t
J
1
!£■/

Л. КЕЙПЕРС,
Г. НИДЕРРЕЙТЕР
РАВНОМЕРНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Перевод с английского
Б. Б. ПОХОДЗЕЯ и И. М. СОБОЛЯ
Под редакцией
С. М. ЕРМАКОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 5

ББК 22.19
КЗЗ
УДК 519.6
UNIFORM
DISTRIBUTION
OF SEQUENCES
L. KUIPERS
H. NIEDERREITER
JOHN WILEY & SONS
N. Y. • London • Sydney • Toronto|
1974
Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение
последовательностей: Пер. с англ./Под ред. С. М. Ермакова.—М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1985.—408с.
Книга содержит изложение теории равномерного распределения
последовательностей и ее применение к приближенным вычислениям. Она написана на
трех уровнях — основной текст, замечания и упражнения. Основной текст
написан как учебник. Замечания содержат обзор литературы. Упражнения
включают задачи не только по теории равномерных распределений, но и по
смежным вопросам.
Для специалистов в области математики и прикладной математики, а
также для студентов математических специальностей вузов.
Библиогр. 958 назв.
1702070000—157
К 053(02)-85 15"85
© 1974, by John Wiley & Sons, Inc.
© Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода 6
Предисловие авторов V Ь
Глава 1. Равномерное распределение по модулю 1 ........ . 11
§ 1. Определение 11
Равномерное распределение по модулю 1 (11).. Равномерное
распределение по модулю разбиения (14). Замечания (15).
Упражнения (15).
§ 2. Критерий Вейля 16
Критерий (16). Приложения к различным
последовательностям (17). Приложения к степенным рядам (19). Теорема
Фейера (23). Оценка тригонометрических сумм (25).
Равномерное распределение двойных последовательностей (28).
Замечания (31). Упражнения (33).
§ 3. Теорема о разностях 35
Теорема ван дер Корпута о разностях (35). Другие теоремы
о разностях (38). Замечания (40). Упражнения (41).
§ 4. Метрические теоремы 42
Некоторые основные результаты (42). Общая метрическая
теорема Коксмы (44). Тригонометрические
последовательности (46). Замечания (49). Упражнения (50).
§ 5. Отлично распределенные последовательности по модулю 1 . . 51
Определение и критерии Вейля (51). Допустимые
последовательности (53). Метрические теоремы (54). Замечания (56).
Упражнения (57).
§ 6. Многомерный случай 58
Определение и основные результаты (58). Приложения (61).
Замечания (61). Упражнения (62).
§ 7. Функции распределения 63
Различные типы функций распределения (63). Критерии (64).
Разные результаты (66). Элементарный метод (68).
Метрические теоремы (70). Методы суммирования (71).
Замечания (77). Упражнения (78).
§ 8. Нормальные числа . . . 80
Определение и связь с равномерным распределением по
модулю 1 (80). Дальнейшие результаты (82). Замечания (86).
Упражнения (88).
§ 9. Непрерывное распределение по модулю 1 89
Основные результаты (89). Соотношения между р. р. мод 1 и
н. р. р. мод 1 (92). Многомерный случай (94).
Замечания (95). Упражнения (96).
Глава 2. Отклонение 99
§ 1. Определение и основные свойства 99
Одномерный случай (99). Многомерное отклонение (103).
Изотропное отклонение (104). Замечания (108).
Упражнения (110).
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Оценки отклонения 111
Нижние границы: метод Рота (111). Нижние границы: метод
Шмидта (119). Верхние границы (122). Замечания (128).
Упражнения (130).
§ 3. Последовательности частного вида 131
Почти арифметические прогрессии (131). Диофантовы
приближения (133). Отклонение последовательности (па) (135).
Последовательность ван дер Корпута (139). Замечания (140).
Упражнения (143).
§ 4, Перестановка членов последовательностей 145
Плотные последовательности и равномерное распределение (145).
Ряды Фарея (149). Перестановки и функции распределения (151).
Замечания (154). Упражнения (155).
§ 5, Численное интегрирование . 156
Неравенство Коксмы (156). Некоторые примечательные
тождества (158). Оценка погрешности для непрерывных
'функций (160). Неравенство Коксмы — Xлавки (161). Хорошие
целочисленные точки (169). Замечания (173). Упражнения (175).
§ 6. Количественные теоремы о разностях : 179
Отклонение последовательности разностей (179).
Интегральное тождество (182). Замечания (184). Упражнения (184).
Глава 3. Равномерное распределение в компактных пространствах . . 186
§ 1. Определение и важнейшие свойства 186
Определение (186). Классы, определяющие сходимость (188).
Множества непрерывности (190). Носитель меры (193).
Замечания (194). Упражнения (195).
§ 2. Пространства со счетной базой 197
Критерий Вей ля (197). Метрические теоремы (198).
Перестановка членов последовательностей (202). Количественная
теория (206). Замечания (207). Упражнения (208).
§ 3. Равностепенно равномерное распределение 210
Основные результаты (210). Размер семейств равностепенно p.p.
последовательностей (215). Отлично распределенные
последовательности (218). Вполне равномерное распределение (223).
Замечания (224). Упражнения (224).
§ 4. Методы суммирования 225
Матричные методы (225). Борелевское свойство (227).
Конструктивный результат (234). Почти сходимость (235).
Замечания (238). Упражнения (239).
Глава 4. Равномерное распределение в топологических группах ... 241
§ 1. Общие сведения 241
Мера Хаара (241). Представления и линейные группы (243).
Критерий Вейля (248). Некоторые следствия предыдущих
результатов (249). Применение гомоморфизмов (251). Теория
двойственности (253). Замечания (256). Упражнения (258).
§ 2. Обобщенная теорема о разностях -259
Доказательство с помощью основного неравенства (259).
Теоремы о разностях для отлично распределенных
последовательностей (263). Метод корреляционных функций (266).
Ослабление предположений (274). Замечания (281).
Упражнения (281).
§ 3. Свертка последовательностей 282
Свертка мер (282). Свертка и равномерное распределение (284).
Семейство критериев равномерности распределения (287).
Замечания (291). Упражнения (291).
§ 4. Монотетические группы . . . , 292

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Определение (292). Последовательности вида (ап) (293). Харак-
теризации образующих (294). Последовательности степеней
образующих (296). Мера множества образующих (297).
Структурная теория локально компактных монотетических групп (298).
Равностепенно равномерное распределение (302). Замечания
(304). Упражнения (306).
§ 5, Локально компактные группы 308
Определение и ряд примеров (308). Общие свойства (311).
Периодические функции и периодические представления (312).
Компактификации (315). Моногенные группы (322).
Равномерное распределение по Хартману (324). Почти периодические
функции (326). Существование последовательностей, равномерно
распределенных по Хартману (328). Еще несколько
определений равномерного распределения (331). Замечания (331).
Упражнения (333).
лава 5. Последовательности целых чисел и многочленов ...... 335
§ 1. Равномерное распределение целых чисел 335
Основные свойства (335). Равномернее распределение в Z и
равномерное распределение мод 1 (337). Последовательности
значений многочлена (341). Подход с позиций теории меры
(344). Независимость (346). Измеримые функции (347).
Замечания (348). Упражнения (349).
§ 2. Асимптотическое распределение в Zp . 350
Определения и важнейшие свойства (350). Критерии Вейля
(352). Замечания (356). Упражнения (356).
§ 3. Равномерное распределение последовательностей в GF [q, x] и
GF{qyx) 357
Равномерное распределение в GF [q> x] (357). Равномерное
распределение в GF {qt x) (360). Замечания (362).
Упражнения (362).
Библиография 364
Указатель терминов
406

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Предлагаемая советскому читателю книга Л. Кейперса и
Г. Нидеррейтера «Равномерное распределение последовательностей»
систематизирует значительную часть накопившегося к
настоящему времени обширного материала, связанного с понятием
равномерного распределения последовательностей. Впервые понятие
равномерно распределенной числовой последовательности было
введено Г. Вейлем в 1916 году в знаменитой работе, связавшей
исследования о поведении дробных долей линейных форм с
целочисленными переменными с исследованиями о диофантовых
приближениях и о вековых возмущениях. С тех пор теория
равномерного распределения последовательностей обрела
многочисленные связи с различными областями математики—теорией
функций, теорией вероятностей, функциональным анализом,
топологической алгеброй и др. Не будет преувеличением сказать также,
что своими наиболее значительными приложениями в
вычислительной математике теория чисел обязана результатам, связанным
с равномерными распределениями.
По-видимому, эти прикладные результаты наиболее знакомы
советскому читателю по монографиям Н. М. Коробова, И. М. Соболя,
а также редактора перевода *).
В книге Л. Кейперса и Г. Нидеррейтера приложения занимают
сравнительно скромное место, мало сказано и о
теоретико-вероятностной стороне вопроса. Авторы ставили перед собою иную
цель — последовательное изложение теории равномерного
распределения последовательностей. Ими отобраны и систематизированы
главным образом результаты, непосредственно развивающие и
обобщающие классические результаты Г. Вейля. Значительное
внимание уделяется обобщениям для компактных пространств и
топологических групп. Подробно рассматриваются вопросы, связанные
с изучением «отклонения» в качестве критерия равномерности
распределения. Этот материал, как и большинство других
результатов, отсутствует в монографической литературе на русском
языке.
Основная часть книги написана в стиле учебника. Имеется
большое количество упражнений. О полноте охвата материала
свидетельствует то обстоятельство, что Замечания, следующие за
*) Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.—2-е изд.— М.:
Наука, 1975.— Примеч. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА 7
каждым разделом, упоминают около 900 работ. При такой широте
охвата (что по-видимому неизбежно) авторы более подробно
осветили работы близких им школ, и читатель должен иметь в виду,
что в цитируемых работах советских авторов нередко содержится
больше, чем об этом сказано в книге.
Книга, несомненно, будет полезна щирокому кругу лиц,
занимающихся и интересующихся математикой и ее приложениями,
включая студентов университетов и технических вузов.
Перевод первых трех глав осуществлен И. М. Соболем,
четвертую и пятую главы перевел Б. Б. Походзей. Все сноски в
книге—это замечания, сделанные при переводе.
С. М. Ермаков

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Теория равномерного распределения по модулю 1 имеет дело,
по крайней мере в ее классической постановке, с распределением
дробных долей вещественных чисел в единичном интервале [0,1).
Эта теория ведет свое начало от знаменитой работы Германа
Вейля 1916 года, озаглавленной «Ober die Gleichverteilung von
Zahlen mod. Eins.» Отправным пунктом работы Вейля было
усиление аппроксимационной теоремы Кронекера, поэтому в
начальной стадии теория глубоко уходила своими корнями в диофанто-
вы приближения. В последние десятилетия теория перешагнула
эти границы. В настоящее время предмет теории представляет
собой общую тему таких различных дисциплин, как теория чисел,
теория вероятностей, функциональный анализ, топологическая
алгебра и т. д. Однако зачатки последующих направлений
развития теории можно найти в статье Вейля 1916 года.
В книге предпринята попытка суммировать результаты этих
исследований от их истоков до настоящего времени с упором на
работы, выполненные за последние 20 лет. Поскольку литература
по данному предмету обширна, то порой неизбежно выборочное
изложение материала, при этом критерии его отбора отражают
личные вкусы авторов. Как правило, мы пытались дать
исчерпывающее изложение методов, используемых в теории равномерного
распределения. В отдельных случаях вместо формулировки
результатов в наиболее общем виде мы старались изложить лежащие
в их основе принципы и идеи, которые в противном случае могли
бы остаться скрытыми за техническими деталями. Выбранное нами
название книги показывает, что дилемму «асимптотическое
распределение» или «равномерное распределение» мы разрешили
в пользу последнего, поскольку именно ему посвящена большая
часть нашего изложения. Мы надеемся, что книга будет полезным
введением в предмет для изучающих теорию чисел и
математический анализ и послужит источником справок для специалистов
в данной области.
Важную роль в выбранной нами форме представления
материала играют замечания в конце каждого параграфа. Они не только
содержат непосредственные библиографические ссылки, но и
обеспечивают читателя краткой сводкой дополнительных результатов,
имеющих отношение к материалу соответствующего параграфа.
Содержание упражнений, которые мы включили в книгу,
варьируется от простых приложений теорем до доказательств
предложений либо более общего характера, либо проливающих
дополнительный свет на изложенные в основном тексте результаты.
Читателю рекомендуется испытать свои силы,^решив большую часть
этих задач с целью лучшего усвоения теоретических результатов.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
9
Краткое содержание книги следующее. Глава 1 посвящена
классической части теории. При этом предполагается, что читатель
имеет хорошую подготовку в анализе. Важнейшие свойства
равномерно распределенных последовательностей вещественных чисел
изложены в первых параграфах главы, а также содержатся в
конкретных примерах равномерно распределенных
последовательностей, разбросанных по всей главе. Центральное место в теории
занимает так называемый критерий Вейля. В первые годы
развития теории равномерного распределения он вызвал большой
интерес к тригонометрическим суммам как способу проверки
равномерности распределения последовательностей. Одним из
эквивалентных определений равномерно распределенной по модулю 1
последовательности вещественных чисел является
теоретико-функциональное определение. Подобное понимание равномерного
распределения выявляет связь с метрическим и топологическим характером
этого определения. С целью избежать повторения мы были
вынуждены в первой главе сконцентрировать внимание на приемах и
результатах, которые зависят от специальной структуры системы
вещественных чисел. Результаты, которые имеют аналоги в общей
постановке (такие, как теорема ван дер Корпута о разностях
и различные метрические теоремы), зачастую будут приведены
в усиленных формулировках в более абстрактных главах 3
и 4. Некоторых расширений теории мы будем касаться уже в
главе 1; это—многомерный случай в § 6 или функции распределения
и асимптотическое распределение относительно методов
суммирования в § 7. Изучение нормальных чисел и их связи с
равномерным распределением проведено в § 8. Равномерное распределение
по модулю 1 измеримых функций появляется в § 9.
В главе 2 результаты предшествующей главы изучаются и
дополняются с количественной точки зрения. При изучении этой
главы была бы полезна умеренная подготовка по теории чисел.
Многие из представленных здесь результатов получены недавно.
Важные результаты К. Ф. Рота и В. М. Шмидта по нерегуляр-
ностям распределения, так же как и знаменитые неравенства
Эрдёша—Турана и Левека доказаны в § 2. Следующий
параграф касается в основном последовательностей (м0), /i=l, 2, ...,
при иррациональном Э. Это возвращает нас к
теоретико-числовым истокам теории. Теоретико-числовые методы интегрирования,
которые вытекают из теории равномерного распределения,
изучаются в § 5. Эта часть книги должна представить интерес для
специалистов по численному анализу.
В главах 3 и 4 мы детально развиваем теорию равномерного
распределения в компактных хаусдорфовых пространствах и в
топологических группах соответственно. Для чтения этих глав
необходима подготовка по топологии и теории меры. Кроме того,
при "чтении гл. 4 желательно знакомство с топологическими
группами, хотя все необходимые результаты структурной теории

10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
и теории двойственности здесь приводятся. В этой же части
книги выявляется множество интересных связей с теорией
вероятностей, эргодической теорией, методами суммирования и
топологической алгеброй. В § 2 гл. 4 проводится детальное изучение
метода корреляционных функций. Параграф 4 гл. 4 содержит
углубленное обсуждение теории монотетических групп.
Одно из новых ответвлений теории основано на понятии
равномерно распределенной последовательности рациональных чисел.
Поэтому неудивительно, что впоследствии внимание
исследователей было привлечено к распределению последовательностей более
общего типа, таких, как последовательности целых /?-адических
чисел или последовательности элементов кольца многочленов над
конечным полем. Эти направления описываются в главе 5.
Читатель должен быть знаком с началами теории /?-адических чисел
и теории конечных полей.
Вследствие ограниченного объема книги ряд вопросов
изложен не настолько полно, как того хотелось; более того, часть тем
авторы были вынуждены опустить. Это относится к количественным
метрическим результатам, связям равномерного распределения
с гармоническим анализом и теорией слабой сходимости
вероятностных мер. Однако замечания в соответствующих параграфах
содержат обзор литературы по данным вопросам.
Учебный курс по равномерному распределению с
теоретико-числовым уклоном мог бы основываться на главах 1, 2 и 5 книги
и быть дополненным выборочным материалом из других глав.
Требования к подготовке изучающих каждую из глав были
упомянуты выше.
С большим удовольствием мы выражаем признательность за
беседы и переписку И. Д. Бергу, Д. Л. Карлсону, И. Циглеру,
С. Хаберу, Д. Г. Холтону, У. Левеку, Г. Г. Мейеру, Л. А. Рубелу,
В. М. Шмидту, Р. Тейдеману и С. К. Зарембе. Особой
благодарности заслуживает проф. Вальтер Филипп-, который просмотрел
рукопись и сделал ряд существенных предложений. Второй автор
хотел бы выразить свою признательность проф. Эдмунду Хлавке,
который направлял первые шаги автора в теории равномерного
распределения и чье совершенное владение предметом было
неиссякаемым источником знаний для его студентов. Он также хотел
бы поблагодарить Иллинойский университет за гостеприимство
в решающий период работы над книгой.
Громадная трудность по перепечатке наших рукописей была
преодолена мисс Пэт Кумбс, чьим мастерством и неиссякаемым
терпением мы не переставали восхищаться. Мы приносим нашу
благодарность персоналу издательства Wiley-Interscience за
доброжелательность и профессионализм при публикации книги.
Октябрь 1973 г.
Л. Кейперсщ
Г. Нидеррейтер

Глава 1
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
В этой главе излагается классическая часть теории
равномерного распределения. Мы опускаем количественные аспекты теории,
которые будут рассмотрены отдельно в гл. 2.
§ 1. Определение
Равномерное распределение по модулю 1. Обозначим через [х]
целую часть действительного числа х, иначе говоря, наибольшее
целое число <!#; пусть {#}=#—[х]—дробная часть х или, что
то же, вычет х по модулю 1. Отметим, что дробная часть любого
действительного числа содержится в единичном интервале I = [О, 1).
Пусть а) = (хп) (п=17 2, ....) — заданная последовательность
действительных чисел. Для положительного целого числа N и
подмножества Е промежутка / введем счетчик А (Е\ N; со), по
определению равный количеству членов хп (l^n^Af), для
которых {хп}£Е. При отсутствии опасности путаницы мы будем
часто писать А (Е\ N) вместо А (Е; N; со). Вот наше основное
определение:
Определение 1.1. Говорят, что последовательность со = (хп)
(п=1, 2, ...) действительных чисел равномерно распределена по
модулю 1 (сокращенно p.p. мод 1), если для любой пары а, Ь
действительных чисел, для которых 0^а<6^1, имеем
lim A^a-b^N'-^=b-a. (1.1)
Иначе говоря, последовательность (хп) p.p. мод 1, если в
каждый полуоткрытый интервал [а, Ь) в конце концов попадает
«причитающаяся доля» дробных частей. В ходе развития теории
равномерного распределения по модулю 1 (сокращенно p.p. мод 1)
мы встретимся с многочисленными примерами
последовательностей, которые благополучно обладают этим свойством (в качестве
простого примера см. упражнение 1.13).
Обозначим теперь через с[а, ь) характеристическую функцию
интервала [а, Ь)<=,1. Тогда (1.1) можно записать в форме
N *
lim "лГ И с1а- ь)^х^) = \ с1*-*>М dx' i1'2)

12 ^Л. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Это замечание вместе с известными приемами приближения дает
следующий критерий:
Теорема 1.1. Последовательность (хп) (п=1, 2, ...)
действительных чисел p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда для
любой действительной непрерывной функции /, определенной на
замкнутом интервале / = [0, 1], имеем
lim -±-£df({xn\)=\f(x)dx. (1.3)
n = \ 0
Доказательство. Пусть (xn) p.p. мод 1, a f(x) =
k— l
= 2^[a-. a- ,}(*) — ступенчатая функция, определенная на /,
причем 0 = а0 < аг <... < ak = 1. Из (1.2) следует, что для любой
такой функции / справедливо уравнение (1.3). Предположим
теперь, что / действительная непрерывная функция, определенная
на /. Из определения интеграла Римана вытекает, что для любого
заданного е > 0 существуют две ступенчатые функции fx и /2 та-
1
кие, что /г (*)</(*)</2(х) при всех х€/и J (/2(х)—/х(*))d*<е.
6
Тогда справедлива следующая цепочка неравенств
j/(*) dx-e < f/, (х) dx= lim 4" L /i (Ы <iiHL ТГ.Е'«*•»<
<П5 4 E ' «*«»'<lim ir Z /«(К» = (л (*)d* < (/ (*) d«+e,
л = 1 я = 1 0 0
так что в случае непрерывной функции / имеет место (1.3).
Обратно, русть задана последовательность (хп) и
предполагается, что (1.3) выполнено для любой действительной
непрерывной функции fy определенной на /. Пусть [a, b) — произвольный
подынтервал /. Для любого заданного е > 0 существуют две
непрерывные функции gx и g2 такие, что g1(x)^cia,b)(x)^:g2(x)
при л;£/ и в то же время \(g2(x)—g1(x))dx^:&. Тогда имеем
о
1 1 N
b—a—e^\g2 (x) dx—E < f gl (x) dx= lim -i- V gx ({xn}) <
» о N^° n=i
ш dO-SL^ Ш d*™* lira -L £ Й(Ы> =
1
= 5g"2(A:)dx< J^W^ + e^ft-a + e.
6 о
Так как е сколь угодно мало, то отсюда вытекает (1.1). □

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
13
Следствие 1.1. Последовательность (хп) р.р мод 1 тогда
и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману
функции f на I имеет место (1.3).
Доказательство. Достаточность очевидна, а необходимость
доказывается так же, как первая часть теоремы 1.1. □
Следствие 1.2. Последовательность (хп) p.p. мод 1 тогда
и только тогда, когда для любой комплекс познанной непрерывной
функции f, определенной на R с периодом 1, имеет место
соотношение
1 N П
\im-]r^f(xn) = U(x)dx. (1.4)
п = \
Доказательство. Применяя теорему 1.1 к действительной
и мнимой частям /, можно показать, что (1.3) справедливо и для
комплекснозначных функций /. Но из условия периодичности
следует, что f({xn\) = f(xn), так что мы получаем (1.4). Что же
касается достаточности условия (1.4), то надо только заметить,
что во второй части доказательства теоремы 1.1 функции gx и g2
можно выбрать так, чтобы выполнялись дополнительные
требования g1(0) = g1(l)t g,2(0) = g,2(l)'» тогда (1.4) можно применить
к периодическим продолжениям gx и g2 на R. □
Из определения 1.1 можно легко вывести некоторые простые,
но полезные свойства. Мы приведем следующие результаты.
Лемма 1.1. Если последовательность (хп) (п = 1, 2, ...)
р. р. мод 1, то последовательность (хп-\-а)(п=\, 2, ...), где
а—действительная постоянная, также p.p. мод 1.
Доказательство. Это сразу следует из определения 1.1.□
Т[е о р е м а 1.2. Если последовательность (хп) (п = 1, 2, ...)
p.p. мод 1, а последовательность (уп)(п=\, 2, ...) обладает
свойством lim (хп—уп) = а9 где а действительная постоянная, то
и (Уп) Р-Р- мод 1.
Доказательство. Лемма 1.1 позволяет ограничиться
рассмотрением случая <х = 0. Обозначим гп = хп—уп при п^\. Пусть
О < а < Ь < 1; выберем е так, чтобы
0<e<min(a, l—b, (b—a)/2).
Существует N0 = N0 (e) такое, что — e ^ e„ < e при п ^N0. Пусть
n ^ N0; тогда иза + е< {xn} <b—e следует, что а < {yn\ < b, и,
с другой стороны, из а ^ {уп} < b следует, что а—е ^ {хп\ < Ь-\-г.
Следовательно, если о=(хп), а со = (#„), то
Ь-а-2г= lim л([а+в, 6-е); "\ о) < цт A ([a, b); iV;co)<
JV-oo N "^ЛГТво N ^
< Ш А([а,Ь); *;со) А ([д-в, 6+в); N; а) ^ ь_

14 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Так как е можно выбрать сколь угодно малым, то
последовательность со удовлетворяет (1.1) для всех а и Ь при 0<а<6< 1.
Чтобы закончить доказательство,, можно использовать результат
упражнения 1.2. □
Равномерное распределение по модулю разбиения. Упомянем
коротко одну из многих разновидностей определения p.p. мод 1.
Пусть A: 0 = z0 < zx < z2 <... представляет собой разбиение
интервала [0, сю), причем \imzk = oo. Для zk_1^:x <zk обозначим
k -»■ со
Ma = Za-i и Wa = (^-^-i)/(^-^-i). так что 0<{*}A< l.
Определение 1.2. Говорят, что последовательность (хп)
(n=lt 2, ...). неотрицательных действительных чисел равномерно
распределена по модулю А (сокращенно p.p. мод А), если
последовательность (\хп\)ь (п=1, 2, ...) p.p. мод 1.
Если А совпадает с разбиением А0, для которого zk = kt то
это понятие совпадает с p.p. мод 1. Интересным оказывается
случай, когда (хп) возрастающая последовательность
неотрицательных чисел с limA:n = oo. Тогда обозначим через А(х, а) коли-
П->00
чество хп < х, для которых {хп\а < а, и пусть А(х) = А(х, 1).
Ясно, что последовательность (хп) p.p. мод А тогда и только
тогда, когда для любого ag(0, 1)
lim A(xt a)/A(x) = a. (1.5)
Можно доказать следующее примечательное утверждение.
Теорема 1.3. Пусть (хп)—возрастающая последовательность
неотрицательных чисел и lim.x;n=oo. Для того чтобы (хп) была
п-*-<х>
р..р. мод А, необходимо, чтобы
UmA(zk+1)/A(zk)=l. (1.6)
б -»■«
Доказательство. Допустим, что (хп) p.p. мод А. Так как
А((гк + гк+1)/2, 1/2)- A (zk, l/2) = A((zk + zk+1)/2)-A(zk),
то
А((гк+гк+1)/2, 1/2) Л fa, 1/2) А((гк+гк+1)/2)-А(гк)_
А((гк + гк+1)/2) А ((гк+гк+1)/2) "•" А((гк + гк+1)/2)
_.А(гк, 1/2) А (гк) . А (гк)
- А(гк) ' А((гк+гк+1)/2) "•" А((гк+гк+1)/2)
, , Л(гк) (А(гк, 1/2) Л ,, „
-1+ А((гк+гк+1)/2) { А(гк) 1) ■ ^-П
Согласно (1.5) и нашему допущению левая часть (1.7) при k —»- оо
стремится к 1/2. Точно так же в правой части (1.7) второй
множитель во втором члене стремится к —-1/2 при k—>-oo.
Следовательно, из (1.7) вытекает, что
lira A(zk)/A((zk + zk+l)/2) = \. (1.8)

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
15
Таким же путем можно доказать, что
lira A(zk+1)/A((zk + zk+1)/2)=l. (1.9)
Из (1.8) и (1.9) получается (1.6). □
Замечания. Формальное определение p.p. мод 1 было дано Вейлем [2,4].
Распределение по модулю 1 частных последовательностей исследовалось уже
раньше (см. Замечания к § 2). Теорема 1.1 и ее следствия также принадлежат
Вейлю [2, 4]. Понятие p.p. мод А было введено Левеком [4] и затем
изучалось Циглером [1], Дэвенпортом и Левеком [1], Эрдёшем и Дэвенпортом [1],
В. Шмидтом [10] и Буркардом [1, 2].
Подробный обзор результатов по p.p. мод 1 до 1936 года можно найти
у Коксмы [4, гл. 8, 9]. Период с 1936 до 1961 охвачен обзорной статьей
Циглера и Хельмберга [1]. Обстоятельное изложение некоторых классических
результатов дано Касселсом [9, гл. 4]. Обзорная статья Коксмы [16]
затрагивает ряд интересных аспектов теории.
Пусть к—лебегова мера в /. Если (хп) p.p. мод 1, то предельное
соотношение
lim 4г.А(Е\ N) = X(E)
будет справедливо для всех множеств Е> измеримых по Жор дану (или
множеств Агнепрерыэности) в / (см. гл. 3, теорему 1.2), но не для всех
измеримых по Лебегу множеств Е в / (см. упражнение 1.9). См. также § 1 гл. 3 и
Римкявичюте [1]. Аналогично, предельное соотношение (1.3) не может быть
справедливым для всех функций /, интегрируемых по Лебегу на /. См. Коксма
и Салем [1], где имеются сильные отрицательные результаты. Следующая
теорема, обратная теореме 1.1, была доказана де Брейном и Постом [1]:
N '
Если / определена на 7 и lim -тт- S\ f ({*„}) существует для любой (хп)
p.p. мод 1, то / интегрируема по Риману на /. Другое доказательство и*
обобщение дано Биндер [1]. См! также Басе и Куо [1]. Близкий вопрос
рассматривается Рудиным [2].
Элементарные критерии p.p. мод 1 даны О'Нилом [1] (см. также
Замечания к § 3 гл. 2) и Нидеррейтером [15]. Последовательности рациональных
чисел, подобные рассмотренным в упражнении 1.13, изучались элементарными
методами Кнаповским [ 1 ].
В дальнейшем мы рассмотрим много вариантов определения p.p. мод 1.
Один весьма необычный вариант был введен Эрдёшем и Лоренцем [1] в связи
с рассматривавшейся задачей вероятностной теории чисел. Последовательность
(хп) называется однородно равно распределенной по модулю 1, если ((I /d) xnd)
(л = 1, 2, у,.) p.p. мод 1 для любого целого положительного d. Это понятие
изучалось также Шнаблем [1].
Относительно результата упражнения 1.14 см. Пойа и Сеге [1, разд. II,
задача 163].
Упражнения.
1.1. Следующее определение эквивалентно определению 1.1:
последовательность (хп) действительных чисел p.p. мод 1, если lim А ([0, с)\ N)/N = c
для любого действительного числа с при 0<|с<;1.
1.2. Если (1.1) справедливо для всех а, Ь при 0 < а.< Ь < 1, то оно
справедливо также для всех а, Ь при 0«^а < Ъ< 1.
1.3. Последовательность (хп) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда (1.1)
выполнено для любого интервала [а, Ь)^1 с рациональными концами.

16 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПО МОДУЛЮ 1
1.4. Последовательность (хп) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда
lim A([a,'b]; N)/N = b—а для всех a, b при 0<;а < 6<;1.
N-►00
1.5. Последовательность (хп) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда
lim Л ((a, b)\ N)/N = b—а для всех а, Ь при 0<;а < 6<;1.
1.6. Если (хп) p.p. мод 1, то последовательность ({хп}) дробных частей
всюду плотна в /.
1.7. Если из последовательности, которая p.p. мод 1, исключить
конечное число членов, то получится последовательность все еще р. р. мод 1. Какое
дополнительное условие необходимо, если заменить «конечное» на
«бесконечное»?
1.8. Если в последовательности, которая р. р. мод 1, изменить
произвольным образом конечное число членов, то получится последовательность все
еще р. р. мод 1. Обобщить, как упражнение 1.7.
1.9. Пусть (хп) будет произвольной последовательностью действительных
чисел. Построить измеримое по Лебегу подмножество Е интервала /, для
которого А, (Е) = 1 и lim A (£; N)/N = 0. Указание. Рассмотреть допол-
N-*co
нение в / к множеству значений последовательности ({*л})-
1.10. Пусть (хп) p.p. мод 1. Тогда соотношение (1.3) справедливо не для
каждой интегрируемой по Лебегу на / функции /.
1.11. Пусть (хп) и (уп) p.p. мод 1. Тогда последовательность хъ ylt хъ
У2, ..-, *п, Уп> ••• Р-Р- мод 1.
1.12. Если г рациональное число, то последовательность (пг) (л=1,2,...)
не p.p. мод 1. Можно ли указать непустой собственный интервал [а, 6) с/,
для которого (1.1) справедливо?
1.13. Доказать, что последовательность 0/1, 0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3, ...
..., О/fc, 1/£, ..., (fc—l)/fc,... p.p. мод 1.
1.14. Пусть (хп) — последовательность в /. Для интервала [a, b)czl и
N^\ обозначим через S([a, b)\ N) сумму элементов xlt x2, ..., *#,
принадлежащих [а, Ь). Доказать, что (хп) р. р. мод 1 тогда и только тогда, когда
lim S([a,b)\ N)/N=(b*~a2)/2
для всех подынтервалов [а, Ь) интервала /.
§ 2. Критерий Вейля
Критерий. Функции f вида f(x) = exp(2nihx)t где h целое,
отличное от нуля, удовлетворяют условиям следствия 1.2.
Следовательно, если (хп) p.p. мод 1, то соотношение (1.4) будет
справедливо для таких /. Один из наиболее важных фактов теории
р. р. мод 1 состоит в том, что этих функций достаточно для того,
чтобы определить равномерность распределения
последовательности.
Теорема 2.1. (Критерий Вейля.) Последовательность (хп)9
(п= 1, 2, ...) р. р. мод 1 тогда и только тогда, когда
\ N
lim ± V exp (2nihxn) = 0 (2.1)
для всех целых НфО.. .
Доказательство. Необходимость вытекает из следствия 1.2.
Предположим теперь, что (хп) обладает свойством (2.1), и дока-

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ "
17
жем, что (1.4) имеет место для любой комплекснозначной непре"
рывной функции /, определенной на R с периодом 1. Пусть
е—произвольное положительное число. По теореме Вейерштрасса
существует тригонометрический многочлен ЧГ(*), т. е. конечная
линейная комбинация функций вида еШНх (Л € Z) с комплексными
коэффициентами такая, что
sup |f(*)—Y(*) |<е.
0<х<1
Далее, мы имеем
1 л/ |М
^ f(x)dx-±£f(xn)Un (f(x)-V(x))dx
(2.2)
я=1
1
+
^(x)dx-±-^V(xn)
я=1
,+
jr^fixJ-VM)
я=1
Первый и третий члены справа ^е при любых N в силу (2.2).
При достаточно больших N второй член ^е в силу (2.1). П
Приложения к различным последовательностям.
Пример 2.1. Пусть 6—иррациональное число/Тогда
последовательность (пв) (n=l,2,...) p.p. мод 1. Это вытекает из
теоремы 2.1 и неравенства
N ' |exp(2m7iWe) —1|
jj- V ехр (2ш7ш6)
l
iV | ехр (2m7i0) — 1 | ^ N | sin яЛв |
при целых кфО. □
Пример 2.2. Пусть в = 0,1234567891011121314... в
десятичной системе. Тогда 6 иррационально и последовательность (пб)
p.p. мод 1 согласно примеру 2.1. Следовательно,
последовательность ({п9}) плотна в / (см. упражнение 1.6). Можно даже
доказать, что подпоследовательность ({10п6}) плотна в /. В самом
деле, если а = 0,а1а2... ak—любая десятичная дробь в /, то
можно выбрать п так, чтобы {1Ол0} начиналась цифрами al9 a2t ...
..., аЛ, за которыми следуют г нулей. Тогда 0<{10л6}—<х<
< 10-*-'. □
Пример 2.3. Последовательность ({пе}) (n=l,2,...) p.p. мод 1
согласно примеру 2.1. Однако последовательность ({л!е}) имеет 0
единственной предельной точкой. Мы имеем
а < 1,
е=1 + 4г+4г+...
11 ^2!
п\ ' (п+\)\ '
0
так что n\e = k-\-ea/(n-\-1), где k—положительное целое число.
Отсюда для п^2 вытекает, что {п\е}=еа/(п+ 1) < е/(п+ 1). П
Пример 2.4. Последовательность Пп/г) (п=1, 2...) не p.p.
мод 1. Чтобы доказать это, воспользуемся ФИШУЛей су&ширава-

78 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
ния Эйлера: если F (t)—комплекснозначная функция с
непрерывной производной при 1^/^Af, где N^\ — целое, то
j^F(n)^F(t)dt+F(l)+F{N)+U{t}-±)F'(t)dt. (2.3)
П=1 1 1
Положим F (t) = exp (2ni \n t) и разделим обе части (2.3) на N.
Тогда первый член справа будет равен
Nexp(2ni\nN) — 1
N(2ni+\)
и при N-+00 это выражение не сходится. Второй член справа
в (2.3) после деления на N стремится к нулю, когда N—юо,
равно как и третий член, поделенный на N: это следует из
неравенства
I 1 1.1
Следовательно, (2.1) при хп = 1пп и Л=1 не выполнено.
Пример 2.5. В предыдущем примере доказано, что (Inn)
не р. р. мод 1. Однако это общее утверждение не описывает
поведения дробных частей (In n) mod 1 по отношению к произвольному
интервалу [a, b) ^ /. Ниже приведено элементарное
доказательство того, что для любого непустого интервала [а, Ь)с/
последовательность (Inn) не удовлетворяет (1.1). Сперва рассмотрим
интервал [а, Ь), для которого 0^а<6< 1. Выберем
последовательность целых чисел (Nт) (т ^ т0) так, чтобы ет+ь < Nт < ет+1
при т^т0: Тогда количество индексов п= 1, 2, ..., Nm, для
которых а<{1пп}<6, или k + a^\nn < k + bt или е*+а<п<
< ek+b (£ = 0, 1,2, ..., т) дается выражением
т /я+1 1 т
^(e^-e^ + Q(k)) = (еь-а°) е е_7 +£е(/;),
где |9(£)|^ 1. Ясно, что дробь, полученная делением этого
выражения на Nmt которое было выбрано между ет+ь и em+1t сходится
при т —>- оо не при любом выборе (Nm). Если 0 < а < Ь= 1, то
можно действовать точно так же, используя последовательность
(Nm)t удовлетворяющую условию em<Nm<em+a при т^т0.
Несколько изменив вычисления, можно доказать то же самое
для последовательности (clnri) (c(ER, и=1, 2,...). □
Пример 2.6. Предположим, что нам задана бесконечно
большая таблица десятичных логарифмов (lg/i) (л=1, 2, ...) в
десятичной записи и рассмотрим последовательность цифр, стоящих
нэ k-ц месте прсле- запятой при каком-то фиксированном k^l.

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ 19
Пусть с= 10*"1 (In 10)"1; тогда
с\пп= 10*~4gtt.
Если при каком-нибудь п дробная часть {lg/i} = 0, bxb2... bk.
то {clnn} = 0, Ьфк+1... Таким образом, цифра bk в k-м десятичном
разряде числа lgn равна g", g" = 0, l, ..., 9, тогда и только
тогда, когда g/10 < {с In п) < (g-\-1)/10. Но последовательность
(сInn) обладает свойством, описанным в примере 2.5. Поэтому
относительная частота, с которой цифра g появляется в k-м столбце
таблицы, не равна 1/10. □
Приложения к степенным рядам. Ниже получены некоторые
интересные результаты, относящиеся к теории степенных рядов,
вытекающие из того факта, что последовательности (па) с
иррациональными a p.p. мод 1 (см. пример 2.1).
Теорема 2.2. Пусть а—действительное число, a
g—многочлен положительной степени над С. Введем
G{x)=^g{[na\)x-.
Функция G (х) рациональна тогда и только тогда, когда число а
рациональное.
Доказательство. Доказательство основано наследующем
вспомогательном результате: пусть а —иррациональное число и
S—конечное множество не целых действительных чисел; тогда
существует бесконечно много положительных целых т таких, что
[{/иа} + п] = [т|1 лёЯ, (2.4)
и также бесконечно много положительных целых п таких, что
[М + Л]=1+[Т|]. r]€S. (2.5)
Заметим, что (2.4) равносильно
0<{та} + {т]}<1, л€5,
a (2.5) равносильно
0<{/кх} + {т1}-1<1, ri€S,
и что эти соотношения легко вытекают из p.p. мод 1
последовательности (па) (п=1, 2, ...) или, более точно, из того, что
последовательность ({па}) всюду плотна в /.
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Пусть число а
иррациональное. Если бы G(x) была рациональной функцией, то
существовали бы многочлены А(х) и В (х) степени а ^ 1 и Ъ
соответственно такие, что G (х) = В(х)/А (х). Предположим, что
/i \Х) — X С-^Х • • • Cq _ ^Х Сд.
Из А (х) G(x) = B (x), приравнивая соответствующие коэффициенты,

20
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
получим, что
а
вГ([па])=2вГ([па + го])сг (2.6)
при п^тах(0, Ь—а-\-1). Так как g—многочлен степени /?> 1, то
lim gfl"«+"»1)= iim ["«+™IP=l,
и из (2.6) следует, что
c1 + c1+...+ce=l. (2.7)
Более того, из (2.6) и (2.7) вытекает
2te([na + ra])-£([na]))cr = 0. (2.8)
Г = 1
Из равенства [mx + ra] = [{mx}-|-ra] + [wx] следует
g([n« + r«])-g([na]) = £ S!!l^ [{/!«} +га]*.
Поэтому, умножив обе части последнего равенства на сг и
просуммировав от г=1 до r = a и используя (2.8) для больших п,
получаем
t [{па\ + га]сг + £ t ffffig [{ft«} + r«]4 = 0- (2-9)
При /? = 1 слагаемое во второй сумме отсутствует, а при /? ^ 2
Am.?(S[{"a} + ra]ft = 0' 2<*<^' Kr<a.
Таким образом, мы получаем ,
lim 2[{na} + ra]c, = 0. (2.10)
Числа га в (2.10) не целые. Поэтому, согласно вспомогательному
результату и (2.10), мы можем найти целые тип такие, что
выражения
а а
2 [{ma} + га] сг = 2 tral cr
И
2 [{««} +га] сг = £ 0+!>«])*,
г=1 г=1
сколь угодно мало отличаются от 0, а это противоречит (2.7).
Таким образом доказано, что если а иррационально, то G(x) не
является рациональной функцией.

§ 2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ 21
Предположим теперь, что а рационально. Пусть a = cfdt где
с и d—целые и d>0. Используя алгоритм деления, запишем
n = md+r, где O^r^d— 1, так что
пс (md+r)c , гс
и [na] = mc-\-[rc/d]. Тогда
00 */— 1 00
G (*) = Е * (["«]) *" = £ £ g (тс + Г-у-1) *mrf+' =
л=0 г = 0т=0 v I- J /
г=0т=0 fc=0
= ££^И.с^£т^.
r=0k = 0 ' т=0
Так как выражение
00
т=0
рационально, то тем самым доказано, что G(x) рациональна. □
Теорема 2.3. Пусть а—положительное число и
F(x)= 2^te].
t=\
Функция F (х) рациональна тогда и только тогда, когда число а
рациональное.
Доказательство. Предположим, что а иррациональное.
Пусть Х(п)—число целых положительных решений t уравнения
n = [ta]. Тогда
00
F(x)= 2 Х(п)хп.
С другой стороны, X (п) равно числу целых t, удовлетворяющих
неравенству п < ta < п-\-1; отсюда
Х(л) = [(п+1)/а]-[п/а],
00
и поэтому F (х) = (1 —х) 2^ — Xя"1. Согласно теореме 2.2 функ-
ция F(jc) не является рациональной.
Предположим, что а рационально. Пусть <x = c/dt где с
и d положительны. Тогда, введя t = md-\-r с 0 < г ^ d — 1,

22
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
получим
1+f(x) = 2 *['а] = 22 *™+ircld* = (i—xcyl 2 *{rc,d\
t=0 r = 0m=0 r = 0
так что F(x) рациональна. П
Теорема 2.4. Рассмотрим интегрируемую по Риману на
[О, 1] функцию /, для которой } f (x) exp (2nimx) dx Ф О при всех
о
т за исключением, быть моэюет, конечного числа. Пусть а
иррационально. Тогда степенной ряд
G(z)= 2 /({па}) z"
не допускает аналитического продолоюения за пределы единичного
круга {г£С: |z| = 1}.
Доказательство. Мы воспользуемся следующей теоремой
Фробениуса (см. Кнопп [1], с. 507—508 и Петерсен [2], с. 48—49).
Пусть (сп) (п= 1, 2, ...) — последовательность комплексных
чисел, для которых
lim 4t(c1 + ... + cn)
00
существует и равен с. Обозначим Ф(г) = 2 спгП\ тогда
lim (1— г)Ф(г) = с.
г-И-0
Обратимся к доказательству нашей теоремы. Согласно
определению G (г)
00
G (г ехр (2ш7па)) = 2 / ({па}) ехР (2nimna) rn
для —1 <г< 1 и m£Z. Так как (па) p.p. мод 1, то из
следствия 1.1 получаем соотношение
N 1
lim -дг V. / ({^а}) ехР (2ттпа) = \ / (а:) ехр (2штл;) d;t.
л=1 О
Обозначим последний интеграл dm. Используя вышеприведенную
теорему. Фробениуса, запишем
lim (1— r)G(rexp(2nima)) = dm. (2.11)
r-M-0
При т^т0 все dmфO. Поэтому из (2.11) следует, что если
z—+e2nima вдоль радиуса, то значение G(z) стремится к со и,
следовательно, G имеет особенности на всюду плотном
подмножестве окружности \г£С: |г|=1}. Q

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ
23
Теорема Фейера. С помощью критерия Вейля мы докажем
теорему, которая даст возможность построить много примеров
последовательностей p.p. мод 1.
Теорема 2.5. Пусть (f(n))(n = 1, 2, ..^последовательность
таких действительных чисел, что приращение Af(n) = f(n+l) —
— f(n) монотонно при увеличении п. Пусть, далее,
lim A/(/i) = 0, lim /i| Д/(п)| = оо-. (2.12)
п -+• со п -► оо
Тогда (f(n)) p.p. мод 1.
Доказательство. Для любой пары и и v действительных
чисел запишем
| е2ти _e2niv _ 2ш (u—v)e*niv | = | e2ni <«-»> — 1 — 2ш (u—v)\ =
= 4яа
5 (u—v—w)e27iiwdw
<4я2
\ (г/—у—w)dw|
о
= 2л2(и—vf.
(2.13)
Положим a = ft/(/i+l) и v = hf(n), где ft—целое, отличное от
нуля. Согласно (2.13)
\SSm^±l»-m^m^-2«ih exp (2nihf («))
| Д/(л) А/(л)
отсюда
<
<2я2Л2|А/(п)|, п>1;
exp (W(n+ 1))_ехр (2д^ (»))_2я^ (2я/л/ (n)) I <
Д/(п+1) А/(я) I
1 1
<
Тогда
А/(я) А/(я+1)
+ 2я2Л2|А/(п)|, /г>1.
(2.14)
JV-1
2ш'Л ^ exp (2nihf (n))
п= 1
7V-1
V Oifihc^rxtVirthHnW exp (2я/я/ (я + О)- i exp (2m7i/ (я)) \ ^
2^ (2шЛ exp (2mhf (/г)) д/(я+1) + Щп) ) +
п = 1
. exp (2ш7|/ (W)) exp (2m7t/ (1)) I ^
+ д/(Л0 л/(1) |^=
2nih exp {2nihf (n))-^ gff <»+ '» + е*Р g^ <"»
/г=1
1
1
А/(л+1)
JV-1
+
1
1
IA/(/V)| ■ |Д/(1)| ^^ |Д/(я) Л/(я+1)
1
|A/(/V)|
ЛГ-1
+
+ 2я»Л»£[Д/(я)|' +
/г=1
1
|А/(1)| '

24 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
где на последнем шаге мы использовали (2.14). Вследствие
монотонности А/(п) мы получаем
и, с учетом (2.12),
lim -±- X ехР (2nihf (")) = °- □
n=l
N -> oo
«si*
Следствие 2.1. (Теорема Фейера.) Пусть '/(*) —функция,
определенная при х^\ и дифференцируемая при х^х0. Если
f (х) монотонно стремится к нулю при х —* оо и если
lim x\f (х) \ = ооу то последовательность (f(n)) (я=1, 2, ...)
х-*- оо
p.p. мод 1.
Доказательство. Теорема о среднем показывает, что
А/ (п) удовлетворяет условиям теоремы 2.5, по крайней мере при
достаточно больших п. Конечное множество исключительных
членов не влияет на р:р. мод 1. □
Пример 2.7. Из теоремы Фейера сразу следует p.p. мод 1
следующих типов последовательностей: (1) (апа 1пт/г) (п = 2, 3, ...),
где а^О, 0 < а < 1, т произвольно; (2) (<xlnT/i) (л=1, 2, ...),
где'а # 0 и т > I; (3) (an In тл) (л = 2, 3, ...), где а^Ои
т<о. а
Следующий простой результат показывает, что второе условие
в (2.12) не может быть существенно ослаблено.
Теорема 2.6. Если последовательность (/ (п)) (п=1> 2, ...)
p.p. мод 1, то необходимо lim /г | А/ (/г) | = оо.
п -> оо
Доказательство. Допустим, что (f(n)) p.p. мод 1 и
lim п\ А/(я)| < оо. Для любых двух действительных чисел и
л->оо
и v справедливо
| е*ши _e2niv \^2n\u—v\, (2.15)
откуда
| ехр (2ш'/ (п + 1)) —exp (2nif (л)) | < 2я | А/ (л) | = О (1/л).
С другой стороны,
N
lim -тт- ^ехр(2ш'/(п)) = 0.
JV-юо
Л=1
По известной теореме тауберова типа (Харди [2, с. 121], Петер-

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ
25
сен [2, с. 51]) получается lim ехр (2ш*/ (п)) = О, что, очевидно, не-
возможно. □
Оценка тригонометрических сумм. Хотя следствие 2.1
представляет собой очень сильный результат, есть много
последовательностей, к которым оно неприменимо. Например, вопрос,
будет ли (пInn) (п= 1, 2, ...) р. р. мод 1, нельзя решить с
помощью теоремы Фейера. В таких случаях может оказаться
полезной нижеследующая оценка. Предварительно докажем несколько
лемм технического характера. Значения фигурирующих в них
абсолютных констант роли не играют.
Лемма 2.1. Предположим, что действительная функция f
имеет монотонную производную f на [а, Ь\ причем f (х) ^ X > О
ь
или У (х) < —к < 0 при х£[а> Ь]. Тогда, если J =) e2nif {x) dx, то
|У |< 1А.
Доказательство. Так как
- — J_ Гd
de2Jlif (X)
(*)
то применение интегрирования по частям для интегралов Стилтьеса
дает
KH-sr
ехр (2nif ф)) ехр (2го-/ (а))
Г(Ь)
Г(Р)
^exp(2nif(x))d(l/f'(x))
<
^ 2я
1/'(")1 ' \ГФ)\
< — <-.
П
Лемма 2.2. Пусть f дважды дифференцируема на [а, Ь] и
/" (х) ^ р > 0 или /" (х) ^ —р < 0 при х£[а, У]. Тогда интеграл J
из леммы 2.1 удовлетворяет неравенству \J\< 4/|/р.
Доказательство. Можем считать, что /" (х) ^ р при х £ [а> Ь\\
в противном случае можно заменить / на —/. Тогда /' возрастает.
Предположим пока, что /' сохраняет знак в [я, Ь] и, для
определенности, /' (х) ;> 0. Если а <с < 6, то f (х) ^(с— а) р при
с^*^& согласно теореме о среднем. Поэтому по лемме 2.1
ь
и<
^2m7U)^L_ ^е2Я**М(1х
<{с-а) +
1
(с—а) р'
и выбрав су минимизирующее последнюю сумму, получим | / | <
< 2/Кр. В общем случае [а, Ь] представляет собой объединение
двух интервалов, в каждом из которых /' сохраняет знак. Тогда
требуемое неравенство получается сложением неравенств для этих
двух интервалов. □

26
ГЛ. f. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Лемма 2.3. Пусть f монотонна на [а, Ь] и |/' (jc)|^1/2
ь
при х£[а, Ь]. Тогда, если /1== W {х} — у) de2nif(*\ то
а *
|Л1<2. (2.16)
Доказательство. Начнем с разложения в ряд Фурье
, 1 1 х^ sin 2jthx
л=1
справедливого при всех *(£Z. Для т!>1 рассмотрим частичные
суммы Хт (х) = — 2 (sin 2nhx)/(nh) (x £ R). Функции Хт (я* = 1,
Л=1
2, ...) равномерно ограничены (это легко доказывается
суммированием по частом). Поэтому
ь
]х=Хш Sx^W^2m7(x). (2.17)
m-^aofl
Далее, для m ^ 1 получаем
р m г»
Г х» (*) &«*'<*>=^ 1Г(—2/ sin 2яй^*2ш7 (д° ^' ^ d*=
a h—\ a
= V -I Г (e-2nihx—e™ihx) e2Jlifw f (x) dx =
A=l a
_J_V Ц f /' (x) d exp (2я> (/ (x) -hx)) P /'(x) d exp (Ы(/(к)+fa))\
2я.'2- A^J /'W-A J Г(«)+» /'
ft=l
Так как функции /'/(/' ± h) монотонны и | /' | <[ 1/2, то
интегрирование по частям показывает, что
' /' (x)dexp(2m(f(x)±hx)) \
Г (*) ± h
1!
<
Л— 1/2»
и, следовательно,
§Xm(x)dexp(2nif(x))
^ яХ h (h-1/2) <2'
Л=1
(2.18)
Из уравнений (2.17) и (2.18) следует (2.16). □
Теорема 2.7. Пусть а и Ь—целые, а < 6, и пусть f дважды
дифференцируема на [а, Ь], причем Г(х)^р>0 или f"(x)^

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ
< —Р < 0 при х £ [а> Ь]. Тогда
27
£ехр(2ш7(л))
;(1Г(Ь)-ГИ1 + 2)(^= + з). (2.19)
Доказательство. Запишем
£ехр(2ш7(л)) = L S/»
где
5,=
S
а<п< Ь
р-1/2<Г(п)<р+1/2
ехр(2ш'/(п)).
(2.20)
(2.21)
Сумма по р в (2.20) в действительности представляет собой
конечную сумму. Пусть р—какое-нибудь целое число, для которого
сумма (2.21) содержит хотя бы одно слагаемое. Так как /'
монотонна, то суммирование в этой сумме распространяется на все
значения п от, например, п = ар до п = Ьр. Обозначив Fp(x) =
= f(x)—pxt мы получим
bp bp ч
Sp= 2 ехр(2ш'/(n)) = 2 exp (2nfF, (л)) =
п—ар п—а,р
h f \
= J exp (2niFp (x)) dx+U exp (2niFp (ap)) + exp (2mFp (bp)) j +
ap \ /
bp
+ I (М-у)^хр(2ш7^(*)) (2.22)
ap
(используется формула суммирования Эйлера, ср. (2. )). Согласно
лемме 2.2 первый интеграл в (2.22) по абсолютной величине
меньше, чем 4/Кр. Так как |Fp(;c)|^l/2 при х£[ар, Ьр\ то в
силу леммы 2.3 второй интеграл в (2.22) по абсолютной
величине не превосходит 2. Поэтому | Sp | < (4/Ур) -f 3. И так как
существует не более, чем \f'{b) — /' (а) | -j- 2 значений /?, для
которых в S имеется хотя бы одно слагаемое, то мы приходим к
(2.19). □
Пример 2.8. Из теоремы 2.7 вытекает что
N I
■1 £ exp (2mhn In n) < -1 (\h | In N + 2) (4 У щ + з)
для всех целых ft, отличных от нуля; следовательно, по
критерию Вейля последовательность (nlnri) (п= 1, 2, ...) р. р. мод 1.
Этим же методом доказывается и более общий результат: после-

28 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
довательность (anlnTn) (п = 1, 2, ...), афО, т > 0, р. р. мод 1.
Таким же образом можнА доказать,, что последовательность
(пIn Inn) (ft = 2, 3, ...) p. p. мод 1. Ср. с упражнениями 2.23 —
2.26. □
Равномерное распределение двойных последовательностей.
Определение 2.1. Двойная последовательность (sjk) (/ =
= 1/2, ...,-£= 1, 2, ...) действительных чисел называется р. р.
мод 1, если для любых а и Ь таких, что 0^a<fe^l,
Шп A^i^LIl = b-ay (2.23)
где Л ([a, b)\ M, N)—это количество sjk (1^/<M, X^k^LN),
для которых а < {sJk} < b.
Теорема 2.8. Двойная последовательность (sJk) p. p. мод 1
тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Ри-
ману функции f на I имеет место
М N \
/= l k=\ о
Теорема 2.9. Двойная последовательность (sJk) p.p. мод 1
тогда и только тогда, когда
м n
lim liv £' ^ ехР (2nihsJk) = О
для всех целых h=£0.
Доказательства этих теорем вполне аналогичны
доказательствам следствия 1.1 и теоремы 2.1 соответственно.
Пример 2.9. Пусть 9 — иррациональное, а a—любое
действительное число. Тогда (jQ + ka) (/=1, 2, ..., k=l, 2, ...)
р. р. мод 1, что легко вытекает из теоремы 2.9. □
Любая р. р. двойная последовательность (sJk) может быть
упорядочена так, чтобы получилась р. р. последовательность (sn).
Надо только выбирать (sn) так, чтобы первые М2 членов
содержали в точности все sjk, для которых 1^/, £<М. Например,
этому требованию удовлетворяет расстановка sn, s2l, s22, s12, s31,
s32» s33, s23, s13, s41, ..., s14, ... Чтобы доказать это
утверждение, заметим, что для заданного положительного числа m
существует единственное целое М такое, что (М—1)2^т<М2,
откуда следует, что М2 — т<2М — 1. Пусть А(т) = А([а> &]; т,
(s„)) и А (М, М) = А([а> &]; Mt M). Выберем произвольное
положительное число е. Тогда существует целое N0 = N0(e) такое,
что при М > N0 и М2А (т) > тА (М, М) имеем
\А(т) А (М, М) I _ М2А (т)—тА (М, М)
М2 |~~ М2т ^
(М2 — т)А(т) ^ 2М— 1
^ М2т ^ М2 <8'

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ 29
а при М > ./V0 и М2А (т) < тА (Му М) имеем
А(т) А(М,М)\
м*
тА(Му М) — М2А(т)^
М2т ^
^ М2т ^ М2 <e"
Так как согласно (2.23) существует предел lim А (М, М)./М2 =
= 6—а, то из этих неравенств следует, что lim A (m)/m = b—а.
Можно ввести более слабое определение р. р. для двойных
последовательностей, при котором вышеприведенные рассуждения
сохраняют силу. Назовем двойную последовательность (s/k) p. р.
мод 1 в квадратах 1^/, k^N при N—* оо, если lim А ([а, Ь)\
N-+CD
Ny N)/N2 = b—а для 0^а<6<1. Легко видеть, что это
определение эквивалентно требованию
N
lim 4г 11 exp(2nihsJk) = 0 (2.24)
'N-+ °° /, *= 1
для всех целых hФО. Интересно, что для p.p. такого типа
можно доказать аналог теоремы Фейера. Предварительно
докажем следующее простое обобщение формулы суммирования Эйлера.
Лемма 2.4. Пусть М^2, N^2—целые, а функция g(х, у)
определена при l^ix^M, l^.y^.N и имеет в этой области
непрерывные производные gxt gy, gxy. Тогда
М N N М N М
££«(/.*)= И 8(*> y)dxdy+\\ {y}gv(x,y)dx.dy +
j=2k=2 11 11
N М " N М
+ И W 8* (х> y)dxdy+W № {У\ Sxy (*. У) dx dy. (2.25)
ii ii
Доказательство. Формулу (2.3) можно записать в виде
N N N
^F(k)=\F(t)dt+l{t}Ff (t) dt. (2.26)
Для фиксированного /, 2</<Af, подставим в (2.26) в качестве
г (у) выражение g (/, у) и получим
I N г г
i 2 S(h k)=) g(j, y)dy+) {y}gy(j, y)dy. (2.27)
| *=2 1 1
Просуммировав уравнения (2.27) по / от 2 до Му и снова ис-
пбЯЬзовав (2.26), получим (2.25). П
I Теорема 2.10. Пусть действительная функция / = /(#, у
Определена при xT^l, y^l и производная fxy непрерывна в это

30 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
области. Пусть f монотонно возрастает по х и по у, a fx
монотонно не возрастает по х и по у. Предположим, что
lira fx (x9 1) = 0, lim fy (1, у) = 0, lim (/.(*, х)/х*) = 0.
X-+CD «/->» *->СО
Предположим, далее, что оба интеграла w
N N N £.
j J /* (*, У) fy (*• y)dxdy и J ^
li l *
являются o(N2). Тогда двойная последовательность (/(/, &))
(/= 1, 2, ..., £= 1, 2, ...) /?. /?. .мод 1 в квадратах 1 ^/, k^.N
при N —* оо.
Доказательство. Мы проверим (2.24) для всех кфО.
Для этого воспользуемся формулой (2.25) с g (л:, у) = ехр (2nihf (x> у)).
Получим
N
2 ехр (2nihf(L k)) =
N N N N
= S ls(*> y)dxdy + 2mh\ \ {y\ fy(x, y)g(xt y)dxdy +
li li
N N
+ 2nih \ \ {x} fx (x, y) g (x, y) dx dy +
l l
N N
+ 2nih J J {x\ {y\ fxy (x, y) g (x, y) dx dy +
l i
N N
+ (2mh)* J J {x\ {y) fx (xy y) fy (*, y) g (xy y) dxdy + o (N*).
l l
Первый двойной интеграл есть o(N2) в силу леммы 2.1, предпо-
N
ложений об fx и требования \dyifx(Ny у) — o(N2). Последний
1
двойной интеграл есть o(N2) в силу требования
N N
\\fAx,y)fy{x,y)dxdy = o{N\
1 1
Что же касается третьего двойного интеграла, то
N N \ N N
S SWM*. У)В(х, y)dxdy\^l lfx(x, y)dxdy^
li |ii
N
<(#-!)$/,(*. l)dx = (N-l)(f(N, !)-/(!, l)) = o(iV2).

§2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ
31
Аналогично оценивается и второй двойной интеграл (заметим,
что в силу наших предположений / не возрастает по х). Наконец,
для четвертого двойного интеграла получаем оценку
N N
N N
S $ {x}{y}fxy(x9y)g(x9y)dxdy <J $(—/*„(*. y))'dxdy =
= -/(#, N) + f(l N) + f(N, 1)-/(1, l) = o(#2). D
Пример 2.10. Пусть a и Р—положительные числа. Пусть
f(t) возрастает при t > 0, /' (t) —► 0 (монотонно), //' (t) —► оо при
£ —+оо и f(f) непрерывна при t > 0. Тогда двойная
последовательность (/(а/ + Р*)) (/=1, 2,..., &=1, 2, ...) p.p. мод 1
в квадратах 1^/, k^N при ДО—►<». Этот результат следует
из теоремы 2.10. См. также упражнения 2.28 — 2.30.
Замечания. Основная теорема 2.1 была впервые доказана Вейлем [2, 4].
В литературе можно найти много доказательств этого результата,
большинство которых использует идею оригинального доказательства Вейля,
воспроизведенного здесь. См. Артемиадис и Кейперс [1], Касселс [9, гл. 4], Чандра-
секхаран [1, гл. 8], Нивен [1, гл. 6], упражнения 2.6 и 2.7 к гл. 2. Мы
встретимся с различными обобщениями критерия Вейля в §§ 6 и 7 настоящей
главы и в главах 3 и 4. См. также упражнения 2.1, 2.2 и 2.3, а также статьи
Блюма и Мицеля [2], Брауна и Дункана [1], Холевейна [3], Кейперса и
Стама [1], Лойнеса [1], Роббинса [1].
Благодаря критерию Вейля, существует тесная связь между теорией р. р.
мод 1 и оценками тригонометрических сумм. О таких оценках см. монографии
и статьи Хуа [1, 2], Коксмы [4, гл. 9], Тегхема [2], Виноградова [5], Валь-
фиша [1].
Факт p.p. мод 1 последовательности (пб) (л=1, 2, ...) при
иррациональных 8 был независимо установлен Болем [1], Серпинским [1, 2] и Вейлем [1]
в 1909 —1910 гг. Доказательства их были элементарными. Доказательство
в примере 2.1 принадлежит Вейлю [2, 4]. Другие элементарные
доказательства имеются в работах Каллахена [1], Харди и Райта [1,гл. 23], Якобса[1],
Миклавца [1], Нивена у, гл. 6; 3, гл. 3], О'Нила [1], Вейля [4]. Задача
о распределении (пб) mod 1 возникла в связи с теорией вековых возмущений
в астрономии. Вейль [3] детально обсуждает эту связь.. Обзор ранней
литературы по этому вопросу см. в работе Коксмы [4, гл. 8]. Заметим, что
пример 2.1 усиливает теорему Кронекера, которая утверждает, что ({пб}) всюду
плотна в [0, 1].
Распределение (пд) mod 1 широко изучалось в связи с некоторыми
предположениями, высказанными Штейнгаузом. Пусть заданы действительное 8,
положительное целое N и 0 < 6<;1; оказывается, «просветы» между
последовательными значениями п (O^rK^N) такими, что {пв} < 6, могут быть
не более трех различных длин, причем если их три, то одна из них равна
сумме двух других (Слейтер [1], Флорек [1]). Пусть теперь N и 8 — такие же;
£сли расположить значения 0, {6}, {26}, ..., {N0} в порядке возрастания, то
^интервалы» между соседними значениями могут быть не более трех
различных длин, причем если их три, то одна из них равна сумме двух других
(Шош [2], Шураньи [1], Сверчковский [1]). Дальнейшие исследования в этом
направлении имеются в статьях Хартмана [3], Шоша [1], Холтона [2], Гре-
хема и ван Линта [1]. Сводка этих результатов с простыми доказательствами
имеется у СлэИтера [3]. Количественные результаты для (пб) с
иррациональными 8 см. в § 3 гл. 2.
Интересные связи между (пв), где 0 иррационально, и эргодической
теорией обсуждается в работах Хартмана, Марчевского и Рыль-Нардзевского [1]

32 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
и Постникова [8, гл. 2]. Здесь необходимо также отметить работы Вича [1,
2, 4]. См. также работу Xлавки [27]. Харди и Литлвуд [6] исследовали
вопрос, при каких 6 справедливо соотношение
N »
lim жИ^е})=1/(*)^
л=1
для некоторого класса функций ^неограниченных при х = 0 и х=\. Обычно
вопросы такого типа рассматривались с метрической точки зрения (см.
Замечания к § 4 настоящей главы). Эрдёш [7, с. 52—53] сформулировал одну
нерешенную задачу относительно (пб).
Изучались различные подпоследовательности последовательности («6), где
6 иррационально. Например, известно, что (рп6) (п=1, 2, ...) p.p. мод 1,
если /?i = 2, /?2 = 3, ..., рт ...—последовательность простых чисел
(Виноградов [3, 4; 5, гл. И], Хуа [1]). Если со (п) — количество простых делителей
числа п, то (со (я) 8) р. р. мод 1 (Эрдёш [3], Деланж [4]). Пусть
(^—возрастающая последовательность целых > 1 и rn = qi.. .qn при /i^l; Коробов
[5] описал числа 8, для которых (гп8) p.p. мод 1. Некоторые усиления
получены Шалатом [2]. Другие результаты о подпоследовательностях (пб) см.
в §§ 4 и 8 настоящей главы и в § 3 следующей. В частности, оказывается,
что для числа 8 из примера 2.2 последовательность (10п8) р. р. мод 1.
Относительно последовательностей (сInn), рассмотренных в примерах 2.4,
2.5 и 2.6, сошлемся на Франеля [3], Пойа и Сеге [1, разд. 2, задачи 179 —181],
Торпа и Уитли [1]. Мы вернемся к этим последовательностям в § 7. Винтнер
[1] доказал, что если (рп) — последовательность простых чисел, то (1п/?п) не
p.p. мод 1. Последовательность логарифмов натуральных чисел связана с
одной занимательной задачей элементарной теории чисел. См. Бэрд [1] и
упражнения 2.14—2.17.
Теоремы 2.2 и 2.3 взяты у Ньюмена [1], а теорема 2.4, в основном
принадлежащая Морделлу [3, 4], обобщает один из результатов Гекке [1].
Известны и более общие результаты, которые можно найти в следующих работах:
Кантор [3], Кэрролл [1, 2], Кэрролли Кемперман [1], Дэвенпорт [3], Мейер
[1], Морделл [1,2, 3, 4], Попкен [1], Салем [1], Шварц [1, 2], Шварц и
Валлисер [1], Валлисер [1, 2]. Большинство доказательств опирается на
результаты теории р. р. мод 1. Некоторые из этих работ обобщают или
связаны с классической теоремой Карлсона — Пойа о том, что степенной ряд
00
2 апгП с целыми коэффициентами ап, сходящийся при \г\ < 1, либо пред-
л=о
ставляет собой рациональную функцию, либо имеет единичную окружность
своей естественной границей. Количественные варианты результата Гекке
имеются у Хлавки [28] и Нидеррейтера [19].
Теорема 2.5 имеется у ван дер Корпута [5]. Частный случай,
сформулированный в следствии 2.1, был известен ранее (Пойа и Сеге [1, разд. 2,
задача 174]). Другие подходы к теореме Фейера см. у Цудзи [2], Нидеррейтера
[2]. Кейперс [3] доказал некоторые аналоги теоремы Фейера. См. также теорему 9.8
и работы Коксмы [2; 4, гл. 8]. Теорема 2.6, по существу, из работы
Кеннеди [1]. Частный случай был ранее доказан Кейперсом [3]. Наше
доказательство следует Кано [1]. Результат этот в каком-то смысле наилучший
(Кеннеди [1]). Тщательное исследование медленно возрастающих
последовательностей см. у Кемперман а [4].
Оценка в теореме 2.7 принадлежит ван дер Корпуту [1]. Различные
обобщения см. у ван дер Корпута [2, 3, 4] и Коксмы [4, гл. 9].
Изложение р. р. двойных последовательностей основано на работах Циг-
лера [\] и Хиргейста [1]. Используя метод доказательства теоремы 2.10,
можно получить результат относительно р. р. мод 1 последовательности (/(/, k))
Циглер [1]).

§ 2. КРИТЕРИЙ ВЕЙЛЯ
33
Результат упражнения 2.27 см. в работе Коксмы и Салема [1].
Упражнения.
2.1. Последовательность (хп) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда (2.1)
справедливо для всех положительных целых h.
2.2. Пусть /i (*), /2 (*)» • • •» fh (*)» • • • —последовательность непрерывных
на / функций, плотная в пространстве всех непрерывных на / функций
в смысле равномерной сходимости. Доказать, что (хп) р. р. мод 1 тогда и
только тогда, когда для всех Л=1, 2, ...
N »
lim IT S ^ ({*п}) = \ fh W dX*
л=1 О
2.3. Доказать, что последовательность (хп) р. р. мод 1 тогда и только
тогда, когда для всех Л = 1, 2, ...
|^,.. 1
*н».тг2>->*=жтт-
л=1
2.4. Если (*„) р. р. мод 1, то (тхп) также р. р. мод 1 при любом целом
/и, отличном от 0.
2.5/. Пусть 6 — иррациональное число. Тогда последовательность (aQ), где
а = 0, 1," —1, 2, —2, ,.. p.p. мод 1.
2.6. Пусть 6—иррациональное число, а а и d — целые, а^О, d > 0. Для
п^\ положим е„ = 1,-если целое число, ближайшее к п8, расположено слева
от я0; в противном случае положим е„ = 0. Тсгда
1 А 1
^.iL^^y
л=1
2.7. Доказать, что последовательность ({sin n}) (п— 1, 2, ...) плотна
в /, но не р. р. мод 1.
2.8. Доказать первую часть упражнения 1.12 при помощи критерия Вейля.
2.9. Доказать лемму 1.1 при помощи критерия Вейля.
2.10. Доказать теорему 1.2 при помощи критерия Вейля.
2.11. Если (хп) p.p. мод 1, а (уп) удовлетворяет условию
N-
lim ТгЪл 10я1=О,
то (хп + уп) p.p. мод 1.
2.12. Пусть (а'„) — последовательность действительных чисел и Q —
натуральное число. Если каждая из Q последовательностей (y%)) = (xQn + q)t 0<:<7«^
<; Q — 1, р. р. мод 1, то (хп) также р. р. мод 1.
2.13. Последовательность (clnn)(n=l, 2, ...), где с—константа, не
p.p. мод 1.
2.14. Фиксируем целое 6^2. Множество 5 положительных целых чисел
называется расширяемым (extendable) no основанию Ь, если для любой
конечной последовательности 6-ичных цифр найдется s£S такое, что начальные
6-ичные цифры s совпадают с заданной последовательностью. Доказать, что
5 = {sx, s2, ...}—расширяемо по основанию Ь тогда и только тогда, когда
последовательность дробных долей ({log&S/J) (/i=l, 2, . ..) плотна в 7.
2.15. Для фиксированного положительного целого k доказать, что
множество {пп: п—\, 2, ...} расширяемо по любому основанию (см.
упражнение 2.14).
2 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтср

34
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
2.16. Пусть 6^2 и k—целое положительное число, не являющееся
рациональной степеньюЬ. Доказать, что множество {kn: п— 1, 2, ...} расширяемо по
основанию Ь (см. упражнение 2.14).
2.17. Множество {пп: я=1, 2, ...} расширяемо по любому основанию
(см. упражнение 2.14).
2.18. Пусть Р — произвольное действительное число. Доказать теорему 2.4
с заменой {па} на {па+Р}.
2.19. Пусть а—иррациональное, a PgR произвольное. Тогда длястепен-
ного ряда 2 {ла + Р}гл единичная окружность служит естественной
Гранили
цей. Что случится, если а рационально?
2.20. Многочлены Бернулли Вк (х) определяются формулами В^ (*)=*— 1 /2
и
1
B'k+1 (x) = (k+ 1) Вк (х), J Bk+1 (x) dx=0
о
для fc^sl. Доказать, что единичная окружность служит естественной грани-
00
цей степенного ряда 2 &k ({na + P}) г"» если а иррационально, pgRnfel.
/г=1
2.21. Доказать формулу суммирования Эйлера (2.3). Указание. Начать
с тождества
п п
для целых п.
2.22. Используя критерий Вейля и формулу суммирования Эйлера,
доказать следующий вариант теоремы Фейера: Пусть / (х) непрерывно
дифференцируема при больших jc, Г (х) монотонно стремится к 0 при х—>-оо, а
lim x\f (х) | = оо; тогда (/ (п)) (/г = 1, 2, ...) p.p. мод 1.
X -> со
2.23. С помощью теоремы 2.7 доказать, что последовательность (апа)
(л = 1, 2, ..., а Ф О, 1 < а < 2) р. р. мод 1.
2.24. Доказать, что последовательность (п In In п) (я = 2, 3, ...) р. р. мод 1.
2.25. Определим \n{k) x рекуррентно с помощью соотношений 1п!* = 1п*и
1п(£) jc = lri(^_1) In x при k^2. Для каждого k^\ доказать, что (пХщ^п)
(п = п0, По+1» •••) Р-Р- мод 1, где n0 = n0(k) — наименьшее целое,
принадлежащее области определения \n{k) x.
2.26. Из теоремы 2.7 вывести следующий результат: пусть / (х) определена
при х^\ и дважды дифференцируема при достаточно больших х, причем
/" (х) монотонно стремится к 0, когда х—*оо; предположим также, что
lira П*)=±», -Иш 4гШг\=0-
ДГ->00 X-+CD X \f (Х)\
Тогда (f(n)) (л=1, 2, ...) p.p. мод 1.
2.27. Пусть f£L2[0, 1] —функция с периодом 1, и \ f(x)dx=0. Тогда
о
для любой р. р. мод 1 последовательности (хп) существует предел
I N I2
^ £/<'+*>
I я=1 I
Указание: разложить / в ряд Фурье.
lim С
N -> <х> v
О
dt=--0.

§3. ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ
35
2.28. Рассмотрим двойную последовательность (sy-^), где sjk = j/k при
/</г и sjk = k/j при j > к. Последовательность (sjk) не p.p. мод 1, но она
p.p. мод 1 в квадратах 1^/, k^N при N—► оо.
2.29. Пусть (Sk) (k=\, 2, ...) p.p. мод 1; определим sjk = Sk для всех
/, &=1, 2, ... Тогда двойная последовательность (sy*) p.p. мод 1.
2.30. Пусть а и Р — положительные числа. Тогда двойные
последовательности
((cc/+pfc)°), /, А=1, 2 0< а< 1,
и
(1пт(а/ + рй)), /, 6=1, 2, ..., т>1,
p.p. мод 1 в квадратах 1^/, k<:N при N—»-оо.
2.31. В ходе доказательства теоремы 2.2 утверждается, что из равенства
Л (х) G (х) = В (х) следует (2.6). Доказать это подробно.
§ 3. Теоремы о разностях
Теорема ван дер Корпута о разностях.
Лемма 3.1. (Основное неравенство ван дер Корпута.) Пусть
и19 ..., uN комплексные числа, а Н целое, l^H^N. Тогда
Я2
N
<H(N + H-l)Jl\un\* +
N
2
П=1
+ 2 (N + H-l) 2 (H-h)Re 2 unun+h,
Л=1
л = 1
где Re г означает действительную часть zgC.
Доказательство. Пусть ип = 0 при всех п^О и всех
п> N. Тогда мы можем записать, что
N N + H-l Н-1
н 2 ип= 2 2 "/>-*•
л=1
Л=0
(3.1)
Используя неравенство Коши—Буняковского—Шварца, получим
Я*
N
2 »п
л=1
2
<(# + #-
N + H-l
-О 2
//-1
2 Up-h
/г=0
N + H-l /H-l \/Н~1^ \
=(n+h-i) 2 2vr 2 *,-, =
N + H-lH-\
={n+h-d 2 2 K-ftJ2+
p=l h=0
N + H-l H-l __
+ 2(ЛГ + Я-1)Не 2 2 ",-,",
p=l r,s = 0
/>-s-
= (Л^ + Я-1)(21 + 2Ке22).
Из (3.1) видно, что 2Х равна Н 2 |^„|2. Сумма 22 содержит
п = 1
2*

36 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
члены вида unun+h с я= 1, 2, .. .> N и h = r—s= 1, 2, ..., Я—1.
При фиксированных n, l^n^N, и ft, l<[ft^//—1,
возможные пары (г, s), порождающие член unun+h> могут быть явно
перечислены: (ft, 0), (ft+1, 1), ..., (Я—1, Я—ft—1). Для каждой
такой пары значение р определяется однозначно. Таким образом,
мы имеем ровно Я—ft появлений unun+h в 22, поэтому
22= 2 (H-h) 2 «Я+А.
Так как ип = 0 при п> N, то суммирование по п можно
ограничить пределами l^n^Af—ft. Q
Теорема 3.1. (Теорема ван дер Корпута о разностях.) Пусть
(хп)—заданная последовательность действительных чисел. Если
при любом положительном целом h последовательность (xn+h—хп)
(л= 1, 2, ...) р. р. мод. U то и (хп) р. р. мод 1.
Доказательство. Фиксируем целое число т, отличное
от нуля. Воспользуемся леммой 3.1 с ип = ехр(2ттхп); поделив
на H2N2t получим
N
-дГ X ехР (2яш**„)
п= 1
2
NH ^
п= 1
Н-\
(N + H-\)(H—h)(N—h)
H2N2
h = 1
N-h
jjl-fi 2 ехр(2ш'т(*п—xn+h))
n = 1
(3.2)
Так как последовательность (хп—xn+h) p. p. мод 1 при каждом
ft ^ 1, то при каждом ft ^ 1
N-h
lim лГ~¥ ^ exP (2ш'т (^—^п+л)) = 0- (3-3)
Из (3.2) и (3.3) вытекает, что
I N
кг S ехр (2ш'т*я)
Л= 1
lim
N-+ оо
<-г- <3-4>
И так как (3.4) справедливо для любого положительного
целого Я, то
N
lim -хг S ехР (2шт*„) = 0. П
Эта теорема дает важное достаточное условие р. р. мод 1, но
оно не [необходимо: это видно на примере последовательности
(пв) с иррациональным 6. Одно из многочисленных приложений
теоремы 3.1 относится к последовательностям значений,
принимаемых многочленами.

§3. ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ 37
Теорема 3.2. Пусть р(х) = атхт + ат_1хт"1+...
... + а0(т ^ 1)—многочлен с действительными коэффициентами
и по меньшей мере один из коэффициентов ау- с j > 0
иррационален. Тогда последовательность (р(п)) (п= 1, 2, ...) р. р. мод. 1.
Доказательство. Случай т=1 рассмотрен в примере
2.1, так что мы можем считать, что т^2. Предположим сперва,
что <х2, ..., ат рациональны, а аг иррационально. Пусть р(х) =
= Р(х) + а1х + о^0. Обозначим через D общее наименьшее кратное
знаменателей <х2, ..., ат. Тогда {Р (Dk + d)\ = \P (d)\ для k ^ О
и d>l. Поэтому для каждого целого ненулевого h
N N
•jj- Zj exp (2nihp (n)) =-^- 2-t exP (2ш7ф. (n)) +
л=1 n=[N/D]D+l
D [N/D]-\
+ 4 L Z " exp (2™Л (^ (D* + d) + ai Ф* + d) + ao)) =
dzzl * = 0
= 4" 5L ехр(2ш7у?(л)) +
л=[#/£>]£>+1
/ D ч / [JV/Z>]-1
+( £ехр{2ш7*(Р(ф + а^ + ав)))(^ 2. exp(2mfta1D*)
(3.5)
Так как ax иррационально, то. последовательность (aJ)K)
(k = 0t 1, ...) p. p. мод 1, и второй член в правой части (3.5)
стремится к нулю при N-+oo. Первый член в правой части
(3.5) по абсолютной величине не превосходит D/N. Согласно
теореме 2.1 последовательность (р (п)) в рассматриваемом частном
случае оказывается р. р. мод 1.
Для доказательства теоремы 3.2 в общем случае воспользуемся
индукцией. Рассмотрим многочлен р(х), у которого член высшего
порядка с иррациональным коэффициентом есть olqx^. Как
доказано выше, при q=l теорема верна. Пусть теперь q будет
любым целым m^q> 1. Тогда каждый многочлен вида
ph(x) = p(x + h)—p(x), h=l, 2, ...,
обладает тем свойством, что член высшего порядка с
иррациональным коэффициентом содержит множитель х**'1. По
индукционному предположению последовательность (ph (п)) (п = 1, 2, ...)
р. р. мод 1. Наконец, используя теорему 3.1, мы можем
заключить, что последовательность (р(п)) р. р. мод 1. П
Пример 3.1. В качестве наудачу выбранного примера,
показывающего применение теоремы 3.2 в диофантовых задачах,
докажем, что система неравенств
2х20 + 7х*у2<У*~У + 1 < 2х20 + х10у—2х2у2 (3.6)

38
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
имеет бесконечно много целых положительных решений х, у.
Пусть у = хь £/2 + 8, где )б|<1. Подставим это выражение в
(3.6) и поделим все члены (3.6) на 4л;15 у/8. Тогда система (3.6)
может быть записана в виде
*i(x)~Vr2<x*y2-y<Bt(x),
(3.7)
где &г(х) и г2(х) стремятся к нулю при я—►оо. Выберем
положительное число т]<(1/16)К2. Начиная с некоторого х0, будут
справедливы неравенства —г\ < ех (х) < г\ и —г\ < е2 (х) < г\.
Вместо (3.7) будем рассматривать систему т) — — V 2 < хь У 2—#<
<—т), или
1+Л—тУГ^<хъ\/2< 1—л (modi).
(3.8)
Так как по теореме 3.2 последовательность со = {пь У 2) (п= 1, 2,...)
р. р. мод 1, то
±Л((1 + Л—g-^, 1-л); N\ а>)-.1^2-24.
когда N—+QO. Следовательно, существуют бесконечно много
целых х9' удовлетворяющих (3.8), и бесконечно много целых пар
(ху у), удовлетворяющих (3.7). □
Другие теоремы о разностях.
Теорема 3.3. Если последовательность (хп) (я=1, 2, ...)
обладает свойством
Л*« = *n+i—*п -* в. п -+ оо, (3.9)
где 6—иррациональное число, то последовательность (хп) р. р.
мод 1.
Доказательство. Если q—положительное целое число,
то в силу (3.9) существует целое g0 = g0(q) такое, что для
любых целых n^g^g0
\xn—x—{n—g)Q\-
п-\
2(Д*/-е)
;=g
^ Я2
(3.10)
Если h—целое, отличное от нуля, то из (3.10) и (2.15)
следует, что
| exp (2mhxn) —exp (2nih (xg + (n—g) 0)) |< 2я | А | (n—g) q'\ (3.11)
а из (3.11) и неравенства треугольника вытекает, что
2 exp (2nihxn)
n=g
|g+<7-l
<
<
X exp(2nih(xg+(n—g)Q))
Hbg
+-^1+£,(«-в)<^.(3.12)
n=g

§3. ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ
39
где через К обозначено \smnhQ\~1-{-n\h\. Согласно (3.12) для
любого целого положительного Н
g+Hq-\
2 exp (2nihxn)
:нк.
(3.13)
Поэтому из (3.13) для любого целого N^g мы получим оценку
21 exp (2nihxn)
п=1
<£-1
N-g
K + q.
При фиксированном q отсюда следует, что
lim
N-►00
N
~ 2 exp (2nihxn)
п=\
И так как q может быть сколь угодно большим, то теорема
доказана. П
Определим рекуррентно разностный оператор А* на
последовательности (хп) при помощи соотношений Агхп = хп+1—хп и
Akxn = A(Ak~1xn) для k ^2. В этих обозначениях можно с
помощью теоремы 3.1 обобщить теорему 2.5.
Теорема 3.4. Пусть (/(п)) (/1=1, 2, ...)
последовательность действительных чисел и k—положительное целое число.
Если Akf(n) монотонна по п и при п—+ оо
А*/(л)-* 0, n\tff{n)\-+ оо,
то последовательность (f(n)) p. р. мод 1.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При
k=\ доказываемая теорема совпадает с теоремой 2.5. Допустим,
что теорема верна для целого положительного k и пусть (/ (п)) —
последовательность, для которой ДЛ+1/(л) монотонна по я,
Ak+1f(n)-^0> n\ Ak+1f(n) | —* оо при п —► оо. Для фиксированного
целого положительного h
h-\
/ (и + Л)-/(л) =2 Л/(* + /).
/=о
А*(/(л + Л)-/(/1))= 2 Л*+1/(" + /).
/*=о
В силу сделанных предположений, отсюда вытекают следующие
свойства:
Д*(/(л + Л)— f(n)) монотонна по п,
limA*(/(n + ft)-/(n)) = 0,
lim п | Д* (/ (п + Л) —f (п)) \ = оо

40 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
(здесь использован факт постоянства знака у Ak+1f(n)). Из
индукционного предположения следует, что последовательность
(f(n + h)—f(n)) (n=l, 2, ...) p. p. мод 1, и это справедливо
при каждом А^1. Но тогда, согласно теореме 3.1,
последовательность (f(n)) р. р. мод 1. □
Используя аналогичные соображения, можно обобщить и
теорему Фейера.
Теорема 3.5. Пусть k—положительное целое число, a f(x) —
функция, определенная при х ^ 1 и k раз дифференцируемая при
х^х0. Если f{1t)(x) монотонно стремится к нулю при х—* со, а
lim х \ f{k) {х) | = сю, то последовательность (f (п)) (п = 1, 2, ...)
р. р. мод 1.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При
k= 1 утверждение теоремы было доказано в следствии 2.1. Пусть
/—функция, удовлетворяющая условиям теоремы с заменой k на
k+l. Для положительного целого ft обозначим gh (x)=f(x+h)—f(x).
Тогда gj*} (x) = f{k)(x + h)—f{*)(x) при х^х0 и легко видеть, что
индукционное предположение применимо к gh. Значит, (gh(n))
(п=\у 2, ...) р. р. мод 1, и по теореме 3.1 все доказано. П
Вышеприведенная теорема позволяет строить много новых
интересных классов последовательностей, которые р. р. мод 1.
Сошлемся на упражнения 3.9, 3.10 и 3.11 ниже.
Замечания. Лемма 3.1—из работ ван дер Корпута [4, 5], он же доказал
теорему 3.1 (ван дер Корпут [5]). Теорема 3.2 была доказана ранее^Вейлем
[2, 4], который использовал более сложные методы. Более слабые результаты
см. у Харди и Литлвуда [1, 2]. Изложение метода Вейля см. у Титчмарша
[1, гл. 5] и Вальфиша [1]. Лемму 3.1 можно также найти у Титчмарша
[1, гл. 5] и Касселса [9, гл. 4]. В последней монографии имеется несколько
иное доказательство теоремы 3.2. Возможен интересный подход к теореме 3.2
с помощью методов эргодической теории: см. Фюрстенберг [1, 2], Ф. Хан [1],
Циглер [14]. Приложения теоремы 3.2 в эргодической теории имеются у Аку-
линичева [1] и Постникова [8, гл. 2]. Утверждение теоремы 3.2 остается
в силе, если п принимает лишь простые значения (Виноградов [4, 5], Хуа [1],
Рэн [4]).
О примере 3.1 и связанных с ним задачах см. ван дер Корпут [5]. Тот же
автор [6] рассматривал другие методы изучения диофантовых неравенств.
Теоремы 3.3 и 3.4 также из статьи ван дер Корпута [5]. О приложениях
теоремы 3.3 см. упражнение 3.3 и статьи: Браун и Дункан [2, 4], Дункан [1],
Кейперс [11]. Впервые p.p. мод 1 последовательностей, рассмотренных в
упражнении 3.9, доказал Члллаг [1]. О p.p. мод 1 последовательностей значений
целых функций см. Рози [3]. Карацуба [1] доказал p.p. мод 1
последовательности (/(п)), где / растет несколько быстрее, чем многочлен, например
/(*) = ехр (c(ln*)v), где с > 0 и 1 < у < 3/2. Брезин [1] доказал p.p. мод 1
специальной последовательности, возникающей в теории нуль-множеств.
Эллиот [2] изучает последовательности, связанные с нулями дзета-функции
Римана. Бланшар [1, гл. 6] рассматривает последовательности, связанные
с теорией простых чисел и чисел Гаусса.
Важные обобщения теоремы о разностях (теоремы 3.1) будут доказаны
в гл. 4, § 2. Однако следующий результат Коробова и Постникова [1] можно
упомянуть здесь: если (хп) удовлетворяет предположениям теоремы 3.1, то
(xqn+r) (^=1» 2, ...) р.р.чмод 1; здесь q > Q н г^О — целые. Подробное

§3. ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ
41
изучение различных теорем о разностях выполнено Xлавкой [8].
Количественные варианты теоремы о разностях см. в § 6 гл. 2.
Упражнения.
3.1. Если в теореме 3.2. все коэффициенты ау при / > 0 рациональны, то
последовательность (р (п)) не p.p. мод 1.
3.2. Последовательность (n9 + sin (2я У л)) (п=1,2, ...) с
иррациональным 8 р. р. мод 1.
3.3. Рассмотрим последовательность (Fn) чисел Фибоначчи, определенных
условиями F1 = F2 = lt Fn —Pn-i-\~Pп~2 при л^З. Доказать, что
последовательность (lnF„) p.p. мод. 1. Указание. Доказать сперва, что
lim (Fn+1/Fn) = (\ + }rT)/2.
3.4. Множество {Fn: л=1, 2, ...} чисел Фибоначчи расширяемо по
любому основанию (см. упражнение 2.14).
3.5. Пусть функция f (х) определена при х^\ и дифференцируема при
достаточно больших л:. Если lim f'(x) = Q — иррациональное число, то после-
Х-+ 00
довательность (/ (п)) (я=1, 2, ...) p.p. мод 1.
3.6. Пусть (хп)—последовательность действительных чисел, и при
некотором целом k ^ 1 существует lim A**„ = 6 — иррациональное число. Тогда
л -*- со
(хп) p.p. мод 1.
3.7. Пусть k—положительное целое число, а функция f (х), определенная
при x^l, k раз дифференцируема при достаточно больших х. Если
существует lim /(А)(*) = 6— иррациональное число, то последовательность (/ (п))
Х-+ 00
(я=1, 2, ...) p.p. мод 1. _
3.8. Последовательность (n29 + sin (2я У п)) (п = \, 2, ...) с
иррациональным 6 р. р. мод 1.
3.9. Пусть а^О, а нецелое а > 0. Тогда последовательность (апа)
(л=1, 2, ...) p.p. мод 1.
3.10. Пусть а и а—такие же, как в упражнении 3.9, а т произвольное.
Тогда последовательность (апа\птп) (я = 2, 3, ...) p.p. мод 1.
3.П. Пусть k—положительное целое число, а Ф О и т < 0. Тогда
последовательность (апк \пх п) (я = 2, 3, ...) р. р. мод 1. То же верно при т > 1.
3.12. Доказать, что (п2Inn) p.p. мод 1. Указание. Использовать
теорему о разностях и теорему 2.7.
3.13. Доказать, что (пмп In п) (л = 2, 3, ...) p.p. мод 1.
3.14. Для а Ф О и 0 < т i< 1 доказать, что (an lnT п) и (an2 In* n) p.p.
мод Г.
3.15. Пусть а>0 и g(x)—линейная комбинация любых степеней х, не
сводящаяся к постоянной. Доказать, что последовательность (nag (In n))
(л = 2, 3, ...) p.p. мод 1. Указание. Различать случаи og Z и a (f Z.
3.16. Для любой последовательности (хп) действительных чисел доказать,
что
к
А**»=^-1)'( {)*» + *-«
1 = 0 Х
при п^\ и k^z 1.
3.17. Для любого е > 0 существуют сколь угодно большие х такие, что
cos*2 > 1-е и cos(*+l)2 < — 1 + е.
3.18. Доказать, что
х+1
lim
X -> 00
>\
sin t2 dt
= 1.
Указание. Использовать интегрирование по частям и упражнение 3.17,

42 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
§ 4, Метрические теоремы
Некоторые основные результаты. Пусть (ип(х)) (л=1,2, ...)
при каждом х, принадлежащем заданному ограниченному или
неограниченному интервалу /, представляет собой
последовательность действительных чисел. Говорят, что последовательность
(ип(х)) p.p. мод 1 для почти всех х> если для каждого х g У,
за исключением множества лебеговой меры нуль,
последовательность (ип(х)) p.p. мод 1. Один из первых результатов такого
типа состоит в следующем.
Теорема 4.1. Пусть (ап) (n=lt 2, ...)—заданная после-
довательность различных целых чисел. Тогда последовательность
(апх) (п= 1, 2, . ..) р. р. мод. 1 для почти всех действительныхх.
Доказательство. Достаточно доказать, что (апх) p.p.
мод 1 для почти всех х£1 = [0, 1), ибо если k — целое, то
{an(k + x)} = {anx}t так что множество r/€[£, k+l) таких, что
(апу) не будет р. р. мод 1, представляет собой сдвиг на k
множества х£1 таких, что (апх) не будет p.p. мод 1, и также есть
множество меры нуль. Остается напомнить, что объединение
счетного числа множеств меры нуль есть снова множество меры нуль.
Итак, фиксируем целое /i^O и положим
N
S(Nt x) = ^-^exp(2mhanx)t #>1, 0<х<1.
Тогда
N
\S(N9 x)\* = S(Nt x)S(Nt x) = j^ X exp(2mh(am-an)x)t
m, n= 1
откуда
r N r
)\S(N9x)\4x = ^ £ §exp(2nih(am-an)x)dx = ±-, (4.1)
0 m, /z=l о
ибо только члены с т = п дают вклад, отличный от нуля.
Из (4.1) следует, что
Б [\S(N\ x)\*dx= Z-^<oot
и по лемме Фату
f 2 \S(N\ x)\*dx<oo;
CO
значит, 2 \S(N2> *)|2<°° для почти всех х £ ГО, 1]. СлеДОВа-
тельно, для почти всех х £ [0, 1] существует lim S(/V2, х) = 0
N -> со

§4. МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
43
Если задано N^ 1, то можно указать положительное целое т
такое, что m2^.N < (m+ 1)2. Тогда из тривиальной оценки
\S(N, *)|<|S(m«, *)|+^<| S(m\ x){+-£=■
видно, что для почти[всех *€[(), 1] справедливо также равенство
lim S(N, x) = 0t причем исключительное множество зависит от
N-+<x>
ранее фиксированного А. Объединение счетного числа
исключительных множеств, соответствующих значениям А=±1, ±2, ...,
даст нам множество В меры нуль. Критерий Вей ля показывает,
что (апх) p.p. мод 1 для всех xg[0, 1]\B. □
В доказательстве теоремы 4.1 скрыт более общий принцип.
Пусть (ип(х)) (/г=1, 2, ...)—произвольная последовательность,
зависящая от действительного параметра х, где каждая
ип—действительная функция, измеримая по Лебегу в интервале [а, Ь].
Для целых А Ф О и N^\ положим
N
Sh (N, x) = -}T-2Ld ехР (2ш7ши (а:)), а ^ х ^ fo,
и пусть
а
Тогда справедлив следующий общий результат.
00
Теорема 4.2. ££/ш ряд 2 In(N)lN сходится при любом целом
НфО, то последовательность (ип(х)) p.p. мод 1 для почти всех
Доказательство. Будем считать А фиксированным и
00
опустим индексы А. Так как ряд 2 1 (N)/N сходится, то можно
так выбрать возрастающую последовательность (k(N)) (N = l,2t...)
действительных чисел, больших единицы, что A,(W)—*оо и ряд
се
2 I(N)X(N)/N все еще сходится (см. упражнение 4.9). Пусть
Мг < М2 < ... положительные целые числа такие, что при г ^ 1
Мг«=[т$&Мг] + 1. (4-2)
Пусть целое число Nr принадлежит интервалу Мг < N < Мг+1,
и значение / (N) при N = Nr минимально в этом интервале. Тогда
Мг+1 Мг+1
1 V F/АГХ^ ^Г + 1 V HN)
'(^ЖтЬаГ. 2 '<*0
r + 1 rA=Mr+l r + l rN = Mr+\

44 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Так как согласно (4.2)
Мг^(Мг+1-Мг)<ЦМг),
то
i{Nr)< м£ шш.,
N = Mr+\
оо
откуда следует, что 2 I(Nr)<oo. Далее, как при доказатель-
стве теоремы 4.1, доказывается, что lim S(Nrt л;) = 0 для почти
г ->• се
всех х£[а, Ь]. Заметив, что Мг+1/Мг—>1 при г -* сю в силу
(4.2), получим, что Nr+1/Nr~-+l при г-*оо. Далее, если
Nr<N< Nr+1, то
\S(Nt x)\^\S(Nn x)\ + (Nr+1-Nr)/Nn
откуда lim S(N9 x) = 0 для почти всех х£[а, b]. Окончание
доказательства такое же, как в теореме 4.1. П
Пример 4.1. Последняя теорема позволяет сразу получить
следующее обобщение теоремы 4.1. Пусть -ф—положительная
функция, для которой
00
2 ty(n)n~3 < оо.
Пусть (ап) (/1=1, 2, ...) последовательность целых чисел, для
которых ат = ап не более, чем для i|)(N) упорядоченных пар (т, п)
с l^m, n^.N. Тогда последовательность (а„#) (л=1, 2, ...)
р. р. мод 1 для почти всех действительных чисел х. □
Общая метрическая теорема Коксмы.
Теорема 4.3. Пусть (ип(х)) (л=1, 2,
...)—последовательность действительных чисел, определенных при каждом х из
[а, Ь]. Пусть при каждом /г^1 функции ип(х) непрерывно диф-
ференцируемы на [а, Ь\ Предположим, что для любых двух
положительных целых чисел тфп разность и'т(х)—и'п(х) монотонна
по отношению к х и что \и'т(х)—и'п(х)\^К> 0, где К не
зависит ни от х, ни от т и п. Тогда последовательность (ип(х))
p.p. мод 1 для почти всех х из [а, 6].
Доказательство. Фиксируем целое НфО и обозначим
снова
N
Sh(N, x) = -fj-^ exp(2nihun(*)), a<x<b.
я=1

§4. МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
45
Тогда
о N °
I*(N) = l\Sk(N, x)\*dx = jp £ §exp(2nih(um(x)-un(x)))<b<
m,n—\a
<— v
m, n=z 1
b—a .
V exp (2nih (um (x)—un (x))) dx
N
2 N m-\
J exp (2nih (um (x) — un (x))) dx
m=2 n=l
Каждый из интегралов, стоящих в последнем выражении, оценим
с помощью леммы 2.1. Так как величина \и'т(х)—и'п(х)\
минимальна на одном из концов [а, 6], то получим
Ъ-а 2 N m"! /
m=2 м=1 N ' "
m=2 n=l
N m-1
|"т(л) — "n(a)| ' \u'm{b)
<nr + Jip^ L §(|Um(fl)_u;(fl)| + |u;(6)_M;(6)|)- <4-3>
m=2 я= 1
Для фиксированного х£[а, b] и 2^.m^.N можно упорядочить
числа u[(x)t иг(х), ..., u'm(x) по их величине. При новом порядке
разность любых двух соседних чисел будет ^/С. Поэтому
m-1 N
У т-, — г <2У — <4г'1п(3N). (4.4)
Комбинируя (4.3) и (4.4), получим
/Л(Л0<-^ ' 8 -,п<3">
Ш*
ЛГ
Дальнейшее следует из теоремы 4.2. □
Последняя теорема содержит много интересных частных
случаев. Отметим некоторые из них.
Следствие 4.1. Пусть б—положительная постоянная и
(F(/г)) (/1=1, 2, ...)—последовательность чисел, не меньших,
чем 1, для которых \F(m)—F(/i)|^*8 при тфп. Тогда
последовательность CkxF{n)) (кфО, /1=1, 2, ...) p.p. мод 1 для
почти всех х^1.
Доказательство. Пусть k — положительное целое число.
Положим un(x) = XxF{n) при k^x^.k+1. Если тфп, то
функция и'т(х)—u'n(x) = X(F(m)xFun)~1—F(n)xF{n)'1) монотонна^по *,
так как и^^х)—и*п(х) сохраняет знак X(F(m)—F(n)). Более
того, если тфп и k^x^.k-\-l, то
\Unl(x)-Un(x)\ = \X\xP"(qx^P-p)^\X\(q-p)^\X\8t

46 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ Г
где p = min(F (m)t F (n))t q = max(F (m), F(n)). Согласно
теореме 4.3 последовательность (kxF{n)) p.p. мод 1 для почти всех
#€[&» &+!]• Объединение счетного числа исключительных
множеств дает множество меры нуль в [1, сю). □
Следствие 4.2. Последовательность (хп) (п = 1, 2, ...)
p.p. мод 1 для почти всех х^\.
Доказательство. Вытекает из следствия 4.1. □
Следствие 4.3. Пусть б—положительная постоянная, а
(кп) (м=1, 2, ...) — последовательность действительных чисел
таких, что \Хт — ^J^6 при тфп. Тогда последовательность
(}<пх) (п= 1, 2, ...) p.p. мод 1 для почти всех действительных х.
Доказательство. Если фиксировать целое &, то из
теоремы 4.3 следует, что (кпх) p.p. мод 1 для почти всех х£
£[kt k+l]. Объединение счетного числа исключительных
множеств дает множество меры нуль в R. □
В связи со следствием 4.2 интересно отметить, что мы не
знаем, будут ли p.p. мод 1 такие последовательности, как (еп),
(пп) или даже ((3/2)"). Однако, как будет показано ниже, кое-что
об исключительных множествах сказать можно.
Пример 4.2. Действительное число а > 1 называется
числом Пизо—Виджаярагхавана (сокращенно: число P.V.), если
а — алгебраическое целое число и все сопряженные с ним числа
(кроме самого а) принадлежат открытому единичному кругу
{zgC: |z|< 1}. Другими словами, <х> 1 есть число P.V., если
существует многочлен /(х) = хт + aOT_i*OT~1 + ... + а0 (а{£ Z),
неприводимый над Q и такой, что f(x) = (x—aj.-.fa—aOT), где
a! = a, а |ау|<1 при 2^/^m. Тривиальный пример: любое
рациональное целое > 1 __есть число P.V. Менее тривиальный
пример—число a = (l + J/r5)/2.
Утверждается, что если a — число P.V., то предельными
точками последовательности ({а"}) (м=1, 2, ...) могут служить
только 0 и 1, так что, очевидно, последовательность (а") не
может быть p.p. мод 1. Используя вышеприведенные обозначения,
положим Тп(а) = а?+ ... + а£ при п^1. Так как
^„(а)—симметричная функция от alt ..., aOT с целыми коэффициентами, то
Тп(а) в действительности рациональное целое. Но \<хп—Тп(а)\ =
= |aj^— 7,и(а)К|аа)и+ ... +|aj", откуда видно, что
lim |an—rTn (a) | = 0. Отсюда следует наше утверждение. □
Тригонометрические последовательности. Существуют
интересные классы последовательностей, для которых условия теоремы
4.3 не выполнены, и среди них — тригонометрические
последовательности. Мы покажем, что в этом случае можно использовать
более тонкий метод.
Теорема 4.4. Пусть (ап) (п = 1, 2, ...)—возрастающая
последовательность положительных целых чисел. Тогда последова-

§4. МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
47
тельность (ancosanx) p.p. мод 1 для почти всех действительных
чисел х.
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать, что эта
последовательность p.p. мод 1 для почти всех л;€[0, 2я]. Для
целого h Ф О имеем
К(Щ-
2я
\
-ц V exp (2mhan cos anx)
1
л = 1
N
dx^
2я
^N2 ]L
m, л= 1
_ 2л_ , _2_ ^
т < п
\ exp (2mh (am cos аотл;—ап cos а„л;)) d*
2я
\ exp(2m/i(aOTcosaOTA:—а„ cos anx)) dx
(4.5)
Оценим интеграл в последнем выражении при фиксированных т
и я, когда 1 ^ m < я. Пусть G (я) = ат cos аотл:—а„ cos anxt
g(x) = G' (x) = a2n s'manx—а2т$\г\атх. Разобьем [0, 2я] на три
части. Пусть Ех состоит из точек *g[0, 2я], в которых | g (x) | ^
^-^ап(ап—ат)1/2. Пусть Е2 состоит из точек л:€[0, 2я] таких,
в которых \g{x)\ < -j an(an—aMyi* и |sina„x| >(а„ —aj"1/2.
Наконец £3 состоит из множества точек х€[0, 2я] таких, что
lgWI<lflnk-01/2 и |sina„*|<(a„—aj-vi. Так как
лебегова мера множества х € [0, 2л], для которых | sin anx | <
< (ап—аот)-1/2, есть 0((ап—аот)~1/2)» а подынтегральная функция
по абсолютной величине равна 1, то
С exp (2nihG (x))dx = 0 ((an—aj~1/2)-
(4.6)
Так как g"(*) = i'-g-^nfa»-аот)1/2 для 0(ап) значений *g[0, 2jx],
то Ех представляет собой объединение О (ап) интервалов. Далее,
так как g' (x) имеет О (ап) нулей в [0, 2я], то £\ можно
разложить на 0(ап) интервалов j\ в каждом из которых g(x)
монотонна. Для такого интервала J по лемме 2.1
Поэтому
J exp (2mhG (x)) dx = 0 (a"1 (fl||_aj-i/«).
j
j exp(2m'AG(*))d* = 0 ((a„-aj-1/2).
(4.7)
Рассмотрим теперь x£E2t так что справедливо неравенство

48 ГЛ. ^РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
\ё(х)[ < ~2ап(ап—am)\smanx\- Докажем, что из него вытекает
неравенство
I g'(x) | > с K-aW* (d-W*. (4-8)
где с > 0—некоторая абсолютная постоянная. Так как оба
последних неравенства не меняются при замене х на —х, то можно
считать, что sinan;e>0. Тогда
g (х) = а\ sin апх—а2т sin атх = (1 — t) a\ sin anxy
где ^ +52" ^ ' ^ Т—Г5"' и можно записать равенство
ta2n sin апл; = а^ sin amx. (4.9)
Можно также записать равенство
а3п cos a„x = rj + <& cos amxy (4.10)
где г] = #'(*). Возводя (4.9) и (4.10) в квадрат и используя
тождество sin2a„.x; + cos2a„.x;= 1, получим
. ((4Л — Рс&)cos2amx-2t\a*ncosaMx+ t*a%-a*ma2n-t*4* = 0.
Это—квадратное уравнение относительно cosam*, и
дискриминант его обязан быть неотрицательным; после упрощений
получим неравенство
Обозначим правую часть этого неравенства через s(t). Легко
проверить следующие утверждения: s(t) вогнута вниз при />0
s(ajan) = s(l) = (a*n—а*т)(а2п—а2т) и s(ajam) = 0. Первое и второе,
из этих утверждений позволяют заключить, что | rj | !>{а\—а^)1/2х
х(а2п—а^)1/2 при у+|^-</<1, a из всех трех вытекает, что
так что \г\\>(±(4,-сЬ)№-сЫу/% при 1 <*<->.+|l. Так
как -j—^■^■g""^^2"* т0 неРавенство (4.8) доказано. Мы
воспользуемся лишь более слабым неравенством: при х£Е2
}g'(x)\>cal(an-am). ' (4.11)
Заметим, что Е2 есть объединение О (ап) интервалов К- Из
теоремы о среднем и (4.11) следует, что длина такого интервала
sup |*-*|< sup ''^'+'fWI <
х„х2е.К х,х„х,еК 1« \х)\
^an{an-amyi*{cal{an-am))-\

§ 4. МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
49
так что лебегова мера Е2 есть 0((ап—ая)'1/2). Но тогда
С exp(2mhG(x))dx = 0((an-am)-v*)y (4.12)
и из (4.6), (4.7) и (4.12) следует, что при l<m</i
f exp (2яЛ (атcosатх—ancosanx)) dx = 0 ((ая—О"1/f)-
Последняя формула вместе с (4.5) показывает, что
\ /i=2m=l /
Но
N я-1 N п-\
n=2m = J /i=2m=l
так что/д(Л^) = 0(Л^-1/2). Дальнейшее вытекает из теоремы 4.2. П
Замечания. Теорема 4.1 принадлежит Вейлю [2, 4]. Случай ап — Ъп для
целого 6^2 был рассмотрен ранее Харди и Литлвудом [1].
Последовательности (апх) с целыми ап широко исследованы с метрической точки зрения
(Р. Бейкер [5], Эрдёш [4, 7], Эрдёш и Тейлор [\], Харди и Литлвуд [6],
Кахан и Салем [1], Хинчин [4], Коксма [12, 14]). Частный случай ап = Ьп
см. также в § 8. В этих результатах существенно условие возрастания (см.,
например, упражнение 4.5): Дресс [1] показал, что если (ап) не убывает и
ап~о(Inn), то (апх) не будет p.p. мод 1 ни при каком х. Некоторые
метрические теоремы возникают в связи с индивидуальной эргодической
теоремой (Хинчин [6], Рисе [1], Франклин [1]). Много лет не удавалось доказать
или опровергнуть предположение, высказанное Хинчиным [1]: пусть
Е—измеримое по Лебегу подмножество /; для последовательности (п0) при почти
всех 0 справедливо соотношение lim A (E\ N)/N — ^(Е). Марстрэнд [1] доказал,
что это неверно. Последовательности (кпх) с произвольными действительными %п
также изучались, особенно в случае, когда Кп + 1/Кп^с > 1 при всех п^\ (так
называемый лакунарный случай). См.: Эрдёш [4], Фюрстенберг [3], Хельсон и
Кахан [1], Кац, Салем и Зигмунд [1], Коксма [10, 15]. С этими вопросами
связаны т.н. нормальные множества (см. Замечания к § 8). Количественные
уточнения имеются в Замечаниях к § 3 гл. 2. Обзоры результатов по
вышеупомянутым классам последовательностей можно найти у Эрдёша [7] и Кокс-
мы [16], более раннюю литературу см. у Коксмы [4, гл. 9].
Важная теорема 4.2 взята из работы Дэвенпорта, Эрдёша и Левека [1].
См. также: Кейперс и ван дер Стин [1] и Филипп [2]. Холевейн [2]
применяет эту теорему к p.p. случайным величинам. См. также работы Лойнеса [1]
и Лаказа [2] о приложениях метрических теорем к случайным процессам.
Теорема 4.2 в некотором смысле наилучшая (Дэвенпорт, Эрдёш и Левек [1]).
Теорему 4.3 доказал Коксма [3]. Некоторые вариации этой же темы и
дальнейшие следствия можно найти у Левека [1], Франклина [2], Кейперса
и ван дер Стина [1]. Близкий вопрос см. у-Коксмы [10], а количественные
рассмотрения—у Эрдёша и Коксмы [2] и Касселса [3]. Обобщения теоремы
4.3 на более абстрактные объекты даны Бертрандиасом [1] и де Матаном [3].
Подробное изложение теории P.V. чисел, введенных в примере 4.2,
имеется у Касселса [9, гл. 8] и Салема [3]. Хорошая библиография приве-

50 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
дена в статье Пизо [1]. Более поздние работы: Амара [1], Бойд [1],
Кантор [1], Хальтер-Кох [1], Малер [1], Патио [1], Пизо и Салем [1], Зенге [1],
Зенге и Штраус [1], Злебов [1]. Существуют интересные связи между P.V.
числами и вопросами гармонического анализа. См. работы Салема [3], Мейера
[3, 5] и приведенную в них литературу. Очень известная задача связана с
последовательностями (гп) (л = 1, 2, ...), где г > 1—нецелое рациональное
число (Малер [1, 2, 4, 7], Тейдеман [1]). Супник, Коэн и Кестон [1]
изучают кратности в последовательностях ({0Л}) при 0 > 1. Форман и Шапиро
[1] обсуждают арифметические свойства последовательностей целых частей
([(4/3)"]) и ([(3/2)"]). См. также Шапиро и Шперер [1].
Теорема 4.4 взята у Левека [3], которому принадлежат также более
общие результаты. Дадли [1] обобщил некоторые из теорем Левека.
Идентифицируя последовательности в / с элементами бесконечномерного
00
единичного куба /°° = JJ /у, где // = / при /^1, можно доказать, что
/ = 1
«почти все» последовательности в / p.p. мод 1 (см. гл. 3, теорему 2.2). Здесь
«почти все» означает по отношению к мере в /°°, являющейся произведением
лебеговых мер в /.
Заметим, что имеются также метрические результаты для p.p. мод Д. См.
Левек [4], Дэвенпорт и Левек [1], Эрдёш и Дэвенпорт [1], В. Шмидт [10].
В другом направлении Петерсен и Макгрегор [2] доказали, что
последовательность p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда «почти все» ее
подпоследовательности p.p. мод 1. Изучение p.p. мод 1 подпоследовательностей заданной
последовательности см. у Мендес-Франса [8] и Дюпена и Леска [1].
Упражнения.
4.1. В следствии 4.1 требование «F(n)^l» можно заменить на «(F (п))
ограничена снизу».
4.2. Пусть (F (п)) — последовательность положительных целых чисел и
F (/?) ф F (q), если р ф q. Тогда последовательность (AjtF(n>) (А, ф 0) р. р. мод 1
для почти всех х^ 1, а также для почти всех х^—1.
4.3. При действительных 0 с | 0 | > 1 последовательность (Qnx) p. р. мод 1
для почти всех х.
4.4. Используя результаты этого параграфа, доказать, что при X Ф 0
последовательность (кпх) р. р. мод 1 для почти всех х^0. (Замечание.
Используя результаты предыдущих параграфов, можно явно описать исключительное
множество.)
4.5. Пусть (ап) — последовательность целых чисел, для которой
существуют положительные константы е и с такие, что если | т — п \ ^сп/(\п п)1+е,
то ат Ф ап. Доказать, что (апх) р. р. мод 1 для почти всех х.
4.6. Пусть (кп) — последовательность действительных чисел, для которой
существуют положительные постоянные е и б такие, что если \т—п\^
^n/(lnn)1+e, то | Хт — Хп | ^ б (условие роста Г. Вейля). Тогда (Хпх) p.p.
мод 1 для почти всех х. __
4.7. Доказать, что а = (1 + "/"б)/2 есть Р. V. число.
4.8. Доказать, что единственный корень многочлена Xй—х—1,
превосходящий 1, есть Р. V. число.
4.9. Пусть 2 ип—сходящийся ряд с положительными членами. Обозна-
п= 1
00
чим г(п)= 2"/ и k(n) = (Vr(n) Л-Vr(n+\))~l для /i^l. Доказать, что
/ = л
X (п)—> оо монотонно, когда п—> оо, и что ряд 2 МД (п) сходится.
л=1

§5. ОТЛИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 51
§ 5. Отлично распределенные последовательности по модулю 1
Определение и критерии Вейля. Пусть (хп) (я=1,2,...) —
последовательность действительных чисел. Для целых N ^\ и k ^ О
и подмножества Е интервала / обозначим через А (Е\ N, k)
количество членов среди {*fe+1}, {#*+2}, • • •, {**+jv}> принадлежащих Е.
Определение 5.1. Говорят, что последовательность (хп)
(л=1, 2,...) отлично распределена по модулю 1 (сокращенно: о. р.
мод 1), если для любой пары действительных чисел а и b таких,
что 0^а<6^1, равномерно по & = 0, 1,2,...
lim Л ([a, b)\ N, k)/N = b—a.
Очевидно, если последовательность о. р. мод 1, то она также
p.p. мод 1. Следующий контрпример показывает, что обратное
утверждение не имеет места.
Пример 5.1. Пусть со = (хп) (п = 1, 2,...) р. р. мод 1. Образуем
последовательность о = (уп) (п = 1, 2,...), полагая уп = О, если
mz+\^Ln^Lmz-\-m (m=l, 2,...) и уп = хп при всех других п.
Последовательность о также p.p. мод 1, ибо она получена из
последовательности со заменой достаточно малого количества хп
нулями. Доказывается это следующим образом. Для каждого
целого N ^ 1 можно указать целое р ^ 1 такое, что ръ < N <
<(/?+1)3. Тогда для любого подынтервала [а, Ь),
принадлежащего /,
\A([atb); N; со)-Л([а,6); N; о) |< 1 +2+ ... + /><ЛГ»/з,
так что
lim А ([а, Ь)\ N\ o)/N = lim А ([а, Ь)\ N\ a)/N = b—a.
В то же время а не о. р. мод 1. Чтобы доказать это, выберем е
такое, что 0<е< 1/2. Если бы о была о. р. мод 1, то
существовало бы такое положительное N0 = N0(&), не зависящее от k>
что при N ^N0 и всех k ^ О для последовательности о
|Л([0, 1/2); N, k)/N—l/2\<B.
Тогда и
|Л([0, 1/2); N0, ЛГ03)/ЛГ0-1/2|<е. (5.1)
Однако Л ([0, 1/2); N, NZ) = N при каждом N^\, ибо все
элементы уп с N3 +1 ^.n^.N3-\- N равны нулю. Таким образом,
из (5.1) следует, что е> 1/2, что противоречит выбору е. □
Критерии Вейля для о. р. мод 1—это те же критерии для
р. р. мод 1 с дополнительным требованием равномерности по k.
Доказательства мы опускаем. Заинтересованному читателю
рекомендуем § 3 гл. 3.

52
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Теорема 5.1. Последовательность (хп) (п=1, 2,...) о.р.
мод 1 тогда и только тогда, когда для всех функций f
непрерывных на I равномерно по k = 0t 1, 2,...
k+N
li^F L f({xn})=\f(x)dx.
n = k+l
Теорема 5.2. Последовательность (хп) (я=1, 2,...) o.p.
мод 1 тогда и только тогда, когда для любого целого НфО
равномерно по & = 0, 1, 2,...
k + N
lim -гт V exp (2mhxn) = 0.
n=k+l
Пример 5.2. Теорема 5.2 и рассуждения, использованные
в примере 2.1, показывают, что последовательность (nQ) (n=\, 2,...)
при иррациональном в о. р. мод 1. □
Так как о. р. мод 1 сравнительно редкое явление (строгий
смысл этого утверждения см. в замечаниях), то имеется много
отрицательных результатов относительно о. р. мод 1. Один такой
результат состоит в следующем.
Теорема 5.3. Последовательность (pnQ) (n=lt 2,...), где
р целое, а 6 действительное, не о. р. мод 1.
Доказательство. Пусть \р\^2 и 9=^0 (другие случаи
тривиальны). Обозначим xn = pnQ и рассмотрим выражение
k + N N N
2 exp (2nixn) = 2 ехР (^nixn+k) = 2 ехР (2шрпхк).
n=zk+l П=\ /1=1
Тогда
k+N
2 exp (2nixn)
n=k+\
>
2 cos2npnxk
n-\
%cos2n\p\»{xk}
n=\
(5.2)
Если допустить, что последовательность (pnQ) o.p. мод 1, то 0
будет предельной точкой последовательности ({#„}). Следовательно,
для любого N^\ найдется k(N) такое, что {хкШ)} < (6| р|^)"х.
Для k = k(N) аргументы последней суммы в (5.2) удовлетворяют
неравенствам
0<^2л\р\»{хкШ)}^2п\р\"{хкШ)}<п/3
при l^fi^N, так что косинус каждого из этих аргументов
> 1/2. Отсюда для любого N ^ 1
I k(N) + N
\jf £ ехр(2ш*„)|
I n=k(N) + l
>i.
что противоречит теореме 5.2. □

§5. ОТЛИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
53
Эту теорему следует сравнить с очевидным следствием
теоремы 4.1, а именно, с утверждением, что для целого р, для
которого |/?|^2, последовательность (/?;9) (/г=1,2,...) p.p. мод 1
для почти всех действительных 0.
Допустимые последовательности.
Определение 5.2. Последовательность (sn) действительных
чисел называется допустимой, если всякий раз, когда
последовательность (хп) о. р. мод 1, последовательность (xn + sn) также
будет о. р. мод 1.
Очевидный пример допустимой последовательности—это
последовательность sn = c (см. упражнение 5.4). Более общий
пример: любая сходящаяся последовательность допустима (см.
упражнение 5.5). Еще более общее достаточное условие допустимости
содержится в следующей теореме.
Теорема 5.4. Пусть (tn)—последовательность действитель-
п
ных чисел и s„ = 2 tj- Последовательность (sn) допустима, если
/= i
равномерно по & = 0, 1, 2,...
, k+N
«my E l'J-0.
N-+GO
(5.3)
m=k+l
Доказательство. Пусть последовательность (xn) о. р.
мод 1. Выберем е>0 и ненулевое целое h. В силу сделанных
предположений существуют положительные постоянные Р и Q
такие, что
k+p
j £ ехр(2ш71*га)
n=k+l
k + q
<4r, p^P, £>0,
(5.4)
(5.5)
n=k+\
где A = 2n\h\. Пусть N— целое, превосходящее max(P+l, Q,
ЗР/г). Тогда при любом k ^ 0
k+N v k+N
2 exp (2nih (xn + sn)) = 2 br + 2 exp (2шh (xn + sJ),
n=k+ 1
r=\
n=k+vP+l
где
br= £ exp(2mh(xn + sn))1 v= [^-]
л=/г + (г-1) P+l
Ясно, что
k + N
2 exp(2nih(xn + sn))
n=k+vP+l
<p.

54
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Далее
k+rP
br = 2 exp (2nih (xn + sk+irmml) р)) +
л=£ + (г-1) P+\
k + rP
+ 2 exP (2ш'Лхя) (ехр (2mhsn) — exp (2^*/isA+(r_1) p)),
n = A: + (r- 1) P+l
гак что, используя (5.4) для оценки первой суммы и (2.15) для
оценки второй, получим
k + rP
\br\^ + A
sn—sl
Vfe+Cr-l) P
\<
eP
n=k+(r-\)P+\
p
^ "3- + ^ 2^ (I h+ir-u p+i I + • • • "i" I ^+<r-n p+« !)•
n=\
Затем воспользуемся неравенством (5.5):
5>,
г=1
<
ueP
fc+W
n=k+l
+ Л £/>|/п|<^ + ЛР^<24е
#8
ЗЛР
.2Мб
3
Отсюда следует, что
k + N
дг 21 exp(2m7i(xn + s„))
л=*+1
. 2е Р
так что по теореме 5.2 последовательность (xn + sn) о. р. мод 1. □
Так как играют роль только значения sn mod I, то без потери
общности можно считать, что \sn+1 — sn\ = \ tn+1\^. 1/2 при n^l.
При таком дополнительном предположении условие (5.3)
оказывается также необходимым для того, чтобы последовательность
(sn) была допустимой, но доказать это совсем не просто. В связи
с (5.3) заметим также, что последовательность (ип) называется
почти сходящейся к значению и, если равномерно по k = 0, 1, 2,...
1 k+N
ИГЛ тт V Um = U.
m=k + 1
Метрические теоремы.
Теорема 5.5. Если р и q положительные целые числа, то
для почти всех действительных х последовательность ((piq)nx)
(п= 1, 2,...) не о. р. мод 1.
Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что
р> q. Для каждого фиксированного целого N ^ 1 обозначим
через EN множество x£R таких, что (pnx/qn+N) (/i=l,2,...) не
р. р. мод 1. Тогда, согласно следствию 4.3, лебегова мера X(EN)=0.
00
Отсюда следует, что если Е = [) EN, то К (Е) = 0. Напомним, что

§5. ОТЛИЧНО РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 55
если какая-нибудь последовательность p.p. мод 1, то
последовательность ее дробных долей всюду плотна в /. Поэтому, если
х^Еу то для каждого N^\ можно найти такое k = k(N), что
{pkx/qk+N}<(6pNqN)-\ (5.6)
Рассмотрим теперь выражение
N
Если х^Е и k = k(N), то из (5.6) для l^/z<!Af вытекает, что
Отсюда следует, что
k(N)+N
n = k(N)+l
>i
так же, как при доказательстве теоремы 5.3. Согласно теореме
5.2 последовательности ((p/q)nx) при х^Е не являются о. р.
мод 1. '□
Для доказательства следующей леммы нам понадобятся
некоторые результаты и понятия из § 6. Эта лемма, которая весьма
полезна при доказательстве того, что последовательность не о. р.
мод 1, тесно связана с вопросами вполне равномерного
распределения в § 3 гл. 3 и фактически представляет собой частный
случай теоремы 3.12 из гл. 3.
Лемма 5.1. Пусть (хп)—последовательность
действительных чисел 'такая, что для каждого р^1 и любой группы целых
чисел (hly ..., hp)^(0, ..., 0) последовательность
(h1xn + h2xn+1+ . .. + hpxn+p_1)y /i=l,2f...
p.p. мод 1. Тогда (хп) не о. р. мод 1.
Доказательство. Если (хп) о. р. мод 1, то из
определения 5.1 легко видеть, что существует целое /?!> 1 такое, что хотя
бы один из каждых р последовательных членов ({хп})
принадлежит [0, 1/2) (см. упражнение 5.7). С другой стороны,
последовательность ((хпУ *и+1, ..., хп+р_г)) (л=1,2,...) p.p. мод 1
в R^ по теореме 6.3. В частности, найдется такое N^\, что
({%Ь {*JV+1J> • • • » \XN+p-l })€[1/2, 1)Х...х[1/2, 1),
где справа стоит декартово произведение р экземпляров [1/2, 1).
Получаем противоречие. □

56 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Теорема 5.6. Пусть (кп) — последовательность
действительных чисел, отличных от нуля, таких, что Hm|X„+1AJ = о°. Тогда
П-*-<Х>
для почти всех действительных х последовательность (кпх) (п=
s=l, 2, ...) не о.р. мод 1.
Доказательство. Докажем, что условия леммы 5.1
выполнены для почти всех последовательностей (кпх). Фиксируем
/?>1 и целочисленную группу (Л1Э ..., Нр)Ф(Оу ..., 0).
Очевидно, можем считать, что крф0. Пусть при п^\
bn = hiK+ ••• +VW-i>
так что h^x-^- ... +hAn+ 1x = bnx, и обозначим Н = max \hA.
Из условия теоремы следует, что существует такое
положительное целое число N, что при всех r^N
\Хг+1\ ^(2Р-\)Н
IM ^ \hp\ + 1-
Тогда при m > п^ N получим
\ьт-ьп\ = \ Vw-i+ • • • +biK-tyn+P-i- • • • -ККI >
^ |л^ Л л,в+^-11—(2^— 1).^ | xr+jP_, I ^ I ^,! I ^-+^-« I ^ I ^ 11 л.^1.
и согласно следствию 4.3 последовательность (Ьпх) р. р. мод 1
для почти всех действительных х.
Рассматривая всевозможные целые положительные р и
всевозможные дозволенные группы (h1,...,hp), получим счетное
множество исключительных множеств, объединение которых есть
снова множество меры нуль. □
Замечания. Определение о. р. мод 1 последовательности принадлежит
Xлавке [1] и Г. Петерсену [1]. Критерии, сформулированные в теоремах 5.1
и 5.2, также приведены этими авторами. Пример 5.1 — из работы Г. Петер-
сена [1]. Теорема 5.3 доказана Довидаром и Петерсеном [1], которые
исправили ошибочное утверждение в работе Кьоу, Лотона и Петерсена [1,
теорема 5]. Допустимые последовательности ввели и изучили Петерсен и Зейм [1].
Теорема 5.5—это результат Петерсена и Макгрегора [2]. Мэрдок [1] доказал,,
что если а любое действительное число, то для почти всех х
последовательность (апх) не о. р. мод 1. Теорема 5.6—из статьи Довидара и Петерсена [1].
Этот результат был усилен Г. Петерсеном [4] и Зеймом [2], которые
доказали, что лакунарные последовательности (кп) обладают этим же свойством и
тем самым установили справедливость предположения, высказанного
Петерсеном и Макгрегором [3]. Дальнейшие уточнения см. у Зейма [4]. Результаты,
связанные с этими вопросами, можно найти в работах: Циглер [12], Эрдёш [7],
Герл [5], Г. Петерсен [3], Петерсен и Макгрегор [1]. Построение
последовательностей о. р. мод 1 обсуждается в статьях Герла [4] и Кьоу, Лотона и
Петерсена [1].
Аналог теоремы ван дер Корпута о разностях может быть доказан для
о. р. мод 1 последовательностей. См. теорему 2.2 гл. 4 и статьи Xлавки [1, 8].
Из этих результатов вытекает, что последовательности (р(п)), рассмотренные
в теореме 3.2, даже о. р. мод 1 (Xлавка [8] и Лотон [1]). Этот результат
следует также из эргодической теории (Фюрстенберг [2], Циглер [12, 14, 15]).
Циглер [13] доказал, что последовательности (f (ri)), фигурирующие в тео-

§5. ОТЛИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 57
реме 5.3, не о. р. мод 1. Буркард [2] рассматривает последовательности о. р.
мод А (ср. определение 1.2).
Довидар и Петерсен [1] показали, что в некотором смысле почти все
последовательности не о. р. мод 1 (см. упражнение 5.15). Если рассматривать
произведение лебеговых мер на /°° (см. Замечания к § 4), то также почти все
последовательности не о. р. мод 1. Доказательство см. в теореме 3.8 гл. 3.
Дальнейшие результаты об о. р. последовательностях имеются в гл. 1, § 6;
гл. 3, §§ 3, 4; гл. 4, §§ 1, 2, 4.
Упражнения.
5.1. Доказать теорему 5.1.
5.2. Доказать теорему 5.2.
5.3. Последовательность (хп) (п = \, 2, ...) о. р. мод 1 тогда и только
тогда, когда для всех интегрируемых по Риману функций / на /, равномерно
по k = 0, 1, 2, ...
k+N *
iim it £ /({*»»= \ f ы**-
5.4. Если последовательность (xn) о. р. мод 1, то последовательность
(хп-\-с) также о. р. мод 1, где с—действительная постоянная.
5.5. Если последовательность (хп) о. р. мод 1, а последовательность (уп)
обладает свойством lim (хп — уп) = с—действительная постоянная, то (уп) также
П-+-СО
О. р. МОД 1.
5.6. Подробно доказать, что последовательность (п0) (л=1, 2, ...) сир-
рациональным 8 о. р. мод 1.
5.7. Пусть J = [а, Ь) — подынтервал /, причем а < b> a (xn) о. р. мод 1.
Доказать, что существует положительное целое число Q такое, что среди
любых Q последовательных членов ({хп}) найдется хотя бы один,
принадлежащий J.
5.8. Пусть (^ — последовательность действительных чисел, для которых
lim (xn+i—xn) = 0. Доказать, что (хп) не о. р. мод 1. Указание. Исполь-
зовать упражнение 5.7.
5.9. Если (хп) и (уп) о. р. мод 1, то последовательность хъ уъ х2, у2, •••
• ••» хпу Уш ••• также о. р. мод 1. Обобщить.
5.10. Пусть (гп) и (sn)—допустимые последовательности, а и Ъ—целые.
Доказать, что последовательность (arn-+-bsn) допустимая.
5.11. Если (sn) допустима, то и (Asw) допустима.
5.12. Если а—трансцендентное число, то для почти всех х
последовательность (апх) (л=1,2,...) не о. р. мод 1. Указание. Использовать
лемму 5.1.
5.13. Пусть (^ — последовательность чисел, принадлежащих /. Для п^\
обозначим ап = [пхп]. Доказать, что (хп) о. р. мод 1 тогда и только тогда,
когда (ап/п) о. р. мод 1.
00
5.14. В обозначениях упражнения 5.13 введем число а = ^ -^ . Дока-
л = ! П
зать, что (хп) о. р. мод 1 тогда и только тогда, когда (п\а) о. р. мод 1.
5.15. С помощью упражнения 5.14 доказать, что «почти все»
последовательности в / не о. р. мод 1, и уточнить смысл этого утверждения.
5.16. Доказать упражнения 5.13, 5.14 и 5.15 с заменой «о. р. мод 1» на
«p.p. мод 1». Конечно, в упражнении 5.15 следует «не о. р. мод 1» заменить
на «р. р. мод 1».
5.17. Будет ли последовательность из упражнения 1.13 о. р. мод 1?

