизировать другие полиномы, обраща-
обращающиеся в нуль на W. Параметризация (t, t2, t3) многообразия W
подсказывает, что xix3 — х\ 6 1(W). Так как полином xix3 — х\ уже
однороден, то мы можем добавить его к определяющим уравнени-
уравнениям для V и получить
V =
-х\) С V.
Тогда V Л Uo = W, а в упражнениях будет доказано, что V П Н
состоит из единственной точки р = @,0,0,1). Таким образом, V =
VFU{p} является меньшим (по сравнению с V) проективным много-
многообразием, содержащим W как аффинную часть. Различие между V
и V' состоит в том, что V имеет лишнюю компоненту на бесконеч-
бесконечности. В § 4 будет доказано, что V — это наименьшее проективное
многообразие, содержащее W.
В примере 9 мы строили проективное многообразие V прямой
гомогенизацией уравнений, определяющих W, и получили слишком
большой объект. Это означает, что какие-то тонкие вещи мы не уч-
учли. Полный ответ будет дан в § 4, где будет дан алгоритм описания
наименьшего проективного многообразия, содержащего аффинное
многообразие W С kn = Ui.
Упражнения к § 2
1. В этом упражнении мы рассмотрим более геометрический подход к
построению P"(fc). Через С мы обозначим множество прямых в jfcn+1,
проходящих через начало координат.
(a) Докажите, что каждый элемент из С может быть представлен
как множество векторов, кратных некоторому ненулевому век-
вектору в kn+l.
(b) Докажите, что два ненулевых вектора v, v' G kn+1 определяют
один и тот же элемент в С в том и только том случае, когда
v' ~ v в смысле определения 1.
(c) Докажите, что существует взаимно однозначное соответствие
между Рп{к) и С.
2. Завершите доказательство предложения 2, показав, что отображения
фиф взаимно обратны.
3. В этом упражнении мы рассмотрим связь между прямыми в R" и
точками на бесконечности в P"(R). Мы будем использовать фор-
формулу C): P"(R) = Rn U Pn~1(R). Рассмотрим прямую L в R" и ее
2. Проективное пространство и проективные многообразия 471
параметризацию а + bt, где a G L, а Ь —ненулевой вектор, парал-
параллельный L. В координатной записи эта параметризация имеет вид
(ai + b\t,... ,ап + bnt).
(а) Переходя к однородным координатам
(l,oi + bit,... ,ап + bnt),
мы будем считать, что L С Pn(R). Нас интересует, что происходит
при t —> ±00. Для этого поделим координаты точек из L на t,
Какую точку из Я = Р" *(R) мы получим при t -> ±оо?
(b) Прямая L может быть параметризована многими способами. До-
Докажите, что точка из P"~1(R), найденная в п. (а), одна и та же
для всех параметризаций прямой L. Указание: два ненулевых
вектора параллельны в том и только том случае, если они про-
порцион альны.
(c) Пункты (а) и (Ь) показывают, что прямая L С R" однозначно
определяет точку в Я = Pn-1(R). Докажите, что две прямые в
Rn параллельны в том и только том случае, когда они имеют
одну и ту же точку на бесконечности.
4. Если k = R или С, то проективную прямую ?1(к) легко изобразить.
(a) В тексте параграфа мы назвали Р:(С) = CU{oo} римановой сфе-
сферой. Чтобы понять смысл этого названия, используйте параме-
параметризацию из упр. 6 к § 3 гл. 1 и докажите, что эта плоскость
соответствует сфере без северного полюса. Это и объясняет, по-
почему мы можем считать С U {оо} сферой.
(b) Какой хорошо знакомый геометрический объект соответствует
PJ(R)? Сделайте рисунок.
5. Докажите следствие 3.
6. В этом упражнении мы рассмотрим подмножества Ui С Рп(к).
(a) Рассмотрим пространство P4(fc). Объясните, какие точки при-
принадлежат подмножествам t/г, t/г П Г/з и I/i П Г/з П Г/4 ¦
(b) Опишите P4(fc) - Г/2, Р4(*0 - (Г/г U Г/з) и P4(fc) - {V\ U Г/3 U Г/4) как
«копии» другого проективного пространства.
(c) Что представляет собой множество П;=о ^» в Р4СО?
(d) Опишите подмножество ГЛг П ... П Ui, С Vn(k), где 1 < h < «2 <
... < is < n.
7. В этом упражнении мы выясним, когда можно корректно опреде-
определить множество нулей неоднородных полиномов в Рп(к). Пусть поле
к бесконечно. Мы хотим доказать, что если / G А;[а;о, • • •, яп] неодно-
неоднороден, но обращается в нуль на всех наборах однородных координат
некоторой точки р € Рп(к), то каждая его однородная компонента /;
обращается в нуль в р (см. определение 6 из § 1 гл. 7).

472 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
(а) Рассмотрим представление / в виде суммы однородных компо-
компонент, / = J2i /•• Пусть р = (ао,..., о„). Докажите, что
/(Аоо, • • •, Аап) =
0,..., Ао„) = Y2 А*/<(«о, • • •,<*„).
(b) Докажите, что если / обращается в нуль при всех А ф 0 € к, то
/i(oo,... ,ап) — 0 при всех г.
8. Используя дегомогенизацию определяющих уравнений проективно-
проективного многообразия V, найдите уравнения указанных аффинных мно-
многообразий.
(a) Пусть однородными координатами в Р2(&) являются (х, у, z). Рас-
Рассмотрим многообразие V — V(x2 + у2 — z2) С P2(R). Найдите
уравнения многообразий V П Uo и V П ?/г. (Здесь х / 0 на С/о и
z ф 0 на f/г.) Нарисуйте полученные кривые и объясните, что
они говорят о проективном многообразии V.
(b) Пусть V = V(xox2-x3X4,XoX3-Xixl) С Р4(Аг). Найдите уравнения ¦
аффинных многообразий V П Uo С А:4 и V П ?/з С А:4.
9. Рассмотрим проективное многообразие V = V(/i,..., /а), определен-
определенное однородными полиномами /i G А:[хо,..., хп]. Докажите, что под-
подмножество W = V П Ui может быть отождествлено с аффинным мно- f;
гообразием V(pi,..., д„) С к", определенным дегомогенизированны- J
ми полиномами
9j(x0,.. .,Xi_l,Xi+l,...,Xn) = fj(x0,.. .,Xi-l,l,Xi+l,...,Xn),
где 1 заменяет Xi в fj. Указание: используйте следствие 3 и следуйте
доказательству предложения 6.
10. Докажите предложение 7.
11. Используя п. (iv) предложения 7, докажите, что если / G k[xi,..., хп]
и F G к[хо,..., х„] — произвольный однородный полином, удовлетво-
удовлетворяющий условию F(l,xi,... ,xn) = /On,... ,хп), то F = Хо/Л для
некоторого е > 0.
12. Каков будет результат гомогенизации (предложение 7) однородного
полинома?
13. В примере 8 мы рассматривали многообразие W = V(z2 — х3 +
xz ) С А:2. Дайте строгое доказательство того, что точка (x,z) =
@,0) является особой точкой в W. Указание: см. определение 3
из § 4 гл. 3.
14. Для каждого из следующих аффинных многообразий W с помо-
помощью процесса гомогенизации (предложение 7) постройте проектив-
проективное многообразие V, такое, что W = V П С/о- В каждом случае дайте
описание множества V - W = V П Я, где Я — бесконечно удаленная
гиперплоскость.
§ 2. Проективное пространство и проективные многообразия 473
(a) W - V(j/2 - х3 - ох - Ь) С R2, а, Ь G R. Является ли точка V П Я
особой? Указание: в качестве однородных координат на P2(R)
возьмите (z,x,y), так что Uo задается условием z / 0.
(b) W = V(xiX3 — x|, x\ — X2) С К.3. Имеет ли V в этом случае до-
дополнительную компоненту на бесконечности?
(c) W = V(xl-xl-x22)CR3.
15. Рассмотрим скрученную кубику W = V(x2 — х2,хз — xf) С R3 из
примера 9.
(a) Рассмотрим параметризацию (t, t2, t3) кубики W в R3. Докажите,
что при t —> ±00 точка (I,t,t2,t3) в P3(R) стремится к точке
@, 0, 0,1) в P3(R). Другими словами, мы ожидаем, что W имеет
одну точку на бесконечности.
(b) Теперь рассмотрим проективное многообразие
V' = V(xox2 - xf, Х0Х3 - х3, xiz3 - х\) С P3(R).
Докажите, что V П Uo = W и что V П Я = {@, 0, 0,1)}.
(c) Пусть V = У(жоХ2 — х\,х%хз — xf)—проективное многообразие
из примера 9. Докажите, что V — V U V(xo,xi). Это показыва-
показывает, что V является объединением двух собственных проективных
многообразий.
16. Однородный полином / G k[xo, ¦ ¦ ¦ ,хп] определяет аффинное много-
многообразие С — Va (/) С kn+1, где нижний индекс указывает на то, что
мы работаем в аффинном пространстве. Это многообразие называет-
называется аффинным конусом над проективным многообразием V = V(/) С
?n(k). Рассмотрим его свойства.
(a) Пусть С содержит точку Р / @,... ,0). Докажите, что тогда С
содержит прямую, проходящую через начало координат и Р.
(b) Пусть р G Рп(&)—такая точка, что ее однородные координаты
совпадают с аффинными координатами точки Р. Докажите, что
р е V в том и только том случае, когда аффинная прямая, про-
проходящая через Р и начало координат, содержится в С. Указание:
примените определение A) и упр. 1.
(c) Докажите, что С является объединением множества прямых,
проходящих через начало координат и соответствующих точкам
из V. Это объясняет смысл названия «конус», так как обычный
конус также является объединением некоторого множества пря-
прямых, проходящих через начало координат. Подобный конус мы
рассматривали в упр. 14, п. (с).
17. Для однородных полиномов справедливо важное соотношение, назы-
называемое формулой Эйлера. Пусть / е &[хо, • • •, хп] — однородный поли-
полином полной степени d. Тогда формула Эйлера утверждает, что
г=0
w- =

474
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
(a) Проверьте справедливость формулы Эйлера для однородного по-
полинома / = Xq — х\х\ + 2х\х\.
(b) Докажите формулу Эйлера (для случая к = R), рассматривая
/(Ах0, • • •, Ахп) как функцию от А и дифференцируя ее по А.
18. В этом упражнении мы подробно изучим множество гиперплоскостей
в Рп{к).
(a) Докажите, что два однородных линейных полинома
О = оожо + • • • + апхп,
О = ЬоХо + ... + ЬпХп
определяют одну и ту же гиперплоскость в Рп(к) в том и только |
том случае, когда Ь; = \a,i, г = О,..., п, для некоторого О Ф А 6 к.
Указание: воспользуйтесь рассуждениями из упр. 11 к § 1.
(b) Докажите, что отображение, которое сопоставляет гиперплоско-
гиперплоскости с уравнением аохо + ... + апх„ = 0 вектор (ао,.. •, а„), инду-
индуцирует взаимно однозначное соответствие
ф : {гиперплоскости в Pn(fc)} -> (kn+1 - {0})/ ~,
где ~ — отношение эквивалентности из определения 1. Множе-
Множество в левой части этой формулы называется двойственным \
проективным пространством и обозначается Pn(A:)v. Точки в
Pn(&)V — это гиперплоскости в Рп(к).
(c) Опишите подмножество в Рп(к), соответствующее множеству ги-
гиперплоскостей, содержащих точку р = A, 0,..., 0).
19. Пусть к — алгебраически замкнутое поле (например, С). Докажите,
что любой однородный полином f(xo,Xi) G fc[zo,Zi] может быть раз-
разложен в произведение линейных однородных полиномов из &[zo,zi]:
d
f(XQ, Xl) = I I (uiXo + biXl),
где d — полная степень полинома /. Указание: дегомогенизируйте /.
20. В § 4 гл. 5 мы ввели пучок гиперповерхностей, определенный двумя
гиперповерхностями V = V(/) и W = V(g). Элементами этого пучка
были гиперповерхности V(f+cg),c G k. Положив с = 0, мы получаем,
что V является элементом пучка. Однако W, как правило, элементом
этого пучка (в том виде, как он был определен) не является. Чтобы
сделать W элементом пучка, мы поступим следующим образом.
(а) Пусть (а,Ь) —однородные координаты в Рг(к). Докажите, что
V(o/ + bg) — корректно определенная гиперповерхность в том
смысле, что если (а, Ь) и (с, d) — однородные координаты одной
и той же точки в Рг(к), то многообразия V(a/ + bg) и V(c/ + dg)
совпадают. Таким образом, мы получили семейство многообра-
многообразий, параметризованное точками из Р1{к), которое также назы-
называется пучком многообразий, определенным многообразиями V
и ИЛ
§ 3. Проективный алгебро-геометрический словарь
475
(b) Докажите, что и V, и W содержатся в пучке V(o/ + bg).
(c) Пусть к = С. Докажите, что каждая аффинная кривая V(/) С С2 ,
где / — полином полной степени d, содержится в пучке кривых
V(aF + bG), параметризованном многообразием РХ(С), где V(F)
является объединением прямых, а степень полинома G строго
меньше d. Указание: рассмотрите однородные компоненты поли-
полинома / и примените упр. 19.
21. Рассмотрим параметризованную кривую с параметром t G к. Нас ин-
интересует ее поведение при t —> оо. Так как Рх(к) = fcU{oo}, то областью
изменений параметра, видимо, должно быть Рх(&). Вот два примера.
(a) Рассмотрим параметризацию (х,у) = ((l+t2)/(l — t2),2t/(l — t2))
гиперболы х2 — у2 = 1 в R2. Чтобы превратить параметризацию
в проективную, сначала перейдем к однородным координатам в
P2(R) и получим
(A + <2)/A - t2), 2t/(l - t2), 1) = A + t2, It, 1 - t2)
(см. упр. 3 к § 1). Теперь сделаем t проективным. Если (a,b) G
P^R), то (l,t) = A, b/a) — координаты той же точки (если о ф 0).
Подставим t = b/a в правую часть предыдущего равенства и освс^
бодимся от знаменателей. Объясните, почему полученная фор-
формула описывает корректно определенное отображение P^R.) —>
P2(R).
(b) Скрученная кубика в R3 параметризована с помощью (t,t2,t3).
Примените метод п. (а) и найдите проективную параметризацию
P:(R) —> P3(R). Докажите, что образ этого отображения совпа-
совпадает с многообразием V' из примера 9.
§ 3. Проективный
алгебро-геометрический словарь
В этом параграфе мы рассмотрим, что представляет собой проек-
проективный алгебро-геометрический словарь. Мы обобщим теоремы из
гл. 4 о связях между V и I на проективный случай и, в частности,
докажем проективный вариант теоремы о нулях.
Отметим сначала различие между аффинным и проективным
случаями в алгебраической части словаря. А именно, мы определи-
определили проективное многообразие (определение 5 из § 2) как множество
общих нулей некоторого набора однородных полиномов. Но свой-
свойство быть однородным не сохраняется при сложении полиномов.
Например, если мы сложим два однородных полинома с различны-
различными полными степенями, то их сумма не будет однородной. Таким
образом, идеал / = (Л,... ,/s) С к[х0, ¦ ¦. ,хп], порожденный одно-
однородными полиномами, будет содержать и неоднородные полиномы,
которые не годятся для определения проективных многообразий.

476
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Тем не менее каждый элемент из / обращается в нуль на всех
наборах однородных координат всех точек из V = V(/i,..., /s). Это
следует из того, что элемент д ? I может быть представлен в виде
3=1
где Aj € k[xo,... ,хп]. Подстановка однородных координат какой-
либо точки из У в это равенство даст нуль, так как все fj равны
нулю в этой точке.
Более важное замечание связано с однородными компонентами
полинома д. Представим каждый полином Aj в виде суммы одно-
однородных компонент:
Если мы подставим эти выражения в A) и соберем вместе члены
одинаковой полной степени, то окажется, что однородные компо-
компоненты полинома д также принадлежат / (см. упр. 2).
Таким образом, хотя / и содержит неоднородные полиномы,
но он содержит также их однородные компоненты. Это наблю-
наблюдение приводит к рассмотрению специального класса идеалов в
fc[xo,...,xn].
Определение 1. Идеал / С к[х0, ¦ ¦ ¦ ,хп] называется однородным,
если для любого / 6 / его однородные компоненты также принад-
принадлежат /.
Большинство идеалов не являются однородными. Пусть, напри-
например I = (у — х2} С к[х,у]. Тогда однородные компоненты полинома
/ — это /х = у и /2 = -х1. Ни одна из них не принадлежит /, так
как элементами идеала / являются полиномы, делящиеся на у — х2,
т. е. / неоднороден. Имеются следующие полезные характеристики
однородности.
Теорема 2. Пусть I С к[хо,..., хп] — идеал. Следующие условия
эквивалентны:
(i) / однороден;
(И) / = (/i,. • •, /s), где полиномы /i,...,/« однородны;
(ш) редуцированный базис Грёбнера идеала I (по отношению к лю-
любому мономиалъному упорядочению) состоит из однородных
полиномов.
Доказательство. Доказательство импликации (ii)=>(i) намечено
выше (см. также упр. 2). Докажем (i)=>(ii). Пусть / однороден.
§ 3. Проективный алгебро-геометрический словарь
477
По теореме Гильберта о базисе / = (Fi,..., Ft) для некоторых по-
полиномов Fj € k[xo, ¦ ¦ • ,хп] (не обязательно однородных). Предста-
Представим каждый полином Fj в виде суммы однородных компонент,
Fj = ^2iFji. Тогда каждый из Fji лежит в /, так как / однороден.
Рассмотрим идеал /', порожденный всеми однородными полинома-
полиномами Fji. Тогда I С Г, так как каждый Fj является суммой образу-
образующих идеала /'. С другой стороны /' С /, так как все Fji лежат в
I. Это доказывает равенство / = /' и одновременно тот факт, что /
имеет базис из однородных полиномов. Наконец, эквивалентность
(ii)-?>(iii) будет доказана в упр. 3. ?
Теорема 2 позволяет нам по однородному идеалу / С
к[хо,... ,хп] определить (как и в аффинном случае) множество
V(I) = {ре Гп(к) : /(р) = 0 для всех / е /},
которое является проективным многообразием, как показывает
Предложение 3. Пусть I С к[хо,... ,хп] —однородный идеал, и
пусть I = (/i, • • •, fs), где /i, • • •, /s — однородные полиномы. Тогда
так что V(/) — проективное многообразие:
Доказательство. (Легкое) доказательство этого утверждения мы
оставляем читателю в качестве упражнения. ?
По проективному многообразию мы можем построить однород-
однородный идеал, взяв в качестве базиса определяющие полиномы много-
многообразия. Но есть и другой способ построить однородный идеал по
проективному многообразию.
Предложение 4. Пусть V С Pn(fc) — проективное многообразие.
Пусть
W) = {/ е Фо, ¦ ¦ ¦ ,хп] ¦¦ f(ao, ¦ ¦ ¦ ,а„) = 0 для всех (а0)... ,а„) € V).
(Это означает, что f обращается в нуль на всех наборах одно-
однородных координат всех точек из V.) Тогда, если к бесконечно, то
1(V) является однородным идеалом в к[х0,..., хп].
Доказательство. Множество I(V) замкнуто относительно сложе-
сложения и относительно умножения на элементы из кольца к[хо,..., хп]
(это доказывается точно так же, как и в аффинном случае). По-
Поэтому I(V) является идеалом. Пусть теперь / е I(V). Зафиксируем
точку р € V. По условию / обращается в нуль на всех наборах
(по,...,ап) однородных координат точки р. Так как к бесконечно,

478
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
то из этого вытекает (см. упр. 7 к § 2), что все однородные ком-
компоненты fi полинома / равны нулю в (а0,... ,ап). Следовательно,
fi € 1(V), т.е. идеал I(V) однороден. Q
Теперь у нас есть базовые элементы словаря, описывающего со-
соответствие между проективными многообразиями в Pn(fc) и одно-
однородными идеалами в к[хо,... ,хп]. Следующая теорема является
проективным обобщением п. (i) теоремы 7 из § 2 гл. 4 (аффинное
соответствие идеал—многообразие).
Теорема 5. Пусть поле к бесконечно. Тогда отображения
i
проективные многообразия
однородные идеалы
однородные идеалы > проективные многообразия
обращают включения. Кроме того, для любого проективного мно-
многообразия
V(I(V)) = V,
так что отображение I инъективно.
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично дока-
доказательству соответствующей аффинной теоремы. ?
В качестве примера использования этой теоремы мы сейчас до-
докажем, что каждое проективное многообразие может быть разло-
разложено в объединение неприводимых компонент. Как и в аффинном
случае, многообразие V С fn{k) называется неприводимым, если
оно не может быть представлено в виде объединения двух строго
меньших проективных многообразий.
Теорема 6. Пусть к — произвольное поле.
(i) Рассмотрим убывающую цепь проективных многообразий в
Pn(fc)
Vi Э V2 D V3 D ....
Тогда существует целое N, такое, что Vn = Viv+i = • • ••
(ii) Каждое проективное многообразие V С Fn(fc) может быть
единственным образом х' представлено в виде объединения не-
неприводимых проективных многообразий,
= ViU...UVm,
где Vi <? Vj при г ф j.
точностью до перенумерации. —Прим. ред.
; 3. Проективный алгебро-геометрический словарь
479
Доказательство. Так как отображение I обращает включение, то
мы получаем возрастающую цепь однородных идеалов
I(Vi)Cl(V2)Cl(V3)C...
в k[xo,..., хп]. Тогда по условию обрыва возрастающих цепей (тео-
(теорема 7 из § 5 гл. 2) 1(Улг) = I(V)v+i) = • • •, начиная с некоторого N.
Так как отображение I имеет левое обратное, то п. (i) доказана.
Как и в аффинном случае, п. (ii) является прямым следствием
п. (i) (см. теоремы 2 и 4 из § б гл. 4). ?
Связи между суммами, произведениями и пересечениями од-
однородных идеалов и соответствующими операциями на множестве
проективных многообразий те же, что и в аффинном случае. Мы
рассмотрим эти вопросы в упражнениях.
Радикал однородного идеала определяется обычным образом:
у/] = {/ 6 к[х0,..., х„] : fm 6 I для некоторого тп > 1}.
Радикал однородного идеала также однороден (как и следовало
ожидать).
Предложение 7. Пусть I С к[хо,... ,хп] — однородный идеал.
Тогда радикал vi также является однородным идеалом.
Доказательство. Пусть / е \/1. Тогда /га 6 I для некоторого
т > 1. Представим / в виде суммы однородных компонент,
i<max
/max + / , /n
где /max — это ненулевая однородная компонента полинома / мак-
максимальной полной степени. Легко видеть, что
\J Углах — \JmaxJ
Так как / однороден, то (/m)max € /. Следовательно, (/max)m ? I,
а значит, /тах € у/1.
Положим g = f — /max G \/l¦ Аналогичные рассуждения пока-
показывают, что <7тах € у/1. Но <7тах — это одна из компонент полинома
/. Повторяя это рассуждение, мы в конце концов докажем, что
все однородные компоненты полинома / принадлежат у/1. Следо-
Следовательно, радикал является однородным идеалом. ?
Последний раздел алгебро-геометрического словаря описывает
соответствие идеал—многообразие для алгебраически замкнутого
поля. В этом случае мы ожидаем, что связь между идеалами и мно-
многообразиями будет особенно тесной. В аффинном случае основой

480
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
такой связи являются две теоремы о нулях, слабая и сильная (гл. 4).
Напомним их формулировки. Рассмотрим идеал I С к[х±,... ,хп].
Тогда
• (Слабая теорема о нулях) Va(/) = 0 в кп ¦?=> I = к[х\,... ,хп].
• (Сильная теорема о нулях) v7 = IO(VO(/)) в k[xi,... ,хп].
(Чтобы избежать путаницы, мы используем обозначения 1О и Va
для указания аффинного случая.)
Естественно спросить, можно ли перенести эти результаты на
проективный случай?
Ответ, как ни странно, отрицательный. В частности, слабая те-
теорема о нулях не имеет места для некоторых однородных идеалов.
Рассмотрим, например, идеал I = {х0,..., хп) С С[х0, ¦ ¦ ¦, хп]. Тогда
многообразие V(/) С РП(С) задано уравнениями х0 = .. ¦ = хп = 0.
Единственным решением этой системы является @,... ,0), но точ-
точки с такими координатами нет в Р"(С). Следовательно, VG) = 0,
хотя I Ф С[х0,..., хп] (так как 1 $ /).
К счастью, (хо, ¦ ¦ ¦ ,хп) —один из немногих идеалов, для кото-
которых V(/) = 0. Следующая версия слабой теоремы о нулях описы-
описывает все однородные идеалы, для которых соответствующее проек-
проективное многообразие пусто.
Теорема 8 (проективная слабая теорема о нулях). Пусть поле
к алгебраически замкнуто и I С к[хо,..., хп] — однородный идеал.
Следующие условия эквивалентны:
(i) многообразие V(J) С Fn(fc) пусто;
(ii) если G —редуцированный базис Грёбнера идеала I {по отно-
отношению к некоторому мономиальному упорядочению), то для
любого i, 0 < i < п, существует g € G, такой, что ьт(д) явля-
является неотрицательной степенью переменной а^;
(ш) для любого i, 0 < i < п, существует целое rrii > 0, такое, что
*Т € I;
(iv) Существует г > 1, такое, что {х0,..., хп)г С /.
Доказательство. По идеалу / мы строим проективное многообра-
многообразие V = V(J) С Fn(fc), а также строим аффинное многообразие
Су = VaG) С kn+1. Обратите внимание, что для построения Су
используется тот же идеал /, но решения ищутся в аффинном про-
пространстве kn+1. Мы назовем Су аффинным конусом над V. Если мы
отождествим точки пространства Р"(А;) с прямыми в kn+1, прохо-
проходящими через начало координат, то Су — это объединение прямых,
соответствующих точкам из V (см. упр. 16 к § 2). В частности, Cv
содержит все наборы однородных координат точек из V.
§ 3. Проективный алгебро-геометрический словарь
481
Докажем, что (ii)=>(i). Для каждого i базис Грёбнера G идеа-
идеала / содержит элемент д, такой, что lt(<?) = z™' для некоторого
т, > 0. Тогда по теореме 6 из § 3 гл. 5 множество Су конечно. Но
если ре V, то все однородные координаты точки р принадлежат
Су, т.е. если р = (а0,... ,ап), то Л(а0,... ,а„) € Су при 0 Ф А е А;.
Но к алгебраически замкнуто, а следовательно, бесконечно. Проти-
Противоречие показывает, что V = VG) = 0.
Докажем, что (iii)=>(ii). Пусть G — редуцированный базис
Грёбнера идеала /. Если х™' 6 /, то найдется элемент д 6 G, та-
такой, что его старший член делит х™', т. е. ьт(д) является степенью
переменной Xj.
Импликация (iv)=>(iii) очевидна, так как из (х0,..., хп)г С / сле-
следует, что х\ € / для всех г.
Осталось доказать, что (i)=>(iv). Отметим, что из условия V = 0
вытекает, что
CVc{(o,...,o)}cfc"+1.
(В самом деле, если Су содержит ненулевую точку (а0,..., ап), то
точка р Е fn(k) с однородными координатами (а0,... ,ап) принад-
принадлежит V.) Тогда
Мы знаем, что Ia({@,... ,0)}) = (хо,...,хп) (см. упр. 7 к §5
гл. 4). Тогда по аффинной сильной теореме о нулях la(Cy) =
Ia(Va(/)) = \fl (так как к алгебраически замкнуто). Следователь-
Следовательно,
(хо,...,х„) С у/1.
Но в упр. 12 к § 3 гл. 4 было доказано, что если некоторый идеал
содержится в v7, то некоторая степень этого идеала содержится
в /. Это и завершает доказательство теоремы. ?
Пункт (ii) позволяет построить алгоритм решения задачи о не-
непустоте проективного многообразия (заданного однородным идеа-
идеалом) над алгебраически замкнутым полем. В упр. 10 мы рассмот-
рассмотрим другие условия пустоты многообразия VG) в Pn(fc).
Исключая идеалы, описанные в теореме 8, из рассмотрения, мы
получаем проективную версию теоремы о нулях.
Теорема 9 (проективная сильная теорема о нулях). Пусть поле
к алгебраически замкнуто, а I — однородный идеал в к[х0, ¦ ¦ ¦, хп].
Если многообразие V = VG) непусто, то
I(V(/)) = у/1.

482
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 8, мы будем од-
одновременно рассматривать два многообразия: проективное много-
многообразие V = V(I) С Pn(fc) и его аффинный конус Cv = Va(I) С kn+1.
Мы утверждаем, что
la (Су) =
B)
если V ф 0. В самом деле, пусть / ? Ia(CV). Если р 6 V, то все
наборы однородных координат точки р принадлежат Су ¦ Поэтому
/ обращается в нуль на всех наборах однородных координат точки
р. Значит, / е I(V) по определению. Пусть теперь / е I(V). Так
как координаты любой ненулевой точки из Су являются однород-
однородными координатами некоторой точки многообразия V, то / равен
нулю на Су — {0}. Осталось показать, что / равен нулю в нуле.
Так как I(V) —однородный идеал, то /j —однородные компоненты
полинома / — принадлежат 1(V) и, следовательно, равны нулю на
V. В частности, это справедливо и для постоянного члена /о —од-
—однородной компоненты полной степени 0. Так как V ф 0, то /о = 0;
следовательно, / равен нулю в начале координат и / S la(Cy). Ут-
Утверждение B) доказано.
По аффинной сильной теореме о нулях %/7 = Ia(Va(/)). Тогда
из B) следует, что
VI = Io(Va(/)) = Ia(Cv) = I(V) = I(V(/)).
Доказательство теоремы закончено. D
Теорема о нулях позволяет завершить описание соответствия
идеал—многообразие, начатое в теореме 5. Радикальный однород-
однородный идеал в к[хо,.. .,хп] — это однородный идеал, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию \/1 = I. Как и в аффинном случае, существует вза-
взаимно однозначное соответствие между проективными многообра-
многообразиями и радикальными однородными идеалами при условии, что
идеалы вида у/1 = {xq, ..., хп) и у/1 = A) не рассматриваются.
Теорема 10. Пусть поле к алгебраически замкнуто. Мы будем
рассматривать непустые проективные многообразия и однород-
однородные радикальные идеалы, строго содержащиеся в (хо, ¦ ¦ ¦ ,хп). В
этих условиях отображения
непустые проективные]
многообразия J
радикальные
однородные идеалы,
строго содержащиеся в
(х0,. ..,?„)
§ 3. Проективный алгебро-геометрический словарь
483
радикальные
однородные идеалы,
строго содержащиеся в
(хо,... ,хп)
непустые проективные]
многообразия J
взаимно обратны и являются биекциями, обращающими включе-
включение.
Доказательство. Из теоремы 8 следует, что если / — радикаль-
радикальный однородный идеал и VG) = 0, то / = (хо,...,хп) или / =
к[хо,... ,хп] (см. упр. 10). Кроме того, если / — радикальный одно-
однородный идеал и I ф к[х0,..., хп], то / С (х0,..., хп) (см. упр. 9).
Эти замечания показывают, что если / — радикальный однород-
однородный идеал и V(I) ф 0, то I ^ (хо,..., х„). Теперь теорема следует
из теоремы 9. ?
Соответствие между неприводимыми проективными многообра-
многообразиями и однородными простыми идеалами будет рассмотрено в
упражнениях.
Упражнения к § 3
1. В этом упражнении мы элементарными методами решим задачу об
условиях однородности главного идеала I = (/).
(a) Не используя теорему 2, докажите, что идеал I = (х2у — х3)
однороден в к[х,у]. Указание: каждый элемент из I имеет вид
g = А ¦ (х у — х ); представьте А в виде суммы однородных ком-
компонент и используйте это представление для нахождения одно-
однородных компонент полинома д.
(b) Не используя теорему 2, докажите, что идеал (/) С к[хо, ¦.. ,хп]
однороден в том и только том случае, когда / — однородный по-
полином.
2. В этом упражнении мы рассмотрим некоторые полезные свойства
однородных компонент полинома.
(a) Пусть / = Y^i U и 9 — 5Z; 9г —представления полиномов / и д в
виде сумм однородных компонент. Докажите, что / = д в том и
только том случае, когда /; = gi для всех г.
(b) В условиях п. (а) докажите, что однородными компонентами по-
полинома h = fg являются hm = 2Z.+ =m f'9j-
(c) Используя пп. (а) и (Ь), дайте строгое доказательство (намечен-
(намеченное в тексте параграфа) импликации (ii)=>(i) из теоремы 2.
3. В этом упражнении мы рассмотрим работу алгоритма деления в слу-
случае однородных полиномов.

484 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
(a) Предположим, что мы делим однородный полином / на однород-
однородные полиномы /i,..., fs . В результате деления мы получаем вы-
выражение вида / = ai/i + .. .+asfs+r. Докажите, чтооь ..., as,r —
однородные полиномы (или нули). Чему равна полная степень
полинома г?
(b) Докажите, что если /, д однородны, то S-полином S(f,g) тоже
однороден.
(c) Анализируя работу алгоритма Бухбергера, докажите, что одно-
однородный идеал имеет однородный базис Грёбнера.
(d) Докажите эквивалентность (ii)<(=>-(iii) в теореме 2.
4. Предположим, что базис Грёбнера G идеала 7 С k[xo, ¦ ¦ ¦, х„] состоит
из однородных полиномов.
(a) Докажите, что G является базисом Грёбнера по отношению к
lex-упорядочению в том и только том случае, когда он являет-
является базисом Грёбнера по отношению к grlex-упорядочению (при
условии, что порядок переменных один и тот же).
(b) Докажите, что редуцированные базисы Грёбнера однородного
идеала по отношению к lex- и grlex-упорядочениям совпадают.
5. Докажите предложение 3.
6. В этом упражнении мы рассмотрим алгебраические операции
на множестве идеалов (см. гл. 4) в однородном случае. Пусть
Ii,.. .,Im— однородные идеалы в к[хо, • • •, хп].
(a) Докажите, что сумма идеалов Ii+ .. .+Im однородна. Указание:
примените теорему 2.
(b) Докажите, что пересечение идеалов 7i П ... П Im однородно.
(c) Докажите, что произведение идеалов 1\ ... Im однородно.
7. Связь между алгебраическими операциями на множестве однород-
однородных идеалов и соответствующими операциями на проективных мно-
многообразиях такая же, как и в аффинном случае. Пусть 1\,..., 7т —
однородные идеалы в к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп], а Vi = VG,) — соответствующие
проективные многообразия в Pn(fc).
(a) Докажите, что V(h + ... + Im) = f)T=i V,.
(b) Докажите, что VGi П ... П 7m) = VGi ... 7m) = \J™=1 V.
8. Пусть /i,..., fs —однородные полиномы полных степеней d\ < d% <
... < ds, и пусть 7 = (/i,...,/,) с k[x0,.. ¦ ,xn].
(a) Предположим, что однородный полином д полной степени di
принадлежит 7; тогда д равен /i с точностью до постоянного
множителя. Указание: примените пп. (а) и (Ь) упр. 2.
(b) Пусть д — однородный полином полной степени d и д G 7; тогда
geld = (fi-. deg(/O < d) с 7.
9. В этом упражнении мы изучим некоторые свойства идеала 7о =
(so,.. ¦ ,хп) С к[хо,.- .,!„].
(а) Докажите, что каждый собственный однородный идеал из
к[хо, ¦ ¦ •, хп] содержится в 7о.
4. Проективное замыкание аффинного многообразия
485
(b) Докажите, что г-я степень 7q порождена множеством всех мо-
мономов из к[хо, • • •, хп] полной степени г. Докажите, что каждый
однородный полином полной степени > г содержится в Ц.
(c) Пусть V = VG0) С ?п{к) и Cv = VaG0) С кп+1. Докажите, что
Ia(Cv) ф I(V), и объясните, почему этот факт не противоречит
равенству B).
10. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а 7 С к[хо,..., х„] — однород-
однородный идеал. Докажите, что равенство VG) = 0 в Рп(к) равносильно
любому из двух следующих условий:
(i) существует число г > 1, такое, что каждый однородный поли-
полином полной степени > г содержится в 7;
(ii) радикал идеала 7 равен или {хо,... ,хп), или к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп]-
Указание: в случае (i) примените упр. 9, а в случае (ii) примените
теорему 8 и докажите, что {хо,.... хп) С \fl¦
11. Однородный идеал называется простым, если он прост как идеал в
к[хо,- ¦ ¦ ,хп].
(a) Докаясите, что однородный идеал 7 С fc[xo, • • • )хп] прост в том
и только том случае, когда из того, что произведение F ¦ G двух
однородных полиномов F, G принадлежит 7, следует, что F е I
или Gel.
(b) Пусть 7 — однородный идеал. Докажите, что проективное мно-
многообразие VG) неприводимо в том и только том случае, когда
7 прост. Докажите, что в случае, когда 7 радикален, имеет ме-
место и обратное утверждение, т. е. 7 прост, если многообразие VG)
неприводимо. Указание: проанализируйте доказательство анало-
аналогичного утверждения в аффинном случае (предложение 3 из § 5
гл. 4).
(c) Пусть поле к алгебраически замкнуто. Докажите, что отображе-
отображения V и I индуцируют взаимно однозначное соответствие между
множеством однородных простых идеалов в к[хо,... ,хп], кото-
которые строго содержатся в (хо,.,хп), и множеством непустых
неприводимых проективных многообразий в Рп(к).
12. Докажите, что однородный простой идеал в к[хо,..., хп] радикален.
§ 4. Проективное замыкание
аффинного многообразия
В § 2 мы показали, что любое аффинное многообразие может рас-
рассматриваться как аффинная часть некоторого проективного мно-
многообразия. Так как такое проективное многообразие может быть
построено несколькими способами (см. упр. 9 к § 2), то было бы
желательно найти наименьшее проективное многообразие, содер-
содержащее данное аффинное. Как мы увидим, существует алгоритм
построения такого многообразия.

486
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Пусть х0,..., хп — однородные координаты на Pn(fc), и рассмот-
рассмотрим подмножество С/о С fn(k), определенное условием х0 Ф 0. Мы
отождествим С/о с кп (см. предложение 2 из § 2) и будем считать
Хх,..., хп координатами на кп. Как и в § 3, мы будем использовать
обозначения 1а и Va для аффинных вариантов отображений I и V.
Сначала рассмотрим, как гомогенизировать идеал / С к[х\,
... ,хп] и получить однородный идеал Ih С к[х0, ¦ ¦ ¦ ,хп].
Определение 1. Пусть / — некоторый идеал в к[хх, ¦ ¦ ¦ ,хп]. Гомо-
Гомогенизацией идеала / называется идеал
Ih = (fh:feI)Ck[x0,...,xn],
где fh —гомогенизация полинома / (см. предложение 7 из § 2).
Справедливо следующее естественное утверждение.
Предложение 2. Гомогенизация Ih произвольного идеала I С
.. ,хп] является однородным идеалом в к[хо,... ,хп].
Доказательство. См. упр. 1.
Определение 1 не вполне удовлетворительно, так как оно не дает
нам конечного множества образующих идеала Ih. Однако получить
его не так-то просто. Пусть / = (Д,... ,/s). Естественно ожидать,
что Ih = (fx, •. •, /^), но это не так! Идеал Ih может быть строго
больше идеала {fx,..., /8Л).
Пример 3. Рассмотрим идеал / = (/ь/г) = {х2 -х\,хз — х\) скру-
скрученной кубики в К3. Гомогенизируя /i, /г, мы получаем идеал
J = {х0х2 - x\,x"qXs - х\) С Щхо,хх,Х2,хз\- Мы утверждаем, что
J ф Ih. Чтобы доказать это, рассмотрим полином
/з = /г - xxfx =х3-х\- хх(х2 - х\) = х3 - хгх2 € /.
Тогда /I1 = xqx3 — ххх2 является однородным полиномом степени 2 в
Ih. Так как образующие идеала J однородны степеней 2 и 3, то, если
/з1 = A\fxh + ^2/2*, разлагая А\,А2 на однородные компоненты, мы
получим, что /j1 равен fxh с точностью до постоянного множителя
(см. упр. 8 к § 3). Но это, очевидно, не так; поэтому /? $ J и J ф Ih.
Как же тогда найти конечное множество образующих для Ih1
Ответ дает следующая теорема. Напомним, что мономиальное упо-
упорядочение кольца к[хх, ¦. ¦ ,хп] называется градуированным, если
сначала сравниваются полные степени мономов, т. е.
ха >хр, если \а\ > 1/31.
4. Проективное замыкание аффинного многообразия
487
Отметим, что grlex и grevlex —это градуированные упорядочения,
в то время как lex — нет.
Теорема 4. Рассмотрим идеал I С к[хх, ¦ ¦ ¦ ,хп], и пусть G =
{<?b--i<?s} является его базисом Грёбнера по отношению к гра-
градуированному мономиальному упорядочению в к[хх, ¦. ¦ ,хп]. Тогда
Gh — {9i> • • • j 9s} является базисом идеала Ih с к[х0,...,хп].
Доказательство. Мы докажем более сильное утверждение, что
Gh является даже базисом Грёбнера идеала Ih по отношению к не-
некоторому мономиальному упорядочению на к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп], которое
мы сейчас определим.
Каждый моном в к[хо,..., хп] может быть записан в виде
~<*i ~an d _ „ad
1 ' ' п ^О О'
где ха не делится на хо- Мы продолжим градуированное мономи-
мономиальное упорядочение > на к[х\,..., хп] до мономиального упорядо-
упорядочения >il на к[хо,...,хп] следующим образом:
хах% >h х0хео 4=> ха > х0 или ха = х0 и d > e.
В упр. 2 будет доказано, что это правило действительно задает
мономиальное упорядочение на к[хо,... ,хп]. Обратите внимание,
что Xi >h хо при любом i > 0.
Важное для нас свойство упорядочения >/, доказывается в сле-
следующей лемме.
Лемма 5. Пусть f € A;[xi,... ,хп] и > — градуированное упорядо-
упорядочение на к[хх, • • •, in] • Тогда
LM>h(fh) =
Доказательство. Так как > — градуированное упорядочение, то
LM>(/) — один из мономов ха, содержащихся в однородной компо-
компоненте полинома / максимальной полной степени. При гомогениза-
гомогенизации этот член не меняется. Если х0х% —один из мономов в fh, то
а > E. По определению >h из этого следует, что ха >д x0Xq. Значит,
ха = LM>h(fh). Лемма доказана. ?
Теперь мы докажем, что Gh является базисом Грёбнера идеала
Ih по отношению к мономиальному упорядочению >ь,. Каждый по-
полином д? принадлежит Ih по определению. Значит, достаточно до-
доказать, что LT>h{Gh) порождает идеал старших членов {ur>h(Ih)).
Пусть F ? Ih. Так как Ih однороден, то каждая однородная ком-
компонента полинома F принадлежит Ih; следовательно, мы можем

488 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
считать полином F однородным. Тогда
где Aj е к[х0,..., хп], a fj € /. Обозначим через / = F(l,xi,...,
дегомогенизацию полинома F. Полагая хо = 1 в A), получаем
f = F(l,
, хп) =
l, xi,...,xn)
так как /j*(l, хх,..., xn) = fj(xi,..., xn) (n. (iii) предложения 7 из
§ 2). Таким образом, f E I С k[xi,..., хп]. По п. (iv) предложения
7 из § 2
г — Хо ¦ J
для некоторого е > 0. Поэтому
= Хе0 ¦ LM>h(fh) = Хе0
B)
где последнее равенство следует из леммы 5. Так как G является
базисом Грёбнера идеала /, то lm>(/) делится на некоторый стар-
старший моном LM>(<?i) = LM>h(g^). Теперь из B) следует, что LM>h(.F)
делится на LM>h(g?), что и требовалось доказать. ?
В упр. 5 будет показано, что в случае grevlex-упорядочения те-
теорема 4 имеет более элегантную формулировку.
Рассмотрим пример. Пусть / = {х2 — x\,xz — xf) —идеал аффин- |
ной скрученной кубики W С К3. Базис Грёбнера для / по отноше-
отношению к grevlex-упорядочению имеет вид
G ={x\- x2,xix2 - х3,ххх3 - х\).
По теореме 4 гомогенизация этих полиномов порождает Ih. Тогда
Ih = (x\ -X0X2,XiX2 -X0X3,XiX3 -х\). C) |
Отметим, что этот идеал задает проективное многообразие V =
V(//l) С Р3(Е), которое мы нашли в примере 9 из § 2.
Остаток этого параграфа мы посвятим обсуждению геометри-
геометрического смысла процедуры гомогенизации идеала. Сначала мы изу-
изучим, что происходит при гомогенизации идеала Ia(W) всех поли-
полиномов, обращающихся в нуль на аффинном многообразии W.
j 4. Проективное замыкание аффинного многообразия
489
Определение 6. Рассмотрим аффинное многообразие W С кп1К
Его проективным замыканием называется проективное многообра-
многообразие W = V(Ia(W)h) С ТГ(к), где la{W)h С к[х0,..., х„] - гомогени-
гомогенизация идеала I0(WO С k[xi,... ,хп] (см. определение 1).
Важные свойства проективного замыкания доказываются в сле-
следующей теореме.
Теорема 7. Пусть W С кп — аффинное многообразие, a W С
?п(к) —его проективное замыкание. Тогда
(ii) W является наименьшим проективным многообразием в
Рп(&), содержащим W;
(iii) если W неприводимо, то W также неприводимо;
(iv) W не имеет неприводимых компонент, принадлежащих бес-
бесконечно удаленной гиперплоскости V(xo) С Pn(fc).
Доказательство, (i) Пусть G является базисом Грёбнера иде-
идеала I0(W) по отношению к градуированному упорядочению на
k[xi,...,xn]- Тогда (теорема 4) Ia(W)h = {gh : g e G). Мы зна-
знаем, что, положив хо = 1, мы отождествляем кп с подмножеством
Uq С Рп{к). Таким образом,
Так как gh(l,Xi,... ,хп) = g (п. (iii) предложения 7 из §2), то
w п и0 = w.
(ii) Пусть V — некоторое проективное многообразие, содержа-
содержащее W. Мы должны доказать, что W CV. Пусть V = V(P\,..., Fs).
Полином Fi равен нулю на V; следовательно, его дегомогенизация
/i = Fi(l, Xi,..., хп) обращается в нуль на W, т. е. /* € 10(^) и, зна-
значит, //* € Ia(W)h. Таким образом, //" обращается в нуль на W, но
тогда в силу п. (iv) предложения 7 из § 2 Fi = x^ //" для некоторого
е.% и Fi обращается в нуль на W. Таким образом, W С V.
Доказательство п. (iii) мы оставляем читателю в качестве
упражнения. Докажем (iv). Пусть W = V\ U ... U Vm —разложение
многообразия W в объединение неприводимых компонент, и пусть,
например, компонента V\ содержится в бесконечно удаленной ги-
^ Здесь кп отождествляется с подмножеством Uq проективного пространства
?"(&)¦ — Прим. ред.

490
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
перплоскости V(xo). Тогда
W =WnUo = (V1U...UVm)nUo
= (Vi П Г/о) U ((V2 U ... U Vm) П Uo)
= (V2U...UVm)nUQ.
Поэтому V2U.. .UVm является проективным многообразием, содер-
содержащим W. Тогда из минимальности многообразия W следует, что
W = V2 U ... U Vm и что Vi С V2 U ... U Vm ¦ Но это невозможно,
так как V\ — неприводимая компонента многообразия W (объясни-
(объясните это). Утверждение (iv) доказано. D
В качестве примера применения проективного замыкания рас-
рассмотрим скрученную кубику W С К3. В § 4 гл. 1 было доказано, что
По C)
~х\).
Значит, многообразие V = V(x? - xox2,xiX2 - xox3.,xix3 - х\) из
примера 9 § 2 является проективным замыканием скрученной ку-
кубики.
Основным недостатком определения проективного замыкания
является то, что мы должны работать с идеалом la(W). Было бы
гораздо удобнее искать проективное замыкание, исходя из любого
идеала, определяющего W. Если поле к алгебраически замкнуто,
то это можно сделать.
Теорема 8. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а IС k[xi,...,
хп] —некоторый идеал. Тогда V(//l) С Рп(/с) является проектив-
проективным замыканием многообразия Va(/) С кп.
Доказательство. Пусть W = Va(J) С кп, & Z = V(Ih) С Pn(fc).
Тогда из теоремы 4 и п. (i) предложения 7 следует, что Z содер-
содержит W.
Докажем, что Z является наименьшим проективным многообра-
многообразием, содержащим W. Мы будем рассуждать, как при доказатель-
доказательстве п. (ii) предложения 7. Пусть V — V(Fi,... ,FS) — какое-либо
проективное многообразие, содержащее W. Тогда дегомогенизация
fi = Fi(l,xi,. ..,xn) принадлежит Ia(W). Так как к алгебраически
замкнуто, то по теореме о нулях la(W) = \/7; поэтому //" € / для
некоторого т. Значит,
UT)heih
и, следовательно, (//")'* обращается в нуль на Z. В упражнениях
будет доказано, что
h
§ 4. Проективное замыкание аффинного многообразия
491
а значит, /f обращается в нуль на Z. Но F{ = x^'f^; поэтому Fi
равен нулю на Z. Как и в предложении 7, заключаем, что Z cV.
Мы доказали, что Z является наименьшим проективным мно-
многообразием, содержащим W, а так как и многообразие W обладает
этим свойством, то Z = W. ?
Теоремы 4 и 8 позволяют построить алгоритм вычисления про-
проективного замыкания аффинного многообразия над алгебраически
замкнутым полем к: если W С кп задано как множество нулей по-
полиномов Д = ... = fs = 0, то нужно вычислить базис Грёбнера G
идеала (/i,..., /s) по отношению к какому-либо градуированному
упорядочению, и тогда проективное замыкание многообразия W в
fn(k) есть множество нулей однородных полиномов gh для g € G.
К сожалению, теорема 8 перестает быть справедливой над поля-
полями, которые не являются алгебраически замкнутыми. Рассмотрим
пример.
Пример 9. Пусть / = (х\ + х\) С M[xi,x2]- Тогда W = Va(J) =
{@,0)} С Ш2. Следовательно, его проективное замыкание состоит
из одной точки, W = {A,0,0)} С Р2(Е) (так как очевидно, что
{A,0,0)} является наименьшим проективным многообразием, со-
содержащим W). С другой стороны, Ih = (x"qx\ + x\), и легко про-
проверить, что
V(Ih) = {A,0,0), @,1,0)} С Р2(Е).
Таким образом, многообразие V(//l) строго больше проективного
замыкания многообразия W = Va(/).
Упражнения к § 4
1. Докажите предложение 2.
2. Докажите, что упорядочение >/,, определенное в доказательстве те-
теоремы 4, является мономиальным упорядочением на к[хо,... ,хп]-
Указание: это может быть сделано непосредственно или с помощью
теории смешанных упорядочений из упр. 10 к § 4 гл. 2.
3. Приведите пример, показывающий, что теорема 4 не верна, если ис-
используется произвольное мономиальное упорядочение в k[xi,..., хп].
Указание: рассмотрите идеал аффинной скрученной кубики и най-
найдите его базис Грёбнера по отношению к неградуированному упоря-
упорядочению.
4. Пусть > — градуированное мономиальное упорядочение на k[xi,...,
in], а >h —упорядочение, определенное в теореме 4. Мы доказали,
что если G является базисом Грёбнера идеала / С k[xi,..., хп] по от-
отношению к >, то Gh является базисом Грёбнера идеала Ih по отноше-

492 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
нию к >h- В этом упражнении мы рассмотрим другие мономиальпые
упорядочения на к[хо, ¦ ¦ ¦, хп], обладающие этим свойством.
(a) Определим градуированный вариант упорядочения >h, полагая
xaxi >gh x^xl <^=>|а| + d > \C\ + е
или |а| 4- d = \в\ + е и хахо >h xaxo-
Докажите, что Gh является базисом Грёбнера по отношению
к >gh-
(b) Пусть теперь >' — мономиальное упорядочение на к[хо,... ,хп], !
которое совпадает с > на k[xi,... ,хп] и обладает следующим ]
свойством: для мономов одинаковой степени моном, содержащий
хо, больше любого монома, содержащего только х\,... ,хп. До-
Докажите, что Gh является базисом Грёбнера по отношению к >'.
5. Обозначим через > grevlex-упорядочение в кольце 5 = к\х\,... ,х„,
х„+1]. Пусть R = k[xi,..., х„] С S. Если / 6 R, то через fh мы обозна-
обозначим гомогенизацию полинома / по отношению к переменной х„+\.
(a) Пусть / G R. Докажите, что LT>(/) = lt>(/'1).
(b) Используя п. (а), докажите, что если G является базисом
Грёбнера идеала / С R по отношению к >, то Gh является бази-
базисом Грёбнера идеала Ih С S по отношению к >.
6. Пусть /, д G k[xi,..., хп]. Докажите, что
(fm)h = (fh)m для любого целого тп > 0.
Указание: используйте формулу из п. (ii) предложения 7 из § 2.
7. Докажите, что идеал / С к[х\,..., хп] прост в том и только том слу-
случае, когда идеал Ih прост в к[хо,..., хп\- Указание: для доказатель-
доказательства импликации => примените п. (а) упр. 10 к § 3, а для доказатель-
доказательства <= примените упр. 6.
8. Используя доказательство п. (ii) предложения 7, докажите, что
1(W) = la{W)h для любого аффинного многообразия W.
9. Докажите, что аффинное многообразие W неприводимо в том и толь-
только том случае, когда его проективное замыкание W неприводимо.
10. Пусть W = V\ U ... U Vm — разложение проективного многообразия в
объединение неприводимых компонент, причем Vi не является под-
подмногообразием в Vj при г ф j. Докажите, что T'i не принадлежит
V2U...UVm.
В упр. 11-14 мы рассмотрим несколько интересных многообразий
в проективном пространстве. Для краткости мы будем писать Р"
вместо Fn(k). Поле к мы будем считать алгебраически замкнутым,
так что теорема 8 применима.
§ 4. Проективное замыкание аффинного многообразия
493
11. Скрученная кубика, которая часто фигурировала в примерах и
упражнениях, является членом бесконечного семейства рациональ-
рациональных нормальных кривых. Рациональная нормальная кривая в к71 —
это образ полиномиальной параметризованной кривой ф : к —» кп,
Мы знаем (см. гл. 3), что рациональные нормальные кривые явля-
являются аффинными многообразиями. Их проективные замыкания в Р"
также называются рациональными нормальными кривыми.
(a) Найдите аффинные уравнения для рациональных нормальных
кривых в к4 и ks.
(b) Гомогенизируйте уравнения кривых из п. (а) и рассмотрите про-
проективные многообразия, определенные полученными однородны-
однородными полиномами. Определяют ли полученные уравнения проек-
проективные замыкания соответствующих аффинных кривых? Содер-
Содержат ли соответствующие проективные многообразия дополни-
дополнительные компоненты на бесконечности?
(c) Используя теоремы 4 и 8, найдите однородные уравнения, опре-
определяющие проективные замыкания этих рациональных нормаль-
нормальных кривых в
4 и в Р5. Увидели ли вы здесь какую-либо зако-
закономерность ;
(d) Докажите, что рациональная нормальная кривая вР" — это мно-
многообразие, определенное множеством однородных квадратичных
уравнений, которые строятся как 2 х 2-поддетерминанты 2 х п-
матрицы
/ х2 ... х„_Г
13 ... Х„
12. Аффинная поверхность Веронезе 5 С к5 была определена в упр. 6 к
§ 1 гл. 5. Она является образом параметризации ф : к2 —> к5, заданной
формулой
Ф(Х\,Х2) = (xi,X2,xl,XlX2,xl).
Проективное замыкание поверхности S — это проективное много-
многообразие, называемое проективной поверхностью Веронезе.
(a) Найдите однородные уравнения, определяющие проективную по-
поверхность Веронезе в Р5.
(b) Докажите, что параметризация аффинной поверхности Веронезе
может быть продолжена до отображения ф : Р2 —> Р5, образ кото-
которого совпадает с проективной поверхностью Веронезе. Указание:
нужно доказать, что отображение ф корректно определено, т. е.
что ф принимает одно и то же значение на всех однородных ко-
координатах произвольной точки в Р2.
13. Декартово произведение двух аффинных пространств — это аффин-
аффинное пространство: кп х кт = кп+т. Рассматривая стандартные вклю-
включения РсР",ГсРти кп+т С Рп+т (предложение 2 из § 2), объ-
объясните, чем отличается Р"+т от Р" х Рт (как множество).