58 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
§ 6. Многомерный случай
Определение и основные результаты. Пусть s—целое число,
s ^ 2. Пусть а = (alt ..., as) и Ь = (blt ..., bs)—два вектора с
действительными компонентами, т. е. a, 6g R*. Мы скажем, что а <
< b (а < 6), если ау < bf (а;- < Ь/) при / = 1, 2, ..., s.
Множество точек x£Rs таких, что а^дг<&, обозначим через [а, Ь).
Другие s-мерные интервалы, как например [а, &], имеют
аналогичный смысл, s-мерным единичным кубом Is называется
интервал [0, 1), где 0 = (0, ..., 0), 1 = (1, ..., 1). Целая часть
вектора х = (хи ..., xs)—это [*] = ([*i], ..., [xs])> a дробная часть
х—это [х] = ({х1}9 .... {*,})-.
Пусть (хп) (п= 1, 2, ...) — последовательность векторов в R5.
Для подмножества Е куба Is обозначим через А(Е\ N)
количество точек {хп} с номерами 1 ^n<CN, которые принадлежат Е.
Определение 6.1. Говорят, что последовательность (хп)
(/1=1, 2, ...) p.p. мод 1 в R5, если
для любых интервалов [а, 6) s /5.
Определение 6.2. Говорят, что последовательность (хп)
(п= 1, 2, ...) о./?, жод 1 в R5, если равномерно по k = 0t 1, 2, ...
для каждого интервала [a, b) ^ /5
hm ц ''' = II (fry—gy)»
где Л ([а, 6); Af, k) означает количество точек {хп} с номерами
k-\-\^.n^k-\-N, принадлежащих [а, Ь).
Определение 6.3. Пусть (zn) (n=l,2, ...) —
последовательность комплексных чисел. Пусть Rez„ = A;n, Imz„ = #n.
Говорят, что последовательность (гп) р. р. мод 1 в С, если
последовательность ((*„, уп)) (п=--1,2, ...) р.р.в R2.
Замкнутый s-мерный единичный куб Is—это интервал [0, 1].
Если х = (xlt ..., xs) и у = (ylt ..., ys) принадлежат R*, то через
<дт, у> обозначим обычное скалярное произведение: <дг, уУ =
= *i#i + • • • +xsys. Тогда имеют место следующие аналоги
одномерных результатов.
Теорема 6.1. Последовательность (хп) (п=1, 2, ...) p.p.
мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда для любой непрерывной
комплекснозначной функции /, определенной на /5, справедливо
соотношение
N
Hm^ £/({*„}) = j f(x)dx. (6.1)

§6. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
59
Теорема 6.2. (Критерий Вейля.) Последовательность (хп)
(n=lt 2, ...) р. р. мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда для
любой целочисленной точки A£Z5, НфО,
N
lim -1 £ ехр (2ш <А, дгп» - 0. (6.2)
Доказательство теоремы 6.1 аналогично доказательству
теоремы 1.1. Доказательство теоремы 6.2 вытекает из того, что
множество конечных линейных комбинаций функций ехр(2ш'<А, дг>)
(h£Zs) с комплексными коэффициентами плотно (по отношению
к равномерной норме) в пространстве всех непрерывных комп-
лекснозначных функций с периодом 1 по каждой переменной,
определенных на Is (см. доказательство теоремы 2.1).
Теорема 6.3. Последовательность (хп) (и=1, 2, ...) p.p.
мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда для любой
целочисленной точки A£Z5, кфй, последовательность действительных чисел
«А, хп» (n=l, 2, ...) p.p. мод 1.
Доказательство. Вытекает сразу из теорем 6.2 и 2.1. □
Пример 6.1. Рассмотрим вектор 6 = (6^ ..., 95) такой, что
числа 1, 9lf ..., 05 линейно независимы над полем рациональных
чисел. Тогда последовательность (пв) = ((пв1), ..., (nQs)) (/i=l,
2, ...) p.p. мод 1 в R5. Для доказательства достаточно
заметить, что для любого A£Z5, h=£0, действительное число <Л, в>
иррационально, так что применима теорема 6.3. □
Пример 6.2. Для любой целочисленной точки h=(hlt ...., hs)
в Zs пусть ||Л||= max \hj\. Для любого вектора p = (a>i, . .., а,)
1</<S
из R* определим вектор ph с помощью равенства рЛ = (а1Л1, ...
..., olJis). Мы утверждаем, что если из множества всех
целочисленных точек, принадлежащих Z*, составить
последовательность hlt А2, ... так, что неравенство ||ЛОТ|| < ||ЛЯ| влечет за собой
неравенство т < п, то последовательность phlt ph2t ... p.p. мод 1
в R5 для любого вектора р с иррациональными координатами.
Для доказательства обозначим J = [а, Ь) ^ /5, где а = (аг, ..., as)
и Ь = (Ь1У ..., bs)y и пусть Jk = [ak* bk) при l^^^s. Заметим
также, что достаточно доказать равенство
шт&т=ЪФ>-аь). (б.з)
Далее, по построению последовательности hlt h2 .. . первые (2L-|-1)5
членов этой последовательности в точности состоят из всех
целочисленных точек А, для которых |A||^L. Поэтому
A(J; (2L+1)*) = II Ai\ak% bh)\ 2L+1; со,), (6.4)
Л= 1

60
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
где (uk = (akh) (/i = 0, 1, —1, 2, —2, ...). Каждая из
последовательностей сол р. р. мод 1 согласно упражнению 2.5.
Следовательно, при каждом 1 ^ k ^ s
lim A([ak9 bk)\ 2L+1; cofe) __u
£S 2L+1 — ft*-fl*«
Вместе с (6.4) это дает (6.3). □
Теорема 6.4. Пусть р (х) = (рг (х), ..., ps (x))t где все р{ (х) —
действительные многочлены. Предположим, что р(х) обладает
таким свойством у что для каждой целочисленной точки /tgZ5,
НфО, многочлен <Л, р(х)> содержит хотя бы один
непостоянный член с иррациональным коэффициентом. Тогда
последовательность (р(п)) (л=1,2, ...) p.p. мод 1 в R5.
Доказательство. Согласно теореме 3.2,
последовательность (р(п)) (п=1у 2, ...), где р(х) — действительный
многочлен, содержащий непостоянный член с иррациональным
коэффициентом, p.p. мод 1. Поэтому теорема 6.4 следует из
теоремы 6.3. □
Ради полноты приведем без доказательства следующую общую
теорему.
Теорема 6.5. Обозначим через Q последовательность
интервалов Q вида Q = [a, b) с целочисленными точками а<Ь из Zs.
Каждому QgQ поставим в соответствие положительное целое
число п, а также 2п чисел <xv, pv (l^v^n), удовлетворяющих
при всех 1 ^ v ^ п неравенствам <xv < pv < <xv + 1, и п
действительных функций fv(x) (l^v^n), определенных для любой
целочисленной точки x£Q. Для каждого Q £ Q и с > 0 рассмотрим
сумму
Т (Q; с) = £' I Jg,- £ ехр (2ш (hjt (*)+...+ hjn (*)))
ft | VV'*€Q
где N (Q)—количество целочисленных точек x£Q и 2 означает
а
суммирование по всем целочисленным h = (hly ..., hn) Ф (0, ..., 0),
удовлетворяющим при всех 1 ^ v ^ n условиям
lA^ <2_In_-2L_.
•v v Pv v
Допустим^ что при каждом фиксированном с значения Т (Q; с) —► 0,
когда Q пробегает Q. Тогда
NP(Q)
N(Q)[l (Pv-«v)
1,
когда Q пробегает Q, где Nр (Q) равно количеству целочисленных
точек х 6 Q, для которых <xv < /v (x) < pv (mod 1) при 1 < v < п.

§6. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
61
Приложения.
Теорема 6.6. Пусть f интегрируема по Риману на [0, 1]
и I, 9, а линейно независимы над полем рациональных чисел.
со
Тогда степенной ряд G(z) = 2/({па})г" обладает следующим
свойством:
lim (1 — r)G{re™iQ) = 0. (6.5)
r-M-0
Доказательство. При доказательстве теоремы 2.4 мы
видели, что тождество
N
lim (1 — r)G(re2niQ)= lim -^-^/({la}) е™ш
справедливо всякий раз, когда предел справа существует. Так
как предполагается, что 1, 9 и а линейно независимы над полем
рациональных чисел, то последовательность векторов ((па, п9))
(п=1, 2, ...) p.p. мод 1 в R2. Поэтому для всех
интегрируемых по Риману функций g на I2
N 11
lini "жХ£({паЬ {Щ) = Цё{^ y)dxdy\
^~*°° л=1 0 0
это—двумерный аналог следствия 1.1 (см. упражнение 6.3).
Следовательно,
N 1 1
lim -1 V / ({na}) е2™'"9 = (Ч / (х) е2Ш'^ rfx ф = 0. П
Необходимо заметить, что если G^ma-f-/? с целыми т и /?,
то из доказательства теоремы 2.4 видно, что предел в (6.5) равен
интегралу dm, фигурирующему в этом доказательстве.
Приложения другого типа см., например, в гл. 4, пример 4.1
и в гл. 5, доказательство теоремы 1.8.
Замечания. Р. р. мод 1 в R5 впервые рассмотрел Вейль [2, 4], который
доказал теоремы 6.1—6.4, а также результат, приведенный в примере 6.1.
Обсуждение исключительных случаев в этом примере также осуществил Вейль
[4]. О дальнейших замечаниях относительно этого примера см.: Бергстрем [1],
Якобе [1], Рицци [1], Слэйтер [2]. См. также Замечания к §§ 3, 5 гл. 2.
Пример 6.2 взят у Фолькмана [3, 5], который использовал этот результат в
аддитивной теории чисел. В связи с теоремой 6.4 см. также: Ковалевская [1]4и
Замечания к § 3 гл. 2. Результаты о других частных классах
последовательностей имеются у Деланжа [5], Каримова [1], Коробова [12], Полосуева [2, 4].
О многочисленных исследованиях, относящихся к последовательностям (Апх),
где А — заданная действительная sXs-матрица, а х—заданная точка в R*,
см. Замечания к § 8 настоящей главы. Последовательности в R5 вида
((хт хп + 1* •••> *n + i'-l))> /1 = 1, 2, ...,

62 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
где (хп) — заданная последовательность в R, рассматривались в работах
Кэрролла [2], Циглера [2], Франклина [2], Хлавки [8], Кемпермана [4], Кнута
[2, гл. 3] (ср. также § 3, гл. 3). Циглер [14, 15] доказал, что
последовательности из упражнения 6.10 о. р. мод 1 в R5. Дальнейшие результаты об о. р.
мод 1 в R** см. у Герла [4, 6]. Метрическая теорема Коксмы (теорема 4.3)
обобщена на многомерный случай Левеком [2] и Герлом [2]; Филипп [1, 3]
доказал аналог теоремы 4.1. Другой метрический результат см. у Кэрролла [2].
Определение 6.3 принадлежит Левеку [3], который доказал, что для почти
всех г£С с \z\ > 1 последовательность (гп) (я = 1, 2, ...) p.p. мод 1 в С.
Общее определение р. р. мод 1 в последовательностях интервалов, которое
является основой теоремы 6.5, было дано ван дер Корпутом [5] (см. также
Коксма [4, гл. 8]). Доказательство теоремы 6.5 (принадлежащее ван дер Кор-
путу) не было опубликовано, хотя эта теорема неоднократно использовалась
(см., например, Коксма [1], Тегхем [1]). Улучшенный вариант теоремы 6.5
доказал Коксма [И]. В работе ван дер Корпута [5] многие из результатов
Вейля обобщены на р. р. мод 1 в последовательностях интервалов и доказана
одна теорема о разностях. О некоторых дальнейших результатах для
одномерного случая см. Кейперс [4].
Р. р. последовательности на кривых и поверхностях изучал Герл [1, 3].
Случай сферы см. у Арнольда и Крылова [1] и Герла [9]. С этими вопросами
связано исследование Каждана [1]. Джессен [1] доказал критерий Вейля для
р. р. в /°°—декартовом произведении счетного числа интервалов /. Еще более
общее понятие р. р. будет рассмотрено в гл. 3, 4.
Литература по теореме 6.6 и связанным с нею результатам приведена в
Замечаниях к § 2. Лютар [1] использует р. р. мод 1 R* в одной задаче
о целочисленных решетках, Фам [1] использует его при изучении распределения
функций, а Слэйтер [2] обсуждает приложения в теории газов (см. также
Хлавка [19, 21, 23]). Другие приложения указаны в § 5 гл. 2.
Упражнения.
6.1. Доказать подробно теорему 6.1.
6.2. Доказать подробно теорему 6.2.
6.3. Последовательность (хп) р. р. мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда
соотношение (6.1) выполняется для каждой интегрируемой по Риману
функции f на Is.
6.4. Последовательность (хп) (п = 1, 2, ...) в R*, где хп = (х1п, х2п> • • •»xsn)
(л = 1, 2, ...), p.p. мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда
N s
Jim "ЯГ S ^-}hl • • • i*sn)hs = D>/ +1)"1
n=.\ / —*
для любых неотрицательных целых hlt ..., hs.
6.5. Если последовательность р. р. мод 1 в Rs, то последовательности
каждой из s ее координат р. р. мод 1 в R.
6.6. Если последовательность (хп) р. р. мод 1 в R*, то последовательность
({хп}) дробных долей плотна в /5.
6.7. Если действительные числа 1, 9Х, ..., 8^ линейно зависимы над полем
рациональных чисел, то последовательность ((/г0ь ..., nQs)) (я=1, 2, ...)
не р. р. мод 1 в R5.
6.8. Пусть Эх, ..., 0,у—иррациональные числа. Тогда последовательность
((0!^, 02/г*-1, ..., 65п)), /1 = 1, 2, ...
р. р. мод 1 в R5.
6.9. Пусть oti, •••» &s—действительные числа, отличные от нуля, и
Ть ••-, Ту—различные положительные числа, не принадлежащие Z. Тогда
последовательность ((а1пТ\ ..., а3пХз)) (я = 1, 2, ...) p.p. мод 1 в R5.

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
63
6.10. Рассмотрим многочлен р (х) степени s^l с иррациональным
старшим коэффициентом. Тогда последовательность (р (п), р (л+1), ..., р (л+s—1))
(л = 1, 2, ...) р. р. мод 1 в R*.
6.11. Доказать, что последовательность ((я2 In n, n In n)) (п=\, 2, ...)
р. р. мод 1 в R2.
6.12. Пусть (ап) (л=1, 2, ...)—последовательность различных целых
чисел. Доказать, что для почти всех (oti, ..., a^gR5 (по мере Лебега)
последовательность Цапаъ >..,anas)) (л=1, 2, ...) p.p. мод 1 в R*.
6.13. Последовательность (хп) (п — \> 2, ...) о. р. мод 1 в R5 тогда и
только тогда, когда для любой целочисленной точки h^lst h Ф 0,
равномерно по £ = 0, 1, 2, ...
k + N
lim -rr V ехр(2ш'<Л, хп» = 0.
n=k + l
6.14. Рассмотрим вектор в из примера 6.1. Тогда последовательность (/г8)
(л = 1, 2, ...) о. р. мод 1 в R*.
6.15. Если z£C и |z|^l, то (zn) (/г = 1, 2, ...) не p.p. мод 1 в С.
6.16. Последовательность (nQ (/г = 1, 2, ...) р. р. мод 1 в С, если £ —
примитивный корень пятой степени из единицы.
6.17. Последовательность (п() (/г = 1, 2, ...) не p.p. мод 1 в С.
оо
6.18. Степенной ряд F (х)= ^{па)гп, где a — иррациональное число,
л=1
обладает следующим свойством: если Q = p-{-qa, где р, q£Z, q Ф 0, то,
lim (1 —г) F (re27liQ) = (2niq)-1.
/•-►1-0
§ 7. Функции распределения
Различные типы функций распределения. Пусть (*„) (я=1,
2, ...) — последовательность действительных чисел и A ([a, b)\ N)
имеет тот же смысл, что в § 1.
Определение 7.1. Говорят, что последовательность (хп)
имеет асимптотическую функцию распределения по модулю 1
(сокращенно: а. ф. р. (мод 1)) g(x)> если
lim Л ([0, х); N)/N = g(x), 0<*<1. (7.1)
Очевидно, функция g на [0, 1] не убывает и g(0) = 0, g(l)= 1.
Ниже будет доказано (гл. 2, теорема 4.3), что для каждой
функции gy удовлетворяющей этим условиям, существует
последовательность (хп) такая, что g будет для нее а. ф. р. (мод 1). Однако
произвольная последовательность (хп) не обязана иметь а. ф. р.
(мод 1). В любом случае можно рассмотреть верхний и нижний
пределы
lim Л([0, х); N)/N = q>(x), 0<*<1,
М-* оо
ПпГ А([0, х); N)/N = <&(x), 0<*<1.

64 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1 |
Функции ф (х) и Ф (х) не убывают и для них ф (0) = Ф (0) = 0,
ф(1) = ф(1)=1, и при этом 0<ф(х)<Ф^)<1, когда 0<*<1.
Функции ф и Ф можно назвать нижней и соответственно верхней
ф.р. (мод 1) последовательности (хп). Если ф = Ф, то
рассматриваемая последовательность имеет а.ф. р. (мод 1)-<р. Если ф(*) =
= ф(х) = х при 0^х-^1, то последовательность (хп) p.p. мод 1.
Определение 7.2. Пусть (хп)— последовательность
действительных чисел. Если существует возрастающая
последовательность натуральных чисел Nly N2y ... такая, что
lim Л([0, х)\ Ni)jNi = z(x), 0<х<1, (7.2)
t-+ 00
то г(х) называют функцией распределения по модулю 1
(сокращенно ф. р. (мод 1)) последовательности (хп). Если (7.2)
выполнено и z(x) = x, то последовательность (хп) называется почти
p.p. мод 1.
Теорема 7.1. Любая последовательность (хп)
действительных чисел имеет хотя бы одну ф.р. {мод 1).
Доказательство. Функции FN> определенные
соотношениями FN(x) = A([0, x)\ N)IN при 0<*<1, FN(x) = 0 при *<0:
и FN(x) = 1 при х> 1, являются теоретико-вероятностными
функциями распределения. Иными словами, они не убывают,
непрерывны слева в R и lim FN (x) = 0, lim FN (x) = 1. Согласно
Х^У — 00 X -> 00
принципу выбора Хелли (Лоэв [1, с. 179]) существует функция
распределения z(x)> определенная в R, и подпоследовательность
(Nj) натуральных чисел такая, что lim Fn . (х) = z (x) во всех точ-
/-►оо J
ках непрерывности х функции z. Выбирая нужную
подпоследовательность (Nj), можно также гарантировать существование
предела в счетном множестве точек разрыва функции z (ср.
упражнение 7.7). □
Критерии.
Теорема 7.2. Последовательность (хп) имеет непрерывную
а. ф.р. (мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда для любой
действительной непрерывной на [О, 1] функции f
1 N П
lim ttf({xn))=\f(x)dg(x). (7.3)
Доказательство. Необходимость (7.3) можно доказать
при помощи определения интеграла Римана—Стилтьеса. Схема
доказательства та же, что в первой части доказательства
теоремы 1.1. Другой метод основан на использовании функций FN
из доказательства теоремы 7.1 и замечании, что
N 1
i-ltf({x„})=^f(x)dFN(x);
П-\ О

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
65
остается применить лемму Хелли — Брэя (Лоэв [1, с. 180]).
Достаточность (7.3) доказывается так же, как во второй части
доказательства теоремы 1.1. □
Теорема 7.3. Последовательность (хп) имеет непрерывную
а.ф.р. (мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда для всех целых
1 N г
lim -дт V exp (2nihxn) = \ exp (2nihx) dg (x). (7.4)
п=\ 0
Доказательство. Необходимость (7.4) следует из теоремы
7.2. Для доказательства достаточности можно заметить, что (7.4)
справедливо также при Л = 0; дальнейшие рассуждения такие же,
как при доказательстве теоремы 2.1. □
Пусть gx и g2—две неубывающие функции на [0, 1], для
которых g1(0) = g2(0) = 0, g1(l) = g2(l)=l. Функции g, и g2
считаются эквивалентными, что будет записываться gx ~ g2> если
8i(x) = 8i(x) B0 всех точках х, в которых обе функции gl и g2
непрерывны. Из того, что множество таких точек х плотно в [0, 1],
вытекает, что g1 (х + 0) = g2 (х-\- 0) и g1 (х—0) = g2 (x—0) для всех
х6(0, 1). В частности, g1(x) = g2(x) в таких точках х, в которых
хотя бы одна из этих функций непрерывна. Отсюда следует, что
~ есть соотношение эквивалентности. Класс эквивалентных
функций, содержащий g, будем обозначать через g\ Если gt и g2
принадлежат g, а / непрерывна на [0, 1], то
1 1
U(x)dgl(x)=lf(x)dg,(x),
о о
и общее значение этих интегралов можно обозначить через
f(x)dg(x). Справедлив следующий результат.
1
\
Теорема 7Л. .Последовательность (хп) имеет ф.р. (мод 1),
принадлежащую классу эквивалентности g, тогда и только тогда,
когда существует подпоследовательность (Ы() натурального ряда
такая, что для любой действительной функции /, непрерывной
на [0, 1],
/V; 1
liin i:^f({xn}) = ^(x)di(x). (7.5)
Доказательство. Необходимость (7.5) доказывается так
же, как в теореме 7.2, с использованием функций FN. и леммы
Хелли—Брэя. Чтобы доказать достаточность (7.5), заметим, что
из (7.5) обычными рассуждениями (см. вторую часть доказатель-
3 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

06 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
ства теоремы 1.1) выводится равенство
lim Л ([0,4; #,)/#, = £(*)
i -+ ос
во всех точках х, в которых g(x) непрерывна. Выбирая
надлежащую подпоследовательность последовательности (N(), можно
обеспечить существование предела в точках счетного множества, в
которых g разрывна. Очевидно, получающаяся ф. р. (мод 1)
последовательности (хп) эквивалентна g. П
Разные результаты.
Теорема 7.5. (Теорема Винера—Шенберга.)
Последовательность (хп) имеет непрерывную а.ф.р. [мод 1) тогда и только
тогда, когда для каждого положительного целого h существует
предел
N \
сол = lim -дт- ^ exp (2nihxn) (7.6)
и, кроме того,
и
lim ^ЕКР = 0. (7.7)
Н -+ оо
h=\
Доказательство. Существование пределов (7.6), очевидно,
необходимо. Докажем теперь, что если для последовательности
(хл) и любого положительного h
1 \ С
со/г = liin -дт- V exp (2mhxn) = \ exp (2mhx) dg(x)t
n=l 0
то g(x) непрерывна в том и только в том случае, когда
справедливо (7.7). В самом деле,
Iя Iя-
bm ^£|coJ«= lim ^^солсол = -
//~*0D л=1 я^°° л=1
н J \
= ][т ^^\\z*V&mh{x—y))dg{x)dg{y) =
= \\( lim -jj- V ехр(2ш"А(х—у)) }dg(x)dg(y) =
]S dg(x)dg{y),
{(л, y)tr~: x-yez]
а последний интеграл равен нулю тогда и только тогда, когда g
непрерывна. В частности, если (хп) имеет непрерывную, а. ф. р.
(мод 1), то (7.7) выполняется. С помощью обычного метода

§7. ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
61
аппроксимации получаем, что предел
N
М/)= Пп -^ £/({*„})
Л=1
существует для любой функции /, непрерывной на [0, 1], для
которой /(0) = /(1). Если в пространстве таких функций
определить норму по верхней грани, то L окажется ограниченным
линейным функционалом, причем L (/) ^ 0, если / ^ 0. По теореме
Рисса существует неубывающая на [0, 1] функция g такая, что
1
W=\f(*)dg(x).
без ограничения общности можем считать, что g(0) = 0. Тогда,
выбрав /(я)=1, получим, что g(l)=l. Как мы уже доказали,
g(x) непрерывна, так что все оставшееся следует из теоремы
7.3. □
Теорема 7.6. Предположим, что последовательность (хп),
где xn(^Zt имеет непрерывную а.ф.р. (мод 1) g(x). Тогда
последовательность (1/{хп}) имеет а.ф.р. (мод 1), которая выражается
формулой
«•w-i(«(-Jr)-«(.-b)). <>«*«'■
Доказательство. Пусть (ип) — последовательность
действительных чисел. Для N ^ 1 и £ g R обозначим через N* (£)
количество ип с l^n^N таких, что ип < £. Если для любого %
существует предел lim (N*(Q/N) = f(Q и вдобавок lim f(x)=l,
N -+ оо X -+ со
lim f(x) = Ot то / называется асимптотической ф.р.*) последо-
вательности (ип). По теореме Хелли — Брэя (Лоэв, [1, с. 182])
для h g Z
lim 4r У ехр(2ш7ши) = lim ( exp (2nih%) d (^№) =
П=\ —со
CO
= S exp(2m7t£)d/(£). (7.8)
*) Без добавления (мод 1).—Примеч. перев.

68 I"VI. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕД ЕЛЕИИЕ ПО МОДУЛЮ 1 I
С другой стороны,
J exp(2m'ft£)d/(£)= 2 J exp(2m'ft£)d/(£) =
-00 Л=-00 „
оо ! оо 1
= 2 j exP (2m'Ax)d/(Ai+x) = 2 \exp(2m7?jt)d(/(/z-f x) — f(n)) =
Л = - GO q /Zr=-Q0()
= $exp(2m"A*)d( 2 (/(" + *)-/(")) j, (7.9)
0 \Л=-0О /
где законность перестановки порядка суммирования и
интегрирования может быть доказана интегрированием по частям с исполь-
зованием того факта, что ряд 2 (f(n + x)—f(n)) сходится
Л=-00
равномерно при 0^лс^1, ибо он мажорируется сходящимся ря-
00
дом 2 (f(n + l) — f (">)) = 1. Комбинируя (7.8) и (7.9) с теоре-
Л = -СО
мой 7.3, мы получаем, что если (ип) имеет непрерывную
асимптотическую ф. р. /(£), то (ип) имеет также непрерывную а.ф. р.
(мод 1), которая дается при 0^л:^1 выражением
00
2 (f(n + x)-f(n)).
П= — 00
Рассмотрим теперь заданную последовательность (хп).
Элементарными рассуждениями можно показать, что (1/{#,J) имеет
непрерывную асимптотическую ф. р. f{i)=\—g(l/l) при £> 1 и
/(£) = 0 при £^1 (использовать упражнение 7.5). Из того, что
мы уже доказали, следует, что (1/{*„}) имеет также а.ф. р.
(мод 1), равную
00 «
**<*)= Z (f(n + x)-f(n))= Z Ыт)-в{кЪ))'
Л=-оо /; = — со ч » » ! ' '
0<*< 1. П
Элементарный метод. Весьма интересные результаты могут
быть получены с помощью элементарных методов. Ниже доказано
одно свойство последовательности (Inn) (п=1, 2, ...).
Пусть х принадлежит [0, 1]. Тогда, так же, как в примере
2.5, можно доказать,.что
N-1
Л ([0, х)\ л) = 2 (ek+x—ek) + eN+*<n—e" + 0(N)t
где N = [lnn], a 'kn = min(xt {Inn}). Из примера 2.5 следует, что
({Inn}) (n=l, 2, ...) плотна в 7. Выберем подпоследователь-

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 69
ность (п() (*' = 1, 2 ...) натурального ряда так, чтобы {Innt] -► £,
когда i—* оо, где £—фиксированное число, O^g^l. Тогда,
если п пробегает эту подпоследовательность, то
Л ([О, *); п) ^ А ([О, *); п) е*-1 g_£ , , я j g
я exp(/V + {lnn}) б-1 ' ;
где X = min(A;, £). Обозначим полученную ф. р. (мод 1) через
г(х, I) и заметим, чтог(*, 0) = z(x, 1) = (е*—\)/(е—1). Согласно
теореме 7.4 для любой непрерывной на [0, 1] функции /
i£/({ln*})^j/(*)dz(*, g), (7.10)
когда я пробегает последовательность, удовлетворяющую
условию {Inn}—►£. Дифференцируя функцию z(*, |) по л:, получим
альтернированную форму соотношения (7.10):
1 п г
ii;/({inM)->j/w/((^ у л, (7.И)
k= 1 0
где
tx_ f^^+1/(^-l), 0<х<£,
Л(х, 6)-|eX_6/(e_1)f g<x^i.
При фиксированной функции / рассмотрим правую часть (7.11)
и обозначим ее через h(%). Тогда h (g) непрерывна при 0^ I <! 1,
h(0) = h(l), однако в общем случае h(£) не константа. Отсюда
видно, что предельные точки множества значений
1£/({1п*}), я=1, 2,
*=1
могут заполнять интервал.
Вышеизложенный элементарный метод может быть
использован и в случае не обязательно дифференцируемых функций.
Приведем без доказательства следующий результат.
Теорема 7.7. Пусть f (t), t^l,— непрерывная
возрастающая функция и lim/(/) = oo. Пусть F (и) —обратная функция
по отношению к u = f(t). Предположим, что &F (п) = F (п+1) —
— F (п)—>оо, когда п пробегает натуральный ряд. Более того,
предположим, что при каждом х (0^л;^1) существует предел
lim F(n+x)—F(n) ь/<л
Тогда, обозначив через %(х) нижний предел
lim (F(n)/F(n + x)) = %(x), 0<*<1?

70 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
можно утверждать, что ф (л:) = г|) (х) и ф(д:) = 1 — %(х)(1—^>(х))
представляют собой, соответственно, нижнюю и верхнюю ф. р.
(мод 1) для последовательности (f(n)) (п=1, 2, ...).
Применение теоремы 7.7 к функции logb t (b > 1) позволяет сразу
записать функции ц>(х) = (Ь*— \)/(Ь—1) и Ф(л:) = (1—&"*)/( 1— Ь'1),
которые являются, соответственно, нижней и верхней ф. р. (мод 1)
для последовательности (\ogbn) (п=\, 2, ...).
Метрические теоремы.
Теорема 7.8. Пусть (хп) — последовательность
действительных чисел, а А —множество всех действительных чисел а таких,
что (ахп) (/г='1, 2, ...) сходится по модулю 1 к нулю (иными
словами, 0 и 1 суть единственные предельные точки ({ахп})). Если
(хп) не сходится к нулю при х—►оо, то множество А имеет
лебегову меру 0.
Доказательство. Если lim хп = 0, то (ахп) сходится по мо-
П -*- GO
дулю 1 к нулю для любого a£R. Поэтому этот случай
исключается. Допустим, что последовательность (хп) имеет конечную
предельную точку сфО. Тогда найдется подпоследовательность
(Хп)> сходящаяся к с при i —.> оо. Если а£ А, то (ахп) (i = 1, 2,...)
сходится по модулю 1 к нулю, и в то же время lim axni = ac,
i -* оо
так что ac£Z. Значит, А ^ {0, ± l/c, ± 2/с, ...}, так что мера
X(А) — 0. Остается рассмотреть случай lim |хп\ = оо. Заметим, что
П -*- оо
lim exp (2niaxn) = 1, если а£А. (7.12)
Пусть Л2 = Лп[ — г, z]> где г > 0. Тогда из (7.12) следует, что
возможен переход к пределу под знаком интеграла Лебега:
lim J exp(2niaxn)da = X(Az). (7.13)
n-юо Az
С другой стороны, из того, что lim \хп \ =- оо, по лемме Римана —
П -*- оо
Лебега получаем, что предел в (7.13) слева равен нулю, так что
X(Az) = 0. Наконец, отсюда выводим, что Х(А) = 0. □
Теорема 7.9. Пусть (хп) — последовательность
действительных чисел, для которых lim |a:„ | = оо. Пусть В—множество по-
ложительных чисел Ь таких, что последовательность (Ьхп)
(п=\, 2, ...) имеет а.ф.р. (мод 1). Если Х(В)>0, то для
почти всех Ь£В последовательность (bxn) p.p. мод 1.
Доказательство. Пусть Ь£В и gb(x)—а.ф.р. (мод 1)
для последовательности (Ьхп) (0^д:<1). Согласно утверждению
о необходимости в теореме 7.3, которое справедливо также для
разрывных g.(x) (см. доказательство теоремы 7.2), можем записать,

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
71
что для й € Z
1 П П
сол (Ь) = lim — V exp (2nihbxk) = \ exp (2nihx) dgb (x).
Пусть В2 = В П [0, г], где г > 0.тИз условия lim 1 хп | = оо и леммы
Л -> со
Римана—Лебега для кфО получаем, что
lim ] exp(2mhbxn)db = 0.
Отсюда по теореме Коши
1 П П
lim — V \ exp (2nihbxk) db = О,
и, используя переход к пределу под знаком интеграла Лебега,
мы видим, что
5©л(&)£» = 0.
Так как это верно для любого z > 0, то со/2(6) = 0 для всех fe g В,
за исключением некоторого множества S/z, мера которого X (SA) =
= 0. Но %( и 5/Л=0, так что для почти всех fegfi [имеем
о)л(Ь) = 0 при любом h Ф0. А это свойство обеспечивает Гр. р.
мод 1 последовательности (Ьхп). □
Методы суммирования. В общем, метод суммирования S —
это некоторое понятие сходимости последовательности
комплексных чисел. Мы говорим, что последовательность (гп)
суммируема методом S к значению г, если (гп) «сходится» к г в
смысле, определенном методом S. Наиболее распространенные методы
суммирования вводятся с помощью бесконечной действительной
матрицы A = (ank) (n=lt 2, ..., k=l, 2, ...). Такие методы
суммирования называются матричными методами, и, хотя это и
не очень удачно, обычно говорят о матричном методе А.
Предполагается, что заданная последовательность (zn) комплексных
чисел с помощью матрицы А преобразуется в последователь-
00
ность (z'n) так называемых А-преобразований> где г'п = У\апкгк.
Говорят, что (zn) суммируема методом А к значению г, если
\\mz'n = z. Здесь нас будет интересовать только частный класс
матричных методов, а именно, методы, определенные
положительными матрицами Теплица (более общий класс см. в § 4, гл. 3).
Матрица А = (апк) (п=\, 27 ..., &=1, 2, ...) называется поло-

72
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
жительной матрицей Теплица, если апк^0 при всех п и k
00
lim 2 ank = 1 •
л-*» fc = 1
Определение 7.3. Пусть А=(апк)—положительная
матрица Теплица, а (хп) (п=\, 2, ...) последовательность
действительных чисел. Для каждого O^^^l обозначим через сх
характеристическую функцию интервала [0, х). Функция g(x)
(0<д:^1) называется А -асимптотической функцией
распределения по модулю 1 (сокращенно: Л-а.ф.р. (мод. 1))
последовательности (хп), если последовательность (сх(\хп\)) (п=1, 2, ...)
суммируется методом А к значению g(x) при всех 0<!#<!1;
иначе говоря, если при 0^д:^1
lim j$ankcx({Xk\) = g(x).
«-►» k= i
Функция g(x) не убывает на [0, 1], причем g*(0) = 0, g(l)=
= 1. В случае, когда g(x) = x при 0<л;<1,
последовательность (хп) называется А-р.р. мод 1. Если в качестве А выбрать
матричный метод средних арифметических, для которого ank = l/n
при l^k^in и ank — Q при k > п, то мы видим, что определение
7.1 есть частный случай определения 7.3. Теоремы 7.2 и 7.3
допускают следующие обобщения.
Теорема 7.10. Пусть А = (ank)—положительная матрица
Теплица. Последовательность (хп) имеет непрерывную А-а.ф.р.
(мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда для любой
действительной непрерывной на [0, 1] функции f
СО 1
lim 2 ankf ({**}) = \f (x) dS (*)•
л-»-да k=l •'
Доказательство. Повторяются рассуждения,
использованные при доказательстве теоремы 1.1, но средние
арифметические заменяются Л-преобразованиями, а интегралы Римана —
интегралами Римана — Стилтьеса по функции g(x). □
Теорема 7.11. Пусть А = (ank) — положительная матрица
Теплица. Последовательность (хп) имеет непрерывную А-а.ф.р.
(мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда для всех целых НфЪ
OD 1
lim 2 ank ехР (2ш'Ахл) = [ exp (2nihx) dg(x). (7.14)
Доказательство. См. доказательство теоремы 7.3. Ср.
с доказательством теоремы 4.1 гл. 3. □
Если g(x) = x, то (7.14) превращается в
00
lim 2 ankexp(2nihXb) = 0r (7.15)

$7. ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
73
Так как теория методов суммирования не является основным
направлением наших исследований, то мы будем чаще ссылаться
на литературу. Нам понадобятся следующие понятия и результаты.
Определение 7.4. Метод суммирования S, сильнее метода
суммирования S2, если каждая последовательность, суммируемая
методом S2, например, к значению г, суммируется также методом Sx
к тому же значению г. Если S1 сильнее S2 и S2 сильнее Su то
Sx и S2 называются эквивалентными.
Определение 7.5. Метод суммирования S называется
регулярным у если любая сходящаяся последовательность, предел
которой есть г, суммируется методом S к тому же значению г.
Теорема 7.12. (Теорема Сильвермена — Теплица.)
Произвольный матричный метод А = (ank) регулярен тогда и только
тогда, когда выполнены следующие три условия:
п k=\
II. lim 2 On*=l.
III. lim ank = 0, k=l, 2, ...
В частности, метод, определенный положительной матрицей
Теплица, регулярен тогда и только тогда, когда выполнено
условие III.
Пример 7.1. Пусть г^О — действительное число.
Определим матрицу средних Чезаро (С, г) формулами ank = А%1£1А%1г
для l^k^n и ank = 0 для k > n, где
Л</» = 1, ^ = (/+O(/+2)...(/+0t i>x
Заметим сразу, что (С, 1) — это матричный метод средних ариф*
метических. Можно доказать, что (С, г) представляет собой
положительную регулярную матрицу Теплица (Кук [1, с. 68—69]) и
что метод Чезаро (С, г) при г^ 1 сильнее метода (С, 1) (Целлер
и Бекман [1, с. 104], Пейеримгоф [1, с. 15]). Для целых г методы
Чезаро (С, г) эквивалентны так называемым методам Гельдера
(Я, г), которые могут быть определены рекуррентно. Матрица
Гельдера (Я, 1) по определению совпадает с (С, 1); если (Я, г)
уже определено и (г%}) (п= 1, 2, .. ^ — последовательность (Я, г)-
преобразований заданной последовательности (z„), то
последовательность (Я, г + ^-преобразований по определению равна
последовательности (С, ^-преобразований (г^г)). Таким образом, методы
Гельдера—это итерированные (С, 1) методы. Доказательство
эквивалентности (С, г) и (Я, г) см. у Харди [2, с. 103]. □
Из определений ясно, что понятия а.ф.р. (мод 1) и (С, 1)-
а.ф.р. (мод 1) совпадают. Для (С, г) с г > 1 имеет место
следующий менее тривиальный результат.

74 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Теорема 7.13. Пусть г > 1. Последовательность (хп) имеет
(С, г)-а.ф.р. (мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда она имеет
а.ф.р. (мод 1) g(x).
Доказательство. Достаточность очевидна, ибо метод (С, г)
сильнее метода (С, 1) (см. пример 7.1). Для доказательства
необходимости можно использовать известную теорему тауберова типа
(Харди [2, теорема 92], Пейеримгоф [1, теорема III.2]): если (zn)
ограничена и суммируема методом (С, г) к значению г, то (zn)
суммируема также методом (С, 1) к z. Так как по
предположению ограниченная последовательность (сх({хп})) (п=\> 2, ...)
суммируется методом (С, г) к значению g(x) при 0^Сл;^1, то
использование этой теоремы приводит к нужному
заключению. □
Пример 7.2. Пусть s > 0 — действительное число. Матрица
метода суммирования Эйлера (£, s) определяется формулами ank=
V 1 ) sn"*(s+l)~n Для 1<&<л и ank = 0 для k > п. Легко
видеть, что (£, s)—это положительная регулярная матрица
Теплица. Метод (Е, s) сильнее, чем (£, s'), если s > s' (Харди [2,
теорема 118]). Однако метод (£, s) не сильнее ни одного из
методов Чезаро (С, г) с г > О (Харди [2, с. 213]). □
Теорема 7.14. Если последовательность (хп) имеет (£, s)-
а.ф.р. (мод 1) g(x), то она имеет также а.ф.р. (мод 1) g(x).
Доказательство. Мы воспользуемся следующей теоремой
тауберова типа (Харди [2, теоремы 128 и 147]): Если (zn)
суммируется методом (£, s) к значению z и при этом zn+1—zn =
= о(пр) для какого-то р^—1/2, то (zn) суммируется методом
(С, 2р+1) к тому же значению г. Согласно предположению,
последовательность (сх({хп\)) (п=1, 2, ...) суммируется
методом (£, s) к g(x) при O^x^l; она же удовлетворяет
дополнительному условию теоремы при р = 1. Следовательно,
последовательность эта суммируется методом (С, 3) к g(x)t а
последовательность (хп) имеет (С, 3)-а.ф.р. (мод 1) g(x). Остается
применить теорему 7.13. □
Пример 7.3. Пусть (рп) (n=lt 2, ...)—заданная
последовательность неотрицательных действительных чисел, причем
/?а > 0. Пусть Pn = Pi+ - • • +Рп ПРИ п^ 1 • Матрица простых
средних Рисса (или взвешенных арифметических средних) (R, рп)
определяется формулами ank = pk/Pn для 1<£<п и ank = 0 для
k > п. Очевидно, (R, рп) — положительная матрица Теплица, и
она является регулярной тогда и только тогда, когда ИтРп=оо.
п->-оо
Метод Чезаро (С, 1) совпадает с простым методом Рисса (/?, 1). □
В следующей лемме приведены достаточные условия для того,
чтобы один простой метод Рисса был сильнее другого простого
метода Рисса.

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 75
Лемма 7.1. Если /?„ > О, qn^0 при n^lt UmPn=limQn=
П-+ 00 П->- ОО
= оо и либо при п ^ 1
Яп+11Яп<Рп+г1Рп> (7.16)
либо при п ^ 1 и при некотором Н
qn+1/qn>pn+1/pn, Pjpn<HQn/qn, (7.17)
то метод (Rt qn) сильнее метода (R, рп).
Доказательство. Мы докажем, что (Rt
^-преобразование любой последовательности (z„) выражается через ее (/?, рп)-
преобразования и что соответствующая «матрица перехода»
регулярна. Пусть »Я=(Л*1+ • • • +PnZn)/Pn и а;п = (<7А+... +qnzn)/Qn.
Так как /Vi = ^A и pnzn = Pnvn — Pn_xvn_l для п>2, то
00
£= 1
где с„* = (qk/pk — qk+1/pk+i) (Pk/Qn)> \^k<^ntcnn = (qjpn) (PjQn),
cnk = ®> k>n. Остается доказать, что матрица (cnk)
удовлетворяет трем условиям теоремы 7.12. Условие III следует
сразу из того, что \imQn = oo. Если выбрать zn=\ при всех я,
00
то vn = wn= 1 при всех /г, а также 2 cnk= 1 Для всех п> откуда
k=\
следует II. Если выполнено (7.16), то cnk^0 и условие I
справедливо. Если же выполнено (7.17), то cnk^0 при l^k^.n\
тогда для всех п
00 П- 1 00
и условие I снова справедливо. П
Теорема 7.15. Пусть а> — 1. Последовательность (хп)
имеет (Rt п°)-а.ф.р. (мод 1) g(x) тогда и только тогда, когда
она имеет а.ф.р. (мод 1) g(x).
Доказательство. Достаточно доказать, что методы
суммирования (R, па) и (/?, 1) эквивалентны. Пусть пока сг^О;
тогда 1 ^(п + 1)ст/пст, так что согласно (7.16) метод (/?, 1)
сильнее, чем метод (R, п°). Далее, при п^ 1
Рп ^ ">° fyi
если выбрать надлежащее Я, и из (7.17) следует, что (/?, па)
сильнее, чем (R, 1). В случае —1<а<0 доказательство
аналогично. □

76 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Теорема 7.16. Пусть f(х) возрастает при х^ 1, имеет
непрерывную вторую производную, lim f(x) = oo и f (x) монотонно
стремится к 0 при х—юо. Тогда последовательность (f(n))
(д=1, 2, ...) (Я, f'(n))-p.p. мод 1.
Доказательство. Пусть h — целое, отличное от нуля.
Используя формулу суммирования Эйлера (см. пример 2.4),
получим
2 Г (k) exp (2nihf (k)) = $ /' (х) exp (2яй/ (*)) d* +
k=i i
+i- (/' (1) exp (2nihf (1)) + /' (n) exp (2ш'А/ (n))) +
+1 ( W -1) (/' (*) exp (2m7i/ (*)))'dx=
l
f (n) / n \ / n \
= 5 exp(2nihx)dx + 0(l) + 0( ^\f"(x)\dx) + On (f (x)ydxj =
= 0(l) + 0(l) + 0(l) + o(f(n)) = o(f(n)).
С другой стороны, с помощью той же формулы суммирования
можно получить, что f(n) = 0[ 2 Г (*). !* Так что ПРИ любом
\ft= 1
целом h Ф О
S/'(*)exp(2w/if(A)) = 0( 2Г(А)\
Согласно (7.15) это свойство характеризует (Rt f (п))-р. р. мод 1
последовательности (f(n)). □
Следствие 7.1'. £Ъш /(*) удовлетворяет условиям теоремы
7.16, то последовательность (f(n)) (n=l, 2, ...) либо не имеет
а. ф. р. (мод 1), либо р. р. мод 1.
Доказательство. Допустим, что (f(n)) имеет а. ф. р.
(мод 1) g(x). Так как f (п+1)//' (га)< 1 при всех п>1, то
согласно (7.16) метод (/?, /' (я)) сильнее, чем (С, 1).
Следовательно, g(x) является также (/?, /'(я))-а. ф. р. (мод 1) для
последовательности (f(n)). С другой стороны, по теореме 7.16,
последовательность (f(n)) является (Rt f (п))-р. р. мод 1, так что
g{x) = x и (/(/i)) р. р. мод 1. □
Пример 7.4. Важный пример метода суммирования, не
являющегося матричным методом, представляет метод Абеля.
Пусть (zn) — такая последовательность, что радиус сходимости
со
степенного, ряда <х(л;) = (1—х) 2 гпхП Н€ меньше 1. Говорят, что
п= 1
последовательность (zn) суммируется методом Абеля к значению z,

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
77
если lim a(x) = z. Из теоремы Фробениуса, приведенной в ходе
доказательства теоремы 2.4, следует, что метод Абеля сильнее
метода (С, 1) и поэтому является регулярным методом. В
действительности метод Абеля сильнее всех методов Чезаро (С, г) при
г>0 (Харди [2, теорема 55]). Если в теореме 7.13 заменить
метод (С, г) методом Абеля, то теорема останется справедливой,
ибо теорема тауберова типа, использованная в ходе ее
доказательства, справедлива также для метода Абеля (Харди [2-,
теорема 92]).
Замечания. Изучение асимптотических функций распределения по модулю 1
начал Шенберг [1], который доказал теоремы 7.2 и 7.3. Другие доказательства
и обобщения этих результатов содержатся в статьях Кейперса [10], Кейперса
и Стама [1], Брауна и Дункана [1, 3]. Определение 7.2 и теорема 7.1—из
работы ван дер Корпута [7]. В этой работе имеется много других результатов
о функциях распределения мод 1, таких, как характеристика множества
функций распределения мод 1 последовательности, состоящей из различных
элементов /, и результат, содержащийся в упражнении 7.10. Некоторые другие
результаты приведены в § 4 гл. 2. Термин «почти р. р. мод 1» был введен
Пятецким-Шапиро [2]. См. также Амман [1] и Шовино [6]. Нижние и верхние
функции распределения мод 1 ввел Коксма [2;„4, гл. 8], где можно найти
также теорему 7.7. Другие результаты и понятия см. у Шовино [6]. Теорема 7.5
принадлежит Шенбергу [1] и в несколько другой форме Винеру [1]. Усиление
этого результата см. у Кьоу и Петерсена [1]. Теорема 7.6 также из работы
Шенберга [1]. Кейперс [5] доказал эту теорему, используя методы Хэви-
ленда [1], а также доказал некоторые другие результаты, связанные с этими
вопросами. Количественные оценки и многомерное обобщение см. у Хлавки
[10, 16]. Результаты относительно (In л) и связанных с этой функцией
последовательностей можно найти у Пойа и Сеге [1, разд. II, задачи 179—182].
См. также Торп и Уитли [1] и Замечания к § 2. Теоремы 7.8 и 7.9 из статьи
Шенберга [2]. Метрические результаты других типов см. у Циглера и Фольк-
мана [1].
Построение последовательностей с заданными а. ф. р. (мод 1) см. у Ми-
зеса [1] и в § 4 гл. 2. Различные другие результаты см. у Шовино [1,2, 6],
Лаказа [1], НидерреИтера [3], Сковилла [1]. Обобщение этой теории на
абстрактные множества см. у Хлавки [3] и в гл. 3. Что касается исследований
последовательностей частного вида, то классическим примером было изучение
(ф(я)/я) (я = 1» 2, ...), где ф (п)—функция Эйлера. Шенберг [1] доказал,
что эта последовательность имеет непрерывную а. ф. р. (мод 1) (см. также
М. Кац [4, гл. 4]), а Эрдёш [1] доказал, что эта а. ф. р. (мод 1) сингулярна.
Количественное уточнение принадлежит Файнлейбу [2], который улучшил
количественные результаты Тяна [1], Файнлейба [1] и Ильясова [1]. Близкую
задачу изучал Дайемонд [1]. Другие последовательности, связанные с теорией
чисел, см. Рос [1], Эллиот [3], ван де Луне [1]. Зейм [1] получил
характеристику а. ф. р. (мод 1) для некоторых лакунарных и экспоненциально
возрастающих последовательностей, а Пятецкий-Шапиро [1] — для
последовательностей (апх) (п — \, 2, ...), где а> 1 —целое (об этом см. также замечания
к § 8). Много статей посвящено изучению распределения значений аддитивных
теоретико-числовых функций. Характеристика таких функций, обладающих
асимптотическими ф. р., дана в знаменитой теореме Эрдёша и Вйнтнера [1].
Обзор дальнейших исследований в этом аспекте имеется у М. Каца [3], Куби-
люса [1], Галамбоша [1]. Различные условия, достаточные для р. р. мод 1
значений таких функций, имеются в работах: Корради и Катай [1], Деланж
[3, 5, 6, И], Эрдёш [3], Кубилюс [1, гл. 4], Левин и Файнлейб [1—3].
Аддитивные функции, имеющие а. ф. р. (мод I), описаны Эллиотом [1], а р. р. мод 1
описаны Деланжем [9, 10].

78 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Подробное изложение общей теории методов суммирования имеется в
книгах: Харди [2], Кук [1], Кнопп [1], Г. Петерсен [2], Целлер и Бекман [1]
(с обширной библиографией), Пейеримго|) [1]. Доказательство теоремы 7.12
имеется у Харди [2, разделы 3.2—3.3]. Некоторые изолированные результаты
о р. р. мод 1 в связи с методами суммирования были у Вейля [4] и Пойа и
Сеге [1, разд. II, задача 173]. Систематическое изучение начал Цудзи [2],
рассмотревший взвешенные средние (/?, рп). Некоторые из его результатов
были улучшены Кано [1] и Кемперманом [4]. Дальнейшие результаты о
взвешенных средних изложены у Циглера [1, 10], Герла [2], Шнабля [1]. Наше
изложение асимптотического распределения мод 1 для положительных матриц
Теплица следует Циглеру [1, 10]. Более общий подход имеется в § 4 гл. 3.
Блюм и Мизель [1] обобщили критерий Вейля на методы суммирования
двусторонних последовательностей. Шовино [6] рассмотрел (Я, 2)-р. р. мод 1,
назвав его «равнораспределением в среднем (мод 1)», но, по-видимому, не
заметил, что это равносильно p.p. мод 1 в силу теоремы 7.13 и примера 7.1.
Интересная нерешенная задача: описать матричные методы А, для которых
все последовательности (п0) с иррациональными 0 будут Л-р. р. мод 1 (частич
ные результаты см. у Циглера [10] и Довидара [1]). Кемперман [4] изучил
Л-а. ф. р. (мод 1) для медленно растущих последовательностей.
Упражнения.
7.1. Последовательность (хп) имеет непрерывную а. ф. р. (мод 1) g (x) тогда
и только тогда, когда (7.3) выполняется для любой интегрируемой по Риману
функции / на [0, 1].
7.2. Объяснить, почему теорема 7.2 неверна для разрывных g(x).
7.3. Если (хп) имеет непрерывную а. ф. р. (мод 1) и т—целое число,
отличное от нуля, то и (тхп) имеет непрерывную а. ф. р. (мод 1).
7.4. Определим последовательность (хт) следующим образом. Для каждого
п^\ пусть k (n) будет единственным целым числом, удовлетворяющим
неравенству 2к{п) < п<2к <n> + 1, так что k(n)^—1. Положим хп=\/п, если
k (п) четное, и хуп = 0, если k (n) нечетное. Доказать, что (хп) имеет а. ф. р.
(мод 1), а (—хп) таковой не имеет.
7.5. Если (хп) имеет непрерывную а. ф. р. (мод 1) g(x), то lim Л([0, *]; N)/N=
= g (X) При Os^A'^1.
7.6. Построить пример, показывающий, что если (хп) имеет разрывную
а. ф. р. (мод 1), то lim А ([0, х]\ N)/N может не существовать.
N -*• со
7.7. Пусть Fly F2, ... последовательность равномерно ограниченных
функций на [0, 1]. Доказать, что можно выбрать подпоследовательность F„lt Fn2, .. .
такую, что lim Fn (х) существует для любого х из заданного счетного мно-
k-> оо к
жества Сс[0, 1]. Указание. Пусть C = {xlt х2, ...}; тогда (Fn (x{))
содержит сходящуюся подпоследовательность (^щ (*i))'» далее, (FnX(x2)) содержит
сходящуюся подпоследовательность и т. д.; доказать, что некоторая
«диагональная» последовательность обладает требуемым свойством.
7.8. Если Nlt N2, ...—возрастающая последовательность положительных
целых чисел и lim Л ([0, /0); Nk)/Nk = a при некотором to£[0, 1], то (хп)
k -> оо
имеет ф. р. (мод 1) z(x), для которой z(t0) = a. Указание. Использовать
метод теоремы 7.1.
7.9. Последовательность (хп) имеет а. ф. р. (мод 1) g (x) тогда и только
тогда, когда g(x)—единственная ф. р. (мод ^последовательности (хп).
Указание. При доказательстве достаточности использовать упражнение 7.8.
7.10. Если z1(x)1 z2(x), ... ф. р. (мод 1) одной и той же
последовательности (хп), причем lim zn(x) = z(x) при O^jc^I, то z (x) представляет собой
П -► 00
также ф. р. (мод 1) последовательности (хп).
7.11. Построим последовательность (хп) следующим образом. Первый
отрезок последовательности имеет длину 1! и содержит элемент 1/2; второй отрезок

§7. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
79
имеет длину 2! и состоит из чередующихся элементов 1/4 и 3/4; третий отрезок
имеет длину 3! и снова состоит из элементов 1/2 и т. д. Первые члены этой
последовательности: 1/2, 1/4, 3/4, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/4,3/4, ...
Доказать, что нижняя ф. р. (мод 1) и верхняя ф. р. (мод 1)
последовательности (хп) не являются ф. р. (мод 1) последовательности (хп).
7.12. Доказать, что функции z(x, £), фигурирующие в (7.10), представляют
собой все ф. р. (мод 1) последовательности (In n).
7.13. При фиксированном a£R последовательность (а\пп) не является
почти р.р. мод 1.
7.14. Построить последовательность, которая почти p.p. мод 1, но не
p.p. мод 1.
7.15. Доказать, что (sin п) (я = 1, 2, ...) имеет а. ф. р. (мод 1), и
определить ее.
7.16. Пусть f (t) при t^z 1 имеет положительную производную, f (t) —>- оо,
а //' (/) —>0 при t —* оо. Тогда последовательность (/ (п)) (п= 1, 2, ...) имеет
нижнюю ф. р. (мод 1): ф(*) = 0 для О^х < 1 и ф (1) = 1 и верхнюю ф. р.
мод 1: ф(0) = 0, Ф(*)=1 для 0 < *< 1.
7.17. Доказать, что (7.7) равносильно
н
1 V
lim -jj 2J°>/* 1 = 0-
Указание: Воспользоваться неравенством Коши — Буняковского— Шварца.
7.18. Пусть (^ — последовательность в /, имеющая а. ф. р. (мод 1) g (*),
а г|)(/) — непрерывная возрастающая функция на [0, 1] с г(? (0) = 0, я|>(1)=1.
Тогда последовательность 0J?(*„)) имеет а. ф. р. (мод 1) g(r)(x)), где т] (х) —
обратная функция по отношению к x = ty(t).
7.19. Если g (х)—непрерывная а. ф. р. (мод 1) последовательности (*л)€^>
то последовательность (g(xn)) p.p. мод 1. Справедливо ли это утверждение
для разрывных g(x)?
7.20. Если последовательность (*„), где хп£(0, 1), p.p. мод 1, то (\/хп)
не р. р. мод 1.
7.21. Если последовательность (хп) имеет непрерывную асимптотическую
ф. p. /(g), то последовательность (|*л|) имеет асимптотическую ф. p. g(£),
которая определяется формулами g(|) = 0 для £ < 0, g (£) = / (|) — / (— I) для
7.22. Подробно доказать теоремы 7.10 и 7.11.
7.23. Пусть (хп)—последовательность, для которой Л ([0, х)\ N) = Nx-{-
-\-otyN) при 0^*а^ 1. Тогда (хп) будет (£, s)-p. р. мод 1 при любом s > 0.
Указание. Использовать теорему 149 из книги Харди [2].
7.24. Доказать, что метод (/?, l/nln(n+l)) сильнее, чем (/?, 1/п).
7.25. Доказать, что метод (/?, \/п) сильнее, чем (С, 1), но не
наоборот.
7.26. Пусть g (х) при х > 0 положительная, возрастающая, дважды
непрерывно дифференцируемая функция, lim g(x) = oo, g' (x) не возрастает. Пусть
f (х) при х > 0—возрастающая непрерывно дифференцируемая функция и
lim /' (*) = 0. Последовательность (/ (g (n))) (п= 1, 2, ...) имеет непрерывную
X -+ 00
(R, g' (л))-а. ф. р. (мод 1) h {x) тогда и только тогда, когда (f{n)) имеет а. ф. р.
(мод 1) h(x). Указание. Использовать теорему 7.11 и формулу
суммирования Эйлера.
7.27. Если / (х) удовлетворяет условиям предыдущего упражнения, а
последовательность (f (п)) (л=1, 2, ...) р. р. мод 1, то последовательность (f (па))
(л = 1, 2, ...), где 0<а< 1, также p.p. мод 1.

80 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
7.28. Пусть уп = \/2—хт где (^ — последовательность из упражнения 7.4.
Доказать» что для некоторого класса эквивалентности g
N 1
Km -n-^f(yn)=[f(x)dg(x)
a^*/v ЛВ| о
при любой действительной функции /, непрерывной на [0, 1], но (уп) не имеет
а. ф. р. (мод 1).
§ 8. Нормальные числа
Определение и связь с равномерным распределением по модулю 1.
Пусть а—действительное число, a b^2—целое. Тогда а имеет
единственное 6-ичное разложение вида
00
« = [«]+£§• = [«]. аЛ...ап..., (8.1)
где «цифры» ап—это целые, 0^an<bt причем ап<Ь—1 для
бесконечно большого числа значений п. Если а—fe-ичная цифра
(т. е. целое число, для которого 0^а<6), а N—любое
положительное целое число, то через Аь(а\ N\ а) обозначим
количество ап в (8.1) с номерами 1<Iai^N, для которых ап = а.
Если число а фиксировано, то вместо Ab (a; N\ а) будем писать
Аь(а\ N). Введем также более общее обозначение: если Вк =
= b1b2.. .Ьк—заданная ^-членная группа fe-ичных цифр, &^1,
то через Аь(Вк\ N\ а) = Аь(Вк\ N) обозначим количество
появлений группы Bk в группе аха2.. .aN. Иными словами, Аь(Вк\ N)
равно количеству номеров п, принадлежащих участку 1 < п < N —
— £+1, таких, что an+j_1 = bj при 1^/^&.
Определение 8.1. Число а называется слабо нормальным
по основанию Ь, если
lim Аь(а\ N)/N=l/bt а = 0, 1, ..., Ь— 1. (8.2)
Число а называется нормальным по основанию Ь, если
lim Аъ{Вк\ N)/N=l/bk при всех Вк и *>1. (8.3)
N ^> оо
Очевидно, число, нормальное по основанию Ь, будет также слабо
нормальным по этому основанию. Однако обратное утверждение,
вообще говоря, неверно. Например, число с двоичным
разложением 0. 010101... слабо нормально по основанию 2, но не
нормально по основанию 2, ибо группа 11 длины 2 в разложении
совсем не встречается.
Теорема 8.1. Число а нормально по основанию b тогда и
только тогда, когда последовательность (bna) (п = 0, 1, ...)
р. р. мод 1.
Доказательство. Пусть (8.1) представляет собой 6-ичное
разложение числа а и пусть со—последовательность (Ьпа

§8. НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
81
(/1 = 0, 1, ...). Рассмотрим группу цифр Bk = b1b2.. .bk. Если
m^l, то группа атат+1.. am+*_i совпадает с Вл тогда и только
тогда, когда
т-\ да
или, что то же,
Г-ха} = М»-*+- + *Ч £ «-^ц
или
(»"Ч6 [*"-' +-+". ^-+tV+"+')-y(Bt),
Отсюда следует, что ^4Ь (J5A; JV) = Л (У (5ft); JV—£-f 1; со).
Предположим теперь, что to p.p. мод 1. Тогда
.. Аь(Вк; N) _ .. A(J(Bk); N-k+l; o>) N-k+l 1_
л," . N ~ N-1« ATTFR N~ ~ b* •
так что а нормально по основанию Ь. Обратно, если а нормально
по основанию Ь, то
-. Л (J (Bk); N; со) __ .. Аь (Вк; N+k~\) N + k-\_ l
Это справедливо для любых ZJfe. Поэтому lim Л (У; N; ю)/# = X (У),
N -+ со
т. е. длине У, для всех полуоткрытых интервалов У,
принадлежащих / и обладающих следующим свойством: концевые точки J
рациональны со знаменателями вида Ьк. Пусть теперь Е —
произвольный полуоткрытый подынтервал / и задано е > 0. Выберем
интервалы Jx и J2 вышеуказанного типа такие, что JX^E ^ J2
и в то же время Х(Е)—е < ^(У1)^Х(У2) < Х(£) + е. Тогда при всех
достаточно больших N
А.(Е\ N\ о>)/Л^>Л(У1; N\ u)/N > X(J1)—e> Х(Е)—2е
и, аналогично, А (Я; N\ ю)/# < Х(£) + 2е. Отсюда следует, что
lim А(Е\ N\ (o)/iV = X(£). Q
Следствие 8.1. Почти все действительные числа а (по мере
Лебега) нормальны по основанию Ь.
Доказательство. Это сразу следует из теорем 4.1 и 8.1. □
Определение 8.2. Число а называется абсолютно
нормальным, если оно нормально по любому основанию 6^2.
Следствие 8.2. Почти все действительные числа а (по мере
Лебега) абсолютно нормальны.
Доказательство. Это вытекает из следствия 8.1, ибо
объединение счетного числа множеств меры нуль есть снова множество
меры нуль. □

82 Гл. i. раёномёрНоё распределение по модулю 1
Дальнейшие результаты.
Лемма 8.1. Пусть а—действительное число и Ь^2.
Предположим, что существует постоянная С такая, что для любой
неотрицательной непрерывной функции f на [О, 1]
N-\ 1
~liS"^r 2 f({b^}XC\f(x)dx. (8.4)
Тогда а нормально по основанию Ь.
Доказательство. По теореме 7.1 существует ф. р. (мод 1)
последовательности (Ьпа) (п = 0у 1, ...), которую мы обозначим z (х).
Тогда для некоторой возрастающей последовательности
положительных целых чисел Nly N2y ... можно записать равенство
Л^-1 1
ИтЖ Ъ !({!>"*})= \f(*)dz(x)9 (8.5)
'">• 1 п=о о
справедливое для любой непрерывной функции /. Из (8.4)
следует, что
1 1
\f(x)dz(x)^clf(x)dx (8.6)
о о
для любой неотрицательной непрерывной /, а отсюда вытекает
непрерывность z(x). В частности, (8.5) справедливо даже для таких
функций /, которые имеют конечное число скачков (см.
доказательство теоремы 7.4). Если /—функция такого типа, то g(x) =
= f({bx\) (0^#^1) также будет функцией такого типа.
Применяя (8.5) к g(x)y получим равенство
I'm ^ V./({fc"+1a})= Г f({bx})dz(x). (8.7)
n=0 0
Так как
N;-\
2M
n=0 n=0 I
где М= sup |/(*)|, то оба предела в (8.5) и в (8.7) совпадают:
о < х < 1
1 1
\f({bx})dz(x)=^f(x)dz(x).
0 о
Отсюда с помощью индукции получаем, что при всех целых п^О
1 1
\f{{b"x))dz{x)=\f{x)dz{x). (8.8)

§8. НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 83
Если / непрерывна на [0, 1], то, согласно следствию 8.1, при
всех t£ [0, 1]\£
\\m±fAf{{b4})=\f{x)dx, (8.9)
где множество Е имеет лебеговскую меру нуль. Тогда в силу (8.6)
$dz(*) = 0 (8.10)
(интеграл в смысле Лебега — Стилтьеса). Так как
л/— 1
ж £w*})
л=0
<М, 0<х<1,
где Ж—то же, что иыше, то используя (8.8), (8.9), (8.10) и
известную теорему Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла,
получим:
\f(x)dz(x)= lira ti-jrttf({ba*}))<kW =
0 \ л=0 /
Л'-1
1 1
= Я lim IT Ё ' (^"^) V (0 = Я j / (*) dx) dz (0 = С / (х) dx.
Так как здесь / (х) — произвольная непрерывная функция, то отсюда
вытекает, что z(x) = x при 0^*^1. Следовательно, z(x) = x —
единственная ф. р. (мод 1) последовательности фпа) (п = 0, 1, ...),
и, в соответствии с упражнением 7.9, последовательность эта p.p.
мод 1. Для окончания доказательства остается воспользоваться
теоремой 8.1. □
Конечно, условие (8.4) является не только достаточным, но
и необходимым. Лемма 8.1— основное средство доказательства
следующей теоремы, которая позволяет получить новую
характеристику нормальных чисел (теорема 8.3).
Теорема 8.2. Пусть k^2 — целое число. Действительное
число а нормально по основанию b тогда и только тогда, когда
а нормально по основанию bk.
Доказательство. Пусть а нормально по основанию 6.
Для любой неотрицательной непрерывной на [0, 1] функции /
запишем неравенство
N-\ kN-\
Е/({6*"а})<*Ж Е
/1 = 0 л = 0
i Е /<{6*«а})<*ж Е fWa»- <8Л1)

84 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Так как правая часть (8.11) по предположению сходится при
N —* оо к k\f(x)dxt то из (8.11) следует, что
о
и по лемме 8.1 число а нормально по основанию bk.
Обратно, если а нормально по основанию bk, то (bfcna) (n =
= 0, 1, ...) p.p. мод 1, а также все последовательности (Ь*"+Ах)
(л = 0, 1, ...) p.p. мод 1 при каждом / = 0, 1, ..., ft—1. Но
тогда и (Ьпа) (/1 = 0, 1, ...) p.p. мод 1, ибо она представляет
собой суперпозицию k последовательностей, каждая из которых
р. р. мод 1 (см. упражнение 2.12). Отсюда вытекает нормальность а
по основанию Ь. П
Теорема 8.3. Действительное число а нормально по
основанию b тогда и только тогда, когда оно слабо нормально по всем
основаниям b, b2, б3, ...
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна:
если а нормально по основанию Ь, то (по теореме 8.2) оно
нормально по всем основаниям b, b2> б3, ... и тем более оно слабо
нормально по всем этим основаниям. Предположим теперь, что а
слабо нормально по всем основаниям &, 6а, б3, ..., и пусть (8.1) —
6-ичное разложение а. Тогда для каждого г ^ 1 нетрудно записать
йг-ичное разложение а:
« = [«]+£-?£•. W C = L<W-
Благодаря слабой нормальности а по основанию 6Г, каждое целое t
(О ^ t < br) встречается среди а^ с асимптотической частотой 6"г.
Если в b-ичной системе t = b1br"1+ ... +Ьг_гЬ + Ьг (так что Ь1У ...
..., br—это 6-ичные цифры), то равенство t = a^ равносильно системе
равенств a(„_D г+1 = Ь19 ..., апг = br. Поэтому утверждение об
асимптотической частоте можно сформулировать так:
Каждая группа ЬгЬ2... br встречается среди групп апап+1... ап+г_1У
где я s== 1 (mod г) с асимптотической частотой b"r. (*)
Пусть теперь Bk = bxb2... bk — произвольная группа b-ичных
цифр. Чтобы оценить Ab(Bk\ N), выберем целое число г>£
и запишем N = ur + v, где 0 ^ v < г. Для каждого / > О обозначим
через А(Вк\ /г+1, (/+1)г) количество п, удовлетворяющих
неравенствам jr+l^.n^(j + l)r—£+1 и таких, что Bk = anan+1...
и
•--an+k-i- Если мы заменим Аь(ВкУ (и+1)г) на ^A(Bk; /г + 1,
(/ + 1)г), то мы пропустим группы апап+1.. ,ап+к_1У в которых при
некотором / (1<['/^и) встречаются одновременно и ау>, и aJr+v

§8. НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 85
При каждом / таких групп ровно k—1. Таким образом,
Аь(Вк; N)^Ab(Bk; (u+l)r)<
<|]Л(5л; /г+1, (j + l)r) + u(k-l). (8.12)
С другой стороны,
Аь(Вк; N)^Ab(Bk; ur)>U~%A{Bk- jr + 1, (j + l)r). (8.13)
Рассмотрим при целом s;>0 сумму
2Л(В,; jr + 1, (i + l)r).
/=o
Пусть С обозначает расширение группы Вк до группы длины г,
например
C = c1...cpb1.. .bkdx. ..dr_k_r
Две такие группы считаются различными, если они содержат
различные числа или если Ьг находится на различных местах. Пусть
Л*(С; s)—количество / (0</^s) таких, что C = ajr+1aJr+2...
...а(у+1)г. Так как Вк встречается в cLjr+1ajr+2.. .а(;Ч1)г ровно
столько же раз, сколько различных групп С таких, что С =
= ajr+1ajr^2.. .a(/+i) г, то
2 Л (Я,; //-+1,(/ + 1)/*) = 2^(С, s).
/=о с
Поэтому из (8.12) и (8.13) получаем:
ц yr(C,a-l)<^(flfc;iV)< u+\ у Л*(С;и) <u(k-\)
ut-\-v~? и N ur-\-v~ и+1 аг + у
Согласно (*) каждое С имеет асимптотическую частоту b~r.
Устремив N к бесконечности (или, что то же, при и —► сю),
получим
±£ft-< lim b(B*N) щ Ab(Bk;N) J_^ft Ц
Так как выбрать положение Ьх в С можно г — й+1 способами,
а, фиксировав Ь1У можно br~k способами выбрать остальные г — k
цифр, то всего имеется (г—k+l)br~k возможностей выбора С.
Поэтому
(r-k+ ЩгЬ*)<НтЛ»(ВЛ; ЛГ)/ЛГ<
< Hm\4b(Bft; N)/N^(r-k+l)/(rb*) + (k— \)/r.
N-►00
При г —* оо отсюда получаем (8.3). Q

86
ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
Замечания. Нормальные и абсолютно нормальные числа ввел Борель [1; 2,
с. 194—201], которому принадлежат метрические результаты, содержащиеся в
следствиях 8.1 и 8.2. Борелевское определение нормальности приведено в
упражнении 8.4. Эквивалентность этого определения и нашего определения 8.1
впервые доказали Ыивен и Цуккерман [1] (см. также: Касселс [7], Кнут [2, гл. 3],
Нивен [1, гл. 8]). Теорема 8.1 доказана Уоллом [1] (см. также: Нивен [1, гл.
8] и Постников [8, гл. 3]). Характеристика нормальности, сформулированная
в теореме 8.3, принадлежит Пиллаи [2]. Другие доказательства см. у Макс-
филда [1] и Нивена [1, гл. 8]. Лонг [1] доказал, что а нормально но
основанию b тогда и только тогда, когда существуют положительные целые числа
mi < т2 < ... такие, что а слабо нормально по всем основаниям bmi (/^ 1);
конечного множества т/ для такого утверждения недостаточно. Ягер [1]
описывает нормальность при помощи некоторых преобразований сдвига цифр.
Характеристика нормальности, содержащаяся в упражнении 8.6, принадлежит
Мендес-Франсу [1, 3, 4]. Еще критерий см. в упражнении 3.10 гл. 3.
Серпинский [3] и Лебег [1] нашли отчасти явные конструкции
нормальных чисел. В действительности, они построили даже абсолютно нормальные
числа. Простой пример принадлежит Чемперноуну [1], который доказал, что
число 8 в примере 2.2 нормально по основанию 10. Доказательства этого
результата можно найти у Нивена [1, гл. 8], Пиллаи [1,2], Постникова [5].
Если (Рп)-~возрастающая последовательность положительных целых чисел,
которая достаточно плотна, как, например, последовательность простых чисел,
то десятичная дробь 0, pip2- • • нормальна по основанию Ю (Коупленд и Эрдёш
[1]). Если / (х) — непостоянный многочлен, все значения которого при х =
= 1,2,... представляют собой целые положительные числа, то десятичная
дробь 0, /(1) /(2)... нормальна по основанию 10 (Дэвенпорт и Эрдёш [1]).
Другие конструкции нормальных чисел можно найти у Постникова [8, гл. 3],
В. Шмидта [3] (абсолютно нормальные числа), Спирса и Максфилда [1]; Сто-
унхема [4, 5, 6], Билля [1, гл. 1]. Другой конструктивный подход связан с
так называемыми «нормальными периодическими системами знаков» (Гуд [1],
Рис [1], Коробов [4, 5, 6, 9]). Существуют тесные связи между построением
последовательностей, вполне p.p. мод 1. (см. §3 гл. 3), и построением
нормальных чисел (Кнут [2, гл. 3], Коробов [1, 2, 5, 10]). Некоторые
конструктивные результаты можно найти в статьях о последовательностях (Ьпа),
упомянутых в Замечаниях к § 3 гл. 2. Все известные нормальные числа
построены специально. Неизвестно, являются ли нормальными такие иррациональные
числа, как е, я, У 2, In 2,... Однако проводилось статистическое изучение
десятичных цифр в разложениях таких чисел. Можно указать работы: Бейер,
Метрополис, Неергард [1] (хорошая библиография), [2], Дутка [1], Стоунхем
[2]. Строились также числа, имеющие другие заданные частоты цифр (или
групп цифр). См. Коупленд [1], Постников [5, 8, гл. 3], Постников и Пятец-
кий-Шапиро [1, 2], Постникова [3], Шахов [3, 4], Билль [1, гл. 1], Мизес [1].
Лемма 8.1 в основном была доказана Пятецким-Шапиро [1]. Ее улучшил
Постников [1], а ьаилучший вариант дал Пятецкий-Шапиро [4]. См. также:
Пятецкий-Шапиро [3], Постников [5], Кемперман [2]. Некоторые обобщения
имеются у Постникова и Пятецкого-Шапиро [1] и Москвина [1]. По существу,
лемма 8.1—это результат из эргодической теории. На связь между
нормальными числами и эргодической теорией указал впервые Рисе [1]. Так как
преобразование а -> {Ьа} (а^/) эргодично по отношению к мере Лебега, то из
индивидуальной эргодической теоремы следует, что для любой интегрируемой
N 1
по Лебегу функции / на [0, 1] существует lim -дт- / л f ({bna}) =\ f(x) dx
при почти всех а£/. Без использования эргодической теории этот результат
был ранее доказан Райковым [1] и Форте [1]. Связь между эргодической
теорией и нормальными числами используется в работах Циглера [2, 9] (см. так-

§8. НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
8?
же Блюм и Хансон [1]), Франклина [1], Фюрстенберга [3], Хартмана, Map
чевского и Рыль-Нардзевского [1], Постникова [7; 8, гл. 3]. Другие
доказательства метрической теоремы Бореля (следствие 8.1), не связанные с эргодичес-
кой теорией, см. у Харди и Литлвуда [1], Серпинского [3], М. Каца [4, гл. 2],
Дюкрея [1] ив литературе, указанной Коксмой [4, с. 116—118], где
имеются также количественные уточнения (см. также Замечания к § 3 гл. 2).
Дальнейшие метрические результаты о нормальных числах (или некоторых их
обобщениях) были получены Франклином [1, 2], Постниковым и Пятецким-
Шапиро р], Сандерсом [1], Швейгером [1]. Максфилд [2] отметил, что
множество чисел, слабо нормальных по основанию 6, есть множество первой
категории (см. также: Шалат [1] и Швейгер [3]). Имеется обширная литература
о хаусдорфовой размерности множеств не нормальных чисел или, более общо,
множеств, которые определяются свойствами цифр. Упомянем работы: Бези-
кович [1], Бест [1], Бейер [1], Циглер [5], Циглер и Фолькман [1], Колбрук
[1], Эглстон [1, 2], Эрдёш и Тейлор [1], Хельсон и Кахан [1], Книхал [1,2],
Мендес-Франс [2, 3], Нагасака [1], Фолькман [1, 2, 4, 6, 7].
Интересна задача о связи между нормальностью по различным
основаниям. Весьма легкий результат приведен в упражнении 8.5. В. Шмидт [3]
доказал следующую общую теорему: разобьем множество возможных
оснований 2, 3, ... на два класса так, чтобы числа, являющиеся рациональными
степенями одно другого, принадлежали одному и тому же классу; тогда
множество чисел, нормальных по основаниям первого класса и не нормальных по
основаниям второго класса, имеет мощность континуума. Более ранние
результаты см. у В. Шмидта [2] и Касселса [10]. Эта же задача с более общих
точек зрения рассматривалась В. Шмидтом [4], Колбруком и Кемперманом
[1], Швейгером [2].
В литературе встречаются различные варианты определения нормальности.
Нормальность порядка k (см. упражнение 8.7) рассматривают Билль [1,гл. 1],
Гуд [1], Рис [1], Кнут [2, гл. 3], Лонг [2]. См. также Малер [6]. Безикович
[2] ввел «(/, е)-нормальность», которую изучали Дэвенпорт и Эрдёш [1],
Хансон [1], Стоунхем [1, 3, 5, 6]. Близкий вопрос рассмотрен в статьях
Коробова [23, 24]. Пятецкий-Шапиро [1] получил описание а.ф.р. (мод 1)
последовательности (Ьпа)\ см также Постников [8, гл. 3]. Дальнейшие
результаты, касающиеся таких последовательностей и их а.ф.р. (мод 1), можно
найти у Циглера [2, 9], Колбрука [1], Колбрука и Кемпермана [\]у Хельсона
и Кахана [1], Кемпермана [2]. Равномерность распределения мод 1 этих
последовательностей по отношению к методам суммирования коротко
обсуждается у Шнабля [1]. Близкие последовательности изучались Коробовым [7],
Франклином [1, 2], Мендес-Франсом [5]. Если через q (n) обозначить 6-ичную
сумму цифр положительного целого числа я, то (q(n)Q) (/i=l, 2,...) p.p.
мод 1 для любого иррационального 0 (Мендес-Франс [4]). Это же
утверждение сохраьяет силу, если п пробегает все простые числа (Оливье [1]); см.
также Мендес-Франс [9]. Функция q (n) связана также с теорией P.V. чисел
(см. пример 4.2). По этому и близким вопросам см.: Мендес-Франс [5, 7],
Зенге и Штраус [1], Безино [1, 2]. Проводились также некоторые
исследования, главным образом с метрической точки зрения, для нецелых оснований
р > 1 (Реньи [1], Гельфонд [1], Парри [1], Циглер [4], Рос [1], Галамбош
[2, 3, 4]). О последовательностях (Рла) см.: Хельсон и Кахан [1], Куликова
[1], Мендес-Франс [4].
Максфилд [2] называет числа (o&i,..., а^) нормальной k-группой по
основанию bt если последовательность
((6«аь..., &"а*)), л=1, 2, ...,
p.p. мод 1 в R*. Аналог следствия 8.1 для этого случая был ранее доказан
Харди и Литлвудом [1]. Максфилд [2] доказал теорему о нормальных &-груп-
пах, из которой, в частности, следует, что произведение рационального числа
т^О на нормальное есть снова нормальное число. Группа (oti, ...,а$)
называется совместно нормальной по основаниям Ьъ ...,&£, если последователь-

88 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕлЕНИ ПО МОДУЛЮ 1
ность ((fciai, ..., b^oLk)) (я=1, 2, ...) p.p. мод 1 в R*. Результаты,
относящиеся к этим двум понятиям (например, способы построения таких групп) см.
у Коробова [8, 13, 14], Постниковой [1], Старченко [1], Фолькмана [4]. При
более общем подходе можно рассматривать p.p. мод 1 в R*
последовательности (Апх) (л=1, 2,,..), где Л —заданная целочисленная &Х&-матрица, а
x£Rk. Преобразование х^{Ах), где x£Ifct эргодично по отношению к мере
Лебега тогда и только тогда, когда А несингулярна и ни одно из
собственных значений этой матрицы не есть, корень из единицы (Рохлин [1], Ауслен-
дер [1]). В этом случае обобщение метрической теоремы Бореля вытекает из
индивидуальной эргодической теоремы и аналога леммы 8.1, который также
может быть доказан (Постников [3; 8, гл. 3], Полосуев [3, 5], Старченко [1],
Циглер [2, 9], Мухутдинов [1]). Другие исследования об (Апх): Циглер [2,9],
Франклин [3], Полосуев [3, 5], Постников [8, гл. 3], В. Шмидт [4], Швейгер
[2], С. Учияма [2]. Абстрактный подход к нормальности имеется у Циглера
[3] (см. также Замечания к § 1 гл. 4).
Множество М. действительных чисел называется нормальным множеством
(«ensemble normal»), если существует последовательность (кп) в R такая, что
(кпх) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда х£М. Из теоремы 8.1 вытекает,
что множество чисел, нормальных по основанию Ь, представляет собой
нормальное множество. Другие нетривиальные нормальные множества: Q\{0}
(Рози [2], Зейм [5]), дополнение в R к действительному алгебраическому
полю, множество трансцендентных чисел (Мейер [1 — 4], Мендес-Франс [6],
Зейм [5]). Пересечение счетного множества нормальных множеств есть
нормальное множество (Дресс [2], Рози [1]). Объединение счетного множества
нормальных множеств не обязано быть нормальным множеством (Мендес-Франс
[7], Рози [1]). Характеристическое описание нормальных множеств дано Рози
[1]. Дальнейшие результаты в работах: Коломбо [1] (в большей степени
перекрываются работой Дресса [2]), Дресс и Мендес-Франс [1], Леска и Мендес-
Франс [1], Мела [1], Мендес-Франс [5, 7], Зейм [5]. О так называемых
«анормальных» числах по отношению к последовательности (А,л) см.: Кахан и
Салем [1], Кахан [1], Амис [2]. Мендес-Франс [9] изучал последовательности
с «пустым спектром», т.е. последовательности (хп), для которых (хп-\п(х)
(л = 1, 2, ...) p.p. мод 1 для всех действительных а.
Нормальные числа нашли интересное приложение в основах теории
вероятностей, а именно — в теории коллективов Мизеса, которая представляет
собой попытку построить теорию вероятностей, исходя из понятия
относительной частоты, а не из теории меры. Сошлемся на работы Копленда [1], Мизеса
[1; 2, гл. 1], Билля [1], Постниковой [2] и на приведенную в них
литературу. Другие приложения нормальных чисел можно найти у Куо [3], Кнута
[2, раздел 3, 5], Мендес-Франса [4], Постникова [5], Вича [3].
Упражнения.
8.1. Доказать, что разложение (8.1) единственно.
8.2. Существуют рациональные числа, слабо нормальные по основанию Ь,
но нормальное по основанию b число обязательно иррационально.
8.3. Привести пример иррационального числа, которое не нормально
(например, по основанию 2).
8.4. Число а нормально по основанию b тогда и только тогда, когда
каждое из чисел а, Ьа, 62а, ... слабо нормально по всем основаниям b% b2,
Ь\ ...
8.5. Пусть Ьг и Ь2—целые числа ^2, и одно из них есть рациональная
степень другого. Число а нормально по основанию Ьг тогда и только тогда,
когда оно нормально по основанию Ь2.
8.6. Пусть ф„ (х) (л = 0, 1, ...)—функции Радемахера, определенные в
упражнении 2.1, гл. 2. Предположим, что а не есть двоично рациональное
число. Тогда а нормально по основанию 2 тогда и только тогда, когда
lim "ЛГ X Фи + *1(а)---Фи + *,(а)=°
Л/—vac '» ^^ a

§9. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1 89
при всех s^l и любых различных неотрицательных целых klt ...,ks.
Указание. Использовать результаты, содержащиеся в упражнениях 2.1 —
2.4 гл. 2.
8.7. Пусть k—целое положительное число. Число а называется
нормальным порядка k по основанию Ь, если (8.3) выполняется для всех групп В^
фиксированной длины k. Доказать, что следующее требование эквивалентно
нормальности порядка k: последовательность (Ьпа) удовлетворяет условию
lim А ([О, *); N)/N =х для любого рационального х (О < х < 1) со знамена-
тел ем Ьк.
8.8. Доказать, что а нормально по основанию 6, если существует
постоянная С такая, что для последовательности (bnot) при любых [Р, у) с= /
Пп7Л([Р, у); A0/#<C(v-P).
Указание. Сравнить с доказательством леммы 8.1.
8.9. Если а нормально по основанию Ь, то при любом рациональном г ФО
нормальным по основанию b будет также га. Указание. Использовать
лемму 8.1 или упражнение 8.8.
8.10. Доказать теорему 5.3 с помощью теории нормальных чисел
(предположить, что р^2).
8.11. Множество всех иррациональных чисел есть нормальное множество.
8.12. Множество всех действительных чисел, отличных от нуля, есть
нормальное множество.
§ 9. Непрерывное распределение по модулю 1
Основные результаты. Пусть f(t)—действительная измеримая
функция, определенная при 0 < t < оо. Пусть 0 ^ а < b ^ 1 и
с1а,ь)(х) — характеристическая функция интервала [а, Ь).
Фиксируем Т > 0 и обозначим через Т (а, Ь) множество таких t (0 ^
s^/s^T), для которых {f(t)}£[a,b). Очевидно, множество Т(а, Ь)
измеримо и его мера (лебеговская)
т
X(T(a,b))=\cla,b)({f(t)})dt.
О
Определение 9.1. Если для любых [а, Ь)^1 существует
предел
lim Х(Т(а,Ь))/Т = Ь—а,
Г->оо
то говорят, что функция /(/) непрерывно равномерно распределена
по модулю 1 (сокращенно: н.р.р. мод 1).
Теорема 9.1. Измеримая функция f(t), определенная на
[0, оо), н.р.р. мод 1 тогда и только тогда, когда для любой
действительной непрерывной на [0, 1] функции w
Т 1
lim ~ J w({f (t)}) dt = ^w (x) dx. (9.1)
"*"* о о
Теорема 9.2. Измеримая функция f(t)> определенная на
[0, оо), н.р.р.,мод 1 тогда и только тогда, когда для любых

90 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
целых ИфО
т
lim -ifехР(2яЛ/(0)dt = 0. (9.2)
О
Доказательства этих теорем аналогичны доказательствам
теорем 1.1 и 2.1 и предоставляются читателю.
Пример 9.1. Очевидные примеры н.р.р. мод 1 функций —
это линейные функции f(t) = at-{-by где афО. С другой стороны,
функция /(/) = 1п('/+1) не н.р.р. мод 1, ибо она не
удовлетворяет требованию (9.2) (это можно получить с помощью
доказательства, приведенного в примере 2.4). □
Пример 9.2. Функция ех н.р.р. мод 1. Рассмотрим
выражение
т
у f ехр(2ш'А*')Л, (9.3)
о
где кфО целое; положив ег = х, получим вместо (9.3)
_L f J_exp(2nihx)dx. (9.4)
Рассмотрим теперь действительную и мнимую части (9.4). Тогда,
согласно второй теореме о среднем,
е
т
1
\ — cos 2nhx dx = Y \ cos 2nhx dx,
где O^t^T, так что при Т —► сю действительная часть (9.4)
стремится к нулю. То же справедливо и для мнимой части (9.4). □
Как мы уже отмечали в § 4, неизвестно, является ли
последовательность (еп) (п= 1, 2, ...) р. р. мод 1 или нет.
Вторая часть примера 9.1 представляет собой частный случай
нижеследующей теоремы 9.3. Однако сперва докажем простой
вспомогательный результат.
Лемма 9.1. Если F(и) при и^0 дважды дифференцируема,
uF" (и) ограничена и F (и)/и —► 0 при и —*■ сю, mo F' (и) —*» 0, когда
и—+оо.
Доказательство. Если и > 0 и г\ > 0, то при некотором
0<9<1
F (и + л)-F (и) = т|Р (и) J- i n2F" (и + 9т|).
Разрешив относительно F' (и), получим
Г (и) = П»+л)-Н»)_| цГ {и + ет)) (9 5)

§9. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1 91
Выберем е > 0, обозначим через М верхнюю грань \uF" (и)\,
пусть 8 = &/М. Положив ч\ = Ьи ъ (9.5), можно записать, что
v ' \ // + 6// о // о
Так как разность в скобках стремится к 0 при и-+оо, то она
будет по абсолютной величине < е/2, когда и>и0(&). А
оставшийся член в (9.6) справа по абсолютной величине все время
< е/2. Таким образом, лемма доказана. □
Теорема 9.3. Пусть f (i) при t > 0 дифференцируема, a tf (t)
ограничена. Тогда f(t) не н. р. р. мод 1.
Доказательство. Допустим, что (9.2) выполняется при
и
А=1. Тогда, обозначив F (u)= j cos2nf (t)dt, получим, что
о
F(u)/u-+0, когда и-+оо. Однако F' (и) — cos2nf(u), a F"(и) =
= —2я/' (u)s'm2nf (и), откуда видно, что произведение uF"(и)
ограничено. Из леммы 9.1 следует, что cos 2я/ (и) —■> 0, когда
и—>оо. Точно так же докажем, что sin2jt/(и) —► 0 и,
следовательно, exp (2ш*/ (и))—+ О, когда и-+оо. Явное противоречие. □
Теорема 9.4. Пусть f(t) — измеримая функция,
определенная на [О, сю). Предположим, что kf(t) = f(t-\-\) — /(/)
монотонна, Д/(/)-+0, / |А/(01 —► °°> когда t —► сю. Тогда f (t) н. р. р.
мод 1.
Доказательство. Этот результат доказывается очень
похоже на теорему 2.5. □
Теорема 9.5. При />0 пусть f (t) = g (In (t+ 1)), где g —
возрастающая выпуклая функция на[0, сю) такая, 4mol\mg (t)/t = oo.
/ -* 00
Тогда f(t) н. р. р. мод 1.
Доказательство. Достаточно доказать (9.2) для целых
h > 0. Пусть u = 2nhf (t) = ip(t), a t = ty(u)— обратная к ф
функция. Так как g выпукла, то tq>' (t) возрастает (на счетном
множестве значений t производная ф' (t) может не существовать,
однако допускает доопределение). Если бы Up' (t) оказалась
ограниченной сверху, то получилось бы противоречие: ф(/) = 0(1п/).
Следовательно, ty' (t) —»■ сю, когда t —► сю. Далее, /ф' (t) = ty(u)/tyf (и),
так что функция \|/ (u)/ty (и) убывает и стремится к 0, когда
и—*оо. Фиксируем Т > 0 и рассмотрим интеграл
т
J =) s'mq)(t) dt.
о
Сделав замену а = ф(/), обозначив ф(0) = р0, ф(Г) = р и дважды
использовав вторую теорему о среднем, получим для любого

92 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
т € (Ро> Р) равенства
? х р
У = I г|/ (и) sin w da = \ г{/ (a) sin и du + \ г|? (и) ^-г~ sin udu —
Ро Ро X
Т Т2
= \tf (и) sin и du-{-^j^ \ ty(u)sinudu =
Ро Т
т т2 т
= ^'(u)smudu + ^^(x2)^smudu=\j^'(u)smudu + ^A.
Ро Tt Ро
Здесь т < тх < т2 < р, | А | ^ 2 г|) (р) = 27. Зададим произвольное
е > 0. Выберем т столь большим, чтобы г|/ (т)/г|)(т)^Ге, а затем
выберем 7 столь большим, чтобы
^ я|/ (и) sin udu
<ei|)(p).
Тогда |./ | ^ Зе7 при всех достаточно больших 7, и, следова-
г
тельно, J = o(T). Интеграл ^ coscp(/)d/оценивается аналогично. □
о
Соотношения между р. р. мод 1 и н. р. р. мод 1.
Теорема 9.6. Пусть f'(t) — действительная измеримая
функция, определенная при t^O. Каждое из следующих двух условий
достаточно для того, чтобы f(t) была н. р. р. мод 1:
(а) Последовательность (f(n+t)) (п = 0, 1, ...) p.p. мод 1
для почти всех t из [0, 1].
(б) Последовательность (f(nt)) (п= 1, 2, ...) р. р. мод 1 для
почти всех t из [0, 1].
Доказательство, (а) Если НфО—целое, то для почти
всех t из [0, 1]
N- 1
1 V^
lim -тт- 2* exp(2nihf(n + t)) = 0.
Используя теорему о переходе к пределу под знаком интеграла,
запишем:
0=UYim^^exp(2nihf(n + t))yt =
- ?[ 1 ^_1 \
= lim \( -J;- £ ехр(2ш"А/(л+/)) )dt =
~* °° о \ л=о /
= lim -jrj- У I exp (2ш'Л/ (и)) du = lim nrr\exp(2mhf(u))du.

§9. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пб МОДУЛЮ 1 93
Отсюда видно, что при любом стремлении Т —► оо величина
т
-у \ exp (2nihf (и)) du
о
стремится к нулю.
(б) Если 1гф0—целое, то для почти всех / из [0, 1]
1 N
lim 4" V exp (2nihf (nt)) = 0.
N -> оо " ~
Снова, интегрируя и переставляя порядок действий, получим:
N 1
0= lim -jrr V f exp (2nihf (nt)) dt =
/7=1 0 ч П=1 /=1
где при / ^ 1
/
Су = ^ exp (2m7i/ («)) dw.
/-i
Другими словами, последовательность (cj) (/=1, 2, ...)
суммируется методом Гельдера (Я, 2) к значению 0 (см. пример 7.1).
Отсюда следует, что последовательность (cj) суммируется также
методом Чезаро (С, 2) к значению 0 (см. пример 7.1). Так как
| Cj | ^ 1, то с помощью теоремы тауберова типа, упомянутой в
ходе доказательства теоремы 7.13, получим
N N
1 -^ 1 С
lim -тт- N Cj = lim -тт- \ exp (2nihf (и)) du = 0. □
N -> Ф ** Г~^ N -»- да ** ^
/=1 о
Теорема 9.7. Если f (t) имеет при t^O непрерывную
производную постоянного знака, отношение f(t)/t—>0 при i—► оо и
f (t) н. р. р. мод 1, то последовательность (/ (п)) (п — 1» 2, ...)
р. р. мод 1.
Доказательство. Воспользуемся формулой суммирования
Эйлера (см. пример 2.4). Для целого НфО получим
2 exp (2nihf (n)) =
N
= j exp (2nihf (/)) dt + ± (exp (2nihf (1)) + exp (2nihf (N))) +
l
л/
+ 2siihU{t}—j ) /' (0 exp (2nihf(t)) dt.

94 Гл. i- равномерное распределение по Моду'лк) (
Обозначим чергз A (N) третий член в правой части. Тогда
\А(Ы)]ш<_п1Н\
N
N ^ N
§\f4t)\dt<^(\f(N)\ + \f(l)\),
и, принимая во внимание условие теоремы, относящееся к f(t)/t,
получаем, что \A(N)/N\—>0, когда N—>oo. После этого
закончить доказательство не составляет труда. □
Теорема 9.8. Пусть f(t) имеет непрерывную производную
при t^0y и предположим, что f (t)\nt имеет ненулевой предел
при t—*oo. Тогда последовательность (/(/г)) (п=- 1, 2, ...) р. р.
мод 1.
Доказательство. Докаже*м сперва, что f(t) н. р. р. мод 1.
Так как при t^t0^\ производная f (t) имеет постоянный знак,
то будем для определенности считать, что /' (t) > 0 при t ^ tQ.
Если g—обратная функция по отношению к /, то для Т > tQ
f(T)
±-^exp(2nihf(t))dt = ^- £
exp (2nihu) du
Го f(/„)
и правая часть стремится к 0, когда Т ->оо, если стремится
к 0 выражение
f(T)
т
fUo)
\ exp (2ш7ш) In g (и) du. (9.7)
Рассмотрим отдельно действительную и мнимую части
выражения (9.7) и воспользуемся второй теоремой о среднем. Получим
равенство
f(T) ЦТ)
1 Г In T С
-Tjr \ (cos2nhu) Ing(и) du =-у- \ cos2nhuduy
fdo) t\l)
где /0^£^^ и аналогичное выражение для мнимой части (9.7).
Следовательно, (9.7) стремится к 0 при Т —► оо, и /(/) н. р. р
мод 1. Далее, из условия /' (t) In t —► с при t —* оо вытекает, что
f(t)/t —>0. Остается воспользоваться теоремой 9.7. □
Многомерный случай. Понятие н. р. р. мод 1 можно
распространить на системы измеримых функций. Мы сохраним
обозначения § 6.
Определение 9.2. Пусть f(t) = (f1(t)> ..., fs(t)) — система
s измеримых функций, определенных на [0, оо). Для любого
Т > 0 и любого [а, Ь) s Is обозначим через Г (а, Ь) множество t
таких, что 0</<Т и {f(t)}£[a> b). Говорят, что система f.(t)

§9. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1 95
н. р. р. мод 1 в R5, если
для любых [a, b) e /5.
Теорема 9.9. Система f(t) измеримых функций н. р. р.
мод 1 в R5 тогда а только тогда, когда для любой
целочисленной точки h£Zs (НфО)
т
Игл 4" f exP (2ш* <л> /(О» * = 0.
о
По поводу доказательства см. высказывания, следующие за
теоремой 6.2.
Следствие 9.1. Система f(t) измеримых функций н. р. р.
мод 1 в R5 тогда и только тогда, когда для любой
целочисленной точки AgZ5 (А Ф0) функция <Л, /(/)> я. /?. р. мод 1.
Доказательство. Это вытекает из теорем 9.2 и 9.9. □
З^ГПри мер 9.3. Рассмотрим прямолинейное равномерное
движение в евклидовой плоскости, определенное уравнениями
х = хУ) = а + Щ, y = y(t) = b + e2t, 0</< оо,
где а, Ьу в1У Э2—действительные числа, причем 0г и 92 линейно
независимы над полем рациональных чисел. Рассмотрим отрезок
времени 0^/^7\ Сумма времени, в течение которого
движущаяся точка находится по модулю 1 в прямоугольнике [ах, а2]х
x[Pt, P2) ^/2, равна мере множества £fl[0, Т\ где
( a^a + QJ <a2 (mod 1)1
Е = \ °<t<oo: pi<ft + ei/<pi (mod 1) J"
Из следствия 9.1 и примера 9.1 вытекает, что система функций
(a + QJ, b + Qj) н. р. р. мод 1 в R2. Поэтому доля времени,
проводимого движущейся точкой по модулю 1 в рассматриваемом
прямоугольнике, в пределе равна площади прямоугольника
(a.-«i)(P.-Pi)- □
Замечания. Функции н. р. р. мод 1 рассматривались Вейлем [4]. Он
установил критерий Вейля и доказал, что любой многочлен, отличный от
постоянной, н. р. р. мод 1. О ранних работах на эту тему см.: Штейнгауз [1] и
Цудзи [1]. Теорема 9.2 содержится в качестве частного случая в общей форме
критерия Вейля у Кейперса и Стама [1]. Теорема 9.3 — из работ Кейперса и
Мейленбелда [3] и Кейпера [1], а теорема 9.5 принадлежит Цудзи [1].
Близкие результаты имеются у Кейперса [1], Кейперса и Мейленбелда [1],
Кейпера [1]. Укажем также на упражнения 9.8, 9.9 и 9.13. Теорема 9.6 была
доказана Рыль-Нардзевским [1], а теоремы 9.7 и 9.8—из работы Кейперса [3],
где содержатся также другие результаты о связи между н. р. р. мод 1
функций и р. р. мод 1 последовательностей. Многомерный случай рассматривался
еще Вейлем [4], который доказал результат, содержащийся в примере 9.3
(см. также Вейль [3], Пойа и Сеге [1, раздел II, задачи 185, 186]). Этот ре-

96 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
зультат имеет важные приложения в таких областях, как статистическая
механика, кинетическая теория газов и звездная динамика. Сходное
утверждение, сформулированное в упражнении 9.29, также принадлежит Вейлю [3, 4].
Его можно найти у Пойа и Сеге [1, раздел II, задача 187]. Плотность точек
траектории в единичном квадрате (соотв. кубе) была доказана ранее Кенигом
и Сючем [1] (см. также Судан [1]).
Кейперс [2, 7] доказал, что f (f) = af + Psin t (P Ф 0) н. р. р. мод 1, тогда
и только тогда, когда яа иррационально, а также другие результаты,
касающиеся функции с периодическими производными. Теоремы о разностях для
н. p.p. мод 1 доказали Кейперс [1] и Хлавка [9]. Н. р. р. мод 1 в
последовательностях интервалов изучали Кейперс и Мейленбелд [4] и Кейперс [4].
Интересные связи между н. р. р. мод 1 и понятием независимости функций
были указаны Штейнгаузом [1] и Кейперсом [7] (дискретный аналог см. § 1
гл. 5). Количественное изучение функций н. р. р. мод 1 было начато Хлав-
кой [9]. Многие из результатов, приведенных в гл. 2, об отклонении
последовательностей имеют непрерывные аналоги. См. также Холевейн [1], Мюкк [1],
Штакельберг [1], Флейшер [3]. Хлавка [24] доказал, что «почти все»
непрерывные функции (по мере Винера), определенные на [0, оо), н. р. р. мод 1.
Уточнения принадлежат Флейшеру [3] и Штакельбергу [1], причем более
сильный результат содержится в последней работе (ср. Замечания к § 1 гл. 2).
Флейшер [2] обобщил теорему Хлавки на многомерный случай. Кейперс и
ван дер Стен [1] доказали непрерывные аналоги теорем 4.2 и 4.3 и улучшили
некоторые метрические результаты Холевейна [1]. См. также Мюкк [1].
Рассматривались разные обобщения и уточнения понятия н. р. р. мод 1.
Кейперс [6] обсуждает отлично распределенные функции мод 1. Хлавка [9]
и Холевейн [1] изучают н. р. р. мод 1 по отношению к методам суммирования
и весовым функциям. Лойнес [1] рассматривает стохастические процессы н. р. р.
мод 1. Кейперс [1] вводит функции распределения (мод 1) для измеримых
функций и доказывает аналог теоремы 7.6 (см. также Хэвиленд [1]). Если
потребовать, чтобы (9.1) было выполнено для характеристических
функций всех измеримых подмножеств / (или, что то же, для всех интегрируемых
по Лебегу функций w на [0, 1]), то получим определение н'"-р. р. мод 1
(Кейперс [1]). Это понятие изучалось в работах Кейпера [1], Кейперса [2],
Кейперса и Мейленбелда [1, 2]. Кейперс [1] ввел также понятие н"-р. р. мод 1,
но оказалось, что оно эквивалентно н'"-р. р. мод 1 (Кейперс и Мейленбелд [1]).
Дальнейшие обобщения относятся, конечно, к многомерному случаю, ибо
определение 9.2 можно обобщить на системы функций, зависящих от
нескольких переменных. См.: Цудзи [1], Кейперс [1, 4], Мейленбелд [1], Кейперс и
Мейленбелд [3, 5], Куо [4]. Что же касается н. р. р. на поверхностях, то есть
изолированный результат И. Каца [1] и более систематическое изучение Гер-
ла [3]. Теорию н. р. р. в поле /7-адических чисел построил Шовино [5, 6].
О функциях на группах см. Замечания к § 1 гл. 4. Другие общие точки
зрения, обсуждаются Хельмбергом [6] и Кемперманом [3]. В § 1 гл. 5
рассматривается н. р. р. мод т.
Уражнения.
9.1. Доказать теорему 9.1.
9.2. Доказать теорему 9.2.
9.3 Доказать теорему 9.1 с заменой слова «непрерывной» на
«интегрируемой по Риману».
9.4. Пусть f (/) н. p.p. мод 1, а g (t) (/>0) — такая измеримая функция,
что существует lim (/ (t) — g(t)). Доказать, что g (t) также н. р. р. мод 1.
9.5. Пусть (fn(fj) (л=1,2,...) последовательность функций, равномерно
сходящаяся к f (f) на [0, оо). Если все fn(t) н. р. р. мод 1, то и f (t) н. р. р.
мод 1.
9.6. Если f (t) н. р. р. мод 1, то при любом целом т Ф 0 функция mf (t)
также н. р. р. мод 1.
9.7. Если f (t) н. p.p. мод 1, то тем же свойством обладает и f(ct), где
С—положительная постоянная.

§9. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1 97
9.8. Обобщить предыдущее упражнение: если f (t) н. р. р. мод 1, а
функция ф (t) при /^0 неотрицательна, дифференцируема и Итф'(/) = с > 0, то
/(ф(0) Н. р. р. МОД 1.
9.9. Измеримая периодическая функция / (t) с периодом р > 0 тогда и
только тогда н. р. р. 1, когда
р
^ ехр (2гоЛ/ (0) dt = 0, /i-l,2,...
6
9.10. Доказать, что f(t) = s'mt (t^O) не н. р. р. мод 1.
9.11. Доказать, что лемма 9.1 остается верной, если в ее формулировке
оба нулевых предела заменить одной и той же постоянной с.
9.12. Доказать подробно теорему 9.4.
9.13. Если f (t) имеет положительную неубывающую производную на [0, оо),
то / (t) н. р. р. мод 1. Указание. Использовать метод примера 9.2.
k
9.14. Непостоянная функция на [0, оо) вида f(t)= 2a^ '» где а«» S*'€R
И Sk > Sk-.i > . . . > Si > 0, H. p. p. МОД 1.
9.15. Пусть f (t) (t^0) измеримая функция. Если при любом целом
положительном h функция f(t-\-h) — f (t) н. р. р. мод 1, то и сама функция f (t)
н. р. р. мод 1.
9.16. Пусть / (t) — измеримая функция, определенная при /^0, и k—целое
положительное число. Определим Akf (t) рекуррентно: A1/ (t) = Af(t), А^/(0 =
= А(Д>Г-1/^)) при /^2. Предположим, что Ал/ (t) монотонна по t, Ал/ (t)—>0
и 11 Ал/ (t)J—► оо, когда t—^оо. Тогда f (t) н.р.р. мод 1.
9.17. Пусть k—положительное число и f (t) дифференцируема к раз на
[0, оо). Если /<*> (t) —>с Ф 0 при t—► оо, то / (t) н. р. р. мод 1.
9.18. Для любого о > 0 функция / (t) = f sin 2nt н. р. р. мод 1.
Указание. Использовать теорему 9.6.
9.19. Функция /(0 = VT + sin 2л (/ + (*+1)"1) (*^0) н. р. р. мод 1.
Указание. Использовать теорему 9.6.
9.20. Пусть g(t)—периодическая измеримая функция на [0, оо) с
периодом р > 0. Предположим, что измеримая функция / (t) (t ^ 0) такова, что
(f(np-\-u)) (n = 0, 1,...) p.p. мод 1 для почти всех и из [0, р]. Тогда / (0+
+ 2(0 н.р.р. мод 1.
9.21. Функция f(t)=Y\n(t+\)-\-V\n(t + \) (*^0) не н.р.р. мод 1.
9.22. Пусть (хп) (п = 0, 1,...) —последовательность действительных чисел.
Доказать, что (хп) p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда функция /(0=*r/j
(/^>0) н, р. р. мод 1.
9.23. Пусть (хп) p.p. мод 1. Доказать, что функция / (t) из
упражнения 9.22 н.р.р. мод 1, но не н'"-р. р. мод 1.
9.24. Доказать с помощью теоремы 9.3: если / (/) удовлетворяет условиям
этой теоремы, то (/ (п)) (л = 1, 2,...) не p.p. мод 1 (сравнить с теоремой 2.6).
9.25. Последовательность (In л-f-sin 1п/г) .(п=\, 2,...) не p.p. мод 1.
В более общем случае, если ф (и) (м^ 0) — дифференцируемая функция с
ограниченной производной и если f (t) (t^0) — неотрицательная дифференцируемая
функция, для которой tf (t) ограничено, то последовательность (ф (f (п)))
(я= 1, 2,...) не р. р. мод 1.
9.26. Если система функций f(t) = (/i (/), ..., /iS(0). н.р.р. мод 1 в Rs,
то для любой действительной непрерывной функции w (иъ ...,us),
определенной на 75,
т 1 1
V? Y§w({fi(t)l ••■• {fs(t)})<U = §--§u>(ui. ^.,us)du1...dus.
r_>Q0 о оо
Обратное утверждение также справедливо.
A vl K?i"mepc, Г. Нидеррейтер

98 ГЛ. 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 1
9.27. Если действительные числа 0Ь 02, .., Qs линейно независимы над
полем рациональных чисел, то система функций (0^, 02f, ..., Qst) н. p. p.
мод 1 в Rs.
9.28. Если 0i, 02, ..., 0$—действительные числа, отличные от нуля, то
система функций (6i**, 02^-1, ..., 0^0 н. р. р. мод 1 в Rs.
9.29. Точка движется внутри единичного квадрата прямолинейно и с
постоянной скоростью. Достигнув стороны квадрата, она симметрично
отражается. Тангенс угла между стороной квадрата и начальным направлением
движения есть иррациональное число. Рассмотрим подынтервал 5 квадрата, и
пусть 5 (Г) — время, проведенное точкой в S, если движение продолжалось
время Т. Тогда lim 5 (Т)/Т равен площади S.

Гла ва 2
ОТКЛОНЕНИЕ
В предыдущей главе мы изучали равномерное распределение
по модулю 1 с чисто качественной точки зрения. Нас главным
образом интересовало, будет ли заданная последовательность
равномерно распределенной или нет. Однако, изучая различные
равномерно распределенные последовательности, можно
обнаружить, что существуют последовательности, распределение
которых очень хорошее, в то время как другие последовательности
всего лишь просто равномерно распределены. Цель настоящей
главы: ввести количественную меру отклонения распределения
последовательности от некоторого идеального распределения (так
называемое отклонение (discrepancy) последовательности). Это даст
нам возможность отличать последовательности с «хорошим»
равномерным распределением от последовательностей с «плохим»
равномерным распределением. Мы рассмотрим количественные
аспекты некоторых важных теорем, доказанных в гл. 1, и тем
самым получим результаты, дополняющие эти утверждения или
идущие дальше. Интересные приложения введенного понятия
к задачам численного анализа можно найти в § 5. Заметим, что
во всей второй главе счетчики А(Е\ N)y введенные в §§ 1 и 6
предыдущей главы, считаются определенными также для конечных
последовательностей, содержащих не менее, чем N членов.
§ 1. Определение и основные свойства
Одномерный случай.
Определение 1.1. Пусть хг, ..., xN—конечная
последовательность действительных чисел. Число
DN = DN(xv ...,xN)= sup H([«,P);A0_(p_a)| (U)
называется отклонением заданной последовательности. Для
бесконечной последовательности со действительных чисел отклонением
DN((x)) называют отклонение начального участка
последовательности, содержащего N первых членов со.
Из приведенного определения ясно, что при доказательстве
какого-либо утверждения, касающегося отклонения заданной
последовательности, можно без ограничения общности предполагать,
что эта последовательность принадлежит /.
4*

100 гл- 2- ОТКЛОНЕНИЕ
Существенность понятия отклонения для теории р. р. мод 1
видна из следующего критерия.
Теорема 1.1. Последовательность со р. р. мод 1 тогда и
только тогда, когда limDiV(co) = 0.
Л7 -к»
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна.
Переходя к доказательству необходимости, выберем целое число
т^2. Для O^k^m—1 обозначим через Ik интервал Ik =
= [k/my (k-\-\)/m). Так как со p.p. мод 1, то можно указать
целое N0=N0(m) такое, что при N^Nb и при всех & = 0,
1, . . ., т— 1
(1/т)(1-1/т)<Л(/,; N)/N < (1/m) (1 + 1/m). (1.2)
Рассмотрим теперь произвольный интервал J = [ау Р) ^/.
Очевидно, существуют интервалы Jx и У2, представляющие собой
объединения конечного числа интервалов Ik такие, что
JX<=J <= У2, к(/) —А, (Л) < 2/m, к(J%) — k'(J) < 2/m.
Из (1.2) следует, что при всех N^N0
MA)(l-l/m)<i4(A; N)/N<^A(J; N)/N <
<Л(У2; N)/N^k(J%)(l + l/m).
Следовательно,
(ОД —2/m) (1 —1/m) < Л (У; tf)/tf < (к (J) + 2/m) (1 + 1/m).
Так как к (J) ^ 1, то отсюда вытекает, что при всех N ^ N0
—3/m—2/m2 < Л (У; N)/N—k(J) < 3/m + 2/m2. (1.3)
Но границы в (1.3) не зависят от У, так что D^ (со) ^ 3/m + 2/m2
при всех N^N0. И, так как значение 3/m + 2/m2 может быть
сделано как угодно малым, то доказательство закончено. □
Вышеизложенная теорема указывает, в частности, на
следующий интересный факт: во всех случаях, когда со p.p. мод 1,
стремление к пределу A(J; N)/N —+k(J) происходит равномерно
относительно всех подынтервалов J = [<х, Р) из /.
Можно также ввести содержательное понятие отклонения (т. е.
такое, для которого верен критерий, аналогичный теореме 1.1)
по отношению к непрерывной функции распределения. Более
подробно, пусть /—неубывающая функция, определенная на [0, 1],
для которой /(0) = 0, /(1)=1, а со — последовательность
действительных чисел. Тогда выражение
DN(a;f)= sup |Л([а'^;ю)-(/ф)-/(«))| (1.4)
можно назвать отклонением со по отношению к /. Используя
те же идеи, что при доказательстве теоремы 1.1, можно доказать,
что если / непрерывна, то последовательность со имеет функцию /

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Ю1
своей а.ф. р. (мод 1) тогда и только тогда, когда limD^fo); /)=0
(см. упражнение 1.3). Для разрывных / аналогичный критерий
неверен (см. контрпример в упражнении 1.4).
Ограничимся пока простой оценкой DNy которая показывает,
что DN не может слишком быстро стремиться к нулю. Уточнения
будут приведены в § 2.
Теорема 1.2. Для любой последовательности, состоящей из
N чисел,
1/ЛГ<£^<1. (1.5)
Доказательство. Правое неравенство видно
непосредственно из определения. Выберем теперь е > 0 и пусть х£1 — один
из элементов последовательности. Рассмотрим интервал / = [ху х +
+ е)П/. Так как x£Jt то A (J\ N)/N — k(J)^l/N—X(J)^l/N — E.
Отсюда следует, что DN^\/N — е, и требуемое неравенство
доказано. □
Пример 1.1. Докажем, что DN=l/Ny например, для
последовательности, состоящей из чисел О, 1/Л/, 2/N, ..., (N—l)/N,
расположенных в любом порядке. Для этого рассмотрим
произвольный полуоткрытый интервал J^I. Существует единственное
целое k (0<£<N—1) такое, что k/N <X(J)<^(k+l)/N.
Тогда J содержит не меньше, чем £, и не больше, чем k+l
элементов последовательности. И в том, и в другом случае | A (J; N)/N —
— X(J)\^l/Ny так что это неравенство справедливо для
любого У. П
Иногда полезно несколько ограничить множество интервалов,
по которым берется верхняя грань в определении отклонения.
Наиболее важный тип ограничения — рассматривать только
интервалы вида [0, а), где 0 < а <; 1.
Определение 1.2. Для конечной последовательности
действительных чисел х1У ..., xN обозначим
D*N = D'N(Xl, ... , xN)= sup \АШриО—а\. (1.6)
0<а<1 / /v I
Определение D*N распространяется на бесконечную
последовательность со так же, как определение 1.1 *).
Теорема 1.3. Отклонения DN и D*N связаны неравенствами
D*N^DN^2D'N. (1.7)
Доказательство. Левое неравенство следует сразу из
определений. Чтобы доказать правое неравенство, заметим, что
Л ([а, Р); N) = A([0, р); N)-A([0, а); ЛГ),
*) Во многих работах отклонением называют величину NDn (ср. теоремы
2.1— 2.3). — Примеч. перев.

102 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
так как 0 ^ а < р ^ 1, и поэтому
А ([а, Р); N)
N
(Р-а)|<|^#^-Р
+
А ([0, а); AQ
N
-а
Остается перейти к верхним граням. □
Следствие 1.1. Последовательность со р. р. мод 1 тогда
и только тогда, когда
limDtf(©) = 0.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из теорем
1.1 и 1.3. □
Отклонение D*N допускает простое представление в форме
максимума конечного числа величин. Заметим, чго. отклонение D^
(так же, как и DN) для чисел xlt ... , xN из /не зависит от
порядка этих элементов. Поэтому, не ограничивая общности,
будем считать, что xt упорядочены.
Теорема 1.4. Пусть заданы N чисел хх<х2< ... <хп в I.
Тогда их отклонение D*N можно вычислить по формулам
D*N= max max([*, — i/N\, \xt — (i— 1)/#|) =
= l/(2N)+ max \xi — (2t—l)/(2N)\. (1.8)
Доказательство. Для упрощения обозначений введем
х0 = 0 и xN+1 = 1. Различные значения чисел дс( при 0 ^ i ^ N +1
определяют разбиение [0, 1]. Поэтому
Du= max sup |Л([0, a); N)/N—a\ =
v/ + i
= max sup \i/N—а|.
0<i<N */<а<*/+1
xi<xi+i
Если x(<xi+lt то максимальное значение функции g/(a) =
= \i/N—a | на отрезке [*,, xi+1] реализуется в одном из концов.
Следовательно,
Dn= max max(|*7tf—*i|. \i/N—xi+1\). (1.9)
xi<xi + l
Докажем теперь, что ограничение xi < х{+1 в первом максимуме
можно опустить. Итак, допустим, что xt < xi+1=xi+2 = ... =xi+r <
< xl+r+lt где г ^2. Тогда в первый максимум в формуле (1.9)
не входят индексы i+j при 1</^г—1. Мы докажем, что
числа
\(i + j)/N-xi+J\ и \(i + ,)/N-xi+J+1\
при 1 </^г—1, которые исключены в (1.9), в действительности
меньше чисел, оставленных в (1.9). В самом деле, рассматривая

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
103
при !</</'—1 функцию hi+1(y) = \y—xi+1\t мы (так же, как
выше) получим:
\(i + j)lN-xi+J\ = \(i + j)/N-xi+1\<
<max(\i/N—xt+1l \(i + r)/N—x{+1\) =
= max (| i/N—xl+11, | (i + r)lN—x{ +r \);
оба числа, входящих в последний максимум, входят также в (1.9).
Такие же рассуждения справедливы для \(i + j)/N—xi+j+1\ при
1^/^г—1. Таким образом, мы приходим к равенствам
D*N= max max(\i/N—x(\t \i/N—xl + 1\) =
= max max(| i/N —х{\, \ (i— l)/N—x(\).
1<7<jV
Последний шаг возможен из-за того, что оба отброшенных числа
\0/N—дс0| и \N/N—xN + \ | равны нулю. Переход ко второму
тождеству в (1.8) очевиден, П
Следствие 1.2. Для любой последовательности, состоящей
из N чисел интервала /, отклонение D*N^ l/(2N)t причем
равенство имеет место только для последовательности l/(2N)t 3/(2jV), ...
... , (2N—\)/(2N) или ее перестановок.
Мы приходим к следующей интерпретации D*N: отклонение
D*N последовательности, состоящей из N членов / в естественном
порядке, получается сложением минимально возможного значения
\/(2N) с величиной максимального уклонения членов заданной
последовательности от членов возрастающей последовательности
из N членов с минимально возможным отклонением. Пример
конечной последовательности l/(2N)t 3/(2N)t ..., (2N—l)/(2N)
показывает также, что константа 2 в теореме 1.3 не может быть
уменьшена.
Многомерное отклонение. Определения DN и D*N очевидным
образом обобщаются на последовательности в R* (результаты о
p.p. мод 1 в R* см. в § 6 гл. 1).
Определение 1.3. Пусть х1У ... , xN—конечная
последовательность в R*. Отклонения DN и D*N определяются формулами
DN = DN(xl9 ..., xN) = sup\A(J; N)/N-X(J)\, (1.10)
D*N = D*N(Xl, ..., xN) = sup\A(J*- N)/N-k(J*)\, (1.11)
где J и У* — всевозможные подмножества Ik вида
J = {(xu ... , xk)£lk: (*,<*,<?„ 1<*<Л},
J:={(xl9 ... , xk)£lk: 0<^<p„ 1<*<*};
через X обозначена 6-мерная мера Лебега. Для бесконечных
последовательностей действительно то же соглашение, что в
определении 1.1.

104 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Пример 1.2. Соотношение между DN и D*N в многомерном
случае очень похоже на то, которое было доказано в теореме 1.3.
Идея доказательства: начать с произвольного подынтервала J £lk
и выразить его через подынтервалы вида J*^Ik. Опишем
подробно лишь случай k = 2, ибо при больших размерностях все
обстоит так же. Пусть J = {(xly x2)£l2: а^д:^^, а2<л;2<р2} =
= [а1э р!)х[а2, р2), где O^a^p^l (i=l, 2). Тогда / =
= {([0, Pi)x[0, P2))\([0, ai)x[0, P2))}\{(L0, WxtO.a.WXJO, at)x
X[0, at))} = (/;\/;)\(/,*V;). Далее, k(J) = k(Jl)-X(j;)-
— l(Jl) + l(Jl) и точно также A(J; N) = A(J\\ N)—A(J*2; N)
—A (Jl\ N)-\-A (Jl\ N). Рассуждая так же, как при доказательстве
теоремы 1.3, получим неравенство D*N^.DN^4D*N. В общем
й-мерном случае D*N < DN < 2kD*N. П
Так же, как в теореме 1.1, можно доказать, что
последовательность со р. р. мод 1 в R* тогда и только тогда, когда
lim DN(w) = 0 или, что равносильно, lim £>#(©) = 0. Более того,
повторяя доказательство теоремы 1.2, можно показать, что
неравенство DN^\/N справедливо также и в многомерном случае
(более сильный результат см. § 2).
Изотропное отклонение. Еще одно интересное определение
отклонения в R* получается тогда, когда верхняя грань в
определении 1.3 берется по значительно более широкому классу
подмножеств /*, а именно — по всем выпуклым подмножествам.
Напомним, что любое ограниченное выпуклое множество С в R* имеет
конечную лебегову меру Х(С) и даже измеримо по Жордану.
Определение 1.4. Пусть х1У ... , лг^ — конечная
последовательность в Rft. Изотропное отклонение Jn = Jn{*\, ••• , xN)
определяется формулой
/„=sup|,4(C; N)IN-X{C)\, (1.12)
где #— семейство всех выпуклых подмножеств /*. Определение JN
распространяется на бесконечные последовательности так же, как
определение 1.3.
Мы докажем, что в действительности не обязательно
рассматривать все выпуклые подмножества /*, чтобы определить JN.
Достаточно рассмотреть специальный класс выпуклых множеств,
а именно замкнутые или открытые выпуклые многогранники, или
политопы. Напомним, что замкнутый выпуклый политоп
определяется, как выпуклая оболочка конечного множества точек в R*,
т.е. наименьшее выпуклое множество, содержащее эти точки.
Открытым выпуклым политопом мы называем множество
внутренних точек (в обычной топологии R*) замкнутого выпуклого
политопа. Нам понадобится следующая элементарная теорема о
выпуклых множествах: для любого выпуклого множества С в R* и
любой точки х g R*, не являющейся внутренней точкой С, сущест-

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
105
вует гиперплоскость Я, проходящая через точку х, такая, что С
целиком лежит по одну сторону Я. Гиперплоскость Я называют
опорной гиперплоскостью *) множества С.
Теорема 1.5. Изотропное отклонение JN определяется
также формулой
JN= sup\A(P; N)/N-X(P)\, (1.13>
РеР
где Р—множество всех замкнутых и всех открытых выпуклых
политопов, содержащихся в Р.
Доказательство. Мы докажем, что JN = sup | A (Q; N)/N—
— MQ)|> где U—это множество всех замкнутых выпуклых
политопов и всех открытых выпуклых политопов, содержащихся в /*.
Этим все будет доказано, ибо, во-первых, каждый открытый
выпуклый политоп, содержащийся в 7*, содержится также в /*.
Во-вторых, так как без ограничения общности можно считать,
что заданная конечная последовательность принадлежит /*, то
найдется для любого е > 0 и для любого замкнутого выпуклого
политопа Q, принадлежащего 7*, замкнутый выпуклый политоп
Я=Р(е)£/* такой, что A (Q; N) = A (P; N) nX(Q)^l(P)>X(Q)—e.
Стало быть, верхняя грань по й совпадает с верхней гранью
по 5*.
Обозначим через intM и М внутренность и замыкание
множеству М соответственно. Если С g #, то A (int С; N) < А (С; N)<
<:А(С; N) и при этом К (int С) = А, (С) = К (С), ибо С измеримо
по Дордану. Поэтому
\А(С\ N)/N-X(C)\^
<max(|4(intC; N)/N — b(int С) |, | А (С\ N)/N — ЦС)|)
и достаточно рассмотреть замкнутые или открытые выпуклые
множества в 1к. Это же рассуждение показывает, что достаточно
доказать равенство
JN= sup | Л (Д; N)/N — X(R)\t
Reft
где 91—семейство всех множеств R вида R = R1()Tft, где /?х —
какой-нибудь замкнутый или открытый выпуклый политоп в R*
(заметим, что оба множества int/? и R принадлежат #).
Достаточно доказать, что для любого замкнутого или
открытого выпуклого множества C^Ik существуют Р и Q,
принадлежащие Я, такие, что А (Р; N) = A (Q; N) = А (С; Ы)иХ(Р)^Ь(С)<
*) Обычно этот термин используют только в случае, когда Jc£C\intC.—
Примеч. перев.

106
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
<^(Q). Ибо тогда можно записать, что
|Л(С; N)/N-X(C)\<^max(\A(P; N)/N-X(P)\9 \A(Q; N)/N-X(Q)\),
и теорема доказана.
Пусть xlt ... , xN— заданная конечная последовательность
в /*. Пусть задано замкнутое или открытое выпуклое множество
Cfe/*, и предположим, что С содержит в точности элементы Xtl9 • • •
... , xir заданной последовательности. Пусть Р — выпуклая
оболочка этих точек (или пустое множество, если С не содержит
ни одной точки последовательности). Тогда Р £ 31, Р^С, A (P; N) =
= Л(С; N), Х(Р)<МС).
Перейдем к построению множества Q. Пусть дгУ1, ... , Xjs —
элементы заданной последовательности, не принадлежащие С.
Если s = 0, то положим Q = Ik. Пусть теперь s > 0. Если
множество С не открыто, то мы можем расширить его до выпуклого
множества" С (не обязательно содержащегося в 7*), которое все
еще не содержит элементы лгУ1, ... , Xjs, но для которого точки
*и$ • • • » Xir являются внутренними. Если С открыто, то будем
считать С =С. Через каждую точку Х\т (l<m<s) проведем
опорную гиперплоскость Нт множества С так, что С
принадлежит замкнутому полупространству Тт, ограниченному
s
гиперплоскостью Нт. Очевидно, множество Qx= П Тт содержит С
m=l
Пусть Т°т— открытое полупространство, соответствующее Тт. Мы
утверждаем, что множество Q = TJ П ... П T°s n /* удовлетворяет
всем нашим требованиям. В самом деле, очевидно, что Q € 31.
Так как Xjrn(^T0ni при каждом l^m<s, то множество Q не
содержит ни одной из точек jcyi, ... , Xjs. С другой стороны,
точки Xilt ... , Xin являющиеся внутренними точками С,
содержатся в Q. Поэтому A (Q; N) = A (С; N). Наконец, к (Q) =
= ^ (Qi П /*) > >v (С п /Л) > Л, (С), и доказательство окончено. □
Теорема 1.6. Для любой последовательности из N точек
в R*
Pn<Jn< (4ftК* + ОDtfk. (1.14)
Доказательство. Левое неравенство очевидно, ибо
каждый интервал представляет собой выпуклое множество. Основная
идея доказательства правого неравенства состоит в следующем.
Мы начнем с произвольного выпуклого подмножества /\ причем
(с учетом предыдущей теоремы) можем считать, что это политоп
Р € 5\ Затем мы построим два множества Рг и Р2, являющихся
объединением конечного числа интервалов, так, что Рг^Р^Р2.
Точное выражение Рг и Р2 будет приведено позднее. Отметим, что
(Л(/\; Л^)/^-Х(Р1)) + (Х(Р1)-^(Р))<
^А(Р; N)/N-X(P)^(A(P2; N)/N-X(P2)) + (X(P2)-X(P))t

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
107
так что
\А(Р- N)/N-k(P)\^
< max\A(Pt\ N)/N — K(Pt)\+ max| X(P,) —A,(P)|. (1.15)
1=1, 2 1=1, 2
Множества /^ и /Y строятся следующим образом. Пусть г —
произвольное положительное целое число. Для любой
целочисленной точки (hlf ..., hk) с 0 < hj < г при 1 < / < k определим
интервал J%.. .ftft = {(^, . . . , хк) 6 R*: V <х/ < (h/ + l)/r ПРИ
1^/^Сй}. Совокупность Ж(г) всех таких интервалов образует
разбиение 1к. По определению, пусть Р1 = Р{{}—объединение всех
таких интервалов из 2(г), которые целиком принадлежат Р\
а Р2 = Р(2п пусть будет объединением всех таких интервалов
из Й(г), пересечение которых с Р непусто. Тогда, очевидно,
Pi £= Я £= Р2- Если мы фиксируем k— 1 целых чисел hly . .., Лл-1,
удовлетворяющих вышеуказанным ограничениям, то целые h
такие, что 0</i<r и J{h?.. .hk_1h^P* следуют друг за другом
(«разрывов» не может быть из-за выпуклости Р). Поэтому
объединение этих интервалов Д?. ..лл-1а есть снова интервал. Отсюда
следует, что Рх может быть представлено в форме объединения
не более чем г*"1 попарно непересекающихся интервалов. И точно
так же можно доказать, что Р2 представимо в форме объединения
не более, чем г*"1 попарно непересекающихся интервалов.
Следовательно,
max\A(Pt\ N)/N—'k(Pi)\^rk-1DN. (1.16)
i = l, 2
Оценим теперь Х(Р2)—Х(Р). Заметим, что диаметр каждого
J$...hk (т. е. верхняя грань расстояний между двумя точками
множества) равен 8 = (1/г)|/£. Поэтому каждая точка Р2 удалена
не более, чем на б, от некоторой точки из Р. Значит,
множество Р2 содержится во множестве Q, которое можно построить
следующим образом. Каждую из гиперплоскостей Я, образующих
границу Р, заменим параллельной гиперплоскостью //',
удаленной от Н на расстояние б и расположенной в том открытом
полупространстве, которое не содержало множества Р (в
вырожденном случае, когда Р расположено в одной гиперплоскости,
выбираем две параллельные гиперплоскости, расположенные по
обе стороны от Н). Рассмотрим пересечение всех замкнутых
полупространств, определенных гиперплоскостями Н' и
содержащих Р. Пересечение этого множества с 1к представляет собой
замкнутый политоп Q. При этом h(P2)— M^)^MQ\/>).
Из построения Q видно, что X(Q\P) не более, чем в б раз
превосходит меру поверхности Q. Для строгого доказательства
выберем точку у, являющуюся внутренней точкой Q, но не при-

108
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
надлежащую Р. Так как граница Q компактна, найдется точка jc,
принадлежащая границе Q, которая является ближайшей к у
точкой среди всех точек границы Q. Тогда отрезок прямой,
соединяющий х с у, ортогонален гиперплоскости (или одной из
гиперплоскостей), определяющей Q и содержащей х. В противном
случае прямая, проходящая через точку у и ортогональная
гиперплоскости, содержащей дг, пересекала бы эту гиперплоскость
в другой точке x±^Q (из-за минимального свойства х). Отрезок
прямой, соединяющий точку у (расположенную внутри Q) с
точкой хг (расположенной вне Q), пересечет границу Q в некоторой
точке дг2. Но тогда х2 расположено ближе к у, чем х\ получаем
противоречие. Далее, так как у (£ Я, то расстояние между у и х
не превосходит б. Таким образом, каждая точка множества Q\P
принадлежит одной из «призм», высота которой б, а основание —
(k—1)-мерная грань Q (призма направлена внутрь Q). Отсюда
сразу следует указанная выше оценка для X{Q\P).
Воспользуемся теперь следующей классической теоремой (см.
Боннезен и Фенхель [1, с. 47], Эглстон [3, гл. 5]): если Кх и К2 —
два ограниченных выпуклых множества и Ki содержится в /С2,
то мера поверхности Кг не превосходит меры поверхности /С2.
Замкнутый выпуклый политоп Q содержится в /* и, так как
поверхность Ik состоит из 2k «единичных квадратов», то мера
поверхности Q не превосходит 2k. Таким образом, мы доказали,
что l(P2)^l(P)^l(Q\P)^2k\/"klr. Точно так же можно
доказать, что X(P) — 'k(P1)<^2k\fklr. Комбинируя (1.15), (1.16) и
два последних неравенства, получим, что
\А(Р\ N)/N-X(P)\^rk-WN + 2k]/-klrt
и, так как правая часть от Р не зависит, то
JN^r*-1DN + 2kV"klr.
Последняя оценка верна при любых положительных целых г.
Выбрав r = \pu1,k\ получим требуемое неравенство JN^
<(4ftj/"ft+l)DV*. □
Следствие 1.3. Последовательность со в Rk p.p. мод 1
в R* тогда и только тогда, когда lim Jn((u) = 0.
N ->- со
Замечания. Впервые отклонение изучалось как самостоятельное понятие
в статье Бергстрема [2], который использовал для нее громоздкий термин
«дисперсия интенсивности». Количественные исследования различных р. р.
мод 1 последовательностей встречались и раньше (см., например, § 3).
Вероятно, термин «discrepancy» ввел ван дер Корпут. Широкое изучение
отклонения было предпринято ван дер Корпутом и Пизо [1], которые доказали
теорему 1.2, а также ряд более глубоких результатов. Относительно теоремы
1.1 см. Вейль [4].
Отклонение Dy можно интерпретировать как норму функции.
§(х) = А([0, х); N)/N-x}

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
109
если в качестве нормы брать верхнюю грань функции в интервале /. Если
рассматривать норму в смысле Lp, то получим другое отклонение
где К;/? < оо. Число D^ можно назвать Lp-отклонением заданной
последовательности. В таком контексте отклонения D^ и Dn иногда называют
экстремальными отклонениями. Несколько подробнее изучено /Аотклонение
(см. Холтон [4], Холтон и Заремба [1], Нидеррейтер [13], Соболь [7], Уор-
нок [1], Заремба [2, 3]). Конечно, //-отклонения можно рассматривать
и в многомерном случае. Другие виды отклонений см. у Xлавки [25], Мюкка
и Филиппа [1], Нидеррейтера [13, 14] *).
Термин изотропное отклонение ввел Заремба [7], хотя изучал величину Удг
значительно раньше Хлавка [12]. Теорему 1.5 доказал Нидеррейтер [10]
в более сильной формулировке. Некоторые нерешенные задачи об изотропном
отклонении и доказательство теоремы 1.6 можно найти в статье
Нидеррейтера [5]. См. также Мюкк и Филипп [1]. Более ранние результаты в этом
направлении см. Хлавка [12, 25]. Пример Зарембы [4] показывает, что
показатель \jk в (1.14) улучшить нельзя. О дальнейших результатах относительно
изотропного отклонения см. конец Замечаний, а также Замечания к §§ 2 и 5.
По поводу теории выпуклых множеств сошлемся на Боннезена и Фенхеля [1]
и Эглстона [3].
Формула (1.8), точнее ее вторая часть, была получена Нидеррейтером [10];
там же имеются многомерные аналоги. Обобщение см. у Нидеррейтера [14]
Бейтмен [1] использовал отклонение для решения одной геометрическое
задачи. Дискретный вариант отклонения рассматривали Нидеррейтер [6, 9],
Мейер и Нидеррейтер [1], Тейдеман [2], Мейер [5]. Результаты, касающиеся
последовательностей, рассмотренных в упражнении 1.8, см.: Эрдёш и
Реньи [1] и Хлавка [7]. .
Такие утверждения, как теорема 1.1 и следствие 1.3, представляют собой
частные результаты теории классов равномерности (см. Биллингсли и Топсо [1]
и Замечания к § 1 гл. 3). Теорема 1.1 вытекает также из теоремы Пойа — Кантелли
о поточечной сходимости монотонных функций (Фреше [1, с. 319—321]).
Отклонение можно считать частным случаем величины, возникающей
в теории эмпирических (или выборочных) распределений. Пусть \ъ |2> •••—
независимые случайные величины с одной и той же непрерывной функцией
распределения F (/), определенные на вероятностном пространстве (Л", 53, Ц).
Для каждого х £ X и целого положительного jV определим эмпирическую
функцию распределения FN(t, x), как произведение A/N на количество £„(*),
удовлетворяющих при \<^.n<^N неравенству !„(*)</. Так называемый
двусторонний критерий Колмогорова основан на поведении случайной величины
GN(x)— sup | Ftf(tf x) — F (t) |. Если 1Ъ £2> • • • равномерно распределены в /,
то определение GN(x) совпадает с определением отклонения D/v (см. упраж-
*) В качестве количественных характеристик равномерности
распределения в данной книге рассматриваются только различные нормы g(x). Известны,
однако, и другие количественные характеристики, например, построенные
по типу
sup|i4(£f; N)-A{EJ\ N)\,
i
где классы множеств Е\ и EJ, принадлежащих /, заданы, причем к (Е^) =
= А,(£Г). См. упомянутую книгу Соболя [7], где подробно изучается так
называемая неравномерность ф*, (хъ ..., *дг).— Примеч. перев.

по
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
нение 1.6). Согласно теореме Гливенко—Кантелли lim Gtf(x)=0 почти
N -*- со
всюду по мере \i. Известно много количественных результатов. Хотя они
справедливы и в общем случае, мы сформулируем их применительно к D#.
Предельная теорема Колмогорова (Колмогоров [2], Смирнов [1]) утверждает,
что для любого а > О существует предел
оо
lim А,*, ({со g /-: VND*N (со)<а) = 1— 2 У. (—\У+1 ехр (—2/2а2).
м -> °° / = 1
Верен закон повторного логарифма (Чунг [1]): почти всюду по мере А,*,
N -+х>
См. также Касселс [6]. Дальнейшие результаты и ссылки см. в работах:
Феллер [1], Дуб [1], Донскер [1], Дворецкий, Кифер и Вольфович [1], Дар-
линг [1], Мизес [2, гл. 9], Биллингсли [2, гл. 2], Нидеррейтер [14, 15].
Теорию можно обобщить на многомерный случай, для чего следует начать
с последовательности векторных случайных величин и определить
эмпирические функции распределения в соответствующих пространствах R*. В этом
случае аналоги критериев Колмогорова были получены Кифером и
Вольфовичем [1] и Кифером [1]. И в этом случае справедлив закон повторного
логарифма: почти всюду по мере (А^)*,
lim Vr277D^(co)/V/"lnlnA^= l,
N -> CD
где Dm и к^ — соответственно отклонение и мера Лебега в /* (Кифер [1]).
См. также: Филипп [6, 8], Заремба [8]. В случае k = 2 Филипп доказал закон
повторного логарифма для изотропного отклонения /дг. Можно также отметить,
что Штакельберг [1] доказал закон повторного логарифма для н. р. р. мод 1.
Упражнения. #
1.1. Привести непрямое доказательство того, что D# (со) —► 0 при N —► оо
для любой последовательности со р. р. мод 1 в R.
1.2. Доказать аналог теоремы 1.1 для последовательностей в Rft (k^2).
1.3. Пусть /—непрерывная неубывающая функция, определенная на /,
и /(0)=0, /(1) = 1. С помощью определения (1.4) отклонения £>дг(со; f)
доказать, что / будет а. ф. р. (мод 1) для со тогда и только тогда, когда
lim DN(&; /)=0.
N -> оо
1.4. Пусть co=(*„), где *л=1/(л+1) для /i^l. Доказать, что со имеет
а. ф. р. (мод 1) /, но при этом £>дг(со; /)=1 при любых N^\.
1.5. Доказать, что
DN{xly ..., xN) = sup | Л ([a; W; tf)/tf-.(P-a) |.
О <а < p< 1
1.6. Доказать, что
D*N(xlt ..., xN)= sup |Л([0, a]; N)/N — a\.
0<a< 1
1.7. Рассмотрим последовательность, состоящую из N элементов,
принадлежащих /, отклонение которой равно D#. Доказать, что любой
фиксированный элемент с £ / встречается в последовательности не более, чем [ND^] раз.
1.8. Пусть co = (*„) — последовательность в R и т — целое положительное
число. Доказать, что отклонение Dp/(о) последовательности а = (тхп)
удовлетворяет неравенству DN(o) < | т | Одг(со).
1.9. Мотивировать утверждение о том, что результат упражнения 1.8
неверен для нецелых рациональных т.

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
111
1.10. Мотивировать утверждение о том, что результат упражнения 1.8
неверен для иррациональных т.
1.11. Для /2^1 рассмотрим конечную последовательность соп, состоящую
из элементов 0, 1/л2, 4//i2, ..., (п— 1)2/п2. Доказать, что lim D# (co„)= 1/4.
п-> оо
1.12. Для положительных k и п рассмотрим конечную
последовательность со^\ состоящую из элементов 0, 1/ял, 2ft/nA, ..., (п—1)*/пл. Доказать,
что lim lim D^(©J?)) = 1.
Л -> оо я -> оо
1.13. Если последовательность, состоящая из N точек /*, имеет
отклонение DN, то каждый подынтервал /л, объем которого больше, чем £дг,
содержит хотя бы одну точку последовательности.
1.14. Пусть со—последовательность, состоящая из N элементов R*. Для
1«С/<;£ обозначим через со(/) последовательность, образованную *-ми
координатами точек из со. Тогда DN (со) ^ Dm (со(/)) при 1<;/^:&. Аналогичное
неравенство справедливо для D#.
§ 2. Оценки отклонения
Нижние границы: метод Рота. Мы сперва установим
некоторые оценки D*N снизу, улучшающие тривиальную оценку
предыдущего раздела. Для этого нам понадобится последовательность
лемм, приводящая к неравенству, сформулированному в лемме 2.5.
Мы рассматриваем N точек р1У ..., pN, расположенных в 1к
при £>2. Пусть pi = (aily ..., alk) для l^t'^/V. Определим
функцию г|) (х) при помощи соотношений г|) (х) =—1 для 0^*< 1/2
и я|з (х) = 1 для 1/2 ^ х < 1; далее г|э (х) периодически продолжается
на R с периодом 1. Выберем целое число п такое, что 2и"1)(л"х)>Л^;
оно будет конкретизировано позднее. Для любой группы
(г19 ...,гЛ_1) целых чисел, где 0<Гу^п—1 при 1</<&—1,
введем функцию Gr1...rik_1 на R*, определенную следующим
образом: если существует i (l^t'^/V) такое, что
([2"ай], .... [2'*-*а,, „_,], [2ра,*]) = (М [**]). (2.1)
то полагаем Grimmmf (х19 > - -, хк) = 0; в противном случае
полагаем
°г>...гЛ_х (*x, ....**) = * (*х) . .. ф (*Л);
здесь и ниже р = (&— 1)(п— 1) — гх— ... — rk_1.
Дальше определим функции
^...r^te, ..., xk) = Grl...rk_l(2r%, ..., 2'*-^, 2<>xk) (2.2)
и функцию.
F (*р ...,**) = S Fri... г. х (*lf .. •, xh). (2.3)
Лемма 2.1. Фиксируем вышеуказанную группу (г19 ..., гк_г)
и номер / (!<!/<£—1). Пусть а и Ь—числа; кратные 2 Л

112 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
например a = h2 j и Ь = т2 у, где h и т — целые, h<m. Тогда
при любых фиксированных х19 ..., х;_1У х/+1У ..., хк
ь
\Fr,...rk_1(x1,...,xk)dx/ = 0. (2.4)
а
Точно так же, если е = р2~9, f = q2~p, где /?, q—целые, p<q,
то при любых фиксированных хг> ..., xk_x
f
S^.-.r^fe, ..., xk)dxk = 0. (2.5)
e
Доказательство. С помощью замены t = 2JXj получаем:
ь
a
b
m
= 2"f^Gfl...rfc_l(2r%, .... Л .... 2rft"Vi. *xh)dt.
h
Разобьем интервал [Л, m) на интервалы вида [с, с-\-1) с целыми с.
Из определения Gri...r видно, что на некоторых из этих
интервалов подынтегральная функция тождественно равна нулю.
На оставшихся интервалах подынтегральная функция равна
s+l
Но j t|)(/)d/ = 0 при любом действительном s, откуда вытекает
s
(2.4). Аналогично доказывается и (2.5). П
Лемма 2.2
1 1
\ ... ■ $ *х ... xkF (х1У ..., xk) dxx ... Лл >
0 о
^да-12-«1Л-1)(и-1)-«л(2<*-«<«-« —Л^). (2.6)
Доказательство. Достаточно доказать, что
1 1
$•••£*!•• • Vv,.. .гЛ-1 (*i, • • •, xk)dxx.. .dxk >
о о
> 2~2 (л-1) (л-1)-2л (2(ft~1) tn~1)—Л^) (2.7)
для любой группы (г1У ..., гЛяш1) рассматриваемого нами вида.
Воспользуемся заменой переменных tj = 2 J' xj при 1^/^6—1

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
113
и tk = 29xk\ получим
1 1
§--.§xl...xkFri...rhmml(x1, ..-, xk)dx1...dxk =
i i
§ ..^x1...xhGri...rk_l(2r*xl, ..., 7Pxu)dxl...dxh =
о о
1 1
о о
«Гг 2rk-l 2P
О О О
Из определения функции Gri...r следует, что
J .... j ^.••^Gri...r,_1(^t, ..., tk)dtx...dtk = Q
всякий раз, когда целочисленная точка (ftlf ..., /tft) при
некотором i (l^i^.N) равна
(Л,, .... Л*) = ([2'.аа] [2Г*-Ч-,»-!]. [УаЛ]).
Поэтому
1 1
J ...^...^...^(Xi, •••> x^dx^..dxk =
о о
= 2-2<*-ix„-i> £* j ... J <1...^(/1)...ф(^)Л1...ЛЛ,
С* h) ht \
где суммирование со звездой * распространяется на все
целочисленные точки (hu ..., hk) такие, что 0^ЛУ<2/ при
1^/^&—1 и 0^ЛЛ<2Р, и при этом (hly ..., hk) не
совпадает ни с одной из точек вида ([2^аа], ..., [2r*-1a/i/k_1],
[2pa/ft]) (1 <! i^N). Сумма со звездой содержит не меньше, чем
2<*-1) <л-1) — fj слагаемых. И, так как при каждом целом h
ft+1 Л+1/2 Л+1
f ^(/)Л=— f *Л + f tdt = -j,
h h fc+1/2
TO
Л1+1 hk+l
£* J ... j t1...t^(t1)...^{tk)dt1..Mk^
(Ь h) *» "*
>2-»*(2и-1>Сл-1>—JV)f
откуда следует (2.7). □

114 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Лемма 2.3.
1 1
\...\F2(xly ..., xk)dx1...dxk^:nk''1. (2.8)
Доказательство. Оцениваемый интеграл от F2 равен
сумме
X, )•• • J **• ••'*-! (*!• •••• 4)dXi-"dxk +
ri гл_1=0 0 О
1 1
(" rft-i) ° °
(S1 sfc-l)
С' rk-l)*(s* s*-l)
Так как |Fri.. ,Гк_г | < 1 при любых rlf ..., rk_ly то первое
слагаемое не превосходит п*"1. Остается доказать, что каждый член
во второй сумме равен нулю. Итак, пусть (г19 ..., гк_г) Ф
¥=(Si, ..., Sfc-i); тогда найдется такое / (1</<£—1), что
rj=^Sj. He ограничивая общности, будем считать, что Г/< S/.
Докажем теперь, что если считать х1У ..., Xj_ly *y+l,..., хк
фиксированными, то
^...r^te, ..., xk)FSlm.mSk^{xl9 ..., xh)dxj = 0\ (2.9)
о
тем самым лемма будет доказана.
S •
Замена t=^2JXj преобразует интеграл (2.9) в интеграл
2v
2"V
о
I Gr1...rk_1{...,2rrsJt, ...)GSl...Sk_i(...,t,...)dt. (2.10)
Разобьем интервал [0, 2J) на интервалы гида [су с+ 1) с целыми с.
На каждом из интервалов такого типа подынтегральное
выражение в (2.10) либо тождественно равно нулю, либо равно
ур (2Г1д:1)... i|) (2J Sjt). . . ур (2s^xl).. . я|э (t). . . Поэтому достаточно
доказать, что при любом целом с
с+1
(yp(2r; s;t)\p(t)dt = o.

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 115
г .-s
А это почти тривиально, ибо из г у < Sj следует, что г|? (2 J Jt)
с+ 1
постоянны на всем [с, с+1), а \ ty(t)dt = Q. D
с
Лемма 2.4. Для любого i (1 < i ^ N)
1 1
j ... j F(xly ...,xk)dx1...dxh = 0. (2.11)
Доказательство. Достаточно доказать, что при любых i
и г1У ..., rk_x
1 1
\ ••• J ^...r^fe, .... ^^...^=0. (2.12)
Пусть ay—наименьшее кратное 2"Г/ такое, что ay^a/7 (1^/^
<£—1), а ак— наименьшее кратное 2"р такое, что ak^aik.
Тогда интеграл \ ... \ = \" ... \ + (сумма интегралов, в ко-
aii aik a/i aik
торых хотя бы один из интервалов интегрирования имеет вид
[ay, 1]). Первый интеграл справа равен нулю, ибо для любой
точки (х1У ..., xk)y принадлежащей интервалу [<ха, а^х...
•••х[ам» ak)y имеет место равенство ([2^%], ..., ^-^.J,
[2%]) = ([2Г1аа], • ••, [^-кх,,*-!], [2ра,Л]), и по определению
Frl...rk_1(xlt ..., xk) = 0. В любом из оставшихся интегралов
можно переставить порядок интегрирований так, чтобы
внутренний интеграл вычислялся в пределах [aJt 1] по переменному Xj.
Но тогда по лемме 2.1 этот внутренний интеграл равен нулю, и
доказательство завершено. □
Лемма 2.5. Пусть (xlt ..., xk) g Ik\ обозначим через
A (xlt ..., xk) количество точек р( (1 ^ i^N)t принадлежащих
интервалу [0, хг)х ... х[0, xk). Тогда
1 1
§...§(A(Xl, ..., ^-^..'.^^...dx^^ln^W, (2.13)
о о
где ck > 0—абсолютная постоянная, зависящая только от k.
Доказательство. Обозначим через fi(xlt ..., хп)
характеристическую функцию интервала (<ха, 1]х...х(а/л, 1]. Тогда

116 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
N
А (*!, ..., хк) — S ft (xl9 ..., xk). Поэтому
l i
J ...^A(xlt .... xk)F(xlt ..., xk)dx1...dxk =
о о
= llj---J^(^' ...,x*)F(xlf ..., xk)dx1...dxk^
i = \ 0 0
w 1 1
= £ S ••• $ f(*i> •••» xk)dx1...dxk^=0
в силу леммы 2.4. Используя лемму 2.2, получим
1 1
^...^(Nx1...xh — A(x19 ..., xk))F(xlt ..., xk)dxx...dxk--=
о о
1 1
= WJ ..^хг...хнР(х1% ..., xh)dx1...dxk^
о о
^ Мп*~12~2(А~1) <«-1)-2Л(2(Л"1) (л"1) N).
Затем используем неравенство Коши—Буняковского—Шварца:
ДО2д2Л-22-4 (£-1) (п-1)-4Л/2<Л-1> <"-1> Л^)2 <
/11 \ 2
<($...$№...** —4 (*lf .... х*))*Ч*1. .... **)d*i...£***)<
о о
1 1
<( f-.-j (Nxx...xk—A(x19 ..., я*))1*! ••■•<*** jx
\o о /
x( J...JF2(^, ..., хк)йхг..м\
Воспользовавшись леммой 2.3, запишем
i i
^... ^{Nxx...xk—A (xlt ..., xk))*dxl...dxh^
о о
> A^2n*"12"4(ft_1) <«-1>-4*(2(Л_^ (/,~1) ЛП2.
В качестве п выберем единственное целое число,
удовлетворяющее неравенствам
2Л7<2<*-1)<»-1><2*ЛГ.
Тогда интеграл, стоящий в (2.13), окажется не меньше,
чем /VVi*"^-4 <*-» (»-» 2~4* > 2-8кпк-г. Но (к—1) (п—1) >
^ In JV/ln 2 + 1, так что
^ \nN . k

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 117
Следовательно, неравенство (2.13) будет выполнено при ск =
=2-*k((k— l)^)1"*. □
Теорема 2.1. Для любой последовательности, состоящей из
N точек в R* при k^29
ND*N>Ck\n(k-WN, (2.14)
где Ck > 0—абсолютная постоянная, зависящая только от k.
Доказательство. Это следует сразу из леммы 2.5. □
Если / и g—две заданные функции и g> 0, то будем писать
f = Q(g) в случае, когда f¥=o(g). Чтобы проверить, что f(N) =
=£l(g(N))t достаточно показать, что существует постоянная
6>0 такая, что | f(N) \ ^bg(N) для бесконечного числа
положительных целых N.
Теорема 2.2. Для любой бесконечной последовательности со
в R* при k^\ и для бесконечно большого числа целых
положительных N имеет место неравенство
ND*N(co)>Ck\nk^Nt (2.15)
где C'k > 0—абсолютная постоянная, зависящая только от k.
В частности, отсюда вытекает, что ND*N(to) = Q(\nk/2N).
Доказательство. Пусть (о = (хп)— заданная
последовательность в /*, и предположим, что хп = (ап1, ..., ank).
Фиксируем Af>l -и рассмотрим конечную последовательность точек
Ри •••» Pn в /*+1, определенных координатами
А = («/1. •••» а/*» (i—l)/N)9 1<*<ЛГ.
Из теоремы 2.1 следует, что существуют xlt ..., xh_lt
принадлежащие (0, 1], такие, что
\Л(х19 ..., x^J-Nx, ... xk+1\>Ck+1lnk/*N.
Пусть m—такое положительное целое число, что (т—\)/N <С
<xk+1^.m/N. Напомним, что А(хи ..., xk+1) равно количеству
номеров i (1 ^ i < N) таких, что 0 ^ а/у- < Xj при всех 1 < / ^ k
и 0^(i—\)/N <xk+1. Но последнее неравенство равносильно
неравенству 1 < i < т, так что A (xlt ..., xk+1) = A ([О, хг) х . ..
. .. х[0, хк)\ т\ со). Отсюда вытекает, что
М([0, хг)х . .. х[0, xk)\ m; co) — mx1 ... *Л|>
>\А(х1, .... xk+l) — Nx, ... xk+x\ — \Nx1 ... xh+l — mxl ... xk\>
> Ck+1 In*/» N-xx ...xk\ Nxk+1-m\ > Ck+1 In*/» N-1 > CJ In*/» JV,
если Af достаточно велико. Таким образом, мы доказали, что для
каждого достаточно большого N существует т (\ *^m^.N)
такое, что mD*m (со) > С'ь In*/2 N^C'k ln*/2 m. Отсюда непосредственно
следует требуемый результат. П

118
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Следствие 2.1. (Теорема ван Аарденне-Эренфест.) Для
любой бесконечной последовательности со в R* при k^ 1
lim ND*N (со) = оо.
#-►00
Пример 2.1. В случае k = 1 нельзя в формулировке теоремы
2.2 заменить «бесконечно большое число целых положительных N»
на «почти все целые положительные N». В самом деле,
рассмотрим бесконечную последовательность
п i i i i i i I J_JL 2"~1
• 2 ' 4 ' 4 » 8 ' 8 ' 8 ' 8 • ' " * 2n * 2n » ' ' '» 2" » ' ' '
Начальный участок длины N = 2n состоит из всех рациональ
ных чисел вида k/2n (0^k< 2n). Поэтому для таких N, согласно
теореме 1.4, получим D*N=l/N. Выходит, что для этой
последовательности равенство ND*N — 1 выполняется для бесконечно
большого количества значений N. Можно построить много
других примеров такого типа. □
Пример 2.2. В ходе доказательства теоремы 2.2 мы видели,
что если для любых N точек в /ft+1 справедливо неравенство
ND*N> f(N), то верен и следующий результат: для любых N
точек в /* можно указать такое т (1 ^m^Af), что mD*m > f(N)— 1.
Мы докажем, что в каком-то смысле справедливо также и
обратное заключение.
Итак, допустим, что для любых N точек из /* (k^ 1) можно
указать такое m (1 ^m^N), что mD*m> f{N). Мы утверждаем,
что в таком случае для любых N точек в Ik+1 имеет место
неравенство ND*N >-j f (N). Пусть рх, ..., рм — произвольные точки
в Ik+1 с отклонением D*Nt и pi = (ailt ..., a/ift+1) при 1 <*^N.
Не ограничивая общности, будем считать, что <хь л+1 ^ a2t k+1 ^...
• • • < а#, k+i- Обозначим qt = (<ха, ..., aik, (i— l)/N) при
l^j^Af, и пусть D*N—отклонение точек qly ..., qN в Ik+1.
По теореме 1.4 и упражнению 1.14 можно утверждать, что
la/.*+i — (*"— 1 )/#(<£>* при всех 1<*<N.
Нам понадобится следующий вспомогательный результат: если
Ун • • •, yN и zlt ..., Zn — точки из Ik+1 с отклонениями D*Na) и
D*Ni2) и если у( = фп, .... P//k, V/). *,- = (Pii. •••» Р,-*. в/)." где
|Ti—6i/<e при 1<*<#, то \D*jp—D^2)|<e. Для
доказательства обозначим через А{1) (xlt ..., xk+1) количество точек у(,
принадлежащих интервалу [0, хг)х -. -Х[0, xk+1)t и пусть
А(2) (xlt ..., xk+1) имеет тот же смысл по отношению к точкам z{.
Так как
Л(1) (х19 ..., хи% хм+1—в) < Л<2> (х19 ..., хн) <
^ Л (xlf .. , #fe, xk+l-\ г),

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 119
ТО
14<2> (хи ..., xk+1)/N-Xl ... хк+1 \ < DT + вх1...хк*£ D^ + е,
если всеО^*,-^!. Отсюда следует, что DJv2)^D^(1) + e.
Поменяв роли yt и zh докажем, что D*N(1) ^D^(2) + e, откуда вытекает
требуемый результат.
Вернемся к примеру. Из вспомогательного результата следует,
что \D*N—D*N \^D*Nt так что D*N ^ 2Z)#. Пусть т — конечная
последовательность точек q'lt ..., q'N в /*, определенных координатами
<jr;. = (аа, ..., а//г) (1 ^ i ^ /У). По предположению существует
такое m (1 ^ m <! N) и такие xlt ..., xk (0 ^ д:у- ^ 1 при 1 ^ / ^£),
что | А ([О, хг)х ... Х[0, A:fe); m; т) —m^ ... хл| > f(N).
Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 2.2,
показывают, что Л ([0, A^X.-.xfO, хк)\ т\ i) = A(xu ..., хк, m/N),
т. е. равно количеству точек qh принадлежащих интервалу
[О, хг) х ... X [0, хк) X [0, m/N). Следовательно, | A (xlt..., хк, m/N)—
— Nxx ... хк (m/N) | > f(N)t так что ND*N > f{N). В итоге
получаем, 4T0.ND*N^±Nb*N>±f(N). П
Нижние границы: метод Шмидта. В случае k=\ теорему 2.2
можно усилить, используя для этого совсем другой метод. Нам
понадобятся два вспомогательных предложения и некоторые
обозначения.
Пусть (хп) — заданная бесконечная последовательность в /.
Для #>1 и 0<х<1 обозначим RN(x) = A([0, x)\ N) — Nx.
Так как RN(0) = RN(l)t то продолжим эту функцию с периодом
1 на всю прямую R. Условимся писать RN (xt у) = RN (у)— R.v(x).
Буквами /С, L, Z/ будем обозначать интервалы целых чисел типа
(а, 6], где а и Ъ—целые, причем 0<а<6. Введем обозначения
#+(/(, х, y) = maxRn(xt y)t g-(K, xt y) = m'mRn(xt у).
пеК пеК
Для любой пары интервалов L и Z/ введем величины
A(L, Z/, х, у) =
= max(g-(L, xt y)—g+(L\ xt у), g~(L't x, y)—g+(Lt xt у)).
Наконец, обозначим g+(K, y) = g+(K, 0, у), g~(K, y) = g~(K, О, у),
ЦК. У) = 8+(К, y)-g-(K, у).
Лемма 2.6. Предположим, что L и L' — подынтервалы
некоторого интервала К. Тогда для любых х и у выполняется
неравенство
h(K, x) + h(K. y)>h(Lt Z/, x, y) +
+±(h(L, x) + h(L, y) + h(L\ x) + h(L\ y)). (2.16)
Доказательство. Не ограничивая общности, будем
считать, что ft(L, Z/, х, £/) = g-(L, x, y)—g+(L't x, у), ибо в про-

120 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
тивном случае можно поменять роли L и L'. Для каждого n£L
и каждого п! €L' разность Rn(x, y)—Rn'(x, y)^h(L, L\ x, у),
так что
Rn(y)-Rn(x)-Rn>(y) + Rn>(*)>h(Lt L\ x, у). (2.17)
В L найдутся целые числа т(х), п(х), т(у), п(у) такие, что
Rm{x)(x) = g + (Lt X), Rnix)(x) = g-(L, X)9 Rm(y)(y) = g + (Ly */),
Rn(y){y) = g~ (L, у). Тогда
Rmix)(x)—Rn{x)(x) = h(L, *), (2.18)
Rm{y)(y)~Rn{y)(y) = h(Ly у). (2.19)
Аналогично в U можно выбрать целые числа т' (х)9 п' (х), т' (у)>
п' (у) у для которых
Rm-{x)(x)—Rn'{x)(x) = h(L', x)y (2.20)
Rm-iy){y)-Rn>iy){y) = h(L'9 у). (2.21)
Сложим теперь все четыре уравнения (2.18) — (2.21) и добавим
к ним два неравенства, получающихся из (2.17) при п = т(х)у
п' = т'(у) и при п = п(у)у п' = п'(х). Получим
С\~\~ С2~\~ С3 + СЬ 2^
>2ft(L, Z/, xy y) + h(Ly x) + h(L, y) + h(L\ x) + h(L\ у),
где c1 = Rm4x)(x)—Rn{x)(x)y c2 = Rm'iy)(x)—Rniy)(x), c3 = Rm{y)(y)—
— Rn'(y)(y)> C4 = Rm(X)(y) — Rn'(x)(y). Так как Л (/С, x)>ci»
h (K, x)^c2J h(K> y)^c3J Л(/С, у)^сА, то отсюда сразу
получается (2.16). □
Лемма 2.7. Пусть t — положительное целое число. Тогда для
любого интервала К> длина которого не меньше, чем 4*, и для
любого у имеет место неравенство
4-/2Л(/С, у + /4-')>2-»*. (2.22)
/ = i
Доказательство. Воспользуемся индукцией по /.Сперва
отметим, что разность (Rn+1 (у+ 1/2)—Rn(y+ 1/2))—(Rn+1(y) —
— Rn(y)) равна целому числу минус (п+ I) (у + 1/2) —п(у + 1/2) —
— (п+1)У + Щ и, стало быть, равна целому числу минус 1/2.
Пусть К—любой интервал, содержащий хотя бы два целых
числа п и/i+l. Тогда А (/С, у+ 1/2) +Л (/С, */)>) Яга+1(*/+ 1/2) —
—/?Л^+1/2))+|/?п+Л^) —^пЫ[^1(^+1(1/+1/2)—/?Л^+1/2))^
— (^n+i (^/) — ^?,г Ы) J ^ !/2, так что при *= 1. неравенство (2.22)
выполнено.
Пусть теперь К— (а, Ь]—интервал, длина которого не меньше,
чем4'+1. Введем интервалы L = (а, а+ 4'] и L'=(a +2-4', a+3j4*].-
Ввиду периодичности Л (/С, #) можем считать, что 0<#<4 ' *.
Пусть г/ = у+/4-<-1, где 0</<4'+1. При 1</<4'+1—1
обозначим через dj количество целых т € (а + 4', а + 2 • 4'], для которых

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 121
*/л€[г/-1> Zf)\ при j = 4t+1 пусть dj равняется количеству целых
mg(a + 4', а-}-2-4'], для которых xm£[zj_ly 1)U[0, z0).
Выберем теперь целые п £ L и n' g Z/. Тогда #„' (ey_lf zy)— Rn (zf_ly zj) =
= ef—(n' — n) (z,j — zf_j) при l</^4'+1, где ef—количество
целых чисел m£(ny п'] таких, что xm£[zf_ly zj) (при j = 4t+1
соответственно xm€[Zj_u 1)U[0, z0)). Отсюда следует, что
*»'(*/-!, */) —*»(*/-i. zj)'^dj-'iAiA-^ = dj-2>l\.
Это влечет за собой неравенство h(Ly Z/, Zj_ly zjj^dj—3/4, и
если dj положительно, то
h(Ly Z/, Zj_ly Zj)^djlA.
Воспользовавшись леммой 2.6, запишем неравенство
h(K, Zj_j) + h{K, zy)>
>\dj + ^[h(L9zj^) + h(L9Zj) + h(L\ Zj_j) + h{L'yzj)). (2.23)
Так как Л (/С, zj)^h(Ly zj) и ft (/С, zj)^h(L'y zj) при всех
0</<4'+1, то (2.23) справедливо также тогда, когда dj = Q.
Разобьем сумму
4£/i(L, zj) (2.24)
на четыре части, объединяя слагаемые с одинаковыми вычетами
/ (mod 4). Каждая из этих четырех частей представляет собой
сумму того же вида, что сумма, стоящая в (2.22) слева. По
индукционному предположению каждая из этих сумм не меньше, чем
4*2~б/, и, следовательно, сумма (2.24) не меньше, чем 4-4'-2~5/ =
= 2~3-4'/. Если в (2.24) заменить h(Ly zj) на h(Ly Zj_x)y h(L'y Zj_x)
или h(L'y zj)y то получим ту же нижнюю границу.
Просуммировав (2.23) по /=1, 2, ..., 4*+1 и воспользовавшись тем, что
Л (/С, г0) = Л(/С, z4f+i), получим
2£А(/С, гу)>1 £d/ + 2(2-34<0 = 4<-i(l + 0.
Разделив последнее неравенство на 2-4*+1, получим (2.22) с
заменой / на /+ 1 • □
Теорема 2.3. Для любой бесконечной последовательности со
в R неравенство
ND*N((*)>c\nN (2.25)
справедливо для бесконечно большого числа положительных Ny
причем с > 0—абсолютная постоянная. В частности, отсюда следует,
что ND*N((d) = Q(\nN).

122
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Доказательство. Докажем, что для каждого N можно
указать такое т, что 1 < т <; N и
mD*m (со) > с In N. (2.26)
Сперва предположим, что N > 432. Тогда найдется целое /^32
такое, что 4'<N < 4'+1. Воспользуемся леммой 2.7 при /С=(0,
4*] и произвольному: можно утверждать, что для некоторогох€ /
выполнено неравенство h(K> л:) ^ 2"5/. Поэтому существуют целые
/?, <7€# такие, что Rp(x) — Rq(x)^2-bt. Так как либо Rp(x)y
либо /^(я) по абсолютной величине должно превосходить 2~в/,
то существует целое т (1 < т < 4' < N) такое, что | Rm (x) | > 2~в/,
а отсюда вытекает, что mD^ (ю) > 2~6/. Из /!>32 следует, что
* >(32/33)(*+1), и далее
mD*m (со) > 2"в (32/33) (t+ 1) >(ln tf)/(66 In 4).
В случае, когда 1 ^ Л^ < 432, можно воспользоваться следствием
1.2, откуда вытекает, что D\ (со) ^ 1/2 > (In JV)/(66 In 4). Таким
образом, в любом случае мы получаем (2.26) с постоянной
с = (661п4)"1. □
Следствие 2.2. Для любой последовательности, состоящей
из N точек в R3, справедливо неравенство ND*N > с' In Ny где с' > 0 —
абсолютная постоянная.
Доказательство. Это следует из (2.26) и примера 2.2.
Допустимым значением для постоянной может служить с' =
= (132 In 4)-1. □
Верхние границы. Важный прием получения оценок сверху
основан на оценке отклонения с помощью тригонометрических
сумм, фигурирующих в критерии Вейля, и последующем
использовании хорошо известных в аналитической теории чисел методов
оценки тригонометрических сумм. Мы изложим два результата
такого типа, известных как неравенство Левека и теорема Эрдё-
ша — Турана. Рассматривать будем лишь одномерный случай.
Предположим, что х1У ...9xN—заданные N точек в /.
Обозначим снова RN(х) = А ([О, х)\ N)—Nx при 0<*<1.
Лемма 2.8
^ exp (2nihxn)
(2.27)
Доказательство. Заметим, что RN(x) — кусочно
линейная функция на [0, 1] с конечным числом разрывов при х =
= х1Ух2У ...yxN; кроме того, RN(0) = RN(l) = 0. Поэтому функция
00
Rjv(x) может быть разложена в ряд Фурье 2 алехр(2ш'А*),

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 123
который сходится к RN (х) всюду, за исключением конечного
числа точек. Коэффициенты Фурье равны
1
ан =■) %n (х) ехР ( —2ш"Ая) dx.
о
Пусть сп(х)—характеристическая функция интервала (хп, 1](1<
N
</t<iV). Тогда Л ([0, х)\ N)= 2 C«W» и нетрудно вычислить,
л = 1
ЧТО
1 А' ! Л7
a, = §R#(x)dx= Y*c*(x) dx—N § xdx= — J*(xn—j)'
0 /*=l О /2=1
(2.28)
а при ft^O
N ' с
ah= 2 Jc«(*) exP (— 2nihx) dx— N j a:exp (— 2nihx)dx =
/1=1 0 0
Л/ !
= Z I 6XP (_ 2jlf/uf) dX + "2Ж =
/z=l *„
= -S5jT Е(ехр(-2шЛхя)-1) + -^—5^ Sexp (-2m7i*n).
/z=M n=1
(2.29)
Согласно равенству Парсеваля
CD
S ЯМ*) <** = *! +2 2 Ы2>
/1=1
и требуемый результат установлен. □
Теорема 2.4. (Неравенство Левека.) Отклонение DN
конечной последовательности х19 ..., xN в I удовлетворяет неравенству
1/3
(2.30)
°лг < I я2 2- Л»
1
й=1
N
-дГ 2-1 exp (2nihxn)
n=i
Доказательство. Обозначим SN — 2*( xn — у )иТ^(#) =
= (l/A^)(/?Ar(x) + S7V) при 0<л;<1. Функция TN кусочно линейна
(наклон линейных участков равен—1), непрерывна слева и имеет
конечное число разрывов, каждый из которых представляет собой
скачок на положительное число. Так как TN (0) = ТN (1), то можно
продолжить TN(x) на R с периодом 1.

124 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Пусть а и р — числа, принадлежащие [0, 1], для которых
^(а) > О, 7\(P)< 0- Такие числа существуют, ибо ^ TN(x)dx*=Q
о
(это следует из определения TN(x) и равенства (2.28)). В
интервале [a, ct + TN(a)] график TN не может располагаться ниже
отрезка прямой, соединяющего точки с координатами (a, TN(a))
и (а + TN (а), 0). Ввиду периодичности TN найдется Р2 <Е [а, <х + 1]
такое, что TN(^x) = TN(fi). В интервале [Р, + TN (pj, PJ график
Тдг не может располагаться выше отрезка прямой, соединяющего
точки (p! + ^(Pi), 0)'и (Pi, T^(Pi)); поэтому график |7у| не
будет лежать ниже отрезка прямой, соединяющего точки (^l-\-TN (Px),
0) и (Р2, —?V(Pi))- Из-за свойств графика TN интервалы
[а, a + TN(a)] и [Pi + ^iv(Pi)» Pil могут иметь не более одной
общей точки. Следовательно,
1 об+1 a+TN(a) 3i
^T%(x)dx= j TJ, (*)<&> ( TJ,(*)dx + J T5,(*)dx>
о а а Pi+T^Oi)
Если г и s—пара неотрицательных действительных чисел, то
введем * = (г + s)/2, и = (г —s)/2. Тогдаг3 + 53 = (/ + ы)3 + (/—а)3 =
= 2/3 + 6/a2^2/3 = (r + s)3/4. Воспользуемся этим неравенством,
полагая r = TN(a) и s = — ?V(P)> и запишем
1
-jL (г„(а)-7„(Р))3< J rj,(*)d*. (2.31)
О
Легко сообразить, что (2.31) справедливо при любых а и Р из
[О, 1]. Воспользовавшись определением TN, получим неравенство
^(«"M^y^nWdx, откуда
О
1
±D%^$T%(x)dx. (2.32)
О
Лемма 2.8 и (2.28) позволяют вычислить интеграл, стоящий в
(2.32) справа:
1 ! 1 2
$П(х)<Ь = ^T^R%(x)dx + ^^RN(x)dx+^ =
0 0 0
1 " I2
п=1 I
~ Л*) R%(x)dx—1^ - 2^t 2
Л=1

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 125
Используя этот результат вместе с (2.32), получим
доказательство теоремы. □
Заметим, что неравенство Левека верно для любых
действительных х1У ..., %, не обязательно принадлежащих /, ибо обе
части этого неравенства зависят только от дробных долей
рассматриваемых чисел.
Пример 2.3. Константу 6/л2 в неравенстве Левека
уменьшить нельзя. В самом деле, выберем х1 = х2 = ... =xN = 0. Тогда
Одг=1, а правая часть (2.30) равна
оо ч 1/3
я= 1 /
Можно также доказать, что показатель 1/3 в неравенстве
Левека уменьшить нельзя (см. замечания). Обратимся ко второй
важной теореме, устанавливающей связь между отклонениями и
тригонометрическими суммами.
Теорема 2.5. (Теорема Эрдёша — Турана.) Для любой
конечной последовательности xlt ..., xN действительных чисел при
любом целом положительном т имеет место неравенство
т I N I
Доказательство. Обозначим AN(x) = RN(x)/N при 0^
<х<1 и продолжим эту функцию с периодом 1 на R. Сперва
рассмотрим последовательность xlt ..., xNt принадлежащую /,
для которой
^А(х)с1х = 0. (2.34)
о
N
Обозначим Sh=-ft ^ехр(2л*7ип), где h£Z. Тогда из (2.29) сле-
дует, что при h Ф О
_S2hnih = f &N (х) exp (2nihx) dx. (2.35)
о
Выберем положительное число m и действительное число а, пока
произвольное. Из (2.34) и (2.35) следует, что
(2.33)
fd\m+l-\h\)exp(-2mha)-^-==
= -m
= \&n(x){ 2 (m+l—\h\)exp(2nih(x—a))]dx =
о \Л=-т J
= V AN(x + a)( 2 {m+l—\h\)exp(2nihx))dx, (2.36)
-a \ft=-m J

126 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
где звезда означает, что из области суммирования исключается
h = 0. Ввиду периодичности аодынтегральной функции, последний
интеграл можно брать от —1/2 до 1/2. Заметим также, что
т
L (m+l-|/t|)exp(2n^)=sin2^+;>^ , (2.37)
h=-m
где правая часть полагается равной (т-|-1)2 при целых х. Из
(2.36) выводим:
"f Av(x + a)sin2(m+l)JlxdxU
J *у v ' ' sin2 пх ^
-1/2 I
т т
<i L^m+l-l/tD-^i^lL^+l-Zt)-^1. (2.38)
ht=-m h=\
При некотором b из I имеет место равенство Дд,(6) = — D*N или
Адг(6 + 0) = Д^. Мы рассмотрим только вторую возможность, так
как рассмотрение первой вполне аналогично. При b < / <b + D*N
можем записать неравенство AN(t) = D*N + &N(t)—KN(b + 0)^
^D*N + b—t. Выберем "теперь a=b + D*N/2. Тогда AN(x + a)^
^D*N/2—x при \x\<D*N/2. Учитывая последнее неравенство и
четность функции ф(л:) = sin2(m+ 1) ял;/5т2лл;, получим:
- 1/2
/ DV2 -D*N>2 1/2 \
= j + S + S UN(x+a)<p(x)dx>
\-D*N/2 -1/2 D'NllJ
> f (-jD'N-x\ if (x)dx-D'J J + ) U(x)dx =
-D*N/2 \ -'/2 D^/2/
= D'N С <p(je)dx—2D^ J <p(*)dx. (2.39)
i/ Dw/2
Интеграл от ф(л:) по отрезку [0, 1/2] можно вычислить с помощью
(2.37); он равен (т+1)/2. Поэтому из (2.39) вытекает, что
1/2 1/2 1/2
) А*(* + а)81"25^)Я*^>^ j ф(^^-ЗВ; j Ф(*)<к>
-I/2 ° d;/2
1/2
m+1 г). on. (' <1х -> m+l n. 3
*>*/2

§2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ 127
где при 0^x^1/2 мы воспользовались неравенством smnx^2x.
Используя последний результат вместе с (2.38), получаем, что
т
^<^Т+|Х(|-^т)|5л|-
Если через DN обозначить отклонение, распространенное на все
полуоткрытые интервалы по модулю 1, то
т
Отсюда, в частности, вытекает (2.33) для случая, когда
справедливо (2.34).
Докажем теперь, что для -любой конечной последовательности
хи ..., xN из / можно найти с£1 такое, что последовательность
сдвигов {#1 + ':}, ..., {Ядг + с} удовлетворяет (2.34). Этим теорема
будет полностью доказана, ибо и левая, и правая части
неравенства (2.40) инвариантны относительно перехода от xlt ..., xN
к последовательности сдвигов. В силу (2.28) надо доказать су-
N
ществование такого с£/, для которого -rrZu {хп + с) = -о~ • ^ак
как для любого с£1
N
N
^L({*« + c}-*J^ L C + T S (с—1) = ЬА(1—с)9
л=1 хп<\-с хп^\-с
(2.41)
то остается доказать, что при некотором с£1
_L_JL
2 N
AN(l-c)=±—4X,*„ = s.
п=1
Рассмотрим случай s > 0, ибо случай s < 0 вполне аналогичен.
Так как \ AN(t)dt = st то &N(x)^s при некотором х£{0, Г). Од-
о
нако hN{x) — кусочно линейная функция с положительными
скачками и Д#(1) —0; следовательно, при каком-то значении
аргумента, принадлежащем интервалу [х, 1), она должна принять
значение s. □
В приложениях мы, как правило, будем использовать
следующий вариант доказанной теоремы: существует абсолютная
постоянная С такая, что
N
DN<C i + Li
1
h=\
^Х ехр(2ш'Л*я)
п=\
(2.42)

128
ГЛ. I. ОТКЛОНЕНИЕ
для любых действительных xlt ..., xN и любого положительного
целого т.
В некоторых случаях последовательность, отклонение которой
требуется оценить, может быть разложена на несколько
подпоследовательностей с малыми отклонениями. Докажем простую
теорему, относящуюся к этой ситуации.
Теорема 2.6. Пусть со{ — последовательность, состоящая из
Nt элементов R, отклонение которой £)#.(<»/) известно; l^i^ik.
Обозначим через со суперпозицию последовательностей о^, ..., сол,
т.е. последовательность, полученную из всех элементов всех colt
перенумерованных в любом порядке. Пусть N = Nx + ... -f Nk —
количество элементов со. Тогда
k
DN(^)<^d§-DNi(ioi)t (2.43)
t=i
а также
k
WW<E^O;,(4 (2.44)
Доказательство. Пусть / = [а, Р) — произвольный
подынтервал /. Тогда, по определению о, количество элементов A(J\ N\ co) =
k
= 2 A(J\ Nt\ со;). Поэтому
i=i
t=l
t=l
и остается взять верхнюю грань левой части. Второе неравенство
доказывается точно так же. □
Замечания. Важное свойство отклонения, сформулированное в следствии
2.1Г было впервые отмечено зан дер Корпутом [7], который указал, что он не
знает ни одной бесконечной последовательности о) в /, для которой ND^ (со)
было бы равномерно ограниченным. Это предположение подтвердила ван Аар-
денне-Эренфест [1, 2]. Теоремы 2.1 и 2.2 —из работы Рота [1], где доказана
также более слабая форма результата, приведенного в примере 2.2. Теорема 2.3
и следствие 2.2 доказаны В. Шмидтом [14]. Константы несколько улучшены
нами. Из § 3 следует, что эти две оценки снизу—наилучшие возможные,
с точностью до констант. Отметим также, что Дэвенпорт [1] и Холтон и За-
ремба [I] обнаружили*), что нижняя граница в лемме 2.5 при ^ = 2
—наилучшая возможная (с точностью до константы). В связи с леммой 2.5
представляет интерес результат Соболя [5]: для любых N точек в /*, &^2,
1 1
y.A\A(xlf ..., xk) — Nx1...xk\dx1...dxk > j-ek(N)9
*) См. также Виленкин И. В. О плоских сетках интегрирования.— Ж.
вычисл. матем. и матем. физ., 1967, 7, № 1, 189—196.— Примеч. перге.

§ 2. ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
129
где 0 < &k(N) < 1/4 и Bk(N) = 0(N-1\nk~2N). Эта оценка —наилучшая в том
смысле, что существуют последовательности, для которых этот интеграл
меньше, чем 1/4. Однако при &=1 этот интеграл всегда ^1/4, причем
значение 1/4 достигается в случае последовательности, рассмотренной в
следствии 1.2 (Соболь [3]). При малых N точки в /2 с минимальными отклонениями
табулированы Уайтом [1].
Набор интересных задач об иррегулярностях распределения можно найти
у Эрдёша [6, 7]. Некоторые из этих задач решены В. Шмидтом [6, 13, 15].
Например, он доказал, что для любой бесконечной последовательности в R
существует не более, чем счетное множество значений *£/ таких, что Rn(x)
представляет собой ограниченную функцию от п. Более слабый результат
в этом направлении доказал Леска [3]. Интересный вариант иррегулярностей
распределения изучили Берлекамп и Грехем [1] (см. также Штейнгауз [2,
задачи б и 7]). Из их результата следует, в частности, что любая постоянная с,
удовлетворяющая (2.26), не может быть больше, чем (In 17)-1. Исследования
в этом направлении см. также у де Брейна и Эрдёша [1].
Нетривиальная нижняя граница известна также для изотропного
отклонения Jtf в R*. А именно, всегда Jn ^dkN~^k+1^^2k^ с абсолютной
постоянной dk > 0, зависящей только 6т k (Заремба [7]). Уточнение этого
результата анонсировал В. Шмидт. Укажем также важную серию работ В. Шмидта
[7, 8, 9, 11], в которых изучаются иррегулярности распределения,
оцениваемого по различным классам выпуклых множеств, например, по
прямоугольникам, кругам, сферическим лункам. См. также Нидеррейтер [17].
Лемма 2.8—это неопубликованный результат Коксмы. Наше
доказательство принадлежит Кейперсу [9]. Теорема 2.4 с Dn вместо D^ была доказана
Левеком [9]. В этой же работе доказано, что показатель 1/3 улучшить нельзя.
Более общее неравенство принадлежит Эллиоту [4]. Многомерный вариант
теоремы 2.4 неизвестен.
Теорему 2.5 без конкретных значений постоянных можно найти в статье
Эрдёша и Турана [3]. Другое доказательство см. у Юдина [1]. Наше
доказательство следует работе Нидеррейтера и Филиппа [2], где можно также
найти несколько улучшенные значения постоянных. Обобщения см.: Эллиот
[4], Файнлейб [2], Нидеррейтер и Филипп [1, 2]. Более слабый вариант этой
теоремы был известен ван дер Корпуту и Коксме (см. Коксма [4, с. 101]).
Ван дер Корпут и Пизо [1] доказали, что
оо I TV
D^<26 + ^ minf-£> §£2) hy £ ехр (2л*7и„)
:1
при любом б > 0. См. также Ягерман [3]. Многомерное обобщение теоремы 2.5
будем называть теоремой Эрдёша — Турана — Коксмы. Для целочисленной точки
h = (hi, ..., hs) из Zs введем норму ||ft|| = max | h* |, и пусть
K/<s
r(h) = Jlmax(\hjl l).
/ = i
Для др, .y£R5 обозначим через <jc, j/> обычное скалярное произведение. Пусть
лтеперь JCi, ..., дгдг—конечная последовательность точек в Rs. Тогда при
любом целом положительном т имеет место неравенство
/ I N l\
Dn<Cs(±-+ £ _L.LL£exp(2*(-<ft, *„» ,
\ 0<ЦЛ||<т I п=\ К
где константа Cs зависит только от размерности s. Этот результат был
доказан независимо и почти одновременно Коксмой [11] и Сюсом [1]. Явное
5 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

130
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
выражение для константы Cs = 2s23s+1. Обобщение этого неравенства см. у
Нидеррейтера и Филиппа [1, 2].
Неравенства, установленные в теореме 2.6, фактически использовались
многими авторами, но впервые в виде леммы такое неравенство
сформулировано у Бергстрема [2]. См. также: Касселс [4] и Нидеррейтер [2].
Исходя из теоремы 1.4, задачу нахождения верхней границы для D# можно
связать с приемами выпуклого программирования (Нидеррейтер [10]). Этот
подход использован также в статье Нидеррейтера [2]. Обзор методов оценки
отклонения имеется у Нидеррейтера [5].
Упражнения.
2.1. Вспомогательные функции г|) (2"*), использованные в леммах,
предшествующих теореме 2.1, являются разновидностью так называемых функций
Радемахера уп(х) (п = 0, 1, 2, ...). Определим функцию ф0 (х) с периодом 1
при помощи следующих условий: ф0(*) = 1 для 0 < х < 1/2, ф0(*) =— 1 для
1/2 < х < 1, ф0 (0) = ф0 (1/2) =0. При п^\ положим ф„ (х) = ф0 (2пх).
Доказать, что ф„ (*) = sign sin 2" + 1ял: при л^О.
2.2. Предположим, что х не является двоично рациональным числом, и
пусть
* = <М*)+2 dn(x)2-"
п=\
— его двоичное разложение. Доказать, что dn(x) = (\ — уп-1(х))/2 при п^\.
2.3. Доказать, что функции Радемахера ф0, фь ... ортонормальны на
[О, 1]. (Замечание. Они даже независимы.)
2.4. Так называемые функции Уолша определяются следующим образом:
пусть N = 2"i + 2'z2 + ... +2 ft, где rii > п2 >... >п^^ 0—двоичное
разложение целого положительного числа N\ тогда % (х) = фп, (х).. .уп (х). Считаем так-
же, что Хо (х) = 1. Доказать, что функции Уолша %0, /ь • • • образуют ортонорми-
рованную систему на [0, 1]. (3 а м е ч а н и е. Система функций Уолша полная.)
2.5. Доказать, что для любой последовательности, состоящей из N точек
в /2, отклонение которой Dpj известно, можно построить последовательность
вида (0, s0/N), (1/W, sjN), ..., ((N—\)/N, s^-i/M), где целые s0, ..., sN-1 —
это перестановка чисел 0, 1, ..., N—1, такую, что ее отклонение 1)#<:40#.
Указание. Сравнить с примером 2.2,
2.6. Доказать, что из неравенства Левека вытекает достаточность в
критерии Вейля.
2.7. Доказать, что из теоремы Эрдёша — Турана вытекает достаточность
в критерии Вейля.
2.8. Подробно доказать соотношение (2.37).
2.9. Если бдг—отклонение, вычисленное по всем полуоткрытым
интервалам мод 1, то D^^2D^v. Доказать подробно.
2.10. Доказать подробно, что отклонение DN в упражнении 2.9
инвариантно относительно сдвигов последовательности мод 1.
2.П. Допустим, что Сх и С2 — положительные постоянные такие, что для
любых действительных чисел хъ ..., xpj и любого целого положительного
числа т имеет место неравенство
N
D
N*
Ci ,,vP 1
:m+l ' '^ \ h m + 1
с*£ 7T-^TT)hvSexP(2^^
l
Доказать, что С1-{-С2^2.
2.12. Доказать, что постоянная Сх в упражнении 2.11 обязана
удовлетворять условию Сх^1,

§3- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
131
2.13. Пусть хъ ..., *дг—конечная последовательность такая, что при
некотором действительном К > О имеет место неравенство
N
2 exp (2nihx„) < /Л
для любых целых /i из интервала 1 <;/г^ yV1/(^ + 1). Доказать, что D^^
<СЛ/'~1/^+1\ где постоянная С зависит только от К.
2.14. Рассмотрим бесконечную последовательность со
JL _L 3. _L i. 2£—i
2 * 4 ' 4 2A5' 2Л 26
Используя теорему 2.6, доказать, что D^r((d) =0 (\/Уы). Доказать также, что
DN{a) = Q{\lVN).
§ 3. Последовательности частного вида
Почти арифметические прогрессии. Сперва рассмотрим общий
класс последовательностей, представляющих большой
теоретический интерес (см. замечания). По причинам, которые станут
ясными из нижеследующего определения, эти последовательности
называют почти арифметическими прогрессиями.
Определение 3.1. Пусть 0<б<1 и е>0; конечная
последовательность х1 < х2 < . .. < xN в / называется почти
арифметической (б, е)-прогрессией, если существует г\ (0<т]^е)
такое, что выполнены три условия: (1) 0 ^ хх ^ т](1 + б);
(2) л(1-б)<^+1-^<т1(Н-б) при 1<л<#-1; (3) 1-
-Л(1+б)<^<1.
Если 6 = 0, то получаем истинную арифметическую
прогрессию с разностью rj. Ясно, что почти арифметическая (б, е)-про-
грессия является также почти арифметической (б', е')-прогрессией,
если только 6^6', е^е'.
Теорема 3.1. Пусть хх <х2 <...< xN—почти
арифметическая (б, ^-прогрессия и г| — положительное действительное число,
соответствующее последовательности согласно определению 3.1.
Тогда
о;<1/^+5/(1 + Кь=^), б>о, (3.1)
D;<min(r|, l/N), 8 = 0. (3.2)
Доказательство. Рассмотрим сперва более простой
случай 6 = 0. Тогда xi = x1 + (i—l)r\ при l<i<N, и можно
оценить D*N с помощью теоремы 1.4. Заметим, что х{ — (i—l)/N =
= xx + (i—l)(ri—l/N). Поэтому будем различать два случая,
зависящих от того, будет ли r\ ^ 1/N или г\ < 1/N. Если r\ ^ 1/N, то
0^xi — (i—l)/N^ix1 + (N—l)(i\—l/N) = xN—(N—l)/N^i l/N,
и, вычитая 1/N, получим — 1/Л/^*£- — i/N^O. Если х\ < 1/N, то
х\ >Xt—(i—l)/N >x.+iN-l) (y]-l/N)=xN-(N-l)/N >-т|+ 1/tf,
и, снова вычитая 1/N, получим г\—l/N^x(— i/N^— r\. В обоих
5*

132 гл. 2. отклонение
случаях тах(|*,. — i/N\9 | л:£. — (/— 1)/ЛА |) ^ min (r|f l/N) при всех i
(1 ^ i^N), так что
£^<min(ri, l/N).
Обратимся теперь к случаю б > 0. Из определения 3.1 сразу
следует, что при 1 ^ i ^ N
(1-1)(т1-вЛ)<^<Ил + вл). (3.3)
Аналогично при всех 1 ^ i ^ N имеет место неравенство
1 — (N — /+1)(ti + 6tiX^<1— (N — 0 (л — 8т|)- (3.4)
Воспользуемся снова выражением для D*N из теоремы 1.4. Сперва
оценим xt — i/N сверху. Для этого воспользуемся тем из
неравенств (3.3) и (3.4), которое дает лучшую оценку при данном /,
так что придется различать два случая.
Случай 1. * (г] + 8г|) ^ 1— (N— i) (ц — бт)). Это условие
равносильно неравенству
f<(l—ЛГп(1—6))/(26т|).
Можем предполагать, что Nr]^l/(1 — б), так как в противном
случае случай 1 невозможен. Из (3.3) следует, что
Xi — ijN < i (r\ + 8r\— l/N).
Предположим пока, что т] + бг)—l/N^O. Тогда 1/(1 + 8)^ Wr]^
<1/(1 — б). Далее,
_2Ыц— 1 — ЛГ2т)2(1 — б2)
~~ 26ЛГт]
Положим
Nr\ = t, h (t) = (2t—l — l2 (1 —62))/(260.
Так как h(t) достигает абсолютного максимума на интервале
[1/(1 + 6), 1/(1—6)] в точке t0=l/VT=&, то
Xt-i/N < h (t0) = в/(Г+ КГ11*). (3.5)
Если т] + бг|— l/N < 0, то неравенство (3.5) тривиально, ибо xt—i/N
отрицательно.
Случай 2. t(r] + 8ri)> 1 — (N—i)(x\ — бг|). Это условие
равносильно неравенству *>(1 —Ny\(l — 8))/(28г]), которое возможно
только при (1 — Nt\(1 — 8))/(28т))<ЛГ или Nr\ > 1/(1 + 8). В этом
случае
xt — i/N^l — (N — i)(x\ — 8т)) — i/N = (N~i)(8r)—r\+l/N).
Так же, как выше, достаточно рассмотреть случай 6т|—r)-f- l/N^

§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА 133
^0 или, что тоже, Aft) < 1/(1—6). Тогда
_ 2^-1-^(1-6*) б
Оперируя так же нижними границами неравенств (3.3) и (3.4),
получим, что при всех 1 <! i <[ N
(i- l)fN-xt < 6/(1 + КТ^б5). (3.7)
Используя совместно (3.5), (3.6) и (3.7), получим следующие
неравенства, справедливые при 1<л<;#:
—1/л^—6/(1 + КГ^УХ*,—UN < 6/(1 + VT^tf),
—6/(1+ /1— б2)^^ — (i— 1)/ЛГ<1/ЛГ + 6/(1+]Л — б2).
Отсюда вытекает, что при 1 ^ i ^ N
maxdxt-UNl \Xl-(i—l)/N\)^ 1/ЛГ + 6/(1 + КТ=#),
и для окончания доказательства остается воспользоваться
теоремой 1.4. □
Диофантовы приближения. Чрезвычайно важный класс р. р.
мод 1 последовательностей образуют последовательности (па)
(/г = 1, 2, ...) с иррациональным а. Отклонение (па), как мы
увидим ниже, зависит от более тонких арифметических свойств
числа а. Поэтому мы начнем с кратких замечаний о диофантовых
приближениях и классификации иррациональных чисел.
Определение 3.2. Обозначим через </> расстояние от
действительного числа t до ближайшего к нему целого числа, так что
</> = min|/—n| = min({/}, l — {*}). (3.8)
л 6 Z
Определение 3.3. Пусть г|э—неубывающая положительная
функция, определенная по меньшей мере для всех
положительных целых аргументов. Иррациональное число а называется числом
типа < г|\ если qiqcO ^ 1/*ф(<7) ПРИ всех положительных целых q.
Если г|)—постоянная, то иррациональное число типа < я|)
называется также числом постоянного типа (constant type)*).
Определение 3.4. Пусть г\ — положительное
действительное число или бесконечность. Иррациональное число а
называется числом типа т), если т) есть верхняя грань множества таких у,
для которых
lim <7V <?a> = 0,
когда q пробегает целые положительные значения.
*) Числа постоянного типа называют плохо приближаемыми. — Примеч
перев.

134
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
По теореме Дирихле (см. также (3.9)) для любого у < 1 и
любого иррационального а нижний предел \im qy <qa> = 0. По-
этому тип г\ иррационального числа всегда удовлетворяет
неравенству х]^ 1. Конечно, между вышеприведенными определениями
существует тесная связь.
Лемма 3.1. Иррациональное число а является числом типа г\
тогда и только тогда, когда г\ равняется нижней грани
множества всех действительных т, для которых существует
положительная постоянная с = с(%, а) такая, что число а есть число
типа < г|) при yp(q) = cq'l~1.
Доказательство. Пусть rj конечно. Тогда при любом
е >0
Цт 04-е <qa> = 0, Ит q^ <qa> > 0
для каждого а типа т). Из первого утверждения следует, что для
любого положительного с найдется положительное целое q такое,
что <7<<7а>< \l(cq^~1~z). Поэтому а не может быть числом типа
< г|) ни при каком я|) вида i|) (q) = с^-1-8. Но из второго
утверждения вытекает, что для любого е > О существует положительная
постоянная d(e, а) такая, что q^+e^qay ^d(e, a) при всех q.
Поэтому qiqay^ d(e, a)/^"1^8 при всех q, и а есть число типа
< я|) при x|)(<7):=(l/d(e, a)) q^~1+e. Рассуждения эти легко
обратимы. Если г\ бесконечно, то аналогичные рассуждения проходят
с очевидными модификациями (конечно, утверждение леммы
следует интерпретировать в том смысле, что чисел т с указанным
свойством нет). □
Напомним очень коротко некоторые факты о цепных дробях.
Пусть а = [а0, а1У а2, ...] — разложение в цепную дробь
иррационального числа а, где а0—целое, a al9 a2, ...—положительные
целые, так называемые неполные частные. Если /г^О, то п-я
подходящая дробь (nth convergent to a) определяется как
rn = [<*o> ai> •• - я,,]-
Рациональные числа гп могут быть получены следующим
алгоритмом. Пусть /?_а = 0, р_1==1, р. = aipi_1 + Pi-2 при i^O; пусть
9-я =Ь 9-1 = 0» 4i = aiQi-i-\-(Ji-2 ПРИ i^O. Легко доказать по
индукции, что rn = pjqn при всех я!>0. Более того, дроби pjqn
несократимы. Отметим также, что 1 = q0 ^ q1 < q2 < . . . При всех
|а-^|<——<Л- (3-9)
1 Яп ' ЯпЯп + 1 Яп
В частности, отсюда следует, что lim rn = a (что объясняет тер-
мин convergent). Иррациональное число а будет числом
постоянного типа (см. определение 3.3) тогда и только тогда, когда

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
135
существует постоянная К такая, что а,-^/С при всех i^l.
В этом случае говорят, что а имеет ограниченные неполные
частные. Интересный класс таких а образуют квадратичные
иррациональности.
Отклонение последовательности (па). Справедливо следующее
простое правило: чем меньше тип а, тем меньше отклонение (/га).
Иными словами, у тех иррациональных а, которые хуже
аппроксимируются рациональными числами, последовательности (па)
оказываются лучше распределенными. Обратимся к подробному
изложению. Начальным шагом у нас будет использование теоремы
Эрдёша—Турана. Ниже а всегда означает фиксированное
иррациональное число.
Лемма 3.2. Отклонение DN((x>) последовательности (о = (па)
удовлетворяет неравенству
DN(<»XC
. + -LV_L_
^ N £+ h </га>
п= 1
(3.10)
при любом положительном целом т\ С—абсолютная константа.
Доказательство. Согласно (2.42) при любом
положительном целом m
^и^с1+|2{
Здесь
h=\
7. ехр(2ш7ша)
/^ ехр(2ш7ша)
<
]
| exp (2mha)— 1 |
I sin nhoL |
Легко видеть, что | sirut/ia | = sin л </ia>, ибо </ia> равно ha—р
или р—ha при некотором целом р. Так как s\nnx^2x при
0<д:<1/2, то 1/| sin jx/ioc | ^ l/2</ia> при всех А^1. Отсюда
сразу следует требуемое неравенство. □
Лемма 3.3. Если а — число типа < г|), то
т } т \
Доказательство. По формуле суммирования Абеля
т
V 1
ггуЛ
h </ia> '
L
sh I sm
A (A+!)"*"/«+Г
(3.12)
; p < q < h, то <qa ± pay = <(q ± p)a>>
где sA = £^. ЕслиО:
>((q±p)$(q±Р))~1>(Щ№))~1- Поэтому для 0</><<7</i
|«7a>—<ра>|>1/(2Лф(2Л)). (3.13)

136 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Однако из (3.13) следует, что в каждом из интервалов
L ' 2/п|з (2/i) У ' [ 2Л* (Щ ' 2fa|> (2Л) /' * * * ' \_2hfy (Щ ' 2/п|) (2Л) /
найдется не более одного числа вида </а> (1^/^ft), a в
первом из этих интервалов чисел такого вида нет. Следовательно:
s^E^<E^-0(**(2fc)ln*).
Используя это в (3.12), получим (3.11). □
Теорема 3.2. Если а—число конечного типа г\, то при
любом е > 0 для отклонения DN (со) последовательности со = (па)
справедливо соотношение
DN(<i>) = 0(N-{1W+*). (3.14)
Доказательство. Фиксируем е > 0. По лемме 3.1
существует такое с>0, что а—число типа < я|) при ^(q) = cq^'l+E/2.
Тогда по лемме 3.3
т / т \
Л=1
Подставив это выражение в (3.10), получим, что при любом
/п>1
DJV(©)<C1(l/m + (l/iV)m,>-1+e).
Выбрав m = [W1/Ti], получим требуемый результат. П
Пример 3.1. Частный случай предыдущей теоремы: если а
типа т)=1, то NDN((d) = 0(NE) при любом е>0. Важный класс
иррациональных чисел, тип которых г\ = 1, — алгебраические
иррациональности. Это вытекает из знаменитой теоремы Туэ—Зигеля—
Рота: для любого иррационального алгебраического числа а и
любого е>0 существует положительная постоянная с = с(а, е)
такая, что для любых целых (/>0 и р
|<х — plq\>clq*+\
Доказательство см. в цитированной литературе. □
Пример 3.2. Предположим, что а—число постоянного типа.
Тогда по лемме 3.3
т
ft= l
Следовательно, при всех m^l
Z)/y((o)<C?(l/m + (l/yV)ln2m).

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
137
Выбрав m = N, получим, что NDN((u) = 0(\n2 N). В дальнейшем
этот результат мы улучшим. □
Следующая теорема показывает, что теорема 3.2 в
определенном смысле не может быть улучшена.
Теорема 3.3. Если а—число конечного типа г\, то при
любом е>0 для отклонения DN(w) последовательности о) = (ла)
справедливо соотношение
D„((D) = Q(AT(1/T1)-E). (3.15)
Доказательство. Пусть задано е > 0; тогда можно
выбрать 0<б<т) такое, что 1/(т)—б)=1/т) + е. Согласно
определению 3.4 нижний предел jim q^-6/2 <^a> = 0. В частности, для
бесконечно большого числа положительных целых q справедливо
неравенство <^а> < q-^+e/*. Следовательно, существует бесконечно
много положительных целых q и соответствующих им целых р
таких, что |<х—pjq\ < ^-i-л+б/г Выберем такое q и обозначим
N = [qi\-b]. Тогда а = p/q + dq-1-^^2, где |в| < 1. Для l<n<W
мы можем записать равенство па = np/q + вп, где 16П | =
= \nQq-1'^+6^2\<q-1-6/2. Рассмотрим теперь дробные доли {а},
{2а}, ..., {Мх}. Из предыдущего следует, что ни одна из этих
величин не принадлежит интервалу J = [q-1-6/2, q"1 — <7"1_"6/2)-
Поэтому
DN(i*)^\A(J; N)/N-X(J)\ = X(J).
При достаточно больших q очевидно X(J)^ l/(2q). С другой
стороны, из определения N вытекает, что q^~6^.2N. Совместное
рассмотрение этих неравенств позволяет сделать вывод, что
DN^cN-1/^-b)^=cN-<<ll^)-z, где постоянная с зависит только от
т) и е. Наконец, учитывая, что мы можем выбирать бесконечно
много значений q, мы видим, что полученная оценка для DN(w)
снизу справедлива для бесконечного числа значений N. □
Улучшить оценку теоремы 3.2 можно в одном частном случае:
когда число а постоянного типа (см. также пример 3.2). При
таких а отклонение последовательности (па) очень мало. В
действительности отклонение имеет наименьший возможный порядок
по N, что видно из теоремы 2.3.
Теорема 3.4. Предположим, что иррациональное число
ос = [а0, ах, а2,...] имеет ограниченные неполные частные, скажем,
а(^.К при i ^ 1. Тогда для отклонения DN (со)
последовательности (па) справедлива оценка NDN(to) = 0 (\nN). Более точно,
yVD^((o)<3-f (l/ln£ + tf/ln (K+l))lnN, (3.16)
adet = (l+V5)l2.
Доказательство. Пусть 1 = q0 ^ qx < q2 < ... —
знаменатели подходящих дробей а. Для любого N ^ 1 существует г ^ 0

138 гл- 2- ОТКЛОНЕНИЕ
такое, что qr^N < qr+1. Воспользуемся алгоритмом Евклида:-
N = brqr + Nr_lt где 0 < Nr_x < qr. Так как (ar+1 +l)qr> qr+1>Nt
то br^.ar+1. Если г > О, то мы можем записать, что Nr_x =
= t>r_1qr_1 + Nr_2t где 0< Nr_2 < qr_x\ и снова &г_г<аг. Про-
должая таким образом, мы получим представление N в форме
г
N=^ibiqi, где 0<^<а/+1 при 0</<г, причем £г>1.
i = 0
Разложим заданную последовательность {а}, {2а}, ..., {Na}
на br последовательностей ({па}), в которых п пробегает qr
последовательных целых чисел, на br_x последовательностей ({па}),
в которых п пробегает qr_1 последовательных целых чисел, и так
далее. Оценим сперва отклонение такой конечной
последовательности ({па}), в которой n = n0-\-j и 1 </<?/. Согласно (3.9)
a = /V<7* + e/flW,+li lel< !•
Поэтому
{па\ = {п0а+ jpi/q^ je/qtqi+1}.
Так как (pt, <7/)=1, то числа п0а-\-jp^q^ рассматриваемые по
модулю 1, при 1^/^<7* образуют последовательность,
состоящую из qt равноудаленных точек, расстояние между которыми
равно \jq{. Так как | /6/9^+11< i/<7i+i ПРИ 1^/^<7*» то
последовательность ({па}), п0+1^п^.п0 + Я{, получается из
последовательности {nQa-\- jpilqi) (l^.j^.q{) сдвигом элементов по
модулю 1 на расстояние, не превосходящее l/ql+1\ либо все элементы
сдвигаются вправо, либо все элементы сдвигаются влево
(направление сдвига зависит от знака 6). Легко видеть, что для
отклонения Dq. конечной последовательности ({па}, п0-\-1 ^я^я0 + <7/)
справедлива оценка
D,.<l/^ + l/9/+1. (3.17)
Согласно теореме 2.6, с учетом способа разложения исходной
последовательности {а}, {2а}, ..., {Na}, из (3.17) получаем, что
г г
ммю)<2>|(г*--и)<г+1+5><- <3-18>
t = 0 ^4i + l J i = 0
Мы утверждаем, что
г
1=0 v * '
г
Доказывать (3.19) будем индукцией по г. Обозначим o(N)= 2^-
i=0
Если q0<qlt то минимальное возможное значение г—это г = 0,
и соответствующее N удовлетворяет неравенствам 1 ^ a (N) =
= N < q1^:K. Если q0 = q1=lt то наименьшее возможное
значение г—это г=1, и соответствующее N удовлетворяет неравен-

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
139
ствам 1 <a(N) = N <q2^K+l. Для первого шага в
доказательстве по индукции достаточно доказать, что при 1 ^ N < К+ 1
N^l + (K/\n(K+\))\nN.
Это следует из рассмотрения функции f(x) = x—(К/\п(К+1))\пх
на интервале 1 <*</( + 1, если заметить, что / (1) = / (/С + 1) = 1
и на всем интервале функция обращена выпуклостью вниз.
Выберем теперь произвольное N, для которого 1 <<7r^N <
< <7r+i, и запишем N = brqr-\-Nr_lt где 0^:Nr_1<qr. Допустим
сперва, что Nr_1>0. Тогда o(N) = br + o(Nr_1) и, по
индукционному предположению, a(N)^. 1 + br + (K/\n(K + l)) lnNr_1. Но
в этом случае N > brNr_1 + Nr_1 = (br + l) Nr_lt так что
a(N)^l+br + (K/ln(K+l))\n(Nf(br+l)).
Очевидно, что это неравенство справедливо также при Л^г_1 = 0,
ибо тогда o(N) = br и N/(br+ l) = brqr/(br + 1) > 1. Чтобы
закончить доказательство, остается доказать, что br^ (К/\п(К+ 1))Х
X In (br + 1). А это сразу следует из того, что 1 ^ br ^ ar+1 ^ К
и функция £(л;) = л;/1п(л; + 1) возрастает при х > 0.
Чтобы оценить г, надо доказать сперва по индукции, что
qt^l1-1 при i>0. Тогда N^q^l'-1 или г <lntf/lng+1.
Наконец, (3.16) следует из (3.18) и (3.19). □
Последовательность ван дер Корпута. Построим теперь
последовательность с исключительно малым отклонением. В настоящее
время не известно ни одной бесконечной последовательности,
которая имела бы отклонение меньше, чем та последовательность,
которую мы собираемся построить. Об оптимальных оценках
отклонения см. Замечания.
Определим так называемую последовательность ван дер Кор-
S
пута (хп) следующим образом: пусть д>1 и п—1=2а/2у —
s
двоичное разложение числа п—1; тогда хп= 2а/2"/_1. Ясно,
/=о
что все значения хп принадлежат единичному интервалу.
Теорема 3.5. Отклонение DN((x)) последовательности ван дер
Корпута со = (а:л) удовлетворяет неравенству
NDN (со) < In (N + l)/ln 2. (3.20)
Доказательство. Пусть задано целое число N^\.
Запишем его двоичное разложение N = 2h^ + 2Лг + • • • + 2Л*, где
К > К > • • • > hs ^ 0. Разобьем интервал целых чисел [1, N] на
подынтервалы Mlf М2, ..., Ms следующим образом: при 1^ / ^ s
M/ = [2h* + 2h* + . . . +2Н''~г+ 1, 2^ + 2Л*+ . . . +2Л/];
при /= 1 пустая сумма 2hi-\- ... +2 /_I считается равной 0.

140
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Целое число n£Mj может быть записано в форме
п= 1 +2*1 + 2*"+ . . . +2^'-1+ 2 fl|2'f
i = 0
где at равны 0 или 1. Если а1 пробегают всевозможные значения,
то мы получаем все 2 J чисел, принадлежащих Mj. Далее,
hj-\ н.-\
1=0 i=0
где у j зависит только от /, но не от п. Если п пробегает My, то
hj - 1
2я/2~/~1 пробегает все значения 0, 1-2 у, , (2 у —1)2 J
i = 0
в некотором порядке. Более того, нетрудно заметить, что 0^f/y <
<2 у. Следовательно, если упорядочить элементы хп с n£Mj
h,
по величине, то получим последовательность соу, состоящую из 2 у
элементов, которая представляет собой почти арифметическую
прогрессию с параметрами 8 = 0 и т| = 2 J. Легко видеть, что
отклонение каждой соу-, умноженное на число элементов в coy, не
превосходит 1. Принимая во внимание (2.43) и то, что х1У ..., xN
разложена на s последовательностей coy, получим, что NDN(<&)i^s.
Остается оценить s через N. Но N ;>25"1 + 25"2+ ... +2° =
= 2S— 1, так что s<ln(N+l)/ln2. Q
Замечания. Почти арифметические прогрессии введ О*Нил [1]. Их
важность для теории связана с наличием следующего критерия.
Последовательность (хп) в / p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда выполнено следующее
условие: для любых трех положительных чисел б, е и е' существует
M = N (б, 8, 8;) такое, что при всех N > N начальный участок xlt ..., х^
может быть разложен на почти арифметические (б, е)-прогрессии, причем
останутся вне прогрессий не более чем jV0 < b'N элементов. Верхнюю границу
отклонения для почти арифметических прогрессий получил Нидеррейтер [2].
В качестве приложения доказано, что для последовательностей (u = (f(n)),
рассмотренных в упражнении 2.22 гл. 1, отклонение D^((o) = 0(f (N))/N +
+ \/(Mf'(N)). См. также Древе [1].
Классические монографии о цепных дробях — это Перрон [1] и Хинчин [7].
Очень интересный геометрический подход содержится в книге Старка [1]. По
теории диофантовых приближений упомянем в первую очередь обширный отчет
Коксмы [4] и монографию Касселса [9]. Очень хорошее изложение предмета
содержится в книгах Нивена [1, 3], а также у Левека [5], Радемахера [1],
Харди и Райта [1], Лен га [1]. Из-за тесной связи между этими вопросами
в большинстве книг по диофантовым приближениям рассматриваются также
цепные дроби.
Результаты, подобные лемме 3.3, были известны еще Харди и Литлвуду
m
[4, 5]. Они получили также нижние границы для сумм вида ^ </кх>~п при
П=1
п^\. Подробный вывод этих нижних границ можно найти у Хабера и
Осгуда [2]. Используя цепные дроби так, как в доказательстве теоремы 3.4,
можно несколько улучшить оценку s^ и лемму 3.3 (см. Лен г [1] и
упражнения 3.11 и 3.12), однако это не приводит к улучшению теоремы 3.2. Обзор

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
141
литературы до 1936 года имеется у Коксмы [4, гл. 9]. См. также: Харди и
Литлвуд [6], Муромский [1], Круз [1].
Теорема 3.2 впервые была доказана Гекке [1] и Островским [1]. Близкие
исследования были почти одновременно выполнены Харди и Литлвудом [3, 4]
и Бенке [1]. Очень подробное изучение предпринял Бенке [2], которому
принадлежит Q-результат в теореме 3.3.
Теорема 3.4 из работы Нидеррейтера [13] усиливает более ранние
результаты Островского [1], Бенке [2] и Зарембы [1]. В последней статье более
подробно рассмотрен частный случай /С=1, когда ND^(a)) <; (7/6) In (6Af). В
неопубликованной работе Шоша для случая /С=1 получена оценка #Ддг (со) «^
^c^/lnN при М^2 и доказано, что lira сдг=1. См. также Жилле [1, 2].,
В этом контексте заметим, что Бенке [2], доказав, что ND^ (&) = Q (In N) для
любой последовательности вида (па), тем самым доказал частный случай
теоремы 2.3. Усилив теоремы Гекке [1] и Островского [2], Кестен [4] доказал
следующий примечательный результат: пусть Rn(x)—остаточная функция по
отношению к последовательности (па) с иррациональным а; тогда разность
#лг(^)—#лг(я)> гДе О^а^Ь^ 1 и Ь—а < 1, ограничена по N тогда и только
тогда, когда при некотором целом / разность Ъ—а = {/а}. Более простые
доказательства см. в статьях: Фюрстенберг, Кейнс и Шапиро [1], К. Петерсен
[1], Петерсен и Шапиро [1], Л. Шапиро [1]. См. также Леска [5].
Аналогичную задачу в двух измерениях исследовал Сюс [2, 3]. Вероятностные
количественные результаты о (па) см. у Кестена [1, 2, 3]. Из оценки (3.18) и
метрических'теорем^Хинчина [2] следует, что какова бы ни была положитель-
00
ная неубывающая функция g, такая, что ряд N сходится, отклонение
Dy(ou) последовательности со = (яа) удовлетворяет соотношению
NDN (со) = О ((In N) g (In In N))
для почти всех а.
В примере 3.1 мы упомянули знаменитую теорему Туэ—Зигеля—Рота.
Этот факт в течение долгого времени был предположением Зигеля, пока его
не подтвердил Рот в своей основополагающей работе [2]. В. несколько
упрощенной форме доказательство Рота появилось в нескольких книгах,
например, у Касселса [9], Левека [5], в переработанном издании Ландау [1].
Многомерный аналог был недавно доказан В. Шмидтом [12].
Много внимания было уделено различным подпоследовательностям (па),
особенно лакунарным последовательностям. Большинство статей, в которых
с количественной точки зрения изучаются последовательности с пропущенными
членами, носят вероятностный характер. См.: Хинчин [3, 5], М. Кац [1,2]
(обобщение у Леонова [1, 2]), Форте [1], Эрдёш и Коксма [1], Касселс [1],
ЭрдёщТи Галь [1], Минеев [1], Чисельский и Кестент[1], Галь и Галь [1],
Катаи"[1], Постников [8, раздел 15], Ибрагимов [1, 2], Мухутдинов [2, 3],
Филипп [4, 5, б, 7; 8, гл. 4; 10], Р. Бейкер [3]. В этих исследованиях часто
используется общая теорема Галя и Коксмы [1, 2]. Обзоры и дальнейшая
литература имеются у Коксмы [4, гл. 9], М. Каца [3], Гапошкина [1].
Метрическую теорему о более широком классе подпоследовательностей (па) доказал
Р. Бейкер [4], усилив тем самым результат Салема [2]. О медленно растущих
последовательностях см. Р. Бейкер [6]. Детерминистические результаты о
последовательностях (qna) при целом q > 1 получены у Коксмы [8], Коробова [7, 11,
13, 21], Коробова и Постникова [1], Куликовой [2], Постникова [5, 6; 8,
раздел 14], Постниковой [5], Усольцева [1, 3]. Близкий результат см. у
Постникова [2]. Коробов [13] и Полосуев [1, 6] изучали аналогичные задачи
в многомерном случае. Количественные результаты о последовательности (п*а)
и связанных с нею последовательностях можно найти у Бенке [2], Бергстрема
[2], Ягермана [1, 2]. О (опп), где (рп)—последовательность простых чисел,
см. у Виноградова [4, 5] и Хуа [1]. По поводу «иррегулярно:тей распреде-

142
Гл. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
ления» подпоследовательностей (па) см.: Коэн [1], Дэвенпорт [2], Хьюитт и
Цуккерман [1].
Распределение малых дробных долей па изучали Левек [6, 7, 8], Эрдёш
[5], Эннола [1]. См. также В. Шмидт [1, 5], Сюс [4], Филипп [4, 7], Галла-
хер [1, 2], Эннола [2]. Связанные с этим вопросом эвтаксические
последовательности (suites eutaxiques) изучали Леска [2] и де Матан [3, 4, 5].
О многомерных последовательностях ((яаь ..., па^)) и связанных с ними
последовательностях см.: Хартман [1], Хлавка [16, 28], Каримов [2],
Вербицкий [1], Цинтерхоф [1]. Нидеррейтер [5] доказал, что если аъ ..., а^~
действительные алгебраические числа, причем 1, а!, ... , а^ независимы над
полем рациональных чисел, то отклонение последовательности co = ((/zai, ...
. . . , /ictfc)) удовлетворяет DAr (со) = О (N~1 + e) при любом е > 0. См. также
упражнение 3.17 и статью Нидеррейтера [13].
Многие авторы рассматривали последовательности (/ (п)) с многочленом /
и оценивали отклонения или тригонометрические суммы, входящие в оценки
отклонений, для таких последовательностей. Обзор ранней литературы по
этому вопросу есть у Коксмы [4, гл. 9]. Ван дер Корпут и Пизо [1]
использовали метод Виноградова и ван дер Корпута. Эти результаты были перекрыты
вторым методом Виноградова, изложение которого можно найти в монографиях
Виноградова [5], Хуа [1, 2] и Вальфиша [1]. Для многочленов низкой
степени дальнейшие уточнения получил Родосский [1]. См. также Виноградов
[2, 4, 6, 7, 8]. Карацуба [1] рассмотрел случай, когда / растет несколько
быстрее, чем многочлен. Ковалевская [1] рассмотрела многомерные
последовательности многочленов.
Последовательность, рассмотренную в теореме 3.5, ввел ван ден Корпут
[7]. Хабер [1] доказал, что NDn (co)^ In N/(3 In 2) + 0 (1), улучшив тем самым
оценку (3.20), и что константа 1/(3 In 2) — наилучшая. Еще сильнее результат
Тейдемана (неопубликованный), который доказал, что ND^ (со) <:lnW/(31n2)-|-l
и при этом
г- f кт* / ч 1пЛМ 4 . 1пЗ
л/-> со \ 3 In 2/ 9 ' 31п2
Об использовании последовательности ван дер Корпута см. Кнут [2, раздел 3.5].
Двумерную конечную последовательность — аналог последовательности ван дер
Корпута — построил Рот [1]. Отклонение этой последовательности вычислили
Габай [1, 2] и Холтон и Заремба [1], которые предложили улучшенный
вариант последовательности Рота: с меньшим отклонением *). См. также Уайт
[2]. Имеются многомерные обобщения. Для целых т^2 и п^О обозначим
через фт (п) т-ичную дробь, полученную «отражением» m-ичного
представления числа п относительно позиции запятой в числе (фт иногда называют
radical-inverse function). Последовательность Холтона в lk (k^ 1) определяется
формулой (Фт1(я), Фт2("), ..-, ЧткЩ (я = 0, 1, ...), где тъ ..., mk
взаимно простые числа (Холтон [1]). При k=\ и т1 = 2 получаем
последовательность ван дер Корпута. Последовательность Хэммерсли порядка N в Ik
(k^2) определяется формулой (n/N, фЯ1 (п), уРг(п), ..., ^>pk_1(n)) (я = 0,
1, ..., N — 1), где /?!, ..., Pk-i — первые k — 1 простых чисел (Хэммерсли [1],
Холтон [1]). Верны следующие оценки отклонений (Холтон [1]): ND^ (со) <:
<: Cfc \nkN при всех N >> 2 для последовательности Холтона и NDpj «С Cfe 1пА-1М
для последовательности Хэммерсли порядка N^>2, где С^ и C'k — константы,
не зависящие от N (см. также Мейер [3]). Широко распространено убеждение,
что никакая бесконечная (соответственно, конечная) последовательность не
может иметь отклонения с меньшим порядком роста по N, чем последова-
*) Еще лучший вариант построен в статье: Виленкин И. В. Еще раз
о плоских сетках интегрирования.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973,
13, № 4, 854—864.— Примеч. перев.

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
143
тельность Холтона (соответственно, Хэммерсли). Ср. также с § 2. Обзор этих
последовательностей имеется у Холтона [3]. Последовательность типа Холтона
в бесконечномерном единичном кубе изучил Соболь [4, 7]. Очень подробное
изучение последовательностей в /А, образованных двоично рациональными
числами, выполнил Соболь [6, 7] *), а в работах Соболя [1, 2, 3, 7]
последовательности Холтона и Хэммерсли исследованы с точки зрения их
использования для приближенного вычисления интегралов (см. также § 5). Для
вычислительной математики очень важны последовательности так называемых
псевдослучайных чисел, получаемых методом вычетов (он же метод
сравнений). Оценки отклонений для таких последовательностей получили Ягерман
[3] и Нидеррейтер [4, 18]**).
Другие количественные результаты, относящиеся к частным классам
последовательностей, см. в работах: Касселс [2, 3, 4], Древе [1], Эрдёш [2],
Эрдёш и Коксма [2], Эрдёш и Туран [1, 2, 3, 4], Коробов [14, 18], Левек
[1, 2, 3], Минеев [2], Сандерс [1], Усольцев [2].
Упражнения.
3.1. Доказать, что отклонение последовательности со=(аяст) (а> 0,0 <а< 1)
удовлетворяет D# (со) = 0 (Л^-1), где т/ = тах(а, 1 —а).
3.2. Построить пример последовательности со = (ял1/2) (а > 0), для
которой D/v(cd) = Q(W-i/2).
3.3. Доказать, что отклонение последовательности со = (а \п°п) (а > 0, а> 1)
удовлетворяет D# (со) = О (ln1_(J N).
00
3.4. Пусть-ф—такая положительная функция, что ряд 2 ^(я) сходится.
Тогда для почти всех чисел а (по мере Лебега) существует всего лишь
конечное число целых q > 0 и соответствующих им целых р таких, что | qa—р \ < ч|) (q).
Указание. Достаточно рассмотреть а£/, выбрать е>0 и Q так, чтобы
*) В этих работах построен новый класс бесконечных последовательностей
со в /*, названных автором ЛПХ -последовательностями. Все координаты всех
точек со—двоично рациональные числа. Эти последовательности по ряду
характеристик равномерности превосходят все известные в настоящее время
последовательности в Ik. Для отклонения любой со оценка ND^ (co) = 0 (In* N)
справедлива при всех N^2, и в то же время, если N = 2h, где h^\ целое,
то NDn (co) = 0 (lnA_1 N). Все ЛПт-последовательности о. р. мод 1. Например,
последовательность ван дер Корпута есть ЛП0-последовательность в /.
Выделены ЛПт-последовательности с дополнительными свойствами
равномерности, начальные участки которых также хорошо распределены. Такие
последовательности использовались во многих работах: для приближенного
вычисления многократных интегралов (в том числе несобственных); вместо
псевдослучайных чисел в методе Монте-Карло; для систематического
многомерного поиска; в планировании экспериментов; в задачах
многокритериальной оптимизации.
Основные свойства ЛПх-последовательностей приведены в обзорной
статье Г. Нидеррейтера (Niederreiter H. Quasi -Monte Carlo methods and
pseudorandom numbers.—Bull. Amer. Math. Soc, 1978, 84, №6, p. 957—1041). Обзор
более новых результатов имеется в книге: Соболь И. М. и Статников Р. Б.
«Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями», М.,
Наука, 1981 (здесь же приведены программы для расчета). В статье Г. Фора
(Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme de numeration (en
dimension s).—Acta arithmetica, 1982, 41, p. 337—351) построены г-ичные ЛП0-
последовательности в /*, где г—простое число, r^k.— Примеч. перев.
**) См. статью Нидеррейтера, цитированную в предыдущей сноске.—
Примеч. перев.

144
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
2 ^(Я)<г'* °иенить меру множества М={а£1: существуют q^Q и р
такие, что | a—p/q\ < а|) (q)/q).
3.5. Пусть задано е > 0. Доказать, что почти все а—числа типа
< с(а)1п1+е 2<7, где с (а)— положительная постоянная, зависящая от а.
3.6. Найти разложения в цепную дробь чисел Y 2, }/"3 и (l + |/^2)/3.
3.7. Доказать, что рпЯп-1 — Рп-1Яп = (—1)п~1 при п^—\ и /V7«-a —
— Рп-2Яп = (—1)пап при /1^0.
3.8. Пусть а—число типа < i|? и пусть qn + i > 1 — знаменатель
подходящей дроби а. Доказать, что <te>^ l/(?n4|> (?„)) Для l^h < qn+i.
3.9. Пусть а— число типа < i|? и пусть <7n < qn+1 — знаменатели двух
соседних подходящих дробей а. Используя идеи доказательства теоремы 3.4
и результат упражнения 3.8, доказать, что
*.»
X <(/1о + /)а><^^(^) + 1пЫ,
>*• + /< <7„ + 1
где qn—l</i0 < qn+i> а с > 0 — абсолютная постоянная.
3.10. Из упражнения 3.9 вывести, что для чисел а типа < i|? при всех я^гО
чл 1
Zd ТТ^Т < cqn+г ^ (qn> +1п Яп)-
<to>
'—<п
3.11. Пусть а—число типа < i|?. С помощью упражнения 3.10 доказать, что
т
A-i </га>
3.12. Доказать следующее усиление леммы 3.3: если а —число типа < а|э, то
т / т \
+ (А)
л У
Указание. Использовать формулу суммирования Абеля и упражнение 3.11.
3.13. Доказать, что если задано е > 0, то отклонение /)#(ю)
последовательности (па) удовлетворяет условию NDm (со) = 0 (1п2+8 N) для почти всех а.
Указание. Использовать упражнение 3.5.
3.14. Предположим, что для всех иррациональных а типа < г|э верна
т
\? 1
оценка ^——=0(/(т)). Доказать, что для всех таких а будет также
h= 1 I *
V4 1
верна оценка ^ • =0(f(m)). (Заметим, что обратное заключение три-
ft ж 1
виально.)
3.15. Фиксируем целое положительное число т. Пусть g(n)=\/(n(n-\-\))
для \^п<т и g(m)=\/m. Для .целочисленных точек (nlt ..., n^^V
k
с \<ni<mt \^i<k, определим функцию f (nit ..., /1л) = Ц^(л/)- Пусть
s — произвольная функция, определенная в каком-нибудь множестве, содер*

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 145
жащем все такие целочисленные точки h£Z*t что 0 < \\h\\^m. Тогда
справедливо тождество
т
0<||Л||<т К) пх nk=\ h = (hl hk)
\hj\< п.
где звездочка означает, что (0, ..., 0) из области суммирования исключается.
Определение ||/г|| и r(h) см. в Замечаниях к § 2.
3.16. Пусть'Obi, ..., otfc—такие иррациональные числа, что 1, alt ..., а^
линейно независимы над полем рациональных чисел. Допустим, что
существуют т] ^ 1 и с > 0 такие, что
гЧ((Ль ...» y<Mi+...+W^c
для всех целочисленных точек (hlt ..., hk) Ф (0, ..., 0). Проверить, что
2* - <Mi+ • • • +hkak>-1 = О (гЛ (п) In г (я)),
где ji = (/ilf ..., пл)—целочисленная точка, для которой я/^1 при 1<;*«^&.
Указание. Сравнить с доказательством леммы 3.3.
3.17. Пусть 0^, ..., а^ удовлетворяют тем же условиям, что в
упражнении 3.16. Доказать, что отклонение £># (<о) последовательности со =
= ((nai, ..., шх*)) (^=1, 2, ...) удовлетворяет Z)# (<*>) = О (N-1ln*+1 N),
если т] = 1, hD^v(co) = 0 (Л^~1/((т1-1)Л+1) in Л^), если г\ > 1. У к а з а н и е.
Использовать теорему Эрдёша—Турана — Коксмы и результаты упражнений 3.15 и 3.16.
3.18. Пусть (хп) — последовательность ван дер Корпута. Если h^ 1—целое,
то обозначим
м= 222/» а=2 2~2/,~1-
i = О * в О
Для l^/^/i определим «/у и конечную последовательность coy так же, как
при доказательстве теоремы 3.5. Доказать, что при l^j^h
Л([0, а); 22<л-У); соу) = (а—yj) 22<*-./>+l/2.
У Казани е. Использовать постоянство расстояний 2-%&~~^ между точками coy.
3.19. Вывести из упражнения 3.18, что отклонение D*n((u)
последовательности ван дер Корпута со при бесконечно большом числе значений /V удрв-
летворяет неравенству ND*N (со) > In N/6 In 2.
3.20. Доказать, что отклонение Цдг(со) последовательности со=(я1пл)
удовлетворяет оценке D^ (со) = О (JV-1/6 ln2/^ N). Указание. Использовать
теорему 2.7 гл. 1.
3.21. Доказать, что отклонение D/y(co) последовательности co = (/iln lne/i)
удовлетворяет оцен ке D/у (со) = О (N-W (In N)Vb (In In N)2^). Указание,
использовать теорему 2.7 гл. 1.
§ 4. Перестановка членов последовательностей
Плотные последовательности и равномерное распределение.
Этот параграф проливает новый свет на свойство равномерности
распределения мод 1, которое, оказывается, зависит больше от порядка
нумерации членов последовательности, а не от природы самих
этих членов. Центральный результат параграфа: в любой всюду
плотной на единичном интервале последовательности можно так

146 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
переставить ее члены, чтобы она имела любое заданное
распределение. В частности, в любой всюду плотной на единичном
интервале последовательности можно так переставить члены, чтобы
она стала р. р. мод 1.
Прежде чем доказывать эти результаты, изучим связь между
отклонениями последовательностей, соответствующие члены
которых близки между собой.
Теорема 4.1. Пусть х1У ..., xN и у1У ..., yN—две конечные
последовательности в I. Предположим, что гх, ...,
е^—неотрицательные числа такие у что \хп— #л|^е„ при l^n^.N. Тогда
при любом е > О справедливо неравенство
\DN(xly ..., xN) — DN(yu ..., Ы1<2е+"Й(е)/#, (4.1)
где N (е) равно количеству таких значений п из 1 ^ п ^ N, что гп>е.
Доказательство. Обозначим через со и т
последовательности х1У .. ., xN и у1У . . ., yN соответственно. Пусть J = [а, Р) ^/.
Рассмотрим сперва интервал Jx = [ol—е, р + е)П/. Всякий
раз, когда уп £ У, то либо хп £ Jly либо ел > е. Поэтому A (J\ N\ т) <
<Л(У1; N; (o) + iV(e). Далее,
A (J,; N^) = NX(J1) + 81NDN(^)1
где [б |< 1. Отсюда вытекает, что
A(J N; x) — NX(J)^N{X(J1\—X(J)) + 81NDN((d) + N(e)^
^2eN + NDn{(*>) + 'N(e). 4.2)
С другой стороны, рассмотрим интервал У2 = [а + е, Р—е). Он
может оказаться пустым, и тогда последующие оценки тривиально
верны. Всякий раз, когда xn£J2t то либо yn£J, либо еп > е.
Таким образом, A (J 2\ N\ со)< А (У; N; т) + ~N (e). При этом
А (У2; N\ со) = NX (J2) + 82NDN (со), где |62|<1. Отсюда
вытекает, что
A{J\ N\ r) — NX(J)^N(X(J2) — X(J)) + 82NDN((u) — W(E)^
^> —2&N — NDN(<*) — N(e). (4.3)
з (4.2) и (4.3) следует, что
| Л (У; N\ x)/N — l{J)\^DN((ii) + 2e + N{e)/N.
Так как правая часть от интервала J не зависит, то получаем, что
Dn(t)^Dn(<u) + 2e + N(e)/N.
Поменяв роли со и т, получим аналогичное неравенство
DN (со) < DN (т) + 2е + Л (е)/#,
и доказательство окончено. □
Следствие 4.1. Пусть xlt ..., xN и ylt ..., yN—две
конечные последовательности в I и существует е!>0 такое, что

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 147
\хп—уп\^в при l^n^N. Тогда
IDN (хг, ..., xN)-DN (у,, ...,^|<2е. (4.4)
Доказательство. В теореме 4.1 следует выбрать вп = е
при 1 <я<М. □
Теорема 4.2. Пусть со = (хп) — бесконечная
последовательность в I. Далее, пусть (уп) — последовательность, всюду
плотная в 1. Предположим, что функция h(x) — неотрицательная,
возрастающая, определенная при х^\ и такая, что lim h (x) = оо.
Тогда можно так переставить члены последовательности (уп), что
получится последовательность о, для которой
\DN(co)-DN(o)l^h(N)/N (4.5)
при всех достаточно больших N.
Доказательство. Не ограничивая общности, можем
считать, что /г (1) = 0, ибо в противном случае мы могли бы заменить
h(x) на h(x) — /i(l). Пусть х = g(t) — обратная функция по
отношению к t = -jh (х). Заметим, что g (0) = 1, так что g (п) > 0 при
всех положительных п. Так как последовательность (уп) всюду
плотна, то к любому хп можно подобрать ykn так, что \хп—Укп\^
^Vg(n), и при этом кпФкт, если пфт. Выберем пока
произвольное число е (0<е<1). Согласно теореме 4.1 отклонение
последовательности % = (ykn) удовлетворяет неравенству
\Dn((o)-Dn(x)1^2b + N(b)/N,
где N (в)— количество величин \/g(n) при l^/z^N таких, что
\1ё(п) > 8- Однако последнее неравенство равносильно g(n) < 1/е
или я <-т-М ""О* так что ^(е)^ Т^(т) г Полагая е=1/#,
получим
\DN((*)-DN.(%)j^2/N + h(N)IN. (4.6)
Определим теперь перестановку о = (ип) последовательности (уп)
следующим образом. Положим un = ykn, если п не есть число вида
[gMm)]+l с каким-нибудь положительным т. Оставшиеся
элементы последовательности (уп) — это числа уьт, у которых п =
= [g(m)]+U и числа, которые не принадлежат {ykn)- Все эти
элементы можно перенумеровать любым образом, например,
t1912, ... Осталось еще определить ип в случае, когда n=[g(m)]+l.
Для этого расположим все такие п в порядке возрастания:
пг < п2 < ... и положим ип. = tt. Тогда последовательность а=(ип)
представляет собой перестановку последовательности (уп).

|48 гл- 2- ОТКЛОНЕНИЕ
Оценим разность \DN(r)—DN(a)\. Пусть
с,—характеристическая функция интервала Js I. Очевидно,
1 N
S (Cj(»n)—Cj(ykn))
N
Я=в1
Но разность Cj(un)—Cj(ykn) = 0 при всех п, которые не являются
числами вида [g (т)] + 1. Поэтому
N
2 (Cj(un) — Cj(ykn))
п=
N
< 2 к 2 к 2 i =
я= 1 m m
•ne[g(m)]+l [g(m)] + l<# g(m)<W
m L
4
Отсюда вытекает, что
так что D^v(a)^DAr(T) + A(A^)/(4A^). Точно так же доказывается,
что DN(%)^Dn(o)-\-h(N)/(4N), и, следовательно,
I Av (t)-D* (a) | < h(N)/(4N). (4.7)
Из (4.6) и (4.7) мы получаем, что
| DN (®)—DN (a) | < | DN (a)-DN (x)\ + \ DN n)-DN (a) | <
<^2/N + h(N)/(2N)t
и это справедливо при всех положительных N. Однако при всех
достаточно больших N будет h (N) ^ 4, и поэтому
|DN(®)-DN(a)|<ft(N)/(2N) + h(N)/(2N) = h (N)/N. D
Следствие 4.2. В любой последовательности, которая всюду
плотна в /, можно переставить члены так, что получится
последовательность p.p. мод 1.
Доказательство. В качестве со = (jc„) выберем любую
последовательность р. р. мод 1; а в качестве h[x) выберем какую-
нибудь функцию, достаточно медленно стремящуюся к
бесконечности, например h(x) = lnx. Согласно предыдущей теореме можно
в заданной всюду плотной последовательности (уп) так
переставить члены, что получится последовательность а, для которой
DN(<y)<DN(<o) + lnN/N

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 149
при всех достаточно больших N. Отсюда видно, что lim DN (о) = О,
iV-*-00
так что а р. р. мод 1. Q
Ряды Фарея. Следующая лемма окажется полезной и при
рассмотрении примера 4.1, и в дальнейшем.
Лемма 4.1. Рассмотрим бесконечную ограниченную
последовательность комплексных чисел (сп). Разобьем ее на непустые участки
так, что первый участок состоит из первых Аг элементов (сп),
второй участок состоит из следующих А2 элементов и так далее.
Назовем элементы k-го участка (их всего Ak) d{£\ ..., d%K Пред-
k
положим, что
Ak
k^(X>A1+... +Ak k^^ Ak j£x v
Тогда
N
lim }jY*cn = C'
N-+<x>
n=l
Доказательство. Обозначим Bk = Аг + ... + Ak при k^ 1.
Тогда
* n = i R \ v= 1 R v= l /
и по теореме Коши
Bk
«m 4гЕ*п = *. (4.8)
Пусть теперь N ^ Ax. Представим его в форме N = Bk + rt где
O^r < Ak+1. Тогда
W / Bk \ N 1
^1*сп=^[-щ2*сп)+-й- 2d cn-
n = \ \ R n=l / n = Bk+1
Первый член справа стремится к с, так как 1 ^ N/Bk < 1 + Ak+1/Bk
и имеет место (4.8). Второй член по абсолютной величине не
превосходит (Ak+1/Bk) М, где М — верхняя граница всех |с„|, и
поэтому стремится к нулю. □
Пример 4.1. Рассмотрим последовательность p.p. мод 1,
получаемую перестановкой всех рациональных чисел из /. Для этого
упорядочим лексикографически все рациональные числа r/п при
0^r</i и (г, п)=1. Получим последовательность 0/1, 1/2, 1/3,
2/3, 1/4, 3/4, ... По техническим причинам нам удобнее
рассматривать последовательность, совпадающую с этой
последовательностью по модулю 1, а именно,
1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ...

150 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Эта последовательность состоит из участков Sn (n=lt 2, ...),
состоящих из всех рациональных чисел вида r/п, где l^r^n
и (г, п)=\. Пусть задано число 0<<х<;1; через Аа(п)
обозначим количество членов участка S„, принадлежащих [0, а].
Количество всех дробей вида r/п (сократимых или нет) при 1 ^ г ^ п,
принадлежащих [0, а], равно в точности [/га]. Посмотрим на
это число с другой точки зрения. Если мы сократим по
возможности все r/п и сгруппируем их по новым знаменателям
(которые являются положительными делителями d числа п), то,
сосчитав их заново, получим основное тождество
2 Aa(d) = [na].
d/n
Используя формулу обращения Мёбиуса, получим, что
А* («)=|]ц (£)[<**]•
Отсюда
din * J d/n K J din N '
так что
lwH<?kl>(d)|- (4-9)
din
Мы утверждаем, что если обозначить правую часть (4.9) через
/(п), то lim/(n) = 0. Заметим, что f(ri) — мультипликативная те-
п -»■ со
оретико-числовая функция, а для таких функций утверждение
lim / (п) = 0 равносильно утверждению о том, что / (п) —► 0, ко-
п -> со
гда п пробегает множество всех простых степеней.
Итак, достаточно рассмотреть f(n) при аргументах вида п = ра.
Но тогда f(pa) = 2/pa~1(p—1), что, очевидно, стремится к 0 при
ра-^оо. Из (4.9) вытекает, что lim Aa (п)Др(п) = <х. Далее мы
П -> 00
хотим воспользоваться леммой 4.1, для чего нам нужно только
доказать, что lim ср(л+1)/Ф.(м) = 0, где Ф(п) = ф(1)+...+ср(п).
п -> со
В аналитической теории чисел известны весьма точные оценки
Ф(п), п^1, но мы ограничимся элементарной оценкой. Заметим,
что Ф(п) можно интерпретировать как количество целочисленных
точек (я, у) таких, что 1^х^у^.пихиу взаимно простые.
Тогда В(п) = 2Ф(п) — 1 равно полному числу целочисленных
точек (я, у) таких, что хну взаимно простые, при 1 <д:^п и

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 151
l^^/^ft- С другой стороны,
d = 2 1 < х, у < п d = 2
(*. y)=d
Следовательно, Ф(п)^сп2, где с—некоторая положительная
постоянная, так что ф(/г+1)/Ф(/г)^(/г+1)/(с/г2), и доказательство
окончено. □
Перестановки и функции распределения. Мы докажем
утверждения, аналогичные следствию 4.2, относительно асимптотических
функций распределения (мод 1) в смысле определения 7.1 гл. 1.
С помощью результатов настоящей главы мы покажем, что для
любой неубывающей функции /, определенной на /, для которой
f(0)=,0 и /(1)=1, действительно существует последовательность
такая, что функция / является для нее а.ф.р. (мод 1), — этот
вопрос остался открытым в § 7 гл. 1. Начнем с доказательства
более сильного утверждения, относящегося к непрерывным /.
Лемма 4.2. Пусть f—непрерывная неубывающая функция,
определенная на 7, и /(0) = 0, /(1)=1. Тогда существует в I после -
довательность со такая, что
|Л([0, а); ЛГ; со) — Nf(a) |< In (N + l)/ln 2 (4.10)
при всех N ^ 1 и 0 < а ^ 1.
Доказательство. Пусть ъ = (уп) — последовательность ван
дер Корпута, построенная в § 3. Благодаря непрерывности и
монотонности /, множество /n = {Pg/: f($)^yn} есть замкнутый
интервал при каждом п^1. Пусть ^„ — наибольший элемент
в 1п. Утверждается, что последовательность ы = (хп)
удовлетворяет (4.10).
Сперва докажем, что при любом п^1 и O^a^l
неравенства хп^а и yn^f{oL) равносильны. В самом деле, если хп^а,
то из хп € /„ следует, что уп >/(*„) > / (а); обратно, если уп > / (а),
то ag/n, так что а^л;„.
Отсюда следует, что хп < а тогда и только тогда, когда
yn<f(a), так что
Л([0, a); N; ю) = Л([0, /(a)); N\ т)
при всех N !> 1 и O^a^l. Чтобы закончить доказательство,
остается воспользоваться теоремой 3.5. □
Чтобы осуществить переход от непрерывного случая к общему,
понадобится следующая лемма из анализа.
Лемма 4.3. Пусть f—неубывающая функция, определенная
на компактном интервале [а, Ь]. Тогда существует последова-

152
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
тельность gx gk, ... непрерывных неубывающих функций
на [а, Ь], удовлетворяющих условиям gk (а) = / (а), gk(b) = f ф) при
k^l, которая всюду сходится к f, т. е. limgkф) = fф) для
вса; Р€[а, &].
Доказательство. Для каждого k^l выберем конечную
последовательность а = <х{/° < <x[k) < ... < а^ = 6 так, чтобы
я>м — afy < 1/k при 0^i^mk и чтобы она содержала все точки
ag(a, fe), в которых /(а + 0) — /(а—0) > l/k (количество таких a
обязательно конечно). В качестве gk выберем функцию, линейную
на каждом из интервалов [af\ ajji] (0^i^mk) и такую, что
§k (a(ik>) = / (a?}) в0 вСех точках af\ Очевидно gk непрерывна, не
убывает на [a, Ь] и gk (a) = / (a), gk (b) = f (b). Остается проверить,
что gk сходится всюду к / (для концов а и b такое утверждение
тривиально).
Рассмотрим сперва случай, когда Рб(а, Ь)—точка разрыва
функции/. Тогда /(Р + 0)— /(Р—0) > 0, и, начиная с
некоторого k, точка Р = а}*) при каком-то ih (0 < ik<mk). Значит,
при всех достаточно больших k имеет место равенство gk ф) = f ф)
и все ясно.
Предположим теперь, что / непрерывна в точке Р€(а, Ъ) и
задано е > 0. Тогда при всех k, начиная с некоторого k0,
/(Р) —£ </(т) </(Р) + е Аля всех Y» принадлежащих ф—1/k,
Р+1/&). Но при каждом k найдется такое i=i(k), 0^i<mk,
что af^P^agi; и так как ajji—а}*}< l/k, то обе точки а^>
и а(Д\ принадлежат интервалу (Р—l/k, р+1/&). Следовательно,
при k^k0 мы получаем, что
f («П > / (Р)-е, / (a&) < / (Р) + в;
но это означает, что
fo(af,)>/(P)-e, A(«8iX/(P) + e.
И, так как gk (a?>) < fo (p) < fo (a&), то / (P)-e < gk ф) < f ф)+в
при всех k^zk0. □
Теорема 4.3. Пусть f—неубывающая функция на 7, для
которой /(0) = 0, /(1)=1. Тогда существует последовательность
в /, для которой f является а.ф.р. (мод 1). Можно выбрать эту
последовательность так, чтобы все ее элементы были различными.
Доказательство. По лемме 4.3 существует
последовательность g*! gk, ... неубывающих непрерывных функций,
определенных на / и удовлетворяющих условиям gk(0) = 0, gk(l) = l
при k ^ 1, которая сходится всюду к /. Для каждой gk можно
выбрать последовательность^, состоящую из точек x[k), ..., х%\ ...,
принадлежащих /, и удовлетворяющую оценке (4.10). Так как gk
равномерно непрерывна, то существует гк > 0 такое, что gk (a)—
—ёк(а—б) < l/k выполняется при всех 0^6^eft и ag[6, 1].

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 153
Обозначим через сол последовательность, состоящую гиз точек
Ул\ • • •» уТ принадлежащих /, таких, чтох^<у^ <*#°+вл
при всех п^1. Образуем теперь последовательность со,
состоящую из точек у«\ у<*\ у$\ у?\ у?\ yf\ ..., y[k) y<kk\ ... Здесь
записаны последовательно первый элемент из щ9 затем первые
два элемента из со2 первые ft элементов из cofe и так далее.
Если выбирать у^ при 1 ^ п ^ ft отличными от всех предыдущих
элементов со, то все элементы со окажутся различными (такой
выбор yjjb возможен, ибо у^ выбирается из интервала
положительной длины). Мы докажем, что lim А ([О, a); N\ to)/N = f(a)
при 0 ^ а < 1.
В силу леммы 4.1, достаточно доказать, что lim А ([0, a); ft; tok)/N =
= /(а) при 0^а<1. Запишем неравенства
|Д(10,«); *; "*)_^(С6)|^' |Д([0, а); *; щ)-А([0, а); к; хк)\ +
+
yi([0,«);fe;xft)_gft(a)| + |gft(a)_/(a)|- {4Л1)
Второй член в (4.11) справа не превосходит ln(ft + l)/(ftln2) и
стремится к 0; третий член также стремится к 0.
Чтобы оценить первый член, заметим, что из t$} < а следует,
что х£} < а, так что А ([0, a); ft; соЛ) < А ([0, a); ft; rk). Разность
Л([0, a); ft; rk) — Л ([0, a); ft; cofe) равна количеству индексов п
таких, что д#} < а, но у^^а (l<n<ft). Но для таких п
всегда a—ek < х{^ < а. Введем 8k так, чтобы [a — еЛ, а) П [0, a) =
= [a—8fe, a); очевидно, 0<8fe<efe. Тогда
|Л([0,а); ft; со,)-Л([0, а); ft; тЛ)|<
<Л([а-8„ a); ft; т*) = (4([0, a); ft; Tjk)-ftft(a))-
-(Л([0, а-вЛ); ft; T,)-ftgrfe (а-в,)) +
+ *(Л(а)-Л(а-в*))<21п(*+1)/1п2+1.
Отсюда следует, что первый член в (4.11) справа также стремится
к 0 при ft—► оо. П
Теперь мы в состоянии доказать обобщение следствия 4.2
о перестановке членов последовательности, всюду плотной в
единичном интервале.
Теорема 4.4. Пусть f—неубывающая функция на /, для
которой /(0) = 0, /(1) = 1. В любой последовательности, всюду
плотной в /, можно переставить члены так, что получится
последовательность, имеющая функцию f своей а.ф.р. (мод 1).
Доказательство. Пусть со = (х п) — последовательность,
состоящая из различных элементов / и имеющая / своей а.ф.р.
(мод 1) (такая со существует согласно теореме 4.3), и пусть (уп)—
заданная последовательность, всюду плотная в /. Разобьем со на
участки так, что ft-й участок состоит из точек хп, у которых

154
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
k(k—1)/2 < n^k(k-\-1)/2. При каждом k упорядочим элементы
k-то участка по величине и назовем их а(1/г) < a(2k) <... <ар.
Выберем теперь k чисел последовательности (уп)у назовем их$[к\ ...
. . ., pjf> так, что а?> < ft» < а<*> < р<*> < . . . < а^ < р?2х < о#><
< РлЛ) < 1 • Обозначим через £ = (z„) последовательность,
состоящую из р^>, |3<2\ р?\ ..., р*\ . .., pf, ... Очевидно, zn = ykn
при каком-то kn. Более того, из определения I видно, что мы
можем считать кпФкт, если пфт.
Мы утверждаем, что \ имеет а.ф.р. (мод 1) функцию/.
Достаточно доказать, что
lim (2/(k (k+l))) A ([0, a); k(k+ l)/2; g) = /(a)
/г -► се
при 0 ^Са< 1, ибо отсюда следует также, что lim Л ([0, a); N; l)/N =
JV-vco
= f(a). Сравнивая t-e участки последовательностей со и g, мы
видим, что в [0, а) попадут по крайней мере столько же а(г° (1 <>^i),
сколько р^1) (l^s^t). С другой стороны, избыток количества
а(г{) в [0, а) над количеством р^ в [0, а) не превосходит 1.
Поэтому
0<Л([0, a); k(k+l)/2\ со) —Л([0, a); k(k+l)/2\ £)<*.
Но тогда
lim (2/(k(k+ 1))) А ([0, а); *(*+ 1)/2; I) =
fc-юо
= lim (2/(k(k+l)))A{[0,a); k(k+l)/2; ©) = /(a).
/г-> ао
В качестве последнего этапа доказательства надо оставшиеся
элементы #п, не вошедшие в £, расставить достаточно редко, так,
чтобы не нарушить асимптотического распределения £ (ср.
доказательство теоремы 4.2). Для этого перенумеруем все упУ не
вошедшие в £, вместе с теми zn, индекс п которых есть полный квадрат,
в каком-нибудь порядке: и1У и2У .... Затем определим новую
последовательность % = (tn) по следующему закону: tn = zn, если п
не есть полный квадрат, и tn = un> если п = т2. Очевидно,
последовательность т состоит из всех тех же элементов, что и (уп).
Далее, если мы сравним первые N членов т с первыми N
членами £, то обнаружим, что они различаются не более, чем
[Vn] членами. Следовательно,
|Л([0, a); N; т)-Л([0, а); N; Щ < ]/Ц
при 0 ^ а ^ 1, откуда
lim Л ([0, a); N\ x)/N= lim Л ([0, а); ЛГ; l)/N = f(a). Q
Замечания. Тот факт, что любую всюду плотную последовательность можно
перестановкой членов превратить в последовательность с малыми отклонениями.

§4. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 155
был известен уже ван дер Корпуту [7]. Теорема 4.2, по существу, из того же
источника. Наше доказательство заимствовано у Хлавки [22], где можно также
найти теорему 4.1; см. также Нидеррейтер [5]. Аналогичный результат в более
общей форме имеется у Нидеррейтера [1]. Следствие 4.1 было доказано ван
дер Корпутом и Пизо [1].
Результаты, содержащиеся в следствии 4.2 и теореме 4.4, впервые
доказаны Нейманом [1] и ван дер Корпутом [7] соответственно. Ван дер Корпут [7]
доказал следующее более сильное утверждение: пусть g (х) и G (х) — две
неубывающие функции на / такие, что g (*)<: G (x), g(0) = G(0) = 0, g (\) = G (1)== 1.
Тогда в любой всюду плотной в / последовательности можно так переставить
члены, что новая последовательность будет иметь множество ф. р. (мод 1),
состоящее из всех неубывающих функций / в /, для которых g (х) ^/ (*) <:G (х)
при Oa^*«Cl. Мы вернемся к этому вопросу в более общем контексте в § 2
гл. 3.
Детальное изучение связи между упорядочением последовательности и
поведением ее распределения осуществил Нидеррейтер [3].
Утверждение, содержащееся в примере 4.1, может быть проверено также
с помощью критерия Вейля. Для участков Sn это сделано у Пойа и Сеге
[1, раздел II, № 188—189], а бесконечную последовательность рассматривали
Эрдёш, Кац, ван Кампен и Винтнер [1], Кац, ван Кампен и Винтнер [1].
Другие результаты о распределении этой последовательности можно найти
у Франеля [4], Невилла [1], Бейтмена [1], Деланжа [7], Хаксли [1],
Нидеррейтера [16]. Другое приложение метода, использованного в примере 4.1,
см. у Нидеррейтера [4].
Упражнения.
4.1. Доказать аналог следствия 4.1 для £>#.
4.2. Доказать аналог теоремы 4.1 для D#.
4.3. Пусть хъ ..., *дг и уъ ..., t/дг—две конечные последовательности
в /, причем \хп—уп \ ^ е при l^n^N. Расположив каждую из этих
последовательностей в порядке возрастания членов, получим последовательности
аг^а2^: ... <^tv и b1^b2*^: ... <^bj\/. Доказать, что \ап—Ьп | <; е при
\<n<N.
4.4. Вывести из результата предыдущего упражнения другое
доказательство аналога следствия 4.1 для D^.
4.5. Пусть (хп) — произвольная последовательность в /, а / —
положительная невозрастающая функция, определенная по меньшей мере для всех
положительных целых значений аргумента и такая, что lim Nf(N) = oo. Доказать,
N -> оо
что существует такая перестановка а чисел (*„), что DN(o)^ 1 —/ (N) при
всех N ^ \.
4.6. Рассмотрим множество всех рациональных чисел вида k/2m, где
\<^k<^2m— 1, k—нечетное, m^l. Какая перестановка этих чисел образует
последовательность р. р. мод 1 без повторений?
4.7. Рассмотрим множество рациональных чисел из предыдущего примера
в лексикографическом порядке: 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, ...
Доказать, что эта последовательность не р. р. мод 1.
4.8. Доказать, что последовательность из упражнения 4.7 имеет более
одной непрерывной ф. р. (мод 1).
4.9. Усилить утверждение примера 4.7, доказав, что для этой
последовательности со существует бесконечно много N таких, что D# (со)5^ 1/6+ 1/(47V).
4.10. Рассмотрим последовательность со, состоящую из чисел 0/1, 0/2, 1/2,
0/3, 1/3, 2/3, 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, ... Доказать, что существует положительная
постоянная с такая, что NDN((£>)~^>сУ N при всех N.
4.11. Доказать, что для последовательности со, рассмотренной в
упражнении 4.10, существует такая постоянная С, что Л^Одг (со) ^ С }/" N при
всех N.