494
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
14. В этом упражнении мы увидим, что Р" х Рт может быть ото-'
ждествлено с некоторым проективным многообразием в рп++п'Я)
которое называется многообразием Сегре. Конструкция здесь тако-
такова. Пусть р = (хо,... ,хп) — однородные координаты точки р 6 Р",
а 5 = (j/o, •¦• ,Ут) — однородные координаты точки q е Pm. Ото-
Отображение Сегре а : Рл х Рт -*• рп+т+пт сопоставляет паре точек
(р, q) G Р" х Рт точку из pn+m+nm c однородными координатами
(xo2/o,xo2/i,. •. ,хоут,Х1уо,... ,xiym,.. .,хпу0,... ,хпут).
Компонентами являются всевозможные произведения Xij/j, 0 < г < п,
О < j' < т. Образом этого отображения является проективное много-
многообразие, называемое многообразием Сегре.
(a) Докажите, что отображение а корректно определено, т. е. дока-
докажите, что при различных выборах однородных координат точек
рид мы получаем одну и ту же точку в p"+m+nm,
(b) Докажите инъективность отображения а и докажите, что образ
«аффинной части» кп х кт является аффинным многообразием
в kn+m+nm =UoC p"+m+"mi изоморфным кл+т (См. § 4 из гл. 5).
(c) Пусть п = т = 1. Дайте явное описание отображения а : Р1 х Р1 —>
Р3 и найдите однородные уравнения, определяющие многообра-
многообразие Сегре. Указание: нужно получить одно квадратичное урав-
уравнение, т. е. в этом случае многообразие Сегре является квадра-
квадратичной поверхностью в Р3.
(d) Рассмотрите случай п = 2, т = 1 и найдите однородные уравне-
уравнения, определяющие многообразие Сегре в Р5.
(e) Что является пересечением многообразия Сегре в Р5 и поверх-
поверхности Веронезе в Р5? (См. упр. 12.)
§ 5. Проективная теория исключения
В гл. 3 мы часто сталкивались с примерами «недостающих» точек
при изучении геометрических аспектов теории исключения. Так j
как одна из причин рассмотрения проективного пространства —
учесть в наших рассмотрениях «недостающие» точки," то имеет
смысл снова обратиться к теории исключения, но уже проективной.
Мы рекомендуем читателю освежить в памяти первые два парагра-
параграфа гл. 3, прежде чем разбирать новый материал.
Начнем с рассмотрения следующего примера.
Пример 1. Рассмотрим многообразие V с С2, определенное урав-
уравнением
ху2 = х - 1.
Для исключения переменной х мы используем исключающий идеал
1Х = (ху2 - х + 1) П С[у]. Легко показать, что h = {0} С С[у]. В
§ 5. Проективная теория исключения
495
гл. 3 мы показали, что исключение переменной х геометрически
соответствует переходу к проекции тг(У) на комплексную плоскость
С, где тг: С? -*• С задано формулой тг(х, у) = у. Мы знаем, что tt(V) С
VGi) = С, но рисунок показывает, что тг(У) является собственным
подмножеством в V(/i):
тг(У)
4-
t 71-1
За недостающими точками мы можем проследить, используя гео-
геометрическую теорему о продолжении (теорема 2 из § 2 гл. 3). На-
Напомним, как она работает. Запишем уравнение, определяющее V,
в виде (у2 - 1)х -1 = 0. Тогда теорема о продолжении гарантиру-
гарантирует, что мы можем разрешить это уравнение относительно х, если
старший коэффициент при х не обращается в нуль. Таким образом,
у = ±1 —это и есть недостающие точки.
Прежде, чем пытаться интерпретировать геометрическую тео-
теорему о продолжении в проективных терминах, отметим, что стан-
стандартная проективная плоскость Р2(С) —это не совсем то, что нам
нужно. Нас интересуют направления проектирования (т. е. направ-
направления, параллельные оси х), так как недостающие точки лежат
именно вдоль этих направлений. Поэтому вся плоскость Р2(С) нам
не нужна. Другая проблема состоит в том, что в Р2(С) прямым,
параллельным оси х, соответствует одна точка на бесконечности, в
то время, как у нас недостает двух.
Чтобы избежать этих затруднений, мы будем использовать неч-
нечто отличное от Р2(С). Так как тг —это отображение проекции
С х С —*• С, то имеет смысл сделать проективным первый сомно-
сомножитель, а не все проектируемое пространство. То есть мы будем
рассматривать отображение проекции тг: Р1 (С) х С —*• С на второй
сомножитель.
Пусть (t,x,у) — координаты на РХ(С) х С, где (?,х) —однород-
—однородные координаты на Р:(С), а у —обычная координата на С. Тогда
(по аналогии с предложением 2 из § 2) точка A, х, у) е Р1 (С) х С со-

496
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
ответствует точке (х, у) 6 Сх С. Мы будем рассматривать Сх С как
подмножество в РХ(С) х С, но следует проверить, что дополнение
состоит из «точек на бесконечности» с координатами @,1, у).
Мы можем расширить многообразие V С С х С до многообразия
V С Р1(С) х С, сделав уравнение многообразия V однородным по t
и х. Таким образом, V определено уравнением
ху2 = х - t.
В упр. 1 будет доказано, что это уравнение корректно определяет
подмножество в Р1(С) х С. Чтобы найти его решения, мы сначала
положим t = 1 и найдем аффинные решения, а потом положим t = 0
и найдем точки на бесконечности. Имеем
V = Vu{@,l,±l)}
(t и х не могут одновременно обращаться в нуль, так как они
являются однородными координатами). При отображении проек-
проекции 7г : Р:(С) х С -» С образ n(V) равен С = V(/i), потому что две
точки на бесконечности отображаются в две «недостающие точки»
у = ±1. Как мы вскоре увидим, равенство ir(V) = V(Ji) является
частным случаем проективного варианта геометрической теоремы
о продолжении.
Рассмотрим общую постановку задачи. Пусть дана система
уравнений
=0,
fs{x1,...,xn,y1,...,ym) - 0,
где Л,..., fs e k[xi ,...,xn,yi,...,ym].C алгебраической точки зре-
зрения исключение переменных х\,... ,хп состоит в вычислении иде-
идеала In = (/i,...,/«) П k[yi,... ,ym] (теорема исключения из § 1
гл. 3 объясняет, как это надо делать). С геометрической точки
зрения уравнения, приведенные выше, определяют многообразие
V С кп х кт и исключению переменных х\,..., хп соответствует
рассмотрение образа тг(У), где тг : кп х кт -> кт — отображение
проекции на последние т координат. Наша цель — описание связи
между тг(У) и V(Jn).
Основная идея состоит в том, чтобы сделать первый сомножи-
сомножитель проективным. Чтобы упростить обозначения, мы будем пи-
писать Р™ вместо Pn(fc), если ясно о каком поле идет речь. Точка из
Р™ х кт имеет координаты (х0, ...,хп,уъ.. .,ут), где (а;0,... ,х„) —
однородные координаты в Pn, a (yi,..., ут) — обычные координаты
в кт. Таким образом A,1,1,1) и B,2,1,1) —это координаты одной
§ 5. Проективная теория исключения
497
и той же точки в Р1 х к2, но B,2,2,2) —это координаты другой
точки. Как и в предложении 2 из § 2, мы будем использовать ото-
отображение
чтобы отождествить кп х кт с тем подмножеством в Р™ х кт, где
хо Ф 0.
Мы определим многообразия в Pn x кт с помощью «частично»
однородных полиномов.
Определение 2. Пусть к — произвольное поле.
(i) Полином F e k[xo,.--,xn,yi,...,ym] называется (хо,...,хп)-
однородным, если существует такое целое число I > 0, что
F=
\a\=l
где xa — это моном от хо,...,хп мультистепени a, a ha €
k[yi,...,ym].
(ii) Многообразием V(F\,... ,FS) С Р" х кт, определенным
(x0,..., хп)-однородными полиномами Fi,... ,FS E k[x0,... ,xn,
2/i, ¦ • ¦, Ут], называется множество
{(a0, ...,an,bu...,bm)eFnxkm: Fi{a0,..., an, h,..., bm) = 0
для всех 1 < г < s}.
В упражнениях будет доказано, что если (х0,. - - ,хп)-однород-
ный полином обращается в нуль на одном наборе координат неко-
некоторой точки из Р х fcm, то он обращается в нуль на всех координа-
координатах этой точки. Это доказывает, что многообразие V(Fi,..., F3) —
корректно определенное подмножество в Р™ х кт, если полиномы
Fi,..., Fs являются (хо, ¦ ¦ ¦, а;„)-однородными.
Теперь мы можем снова вернуться к теории исключения. Пусть
даны (хо, ¦ ¦ ¦ ,а;п)-однородные уравнения
Fi(xo,---,xn,yi,...,ym) = 0,
; A)
Fs(x0,...,xn,y1,...,ym) = 0.
Эти уравнения определяют многообразие V = V(Fj,..., Fs) С Pn x
кт. Рассмотрим отображение проекции
тг : Рп х кт —>кт
на последние т координат. Множество тг(V) С кт — это множество
таких m-наборов (yi,---,ym), для которых система A) имеет не-

498
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
тривиальное решение в переменных х0, ¦ ¦ ¦ ,хп (это значит, что не
все Х{ равны нулю).
Рассмотрим пример.
Пример 3. Пусть (u,v,y) являются координатами на Р1 х к. Рас-
Рассмотрим систему уравнений
! _ и + Vy - ,
F2 = и + иу = 0. w
Так как (и,v) —однородные координаты на Р1, то легко показать,
что
Тогда, если тг: Р1 х к —> к, то ir(V) = {0, -1}; поэтому при заданном
у система B) имеет нетривиальное решение в том и только том
случае, когда у = 0, —1, т. е. из B) следует, что уA + у) = 0.
Казалось бы, должен существовать чисто алгебраический спо-
способ «исключения» и и г» из системы B), чтобы получить уA + у) = 0.
К сожалению, тот метод исключения, которым мы пользовались в
гл. 3, здесь не работает. Чтобы объяснить это, рассмотрим идеал
/ = (Fi,F2) С k[u,v,y]. Так как каждый член в i<\ и F2 содержит
и или v, то
Шк[у] = {0}.
С аффинной точки зрения этот ответ правилен, так как аффин-
аффинное многообразие
Va(F1,.F2)cfc2xA;
содержит точки вида @,0, у) для всех у € к. Аффинные методы
гл. 3 могут помочь нам только в том случае, если мы найдем алге-
алгебраический метод исключать решения и = v = 0.
Некоторую ясность вносит вычисление базиса Грёбнера идеала
/ = (Fi,F2) по отношению к различным lex-упорядочениям:
для и> v > у : I = (u + vy,v + vy),
для v > и> у : I = (vu — и2,vy + и,иу + иу2).
Последние элементы в каждом базисе показывают, что наш поли-
полином уA + у) почти принадлежит / в том смысле, что
u-y(l+y),vy(l + y)el. C)
На языке частных идеалов (см. § 4 из гл. 4) это означает, что
2/A + 2/) ? Г. (u,v).
Напомним (см. гл. 4), что частному идеалов соответствует, грубо
говоря, разность многообразий (см. теорему 7 из § 4 гл. 4, где да-
дана точная формулировка). Таким образом, идеал / : (u,t>) связан
с разностью
! 5. Проективная теория исключения
Va(F1,F2)-Va(u,v)ck2xk.
499
Это множество состоит в точности из нетривиальных решений си-
системы B). Таким образом, частные идеалов естественно возникают
в этой задаче.
Теперь задача проективного исключения и и г» из B) приводит
к полиному
1/A +у) e/ = (J: {и, 17» П
Методами гл. 4 можно показать, что в данном случае / = (уA + у)).
При рассмотрении этого примера мы подошли очень близко к
понятию проективного исключения. В общем случае в условиях ти-
типа C) могут понадобиться более высокие степени переменных (см.,
например, упр. 7). А теперь мы можем дать строгое определение
проективного исключающего идеала.
Определение 4. Рассмотрим идеал / С к[х0,... ,хп, yi,... ,ут],
порожденный (хо,... ,хп)-однородными полиномами. Проектив-
Проективным исключающим идеалом идеала / называется множество
I = {/ е k[yi,..., ут] : для любого 0 < i < п, существует е^ > 0,
такое, что х*' f € /}.
Легко проверить, что / является идеалом в k[yi,... ,ут]. Роль
идеала / показывает следующий результат.
Предложение 5. Пусть V = V(Fi,..., Fs) С Р" х кт — многообра-
многообразие, определенное (хо, ¦ ¦ ¦, хп)-однородными полиномами. Рассмот-
Рассмотрим отображение проекции п : Р" х кт —*• кт. Тогда
тг(У) С V(J),
где I — проективный исключающий идеал идеала I — (F\,... ,FS).
Доказательство. Пусть (а0,..., а„, 6Х,..., Ьт) € V и / б /. Тогда
XV f(yi i • ¦ • i Ут) ? 1\ следовательно, этот полином обращается в нуль
на V, т. е.
aVf(bi,...,bm) = O
для всех г. Так как (а0,..., а„) — это набор однородных коор-
координат, то хотя бы одна компонента а* отлична от 0; значит,
f(bi,...,bm) = 0. Таким образом, / обращается в нуль на тт(У),
и предложение доказано. ?

500
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Если поле алгебраически замкнуто, то имеет место следующая!
проективная версия теоремы о продолжении.
Теорема 6 (проективная теорема о продолжении). Пусть пощ
к алгебраически замкнуто и многообразие V = V(Fi,... ,FS) Q'\
Pn x km определено (хо,..., xn) -однородными полиномами из к[хщ
¦¦¦,xn,yi,...,ym]. Пусть I = (Fi,...,Fs), a I C k[yi,...,ym] -его
проективный исключающий идеал. Если i
тг : Р" X кт ->• кт
— отображение проекции на последние т координат, то
Доказательство. Включение n(V) С V(/) доказано в предложе-
предложении 5. Докажем обратное включение. Пусть с = (ci,...,cm) €
V(/), и положим Fi(xo,...,xn,c) = Fi{x0, ¦ ¦. ,хп,а,... ,cm). Это
однородный полином от переменных хо,...,хп полной степе-
степени di (его полная степень равна полной степени полинома
Fi(xo,...,xn,yi,...,ym) по переменным х0,... ,а;„).
Если с ^ tt{V), to уравнения
Fi(a;o,...,xn,c) = ... = Fs(x0,-¦ ¦ ,хп,с) = 0
определяют пустое многообразие в Р™. Так как поле к алгебраичес-
алгебраически замкнуто, то из проективной слабой теоремы о нулях (теорема
8 из § 3) следует, что
(х0,..., хп)г С {Fi(xo,...,xn,c),..., Fs(xOl ¦ ¦ ¦, хп, с))
для некоторого г > 1. Это означает, что мономы ?а,|а| = г,
являются полиномиальными линейными комбинациями полиномов
Fi(xo,...,xn,c), т.е.
Рассматривая однородные компоненты, мы можем считать полино-
полиномы Hi однородными полной степени г — di. Записывая каждый Hi
как линейную комбинацию мономов х®{, |/3i| = г — dj, мы получаем,
что линейная оболочка полиномов
x0iFi(xo,...,xn,c), i = l,...,s, \j3i\=r-di,
совпадает с линейным пространством всех однородных полиномов
от переменных хо,.-.,хп полной степени г. Пусть размерность это-
этого пространства равна Nr. В силу стандартных результатов линей-
линейной алгебры мы можем найти Nr таких полиномов
Gj{xo,...,xn,c), j = l,...,Nr,
§ 5. Проективная теория исключения
501
которые образуют базис этого пространства. Наша цель — привести
это рассуждение к противоречию. Для этого, используя свойства
определителей, мы построим важный для нас элемент исключа-
исключающего идеала /. Полином Gj(xo,..., хп, с) возникает из полинома
Gj=Gj(xo,--.,xn,yi,---, Ут) € ЭДяо, • ¦ •, хп: 2/ь • ¦ •, Ут]- Каждый Gj
имеет вид x0i Fi для некоторого г и /3; и однороден полной степени
г по хо,..., хп. Таким образом,
GJ ~ Y1 аЗ<*Ы,---,Ут)ха. D)
Так как ха,|а| = г, образуют базис пространства всех однород-
однородных полиномов полной степени г, то их количество равно Nr. Сле-
Следовательно, можно составить квадратную матрицу из полиномов
аза{у\,---,Ут)- ПуСТЬ
D{yi,- ¦ -,ут) = det(a,ja(yi,.. .,ym) :l<j<Nr, \a\ = г)
— определитель этой матрицы. Если мы подставим ев D), то по-
получим, что
Gj{xo,...,xn,c)= ^2 аз<*{фа-
А так как полиномы Gj(xo,... ,хп,с) и ха образуют базисы одного
и того же векторного пространства, то
D(c) ф 0.
В частности, D(j/i, ...,ут)/0в к[уи.. .,ут].
Работая над полем функций к(ух,... ,ут) (см. § 5 из гл. 5), мы
можем рассматривать D) как систему линейных уравнений отно-
относительно переменных ха. Тогда по правилу Крамера (предложение
3 из § 3 приложения А)
„e _ det(Ma)
где Ма— это матрица, полученная из матрицы (a.ja) при замене
столбца, соответствующего а, столбцом G\,..., G^/^. Умножая это
равенство на D(y\,... :ут) и разлагая det(Ma) по этому столбцу,
мы получаем равенство
xaD{yu...,ym) = ^Hja(yx,... ,ym)Gj(x0,... ,хп,У1,... ,ут).
j
Однако каждый полином Gj имеет вид x0iFi, и если мы выразим
сумму через Fi, то получим, что
xaD{yu...,ym)e(Fl,...,Fs) = I.

502
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Это показывает, что D € I, а, так как с е V(J), то D(c) = 0, что
противоречит установленному выше соотношению D(c) ф 0. Значит,
с € тг(У), что и требовалось доказать. ?
Теорема 6 утверждает, что проекция многообразия V С Pn x km
на второй сомножитель является многообразием. Это утверждение
может быть интерпретировано следующим образом: если перемен-
переменные 2/i,..., ут рассматриваются как параметры в системе уравне-
уравнений
Fi(xo,...,xn,2/i,...,2/m) = ... = Fs(x0,...,xn,yi,...,ym) - 0,
то уравнения, определяющие n(V) = VG) в km, содержат инфор-
информацию, каким условиям должны удовлетворять параметры, чтобы
система имела нетривиальное решение (т. е. решение, где хотя бы
одна из переменных Х{ была отлична от нуля).
Применение теоремы 6 зависит от возможности вычислить ис-
исключающий идеал /. Мы рассмотрим эту задачу в двух следую-
следующих предложениях. Сначала мы покажем, как представить / в ви-
виде частного идеалов.
Предложение 7. Рассмотрим идеал I с к[х0, ¦ ¦., хп, j/i,..., ут].
Тогда для достаточно большого целого е имеем
1= (I: (хе0,...,хеп))Пк[У1,...,ут}.
Доказательство. По определению частного идеалов имеем
/ € / : (х§, • • •, х„) =>• х\ f Е I для всех 0 < г < п.
Отсюда (/ : (xg,... ,хеп)) П к[У1,... ,ут] с /при всех е > 0.
Нам нужно доказать, что имеет место противоположное вклю-
включение при достаточно большом е. Рассмотрим возрастающую цепь
идеалов
I: (хо,...,хп) С/: (х20,... ,х2п) С ....
По условию обрыва возрастающих цепей (теорема 7 из § 5 гл. 2)
Т . I е е \ _ т . / е+1 ~е+1\ —
1 . \х0,...,хп) — 1 . [х0 ,... ,хп ) — ...
для некоторого е. Зафиксируем это е. Тогда
I:(xdo,...,xdn)cl:(xeo,...,xen) E)
для всех целых d > 0.
Пусть теперь f ? I. Это означает, что х\{ f е / для всех 0 < г < п
и некоторых е* > 0. Пусть d = max(e0,... ,еп). Тогда xff e / для
всех г, т.е. / € I : {х$,.. .,хп). Теперь из E) следует, что / G (/ :
(xe0,...,xn))r\k[yi,...,ym]. О
§ 5. Проективная теория исключения
503
Теперь мы свяжем идеал / с процессом исключения, рассмот-
рассмотренным в гл. 3. Для этого мы превратим задачу в аффинную с
помощью дегомогенизации. Зафиксируем г, 0 < г < гг, и положим
Xi = 1 в F e k[xo,..-,xn,yi,...,ym]. Тогда мы получим полином
F{i) {х0, . . . , 1, . . . , Х„, J/1, ¦ • ¦ . Ут) € к[х0, ¦ ¦ ¦ , Xi, . . . , Хп, 2/1, . - . , ут],
где Xi означает, что xt исключена из списка переменных. Если задан
идеал I С к[х0, ¦ ¦ ¦,хп,ух, ¦ ¦ ¦,ут), то его дегомогенизацией называ-
называется множество
j(i) = {j-@ : F Е 1} С к[х0,... ,хг, ... ,хп,уи ... ,ут}-
Легко показать, что 1^ является идеалом в k[xo,.--,Xi,...,xn,
ух , . . . , ут] И ЧТО
J« = (F1W,...,FW>) F)
если / = (Fi,...,Fs) (докажите это самостоятельно).
Рассмотрим многообразие V С Р" х кт, определенное идеалом /.
Тогда идеал 1^ определяет аффинную часть VD(C/j x кт), где Ui =
кп — подмножество в Рп, определенную условием Xi ф 0. Так как мы
сделали задачу чисто аффинной, то теперь можем использовать
методы исключения, развитые в гл. 3. В частности, мы должны
рассмотреть п-й исключающий идеал
J«=7<0n Ml/1.---. 2/n],
где индекс п указывает, что исключаются п переменных хо,...,
?{,...,х„. Мы вычислим I в терминах его дегомогенизации /w.
Предложение 8. Пусть идеал I С к[х0,... ,хп,ух, ¦ ¦ ¦ ,ут] порож-
порожден (хо,... ,хп) -однородными полиномами. Тогда
Доказательство. Достаточно доказать, что
...П7(п)П к[ух,..., ут].
Предположим, что / е /. Тогда z-'/B/i, ...,ут) € I; поэтому если
мы положим Xi = 1, то получим, что f{yi,-..,ym) ? Iм- Отсюда
следует, что / е /@) П ... П 1^ П к[уг, ...,ут].
Теперь докажем обратное включение. Сначала изучим связь
между идеалами / и /(i). Элемент / е /(i) получается из неко-
некоторого элемента F Е I с помощью подстановки х* = 1. Мы ут-
утверждаем, что F может быть выбран (х0; ¦ ¦ • ,х„)-однородным. В

504
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
самом деле, F = Х^=о^п гДе ^з СУТЬ (хо,- ¦ ¦,х„)-однородные по-
полиномы полной степени j по переменным хо,..., хп. Так как / по-
порожден (х0,..., хп)-однородными полиномами, то нетрудно пока-
показать (см. доказательство теоремы 2 из § 3 и упр. 4), что Fj € / для
всех j. Следовательно,
j=o
является (хо, ¦.., хп)-однородным полиномом в / и его дегомогени-
зация при Xi = 1 равна /. Таким образом, мы можем считать, что
F е I (х0, ¦ ¦ ¦, хп)-однороден.
Тогда процедура гомогенизации, примененная к полиному
к[х0, . . ¦ ,Xt, . . . ,Хп,
. ,у
и использующая х, в качестве дополнительной переменной, дает
нам (х0,... ,хп)-однородный полином fh € k[xo,...,xn,yi,...,ym].
Пусть / является дегомогенизацией (х0, ¦ ¦ ¦, х„)-однородного поли-
полинома F. Доказательство того, что
F = x\ f
G)
для некоторого е > 0, мы оставляем читателю.
Пусть теперь / е jW nk[yi,..., ут]. Тогда, как показано выше, /
получен дегомогенизацией (хо, • • •, хп)-однородного полинома F ?
I. Так как / не зависит от переменных хо,..., хп, то fh = f и по
G) x\f е /. Отсюда следует, что /@) П ... П /(п) П к[ух ,...,ут]с1.
Предложение доказано. ?
Предложение 8 можно интерпретировать следующим образом.
Идеал In исключает переменные хо, ¦ ¦ ¦, ?», • ¦ • ,хп на аффинной
части пространства Р" хкт (там, где х, ф 0). Тогда пересечение этих
аффинных исключающих идеалов (которое, грубо говоря, соответ-
соответствует исключению на объединении аффинных частей) и является
проективным исключающим идеалом.
Предложение 8 дает нам алгоритм вычисления идеала /.
А именно, пусть / = (Р\,..., Fs). Равенство F) указывает базис иде-
идеала /('). Идеал In вычисляется с помощью теоремы исключения
из § 1 гл. 3. Теперь алгоритм, вычисляющий пересечения идеалов
(§ 3 гл. 4), позволяет найти / = In П- ¦ -П7„ . Второй алгоритм для
вычисления идеала /, использующий предложение 7, будет рассмо-
рассмотрен в упражнениях.
§ 5. Проективная теория исключения
В качестве примера рассмотрим уравнения
Fi = u + vy = 0,
F2 = u + uy = О
из примера 3. Положим I = (u + vy, и + иу) С k[u, v, у]. Тогда
если и = 1, то l[u) = (l+vy,l+y)n k[y] = A + у),
если v = l, то l[v) = (и + у,и + иу)Пк[у] = (уA + у)).
505
= Ц
{ =
Отсюда следует, что / = Ц П /{ = {уA + у)). Можете ли вы
объяснить, почему идеалы /} и /^ различны?
Теперь мы снова вернемся к вопросу о недостающих точках в
аффинном случае. Идеал I С k[xi,... ,xn,yi,... ,ут] определяет
многообразие V = VaG) С кп х кт, и мы знаем, что 7r(V) С V(/n),
где 7г: кп х кт -*• кт — отображение проекции, а /„ — п-й исключаю-
исключающий идеал идеала I. Мы хотим показать, что точки из V(Jn) — 7г(У)
возникают из бесконечно удаленных точек в Pn x кт.
Проведем гомогенизацию по новой переменной а;0. Из доказа-
доказательства предложения 8 следует, что полином / е к[х\,.. .,xn,yi,
..., ут) дает нам (х0, ¦ ¦ ¦, х„)-однородный полином fh e к[х0, ...,х„,
2/1) ¦¦¦ ;2/т]- В упр. 12 мы подробно изучим процесс гомогенизации.
Идеал
Ih = (fh : / е /) С *[аг0, ...,хп,У1,.-., Ут]-
называется (х0,... ,хп)-гомогенизацией идеала /. По теореме
Гильберта о базисе Ih порожден конечным числом (а;0,..., х„)-
однородных полиномов.
В следующем предложении перечислены основные свойства иде-
идеала Ih.
Предложение 9. Рассмотрим идеал I С к[х\,... ,xn,yi,- ¦ ¦ ,Ут\,
и пусть Ih — его (хо, ¦ ¦ ¦, хп)-гомогенизация. Тогда
(i) проективный исключающий идеал идеала Ih равен п-му исклю-
исключающему идеалу идеала I, т. е. Ih — 1п С k[yi,... ,ут];
(ii) если поле к алгебраически замкнуто, то многообразие V =
V{Ih) является наименьшим многообразием в Pn x km, содер-
содержащим аффинное многообразие V = VaG) С кп х кт; много-
многообразие V называется проективным замыканием многообразия
V еР" х кт.
Доказательство, (i) Легко доказать, что дегомогенизация идеала
Ih по переменной Xq дает (Ih)^ = I. Тогда из доказательства пред-
предложения 8 следует, что Ih С 1п- С другой стороны, пусть / € 1п-

506
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Так как / е k[yi,..., ут], то / является (х0,..., хп)-однородным.'5
Поэтому / = fh e Ih- Следовательно, x°f 6 Ih для всех г. Значит,!
/ € /Л, и п. (i) доказан.
Доказательство п. (ii) аналогично доказательству теоремы 8 из |
§ 4, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.
Теорема 6 и предложение 9 дают нам следующий замечательный!
результат.
Следствие 10. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а V
Va(J) сГх кт, где I С к[х\,... ,хп,у\,.. .,ут] —некоторый
ал. Тогда _
V(Jn)=ir(V),
где FcP"x km — проективное замыкание многообразия V, а 7Г si
Рп х кт —*• кт — отображение проекции. '1
Доказательство. Согласно предложению 9, V — V(Ih) и Ih =
Теперь утверждение непосредственно следует из теоремы 6. D;
В гл. 3 точки из V(/n) назывались частичными решениями. Ча-
Частичные решения, которые не продолжаются до полных решений из
V, и образуют множество V(/n) - n(V). Следствие 10 показывает,
что эти точки получаются из бесконечно удаленных точек проек-
проективного замыкания V многообразия V.
Применение следствия 10 требует умения вычислять Ih. Как и
в § 4, трудность состоит в том, что если / = (Д,..., fs), то это еще
не значит, что Ih = (fi,---,fs)- Но если мы будем использовать
подходящий базис Грёбнера, то эту трудность можно преодолеть.
Предложение 11. Пусть > — мономиалъное упорядочение на
кольце k[xi,... ,хп,у\,..., ут], такое, что для всех мономов
xayy,x@ys мы имеем
\а\
¦ хау1
x0ys.
Пусть G = {gi,...,gs} —базис Грёбнера некоторого идеала I по
отношению к >. Тогда Gh = {g^,... ,g%} является базисом идеала
Ih С k[xo,...,xn,yi,...,ym].
Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично
доказательству теоремы 4 из § 4, и мы оставляем его читателю в
качестве упражнения. D
В примере 1 мы рассматривали идеал / — (ху2 - х +1) с С[х, у].
Это главный идеал, и, следовательно, полином ху2 — х + 1 образует
§ 5. Проективная теория исключения
507
базис Грёбнера по отношению к любому мономиальному упорядо-
упорядочению (см. упр. 10 к § 5 гл. 2). Если мы проведем гомогенизацию
по отношению к новой переменной t, то по предложению 11 иде-
идеал Ih порожден (t, х)-однородным полиномом ху2 — х + t. Пусть
у = V(Ih) С Р1 х С. Тогда, согласно следствию 10, тг(У) = У(Д) = С,
что согласуются с результатами примера 1.
Следствие 10 и предложение 11 указывают на недостатки гео-
геометрической теоремы о продолжении из гл. 3. Эта теорема утвер-
утверждает, что если J = (Д,...,/,), то
V(Jx) = tt(V) U (VEl,... ,g.) П V(h)), (8)
где V = Va(/), a g\,..-,gs — старшие коэффициенты полиномов
ft по отношению к х\. С проективной точки зрения {@,1)} х
V(<ji,... ,gs) — это точки на бесконечности многообразия Z =
V(/iS - - •, fs) (см. доказательство теоремы 6). Так как /i, ...,/« —
произвольный базис идеала /, то Z не обязательно является про-
проективным замыканием многообразия У, и, следовательно, много-
многообразие V(<?i,... ,gs) может быть слишком большим. Чтобы полу-
получить проективное замыкание в (8), мы должны использовать базис
Грёбнера идеала / по отношению к мономиальному упорядочению
того типа, который рассматривался в предложении 11.
Конец параграфа мы посвятим изучению отображений про-
проективных пространств в проективные пространства. Пусть
/о, ¦ • ч /т б к[хо,.. ¦, хп] — однородные полиномы полной степени
d, причем V(/o, -.. ,/m) = 0 в Рп. Тогда мы можем определить
отображение F : Рп —> Рш формулой
F{xO,-..,Xn) = (fo{xO, . . . ,Хп), ¦ ¦ ¦ , fm(X0, ¦ ¦ ¦ ,Хп)).
Так как /о, • • •, /т не обращаются одновременно в нуль на Рп, то
F(xo,..., хп) всегда определяет точку в Рт. Далее, так как /j имеют
одинаковую полную степень d, то
F(\x0,. • ¦, Ахп) = \dF(x0, ...,xn)
для всех А € к - {0}. Таким образом, F — корректно определенное
отображение из Р" в Рш.
С отображениями проективных пространств мы уже встреча-
встречались. Так, например, в упр. 21 к § 2 мы изучали отображение
F : Р1 —*• Р2, определенное формулой
F(a,b) = (a2+b2,2ab,a2~b2).
Это проективная параметризация многообразия V(x2 — у2 — z2).
Кроме того, в упр. 12 к § 4 мы рассматривали отображение Веро-

508 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
незе, определенное формулой
ф(хо,х\, х2) = (a;o,a;oa;i)a;oa;2)a;i»xia;2ia;2)'
Образ этого отображения называется поверхностью Веронезе в Р5.
Над алгебраически замкнутыми полями мы можем описать
образ отображения F : Рп —*• Рш, используя теорию исключения.
Теорема 12. Пусть поле к алгебраически замкнуто и отображе-
отображение F : Р" —*• Рт задано однородными полиномами /о,---,/т €
к[хо,..., хп] одинаковой полной степени, не имеющими общих ну-
нулей в Р". Пусть I = B/0 "Л, • ¦ • , Ут-fm) С k[x0, ¦ ¦ ¦ ,Хп,Уо, ¦ ¦ ¦ , Ут] U
1п+х = I Г\ А[2/о,..., ут]. Тогда 1п+\ является однородным идеалом
в к[уо,...,ут] и
F(Pn)=V(/n+i)-
Доказательство. Докажем сначала, что 1п+\ является однород-
однородным идеалом. Пусть все fi имеют полную степень d. Так как обра-
образующие yi - fi идеала / неоднородны (за исключением случая d = 1),
то мы припишем переменным х0,... ,хп,уо,. ¦ -,ут веса следующим
образом: все xt имеют вес 1, а все yj имеют вес d. Тогда моном хауР
имеет вес \а\ + d\/3\. Полином / € А[х0, • ¦ ¦ ,хп,уо, ¦ ¦ ¦ ,ут] называет-
называется взвешенно однородным, если все его мономы имеют один и тот
же вес.
Все образующие yi — fi имеют вес d, т. е. / является взвешенно
однородным идеалом. Если мы вычислим базис Грёбнера G иде-
идеала / по отношению к любому мономиальному упорядочению, то
рассуждения, подобные тем, которые использовались в доказатель-
доказательстве теоремы 2 из § 3, показывают, что G состоит из взвешенно од-
однородных полиномов. Для подходящего lex-упорядочения теорема
исключения из гл. 3 утверждает, что G П к[у0,..., ут] является ба-
базисом идеала In+i = / П к[уо,... ,ут]. Таким образом, 1п+\ имеет
взвешенно однородный базис. Но так как все yj имеют один и тот
же вес, то полином в к[у0, ¦ ¦ ¦ ,ут] является взвешенно однородным
в том и только том случае, когда он однороден. Это доказывает
однородность идеала /n+i-
Для изучения образа отображения F нам понадобится рас-
рассматривать многообразия в произведении Р" х Рш. Полином h G
А[хо,... ,х„,2/о, ¦ ¦ ¦ .2/m] называется биоднородным, если он может
быть представлен в виде
h = J2 а«0хаУв.
'; 5. Проективная теория исключения
509
Если полиномы h\, ¦ ¦ ., hs биоднородны, то они корректно опреде-
определяют множество
V{hi,...,hs) сР"х Рт,
многообразие, определенное полиномами hi,...,h3. Аналогично,
если идеал J С к[х0,... ,хп,у0,... ,ут] порожден биоднородны-
ми полиномами, то J определяет многообразие V(J) С Р" х Pm
(см. упр. 16).
Теория исключения прекрасно работает в такой ситуации.
Проективный исключающий идеал J С к[уо,... ,ут] однороден
(упр. 16). Если 7г : Рп х Рт -)• Рт — отображение проекции, то из
теоремы 6 следует, что
в Рт (см. упр. 16). Это равенство справедливо в случае алгебраи-
алгебраически замкнутого поля к.
Теория исключения не может быть применена к идеалу /, так
как он не является биоднородным. Поэтому мы будем работать с
биоднородным идеалом J = (yifj — 2/j/t)- Докажем, что V(J) С
Р" х Рт —график отображения F : Pn -> Pm. Если р е Р", то
{p,F(p)) e V(J), так как yi = fi(p) для всех г. С другой сторо-
стороны, пусть (p,q) e V(J). Тогда qifjip) - qjfi{p) для всех i,j, где
<7i — это i-я координата точки q. Найдется j, такое, что qj ф 0, и
по условию найдется г, такое, что fi(p) Ф 0. Тогда соотношение
4ifj(p) = 4jfi(p) Ф 0 показывает, что qi ф 0. Пусть Л = qi/fi{p) ф 0-
Теперь определяющие уравнения многообразия V(J) показывают,
что q = \F(p), т.е. точка (р,q) принадлежит графику отображения
F в Рп х Рт.
Как мы видели в § 3 гл. 3, проекция графика является образом
отображения. Таким образом, tt(V(J)) = F(Fn) или, согласно (9),
F(Pn) = V(J) (так как к алгебраически замкнуто). Это доказывает,
что образ отображения F является многообразием в Рт.
Алгоритм вычисления идеала J нам известен, и на этом мы мог-
могли бы остановиться. Но, к сожалению, вычислить J не так-то про-
просто. Гораздо проще работать с идеалом 7п+1 = Шк[у0,... ,ут], для
чего нужны только методы гл. 3. Поэтому окончательный шаг дока-
доказательства состоит в том, чтобы доказать равенство V( J) = V(/n+i)
в Pm.
Для этого достаточно показать, что Va(J) = Va(/n+i) в Am+1.
Заметим, что многообразие VaG) С An+1 xkm+1 является графиком
отображения An+1 -> Am+1, заданного набором (/0,..., /т). Пусть
7г — отображение проекции тг : кп+1 х A'n+1 —*• Am+1. Мы утверж-

510
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
даем, что 7r(VaG)) = Va(J). Известно, что V(J) является обра-
зом отображения F в Рт. Если мы исключим начало координат,
то q € Va(J) в том и только том случае, когда существует точка
р € kn+1, такая, что q = F(p) в Pm. Следовательно, q = \F(p) в
km+1 для некоторого А ф 0. Положим Л' = v^A. Тогда q = F(\'p)t
т.е. q € tt(Vq(/)). Утверждение доказано.
По теореме о замыкании (теорема 3 из § 2 гл. 3) Va(/n+i) явля-
является наименьшим многообразием, содержащим тг(Уа(/)). Так как
эта проекция равна многообразию Va(J), то Va(/n+1) = Va(J), что
и завершает доказательство теоремы. ?
Упражнения к § 5
1. Объясните, почему уравнение ху2 — х + t = 0 корректно определяет
(см. пример 1) подмножество в Р1 х С, где (t,x) — однородные коор-
координаты на Р1, а у — координата на С. Указание: см. упр. 2.
2. Пусть полином F G k[x0,. ¦ ¦ ,xn,yi,..., ym] является (х0,... ,х„)-
однородным. Докажите, что если F обращается в нуль на некотором
наборе координат точки из Р" х к, то он обращается в нуль на всех
координатах этой точки.
3. В примере 3 покажите, что V(Fi,F2) = {@,1,0), A,1,-1)}.
4. В этом упражнении будут изучаться идеалы, порожденные
(хо,..., хп)-однородными полиномами.
(a) Докажите, что каждый полином F G к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп,уг, ¦ ¦ ¦ ,ут]
имеет единственное представление в виде суммы (хо,...,х„)-
однородных полиномов. Мы будем называть их (хо,-..,х„)-
однородными компонентами полинома F.
(b) Докажите, что идеал / С к[х0, ¦ ¦ ¦, хп, ух,..., ут] порожден
(хо,... ,Жп)-однородными полиномами в том и только том слу-
случае, когда он содержит все (хо,... ,хп)-однородные компоненты
каждого своего элемента.
5. Рассмотрим идеал I С к[х0, ¦ ¦. ,хп, уг,... ,ут], порожденный (х0,
... ,хп)-однородными полиномами. Как найти идеал (/ : х^) П
k[yi,...,j/m]? Для простоты мы рассмотрим случай i = 0. Пусть > —
это lex-упорядочение cii > ... > х„ > х0 > у\ > ... > ут, а G — ре-
редуцированный базис Грёбнера идеала / по отношению к этому упо-
упорядочению.
(a) Пусть g G G и иг(д) = хоуа ¦ Докажите, что g = xohi (i/I,..., ут) +
ho(yi,- ¦ • ,ут).
(b) В условиях п. (а) докажите, что g — xo/ii(i/i,... ,ут). Указание:
используйте п. (Ь) упр. 4 и тот факт, что Gnk[yi,..., ут) является
базисом Грёбнера идеала / П к[у\,..., ут]. Не забывайте, что G
редуцирован.
§ 5. Проективная теория исключения
511
(c) Рассмотрим множество G' — {д 6 к[у\,..., ут) ¦ или д, или ход €
G}. Докажите, что С С (I : х0) П k[ylt... ,ут] и что старший
член любого полинома из (/ : хо) П k[yi,..., ут] делится на стар-
старший член некоторого полинома из G'. Это доказывает, что G'
является базисом Грёбнера.
(d) Объясните, как вычислить (I : х|) П к[уг,..., ут].
6. В примере 3 мы утверждали, что (I : (u,v)) П к[у] = (у{у + 1)), где
/ = (u + vy,u + uy) С k[u,v,y]. Докажите это, используя метод упр. 5.
Указание: I : (u,v) = (I : u) П (/ : v). Необходимый базис Грёбнера
вычислен в примере 3.
7. Пусть (и, v, у) — координаты на Р1 х к. Пусть F\ = и — vy и F2 =
u2 -v2y€ k[u,v,y].
(a) Найдите V(Fi, F2) и объясните геометрически, почему исключе-
исключение переменных и и v приводит к уравнению уA — у) = 0.
(b) Вычислив подходящий базис Грёбнера, докажите, что и2уA — у),
v2y2(l-y) G/= (Fi,F2) ичтоиу(\-у),уу{1-у) $1.
(c) Докажите, что (I : (u,v)) П к[у] = {0} и что I : (u2,v2)) П к[у] -
(уA — у)). Указание: используйте упр. 5.
8. Докажите, что множество / из определения 4 является идеалом в
к[у\, ¦ ¦ ¦ ,утп]. Замечание: хотя этот факт следует из предложения 7,
желательно дать прямое доказательство.
9. Рассмотрим идеал I С к[х0, ¦ ¦ ¦, х„, t/i,..., ym}- Используя рассужде-
рассуждения из доказательства предложения 7, покажите, что
/= (/: (хо, ...,xn)e)rU[i/i,...,2/m]
для всех достаточно больших е. Указание: идеал (хо,..., хп)" порож-
порожден всеми мономами х" полной степени е (см. упр. 8 к § 3).
10. В этом упражнении мы используем предложение 7 для построения
алгоритма, вычисляющего проективный исключающий идеал /.
(a) Пусть I : (х0, ...,<) = /: (хо+\ ..., хеп+1),е > 0. Докажите, что
/ : (х0, ...,х'п)=1: (хо\... ,х?> при d > e.
(b) Используя п. (а), найдите алгоритм, вычисляющий целое е, та-
такое, что I = {I : {хе0,..-,хеп))Пк[у1,. .. ,ут].
(c) Как только мы нашли е, алгоритмы из гл. 3 и 4 помогут вычис-
вычислить идеал / (с помощью предложения 7).
11. В этом упражнении мы рассмотрим процедуру дегомогенизации F н4
F('\ определенную перед предложением 8.
(a) Докажите, что Iw = {F(l) : F € 1} является идеалом в
fcfxo,...,?;,... ,Xn,yi,...,ym]-
(b) Пусть I = (Fx,...,F,). Докажите, что J(i) = (Fj(i),..., Fs(i)).
12. В доказательстве предложения 8 использовался оператор, превраща-
превращающий полином f & k[xi,...,xn,yi,..., ут] в (х0,..., хп)-однородный
полином fh за счет введения новой переменной xq.

512
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
(a) Дайте точное определение fh.
(b) Дегомогенизируем fh, положив хо = 1. Докажите, что (/'l)@) = f,
(c) Пусть / = F^0' является дегомогенизацией (хо,..., хп)-однород-
ного полинома F. Докажите, что F = x%fh для некоторого е > 0.
13. Докажите п. (ii) предложения 9.
14. Докажите предложение 11. Приведите пример мономиального упо-
упорядочения, которое удовлетворяет условиям предложения 11. Указа-
Указание: рассмотрите подходящее взвешенное упорядочение из упр. 12 к
§ 4 гл. 2.
15. В доказательстве теоремы 12 мы использовали взвешенно одно-
однородные полиномы. Общее определение таково. Пусть переменные
Хо,... ,хп имеют веса qo,... ,qn, которые являются целыми положи-
положительными числами. Весом монома х" является число ^21=0QiQi, где
a = (ao,...,an)- Полином называется взвешенно однородным, если
все его мономы имеют одинаковый вес.
(a) Докажите, что каждый полином / G k[xo, ¦ ¦ ¦ ,хп] имеет един-
единственное представление в виде суммы взвешенно однородных по-
полиномов. Они называются взвешенно однородными компонента-
компонентами полинома /.
(b) Что значит, что идеал I С k[xo, ¦ ¦. ,хп] является взвешенно од-
однородным? Сформулируйте и докажите аналог теоремы 2 из § 3
для взвешенно однородных идеалов.
16. В этом упражнении мы рассмотрим теорию исключения в Pn x Р.
Мы будем работать с полиномиальным кольцом к[хо,..., хп,уо,
... ,ут}, где (жо,... ,Хп) — однородные координаты на Pn, a (j/o,
¦ • • > Ут) — однородные координаты на Рт.
(а) Полином h G к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп,уо,... ,ут] называется биоднородным,
если он имеет вид
N=9.101=1
аа/зх у1"
В этом случае мы говорим, что h имеет бистепень (q, l). Докажи-
Докажите, что если полиномы hi,..., hs биоднородны, то они корректно
определяют многообразие
V(/ll,...,/ls)CPnxPm.
Пусть идеал J С к[хо,..., хп, уо, ¦ ¦., ут] порожден биоднородны-
ми полиномами. Объясните, как определить множество V(J) С
Р" х Рт, и докажите, что оно является многообразием.
(Ь) Пусть идеал J порожден биоднородными полиномами, и пусть
V = V(J) С Р" х Рт. Так как J также {х0,... ,хп)-однороден,
то мы можем построить его проективный исключающий идеал
J С к[уо,..., ут]. Докажите, что J однороден.
§ 6. Геометрия квадрик 513
(с) Пусть поле к алгебраически замкнуто, и пусть тг: Pn x Pm —> Рт —
отображение проекции. Докажите, что
7T(V)=V(J)
в Рт. Это главный результат теории исключения в Pn x Pm.
Указание: идеал J также определяет многообразие в Pn x fcm+1;
поэтому можно применить теорему 6 к отображению проекции
pn x кт+1 ^Д.т+1
17. В тексте параграфа перед теоремой 12 были рассмотрены два отобра-
отображения проективных пространств. Найдите определяющие уравнения
образов этих отображений.
18. В упр. 11 к § 1 мы рассматривали проективную плоскость Р2 с ко-
координатами (х, у, z) и двойственную проективную плоскость P2V, где
точка с координатами (.4, В, С) G P2V соответствует проективной пря-
прямой, заданной уравнением Ах + By + Cz = 0 в Р2. Докажите, что
подмножество
{(р, L) G Р2 х P2V : р е L} С Р2 х P2V
является многообразием, заданным биоднородным полиномом в
k[x,y,z, А, В, С] бистепени A,1). Указание: см. п. (f) упр. 11 к § 1.
§ 6. Геометрия квадрик
В этом параграфе мы рассмотрим квадратичные гиперповерхности
в Pn(fc). Эти многообразия являются обобщениями конических се-
сечений на плоскости, и их геометрия весьма интересна. Чтобы упро-
упростить обозначения, мы будем писать Р" вместо Fn(k). Однородные
координаты мы обозначаем через Xq, ... ,хп. На протяжении этого
параграфа мы будем считать, что характеристика поля к не рав-
равна 2. Это означает, что 2 = 1 + 1^0в/г, в частности, мы можем
делить на 2.
Прежде чем определять квадратичные гиперповерхности, нам
необходимо ввести понятие проективной эквивалентности. Пусть
GL(n + 1, к) — множество обратимых (тг + 1)х(п+ 1)-матриц с эле-
элементами из к. Матрица А ? GL(n +1, к) задает преобразование про-
пространства Рп следующим образом. Умножение на А вектор-столбца
длины гг + 1 определяет линейное отображение аффинных про-
пространств кп+1 —> кп+1, которое является изоморфизмом, так как А
обратима. Это отображение переводит подпространства простран-
пространства kn+l в подпространства той же размерности, в частности пря-
прямые, проходящие через начало координат, в такие же прямые. Та-
Таким образом, А задает отображение А : Рп -*• Рп (см. A) из § 2).
Мы назовем такое отображение проективным линейным преобра-
преобразованием.

524
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
определителем. Этот определитель и дает ненулевую плюккероэ
координату. ',
Теперь посмотрим, как плюккеровы координаты зависят от В1ф
бора точек p,qE L. Пусть мы выбрали другую пару точек p',q' ? If '!¦
По A0)
L — {up- vq : (u,v) E P1}.
Следовательно,
p' = up- vq,
q' = sp- tq,
где (u,v) и (s,t)— две различные точки в
го, что
Доказательство то- i
b3p-a3q =
- vq, sp - tq) = (vs - ut)u(p, q)
в k6, мы оставляем читателю. Очевидно, что vs — ut ф 0, так как '
(u, v) ф (s, t) в Р1. Это показывает, что ш(р, q) определяет точку в Р5,
которая зависит только от L, т. е. прямая L однозначно определяет
точку u(L) е Р5.
Если L пробегает все прямые в Р3, то точки u(L) образуют неко-
некоторое подмножество в Р5. Исключая а; и bt из уравнений A1), мы
получим, что woiw23 - Wo2^i3 + u>o3wi2 = 0 для всех наборов плюк-
керовых координат. Обозначим через Zij,0 < i < j < 3, однородные
координаты на Р5. Тогда точки ш{Ь) лежат на неособой квадрике
*V{zoiz23 - ^02^13 + 203212) С Р5. Докажем, что эта квадрика совпа-
совпадает с множеством всех прямых в Р3.
Теорема 11. Отображение
{прямые в Р3} —> V(zoiz23 - z02z13 + z03z12),
которое прямой L С Р3 ставит в соответствие набор ее плюк-
керовых координат u(L) G V(z0i223 - z02z13 + ^03^12), является
биекцией.
Доказательство. Стратегия доказательства состоит в том, чтобы
реконструировать прямую L С Р3 по ее плюккеровым координатам.
Пусть точки р= (ао,аиа2,аз) и q - (bo,bi, b2, b3) лежат на I. Тогда
мы можем определить четыре вектора в ifc4:
bop - aoq = @, -w0i,-w02, -w03),
6. Геометрия квадрик
525
Некоторые из этих векторов могут быть нулевыми, но те из них,
которые не равны нулю, отвечают точкам на L (см. A0)).
Докажем инъективность отображения ш. Предположим, что
прямые L и V таковы, что u){L) = Xlo(L') для некоторого Л ф 0-
В терминах плюккеровых координат это означает, что Wij = Аги^-
для всех 0 < г < j < 3. Мы знаем, что среди плюккеровых координат
L есть ненулевые. Без ограничения общности мы можем считать,
что wOi ф 0. Тогда из A2) следует, что точки
Р= @,-w'01,-w'02,-w'03) = @,-АгуО1,-Агио2,-АгиОз)
= @, -WOi,-Wo2,-Wo3),
Q = (w'01,0, -w'12,—ш'13) = (АгиО1,0,-Аил2,-АгУ1з)
= (гуО1,0,-гУ12,
лежат и на L, и на L'. Так как в Р3 через две точки можно прове-
провести только одну прямую (см. упр. 14), то L = V. Это доказывает
инъективность.
Докажем сюръективность отображения ш. Пусть
Z03Zx2).
Мы можем считать, что wOi ф 0 (произведя замену координат). Тог-
Тогда первые два вектора в A2) ненулевые, и, следовательно, соответ-
соответствующие точки определяют прямую L С Р3. Используя определе-
определение отображения w и равенство Woiif23 —^02^13 + ^03^12 = 0, легко
показать, что ш^ являются плюккеровыми координатами прямой L
(см. упр. 16). Теорема доказана. ?
Замечательным следствием теоремы 11 является то, что мно-
множество прямых в Р3 имеет структуру проективного многообразия.
Как мы отмечали в конце гл. 7, идея, что любое множество инте-
интересных геометрических объектов образует многообразие, — одна из
главных в алгебраической геометрии.
Теорема 11 допускает всевозможные обобщения. Можно рас-
рассматривать прямые в Рп и даже определить плюккеровы коорди-
координаты линейных многообразий в Рп произвольной размерности. Все
это приводит к изучению объектов, называемых грассманианами.
Плюккеровы координаты позволяют задать на грассманиане струк-
структуру проективного многообразия, несмотря на то, что грассмани-
ан имеет, как правило, несколько определяющих уравнений. См.
упр. 17, в котором рассматривается случай прямых в Р4.

526
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Мы также можем рассматривать теорему 11 с аффинной точки
зрения. Мы знаем о существовании естественной биекции
{прямые, проходящие через начало координат в &4}
= {точки в Р3}.
В упражнениях будет описана другая биекция:
{плоскости, проходящие через начало координат в А;4}
= {прямые в Р3}.
Таким образом, теорема 11 показывает, что множество плоскостей,
проходящих через начало координат в &4, имеет структуру квадри-
квадрики в Р5. В упражнениях мы увидим, что этот факт имеет удивитель-
удивительную связь с матрицами главного ступенчатого вида. Более общим
образом грассманианы, упомянутые в предыдущем абзаце, могут
быть описаны в терминах подпространств некоторой размерности
в kn+1.
На этом мы заканчиваем наше обсуждение квадратичных ги-
гиперповерхностей, но мы лишь коснулись этой теории. Классические
книги Roth, Semple A949) и Hodge, Pedoe A968) содержат об-
обширный материал, посвященный квадрикам (а также многим дру-
другим интересным проективным многообразиям).
Упражнения к § 6
1. Множество GL(n + l,k) замкнуто относительно умножения матриц
и взятия обратной матрицы и является группой в смысле приложе-
приложения А. Мы знаем, что матрица A G GL(n 4-1, fc) задает проективное
линейное преобразование Р" —> Р". Для того чтобы описать множе-
множество всех таких преобразований, зададим на GL(n 4-1, к) следующее
отношение:
А' ~ А •<=>¦ А' = ХА для некоторого А / 0.
(a) Докажите, что ~ является отношением эквивалентности. Соот-
Соответствующее множество классов эквивалентности обозначается
PGL(n + l,fc).
(b) Докажите, что если А ~ А' и В ~ В', то АВ ~ А'В'. Следо-
Следовательно, умножение матриц корректно определено на классах
эквивалентности и PGL(n + 1, к) является группой, которая на-
называется проективной линейной группой.
(c) Докажите, что две матрицы А, А' е GL(n + 1, к) задают одно и
то же отображение Р" -> Р" в том и только том случае, когда
А ~ А1. Следовательно, мы можем рассматривать PGL(n + 1, к)
как множество обратимых линейных преобразований на Р".
§ 6. Геометрия квадрик
527
2. Докажите равенство B).
3. Докажите, что проективная эквивалентность является отношением
эквивалентности на множестве проективных многообразий в Р".
4. Докажите, что гиперплоскости V(x*) и V(xo) проективно эквива-
эквивалентны. Указание: см. E).
5. В этом упражнении рассматривается доказательство теоремы 4.
(a) Пусть / = $3^=0 aijxixj> °oi Ф 0 и ац = 0 для всех г. Докажите,
что замена координат F) преобразует / к виду J2Zj=o CijXiXj,
где coo — Hoi ¦
(b) Пусть / = 53"_,=о a,ijXiXj,aoo ф 0. Докажите, что замена коорди-
координат G) преобразует / к виду аоо^о + J27j=i dijXiXj.
6. Пусть / — X^"j=o aijXiXj, a Q — матрица (a^) размера (n+1) x (n+1).
(a) Докажите, что /(х) = x'Qx.
(b) Пусть поле k имеет характеристику 2 (например, к = F2) и
/ = xqX\. Докажите, что не существует симметрической 2x2-
матрицы Q с элементами из fc, такой, что /(х) = x'Qx.
7. Используя теорему 4 и предложение 7, представьте следующие вы-
выражения в виде суммы квадратов (к = С):
(a) h
(b)
(c) XoXl + Х2Х3 —
8. Пусть / = J^" _0 aijXiXj —ненулевой полином с вещественными ко-
коэффициентами. Докажите, что существуют целые числа г > — 1 и
s>0, 0 < г + s < n, такие, что / может быть преобразован к виду
Хо + ... + х\ - xl+1 - ... - xl+s
с помощью подходящей замены координат (с вещественными коэф-
коэффициентами). Можно также доказать, что числа г и s однозначно
определяются по /.
9. Пусть / = ?";-=о atJXiXj G к[х0, ...,хп]— ненулевой полином. Мы от-
отмечали, что V(/) является неособой квадрикой в том и только том
случае, когда det(ay) / 0. В этом упражнении мы будем изучать
особые квадрики (т.е. те, которые не являются неособыми).
(а) Докажите, что V(/) особа в том и только том случае, когда су-
существует точка а ? Р" с однородными координатами (<зд,..., оп),
такая, что
(b) Пусть точка a G Р" такая же, как в п. (а). Докажите, что a G V(/).
Обобщая, можно дать следующее определение: точка а на ги-
гиперповерхности V(/) (квадратичной или нет) называется особой,
если все частные производные полинома / обращаются в нуль в
а. Указание: используйте упр. 17 к § 2.

528
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
10
Рассмотрим квадрику V(/) С Рп ранга р + 1, где р < п. Докажите,
что существует биекция V(/) — V(g) х р"~р) где V(p)—неособая
квадрика. Указание: можно считать, что / = со-т2, + . .. + СрХ2,, где
со, •. ¦, ср не равны нулю.
11. Рассмотрим отображение F : Р1 —> Р2, F(u, v) = (и2, uv, v2).
(a) Используя теорию исключения, докажите, что образ отображе-
отображения F принадлежит квадрике \{xqX2 — х\).
(b) Докажите, что F : Р1 —> ~V(xqX2 — x\) является биекцией. Указа-
Указание: рассуждайте, как в доказательстве предложения 10.
12. В этом упражнении мы будем изучать отображение Сегре a : Р1 х
Р1 ->¦ Р3.
(a) Используя теорию исключения, докажите, что образ отображе-
отображения а принадлежит квадрике V(zoZ3 — Z1Z2).
(b) Используя указания, данные в тексте параграфа, докажите инъ-
ективность «т.
13. В этом и в следующем упражнениях мы будем работать с прямыми в
Р". Пусть р, q € Рп — две различные точки, которые мы также будем
рассматривать как линейно независимые векторы в kn+1.
(a) Определим отображение F : Р1 —> Рп формулой F(u, v) = up — vq.
Докажите, что это отображение определено на всем Р1 и инъек-
тивно.
(b) Пусть I = aoxo + ... + апхп. Докажите, что / обращается в нуль
на образе отображения F в том и только том случае, когда p,q 6
v@.
(c) Мы хотим доказать, что образом отображения F является мно-
многообразие, определенное линейными уравнениями. Пусть Л есть
2 х (п + 1)-матрица, строками которой являются координаты то-
точек р и q. Обратите внимание, что Л имеет ранг 2. Она зада-
задает линейное отображение Л : kn+1 -» к2. Ядро этого отображе-
отображения имеет размерность п — 1. Пусть векторы vi,..., vn-i образу-
образуют базис ядра, a U — линейные полиномы, коэффициенты кото-
которых равны координатам векторов ы. Докажите, что образ ото-
отображения F совпадает с многообразием V(h,.. ¦, ln-\)- Указа-
Указание: рассмотрите подпространство в fcn+1, заданное уравнениями
h =... = /„-1 =0.
В этом упражнении мы обсудим некоторые элементарные свойства
прямых в Р".
(a) Рассмотрим точки р ф q в Р". Докажите, что существует только
одна прямая, проходящая через р и q.
(b) Пусть L — прямая в Р", a Ui == кп — аффинная часть простран-
пространства Р", где Xi ф 0. Докажите, что LdUi является прямой в кп
в обычном смысле этого слова.
(c) Докажите, что все прямые в Р" проективно эквивалентны. Ука-
Указание: в п. (с) упр. 13 было доказано, что прямая имеет вид
14.
6. Геометрия квадрик
529
L = V(/i,..., /n-i). Докажите, что можно выбрать полиномы 1п
и /п+1 так, что Хо = h,... ,Хп = ln+i —замена координат. Как
выглядит уравнение прямой L в новой системе координат?
15. Пусть <т : Р1 х Р1 -» Р3 — отображение Сегре.
(a) Докажите, что L'a = cr({a} х Р1) является прямой в Р3.
(b) Докажите, что каждая точка квадрики V(zoZ3 — 21,22) лежит на
единственной прямой L'a. Это доказывает, что семейство прямых
{L'a : a € Р1} «заметает» всю квадрику.
16. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство теоремы 11.
(а) Докажите, что u(up — vq, sp—tq) = (vs — ut)ui(p,q). Указание: обо-
обозначим 2 х 4-матрицу, строками которой являются координаты
точек р и q, через I I ¦ Тогда
up — vq
sp-tq
u —v
s -t
(b) Применяя теорию исключения к равенствам A1), докажите, что
плюккеровы координаты удовлетворяют соотношению W01W23 —
W02W13 + W03W12 = 0-
(c) Завершите доказательство теоремы 11, показав, что отображение
ш сюръективно.
17. В этом упражнении мы рассмотрим плюккеровы координаты для
прямых в Р4.
(a) Рассмотрим прямую L С Р4. Используя однородные координаты
точек р, q ЕЕ L, определите плюккеровы координаты и докажите,
что точка ш(Ь) ? Р9 не зависит от выбора точек р и q на L.
(b) Найдите соотношения между плюккеровыми координатами и
определите с их помощью многообразие V С Р9, такое, что
uj(L) € V для всех L.
(c) Докажите, что и> задает биективное отображение множества пря-
прямых в Р4 на V.
18. Докажите, что существует взаимно однозначное соответствие между
множеством прямых в Р3 и множеством плоскостей в к4, проходящих
через начало координат. Это объясняет, чем прямая в Р3 отличается
от прямой в fc3 или к4.
19. Существует интересная связь между прямыми в Р3 и главными сту-
ступенчатыми 2 х 4-матрицами ранга 2. Пусть V = V(zoiZ23 — 202Z13 +
203^12) — квадрика из теоремы 11.
(а) Докажите, что существует взаимно однозначное соответствие
между главными ступенчатыми матрицами вида
А 0 а Ъ\
1о 1 с d
и точками множества V П Uoi, где Uoi — аффинная часть про-
пространства Р5, определенная условием zoi ф 0. Указание: строки

530 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
этой матрицы определяют прямую в Р5. Что из себя представля-
представляют плюккеровы координаты этой прямой?
(Ь) Матрицы из п. (а) не исчерпывают все множество матриц глав-
главного ступенчатого вида ранга 3. Например, матрицы
— также главные ступенчатые матрицы ранга 2. Докажите, что
существует взаимно однозначное соответствие между такими ма-
матрицами и точками множества V П f/oi П Uo2-
(c) Докажите, что существует еще четыре типа главных ступенча-
ступенчатых 2 х 4-матриц ранга 2 и докажите, что матрицы каждого типа
находятся во взаимно однозначном соответствии с некоторыми
подмножествами многообразия V. Указание: столбцы, содержа-
содержащие главные единицы, соответствуют плюккеровым координа-
координатам, равным 1.
(d) Приведите прямое доказательство (не использующее плюккеро-
вых координат) того, что главные ступенчатые 2 х 4-матрицы
ранга 2 находятся во взаимно однозначном соответствии с пря-
прямыми в Р3. Указание: см. упр. 18.
§ 7. Теорема Безу
В этом параграфе мы рассмотрим задачу о пересечении двух кри-
кривых на плоскости. Нас будет интересовать число точек пересечения.
Следующие примеры показывают, почему ответ выглядит особен-
особенно хорошо, если мы работаем с кривыми в Р2(С). Нам понадобится
также определить кратность точки пересечения. К счастью, тех-
техника гл. 3 позволяет относительно легко сделать это.
Пример 1. Рассмотрим пересечение параболы у = х2 и эллипса
х2 + 4(у — АJ = 4, где Л — параметр.
А = о
§ 7. Теорема Безу
531
Над К число точек пересечения различно для разных Л и, более
того, существуют такие значения Л, при которых эти кривые не
пересекаются (см. упр. 1). Но над С эти кривые имеют четыре точки
пересечения в обоих случаях (Л = 0,2). Пусть, например, Л = 0.
Тогда, исключая х из у = х2 и х2 + Ау2 = 4, получаем, что у + 4у2 =
4, т.е.
У =
Следовательно,
х = ±\
f —1 =fc л/65
Это дает нам 4 точки пересечения, две вещественные и две ком-
комплексные (так как —1 — \/б5 < 0). Легко проверить, что при А = 2
рассмотрение комплексных чисел не увеличивает количества пере-
пересечений по сравнению с четырьмя пересечениями, изображенными
на рисунке (см. упр. 1).
Отсюда следует, что число точек пересечения легче предсказать,
когда мы работаем над С. Можно также проверить, что в тех случа-
случаях, когда вещественных пересечений нет совсем, мы по-прежнему
имеем четыре точки пересечения над С (см. упр. 1).
Но и над С возможны неожиданности. Рассмотрим, например,
пересечение эллипса и параболы при Л = 1:
Л=1
Мы видим только три точки пересечения, и то же самое справед-
справедливо над С. Но начало координат, очевидно, является «особым»
типом пересечения, так как две кривые касаются в этой точке. Как
мы увидим ниже, эта точка пересечения имеет кратность два, в то
время как другие точки пересечения имеют кратность один. Если
мы будем учитывать и кратность точки пересечения, то получим
в сумме четыре.

532
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Пример 2. Рассмотрим пересечение параболы у = х2 с прямой L.
Легко видеть, что в большинстве случаев имеется две точки пере-
пересечения над С с учетом кратностей (см. упр. 2). Но если речь идет
о пересечении с вертикальной прямой,
то имеется только одна точка пересечения кратности 1. Но мы хо-
хотим, чтобы их было две, так как во всех других случаях число
точек пересечения именно таково. Где же прячется еще одна точка
пересечения?
Чтобы ее найти нужно проективизировать задачу. Тогда ответ
ясен: это точка «на бесконечности». Чтобы убедиться в этом, гомо-
гомогенизируем уравнения параболы у = х2 и прямой х = с и получим
уравнения yz = х2 и х = cz. Тогда yz = c2z2 и точками пересечения
будут (с,с2,1) и @,1,0) (напомним, что это однородные коорди-
координаты). Первая точка принадлежит аффинной части пространства
Р(С), где z ф 0, и именно ее мы видим на рисунке, а вторая —пря-
—прямой на бесконечности (где z = 0).
Пример 3. Рассмотрим две кривые в Р2(С): С = V{x2 - z2) и
D = V(x2y — xz2 - xyz + z3). Легко проверить, что точка A,6,1)
лежит в С Г\ D для любого Ь е С, так что пересечение С П D бес-
бесконечно! Чтобы понять, почему это могло произойти, разложим
определяющие полиномы на множители:
х2 - z2 - (х - z){x + z), x2y - xz2 - xyz + z3 = (x - z)(xy - z2).
Таким образом, С является объединением двух проективных пря-
прямых, a D есть объединение прямой и коники. На самом деле эти
прямые и коника являются неприводимыми компонентами кривых
С и D в смысле § 3 (см. предложение 4 ниже). Теперь мы видим
причину: С и D имеют общую неприводимую компоненту V(a; - z)
и именно поэтому их пересечение бесконечно.
Эти примеры объясняют, почему мы предпочитаем комплекс-
комплексный случай. До конца параграфа мы будем работать над С и пи-
писать Р2 вместо Р2(С). Под кривой мы будем понимать проективное
§ 7. Теорема, Безу
533
многообразие V(/), заданное ненулевым однородным полиномом
/ € C[x,y,z]. Рассмотренные примеры указывают, что мы долж-
должны учитывать кратности пересечения и неприводимые компоненты
кривых. Мы начнем с изучения неприводимых компонент.
Предложение 4. Пусть f G С[х, у, z] — ненулевой однородный по-
полином. Тогда его неприводимые сомножители также однородны,
и если мы разложим f в произведение неприводимых сомножи-
сомножителей,
f — fai f°"
J — Ji • ¦¦Js >
где fi попарно различны, причем ни один из ft не является ска-
скалярным кратнглм другого, то
= v(A)u...uv(/,)
является минимальным разложением многообразия V(/) на не-
неприводимые компоненты. Более того,
i(v(/)) = у/Ц) = (Л •••/.>-
Доказательство. Пусть / = gh, где g,h e C[x,y,z]. Мы утверж-
утверждаем, что jh/i однородны. Пусть g = gm + ... + g0 — представление
полинома g в виде суммы однородных компонент, где gi имеет пол-
полную степень i и дт ф 0. Аналогично, пусть h = hn + ¦ ¦ ¦ + h0- Тогда
f = gh = (gm + ... + go)(hn + ... + /i0)
= 9mhn + члены меньшей полной степени.
Так как / однороден, то / = gmhn ng = gm,h = hn (см. упр. 3), т. е.
д и h однородны. Отсюда легко следует, что каждый неприводимый
сомножитель полинома / однороден.
Тот факт, что V(/) = V(/i)U.. -UV(/S) является минимальным
разложением на неприводимые компоненты, следует из проектив-
проективной версии упр. 9 к § 6 гл. 4. Так как многообразие V(/) непусто
(см. упр. 6), то утверждение о I(V(/)) следует из проективной те-
теоремы о нулях и предложения 9 из § 2 гл. 4.
Из предложения 4 следует, что каждая кривая С С Р2 имеет
«наилучшее» уравнение. Если С — V(/), где / — некоторый одно-
однородный полином, то 1(С) = (Д ... fs), где Д,..., fs — различные не-
неприводимые делители полинома /. Таким образом, любой полином,
определяющий С, делится на Д ... fs; следовательно, Д ... fs =0
является определяющим уравнением наименьшей степени. В тер-
терминах § 2 гл. 4 полином Д ... fs является редуцированным (или
свободным от квадратов). Поэтому Д ... Д. = 0 называется реду-
редуцированным уравнением кривой С. Это уравнение единственно с
точностью до постоянного множителя.

534
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Рассматривая пересечение двух кривых С и D в IP2, мы будем
считать, что С и D не имеют общих неприводимых компонент. Это
означает, что определяющие их полиномы не имеют общих сомно-
сомножителей. Наша цель — связать число точек в С П D со степеня-
степенями редуцированных уравнений. Следующее свойство результантов
играет важную роль в этой задаче.
Лемма 5. Пусть f,g€ С[х,у,z] — однородные полиномы степеней
тип соответственно. Если /@,0,1) ф 0 и д@,0,1) ф 0, те
Kes(f,g,z) является однородным полиномом от х и у полной сте-
степени тп.
Доказательство. Запишем /ид как полиномы от z:
/ = Oqz + ... + am,
g = b0Zn + ... + bn.
Так как / — однородный полином полной степени тп, то а* ?
С[х,у] —однородные полиномы полной степени г для всех г. Так
как /@,0,1) Ф 0, то а0 — ненулевая константа. Аналогично bt одно-
однородны полной степени г и &о ф 0.
Результант — это определитель порядка т + п (см. § 5 гл. 3)
Ьп
где п столбцов отведено полиномам щ, т столбцов отведено полино-
полиномам bi, а на пустых местах стоят нули. Докажем, что Res(/, g, z) —
однородный полином полной степени тп. Для этого обозначим че-
через Су ij-й элемент матрицы. Если Су Ф 0, то
= {
bn+i-j,
если j < п,
если j > п.
Таким образом, ненулевой элемент Су однороден полной степени
i — j (если j < п) или п + i — j (если j > n).
Этот определитель является суммой произведений вида (см. § 3
из приложения А)
т+п
где а — перестановка набора {1,..., т+п}. Предположим, что каж-
каждый элемент ci<T^ в этом произведении не равен нулю. Запишем
I
§ 7. Теорема Везу
это произведение в виде
± П C'"W П МО-
"(')^n <r(i)>n
Это произведение является однородным полиномом степени
535
Так как а — перестановка набора {1,..., т + п}, то в первой сумме
содержится п членов, а во второй содержится т членов, причем
каждое г,1<г<т + п, появляется в этой сумме ровно один раз.
Следовательно, мы можем преобразовать сумму к виду
т+п
т+п
тп
t=l t=l
т.е. Res(/,g,z) является суммой однородных полиномов степени
тп. О
Мы доказали, что результант Res(f,g,z) однороден по перемен-
переменным х и у. Однородный полином от двух переменных имеет осо-
особенно простую структуру.
Лемма 6. Рассмотрим ненулевой однородный полином h ? С[х,у].
Он может быть записан в виде
того,
h = c(Slx - nj/)mi ... (stx - rty)mt,
где сфО в С, a (ri, si),..., (rt, st) —различные точки из Р1. Более
V(h) = {(n,Sl),...,(г,,*)} С Р1.
Доказательство. Утверждение леммы является следствием того,
что полином h(x, 1) G С[х] разлагается в произведение линейных
множителей (так как С алгебраически замкнуто). Детали доказа-
доказательства мы оставляем в качестве упражнения. ?
Теперь мы, используя эти леммы, найдем оценку числа точек
пересечения двух проективных кривых.
Теорема 7. Пусть С и D — проективные кривые в Р2, не имею-
имеющие общих неприводимых компонент. Пусть степень редуциро-
редуцированного уравнения кривой С равна т, а степень редуцированного
уравнения кривой D равна п. Тогда С П D конечно и число точек
в нем не превосходит тп.

536
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
z = 0
Отображение, переводящее точку (u, v, w) € Р2 — {@,0,1)} в точку
(u,v,0), является отображением проекции из точки на прямую.
Из B) следует, что Res(f,g, z) обращается в нуль в проекциях точек
Pi е С П D.
Доказательство. Пусть множество CnD содержит более чем тп
точек. Выберем тп + 1 из них и обозначим их через р\,... ,pmn+i- *
Пусть Lij, 1 < г < j < тп+1, обозначает прямую, проходящую через *
точки pi и pj. Выберем точку ?? Р2, такую, что '
q$C\JD\j[jLij A) л
(в упр. б будет дано подробное доказательство того, что такая точка
существует).
Найдем такую матрицу А € GLC, С) (напомним, что А задает
линейное отображение Р2 -*• Р2), что A(q) = @,0,1) (см. упр. б). Бу-
Будем считать, что А определяет новые координаты на Р2 (см. фор-
формулу C) в § 6). Тогда в новой системе координат точка q имеет
координаты @,0,1).
Пусть С = V(/) и D = V(<?), где / и д — редуцированные по-
полиномы степеней тип соответственно. Тогда из A) следует, что
/@,0,1) / 0, так как q ? С, и #@,0,1) ф 0, так как q ? D. Тогда
по лемме 5 результант Res(/, g, z) является однородным полиномом
степени тп по х,у. Так как степени полиномов / и д по z положи-
положительны и эти полиномы не имеют общих делителей в C[x,y,z], то
Res(/,g,z) ф 0 (предложение 1 из § 6 гл. 3).
Пусть pi = (ui,Vi,Wi). Так как результант принадлежит идеалу,
порожденному полиномами / и д (предложение 1 из § 6 гл. 3), то
В?8(/,д,г)(щ,Уг)=0. B)
Обратите внимание, что прямая, соединяющая точку q = @,0,1) с
точкой pi = (ui,Vi,wt), пересекает прямую z = 0 в точке (ui,Vi,0)
(см. упр. 6). Вот рисунок:
@,0,1)
Т. Теорема Безу
537
По условию A) прямые, соединяющие точки р; и pj, не проходят
через точку @,0,1); следовательно, точки (гц, и,-, 0). г = 1,..., тп +
1, — это различные точки на прямой z = 0. Будем рассматривать
прямую z = 0 как проективное пространство Р1 с однородными ко-
координатами х, у. Тогда ненулевой полином Res(/, g, z) обращается в
нуль в тп + 1 точках (и,,г^) € Р1. Но степень полинома Res(/,g,z)
равна тп — противоречие. Теорема доказана. П
Мы получили критерий конечности пересечения С Г\ D. Теперь
нам нужно определить кратность пересечения в каждой точке р е
С П D. Это можно сделать многими способами, но проще всего —
г помощью результанта.
Рассмотрим кривые С и D на Р2, не имеющие общих компонент
и заданные редуцированными уравнениями / = 0 и д = 0. Для каж-
каждой пары точек р, q ? CnD,p ф q, обозначим через Lpq проективную
прямую, соединяющую ри</. Найдем матрицу А е GLC, С), такую,
что в новой системе координат, заданной этой матрицей,
C)
@,0,1) ? CUD U (J L
pq-
(В примере 9 ниже показано, как найти такую систему координат.)
Как и в доказательстве теоремы 7, если р = (u,v,w) € С С\ D, то
Res(/,g,z)(u,v) = 0. Поэтому по лемме б полином Res(/, g, z) де-
делится на vx — иу.
Определение 8. Рассмотрим кривые С и D на плоскости Р2, не
имеющие общих компонент и заданные редуцированными уравне-
уравнениями / = 0 и д = 0. Выберем такую систему координат на Р2,
чтобы условие C) было выполнено. Пусть р = (u,v,w) € С Г\ D.
Тогда кратностью пересечения Ip(C,D) кривых С и D в точке р
называется степень множителя vx — иу в разложении на множите-
множители полинома Res(/, g, z).
Чтобы убедиться в корректности этого определения, нам нужно
доказать, что мы получим одну и ту же кратность во всех системах
координат, удовлетворяющих условию C). Примем пока этот факт
на веру и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9. Рассмотрим в C[x,y,z] два полинома
/ = х3 + у3 - 2xyz,
д - 2х3 - Ах2у + Ъху2 + у3 - 2y2z.
Эти полиномы (пример взят из книги Walker A950)) определяют
кубические кривые С = V(/) иО = V(g) в Р2. Найдем их результант

538
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
относительно z:
Res(/, g, z) = -2y{x - yf{2x + y).
Так как результант принадлежит исключающему идеалу, то для*
точек из С П D либо у = 0, либо х - у = 0, либо 2х + у = 0. Легкс^
убедиться, что С П D состоит из трех точек ^
р= @,0,1), д = A,1,1), г = D/7, -8/7,1) ¦''
(см. упр. 7). В частности, это показывает, что С и D не имеют;
общих компонент.
Но найденный нами результант не дает правильных кратностей^-i
так как точка @,0,1) лежит в С (она даже является точкой пе-*'
ресечения). Следовательно, нужно произвести замену координат?
Начнем с точки
{0,1,0) $ С U DULpq U LpT U Lqr "'
и найдем замену координат, такую, что А{0,1,0) = @,0,1). Напри-,'
мер, A{x,y,z) - {z,x,y). Тогда
@,0,1) $ А{С) U A{D) U LA{p)A{q) U LA(p)A(r) U LA{q)A{r).
Для того чтобы найти определяющее уравнение кривой А{С), от-
отметим, что
{u,v,w) е А{С) <=> A-1(u,t;,u;) е С <=4> /(А {и, v, w)) = 0.
Таким образом, А(С) определена уравнением / о A x{x,y,z) =
f(y,z,x) = 0. Аналогично A(D) определена уравнением g{y,z,x) = 0.
Тогда по определению 8 результант Res(f(y, z, x),g(y, z, x),z) позво-
позволит найти кратности пересечения в точках А(р) = A,0,0), A(q) = A,
1,1) и А(г) = A,4/7,-8/7). Имеем
Res{f(y,z,x),g(y,z,x),z) = 8у5(х - уKDх - 7у).
Значит,
IP(C,D) = 5, Iq(C,D) = 3, Ir(C,D) = l.
Пример 1 (продолжение). В примере 1 положим А = 1. Тогда рас-
рассматриваемые кривые выглядят так:
§ 7. Теорема Безу
539
Точка @,0,1) на этом рисунке находится в начале координат; по-
поэтому опять необходимо сделать замену координат. В упражнениях
такая замена будет найдена и будет показано, что кратность пере-
пересечения в начале координат равна двум.
Считая определение кратности корректным, мы можем теперь
доказать теорему Безу.
Теорема 10 (теорема Безу). Пусть С и D — кривые на проектив-
проективной плоскости Р2, не имеющие общих компонент, и пусть т и
д — степени их редуцированных уравнений. Тогда
J2 IP(C,D)=mn,
pECDD
где IP(C,D) —кратность пересечения кривых С и D в точке р
{см. определение 8).
Доказательство. Пусть / = 0и<7 = 0 — редуцированные уравне-
уравнения кривых С и D. Предположим, что система координат выбрана
так, что условие C) выполнено. Координаты точки р ? CDD будем
обозначать через {up,vp, wp). Мы утверждаем, что
Res{f,g,z)=c Ц {vpx - upy)'^C'D\
pecnD
где с — ненулевая константа. Очевидно, что для каждого р по опре-
определению кратности {vpx—upy)I''^C'D'> — это в точности степень поли-
полинома vpx — upy, делящая результант. Надо доказать, что результант
не имеет других корней. Пусть {u,v) € Р1 и Res(/,g,z){u,v) = 0.
Тогда из предложения 3 из § 6 гл. 3 следует, что существует w ? С,
такое, что f{u,v,w) = g{u,v,w) = 0 (потому что в представлении
полиномов / и g из леммы 5 ао и bo являются ненулевыми констан-
константами). Таким образом, {u,v,w) E CC\D, и утверждение доказано.
По лемме 5 Res(/, g,z) является ненулевым полиномом степени
тп. Таким образом, теорема Безу сводится к сравнению степеней
в правой и левой частях рассматриваемого равенства. D
Пример 9 (продолжение). В примере 9 две кубические кривые пе-
пересекаются в точках @,0,1), A,1,1) и D/7, -8/7,1) с кратностями
5,3 и 1 соответственно. Сумма кратностей равна 9 = 3-3, как и ожи-
ожидалось. Возвращаясь к нашим вычислениям в примере 9, мы видим,
почему нам понадобилась замена координат для вычисления крат-
кратностей. В исходных координатах Res(/,g,z) = —2у{х — у)г{2х + у),
что дает кратности 1,3 и 1. Этот результат не может быть правиль-
правильным, так как их сумма не равна 9.

540
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Наконец, нам нужно доказать, что кратности определены кор-
корректно.
Лемма 11. В определении 8 все замены координат, удовлетворя-
удовлетворяющие условию C), дают одну и ту оке кратность пересечения
IP(C,D) в точке р е CnD.
Доказательство. Хотя этот результат справедлив над любым ал-
алгебраически замкнутым полем, наше доказательство использует со-
соображения непрерывности и потому корректно только над С. Сна-
Сначала точно определим, какие именно замены координат мы будем
использовать. Как и в примере 9, выберем точку
г i CUD U
[J
pq
и матрицу А 6 GLC, С), такие, что А{г) = @,0,1). Это означает, что
А~х @,0,1) = г. Поэтому матрица А должна удовлетворять условию
Lp
(J
pq.
Обозначим через lpq уравнение прямой Lpq и положим
п
ря-
Таким образом, матрица А должна удовлетворять условию
А-1 @,0,1) i V(/i), т.е. ЦА-1 @,0,1)) ф 0.
Переформулируем нашу задачу так, чтобы в ее формулиров-
формулировке не возникали обратные матрицы. Рассмотрим пространство
-Мзхз(С) всех 3 х 3-матриц с комплексными элементами и опре-
определим функцию Н : Мзхз(С) —> С следующим образом:
Н(В) = det(B)
где В € Мзхз(С)- Если В = (Ьу), то Н{В) является полиномом от
bij. Так как матрица обратима в том и только том случае, когда ее
определитель не равен нулю, то
Н(В) ф 0 -?=> В обратима и h(B@,0.1)) ф 0.
Тогда требуемая замена координат задается матрицей А = В~х,
В € М3х3(С) -V(H).
Пусть COD = {pi,... ,ps} и для каждой матрицы В е Мзхз(С) —
У(Я) пусть B~1(pi) = {ui.B,Vi.B,Wi.B)- Рассуждая, как в теореме
10. имеем
Res(/ oB,goB,z)= cB(Vl.Bx - щ.вг/Г1'" • • • (vs.Bx - us.By)m'B,
D)
: 7. Теорема Безу
541
где ев ф 0. Это означает, что IPi — mi.в при замене координат,
заданной матрицей А = В~х. Таким образом, мы должны доказать,
что числа rrii.B одни и те же для всех В ? Мзхз(С) — V(H).
Сначала рассмотрим, что происходит при разложении на мно-
множители
F{x,y) = {vx-uy)mG{x,y),
где полиномы F и G однородны, а (и, v) ф @,0). Нетрудно дока-
доказать, что
di+jF
дх'ду
_ Г0,
~ \т\ь{(-и
уС(и,ь),
еслиО
если i
< т,
(см. упр. 9). В частности, если G(u,v) ф 0 (и (и, v) ф @,0)), то это
означает, что хотя бы одна из т-х частных производных полинома
F отлична от нуля в точке (u,v).
Определим расстояние между двумя матрицами В, С ? Мзхз(С)
как обычное евклидово расстояние, т. е. если В = (Ь^) и С = (сг,), то
d(B,C) =
\
3
Решающим фактом является то, что функция Н : Мзхз(С) -> С
непрерывна. Это означает, что ее значения для близких (в смыс-
смысле расстояния) матриц близки. В частности, если H{Bq) ф 0, то
Н{В) ф 0, если В достаточно близка к Во.
Рассмотрим теперь показатель степени т = nii,B0 для фиксиро-
фиксированных i и В0- Мы утверждаем, что т{ в < т, если В достаточно
близка к В0- Отметим сначала, что из D) и E) следует, что неко-
некоторая 771-я частная производная функции Res(/ о В0,д о B0,z) не
равна нулю в точке (ui,B0,vi.B0)- Легко видеть, что значения част-
частных производных функции Res(/ о В,д о B,z) в точке (и^.в,«1.в)
полиномиально зависят от элементов матрицы В. По соображени-
соображениям непрерывности некоторая m-я частная производная функции
Res(/ о В,д о B,z) в точке {uiB, к».в) не равна нулю, если В доста-
достаточно близка к Во. Отсюда следует, что т, в < т (так как неравен-
неравенство 7пi в > гп означает, что все т-е частные производные равны
нулю в (щ.в,у{.в))-
Но тогда, суммируя неравенства т,{ в < тп(,во,г — l,...,s, по-
получаем
S S
ran = VJ 771 i
< 2_j mi.Bo — rnn-
Отсюда следует, что 77ij.s = яг,.в0, если матрица В достаточно близ-
близка к матрице Bq.

542
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
Это доказывает, что функция, сопоставляющая матрице В вели-
величину rtiiB, является локально постоянной, т.е. ее значения в близ-
близких точках совпадают. Чтобы доказать, что эта функция является
константой на Мзхз(С) - V(H), нужно доказать, что множество
Мзхз(С) - V(ff) линейно связно. Это будет доказано в упр. 10, где
также будет сформулировано точное определение линейной связ-
связности. Из теоремы о промежуточном значении непрерывной функ-
функции следует, что локально постоянная функция на линейно связном
пространстве постоянна (см. упр. 10). Поэтому величина rrii.B од-
одна и та же для всех матриц В ? Мзхз(С) — V(H). Таким образом,
корректность определения кратности пересечения доказана. ?
Кратности пересечения IP(C,D) имеют ряд полезных свойств,
которые облегчают их вычисление. Например, можно доказать, что
1Р(С, D) — 1 в том и только том случае, когда р является неособой
точкой как кривой С, так и кривой D, и касательные прямые к С и
D в р различны. Обсуждение свойств кратностеи читатель может
найти в гл. 3 книги Kirwan A992). Следует указать, что использо-
использование результантов для определения и вычисления кратностеи не-
неудобно в следующем смысле. Кратность пересечения IP(C,D), оче-
очевидно, является локальной характеристикой — она зависит только
от поведения кривых вблизи р, в то время как результант является
глобальной характеристикой — для его вычисления используются
уравнения кривых С и D. Существуют локальные методы вычис-
вычисления кратностеи пересечения, но они требуют более сложной ма-
математической техники. Локальная точка зрения рассматривается в
гл. 3 книги Fulton A969) и в гл. 4 книги Walker A950).
Применим результаты этого параграфа для доказательства сле-
следующей теоремы, принадлежащей Паскалю. Пусть даны 6 точек
Pii- ¦ ¦ ,Рб, лежащих на неприводимой конике в Р2. По теореме Безу
прямая пересекает конику не более чем в двух точках (см. упр. 11).
Значит, существует 6 различных прямых, соединяющих р\ и рг, рг
и рз; • • ¦ и ре и р\. Обозначим эти прямые через L\,..., L§ (см. ри-
рисунок).
Прямые L\ и Ьц, Li и L$, L3 и L% мы назовем противоположными.
Отрезки этих прямых, лежащие внутри коники, образуют шести-
§ 7. Теорема Безу
543
угольник, а противоположные прямые образуют противоположные
стороны шестиугольника.
Если судить по этому рисунку, то точки пересечения противопо-
противоположных прямых должны быть коллинеарны. Следующая теорема
утверждает, что так оно и есть.
Теорема 12 (таинственный шестиугольник Паскаля). Пусть даны
шесть различных точек на неприводимой конике. Соединим их
прямыми, как это было сделано выше. Тогда точки пересечения
противоположных прямых коллинеарны.
Доказательство. Обозначим конику через С. У нас есть 6 точек
Pi,...,Pe и 3 пары противоположных прямых {Ь\,1ц}, {?2, ?5} и
{I/з, L6}. Рассмотрим кривые С\ = L\ UL2UL3 и ^2 = L4UL5 UL6.
Эти кривые описываются кубическими уравнениями. Значит, по те-
теореме Безу пересечение Ci ЛСг состоит из 9 точек (с учетом кратно-
кратностеи). Но С\ ПС2 содержит 6 исходных точек и 3 точки пересечений
противоположных прямых (надо аккуратно это проверить). Таким
образом, эти точки и составляют все множество Ci ЛСг, и кратность
пересечения в каждой из них равна 1.
Пусть С = V(/),Ci = V(fli) и С2 = V(g2), где / имеет сте-
степень 2, a <h и <?2 имеют степень 3. Возьмем на С точку р, от-
отличную от pi,..., р6. Тогда <?i (р) ф 0 и <?2 (р) ф 0 (почему?); поэто-
МУ 9 = Qi(p)Q\ — 9i(p)<?2 является кубическим полиномом, который
обращается в нуль в точках p,pi,... ,Рб- Кроме того, g ф 0; в про-
противном случае полином д\ был бы скалярным кратным полинома #2
(и наоборот). Таким образом, кубика V(<?) пересекает С по крайней
мере в семи точках. Следовательно, условия теоремы Безу не вы-
выполнены. Значит, или полином д не является редуцированным, или
С и V(<?) имеют общую неприводимую компоненту. Первый случай
не может иметь места, так как иначе кривая V(<?) определялась
бы полиномом степени не выше 2 и тогда пересечение С П V(g) со-
состояло бы, самое большее, из четырех точек. Следовательно, С и
V(p) имеют общую неприводимую компоненту. Но С неприводи-
ма; значит, С — V(/) является компонентой кривой V(<?). Тогда по
предложению 4 д делится на /.
Таким образом, д = f ¦ I, где полином I имеет степень 1. Так
как д обращается в нуль в точках пересечения противоположных
прямых, а / в этих точках нулю не равен, то / обращается в нуль
в этих точках. Но V(/) является проективной прямой. Теорема до-
доказана. ?
Теорема Безу служит хорошим введением в теорию кривых на
проективной плоскости. Эта часть алгебраической геометрии тра-
традиционно называется теорией алгебраических кривых. Она содер-

544
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
жит много важных разделов, которые мы не рассматривали (точ-
(точки перегиба, двойственные кривые, эллиптические кривые и т.д.).
Алгебраическим кривым посвящено много замечательных книг.
Кроме уже упомянутых книг Fulton A969), Kirwan A992) и
Walker A950), следует рекомендовать книги Clemens A980)
и Brieskorn, Knorrer A986). Для читателей, знакомых с ком-
комплексным анализом и топологией, мы можем рекомендовать книгу
Griffiths A989).
Упражнения к § 7
1. В этом упражнении мы будем изучать пересечение параболы у = х2
и эллипса х2 + 4(у — АJ = 1 из примера 1.
(a) Докажите, что пересечение этих кривых пусто над R при Л < —1.
Нарисуйте взаимное расположение двух кривых при Л < — 1 и при
А = -1.
(b) Найдите наименьшее вещественное Ло, такое, что соответствую-
соответствующее пересечение пусто над R при А > Ло. Нарисуйте взаимное
расположение двух кривых при А > Ао и при А = Ло.
(c) Опишите возможные типы пересечений над R при —1 < А < Ао
и проиллюстрируйте их рисунками.
(d) Для случаев (а), (Ь) и (с), используя интуитивное понимание
кратности пересечения, объясните, на каких рисунках показано
пересечение кратности > 1.
(e) Не используя теорему Безу, объясните, почему над С число то-
точек пересечения (с учетом кратностей) равно четырем (при ве-
вещественном А). Указание: используйте формулы для х и у из
примера 1.
2. В примере 2 мы изучали пересечение параболы у = х2 с прямой L в
аффинном пространстве. Пусть L не вертикальна.
(a) Покажите, что над R число точек пересечения может быть равно
0, 1 и 2. Докажите, что пересечение состоит из одной точки, если
L касательна к у — х2 (в смысле § 4 гл. 3).
(b) Докажите (не используя теорему Безу), что над С число точек
пересечения (с учетом кратностей) равно двум.
3. В доказательстве предложения 4 было показано, что если / = gh,
f однороден и д = дт + ¦ ¦ ¦ + до — представление полинома д в виде
суммы однородных компонент, где дт ф 0, а степень компоненты д%
равна г, и если h = hn + ... + ho — аналогичное представление для h,
то / = gmhn- Завершите доказательство, показав, что д = gmuh = hn.
Указание: пусть тпо — наименьший индекс, такой, что дто фО,а пусть
По аналогично определен для К. Рассмотрите произведение gmOhnQ.
4. В этом упражнении мы наметим другое доказательство леммы 5.
Пусть / и д такие же, как в условии леммы 5, a R(x, у) = Res(/, g, z).
Достаточно доказать, что R(tx,ty) = tmnR(x,y).
7. Теорема Безу
545
(a) Докажите, что a,i(tx,ty) = t'a,i(x,y), bi(tx,ty) = t'bi(x,y), затем
покажите, что R(tx,ty)—это определитель, элементы которого
равны или 0, или ?га;(х,у), или tlbi(x,y).
(b) В определителе из п. (а) умножьте второй столбец на t, третий —
на t2, ... , п-й — на tn~\ (п + 2)-й —на t, (п + 3)-й — на t2,...,
(п + т)-й — на tm~l. Докажите, что tqR(tx,ty), где q — п(п —
1)/2 + т(т — 1)/2, равен определителю, у которого в каждой
строке параметр t стоит в одной и той же степени.
(c) Одинаковые степени параметра t из строк вынесем за знак опре-
определителя. Тогда t4R(tx,ty) =FR(x,у), где г = (т+п)(т+п-1)/2.
(d) Используя п. (с), докажите, что R(tx,ty) — tmnR(x,y).
5. Завершите доказательство леммы 6, используя указания, данные в
тексте. Указание: используйте предложение 7 и упр. 11 из § 2.
6. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство теоремы 7.
(a) Пусть / G С[х\,..., хп] — ненулевой полином. Докажите, что мно-
множества V(/) и С — V(/) непусты. Указание: примените теорему
о нулях и предложение 5 из § 1 гл. 1.
(b) Используя п. (а), докажите, что существует q ? С U D U i_|;<j Ьц
(этот факт был сформулирован без доказательства).
(c) Пусть q G Р2(С); найдите матрицу А € GLC,C), такую, что
A(q) = @, 0,1). Указание: рассматривая q и @, 0,1) как ненулевые
векторы-столбцы в С3, найдите обратимую матрицу А, такую,
что A(q) = @,0,1).
(d) Докажите, что проективная прямая, соединяющая @,0,1) и
(и, v, w), пересекает прямую z = 0 в точке (и, v, 0). Указание: ис-
используйте уравнение A0) из § 6.
7. В примере 9 мы рассматривали кривые С = V(/) и D = V(p), где
полиномы fug определены в тексте параграфа.
(a) Аккуратно проверьте, что только р = @, 0,1), q = A,1,1) и г —
D/7, —8/7,1) являются точками пересечения кривых С и D. Ука-
Указание: если найден Res(/, g,z), остальное можно сделать вруч-
вручную.
(b) Докажите, что полиномы fug редуцированы. Указание: исполь-
используйте компьютер.
(c) Докажите, что @,1, 0) ? С U D U Ьря U Lpr U LqT.
8. Для следующих пар кривых найдите точки их пересечения и крат-
кратности пересечения в этих точках.
(a) С = W(yz-x2),D — V(x2 +4(y-zJ -\z2). Эта задача является
проективной версией примера 1 при А = 1. Указание: докажите,
что замена координат А(х, у, z) = (x,y + z, z) обладает требуемы-
требуемыми свойствами.
(b) С = V(z2j/3-2xy2z2 +yz4 + z5),D = V(xV-k3-z4). Указание:
система имеет четыре решения, два вещественных и два ком-

546
Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
плексных. Для нахождения комплексных решений используйте
вычисление наибольшего общего делителя двух полиномов.
9. Докажите равенство E). Указание: примените индукцию по т.
10. (Это упражнение требует знания анализа.) Открытое множество U С
С" называется линейно связным, если для любых двух точек a,b 6 (/
существует непрерывная функция у : [0,1] —»• U, такая, что 7@) = a
и7A) = Ь.
(a) Пусть функция F : U —> Z локально постоянна (т.е. ее значе-
значения в близких точках совпадают). Используйте теорему о про-
промежуточном значении непрерывной функции и докажите, что
F — постоянная функция, если U линейно связно. Указание: рас-
рассмотрим F как функцию U —»• R. Докажите, что F непрерывна.
Затем обратите внимание, что функция F о у ¦. [0,1] —> R также
непрерывна.
(b) Пусть / € С[х] —ненулевой полином. Докажите, что множество
С — V(/) линейно связно.
(c) Пусть / € C[xi,..., хп] — ненулевой полином. Докажите, что мно-
множество С" — V(/) линейно связно. Указание: пусть a,b € С —
V(/). Рассмотрим комплексную прямую {ta + A — t)b : t € С}.
Объясните, почему f(ta + A — t)b) является ненулевым полино-
полиномом от t, и примените п. (Ь).
(d) Приведите пример полинома / € R[x,j/], такого, что множество
К2 — V(/) не является линейно связным. Найдите локально по-
постоянную функцию F : К2 — V(/) —»• Z, не являющуюся констан-
константой. Тот факт, что мы работаем над С, имеет принципиальное
значение.
Пусть С — неприводимая коника в Р2(С). Используя теорему Безу,
объясните, почему прямая L пересекает С в двух точках. Что проис-
происходит, если С приводима? Что можно сказать о пересечении кривой
С и прямой L, если С задана неприводимым полиномом степени п?
12. На рисунке в тексте параграфа шесть точек, образующие шести-
шестиугольник Паскаля, были расположены на конике в порядке обхода по
часовой стрелке. Если мы изменим порядок точек, то по-прежнему
можем образовать «шестиугольник», но при этом противоположные
прямые могут пересекаться внутри коники. Например, это может вы-
выглядеть так:
11
Объясните, почему теорема остается справедливой в этом случае.
13. Рассмотрим шестиугольник Паскаля, где коника является окружно-
окружностью, а шесть точек — вершины правильного шестиугольника, впи-
§ 7. Теорема Безу
547
санного в эту окружность. Где находятся точки пересечения проти-
противоположных прямых и на какой прямой они лежат?
14. Теорема Паппа (упр. 8 к § 4 гл. 6) утверждает, что если точки
рз,Р1,ръ коллинеарны и точки Рб,Р4,Р2 коллинеарны, то точки
р = РзрТ П рврТ,
q = p~2pl П pipe,
П plpi
также коллинеарны. Рисунок выглядит так:
Рз
Объединение прямых pepi и рвр4 является приводимой коникой С".
Объясните, почему теорема Паппа может рассматриваться как «вы-
«вырожденный» случай теоремы о шестиугольнике Паскаля. Указание:
см. упр. 12. Обратите внимание, что в отличие от неприводимого
случая, мы не можем выбрать любые 6 точек на С": мы не можем
выбирать особую точку коники С" и каждая компонента коники С"
должна содержать три точки.
15. Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 12, мо-
могут быть применены и в более общей ситуации. Пусть кривые С и D
определены редуцированными уравнениями степени п, так что пере-
пересечение С П D состоит ровно из п2 точек. Предположим, что непри-
неприводимая кривая Е, заданная редуцированным уравнением степени
т < п, содержит тп из этих п2 точек. Тогда, используя рассужде-
рассуждения из доказательства теоремы 12, докажите, что существует кривая
F, заданная редуцированным уравнением степени п — т, которая со-
содержит оставшиеся п(п — т) точек из С П D.
16. Пусть С и D — кривые в Р2(С).
(a) Докажите, что пересечение С П D непусто.
(b) Пусть С неособа в смысле п. (а) упр. 9 к § 6 (если С = V(/),
то частные производные df/dx,df/dy и df/dz не обращаются
одновременно в нуль на Р2(С)). Докажите, что С неприводима.
Указание: если С = С\ U Сг, то F = /1/2; выясните, как ведут
себя производные полинома / в точках из С\ П С2?
17. В этом упражнении мы рассмотрим неформальное доказательство
теоремы Безу. Рассуждения будут нестрогими, но дают на интуитив-
интуитивном уровне объяснение, почему число точек пересечения равно тп.
(а) Докажите, что в Р2(С) прямая L пересекает кривую С степени
п в п точках (с учетом кратностей). Указание: выберите систему
координат так, чтобы все точки пересечения лежали в аффинной

548 Гл. 8. Проективная алгебраическая геометрия
части С2 , и задайте L параметрическим уравнением х = a+ct, у =
b + dt.
(b) Рассмотрим пересечение кривой С степени п с объединением тп
прямых. Используя п. (а), объясните, сколько имеется точек пе-
пересечения.
(c) Рассмотрим пересечение двух кривых С и D. Дайте неформаль-
неформальное объяснение (используя рисунки), почему число точек пересе-
пересечения (с учетом кратностей) не меняется при малых деформаци-
деформациях кривых. На рисунках должны быть отражены случаи касания
и случаи типа пересечения оси х и кривой у — х3.
(d) Используя принцип постоянства из п. (с), покажите, что если m
прямых п. (Ь) совпадают (случай прямой кратности т), то чис-
число точек пересечения (с учетом кратностей) будет тем же самым.
(e) Используя принцип постоянства из п. (с) докажите теорему Безу
для случая произвольных кривых С и D, деформируя D в пря-
прямую кратности т (как в п. (d)). Указание: если D задано урав-
уравнением / = 0, то «деформация» D состоит в обнулении всех ко-
коэффициентов полинома /, кроме одного.
Эти рассуждения дают представление о доказательстве теоремы
Безу методом вырождения. Строгую версию этого метода можно
найти в книге Brieskorn, Knorrer A986). Аргументация, связан-
связанная с вырождением, играет важную роль в алгебраической геоме-
геометрии.
9
Размерность многообразия
Наиболее важным инвариантом линейного подпространства аф-
аффинного пространства является его размерность. Многие из рас-
рассматривавшихся нами аффинных многообразий имеют очевидным
образом определенную размерность, по крайней мере с интуитив-
интуитивной точки зрения. В этой главе мы дадим строгое определение раз-
размерности аффинных и проективных многообразий и объясним, как
ее найти. Мы также покажем, что строгое определение согласует-
согласуется с интуитивным представлением о размерности. В соответствии
с общей идеологией этой книги вычислительный аспект будет рас-
рассматриваться параллельно теории.
§ 1. Многообразие мономиального идеала
Мы начнем изучение размерности с рассмотрения мономиальных
идеалов. В частности, мы хотим вычислить размерность многообра-
многообразия, определенного таким идеалом. Пусть, например, I = (х2у, х ) С
к[х,у]. Обозначим через Нх прямую в к2, заданную уравнением
х = 0 (т. е. Нх = V(x)), и через Ну — уравнением у = 0. Имеем
A)
= (tfxntfx)u(tfyntfx)
Таким образом, V(/) — это просто ось у. Поскольку Нх имеет раз-
размерность 1 как векторное подпространство в к2, естественно счи-
считать, что Нх имеет ту же размерность как аффинное многообразие.
В качестве второго примера рассмотрим идеал
I=(y2z3,x5z\x2yz2)Ck[x,y,z].
Пусть Нх — плоскость, заданная уравнением х = О, НУ — плоскость,
заданная уравнением у = 0, а Я, — плоскость, заданная уравнением

550
Гл. 9. Размерность многообразия
z = 0. Обозначим через Нху прямую, заданную уравнениями х =
у = 0. Тогда
VG) = V(yV) П V(z5z4) П V(x2yz2)
= {Hy U Hz) П (tfx U Я2) П {Hx U Hy U Ня)
= HZU Н
ху
(проведите вычисление самостоятельно). Таким образом, V(J)
является объединением (х, т/)-плоскости Hz и z-оси Нху. Опреде-
Определим размерность объединения конечного числа векторных подпро-
подпространств в кп как максимум их размерностей. Тогда размерность
многообразия VG) равна 2.
Аналогичным образом может быть определена размерность
многообразия произвольного мономиального идеала. Но сначала
нам нужно описать, как выглядит такое многообразие. Для этого*
введем понятие координатного подпространства. Координатным
подпространством в кп называется векторное подпространство, за-
заданное несколькими уравнениями вида Х{ = 0, где Х\,..., хп — ко-
координаты в кп.
Предложение 1. Многообразие мономиального идеала I С 1
k[xi,...,хп] представляет собой конечное объединение координат-
координатных подпространств в кп.
Доказательство. Пусть ж?1 ... x®J — моном в к[х\,... ,хп], где i
a.j > 1 при 1 < j < г. Тогда
где HXl = V(xi). Таким образом, многообразие, определенное моно-
мономом, является объединением координатных гиперплоскостей. Всего
имеется п таких гиперплоскостей.
Так как мономиальный идеал порожден конечным набором мо-
мономов, то соответствующее многообразие является конечным пере-
пересечением конечных объединений координатных гиперплоскостей. В
силу дистрибутивности пересечения относительно объединения его
можно переписать в виде конечного объединения пересечений ко-
координатных гиперплоскостей (см. A) в качестве примера). Но пере-
пересечение конечного числа координатных гиперплоскостей является
координатным подпространством. D
В представлении многообразия мономиального идеала I в ви-
виде конечного объединения координатных подпространств мы ис-
исключим те подпространства, которые содержатся в других подпро-
подпространствах этого объединения. Тогда
= ViU...UVp,
§ 1. Многообразие мономиального идеала
551
где Vi не содержится в V} при г ф j. Такое разложение V(J) един-
единственно (это будет доказано в упр. 8).
Дадим следующее важное определение.
Определение 2. Пусть многообразие V является объединением
конечного числа линейных подпространств пространства кп. Тог-
Тогда его размерностью, обозначаемой dim V, называется максимум
размерностей этих подпространств1'.
Таким образом, размерность объединения двух плоскостей и
прямой равна 2, а размерность объединения трех прямых равна 1.
Для того чтобы найти размерность многообразия мономиального
идеала /, нужно просто найти максимум размерностей координат-
координатных подпространств, содержащихся в VG).
Хотя это и просто сделать в каждом конкретном случае, имеет
смысл упорядочить процесс вычисления. Пусть / = (mi,..., mt) —
собственный идеал, порожденный мономами rrij. При вычислении
размерности dim VG) нам нужно найти компоненту многообразия
t
V(I) = f| V(mj)
j=i
наибольшей размерности. Если мы сможем найти набор перемен-
переменных Xix,...,Xir, таких, что каждая из них содержится по крайней
мере в одном мономе, то координатное подпространство, заданное
уравнениями xix = ... = xir = 0, содержится в VG). Это означа-
означает, что нам нужно искать переменные, которые содержатся в как
можно большем числе rrij. Точнее, пусть
Mj = {I ? {1,..., п] : Xi делит моном rrij}
— множество переменных, содержащихся в rrij. (Обратите внима-
внимание, что Mj непусто, так как / — собственный идеал.) Рассмотрим
множество
М = {J С {1,... ,п} : J П Mj ф 0 для всех 1 < j < t},
элементами которого являются подмножества из {1,... ,тг}, имею-
имеющие непустые пересечения с каждым Mj. (Обратите внимание, что
М непусто, так как {1,...,тг} ? М.) Обозначим через \J\ число
элементов конечного множества J. Тогда справедливо следующее
утверждение.
Предложение 3. В наших обозначениях
dim VG) = п - minfl J\ : J € M).
^Размерность линейного подпространства понимается в смысле определе-
определения, даваемого в линейной алгебре.— Прим. ред.

552
Гл. 9. Размерность многообразия
Доказательство. Пусть J = {i\,..., ir} —такой элемент из М, что
\J\ = г минимально. Так как каждый моном rrij содержит некото-
некоторую степень какой-то переменной я,,, 1 < I < г, то координатное
подпространство W = У(хгх,... :Xir) содержится в VG). Размер-
Размерность подпространства W равна п — г = п — \J\; следовательно,
по определению 2 размерность многообразия VG) не меньше, чем
n-\J\.
Если размерность многообразия VG) превышает п —г, то суще-
существует координатное подпространство W = V(xi1,... ,xis) С VG),
где s < г. Каждый моном rrij обращается в нуль на W, в част-
частности, он обращается в нуль в точке, координаты х^,... ,xi3 ко-
которой равны нулю, а остальные координаты отличны от нуля.
Следовательно, хотя бы одна переменная Хк{ делит rrij. Отсюда
J' = {/ь ... j /s} ? М.. Но так как \J'\ = s < г, это противоречит ми-
минимальности г. Значит, размерность многообразия VG) равна п—г.
Вернемся к рассмотрению второго примера. Обозначим пере-
переменные x,y,z через я^а^яз- Тогда
7 = (х22х1,х\х\,х\х2х1) = (mi,m2,m3),
где
В наших обозначениях
Mi ={2,3}, M2 = {1,3}, M3 = {1,2,3};
поэтому
М = {{1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {3}}.
Тогда min(|J| : J ? М.) = 1, а следовательно,
dim VG) = 3 - min(| J\ : J ? M) = 3 - 1 = 2.
Обобщая этот пример, можно сказать, что если некоторая перемен-
переменная Xi, например, входит в каждый моном из некоторого множества
образующих собственного мономиального идеала /, то dimVG) =
п — 1, так как J = {i} E М- Обратное утверждение рассмотрено
в упр. 4.
Интересно сравнить мономиальный идеал I с его радикалом
у/1. В упражнениях будет доказано, что если идеал I мономиа-
лен, то радикал у/1 также мономиален. Мы знаем из гл. 4, что
VG) = V(%/7) для любого идеала I. Поэтому VG) и V(%/7) имеют
одинаковую размерность. В упр. 10 будет показано, что это утверж-
утверждение согласуется с формулой, приведенной в предложении 3.
1. Многообразие мономиального идеала
553
Упражнения к § 1
1. Для каждого из следующих мономиальных идеалов / найдите пред-
представление многообразия V(J) в виде объединения координатных под-
подпространств:
(a) I = (хъ,х4уг,хгг) Ck[x,y,z];
(b) / = {wx2y, xyz3, wzb) С k[w, x, у, z];
(c) / = (ziZ2,Z3 • • -Xn) С к[ц, . . . ,Xn}-
2. Найдите dimV(J) для следующих мономиальных идеалов:
(a) / = {xy,yz,xz) С k[x,y,z];
(b) / = (wx2z, w3y, wxyz, x5z6) С k[w, x, y, z];
(c) / = (u2vwyz, wx3y3, uxy7z, y3z, uwx3y3z2) С k[u, v, w, x, y, z].
3. Докажите, что множество W С кп является координатным подпро-
подпространством в том и только том случае, когда W является линей-
линейной оболочкой некоторого подмножества базисных векторов {а : 1 <
i < п}, где е; —вектор, у которого на г-м месте стоит 1, а на осталь-
остальных нули.
4. Предположим, что / С к\х\,..., хп] является мономиальным идеалом
и dimV(J) = n-l.
(a) Докажите, что мономы из любого множества образующих идеа-
идеала / имеют непостоянный общий делитель.
(b) Пусть V(J) = Vi U ... U Vp, где V; являются координатными под-
подпространствами и Vi не содержится в V, при i\ф j. Предположим
далее, что в точности одно из пространств Vi имеет размерность
п — 1. Чему может равняться максимальное значение р? Приве-
Приведите пример, когда это максимальное значение достигается.
5. Пусть / — мономиальный идеал в кольце к[х\,..., х„], такой, что
dimV(J) = 0.
(a) Что собой представляет многообразие V(J) в этом случае?
(b) Докажите, что dimV(J) = 0 в том и только том случае, когда
для каждого 1 < i < п имеет место включение х{' € / для неко-
некоторого li > 1. Указание: в каком случае в рамках предложения 3
множество М имеет единственный элемент {1,..., п}?
6. Пусть (mi,..., тпт) С к[х\,..., хп] — мономиальный идеал, порожден-
порожденный г мономами, г < п. Докажите, что dim V(J) > n — г.
7. Докажите, что координатное подпространство является неприводи-
неприводимым многообразием, если поле к бесконечно.
8. В этом упражнении мы найдем связь между разложением много-
многообразия мономиального идеала / в объединение координатных под-
подпространств и разложением многообразия V(J) в объединение не-
неприводимых компонент. Поле к предполагается бесконечным.
(а) Пусть V(J) = Vi U ... U Vp, где Vi — координатные подпростран-
подпространства, такие, что Vi не содержится в Vj при i ф j. Докажите,
что это объединение является также минимальным разложени-
разложением многообразия V(J) в объединение неприводимых компонент
(см. теорему 4 из § 6 гл. 4).