156
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
4.12. Доказать, что Ф(/г) = (3/л2)п2 + 0(п1п/г), где Ф(п) = ф(1)+.. . + ф(п).
4.13. Доказать оценку упражнения 4.10 для последовательности из
примера 4.1. Указание. Использовать результат упражнения 4.12.
4.14. Указать перестановку последовательности (In л), которая будет p.p.
мод 1.
4.15. То же, что в упражнении 4.14, но для (ф (п)/п).
4.16. То же, что в упражнении 4.14, но для (У^Хпп).
4.17. То же, что в упражнении 4.14, но для (In In п) (я = 2, 3, ...).
4.18. Пусть /—непрерывная возрастающая функция на 7 с /(0) = 0;
/(1) = 1, a g—обратная функция по отношению к /. По последовательности
<й — (хп) в У построим последовательность т = (*/„), где уп — ё(хп)- Доказать,
что £дг(со) = Цдг(т; /) при всех N\ определение последнего отклонения
относительно / см. в (1.4).
4.19. Доказать, что теорема 4.2 не обязательно верна, если функция h(x)
ограничена.
§ 5. Численное интегрирование
Неравенство Коксмы. Мы видели в § 1 гл. 1, что всякий раз,
когда последовательность (хп) р. р. мод 1 в У, а функция /
интегрируема по Риману в /, то
N 1
Km -}rIdf(xn)=\f(x)dx.
Иными словами, интеграл Римана по отрезку [0, 1] можно с любой
точностью приблизить средними арифметическими, если значения
подынтегральной функции вычисляются в точках /, образующих
последовательность р. р. мод 1. Именно на этом свойстве основаны
некоторые эффективные методы приближенного вычисления
интегралов. Вот уж действительно замечательное приложение теории
чисел! Конечно, всякий численный метод, претендующий на
практическое применение, должен сопровождаться какими-нибудь
априорными оценками погрешности. И в этом месте появляется
понятие отклонения. Оказывается, качество аппроксимации
интеграла средними арифметическими указанного типа непосредственно
связано с отклонением последовательности (хп) «узлов». Чем лучше
распределена последовательность (*„), тем более быстрой
аппроксимации можно ожидать. Одна из задач настоящего раздела —
обосновать это интуитивное утверждение.
Лемма 5.1. Пусть хх ^ х2 ^ ... ^ xN—заданные N точек в I
и пусть f—функция ограниченной вариации на I. Тогда,
обозначив х0 = 0 и xN+1 = 1, можем записать тождество
N 1 N хп + 1
■i-£/(*.)-f/(0 <tt = L Ut-j)df(t). (5.1)
л=1 0 л=0 хп

$5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
157
Доказательство. Используем интегрирование по частям
и формулу суммирования Абеля:
П = 0
л=0
7V — 1
W 1
Теорема 5.1. (Неравенство Коксмы.) Пусть f—функция
с ограниченной вариацией V (/) на 7, г/ лг/сть заданы N точек
xlt ..., xN в I с отклонением D*N. Тогда
N 1
■£/(*B)-f/(o
л
<V(/№
(5.2)
Доказательство. Без ограничения общности можем
считать, что х1^.х2^. ... ^xN. Тогда применима лемма 5.1. Для
фиксированного л, где О^п^Л^, имеем
| t-n/N | < max (|xn — n/N |, | xn+l-n/N |) <DmN.
если xa^t^xn+1 (по теореме 1.4). Из (5.1) сразу следует
требуемое неравенство. Q
Очевидно, теорема 5.1 остается в силе для любых N
действительных чисел xlt ..., xN, если предположить дополнительно,
что /—периодическая функция с периодом 1. Отметим одно
приложение неравенства Коксмы к оценке тригонометрических сумм,
которое в каком-то смысле противоположно теореме 2.4.
Следствие 5.1. Пусть xlt ..., xN—действительные числа
с отклонением D*N. Тогда
-^Цехр(2шХ,)
п = \
<4Z^.
(5.3)
Доказательство. Обозначим через L левую часть (5.3).
Тогда найдется такое действительное 0(Е/, что
"аГ 2i ехР (2тхп) = L ехр (2ш*6).
л=1
Так как L действительно, то
L = JT^ ехр(2ш(*я—в)) = ^-Х cos2jt(x„—0)
л=1
л=1

158 Гл. 2. отклонение
Согласно замечанию, сделанному непосредственно после теоремы
5.1, можем воспользоваться неравенством Коксмы для точек
х1У ...,хп и функции /(/) = cos2ji(/ — 6). Так как !/(/) = 4 на /,
то получается требуемое неравенство. □
Пример 5.1. Если функция / имеет непрерывную
производную в /, то интеграл Римана — Стилтьеса в вышеприведенных
доказательствах можно заменить интегралами Римана. Тогда
вместо (5.2) получим неравенство
N 111
fE/(*»)-J/(0<« \<D'N^\f'(t)\(U,
n=l 0 | О
которое можно обобщить на комплекснозначные функции /. Для
действительных / всегда j |/'(/) \dt = V(/) (см. упражнение 5.10). □
о
Некоторые примечательные тождества. Если функция / в
теореме 5.1 простая (например, линейная), то возможны оценки
более точные, чем (5.2). Например, для f(t) = t можно получить
следующее тождество.
Теорема 5.2. Для любых точек xlt ..., xN в I имеет место
тождество
г N ч 2 1 \ , N ч 2
li^n—Y) =§Rb(t)dt-§l^{xn + t}-±yt, (5.4)
где Rn—функция, введенная в § 2.
Доказательство. Согласно (2.28), значение j RN(t)dt =
о
N N
= — SN, где SN==^xn—sr. Обозначив SN(t) = ^d {*+/}__
где 0^/^l, мы из (2.41) получим, что
SN(t)-S„ = RN(l-t). (5.5)
Простой заменой переменной легко показать, что
1 1
S Rn (1 -1) dt= J RN V) dt = —SN%
о о
так что из (5.5) следует, что
1 1
lSN(t)dt = SN+\RN(l-t)dt = 0. (5.6)

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 159
Используя (5.5) и (5.6), получим:
it 1 1
lR%(t)dt=^R%(l-t)dt=^S%(t)dt-2SNlsN(t)dt + S% =
о
1
= \s%(t)dt + S%. О
о
Поделив (5.4) на JV2, нетрудно получить неравенство*
уточняющее (5.2):
N 12 \ , N \2
Докажем еще одно, не столь известное неравенство, того же
типа, что теорема 5.2.
Теорема 5.3. Для любых точек xlt ..., xN в I имеет место
тождество
1 N N N п
ftfH0# = jtf« + tf£x» + £*»-2EE max (*„.*«). (5.7)
q П= 1 Л= 1 Л= 1 m=: 1
Доказательство. Так как #w(0 = 2 £*(*„)— NttrRect —
n = 1
характеристическая функция интервала [0, t)t то
i ii N t
\R%{t)dt = N*\t*dt-2N\tct{xn)dt+ 2 $М*Я)М*Ш)Я =
О 6 0 /i, m=l о
N 1 /V 1
= ^#2-2ЛГ]Г рЛ+ Л J dt =
n=lXn n, m = \max{Xnt Xfn)
N N
= jAf + iv2(l-Jf,«)+ Z (l-max(x„, xm)) =
n= 1 л, m= 1
N N N n
= i-W*+>£4+E*n-2E£ max(*„, jtj. П
л=1 л = 1 п—\ m=l
Пример 5.2. Если упорядочить xlt ...,xN по величине,
т. е. считать, что ^^a:2^ .. . ^.xNt то из (5.7) следует, что
1 N N N
q п— 1 п= 1 /г=1
С помощью известной формулы
£ /i« = ltf(tf+l)(2tf+l)

160
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
отсюда нетрудно получить выражение
1 N N
Отметим, что вторая сумма в (5.8) связана с величиной D*N в
силу теоремы 1.4. □
Оценка погрешности для непрерывных функций. Нам
понадобится следующее вспомогательное понятие. Пусть /—непрерывная
функция, определенная на /. Тогда модуль непрерывности М этой
функции определяется формулой
M(h)= sup \f(x)-f(y)\t
\x-y\<h
где дс, r/g/, 0<!Л^1. Так как / равномерно непрерывна на /,
то lim M(h) = 0.
Теорема 5.4. Предположим, что непрерывная на I функция
f имеет модуль непрерывности М. Пусть xlt ..., xn—любые N
точек в I с отклонением D*N. Тогда
1
wI.fM-U(t)dt
л=1
<М(0;).. (5.9)
Доказательство. Не ограничивая общности, будем
считать, что Xj ^х2^.. -^Xn- Заметив, что
1 N n/N
)f(t)dt^ ] f{t)dU
0 л=1 (n-\)/N
воспользуемся теоремой о среднем значении для интегралов:
n/N
(п-1 )/N
где ln—какая-то точка, (п—l)/N < £„ < n/N. Поэтому
л=1 0 /1=1
Теорема будет доказана, если мы сумеем доказать, что \хп — £„К
^D*N при всех 1^я^ЛЛ Однако, по теореме 1.4, если хп^\п,
то
|*в-Еи|<|*в-(л-1)/ЛП<^.
а если хп < £„, то точно так же
\xn-ln\<\xa-n/N\^D*N. Q

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 161
Можно привести более слабый вариант этой теоремы, который
по форме ближе к неравенству Коксмы.
Следствие 5.2. При тех же предположениях, что в
теореме 5.4, имеет место неравенство
N * I
widfM-$Ht)dtU(ND*N+l)M(-jT)^3ND*NM(±).(5A0)
л=1 0 |
Доказательство. Для доказательства первого из этих
неравенств достаточно доказать, что М (D*N) ^ (ND*N+ 1) М (1/N).
Пусть jc, у £ /, причем y^x^.y + D*N. Вставим между у и л;
следующие точки:
у, y+l/N, y + 2/N, ...,y + (k—l)/N9
где число k определяется условием
(k— l)/tf<x—y<k/N.
Очевидно, k = [N (х—у)] + 1 < ND*N + 1. Далее,
\f(x)4m<Z\n(y+T)-f{y+^)\+\f^-f[y+^NL)\<
<Ш(^)<(^^+1)М(1-),
так что остается взять нужную верхнюю грань левой части. Для
доказательства второго неравенства достаточно заметить, что
2ND*N^l согласно следствию 1.2. □
Неравенство Коксмы — Хлавки. Мы хотим обобщить
неравенство Коксмы на многомерный случай. Для этого нам сперва
придется описать, в каких случаях функции от нескольких
переменных называются функциями ограниченной вариации. Предположим,
« что задана функция f(x) = f(x{1\ ..., хш), определенная на 7*.
\ при k ^ 2. Разбиением Р многомерного куба /л мы называем
набор, состоящий из k конечных последовательностей r\(J\ r\(j\ ...,
т|(У) (/=1,2,..., k) таких, что 0 = т^ < у$} <... < т^ = 1 при
/=1, 2, ..., k. При каждом / введем оператор приращения Ду:
Д//(*(1\ .... &-х\ ЧУ, *(/+1), ..., *<*>) =
= f(x«\ ...,x<bi), T|ii>lf х«+*\ ..., *<*>)-/(х(1>, ...,^-1>, л(Л
х«+1К ..., *<*>), (5.11)
где О ^ i < mj. Операторы с различными индексами, очевидно,
перестановочны, а через Д/1ш../ обозначим A7l...A/p. Такой
оператор перестановочен с суммированием по тем переменным, по
которым он не действует.
6 Л. Kcttnepc, Г. Нидеррейтер

162 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Определение 5.1. Для любой функции /, определенной
на Jkt обозначим
«I mk
V(k) (/) = sup S • • • S I д1 * t (лЕ\ • • •. <) I. (6.12)
P 4 = 0 ^sbO R
где верхняя грань берется по всем разбиениям Р. Если V{k)(f)
конечна, то говорят, что / имеет ограниченную вариацию на 1к
в смысле Витали.
Из определения операторов А видно, что если функция /,
определенная на /\ зависит от меньшего, чем £, числа переменных,
то V{k) (/) = 0. Это не очень разумно, ибо такая функция может
тем не менее сильно меняться. Для получения более подходящего
понятия вариации следует принять во внимание поведение / на
различных гранях Гк. Тогда получим следующее определение.
Определение 5.2. Пусть f—функция, определенная на /*
и имеющая ограниченную вариацию в смысле Витали.
Предположим, что ограничение / на каждую из граней F многомерного
куба /* с размерностями 1, 2, ..., k—1 представляет собой
функцию с ограниченной вариацией на F в смысле Витали. Тогда
говорят, что / имеет ограниченную вариацию на Ik в смысле
Харди и Краузе*).
Именно для таких функций, с ограниченной вариацией в смысле
Харди и Краузе, удается доказать многомерный аналог
неравенства Коксмы. Чтобы лучше понять ход доказательства,
проанализируем сперва доказательство в одномерном случае. В основной
лемме 5.1 решающим моментом было интегрирование по частям в
интеграле Римана — Стилтьеса. Но хорошо известно, что
возможность интегрирования по частям в таких интегралах есть
следствие формулы суммирования Абеля. Поэтому важный
момент—обобщение этой формулы на несколько измерений.
Введем еще один оператор, а именно, при 1^/<!& положим
Л}/(*(1), .... *ш) = /(*(1\ .... *</-», 1, *('+1), ..., x{k)) —
-/(*(1\ • •., *(у-Х), 0, х('+1), ..., *<»). (5.13)
Все замечания об операторах Ду- справедливы и для операторов
А}; в частности, снова через Ад.../Я обозначим Дд.-.Д^.
Если задано выражение F(r, ...,r + p—1; r-\-pt ...,s),
зависящее только от разбиения переменных in ..., is на множества
{in -..Л+я-i} и {ir+pt ..., is}t то через
2* F(г, ..., г + р— 1; г + р, .... s)
г s; p
*) В нашей литературе о таких функциях обычно говорят просто как о
функциях с ограниченной вариацией.— Примеч. перев.

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
163
обозначим сумму всех выражений, которые можно получить из
F(r, ...,г-\-р—1; г + р, ..., s), заменяя разбиение {ir, . ..,*',}
последовательно всевозможными другими разбиениями этого
множества на группы, состоящие из р и из s—г — р+\ переменных,
причем каждое разбиение берется в точности один раз. Если р=0
или если p = s—r-fl, то одна из групп оказывается пустой;
чтобы избежать сложных исключений, будем считать, что в сумме
со звездочкой в таких случаях всего один член.
Лемма 5.2. Пусть Р—разбиение 7k, состоящее из k
последовательностей г\У\ т)(Д ..., т]М (/ = 1, ..., k), и пусть
Q—другое разбиение 7k, состоящее из к последовательностей l(J\ £(Д ...,
%m\+i U=h • --,k). Далее, пусть f(x) и g(x) —две функции,
определенные на Ik. Тогда
mi—\ mfc-1
.2 • • • 2 ГЩг, ■ •.. 6g>+1) Ax rf(4|?>, : • -. <>) =
k m, mP
= 2(-iy 2* a;+i *2--- 2«(*1{,1),...,лй,;*('+1)..-.,*<*,)х
XA,...,,/^) .. ., g(P); ^+D, . . ., *<*>). (5.14)
При р = 0 справа символы суммирования, относящиеся к ix, ..., ip,
а также Д2 р исчезают; аналогично, при p — k следует опус-
тить символ А*+1 k и переменные х(р+1), ..., хш.
Доказательство. Доказывать будем индукцией по
размерности fe. При k=l формула (5.14) превращается в формулу
гп, — 1 тх
,2о /(Щи) Aisr(<>) = Дх (g(*(1)) f (*ш))- 2оgк:W<ej*>>. (5.1б)
которая после упрощения обозначений принимает вид
т-\
J,f(tl+i)(g(4i+i)-g(r\i))=g(l)№-g(0)f(0)-
t = 0
m
-2^)(/(i,+1)-/(5,))-
1 = 0
Но это есть в точности формула суммирования Абеля
(напомним, что х]0 = 10=0у а х]т = Ът+1=1).
Допустим, что лемма верна для переменных с индексами
2,..., k. В соответствующем варианте формулы (5.14) заменим А^
б*

164
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
на g и просуммируем по ix от 0 до т1—1. Получим
So • • • Д / Щг> • • • > EgU) А! * * К1»' ' ' • • Пй>) =
= 2(-iK 2* а;+2 *х
р = 0 2 ft; р
тг-\ т2 тР+1
X 2 2 .. . 2 АхЯГ К1}, ..., ЛЙ+1), *</>+*>, ..., *<*>)х
XA2 ,+1/(6},% Ц?, • •• , ^>, *('+2), ..., ^)- (5.16)
Нам надо доказать, что правые части (5.16) и (5.14) совпадают.
Рассмотрим (5.15) и заменим / на А2 _ p+1f(x{1\ £<2), ..., Ц.р+1\
х{р+2\ ..., хт), a gna g(x{1\ л|2\ • • •, г\\ррЦК *(/?+2), ..., x{k))y
причем оба выражения рассматриваются как функции от д:(1). Тогда
rrii — \
2 Arg^f, .... tjJP+J», *"+2\ . . ., д«»)х
х А,,.... P+1f <&p+l, S}*>, .... ££+»>, *<'+2\ .... *<*>)=
=Д1 <£(*(1\ л<2). •"• -, л^,1'. *('+2\ • • -, *ш)х
ХА2 ,+1/(*<», |£>, ..., ££«>, *</>+'», . ..,**))-
/И!
- 2о g К1*,. •., л^ч *(/?+2\ • • •, *ш) х
xAi P+if<££\ •••,6JJJ14^+i), ...,*<*>)•
Это тождество справедливо при всех /? = 0, 1, ..., k—1, если
в крайних случаях понимать его в том же смысле, что (5.14).
Применим к обеим частям оператор
ft-1 т2 тр + 1
2(-i)" 2' а;+2 42-.. 2 •
р = 0 2 ft; р i2 = 0 ip+i = 0
В новом тождестве левая часть совпадает с правой частью (5.16),
в то время, как правая часть равна
ft— 1 т2
2(-i)' 2* а*,р+2 *2---
р = 0 2 ft; p С2 = 0
mp + i
■ ■■{ 2=о*(*ш. л12> <:,1), *(*+2\.. •, х^)х
xb2.PTP+J(xw, Ш\ •••. l\pPtl\ *('+2). .... *(*») +
ft-1 тх
+ 2(-i)'+1 2* а;+2 *2--.
р = 0 2 ft; p 11==0
•. •. 2=/ы?, • • •. л^:,1). ^(/,+2). • • •. *(*о х
хдТ.".р+х/ш:', .... %х\\ ^«> *<*>>. (5.17)

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 165
Остается доказать, что это выражение равно правой части (5.14).
В самом деле, члены, соответствующие /? = 0, в правой части (5.14)
и в первой части (5.17) совпадают. Аналогично, член,
соответствующий p — k в правой части (5.14), равен члену,
соответствующему p = k—1 во второй части (5.17). Наконец, если 0 < р < k,
то соответствующая группа членов в (5.14) может быть разбита
на две части, а именно, на сумму членов, в которых единица
является одним из индексов А*, и на сумму всех остальных
членов; первая часть совпадает со слагаемым, соответствующим тому
же значению р в первой части (5.17), в то время как вторая
часть совпадает с слагаемым, соответствующим р— 1 во второй
части (5.17). □
Пример 5.3. Для разъяснения сложной формулы (5.14)
запишем подробно случай k = 2:
т—1п-1
= g(l.l)f(l,l)-g(l,0)f(l,0)-g(0,l)f(0,l) + g(0,0)f(0.0)-
т
-StfW0. 1)(/(6Й1. 1)-/(Б11), i)) +
t=0
т
+ 2*(л^о)(/(й»1,о)-/ф1\о))-
t = 0
-2г0;л)1))(Н1.б},+,1)-/(1.б},))) +
7 = 0
+ 2er(o.nlt))(/(o. Б}'Л)-/(о.Б^)) +
7 = 0
т п
+ 2.2/(^1,.л}2))(/(Б(Д)1. №)-
'"-/V+V $ш))-№\ Wi)+f№\ Ф% п
Теорема 5.5. (Неравенство Коксмы — Хлавки.) Пусть f(x)
имеет ограниченную вариацию на 7* в смысле Харди и Краузе.
Пусть со—конечная последовательность точек xlt ..., xN в /*.
Обозначим через&jt...jp проекцию последовательности со на (k—р)-
мерную грань /*, определенную условиями *(/»>=...=*</>> = 1.
Тогда
iZfixJ-^fWdx
л = 1 7*
<
< 2 2* D'N К+1 *) W (/(..., 1 1)), (5.18)
р=\ 1 k; p

166 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
где через V{p) (/(..., 1, ..., 1)) обозначена р-мерная вариация
функции f (х{1\ ..., х{р\ 1, ..., 1) на I? в смысле Витали, а член
суммы, соответствующий p = k, по определению равен D*N (со) V{k) (/).
Отклонение D*N(top+1 k) вычисляется на грани 7*, которой
принадлежит ■©;, + !,...,£.
Доказательство. Пусть М — произвольное
подмножество /*; для краткости будем вместо А (М\ N\ со) писать А (М).
Определим функцию g(x) = g(tf1\ ...,хш) на Ik с помощью
формулы
g(x) = A ([О, х(1)) х ... X [0, хш))/М—хП) ... *<*>. (5.19)
Заметим, что
D*N(a>)= sup\g(x)\t
D*N(<*P+1 k)= sup \g(x«\ ...,**>, 1, ..., 1)|.
(*(1> xW)elP
Обозначим хп = (х(п\ ..., x^) при l</i<N._
Назовем допустимым двойным разбиением Ik пару разбиений
(Р, Q), удовлетворяющих следующим условиям. Во-первых, Р
состоит из k последовательностей к\У\ у$\ ..., г\^\ (/ = 1, 2, ..., k),
Q состоит из k последовательностей £{/\ £i;\ •••» Ш}-+1 (/=1»
2, ..., k) и при каждом / эти последовательности связаны
условиями
О = #> = У&1} < й/} < Л(/} < ^ < л1/} <-..<<■= ^/+i = 1 • (5.20)
Во-вторых, при каждом / = 1, ..., k последовательность l(f\ ..., Щ
должна содержать числа х{1\ ..., х$.
К такому допустимому двойному разбиению применим
лемму 5.2, выбрав в качестве / заданную функцию, а в качестве
g—функцию (5.19). Сперва рассмотрим левую часть (5.14):
m,-l mk-{
2 ... SMtfli 6?+jAi *W <>)=
4l-I/ (6Wi 6i?+i) Ax И ([0, r£>) x ...
4 = 0 t^ = 0
• • • x[o, <))-m2' • • • "s'/ШЯх. •••. gftO Ai *£> ■ • • <•
(5.21)

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 167
Здесь
Ai шА ([0, г,!,1*) X ... X [0, <)) = Ах „_, (А ([0, ,#>)X ...
• • • х[о, <+1))-л ([о, л£>)х • • • х[о, <>)))-
= Ai *VK[0, ri)11))x...x[0,r1t11>)x[<) <+х))=...
.••=^([r1S11))r1<,1>1)x...x[<). „£«))•
Поэтому первый член справа в (5.21) равен
~ Е... Е/(^х 6ij+i)i4aii,.4i.iii)x...xhjj.fijf+1)).
t, = 0 ik=0
(5.22)
Отсюда следует, что подсчитываться будут только такие £-член-
ные группы (ilt ..., ik)9 для которых найдется точка хп
(1 <n<N), принадлежащая [r\\l\ t^+Jx ... х[т](^, л^+i)- Но
каждый раз, когда такое происходит, условия (5.20) и
дополнительное требование к Q приводят к заключению, что xn = (l\11)+1, . ...
N
• •» Б^+i)• Поэтому (5.22)—это не что иное, как среднее jrzLf (xn)-
Следовательно, левая часть (5.14) равна
N тх-\ тЪ~Х
(5.23)
Обратимся теперь к правой части (5.14). Для нас важно, что
g(x) = 0 всякий раз, когда хотя бы одна координата х равна
нулю, и, кроме того, g(l9 ..., 1) = 0. Поэтому член,
соответствующий /? = 0 в (5.14) справа, а именно AJ kg(x)f(x)> равен
нулю. Далее, при l^p^k останутся только те члены, в
которых все переменные х{р+1\ ..., x{k) заменены единицами. Таким
образом, правая часть (5.14) превращается в
k mx тР
2(-i)' 2* И-.-И*^ vSg, 1 i)x
р=1 1 k; p U = 0 ip=0
ХА11...1Я/(Б111). ....Б1?. 1. .... 1). (5.24)
Итак, мы установили равенство выражений (5.23) и (5.24).
Оценим теперь абсолютную величину (5.24). Очевидно, она не
превосходит выражения
k ГПг тР
2 2* 2 •••2U«,1) ttf?, i Olx
р=1 1 k;p t, = 0 ip=0
x|Ax pf(t\? £}?, 1, .... 1)1-

168 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Здесь абсолютная величина g ограничена отклонением D%((op+u ..., k)t
а оставшаяся сумма по ilt ..., ip не превосходит VW (/(•••, 1, ...
..., 1)). Поэтому получаем оценку
N mt-l mk~X I
жЕ/(*„)-Е-.- 2/Шх ф1)А1,...,^1)-..<<
/2=1 1\ = 0 tfe = 0 I
<2 2* £*(<Vi ft)^)(/(---> 1 !))• (5-25)
P=l 1 /г; р
Заметим теперь, что Ах ^I,1'.. .<=W11ii-ni1)) • • • Щ*х~^\
приняв во внимание (5.20), мы видим, что сумма по ilt ..., ^,
стоящая в (5.25) слева, есть не что иное, как интегральная сумма
Римана для ^f(x)dx. Все остальные величины в (5.25) от до-
7*
пустимого двойного разбиения (Р, Q) не зависят. Для того чтобы
закончить доказательство, остается рассмотреть
последовательность таких разбиений, удовлетворяющих требованию
max max (у\Ц\—т|(/}) —►О. □ (5.26)
l</<fc0<t'<m.
Аналогично рассматривается многомерный аналог примера 5.1.
Теорема 5.6. Пусть f (х)—функция, определенная на /*,
частные производные которой dPfldx^... дх{4>\ 1 ^ /? ^ &,
h < h < • • • < */>» непрерывны на Ik. Пусть со—конечная
последовательность точек xlt ..., xN в /*. Тогда
N
<
п=\ у/с |
^2- 2- ^(«B/h-i *)j | д*»...д*0 г* ■■•axF>
p=i i ft; p ip
(5.27)
где (йр+1% ...,л и D^(©/,+li ###i fe) имеют тот же смысл, что в
теореме 5.5. При p = k под (йр+1 k понимается со.
Доказательство. Пусть g(x) определена формулой (5.19).
Мы доказали, что выражения (5.23) и (5.24) при любом
допустимом двойном разбиении совпадают. Мы отметили также, что
второй член в (5.23) представляет собой интегральную сумму Римана
для интеграла j / (x) dx. В то же время сумма
7*
2 ...2*Ы1).....<.1.....1)а1 ^/(6Jf 6gM О.

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 169
стоящая в (5.24), есть интегральная сумма Римана—Стилтьеса
для интеграла Стилтьеса
\g(x«\ ..., *</», 1, ...,l)d/(^1>, ..., *</», 1, ,.., 1),
IP
который равен интегралу Римана
7/>
Поэтому, выбрав последовательность допустимых двойных
разбиений, удовлетворяющих требованию (5.26), получим тождество
я=1
=£(-!)' X* Jg(*(1\ ...,*<'>, 1,...,1)
Р=1 1 Л; р -\р
X dx{1)...dx{P\ (5.28)
Взяв абсолютные величины и учтя, что \g(x{1)> ..., х^, 1,..., 1) | <
^D*N((up+1 k)y получим требуемое неравенство. □
Хорошие целочисленные точки. Укажем теперь, как строятся
некоторые последовательности с малыми отклонениями,
используемые при численном интегрировании.
Теорема 5.7. Пусть р—простое число и k^ 2. Тогда
существует целочисленная точка g={gly ..., gk)> где l^gj^p—1
при 1^/^£, такая, что отклонение Dp последовательности
{{nip) g) {n = 1, 2, ...,/?) удовлетворяет неравенству
Dp^{ck/p)lnkpy (5.29)
где ск—эффективно вычисляемая постоянная, зависящая только
от k*).
Доказательство. Воспользуемся теоремой Эрдёша — Ту-
рана—Коксмы (см. замечания к § 2) с введенными там
обозначениями. Пусть g={glt ..., gk) — произвольная целочисленная
точка с l<g/^p—1 при 1'^/^А. Воспользовавшись
указанной теоремой при т = р—1, получим
р
\Н 0<||Л||<Р V ;| Н п=1 * H J
Стоящая здесь тригонометрическая сумма равна 0 или р в
зависимости от того, будет ли <Л, gr>^sO(mod/?) или <Л, g> =
*) Такие последовательности в нашей литературе часто называют парал-
лелепипедальными сетками. — Примеч. перев.

170 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
E=0(mod/?). Поэтому
\Н 0 < || Л ||< р
\ <Л, £•> = 0 (mod р)
Для доказательства теоремы достаточно доказать, что
существует g\ для которого
0<||Л||<Р
<Л, #> = 0 (mod р)
Это доказывается путем оценки среднего значения. Рассмотрим
среднее значение
S = 7^L* £ г-Ч*). (5.30)
* 0<[|Л||<Р
<Л, #> = 0 (mod p)
где 2* означает сумму по всем (р—1)к целочисленным точкам
g\ участвующим в рассмотрении. Сосчитаем, как часто
целочисленная точка h = (hlt ..., hk) с 0 < || h | < р появляется во
внутренней сумме в (5.30). Это случается каждый раз, когда
найдется целочисленная точка g = (glf ..., gk) рассматриваемого типа,
для которой
AiA+ • • • +ft*fo = 0(mod/0. (5.31)
Заметим, что для некоторой координаты hj точки h будет
/&ys=£0(mod/?). Чтобы удовлетворить сравнению (5.31), можно
выбрать произвольно gly ....g)»,, g/+1> ..., gk> и тогда
оставшееся число gj однозначно определяется, как наименьший вычет
по модулю р. Конечно, gj может оказаться нулем, и тогда точка
g будет неприемлема; но, во всяком случае, количество g,
удовлетворяющих (5.31), не превосходит (р—I)*"1. Следовательно,
s<^i 2 '-1<а)<7 £ r-Hh).
о < ||л||< р о < ||h\\< р
Далее, нетрудно вычислить, что
0 < || Л )|< р Л1=-р+1 fcfc»-p+im-=l max(1' I Я-I)
Если /? > 3, то 3 + 2^-г-<3 + 21п/?<51п/?. Нетрудно прове-
h = 2

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 171
рить, что последняя оценка верна также при р = 2. Поэтому
S<(2/p)(Slnp)*.
Из определения S вытекает, что существует целочисленная точка
g, для которой
2 г-ЧА)<у(51п/?)*. □ (5.32)
О < || h ||< р
ф, g> = О (mod р)
Пример 5.4. Целочисленные точки g\ удовлетворяющие
условию (5.32), можно назвать хорошими целочисленными
точками (по модулю р). Покажем, как такие точки можно
использовать для численного интегрирования. Пусть функция /,
определенная в R*, представима в форме многократного ряда Фурье
/ (X) = 2 сн ехР (2ш* <*. ■■*».
h
где суммирование распространено на все целочисленные точки
AgZ*. Допустим, что коэффициенты Фурье сн при НфО
удовлетворяют условию {chl^Mr't(h) с какими-то постоянными М > О
и q > 1. Тогда ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно.
Выберем простое число р и хорошую целочисленную точку g по
модулю р. Так как коэффициент Фурье сн, соответствующий
Л = 0, равен интегралу }f(x)dxt то
И л=1 /* И \\h\\>0 п={ * И '
2 ch
. II Л II > О
<Л, ^> = 0 (mod р)
<Л4 2 г-«(Л).
^* II Л || > О V '
<Л, #> = О (mod p)
Последнюю сумму разобьем на две части. Сперва рассмотрим
сумму по таким Л, все координаты которых кратны р\ т. е.
h = pa, где целочисленная точка афО. Легко видеть, что для
таких h условие <Л, g> = 0 (mod p) выполняется автоматически.
Итак,
2 г-*(к)<р-ф-*(а)=р-* 2 ••• 2 П(тах(1,|а.|)Г« =
Н—ра а а1 = -оо с.=-оот=1
0«й>о ^ *
= р-я[ 2 (тах(1,|а|)) Q)k=p-q(l+2J}a-<i)k =
= /Г«(1+2Ш)*. (5.33)
где £—дзета-функция Римана,

172 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Сумму по оставшимся целочисленным точкам А обозначим
просто 2j. Эти точки могут быть однозначно представлены в форме
А = А* + /?а, где а—какая-то целочисленная точка, а А* =
= (Ai, ..., h*k) — целочисленная точка, удовлетворяющая при
1 ^ / ^& условиям
<А*, g.>^0(mod/>), || A* || > 0, — p/2<h*,^p/2. (5.34)
Поэтому
2 = 22*'"*(*•+/»). (5.35)
а Л*
где сумма со звездой означает суммирование по всем Л*,
удовлетворяющим (5.34). Мы хотим доказать, что
г (h* + pa) > г (А*) г (а). (5.36)
Для этого достаточно доказать, что
тах(1, |А;+/юу|)>тах(1, |А/|)тах(1, |ау|) (5.37)
при 1^/^£ и a = (alt ,..tak). Однако (5.37) тривиально, если
А/=0 или О/ = 0. Если же оба числа h) и ау отличны от нуля,
то
\h] + paJ\^p\aJ\-\h^\>p\a/\-p/2=(p/2)(2\aJ\-l)^\h]\\ajl
так что (5.37) всегда верно. Из (5.35) и (5.36) следует, что
2 < 2 2* г-« (А») г-* (а) = 2 r~q («)2* г~я (Л*)-
а Л* ah*
Первую из этих двух сумм мы уже вычислили в ходе
доказательства (5.33), а именно
2'"•.(«) = О+ 2£ (?))*•
а
Вспомнив, что g—хорошая целочисленная точка, оценим вторую
сумму:
r'(*)V<(y)'(51nrt4
Л* О < || Л ||< р
<h, g> = О (mod p)
<
О < II h ||< p
<Л, g> щ О (mod p)
Итак, мы наконец пришли к неравенству
\iLf{^8)-lf{x)dx\<M(\+4>(q))*p-*{\+*{b\iipY*),
n=l -,* |
т.е. к оценке ошибки порядка p~Q\n*ip. □

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
173
Замечания. Теорема 5.1 — из статьи Коксмы [6]. Частный случай см. у
Пойа и Сеге [1, раздел II, задача 9]. Более ранние исследования в этом
направлении относились главным образом к суммам вида
N
где а—иррациональное число, а /—многочлен Бернулли (в этом случае
интеграл \ f(t)dt = 0). Первый результат принадлежит, по-видимому, Лерху [1],
о
который доказал, что
N
Б ({n*}-±)=0(\nN)
л=1 Ч J
для а с ограниченными неполными частными, и тем самым дал ответ на вопрос,
поставленный Франелем [1, 2]. К этому вопросу вернулись Гекке [1],
Островский [1], Харди и Литлвуд [3, 4], Бенке [1, 2]. Подробный отчет об этих
результатах можно найти у Коксмы [4, гл. 9]. Более поздние ссылки: Харт-
ман [2], Щош [1], Миколаш [1], Леска [5]. Результаты о
N
т£(«-»-т)
:1
с иррациональным а и целым q > 1 см. у Коробова [3, 4, 6].
Интересная нерешенная задача возникла в связи со следствием 5.1 (см.
упражнения 5.7, 5.8 и 5.9). Ван дер Корпут и Пизо [1] доказали более
слабое неравенство
N
-дГ X СХР (2jU'*w)
п=\
^ 2яОдг#
Первый результат такого типа получен Бенке [2]. Постникова [4] оценила
такие тригонометрические суммы при заданных распределениях хп в
интервалах малой длины (многомерный случай см. Юдин [1]). Некоторые
интегральные тождества, подобные теоремам 5.2 и 5.3, получил Коксма [7]. См.
также: Коксма [9, 13] и упражнения 5.12, 5.13, 5.32, 5.33, содержащие
дальнейшие результаты в этом направлении.
Теорему 5.4 доказал Нидеррейтер [5]. Верхняя граница WD^M (\/N) в
следствии о.2—это неопубликованный результат Коксмы, упомянутый в его
работе [16]. В случае произвольной размерности к верхняя граница
погрешности интегрирования вида
(2«-i+l) М^фы)-1]-1'"),
где М—модуль непрерывности непрерывной подынтегральной функции /,
была указана Xлавкой [26], который получил также оценки погрешностей
для любых интегрируемых по Риману функций в / k. См. также Нидеррейтер
[5, 13]. Оценки погрешностей для последовательностей частного вида имеются
у Пойа и Сеге [1, раздел II, задачи 10—12] и у Чжоу [1]. Некоторые
обобщения неравенства Коксмы в одномерном случае имеются у Хельмберга [7]
и Хлавки и Мюкка [1].
Обобщение неравенства Коксмы на случай нескольких измерений получил
Хлавка [12]. Используемое здесь понятие ограниченной вариации врели Харди

174
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
[1] и Краузе [1] в работах по двойным рядам Фурье. Изучение этого
понятия вариации можно найти также у Хобсона [1, разделы 263 и 254] и Хана
[1, стр. 539]. Наши доказательства леммы 5.2 и теоремы 5.5 следуют
изложению Зарембы [3]. В другом контексте, при оценке погрешности
аппроксимации многократной суммы при помощи простой суммы, Коробов [22] получил
неравенство, очень похожее на неравенство Коксмы — Хлавки.
Теорему 5.6 также доказал Хлавка [И, 12]. Приводимое нами
доказательство использует метод Зарембы [3]. Такое же неравенство получил Соболь
[3, 7] *). Заремба [3] использовал оценку погрешности интегрирования при
помощи /Аотклонения. Изложение метода Зарембы имеется также у Холтона
[4]. Частный случай см. у Соболя [3]. На основе теоремы 5.6 можно
получить многомерное обобщение следствия 5.1 (см. Хлавка [И] и упражнение
5.25). Другие приложения см. у Хлавки и Мюкка [2].
Неравенство Коксмы можно обобщить на более абстрактные ситуации.
Нидеррейтер [1] установил такое неравенство на компактных абелевых
группах со счетной базой. Частный случай группы р-адических целых чисел
рассмотрел ранее Беер [1]. При помощи совсем другого понятия отклонения
К- Шмидт [3] доказал аналог неравенства Коксмы для локально компактных
абелевых групп со счетной базой. Нидеррейтер [1] получил также в этих
условиях оценку погрешности интегрирования через коэффициенты Фурье под-
интегральной функции.
Методы численного интегрирования, с использованием
последовательностей Холтона, Хэммерсли и некоторых других последовательностей, изучил
Соболь [1, 2, 3, 6, 7]. О численном интегрировании в бесконечномерном
единичном кубе см. Соболь [4, 7] и К- Шмидт и Цинтерхоф [1].
Наше изложение теоремы 5.7 и примера 5.4 основано на работах Хлавки
[14, 17]. Однако первые исследования в этом направлении были выполнены
Коробовым [15, 16]. Он уделяет главное внимание целочисленным точкам
вида g=(\t а, а2> ..., а*-1) и использует термин «оптимальные коэффициенты».
Подробное изложение имеется в книге Коробова [20]. Порядок оценки
погрешности у Хлавки и Коробова один и тот же. Имеется много работ на
русском языке, посвященных оптимальным коэффициентам, и среди них:
Бахвалов [1, 2], Бахвалов, Коробов и Ченцов [1], Коробов [17, 22], Шахов [2],
Салтыков [1], ШарыгинД1, 2], Солодов [1, 2, 4], Стоянцев [1]. Изложение
вопроса имеется также в книге Соболя [7]. О явном нахождении хороших
целочисленных точек см.: Заремба [1, 6], Хуа и Ван [2, 3]. Численные
данные имеются у Хабера [4] и Мезоннёва [1]. Дальнейшие теоретические
результаты о хороших целочисленных точках имеются у Зарембы [4,9, 10, И].
Близкие вопросы обсуждаются в работах: Сю [1], Хуа и Ван [1], Хабер и
Осгуд [1, 2]. Эвристический подход к вопросу изложен у Конроя [1].
Основной результат для еще одного теоретико-числового метода
интегрирования приведен в упражнении 5.22. Метод этот восходит к работам Рихт-
майера [1,2] и Пека [1], которые рассматривали многомерный случай с
подынтегральной функцией, удовлетворяющей таким же ограничениям, как в
примере 5.4. Аналогичные идеи использовали Басе и Гийо [1]. Результаты
для одномерного случая см.: Басе [2], Ж-П. Бертрандиа [1], Kyo fl]. О
многомерном случае см.: Хасельгров [1], Куо [2], Цинтерхоф [1] (на основе
А. Бейкера [1]), Нидеррейтер [11]. Метод был заметно улучшен Хасельгровом
[1] и Нидеррейтером [13]. Численные примеры есть у Дэвиса и Рабиновича
[1} и Рооса и Арнольда [1]. Дальнейшие замечания см. у Ягермана [3],
Рихтмайера, Девени и Метрополиса [1]. Относительно ограничений на
подынтегральную функцию, упомянутых в примере 5.4, см.: Хасельгров [1], Хлавка
*) В этих работах имеются более сильные варианты теорем 5.5 и 5.6:
указаны классы функций, на которых полученные оценки являются точными.
Метод доказательства, использующий разложение подынтегральной функции
на разноразмерные слагаемые, значительно проще изложенного в настоящей
Книге. — Примеч. перге.

§ 5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
175
[14], Коробов [20], Нидеррейтер [И], Шарыгин [1], Заремба [5]; в последних
работах рассматривается также преобразование непериодической
подынтегральной функции в периодическую. Более простые достаточные условия см. у За-
рембы [3]. См. также упражнение 5.26.
Хлавка [15, 17], Нидеррейтер [13] и Заремба [7] показали, что
теоретико-числовые методы интегрирования можно использовать в более широких
классах областей интегрирования. Соболь [8] показал применимость таких
методов для вычисления некоторых несобственных интегралов. Статья Хлавки
и Кюиха [1]—это продолжение работы Хлавки [15]. Солодов [3] доказал,
что метод оптимальных коэффициентов дает удовлетворительные результаты
в случае весьма общих классов областей интегрирования.
Вышеуказанные теоретико-числовые методы успешно использовались в
других областях. Достаточно очевидно применение к интегральным
уравнениям. Советские авторы —Шарыгин [1], Шахов [1] и Коробов [19, 20] —
используют оптимальные коэффициенты, в то время, как Хлавка [13, 17] и
Хлавка и Крейтер [1] используют последовательности с малыми
отклонениями (некоторые из них построены с помощью хороших целочисленных точек).
Другие интересные приложения связаны с задачами интерполяции: Хлавка
[18, 20, 22], Коробов [19], Рябенький [1], Шарыгин [2], Смоляк [1], Цинтер-
хоф [1]. Коробов [22] использует свой метод оптимальных коэффициентов для
приближенного вычисления кратных сумм. Рябенький [2] использует его при
решении задачи Коши. В серии статей Хлавка [19, 21, 23] рассматривает
приложения к кинетической теории газов.
Обзоры методов численного интегрирования, в том числе
теоретико-числовых, имеются в работах: Березин и Жидков [7], Дэвис и Рабинович [2],
Хабер [3], Холтон [3], Хэммерсли и Хэндскомб [1, гл. 3], Хлавка [17],
Коробов [20], Шрейдер [1], Заремба [2].
Упражнения.
5.1. Указать коротко, почему каждая функция с ограниченной вариацией
на [0, 1] интегрируема по Риману на [0, 1].
5.2. Провести доказательство неравенства Коксмы без использования
интегралов Стилтьеса следующим путем: пусть 0 = t0 < ti < ... < tk + i=
1—разбиение [0, 1]; пусть Ij = [tj, tj+1) при 0 </<;&. Рассмотрим функцию g,
постоянную в интервалах этого разбиения, т. е. для 0^.х < 1
k
gto = 2 ajCj (x), g(l) = ak+lt
где а0, ..., CLk+i—любые действительные числа. Доказать тождество
1 N * 1 ^ к
lfY*g(Xn)~\g(x)dx=lV'j£* Цау(с[0,/у+1)(^)-с[0,/у)(^)-0'+1 + 0:)
п=\ 0 л=1 / = 0
для любых точек *lf .. ., xjy из /.
5.3. К тождеству, полученному в упражнении 5.2, применить формулу
суммирования Абеля и доказать, что неравенство Коксмы справедливо для
ступенчатой функции g.
5.4. Пусть /—функция с ограниченной вариацией V (f) на [0, 1]. Пусть
fi(x) — нижняя сумма Дарбу для / по разбиению, построенному в
упражнении 5.2, т. е.
к
M*)=2aA,W- о<*<1> М1)=/0).
где aj= inf f(x) (0</<£). Доказать, что V(f$<V(f).
xeif
5.5. Доказать то же самое утверждение, что и в предыдущем
упражнении, для верхней суммы Дарбу f2-

176
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
5.6, На основе результатов упражнений 5.3, 5.4 и 5.5 доказать
неравенство Коксмы для f.
I N
5.7. При N^zl обозначим cj^ = sup •
<о NDn (со)
£ exp (2тхп)
п=\
, где верхняя
грань берется по всем возможным конечным последовательностям со,
состоящим из N действительных чисел хъ ..., дгдг. Доказать, что 2^сдг«^4 при
всех N ^\.
5.8. В обозначениях предыдущего упражнения доказать, что сх = 2.
5.9. В обозначениях упражнения 5.7 доказать, что
4 sin л* Л ,,
5.10. Доказать, что если f имеет непрерывную производную на [0, 1], то
/ имеет ограниченную вариацию на [0, 1], равную
V(f)=\\f'(t)\dt.
Доказать подробно без использования интеграла Стилтьеса.
5.11. Доказать, что для любой постоянной с< 1 существует конечная
последовательность хъ ..., хм в /, где N может зависеть от с, такая, что
N 1*Хп~~2
я=1
:CD*N.
Указание. Рассмотреть последовательности вида
0, ..., 0, 1/N, 2/N, ..., (N—m)lN
т
при 1 «^m<;N.
5.12. Для заданных точек *i^*2< ...*^х# в / определим /?дг(0» как
в § 2. Проверить тождество
1 ' N
^w-^E^-Vr+A-
я=1
5.13. Пусть *!, ..., *#—такие же, как в предыдущем упражнении.
Рассмотрим непрерывную на [0, 1] функцию / с ограниченной вариацией и
обозначим F (/) = \ / (и) du при 0 <; t ^ 1. Тогда
о
i i "
J R% (t) df (t) =2N*\F (0 dt + 2N >] * J (*„) -
N N N
-2N 2 ^(*„)--2 2 nf (*»> + S '(*»>•
п=1 п=1 л=1
5.14. Доказать, что тождество из упражнения 5.13 содержит в качестве
частного случая тождество из примера 5.2

§5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
177
5.15. Доказать подробно, что если / непрерывна на [0, 1], то ее модуль
непрерывности М удовлетворяет требованию lim M(h) = 0.
5.16. Проверить следующее свойство модуля непрерывности М функции/:
если M(h) = o(h) при h—► +(), то / = const.
5.17. Указать класс непостоянных функций, для которых M(h) = 0(h)
при h —► +().
5.18. Пусть /—произвольная непрерывная функция, определенная на
[О, 1], с модулем непрерывности Мг. Пусть g—непрерывная функция,
отображающая [0, 1] в [0, 1], с модулем непрерывности М2. Доказать, что модуль
непрерывности М сложной функции / og удовлетворяет неравенству М^. Мг о М2.
Привести пример, показывающий, что, вообще говоря, М Ф Мг о М2.
5.19. Построить пример, показывающий, что граница SND^/M (\/N),
установленная в следствии 5.2, может стремиться к бесконечности при N —► оо
несмотря на то, что последовательность (хп) р. р. мод 1.
5.20. Пусть /—непрерывная функция на [0, 1] с коэффициентами Фурье
1
ah — \ f (х) ехР (—2га"Л*) dx, h £ Z,
о
OD
такими, что ряд 2 Мал[ сходится. Доказать, что
00
/(*)= 2 аАехР(2™Ь).
Л=-оо
5.21. Доказать, что для функции / из предыдущего упражнения и для
конечной последовательности *ь ..., х^ из / с отклонением D# справедливо
неравенство
N. 1 I 00
Ц /(*»)- f f(x) dx\<z8DN J^h\ah\.
n=l 5 I h=\
5.22. Пусть а—иррациональное число конечного типа r\ = s. Пусть
f—периодическая функция с периодом 1, представимая в форме ряда Фурье
оо
/(0= 2 сАехр(2яШ),
Л=-со
коэффициенты которого при всех h Ф О удовлетворяют условию | с^ | ^
^M\h\-s-b с некоторыми положительными постоянными М и X.
Доказать, что
N 1
4E/(««)-j/(0^=o(4)-
п-\ о
5.23. Доказать подробно, что функция /, определенная на Ik (k^2),
которая зависит от меньшего, чем k> количества переменных, имеет нулевую
вариацию V{fc)(f) = 0.
5.24. Пусть g=(gi1)9 . ..,g<*))— целочисленная точка, отличная от начала
координат. Тогда
1
i -л
9in
я

178
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
5.25. Пусть g= (g*1*, ...,g{k))—целочисленная точка, отличная от начала
координат, а х1у ..., x^—N точек в Ik с отклонением D#. Используя
результат предыдущего упражнения, доказать, что
N
1
-дГ Z1 еХР (2Ш' <*' *»»
л = 1
<4-(П(1+2я^(У)|)-1)^-
5.26. Пусть /—произвольная интегрируемая по Риману функция на /*.
Доказать, что функция g, определенная на Ik формулой
1
8' ек=°
имеет период 1 по каждому переменному, т. е.
g(*i, ...,*y_i, 0, Xj + i, ..., *fc)=g(*i, ..., ДГу-i, 1, X/+lt ...,Xk)
при любых *!, ..., JCy_x, JCy+i, ..., xk и /=1,2, ..., k. Доказать также, что
J /(x)dx=J в(*)Лс.
э«7>
5.27. Пусть Р (g)—сумма, фигурирующая в примере 5.4, а именно,
р{Ч)(?)=
2
II л ц > о
<Л, g> = 0 (mod p)
г-*(Л).
Рассмотрим функцию F, определенную на Ik формулой
k
F(x) = Jl (\+?j-Wxj + 2n4)y
Сперва доказать, что F может быть периодически продолжена на R* так, что
она будет иметь период 1 по каждому переменному. Затем доказать, что
РФ (g) равна погрешности интегрирования F (х) по Ik с помощью последова-,
тельности, порожденной gy т. е.
р
рс»)(в) =
7g'(7')-]""»*
5.28. Найти интерпретацию суммы Р<4) (g), аналогичную интерпретации
Р(2) (g-) в предыдущем упражнении.
5.29. Доказать, что для любого действительного х и любого целого
положительного N
£({"+*} Ч)-«"»-т-
л=1
5.30. Пусть а и Ь—два положительных взаимно простых целых числа.
Доказать, что
1
1
j({a^}-l)({H-|)^ = -
\2ab

§6. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ
179
5.31. Пусть ait ...,адг—положительные целые числа. Обозначим Sjv(x)=*
N . Х
= V ( {апх}—^ ) . Вычислить \ S/^(x) dx.
л=1 О
5.32. При тех же а^ ..., адг и 5дг,(*), что в предыдущем упражнении,
доказать тождество
1 N
q m, п= 1
N
5.33. Для целого а ^2 обозначим 5дг(*)=^ ( {апх} — -~- ) . Доказать,
л=1
что
1
О
5.34. Доказать, что для любой постоянной с < 4 существует конечная
последовательность *ь ...,*дг в /, где N может зависеть от с, такая, что
I N I
\jjT S ехр (2jt^) ^ cD*N'
I "=l |
Указание. Рассмотреть последовательности вида
е, ..., е, \/N, 2/N, ..., \/2—k/Nt l/2 + k/N, ...
k
..., (N-2)/N, (N-\)/N, 1-е, ..., 1-е,
/г
где Af^4 четное, 1 <; fc < N/2, a e > 0 достаточно малое.
§ 6. Количественные теоремы о разностях
Отклонение последовательности разностей. Рассмотрим
конечную последовательность со, состоящую из N действительных чисел
xly...txN. Обозначим через т конечную последовательность,
состоящую из N2 разностей xk—Xj (1</, k^N)t
упорядоченных произвольным образом. Нас интересует связь между
отклонениями обеих последовательностей.
Теорема 6.1. Если D = DN((x)) — отклонение
последовательности (о0, a F = DNz(x) — отклонение последовательности т, то
D<cl/F(l + |lnF|), (6.1)
где с—абсолютная постоянная.
Доказательство. Для любого положительного целого
числа г введем обозначения
N N
5г(ю)= 2 *('*/). Sr(T)= 2 e(r(xk—*,)),

180
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
где е (t) = exp (2ш7) при /£R. Легко видеть, что
|S>)|' = S>)S>)= 2 *(г*у) 2 e(-«*) = Sr(T).
/ = i k = \
Пусть т—положительное целое число, которое будет
конкретизировано позднее. Из (2.42) получим
D<ci(i+iSTis>)i)
с абсолютной постоянной сг. Применим неравенство Коши — Буня.
ковского—Шварца к сумме
iMwi-iG-n^wiO"'-
г = \
Тогда окажется, что
г = 1
т \ 1/ 2 / т
(т ч 1/2 / т \ 1/2
Но Xi"7^1 + lnm» a
г = 1
JV / m
Г=1 Г=\ k, /=1 \Г = 1 /
согласно примеру (5.1), где V = V | /' (х) \ dxt а / (л:) = ^ ■ ™ •
О г = 1
Поэтому
D < ^i/m + ^ (1 + In m)i/2 (VFyi\ (6.2)
Оценим теперь величину V = 2n\
о ,
Разобьем последний интеграл на три:
£ е(гх)
Г = \
dx при m > 2.
1
0
m
£ ё(гх)
Г = 1
1/т |
0 I
<£*; =
т ]
^е(гх)
Г = 1
1- 1/т
1/т
£«('*)
г = 1
1
l-1/m
£«(«)
г=1
dx.
Для первого и третьего слагаемого используем тривиальную
I m
оценку 2 е(гх)
</п, так что каждый из этих интегралов не

§ 6. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ
181
превосходит 1. Заметим, что
Це(гх)
г = \
<
1
при 0<*< 1.
Но sinjo;>2x при 0<л:< 1/2 и sinia:>2—2х при 1/2 <х< 1,
так что
l-1/m
J
1/m
т
£*(«)■
r = l
d*
. 1/2 1-1/m
^ 2 J x + 2 J 1 —ж
lny + lnm.
1 /m 1/2
Итак, мы доказали, что V^2jt(2—ln2 + lnm), и тем более
У<4я(1 + 1пт). (6.3)
При т=\ неравенство также справедливо. Возвращаясь к (6.2),
получим неравенство
D < cjm + с2 (1 + In m) V"F.
Остается выбрать m = [F~1/2] и мы получим 6.1. □
Используя некоторые идеи этого доказательства, можно
установить количественный вариант теоремы ван дер Корпута о
разностях (см. теорему 3.1 гл. 1). Пусть снова со—конечная
последовательность, состоящая из N действительных чисел xlt ..., xN.
Для 1^/^N—1 обозначим через соу последовательность,
состоящую из N—j разностей xJ+1—xlt xJ+2—x2t ..., xN—xN_^ Оценим
отклонение со через отклонения последовательностей соу.
Теорема 6.2. Пусть D = Dn((u)—отклонение со, a DiJ) =
= Ду_у(о)у)—отклонение coy. Тогда для любого целого Н такого,
что l^H^.Nt имеет место неравенство
D<cB(l + |lnB|), (6.4)
где
/ Я-1 \1/2
предыдущей
а с—абсолютная постоянная.
Доказательство. В ходе доказательства
теоремы мы доказали, что
/ т ч 1/2
£)<-^ + 77-(1 + lnm)l/\Si7lS^(u)l2) (6.5)
при любом целом положительном т. Чтобы оценить | Sr (со) |2,
воспользуемся основным неравенством (лемма 3.1, гл. 1), полагая
ип==е(гхп). Тогда при любом Н (l^H^N) получим:
tf*|Sr((D)|a<(tf + W— l)HN +
+'2(Я + #-1) 2 (H-h) tRee(r(xn+h-xn))^
h = \
n=\
Я-1
<2#Wa + 2(# + W-l) 2 W—h)ReSr((uh),
h w 1

182 ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
N-h
где Sr(o)/i)=2 e(r(xn+h—xn))- Таким образом,
л = 1
Н-\
m
Используя оценку 2и — ^ 1 + In m, получим
Л=1
1
г = 1
m
H-L|Sr((o)|2<24!(l + lnm) +
Г = 1
Я-1
2(H + N — 1)
Я*
Л= 1 г = 1
L(^-^)ZReTSrK). (6.6)
Используя пример 5.1, запишем
т N\- h m
£ ReySr(coA) = Re £ £ 7*И*«+а-*»))<
г=1 п=1г=1
N-h
(N—h)VD{h\ (6.7)
^ f\Xn+h — Хп)
\п= 1
где / и V имеют тот же смысл, что при доказательстве теоремы
6.1. Используя (6.3), (6.6) и (6.7), получим
£l|Sr(co)|2<^-(l + lnm)+-^(l + lnm)£(JV-/t)D«*><
г= 1 h=\
<16jtN2(l + lnm)B2.
Возвращаясь к (6.5), получим
D < cjm + с3В (1 + In m).
Если В < 1, то выберем т = [1/В] и получим нужный результат.
Если 5> 1, то положим т = [В]у и доказательство окончено. П
Интегральное тождество. В связи с теоремой 6.1 может
оказаться интересным следующее тождество. Пусть х1У ... t xN —
действительные числа. Для двух действительных чисел а и р,
удовлетворяющих условию а ^ р ^ а + 1, обозначим через А (а, Р)
количество xn(l ^n^.N)t принадлежащих по модулю 1
интервалу [а, Р). Пусть /?^(а» Р) = ^(а, Р) — N(P—<*)• Аналогично, пусть
Rn>(ol, р) = Л*(а, р) — #2(р—а), где А* (а, р) — количество xk—Xj
при 1 ^ ky j ^Ny принадлежащих по модулю 1 интервалу [a, P].
Теорема 6.3. При всех /(0<! /s^ 1/4) справедливо тождество
1 2t
S R% (ot—t, а +1) da = ] R*N* (— a, a) da. (6.8)
о о

§6. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗНОСТЯХ 183
Доказательство. Для аир, удовлетворяющих условию
а^р<а+1, обозначим через с (а, (3, и) характеристическую
функцию [а, Р) по модулю 1, т.е. с (а, р, а)=1, если а^а<
<P(modl), и с (а, р, и) = 0 в противном случае. Тогда для
любого /(0^/^1/2) и любого и имеет место тождество
1
\c(a—t, a+t, u)da = 2t9 (6.9)
о
а также
1
)с(а—ty a+t, и) с (а—1> a-\-t, v)da =
о
2t — <u—v>, если (u-ti><2/,
п (6Л°)
0 в противном случае. х
Далее, если 0^т^1/2, то, очевидно,
Г / w /т—<ш>, если <ш><т,
\ с(— а, а, w)da = { (6.11)
J (Ов противном случае.
При 0^/^1/4 из (6.10) и (6.11) получаем тождество
1 2/
\с(а—/f a-\-ty и)с(а—ty a-f/, v)da=^c(—a, a, a—v) da.
о о
(6-12)
Запишем теперь, что
N
RN{a—t, a + t)= 2 c(a — t9 a + ty xn) — 2tN;
отсюда, принимая во внимание (6.9) и (6.12), получим:
1 N 1
}R%(a—t,a+t)da= 2и )c(a—t,a,+t,xh)c(a—t,a+t,Xj)da —
о k, /=i о
N 1
— 4w£Jc(a—f, a+f, xn)da + 4WV2 =
X, Jc(— a, a, xk—Xj)da—4t2N2t
n=\ о
W 2*
k, /=1 0
Итак,
5^(a—/, a + t)da= Jf 2 £(—a, a, **—*y) —2aN2 da==
о о \*. y=1 /
2/
= $/«,.(—a, a) da. Q

184
ГЛ. 2. ОТКЛОНЕНИЕ
Замечания. Теоремы 6.1 и 6.2, содержащие наиболее сильные результаты
в этом направлении, взяты из статьи Касселса [8]. Касселс доказал
неулучшаемость теоремы 6.1 в следующем смысле: пусть ф (F) —произвольная
функция от F, стремящаяся к нулю при F -+■ 0 как угодно медленно; тогда
найдется конечная последовательность со такая, что неравенство D^cp (F) Y^F (l -f-
+ | In F |) не выполнено. С помощью теоремы 6.1 автор исследует
распределение квадратичных вычетов по модулю простого числа.
Более ранние результаты в том же направлении, что теорема 6.1,
получили (в хронологическом порядке): Виноградов [1], ван дер Корпут и Пизо [1],
Коксма [5], Касселс [5]. О результатах Виноградова см. также Гельфонд и
Линник [1, гл. 7]. Предшественница теоремы 6.2 содержится в статье ван
дер Корпута и Пизо [1].
Наши доказательства следуют ходу мыслей Хлавки [И], который обобщил
обе теоремы на многомерный случай. Эти обобщения получены единым
методом, а именно, использованием теоремы Эрдёша — Тура на —Коксмы (см.
Замечания к § 2) и многомерного аналога примера 5.1 (см. теорему 5.6). Этот
метод позволяет также обобщить один результат Коулза [1], который сравнил
отклонение двумерной последовательности ((*„, уп)) с отклонениями
одномерных последовательностей (hxn-{-kyn), где h и k — целые, не равные
одновременно нулю. Подробности см. у Хлавки [11]. Краткий обзор этих результатов
содержится в статье Хлавки [161. Упрощенный и улучшенный вариант
результата Коулза получен Унгаром [1]. Упомянутые выше многомерные результаты
Хлавки были улучшены Хельмбергом [9].
Интегральное тождество в теореме 6.3 было получено ван дер Корпутом
и Пизо [1]. Мы приводим доказательство Коксмы [5].
Упражнения.
6.1. Пусть *х, ... , хм—действительные числа. Для любых
действительных аир таких, что а^Р^а+1» определим Rn (а, Р) так, как в
теореме 6.3. Пусть, далее, /—непрерывная на [0.1] функция с ограниченной
вариацией. Вычислить следующие интегралы;
1 1
\ Rn(ol—tya-\-t)day \ R% (a —1> a-{-t)dat
о о
1 1
J RN(<z,a + t)df(t)y J R%(<xt <x+t)df(t),
о о
1 1
5 RN(a-t, a)df(t), jj R% (а-f, a)df(t),
о о
i/2- 1/3
J RN(a-t, a + t)df(t), J /&(a-f, a + t)df(t).
6.2. Доказать подробно тождество (6.9) в доказательстве теоремы 6.3.
6.3. Доказать подробно тождество (6.10) в доказательстве теоремы 6.3.
6.4. Пусть Ях^Яг^ .. • <!*# принадлежат /, а Rn(o» Р) определено
гак же, как в теореме 6.3. Обозначим через А треугольник
А = {(«» Р)€*2: 0<а<1, 0<Р<1, а<Р}.
Показать, что
JJ R%(a, (5)dadp = tf £ L _£.V Ц £ (*» -у) ).
Л п=\ \л=1 /
где B2(t) = t2—tf+1/6 — второй многочлен Бернулли.

§6. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ О-РАЗНОСТЯХ 185
6.5. Пусть *i, ... , хм принадлежат /, а уъ ...,
yN2—последовательность, состоящая из всех разностей (х^—*y)modl, расположенных в любом
порядке. Для 0<*<1 обозначим RN (t) = Rn (О, t) и R*N2(t) = R*N2(0, t)
(см. теорему 6.3) и продолжим эти функции с периодом 1 на R. Доказать,
что тождество
1 <а>
\(RN(t+a)-'RN(t))%dt= J (RN*(t)-R*N2(-t))dt
о о
верно при любом действительном а, доказав для этого, что обе части
тождества равны .
_<а>2#2+ 2 max (0, <«>-<(/„».
6.6. Доказать, что из теоремы 6.2 следует теорема ван дер Корпута о
разностях.

Глава 3
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В КОМПАКТНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
В первых двух главах мы изучали свойства распределений
последовательностей действительных чисел в предположении, что
два числа, разность которых есть целое число, считаются
«эквивалентными». Это понятие «эквивалентности» представляет собой
отношение эквивалентности в строгом смысле; соответствующее
множество классов эквивалентности можно назвать
действительными числами по модулю 1 (или Rmodl). Для Rmodl можно
построить следующую простую модель.
Пусть U — единичная окружность в комплексной плоскости г,
т.е. U = {z£C: \ z\= 1}. Рассмотрим отображение Л, переводящее
R в (/, определенное формулой h (х) = exp (2nix) для всех *gR.
Оно постоянно на каждом из классов эквивалентности,
составляющих R mod 1, и поэтому может рассматриваться как
отображение из* Rmodl в U. Если ввести в Rmodl естественную
топологию (открытые множества в Rmodl—это открытые
множества в R после идентификации точек по модулю 1) и снабдить V
индуцированной топологией плоскости, то h превратится в
гомеоморфизм из R mod 1 в U. Таким образом, мы можем
рассматривать равномерное распределение последовательностей в U. Для
наших целей существенно, что V есть компактное хаусдорфово
пространство со счетной базой.
Мы увидим, что удовлетворительная теория равномерного
распределения может быть построена в более абстрактных
условиях произвольного компактного хаусдорфова пространства со
счетной базой. Некоторые факты окажутся справедливыми даже
без наличия второй аксиомы счетности.
§ 1. Определение и важнейшие свойства
Определение. Пусть X — компактное хаусдорфово пространство.
Элементы а-алгебры, порожденной открытыми множествами в X,
называются борелевскими множествами в X. Пусть
\х—неотрицательная регулярная нормированная борелевская мера в X, т. е.
неотрицательная мера |i, определенная на всех борелевских
множествах, такая, что |i(X)=l и (1(f) —sup {[л(С): С^£, С
замкнуто} = inf {\i(D): E^D, D открыто} для всех борелевских
множеств £ в X.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА
187
Предположим, что нам дана последовательность (хп) (п =
= 1, 2, ...) элементов хп£Х. Среди различных необходимых и
достаточных признаков равномерности распределения мод 1,
которые у нас были, легче всего, по-видимому, приспособить к
более общей ситуации тот, который содержится в теореме 1.1
гл. 1. Удобно ввести следующие понятия. Обозначим через 32 (X)
множество всех действительных ограниченных измеримых по Бо-
релю функций, определенных на X. Введем норму | /1| ="sup | / (*) |
хеХ
для всех /€^(Х). Тогда $}(Х) превратится в банахово
пространство и даже в банахову алгебру, если обычным образом ввести
алгебраические операции над функциями. Подмножество 5i(X)cz
cS(X), состоящее из всех действительных непрерывных функций,
определенных на X, окажется банаховой подалгеброй $?(Х).
Определение 1.1. Последовательность (хп) (я=1, 2, ...)
элементов из X называется \i-p.p. в X, если для всех /€5£(Х)
N
Hm H,f(xn) = )fd^ (1.1)
N-+" »| х
Если X = f/, a |x—нормированная мера Лебега на f/, то
понятия p.p. в U (или, что то же, р. р. мод 1) и |х-р. р. в U
совпадают. Конечно, возникает первый наиболее естественный
вопрос: существуют ли р. р. последовательности в любом X?
Нетрудно доказать, что в любом X можно так ввести \х, что
существуют |ы-р. р. последовательности (см. упражнение 1.1). Что
же касается более сложного вопроса, о существовании jjt-p. p.
последовательностей при любых заданных X и |ы, то мы отсылаем
читателя к Замечаниям.
В этой главе мы иногда будем пользоваться более сильными
топологическими ограничениями на X. В § 2 мы увидим, что при
дополнительном предположении о наличии счетной базы для
топологии в X существует настоящее изобилие р. р.
последовательностей. К счастью, мы увидим также, что, потребовав
выполнения некоторого условия счетности, мы в действительности не
теряем общности (см. упражнение 2.1).
Иногда удобно рассматривать также комплекснозначные
функции /, определенные наХ. Такую функцию можно записать в виде
/ = /х + i/г» гДе /i й /г—однозначно определенные действительные
функции, называемые действительной частью и мнимой частью f
соответственно. Если и /х, и /2 принадлежат $J(X), то / также
называют ограниченной (комплекснозначной) функцией, измеримой
по Борелю. В этом случае, по определению,
\fd\k=\f1d\i+i\f2d\i.

188
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество всех непрерывных комплекснозначных функций,
определенных на X, обозначим через % (X). Ясно, что /6#'(Х) тогда
и только тогда, когда и ее действительная часть, и ее мнимая
часть принадлежат 5£(Х). Множество % (X) образует
(комплексную) банахову алгебру, если ввести норму по верхней грани и
обычные алгебраические операции. Нетрудно доказать в качестве
упражнения, что последовательность (хп) будет jx-p. p. в X тогда
и только тогда, когда (1.1) выполняется для всех /g#(X).
Классы, определяющие сходимость. В классической теории мы
видели, что не обязательно рассматривать все / из 5i(X) в (1.1)
для того, чтобы гарантировать равномерность распределения.
Этот факт подсказывает следующее определение.
Определение 1.2. Класс функций f^с$)(Х) называется
определяющим сходимость (по отношению к ц,), если для любой
последовательности (хп) из X справедливость соотношения
N
гарантирует jx-p. р. последовательности (хп).
Пример 1.1. В случае Х = (/ класс всех характеристических
функций полуоткрытых (открытых, замкнутых) интервалов
является определяющим сходимость по отношению к нормированной
мере Лебега. □
Обозначим через sp (У9) линейное подпространство 3$ (X),
порожденное классом У°. Иными словами, sp(9^) состоит из всех
конечных линейных комбинаций элементов 9^ с действительными
коэффициентами. Построение многих важных классов,
определяющих сходимость, основано на следующей теореме.
Теорема 1.1. Если класс У* функций из $^(Х) таков, что
множество sp (СР) плотно в Э1 (X) (т. е. sp (^) ^ Э1 (X)), то
9^ является определяющим сходимость по отношению к любой
\х в X.
Доказательство. Докажем сперва, что (1.1) выполняется
для всех g^spCV*), если (1.1) выполнено для всех /€^. В этом
случае ^ = а1/1+...+ал/л, где /, 6^, а, g R (1<*<£). Тогда
из линейности левой и правой частей (1.1) следует, что
N
lim IT 2 g(*n)=)gd\i.
N-+«> л=1 X
В случае произвольной функции /€5i(X) выберем е > 0 и,
согласно условию теоремы, найдем h g sp (Т0) такую, что || А—/|] < е.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА
189
Тогда
1 X
N Till" С
jfY* h(xn)-\ hd», \+ ±2 {f-h)(xn)-) (f-h)dp
n=\ X | | n=l X
N С I N С
n=l
<2|/-A| +
Л=1
^г2лЮ— jft^
n=l
<3e,
если N досточно велико. □
С помощью известной и важной теоремы, которую мы
формулируем ниже как лемму 1.1, мы получим полезное следствие.
Лемма 1.1. (Теорема Стоуна — Вейерштрасса.) Пусть X—
компактное хаусдорфово пространство, а Л—подалгебра 91 (X),
которая содержит постоянные функции и отделяет точки (это
значит, что для любых двух различных точек хг и х2 из X
существует [£Л такая, что f(Xi)^f(x2)). Тогда Л плотно в 91 (X).
Если 9$—подалгебра %(Х), которая помимо указанных свойств
обладает замкнутостью относительно операции перехода к
комплексно сопряженному (т. е. из /g$? следует, что /ё^)> то
3$ плотно в % (X).
Следствие 1.1. Если sp(^) представляет собой
подалгебру 91 (X), которая отделяет точки и содержит постоянные
функции, то f^ есть класс, определяющий сходимость по
отношению к любой \1 в X.
Доказательство. Это вытекает из теоремы 1.1 и
леммы 1.1. D
Понятие класса, определяющего сходимость, можно ввести
также для классов комплекснозначных функций, измеримых но
Борелю. В этом случае также можно получить результат,
аналогичный теореме 1.1, ибо доказательство проходит без изменений.
В действительности, в качестве sp(^) можно рассматривать
даже подпространство комплексного векторного пространства
£(Х), порожденное У^. С помощью комплексного варианта
теоремы Стоуна — Вейерштрасса приходим к следующему результату.
Следствие 1.2. Пусть Т°—такое множество функций
из % (X), что подпространство, порожденное °У* в # (X),
представляет собой подалгебру в % (X), которая отделяет точки, содер-
жит постоянные функции и замкнута относительно операции
перехода к комплексно сопряженному. Тогда У* есть класс,
определяющий сходимость по отношению к любой \i в X.

190
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Множества непрерывности. Пусть М — произвольное подмно-
жество_УИ ^ X. Через int/W обозначим внутренность /И, а через
dM = M\intM —границу М. Через М' обозначим дополнение
к М в X.
Определение 1.3. Борелевское множество М ^ X
называется множеством ^-непрерывности, если \х(дМ) = 0*).
Заметим, что дМ замкнуто и поэтому является борелевским
множеством. С помощью понятия множества (^-непрерывности
можно указать важный класс, определяющий сходимость, а именно
класс, состоящий из характеристических функций всех множеств
(^-непрерывности. Однако предварительно рассмотрим другой
нетривиальный пример класса, определяющего сходимость,
который состоит из одних непрерывных функций. Этот пример
иллюстрирует также технику, используемую в этих вопросах.
Пример 4.2. Так как X нормально, то для любых двух
непересекающихся замкнутых подмножеств А и В
существует так называемая функция Урысона, т. е. функция / £ &i (X)
такая, что 0</(^)<1, f(x) = 0 для х£А и /(*)=l для х£В.
Фиксируем е > 0 и рассмотрим все упорядоченные пары (С, D),
где С—замкнутое множество ^-непрерывности, a D—открытое
множество такое, что D ^С и \х (D\C) < е. Для каждой пары
(С, D) выберем одну функцию Урысона так, чтобы f (х)=\ при
х£С и f(x) = 0 при x£D'. Обозначим через %г набор всех /,
полученных таким образом. Пусть, далее, дъг—множество
всевозможных конечных произведений функций / из Ч1е. Мы утверждаем,
что ^е определяет сходимость по отношению к любой \х в X.
Легко убедиться в том, что sp(^e) есть подалгабра 3£(Х).
Поэтому естественно попытаться использовать следствие 1.1. Так
как Ч1г содержит функцию /(#) = 1 (получающуюся при выборе
С = D = X), то sp(5>8) содержит постоянные функции. Остается
доказать, что %> разделяет точки. Пусть х0, у0£Х, х0Фу0;
выберем открытую окрестность D точки х0, не содержащую точки у0.
Так как мера \х регулярна, то найдется замкнутое B^D такое,
что [x(D\B)<e. Будем считать, что х0£В, ибо в * противном
случае мы могли бы воспользоваться множеством В [} {х0}.
Конечно, В не обязано быть множеством ^-непрерывности. Но, как
мы увидим, существует так много замкнутых множеств |ы-непре-
рывности, что легко найти множество, заключенное между В и D.
Рассмотрим функцию Урысона g, соответствующую
непересекающимся замкнутым множествам D' и В, так что 0^g(x)^. 1 при
всех х£Х, g(x)=l при х£В, g(x) = 0 при x$D'. Пусть
Ga = {*€X: g(x) = a}, где O^a^l. Так как мера |х множества
X = и Ga конечна, то существует не более счетного числа Ga
0<a< l
*) Множество ^-непрерывности—буквальный перевод используемого
авторами термина «^-continuity set». В нашей литературе нет устоявшегося
термина; встречается, например, «жорданово множество».— Примеч. перге.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА
19!
таких, что |n(Ga)>0 (см. упражнение 1.21). Следовательно,
найдется такое а, 0<а< 1, что \i(Ga) = 0. Выберем в качестве С
замкнутое множество С = {х gX: g(x)^a}. Так как множество
{х^Х: g(x)>a) открыто, то dC^Ga и С является множеством
[1-непрерывности. Из В ^ С ^ Z) следует, что \х (D\C) < е. Паре
(С, D) соответствует функция Урысона /€%>, для которой
/(л:0)=1, f(y0) = 0. Используя обычные приемы аппроксимации,
можно доказать, что уже Ч1е является определяющим сходимость
(см. упражнение 1.16). Q
Пример 1.3. Если X—компактное метрическое пространство,
то решающий шаг в приведенном доказательстве можно сделать
с помощью метрики d пространства X. В частности, докажем
следующее: пусть B(xt 8^) = {у^Х: d(x, у) < 8г} и В (х, 62) =
= {у£Х: d(xt у) < б2}—открытые шары с центром х и
радиусами 0 < бх < б2; тогда между В (х, 6Х) и В (х, б2) существует
«много» открытых шаров, являющихся множествами (х-непрерыв-
ности. Чтобы показать это, обозначим S (я, б) = {у g X: d (xt у) = 6}
иВ(х9 6) = {у£Х: d(x, */)<6}, б>0. Тогда дВ (*, б) c=S (*, б).
Но разность В (х, б2)\В (я, бх) = U S (я, б) имеет конечную
меру \i\ поэтому положительную меру |х может иметь не более
чем счетное число множеств S(xt б). Следовательно, за
исключением не более, чем счетного числа, открытые шары В(х, б)
при б1^б^б2 являются множествами (х-непрерывности. □
Пусть заданы последовательность (хп) в X, подмножество
М s X и натуральное число N. Определим счетчик А (М\ N)
N
при помощи формулы А (М\ #)= 2 см(хп), где см—ХараКТерИ-
стическая функция множества М. Ясно, что А (М\ N) равно
количеству хп с номерами l^n^N, которые принадлежат М.
Докажем теперь результат, высказанный ранее, и даже несколько
более сильный.
Теорема 1.2. . Последовательность (хп) будет \i-p. р. гв X
тогда и только тогда, когда
lim A(M; N)/N = \jl(M) (1.3)
для всех множеств ^-непрерывности М е X. В частности, класс
/jf- = {cM: М—множество ^-непрерывности} является определяющим
сходимость по отношению к \i.
Доказательство. Предположим, что (хп) |ы-р. р., и пусть
М—множество ^-непрерывности. Достаточно построить для любого
е > 0 две функции /е и ge из Я (X) такие, что /е (х) ^ см (х) ^
< ^е (а;) при всех х и c(ge — /е)ф,<е. Тогда можно повторить
дословно доказательство теоремы 1.1 гл. 1 и получить требуемый
результат. В силу регулярности \i существует замкнутое С ^ int/W

192
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
такое, _что \i (int М\С) < е/2, и открытое D ^ М такое, что
\х (D\M) < е/2. Пусть /е будет функцией Урысона из Я (X) со
значениями /е(л;)=1 для х£С, fe(x) = 0 для x€(intM)'t a g*e —
функцией Урысона из Э1 (X) с ge (x) = 1 для x£Mt ge (x) = О
для x$D'. Тогда /8(*)<cm(*)<ge(x) при всех *€Х. Далее,
/е и gfe совпадают на С и на D' и 0<£е(л;)—/е(*)< 1 при всех
xgX; поэтому
USe-fe)d\i= J (^8-/е)Ф<^Ф\С) =
= ji(D\M) + ji(aM) + ji(intM\C)<e. (1.4)
Обратно, предположим, что условие теоремы выполнено.
Согласно теореме 1.1 достаточно доказать, что sp(^)^5£(X).
Выберем f£9l{X) и, так как sp(^) есть линейное
подпространство 3$ (X), содержащее постоянные функции, то, не теряя
общности, можем считать, что 0^/(дс)^1 при всех х £ X,
в случае надобности использовав преобразование f ъ af + b, а,
ft€R» я =7^=0. Как в примере 1.2, окажется, что все множества
Еа = {х£Х: /(*);> а}, за исключением не более чем счетного
числа, являются множествами ^-непрерывности. Следовательно,
для заданного е > 0 можно указать числа 0 = <х0 < ах< ... < ап = 1
такие, что при всех 0^/^п—1 имеет место неравенство
a/+i—at < 8 и Fi = {x£X: !(х)^а{) — множества ц-непрерыв-
ности. Мы утверждаем, что
U=0 ||
Действительно, для любого х £ X существует целое k (O^k^n— 1)
такое, что ak^f(x) < ak+lt и тогда
л-1
2 («f+l — *i)CF.(X) — f(x)
t=0
k
2 («/«-«!)-/W
t=0
= |a*+i-/WI<e, (1.6)
откуда вытекает (1.5). Q
Заметим, что так как в предыдущем доказательстве множества
Ft—замкнутые множества (^-непрерывности, то справедливость
(1.3) для всех замкнутых множеств ^-непрерывности уже
гарантирует |ы-р. р. в X.
Известны патологические случаи, когда (1.3) выполняется
для всех борелевских множеств в X (см. пример в упражнении
1.1). Однако при очень слабых ограничениях на меру \х можно
для любой |ы-р. р. последовательности построить замкнутые
(открытые) множества, для которых (1.3) [не выполняется (см.
упражнение 1.7).

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА 193
Носитель меры.
Определение 1.4. Носитель К меры \х в X—это
множество К = {х£Х: p,(Z))>0 для всех открытых окрестностей D
точки х).
Лемма 1.2. Носитель К меры \х обладает следующими
важными свойствами:
I. К замкнуто.
II. \х(К)=1.
III. Если \i(C)=l для замкнутого множества С ^ X, то
Доказательство. I. Докажем, что К' открыто. Выберем
х£К'> тогда существует открытая окрестность D точки х> для
которой jn (D) = 0. Однако ни одна из точек D не может
принадлежать К у так что D^/(".
II. Выберем е > 0. Так как \i регулярна, то существует
замкнутое В^К' такое, что \i(K'\B) < е. Для любого х£В
существует открытая окрестность Dx точки х такая, что \i(Dx) = 0.
В компактно; поэтому конечное число Dx покрывает В.
Следовательно, |х(В) = 0 и ц (/(')< е. Ввиду произвольности е отсюда
вытекает, что \i (К') = 0 или£\х (К) = 1.
III. Пусть С—замкнутое множество и |л(С) = 1. Если С = ХУ
то нечего доказывать. Если СфХ> то для любого х£С
существует открытая окрестность D с \i(D) = 0> а именно D = C. Таким
образом, оказывается, что С ^ К' или С ^ К- □
Следующая теорема показывает целесообразность
использования понятия носителя меры. Пусть \х—неотрицательная
регулярная нормированная борелевская мера в X с носителем меры К.
Пусть \х*—сужение меры |х на /С, т. е. мера |х* в К определяется
равенством \i*(A) = \i(A) для всех (х-измеримых множеств А^К.
Тогда [А*—неотрицательная регулярная нормированная
борелевская мера в К в индуцированной топологии, ибо борелевские
множества в пространстве К—это множества вида В[\К, где
В — борелевские множества в X (см. Халмош [1, стр. 25]). Нам
понадобится еще следующий классический результат.
Лемма 1.3. (Теорема Титце о продолжении.) Если
С—замкнутое подмножество нормального пространства X, то каждая
действительная непрерывная функция, определенная на С, может
быть непрерывно продолжена на все пространство X.
Теорема 1.3. Последовательность (хп) в К является \i-p.p.
в X тогда и только тогда, когда она \х*-р.р. в К.
Доказательство. В соответствии с теоремой Титце
пространство 81 (К) состоит из сужений всех функций g€§l(X) на /С.
Пусть g\K означает сужение g на К. Очевидно, (хп) будет \i*-p.p.
в /С тогда и только тогда, когда
N
lira i-Id(g\K)(xn) = )(g\K)dli*
N~+*> П=1 К
7 Л. Kefliiepc, Г. Нидеррейтер

194
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
для всех g€cR(X). Но (g\K)(xn) = g(xn) для всех п>1, и
[(g\K)d\i*=\gdiL=lgd\L+l gd\i=\gd\i.
К К К К' X
Поэтому (хп) будет Ц*-р.р. в К тогда и только тогда, когда
W->® л=1 X
для всех g£§l(X)y и доказательство окончено. □
Замечания. Доказательства теорем Стоуна — Вейерштрасса и Титце см.:
Гаал [1] и Хьюитт и Стремберг [1].
В литературе встречаются некоторые понятия p.p., даже еще более общие,
чем рассмотренные нами. В частности, упомянем определение p.p., введенное
Хельмбергом [3], которое коротко обсуждается в работах Циглера и Хельм-
берга [1] и Хельмберга [5]. Разновидность определения Хельмберга
рассматривал Кемперман [3]. Ауслендер и Брезин [1] использовали частный случай
определения Кемпермана, когда X—некоторая компактная факторгруппа
связной односвязной разрешимой группы Ли; их критерий Вейля (см. цитир.
статью, теорему 3.2 (а), (в)) справедлив в любом компактном хаусдорфовом
пространстве X.
^-равномерность распределения последовательности в X можно
рассматривать как частный случай слабой сходимости мер. Говорят, что
последовательность (\in) неотрицательных регулярных нормированных борелевских мер на X
слабо сходится к ji, пишут lim [in = l*>t если lim \in (M) = ц (М) для всех
множеств ^-непрерывности М в X. Последовательность (хп) в X оказывается
ц-р.р. тогда и только тогда, когда
П->оо Л п
где \ix—точечная мера, сосредоточенная в х (ср. упражнение 1.1). Изложение
теории слабой сходимости см. у Биллингсли [2], Партасарати [1, раздел 2.6],
Топсо [2]. Следующая общая теорема существования доказана Нидеррейтером
[9]. Мера ц на X допускает fi-p.p. последовательность тогда и только тогда,
когда ц принадлежит слабому последовательному замыканию выпуклой
оболочки точечных мер на X. Класс <М борелевских множеств в X называется
классом ^-равномерности, если lim \лп (qS) = ц (qS) равномерно по M£qS
л-»-со
всякий раз, когда lim jm„ = jj,. Это понятие представляет интерес для теории
Л-»-00
отклонения. О работах по классам равномерности см. Биллингсли и Топсо [1],
Ранга Рао [1], Топсо [1, 2]. На основе идей Циглера [6] К. Шмидт [1] ввел
и изучил понятие p.p. для последовательностей мер на компактном
хаусдорфовом пространстве.
Изучение p.p. последовательностей в компактных пространствах было
начато Хлавкой [3, 6]. При этом Хлавка заменил также средние арифметические
более широкими классами методов суммирования (см. § 4). В обеих статьях
предполагается наличие второй аксиомы счетности. Замечания по поводу
теоремы 1.2 сделал Паганони [1].
P.p. в локально компактных пространствах можно определить
естественным образом. Если X—локально компактное хаусдорфово пространство со
счетной базой и \i—неотрицательная регулярная нормированная борелевская
мера на X, то последовательность (хп) в X называется ji-p.p. в X, если

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА
195
соотношение
N
л,11"1 "ЯГ S'W^f fdV
n=\ x
выполняется для всех действительных непрерывных функций / на X с
компактным носителем (Стэплтон [1]). Если X компактно, то последнее
определение совпадает с определением 1.1. Тот же автор доказал, что (хп) будет |л-р.р.
тогда и только тогда, когда lim А(М\ N)jN = \л(М) выполняется для всех
относительно компактных множеств ^-непрерывности М, и построил |л-р.р.
последовательности. Этот вопрос снова рассмотрел Хельмберг [7], отказавшись
от второй аксиомы счетности. Связь между некомпактным случаем и
компактным случаем весьма тесная. Для некомпактного X рассмотрим Х = Х() {оо} —
одноточечную компактификацию Александрова—и продолжим меру ц на X,
полагая ц (E) = \i(E[) {оо}) = [i(E) для всех Е, принадлежащих а-алгебре,
порожденной компактными множествами в X. Тогда последовательность (хп) в
X будет |л-р.р. тогда и только тогда, когда (хп) будет |л-р.р. в X (Хельмберг
[7]). См. также Леска [4]. Новые интересные аспекты возникают при
рассмотрении неограниченных непрерывных функций на некомпактном X. Пост [1]
доказал для такого X со счетной базой следующее: для любой |л-р.р.
последовательности (хп) в X без повторений и для любых трех чисел а, р, у таких,
что 0<а^Р^7^°°» существует неотрицательная непрерывная функция /
на X такая, что \fd[i = at
х
N N
112. "^ Щ/(*") = Р» **™ "]у- £/(*>») = Y-
Дюпен и Леска [1] изучили p.p. подпоследовательности последовательностей в
локально компактных пространствах.
Интересное определение p.p. в локально компактных пространствах ввел
Герл [7, 8]: пусть X—локально компактное хаусдорфово пространство со
счетной базой, а ц — положительная мера Радона в X (она не обязана быть
конечной). Последовательность (хп) в X называется ^-относительно равнорас-
пределенной (ц-relativ gleichverteilt), если равенство
lim А (С; N)/A (D; tf) = ц (С)/ц (D)
N-»-oo
выполняется для всех относительно компактных множеств u-непрерывности С
и D в X с ц (D) > 0. При указанных предположениях об X и ц автор может
доказать существование ji-относительно равнораспределенных
последовательностей. Если ц нормирована, то jx-p.p. последовательность в X (в смысле
Стэплтона) будет также ^-относительно равнораспределенной. С другой
стороны, если X некомпактно, а |л нормирована и имеет компактный носитель
меры, то в X существуют ^-относительно равнораспределенные
последовательности, которые не являются |л-р.р. О p.p. в локально компактных группах
см. § 5 гл. 4.
Упражнения. Во всех задачах: если определения X и ц отсутствуют, то
X—произвольное компактное хаусдорфово пространство, а ц —
неотрицательная регулярная нормированная борелевская мера в X.
1.1. Пусть х£Х фиксировано. Доказать, что мера цх, определенная для
всех подмножеств Е^Х с помощью условий [ix(E) = l9 если х£Е; цх(£) = 0,
если х (fc Е, представляет собой неотрицательную регулярную нормированную
борелевскую меру (называемую точечной мерой, сосредоточенной в х).
Последовательность (хп), где хп — х при всех п^1, оказывается м^-р.р. в X.
7*

196
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.2. Если Х = [0, 1] с обычной топологией и мерой Лебега, то функции
/0(jc)==1 и fk(x) = xk при k = \, 2, ... образуют класс, определяющий
сходимость. Справедливо ли это утверждение в случае другой меры в X?
1.3. Доказать, что семейство множеств ^-непрерывности в X образует
кольцо множеств, т. е. замкнуто по отношению к операциям объединения и
пересечения конечного числа множеств и перехода к дополнению.
1.4. Привести пример пространства X и меры |л, для которых семейство
множеств ^-непрерывности не образует а-алгебру.
1.5. Доказать, что любое непустое открытое множество в X содержит
непустое открытое множество ^-непрерывности.
1.6. Справедлив следующий критерий: последовательность тогда и только
тогда |л-р.р. в X, когда
lim A(D; N)IN^p(D)
для всех открытых DgX. Следовательно,
lim A(C\ N)/N^ ii (С)
для всех замкнутых С<=Х—также необходимое и достаточное условие для
ц-р.р. в X.
1.7. Если |л не сосредоточена на счетном множестве (т. е., если |л (Е) < 1
для любого счетного множества £<=Х) и если (хп) |л-р.р. в X, то существует
замкнутое С<=Х такое, что lim Л (С; N)/N < ц (С).
N-+ оо
1.8. Доказать, что |л-р.р. последовательность плотна в носителе \i.
1.9. Предположим, что X содержит |л-р.р. последовательности.
Утверждение «любая |л-р.р. последовательность всюду плотна в X» верно тогда и
только тогда, когда носитель |л совпадает с X,
1.10. Пусть X и Y—компактные хаусдорфовы пространства, отображение
Т: X\-*Y непрерывно и (хп) |л-р.р. в X, Тогда последовательность (Тхп)
будет Г-^-р.р. в Y.
1.11. Пусть ц удовлетворяет условиям упражнения 1.7. Доказать, что
для любой |л-р.р. (хп) в X существует компактное хаусдорфово пространство
Y и измеримая функция Т: X ь» Y такая, что (Тхп) не будет Г-^-р.р. в Y.
1.12. Если (хп) |л-р.р. в X, то равенство
N
lim "лгИ f(*n)= \ fdP
п=\ X
выполняется для функций / £ 9д (X), все разрывы которых содержатся во
множестве ц-меры нуль. Указание. Для любого е > 0 построить
ступенчатые функции fx и /2 так, как в (1.5), для которых /i<;/<i/2 и
^(f2-fi)d[i< е.
х
1.13. Пусть М — замкнутое множество ц-непрерывности в X и ц(М) =
= а > 0. Если (о = (хп) |л-р.р. в X, то подпоследовательность со, состоящая
из всех элементов, принадлежащих М, будет (1/а) |л*-р.р. в М с
индуцированной топологией, где ц*—сужение меры \i на М. Указание. Применить
теорему Титце о продолжении и упражнение 1.12.
1.14. Доказать формулу включения — исключения: если Аъ
...,Ап—боре левские множества в X, то
/ п \ -
1*(.У/0 = ^("1)*"121|1^У.П^/,П...П^).
где во внутренней сумме 1 ^Д < /2 < ... <ik^n-

§ 2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
197
1.15. С помощью упражнений 1.6 и 1.14 доказать, что если q/Ц—класс
борелевских множеств в X, замкнутый относительно операции пересечения
конечного числа множеств и такой, что любое открытое множество в X может
быть аппроксимировано снизу по мере |л конечным объединением элементов
из q$, то набор характеристических функций элементов qM образует класс,
определяющий сходимость по отношению к мере \л. (Замечание. Это
обобщение примера 1.1.)
1.16. С помощью приемов аппроксимации, использованных при
доказательстве второй части теоремы 1.2, доказать что класс Ч1г в примере 1.2
является определяющим сходимость по отношению к любой |ы в X.
1.17. Пусть (хп) |ы-р.р. в X и пусть k (1), к (2), ..., k (N),
...—возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim M/k (N) = 0.
iV-V 00
Построим новую последовательность (уп), добавляя в группу между каждыми
двумя членами х^м) и х^^/)+1 произвольный элемент X. Доказать, что (уп)
также |л-р.р. в X.
1.18. Пусть (*л°)» где /=1, 2, ..., s—конечное число |л-р.р.
последовательностей в X. Пусть далее Plt P2> •••» ?s— разбиение множества
положительных целых чисел на s бесконечных подмножеств Р/, в каждом из
которых элементы расположены в естественном порядке; каждое целое п ^ 1
принадлежит одному и только одному Р/. Положим yn=x(k\ если п является &-м
элементом Р/. Доказать, что (уп) также |л-р.р. в X.
1.19. Предположим, что носитель К меры \i представляет собой множество
^-непрерывности. Доказать, что |л-р.р. последовательности в X существуют
тогда и только тогда, когда существуют |л*-р.р. последовательности в /С, где
ц* имеет тот же смысл, что в теореме 1.3.
1.20. Обозначим через К носитель |л. Если М—любое множество
^-непрерывности в X, то М(]К есть множество ^-непрерывности в /С, где
\i*—сужение меры |л на К-
1.21. Пусть (Y, $", v) есть а-конечное измеримое пространство (т. е. Y
представляет собой объединение счетного числа измеримых множеств, мера v
которых конечна). Тогда в любом семействе попарно непересекающихся
измеримых множеств не более счетного числа множеств могут иметь
положительную меру v.
§ 2. Пространства со счетной базой
Критерий Вейля. Пусть теперь X — компактное хаусдорфово
пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Это
дополнительное требование позволяет упростить некоторые
рассмотрения предыдущего параграфа. Во-первых, не нужно явно требовать
регулярности \it ибо каждая неотрицательная нормированная боре-
левская мера в X автоматически оказывается регулярной (Халмош
[1, разделы 50—52]). Далее, обращаясь к метризационной
теореме Урысона, мы получим, что X метризуемо (обратно, любое
компактное метрическое пространство обладает счетной базой).
И есть еще одно топологическое свойство X, которое имеет
наибольшее отношение к теории равномерного распределения.
Предварительно отметим, что из классического критерия Вейля (гл. 1,
теорема 2.1) вытекает следствие: для единичной окружности U
с нормированной мерой Лебега существует счетный класс,
определяющий сходимость. Это утверждение оказывается справедливым

198
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
для всех рассматриваемых пространств X в силу следующего
общего результата: если X — компактное хаусдорфово
пространство, то 31 (X) сепарабельро тогда и только тогда, когда X метри-
зуемо (Келли [1, с. 245]). Мы, однако, предпочитаем построить
явно счетный класс функций, определяющий сходимость для
произвольных X и |х, и тем самым дать независимое
доказательство общего критерия Вей ля.
Теорема 2.1. (Критерий Вейля.) В компактном хаусдорфо-
вом пространстве X со счетной базой существует счетное
множество действительных непрерывных функций, образующих класс,
определяющий сходимость по отношению к любой
неотрицательной борелевской мере в X.
Доказательство. Так как X сепарабельно, то существует
последовательность (хп), всюду плотная в X. Пусть d (xt у) —
расстояние в X. Каждому xk и каждому целому п^1 поставим в
соответствие какую-нибудь функцию Урысона fk%n такую, что
/,,„(*)=! при d(xh4 ХХ2-"-1 и /*,„(*) = 0 при а(*л,*)>2-».
Обозначим через 41 множество всех функций fk% я, а через 3 —
множество, состоящее из функции f=l и всевозможных
произведений конечного числа функций из 41. Мы докажем, что
счетное множество 3 и есть класс, определяющий сходимость.
Начнем со следствия 1.1. Легко видеть, что sp(^)—это подалгебра
31 (X). По построению, sp (35) содержит постоянные функции.
Докажем теперь, что уже функции из 41 отделяют точки. Пусть
а, Ъ € X и афЬ. Выберем целое п^О так, чтобы 2""<d(a, b).
Если для точки xk расстояние d(xk, a)^2"""2, то обратимся к
функции fk,n+i€'V'- С одной стороны, fk,n+1(a)=l. С другой
стороны, d(xh, b)^d(a, b)—d{xkt а) >2-"—2""-2 > 2-'1"1, так
™ fktn+1(b) = 0. □
Метрические теоремы. Последняя теорема имеет много важных
следствий. Например, можно доказать, что в определенном смысле
почти все последовательности в X оказываются \i-p. р. Заметим,
что последовательность (хп) в X можно рассматривать как точку
в декартовом произведении X00 счетного числа экземпляров X;
00
иными словами, Х°° = Ц Х0 где все Х, = Х. Очевидно, последо-
вательность (хп) идентифицируется с точкой % = (xlt x2t ..., хп,
...)€Х°°. Если ввести тихоновскую топологию, то X00 также
оказывается хаусдорфовым пространством со счетной базой.
Заданная на X мера \i индуцирует произведение—меру (х^, на X00,
которую мы можем считать полной. Сперва мы докажем
вспомогательный результат, представляющий собой частный случай так
называемого закона больших чисел в теории вероятностей (Феллер [2,
с. 233], Лоэв [1, с. 239], Реньи [2, с. 332]).

§2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ 199
Лемма 2.1. При каждой функции f£!B(X)
N
Ит^Е/(дд= J/d|i (2.1)
для (х^,— почти всех точек (xlt ..., *„, . ..)€Х°°.
.Доказательство. Достаточно доказать это утверждение
для таких функций f£3Z(X), у которых $/d|n = 0. Пусть N>1;
х
определим на Х°° функцию FN следующей формулой: если (л^,
.... хи, ...)€*". то
N
FN (Xlt . . ., Хп, . . .) = -jj 2a f (xn)-
Тогда
Х°° л=1 Х°°
+ £ш S f / (*i> / (*/) Ф- = ^ f №• (2.2)
Поэтому
i: j (fmO'd^=j r rfn i; ^ < oo. (2.3)
m = l X°° X m = l
Из теоремы Леви вытекает, что jn^-почти всюду lim Fm2 = 0. Для
m-»- oo
каждого N ^ 1 можно выбрать m ^ 1 так, чтобы т2 ^ N < (т + I)2.
Тогда
(2.4)
Так как правая часть (2.4) стремится к нулю jn^-почти всюду
при Л7 —> оо (или, что то же, при т —* оо), то лемма доказана. П
Теорема 2.2. Пусть S—множество всех \i-p. p.
последовательностей в X, рассматриваемое как подмножество X00. Тогда
MS)=1.
Доказательство. Пусть /±, ..., fkt ...—счетный класс,
определяющий сходимость, состоящий из функций,
принадлежащих й?(Х). Обозначим через Bk(k=lt 2, ...) исключительные
множества jn^-меры нуль, соответствующие fk по лемме 2.1. Тогда
00
множество В= [} Bk также имеет м^-меру нуль, и для любой
точки (*1Э ..., хп, ...)£Х-\В
Л'"
lim -i 2/*(*„) = J/аФ (2.5)

200
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
при всех £=1,2,... Иными словами, все последовательности
(хп), соответствующие точкам из Х°°\В, оказываются \i-p. р. □
Покажем теперь, как лемма 2.1 может быть получена из очень
важного общего принципа, а именно—из индивидуальной эрго-
дической теоремы. Нам придется ввести некоторые определения,
которые окажутся полезными и в других контекстах.
Определение 2.1. Пусть (F, <F, v)—пространство с мерой
hv—неотрицательная нормированная мера. Измеримое
преобразование Т: Y*-+Y называется сохраняющим меру (по отношению
к v), если v (T^F) = v (F) для всех F € <F. Преобразование Т
пространства F, сохраняющее меру, называется эргодическим (по
отношению к v), если для всех F£$Ft для которых T~1F = Ft
либо v (F) = 0, либо v (F) = 1.
Отображение Т: Х~н->Х°°, определенное формулой Т (х19
х2, .. . ) = (л;2, x3t ...) для всех (*lf л;2, а:3, . ..)£Х°°, называется
односторонним сдвигом в Х°°. Это отображение эргодично по
отношению к (ы^ (см. упражнение 2.20).
Лемма 2.2. (Индивидуальная эргодическая теорема.) Пусть
(У, <F, v) — пространство с мерой, v — неотрицательная
нормированная мера, а Т—эргодическое преобразование Y по отношению
к v. Тогда для любой v-интегрируемой функции f на Y
lim^I<f(T"y)=)fdv (2.6)
для v-почти всех y£Y.
Для другого доказательства леммы 2.1 рассмотрим проекцию
рг: X°°i—>Xlt определенную формулой
M*i» х2> • ••) = *! Для (xlt x2, . ..)€Х°°. (2.7)
Если /£53(Х) задана, то сложная функция / о рг окажется
ограниченной и измеримой; стало быть, она интегрируема на X00.
Применяя индивидуальную эргодическую теорему к функции / о рх
И ОДНОСТОрОННему СДВИГу Г В Г, ПОЛуЧИМ, ЧТО ДЛЯ (1^-ПОЧТИ
всех I из Х°°
lim J, E (f°Pi)(T"Z)= J (/°/>i)<K- (2-8)
Заметим, что если l = (xlt x2t . ..,*n, ...)» то (/о рг) (Tnl) = f(xn+1)
при всех п^0. Поэтому (2.8) равносильно равенству
N С С
lim fS/(*»)= J (/°A)^= i/Ф (2-9)
(ы^-почти всюду. Но (2.9) совпадает с утверждением леммы 2.1.
С точки зрения теории меры, \х-р. р. последовательности
образуют обширное подмножество пространства Х°°. Поэтому может

§2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
201
показаться удивительным, что в топологическом отношении (ы-р. р.
последовательности составляют весьма тощее множество. Правда,
есть одно тривиальное исключение, а именно случай, когда X
содержит всего один элемент. Тогда, конечно, множество всех р. р.
последовательностей (существует единственная возможная \х)
совпадает с Х°°.
Теорема 2.3. Если X содержит более одного элемента, то
множество S из теоремы 2.2 представляет собой множество
первой категории в Х°°.
Доказательство. Пусть еУ* = {!1> ..-, /*, •••}—счетный
класс действительных непрерывных функций, заданных на X,
определяющий сходимость, и sp (f^) = Э1 (X) (такой класс был
построен в ходе доказательства теоремы 2.1). Пусть &, m, t — целые
положительные числа, a Skmi—множество всех точек (xlt ...,
xnt ...)gX°° таких, что неравенство
1 N г
п=\
^ т
справедливо при всех N^t. Так как при каждом
фиксированном N функция F^Ni определенная на Х°° соотношением
N
Fki N(Xl> • • •* Хп> • • -)= ДГ 2-dfk (Xn)>
непрерывна, то множество Skmt замкнуто. Далее, очевидно
S= П П U Skmt.
k=\ m=l t=l
Предположение о том, что X содержит хотя бы две точки,
влечет за собой существование на X непостоянных функций
(например, существует функция Урысона, соответствующая этим двум
точкам). Следовательно, существует непостоянная функция fko в ^
(в противном случае sp (f°) состояло бы из одних постоянных
функций). В частности, найдется такая точка yQ£Xt что
fk0 (У о) Ф \ fko dp. Обозначим c=\fko (y0) — )fko d\i .
Мы утверждаем, что при т > 2/с и при любом t множество
Skomi нигде не плотно в Х°°. Допустим противное: существует
открытое множество D в Х°°, для которого D^Skomt и[г(/))>0.
со
Открытое множество D содержит цилиндр E = YlEiy где Е{=Х
i=i
при всех I, превосходящих некоторое г. Рассмотрим точку

202 ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
п=\
£=(*i, .... г„, ...), У которой все zn = y0 при п > г. Тогд^
1 ^ Г I
* I
N r
I г
/*. ы — S /to ^ —4г 21 /*» (гп)—/*. ы i >
>
>
если N достаточно велико. Следовательно, £ (£ Sk0mt; получаем
противоречие. Из вышеизложенного вытекает, что при достаточно
00
больших т множество U Skomt есть множество первой кате-
t = \
гории в X00. Содержащееся в этом множестве множество S также
есть множество первой категории в X00. □
Предыдущее доказательство может навести на мысль, что
множество S также, наверно, нигде не плотно в Х°°. Но, оказывается,
наоборот, имеет место следующий результат.
Теорема 2.4. Множество S всюду плотно в X00.
Доказательство. Мы покажем, что любую точку £ =
= (*!, ..., хпУ ...) 6 Х°° можно аппроксимировать (в топологии Xе0)
точками, принадлежащими S. Так как |Xoo(S) = l, то существует
ji-p.p. последовательность (уп) в X. Рассмотрим в Xю точки 1{к) =
= (z[k\ ..., z%\ ...), определенные условиями zf) = xl для 1 ^ i <&
и zf) = yi_k для i > к. Точки Qk) также соответствуют ji-p.p.
последовательностям в X, так что £(Ar)gS при всех k^l. Более
того, lim &k) = £, и доказательство завершено. □
&->-оо
Перестановка членов последовательностей. Мы видели в § 4
гл. 2, что элементы всюду плотной в [0, 1) последовательности
можно переставить так, что получится последовательность p.p.
мод 1. Аналогичный результат справедлив и в настоящих более
общих условиях. Можно сформулировать необходимое и
достаточное условие для того, чтобы последовательность допускала
превращение в fx-p.p. последовательность при помощи перестановки
ее членов.
Теорема 2.5. Последовательность (хп) в X может быть
перестановкой членов превращена в \i-p.p. последовательность
тогда и только тогда, когда все открытые окрестности всех
точек носителя \х содержат бесконечно много членов (хп).
Доказательство. Так как для любой открытой
окрестности D любой точки носителя \i мера \i (D) > 0, то легко видеть,
что условие необходимо (ср. с упражнениями 1.5 и 1.6).

§ 2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ 203
Чтобы доказать обратное, заметим, что из теорем 2.2 и 1.3
следует существование такой ji-p.p. последовательности (уп),
которая полностью принадлежит носителю \х. Выберем счетный
класс функций, определяющий сходимость, состоящий из функций
Д, ..., /г, ... из 91 (X). При каждом k ^ 1 множество Dk =
= {х £ X: \fr (yk)— fr (х) | < l/k при 1 ^ г ^ k) представляет собой
открытую окрестность yk. Согласно условию теоремы, для
каждого k^l можно выбрать xnk£Dk так, что пкФпт при кфт.
Фиксируем теперь /г. По построению хПк, при всех k^r
\fr(yk)-fr(Xnk)\<l/k.
Поэтому fr(yk) — fr(Xnk)-^0 при £—^оо. По теореме Коши
Ит ^2(МУ*)-/г(^)) = 0. (2.11)
Переставим элементы (*п) следующим образом. Сперва
произвольным образом: тг, т2, ... перенумеруем такие индексы п,
которые не равны ни одному из nk или равны nk с номером k = p2—
полным квадратом. Затем определим последовательность (uk) при
помощи формул йк = хПкУ если k не является квадратом и uk = xm y
если k = p2. Очевидно (ик) — это перестановка (хп). Далее, при
фиксированном г:
12 (/, ("*)-/,. К))
2 (fr(Uk)-fr(Xnk))
р
<2||/r||Ktf,
откуда
Hm jj- 2 (fr Ш-fr (*«*)) = 0. (2.12)
Используя (2.11) и (2.12), мы для любого г получим, что
1 N 1 N
ljm 7Г 2 frW = lim -v 2 (fr(uk)—fr(Xnk)) +
+ lim T 2 (/r (Xnk) — fr Ы) + lim T 2 /г Ы' = J /г Ф;
отсюда следует, что (ип) ji-p-P- в Х. □
Эта теорема приводит к некоторым простым следствиям,
относящимся к перестановкам членов всюду плотных
последовательностей. Например, если носитель |х не содержит изолированных
точек, то в любой всюду плотной в X последовательности можно
переставить члены так, что получится (я-р.р. последовательность

204
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(см. упражнение 2.11). Однако, если X содержит не менее двух
точек и носитель \х имеет изолированные точки, то предыдущее
утверждение не обязано быть верным (см. упражнение 2.12).
В частности, это утверждение неверно для конечных X,
содержащих не менее двух точек. Снова исключительную роль играет
пространство X, состоящее из одной единственной точки: для
этого пространства вышеприведенное утверждение тривиальным
образом справедливо.
Можно использовать метод доказательства теоремы 2.5 для
того, чтобы получить количественный результат, имеющий
некоторое сходство с теоремой 4.2 гл. 2. Ограничения, наложенные
ниже на последовательность (хп), понятны в свете теоремы 2.5.
Теорема 2.6. Пусть (yk)—заданная последовательность
в X, пусть /х, ..., /г, ... —последовательность функций из &1 (X),
для которых lim ||/г|| = 0, и пусть а19 ..., aN, ... —возрастаю-
щая последовательность положительных чисел, причем lim aN = oo.
N-+ со
Предположим, что последовательность (хп) в X удовлетворяет
следующему условию: любая открытая окрестность любого yk
содержит бесконечно много членов последовательности (хп). Тогда
можно так переставить члены (*„), что для новой последователь-
ности (ип) при всех достаточно больших N
sup
4-Ё(Ыы-М"*))
k = i
•aN
<f- (2.13)
Доказательство. Легко выбрать последовательность дейст-
N
вительных положительных чисел ех, е2, ... так, чтобы/^ ^k^~r aN
при всех N ^ 1; например, можно выбрать е^-j а1У е^у (ai—ai-i)
при t^2. Согласно предположению о ||/г||, для каждого целого
k > 1 найдется целое h (k) такое, что || fr || < l/k при всех г > h (k).
Для дальнейшего заметим, что h(k) образуют неубывающую
последовательность. Множество Ек = {х g X: | /г (yk) — fr (х) | < гк,
\<^r^Lh(k)} представляет собой открытую окрестность yk. Так
же, как при доказательстве теоремы 2.5, мы можем построить
подпоследовательность (хПк) последовательности (*„), для которой
хПк€Ек при всех k^l и пкФпт, если кфт.
Для последующего рассуждения удобно считать, что h (0) = 0.
Фиксируем /г. Если h(k)<r при всех £^1, то ||/г||^1/£ при
всех k и /г = 0. В этом случае последующие оценки тривиальны.
В противном случае пусть k0—наибольшее k^O такое, что
h(k)<,r. Тогда при всех k>kQ будет r^h(k); стало быть,

§2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
fr {Ук) — 1г (Xnk) I < Ч- Поэтому
N I
205
ko \ \ N
4" £ (/, Ш-fr (Xnh))\+\ Jf £ Vr Ш-fr (*nh))
k=i
ft=fto+l
N
2*„ „ t ,, , 1 V . ^ 2fe„
<
&= 1
Если k0>0, т0 из r>h(k0) следует, что fl/J^ !/&„• Тогда
■^Ё(/,ы-ы*.А)>
£=1
'^ 2 t aN
^ W ~*~ 3W '
(2.15)
При &0 = 0 это неравенство тривиально верно.
Последовательность |/г|| ограничена; поэтому ||/г|)^М при
некоторой положительной постоянной М. Подобно тому, как это
делалось при доказательстве теоремы 2.5, перенумеруем индексы д,
которые не являются числами вида nk или являются такими nk>
что при этом ^2 и [fl*-i/(6Al)] < [ак/(6М)]у произвольным
образом: т1У т2, ... Затем определим последовательность (uk) так:
ик = хПку если k=l или [аЛ_х/(6М)] = [аЛ/(6М)]; uk = xm , если
[fl*-i/(6Af)]<[a*/(6Af)] и k^2 является /7-м номером, для
которого справедливо последнее неравенство. Итак, легко видеть,
что (ип)—это перестановка последовательности (хп). При
фиксированном г
<2|/г| (количество £|2<Jfe<W, [ak_1/(6M)]<[akl(6M)])^
< 21 fr || (Ы(6УИ)] -[<V(6M)]) < 21 fr\ aN/(6M) < a„/3. (2.16)
Вместе с (2.15), получаем, что при всех г=1, 2, ...
N
2
£=1
2 (/,(«*)-/,(*«»))
L_ 1 Л
Jfe=l
^2aN 2
^ 3W "r w •
(2.17)
Так как правая часть (2.17) от г не зависит, то
sup
-JrS(/r^-M"*))
л = 1
2a^ _2_
^ 3W "*" N
(2,18)
Однако для 'достаточно больших N, очевидно, 2^.aN/3, и теорема
доказана. □
Интересный частный случай возникает, когда (yk) состоит из
неизолированных точек. В качестве (хп) можно тогда выбрать,

206
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
например, любую последовательность, всюду плотную в X.
Конечно, теорема 2.6 представляет интерес только тогда, когда
aN/N-+0 при N-+oo. В этом случае последовательности (ук),
содержащие изолированные точки, требуют к себе особого
внимания (см. упражнение 2.13).
Счетный класс, определяющий сходимость и состоящий из
непрерывных функций f19 ..., fry ..., удовлетворяющих условиям
теоремы 2.6, легко построить. Достаточно выбрать любой счетный
класс, определяющий сходимость и состоящий из непрерывных
функций glt ..., gr> ..., и заменить те gr, для которых ||gr|| > 0,
функциями /г = £г/Ид. D-
Количественная теория. Сходство между теоремой 2.6 и
теоремой 4.2 из гл. 2 можно сделать еще более заметным, если ввести
следующее определение.
Определение 2.2. Пусть /х, ..., /г, ...—счетный класс,
определяющий сходимость, состоящий из функций 91 (X) таких,
что lim || fr || = 0. Для последовательности (х1П) в X и натураль-
Г->00
ного числа N введем максимальное уклонение MN с помощью
формулы
I N I
A«jv = sup 4-2/Дхя)-5/гф • (2.19)
г | л=1 X |
Следующий критерий является аналогом теоремы 1.1 гл. 2.
Лемма 2.3. Последовательность (хп) fx-/?./?. в X тогда и
только тогда, когда lim MN = 0.
N-+*>
Доказательство. Очевидно, что если MN^+Q, то (хп)
будет (х-р.р. Для доказательства обратного утверждения допустим,
что (хп) [х-р.р., и выберем е > 0. Найдется R такое, что ||/г|Ке/2
при всех г > R. Для таких г и любых N > 1
N I
-ж£М*.)-НФ <2||/Л<е.
л=1 X |
А для конечного числа функций /lf ..., fR существует N0 такое,
что при всех N^N0 и 1 < г < #
N I
■i-S/rW—J /гф <е.
п=\ X |
Отсюда следует, что MN^e при всех N^N0> а это как раз и
нужно было доказать. П
Из теоремы 2.6 и определения 2.2 легко вывести следующее
заключение.
Следствие 2.1. Пусть (ук)—последовательность в X с мак*
СЯмадьным уклонением MN и пусть а19 .т-,^» ...—возрастаю-

§ 2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
207
щая последовательность положительных чисел, причем lim aN= оо.
Тогда в любой последовательности (хп) из X, удовлетворяющей
условиям теоремы 2.6, можно переставить члены так, что
получится последовательность (uk), максимальное уклонение которой
M*N> основанное на том же классе, определяющем сходимость,
что и MN, удовлетворяет при достаточно больших N неравенству
\MN—MmN\<aN/N.
Пример 2.1. Рассмотрим Х = [0, 1] с индуцированной
топологией пространства действительных чисел и мерой Лебега X
на X. Из упражнения 1.2 следует, что функции /0(jtf = l и
fr(x)=xrlry r±=l, 2, ..., образуют класс, определяющий
сходимость, и lim || fr | = 0. Пусть MN—максимальное уклонение, опре-
Г->оо
деленное по этому классу, a D*N—отклонение, соответствующее
определению 1.2 гл. 2. Если г^1 и о) = (дсл) в [0, 1), то по
неравенству Коксмы (см. гл. 2, теорема 5.1)
\^I<fr(Xn)-Urdb\<V(fr)D»(<»)=£^-
I Л=1 X
Поэтому верхняя грань
N
sup
ТгЕМ*1.)-$/гА
<D^(co),
и эта оценка сохранится, если включить сюда случай г = 0.
Таким образом, MN^.D*N((£>) для всех N и любых
последовательностей (д = (хп). □
Замечания. Общий обзор эргодической теории и доказательства
индивидуальной эргодической теоремы имеются у Халмоша [2] и Биллингсли [1].
О связях между законами больших чисел и эргодическими теоремами см. Лоэв
[1, гл. 9]. Углубленное изучение законов больших чисел выполнил Ревес [1].
Дальнейшие приложения индивидуальной эргодической теоремы, связанные
с задачами, обсуждавшимися в этом параграфе, были указаны Циглером [2,9].
Теоремы 2.1, 2.2 и 2.3 были доказаны в основополагающей статье Хлавки
[3] даже в более общих условиях методов суммирования (ср. § 4). Мы
предпочли в этом параграфе также использовать термин класс, определяющий
сходимость, ибо он более содержателен, чем термин Hauptsystem (Xлавка [3]).
В знак признания первой работы Бореля [1] утверждение теоремы 2.2
иногда называют борелевскцм свойством ц-р. р. (см. также § 4). В связи с
теоремой 2.2 представляет интерес следующий закон нуля или единицы из
теории вероятностей: пусть (К, $', v) — произвольное вероятностное
пространство и А— однородное множество в У°°, т.е. Voo-измеримое подмножество К°°,
независимое от всех цилиндрических множеств; тогда v«, (А) равно 0 или 1
(Колмогоров [1, с. 60], Феллер [2, с. 122]). Более того, если А—Vco-измери-
мое подмножество Y°°t причем (ylt yz, ..., уп, ...)£Л остается верным при
замене любого конечного числа *// любыми элементами из К, то А однородно
(Колмогоров [1, с. 60], Виссер [1]). Следовательно, в частности, если X —
произвольное компактное хаусдорфово пространство и если множество 5 всех
jx-p. р. последовательностей в X Цоо-измеримо, то ц*, (5) может быть только 0

208
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
или 1. Более общими законами нуля и единицы являются законы Хьюитта и
Сэвиджа [1] и Хор на и Шаха [1]. Неизвестно, чем характеризуются такие
меры \х в произвольном компактном хаусдорфовом пространстве, для которых
множество 5 ^-измеримо и jXoo(5) = l.
Согласно закону повторного логарифма (Лоэв [1, с. 260], Реньи [2, с. 337]),
имеет место следующий количественный вариант леммы 2.1: если f£&(X)t то
. У с
-^£ /(*„) = j /d|i + 0(V>-4nlnJV)
п=\ X
для jx^-почти всех последовательностей (хп) в X, причем исключительное
множество зависит от /. Поэтому для счетного класса /i, ..., />, ...,
определяющего сходимость, получаем равенства
N
-jf-Yi fr(*n) = )frdp+0(}rN-4nlnN).
л=1 X
при всех r=l, 2, ... [х^-почти всюду, откуда вытекает теорема 2.2. Обзор
вероятностных методов в теории равномерного распределения и некоторые
общие результаты можно найти у Кемпермана [2].
Теорема 2.5 в такой формулировке была анонсирована Десковичем [1].
Основные идеи можно найти у Xлавки [3]. Оба автора доказывают свои
теоремы для некоторых классов методов суммирования. Стэплтон [1] получил
очень близкий результат о перестановке членов для локально компактных
хаусдорфовых пространств со счетной базой. Герл [7] доказал теорему о
перестановке членов для ^-относительно равнораспределенных
последовательностей (ср. Замечания к § 1).
Для построения р. р. последовательностей в компактных метрических
пространствах с помощью последовательностей, определенных на единичном
интервале, Хедрлин [1, 2] использовал прием «lifting». Этот же метод
фактически использовал раньше Стэплтон [1] при доказательстве существования
р. р. последовательностей в локально компактных хаусдорфовых
пространствах со счетной базой. Другое приложение этого метода см. Байен и Хедрлин
[1]. Возможность определения отклонения в компактном пространстве
исследовал Грасеини [1]. На ошибку в этой статье указал Пост [2]. Бауэр [1] ввел
в сепарабельных метрических пространствах отклонение с помощью прохоров-
ского расстояния между вероятностными мерами. См. также Мюкк и Филипп [1].
Де Матан [3] изучал эвтаксические последовательности (suites eutaxiques)
в компактных метрических пространствах. О количественной теории на
компактных группах см. Замечания к § 1 гл. 4. О р. р. в декартовом
произведении компактных хаусдорфовых пространств см. Кристол [1].
Упражнения.
2.1. Пусть X — произвольное компактное хаусдорфово пространство. Боре-
левское множество В в X называется множеством полной меры, если \i (В) = 1.
Доказать, что если в X существуют fx-p. p. последовательности, то существует
компактное сепарабельное множество полной меры. (Замечание. Носитель
меры ц, конечно, является множеством полной меры.)
2.2. В той же ситуации, что в упражнении 2Л, доказать, что если
существует множество полной меры \it которое компактно и имеет счетную базу
в индуцированной топологии, то в X существуют ц-р. р. последовательности.
(Замечание. Упражнения 2.1 и 2.2 совместно все-таки не дают
необходимого и достаточного условия для того, чтобы мера ц допускала ji-p.p.
последовательности, ибо существуют компактные сепарабельные хаусдорфовы
пространства без счетной базы; см. Келли [1, с. 164]. О полной характеристике
таких мер ц см. Замечания к § 1. Ср. упражнение 2.15.)
2.3. Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство, содержащее
всюду плотную последовательность (хп). Доказать, что открытые шары Вп^ —

§2. ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БДЗОЙ
209
= {*£Х: d (xnt x) < 1/fc}, где л=1, 2, ..., &=1, 2, ..., образуют счетную
базу.
2.4. В компактном метрическом пространстве с неотрицательной
нормированной борелевской мерой \i существует счетная база, состоящая из
открытых шаров, которые являются множествами fi-непрерывности. Указание.
Использовать упражнение 2.3.
2.5. Рассмотреть дискретное пространство Х = {0, 1} с мерой ц,
определенной равенствами jx({0}) = a, M-({l})=*~a (0^а<;1). Построить ji-p. p.
последовательность в X.
2.6. Пусть Х = {0, 1, 2, ..., k)—дискретное пространство с мерой,
определенной равенством ц ({i}) = Х( ^ 0, где 0 ^ i <; kt Xq -f- ... + hk — 1 •
Построить jx-p. p. последовательность в Х. Указание. Строить рекуррентно по к.
2.7. С помощью индивидуальной эргодической теоремы доказать, что если
Т: Хн-»Х—эргодическое преобразование (по отношению к мере ц)
компактного хаусдорфова пространства со счетной базой, то последовательность (Тпх)
будет [х-р. р. в X для jx-почти всех х£Х.
2.8. Без использования теоремы Бэра о категориях доказать, что если
компактное хаусдорфово пространство X содержит не менее двух точек, то
множество 5 из теоремы 2.2 имеет пустую внутренность в Х°°.
2.9. Подробно доказать следующий факт: если хаусдорфово пространство X
не содержит изолированных точек и (хп) всюду плотна в X, то
последовательность эта остается всюду плотной после исключения конечного числа
членов. Почему утверждение становится неверным, если X содержит
изолированные точки?
В упражнениях 2.10—2.13 X—компактное хаусдорфово
пространство со счетной базой, а \х — неотрицательная нормированная борелевская
мера в X.
2.10. Доказать, что если \*>({х}) = 0 для всех изолированных точек х£Х,
то существует ц-р. р. последовательность в X, состоящая из одних
неизолированных точек. Указание. Так как X имеет счетную базу, то
изолированных точек в X не более, чем счетное число.
2.11. В любой всюду плотной в X последовательности можно так
переставить члены, что получится ц-р. р. последовательность, если ц({х}) = 0 для
всех изолированных точек х£Х.
2.12. Доказать, что если X содержит не менее двух точек и если
существует изолированная точка х£Х, для которой ц({*})>0, то существуют
всюду плотные последовательности в X, которые нельзя перестановкой
членов превратить в ц-р. р. последовательность.
2.13. Доказать, что теорема 2.6 неулучшаема в следующем смысле: если
X содержит не менее двух точек, некоторые из которых изолированы, и если
aw/N—>0 при N —* оо, то можно построить а) последовательность (уп) (даже
|ii-p. р.), содержащую изолированные точки; б) счетный класс функций flt ...,
/г, ... из 54 (X), определяющий сходимость и такой, что [| fr || —► 0 при г —► оо;
в) последовательность (*„), всюду плотную в Х\ и при этом утверждение
теоремы 2.6. не выполняется. Указание. Если у£Х — изолированная точка,
то функция /(л:)=1 при х = у, f(x) = 0 при х ф у оказывается непрерывной;
использовать эту функцию в системе /i, /2> •••! выбрать последовательность
(yk), которая содержит точку у с относительной частотой большей, чем aJ^/N
при достаточно больших N.
2.14. Пусть Х = {0}[}{\/п при л=1, 2, ...} с индуцированной топологией
множества действительных чисел, а \i—точечная мера, сосредоточенная в точке
х = 0. Доказать, что функции fr (/*=1, 2, ...), определенные условиями
/r(*)=l/r, если *<; 1/г, и fr (х) = 0 в противном случае, образуют класс,
определяющий сходимость, причем lim ||/r|| = 0. Пусть М^—максимальное
/•-►оо
уклонение, определенное по классу fr. Доказать, что для последовательности
1, 1/2, 1/3, ... при всех /V ^ 1 оказывается NMN< 1.
2.15. Пусть X — компактное сепарабельное хаусдорфово пространство, но
не обязательно со счетной базой. Пусть х0, хъ *2, ... —всюду плотная в X

210
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
последовательность. Для всех AfczX определим меру
ii(M)= 2 2~/~1-
U х{еМ
Доказать, что ц регулярна и что единственное компактное множество полной
меры (в смысле упражнения 2.1)—само пространство X. Построим
последовательность (yk) (k^\) следующим образом: если двоичное разложение k =
= 2A + 2A-f ...+2/<s, где jx > /2 > ... > /5^0, то yk=*js- Доказать, что
(Ук) М-_Р'Р- вХ. Указание. Сперва доказать, что каждое Х{ появляется
с должной частотой.
Этот пример показывает, что jx-p. p. последовательности могут
существовать даже тогда, когда для \i не существует компактного множества полной
меры со счетной базой.
2.16. Пусть X—компактное метрическое пространство с метрикой d и
пусть ц—неотрицательная нормированная борелевская мера в X с носителем
меры К- Предположим, что (хп)—jx-p. p. последовательность в X. Для
каждого п обозначим через уп ближайшую к хп точку /С; таким образом, d (xnt уп)=
= d(xnt K) = mind(xni z). Доказать, что (уп) также ц-р. р. в X.
гек
2.17. Пусть b^z2—целое число. Доказать, что преобразование Т
интервала [0, 1), определенное формулой Тх = {Ьх) (=дробная часть Ьх), эргодично
по отношению к лебеговой мере Яв [0, 1). Указание. Сперва доказать,
что для инвариантного борелевского множества А и любого интервала / вида
J = [m/bk, (m+l)/6A), где k и tn целые, k^\t 0«^m<&*, выполняется
равенство К (A) X(J) = X(Af]J)'
Вывести из индивидуальной эр годи ческой теоремы, что почти все
действительные числа нормальны по основанию Ь.
2.18. Почему из теоремы 2.3 следует существование в X не jn-p. p.
последовательностей?
2.19. Доказать, что в любом компактном хаусдорфовом пространстве X,
содержащем не менее двух точек, при любой неотрицательной регулярной
нормированной борелевской мере ц в X существуют последовательности,
которые не являются ц-р. р. в X.
2.20. Доказать, что односторонний сдвиг Т в Х°° эргодичен по отношению
к Цоо. Указание. Сперва доказать, что ц» (Г-М)=ц«, (А) и
lim [г» (А(]Т-пВ) = \100 (Л)цоо (В) для любых цилиндрических множеств А
П-**(Х>
и В в X00.
§ 3. Равностепенно равномерное распределение
Основные результаты. Пусть снова X—компактное хаусдор-
фово пространство, но не обязательно со счетной базой. Как
обычно, обозначим через \i неотрицательную регулярную
нормированную борелевскую меру в X. Вместо рассмотрения одной
заданной в X последовательности рассмотрим целое семейство таких
последовательностей. Нас интересует, можно ли ожидать
равномерного приближения интеграла по мере \х средними
арифметическими по заданному семейству последовательностей? Для ответа
на этот вопрос вводится понятие семейства равностепенно [х-р. р.
последовательностей.
Определение 3.1. Пусть <&* = {(хп,о)'- ag У} —семейство
последовательностей в X, где J означает произвольное множество
индексов, if называется семейством равностепенно \i-p.p. после-

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 211
довательностей в X, если для любой функции /g5£(X)
равномерно по а
N
п=\
иначе говоря, если для любой /gSi(X) и любого е>0
существует целое N (/, е) не зависящее от or, такое, что
I N I
*=i
<e (3.1)
при всех N^N(fy г) и всех erg/.
Пример 3.1. Если <У состоит из конечного числа fi-p. p.
последовательностей, то семейство & равностепенно \х-р. р. в X. □
Пример 3.2. Пусть X—компактное хаусдорфово равномерное
пространство с равномерной структурой 41. В действительности
предположение о равномерности X не является ограничением:
если А = {(jc, а:): *gX}—диагональ произведения ХхХ, где X —
произвольное компактное хаусдорфово пространство, то семейство
всех окрестностей А (в топологии произведения) есть
равномерная структура для X, и соответствующая равномерная топология
совпадает с исходной топологией в X (Келли Дж. [1, с. 178]).
Простейшие свойства равномерных пространств, которые нам
понадобятся, см. у Келли Дж. [1, гл. 6], Гаала [1], Исбелла [1].
.Мы используем следующие хорошо известные понятия: если V
и V—два подмножества X х X, то UoV = {(х, z) g X х X: (ху y)£U
и (у у z) g V при каком-то у g X}; если из (х, y)£U следует (у, *) g £/,
то U называется симметричным. Семейство {Р0: org/}
преобразований Р0: Хн-*Х называется равностепенно непрерывным в точке
JtgX, если для любого U£41 найдется окрестность R точки х
такая, что (Р0х> P0y)£U для всех y£R и всех org/.
Предположим теперь, что {Р0: org/} — семейство сохраняющих
меру (по отношению к заданной неотрицательной регулярной
нормированной борелевской мере \i) преобразований, которое
равностепенно непрерывно в каждой точке *gX, и пусть (.*;„) —
заданная \i-p. p. последовательность в X. Тогда мы утверждаем,
что {(Р0хп): erg/} будет семейством равностепенно fi-p.p.
последовательностей в X. Начнем доказательство с выбора
произвольной / g 91 (X) и любого е > 0. Так как непрерывная функция на
компактном равномерном пространстве всегда равномерно
непрерывна, то существует W$41 такое, что \f(u)—/(у)|<е, если
(и, u)gW\ Выберем симметричное VgX так, чтобы VoV^W.
Тогда, вследствие равностепенной непрерывности семейства
{Р0: ag/}, для каждой точки #gX найдется окрестность R (у)
такая, что из z$R(y) следует (Рву, P0z)£V при всех ag/.
Обьгеным методом, используя функцию Урысона, соответствующую

212
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
{у} и дополнению к внутренности R(y)y можно доказать, что
каждая R (у) содержит открытое множество ^-непрерывности S (у)
такое, что y£S(y). Так как X компактно, то конечное число S(у)
обеспечивает покрытие X; пусть это будут S1 = S(y1)y ..., Sm =
=S(ym). Обозначим B1=S1 и Bi=Sif]S'1f] •. • flS;-i для 2<t^m.
He ограничивая общности, будем считать, что все В{ непустые;
в противном случае мы исключили бы пустые В{. Построенные
В{ (l^i^m) образуют покрытие X, состоящее из попарно
непересекающихся множеств fi-непрерывности. Более того, так
как B^S^R^i), то (Р0у0 P0x)^V и (Рау0 P0y)£V для
любых xt у£В( при всех org/, что влечет за собой (Р0х> P0y)$W
при всех ag/. Поэтому
\f(PoX)-f(P0y)\<e (3.2)
для всех х и у, принадлежащих одному и тому же В(у при всех
agy. Из каждого В{ (l^t'^m) выберем по точке z{\ эти точки
мы будем считать фиксированными до конца доказательства. Пусть
L>0—такое число, что |/(a:)|^L при всех х£Х.
Последовательность (х() fi-p. p., и количество В{ конечно; поэтому можно
выбрать целое N (f, е) так, что при всех N^N(fy e) и всех В(
\A(Bt\ Ы)/Ы — \1(В()\^е/(1т). (3.3)
Для окончания доказательства докажем, что при всех N^N (/, е)
и o£j
N I
tJ-L/^o*»)-,)/^ <3e. (3.4)
п=\ X I
Основная идея этого доказательства состоит в том, что каждое
хп принадлежит одному и только одному В{\ поэтому можно
аппроксимировать f(P0xn) значениями f(P0zt) и оценить ошибку.
Итак, мы запишем
N m
2/(Лл)=2 2 f(Poxn),
n=l i- 1 л: хп€В{
и заменим эту сумму суммой
2 2 f(Po*t)=2A(Bt;N)f(Pazl).
i = 1 п: хпе В- 1= 1
При каждом хп ошибка, согласно (3.2), не превосходит е; поэтому
полная ошибка
N т |
2 /(Лл)-2 A (Bt; N)f(Po*t)\<Ne. (3.5)
Так как по предположению Р0 сохраняют меру, то при всеха^У
[f(P0X)dVL(x)=l fdp.