554
Гл. 9. Размерность многообразия
(b) Докажите единственность такого разложения с точностью да1
порядка слагаемых Vj.
9. Пусть I = (mi,... ,ms) С k[xi,..., хп] — мономиальный идеал. Для
каждого j, 1 < j' < s, определим множество (как в тексте настоящего
параграфа) М, = {I : х\ делит m,j}, и рассмотрим мономы
m'j = Ц xi.
(ем,-
Таким образом, m'j содержит те же переменные, что и m.j, но в первой
степени.
(a) Докажите, что m'j € v7 для всех j, 1 < j' < 3.
(b) Докажите, что \fl = (m\,..., m's). Указание: используйте леммы
2 и 3 из § 4 гл. 2.
10. Пусть I — мономиальный идеал. Используя упр. 9, докажите, что ра-
равенство dim VG) = dim V(\//) следует из формулы для размерности,
данной в предложении 3.
§ 2. Дополнение мономиального идеала
Одна из замечательных идей Гильберта, высказанная в его знаме-
знаменитой статье Uber die Theorie der algebraischen Formen (см. Hilbert
A890)), состоит в том, что размерность многообразия, определен-
определенного полиномиальным идеалом, может быть охарактеризована ро-
ростом числа мономов, не принадлежащих идеалу, при возрастании
полной степени. Мы уже несколько раз касались этого явления в
гл. 5 (особенно в упр. 12 к § 3).
В этом параграфе мы подробно рассмотрим множество моно-
мономов, не содержащихся в мономиальном идеале / С к[х\,..., хп]. Так
как это множество может быть бесконечным, то наша цель — найти
формулу для числа мономов ха ^ I, если значение \а\ ограничено
сверху некоторым заданным числом. Результаты этого параграфа
играют решающую роль при определении размерности произволь-
произвольного многообразия в § 3.
Пример 1. Рассмотрим собственный мономиальный идеал / С
к[х, у]. Так как / является собственным (т. е. I / к[х, у]), то VG) —
это или
(a) начало координат {@,0)}, или
(b) ось х, или
(c) ось у, или
(d) объединение оси х и оси у.
В случае (а) мы имеем ха g I,yb E I для некоторых целых а, Ъ > 0
(см. упр. 5 к § 1). В этом случае число мономов, не принадлежащих
§ 2. Дополнение мономиального идеала
555
I, конечно и равно Со < а ¦ Ь. Пусть а, Ь — наименьшие положитель-
положительные числа, удовлетворяющие условию ха,уь ? I. Тогда мы получим
следующий рисунок, на котором показаны показатели степеней для
мономов, принадлежащих I (черные кружки), и мономов, не при-
принадлежащих / (белые кружки):
В случае (Ь) многообразия VG) совпадает с осью х, и никакая
степень хк не принадлежит I. С другой стороны, так как ось у не
принадлежит VG), то существует Ъ > 0, такое, что уь ? I. Пусть
6 —наименьшее такое число. Здесь получается такая картина:
{т,п) <+хтуп
Обозначим через I максимальный показатель степени переменной у,
такой, что все мономы из I делятся на у1. Тогда I < Ь, но также
/ > 0, так как никакая положительная степень переменной х не при-
принадлежит I. Таким образом, мономы, принадлежащие дополнению

556
Гл. 9. Размерность многообразия
идеала /. — это мономы
:ie
>0, 0<j<
показатели которых лежат на I экземплярах горизонтальной оси в
Z>0, и еще конечное число других мономов. Эти дополнительные
мономы t обладают следующими свойствами: xrt ? I для некото-
некоторого г > 0. На рисунке они представлены белыми кружками выше
пунктирной линии и на ней.
Таким образом, множество мономов в дополнении к / состо-
состоит из / «прямых» плюс конечное множество. Это позволяет нам
«сосчитать» число мономов, не принадлежащих I. В упр. 1 бу-
будет доказано, что если s > I, то I «прямых» содержат в точности
Is — A + 2 + ... + / — 1) мономов полной степени < s. В частности,
если s достаточно велико (s > a+b, где а указано на рисунке), то ко-
количество мономов полной степени < s, не принадлежащих I, равно
Is + Со, где Со —некоторая константа, зависящая только от I.
В случае (с) ситуация аналогична ситуации в случае (Ь), но
«прямые» мономов параллельны вертикальной оси в плоскости Z>0
показателей степеней. В частности, мы получаем аналогичную фор-
формулу для числа мономов полной степени < s, не принадлежащих /,
для достаточно больших s.
В случае (d) пусть к — максимальный показатель степени, такой,
что любой моном из I делится на хк. Аналогично определяется
показатель степени / для переменной у. Отметим, что к > 0 и / > 0,
так как ху делит все мономы из /. Получаем следующий рисунок:
А- — о- — о- — -о— -• • ¦ •
(т,п) <-> хтуп
Мономы в дополнении к I образуют к «прямых»
{xiyj :0 <»<*-!, j eZ>0},
§ 2. Дополнение мономиального идеала
параллельных вертикальной оси, / «прямых»
557
параллельных горизонтальной оси, плюс конечное число мономов,
обозначенных белыми кружками внутри и на границе области,
ограниченной пунктирными прямыми.
Таким образом, мономы, не принадлежащие /, образуют I + к
«прямых» плюс конечное множество мономов. Если s достаточно
велико (s > a + Ь, где а и b указаны на рисунке), то количество
мономов полной степени < s, не принадлежащих I, равно (/ + k)s +
Со, где Со — константа, зависящая только от / (см. упр. 1).
Описание структуры множества мономов, не принадлежащих /,
полученное в примере 1 (а именно, тот факт, что множество моно-
мономов в дополнении к мономиальному идеалу I С к[х,у] состоит из
конечного числа бесконечных множеств, параллельных координат-
координатным подпространствам в Z>0, плюс конечное множество), обобща-
обобщается на случай произвольного мономиального идеала. В § 3 именно
оно и будет основным ключевым моментом при определении и вы-
вычислении размерности произвольного многообразия.
Прежде чем рассматривать общую задачу, мы введем несколько
новых обозначений. Для произвольного мономиального идеала I
обозначим через
= {ae Z^o : xai 1}
множество показателей степеней мономов, не принадлежащих I.
Это множество и будет основным объектом изучения. Также по-
положим
ei = A,0,0,...,0),
Координатным подпространством в Z"o, определенным вектора-
векторами e^j,..., eir, i'i < ... < ir, мы назовем множество
[eix,..., eir] = {aieh + ... + areir : a,- ? Z>0 для всех 1 < j < r}.
Мы будем называть [е;1;... ,ejr] r-мерным координатным подпро-
подпространством. Наконец, подмножество в Z"o называется сдвигом ко-
координатного подпространства [е^,..., е<г], если оно имеет вид
a+[eil;...,eir] = {a + /3 : /3 ? [eh,..., eir)},
где a = X^i^ft! i } °ie«' a« — О- Это условие на a означает, что мы
производим сдвиг на вектор, перпендикулярный [е^, - • ¦, е^]. Так,

558
Гл. 9. Размерность многообразия
2. Дополнение мономиального идеала
559
например, множество {A,/) : I ? 2>о} = е\ + [е2] является сдвигом
координатного подпространства [е2] С Z>0.
Теперь мы можем суммировать результаты, полученные при
рассмотрении примера 1.
(a) Если VG) состоит из одной точки — начала координат, то мно-
множество СA) конечно.
(b) Если VG) является осью х, то СA) состоит из конечного числа
сдвигов координатного подпространства [ei] и еще, может быть,
конечного числа точек.
(c) Если VG) является осью у, то СA) состоит из конечного числа
сдвигов координатного подпространства [е2] и еще, может быть,
конечного числа точек.
(d) Если VG) является объединением оси х и оси у, то СG) состо-
состоит из конечного числа сдвигов координатного подпространства
[ei], конечного числа сдвигов координатного подпространства
[ег] и еще, может быть, конечного числа точек.
В упражнениях аналогичный анализ будет проведен для слу-
случая мономиальных идеалов в полиномиальном кольце от трех пе-
переменных.
Вернемся к общему случаю. Отметим сначала, что имеется пря-
прямое соответствие между координатными подпространствами, при-
принадлежащими VG), и координатными подпространствами в Z"o,
принадлежащими СA).
Предложение 2. Рассмотрим собственный мономиалъный идеал
I С к[хх,...,хп).
(i) Координатное подпространство "V(xi : i ^ {ii, ¦ ¦ ¦ ,ir}) содер-
содержится в VG) в том и только том случае, когда [е^,...,
(ii) Размерность многообразия VG) равна размерности наиболь-
наибольшего координатного подпространства, содержащегося в СA).
Доказательство, (i) =>. Отметим сначала, что W = V(xi : г ?
{ii,-¦¦,гг}) содержит точку р, ij-я координата которой равна 1
при 1 < j < г, а остальные координаты равны 0. Для любого
а € [eh ,...,аг] моном ха имеет вид ха = xf* ... z"r. Тогда ха = 1
в точке р. Поэтому ха $ I, так как р € W с VG) по условию. Сле-
Следовательно, а € СA).
<=. Пусть [eil,..., аТ] С С{1). Так как 7 — собственный идеал, то
каждый моном из 7 содержит хотя бы одну переменную, отличную
от Х{г,..., Xir. Это означает, что каждый моном из 7 обращается в
нуль в любой точке (а,\,... ,ап) € кп, где а, = 0 при г $ {i\,... ,гГ}.
Поэтому каждый моном из 7 обращается в нуль на координатном
подпространстве V(xj : i ^ {ii,..., гг}). Следовательно, это подпро-
подпространство содержится в VG).
(ii) Координатное подпространство V(xi : г ^ {i\,... ,гг}) име-
имеет размерность г. Из (i) следует, что размерности координатных
подпространств пространства кп, содержащихся в VG), и коорди-
координатных подпространств пространства Z"o, содержащихся в СG),
образуют одинаковые числовые множества. По определению 2 из
§ 1 dimVG)—это максимум размерностей координатных подпро-
подпространств пространства кп, содержащихся в VG), откуда и следует
утверждение (ii).
Теперь мы можем описать дополнение мономиального идеала.
Теорема 3. Пусть IС k[xi,..., хп] — собственный мономиалъный
идеал. Тогда множество СA) является конечным объединением
сдвигов (не обязательно непересекающихся) координатных под-
подпространств пространства Z™0.
Прежде чем доказывать эту теорему, рассмотрим, например,
идеал I = {х4у3,х2у5).
Легко видеть, что СG) может быть представлено в виде
С{1) =[ei] U (е2 + [ei]) U Bе2 + [ei]) U [e2] U (ех + [е2])
U {C,4)} U {C,3)} U {B,4)} U {B,3)}.
Последние четыре множества в этом объединении мы можем
рассматривать как сдвиги 0-мерного координатного подпростран-
подпространства — начала координат в
7П
J>o-

560
Гл. 9. Размерность многообразия
Доказательство теоремы 3. Если / — {0}. то теорема, очевид-
очевидно, верна. Поэтому мы будем рассматривать случай, когда идеал
I ненулевой. Доказательство использует индукцию по числу пере-
переменных п. Если п — 1, то / = (х1) для некоторого I > 0. Тогда
С{1) = {0,1,...,/ — 1} С Z>o- Таким образом, дополнение состоит
из / точек, которые являются сдвигами начала координат.
Пусть утверждение теоремы справедливо для п — 1 перемен-
переменных. Рассмотрим мономиальный идеал / С к[х\,..., х„]. Для каж-
каждого j > 0 обозначим через Ij идеал в к[х\,..., хп-\], порожденный
такими мономами t, что t ¦ xJn E I. Тогда C(Ij) состоит из таких
векторов a ? Z"^1, что xaxJn $ /. Геометрически это означает, что
C(Ij) С Z"^1 является пересечением множества СA) и гиперплос-
гиперплоскости @,...,0,j) + [eb...,en_i] из Z|o.
Так как I — идеал, то Ij С Ij> при j < j1 ¦ По условию обрыва
возрастающих цепей существует целое jo, такое, что Ij = Ij0 при
j > jo- Для любого целого j обозначим через C(Ij) x {j} множество
{(a,j) е 1>0 : a 6 C(Ij) С Z"^1}. Мы утверждаем, что
J"o-1
С{1) = (СA30) х Z>0) U IJ (C(Ij) х {j}).
A)
Отметим сначала, что C(Ij) x {j} С С{1) по определению C(Ij).
Докажем, что C(ijo)xZ>oC C(I). В самом деле, Ij =Ij0 при j > jo, a
значит. C(Ijo)x {j} с С (I) при j > j0. Если j < j0, то xaxJn ? /, когда
xaxi,° $ I (потому что I — идеал). Поэтому CGJ0) x {j} с С(I) при
j < j0. Таким образом, СA) содержит правую часть равенства A).
Докажем противоположное включение. Пусть а = (а\,..., а„) ?
СA). Тогда а 6 С(/а„) х {а„}. Если а„ < jo, то очевидно, что а
принадлежит правой части формулы A). Если же ап > jo, то ра-
равенство 1ап = Ij0 показывает, что а 6 C(Ij0) x Z>o и наше утверж-
утверждение доказано.
По предположению индукции каждое множество СAо),...,
C(Ij0) является конечным объединением сдвигов координатных
подпространств пространства Z"^1. Подставляя эти конечные объ-
объединения в правую часть равенства A), мы видим, что СA) являет-
является конечным объединением сдвигов координатных подпространств
пространства Z"o. D
Наша следующая цель — найти число мономов полной степени
< s в дополнении мономиального идеала / С k[xi,..., хп]. Нам по-
надобится следующее важное утверждение.
§ 2. Дополнение мономиального идеала
561
Лемма 4. Число мономов полной степени < s в к[х\,..., хт] рав-
равно биномиальному коэффициенту (m^s) ¦
Доказательство. См. упр. 11 к § 3 гл. 5.
?
Далее число \а\ = ос\ + ... + ап мы будем называть полной сте-
степенью элемента а Е Z"o. Она равна полной степени монома ха. В
этих терминах лемма 4 означает, что число точек полной степени
< s в m-мерном координатном подпространстве пространства Z™0
равно (m*s) (см. упр. 5). Обратите внимание, что если т фикси-
фиксировано, то выражение
т
m
является полиномом степени т от s, причем его старший коэффи-
коэффициент равен 1/т!.
Что можно сказать о количестве мономов полной степени < s в
сдвиге m-мерного координатного подпространства в Z"o? Рассмот-
Рассмотрим, например, сдвиг am+iem+i + ... + а„е„ + [ех,..., ет] коорди-
координатного подпространства [ei,..., ет]. Так как am+i,..., ап фикси-
фиксированы, то число точек полной степени < s в сдвинутом подпро-
подпространстве равно равно числу точек в [е\,..., ет] полной степени
< s-(aTO+i + .. . + an) (при условии, конечно, что s > am+i + .. . + an).
Более общим образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма 5. Рассмотрим сдвиг а + [е^,..., е;т] координатного под-
подпространства [е^,...,е*т] С Z|o, где а = lLit{h,...,im}aiei-
(i) Число точек полной степени < s в а + [е^,..., е*т ] равно
', + s - \а\
. «-И
при условии, что s > \a\.
(и) При s > \а\ это число точек выражается полиномиальной
функцией от s степени т со старшим коэффициентом 1/т!.
Доказательство, (i) Если s > \а\, то каждая точка /3 ? a +
[ei1,..., ejm] полной степени < s имеет вид /3 = a + 7, где 7 ?
Ее»и • • • je»m] и 1т1 < s — \а\- Теперь формула из п. (i) следует из
леммы 4.
(ii) См. упр. 6.
Теперь мы готовы доказать существование связи между размер-
размерностью разнообразия VG) для мономиального идеала I и степенью

562
Гл. 9. Размерность многообразия
§ 2. Дополнение мономиального идеала,
563
полиномиальной функции, представляющей число точек степени
< s в С{1).
Теорема 6. Пусть I С к[х\,... ,хп] — мономиалъный идеал и
dim V(J) = d. Тогда для достаточного большого s количество мо-
мономов полной степени < s, не принадлежащих I, выражается по-
полиномиальной функцией от s степени d, причем коэффициент при
sd в этом полиноме положителен.
Доказательство. Нам нужно найти число точек в С{1) полной
степени < s. По теореме 3
=T1\JT2U...\JTt,
где каждое Ti является сдвигом координатного подпространства из
Z>0. Мы можем считать, что Tj / Tj при i ф j.
Размерность сдвига Ti равна размерности соответствующего
координатного подпространства. По условию размерность много-
многообразия V(J) равна d; следовательно, по предложению 2 размер-
размерность каждого Ti не превосходит d и хотя бы одно Ti имеет раз-
размерность, равную d.
Мы лишь наметим дальнейшие шаги доказательства, оставляя
детали читателю (в упражнениях). При подсчете точек степени < s
в С{1) надо быть аккуратным, так как хотя СA) и является объеди-
объединением сдвигов координатных подпространств, но эти сдвиги могут
пересекаться (см., например, п. (d) примера 1). Мы будем исполь-
использовать верхний индекс s для указания того, что рассматриваемое
подмножество состоит из элементов степени < s. Имеем
C(I)S =T1*UT2SU...UT/.
Число элементов множества C{I)S будет обозначаться через |СG)*|.
В упр. 7 будет рассмотрен метод (который называется мето-
методом включения-исключения), позволяющий найти число элементов
в конечном объединении конечных множеств. Если множества име-
имеют общие элементы, то мы не можем просто сложить мощности
множеств, потому что тогда некоторые элементы будут подсчита-
подсчитаны несколько раз. Метод включения-исключения вводит «коррек-
«корректирующие слагаемые», которые позволяют учесть эти «кратные»
элементы множеств. Эти корректирующие слагаемые суть числа
элементов в двойных пересечениях, в тройных пересечениях и т.д.
Применение метода включения-исключения к C(I)S дает
\т?пт?пт?\-.... B)
Мы знаем, что при достаточно большом s число элементов в Т* |
выражается полиномиальной функцией степени т, = dim(Tj) < d от
s и коэффициент при smi равен 1/гщ\. Из этого следует, что |C(/)S|
при достаточно большом s является полиномиальной функцией от
s степени не больше d.
Первая сумма в B) является полиномиальной функцией по s
степени d при достаточно больших s, потому что хотя бы одно Tj
имеет размерность d, а старшие коэффициенты соответствующих
полиномов положительны и, значит, не сокращаются. Если мы до-
докажем, что оставшиеся суммы в B) выражаются полиномами сте-
степени меньшей d, то теорема будет доказана.
В упр. 8 будет доказано, что пересечение двух различных сдви-
сдвигов координатных подпространств пространства Z"o размерностей
тп и г или пусто, или является сдвигом координатного подпростран-
подпространства размерности <max(m,r). Рассмотрим ненулевой член |Т*П1}|
во второй сумме в B). Так как Tt ф Tj, то из упр. 8 вытекает, что
Т = Ti П Tj является сдвигом координатного подпространства раз-
размерности < d. Поэтому в силу леммы 5 число точек вТ* = Т" П Г?
является полиномиальной функцией от s степени < d (если s до-
достаточно велико). Суммируя по всем i < j, получаем, что вторая
сумма в B) является полиномиальной функцией от s степени < d
для достаточно большого s. Остальные суммы в B) рассматрива-
рассматриваются аналогично. Таким образом, |CG)S| является полиномиальной
функцией от s (если s достаточно велико) степени d с положитель-
положительным старшим коэффициентом. ?
Рассмотрим еще раз идеал I = (х*у3,х2у5). Мы уже видели, что
C(I) = CoUCi, где
Сг =[ei] U (е2 + [ei]) U Bе2 + [ei]) U [e2] U {ех + [е2]),
Со ={C,4), C,3), B,4), B,3)}.
Чтобы найти число точек степени < s в Ci, мы найдем число таких
точек в каждом сдвиге, просуммируем эти числа и вычтем чис-
число тех точек, которые были сосчитаны более одного раза. (В этом
примере тройные пересечения пусты. Почему?) Число точек сте-
степени < s в [е2] равно ("+1) = (s+x) = s + 1, а число таких точек
в е\ + [е2] равно ( ^~l) = s. Аналогично, число таких точек в
[ei],e2 + [ei] и в 2е2 + [ei] равно s+l,sns-l соответственно.
Среди возможных двойных пересечений шесть непусты и каждое
состоит из одной точки. Вы можете проверить, что шесть точек
A,2), A,1), A,0), @,2), @,1), @,0) принадлежат более чем одному
сдвигу. Поэтому при достаточно большом s число точек в С( равно

564
Гл. 9. Размерность многообразия
Кроме того, имеется еще 4 точки в Со; поэтому
\C(I)S\ = |С*| + |COS| = Es - 5) + 4 = 5s - 1,
если s достаточно велико. (В упр. 9 будет показано, что «достаточно
велико» означает, что s > 7.) *
Теорема 6 показывает, что размерность аффинного многообраг
зия, определенного мономиальным идеалом, равна степени полино^
ма от s, который выражает число точек степени < s (при достаточ-
достаточно большом s) в СG). Это дает чисто алгебраическое определений
размерности. В § 3 мы распространим эти идеи на произвольный
идеал.
Полином из теоремы 6 обладает тем свойством, что его значе-'
ния при достаточно больших целых s являются целыми числами.
Нам понадобятся некоторые свойства таких полиномов. Отметим,
во-первых, что такие полиномы не обязательно имеют целые ко-
коэффициенты. Например, полином s(s - l)/2 принимает целые зна-
значения при целых s, хотя его коэффициенты не являются целыми
числами. Причина состоит в том, что либо s, либо s — 1 является-
четным числом, а следовательно, делится на 2. Аналогично, поли-
полином s(s — l)(s — 2)/6 принимает целые значения при целых s, так
как из трех чисел s, s — 1, s — 2 одно делится на 3 и хотя бы одно
делится на 2. Нетрудно доказать, что
d\
1
= 1,
= s.
s(s-l)
d!
d-(d-l)...2-r4" -'•••^ ^~ '"
принимает целые значения при целых s (см. упр. 10). В упр. 11
и 12 будет доказано, что любой полином степени d, принимающий
целые значения при достаточно больших целых s, может быть од-
однозначно представлен в виде целочисленной линейной комбинации
полиномов
Используя это, мы можем дать следующее уточнение теоремы 6.
Предложение 7. Пусть I С к[х\,..., хп] — мономиальный идеал
и dim VG) = d. Тогда для достаточно больших s число точек сте-
степени < s в С{1) выражается полиномиальной функцией от s cme-
§ 2. Дополнение мономиального идеала
пени d, которая может быть представлена в виде
565
i=0
где (ii ? Z при O<i<duao>O.
В конце параграфа мы обсудим случай проективных много-
многообразий, заданных мономиальным идеалом. Мономиальный идеал
/ С k[xi,... ,хп] однороден (см. упр. 13), а следовательно, он опре-
определяет проективное многообразие VpG) С ?п~1(к), где нижний ин-
индекс р указывает, что мы находимся в проективном пространстве. В
упр. 14 будет показано, что Vp(/) является конечным объединением
проективных линейных подпространств с размерностями на едини-
единицу меньше, чем размерности соответствующих аффинных подпро-
подпространств. Как и в аффинном случае, мы определяем размерность
конечного объединения проективных линейных подпространств как
максимум их размерностей. Тогда теорема 6 показывает, что раз-
размерность проективного многообразия VpG) мономиального идеала
/ на единицу меньше, чем степень полиномиальной функции от s,
выражающей число мономов степени < s, не принадлежащих иде-
идеалу I.
В этом случае удобнее рассматривать полиномиальную функ-
функцию от s, выражающую число мономов степени, равной s. Причина
объясняется в следующем предложении.
Предложение 8. Пусть I С fcjzi,. •. ,хп] —мономиальный идеал
ii VpG) С Fn~1(k) —проективное многообразие, определенное иде-
идеалом I. Если dimVpG) = d — 1, то для достаточно больших s
число мономов полной степени s, не принадлежащих I, выража-
выражается полиномиальной функцией от s степени d - 1 вида
»=о
где bi e Z при 0 <i < d- 1 и b0 > 0.
Доказательство. Аффинное многообразие VG) С кп имеет раз-
размерность d. Поэтому число мономов степени < s, не принадлежа-
принадлежащих 7, выражается полиномиальной функцией p(s) степени d (при
достаточно больших s). Коэффициент при sd у этого полинома по-
положителен. Значит, число мономов степени, равной s, для доста-
достаточно больших s выражается функцией
p(s) -p(s- 1).

566
Гл. 9. Размерность многообразия
В упр. 15 будет доказано, что этот полином имеет степень d — \
и его старший коэффициент положителен. Так как он принимает
целые значения при достаточно больших s, то p(s) — p(s — 1) имеет
требуемый вид. Q
В частности, из этого предложения следует, что если проектив-
проективное многообразие задано мономиальным идеалом, то размерность
этого многообразия и степень полинома, определенного в предло-
предложении 8, совпадают. В § 3 мы обобщим это утверждение на случа*
произвольного однородного идеала / С к[х\,..., хп].
Упражнения к § 2
1. В этом упражнении мы докажем некоторые утверждения примера 1.
Напомним, что / С к[х, у] —собственный мономиальный идеал.
(a) В случае (Ь) примера 1 докажите, что если s > I, то I «прямых»
содержат Is — A + 2 + ... + / — 1) мономов полной степени < s.
(b) В случае (Ь) докажите, что количество мономов полной степени
< s, не принадлежащих /, равно ls+Со, если s достаточно велико''
Объясните, как найти Со, и докажите, что s > a + b «достаточно»
велико». Покажите на рисунке, что происходит, если s слишком
мало.
(c) В случае (d) примера 1 покажите, что константа Со в полиноми*
альной функции, выражающей число точек в СA) полной сте-
степени < s, равна (конечному) числу мономов, не принадлежащих
«прямым», минус Ik мономов, принадлежащих обоим семействам!
«прямых», минус 1 + 2 + ... + (/— 1), минус 1 + 2 + ... + (А; — 1).
2. Пусть / С к [х 1,... ,хп] — мономиальный идеал. Предположим, что
в Z>0 сдвиг а + [ei1:... ,elr] содержится в С{1). Пусть a =s
^>g{u iryuie{; докажите, что СA) содержит все сдвиги /3 -Р
[е^,.. .,eir] для всех C = ]С,г{;ь...,.,} 6ie;> гДе 0 < Ь; < а; для всех
г. В частности, [е^ ,..., е;г] С С{1). Указание: / — это идеал.
3. В этом упражнении мы построим мономиальный идеал / С fc[z,j/,z]
по заданному СA) С Z>0.
(a) Предположим, что СA) состоит из одного сдвига координатной
плоскости [ei, ег] и двух сдвигов координатной плоскости [ег, ез]»,
Используя упр. 2, докажите, что С{1) = [е^ег] U [в2,ез] U (ei +
[б2,ез]).
(b) Найдите мономиальный идеал / по множеству СA), указанному
в п. (а). Указание: выясните, какие из мономов малой степен*
принадлежат, а какие не принадлежат идеалу П
(c) Пусть СA) состоит из одного сдвига координатной плоскости ;
[ei, ег], двух сдвигов координатной плоскости [ег, ез] и еще одно-
одного сдвига (не содержащегося в указанных сдвигах) прямой [ег]-
Используя упр. 2, дайте точное описание множества С{1).
\ 2. Дополнение мономиального идеала
567
(d) Найдите мономиальный идеал I по множеству СA) из п. (с).
4. Пусть I С к[х,у, z] — мономиальный идеал. В этом упражнении мы
изучим множество С{1) С Z>0.
(a) Докажите, что для V(J) имеются следующие возможности: на-
начало координат; одна, две или три координатные прямые; одна,
две или три координатные плоскости; объединение координатной
плоскости и координатной прямой, перпендикулярной к ней.
(b) Пусть многообразие V(J) является началом координат. Докажи-
Докажите, что множество СA) конечно.
(c) Пусть многообразие VG) является объединением одной, двух
или трех координатных прямых. Докажите, что СA) является
объединением конечного числа сдвигов координатных прямых
[ei], [ег] и/или [ез] плюс конечное множество точек, не принадле-
принадлежащих этим сдвигам.
(d) Пусть многообразие VG) является объединением одной, двух
или трех координатных плоскостей. Докажите, что С{1) являет-
является объединением конечного числа сдвигов координатных плоско-
плоскостей [е\. ег], [ei. ез] и/или [ег, ез] плюс, возможно, конечное число
сдвигов координатных прямых [ei], [ег] и/или [ез] (где сдвиг пря-
прямой [е;] может принадлежать СA) только в том случае, когда
[e,,ej] С СA) для некоторого i ф j) плюс, возможно, конечное
множество точек, не принадлежащих этим сдвигам.
(e) Пусть, наконец, многообразие V(J) является объединением коор-
координатной плоскости и координатной прямой, перпендикулярной
к ней. Докажите, что С{1) состоит из конечного числа сдвигов
одной координатной плоскости [е;,е;], плюс конечное ненулевое
число сдвигов прямых [е*;],А; ф i,j, плюс конечное число сдвигов
прямых [е^] и/или [е-,] плюс конечное число точек, не принадле-
принадлежащих этим сдвигам.
5. Докажите, что число точек полной степени < s в ?п-мерном коорди-
координатном подпространстве пространства Z>0 равно (m^s)-
6. Докажите п. (ii) леммы 5.
7. В этом упражнении мы рассмотрим метод вычисления, который на-
называется методом включения-исключения. Этот метод предназначен
для нахождения числа элементов конечного объединения конечных
множеств. Через \А\ мы будем обозначать количество элементов ко-
конечного множества А.
(a) Пусть А и В — конечные множества. Докажите, что
\АИВ\ = \А\ + \В\-\АПВ\.
(b) Пусть А, В, С — конечные множества. Докажите, что
|ливис|
= \А\ + |В| + \С\ - \А П В\ - \А П С\ - \В П С\ + \А П В П С\.

568
Гл. 9. Размерность многообразия
(с) Используя индукцию по числу множеств, докажите, что коли-
чество элементов конечного объединения конечных множеств
А\ U ... U Ап равно сумме чисел |А,| минус сумма чисел |Л,- п
Aj\,i < j, по всем двойным пересечениям, плюс сумма чисел
| А{ П Aj П Ак\, i < j < к, по всем тройным пересечениям, минус
сумма по всем четверным пересечениям и т. д. Это может быть
выражено следующей формулой:
АпП...ПАгг
8. В этом упражнении мы докажем, что пересечение двух сдвигов раз-
различных координатных подпространств в Z>0 является сдвигом ко-
ординатного подпространства меньшей размерности.
(a) Пусть A = a + [etl,... ,eim], где а = Ei?{il> ...im} сча, и В = /3 +
[ея ,..., eJT], где /3 = 12i({ju...jr} Ь,е{. Пусть А/ВиАПВ/0.
Докажите, что
[eii,---,eim] ф [en,...,eir]
и что АП В является сдвигом пересечения
[en,. . .,е;т] П [ен,...,е]г}.
(b) Выведите отсюда, что dim А П В <max(m,r).
9. Рассмотрим мономиальный идеал / из примера после теоремы 6. До-
Докажите, что число точек полной степени < s в СA) для s > 7 описы-
описывается полиномом по 5s — 1.
10. Докажите, что полином
p(s) =
d\
принимает целые значения для всех целых s. Обратите внимание,
что p(s) имеет степень d no s.
11. В этом упражнении мы докажем, что каждый полином p(s) степени
< d, принимающий целые значения при s € Z>o, может быть един-
единственным образом представлен в виде целочисленной линейной ком-
комбинации полиномов (*), ({), (I),..., (*).
(а) Докажите, что полиномы
линейно независимы в том смысле, что из равенства
следует, что
s
О
=0
§ 2. Дополнение мономиального идеала
569
(b) Пусть полиномы p(s) и q(s) степени < d принимают одинаковые
значения в d + 1 точках s = 0,1,..., d. Докажите, что р = q. Ука-
Указание: сколько корней имеет полином p(s) — ?(s)?
(c) Предположим, что мы хотим построить полином p(s), такой, что
Р(О) = со,
где a €
B)
P(d) = cd,
— заданные числа. Пусть
До = со,
Дх = ci - со,
Дг = С2 - 2ci +co,
Ad =
Тогда полином
C)
удовлетворяет равенствам B). Указание: примените индукцию
по d. (Полином в C) называется интерполяционным полиномом
Ньютона—Грегори.)
(d) Объясните, почему полином C) принимает целые значения при
целых s. Указание: напомним, что числа с; в B) целые. См. также
упр. 10.
(e) Используя п. (a)-(d), докажите, что любой полином степени d,
принимающий целые значения при целых s > 0, может быть
представлен единственным образом в виде целочисленной линей-
линейной комбинации полиномов (*),..., Q).
12. Пусть полином p(s) степени d принимает целые значения при всех
достаточно больших положительных s, скажем, при s > а. Мы хотим
доказать, что p(s) является целочисленной линейной комбинацией
полиномов (o)j • • •! B)> рассмотренных в упр. 10 и 11. Мы будем
считать а положительным целым числом.
(a) Докажите, что полином p(s + о) может быть представлен в ви-
виде целочисленной линейной комбинации полиномов (^),..., (J),
и выведите отсюда, что p(s) является целочисленной линейной
комбинацией полиномов (Sq"), ¦ ¦ •, (8^а)-
(b) Используя упр. 10, докажите, что p(s) принимает целые значения
при всех целых s и является целочисленной линейной комбина-
комбинацией полиномов (о) 1 • • • 1 (S) •

570
Гл. 9. Размерность многообразия
13. Докажите, что каждый мономиальный идеал однороден.
14. Пусть I С к[х\,..., хп] — мономиальный идеал.
(a) Пусть V(xjj, ... ,Xir) С кп — координатное подпространство
размерности п — г, содержащееся в V(J). Докажите, что
Vpfij!,...,^,) С Vp(/) С Р"^). Также докажите, что
Vp(xi1,... ,Xir) является копией проективного пространства
pn-r-i B pn-i_ Таким образом, Vp(xi1;... ,xir) является проек-
проективным подпространством размерности п — г — 1.
(b) Докажите, что VP(J) является конечным объединением проек-
проективных линейных подпространств размерности на единицу мень-
меньшей, чем размерность соответствующих подпространств в аф-
аффинном случае.
15. Докажите утверждение из предложения 8 о том, что если p(s)~
полином степени d с положительным старшим коэффициентом, то
p(s) — p(s — 1) является полиномом степени d — 1 с положительным
старшим коэффициентом.
§ 3. Функция Гильберта и размерность
многообразия
В этом параграфе мы определим функцию Гильберта идеала / и
с ее помощью — размерность многообразия V. Определения будут
даны и в аффинном, и в проективном случаях. Основная идея со-
состоит в том, чтобы, опираясь на опыт, полученный в предыдущем
параграфе, определить размерность в терминах числа мономов, не
принадлежащих идеалу I. В аффинном случае мы будем исполь-
использовать мономы степени < s, а в проективном случае — мономы сте-
степени, равной s.
Сразу отметим, что результаты § 2 не могут быть применены
непосредственно, потому что когда идеал / не является мономи-
альным, различные мономы, не принадлежащие I, могут быть за-
зависимыми. Пусть, например, I = (х2 - у2). Тогда х2,у2 $ /, но их
разность принадлежит I. Поэтому х2 и у2 не могут рассматривать-
рассматриваться как два разных монома из дополнения идеала /. Обобщая ре-
результаты § 2, мы должны рассматривать число мономов степени
< s, «линейно независимых по модулю» I.
В гл. 5 было определено факторкольцо по идеалу. Аналогичная
операция может быть определена на векторных пространствах. Она
позволяет сделать предыдущие соображения точными. Рассмотрим
векторное пространство V и его подпространство W С V. Легко
видеть, что отношение v ~ v' -?> v—v1 € W на V является отношением
эквивалентности (см. упр. 1). Множество классов эквивалентности
3. Функция Гильберта и размерность многообразия
571
по отношению ~ обозначается через V/W, так что
v/w = {[v] -.vev}.
В упражнениях будет доказано, что операции [v] + [v1] = [v + v'] и
a[v] = [av], где а € k, v,v' G V, определены корректно и V/W явля-
является векторным пространством над к, которое называется фактор-
пространством пространства V по W.
Если V конечномерно, то размерность пространства V/W может
быть вычислена следующим образом:
Предложение 1. Пусть W является подпространством конеч-
конечномерного векторного пространства V. Тогда W u V/W конечно-
конечномерны и
dim V = dim W + dim V/W.
Доказательство. Конечномерность пространства W является
стандартным результатом линейной алгебры. Пусть ы,..., vm —
базис в W, так что dimly = т. Векторы vi,...,vm линей-
линейно независимы в У и потому могут быть дополнены до базиса
^ъ • • •, wm,i>m+i,... ,i>m+n пространства V. Таким образом, dim V —
т + п. Мы утверждаем, что [vm+i],... ,[vm+n] образуют базис в
V/W.
Пусть [и] € V/W и v = E™t"fl^«- т°гда v ~ am+1t;m+1 +
... + am+nvm+n, так как разность этих векторов —это aivi + ...
+ o,mvm g W. Таким образом,
[v] = [am+iVm+i + ... + am+nvm+n] =
= am+i[vm+i} + ... + am+n[vm+n].
Доказательство линейной независимости элементов [i;m+1],...,
[i'm+n] мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. упр. 2).
Предложение доказано. ?
Размерность аффинного многообразия
Как векторное пространство над к кольцо к[х\,... ,хп] имеет бес-
бесконечную размерность. То же самое справедливо для любого его
ненулевого идеала (см. упр. 3). Чтобы перейти к конечномерному
случаю, надо ограничиться рассмотрением полиномов полной сте-
степени < s. Обозначим через
подмножество полиномов полной степени < s в k[xi,... ,хп]. По
лемме 4 из § 2 множество к[х\, ¦ ..,xn]<s является векторным про-
пространством размерности (n^"s). Пусть I — идеал в к[х\,... ,хп]. Че-
Через
/<5 = /П к[х\,. ..,xn]<s

572
Гл. 9. Размерность многообразия
мы обозначим множество полиномов полной степени < s, принад-
принадлежащих идеалу 7. Заметим, что 7<s является подпространством
векторного пространства k[xi,... ,xn]<s. Теперь мы можем опреде-
определить аффинную функцию Гильберта идеала 7.
Определение 2. Пусть 7 является идеалом в к[х\,..., хп]. Аффин-
Аффинной функцией Гильберта идеала 7 называется функция, опреде-
определенная на множестве неотрицательных целых чисел следующим
образом:
aHFI(s)=dimk[x1,...,xn]<s/I<s
= dimfc[:ci,... ,xn]<s — dim7<s
(второе равенство следует из предложения 1).
В рамках этого определения результаты § 2 могут быть пере-
переформулированы следующим образом.
Предложение 3. Пусть I является собственным мономиалъ-
ным идеалом в к[х\,..., хп].
(i) Для всех s > 0 значение aHFi(s) равно числу мономов степени
< s, не принадлежащих идеалу I.
(ii) Для достаточно больших s аффинная функция Гильберта
идеала I является полиномиальной функцией вида
d
где bi ? Ъ и Ъо > 0.
(ш) Степень полинома в (ii) равна максимуму размерностей ко-
координатных подпространств, принадлежащих V (I).
Доказательство. Докажем (i). Отметим, что {ха : \а\ < s} явля-
является базисом для к[х\,..., xn]<s как векторного пространства над
к. Из леммы 3 из § 4 гл. 2 следует, что {ха : \а\ < s,xa ? 1}
является базисом в 7<s. Следовательно, мономы из {ха : \а\ <
s, ха ? 7} дополняют базис подпространства 7<s до базиса про-
пространства k[xi,... ,хп]<а. Из предложения 1 следует, что множе-
множество {[ха] : \а\ < s,xa ^ 7} является базисом факторпространства
(ii) и (iii) непосредственно следуют из п. (i) и предложения 7
из § 2. D
Теперь мы готовы установить связь между мономиальными иде-
идеалами и произвольными идеалами в к[х\, ¦ ¦. ,хп]. Эта связь осно-
основана на следующем результате, принадлежащем Маколею. Как и
§ 3. Функция Гильберта, и размерность многообразия
573
в § 4 гл. 8, мы будем называть мономиальное упорядочение > на
к[х\,... ,хп] градуированным, если из \а\ > |/3| следует, что ха > х13.
Предложение 4. Пусть I С к[х\,... ,хп] — некоторый идеал, а
> —градуированное упорядочение на к\х\,... ,хп]. Тогда мономи-
мономиальный идеал (ltG)) имеет ту же аффинную функцию Гильбер-
Гильберта, что и идеал I.
Доказательство. Зафиксируем s и рассмотрим старшие мономы
lm(/) всех элементов / € 7<s. Таких мономов только конечное чис-
число; поэтому
{LM(/) : / ? 7<5} = {LM(/0, . . . , LM(/m)} A)
для некоторых полиномов /i,..., /та ? 7<s. Мы можем считать, что
LM(/i) > LM(/2) > ... > lm(/to). Мы утверждаем, что /i,...,/m
образуют базис для 7<s как векторного пространства над к.
Чтобы доказать это, рассмотрим нетривиальную линейную ком-
комбинацию а\}\ +.. . + amfm и найдем наименьшее г, такое, что а* ф 0.
Тогда член at lt(/j) не может ни с чем сократиться; следователь-
следовательно, эта линейная комбинация не равна нулю. Поэтому элементы
/i)---)/m линейно независимы. Пусть W = [/i,---,/m] С 7<5 —
линейная оболочка полиномов /i,...,/m- Если W ф 7<5, то вы-
выберем полином / ? 7<s — We минимальным старшим мономом
lm(/). Согласно A), LM(/) = lm(/j) для некоторого г; следователь-
следовательно, lt(/) = A LT(/j) для некоторого Л ф 0. Тогда полином / - A/j
содержится в 7<s, и его старший моном меньше, чем lm(/). В силу
минимальности lm(/) мы имеем / — Л/г € W. Но из этого следует,
что / G W. Противоречие. Следовательно, W = [/i,..., /m] = 7<s
и /i,...,/m —базис в 7<s.
Мономиальный идеал (ltG)) порожден старшими членами (или
старшими мономами) элементов из 7. Поэтому LM(fi) E (ltG))<s.
Мы утверждаем, что lm(/i), ..., LM(/TO) образуют базис векторного
пространства (ltG))<s. Рассуждая, как выше, легко показать, что
эти мономы линейно независимы. Осталось доказать, что линей-
линейная оболочка [lm(/i), ..., lm(/to)] совпадает с (ltG))<s. Для этого
достаточно доказать, что (см. лемму 3 из § 4 гл. 2)
{lm(/i),...,LM(/m)} = {lm(/) : / Е I, степень lm(/) < s}. B)
Так как > является градуированным упорядочением, то любой не-
ненулевой полином / ? k[xi,..., хп] имеет ту же полную степень, что
и lm(/). В частности, если полная степень монома lm(/) не превы-
превышает s, то и полная степень полинома / не превышает s. Поэтому
B) прямо следует из A).

574
Гл. 9. Размерность многообразия
Таким образом, пространства 7<s и (ltG))<s имеют одинаковую"
размерность (так как оба они обладают базисом из m элементов).
Теперь формула размерности из предложения 1 дает соотношение
?
= dim k[xu...,zn]<s/7<s
= dimfc[n,...,a:n]<,/<LT(J))<, = aHF{LT(I))(s).
Предложение доказано.
Объединяя предложения 3 и 4, мы сразу получаем, что если I —
произвольный идеал в к[х\,... ,хп], то для достаточно большого s
его функция Гильберта может быть записана в виде
i=0
где bi € Z и bo > 0. Дадим определение.
Определение 5. Полином, равный aHFi(s) при достаточно боль-
больших s, называется аффинным полиномом Гильберта идеала 7 и
обозначается aHP[(s).
В качестве примера рассмотрим идеал 7 = (х3т/2+За;2т/2+г/3-М) с
fc[a;,y,z]. Используя grlex-упорядочение, получаем, что (ltG)) =
(х3у2). С помощью методов § 2 установлено, что число мономов сте-
степени < s, не принадлежащих 7, равно 5s - 5 при s > 5. Значит, в
силу предложений 3 и 4
aHFI(s)=aHF{LT{I))(s)=os-5
при s > 5. Следовательно,
a#P7(s)=5s-5.
По определению аффинная функция Гильберта идеала 7 совпа-
совпадает с его аффинным полиномом Гильберта при достаточно боль-
больших s. Наименьшее целое s0, такое, что aHFr(s) = aFP7(s) при
s > s0, называется индексом регулярности идеала 7. Задача вычис-
вычисления индекса регулярности весьма интересна и важна при работе
с идеалами, но мы не будем останавливаться на этом вопросе.
Сравним степени аффинных полиномов Гильберта идеалов 7
и у/1.
Предложение 6. Пусть I С k[xi,... ,хп]— некоторый идеал. Тог-
Тогда аффинные полиномы Гильберта идеалов I и у/1 имеют одина-
одинаковую степень.
! 3. Функция Гильберта и размерность многообразия
575
Доказательство. Если 7 — мономиальный идеал, то степень его
аффинного полинома Гильберта равна наибольшей из размерно-
размерностей координатных подпространств, принадлежащих VG). Так как
VG) = V(y/1), то aHPj(s) и aHP^j(s) имеют одинаковую степень.
Пусть теперь 7 — произвольный идеал. Выберем градуированное
упорядочение > на к[х\,... ,хп]. Мы утверждаем, что
(ltG)) с (lt(>/J)> С ч/(ьтG)). C)
(ьтG)).
Первое включение очевидно, так как 7 С у/1. Докажем второе.
Пусть ха ? (ит(у/Г)). Это означает, что существует полином / ? у/1,
такой, что lm(/) = ха. Но /г ? I для некоторого г > 1; следователь-
следовательно, xra = LM(/r) e (ltG)). Таким образом, ха е y/{LT(I)).
В упр. 8 мы докажем, что если 7i С h —идеалы в к[х\,... ,х„],
то deg aHPh < deg aHPh. Тогда из C) получаем
^ deg а
Но два крайних числа равны; следовательно, полиномы аНP(lt(i))
и aHP/LTtjj\\ имеют одинаковую степень. По предложению 4 то
же самое верно для полиномов aHPi и аНР^д. Предложение дока-
доказано. ?
Смысл этого предложения состоит в том совсем не очевид-
очевидном факте, что степень аффинного полинома Гильберта имеет гео-
геометрическое значение, а не только алгебраическое, — она указы-
указывает насколько I<s отличается от k[xi,... ,хп]<8- Напомним, что
VG) = V(\/7) для любого идеала 7. Таким образом, степень аффин-
аффинного полинома Гильберта одна и та же для большой совокупности
идеалов, которые определяют одно и то же многообразие. Кроме
того, мы знаем из § 2, что степень аффинного полинома Гильберта
мономиального идеала равна (интуитивно понимаемой) размерно-
размерности многообразия мономиального идеала. Поэтому неудивительно,
что и в общем случае мы определяем размерность в терминах аф-
аффинной функции Гильберта.
Определение 7. Размерностью аффинного многообразия V С
кп, обозначаемой dim V, называется степень аффинного полинома
Гильберта идеала 7 = I(V) С к[х\,... ,хп\.
В качестве примера рассмотрим скрученную кубику V =
У (у - х2, z - х3) С К3. В гл. 1 было доказано, что 7 = I(V') =
(у - x2,z - х3) С R[x,y,z]. Базис Грёбнера идеала I по отношению
к grlex-упорядочению есть {у3 — z2,x2 -y,xy - z,xz-y2}. Поэтому

576
Гл. 9. Размерность многообразия
(ltG)) = (y3,x2,xy,xz). Тогда
dim V = deg aHPi - deg a#P(LT(/)) = максимальная размерность
координатного подпространства в V((ltG)))
в силу предложений 3 и 4. Так как
= V(y3,x\xy,xz) = V{x,y) С Ж3,
то dim V = 1. Этот результат согласуется с нашим интуитивным
представлением о том, что кривая в Е3 должна быть одномерной.
В качестве другого примера найдем размерность многообразия
мономиального идеала. В упр. 10 будет показано, что I(VG)) = vJ
при условии, что поле к бесконечно. Тогда по предложению 6
dim VG) = deg aHPI(v{I)) = deg аНР^ = deg °ЯР7.
Теперь из п. (Hi) предложения 3 следует, что dim VG) равна мак-
максимальной размерности координатного подпространства, принад-
принадлежащего VG). Это согласуется с определением размерности, дан-
данным в § 2. В упр. 10 будет показано, что этот результат становится
неверным в случае конечного поля к.
Интересным исключительным случаем является пустое много-
многообразие. Отметим, что 1 € I(V) в том и только том случае, когда
k[xi, .. . ,xn]<s = I<s для всех s. Следовательно,
V = 0 <=> аНРцу) = 0.
Так как нулевой полином не имеет степени, то мы не можем при-
приписать никакой размерности пустому многообразию.
Недостатком определения 7 является то, что для вычисления
размерности многообразия мы должны знать идеал I(V), найти ко-
который совсем не просто. Было бы гораздо лучше, если бы dimV
равнялась степени полинома aHPi для любого идеала 7, задаю-
задающего V. Но, к сожалению, это совсем не так. Пусть, например,
I = (х2 + у2) С К[ж, у]. Легко проверить, что степень полинома
aFP7(s) равна 1. Однако V = VG) = {@,0)} С12,и, значит, V имеет
размерность 0, т. е. в этом случае dim VG) ф deg aHP[ (см. упр. 11).
Если поле к алгебраическим замкнуто, то эти трудности про-
пропадают, и мы имеем следующее утверждение о связи размерности
многообразия и степени полинома Гильберта определяющего иде-
идеала.
Теорема 8 (теорема о размерности). Рассмотрим аффинное мно-
многообразие V = VG), где I С k[xi,... ,хп] — идеал. Если к алгебра-
алгебраически замкнуто, то
dim У = dega#P/.
3. Функция Гильберта и размерность многообразия
577
Кроме того, если > — градуированное упорядочение на k[xi,...,хп].
то
dim V = deg ai7P^LT(/)) = максимальная размерность
координатного подпространства в V((lt(/))).
Это соотношение справедливо над любым полем, если I = I(V).
Доказательство. Так как к алгебраически замкнуто, то I(V) =
I(V(/)) = л/l (теорема о нулях). Тогда
dim V = deg aHPI{v) = deg аНР^ = deg aEPu
где последнее равенство вытекает из предложения 6. Вторая часть
теоремы следует из предложений 3 и 4. ?
Таким образом, если нам нужно найти размерность многообра-
многообразия V = V(J) над алгебраически замкнутым полем, то нужно дей-
действовать следующим образом:
• Вычислить базис Грёбнера идеала I, используя градуированное
упорядочение, такое, как grlex или grevlex.
• Найти максимальную размерность d координатного подпро-
подпространства, содержащегося в V((ltG))). Обратите внимание, что
предложение 3 из § 1 дает алгоритм вычисления этой размерно-
размерности.
Теперь по теореме 8 мы имеем dim V = d.
Размерность проективного многообразия
Наше обсуждение размерности проективных многообразий будет
проходить аналогично тому, как это делалось в случае аффинных
многообразий: методы и характер рассуждений во многом совпа-
совпадают. Мы начнем с определения функции Гильберта и полинома
Гильберта произвольного однородного идеала 7 С к[х0, ¦ ¦ ¦ ,хп].
Как мы видели в § 2, в проективном случае удобнее использо-
использовать полиномы степени, равной s, чем не превосходящей s. Так
как полиномы степени s не образуют векторного пространства
(см. упр. 13), то мы будем работать с однородными полиномами
полной степени s *'. Обозначим через к[х0,... ,xn]s множество од-
однородных полиномов полной степени s (нулевой полином мы будем
считать принадлежащим этому множеству). В упр. 13 будет дока-
доказано, что к[хо,..., xn]s является векторным пространством размер-
размерности (n^~s)- Пусть 7 С к[х0,... ,хп] —однородный идеал. Через
Is = lnk[xo,.-.,xn]s
. п. (Ь) упр. 13 к этому параграфу. —Прим. ред.

578
Гл. 9. Размерность многообразия
мы обозначим множество однородных полиномов степени s в I (вме-
(вместе с нулевым полиномом). Заметим, что /s является подпростран-
подпространством в к[хо, ¦ ¦ ¦ ,xn]s. Функция Гильберта идеала / определяется
так:
HFj(s) = dim k[x0, ...,xn]s/Is.
Строго говоря, мы должны были бы называть эту функцию проек-
проективной функцией Гильберта, но приведенный выше термин явля-
является общепринятым в алгебраической геометрии.
Если / — мономиальный идеал, то рассуждая, как в предложе-
предложении 3, мы можем доказать, что HFi(s) равно числу мономов сте-
степени s, не принадлежащих /. Тогда по предложению 8 из § 2
d
D)
при достаточно большом s, где hi ? Z и bo > 0. Мы также знаем, что
d равно максимальной размерности проективного координатного
подпространства в VG) С Рп(к).
Как и в аффинном случае, мы используем мономиальное упоря-
упорядочение, чтобы найти связь между функцией Гильберта однород-
однородного идеала и функцией Гильберта мономиального идеала.
Предложение 9. Пусть I С к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп] — однородный идеал и
>— мономиальное упорядочение на к[хо,... ,хп]. Тогда мономи-
мономиальный идеал (ьт(/)) имеет ту же функцию Гильберта, что и I.
Доказательство. Доказательство проводится так же, как доказа-
доказательство предложения 4. Мы однако, не требуем, чтобы > было
градуированным упорядочением. Поэтому потребуются некоторые
изменения в рассуждениях.
Зафиксируем s. Мы можем найти Д,..., fm ? /s, такие, что
{LM(/) :f?ls} = {LM(A), . . . , LM(/m)}, E)
причем ьм(Д) > lm(/2) > ... > ьм(/т). Как и в доказательстве
предложения 4, Д,..., /т образуют базис идеала /s над к.
Рассмотрим (lt(J))s. Мы знаем, что ьм(Д) ? (lt(I))s (так как
fi ? /<,). Нам нужно доказать, что ьм(Д),..., ьм(/т) является ба-
базисом векторного пространства (lt(/))s. Эти мономы различны и,
следовательно, линейно независимы. По лемме 3 из § 4 гл. 2 теперь
достаточно доказать, что
{ьм(Д),..., LM(/m)} = {lm(/) :f?l, LM(/) имеет степень s}. F)
Пусть lm(/) имеет полную степень s, где / ? I. Представим / в виде
суммы однородных полиномов, / = 5^; hi, где /ij имеет степень t.
: 3. Функция Гильберта и размерность многообразия
579
Тогда lm(/) = lm(/is). Так как / — однородный идеал, то hs 6 /.
Таким образом, lm(/) = LU(hs), где Л, б /, и F) следует из E).
Далее рассуждения проводятся, как в предложении 4. ?
Объединяя предложение 9 с описанием функции Гильберта мо-
мономиального идеала (см. D)), получаем, что функция Гильберта
однородного идеала / С к[хо, ...,хп] имеет вид
t=0 v '
(где s достаточно велико). Этот полином называется полиномом
Гильберта идеала / и обозначается через HPi(s).
Теперь мы можем дать определение размерности проективного
многообразия в терминах полинома Гильберта.
Определение 10. Размерностью проективного многообразия
V С Рп(к), обозначаемой через dim У, называется степень поли-
полинома Гильберта однородного идеала / = 1(У) С к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп].
Над алгебраически замкнутым полем размерность может быть
найдена следующим образом.
Теорема 11 (теорема о размерности). Пусть V = VG) С Рп(к) —
проективное многообразие, где I С к[хо,..., хп] — однородный иде-
идеал. Если V непусто, а к алгебраически замкнуто, то
= deg ЯР/.
Более того, для любого мономиального упорядочения
dim У = deg ff P(lt(/)) = максимальная раз мерность проективного
координатного подпространства в V((lt(/))).
Это соотношение выполнено над любым полем, если I = 1{V).
Доказательство. На первом шаге нужно доказать, что степени
полиномов Гильберта идеалов / и у/7 совпадают. Это доказывается
так же, как аналогичное утверждение доказывается в предложе-
предложении 6.
По проективной теореме о нулях I(F) = I(V(/)) = у/7. Далее до-
доказательство проводится, как в аффинном случае (см. теорему 8). ?
Теперь мы сравним размерности аффинных и проективных мно-
многообразий.

580
Гл. 9. Размерность многообразия
Теорема 12.
(i) Пусть I С к[хо, • • •, хп] — однородный идеал. Тогда при s > 1
HFr(s) = aFF7(s) - aHF,{s - 1).
Аналогичное соотношение выполнено для полиномов Гильбер-
Гильберта. Таким образом, если V С ?п(к) — проективное многообра-
многообразие, а Су С kn+1 — его аффинный конус {см. § 3 гл. 8), то
dim Су = dimV + l.
(ii) Пусть I С к[хг,... ,хп] — некоторый идеал, a Ih С к[х0,...,
хп] — его гомогенизация по отношению к xq (см. § 4 гл. 8). Тог-
Тогда при s > 0 имеем
Аналогичное соотношение выполнено для полиномов Гильбер-
Гильберта. Таким образом, если V С кп — аффинное многообразие, а
V С Fn(k) — его проективное замыкание (см. § 4 гл. 8), то
dim У = dim У.
Доказательство. Мы будем использовать индексы «а» и «р», что-
чтобы указывать на аффинный или проективный случай. Первая часть
п. (i) легко сводится к случаю мономиального идеала, а затем мы
можем использовать результаты § 2. Детали мы оставляем читате-
читателю в качестве упражнения. Теперь заметим, что аффинный конус —
это просто аффинное многообразие в kn+1, определенное идеалом
lp(V). Легко видеть, что Ia(CV) = IP(V) (см. упр. 19). Поэтому раз-
размерности многообразий V и Су равны степеням полиномов НР\р(у)
и аНР\р(у) соответственно. Тогда равенство dim Су = dim V +1 сле-
следует из упр. 15 к § 2.
Докажем первую часть п. (ii). Рассмотрим отображения
ф: k[xi,...,xn]<s —>¦ k[xo,..-,xn]s,
¦ф : k[x0,-. .,xn]s
заданные формулами
—
Хо
rp(F) =F(l,xi,.
Доказательство того, что эти отображения являются линейными и
взаимно обратными, мы оставляем читателю в качестве упражне-
упражнения. Таким образом, к[х\,..., xn]<s и к[хо,..., xn]s являются изо-
изоморфными векторными пространствами. Следует также доказать,
для
¦¦>*»]<.>
,xn) для F ? k[xo,...,xn\s
§ 3. Функция Гильберта и размерность многообразия 581
что если полином / € k[xi,..., !„]<„ имеет полную степень d < s, то
Ф(Л = 4~dfh,
где fh — гомогенизация полинома /, определенная в предложении
7 из § 2 гл. 8.
В упражнениях будет доказано, что
А,( Т ^ \ г Th
(8)
и что эти включения являются равенствами. Поэтому /<s и l? —
тоже изоморфные векторные пространства.
Все это показывает, что размерности пространств к[х±,-.., xn]<s
и к[хо, ¦ ¦ ¦, xn]s совпадают и что размерности пространств /<s и 1^
совпадают тоже. Тогда по предложению 1
aHPI(s)=d\mk[xu...,xn]<s/I<s
= dimk[xo,...:xn]s/I^ =HPIh(s),
что и требовалось доказать. ?
Теперь рассмотрим вторую часть п. (ii). Пусть V С кп, I —
la(V) С k[xi,...,in], а Ih С к[х0,... ,хп] —гомогенизация идеала /
по отношению к переменной iq. Тогда V = Vp(/h) С P"(fc). Кроме
того, Ih = lp(V) (см. упр. 8 к § 4 гл. 8). Теперь равенства
dim V = deg aHPj = deg HPIh = dim V
следуют из первой части п. (ii). Теорема доказана. ?
Некоторые системы компьютерной алгебры могут вычислять
полиномы Гильберта. Так, REDUCE располагает командой для вы-
вычисления аффинного полинома Гильберта произвольного идеала, а
Macaulay и СоСоА — проективного полинома Гильберта однород-
однородного идеала.
Упражнения к § 3
1. В этом упражнении будет доказано, что если V — векторное про-
пространство, a W — его подпространство, то V/W является векторным
пространством.
(a) Докажите, что отношение ~ на V, определенное условием v ~
v <=> v — v 6 W, является отношением эквивалентности.
(b) Докажите корректность определения сложения классов и умно-
умножения класса на скаляр (это определение дано в тексте парагра-
параграфа): если v,v',w,w' е V и [v] = [v'],[w] = [и/], то [v + w] = [v' + w1],
и [av] = [av'l для всех о 6 A;.