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
213
Используя (3.2), (3.3) и (3.5), получим, что при всех N^N(fy e)
и всех o£J
я=1
<
4S f(P<fin)-lf<k = ж2 /(Л*я)-1/(Л*)4Ф)
• X I | я=1 X
N m
m m
<£
+
+
i=i
»=i
+
+
m r
2v(Bt)f(P0z{)-]f(PaX)dv(x)
<
<е+2|Л(Б,.;^)/^-1г(Б<)||/(Раг,.)| +
<=i
+
.2 S(/(/v,)-/(/V))dM*)
t= 1
Bi
<
< e + e + 2 S I / (Л*)-/ (Л*) I d|i (x) < 2e + 2 «I* (B<) = 3e. D
He надо быть большим оптимистом, чтобы ожидать, что
критерии, подобные установленным в § 1, будут справедливы также и
в настоящей ситуации, если только сделать некоторые
предположения о равномерности по а. И действительно, доказательства
следующих трех теорем почти совпадают с доказательствами
соответствующих теорем в § 1. Поэтому мы позволим себе лишь
в одном случае привести доказательство подробно.
Теорема 3.1. Предположим, что *1/*—класс функций из
9&(Х) такой, что sp(^) плотно в 3£(Х), а &>={(хПг 0): <J£J} —
семейство последовательностей в X. Если для любой fi-T*
равномерно по o£J
N
Km jrYif(Xn.o) = lfdvL, (3.6)
N-+ qo
л=1
то *f есть семейство равностепенно \i-p. p. последовательностей
в X. Если IS* s &{Х)У то обратное утверждение очевидно.
Доказательство. Начнем так же, как при доказательстве
теоремы 1.1. Пусть g-g sp(^), так что g = a1f1+ ... +akfky где
fi^T*, а a^R (l^i^fe). Пусть М — положительная
постоянная такая, что все |aJ^Af. Выберем е > 0. Тогда каждой f{ и
числу e/(Mk) соответствует целое N(9 не зависящее от а, такое,

214
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
что при всех N"^Nt и всех о £ J
л=1 у
<
Mk
(3.7)
Отсюда вытекает, что при N^ max Nt и всех o£j
1 < «k
N I 1 k , N
4-Z sfo». о)—f^ < Lai(4-L/n^.a)— \fid\i
/1=1 v 1=1 \ Я=1 v
<
<Ll«ilw<e- (3-8)
1=1
Далее, если задана f£9l(X) и число е > О, то найдется
h g sp(^) такая, что ||/—Л||<е. Как мы уже видели, существует
N (Л, е) такое, что
I N I
hrS A(*«. a) —$AdJ
/2=1
<е
при всех N^N(hy г) и всех а£У. Тогда, в точности так же,
как при доказательстве теоремы 1.1, можно доказать, что при
всех N^N(h, е) и всех o£J
N
/1 = 1 4
<2|/-Л|| +
+
дгИ h(xnt0) — ^hdii
<3e. □ (3.9)
В случае пространства X со счетной базой в теореме 2.1 был
построен такой счетный класс f^^9l(X)y что sp(^) = 5l(X).
Вместе с теоремой 3.1 это приводит к следующему критерию.
Теорема 3.2. (Критерий Вейля.) Предположим, что X
удовлетворяет второй аксиоме счетности и ys* = {f19 /2» •••} —
счетный класс действительных функций, определенных на X, для
которого sp(TD) = 3l(X). Семейство последовательностей <& =
= {(xnt <,): o£J) будет равностепенно \i-p. p. в X тогда и только
тогда, когда для всех f{g f^ равномерно по o£J
N
Km ^EM^«)=f/i4*- (3.10)
iV w Л=1 y
Возвращаясь к произвольному X, получаем следующий аналог
теоремы 1.2,

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 215
Теорема 3.3. <&> = {(xnt <,): o£J} образует семейство
равностепенно \i-p. /?. последовательностей в X тогда и только тогда,
когда для всех (замкнутых) мнооюеств ^-непрерывности М ^ X
равномерно по o£J
lim Aa(M\ N)/N = \i(M), (3.11)
где А0(М\ N)—счетчик, соответствующий последовательности
(хПг 0). Более подробно, для любого (замкнутого) множества
^-непрерывности М^Х и любого г > О существует целое N(М, е),
не зависящее от ог такое, что при всех N^N(M, е) и всех о £ J
\А0(М', ЛГ)/ЛГ-|1(Л!)|<в. (3.12)
Размер семейств равностепенно р. р. последовательностей. Пусть
&—семейство равностепенно [х-р. р. последовательностей в X,
рассматриваемое как подмножество Xм. Нижеследующее изучение
свойств & проводится в том _же духе, что изучение свойств
множества S в § 2. Пока мы знаем только, что & содержится в S.
Теорема 3.4. Если семейство <5Р = {(хПг 0): o£J} является
семейством равностепенно \х-р. р. последовательностей в X, то
таким же является и семейство & (замыкание в Xя).
Доказательство. По предположению, для любой заданной
/ € Я (X) и любого е > О найдется целое N (/, е) такое, что для
всех N^N(f, г) и всех o£J
I N I
\ n=l A" I
<е.
Используя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались
при доказательстве теоремы 2.3, рассмотрим множество Q,
состоящее из всех точек (уг, ..., уп, .. .)£ X00, для которых при всех
N>N(f, г)
I N I
л = 1
<е.
Как и при доказательстве теоремы 2.3, можно видеть, что
множество Q замкнуто в Х°°. Но <SP^Q, и следовательно & ^ Q,
что и требовалось доказать. Q
Теорема 3.5. Предположим, что X содержит не менее двух
точек и что &—семейство равностепенно \i-p. p.
последовательностей в X. Тогда & нигде не плотно в X00.
Доказательство. Допустим противное: of содержит
непустое открытое множество D в X00. Тогда D, в свою очередь,
00
содержит непустое открытое множество E=\\Eiy где Е( = Х

216
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
при всех /, начиная с некоторого i = k. Пусть а и Ъ—две
различные точки, принадлежащие X, и /—функция Урысона (см. § 1),
для которой / (а) = 1, / (Ь) = 0. В & найдется последовательность
(уп)у в которой уп = а при всех n^k> и последовательность (zn),
в которой zn = b при всех n^k. Тогда при всех N^3k
N N
/2=1 Я = 1
Однако это противоречит равностепенной fi-p. p. семейства ^»
которая вытекает из теоремы 3.4. □
На данном этапе должно быть очевидно, что ограничение,
наложенное на X в условии предыдущей теоремы, необходимо
(ср. § 2). Если X— пространство со счетной базой, то теорему 3.5
можно доказать иначе: & как подмножество S является
множеством первой категории в X00 (см. теорему 2.3); так как Х°° метри-
зуемо, то применима теорема Бэра о категориях, и & не имеет
внутренних точек; иными словами, & нигде не плотно в X00.
В этом доказательстве мы использовали следующий частный
случай теоремы Бэра.
Лемма 3.1. (Теорема Бэра о категориях.) Пусть
М—замкнутое подмножество компактного метрического пространства Y.
Если М—множество первой категории, то М не содержит
внутренних точек.
В следующих теоремах используется носитель меры [х (см.
определение 1.4). Первая из этих теорем дополняет теорему 2.2.
Однако счетная база в X теперь не нужна. Пусть ^ — мера в X00,
являющаяся произведением мер \i (если X — пространство со
счетной базой, то \1Ж оказывается борелевской мерой). Далее, пусть
[х^—внешняя мера в X00, определенная для всех В^Х°°
соотношением
Veo(B) = ini{\ieo(A): Л ^„-измеримо, В^А}.
Теорема 3.6. Предположим, что \i не является точечной
мерой (т. е. сосредоточенной в одной точке), a of—семейство
равностепенно \х-р. р. последовательностей в X. Тогда ЦоЛ^) < 1-
Доказательство. Достаточно доказать, что fi^ (of) < 1.
Допустим противное: \лоо(<&>)=\. Тогда любое ^„-измеримое
подмножество Л cz Xco\<j? имеет меру нуль: \ico(A) = 0. Согласно
теоремам 3.4 и 3.5 множество Х°°\оУ открыто и непусто. Выберем
произвольную точку £ = (*!, х2> ...)€Х°°\(У и окрестность Е
точки £, которая представляет собой цилиндрическое множество
Е= IJ£., содержащееся в Х°°\сУ, где все Et открыты в X и при
i=i

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 217
достаточно больших i все Et = X. Так как \1оо(Е) = 0, то при
каком-нибудь / мера [х(£у) = 0. Но тогда лг; € К'> где К—носитель
меры [х. Таким образом, мы доказали, что Х°°\<5Р ^ Х00\К00у или
что К°° ^ <У. Следовательно, К00 представляет собой семейство
равностепенно [х-р. р. последовательностей в X.
Так как мера [х не точечная, то К содержит не менее двух
точек. Но тогда в К°° существуют точки, которые не соответствуют
[х-р. р. последовательностям в X (см. теорему 1.3 и упражнение
2.19). Получаем противоречие. □
Если мера [х точечная (т.е. fx({x0})=l для некоторого х0£Х),
то семейство &, содержащее всего одну последовательность
(лг0, х0, ...), оказывается семейством равностепенно [х-р. р.
последовательностей в X, для которого (хоо((У)=1. В случае, когда
носитель меры [х имеет счетную базу (в индуцированной
топологии), можно доказать утверждение, дополняющее теорему 3.6, а
именно, что (х^оУ7) может оказаться как угодно близкой к 1. Нам
понадобится следующий важный факт из теории меры.
Лемма 3.2. (Теорема Егорова). Пусть (Y, ¥, v) — измеримое
пространство с неотрицательной нормированной мерой v.
Предположим, что fn (п= 1, 2, ...) и f—oF-измеримые функции,
определенные на Y и v-почти всюду конечные, для которых lim /„ (у) =
/1-> 00
— /(#) v-почти всюду. Тогда для любого е>0 существует
множество М £ (F, мера которого v (M) ^1 —е, такое, что lim /„ (у) =
П-+ 00
= f{y) равномерно на М.
Теорема 3.7. Предположим, что носитель меры \i обладает
счетной базой, и пусть задано число 6 (0 < б < 1). Тогда
существует замкнутое семейство of равностепенно \л-р. р. последователь-
ностей в X такое, что fx*,^)^* — 6-
Доказательство. Обозначим через К носитель меры [х,
и пусть (х*—сужение [х на К. Для краткости вместо (fx*)^ будем
писать [xl. Пусть ,5^ = {/1, /2, ...} — счетный класс функций из
6i(/C), для которого sp(*P*) = 9l(K). Так же, как при
доказательстве теоремы 2.3, фиксируем k ^ 1 и N ^\ и рассмотрим
функции Fky N£9l (К°°)у определенные для (х1У х2, ...) g К°°
равенством
N
Ffi, N\Xl* X2> • • •) ="/v" 2iu Ik \Xn)'
n=z 1
Из леммы 2.1 вытекает, что [xl-почти всюду
lim Fh-9N(xlf x2, ...)=S/*d|i*.
Согласно теореме Егорова, найдется jiC-измеримое подмножество
&k ^ /С00, мера которого (я1 (ufk) ^ 1 —6/2*. такое, что сходимость

218 ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Fk% N(xly x2> ...) к ^ fkd\i* равномерна на <!fk. Поэтому для мно-
к
00
жества <У0 = П &% справедливо следующее утверждение: для всех
Jfe=i
fk^f* равномерно на <У0
N
Km 4£ /(**)= f/a <*|i*.
По теореме 3.2 множество <£f0 оказывается семейством
равностепенно [х*-р. р. последовательностей в /С. Применяя теорему 3.4,
получим замкнутое семейство <ff = <ff0 (замыкание в К°°)
равностепенно (х*-р. р. последовательностей в /С, для которого
|С (Р) > |С (Р0) > 1 -2 (1 -|il (*%)) > 1 -б;
отсюда (XooW^l — б. Заметим, что К°° замкнуто в Х°° и что сУ
замкнуто в X00. Легко видеть, что & является также семейством
равностепенно [х-р. р. последовательностей в X, и теорема
доказана. □
Отлично распределенные последовательности.
Определение 3.2. Последовательность (хп) в X называется
li-отлично распределенной ([х-о. р.) в X, если для любой /€3i(X)
равномерно по Л = 0, 1, 2, ...
N + h
Km -Я £ /(*„)= f/dji. (3.13)
Таким образом, 1 = (хп) будет |х-отлично распределенной в X,
если £, Т£, Т21, ... образуют семейство равностепенно [х-р. р.
последовательностей в X, где Т—односторонний сдвиг в X00.
Следующие критерии являются немедленным следствием теорем 3.1,
3.2 и 3.3 соответственно.
Следствие 3.1. Пусть 1^ —класс функций из 91 (X), при-
чем sp(f7>) = 9l(X). Последовательность (хп) ^отлично
распределена в X тогда и только тогда, когда для всех /б^9
равномерно по А = 0, 1, 2, ...
1 N+h г
W-
л=1+Л
Если X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то существует
счетный класс f®, удовлетворяющий вышеуказанным условиям.
Следствие 3.2. Последовательность (хп) \х,-отлично
распределена в X тогда и только тогда, когда для всех (замкнутых)

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 219
множеств ^-непрерывности М^Х равномерно по h = 0, 1, 2, ...
N + h
Нш .J. £ сл(х„) = |г(Л1)> (3.14)
W-*oo n=\+h
где см—характеристическая функция множества М.
Следующее простое, но интересное следствие проливает новый
свет на свойство ^-отличной распределенности.
Лемма 3.3. Если (хп) ^-отлично распределена в X, то для
любого множества ^-непрерывности М с \i (M) > 0 существует
натуральное число N0 = N0(M) такое, что хотя бы одна из
любых N0 последовательных точек (хп) принадлежит М.
Доказательство. Выберем е = \х(М)/2. Согласно
следствию 3.2 существует такое N0, что при всех N^N0 и всех
/i = 0, 1, 2, ...
N + h
См1х«) — Р(М)\
n=i+h
- £
<-U(Af).
В частности, при всех Л = 0, 1, 2, ...
N0 + h
-щ S см(хя)^ММ)>0,
откуда следует наше утверждение. П
Отлично распределенные последовательности весьма редки, что,
конечно, не очень удивительно. Для доказательства точного
варианта этого утверждения нам понадобится следующая лемма
из теории меры.
Лемма 3.4. Если мера \х в X не является точечной мерой,
то существует множество ^-непрерывности М ^ X такое, что
0<|i(Af)<l.
Доказательство. Согласно предположению, носитель К
меры pi содержит по меньшей мере две различные точки а и Ь.
Пусть /—функция Урысона на X с f(a)=l,f(b) = 0. Обычными
рассуждениями (см. пример 1.2) доказывается существование
множества [х-непрерывности М вида М = {х£Х: /(л;)>е} для
какого-то е(0<е<1). Так как М — открытая окрестность точки
а£К, то fi(Al)>0. С другой стороны, M = {x£X: f(x) ^e},
откуда вытекает, что М-'—открытая окрестность точки ftg/C, и
ji(AT)>0. Следовательно, \х(М)< 1 и тем более \i(M)< 1. □
Теорема 3.8. Обозначим через W множество всех ^-отлично
распределенных последовательностей в X, рассматриваемое как
подмножество X00. Если \i не является точечной мерой, то
lxco(W) = Q, где ^—произведение мер \х в Х°°.
Доказательство. Пусть М—фиксированное множество
ц-непрерывности с 0 < pi (М) < 1, существование которого гаран-

220 ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
тируется леммой 3.4. Пусть N^\\ через WN обозначим
множество всех (л-отлично распределенных последовательностей в X,
для которых хотя бы один из каждых N последовательных эле-
00
ментов принадлежит М. По лемме 3.3 сумма (J WN=W. Таким
образом, достаточно доказать, что \x>co(Wn) = Q пРи всех N1^1.
Фиксируем N^\y и пусть Xм—декартово произведение N
экземпляров пространства X, a [iN—произведение мер \х на XN.
Обозначим через FN множество, состоящее из всех таких точек
пространства XN, у которых хотя бы одна координата принад-
N
лежит М\ т. е. FN = XN\J\ AfJ, где Mt = M при всех i. Заметим,
что \iN(FN)=\—(1—а)^, где а = \х(М). При fe!>0 обозначим
F$ = {(x19x2, . ..)gX": (x/n+i> •••> xjn+n)£fn> 0 </<*}.
Из определения WN следует, что WN^ n F$. Тактик ^„(F^) =
= (l_(l_a)")*+1. где 0<l-(l-a)"<l, то ?-(£/$)= °-
Тем более \ioo(WN) = 0. П
Естественно возникает вопрос, существуют ли (я-отлично
распределенные последовательности? В случае пространства X со
счетной базой известна более или менее явная конструкция |я-
отлично распределенных последовательностей (см. Замечания).
Но [х-отлично распределенные последовательности могут
существовать также в случае мер, носители которых не имеют счетной
базы (см. упражнение 3.3). Для каких мер \i в произвольных
компактных хаусдорфовых пространствах существуют ^-отлично
распределенные последовательности, неизвестно. В частности,
неизвестно, существуют ли меры |я, для которых есть |я-р. р.
последовательности, но нет fi-o. р. последовательностей.
Следующий результат полезен тем, что позволяет по заданной
[х-о. р. последовательности строить новые \х-о. р.
последовательности.
Теорема 3.9. Пусть I = (хп) — \л-о. р. последовательность в X.
Тогда такой же будет любая последовательность,
принадлежащая замыканию (в Х°°) множества & = {l> TI, Т% ...}.
Доказательство. Из определения |я-о. р. следует, что
of — семейство равностепенно fi-p. p. последовательностей в X.
По теореме 3.4 таким же будет семейство &. Рассмотрим
произвольную последовательность г\£<5Р и докажем, что Tr\£of. Если
бы Тт^сУ, то из непрерывности Т вытекало бы существование
такой открытой окрестности D точки г), что из ££D следует
Т£(£оУ\ Но при каком-то т^О точка Tml£D, и отсюда полу-

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
221
чилось бы, что Тт+11^^ — противоречие. По индукции докажем,
что Trr\£<if при всех г^О. Значит, {г), Тц, Т2ц, ...} £ <У
представляет собой семейство равностепенно fi-p. p.
последовательностей в X; а это означает, что г\ — jx-o. p. в X. □
Теорема 3.10. Предположим, что X обладает счетной базой
и не содержит изолированных точек. Тогда в любой всюду плот-
ной в X последовательности (хп) можно так переставить члены,
что получится последовательность \i-o. p. в X.
Доказательство. Будем рассуждать так же, как при
доказательстве теоремы 2.5. Начнем с произвольной fi-o. p.
последовательности (yk) в X и докажем, что появляющиеся в ходе
доказательства суммы по k (l^k^N) вместе с суммами по ky
где l+h^k^N + h, допускают равномерную оценку по ft.
Чтобы упростить вычисления, рассмотрим несколько
видоизмененные множества Dk, а именно
Dk = {x(tX: |/гЫ-М*)1<2-* при 1 </•<£}.
Затем построим последовательность (xnk) в точности так же, как
это делалось в теореме 2.5. Для фиксированной /г:
N + h
N
£ (fr(yk)-fr(*nk))
k=\+h
N + h
<ir E \fr{yk)-fr(*nh)\<
k=\ + h
N + h
<^2|/г| + -Ь £ 2-*<^!2|/,| + -^,
k=\+h
и величина эта может быть сделана как угодно малой,
независимо от Л. Новая последовательность (uk), отличающаяся от (хк)
порядком членов, определяется так же, как в теореме 2.5. Для
фиксированной fr получим оценку
N + h
~Н 1- (fr(Uk) — fr(Xnk))
k=\+h *
[VN]
4" L (f,(uk)-fr(xnk))
k=p2
^
N
2|/rI = (
VN + h+Vh
Г+т)
2||/J<
<
(yw+ir)2\\U
которая опять-таки может быть сделана как угодно малой,
независимо от ft. Таким образом,
ж S* /,(«*)-$/,ф\<\ir L (/г(«*)-/,(*.»))
ft=l+h
ft=l+ft
+
+
f X," (М*„*)-/гЫ)
+^г
Л' + Л
i: /,ы-$/,4*
*=i+ft
<8

222
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
при N^N(fn e) независимо от h. Согласно следствию 3.1,
последовательность (uk) является и = о. р. □
Следующий результат представляет собой образец применения
понятия u-отличного распределения в анализе.
Теорема 3.11. Пусть (хп) — \л-отлично распределенная
последовательность в X. Пусть на X задана функция /, для которой
существует такое открытое множество Е положительной меры,
что \f(x)[^c>0 при всех х£Е. Пусть, далее, задана
последовательность {ап) положительных действительных чисел,
удовлетворяющих условию ап+1 ^оап при всех п= 1, 2, ... и фиксиро-
00
ванном о > 0. Тогда абсолютная сходимость ряда 2 aJ (xn)вле'
со
чет за собой сходимость ряда 2 ап-
Доказательство. Открытое множество Е содержит
множество u-непрерывности М положительной меры. Чтобы доказать
это, заметим, что из регулярности следует существование
замкнутого множества С ^ £, для которого и (С) > 0. Как мы
показали в § 1, с помощью функции Урысона, соответствующей
непересекающимся множествам С и £', можно построить множество
|л-непрерывности М такое, что С ^ М ^ Е. Согласно лемме 3.3
существует натуральное число N такое, что из каждых N
последовательных элементов последовательности (д:п) хотя бы один
принадлежит М. Воспользуемся тем, что \f(x)\^c при всех х$М.
Будем считать, что о ^ 1., ибо при о < 1 теорема достаточно
очевидна. Для любого положительного целого s и любого k (1 ^
^.k^.N) справедливо неравенство
Запишем
оо со N
2 «n I / (*■) 1=22 aqN+k I / (XqN+k) I
и заметим, что во внутренней сумме хотя бы один член | / (xqN+k) | ^ с.
Поэтому
00 00
2 *n\f(xn)\>cG~N 2 а<*+1)*,
п=\ <7=0
и последний ряд сходится. Для завершения доказательства
выберем L!>2; тогда
LN N L-2 N
2 ап= 2 ал+ 2 2 а(<7+1) N + k<k
N L-2 N -. .оо
< 2 <*n + NoN 2 а(,+ 1>*< 2 ап + Мо* 2 а<*+1>",
л=1 g=0 я«1 g=0
ао
откуда при L—+oo следует сходимость ряда 2 ап- П

§3. РАВНОСТЕПЕННО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 223
Вполне равномерное распределение. Понятие вполне [х-равно-
мерного распределения в каком-то смысле дополняет понятие
(х-отличного распределения. В оставшейся части этого параграфа
будем считать, что пространство X обладает счетной базой.
Определение 3.3. Последовательность £ = (*„) в X
называется вполне (х-/?. /?. в X, если последовательность (TnQ (д = 0,
1, ...) является [х^-р. р. в Х°°.
Легко доказать, что вполне fx-p. p. последовательность
является в то же время [х-р. р. последовательностью (см.
упражнение 3.6). С другой стороны, вполне [х-р. р. последовательность
не может быть [х-о. р., за одним очевидным исключением.
Теорема 3.12. Если мера [х не сосредоточена в одной точке,
то вполне \i-p.p. последовательность в X не может быть
^-отлично распределенной в X.
Доказательство. По лемме 3.4 можно выбрать
множество (х-непрерывности М ^ X такое, что 0 < (х(Л1) < 1. Допустим,
что последовательность £> = (хп) является одновременно и вполне
|х-р. р. и [х-о. р. в X. По лемме 3.3 найдется натуральное N
такое, что хотя бы один из любых N последовательных элементов
(хп) принадлежит М. С другой стороны, рассмотрим в Х°° сле-
00
дующее множество: F(0^)= П^<» гДе F{ = M' при 1 <*'<#,
Ft = X при i>N. Так как М' — множество (х-непрерывности и
0<fx(M')<l, то F™ представляет собой множество
^-непрерывности и 0 < [хто (F^) < 1. Но последовательность (Тп1), по
определению, [х^-р. р. в Х°\ так что некоторые элементы этой
последовательности принадлежат F(£\ Итак, T^^F^ при
каком-то h > 0. Другими словами, (хн+1, хн+2У ...)ё^) или, что
то же, xh+t£M' при 1^/^N. А это противоречит
определению N. П
Теорема 3.13. р^-почти все последовательности вполне
\i-p. р. в X.
Доказательство. Рассуждения вполне аналогичны
использованным при доказательстве теоремы 2.2. Если задана функция
g€$(X~), то согласно индивидуальной эргодической теореме
lira ^rYig(T»t)= \ gdii„
N -► со ^|^ *>
для (х^-почти всех £ из X00. Так как Х°° обладает счетной базой,
то существует счетный класс, определяющий сходимость,
состоящий из функций g19 g2, ... €^ (Х°°). Следовательно, для fx^-почти
всех I из Х°° при всех i= 1, 2, ...
lim -irt.st(Tni)= f gid^.
""*• /.to x*

224
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
А это означает, что (Тп1) является [х^-р. р. в Х°° для [х^-почти
всех l€X°°y и доказательство закончено. □
Из теорем 3.12 и 3.13 легко получить новое доказательство
теоремы 3.8, но только для пространств X со счетной базой.
Замечания. Доказательство теоремы Бэра можно найти у Дж. Келли [1]
или у Хьюитта и Стремберга [1]. Доказательства теоремы Егорова имеются
у Халмоша [1] или Хьюитта и Стремберга [1].
Большинство результатов этого раздела—из работ Байена и Хельмберга [1]
и Хельмберга и Пальман-де Миранды [1]. Теорема 3.8 в приведенном общем
виде — из работы Нидеррейтера [9]; для пространств X со счетной базой она
была доказана ранее у Хельмберга и Пальман-де Миранды [1]. Некоторые
результаты были получены ранее Хлавкой [1] для компактных групп.
Упомянутая явная конструкция ji-отлично распределенных последовательностей
принадлежит Байену и Хедрлину [1]. Интересная характеристика о. р.
последовательностей с точки зрения теории меры имеется у Циглера [12, 15].
Очень тщательное изучение связей между различными понятиями, такими,
как p.p., о. р., почти о. р., слабо о. р. и вполне p.p. по отношению к мере
|i, выполнено в работе Байена и Хельмберга [1]. Один из вопросов,
оставшихся в этой работе открытыми, исследовал Зейм [3]. Обсуждение вполне
р. р. в компактных пространствах см. у Циглера [9] и Кемпермана [2].
Заметим, что последовательность £ = (*л) будет вполне \i-p. p. в X тогда и только
тогда, когда £ является точкой общего типа (в смысле Фюрстенберга [1, 2])
по отношению к тройке (X00, Т, fi*,), где Т—односторонний сдвиг в Х°°.
В случае распределения по модулю 1 определение вполне p.p.
принадлежит Коробову [1]. Последовательность (хп) действительных чисел вполне
p.p. мод 1 тогда и только тогда, когда для всех s^l и любой
целочисленной точки (hi, ..., hs) Ф (О, ..., 0) последовательность
(h1xn + h2xn + 1+...+h<;Xn + s_1), n=\, 2, ...,
p.p. мод 1. Результаты о вполне p.p. мод 1 см. в работах: Циглер [2, 9],
Франклин [2], Хабер [2], Хлавка [4, 8], Кнут [1], Коробов [1, 2, 5, 7, 8,
10, 14, 18], Постников [4], Постникова [1], Старченко [1, 2]. Вполне р. р. мод 1
последовательности представляют интерес, как возможные генераторы
случайных чисел (см. Кнут [2, гл. 3]).
Теорема 3.11 в основном принадлежит Хлавке [1] и восходит к одной из
теорем Фату (Зигмунд [1, с. 232]). Хлавка [2] доказал, что теорема остается
верной, если «jx-o. p.» заменить на «слабо fi-o. p.» (schwach gleichmassig gleich-
verteilt)—это понятие определено в упражнении 3.13. Это особенно интересно,
если учесть, что почти все (в обычном смысле) последовательности слабо
^-отлично распределены (Хлавка [2], Байен и Хельмберг [1]). Хлавка доказал
эти результаты для компактных групп со счетной базой, но они справедливы
также для любых компактных хаусдорфовых пространств (вторая аксиома
счетности нужна для метрических результатов).
Упражнения.
3.1. Пусть (хп)—последовательность р. р. мод 1. Доказать, что семейство
последовательностей {(хп-{-о): О^о < 1} равностепенно p.p. мод 1.
Указание. Использовать пример 3.2.
3.2. Обобщить упражнение 3.1 на многомерный случай.
3.3. Доказать, что последовательность из упражнения 2.15 ji-o. р.
Указание. Сперва доказать, что аппроксимация меры \i относительными
частотами равномерна по h для каждого {х;}.
•■ ^3.4. Пусть X—дискретное пространство, состоящее из к элементов, и
мера^ц^определена для всех В^Х равенством \i (B) = r/k, где г—мощность В.
Построить явно jbi-o. p. последовательность в X.
3.5. Пусть (хп) — последовательность в компактном хаусдорфовом
пространстве X, и пусть для каждого множества ^-непрерывности М существует

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
225
положительная постоянная с(М) такая, что | А (М; N)/N — \i (M)\^c(M)/N
при всех N^\. Доказать, что (хп) ji-o. р. в X.
3.6. В этом и в трех последующих упражнениях предполагается, что X
обладает счетной базой. Доказать, что если (хп) вполне ц-р. р. в X, то (хп)
также ji-p. p. в X.
3.7. Пусть £ = (*„)— последовательность в X. Доказать, что если (TnQ
(/г = 0, 1, 2, ...) является Цоо-о. р. в X00, то (хп) также ц-о. р. в X.
3.8. Из упражнения 3.7 вывести, что если мера ц не точечная, то
никакая последовательность вида (Тп%) не может оказаться ц-со-о. р. в Х°°.
3.9. Пусть Ъп = (хп1, хп2, ..-,xnk, ...) (n=l,J2,
...)—последовательность в Х°°. Доказать, что (£л) Ц«>-р- Р- в Х°° тогда и только тогда, когда
при любом fc^sl последовательность (хл1, ..., хпк) (л=1, 2, ...) p.p. в X*
( k \
( где ХЛ = ТТХ/ и все Х/ = Х \ по отношению к проекции ц^ меры Цоо на
\ Ы1 )
ХЛ (это значит, что |Л& {В) — ^^ (ВхХхХх ...) для борелевских множеств
£<=ХА). Указание. Сперва доказать, что множество непрерывных
функций на X00, зависящих лишь от конечного количества координат, плотно
в 91 (Х~).
со
3.10. Пусть Ь^2—целое и х= 2 xnb~n—b-ичное представление числа
п=\
х€№> 0 (см- гл- 1» (8-1))- Рассмотрим дискретное пространство Х = {0, 1, ...,
Ь—1} с мерой ц, определенной, как в упражнении 3.4. Доказать, что число х
нормально по основанию Ъ тогда и только тогда, когда последовательность (хп)
вполне jn-p. p. в X. Указание. Использовать упражнение 3.9.
3.11. Пусть X обладает счетной базой и пусть ц*— сужение меры ц на
ее носитель /С. Доказать, что последовательность в К будет вполне ц-р. р.
в X тогда и только тогда, когда она вполне ц,*-р. р. в К (в индуцированной
топологии).
3.12. Тоже, что в упражнении 3.11, но заменить «вполне р. р.» на «о. р.».
3.13. Последовательность (хп) в X называется слабо [х-ошлично
распределенной в X, если равенство
Я-1
— 1
Л=0
• hN + N
1
^яи"-т2т £ fM-lfb
rt=/tw+l.
= 0 (3.15)
выполняется для любой функции /£^ (X). Доказать, что всякая слабо ц-о. р.
последовательность в X также ц-р. p. в X.
3.14. Доказать, что всякая ц-о. р. последовательность в X будет также
слабо ц-о. р. в X.
3.15. Пусть *1/Ъ — класс непрерывных функций, определенных на X,
и sp (<fv) — <yi (X). Доказать, что (хп) слабо ц-о. р. в X тогда и только тогда,
когда (3.15) выполняется для всех /g^.
3.16.. Пусть X обладает счетной базой. Доказать, что носитель борелев-
ской меры jXoo в X00 равен /С00, где К—носитель меры ц.
§ 4. Методы суммирования
Матричные методы. Пусть X—компактное хаусдорфово
пространство и \х—неотрицательная регулярная нормированная бо-
релевская мера на X. Рассмотрим бесконечную действительную
матрицу А = (апк) (п=1> 2, ..., k= 1, 2, ...), удовлетворяющую
8 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

226
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
условиям
def »
I. \\A\\= sup 2|ал,|<оо,
п k=\
II. lim 2anft=l.
В дальнейшем, говоря о матричном методе, мы будем всегда
молчаливо предполагать, что эти два условия выполнены.
Важнейшие сведения о матричных методах и некоторые примеры имеются
в § 7 гл. 1.
Определение 4.1. Последовательность (хп) в X называется
(Л, (х)-р.р. в X, если для всех /£34(Х)
lim 2 e„*/(**) = 5^-
rt-> оо fe=l
(4.1)
Если выбрать матричный метод средних арифметических (т. е.
ank = 1/п при 1 ^ k ^ п и ank = О при k > n), то мы благополучно
вернемся к определению 1.1. Так же, как в § 1, достаточно
потребовать выполнения (4.1) для сравнительно узкого класса
непрерывных функций, чтобы гарантировать (Л, fi)-p. p.
Теорема 4.1. Пусть У*—какой-нибудь класс непрерывных
функций, определенных на X, и sp(<5^)) = ^(X).
Последовательность (хп) будет (Л, \х)-р. р. в X тогда и только тогда, когда
для всех f£f° будет выполнено (4.1).
Доказательство. Необходимость очевидна. Ввиду
линейности, (4.1) справедливо для всех g g sp (f*). Если заданы h g 3£ (X)
и е > 0, то можно найти g£sp(<¥D)y
Тогда при достаточно больших п
для которой ||Л—g"||<8.
<
X
оо
2 ank(h—g) (xk) — J (h—g) dji
<
ft=l
+
00
2a»*g(**) —}*Ф
*=1 x
<
<М11Л-г|+|л-г1+
со
2a»*«(Jf*) — )8dV-
k=l Y
< (|| Л || +2) е. П (4.2)
Приведенное доказательство представляет собой
приспособление доказательства теоремы 1.1 к рассматриваемым условиям.
При дополнительном предположении, что апк ^ 0 для всех п,
k=\y 2, ..., можно также воспользоваться доказательством
теоремы 1.2 и получить аналогичный результат для (Л, (ы)-р. р. (см.
упражнение 4.1).

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 227
Борелевское свойство. Один из интереснейших вопросов теории
(Л, \х)-р. р. последовательностей: будет ли метрический результат,
сформулированный в теореме 2.2, справедлив также для
рассматриваемых здесь матричных методов? К сожалению, необходимые
и достаточные условия для справедливости аналога теоремы 2.2
неизвестны. Однако можно доказать полезное достаточное
условие, которое применимо во многих важных частных случаях. Из
примера 4.4 будет видно, что это условие не необходимо.
Теорема 4.2. Предположим, что X обладает счетной базой
и A = \ank) — матричный метод. Обозначим
00
ап=2<4> (4.3)
&= 1
п ^ 1. Если для всех 6 > О
£ехр(-А)<оо, (4.4)
то р^-почти все последовательности (Л, \х)-р.р. в X.
Если ап = О, то ехр (— Ь/ап) полагаем равным нулю; в силу
условия II такое возможно лишь для конечного числа п. Для
доказательства этой теоремы нам потребуются несколько
вспомогательных результатов.
Лемма 4.1. Пусть s£33 (X) и а = j s d\i. Тогда при любом
х
и £ R справедливо неравенство
J ехр (us) d\i < ехр (аи +у \\s\\2u2J . ^^
Доказательство. Функция ехр (as) измерима на X, ибо
она представляет собой композицию s и непрерывной на R
функции. При любом и
ехр (us) < ехр (| us |) < ехр ([ и \ || s ||); (4.6)
следовательно, ехр (us) интегрируема. Пусть ^(и)=\^ exp(us)d\i—
х
функция, определенная на R. Вычислим первую и вторую
производные if. Благодаря (4.6), можно с помощью теоремы Лебега
переходить к пределу под знаком интеграла:
X \/=0 ' / / = 0 ' X
Дифференцируя, получим
00
V («) = £ тг 1s/+1 d^ = Is exp (ws) ^' (4'7)
/=0 ' X X

228 ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
и точно так же
T|),,(w) = Js2exp(ws)dfi. (4.8)
Если ввести <р(и) = lnty(u), то
Ф (0) = 0, Ф' (0) = я|/ (0)Л|> (0) = а, (4.9)
и из неравенства я|/' (и)< || s ||2 J exp (us) d\i получаем, что
х
ф" (и) = (ф'ф—(-ф')2)/-ф2 < ф7ф < II s ||2 (4.10)
для всех u$R. Из (4.9) и (4.10) и формулы Тейлора следует,
что при всех и g R
q>(u)^au + ±.\\s\\2u2. (4.11)
Отсюда вытекает требуемый результат. □
Лемма 4.2. Пусть f£33(X) и ^ /djx = 0, |/||=1. Обозначим
х
через Sn (п= 1, 2, ...) измеримую ограниченную функцию,
определенную на Xе* равенством
Тогда д/?и ясел; т] > 0
li.({Eg*-: |S„(£)|>Tj})<2exp(-T)7(2an)). (4.12)
Доказательство. Сперва оценим интеграл ^ exp(uSn)d^
при любом и£ R. Так как
2 <*„*/(**)
| Л || при любом N > 1,
|/г=1
то можно переходить к пределу под знаком интеграла:
S exp(uSn)dii00= J ! lim exp f 2 "*,*/(**))) <K =
= lim ) exp( 2 Mnkf(Xh) )*Р.=
= lim \ Uexp(uankf(xk))d[ieo =
N-><x>xoo k=l
= lim II \ exp (ш!яЛ/) ф; (4.13)
W->oo k=l x
на последнем шаге мы использовали теорему Фубини. Согласно
лемме 4.1
J exp (иая1к/) dp < exp (-i и2<4 ) , (4.14)

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
229
так что
S exp (uSn) d\i„ < lim Пехр(1*/2а^) =
Х°° JV->oo /г= 1 \ ^ /
= Jim expfуи*]Г а*Л = ехр(^~и3ап). (4.15)
Если ы > 0, то из (4.15) следует
ехр(4-"Ч)> j ехр(и5п)йц..>ехр(ит|)^({б€^": 5„ (|) > л}).
(4.16)
При а„ = 0 соотношение (4.12) тривиально. Будем считать, что
ап > 0. Выберем и = ц/ап'у тогда из (4.16) получим
Л. ({I € *°°: S„ (?) > г)}) < ехр (- п2/(2а„)). (4.17)
Если и < 0, то из (4.15) следует
ехр (д ы2а„ ) > J ехр (uSn) d^ >
>ехр(_ит|),1..({6бХ-: S„(?)<-r)}). (4.18)
Выбрав а = — т)/ал, получим из (4.18), что
^ ({? 6 Х~: S„ (?) < -г)}) < ехр (—л»/(2ая)). (4.19)
Из (4.17) и (4.19) следует (4.12). □
Доказательство теоремы 4.2. Пусть /gS(X) и Sn—то же,
чтов лемме 4.2. Фиксируем т] > 0, и пусть L(v\)—множество
последовательностей ? £ Х~, для которых существуют п0 (?) такие,
что JS„(?)[<t] при всех71>д0(?):
L (л) = {? 6 X00: | Sn (?) | < т| при п > п0 (?)}. (4.20)
00 00
Если обозначить Вп = {?£*°°: jS„(?) |<г)}, то L(t|) = U П Я„.
Так как по предположению ряд У* exPi —-5^— ) сходится, то для
любого е > О найдется положительное N0 такое, что
V ехр(—-75^— )^-?г. Тогда по лемме 4.2
\rt=W0 / \n=N0 / n = N0
1-2 il exp(—£.)>l_e. (4.21)
>
;*=#,

230 ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
/ 00 \
Отсюда [i^ (L (ri)) = 1. Но тогда [г ( П L (1/r) j = 1, и поэтому для
^-почти всех последовательностей (хп)
liraS„ = lim 2 апJ(*ft) =^/ф. (4.22)
rt-voo rt->oo /г= 1 ^
Выберем в 31 (X) счетную систему уя={[1, /2, ...}, для
которой sp (f°) = 5i (X) и /^(xJeeeeI. Заменив каждую /,-, отличную
от постоянной, на f{—)fid\i и умножив на нужную постоянную,
получим счетную систему <5^)* = {g"1, g2> •••}, для которой
sp (<5^)*) = 5i(X), |g-J=l,H для всех g",, отличных от постоянной,
g.d\i = Q. Соотношение (4.22), как мы уже доказали, справед-
х
ливо для всех f = giy отличных от постоянной, и тривиально для
постоянной g(. Используя теорему 4.1 и те же рассуждения, что
при доказательстве теоремы 2.2, придем к выводу, что ^-почти
все последовательности (Л, fi)-p. p. в X. □
Первая часть вышеприведенного доказательства—это, конечно,
повторение леммы Бореля — Кантелли из теории вероятностей.
Говорят, что матрица Л обладает борелевским свойством по
отношению к мере \х> если (гто-почти все последовательности
(Л, fi)-p. p. (см. также Замечания к § 1). Следующее условие,
хотя и более жесткое, чем так называемое условие Хилла (4.4),
часто позволяет проверить наличие борелевского свойства.
Следствие 4.1. Если \im ап\пп = 0 (в обозначениях тео-
ремы 4.2), то А обладает борелевским свойством по отношению
к любым неотрицательным нормированным борелевским мерам \х
на компактном хаусдорфовом пространстве X со счетной базой.
Доказательство. Мы докажем, что из limanlnn = 0 СЛе-
дует условие Хилла. Пусть 6>0 и выберем е, 0<е<6. По
предположению существует N такое, что ап In п < е при всех
n^N. Тогда ехр( — б/а„)^ехр( — (6/е) In n) = п~6/е при всех
00
n^N. Так как б/е > 1, то ряд \, ехр( ) сходится. □
nSi * anJ
Пример 4.1. Теорему 2.2 можно рассматривать как частный
случай следствия 4.1, ибо для метода средних арифметрических
(ank=l/n при l^Zk^Ln, ank = 0 при k>ri) величины ап=1/п,
и поэтому lim аи In д = 0. □
/1->0D
Интерес представляют также необходимые условия, которым
должна удовлетворять матрица Л, обладающая борелевским
свойством. Докажем одно такое условие, близкое к следствию 4.1.

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 231
Для этой теоремы наличие счетной базы в пространстве X
необязательно.
Теорема 4.3. Если А обладает борелевским свойством по
отношению к мере \i, которая не является точечной мерой, то
lim an = 0.
/1-»-00
Доказательство. Сперва заметим, что носитель меры \i
в силу условий теоремы содержит не менее двух точек. Затем
построим функцию f£3l(X) такую, что \ / d\x » 0, ^ /2 d\i > 0. Для
X X
этого выберем функцию g€54(X), которая непостоянна на
носителе меры \х (например, является функцией Урысона по
отношению к двум различным точкам носителя). Тогда можно
положить f = g—\gd\x. Очевидно, \jfd\i=0. Далее, по построению
х х
g", найдется точка 6, принадлежащая носителю меры fi, в
которой g (b) Ф ^ g d\i. Следовательно, непрерывная функция /2 поло-
х
жительна в некоторой открытой окрестности точки 6, которая
имеет положительную меру \х (ибо точка b принадлежит носителю
меры \х). Значит, \f2d\i>0.
х
Воспользуемся этой функцией / и, как в лемме 4.2, положим
Sn(l)^Sn(x19 x2, --0= 2 *»*/(**)■
Так как А обладает борелевским свойством, то lim Sn (£) =
= \ fd\i=0 для (i^-почти всех l^X°°. Следовательно, lim S2n(Q = 0
x "-*°°
для fi^-почти всех £ £ X°° и w' lim SI \ d^ = 0. С другой сто-
Доо \П-+<Х> )
роны, неравенство S,2^ || A f \ f ||2 и теорема Лебега о переходе
к пределу под знаком интеграла позволяют записать, что
,2
J /limSnd^=lim J S*<K = lim S 2 <W(**)) <K =
= Hm \ S aalan/f(xi)f(x/)dVLm. (4.23)
00
Так как ряд 2 ал*/ (**) сходится абсолютно, то при любой
перестала
f °° \2
новке членов последний двойной ряд сходится к ( 2 ankf(xk)
Еще раз используем теорему о переходе к пределу под знаком

232
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
интеграла:
0= J (limSjjV =lim 2 anianf \ f (*,) f (*,) da„ =
= .Нш 2 о&Л/1 d|i. (4.24)
Итак, ( j f2 da) \iman = 0> и, так как интеграл этот отличен от
нуля, то теорема доказана. □
Следствие 4.2. £сла А обладает борелевским свойством
по отношению к мере \х, не сосредоточенной в одной точке, то
метод А регулярен; это значит, что lim ank = 0 при каждом
П-+СО
фиксированном k.
Если матричный метод А сильнее матричного метода В
(в смысле определения 7.4 гл. 1) и если (хп) является (В, \i)-p. p.
в X, то, очевидно, (хп) является также (Л, |х)-р. р. в X.
Следовательно, если В обладает борелевским свойством по отношению
к мере (х и А сильнее, чем В, то А также обладает борелевским
свойством по отношению к \х.
Пример 4.2. Рассмотрим метод Чезаро (С, г) при г^1,
определенный в примере 7.1 гл. 1. Так как метод (С, г) сильнее,
чем (С, 1) (Целлер и Бекман [1, с. 104], Пейеримгоф [1,с. 15]),
то он обладает борелевским свойством по отношению к любой
неотрицательной нормированной борелевской мере \i>
определенной на компактном хаусдорфовом пространстве X со счетной
базой. □
Пример 4.3. Так называемый дискретный метод Абеля
определяется следующим образом. Пусть задана последовательность
(сп) действительных чисел, причем 0 < сп < 1 и limc„=l. Опре-
п-
делим матрицу A = (ank) для любых п> k=l, 2, ... при помощи
формулы ank = (\—сп)сп~г. Тогда матрица А удовлетворяет
условиям I и II, ибо при всех п^\
Sfl«* = Sla«*f=(i-o2e5-1=i.
k=\ k=l k=\
Более того, метод А регулярен. Пусть теперь (sk) —
последовательность таких действительных чисел, что радиус сходимости
степенного ряда а(д:) = (1—а:) 2 skxk"x не меньше 1. Так
как
k=\
2 anksh = (l—cn) 2 shc*-1 = a(cn)9
то (sk) суммируется к значению т дискретным методом Абеля,
если lim <х(х) = т. Согласно теореме Фробениуса, сформулиро-

§4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
233
ванной в ходе доказательства теоремы 2.4 гл. 1, любой
дискретный метод Абеля сильнее метода (С, 1) и поэтому обладает
борелевским свойством (в том же универсальном смысле, что и
в примере 4.2). □
Пример 4.4. Построим матричный метод, который обладает
борелевским свойством, но не удовлетворяет условию Хилла.
Этот метод будет дискретным методом Абеля (см. предыдущий
пример). Введем функцию уу которая удовлетворяет условию
О < У (п) < 1 ПРИ натуральных п и стремится достаточно
медленно к 0, когда п—*• оо; конкретный виду будет указан позднее.
Определим последовательность (сп) при помощи формулы
сп = (1-у(п))/(1+у(п))у п>1,
и по этим сп построим дискретный метод Абеля. Для матрицы Л,
соответствующей этому методу,
00 СО
*-1 *-1 1+с"
Выберем теперь у (п) так, чтобы ряд 2* ехР1 ) расходился
при любом б > 0, а именно у(п) = (1п\п(п + р))~1> где р столь
велико, чтобы гарантировать выполнение неравенства 0 < у (п) < 1
00 СО
(например, р = ее). Тогда ряд 2-1 ехР1 ) = ^ 'п~б (п + Р)
/i=i * UnJ mi
расходится при любом б > 0. □
Пример 4.5. Пусть (/?, рп) — простой метод средних Рисса
(метод взвешенных арифметических средних; см. пример 7.3 гл. 1).
Согласно следствию 4.2, необходимое условие для того, чтобы
метод (Ry pn) обладал борелевским свойством по отношению
к мере, не являющейся точечной, состоит в том, что
lim/>n = lim (/?,+ ... +рп) = оо.
rt->oo
Если (рп) не возрастает и lim Pn = ooy то по лемме 7.1 гл. 1
Л-*С©
метод (Ry pn) оказывается сильнее метода (С, 1) и, стало быть,
обладает борелевским свойством в универсальном смысле
примера 4.2. Более того, если (рп) не убывает, но возрастает не
слишком быстро (более точно: если найдется Я > 0 такое, что
прп^.НРп при всех п)у то, по той же лемме, метод (Ry pn)
оказывается сильнее, чем (С, 1) и снова обладает борелевским
свойством. □
Можно привести необходимое и достаточное условие для того,
чтобы матричный метод А был сильнее метода (С, 1) (Целлер
и Бекман [1, с. 100]). Условие это состоит в следующем: любая

234
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
сходящаяся последовательность суммируется методом Л и
sup 2 (k+l)lantk—а„,Л+1|<оо.
п k= 1
(4.25)
В частности, если метод А регулярен, то выполнение условия
(4.25) гарантирует, что А сильнее, чем (С, 1).
Конструктивный результат. Ниже предполагается, что X —
компактное хаусдорфово равномерное пространство с
равномерной структурой % (см. замечания в примере 3.2). Мы приведем
теорему, позволяющую с помощью заданной (Л, [х)-р. р.
последовательности строить новые (Л, [х)-р. р. последовательности.
Будем считать, что для каждого п>1 на X определено
произвольное преобразование ТпУ и что Тп равномерно сходятся к
непрерывному преобразованию Т, сохраняющему меру. Иными
словами, для каждого U£41 существует положительное целое
N(U)t не зависящее от х, такое, что (Тпх, Tx)£U при всех
п > N (U) и любых х £ X.
Теорема 4.4. Предположим, что вышеуказанные условия
выполнены, A = (ank)—регулярный матричный метод и
(хп)—заданная (Л, [х)-/?. /?. последовательность в X. Тогда последовательность
(Тпхп) также (Л, [х)-/?. р. в X.
Доказательство. Выберем f£3l(X). Тогда / равномерно
непрерывна и для каждого е > 0 найдется U g *IL такое, что
I / (у)—/ (х) [ < е при (л:, y)£U. Отсюда следует, что при k > N (U)=
= К0 и при всех х£Х будет выполнено неравенство
\f{Tkx)—f(Tx)\<s. Так как метод Л регулярен, то можно
выбрать целое положительное N0 так, что при всех п> N0
Ко
2 К*|<е.
/г= 1
Заметим также, что Т сохраняет меру, так что j / (Тх) d\i (x)=^f d\i.
х х
Далее, функция g(x) = f(Tx) принадлежит 91 (X), а (хп) является
(Л, [х)-р. р., поэтому найдется целое положительное N1 такое,
что при п > N1
Hankf(Txk)-\f(Tx)dli(x)
<e.
Тогда при всех п> max(N0, NJ имеют место неравенства:
+
+
2 *nkf(Tk4)-\ fd\x < 2 aJ{Txk)-\f{Tx)d^{x)
2, <*„*(/(?>*)-№*))
fc = 1
tank(f(Tkxk)-f(Txk))
/г=1

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
235
+
S ank(f(Tkxk)^f(Txk))
e + 2||/!2Kft| +
k= 1
+ e 2 т|апй|<(1 + 2|/|| + ||Л||)8.
Отсюда видно, что
00
lim 2 ankf(Tk4)=\fdv.,
и (Тпхп) действительно (Л, [х)-р. р. П
Почти сходимость. Рассмотрим теперь метод суммирования,
который связан с теорией отлично распределенных
последовательностей, но не является матричным методом. По существу,
это тот же метод (С, 1), но с дополнительным условием
равномерности.
Определение 4.2. Последовательность действительных
чисел (sn) называется почти сходящейся к s, если равномерно
по /i = 0, 1, 2, ...
N + h
W-» n=\+h
Метод суммирования, соответствующий почти сходимости,
условимся называть методом F (от немецкого термина Fastkotiver-
genz). Связь его с |л-отлично распределенными
последовательностями (см. определение 3.2) достаточно ясна.
Следствие 4.3. Последовательность (хп) в X ^-отлично
распределена в X тогда и только тогда, когда для любой f £ ЩХ)
последовательность (f(xn)) почти сходится к J fd\i.
х
Мы хотим отметить замечательную связь между методом F
и теорией обобщенных пределов Банаха в функциональном
анализе. Начнем с того, что, как легко видеть, любая почти
сходящаяся последовательность ограничена (см. упражнение 4.7).
Множество 2 всех ограниченных последовательностей a=(sn)
действительных чисел будет банаховым пространством, если
линейные операции над последовательностями определены почленно
(т.е. (sn) + (tn) = (sn + t„) и a(sn) = (asn) для действительных а)
и норма || а| последовательности a=(sn) определена равенством
|| а|| = sup|sw|. Банахов обобщенный предел L в 2—это линейный
п
функционал L: 2i-^R, который
1. нормирован: L((l, 1, ... , 1, ...))=1;
2. положителен: если все s„>0, то L(a)^0;
3. инвариантен при сдвиге: L(o) = L(To)y или, что то же,
L((Si> s2, • ..)) = М(*2, sa, ...))•

236
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Существование таких функционалов доказали Банах и Мазур.
Сформулируем без доказательства следующее характеристическое
свойство метода F (доказательство см. у Лоренца [1] или Г. Пе-
терсена [2, гл. 3]).
Теорема 4.5. Последовательность G=(sn) почти сходится
к s тогда и только тогда, когда равенство L(o) = s выполняется
для каждого обобщенного предела L в 2.
Естественно возникает вопрос, существует ли матричный метод Л,
эквивалентный методу F? Сперва заметим, что если (sn) сходится
к s в обычном смысле, то (sj почти сходится к тому же
значению s (Лоренц [1], Г. Петерсен [2, гл. 3]). Поэтому матричный
метод Л, обладающий требуемым свойством, должен
преобразовывать каждую последовательность, сходящуюся к s, в
последовательность, снова сходящуюся к s, и, следовательно, обязан
быть регулярным. Необходимо также, чтобы Л был сильнее F.
Матричный метод Л, который сильнее F, называют сильно
регулярным, и известен следующий критерий: регулярный
матричный метод Л = (ank) сильно регулярен тогда и только тогда, когда
lim £ \аПчН—аП9к+1\ = 0
(Лоренц [1], Г. Петерсен [2, гл. 3], Целлер и Бекман [1, раздел 6]).
С другой стороны оказывается, что если метод Л сильно
регулярен, то можно построить ограниченные последовательности,
которые суммируются методом Л, но не являются почти
сходящимися (Г. Петерсен [2, гл. 3]).. Поэтому ни один матричный
метод не может оказаться эквивалентным F. Однако есть много
важных примеров матричных методов, которые сильнее F;
например, метод средних Чезаро (С, г) при г > О, некоторые классы
средних Рисса (см. упражнения 4.10 и 4.11) и все дискретные
методы Абеля. Отметим одно тривиальное следствие определения
сильной регулярности, а именно: если метод Л сильно регулярен,
то каждая [х-о. р. последовательность будет также (Л, [х)-р. р.
Мы уже упоминали, что метод F можно рассматривать как.
метод Чезаро (С, 1) с условием равномерности. Это замечание
позволяет обобщить понятие почти сходимости путем замены (С, 1)
каким-нибудь другим матричным методом с добавлением условия
равномерности такого же типа, как в определении-^^.
Определение 4.3. Пусть A = (ank)—заданный матричный
метод. Последовательность действительных чисел (sn) называется
А-почти сходящейся к значению s, если равномерно по Л = 0, 1,
2, ...
00
lira 2 a„ftSft+A = s- (4.27)
rt->0O Jfe=l

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 237
Обозначим соответствующий метод суммирования через FA.
Следствие 4.3 подсказывает следующее обобщение понятия [х-о. р.
Определение 4.4. Последовательность (хп) в X называется
(Л, \х)-отлично распределенной в X, если для любой /g54(X)
последовательность (f(xn)) суммируется методом FA к значению
X
Теорема 4.6. Каждая (Л, [х)-о.р. последовательность в X
является также \к-о. р. в X.
Доказательство. Достаточно доказать, что любая
ограниченная последовательность o = (sn) действительных чисел,
суммируемая методом FA к значению s, суммируется методом F к
тому же значению. Из определения Л-почти сходимости следует,
что для любого е > 0 найдется целое положительное N такое, что
при всех п > N и Л = 0, 1, 2, ...
2j ankSk+h — s
Jfe=l
<e. (4.28)
Обозначим tnh= 2 anksk+h> где n^ 1 и Л^О, и пусть хп—после-
k— l
довательность tn = (tn0> tnU tn2,...)\ которая снова принадлежит
2, ибо |*ял|^|| Л||||а||. Пусть г)—постоянная последовательность
т| = (1, 1, ..., 1, ...); в силу (4.28) при всех п> N
K-S4|| = sup|^-s|<e. (4.29)
h
Следовательно, хп—>sy) при п—*оо в банаховом пространстве 2.
Так как любой обобщенный предел L в 2 непрерывен, то
lim L (т„) = L (sr\) = sL (rj) = s. (4.30)
rt->oo
Фиксируем теперь п>1и рассмотрим ряд 2 ank(^k"la)y
состояла
щий из элементов 2. Так как
2 K*IF*-1<t«< 2 КЛИ<1И|||М|,
Л=1 k=\
то ряд этот сходится по норме к какому-то элементу р„€2.
Пусть рп = (гп1У гл2, ...). Из сходимости по норме в 2 следует
покоординатная сходимость; значит, при всех /!>1 rni =
= 2 anksk+t-i = tn* i-i- Отсюда р„ = т„, и, так как L инвариан-
л=1
тен при сдвиге, то
L(T„) = L(p„)= 2 ankL(T"-ie)= 2 ankL{o). (4.31)
Л=1 Л=1

238
ГЛ. 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Устремляя п к оо в (4.31) и используя (4.30), получим
00
L (a) lim 2 ank = s,
rt->oo k— 1
откуда следует, что L(o) = s для любого обобщенного предела L
в 2. С учетом теоремы 4.5, доказательство окончено. □
Теорема 4.6 особенно примечательна в связи с тем, что
аналогичное утверждение для \х-р. р. последовательностей неверно.
Можно даже построить регулярные матрицы А такие, что из
(Л, fi)-p. p. не следует fi-p. p. (см. упражнения 4.13 и 4.14;
см. ниже пример сильно регулярной матрицы с таким же
свойством).
Если метод А сильно регулярен, то F и FA эквивалентны
(Лоренц [1]). Поэтому для сильно регулярных матричных
методов А справедлив следующий результат: последовательность (хп)
в X будет (Л, (г)-отлично распределенной в X тогда и только
тогда, когда она ^-отлично распределена в X. И снова
соответствующий результат для fi-p. p. неверен. В самом деле, мы знаем
из теоремы 7.16 гл. 1 и примера 2.4 гл. 1, что
последовательность (Inn) является (/?, 1/п)-р.р. мод 1, но не p.p. мод 1;
а из упражнения 4.9 следует, что метод (/?, \/п) сильно
регулярен.
Замечания. Подробное изложение теории суммирования (расходящихся
рядов) имеется в книгах Харди [2], Кука [1], Кноппа [1], Г. Петерсена [2],
Целлера и Бекмана [1] (с обширной библиографией), Пейеримгофа [1].
Рассматривать методы суммирования, отличные от (С, 1), в связи с
теорией p.p. начал Цудзи [2]. Он изучал метод (Я, рп) в связи с p.p. мод 1
(ср. Замечания к § 7 гл. 1). Понятие (Л, (ix)-p. p. на компактных группах (при
положительной матрице А) ввел Хлавка [1]; он же [3, 6] обобщил это
понятие на компактные пространства со счетной базой. По существу, большая
часть теории (Л, ц)-р. р. была построена в этих двух статьях.
Условие Хилла (4.4) было впервые введено в частном случае дискретного
пространства Х = {0, 1} (Хилл [1]) и изучалось для частных методов
суммирования в статье Хилла [2]. Контрпример в примере 4.4 также принадлежит
Хиллу [1]. Приведенное нами доказательство теоремы 4.2 следует идеям
Кемпермана [2] и менее сложно, чем оригинальное доказательство Xлавки [3].
Мюллер [1] доказал другое достаточное условие, обеспечивающее наличие
борелевского свойства, так называемое условие Лоренца (Лоренц [2]): если
матрица А регулярна и
00
lim У К,*—ап, *+i|ln* = 0,
то А обладает борелевским свойством по отношению к любой мере ц на X
(здесь снова предполагается, что X обладает счетной базой). Анализ связей между
борелевским свойством и другими сходными с ним свойствами выполнил
Флейшер [1]. В связи с борелевским свойством представляет интерес
следующий аналог теоремы 2.3, доказанный Xлавкой [3]: предположим, что X
обладает счетной базой и содержит более одной точки, а матрица А регулярна;
тогда множество всех (Л, ц)-р. р. последовательностей в X есть множество

§ 4. МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
239
первой категории в Х°°. С борелевским свойством связана также теорема
К- Шмидта [1]. Краткое обсуждение (Л, jx)-p. p. можно найти у Хельмбер-
га [5] и Циглера [10].
Теорема о существовании (Л, »-р. р. последовательностей была доказана
Десковичем [1] для ограниченного класса положительных регулярных матриц
суммирования Л. Понятие последовательности «сильно (Л, ц)-р. р.» в
компактном хаусдорфовом пространстве X со счетной базой ввел и изучил
Филипп [2]. Биндер [1] обобщила теорему де Брейна и Поста (см. Замечания
к § 1 гл. 1) и доказала теорему о перестановке членов в (Л, ц)-р. р.
последовательностях.
Метод суммирования F (почти сходимость) ввел и изучил Лоренц [1]. На
пользу этого метода для теории о. р. последовательностей указал Г. Петер-
сен [1]. Обсуждение метода F с точки зрения теории суммирования можно
найти у Г. Петерсена [2, гл. 3], Целлера и Бекмана [1, раздел 6].
Упражнения.
4.1. Пусть A = (ank) — произвольный положительный матричный метод,
т.е. апь^0 при всех л, £=1, 2,... Доказать, что последовательность (хп)
(Л, ц)-р. р. в Л тогда и только тогда, когда для любого множества
^-непрерывности М в X
lim 2 antfiM(xk) = \L(M),
"-+*> k=\
где см — характеристическая функция множества М. Указание. Сравнить
с доказательством теоремы 1.2.
4.2. Рассмотреть простой метод средних Рисса (R, рп) с рЛ = л<т, а^—1.
Доказать, что (R, рп) обладает борелевским свойством. Указание. См.
пример 4.5.
4.3. Доказать, что при а > —1 простой метод средних Рисса (/?, рп) с
рп = п<у эквивалентен методу (С, 1). Указание. См. пример 4.5.
4.4. Если X содержит не менее двух точек, то не существует такого
матричного метода Л, чтобы любая последовательность в X оказалась
(Л, jx)-p. p. в X.
4.5. Доказать, что если матрица Л сильно регулярна, то
последовательность (па), где а иррационально, Л-р. р. мод 1.
4.6. Доказать, что теорема 4.4 остается верной, если и в условии, и в
утверждении заменить «(Л, ц)-р. р.» на «(Л, jx)-o. p.».
4.7. Доказать, что каждая почти сходящаяся последовательность
действительных чисел ограничена.
4.8. Проверить, что последовательность ((—1)") почти сходится к нулю.
4.9. Доказать, что метод (R, \/п) сильно регулярен.
4.10. Доказать более общее утверждение: регулярный метод (R, рп) с не-
возрастающими рп сильно регулярен.
4.11. Аналогично, доказать, что метод (R, рп) с неубывающими рп сильно
регулярен тогда и только тогда, когда lim p*/P« = 0.
4.12. Рассмотрим дискретное пространство Х = {0, 1} с мерой \х,
определенной соотношением \i ({0}) = ii ({1})= 1/2. Доказать, что последовательность
(хп) в X будет (Л, jj,)-p. p. в А тогда и только тогда, когда (хп) суммируется
методом Л к значению 1/2.
4.13. Доказать, что следующая матрица A = (ank) определяет регулярный
матричный метод: а„^=1/(2л), если 1^£^3/г и fc^l(mod3); ank = 0 в
противном случае. Пусть X и ц—такие же, как в упражнении 4.12. Доказать,
что нижеследующая последовательность (хп) будет (Л, ц)-р. р., но не будет
jLx-р. р. в X: *„=1, если n = 0(mod3) и хп = 0 в противном случае.
4.14. Пусть X и [г—такие же, как в упражнении 4.12. Дана
последовательность (*„), где *„=1, если n = 2s, s^l, и хп = 0 в противном случае.
Последовательность эта не jx-p. p. в X (доказать!). Построить регулярный

240 гл- 3- КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
матричный метод Л такой, что (хп) окажется (Л, ц,)-р. р. вХ. Указание.
Сравнить с упражнением 4.13.
4.15. Пусть X — компактное метрическое пространство с метрикой d и
неотрицательной нормированной борелевской мерой |д. Пусть Л —регулярный
матричный метод и последовательность (хп) (Л, ji)-p. p. в X. Доказать, что
любая последовательность (уп) в X, для которой Umd (xn, i/n) = 0, также
П-+оо
(Л, ц)-р. р. в X. Указание. Использовать теорему 4.4.
4.16. Использовать предыдущее упражнение с теми же X, р, и Л, чтобы
доказать следующий результат: если в X существуют (Л, ц)-р. р.
последовательности, и Н—произвольное множество, плотное в X, то существуют (Л, ц)-
р. р. последовательности, состоящие полностью из элементов Я.

Глава 4
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ГРУППАХ
Целый ряд результатов классической теории равномерного
распределения по модулю 1 не имеет непосредственных аналогов
в общей теории равномерного распределения в произвольном
компактном хаусдорфовом пространстве. К данной категории
относятся, в частности, все результаты, сформулированные или
установленные в терминах алгебраической структуры множества
вещественных чисел.
С целью обобщения этой части классической теории мы
собираемся распространить теорию равномерного распределения на
компактные топологические группы; при этом все результаты,
установленные в предыдущей главе, автоматически переносятся на
групповой случай. В дополнение к этим результатам мы выявим
довольно далеко идущую аналогию с теорией равномерного
распределения по модулю 1. Кроме того, в последнем параграфе
настоящей главы мы бегло рассмотрим локально компактные
топологические группы и введем содержательное понятие равномерного
распределения и в этом случае.
Предполагается, что читатель знаком с общей теорией
топологических групп; мы же ограничимся только кратким
перечислением важнейших понятий и фактов, которые будут
использоваться на протяжении всей главы.
§ 1. Общие сведения
Мера Хаара. Пусть G—компактная (топологическая) группа
с единичным элементом e£G. Будем предполагать, что все
рассматриваемые топологические группы удовлетворяют хаусдорфо-
вой аксиоме отделимости. Введем следующее стандартное
обозначение: для a g G и подмножества М группы G положим аМ =
= {ах: х£М} и Ма = {ха: х£М}\ кроме того, положим М'1 =
= {х~1: х£М}.
Среди неотрицательных регулярных нормированных борелев-
ских мер на G выделяется, благодаря присущему ей
замечательному свойству, одна мера. А именно, существует единственная
неотрицательная регулярная нормированная борелевская мера [х
на G, которая является левоинвариантной, т. е. \х (хВ) = \i (В)
для любого ArgG и любого борелевского множества В в G. Эта
мера носит название (нормированной) меры Хаара на G. В силу

242
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
компактности G мера Хаара является также правоинвариантной,
т. е. pi (Вх) = \х (В) для любого х g G и любого борелевского
множества В в G; кроме того, (i(B_1) = \i(B) для любого
борелевского множества В в С Не считая небольшого отступления в § 3
от этого правила, мы будем заниматься изучением равномерного
распределения только относительно меры Хаара. Поэтому мы
можем воспользоваться более удобной для наших целей
терминологией.
Определение 1.1. Последовательность (хп) в G
называется равномерно распределенной в G (р. р. в G), если (хп) р. р.
относительно меры Хаара на G. Аналогичным образом
определяются понятия последовательности, отлично распределенной в G
(о. р. в G) и А-равномерно распределенной в G (Л-р. р. в G) для
матричного метода А.
Как легко следует из инвариантности меры Хаара \i,
носителем \х является G (см. упражнение 1.1). Другими словами,
каждое непустое открытое множество в G имеет положительную
ц-меру. В частности, равномерно распределенная в G
последовательность будет с необходимостью всюду плотной (ср. с
упражнением 1.8 гл. 3). Мы напомним следующий простой факт из § 1
гл. 3.
Лемма 1.1. Последовательность (хп) тогда и только тогда
р. р. в G, когда равенство
N
выполняется для всех /€#(G).
Как уже отмечалось в § 1 гл. 3, по аналогии с теоремой 1.1
из этой главы можно показать, что выполнение равенства (1.1)
для некоторых специальных классов функций / g % (G)
гарантирует равномерность распределения. Пусть ^ — некоторый класс
функций из #(G). В настоящей главе sp((5^)) будет означать
линейное подпространство % (G), порожденное Т°. Таким
образом, sp (f^) состоит из всех конечных линейных комбинаций
элементов f7* с комплексными коэффициентами.
Лемма 1.2. Пусть У*—некоторый класс функций из % (G)
с sp(cyD) = (e (G). Последовательность (хп) тогда и только тогда
р. р. в G, когда равенство (1.1) выполняется для всех f^f^.
Кроме того, исцользуя вариант теоремы Стоуна — Вейерштрасса
для % (G), получаем следующее утверждение, которое уже было
сформулировано в качестве следствия 1.2 в гл. 3.
Следствие 1.1. Если sp(°7/D) — подалгебра #(G), которая
отделяет точки, содержит константы и замкнута относительно
комплексного сопряжения, то sp (f°) = # (G), и поэтому 1^ может
служить в качестве класса функций, который фигурирует в
критерии, приведенном в лемме 1.2.

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
243
Представления и линейные группы. С помощью теории
представлений можно доказать очень важный специальный случай
леммы 1.2. Представлением (линейным) топологической (не
обязательно компактной) группы называется непрерывный
гомоморфизм (т. е. групповой гомоморфизм, который является
непрерывным) данной топологической группы в мультипликативную
топологическую группу невырожденных (&х&)-матриц с комплексными
элементами (при некотором фиксированном k)\ в этом случае k
называется размерностью представления. При этом на множестве
комплексных матриц фиксированного порядка мы будем
рассматривать только топологию поэлементной сходимости.
Важными примерами топологических групп матриц служат
полная линейная группа GL (k) всех невырожденных комплексных
матриц порядка k и унитарная группа U (k) всех унитарных
матриц порядка k. Напомним, что матрица U называется
унитарной, если UT = U~1y где UT означает матрицу,
транспонированную к матрице, сопряженной с U. Топологическая группа
GL(k) является локально компактной и имеет счетную базу, а
группа U (k) является компактной группой со счетной базой.
Топология как в GL(k), так и в U (к) (и на множестве всех
матриц порядка k) может быть также введена посредством
следующей матричной нормы. Для произвольной комплексной
квадратной матрицы Л = {аи) порядка k положим
IHII=(t.2il«/yla)1/a. (1-2)
Заметим, что эта норма, разумеется, совершенно отлична от нормы
матрицы суммирования, определенной в § 4 гл. 3. В настоящей
главе будет использоваться только норма (1.2). Имеют место
обычные свойства нормы.
i. || Л || = 0 тогда и только тогда, когда Л— нулевая матрица;
ii. JаЛ || = | а If А || для комплексного а;
Ш. ||Л + Б||<||Л|| + 1Я«.
Кроме того, имеем:
iv. ||ЛВК||Л||||В||;
v. Если U£U(k), то \\U\\ = Vk и \\AU\\ = \\UA\\ = \\A\\ для
любой матрицы Л.
Данные свойства проверяются непосредственно.
Пример 1.1. Докажем, например, что || ЛВ||<|| Л ||||Я|| для
квадратных комплексных матриц одного и того же порядка k.
Пусть А = (аи) и В = (Ьи) при 1</, /<£, так что АВ = (си)у
k
где сц = 2 airbrJ. Тогда на основании неравенства Коши —

244 гл. 4. топологические группы
Бу няковского—Шварца
2 в,-А/Is <
t\/=l i, /=1
г=1
ГУ I
/г
<и%(£1\а'Л)( %№)=№№•
Г=1
Извлекая квадратный корень, получаем требуемое. □
Пример 1.2. Применение неравенства Коши — Буняков-
ского—Шварца также дает оценку нормы суммы матриц,
которая зачастую оказывается более полезной, чем неравенство
треугольника. Пусть А1У ..., AN—квадратные комплексные
матрицы одного и того же порядка k> скажем, Ar = (a(ff) при 1 <
^r^Af, l^i, j^k. Покажем, что
N
Имеем
г=\
2 л,
\\г=\
<Nj\\\Arf.
= 2
2<>
г=\
(1.3)
(1.4)
Применим неравенство Коши — Буняковского — Шварца к
N
1
2 l-oi?
Тогда
2 л|< 2 #2КП2=#2 2 K42=tf 21КГ- □
Г=1 || t, /sal Г=1 Г=1*. /=1 Г=1
(1.5)
Введенная выше матричная норма может быть также
определена посредством скалярного произведения. Пусть для
квадратной матрицы А с комплексными элементами след tr(^) есть
сумма диагональных элементов А. Для квадратных комплексных
матриц А и В одного и того же порядка определим (А | В) =
= tr(BTA). Легко-видеть, что справедливы следующие свойства.
i. (aA\B) = a(A\B) и (А \аВ) = а(А \В) для комплексного а.
п. (А1 + А2\В) = (А1\В) + (А2\В) и (А\В1 + В2) =
= (А]В1) + (А\В2). .
Ш. (В\А) = (А\В).
iv. Если U—унитарная матрица, то (UA I UB) = (AU\BU) =
= (А\В).
Кроме того, скалярное произведение связано с нормой матрицы
следующим тождеством:
Ир = (Л|Л). (1.6)

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
245
Таким образом, многие свойства матричной нормы могут быть
получены из соответствующих свойств скалярного произведения.
Два представления Ьл и D2 группы G одной и той же
степени k называются эквивалентными, если существует
невырожденная (k х ^-матрица S такая, что
D2(x) = S-*D1(x)S (1.7)
для любого ArgG. В случае компактной группы G каждое
представление эквивалентно унитарному представлению, т. е. такому
представлению D группы G, что при любом x£G матрица D(x)
унитарна. Представление D размерности k группы G называется
приводимым, если существует линейное подпространство У£-мер-
ного векторного пространства С* над полем комплексных чисел
такое, что 0<dimV<& и D(x)V^V при любом x£G, где
матрица D(x) рассматривается как линейный оператор на С*.
Представление, которое не является приводимым, называется
неприводимым.
Если D—представление группы G, то характер %
представления D определяется формулой %(x) = tr(D(x)) для любого x£G.
Характер % является комплекснозначной непрерывной функцией
на G. Два эквивалентных представления имеют одинаковые
характеры. Характер % постоянен на классах сопряженных элементов
в G, т. е.%(у~1ху) = х(х) для любых ху y£G. Если
представление D имеет размерность 1, то D совпадает со своим характером.
В случае, когда G—абелева группа, любое неприводимое
представление имеет размерность 1; поэтому в случае абелевой группы
мы, как правило, будем говорить о характерах вместо
представлений. Для того чтобы подчеркнуть это важное обстоятельство,
напомним, что характер % компактной абелевой группы является
таким непрерывным отображением группы G в мультипликативную
топологическую группу Т комплексных чисел, по модулю равных
единице, так называемую единичную окружность или
(одномерный) тор, что %.(ху) = %(х)%{у) для любых ху y£G.
Пример 1.3. Пусть ф—следующее отображение из
аддитивной группы R вещественных чисел в обычной топологии в тор
Т: ф (х) = ехр (2шлг) при ArgR.
Отображение ф есть непрерывный гомоморфизм на Т с ядром Z —
аддитивной группой целых чисел. Поэтому Т и фактор-группа
R/Z изоморфны как топологические группы (см. теоремы 1.8 и 1.9).
Множество вещественных чисел, приведенных мод 1 (см.
введение к гл. 3), может быть канонически отождествлено с R/Z.
Мера на множестве вещественных чисел, приведенных мод 1,
индуцированная обычной мерой Лебега, становится тогда мерой
Хаара группы R/Z. Характеры компактной абелевой группы R/Z
суть в точности отображения %т, определенные формулой %т (xZ) =
= ехр(2штлг) при *£R, где т принимает любое целое значение.

246
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пример 1.4. Пусть СтУ т^ 1,— конечная циклическая
группа порядка т, порожденная элементом а£Ст. В дискретной
топологии Ст является компактной абелевой группой. Характеры Ст
суть в точности отображения %h, h = 0> 1, ..., т—1,
определенные формулой Хл (ak) = ехр (2ш (him) k)y k = О, 1, ..., т— 1. □
В дальнейшем мы будем пользоваться следующей теоремой,
которая является частным случаем известной теоремы Гельфанда—
Райкова для локально компактных групп. Заметим, что в данном
пункте мы не приводим формальных доказательств основных
результатов из общей теории топологических групп. Читателю
рекомендуется обратиться к литературе, указанной в Замечаниях.
Теорема 1.1. (Теорема Гельфанда — Райкова.) Для всякого
элемента хфе компактной группы G существует такое
неприводимое унитарное представление D группы G, что D(x) не есть
единичная матрица.
Таким образом, мы получили то, что часто называют «полной
системой» или достаточным набором представлений. Рассмотрим
теперь семейство всех неприводимых унитарных представлений
группы G. Относительно введенного в (1.7) понятия
эквивалентности представлений это семейство распадается на
классы эквивалентности. Выбрав из каждого класса
эквивалентности по одному представлению, получим систему {D(X): k^A)
неэквивалентных неприводимых унитарных представлений, где Л
означает соответствующее множество индексов. Пусть D<X)—
матрица D^ (х) = (d\Y (х)) при x£G. При переменном х элемент d$
может рассматриваться как комплекснозначная непрерывная
функция на G. Рассматривая семейство таких матричных элементов
для всех D^\ Х^АУ получаем класс 3> функций из #(G).
Проверим, что sp(S>) удовлетворяет всем условиям следствия 1.1.
Вначале покажем, что 3> заведомо отделяет точки. Выберем
две различные точки х и у из G. По теореме 1.1 существует
такое неприводимое унитарное представление D группы G, что
матрица Dixy'1) неединична. Это представление D эквивалентно
некоторому представлению D(X\ X£A. Тогда D(l)(xy~x) —
неединичная матрица и, следовательно, Da)(x) фОа) (у). Таким
образом, для одного из элементов df/* матрицы Da> (а:) имеем d$ (х)Ф
Ф^(у).
Пусть целое 0 является элементом множества индексов Л.
Среди DiX) существует одно тривиальное представление, которое
мы будем обозначать через D(0). Представление D(0) имеет
размерность 1 и определяется равенством Di0)(x)=l при любом х£(3.
В частности, функция d(0)=l содержится в классе iZ>, так
что sp (ЗУ) содержит константы.
Кроме того, мы должны проверить, что для каждой функции
в sp(S>) сопряженная к ней содержится в sp(S>). Для этого
достаточно доказать, что для каждой функции dffi существует
d{ff€sp(&)). Воспользуемся тем, что для каждого представления

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
247
Da> отображение Etk)(x) = Da)(x), x£G> также является
неприводимым унитарным представлением группы G. Поэтому Еа>
эквивалентно представлению D(v) при некотором v£A.
Приравнивая соответствующие элементы в матричном уравнении Еа)(х) =
= S~1Dlv)(x)Sy заключаем, что dffl является линейной
комбинацией с комплексными коэффициентами функций из 3).
Остается еще один момент, который надлежит обосновать,
а именно, тот факт, что sp (@>) замкнуто относительно
умножения функций. Очевидно, для этого достаточно показать, что
произведение элементов d^d^ снова принадлежит sp(i2>). С этой
целью образуем кронекеровское произведение F = Da)®Div) двух
представлений Da> и D(v), т. е. положим F (х) = Da) (x)(g)Dm (х)
для любого A:gG, где кронекеровское произведение Л®В двух
матриц А = (apq) порядка с и В = (brs) порядка d определено
следующим образом. Матрица Л(Я)В является матрицей порядка cd,
состоящей из d2 блоков, образованных схс-подматрицами.
Каждая с х с-подматрица, равная brsA> находится на пересечении г-й
строки и s-ro столбца блоков. Другими словами, матрица Л®В
получается из матрицы В заменой каждого элемента brs на схс-
матрицу brsA. Легко видеть, что F = Da>(g)D(v) есть унитарное
представление группы G, но F не обязательно неприводимо.
Воспользуемся важным фактом, согласно которому любое
представление компактной группы вполне приводимо, т. е.
эквивалентно представлению Е вида
Е(х) =
Еа(х)
о .
Et(x)
где блоки Ех (а:), ..., Et(x) являются неприводимыми унитарными
представлениями и нули означают, что все недиагональные
блоки равны нулю. Переходя, если это необходимо, от представления Е
к эквивалентному, можно предполагать, что Е1У ..., Et
принадлежат системе {Da>: X £ Л}. Таким образом, имеемF (х) = S"XE (x) S
с отличными от нуля элементами в Е (х) из класса &). В
частности, элемент dffidfib в F будет являться линейной комбинацией
с комплексными коэффициентами функций из &).
Комбинируя результаты проведенных выше рассмотрений,
получаем набросок доказательства следующего важного результата,
известного как теорема Петера — Вейля*).
Теорема 1.2. (Теорема Петера — Вейля.) Подалгебра sp(eD)
плотна в #(G).
*) См. Петер Ф., Вейль Г. О полноте примитивных представлений
компактной непрерывной группы.—УМН, 1936, 2. с. 144—160. — Примеч. перев.

248
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Критерий Вейля. Теорема Петера — Вейля возвращает нас
к лемме 1.2. Последовательность (хп) в G p.p. в G тогда и только
N
тогда, когда lim (l/N) 2 ^/} (*л) = \ ^ц* d\i для всех функций
d{if^S>. Если Х = 0 (т. е. рассматривается тривиальное
представление D<0)), то ясно, что это предельное соотношение справедливо
для любой последовательности в G. Таким образом, мы можем
ограничиться рассмотрением случая %£А при ХфО. На
основании хорошо известных соотношений ортогональности для
компактных групп равенство ^d$}dp, = 0 выполняется для любой
G
функции dfy при X Ф 0. Поскольку сходимость матриц понимается
нами в поэлементном смысле, можно объединить предельные
соотношения для всех матричных функций одного представления
Da) в предельное соотношение типа (1.8), приведенное ниже,
и получить следующий фундаментальный критерий.
Теорема 1.3. (Критерий Вейля.) Пусть {0(Ц\ к£А} —
система представлений группы G, полученная посредством выбора
в точности по одному представлению из каждого класса
эквивалентности неприводимых унитарных представлений G. Пусть
D(0) —тривиальное представление. Последовательность (хп) из G
тогда и только тогда p.p. в G, когда условие
lim^i Д(Ъ(*„) = 0 (1.8)
N-*<*> /V /2=1
выполняется для всех Я g Л при Хф0> где 0 означает матрицу
соответствующего порядка, составленную из нулей. В силу свойств
матричной нормы условие (1.8) эквивалентно условию
|^ 2 £>'*>(*„) 1 = 0 (1.9)
Jim
N-+OD
для всех Х£А при ХфО.
На основании примера 1.3 классический критерий Вейля p.p.
мод 1 (см. теорему 2.1 гл. 1) является частным случаем теоремы 1.3.
Вследствие ее важности, дадим другую формулировку теоремы 1.3
для случая абелевой группы G. В этом случае представления
являются характерами, предположения о неприводимости и
унитарности являются излишними, а классы эквивалентности в
формулировке теоремы 1.3 являются одноточечными множествами.
Очевидно, что тривиальный характер будет тогда определяться
формулой %0(х)=1 ПРИ любом x£G.
Следствие 1.2. Пусть G—компактная абелева группа.
Последовательность (хп) в G тогда и только тогда p.p. в G,

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
249
когда условие
Hm1J-Sx(^) = 0 (1.10)
W-*OD iV rt= 1
выполняется для всех нетривиальных характеров % группы G.
Используя следствие 3.1 гл. 3 и теорему Петера—Вейля, мы,
кроме того, получаем следующий удобный критерий отличной
распределенности в компактной группе G.
Следствие 1.3. Пусть {D^: ^gA} — такая же система
представлений у как и в формулировке теоремы 1.3. Последователь-
ность (хп) тогда и только тогда отлично распределена в G,
когда для любого Х£А при %Ф0
"га 4" 2 D(»(xn)=0 (1.11)
N-юо iV n=[+h
равномерно по /i = 0, l, 2,- ..., или, что эквивалентно, когда
= 0 ' (1.12)
litn
N-►00
I/ < N + h,
n=l+h
равномерно по /i = 0, 1, 2, ...
Несомненно, интересно знать, «как много» условий необходимо
проверять, применяя теорему 1.3. Ответом на этот вопрос является
хорошо известный результат теории представлений, который
утверждает, что мощность индексного множества Л должна быть
равна весу G. Под весом топологического пространства понимается
минимальная мощность базы открытых множеств этого
пространства. В частности, если G удовлетворяет второй аксиоме счет-
ности, то существует счетная система неприводимых унитарных
представлений G, которая определяет p.p. данной
последовательности в G. В свете теоремы 2.1 гл. 3 это обстоятельство не
является неожиданным.
Некоторые следствия предыдущих результатов. Компактная
группа G может рассматриваться как равномерное пространство*)
в естественном смысле. Для каждой окрестности V единицы е
определим VL = {(x> y)£GxG: x~xy £ V). Семейство всех множеств
VL образует базу так называемой левой равномерной
структуры на группе G. Аналогично определим VR = {(x, y)£GxG:
ху~* £V} и будем называть правой равномерной структурой G
структуру, которая имеет в качестве своей базы семейство всех
множеств VR. Топология как левой, так и правой равномерной
структуры совпадает с исходной топологией группы G. Применим
теперь к данной ситуации два результата из гл. 3 для
компактных хаусдорфовых равномерных пространств. В качестве первого
приложения рассмотрим весьма частный случай теоремы 4.4 гл. 3.
*) То есть пространство с равномерной структурой. — Примеч. перев.

250
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В качестве фигурирующего там матричного метода А выберем
чезаровские средние к(ст, 1), а в качестве меры \ху разумеется,
выберем меру Хаара на G.
Теорема 1.4. Пусть (хп) является p.p. в G
последовательностью , и предположим, что (сп)—такая последовательность
в G, что lim cn существует. Тогда последовательности (спхп) и
(ад.) р-р- в G-
Доказательство. Ограничимся рассмотрением
последовательности (спхп)> поскольку доказательство для второй
последовательности аналогично. Положим с = Jim cn. Пусть Тп, п>1,—
Л->0О
преобразование на G, определенное формулой Тпх = спх при всех
x£G. Кроме того, рассмотрим преобразование Т на G,
определенное формулой Тх = сх при всех л;(EG. Преобразование Т
является как непрерывным, так и сохраняющим меру
преобразованием. С учетом теоремы 4.4 гл. 3 остается показать, что
преобразования Тп сходятся равномерно к Т. Для этого достаточно
рассмотреть множества VR в правой равномерной структуре G,
где снова V—некоторая окрестность единицы е. Но (Тпх> Тх) g VR
именно тогда, когда (Тпх)(Тх)~1 = спх(сх)~1 = спс~1 g V. Поэтому
включение (Тпх> Тх) g VR справедливо для достаточно большого п
и каждого ArgG вследствие того, что последовательность {с^'1)
сходится к е. Q
Используя упражнение 4.6 гл. 3, можно доказать
аналогичное утверждение для отличной распределенности. А именно, если
(хп) отлично распределена в G и (сп) сходится, то как
последовательность (спхп)у так и последовательность (хпсп) отлично
распределены в G. Другие доказательства этих результатов могут
быть основаны на критерии Вейля, подобно теореме 1.3 и
следствию 1.3 (см. упражнение 1.2 и 1.5).
По аналогии с определением 1.1 назовем семейство
последовательностей в G семейством равностепенно p.p.
последовательностей в G, если оно является семейством равностепенно |я-р.р.
последовательностей относительно меры Хаара \i. Рассмотрим
далее частный случай примера 3.2 гл. 3. Вначале отметим
следующее непосредственное следствие теоремы 1.4: если (хп) p.p.
в G, то последовательности (схп) и (хпс) p.p. в G при
фиксированном cgG. Оказывается, что последовательности этого типа
очень тесно связаны между собой в смысле характера их
распределения.
Теорема 1.5. Пусть (хи)—заданная последовательность,
которая p.p. в G. Тогда {(схп): c£G) и {(хпс): c£G} являются
семействами равностепенно p.p. последовательностей в G.
Доказательство. Как отмечалось выше, будем
использовать результат из примера 3.2 гл. 3. Рассмотрим преобразования
Pf7 c£G, определенные формулой Р^х = сх при x^G. Конечно,

§ 1. общие Сведения
251
все преобразования Рс сохраняют меру. Таким образом,
необходимо только показать, что семейство {Рс: c£G} равностепенно
непрерывно в каждой точке x£G. Выберем окрестность V
единицы е и рассмотрим VL = {(x, y)£GxG: х~1у£ V] из левой
равномерной структуры G. Элемент (Рех> Рсу) лежит в VL тогда и только
тогда, когда (Рсх)~1{Рсу) или х~гу является элементом V.
Следовательно, {Рсху Рсу) £ VL при всех у из окрестности xV точки х
и всех c£G. Поэтому {(схп): c£G} является семейством
равностепенно p.p. последовательностей в G. Аналогичные
рассуждения справедливы для семейства {(хпс): c^G}. □
Эта теорема может быть также доказана при помощи
критерия Вейля для равностепенно равномерного распределения (см.
упражнение 1.4). Существует простое, но интересное следствие
теоремы 1.5.
Следствие 1.4. Если при некотором a£G
последовательность (ап) p.p. в G, то последовательность (ап) даже отлично
распределена в G.
Доказательство. По теореме 1.5 семейство {(ahan)\ /i = 0,
1, 2, ...} является семейством равностепенно p.p.
последовательностей в G. Другими словами, {(ап+/г): Л = 0, 1, 2, .. .} является
семейством равностепенно p.p. последовательностей и поэтому, по
определению, последовательность (а") отлично распределена в G. П
В § 4 мы будем изучать последовательности вида (ап) более
детально. Здесь же мы только отметим, что существуют важные
классы компактных групп G, для которых выполняется условие
предыдущего следствия.
Применение гомоморфизмов. Образ p.p. последовательности
при сюръективном непрерывном гомоморфизме, как и следовало
ожидать, оказывается p.p.
Теорема 1.6. Пустьф — непрерывный гомоморфизм
компактной группы G на компактную группу Gx. Если (хп) p.p. в G, то
последовательность (ф(аг„)) p.p. в Gx.
Доказательство. Будем следовать теореме 1.3. Пусть Dx—
нетривиальное неприводимое унитарное представление Gx. Тогда
отображение D, определенное как композиция D (х) = Dx (ф (х))
при x£G, является нетривиальным неприводимым унитарным
представлением G. Поэтому
lim ?S°i(?W)=lim V £(*„) = 0, (1.13)
гс=1 л=1
и доказательство закончено. □
Предыдущее рассуждение указывает простой путь, на котором
групповая структура и, в частности, критерий Вейля могут быть
использованы для получения коротких доказательств. Отметим,
что можно дать и такое доказательство теоремы 1.6, которое
использует только теорию меры (см. упражнение 1.6). Важный

252
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
частный случай возникает, если в качестве второй группы Gx
взять факторгруппу группы Gx. Пусть Я—замкнутый нормальный
делитель топологической группы G, т. е. нормальный делитель
группы G, который замкнут в топологии группы G. Факторгруппа
G/H становится топологической группой, если ввести следующую
топологию: в качестве открытых множеств в G/H выбираются все
множества вида {ЬН: b£B}y где В открыто в G. Каноническое
отображение <рн'. x£Gi—>xH£G/H является тогда непрерывным
гомоморфизмом из G на G/Я, и G/H компактна, если G
компактна. Следующий результат является немедленным следствием
теоремы L6.
. Следствие 1.5. Пусть Я—замкнутый нормальный
делитель компактной группы G, и пусть последовательность (хп)
p.p. в G. Тогда последовательность (хпН) p.p. в факторгруппе G/H.
Пример 1.5. Опишем все замкнутые подгруппы тора Т. Пусть
arg г, z £ Т, является значением аргумента z, 0 ^ arg г < 2л. Пусть
Я ф{\) — замкнутая подгруппа группы Т, и положим а = infjargz:
z£Hy z Ф 1}. Будем различать два случая. Если а = 0, то
рассмотрим произвольный открытый интервал (Р, у) ^ [0, 2л). Существует
z £ Я с 0 < arg z < у—Р; таким образом, существует степень zn
элемента z с arg zn £ (Р, у). Поскольку zn g Я, мы показали, что
подгруппа Я плотна в Т. Но Я 3aMKHyta, так что Я = Т. Осталось рассмотреть
случай а > 0. Поскольку Я замкнута, то имеем г0 = ехр((а)^Я.
В этом случае подгруппа Я* не является плотной, поэтому а/л
рационально. Пусть теперь z—любой элемент в Я. Тогда argz=Aia+6
при некотором неотрицательном целом п и 0 ^ 6 < а. Имеем
arg(zZon) = h при zzon£H. По построению а мы должны иметь
6 = 0; таким образом, z = Zq. Поэтому подгруппа Я циклична и
дискретна, поскольку a/л рационально. Следовательно,
окончательный результат таков: замкнутыми подгруппами группы Т
являются в точности дискретные циклические группы,
порожденные некоторым корнем из единицы, и сама группа Т. □
Рассмотренный пример имеет важное следствие для характеров
компактной абелевой группы G, а именно, образ %(G) группы G
относительно характера % является замкнутой подгруппой
группы Т и поэтому совпадает с одной из перечисленных выше групп.
Это порождает следующую терминологию: если % (G) является
дискретной циклической группой, то говорят, что %—дискретный
характер; если %(G) = T, то % называется недискретным.
Существует другая интересная характеризация равномерного
распределения, которая отчасти может быть получена из теоремы
1.6. В теоретическом плане следующая теорема позволяет свести
изучение p.p. в компактной группе G к изучению
последовательностей матриц.
Теорема 1.7. Если (хп) p.p. в G, то для любого
представления D группы G последовательность (D(xn)) p.p. в образе D.
Обратно, если {D^: ^€Л} является системой представлений

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
253
группы G, описанной в теореме 1.3, и если при любом ?tgA, Х=^0,
последовательность (D^(xn)) p.p. в образе D<x\ то (хп) p.p. в G.
Доказательство. Первая часть непосредственно следует
из теоремы 1.6. Предположим далее, что условие во второй части
утверждения теоремы справедливо. Пусть o/fi^ является образом
D<X) при фиксированном ^^Л, ХфО. Тогда тождественное
отображение на о£№ доставляет нетривиальное неприводимое
унитарное представление <Ж^. Поскольку (DW (xn)) p.p. в о£&\ то
на основании критерия Вейля lim(l/N) ^D^(xn) = 0. Это ра-
N-+ оо п= 1
венство выполняется при всех рассматриваемых X, и поэтому
последовательность (хп) p.p. в G. □
Пусть Gx и G2—топологические группы; отображение из Gx
на G2, являющееся как групповым изоморфизмом, так и
гомеоморфизмом, называется топологическим изоморфизмом. Если такое
отображение существует, то группы Gx и G2 называются
топологически изоморфными. Для того чтобы подчеркнуть это отличие,
(не обязательно непрерывный) гомоморфизм (соотв. изоморфизм)
иногда будет называться алгебраическим гомоморфизмом (соотв.
алгебраическим изоморфизмом). В большинстве случаев, которые
мы будем рассматривать, непрерывный гомоморфизм будет
автоматически являться открытым отображением. Напомним, что
топологическое пространство называется в-компактным, если оно
может быть представлено в виде не более чем счетного
объединения компактных подмножеств.
Теорема 1.8. Непрерывный гомоморфизм локально
компактной о-компактной группы на локально компактную группу
является открытым отображением.
Следствие1.6. Любой характер компактной абелевой группы
является открытым отображением.
Зачастую важно знать, что непрерывный гомоморфизм является
также открытым. В частности, для таких гомоморфизмов
топологических групп выполняется следующий аналог хорошо известной
«первой теоремы об изоморфизме» для дискретных групп.
Теорема 1.9. (Теорема об изоморфизме.) Пусть ср: G^-^GX—
открытый непрерывный гомоморфизм топологической группы G
на топологическую группу Gx с ядром Н. Тогда Gx топологически
изоморфна факторгруппе G/H.
Теория двойственности. Пусть теперь G — локально
компактная абелева группа. Под характером группы G мы вновь
понимаем непрерывный гомоморфизм из G в тор Т. Множество всех
характеров группы G может быть превращено в группу, если в
качестве произведения %i%2 двух характеров %i и %2 группы G
выбрать характер, определенный формулой (Х1Х2) (*) = Xi (х) Ъ (х)
при всех ArgG. Единицей этой группы является тривиальный
характер группы G. Группа характеров, снабженная так называе-

254
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
мой компактно открытой топологией, становится топологической
группой — группой характеров или группой G, двойственной к G.
Для этого в качестве базиса окрестностей единицы в G выберем
все подмножества (/(/(; е) группы G вида U (K\ e) = {x€ G:
\%{х)—1|<е при всех *€/(}, где К—произвольное компактное
подмножество группы G и е — произвольное положительное
число. Тогда G также является локально компактной абелевой
группой. Если G топологически изоморфна локально компактной
абелевой группе G1? то G топологически изоморфна на G^
Теорема 1.10. Если группа G компактна, то G
дискретна. Если G дискретна, то группа G компактна.
Поскольку G является локально компактной абелевой группой,
мы можем заинтересоваться группой характеров группы G. Прежде
всего заметим, что исходная группа G может быть
(алгебраически) вложена в двойственную группу группы G. Действительно,
если зафиксировать х £ G, то легко видеть, что отображение х:
Gi—*T, определенное формулой х(у) = %(х) при %€G, есть
характер группы G. Множество всех таких характеров образует
изоморфную группе G . подгруппу группы, двойственной к G.
Следующая фундаментальная теорема утверждает гораздо
большее.
Теорема 1.11. (Теорема двойственности Понтрягина.) Если
G—локально компактная абелева группа, то группа характеров
G группы G топологически изоморфна G, и топологический
изоморфизм задается отображением х*—>х.
В частности, каждый характер группы G является
отображением вида а: при некотором х £ G. Кроме того, отсюда следует
другой вариант теоремы Гельфанда^—Райкова: для каждого хфе
в G существует %£G с %(х) Ф 1. В дальнейшем мы часто будем
отождествлять G и G. С целью обсуждения групп характеров
замкнутых подгрупп и факторгрупп группы G введем понятие
аннулятора. Для произвольного непустого подмножества Н
группы G аннулятор A (G, Я) множества Я в G определяется как
множество
A(G,H) = {x£G:x(x)=l Vx£H}. (1.14)
Аннулятор A(G,H) является замкнутой подгруппой группы G.
Важность этого понятия выявляется в следующей теореме.
Теорема 1.12. Пусть Я—замкнутая подгруппа локально
компактной абелевой группы G. Тогда группа характеров группы
G/H топологически изоморфна A (G, Я). Кроме того, группа ха-

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
255
рактеров группы Н топологически изоморфна группе G/A (G, Я),
и H = A(G,A'(6,H)).
При обсуждении теории представлений мы отмечали тесную
связь между весом компактной группы G и мощностью множества
классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений.
Подобное обстоятельство имеет непосредственную аналогию й в
рассматриваемом случае.
Теорема 1.13. Для локально компактной абелевой группы G
вес tt)(G) группы G совпадает с весом to(G) группы G.
Поскольку вес дискретного пространства совпадает с мощностью
пространства, получаем следующее непосредственное следствие
теорем 1.10 и 1.13, которое может быть также получено, исходя
из теории представлений.
Следствие 1.7. Для любой компактной абелевой группы G
trj(G) = card(G).
Теорема двойственности, кроме того, дает начало важным
структурным теоремам для локально компактных абелевых групп.
Одна из них, которая окажется полезной в § 4, приведена ниже.
Обозначим через R" (при п^\) n-мерное евклидово
пространство, рассматриваемое как аддитивная группа в обычной
топологии, и положим R° = {e}.
Теорема 1.14. Каждая локально компактная абелева группа
G топологически изоморфна прямому произведению вида R"x#,
где Н—локально компактная абелева группа, содержащая
компактную открытую подгруппу. Неотрицательное целое п
единственным образом определяется группой G.
Другой результат теории двойственности локально компактных
абелевых групп имеет более специальную природу. Напомним,
во-первых, понятие слабого прямого произведения семейства групп.
Пусть J — произвольное непустое множество индексов. Для
каждого /' g J зададимся дискретной группой Gj с единицей ej.
Тогда под {слабым) прямым произведением *) H*G, понимается
группа, состоящая из всех наборов (лгу)/€у, где ATygGy, х;Фе;
самое большее—для конечного числа индексов /, и умножение
понимается в покоординатном смысле.
Теорема 1.15. Пусть Gj является дискретной абелевой
группой при каждом j из непустого множества индексов J. Если
слабое прямое произведение Ц* G,- снабжено дискретной тополо-
I'eJ
гиейу то двойственная к нему группа топологически изоморфна
прямому произведению Цйу.
*) Более распространенньш является термин «прямая сумма»,— Примеч,
перев,

256
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пусть G— компактная абелева группа и пусть С—(связная)
компонента единицы е. Тогда С является замкнутой подгруппой
группы G, и факторгруппа G/C вполне несвязна. Существует
тесная связь между связностью группы G и кручением группы G.
Напомним, что в (дискретной) абелевой группе А элементы
конечного порядка образуют подгруппу группы А, называемую
периодической подгруппой F группы А. Если F = {e}> то А
называется группой без кручения; если F = A, то А называется
периодической группой. Очевидно, что характер %€G
является характером конечного порядка в G тогда и только тогда,
когда х дискретен. Таким образом, периодическая подгруппа
группы G является просто совокупностью всех дискретных
характеров группы G. Легко проверить, что связная группа G не может
обладать нетривиальным дискретным характером. Действительно,
если характер % g G является нетривиальным и дискретным, то
прообраз 1 g T относительно характера % (который в этом случае
является также прообразом некоторой малой открытой
окрестности 1 характера %) должен быть нетривиальным
подмножеством G, которое является как открытым, так и замкнутым. По
поводу обобщения см. теорему 1.16.
Элемент х в локально компактной абелевой группе G
называется компактныму если замкнутая подгруппа, порожденная
элементом х, компактна. Множество всех компактных элементов
G является замкнутой подгруппой группы G, но не обязательно
компактной. В следующей теореме собраны некоторые связанные с
данным понятием факты.
Теорема 1.16. Пусть G—локально компактная абелева
группа, и пусть С—ее компонента единицы. Если G компактна, то
аннулятор A (G, С) является в точности периодической
подгруппой группы G. В общем случае, пусть В является замкнутой
подгруппой группы G, состоящей из всех компактных элементов
G. Тогда B = A(G,C) и, в силу двойственности, С = A(G, В).
Следствие 1.8. Компактная абелева группа G связна
тогда и только тогда, когда она не допускает нетривиального
дискретного характера. Кроме того, группа G вполне несвязна
тогда и только тогда, когда каждый характер G дискретен.
Замечания. Частичное или полное изложение структурной теории и
теории представлений топологических групп можно найти в стандартных
руководствах по данному предмету, например, в книгах А. Вейля [1], Понтря-
гина [1], Хьюитта и Росса [1] и Рудина [1]. Детальный обзор по теории
двойственности сделан Хейером [1]. Теорема 1.15, которая, может быть,
недостаточно широко известна, приведена в книге Хьюитта и Росса [1,
теорема 23.22].
Равномерное распределение в компактных группах впервые было изучено
Эккманом [1]. К сожалению, эта работа содержит серьезную ошибку,
заключающуюся в том, что требуется выполнение условия lim A(M\ N)/N = ц(М)

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
257
для всех замкнутых множеств М, в то время как нужно требовать этого
только для (замкнутых) множеств ц-непрерывности. В теперешнее ее
состояние теория была приведена Хлавкой и другими авторами, из которых следует
выделить Циглера, Хартмана, Хельмберга и Кемпермана. Основные критерии,
а именно, теорема 1.3 и следствие 1.2, до этого были установлены Эккманом
[1]. Заретти [2] внес небольшое улучшение необходимого условия. Теоремы
1.4, 1.5 и следствие 1.4 взяты из работы Хлавки [1].
Далее мы упомянем различные аспекты теории, которые не могли быть
включены в предыдущее изложение. Достаточно удовлетворительная
количественная теория в компактных группах еще не создана. Первый шаг в этом
направлении был предпринят Хлавкой и Нидер рейтером [1] и Нидеррейтером
[1]. Другое понятие отклонения содержится в работах К- Шмидта [2, 3],
который определил его для последовательностей мер в локально компактных
абелевых группах со счетной базой. В случае последовательностей точек в
компактной группе определение К. Шмидта сводится к частному случаю понятия
максимального уклонения, введенному в определении 2.2 гл. 3.
Замечательный результат был получен Вичем [3]. Он называет
последовательность г1у г2, ... положительных целых чисел «генератором p.p.
последовательностей», если для каждой компактной группы G и каждой
последовательности (уп) в G, которая не содержится ни в какой собственной
замкнутой подгруппе группы G, последовательность (хп) в G, определенная
формулой хп = уГ1уГ2.. .у г , равномерно распределена в G. Автор не только
показывает, что такие генераторы p.p. последовательностей существуют, но и
проводит их явные построения, одно из которых основано на нормальных
числах.
Нормальные числа и некоторые обобщения этого понятия встречаются
также в работе Циглера [3]. Пусть G — компактная абелева группа со счетной
базой, и пусть Т — непрерывный эндоморфизм G, эргодический по отношению
к мере Хаара \х. Элемент x£G называется нормальным относительно Г, если
последовательность (Тпх) p.p. в G. Согласно упражнению 2.17 гл. 3 это
определение обобщает классическое понятие нормальности. На основании
индивидуальной эргодической теоремы и того факта, что G счетно, получаем, что
jx-почти все x£G являются нормальными относительно Т (по поводу более
общего результата см. Филипп [2]). Другие свойства нормальных чисел также
распространяются на этот случай. Например, если х нормально относительно Т,
то х нормально относительно Тк при всех /г—1, 2, ...; обратно, если
анормально относительно Tk при некотором k ^2, то х нормально относительно Т.
Как было показано Рохлиным [1], эргодичность непрерывного эндоморфизма Т
может быть также охарактеризована алгебраически: Т эр годично относительно \х
тогда и только тогда, когда для каждого нетривиального характера %
группы G все функции %оТп, п=\, 2, ..., на G различны. По поводу другого
приложения эргодической теории см. Куо [4].
Циглером в [И] введено понятие «сильно равномерно распределенной
последовательности» в компактной группе. Любая отлично распределенная и
любая вполне p.p. последовательность (см. § 3 гл. 3) являются сильно p.p.,
но не каждая p.p. последовательность необходимо сильно p.p. (в
действительности, если lim xn + 1Xn1==e и G содержит более одного элемента, то по-
П-+СО
следовательность (хп) не может быть сильно p.p. в G).
Интересное приложение p.p. в компактных группах обнаруживается в
связи с гипотезой Артина о примитивных корнях; см. Серр [1, гл. 1] и Голд-
стейн [1].
Мак [2, 3] изучал аналоги теоремы Кронекера для абстрактных групп,
используя понятие независимости унитарных представлений групп (см. также
Хельмберг [3]). В частном случае абелевых групп аналогичные
исследования были выполнены Бундгордом [1, 2], который ввел также понятие
равномерного распределения функций на группах со значениями в конечномерном
торе.
9 Л. Кейперс. Г. Нидеррсйтер

258
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Р. Бейкером [1, 2, 3] изучались последовательности (%п) характеров
локально компактной абелевой группы G такие, что (%п (х)) p.p. в торе прн
почти всех x£G в смысле меры Хаара. Основную роль здесь играют
последовательности характеров, которые удовлетворяют условиям, обобщающим
условие роста Г. Вейля (см. упражнение 4.6 гл. 1).
Начав с некоторых последовательностей конечных абелевых групп,
Деннис [1] изучал последовательности в этих группах, которые в определенном
техническом смысле независимо распределены. В случае, когда все группы
являются элементарными абелевыми, установлен критерий Вейля.
В случае компактных групп проблема существования равномерно
распределенных последовательностей может быть решена весьма удовлетворительно,
а именно, компактная группа G допускает равномерно распределенные
последовательности тогда и только тогда, когда G сепарабельна (см.
следствие 5.4 и Замечания к § 5). Это следует из отмеченных выше результатов
Вича [3].
Последовательности мер на компактных группах изучались Циглером [6].
Это изучение было продолжено К. Шмидтом [2, 3] и Зигмундом [1].
Упражнения.
1.1. Доказать, что компактная группа G является носителем своей меры
Хаара jn.
1.2. Доказать теоремы 1.4 с помощью критерия Вейля.
1.3. Доказать, что {(хп, a): erg/} является семейством равностепенно p.p.
последовательностей в G тогда и только тогда, когда при каждом D<^> (к Ф 0)
из системы представлений, фигурирующей в теореме 1.3, и при любом 8 > 0
существует такое положительное целое N0 (к, е), что неравенство
N II
(1/N) 2 ^(Л,) (хп, о) < 8 выполняется при всех N^N0(k, е) и всех а£/.
п=\ ||
1.4. Использовать сформулированный в предыдущем упражнении критерий
для дру,гого доказательства теоремы 1.5.
1.5. Использовать критерий из следствия 1.3 для доказательства того
факта, что если (хп) отлично распределена в G и если (сп) сходится, то как
последовательность (спхп), так и последовательность (хпсп) отлично
распределены в G.
1.6. Возвращаясь к упражнению 1.10 гл. 3, доказать теорему 1.6.
1.7. Показать, что || A ||2 = tr (ATА) для комплексной квадратной матрицы А.
1.8. Вывести из предыдущего упражнения, что ||(7||=j/"fc и ||(/Л|| =
= || AU || = || А ||, где U — унитарная матрица порядка к и А—произвольная
комплексная квадратная матрица того же порядка.
1.9. Показать, что fl Л + Я||<[| А || + || В\\ и || А + В\\^\\А II—IIВЦ для
комплексных квадратных матриц А и В одинакового порядка.
1.10. Дать детальное доказательство того факта, что любое представление
компактной группы эквивалентно унитарному. (См. любой учебник по
топологическим группам.)
1.11. Доказать, что tr (АВ) = tr (BA) для комплексных матриц А и В
одного и того порядка.
1.12. Доказать, что два эквивалентных представления имеют одинаковый
характер.
1.13. Детально доказать, что кронекеровское произведение двух
унитарных матриц снова унитарно.
1.14. Доказать следующее обобщение теоремы 1.2 гл. 1: если (хп) p.p.
в G и если lim хпупХ существует, то (уп) р. р. в G.
1.15. В настоящем параграфе было показано, каким образом из
теоремы Гельфанда — Райкова для компактных групп следует теорема Петера —
Вейля. Показать, что, с другой стороны, из последней теоремы следует
первая.

$й. ОБОБЩЁННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
2§Э
§ 2. Обобщенная теорема о разностях
Доказательство с помощью основного неравенства. Как мы
видели в гл. 1, одним из основных результатов теории
равномерного распределения является так называемая теорема ван дер
Корпута о разностях (теорема 3.1 гл. 1). Поскольку эта теорема
предполагает наличие алгебраической структуры в основном
пространстве, ее формулировка в более абстрактной форме была
отложена до гл. 4. Теперь настало время вернуться к этому вопросу.
С помощью теории представлений можно показать, что полный
аналог теоремы о разностях имеет место в любой компактной
топологической группе. Для доказательства будем двигаться в том
же направлении, что и в классическом случае. Это означает, что
прежде всего мы должны обобщить основное неравенство ван
дер Корпута (лемма 3.1 гл. 1), чему посвящена следующая.
Лемма 2.1. Пусть Dv ..., DN — комплексные квадратные
матрицы одинакового порядка k и пусть Н—такое целое, что
1<Я<ЛГ. Тогда
W
<я(#+я-1)2||о,||2+
*=i
Я-1
+ 2(N + H— 1) 2 (H—h)
h=\
N-h
2 WW
/=1
(2.1)
Доказательство. Мы расширим область определения Di%
полагая Dt = 0—нулевой матрице порядка k — при всех f<0 и
N
всех i > N. Рассмотрим матрицу Н 2 D{. Эту матрицу можно
i=i
N N Н-\ ,
записать следующим образом: ^2^=2 2 ^«- Положим те-
t=l t=l Л=0
перь p = i + h\ тогда 1 < р < N + Н— 1, и поэтому
N N + H-1 Я-1
я2д= 2 2 л,-*
1=1 р=1 Л=0
на основании расширенного определения Dt. Отсюда следует, что
Я2
N
2о«
i=l
2
=
IN + H-
2
! р-1
Я-1
2 ц
Л=0 j
p-h
(2.2)
Используя пример 1.2 и (1.6), заключаем, что
2 орЛ =
я*
N ||2 N + H-1
2D,k(Af+w-i) 2 „_
t=l || р=1 ||/i=0
N + H—l /Я-l
=(n+h-\) 2 2 *>
p=l \ /i=0
N+H-l Я-1
= (N + H-l) 2 2 (Dp-r\Di
p = 1 r, s=0
'p-h
н-\
2 *>„-*)=
Л = 0
p — s>
)■ (2.3)

260 Гл. 4. -Топологические группы
При фиксированном /, l^/^IAf, число членов (D£|D£), входя-
N + H-i H-\
щих в сумму 2 2 {Dp-r\DP-s)> равно Я, и мы приходим
p=l r,s=0
к неравенству
N
я2 2 А-
n
;Я(# + Я-1)2. II£>,-!2 +
1=1
+(#+Я-1) 2 Я2 (Dp.r\Dp.t)=H(N+H-l) 2 |0,.||2 +
р=1 r,s = 0 1=1
ГфБ
+ (N + H-\) 2 2 ((Dp-r\Dp_s) + (Dp_s\D.}_s)). (2.4)
р=1 r,s = 0
Поскольку (Dp_r\Dp_s)+(Dp_s\Dp_r) = (Dp_r\Dp_s)+(Dp_r\Dp_s)=
= 2Re(Dp_r\Dp_s), где Re г означает вещественную часть
комплексного числа г, то мы получаем
#21 2 d\ <я(#+я-1) 2P,-ll2+
[I i= 1 || =1
+ 2(tf + tf-l)Re 2 2(^-,|^-,). (2-5)
р=1 r, s=0 '
s< r
При фиксированных Л, 1^А<!Я—1, и /, 1^/^Л^ — А, число
N + H-1 Н-\
членов (£>у|Оу+Л), входящих в сумму 2 2 (DP-r\DP-s)> Рав~
р=1 г, s=0
но Я—Л. Следовательно, можно записать
N + H-i H-[ H-\ N-h
Re 2 2 (fl„_r|ZV,) = Re2 (Я~Л) 2 (Z?y|D/+A) =
р=1 r,s = 0 r /i=l 7 = 1
= 2'(W-A)Re2(D/|0/+4). (2.6)
/1=1 ; = 1
Ho Re z ^L | г | для любого комплексного числа г, и поэтому, с
учетом (2.5), приходим к (2.1). □
Теперь мы готовы доказать обещанное обобщение теоремы
о разностях. Пусть G — компактная группа и пусть (хп) —
последовательность элементов в G. Предположим, что при каждом
А= 1, 2, ... последовательность (л^л;^1) р. р. в G. Мы намерены
доказать даже несколько больше, чем в случае равномерного
распределения мод 1. А именно, мы покажем, что не только сама
последовательность (хп)у но и каждая ее подпоследовательность,
индексы которой пробегают арифметическую прогрессию,
равномерно распределены в G.

§2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
261
Теорема 2.1. Пусть хп — последовательность в компактной
группе G такая, что при каждом h= 1, 2, ... последовательность
(Хп+ьХп1) p.p. в G. Тогда при каждом положительном целом q и
неотрицательном целом г последовательность (xqn+r) p. р. в G.
В частности, последовательность (хп) сама p.p. в G.
Доказательство. В ходе доказательства будем
предполагать, что q и г фиксированы. Мы докажем равномерность
распределения (хяп+г), используя критерий Вейля, сформулированный
в теореме 1.3. Фактически мы удостоверимся в справедливости
требуемого предельного соотношения (1.9) для любого
нетривиального неприводимого унитарного представления D группы G.
Выбрав такое представление, заметим вначале, что
qN
IO(Vr)=T^ Ze
п=\
^ /=1 s=l
/s
D(xs+r),
(2.7)
где e (a) = exp (2nia) при a£R. Данное равенство следует, ко-
Q
нечно, из того простого факта, что (1/^)2 e(/s/<7) равно 1 при
s = О (mod q) и равно 0 при s^O(mod^). Отсюда следует, что
E^(w
п=\
4S
qN
p^f)D(xs+r)
^ max
/=i я
<
qN
Le(f)D(W
(2.8)
Выберем теперь целое Я, 1 <:Я ^qN. Применяя лемму 2.1,
получаем, что
Я2
qN
s+r
qN
<Я(«7Л + Я-1)Е|Я(*,+,)Р +
s=l
tf-1
+ 2(qN + H-l) £ (H-h)\?h\ (2.9)
h=\
при каждом фиксированном /, где
qN-h
ZA=Z(e(f)0(w|e(/:^)0^+r+ft)). (2.10)
Предположим, что размерность представления D равна т. Так как
D унитарно, на основании свойства (v) матричной нормы имеем
\D{x)\=Vm при любом x£G. Можно упростить 2«л, используя
прежде всего свойство скалярного произведения:
qN-h
Xft = e(—|) Ц (D(xp+ll)\D(xp+r+h)). (2.11)

№
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Затем, используя свойства (iv) и (ii) скалярного произведения
и тот факт, что D есть гомоморфизм, имеем
qN-h
£ft=e(-f) L(£|£(*,w^))=
• п= 1
I ?М-/1
p=\
(-£)
(2.12)
p=I
где £ означает единичную матрицу порядка т. Далее, для любой
комплексной квадратной матрицы А = (а^) порядка m имеем
(£| A) = tv (АТ) = 2 аи- На основании неравенства Коши — Бу-
2^
няковского — Шварца получаем | (Е \ А) |2 =
|(£|Л)|<К"т||Л||. В частности,
IqN-h
2 D
Р=\
^m\\A |j2, или
(2.13)
при всех А=1, 2, ..., Я—1. Комбинируя все эти факты,
приводим неравенство (2.9) к неравенству
qN
Я2
JL* (%)»(**+,)
^HNqm(qN + H—\)-\-
н-\
+ 2^m(qN + H—l) 2 (H—h)
/i=i
qN-h
^D{xp+r+hx-\r)\. (2.14)
p=i
После деления на Я2М2 мы приходим к неравенству
|ф(!Н*«>
Я-1
^ qm
qM + H—\ 2Ym{gN + H—\)
HN
H2N
X
X
L<"-*)^
<7# —Л
/i=i
1
qN-h
qN—h
2шА L) \Xp+r+hxp+r)
P=l
(2.15)
довательно,
При каждом фиксированном h последовательность (xp+r+hxPlr)y
/7=1, 2, ..., равномерно распределена по предположению. Сле-
I qN-h Г
Ul/(qN-h)) 2 D(xp+r+llx-lr)\
N —> оо и при каждом Л= 1, 2, ..., Я— !
второй член в правой части (2.15) стремится к нулю, а первый
член к q2m/H. Считая, что Я принимает произвольно большие
значения, мы видим, что
qN
стремится к нулю при
1. В целом при N -+ оо
Jim
N-+ оо
PrLe(f)D(^)
= 0
(2.16)

§2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
263
при каждом /=1, 2, ..., q. Из неравенства (2.8) следует, что
тогда
lim
i^D(xqn+r)
п=\
= 0,
(2.17)
что мы и хотели показать. □
Теоремы о разностях для отлично распределенных
последовательностей.
Теорема 2.2. Пусть (хп) — последовательность в
компактной группе G такая, что при каждом А=1, 2, ...
последовательность (хпЛ.нх^) отлично распределена в G. Тогда при каждом
положительном целом q и неотрицательном целом г
последовательность (xqn+r) отлично распределена в G. В частности,
последовательность (хп) сама отлично распределена в G.
Доказательство. Для того чтобы показать, что (xqn+r)
отлично распределена в G, достаточно убедиться, что равенство
lim
N-*■ оо
t£d<j
п=\
'q (п + Ь) +
г)
= 0
(2.18)
выполняется равномерно по ft = 0, 1, 2, ... для каждого
нетривиального неприводимого унитарного представления D группы G
(см. следствие 1.3). Мы покажем несколько больше, а именно то,
что равенство
lim
|Ё^ыи
(2.19)
/х=1
выполняется равномерно по г = 0, 1, 2, ... для каждого такого
представления D группы G. По заданному е > 0 выберем целое
Я = Я(е)>1 такое, что Я > 4q2m/s2. При каждом Л, 1<Л<
^Я—1, последовательность \xn+hXnX) отлично распределена по
предположению. Это означает, в частности, что существует такое
положительное целое Mh(e)y что неравенство
м
5>о
п+г+Н^п*
%n+r)
гс=1
<
е2
4Vmq2
(2.20)
выполняется при всех УИ >УИЛ(е) и каждом г = 0, 1, 2, ...
Положим М0 = М0(е) = max Mh(e)\ тогда при М > М0 неравен-
1 < /1<Я-1
ство (2.20) выполняется одновременно при всех Л=1, 2, ...,
Я— 1.
Выберем теперь целое N (г) такое, что qN (г)^М0 + Н. Тогда
при всех N > N (г) имеем 1 ^.H^qNy так что можно применить
неравенство (2.15). Первый член в правой части (2.15) не
превосходит qm(2qN/HN)> и, следовательно, е2/2. Что касается это-

264
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
рого члена, то ясно, что 2j/m(qN+ H—\)/H2N^LbqVmJH* и
(qN— h)/N^q при всех ft=l, 2, ..., Н—1. Для оценки
матричной нормы, фигурирующей во втором члене, заметим, что
неравенство qN — А > qN (е)—h^M0 + H—A > M0 справедливо при
всех А=1., 2, ..., Н—1, так что можно применить неравенство
(2.20). В целом из (2.15) получаем следующую оценку:
qN ||2 __ Я-1
2
Я-1
= f+^E(^-^)<e2 (2.21)
/1=1
при каждом /=1, 2, ..., q и при всех N > N (е) и г = 0, 1,
2, ... На основании (2.8) тогда получаем, что при всех N у N (е)
и г = 0у 1, ...
N
гс=1
<е, (2.22)
так что имеет место (2.19). П
Мы можем установить другое замечательное свойство отлично
распределенных последовательностей, которое зависит от
алгебраической структуры в основном пространстве. Для этого нам
понадобится вспомогательный результат для унитарных матриц.
Лемма 2.2. Пусть Uly U2y ..., Ur—унитарные матрицы
одинакового порядка, и пусть Е — единичная матрица того же
порядка. Тогда
\\U1U2....Ur-EI^±\\Ut-E\\. (2.23)
1 = 1
Доказательство будем проводить индукцией по г.
Очевидно, что неравенство справедливо при г=1. Предположим, что
его справедливость установлена при некотором г^1. Тогда
|ВД, ... UrUr+1-EI = \\(U1U2...Ur-E)Ur+1 + Ur+1-E\\^
<|](ад ... Ur-E)Ur+1\\ + \\Ur+1-El
Используя свойство (v) матричной нормы, получаем, что
11^(7,... t/r£/r+1_£|<
<цад... ^_£1|-н^+1-щ<2||£/,-£||. а
i=l
Теорема 2.3. Пусть (уп) — отлично распределенная
последовательность в компактной группе G. Если (хп)—такая
последовательность в G, что lim Уп+1хп+1хп1Уп=е> т0 (хп) так^е от~
лично распределена в G,

$ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
265
Доказательство. Пусть D—нетривиальное неприводимое
унитарное представление группы G, которое будет считаться
фиксированным на протяжении последующего рассмотрения. При
заданном е>0 существует N0 = NQ(e) такое, что при всех
N>N0 и каждом Л = 0, 1, 2, ... справедливо неравенство
II N+h II
(l/Af) 2 D(yn)\ < е/4. Мы должны показать, что подобное соот-
II n=\+h II
ношение справедливо и для последовательности (хп). Для
установления связи между двумя последовательностями положим
"n^ynliXn+iXn^n при п> 1 и заметим, что х/ = у/и/_1и/_2.. .и{ут%
всякий раз, когда / > i. Используя это обстоятельство и
свойство (v) матричной нормы, получаем, что при N > N0 и Л>1
N + h
2 D(xa)
n=l+h
N + h \
2 В\Упип-г ип-2 • • • иЛ) }D(yhXxh)
n=l+h J
N + h
2 D(ynun_xun_2 ... uh)
n=l+h
N + h
+
N + h II
2 D(yn)\\<
n=\ +h ||
2 D(ynun_1un_2...uh)—D(yn)\
n=l+h I
< 2 \\D{un_,un_2...uh)-El+N^. (2.24)
n=\+h
Выберем теперь такое целое /С, что К> N0 и К> 4/е. Поскольку
lim un = e, имеем lim D(un) = E\ следовательно, существует по-
ложительное целое Н такое, что
\D(Uj)-E\<^
(2.25)
при всех />Я. Тогда при n>h^H на основании леммы 2.2
имеем
\D(un_xtin_% ... ип)-Е\\ = \\0(ип_г) .. .D(uh)-E\ < £=£. (2.26)
Комбинируя (2.24) и (2.26) получаем, что при всех Л>Я
справедливо следующее неравенство:
K+h
L D(xn)
/1=1 +h
K+h
< 2
n=\+h
^Jl+K^<l+K^. (2.27)
Пусть т означает размерность представления D\ положим Nx =
= Nt (e) = max (4/C Km/e, 8H Ут\г). Рассмотрим целое N > Nt.
Используя алгоритм деления, представим его в виде N = qK + r при
0<г < К. Тогда на основании (2.27) получаем следующую оценку

266
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
при всех h^H:
1 N+h
\Т Z D(xn)
1 n=.\+h
<
q-l K+iK+h II
^E L л(*„) +
/=0/г=1+//С + Л И
<*(»+*
j N+h
■.■я L Dw
rt=l +qK+h
i)+w^-
<
(2.28)
Следовательно, при всех N > Nt и h^H имеем
л+л и -__
К У т _i i _i i Л _3е
<
Т('+*Т)'
N
n=l+h
(2.29)
Осталось рассмотреть такие Л, что 0^Л<Я. Используя (2.29),
получаем, что при всех Af > Nx и всех Л из указанного интервала
Л7+Л II || Н N + H
JT £ D(xa) = Ц" S ^Ю + Т 2. D(xa)-
п=\ +h
N + H
1
п= 1+fc
п = \+Н
-ж Е °(*«)
n=N + h+\
^ (H-h) Vm , Зе , (H-h) Vm ,. ,
Итак, мы показали, что неравенство
N+h
(1/ЛО 2 D(xn)
n-l+h
(2.30)
< 8 ВЫ-
Следова-
полняется при всех N > Nt(e) и всех Л = 0, 1, 2, ...
тельно, последовательность (.*;„) отлично распределена. □
Следует отметить, что в теореме 2.3 сформулировано свойство,
специфичное для отлично распределенных последовательностей.
Если только предполагается, что (уп) p.p. в G и
lim ynlixn+1xn1yn = ey
то (лг„) не обязательно p.p. в G. Простые контрпримеры могут
быть построены уже в классическом случае G = R/Z. Выберем
в качестве (уп) последовательность (\^п ), рассматриваемую как
последовательность в R/Z. Из примера 2.7 гл. 1 известно, что
(Уп) Р-Р- в R/2- Тогда каждая последовательность констант (хп)
удовлетворяет соотношению
lim Уп1гХп-1х?уп = е
в R/Z, но, очевидно, не является p.p. Другие примеры
подобного типа также могут быть легко построены.
Метод корреляционных функций. Теперь мы изложим
совершенно иной подход к теореме о разностях, основанный на
использовании так называемых корреляционных функций.
Данный подход, во-первых, представляет большой теоретический

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
267
интерес; во-вторых, он позволяет обойтись без основного
неравенства и, наконец, приводит к более общим вариантам теоремы
о разностях. Мы изложим теорию корреляционных функций в
более общем контексте Л-равномерного распределения, поскольку
это не потребует значительных усилий.
Пусть A = (ank) — положительный сильно регулярный
матричный метод. Как мы узнали в § 4 гл. 3, это означает, что
выполнены следующие условия: ank^0 при всех n, k=\y 2, ...;
00
lim ^ ank=\\ lim ank = 0 при всех k=\> 2, ...;
П -> 00 k=. 1 П -> 00
00
lim 2la«ft—an<k+i\ = ®- Кроме того, пусть задана фиксирован-
rt->- 00 k= 1
ная последовательность о комплексных квадратных матриц М (1),
Л1(2), ..., M(k)t ..., которые имеют одинаковые порядки и
равномерно ограничены по норме, т. е. ||Л1(&)||^с при всех
й!> 1, где с—некоторая положительная постоянная.
Определение 2.1. Пусть пх < п2 < ... < ns < ... —
возрастающая последовательность положительных целых чисел такая,
что предел
00
y(h)= lim 2 ansk(M (k + К) \ М (k)) (2.31)
существует при /i = 0, 1, 2, ... Если расширить определение у,
полагая у (— К) = у (h) при h = 1, 2, ..., то результирующая
функция у на Z называется А-корреляционной функцией
последовательности (О.
Лемма 2.3. Последовательность со имеет по крайней мере
одну А-корреляционную функцию.
Доказательство. Пусть С является множеством
комплексных чисел в обычной топологии и пусть С°° означает
декартово произведение счетного числа экземпляров С, снабженное
топологией произведения. При п^1 положим 1п€С°° равным
1п = №> №> ■••). где №= %ank(M(k + h)\M(k)) при Л>0.
k= 1
Поскольку скалярные произведения (M(i)\M (/)),.*, / = 1, 2,...,
равномерно ограничены, последовательность &п) из С°°
содержится в компактном подмножестве С°°. Следовательно, (£„)
содержит сходящуюся подпоследовательность (£„,) в С00, и,
поскольку сходимость в С°° означает покоординатную сходимость,
получаем требуемое. □
С другой стороны, вполне возможно, что последовательность
о имеет более одной Л-корреляционной функции. Мы установим
важное [свойство, которым обладает любая Л-корреляционная
функция последовательности о. Напомним следующее хорошо
известное определение.