582
Гл. 9. Размерность многообразия
(с) Докажите, что V/W является векторным пространством относи-
относительно операций, корректность которых доказана в п. (Ь).
2. Пусть V — конечномерное векторное пространство, a W — его под-
подпространство. ПуСТЬ {Vl, . . . , Vm, Vm + l,.-., Vm+n) ~ баЗИС ПроСТраН-
ства V, такой, что векторы {vi,..., um} образуют базис в W. Дока-
Докажите, что классы {[um+i],..., [um-(-n]} линейно независимы в V/W.
3. Докажите, что ненулевой идеал / С k[xi,... ,хп] бесконечномерен
как векторное пространство над к. Указание: выберите / / 0 в I и
рассмотрите полиномы ха/.
4. В доказательствах предложений 4 и 9 мы использовали базисы век-
векторных пространств /<s и Is, элементы которых имеют различные
старшие члены. Мы показали, что такие базисы существуют, но на-
наше доказательство было неконструктивным. В этом упражнении мы
обсудим метод построения таких базисов. Будет рассмотрен только
однородный случай, но метод применим и в аффинном случае тоже.
Мы начинаем построение с некоторого базиса в Is и упорядочи-
упорядочиваем элементы этого базиса в соответствии с порядком их старших
членов. Если два базисных элемента имеют одинаковые старшие мо-
мономы, мы заменяем один из них такой /г-линейной их комбинацией,
чтобы старший моном комбинации был меньше старших мономов
двух этих элементов. Продолжая этот процесс, мы и получим требу-
требуемый базис.
Приведем пример. Пусть I С &[a:,t/] —однородный идеал, и пусть
{х3 — ху2,х3 + х2у — z3,x2y — у3} является базисом в /з- Мы будем
использовать grlex-упорядочение с х > у.
(a) Докажите, что если мы заменим второй полином разностью вто-
второго и первого, то получим новый базис в /з.
(b) Второй и третий полиномы нового базиса имеют одинаковые
старшие мономы. Покажите, что, заменив третий полином разно-
разностью второго и третьего, мы получим базис {х3 -ху2,х2у + ху2 —
z3,xy 4- у3 — z3} пространства /з, все старшие мономы которого
различны.
5. Пусть I = (х3 — xyz, 2/4 — xyz2, ху — z2). Используя grlex-упорядочение
с х > у > z, найдите базисы в 13 и h, элементы которых имеют
различные старшие мономы. Указание: используйте метод упр. 4.
6. Используя методы § 2, найдите аффинный полином Гильберта каж-
каждого из следующих идеалов.
(a) I = (х3у,ху2) Ск[х,у].
(b) / = {х3у2 + ЗхУ + у3 + 1) С к[х, у].
(c) I=(x3yz5,xy3z2) Ck[x,y,z].
(d) I=(x3- yz2,y4 - x2yz) С k[x, y, z).
7. Найдите индекс регулярности (т.е. наименьшее so, такое, что
aHFi(s) = aHPi(s) при s > so) каждого идеала из упр. 6.
3. Функция Гильберта и размерность многообразия
583
8. В этом упражнении мы докажем, что если 1\ С h — идеалы в
к[хг,.. .,хп], то
deg aHPh <deg aHPh.
(a) Докажите, что C«lt(/2))) С С((ьт(Д))) в Z|o.
(b) Докажите, что при s > 0 для аффинных функций Гильберта вы-
выполнено неравенство
aHFl2(s)<aHFh(s).
(c) Используя п. (Ь), докажите требуемое утверждение о степенях
полиномов Гильберта. Указание: рассуждайте от противного и
рассмотрите значения полиномов при s —> оо.
9. Используя определение 7 докажите, что точка р = (oi,... ,ап) G kn
является многообразием размерности 0. Указание: используя упр. 7
к § 5 гл. 4, найдите 1({р}).
10. Пусть / С к[х\,..., хп] — мономиальный идеал, а поле к бесконечно.
В этом упражнении мы исследуем идеал I(V(/)).
(a) Докажите, что I(\(xi1,... ,Xir)) = (xi1,..., х;г). Указание: ис-
используйте предложение 5 из § 1 гл. 1.
(b) Докажите, что пересечение мономиальных идеалов является мо-
номиальным идеалом. Указание: используйте лемму 3 из § 4 гл. 2.
(c) Докажите, что I(V(/)) является мономиальным идеалом. Указа-
Указание: используйте пп. (а) и (Ь) и теорему 15 из § 3 гл. 4.
(d) Здесь мы докажем, что I(V(/)) = \fl. Мы знаем, что \fl С I(V(/))
и что I(V(/)) является мономиальным идеалом. Поэтому нужно
доказать, что если ха G I(V(/)), то хта G / при некотором г > 0.
Указание: если / = (mi,..., mt) и хта ? I при г > 0, то покажите,
что для каждого j существует переменная Xi,, такая, что Xij де-
делит rrij, но не делит ха; используя набор переменных Xil,... ,iit,
получите противоречие.
(e) Рассмотрим поле Рг, состоящее из двух элементов. Пусть / =
{х) С Рг[т,у]. Докажите, что I(V(/)) = (х,у2 — у). Этот идеал
строго содержит идеал vl и не является мономиальным.
11. Пусть I = (х2 + у2) С Щх, у].
(a) Докажите, что deg "HPi = 1.
(b) Используя упр. 9, докажите, что dimVG) = 0.
12. Найдите размерность аффинных многообразий, заданных следую-
следующими идеалами. Поле к можно считать алгебраически замкнутым.
(a) / = (xz, ху -1} С к[х, у, z].
(b) I = {zw-y'2,xy - z3} С k[x,y,z,w].
13. Рассмотрим полиномиальное кольцо к[хо, • • •, хп}-
(а) Покажите на примере, что множество полиномов полной степе-
степени s не замкнуто относительно сложения и, следовательно, не
является векторным пространством.

',<*'
584 Гл. 9. Размерность многообразия
(b) Докажите, что множество однородных полиномов полной степе-
степени s (вместе с нулевым полиномом) является векторным про-
пространством над к.
(c) Используя лемму 5 из § 2 докажите, что размерность этого век-
векторного пространства равна (nJ"s). Указание: найдите число по-
полиномов степени < s и число полиномов степени < s — 1.
(d) Дайте второе доказательство формулы размерности из п. (с), ис-
используя изоморфизм, определенный в упр. 20 ниже.
14. Пусть I — однородный идеал. Докажите, что степени полиномов
Гильберта HPi и НР^д совпадают. Указание: используйте теоре-
теорему 12.
15. В этом упражнении мы выясним, когда полином Гильберта равен
нулю.
(a) Пусть / С к[хо, ¦•• ,хп] — однородный идеал. Докажите, что
(хо, ¦ ¦., хп)т С / для некоторого г > 0, в том и только том случае,
когда полином Гильберта идеала / равен нулю.
(b) Теперь докажите, что многообразие V С Рп(к) пусто в том и
только том случае, когда его полином Гильберта равен нулю.
Другими словами, пустое многообразие в Рп(к) не имеет размер-
размерности.
16. Найдите размерность проективных многообразий, заданных следую-
следующими идеалами. Поле к можно считать алгебраически замкнутым.
(a) I={x*-y*,x*-x2y + y3)ck[x,y,z].
(b) I = (у2 - xz, x2y - z2w, x3 - yzw) С к[х, у, z, w].
17. В этом упражнении будет показано, что в общем случае нет никакой
связи между числом переменных п, числом г полиномов в базисе иде-
идеала / и размерностью многообразия V. Пусть V С Р3(к) — кривая, за-
заданная проективной параметризацией х = t3u2,y = t4u, z = t5,w = и5.
Так как V — кривая в трехмерном пространстве, то наша геометри-
геометрическая интуиция подсказывает, что она должна быть задана двумя
уравнениями. Пусть поле к алгебраически замкнуто.
(a) Используя теорему 12 из § 5 гл. 8, найдите идеал I С к[х, у, z, w],
такой, что V = VG) в Р3(к). Если вы будете использовать grevlex-
упорядочение, то получите базис идеала /, состоящий из трех
элементов.
(b) Докажите, что пространство h одномерно, а пространство h ше-
шестимерно.
(c) Докажите, что идеал I не может быть порожден двумя элемента-
элементами. Указание: пусть / = (А, В), где полиномы А и В однородны;
рассматривая 12, покажите, что А или В скалярно кратен поли-
полиному у2 — xz, а затем получите противоречие, рассматривая h-
| 4. Элементарные свойства размерности
585
Гораздо труднее доказать, что не существует двух однородных поли-
полиномов А,В, таких, что V = \(А,В).
18. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство п. (i) теоремы 12.
(a) Используя методы § 2, докажите, что HFi(s) = aHFi(s) —
aHFi(s — 1), если / — мономиальный идеал.
(b) Докажите, что HF,(s) = aHFi(s) - aHFi(s - 1), где /-произ-
/-произвольный однородный идеал.
19. Пусть V С Рп(к) — проективное многообразие, а Су С кп+1 — его аф-
аффинный конус. Докажите, что lp(V) = Ia(CV) в к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп].
20. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство п. (ii) теоре-
теоремы 12.
(a) Докажите, что отображения фиф, определенные в G), являются
линейными отображениями и обратны друг другу.
(b) Докажите (8) и выведите отсюда, что ф:1<8-+ /j1 — изоморфизм,
обратным к которому является отображение ф.
§ 4. Элементарные свойства размерности
В этом параграфе мы установим основные свойства размерности.
Вот первое из них.
Предложение 1. Пусть V\ u Vi — аффинные или проективные
многообразия над произвольным полем и V\ С Уг • Тогда dim V\ <
dim V2 •
Доказательство. Мы оставляем доказательство читателю (см.
упр. 1). ?
Далее мы рассмотрим связь между размерностью многообразия
и числом определяющих его уравнений. Пусть сначала V задано
одним уравнением.
Предложение 2. Пусть поле к алгебраически замкнуто, a f €
k[xo,..., хп] — непостоянный однородный полином. Тогда размер-
размерность проективного многообразия, заданного полиномом f, опре-
определяется формулой
dimV(/) = n-l.
Доказательство. Зафиксируем мономиальное упорядочение > на
к[хо,...,хп]- Так как к алгебраически замкнуто, то по теоре-
теореме 11 из § 3 размерность многообразия V(/) равна максималь-
максимальной размерности проективного координатного подпространства,
содержащегося в V((lt(/))), где I = (/). Но (lt(/)) = (lt(/));

586
Гл. 9. Размерность многообразия
следовательно, так как lt(/)—непостоянный моном, проектив-
проективное многообразие V(lt(/)) является объединением координатных
подпространств пространства Fn(k) размерности п — 1. Значит,
dimV(I)=n-l. D
Таким образом, если к алгебраически замкнуто, то гиперповерх-
гиперповерхность V(/) С Pn(fc) всегда имеет размерность п— 1. Доказательство
аналогичного утверждения в аффинном случае мы оставляем чи-
читателю в качестве упражнения.
Следует отметить, что это утверждение не верно, если по-
поле к не является алгебраически замкнутым. Пусть, например,
I = (х2 + у2) С M[a;,j/]. В §3 было доказано, что многообразие
V(x2 + у2) = {@,0)} С К2 имеет размерность 0, хотя по предло-
предложению 2 его размерность была бы равной 1. На самом деле над
полем, которое не является алгебраически замкнутым, многообра-
многообразие в кп или в Fn(k), определенное одним полиномом, может иметь
любую размерность от 0 до п — 1.
Следующее утверждение является аналогом предложения 2,
когда пространство Рп(к) заменено произвольным многообразием
V. Напомним, что если / — идеал, а / — полином, то V(/ + (/)) =
Теорема 3. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а I — однород-
однородный идеал в к[хо, ¦ ¦ ¦, хп]. Если f — непостоянный однородный по-
полином, то
dimV(I) > dim V(I + (/)) > dim V(J) - 1.
Доказательство. Для вычисления размерности многообразия
V(J 4- (/)) нам нужно сравнить полиномы Гильберта HPj и
НР1+{}). Так как / С / 4- (/), то (см. упр. 8 к § 3)
deg И Pi >deg HPI+{f);
следовательно, dim V(I) > dim V(/ + (/)) по теореме 12 из § 3.
Докажем второе неравенство. Пусть полная степень полинома /
равна г > 0. Зафиксируем s > г и рассмотрим отображение
тг : k[xo,...,xn)s/Is —>k[xo,...,xn]s/(I+ (/)),,
которое переводит класс [g] G к[х0, ¦ ¦ ¦ ,xn]s/Is в тг ([<?]) = [д] G
к[хо, ¦ ¦ ¦ ,xn]s/(I + (/))«• В упр. 4 будет доказано, что отображе-
отображение тг определено корректно и является линейным. Легко видеть,
что тг отображает на все пространство. Найдем его ядро. Для этого
рассмотрим отображение
а/ : к[х0, ¦¦¦, xn]s-r/Is_r —>¦ к[х0,..., xn]s/IS:
¦ 4. Элементарные свойства размерности
587
которое переводит [h] G k[xo,...,xn]3-r/Is-r в a/([/i]) = [fh] G
k[xo, • ¦ •, xn]s/Is. В упр. 5 будет доказано, что отображение а/ опре-
определено корректно и также является линейным.
Мы утверждаем, что ядро отображения 7Г совпадает с образом
отображения ау, т. е.
af(k[x0,..., zn]s_r/7s_r) = {[g] : тг([5]) = [0]
ък[хо,...,хп]./A+(/)).}. A)
Отметим, что если h G к[х0,... ,xn]s-r, то fh ? (I + (/))s; следо-
следовательно, тг([/Л]) = [0] в к[х0,... ,xn]s/(I + (/))«¦ Обратно, если
д ? k[xo,...,xn]s и тт([д]) = [0], то д ? (I + (/)),. Это означает,
что д = д' + fh, где д' € /. Запишем д' и h в виде суммы одно-
однородных полиномов: д' = Yli9i,h = Tli^i, где полная степень по-
полиномов д\ и h{ равна г. Тогда д = g's + fhs-r, поскольку fag
однородны. Так как / — однородный идеал, то g's G /s; следователь-
следовательно Ы = [fhs-r] = a/([/is-r]) в к[х0, ¦ ¦ .,xn]s/Is. Таким образом, [д]
принадлежит образу отображения а/, и A) доказано.
Так как тг сюръективно и его ядро нам известно, то
dim к[х0, ¦¦¦, xn]s/Is = dim af{k[x0, ¦¦¦, xn]s_r//s_r)
+ dimk[xo,---,xn]s/(I + (/)),.
Ho
dima/(fc[x0,...,a;n]5_r//s_r) < dimk[x0, ¦ ¦ ¦ ,xn]s_r//s_r, B)
причем равенство достигается в том и только том случае, когда а/
инъективно. Следовательно,
dim k[x0,..., xn]s/(I + (f))s > dim k[x0,.... xn}s/Is
- dimk[x0, ¦ ¦ ¦ ,xn]s-.T/Is-T.
В терминах функций Гильберта это неравенство может быть пере-
переписано так:
HFI+{f)(s) > HFj{s) - HFi(s - г).
(если s > г). Таким образом, для достаточно больших s имеет место
неравенство
ЯР/+</>(*) > HPi(s) - HPj{s - г), C)
Предположим, что степень полинома И Pi равна d. Легко ви-
видеть, что полином, стоящий в правой части неравенства C), имеет
степень d — 1 (рассуждения проводятся, как в упр. 16 к § 2). Тог-
Тогда degHPJ+(f) > d — 1 в силу формулы C) (см., например, п. (с)
упр. 8 к § 3). Так как к алгебраически замкнуто, то из теоремы 8
§ 3 следует, что dim V(/ + (/)) > dim VG) - 1. ?

588
Гл. 9. Размерность многообразия
Анализ доказательства теоремы 3 позволяет найти условие, га-
гарантирующее выполнение равенства dimV(/+ (/)) = dim VG) — 1.
Следствие 4. Пусть поле к алгебраически замкнуто, ale
k[x0, ...,!„]— однородный идеал. Если f — непостоянный однород-
однородный полином, класс которого в факторкольце к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп]/1 не
является делителем нуля, то
dimV(J + (/)) = dimV(J) - 1.
Доказательство. Как мы отмечали выше, неравенство B) явля-
является равенством в том и только том случае, когда отображение а/
инъективно. Мы утверждаем, что это так, если [/] G к[х0, ¦ ¦ ¦, хп]/1
не является делителем нуля. Пусть [h] € к[хо,... ,xn]s/Is —нену-
—ненулевой класс, т. е. h ? Is и, следовательно, h ? I, так как Is =
/ П к[х0,..., xn)s. Тогда [Л] G к[х0, ¦ ¦¦, хп}/1 — ненулевой класс и,
следовательно, [f][h] = [fh] Ф [0] в к[хо,...,хп]/1, так как [/] не
является делителем нуля. Значит, fh ? I н а/([/г]) = [fh] не равен
нулю в к[хо, ¦ ¦ ¦ ,xn]s/Is. Это и доказывает инъективность отобра-
отображения Q/.
Так как B) превращается в равенство, то
dim к[х0,..., xn]s/(I + (/))» = dim k[x0, ¦¦¦, xn]3/Is
- dim k[x0,..., xn]s-r/Is-r
при s > г. В терминах полиномов Гильберта это означает, что
HPI+(f)(s) = HPi{s) - HPi(s - г), откуда следует, что dim V(/ +
(/)) =dimVG)-1. ?
Следует отметить, что теорема 3 может не выполняться для аф-
аффинных многообразий, даже если к алгебраически замкнуто. Рас-
Рассмотрим, например, идеал / = (xz,yz) С С[х,у, z]. Легко видеть,
что V(J) = V(z) U V(i,у) С С3, т.е. V(J) является объединением
плоскости (х,у) и оси z. В частности, V(J) имеет размерность 2
(почему?). Пусть теперь / = z - 1 G C[i, у, я]. Тогда V(/) является
плоскостью г = 1и, следовательно, V(/+(/)) — V(/)nV(/) состоит
из одной точки @,0.1) (см. упр. 7). В силу упр. 9 из § 3 мы зна-
знаем, что размерность точки равна 0, хотя по теореме 3 размерность
этого многообразия должна быть не меньше 1.
Эта «неприятность» произошла по той причине, что плоскости
z = 0 и z = 1 параллельны друг другу и, следовательно, не пе-
пересекаются в аффинном пространстве. Компонента размерности 1
на бесконечности пропала. Этот пример показывает, почему теория
размерности выглядит более удовлетворительной в случае однород-
однородных идеалов и проективных многообразий. Существует, однако, аф-
I 4. Элементарные свойства размерности
589
финный аналог теоремы 3, но мы не будем здесь обсуждать этот
вопрос.
Теорема 3 легко обобщается на случай нескольких полиномов.
Предложение 5. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а I —
однородный идеал в к[х0, ...,!„]. Если f\,...,fT— однородные по-
полиномы в к[х0,..., хп], то
dim V(J + (/i,..., /г)) > dim V(J) - г.
Доказательство проводится индукцией по г с помощью теоре-
теоремы 3. ?
В упражнениях будет выведено условие на Д,..., fT, которое
гарантирует выполнение равенства
dim V(J + (Д,..., Д.)) = dim V(I) - г.
Теперь мы рассмотрим нульмерные многообразия.
Предложение 6. Пусть V — непустое аффинное или проектив-
проективное многообразие. Тогда V является конечным множеством то-
точек в том и только том случае, когда dim У = 0.
Доказательство. Мы дадим доказательство в аффинном случае.
Пусть > —градуированное упорядочение на к[х\,...,хп]. Если V
конечно и a,j,j = 1,..., етц, — множество различных г-х координат
точек из V, то
Следовательно, lt(/) = x™' G (lt(I(V))). Из этого вытекает, что
V((lt)V(/)))) = {0} и, значит, dim У = 0 по теореме 8 из § 3.
Пусть теперь dim V = 0. Тогда аффинный полином Гильберта
идеала I(V) является константой С, т.е.
dim к[х0,..., xn]<s/I{V)<s = С
для достаточно больших s. Если s > С, то классы [1], [х{], [xf],
..., [if] € k[xi,..., xn]<s/l(V)<s образуют s + 1 векторов в вектор-
векторном пространстве размерности С <s. Значит, эти векторы линейно
зависимы, т. е. существует нетривиальное линейное соотношение
J=0
3=0

590
Гл. 9. Размерность многообразия
Это означает, что ненулевой полином ]Г^=о aix\ лежит в I(V)<#1
Этот полином обращается в нуль на V; следовательно, множестве
г-х координат точек из V конечно. Так как это справедливо для
всех г, 1 < i < п, то V конечно. Q
Если поле к алгебраически замкнуто, то шесть условий теорема*
6 из § 3 гл. 5 эквивалентны условию dim У = 0. В частности, если
известен определяющий идеал многообразия V, то мы располагаем
простым критерием нульмерности этого многообразия.
Теперь рассмотрим некоторые интересные свойства многообра-
многообразий положительной размерности.
Предложение 7. Пусть поле к алгебраически замкнуто.
(i) Пусть V С Рп(к) — проективное многообразие размерности
> 0. Тогда V Л V(/) ф 0 для любого непостоянного однород-
однородного полинома f ? k[xo,... ,хп]. Таким образом, многообразие
положительной размерности имеет непустое пересечение с
любой гиперповерхностью в Fn(k).
(ii) Пусть W С кп — аффинное многообразие размерности > 0.
Если W — проективное замыкание многообразия W в ?п, то
W фШ. Таким образом, аффинное многообразие положитель-
положительной размерности всегда имеет точки на бесконечности.
Доказательство, (i) Пусть V = VG). Так как dim У > 0, то из
следствия 4 вытекает, что dim V U V(/) > dim V — 1 > 0. Проверим,
что тогда V П V(/) ф 0.
Если V П V(/) = 0, то из проективной теоремы о нулях сле-
следует, что (хо, ¦ ¦ ¦ ,хп)г С / + (/) для некоторого г > 0. Значит,
HPj+(j} —нулевой полином (см. упр. 15 к § 3). Но доказательство
теоремы 3 показывает, что этот полином не может быть нулевым,
если dim V > 0. Детали мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения.
(ii) Точки на бесконечности многообразия W — это точки из
WC\Y(xo), где V(xo) —гиперплоскость на бесконечности. Согласно
теореме 12 из § 3, dim W = dim W > 0. Теперь п. (ii) следует из п. (i).
Рассмотрим, далее, размерность объединения двух многообра-
многообразий.
Предложение 8. Пусть V и W —многообразия в кп или в Pn(fc).
Тогда
dim(V UW) = max(dim V, dim W).
Доказательство. Доказательства в аффинном и в проективном
случаях почти одинаковы, поэтому ограничимся аффинным слу-
случаем. Если поле к конечно, то V, W и V U W конечны и имеют
! 4. Элементарные свойства размерности
591
размерность 0 по предложению 6, так что мы будем считать поле
к бесконечным.
Пусть / = I(V) и J = 1{W). Тогда dim V = deg aHPj и dim W =
cleg aHPj. В силу теоремы 15 из § 3 гл. 4 имеет место соотношение
1(V U W) = I(V) ПI(W) = InJ. Удобнее работать с произведением
идеалов /J, и мы отметим, что
IJ С1П J cVTJ
(см. упр. 15). Имеем
deg «HPjjj < deg aHPInJ < deg aHPu
(см. упр. 8 к § 3). По предложению 6 из § 3 все неравенства здесь
на самом деле являются равенствами. Поэтому dim(V U W) =
deg aHPu.
Зафиксируем градуированное упорядочение > на k[xi,... ,хп].
По предложениям 3 и 4 из § 3 размерности dim V, dim W и dim(V" U
\V) равны максимальным размерностям координатных подпро-
подпространств, содержащихся в V((lt(/))), V((lt(J))) и V((lt(/J))) со-
соответственно. В упр. 16 будет доказано, что
(LT(IJ)) = (LT(J)) • (LT(J)).
Тогда
V((LT(/J))) = V«LT(J)>) U V«LT( J)>).
Так как к бесконечно, то каждое координатное подпространство
неприводимо (см. упр. 7 к § 1); следовательно, координатное под-
подпространство содержится в V((lt(/J))) в том и только том случае,
когда оно содержится или в V((lt(/))), или в V((lt(J))). Отсю-
Отсюда сразу же следует, что dim(V U W) равна максимуму из dim V и
dimW. ?
Приведем полезное следствие этого предложения.
Следствие 9. Размерность многообразия равна максимуму раз-
размерностей его неприводимых компонент.
Доказательство. Пусть V = V\ U... U VT — разложение многообра-
многообразия в объединение неприводимых компонент. Тогда индукция по г
и предложение 8 дают равенство
dim V = max(dim Vi,... ,dimVr). ?
Следствие 9 позволяет нам при вычислении размерности огра-
ограничиться случаем неприводимых многообразий. Следующий ре-
результат показывает, что в неприводимом случае размерность имеет
ряд дополнительных хороших свойств.

592
Гл. 9. Размерность многообразия
Предложение 10. Пусть поле к алгебраически замкнуто, aV Q
P"(fc) —неприводимое многообразие.
(i) Если f 6 k[xo, ¦ ¦ ¦; хп] — однородный полином, не равный нулю
на V, то dim(V П V(/)) = dim У - 1.
(ii) Если W С V — многообразие uW^V, то dimW < dim У.
Доказательство, (i) Мы знаем, что I(V) — простой идеал, a k[V] S
к[хо, ¦¦¦ ,xn]/I(V) —область целостности (предложение 4 из § 1
гл. 5). Так как / $ I(V), то класс полинома / в к[хо, • • •, xn]/I(V) не
равен нулю. Следовательно, он не является делителем нуля. Оста-
Осталось применить следствие 4.
(ii) Пусть W — собственное подмногообразие многообразия V.
Тогда существует функция / 6 1(И^) — 1(У). Таким образом, W Q
V П V(/); следовательно,
dim{W) < dim(V П V(/)) = dim V - К dim V
в силу п. (i) и предложения 1. ?
Пункт (i) предложения 10 утверждает, что если многообразие V
неприводимо и / не обращается в нуль на У, то некоторая компо-
компонента многообразий VnV(/) имеет размерность dim V-1. Затратив
несколько больше усилий, можно показать, что каждая компонента
пересечения У П V(/) имеет размерность dim У - 1. См., например,
теорему 3.8 из гл. IV книги Kendig A977) или теорему 5 из § 6
гл. 1 книги Shafarevich A974).
В следующем параграфе мы увидим, как определить размер»
ность неприводимого многообразия У в терминах координатного
кольца k[V] и поля рациональных функций k(V) (см. гл. 5).
Упражнения к § 4
1. Докажите предложение 1. Указание: используйте упр. 8 к § 3.
2. Пусть поле к алгебраически замкнуто и / 6 к[х\,... ,хп] —непосто-
—непостоянный полином. Докажите, что размерность аффинной гиперповерх-
гиперповерхности V(/) С к" равна п — 1.
3. Приведите примеры аффинных многообразий в R , заданных одним
уравнением и имеющих размерности 0, 1, 2, 3.
4. В этом упражнении мы рассмотрим отображение
7г : А;[х0,. ¦• ,Xn]s/h —> к[х0,. . .,!„],/(/ + (/))*,
определенное формулой тг([д]) = [д] для всех д 6 к[хо, ¦ ¦ ¦ ,xn]s.
(а) Докажите, что п определено корректно, т. е. покажите, что образ
класса [д] не зависит от выбора представителя д. Мы назовем
7г отображением естественной проекции из к[хо, ¦ ¦ ¦, xn\s/Is B
k[xo,...,xn]s/(I
! 4. Элементарные свойства размерности
593
(b) Докажите, что тг является линейным отображением.
(c) Докажите, что тг сюръективно.
5. Пусть / — однородный идеал, а / — однородный полином степени г.
Докажите, что отображение
Q/ : А;[хо,.... хп]а-т/1г-г —> к[х0,..., xn]s/Is,
Q/(M) = [/ ¦ h], определено корректно, т.е. докажите, что образ
ctf([h]) класса [h] не зависит от выбора представителя h. Докажи-
Докажите также, что а; является линейным отображением.
6. Пусть / € к[хо, ¦ ¦ ¦, хп] — однородный полином полной степени г > 0.
(a) Найдите формулу для полинома Гильберта идеала (/). Эта фор-
формула должна содержать только п, г и, конечно, s (в качестве пе-
переменных). В частности, все однородные полиномы одинаковой
степени в к[хо,... ,х — п] определяют один и тот же полином
Гильберта. Указание: проанализируйте доказательства теоремы
3 и следствия 4 в случае / = {0}.
(b) Пусть теперь V = V(/) и класс / не является делителем нуля в
к[хо,..., хп]/1. Докажите, что полином Гильберта идеала / + (/)
зависит только от V и от г.
Меняя /, мы можем рассматривать многообразия V(/) С Рп(к) как
алгебраическое семейство гиперповерхностей. Аналогично, меняя /,
мы получаем семейство многообразий VDV(/). Из пп. (а) и (Ь) следу-
следует, что полиномы Гильберта не меняются при изменении /. В общем
случае при выполнении технического условия, называемого «плоско-
«плоскостью», полином Гильберта постоянен на любом алгебраическом се-
семействе многообразий.
7. Пусть / = (xz,yz). Докажите, что V(/+ {z - 1>) = {@,0,1)}.
8. Пусть R = к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп]. Конечная последовательность /i,...,/r
однородных полиномов называется R-последовательностью, если
класс [fj+i] не является делителем нуля в R/{fi, ¦ ¦ ¦, fj) ни для ка-
какого j, 1 < j < г.
(a) Докажите, что хо, ¦ ¦ ¦ ,хг, где г < п, является Я-последователь-
ностью.
(b) Пусть поле к алгебраически замкнуто и /i,..., /г есть Д-после-
довательность. Докажите, что
dimV(/i,... ,fr) =n-r.
Указание: используйте следствие 4 и индукцию по г, работая с иде-
идеалами Ij = (fi,..., fj), 1 < j < Г.
9. Пусть R = к[хо,.. ., хп]. Однородный идеал / называется полным пе-
пересечением, если он порожден Л-последовательностью. Проективное
многообразие V называется полным пересечением, если I(V) явля-
является полным пересечением.
(а) Докажите, что каждое неприводимое линейное подпространство
в Р"(А;) является полным пересечением.

594 Гл. 9. Размерность многообразия
(b) Докажите, что все проективные и аффинные гиперповерхности
являются полными пересечениями.
(c) Докажите, что проективное замыкание объединения плоскостей
(х,у) и (z,w) в /г4 не является полным пересечением.
(d) Пусть V — аффинная скрученная кубика V(y — x2,z — х3) С к3.
Является ли полным пересечением проективное замыкание кри-
кривой VI
Указание: пп. (с) и (d) требуют использования техники упр. 17 к § 3.
10. Рассмотрим идеал / С к[х\,..., х„]. В этом упражнении мы дока-
докажем, что аффинный полином Гильберта является константой в том
и только том случае, когда факторкольцо к[х\,..., хп]/1 конечно-
конечномерно как векторное пространство над к. Более того, в этом случае
указанная константа равна размерности этого факторкольца как век-
векторного пространства над к.
(a) Пусть as : k[xi,... ,xn]<s/I<s —> k[xi,..., х„]/1 — отображение,
заданное формулой as([f]) = [/]¦ Докажите, что as определено
корректно и является инъективным.
(b) Пусть пространство k[xi,..., хп]/1 конечномерно. Докажите, что
as является изоморфизмом при достаточно большом s. Вы-
Выведите отсюда, что полином Гильберта является константой,
равной размерности указанного пространства. Указание: пусть
[/i]i • ¦ • 1 [fm] — базис в к\х\,..., хп]/1. Рассмотрите случай, когда
s больше, чем полные степени полиномов /i, ¦ ¦ •, /т ¦
(c) Пусть теперь полином Гильберта является константой. Докажи-
Докажите, что если s < t, то образ отображения as содержится в образе
отображения at- Докажите, что если ей! достаточно велики,
то образы отображений as и at совпадают. Докажите, далее, что
as является изоморфизмом при достаточно большом s и что про-
пространство k[xi,... ,Хп}/1 конечномерно.
11. Пусть V С к" —конечное множество точек. В этом упражнении мы
докажем, что пространство к[х\,..., xn]/I(V) конечномерно и его
размерность равна |V|, числу точек в V. Тогда из предыдущего .
упражнения следует, что аффинный полином Гильберта идеала I(V)
является константой \V\. Пусть V = {pi,... ,pm}, где m = |V|.
(a) Определим отображение ф : к[х\,... ,xn]/I(V) —> к формулой
<Н[/]) = (/(pi), • • •, fiPm))- Докажите, что ф является корректно
определенным линейным инъективным отображением.
(b) Зафиксируем г, и пусть W{ = {pj -- j ф i). Докажите, что
I(Wi)+I({pi}) = 1. Указание: докажите, что 1({р;}) — максималь-
максимальный идеал.
(c) Из п. (Ь) следует, что существуют полиномы /, € 1(И^) и gi €
1({рО)> такие, что /i + gi = 1. Докажите, что <?([/«]) — это вектор
d из кт с 1 на г'-м месте и нулем на остальных.
(d) Докажите, что ф является изоморфизмом и dimfc[j;i,...,
§ 4. Элементарные свойства размерности
595
12. Пусть / С к[хо,..., х„] —однородный идеал. В этом упражнении мы
рассмотрим геометрический смысл коэффициента 6о полинома Гиль-
Гильберта
Коэффициент 6о называется степенью идеала /. Степень проек-
проективного многообразия мы определим как степень идеала l(V). Мы
увидим, что степень является в некотором смысле обобщением поня-
понятия полной степени полинома, задающего гиперповерхность. В этих
терминах в упр. 10 и 11 вычисляется степень идеалов и многообразий
с постоянным полиномом Гильберта.
(a) Докажите, что степень идеала (/) равна полной степени полино-
полинома /. Пусть к алгебраически замкнуто. Докажите, что степень
гиперповерхности V(/) равна степени редуцированного полино-
полинома /red (см. § 2 гл. 4). Указание: используйте упр. 6.
(b) Пусть / является полным пересечением (упр. 9), заданным Д-по-
следовательностью /i,..., fr ¦ Тогда степень идеала / равна
deg/i deg/2 .. .deg/r.
Указание: проанализируйте и используйте доказательство теоре-
теоремы 3. Также используйте указание к упр. 8.
(c) Найдите степень проективного замыкания стандартной скручен-
скрученной кубики.
13. Докажите утверждение из предложения 7 о том, что HPj+(fj не мо-
может быть нулевым полиномом, если dim V > 0. Указание: используйте
неравенство C).
14. В этом упражнении мы проанализируем условие предложения 7.
(a) Пусть V = V(x) С к2. Докажите, что V П V(x - 1) = 0, и объяс-
объясните, почему этот результат не противоречит п. (i) предложения
7. _
(b) Пусть W = V(x2 + у2 - 1) С R2. Докажите, что W = W в P2(R),
и объясните, почему этот результат не противоречит п. (ii) пред-
предложения 7.
15. Рассмотрим идеалы I,J С k[xi,..., хп]. Докажите, что IJ С I П J С
16. Пусть / и J — произвольные идеалы и > —некоторое мономиальное
упорядочение. Тогда
17. Используя предложение 10, мы можем дать другое определение раз-
размерности неприводимого многообразия. Поле к мы будем считать
алгебраически замкнутым. Пусть многообразие V С Р"(&) неприво-
димо.

596 Гл. 9. Размерность многообразия
(a) Пусть dim V > 0. Докажите, что существует неприводимое много-
многообразие W С V, такое, что dim W = dim V — 1. Указание: исполь-
используйте предложение 10 и рассмотрите неприводимые компоненты
для VnV(/).
(b) Пусть dim V = m. Докажите, что существует цепь из m + 1 не-
неприводимых многообразий
Vo С Vi С ... С Vm = V,
причем Vi ф Vj+i при 0 < г < т.
(c) Докажите, что не существует такой цепи длины > т + 1. Вы-
Выведите отсюда, что размерность неприводимого многообразия на
единицу меньше максимальной длины строго возрастающей цепи
неприводимых многообразий, содержащихся в нем.
18. Докажите аффинную версию п. (ii) предложения 10.
§ 5. Размерность и алгебраическая
независимость
В § 3 мы определили размерность аффинного многообразия как
степень аффинного полинома Гильберта. Это позволило исследо-
исследовать в § 4 свойства размерности. Однако полиномы Гильберта не
исчерпывают всех возможностей. В алгебраической геометрии есть
и другие способы определить понятие размерности. В этом и в сле-
следующем параграфах мы изучим два наиболее интересных.
Рассмотрим аффинное многообразие V С кп. Напомним, что
координатное кольцо k[V\ (см. гл. 5) состоит из всех полино-
полиномиальных функций на V. Существует естественный изоморфизм
k[V] = k[xi,... ,xn]/I(V), тождественный на к (теорема 7 из § 1
гл. о). Изучим связь координатного кольца k[V] с размерностью
многообразия V. Отметим сначала, что при s > 0 корректно опре-
определено линейное инъективное отображение
I 5. Размерность и алгебраическая независимость
597
к[хи.. .,
= k[V] A)
(упр. 10 к § 4). Таким образом, мы можем рассматривать простран-
пространство к[х\,... ;Xn]<s/I(V)<:s как конечномерную «часть» в k[V], ап-
аппроксимирующую k[V] все точнее и точнее с ростом s. Так как сте-
степень полинома аНРцу) измеряет скорость роста размерности этих
конечномерных аппроксимаций, мы видим, что dim V является не-
некоторой характеристикой «размера» k[V].
Это рассуждение подсказывает, что можно определить размер-
размерность многообразия V непосредственно в терминах координатного
кольца k[V]. Чтобы сделать это, дадим сначала определение алгеб-
алгебраически независимых элементов.
Определение 1. Элементы фх,...,фг 6 k[V] называются алгебра-
алгебраически независимыми над к, если не существует ненулевого по-
полинома р от г переменных с коэффициентами из к, такого, что
. \ гл 1 ГТ 7-1
Обратите внимание, что если ф\,..., фг ? k[V] алгебраически не-
независимы над к, то все эти функции отличны от нуля и среди них
нет двух одинаковых. Также очевидно, что алгебраически незави-
независимо любое подмножество множества {ф\,... ,фт] (см. подробнее
упр. 1).
Рассмотрим простой пример. Пусть V = кп. Если поле к беско-
бесконечно, то I(V) = {0} и, следовательно, k[V] = к[х\,... ,хп]. Тогда
элементы ц,..., хп алгебраически независимы над к, потому что
равенство р(х\,... ,хп) = 0 означает, что р — нулевой полином.
В качестве другого примера рассмотрим скрученную кубику в
I3. Здесь 1(V) = (у - x2,z - х3). Докажем, что [х] G R[V] алгеб-
алгебраически независим над К. Пусть р — полином с вещественными
коэффициентами, такой, что р([г]) = [0] в E[V]. Это означает, что
\р(х)] = [0]. Поэтому р(х) ? 1{V). Однако нетрудно показать, что
М[х] П (у — х2,z — ж3) = {0}, т.е. р~нулевой полином. С другой сто-
стороны, легко видеть, что [х],[у] G R[V] не являются алгебраически
независимыми элементами, так как [у] — [х]2 = [0] в R[V].
Теперь мы свяжем размерность многообразия V с числом ал-
алгебраически независимых элементов в координатном кольце k[V].
Теорема 2. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Тогда его
размерность равна максимальному числу алгебраически независи-
независимых над к элементов координатного кольца k\V].
Доказательство. Докажем сначала, что если d = dim У, то мы
можем найти d алгебраически независимых над к элементов коль-
кольца k[V]. Пусть / = I(V'). Рассмотрим идеал старших членов (lt(J))
для некоторого градуированного упорядочения на к[х\,..., хп]. Мы
знаем (теорема 8 из § 3), что d равно максимальной размерности
координатного подпространства, принадлежащего V((lt(J))). Ко-
Координатное подпространство W С V((lt(/))) размерности d зада-
задается так: W = V(xj : j $ {гх,..., г^}) для некоторых 1 < гх < ... <
id < п, т. е. W — это множество точек, j-e координаты которых для
3 ? {к, ¦ ¦ -,id} равны нулю. Докажем, что [xh],..., [xid] € k[V] ал-
алгебраически независимы над к.
Пусть точка р € W С V((lt(I))) такова, что ее ij-e координа-
координаты равны 1 для 1 < j'< d, а остальные равны нулю. Тогда любой
моном из (lt(/)) равен нулю в р; следовательно, моном из (lt(I))
должен содержать хотя бы одну переменную Х{, где i ^ {ii,... ,id}

598
Гл. 9. Размерность многообразия
5. Размерность и алгебраическая независимость
599
(см. доказательство предложения 2 из § 2). Так как (lt(/))—^
номиальный идеал, то (ьт(/))ГЛк[х^ ,..., Xid] = {0}. Таким образов "
Т п Мт ¦ т ¦ ] — W\ f$\
1Пк[хг1,...,х1л\-\Щ, Щ
потому что ненулевой элемент f ? IП к[х^,..., xid] дает ненулево!
элемент lt(/) ? (lt(J)) П k[xh,...,xid].
Теперь мы можем доказать, что
[xid] алгебраически
зависимы над к. Пусть р — полином с коэффициентами из к,
кой, что p([xh],...,[xid}) = [0]. Тогда \р(х{1,...,хи)] = [0] в к[Ц
т.е. p(xh,...,xid) ? I. Из B) следует, что p(xix,... ,xid) = 0, 4
так как х^,..., Xid — это переменные, то р— нулевой полином. Во
d = dim У; значит, мы нашли требуемое количество алгебраичесй^ •
независимых над к элементов координатного кольца k[V]. '
Теперь нужно доказать, что если г элементов координатйЫ-
го кольца k[V] алгебраически независимы, то г < dim У. Пусть
[Д]> • • ч [fA С k[V] алгебраически независимы. Обозначим через АГ
максимальную из полных степеней полиномов Д и введем новые печ
ременные у\,..., уг. Пусть р 6 k[yi,..., ут] — полином полной степей
ни < s. Тогда р(Д,..., Д) ? k[xi,..., хп] — полином полной степен!
< sN (см. упр. 2). Рассмотрим отображение *
q : k[yi,...,yr]<3 —>¦ k[xi,...,xn]<sN/I<sN, C)
которое переводит р ? k[yi,...,yr]<s в класс [р(/ь--ч/г)] €
k[xi,..., xn]<sj4/I<sj4. Мы оставляем в качестве упражнения дока-
доказательство того, что а определено корректно и является линейным
отображением. :
Мы утверждаем, что а инъективно. Пусть р ? к[у\,... ,уг]<я ¦
[р(Д > ¦ • • i /г)] = [0] в k[xi,..., xn]<sN/I<sN. Тогда из A) следует, что
Ь(/ь • • •, /г)] = p([/i], • • ч [/г]) = [0] в к[х1г..., xn]/I S А;[У].
Так как [Д],..., [Д] алгебраически независимы, то р — нулевой
полином; следовательно, а инъективно.
Сравним размерности в правой и левой частях формулы C).
Имеем
V) =dimfc[z1,...,zn]<gAr/7<sjV >dimfc[yi,...,y,.]<s. D)
Так как у\,... , ут — переменные, то dim к[у\,..., yr]<s равна (r|"s) —
это полином от s степени г. Следовательно,
aHPj{sN) >
s
= полином степени г от s
при достаточно большом s. Поэтому степень полинома aHPj(sN),
а следовательно, и полинома aHPj(s) не меньше г. Таким образом, ||
г < dim V. Теорема доказана. ?;'
Следствием этой теоремы является тот факт, что размерности
изоморфных многообразий совпадают.
Следствие 3. Пусть V и V' — изоморфные аффинные многообра-
многообразия (см. определение в § 4 гл. 5). Тогда dim У = dim У. ?
Доказательство. Согласно теореме 9 из § 4 гл. 5, мы знаем, что
Г и У изоморфны в том и только том случае, когда существует
изоморфизм колец а : k[V] —> k[V], тождественный на константах.
Следовательно, элементы ф\,...,фТ 6 k[V] алгебраически незави-
независимы в том и только том случае, когда алгебраически независимы
элементы а(фх),..., а(фг) ? k[V']. Теперь утверждение следует из
теоремы 2. ?
В доказательстве теоремы 2 d = dim V алгебраически независи-
независимых элементов в к [V] мы нашли в множестве координатных функ-
функций. Используя это, дадим другое определение размерности.
Следствие 4. Пусть V С кп — аффинное многообразие. Его раз-
размерность равна наибольшему числу г, для которого существует
г переменных цг,... ,Xir, таких, что I(V) П k[xi1,..., ijj = {0}
(т. е. полином от этих переменных может принадлежать 1(У)
только в том случае, когда он равен нулю).
Доказательство. Из B) следует, что мы можем найти d = dim У
таких переменных. Предположим, что существует d + 1 перемен-
переменных Xj1,..., Xjd+1, таких, что 1(У) П k[xj1,..., Xjd+1] = {0}. Тогда из
доказательства теоремы 2 следует, что элементы [xjj,..., [xJd+1] ?
k[V] алгебраически независимы над к. Но по теореме 2 это невоз-
невозможно. ?
В упражнениях мы докажем, что для алгебраически замкну-
замкнутого ноля к следствие 4 остается справедливым, если мы заменим
I(V) любым идеалом /, определяющим У. Так как мы умеем нахо-
находить пересечение / Л к[х^,... ,цг], используя теорию исключения,
то следствие 4 дает нам другой метод (хотя и не очень эффектив-
эффективный) вычисления размерности многообразия.
Следствие 4 можно интерпретировать в терминах проекций.
Выберем г переменных х^,... ,Xir. Тогда определено отображе-
отображение проекции 7Г : кп —> kr, 7r(ai,..., ап) = (щ1,..., а^). Пусть / =
1(У) Пк[х^,... ,Xir] — соответствующий исключающий идеал. Если
к алгебраически замкнуто, то теорема о замыкании из § 2 гл. 3 га-
гарантирует, что VG) является наименьшим многообразием, содер-
содержащим 7г(У). Следовательно,
V(T) = kT
наименьшее многообразие, содержащее тг(У), есть кТ.

600
Гл. 9. Размерность многообразия
5. Размерность и алгебраическая независимость
601
Подмножество в kr называется плотным по Зарисскому, если наи-
наименьшее многообразие, содержащее его, совпадает со всем кТ. Тгк
ким образом, следствие 4 утверждает, что размерность многообра*
зия V равна максимальной размерности такого координатного под-
подпространства, что проекция многообразия V плотна по Зарисскому
в этом подпространстве.
Мы можем рассматривать отображение 7Г как линейное отобра-
отображение пространства кп в себя, которое не меняет координаты %^
при 1 < j < г, а остальные координаты заменяет нулями. Легко
показать, что тг о тг = тг и что кг С кп является образом отображе-
отображения тг (см. упр. 8). Есть общее определение: линейное отображение
тг: кп -ь кп называется отображением проекции, если жож = тг. Если
его ранг равен г, то его образом является r-мерное подпространство
Н С кп. В этом случае мы говорим, что тг является отображением
проекции на Н.
Пусть теперь тг — отображение проекции на Н С кп. По любому
многообразию V С кп можно построить подмножество тг(У) С Н.
Теперь мы можем интерпретировать размерность многообразия V
в терминах проекций тг(У).
Предложение 5. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а
V С кп — аффинное многообразие. Его размерность равна макси-
максимальной размерности подпространства Н С кп, такого, что про-
проекция ir(V) многообразия V на Н плотна по Зарисскому в Н.
Доказательство. Если V имеет размерность d, то по предыдуще-
предыдущему мы можем найти проекцию 7Г на d-мерное координатное под-
подпространство, такую, что тг(У) плотно в этом пространстве по За-
Зарисскому.
Пусть теперь тг : кп -» кп — отображение проекции на г-мерное
подпространство Н С кп, причем ir(V) плотно по Зарисскому в
Н. Нам нужно доказать, что г < dim У. Найдем такой базис в кп,
что в новых координатах ir(ai,..., ап) = (а\,..., аг) (см. например,
разд. 3.4 книги Finkbeiner A978)). Так как замена координат не
меняет размерности многообразия (это следует из аффинной вер-
версии предложения 11 из § 4), то этот случай аналогичен случаю про-
проекции на координатное подпространство. D
Пусть тг — отображение проекции кп на г-мерное подпростран-
подпространство Н. По теореме замыкания из § 2 гл. 3, если ir(V) плотно по
Зарисскому в Н, то существует собственное многообразие W С Н,
такое, что Н — W с tt(V). Значит, тг(V) «заполняет» большую часть
г-мерного подпространства Н, и, следовательно, разумно ожидать,
что V по крайней мере г-мерно. Таким образом, предложение 5 дает
нам геометрическую интерпретацию размерности многообразия.
До конца параграфа мы будем считать V неприводимым много-
многообразием. Тогда (предложение 4 из § 1 гл. 5) идеал I(V') прост и k[V]
является областью целостности. Как и в § 5 гл. 5, мы построим поле
частных k{V) кольца k[V], которое является полем рациональных
функций на V. Алгебраическая независимость элементов из k{V)
определяется так же, как алгебраическая независимость элементов
из k[V] (см. определение 1). Найдем связь между размерностью
многообразия V и полем k(V).
Теорема 6. Пусть V С кп — неприводимое аффинное многообра-
многообразие. Его размерность равна максимальному числу алгебраически
независимых над к элементов поля k(V).
Доказательство. Пусть d = dim У. Так как k[V] С k(V), то d ал-
алгебраически независимых элементов кольца k[V] будут алгебраи-
алгебраически независимы и как элементы поля k(V), так что осталось пока-
показать, что если элементы ф\,... ,фг 6 k(V) алгебраически независи-
независимы, то г < dim У. Каждый элемент ф{ является частным элементов
из k[V]. Если / — наименьшее общее кратное всех знаменателей, то
ф{ = [fi]/[f], 1 < i < г. Отметим, что [/] ф [0] в k[V]. Теперь мы
модифицируем доказательство теоремы 2 с целью учесть знамена-
знаменатель [/].
Обозначим через N максимум полных степеней полиномов
/> Л) • • •! /г и введем новые переменные у\,..., уТ. Пусть р ?
к[у\,... ,уГ] — полином полной степени < s. Несложно доказать
(проделайте это самостоятельно), что
fSp(fl If,---, fr/f)
является полиномом в к[х\,..., хп] полной степени < sN (см.
упр. 10). Рассмотрим отображение
Р : k[yi,...,yr]<s —>¦ k[xi,...,xn]<sN/I<aN, E)
переводящее полином р € k[yi,... ,yr]<s в класс [fsp(fi/f, ¦ ¦ ¦,
fr/f)] ? k[xi,... ,xn]<SN/I<sn¦ Отображение (З является коррект-
корректно определенным линейным отображением (докажите это самосто-
самостоятельно) .
Докажем его инъективность. Пусть р 6 к[у\,... ,yT]<s~ такой
полином, что [fsp(fi/f,---,fT/f)] = [0] Bk[xi,...,xn]<sNJl<sN. Ис-
Используя A), получаем, что
[fSp(h/f: ¦¦¦; fr/f)] = [0] В k[Xl, . . . , Xn]/I - k[V].
Но мы работаем в k(V). Поэтому перепишем это равенство в сле-
следующем виде:
lf]sP([h}/lf}, ¦¦¦, [fr]/[f]) = иУР(Фи ...,фг) = [0]ъ k(V).
л

602
Гл. 9. Размерность многообразия
Так как k(V) — поле, а [/] Ф [0], то р{ф\,..., фг) = [0]. Отсюда сле-
следует, что р — нулевой полином, потому что элементы ф\,..., фг ая-
гебраически независимы. Значит, /3 инъективно.
Теперь из неравенства E) следует неравенство D), а рассужде-
рассуждения, аналогичные рассуждениям в доказательстве теоремы 2, по-
показывают, что dim У > г. Теорема доказана. ?
Следствием этой теоремы является тот факт, что бирациональ-
но эквивалентные многообразия имеют одинаковую размерность.
Следствие 7. Пусть V и V — бирационалъно эквивалентные (§ 5
гл. 5) неприводимые аффинные многообразия. Тогда dim V = dim V1.
Доказательство. В теореме 10 из § 5 гл. 5 было доказано, что
аффинные многообразия V и V' бирационально эквивалентны в
том и только том случае, когда изоморфны их поля функций k(V)
и fc(V'). Далее рассуждения проводятся, как в следствии 3. ?
Понятие степени трансцендентности в теории полей тесно
связано с понятием размерности. В общем случае мы рассматри-
рассматриваем поле К, которое содержит поле к.
Определение 8. Пусть поле К является расширением поля к. Мы
говорим, что К имеет степень трансцендентности d над к, если
К содержит d элементов, алгебраически независимых над к, и не
содержит большего числа таких алгебраически независимых эле-
элементов.
Объединяя это определение с теоремой 6, мы получаем, что для
любого неприводимого аффинного многообразия V
dim У = степень трансцендентности поля k(V) над к.
Во многих книгах по алгебраической геометрии именно так и опре-
определяется размерность неприводимого многообразия, а далее раз-
размерность произвольного многообразия определяется как максимум
размерностей его неприводимых компонент.
В качестве примера рассмотрим многообразие V = кп, где поле
к предполагается бесконечным. Тогда k(V) = к(х\,..., хп). Так как
dim У = п, то поле к{х\,... ,хп) имеет степень трансцендентности
п над к. Здесь очевидно, что степень трансцендентности не меньше
п, но то, что любые п + 1 элементов из к(х\,..., хп) алгебраически
зависимы, уже не столь очевидно. Таким образом, изучение раз-
размерности помогает понять структуру полей.
Чтобы лучше разобраться в понятии степени трансцендентно-
трансцендентности, нужны более глубокие познания в теории алгебраических я
трансцендентных расширений полей (см. например гл. 7 и 10 книги
Lang A965)).
5. Размерность и алгебраическая независимость
603
Упражнения к § 5
1. Пусть <f>i,... ,фГ G k[V] алгебраически независимы над к.
(a) Докажите, что ф{ различны и не равны нулю.
(b) Докажите, что любое непустое подмножество множества
{ф\, ¦ ¦ ¦ ,фг} состоит из алгебраически независимых элементов.
(c) Введем переменные yi,. ¦ ¦ ,уг и рассмотрим отображение a :
k[yi,... ,2/r] —> k[V], определенное формулой a{jp) =р(фг,... ,фг)-
Докажите, что а является инъективным гомоморфизмом колец.
2. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство теоремы 2.
(a) Пусть полные степени полиномов fi,..., fr ? k[xi,... ,хп]не пре-
превосходят N и полная степень полинома р G k[yi,... ,уг] не пре-
превосходит s. Докажите, что полная степень полинома p(/i,..., /г)
не превосходит sN.
(b) Докажите, что отображение а из доказательства теоремы 2 опре-
определено корректно и является линейным.
3. Завершите доказательство следствия 3.
4. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а / С к[х\,..., хп] —неко-
—некоторый идеал. Докажите, что размерность многообразия VG) рав-
равна наибольшему целому г, для которого существует г переменных
Xix,..., Xir, таких, что / П ^[ж^,..., цг] = {0}. Указание: используй-
используйте / вместо l(V) в доказательстве теоремы 2; продумайте, почему
dimV = degaH Pi.
5. Пусть / = (ху — 1) С к[х,у]. Что представляют собой проекции мно-
многообразия VG) на ось 1 ина ось у? Обратите внимание, что обе
проекции плотны, но не совпадают со всей осью.
6. Пусть поле к алгебраически замкнуто и / = (xy,xz) С k[x,y,z].
(a) Докажите, что / П к[х] = {0}, но / П к[х, у] и / П к[х, z] не равны
нулю.
(b) Докажите, что / П к[у, z] = {0}, но / П к[х, у, z] / {0}.
(c) Что можно сказать о размерности многообразия VG)?
7. Рассмотрим пример, аналогичный примеру из упр. 6, но более слож-
сложный. Поле к предполагается алгебраически замкнутым, а. I = (zx —
x2,zy-xy) С k[x,y,z].
(а) Докажите, что / П k[z] = {0}. Верно ли, что / П к[х, z] = {0} или
[}
{
(b) Докажите, что / П к[х, у] — {0}, но / П к[х, у, z] / {0}.
(c) Чему равна размерность многообразия VG)?
8. Пусть 1 < i\ < . .. < ir < п. Рассмотрим линейное отображение тг :
кп —> кп, переводящее вектор (oi,... ,an) в вектор, ij-e координаты
которого равны а^. для 1 < j < г, а остальные равны 0. Докажите,
что 7г о тг = тг, и найдите образ тт.
9. В этом упражнении мы покажем, что отображение проекции на дан-
данное подпространство Н С кп определено неоднозначно.

604
Гл. 9. Размерность многообразия
(а) Докажите, что матрицы
¦'t
определяют отображения проекции пространства R2 на ось х.
Покажите на рисунке, как действуют эти отображения на точке
изК2.
(b) Докажите, что существует взаимно однозначное соответствие
между отображениями проекции пространства R2 на ось х и не-
негоризонтальными прямыми, проходящими через начало коорди-
координат.
(c) Зафиксируем г-мерное подпространство Н С кп. Докажите, что
существует взаимно однозначное соответствие между отображе-
отображениями проекции пространства кп на Н и (тг — г)-мерными под-
подпространствами Н' С кп, такими, что Н П Н' = {0}. Указание:
рассмотрите ядро проекции.
10. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство теоремы 6.
(a) Пусть полные степени полиномов f,fi,...,fT G к[х\,..., хп] не
превышают N, а полная степень полинома р 6 к[у\,..., уг] не
превышает s. Докажите, что fsp(fi //,..., frjf) является поли-
полиномом из к[х\,..., хп].
(b) Докажите, что степень этого полинома < sN.
(c) Докажите, что отображение /? из доказательства теоремы 6 опре-
определено корректно и является линейным.
11. Завершите доказательство следствия 7.
12. Пусть ф : V —> W — полиномиальное отображение аффинного много-
многообразия V в аффинное многообразие W (см. § 1 гл. 5). В § 4 гл. 5 бы-
было доказано, что ф индуцирует гомоморфизм колец ф' : k[W] -> k[V],
тождественный на константах. Рассмотрим образ ф(У) С W. Отобра-
Отображение ф называется доминирующим, если наименьшее многообразие
в W, содержащее ф(У), — это W. Другими словами, ^ — доминирую-
доминирующее отображение, если его образ плотен по Зарисскому в W.
(a) Докажите, что ф доминирующее в том и только том случае, ког-
когда гомоморфизм ф* : k[W] —> k[V] инъективен. Указание: дока-
докажите, что W С W является собственным подмногообразием в
том и только том случае, когда существует ненулевой элемент
[/] G k[W], такой, что W С W П V(/).
(b) Пусть ф — доминирующее отображение. Тогда dimV > dimW.
Указание: примените теорему 2 и п. (а).
13. В этом упражнении мы рассмотрим связь между параметризацией
и размерностью. Поле к предполагается бесконечным.
(а) Пусть F : кт —> V — полиномиальная параметризация многообра-
многообразия V (см. § 3 гл. 3). Таким образом, т — это число параметров,
а V — наименьшее многообразие, содержащее F(km). Докажите,
что dim V < т.
5. Размерность и алгебраическая независимость
605
(b) Приведите пример полиномиальной параметризации, где
dim V < тп.
(c) Пусть F : km — W —> V — рациональная параметризация много-
многообразия V (см. § 3 гл. 3). Тогда V неприводимо (предложение
6 из § 5 гл. 4). Докажите, что можно определить инъективный
гомоморфизм полей F* : k(V) -> k(ti,... ,tm). Указание: см. до-
доказательство теоремы 10 из § 5 гл. 5.
(d) Пусть F : km — W —> V — рациональная параметризация. Дока-
Докажите, что dimV < тп.
14. В этом упражнении мы покажем, как определить поле рациональных
функций на неприводимом проективном многообразии V С Р"(А;).
Однородный полином / 6 к[хо, ¦. ¦ ,хп] не задает функцию на V.
В самом деле, пусть точка р € V имеет однородные координаты
(ао,..., а„). Тогда (Лао,..., Лап) — также координаты точки р и
/(Ла0,..., Ла„) = \df(a0, ¦.., ап),
где d — полная степень полинома /.
(a) Объясните, почему нельзя рассматривать полином / как одно-
однозначную функцию на V.
(b) Пусть степень однородного полинома g € к[хо, ¦ ¦ ¦, хп] также рав-
равна d и g ^ I(V). Докажите, что ф = f/g является корректно
определенной функцией на непустом подмножестве V — (V П
у (я)) с V.
(c) Функции ф = f/g и ф' = /'jg' называются эквивалентными на V,
ф~ ф', если существует собственное подмногообразие W С V, та-
такое, что ф — ф' на V — W. Докажите, что ~ является отношением
эквивалентности. Соответствующие классы эквивалентности на-
называются рациональными функциями на V. Множество классов
эквивалентности обозначается через k(V). Указание: неприводи-
неприводимость многообразия V очень существенна.
(d) Докажите, что сложение и умножение классов эквивалентности
определены корректно и задают на k(V) структуру поля. Оно
называется полем рациональных функций на проективном мно-
многообразии V.
(e) Пусть Ui — аффинная часть пространства Рп(к), где Xi ф 0. Рас-
Рассмотрим неприводимое аффинное многообразие VV\Ui С Ui = кп.
Пусть VnUi Ф 0. Докажите, что k(V) изоморфно полю k(V<~)Ui)
рациональных функций на аффинном многообразии V П Ui. Ука-
Указание: можно считать, что г = 0; выясните, что получится, если
мы положим хо = 1 в частном f/g из п. (Ь).
15. Рассмотрим неприводимое многообразие V С Рп(к). Пусть k(V) —
поле рациональных функций на V, определенное в предыдущем уп-
упражнении.
(а) Докажите, что размерность многообразия V равна степени
трансцендентности поля k(V) над к. Указание: сведите задачу
к аффинному случаю.