268
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Определение 2.2. Комплекснозначная функция р на
(абстрактной) группе G называется положительно определенной,
если неравенство
N _
2 спстр(хпх-г1)^0 (2.32)
п, т=1
выполняется при любом выборе конечного числа элементов
х1У ..., xN в G и при любом выборе комплексных чисел clf..., cN.
Этот факт лежит в основе нашего намерения показать, что
Л-корреляционные функции последовательности со положительно
определены на аддитивной группе целых чисел. Прежде чем
показать это, установим вспомогательный результат, который легко
следует из сильной регулярности матрицы суммирования Л.
Лемма 2.4. Пусть пх < п2 <... < ns < . . . -—возрастающая
последовательность положительных целых чисел и пусть .. .ft_2,
Ь_1У Ь0, Ьх\ Ь2, ...—бесконечная в обе стороны
последовательность комплексных чисел такая, что при положительных k
элементы bk равномерно ограничены. Тогда при каждом целом q
GO 00
lim 2 a„sbk = lim 2 a„skbk+<} (2.33)
S -> 00 fc=l S -* 00 k=\
всякий раз, когда один из двух пределов существует.
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение
при q=ly поскольку затем можно получить требуемый результат
для каждого неотрицательного целого q по индукции. Если q
отрицательно, скажем q=—m, то положим bk = bk_m, и
требуемый результат следует из соответствующего результата для т.
При фиксированном s ^ 1 получаем
2anskbk+1 — 2 anskbk
2 anskbk+1— 2 ans,k+i bk+1—ans\b1
<:
< 2 I ^nsk—ans, k+111 bk+11 + ans\ IM<
<
fsup \bk\\ 2 \onsk—CLns, *+i| + fl/i,i|6i|. (2.34)
Если теперь устремить s к бесконечности, то оба члена в
последней сумме стремятся к нулю вследствие сильной
регулярности Л, откуда немедленно следует требуемый результат. □
Лемма 2.5. Каждая А-корреляционная функция
последовательности со является положительно определенной функцией на
аддитивной группе Z целых чисел.
Доказательство. Пусть у является Л-корреляционной
функцией последовательности о; скажем,
00
y(h)= lim ^ansk(M(k + h)\M(k)) (2.35)
s -*oo k= 1

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ 269
при Л>0 и у(—h) = y(h) при Л>1 (Л = 0 также может быть
включено, поскольку у(0) вещественно). Вначале мы покажем,
что формула (2.35) для y(h) при Л^О справедлива также при
отрицательных значениях Л, если только договориться
определять матрицы М (k) при k < О произвольным образом, но как
матрицы того же порядка, что и М (k) при k^\. При Л^1
получаем
у(—И) = уЩ = lim ^ansk(M(k)\M(k + h)).
S -> 00 k= 1
Используя лемму 2.4 с bk = (M (k) \ M (k + Л)) при всех 4gZ и
00
<7= —А, получаем отсюда, что у (—h)= lim 2 Ял5л(Л1(/г—ft) \M(k)),
S -+ 00 fc=l
и наше утверждение доказано.
Для того чтобы показать, что у положительно определена
на Z, выберем натуральное число N> целые х1У ..., xN и
комплексные числа с19 . .., cN. Тогда
N N оо
2 спсяу(хп—хя)= 2 спсяПт %ansk(M(k + xn—xm)\M(k))
n,m=i n, rn=\ s -+ оо k— 1
(2.36)
согласно расширенной формуле (2.35) для у. При каждом
фиксированном пит применим лемму 2.4 с Ьк = (УИ (& + лг„—л;^) | А1(/г))
и ^ = лгл. Тогда
TV N _ оо
2 <V*Y(*i.—*J= 2 <y;mlim 2 a^*(M(* + *„) 1 Л1(Л+ *„)) =
rt,m=l n, m=l s-voofe=l
oo .V
= lim 2 ansk 2 cncm (M (k + xn)\M(k + xm)) =
oo k= 1 /i, m=l
00 / N
: lim 2*л,л( 2 <VW (* + *„)
s-v oo &=1 \я= I
00
= lim 2 ansk
S ->OD k=l
2 cjw(*+*jV
m=l
2 cnM(k + xn)
rc=l
2
Решающий шаг в наших рассуждениях состоит в применении
классической теоремы Бохнера — Герглотца: для каждой
непрерывной положительно определенной функции р на локально
компактной абелевой группе G существует единственная
неотрицательная ограниченная регулярная борелевская мера а в группе
G, двойственной к группе G, такая, что
р(*) = р(Х)Жг(х) (2-37)
д
при всех x$G. Как и в § 1, символ х означает характер группы
G, определенный формулой х(%) = %{х) при всех %£G.

270
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Рассмотрим теперь положительно определенную функцию у
на Z. Поскольку группа Z дискретна, то у непрерывна. Группой,
двойственной к Z, является Т. При /igZ характер h группы Т
имеет вид h(z) = zh при всех zgT. Тогда по теореме Бохнера —
Герглотца получаем следующее представление функции у:
y(h)=\zhdo(z) (2.38)
т
при всех /tgZ, где о является неотрицательной ограниченной
' регулярной борелевской мерой в Т, однозначно определенной
функцией у. Удивительная продуктивность настоящего подхода
связана с тем, что достаточно довольно слабых условий,
накладываемых на эти меры а, для того чтобы сделать заключение о
распределении исходной последовательности (M(k)). В частности,
для подобного заключения достаточно знать а-меру
одноточечного множества {1}. Все эти намеки проясняются следующим
тождеством.
Лемма 2.6. Пусть у является А-корреляционной функцией
последовательности со. Если а—мера в группе Т, соответствующая
положительно определенной функции у на'2,'и, если B = (bnk) —
положительный сильно регулярный матричный метод (не
обязательно совпадающий с А)> то
Hm 2bnlty(k) = o({l}). (2.39)
Доказательство. Используя представление функции уу
данное в (2.38), получаем, что
2 ЬпнУ (*) = 2 bah \ z* da(z) = f ( 2 ЬяЛА da (z) (2.40)
00
при каждом д!>1. Рассмотрим функцию g(z)= lim 2 bnkzk на
rt-v oo k=\
T (далее выяснится, что предел g(z) существует при каждом z£T).
Ясно, что gr(l)=l. При z Ф\ легко доказать (используя
комплексный аналог определения 4.2 гл. 3), что последовательность
(zk) является почти сходящейся к значению 0. Далее, матричный
метод В, являясь сильно регулярным, в случае почти
сходимости включает метод суммирования F, и поэтому g(z) = 0 при
гф\ (строго говоря, мы должны применить результаты § 4гл.З
к вещественной и мнимой частям (zk)). Таким образом, g(z)
является не чем иным, как характеристической функцией
одноточечного множества {1}.

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ 271
Возвращаясь к (2.40) и используя теорему о мажорированной
сходимости, получаем
Ит 2 »»*?(*)= f( lim ibnkzkjdo(z)=\g(z)do(z) = o({l}). Q
Теперь мы собираемся показать, каким образом некоторая
информация о сг({1}) доставляет сведения об исходной
последовательности о = (М (&)).
Лемма 2.7. Предположим, что для каждой А-корреляцион-
ной функции последовательности со соответствующая мера а в Т
удовлетворяет равенству в({\}) = 0. Тогда
00
lim %ankM(k) = 0,
П-+ 00 k=l
где 0—нулевая матрица соответствующего порядка.
сю
Доказательство. Пусть матрица Сп = 2 ank^ ifi) ПРИ
к— 1
я^1. Покажем, что единственная предельная точка
ограниченной по норме последовательности (Сп) является нулевой
матрицей 0, вследствие чего лемма будет доказана. Пусть матрица С
является предельной точкой последовательности (С„); таким
образом, С= lim Cns для некоторой последовательности пх < п2 < ...
s-
• • • < ns <... положительных чисел. Полагая G (k) = M (k) — С
при k^0y получаем тогда, что
00
lim 2fln/(4) = 0. (2.41)
S -► 00 k= 1
Введем в рассмотрение метод суммирования R = (rsk)y
определенный матрицей rsk = antk, откуда непосредственно следует, что R
является положительным и сильно регулярным. Согласно лемме 2.3
ограниченная по норме последовательность (G(k)) имеет
^-корреляционную функцию б. Таким образом, существует
последовательность s1<Cs2<C • • • < Sf < •. • положительных целых чисел
такая, что
6(Л)= lim 2 rsh{G(k + h)\Q(k))=lim% an,(G(k + h)\G(k))
(2.42)
при /i^sO. Очевидно, что функция б является также Л-корре-
ляцйонной функцией последовательности (G(k)). Для
упрощения обозначений положим т{ = ns при i ^ 1. Тогда б (К) =
СО '
= tim% amk(G(k + h)\G(k))y и, кроме того, в силу (2.41)

272
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
QO
Игл 2 <*« .kG (k) = 0. Заметим, что (M(k + h)\M (k)) = (G(k + h) +
+ C*|G (ft) + C) = (G(k + h)\G (k)) + (C\G (k)) + (G(k + h)\C) + \\C p
при любых k^l и h^O. Используя лемму 2.4, получаем
отсюда, что
lira 2*«.*(Л1(* + Л)|Л!(А))=Шп 2 а->л(0(А + Л)|0(А)) + |Ср=
t —>- оо /е= I * t-> oofc=l t
= б (Л) +1| С ||2 (2.43)
при всех Л^О. Другими словами, функция y(h) = 8(h) + lCf
является Л-корреляционной функцией последовательности со ==
= (M(k)).
При сделанных предположениях на основании леммы 2.6 при
В = А имеем
00
lim 2а„йТ(*) = °-
П-+ оо k— 1
оо
Это означает, что lim ^ankb(k) =—||С||2. С другой стороны,
я-* оо /г= 1
б является Л-корреляционной функцией последовательности
00
(G(fe)), и, в силу леммы 2.6, lim 2 я„*б (&)> 0, поскольку мера
п. -► оо k= 1
т в Т, соответствующая б, является неотрицательной;
следовательно, || С ||2 ^0. Но это возможно только при С = 0. □
Обобщение теоремы ван дер Корпута, которое мы вынесли
в заголовок параграфа, теперь оказывается простым следствием
лемм 2.6 и 2.7.
Теорема 2.4. Пусть G— компактная группа, (xk) —
последовательность в G, a A = (ank) и B = (bnk) — два положительных
сильно регулярных матричных метода. Предположим, что для
каждого нетривиального неприводимого унитарного
представления D группы G все А-корреляционные функции
последовательности (D(xk)) удовлетворяют соотношению
Hm 2bnhy(k) = 0.
П -> 00 k— 1
Тогда последовательность (xk) является А-р. р. в G.
Доказательство. В качестве последовательности со =
= (M(k))y участвовавшей в предшествующих рассмотрениях,
выберем последовательность (D (xk)) для некоторого
нетривиального неприводимого унитарного представления D группы G. С
учетом лемм 2.6 и 2.7 наше предположение означает, что соотноше-
00
ние lim 2 ап\Р (xk)= О выполняется для каждого нетривиаль-
/1-»- 00 k— 1

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
273
ного неприводимого унитарного представления D группы G. Тогда
на основании теоремы 4.1 гл. 3 (точнее, на основании ее
очевидного аналога для комплекснозначных функций) и теоремы
Петера — Вейля заключаем, что (xk) является Л-р. р. в G. □
Пример 2.1. Проверим, что теорема 2.4 действительно
включает в себя в качестве частного случая теорему о разностях для
Л-р. р. последовательностей. Предположим, что при каждом
А=1, 2, ... последовательность (х^^1) является Л-р. р. в G.
Тогда для данного нетривиального неприводимого унитарного
представления D размерности т группы G получаем
ОО X
Km 2 апк (D (xk+h) \ D (xk)) = lim 2 ank (D (хк+„х^) | Е) =
п-+ со /e = 1 n-+ go k— 1
= ( lim 2 ankD (xk+flx?) \e) = 0
\п-+ со & = 1 /
при всех h^\. Следовательно, последовательность (D(xk)) имеет
только одну Л-корреляционную функцию, а именно, такую, что
<у(0) = т и y(h) = 0 при кфО. Поэтому условие теоремы 2.4
удовлетворяется тривиальным образом, и (xk) является Л-р. р.
в G. □
Из теоремы 2.4 могут быть получены в качестве частных
случаев несколько других новых результатов. Отметим один из них,
который в высшей степени интересен тем, что позволяет
ограничить множество элементов h, при которых мы должны
требовать Л-равномерной распределенности в G последовательности
(xk+hxk )•
Теорема 2.5. Пусть G — компактная группа, (xk) —
последовательность в G, a A = (ank) и B = (bnk) — два положительных
сильно регулярных матричных метода. Предположим, что Р
является множеством таких положительных целых чисел, что
lim 2*»*=1-
Если последовательность (хк+Г1х^г) является А-р. р. в G при каждом
h£P, то последовательность (xk) сама является А-р. р. в G.
Доказательство. Пусть D — нетривиальное неприводимое
унитарное представление размерности т группы G. Предположим,
что при h > О функция
GO /GO \
у (h) = lim 2 an,k (D (xk+h) \ D (xk)) = ( lim 2 <4*D (*ft+ft*A') IE
S-^GOfesl \S-»-G0/j=l /
является Л-корреляционной функцией последовательности (D(xk)).
Это предположение означает, что y(h) = 0 при h£P. При любом

274 гл. 4. топологические группы
h ^ О получаем
|7(Л)|<т Нт 2 ansk = my
S -► 00 k =1
поскольку |tr((/)|^m для любой унитарной матрицы U
порядка т. Пусть Z+ означает множество положительных целых
чисел. Тогда при п^1 получаем
2a*y(*)I =
k=\
2 ***?(*)
/J6Z + \P,
<m 2 bnk.
kez+\P
Ho
Hm 2 К* =--lim I 2 Kk— 2 6Я* = о»
rc-*»fcez+\P \fc=i ЛеР
и поэтому lim j2 ^»*V (*) — О- Остальное следует из теоремы 2.4. □
М->00 fe = 1
Последняя теорема принимает особенно простую форму, если
в качестве В выбрать метод средних арифметических. Введем
следующее понятие, которое является основным в аддитивной
теории чисел. Пусть Р—множество положительных целых чисел
и пусть С(Р; п) при п^ 1 означает число элементов из Р,
которые меньше или равны п. Если hmC(P; n)/n существует, то его
я-»- оо
значение называется натуральной плотностью множества Р.
Следствие 2.1. Пусть (xk)—последовательность в
компактной группе G. Предположим, что последовательность (хк+пх^)
является А-р. р. в G при каждом значении h из множества
натуральной плотности 1. Тогда (xk) является А-р. р. в G.
Доказательство. Рассмотрим положительный сильно
регулярный матричный метод В = (bnk), определенный условиями bnk =
= 1/п при l^k^n и bnk = 0 при k>n. Пусть Р—множество
натуральной плотности 1. Тогда, замечая, что
lim 2 Kk= lim c(pi n)/n=l,
из теоремы 2.5 получаем требуемое. □
Ослабление предположений. Оказывается, что достаточно
наложить условия на последовательность (xk+hXkX) только для довольно
«редких» значений Л. В этом направлении получен следующий
результат.
Теорема 2.6. Пусть (xk) — последовательность в компактной
группе G, A = (ank) — положительный сильно регулярный
матричный методу а г—фиксированное положительное целое число. Пред-
положим, что последовательность (Хь+цХъ1) является А-р. р. в G
при каждом значении Л, которое является положительным
кратным г. Тогда последовательность (хк) сама является А-р. р. в G.

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ 275
Доказательство. Выберем нетривиальное неприводимое
унитарное представление D размерности т группы G, и пусть у—
некоторая Л-корреляционная функция последовательности (D(xk)).
По лемме 2.5 функция у на Z является положительно
определенной. Тогда ясно, что функция б на Z, определенная формулой
8(h)=y(rh) при AgZ, также является положительно
определенной. По теореме Бохнера — Герглотца существуют определяемые
единственным образом неотрицательные ограниченные регулярные
борелевские меры а и 1 на Т такие, что у (A) = j zh do (z) и
т
б (А) = j zh dX (z) при всех A£Z. Меры о и X могут быть очевид-
т
ным образом отождествлены с мерами на [0, 1); таким образом, можно
писать y(h)= } exp (2nihx) do (x) и 6(A) = J exp(2nihx)dX(x).
[0, 1) [0, 1)
С другой стороны, 8(h) = y(rh)= J exp (2nirhx) do (x) при всех
[cC i)
A€Z.
Выясним, каким образом связаны меры о и X. Пусть
V—преобразование, переводящее х£[0, 1) в rxg[0, r). Тогда 6(А) =
= J ехр(2яШ)^т(/), где т—мера на [0, г), определенная фор-
[о' 1)
мулой %(B) = o(V~1B) для каждого борелевского множества В в
г- 1
[0, г). Отсюда следует, что 6 (А) =2 j exp(2niht) dtj(t)y где
Ту является мерой на [/, /+1), индуцированной мерой т. При
фиксированном /, 0^/^г—1, введем отображение W/.
'€[/, /+1)^'< —/€[0, 1). Тогда
в (А) =2 У ехр(2яШ)Лу(0,
/=0[0? 1)
где Vj(B) = xj(Wj1B) для борелевского множества В в [0, 1).
Другими словами, мы получаем, что
/г-1 \
б(А)= J ехр(2лШ)4 2 vy )(0 (2.44)
[0, 1) \/=° J
при всех A£Z. Следовательно, из единственности меры X следует,
г-1
что?1=2гу- Заметим, что vy определена в терминах а, что
/=о
представляет собой искомую связь между X и о.
После этих общих рассуждений используем теперь наше
предположение. В соответствии с ним имеем 6(А) = 0 при всех кфО
и во всяком случае 6(0) = т. Единственность меры X означает,

276 гл- 4- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
что К должна быть мерой Лебега на [0, 1), умноженной на кон-
станту т. Тогда из равенства 0 = Х({0}) = 2 v/({0}) вытекает,
/=о
что v0 ({0}) = 0, так как все vy являются неотрицательными мерами.
Отсюда следует, что т({0})=т0({0}) = 0, и поэтому а({0}) = 0.
Таким образом, соответствующая мера о в Т удовлетворяет
равенству а({1}) = 0, и применение леммы 2.7 завершает
доказательство. П
Можно также поинтересоваться, справедливы ли следствие 2.1
и теорема 2.6 в более сильном варианте, который был получен
в теореме 2.1, а именно, что все последовательности вида (xqk+r),
k= 1, 2, ..., должны быть Л-равномерно распределены. Это
действительно может быть показано — по крайней мере в случае,
когда А является методом средних арифметических. Для того
чтобы сделать это, необходимо вначале получить обобщенный
вариант нашей центральной леммы 2.7. Следующий результат
будет, однако, справедлив для произвольного положительного
сильно регулярного метода А. Мы вернемся к нашей основной
последовательности со = (М (&)).
Лемма 2.8. Пусть q—заданное положительное целое число.
Предположим у что для каждой А-корреляционной функции
последовательности со соответствующая мера о на Т удовлетворяет
равенству о({Ц) = 0 для всех корней q-й степени из единицы £
в Т. Тогда соотношение
00
Km 2<W+,M(<7* + r) = 0
Л-* оо k= 1
выполняется при каждом г = 0, 1, ..., q—1.
Доказательство. При О^г^^—1 введем
вспомогательную матрицу В{г) = (Ь%1) с Ь%1 = qan> qk+r. Тогда Вкг) также являются
положительными сильно регулярными матричными методами, но
оо
свойство lim 2 %} = 1 не проверяется непосредственно. Опреде-
П -> оо k= 1
лим последовательность (ck), положив ck = q, если k^q и
& = r(mod<7), и ck = 0 в противном случае. Тогда (ck) является
почти сходящейся к 1, и поэтому сильная регулярность А озна-
ОО 00 ОО
чает, что 1 = lim 2 <*„*<* = lim 2 <7«W+r= ит 2 Kl
/1-*оо/г=1 /1->-ао/г=1 /l-vaofc=l
Рассмотрим теперь последовательность (o(r) = (M (qk + г)),
0<г<<7—1. При фиксированном г предположим, что
у" (h) = lim 2 6<& (M (qk + qh + r)\M(qk + r))
S-*00 k= 1
является В(г)-корреляционной функцией последовательности со(Г).

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
277
Переходя к соответствующей подпоследовательности (п5), которую
для простоты мы также будем обозначать через (п5), можно
предположить, что
y^(h) = lim S b\llk(M(qk+qh + j)\M(qk + j)) (2.45)
является В(у)-корреляционной функцией последовательности (о(у)
при 0</<^—1 и что
у {К) = lim 2 ansk (M(k + h)\M (k)) (2.46)
является Л-корреляционной функцией последовательности со (можно
использовать рассуждение из доказательства леммы 2.3). Выведем
следующее важное тождество:
2 Уф (h) = Hm 2 2 bfsk (M (qk + qh + j) | M (qk + /)) =
/=0 s-*oo k=.\ /=0
oo q— 1
= lim 2 2 Wis. «*+/ (M (qk + j + qh) \ M (qk + /)) =
S->00 /C = 1 / = 0
00
= Hm 2 QOnsk (M (k + qh)\M (k)) =
s->oo k=q
oo
= lim 2 <7<W (M (k + qh)\M (k)),
поскольку lim ansk = 0 при 1 ^ k ^ q— 1. Поэтому
s->-oo
Qiy{J)(h) = qy(qh) (2.47)
/ = 0
при всех /igZ.
Положим 8(h) = y(qh) при /igZ. Функция б является
положительно определенной на Z и, следовательно, соответствует
некоторой мере в Т. Как это уже делалось при доказательстве
теоремы 2.6, меры в Т будут отождествляться с мерами в [0, 1).
Пусть а—мера ъ [0, 1), соответствующая у. Наше предположение
означает, что o({0}) = o({\/q})= . .. =o({(q—l)/q}) = 0. Пусть
X—мера в [0, 1), соответствующая функции б. В первой части
доказательства теоремы 2.6 мы изучали связь между X и <т и
оказалось, что во введенных там обозначениях Х = 2 v/- Но
/=о

278
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
тогда
^({0}) = Lvy({0}) = £t/({/}) = IlT({/}) = £a({l}) = 0.
/ = 0 /=0 7 = 0 7 = 0 * 1 Ч > '
(2.48)
Пусть W1 при 0</<<7—1 является мерой в [0, 1),
соответствующей 7(у)- На основании (2.47) имеем
я-\ r / ?-i \
b(h) = (l/q)2yW(h) = \ exp(2mhx)d[(l/q)^^'))(x)
/=о [о, 1) \ /=° /
при всех /t£Z. Единственность меры X означает, что 'k = (\/q)x
X 2^(/)- Поскольку все меры W* неотрицательны, из (2.48) по-
/=о
лучаем, что Х{г) ({0}) = 0. Другими словами, мера Х{г) в Т,
соответствующая б(г)-корреляционной функции у{г)
последовательности (о(г), удовлетворяет равенству Х(г)({1}) = 0. Заметим, что у{г)
являлась произвольной В(г)-корреляционной функцией
последовательности о)(г). Следовательно, применение леммы 2.7 дает
равенство
00 00
lira 2b%M.(qk +r) = lim ^qantik+rM(qk + r) = 0,
rt->oo k= 1 n-+(x> k=\
откуда следует требуемый результат. □
Пример 2.2. Условие леммы 2.8 заведомо выполнено, если
меры о обращаются в нуль для всех одноточечных множеств в Т,
т. е. a({z}) = 0 при всех zgT. Мера такого типа называется
непрерывной мерой в Т. Мы приведем полезный критерий
непрерывности меры, который в действительности является только
переформулировкой критерия, данного в теореме 7.5 гл. 1.
Предположим, что о соответствует положительно определенной
функции у на Z, т. е. y(h)= \^zhdo{z) при всех /igZ. Мера а непре-
т
рывна тогда и только тогда, когда
Hm^lvWI^O.
Для того чтобы доказать это, обозначим через т
меру-произведение в декартовом произведении ТхТ, индуцированную мерой а,
и пусть переменные х и у пробегают Т. Тогда, используя теорему

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
279
и
Фубини и тот факт, что lim (1/#) 2 zh = О при z g Т, z Ф
Я-юо /1=1
Н
lim (1/Я) 2^=1 при г=1, видим, что
Я-*оо h=l
Я w
1 ^,._/f.4,. 1,.„ 1
1 Я Г Г \ Н С
= ИтяИ \xhdo(x)\y-hdo(y)= lim w У \ xhy~hdx{x, y) =
Я^°° h=lT T Я"^С0 Л=1ТХТ
= J (U*e Й^"1)*)*^ У) = *({(*. У)€ТхТ: х = у}) =
TXT \ ~*С° Л=1 /
= 5 o({x})do(x) = 0
т
тогда и только тогда, когда мера о непрерывна. □
Комбинируя предыдущую лемму с результатами, полученными
при доказательстве теоремы 2.6, получаем следующий более
сильный вариант этой теоремы в случае, когда А является методом
средних арифметических.
Следствие 2.2. Предположим, что (хп)—такая
последовательность в компактной группе G, что при некотором
положительном целом г каждая последовательность вида (л^л;^1), где
h является положительным кратным г, равномерно распределена
в G. Тогда последовательность (x4k+s) p.p. в G при каждом
положительном целом q и каждом неотрицательном целом s.
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный метод
суммирования А (разумеется, положительный и сильно
регулярный), для того чтобы увидеть, где в действительности нам будет
необходима конкретная форма Л. Пусть у является Л-корреля-
ционной функцией последовательности (D(xk)) для
нетривиального неприводимого унитарного представления D группы G. Как
выяснилось при доказательстве теоремы 2.6, мера X в [0, 1),
соответствующая положительно определенной функции б (h) = у (rh)
на Z, является в точности мерой Лебега, умноженной на
некоторую положительную константу. Если о означает меру в [0, 1),
соответствующую у, то мы получим соотношение вида X =
= 2vy- Предположим теперь, что v({p/q})>0 при некотором
рациональном p/q, O^p^q—1. Тогда при i = [rp/q] мера v,-
положительна в точке (rp/q)—[rp/q]. Следовательно, мера X в этой
точке положительна, что, очевидно, невозможно. Таким образом,
условие леммы 2.8 удовлетворяется при всех qy и поэтому получаем
llm2i„^W = 0 (2-49)
л-»-оо/г=1

280 ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
при всех q и s. Итак, в случае произвольного А данный подход
не позволяет сделать заключение, что последовательность (xqk+s)
является Л-р.р.; для этого необходимо иметь
00
lim 2 ая1к£> (*,»+,) = <).
Л-VOD k=l
Но если А является методом средних арифметических, то (2.49)
дает
. i(n-s)/q]
° = ?lim7T Z D(xqk+S) = iim± £ D(xqk+S) =
= H gUn-s)/q] m 1 [{n^Q]D( = lim 1 У D(х,к+я)9
k=1 k=1
и требуемое получено. □
Используя несколько иной метод, мы можем усилить
заключение следствия 2.1, если договориться выбрать снова в качестве
А метод средних арифметических.
Следствие 2.3. Пусть (xk) — последовательность в
компактной группе G. Предположим, что последовательность (х^^1)
р. р. в G при каждом значении h из множества натуральной
плотности 1. Тогда последовательность (xqk+s) p.p. в G при
каждом положительном целом q и каждом неотрицательном целом s.
Доказательство. Как обычно, выберем нетривиальное
неприводимое унитарное представление D группы G, скажем,
размерности т, и рассмотрим Л-корреляционную функцию у
последовательности (D (xk))t где А в данном случае является матрицей
арифметических средних. Если Р является множеством
положительных целых чисел натуральной плотности 1, из которого
выбираются значения /i, то y(h) = 0 при всех h£P. Мы видели из
доказательства теоремы 2.5, что неравенство |v(A)|^/n
выполняется при всех /i^l. При #^1 получаем
LJ
~£\у(1г)\*<£(Н-С(Р;Н)) = т*(1-ЩУ). (2.50)
(По поводу определения С(Р\ Н) см. обсуждение,
предшествующее следствию 2.1.) Условие, наложенное на Р, означает, что
н
lim(l/#) 2 |v(^)|2 = 0. Согласно критерию, данному в приме-
ре 2.2, мера о в Т, соответствующая у, является непрерывной.
Таким образом, лемма 2.8 применима при каждом qt и мы
получаем, что
00
lim 2 а», „*+,Я (*,*.,) = О
rt-^oo к— 1

§ 2. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О РАЗНОСТЯХ
281
при всех q и s. Завершается доказательство, как в
следствии 2.2. □
Замечания. Теоремы 2.1, 2.2 и 2.3 взяты из работы Хлавки [1]. В случае,
когда рассмотрение проводится мод 1, усиленный вариант теоремы ван дер Корпу-
та, сформулированный в виде теоремы 2.1, был установлен Коробовым и
Постниковым [1]. Теоремы 2.2 и 2.3 остаются справедливыми, если в их
формулировках термин «отлично распределена» заменить на «слабо отлично
распределена» (Хлавка [2, 8]). По поводу понятия «слабо отлично распределенные
последовательности» см. гл. 3, упражнение 3.13. Детальное изучение
«наследственных свойств», т. е. свойств, которые присущи всем последовательностям
(Xqn+r) всякий раз, когда они присущи последовательностям (лг^+л^/г1)» ^=1,
2, ..., было проведено Хлавкой [8]. Другие варианты теоремы ван дер Кор-
пута для компактных групп могут быть найдены в работах Хлавки [1], Кем-
пермана [1] и Циглера [11].
Возможность доказательства теоремы ван дер Корпута в случае p.p.
мод 1 с помощью корреляционных функций впервые была реализована Бассом
и Ж--П. Бертрандиа [1]. Подробное объяснение их метода дано в работе Бас-
са [1]. Большинство результатов настоящего параграфа получено Ж-П.
Бертрандиа, однако снова только в случае распределения мод1. Следствие 2.2
принадлежит Деланжу. По поводу дальнейших приложений метода к
изучению р. р. мод 1 см. работы Басса [3], Ж-П. Бертрандиа [2], Безино [1, 2],
Леска и Мендес-Франса [1] и Мендес-Франса [1, 4]. Мы также отсылаем чи-
ателя к работе Донохью [1, с. 199] по поводу другого интересного подхода.
В своей наибольшей общности метод был развит Циглером [7, 8]. В
другом направлении Циглером [6] показано, что теорема ван дер Корпута
распространяется на последовательности мер на компактной группе; см. также
работы К. Шмидта [3] и К- Зигмунда [1].
Доказательства фундаментальной теоремы Бохнера — Герглотца могут
быть найдены в книгах Люмиса [1], Рудина [1] и А. Вейля [1]. Относительно
весьма общих вариантов теоремы о разностях см. Кемперман [2, 3].
Упражнения.
2.1. Пусть х—такой элемент в компактной группе G, что
последовательность ((**)") p.p. в G при любом отличном от нуля целом к. Показать, что
последовательность (л/(")) р. р. в G при любом выборе многочлена /
положительной степени с целыми коэффициентами.
2.2. Доказать, что каждый характер локально компактной абелевой
группы G является положительно определенной функцией. Какая мера на 6
соответствует характеру согласно теореме Бохнера — Герглотца?
2.3. Показать единственность меры а в теореме Бохнера — Герглотца.
2.4. Доказать следующее обращение теоремы Бохнера—Герглотца:
функция р(х)= \ x(x)dG(%) на G положительно определена.
д
2.5. Обобщить теорему 2.6, показав, что ее условие может быть ослаблено
следующим образом: последовательность (л^+л*^1) является Л-р.р. в G при
каждом h вида h = pr, где р выбрано из множества натуральной плотности 1.
2.6. Обобщить следствие 2.2, показав, что его условие может быть
ослаблено следующим образом: последовательность (Xk+^Xk1) p. p. в G при каждом
h вида h = pr, где р выбрано из множества натуральной плотности 1.
2.7. Объяснить, почему теорема 2.6 не является частным случаем
теоремы 2.5 при г > 1.
2.8. Показать, что если последовательность (уп) отлично распределена
в компактной группе G, а последовательность (хп) удовлетворяет условию
lim Уп1хп = е, то (хп) отлично распределена в G,

282 гл. 4. топологические группы
2.9. Пусть G является компактной группой, состоящей по крайней мере
из двух элементов. Показать, что последовательность (хп), для которой
lim xn+1Xn1 = e, не может быть отлично распределенной в G. Указание.
rt->oo
Воспользоваться леммой 3.3 гл. 3.
2.10. Показать, что теорема 2.3 обобщает теорему 3.3 гл. 1.
2.11. Доказать лемму 2.3, используя метод из упражнения 7.7 гл. 1.
§ 3. Свертка последовательностей
Свертка мер. В данном параграфе мы намерены выявить
замечательную аналогию между хорошо известной операцией свертки
мер в компактной группе G и некоторой бинарной операцией на
множестве всех последовательностей в G, которая, в силу этой
аналогии, также будет именоваться сверткой. Вначале соберем
вместе некоторые необходимые нам сведения по сверткам мер.
В дальнейшем мы будем интересоваться только неотрицательными
нормированными регулярными борелевскими мерами в G. Однако
при этом следует иметь в виду тот факт, что свертка может быть
определена аналогичным способом и для ограниченных
комплексных регулярных борелевских мер в локально компактных
группах (как это делается в абстрактном гармоническом анализе).
Следующая простая лемма и теорема о представлении Рисса
создают основу нашего определения.
Лемма 3.1. Пусть к и v — две неотрицательные
нормированные регулярные борелевские меры в компактной группе G.
Функционал L на Я (G), определенный формулой L(f)=\ у (ху) dk (х) dv (у),
g b
является неотрицательным нормированным линейным
функционалом.
Доказательство. Все свойства легко проверяемы. □
Лемма 3.2. (Теорема Рисса о представлении.) Пусть X —
компактное хаусдорфово пространство и пусть L —
неотрицательный линейный функционал на <к(Х). Тогда существует
единственная ограниченная регулярная борелевская мера а в X такая, что
L(f)=\jfda для всех f£3l(X). Если L нормирован, то о также
х
нормирована.
Определение 3.1. Единственная неотрицательная
нормированная регулярная борелевская мера в G, соответствующая
в силу теоремы Рисса о представлении функционалу L из
леммы 3.1, называется сверткой X и v и обозначается через Ji*v.
Более подробно, имеем
J /d(^*v) = J \f{xy)d%{x)dv{y) (3.1)
G G G
для любой функции f£fA(G), и стандартным способом можно
показать, что это тождество справедливо также для /€#(G). Для
простоты будем обозначать через о£+(G) множество всех неотрн-

§3. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 283
дательных нормированных борелевских мер в G. Пусть efl> a$Gy
обозначает нормированную меру, сосредоточенную в точке а (ср.
с упражнением 1.1 гл. 3).
Лемма 3.3. Множество о£+(G) является полугруппой
относительно свертки.
Доказательство. Ясно, что свертка является бинарной
операцией в od+ (G). Для того чтобы показать ассоциативность,
выберем три меры Х> v, o^oS+(G). Для каждой f€ 31(G) получаем
j fd ( (k * v) * о) = j j / (xz) d (k * v) (л:) do (z) и, полагая gz (x) = f (xz)
G G G
при фиксированном z £ G, приходим к равенствам j/(xz)d(h*v)(*) =
b
= S& (*) d (A, * v) u) = $ $£, (**/) d?c (x) dv (y) = J J / (xyz)dk(x) dv (y).
G GG GG
Следовательно,
J/d((^*v)*a)=5 J $/(xyz)d4x)dv(jrt£to(z).
G G G G
С другой стороны, полагая g(y) = \ f(xy)dk (х)> получаем
G
J / d (U(v*a)) =55/ (лс^) i», (x) d(vo){y)=lg (у) d (v*a) (у) =
G G G G
= Hg^)dv(jf)da(z)=l'\ S /(^z)^(x)dv(jf)da(z).
G G G G G
Поэтому (X*v)*a = X*(v*a). □
Лемма 3.4. Для любых a, b£G справедливо равенство sa*eb=
Доказательство. Путем простого вычисления получаем,
что
S f*(Sa*eb)= S S /■ (*#) *в (*) rfeb (У) = S / H) d4 (У)=! (ah) = J fdeab
G G G G G
для любой функции f£9l{G). □
Лемма 3.5. Полугруппа оЛ+ (G) коммутативна тогда и толь-
ко тогда, когда коммутативна группа G.
Доказательство. Если G коммутативна и A,, vg<^+(G),
то
J /d(X»v) = J J f(xy)^(x)dv{y)^l \f(yx)dv{y)dk{x)=\fd{v*%)
G G G G G G
для любой функции /€5£(G), и поэтому X#v = v*X. Однако если
G не коммутативна (т.е. аЬфЬа для некоторых а, ft£G), то из
леммы 3.4 следует, что га*еьФеь*еаУ и поэтому oS+ (G) не
коммутативна. □

284 ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Лемма 3.6. Мера Х£оМ+(G) является мерой Хаара в G
тогда и только тогда, когда равенство X*v = v*X == X выполняет-
ся для всех v £ c^+ (G).
Доказательство. Ясно, что может существовать только
одна такая мера Х> ибо если мера Хг £ <Л+ (G) обладает тем же
свойством, то Х*ХХ = Х и Х*Х1 = Х1. Покажем теперь, что мера
Хаара |i в G обладает этим свойством. Для v£o£+(G) и для
любой функции /6^(G) получаем
J /d(|i»v)= $ J / (xy)d\L(x)dv (*/)=$ f(x)d\L(x) J dv= J fd^
G G G G G G
вследствие инвариантности (я относительно сдвига. Таким образом,
|i*v = |i, и аналогичным путем показывается, что v*[a = [a. П
Операция свертки обнаруживает также замечательно хорошее
поведение относительно представлений группы G. Пусть D = (diJ)—
представление группы G степени г с матричными функциями
d/yg#(G). Введем следующее удобное сокращение. Обозначим
для меры v£qM+ (G) через v(D) rxr-матрицу v(D) = (aty) с a{J =
= \difdv.
G
Лемма 3.7. Для Xy v£<^+(G) и любого представления D
группы G имеет место матричное тождество (X*v) (D) = X (D) v (D).
Доказательство. Пусть D = (dtj) — представление степени
г; положим X(D) = (au)y v(D) = (P/y) и Х(Ь)у(0) = (уи). Тогда
У и = 2 «/А/ = И ( 2 <fo (*) dkJ (у) ) dX (x) dv (у). (3.2)
r
Но элемент 2 dik(x)dkJ(y) находится как раз на пересечении i'-й
строки и /-го столбца произведения матриц D (x) D(y) = D (ху)
и поэтому равен du{xy). Следовательно, Уи=) \du[xy)dX(x)x
G G
xdv(y)= j dud(X*v)y и доказательство закончено. □
G
Свертка и равномерное распределение. Нас будет интересовать
равномерное распределение последовательностей относительно мер
в q£+(G). Используя в точности то же рассуждение, что и в § 1
(а именно, применяя теорему Петера — Вейля), мы можем
следующим образом видоизменить критерий Вейля,
сформулированный в качестве теоремы 1.3: при v£g£+(G) последовательность
(хп) тогда и только тогда v-p. p. в G, когда условие
N
Ига ^I>(*„)=v(D) (3.3)

§3. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
285
выполняется для всех неприводимых унитарных представлений D
группы G.
Определим теперь в декартовом произведении G°° счетного
числа экземпляров группы G, которые мы отождествим с
множеством всех последовательностей в G, бинарную операцию, которую
также будем называть сверткой. По двум заданным
последовательностям (хп) и (уп) в G образуем последовательность (zn)
таким образом, что первыми k2 ее элементами являются
всевозможные произведения х{у;- при 1 ^ i ^ k и 1 ^ / ^ k. Конкретно,
определим zny выбрав единственное целое k ^ 1 такое, что (k —
— 1)2<п^!&2, и положив zn = xky0 если n = (k—l)2 + 2i—1,
и гп = х(ук, если n = (k—1)2 + 2/. Таким образом, первыми
членами последовательности zn являются хгу1У х2у1У хху2У х2у2У
%зУ1у %1Уз> %зУ2у %2Узу %зУз> ' * *
Определение 3.2. Определенная выше последовательность
(zn) называется сверткой последовательностей (хп) и (уп) и
обозначается (ха)*{уя).
Тесная связь между двумя операциями свертки выявляется
следующей теоремой, которая, кроме всего прочего, оправдывает
использование одинаковых названий для обеих операций.
Теорема 3.1. Пусть Х> v£<^+(G). Если последовательность
(хп) является Х-р.р.у а (уп) — v-p. p. в G, то последовательность
(хп)*(Уп) является kxv-p.p. в G.
Доказательство. Обозначим через (zn)
последовательность {хп)*(уп) и выберем неприводимое унитарное представление
D размерности г группы G. Согласно (3.3) мы должны показать, что
N
Hm (1/N) 2 D(zn) = (k*v)(D) = K(D)v(D).
N-+CD /1=1
Для целого N > 1 существует единственное целое k = k (N) !> 1
такое, что k2 < N ^ k-\-\)2. Используя свойства матричной
нормы, перечисленные в § 1, получаем
N
ffL0(z„)-M£)v(£>) +
1 N
}lDfe)-MD)v(fl)
1 /х=1
N
+ F L D(z„)
n=k2-\-\
<
k2
N
=
1
k2
jrl1D(zn)-X(D)x(D)
n=l
2k+lV7.
N
По построению последовательности (zn) первыми ее k2
элементами в точности являются всевозможные произведения xtyt при
1 =С *, j ^ k, взятые в некотором порядке. Поэтому
2DW = (HD(xn) )[^D(yn) .
n=l \n=l j \rt=l У

286
1'Л. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Отсюда следует, что
N II
fI>(2«)-MO)v(D) к
гс = 1 II
•f(tL 0(*-)YtS W)-M0)v(0)
/1=1
/х=1 / ^ /х=1
f^+V?. (з.4)
Если теперь устремить Л/" к бесконечности (или, что то же,
k—► с»), то
k
lim-^l=l, limi^D (*„) = *(£>),
lim(l/*)2D(^) = v(D),
fc-*oo /1=1
откуда следует, что правая часть (3.4) стремится к нулю. □
Важным частным случаем является случай G = G1xG2> т.е.
G есть прямое произведение двух других компактных групп Gt
и G2. Группы Gx и G2 вместе с их мерами Хаара \лх и \х2 могут
быть отождествлены с подгруппами H1 = G1x{e2) и //2 = {e!}xG2
группы G и соответствующими им мерами Хаара. Определим меры
vx и v2 на G формулами vx (В) = ^ (В П Я) и v2 (В) = \х2 (В П Я2)
для всех борелевских множеств В в G. Вычислим v^v^ Для
функции / £ Й (G) получаем
5 / d (vx*v2) = J J / (л#) dvt (x) dv2 (y) = J J / (л#) d^ (л:) djx2 (у).
G G G H2 Ht
Поскольку x пробегает Я,, то х=(х1Уе2)у где x1^Glf и,
аналогично, у = (е1У х2)у где a;2£G2. Таким образом,
S / d k*v2) = S S f w^i» *«)) ^i (х) ф2 (^)=S /ф.
G G2 Gj G
Поэтому мы заключаем, что гх*г2 равно мере Хаара |ы на группе
G. Рассмотрим теперь p.p. последовательность (хп) в Gl и p.p.
последовательность (*/„) в G2. Тогда последовательность ((хп> е2))
является vrp.p., а последовательность ((е1У уп)) является v2-p.p.
в G. По теореме 3.1 последовательность ((хпУ е2))*((е1У уп))
является p.p. в G. Но данная последовательность может быть
записана парами (х1У уг)9 {х2У уг)у {х1У у2)у (х2У у2)у ... и так далее —
по очевидной англогии со сверткой последовательностей. Если
быть точными, д-й член wn результирующей последовательности
есть wn = (xky yt)y если n=(k—l)2 + 2i—1, или wn = (xiy yk)y если
n = (k—l)2 + 2i, где п и k связаны между собой так же, как в
определении свертки. Таким образом, нами установлен простой
метод построения p.p. последовательностей в прямом произведении

§3. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
287
групп из последовательностей, равномерно распределенных на
сомножителях.
Следствие 3.1. Пусть последовательность (хп) p.p. в Gly a
(Уп) Р-Р- в ^2- Тогда определенная выше последовательность (wn)
p.p. в G^G^
Семейство критериев равномерности распределения.
Теорема 3.2. Следующие свойства последовательности (хп)
в компактной группе G эквивалентны:
1. Последовательность (хп) p.p. в G.
2. Для каждой последовательности (уп) в G
последовательность (хп)*(уп) является v-p.p. в G для некоторой меры v£o£+(G).
3. Последовательность (хп) * (уп) p.p. в G для каждой
последовательности (уп) в G.
4. Последовательность (лг„) * (лг„х) p.p. в G.
5. Подпоследовательность последовательности (хп)*(Хп1)У
состоящая из всех произведений xw1 при i>/\ p.p. в G.
Доказательство. Нашей целью является проверка
следующих двух цепочек импликаций: (1)=>(3)=>(2)=>(1) и (1)=>
=^>(5)=ф(4)=>(1). Тем самым будет доказана эквивалентность
всех пяти свойств.
(1)=>(3). Доказательство этой импликации сходно с
доказательством теоремы 3.1, поэтому можно несколько сократить
необходимые рассуждения. Выберем нетривиальное неприводимое
унитарное представление D группы G размерности г и положим (zn) =
-(хп)*(уп). Заметим, что
Нш (1/Л0 2 D(x»)
W->od|| /1=1
и k как в доказательстве теоремы 3.1, получаем
N II
1 \п _, Л Л2 И
k
= 0. Выбирая N
4-х °(zn)
n=l
<Ж
L £»(*„)
«=i
L D(y„)
A
+
^vt.
N_
k2 ./■-
<^
т £>(*«)
+
?*+L, r-
k2
Vr
откуда немедленно следует, что
lim
(i/ло Sd(Z„) =o.
л=1
(3)=ф(2). Тривиально.
(2)=>(1). Выберем вначале в качестве (уп) постоянную
последовательность е> е> ... Тогда (гп) = (хп) * (е) является v-p.p. в G
для некоторой меры v£&ft+(G). Снова выберем целые N и k
такими, как в доказательстве теоремы 3.1. Заметим, что среди
первых k2 элементов последовательности (zn) каждый элемент X/ при
l^j^k встречается ровно k раз. Поэтому
2Я(г„) =

288
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
k N
— k 2 ^(*и)+ 2 D(zn)> гДе &—неприводимое унитарное ПреД-
ставление группы G. Отсюда следует, что
k N N
n=\ n-\ n=kz+i
k
и, таким образом, lim (l/k) У] D(xn) = v(D). Следовательно,
полное п — \
следовательность (хп) является v-p.p. в G.
Остается показать, что v равна \х> мере Хаара в G. Если
v=jfc\iy то мера v не может быть инвариантной относительно
сдвига; следовательно, v¥=vc при некотором c£G, где vc
определяется формулой vc (В) = v (Be) для всех борелевских множеств
В в G. Рассмотрим теперь постоянную последовательность с> с,...
Ясно, что эта последовательность является ес-р.р. в G. По
теореме 3.1 последовательность (ип) = (хп) * (с) является тогда vc-p.p.
в G, поскольку легко показать, что v*sc = vc. Из того, что
уфус и из теоремы Петера — Вей ля следует, что существует
нетривиальное неприводимое унитарное представление D группы
G с v(D)=£vc(D). Построим последовательность (wn) в G
такую, что для последовательности C„) = W*K) предел
N
lim (1/N)2 #(*,,) не существует; тем самым получим противо-
N -> со п= 1
речие со свойством (2).
Последовательность (wn) определяется следующим образом.
Первые 22° ее членов равны с> следующие 221 членов равны еу
следующие 22' членов опять равны с, следующие 223 членов рав-
м
ны е и так далее. Пусть а(М)= У) 22* при УИ^О. Покажем
вначале, что
а2(2М)
Первые а2(2УИ) элементов последовательности (/„) состоят
попросту из всевозможных произведений xtWj при 1^/, j^.a{2M).
м
Если положить b (М) = 2 222/\ то ровно ft2 (УИ) из таких а2 (2М)
k = 0
элементов будут иметь вид хтс при l<m^ft(/W). Эти Ь2(М)
элементов будут также являться первыми Ь2(М) элементами vc-p.p.
последовательности (ип)> расположенными в некотором порядке.

§3. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
289
В целом получаем
а2(2М)
^Щ L D(tn)-vc(D)
/1=1
b2(M)
: а2 (2М)
Ь*(М)
Ь2(М)
^D(un)-vc(D)
/i=i
+
+ ^72Af) (^г + РсФ)11)»
!(2Af)
где г означает размерность представления D. Прямая оценка
показывает, что lim b(M)/a(2M)= 1, что немедленно дает требуемое
предельное соотношение (3.5). Действуя в точности тем же
способом и используя тот факт, что последовательность (хп)*(е)
является v-p.p. в G, можно убедиться, что
а2(2М+\)
Jlf.a^Af+l)
£ D(U = v(D).
(3.6)
Л=1
Тогда из соотношений (3.5)*и (3.6) следует, что lim (l/N) ^ D(tn)
N-+CD /1=1
не существует.
(1)=>(5). Если последовательность (л;п)р.р. в G, то (х"1)
также p.p. в G, ибо
n n
lim 4£ D (x-n>) = lim ^ Ц Щ£у = О
N-+CD
/1=1
/1=1
для всех нетривиальных неприводимых унитарных представлений D
группы G. Зафиксировав представление D размерности г, мы, таким
n
образом, имеем
(1/Л0 2 ДОС)
/1=1
е при всех N ^ N0 = N0(e).
Пусть теперь (zn) является подпоследовательностью
последовательности (лГи)*^1), описанной в свойстве (5). При заданном
N^\ существует единственное такое целое m = m(N)y что
т(т— 1)/2<Л/" < (m+ 1) т/2. Поскольку
т(т-1)/2 f
iL^w
/i=i
m(m — 1)
/i=i
+ —КГ
достаточно показать, что
lim
m-> oo
m {m- l)/2
m(m-
/i=i
= 0.
Выберем m > Af0. По построению последовательности (zn) первые
ее т(т—1)/2 членов состоят из всевозможных произведений
10 л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

290
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
XiXj1 при l^/<t^m. Поэтому
т(т- 1)/2
т (т— 1)
<
£ D{zn)
т(т—1)
Х-
т(т—1)
2>Ю
N0 i-
f=2/=l
+
m i-\ |
' Z «-
i = N0+l
<
m(m— 1)
l)D(*,)x
<
tf»(AV-1) уj 2гУг у
m (m— 1)
tn(m— 1)
(f-l)<2|/>e
w0+i
для достаточно больших m.
(5)=ф(4). Пусть рассмотренная выше последовательность
(zjp.p. в G. Тогда (Zn1) также p.p. в G, и таковой является
последовательность (уп)> полученная из этих двух
последовательностей путем следующего их соединения: y2m-i = zm и У2т = гт1
при m^l. Последовательность (уп) содержит всевозможные
произведения x^j1 при 1ф\у расположенные в точности в том же
порядке, в каком они встречаются в (а:л)*(а:^1). Таким образом,
последовательность (а:л)*(а:„1) получается из последовательности
(уп) вставкой членов xixj1 = e в соответствующих местах, а
именно, член е должен предшествовать у1У а между любыми двумя
членами вида уп*-п и Уп*-п+1 ПРИ я ^2 нужно также вставить
член е. Эти новые члены не будут влиять на равномерность
распределения последовательности» поскольку их асимптотическая
относительная частота равна нулю.
(4)=>(1). Пусть (wn) = (xn)*(Xn1) является p.p. в G
последовательностью; выберем нетривиальное неприводимое унитарное
представление D группы G. Используя свойства матричной нормы
и скалярного произведения матриц, перечисленные в § 1,
получаем, что
lim
N-+<x>
п=\
N -+ со
4£°М = liraNr£D(*«) ж5Х*«> =
л=1
N N
/1=1
n n
= Ига 4 Z £ (D (xt) | D (x,)) = lira £ £ (D (*,*,-*) IE) =
JV->oo
1=1 /=1 #-*»*=! /=1
1 V^V ~ ,*,,Л f „^-M
N-* oo '
W->»
rt=l
Следовательно, последовательность (хп) p.p. в G. □
Эквивалентность свойств (1) и (5) допускает следующую
иллюстрацию, которая к тому же выявляет связь с теоремой о
разностях ван дёр Корпута для компактных групп (см. § 2). В своей
простейшей форме теорема о разностях может быть
сформулирована следующим образом. Пусть (хп)—последовательность в ком-

§3. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
291
пакты ой группе G; рассмотрим бесконечный массив элементов
Х2Х\ Х$Х2 Х^Х$ • • •
Х^Х\ Х^Х2 "^5^3 * * •
Х^Х^ ^б 2 ^6^3 ' * *
Если каждая строка этого массива является p.p.
последовательностью, то таковыми же являются первый (и, следовательно,
каждый) столбец и сама последовательность (хп). Тогда
эквивалентности свойств (1) и (5) можно дать следующую интерпретацию.
Равномерность распределения первого (и поэтому каждого) столбца
эквивалентна равномерности распределения последовательности,
полученной перенумерацией элементов массива в соответствии с
хорошо известной диагональной процедурой Кантора: л^г1, х^1,
Х^Х2 » X^Xi > Х±Х2 , #4#з » • • •
Замечания. Определение свертки последовательностей и все основные
результаты этого параграфа взяты из работ Хельмберга [4, 6]. Детальное
изучение сверток мер можно найти в книгах по гармоническому анализу (Рудин
[1], Хьюитт и Росс [1], А. Вейль [1]). Некоторые интересные результаты,
касающиеся структуры полугруппы q^I+ (G), содержатся в статье Уэндела [1]
(см. также Стремберг [1,2]). Относительно теоремы Рисса о представлении мы
отсылаем к книге Хьюитта и Стремберга [1] и книгам по функциональному
анализу.
Относительно смежных исследований по последовательностям
произведений см. Хельмберг [1, 2]. Идея переупорядочения суммирующих множеств в
специальных абелевых группах, некоторым образом напоминающего свертку,
была применена к плотностной теории Фолькманом [3, 5]. Частный случай
следствия 3.1, использующий несколько иной способ упорядочения, был
доказан Кейперсом и Шилбеком [2] (по поводу родственного результата см. работу
[1] этих авторов). Хельмбергом [8] доказан аналогичный теоремам 3.1 и 3.2
результат для свертки (хп)*'(уп), определенной путем диагонального
упорядочивания et xlt ylt х2, xiylt у2, *з» x2ylt хгу2, ys, ....
В несколько ином контексте некоторые типы сверток последовательностей
изучались Арнольдом и Крыловым [1] и Кажданом [1].
Упражнения.
3.1. Показать, что qS+ (G) является полугруппой с единицей.
3.2. Определим для v£<^+ (G) и c£G «сдвинутые» меры vc и cv
формулами vc (В) = v (Вс) и cv(B) = v (cB) для всех борелевских множеств В в 6.
Доказать, что v*ec = vc и ec*v = cv.
3.3. Пусть т: GxGi—>G является отображением т((*, у)) = ху. Показать,
что для любого борелевского множества В в G справедливо равенство
(A,*v)(£) = (A,Xv) (т"1^)), где Я, vg©#+ (G) и XXv означает произведение
мер X и v в GxG.
3.4. Сформулировать и доказать аналог леммы 3.4 для свертки
последовательностей.
3.5. Пусть G содержит по меньшей мере два элемента. Показать, что
свертка последовательностей в G не является ассоциативной операцией.
3.6. Пусть G содержит по меньшей мере два элемента. Показать, что по
отношению к свертке последовательностей не существует единицы, т. е. не
существует последовательности (хп) в G такой, что равенство (хп)*(уп) =
=(Ул)*(*п) = (Уп) выполняется для всех последовательностей (уп) в G.
10»

292
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
3.7. Дать детальное объяснение следующего факта, установленного при
доказательстве импликации (2) => (1) в теореме 3.2: lim Ъ (М)/а (2М)~ 1.
М-+аз
3.8. Ссылаясь на доказательство импликации (2)=Ф(1) в теореме 3.2,
подробно показать справедливость (3.6).
3.9. Пусть (хп) p.p. в G и пусть (*/„) —произвольная последовательность
в G. Доказать, что последовательность произведений */*//, взятых в
диагональном порядке ххуъ хху2, x2ylt ххуз> х2у2, ХзУъ *i*/4» *2Уз, *зУ2> ЧУъ •••»
является p.p. в G.
§ 4. Монотетические группы
Определение. В теории равномерного распределения по
модулю 1 последовательности (па) при иррациональных а составляют
очень важный класс равномерно распределенных
последовательностей. В качестве естественного обобщения на компактную
группу G мы рассмотрим теперь последовательности вида (ап)> Где а
является фиксированным элементом в G. В частности, мы будем
интересоваться условиями, накладываемыми на группу G,
которые гарантируют существование p.p. последовательностей данного
типа.
Как отмечалось в § 1, p.p. последовательность в G с
необходимостью является всюду плотной. Таким образом, если
последовательность (ап) является p.p. в G при некотором agG, то
группа G должна содержать плотную циклическую подгруппу,
а именно, подгруппу, порожденную элементом а. Данное
наблюдение приводит к следующему определению.
Определение 4.1. Топологическая группа Я называется
монотетическойу если она содержит плотную циклическую
подгруппу. Образующая плотной циклической подгруппы группы Я
называется образующей Я.
Ясно, что в основном нас будут интересовать компактные
монотетические группы, хотя мы также немного коснемся
локально компактного случая (см. теорему 4.8). Укажем вначале
важное необходимое условие монотетичности группы.
Теорема 4.1. Каждая монотетическая группа является абе-
левой.
Доказательство. Пусть С—плотная циклическая
подгруппа, содержащаяся в монотетической группе Я. Покажем, что
множество L всех упорядоченных пар (х> у) в прямом
произведении ЯхЯ, для которого хух~1у~1 =е, совпадает с ЯхЯ. С этой
целью заметим, что отображение^, у)*—>хух~1у~1 из ЯхЯ в Я
непрерывно, так что множество L замкнуто. Ясно, что CxC^L.
Но поскольку подгруппа С плотна в Я, множество СхС плотно
в ЯхЯ. Следовательно, L = HxH. □
Важным следствием этой теоремы является тот факт, что
теория двойственности для локально компактных абелевых групп
может быть применена к монотетическим группам, что нас и инте-

§ 4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
293
ресует. Прежде чем двигаться дальше, приведем несколько
простых примеров компактных монотетических групп; детальная
классификация таких групп будет дана позже (см. теорему 4.7,
следствие 4.5 и замечания).
Пример 4.1. Ясно, что каждая конечная циклическая группа
в дискретной топологии является компактной монотетической
группой. Для получения менее тривиального примера покажем,
что 6-мерный, тор Т* (т. е. прямое произведение k экземпляров
одномерного тора *)Т) является монотетической группой. Выберем
такие вещественные числа а1У ..., аЛ, что 1, <хи ..., ak линейно
независимы над полем рациональных чисел. Тогда (ехр (2nia1)y ...
..., ехр (2niak)) есть образующая группы Т*, поскольку
равномерность распределения мод 1 последовательности ((па1У ..., nak))y
/г=1, 2, ..., в Rk влечет плотность последовательности
(ехр(2ята1), ..., ехр(2яшаЛ)), я=1, 2 в Р. П
Последовательности вида (ап).
Теорема 4.2. Если последовательность (ап) плотна в
компактной группе G, то (ап) является p.p. в G.
Доказательство. По теореме 4.1 группа G абелева, так
что можно воспользоваться следствием 1.2. Если мы сможем
показать, что %(а)Ф1 для каждого нетривиального характера %
группы G, то можно использовать по существу те же
рассуждения, как и при доказательстве равномерности распределения
мод 1 последовательности (па) (см. упражнение 2.1 гл. 1).
Действительно, тогда для каждого нетривиального характера %
группы G и N !>1
п=1 п=1
и, поскольку числитель этой дроби ограничен, мы получаем, что
N
lfm(l/jV) 2 %(ял) = 0. Для завершения доказательства предполо-
jV-voo /1=1
жим, что х (а)=1 Для некоторого нетривиального характера %
группы G. Тогда %(х)=\ на некотором плотном подмножестве
группы G, а именно, для всех элементов последовательности (а"),
и поэтому %(х)=1 для всех x£G. Другими словами, % является
тривиальным характером, что противоречит предположению. □
Уместно сделать замечание по поводу допущения в теореме
4.2, а именно, отметить, что последовательность (ап) плотна в G
тогда и только тогда, когда а есть образующая группы G. Одна
импликация ясна: если последовательность (ап) плотна в G, то,
a fortiori, циклическая подгруппа, порожденная а, плотна в G.
Для доказательства обратного необходимо иметь в виду, что в
циклической подгруппе, порожденной элементом а, присутствуют
*) Напомним, что Т = {ехр (2nix): 0^х< 1}.— Примеч. перев.

294
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
все степени а, в то время как в последовательности (ап) мы
рассматриваем только положительные степени а. Случай, когда
группа G дискретна, рассматривается просто, поскольку тогда G
конечна (в силу компактности), и положительными степенями
образующей а исчерпываются все элементы G. Пусть теперь G
недискретна и пусть U — открытое множество, которое содержит
степень ак элемента а при k < 0. Тогда a~kU, как окрестность
единицы е> содержит симметричную открытую окрестность V
единицы е> т. е. такую открытую окрестность, что 1/_1=У.
Без потери общности предположим, что V не содержит ни одного
из элементов а, а2, ..., a"k. Но тогда из свойств V следует, что
V содержит некоторую положительную степень ат элемента а при
m> — ky и поэтому ат+к является положительной степенью а,
лежащей в U.
Комбинируя следствие 1.4 с теоремой 4.2, получаем
следующее обобщение упражнения 5.6 гл. 1.
Следствие 4.1. Если последовательность (ап) плотна в
компактной группе G, то (ап) отлично распределена в G.
Характеризации образующих. В процессе доказательства
теоремы 4.2 мы видели, что если а является образующей
компактной монотетической группы G, то %(а)Ф 1 для каждого
нетривиального характера % группы G. Справедливо также обратное,
в чем мы сейчас убедимся. Кроме того, мы получим характеризацию
образующих в терминах эргодичности некоторого преобразования
на G.
Теорема 4.3. Для компактной абелевой группы G и
элемента a g G следующие свойства эквивалентны.
(1) Преобразование Та группы G, определенное формулой
Тах = ах при x£Gf эргодично {относительно меры Хаара).
(2) х (а) Ф 1 для каждого нетривиального характера % группы G.
(3) Элемент а является образующей группы G.
Доказательство. (1)=>(2). Пусть %—нетривиальный
характер группы G. На основании индивидуальной эргодической
теоремы (см. лемму 2.2 гл. 3) получаем, что
для [х-почти всех x£G. В частности существует элемент xQ£G
такой, что
lim-^Z(x(a))»xW = 0. (4.2)
Предположим теперь, что %(а)=1; тогда из (4.2) следует, что
^(л;0) = 0, что невозможно.
(2)=ф(3). Пусть Н—замыкание в G циклической подгруппы,
порожденной элементом а. Тогда Н является замкнутой подгруп-

§4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
295
пой группы G. Предположим, что Нфв\ тогда факторгруппа
G/H содержит элементы, отличные от единицы. По теореме Гель-
фанда—Райкова (см. теорему 1.1) существует нетривиальный
характер %н группы G/H. Положив %(х) = %н{хН) при x£G,
получаем нетривиальный характер % группы G. Теперь а£Н и Н
есть единица в G/Я; следовательно, %(a) = %H(ciH) = %H (H)=lt
что противоречит условию. (Для дальнейшего заметим, что
аналогичное рассуждение применимо к локально компактной абеле-
вой группе G.)
(3)=>(1). Согласно теореме 4.2 и последующим замечаниям
последовательность (ап) p.p. в G. Из теоремы 1.4 мы заключаем,
что последовательность (апх) p.p. в G при каждом x£G. Таким
образом, для каждой вещественнозначной непрерывной функции /
на G и каждого х £ G имеем
lim -w И /(<*"*)= f/d[i,
W-*» л=1 G
так что
rl 1 ^ Г
V-*-" G | /1 = 1 О
dp (х) = 0.
(4.3)
Покажем теперь, что (4.3) остается справедливым, если /
заменить на произвольную интегрируемую по Хаару функцию g.
Выберем f^ 91(G) и ggL1^); тогда
in | n
/i=i
rt=l G
+ ^|г-/|^+П-1-£/(а-х)-^/^ц \dli(x) = 2^\g-f\dli +
G G /1=1 G G
G /t=l G
ф1(лг).
На последнем шаге мы воспользовались инвариантностью \х
относительного сдвига. На основании (4.3) и того факта, что 91(G)
плотно в L1^), величина, которую мы получили в качестве
верхней границы, может быть сделана сколь угодно малой.
Для того чтобы показать эргодичность ТаУ рассмотрим боре-
левское множество Е в X, которое является левоинвариантным
относительно преобразования Та (т. е. Е = аЕ). В качестве
интегрируемой функции g в предыдущем рассуждении выберем
характеристическую функцию сЕ множества Е. Тогда
Л/->оо
N
I
л=1
lim J \-fiHcE(anx)—[i(E)
d|i(jc) = 0.

296
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Но сЕ (апх) = сЕ (х) при всех х g G и п ^ 1, поэтому
l\cE(x)-li(E)\dli(x)^0.
G
Это означает, что сЕ(х) = \х(Е) fi-п.в., и, поскольку сЕ принимает
только значения 0 и 1, получаем, что \х(Е) = 0 или 1. Q
Последовательности степеней образующих. Если группа G,
кроме того, связна, можно доказать результаты о
равномерности распределения более общих последовательностей степеней
образующей а группы G. Предположение связности естественно,
поскольку в компактной связной абелевой группе не существует
нетривиального дискретного характера (см. следствие 1.8).
Теорема 4.4. Пусть G—компактная связная монотетичес-
кая группа с образующей а. Если (гп)—такая последовательность
целых чисел, что (гпа) р. р. мод 1 при каждом иррациональном а,
то последовательность (аГп) р. р. в G.
Доказательство. Из предположения о группе G мы
заключаем, что %(G) = T для каждого нетривиального характера %
группы G. Тогда для нетривиального % получаем, что %(а) =
= ехр (2ша) при иррациональном а, в противном случае характер
% был бы дискретным. Согласно критерию Вейля равномерности
распределения по мод 1 (теорема 2.1 гл. 1)
N N
lim T L X <а'я) = lim "Ж L ехр (2ш>«а) = °>
N —>■ оо . TV —► оо ,
/1=1 /1=1
и на основании критерия Вейля для компактных абелевых групп
(см. следствие 1.2) последовательность (аГп) р. р. в G. □
Следствие 4.2. Пусть G ua$G—такие, как в теореме 4.4,
и пусть f(x) — отличный от константы многочлен,
принимающий целочисленные значения на множестве полооюительных целых
чисел. Тогда последовательность (af (n)) р. р. в G.
Доказательство. По интерполяционной формуле Лаг-
ранжа все коэффициенты f(x) рациональны. Тогда при заданном
иррациональном а многочлен <xf(x) имеет иррациональный
старший коэффициент, и поэтому по теореме 3.2 гл. 1
последовательность (a/(n)) p.p. мод 1. Применение теоремы 4.4 завершает
доказательство. □
Следствие 4.3. Пусть G и a£G—такие, как в теореме 4.4,
и пусть k—не равное нулю целое число. Тогда последовательность
((ak)n) p. р. в G. В частности, ak снова является образующей
группы G.
Если группа G несвязна, то утверждение теоремы 4.4
может не выполняться. Достаточно опровергнуть в этом случае
следствие 4.3. Из теории двойственности следует, что для
компактной абелевой группы, которая не является связной, суще-

§4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
297
ствует нетривиальный дискретный характер % (см-» в частности,
следствие 1.8). Тогда %т=\ для некоторого положительного
целого т, Итак, %(ат) = %т(а)=1у так что по теореме 4.3 ат не
может быть образующей.
Мера множества образующих. В связи с понятием образующей
естественно поинтересоваться, насколько большим может быть
множество образующих. В специальном случае G = T мы знаем, что
множество образующих является дополнением счетного
подмножества G. Теоретико-метрический аналог этого результата может
быть доказан для важного класса компактных абелевых групп.
Теорема 4.5. Пусть G—компактная связная абелева группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Тогда множество
образующих группы G имеет меру Хаара, равную 1.
Доказательство. Поскольку группа G обладает счетной
базой, существует только счетное число характеров G (по
следствию 1.7). Пусть %i» %2, ...—нетривиальные характеры G,
которые недискретны, поскольку группа G связна. Пусть, далее,
Hi—ядро характера Xi при /^1; тогда GlH{ содержит
бесконечно много элементов. Поскольку G является непересекающимся
объединением различных классов смежности по подгруппе Н{ и
все классы смежности по Н{ имеют равную |я-меру (вследствие
инвариантности (я относительно сдвига), то (я (Ht) = 0. По теореме 4.3
множество S элементов, не являющихся образующими G, может
00
быть записано в виде S= (J Н{. Поэтому (л («S) = 0, что и тре-
i= 1
бовалось. □
Следствие 4.4. Каждая компактная связная абелева группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, является. монотети-
ческой.
Можно дать другое доказательство этого следствия, целиком
основанное на теории двойственности (см. упражнение 4.23).
Сейчас мы очень просто докажем, что если группа G несвязна, то
множество ее образующих никогда не может иметь меру 1. Для
более точной формулировки этого результата введем в
рассмотрение внешнюю меру Хаара (я, определенную для любого
подмножества А группы G условием
li(A) = inf {|я(В): В есть борелевское множество вбиВз А}. (4.4)
Функция множества (я неотрицательна, монотонна и счетно
субаддитивна. Естественно, что для борелевского множества В в G
справедливо тождество (я(В) = |я (В).
Теорема 4.6. Пусть G — компактная абелева группа,
которая не является связной. Тогда множество образующих группы G
имеет внешнюю меру Хаара, меньшую 1.
Доказательство. На основании теории двойственности
группа G имеет нетривиальный дискретный характер %. Ядро Н

298
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
характера % является открытой подгруппой группы G;
следовательно, [г(Я)>0. По теореме 4.3 для множества Е образующих
группы G справедливо включение Е ^ #', так что \х (Е) ^ \i(#') =
= |1(Я')<1. □
Структурная теория локально компактных монотетических групп.
Теорема 4.7. Компактная абелева группа G является моно-
тетической тогда и только тогда, когда ее группа характеров G
алгебраически изоморфна подгруппе группы Т.
Доказательство. Пусть G — монотетическая группа и пусть
а—образующая G. Рассмотрим отображение я]?: йн->Т,
определенное формулой ty(%) = %(a) при %£G. Отображение я|>, несомненно,
является алгебраическим гомоморфизмом из б в. Т (и даже
характером G). Кроме того, по теореме 4.3 я|э инъективно, поэтому
G алгебраически изоморфна подгруппе Т.
Обратно, предположим, что существует алгебраический
изоморфизм я|э из G на подгруппу Т. Поскольку G дискретна,
отображение я|) непрерывно и, таким образом, является характером
группы G. По теореме двойственности существует такой элемент
agG, что ty(%) = %(a) для всех %$Ь. Но ^ по условию
инъективно; поэтому г|)(%)=тМ для нетривиального характера %£G и,
таким рбразом, ^(а)Ф\ для всех нетривиальных %€&•
Следовательно, по теореме 4.3 элемент а является образующей
группы G. □
Важно отметить, что рассмотренное в доказательстве теоремы
отображение if», вообще говоря, не является топологическим
изоморфизмом из G на подгруппу группы Т, поскольку обратное
к г[> отображение не обязательно непрерывно. Однако мы
получим топологический изоморфизм, если изменим топологию в Т с
обычной на дискретную, получая, таким образом, локально
компактную абелеву группу, которую будем обозначать через Td.
Тогда теорема 4.7 может быть переформулирована следующим
образом: компактная абелева группа G является монотетической
тогда и только тогда, когда ее группа характеров G
топологически изоморфна подгруппе группы Т^.
Теория двойственности позволяет дать несколько иную
интерпретацию теореме 4.7. Пусть G0—группа характеров группы Td.
Как двойственная дискретной группе, G0 является компактной
абелевой группой. К тому же группой характеров группы G0
является Td и, следовательно, из теоремы 4.7 следует, что G0 мо-
нотетична. Группа G0 является наибольшей компактной
монотетической группой в следующем смысле.
Следствие 4.5. Топологическая группа G является компак*
тной монотетической тогда и только тогда, когда G есть
непрерывный гомоморфный образ G0.

§4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
299
Доказательство. Ясно, что каждый непрерывный
гомоморфный образ компактной монотетической группы G0 снова
является компактной монотетической группой (заметим, что образ
образующей при непрерывном сюръективном гомоморфизме снова
является образующей; см. также упражнения 4.3 и 4.4).
Предположим теперь, что G—компактная монотетическая группа. По
теореме 4.7 ее группа характеров G топологически изоморфна
подгруппе Я группы Td. Следовательно, G, как двойственная
группе G, топологически изоморфна группе, двойственной Я. По
теореме 1.12 группа характеров замкнутой подгруппы Я группы
ld топологически изоморфна факторгруппе G0/A(Goy Я), где
A (G0, Я)—аннулятор Я в G. Другими словами, G топологически
изоморфна факторгруппе G0, и доказательство полностью
закончено. П
Пример 4.2. Дадим более явное описание группы G0 путем
описания всех характеров группы Td. С этой целью удобно
рассматривать ld как факторгруппу Rd/Z, где Rd—аддитивная группа
вещественных чисел в дискретной топологии. Тогда G0 состоит
из всех характеров % группы Rdy для которых %(т)=1 при
каждом mgZ. Нахождение всех таких характеров мы будем
осуществлять следующим образом. Обозначим через Q
аддитивную группу рациональных чисел, и пусть В—фиксированный
базис Гамеля R над Q с 1 £ В- Таким образом, каждое вещест-.
венное число а имеет единственное представление в виде конеч-
k
ной суммы а= 2ГА» гДе r/€Q\{0} и bt£B (для а = 0 поло-
жим k = 0).
Начнем с определения характера % факторгруппы Rd/Z,
полагая %(1)=1 (как это и должно быть) и выбирая произвольный
элемент %(Ь) группы Т при каждом неединичном Ь^В. Теперь
достаточно распространить определение % на числа вида rb при
k
rgQ и ftgB, поскольку для произвольного а = 2ГА мы тогда
i=1
k
с необходимостью получим %(а) = 11 %(ГА)- Заметим для этого,
что каждое r£Q может быть записано в виде г = т/(п\), где
mgZ и п—положительное целое число. Теперь достаточно
определить %({1/(п\))Ь)у ибо тогда с необходимостью %((т/(п\))Ь) =
= (х ((\/(п\)) Ь))т. При фиксированном Ьg В определим % ((1/(п!)) Ь)
рекурсивно. При п= 1 требуемая величина уже определена;
предположим, что %((l/(sl))b) определено при некотором s^ 1. Тогда
мы должны обязательно иметь

300
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В связи с этим выберем в качестве %((l/(s-\-l)\)b) один из s+l
корней уравнения zs+1 = %((\/(s\))b). Проверим, является ли тогда
%(rb) определенным корректно. Если, скажем, r = m/(nl) = p/(ql)
при q>n, то %((т/(п\))Ь) = (х((1/(п\))Ь))" и %((p/(q\))b) =
= (X((1/(?!))Ь)У- Но р = т(п+ 1) (п + 2) ... ^. Таким образом,
(*(^)М(*(^)УГ""'"~"=
-(х(й^')Г --"-(х(^)Г-
Из построения отображения % очевидно, что % является
характером группы Rrf, который отображает Z в {1}.
Мы пользовались необходимыми условиями для характеров
на каждом шаге построения, поэтому ясно, что каждый
характер факторгруппы R4/Z должен иметь указанный выше вид.
Резюмируя, получаем, что характер % группы Rrf/Z определяется
единственным образом следующими данными: (i) совокупностью
{т](Ь): Ь £ В} произвольных элементов из Т, которые определяют
величины х Ф)> с единственным ограничением, что tj(II) = 1; (ii)
последовательностью элементов Ць\ Ш\ • • •» 1Т> ... из Т при
каждом b£B (которые определяют величины %((l/(n!))ft)), где
^(Ь) = ^(Ь) и ^(^^/i+i = go»)# эды получим важный частный случай,
если положим т](Ь) = ехр (2ш'6(Ь)) при б(Ь) g R и определим % (rb) =
= ехр (2тг6ш) при rgQ. П
Теорема 4.8. Локально компактная монотетическая группа
либо компактна, либо топологически изоморфна дискретной
аддитивной группе Z целых чисел.
Доказательство. Пусть G— локально компактная
монотетическая группа и пусть а—образующая группы G. По теории
двойственности отображение г|г. Gi—>T, определенное равенством
ty(%) = %(a) при всех %£G, есть характер группы G. Кроме того,
г|э инъективно. Действительно, предположим, что % (а) = 1 для
нетривиального характера % группы G; тогда % (а") = 1 при
любом целом п и поэтому % (х) = 1 при любом я g G, что
противоречит условию, что х нетривиален. Заметим, что группа G
локально компактна. Таким образом, по структурной теореме для
локально компактных абелевых групп (см. теорему 1.14) G
может быть отождествлена с группой R"x#, где Я—локально
компактная абелева группа, содержащая компактную открытую
подгруппу К. Очевидно, сужение отображения г|) на R"x{^}
является инъективным характером. Но тогда (по теореме 1.8) группа
R" топологически изоморфна замкнутой подгруппе группы Т, что
возможно только при п = 0. Поэтому мы можем отождествить
G с Я. Рассмотрим отображение if на компактной группе /С.
Образ ty(K) есть замкнутая подгруппа группы Т. Согласно
упражнению 1.5 мы должны различать два случая. В первом слу-

§ 4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
301
чае ty(K) есть конечная циклическая группа. Поскольку я|> инъек-
тивно, К сама является конечной циклической группой. Но К
открыта в G, поэтому группа G должна быть дискретной. Тогда
G компактна как двойственная дискретной группе. Во втором
случае имеем ф(/() = Т. Поскольку -ф инъективно, то К
совпадает со всей G. В частности, G топологически изоморфна Т.
Тогда G, как двойственная группе G, топологически изоморфна
группе, двойственной к Т, каковой является Z (см.
упражнение 1.3). □
Следующая лемма будет нам позже технически полезна, но
она представляет и некоторый самостоятельный интерес. Она еще
раз убедительно доказывает изобилие образующих в разумном
классе монотетических групп (более точно, в компактных моно-
тетических группах, которые не являются вполне несвязными).
Лемма 4.1. Пусть G— компактная монотетическая группа
и пусть %—ее недискретный характер. Тогда для каждого
иррационального а существует образующая а группы G с %(а) =
= ехр(2ша).
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение
для группы G0 из следствия 4.5. Действительно, предположим,
что данный результат справедлив для G0. Тогда, если
G—произвольная компактная монотетическая группа, то Огложет быть
отождествлена с факторгруппой G0/#. Кроме того, если
%—недискретный характер группы G0/#, то формула у(х) = %(хН)9
x£G0, определяет недискретный характер группы G0. Таким
образом, по заданному иррациональному а можно найти
образующую х0 группы G0 с ф(л;0) = ехр(2ша). Но тогда х0# является
образующей группой GJH с %(x0H) = exp(2nia).
Перед доказательством леммы для группы G0 напомним, что
G0 была определена как двойственная к группе ld. По теореме
4.3 и теореме двойственности характер \|)gG0 будет являться
образующей группы G0 тогда и только тогда, когда ^{у)Ф 1 при
всех y^ldy уФ 1- Снова удобно будет рассматривать ld как
факторгруппу Rd/Z. Данный недискретный характер группы G0
соответствует элементу бесконечного порядка в группе Td>
двойственной G0, а, следовательно, классу смежности p + Z при
иррациональном р. Утверждение, которое мы собираемся
доказывать, формулируется тогда следующим образом: при заданном
иррациональном а существует характер ф группы Rrf, равный 1
на Z (то есть элемент G0) такой, что ф (Р) = ехр (2ша) и ^(у) Ф 1
при всех вещественных у таких, что v^Z. Расширим систему
{1, Р} до базиса Гамеля В = {РУ-: j£J) множества R над полем Q
с ро = 1 и рх = р, а систему {1, а}—до базиса Гамеля А = {а/. ] G J}
множества R над Q с а0=1 и ах = а, где J означает
соответствующее множество индексов. Для любого y^R существует
единственное представление Y==riP/1+ • • • +гДгу гДе r*€Q\{0} и

302
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
индексы jlf ..., jh различны (для y = 0 полагаем k = 0).
Положим я|э (у) = exp {rxaj + • • • + r*a/J- Тогда я|э является
характером группы Rd, равным 1 на Z, причем \f>(P) = exp(2ma). Кроме
того, если if (у) = 1 и у = гД + гхрУ1 + ... + r$jk ПРИ
рациональных rs, возможно, равных нулю, и отличных от нуля
различных jt, то r0a0 + r1ayi + • • • + rkajk = т Для некоторого целого т,
что возможно лишь при г0 = т, а г1=..-. =гк = 0. Это означает,
что v€Z. П
Равностепенно равномерное распределение. Общая теория
семейств равностепенно р. р. последовательностей была развита
в § 3 гл.З. В соответствии с основной направленностью
настоящего параграфа мы будем рассматривать семейства
последовательностей (ап), где а пробегает некоторое подмножество группы G.
Поскольку каждая отдельная последовательность из семейства
равностепенно р. р. последовательностей равномерно
распределена, мы можем сосредоточить наше внимание на семействах вида
{(ап): а£А}> где А — множество образующих группы G. Для
удобства будем обозначать через Е множество всех образующих
компактной монотетической группы G.
Теорема 4.9. Пусть А —такое подмножество множества Е,
что {(ап): а£А) является семейством равностепенно p.p.
последовательностей в компактной монотетической группе G. Тогда
{(ап): а£ А) также является семейством равностепенно р. р.
последовательностей в G.
Доказательство. Снова рассмотрим семейства
последовательностей в G как подмножества произведения пространств G°°.
По теореме 3.4 гл.З замыкание {(ап): ag А} в G00 представляет
собой семейство равностепенно р. р. последовательностей в G.
Отображение g: Gb-*>G°°, определенное формулой g(x) — (x, х2,
а:3, ...) при x£G, непрерывно, поскольку непрерывна каждая
координатная функция. Поэтому g(A)^g(A), или {(ап): а£А) ^
^{(ап): a g А), откуда следует требуемое. Q
Следствие 4.6. Предположим, что G имеет по крайней
мере два элемента, и пусть а—образующая группы G. Тогда
{((ат)п): т = 1, 2, ...} не является семейством равностепенно р. р.
последовательности в G.
Доказательство. Предположим противное. Поскольку
последовательность а, а2, а3, ... является всюду плотной в G, из
предыдущей теоремы следует, что {(bn): b£G} — семейство
равностепенно р. р. последовательностей в G. В частности, единица е
должна быть образующей группы G, что, очевидно, абсурдно. □
Следствие 4.7. Предположим, что G содержит по
меньшей мере два элемента, и пусть А—такое подмножество
множества Е, что {{ап)\ а G А) является семейством равностепенно
р. р. последовательностей в G. Тогда \i(A) < 1.

§4. М0Н0ТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
303
Доказательство. По теореме 4.9 А также является
подмножеством множества Е. Если \i(A)=l> следовало бы
заключить, что A = Gy поскольку носитель меры \i есть G. Но тогда
£ = G, что невозможно. □
Если группа G несвязна, то следствие 4.7 может быть,
разумеется, получено объединением теоремы 4.6 с теоремой 4.9.
В § 3 гл. 3 мы видели, что семейства равностепенно р. р.
последовательностей не могут быть слишком велики. Тем не менее
может случиться, что семейство, состоящее из всех возможных
p.p. последовательностей (ап), а именно, семейство {(ап): а£Е},
является семейством равностепенно р. р. последовательностей.
В последующей теореме мы дадим классификацию компактных
монотетических групп, обладающих этим свойством. Вначале нам
понадобится следующий вспомогательный результат.
Лемма 4.2. Пусть G—компактная монотетическая группа/
Мнооюество Е образующих группы G замкнуто в G тогда и только
тогда, когда G вполне несвязна.
Доказательство. Если G вполне несвязна, то каждый
характер группы G является дискретным (см. следствие 1.8). По
теореме 4.3 множество Е является пересечением всех множеств
вида {x£G: %(х)Ф\] для нетривиальных характеров %. Но в
случае дискретного % каждое множество подобного вида замкнуто
и поэтому Е само замкнуто.
С другой стороны, если G не является вполне несвязной, то
существует недискретный характер % группы G. Предположим,
что Е замкнуто; тогда % (Е) замкнуто в Т. По лемме 4.1 все
элементы ехр(2ша) из Т при иррациональном а лежат в%(£).
Следовательно, должно быть %(Е) = Т, но тогда существует а$Е с
%(а)=1, что противоречит теореме 4.3. □
Т е о р е м а 4.10. Пусть G—компактная монотетическая группа.
Семейство {(ап): а£Ё} является семейством равностепенно р. р.
последовательностей в G тогда и только тогда, когда группа G
вполне несвязна.
Доказательство. Случай, когда G не является вполне
несвязной, рассматривается просто. Если {(ап): а£Е) является
семейством равностепенно р. р. последовательностей в G, то по
теореме 4.9 {(ап): а£Е) также должно являться семейством
равностепенно р. р. последовательностей в G. Но таковыми
являются только равномерно распределенные в G последовательности
(Ьп) при b£E. Поэтому мы заключаем, что Е = ЕУ что не
согласуется с леммой 4.2.
Предположим теперь, что группа G вполне несвязна. На
основании комплексного аналога теоремы 3.1 гл. 3 и теоремы
Петера — Вейля (см. теорему 1.2) достаточно показать, что для
каждого нетривиального характера % группы G и любого задан-

304
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ного е'> 0 существует N0(e)t зависящее от а£Е такое, что
\(\/N)Z%(an)\<e
/1=1
при всех N^N0(e) и всех а£Е. Поскольку %—дискретный
характер и %(а)Ф 1 при а££, то существует положительная
константа с(%), не зависящая от а£ЕУ такая, что \%{а)—1|>с(%)
при всех а£Е. Таким образом,
/2=1
X(aN+1)-X(a)
Х(а)-1
Nc(X)
<8
при всех N >2/(ес(х)) и всех а££. П
После того, как мы исчерпывающим образом решили проблему
равностепенно равномерного распределения последовательностей
(ап) для вполне несвязной группы G, рассмотрим случай групп,
не являющихся вполне несвязными. Мы докажем теорему,
которая имеет некоторую связь с результатами из § 3 гл. 3.
Теорема 4.11. Пусть G—компактная монотетическая
группа, которая не является вполне несвязной, и пусть А — такое
подмножество множества Еу что {{ап): а 6 А] является семейством
равностепенно р. р. последовательностей в G. Тогда А нигде не
плотно в G. _
Доказательство. По теореме 4.9 замыкание А также
является подмножеством множества Е. Предположим, что А
содержит непустое открытое множество в G. Выберем недискретный
характер % группы G и заметим, что по следствию 1.6 % является
открытым отображением из G на Т. Следовательно, %(А)
содержит непустое открытое подмножество группы Т. Но непрерывный
гомоморфизм х переводит образующие группы G в образующие
группы Т; следовательно, %(А) является подмножеством
множества {££Т: £ = ехр(2ша) при иррациональном а}, которое не
содержит непустого открытого подмножества группы Т. G
Следует заметить, что данная теорема не обязательно
справедлива для вполне несвязных групп. Тривиальным примером
может служить конечная циклическая группа с дискретной
топологией: такая группа имеет открытое множество образующих.
Можно построить также менее тривиальные примеры (см.
Замечания).
Замечания. Монотетические группы были введены в подстрочном
примечании к статье ван Данцига [1] и, кроме того, упоминались этим автором
в [3]. Первое систематическое изучение монотети чески х групп было проведено
Халмошем и Самельсоном [1]. Работа Анзаи и Какутани [1] также представляет
собой важный вклад в данный предмет. По-видимому, не будучи знакомым
с работой Халмоша и Самельсона, Эккман [1] получил несколько результатов
для монотетических групп, которые к тому времени были уже известны. Вполне

§4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
305
современное изложение общей теории монотетических групп см. у Хьюитта
и Росса [1, §§ 9, 24 и 25].
Эквивалентность свойств (1) и (3) в теореме 4.3 была установлена Хал-
мошем и фон Нейманом [1] (см. также Халмош [2, с. 27—28]). В нашем
доказательстве мы следуем Хартману и Рыль-Нардзевскому [1, § 2].
Эквивалентность свойств (2) и (3) впервые была установлена Халмошем и Самель-
соном [1, § 2 (с)]. Следует отметить, что, не считая тривиального случая
G = {e}, преобразование Та не является перемешивающим (см. упражнение
4.12). Несколько других характеризаций образующих было дано Хартманом
и Рыль-Нардзевским [1, § 2].
Основной результат, касающийся структурной теории компактных моно-
тетических групп, а именно, теорема 4.7, взята из работы Халмоша и Самель-
сона [1]. Особая роль, которую играет группа 60, была отмечена Анзаи и
Какутани [1]. В силу следствия 4.5 группу 60 часто называют универсальной
компактной монотетической группой. Точное описание группы G0, подобное
упр. 4.2, можно найти в книгах Хьюитта и Росса [1, § 25] и Мака [1, § 23].
Путем детального теоретико-группового изучения Та могут быть доказаны
следующие важные результаты (см. Халмош и Самельсон [1], Хьюитт и Росс
[1, § 25]). Компактная абелева группа G со (связной) компонентой единицы С
является монотетической тогда и только тогда, когда ее вес to (G)
удовлетворяет неравенству to(G)s^c и вполне несвязная факторгруппа G/C
топологически изоморфна прямому произведению ТТ Ару где р пробегает множество
р
простых чисел и каждое Ар является либо тривиальной группой {е}, либо
циклической группой порядка рп при некотором положительном целом л, либо
аддитивной группой целых р-адических чисел. В частности, компактная
связная абелева группа G является монотетической тогда и только тогда, когда
ft)(G)^c. Прямое произведение Tm nt экземпляров группы Т, где nt —
некоторое кардинальное число, является монотетической группой тогда и только
тогда, когда т<;с В работе Анзаи и Какутани [1] содержится интересный
результат, использующий мощность группы G: компактная связная абелева
группа G монотетична тогда и только тогда, когда ее мощность равна самое
большее 2е (ср. с упражнением 4.20).
Характеризация локально компактных монотетических групп, данная
в теореме 4.8, была известна уже А. Вейлю [1, с. 97]. Интересный пример
топологической группы, которая является монотетической, но не является
локально компактной, был построен Анзаи и Какутани [1]. Общая
структурная теория не локально компактных монотетических групп была разработана
Нинхойсом [1]. По поводу дальнейших замечаний, касающихся данного
вопроса, см. Ролевич [1].
Весьма общая точка зрения принята в работе Хартмана и Хуляницкого
[1], которые предлагают определять плотные множества минимальной мощности
в топологической группе. Уместно отметить следующий их результат: в
предположении справедливости расширенной континуум-гипотезы бесконечная
компактная абелева группа мощности, не превосходящей 22 , содержит плотное
подмножество мощности, не превосходящей щ. Это приводит к другому
доказательству того факта, что компактная связная абелева группа является
монотетической тогда и только тогда, когда ее мощность не превосходит 2е.
Теорема 4.5 взята из работы Халмоша и Самельсона [1]. Более ранние
результаты в этом направлении были получены Шрейером [1], Шрейерэм и
Уламом [1], а для линейных групп Ауэрбахом [1]. Халмошем и Самельсо-
ном [1] также показано, что множество образующих компактной связной
монотетической группы Тс не измеримо по Хаару. В действительности
множество образующих этой группы имеет внешнюю меру Хаара, равную 1,
и внутреннюю меру Хаара, равную 0 (см. также Хьюитт и Росс [1, § 25]).
Для более детального знакомства с внешними и внутренними мерами мы

306
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
отсылаем читателя к монографии Халмоша [1, гл. 2 и 3]. Что касается вполне
несвязных компактных монотети чески х групп, заметим, что множество
образующих циклической группы порядка рпу р—простое, /1^1, имеет меру
1 — (1/р). Тогда легко видеть, что множество образующих группы вида ТТ Apt
р
где Ар либо есть {е)у либо является циклической группой порядка рп и р
пробегает простые числа, имеет меру, равную ТТ (1—(1/р)), где теперь р про-
Р
бегает все простые числа с Ар Ф {е}. Однако данное произведение может
принимать любое значение из интервала [0, 1]. Подробности см. у Халмоша
и-Самельсона [1] или Хьюитта и Росса [1, § 25].
Тот факт, что для образующей а компактной монотети ческой группы
последовательность (ап) является p.p., впервые был обнаружен Эккманом [1].
Совершенно другое доказательство дано в монографии Хьюитта и Росса [1].
Интересное обобщение было дано Хельмбергом [1], который рассмотрел
компактные группы с конечно порожденной плотной подгруппой. Несколько
более общие формулировки даны в работе Хельмберга [2]. По поводу других
обобщений результатов Эккмана см. Хельмберг [8], Кейперс и Шилбек [1].
В связи со следствием 4.1 заметим, что характеризация сильно
регулярного матричного метода А как матричного метода, включающего почти
сходимость (см. § 4 гл. 3), влечет Л-р. р. последовательности (ап) для каждой
образующей a£G. Это было установлено Циглером [\0]t но доказано не
прямым способом. Теорема 4.4, по существу, есть в работе Хартмана и Рыль-
Нардзевского [1]. Частичное обращение теоремы 4.4 выглядит следующим
образом. Пусть 6—компактная монотети ческа я группа, не являющаяся вполне
несвязной; если (гп)—такая последовательность целых, что (аГп) является
p.p. в G для каждой образующей а группы G, то последовательность (гпа)
p.p. мод 1 при каждом иррациональном а. Доказательство немедленно
следует из применения леммы 4.1 (см. также упр. 4.14). Хартман и Рыль-Нард-
зевский [1] доказали следующее обобщение теоремы 4.1 из гл. 1. Если G—
компактная связная абелева группа со счетной базой и (гп)—возрастающая
последовательность целых, то последовательность (аГп) является p.p. в G для
jbi-почти всех a£G. Используя условие роста из упражнения 4.5 гл. 1, Стэплтон
[1] уточнил этот результат; по поводу небольшого улучшения см. Филипп [2].
Другие метрические результаты для последовательностей вида (аГп) были
получены Зеймом [2].
Результаты по равностепенно равномерному распределению
последовательностей, включая лемму 4.1, взяты из работы Байена и Хельмберга [1].
Этими авторами также построен пример компактной вполне несвязной моно-
тетической группы с бесконечным числом элементов и открытым множеством
образующих. Более простым примером служит группа Zp целых /?-адических
чисел. Это вновь подтверждает тот факт, что теорема 4.11 не может быть
справедлива для всех вполне несвязных групп (простые контрпримеры были
уже даны ранее). В статье Армакоста [1], явно независимо от работы Байена
и Хельмберга, доказаны некоторые из их результатов о множестве
образующих, но имеются также и оригинальные результаты.
Упражнения.
4.1. Доказать подробно, что если а — образующая компактной монотети-
ческой группы G, а %—недискретный характер группы G, то %(а) = ехр (2я/а)
при иррациональном а.
4.2. Пусть а и G такие, как в предыдущем упражнении, но пусть теперь
X является дискретным характером группы G. Показать, что %(а) является
образующей конечной циклической группы %(G).
4.3. Более общо, показать, что если f: G\-+G' — непрерывный
гомоморфизм компактной монотетической группы G на топологическую группу G', то
образ образующей G при отображении / является образующей и'. В част-

§4. МОНОТЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
307
ности, непрерывный гомоморфный образ компактной монотети ческой группы
снова является компактной монотети ческой группой.
4.4. Доказать последнюю часть упражнения 4.3, используя теорему 4.7.
4.5. Используя теорему 1.7 и упражнение 4.1 и 4.2, дать другое
доказательство теоремы 4.2.
4.6. Пусть G—компактная группа (не обязательно абелева) и a£G.
Доказать, что последовательность (ап) р. р. в G тогда и только тогда, когда для
любого нетривиального неприводимого представления D группы G матрица
D (а) — Е является невырожденной (здесь Е—единичная матрица
соответствующего порядка).
4.7. Обращаясь к теореме 4.3, дать другое доказательство следствия 4.3.
4.8. Пусть G — компактная абелева группа с дискретным характером %
порядка п в G. Найти \i(H), где Н — ядро %.
4.9. Пусть % — недискретный характер компактной абелевой группы G.
Обозначим через argz единственное значение аргумента ненулевого
комплексного числа 2, лежащее в интервале [0, 2я). Показать, что множество
A = {x£G: 0^ (arg% (*))/2я < а} при 0<а^1 имеет меру Xaapa ц(Л) = а.
Указание. Доказать вначале для a=\/k при положительном целом ky
а затем воспользоваться аппроксимационными соображениями.
4.10. Обобщить упражнение 4.9, получая следующую теорему. Если
В—борелевское множество в Т и A = {x£G: %(x)£B}, то ц (А) = Х (В), где
А,—мера Хаара в Т. Указание. Показать, что функция множества A,j на
борелевских множествах Т, определенная формулой Хг (В) = ц (А), обладает
всеми свойствами меры Хаара в Т.
4.11. Пусть (К, ^, v) — пространство с неотрицательной нормированной
мерой v. Сохраняющее меру преобразование Т множества Y называется
перемешивающим (относительно v), если для любых двух множеств А, В £ §"
выполняется соотношение lim v (Af\T~nB) = v (A) v (В). Доказать, что каж-
П -> оо
дое перемешивающее преобразование является также эргодическим
относительно той же самой меры.
4.12. Пусть G—компактная абелева группа, имеющая по меньшей мере
два элемента, и пусть а — произвольный элемент G. Показать, что
преобразование Та: х\^>ах не является перемешивающим относительно меры Хаара.
Указание. В случае, когда G имеет нетривиальный дискретный
характер %, выбрать множество Я как в упражнении 4.8 и рассмотреть
lim \л(Н[\ТйпН)\ в случае недискретного характера % выбрать множество А
п -> со
как в упражнении 4.9 при а=1/2 и рассмотреть lim li(A[)TanA). Таким
П -+■ оо
образом, если группа G монотетична и а—образующая G, то Та—зргодическое
преобразование, которое не является перемешивающим.
4.13. Чему равна мера Хаара множества образующих в конечной
циклической группе?
4.14. Доказать, что если G—компактная монотетическая группа, не
являющаяся вполне несвязной, и если (гп) — последовательность целых чисел
такая, что (аГп) р. р. в G для каждой образующей а группы G, то
последовательность (гпа) р. р. мод 1 при любом иррациональном а.
4.15. Пусть G—компактная монотетическая группа и пусть А—множество
ее образующих. Показать, что {(ап): а£А} является семейством равностепенно
p.p. последовательностей в G тогда и только тогда, когда {(% (ап))\ а£А}
является семейством равностепенно р. р. последовательностей в Т при каждом
фиксированном недискретном характере % группы G.
4.16. Пусть G—компактная монотетическая группа. Для каждого
недискретного характера % группы G выберем подмножество В (х) группы Т такое,
что {(Ьп): Ъ £ В (%)} является семейством равностепенно p.p.
последовательностей в Т, и положим A=f){x£G: % (х) £ В (у)}. Пусть Е—множество

308
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
всех образующих группы G. Показать, что {(ап): а £ Af)E} является
семейством равностепенно p.p. последовательностей в G. Указание.
Воспользоваться упражнением 4.15.
4.17. Пусть G—компактная монотетическая группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности. Показать, что тогда множество Е всех образующих
группы G есть борелевское множество в G.
4.18. Комбинируя упражнения 4.10, 4.16 и 4.17, проверить следующий
результат. Пусть G — компактная монотетическая группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности, и пусть задано е > 0. Тогда существует
подмножество А множества Е всех образующих G такое, что \х(А) > \х(Е)—е и
{(ап): а£А} является семейством равностепенно p.p. последовательностей в G.
Можно даже найти замкнутое множество А с подобными свойствами.
Указание. Доказать вначале этот факт для группы G = R/Z.
4.19. Почему условие to ((/)<: с необходимо для монотетичности локально
компактной группы G?
4.20. Доказать, что в случае компактной абелевой группы G условие
to (G) -^ с эквивалентно условию card G<: 2е. Указание. Воспользоваться
следствием 1.7.
4.21. Пусть а — образующая компактной монотети чес к ой группы G и пусть
(хп) такая последовательность в G, что lim хп+1Хп1==а- Доказать, что после-
П -* 00
довательность (хп) отлично распределена в G.
4.22. Доказать, что прямое произведение двух компактных монотетичеСких
групп не обязательно является монотетической группой.
4.23. Основываясь на теореме 4.7, дать чисто теоретико-групповое
доказательство того факта, что компактная связная абелева группа do счетной
базой является монотетической, путем построения инъективного гомоморфизма
из дискретной счетной абелевой группы без кручения Н в Т. Указание.
Пусть h0 = e, hlt /i2, ...—элементы Н и пусть Ну-—подгруппа группы Я,
порожденная элементами /i0, hlf ..., hj\ построить гомоморфизм путем
расширения по цепочке подгрупп #„<=#! С ...
§ 5. Локально компактные группы
Определение и ряд примеров. Естественные меры на
некомпактных локально компактных группах—меры Хаара—уже не
являются конечными мерами. Поэтому на таких группах нет возможности
ввести равномерное распределение по образцу теоремы 1.2 гл. 3,
и должны быть найдены новые понятия, которые были бы
содержательными в этой более общей ситуации. Важным требованием,
предъявляемым к такого рода понятию, является требование его
согласованности с рассмотренным ранее понятием равномерного
распределения в компактных группах; другими словами, новое
понятие р. р. должно включать в себя в качестве частного
случая понятие р. р. для компактных групп.
По существу, есть три идеи, которые мы будем развивать в
дальнейшем. Первая идея заключается в рассмотрении вместо
заданной локально компактной группы различных ее компактных
факторгрупп, в которых уже введено понятие равномерного
распределения (см. определение 5.2). Во-вторых, можно взять
критерий Вейля для компактных групп в качестве определения
равномерного распределения (см. определение 5.6). В третьих, можно

5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
309
свести проблему равномерности распределения к естественной
компактификации заданной группы в канонической форме. Однако
в свете некоторых специальных случаев, которые мы собираемся
рассмотреть в последующей главе, первая идея представляется
наиболее предпочтительной. По этой причине соответствующее
понятие как раз и будет называться равномерным распределением,
в то время как к наименованиям остальных понятий будут
делаться добавления.
Пусть G — произвольная локально компактная группа. Введем
важный класс подгрупп группы G, которые являются
топологическими аналогами подгрупп конечного индекса.
Определение 5.1. Замкнутый нормальный делитель Я
группы G называется подгруппой компактного индекса, если
факторгруппа G/H компактна.
Следствие 5.1. Если G дискретна, то подгруппы
компактного индекса группы G есть в точности нормальные делители
конечного индекса.
Пример 5.1. Пусть Z — аддитивная группа целых чисел в
дискретной топологии. Поскольку Z циклична, ее подгруппами
в точности являются тривиальная подгруппа {0} и циклические
подгруппы riL, где /г = 1, 2, ... За исключением {0}, все эти
подгруппы являются подгруппами компактного индекса. □
Пример 5.2. Пусть R—аддитивная группа вещественных
чисел в обычной топологии. Определим прежде всего замкнутые
подгруппы группы R (поскольку рассуждения почти идентичны
употреблявшимся в примере 1.5, мы ограничимся краткой
сводкой результатов). Пусть Я— замкнутая подгруппа группы R и
пусть R+ обозначает множество положительных вещественных
чисел. Если inf (Я n R+) = 0, то Я является плотной подгруппой и,
следовательно, совпадает с самой R. Если inf (Яп R+) = a > 0,
то Я является дискретной циклической группой aZ,
порожденной элементом а. Если пересечение Hf)R+ пусто, то Н = {0).
Среди таких замкнутых подгрупп подгруппами компактного
индекса являются в точности группы aZ при a > 0 и сама группа R.
Заметим, что все компактные факторгруппы R/aZ топологически
изоморфны R/Z и, следовательно, группе Т. □
Пример 5.3. Напомним, что группа D называется делимой,
если для каждого х g D и каждого положительного целого числа
п существует y£D такое, что уп = х. Утверждается, что делимая
группа D в дискретной топологии не обладает подгруппами
компактного индекса, за исключением самой D. Действительно,
пусть Я —подгруппа компактного (т. е. конечного) индекса и
пусть т—порядок факторгруппы D/H. Пусть х—произвольный
элемент D; тогда существует такой <y£D, чтоут = х. Имеем
(уН)т = Я; таким образом, х £ Я и, следовательно, Я = D. В
качестве важных частных случаев отметим аддитивную группу R#

310
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
вещественных чисел в дискретной топологии и аддитивную группу
Qd рациональных чисел в дискретной топологии. □
Определение 5.2. Последовательность (хп) в локально
компактной группе G называется р. р. в G, если для каждой
подгруппы Н компактного индекса группы G последовательность
(хпН) р. р. в G/H.
Нашей ближайшей задачей будет показать, что в случае
компактной группы G данное определение р. р. совпадает со
стандартным. Действительно, если (хп) р. р. в G в смысле
определения 5.2, то Н = {е} является подгруппой компактного индекса,
и поэтому (хп) р. р. в обычном смысле. Обратно, если (хп) р. р.
в G в обычном смысле, то согласно следствию 1.5
последовательность (хпН) р. р. в G/H для каждого замкнутого нормального
делителя Н группы G и, следовательно, (хп) р. р. в G в смысле
определения 5.2.
Пример 5.4. Пусть R — аддитивная группа вещественных
чисел в обычной топологии. Мы будем ссылаться на пример 5.2
как на полное описание всех подгрупп компактного индекса
группы R. Можно исключить из последующего рассмотрения
тривиальную подгруппу R, поскольку каждая последовательность в
R/R является р. р. Пусть теперь (хп) является заданной
последовательностью вещественных чисел. Мы отмечали в примере 5.2,
что факторгруппа R/aZ при a > 0 топологически изоморфна R/Z.
А именно, топологическим изоморфизмом этих групп является
отображение i|r. R/aZ t—> R/Z, определенное формулой я|э (P + aZ) =
= (P/a) + Z при Р g R. Таким образом, последовательность (xn-\-aZ)
будет р. р. в R/aZ тогда и только тогда, когда последовательность
((*„/«)+ Z) р. р. в R/Z (другими словами, тогда и только тогда,
когда (xja) p. p. мод 1).
Мы получаем следующий полезный критерий.
Последовательность (хп) р. р. в R тогда и только тогда, когда
последовательность (txn) p. р. мод 1 при каждом вещественном t=£0. Наш
стандартный пример в случае равномерного распределения по
модулю 1, а именно, последовательность (xn) = (nl) при
иррациональном I не является р. р. в R, поскольку ((\/1)хп) не р. р.
мод 1. Тем не менее можно построить несколько простых примеров
последовательностей, р. р. в R. Из примера 2.7 гл. 1 мы знаем,
что каков бы ни был ненулевой коэффициент P€R,
последовательность фпх) при т>0 и t(£z p. p. мод 1. Отсюда немедленно
следует, что последовательность фпх) также р. р. в R.
Для получения другого класса последовательностей, р. р. в R,
определим многочлены /(а:) = akxk + 0Lk_xxk'г + • • • + a0
положительной степени с вещественными коэффициентами, для которых
последовательность (f(n)) p. р. в R. Утверждается, что (f(n)) p. р.
в R тогда и только тогда, когда система {акУ ак_1У ..., ах}
имеет над полем рациональных чисел ранг, не меньший двух.
Действительно, предположим, что это условие выполнено; тогда

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
311
существуют коэффициенты а,- и ау, 1 ^ i < / ^ k> многочлена / (а:),
которые линейно независимы над полем рациональных чисел.
При а^О по меньшей мере одно из <ш( или аау- должно быть
иррационально. Таким образом, многочлен а/ (х) удовлетворяет
условию теоремы 3.2 гл. 1, и поэтому (а/(я)) р. р. мод 1.
Поскольку а было выбрано произвольно, последовательность (f(n))
р. р. в R. С другой стороны, если ранг {ал, ал_1? ..., ах} над
полем рациональных чисел равен 1, то а^^а, l^t^fe, при
некотором вещественном а Ф О и рациональных rt. Следовательно,
последовательность ((1/а)/(п)) не является р. р. мод 1. П
Пример 5.5. Если D—делимая группа в дискретной
топологии, то, как это следует из примера 5.3, только компактная
факторгруппа группы D является одноэлементной группой.
Поэтому каждая последовательность в D является р. р. В частности,
каждая последовательность в Rd и каждая последовательность в
Qd является р. р. Более общо, можно ввести следующее понятие.
Локально компактная группа G называется топологически делимой,
если подгруппой компактного индекса группы G является только
она сама. Примером топологически делимой недискретной группы
является аддитивная группа /7-адических чисел. Очевидно, что
каждая последовательность в топологически делимой группе
является р. р. □
Общие свойства. Выясним вначале вопрос о том, справедлив
ли аналог полезной теоремы 1.6 также и для локально
компактных групп. В такой общности ответ будет отрицательным.
Действительно, рассмотрим непрерывный гомоморфизм ср: Rd*—>R,
определенный формулой у(х) = х при каждом x£Rd. Выберем в
качестве (хп) последовательность констант (или одну из многих
последовательностей, которая не является р. р. в R); тогда (хп)
р. р. в Rd (согласно примеру 5.5), но (у(хп)) не р. р. в R. Для
исправления этой ситуации мы должны добавить условие, что
данный непрерывный гомоморфизм открыт. В действительности
это условие неявно участвует в теореме 1.6, поскольку
непрерывный гомоморфизм между компактными группами автоматически
открыт (см. теорему 1.8).
Теорема 5.1. Пусть ср—непрерывный открытый
гомоморфизм локально компактной группы G на локально компактную
группу Gx. Если последовательность (хп) р. р. в G, то (ф(аг^))
р. р. в Gv
Доказательство. Рассмотрим произвольную подгруппу Н1
компактного индекса группы G1# Пусть Н—прообраз Нх при
отображении ф; тогда Я является замкнутым нормальным делителем
группы G. Легко видеть, что отображение-ф: G/H\-+GjHly
задаваемое формулой ty(xH) = y(x) Н1У определено корректно и,
разумеется, является сюръективным гомоморфизмом. Ясно также,
что if инъективно. Убедимся в том, что г|)— открытое
отображение. Напомним, что открытое множество в G/H имеет вид {хН:

312
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
x£U), где U — некоторое открытое множество в G. Но множество
ty({xH: лг£ U}) = {yH1: у £ф(^)} открыто в GjHly поскольку ср(£/)
открыто в Gx. Тот факт, что ty открыто, означает, что обратное
отображение г|)-1: Gl/H1\—^G/H непрерывно. В частности, G/H
компактно. Но отображение -ф"1 открыто как непрерывный
гомоморфизм между компактными группами; следовательно, if
непрерывно. По условию (хпН) р. р. в G/#; таким образом, (ty(xnH)),
т. е. (ф (*„)#!), Р- Р- в ^i/^i (по теореме 1.6), что и требовалось.
Внимательный читатель заметит, что мы существенно
пользовались второй теоремой об изоморфизме для топологических
групп. □
Поскольку равномерное распределение в локально
компактных группах определялось в терминах р. р. в некоторых
компактных группах, многие из основных свойств, перечисленных в
§§ 1 и 2, переносятся на данный случай. Отметим два из них.
Доказательства проводятся непосредственно.
Теорема 5.2. Пусть (хп)—последовательность, р. р. в
локально компактной группе G, и предположим, что (сп) —
последовательность в G такая, что lim cn существует. Тогда после-
п -> со
довательности (сп хп) и (хп сп) р. р. в G.
Доказательство. Каноническое отображение из G на G/H
для замкнутой нормальной подгруппы Н группы G непрерывно.
Поэтому lim cnH в G/H существует. Утверждение тогда следует
П -> 00
из определения 5.2 и теоремы 1.4. □
Теорема 5.3. Пусть (хп) — последовательность в локально
компактной группе G. Если (xn+h х^1) р. р. в G при каждом
h=\, 2, ..., то последовательность (хп) сама р. р. в G.
Доказательство следует из определения 5.2 и теоремы
2.1. □
Периодические функции и периодические представления.
Напомним, что равномерное распределение в компактной группе может
быть охарактеризовано следующим образом. Если М —
компактная группа и v — мера Хаара в М, то последовательность (уп)
в М р. р. в М тогда и только тогда, когда соотношение
N
lim (l/N) 2 f(yn)=\fd\i> справедливо для всех f€%(M). При
N -> оо п = 1 м
применении этого критерия в локально компактной группе G мы
должны рассматривать непрерывные комплекснозначные функции
на компактных факторгруппах G/H. Итак, пусть Я — подгруппа
компактного индекса группы G и пусть fH —непрерывная комплек-
снозначная функция на G/Я. Функцию fH можно каноническим
образом рассматривать как непрерывную комплекснозначную
функцию на G. А именно, определим функцию / на G формулой
/ Iх) = !н (ХН) ПРИ х 6 G. Тогда /. и есть требуемая непрерывная
функция на G. Характеристическим свойством такой функции /

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
313
является то, что / постоянна на левых классах смежности по
подгруппе Я. Это наблюдение подсказывает следующее
определение.
Определение 5.3. Комплекснозначная функция / на
локально компактной группе G называется периодической, если /
постоянна на левых классах смежности по некоторой подгруппе
компактного индекса в группе G. Более общо, отображение г|) из
G в множество S называется периодическим, если существует
такая подгруппа Я компактного индекса в группе G, что ty (х) =
= ty(y) при х~ху£Н (или, что то же, ty постоянна на левых
классах смежности по подгруппе Я).
Пример 5.6. Подобное понятие периодичности является
естественным обобщением обычного понятия периодичности для
функций, заданных на R. Действительно, если /—функция на R
с периодом а > 0, то / постоянна на классах смежности подгруппы
компактного индекса aZ. Обратно, если / периодична в смысле
определения 5.3, то на основании примера 5.2 / является либо
постоянной функцией, либо постоянной на классах смежности по
подгруппе aZ при некотором a > 0. Другими словами, /
периодична в обычном смысле.
В случае, когда G топологически делима, периодические
функции на G являются в точности постоянными. П
Заметим, что если /—непрерывная периодическая функция
на G, скажем, / постоянна на левых классах смежности по
подгруппе компактного индекса Я группы G, то /может
рассматриваться как непрерывная функция на G/Hy если рассматривать
функцию /я, определенную формулой fH(xH) = f(x). Определим
теперь интеграл \ fd\x от функции /, полагая J fd\i=
— \ !н<1\1н> где \хн—мера Хаара на G/H. Естественно, надо
показать, что.^/ф, корректно определяется подобным образом.
Лемма 5.1. Интеграл \fd\k определен корректно.
Доказательство. Предположим, что К—другая
подгруппа компактного индекса группы G такая, что / постоянна на
левых классах смежности по К- Прежде всего надо показать,
что тогда / постоянна на левых классах смежности по
нормальному делителю НК группы G. Заметим, что для всех х 6 G имеем
f(xh) = f(x) при каждом А^Я и f(xk) = f(x) при каждом k£K.
Если элементы у и z группы G лежат в одном и том же левом
классе смежности по подгруппе Я/С, то y = zhk при некоторых
элементах h$H и &g/(.Ho тогда f(y)=sf(zhk) = f(zh) = f(z)f и
первое yfвepждeниe доказано.
Непрерывность / означает, что / постоянна также и на левых
классах смежности по замкнутому нормальному делителю L = HK

314
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Заметим, что L снова является подгруппой компактного индекса.
Для того чтобы показать это, рассмотрим отображение i|r.
G/Hн->G/L, определенное формулой я|>(хН) = xL приx$G. Данное
отображение определено корректно, поскольку Н содержится в L.
Открытое множество в G/L имеет вид {xL: x£U} для некоторого
открытого множества U в G. Но множество ^"1({xL: x£U}) =
= {лг#: x£UL} является открытым в G/H. Поэтому G/L
компактна как непрерывный образ компактного пространства. Наша цель
будет достигнута, как только мы убедимся, что
G/Я G/L G/K G/t
Достаточно доказать первое тождество, поскольку
доказательство второго аналогично. Важно заметить, что функция
множества vz, заданная на борелевских множествах В группы G/L
равенством \L (В) = \iH (i))"1 (В)), обладает в точности теми же свойствами,
что и мера Хаара \kL группы G/L, и поэтому из единственности
меры Хаара следует, что \iL (В) = \iH (ty'1 (В)) для всех
борелевских множеств В группы G/L. Используя тот факт, что функция
fH совпадает с композицией функций fLotyy получаем
\ fHd\iH= J (fLo^)diiH= I fLdtkL9
G/H G/H G/L
что представляет собой требуемый результат. □
Теорема 5.4. Последовательность (хп) в локально
компактной группе G р. р. в G тогда и только тогда, когда соотношение
N
Ит 4 L/(*„)= f/<fc (5.1)
выполняется для всех непрерывных периодических функций f на G.
Доказательство. Пусть последовательность (хп) р. р. в G
и пусть /—непрерывная комплекснозначная функция,
являющаяся постоянной на левых классах смежности по подгруппе Н
компактного индекса в группе G. Выше отмечалось, что
функция fH на G/Я, определенная формулой fH(xH) = f(x) при x£G9
непрерывна. Поскольку последовательность (хпН) р. р. в G/#,
мы заключаем, что
N N
lim -jf Z /(*„) = Km -jr £Ы*ЛЯ) = J !н^н= J /Ф-
Обратное доказывается путем аналогичных рассуждений. □
Определение 5.4. Представление локально компактной
группы G,^которое является периодическим отображением,
называется периодическим представлением. Аналогично, характер ло-

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
315
кально компактной абелевой группы, который является
периодической функцией, называется периодическим характером.
Лемма 5.2. Представление D локально компактной группы
G периодично тогда и только тогда, когда ядро D является
подгруппой компактного индекса группы G.
Доказательство. Поскольку D постоянно на классах
смежности по ядру, то условие достаточно. С другой стороны, если
D постоянно на левых классах смежности по подгруппе
компактного индекса Н группы G, то мы, в частности, имеем D (h) = D (e)
для каждого h£H. Таким образом, Я содержится в ядре D и
в соответствии с доказательством леммы 5.1 ядро D является
подгруппой компактного индекса. □
Теорема 5.5. Последовательность (хп) в локально
компактной группе G р. р. в G тогда и только тогда, когда
соотношение
N
l«n jlDW = 0 (5.2)
выполняется для каждого нетривиального периодического
неприводимого унитарного представления D группы G.
Доказательство. Если (хп) р. р. в G и D —
представление указанного выше вида с ядром Н, то формула DH(xH) = D(x)
при х б G определяет нетривиальное неприводимое унитарное
представление DH компактной группы G/H. Поскольку (хпН) р. р.
в G/H, применение теоремы 1.3 дает
n n
Hm ^ED(xJ=lim -ffZ D„(xaH) = 0.
Обратное показывается путем аналогичных рассуждений. □
Следствие 5.2. Последовательность (хп) в локально
компактной абелевой группе G р. р. в G тогда и только тогда, когда
N
соотношение lim (1/N) 2 %(хп) = ® выполняется для любого не-
N -► оо п= 1
тривиального периодического характера % группы G.
Компактификации. В оставшейся части данного параграфа
будем считать, что G является локально компактной абелевой
группой.
Установим связь между р. р. в G и р. р. в определенных
компактных абелевых группах. Рассмотрим группу характеров G
группы G и обозначим через Gp множество периодических
характеров группы G. Важно подчеркнуть, что в общем случае Gp не
является подгруппой группы G. Следующий пример иллюстрирует
это обстоятельство.

316
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пример 5.7. Пусть G— прямое произведение G=RxZ. По-
00
скольку G = и ([ — т> т]х{—т, —т+1,...,т}), npOCTpaH-
miz 1
ство G является а-компактным. Рассмотрим при заданном
иррациональном а характеры %г и %2 группы G, определенные
формулами %1{(гу z)) = exp(2ni(az — r)) и %2((r, z)) = ехр (2шг) при
(г, z)gRxZ. Ясно, что как Xi» так и %2 являются
отображениями на Т, и, следовательно, из теоремы об изоморфизме (см.
теоремы 1.8 и 1.9) следует, что 0/(ядро %i) и б/(ядро %2)
топологически изоморфны Т. Тогда %i и %2 периодичны по лемме
5.2. Но
(XiX2)((>', г)) = ехр(2шаг),
и ядром %i%2 является Rx{0}, a G/(Rx{0}) топологически
изоморфна некомпактной группе Z. Следовательно, %г%2 не является
периодическим характером группы G. □
Наученные быть осторожными, мы будем внимательнее
относиться к (алгебраической) подгруппе группы G, порожденной &. Если
снабдить эту подгруппу группы G дискретной топологией
(которая в общем случае не совпадает с относительной
топологией), то двойственной к ней является компактная абелева
группа, так называемая периодическая компактификация Gp группы
G. Более общо, если Г—произвольная подгруппа группы G с
дискретной топологией, то двойственный к ней компакт называется
компактификацией исходной группы G. Если в качестве Г взять
саму группу G, то мы получаем хорошо известную компакти-
фикацию Бора G группы G. По теореме 1.12 любая
компактификация является факторгруппой боровской компактификации.
Следующая лемма обосновывает использование термина
компактификация.
Лемма 5.3. Пусть К = Т—произвольная компактификация
локально компактной абелевой группы G. Тогда существует
естественный непрерывный гомоморфизм ф из G в К такой, что cp(G)
плотно в К. Кроме того, ср инъективен тогда и только тогда,
когда подгруппа Г группы G разделяет точки, т. е. для любых
двух различных точек х и у в G существует такой % £ Г, что
%(х)ф%{у).
Доказательство. Отображение ср: G\—>К строится
следующим образом. При заданном x£G функция а: на G,
определенная формулой х (%) = х (х) для х € G, является характером
группы G. Ясно, что тогда сужение х на Г, которое мы будем
обозначать через х> является характером группы Г и,
следовательно, элементом К\ теперь положим ф(лг)=лг. Очевидно,
отображение ф является гомоморфизмом. Следовательно, достаточно
показать непрерывность ф в единичном элементе e£G. Заметим,

§5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
317
что топология в К есть компактно-открытая топология и что
компактные подмножества множества Г являются в точности
конечными подмножествами. Таким образом, открытая окрестность
из базы открытых окрестностей единичного элемента в К имеет
вид A = {k£K: \k(Xi)— 11 < е при 1</<п}, где е > 0 и
%i у • ••»%«€ Г- Эти %( являются характерами группы G; поэтому
множество U = {х g G: \xt(x)— 11 < е при 1 ^ i ^ п\ есть
открытая окрестность элемента e£G. Как только мы покажем, что
ср(£/)^Л, непрерывность ср будет установлена. Но для любого
x£U мы получаем \х(%£)—1|<е при 1^/^я, и поэтому
I x (Xi)— 1 ] < е ПРИ 1 ^ *' ^ я. Другими словами, для любого х £ U
имеем х g А.
Предположим, что <p(G) не плотно в К. Тогда <p(G) есть
собственная замкнутая подгруппа в группе /С. Используя тот факт,
что /(/ф (G) допускает нетривиальный характер и что каждый
характер факторгруппы группы К может рассматриваться как
характер группы К, мы видим, что существует такой
нетривиальный характер т группы /С, что т(ф(0)) = {1}. Поскольку К =
= Г, то, применяя теорему двойственности, получаем
существование такого нетривиального характера % £ Г, что %(k) = k (%) при
всех k £ К. Но тогда при всех х g G имеем 1 = т (х) = х (%) =
= х(х) = х(х)у что, очевидно, противоречит нетривиальности %.
Переходя к доказательству последнего утверждения,
предположим, что Я—ядро ф, и пусть т] обозначает единицу в К.
Гомоморфизм ф инъективен тогда и только тогда, когда Н = {е\. Имеем
следующую цепочку эквивалентностей: {а: £ Я} фф {ф (х) = т]} фф
ФФ{#(%)=1 при всех %€ Г} фф {% {х)= 1 при всех %€П- Если Я
содержит элемент х^б, то Г не должна отделять х от е. С
другой стороны, если Г не разделяет различные элементы х и у> то
X(*~ty)=l при всех %€Ги д;-^ должны быть элементом Я,
отличным от е. Q
Следует заметить, что обращение этой леммы также справедливо.
А именно, если К—компактная абелева группа и ф—непрерывный
гомоморфизм из G в К с плотным образом, то К топологически
изоморфна компактификации группы G. Действительно, пусть
К—группа дискретных характеров группы К. Рассмотрим
отображение a: ifg^i—>i|f gG, где if* — характер группы G,
задаваемый формулой -ф* (х) = if (ф (*)) при а: б G. Отображение о является
непрерывным гомоморфизмом; кроме того, о инъективно.
Действительно, если i|?I=i|>J при ifj, ty2£K, то характеры ^ и
^совпадают на плотной подгруппе ф(б) и поэтому -фх = г]р2. Если
снабдить образ Г отображения о дискретной топологией, то К даж:
топологически изоморфна Г. Но тогда К топологически изоморфна
Г, которая является компактификацией группы G.