606 Гл. 9. Размерность многообразия
(b) Два неприводимых проективных многообразия V и V (принад-
(принадлежащие, возможно, различным проективным пространствам)
называются бирационально эквивалентными, если любые их аф-
аффинные части V П U,и V' П [/,- бирационально эквивалентны в
смысле § 5 гл. 5. Докажите, что V и V' бирационально эквива-
эквивалентны в том и только том случае, когда существует изоморфизм
полей k(V) = k(V'), тождественный на к. Указание: используйте
предыдущее упражнение и теорему 10 из § 5 гл. 5.
(c) Докажите, что размерности бирационально эквивалентных про-
проективных многообразий совпадают.
§ 6. Размерность и неособость
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, как размерность
связана с геометрическими свойствами многообразия V. Наше об-
обсуждение будет сильно отличаться от методов § 5, где основную
роль играли алгебраические свойства кольца k[V] и поля k(V). Мы
введем некоторые довольно сложные понятия, и ряд теорем будет
доказан только в частных случаях. Для простоты мы будем счи-
считать V аффинным многообразием.
Когда мы рассматриваем поверхность V С К3, то утверждение о
ее двумерности на интуитивном уровне означает, что малая окрест-
окрестность точки р 6 V выглядит, как маленький кусочек плоскости.
Этот взгляд отражает то, как касательная плоскость аппроксими-
аппроксимирует многообразие V в точке р:
касательная плоскость к V в р
поверхность V
Конечно, мы должны быть осторожны, так как поверхность может
иметь точки, в которых нет касательной плоскости. Рассмотрим,
например, конус V(x2+y2—z2). Эта поверхность имеет касательную
плоскость в каждой точке, кроме начала координат:
§ 6. Размерность и неособость
607
В этом параграфе мы введем понятие неособой точки р многообра-
многообразия V и дадим аккуратное определение касательного простран-
пространства Tp(V) к V в точке р. Наше рассмотрение является обобще-
обобщением соответствующих рассмотрений для кривых (см. § 4 гл. 3).
Касательное пространство описывает поведение многообразия V в
окрестности точки р. Это то, что называется «локальным подхо-
подходом». Хотя эта тема и не затрагивалась нами раньше, она играет
важную роль в алгебраической геометрии. Вообще, характеристики
многообразия, описывающие его поведение в окрестности данной
точки, называются локальными свойствами.
Начнем рассмотрение с касательного пространства. Пусть кри-
кривая У С К2 задана уравнением f(x,y) = 0. Тогда (см. гл. 3) каса-
касательная прямая к У в точке (а, Ъ) ? V задана уравнением
ох
Ма,Ь)-(у-Ь) = О
при условии, что обе частные производные не обращаются в нуль
одновременно (см. упр. 4 к § 4 гл. 3). Обобщим это определение на
случай произвольного многообразия.
Определение 1. Пусть V С к11 — аффинное многообразие и р =
(Pi,---iPn) — его точка.
(i) Если / 6 к [xi,... ,хп] — некоторый полином, то его линейной
частью в точке р называется полином
dP(f) = ~
-&) + ¦¦¦ + ¦?-
Отметим, что его полная степень не превышает 1.
(и) Касательным пространством к У в точке р называется мно-
многообразие
Tp(V)=V(dp(f):feI(V)).
Когда мы работаем над Е, частная производная ^ определяет-
определяется обычным образом. В случае произвольного поля мы используем
формальную частную производную, определенную формулой
rQl
. .х,-
Oi,...,an
В упр. 1 будет показано, что формальная частная производная
обладает всеми свойствами обычной частной производной.

608
Гл. 9. Размерность многообразия
Сначала рассмотрим некоторые простые свойства касательно^
пространства TP(V). щ
Предложение 2. Пусть р ? V С кп.
(i) Если 1(У) = </!,..., Л), то TP(V) = V(dp(h):..., dp(fs)). л
(ii) TP(V) является сдвигом линейного подпространства прф.
странства кп.
Доказательство, (i) Легко видеть, что
dp{hf) = h(p) ¦ dp(f) + dp(h) ¦ f(p)
(см. упр. 2). Из этого следует, что dp(hf) = h(p)-dp(f), если /(р) =0.
Таким образом, если g = Х)*=1 hifi С l(V), то
dP(9) =
*) = ?
(dP(h
t=l
Это показывает, что TP(V) задано как множество общих нулей ли-
линейных полиномов dp(fi).
(ii) Введем новую систему координат на кп, полагая Xi = х^ —pi,
1 < i < п. Эта замена координат является просто сдвигом начала
координат в точку р. Из (i) мы знаем, что многообразие TP(V) за-
задано уравнениями dp(fi) = ... = dp(fs) = O. Каждый полином dp(fi)
линеен по переменным Xi. Поэтому TP(V) является линейным под-
подпространством в системе координат Xi, а это означает, что TP(V)
является сдвигом подпространства пространства кп. ?
Интуитивное представление о касательном пространстве мы мо-
можем получить, рассматривая формулу Тейлора для полинома от
нескольких переменных. Для полинома от одной переменной стан-
стандартная формула имеет вид
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)
+ члены, содержащие старшие степени х — а.
Если / ? к[х\,... ,хп], то в точке р = (pi, • • • ,рп) имеет место ра-
равенство (см. упр. 3)
/ = /(Р) +
ахi
-Pi) + • ¦ ¦ + -J-ШХп-Рп)
axn
+ члены полной степени > 2 по переменным х\ — р\,..., хп — рп-
Это равенство представляет собой частный случай формулы Тей-
Тейлора. Если р ? V, а / 6 I(V), то f(p) =0и
/ = dp(f)
+ члены полной степени > 2 по переменным хх - рг,.... хп — рп.
| 6. Размерность и неособость
609
Другими словами, dp(f) представляет собой наилучшую линейную
аппроксимацию полинома / в окрестности точки р. Пусть теперь
1(Г) = (/i,..., fs). Тогда многообразие V определяется обращением
в нуль полиномов fi, и его наилучшая линейная аппроксимация
в окрестности точки р определена обращением в нуль линейных
полиномов dp(fi). Но это и задает касательное пространство к V.
Мы можем также описать TP(V) в терминах прямых, которые
пересекают V в точке р с «высокой кратностью». В гл. 3 мы именно
так и определяли касательную прямую к плоской кривой. Рассмот-
Рассмотрим многомерный случай. Пусть р ? V, а прямая L пересекает V
в р. Параметризуем L, положив F(t) = р + tv, где v € кп — вектор,
параллельный L. Если / G к[х\,... ,хп], то / о F(t) является по-
полиномом от t и / о F@) = f(p). Таким образом, 0 является корнем
этого полинома, если / 6 1(V). Тогда кратность корня 0 определяет,
принадлежит L пространству TP(V) или нет.
Предложение 3. Пусть L — прямая, проходящая через точку р
и параметризованная формулой F(t) = р + vt. Тогда L С Tp(V) в
том и только том случае, когда 0 является корнем кратности
> 2 полинома f о F(t) для всех f G I(V).
Доказательство. Запишем параметризацию прямой L в виде ц =
Pi + tVi, I < i < п, где р = (pi,... ,р„), a v = (ы,..., vn). Тогда для
любого / € V(/)
g(t) = / о F(t) = }(Pl +tvx,...,pn + tvn).
Мы знаем, что <?@) = 0, так как р ?V. Поэтому 0 является корнем
полинома g(t). В упр. 4 к § 4 гл. 3 было показано, что t = 0 является
корнем кратности > 2 в том и только том случае, когда д'@) = 0.
Тогда
dg df dx\ df dxn df df
dt ox i dt axn dt ax\ oxn
Следовательно, g'@) = 0 в том и только том случае, когда
г=1
г=1
Выражение справа представляет собой значение полинома dp(f) в
точке р + v S L; следовательно, р + v ? TP(V) в том и только том
случае, когда д'@) = 0 для всех / ? 1(У). Так как р ? L, то L С TP(V)
в том и только том случае, когда р + v ? TP(V), что и доказывает
предложение. ?

610 Гл. 9. Размерность многообразия
Рассмотрим примеры. ^
Пример 4. Пусть У С С" —гиперповерхность, заданная уравнен^.
ем / = 0, где / € C[xi,..., хп] — непостоянный полином. По npejjl
ложению 9 из § 2 гл. 4
i(v) = i(v(/)) = v/<7> = </««•>,
где /red = Д • • • /г — произведение различных неприводимых дели-
делителей полинома /. Мы будем считать, что / = /red- Тогда
v =
= v(A) и... и v(/r)
является разложением многообразия V в объединение неприводи-
неприводимых компонент (упр. 9 к § 6 гл. 4). В частности, каждая компонен-
компонента многообразия V имеет размерность п — 1 (по аффинной версии
предложения 2 из § 4).
Так как I(V) — (/), то для любой точки р ? V пространство
TP(V) является линейным пространством, заданным одним урав-
уравнением
^ ^п ~ Рп) = 0.
Из этого следует, что
df
п — 1, д— / 0 хотя бы для одного г,
dimTp(V) = <j ^ A)
п, -г— = 0 для всех г.
I дх{
Проверьте, что это утверждение является обобщением предложе-
предложения 2 из § 2 гл. 3.
Пусть V = V(х2—у2z2+z3). В упр. 4 будет доказано, что полином
/ = x2-y2z2 + z3 G C[x, y,z] неприводим и, значит, I(V) = (/). Имеем
^1_ - от "J _
от оу аг
Докажите самостоятельно, что частные производные обращаются в
нуль одновременно только в точках оси у, которая принадлежит V.
Таким образом, касательные пространства везде двумерны, кроме
§ 6. Размерность и неособость
611
точек оси у, где они совпадают с С3. Над R эта гиперповерхность
выглядит так:
(Этот рисунок уже появлялся в § 2 гл. 1.) Позже мы увидим, что
точки многообразия V, лежащие на оси у, являются особыми, а
остальные его точки неособые.
Пример 5. Рассмотрим кривую С С С3, которая является пересе-
пересечением поверхности V из примера 4 и плоскости x + y + z = 0. Таким
образом, С = V(x + у + z,x2 — y2z2 + z3). Используя методы § 3,
покажите, что dim С = 1.
В упражнениях будет доказано, что идеал (/ь/г) = {х + у + z,
х2 - y2z2 + z3) прост, а следовательно, кривая С неприводима. Так
как простой идеал радикален, то из теоремы о нулях следует, что
1(С) = (/ь/г)- Пусть теперь р = (a,b,с) € С. Тогда ТР(С) задается
линейными уравнениями
dp(h) = 1 • (х - а) + 1 • (у - Ъ) + 1 ¦ (z - с) = 0,
dp(/2) = 2а ¦ (z - а) + (-2Ьс2) ¦ {у - Ь) + {-2Ь2с + Зс2) - (z - с) = 0.
Это система линейных уравнений от переменных х — а, у — b,z — с
с матрицей
JP{fuh)=
Обозначим через rank(Jp(/i, /2)) ранг этой матрицы. Так как ТР(С)
представляет собой сдвиг ядра матрицы Jp(/i,/2), то
dim TP(C) =3-rank(Jp (Д, /2)).
В упражнениях будет доказано, что ТР(С) везде одномерно, кро-
кроме начала координат, где Т0(С) является двумерной плоскостью
х + у + z = 0.

612
Гл. 9. Размерность многообразия
В этих примерах мы должны были вычислять идеал I(V). Было
бы гораздо удобнее, если бы мы могли работать с любыми уравне-
уравнениями, определяющими многообразие V. К сожалению, это может
привести к ошибкам: если V = V(/i,..., fs), то касательное про-
пространство Тр(у) не обязательно определено равенствами dp(/i) =
• ¦ ¦ = dp(fs) = О- Пусть, например, V = V(x2). Тогда V представляет
собой ось у в к2, но, как легко проверить, TP(V) ф Y(dp(x2)) при
р € V. В теореме 9 будут сформулированы условия на определя-
определяющие полиномы /i,...,/e, выполнение которых гарантирует, что
Примеры 4 и 5 показывают, что «хорошие» точки многообразия
V — это те точки, где TP(V) имеет ту же размерность, что и V. Но
этот принцип не работает, если V содержит неприводимые компо-
компоненты разных размерностей. Пусть, например, V = V(xz,yz) С К3.
Это многообразие является объединением плоскости (х, у) и оси z.
Легко видеть, что
'2, р принадлежит плоскости (х,у) минус начало
координат,
dimTp(V) =
р принадлежит оси z минус начало координат,
Р= @,0,0).
За исключением начала координат, в точках оси z касательное
пространство одномерно, что кажется правильным, так как эти
точки принадлежат одномерной компоненте. Но в такой точке
dimTp(V) < dim У. Это, конечно, происходит по той причине, что
у V есть компонента размерности 2.
Чтобы избежать подобных затруднений, мы определим размер-
размерность многообразия в точке.
Определение 6. Пусть V — аффинное многообразие и р ? V. Раз-
Размерностью многообразия V в р, обозначаемой dimp V, называет-
называется максимум размерностей его неприводимых компонент, содержа-
содержащих р.
По следствию 9 из § 4 размерность dim V равна максимуму
dimp V по всем р?\'. Если V является гиперповерхностью в С", то
dimp V легко найти, так как в примере 4 мы показали, что каждая
неприводимая компонента многообразия V имеет размерность п —1.
Следовательно, dimpV = п - 1 для всех р ? V. Если же У— про-
произвольное многообразие, то теория, развитая в §§ 3 и 4, позволяет
найти dim V, но если мы не знаем, как разложить V в объединение
неприводимых компонент, то для вычисления dimp V нужны более
тонкие методы. Такие методы будут рассмотрены в § 7.
Дадим определение неособой точки.
§ 6. Размерность и неособость
613
Определение 7. Пусть V — аффинное многообразие и р ? V. Точ-
Точка р называется неособой (или гладкой), если dimTp(V) = dimpV.
В противном случае точка р называется особой точкой многообра-
многообразия V.
Возвращаясь к примерам 4 и 5, легко понять, какие точки осо-
особые, а какие - нет. Кривая С из примера 5 неприводима, а потому
dimp С = 1 для всех р ? С. Следовательно, особые точки —это та-
такие точки р, в которых dim Tp{C) ф 1 (такая точка в этом случае
только одна). Для гиперповерхностей V = V(/) из примера 4 имеем
dimp V — п — 1 для всех р ? V. Поэтому из A) следует, что р явля-
является особой точкой в том и только том случае, когда все частные
производные полинома / обращаются в нуль в р. Это означает, что
особые точки на V образуют многообразие
' дх\' " ' дхп) '
В общем случае особые точки на многообразии V обладают сле-
следующими свойствами.
Теорема 8. Пусть V С кп — аффинное многообразие и
? = {р ? V : р — особая точка на V}.
Мы будем называть Е особым множеством многообразия V. Тогда
(i) E — аффинное многообразие, содержащееся в V;
(И) если р ? Е, то dimTp(V) > dimp V;
(iii) E не содержит неприводимых компонент многообразия V;
(iv) если V{ и Vj —различные неприводимые компоненты много-
многообразия V, то Vi П Vj С ?.
Доказательство. Объем этой книги не позволяет привести здесь
полное доказательство этой теоремы. Мы ограничимся частным
случаем, когда V — гиперповерхность в С", и укажем, где можно
ознакомиться с полным доказательством.
Пусть V = V(/) С С" —гиперповерхность, такая, что I(V) = (/).
Мы знаем, что dimp V — п — 1 и что ? состоит из тех точек мно-
многообразия V, в которых частные производные полинома / обраща-
обращаются в нуль одновременно. Тогда из B) следует, что Е является
аффинным многообразием, что доказывает (i) (в нашем случае).
Доказательство в общем случае дано в § 2 гл. 2 книги Shafarevich
A974) (следствие к теореме 6).
Пункт (ii) утверждает, что в особой точке многообразия V каса-
касательное пространство слишком велико. Если V — гиперповерхность

614
Гл. 9. Размерность многообразия
и р ? У —особая точка, то из A) нам известно, что dimTp(V) =*
п > п - 1 = dimp V. Это доказывает п. (ii) в нашем случае. Полное
доказательство содержится в § 1 гл. 2 книги Shafarevich A974)
(теорема 3).
Пункт (iii) утверждает, что пересечение особого множества
с каждой неприводимой компонентой многообразия V является
собственным подмногообразием этой компоненты. Следовательно,
большинство точек многообразия неособы. Докажем это для слу-
случая гиперповерхности. Пусть V = V(/) = V(/i) U... U V(/r) —раз-
—разложение многообразия V в объединение неприводимых компонент
(см. пример 4). Предположим, что одна из компонент, V(/i) напри-
например, содержится в Е. Тогда каждая частная производная -^- обра-
обращается в нуль на V(/i). Запишем / в виде / = Д <?, где д — /2 ... /г.
Имеем
Так как Д обращается в нуль на У(Д), то |^<? также обращает-
обращается в нуль на V(/i). Но Д — неприводимый полином по условию.
Поэтому
Таким образом, Д делит произведение §?¦<?, а значит, делит либо
Ц1, либо д. Но Д не может делить д, так как д — это произведение
неприводимых полиномов, отличных от Д. Таким образом, Д де-
делит ^: для всех г. Так как степень производной -^- меньше, чем
степень Д, то |?- = 0 для всех г, откуда следует, что Д —константа
(см. упр. 9). Это противоречие доказывает п. (iii) в нашем случае.
В общем случае доказательство п. (iii) можно найти в гл. 4 кни-
книги Kendig A977) (теоремы 4.1 и 4.3). Можно ознакомиться также
с обсуждением, предшествующим определению особой точки, в § 1
гл. 2 книги Shafarevich A974). Если п. (iii) доказан в неприводи-
неприводимом случае, то общий случай следует из п. (iv) (см. упр. 11).
Наконец, п. (iv) утверждает, что неособая точка принадле-
принадлежит ровно одной неприводимой компоненте. Если V — гиперпо-
гиперповерхность, то V = V(/) = V(/i) U ... U V(/r). Предположим, что
Р ? v(/t) n V(fj),i Ф 3- Запишем / в виде / = gh, где Д делит
д, a fj делит h. Тогда д(р) = h(p) = 0. Дифференцируя, получа-
получаем, что J^- = 0 для всех г. Это доказывает п. (iv) в нашем слу-
§ 6. Размерность и неособость
615
чае. Доказательство в общем случае можно найти в § 2 гл. 2 книги
Shafarevich A974) (теорема 6). ?
В некоторых случаях можно доказать неособость некоторой точ-
точки многообразия V, не вычисляя I(V). Прежде чем формулиро-
формулировать точное утверждение, введем обозначения. Пусть Д,...,/г ?
к[х\,..., хп]. Через J(/i,..., /г) обозначим г х n-матрицу частных
производных
дх„
Если р? кп, то, вычисляя производные в этой точке, получаем чис-
числовую матрицу, которую мы будем обозначать Jp{f\,..., /г). Тогда
имеет место следующий результат.
Теорема 9. Пусть V = У(Д,..., /г) С С — некоторое многообра-
многообразие, и пусть ранг матрицы Jp{f\,..., /г) в точке р 6 V равен г.
Тогда р является неособой точкой многообразия V и принадле-
принадлежит единственной компоненте размерности п — г.
Доказательство. Как и в теореме 8, мы проведем доказательство
только в случае гиперповерхности V = V(/) С С™ (здесь г = 1).
Обратите внимание, что / может быть любым полиномом, опре-
определяющим V, т.е. мы допускаем, что I(V) ф (/). Из определения
касательного пространства следует, что
TP(V) С V(dp(/)). C)
Так как г = 1, то Jp(f) — вектор-строка с компонентами §~(р)- Если
ранг матрицы Jp(f) равен 1, то это означает, что хотя бы одна част-
частная производная не равна нулю в р. Тогда dp(f) является ненулевой
линейной функцией от Xi—pi, и из C) следует, что dimTp(V) < п-1.
Если сравнить это неравенство с формулой A), получится, что р не-
неособа, и в силу п. (iv) теоремы 8 точка р принадлежит ровно одной
неприводимой компоненте многообразия V. Так как эта компонен-
компонента имеет размерность п — г = п — 1, то в случае гиперповерхности
утверждение доказано. В общем случае доказательство см. в книге
Mumford A976) (теорема A.16)). ?
Теорема 9 очень важна по нескольким причинам. Во-первых,
она позволяет находить неособые точки и размерность многообра-
многообразия. Например, мы можем провести вычисления в примерах 4 и 5,
не определяя I(V) и 1(С). Во-вторых, теорема 9 согласуется с на-
нашим интуитивным представлением о том, что размерность должна

616
Гл. 9. Размерность многообразия
убывать на единицу при увеличении на один числа определяющих
уравнений. Это примерно то, что и говорит теорема, но с одним
важным уточнением, а именно: размерность убывает на единицу,
если определяющие уравнения достаточно независимы (это означа-
означает, что ранг матрицы Jp(/i,..., fr) равен г). В упр. 16 мы найдем
более точную формулировку этого утверждения. Обратите внима-
внимание, однако, что все эти замечания относятся к неособой части V.
Имеется связь между теоремой 9 и некоторыми разделами ана-
анализа. В частности, в условии теоремы о неявной функции содер-
содержатся те же предположения о Jp(/i,.. •, fT), что и в теореме 9. Если
V = V(/i,..., fT) удовлетворяет этим условиям, то комплексная
версия теоремы о неявной функции утверждает, что в окрестности
точки р многообразие V выглядит как график регулярной функ»
ции, и поэтому понятно, почему V имеет размерность п — г в р.
Чтобы понять смысл теоремы 9 полностью, нужно ознакомиться
с понятием гладкого многообразия. О гладких многообразиях, об
их размерности и особых точках на них можно прочитать в книге
Kendig A977).
Упражнения к § 6
1. В этом упражнении мы рассмотрим формальную производную.
(a) Докажите, что формальная производная -^ является fc-линей-
ной и для нее выполнено обычное правило дифференцирования
произведения.
(b) Докажите, что ^ (gf-/) = gf- (gf-/) для всех i,j.
(c) Пусть /i,..., /г € *[*!,..., хп]. Найдите ^(ft1 ¦ ¦ ¦ /?')¦
(d) Сформулируйте и докажите правило дифференцирования слож-
сложной функции вида F(/i,. . ., /г). Указание: используйте п. (с).
2. Докажите, что dp(hf) = h(p) ¦ dp(f)+dp(h) • f(p).
3. Пусть р = (pi,. . . ,pn) € kn и / G A;[a;i,... ,xn\-
(a) Докажите, что / может быть представлен как полином от Xi —pi-
Указание: х? = ({х{ - р.) + р,)т.
(b) Предположим, что в представлении / в виде полинома от Xi —pi
каждый член имеет степень > 2. Докажите, что д^-(р) = 0 для
всех г.
(c) Представим / в виде полинома от ц — pi. Докажите, что в этом
представлении его свободный член равен /(р), а линейная часть
равна dp(f). Указание: используйте п. (Ь).
4. Как в примере 4, пусть / = х2 — у2 z2 + z3 G C[x, y,z], и пусть V =»
(a) Докажите, что / неприводим в С[х, y,z].
(b) Докажите, что V содержит ось у.
§ 6. Размерность и неособость
617
(с) Пусть р € V. Докажите, что все частные производные равны ну-
нулю в р в том и только том случае, когда р принадлежит оси у.
5. Рассмотрим т х n-матрицу А, где п > т. Пусть г < т. Матрица
В называется г х r-подматрицей матрицы А, если она может быть
получена из А путем выбора г ее строк и г столбцов.
(a) Для произвольной числовой 3 х 4-матрицы выпишите все 3x3-
и 2 х 2-подматрицы.
(b) Докажите, что ранг матрицы А меньше г в том и только том слу-
случае, когда определители всех ее t х i-подматриц, где г <t < m,
равны 0. Указание: ранг матрицы равен максимальному числу
ее линейно независимых столбцов, и если ранг матрицы А равен
s, то можно найти т х s-подматрицу ранга s; но ранг также ра-
равен максимальному числу линейно независимых строк. В каком
случае г х г-матрица имеет ранг < г?
6. Как и в примере 5. пусть С = V(x + у + z,x2 — y2z2 + г3) С С3, и
пусть/= (x + y + z,x2 -y2z2 + 23) С C[x,y,z].
(a) Докажите, что идеал / прост. Указание: введите новые ко-
координаты X = х + у + z, Y = y, Z = z и докажите, что / =
(X, F(Y, Z)) для некоторого полинома F от У, Z; далее докажите,
что фГ, У, Z]/I = С[У, Z]/(F) и что полином F G С[У, Z] непри-
неприводим.
(b) Докажите, что многообразие С неприводимо и что 1(С) = /.
(c) Найдите размерность многообразия С.
(d) Найдите все точки (о, 6, с) G С, такие, что 2 х 3-матрица
1 1
; -26с2 -262с + 3с2
имеет ранг < 2. Указание: используйте упр. 5.
7. Пусть / = х2 G А;[ж,у]. Докажите, что TP(V(/)) / V(dp(/)) для всех
pev(/).
8. Пусть V = ~V(xz,yz) G А; , где поле к бесконечно.
(a) Найдите l(V).
(b) Проверьте справедливость формулы для dimTp(V), приведенной
в тексте параграфа.
9. Пусть / G k[xi,. . . ,х„] —полином, такой, что д^т/ = 0 для всех г.
Пусть характеристика поля к равна нулю (т. е. к содержит подполе,
изоморфное Q). Докажите, что / — нулевой полином.
10. Утверждение упр. 9 может не иметь места, если характеристика поля
к не равна нулю.
(а). Пусть f = х2 +у2 6 F2 [х, у], где F2 — поле, содержащее только два
элемента. Чему равны частные производные полинома /?
(Ь) Чтобы изучить случай ненулевой характеристики, сначала нуж-
нужно определить характеристику поля к. Покажите, что для лю-
любого поля к существует гомоморфизм колец ф : Ъ —> к, который

618
Гл. 9. Размерность многообразия
§ 6. Размерность и неособость
619
переводит число n G Z в единицу поля к, сложенную саму с бШ
п раз. Пусть ф инъективен. Докажите, что fc содержит подлоде,
изоморфное Q, и, следовательно, его характеристика равна ©.-
(c) Если характеристика поля fc не равна нулю, то ф не инъехтя*.
но. Докажите, что его ядром является идеал (р) С Z, где р,~
простое число. В этом случае мы говорим, что характеристика
поля к равна р. Указание: используйте теорему об изоморфна
ме из упр. 16 к § 2 гл. 5 и тот факт, что А; является областью
целостности.
(d) Пусть характеристика поля А; равна р. Докажите, что (а + Ь)р a
ар + V для всех а, 6 G fc.
(e) Пусть характеристика поля А; равна р и / G к[х\,... ,хп\. Дока-
Докажите, что все частные производные полинома / тождественно
равны нулю в том и только том случае, когда /(xi,...,zn) =
д{х\,.. ., Хп) для некоторого полинома д ? к[х\,..., х„].
(f) Пусть поле fc алгебраически замкнуто и имеет характеристику р.
Предположим, что полином / е A:[zi,... ,хп] неприводим. Дока-
Докажите, что некоторая его частная производная не равна тождест-
тождественно нулю. Это показывает, что теорема 8 справедлива в случае
гиперповерхности над любым алгебраически замкнутым полем.
Указание: используя пп. (d) и (е), докажите, что если все частные
производные тождественно равны нулю, то / является р-й сте-
степенью некоторого полинома. Почему требование алгебраической
замкнутости поля А; является существенным?
11. Пусть V = Vi U ... U Vr — разложение многообразия в объединение
неприводимых компонент.
(a) Предположим, что точка р ? V принадлежит единственной не-
неприводимой компоненте V*. Докажите, что TP(V) = Tp(Vi). Этот
факт иллюстрирует локальную природу касательного простран-
пространства. Указание: одно включение легко следует из того, что Vi С V;
с другой стороны, если / 6 I(W) - I(V,), где W — объединение
остальных компонент, и д ? I(V;), то fg ? I(V).
(b) Докажите, что точка р неособа в V в том и только том случае,
когда она неособа в Vi.
(c) Пусть ? — особое множество многообразия V, а ?; — особое мно-
множество многообразия Vi. Докажите, что
Указание: используйте п. (Ь) и п. (iv) теоремы 8.
(d) Предположим, что каждое Ei является собственным подмноже-
подмножеством в Vi. Докажите, что ? не содержит неприводимых ком-
компонент многообразия V. Это показывает, что п. (iii) теоремы 8
является следствием справедливости этой теоремы в неприводи-
неприводимом случае.
12. Найдите особые точки следующих кривых в к2. Поле fc считается
алгебраически замкнутым.
(a) у2 = х3 - 3.
(b) у2 = х3 - 6х2 + 9х.
(c) х2у2 + х2 + у2 + 2ху{х + у + 1) = 0.
(d) х2 = х* + у\
(e) ху = х6+ув.
(f) x2y + xy2=x4 + y4.
(g) X3=y2+x4 + y4
13. Найдите особые точки следующих поверхностей в fc . Поле А: счита-
считается алгебраически замкнутым.
(a) ху2 = z2.
(b) x2 + y2=z2.
(c) х2у + х3 + у3 = 0.
(d) х3 - xyz + у3=0.
14. Докажите, что У (у - х2 + у2, Ах - у2 + ш3) С С4 является непустой
гладкой поверхностью.
15. Рассмотрим гиперповерхность V С кп, которая не является гипер-
гиперплоскостью. Пусть р ? V — неособая точка. Докажите, что р явля-
является особой точкой многообразия V П TP(V). Указание: используйте
новые координаты, в которых TP(V) задается уравнением ц = 0,
т.е. мы можем рассматривать TP(V) как пространство fcn~\ и тогда
V П TP(V) — гиперповерхность в fc".
16. Пусть V С С1 — неприводимое многообразие размерности d, a p e V —
неособая точка.
(a) Докажите, что существуют полиномы /i, ¦ ¦ ¦, fn-d G I(V), такие,
что TP(V) = V(dp(/i),... ,dp(/n-d)).
(b) Пусть /i,...,/n-d такие же, как в п. (а). Докажите, что
JP(fi, ¦ ¦ ¦, fn-d) имеет ранг n - d и что V является неприводи-
неприводимой компонентой многообразия V(/i,..., fn-d). Это показывает,
что хотя само V может и не быть определено n-d уравнениями,
но оно является компонентой многообразия, определенного n-d
уравнениями. Указание: используйте теорему 9.
17. Пусть V С С1 — неприводимое многообразие размерности d, и пусть
100 = (Л. ••-./*>•
(a) Докажите, что точка р е V неособа в том и только том случае,
когда Jp(/i,..., fs) имеет ранг n-d. Указание: используйте пред-
предложение 2.
(b) Из теоремы 8 мы знаем, что у V есть неособые точки. Исполь-
Используя это и п. (а), докажите, что d > п - s. Какова связь этого
утверждения с предложением 5 из § 4?
(c) Пусть V — множество определителей всех (n - d) x (n - d)-
подматриц матрицы J(/i,..., fs). Докажите, что особым множе-

620
Гл. 9. Размерность многообразия
ством многообразия V является множество ? = V П ~V(g : д ST>).
Указание: используйте п. (а) и упр. 5. Что часть п. (ii) теоремы
8 говорит о ранге Jp(/i, • ¦ ¦, /s)?
§ 7. Касательный конус
В этом, последнем, параграфе книги мы рассмотрим касательный
конус многообразия V в точке р. Если точка р неособа, то в ее
окрестности многообразие V аппроксимируется касательным про-
пространством TP(V). Но это не так, если р — особая точка, потому что,
как мы видели в теореме 8 из § 6, касательное пространство в этом
случае имеет неправильную размерность — оно слишком большое.
Аппроксимация многообразия V в окрестности особой точки тре-
требует другого подхода.
Начнем с примера.
Пример 1. Рассмотрим кривую у2 = х2(х + 1), график которой
над Е имеет следующий вид:
Начало координат является особой точкой. В окрестности начала
координат кривая аппроксимируется прямыми у = ±х. Эти прямые
заданы уравнением х2 — у2 =0. Записав определяющее уравнение в
виде /(я, у) — х2 — у2 4-а;3, мы видим, что х2 —у2 является ненулевой
однородной компонентой полинома / наименьшей степени.
Рассмотрим теперь кривую у2 — я3 = 0:
7. Касательный конус
621
Для этой кривой начало координат также является особой точкой, а
ненулевой однородной компонентой полинома у2 — х3 наименьшей
степени является у2. Здесь V(y2)—это ось х, и она наилучшим
образом аппроксимирует кривую в окрестности особой точки.
В обоих случаях для аппроксимации кривой в окрестности осо-
особой точки мы использовали ненулевую однородную компоненту
определяющего уравнения наименьшей степени. Изложим эти идеи
в общем виде. Пусть р = (pi,... ,рп) € кп. Если a = (a\,... ,an) €
Z?o, то положим
Отметим, что полная степень полинома (х - р)а равна \а\ = ах +
... + ап. Пусть теперь дан полином / е k[xi,..., хп] полной степени
d. Представим его в виде полинома от xi—pi, т. е. в виде fc-линейной
комбинации полиномов (х - р)а при \а\ < d. Тогда
/ = /р,0 + /р,1 + • • • + fp,d, A)
где fp,j— это fc-линейная комбинация полиномов (х — р)а с |а| =
j. Отметим, что /Pj0 = f(p), а /рд = dp(f) (см. определение 1 из
предыдущего параграфа). В упражнениях мы рассмотрим формулу
Тейлора, которая позволяет определить fpj в терминах частных
производных полинома / в р. Часто бывает удобным перейти к
новым координатам, в которых р является началом координат, и
работать далее с обычными однородными компонентами.
Теперь дадим определение касательного конуса.
Определение 2. Рассмотрим аффинное многообразие V С кп, и
пусть р = (pi,...,pn) e V.
(i) Если / G к[х\,..., хп] — ненулевой полином, то через fp,min Mbi
будем обозначать компоненту fpj, где j — минимальное число,
такое, что fpj ^Ов представлении A).
(ii) Касательным конусом многообразия V в точке р, обозначае-
обозначаемым через CP(V), называется многообразие
CP(V)=V(fp,min:feI(V)).
Название «касательный конус» объясняется следующим пред-
предложением.
Предложение 3. Пусть рбУсР. Тогда CP(V) является сдви-
сдвигом аффинного конуса некоторого многообразия в Рп~1(к).
Доказательство. Введем новые координаты на кп, положив Х{ =
Xi — pi. В этих координатах точка р находится в начале координат.

622
Гл. 9. Размерность многообразия
Тогда /о, min — однородный полином от Xi,... ,Хп; следовательно,
всевозможные /о,min при / 6 1(^0 порождают однородный идеал
J С k[Xi,..., Хп]. Теперь CP(V) = VO(J) С кп по определению. Так
как J однороден, то он задает также проективное многообразие
W = VP(J) С Pn~1(fc). Но это и означает (см. гл. 8), что касательный
конус CP{V) совпадает с аффинным конусом Cw С кп. Q
Касательный конус гиперповерхности V С кп легко найти. В
упр. 2 будет показано, что если I(V) = (/), то конус CP(V) задан
уравнением /P;min = 0. Это именно то, что мы делали в примере 1.
Однако если I(V) = (/i,..., /s), s > 1, то CP(V) может не совпадать
с многообразием V((/1)Pimin,..., (/s)p,min). Рассмотрим, например,
многообразие V, заданное уравнениями ху = xz + z(y2 — z2) = 0. В
упр. 3 будет доказано, что I(V) = (xy,xz + z{y2 — z2)). Докажем,
что Cq{V) Ф \{xy,xz). Для этого отметим, что / = yz{y2 — z2) =
y(xz + z(y2 - z2)) - z(xy) € I(V). Тогда /0,min = yz(y2 - z2) равен
нулю на Co(V), но он не равен нулю на ~V{xy,xz).
Мы преодолеем эту трудность с помощью выбора подходящего
базиса Грёбнера. Результат особенно ясно формулируется, когда
р — начало координат.
Предложение 4. Пусть начало координат 0 содержится в V С
кп. Введем новую переменную Xq и зададим на к[хо, ¦ ¦ ¦ ,хп] моно-
миалъное упорядочение, такое, что из двух мономов одинаковой
полной степени моном, содержащий xq, больше монома, не со-
содержащего хо (lex и grlex с xq > ... > хп удовлетворяют этому
требованию).
(i) Пусть I(V)h С к[х0,... ,хп] — гомогенизация идеала I(V) и
Gi,.. -,Gn — базис Грёбнера идеала I(V)h no отношению к
определенному выше мономиальному упорядочению. Тогда
C0(V) = V(@i)O,min, • • • , @s)o,min),
где gi = Gi(l, x\,..., xn) — дегомогенизации полиномов Gi.
(ii) Пусть k алгебраически замкнуто, a I — любой идеал, такой,
что V = VG). Если G\,..., Gs — базис Грёбнера идеала Ih, то
Со00 = V(@i)O,min, • • ¦ , (gs)o,mm)y
где gi = Gi{\,x\,... ,хп) — дегомогенизация полинома Gi.
Доказательство. Здесь мы будем писать fj и /min вместо /Oj и
jO.min-
(i) Пусть I = I(V). Достаточно показать, что /min e ((9i)min, • • •,
(<?s)min) для всех / € I. Если это утверждение неверно, то можно
7. Касательный конус
623
найти / е I, такой, что /min $ ((gi)m\n, ¦ ¦ ¦, {9s)min) и, кроме того,
LT(/min) минимален в множестве полиномов с такими свойствами
(мы можем рассматривать /m,n как полином из к[хо,.. .,хп], так
что LT(/min) корректно определен). Представим / в виде суммы
однородных компонент,
/ = /min + ¦•• + fd,
где d — полная степень полинома /. Тогда
fh = ig/min + • • • + fd e lh
для некоторого а. Мы задали мономиальное упорядочение на
к[х0, • •. ,ж„] так, что vr(fh) = LT(/min)xg. Так как Gb ... ,GS -ба-
-базис Грёбнера, то некоторый lt(Gj) делит LT(/min)a;o-
Пусть gi —дегомогенизация полинома Gj. Тогда gi € I. Докажи-
Докажите самостоятельно, что
LT(Gi) = LT(@i)min)xg
для некоторого Ь. Тогда LT(/min) = cxa uv{{gi)m-m), где с—ненуле-
с—ненулевая константа из к, а ха — моном от переменных xi,.. .,хп. Те-
Теперь рассмотрим полином / = / — cxagi G /. Так как /min ^
((9i)min, ¦ • •, {9s)min), to /min - cxa(^)min / 0, откуда
/min = /min "" СХ (^ijmin.
Но тогда LT(/min) < LT(/min), так как старшие члены полиномов /min
и cxa(gi)min совпадают. Однако это противоречит минимальности
LT(/m;n). Пункт (i) доказан. В упраж^нениях будет показано, что
полиномы 9i,...,gs образуют базис идеала /, но не обязательно
базис Грёбнера.
(ii) Пусть W = V(/min : / е 7). Из п. (i) следует, что
Осталось доказать, что W является касательным конусом в нача-
начале координат. Так как I С I(V), то Co(V) С W. С другой сторо-
стороны, пусть д € I(V). Нам нужно показать, что дтт обращается в
нуль на W. По теореме о нулях дт Е I для некоторого т. Следо-
Следовательно, (#m)min = 0 на W. В упражнениях будет доказано, что
(#m)min = {9min)m. Значит, gmin равен нулю на W. Это завершает
доказательство предлож^ения 4. ?
Это предложение удобно применять в случае алгебраически
замкнутого поля, потому что п. (ii) объясняет, как найти касатель-
касательный конус, используя любой набор определяющих уравнений.

624
Гл. 9. Размерность многообразия
Пусть, например, V = V(xy,xz + z(y2 — z2)). Положим / =
{xy,xz + z(x2 — у2)). На первом шаге мы строим однородный
идеал Ih С k[w,x,y,z], где w — дополнительная переменная. Ба-
Базис Грёбнера идеала I по отношению к grlex-упорядочению есть
{xy,xz + z(x2 - у2),х2z - xz3}. Тогда {xy,xzw + z(x2 - y2),x2zw -
xz3} —это базис идеала Ih (см. § 4 гл. 8). Этот базис является ба-
базисом Грёбнера относительно grlex-упорядочения cx>y>z>w
(см. упр. 5). Но такое мономиальное упорядочение не удовлетво-
удовлетворяет условию предложения 4. Однако если мы используем grlex-
упорядочение сш>1>у>2, то получим базис Грёбнера
{xy,xzw
-y2),yz(y2 - z2)}.
Тогда из предложения 4 следует, что для определения касательного
конуса в нуле нам нужно дегомогенизировать элементы базиса и
взять минимальные однородные компоненты. Имеем
C0(V)=V(xy7xz,yz(y2-z2)).
В упражнениях будет показано, что это есть объединение пяти пря-
прямых, проходящих через начало координат в к3.
Теперь мы рассмотрим, как касательный конус аппроксимиру-
аппроксимирует многообразие в окрестности точки р. По предложению 3 конус
CP(V) является сдвигом аффинного конуса, т.е. CP(V) является
объединением прямых, проходящих через точку р. Поэтому нам
нужно указать, какие именно прямые принадлежат CP(V). Мы сде-
сделаем это, используя секущие прямые. Дадим определение. Пусть
прямая L с кп проходит через точку р. Тогда L называется секущей
прямой многообразия V, если она содержит еще хотя бы одну точ-
точку этого многообразия, отличную от р. Вот главное соображение:
когда секущие прямые определены точками из V, стремящимися к
р, то «предел» этих секущих должен принадлежать касательному
конусу. Приведем рисунок:
касательный конус
в начале координат
7. Касательный конус
625
Чтобы добиться строгости, мы будем работать над полем ком-
комплексных чисел С. В этом случае последовательность точек q^ ? С"
сходится к точке q € С", если координаты точек q^ сходятся к со-
соответствующим координатам точки q. Мы предполагаем, что чи-
читатель имеет некоторый опыт работы с такими последовательно-
последовательностями.
Мы будем считать, что прямые заданы параметрическими урав-
уравнениями, т. е. прямая L задана в виде р + tv, где v — вектор, парал-
параллельный L, a t ? С. Определим предел прямых.
Определение 5. Прямая L С С", проходящая через точку р, назы-
называется пределом прямых {?*}??_!, проходящих через ту же точку
р, если для заданной параметризации р + vt прямой L существуют
параметризации р + tVk прямых ?*, такие, что Нт^-юои* = v.
Следующий рисунок поясняет это определение:
Теперь мы можем сформулировать точное утверждение об ап-
аппроксимации.
Теорема 6. Пусть V С С" — аффинное многообразие. Прямая L,
проходящая через точку р G V, принадлежит касательному ко-
конусу CP(V) в том и только том случае, когда существует после-
последовательность точек {qk}c^L1 в V - {р}, сходящаяся кр и такая,
что L является пределом секущих Lk, где Lk —прямая, соединя-
соединяющая р и qk-
Доказательство. Мы можем считать, что р = 0. Пусть последова-
последовательность {gjt} точек из V сходится к нулю, а последовательность
прямых Lk (Lk соединяет 0 и точку qf.) сходится (в смысле опреде-
определения 5) к прямой L. Мы хотим доказать, что L С Co(V).

626
Гл. 9. Размерность многообразия
Существуют параметризации tvk прямых Lk (напомним, что
р — 0), такие, что Vk -> v при к -> оо, где iu —параметр прямой
L. Так как qk ? Ьк, то <^ = ifcUfc. Здесь tk ф 0, так как в противном
случае д^ = р. Мы утверждаем, что tk —> 0. В самом деле, ujt —^ и ^Q?
a ifcufc = qk -» 0 (подробнее это будет рассматриваться в упр. 8).
Пусть полином / обращается в нуль на V. Мы будем писать /у
и /min вместо fOj и /o,min- Если степень полинома / равна d, то
/ = fi + fi+i + ¦¦¦ + fd, где /; = /min- Так как qk = tt«t S V, то '•
• ••• + fd{tkvk).
0 =
Так как /j однороден и имеет степень г, так что fi{tkVk) = *fc
B)
Поскольку
0,
0 =
tdk-'fd{vk).
D)
Рассматривая предел правой части формулы D) при fc —> оо (по-
(поскольку Vk —ь v, a, tk —ь 0), получаем, что //(и) = 0, а так как
fi(tv) = tl fi(v) = 0 для всех t, то L С CfoOO- Это означает, что C0(V)
содержит все пределы секущих, определенных последовательностя-
последовательностями точек из V, сходящимися к нулю.
Докажем обратное включение. Для этого рассмотрим множе-
множество
V = {(и, t) ? С" X С : tv ? V, t ф 0} С С^1. E)
Если (v,t) ? V, то прямая L, проходящая через 0 и точку tv, явля-
является секущей. Мы хотим понять, что происходит с V, когда t —*• 0.
Для этого мы рассмотрим замыкание Зарисского V множества V,
которое является наименьшим многообразием в С"+1, содержащим
V. Мы утверждаем, что
V = VU(Co(V)x{0}). F)
Мы знаем, что V = V(I(V)) (см. § 4 гл. 4). То есть нам нужно опи-
описать функции, равные нулю на V. Пусть / € I(V), где / = /; + •• -+/d-
Положим
/ = fi + t/i+i + • • ¦ + td'lfd ? C[t,Xl,.. .,!„].
Мы докажем, что
I(V) = (/:/6l(V)). G)
В одну сторону это просто: если / ? 1(V) и (v, t) ? V, то f{tv) =0г
и тогда из B), C) и D) следует, что f(v,t) = 0. С другой сторонь^
пусть д €C[t,xi,... ,хп] обращается в нуль на V. Пусть <? = JZi <?i^i
7. Касательный конус
627
где gi € C[ii,..., хп], и пусть gi = Y^j 9ij ~ разложение полинома д4
в сумму однородных компонент. Если (v,t) ? V, то (Xv, A-1i) G V
для любого А ? С- {0}, потому что (А^) • (Xv) G V. Таким образом,
0 = g{Xv,X-H) -
для всех А ф 0. Положим m — j — i и перепишем сумму в виде
0 =
Так как это равенство выполнено для любого элемента А ф 0, то
Si 9i,m+i{v)tl - 0 для всех т. Следовательно, ]Г\ ^;m+i(u)tl e I(V).
Пусть fm = Yli9i,m+i € <C[xi,...,xn]. Так как (v, 1) ? V для всех
и € У, то /т € i(V). Обозначим через го наименьшее г, такое, что
gi,m+i ф 0. Тогда
fm = 9io,m+io + 0io+l,m+to + l^ + • • ¦ i
следовательно, ^j^i.m+ti1 = tl° fm. Отсюда сразу вытекает, что д ?
(f '¦ f € I(V)). Таким образом, G) доказано.
Из G) следует, что V = V(/ : / ? I(V')). Опишем это много-
многообразие. Пусть (v,t) e C"+1 и t ф 0. Из B), C) и D) следует, что
f(v,t) = 0 в том и только том случае, когда f(tv) — 0. Значит,
Vn{(v,t) -А
= V.
Пусть теперь t = 0. Если / = /; + ... + fd, где /, = /min, то из
определения полинома / следует, что f(v, 0) = 0 в том и только том
случае, когда fi(v) = 0. Следовательно,
и F) доказано.
Чтобы закончить доказательство теоремы 6, нам понадобится
следующее свойство замыкания Зарисского.
Предложение 7. Пусть Z С W С С" — аффинные многообразия
и W является замыканием Зарисского множества W — Z. Если
z ? Z — произвольная точка, то существует последовательность
точек {wk € W — 2}^_1; сходящаяся к z.

628
Гл. 9. Размерность многообразия
Доказательство. Доказательство этого утверждения требует
сложной техники и выходит за рамки этой книги. В книге
Mumford A976) это утверждение доказано для неприводимых
многообразий в РП(С) (теорема B.33)). В упр. 9 будет показано,
как вывести предложение 7 из теоремы Мамфорда. Q
Чтобы применить предложение 7, положим Z = C0(V) x {0} С
W = V. По F) имеем W- Z = V-(C0{V) x {0}) = V; следовательно,
W = V является замыканием Зарисского множества W — Z. Тогда из
предложения 7 следует, что каждая точка Z = Co(V) x {0} является
пределом точек из W — Z = V'.
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 6. Пусть
прямая L с параметризацией tv принадлежит Co(V). Тогда v G
Co(V) и, следовательно, (v,0) ? Co(V) x {0}. Найдем последова-
последовательность точек (i>jfc,?jfc) 6 V, сходящуюся к (г>,0). Обозначим через
Lk прямую с параметризацией tvk- Тогда Lk —» L. Кроме того, так
как qk = tkVk € V и tk ф 0, то Ljt — секущая, определенная точкой
qk € V. Наконец, q^ = tk ¦ vk -» 0 ¦ v = 0 при к -» оо. Это и означает,
что L является пределом секущих, определенных точками qk € V,
сходящимися к 0. Доказательство теоремы закончено. ?
Если мы работаем над произвольным полем, то мы не можем
определить сходимость секущих. Поэтому не очевидно, как обоб-
обобщить теорему 6 на случай произвольного поля. Но если р 6 V явля-
является началом координат, то над любым полем мы можем опреде-
определить многообразие V, как в E), и каждая секущая по-прежнему
определяет точку (?;, t) € V с t ф 0. Чисто алгебраический способ
перехода к пределу при t -+ 0 состоит в рассмотрении наименьшего
многообразия, содержащего V, и анализа того, что происходит при
t = 0, т.е. рассмотрения множества V П (кп х {0}), которое по F)
равно Co(V) х {0}. Проверьте самостоятельно, что доказательство
формулы F) корректно над любым полем и потому разложение
V = VU(C0(V) x{0})
может рассматриваться, как обобщение теоремы 6 на случай про-
произвольного поля. В упр. 10 будут рассматриваться некоторые ин-
интересные свойства многообразия V.
Касательный конус также аппроксимирует многообразие в тер-
терминах размерности. Напомним (см. § 6), что dimp V — это максимум
размерностей неприводимых компонент, содержащих р.
Теорема 8. Пусть точка р принадлежит многообразию V С кп.
Тогда dimpV = dimCp(V).
7. Касательный конус
629
Доказательство. Это стандартный результат из коммутативной
алгебры (см., например, Matsumura A986), Theorem 13.9). Как и
в § 6, мы докажем это утверждение только в случае гиперповерх-
гиперповерхности в С". Если V = V(/), то CP(V) = V(/P,min) (упр. 2). Таким
образом, V и Ср(V) —гиперповерхности, а следовательно, их раз-
размерность равна п — 1 во всех точках. Значит, dimp V = dim CP(V). ?
Это полезный результат, так как он дает возможность найти
dimp V, не разлагая V на неприводимые компоненты.
Обсудим, наконец, связь между касательным конусом и каса-
касательным пространством. В упражнениях будет доказано, что для
любой точки р ? V имеет место включение
CP(V) С TP(V).
В терминах размерностей это означает, что
dimCP{V) <dimTp(V).
Следующее утверждение дает критерий совпадения этих множеств.
Следствие 9. Пусть поле к алгебраически замкнуто, а точка
р принадлежит многообразию V С кп. Следующие три условия
эквивалентны:
(i) p — неособая точка многообразия У;
(И) dim Ср(У) = dim ТР(У);
(ш) CP(V)=TP(V).
Доказательство. Так как dimCp(V) = dimp V по теореме 8, то
эквивалентность условий (i) и (ii) сразу следует из определения
неособой точки. Импликация (iii)=>(ii) тривиальна; поэтому нужно
доказать, что (ii)=>(iii).
Так как к алгебраически замкнуто, то оно бесконечно; поэтому
TP(V) является неприводимым многообразием в кп. (Если TP(V) —
координатное подпространство, то это следует из упр. 7 к § 1. Об-
Общий случай рассмотрен в упр. 12.) Таким образом, если размерно-
размерности пространств CP(V) и TP(V) совпадают, то равенство CP(V) =
TP(V) непосредственно следует из аффинной версии предложения
10 из § 4 (см. упр. 18 к § 4).
Из теоремы 6 и следствия 9 получаем, что касательное простран-
пространство в неособой точке р многообразия V С С" является объедине-
объединением всех пределов секущих, определенных последовательностями
точек из V, сходящимися к р. Это важное обобщение теоремы из
элементарного анализа, утверждающей, что касательная к кривой
является пределом секущих.

630
Гл. 9. Размерность многообразия
Упражнения к § 7
1. Пусть поле А; имеет характеристику 0. Рассмотрим точку р е кп и
полином / е Jfc[xi,..., х„]. Тогда / может быть записан в виде / =
J2cc*(x -p)Qi гДе cQ е А;, а (х - р)а определен в тексте параграфа.
При заданном а положим
где gtrj- означает Qi-кратное дифференцирование по переменной Xi.
Положим далее
а! = Qi! ¦ Q2! • • ¦ Qn-
(a) Докажите, что
да(х—рI3. . I а!, если а = C,
д°х ~ | 0, еслиа//?.
Указание: надо рассмотреть два случая: когда /3, < Qi для неко-
некоторого г и когда j3i > 04 для всех i.
(b) Пусть / = ^Q ca{x -p)a- Докажите, что
и что
Это равенство называется формулой Тейлора для / в точке р.
Указание: объясните, почему характеристика поля А; должна
быть равна нулю.
(c) Выпишите формулу из п. (Ь) в явном виде для полинома / €
А:[х,у] полной степени 3.
(d) Как определить /PlJ- в терминах частных производных полинома
/?
(e) Покажите на примере, что над полем положительной характери-
характеристики не всегда можно выразить полиномом / в терминах част-
частных производных. Указание: см. упр. 10 к § 6.
2. Рассмотрим гиперповерхность V С кп.
(a) Пусть I(V) = (/). Докажите, что CP(V) = V(/P,min).
(b) Пусть А; алгебраически замкнуто, а V — V(/). Докажите, что
утверждение п. (а) остается справедливым. Указание: см. дока-
доказательство п. (ii) предложения 4.
3. В этом упражнении мы покажем, что идеал /= (xy,xz + z(y —г")) С
к[х, у, z] радикален (характеристика поля А: равна 0).
7. Касательный конус
631
(а) Докажите, что
{x,z{y2 - z2)) = {x,z)n(x,y-z)n{x,y + z).
Докажите, что три идеала в правой части равенства просты. Ука-
Указание: работайте в факторкольце А:[ж, у, z)/(x) = k[y, z] и исполь-
используйте тот факт, что в кольце k[y, z] разложение на множители
однозначно. Объясните, почему этот результат неверен над по-
полем F2 из двух элементов.
(b) Докажите, что
(у, xz - z3) = (у, z) П (у, х - г2).
Докажите, что оба идеала в правой части равенства просты.
(c) Докажите, что / = (x,z(y2 — z2)) П (y,xz — z3). Указание: мож-
можно использовать алгоритм пересечения идеалов из § 3 гл. 4, но
можно обойтись и без этого.
(d) Из (а), (Ь) и (с) следует, что / является пересечением пяти про-
простых идеалов. Докажите, что / радикален. Используя его разло-
разложение, опишите V = V(/) С А:3.
(e) Пусть А: алгебраически замкнуто. Что представляет собой идеал
4. В этом упражнении мы рассмотрим доказательство предложения 4.
Зафиксируем мономиальное упорядочение > на А:[хо,..., х„], удовле-
удовлетворяющее условиям предложения 4.
(a) Пусть g G A:[xi,..., in] является дегомогенизацией полинома G 6
А;[хо,... ,хп]. Докажите, что lt(G) = LTCmin)xo для некоторого Ь.
(b) Пусть Gi,..., Gs образуют базис идеала Ih. Докажите, что де-
гомогенизации ду, . . . ,gs этих полиномов образуют базис в /. В
упр. 5 мы покажем, что если Gi,..., Gs образуют базис Грёбнера
идеала / по отношению к >, то дх,..., gs могут не образовывать
базис Грёбнера идеала / по отношению к индуцированному упо-
упорядочению на A:[xi, •. • , 1П].
(c) Пусть f,g e fc[xi,...,xn]. Докажите, что (/ • g)min = /min ¦ gmin.
Выведите из этого, что (/m)min = (/min)m.
5. Продолжим изучение многообразия V = У(ху, xz + z(y2 — z2)), нача-
начатое в тексте параграфа.
(a) Используя grlex-упорядочение cw>x>y>z, докажите, что
базисом Грёбнера идеала Ih С k{w,x,y,z] является {ху, xzw +
z(y2-z2),yz(y2-z2)}.
(b) Дегомогенизируя базис Грёбнера из п. (а), мы получим базис иде-
идеала /. Докажите, что этот базис не является базисом Грёбнера
идеала / по отношению к grlex-упорядочению с х > у > z.

632
Гл. 9. Размерность многообразия
(с) Используя предложение 4, докажите, что касательный конус
Co{V) является объединением пяти прямых, проходящих через
начало координат в к3. Сравните ваш ответ с ответом к п. (е)
упр. 3.
6. Найдите размерность касательного конуса и размерность касатель-
касательного пространства в нуле для многообразий, заданных следующими
идеалами:
(a) (xz,xy) С k[x,y,z];
(b) (x-y2,x-z3)Ck[x,y,z].
7. В § 3 гл. 3 с помощью теории исключения мы показали, что касатель-
касательная поверхность S скрученной кубики V(y — ж2, z — х3) С R3 задана
уравнением
x3z - C/4)хУ - C/2)xyz + у3 + A/4J2 = 0.
(a) Докажите, что скрученная кубика является особым множеством
касательной поверхности 5. Указание: два разных идеала могут
определять одно и то же многообразие. См. формулу A4) из § 4
гл. 3.
(b) Найдите касательное пространство и касательный конус поверх-
поверхности S в нуле.
8. Рассмотрим две последовательности векторов ъ> и tkVk в С", где
tk G С, Vk —> t; / 0 и tkVk —> 0. Мы утверждаем, что tk —> 0 в С.
Чтобы доказать это, определим модуль комплексного числа t = х +
iy формулой Щ = у/х2 + у2, а норму вектора v = (zi,..., zn) € С"
формулой \v\ = \/\zii2
+ ... +
2. Напомним, что сходимость vk
формулой \v\ \/\zi\ + + \n\ , д
означает, что для любого е найдется N, такое, что \vk — г>| < е для
всех к > N.
(a) Пусть v = (zi,...,zn), a vk = (z*i,..., zkn)- Докажите, что из
сходимости Vk ^у v следует, что Zkj —> zj для всех j. Указание:
обратите внимание, что \zj\ < \v\.
(b) Выберите ненулевую компоненту zj вектора v. Докажите, что
Zkj —> Zj ф 0 и что tk Zkj —» 0. Теперь разделите на Zj и покажите,
что tk —> 0.
9. Теорема B.33) из книги Mumford A976) утверждает, что если
W С РП(С) —неприводимое проективное многообразие, a Z С W —
проективное многообразие, не равное W, то каждая точка из Z явля-
является пределом точек из W — Z. С помощью этой теоремы мы хотим
доказать предложение 7.
(а) Пусть Z С W С С1 — аффинные многообразия и W является за-
замыканием Зарисского множества W — Z. Докажите, что Z не
содержит неприводимых компонент многообразия W.
7. Касательный конус
633
(b) Покажите, что достаточно доказать предложение 7 в случае, ког-
когда W неприводимо. Указание: если р 6 Z, то р принадлежит не-
некоторой компоненте W\ многообразия W. Что п. (а) говорит о
Wi П Z С tt'i? _ _
(c) Пусть Z С W С С1, где W неприводимо и Z ф W. Пусть Z и W —
проективные замыкания многообразий W и Z в РП(С). Докажи-
Докажите, что неприводимый случай предложения 7 следует из упомя-
упомянутой выше теоремы Мамфорда B.33). Указание: рассмотрите
~Z\J{W -W)CW.
(d) Докажите, что справедливо обратное утверждение. А именно,
пусть рб С". Если р ? W — Z и р является пределом точек из
W — Z,Top€Z. Указание: докажите, что р G W, и воспользуйтесь
непрерывностью полиномов.
10. Пусть многообразие V С кп содержит начало координат. Рассмотрим
многообразие V С A;n+1, определенное в E). Для А ? А; определим
«срез» (А;п х Л) П V.
(a) Докажите, что этот срез равен множеству V\ x {Л}, где Vx = {v e
кп : \v G V}. Докажите, что V\ — аффинное многообразие.
(b) Докажите, что Vi = V и что V\ изоморфно V при Л ф 0. Указание:
рассмотрите полиномиальное отображение, переводящее х в \х,
где 1бГ.
(c) Пусть А; = R или С, и пусть Л / 0 —малое число. Объясните,
почему V\ представляет собой «увеличение» многообразия V в
1/Л раз. Покажите, что V\ при Л —> 0 показывает, как ведет себя
V в окрестности начала координат.
(d) Используя F), докажите, что Vo = Co(V). Объясните это равен-
равенство в терминах «увеличения» из части (с).
11. Пусть р 6 V С кп. Докажите, что CP(V) С TP(V).
12. Пусть А; — бесконечное поле и V С А;"—линейное подпространство.
Докажите, что V неприводимо. Указание: в упр. 7 к § 1 было пока-
показано, что это так, если V — координатное подпространство; теперь
выберите подходящий базис в кп.
13. Пусть W С РП-1(С) —проективное многообразие и Cw С С" —его
аффинный конус.
(a) Докажите, что касательный конус многообразия Cw в начале
координат равен Cw ¦
(b) Докажите, что начало координат является гладкой точкой кону-
конуса Cw в том и только том случае, когда W является проективным
линейным подпространством в Р"-1(С). Указание: используйте
следствие 9.

634
Гл. 9. Размерность многообразия
В упр. 14-17 мы изучим «раздутие» многообразия V в точке р € V.
Процесс раздутия определяет отображение многообразий тг : V -» V, та-
такое, что вне точки р многообразия V и V одинаковы, но в р многообразие
V может быть значительно больше, чем V (в зависимости от вида каса-
касательного конуса CP(V)).
14. Пусть к— произвольное поле. В § 5 гл. 8 мы изучали многообразия в
Pn-1 х А;", где Pn-1 = Р"^). Пусть yi,..., уп — однородные коор-
координаты на Р", a xi,..., хп — координаты на А;". Тогда (j/i,... ,уп)-
однородные полиномы Xitjj — Xjfji (см. § 5 гл. 8) определяют мно-
многообразие Г С Р71 х А:п. Это многообразие имеет ряд интересных
свойств.
(a) Пусть (р, q) G Р" х кп. Докажите (рассматривая р в однород-
однородных, a q в обычных координатах), что (р,д) € Г в том и только
том случае, когда q = tp для некоторого t € к (t может быть
нулем).
(b) Пусть q ф 0 в кп. Докажите, что (Р" х {q}) ПГ состоит из един-
единственной точки (q,q), где первое д — это точка в Р" с однород-
однородными координатами, определенными точкой q е кп — 0. Пусть
д = 0. Тогда докажите, что (Р" х {q}) П Г = Pn~' x {0}.
(c) Пусть тг : Г —> кп — отображение проекции. Докажите, что про-
прообраз тг-1(д) состоит из одной точки, если q ф 0. Если же 5=0,
то тг-1(О) изоморфно Р". Таким образом, мы можем рассмат-
рассматривать Г как многообразие, полученное удалением начала коор-
координат из А;" и вклеиванием вместо него Р".
(d) Чтобы понять, что из себя представляет Р" х {0} С Г, рас-
рассмотрим прямую L в кп, проходящую через начало координат,
с параметризацией tv. Докажите, что точки (v,tv) G Р71 х А;"
принадлежат Г и, следовательно, описывают кривую L С Г. Рас-
Рассмотрите, в какой точке L пересекает Р" х {0}, и выведите
отсюда, что разные прямые, проходящие через начало коорди-
координат в А:", определяют разные точки в 7г"@). Таким образом, в
отличие от кп многообразие Г отделяет друг от друга касатель-
касательные направления в начале координат. Мы называем тг : Г —> А:"
раздутием пространства кп в нуле.
15. Это упражнение является продолжением упр. 14. Пусть V С кп —
многообразие, содержащее начало координат, и пусть начало ко-
координат не является неприводимой компонентой многообразия V.
Мы хотим определить раздутие многообразия V в нуле. Пусть Г С
Р" х А:" определено, как в предыдущем упражнении. Тогда V С Г
определено как наименьшее многообразие в Р" х кп, содержащее
(Р71 х (V - {0}))ПГ. Пусть тг: Г ->• Jfc" — отображение проекции. До-
Докажите, что тг(У) = V. Указание: докажите сначала, что V С Pn~x x V.
§ 7. Касательный конус
635
Это упражнение показывает, что существует отображение тг: V —>
V, которое называется раздутием многообразия V в нуле. В упр. 14
было доказано, что тг"' (q) состоит из единственной точки, если qфO¦
В упр. 16 мы опишем тг~1(О) в терминах касательного конуса Co{V).
16. Пусть V С кп — многообразие, содержащее начало координат. Пред-
Предположим, что начало координат не является неприводимой компо-
компонентой многообразия V. Мы знаем, что касательный конус Co(V)
является аффинным конусом некоторого проективного многообра-
многообразия W С Р". Назовем W проективизированным касательным ко-
конусом многообразия V в нуле. Мы хотим показать, что тг-1(О) =
W х {0}, где тг определено в упр. 15.
(a) Пусть 0 не является неприводимой компонентой многообразия V.
Докажите, что поле А: бесконечно и что V является замыканием
Зарисского множества V — {0}.
(b) Пусть g e k[yi,-.., у„,ц,... ,х„]. Докажите, что g e I(V) в том и
только том случае, когда g(tq, q) = 0 для всех q 6 V — {0} и всех
t ? к — {0}. Указание: примените п. (а) упр. 14.
(c) Далее, докажите, что g G I(V) в том и только том случае, когда
з(*9>9) = 0 Для всех 9 G У и всех t ? к. Указание: используйте
пп. (а) и (Ь).
(d) Объясните, почему идеал 1(V) порожден (j/i,..., уп^однородны-
уп^однородными полиномами. _
(e) Пусть g = ^2aga{yi,-.-, Уп)ха 6 I(V). Из п. (d) следует, что да мы
можем считать однородными полиномами одной и той же полной
степени d. Пусть
Докажите, что / 6 1{V). Указание: сначала докажите, что /(xi,
... ,xn)td = g(txi:... ,txn, xi,..., х„), а потом примените п. (с).
(f) Докажите, что W х {0} С УП(Р"~1 х {0}). Указание: достаточно
доказать, что g(v, 0) = 0 для всех д 6 I(V) и»? Co(V). В обозна-
обозначениях п. (е) имеем g(v, 0) = go{v). Если до Ф 0, то докажите, что
д0 = /mjn, где / — полином, определенный в п. (е).
(g) Докажите, что V П (Pn-1 х {0}) С W х {0}. Указание: докажите,
что если / = /i + . ¦ ¦ + /d 6 I(V), где /; = /min, и д является
остатком от деления полинома tlf на tx\ — yi,- • ¦,txn — yn, то д
не зависит от t и д G I(V); затем найдите g(v, 0), используя пп. (е)
и@-
Прямая, принадлежащая касательному конусу, может рассматри-
рассматриваться как направление приближения к началу координат по точкам
из V. Поэтому проективизированный касательный конус описыва-
описывает все такие пути. Равенство тг^) = W х {0} означает, что каждое

636
Гл. 9. Размерность многообразия
такое направление определяет свою точку в раздутии. Обратите вни-
внимание, что этот факт является глубоким обобщением упр. 14.
17. Пусть к — алгебраически замкнутое поле, а многообразие V = V(fi,
• ¦ •, fs) С кл содержит начало координат.
(a) Анализируя п. (g) предыдущего упражнения, объясните, как
найти определяющие уравнения раздутия V.
(b) Найдите раздутие в начале координат многообразия V(j/2 — ж2 —
ж3) и объясните, как ваш ответ согласуется с первым рисунком
в примере 1.
(c) Найдите раздутие в начале координат многообразия V(y2 — х3).
Обратите внимание, что раздутия в пп. (Ь) и (с) — гладкие кривые.
В общем случае раздутие является важным инструментом десингу-
ляризации многообразий с особыми точками.
Приложение А
Некоторые понятия из алгебры
В этом приложении собраны строгие определения понятий и точ-
точные формулировки утверждений из алгебры, используемых в кни-
книге. Читателю, знакомому с абстрактной алгеброй, большая часть
изложенного здесь материала хорошо известна. Если же читатель
с этим сталкивается впервые, то он должен иметь в виду, что аб-
абстрактные понятия, определенные в этом приложении, использу-
используются в книге в весьма частных ситуациях.
§ 1. Поля и кольца
Сначала мы дадим строгое определение поля.
Определение 1. Полем называется множество к с двумя задан-
заданными на нем бинарными операциями • и +, которые удовлетворя-
удовлетворяют следующим условиям:
(i) (а + Ь) + с — а + (Ь + с) и (а • Ь) ¦ с = а • (Ь ¦ с) для всех а, Ь, с G к
(ассоциативность);
(п) а + Ь = Ь + аиа-Ь = Ь-а для всех а,Ъ € к (коммутативность);
(ш) а ¦ (Ь + с) = а ¦ b + а ¦ с для всех а,Ь,с € к (дистрибутивность);
(iv) существуют элементы 0,1 G к, называемые нулем и единицей
соответственно, такие, что а + 0 = а-1 = а для любого а ? к;
(v) для любого элемента а ? к существует элемент Ь € к, такой, что
а + b = 0 (существование аддитивного обратного);
(vi) для любого элемента а € к, а ф 0, существует элемент с ? к
такой, что а • с = 1 (существование мультипликативного обрат-
обратного).
Мы, главным образом, работаем с полями Q, Е и С. Кроме то-
того, в упражнениях к § 1 упоминается поле F2, состоящее из двух

638
Приложение А. Некоторые понятия из алгебры
элементов 0 и 1. В книге рассматриваются также и более сложные
поля. Например, в § 3 гл. 1 мы определяем поле k(h,.. ¦ ,tm) рацио-
рациональных функций от переменных t\,..., tm с коэффициентами из к,
а в § 5 гл. 5 —поле k(V) рациональных функций на неприводимом
многообразии V.
Если мы не требуем существования мультипликативного обрат-
обратного, то получаем определение коммутативного кольца.
Определение 2. Коммутативным кольцом называется множе-
множество R с двумя бинарными операциями • и +, которые удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:
(i) (а + 6) + с = а + (Ь + с) и (а • Ь) ¦ с = а ¦ (Ь ¦ с) для всех a,b,c? R
(ассоциативность);
(ii) а + Ь = Ь + аиа-Ь = Ьа для всех a,b ? R (коммутативность);
(iii) a-(b+c)=a-b + a-c для всех a,b,c ? R (дистрибутивность);
(iv) существуют элементы 0,1 ? R, называемые нулем и едини-
единицей соответственно, такие, что а + 0 = а-1 = а для любого
а ? R;
(v) для любого элемента а ? R существует элемент b ? R, такой,
что а + b = 0 (существование аддитивного обратного).
Любое поле, разумеется, является коммутативным кольцом.!
Другими примерами коммутативных колец служат кольцо целых
чисел Z и кольцо полиномов к[х\,... ,хп]. Последнее и есть основа
ной предмет рассмотрения этой книги. В гл. 5 мы строим ещю
два коммутативных кольца: координатное кольцо k[V] полиноми-;
альных функций на аффинном многообразии V и факторкольцо
k[xi,...,xn]/I по идеалу I С к[хг,... ,хп].
Особым классом коммутативных колец являются области це-
целостности.
Определение 3. Коммутативное кольцо R называется областью.
целостности, если из равенства а • b = 0, где а, 6 G R, следует, что
или а = 0, или 6 = 0.
Любое поле является областью целостности. Кольцо полиномов,
к[х\,..., хп] также является областью целостности. В гл. 5 дока-
доказывается, что координатное кольцо k[V] многообразия V является
областью целостности в том и только том случае, когда V непри-
водимо.
Наконец, дадим определение идеала в случае произвольного
кольца.
2. Группы
639
Определение 4. Пусть R — коммутативное кольцо. Подмноже-
Подмножество I С R называется идеалом, если выполнены следующие усло-
условия:
(i) о е I-
(ii) если а,Ь е I, то а + b e Г,
(iii) если а е /, a b e R, то b ¦ а е I-
Обратите внимание, что это определение является обобщением
определения идеала, данного в § 4 гл. 1.
§ 2. Группы
Группа определяется следующим образом.
Определение 1. Группой называется множество G с заданной на
нем бинарной операцией •, которая удовлетворяет следующим усло-
условиям:
(i) (а • Ъ) ¦ с = а • F • с) для всех а, Ъ, с G G (ассоциативность);
(ii) существует элемент 1 G G, называемый единицей, такой, что
1 • а = а • 1 = а для любого а ? G;
(iii) для любого элемента а ? G существует элемент Ъ ? G, такой,
что а ¦ b = b ¦ а = 1 (существование обратного элемента).
Простой пример группы представляет собой множество целых
чисел Z с операцией сложения. Обратите внимание, что Ъ не образу-
образует группу по умножению. Более интересный пример дает линейная
алгебра. Пусть к — некоторое поле. Рассмотрим множество
GL(n, к) = {А : А — обратимая п х n-матрица с элементами из к).
Так как произведение двух обратимых матриц является обрати-
обратимой матрицей, то матричное умножение — бинарная операция на
GL(n, к). Легко проверить, что все аксиомы группы выполнены.
В качестве последнего примера группы рассмотрим множество
Sn — {? '¦ {1, • • •, п} —t {1,..., п} : а — взаимно однозначное
отображение «на»},
где п — положительное целое число. Операция композиции функ-
функций превращает Sn в группу. Так как элементы а ? 5„ можно рас-
рассматривать как перестановки чисел от 1 до п, то 5„ называется
группой перестановок. Заметим, что Sn содержит п! элементов.
Наконец, дадим определение подгруппы.

640
Приложение А. Некоторые понятия из алгебры
Определение 2. Пусть G — некоторая группа. Подмножество Я с
G называется подгруппой, если выполнены следующие условия:
(i) I e Я;
(ii) если а, Ъ е Я, то а • Ь е Я;
(iii) если а € Я, то а G Я.
В гл. 7 мы рассматриваем конечные подгруппы группы GL(n, k).
§ 3. Определители
Теперь мы дадим формулу для вычисления определителя п х п-
матрицы. Начнем с определения знака перестановки (см. опреде-
определение группы 5П).
Определение 1. Пусть а 6 Sn и Ра —матрица, полученная пере-
перестановкой столбцов единичной п х n-матрицы в соответствии с пе-
перестановкой а. Тогда знаком перестановки а называется
sgn(o-) =
Заметим, что мы можем преобразовать Ра в единичную мат-
матрицу с помощью попарных перестановок столбцов. При переста-
перестановке двух столбцов определитель меняет знак. Следовательно,
sgn(cr) = ±1. Определитель может быть вычислен следующим обра-
образом.
Предложение 2. Пусть А = (ay) — произвольная пхп-матрица.
Тогда
det(A) = ^ sgn(?T)a1<rA) ...апст(п).
Доказательство. Доказательство можно найти в любом учебнике
по линейной алгебре.
Эта формула играет ключевую роль в нашем рассмотрении ре-
результантов (см. предложение 4 из § 5 гл. 3).
Нам нужна формула решения системы из п линейных уравне-
уравнений с п неизвестными. В матричном виде такая система может быть
записана следующим образом:
АХ = В,
где А = (aij) есть п х n-матрица коэффициентов системы, В —
вектор-столбец, а X — вектор-столбец, элементами которого явля-
являются неизвестные xi,...,xn. Если А обратима, то система имеет
3. Определители
641
единственное решение X = А 1В. В этом случае можно вывести
явную формулу для решения системы.
Предложение 3 (правило Крамера). Пусть дана система линей-
линейных уравнений АХ = В, где А — обратимая матрица. Тогда един-
единственное решение системы дается следующей формулой:
det (Mi)
Xi =
det (Л) '
где Mi — матрица, полученная из матрицы А заменой ее i-го
столбца столбцом В.
Доказательство. Доказательство этого утверждения можно най-
найти в любом учебнике по линейной алгебре.
Это предложение мы используем для доказательства некоторых
важных свойств результантов (см. предложение 5 из § 5 гл. 3).

Приложение В
Псевдокод
1. Вход, выход, переменные и константы
643
Псевдокоды используются в математике и информатике для опи-
описания алгоритмов. Здесь мы рассмотрим псевдокод, применяемьУ|
в этой книге. Если читатель знаком с языком Паскаль, то он за-
заметит сходство Паскаля с нашим псевдокодом. Это не случайно,
так как языки программирования и созданы для описания алго-
алгоритмов. В самом деле, названия языка ALGOL, одного из предана
ственников Паскаля, означает ALGOrithmic Language (алгоритми-
(алгоритмический язык). Синтаксис, или «правила грамматики» нашего псев-
псевдокода не столь жесткие, как в языках программирования, потому
что речь не идет о компьютерной реализации наших алгоритмов.
Тем не менее, псевдокод служит той же цели, что и языки про-
программирования.
Как указано в тексте книги, алгоритм^ это набор инструкций
для выполнения определенных численных или символьных вычис-
вычислений. Алгоритм имеет вход или входные данные, т. е. информацию,
которую он обрабатывает, и выход — результат его вычислений. На
каждом шаге очередная операция полностью определена текущим
состоянием алгоритма. Наконец, алгоритм прекращает работу по-
после конечного числа шагов.
В то время как простой алгоритм представляет собой последо-
последовательность инструкций, выполняемых по очереди, большинство
алгоритмов содержит следующие специальные структурные ком-
компоненты:
• Структуры повторения, которые позволяют неоднократно по-
повторять одну и ту же последовательность инструкций. "ГакИС
структуры называются циклами. Решение о том, повторять яов
нет определенную последовательность инструкций, может бы»
осуществлено различными способами, и наш псевдокод содер-
содержит различные типы структур повторения, предназначенные
для использования в различных ситуациях.
• Структуры условного перехода, которые позволяют выполняй!
разные наборы инструкций в зависимости от обстоятельств.
Эти структуры, а также другие компоненты псевдокода будут
описаны ниже.
§ 1. Вход, выход, переменные и константы
Вход и выход алгоритма указывается в двух строчках перед на-
началом собственно алгоритма. Входу и выходу присвоены имена в
соответствии с правилами математических обозначений. Иногда мы
не указываем тип данных входа и выхода. В этом случае содержа-
содержание входа и выхода должно быть ясным из контекста. Переменные
(т. е. информация, используемая в процессе выполнения алгоритма)
также имеют свои имена. Мы свободно вводим новые переменные
в ходе алгоритма. Их типы определены самим процессом вычис-
вычисления. Так, например, если переменная а появляется в некоторой
инструкции алгоритма, а потом а полагается равной некоторому по-
полиному, то, начиная с этого места, а рассматривается как полином.
Для описания численных констант используются обычные правила
математической записи. Два слова true и false используются для
обозначения истинности или ложности утверждений. Эти слова ве-
ведут себя так же, как булевы константы true и false в Паскале.
§ 2. Операторы присваивания
Так как наши алгоритмы предназначены для описания математи-
математических операций, то, пожалуй, наиболее часто встречающимся ти-
типом инструкций является оператор присваивания. Правило записи
этого оператора таково:
<переменная> := <выражение>.
Символ := тот же, что и для оператора присваивания в Паска-
Паскале. Смысл этого оператора таков. Сначала мы вычисляем значение
правой части оператора присваивания, используя хранимые в па-
памяти значения переменных, содержащихся в выражении. Результат
вычисления хранится в памяти под именем переменной из левой
части оператора. Если под этим именем хранилось какое-то другое
значение, то оно стирается и заменяется вычисленным новым.
Пусть, например, переменная г имеет численное значение 3, и мы
выполняем присваивание
г := i + 1.
Тогда вычисляется значение 3 + 1 = 4 и сохраняется в памяти под
именем г, т. е. после выполнения оператора г равно 4.

644
Приложение В. Псевдокод
§ 3. Операторы цикла
В наших алгоритмах используется три типа структур повторения.
Они аналогичны соответствующим структурам в Паскале. Наибо-
Наиболее общая и часто встречающаяся структура повторения в наших
алгоритмах — это структура WHILE. Она записывается так:
WHILE <условие> DO <действие>.
Здесь под <действием> понимается последовательность инструк-
инструкций. В структуре WHILE «действие»—это и есть последователь-
последовательность инструкций, которая повторяется. Мы всегда записываем это
действие с отступом. Конец действия обозначен возвращением на
тот же уровень отступа, на котором находится слово WHILE.
<Условие> после слова WHILE — это утверждение о значениях
переменных и т. п., которое может быть истинным или ложным на
каждом шаге алгоритма. Например, условие
i < s AND деление произошло = false
имеется в цикле WHILE в алгоритме деления из § 3 гл. 2.
Когда в процессе выполнения алгоритма мы доходим до цикла
WHILE, то определяем истинность или ложность условия. Если
условие истинно, то действие выполняется один раз, и мы снова
возвращаемся к проверке условия. Если оно по-прежнему истинно,
то действие выполняется еще раз. Таким образом, действие будет
выполняться, пока условие остается истинным. Если условие ста-
становится ложным (в некоторый момент выполнения действия), то
выполнение действия заканчивается, и только после этого проис-
происходит прекращение выполнения цикла. Другими словами, в цикле
WHILE условие проверяется перед выполнением действия, и это
условие должно быть истинным, чтобы действие повторялось.
Вторая структура повторения, которую мы используем в кни-
книге несколько раз, —это структура REPEAT, которая записывается
следующим образом:
REPEAT <действие> UNTIL <условие>.
Смысл структуры ясен из ее описания. В отличие от структуры
WHILE условие в REPEAT указывает, когда надо остановить-
остановиться. Другими словами, действие повторяется пока условие ложно.
Кроме того, действие в REPEAT выполняется по крайней мере
один раз, так как проверка условия происходит после выполнения
действия. Как и в записи цикла WHILE, инструкции действия в
REPEAT записываются с отступом.
Последняя структура повторения аналогична циклу FOR Па-
Паскаля. Она записывается так:
FOR each s in 5 DO <действие>
! 4. Условный оператор
645
и означает: «выполняй указанное действие для каждого элемента
s 6 S». Здесь 5 —конечное множество объектов, и характер дей-
действия обычно зависит от того, какие s мы рассматриваем. Поря-
Порядок, в котором записаны элементы из 5, не имеет значения. В от-
отличие от предыдущих структур повторения структура FOR выпол-
выполняет действие фиксированное количество раз (столько раз, сколько
элементов содержит 5). Цикл FOR в Паскале применяется в том
случае, когда 5 — множество последовательных целых чисел, та-
такое, как S ={!,... ,п}. Тогда действие выполняется для каждого
s между 1 и п.
§ 4. Условный оператор
Мы используем только один тип условного оператора, который за-
записывается так:
IF <условие> THEN <действие1> ELSE <действие2>.
Смысл этого оператора состоит в следующем. Если условие истин-
истинно в тот момент, когда выполняется IF, то выполняется действие1
(один раз). В противном случае (когда условие ложно), выполня-
выполняется действие2 (также один раз). Инструкции в действии1 и дей-
ствии2 пишутся с отступим, и слово ELSE отделяет эти две последо-
последовательности инструкций. Конец действия2 обозначен возвращени-
возвращением на тот уровень отступа, на котором записаны слова IF и ELSE.
В общем случае истинность или ложность условия определяет,
какое действие будет выполнено. В некоторых случаях мы опускаем
ELSE и действие2. Этот тип условного оператора имеет следующий
смысл:
IF <условие> THEN <действие!> ELSE <ничего не делать>.

Приложение С
Системы компьютерной алгебры
В этом приложении мы рассмотрим несколько систем компью-
компьютерной алгебры, которые могут быть использованы для решения
упражнений. Мы достаточно подробно обсудим системы AXIOM,
Maple, Mathematica и REDUCE и упомянем некоторые другие си-
системы. Все они представляют собой удивительно мощные пакеты
программ, и наше краткое обсуждение, безусловно, не воздает им
должного.
Важно отметить, что мы не пытаемся дать что-то вроде об-
общего введения для пользователя обсуждаемых систем — это задача
специальных курсов по таким системам. В частности, мы предпо-
предполагаем, что читатель знаком с тем:
• Как входить в систему и выходить из нее, как вводить команды
и полиномы. Некоторые системы требуют ставить точку с запя-
запятой в конце команды (Maple и REDUCE, например), а другие —
нет. Работа некоторых систем (Mathematica, например) зависит
от типа предлагаемой задачи, а работа других — нет. В некото-
некоторых системах умножение обозначается звездочкой (AXIOM), a
в других — нет.
• Как обращаться к предыдущим командам и как сохранить ре-
результаты в файле. Последнее может оказаться важным, особен-
особенно если ответ занимает более чем один компьютерный экран.
Читатель должен уметь сохранить ответ в файле и распечатать
его для дальнейшего изучения.
• Как работать со списками. Например, при вычислении базиса
Грёбнера мы вводим список полиномов, а система выдает спи-
список элементов базиса Грёбнера для идеала, порожденного по-
полиномами первого списка. Читатель должен уметь найти длину
списка и извлечь любой полином из него.
• Как присваивать имена объектам. Часто при работе со сложны-
сложными данными бывает удобным использовать имена полиномов,
списков полиномов, списков переменных и т. п.
Если эта книга используется в учебном курсе с практическими
занятиями, то мы бы советовали преподавателю на первом же прак-
§ 1. AXIOM
647
тическом занятии разъяснить указанные вопросы применительно к
конкретной используемой системе компьютерной алгебры.
§ 1. AXIOM
Система AXIOM —это коммерческая версия системы SCRATCH-
SCRATCHPAD, которая разрабатывалась фирмой IBM на протяжении долго-
долгого времени. Здесь мы рассматриваем версию 2.0. Для нас наиболее
важными командами AXIOM являются normalForm (команда, реа-
реализующая алгоритм деления) и groebner (команда, реализующая
алгоритм вычисления базиса Грёбнера).
В AXIOM каждый объект имеет свой тип. В частности, это
свойство системы влияет на работу с мономиальными упорядо-
упорядочениями: порядок является типом. Пусть, например мы исполь-
используем lex-упорядочение на Щх,у,г] с х > у > z. Для этого мы
вводим команду DMP([x,y,z] ,FRAC INT) (напоминаем, что спис-
списки в AXIOM заключены в квадратные скобки [. . .]). Здесь DMP
означает «распределенный полином от нескольких переменных»
(Distributed Multivariate Polynomial), a FRAC INT означает «отно-
«отношения целых чисел», т. е. рациональные числа (fractions of integer).
Аналогично, grevlex-упорядочение на Щх,у,г] с х > у > z вво-
вводится командой HDMP([x,y,z], FRAC INT), где HDMP означает «од-
«однородный распределенный полином от нескольких переменных»
(Homogeneous Distributed Multivariate Polynomial). В конце пара-
параграфа мы объясним, как задать grlex-упорядочение.
В качестве примера рассмотрим процесс деления в AXIOM по-
полинома а;3 + Зу2 на а;2 + у и х + 2ху при использовании grevlex-
упорядочения с х > у. Сначала введем полиномы и объявим их
типы:
-> f:HDMP([х,у],FRAC INT):=x~3+3*y~2
-> g:HDMP([х,у],FRAC INT):=x~2+y
-> h:HDMP([х,у],FRAC INT):=x+2*x*y
Здесь -> — это приглашение AXIOM, а двоеточие — объявление ти-
типа. Можно дать команде HDMP([х,у] ,FRAC INT) имя и в дальней-
дальнейшем работать только с ним). Остаток вычисляется с помощью ко-
команды
-> normalForm(f,[g,h])
Выходом является остаток от деления f на g,h. В общем случае
синтаксис этой команды таков:
-> normalForm(poly,polylist),

648
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
где poly — это полином, который мы делим на полиномы из списка
polylist (при условии, что все типы корректно заданы).
То же самое деление с использованием lex-упорядочения с х > у
реализуется следующей последовательностью команд:
-> Lex:=DMP([x,y],FRAC INT)
(мы даем команде DMP([x,y] ,FRAC INT) имя Lex),
-> normalForm(f::Lex,[g::Lex,h::Lex])
Здесь команда :: преобразует один тип в другой.
Синтаксис команды groebner таков:
-> groebner(polylist)
Она вычисляет базис Грёбнера идеала, порожденного полинома-
полиномами из списка polylist. Он оказывается редуцированным базисом
Грёбнера в смысле § 7 гл. 2. Так, например, команда
-> gb:=groebner([g,h])
где g, h определены выше, находит список (с именем gb) элементов
базиса Грёбнера идеала (х2 + у, х + 2ху) С Щх, у] по отношению к
grevlex-упорядочению с х > у. Если вам необходима информация о
промежуточных шагах вычисления, то нужно в команду groebner
включить опции "redcrit" и "info". Так, например, команда
-> groebner([g,h] /'redcrit")
напечатает все остатки S-полиномов (в этом случае один остаток),
порожденные в ходе вычисления. Опция "info" позволяет полу-
получить еще больше информации.
AXIOM способна работать не только над полем рациональных
чисел. Для этого нужно вместо FRAC INT объявить другой тип. На-
Например, при вычислении базисов Грёбнера над полем рациональ-
рациональных функций (от полиномов с целыми коэффициентами) мы объ-
объявляем тип FRAC POLY INT. Рассмотрим в качестве примера вычи-
вычисление базиса Грёбнера идеала (vx2 + у, иху + у2) С Q(u, v)[x, у] по
отношению к lex-упорядочению с х > у. Это вычисление реализу-
реализуется следующей последовательностью команд:
-> m:List DMP([x,y],FRAC POLY INT)
-> m:=[v*x+y,u*x*y+y~2]
-> groebner(m)
Обратите внимание, что здесь использован другой метод объ-
объявления типа полинома.
1. AXIOM
649
Вот еще примеры объявления полей: команда FRAC COMPLEX INT
объявляет поле рациональных гауссовских чисел Q(i) = {a + Ы :
a, b e Q} (обратите внимание, что AXIOM обозначает г = %/^Т через
*/.i); команда PrimeField(p) объявляет конечное поле с р элемента-
элементами (р — простое число). Базис Грёбнера можно вычислять над лю-
любым конечным полем. Методы работы AXIOM с конечными полями
объяснены в разд. 8.11 книги Jenks, Sutor A992). Возможность
просто «вставить» объявление поля в команду, вычисляющую базис
Грёбнера, является показателем силы AXIOM.
Кроме возможности работать со списком полиномов, AXIOM
позволяет объявить список полиномов идеалом. Синтаксис этой ко-
команды таков:
-> ideal polylist
где polylist— список полиномов нужного типа. Это объявление
весьма полезно, так как AXIOM содержит команды операций над
идеалами, включая:
• intersect для вычисления пересечения списка идеалов;
• zeroDim? для выяснения, конечно или бесконечно число реше-
решений системы над алгебраически замкнутым полем (см. § 3 гл. 5);
• dimension для вычисления размерности многообразия, опреде-
определенного идеалом;
• prime? для выяснения, прост ли заданный идеал;
• radical для вычисления радикала заданного идеала;
• primaryDecomp для вычисления примарного разложения задан-
заданного идеала.
Примеры использования этих и других команд системы AXIOM
можно найти в разделе 8.12 книги Jenks, Sutor A992). Следует
упомянуть команды leadingMonomial и leadingCoef f icient для
определения старшего члена и старшего коэффициента данного по-
полинома.
Все эти команды требуют предварительного задания типа ис-
используемого полинома. Но если вам нужно только найти базис
Грёбнера по отношению к lex или grevlex над Q, то можно исполь-
использовать команды lexGroebner и totalGroebner. Например, команда
-> lexGroebner([2*x~ 2+у,2*у" 2+х],[х,у])
вычисляет редуцированный (с точностью до констант) базис Грёб-
Грёбнера идеала Bа;2 + у, 2у2 + х) С Q[:c, у] для lex-упорядочения с х > у.
Обратите внимание, что мы не объявляли тип полиномов заранее —
команда lexGroebner позаботилась об этом. То же самое можно
сказать о totalGroebner—команде вычисления базиса Грёбнера
для grevlex-упорядочения.

650
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
В заключение этого параграфа объясним, как в AXIOM рабо-
работать с grlex-упорядочением. В AXIOM имеется все необходимое, но
чтобы собрать все это воедино, нужно немного потрудиться. Пусть
мы хотим объявить grlex-упорядочение на Щх, у] с х > у. Для это-
этого нужны команды
-> )set expose add constructor GDMP
-> )set expose add constructor ODP
-> Grlex:=GDMP([x,y],FRAC INT,0DPB,NNI,totalLex$0RDFUNS
B.NNI)))
Основная идея состоит в том, что команда GDMP (General Distributed
Multivariate Polynomial, т. е. обобщенный распределенный полином
от нескольких переменных) позволяет задать тип произвольного
мономиального упорядочения, а функция totalLex упорядочива-
упорядочивает мономы в соответствии с grlex-упорядочением с х > у. Объ-
Объявляя тип полинома как Grlex, мы теперь можем вычислить базис
Грёбнера для grlex-упорядочения с х > у. Соблюдайте осторож-
осторожность: преобразование типа не работает между Grlex и типами,
объявленными командами DMP и HDMP, хотя можно написать про-
программу преобразования типа. Используя методы AXIOM задания
пакета, можно самому создать пакет прикладных программ для
работы со всеми мономиальными упорядочениями, описанными в
упражнениях к § 4 гл. 2, и преобразованиями их друг в друга.
§ 2. Maple
Здесь мы рассматриваем версию 3 системы Maple V. Самым важ-
важным для нас является пакет в Maple для работы с базисами
Грёбнера. Этот пакет вызывается командой:
> with(grobner);
(> — это приглашение Maple, и каждый оператор в Maple закан-
заканчивается точкой с запятой). После загрузки пакета можно делить
полиномы, вычислять базис Грёбнера и производить другие вычис-
вычисления, описанные далее.
Мономиальное упорядочение в Maple называется «termorder».
Из мономиальных упорядочений, рассмотренных в гл. 2, Maple уме-
умеет работать с lex и grevlex. Lex-упорядочение называется plex (т.е.
чистое (pure) лексиграфическое упорядочение), a grevlex называ-
называется tdeg (от «total degree»— полная степень). Не путайте tdeg
и grlex.
Так как мономиальное упорядочение зависит от порядка пере-
переменных, Maple должен знать termorder (plex или tdeg) и список пе-
переменных. Например, если вы хотите использовать lex с х > у > zi
2. Maple
651
то вам необходимо ввести plex и список [x,y,z] (напомним, что
списки в Maple заключаются в квадратные скобки [. ..]). Если
termorder не введен, то по умолчанию используется tdeg. Список
переменных должен быть введен обязательно (это нельзя сделать
по умолчанию).
Наиболее часто используемые команды из пакета Грёбнер —
это normalf (алгоритм деления) и gbasis (вычисление базиса
Грёбнера). Имя normalf означает «нормальная форма». Эта ко-
команда имеет следующий синтаксис:
> normalf(f.polylist.varlist.termorder);
Результатом является остаток от деления полинома f на полиномы
из списка polylist при использовании мономиального упорядоче-
упорядочения, заданного termorder и varlist. Например, деление полинома
х3 + Зу2 на х2 + у и х + 2ху для grevlex-упорядочения с х > у осу-
осуществляется следующей командой:
> normalf(х~3+3*у~2[х~2+у,х+2*х*у],[х,у]);
Мы опустили указание termorder, так как tdeg используется по
умолчанию. Основным полем здесь является Q. Обратите внима-
внимание, что normalf не выдает частных в алгоритме деления.
Команда gbasis означает, разумеется, «базис Грёбнера». Она
имеет следующий синтаксис:
> gbasis(polylist.varlist,termorder) ;
и вычисляет базис Грёбнера идеала, порожденного полиномами из
списка polylist по отношению к мономиальному упорядочению,
заданному termorder и varlist. Результатом является редуциро-
редуцированный базис Грёбнера (в смысле § 7 гл. 2) с целыми коэффициен-
коэффициентами. Например, в результате выполнения команды
> gb := gbasis([x~2+y,2*x*y+y~2],[x,y],plex);
выдается список (с именем gb) полиномов, которые образуют базис
Грёбнера идеала (х2 + у,2ху + у2) с Q[x,y] для lex-упорядочения
с х > у.
Если вы работаете с полиномами с целыми или рациональными
коэффициентами и команды normalf и gbasis, то Maple будет счи-
считать основным полем поле Q. Обратите внимание, что в Maple нет
ограничений на размер коэффициентов. Эта система может также
работать с коэффициентами из поля рациональных функций. Если
вы хотите объявить некоторую переменную «параметром», то до-
достаточно не упоминать ее в списке переменных. Так, команда
> gbasis([v*x+y,u*x*y+y],[x,y],plex);

652
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
вычислит базис Грёбнера идеала {vx2 + y,uxy + у2) С Q{u,v)[x,y]
для lex-упорядочения с х > у. Результатом является редуцирован-
редуцированный базис, старшие коэффициенты элементов которого являются
полиномами от и, v.
При вычислении базиса Грёбнера над полем рациональных гаус-
совских чисел Q(z) = {а+ Ы : a, b ? Q}, где г = \f—i, могут возник-
возникнуть затруднения. В этом случае следует ввести новую перемен-
переменную j (вместо мнимой единицы) и еще один образующий полином
j2 + 1. Если исходными переменными являются х\,... ,хп, то те-
теперь следует вычислять базис Грёбнера для такого мономиального
упорядочения, когда каждая переменная Xi больше любой степе-
степени j. Докажите самостоятельно, что, заменив j на г в ответе, мы
получим требуемый базис Грёбнера.
Пакет для вычисления базиса Грёбнера содержит и другие по-
полезные команды:
• leadmon для вычисления LC(/) и LM(/) для полинома /;
• spoly для вычисления S-полинома S(f,g);
• solvable для определения, с использованием алгоритма совме-
совместимости из § 1 гл. 4, существуют ли решения данной полино-
полиномиальной системы над алгебраически замкнутым полем;
• finite для определения, с использованием алгоритма конечно-
конечности из § 3 гл. 5, конечно или бесконечно число решений данной
полиномиальной системы над алгебраически замкнутым полем!
Имеется еще команда solve, предназначенная для решения (на-
(нахождения полного списка решений) систем уравнений. Maple содерь
жит отличную диалоговую систему help, которая позволяет легко
освоить команды. Можно ознакомиться также со справочным по-
пособием Char et al. A991). .
Следует упомянуть, что библиотека содержит еще два полезных
пакета. Это пакет «GB», который вычисляет остатки от деления и
базисы Грёбнера по модулю простых чисел. Для загрузки этого
пакета нужно ввести команды ;
> with(share); I
> readshare('mod/GB');
Основными командами в этом пакете являются Normalf orm и (Щ
для вычисления остатков и базисов Грёбнера над конечными пола-
полами с р элементами (р — простое число). Получить информацию <я}
этих командах можно из системы help. Например, команда ,
> help(GB); >
объяснит, как пользоваться командой GB. Интересной опцией это»
команды является переменная inf olevel[GB]. Задав ее значений
§ 3. Matheznatica
653
можно получать информацию о ходе вычисления базиса Грёбнера
(о числе рассмотренных остатков, например, и т.д.).
Другим полезным пакетом является «charsets», упомянутый в
§ 5 гл. 6. Этот пакет реализует алгоритм By—Ритта. Если команда
with (share) уже введена, то charsets загружается командой
> readshare(charsets,algebra);
Получить информацию об этой команде можно через help или с
помощью файла charsets.tex в соответствующей директории. Этот
файл является 1?Т?Х-версией работы Wang A994a).
Наконец, следует упомянуть о пакете в Maple, написанном Аль-
Альбертом Лином (Lin) и Филиппом Лустану (Loustaunau) из универ-
университета Джорджа Мейсона, который является расширением пакета
для базиса Грёбнера. Этот пакет позволяет находить частные (а не
только остатки) при делении полиномов и матрицу, позволяющую
описывать базис Грёбнера в терминах образующих идеала. Коман-
Команды этого пакета выполняются довольно медленно (по сравнению с
командой gbasis), но полезны при решении многих задач из этой
книги. Этот пакет может быть получен по адресу David А. Сох,
Department of Mathematics and Computer Science, Amherst College,
Amherst MA 01002. Получить электронную копию пакета можно
по адресу dac@cs.amherst.edu.
§ 3. Mathematica
Здесь мы рассматриваем версию 3 системы Mathematica, кото-
которая имеет существенно лучшие возможности вычисления базисов
Грёбнера, чем предыдущие версии. Эта система не содержит спе-
специального пакета для вычисления базисов Грёбнера: основные ко-
команды являются частью ядра системы.
Mathematica знает все мономиальные упорядочения, упомяну-
упомянутые в гл. 2. В типичном для Mathematica стиле lex-упорядочение
называется Lexicographic, grlex— DegreeLexicographic, grevlex —
DegreeReverseLexicographic. Мономиальное упорядочение зада-
задается опцией MonomialOrder, которую мы опишем ниже. Упорядо-
Упорядочение по умолчанию — это lex. Mathematica также может работать
с взвешенными упорядочениями, упомянутыми в упражнениях к
§ 4 гл. 2.
Так как мономиальное упорядочение зависит от порядка пере-
переменных, то Mathematica должна знать список переменных. Если,
например, вы хотите задать lex-упорядочение с х > у > z, то долж-
должны ввести список {x,y,z} (напоминаем, списки в Mathematica за-
заключены в фигурные скобки).

654
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
Для нас наиболее важными командами являются команды
PolynomialReduce и GroebnerBasis. Полезным свойством команды
PolynomialReduce является то, что она выполняет алгоритм деле-
деления из гл. 2, одновременно вычисляя частные. Синтаксис команды
таков:
In[l]:= PolynomialReduce[f.polylist.varlist,options]
(где In[l] : = ^это приглашение системы). Эта команда вычисляет
остаток и частные от деления полинома f на полиномы из списка
polylist, используя мономиальное упорядочение, заданное спис-
списком varlist и опцией MonomialOrder. Например, деление х3 + Зу2
на х2 + у и х + 2ху с использованием grlex-упорядочения с х > у
осуществляется следующей командой:
In[2]:= PolynomialReduce[x~2+3y,{x+y,x+2*x*y},
{х,у},MonomialOrder -> DegreeLexicigraphic]
Результатом выполнения этой команды будет список из двух эле-
элементов, первый элемент —это список частных, а второй — остаток.
Разумеется, команда GroebnerBasis вычисляет базис Грёбнера.
Ее синтаксис таков:
In[3]:= GroebnerBasis[polylist.varlist,options]
Эта команда вычисляет базис Грёбнера идеала, порожденного по-
полиномами из списка polylist, по отношению к мономиальному
упорядочению, заданному опцией MonomialOrder, с порядком пе-
переменных, определенным списком varlist. Результатом является
редуцированный базис Грёбнера (в смысле § 7 гл. 2) с целыми ко-
коэффициентами. В качестве примера рассмотрим команду
In[4]:= gb = GroebnerBasis[{х~2+у,2*х*у+у~2}Дх,у}]
Результатом будет список (с именем gb) полиномов, которые обра-
образуют базис Грёбнера идеала (х2 + у,2ху + у2) С О[ж,у] для lex-
упорядочения с х > у. Мы опустили опцию MonomialOrder, так как
lex-упорядочение принимается по умолчанию.
Если вы задаете полиномы с целыми или рациональными ко-
коэффициентами в командах GroebnerBasis или PolynomialReduce,
то Mathematica будет считать, что основным полем является Q.
Ограничение на размер коэффициентов отсутствует. Другим воз-
возможным полем коэффициентов является поле рациональных гаус-
совских чисел Q(i) = {a + Ы : a,b 6 Q}, где i — %/—Т (обратите
внимание, что мнимая единица в Mathematica обозначается через
I). Для вычисления базиса Грёбнера над конечным полем из р эле-
элементов (р — простое число) нужно включить опцию Modulus -> р
j 4. REDUCE
655
в команду GroebnerBasis. (Эту опцию можно применять и в ко-
команде PolynomialReduce.)
Mathematica может работать с коэффициентами из поля раци-
рациональных функций. Для этого переменные, принадлежащие по-
полю («параметры»), должны быть исключены из списка перемен-
переменных, и опция Coef f icientDomain должна быть выбрана в качестве
RationalFunctions. Например, команда
In[5]:= GroebnerBasis[{v*x~2+y,u*x*y+y~2},{x,y},
CoefficientDomain -> RationalFunctions]
вычисляет базис Грёбнера идеала (vx2 + у, uxy + у2) с Q{u, v)[x, у]
для lex-упорядочения с х > у. Знаменатели в ответе отсут-
отсутствуют и потому коэффициенты — это полиномы от u,v. (Оп-
(Опцию Coef f icientDomain можно использовать и в команде
PolynomialReduce.)
Полезными командами являются также:
• MonomialList, которая генерирует список членов полинома в
соответствии с заданным упорядочением;
• Eliminate, которая исключает переменные из системы полино-
полиномиальных уравнений, используя для этого теорему исключения
из § 1 гл. 3;
• Solve, находящая все решения системы.
Информация о системе Mathematica и примеры ее применения
содержатся в книге Wolfram A996).
Наконец, следует упомянуть о пакете, написанном Сьюзен Голд-
стайн (Goldstine) из Амест-Колледжа, для решения задач, подоб-
подобных рассмотренным в этой книге. Этот пакет вычисляет базисы
Грёбнера, одновременно выдавая информацию о числе ненулевых
остатков, решает задачу о принадлежности идеалу, о принадлеж-
принадлежности радикалу, о конечности числа решений. Этот пакет работает
медленней, чем команда GroebnerBasis, но вполне пригоден для ре-
решения задач из этой книги. Получить пакет можно по адресу David
А. Сох, Department of Mathematics and Computer Science, Amherst
College, Amherst MA 01002. Электронную копию пакета можно по-
получить по адресу dac@cs.amherst.edu.
§ 4. REDUCE
Мы рассматриваем здесь версию 3.5 системы REDUCE. Для вычис-
вычисления в REDUCE базиса Грёбнера нужно использовать либо пакет
Groebner, либо пакет Cali.

656
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
Groebner
Мы опишем версию пакета Groebner, датированную 18 ноября
1994 г. Для загрузки пакета нужно набрать команду
1: load_package groebner;
(здесь 1: — это приглашение REDUCE, а команды в REDUCE за-
заканчиваются точкой с запятой). После загрузки пакета мы можем
осуществлять деление, находить базис Грёбнера и выполнять дру-
другие операции, описанные ниже.
В пакете Groebner мономиальное упорядочение называется
«term order». REDUCE умеет работать с большинством мономиаль-
ных упорядочений, описанных в гл. 2, включая lex, grlex и grevlex.
Lex-упорядочение в REDUCE называется lex, grlex — gradlex и
grevlex —revgradlex. Пакет Groebner также умеет работать с про-
произведениями упорядочений (см. упр. 10 к § 4 гл. 2), с взвешенными
упорядочениями (см. упр. 12 к § 4 гл. 2 —обратите внимание, что
в случае взвешенных упорядочений Groebner использует lex, если
весовая функция не может определить порядок мономов), а также
с более общими упорядочениями, заданными матрицами (см. заме-
замечания после упражнений к § 4 гл. 2). Эти упорядочения подробно
описаны в разд. 4.10 справочника Melenk, Moller, Neun A994).
Порядок членов в Groebner задается командой torder. Так
как мономиальное упорядочение зависит от порядка переменных,
Groebner должен знать и порядок членов, и список переменных.
Другими словами, команда torder имеет два аргумента: список пе-
переменных и порядок членов. Если, например, вы хотите использо-
использовать grevlex с х > у > z, то надо ввести команду
2: torder({x,у,z>,revgradlex) ;
(напоминаем, что в REDUCE список заключен в фигурные скоб-
скобки). В качестве ответа REDUCE напечатает предыдущий порядок
членов.
Наиболее часто используемые команды пакета Groebner —
это preduce (деление полиномов) и groebner (вычисление ба-
базиса Грёбнера). Имя preduce означает «редукция полинома»
(polynomial reduce). Эта команда имеет следующий синтаксис:
3: preduce(f.polylist);
Результатом является остаток от деления полинома f на полиномы
из списка polylist при использовании мономиального упорядоче-
упорядочения, определенного командой torder. Например, чтобы разделить
4. REDUCE
657
х3 + Зу2 на х2 + у и х + 2ху, используя grlex с х > у, нужно ввести
следующие команды:
4: torder({х,у},gradlex);
5: preduce(x+3*y~2,{x~2+y)x+2*x*y>,{x,y>);
В этом примере основным полем является Q. Обратите внимание,
что preduce не выдает частных.
Команда groebner, естественно, вычисляет базис Грёбнера и
имеет следующий синтаксис:
6: groebner(polylist);
Эта команда вычисляет базис Грёбнера идеала, порожденного по-
полиномами из списка polylist, по отношению к мономиальному
упорядочению, заданному командой torder. Результатом являет-
является редуцированный базис Грёбнера (в смысле § 7 гл. 2) с целыми
коэффициентами. В качестве примера рассмотрим команду:
7: gb:=groebner({x~2+y,2*х*у+у~2» ;
Результатом является список полиномов (с именем gb), которые
образуют базис Грёбнера идеала (х2 + у,2ху + у2) С Q[x,y] для
порядка членов, заданного командой torder.
Если вы работаете с полиномами, коэффициенты которых — це-
целые или рациональные числа, то пакет Groebner будет считать
Q основным полем. Ограничений на размер коэффициентов нет.
Можно работать также над полем рациональных гауссовских чи-
чисел Q(i) = {a+bi : a,b e Q], где г = \ГЛ. Для этого надо ввести
команду
8: on complex;
перед вычислением базиса Грёбнера (напоминаем, что REDUCE
обозначает -\/-Т, через I). Аналогично, для работы над конечным
полем из р элементов (где р — простое число) надо сначала ввести
команду:
9: on modular; setmod p;
Чтобы вернуться к основному полю Q, нужно ввести команду: off
modular.
Groebner может работать над полем рациональных функций.
Чтобы указать, что некоторая переменная принадлежит основному
полю (является «параметром»), достаточно просто исключить ее из
списка переменных. Например, команда:
10: groebner({v*x~2+y,u*x*y+y~2}) ;

658
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
вычислит базис Грёбнера идеала {vx2 + y,uxy + у2) С Q(w,u)[x,y]
для упорядочения, заданного командой torder. Результатом явля-
является редуцированный базис Грёбнера, старшими коэффициентами
элементов которого являются полиномы от u,v.
Пакет Groebner имеет два «переключателя», которые управля-
управляют вычислениями. (В REDUCE переключатель — это переменная,
которая может принимать два значения on и of f. Примерами пере-
переключателей являются complex и modular.) В процессе вычисления
базиса Грёбнера алгоритм должен принимать решения о пути вы-
вычислений. И эти решения могут оказывать значительное влияние на
объем и сложность вычислений. Мы рассмотрим два переключате-
переключателя, groebort и gsugar, которые влияют на характер выполнения
команды groebner.
В некоторых случаях можно повысить эффективность, изменив
порядок переменных, но сохраняя тип упорядочения (т. е. исполь-
используя, например, lex с у > х, вместо х > у). Такой алгоритм описан в
работе BOEGE, Gebauer, Kredel A986). Чтобы использовать этот
алгоритм в системе REDUCE, надо ввести команду:
11: on groebopt;
После завершения работы алгоритма, можно узнать порядок пере-
переменных с помощью команды:
12: gvarslast;
которая выводит список переменных в том порядке, который был
использован в вычислениях. В некоторых случаях (например, при
исключении неизвестных) порядок переменных менять нельзя.
Здесь можно использовать команду depend. Пусть, например, пе-
переменными являются s,t,x,y,z, и вы хотите исключить s,t. Тогда
после ввода команды groebopt вы должны ввести команду
13: depend s,x,y,z; depend t,x,y,z;
После этого команда groebopt всегда будет ставить s, t перед х, у, z.
Алгоритм, используемый командой groebner, работает с поня-
понятием сахарной стратегии (sugar), упомянутым в § 9 гл. 2. Вы можете
провести эксперимент и изучить ее влияние на характер вычисле-
вычислений. Здесь надо иметь в виду, что по умолчанию переключатель
gsugar находится в положении on. Поэтому если вы хотите выклю-
выключить sugar, то перед началом вычислений надо ввести команду off
gsugar.
Переключатели groebstat, trgroeb и trgroebs для команды
groebner определяют характер представления информации о ходе
вычислений. Подробности можно узнать в разделе 4.2 справочного
издания Melenk, Moller, Neun A994).
§ 4. REDUCE 659
Перечислим другие полезные команды пакета Groebner:
• gsplit для вычисления LT(/) и / - LT(/);
• gsort, которая печатает список членов полинома в соответствии
с текущим упорядочением;
• gspoly для вычисления S-полинома S(f,g);
• greduce для вычисления остатка от деления на базис Грёбнера
идеала, порожденного вводимыми полиномами;
• preducet для вычисления частных делений;
• gzerodim? для проверки конечности числа решения (с помощью
методов § 3 гл. 5) полиномиальной системы над алгебраически
замкнутым полем;
• glexconvert, которая базис Грёбнера для произвольного моно-
миального упорядочения с конечным числом решений над С
преобразует в базис Грёбнера для lex. Такой алгоритм обсужда-
обсуждается в теме 5 приложения D;
• groesolve для поиска всех решений полиномиальной системы;
• idealquotient для нахождения частного идеалов I : f (здесь
используется алгоритм более эффективный, чем тот, который
рассматривался в § 4 гл. 4);
• hilbertpolynomial, которая вычисляет полином Гильберта дан-
данного идеала (как это описано в § 3 гл. 9).
Эти и многие другие команды подробно рассмотрены в справоч-
справочном издании Melenk, Moller, Neun A994). Эта работа распро-
распространяется вместе с самой системой REDUCE.
Cali
Мы будем рассматривать версию 2.2.1 пакета Cali. Этот пакет ис-
использует более сложную математику, чем пакет Groebner, и поэтому
он труднее для начинающего. С другой стороны, Cali может произ-
производить вычисления (такие, как нахождение радикалов и примарных
разложений), которые недоступны пакету Groebner. Загрузка Cali
осуществляется командой
1: load_package cali;
Нельзя загружать Cali и Groebner одновременно — это может при-
привести к конфликту.
В Cali сначала нужно объявить список переменных и задать
упорядочение, а только потом вводить полиномы. Это делается ко-
командой setring с синтаксисом
2: setring(vars,weight,order);

660
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
Здесь vars —список переменных, weight— список весовых векто-
векторов (возможно, пустой), a order —это либо lex, либо revlex. На-
Например
3: setring({x,y,z},G,lex);
задает lex-упорядочение на Q[x,y,z], в то время как
4: setring({x,y,z},{{1,1,1}},lex);
задает grlex-упорядочение на том же кольце. Упорядочение grevlex
задается той же командой с заменой lex на revlex. Можно задать
взвешенные, исключающие и матричные упорядочения (см. упр. 12
к § 4 гл. 2). В разд. 2.1 справочного издания Gra.be A995) подробно
описана работа с мономиальными упорядочениями в рамках Call.
После того как кольцо задано, можно задавать идеалы списками
полиномов. Каждый идеал должен быть именован. Пусть, напри-
например, мы хотим обозначить через j идеал (х2 + у,х + 2ху). В Cali
это делается командой
5: setideal(i,{x~2+y,x+2*x*y});
Как только идеал задан, мы можем работать с ним. Например, де-
деление х3 + Зу2 на х2 + у и х + 2ху выполняется командой
6: х~3+3*у~2 mod j;
Для вычисления базиса Грёбнера идеала j нужно ввести команду
7: gbasis j;
Результатом будет базис Грёбнера идеала (х2 +у,х + 2ху) С <Q{x, у]
для мономиального упорядочения, заданного командой setring.
Ответ дается в редуцированной форме (см. § 7 гл. 2) с целыми
коэффициентами.
Если вы вводите полиномы с целыми или рациональными ко-
коэффициентами, то Cali будет считать основным полем Q. Вычисле-
Вычисление базиса Грёбнера над конечным полем осуществляется теми же
командами, что и в пакете Groebner. С другой стороны, при вы-
вычислении в поле Q(i) могут возникнуть трудности. Здесь можно
прибегнуть к приему, который уже рассматривался применительно
к системе Maple. Если же коэффициенты принадлежат полю ра-
рациональных функций, то, как и в пакете Groebner, достаточно ис-
исключить эти переменные из списка vars в команде setring. Если,
например, команда setring введена, как в 4:, то команды
8: setideal(m,{v*x~2+y,u*x*y+y~2});
9: gbasis m;
§ 5. Другие системы
661
вычислят базис Грёбнера идеала (га2 + у,шу + у2) С Q(u,v)[x,y]
для grlex-упорядочения с х > у. Ответом является редуцированный
базис Грёбнера, старшие коэффициенты элементов которого — это
полиномы от u,v.
Вот некоторые полезные команды Cali:
• dimzerop для проверки конечности числа решений (с помощью
метода из § 3 гл. 5) полиномиальной системы над алгебраически
замкнутым полем;
• dim для вычисления размерности многообразия, определенного
идеалом;
• idealquotient для вычисления частного I: /;
• isprime для проверки идеала на простоту;
• radical для вычисления радикала данного идеала;
• primarydecomposition для вычисления примарного разложе-
разложения данного идеала (см. § 7 гл. 4).
Кроме того, Cali может работать с такими сложными объекта-
объектами, как модули, раздутия, свободные резольвенты и касательные
конусы. Соответствующие команды подробно описаны в справоч-
справочном издании Grabe A995).
Получить копию Cali можно через справочную сеть REDUCE,
которая поддерживается в США RAND Corporation. Электронный
адрес:
gopher://is.rand.org/11/software/reduce
Информацию о Cali можно также получить, послав e-mail автору
пакета (H.-G. Grabe) по адресу graebeSinformatik.uni-leipzig.de.
§ 5. Другие системы
Еще одной известной системой компьютерной алгебры является
MACSYMA, которая обладает примерно теми же возможностями,
что и AXIOM, Maple, Mathematica и REDUCE, включая работу с
базисами Грёбнера. К сожалению, в процессе работы над этой кни-
книгой мы не имели доступа к этой системе и потому не может дать
ее описания.
Кроме «общих» алгебраических систем, рассмотренных выше,
имеются две специализированные — Macaulay и СоСоА 1', которые
заслуживают упоминания. Хотя эти программы и ориентированы
на специалистов в области алгебраической геометрии и коммута-
коммутативной алгебры, но и обычный пользователь может с успехом с
''Or Computation in Commutative Algebra.— Прим. ред.