318 ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Лемма 5.4. Пусть Г—подгруппа группы G с дискретной
топологией и пусть К = Т — соответствующая компактификация
G. Пусть у далее у ср: G\—>/(—отображение, построенное в
доказательстве леммы 5.3, и предположиМу что (хп)—
последовательность в G. Тогда (ф ■(*„)) p. р. в К в том и только в том слу-
N
чае у когда соотношение lim (l/N) 2 %(хп) = ® выполняется для
всех нетривиальных характеров % g Г.
Доказательство. Согласно следствию 1.2
последовательность (у(хп)) р. р. в К тогда и только тогда, когда соотношение
N
lim (l/N) 2 "Ф(ф(хп)) = 0 выполняется для каждого нетривиаль-
N -+ аз п= 1
ного характера \р группы К. По теории двойственности
нетривиальными характерами К являются в точности функции % при
некотором нетривиальном характере % £ Г, где, как обычно, %(т) =т(%)
при всех rg/C. Используя обозначения, введенные при
доказательстве леммы 5.3, имеем у(хп)=хп. Тогда х(ф(*п)) = Х (*„)=
= ^« (х) = Я* (X) = X (*J» и доказательство закончено. □
Теорема 5.6. Пусть Gp — периодическая компактификация
локально компактной абелевой группы G и пусть ф: G *~*>Gp —
естественное отображениеу построенное в доказательстве леммы
5.3. Предположим у что (хп) — такая^ последовательность вйучто
последовательность (ф(лгп)) р. р. в Gp. Тогда (хп) р. р. в G.
Доказательство. Воспользуемся леммой 5.4, взяв в
качестве Г подгруппы группы G, порожденную множеством
(^периодических характеров. Из.предположения, что (у(хп)) р. р. в Gp = T, сле-
N
дует, в частности, что соотношение lim (l/N) 2 X (хп) = О выпол-
N-+OD ГС=1
няется для всех нетривиальных периодических характеров % группы
G. Тогда по следствию 5.2 последовательность (хп) р. р. в G. □
При каких условиях справедливо обращение этой теоремы?
Очевидно, если G вообще не допускает равномерно
распределенной последовательности, то обращение тривиально. Оказывается,
в том интересном случае, когда G допускает р. р.
последовательности, законность обращения теоремы 5.6 эквивалентна тому, что
Gp является подгруппой группы G. В частности, если Gp является
подгруппой группы G, то мы получаем следующий критерий:
последовательность (хп) р. р. в G тогда и только тогда, когда (ф(лгп))
р. р. в Gp.
Теорема 5.7. Пусть G—локально компактная абелева группау
которая допускает р. р. последовательность. Тогда следующие
два условия эквивалентны.

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 319
i. Мнооюество Gp всех периодических характеров группы G
образует подгруппу группы G.
п. Если последовательность (хп) р. р. в G, то
последовательность (ф(#„)) р. р. в периодической компактификации Gp группы G.
Доказательство. Импликация (i)=>(ii) очевидна из
следствия 5.2 и леммы 5.4. Доказательство импликации (ii)=^(i)
требует больших усилий. Предположим, что Gp не является
подгруппой группы G. Пусть Г—подгруппа группы G, порожденная
подгруппой Gp\ тогда Gp является собственным подмножеством Г.
Мы должны построить такую р. р. последовательность {хп) в G,
что (ф(дс„)) не является p.p. в Gp. В терминах характеров мы
N
ищем такую последовательность (хп) в G, что lim (l/N) 2 х(*п)=0
N -> оо п— 1
для всех нетривиальных % g Gp, но такую, что соотношение
N
lim (l/N) 2 %i (хп)= 0 не выполняется при некотором %i€r\G/\
N -> СО ГС=1
По предположению, существует такая последовательность (уп)
в G, что соотношение
lim |LxW = 0
выполняется для всех нетривиальных %£Gp. Может случиться
так, что последовательность (уп) уже та, которую мы ищем. Если
n
это не так, то соотношение lim (l/N) 2 %(#л) = 0 должно вы-
N -> оо гс=1
полняться для всех нетривиальных %6Г. Мы докажем несколько
больше, чем намеревались первоначально. А именно, мы докажем,
что при заданном характере %i £ T\Gp мы можем переставить и
размножить элементы уп таким образом, чтобы получить
последовательность (atJ в G, удовлетворяющую соотношению
N
lim (l/N) 2 x(a:/i) = 0 пРи всех нетривиальных характерах %£&
и соотношению
lim -xrLxiW^O-
а; _^ ~ '»
п=\
Это делается следующим образом. Пусть /—вещественнознач-
ная функция на G, определенная формулой / (х)= l+yOCi W+XiW)
при A:gG. Тогда f(x)^0 при всех ArgG. Определим при /^1 и
fe > 1 целое pjk = [fe/ (yf)]. Тогда | / (y/)/k—pJk/k2 [ < 1/£2, и поэтому

320 гл. 4. топологические группы
к к
2 I/(yj)lk — Pjklk2\ < \/k. Положим Ak= 2 Pjk- Последователь-
/=i /=i
ность (хп) построим блоками: первые Ах элементов составляют
первый блок, следующие А2 элементов—второй блок и т. д. При
этом k-и блок будет представлять собой конечную
последовательность, состоящую из Ak членов уХУ ..., у1У у2, ..., у2У ..., укУ ...,yk,
где уj встречается pJk раз при /=1, 2, ..., k. Для упрощения
обозначений будем обозначать элементы &-го блока через z[k\
z2k\ • • •» z(a\- Выберем теперь произвольный характер %£Г. Имеем
А
к , *
^£x(4^-|X,/toy)xtoy)
v=l /=1
^г S/>у*Х toy) —у S / toy) X toy) И S X (Уу) (^г jp)
Следовательно,
fe-*oo К ~ /г -* оо « Г™
v= 1 / = 1
= Ит TLxtoy)+-2 lim tS (xix)toy) +
<i-
/г
+4-limTS(x1x)toy)- (5.3)
Обозначим величину правой части через а (%). Выбирая в качестве %
тривиальный характер, получаем, что lim Ak/k2=l (в частности,
Ak > 0 при достаточно большом &). Из этого предельного
соотношения и из (5.3) следует, что
Ак
1 k
lim ж2хЮ = а(Х)
^к
v=l
при всех %£Г. Кроме того,
lim Ak+1/(At+...+Ak) = 0,
к -*- оо
поскольку ЛЛ является величиной порядка k2. По лемме 4.1
гл. 2 получаем, что
Иш i"L Xl*„) = «(x)
при всех х€Г. Остается вычислить а(%). Заметим, что при
нетривиальном характере %£Gp как у,%у так и %iX нетривиальны,

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
321
в противном случае %t должен быть периодичным. Таким
образом, а(%) = 0 для таких %, как и должно быть. С другой сто-
k
роны, мы получаем a(Xi) = (l/2) lim (\/k) 2 ll (У/)+ 1/2, что
к -► оо / = 1
равно либо 1, либо 1/2 в зависимости от того, является ли %1
тривиальным или нетривиальным характером (на самом деле
нетрудно видеть, что %i должен быть нетривиальным). Итак, нами
полностью получен требуемый результат. Q
Пример 5.8. Пусть R, как обычно, аддитивная группа
вещественных чисел в обычной топологии. Группа R является
самодвойственной в том смысле, что группа, двойственная к R,
топологически изоморфна самой R. Характерами R являются в
точности функции Ха при а £ R, где %а (х) = exp (2niax) при
x£R. Заметим, что %о является тривиальным характером и что
при а Ф О ядро ха есть подгруппа компактного индекса (l/a)Z
группы R. Таким образом, каждый характер R периодичен.
В частности, периодические характеры образуют группу, и
периодическая компактификация группы R совпадает с боровской
компактификацией R группы R. Из предыдущих теорем мы
заключаем, что последовательность (хп) p.p. в R тогда и только
тогда, когда (ср (хп)) p.p. в R. Как можно описать компактифи-
кацию Бора в данном случае? По определению, R есть компакт,
двойственный к Rd. Таким образом, R состоит из всех
гомоморфизмов (не только непрерывных) группы R в Т. При описании
явной формы R можно воспользоваться предыдущим примером.
А именно, элементы R строятся в точности таким же образом,
что ив примере 4.2, если только опустить условие %(1)=1,
которое там требовалось. Как следует из теоремы 1.12, R
содержит универсальную компактную монотетическую группу G0 в
качестве замкнутой подгруппы. Отображение ср: R н-> R
определяется формулой cp(a) = %a при agR. □
При]мер |5.9. В случае G = Z характеры являются
функциями %t при t£ R, где %t (т) = exp (2nitm) при m£Z (число t,
разумеется, приведено по модулю 1). Если t иррационально, то
ядром х* является просто {0}. При рациональном t ядро %t есть
подгруппа компактного индекса. Таким образом, периодические
характеры Z суть в точности характеры, которые соответствуют
рациональным значениям t. Следовательно, в этом случае
периодические характеры образуют группу. Удобнее двойственную к Z
группу рассматривать как R/Z, которая топологически
изоморфна Т. Поэтому группу периодических характеров группы Z
можно рассматривать как подгруппу U группы Т, состоящей из всех
корней из единицы. Компактификация Бора Z группы Z
является известной нам группой, поскольку Z двойственна к Td,
7г11 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

322
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
которая является ни чем иным, как универсальной компактной
монотетическои группой G0. Периодическая компактификация
ZP группы Z, являясь факторгруппой компактификации Бора,
будет, таким образом, монотетична согласно следствию 4.5. Группу
Zp обычно называют универсальной монотетическои каиторовскрй
группой Gx. Для того чтобы составить некоторое представление
о том, как выглядит Glf мы вначале дадим другое описание
группы U. При этом отметим еще раз, что если мы снабдим U
дискретной топологией, то двойственной к ней будет Gx.
При фиксированном простом р определим так называемую
квазициклическую группу Ъ(рсо) как подгруппу группы Т,
состоящую из всех чисел вида exp(2nikp~n) при неотрицательном
п и произвольном целом k. Утверждается, что V изоморфна
слабому прямому произведению H*Z(p°°), где р пробегает все
р
простые числа. Для удобства записи обозначим через е (а) число
ехр(2ш'а) при agR. Пусть £ — произвольный элемент группы Ut
скажем, £ = е (г/т) при т > О, где г/т не обязательно имеет
приведенный вид. Пусть, кроме того, р1У р2У ...—простые чис-
00
ла, взятые в возрастающем порядке. Тогда m = Ц/?!*, где е^О
и лишь для конечного набора индексов i числа ei положительны.
Пусть а{ при каждом i ^ 1 есть решение линейного сравнения
00
х IX pef^=r (mod peJ). Определим отображение т: U v->II*Z (p°°)
/=i 3 l v
формулой г(Ъ) = (е(а1/ре1>), ..., е^/р6/), ...)• То, что т(£)
корректно определено и что т есть изоморфизм U на H*Z(/?°°),
р
является простым упражнением по элементарной теории чисел.
Если обе группы рассматриваются в дискретной топологии,
то т является даже топологическим изоморфизмом. Компактная
группа Ър целых /7-адических чисел имеет в качестве
двойственной дискретную группу Z (р°°) (см. упражнение 2.3 гл. 5). По
теореме двойственности двойственной к Z (р°°) является как раз
Zp. Применяя теорему 1.15, получаем, что G1 топологически
изоморфна прямому произведению Ц Zp. □
р
Моногенные группы. Мы выяснили, что для каждой
образующей а компактной монотетическои группы последовательность
(ап) является p.p. (см. теорему 4.2). Ясно, что это справедливо
также и для Z—единственной локально компактной
некомпактной монотетическои группы. Эти результаты подсказывают
следующее определение.
Определение 5.5. Локально компактная абелева группа
G называется моногенной, если существует. такой элемент agG,

§5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
323
что последовательность (ап) p.p. в G. Элемент а называется
моногенной образующей группы G.
Пример 5.10. Согласно краткому обсуждению,
предшествовавшему определению 5.5, каждая локально компактная моноте-
тическая группа является моногенной. Для компактных абелевых
групп понятия монотетичности и моногенности эквивалентны.
Существует много моногенных групп, которые не являются мо-
нотетическими. Например, каждая топологически делимая абелева
группа G (см. пример 5.5), очевидно, моногенна, в то время как
G не может быть монотетической, если G имеет более одного
элемента (действительно, в противном случае G должна быть
либо компактной, либо топологически изоморфной Z, ко обе
альтернативы несовместимы с тем, что G является топологически
делимой группой). Несколько слов в порядке предупреждения.
Непрерывный гомоморфный образ моногенной группы не
обязательно моногенен (ср. с упражнением 4.3). В самом деле,
выберем группу Rrf, которая является моногенной согласно примеру
5.5. Отображение т: Rdi—>R такое, что х(х) = х при x£f{dy
конечно, есть непрерывный гомоморфизм. Однако группа R не
является моногеккой, поскольку, ни одна последовательность
вида (па), agR, не является p.p. в R (см. упражнение 5.4).
С другой стороны, из теоремы 5.1 следует, что если ср: Gy->G1
есть непрерывный открытый гомоморфизм из моногенной
группы G на локально компактную группу Glf то Gx также является
моногенной. Кроме того, прямое произведение двух моногенных
групп не обязано быть моногенной группой. Это, конечно,
ясно из упражнения 4.22, однако можно привести пример с
некомпактными группами. Известно, что Z моногенна, но Z2 не
является моногенной группой, поскольку легко видеть, что ни одна
последовательность вида ((па, nb)) при a, b £ Z не может быть
p.p. в Z2. D
Структура моногенных групп полностью известна (см.
замечания). Как можно было ожидать из упражнения 5.10> их
классификация более трудна, чем классификация локально
компактных монотетических групп. По поводу свойств, которые могут
быть доказаны непосредственно, мы отсылаем читателя к
упражнениям 5.13—5.18. Следующая теорема демонстрирует еще одну
связь между моногенными и монотетическими группами.
Теорема 5.8. Если G моногенна, то каждая компактная
факторгруппа группы G является монотетической и каждая
дискретная подгруппа группы G алгебраически изоморфна под-
группе группы Т.
Доказательство. Пусть а—моногенная образующая
группы G. Тогда (ап) p.p. в G, и поэтому для каждой
компактной факторгруппы G/H последовательность (апН) p.p. в G/tf.
Следовательно, класс смежности аН является образующей груп-
11*

324
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
пы G/H. По поводу второго утверждения заметим, что каждая
дискретная подгруппа группы G является двойственной к
некоторой компактной факторгруппе G/H. Остальное следует из
теоремы 4.7. П
К сожалению, обратное утверждение неверно. При G = R
нетривиальные компактные факторгруппы топологически изоморфны
группе Т (см. упражнение 5.2) и поэтому монотетичны.
Однако сама группа R не является моногенной согласно
упражнению 5.10.
Равномерное распределение по Хартману.
Определение 5.6. Последовательность (хп) в локально
компактной абелевой группе G называется p.p. no Хартману
N
в G, если соотношение lim (1//V) 2 %(хп)==® выполнено для
Л' -► оо п = 1
каждого нетривиального характера % группы G.
Следствие 5.3. Каждая p.p. no Хартману
последовательность в G является p.p. в G.
Доказательство. Это немедленно следует из
определения 5.6 и следствия 5.2. □
Можно задаться вопросом, при каких условиях,
накладываемых на группу G, понятия p.p. по Хартману и собственно p.p.
полностью эквивалентны. На этот вопрос нетрудно ответить.
Теорема 5.9. Понятия p.p. no Хартману и p.p. в
локально компактной абелевой группе G совпадают тогда и только
тогда, когда либо G не допускает p.p. последовательности, либо
каждый характер группы G является периодическим.
Доказательство. Достаточность условия ясна. Если G
не допускает p.p. последовательности, то оба понятия являются
бессодержательными по следствию 5.3 и, следовательно,
совпадают. Итак, предположим, что G допускает p.p.
последовательность (уп), и допустим, что G имеет непериодический характер Хг-
N
Тогда lim (\/N) 2 %(Уп) = ® Для каждого нетривиального % £ Gp.
N-+ оо п=\
Но, используя ту же аргументацию, что и при доказательстве
теоремы 5.7, можно построить последовательность (хп) в G
такую, что
Hm (l/Af)2xW = 0
для каждого нетривиального %£Gp, а соотношение lim (1/7V)х
N
X 2 Xi (x«) = 0 не выполнено. Другими словами,
последовательна
ность (хп) p.p., но не p.p. по Хартману в G. □
Пример 5.11. Согласно примеру 5.8, каждый характер
/руппы R периодичен. Таким образом, в группе R понятия p.p.

§5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
325
по Хартману и p.p. эквивалентны. Ситуация изменяется, если
рассмотреть G = Z. В примере 5.9 мы видели, что не каждый
характер группы Z периодичен., Тогда из теоремы 5.9 следует,
что должны существовать p.p. последовательности в Z, которые
не являются p.p. по Хартману. Мы дадим явное построение
таких последовательностей. Укажем вначале другую характери-
зацию p.p. по Хартману последовательностей в Z.
Последовательность (хп) в Z является p.p. по Хартману в Z тогда и только
тогда, когда (хп) p.p. в Z и (ахп) p.p. мод 1 при каждом
иррациональном a£R. Для доказательства этого утверждения
заметим, что последовательность (хп) в Z является p.p. по Хартману
в точности тогда, когда соотношение
N
lim (l/N) 2 exp(2nitxn) = О
выполняется для всех /gR\Z. Таким образом, для заданной
p.p. по Хартману последовательности (хп) и данном иррацио-
N
нальном а мы должны иметь lim (l/N) 2 ехР (2мтахп) = 0 при
всех отличных от нуля целых т. Тогда на основании
классического критерия Вейля (см. теорему 2.1 гл. 1) последовательность
(ахп) РР- М°Д 1- Обратно, из равномерности распределения в Z
последовательности (хп) мы заключаем, что соотношение
n
lim (l/N) 2 ехр (2яШ;л) = 0 выполняется для всех /gQ\Z.
Для иррациональных / соответствующее предельное соотношение
следует из того факта, что (txn) p.p. мод 1.
В теореме 1.5. гл. 5 будет показано, что при
иррациональном а последовательность ([па]) p.p. в Z. По теореме 1.8 гл. 5
эта последовательность не является p.p. по Хартману в Z. Однако
примеры p.p. по Хартману последовательностей в Z могут быть
легко построены (см. упражнение 5.28).
При обсуждении понятия p.p. в G мы выяснили, что во
многих случаях теория p.p. может быть сведена к теории p.p. в
некоторой фиксированной компактной группе (а именно,
периодической компактификации). Тем более это справедливо для p.p.
по Хартману последовательностей, как показывает следующий
простой результат.
Теорема 5.10. Пусть G—локально компактная абелева
группа, G—ее воровская компактификация, и пусть ср: G*->G —
естественный гомоморфизм (см. лемму 5.3). Тогда (хп) является
p.p. no Хартману в G в том и только в том случае, когда
(ф(*„)) Р-Р. * G.
Доказательство. Это—частный случай леммы 5.4 при
г=е. и
11» Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

326
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Почти периодические функции. Несмотря на то, что теорема
5.10 тривиально следует из леммы 5.4, она приводит к
интересному соотношению между p.p. по Хартману и почти
периодическими функциями на G. Имеется много эквивалентных характе-
ризаций почти периодических функций, и мы воспользуемся той
из них, которая наиболее удобна для наших целей.
Используя те же обозначения, что ив теореме 5.10, заметим,
что отображение ср: Gt—>G инъективно согласно второй части
леммы 5.3. Пусть теперь /—заданная комплекснозначная
функция на G. Тогда композиция / о ср"*1 является комплекснозначной
функцией на <p(G). Если /оф*1 может быть продолжена до
непрерывной функции на G, то сама / называется почти
периодической функцией на G. Поскольку образ <p(G) плотен в
компактной группе G, функция / о ср""1 может иметь только одно
непрерывное продолжение на G. Иначе говоря, функция / является
почти периодической, если /оф"1 есть сужение на cp(G)
непрерывной функции на G. Ясно, что каждая почти периодическая
функция на G ограничена. Тривиальными примерами почти
периодических функций на G служат постоянные функции. По
поводу других примеров см. упражнение 5.19 и 5.22. Множество
Л (G) всех почти периодических функций на G с поточечными
операциями сложения, умножения и умножения на числа
образует относительно нормы ||/||= sup|/(jc)| банахову алгебру. Эта
xeG
банахова алгебра является замкнутой относительно еще одной
операции. Определим при фиксированном agG сдвиг J функции
/ на G формулой J(x) = f(ax) при всех x^G. Тогда j€.d{G)
для любой /gc^(G).
Введем понятие среднего значения М (/) почти периодической
функции / на G следующим образом. Пусть g—единственное
непрерывное продолжение /оф"1 на G и пусть v—мера Хаара
на G; тогда M(f) = \gdv. Нетрудно видеть, что М—комплекс-
G
ный линейный функционал на Л (G), который является
нормированным в том смысле, что если / = 1, то М (/) = 1. Кроме
того, М удовлетворяет соотношению М (J) = М (/) для всех
/6^(G) и всех agG, и М является строго положительным,
т. е. УИ(/)>0 для всех !^Л(й) таких, что /^0 и /^0.
В действительности все перечисленные свойства М легко следуют
из соответствующих свойств интеграла Хаара на G.
Так же как и понятие почти периодичности, среднее значение
М (/) допускает внутреннее описание, т. е. описание в терминах
группы G. Подобная характеризация становится особенно
простой, если G является а-компактной группой. В этом случае
имеет место следующий результат (см. Хьюитт и Росс [1, тео-

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 327
рема 18.14]): существует возрастающая последовательность
Я^Ягд.^Я^с,,, относительно компактных открытых
множеств, исчерпывающих G, такая, что
M^=^rk)UdX
для любой функции f£d(G), где К—мера Хаара на G.
Заслуживают упоминания следующие два частных случая. В случае
G = R имеет место тождество
т т
M(f)=\im± \f(x)dx= lim ±U(x)dx,
справедливое для любой функции /€^(R)« В случае G = Z
тождество
M(f)= lim ' £ f(n) = lim±j^f(n)
n= - N n=\
справедливо для любой функции /£</£(Z).
Роль введенных выше понятий в теории равномерного па
Хартману распределения выявляется следующей теоремой,
которая подобна теореме 5.4.
Теорема 5.11. Последовательность (хп) в локально
компактной абелевой группе G является р. р. по Хартману в G тогда и
только тогда у когда соотношение
Шп 4-£ У (*„)=#(/) (5.4)
rt=l
справедливо для любой почти периодической функции f на G.
Доказательство. Если (хп) р. р. по Хартману в G, то
в силу теоремы 5.10 последовательность (у(хп)) р. р. в G. Таким
N
образом, соотношение lim (l/N) y\g(y(xn)) = \ gdv выполняется
для любой функции g"€i?(G). Пусть теперь f£<A (G); тогда
функция^ ф-1 совпадает на ф((/) с ее непрерывным продолжением g
на G. Таким образом, получаем, что g(y(xn)) = (/оф"1) (ф(-О) =
7V
= f(xn) для всех п!>1. Следовательно, lim (1/W) У] /(*„) =
Л'-*00 п=1
= ^ g-rfv = M (/). При доказательстве достаточности используются
те же самые идеи. Выберем произвольную функцию g"G#(G).
Тогда композиция / = £оф является почти периодической
11**

328
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
функцией на G. По предположению имеем, что
Hm^X*M*»))=Mm4-il/(*J = Af</)=f*dv.
П— 1 Я=1 0
Следовательно, (ф(х„)) р. р. в G, и применение теоремы 5.10
завершает доказательство. □
Существование последовательностей, равномерно
распределенных по Хартману.
Теорема 5.12. Локально компактная абелева группа G до-
пускает /?. р. по Хартману последовательность тогда и только
тогда, когда card G ^ с.
Доказательство. Довольно легко видеть, что это
условие является необходимым. Действительно, если (хп) р. р. по
Хартману, то из теоремы следует, что (ц>(хп)) р. р. в
компактной группе G. _В частности, G сепарабельна. Поскольку
характер % группы G^ определяется его значениями -на счетном
плотном множестве в G и поскольку % принимает значения на
множестве Т мощности с, имеется самое большее са =с характеров
группы G. По построению боровской компактификации G,
двойственная к ней группа алгебраически изоморфна G. Таким
образом, получаем, что] card G^e.
Доказательство достаточности значительно труднее. При этом
будет полезно иметь в распоряжении следующие частные случаи
двух теорем Какутани [1, теоремы 1 и 3]:
i. Если card Я ^с для компактной группы Я, то card Я <[ а
(см. также Хьюитт и Росс [1, (24.47)]).
п. Компактная абелева группа Я сепарабельна тогда и только
тогда, когда card Я ^с (между прочим, мы показали
достаточность в первой части нашего доказательства).
Вначале мы намерены показать, что из предположения card G^
^с следует, что группа G сепарабельна. В силу теоремы 1.14
для этого достаточно рассмотреть группу G вида КлхЯ, где
локально компактная абелева группа Я содержит компактную
открытую подгруппу /С. Факторгруппа Q = G/(RnxK) дискретна.
Двойственная к ней компактная группа Q топологически
изоморфна подгруппе группы G; таким образом, cardQ^с. Как
это следует из (i), сама группа Q счетна. Более того, группа,
двойственная к компактной группе /С, топологически изоморфна
факторгруппе группы Я, и поэтому card К = с. Но тогда из (и)
следует, что К сепарабельна. Очевидно, что R" также
сепарабельна, и поэтому прямое произведение RnxK сепарабельно.
Объединяя эти результаты, мы видим, что группа G может быть
представлена в виде счетного объединения попарно непересекаю-

§5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
329
щихся классов смежности по ЯпхКУ причем все эти классы сепа-
рабельны. Следовательно, группа G сама является сепарабельной.
Пусть теперь (уп) является плотной последовательностью в G,
Мы будем использовать элементы этой последовательности для
построения последовательности, р. р. по Хартману в G.
Рассмотрим следующую последовательность (хп)у правило построения
которой будет описано детально:
Уг> У1У2У УЬ/г> УгУ1 УЬА* УгУЪ УЬ/Ъ УгУЬ УЬ/1 УгУ*У*> У*У#ж*
уЬ/тУзу •••. ylylyVy • ••> УгУ2---Ут> • ••» у?у?--у%т> • ••
Последовательность строится из определенных блоков, которые
начинаются с блока уху%.. .ум и заканчиваются блоком yfyT-• -Ут*"'
Укажем способ построения каждого такого блока при m^l.
Членами m-го блока Вт являются элементы вида уа{1У22---У%?
с показателями степени, удовлетворяющими условию 1 ^ а;^ т?
при 1^/^т. Показатель степени ах пробегает в возрастающем
порядке целые числа от 1 до т и затем повторяется в
циклическом порядке. Показатель степени а2 пробегает целые числа
от 1 до тг в блоках из т членов и затем повторяется в
циклическом порядке. В общем случае при 1 ^ / ^ т показатель
степени a,j пробегает целые числа от 1 до mJ' в блоках из т)^-х^2
членов и затем повторяется в циклическом порядке. Блок Вт
содержит щт{т+1)/2 членов.
Пусть %—заданный нетривиальный характер группы G. Мы
должны показать, что
п= 1
Поскольку последовательность (уп) плотна в G, непрерывная
функция % не может быть равна 1 при всех уп. Пусть г ^ 1 —
наименьший из индексов, удовлетворяющих условию % (уг) Ф 1.
Рассмотрим один из фигурировавших выше блоков Вт при т> г.
Каждый элемент Вт имеет вид у\\ . • уг[1уьгу/++1. ..л/^Г/где b
изменяется от 1 до тг в блоках из mr(r"1)/2 членов и затем
циклически повторяется. Тогда один такой цикл для b имеет длину
тг (г+1)/2 Разобьем Вт на подблоки в соответствии с циклами Ь.
Первый цикл b определяет подблок Ст1 блока Вт (который
образован в точности первыми тг (г+1)/2 элементами Вт)> второй цикл b
определяет подблок Ст2 блока Вт (состоящий из следующих
mr (r+D/2 элементов Вт) и так далее до последнего подблока Cms ,
т
состоящего из sm = тт ш+1)/2~г (г+1)/2 элементов. Рассмотрим теперь
поведение показателей степени a,j при г < / ^ m в таком блоке.
Заметим, что соответствующее a,j постоянно в блоках длины
m/(y-i)/2# Другими словами, каждое значение ctj повторяется

330
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
m/(/-i)/2 раз> прежде чем ау- получает следующее значение. Однако
заметим, что /(/—1)/2^г (г + 1)/2 при / > г, и поэтому длина
mr(r+D/2 одного из наших подблоков является делителем числа
mj(j-i)j2^ ИМенно это обстоятельство мотивирует наш выбор
последовательности (хп). Следовательно, показатели степени a,j при / > г
являются просто постоянными на фиксированном подблоке Cmi
при l^/^sOT. Это облегчает вычисление % в одном из членов
х = уа{1.. .yarrS\ybryarr+\ . . .уат заданного подблока Cmi. Воспользу-
,.аГ + 1
емся тем, что ^(^/) = 1 при 1</<г—1 и что yV+Y- - -yZF есть
фиксированный элемент г, зависящий только от подблока Cmt.
Таким образом, % (х) = % (уьг) % (г) для всех членов х подблока Cmt.
Обозначим через 2 сумму по всем членам Cmt (так что эле-
x*Cmt
мент х входит в эту сумму с той же кратностью, с какой он
встречается в блоке Cmt), а через | Cmi |— число членов в блоке Cmt.
Аналогичные обозначения будут использоваться для других
блоков. Исходя из поведения показателей степени Ь в
фиксированном блоке Cmtt мы получаем, что
1
\Cmtl
Z xW
хес
mt
1
I С,
mt
■x(z)£
m
Г (Г-1)/2
Х(УЬг)
тГ(Г-1)/2
mr(r + 1)/2
b= 1
£ (i(yr))b
b = 0
<:
2m~r
\X(yr)-\\'
(5.5)
Занумеруем теперь все блоки Cmt в том самом порядке, в каком
они встречаются в последовательности (хп), начиная с блока
Br+1: Dlt D2y D3, ... Поскольку в конечном счете т становится
сколь угодно большим, из (5.5) следует, что
ИтГ5-тЕ Х(*) = 0.
Для установления соотношения lim (l/N) 2 X (хп) = 0 воспользу-
N-+ оо /1=1
емся леммой 4.1 из гл. 2. Тогда достаточно показать, что
Hm _ ,|P'+1.L ,=0. (5.6)
Рассмотрим достаточно большое р. Пусть Dp+1 = Cmt при
некотором m^r + 2 и l^<^sm. Тогда
ID
я+i I
|0i|+... + |0«
•<
1С,
mt I
mr(r + l)/2
IB—1
(m— 1)жя-1)'*-
(5.7)
Устремляя в (5.7) p к бесконечности (или, что то же, т к
бесконечности), получаем (5.6). □

§5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
331
Следствие 5.4. Компактная абелева группа G допускает
р. р. последовательность тогда и только тогда, когда группа G
сепарабельна.
Доказательство. В компактной абелевой группе G
понятия р. р. по Хартману и р. р. эквивалентны. Таким образом,
из теоремы 5.12 вместе со вспомогательным результатом,
полученным при доказательстве этой теоремы, следует наше
утверждение. □
Еще несколько определений равномерного распределения. Пусть
К—компактификация локально компактной абелевой группы G
с естественным гомоморфизмом ср: G\-*K. Можно назвать
последовательность (хп) К-р. р. в G, если (ц>(хп)) р. р. в К. Если
Г —подгруппа группы G, снабженная дискретной топологией, для
которой /С = Г, то из леммы 5.4 следует, что последовательность (хп)
является К-р. р. в G тогда и только тогда, когда соотношение
N
lim (l/N) 2 %(хп) = 0 выполняется для всех нетривиальных
N-►00 /1=1
характеров %€ Г. Ясно, что р. р. по Хартману эквивалентна
G-p. p. Более того, если Gp является подгруппой группы G, то
р. р. в G эквивалентна G^-p. p. Если Г разделяет точки группы G,
то отображение ср инъективно по лемме 5.3; в этом случае можно
определить комплекснозначную функцию / на G, являющуюся
К-почти периодической у если функция /оф-1 на cp(G) имеет
непрерывное продолжение на К. Нетрудно видеть, что каждая /(-почти
периодическая функция является почти периодической (см.
упражнение 5.20) и что последовательность (хп) является К-р. р. тогда
N
и только тогда, когда соотношение lim(\/N) 2 / (хп)= М (/) выпол-
N-+a> n=l
няется для всех!/С-почти периодических функций / на G (см.
упражнение 5.21)? i
Замечания. Общее определение равномерного распределения в локально
компактных группах взято из работы Рубела [1]. Применительно к двум
специальным некомпактным группам, а именно, ajih_G = Z и G = R, это
понятие было изучено ранее Нивеном [2] и Циглером [6] соответственно. В работе
Циглера наша теорема 5.11 фигурировала в качестве определения (заметим,
что согласно примеру 5.11, понятия р. р. и р. р. по Хартману для G = R
эквивалентны).
Удовлетворительная теория р. р. для локально компактных абелевых
групп была разработана в совместной статье Берга, Раджагопалана и Рубела [1].
Много результатов по периодическим характерам, которые тесно связаны с
материалом этого параграфа, можно найти в работе Берга и Рубела [2]. Приведем
некоторые теоремы, которые не вошли в наше изложение.
Наиболее важной является следующая теорема существования, которая
справедлива для р. р. последовательностей в локально компактной абелевой
группе G: если cardG^^c, то G допускает р. р. последовательность; если
Gp является подгруппой G и G допускает р. р. последовательность, то
cardG/^c; для любого кардинального числа m существует локально

332
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
компактная абелева группа G с card GP^m, которая допускает р. р.
последовательность. Можно также указать необходимое и достаточное условие, но оно
не столь удовлетворительно. Группа G называется К-сепарабельной, если
существует последовательность (хп) в G такая, что для каждой подгруппы Н
компактного индекса группы G последовательность (хпН) плотна в G/H. Группа G
допускает р. р. последовательность тогда и только тогда, когда G является
/С-сепарабельной.
Полезно следующее понятие. D-компактификацией группы G называется
такая компактификация К группы G с естественным гомоморфизмом q>: Gh/C,
что (хп) р. р. в G тогда и только тогда, когда (ф(хл)) р. р. в К. Теоремы
5.6 и 5-^ показывают, что если GP является подгруппой группы <?, то GP
является D-компактификацией группы G. В этом случае GP является
единственной D-компактификацией группы G. Если GP не является подгруппой
группы (Г, то не существует D-компактификации. Более ктого, GP является
подгруппой группы G тогда и только тогда, когда либо группа G вполне
несвязна, либо каждая дискретная факторгруппа группы G является группой
ограниченного порядка (ряд интересных соотношений между топологическими
группами и алгебраическим свойством ограниченности порядка в группе
приведен в книге Рудина [1, разд. 2.5]). Все эти результаты взяты из работы
Берга, Раджагопалана и Рубела [1].
Некоторые из приведенных выше результатов были обобщены на
произвольные локально компактные группы Бенцингером [1]. Построение, подобное
тому, которое использовалось при доказательстве теоремы 5.12, может быть
также осуществлено и в неабелевом случае. В частности, следствие 5.4
справедливо для произвольных компактных групп. Используя теорию
коммутативных банаховых алгебр, Бенцингер также получает результаты по D-kom-
пактификациям.
Понятие моногенной группы было введено Рубелом [1]. Дискретные
моногенные группы полностью были охарактеризованы Раджагопаланом и Рот-
маном [1]. Ими показано, что дискретная моногенная группа является прямым
произведением делимой группы и некоторых чистых подгрупп произведений
вида I I С«, где Р—множество различных простых чисел, a CD либо явля-
ется циклической р-группой, либо группой целых /7-адических чисел. Более
того, дискретная абелева группа является моногенной тогда и только тогда,
когда она является монотетической в топологии Прюфера (или п-адической
топологии). Полная характеризация всех моногенных групп, а также всех
топологически делимых абелевых групп, была дана Раджагопаланом [1].
Однако его результаты слишком сложны и мы не можем их здесь привести.
Понятие р. р. по Хартману впервые обсуждалось Хартманом [4], в
частности, в этой статье уже отмечалась тесная связь данного понятия с почти
периодическими функциями. Критерий существования, приведенный в
теореме 5.12, вместе с остроумным построением р. р. по Хартману
последовательности, воспроизведенным в нашем доказательстве, также взят из работы
Берга, Раджагопалана и Рубела [1]. Зеймом [6] использовался сходный метод
в родственной задаче на построение.
Универсальная монотетическая канторовская группа Gi, которая
фигурировала в примере 5.9 в качестве периодической компактификации группы Z,
детально изучалась ван Данцигом [2] (см. также по этому поводу Хьюитт
и Росс [1, (25.7)]). Заметим, что результаты в духе утверждений (i) и (и) из
доказательства теоремы 5.12 могут быть найдены в работе Хартмана и
Хуляницкого [1].
Существует также очень плодотворное направление в теории равномерного
распределения в локально компактных абелевых группах, связанное с теорией
меры; эти вопросы изучались Бергом и Рубелом [1, 2] и Рубелом [2] и
привели к множеству интересных задач.

§ 5. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
зза
Относительно обзора теории почти периодических функций см. работу
Мака [1]. Близкое к нашему изложение теории можно найти в книгах Люмиса.
[1, разд. 41] и А. Вейля [1, §§ 33—35].
Упражнения. Символом G всегда будет обозначаться локально компактная
абелева группа.
5.1. Привести пример группы G и подгрупп компактного индекса Нх и Яг-
группы G таких, что HX[\H2 не является подгруппой компактного индекса.
5.2. Показать, что ограниченная последовательность не может быть р. р.
в R.
5.3. Доказать следующий критерий: группа G топологически делима тогда*
и только тогда, когда G не допускает нетривиального периодического
характера.
5.4. Доказать, что G топологически делима тогда и только^тогда, когда G
является группой без кручения и содержит только компактные элементы.
5.5: Показать, что если G топологически делима, то и каждая
факторгруппа G/H топологически делима, где Я —замкнутая подгруппа группы G-
5.6. Доказать, что если замкнутая подгруппа Я группы G содержит
связную компоненту С единицы в G, то факторгруппа G/H вполне несвязна.
5.7. Используя упражнение 5.6, доказать следующее. Если ядро Я
характера % группы G содержит С, то факторгруппа G/H дискретна, и поэтому %
периодичен тогда и только тогда, когда G/H конечна. Доказать также, что»
если Я не содержит С, то G/H топологически изоморфна группе Т, и поэтому^
характер % периодичен.
5.8. Доказать, что каждая топологически делимая абелева группа вполне-
несвязна.
5.9. Показать следующую характеризацию периодических характеров:
характер % группы G периодичен тогда и только тогда, когда замкнутая под-
группа группы 6, порожденная характером %, дискретна.
5.10. Показать, что если G не является вполне несвязной, то Ьр
порождает 8 алгебраически. Таким образом, в этом случае периодическая компакти-
фикация Gp совпадает с боровской компактификацией G.
5.11. Показать, что если G является дискретной группой ограниченного*
порядка (т. е. периодической группой с равномерно ограниченными порядками
ее элементов), то G вполне несвязна.
5.12. Доказать более общий факт, согласно которому ^группа G вполне
несвязна тогда и только тогда, когда группа G вполне несвязна и каждая
дискретная факторгруппа группы G является группой ограниченного порядка.
5.13. Показать, что элемент xgG является моногенной образующей,
группы G тогда и только тогда, когда % (х) ■£ 1 для каждого нетривиального
периодического характера % группы G.
5.14. Показать, что если х является моногенной образующей'группы G,
то хН является моногенной образующей факторгруппы G/Ht где Я — замкнутая
подгруппа группы G.
5.15. Пусть Я—такая топологически делимая замкнутая г подгруппа
группы G, что G/H моногенна. Доказать, что в этом случае группа G сама
является моногенной.
5.16. Предположим, что G моногенна и Gp— подгруппа^группы G.
Показать, что тогда Gp изоморфна подгруппе группы Т.
5.17. Пусть x£G — моногенная образующая группы G. Показать, что все
степени образующей *л, k=\, 2, ..., также являются моногенными
образующими в том и только в том случае, когда каждая компактная
факторгруппа G/H является связной.
5.18. Показать, что в условиях упражнения 5.17 все степени хк> k =
= 1, 2, ..., являются моногенными образующими группы G тогда и только
тогда, когда каждая дискретная подгруппа группы G является группой бе а
кручения.

334
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
5.19. Доказать, что каждый характер группы G является почти
периодической функцией на G.
5.20. Пусть /С = Г—компактификация группы G, причем группа Г
разделяет точки G. Доказать, что любая /(-почти периодическая функция на G
является почти периодической.
5.21. Пусть К—такая же, как в упражнении 5.20. Показать, что
последовательность (хп) является /(-р. р. в G тогда и только тогда, когда
СООТНОШУ
шение Mm (1/W) У] / (*и) = Af (/) выполняется для любой /(-почти периоди-
^-*°° п = \
ческой функции / на G.
5.22. Показать, что каждая непрерывная периодическая функция на
группе G является почти периодической.
5.23. Проверить справедливость тождества М (/) = \ f d\i для непрерывных
периодических функций / на G.
5.24. Показать, что если компактификация К группы G есть факторгруппа
компактификации L группы G, то каждая L-p. p. последовательность в G
является /(-р. р. в G.
5.25. Пусть К = Г — компактификация группы G с замкнутой подгруппой Г
группы S. Доказать следующую теорему существования /(-равномерно
распределенной последовательности: если cardГ^с, то группа G допускает /(-p.p.
последовате л ьности.
5.26. Пусть /С = Г— компактификация группы G. Говорят, что группа G
является К-моногеннойу если существует последовательность вида (хп) в G,
которая /(-р. р. в G. Доказать, что если группа G является /С-моногенной,
то Г изоморфна подгруппе группы Т.
5.27. В условиях упражнения 5.26 указать такие дополнительные условия,
накладываемые на Г, чтобы группа G была /С-моногенной [тогда и только
тогда, когда Г (в относительной топологии группы G) топологически изоморфна
подгруппе группы Т.
5.28. Доказать, что Z является Z-моногенной группой, показав, что
последовательность положительных целых чисел р. р. по Хартману в Z.
5.29. Назовем последовательность (хп) в группе G отлично распределенной
в G, если последовательность (хпН) отлично распределена в G/H для каждой
подгруппы Н компактного индекса группы G. Показать, что это понятие
является естественным обобщением понятия отличной распределенности в
компактных группах.
5.30. Привести пример отлично распределенной последовательности в
группе Z.
5.31. Привести примеры отлично распределенных последовательностей в R.
5.32. Пусть х—моногенная образующая группы G. Доказать, что
последовательность (хп) отлично распределена в G.

Глава 5
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
В этой главе мы будем иметь дело с распределением
последовательностей в специальных областях целостности, таких, как
кольцо целых рациональных чисел, кольцо целых р-адических
чисел и полиномиальные кольца над конечными полями. Ко многим
из этих случаев приложима общая теория, развитая в гл. 4, однако
в основной своей части последующее изложение не зависит от
предыдущей главы.
§ 1. Равномерное распределение целых чисел
Основные свойства. Пусть (ап)у п=1> 2, ...,—
последовательность целых рациональных чисел. Пусть N ^ 1, т!> 2 и / — целые
числа; обозначим через А (/, т, N) число элементов а1У а2> ..., aN,
удовлетворяющих сравнению ^^/(modm).
Определение 1.1. Говорят, что последовательность (ап)
равномерно распределена по модулю т (р. р. мод т), если
VlmMLm2_N1 = l (11)
для /=1, 2, ..., т, и говорят, что (ап) равномерно распределена
в Z (р. р. в Z), если (1.1) выполнено для каждого целого т^2.
Это определение является, конечно, частным случаем
определения 5.2 из гл. 4 (ср. с примером 5.1 гл. 4). Легко видеть, что
последовательность, которая р. р. мод т, также р. р. мод ky если
k ^2 является делителем т (см. упражнение 1.1). С другой
стороны периодическая последовательность 0, 1, ..., т—1,
О, 1, ..., т—1, ... представляет собой пример
последовательности, которая р. р. мод т, но не р. р. мод k> если k не^делит т.
Кроме того, имеет место следующий результат.
Теорема 1.1. Существует последовательность (ап) целых
чисел, которая не р. р. в Z, но р. р. мод /?а для каждого
простого р и каждого целого а ^ 1.
Доказательство. Мы докажем даже больше. Для п^\
положим ап = п> если де=0, 1, 2 или 5 (mod 6), ап = п—2,
если п = 3 (mod 6) и ап = п + 2> если ап = \ (mod 6). Тогда
последовательность (ап) p.p. мод т для всех т^2, которые
не делятся на 6. Но (ап) не является р. р. мод 6. □

336 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
Критерий Вейля равномерности распределения по модулю т
вытекает из следствия 1.2 и примера 1.4 гл. 4. Критерий может
быть также непосредственно проверен элементарными средствами
(см. упражнение 1.6).
Теорема 1.2. Пусть (ап)—последовательность целых чисел.
Для того чтобы (аа) была р. р. мод т, необходимо и достаточно,
чтобы для всех h=l> 2, ..., т—1 выполнялось соотношение
N
lim тг V, exp (2mhan/m) = 0. (1.2)
Следствие 1.1. Для того чтобы последовательность (ап)
была р. р. в Z, необходимо и достаточно, чтобы соотношение
N
lim ^ £ exp (2nitan) = 0 (1.3)
выполнялось для всех рациональных чисел /(£Z.
Если ограничиться возрастающими последовательностями (ап)
положительных целых чисел, мы получим другое определение
равномерного распределения по модулю т. Пусть A*(j,m,N) —
число членов последовательности (ап)> удовлетворяющих условиям
ak^N и а£ = / (modm). Пусть A (N)—число членов
^удовлетворяющих условию ak^N. Тогда условие (1.1) равносильно
условию
для /=1, 2, ...,т. Отметим, что число lim A (N)/N называется
N -> оо
нижней (асимптотической) плотностью последовательности (ап).
Теорема 1.3. Пусть (ап)—возрастающая последовательность
положительных целых чисел, причем ее дополнение (ап) в множестве
положительных целых чисел, упорядоченное по возрастанию, имеет
положительную нижнюю плотность. Тогда, если (ап) р. р. мод ту
то и (ап) р. р. мод т.
Доказательство. Прежде всего отметим равенство
A*(j,m,N) + A*(j9m9N) = -£ + a, |а|<1, (1.5)
где черта [относится к дополняющей последовательности (ап).
Так как A (N) + A (N) = N9 то из (1.5) получаем
Л* (/, т, N) ( 1 A (N)\ А* (/, т, N) A (N) _ 1 . а
A(N) V N J^ A(N) N m^N'
ИЛИ
Л (N) (A* (/, m, N) A* (/, m, N)\_ 1 A* (/, m, N) . a -fi
H \ A(N) A(N) J-m A(N) + N ' (i'0)

§1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 337
Пусть теперь N —+ оо. Тогда правая часть (1.6) стремится к нулю,
и так как предел lim A (N)/N положителен, то
"7im^/.m,;v) = 1
*-» A(N) m ^
Равномерное распределение в Z и равномерное распределение
мод 1.
Теорема 1.4. Пусть (хп)> п=\> 2, ...—такая
последовательность вещественных чисел, что последовательность (хп/т) р. /?.
мод 1 для всех [целых т^2. Тогда последовательность ([*„])
целых частей р. р. в Z.
Доказательство. При фиксированном т^2 и 0</^
<!т—1 соотношение [хп] = j (modm) эквивалентно соотношению
j/m < {xjm} < (/ + l)/w- Следовательно, А (/, m, N) = A ([j/m,
(/+l)/m); N), где второй счетчик относится к последовательности
(xjm). Поскольку последовательность (хп/т) р. р. мод 1,
получаем, что
11Ш .±SLgduB Иш MWm,(i+l)Irny,N)==1
для всех / = 0, 1, ..., т—1. Таким образом, последовательность
([хпЬ Р- Р- М°А т Для всех гп^2. \2
Теорема 1.4 представляет собой сильный результат. С помощью
этой теоремы можно построить, огромное количество равномерно
распределенных последовательностей целых чисел. Мы отметим
следующие приложения.
Пример 1.1. Последовательность ([f(n)]) p. p. в Z в каждом
из следующих случаев.
i. f(t) = aktk + ak_1tk"1+...+a1t + a0—многочлен над R, у
которого по крайней мере один коэффициент а0 /^1,
иррационален (см. гл. 1, теорема 3.2). '
п. /(<), /!>1, является такой вещественнозначной
дифференцируемой функцией, что /' (/) \ О и tf (t) —+ оо при t —*■ оо
(см. гл. 1, следствие 2.1).
iii. /(/), t^O имеет непрерывную производную, причем
f'(t)lnt^C при t—>oo, где С—положительная постоянная
(см. гл. 1, теорема 9.8).
Теорема 1.5. При 9gR последовательность ([пб]) p.p. в Z
тогда и только тогда, когда 9 иррационально или 9=l/d для
некоторого отличного от О целого d.
Доказательство. При иррациональном 9 достаточно
сослаться на пример 1.1, пункт (i). Пусть теперь 9^= 0 рационально,
скажем, 9 = a/ft, (a, b)=\ и b^l. Заметим, что
последовательность ([па/b]) периодична по модулю \а\ с периодом Ь. Таким
образом, если ([па/b]) р. р. в Z, то \а\ должен делить Ъ.
Учитывая, что (a, fc)=l, получаем а=±1. С другой стороны, легко

338 Гл- 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
видеть, что последовательность ([n/d]) p. p. в Z при каждом
отличном от нуля целом d. □
Следствие 1.2. Если 9 up рационально, |9|<1, то еле-
дующая последовательность (ап) р. р. в Z: возьмем все такие
положительные целые ап, что между Qan и 9(а„+1) есть целое
число, и упорядочим их в порядке возрастания.
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение
для 9 > 0. Пусть Ьп — такое целое, что 6ап < Ьп < 9 (ап + 1).
Тогда ап < ft „8"1 <an+l или an = [bnQ~"L]. Кроме того, из
неравенства 9 < 1 следует, что Ьп = п, так как всегда найдется
кратное число 9, лежащее между двумя последовательными
неотрицательными целыми числами. Остальное следует из теоремы 1.5. Q
Следующая теорема выявляет тесную связь между
равномерным распределением по модулю 1 и равномерным распределением
целых чисел.
Теорема 1.6. Последовательность (хп) с элементами из R
р. р. мод 1 тогда и только тогда, когда последовательность
([тхп]) р. р. мод т для всех целых т^2.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1.4,
из равномерности распределения по модулю 1
последовательности (хп) следует равномерность распределения по модулю т
последовательности ([тхп]). Обратно, если ([тхп]) р. р. мод т, то
с помощью аналогичных рассуждений получаем, что
,; Л([//т, (/+1)/т); N; (хп)) ^ п щЛр\ т, N) = 1
*->«> N N-+* N m
для всех /' = 0, 1, ..., т—1. Считая, что т пробегает |все
целые числа ^2, получаем отсюда, что соотношение
выполняется для всех подынтервалов в [а, Р) единичного
интервала с рациональными концами. Упражнение 1.3 гл. 1
завершает доказательство. □
Множество 2 равномерно распределенных
последовательностей положительных целых чисел содержит, в частности, все
последовательности ([п9]) при иррациональных 6> 1, поэтому 2
имеет по меньшей мере мощность континуума с. Поскольку 2
является подмножеством множества всех последовательностей
положительных целых чисел, 2 имеет мощность с.
Последовательности, которые не являются p.p. в Z, также имеют
мощность с, так как если последовательность (ап) p.p. в Z, то
последовательность (тап), m^s2, не является p.p. мод т, и
различным последовательностям (ап) соответствуют различные
последовательности (тап).
Пример 1.2. Каждой возрастающей последовательности
(ап), п=1, 2, ..., положительных целых чисел можно сопоста-

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
339
вить бесконечную двоичную дробь с 0 на местах с номерами
ап и 1 на остальных. Таким образом, мы получаем взаимна
однозначное соответствие между возрастающими
последовательностями положительных целых чисел и вещественными числами
ху 0^а:< 1, в двоичном представлении. Но если х является
нормальным числом по основанию 2, то соответствующая
последовательность (ап) p.p. в Z; кроме того, почти все числа
нормальны по основанию 2. Следовательно, почти все (в смысле
установленного выше соответствия) возрастающие
последовательности положительных целых чисел равномерно распределены
в Z. □
Теорема 1.7. Пусть последовательность (ап) целых чисел
p.p. в Z. Тогда последовательность (ап<х) почти p.p. мод 1 для
почти всех вещественных чисел а.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай 0^
^а<1. Пусть B(k)—число членов а„, l^n^N, которые
равны k. Тогда
А (и ту N)= 2 В Ik).
k = /|(mod m)
Для целых НфО имеем
1
da =
¥^exp(2nihana)\
п-\ I
По любому заданному вещественному [числу е, 0< е < 1,
выберем такое целое т, что [бе"1 < т < 25 (4е)-1. Для достаточна
большого N имеем
I А (/, m, N)
Тогда при /= 1, 2,
1 1 Гт
т
<
£ 5*(Л)<£^(Л(/, т, N)Y<
7=1 k = / (mod m)
У=1
<Z {к+'!)*< »т£ <•• <'•«)
/=1
Таким образом, согласно (1.7) и (1.8),
lira V 2-1 "I I
/1=^0
^ £ ехр (2ш7ш„а)
п=1
da = 0.

340 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
На основании леммы Фату получаем
ГИа(Е2-.»,
1 N
w^dexp(2mhana)
л=1
da = 0,
и поэтому для почти всех а существует последовательность
положительных целых Nx < N2 <..., которая может зависеть от
<х, такая, что
1 N(
lim дг V exp (2nihana) = 0
при всех кфО. Это доказывает теорему. Q
Для некоторых последовательностей (ап) целых чисел можно
охарактеризовать такие вещественные числа а, что
последовательность (апа) p.p. мод 1, как это сделано, например, в
следующей теореме:
Теорема 1.8. При рациональном вфО последовательность
([л6]а), п=1, 2, ... p.p. мод 1 для всех иррациональных а (при
6 = 0 таких чисел а, конечно, нет). Если 9 иррационально, то
последовательность ([я9]а), д=1, 2, ... /7./?. леод 1 тогда и
только тогда, когда 1, 6, 6а линейно независимы над полем
рациональных чисел.
Доказательство. Случай 9 = 0 тривиален; предположим,
что 9 = r/s, где s^l и гфО—целые. Пусть a—любое
иррациональное число. При заданном N^s положим M = [N/s].
Обозначая е(х) = exp(2nix) при x£R> получаем, что для
каждого целого кфО
N Ms
2 е(Л[лв]а) = 2 e(h[nr/s]a) + 0 (1) =
М-\ s
Л=0 т=1
2 2 e(h[(ks + m)r/s]a) + 0(l) =
s M-\
= 2 e(A[mr/s]a) 2 e(ft*ra) + 0(l).
m=l fc=0
Так как ЛгоГиррационально, то
м-\
N
Следовательно, 2 е(Л[лО]а) = 0(1) для всех целых кф0> и,
таким образом, на основании критерия Вейля для p.p. мод 1
получаем требуемое.

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 341
Пусть теперь 8 иррационально. Предположим вначале, что
1, 0, 6а линейно зависимы над полем рациональных чисел.
Существуют такие целые иу v> wy не все равные нулю, что
u-\-vQ = wea. Заметим, что гюфОу так как 8 иррационально.
Для доказательства того, что последовательность ([п8]а) не p.p.
мод 1, достаточно показать, что
N
lin* iS е(и>[пв]а)фО. (1.9)
Учитывая линейную зависимость между 1, 0 и 8а, получаем
е (w [пВ] а) = е(п (wQa) — w {пЩ а) = е(п(и + vQ) — w {пв} а) =
= e(v (пВ) — w {пЩ а) = е ((v—wa) {tiQ}) = g (n8),
где g(x) = e((v—wa) {х}) npHArgR. Ясно, что функция g
периодична по модулю 1. Так как последовательность (пб), п= 1, 2,...,
p.p. мод 1, то по следствию 1.1 гл. 1
N N >
lim 1 V е(w[nQ\а) = lim V g(пв) = \g(x)dx.
Но
i i
О О
что доказывает (1.9).
Наконец, предположим, что 1, 8, 8а линейно независимы над
полем рациональных чисел. Покажем, что для каждого
ненулевого целого h
N
lim ^Х. e(A[/i6]a) = 0. (1.10)
Имеем
e (A [/16] a) = e (A (nQa) — h {пЩ a) = f (/i6, n8a),
где f(x> y) = e(hy—А{д:}а) при (а:, у) € R2. Заметим, что
функция / периодична по модулю 1 по каждой переменной. Так как
последовательность ((пв, пва)), я=1, 2, ..., p.p. мод 1 в R2,
то согласно упражнению 6.3 гл. 1
1 N \ N с* г
lim лгЕ е(А[лв]а)= lim ~ V /(лб, n8a)= /(*, y)dxdy.
n-\ n-\ 0 0
Поскольку этот двойной интеграл равен нулю, справедливость
(1.10) установлена. □
Последовательности значений многочлена. Пусть f (х) —
многочлен с целыми коэффициентами. Легко заметить, что вопрос,

342 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
является ли последовательность (f(n))> n=l, 2, ..., равномерно
распределенной по модулю т, эквивалентен вопросу, образуют ли
целые /(1), /(2), ..., f(m) полную систему вычетов по
модулю т. Расмотрим вначале одночлен ахк при афО и k^\.
Очевидно, что если k = 1, то последовательность (an), п = 1, 2,...,
равномерно распределена по модулю т тогда и только тогда,
когда (а, т) = 1.
Теорема 1.9. Пусть р простое число и k^\. Определим
целее К условиями k = psK и (/?, /С)= 1. Последовательность (опк),
п= 1, 2, ..., p.p. мод р тогда и только тогда, когда (а, р) =
=(/С, р-1) = 1.
Доказательство. Пусть последовательность (ank) p.p.
мод р. Тогда, во-первых, (а, р)= 1. Во-вторых, по теореме Ферма
для любого целого х имеем xk = xpSK и xpSK==xK(modp). Пусть
(6, /?)=1. Тогда сравнение xK=b(modp) либо имеет (/С, /?—1)
несравнимых решений, либо не имеет решений в зависимости от
того, справедливо ли сравнение
&<Р-и/<к.р-1) = 1 (mod/?) (1.11)
или нет. Ясно, что (1.11) справедливо при 6=1. Таким образом,
сравнение **= 1 (mod/?) имеет (К> р—1) несравнимых решений,
и поэтому сравнение axk = a(modp) также имеет (/С, р—1)
несравнимых решений. Но, согласно нашему предположению,
axK=a(modp) имеет только одно решение; следовательно,
(К, р-1)=1.
Покажем теперь достаточность условия. Предположим, что
(ау р) = (К, р—1)=1. Тогда сравнение (1.11) справедливо при
каждом 6=1, 2, ..., р—1. Каждому такому 6 соответствует
единственное х> 0 < х < /?, такое, что xk^b (mod /?). Отсюда
следует, что последовательность (ank) p.p. мод p. Q
Следствие 1.3. При k^2 существует бесконечно много
таких простых чисел /?, что последовательность (ап*)> п=1,
2, ..., не p.p. мод р.
Доказательство. Пусть q—некоторое простое число
такое, что q делит k. Арифметическая прогрессия 1-|-<7, 1 + 2(7,...
содержит, как известно, бесконечно много простых чисел. Пусть
p>k—одно из таких простых чисел. Тогда q является
делителем числа /?—1. Таким образом, (k> р—1) > 1, и согласно
теореме 1.9 последовательность (ank) не p.p. мод /?. Очевидно, что
существует бесконечно много простых чисел требуемого вида. □
Следствие 1.4. Если k^\ нечетно, то существует
бесконечно много таких простых чисел /?, что последовательность
(ank)> n=l, 2, ..., p.p. мод р.
Доказательство. По условию (2, k)=\. Тогда
арифметическая прогрессия 2 + &, 2 + 2&, ... содержит бесконечно много
простых чисел. Пусть p=2-\-mk—одно из этих простых чисел,
причем р > | а |. Если d является делителем числа р— 1 = 1 -\-rnk

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 343
и если, кроме того, d является делителем k> то d должно быть
делителем 1. Следовательно, (k> p—1) = 1, и по теореме 1.9
последовательность (ank) p.p. мод р. Ясно, что существует
бесконечно много простых чисел такого вида. □
Теорема 1.10. При k^2 последовательность (ank), п = 1,
2, ..., p.p. мод т тогда и только тогда, когда т не делится на
квадраты простых чисел и последовательность (ank) p.p. мод р
для каждого простого ру являющегося делителем т.
Доказательство. Положим / (п) = ank. Пусть т—число,
которое не делится на квадраты простых чисел, так что т = р1У..., р2У
где все простые р1У ..., рг различны. Предположим, что
последовательность (f(n)) p.p. мод р{у 1^/<г. Если f(x) = f(y)
(mod т) при 1 <ху у < т, то f(x) = f (у) (mod pt) при 1 < i < г,
и поэтому х = у (mod рс) при 1 ^ i ^ г. Отсюда следует, что х = у;
поэтому последовательность (f(n)) p.p. мод m.
Обратно, предположим, что последовательность (f(n)) p.p.
мод т. Допустим, что существует простое число р такое, что р2
делит т. Поскольку последовательность (f(n)) p.p. мод pky то
необходимо (а, "р)=\. Но тогда сравнение ахг е= р (mod p2) не
разрешимо относительно х, что противоречит тому, что
последовательность (/(/г)) должна быть p.p. мод р2. Таким образом, т
не может делиться на квадраты простых чисел и, разумеется,
последовательность (f(n)) должна быть равномерно распределена
по модулю каждого простого делителя числа т. □
Отметим следующий результат, касающийся произвольных
многочленов над кольцом Z.
Теорема 1.11. Пусть f {x)—некоторый многочлен с целыми
коэффициентами. Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) Последовательность (f(n))y п=\У 2, ..., p.p. в Z тогда
и только тогда, когда f(x) имеет вид ±х-\-с.
(и). Если f(x) не является линейной функцией, то
существует бесконечно много простых чисел р> для которых
последовательность (f(n)) не p.p. мод р.
Доказательство. Докажем вначале утверждение (и).
Случай постоянного многочлена тривиален, поэтому
предположим, что степень f(x) по крайней мере равна 2. Поскольку
последовательности (/ (п)) и (f(n) — /(0)) ведут себя одинаково,
достаточно рассмотреть многочлен F(x) = f(x) — /(0). Если F (х) —
одночлен, то утверждение уже доказано в следствии 1.3. Если же
F(x) не является одночленом, запишем его в виде F (x) = xJ'g(x)9
где / > 1 и
g(x) = a0 + a1x+...+akx*9 £>1, а0ФО, акф0.
Далее, для любого такого непостоянного многочлена g(x)
существует бесконечно много таких простых чисел ру что сравнение
g(x) = 0(mod/?) имеет решение (см. упражнение 1.14). Выберем
одно из таких простых чисел р>\а0\у и пусть г — такое целое

344 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
число, что g(r) = 0 (mod/?). Тогда г е£ 0 (mod/?), поскольку
g-(0) = a0=£0 (mod/?). Следовательно, сравнение F (х) = 0(mod/?)
имеет решения х = г (mod/?) и а: = 0(mod/?), поэтому
последовательность (F(п)) не p.p. мод/?.
Согласно утверждению (ii) равномерно распределенными в Z
могут являться только последовательности (/ (п)) с линейной
функцией f(x). Далее, последовательность (ап-\-с), п=\, 2, ...,
p.p. мод т тогда и только тогда, когда (а, т)=1.
Следовательно, если многочлен /(*) имеет вид ах-\-с, то
последовательность (/(n)) p.p. в Z тогда и только тогда, когда а = ±\. Q
Подход с позиций теории меры. Обобщим вышеизложенную
теорию; введем для этого так называемую меру \х Банаха —Бака
на множестве Z+ положительных целых чисел. Пусть Ж — алгебра
множеств, порождаемая всеми конечными подмножествами
множества Z+ и всеми подмножествами множества Z+, которые являются
арифметическими прогрессиями. Если множество Е ^ Z+ и Е
конечно, то положим \i(E) = 0\ если E^Z+ является
арифметической прогрессией с постоянной разностью d, то положим
\х(Е)= l/d, и если Л£сЯ, ££$! и пересечение Л П^ конечно, то
положим [i(A\jB) = \i(A)^-[i(B). Пусть & — класс всех
подмножеств множества Z+; тогда определим внешнюю меру \х* на of
формулой
|i*(£) = inf{n(tf): £^Яб^},
где Е ^ Н означает, что Е\С ^ Я\С для некоторого конечного
С ^ Z+. Обозначим через Е' дополнение Е относительно Z+. Пусть
<Л — класс всех таких множеств E^tf, что
lx*(X) = li*(XnE) + li*(XnE')
для всех Х£сУ. Тогда \х* является конечно аддитивной мерой
на 4, ZA^qM и (г* (£) = (я (£) для Е£?Я. Назовем о/Л
множеством всех измеримых множеств Z+ и будем писать \i(E) вместо
\х*(Е) для Е £оЛ.
Теорема 1.12. (i). Пусть А = (а„) — последовательность
положительных целых чисел, которая p.p. в Z. Тогда |л*(Л)=1.
(ii). Обратно, пусть А = (ап)—возрастающая последовательность
положительных целых чисел. Если А измерима и |л(Л)=1, то
последовательность (ап) р. р. в Z.
Доказательство, (i). Если последовательность (ап) p.p.
в Z, то
n
1Jm -тг^сЕ(ап) = \i(E)
для всех Е £ Я, и наоборот. (Здесь сЕ означает
характеристическую функцию множества Е.) Эта возможность видоизменить
определение р. р. сразу следует из определения алгебры множеств &{.

§1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 345
Если А^Н и #(t^£, то А^НцС для некоторого множества
С, CgSi, \i(C) = 0 и
w n n
1 = lim 4" И с а Ю < Ига ^- 2L ^я (я„) + 1«п -тт £ сс(ая) =
W-*00 Л=1 М-+<» Л=1 ^^°° /1=1
= (г(Я) + (г(С) = (г(Я).
Поскольку [х(#)^1, отсюда следует, что [г(#)=1, и,
следовательно, Л имеет внешнюю меру 1. Этим доказано утверждение (i).
(ii) Пусть т и / — такие целые числа, что т^2, 0^/<т,
и пусть F = {n£Z+: Ai==/(modm)}. Тогда
n w w
^L^n^(")+^ZcFn^(n) = ^-Il ^(n)=-l + o(l) (1.12)
/i=i /i=i /i=i
при N —► оо.
Если ak^.N<ak+1, то Л (TV) (число членов а„ не
превосходящих N) равно Л, и, следовательно,
'/1= 1
Более того,
0<4*51^п^(я)<т2^'(л)=1-^. (1-14)
/1=1 /1=1
Известно, что D (£) ^ [х* (£) <1 1 для любого множества Е с
плотностью D (Е) = lim Е (п)/п и что если Е измеримо, то D(E) cy-
ществует и D (Е) = \х(Е) (см. Бак [1, с. 572]). Следовательно,
поскольку по условию последовательность-Л измерима и \i(A)=l>
то lim A(N)/N=l9 и поэтому из (1.12), (1.13) и (1.14) получаем
соотношение
Пример 1.3. Следующий пример показывает, что требование
возрастания последовательности (ап) в утверждении (ii) теоремы
1.12 не может быть опущено. Положим а2п = п и а2п_1=\у п=1,
'2, ...; тогда A = Z+ и jm(Z+)=l, однако очевидно, что
последовательность А не p.p. в Z. Кроме того, как показывает
следующий пример, условие, что А измеримо и \х(А)=\ не может быть
ослаблено в утверждении (ii) до \i*(A)=l. Пусть а> 1
иррационально. Положим Ьп = [па\\ тогда последовательность В = (Ьп)
p.p. в Z по теореме 1.5, и можно показать, что В имеет
внешнюю меру 1 (см. Бак [1, с. 570]). Пусть A = B\j{2n: ngZ+} и
пусть (ап) — возрастающая последовательность, состоящая из всех
12 Л. Кейперс, Г. Пидеррейтер

346 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
элементов Л. Тогда очевидно, что \i*(A)=l> однако
последовательность (ап) не р. р. мод 2, ибо если [Мх]=ая(ло» т0 Л(1, 2, ft (N)) =
= ±N + o(N) и A{0,2tk(N)) = ±Na + o(N) при N-+oo. Кроме
того, Л(1, 2, *(Лф + Л(0, 2, k(N)) = k(N), так что
lim Л(1, 2, k(N))/k(N) = (l+a)-1. П
Независимость. Пусть т—целое ^2, и пусть
(f(n))—последовательность целых чисел, приведенных по модулю т, т. е.
О ^ / (п) ^ т— 1 при п ^ 1. Пусть А(/, т, ЛО имеет обычный
смысл. Если h(j)= lim Л(/, m, #)/# существует при каждом /=0,
N-+ao
1, ..., т—1, то говорят, что последовательность [f(n)) является
относительно измеримой. Легко видеть, что если
последовательность (f(n)) относительно измерима, то среднее значение
n
К-™ " /1=1
последовательности (f(n)) существует.
Рассмотрим ft относительно измеримых последовательностей
(fi(n))> (/г(п))» •••» (Мп))» каждая из которых приведена по
модулю т. Пусть jly /2, ..., jk такие целые числа, что 0^/r<m
при l<r<ft. Последовательности (Мл)), (/2(п)), ..., (fk(n))
называются независимыми, если предел
M/i. • -., /*) =
= lim ^-card{n: /1(л) = /1> /1(л) = /1> ..., fk(n) = jk; l<n<W}
существует и если, кроме того,
A(/i, •-., /*) = Л1(/1) Л, (/,)... ЛЛ(/Л)
при всех (/\, /.., /л). Здесь hr(jr) относится к
последовательности (fr(n)), l^r^ft. Существует критерий независимости ft
последовательностей целых чисел, приведенных по модулю т.
Во-первых, понятие среднего значения M(f) может быть
распространено на более общие последовательности. Тогда мы получим,
что относительно измеримые последовательности (/i(n)), (f2(n))y ...
•••» (fk(n)) независимы тогда и только тогда, когда
k
М (ехр (2ш (hj, + hj2 + ... + АЛ/Л)/т)=П Л* (exp (2nihrfr/m)
г=1
для всех таких целых чисел Ах, Л2, ..., hn что 0^Лг<т при
l^r^ft. Ниже приводятся несколько примеров того, как
понятие независимости может быть использовано в теории
равномерного распределения по модулю т.

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 347
Пример 1.4. Пусть последовательности (Мл)), (/2(я)), ...,
(fk(n))y каждая из которых приведена по modm, независимы.
Предположим, что последовательность (/х(я)) p.p. мод m. Тогда
последовательность (hj1 (п) + hj2 (п) + ... + hkfk (п)) р. р. мод т,
если hr£Z при l^r^fe и (ftlf т)=1. См. упражнение 1.18. □
Пример 1.5. Пусть (ап) и (Ьп)—две последовательности целых
чисел, обе приведенные по modm. Последовательность (an-\-mbn)
р. р. мод т2 тогда и только тогда, когда одновременно
выполняются следующие условия: (i) (ап) и (Ьп) р. р. мод т; (и) (ап) и (Ьп)
независимы. См. упражнение 1.19. П
Измеримые функции. Пусть f (t) — вещественнозначная
функция с областью определения [0, оо), измеримая по Лебегу на
каждом интервале [О, Г], Т > 0. Пусть пг^2 целое и пусть [f(t)]m
означает наибольшее кратное т, меньшее или равное f(t), и
положим {f(t)}m = f(t)—[f(t)]m. Обозначим через Х(Е) меру
измеримого по Лебегу множества £, а через Е (Т)— пересечение
£П[0, Т]. В дальнейшем будем рассматривать m множеств
£/ = {<€[<>, оо): /<{/(0L</+l}, / = 0, 1, ...,т-1.
Определение 1.2. Говорят, что функция f(t) непрерывно
равномерно распределена по модулю m (н. р. р. мод т), если при
каждом / = 0, 1, ..., m— 1
Если эти соотношения выполняются для каждого m = 2, 3, ...,
то говорят, что f(t) непрерывно равномерно распределена в Z
(н.р.р. в Z).
Теорема 1.13. Пусть функция f(t) н.р.р. в Z и пусть
w(u)—интегрируемая по Риману функция на [0, 1]. Тогда
Т 1
lim \im*±[w({f(t)]Jm)dt=\w(u)du, (1.15)
где lim* означает lim или lim.
Доказательство. Обозначая через W(t) подынтегральное
выражение в левой части (1.15), имеем
\W(t)(dt)=% \ W(t)dt.
6 / = ° Е.(Т)
Пусть W*(j, Т) означает верхнюю грань W(t) в области Ej(t)y
a Wm(j, Г) —нижнюю грань W(t) в Ej(t). Тогда имеем
т£щ™^{1г T)<±?nt)dt<m£>^f)iW4jt n
12*

348 гл- 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть теперь Т—*оо. Пусть W*(j) означает верхнюю грань W(t)
на множестве £у, a w*(j) означает верхнюю грань w(u) в интер
вале [//т, (/+1)/т). Пусть Wm(j) и wm(j) имеют тот же смысл.
Учитывая, что функция f(t) н.р.р. в Z, видим, что полученные
выше неравенства приводят к неравенствам
т-1 m-1 T
£ w* (j)/m <^Г, (/)/т < Нт -1 Г W(t) dt <
/=0 /явО Г-*оо q
7* m-1 m-1
< Ш 4r f № (0 dt < X ^* UVm < Ц ^* (/)/m.
По определению интеграла Римана крайние члены этих неравенств
стремятся к \w(u)du при пг —>оо. □
о
Замечания. Понятия р. р. мод пг и р. р. в Z принадлежат Нивену [2] (см.
также Нивен [4]). Работа Зейма [6] содержит обобщение теоремы 1.1.
Относительно теоремы 1.2 см. работу Нивена [2], в которой содержится частный
результат, и работы С. Учиямы [1] и Кейперса [12]. Мы также отсылаем
читателя к упражнению 1.6. Различные результаты, связанные с р. р. в Z
с плотностью были получены Нивеном [2] (см. теорему 1.3), ван ден Эйнде-
ном [1], Дейксмой и Мейером [1] (см. упражнение 1.17), Б. Келли [1] и
Карлсоном [1]. Последний автор доказал следующую интересную теорему.
Предположим, что 0 ^ а ^ Р ^ 1; тогда существует возрастающая
последовательность положительных целых чисел, которая р. р. в Z и которая имеет
нижнюю асимптотическую плотность а и верхнюю асимптотическую
плотность р. Относительно теорем 1.4 и 1.6 см. ван ден Эйнден [1]. Теорема 1.5
и следствие 1.2 были доказаны Нивеном [2]; см. также работу Нивена [3,
с. 27—28]. Теорема 1.7 взята из работы Кейперса и Учиямы [1], которые
исправили утверждение С. Учиямы [1]. Следует заметить, что Мейер и Сат-
тлер [1] построили такую последовательность (Ьп) целых чисел, что (bn) p.p.
в Z, а последовательность фпа) не p.p. мод 1 для всех а из множества
V<==[0, 1] с мерой Лебега K(V) = \. Это улучшает первоначальный результат
Мейера [4]. Теорема 1.8 взята из работы Карлсона [1], в которой также
изучаются последовательности ([Р (п)] а) с многочленом Р (х) над R.
Последовательности значений многочлена рассматривались Нивеном [2], Зейном [1] и
Кавиором [1]. Теорема 1.12 взята из работы Дейксмы и Мейера [1], которые
исправили первоначальный вариант М. и С. Учиямы [1]. Мера ц на Z+ была
введена Баком [1]. Разделы о независимости и измеримых функциях основаны,
соответственно, на работах Кейперса и Шью [5] и Кейперса [8].
Последовательность Фибоначчи и ее обобщения исследовались в их связи
с равномерным распределением Кейперсом и Шью [1, 2, 3, 4] и Нидеррейте-
ром [7]. По поводу последовательностей, возникающих из (/-адических
разложений, см. работы Кейперса и Шью [5] и Карлсона [1]. Распределение по
модулю m целозначных аддитивных функций изучалось Деланжем [1, 2, 5,
8, И]. В работах Вича [1, 2, 4] и Хлавки [27] обсуждается p.p. модт
счетчиков. Относительно последовательностей целых частей тригонометрических
последовательностей см. работы Формана и Шапиро [1] и Шапиро и Шпе-
рера [1]. Понятие слабого р. р. модт было введено Наркевичем [1]. См. также
работы Сливы [1] и С. Учиямы [3]. Относительно «нерегулярностей
распределения» см. работу Ходжеса [4] (его результат может быть улучшен, если
использовать нижние границы Шмидта из § 2 гл. 2). Р. р. мод m
относительно методов суммирования обсуждается в работе Шнабля [1]. Метрические

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 349
результаты для p.p. в Z последовательностей получены Шовино [4, 6].
Понятие p.p. в Z по Хартману (см. гл. 4, упражнение 5.11) с условием
равномерности рассматривалось Вичем [4]. Теория равномерного распределения в Z*,
аддитивной группе точек fc-мерной решетки, была разработана Нидеррейтером
[8, 12]; в этих работах, в частности, установлен многомерный вариант
теоремы 1.5.
Упражнения.
1.1. Показать, что если последовательность целых чисел p.p. мод т и
если k делит т и k^2, то эта последовательность также р. р. мод k.
1.2. Показать, что если последовательность целых чисел р. р. мод т и р. р.
мод k при (m, k)=\, то эта последовательность может быть не p.p. мод mk.
1.3. Показать, что если последовательность целых чисел не р. р. в Z, то
существует бесконечно много модулей т, при которых эта последовательность
не р. р. мод т.
1.4. Пусть как последовательность (ап), так и последовательность (Ьп)
p.p. мод m. Показать, что тогда последовательность (апЬп) не p.p. мод ш2.
1.5. Доказать, что для последовательности (ап) в Z при каждом N ^ \
выполняется соотношение
m -1 | N
Ш Ь\Г Xi exp (2nihan/m)
h=l I л=1
1.6. Вывести теорему 1.2 из упражнения 1.5.
1.7. Доказать эквивалентность условий (1.1) и (1.4) для возрастающих
последовательностей положительных целых чисел.
1.8. Доказать утверждения (i) и (iii) из примера 1.1.
1.9. Показать, что последовательность целых частей логарифмов чисел
Фибоначчи p.p. в Z (ср. с упражнением 1.3 гл. 1).
1.10. Доказать, что при а > 0, а (£ Z, последовательность {ап)у л=1,
2, ..., определенная формулой ап = [п°х]у p.p. в Z для каждого
вещественного числа х ?= 0.
1.11. Показать, что в доказательстве достаточности в теореме 1.6 можно
ограничиться предположением, что последовательность ([тхп]) p.p. мод т
для бесконечного множества чисел т^2.
1.12. В условиях примера 1.2 подробно доказать, что если число х
нормально по основанию 2, то соответствующая последовательность (ап) р. р. в Z.
1.13. Справедливо ли обращение утверждения из упражнения 1.12?
1.14. Доказать, что любой непостоянный многочлен f (х) с целыми
коэффициентами имеет бесконечно много простых делителей, т. е. доказать, что
существует бесконечно много таких простых р, что сравнение / (х) = 0 (mod р)
имеет решение. Указание. Действовать как в евклидовом доказательстве
бесконечности множества простых чисел.
1.15. Пусть f (х)—многочлен с целыми коэффициентами. Показать, что
если последовательность (/(л)) p.p. мод т и p.p. мод к при (т, £) = 1, то
(f (n)) p.p. мод mk. Ср. с упражнением 1.2.
1.16. Показать, что мера ц на Z+ не является а-аддитивной.
1.17. Пусть А = (ап)—возрастающая последовательность положительных
целых чисел. Доказать, что если А имеет плотность D (А) = 1, то (ап) р. р. в Z.
1.18. Показать справедливость результата, сформулированного в
примере 1.4. Указание. Воспользоваться критерием независимости.
1.19. Показать справедливость результата, сформулированного в
примере 1.5. Указание. Применить прямой подсчет.
1.20. Показать, что если последовательность (х„/т), л=1, 2, ..., p.p.
мод 1, то последовательность ([*„]) p.p. мод т.
1.21. Показать, что при любом т^2 функция ln(f+l), f^O, не н. р. р.
мод т.
т-1
A U, т, N) 1
N т

350 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
1.22. Пусть функция /(/), /^0, н. р. р. мод т и пусть функция w(n)
определена в точках u — j/m, /=0, 1, ..., т~— 1. Показать, что тогда
m-l
lim -I f w([{/(/)}.]/«)Л=^ХЮ(>'/m)'
r->Q0 ' tf m/=o
1.23. Показать, что функция /(/), t^O, н. р. р. мод т тогда и только
тогда, когда
Т
lim -i" f ехр (2m7z [{/ (t)}m]/m) di = 0
0
при ft=l, 2, ..., m—1.
1.24. Показать, что если последовательность (ап) p.p. мод пг для
бесконечного множества чисел m ^ 2, то утверждение теоремы 1.7 остается в силе.
§ 2. Асимптотическое распределение в Zp
Определения и важнейшие свойства. Пусть р—простое число
и Zp— кольцо целых /7-адических чисел. Пусть (хп)> п= 1, 2, ...—
последовательность элементов Zpy и пусть Е — подмножество Zp.
Пусть, далее, А (£; N) означает число элементов множества
{х1У ..., ATjv}, которые содержатся в £, и пусть Л—алгебра
конечных объединений открытых сфер в Zp.
Определение 2.1. Если для каждого Е$Л существует
предел
X(£)-limi!^,
то говорят, что последовательность (хп) имеет функцию
распределения %.
Функция х является сг-аддитивной функцией множества на Л
с x(Z/?)=l (ср. с упражнением 2.10). Пусть теперь Е является
сферой a + pkZpy где a£Zp и k—положительное целое число.
Обозначим
E = Sk(*)y Л(£; N) = A(*y ky N) и %(E) = %k(a).
Очевидно, что последовательность (хп) в Ър имеет функцию
распределения х тогда и только тогда, когда для каждого a£Zp и
каждого положительного целого числа
, ч г A (a, k, N)
Определение 2.2. Говорят, что при заданном k^\
последовательность (хп) в Zp является равномерно распределенной
порядка k (сокращение k-p. p.) в Zpy если для каждого a£Zp
предел Хл(а) существует и
Ъ
(а)= НтЛ(я^^ = Р"*- (2-1)

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В Z
351
Если последовательность (хп) является k-p. p. при каждом й=1,
2, ..., то говорят, что (хп) равномерно распределена в Zp (p. р.
Теорема 2.1. Пусть a, b£Zp. Последовательность (па-{-Ь)9
п=\> 2, ..., р.р. в Zp тогда и только тогда, когда а является
единицей кольца Ър (т. е. а обратим в Zp).
Доказательство. Пусть E = Sk(a) — сфера a + pkZp9 и
пусть а—единица кольца Zp.
Будем различать два случая. Предположим сначала, что а
и b—неотрицательные целые рациональные числа. По условию
(а, р)=\. Поэтомуpk последовательных членов
подпоследовательности (па-\-Ь)у п=1у 2, ..., образуют полную систему вычетов
по модулю pk. Отсюда легко следует справедливость равенства
(2.1). Действительно, условие na-\-b£a-\-pkZp эквивалентно тому,
что первые k коэффициентов в канонических представлениях па + Ь
и а одинаковы. Следовательно, A (a, k, N)/N -+ p~k при N —► оо.
Пусть теперь а и b—произвольные целые /7-адические числа
и а является единицей кольца. Рассмотрим два неотрицательных
целых рациональных числа а* и Ь*у р-адические разложения
которых соответственно совпадают с разложениями а и Ь для
индексов < k и коэффициенты которых равны нулю для
индексов >fe. Тогда а £ Sk (а*) и b g Sk(b*)y и поэтому na + b£Sk (na*+b*)
при ai=1, 2, ..., или целые р-адические числа па-\-Ь и па*-\-Ь*
имеют одинаковые первые k коэффициентов. В соответствии с
первой частью доказательства последовательность {па*-\-Ь*) р. р. в Zp
и, следовательно, (па + Ь) является &-р.р. последовательностью.
Это справедливо при всех k=l> 2, ...
Если а не является единицей кольца, то никакой элемент
последовательности (па-\-Ь) не лежит в сфере b+l-\-pZpy и
поэтому данная последовательность не р. р. в Zp. □
Из теоремы 2.1 следует, что последовательность натуральных
чисел равномерно распределена в Zp.
Поле частных Q^ кольца Zp является полным, сепарабельным
и локально компактным пространством относительно обычной
р-адической нормы (см., например, Понтрягин [1]). Относительно
сложения Q^ является локально компактной абелевой группой,
содержащей Zp в качестве компактной подгруппы. Понятия
равномерного распределения в Zpy введенные в определении 1.1 гл.4
и определении 2.2 настоящей главы, совпадают (ср. с теоремой 2.3).
Заметим, что Qp может быть снабжено такой мерой Хаара [х, что
H(ZJ=1.
Рассмотрим множество V ^ Zpy совпадающее с некоторым
классом вычетов по модулю pvZp или с объединением некоторых
классов по модулю pvZp. Пусть \i(V) означает меру Хаара
множества V.
Определение 2.3. Говорят, что последовательность (хп)
элементов множества V равномерно распределена в V (p.p. в V),

352 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
если для всех agV и всех целых k^v
Теорема. 2.2. Пусть р—нечетное простое число и пусть
b£Zp является единицей кольца. Тогда существует целое
рациональное число а (в действительности, их существует бесконечно
много), такое, что последовательность (апЬ)> я=1, 2, ..., р. р.
на множестве U, образованном единицами кольца 2р.
Доказательство. Заметим вначале, что U является
объединением р—1 классов вычетов по модулю рЪр. Выберем целое
рациональное число а, являющееся первообразным корнем по
модулю /?2. Пусть задано натуральное k> и пусть b—целое
рациональное число, члены разложения которого совпадают с членами
разложения Ь для индексов < &, а члены с индексами ^k равны
нулю. Заметим, что а—примитивный корень по модулю /?*.
Следовательно, если п пробегает pk"x{p—1) последовательных
положительных целых чисел, то соответствующее произведение апЬ
пробегает приведенную систему вычетов по модулю /?*. Поскольку
апЬ и апЬ тождественно равны по модулю pkZpt то для всех agf/
имеем
A(a,k, N) = pk_1N(p_l) + B, |в|<1, (2.2)
Однако, [i(U) = (p—1)/р; следовательно, из (2.2) следует, что
lim A (a, k, N)/N = p~k/\i(U). О
N -> оо
Критерии В ей ли. Теорема 2.3. Последовательность (хп)
целых р-адических чисел р. р. в 2р тогда и только тогда, когда
для любой вещественнозначной интегрируемой по Риману на 2р
функции f
N
Ит-уЕ/(*„)= J/d|i. (2.3)
^'^a> /1=1 Zp
Доказательство. Условие является достаточным.
Действительно, пусть Сс (а) — характеристическая функция сферы
Sfc(a); тогда (2.3) принимает вид
N
И™ -JT E CSk (a) (Xn) =) Sk (a) dil=p-*y
N-+co яв1 Ср
n=l
т. е. последовательность (a:„) p. p. в Zp.
Покажем теперь необходимость условия (2.3). Без потери
общности предположим, что /—неотрицательная функция на Ър

§2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В Zp 353
и /С = sup/(а:) > 0. Рассмотрим при k^\ разбиение 1Р на по-
xeZp
парно непересекающиеся сферы Sk(a)> скажем, S(1), ..., S(<*\
где q = pk. Пусть rU) и R{i)—соответственно нижняя и верхняя
грани функции / на SU). Положим
я я
* 1 ~ р г=.
,=4S>°. ^*—!г5>п-
Предположим, что функция / интегрируема по Риману. Тогда
для заданного е > 0 существует такое kQy что при всех k^k0
Zn Zn
С другой стороны
ТГ S / <*») = S T S. / (*„) < £. S'" (t S *(" (*»)). (2-4)
rt=l t=l rt=l 1=1 \ Л=1 /
xneS(0
где c(/)— характеристическая функция сферы SU). Поскольку
последовательность (хп) p.p. в Zpy для достаточно большого N
получаем
л=1
<^Г (2.5)
2/С
при 1=1, 2, ..., qr. На основании (2.4) и (2.5) имеем при
достаточно большом N
N q
^rii/w<i;^/,(/'-*+8-5r)<^+l<K^+e-
л=1 1=1 ^ ' Zp
Аналогично, если N достаточно велико, то
N
4-Х f(xn)>\ f<k—e-
п=1 Z^
Это доказывает теорему полностью. □
В дальнейшем R<f° означает множество рациональных чисел
из [0, 1), младший член /7-адических разложений которых имзет
знаменатель /?\ и положим R* = U R<ft) при & !> 1 и Rp = U Rnh).
l<fc<fe Л>0
Теорема 2.4. Последовательность (хп) целых р-адических
чисел имеет функцию распределения % в Ър тогда и только тогда,
когда
N
cr= lim w XI exp (2nirxn) (2.6)

354 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
существует для каждого г £ R^. Более того, из (2.6) следует, что
сг= 2 ехр (2ш>/) xk (/) (2-7)
/-о
при каждом k ^51 и каждом г £ R£, а обратно,
1 v^
(а)= — 51 сгехр(—2шга) (2.8)
n/ш каждом k^\ и каждом а £ Z^.
Доказательство. Пусть r^RJ и 0</</?л. Тогда для
каждого хп £ Sk (/) имеет место равенство
ехр (2nirxn) = ехр (2шУ/).
Следовательно, после перегруппировки,
N рЬ-\
•jf X ехр (2nirxn) = 51 ехр (2ш>/) Ab>bN) y
rt=l /=0
и если последовательность (хп) имеет функцию распределения %,
то сг существует и имеет место (2.7).
Обратно, предположим, что сг существует для каждого г g R^.
При ol^Zp рассмотрим выражение
n n
Ап = 2 ехР (— 2тга) 2 ехР (2nirxn) =22 ехР (2я*У (хп—а)).
(2.9)
Если A:„gS^(a), то последняя внутренняя сумма равна pk—числу
элементов г в RJ, и если xn(^Sk(a), то эта сумма равна
Следовательно,
n
п=\
хп € Sk (a)
и поэтому
Л„= Z р* = /Л4(а, Л, N)
хп € S/; (а)
A(a,k,N) IV / о • ч
-*-#—~~*"5*" ^ ехр( —2шга)сг
reR£
при yV —> оо. Таким образом, последовательность (*п) имеет
функцию распределения %, удовлетворяющую 2.8. □
Напомним, что % является нормированной a-аддитивной
функцией множества на алгебре Л. Пусть 53 является о-алгеброй,

§2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В Zp 355
порожденной алгеброй ЛУ т. е. совокупностью всех борелевских
множеств кольца Ър. Единственное продолжение % функции % на
9$ есть вероятностная мера на Я.
При фиксированном a£Zp последовательность (%*(а))»
k=l, 2,..., является невозрастающей. Более того, %*(а)^0
при fe^l; следовательно, последовательность (%*(а)) сходится.
Поэтому можно определить
/(a) = limx*(a)
для каждого a gZ^. Будем называть /(a) функцией скачков
функции %. Говорят, что функция множества % непрерывна в а, если
/(а) = 0. Кроме того, % непрерывна на Zpy если /(а) = 0 при
всех a^Zp.
Теорема 2.5. Если последовательность (хп) имеет функцию
распределения % в кольце Zpy то
Hm4 S Ы2=£/2(а), (210)
где j (а) означает функцию скачков функции % на Zp и D есть
(счетное) множество элементов a g Zpy в которых % разрывна.
Доказательство. На основании (2.7) для каждого
f£Rp» fe^l. имеют место равенства:
Jcr|2 = crcr = 2 ехР (2шУА) %k (h) 2 ехр( —2m>m)x*(m);
Л=0 т=0
следовательно,
р*-1
2 К[а= 2 X*l*)x*(m) 2 ехр(2шУ(й—т)).
Последняя сумма равна /?* при h = m и обращается в нуль при
Нфт. Следовательно, при каждом fe^l имеем
p*-i
i H |с,|»-Ей(«). (2.11)
reR* m=0
Заметим, что %k (a) постоянна и равна %* (т) на сфере Sk (m), х~мера
которой также равна %k(m)- Следовательно, правая часть (2.11)
может быть записана в виде интеграла по мере % на 339 так что
r**kp Zp
Но x*(aH/(a) ПРИ k-+°° и, на основании теоремы о монотон-

356 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
НОЙ СХОДИМОСТИ,
lim -F
S \cr\* = § j(a)d%(a)=J^j*(a). □
Теорема 2.6. Последовательность хп имеет непрерывную
функцию распределения % на Ър тогда и только тогда,-когда сГ
существует при каждом г £Rp и
'«mi £ К12 = °- (2-12)
Доказательство. Это немедленно следует из теоремы 2.4,
соотношения (2.10) и того факта, что функция % непрерывна на
Zp тогда и только тогда, когда 2 /а (а) = 0. □
aeD •
Замечания. Введением в теорию р-адических чисел могут служить книги
Бахмана [1], Боревича и Шафаревича [1] и Малера [5]*). Равномерное
распределение в Ър впервые изучалось Куджиани [1], который дал определения
2.2 и 2.3 и доказал теоремы 2.1, 2.2 и 2.3. Определение 2.1 взято из работы
Шовино [6], в которой также можно найти теоремы 2.4, 2.5 и 2.6. По поводу
этих определений и критерия Вейля см. также работы Заретти [\, 2] и Кей-
перса и Шилбека [2]. В работе Шовино [3] рассматривались некоторые
специальные последовательности. Количественные результаты были получены Бером
[1, 2, 3]. Относительно метрических теорем см. работы Шовино [4, 6] и
Ф. Бертрандиа [1]. Р.V.-числа в Q^ изучались Шаботи [1] и Шрайбером [1, 2].
Понятие «прекрасно распределенной последовательности» (suite tres bien
repartie) было введено Амисом [1]. Шовино [5, 6] изучал равномерное
распределение функций в Q^.
На g-адические числа (см. работу Малера [3]) теория была
распространена Мейером [2, 3]; см. также Шью [1]. Другим объектом расширения
теории являются кольца аделей; по этому поводу мы отсылаем к работам
Ф. Бертрандиа [1], Кантора [2], Декон-Гийю [1, 2], Гранде-Гюго [1] и Леска [1].
Упражнения.
2.1. Пусть р—простое нечетное число, и пусть а и b являются такими
единицами кольца Zpt что ax(£\-\-pZp при lt^*^/?—2 и аР~х (£ \-\-p2Zp.
Доказать, что последовательность (апЬ) р. р. на множестве **) U.
2.2. Доказать следующий критерий Вейля для равномерного
распределения в Ър\ последовательность (хп) р. р. в Zp тогда и только тогда, когда
N
lim "fSi
exp (2nirxn) = 0
для каждого rgR^, г Ф0. Указание. Воспользоваться теоремой 2.4.
2.3. Доказать, что характеры компактной аддитивной группы кольца Ър
в точности задаются функциями i|)r, r£Rpt определенными формулой г|)г (а) =
-- ехр (2ш7а) при agZ^. Замечание. В свете упражнения 2.2 это
обстоятельство еще раз показывает, что понятия равномерного распределения
в Ър, введенные в определении 1.1 гл. 4 и определении 2.2 настоящей главы,
совпадают.
*) См. также Коблиц Н., Р-адические числа, р-адический анализ и дзета-
ункции.— М.: Мир, 1982.— Примеч. перев.
**) Образованном единицами кольца Ър.— Примеч. перев.

§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В GF [q, х] И GF {q, х)
357
2.4. Для простого числа р обозначим через ф^: Ър\—*[0, 1] отображение
Монна (см. работу Монна [1]), определенное следующим образом: для
00 00
а = 2 aiPl из ^р положим ф^ (а)= 2 aiP~i~1- Доказать, что
последовательно t=0
ность (хп) р. р. в 2р тогда и только тогда, когда последовательность (ур(хп))
р. р. мод 1.
2.5. Показать, что все числа сг в формулировке теоремы 2.4 вещественны
тогда и только тогда, когда %k{a) — Xk(—a) ПРИ каждом ^1 и каждом
a^Zp.
2.6. Показать, что множество точек a^Z^, в которых функция х Раз"
рывна, счетно.
2.7. Доказать, что (2.12) эквивалентно условию
lira ^ £ К1=°-
Л-*оо Р*
к
reRp
Указание. Воспользоваться тем фактом, что | cr \ <L 1, и неравенством
Коши—Буняковского—Шварца.
2.8. Показать, что при каждом k^l и каждом ocgZ^ справедливо
тождество
1 V* 1
-дг 2-. сгехр(-2я/га)=хлИ-—Xft-i(a).
Р*
T6R
р
где Хо (а) полагается равной 1 при всех agZ^.
2.9. Доказать, что условие в упражнении 2.7 эквивалентно условию
Ига ± £ |Сг| = 0.
Указание. См. упражнение 2.8.
2.10. Доказать, что каждая конечно-аддитивная функция множества на
алгебре Л является также a-аддитивной. Указание. Заметить, что
открытая сфера одновременно замкнута в Zp.
§ 3. Равномерное распределение последовательностей в GF[q,x]
и GF{q, x)
Равномерное распределение в OF[qy х]. Пусть 0 = GF[^, a:]
означает кольцо многочленов от переменной х над произвольным
конечным полем GF (q)> состоящим из q = pr элементов, где р —
простое число и г — положительное целое число. Пусть М — любой
элемент кольца Ф степени т > 0. Тогда полная система вычетов
по модулю М состоит из qm элементов.
Определение 3.1. Пусть 0 = (Л„), /1=1, 2,
...—бесконечная последовательность элементов кольца Ф. Для любого В g Ф
и любого целого N^\ определим А (В, М, N) = A(By M> N> 0)
как число таких членов набора А1У Л2, ..., A Ny что Ап==В (mod M).
Тогда говорят, что последовательность 0 равномерно распределена
по модулю М (р. р. мод М)у если
,. Л (в, М, N) _т /0 1Ч
"I * -чт <зл>

358 гл- 5- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
для всех В£Ф. Кроме того, говорят, что последовательность Э
разномерно распределена (р. р.), если (3.1) имеет место для
каждого многочлена М£Ф положительной степени.
Очевидно, в (3.1) достаточно считать, что В пробегает
полную систему вычетов по модулю М. Более того, можно
ограничиться рассмотрением нормированных *) многочленов М.
Теорема 3.1. (i) Если последовательность 6 р. р. мод М
и если многочлен F делит Му то 6 р. р. мод F. (и) Если
последовательность 0 не равномерно распределена, то существует
бесконечно много модулей Му для которых 6 не р. р. мод М.
Доказательство. Утверждение (И) следует из (i), ибо
существует многочлен F, для которого последовательность 6 не
р. р. мод F, и тогда этим свойством обладают все числа из
бесконечного множества различных нормированных кратных М
многочлена F.
Утверждение (i) доказывается следующим образом.
Предположим, что последовательность 6 р. р. мод М и многочлен F
делит М. Пусть В—некоторый элемент полной системы вычетов
по модулю F степени, меньшей /, где /—степень многочлена F.
Предположим, что С—некоторый элемент полной системы
вычетов по модулю М степени, меньшей степени т многочлена Му
такой, что C = B(modF), или C = /(F + B, где степень многочлена
К меньше, чем m—f. Тогда имеем
]haA(KF + B.M,N)_. (32)
Кроме того, поскольку F делит Му то
А(ВУ F, N) = %A(KF + By Му N), (3.3)
к
где суммирование осуществляется по всем многочленам К
степени меньшей т—/. Число таких многочленов К равно qm~f.
Поэтому из (3.2) и (3.3) получаем, что для любого В
t. A(B,F,N) m_( _m _,
lim v '—- = qm fq~m = q *.
N-+to N
Следовательно, последовательность 0 p.p. мод F. □
Пример 3.1. Если многочлен F не делит Му то существует
последовательность 0, которая p.p. мод Му но не p.p. мод F.
Пусть т и /—соответственно степени многочленов М и F. Пусть
(Rt)y i= 1, 2, ..., qm—полная система вычетов по модулю Му
причем Ri = M и 0<deg#t. <m при i = 2, 3, ..., qmy и пусть
6—периодическая последовательность Rly ..., Rqmy Rly ..., Rqm>
... . Тогда ясно, что 0 p.p. мод Му однако 6 не p.p. мод F.
Действительно, если т < /, то не существует многочленов /?|,
*) Со старшим коэффициентом единица.— Примеч. перев.

§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В GF [q, х\ и GF {q, x) 359
таких, что i?i^0(mod F), и, таким образом, наше утверждение
верно. Пусть теперь f^m. Тогда все R{ степени меньшей / не
сравнимы с 0 по модулю F. При каждом г, / < z < m, все (q — 1) qz
элементов Rt степени z разбиваются поровну на qf классов
вычетов по модулю F, причем каждый класс вычетов состоит из
(q—\)qz~f таких R{. Поскольку R1 = Mz£0(modF)y то общее
число таких элементов Riy l<t<^m, что /?/ = 0(mod F), равно
т-\
2 (д— \)qz-f = qm-f— 1.
z=f
Однако, если бы последовательность Э была p.p. мод F, то су-
ществовало бы qm~f таких Rt. П
Пример 3.2. Если последовательность 8 равномерно
распределена как по модулю Му так и по модулю F, где М и F
взаимно просты, то последовательность 6 может не быть равномерно
распределенной по модулю MF. Рассмотрим следующий пример.
Пусть alf ..., aq—элементы поля GF(q)y перечисленные в
любом фиксированном порядке, и пусть 8—периодическая
последовательность а1У ..., aqy а1У ..., aq , ... Выберем М = х и F =
= х+1. Тогда М и F взаимно просты, последовательность 6 p.p.
мод М и p.p. мод F, но, очевидно, не p.p. мод MFy поскольку
в этой последовательности отсутствуют вычеты степени 1. □
Вычет многочлена А по модулю М может быть записан в
виде ат_1хт-1 + ат_2хт-2+ ... + «„» гДе af6G^(?) при 0<i<
^m—1. Пусть a)lf ...,(or — фиксированный базис векторного
пространства GF(q) над (простым подполем) GF (р). Тогда ада-1 =
= а1(о1 + • • • + аг(оГУ где а{ £ GF (/?) при 1 ^ / ^ г. Определим
е (А, М) = exp (2nia1/p)y
где GF(p)y конечно, отождествляется с Z/pZ.
Теорема 3.2. Последовательность (Ап) в кольце Ф p.p. мод
М тогда и только тогда, когда
N
lim ■\jYde(AnCyM) = 0
при всех C#0(mod M).
Доказательство. Понятие равномерного распределения
по модулю М идентично понятию равномерного распределения в
кольце классов вычетов Ф/Л1Ф, рассматриваемому как
аддитивная абелева группа в дискретной топологии. В свете следствия
1.2 гл. 4 достаточно будет показать, что характеры данной
группы являются в точности функциями я|)с(Л) = е(ЛС, М)у где С
пробегает полную систему вычетов по модулю М. Легко видеть,
что каждая функция i|)c является характером группы Ф/Л1Ф.
Пусть теперь С=£0(тос1М)у так что без потери общности можно

360 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕНОВ
выбрать С в форме
C = yrxr+...+y09 0<r<m, угф0.
В случае А=(й1у~1хт~1~г получаем, что е(АСу М)Ф\. Если
C=^=D(mod M), то из предыдущего рассуждения следует, что
существует такой А £Ф, что е(Л (С—D), М) Ф\, т. е. е(АСу М) Ф
Фе(АОу М). Таким образом, различные многочлены С и D из
полной системы вычетов по модулю М дают различные
характеры г|)с и i|)D. Это завершает доказательство, поскольку мощность
множества характеров группы Ф/УИФ равна мощности полной
системы вычетов по модулю М. □
Равномерное распределение в GF{q, x}. Пусть <&' = GF{q, х)
означает поле, порожденное кольцом Ф = GF [qt x] всех
выражений
т
а= S с,**, c,eGF(q).
По определению, m есть степень элемента а (если стф0). Целое
т может быть положительным, отрицательным или равным 0.
Будем считать, что степень нулевого элемента равна — оо. Целая
т -1
часть а есть [а] = 2 ctxl> а Дробная часть есть {а} = 2 с(х*.
is 0 1= —оо
Следовательно, [а] является многочленом над полем GF{q).
Очевидно, что [a + P] = [a] + [p] и {a + p} = {a} + {P}.
Определение 3.2. Пусть (aj, д= 1, 2, ..., —
последовательность в поле Ф'. Пусть Р — произвольный элемент из Ф', и
пусть N и k—положительные целые числа. Пусть, наконец,
А (Р, ky N) — число таких элементов апУ l^Zn^N, что степень
дроби ({ап—Р}) меньше числа —к. Тогда говорят, что
последовательность (ап) равномерно распределена по модулю 1 в Ф' (p.p.
мод 1 в Ф'), если
при всех *>1 и всех Р^Ф'.
Пусть с_х является коэффициентом при а:"1 в выражении для
данного а£Ф' (если х"1 отсутствует в выражении для а, то с_г
полагается равным 0), и пусть снова <о1У ..., о)г—фиксированный
базис векторного пространства GF (q) над (простым подполем)
GF (р). Тогда с_х = Ь^ + ... + br<on где bt £ GF (р) при 1 < / < г.
Определим
е (а) = ехр (2ш Ьх1р) (3.4)
Теорема 3.3. Последовательность (ап) p.p. мод 1 в Ф'
тогда и только тогда, когда
N
lim Д-5-е(Сая) = 0 (3.5)
при каждом С£Ф, СфО.

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В GF [q, х\ И GF {q, x) 361
Доказательство. Множество Фо = {а £Ф': deg a < 0}
является аддитивной абелевой группой. Пусть k ^ 1 фиксировано.
Тогда Ф^ = {а£Ф': dega <—k) является подгруппой в Фо, и
условие, что
при всех р £ Ф',Р характеризует равномерное распределение
последовательности ({ал}+Ф^), я =1,2,..., в факторгруппе Ф^/Ф*,
снабженной дискретной топологией. Как и при доказательстве
теоремы 3.2, можно показать, что нетривиальные характеры
факторгруппы Фо/Ф^ в точности являются функциями фс(а + Фл) =
= е(Са), где С£Ф, СфО и degC<&. Считая, что k пробегает
все положительные целые числа, получаем требуемый критерий. □
Определение 3.3. Говорят, что последовательность (ап) в
Ф' слабо равномерно распределена по модулю 1 в Ф' (слабо p.p.
мод 1 в Ф'), если
при всех i>l и всех Р€Ф'-
Определение 3.4. Элемент ££Ф' называется
иррациональным, если £ не содержится в совокупности GF (q, x)> всех частных
вида А/В элементов Л,££Ф, ВфО.
Теорема 3.4. Пусть элемент |£Ф' является
иррациональным. Пусть (Ап)— последовательность у образованная всеми
элементами кольца Ф, такая, что degAn+1 ^degAn при п^\ и
А{ФА< при 1Ф\. Тогда последовательность (Ап%) слабо p.p. мод
1 в Ф'.
Доказательство. По очевидной аналогии с критерием
(3.5) требуется показать, что
Hm <Г*2 е(Л„С£) = 0 (3.6)
/-►00 П= 1
при каждом С £ Ф, С Ф 0. По - построению последовательности
(Ап), условие (3.6) эквивалентно условию
lira q~* S e(AnCl) = 0 (3.7)
t ->Q0 rt
deM«<*
при каждом С£Ф, СфО, и, поскольку элемент | иррационален,
(3.7) следует из соотношения
lim q-f S е(Ла) = 0
/ -►<» л еФ
deM<*
при а£Ф'\Ф, которое оказывается простым следствием
основного соотношения
У, е{Аа) = 0 (3.8)
АеФ
det A<m

362 ГЛ. 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОГОЧЛЕ НОВ
при а^Ф' со степенью {а} ^ — т, где т—произвольное
положительное целое число. □ *
Замечания. Определение 3.1 и теорема 3.1 взяты из работы Ходжеса [1].
Критерий Вейля в теореме 3.2 был получен Кейперсом и Шилбеком [2]. Ранее
Ходжесом [1] было найдено необходимое условие. Другие критерии Вейля для
p.p. мод М были установлены Мейером и Дейксмой [1] и Дейксмой [2] (см.
упражнение 3.1). Определения 3.2j 3.3 и 3.4 и теоремы 3.3 и 3.4 взяты из
работы Карлица [2], определение функции е (а) — из работы Карлица [1].
Теорема 3.4 была значительно улучшена Мейером и Дейксмой [1], которые
показали, что при конкретном упорядочении последовательности (Ап)
последовательность (Лп^) будет даже p.p. мод 1 в Ф'. Теория равномерного
распределения в Ф далее была развита Ходжесом [1,2,3], Дейксмой [1,2,3] и
Мейером и Дейксмой [1]. Относительно p.p. мод М в случае частного выбора
полинома М = х см. работу Готуззо [1], а также упражнения 3.5—3.8.
Различные интересные результаты по p.p. в Ф' были получены Ходжесом [3],
Дейксмой [2,3], Мейером и Дейксмой [1] и Рэном [2, 3]. Поскольку Фо
является компактной (аддитивной) группой в топологии, определяемой степенью
элемента, результаты гл. 4 применимы к p.p. мод 1 в Ф'. Хорошее
представление о теории равномерного распределения как в Ф, так и в Ф' может быть
получено из работы Дейксмы [5]. Относительно метрических теорем см.
работы Дейксмы [4] (некоторые улучшения содержатся в работе Дейксмы [5]),
де Матана [1,2] и Рэна [1]. Аналог P.V.-чисел в Ф' был определен Бейтме-
ном и Дюкетом [1] и в дальнейшем изучался Гранде — Гюго [2,3].
Относительно результатов по равномерному распределению в локальных полях
читатель отсылается к работам Бера [2] и де Матана [3].
Упражнения.
3.1. Пусть е (а)—функция, определенная в (3.4). Доказать следующий
критерий Вейля. Последовательность (Лп) в Ф p.p. мод М тогда и только
тогда, когда
N
lim iZe(CA,"M«)=°
N -»- со iV *^t
для всех таких С£Ф, что С Ф О и deg С < deg M.
3.2. Показать, что последовательность (Ап) в Ф p.p. тогда и только тогда,
когда .
lim -дгХ е(аЛ„) = 0
N-+ со /v ^—
п= 1
для всех «рациональных» a£GF (q, х) при а$Ф.
3.3. Пусть (ап)—последовательность в Ф', и пусть элемент М£Ф имеет
положительную степень. Доказать, что если последовательность (Af_1a„) p.p.
мод 1 в Ф', то последовательность ([ап]) p.p. мод М.
3.4. Пусть (Лп)—такая последовательность в Ф, что (Ant>) p.p. мод 1 в
Ф' для каждого иррационального ££Ф' (относительно существования такой
последовательности см. замечания). Доказать, что последовательность (Ил£])
p.p. для каждого иррационального |£Ф'.
3.5. Пусть blt b2, ..., bq—элементы поля GF (q). Для последовательности
(ап) элементов GF (q) и N^\ положим функцию Л (s, N) равной числу
элементов ax,..., cttf, совпадающих с bs. Показать вначале, что (с„)р.р. мод
М = х тогда и только тогда, когда lim Л (s, N)/N = \/q при l^s^q. Кроме
7V-*oo
того, доказать, что (ал)р.р. мод х тогда и только тогда, когда
lim A(h,N)lA(k,N)=l
N-*ao
при ls^/i, k^q. Если (a„)p.p. мод х, то говорят, что (ап) p.p. в GF (q).

§3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В GF [q, х] И GF {q, х) 363
3.6. Показать, что если (ап) p.jy. в GF (q) (см. предыдущее упражнение),
то и последовательность (а„), где ап~а^ при ап ф О и ~ап = Ъ при а„ = 0,
также р. р. в. GF (q).
3.7. Пусть (ал)р.р. в GF (q) (см. упражнение 3.5), и пусть /(*) = **,
fc^»l. Показать, что последовательность (f{an)) p.p. в GF (q) тогда и только
тогда, когда (k, q—\) = \.
3.8. Пусть (ап) p.p. в GF (q) (см. упражнение 3.5) и /£Ф. Доказать, что
последовательность (/ (ап)) p.p. в GF (q) тогда и только тогда, когда /
является многочленом перестановки, т.е. тогда и только тогда, когда отображение
ф/: ан>[(а), a£GF (q), является перестановкой элементов GF (q).
3.9. См. доказательство теоремы 3.3. Подробно показать, что характеры
факторгруппы Фо/Ф^ являются в точности функциями г|)С при С£Ф и degC<k.
3.10. Дать детальное доказательство соотношения (3.8).

БИБЛИОГРАФИЯ
Акулиничев Н. М.
[1] О динамической системе, связанной с распределением дробных долей
многочлена второй степени.—ДАН СССР, 1962, 143, № 3, с. 503—505.
А м а р a (Amara M.) ,
[1] Ensembles fermes de nombres algebriques.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
1967 (3), 83, p. 215—270.
А м и с (Amice Y.)
[1] Interpolation p-adique.—Bull. Soc. Math. France, 1964, 92, p. 117—180.
[2] Un theoreme de finitude.— Ann. Inst. Fourier., 1964, 14, №2, p. 527—531.
Амман (Ammann A.)
[1] Sur une application d'un theoreme de calcul integral a l'etude des
repartitions modulo 1.—С R. Seances Soc. Phys. Hist. Nat. Geneve, 1947,
64, p. 58—61.
Анзаи, Какутани (Anzai H., Kakutani S.)
[1] Bohr compactifications of a locally compact abelian group, II.— Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 1943, 19, p. 533—539.
Армакост (Armacost D. L.)
[1] Generators of monothetic groups.—Canad. J. Math., 1971, 23, 791—796;
испр. там же, 1973, 25, p. 672.
Арнольд В. И., Крылов А. Л.
[1] Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические
свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений в комплексной области.—ДАН СССР, 1963, 148, № 1, с. 9—12.
Артемиадис, Кейперс (Artemiadis N., Kuipers L.)
[1] On the Weyl criterion in the theory of uniform distribution modulo 1.—
Amer. Math. Monthly, 1969, 76, p. 654—656.
Ауслендер (Auslander L.)
[1] Ergodic automorphisms.—Amer. Math. Monthly, 1970, 77, p. 1 — 19.
Ауслендер, Брезин (Auslander L., Brezin I.)
[1] Uniform distribution in solvmanifolds.— Advances in Math., 1971, 7,
p. 111 — 144.
А у э р б a x (Auerbach H.)
[1] Sur les groupes lineaires bornes, III,— Studia Math., 1934, 5, p. 43—49.
Байен, Хедрлин (Baayen P. C, Hedrlin Z.)
[1] The existence of well distributed sequences in compact spaces.— Indag.
Math., 1965, 27, p. 221—228.
Байен, Хельмберг (Baayen P. C, Helmberg G.)
[1] On families of equi-uniformly distributed sequences in compact spaces.—
Math. Ann., 1965, 161, p. 255—278.
Бак (Buck R. C.)
[1] The measure theoretic approach to density.— Amer. J. Math., 1946, 68,
p. 560—580.
Басе (Bass J.)
[1] Suites uniformement denses, moyennes trigonometriques, fonctions pseudo-
aleatoires.—Bull. Soc. Math. France, 1959, 87, p. 1—64.
[2] Nombres aleatoires, suites arithmetiques, methode de Monte-Carlo.— Publ.
Inst. Statist. Univ. Paris, 1960, 9, p.- 289—325.

БИБЛИОГРАФИЯ
365
[3] Les fonctions pseudo-aleatoires, Mem. Sci. Math., fasc. 153.— Paris:
Gauthier-Vi liars, 1962.
Басе, Бертрандиа Ж.-П. (Bass J., Bertrandias J.-P.)
[1] Moyennes de sommes trigonometriques et fonctions d'autocorrelation.—
С R. Acad. Sci. Paris, 1957, 245, p. 2457—2459.
Басе, Г и йу (Bass J. Guilloud J.)
[1] Methode de Monte-Carlo et suites uniformement denses.—Chiffres, 1958,
1, p. 151 — 155,
Басе, Kyo (Bass J., Couot J.)
[1] Un theoreme d'arithmetique et son application a la theorie des moyennes
dans l'espace de Hilbert.—С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1969, 269,
p. 1194—1197.
Бауэр (Bauer W.)
[1] Diskrepanz in separablen metrischen Raumen.— Monatsh. Math., to appear.
Бахвалов Н. С.
[1] О приближенном вычислении кратных интегралов.— Вестник Моск.
унив., сер. мат., мех., астрон., физ., хим., 1959, № 4, с. 3 —18.
[2] Оценка в среднем остаточного члена квадратурных формул.— Ж.
вычисл. матем. и и матем. физ., 1961, 1, с. 64—77.
Бахвалов Н. С, Коробов Н. М., Ченцов Н. Н.
[1] Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного
анализа.— Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда, т. II. Л.: Наука, 1964, с. 580—587.
Б а х м а н (Bachman G.)
[1] Introduction to /7-adic numbers and valuation theory.— N. Y.; London:
Academic Press, 1964.
Безикович (Besicovitch A. S.)
[1] On the sum of digits of real numbers represented in the dyadic number
system.—Math. Ann., 1935, 110, p. 321—330.
[2] The asymptotic distribution of the numerals in the decimal representation
of the squares of the natural numbers.— Math. Z., 1935, 39, p. 146—156.
Б е з и н о (Besineau J.)
[1] Sur un probleme de Gel'fand relatif a la fonction «somme des chiffres».—
С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1971, 272, p. 453—456.
[2] Independance statistique d'ensembles lies a la fonction «somme des chiffres».—
. Acta Arith., 1972, 20, p. 401—416.
Бейер (Beyer W. A.)
[1] Hausdorff dimension of level sets of some Rademacher series.— Pacific J.
Math., 1962, 12, p. 35—46.
Бейер, Метрополи с, Неергард (Beyer W. A., Metropolis N., Neer-
gaard J. R.)
[1] Statistical study of digits of some square roots of integers in various
bases.—Math. Сотр., 1970, 24, p. 455—473.
[2] The generalized serial test applied to expansions of some irrational square
roots in various bases.—Math. Сотр., 1970, 24, p. 745—747.
Бейкер A. (Baker A.)
[1] On some diophantine inequalities involving the exponential function.—
Canad. J. Math., 1965, 17, 616-626.
Бейкер P. (Baker R. C.)
[1] A diophantine problem on groups, I.— Trans. Amer. Math. Soc, 1970,
150, p. 499—506.
[2] A diophantine problem on groups, II.— Proc. London Math. Soc, 1970,
(3) 21, p. 757—768.
[3] A diophantine problem on groups, III.— Proc. Cambridge Phil. Soc, 1971,
70, p. 31—47.
[4] Discrepancy modulo one and capacity of sets.— Quart. J. Math., 1971,
(2) 22, p. 597—603.
[5} On a theorem of Erdos and Taylor.— Bull. London Math. Soc, 1972, 4,
p. 383—374.

366
БИБЛИОГРАФИЯ
[6] Slowly growing sequences and discrepancy modulo one.— Acta Arith.,
1973, 23, p. 279—293.
Бейтмен (Bateman P. T.)
[1] Sequences of mass distributions on the unit circle which tend to a uniform
distribution.—Amer. Math. Monthly, 1964, 71, p. 165—172.
Бейтмен, Дюкет (Bateman P. Т., Duquette A. L.)
[1] The analogue of the Pisot-Vijayaraghavan numbers in fields of formal
power series.—111. J. Math., 1962, 6, p. 594—606.
Б е н к.е (Behnke H.)
[1] Uber die Verteilung von Irrationalitaten mod. 1.— Abh. Math. Sem.
Hamburg, 1922, 1, S. 252—267.
[2] Zur Theorie der diophantischen Approximationen, I.— Abh. Math. Sem.
Hamburg, 1924, 3, S. 261—318; II, ibid., 1926, 4, S. 33 — 46.
Бенцингер (Benzinger L.)
[1] Uniformly distributed sequences on locally compact groups: Ph. D. thesis.—
Syracuse Univ., 1972.
Б e p (Beer S.)
[1] Zur Theorie der Gleichverteilung im p-adischen.— Sitzgsber. Osterr. Akad.
Wiss., Math.-naturw. Kl., Abt. II, 1967, 176, S. 499—519.
[2] Uber die Discrepanz von Folgen in bewerteten Korpern.— Manuscripta
Math., 1969, 1, S. 201—209.
[3] Die Diskrepanz von Differenzenfolgen im p-adischen.— Monatsh. Math.,
1972, 76, S. 289 — 294.
Берг, Раджагопалан, Рубел (Berg I. D., Rajagopalan M., Rubel L. A.)
[1] Uniform distribution in locally compact abelian groups.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1968, 133, p. 435—446.
Берг, Рубел (Berg I. D., Rubel L. A.)
[1] Densities on locally compact abelian groups.— Bull. Amer. Math. Soc,
1968, 74, p. 298—300.
[2] Densities on locally compact abelian groups.— Ann. Inst., Fourier, 1969,
19, fasc. 1, p. 31 — 107; испр. там же, 1969, 19, fasc. 2, p. 533.
Бергстрем (Bergstrom V.)
[1] Beitrage zur Theorie der endlichdimensionalen Moduln und der
diophantischen Approximationen.— Medd. Lunds Univ. Mat. Sem., 1935, 2.
[2] Einige Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen.—
Fysiogr. Salsk. Lund. Forh., 1936, 6, № 13, S. 1 — 19; см. также Medd.
Lunds. Univ. Mat. Sem., 1939, 4.
Березин И. С, Жидков Н. П.
[1] Методы вычислений. Т. 1.— М.: Наука, 1966.
Берлекамп, Грехем (Berlekamp E. R., Graham R. L.)
[1] Irregularities in the distributions of finite sequences.—J. Number Th.,
1970, 2, p. 152 — 161.
Бертрандиа Ж--П. (Bertrandias J.-P.) ,
[1] Calcul d'une integrate au moyen de la suite Xn = An. Evaluation de
Геггеиг.—Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 1960,9, p. 335—357.
[2] Sur le produit de plusieurs fonctions pseudo-aleatoires. Application a la
repartition modulo 1.—С R. Acad. Sci. Paris, 1960, 250, p. 2498—2500.
[3] Suites pseudo-aleatoires et criteres d'equirepartition modulo un.—Compo-
sitio Math., 1964, 16, p. 23—28.
Бертрандиа Ф. (Bertrandias F.)
[1] Ensembles remarquables d'adeles algebriques.—Bull. Soc. Math. France,
Suppl., Mem., 1965, 4.
Б ест (Best E.)
[1] On sets of fractional dimension, III.— Proc. London Math.,Soc, 1942(2),
47, p. 436—454.
Биллингсли (Billingsley P.)
[1] Эргодическая теория и информация.— М.: Мир, 1969.
[2] Сходимость вероятностных мер.—М.: Наука, 1974.

БИБЛИОГРАФИЯ
367
Виллингсли, Топсо (Billingsley P., Tops0e F.)
[1] Uniformity in weak convergence.— Z. Wahrscheinlichkeitsth., 1967, 7,
S. 1 — 16.
Б и н д е р (Binder С.)
[1] Uber einen Satz von de Bruijn und Post.— Sitzgsber. Osterr. Acad. Wiss.,
Math.-naturw. Kl., Abt. II, 1970, 179, S. 233—251.
Б л а н ш а р (Blanchard A.)
[1] Initiation a la theorie analytiqie des nombres premiers.— Paris: Dunod, 1969.
Блум, Мицел (Blum J. R., Mizel V. J.)
[1] On a theorem of Weyl and theergodic theorem.— Z. Wahrscheinlichkeitsth.,
1971, 20, S. 193—198.
[2] A generalized Weyl equidistribution theorem for operators, with
applications.—Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 165, p. 291—307.
Блум, Хансон (Blum J. R., Hanson D. L.)
[1] On invariant probability measures, I.— Pacific J. Math., 1960, 10,
1125 — 1129; II, ibid., 1961, 11, p. 63—71.
Бойд (Boyd D. W.)
[I] Transcendental numbers with badly distributed powers.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1969, 23, p. 424—427.
Боль..(ВоЫ Р.)
[1] Uber ein in der Theorie der sakularen Storungen vorkommendes Problem.—
J. reine angew. Math., 1909, 135, S. 189 — 283.
Боннезен, Фенхель (Bonnesen Т., Fenchel W.)
[1] Theorie der konvexen Кбгрег, Erg. Math. Grenzgeb., Bd. 3, H. 1.—
Berlin: Springer, 1934.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р.
[1] Теория чисел.— М.: Наука, 1964.
Б op e л ь (Borel E.)
[1] Les probabilites denombrables et leurs applications arithmetiques.— Rend.
Circ. Mat. Palermo, 1909, 27, p. 247—271.
[2] Lemons sur la theorie des fonctions, 2nd ed.— Paris: Gauthier-Villars, 1914.
(См. также Боре ль Э. Основные идеи алгебры и анализа.— М.; Л.:
ГИЗ, 1927.)
Браун, Дункан (Brown J. L., Duncan R. L.)
[1] A generalized Weyl criterion.—Duke Math. J., 1968, 35, p. 699—705.
[2] Modulo one uniform distribution of the sequences of logarithms of certain
recursive sequences.— Fibonacci Quart., 1970, 8, № 5, p. 482—486.
[3] Asymptotic distribution of real numbers modulo one.— Amer. Math.
Monthly, 1971, 78, p. 367—372.
[4] Modulo one uniform distribution of certain Fibonacci—related
sequences.—Fibonacci Quart., 1972, 10, № 3, p. 277—280.
Б ре з и н (Brezin J.)
[1] Applications of nilmanifold theory to diophantine approximations.— Proc.
Amer. Math. Soc., 1972, 33, p. 543—547.
Бундгорд (Bundgaard S.)
[1] Uber die Werteverteilung der Charaktere abelscher Gruppen.— Danske
Vid. Selsk., mat.-fys. Medd., 1936, 14, S. 1—29.
[2] Eine Verallgemeinerung des Kronecker-Weylschen Satzes uber diophan-
tische Approximation.—9e Congr. Math. Scand., 1938, S. 219—224.
Буркард (Burkard R. E.)
[1] Zur Theorie der Gleichverteilung modulo A: Thesis—Univ. of Vienna, 1967.
[2] Zur gleichmassigen Gleichverteilung von Polynomwerten modulo A.—
Sitzgsber. Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw., Abt. II, 1969, 177,
S. 395—406.
Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Срагович В. Г.,
Шрейдер Ю. А.
[1] Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).— М.: Физматгиз,
1962.

368
БИБЛИОГРАФИЯ
Бэрд (Bird R. S.)
[1] Integers with given initial digits.—Amer. Math. Monthly, 1972, 79,
p. 367—370.
Валлисер (Wallisser R.)
[1] Einige Satze tiber nichtfortsetzbare Potenzreihen.—Math. Z., 1970, 113,
S. 61—67.
[2] Eine Bemerkung uber irrationale Werte und Nichtfortsetzbarkeit von
Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten.— Colloq. Math., 1971, 23, S.
141—144.
Вальфиш (Walfisz A.)
[1] Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Math. Fors-
chungsberichte, Bd. 16.—Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaf-
ten, 1963.
Ван Аарденне-Эренфест (Van Aardenne-Ehrenfest T.)
[1] Proof of the impossibility of a just distribution of an infinite sequences ~
of points over an interval.— Indag. Math., 1945, 7, p. 71—76.
[2] On the impossibility of a just distribution.—Indag. Math., 1949, 11,
p. 264—269.
Ван Данциг (Van Dantzig D.)
[1] Uber topologisch homogene Kontinua.— Fundam. Math., 1930, 15, S.
102—125.
[2] Nombres universels ou v!-adiques avec une introduction sur l'algebre to-
pologique.—Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1963, (3) 53, p. 275—307.
[3] Zur topologischen Algebra, III.—Compositio Math., 1936, 3, S. 408—426.
Ван де Луне (Van de Lune J.)
[1] On the distribution of a specific number — theoretical sequence.—Math.
Centrum Amsterdam, Report ZW 1969—004, 1969.
Ван ден Эйнден (van den Eynden С L.)
[1] The uniform distribution of sequences: Ph. D. thesis.— Univ. of Oregon,
1962.
Ван дер Корпут (Van der Corput J. G.)
[1] Zahlentheoretische Abschatzungen.—Math. Ann., 1921, 84, S. 53—79.
[2] Zahlentheoretische Abschatzungenmit Anwendung auf Gitterpunktprobleme,
I.—Math. Z., 1923, 17, 250—259; II.—там же, 1928, 28, S. 301—310.
[3] Neue zahlentheoretische Abschatzungen, I.— Math. Ann., 1923, 89, S.
215—254.
[4] Neue zahlentheoretische Abschatzungen, II.—Math. Z., 1929, 29, S. 397—
426.
[5] Diophantische Ungleichungen, I. Zur Gleichverteilung modulo Eins.—
Acta Math., 1931, 56, S. 373—456.
[6] Diophantische Ungleichungen, II. Rhythmische Systeme А, В.—Acta
Math 1932 59 S 209—328
[7] Verteilungsfunktionen, I—VIII.—Proc. Akad. Amsterdam, 1935, 38, S.
813—821, 1058—1066; 1936, 39, S. 10—19, 19—26, 149-153, 339-344,
489—494, 579—590.
Ван дер Корпут, Пизо (Van der Corput J. G., Pisot C.)
[1] Sur la discrepance modulo un.—Indag. Math., 1939, 1, p. 143—152,
184—195, 260-269.
В ей ль A. (Weil A;)
[1] Интегрирование в топологических группах и его применения.— М.: ИЛ,
1950.
Вей ль Г. (Weyl H.)
[1] Uber die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene.—
Rend. Circ. Math. Palermo, 1910, 30, S. 377—407; см. также Gesammelte
Abhandlungen, Bd. I.—Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1968,
S. 321—353.
[2] Uberein Problem aus dem Gebiete der diophantischen Approximationen.—
Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl., 1914, S. 234-244; см.

БИБЛИОГРАФИЯ
369
также Gesammelte Abhandlungen, Bd. I.— Berlin; Heidelberg; N.Y.:
Springer-Verlag, 1968, S. 487—497.
[3] Sur une application de la theorie des nombres a la mecanique statistique
et la theorie des perturbations.—L'Enseignement Math., 1914, 16, p. 455—
467; см. также Gesammelte Abhandlungen, Bd. I.— Berlin; Heidelberg;
N.Y.: Springer-Verlag, 1968, S. 498—510.
[4] Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins.— Math. Ann., 1916,
77, S. 313—352; см. также Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1.— Berlin;
Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1968, S. '563—599 и Selecta Hermann
Weyl.—Basel; Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1956, S. 111-147.
Вербицкий И. Л.
[1] Оценка остаточного члена в аппроксимационной теореме Кронекера —
Вейля.— Теория функций, функцион. анализ и их прилож., 1967, 5,
с. 84—98.
Билль (Ville J.)
[1] Etude critique de la notion de collectif. Monographies des Probabilites,
fasc. 3.—Paris: Gauthier-Villars, 1939.
Винер (Wiener N.)
[1] The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients.— J.
Math. Phys., 1924, 3, p. 72—94.
Виноградов И. М.*)
[1] О дробных частях целых многочленов.— Изв. АН СССР, 1926, 20,
585—600.
[2] On the number of fractional parts of a polynom lying in a given
interval.—Матем. сб., 1936, 1 (43), № 1, 3—8.
[3] Представление нечетного простого числа суммой трех простых чисел.—
ДАН СССР, 15, 1937, 291—294.
[4] Об оценке тригонометрических сумм с простыми числами.— Изв. АН СССР,
сер. матем., 1948, 12, 225—248.
[5] Метод тригонометрических сумм в теории чисел.— Труды матем. ин-та
им. Стеклова, 1947, 23; М.: Наука, 1971.
[6] Тригонометрические суммы, содержащие значения многочлена.— Изв.
АН СССР, сер. матем., 1957, 21, 145—170.
[7] К вопросу о распределении дробных частей значений многочлена.— Изв.
АН СССР, сер. матем., 1961, 25, № 6, 749—754.
[8] О распределении систем дробных частей от значений нескольких
многочленов.—Изв. АН СССР, сер. матем., 1962, 26, № 6, 793—796.
Винтнер (Wintner A.)
[1] On the cyclical distribution of the logarithms of the prime numbers.—
Quart. J. Math., 1935(1), 6, p. 65—68.
Виссер (Visser C.)
[1] The law of nought-or-one in the theory of probability.— Studia Math., 1938,
7, p. 143—149.
Вич (Veech W. A.)
[1] A Kronecker-Weyl theorem modulo 2.—Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
1968, 60, p. 1163-1164.
[2] Strict ergodicity in zero dimensional dynamical systems and the Krone-
cker — Weyl theorem mod 2.—Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 140, p.
1-33.
[3] Some questions of uniform distribution.— Ann. Math. (2), 1971, 94, 125—
138.
[4] Well distributed sequences of integers.— Trans. Amer. Math. Soc,, 1971,
161, p. 63—70.
Г а а л (Gaal S. A.)
[1] Point Set Topology.—N.Y.; London: Academic Press, 1964.
*) См. также Виноградов И. М. Избранные труды.— М.: Изд.
АН СССР, 1952.— Примеч. ред.