662
Приложение С. Системы компьютерной алгебры
ними работать. Весьма привлекательной их чертой является сво-
свободное (некоммерческое) распространение.
Начать сеанс работы с Macaulay или СоСоА непросто. Снача-
Сначала нужно задать список переменных и основное поле. Переменные
имеют вес (в нашем случае, как правило, все переменные имеют
вес 1). Macaulay работает только с однородными полиномами и
потому задать lex-упорядочение непросто. В результате работа с
Macaulay трудна для новичка и вначале требует постоянной помо-
помощи специалиста.
Macaulay всегда работает над конечным полем, а СоСоА дает
пользователю выбор между конечным полем и Q. Над конечным
полем вычисления проводятся быстрее. Пока размер коэффициен-
коэффициентов не превышает характеристику поля (как это бывает в простых
примерах), никаких проблем не возникает. Но при решении более
сложных задач могут возникать трудности. При этом нужно по-
помнить, что такие задачи трудно решать и с помощью других систем
по причине большого объема требуемой памяти.
Для специалиста Macaulay и СоСоА предлагают удивитель-
удивительный набор сложных математических объектов. Исследователи ча-
часто прибегают к помощи этих программ для вычисления сизигий
и свободных резольвент. Macaulay также дает возможность рабо-
работать с раздутиями, когомологиями, кокасательными пучками, двой-
двойственными многообразиями, нормальными конусами, радикалами и
другими объектами алгебраической геометрии. Обе эти программы
доступны в рамках сети: как получить Macaulay, указано в разд.
15.12 книги Eisenbud A995I', а как получить СоСоА, сообщается
в приложении А книги Adams, Loustaunau A994J).
Наконец, следует упомянуть систему MAS — алгебраическую
систему, доступную в рамках сети. Кроме вычисления обычного ба-
базиса Грёбнера, она может находить исчерпывающий базис Грёбнера
и базис Грёбнера над областями целостности (см. тему 16 в прило-
приложении D). Как получить MAS, сообщается на с. xiii книги Becker,
Weispfenning A993).
Кроме перечисленных компьютерных систем, некоторые систе-
системы находятся в процессе разработки:
• Новая версия Macaulay, имеющая дружественный интерфейс и
рассчитанная на более широкий круг пользователей (при этом
система не потеряла в скорости и эффективности).
''Она может быть получена по ftp: math.harvard.edu, login ftp, password
any, ed. Macaulay. — Прим. ред.
2'Информацию можно получить по адресу: cocoaedima.unige.it. — Прим.
ред.
§ 5. Другие системы
663
• Компьютерная алгебраическая система Magma ^, разрабатыва-
разрабатываемая в Австралии, которая позволяет проводить вычисления в
теории групп, теории чисел, комбинаторике и коммутативной
алгебре. Информацию о Magma можно найти по адресу:
http:/www.maths.usyd.edu.au:8000/comp/magma/Overview.html
• Проект PoSSo —это большой европейский проект, нацеленный
на создание мощных программ в области коммутативной алгеб-
алгебры. Кроме вычисления базисов Грёбнера PoSSo может исследо-
исследовать особенности и другие интересные объекты алгебраический
геометрии.
• SINGULAR — система компьютерной алгебры для вычисления
базисов Грёбнера и исследования особенностей многообразий
многих других вещей). Эта система описана в работе
Greuel A996) и может быть
helios.mathematik.uni-kl.de.
получена по анонимному ftp:
Некоторые из этих систем, возможно, уже будут доступны в тот
момент, когда вы читаете эту книгу. Так как компьютеры становят-
становятся все быстрее, а программное обеспечение — все более мощным и
более простым в использовании, то можно ожидать, что область
приложения базисов Грёбнера и алгебраической геометрии в целом
будет расширяться.
является коммерческой системой. — Прим. ред.

Приложение D
Темы для самостоятельных
исследований
В отличие от основного текста книги, это приложение адресовано
научному руководителю. Мы обсудим несколько тем для самосто-
самостоятельных исследований, имеющих отношение к материалу, изло-
изложенному в книге.
§ 1. Общие замечания
Ценность самостоятельных исследований состоит в том, что
• они заставляют студента воспринимать активно (а не пассив-
пассивно) идеи и методы книги;
• они помогают студентам подготовиться к изучению более
сложного материала;
• они помогают студентам приобрести опыт работы с системами
компьютерной алгебры.
Работа над предлагаемыми темами представляет отличную воз-
возможность научиться работать небольшими группами.
Некоторые из предлагаемых тем содержат значительную чисто
компьютерную часть, в то время как другие скорее теоретически
ориентированы. Список тем ни в коей мере не является обязатель-
обязательным или исчерпывающим, и мы будем рады, если читатели пред-
предложат нам другие темы и самостоятельные проекты.
Мы даем лишь краткие описания тем. Хотя библиографические
ссылки и приведены, мы рекомендуем руководителю излагать темы
студентам более подробно.
§ 2. Предлагаемые темы
(i) Реализация алгоритма деления в к[х\,... ,хп]. Большинство
систем компьютерной алгебры (включая Maple и REDUCE)
имеют команды типа «normal form» или «reduce», которые ре-
реализуют алгоритм деления из гл. 2. Однако эти команды вы-
выдают только остаток от деления. Кроме того, иногда система
2. Предлагаемые темы
665
позволяет задать лишь несколько мономиальных упорядоче-
упорядочений. Задача состоит в том, чтобы реализовать общий алгоритм
деления, где пользователь задает полином /, список делите-
делителей F, список переменных X и мономиальное упорядочение.
Результатом должен быть остаток и список частных. Такой
алгоритм, вероятно, может быть реализован в рамках системы
компьютерной алгебры типа Maple или Mathematica.
(ii) Реализация алгоритма Бухбергера. Большинство систем ком-
компьютерной алгебры имеет команды для вычисления редуци-
редуцированного базиса Грёбнера идеала (Л,...,/«). Задача состоит
в создании алгоритма, который выдавал бы больше информа-
информации о своей работе и (возможно) умел бы работать с большим
числом мономиальных упорядочений. А именно, если пользо-
пользователь задает список полиномов F, список переменных X и мо-
мономиальное упорядочение на к[х\,..., хп], то программа долж-
должна выдать редуцированный базис Грёбнера G идеала, порож-
порожденного F, и матрицу полиномов А, выражающую элементы
базиса G через исходные полиномы, G = AF. Как и в первой
теме, такой алгоритм может быть реализован в рамках систе-
системы компьютерной алгебры. Программа также должна выда-
выдавать дополнительную информацию (например, о числе остат-
остатков, вычисленных на каждом шаге алгоритма).
(iii) Сложность задачи о принадлежности идеалу. В § 9 гл. 2 мы
кратко упомянули о некоторых плохих (в смысле сложности)
случаях, встречающихся при вычислении базисов Грёбнера и
решении задачи о принадлежности идеалу. Цель этой темы —
дать студентам представление о примерах, придуманных Май-
ром (Мауг) и Мейером (Meyer), и объяснить им, что такое двой-
двойной экспоненциальный рост верхней границы сложности в за-
задаче о принадлежности идеалу. В работе Bayer, Stillman
A988) дано хорошее изложение этих результатов. С помощью
руководителя сильные студенты младших курсов могут усво-
усвоить эту работу.
(iv) Решение полиномиальных уравнений. Эта прекрасная тема
предназначена для студентов, интересующихся численными
методами решения полиномиальных систем. Смысл темы со-
состоит в реализации критерия конечности числа решений по-
полиномиальной системы над С, изложенного в теореме 6 из § 3
гл. 5. Если конечность числа решений установлена, то програм-
программа должна найти их с заданной точностью. Для этого нужно
находить (численно) значения переменных по очереди, исполь-
используя базис Грёбнера по отношению к lex-упорядочению. Следу-
Следует также сравнить этот метод со стандартными методами ре-

666
Приложение D. Темы для самостоятельных исследований
шения систем, такими, как метод Ньютона в случае многих
переменных. Следует отметить, что такие сравнения на теоре-
теоретическом уровне практически не проводились.
(v) Преобразования базисов Грёбнера для нульмерных идеалов.
Как и предыдущая тема, эта также имеет отношение к реше-
решению полиномиальных систем. Здесь лексикографический базис
Грёбнера наиболее удобен для исключения переменных. Но та-
такой базис находится труднее, чем базисы Грёбнера для других
упорядочений. В случае нульмерных идеалов (т. е. таких иде-
идеалов I С k[xi,... ,хп], что V(J) конечно) существуют методы
преобразования базиса Грёбнера для некоторого упорядочения
в лексикографический базис. Целью этой темы является изу-
изучение этих методов и (возможно) их реализация. Введение в
эти методы содержится в книге Hoffmann A989). См. также
работу Faugere, Gianni, Lazard, Mora A993).
(vi) Особенности кривых. Особые точки на кривых —это целая
область математики, и здесь можно сформулировать боль-
большое количество задач. Простейшей из них, возможно, явля-
является реализация алгоритма определения особых точек кривой
V(/(z,y)) с К2 (или С2). Студент должен освоить некоторые
теоретические методы анализа особенностей на кривых: поли-
полиномы Ньютона, разложения Пюизо, разрешения особенностей
с помощью квадратичных преобразований и др. Этот матери-
материал содержится в книге Brieskorn, Knorrer A986). Те же
вещи обсуждаются в многих других книгах по теории алге-
алгебраических кривых. С практической точки зрения эти мето-
методы («трассировка кривой») рассмотрены в книге Hoffmann
A989).
(vii) Пересечения поверхностей. Цель этой темы — создание ал-
алгоритмов для описания проекций пространственных кри-
кривых, являющихся пересечениями поверхностей V(/i(x, y,z)) и
V(/2(x, у, z)) в R3. Эта очень важная задача в геометрическом
моделировании. Один метод ее решения, основанный на нахож-
нахождении «простой» поверхности в пучке, определенном полино-
полиномами /i и /г, описан в книге Hoffmann A989). Этот метод
использует изучение проективного замыкания двух данных по-
поверхностей. См. также работу Garrity, Warren A989).
(viii) Сплайны Безье. Кубики Безье, которые были определены в § 3
гл. 1, предназначены для описания областей с криволинейной
границей. Это делается так: граница области разбивается на
сегменты, которые далее аппроксимируются кубиками Безье.
В результате мы получаем кусочную кривую Безье, или сплайн
Безье. Целью этой темы является создание алгоритма, кото-
§ 2. Предлагаемые темы
667
рый по заданным контрольным точкам, описывающим кривую,
строит и выводит соответствующий сплайн Безье. Другой ин-
интересной задачей является создание алгоритма для определе-
определения точек пересечения двух сплайнов Безье. Некоторые ссыл-
ссылки можно найти на с. xvi книги Farin A990). Также имеется
недавняя теоретическая работа Billera, Rose A989), в кото-
которой базисы Грёбнера применяются для вычисления размерно-
размерности векторного пространства сплайнов полиномов данной сте-
степени от нескольких переменных на данном полиэдральном раз-
разбиении области в Жп.
(ix) Общий метод By. В нашем обсуждении метода By (гл. 6) мы
не касались такой алгебраической техники, как характеристи-
характеристические множества и метод разложения Ритта, которые необ-
необходимы для реализации доказывателя теорем в общем случае.
Цель темы состоит в изучении этих методов и (возможно) в их
компьютерной реализации. См. Снои A988), MlSHRA A993),
Wang A994a) и A994b), Wu A983).
(х) Теорема Молина. Вопросы, связанные с теоремой Молина
в теории инвариантов (см. § 3 гл. 7), являются интересной
темой самостоятельных исследований. Алгоритм из работы
Sturmfels A989) позволяет найти множество образующих в
к[х\,..., xn]G. Этот алгоритм дает возможность найти инвари-
инварианты таких сравнительно больших групп, как группа вращений
куба в Ж3. Теорема Молина рассмотрена в гл. 7 книги Benson,
Grove A985).
(xi) Базисы Грёбнера над общими полями. Эта хорошая тема для
студентов, знакомых с теорией полей. Ее цель — вычисление
базисов Грёбнера над полями, отличными от поля Q. В при-
приложении С, когда мы рассматривали систему Maple, мы объ-
объяснили, как найти базис Грёбнера над Q(z) (для этого нужно
ввести дополнительную переменную j и дополнительный по-
полином j2 + 1). Пусть а — алгебраическое число. Тогда анало-
аналогичный метод работает над полем Q(a) при условии, что нам
известен минимальный полином для а над Q. Необходимый те-
теоретический материал изложен в любом учебнике по высшей
алгебре, где рассматривается теория полей. Более трудной за-
задачей является вычисление базисов Грёбнера над конечными
расширениями вида Q(ui,... ,ит). (Так можно задать любое
конечное расширение поля Q).
(xii) Компьютерная графика. В § 1 гл. 8 мы использовали проекции
для изображения трехмерных объектов. Все эти идеи исключи-
исключительно важны в компьютерной графике. Цель темы состоит в
том, чтобы студент изучил проекции, используемые в компью-

668
Приложение D. Темы для самостоятельных исследований
терной графике, и понял их связь с проективным простран-
пространством. Если вы посмотрите на формулы, приведенные в гл. 6
книги Foley, van Dam, Feiner, Hughes A990), то вы уви-
увидите 4 х 4-матрицы. Эти матрицы появляются в формулах по
той причине, что точка в Р3 имеет 4 однородные координаты!
(xiii) Построение неявного описания с помощью результантов. Как
указывалось в § 3 гл. 3, задачу построения неявного описа-
описания удобнее решать с помощью результантов, чем с помощью
вычисления базиса Грёбнера. Хорошей темой является изуче-
изучение работ Andersen, Goldman, Sederberg A984a, 1984b) и
Manocha A994). Результанты, используемые в этих работах,
отличаются от результантов двух полиномов, определенных в
гл. 3. Для решения задачи построения неявного описания нуж-
нужны результанты трех и более полиномов, которые называются
мультиполиномиальными результантами. Эти результанты
рассмотрены в работе Bajaj, Garrity, Warren A988) и в
книге Сох, Little, О'Shea A998).
(xiv) Оптимальный порядок переменных. Известны случаи, когда
изменение порядка переменных (при сохранении типа упорядо-
упорядочения) сильно влияет на процесс вычисления базиса Грёбнера.
Например, в п. (а) упр. 13 к § 9 гл. 2 вычислялся достаточно
сложный базис Грёбнера для lex-упорядочения с х > у > z.
Но изменение порядка переменных на z > у > х (при сохране-
сохранении lex) дает значительно более простой базис. Эвристический
алгоритм выбора оптимального порядка переменных описан в
работе Boege, Gebauer, Kredel A986). Хорошей темой бы-
была бы прямая реализация алгоритма Бухбергера плюс выбор
оптимального порядка переменных. Такой алгоритм включен
в состав пакета Groebner системы REDUCE (см. § 4 приложе-
приложения С).
(xv) Выбор стратегий в алгоритме Бухбергера. В нашем обсужде-
обсуждении алгоритма Бухбергера (после теоремы 11 из § 9 гл. 2) мы
упоминали стратегию выбора пары (i,j) 6 В в теореме 11, кото-
которая состоит в минимизации монома LCM(lt(/;),lt(/j)). Этот
подход называется нормальной стратегией выбора. Существу-
Существуют, однако, и другие стратегии выбора, причем некоторые из
них реализованы в действующих алгоритмах. Хорошей зада-
задачей является разобраться в этих стратегиях (и реализовать
их). Вот две из них:
(а) Концепция сахарной стратегии (sugar), введенная в рабо-
работе Giovin'i, Mora, Niesi, Robbiano, Traverso A991).
В этой работе объясняется, почему нормальная страте-
стратегия выбора может приводить к трудностям при работе с
§ 2. Предлагаемые темы
669
неградуированными упорядочениями (такими, как lex), и
определяется понятие сахарной стратегии, позволяющее
устранить эти трудности. Эта стратегия реализована в
большинстве систем, описанных в приложении С.
(Ь) В случае lex-упорядочения некоторые эвристики выбора
пар обсуждаются в работе Czapor A991). Основной иде-
идеей здесь является выбор пары (i,j), такой, чтобы мульти-
степень S-полинома S(fi,fj) была бы как можно меньше.
(xvi) Другие типы базисов Грёбнера. В гл. 2 мы определили базис
Грёбнера идеала в кольце полиномов для данного мономиаль-
ного упорядочения и данного основного поля. Но есть и дру-
другие подходы к тому, что такое базис Грёбнера. Хорошей темой
является изучение этих подходов. Вот некоторые интересные
типы базисов Грёбнера:
(a) Мы знаем, что различные упорядочения дают различные
базисы Грёбнера. Меняя упорядочения, мы обнаружива-
обнаруживаем, что существует лишь конечное число базисов Грёбнера
данного идеала. Объединим их и образуем универсаль-
универсальный базис Грёбнера, который является базисом Грёбнера
для всех возможных упорядочений. См. с. 514-515 книги
Becker, Weispfenning A993).
(b) Если основное поле содержит параметры, то возможен
случай (см. § 3 гл. 6), когда базис Грёбнера некоторого
идеала перестает быть им при специализации парамет-
параметров. Можно, однако, построить базис Грёбнера, который
остается им при любой специализации параметров. Такие
базисы называются исчерпывающими базисами Грёбнера.
Описание таких базисов и ссылки можно найти на с. 515-
518 книги Becker, Weispfenning A993).
(c) Иногда базис Грёбнера можно определить для идеалов в
кольцах полиномов R[xi,..., хп], где R — кольцо. Это про-
проще всего сделать, когда R является кольцом главных иде-
идеалов (см. § 1 гл. 5). Основы теории таких базисов Грёбнера
изложены в гл. 4 книги Adams, Loustaunau A994) и в
разд. 10.1 книги Becker, Weispfenning A993).
(d) Обобщением понятия идеала / С k[xi,...,xn] является
понятие модуля М С к[х\,... ,хп]г. Можно естествен-
естественным образом определить упорядочения и базисы Грёбнера
для модулей. Основные определения и интересные приме-
примеры можно найти в книгах Adams, Loustaunau A994),
Becker, Weispfenning A993), Cox, Little, O'Shea
A998) hEisenbud A995).

670
Приложение D. Темы для самостоятельных исследований
Кроме тем, перечисленных выше, научный руководитель может
почерпнуть интересные темы исследований для студентов в следу-
следующих книгах:
• Сох, Little, O'Shea A998). В главах этой книги, посвящен-
посвященных локальным кольцам, алгебраической теории кодирования и
целочисленному программированию, можно найти немало тем
для самостоятельных исследований. В зависимости от интере-
интересов студентов можно найти такие темы и в других главах.
• Adams, Loustaunau A994). Главы о минимальных полиномах
расширений полей, о проблеме трех красок и целочисленном
программировании могут дать материал для нескольких инте-
интересных исследований.
• Eisenbud A995). В этой книге в разд. 15.12 дан список из семи
тем. Это более трудные темы, и они требуют больших знаний
в области коммутативной алгебры, чем темы из нашего списка.
Но, с другой стороны, они дают хорошее введение в актуальные
области исследования в алгебраической геометрии.
Если вы придумаете новые темы самостоятельных исследова-
исследований, нам будет интересно узнать о них. Имеется масса удивитель-
удивительных вещей, которые можно делать с базисами Грёбнера и алгебра-
алгебраической геометрией. Темы, перечисленные выше, есть не более чем
попытки, не идущие дальше поверхности.
Литература
Adams W., Loustaunau P. A994), An Introduction to Grobner Bases, Grad-
Graduate Studies in Mathematics, 3, Amer. Math. Soc, Providence.
Anderson D., Goldman R., Sederberg T. A984a), Implicit representation of
parametric curves and surfaces, Comput. Vision, Graphics, and Image
Design, 28, 72-84.
Anderson D., Goldman R., Sederberg T. A984b), Vector elimination: a tech-
technique for the implicitization, inversion and intersection of planar paramet-
parametric rational polynomial curves, Comput. Aided Geom. Design, 1, 327-356.
Atiyah M. F., MacDonald I. G. A969), Introduction to Commutative Alge-
Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass. [Имеется перевод: Атья М., Мак-
дональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.]
Baillieul J. et al. A990), Robotics, Proceedings of Symposia in Applied Math-
Mathematics, 41, Amer. Math. Soc, Providence, R.I.
Bajaj C, Garrity Т., Warren J. A988), On the applications of multi-
equational resultants, Technical Report CSD-TR-826, Department of
Computer Science, Purdue University.
Ball A. A. A987), The parametric representation of curves and surfaces using
rational polynomial functions, in: The Mathematics of Surfaces, II, ed. by
Martin R. R., Clarendon Press, Oxford, 39-61.
Bayer D. A982), The division algorithm and the Hilbert scheme, PhD. thesis,
Harvard University.
Bayer D., Mumford D. A993), What can be computed in algebraic geometry?,
in: Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, ed. by
Eisenbud D., Robbiano L., Cambridge University Press, Cambridge, 1-48.
Bayer D., Stillman M. A987a), A criterion for detecting m-regularity, Invent.
Math., 87, 1-11.
Bayer D., Stillman M. A987b), A theorem on refining division orders by the
reverse lexicographic order, Duke J. Math., 55, 321-328.
Bayer D., Stillman M. A988), On the complexity of computing syzygies,
in: Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by Robbiano L.,
Academic Press, New York, 1-13.
Becker Т., Weispfenning V. A993), Grobner Bases, Springer-Verlag, New
York-Berlin-Heidelberg.
Benson D. A993), Polynomial Invariants of Finite Groups, Cambridge Uni-
University Press, Cambridge.
Benson С. Т., Grove L. C. A985), Finite Reflection Groups, 2nd ed.,
Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.

672
Литература
Billera L., Rose L. A989), Grobner basis methods for multivaxiate splines, in:
Mathematical Methods in Comput. Aided Geom. Design, ed. by Lyche Т.,
Schumacher L., Academic Press, New York, 93-104.
Boege W., Gebauer R, Kredel H. A986), Some examples for solving sys-
systems of algebraic equations by calculating Groebner bases, J. Symbolic
Comput., 2, 83-98.
Brieskorn E., Knorrer H. A986), Plane Algebraic Curves, Birkhauser, Basel-
Boston-Stuttgart.
Bruce J. W., Giblin P. J. A992), Curves and Singularities, 2nd ed., Cam-
Cambridge University Press, Cambridge. [Имеется перевод I изд.: Брус Дж.,
Джиблин П. Кривые и особенности. — М.: Мир, 1988.]
Buchberger В. A985), Groebner bases: an algorithmic method in polynomial
ideal theory, in: Multidimensional Systems Theory, ed. by Bose N. K., D.
Reidel Publishing Company, Dordrecht, 184-232.
Canny J., Manocha D. A992), Algorithm for implicitizing rational parametric
surfaces, Comput. Aided Geom. Design, 9, 25-50.
Canny J., Manocha D. A993), Multipolynomial resultant algorithms, J. Sym-
Symbolic Comput., 15, 99-122.
Char В., Geddes K., Gonnet G., Leong В., Monogan M., Watt S. A991),
Maple V Library Reference Manual, Springer-Verlag, New York-Berlin-
Heidelberg.
Chou S.-C. A988), Mechanical Geometry Theorem Proving, D. Reidel Pub-
Publishing Company, Dordrecht.
Clemens H. A980), A Scrapbook of Complex Curve Theory, Plenum Press,
New York-London. [Имеется перевод: Клеменс Г. Мозаика теории ком-
комплексных кривых. — М.: Мир, 1972.]
Сох D., Little J., O'Shea D. A998), Using Algebraic Geometry, Springer-
Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.
Coxeter H. S. M. A973), Regular Polytopes, 3d ed., Dover, New York.
Czapor S. A991), A heuristic selection strategy for lexicographic Crobner
bases?, in: ISSAC 1991, Proc. of the 1991 Intern. Symp. on Symbolic and
Algebraic Comput., ed. by Watt S., ACM Press, New York, 39-48.
Davenport J. H., Siret Y., Tournier E. A993), Computer Algebra, 2nd ed.,
Academic Press, New York. [Имеется перевод I изд.: Давенпорт Дж.,
Сире И., Турнье Е. Компьютерная алгебра. — М.: Мир, 1991]
Dube Т. W. A990), The structure of polynomial ideals and Grobner bases,
SIAM J. Comput., 19, 750-775.
Eisenbud D. A995), Commutative Algebra with a View Toward Algebraic
Geometry, Springer-Werlag, New York-Berlin-Heidelberg.
Eisenbud D., Huneke C, Vasconcelos W. A992), Direct methods for primary
decomposition, Invent. Math., 110, 207-235.
Farin G. A990), Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design,
2nd ed., Academic Press, New York.
Faugere J., Gianni P., Lazard D., Mora T. A993), Efficient change of ordering
for Grobner bases of zero-dimensional ideals, J. Symbolic Comput., 16,
329-344.
Finkbeiner D. T. A978), Introduction to Matrices and Linear Transforma-
Transformations, 3d ed., Freeman W. H. and Co., San Francisco.
Литература
673
Foley J., van Dam A., Feiner S., Hughes J. A990), Computer Graphics:
Principles and Practice, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass.
Fulton W. A969), Algebraic Curves, Benjamin W. A., New York.
Garrity Т., Warren J. A989), On computing the intersection of a pair of
algebraic surfaces, Comput. Aided Geom. Design, 6, 137-163.
Gauss С F. A876), Volume III, Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften
zu Gottingen, Gottingen. [См. также Гаусс К. Ф. Труды по теории чи-
чисел.-М.: Изд-во АН СССР, 1959.]
Gebauer R., Moller H. M. A988), On an installation of Buchberger's algo-
algorithm, in: Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by Rob-
biano L., Academic Press, New York, 141-152.
Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. A994), Discriminants, Resultants
and Multidimensional Determinants, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin.
[Готовится русск. перевод.]
Gianni P., Trager В., Zacharias G. A988), Grobner bases and primary decom-
decomposition of polynomial ideals, in: Computational Aspects of Commutative
Algebra, ed. by Robbiano L., Academic Press, New York, 15-33.
Giovini A., Mora Т., Niesi G., Robbiano L., Taverso С A991), «One sugar
cube, please», or Selection strategies in the Buchberger algorithm, in:
ISSAC 1991, Proc. of the 1991 Intern. Symp. on Symbolic and Algebraic
Comput., ed. by Watt S., ACM Press, New York, 49-54.
Giusti M., Heintz J. A993), La determination des points isoles et de la di-
dimension d'une variete algebrique peut se faire en temps polynomial, in:
Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, ed. by
Eisenbud D., Robbiano L., Cambridge University Press, Cambridge, 216-
256.
Grabe H.-G. A995), CALL A REDUCE package for commutative algebra,
Version 2.2.1, Universitat Leipzig, Institut fur Informatik.
Greuel G.-M., Description of SINGULAR: A computer algebra system for
singularity theory, algebraic geometry and commutative algebra, Euro-
math Bulletin, 2, 1996.
Griffiths P. A989), Introduction to Algebraic Curves, Transl. of Math. Mono-
Monographs, 76, Amer. Math. Soc, Providence.
Gritzmann P., Sturmfels B. A993), Minkowski addition of polytopes: compu-
computational complexity and applications to Grobner bases, SIAM J. Discrete
Math., 6, 246-269.
Hermann G. A926), Der Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der
Polynomideale, Math. Ann., 95, 736-788.
Herstein I. N. A975), Topics in Algebra, 2nd ed., John Wiley & Sons, New
York.
Hilbert D. A890), Uber die Theorie der algebraischen Formen, Math. Ann.,
36, 473-534. Reprinted in Ges. Abh., Vol. II, Chelsea, New York, 1965.
[Имеется перевод: Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. — М.: Факто-
Факториал, 1998, с. 16-66.]
Hilbert D. A993), Theory of Algebraic Invariants, Cambridge University
Press, Cambridge. [Перевод основополагающих статей Гильберта по те-
теории инвариантов см. в указанном выше томе.]
Hodge W. V. D., Pedoe D. A968), Methods of Algebraic Geometry, Volumes I
and II, Cambridge University Press, Cambridge. [Имеется перевод I изд.:

674
Литература
Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Тт. I—III. — М.:
ИЛ, 1954, 1955.]
Hoffmann С. A989), Geometric and Solid Modeling: An Introduction, Mor-
Morgan Kaufmann Publishers, San Mateo, California.
Jenks R., Sutor R. A992), Axiom: the scientific computation system,
Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.
Jouanolou J. A991), Le formalisme du resultant, Advances in Math., 90,
117-263.
Kendig K. A977), Elementary Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New
York-Berlin-Heidelberg.
Kirwan F. A992), Complex Algebraic Curves, Lond. Math. Soc. Student
Texts, 23, Cambridge University Press, Cambridge.
Klein F. A884), Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Aufiosung der
Gleichungen vom Funften Grade, Teubner, Leipzig. [Имеется перевод:
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степе-
степени. — М.: Наука, 1990.] Degree, Trubner, London, 1888. Reprinted by
Dover, New York, 1956.
Lang S. A965), Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass. [Имеется перевод:
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.]
Lazard D. A983), Grobner bases, Gaussian elimination and resolution of
systems of algebraic equations, in: Computer Algebra: EUROCAL 83, ed.
by van Hulzen J. A., Lect. Notes Comput. Sci., 162, Springer-Verlag,
New York-Berlin-Heidelberg, 146-156.
Lazard D. A993), Systems of algebraic equations (algorithms and complex-
complexity), in: Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra,
ed. by Eisenbud D., Robbiano L., Cambridge University Press, Cambridge,
84-105.
Lejeune-Jalabert M. A985), Effectivite des calculs polynomiaux, Cours de
DEA 1984-85, Institut Fourier, Universite de Grenoble I.
Macaulay F. A902), On some formula in elimination, Proc. Lond. Math.
Soc, 3, 3-27.
Manocha D. A994), Solving systems of polynomial equations, IEEE Comput.
Graph. Appl., 14, March 1994, 46-55.
Matsumura H. A986), Commutative Ring Theory, Cambridge University
Press, Cambridge.
Mayr E., Meyer A. A982), The complexity of the word problem for commu-
commutative semigroups and polynomial ideals, Adv. Math., 46, 305-329.
Melenk H., Moller H. M., Neun W. A994), Groebner: A package for cal-
calculating Groebner bases, Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik,
Berlin.
Mignotte M. A992), Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag,
New York-Berlin-Heidelberg.
Mines R., Richman F., Ruitenburg W. A988), A Course in Constructive
Algebra, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.
Mishra B. A993), Algorithmic Algebra, Texts and Monographs in Computer
Science, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.
Moller H. M., Mora F. A984), Upper and lower bounds for the degree of
Groebner bases, in: EUROSAM 1984, ed. by Fitch J, Lect. Notes Comput.
Sci., 174, Springer-Verlag, New York-Berlin-HeiHelberg, 172-183.
Литература
675
Mumford D. A976), Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties,
Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg. [Имеется перевод: Мам-
форд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные алгебраические
многообразия. — М.: Мир, 1979.]
Paul R. A981), Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Con-
Control, MIT Press, Cambridge, Mass.
Robbiano L. A986), On the theory of graded structures, J. Symbolic Сотр.,
2, 139-170.
Roth L., Semple J. G. A949), Introduction to Algebraic Geometry, Clarendon
Press, Oxford.
Seidenberg A. A974), Constructions in algebra, Trans. Amer. Math. Soc,
197, 273-313.
Seidenberg A. A984), On the Lasker-Noether decomposition theorem, Amer.
J. Math., 106, 611-638.
Shafarevich I. R. A974): Шафаревич И. Р. Основы алгебраической
геометрии. — М.: Наука, 1972.
Smith L. A995), Polynomial Invariants of Finite Groups, Peters A. K., Ltd.,
Wellesley, Mass.
Sturmfels B. A989), Computing final polynomials and final syzygies using
Buchberger's Grobner bases method, Results Math., 15, 351-360.
Sturmfels B. A993), Algorithms in Invariant Theory, Texts and Monographs
in Symbolic Computation, Springer-Verlag, New York-Vienna.
van der Waerden B. A931), Moderne Algebra, Vol. II, Springer-Verlag,
Berlin. [Имеется русский перевод I изд. 1931 г.: Ван дер Варден Б. Л.
Современная алгебра. Т. 2. — М.: ГИТТЛ, 1937; II изд. 1940 г.: Госте-
хиздат, 1947, а также V изд. т. I и V изд. т. И: Ван дер Варден Б. Л. Ал-
Алгебра. — М.: Наука, 1976.] Глава по теории исключения входила только
в три первых оригинальных издания (и в соответствующие переводы).
Walker R. A950), Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton.
Reprinted by Dover, 1962. [Имеется перевод: Уокер Р. Алгебраические
кривые. — М.: ИЛ, 1952.]
Wang D. A994a), An implementation of the characteristic set method in
Maple, in: Automated Practical Reasoning: Algebraic Approaches, ed. by
Pfalzgraf J. and Wang D., Springer-Verlag, New York-Vienna, 187-201.
Wang D. A994b), Characteristic sets and zero structure of polynomial sets
(Revised version of May 1994), Lect. Notes, RISC-LINZ, Johannes Kepler
University, Linz, Austria.
Winkler F. A984), On the complexity of the Grobner bases algorithm over
K[x,y,z], in: EUROSAM 1984, ed. by Fitch J, Lect. Notes Comput. Sci.,
174, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 184-194.
Wolfram S. A996), The Mathematica Book, 3d ed., Wolfram Media, Cham-
Champaign, Illinois.
Wu W.-T. A983), On the decision problem and the mechanization of
theorem-proving in elementary geometry, in: Automated Theorem Prov-
Proving: After 25 Years, ed. by Bledsoe S. and Loveland D., Contemp. Math.,
29, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 213-234.

Предметный указатель
автоморфизм многообразий 314
алгебраическая параметриза-
параметризация 160
алгебраически замкнутое поле
15
алгебраическое соотношение
434
алгоритм Бухбергера 121, 122
- - усовершенствованный 144
- вычисления проективного за-
замыкания аффинного много-
многообразия 491
- деления 57, 88
- для вычисления GCD 61
базиса частного идеалов 254
наибольшего общего дели-
делителя 246
наименьшего общего крат-
кратного 246
пересечения идеалов 244
- Евклида 61
- построения неявного представ-
представления для полиномиальной
параметризации 170
рациональной параме-
параметризации 174
- принадлежности радикально-
радикальному идеалу 233
- проверки равенства идеалов
125
- - совместности 225
- псевдоделения 389
- решения задачи о принадлеж-
принадлежности идеалу 128
аффинная плоскость 13
- прямая 13, 453
- функция Гильберта 572
- часть многообразия 468
аффинное многообразие 17
- преобразование 351
- пространство 13
аффинный конус 473, 480
- полином Гильберта 574
базис Грёбнера 105
- - исчерпывающий 358, 669
- - минимальный 123
- - редуцированный 123
- идеала 47
- минимальный 54
- - для мономиального идеала
100
- сизигий 140
- стандартный 105
бесконечно удаленная гипер-
гиперплоскость 463
- - прямая 450, 453
- - точка 450
бесконечное поле 14
биоднородный полином 508, 512
бирациональная эквивалент-
эквивалентность 325, 605
бистепень 512
великая теорема Ферма 26
вес монома 512
взвешенно однородный полином
508, 512
Предметный указатель
677
взвешенное упорядочение 101
возрастающая цепь идеалов 106
вполне упорядочение 77
вход 642
входные данные 56, 642
выпуклое подмножество 43
выход 642
выходные данные 56
гиперплоскость 465, 515
- бесконечно удаленная 463
гиперповерхность 465
- квадратичная 465, 516
главный идеал 60, 110
- ступенчатый вид 72
гладкая точка 613
гомогенизация идеала 486, 505
- полинома 228, 468
гомоморфизм кольцевой 228,
288
градиент полинома 181
градуированное упорядочение
80, 486
- лексикографическое упорядо-
упорядочение 80
- обратное лексикографическое
упорядочение 81
график функции 314
группа 639
- Клейна четверная 417
- линейная проективная 526
- матричная конечная 412
- общая линейная 412
- перестановок 639
- циклическая 413
двойное отношение 383
двойственная кривая 447
- проективная плоскость 461
двойственное многообразие 447
- проективное пространство 474
дегомогенизация идеала 503
- полинома 466
декартов лист 178
делимое промкжуточное 87
дискриминант 408
дискриминант полинома 206
доминирующее отображение
604
задача кинематическая обрат-
обратная 343
- - прямая 343
- неявного представления 70,
131, 167
- о принадлежности идеалу 65,
70, 128
радикальному идеалу 233
- - решении полиномиальных
уравнений 70, 128
- описания идеала 70, 102
- совместности 67, 224
заключение обобщенно следую-
следующее 379
- строго следующее 376
замыкание Зарисского 163, 250
- проективное 489, 505
знак перестановки 640
зонтик Уитни 176
идеал 45
- взвешенно однородный 512
- главный 60, ПО
- детерминантный 148
- исключающий 152
- - проективный 499
- кольца 290, 639
- конечно порожденный 47
- максимальный 260
- многообразия 49
- мономиальный 95
- неприводимый 271
- однородный 476
- - простой 485
- - радикальный 482
- порожденный множеством по-
полиномов 46
- примарный 270

678
Предметный указатель
- Р-примарный 271
- простой 256
- -, принадлежащий идеалу 273
- радикальный 54, 229
- сизигий 434
- собственный 260
- соотношений 434
- старших членов 102
идеалы комаксимальные 248
изоморфизм кольцевой 288
- многообразий 309
инвариантный полином 415
индекс регулярности 574
исключающее упорядочение
102, 157
исключающий идеал 152
- - проективный 499
исчерпывающий базис Грёбнера
358, 669
касательная к многообразию
182
- поверхность скрученной куби-
кубики 34
касательное пространство 607
касательный конус 621
- - проективизированный 635
квадратичная гиперповерх-
гиперповерхность 465
квадрика 465, 516
- неособая 520
- особая 527
квартика 465
квинтика 465
кинематическая особенность
357, 360
кинематически избыточный ро-
робот 369
кисть робота 340
класс эквивалентности 285
кольца изоморфные 288
кольцевой гомоморфизм 228,
288
- изоморфизм 288
кольцо 416
- коммутативное 638
- координатное 306, 596
- полиномиальное 13
- полиномов 13, 75
комаксимальные идеалы 248
конечное поле 14
коника 516
коническое сечение 43
конструктивное множество 165.
336
конус аффинный 473, 480
- касательный 621
- - проективизированный 635
конфигурационное простран-
пространство 342
координатная функция 306
координатное кольцо 306, 596
- подпространство 550, 557
координаты однородные 452,
462
- плюккеровы 523
корректность операций 286
коэффициент монома 13
- полинома старший 83
коэффициенты мультиномиаль-
мультиномиальные 431
кратность особой точки 191
- пересечения 180, 537
кривая в Р2(С) 532
- двойственная 447
- рациональная нормальная 493
критерий Бухбергера S-nap 117
кубика 465
- Безье 35
- скрученная 19
лексикографическое упорядо-
упорядочение 78
лемма Диксона 97
линейная часть полинома 607
линейно связное множество 542,
546
линейное многообразие 21, 465
Предметный указатель
679
- отображение 276
- упорядочение 77
линейчатая поверхность 522
локальные свойства многообра-
многообразия 607
максимальный идеал 260
матрица максимального ранга
359
- неполного ранга 359
- перестановки 413
- Сильвестра 200
метод базисов Грёбнера 381
- By 388
- вырождения 548
минимальное разложение идеа-
идеала 267
- - многообразия 266
минимальный базис Грёбнера
123
многообразие аффинное 17
- двойственное 447
- идеала 108, 477
- линейное 21, 465
- неприводимое 256, 478
- определенное идеалом 108
- приводимое 279
- проективное 465
- рациональное 325
- Сегре 494
- унирациональное 31
многообразия бирационально
эквивалентные 325, 605
- изоморфные 309
- проективно эквивалентные 514
многоугольник управляющий
36
множество конструктивное 336
- линейно связное 542, 546
- особое 613
- уровня 283
моном 12
мономиальное упорядочение 77
- - взвешенное 101
- - градуированное 80, 486
лексикографическое 80
обратное лексикографиче-
лексикографическое 81
- - исключающего типа 159
- - исключающее 102, 159
- - лексикографическое 78
- - противоположное лексико-
лексикографическое 84
мономиальный идеал 95
мультиномиальные коэффици-
коэффициенты 431
мультиполиномиальный резуль-
результат 204
мультистепень полинома 83
наибольший общий делитель
полиномов 61, 63, 235
наименьшее общее кратное мо-
мономов 113
полиномов 295
насыщение идеала 255
неизбыточное объединение мно-
многообразий 266
- пересечение идеалов 267
- примарное разложение идеала
271
неособая квадрика 520
- точка 182, 613
неприводимое многообразие
256, 478
неприводимый идеал 271
- полином 194, 234
неявное представление 30
нильпотентный элемент 289
нормальная форма полинома
112
область главных идеалов (ОГИ)
60
- целостности 280, 638
обобщенный результант 212
образующие идеала 46
общая линейная группа 412

680
Предметный указатель
объединение многообразий не-
неизбыточное 266
огибающая семейства 185
однородная компонента полино-
полинома 406, 510
однородные координаты 452,
462
однородный идеал 476
- - простой 485
- - радикальный 482
- полином 406, 464
оператор присваивания 643
- Рейнольдса 423
- условный 645
- цикла 644
определитель 639
орбита 440
ортоцентр 384
особая квадрика 527
- точка 134, 178, 182, 527, 613
особенность кинематическая
357, 360
особое множество 613
остаток 88
отображение доминирующее
604
- линейное 276
- обратного образа 311
- полиномиальное 277
- проекции 161, 600
- рациональное 321, 322
- регулярное 277
- Сегре 521
параметр 28
параметризация 28
- алгебраическая 160
- полиномиальная 30, 168
- рациональная 29
пересечение идеалов 242
- - неизбыточное 267
- полное 593
плоскость в Р3(А;) 465
- аффинная 13
- двойственная проективная 461
- проективная 449, 452
плотное по Зарисскому подмно-
подмножество 600
плюккеровы координаты 523
поверхность Веронезе 283
- - проективная 493
- Эннепера 176
- касательная скрученной куби-
кубики 34
- линейчатая 522
подгруппа 639
- изотропии 445
подкольцо 416
подматрица 617
подмногообразие 306
подмножество плотное по За-
Зарисскому 600
подпространство координатное
550, 557
поле 11, 637
- алгебраически замкнутое 15
- бесконечное 14
- конечное 14
- положительной характеристи-
характеристики 238
- рациональных функций 318,
319, 605
- функций 319
- характеристики нуль 238, 412
- частных 318
полином 12, 75
- Гильберта 579
- - аффинный 574
- Ньютона—Грегори интерпо-
интерполяционный 569
- биоднородный 508, 512
- взвешенно однородный 508,
512
- инвариантный 415
- неприводимый 194, 234
- однородный 406, 464
- редуцированный 235
- редуцируемый к нулю 137
Предметный указатель
681
- свободный от квадратов 235
- симметрический 400
- целочисленный 200
- «частично» однородный 497
полиномиальная параметриза-
параметризация 30
полиномиальное отображение
277
полиномы, сравнимые по моду-
модулю идеала 285
полная степень монома 12
- - полинома 13
- - элемента из Z"n 561
полное пересечение 593
порождающие группы 417
- подкольца 423
порождающие элементы идеала
46
порядок группы 412
правило Крамера 202, 639
предел прямых 625
представление неявное 30
- параметрическое рациональ-
рациональное 29
преобразование аффинное 351
- проективное линейное 513
приводимое многообразие 279
примарное разложение идеала
271
неизбыточное 271
примарный идеал 270
принцип двойственности 450
- максимума 338
- минимума 338
проективная линейная группа
526
- плоскость 449, 452
- поверхность Веронезе 493
- прямая 449, 452, 465, 522
- эквивалентность 514
проективное замыкание 489, 505
- линейное преобразование 513
- многообразие 465
- пространство 462
проективный исключающий
идеал 499
произведение идеалов 241
- упорядочений 101
производная формальная 68,
293, 607
промежуточное делимое 87
простой идеал 256, 485
- идеал, принадлежащий идеалу
273
пространство аффинное 13
- касательное 607
- конфигурационное 342
- операционное 342
- орбит 440
- проективное 462
- проективное двойственное 474
- сочленений 342
противоположное лексикогра-
лексикографическое упорядочение 84
прямая аффинная 13, 453
- бесконечно удаленная 450, 453
- проективная 449, 452, 465, 522
- секущая 624
- Эйлера 384
псевдокод 642
псевдоостаток 389
псевдочастное 389
пучок многообразий 474
- поверхностей 309
- прямых 461
равенство рациональных ото-
отображений 323
радикал идеала 230
радикальный идеал 54, 229, 482
раздутие 634
разложение идеала примарное
271
минимальное 271
неизбыточное 271
- идеала минимальное 267

682
Предметный указатель
- многообразия минимальное
266
размерность 359, 551, 562, 565,
575, 579
- в точке 612
ранг квадрики 518
расширение идеала 249
рациональная нормальная кри-
кривая 493
- параметризация 29
- функция 605
рациональное многообразие 325
- отображение 321, 322
- параметрическое представле-
представление 29
рациональные отображение
равные 323
регулярное отображение 277
редукция полинома 235
редуцированная часть полино-
полинома 68
редуцированное уравнение 533
редуцированный базис Грёбнера
123
- полином 235
- элемент 124
результант двух полиномов 200,
209
- мультиполиномиальный 204
- обобщенный 212
решение частичное 154, 161
робот 339
- кинематически избыточный
369
рука робота 340
свободная от квадратов часть
полинома 68
свободный от квадратов поли-
полином 235
сдвиг координатного подпро-
подпространства 557
семейство кривых 184
сжатие идеала 249
сизигия 434
- однородная 140
- старших членов 139
сильная теорема о нулях 231,
481
симметрическая функция эле-
элементарная 400
симметрический полином 400
система компьютерной алгебры
- - - AXIOM 647
- - - СоСоА 661
- - - Maple 650
Mathematica 653
- - - REDUCE 655
Macaulay 661
- - - MACSYMA 661
скрученная кубика 19
слабая теорема о нулях 222, 480
слой над точкой 337
смежный класс левый 446
собственный идеал 260
соединение «круг» 352
- винтовое 341
- призматическое 340
- спиральное 341
- шарнирное плоское 340
- - шаровое 341
специализация 355
стабилизатор 445
стандартные представители 295
стандартный базис 105
старший коэффициент полино-
полинома 83
- моном полинома 83
- член 57, 83
степень идеала 595
- полная монома 12
- - полинома 13
- - элемента из Z"n 561
- проективного многообразия
595
- трансцендентности 602
стратегия двойная сахарная 146
Предметный указатель
683
- нормального выбора 146
- сахарная 146
строфоида 40
сумма идеалов 239
сфера Римана 463
теорема алгебры основная 13,
400
- Аполлония об окружности 374
- Безу 539
- геометрическая допустимая
373
- Гильберта о базисе 104
нулях 225
- Нётер 425
- о замыкании 163, 330
- - нормальной форме квадрати-
квадратики 516
- - нулях в k[V] 303
сильная 231
проективная 481
- - - слабая 222
проективная 480
- - полиномиальном неявном
представлении 169
- - принадлежности радикаль-
радикальному идеалу 233
- - продолжении 155, 211, 213
проективная 500
- - разложении Л аскера—Нётер
272
- - размерности 576
проективная 579
- - рациональном неявном пред-
представлении 174
- - симметрических полиномах
401
- об исключении 153
обобщенная 174
- Паппа 384
- Ферма великая 26
тип 643
тождества Ньютона 407
- - несимметрические 411
точка Штейнера 387
- бесконечно удаленная 450
- гладкая 613
- неособая 182, 613
- особая 134, 179, 182, 527, 613
- перегиба 191
- схода 450
точки управляющие 36
убывающая цепь многообразий
110
унирациональное многообразие
31
упорядочение взвешенное 101
- градуированное лексикогра-
лексикографическое 80
- - обратное лексикографиче-
лексикографическое 81
- исключающего типа 159
- исключающее 102, 159
- линейное 77
- лексикографическое 78
- мономиальное 77
- противоположное лексикогра-
лексикографическое 84
управляющие точки 36
управляющий многоугольник
36
уравнение редуцированное 533
условие обрыва возрастающих
цепей (УОВЦ) 107
условие обрыва убывающих це-
цепей 263
фактор формы 44
факторкольцо 286
факторпространство 571
формальная производная 68,
293, 607
формула Тейлора 608, 630
- Эйлера 473
функции алгебраически незави-
независимые 379
функция Гильберта 577

684
Предметный указатель
- - аффинная 572
- координатная 306
- рациональная 605
- элементарная симметрическая
400
характеристика поля 238, 618
целочисленный полином 200
центроид 384
цикл 642
циклическая группа 413
циссоида 40
«частично» однородный поли-
полином 497
частичное решение 154, 161
частное идеалов 252
четверная группа Клейна 417
четырехлепестковая роза 25
член полинома 13
элемент нильпотентный 289
- редуцированный 124
элементарная симметрическая
функция 400
элементы алгебраически неза-
независимые 597
эффектор 340
ядро гомоморфизма 294
- отображения 249
AXIOM 647
СоСоА 661
grevlex-упорядочение 81
grlex-упорядочения 80
invlex-упорядочение 84
lex-упорядочение 78
Macaulay 661
MACSYMA 661
Maple 650
Mathematica 653
REDUCE 655
Л-последовательность 593
S-полином 113
Оглавление
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 9
1 Геометрия, алгебра и алгоритмы 11
§ 1. Полиномы и аффинное пространство 11
§ 2. Аффинные многообразия 17
§ 3. Параметризации аффинных многообразий 28
§ 4. Идеалы 45
§ 5. Полиномы от одной переменной 56
2 Базисы Грёбнера 70
§ 1. Введение 70
§2. Упорядочение мономов в к[х\,...,хп] 75
§ 3. Алгоритм деления в k[xi,..., хп] 85
§ 4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона 95
§ 5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера .... 102
§ 6. Свойства базисов Грёбнера 111
§ 7. Алгоритм Бухбергера 119
§ 8. Первые применения базисов Грёбнера 128
§ 9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбер-
Бухбергера 136
3 Теория исключения 151
§ 1. Теоремы об исключении и продолжении 151
§ 2. Геометрия исключения 161
§ 3. Неявное представление 167
§ 4. Особые точки и огибающие 179
§ 5. Единственность разложения на множители и резуль-
результанты 194
§ 6. Результанты и теорема о продолжении 209

686 Оглавление
4 Алгебро-геометрический «словарь» 221
§ 1. Теорема Гильберта о нулях 221
§ 2. Радикальные идеалы и соответствие идеал—много-
идеал—многообразие 229
§ 3. Суммы, произведения и пересечения идеалов 238
§ 4. Замыкание Зарисского и частные идеалов 250
§ 5. Неприводимые многообразия и простые идеалы . . . 256
§ 6. Разложение многообразия в объединение неприводи-
неприводимых 263
§ 7. Дополнение. Примарное разложение идеалов . . : . . 270
§ 8. Сводка результатов 275
5 Полиномиальные и рациональные функции на мно-
многообразии 276
§ 1. Полиномиальные отображения 276
§ 2. Фактор кольца полиномиальных колец 284
§3. Алгоритмические вычисления в к [ц,... ,х„]/1 .... 295
§ 4. Координатное кольцо аффинного многообразия . . . 306
§ 5. Рациональные функции на многообразии 318
§ 6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании . 330
6 Роботика и автоматическое доказательство геометри-
геометрических теорем 339
§ 1. Геометрическое описание роботов 339
§ 2. Прямая кинематическая задача 345
§ 3. Обратная кинематическая задача и планирование
движения 353
§ 4. Автоматическое доказательство геометрических теорем369
§ 5. Метод By 388
7 Теория инвариантов конечных групп 399
§ 1. Симметрические полиномы 399
§ 2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов . 412
§ 3. Образующие кольца инвариантов 422
§ 4. Соотношения между образующими и геометрия орбит 433
8 Проективная алгебраическая геометрия 448
§ 1. Проективная плоскость 448
§ 2. Проективное пространство и проективные много-
многообразия 461
§ 3. Проективный алгебро-геометрический словарь .... 475
§ 4. Проективное замыкание аффинного многообразия . . 485
§ 5. Проективная теория исключения 494
Оглавление 6
§ 6. Геометрия квадрик 5
§ 7. Теорема Безу 5
9 Размерность многообразия 5'
§ 1. Многообразие мономиального идеала 5
§ 2. Дополнение мономиального идеала 5
§ 3. Функция Гильберта и размерность многообразия ... 5
§ 4. Элементарные свойства размерности 5
§ 5. Размерность и алгебраическая независимость 5
§ 6. Размерность и неособость 6
§ 7. Касательный конус 6
А Некоторые понятия из алгебры 6J
§ 1. Поля и кольца 6,
§ 2. Группы 6;
§ 3. Определители 6'
В Псевдокод 64
§ 1. Вход, выход, переменные и константы 6'
§ 2. Операторы присваивания 6'
§ 3. Операторы цикла 6'
§ 4. Условный оператор 6^
С Системы компьютерной алгебры 64
§ 1. AXIOM 6-:
§2. Maple 61
§ 3. Mathematica 6i
§4. REDUCE 61
§ 5. Другие системы 6t
D Темы для самостоятельных исследований 66
§ 1. Общие замечания 66
§ 2. Предлагаемые темы 66
Литература 67
Предметный указатель 67