370
БИБЛИОГРАФИЯ
Г аба и (Gabai H.)
[1] On the discrepancy of certain sequences modi.—Indag. Math., 1963, 25,
p. 603—604.
[2] On the discrepancy of certain sequences modi.—111. J. Math., 1967, 11,
p. 1-12.
Га л И., Га л Л. (Gal. I.S., Gal L.)
[1] The discrepancy of the sequences U2nx)}.— Indag. Math., 1964, 26, p.
129—143.
Гал И., Коксма (Gal I. S., Koksma J. F.)
[1] Sur l'ordre de grandeur des fonctions sommables.—C. R. Acad. Sci. Paris.,
1948, 227, p. 1321—1323.
[2] Sur l'ordre de grandeur des fonctions sommables.— Indag. Math., 1950,
12, p. 192—207.
Галамбош (Galambos J.)
[1] Distribution of arithmetical functions. A survey.—Ann. Inst. Henri Poin-
care, sect. В., 1970, 6, № 4, p. 281—305.
[2] A generalization of a theorem of Borel concerning the distribution of
digits in dyadic expansions.— Amer. Math. Monthly, 1971, 78, p. 774—779.
[3] The Hausdorff dimension of sets related tog-expansions.— Acta Arith.,
1972, 20, p. 385—392.
[4] Probabilistic theorems concerning expansions of real numbers.— Periodica
Math. Hungar., 1973, 3, p. 101—113.
Галлахер (Gallagher P. X.)
[1] Metric simultaneous diophantine approximation.—J. London Math. Soc,
1962, 37, p. 387—390.
[2] Metric simultaneous diophantine approximation, II.—Mathematika, 1965,
12, p. 123-127.
Гапошкин В. Ф.
[1] Лакунарные ряды и независимые функции.— УМН, 1966, 21, №6,
с. 3—82.
Гекке (Hecke E.)
[1] Uber analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod Eins.—
Abh. Math. Sem. Hamburg, 1922, 1, S. 54—76. (См. также: Гекке Э.
Лекции по теории алгебраических чисел.—М.; Л.: Гостехиздат, 1940.)
Гельфонд А. О.
[1] Об одном общем свойстве систем счисления.— Изв. АН СССР, сер.
матем., 1959, 23, № 6, с. 809—814.
Гельфонд А. О., Линник Ю. В.
[1] Элементарные методы в аналитической теории чисел.-—М.: Физматгиз,
1962.
Г е р л (Gerl P.)
[1] Punktfolgen auf Kurven und Flachen.—Monatsh. Math., 1963, 67, S.
401—432.
[2] Einige metrische Satze in der Theorie der Gleichverteilung mod 1.—J.
reine angew. Math., 1964, 216, S. 50—66.
[3] Zur Gleichverteilung auf Flachen.—J. reine angew. Math., 1964, 216,
S. 113—122.
[4] Konstruktion gleichverteilter Punktfolgen.—Monatsh. Math., 1965, 69,
S. 306—317.
[5] Eine Bemerkung zur gleichmassigen Gleichverteilung mod 1.—Monatsh.
Math., 1966, 70, S. 106—110.
[6] Einige mehrdimensionale Satze zur gleichmassigen Gleichverteilung.—
Indag. Math., 1968, 30, S. 151—161.
[7] Relative Gleichverteilung in lokalkompakten Raumen.—Math. Z., 1971,
121, 24—50.
[8] Relative Gleichverteilung in lokalkompakten Raumen, II.— Monatsh. Math.,
1971, 75, 410—422.
[9] Gleichverteilung auf der Kugel.— Arch. Math., 1973, 24, S. 203-207.

БИБЛИОГРАФИЯ
371
Голдстейн (Goldstein L. J.)
[1] Analogues of Artin's conjecture.—Trans. Amer. Math. Soc, 1970, 149,
p. 431—442.
Готу ззо (Gotusso L.)
[1] Successioni uniformemente distribuite in corpi finiti.— Atti. Sem. Mat.
Fis. Univ. Modena, 1962/63, 12, p. 215—232.
Гранде-Гюго (Grandet-Hugot M.)
[1] Etudes de certaines suites {kan} dans les adeles.—Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup., 1966, (3) 83, p. 171—185.
[2] Une propriete des «nombres de Pisot» dans un corps de series formelles.—
С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1967, 265, p. 39—41; испр. там же, р. 551.
[3] Elements algebriques remarquables dans un corps de series formelles.—
Acta Arith., 1967/68, 14, p. 177—184.
Грассини (Grassini E.)
[1] Successioni regolarmente equidistribuite negli spazi topologici.— 1st. Lorn,
bardo Accad. Sci. Lett. Rend., 1965, A99, p. 950—962.
Грехе м, ван Линт (Graham R. L., van Lint J. H.)
[1] On the distribution of nQ modulo 1.—Canad. J. Math., 1968, 20, p. 1020—
1024.
Гуд (Good I.J.)
[1] Normal recurring decimals.—J. London Math. Soc, 1946, 21, p. 167—169.
Д а д л и (Dudley U.)
[1] Oscillating sequences modulo one.— Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 126,
p. 420—426.
Дайемонд (Diamond H. G.)
[1] The distribution of values of Euler's phi function.— Proc. Symp. Pure
Math., v. XXIV. Providence, R. I.: American Math. Society, 1973, p.
63^-75.
Д а р л и н г (Darling D. A.)
[1] The Kolmogorov—Smirnov, Cramer—von Mises tests.— Ann. Math. Statist.,
1957, 28, p. 823—838.
Дворецкий, Кифер, Вольфовиц (Dvoretzky A., Kiefer J., Wolfo-
witz J.)
[1] Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of
the classical multinomial estimator.— Ann. Math. Statist., 1956, 27, p.
642—669.
Де Брейн, Пост (De Bruijn N. G., Post K. A.)
[1] A remark on uniformly distributed sequences and Riemann integrability.—
Indag. Math., 1968, 30, p. 149—150.
Де Брейн, Эрдёш (De Bruijn N. G., Erdos P.)
[1] Sequences of points on a circle.— Indag. Math., 1949, 11, p. 14—17.
Дейксма (Dijksma A.)
[1] The measure theoretic approach to uniform distribution of sequences in
GF[q, x].— Mathematica (Cluj), 1969, 11, p. 221—240.
[2] Uniform distribution of polynomials over GF {q, x} in GF [q, x], part I.—
Indag. Math., 1969, 31, p. 376—383.
[3] Uniform distribution of polinomials over GF {q, x) in GF [q, x], part II.—
Indag. Math., 1970, 32, p. 187—195.
[4] Metrical theorems concerning uniform distribution in GF [q, x] and
GF{q, x}.— Nieuw Arch, voor Wisk. (3), 1970, 18, p. 279—293.
[5] Uniform distribution in GF {q, x) and GF [q, x]: Thesis.— Technische Ho-
geschool Delft, 1971.
Дейксма, Мейер (Dijksma A., Meijer H. G.)
[1] Note on uniformly distributed sequences of integers.— Nieuw Arch, voor
Wisk. (3), 1969, 17, p. 210-213.
Декон-Гийю (Decomps-Guilloux A.)
[1] Ensembles d'elements algebriques dans les adeles.— С R. Acad. Sci. Paris,
1965, 261, p. 1929—1931.

372
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Generalisation des nombres de Salem aux adeles.— Acta Arith., 1969, 16,
p. 265—314.
Деланж (Delange H.)
[I] Sur la distribution des valeurs de certaines fonctions arithmetiques.—
Colloque sur la Theorie des Nombres, Centre mathematiques, Brussels,
1955, 147—161.
[2] Sur la distribution des entiers ayant certaines proprietes.— Ann, Sci.
Ecole Norm. Sup. (3), 1956, 73, p. 15—74.
[3] On a theorem of Erdos.—Scripta Math., 1957, 23, p. 109—116.
[4] On some arithmatical functions.—Ill, J. Math., 1958, 2, p. 81—87.
[5] Un theoreme sur les fonctions arithmetiques multiplicatives et ses
applications.—Ann. Sci Ecole Norm. Sup. (3), 1961, 78, p. 1—29.
[6] Sur les fonctions arithmHiques multiplicatives.— Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. (3), 1961, 78, p. 273-304.
[7] Sur la distribution des fractions irreductibles de denominateur n ou de
denominateur au plus egal к x.— Hommage au Professeur Lucien Godeaux,
Centre beige de recherches mathematiques, Brussels, 1968, p. 75—89.
[8] On integral-valued additive functions.—J. Number Th., 1969, 1, p. 419—
430.
[9] On the distribution modulo 1 of additive functions.— J. Indian Math.
Soc, 1970, 34, p. 215—236.
[10] Quelques resultats nouveaux sur les fonctions additives.— Bull. Soc. Math.
France, Suppl., Mem., 1971, 25, p. 45—53.
[II] Sur la distribution des valeurs des fonctions additives.— С R. Acad. Sci.
Paris, ser. A, 1972, 275, p. 1139—1142.
Де Матан (De Mathan B.)
[1] Sur un theoreme metrique d'equirepartition mod 1 dans un corps de
series formelles sur un corps fini.— С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1967,
265, p. 289 — 291.
[2] Theoreme de Koksma dans un corps de series formelles sur un corps
fini—Seminaire Delange-Pisot-Poitou, 9e annee, 1967/68, exp. 4.
[3] Approximations diophantiennes dans un corps local.— Bull. Soc. Math.
France, Suppl., Mem., 1970, 21.
[4] Un problerne metrique d'approximation diophantienne.— Bull. Soc. Math.
France, 1971, 99, p. 369 — 385.
[5] Un critere de non-eutaxie.— С R. Acag. Sci. Paris, ser. A, 1971, 273,
p. 433—436.
Деннис (Dennis J. S.)
[1] The distribution of sequences in Abelian groups.—Proc. Cambridge Phil.
Soc, 1970, 67, p. 1 — 11.
Дескович (Descovich J.)
[1] gur Theorie der Gleichverteilung auf kompakten Raumen.— Sitzgsber.
Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. Kl., Abt. II, 1969, 178, S. 263—
283.
Джессе н (Jessen B.)
[1] The theory of integration in a space of an infinite number of
dimensions.—Acta Math., 1934, 63, p. 249—323.
Довидар (Dowidar A. F.)
[1] A note on the generalized uniform distribution (mod 1).—J. Natur. Sci.
and Math., 1971, 11, p. 185—189.
Довидар, Петерсен (Dowidar A. F., Petersen G. M.)
[1] The distribution of sequences and summability.—Canad. J. Math., 1963,
15, p. 1 — 10.
Донохью (Donoghue W. F., Jr.)
[1] Distributions and Fourier Transforms.— N. Y.: Academic Press, 1969.
Д о н с к е р (Donsker M.)
[1] Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmo-
gorov-Smirnov theorems.—Ann. Math. Statist., 1952, 23, p. 277—281.

БИБЛИОГРАФИЯ
373
Древе (Drewes A.)
[1] Diophantische Benaderingsproblemen: Thesis.— Vrije Univ. Amsterdam,
1945.
Дресс (Dress F.)
[1] Sur l'equirepartition de certaines suites (xXri).— Acta Arith., 1968, 14,
p. 169 — 175.
[2] Intersection d'ensembles normaux.—J. Number Th., 1970, 2, p. 352—362.
Дресс, Мендес-Франс (Dress F., Mendes France M.)
[1] Caracterisation des ensembles normaux dans Z.— Acta Arith., 1970, 17,
p. 115 — 120.
Дуб (Doob J. L.)
[1] Heuristic approach to the Kolmogorov-Smirnov theorems.— Ann. Math.
Statist., 1949, 20, p. 393 — 403.
Дункан (Duncan R. L.)
[1] An application of uniform distributions to the Fibonacci numbers.—
Fibonacci Quart., 1967, 5, N2, p. 137—140.
Д утка (Dutka J.)
[1] The square root of 2 to 1000 000 decimals.—Math. Сотр., 1971, 25,
p. 927—930.
Дэвенпорт (Davenport H.)
[1] Note on irregularities of distribution,—Mathematika, 1956,3, p. 131 — 135.
[2] On a theorem of P. J. Cohen.—Mathematika, 1960, 7, 93—97.
[3] Note on an irrational power series.— Proc. Amer. Math. Soc, 1966, 17,
p. 1—5.
Дэвенпорт, Левек (Davenport H., LeVeque W. J.)
[1] Uniform distribution relative to a fixed sequence.— Michigan Math. J.,
1963, 10, p. 315—319.
Дэвенпорт, Эрдёш (Davenport H., Erdos P.)
[1] Note on normal decimals.— Canad. J. Math., 1952, 4, p. 58—63.
Дэвенпорт, Эрдёш, Левек (Davenport H., Erdos P., LeVeque W. J.)
[1] On Weyl's criterion for uniform dictribution.— Michigan Math. J., 1963,
10, p. 311—314.
Дэвис, Рабинович (Davis P. J., Rabinowitz P.)
[1] Some Monte Carlo experiments in computing multiple integrals.— Math.
Tables Aids Comput., 1956, 10, p. 1—8.
[2] Numerical Integration.—Waltham, Mass.: Blaisdell, 1967.
Дюкрей (Ducray S.)
[1] Normal sequences.—J. Univ. Bombay (N. S.), sect. A, 1962/63, 31,
p. 1—4.
Дюпен, Леска (Dupain Y., Lesca J.)
[1] Repartition des sous-suites d'une suite donnee.— Acta Arith., 1973, 23,
p. 307—314.
Жилле (Gillet A.)
[1] Sur la repartition modulo un des multiples d'un nombre reel.— C. R.
Acad. Sci. Paris, 1965, 261, p. 4946—4947.
[2] Sur la repartition modulo 1 des multiples d'un nombre reel.— С R. Acad.
Sci. Paris, ser. A, 1967, 264, p. 223—225.
Заремба (Zaremba S. K-)
; [1] Good lattice points, discrepancy, and numerical integration.— Ann, Mat.
Рига Appl. (IV), 1966, 73, p. 293—317.
[2] The mathematical basis of Monte Carlo and quasi—Monte Carlo methods.—
SIAM Rev., 1968, 10, p. 303—314.
[3] Some applications of multidimensional integration by parts.— Ann. Polon.
Math., 1968, 21, p. 85—96.
[4] Good lattice points in the sense of Hlawka and Monte Carlo integration.—
Monatsh. Math., 1968, 72, p. 264—269.
[5] A quasi-Monte Carlo method for computing double and other multiple
integrals.—Aequationes Math., 1970, 4, p. 11—22.

374
БИБЛИОГРАФИЯ
[6] A remarkable lattice generated by Fibonacci numbers.— Fibonacci Quart.,
1970, 8, N2, p. 185—198.
[7] La dicrepance isotrope et l'integration numerique.— Ann. Mat. Рига Appl.
(IV), 1970, 87, p. 125—136.
[8] Sur la discrepance des suites aleatoires.— Z. Wahrscheinlichkeitsth.,
1971, 20, S. 236—248.
[9] La methode des 'bon treillis' pour le calcul numerique des integrates
multiples.— В сб.: Applications of Number Theory to Numerical Analysis,
ed. S. K. Zaremba. N. Y.: Academic Press, 1972, p. 39—119.
[10] Good lattice points modulo primes and composite numbers.—В кн.: Dio-
phantine Approximation and Its Applications, ed. С F. Osgood. N. Y.:
Academic Press, 1973, p. 327—356.
[11] Good lattice points modulo composite numbers.— Monatsh. Math., 1974,
78, p. 446—460.
Заретти (Zaretti A.)
[1] Equivalenza di due definizioni di successioni equidistribuite nei domini
P-adici.—Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 1964, 13, p. 111 — 118.
[2] Sopra un teorema di B. Eckmann riguardante successioni uniformemente
distribute,— 1st. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend., 1966, A100, p. 99—108.
3 e й м (Zame A.)
[1] The distribution of sequences modulo 1.—Canad. J. Math., 1967, 19,
p. 697—709.
[2] On the measure of well-distributed sequences.—Proc. Amer. Math. Soc,
1967, 18, p. 575—579.
[3] On the equivalence of two modes of distribution of a sequence.—
Monatsh. Math., 1968, 72, p. 157—167.
[4] Almost convergence and well-distributed sequences.—Canad. J. Math.,
1968, 20, p. 1211 — 1214.
[5] On normal sets of numbers.—Acta Arith., 1972, 20, p. 147—154.
[6] On a problem of Narkiewicz concerning uniform distributions of sequences
of integers.—Colloq. Math., 1972, 24, p. 271—273.
Зейн (Zane B.)
[1] Uniform distribution modulo m of monomials.— Amer. Math. Monthly,
1964, 71, p. 162—164.
Зенге (Senge H. G.)
[1] Closed sets of algebraic numbers.—Duke Math. J., 1968, 34, p. 307—323.
Зенге, Штраус (Senge H. G., Straus E.)
[1] PV-numbers and sets of multiplicity.— В кн.: Ргос. Washington State
Univ. Conf. on Number Theory (Pullman, Wash., 1971), p. 55—67; см.
также Periodica Math. Hungar., 1973, 3, p. 93 — 100.
Зигмунд A. (Zygmund A.)
[1] Тригонометрические ряды. Т. 1.— M.: Мир, 1965.
Зигмунд К- (Sigmund K-)
[1] Uber Verteilungsmasse von Massfolgen auf kompakten Gruppen.—
Composite Math., 1969, 21, S. 299—311.
3 л е б о в Е. Д.
[1] Числа Пизо — Виджаярагхавана и основные единицы алгебраических
полей.—Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1966, №4, с. 110—112.
Ибрагимов И. А.
[1] Асимптотическое распределение значений некоторых сумм.— Вестник
Ленингр. унив., 1960, 1, № 1, с. 55 — 69.
[2] Центральная предельная теорема для сумм функций от независимых
величин и сумм "2 / (2*0-— Теория вероятн. и ее примен., 1967, 12,
вып. 4, с. 655 — 665.
Ильясов И.
[1] Суммирование сложных функций от функции Эйлера.—ДАН СССР,
1968, 178, № 3, с. 529 — 532.

БИБЛИОГРАФИЯ
375
И с бе л л (Isbell J. R.)
[1] Uniform Spaces.— Providence, R. I.: American Math. Society, 1964.
Кавиор (Cavior S. R.)
[1] Uniform distribution of polynomials modulo m.— Amer. Math. Monthly,
1966, 73, p. 171 — 172.
Каждан Д. А.
[1] Равномерное распределение на плоскости.— Тр. Моск. матем. общ-ва,
1965, 14, с. 299—305.
Какутани (Kakutani S.)
[1] On cardinal numbers related with a compact abelian group.— Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 1943, 19, p. 366—372.
Каллахен (Callahan F. P.)
[1] Dencity and uniform dencity.— Proc. Amer. Math. Soc, 1964, 15,
p. 841—843.
К а н о (Капо Т.)
[1] Criteria for uniform and weight uniform distribution mod 1.—Comment.
Math. Univ. St. Pauli, 1971, 20, p. 83—91.
Кантор (Cantor D. G.)
[1] On sets of algebraic integers whose remaining conjugates lie in the unit
circle.—Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 105, p. 391—406.
[2] On the elementary theory of diophantine approximation over the ring of
adeles, I.—111. J. Math., 1965, 9, p. 677—700.
[3] Irrational power series.—Indag. Math., 1965, 27, p. 777—786.
КарацубаА. A.
[1] Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их
применения.— Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1971, 112, с. 241—255.
Каримов Б.
[1] О распределении дробных долей некоторых линейных форм в
единичном квадрате.— Изв. АН Узб ССР, сер. физ.-матем. наук, 1966, 10,
№ 1, с. 19 — 22.
[2] К. вопросу о количестве дробных долей некоторых линейных форм
в прямоугольнике.— Изв. АН Узб ССР, сер. физ.-матем. наук, 1966,
10, №2, с. 21—28.
Карлиц (Carlitz L.)
[1] The singular series for sums of squares of polynomials.— Duke Math. J.,
1947, 14, p. 1105—1120.
[2] Diophantine approximation in fields of characteristic p.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1952, 72, p. 187—208.
Карлсон (Carlson D. L.)
[1] Good sequences of integers. Thesis.— Univ. of Colorado, 1971.
К а с с е л с (Cassels J. W. S.)
[1] Some metrical theorems in Diophantine approximation, I.—Proc.
Cambridge Phil. Soc, 1950, 46, p. 209—218.
[2] Some metrical theorems of Diophantine approximation, II.— J. London
Math. Soc, 1950, 25, p. 180—184.
[3] Some metrical theorems in Diophantine approximation, III.—Proc
Cambridge Phil. Soc, 1950, 46, p. 219—225.
[4] Some metrical theorems of Diophantine approximation, IV.— Indag. Math.,
1950, 12, p. 14-25.
[5] A theorem of Vinogradoff on uniform distribution.— Proc Cambridge
Phil. Soc, 1950, 46, p. 642 — 644.
[6] An extension of the law of the iterated logarithm.— Proc Cambridge
Phil. Soc, 1951, 47, p. 55 — 64.
[7] On a paper of Niven and Zuckerman.— Pacific J. Math., 1952, 2,
p. 555—557.
[8] A new inequality with application to the theory of diophantine
approximation.—Math. Ann., 1953, 126, p. 108—118.
[9] Введение в теорию диофантовых приближений.— М.: ИЛ, 1961.

376
БИБЛИОГРАФИЯ
[10] On a problem of Steinhause about normal numbers.—Colloq. Math., 1959,
7, p. 95 — 101.
Катай (Katai I.)
[1] Zur Gleichverteilung modulo Eins.— Ann. Univ. Sci. Budapest. Edtvos
Sect. Math., 1964, 7, S. 73—77.
Кахан (Kahane J.-P.)
[1] Sur les mauvaises repartitions modulo 1.— Ann. Inst. Fourier, 1964, 14,
fasc. 2, p. 519—526.
Кахан, Салем (Kahane J.-P., Salem R.)
[1] Distribution modulo one and sets of uniqueness.— Bull. Amer. Math. Soc.,
1964, 70, p. 259—261.
Кац И. (Кае I. S.)
[1] Uniform distribution on a sphere.—Bull. Acad. Polon. Sci., CI. III.
1957, 5, p. 485-486.
К а ц . M. (Kac M.)
[1] Sur les fonctions independantes (V).—Studia Math., 1938,7, p. 96—
100.
[2] On the distribution of values of sums of the type У\ f(2kt).— Ann. Math.,
1946, (2) 47, № 1, p. 33-49.
[3] Probability methods in some problems of analysis and number theory.—
Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, p. 641—665.
[4] Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории
чисел.—М.: ИЛ, 1963.
Кац, ванКампен, Винтнер (Kac M., van Kampen E. R., Wintner A.)
[1] Ramanujan sums and almost periodic functions.—Amer. J. Math., 1940,
62, p. 107—114.
Кац, Салем, Зигмунд (Kac M., Salem R., Zygmund A.)
[1] A gap theorem.—Trans. Amer. Math. Soc, 1948, 63, p. 235—243.
Кейпер (Kuiper N. M.)
[1] Distribution mod 1 of some continuous functions.— Indag. Math., 1950,
12, p. 460 — 466.
К е й п е р с (Kuipers L.)
[I] De asymptotische verdeling modulo 1 van de waarden van meetbare func-
ties: Thesis—Vrije Univ. Amsterdam, 1947.
[2] On real periodic functions and functions with periodic derivatives.—
Indag. Math., 1950, 12, p. 34—40.
[3] Continuous and discrete distribution modulo 1.—Indag. Math., 1953, 15,
p. 340-348.
[4] Distribution modulo 1 (functions f (t) with bounded tf (t)).— Indag. Math.,
1953, 15, p. 478—483.
[5] Some remarks on asymptotic distribution functions.— Arch, der Math.,
1957, 8, p. 104—108.
[6] Continuous distribution modulo 1.—Nieuw. Arch, voor Wisk. (3), 1962,
10, p. 78-82.
[7] Continuous distribution mod 1 and independence of functions.— Nieuw
Arch, voor Wisk. (3), 1963, 11, p. 1—3.
[8] Uniform distribution modulo m.— Nieuw Arch, voor Wisk. (3), 1966, 14,
p. 119—123.
[9] Simple proof of a theorem of J. F. Koksma.— Nieuw Tijdschr. voor Wisk,
1967, 55, p. 108—111.
[10] Remark on the Weyl-Schoenberg criterion in the theory of asymptotic
distribution of real numbers.— Nieuw Arch, voor Wisk. (3), 1968, 16,
p. 197 — 202.
[II] Remark on a paper by R. L. Duncan concerning the uniform
distribution mod 1 of the sequence of logarithms of the Fibonacci numbrs.—
Fibonacci Quart., 1969, 7, № 5, p. 465—466.
. [12] A remark on a theorem of L. Carlitz.—Mat. Vesnik (24), 1972, 2, p. 113—
116.

БИБЛИОГРАФИЯ
377
Кейперс, ван дер Стин (Kuipers L., van der Steen P.)
[1] Metric theorems in the theory of asymptotic distribution modulo 1.— Indag.
Math., 1966, 28, p. 300—310.
Кейперс, Мёленбелд (Kuipers L., Meulenbeld B.)
[1] Asymptotic C-distribution, I, II.— Indag. Math., 1949, 11, 425—431,
p. 432—437.
[2] Some theorems in the theory of uniform distribution.— Indag. Math., 1950,
12, p. 53—56.
[31 New results in the theory of C-uniform distributions.— Indag. Math., 1950,
12, > 266-271.
[4] Uniform distribution (mod 1) in sequence of intervals.— Indag. Math.,
1950, 12, p. 382—392.
[5] On real functions of n variables.—Indag. Math., 1952, 14, p. 490—497.
Кейперс, Стам (Kuipers L., Stam A„ J.)
[1] On a general form of the Weyl criterion on the theory of asymptotic
distribution, I, II.—Proc. Japan Acad., 1969, 45, p. 530—535, 536—540.
Кейперс, Учияма (Kuipers L., Uchijama S.)
[1] Notes on the uniform distribution of sequences of integers.— Proc. Japan
Acad., 1968, 44, p. 608—613.
Кейперс, Шилбек (Kuipers L., Scheelbeek P. A. J.)
[1] Gleichverteilung in kompakten, topologischen Gruppen.— Indag. Math.,
1964, 26, 261—265.
[2] Uniform distribution of sequences from direct products of groups.— Ann.
Sc. Norm. Sup. Pisa, 1968, 22, p. 599—606.
Кейперс, Шью (Kuipers L., Shiue J.—S.)
[1] On the distribution modulo m of sequences of generalized Fibonacci
numbers.—Tamkang J. Math., 1971, 2, p. 181—186.
[2] A distribution property of the sequence of Lucas numbers.— Elemente
der Math., 1972, 27, p. 10—11.
[3] A distribution property of a linear recurrence of the second order.— Rend.
Accad. Naz. Lincei, 1972, 52, p. 6—10.
[4] A distribution property of the sequence of Fibonacci numbers.—
Fibonacci Quart., 1972, 10, № 4, p. 375—376, 392.
[5] Asymptotic distribution modulo m of sequences of integers and the
notion of independence.--Atti Accad. Naz. Lincei Mem., 1972 (8), 11,
p. 63—90.
Келли Б. (Kelly В. G. A.)
[1] Densities and measures of linear sets.— Canad. Math. Bull., 1973, 16,
p. 61-66.
Келли Дж. (Kelly J. L.)
[1] Общая топология.— M.: Наука, 1981.
К е м п е р м а н (Kemperman J. H. В.)
[1] On the asymptotic distribution of a sequence in a compact group.—
Notices Amer. Math. Soc, 1958, 5, № 2, abstr. 542—10.
[2] Probability methods in the theory of distributions modulo one.—
Composite Math., 1964, 16, p. 106—137.
[3] On the distribution of a sequence in a compact group.— Compositio Math.,
1964, 16, p. 138—157.
[4] Distributions modulo 1 of slowly changing sequences.— Nieuw. Arch, voor
Wisk. (3), 1973, 21, p. 138—163.
Кениг, Сюч (Konig D., Szucs A.)
[1] Mouvement d'un point abandonne a l'interieur d'un cube.—Rend. Circ.
Math. Palermo, 1913, 36, p. 79—90.
Кеннеди (Kennedy P.B.)
[1] A note on uniformly distributed sequences.—Quart. J. Math. (2), 1956,
7, p. 125—127.
Кесте н (Kesten H.)
[1] Uniform distribution mod 1.—Ann. Math. (2), 1960, 71, p. 445—471.
13 Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер

378
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Uniform distribution mod 1, II.—Acta Arith., 1961/62, 7, p. 355—380.
[3] The discrepancy of random sequences {kx\.— Acta Arith., 1964/65, 10,
p. 183-213.
[4] On a conjecture of Erdos and Szusz related to uniform distribution mod
1.—Acta Arith., 1966/67, 12, p. 193—212.
К ифер (Kiefer J.)
[1] On large distributions of the empiric d. f. of vector chance variables and
a law of the iterated logarithm.—Pacific. J. Math.,. 1961, 11, p. 649—
660.
Кифер, Вольфовиц (Kiefer J., Wolfowitz" J.)
[1] On the distribution of the empiric distribution function of vector chance
variabies. —Trans. Amer. Math. Soc., 1958, 87, p. 173—186.
Кнаповский (Knapowski S.)
[1] Uber ein Problem der Gleichverteilungstheorie.—Colloq. Math., 1957, 5,
S. 8-10.
К н и x а л (Knichal V.)
[1] Dyadishe Entwicklungen und Hausdorffsches Mass.— Mem. Soc. Roy. Sci.
Boheme, CI. des Sciences, 1933, № 14, S. 1—18.
[2] Dyadische Entwicklungen und Hausdorffsches Mass.— tas. Mat. Fys., 1936,
65, S. 195—209.
К н о п п (Knopp K.)
[1] Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Aufl. 5. Grundlehren d.
mat. Wiss., Bd. 2.—Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1964.
Кнут (Knuth D. E.)
[1] Construction of a random sequence.— Nordisk Tidskr. Informations—Be-
handling, 1965, 5, p. 246—250.
[2] Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2: Получисленные
алгоритмы.—М.: Мир, 1977.
Ковалевская Э. И.
[1] О совместном распределении дробных частей многочленов.— Изв. АН
БССР, сер. физ.-матем. наук, 1971, № 5, с. 13—23.
К о к с м a (Koksma J. F.)
[I] Over stelsels Diophantische ongelijkheden: Thesis.— Groningen, 1930.
[2] Asymptotische verdeling van reele getallen modulo 1, I, II, III.— Mat-
hematica (Leiden), 1933, 1, 245—248, 2, S. 1—6, 107—114.
[3] Ein mengentheoretischer Satz uber die Gleichverteilung modulo Eins.—
Compositio Math., 1935, 2, S. 250—258.
[4J Diophantische Approximationen. Erg. Math. Grenzgeb., Bd. 4, H. 4.—
Berlin: Springer, 1936.
[5] Uber die Diskrepanz (mod 1) und die ganzzahligen Losungen gewisser
Ungleichungen.—Indag. Math., 1941, 3, S. 36—41.
[6] Een algemeene stelling uit de theorie der gelijkmatige verdeeling modulo 1.—
Mathematica В (Zutphen), 1942/43, 11, p. 7—11.
[7] Eenige integralen in de theorie der gelijkmatige verdeeling modulo 1.—
Mathematica В (Zutphen), 1942/43, 11, S. 49—52.
[8] On decimals.—Nieuw Arch, voor Wisk. (2), 1943, 21, p. 242—267.
[9] On a definite integral in the theory of uniform distribution.— Nieuw
Arch, voor Wisk. (2), 1949, 23, p. 40—45.
[10] An arithmetical property of some summable functions. — Indag. Math.,
1950, 12, p. 354—367.
[II] Some theorems on diophantine inequalities.—Math. Centrum Amsterdam,
Scriptum no. 5, 1950.
[12] A diophantine property of some summable functions.—J. Indian Math.
Soc, 1951, 15, p. 87—96.
[13] On a certain integral in the theory of uniform distribution.—Indag. Math.,
1951, 13, p. 285—287.
[14] Estimations de fonctions a l'aide d'integrales de Lebesgue. —Bull. Soc.
Math. Belg., 1953/54, 6, p. 4—13.

БИБЛИОГРАФИЯ
379
[15] Sur les suites (knx) et les fonctions g(t)£Li2K— J. de Math. Pure Appl.
1956, 35, p.- 289—296.
[16] The theory of asymptotic distribution modulo one.—*Compositio Math.,
1964, 16, p. 1—22.
Коксма, Салем (Koksma J. F., Salem R.)
[1] Uniform distribution and Lebesque integration. —Acta Sci. Math. (Szeged),
1950, 12B, p. 87—96.
Колбрук (Colebrook С. М.)
[1] The Hausdorff dimension of certain sets of non normal
numbers.—Michigan Math. J., 1970, 17, p. 103—116.
Колбрук, Кемперман (Colebrook С. M., Kemperman J. H. B.)
[1] On non-normal numbers.—Indag. Math., 1968, 30, p. 1—11.
Колмогоров А. Н.
[1] Основные понятия теории вероятностей.— 2^е изд.— М.: Наука, 1974.
[2] Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione.— Giorn. 1st.
Ital. Attuari, 1933, 4, p. 83—91.
Коломбо (Colombeau J.-F.)
[1] Ensembles normaux et ensembles normaux en sens large.—С R. Acad.
Sci. Paris, ser. A, 1969, 269, p. 270—272.
К о н р о й (Сопгоу Н.)
[1] Molecular Schrodinger equation, VIII: A new method for the evaluation
of multidimensional integrals.—J. Chemical Phys., 1967, 47, p. 5307—
5318.
Коробов Н. M.
[I] О функциях с равномерным распределением дробных долей.— ДАН
СССР, 1948, 62, с. 21—22.
[2] Некоторые проблемы распределения дробных долей.— УМН, 1949, 4,
№ 1, с. 189-190.
[3] О суммах дробных долей.—ДАН СССР, 1949, 67, № 5, с. 781—782.
[4] Нормальные периодические системы и вопрос о суммах дробных долей.—
УМН, 1950, 5, № 3, с. 135-136.
[5] О некоторых вопросах равномерного распределения.— Изв. АН СССР,
сер. матем., 1950, 14, с. 215—238.
[6] Нормальные периодические системы и их приложения к оценке сумм
дробных долей.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, 15, № 1, с. 17—46.
[7] Дробные доли показательных функций.— Тр. матем. ин-та им. Стек-
лова, 1951, 38, с. 87—96.
[8] Некоторые многомерные задачи теории диофантовых приближений.—
ДАН СССР, 1952, 84, с. 13-16.
[9] О нормальных периодических системах.— Изв. АН СССР, сер. матем.,
1952, 16, с. 211—216.
[10] On a question of diophantine inequalities.— Сотр. Rend. Premier Con-
gres Hongrois, Budapest, 1952, p. 259—262.
[II] He улучшаемые оценки тригонометрических сумм с показательными
функциями.—ДАН СССР, 1953, 89, с. 597—600.
[12] Многомерные задачи распределения дробных долей.— Изв. АН СССР,
сер. матем., 1953, 17, с. 389—400.
[13] Числа с ограниченным отношением и их приложения к вопросам
диофантовых приближений.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, 19, № 4,
с. 361—380.
[14] О вполне равномерном распределении и совместно нормальных числах,—
Изв. АН СССР, сер. матем., 1956, 20, № 5, с. 649—660.
[15] Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов
теории чисел.-ДАН СССР, 1957, 115, с. 1062—1065.
[16] О приближенном вычислении кратных интегралов.— ДАН СССР, 1959,
124, с. 1207—1210.
[17] Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов.— ДАН СССР, 1960,
132, с. 1009—1012.
13*

380
БИБЛИОГРАФИЯ
[18] Оценки тригонометрических сумм с вполне равномерно
распределенными функциями.—ДАН СССР, 1960, 133, с. 1011—1014.
[19] Применение теоретикочисловых сеток в интегральных уравнениях и
интерполяционных формулах.— Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1964,
60, с. 195—210.
[20] Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.— М.: Физматгиз,
1963.
[21] О распределении дробных долей показательных функций.—Вестник
Моск. унив., сер. матем., мех., 1966, 21, № 4, с. 42—46.
[22] О некоторых вопросах теории диофантовых приближений.— УМН, 1967,
22, № 3, с. 83—118.
[23] Тригонометрические суммы с показательными функциями и
распределение знаков периодических дробей.— Матем. заметки, 1970, 8, № 5,
с. 641—652.
[24] О распределении знаков в периодических дробях.— Матем. сб., 1972,
89 (131), № 4 (12), с. 654—670.
Коробов Н. М., Постников А. Г.
[1] Некоторые общие теоремы о равномерном распределении дробных
долей.—ДАН СССР, 1952, 84, с. 217—220.
Корради, Катай (Corradi К. A., Katai I.)
[1] On the theory of multiplicative functions.— Ann. Univ. Sci. Budapest.
Eotvos. Sect. Math., 1966, 9, p. 147—155.
Коулз (Coles W. J.)
[1] On a theorem of van der Corput on uniform distribution.— Proc. Cam-
• bridge Phil. Soc, 1957, 53, p. 781—789.
Коупленд (Copeland A. H.)
[1] Admissible numbers in the theory of probability.— Amer. J. Math., 1928,
50, p. 535—552.
Коупленд, Эрдёш (Copeland A. H., Erdos P.)
[1] Note on normal numbers. —Bull. Amer. Math. Soc., 1946, 52, p. 857—860.
Коэн П. (Cohen P. J.)
[1] On a conjecture of Littlewood and idempotent measures.— Amer. J. Math.,
1960, 82, p. 191—212.
Краузе (Krause J. M.)
[1] Fouriersche Reihen mit zwei veranderlichen Grossen. — Ber. Verh. Sachs.
Akad. Wiss. Leipzig, Math.-naturw. KL, 1903, 55, S. 164—197.
Кристол (Christol G.)
[1] Equirepartition dans les series formelles.— Seminare Delange-Pisot-Poitou,
1969/70, lie annee, exp. 4.
К р у з (Kruse A. M.)
[1] Estimates of 2^=i k~s <^>~f-— Acta Arith., 1967, 12, p. 229-261.
Кубилюс Й. П.
[1] Вероятностные методы в теории чисел.— Вильнюс: Гос. изд-во полит,
и научн. литер. Лит ССР, 1959.
Куджиани (Cugiani M.)
[1] Successioni uniformemente distribuite nei domini p-adici. — 1st. Lombardo
Accad. Sci. Lett. Rend., 1962, A96, p. 351—372.
Кук (Cooke R. G.)
[1] Бесконечные матрицы и пространства последовательностей.— М.:
Физматгиз, i960.
Куликова М. Ф.
[1] Задача на построение, связанная с распределением дробных долей
показательной функции.—ДАН СССР, 1962, 143, № 5, с. 522—524.
[2] Построение числа а, для которого дробные доли {agx} быстро
равномерно распределяются.—ДАН СССР, 1962, 143, № 4, с. 782—784.
Kyo (Couot J.)
[1] Applications des suites m8 a Pintegration numeripue.— С R. Acad. Sci.
Paris, ser. A, 1967, 264, p. 183—186.

БИБЛИОГРАФИЯ
381
I [2] Applications des suites m0 a integration multiple sur le tore.— С R.
; Acad. Sci. Paris, ser. A, 1968, 266, p. 131 — 134. '
[3] Convergence sure de methodes aritmetiques de Monte-Carlo pour Pinver-
sion d'un groupe.—С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1968, 267, p. 799—802.
[4] Ergodicite et criteres topologiques d'equirepartition d'une famille d'ele-
! ments d'un groupe.—С R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1971, 272, p. 1045—
1048.
Кьоу, Лотон, Петерсен Г. (Keogh F. R., Lawton В., Petersen G. M.)
; [1] Well distributed sequences.—Canad. J. Math., 1958, 10, p. 572—576.
Кьоу, Петерсен Г. (Keogh F. R., Petersen G. M.)
: {1] A strengthened form of a theorem of Wiener.— Math. Z., 1959, 71, p. 31—35.
■Кэрролл (Carroll F. W.)
| [1] On some classes of noncontinuable analytic functions.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1960, 94, p. 74—85.
[2] Some properties of sequences with an application to noncontinuable power
series.—Pacific J. Math., 1968, 24, p. 45—50.
Кэрролл, Кемперман (Carroll F. W., Kemperman J. H. B.)
: [1] Noncontinuable analytic functions.—Duke Math. J., 1965, 32, p. 65—84.
Л а к а з (Lacaze B.)
[1] Reunions finies de suites et generation de nombres dont la fonction de
repartition est une interpolee lineaire. — С R. Acad. Sci. Paris, ser. A,
1969, 269, p. 1000—1002.
[2] Estimation de moyennes et fonctions de repartition de suites d'echantillon-
nage. — Ann. Inst. Henri Poincare, sect. B, 1973, 9, p. 145—165.
Ландау (Landau E.)
[1] Diophantische Gleichungen mit endlich vielen Losungen, ed. A. Walfisz.—
Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1959.
Лебег (Lebesgue H.)
j [1] Sur certaines demonstrations d'existence.— Bull. Soc. Math. France, 1917,
45, p. 132—144.
Леве к (LeVeque W. J.)
[1] Note on a theorem of Koksma. —Proc. Amer. Math. Soc., 1950, 1,
p. 380—383.
[2] On /г-dimensional uniform distribution mod 1.—Michigan Math. J.,
1953,. 1, p. 139—162.
i [3] The distribution modulo 1 of trigonometric sequences.—Duke Math. J.,
1953, 20, p. 367—374.
[4] On uniform distribution modulo a subdivision. — Pacific J. Math., 1953,
3, p. 757-771.
[5] Topics in Number Theory, vv. 1,2. —Reading: Addison-Wesley, 1956.
[6] On the frequency of small fractional parts in certain real sequences. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1958, 87, p. 237—260.
[7] On the frequency of small fractional parts in certain real sequences,
III. —J. reine angew. Math., 1959, 202, p. 215—220.
[8] On the frequency of small fractional parts in certain real sequences,
II. —Trans. Amer. Math. Soc., 1960, 94, p. 130—149.
[9] An inequality connected with Weyl's criterion for uniform distribution.—
Proc. Symp. Pure Math., v. VIII. —Providence: American Math. Society,
1965, p. 20—30.
1Певин Б. В., Файнлейб А. С.
[1] Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории
чисел. —УМН, 1967, 22, № 3, с. 119—197.
[2] Интегральные предельные теоремы для некоторых классов аддитивных
арифметических функций. — Тр. Моск. матем. о-ва, 1968, 18, с. 19—54.
; [3] Мультипликативные функции и вероятностная теория чисел.^-Изв.
АН СССР, сер. матем., 1970, 34, № 5, с. 1064—1109.
JQ е н г (Lang S.)
! [1] Введение в теорию диофантовых приближений. —М.: Мир, 1970.

382
БИБЛИОГРАФИЯ
Леонов В. П.
[1] О центральной предельной теореме для эргодических эндоморфизмов
компактных коммутативных групп.—ДАН СССР, 1960, 135, № 2,
с. 258—261.
[2] Некоторые приложения старших семиинвариантов к теории
стационарных случайных процессов. — М.: Наука, 1964.
Л е р х (Lerch M.)
[1] Question 1547. —L'lntermediaire Math., 1904, 11, p. 144—145.
Леска (Lesca J.)
[1] Equirepartition dans un anneau d'adeles.—Seminaire Delange-Pisot-
Poitou, 1966/67, 8e annee, exp. 15.
[2] Sur les approximations diophantiennes a une dimension: These Sc. Math.—
Grenoble, 1968.
[3] Demonstration d'une conjecture de P. Erdos.—Acta Arith., 1968, 14,
p. 425—427.
[4] Suites equireparties dans un espace localement compact. — L'Enseignement
Math. (2), 1971, 17, p, 311-328.
[5] Sur la repartition modulo 1 de la suite na.—Acta Arith., 1972, 20,
p. 345—352.
Леска, Мендес-Франс (Lesca J., Mendes France M.)
[1] Ensembles normaux.—Acta Arith., 1970, 17, p. 273—282.
Лойнес (Loynes R. M.)
[1] Some results in the probabilistic theory of asymptotic uniform
distribution modulo 1.—Z. Wahrscheinlichkeitsth., 1973, 26, p. 33—41.
Лонг (Long С. Т.)
[1] Note on normal numbers. —Pacific J. Math., 1957, 7, p. 1163—1165.
[2] On real numbers having normality of order k. — Pacific J. Math., 1966,
18, p. 155—160.
Лоренц (Lorentz G. G.)
[1] A contribution to the theory of divergent sequences.—Acta Math., 1948,
80, p. 167—190.
[2] Borel and Banach properties of methods of summation.—Duke Math. J.,
1955, 22, p. 129-141.
Л о т о н (Lawton В.)
[1] A note on well distributed sequences. — Proc. Amer. Math. Soc., 1959,
10, p. 891—893.
Лоэв (Loeve M.)
[1] Теория вероятностей. — M.: ИЛ, 1962.
Л ю м и с (Loomis L. Н.)
[1] Введение в абстрактный гармонический анализ.—М.: ИЛ, 1956.
Л ют ар (Luthar I. S.)
[1] On an ^application of uniform distribution of sequences.—Colloq. Math.,
1961, 8, p. 89—93.
Мак (Maak W.)
[1] Fastperiodische Funktionen,—Grundlehren d. math. Wiss., Bd. 61.
Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1950.
[2] Der Kronecker— Weylsche Gleichverteilungssatzfurbeliebige Matrizengrup-
pen.—Abh. Math. Sem. Hamburg, 1951, 17, S. 91-94.
[3] Verallgemeinerung des Kroneckerschen Approximationssatzes auf Matri-
zengruppen. —Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math. —phys. KJ. II,
1965, S. 175—186.
Максфилд (Maxfield J. E.)
[1] A short proof of Pillai's theorem on normal numbers,—Pacific J. Math.,
1952 2 n 23 24.
[2]" Normal ^-tuples. —Pacific J. Math., 1953, 3, p. 189—196.
Малер (Mahler K.)
[1] On the fractional parts of the powers of a rational number, I.—Acta
Arith., 1938, 3, p. 89—93.

БИБЛИОГРАФИЯ
383
[2] On the fractional parts of the powers of a rational number, II.—
Mathematika, 1957, 4, p. 122—124.
[3] Lectures on Diophantine Approximations, part I. — Univ. of Notre Dame,
1961.
[4] An unresolved problem of the powers of 3/2. —J. Austral. Math. Soc,
1968, 8, p. 313—321.
[5] Introduction to p-adic Numbers and. their Functions.—Cambridge Tracts
in Math., № 64. London: Cambridge Univ. Press, 1973.
[6] Arithmetical properties of the digits of the multiples of an irrational
number. —Bull. Austral. Math. Soc., 1973, 8, p. 191—203.
[7] On a class of diophantine inequalities. — Bull. Austral. Math. Soc,
1973, 8, p. 247-259.
Марстрэнд (Marstrand J. M.)
[1] > On Khinchin's conjecture about strong uniform distribution. — Proc. London
Math. Soc. (3), 1970, 21, p. 540-556.
Мезоннев (Maisonneuve D.)
[1] Recherche et utilisation des «bons treillis». Programmation et resultats
numeriques.— В кн.: Applications of Number Theory to Numerical
Analysis, S. K. Zaremba (ed.), N. Y.: Academic Press, 1972, p. 121—201.
Мейе (Meyer Y.)
[1] Nombres algebriques et repartition modulo 1.—С R. Acad. Sci. Paris,
ser. A, 1969, 268, p. 25—27.
[2] Nombres algebriques, nombres transcendants et equirepartition modulo 1.—
Acta Arith., 1970, 16, p. 347—350.
[3] Nombres de Pisot, Nombres de Salem, et Analyse Harmonique. — Lecture
Notes in Math., v. 117. Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1970.
[4] Nombres transcendants et repartition modulo 1. — Bull. Soc. Math.
France, Suppl., Mem., 1971, 25, p. 143—149.
[5] Algebraic Numbers and Harmonic Analysis—Amsterdam: North-Holland,
1972.
Мейер (Meijer H. G.)
[1] Irrational power series. —Indag. Math., 1963, 25, p. 682—690.
[2] Uniform distribution of g-adic integers.—Indag. Math., 1967, 29, p.
535-546.
[3] The discrepancy of a g-adic sequence. — Indag. Math., 1968, 30,
p. 54—66.
[4] On uniform distribution of integers and uniform distribution mod 1.—
Nieuw Arch: voor Wisk. (3), 1970, 18, p. 271—278.
[5] On a distribution problem in finite sets. —Indag. Math., 1973, 35,
p. 9—17.
Мейер, Дейксма (Meiyer H. G., Dijksma A.)
[11 On uniform distribution of sequences in GF [qt x] and GF{qt x).—
Duke Math. J., 1970, 37, p. 507—514.
Мейер, Нидеррейтер (Meijer H. G., Niederreiter H.)
[1] On a distribution problem in inite sets.—Compositio Math., 1972, 25,
p. 153—160.
Мейер, Саттлер (Meijer H. G., Sattler R.)
[1] On uniform distribution of integer and uniform distribution mod 1.—
Nieuw Arch, voor Wisk. (3), 1972, 20, p. 146—151.
Мела (Mela J.—F.)
[I] Suites lacunaires de Sidon, ensembles propres et points exceptionnels.—
Ann.. Inst. Fourier, 1964, 14, fasc. 2, p. 533—538.
Мейленбелд (Meulenbeld B.)
[1] On the uniform distribution of the values of functions of л variables. —
Indag. Math., 1950, 12, p. 59—65.
Мендес-Франс (Mendes France M.)
[1] Nombres normaux et fonctions pseudo-aleatoires.—Ann. Inst. Fourier,
1963, 13, fasc. 2, p. 91—104.

384
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Dimension de Hausdorff. Application aux nombres normaux.-—Seminaire
Delange-Pisot, 1963/64, 5e annee, exp. 6.
[3] A set of nonnormal numbers. —Pacific J. Math., 1965, 15, p, 1165—1170.
[4] Nombres normaux. Applications aux fonctions pseudo-aleatoires. —
J. Analyse Math., 1967, 20, p. 1—56.
[5] Deux remarques concernant l'equirepartition des suites.—Acta Arith.,
1968, 14, p. 163—167.
[6] Nombres transcendants et encembles normaux. —Acta Arith., 1969, 15,
p. 189—192.
[7] La reunion des ensembles normaux. —J. Number Th., 1970, 2, p. 345—351.
[8] Suites et sous—suites equireparties modulo 1. — Journees arithmetiques
franchises (Univ. Provence), 1971.
[9] Les suites aspectre vide et la repartition (mod 1). —J. Number Th., 1973,
5, p. 1-15.
Мизес фон (von Mises R.)
[1] Uber Zahlenfolgen, die ein kollektiv-ahnliches Verhalten zeigen.—Math.
Ann., 1933, 108, S. 757—772.
[2] Mathematical Theory of Probability and Statistics. — N. Y.; London:
Academic Press, 1964.
Миклавц (Miklavc A.)
[1] Elementary proofs of two theorems on the distribution of numbers
/*0(mod 1). —Proc. Amer. Math. Soc, 1973, 39, p. 279—280.
M и к о л а ш (Mikolas M.)
[1] On a problem of Hardy and Littlewood in the theory of diophantine
approximations.—Publ. Math. Debrecen, 1960, 7, p. 158—180.
M и н ее в М. П.
[1] Диофантово уравнение с показательной функцией и его применение
к изучению эргодической суммы. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1958,
22, № 5, с. 585 — 598.
[2] Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими
функциями. — УМН, 1959, 14, № 3, с. 169—171.
Монна (Monna A. F.)
[1] Sur une transformation simple des nombres p-adiques en nombres reels.—
Indag. Math., 1952, 14, p. 1—9.
Mop дел л (Mordell L. J.)
[1] Irrational power series. —Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, p. 522—526.
[2] The series У, ап/(\— хе2п™<*). — J. London Math. Soc, 1963, 38,
p. 111—116.
[3] Irrational power series, II. —Acta Arith., 1.965, 11, p. 181—188.
[4] Irrational power series, III. — Proc Amer. Math. Soc, 1965, 16,
p. 819—821.
Москвин Д. А.
[1] О распределении дробных долей последовательности, более общей, чем
показательная функция. — Изв. вузов, Математика, 1970, № 12(103),
с. 72—77.
Муромский А. А.
[1] О рядах по косекансам с монотонными коэффициентами. — Вестник
Моск. унив., сер. мат., мех., 1969, 24, № 4, с. 52—60.
My хутдинов Р. X.
[1] Диофантово уравнение с матричной показательной функцией. —
ДАН СССР, 1962, 142, № 1, с. 36—37.
[2] Центральная предельная теорема для эргодических сумм.—Докл.
АН УзбССР, 1967, № 2, с. 3—7.
[3] Асимптотическое распределение сумм с пропусками. — Изв. АН
УзбССР, сер. физ.-мат. наук, 1968, 12, № 4, с. 15—21.
Мэр док (Murdoch В. Н.)
[1] A note on well-distributed sequences. — Canad. J. Math., 1965, 17,
p. 808—810.

БИБЛИОГРАФИЯ
385
Мюкк, (Muck R.)
[1] Uber ein Problem in der Theorie der G-Gleich\erteilung. —J. reirle
angew. Math., 1966, 222, S. 201—206.
Мюкк, Филипп (Muck R., Philipp W.)
[1] Distances of probability measures and uniform distribution mod 1.—
Math. Z., 1975, 142, p. 195—202.
Мюллер (Muller G.)
[1] Satze uber Folgen auf kompakten Raumen. — Monatsh. Math., 1963, 67,
S. 436—451.
Нагасака (Nagasaka K)
[1] On Hausdorff dimension of non —normal sets.—Ann. Inst. Statist. Math.,
1971, 23, p. 515—522.
Наркевич (Narkiewicz W.)
[1] On distribution of values of multiplicative functions in residue classes.—
Acta Arith., 1967, 12, p. 269—279.
He вилл (Neville E. H.)
[1] The structure of Farey series.^- Proc. London Math. Soc. (2), 1949, 51,
p. 132-144.
Нейман фон (von Neumann J.)
[1] Gleichmassig dichte Zahlenfolgen.—Mat. Fiz. Lapok, 1925, 32, S. 32—40;
См. также: Collected Works, v. I.—Oxford: Pergamon Press, 1961,
p. 58-66.
Ниве н (Niven I.)
[1] Irrational numbers. Carus Math. Monographs, № 11.— N. Y.: Wiley,
1956. (См. также Нивен А. Числа рациональные и
иррациональные.—М.: Мир, 1966.)
[2] Uniform distribution of sequences of integers.— Trans. Amer. Math. Soc,
1961, 98, p. 52—61.
[3] Diophantine Approximations.— Interscience Tracts, v. 14. New York:
Wiley, 1963.
[4] Uniform distribution of sequences of integers.— Compositio Math., 1964,
16, p. 158—160.
Нивен, Цуккерман (Niven I., Zuckerman H. S.)
[1] On the definition of normal numbers.— Pacific J. Math., 1951, 1,
p. 103—109.
Нидеррейтер (Niederreiter H.)
[I] Diskrepanz in kompakten abelschen Gruppen, II.— Manuscripta Math.,
1969, 1, S. 293—306.
[2] Almost-arithmetic progression and uniform distribution.— Trans. Amor.
Math. Soc., 1971, 161, p. 283—292.
[3] Distribution of sequences and induced orders.— Nieuw Arch, voor Wisk.
(3), 1971, 19, p. 210—219.
[4] On the distribution of' pseudo-random numbers generated by the linear
congruential method.—Math. Сотр., 1972, 26, p. 793—795.
[5] Methods for estimating discrepancy.— В кн.: Applications of Number
Theory to Numerical Analysis, S. K. Zaremba (ed.). N. Y.: Academic
Press, 1972, p. 203—236.
[6] A distribution problem in finite sets.— Ibid, p. 237—248.
[7J Distribution of Fibonacci numbers mod 5*.— Fibonacci Quart., 1972, 10,
N 4, p. 373—374.
[8] On a class of sequences of lattice points.— J. Number Th., 1972, 4,
p. 477—502.
[9] On the existence of uniform distributed sequences in compact spaces.—
Compositio Math., 1972, 25, p. 93—99.
[10] Discrepancy and convex programming.— Ann. Mat. Рига Appl. (IV),
1972, 93, p. 89—97.
[II] On a number-theoretical integration method.—Aequationes Math., 1972,
8, p. 304—311.

386
БИБЛИОГРАФИЯ
[12] Uniform distribution of lattice points.— Proc. Number Theory Conference
(Boulder, Colo., 1972), p. 162—166.
[13] Application of diophantine approximations to numerical integration.—
В кн.: Diophantine Approximation and its Applications, ed. C. F.
Osgood. N. Y.: Academic Press, 1973, p. 129—199.
[14] Metric theorems on the distribution of sequences.— Proc. Symp. Pure
Math., v. XXIV. Providence, R. I.: American Math. Society, 1973,
p. 195—212.
[15] Zur quantitativen Theorie der Gleichverteilung.— Monatsh. Math., 1973,
77, S. 55—62.
[16] The distribution of Farey points.—Math. Ann., 1973, 201, p. 341—345,
[17] Well distributed sequences with respect to systems of convex sets, to
appear.
[18] On the distribution of pseudo-random numbers generated by the linear
congruential method, II.—Math. Сотр., 1974, 28, p. 1117—1132.
[19] Quantitative versions of a result of Hecke in the theory of uniform
distribution mod 1.—Acta Arith., 1975, 28, p. 321—339.
Нидеррейтер, Филипп (Niederreiter H., Philipp W.)
[1] On a theorem of Erdos and Turan on uniform distribution.— В кн.: Ргос
Number Theory Conference (Boulder, Colo., 1972), p. 180—182.
[2] Berry-Esseen bounds and theorem of Erdos and Turan on uniform
distribution mod 1.—Duke Math. J., 1973, 40, p. 633—649.
Нинхойс (Nienhuys J. W.)
[1] Not locally compact monothetic groups, I, II.—Indag. Math., 1970, 32,
p. 259—310, 311—326; испр. там же, 1971, 33, p. 59.
Ньюмен (Newman M.)
[1] Irrational power series.— Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, p. 699—702.
Оливье (Olivier M.)
[1] Sur le developpement en base g des nombres premiers.— C. R. Acad.
Sci. Paris, ser. A, 1971, 272, p. 937—939.
О'Нил (O'Neil P. E.)
[1] A new criterion for uniform distribution.— Proc. Amer. Math. Soc, 1970,
24. p. 1—5.
Островский (Ostrowski A.)
[1] Bemerkungen zur Theorie der Diophantischen Approximationen, I, II,
III.—Abh. Math. Sem. Hamburg, 1922, 1, S. 77—98, S. 250—251.
[2] Mathematische Miszellen, IX. Notiz zur Theorie der Diophantischen
Approximationen, XVI. Zur Theorie der linearen Diophantischen
Approximationen.—Jber. Deutsch. Math.-Verein., 1927, 36, S. 178—180; 1930,
39, S. 34—46.
Паганони (Paganoni L.)
[1] Sulla equivalenza di due famiglie di insiemi di fronte alia equdistribu-
zione.—Iat. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend., 1968, A102, p. 412—
420.
Партасарати (Parthasarathy. К. R.)
[1] Probability Measures on Metric Spaces.—N. Y.: Academic Press, 1967.
Патио (Pathiaux M.)
[1] Repartition modulo 1 de la suite (kan).— Seminaire Delange-Pisot-Poitou,
1969/70, IIе annee, exp. 13.
Пейеримгоф (Peyerimhoff A.)
[1] Lectures on Summability.—Lecture Notes in Math., v. 107. Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1969.
Пек (Peck L. G.)
[1] On uniform distribution of algebraic numbers.—Proc. Amer. Math. Soc.
1953, 4, p. 440—443.
Перрон (Perron O.)
[1] Die Lehre von den Kettenbruchen.—3 Aufl.—Stuttgart: Teubner. 1954.

БИБЛИОГРАФИЯ
387
Петерсен Г. (Petersen G. М.)
[1] Almost convergence and uniformly distributed sequences.— Quart. J. Math.
(2), 1956, 7, p. 189—191.
[2] Regular Matrix Transformations.— London: McGraw-Hill, 1966.
[3] On the structure of well distributed sequences, IV.— Indag. Math., 1967,
29, p. 128—311.
[4] On the structure of well distributed sequences, V.— Indag. Math., 1967,
29, p. 229—233.
Петерсен Г., Зейм (Petersen G. M., Zame A.)
[1] Summability properties for the distribution of sequences.--Monatsh.
Math., 1969, 73, p. 147—158.
Петерсен Г., Мак-Грегор (Petersen G. M., McGregor M. T.)
[1] On the structure of well distributed sequences.— Nieuw Arsh. voor Wisk.
(3), 1963, 11, p. 64—67.
[2] On the structure of well distributed sequences, II.— Indag. Math., 1964,
26, p. 477—487.
[3] On the structure of well distributed sequences, III.— Indag. Math., 1966,
28, p. 42—48.
Петерсен К. (Petersen К.)
[1] On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory.—
Composite Math., 1973, 26, p. 313—317.
Петерсен K-, Шапиро Л. (Petersen K-, Shapiro L.)
[1] Induced Flows.—Trans. Amer. Math. Soc, 1973, 177, p. 375—390.
П и з о (Pisot С.)
[1] Eine merkwurdige Klasse ganzer algebraischer Zahlen.— J. reine angew.
Math., 1962, 209, S. 82—83.
Пизо, Салем (Pisot С, Salem R.)
[1] Distribution modulo 1 of the powers of real numbers larger than 1.—
Compositio Math., 1964, 16, p. 164—168.
Пи л лай (Pillai S. S.)
[1] On normal numbers.— Proc. Indian Acad. Sci., sect. A, 1939, 10,
p. 13—15.
[2] On normal numbers.— Proc. Indian Acad. Sci., sect. A, 1940, 12,
p. 179—184.
Пой a, Cere (Polya G., Szego G.)
[1] Теоремы и задачи из анализа.— М.: Наука, 1978.
Полос уев A.M.
[1] Многомерный случай неулучшаемых оценок тригонометрических сумм
с показательными функциями.—ДАН СССР, 1955, 104, № 2, с. 186—189.
[2] Об одной задаче равномерного распределения системы функций.—
ДАН СССР, 1958, 122, с. 346—348.
[3] О равномерности распределения системы функций, являющейся
решением системы линейных конечноразностных уравнений первого
порядка.—ДАН СССР, 1958, 123, с. 405—406.
[4] Об одной задаче равномерного распределения системы функций.— Вестн.
Моск. унив., сер. мат., мех., 1960, № 2, с. 21—32.
[5] О равномерности распределения системы функций, являющейся
решением системы линейных конечноразностных уравнений первого порядка, I.
Критерий равномерности распределения; II. Построение равномерно
распределенной системы функций.— Вестн. Моск. унив., сер. мат., мех.,
1960, № 5, 29—39; № 6, с. 20—25.
[6] Неулучшаемая оценка многомерной тригонометрической суммы с
показательными функциями.— Вестн. Моск. унив., сер. мат., мех., 1970, № 1,
с. 9—16.
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы.— М.: Наука, 1984.
Попке н (Popken J.)
[1] Irrational power series.—Indag. Math., 1963, 25, p. 691—694.

388
БИБЛИОГРАФИЯ
Пост (Post К. А.)
[1] Integration on locally compact spaces by means of uniformly distributed
sequences: Thesis.^ Technische Hogeschool Eindhoven, 1967.
[2] A note on disjoint unions of basis in a topological measure space.—
Nieuw Arch, voor Wisk. (3), 1970, 18, p. 151—153.
Постникова. Г.
[1] К вопросу о распределении дробных долей показательной функции.—
ДАН СССР, 1952, 86, № 3, с. 473—476.
[2] Оценка показательной тригонометрической суммы.— Изв. АН СССР,
сер. матем., 1956, 20, № 5, с. 661—666.
[3] Критерий равномерного распределения показательной функции в ко*мп-
лексной области.—Вестн. Ленингр. унив., 1957, 3, № 13, с. 81—88.
[4] Критерий для вполне равномерно распределенной последовательности.—
ДАН СССР, 1958, 120, с. 973—975.
[5] Арифметическое моделирование случайных процессов.— Тр. матем. ин-та
им. Стеклова, 1960, 57.
[6] О количестве попаданий дробных долей показательной функции в
данный интервал.—УМН, 1961, 16, № 3, с. 201—205.
[7] Динамические системы в теории чисел.— Труды 4-го Всесоюзн. матем.
съезда, т. 2. Л.: Наука, 1964, с. 124—131.
[8] Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых
приближений.— Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1966, 82.
Постников А. Г., П яте ц к и й - Ш а п и р о И. И.
[1] Нормальные по Бернулли последовательности знаков.—Изв. АН СССР,
сер. матем., 1957, 21, с. 501—514.
[2] Нормальная по Маркову последовательность знаков и нормальная
цепная дробь.—Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, 21, с. 729—746.
Постникова Л. П.
[1] Об одной теореме Н. М. Коробова.—ДАН СССР, 1960, 134, № 1,
с. 42—43.
[2] О понятии коллектива Мизеса.— Тр. 6-го Всесоюзн. Совещ. по теории
вероятн. и матем. статистике. Вильнюс: Гос. изд. полит, и научн. лит.
ЛитССР, 1962, с. 75—76.
[3] Последовательности ведущие себя как случайные.— Тр. 4-го Всесоюзн.
матем. съезда, т. 2. Л.: Наука, 1964, с. 131—134.
f4] Флуктуации в распределении дробных долей.— ДАН СССР, 1965, 161,
№ 6, с. 1282—1284.
[5] Количественная форма задачи Бореля.—Acta Arith., 1972, 21, 235—250.
Пэрри (Parry W.)
[1] On the p-expansion of real numbers.—Acta Math. Acad. Sci. Hungar,
1960, 11, p. 401—416.
П я т е ц к и й-III а п и р о И. И.
[1] О законах распределения дробных долей показательной функции,—
Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, 15, № 1, с. 47—52.
[2] Об одном обобщении понятия равномерного распределения дробных
долей.—Матем. сб., 1952, 30 (72), с. 669—676.
[3] Дробные доли и некоторые вопросы теории тригонометрических рядов.—
УМН, 1953, 8, № 3 (55), с. 167—170.
[4] О распределении дробных долей показательной функции.— Уч. зап.
моек. гос. пед. ин-та, 1957, 108, вып. 2, с. 317—322.
Радемахер (Rademacher H.)
[1] Lectures on Elementary Number Theory.—N. Y.; Toronto; London:
Blaisdell, 1964.
Раджа г-опалан (Rajagopalan M.)
[1] Structure of monogenic groups,—111. J. Math., 1968, 12, p. 205—214.
Раджагопалан, Ротман (Rajagopalan M., Rotman J. J.)
[1] Monogenic groups.—Compositio Math., 1967, 18, p. 155—161.

БИБЛИОГРАФИЯ 389
Р ай ков Д. А.
[1] О некоторых арифметических свойствах суммируемых функций.—Матем.
сб., 1936, 1 (43), № 3, с. 377—384.
Ранга Pao (Ranga Rao R.)
[1] Relations between weak and uniform convergence of measures.— Ann.
Math. Statist., 1962, 33, p. 659—680.
Реве с (Revesz P.)
[1] The Laws of Large Numbers.— N. Y.; London: Academic Press, 1968.
Реньи (Renyi A.)
[1] Representation for real numbers and their ergodic properties.— Acta
Math. Acad. Sci. Hungar., 1957, 8, p. 477—493.
[2] Wahrscheinlichkeitsrechnung.— Hochschulbucher f. Math., Bd. 54. Berlin:
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1962.
P имк яви чюте Л.
[1] К вопросу о равномерном распределении точек на отрезке.— Уч. зап.
Вильнюс, гос. унив., 1958, 8, с. 49—56.
Рис (Rees D.)
[1] Note on a paper by I. J. Good.—J. London Math. Soc, 1946, 21,
p. 169—172.
Рисе (Riesz F.)
[1] Sur la theorieergodique.—Comment. Math. Helv., 1944/45, 17, p. 221—239.
Рихтмайер (Richtmyer R. D.)
[1] On the evaluation of definite integrals and a quasi-Monte Carlo method
based on properties of algebraic numbers.— Report LA-1342, Los Alamos
Sci. Lab., Los Alamos, N. M., 1951.
[2] A non-random sampling method based on congruences for Monte Carlo
problems.—AEC Research ane Development Rep. NYO-8674, AEC
Computing and Applied Mathematics Center. New York: New York Univ.,
1958.
Рихтмайер, Девени, Метрополис (Richtmyer R. D., Devaney M.,
Metropolis N.)
[1] Continued fraction expansions of algebraic numbers.— Numer. Math.,
1962, 4, p. 68—84.
P ицц и (Rizzi B.)
[1] Sulle successioni uniformemente dense.— Giorn. 1st. Hal. Attuari, 1970,
31, p. 57—62.
Роббинс (Robbins H.)
[1] Equidistribution of sums of random variables.— Proc. Amer. Math. Soc.,
1953, 4, p. 786—799.
Родосский К. А.
[1] О некоторых тригонометрических суммах.— Матем. сб., 1963, 60 (102),
№ 2, р. 219—234.
Роз и (Rauzy G.)
[1] Caracterisation des ensembles normaux.— Bull. Soc. Math. France, 1970,
98, p. 401—414.
[2] Normalite de Q*.—Acta Arith., 1971, 19, p. 43—47.
[3] Fonctions entieres et repartition modulo 1.— Bull. Soc. . Math. France,
1972, 100, p. 409—415.
P о л е в и ч (Rolewicz S.)
[1] Some remarks on monothetic groups.—Colloq. Math., 1964, 13, p. 27—28.
P оoc (Roos P.)
[1] Herierte Resttransformationen von Zahldarstellungen.— Z. Wahrscheinlich-
keitsth, 1965, 4, p. 45-63.
Роос, Арнольд (Roos P., Arnold L.)
[1] Numerische Experimente zur mehrdimensionalen Quadratur.— Sitzgsber
Osterr. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl., Abt. II, 1963, 172, S. 271—286.
Рот (Roth K. F.)
[1] On irregularities of distribution.— Mathematika, 1954, 1., p. 73—79.

390
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Рациональные приближения алгебраических чисел.— Математика, 1957,
1, № 1, с. 3—18.
Р о х л и н В. А.
[1] Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп.— Изв. АН СССР,
сер. матем., 1949, 13, с. 329—340.
Рубел (Rubel L. А.)
[1] Uniform distribution in locally compact groups.—Comment. Math. Helv.,
1965, 39, p. 253—258.
[2] Uniform distribution and densities on locally compact abelian groups.—
Symposia on Theoretical Physics and Mathematics, v. 9 (Madras, 1968).
N. Y.: Plenum Press, 1969, p. 183—189.
Рудин (Rudin W.)
[1] Fourier Analysis on Groups.— N. Y.; London: Interscience, 1962.
Рыл ь-Н ардзевский (Ryll-Nardzewski С.)
[1] Sur les suites et les fonctions egalement reparties.—Studia Math., 1951,
12, p. 143—144.
Рэн (Rhin G.)
[1] Quelques resultats metriques dans un corps de series formelles sur un
corps fini.— Seminaire Delange-Pisot-Poitou, 1967/68, 9e annee, exp. 21.
[2] Generalisation d'un theoreme de I. M. Vinogradov a un corps de serves
formelles sur un corps fini.— C. R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1971, 272,
p. 567—569.
' [3] Repartition modulo 1 dans un corps de series formelles sur un corps
fini.—Dissertationes Math., 1972, 95.
[4] Sur la repartition modulo 1 des suites f (p).— Acta Arith., 1973, 23,
p. 217—248.
Рябенький В. С.
[1] О таблицах и интерполяции функций из некоторого класса.— ДАН СССР,
1960, 131, с. 1025—1027.
[2] Об одном способе получения разностных схем и об использовании тео-
ретикочисловых сеток для решения задачи Коши методом конечных
разностей.— Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1961, 60, с. 232—237.
Салем (Salem R.)
[1} Power series with integral coefficients.— Duke Math. J., 1945, 12,
p. 153—172.
[2] Uniform distribution and capacity of sets.— Medd. Lunds Univ. Mat.
Sem. Suppl., 1952, p. 193—195.
[3] Algebraic Numbers and Fourier Analysis.— Heath Math. Monographs,
Boston, Mass., 1963.
Салтыков А. И.
[1] Таблицы для вычисления кратных интегралов методом оптимальных
коэффициентов.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, 3, с. 181—
186.
Сандерс (Sanders J. M.)
[1] Verdelingsproblemen bij gegeneraliseerde duale breuken: Thesis.— Vrije
Univ. Amsterdam, 1950.
Сверчковский (Swierczkowski S.)
[11 On successive settings of an arc on the circumference of a circle.—
Fundam. Math., 1958, 46, p. 187—189.
Серпинский (Sierpinski W.)
[1] Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme.— Bull. Int. Acad. Po-
lon. Sci. (Cracovie) A, 1910, p. 9—11.
[2] On the asymptotic value of a certain sum (Polish).— Rozprawy Wydz;
Mat. Przyr. Akad. Ura., 1910, 50, p. 1—10.
[3] Demonstration elementaire du theoreme de M. Borel sur les nombres abso-
lunfent normaux et determination effective d'un tel nombre.— Bull. Soc.
Math. France, 1917, 45, p. 125—132,

БИБЛИОГРАФИЯ
391
Серр (Serre J.-P.)
[1] Абелевы /-адические представления и эллиптические кривые.—М.:
Мир, 1973.
Сковилл (Scoville R.)
[1] Some measure algebras on the integers.—Pacific J. Math., 1970, 34,
p. 769—779.
Слива (Sliwa J.)
[1] On distribution of values of a(n) in residue classes.— Colloq. Math.,
1973, 27, p. 283—291.
Слэйтер (Slater N. B.)
[1] The distribution of the integers N for which {ON} < Ф.— Ртос.
Cambridge Phil. Soc., 1950, 46, p. 525—534.
[2] Distribution problems and physical applications.— Compositio Math., 1964,
16, p. 176-183.
[3] Gaps and steps for the sequence nQ mod 1.—Proc. Cambridge Phil. Soc,
1967, 63, p. 1115—1123.
Смирнов Н. B.
[1] Об уклонениях эмпирической кривой распределения.— Матем. сб., 1939,
6 (48), с. 319—328.
Смол як С. А.
[1] Интерполяционные и квадратурные формулы на классах Wf и Ef.—
ДАН СССР, 1960, 131, с. 1028—1031.
Соболь И. М.
[1] Точная оценка погрешности многомерных квадратурных формул для
функций класса Sp.— ДАН СССР, 1960, 132, с. 1041—1044.
[2] О вычислении многомерных интегралов.— ДАН СССР, 1961, 139,
с. 821—823.
[3] Точная оценка погрешности многомерных квадратурных формул для
функций классов Wx и Нг.— Ж- вычисл. матем. и матем. физ., 1961,
1, с. 208—216.
[4] О вычислении бесконечномерных интегралов.— Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 1961, 1, с. 917—922.
[5] Об одном интеграле, встречающемся в теории квадратурных формул.—
Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, 6, с. 1084—1089.
[6] О распределении точек в кубе и приближенном вычислении
интегралов.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, 7, с. 784—802.
[7] Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.— М.: Наука,
1969.
[8] Вычисление несобственных интегралов при помощи равномерно
распределенных последовательностей.— ДАН СССР, 1973, 210, с. 278—281.
СолодовВ. М.
[1] О вычислении кратных интегралов.— ДАН СССР, 1959,-127, с. 753—
756.
[2] О погрешности численного интегрирования.— ДАН СССР, 1963, 148,
№ 2, с. 284—287.
[3] Интегрирование по некоторым областям, отличным от единичного
куба.—Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, 8, № 6, с. 1334—1341.
[4] Применение метода оптимальных коэффициентов к численному
интегрированию.— Ж- вычисл. матем. и матем. физ., 1969, 9, № 1, с. 14—29.
Спирс, Максфилд (Spears J. L., Maxfield J. E.)
[1] Further examples of normal numbers.—Publ. Math. Debrecen, 1969,16,
p. 119-127.
Стар к (Stark H. M.)
[1] An Introduction to Number Theory.—Chicago: Markham, 1970.
ларченко Л. П.
[1] О построении последовательностей, совместно нормальных с данной.—
Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, 22, с. 757—770; испр. там же 1959,
23, с. 635—636.

392
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Построение вполне равномерно распределенных последовательностей.—
ДАН СССР, 1959, 120, с. 519-521.
Стоунхем (Stoneham R. G.)
[1] The reciprocals of integral powers of primes and normal numbers.—
Proc. Amer. Math. Soc., 1964, 15, p. 200—208.
[2] A study of 60 000 digits of the transcendental le\— Amer. Math. Monthly,
1965, 72, p. 483—500.
[3] On (/, e)-normality on the rational fractions.—Acta Arith., 1969, 16,
p. 221—238.
[4] A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal
numbers from rational fractions.—Acta Arith., 1969, 16, p. 239—254.
[5] On absolute (/, e)-normality in the rational fractions with applications
to normal numbers.—Acta Arith., 1973, 22, p. 277—286.
[6] On the uniform e-distribution of residues within the.periods of rational
fractions with applications to normal numbers.— Acta Arith., 1973, 22,
p. 371—389.
Стоя н це в В. Т.
[1] Недетерминированные методы интегрирования с конечным числом
разыгрываемых способов.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, 9,
№ 6, с. 1235—1246.
Стремберг (Stromberg К.)
[1] A note on the convolution of regular measures.— Math. Scand., 1955,
7, p. 347—352.
[2] Probabilities on a compact group.— Trans. Amer. Math. Soc., 1960, 94,
p. 295—309.
Стэплтон (Stapleton J. H.)
[1] On the theory of asymptotic distributions (mod 1) and its extension to
abstract spaces: Ph. D. thesis.— Purdue Univ., 1957.
Судан (Sudan G.)
[1] Sur le probleme du rayon reflechi.— Rev. Roumaine Math. Pures Appl.,
1965, 10, p. 723—733.
Супник, Коэн, Кестен (Supnick F., Cohen H. J., Keston J. F.)
[1] On the powers of a real number reduced modulo one.—Trans. Amer.
Math. Soc., 1960, 94, p. 244—257.
Сю (Hsu L. C.)
[1] Note on the numerical integration of periodic functions and of partially
periodic functions.—Numer. Math., 1961, 3, p. 169—173.
Сюс (Szusz P.)
[1] On a problem in the theory of uniform distribution.— Compt. Rend.
Premier Congres Hongrois, Budapest, 1952, p. 461—472.
[2] Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach demModul
des Einheitsquadrats.— Acta Math. Acad.. Sci. Hungar, 1954, 5, S. 35—39.
[3] Losung eines Problems vor Herrn Hartman.— Studia Math., 1955, 15,
§.. 43-55.
[4] Uber die metrische Theorie der diophantischen Approximationen, II.—
Acta Aritbc 1962/63, 8, S. 225—241.
Тегхем (Teghem J.)
[1] Sur un type d'inegalites diophantiennes.— Indag. Math., 1939, 1, p. 31—41.
[2] Sur des applications de certaines estimations de sommes trigonometriques.—
Colloque sur la Theorie des Nombres. Brussels: Centre beige de recherches
mathematiques, 1955, p. 183—204.
Тейдеман (Tijdeman R.)
[1] Note on Mahler's 3/2-problem.—Norsk. Vid. Selsk. Skrifter, 1972, 16,
p. 1—4.
[2] On a distribution problem in finite and countable sets.— J.
Combinatorial Theory, ser. A, 1973, 15, p. 129—137.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
[1] Теория дзета-функции Римана.— M.: ИЛ, 1953.

БИБЛИОГРАФИЯ
393
Топ со (Topstfe F.)
[1] On the connection between P-continuity and P-uniformity in weak
convergence.— Теория вероятн. и ее примен., 1967, 12, р. 279—288.
[2] Топология и мера.— Математика, 1972, 16, № 4, с. 92-^-148.
Торп, Уайтли (Thorp E., Whitley R.)
[1] Poincare's conjecture and the distribution of digit in tables.—
Composite Math., 1971, 23, p. 233—250.
Тян М. M.
[1] К вопросу о распределении значений функции Эйлера ф(/г).—
Литовский матем. сб., 1966, 6, № 1, с. 105—119.
Уайт (White В. Е.)
[1] Complete minimum discrepancy distributions for one through six points
in the unit square.—Technical Report 118, Computer Science Dept., Univ.
of Wisconsin, 1971.
[2] The L2 discrepancy of the Roth sequence in [0, l]2 for on arbitrary
number of points.— Technical Report 170, Computer Sciences Dept. Univ. of
Wisconsin, 1973.
Ун rap (Ungar P.)
[1] The theorem of Coles on uniform distribution,—Comm. Pure Appl. Math.,
1967, 20, p. 609—618.
Уолл (Wall D. D.)
[1] Normal numbers: Thesis.— Univ. of California, 1949.
У о р н о к (Warnock Т. Т.)
[1] Computational investigations of low-discrepancy point sets.— В кн.:
Applications of Number Theory to Numerical Analysis, ed. S. K. Zaremba.
N. Y.: Academic Press, 1972, p. 319—343.
УсольцевЛ, П.
[1] Аддитивная задача с растущим количеством слагаемых с показательной
функцией.—Изв. вузов, Матем., 1967, № 3, р. 96—104.
[2] Предельные теоремы для равномерного распределения некоторых после
довательностей.— Изв. вузов, Матем., 1967, № 4, с. 112—121.
[3] Задача на построение, связанная с равномерным распределением дроб
ных долей показательных функций.—Изв. вузов, Матем., 1967, № 12
с. 75—83.
Учияма М., Учияма С. (Uchiyama M., Uchiyama S.)
[1] A characterization of uniformly distributed sequences of integers.—J. Fac
Sci. Hokkaido Univ., ser. I, 1962, 16, p. 238—248.
Учияма С. (Uchiyama S.)
[1] On the uniform distribution of sequences of integers.—Proc. Japan Acad
1961, 37, p. 605—609.
[2] A note on a theorem of J. N Franklin.—Math. Сотр., 1966, 20
p. 139—140.
[3] A note on the uniform distribution of sequences of integers.— J. Fac
Sci. Shinshu Univ., 1968, 3, p. 163—169.
Уэндел (Wendel J. G.)
[1] Haar measure and the semigroup of measures on a compact group.— Proc
Amer. Math. Soc, 1954, 5, p. 923—929.
Файнлейб А. С.
[1] О распределении значений функции Эйлера.— Матем. заметки, 1967, 1
с. 645—652.
[2] Обобщение неравенства Эссена и его применение в вероятностной тео
рии чисел.—Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, 32, с. 859—879.
Фам (Pham Phu Hien)
[1] Functions admettant une repartition asymptotique des valeurs.— C. R
Acad. Sci. Paris, ser. A, 1968, 267, p. 803—806.
Феллер (Feller W.)
[1] On the Kolmogoroff-Smirnoff limit theorems.—Ann. Math. Statist., 1948
19, p. 177—189.

394
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.— М.: Мир,
1967.
Филипп (Philipp W.)
[11 Ein metrischer Satz uber die Gleichverteilung mod 1.—Arch, der Math.,
1961, 12, S. 429—433.
[2] Uber einen Satz von Davenport-Erdos-LeVeque.—Monatsh. Math., 1964,
68, S. 52—58.
[3] An /i-dimensional analogue of a theorem of H. Weyl.— Compositio Math.,
1964, 16, p. 161—163.
[4] Some metrical theorems in number theory.—Pacific J. Math., 1967, 20,
p. 109—127.
[5] Ein zentraler Grenzwetsatz mit Anwendungen auf die Zahlentheorie.—
Z. Wahrscheinlichkeitsth.. 1967, 8. S. 185—203.
[6] Das Gesetz vom iterierten Logarithmus mit Anwendungen auf die
Zahlentheorie.—Math. Ann., 1969, 180, S. 75—94; испр. там же: 1971, 190,
S. 338.
[7] Some metrical theorems in number theory, II.— Duke Math. J., 1970,
37, p. 447—458; испр. там же: р. 788.
[8] Mixing Sequences of Random Variables and Probabilistic Number
Theory.— Mem. Amer. Math. Soc, № 114. Providence: American Math.
Society, 1971.
[9] Empirical distribution functions and uniform distribution mod 1.—
В кн.: Diophantine Approximation and its Applications, ed. С F.
Osgood. N.Y.: Academic Press, 1973, p. 211—234.
[10] Limit theorems for lacunary series and uniform distribution mod 1, to
appear. _
Ф л е й ш e p (Fleischer W.)
[1] Satze zur Theorie der Gleichverteilung von Folgen auf kompakten Rau-
men.—Sitzgsber. Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. Ю., Abt. II, 1967,
176, S. 521—545.
[2] Das Wienersche Mass einer gewissen Menge von Vektorfunktionen.—
Monatsh. Math., 1971, 75, S. 193—197.
[3] Eine Diskrepanzabschatzung fur stetige Funktionen.—Z.
Wahrscheinlichkeitsth., 1972, 23, S. 18—21.
Ф л о р е к (Florec K.)
[1] Une remarque sur la repartition des nombres /zg(modl).— Colloq. Math.,
1951, 2, p. 323—324.
Фолькман (Volkmann В.)
[1] Uber Klassen von Mengen naturlicher Zahlen.—J. reine angew. Math.,
1952, 190, S. 199—230.
[2] Uber Hausdorffsche Dimensionen von Mengen, die durch Zifferneigens-
chaften charakterisiert sind, I—IV.—Math. Z., 1953, 58, S. 284—287;
1953/54, 59, S. 247—254, 259—270, 425—433; 1956, 65, S. 389—413;
1958, 68, S. 439—449.
[3] On uniform distribution and the density of sum sets.—Proc. Amer.
Math. Soc, 1957, 8, p. 130—136.
[4] Gewinnmengen.—Arch, der Math., 1959, 10, S. 235—240.
[5] On uniform distribution and the density of sets of lattice
points.—Compositio Math., 1964, 16, p. 184—185.
[6] On non-normal numbers.—Compositio Math., 1964, 16, p. 186—190.
[7] Uber extreme Anormalitat bei Ziffernentwicklungen.—Math. Ann., 1970,
190, S. 149—153.
Форман, Шапиро Г. (Forman W., Shapiro H. N.)
[1] An arithmetic property of certain rational powers.—Comm. Pure Appl.
Math., 1967, 20, p. 561—573.
Форте (Fortet R.)
[1] Sur une suite egalement repartie.— Studia Math., 1940, 9, p. 54—70.

БИБЛИОГРАФИЯ
395
Ф р а н е л ь (Franel J.)
[1] Question 1260.— L'lntermediaire Math., 1898, 5, p. 77.
[2] Question 1547.— L'lntermediaire Math.. 1899, 6, p. 149.
[3] A propos des tables des logarithmes.—Vierteljschr. Naturforsch. Ges.
Zurich, 1917, p. 286—295.
[4] Les suites de rarey et les problemes des nombres premiers.— Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl., 1924, p. 198—201.
Франклин (Franklin J. N.)
[1] On the equidistribution of pseudo-random numbers.— Quart. Appl. Math.,
1958, 16, p. 183—188.
[2] Deterministic simulation of random processes.— Math. Сотр., 1963, 17,
p. 28—59.
[3] Equidistribution of matrix-power residues modulo one.— Math. Сотр.,
1964, 18, p. 560—568.
Ф р е ш е (Frechet M.)
[1] Generalites sur les probabilites. Elements aleatoires.— 2-nd ed.— Paris:
Gauthier-Vi liars, 1950.
Фюрстенберг (Furstenberg H.)
[1] Stationary Processes and Prediction Theory.— Ann. Math. Studies, №44.
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960.
[2] Strict ergodicity and transformations of the torus.— Amer. J. Math.,
1961, 83, p. 573—601.
[3] Disjointness in ergodic theory, minimal sets and a problem in Diophantine
approximation.— Math. Systems Theory, 1967, 1, p. 1—50.
Фюрстенберг, Кейнс, Шапиро (Furstenberg H., Keynes H. В.,
Shapiro L.)
[1] Prime flows in topological dynamics.— Israel J. Math., 1973, 14,
p. 26-38.
X абер (Haber S.)
[1] On a sequence of points of interest for numerical quadrature.— J. Res.
Nat. Bur. Standards., sect. B, 1966, 70, p. 127—136.
[2] Sequences of numbers that are approximately completely equidistribu-
ted.—J. Assoc. Comput. Machin., 1970, 17, p. 269—272.
[3] Numerical evaluation of multiple integrals.—SIAM Rev., 1970, 12,
p. 481—526.
[4] Experiments on optimal coefficients.— В кн.: Applications of Number
Theory to Numerical Analysis, ed. S. K. Zaremba. N.Y.: Academic
Press, 1972, p. 11—37.
Хабер, Осгуд (Haber S.. Osgood С F.)
[1] On a theorem of Piatetsky-Shapiro and approximation of multiple
integrals.—Math. Сотр., 1969, 23, p. 165—168.
[2] On the sum 2j <^riay-t and numerical integration.— Pacific J. Math.,
1969, 31, p. 383—394.
Хаксли (Huxley M. N.)
[1] The distribution of Farey points, I.—Acta Arith., 1971,18, p. 281—288.
Халмош (Halmos P. R.)
[1] Теория меры.—М.: ИЛ, 1953.
[2] Лекции по эргодической теории.— М.: ИЛ, 1959.
Халмош, Нейман фон (Halmos P. R., von Neumann J.)
[1] Operator methods in classical mechanics, II.— Ann. Math. (2), 1942,
43, S. 332—350.
Халмош, Самельсон (Halmos P. R., Samelson H.)
[1] On monothetic groups.—Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1942, 28,
p. 254—258.
Хальтер-Кох (Halter-Koch F.)
[1] Abgeschlossene Mengen algebraischer Zahlen.-^ Abh. Math. Sem.
Hamburg, 1972, 38, S. 65—79.

396
БИБЛИОГРАФИЯ
Хан Г. (Hahn H.)
[1] Theorie der reellen Funktionen. Bd. I.—1 Aufl.—Berlin: Springer, 1921.
X а н Ф. (Hahn F. J.)
[1] On affine transformations of compact abelian groups.— Amer. J. Math.,
1963, 85, p. 428—446.
Хансон (Hanson H. A.)
[1] Some relations between various types of normality of numbers.— Canad.
J. Math., 1954, 6, p. 477—485.
X a p д и (Hardy G. H.)
[1] On double Fourier series, and especially those which represent the double
zeta-function with real and incommensurable parameters—Quart. J. Math.
(1), 1906, 37, p. 53—79.
[2] Расходящиеся ряды.— M.: ИЛ, 1951.
Хард и, Литлвуд (Hardy G. H., Littlewood J. E.)
[1] Some problems of Diophantine approximation, III: The fractional part
of n*e.— Acta Math., 1914, 37, p. 155—191.
[2] Some problems of Diophantine approximation, VI: The series 2j I (^«)
and the distribution of the points (ina).— Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
1917, 3, p. 84—88.
[3] Some problems of Diophantine approximation: The lattice points of a
right-angled triangle, I.—Proc. London Math. Soc. (2), 1922, 20,
p. 15—36.
[4] Some problems of Diophantine approximation: The lattice points of right-
angled triangle, П.—Abh. Math. Sem. Hamburg, 1922, 1, p. 212—249.
[5] Some problems of Diophantine approximation: A series of cosecants.—
Bull. Calcutta Math. Soc, 1930, 20, p. 251—266.
[6] Notes on the theory of series, XXIV: A curious power series.— Proc.
Cambridge Phil. Soc., 1946, 42, p. 85—90.
Хард и, Райт (Hardy G. H., Wright E. M.)
[1] An introduction of the Theory of Numbers.—4th ed.— Oxford;
Clarendon, 1960.
Хартман (Hartman S.)
[1] Une generalisation d'un theoreme de M. Ostrowski sur la repartition des
nombres mod 1.—Ann. Soc. Polon. Math., 1949, 22, p. 169—172.
[2] Sur une methode d'estimation des moyennes de Weyl pour les fonctions
periodiques et presque periodiques.— Studia Math., 1951, 12, p. 1—24.
[3] tJber die Abstande von Punkten n\ auf der Kreisperipherie.—Ann. Soc.
Polon. Math., 1952, 25, S. 110—114.
[4] Remarks on equidistribution on non-compact groups.—Compositio Math.,
1964, 16, p. 66—71.
Хартман, Марчевский, Р ы л ь-Н а р д зе век и й (Hartman S.,
Marszewski E., Ryll-Nardzewski С.)
[1] Theoremes ergodiques et leurs applications.—Colloq. Math., 1951, 2,
• p. 109-123.
Хартман, Рыл ь-Н ардзевский (Hartman S., Ryll-Nardzewski С.)
[1] Zur Theorie der lokal kompakten abelschen Gruppen.—Colloq. Math.,
1957, 4, S. 157—188.
Хартман, Хуляницкий (Hartman S., Hulanicki A.)
[1] Sur les ensembles denses de puissance minimum dans les froupes topolo-
giques.—Colloq. Math., 1958, 6, p. 187—191.
Хасельгров (Haselgrove С. В.)
[1] A method for numerical integration.—Math. Сотр., 1961, 15, 323—337.
X e д р л и н (Hedrlin Z.)
[1] On integration in compact metric spaces.—Comm. Math. Univ. Carol.,
1961, 2, № 4, p. 17—19.
[2] Remark on integration in compact metric spaces.—Comm. Math. Univ.
Carol., 1962, 3, № 1, p. 31.

БИБЛИОГРАФИЯ
397
Хейер (Неуег Н.)
[1] Dualitat lokalkompakter Gruppen.— Lecture Notes in Math. v. 150.
Berlin: Springer-Verlag, 1.970.
Хельмберг (Helmberg G.)
[1] A theorem on equidistribution in compact groups.— Pacific J. Math.,
1958, 8, p. 227—241.
[2} Ein Satz iiber Gleichverteilung in kompaktan Gruppen, II.— Monatsh.
Math., 1959, 63, S. 368—377.
[3] Zerlegungen des Mittelwerts fastperiodischer Funktionen, I.— J. reine
angew. Math., 1961, 207, S. 31—52.
[4] Eine Familie von Gleichverteilungskriterien in kompakten Gruppen.—
Monatsh. Math., 1962, 66, S. 417—423.
[5] Abstract theory of uniform distribution.— Compositio Math., 1964, 16,
p. 72—82.
[6] A class of criteria concerning uniform distribution in compact groups.—
Compositio Math., 1964, 16, p. 196—203.
[7] Gleichverteilte Folgen in lokal kompakten Raumen.— Math. Z., 1964,
86, S. 157—189.
[8] On a convolution of sequences in a compact group.— Indag. Math.,
1964, 26, p. 266—274.
[9] Einige Giskrepanzabschatzungen fur Punktfolgen im R-*.—Monatsh. Math.,
1971, 75, S. 223-238.
Хельмберг, Пальман де Миранда (Helmberg G., Paalman de
Miranda A.)
[1] Almpst no sequence is well distributed.—Indag. Math., 1964, 26, p.
488—492.
Хельсон, Кахан (Helson H., Kahane J.-P.)
[1] A Fourier method in diophantine problems.—J. Analyse Math., 1965,
15, p. 245—262.
Хилл (Hill J. D.)
[1] The Borel property of summability methods.— Pacific J. Math., 1951, 1,
p. 399—409.
[2] Remarks on the Borel Property.—Pacific J. Math., 1954, 4, p. 227—242.
X и н ч и н А. Я-
[1] Ein Satz iiber Kettenbruche mit arithmetischen Anwendungen.—Math.
Z., 1923, 18, S. 289—306.
[2] Einige Satze iiber Kettenbruche, mit Anwendungen auf die Theorie der
Diophantischen Approximationen.^—Math. Ann., 1924, 92, S. 115—125.
[3] Uber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechn,ung.— Fundam. Math.,
1.924, 6, S. 9—20.
[4] Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen.— Rend. Circ.
Math. Palermo, 1926, 50, S. 170—195.
[5] Асимптотические законы теории вероятностей.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.
• [6] Eine arithmetische Eigenschaft der summierbaren Funktionen.— Матем.
сб., 1934, 41, N 1, с. 11-13.
[7] Цепные дроби.— М.: Наука, 1978.
Хиргейст (Hiergeist F. X.)
[1] Some generatizations and extensions of uniformly distributed sequences:
Thesis.—Univ. of Pittsburgh, 1964.
Хлавка (Hlawka E.)
[1] Zur formalen Theorie der Gleichverteilung in kompakten Gruppen.— Rend.
Circ. Math. Palermo (2), 1955, 4, S. 33-47.
[2] Uber einen Satz von van der Corput.— Arch, der Math., 1955, 6, S.
115—120.
[31 Folgen auf kompakten Raumen.— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1956, 20,
S. 223-241.
[4] Normal gleichverteilte Folgen auf kompakten Raumen.— Anz. Osterr.
Akad. Wiss., Math.-naturw. Ю-, 1957, 94, S. 94—96.

398
БИБЛИОГРАФИЯ
[5] Zum Hauptzatz der Theorie der Gleichverteilung.—Anz. Osterr. Akad.
Wiss., Math.-naturw. Kl., 1957, 94, S. 313—317.
(6] Folgen auf kompakten Raumen, II.—Math. Nachr., 1958, 18, S. 188—
202.
[7] Zur Theorie der diophantischen Approximationen.—Anz. Osterr. Akad.
Wiss., Math.-naturw. Kl., 1958, 95, S. 41—48.
[8] Erbliche Eigenschaften in der Theorie der Gleichverteilung.—Publ. Math.
Debrecen, 1960, 7, S. 181—186.
[9] Uber C-Gleichverteilung.— Ann. Mat. Рига Appl. (IV), 1960, 49, S.
311—326.
[10] Cremonatransformation von Folgen modulo 1.— Monatsh. Math., 1961,
65, S. 227—232.
[11] Uber die Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen mod 1.—Math. Z., 1961,
77, S. 273—284.
[12] Funktionen von beschrankter Variation in der Theorie der
Gleichverteilung.—Ann. Math., Рига Appl. (IV), 1961, 54, S. 325-333.
[13] Losung von Integralgleichungen mittels zahlentheoretischer Methoden, I.—
Sitzgsber. Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. Kb, Abt. II, 1962, 171,
S. 103-123.
[14] Zur angenaherten Berechnung mehrfacher Integrate.—Monatsh. Math.,
1962, 66, S. 140-151.
[15] Geordnete Schatzfunktionen und Diskrepanz.—Math. Ann., 1963, 150,
S. 259—267.
[16] Discrepancy and uniform distribution of sequences.—Compositio Math.,
1964, 16, p. 83—91.
[17] Uniform distribution modulo 1 and numerical analysis.— Compositio
Math., 1964, 16, p. 92—105.
[18] Trigonometrische Interpolation bei Funktionen von mehreren Variablen.—
Acta Arith., 1964, 9, p. 305—320?
[19] Mathematische Modelle zur kinetischen Gastheorie.—Sitzgsber. Osterr.
Akad. Wiss., Math.-naturw. Kl., Abt. II, 1965, 174, S. 287—307.
[20] Geometrie der Zahlen und trigonometrische Interpolation bei Funktionen
von mehreren Variablen.— В кн.: Les Tendances Geometriques en Aldebre
et Theorie des Nombres. Paris: Edition du Centre National de la Recherche
Scientifique, 1966, p. 83—86.
[21] Mathematische Modelle der kinetischen Gastheorie, III.—Sitzgsber. Osterr.
Akad. Wiss., Math.-naturw. KL, Abt. II, 1969, 178, S. 1-12.
[22] Interpolation analytischer Funktionen auf dem Einheitskreis.— В кн.:
Number Theory and Analysis, ed, P. Turan. N. Y.: Plenum; Berlin: VEB
Deutcher Verlag der Wissenschaften, 1969, p. 97—118.
[23] Methematische Modelle der kinetischen Gastheorie, II.— В кн.: Symposia
Mathematica IV (1st. Naz. di Alta Mat.) London; N. Y.: Academic
Press, 1970, p. 81—97.
[24] Ein metrischer Satz in der Theorie der C-Gleichverteilung.— Monatsh.
Math., 1970, 74, S., 108-118.
[25] Zur Definition der Diskrepanz.—Acta Arith., 1971, 18, S. 233—241.
[26] Discrepancy and Riemann integration.— В кн.: Studies in Pure
Mathematics (Papers Presented to Richard Rado), ed. L. Mirsky. N. Y.:
Academic Press, 1971, p. 121—129.
[27] Ein metrisches Gegenstuck zu einem Satz von W. A. Veech.— Monatsh.
Math., 1972, 76, S. 436—447.
[28] Uber eine Methode von E. Hecke in der Theorie der Gleichverteilung.—
Acta Arith., 1973, 24, S. 11—31.
X лавка, К рейтер (Hlawka E., Kreiter K.)
[1] L5sung von Integralgleichungen mittels zahlentheoretischer Methoden,
II.—Sitzgsber. Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. KL, Abt. II, 1963,
172, S. 229—250.

БИБЛИОГРАФИЯ
399
Хлавка, Кьюих (Hlawka E., Kuich W.)
[1] Geordnete Schatzfunktionen und Diskrepanz, II.— Sitzgsber. Osterr. Akad.
Wiss., Math.-naturw. Kl., Abt. II, 1965, 174, S. 235—286.
Главка, Мюк (Hlawka E., Muck R.)
[1] A transformation of equidistributed sequences.—Applications of Number
Theory to Numerical Analysis, ed. S. K. Zaremba. N. Y.: Academic
Press, 1972, p. 371-388.
[2] Uber eine Transformation von gleichverteilten Folgen, II.— Computing,
1972, 9, S 127—138.
Хлавка, Нидеррейтер (Hlawka E., Niederreiter H.)
[1] Diskrepanz in kompakten abelschen Gruppen, I.—Manuscripb Math.,
1969, 1, S. 259—288.
X обе он (Hobson E. W.)
[1] The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's
Series, v.I.— 3rd ed.—London: Cambridge Univ. Press, 1927.
Ходже с (Hodges J. H.)
[1] Uniform distribution of sequences in GF [qt x].— Acta Arith., 1966, 12.
[2] Uniform distribution of polynomial-generated sequences in GF [q, x].—
Ann. Mat. Рига Appl. (IV), 1969, 82, p. 135—142.
[3] On uniform distribution of sequences in GF {q, x] and GF [q, x].— Ann.
Mat. Рига Appl. (IV), 1970, 85,ч q. 287—294.
[4] A note on irregularities in distribution of sequences of integers.— Por-
tugalie Math., 1972, 31, p. 171—176.
Холевейн (Holewijn P. J.)
[1] Contribution to the theory of asymptotic distribution mod 1: Thesis.—
Technische Hogeschool Delft, 1965,
[2] On the uniform distribution of sequences of random variables.— Z. Wahr-
scheinlichkeitsth., 1969, 14, p. 89—92.
[3] Note on Weyl' s criterion and the uniform distribution of independent
random variables.—Ann. Math. Statist., 1969, 40, p. 1124—1125.
Холтон (Halton J. H.)
[1] On the efficiency of certain quasi-random sequences of points in
evaluating multi-dimensional integrals.— Number Math., 1960, 2, p. 84—90;
испр. там же, р. 196.
[2] The distribution of the sequence {n£} (n = 0, 1, 2, . . .).—Proc.
Cambridge Phil. Soc, 1965, 61, p. 665—670.
[3] A retrospective and prospective survey of the Monte Carlo method.— SIAM
Rev., 1970, 12, p. 1—63.
[4] Estimating the accuracy of quasi-Monte Carlo .integration.—В кн.:
Applications of Number Theory to Numerical Analysis, ed. S. K- Zaremba.
N. Y.: Academic Press, 1970, p. 345—360.
Холтон, Заремба (Halton J. H., Zaremba S. K.)
[1] The extreme and L2 discrepancies of some plane sets.— Monatsh. Math.,
1969, 73, p. 316-328.
Хор н, Шах (Horn S., Schach S.)
[1] An extension of the Hewitt-Savage zero-one law.— Ann. Math. Statist.,
1970, 41, p. 2130—2131.
Хьюитт, Росс (Hewitt E., Ross K. A.)
[1] Абстрактный гармонический анализ, т. I.—М.: Наука, 1975; т. 2. — М.:
Мир, 1975.
Хуа Л о.ген (Hua L.-K.)
[1] Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел.— М.:
ИЛ, 1964.
[2] Аддитивная теория простых чисел.— Труды Матем. ин-та АН СССР,
1947, 22.
Хуа Логе н, Ван (Hua L.-K-, Wang Y.)
[1] Remarks concerning numerical integration.—Sci. Record (N. S.), 1960,
4, p. 8-11.

400
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] On diophantine approximations and numerical integrations, I, II;— Sci.
Sinica, 1964, 13, p. 1007—1010.
[3] On numerical integration of periodic functions of several variables.— Sci.
Sinica, 1965, 14, p. 964—978.
Хьюитт, Стремберг (Hewitt E., Stromberg K.)
[1] Real and Abstract Analysis.—N. Y.: Springer-Verlag, 1969.
Хьюитт, Сэвидж (Hewitt E., Savage L. J.)
[1] Symmetric measures on Cartesian products.— Trans. Amer. Math. Soc,
1955, 80, p. 470—501.
Хьюитт, Цуккерман (Hewitt E., Zuckerman H. S.)
[1] On avtheorem of P. J. Cohen and H. Davenport.— Proc. Amer. Math.
Soc., 1963, 14, p. 847—855..
Хэвиленд (Haviland E. K.)
[1] On the distribution functions of the reciprocal of a function and of a
function reduced mod 1.—Amer. J. Math., 1941, 63, p. 408—414.
Хэммерсли (Hammersle,y J. M.)
[1] Monte Carlo methods for solving multivariable problems.— Ann. New
York Acad. Sci., 1960, 86, p. 844—874.
Хэммерсли, Хэндскомб (Hammersley J. M., Handscomb D. C.)
[1] Monte Carlo Methods.—London: Methuen, 1964.
Целлер, Бекман (Zeller К., Beekmann W.)
[1] Theorie der Limitierungsverfahren.—2. Aufl.— Frg. Math. Grenzgeb., Bd.
15. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Sprinder-Verlag, 1970.
Циглер (Cigler J.)
[I] Asymptotische Verteilung reeler Zahlen mod 1.— Monatsh. Math., 1960,
64, S. 201—225.
[2] Der individuelle Ergodensatz in der Theorie der Gleichverteilung mod 1.—
J. reine angew. Math., 1960, 205, S. 91—100.
[3] Ein gruppentheoretisches Analogon zum Begriff der normalen Zahl.—J.
reine angew. Math., 1961, 206, S. 5—8.
[4] Ziffernverteilung in a-adischen Bruchen.—Math. Z., 1961, 75, S. 8—13.
[5] Hausdorffsche Dimensionen spezieller Punktmengen.—Math. Z., 1961, 76,
S. 22-30.
[6] Folgen normierter Masse auf kompakten Gruppen.— Z. Wahrscheinlichkei-
tsth., 1962, 1, S. 3—13.
[7] Uber eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Theorie der
Gleichverteilung.—J. reine angew. Math., 1962, 210, S. 141 — 147.
[8] The fundamental theorem of van der Corput on uniform distribution and
its generalizations.—Compositio Math., 1964, 16, p. 29—34.
[9] Some applications of the individual ergodic theorem to problems in
number theory.— Compositio Math., 1964, 16, p. 35—43.
[10] Methods of summability and uniform distribution mod 1.—Compositio
Math., 1964, 16, p. 44—51.
[II] Stark gleichverteilte Folgen in kompakten Gruppen.—Monatsh. Math.,
1966, 70, S. 430—436.
[12] A characterization of well-distributed sequences.—Compositio Math.,
1966, 17, p. 263-267.
[13] Some remarks on the distribution mod 1 of tempered sequences.—Nieuw
Arch, voor Wisk. (3), 1968, 16, p. 194-196.
[14] On a theorem of H. Weyl.—Compositio Math., 1969, 21, p, 151—154.
[15] Well-distributed sequences.—Bull. Soc. Math. France, Suppl., Mem.,
1971, 25, p. 39—43.
Циглер, Фолькман (Cigler J., Volkmann B.)
[1] Uber die Haufigkeit vonZahlenfolgen mit gegebener Verteilungsfunktion.—
Abh. Math. Sem. Hamburg, 1963, 26, S. 39-54.
Циглер, Хельмберг (Cigler J., Helmberg G.)
[1] Новейшее развитие теории равномерного распределения.— Математика,
1963, 7, с. 3—46.

БИБЛИОГРАФИЯ
4С1
Цинтерхоф (Zinterhof P.).
[1] Einige zahlentheoretische Methoden zur numerischen Quadratur und
Interpolation.—Sitzgsber. Osterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. Kb, Abt. II,
1969, 177, S. 51—77.
Цудзи (Tsuji M.)
[1] On the uniform distribution of values of a function mod l.—Ргос. Imp.
Acad. Tokyo, 1943, 19, p. 66—69.
[2] On the uniform distribution of numbers mod 1.—J. Math. Soc. Japan,
1952, 4, p. 313—322.
Ч а н д р а с е к x a p а н (Chandrasekharan K.)
[1] Введение в аналитическую теорию чисел.— М.: Мир, 1974.
Чемперноун (Champernowne D. G.)
[1] The construction of decimal normal in the scale of ten.— J. London
Math. Soc, 1933, 8, p. 254—260.
Чесельский, Кестен (Ciesielski Z., Kesten H.)
[1] A limit theorem for the fractional parts of the sequence {2kt}.— Proc.
Amer. Math. Soc, 1962, 13, p. 596—600.
Ч ж у й (Chui С. К.)
[1] Concerning rates of convergence of Riemann sums.—J. Approximation
Th., 1971, 4, p. 279—287.
Чжун (Chung K. L.)
[1] An estimate concerning the Kolmogoroff limit distribution.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1949, 67, p. 36—50.
Чиллаг (Csillag P.)
[1] Uber die gleichmassige Verteilung nichtganzer positiver Potenzen mod 1.—
Acta Litt. Sci. Szeged, 1930, 5, S. 13—18.
Шабот и (Chabauty С.)
[1] Sur la repartition modulo 1 de certaines suites p-adiques.— С R. Acad.
Sci. Paris, 1950, 231, p. 465—466.
Шалат (Salat T.)
[1] A remark on normal numbers.— Rev. Roumaine Math. Pures Appl.,
1966, 11, p. 53-56.
[2] Zu einigen Fragen der Gleichverteilung (mod 1).—Czechoslovak Math. J.,
1968, 18, S. 476-488.
Шапиро Г., Шперер (Shapiro H. N., Sparer G. H.)
[1] Composite values of exponential and related sequences.—Comm. Pure
Appl. Math., 1972, 25, p. 569—616.
Шапиро Л. (Shapiro L.)
[1] Irregularities of distribution in dynamical systems.—Recent Advances in
Topological Dynamics. Lecture Notes in Matht, v. 318. Berlin a. o.:
Springer-Verlag, 1973, p. 249—252.
Шарыгин И. Ф.
[1] О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае
непериодических функций.—ДАН СССР, 1960, 132, с. 71—74.
[2] Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах
функций.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, 3, с. 370—376..
Шахов Ю. Н. ,
[1] О вычислении собственных значений многомерного симметричного ядра
с помощью теоретико-числовых сеток.— Ж- вычисл. матем. и матем.
физ., 1963, 3, № 6, с. 988—997.
[2] О вычислении интегралов растущей кратности.— Ж- вычисл. матем.
и матем. физ., 1965, 5, №5, с. 911—916.
[3] Некоторые оценки при построении нормальной по Бернулли
последовательности знаков.— Матем. заметки, 1971, 10, № 5, с. 501—510.
[4] О построении нормальной по Маркову последовательности знаков.— Уч.
зап. Моск. гос. пед. ин-та, 1971, 375, с. 143—155.
Шварц (Schwarz W.)
[1] Irrationale Potenzreihen.—Ai;ch. der Math., 1962, 13, S. 228—240.

402
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Irrationale Potenzreihen, II.—Arch, der Math., 1966, 17, S. 435—437.
Швар.ц, Валлисер (Schwarz W., Wallisser R.)
[1] Uber gewisse nichtfortsetzbare Potezreihen.—Monatsh. Math., 1973, 77,
S. 63—66; II, ibid, S. 251—266.
Ill в е й г е р (Schweiger F.)
[1] Metrische Theorie einer Klasse zahlentheoretischer Transformationen.—
Acta Arith., 1968, 15, S. 1—18; испр. там же: 1969, 16, S. 217—219.
[2] Normalitat bezuglich zahlentheoretischer Transformationen.— J. Number
Th., 1969, 1, S. 390—397.
[3] Metrische Theorie kettenbruchahnlicher Ziffernentwicklungen, Zahlenthe-
orie-Tagung math. Forsch.- inst. Oberwolfach 1970.— Ber. math.
Forsch.—inst. Oberwolfach, 1971, 5, S. 159—172.
Шёнберг (Schoenberg I.)
[1] Uber die asymptotische Verteilung reeller Zahlen mod 1.— Math. Z.,
1928, 28, S. 171—199.
[2] Solution of Problem 5090.—Amer. Math. Monthly, 1964, 71, p. 332—334.
Шмидт В. (Schmidt W/M.)
[I] A metrical theorem in diophantine approximation.— Canad.
J. Math., 1960, 12, p. 619—631.
[2] On normal numbers.—Pacific J. Math., 1960, 10, p. 661—672.
[3] Uber die Normalitat von Zahlen zu verschiedenen Basen.— Acta Arith.,
1962, 7, S. 299—309.
[4] Normalitat bezuglich Matrizen.—J. reine angew. Math., 1964, 214/215,
S. 227—260.
[5] Metrical theorems on fractional parts of seguences.— Trans. Amer. Math.
Soc., 1964, 110, p. 493—518.
[6] Irregularities of distribution.—Quart. J. Math. (2), 1968, 19, p. 181—191.
[7] Irregularities of distribution, II.— Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 136,
p. 347—360.
[8] Irregularities of distribution, III.—Pacific J. Math., 1969, 29, p. 225—
234.
[9] Irregularities of distribution, IV.—Invent. Math., 1969, 7, p. 55—82.
[10] Disproof of some conjectures on Diophantine Approximations.— Studia
Sci. Math. Hungar, 1969, 4, p. 137—144.
[II] Irregularities of distribution, V.— Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 25, p.
608—614.
[12] Совместное приближение алгебраических чисел рациональными.—
Математика, 1971, 15, № 5, с. 62—73.
[13] Irregularities of distribution, VI.— Compositio Math., 1972, 24, p. 63—
74.
[14] Irregularities of distribution, VII.—Acta Arith., 1972, 21, p. 45—50. -
[15] Irregularities of distribution, VIII.—Acta Arith., 1975, 27, p. 385—396.
Шмидт К. (Schmidt К.)
[1] Uber einen Zusammenhang zwischen gleichverteilten Punktund Massfol-
gen.—J. reine angew. Math., 1970, 244, S. 94—96.
[2] Eine Diskrepanz fur Massfolgen auf lokalkompakten Gruppen.— Z. Wah-
r.scheinlichkeitsth., 1971, 17, S. 48—52.
[3] Ube/ die C-Gleichverteilung von Massen.— Z. Wahrscheinlichkeitsth.,
1971, 17, S. 327—332.
Шмидт К.» Цинтерхоф (Schmidt K-, Zinterhof P.)
[1] Uber Quadraturformeln auf Г<*.— Computing, 1970, 6, S. 94—96.
Шнабль (Schnabl R.)
[1] Zur Theorie der homogenen Gleichverteilung modulo 1.— Sitzgsber. Osterr.
Akad. Wiss., Math.-naturw. Kb, Abt. II, 1963, 172, S. 43—77.
Шовино (Chauvineau J.)
[1] Sur la repartition modulo 1 de certaines fonctions periodiques.— C.
R.Acad. Sci. Paris, 1961, 252, p. 4090—4092.

БИБЛИОГРАФИЯ
403
[2] Suites continument et periodiquement reparties modulo 1.—C.R. Acad.
Sci. Paris, 1963, 256, p. 839—841.
[3] Sur la repartition en valuation p-adique.—C.R. Acad. Sci. Paris, 1964,
259, p. 3907—3909.
[4] Complement au Iheoreme metrique de Koksma dans R et dans Q«.— C.R.
Acad. Sci. Paris, 1965, 260, p. 6252—6255.
[5] Sur la C-equirepartition modulo 1 en valuation p-adique.—C.R. Acad.
Sci. Paris, ser. A, 1966, 262, p. 557—559.
[6] Sur la repartition dans R et dans Q«.—Acta Arith., 1968, 14, p. 225—
313
HI о ш (S6s V. T.)
[1] On the theory of diophantine approximations, I.— Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 1975, 8, p. 461—472.
[2] On the distribution mod 1 of the sequence /га.— Ann. Univ. Sci.
Budapest. Eotvos Sect. Math., 1958, 1, p. 127—134.
Ш p a й б e p (Schreiber J.-P.)
[1] Sur les nofnbres de Chabauty-Pisot-Salem des entesions algibriques de
Qp.— C.R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1969, A269, p. 71—73.
[2] line caracterisation des nombres de Pisot-Salem des corps p-adiques Qp.—
Bull. Soc. Math. France, Suppl., Mem., 1969, 19, p. 55—63.
Шрейер, Улам (Schreier J., Ulam S.)
[1] Sur le nombre des generateurs d'un groupe topologique compact et con-
vexe.—Fundam. Math., 1935, 24, p. 302—304.
Штакельберг О. П.
[1] A uniform law of the iterated logarithm for functions C-uniformly
distributed mod 1.—Indiana Univ. Math. J., 1971, 21, p. 515—528.
Штейнгауз (Steinhaus H.)
[1] Sur les fonctions independantes (VI).—Studia Math., 1940, 9, p. 121—131.
[2] Сто задач,—М.: Наука, 1976.
Шураньи (Suranyi J.)
[1] Uber die Anordnung der Vielfachen einer reelen Zahl mod 1.— Ann. Univ.
Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math., 1958, 1, S. 107—111.
Шью (Shiue J.-S.)
[1] On a theorem of uniform distribution of g-adic integers and a notion of
independence.— Rend. Accad. Naz. Lincei, 1971, 50, p. 90—93.
Эглстон (Eggleston H. G.)
[1] The fractional dimension of a set defined by decimal properties.— Quart.
J. Math. (1), 1949, 20, p. 31—36.
[2] Sets of fractional dimensions which occur in,some problems of number
theory.—Proc. London Math. Soc. (2), 1951, 54, p. 42—93.
[3] Convexity.— Cambridge Tracts in Math, and Math. Physics, № 47.
London: Cambridge Univ. Press, 1958.
Э к к м а н (Eckmann B.)
[1] Uber monothetische Gruppen.—Comment. Math. Helv., 1943/44, 16, S.
249—263.
Эллиот (Elliott P.D.T. A.)
[1] On the limiting distribution of additive functions (mod 1).— Pacific J.
Math., 1971, 38, p. 49—59.
[2] The Riemann zeta function and coin tossing.— J. reine angew. Math.,
1972, 254, p. 100—109.
[3]* On the distribution of arg L (s, %) in the half-plane a > 1/2.— Acta Arith.,
1972, 20, p. 155—169.
[4] On distribution functions (mod 1): Quantitative Fourier inversion.—J.
Number Th., 1972, 4, p. 509—522.
Э н н о л a (Ennola V.)
[1] On the distribution of fractional parts of sequences, I, II, III.— Ann.
Univ. Turku, ser. AI, 1966, №91, 92; 1967, №97.

404
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] On metric diophantine approximation.—Ann. Univ. Turku» ser. AI, 1967,-
№ 113.
Эрдёш (Erdos P.)
[1] On the smoothness of the asymptotic distribution of additive arithmetical
functions.—Amer. J. Math., 1939, 61, p. 722—725.
[2] On the uniform distribution of the functions.—Amer. J. Math., 1939,
61, p. 722—725.
[3] On the distribution function of additive functions.—Ann. Math. (2), 1946,
.47, p. 1—20.
[4] On the strong law of large numbers.—Trans. Amer. Math. Soc, 1950,
67, p. 51—56.
[5] Some results on diophantine approximation.— Acta Arith., 1959, 5, p.
359—369.
[6] Some unsolved problems.—Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl.,
1961, 6, p. 221—254.
[7] Problems and results on diophantine approximations.—Compositio Math.,
1964, 16, p. 52—65.
Эрдёш, Винтнер (Erdos P., Wintner A.)
[1] Additive arithmetical functions and statistical independece.—Amer. J.
Math., 1939, 61, p. 713—721.
Эрдёш, Гал (Erdos P., Gal I. S.)
[1] On the law of the interated logarithm, I, II.—Indag. Math., 1955, 17,
p. 65—76, 77—84.
Эрдёш, Девенпорт (Erdos P., Davenport H.)
[1] A theorem on uniform distribution.—Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato
Int. Kozl., 1963, 8, p. 3—11.
Эрдёш, Кац, Ван Кампен, Винтнер (Erdos P., Kac M., van Kampen
Е. R., Wintner A.)
[1] Ramanujan sums and almost periodic functions.— Studia Math., 1940, 9,
p. 43—53.
Эрдёш, Коксма (Erdos P., Koksma J. F.)
[1] On the uniform distribution modulo 1 of lacunary sequences.— Indag.
Math., 1949, 11, p. 79—88.
[2] On the uniform distribution mod 1 of sequences {/ (/гб)}.— Indag. Math.,
1949, 11, p. 299—302.
Эрдёш, Лоренц (Erdos P., Lorentz G. G.)
[1] On the probability that n and g (n) are relatively prime.—Acta Arith.,
1958, 5, p. 35—44.
Эрдёш, Реньи (Erdos P., Renyi A.)
[1] A probabilistic approach to problems of Diophantine approximation.— III.
J*. Math., 1957, 1, p. 303—315.
Эрдёш, Тейлор (Erdos P.t Taylor S. J.)
[1] On the set of points of convergence of a lacunary trigonometric series and
the equidistribution properties of related sequences.— Proc. London Math.
Soc, (3), 1957, 7, p, 598-615.
Эрдёш, Туран (Erdos P., Turan P.)
[1] On the uniformly dense distribution of certain sequences of points.—Ann.
Math. (2), 1940, 41, p. 162—173.
[2] On interpolation, III.—Ann. Math. (2), 1940, 41, p. 510—553.
[3] On a problem in the theory of uniform distribution, I, II.—Indag.
Math., 1948, 10, 370—378, p. 406—413.
[4] On the distribution ot roots of polynomials.—Ann. Math. (2), 1950, 51,
p. 105—119.
Юди н A. A.
[1] Об иррегулярности в распределении последовательностей.— Изв. АН
ТаджССР, отд. физ.-техн. и хим. наук, 1966, № 2(20), с. 7—18.
[2] Новое доказательство теоремы Эрдёша — Ту рана.—Литовский матем.
сб., 1969, 9, № 4, с. 839—848.

БИБЛИОГРАФИЯ
405
Я rep (Jager H.)
[1] On decimal expansions, Zahlentheorie-Tagung math. Forsch.-inst. Ober-
wolfach 1970.—Ber. math. Forsch.-inst. Oberwolfach, 1971, 5, S. 67—75.
Я г е р м а н (Jagerman D. L.)
[1] The autocorrelation function of a sequence uniformly distributed modulo
1.—Ann. Math. Statist., 1963, 34, p. 1243—1252.
[2] The autocorrelation and joint distribution functions of the sequences
{(a/m)/2}, {(a/m)(/ + T)2}.—Math. Сотр., 1964, 18, p. 211—232.
[3] Some theorems concerning pseudo-random numbers.— Math. Сотр., 1965,
19, p. 418—426.
Якобе (Jacobs K)
[1] Gleichverteilung mod 1.— В кн.: Selecta Mathematica IV. Berlin a. o.:
Springer-Verlag, 1972, S. 57—93.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Банахов предел 235
Борелевское свойство 207, 230
Гиперплоскость опорная 105
Группа без кручения 256
— двойственная 254
— делимая 309
— моногенная 322
-г- монотетическая 292
— ■ периодическая 256
— топологически делимая 311
— характеров 254
— чисел совместно нормальная 87
— /С-сепарабельная 332
Дробная часть 11, 58
Единичная окружность 245
Единичный интервал 11
Изоморфизм 243
Класс, определяющий сходимость 188, 207
— ^-равномерности 194
Компактификация 316
— Бора 316
— периодическая 316
Критерий Вейля 16, 59, 198, 214, 248, 336
Куб 58
Максимальное уклонение 206
Мера Банаха — Бака 344
— борелевская регулярная 186
— точечная 195
— Хаара 241
Метод Абеля 76
— — дискретный 232
— Гёльдера 73
~ простых средних Рисса 74
— Рота 111
— средних Чезаро 73
— суммирования 71
— — матричный 71, 226
— — — сильно регулярный 236
— — сильнее (данного) 73
— — Эйлера 74
— теплицев положительный 72
— Шмидта 119
Множество борелевское 186
— нормальное 88
— полной меры 208
—' расширяемое 33
Модуль непрерывности 160
Неравенство ван дер Корпута,35, 259
— Коксмы 157
Неравенство Коксмы — Хлавки 165
— Левека 123
Неравномерность 109
Носитель меры 193
Образующая (группы) 202
— моногенная 323
Отклонение 99, 103
— изотропное 104, 109
— по отношению к функции 100, 103
— экстремальное 109
Отображение периодическое 313
Плотность натуральная 274
— распределения нижняя асимптотическая
336
Подгруппа компактного индекса 309
— периодическая 256
Подходящая дробь 134
Политоп 104
Последовательности независимые 346
Последовательность ван дер Корпута 139
— вполне равномерно распределенная
0л-р. р.) 223
— двойная 28
— — , равномерно распределенная (р. р.)
в квадратах 29
— допустимая 53
— однородно равнораспределенная 15
— отлично распределенная (о. р.) 51, 58,
242, 334
— относительно измеримая 346
— почти сходящаяся 54, 235
— равномерно распределенная (р. р.) 11, 14,
28, 58, 242, 310, 335, 350, 351, 352, 357,
358, 360, 361, 362
— — — в последовательностях интервалов
62
— — — по Хартману 324
— — — почти всюду 42
— слабо |И-отлично распределенная (ц.-о. р.)
225
— Холтона 142
— Хэммерсли 142
— Л-почти сходящаяся 236
— Л-равномерно распределенная (А-р. р.)
72, 242
— (А, |ы)-отлично распределенная ((А, ц.)
о. р.) 237
— (А, |ы)-равномерно распределенная
((А, ц)-р. р.) 226
Почти арифметическая прогрессия 131
Представление 243
— вполне приводимое 247
— неприводимое 245
— периодическое 315
— приводимое 245
— унитарное 245
Преобразование, сохраняющее меру 200

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Равномерная структура левая 249
Равностепенно равномерное распределение
250
— ц-равномерное распределение 210
Размерность представления 243
Свертка мер 282
— последовательностей 285
Сдвиг 200
Сетка параллелепипедальная 199
Слабая сходимость мер 194
Слабое прямое произведение 255
Среднее значение 326
Счетчик 11
Теорема Бэра 216
— ван Аарденне-Эренфест 118
— ван дер Корпута о разностях 36, 259,
272
— Винера — Шенберга 66
— двойственности Понтрягина 254
— Егорова 217
— индивидуальная эргодическая 200
— Петера — Вейля 247
— Сильвермена — Теплица 73
— Стоуна — Вейерштрасса 189
— Титце 193
— Туэ — Зигеля — Рота 136, 141
— Фейера 24
— Эрдёша -г- Турана 125
Тор одномерный 245
— ^-мерный 293
Условие Хилла 230
Формула включения — исключения 196
— суммирования Эйлера 27
Функция множества непрерывная 355
— непрерывно равномерно распределенная
(н. р. р.) 89, 95, 347
— ограниченной вариации 162
Функция периодическая 313
— положительно определенная 267
— почти периодическая 326
— распределения 64, 350
— — асимптотическая 63, 67
— — верхняя 64
— — нижняя
— — эмпирическая 109
— — Л -асимптотическая 72 .
— скачков 355
— Урысона 190
— Л -корреляционная 267
— /С-почти периодическая 331
Характер группы 245, 253
— — периодический 315
— представления 245
Целая часть 11, 58
Частные неполные 134
— — ограниченные 135
Число абсолютно нормальное 81
— нормальное (по основанию Ь) 80
— Пизо—Виджаярагхавана 46
— плохо приближаемое 133
— постоянного типа 133
— слабо нормальное 80
— типа Т| 133
< -ф 133
Эквивалентные методы суммирования
— представления 245
— функции 65
Элемент иррациональный 361
— компактный 256
— нормальный 257
D-компактификация
LP -отклонение

Лоуренс Keujxepc, Гарольд Нидеррейтер
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Редактор А. И. Штерн
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. Г. Егорова, Н. Б. Румянцева
ИБ № 12243
Сдано в набор 27.09.84. Подписано к печати 16-10.85.
Формат 60x90Vi6- Бумага тип. № 2. Гарнитура
литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 25,5. Усл.
кр.-отт. 25,5. Уч.-изд. л. 31.86. Тираж 3800 экз.
Заказ № 1012. Цена 3 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Наука». Главная редакция физико-математической
литературы. 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени МПО «Первая Образцовая
типография» им. А. А. Жданова Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 113054 Москва,
Валовая, 28
Отпечатано в типографии № 2 изд-ва «Наука».
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. Зак. 1963